Suponha que você é um engenheiro (ou engenheira) especializado em computadores, e que está examinando o conteúdo gravado em um dos componentes de memória de um computador. Seus equipamentos de teste dizem que, em certo endereço de memória (o registro FF), há um byte gravado, isto é, há uma sequência específica de oito bits. São eles:
01101011
O que tais bits significam? O que esse byte significa?
A resposta é: depende. Talvez signifique 107 dólares (pois 01101011(2) = 107(10)); ou então 107 milhões de reais. Talvez signifique simplesmente o inteiro positivo 107. Talvez seja o código EBCDIC para “,” (vírgula); ou então o código ASCII para “k” (k minúsculo). Talvez signifique “feche as válvulas 1, 4, e 6, mas abra as válvulas 2, 3, 5, 7, e 8”; ou então “demita os funcionários 1, 4, e 6, mas retenha os funcionários 2, 3, 5, 7, e 8”. Talvez signifique “as bactérias nas placas de Petri 1, 4, e 6 morreram; mas as bactérias nas placas 2, 3, 5, 7, e 8 prosperaram”.
Mais precisamente, o significado de um símbolo depende do algoritmo que usa o símbolo. Essa é uma descoberta recente a respeito de significados: surgiu com o desenvolvimento da computação teórica. É uma descoberta importante, de modo que vale a pena colocá-la de pelo menos duas maneiras distintas.
1) Seja S um conjunto de símbolos. Seja p um algoritmo. S é o domínio do discurso do algoritmo p, isto é, cada uma das variáveis de p pode ser igualada a um dos elementos de S. O significado de cada símbolo s ∈ S depende de como o algoritmo p usa s.
2) Seja S um conjunto de coisas. Seja p um procedimento feito com as coisas de S. Seja E o exequente do procedimento p. O significado de cada coisa s ∈ S, de acordo com E, depende de como o exequente E do procedimento p usa s.
Veja um programa simples, escrito em língua portuguesa comum, que usa o conteúdo do registro FF, que continua a ser 01101011:
a) Leia o conteúdo do registro FF. São oito bits. O primeiro bit é o bit mais à esquerda, e último bit é o bit mais à direita.
b) Se o primeiro bit for igual a zero, desligue a câmera 1. Se o primeiro bit for igual a 1, ligue a câmera 1.
c) Se o segundo bit for igual a zero, desligue a câmera 2. Se o segundo bit for igual a 1, ligue a câmera 2.
d) Se o terceiro bit for igual a zero, desligue a câmera 3. Se o terceiro bit for igual a 1, ligue a câmera 3.
e) Continue a fazer isso para todos os bits remanescentes no registro FF: Se o n-ésimo bit for igual a zero, desligue a câmera n. Se o n-ésimo bit for igual a 1, ligue a câmera n.
f) Quando tiver lido todos os bits de FF, e feito o que deve fazer, pare.
De acordo com esse programa, ou procedimento, o significado de 01101011 é: desligue as câmeras 1, 4, e 6; mas ligue as câmeras 2, 3, 5, 7, e 8. De novo: o significado de um símbolo como 01101011 depende do programa que usa o símbolo.
Essa descoberta é importante para professores de matemática, ou para qualquer um que gostaria de estudar matemática melhor ou então precise ensinar um pouco de matemática a alguém. O que deve ser ensinado? O que deve ser estudado? A resposta deve vir em duas etapas: uma restrita a símbolos, outra ampliada para objetos concretos ou abstratos. Entre aspas, para que haja ênfase: (1) “O significado de um símbolo depende do modo como tal símbolo é usado. Mais genericamente: é possível esgotar o significado de um símbolo ao listar todas as maneiras pelas quais o símbolo pode ser usado.” Presuma, por um momento, que o platonismo atual é verdadeiro: todo objeto concreto supervém num objeto abstrato, de modo que todo objeto concreto é estritamente idêntico a um objeto abstrato. (Os objetos concretos são subconjunto próprio dos objetos abstratos.) Ora, símbolos servem para dar nome a objetos abstratos ou concretos; sendo assim, nas situações em que determinado programa funciona, ou em que determinado procedimento é executado por algo ou alguém, certo símbolo s talvez se refira a um objeto abstrato 𝛾, que por sua vez talvez seja o fundamento subjacente a um objeto concreto 𝛾’. Portanto: (2) “O significado de um objeto matemático depende do modo como tal objeto é usado. Mais genericamente: é possível esgotar os vários significados de um objeto abstrato ao listar todas as maneiras pelas quais o objeto pode ser usado.”
Para ver como essa ideia funciona com o número 2, eis algumas das maneiras pelas quais 2 pode ser usado:
1) Você pode adicionar duas unidades de alguma coisa às unidades dessa coisa que você já tem. Se usa x para designar as unidades de coisas que você já tem, então você sempre pode fazer x + 2.
2) Você pode subtrair duas unidades de alguma coisa das unidades dessa coisa que você já tem. Se registra com x as unidades que você já tem dessa coisa, sempre pode fazer x – 2. (Se x = 0, ao fazer x – 2, você vai ficar devendo duas unidades dessa coisa.)
3) Se registra com x as unidades de uma coisa, unidades que você já tem, pode multiplicá-las por 2. Basta fazer o seguinte: para cada unidade de x, sem exceção, adicione ao todo exatamente uma unidade extra. Ao final do processo, você terá 2x.
4) Se você tem x unidades de uma coisa, pode dividir x por 2. Basta pegar uma unidade do montão com x unidades e colocá-la à sua esquerda; depois pegar outra unidade do montão com x – 1 unidades e colocá-la à sua direita; e vá dessa maneira até que tenha dois grupos com o mesmo número de unidades, um grupo à esquerda, outro grupo à direita. O montão com x unidades foi dividido por 2. Se x é um inteiro positivo ímpar, vai sobrar uma unidade. Daí talvez queira usar uma moeda para sortear, por cara ou coroa, qual dos dois grupos pode ficar com a unidade que sobrou.
5) Você pode separar, num conjunto, todas as funções integráveis f tais que a integração de f de 0 a 1 vale 2 unidades. Em fórmula:
Em palavras: “O conjunto C é o conjunto das funções integráveis f tais que a integral definida de f de 0 a 1 é igual a 2.”
6) E assim por diante ao infinito.
O matemático britânico Timothy Gowers costuma dizer que o significado de um objeto matemático é aquilo que ele faz. Mas essa não pode ser a história toda, porque objetos abstratos não fazem nada: são objetos inanimados, afinal de contas — são coisas que devem ser manejadas para que façam alguma coisa, mais ou menos como uma furadeira deve ser manejada para que faça um buraco na parede. A furadeira não fura: alguém, ou alguma coisa, usa a furadeira para que surja um furo na parede. De modo análogo, alguém, ou alguma coisa, precisa manejar os objetos abstratos para que tenham função na Natureza. Talvez uma pessoa, quando conta o número de canetas azuis que tem no caneteiro. Talvez um computador, quando conta o número de canetas azuis sendo produzidas por uma máquina automática. Talvez um cachorro, quando vai retirar com a boca duas canetas azuis do caneteiro, pois recebeu de seu dono a ordem de ir buscar duas canetas azuis.
Objetos abstratos são inanimados inclusive para o platonista atual. Três entidades platônicas (o Um, a Díade, e o Bem), que são chamadas de “entidades” porque não são objetos, criam todos os objetos abstratos que possa haver — inclusive uma absoluta infinidade de universos abstratos. Tais entidades criam um objeto, por exemplo o conjunto vazio { }, e também criam toda proposição verdadeira que seja consistente com tal objeto, inclusive proposições lógicas, matemáticas, científicas, e morais. Exemplos de proposições consistentes com { }: (a) “Existe um x tal que x é o conjunto vazio”; (b) “Você pode ver o símbolo ‘0’ como sendo uma representação de { }”; (c) “Para que o universo abstrato U emane um universo concreto U’, todo conjunto vazio { } que faça parte dos subconjuntos com tais e tais características deve ser interpretado como sendo a menor unidade discreta de energia”; (d) “Se diante da situação x uma pessoa p responde com o conjunto de ações { }, isto é, com nenhuma ação, então essa pessoa p deve ser classificada como negligente.” Depois criam outro objeto, por exemplo o conjunto {{ }}, e de novo criam toda proposição verdadeira que seja consistente com tal objeto e com os objetos e proposições anteriores. E assim por diante ao infinito: { }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, etc. (A sequência começa com o conjunto vazio e, depois dele, cada conjunto da sequência é o conjunto potência do conjunto anterior; e a sequência é absolutamente infinita: ela passa por todo conjunto finito feito com conjuntos vazios e depois segue adiante, passando por todo tipo de conjunto infinito. Um modelo dessa sequência é a reta dos números hiper-reais.) Ao criar um universo abstrato (sempre um conjunto infinito de objetos abstratos; para o platonista, não há universos finitos, e todo objeto finito faz parte de um universo infinito), as três entidades verificam se ele satisfaz as condições de fisicalidade; caso satisfaça, elas criam também proposições físicas e toda proposição científica ou moral que seja consistente com tal física; e então, se esse universo abstrato tem certas características técnicas especiais (no linguajar do platonista, se ele “dá testemunho do Bem”), ele daí emana um universo físico, isto é, um universo físico supervém nesse universo abstrato.
Num resumo tão breve, é impossível mostrar que a coisa toda faz sentido e é perfeitamente compreensível — mas o ponto é que, se o platonismo atual é verdadeiro, o significado de um objeto abstrato qualquer é a lista de coisas que as três entidades platônicas fazem com ele, da mesma forma que o significado de um símbolo depende de como certo algoritmo usa o símbolo. Mais uma vez, o significado está no algoritmo, no procedimento, na dinâmica de uso. Parafraseando Timothy Gowers à luz do platonismo: “O significado de um objeto matemático é tudo aquilo que algo sem mentalidade, como as entidades platônicas, faz com ele. Isso inclui o que algo com mentalidade, como o homem, faz com ele.”
Essa ideia ajudou o especialista em biologia a entender melhor o processo de evolução das espécies por seleção natural. As penas dos pássaros, por exemplo, surgiram bem antes dos pássaros: algo semelhante a penas já era um item importante de dinossauros pequenos uns 100 milhões de anos antes do surgimento dos primeiros pássaros. Dinossauros pequenos precisavam reter calor (porque, em geral, o corpo de animais pequenos dissipa calor depressa), e uma capa de penas é ótimo para a preservação do tão precioso calor. Mas, uma vez que um animal pequeno esteja coberto de algo semelhante a penas, pode pular de um galho de árvore para escapar de um predador — e chegar são e salvo ao chão, pois as penas lhe permitiram planar um pouquinho! Parafraseando Timothy Gowers: “O significado de uma característica de um ser vivo é tudo aquilo que algo sem mentalidade, como o processo de evolução das espécies por seleção natural, faz com ela; se esse ser vivo for um animal, o significado inclui também tudo aquilo que algo com mentalidade, que é o próprio animal, faz com a característica que tem.”
Essa ideia também pode ajudar o escritor e o leitor a compreender melhor o que significa escrever e ler. Por exemplo, como você explicaria a alguém o significado da frase a seguir?
“Devemos voltar amanhã. Não estamos preparados. Precisamos de luz.”
Se respondeu “Depende”, respondeu corretamente.
Situação 1. Três aventureiros (duas mulheres e um homem) caminharam horas para chegar a uma caverna a qual nunca exploraram antes. Pensavam que a caverna tinha uma boca ampla, que poderiam explorar as primeiras dezenas de metros caverna adentro confiando apenas na luz natural, e por isso não levaram lanternas. Contudo, ao chegar, viram que a caverna tinha uma boca estreita e que era muito escura. Uma das mulheres então disse:
“Devemos voltar amanhã. Não estamos preparados. Precisamos de luz.”
Situação 2. Dois engenheiros visitaram um cliente, que os contratou para fazer funcionar um sistema de computadores em rede. O sistema estava funcionando, mas agora não está mais. Quando chegaram às instalações do cliente, contudo, viram que o sistema era da década de 1970 — sendo que eles nasceram na década de 1970… Um deles perguntou ao outro:
“Nós temos documentação para esse tipo de sistema?”
“Não temos”, respondeu o outro. “Mas eu conheço um sujeito que é apaixonado por esse tipo de velharia; ele deve ter documentação de boa qualidade em seu museu particular.”
Ao que o primeiro engenheiro respondeu:
“Devemos voltar amanhã. Não estamos preparados. Precisamos de luz.”
Assim, escrever é organizar palavras, frases, e parágrafos que sejam consistentes com as situações nas quais você está pensando — tomando sempre o cuidado de incluir, entre tais termos da língua, palavras, frases, e parágrafos que ajudem o leitor a imaginar situações semelhantes. (“Termo”, nesse caso, é qualquer coisa que faça parte da língua: palavras, locuções de palavras, frases, parágrafos.) E ler, por sua vez, é partir de palavras, frases, e parágrafos para constituir mentalmente situações que sejam com eles consistentes.
Parafraseando Timothy Gowers mais uma vez: “O significado de um termo da língua é tudo aquilo que os falantes fazem com ele.” Indo um pouco além, para incluir os falantes criativos: “Deve-se acrescentar, ao significado de um termo da língua, o uso que um falante criativo fez dele pela primeira vez — para fascínio de seus interlocutores.” {FIM}
Observações:
1. Os computadores se mostraram tão potentes porque, com apenas dois símbolos, “0” e “1”, você pode representar qualquer coisa — números, palavras, imagens, sons. E eles podem fazer tanto com só dois símbolos porque, como viu nesta postagem, o significado dos símbolos está não nos símbolos em si, mas nos usos. A lista de usos de sequências de bits é, literalmente, infinita.
2. “No último parágrafo”, me diz um leitor, “você se esqueceu daqueles escritores e falantes que inventam uma palavra nova.” Ah, como é fácil sair-se de situações como essa quando você aprende a pensar como um platonista! Minha resposta: “O vocabulário de qualquer língua é infinito. Um subconjunto próprio desse vocabulário, subconjunto finito, contém termos que já foram usados pelo menos uma vez. E um subconjunto próprio desse vocabulário, subconjunto infinito, contém termos que ainda não foram usados nenhuma vez.” Portanto, caro leitor atento, quando um falante criativo inventa um verbo (por exemplo), ele usou pela primeira vez um dos termos do vocabulário infinito daquela língua.
3. Visto que leva uma vida para que alguém aprenda a escrever bem, o leitor quase sempre está em apuros. Ele não pode simplesmente partir das palavras, frases, e parágrafos para então criar mentalmente uma situação que seja consistente com eles; antes, deve se perguntar: “O sujeito que escreveu estas palavras, frases, e parágrafos tinha em mente as situações s1, s2, …, sn. Talvez, contudo, ele não tenha sido competente ao partir das situações para chegar aos parágrafos, isto é, talvez os parágrafos sejam inconsistentes com as situações. Será que consigo imaginar quais seriam, portanto, as situações originais?”
4. Você viu no texto: “Objetos abstratos são inanimados inclusive para o platonista atual.” Contudo, não se esqueça de que as três entidades platônicas (o Um, a Díade, o Bem) animam tais objetos, de modo que, do ponto de vista humano, objetos abstratos efetivamente fazem coisas — eles têm inclusive poderes causais. Hoje em dia, é comum definir o platonismo assim:
Platonismo. (Definição errada.) Platonismo é a visão de que existem tais coisas como objetos abstratos, sendo que um objeto abstrato é um objeto que não existe no espaço e no tempo, e que portanto é inteiramente não físico e não mental.
Essa definição está errada porque objetos abstratos existem no espaço e no tempo, e servem como causa, isto é, têm o poder de provocar efeitos; têm inclusive o poder de produzir mentalidade. Imagine que você vai colocar num arquivo de texto tudo o que aconteceu na sua vida no dia de ontem, mas às 10 horas da manhã. Ora, o número 10 é um objeto abstrato, e você acabou de localizá-lo no tempo. Imagine que uma geladeira tem um sensor, e ela dá um alarme quando a temperatura interna passa dos 7 graus Celsius. Ora, os números maiores que 7 são objetos abstratos, e eles têm o poder de acionar o alarme.
O que objetos abstratos realmente têm de diferente, ou de característico, é que eles precedem todo tempo, todo espaço, toda lei de causa e efeito, todo tipo de mentalidade — pois, para que possa haver tais coisas na Natureza, primeiro é preciso que haja objetos abstratos. Sem as entidades platônicas (que são entidades abstratas) e sem objetos abstratos não pode haver tempo, espaço, relações de causa e efeito, mentalidade. Eis uma definição melhor de platonismo contemporâneo:
Platonismo. Platonismo é a visão de que existem tais coisas como objetos abstratos, sendo que um objeto abstrato é um objeto que antecede toda noção de espaço e de tempo, e que portanto antecede tudo aquilo que é físico e tudo aquilo que é mental. Portanto, objetos abstratos são condição necessária para que haja tempo, espaço, relação de causa e efeito; para que haja qualquer tipo de objeto concreto e qualquer tipo de mentalidade.
Um raciocínio análogo vale para a definição de proposição. Há muitas definições erradas em livros e na internet. Eis uma definição correta, de acordo com o platonista atual:
Proposição. Uma proposição é o significado abstrato de uma frase declarativa. Contudo, uma proposição não é um pensamento em algum tipo de mente. Se você tem uma proposição p, não ganha nada ao dizer que alguma mente pensa em p. Proposições precedem todo tipo de estrutura mental; mais precisamente, cada mente depende de proposições para que possa obter conteúdo para seus pensamentos. Assim, um pensamento é algo sobre proposições.
Uma consequência dessa definição: proposições antecedem qualquer tipo de pensamento. (Isso vale inclusive para deuses, se houver deuses.) Visto que um algoritmo, ou procedimento, é uma espécie de pensamento, proposições antecedem qualquer tipo de algoritmo, isto é, para que haja algoritmos, é preciso que haja antes proposições.
Para o platonista, as três entidades platônicas geram todos os objetos abstratos e todas as proposições que sejam consistentes com tais objetos abstratos, incluindo proposições científicas e morais, formando um sistema que é maximamente complexo e maximamente harmonioso. Um desses objetos abstratos é o universo em que vivemos, e as três entidades platônicas associaram a ele um conjunto complexo e harmonioso de proposições lógicas, matemáticas, científicas, e morais — tão complexo e harmonioso quanto é logicamente possível. A grande missão da espécie humana, que é capaz de pensamentos racionais e metarracionais, é descobrir o maior número possível de elementos desse conjunto e usá-los para guiar suas ações.
De novo: as três entidades platônicas não têm mentalidade. Elas não são deuses e não são entidades na mente de um deus; mas elas constituem tudo o que existe. Para usar uma frase do filósofo Daniel Dennett, elas têm máxima competência sem ter compreensão da própria competência.
5. Você viu: com o surgimento da computação teórica, surgiu a ideia de que o significado de um símbolo depende do algoritmo que usa o símbolo. Mas e quanto a Wittgenstein? Ele não merece o título de pioneiro nessa matéria? Não foi ele quem propôs a ideia de que o significado de um enunciado qualquer depende dos jogos de linguagem nos quais é adequado jogar aquele enunciado? Isso não é quase a mesma coisa que dizer, “O significado está no algoritmo, no uso”? Sim, é quase a mesma coisa, mas, sem desmerecer Wittgenstein, foram os teóricos da computação que deram formulação precisa a essa ideia; além disso, eles propuseram tal formulação antes de Wittgenstein: ela já está quase explícita nos trabalhos de Ada Lovelace, e bastante explícita nos trabalhos de Alan Turing.
6. Você viu: um modelo da sequência { }; {{ }}; {{ }, {{ }}}; {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}; etc. é a reta dos números hiper-reais. Para saber mais sobre essa reta, que é um objeto abstrato maravilhoso, veja a postagem A Extraordinária Linha dos Números Hiper-Reais.
7. Há mais neste blogue sobre objetos abstratos vistos como procedimentos: leia também a postagem Objetos Abstratos = Procedimentos.
{Imaginário Puro} 