CNMAC 2019: Leo Dorst dará um curso sobre álgebra geométrica


Na 39ª edição do Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional (CNMAC), o físico Leo Dorst, professor na Universidade de Amsterdã (Holanda), dará um breve curso (seis horas) sobre álgebra geométrica. (Leo dará o curso em três partes, de duas horas cada uma.)

É um assunto novo, que não tem nada a ver com geometria algébrica, apesar dos nomes tão parecidos. Em essência, o especialista em geometria algébrica estuda as soluções de sistemas de equações polinomiais; é uma área importante da matemática pura atual. O especialista em álgebra geométrica, por sua vez, se concentra nas álgebras com as quais pode estudar as muitas interpretações geométricas que alguém pode dar aos fenômenos matemáticos que ocorrem em espaços vetoriais; é uma área importante da matemática aplicada atual, e de especial importância para físicos e cientistas da computação.

(É difícil, senão impossível, separar as áreas da matemática em pura, de um lado, e aplicada, de outro. Geometria algébrica está mais para matemática pura, embora tenha muitas aplicações práticas; álgebra geométrica está mais para matemática aplicada, embora muitas de suas questões em aberto têm um viés puramente matemático. Basta dizer, não peremptoriamente, que o especialista em geometria algébrica se inclina mais para a matemática pura, e que o especialista em álgebra geométrica se inclina mais para a matemática aplicada à física e à computação.)

Suponha que tem de executar algumas rotações e translações de um sólido num ambiente de três dimensões. O sólido começa numa certa posição inicial e, depois das rotações e das translações, termina numa posição final. Qual é o número mínimo de translações e de rotações para tirar o sólido da posição inicial e colocá-lo na posição final? Isso talvez seja muito difícil de resolver com os métodos usuais; por exemplo, com álgebra linear comum ou com geometria de coordenadas. Mas, com os símbolos e a sintaxe da álgebra geométrica, isso talvez seja um problema fácil de resolver. Sem contar a vantagem de que a álgebra geométrica funciona em espaços de dimensão arbitrária.

Na SBMAC, você vai dar um curso sobre “álgebra geométrica”. Pode explicar o que é isso?

Leo Dorst (arquivo pessoal). Ao fundo, a cidade de Jerusalém

“Álgebra geométrica” é, digamos assim, uma linguagem nova; portanto, agora existe uma linguagem com a qual podemos considerar objetos geométricos, e as relações entre eles, para realizar computações diretas, como se tais objetos e relações fossem números.

Por exemplo, imagine que gostaríamos de atribuir significado à razão entre dois planos. Isso é possível? Bem, queremos algo que torne verdadeira a seguinte igualdade: p1 = (p1/p2) · p2, onde p1 e p2 são dois planos, não necessariamente distintos. Mas é possível fazer isto: basta que vejamos a razão entre os dois planos p1 e p2 como sendo a rotação que transforma um plano no outro; com essa providência, p1 = (p1/p2) · p2 é uma afirmação verdadeira, na qual p1/p2 denota a rotação que transforma p2 em p1.

[Eis um jeito de verter a igualdade inteira em palavras mais cotidianas: “Para obter o plano p1 a partir do plano p2, aplique a rotação p1/p2 a p2.”]

Assim, a álgebra geométrica se transformou numa linguagem matemática muito útil para escrever programas de computador, por exemplo para robôs ou sistemas eletrônicos de visão; pois, graças à álgebra geométrica, o robô pode realizar computações diretamente com os elementos que ocorrem no nosso mundo.

Para aqueles leitores que sabem um pouco mais de matemática, especialmente um pouco de álgebra linear e de cálculo, com a álgebra geométrica nós finalmente temos um arcabouço computacional algébrico para lidar com elementos essenciais da álgebra linear, como os subespaços.

[Subespaços são subconjuntos de algum espaço vetorial, isto é, de alguma estrutura na qual haja objetos abstratos que se comportam como vetores, mais uma operação de adição de vetores e outra de multiplicação de vetores por escalares.]

Antes da álgebra geométrica, só podíamos representar tais elementos por meio de descrições matemáticas, ou então por meio de descrições baseadas em algum sistema de coordenadas. Mas agora, com a álgebra geométrica, temos condições de exprimir muitas coisas mais. A métrica se transforma numa ferramenta de modelagem, com a qual conseguimos integrar o cálculo e a álgebra linear de um jeito muito eficiente.

Espaços métricos. Na matemática, um espaço métrico é um conjunto S de elementos mais uma métrica M aplicada àqueles elementos; a métrica, por sua vez, é alguma definição que dê corpo à noção de distância. Para que um espaço seja métrico, a distância entre um elemento x de S e o próprio x deve ser igual a zero; a distância entre x e y, com xy, tem de ser positiva; etc. Há muitos conjuntos de elementos distintos de números nos quais é possível implementar uma métrica.

Com tudo isso, podemos estabelecer relações entre os elementos do subespaço de maneira covariante, isto é, de maneira tal que fica mais fácil fazer certas substituições de um elemento por outro. Assim, as operações básicas que realizamos com cada tipo de geometria podemos aplicar universalmente aos elementos de cada geometria, o que simplifica muito o ato de afirmar certas verdades, de prová-las, e depois de implementá-las com software.

Dada a sua experiência profissional, como avalia os usos da matemática em investigações científicas?

Eu não sou matemático. Estudei física, mas estudei física porque gosto muito de ver a matemática funcionando no mundo real. Para mim, resolver um problema de cunho prático é de central importância, e vejo a matemática como uma de minhas ferramentas. Na verdade, como a ferramenta mais poderosa que a humanidade já desenvolveu.

Dito isso, acho muito decepcionante que aspectos geométricos distintos de um mesmo problema, porém aspectos bastante correlacionados entre si, nos obriguem a recorrer a áreas da matemática que são difíceis de integrar umas com as outras, e que são ensinadas separadamente.

Por razões históricas, essas áreas da matemática divergiram no passado, e se transformaram em formalismos muito distintos uns dos outros, de modo que usá-las ao longo do processo de resolução de um mesmo problema nos obriga a uma montanha de traduções complicadas entre formalismos.

Mas, com a álgebra geométrica, agora temos um arcabouço teórico unificado para exprimir os mais variados formalismos distintos a respeito de aspectos geométricos de um problema, e para computá-los. Isso permite a feitura de programas de computador muito melhores — mais compactos e mais estáveis.

Ainda assim, acho decepcionante que a álgebra geométrica tenha ficado escondida, à vista de todos, por mais de cem anos — desde quando Clifford morreu até quando Hestenes a redescobriu.

William Kingdon Clifford, matemático britânico, nasceu em 1845 e morreu aos 34 anos, de tuberbulose. Gostava muito de geometria e lançou as fundações do que hoje se conhece por “álgebras de Clifford”, e que são o ponto de partida da álgebra geométrica. David Hestenes, matemático americano, nasceu em 1933 e até hoje, aos 86 anos, coordena projetos de pesquisa para instituições do governo americano. É de Hestenes a ideia de que as álgebras de Clifford são muito mais úteis do que todos supunham, especialmente na física e, por extensão, na computação teórica e prática.

Por causa desse descuido, hoje é tarde demais para substituir as fundações de certas áreas do conhecimentos, como a computação gráfica, por fundações feitas com álgebra geométrica. Isso porque as fundações atuais já estão implementadas no hardware [em particular, nos circuitos integrados] especializado em tratamento de imagens. Mesmo assim, vamos seguir tentando.

Você por acaso gosta de filosofia da matemática?

Eu acho que filosofia é algo que uma pessoa deve estudar antes dos 25 anos, quando ainda não sabe nada, ou então depois dos 75 anos, quando já sabe tudo o que virá a saber. Mas um cientista, no período produtivo de sua vida profissional, deveria ter coisas mais úteis para fazer. {Fim}


Observações:

1. Para ver a programação do CNMAC 2019 e fazer sua inscrição, clique aqui.

2. O CNMAC é organizado pela Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC), cujo website fica aqui.

3. Leo Dorst deu uma entrevista ao autor deste blogue no dia 21 de agosto de 2019, por e-mail. Se quiser saber mais sobre ele, clique aqui; nessa mesma página, Leo mantém uma lista de perguntas e respostas sobre álgebra geométrica (aqui) e um curso de introdução em duas partes (parte I e parte II).

4. Ao dizer o que disse sobre filosofia, acho que Leo Dorst está certo — mas só até certo ponto. Produzir filosofia de boa qualidade é realmente difícil, especialmente nos dias de hoje, em que as exigências de qualidade são altas. Portanto, de fato um cientista profissional não tem tempo, “no período produtivo de sua vida”, de escrever um artigo filosófico que mereça destaque, pelo simples motivo de que ele tem outras obrigações a cumprir.

Dito isso, considero a filosofia muito importante. A arte da filosofia é a arte de questionar, severamente, o que pensamos que sabemos. E não existe ninguém melhor do que um físico experiente, por exemplo, para questionar severamente aquilo que a humanidade pensa que sabe sobre física.

Só que leva anos para que alguém aprenda a filosofar; leva mais tempo para formar um bom filósofo do que um bom cientista ou matemático. Penso que todo profissional, ao longo da vida, deve dedicar uma parcela pequena de seu tempo para estudar os métodos da filosofia e os melhores filósofos, especialmente aqueles que, de alguma forma, escreveram sobre assuntos correlatos com sua especialidade. Basta um bom livro por ano. Desse modo, quando fizer 75 anos, já estudou uns 50 livros de filosofia e está pronto para se sentar ao computador e refletir, de maneira informada, sobre sua experiência profissional e de vida.

5. Há um outro artigo sobre o CNMAC 2019 neste blogue: é a entrevista pingue-pongue com Celina de Figueiredo.

O jogo dos seis cartões para pôr em ordem


Num jogo, quatro jovens descobrem que fazer matemática não é simplesmente aplicar fórmulas consagradas a problemas conhecidos, mas prestar atenção, conversar, se organizar, pedir um tempo, imaginar cenários. Não é apenas a questão de obter conhecimentos técnicos, mas de cultivar hábitos proveitosos.

* * *

Em Perdizes, bairro de São Paulo (SP) colado ao estádio do Palmeiras, existe o Colégio Brasil-Canadá. São duas casas lado a lado e há pouco espaço, de modo que as classes são pequenas. A turma do terceiro ano do ensino médio, por exemplo, só tem cinco alunos. Algumas das aulas são em inglês, e outras, como a de matemática, em português. Numa quinta-feira de junho de 2013, na segunda aula da manhã, a professora de matemática Yamara Regatieri entrou na sala e anunciou aos alunos que iriam resolver um problema.

“Podem ficar calmos”, disse Yamara, “porque vocês conseguem resolvê-lo.”

Sem esperar mais, pegou um pincel atômico e escreveu o problema no quadro branco:

Na mesa à sua frente, há seis cartões com números escritos neles, mas os números estão virados para baixo, de modo que não pode vê-los. Você tem permissão de escolher quaisquer dois cartões entre os seis, e de perguntar qual dos dois é o maior. (Mas não poderá ver os números.) O problema: Quantas perguntas desse tipo terá de fazer antes que seja capaz de colocar os cartões em ordem crescente, da esquerda para a direita? (Do seu ponto de vista.)

Um dos alunos havia faltado, então estavam na classe apenas quatro jovens: Vitor, Yasmimm, Thales, e Felipe. Enquanto a professora escrevia, Felipe copiava o texto no caderno, Vitor lia o texto no quadro, Thales e Yasmimm conversavam. Quando a professora terminou de escrever, começou um breve motim:

“Não entendi o que é para fazer!”, disse Yasmimm.

“É, professora: não entendi nada!”, apoiou Thales.

Yamara não deu trela. Explicou o problema nas palavras dela (pois propôs o problema à classe a pedido da revista Cálculo: Matemática para Todos), disse que os alunos teriam de bolar uma estratégia, mostrou as cartas, reforçou o fato de que o problema não é colocar as cartas em ordem, mas sim dizer quantas perguntas, no mínimo, uma pessoa deve fazer até que seja capaz de colocar as cartas em ordem.

Os quatro demoraram a entender o jogo. De repente, Yasmimm, que a princípio parecia desinteressada, assumiu o comando. Perguntou à professora qual era a carta maior entre as duas primeiras, à esquerda. A partir daí, os quatro se tornaram mais ativos, e meio que aceitaram o comando de Yasmimm; passaram a perguntar, carta por carta, qual era maior ou menor em relação à primeira da fila. Mas faziam perguntas e não anotavam nada em nenhum lugar. Felipe criticou o método. Depois de perguntar carta por carta, fizeram a mesma sequência de perguntas mais uma vez, mas fizeram uma mesma pergunta duas vezes e se esqueceram de fazer outra. Felipe puxou um caderno para tomar notas, mas parecia perdido — não sabia o que anotar, nem como. A certa altura, Yasmimm se convenceu de que as cartas já estavam na ordem crescente da esquerda para a direita. Pediram para a professora revelar as cartas: a quarta e a quinta cartas estavam fora de ordem. Os quatro jovens não foram capazes de esconder o desânimo.

Notação e algoritmo. Esse é um problema difícil, com o qual o professor vai ajudar seus alunos não a aprender a matemática escolar, exatamente, mas sim a dar valor para certos hábitos que ajudam muito na resolução de problemas. O primeiro hábito é: antes de partir para a resolução do problema (neste caso, antes de começar a fazer perguntas), compreenda o problema. Se os quatro alunos tivessem tido a ideia de fazer umas simulações no caderno, antes mesmo de fazer a primeira pergunta, é bem provável que, com uns 20, 30 minutos de trabalho, chegassem a um algoritmo eficiente. Para isso, teriam de ter dito à professora: “Pode nos dar um tempo, até que tenhamos entendido o problema?” Ter a coragem de pedir esse tempo é essencial em situações reais. Outros hábitos úteis são: exponha o que está pensando, ouça o que seus colegas têm a dizer e, principalmente, bole uma notação que te ajude a pensar. Dizem que a matemática é a arte de pensar, mas talvez fosse melhor descrevê-la como a arte de pensar com papel e caneta nas mãos.

Visto que o estudante não pode mover as cartas de lugar, tem de bolar um jeito de batizá-las e de controlar qual é maior, qual é menor. Há muitas maneiras de fazer isso. Um bom jeito é dar nome às cartas: A, B, C, D, E, F, sendo A a carta mais à esquerda e F a carta mais à direita. Depois disso, controlar as comparações, ou seja: qual carta o estudante já comparou com qual carta, e qual foi o resultado da comparação? Tomando emprestado a notação típica das relações binárias, o estudante pode escrever assim:

ApB (ABC)

ApB (BAC)

Com a primeira linha, quis dizer: “Perguntei à professora qual das duas cartas é maior, A ou B. Ela me disse que A é menor que B, então mantive as cartas na ordem em que estavam.” Com a segunda linha, quis dizer o contrário: “Perguntei à professora qual das duas cartas é maior, A ou B. Ela me disse que A é maior que B, então mudei a ordem das cartas.” Além de uma boa notação, o estudante precisará de um algoritmo. Como colocar as cartas em ordem, sabendo que o professor pode enfileirar as seis cartas de 720 maneiras distintas? (Pois 6! = 720; no portal Wolfram-Alpha, basta escrever na linha de comando RandomSample[{1, 2, 3, 4, 5, 6}] que o portal devolve os seis números embaralhados ao acaso; é um recurso útil para fazer simulações.)

Para colocar as três primeiras cartas em ordem, o estudante começa como Yasmimm começou: pergunta qual é maior, A ou B. Se não houver mudança, pergunta qual é maior, B ou C. Se de novo não houver mudança, significa que as três cartas já estão em ordem. Esse é o caso mais simples. No caso mais complicado, o estudante irá na seguinte ordem: ApB (BAC), ApC (BCA), BpC (CBA); isso significa que a sequência correta é CBA, isto é, depois de três perguntas, o estudante dirá: “Professor: para colocar as três primeiras cartas em ordem crescente da esquerda para a direita, troque as cartas A e C de lugar.” Com a tabela 1, o estudante vê as seis situações possíveis para as primeiras três cartas; a segunda linha mostra a situação inicial, a terceira linha mostra a primeira pergunta, a quarta linha mostra a situação após a primeira pergunta, etc. Só nas situações 1 e 3 ele consegue arrumar as três cartas com apenas duas perguntas: é quando não troca as cartas na primeira pergunta nem na segunda; ou é quando troca as cartas na primeira pergunta, mas não na segunda. Nas demais situações, ele é obrigado a fazer três perguntas, pois, visto que não vê os números, não tem como distinguir a situação 2 da 4, nem a situação 5 da 6.

Tabela 1

Situação 1

Situação 2

Situação 3

Situação 4

Situação 5

Situação 6

ABC

123

ABC

132

ABC

213

ABC

231

ABC

312

ABC

321

ApB

ApB

ApB

ApB

ApB

ApB

ABC

123

ABC

132

BAC

123

ABC

231

BAC

132

BAC

231

BpC

BpC

ApC

BpC

ApC

ApC

ABC

123

ACB

123

BAC

123

ACB

213

BCA

123

BCA

213

ApC

BpC

CAB

123

CBA

123

Feito isso, o estudante terá de colocar a quarta carta no lugar correto (isto é, a carta D). Um jeito simples de continuar: ele pergunta se a carta D é maior ou menor que a carta à esquerda — não à esquerda em cima da mesa, mas à esquerda na tabela do estudante (no caderno). Por exemplo, se tiver passado pela situação 6, seu caderno conterá o seguinte encadeamento de símbolos: ApB (BAC), ApC (BCA), BpC (CBA). Que pergunta terá de fazer? “Professor: a carta D é maior ou menor que a carta A?” Se D for maior que A, a sequência para aí, e as quatro primeiras cartas ficam sendo CBAD. Se D for menor que A, a sequência fica sendo CBDA, mas daí o estudante tem de perguntar BpD, isto é: “A carta B é maior ou menor que a D?” Se D for maior que B, a sequência para aí, e fica sendo CBDA. Mas, se D for menor que B, o estudante deve seguir fazendo a mesma pergunta. No pior caso, o estudante parte da situação 6 e segue assim: ApD (CBDA), BpD (CDBA) e CpD (DCBA). O mesmo método funciona para a quinta carta e a sexta.

No fim das contas, com seis cartas, no melhor caso (em que as cartas já estão em ordem: 1, 2, 3, 4, 5, 6), o estudante fará cinco perguntas: ApB (ABCDEF), BpC (ABCDEF), CpD (ABCDEF), DpE (ABCDEF) e EpF (ABCDEF). No pior caso (6, 5, 4, 3, 2, 1), fará 15 perguntas: ApB (BACDEF), ApC (BCADEF), BpC (CBADEF), ApD (CBDAEF), BpD (CDBAEF), CpD (DCBAEF), ApE (DCBEAF), BpE (DCEBAF), CpE (DECBAF), DpE (EDCBAF), ApF (EDCBFA), BpF (EDCFBA), CpF (EDFCBA), DpF (EFDCBA) e EpF (FEDCBA). Esses dois casos extremos são raros: a probabilidade de cada um deles é de 1/720, ou 0,14%.

Essa é, portanto, uma resposta razoável para o problema posto no quadro pela professora Yamara: para colocar os cartões em ordem crescente, da esquerda para a direita, o estudante deve fazer entre 5 perguntas e 15 perguntas.

Teorema de Thales. Depois da primeira tentativa fracassada, Yamara embaralhou as cartas e começou de novo; os quatro estudantes resolveram seguir a mesma estratégia. Logo descobriram que a primeira carta (A) era a mais baixa de todas, e ficaram obcecados com essa informação: conferiram isso mais vezes do que seria necessário. Yamara interrompeu:

“Vocês não estão prestando atenção, e não estão usando a lógica!”

Pensando bem, é uma boa lição: sem atenção, não há lógica. Depois de 12 perguntas, acertaram a sequência. Na terceira e na quarta rodadas, estranhamente, ficaram mais perdidos; repetiam as perguntas e não usavam as respostas para ordenar as cartas. A certa altura, Yamara passou o recado, mas de forma doce:

“Vocês não se organizam…”

Eles começaram a ficar impacientes. De vez em quando, Yasmimm se via obrigada a perguntar algo que já tinha perguntado, e fazia uma cara de ‘mas que droga, não me lembro direito, e agora vou ter de gastar uma pergunta para saber o que eu já sabia’. Vitor, o mais quieto dos quatro, tentava propor métodos alternativos, mas não era ouvido. A certa altura, Felipe interrompeu:

“Professora, isso é arranjo ou combinação? Qual é a fórmula do arranjo?”

Mais tarde um pouco, Thales também fez uma pergunta semelhante:

“Dá para descobrir matematicamente a lógica das perguntas? Por enquanto, a única coisa que a gente sabe é qual o menor de todos!”

As duas perguntas revelaram a vontade de saber uma fórmula mágica, que, se aplicada, resolveria o problema sem obrigá-los a gastar tanta energia com pensamentos. Um pouco antes da quinta rodada, Thales se saiu com essa:

“Vou inventar um teorema para resolver esse problema: um teorema de Thales!”

Todo mundo riu, e a piada fez efeito: os jovens passaram a curtir mais o problema, e seu desempenho melhorou. (Mark Twain: “O humor é a maior bênção sobre a humanidade.”) Yasmimm já tinha notado, nas rodadas anteriores, que eles não deviam fazer cada pergunta para saber mais sobre duas cartas, mas para saber mais sobre a sequência de cartas como um todo. Na quinta rodada, pensando em grupos de três cartas, grupos de quatro cartas e assim por diante, eles puseram as cartas em ordem com apenas oito perguntas. Quando o sinal tocou, em vez de sair correndo, tanto os jovens quanto a professora quiseram ficar na sala mais um pouco, conversando sobre o problema. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 31, agosto de 2013, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas, assim como a observação participante, foram feitas pela jornalista Maria Fernanda Ziegler de Castro.

3. Um detalhe curioso sobre pôr seis cartas em ordem: conforme a situação inicial, algumas soluções têm ponto fixo, isto é, cartas que não mudam de lugar.

4. Eu disse no texto: “Esse é um problema difícil, com o qual o professor vai ajudar seus alunos não a aprender a matemática escolar, exatamente, mas sim a dar valor para certos hábitos que ajudam muito na resolução de problemas.” Vale dizer que a matemática é, pura e simplesmente, a arte de resolver problemas; mais precisamente: a matemática é a arte de resolver problemas e de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos o problema foi resolvido corretamente. Assim, se o problema das seis cartas não ajuda o professor a passar o conteúdo da matemática escolar, ele ajuda a ensinar matemática.

Esse ponto é importante, e vale a pena explorá-lo um pouco mais. Segundo o lógico britânico Wilfrid Hodges, lógica e jogos são completamente equivalentes: não há lógica que não possa ser convertida num jogo, e não há jogo que não possa ser convertido numa lógica. Essa afirmação vale também para a lógica matemática, segundo Hodges. Assim, o leitor pode ver a matemática como sendo um jogo: os axiomas e as definições são como o tabuleiro e as peças do jogo; as regras de inferência são como as regras do jogo, isto é, as regras pelas quais movimentar as peças no tabuleiro; e cada posição das peças no tabuleiro, a partir da posição inicial (inclusive), é um teorema. (Desde que as peças tenham sido movidas de acordo com as regras do jogo, isto é, de acordo com as regras de inferência.)

Usemos agora as informações dos parágrafos anteriores para definir melhor a matemática:

A matemática é a arte de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos os axiomas, as definições, e as regras de inferência de certa área da matemática tornam verdadeira certa afirmação matemática, conhecida como teorema. Ou, dito de outra forma, completamente equivalente à forma anterior (mutatis mutandis), a matemática é a arte de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos certa posição num jogo matemático se segue naturalmente do tabuleiro abstrato, das peças abstratas, da posição abstrata inicial, e das regras do jogo.

Se a escola conseguisse incutir nos alunos o amor por todo tipo de jogo e a ideia de que resolver um problema matemático é completamente equivalente a vencer um jogo, acho que cumpriria seu papel social magistralmente, pois prepararia cada aluno para lidar com a principal característica das sociedades atuais: sua pesada dependência de máquinas de estados finitos, máquinas discretas, conhecidas como “computadores”. É perfeitamente possível ver máquinas de Turing como sendo jogos.

5. Wilfrid Hodges e Jouko Väänänen escreveram um artigo muito legal sobre lógica e jogos para a Enciclopédia de Filosofia de Stanford: clique aqui.

Cores para o intelecto e o bolso

Vale a pena estudar como um computador apresenta cores — não só porque o estudante se sente obrigado a rever a ideia de número, mas porque essa é uma linha de pesquisas difícil e rentável.


Teresa Chambel dá aulas para jovens estudantes de engenharia na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa (em Portugal), porque é especialista na interface entre pessoas e máquinas, especialmente computadores. Pouca gente dá um minuto de pensamento para o modo como o computador mostra imagens ao usuário, e ainda por cima imagens coloridas, mas Teresa faz seus alunos virar o assunto do avesso. “Eles desvendam a mágica pela qual o computador realiza as tarefas com as quais estão acostumados”, diz Teresa. Eles descobrem que a tela do computador é feita de milhares de pontos (ou pixels); num monitor de tela plana com 1.080 linhas e 1.920 colunas, são 2.073.600 pixels. Eles descobrem que, para cada pixel, o computador atribui três números de 0 a 255, e cada um desses números vai dizer à tela como iluminar o pixel com vermelho, verde e azul. Eles descobrem que um pixel laranja escuro pode ser representado com três números na base decimal, ou três números na base hexadecimal, ou três números na base binária. São três modos distintos de representar a cor de um pixel, mas são equivalentes:

Vermelho (R)

Verde (G)

Azul (B)

249

144

17

F9

90

11

11111001

10010000

00010001

“Curiosamente”, diz Teresa, “durante as aulas eles finalmente entendem alguns dos conceitos que estudaram quando crianças, como a aritmética da notação posicional de base 10. Eles só compreendem isso quando fazem contas com números escritos em outras bases, como a binária e a hexadecimal.” E aí eles não só estudam engenharia, como começam a fazer uns aos outros perguntas interessantes sobre matemática: como alguém pode identificar um número par ou um número ímpar numa outra base, como a binária ou a hexadecimal?

Quando o jovem estudante de engenharia (vamos chamá-lo de Dante) passa a investigar como os computadores mostram imagens e cores, descobre que nunca tinha parado para pensar que, até poucos anos atrás, os computadores só mostravam imagens com 480.000 pixels em tons de verde (se o monitor fosse de fósforo verde) ou tons de laranja (se o monitor fosse de fósforo âmbar). Descobre também que, embora hoje os computadores mostrem ao usuário imagens com mais pixels e com pixels coloridos, falta muito para apresentar imagens com a mesma qualidade daquelas que o cérebro do usuário produz com a ajuda de seus próprios olhos. Em resumo, há muito o que fazer para deixar os computadores melhores na arte de capturar e de apresentar imagens; essa é uma linha de pesquisas satisfatória para o intelecto e para o bolso.

Para máquinas e pessoas. Hoje os físicos sabem que a luz, em certas ocasiões, se comporta como se fosse feita de partículas discretas (os fótons), mas, em outras ocasiões, como se fosse feita de perturbações em ondas eletromagnéticas — ou, em outras palavras, a luz vibra ou oscila. Ondas eletromagnéticas podem vibrar tão lentamente quanto 1 quilohertz (mil oscilações por segundo) ou tão rapidamente quanto 2,4 ∙ 1023 hertz (240 milhares de bilhões de bilhões de oscilações por segundo), mas o olho humano só consegue ver uma parcela pequena do espectro eletromagnético, que vai de uns 400 terahertz (vermelho) a uns 789 terahertz (violeta). Segundo cientistas especializados no assunto, uma pessoa saudável reconhece 10 milhões de cores.

Quando surgiram os monitores coloridos, surgiu também o sistema RGB de representação de cores. Para cada pixel do monitor, o computador atribui três números: primeiro representa a quantidade de vermelho (red); o segundo representa a quantidade de verde (green); e o terceiro representa a quantidade de azul (blue). Como o computador usa 1 byte para representar cada número, e como 1 byte tem 8 bits, então o computador usa 24 bits para representar a cor de cada pixel, de:

00000000|00000000|00000000

Até:

11111111|11111111|11111111

Cada byte pode ir de 0 até 255 em notação decimal, isto é, de 00 até FF em notação hexadecimal. (Com oito bits por byte, o número de combinações é igual a 28 = 256.) Se um pixel ganha o código RGB (0, 0, 0), ele será 100% preto, pois nenhuma cor estará ativada. Se um pixel ganha o código RGB (255, 255, 255), ele será 100% branco, pois todas as cores estão ativadas ao máximo. Nos cursos de engenharia, talvez o Dante monte tabelas de cores, só para ir se acostumando com os efeitos de mais vermelho ou menos vermelho, mais verde ou menos verde, mais azul ou menos azul:

Código RGB

Cor do pixel

(80, 150, 200)10

(200, 150, 80)10

(200, 20, 115)10

(30, 255, 180)10

(90, 90, 90)10

Com menos vermelho, as cores tendem mais para o ciano (azul esverdeado). Com menos verde, elas tendem mais para a fúchsia (um tipo de violeta). Com menos azul, elas tendem mais para tons de amarelo e de laranja.

A certa altura do curso, Dante se pergunta quantas cores distintas um computador pode mostrar, e para achar a resposta recorre a um arranjo simples:

256 · 256 · 256 = 16.777.216

E aí pergunta a si mesmo: se o olho humano vê 10 milhões de cores, e se um computador consegue mostrar 16 milhões de cores, então um computador pode mostrar com perfeição todas as cores que o ser humano vê? Na verdade, não. Nem todas as cores podem ser convertidas em três componentes, sendo um vermelho, um verde, e um azul. A figura 1 mostra todas as cores do sistema RGB dentro de uma área cinza: essa área cinza representa as cores que um homem vê, mas que o sistema RGB não consegue reproduzir. É por isso que, no computador, mesmo as fotos mais realistas têm um quê de artificial.

Fig. 1. Com o sistema RGB, engenheiros conseguem mostrar as cores dentro do triângulo; o olho humano, contudo, pode ver cores que os engenheiros não podem representar com o sistema RGB. Nesta figura, tais cores estão mostradas em cinza.

Depois de estudar o sistema RGB, o Dante entende como os computadores manipulam pixels coloridos, mas ele não pode usar códigos RGB para conversar sobre cores com leigos — por exemplo, para conversar com o usuário que lhe encomendou um sistema. Para conversar com profissionais de artes gráficas, Dante terá de mencionar o sistema CMYK — C de ciano, M de magenta, Y de amarelo, K de preto. No sistema CMYK, Dante deve trabalhar com porcentagens — a porcentagem de ciano, de magenta, de amarelo e de preto. “Esse código é útil para quem lida com dispositivos à base de tintas, como as impressoras”, informa Teresa Chambel. Para calcular a conversão, Dante pode usar um portal especializado, como o Wolfram Alpha. Por exemplo, para converter o pixel de cor RGB (130, 60, 200), digita o comando “color #823CC8 in CMYK” e o portal devolve várias informações, entre elas:

Cor do pixel

Código RGB (decimal)

(130, 60, 200)

Código RGB (hexadecimal)

#823CC8

Código CMYK

(35%, 70%, 0%, 22%)

Sabendo disso, Dante deve dizer ao artista: “Este violeta tem 35% de ciano, 70% de magenta, nada de amarelo, e 22% de preto.” Mas o portal Wolfram Alpha devolve outra informação importante: o código HSB. Dante deve usar esse código quando quer que seu programa apresente ao usuário uma paleta de cores mais amigável. O programa (escrito por Dante) pede ao sistema operacional do computador (por exemplo, o Windows): apresente ao usuário a cor HSB (270º, 70%, 78%), e o sistema operacional vai apresentar ao usuário uma caixa de diálogo feita com base no sólido da figura 2 (abaixo). Para escolher uma cor no sistema HSB, a única coisa que o usuário tem de fazer, em geral, é posicionar o cursor sobre a cor desejada e apertar uns botões para determinar a saturação e o brilho. “O modelo HSB é orientado às pessoas”, diz Teresa. “Ele usa conceitos com os quais artistas, ou qualquer pessoa que trabalhe com cores, estão familiarizados.”

Fig. 2. No sistema HSB, o usuário informa o ângulo em que está a cor que lhe interessa (em graus), a saturação (em porcentagem) e o brilho (também em porcentagem). Note que Hue = Matiz, Saturation = Saturação, e Value = Brilho.

Pilha prima de biscoitos. Num curso de engenharia, depois de conhecer o básico sobre como representar uma cor, Dante se debruça sobre questões mais complicadas:

1. Como representar uma imagem por meio de figuras geométrica num plano (duas dimensões), de tal forma que as imagens deem a sensação de três dimensões? Ana Paula Cláudio, também professora na Universidade de Lisboa, diz que o aluno vai estudar geometria analítica à beça para representar os pontos no plano e o modo como os pontos devem ser mover — por exemplo, no caso de um filme ou de um jogo, ou no caso de um efeito especial aplicado a uma foto ou a um fotograma de filme.

2. Ao mover os pixels pela tela, como controlar sua cor e seu brilho? Numa situação real, sempre que um objeto se move, sua cor se altera, porque a luz a que está exposto se altera. Ana Paula diz que o estudante terá de criar algoritmos para tratar da reflexão e da refração da luz em cada um dos pixels da imagem. Isso significa criar algoritmos que façam cálculos com milhões de matrizes por minuto. “A luz é um fenômeno extremamente complexo”, diz Ana Paula. “O segredo é simplificar o problema e adotar artifícios técnicos para que as simplificações não comprometam a qualidade das imagens.”

3. Como usar os pixels coloridos numa imagem para determinar o formato dos objetos? Uma pessoa consegue olhar uma foto e distinguir o mergulhador da tartaruga marinha, mas o computador não consegue, exceto se tiver programas especiais de reconhecimento. É função do engenheiro bolar tais programas. Com um programa bem-feito, uma emissora de TV pode, por exemplo, catalogar automaticamente todos os filmes nos quais aparece uma determinada pessoa — dizendo em que hora, minuto, e segundo a pessoa aparece, e quanto tempo dura tal aparição.

4. E caso o computador precise apresentar ao usuário não coisas concretas, como mergulhadores e tartarugas, mas ideias mais abstratas, como arquivo, documento, índice? Beatriz Carmo, da Universidade de Lisboa, é doutora em técnicas de visualização de imagens. “Um exemplo é a visualização de uma coleção de documentos”, diz Beatriz. “Antes de bolar a visualização, preciso executar um pré-processamento da coleção, para coletar dados numéricos, como a frequência com que certa palavra ocorre. Isso me ajudará a identificar as palavras-chave.” Com essa informação, Beatriz bola um jeito de usar as cores de tal modo que o usuário compreenda rapidamente quais são os números mais importantes naquela coleção de documentos.

Teresa, Ana Paula, e Beatriz dizem que as primeiras aulas sobre o sistema RGB e sobre os outros sistemas põem os alunos para pensar em números de um jeito mais profundo. No sistema decimal, os números pares terminam com algum algarismo múltiplo de 2. E no sistema binário? Terminam com 0 — pois 2 é igual a 10, 4 é igual a 100, 6 é igual a 110. E no sistema hexadecimal? De 0 a 9, o sistema decimal e o hexadecimal coincidem, mas, a partir de (10)10, A é par, B é ímpar, C é par, D é ímpar, E é par e F é ímpar. O único modo de se habituar com esse método tão esquisito de encarar pares e ímpares é manter uma tabela colada na parede, com os números decimais de um lado e os hexadecimais de outro. Numa classe animada, logos os alunos compreendem algumas ideias que estudaram quando eram crianças e adolescentes: as propriedades de um número não têm nada a ver com o modo como o homem põe o tal número no papel. No sistema decimal, 59 é um número primo, e no sistema hexadecimal 3B também é. No sistema decimal, os divisores de 10 são 1, 2, 5, e 10, e no sistema hexadecimal, são 1, 2, 5, e A. “Conhecer os conceitos matemáticos que estão por trás das representações gráficas dá ao aluno uma maior sensação de domínio sobre o que ele usa”, diz Teresa. O aluno por fim até entende que pode ver uma pilha de biscoitos de chocolate como se fosse um número, e que, se a pilha for um número primo, por exemplo cinco, não pode ser repartida igualitariamente em pedaços inteiros, exceto por uma única pessoa (que come a pilha inteira) ou por cinco pessoas (que comem um biscoito cada uma). {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 16, maio de 2012, pág. 56. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita; as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Renato Mendes, que morava em Lisboa.

3. Se eu tivesse o poder de mudar o sistema brasileiro de educação por mágica, daria maior ênfase ao ensino de matemática discreta — conjuntos, relações e funções, máquinas de estados finitos e máquinas de Turing, semântica, probabilidade discreta, teoria da informação, teoria das decisões e dos jogos. Tudo isso sempre com o apoio de computadores, e com uma linguagem computação boa para explorações e prototipagem, tipo Python. Em particular, colocaria meus alunos para jogar muitas variedades de jogos simples e, quando estivessem bons num jogo relativamente fácil, faria com que escrevessem programas de computador para apoiá-los durante as partidas, ou até programas que jogassem por si mesmos.

Objetos abstratos = Procedimentos


Com este artigo, quero defender a tese de que objetos abstratos são procedimentos. Há várias definições de “objeto abstrato”, mas eis as duas mais comuns, contra as quais vou me opor: objetos abstratos são (1) aquelas coisas, quaisquer que sejam, que não existem no espaço ou no tempo, e portanto não podem ser físicas nem mentais; ou então são (2) aquelas coisas, quaisquer que sejam, inertes do ponto de vista causal, e portanto não fazem parte da classe de causas que, num instante qualquer, determinam a configuração da Natureza no instante seguinte. Deixando clara a tese deste texto: não acho que as definições (1) e (2) captam bem o que é um objeto abstrato, pois digo que objetos abstratos são, na verdade, procedimentos com certas características especiais. Eles estão, grosso modo, na classe das receitas de cozinha.

Antes de explorar por que objetos abstratos são mais ou menos como receitas, faço agora uma breve pausa para dar alguns exemplos do que quero dizer com “objetos abstratos”. São eles: números, como o número 2 ou o número 17; conjuntos, como o conjunto dos números primos; proposições, como a proposição de que a Terra é redonda; conceitos, como o conceito de número primo ou o conceito de redondo; a letra “A”; o romance Grande Sertão: Veredas, de Guimarães Rosa. São objetos concretos: a pitangueira no jardim de minha casa em São Paulo (uma pitangueira, que você pode ver como uma instância concreta do número 1); as estrelas; a louça dentro de uma das cubas da pia da cozinha, à espera de que seja lavada; uma certa letra “A” específica, como este A entre aspas para o qual acabou de olhar; a cópia de Grande Sertão: Veredas que está na estante de casa, à direita da cópia de Dom Casmurro, de Machado de Assis.

Alguns filósofos não chamam o número 2, por exemplo, de “objeto abstrato”, mas sim de “conceito abstrato”, ou de “abstração”, ou de “ideia abstrata”, ou algo nessa linha. Eles reservam a locução “objeto abstrato” para certas características de objetos concretos, como a cor vermelha de uma lata de refrigerante. A cor vermelha de um objeto concreto, como uma rosa, seria um objeto abstrato porque só existe (para nós, seres humanos) enquanto o objeto vermelho existir. Quando o objeto deixa de existir (por exemplo, quando a rosa é comida por um coelho), aquela instância específica da cor vermelha também deixa de existir. Objetos abstratos como a cor vermelha da rosa supervêm na relação entre os seres humanos e aquilo que existe no universo; abelhas não veem a rosa como vermelha, pois não enxergam as cores como nós. Neste artigo, porém, quando me referir a “objeto abstrato”, quero dizer “abstração”, como o número 2. Se fosse me referir à cor vermelha da rosa, usaria “quale”, mas não vou tratar de qualia nesse artigo. Em resumo, vou usar a língua portuguesa para ficar perto da expressão “abstract objects”, que, na literatura técnica de língua inglesa, significa “abstrações” ou “conceitos abstratos”, dos quais um exemplo é o número 17.

Para entender por que objetos abstratos são procedimentos, pode começar estudando certas características das receitas de cozinha. Por exemplo, minha receita de Arroz com Coisinhas Gostosas:

Arroz com Coisinhas Gostosas

Pode usar uma panela pequena. Pique uma cebola pequena e a doure em azeite. Junte meia xícara de arroz, um punhado de ervilhas congeladas, um punhado de azeitonas picadas em rodelas, um pedacinho de pepperoni cortado em fatias finas, sal, temperos, duas xícaras e meia de água (= cinco metades de xícara). Misture tudo bastante bem. Leve a panela destampada ao fogo baixo, mexa suavemente de quando em quando, e assim que a água estiver quase seca, desligue o fogo, tampe a panela, e espere uns poucos minutos. A receita serve duas pessoas, se não são de comer muito; ou serve uma pessoa como eu, que adoro arroz com aquelas coisinhas que combinam com arroz.

Faça a seguinte experiência: dê a receita acima a um cozinheiro inábil — um daqueles adultos que vivem dizendo, “Não sei nem fritar um ovo.” Observe como ele abre a geladeira e não consegue decidir qual das cebolas é pequena, nem sabe o que fazer com a expressão “um pedacinho de pepperoni”. Seu Arroz com Coisinhas Gostosas fica chocho, ou excessivamente salgado, ou esquisito porque tem canela em pó. (“Mas canela em pó não é tempero?”) Depois disso, dê a receita a um cozinheiro experiente. Talvez aconteça algo assim: ele abre a geladeira e só há cebolas grandes e médias. Pega uma média e a corta ao meio: “Isso deve servir como cebola pequena.” Não tem pepperoni, mas salame italiano, cujo diâmetro é maior que o do pepperoni. Ele corta uma polegada do salame, tira a casca, pica o pedaço de salame sem casca em rodelas finas, empilha as rodelas, e as corta em quatro partes iguais com dois golpes de faca. “Isso deve substituir adequadamente o pepperoni cortado em rodelas.” E assim vai. Ele não segue a receita à risca, mas seu Arroz com Coisinhas Gostosas fica uma delícia!

Pensando bem, não há como seguir uma receita de cozinha à risca, pois todas elas têm grande grau de imprecisão. Quero definir a palavra “imprecisão” da seguinte maneira: quanto mais impreciso um termo do vocabulário que está usando, maior seu grau de vagueza e maior seu grau de ambiguidade. (“Termo” talvez se refira a uma expressão, isto é, um conjunto de palavras.) Mas, para entender essa definição, precisa entender o que quero dizer com “vagueza” e “ambiguidade”.

Vagueza. Com um termo vago, você não consegue determinar com precisão binária se um elemento faz parte ou não faz parte do conjunto referente. Por exemplo, “cebola média” denota o conjunto das cebolas médias: uma cebola com 2 centímetros de diâmetro é elemento desse conjunto? E uma com 2 centímetros e 4 milímetros? Uma cebola com 10 centímetros de diâmetro é média? Se você diz que a cebola com 2 centímetros de diâmetro é pequena e que a cebola com 10 centímetros de diâmetro é grande, quando uma cebola deixa de ser pequena e passa a ser média, e quando deixa de ser média e passa a ser grande? Você vai à cozinha com uma régua, para medir o diâmetro das cebolas e classificá-las em pequenas, médias, e grandes? Essa definição implica que o grau de vagueza se aplica a referentes que são conjuntos (ou classes), como o referente de substantivos, adjetivos, e verbos.

Ambiguidade. Com um termo ambíguo, você pode escolher entre pelo menos dois referentes distintos. “David”, por exemplo, pode se referir à estátua de Michelangelo ou ao filósofo David Hume. “Temperos” pode se referir ao conjunto {sal, pimenta do reino, manjericão} ou ao conjunto {sal, pimenta rosa, cebolinha picada}.

Assim, com o termo “grau de vagueza” você denota a certeza com que decide se um elemento faz parte ou não faz parte do conjunto referente de certo termo de seu vocabulário; e com o termo “grau de ambiguidade” você denota o número distinto de referentes os quais pode escolher para certo termo de seu vocabulário.

Note que o grau de precisão dos termos de uma receita de cozinha não está exatamente nos termos em si, mas na relação de cada falante com os termos da receita. Para um certo falante x, o referente do termo “cebola média” talvez sejam apenas as cebolas com exatamente 3 centímetros de diâmetro, e para achar o referente esse falante x só entra numa cozinha se tiver consigo um paquímetro. Para outro, o falante y, o referente talvez seja aquela cebola que, entre as cebolas que efetivamente estão na geladeira, está bem no meio da fila de cebolas organizadas da menor para a maior. (E, se houver um número par de cebolas, y escolhe por cara ou coroa qualquer uma das duas cebolas que estão bem no meio da fila, e por isso só entra numa cozinha se tiver uma moeda num dos bolsos.)

Pois bem: digo que os objetos abstratos da matemática são procedimentos com características especiais. São procedimentos com alto grau de precisão, isto é, baixo grau de vagueza e baixo grau de ambiguidade. É um pouco mais fácil entender o que estou querendo dizer depois de estudar dois exemplos.

O “número 2” com pecinhas de xadrez. Mamãe1 está ensinando Criança1 a contar. Ela mostra um tabuleiro de xadrez não populado (vazio) e diz:

“Zero. Isso é um zero: não há pecinhas.”

Depois, põe um peão sobre o tabuleiro.

“Um.”

E aí põe mais um peão sobre o tabuleiro.

“Dois.”

Logo em seguida, Mamãe1 explica melhor:

“Suponha que, num pedacinho do mundo, como neste tabuleiro, há alguma coisa que gostaria de contar: borboletas, bolinhas de gude, notas de 20 dólares. Se puder realizar uma bijeção das coisas que gostaria de contar com estas duas pecinhas no tabuleiro, pode dizer: ‘Há duas borboletas nesta flor’, se era isso o que queria contar, isto é, borboletas numas flor.”

A Criança1 repete as instruções para ver se entendeu:

“Na verdade, eu queria contar dinossauros mastigando crianças no parquinho, mas entendi seu ponto. ‘Zero’: bijeção com o tabuleiro vazio. ‘Um’: bijeção com o tabuleiro inicialmente vazio no qual coloquei exatamente uma peça. ‘Dois’: bijeção com o tabuleiro inicialmente vazio no qual, sem tirar a única peça que coloquei antes, coloco mais uma peça.”

E, conversando assim, Mamãe1 e Criança1 constroem juntos o conjunto dos inteiros não negativos, com o qual podem contar qualquer quantidade finita de coisas que possam classificar, se quiserem, como sendo discretas.

O “número 2” com uma linha demarcada. Mamãe2 está ensinando Criança2 a contar. Ela pega uma página em branco e uma caneta de tinta azul, e sobre a página desenha uma linha reta com uma seta à direita, assim:

Com a ponta da caneta sobre o ponto mais à esquerda da linha reta, Mamãe2 diz:

“Olha, não andamos nada na direção da seta. A ponta da caneta está parada sobre o início da linha reta, que é o nosso caminho, a nossa aventura intelectual. Isso é um zero.” Mamãe2 faz uma marquinha vertical na ponta à esquerda da linha reta, e sob a marquinha desenha o símbolo de zero.

“Entendi”, diz Criança2. “Com a palavra ‘zero’, e com o símbolo ‘0’, quero dizer que ainda não fiz a ponta da caneta percorrer nenhuma distância sobre a linha reta, no sentido da seta. A ponta da caneta está parada na origem de meu sistema de contagem.”

“Isso. Agora mova a ponta da caneta um tantinho para a direita, e desenhe uma linha vertical. Isso é ‘um’, isto é, você andou uma unidade, no sentido da seta, a partir da origem do sistema de contagem. Pode usar o símbolo ‘1’ para denotar ‘um’, que é esse primeiro segmento de reta à direita da origem.” Enquanto dizia essas palavras, Mamãe2 completou o desenho anterior.

“O comprimento dessa unidade fica a seu arbítrio; só não pode ser comprimento igual a zero.”

“Pode ser comprimento negativo?”, perguntou Criança2 com um sorriso.

“Engraçadinho! Ainda não conversamos sobre comprimentos negativos, que, aliás, não existem; quando falamos ‘comprimento’, na verdade queremos dizer ‘a medida do comprimento’, e aí sim uma medida pode ser negativa.” Mamãe2 tomou um gole de água e continuou: “Depois de marcar a unidade, faça assim: com a ponta da caneta em 1, faça a ponta da caneta se deslocar para a direita, deslocamento esse de comprimento igual a 1; e faça mais uma marquinha vertical. Agora você tem dois segmentos de reta consecutivos à direita de zero. Use a palavra ‘dois’ para denotar esse segundo segmento de comprimento unitário, e use o símbolo ‘2’ para denotar ‘dois’. Veja meu desenho!”

“Acho que entendi”, disse Criança2. “Continuando dessa maneira, terei uma semirreta orientada, com os inteiros crescendo conforme movimento a ponta de minha caneta para a direita. Essa semirreta orientada ficará subdividida em segmentos de reta consecutivos, todos de igual comprimento. Marco a origem do sistema com ‘0’, uso ‘1’ para marcar o ponto mais à direita do primeiro segmento de reta, ‘2’ para marcar o ponto mais à direita do segundo segmento de reta, e assim por diante. Não preciso desenhar as subdivisões perfeitamente iguais — só preciso pressupor que são perfeitamente iguais.”

“Sim”, respondeu Mamãe2. “Quando quiser contar alguma coisa, e não há nada para contar, você usa o símbolo ‘0’ e a palavra ‘zero’ para marcar isso — nada para contar é como nenhum deslocamento no sentido da seta. Há uma bijeção entre nada para contar, de um lado, e nenhum passo, de outro.”

“Permita-me continuar”, disse Criança2. “Se eu tenho um conjunto não vazio de objetos discretos para contar, pego o primeiro deles e, para marcar o fato de que existe pelo menos um objeto, ando com a ponta da caneta de zero a um sobre a linha numerada, digo ‘um’, e escrevo ‘1’. Depois disso pego o segundo deles e, para marcar o fato de que existem pelo menos dois objetos para contar, ando com a ponta da caneta de um a dois sobre a linha numerada, digo ‘dois’, e escrevo ‘2’. E assim por diante. Caso eu esteja contando um número finito de objetos, a certa altura vou pegar o último deles, andar com a ponta da caneta de n – 1 a n sobre a linha numerada, dizer ‘ene’, e escrever ‘n’. Visto que não há mais objetos a contar, sei, por virtude do procedimento que acabei de realizar, que há n objetos naquele conjunto de objetos.”

“Ai, que criança inteligente!”, disse Mamãe2. “É o orgulho da mamãe!”

* * *

Seguindo as dicas do filósofo Paul Benacerraf, algum leitor Desconfiado pode dizer que o número 2 não pode ser a mesma coisa que duas pecinhas de xadrez sobre o tabuleiro se o número 2 é a mesma coisa que dois segmentos de reta consecutivos na linha dos números, ou vice-versa. Ou o número 2 é uma coisa, e não outra; ou é outra, e não uma. Ou ainda, seguindo as dicas de Platão, Desconfiado talvez queira afirmar que o número 2 é sim um objeto abstrato no sentido usual, fora do espaço e do tempo, fora do universo causal — é uma forma perfeita: a forma perfeita de dois. De algum modo, diria Platão, a mente humana tem acesso a esse universo paralelo onde estão as formas perfeitas, como a forma de dois, e por isso sabemos que um dois é um dois, e não três ou cinco.

Digo que não existe nada acima e além de qualquer procedimento com alto grau de precisão para contar até 2, ou até n. Se alguém usa pecinhas de xadrez, marcas numa linha orientada, bolinhas, tracinhos verticais, conjuntos vazios (como von Neumann ou Zermelo), pedrinhas, os dedos, as palavras da língua portuguesa, os símbolos 0, 1, 2, …, n desenhados num papel— não importa. Objetos abstratos são procedimentos com baixo grau de vagueza e baixo grau de ambiguidade, ou seja, procedimentos com alto grau de precisão. Eles são só isso e nada mais que isso.

“Se é assim”, me diz Desconfiado, “como é que duas pessoas distintas, usando procedimentos distintos, podem ter a certeza de que vão chegar aos mesmos resultados? Como podem ter essa certeza se não podem recorrer à forma perfeita de 0, 1, 2, …, n? Como podem ter essa certeza se não existem objetos abstratos no sentido de ideias fora do tempo e do espaço, e fora dos fluxos de nexos causais? Digo que tem de haver alguma coisa comum aos dois procedimentos, que é a ideia abstrata de 17, por exemplo, à qual as duas pessoas vão recorrer para ter a certeza de que estão contando dezessete coisas com igual correção.”

Imagine o leitor o seguinte procedimento, que chamarei de Procedimento Quimera: tem de chutar uma bola a gol. Mas, além de você, não há mais ninguém no campo; não há nem mesmo um goleiro para defender o gol de seu chute. Além disso, em vez de colocar a bola na marca do pênalti, que está a 11 metros da linha de gol, vai colocá-la a apenas 1 metro da linha de gol. Desse modo, é certo que fará gol tantas vezes quantas repetir o procedimento. Quando realizar o procedimento e fizer gol, grite:

“Quimera!”

Percebe que esse procedimento também tem alto grau de precisão, isto é, baixo grau de vagueza e baixo grau de ambiguidade? Pode chutar a bola com o pé direito ou esquerdo; pode chutá-la mais à direita ou mais à esquerda; pode chutá-la com força ou gentileza. Mas vai gritar “Quimera!” quase tantas vezes quantas chutar a gol, simplesmente porque o procedimento é simples, a bola está muito perto da linha de gol, e o gol é grande — 244 centímetros de altura e 732 centímetros de largura. Talvez uma criança pequena não consiga realizar o procedimento a ponto de gritar “Quimera!”, porque ainda controla mal os movimentos, e além disso “quimera” é uma palavra difícil de pronunciar; mas ela também não consegue adicionar oito unidades a sete unidades, pois tem muito o que aprender sobre procedimentos.

Agora imagine outro procedimento, que também vou chamar de Procedimento Quimera. Você compra umas poucas dúzias de ovos. Compra também um daqueles martelos de borracha enormes, que os caminhoneiros usam para desencaixar um pneu da roda. Coloca um ovo diante de você, sobre uma mesa, pega o martelo de borracha e, mantendo o martelo a poucos centímetros do ovo, quebra o ovo com uma breve martelada. Grita “Quimera!” toda vez que quebra um ovo. Ora, deve gritar “Quimera!” quase toda vez que repetir o procedimento, pois é um procedimento com alto grau de precisão.

Duvido que Desconfiado agora queira me dizer: “Ora, visto que usou a palavra ‘quimera’ para dar nome ao resultado final de ambos os procedimentos, e visto que ao realizar qualquer um deles você grita ‘Quimera!’ quase sempre, então existe uma quimera no reino de Platão, que é a forma perfeita de quimera, da qual cada um dos dois procedimentos é uma cópia imperfeita.”

Imagine que dois atletas acabem de se conhecer, por exemplo sentaram lado a lado num avião, e descobrem que ambos são especialistas em Procedimentos Quimera. Só que um grita “Quimera!” quando chuta a gol, e o outro quando martela um ovo. Conversando, contudo, ambos percebem que realizam procedimentos com alto grau de precisão: um grita “Quimera!” quase toda vez que chuta a gol, e o outro, quase toda vez que martela um ovo. Eles vão ver, conversando entre si, que existe um isomorfismo entre os dois procedimentos.

Na matemática, acontece quase a mesma coisa. Um matemático diz “cinco” quando verifica a existência de uma bijeção entre os elementos de um conjunto e cinco de seus dedos, por exemplo os cinco dedos da mão esquerda. O outro diz “cinco” quando verifica a existência de uma bijeção entre os elementos de um conjunto e o conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Conversando, contudo, ambos também percebem que realizam procedimentos com alto grau de precisão; ambos percebem que há uma bijeção entre os cinco dedos da mão esquerda e o conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, e que ambos vão usar a palavra “cinco” sempre nas mesmas situações, exceto nas raras situações em que um deles comete um erro. Mas, se um deles cometer um erro ao usar o procedimento p1, o outro percebe que poderá achar e retificar o erro ao usar o procedimento p2, com o qual está mais acostumado, pois p1 e p2 são isomórficos entre si — e verificar o isomorfismo é outro procedimento com alto grau de precisão.

Todas as afirmações da matemática, por mais complicadas que sejam, por mais que evoquem as palavras “abstração absurdamente divina”, podem no fim das contas ser convertidas em sequências de procedimentos simples, com alto grau de precisão. Talvez a pessoa a converter uma afirmação numa sequência de procedimentos chegue a uma sequência muitíssimo longa, e por ser longa, complicada; mas cada etapa da sequência será um procedimento com alto grau de precisão, que a pessoa realiza sempre com sucesso. (Exceto, talvez, quando está cansada, distraída, ou bêbada.)

Considere, por exemplo, a afirmação: “O número 17 é primo.” Como o leitor Desconfiado pode converter tal afirmação numa sequência de procedimentos com alto grau de precisão?

Usando qualquer procedimento com alto grau de precisão pelo qual contar até 17, Desconfiado coloca 17 bolinhas de gude sobre a mesa. Ele tenta separá-las em vários conjuntos com exatamente duas bolinhas cada um, mas chega a oito conjuntos com duas bolinhas e um conjunto como uma só. “Ora, pelo visto, 17 não é divisível por 2.” Tenta então separá-las em vários conjuntos com exatamente três bolinhas cada um, mas chega a cinco conjuntos com três bolinhas e um conjunto com apenas duas. “17 não é divisível por 3.” Tenta separá-las em vários conjuntos com exatamente cinco bolinhas cada um, mas chega a três conjuntos com cinco bolinhas e um com duas. “17 não é divisível por 5.” E assim vai: Desconfiado não consegue dividir 17 em vários conjuntos com exatamente sete bolinhas cada um, nem onze bolinhas cada um, nem treze bolinhas cada um. Ao fim do processo, Desconfiado declara: “Visto que não consegui dividir 17 bolinhas por nenhum dos números primos menores que 17, sou obrigado a dizer que o número 17 é de fato primo. Posso dizer isso porque, se eu pudesse dividir 17 por qualquer inteiro composto maior que 1 e menor que 17, com resto igual a zero, também poderia dividir 17 por algum dos números primos menores que 17.”

Durante o processo de converter uma afirmação matemática numa série de procedimentos, o leitor talvez precise recorrer a um procedimento recursivo, especialmente no caso de afirmações tratam de conjuntos infinitos. (Do tipo: se n é um inteiro positivo, n + 1 é o sucessor de n.) Mesmo assim, procedimentos recursivos com alto grau de precisão continuam a ser procedimentos com alto grau de precisão. Eu nunca vi uma afirmação matemática que não pudesse ser, de maneira nenhuma, convertida numa série de procedimentos com baixo grau de vagueza e de ambiguidade, e isso se explica com a tese deste artigo: objetos abstratos são procedimentos. {FIM}



Observações:

1. Eis uma primeira tentativa de definir procedimentos mais formalmente.

Definição de procedimento. Um procedimento executado Pe surge da relação entre um exequente E e um procedimento armazenado Pa. Em outras palavras, não existe procedimento Pe se não existir uma receita e um exequente: o exequente E tem de interpretar a receita Pa para produzir o procedimento Pe. Essa providência é necessária, pois com frequência, em textos sobre procedimentos, o autor se esquece do exequente e desse modo o procedimento armazenado, como Pinóquio, ganha vida — a vida que pertence ao exequente. Algoritmo: Se Pa tiver grau muito baixo de vagueza e de ambiguidade (isto é, se Pa tiver grau muito alto de exatidão), pode chamá-lo de algoritmo.

Note que um algoritmo executado também surge da relação entre E e Pa. Assim, um algoritmo executado pode surgir, grosso modo, de duas maneiras: (a) a receita Pa foi escrita com alto grau de exatidão, e o exequente E sabe executá-la sem adicionar por si mesmo vagueza e ambiguidade desnecessárias; e (b) a receita Pa não foi escrita com alto grau de exatidão, mas o exequente E tem condições de escolher uma das interpretações de Pa e sabe executar essa interpretação sempre da mesma forma.

Uma nota sobre “sempre da mesma forma” no parágrafo anterior: não existe exequente que não cometa um erro de vez em quando. (Ou, se existe, ainda não ouvi falar dele.) Até mesmo computadores, executando um programa muito bem escrito, cometem um erro a cada trilhão  ou quatrilhão de instruções executadas; isto é, cometem um erro provocado pelo hardware, e não pelo software. Talvez nem mesmo a Natureza seja capaz de executar uma receita sempre da mesma forma. Se você imaginar a Natureza como sendo um autômato celular, tenho a impressão de que ela às vezes comete erros na contagem de células ligadas e desligadas, e liga uma célula que não deveria ligar ou desliga uma célula que não deveria desligar.

Isso significa que, em geral, Pa não é a mesma coisa que Pe. Apesar disso, ao pensar e escrever sobre procedimentos, é muito incômodo distinguir a todo momento Pa de Pe. Se quiser, pode fazer o que fiz no artigo principal: escreva apenas “procedimento”, sem distinguir a receita Pa do procedimento Pe tal como executado pelo exequente E — exceto quando não tiver escolha senão distinguir Pa de Pe. Em todo caso, ao pensar sobre tudo isso, jamais se esqueça do exequente E, para não correr o risco de atribuir a Pa ou a Pe características do exequente.

2. Seres humanos têm armazenados dentro do cérebro uma imensa quantidade de procedimentos muito simples; pode chamá-los, se quiser, de “microprocedimentos”. São do tipo “se eu puser uma pitada a mais de sal, fica um pouco mais salgado”, “se eu puser uma pitada a mais de açúcar, fica um pouco mais doce”, “se eu mover um pouquinho a cabeça para a direita, melhoro um pouquinho minha consciência das coisas que estão à minha direita”, “se eu fizer um pouquinho a mais de x, obtenho um pouquinho a mais de y”. Alguns desses microprocedimentos foram automatizados quando éramos crianças bem pequenas, e temos dificuldade de perceber que eles existem, pois os usamos sem notar que estamos usando um microprocedimento. (Tente, por exemplo, listar absolutamente tudo o que faz ao escovar os dentes.) Usamos muitos desses microprocedimentos quando interpretamos uma afirmação matemática e quando produzimos uma afirmação matemática. Como nem toda pessoa tem a capacidade de usar a introspecção para perceber que está executando uma imensa coleção de microprocedimentos, muitos dos procedimentos matemáticos dão ao praticante a impressão de que são um presente dos deuses; e daí a postular a existência de um universo paralelo onde existem objetos abstratos mais ou menos do tipo “formas platônicas” é um pulo.

Digo, contudo, o seguinte: se alguém recorre a essas definições meio místicas de objeto abstrato, nas quais ele é parte de um universo paralelo onde vivem as abstrações, ao qual temos acesso graças aos deuses, é porque prematuramente desistiu de dizer algo simples: “Eu não sei bem o que são objetos abstratos.” Além disso, desistiu também de procurar uma explicação naturalista. Se minha tese estiver correta, uma explicação naturalista deve ir na linha: “Objetos abstratos são procedimentos com alto grau de exatidão.”

3. Quando digo que um procedimento surge da relação entre um exequente e uma receita, não quero dizer que o exequente precisa ser algo inteligente, ou mesmo autoconsciente. A Natureza é o exequente de muitos procedimentos naturais, como a modificação das espécies por seleção natural; e a “receita” é composta por características instrínsecas da própria Natureza, como mecanismos e processos naturais.

4. A tese de que objetos abstratos são procedimentos com alto grau de precisão pode ser classificada, até onde consigo ver, como um tipo de ficcionalismo na matemática. De modo geral, você pode caracterizar o ficcionalismo sobre certo discurso como a constatação de que as afirmações daquele discurso não se referem às coisas que pensamos que se referem, mas que devem ser vistas como uma espécie de ficção.

Suponha, por exemplo, a Criança1, que está cavalgando um cavalo preto, e diz entusiasmada: “Eu sou Alexandre, o Grande, e esté é Bucéfalo, o cavalo mais famoso da história!” E agora a Criança2, que está cavalgando um cavalo marrom, e também diz entusiasmada: “Eu sou Alexandre, o Grande, e esté é Bucéfalo, o cavalo mais famoso da história!” É melhor ver ambas as exclamações como sendo um tipo de ficção, que se aplica bem a ambas as situações. É mais ou menos isso o que acontece quando duas pessoas, recorrendo a procedimentos distintos, mas isomórficos entre si, dizem a respeito do procedimento que acabaram de realizar: “O número 17 é primo.”

Não há nada muito especial sobre usar afirmações que são uma espécie de ficção para fazer afirmações pertinentes sobre coisas concretas, do tipo “Se temos 17 bombons, não podemos reparti-los em três partes iguais.” Quando um sujeito está ouvindo um marido ciumento falar mal da mulher, e sabe que a mulher não merece as acusações, pode dizer em resposta: “Você, Bentinho, vai acabar sem a sua Capitu, e quem realmente vai sair perdendo é você. Ouça um conselho de amigo: procure ajuda especializada.” O sujeito recorreu a um trechinho de ficção para dizer algo pertinente sobre um estado de coisas real.

5. No artigo, usei várias vezes a palavra “classe”. Estou usando uma distinção da teoria de classes: todo conjunto é uma classe, mas nem toda classe é um conjunto. Em particular, uma classe própria não é um conjunto. Mais precisamente, se X é um conjunto, existe uma classe Y tal que X Y. Mas, se X é uma classe própria, não existe uma classe Y tal que X Y. Classes próprias nunca são elementos de nenhum conjunto, nem de outra classe. (Não existe, por definição, o conjunto potência de uma classe própria.) Essa providência é necessária para evitar o paradoxo de Russell. Visto que reunir procedimentos num conjunto é em si mesmo um procedimento, quando usei a palavra “classe” no artigo, quis apenas sinalizar o fato de que estou consciente do paradoxo de Russell e que, ao usar a palavra “classe”, quero evitá-lo.

Quando alguém diz “Existe uma classe de todos os procedimentos”, está dizendo o quê, exatamente, se objetos abstratos são procedimentos, e se a própria ideia de classe é um procedimento, ou mesmo mais de um? Está dizendo que pode, na imaginação, reunir todos os procedimentos possíveis e imagináveis numa classe própria; para mim, entretanto, isso é um jeito de falar — um tipo de ficção.

6. Bijeção. Diga que há uma bijeção f entre os conjuntos A e B se, para cada elemento de A, você faz corresponder exatamente um elemento de B, e se, além disso, para cada elemento de B, você faz corresponder exatamente um elemento de A. Faça tudo isso de modo que, se a e b são elementos do domínio, com ab, daí f(a) e f(b) são elementos do contradomínio, com f(a) ≠ f(b). No caso de conjuntos com número finito de elementos discretos, existe uma bijeção entre A e B se, e somente se, A e B têm o mesmo número de elementos.

7. Isomorfismo. Em termos quase leigos, um isomorfismo é uma bijeção entre dois sistemas que traduz com exatidão a estrutura de um sistema na estrutura do outro sistema (e vice-versa). Pense, por exemplo, numa cidade e no mapa da cidade: há um isomorfismo entre a cidade e o mapa; mais precisamente, a distância entre quaisquer dois pontos da cidade é proporcional à distância entre os dois pontos correspondentes no mapa. Não vou dar aqui a definição formal de isomorfismo; há muitas na internet. Ao dizer que objetos abstratos são procedimentos, de certa forma estou dizendo que, quando usamos corretamente essa ficção chamada de “objetos abstratos”, há um isomorfismo entre a ficção e certos aspectos da realidade.

8. Em várias partes do artigo, fiz menção às formas platônicas, que são talvez a concepção mais antiga e famosa de objeto abstrato. Mas não quero ser injusto com Platão: vários especialistas dizem que ele mesmo talvez tenha mudado de ideia a respeito das formas, porque, já no tempo dele, essa ideia foi severamente criticada, e algumas das críticas apareceram nos diálogos platônicos sem que fossem devidamente rechaçadas por um dos participantes do diálogo. Em todo caso, dado o conjunto da obra de Platão, parece que ele acreditava na teoria das formas.

9. Caso queira citar este artigo, escreva:

Simões, Márcio. “Objetos abstratos = Procedimentos”. São Paulo: Imaginário Puro (blogue), 26 de julho de 2019.

Se possível, forneça o link permanente para o artigo:

[https://imaginariopuro.wordpress.com/2019/07/26/objetos-abstratos-procedimentos/]

10. Este é o 300º artigo deste blogue!

Cálculo Tornado Fácil 13


O mundo real complica tudo. Durante todo o ensino básico, o estudante lida apenas com funções de uma variável. Mas, assim que vira cientista ou engenheiro, percebe que poucas coisas no mundo dependem de uma variável só — em geral, dependem de muitas. É para isso que servem as derivadas parciais.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 66 porque o texto anterior terminou na 65. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, CTF 10, CTF 11, e CTF 12.


{66}/ Capítulo 16

Diferenciação parcial

Às vezes você vai topar com quantidades que são função de mais de uma variável independente. Assim, pode achar um caso no qual y depende de duas outras quantidades variáveis; pode chamar uma delas de u e a outra de v. Em símbolos:

Vamos examinar juntos um caso bastante simples, que denoto com a equação a seguir:

O que deve fazer nesse caso? Como deveria fazer as contas se tratasse v como se fosse uma constante, e diferenciasse y em relação a u? Pode começar escolhendo o símbolo dy(v) para dizer “estou diferenciando y em relação a u, enquanto mantenho v constante”. Daí deixa u crescer para virar u + du, de modo que y cresce também para virar y + dy(v):

Da mesma forma, se tratasse u como uma constante, e diferenciasse y em relação a v, obteria:

Agora que entendeu essa ideia básica, pode indicar de outro jeito o fato de que realizou a diferenciação apenas parcialmente, isto é, que realizou a diferenciação em relação a apenas uma das variáveis, mantendo as outras constantes — em vez de escrever os coeficientes diferenciais com d, basta escrevê-los com letras gregas delta, como ∂. (Esse é o jeito mais comum na matemática.) Dessa maneira:

Mas, se usa tais expressões no lugar de v e de u nas fórmulas mais acima, deve obter:

Agora pense no assunto um pouco. Talvez desconfie de que a variação total de y depende dessas duas coisas ao mesmo tempo. Está correto. Em outras palavras, se ambas estão variando, deveria escrever a variação real dy assim:

Pode chamar essa expressão de “diferencial total de y” ou de “diferencial exata de y”, querendo dizer: “Eis uma fórmula para o coeficiente diferencial total de y.” Vamos agora estudar quatro exemplos.

Exemplo (1). Ache os coeficientes diferenciais parciais da expressão w = 2ax2 + 3bxy + 4cy3. Bem, para achar ∂w/∂x, vai supor y constante; e para achar ∂w/∂y, vai supor x constante:

 

Exemplo (2). Considere a equação z = xy. Daí, para achar o diferencial exato de z, primeiro trata y como constante, e depois x. Suas notas devem ficar assim:

Exemplo (3). Num de seus modelos matemáticos, há um cone com altura h e raio da base r, cujo volume V é (1/3)πr2h. Se mantém a altura h constante enquanto permite que o raio r varie, obtém uma razão entre a variação instantânea do volume em relação ao raio; agora, se mantém o raio r constante e permite que a altura h varie, obtém outra razão entre a variação instantânea do volume em relação à altura. É isso o que quer dizer quando escreve o sistema de equações a seguir:

Qual é, então, a variação do volume quando tanto o raio quanto a altura variam? Você já fez essa conta antes:

Exemplo (4). No exemplo a seguir, imagine F e f como sendo duas funções deriváveis quaisquer, em qualquer forma possível, das variáveis independentes t e x. Por exemplo, podem ser funções trigonométricas (tipo y = sen[x + at]), ou exponenciais (tipo y = exp[xat]), ou funções polinomiais ou algébricas quaisquer em t e x. Imagine ainda que F pode ser um tipo de função derivável, como a função cosseno, e f pode ser outro tipo, como a função potência. Depois disso, examine com atenção a expressão a seguir:

Agora, se fizer w = x + at e v = xat, pode daí reescrever a expressão acima de um jeito mais amigável:

Agora, uma consequência direta disso é:

Vale a pena estudar essa linha com atenção. Com ∂y/∂x, você quis dizer: “Quero saber o coeficiente diferencial de y em relação a x, mas mantendo fixa a variável t.” Com a primeira parcela à direita da igualdade (na qual, aliás, usou a regra da cadeia), quis dizer: “Preciso do diferencial da função F, tendo a função w como argumento, enquanto mantenho a função v constante.” Da mesma forma, com a segunda parcela quis dizer: “Preciso do diferencial da função f, tendo a função v como argumento, enquanto mantenho a função w constante.”

Agora, o que significa ∂F(w)/∂w? É simplesmente a derivada de F em relação a w:

Para entender o motivo, imagine y em função de x. Daí a derivada de y em relação a x é:

Agora, ∂w/∂x significa a derivada da função w em relação a x, mantendo a outra variável (t) constante. Isso dá 1:

O raciocínio da segunda parcela da igualdade é semelhante a esse, de modo que, resumindo:

A linha a seguir é consequência direta da última linha acima:

O raciocínio para achar ∂y/∂t é o mesmo:

Agora, ao aplicar corretamente a regra da derivada de uma função multiplicada por uma constante, a regra da derivada de uma soma de funções e a regra da cadeia, como pode estabelecer o significado de ∂2y/∂t2?

Guarde essa equação diferencial, pois sua importância na física matemática é imensa.



{67}/ Máximos e mínimos das funções de duas variáveis independentes

Exemplo (5). Volte agora ao item 4 dos exercícios IX (CTF 7, seção 42). Para que não tenha de procurá-lo neste blogue, reproduzo o exercício agora:

Você pegou uma linha de 30 centímetros, juntou as duas pontas e, com três pinos, vai esticar a linha no formato de um triângulo. Qual é a maior área triangular que essa linha pode cercar?

Pode imaginar o comprimento de um dos lados como x, o comprimento de outro lado como y e o comprimento do terceiro lado como 30 – (x + y). Usando o teorema de Herão (que correlaciona a área de um triângulo com o comprimento dos lados), deve chegar à fórmula da área A em função de x e de y:

Agora, se fizer P = (15 – x)(15 – y)(x + y – 15) = xy2 + x2y – 15x2 – 15y2 – 45xy + 450x + 450y – 3375, daí pode reescrever a fórmula para A assim:

E daí vê que A atinge um máximo quando P atinge um máximo. Logo, quando P atinge um máximo? Tem de investigar o diferencial exato de P:

Para que haja um máximo, você deve conseguir dP = 0. (Neste caso, não há um mínimo, pois todos os lados do triângulo têm comprimento maior que zero.) Isso significa obter simultaneamente:

Em outras palavras, tem de resolver o sistema:

Pode verificar o seguinte: uma solução é x = y. Agora, se introduz essa condição na fórmula de P, obtém:

Para um máximo ou mínimo, dP/dx = 0, isto é:

Para que dP/dx = 0, x = 15 ou x = 10. Daí x = 10 dá um máximo, pois d2P/dx2 = –30; e x = 15 dá um mínimo, pois d2P/dx2 = 30. Essa área máxima, vale relembrar o exercício, equivale a 25√3.

De modo mais geral, se tem uma linha de comprimento c, pode com ela construir um triângulo de máxima área ao fazer cada lado igual a c/3; dito de outra forma, entre todos os triângulos de perímetro c, o equilátero é o que engloba a maior área possível.

Exemplo (6). Ache as dimensões de um vagão comum para o transporte de carvão, feito com peças retangulares e aberto no topo, de modo que, para determinado volume V, a área dos lados e a do chão do vagão, juntas, sejam a menor possível.

Bem, pode ver o vagão como uma caixa retangular aberta no topo. O que tem em mãos é o volume V, uma constante, e três variáveis: o comprimento x, a largura y e a altura h. Pode, portanto, começar assim:

Como V é um valor constante, pode usá-lo para expressar uma das variáveis em função das outras duas; por exemplo, h em função de x e y:

Bem, já está pronto para, com uma fórmula, declarar o que gostaria de fazer, que é minimizar a área interna do vagão. Pode chamá-la de A:

De modo que pode calcular a variação instantânea da área (dA) em função da variação instantânea dos lados x e y assim:

Depois das contas, vai chegar a:

Como x, y e h têm de ser maiores que zero, não existe um máximo aqui. Para um mínimo, dA = 0, isto é, ∂A/∂x = 0 e ∂A/∂y = 0.

Bem, pode fazer as contas e verificar o seguinte: 2V = xy2 = yx2. Para que essa linha seja verdadeira para todos os valores possíveis de x e de y, eles devem ser iguais. Daí usa essa informação para reescrever a fórmula de A; por exemplo, pode fazer A em função apenas de x:

Bem, para que a área A atinja um mínimo, dA = 0, isto é:

Agora, para deixar a expressão mais amigável, pode multiplicá-la por x2 e concluir as contas:

Eis então a resposta: se x = y = 3√(2V), e se h = 2–(2/3)V(1/3), daí a área interna do vagão será a menor possível para acomodar o volume V; com isso, o fabricante do vagão gastará a menor quantidade possível de matéria-prima para construí-lo, e seu cliente a menor quantidade possível de dinheiro para comprá-lo.



{68}/ Exercícios XV

(1) Diferencie a expressão a seguir, primeiro em relação a x somente, e depois em relação a y somente.

(2) Ache os coeficientes diferenciais parciais em relação a x, y e z da expressão:

(3) Sobre a expressão a seguir, ache ∂r/∂x + ∂r/∂y + ∂r/∂z. Também ache o valor de ∂2r/∂x2 + ∂2r/∂y2 + ∂2r/∂z2.

(4) Ache o diferencial total de y = uv.

(5) Ache o diferencial total das três expressões a seguir:

(6) Verifique a verdade da seguinte afirmação: se o produto de três variáveis é uma constante (xyz = k), daí a soma das três variáveis atinge um máximo quando elas são todas iguais.

(7) Ache o máximo ou o mínimo da função:

(8) Os correios têm a seguinte regra: nenhum pacote deve ter tamanho tal que seu comprimento mais sua cilha exceda 6 pés. (Era a regra em voga na Inglaterra no começo do século 20; “cilha” significa “cinturão”.) Qual é o maior volume que você pode postar nos correios se (a) o pacote tem secção transversal retangular ou se (b) a secção transversal é circular?

(9) Divida π em três partes de modo que o produto contínuo de seus senos seja um máximo ou um mínimo. (Há dois jeitos de interpretar a expressão “um produto contínuo”: é um produto na forma (1 + a1)(1 + a2)∙∙∙(1 + an), no qual nenhum dos fatores é zero; ou é um produto na forma a1a2a3∙∙∙an, no qual também nenhum dos fatores é zero. Você pode se exercitar calculando a resposta para os dois significados.)

(10) Ache o máximo e o mínimo da expressão:

(11) Ache o máximo e o mínimo da expressão:

(12) Uma caçamba teleférica de determinada capacidade tem o formato de um prisma horizontal triangular isósceles, com o apex para baixo e a face oposta aberta. Ache as dimensões de modo que, para fabricar a tal caçamba, você compre a menor quantidade possível de chapas de ferro.



{69}/ Aplicação: a equação do calor

Onde o estudante usa seus conhecimentos sobre derivadas parciais? (Vamos chamar tal estudante de Tadeu.) Ele as usa principalmente ao estudar equações diferenciais parciais, que são equações nas quais pelo menos um dos termos é uma derivada parcial. Físicos e engenheiros precisam de tais equações o tempo todo, e por isso elas inspiraram uma grande quantidade de pesquisa científica. O exemplo mais comum de equação diferencial parcial é a equação do calor.

Como o nome da equação sugere, com ela Tadeu pode descrever o jeito como muda a distribuição de calor num meio físico conforme o tempo passa:

Aqui, Tadeu encarou T(x, y, z, t) como sendo uma função T, dependente de quatro variáveis, por meio da qual ele calcula, no instante t, a temperatura T no ponto cujas coordenadas são (x, y, z).

Tendo lido o capítulo 16 de Cálculo Tornado Fácil, Tadeu já consegue interpretar o significado matemático dos termos da equação: “Eu quero saber a taxa de mudança instantânea da temperatura T num ponto cujas coordenadas são (x, y, z) em função apenas do tempo t. Ah! Já sei o que devo fazer! Devo achar a segunda derivada parcial de T em função de x, somá-la com a segunda derivada parcial de T em função de y, somar o resultado com a segunda derivada parcial de T em função de z, e multiplicar essa soma por uma constante κ!”

Isso é uma coisa, e já é bastante. Outra coisa distinta é compreender o que a equação realmente significa, e por isso Tadeu foi atrás de uma explicação de como a equação revela as inter-relações entre a matemática e a física. Em outras palavras, foi atrás da história dessa equação.

Descobriu que pode interpretar o lado esquerdo da equação de modo muito simples: ele denota a taxa de mudança da temperatura T(x, y, z, t) quando mantém as coordenadas espaciais fixas, mas permite que o tempo t varie. Com o lado esquerdo da equação, portanto, Tadeu expressa o fato de que gostaria de saber o quão rapidamente esquenta ou esfria o ponto cujas coordenadas são (x, y, z).

Bem, o calor, para viajar por um meio, precisa de tempo. Assim, embora a temperatura num ponto (x’, y’, z’) cedo ou tarde vá influenciar a temperatura no ponto (x, y, z), Tadeu descobriu que pode ignorar essa temperatura num ponto (x’, y’, z’) mais distante se quer saber apenas o modo como a temperatura está se comportando agorinha mesmo nas imediações do ponto (x, y, z), pois tal comportamento será afetado somente pelos pontos nas imediações de (x, y, z). “Se em média os pontos muito próximos de (x, y, z) estão mais quentes que (x, y, z)”, escreveu Tadeu, “posso esperar que a temperatura em (x, y, z) esteja aumentando. Da mesma forma, se em média os pontos nas imediações estão mais frios, posso esperar que a temperatura em (x, y, z) esteja diminuindo.”

Quanto à expressão entre parênteses do lado direito da equação, Tadeu descobriu que ela aparece tantas vezes na física e na matemática que até ganhou um símbolo próprio. É o símbolo Δ (delta minúscula), cuja definição é:

Em homenagem a Laplace, nesse contexto Tadeu deve chamá-lo de “laplaciano”, e deve ler Δf como “laplaciano de f”, sendo que f é uma função qualquer (diferenciável nos pontos apropriados).

Que informação Tadeu obtém sobre a função f ao calcular o Δf? Tadeu viu que, com Δf, capta as ideias explicadas nos parágrafos anteriores: descobre como o valor de f no ponto (x, y, z) se compara com o valor médio de f nas vizinhanças de (x, y, z); mais precisamente, descobre qual é o limite do valor médio de f nas vizinhanças de (x, y, z) quando o tamanho dessa região vizinha tende a zero.

Tadeu achou que a fórmula do Δf não deixa essa ideia imediatamente óbvia, e por isso imaginou uma explicação simples, desprovida de detalhes técnicos, para o Δf de uma função f de apenas uma variável, x. Começou assim: “Seja f uma função que leva de números reais a números reais.”

Bem, que conta poderia fazer se quisesse obter uma boa aproximação da segunda derivada de f no ponto x? (Supondo, é claro, que f tem o número apropriado de derivadas.) Tadeu viu que poderia fazer a conta abaixo, desde que escolhesse um valor bem pequeno para h:

Agora, Tadeu sabia que podia substituir as derivadas f’(x) e f’(xh) pelas expressões a seguir, desde que escolhesse um valor bem pequeno para h:

Colocou então essas duas aproximações na fórmula anterior, e assim obteve:

Teve a ideia de dividir o numerador desse último quociente por 2, e obteve:

Por que fez isso? Tadeu queria comparar a diferença entre o valor de f no ponto x e a média dos valores de f em dois pontos muito próximos de x, que são os pontos nos quais a abscissa é x + h (à direita de x) ou é xh (à esquerda). Em outras palavras, Tadeu notou que a segunda derivada de f representa justamente a ideia que gostaria de examinar, isto é, uma comparação entre os valores de f no ponto x e a média dos valores de f nos pontos no entorno de x; mas só quando esse entorno tende a zero.

Tadeu notou ainda que, quando f é linear, daí a média aritmética entre f(x + h) e f(xh) tem de ser igual a f(x), o que corresponde ao fato bem conhecido de que a segunda derivada de uma função linear é zero.

Bem, da mesma forma que, ao definir a primeira derivada, Tadeu tem de dividir a diferença f(x + h) – f(x) por h (pois caso contrário a diferença ficará automaticamente pequena), ele viu que, ao definir a segunda derivada, deve dividir a diferença por h2. Isso é apropriado, pois, se com a primeira derivada Tadeu está procurando uma boa aproximação linear (na forma de uma reta tangente à função f), com a segunda derivada está procurando uma boa aproximação quadrática. A melhor aproximação quadrática para f perto de um valor x é:

Tadeu fez as contas, e viu que essa aproximação seria exata se f fosse, em primeiro lugar, uma função polinomial quadrática.

E então Tadeu viu que podia perseguir pensamentos desse tipo para demonstrar que, se f é uma função de três variáveis, daí o valor do Δf no ponto (x, y, z) de fato lhe diz como o valor de f em (x, y, z) se compara com a média dos valores de f nos pontos bem próximos. (Não há nada especial aqui com o número 3, pois pode generalizar tais ideias para funções de n variáveis.) Por fim, Tadeu viu que tudo o que faltava entender na equação do calor era o parâmetro κ. Com ele, mede a condutividade térmica do meio. Se κ é pequeno, daí o meio não conduz o calor bem, e o ΔT tem menor efeito sobre a taxa de mudança da temperatura em (x, y, z); se κ é grande, daí o meio conduz o calor muito bem, e o efeito do ΔT é maior.

Nota. Esta seção 69 foi preparada com o apoio do trecho na página 32 do excelente livro The Princeton Companion to Mathematics, coordenado pelo matemático inglês Timothy Gowers.

{FIM}

Teorias de erro no mundo do trabalho e na matemática


O que fazer quando você descobre que os outros acreditam num conjunto de afirmações que são sistematicamente falsas? Stephen Finlay, filósofo neozelandês, recomenda um procedimento comum entre filósofos: não apenas aponte o problema, mas mostre por que pessoas inteligentes e racionais tinham motivos para cair em erro. Pois ninguém gosta de estar errado, e muitas vezes é emocionalmente mais fácil continuar em erro.


No mundo corporativo, às vezes um executivo tem de dizer a seus colegas que eles estão errados.

Psicólogos afirmam que essa é uma situação tão estressante que, com frequência, o executivo dá sinais de sofrimento mental. Ele (ou ela) supõe que, ao apontar o erro de seus colegas, vai perder status; o cérebro humano, porém, interpreta qualquer perda de status como uma ameaça à sobrevivência — e daí surge a inquietação nervosa. (Nas savanas africanas, onde a espécie humana surgiu, até hoje é assim: quando uma tribo expulsa um de seus membros, ele quase sempre morre dias depois.)

Stephen Finlay, professor de filosofia na Universidade do Sul da Califórnia (EUA), saberia ajudar o executivo nessa situação tão difícil, pois conhece bem uma linha de investigações filosóficas batizadas de teorias de erro. “As teorias de erro”, diz Finlay, “são interessantes e importantes.”

Como definir uma teoria de erro?

Segundo o modo como os filósofos em geral usamos a expressão “teoria de erro”, com ela queremos simplesmente dizer que as afirmações de determinado tipo são todas falsas (ou, no mínimo, que não podem ser classificadas de verdadeiras).

Quando explico esse assunto para meus alunos, sigo mais ou menos o seguinte roteiro: Em primeiro lugar, uma teoria de erro é sempre uma teoria de erro sobre X, sendo que X é um discurso, ou seja, um conjunto de proposições [afirmações que ou são verdadeiras, ou falsas]. Em segundo lugar, uma teoria de erro sobre X é o entendimento de que as proposições do discurso X são sistematicamente falsas. Em quase todos os casos, uma teoria de erro diz que as proposições de X são falsas porque dependem de uma pressuposição Y, que é falsa, e que torna falso o discurso X.

Alguns exemplos: uma famosa teoria de erro sobre moralidade diz que nada pode ser moralmente certo ou errado, porque um acerto moral ou um erro moral depende de valores absolutos, mas tais valores absolutos não existem. Uma teoria de erro sobre proposições religiosas diz que toda crença religiosa é sistematicamente falsa, pela razão de que deuses não existem. Uma teoria de erro sobre proposições matemáticas diz que toda crença em verdades matemática é falsa, pela razão de que números não existem. Há muitas teorias de erro na filosofia, por exemplo sobre o conceito de eu, de livre-arbítrio, de raciocínio indutivo. E existem teorias de erro sobre certas classes específicas de teorias de erro.

Numa corporação, como um executivo pode usar o conceito de teoria de erro?

Qualquer um que proponha uma teoria de erro sobre X deve explicar por que razão as pessoas acreditam em X. Ele deve explicar o seguinte: Como foi que a pessoa P veio a acreditar no conjunto de proposições X, sendo que as proposições de tal conjunto são falsas? Em outras palavras, ele deve partir do pressuposto de que a pessoa P é racional, e que veio a acreditar em X por meio da razão. Por exemplo, todos nós temos um profundo desejo de que as pessoas más estejam objetivamente erradas, isto é, que estejam erradas qualquer que seja o observador, qualquer que seja o ponto de vista; e isso nos leva a acreditar que existem fatos morais objetivos. Se você disser algo assim, talvez as pessoas aceitem mais facilmente sua teoria de erro sobre proposições morais.

É bom notar que uma teoria de erro é mais importante quando as crenças falsas que o executivo está tentando combater não são apenas as crenças de uma pessoa, mas de um grupo grande de pessoas, ou então de um grupo de autoridades. Isso porque o ser humano tende a acreditar naquilo em que muitos acreditam, e também naquilo em que as autoridades acreditam. Em casos assim, é fundamental prover uma explicação sobre os motivos pelos quais as pessoas e as autoridades vieram a acreditar em proposições falsas.

Vale lembrar que propor uma teoria de erro sobre X pode ser perigoso se X é muito importante para a comunidade. Imagine defender uma teoria de erro sobre proposições religiosas para uma comunidade de religiosos, da qual você faz parte. Você monta um argumento mostrando que Deus não existe, e diz que essa conclusão torna verdadeira sua teoria de erro. Ora, é possível que você convença pouca gente da comunidade, ou mesmo ninguém; para piorar, arruma muitos inimigos, e talvez até ponha sua vida em risco.

Você acha que uma pessoa precisa de treinamento especial para abandonar suas crenças prediletas em resposta a argumentos logicamente válidos e semanticamente sólidos?

Essa é uma pergunta mais apropriada para psicólogos, mas posso esboçar uma resposta.

Os psicólogos têm achado uma grande quantidade de evidências de que nossas convicções influenciam fortemente nossos raciocínios. Alguns, como Jonathan Haidt, dizem que as evidências e a lógica são quase impotentes na guerra contra aquilo em que queremos acreditar.

Eu, pessoalmente, não acho que a situação seja tão ruim. As pessoas desistem de crenças prediletas com relutância, e muito devagar, mas elas desistem. De certa forma, elas têm razão em ir devagar, pois é raro topar com um argumento válido que seja ao mesmo tempo irresistível. Mesmo um argumento sólido raramente usa premissas convincentes — elas até podem ser verdadeiras, mas não são convincentes à primeira vista. Assim, quando alguém vê um argumento desses dizendo que suas crenças mais prediletas são falsas, é natural que duvide da conclusão, e que passe um tempão tentando desqualificar pelo menos uma das premissas. Por exemplo, se um canal de TV apresenta notícias desabonadoras sobre um político o qual você apoia, você talvez suspeite de notícia falsa, ou do ideário político do canal. Contudo, todos podemos nos lembrar de ocasiões nas quais nós, relutantemente, abandonamos uma crença e viemos a acreditar em algo que, a princípio, desejávamos que não fosse verdade.

Esse é um dos objetivos principais de minhas aulas de filosofia: eu me esforço para que meus alunos aprendam a reconhecer um bom argumento cuja conclusão eles detestam, e um mau argumento cuja conclusão eles amam. Assim, respondendo à pergunta, um bom treinamento, como o treinamento de boas faculdades de filosofia, deixa a pessoa mais receptiva a evidências e a argumentos lógicos.

Você saberia montar uma lista dos motivos pelos quais as pessoas acreditam em proposições falsas?

Nossa, essa lista ficaria longa demais! Posso tentar uma lista bastante parcial:

(1) Temos o desejo muito forte de que certas proposições sejam verdadeiras. Por exemplo, desejamos que, de alguma forma, nossa mente sobreviva à nossa morte.

(2) Pensamento supersimplista: achamos que alguma coisa deve explicar as variações do tempo e do clima. Pronto! Inventamos Thor, o Deus do Trovão!

(3) A falácia patética: achamos que algo subjetivo, como um sentimento, é na verdade algo objetivo, como uma propriedade que existe por si mesma no mundo.

Existe um método pelo qual compor teorias de erro?

Não que eu saiba. Mas suponha uma pessoa que antes acreditava em certo discurso, e que agora vê as proposições desse discurso como sistematicamente falsas. Ela pode usar a introspecção para refletir sobre por que um dia chegou a acreditar nesse discurso. Isso talvez seja útil. Um problema é que nem sempre conseguimos interpretar corretamente nossos próprios estados mentais. Outro é que talvez as outras pessoas vieram a acreditar nesse discurso por outros motivos. O certo é que, quando uma pessoa passa a pensar mais frequentemente sobre teorias de erro, ela aprecia melhor o que realmente existe no mundo, e eu acho isso bom. {FIM}


Observações:

1. A revista Você RH, da Editora Abril, publicou uma versão ligeiramente diferente desta minha matéria sobre teorias de erro na edição de maio de 2018. Copyright © Abril Mídia S.A.

2. Uma das teorias de erro mais promissoras hoje em dia se chama “ficcionalismo na filosofia da matemática”. Ela diz que afirmações matemáticas são sistematicamente falsas, pois conceitos abstratos não existem e, portanto, números não existem. Quem lê sobre ficcionalismo pela primeira vez tem a sensação de que está lidando com gente maluca, mas, com o tempo, ele passa a fazer cada vez mais sentido. (Eu mesmo acho mais fácil acreditar em ficcionalismo que em platonismo.) Em resumo, um ficcionalista diz o seguinte sobre afirmações matemáticas:

Quando alguém diz “Marte é um planeta vermelho”, está fazendo uma afirmação sobre Marte, que existe, e que é um planeta do sistema solar; e essa afirmação é a de que, para os observadores humanos na Terra, Marte aparece como sendo vermelho. E de fato Marte é vermelho, como sabe qualquer um que já tenha visto Marte numa noite de céu límpido; e portanto a afirmação “Marte é um planeta vermelho” é verdadeira. Mas quem diz “17 é um número primo” está fazendo uma afirmação sobre algo que, em última instância, é uma ficção, mais ou menos como quem diz “Sherlock Holmes tocava violino muito bem.” Assim como Sherlock Holmes não existe no nosso mundo, pois é um personagem de ficção, 17 não existe no nosso mundo, pois, de certa maneira, também é um personagem de ficção.

Pensando nisso de outra forma: Suponha que só vai aceitar coisas reais, palpáveis, mensuráveis, sensíveis, como sendo o referente dos termos de seu vocabulário. Se fizer isso, terá de classificar a afirmação “17 é um número primo” como sendo falsa, pois não existe nada no mundo real que sirva de referente para o termo “17”. Os únicos referentes que poderá achar são livros de matemática, que contam muitas estórias nas quais 17 é um personagem importante; em particular, nessas estórias, 17 de fato é um número primo. De certa forma, o professor de matemática e o de literatura são, profissionalmente falando, como primos de primeiro grau.

Se o leitor gostaria de saber mais sobre ficcionalismo, clique aqui.

3. A “famosa teoria de erro sobre moralidade”, à qual Finlay se refere logo no começo da entrevista, é a do filósofo australiano John Mackie (1917-1981). Para saber mais sobre antirrealismo moral, em geral, e sobre o argumento de Mackie, em particular, clique aqui. Mackie inventou a locução “teoria de erro”, e a tornou famosa, mas teorias de erro existem desde os pré-socráticos.

Cuidado com elogios: elogie apenas o esforço

Especialistas sugerem: muito cuidado ao elogiar estudantes de matemática, especialmente se o estudante é criança. O formato do elogio influi no modo como ela encara os estudos. Quem elogia a inteligência da criança, passa a impressão de que suas conquistas decorrem de talento (inato), e de que estudar é coisa para burrinhos. Quem elogia o trabalho ajuda mais, pois, na matemática, esforço e persistência rendem mais frutos que talento nu e cru.


{1}/ Criando burrinhos talentosos

Há alguns anos, crianças de 10 a 12 anos participaram de um estudo sobre aprendizagem no qual resolveram três séries de problemas de raciocínio lógico. Depois que as crianças resolveram a primeira série, foram divididas em três grupos: no primeiro, receberam a informação de que haviam acertado 80% das questões, e foram elogiadas pela inteligência e pela esperteza; no segundo, também receberam a informação de que haviam acertado 80% das questões, mas foram elogiadas pelo esforço; no terceiro, receberam a mesma informação dos 80% e não foram elogiadas de nenhuma forma. Depois disso, as crianças tiveram a chance de escolher qual tipo de problema gostariam de resolver em seguida; receberam uma lista mais ou menos assim:

• Problemas não tão difíceis, para não errar muito.

• Problemas bem fáceis, para me sair bem.

• Problemas nos quais sou muito bom, para mostrar como sou esperto.

• Problemas que me façam aprender bastante, mesmo que me façam parecer meio burrinho.

Nessa segunda série, todas as crianças, independente da resposta que deram, trabalharam com problemas muito mais difíceis, e naturalmente seu desempenho foi bem pior que na primeira série. Depois de ouvir a avaliação, responderam a algumas perguntas do tipo: Você gostaria de persistir nos problemas? Gostou de tentar resolvê-los? Por que acha que foi mal? Depois disso, resolveram a terceira série de problemas, cujo nível de dificuldade era equivalente à primeira. Ao fim do estudo, os avaliadores tomaram o cuidado de dizer às crianças que, na verdade, os problemas da segunda série eram avançados, e que resolver um único deles já era grande conquista.

As duas autoras do estudo queriam medir como o elogio influencia no desempenho do estudante. Viram que crianças elogiadas pela inteligência preferiram resolver problemas mais fáceis, em vez de escolher desafios com os quais pudessem aprender coisas novas; ou seja, quiseram apenas reafirmar sua inteligência. Tais crianças também demonstraram menor prazer ao resolver a segunda série, foram menos persistentes, e atribuíram o mau desempenho à própria falta de inteligência, ao tipo de problema, ou à falta de tempo para resolvê-lo.

Uma das autoras, Carol Dweck, publicou esse e vários outros estudos sobre como os elogios afetam o desenvolvimento infantil. Na matemática, os efeitos negativos de elogios mal colocados aparecem logo nos primeiros anos: a criança aprende contas de mais e de menos com certa facilidade, e é elogiada pela inteligência, mas, no decorrer do curso, depois de estudar conceitos mais sofisticados (multiplicação, divisão, frações, potenciação), passa a acreditar que suas dificuldades surgem porque não é inteligente o bastante.

O monitor. Professores, pedagogos e especialistas em educação estão sempre se perguntando como motivar crianças e jovens a estudar, tanto aqueles com dificuldade quanto aqueles com facilidade. A certa altura, quem sente dificuldade desiste de entender a matéria, enquanto quem sente facilidade se entedia com o ritmo lento das aulas e por fim desiste de participar. Alguns professores dão balas para quem tira dez na tabuada, outros deixam o bom aluno sair mais cedo para o recreio. E sempre é de praxe elogiar: “Que inteligente! Que esperto!”

Sérgio Friedman dá aulas no segundo ano do ensino médio, na Escola Vera Cruz, em São Paulo (SP). E se lembra de um aluno (o aluno X) que tinha muita facilidade nos exercícios, mas parecia desanimado e interagia pouco com os colegas. Sérgio teve duas ideias comuns entre professores de matemática: elogiar o desempenho e propor exercícios mais difíceis. “Meu trabalho como professor é mostrar ao aluno que, se chegou a certo patamar, devemos colocar um desafio a mais. Eu o elogio como um empurrão, no sentido de dizer: você pode se superar e ir além.” Muitas vezes, contudo, esse tipo de aluno se acomoda ao que já sabe e perde o interesse, e foi o que aconteceu com X. Quando elogios e desafios não resolveram o problema, Sérgio teve a ideia de ajudá-lo a se enturmar com a classe. “Acredito que uma coisa importante do conhecimento é socializá-lo.” Não é para isso que matemáticos escrevem teoremas? Ou compartilham conjecturas e problemas sem solução? Uma grande e prazerosa parte de fazer matemática é trocar ideias sobre seus objetos de pesquisa, ouvir a opinião de outros matemáticos, concordar com eles ou duvidar deles. Sérgio fez então um convite ao aluno X:

“O que acha de me ajudar com as dúvidas dos colegas?”

Nas aulas de exercícios, X virou uma espécie de monitor; terminava os exercícios e ia ajudar os colegas. “Ao usar o conhecimento para ajudar os outros, esse aluno começou a aprender muito mais, porque a melhor maneira de aprender é ensinar os outros. Além disso, o conhecimento dele passou a ter outra função: não era mais só para si mesmo, mas era para ser compartilhado.” O aluno X passou a ser reconhecido não só como alguém com talento para a matemática, mas alguém disposto a usá-lo em prol dos colegas. Com isso, em vez de apenas buscar desafios mais difíceis, passou a buscar novas estratégias para abordar e explicar os mesmos problemas. Hoje, a cada nova turma de segundo ano, Sérgio busca gente disposta a colaborar da mesma forma. “Os alunos têm uma linguagem própria e às vezes são melhores que o professor para traduzir as dúvidas dos colegas.”

Com esse episódio, Sérgio se lembra de si mesmo quando era aluno, pois também ajudava os colegas. “Seja qual for a etapa da vida, elogio é bom. Lembro alguns do meu tempo de estudante, mas para falar a verdade me sentia melhor com os elogios que recebia por comunicar aquilo que tinha entendido. Lembro desses elogios muito mais do que aqueles do tipo parabéns por ter acertado o exercício.”

Explorador de estratégias. Jovens chegam ao ensino médio certos de que só compreende matemática quem nasce com talento, quando na verdade vários especialistas dizem que o trabalho duro compensa mais. Sérgio lembra que, há quatro anos, uma aluna (a aluna Y) lhe disse a famosa frase: “Nunca fui boa de matemática.” Tentou entender os motivos (sempre há um episódio traumático, quando não uma saga inteira) e imaginou como poderia usar o que Y já sabia bem. Y tinha facilidade com geometria, e por isso Sérgio lhe passou desafios de geometria. Assim que Y ficou mais confiante, passou a incentivá-la a atacar outros assuntos, como a álgebra, que antes considerava impossível de entender. Nem sempre o aluno vira um ás, diz Sérgio, mas é importante quebrar o estigma de que o sujeito é ruim de matemática desde o berçário do hospital e não pode fazer nada a respeito. “Ela ganhou autoconfiança e eu, como professor, percebi que conseguimos mudar a atitude de um aluno que vê a matemática como algo inatingível.”

O estudante faz bem se pratica esses dois hábitos: o de abordar um problema de vários ângulos e o de partir das ideias que já conhece bem para avançar por outras áreas da matemática. Thales do Couto, coordenador de matemática do Colégio Santo Inácio, no Rio de Janeiro (RJ), sempre diz aos alunos: “Meu papel é dar a vara de pescar e a linha. Vocês têm de pegar o peixe.” Com isso, espera que criem soluções diferentes para entender a matéria e resolver exercícios. “Hoje a educação é como uma parceria; o aluno e o professor têm de se comprometer, dentro dos limites e do respeito.” Sérgio acha que, se o conteúdo a ser ensinado continua mais ou menos o mesmo, a forma de ensinar mudou. Se os alunos têm informação fácil e rápida a qualquer momento, qual será o papel do professor? “Não basta só saber matemática como antes; essa é apenas uma parte do trabalho.”

Hoje o professor deve estar pronto para improvisar. Thales gosta de tratar a turma como um grupo de matemáticos atacando um problema em aberto. Assim sua aula funciona como uma conversa. “Digo a eles que não sou o dono da verdade.” Ele escreve na lousa uma equação de 2º grau, como x2 – 2x + 1 = 0, e pergunta:

“Quem tem um palpite sobre como resolvê-la?”

Nesse momento, ninguém sabe de nada; professor e alunos estão no mesmo patamar. Daí alguém sugere fatorar a equação:

“E se reescrever assim: x( x – 2) + 1 = 0?”

Outro aluno talvez se lembre de um famoso produto notável: o quadrado da diferença entre dois termos.

“Não será melhor assim: (x – 1)( x – 1) = 0?”

Não demoram muito a perceber que, para o lado esquerdo da equação ser igual a zero, ou a operação no primeiro parênteses ou a no segundo deve ser igual a zero, e para isso acontecer x tem de ser igual a 1. “Eu os elogio para incentivá-los a palpitar”, diz Thales, “e depois vamos verificando o que cada um propôs. Essas discussões deixam a aula interessante.”

José Luiz Pastore Mello, professor no Colégio Santa Cruz, em São Paulo, acha que certos elogios diante da turma toda trazem benefícios tanto para o aluno elogiado quanto para os colegas; por exemplo, quando alguém sugere uma estratégia diferente daquela mencionada pelo professor. Daí, ele elogia não a inteligência ou a esperteza, mas o jeito de pensar. “Isso mostra para a classe que existem várias maneiras de pensar as questões matemáticas. Se fico só na minha abordagem, perco muito disso.”

Às vezes, o professor também aproveita uma deixa para incentivar a turma a pensar diferente. Pastore sempre se lembra de uma aula de trigonometria na qual desenhou um círculo na lousa com um compasso gigante. Quis refazer o círculo, que ficou feio, mas tinha perdido o ponto central. Aproveitou para questionar os alunos sobre como encontrar o centro do círculo apenas com compasso; é um problema conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni (o teorema diz que qualquer construção geométrica que pode ser feita com régua e compasso, pode ser feita só com compasso; veja a explicação completa clicando aqui, e vá direto para a seção 3). Os alunos ficaram empolgados e durante dias buscaram na internet a demonstração do problema.

Pastore incentivou a pesquisa, até que um grupo de alunos encontrou a demonstração num website italiano. Elogiou o esforço dos meninos e pediu que estudassem melhor a resolução do problema, para apresentá-la ao resto da turma. “Eles traduziram a resolução do italiano e se mataram de estudá-la, e ela era, diga-se de passagem, bem complexa. Depois a apresentaram para a classe.” Era o último bimestre e um dos meninos no grupo estava reprovado, pois tinha ido mal em quatro matérias, uma das quais a matemática. Pastore prometeu um bônus pela pesquisa e a apresentação do problema, assim o menino conseguiu a nota que lhe permitia fazer mais uma recuperação. Ele conseguiu passar de ano.

Tempos depois, Pastore estava no cinema quando alguém na fila o cutucou:

“Oi, professor, lembra de mim?”

“Lembro! Você é um dos meninos do problema de Mascheroni.”

“Exatamente, professor. Quero te contar uma coisa: estou no último ano de engenharia.”

Pastore fica emocionado ao contar a história. “Um menino praticamente reprovado em matemática, mas que depois de incentivado, desafiado, e elogiado, hoje em dia já deve ser engenheiro formado.”

Elogios sinceros, diz Pastore, mostram ao aluno que o professor está prestando atenção à sua produção e a seu esforço. Ainda que, às vezes, o resultado esteja aquém do ideal, o aluno está trabalhando para progredir; nesse caso, é melhor uma conversa em particular. Em seus estudos mais recentes, Carol Dweck diz que a qualidade do elogio desde cedo pode incutir na criança a convicção de que tem o poder de mudar e de que desafios são oportunidades para aprender. Do contrário, o que ocorre nas escolas pode ser resumido numa historinha:

Num pomar de maçãs, dez meninos descansam à sombra de uma árvore, quando um deles grita: “Ai! Caiu uma maçã na minha cabeça!” Após um tempo, outros dois também sentem a maçãzada e a saboreiam: está docinha. Apenas um, que havia passado semanas estudando as leis de Kepler, começa a trabalhar numa teoria sobre a gravidade. Tempos depois um historiador escreve sobre o episódio, mas por licença poética omite os outros meninos e suas maçãs. Deixa registrado nos livros o menino sortudo cuja cabeça foi atingida por uma maçã, e daí se tornou um grande matemático. Dos outros, ninguém nunca ouviu falar, mas são gente comum: alguns nasceram com talento matemático, outros nem tanto, mas nenhum deles tinha trabalhado o suficiente para tirar proveito das concomitâncias do acaso. {}



{2}/ Uma geômetra ataca a álgebra

Nas primeiras linhas do livro A Geometria, René Descartes (1596-1650) escreve que pode facilmente reduzir um problema geométrico a um problema algébrico. “Da mesma forma que a aritmética consiste em apenas quatro ou cinco operações, a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, e a extração de raízes (que pode ser considerada uma forma de divisão), também na geometria para encontrar segmentos basta adicionar ou subtrair outros segmentos.” Diante de tal afirmação, uma estudante com facilidade para a geometria (vamos chamá-la de Ana) acha irônico o fato de que é péssima em álgebra. Como pode então usar as palavras de Descartes e usar a geometria para entender melhor a álgebra?

Ana pega o livro What to Solve? Problems and Suggestions for Young Mathematicians, no qual Judita Cofman aconselha o leitor a expressar um problema em linguagens diferentes, e como exemplo apresenta um probleminha com cara e focinho de álgebra:

Problema. Prove que, para quaisquer números reais positivos a1, a2, …, an e b1, b2, …, bn, vale a seguinte relação:

“O que significa a raiz quadrada de a2 + b2?”, pergunta Ana a si mesma. “Ora, significa a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos a e b.” No lado esquerdo da expressão vê o somatório da medida de várias hipotenusas, enquanto no lado direito vê a medida da hipotenusa de um triângulo cujo um lado é o somatório de a1 a an e o outro é o somatório de b1 a bn. Ana esboça três triângulos de lado a1 e b1, a2 e b2, e an e bn juntando os vértices de uma hipotenusa à outra e coloca um espaço em branco para indicar que pode construir muitos outros triângulos entre o terceiro e o último. Depois nota que os lados ai de cada triângulo são paralelos entre si, assim como os lados bi para i = 1, 2, 3, …, n. Assim usa a1 e bn para construir um triângulo grandão ABC, cujo vértice no ponto B é também vértice do triângulo de lado a1 e cujo vértice A é também vértice do triângulo de lado bn.

Ana nota que as hipotenusas dos triângulos pequenos formam uma linha torta de medida p = √(a12 + b12) + √(a22 + b22) + ··· + √(an2 + bn2) do ponto A ao ponto B. “Provar a afirmação inicial é provar que |AB| é menor ou igual a p”, Ana diz a si mesma; então escreve debaixo do desenho:

Bem, no plano, a menor distância entre dois pontos é uma reta. Ora, se a hipotenusa AB é um segmento de reta ligando dois pontos e se p é o comprimento de uma linha toda torta ligando os mesmos dois pontos, daí |AB| só pode ser menor ou igual a p. O que é o mesmo que dizer:

O matemático húngaro George Pólya (1887-1985) escreveu no livro How to Solve It que uma ideia boa é um pedacinho de sorte, mas a pessoa deve ter perseverança para merecê-la. “Se não conseguir na primeira vez, tente de novo. Não é o suficiente tentar repetidas vezes. Também devemos tentar por vários meios e variar nossas tentativas.” Para tanto, contudo, o estudante deve ter à mão diversas técnicas. Só consegue usar a criatividade quem conhece bem as várias ferramentas matemáticas; do contrário, qualquer talento, criatividade, ou atributo nato ficará mofando na gaveta de tranqueiras. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 44, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. Profissionais de RH têm a ganhar caso estudem os artigos de Carol Dweck et al, assim como de seus críticos (Timothy Bates, da Universidade de Edimburgo, é um deles). As empresas agora não chamam mais seus trabalhadores de “funcionários” ou “empregados”, mas de “talentos”… Ora, “talento” é uma palavra adequada para designar quem tem o dom, isto é, quem é bom desde nascença. Duvido que, numa empresa sorteada ao acaso, a porcentagem de gente talentosa seja maior que essa mesma porcentagem na população em geral, e fico me perguntando se o trabalhador, de tanto ouvir que é um “talento”, no fim das contas se esforça menos do que deveria. Eu apreciaria uma empresa que, não querendo usar as palavras “funcionário” ou “empregado” (por que não? desde quando tais palavras são ofensivas?), usasse palavras como “diligente” ou “zeloso”. Já pensou a revolução? “Criamos novas diretrizes de RH para atrair os profissionais mais diligentes do mercado brasileiro.”