Como as boas escolas ensinam noções de estatística


Dentro da sala de aula, o professor ensina, os alunos estudam. Em projetos práticos, nos quais o professor e os alunos saem às ruas, o papel de professor e o de aluno se confundem: o professor às vezes terá de dizer “eu não sei” e “você está certo”.


{1}/ Certos problemas exigem um pouco de estatística

Na cidade de Araucária (PR), perto de Curitiba, a professora Luciane Souza de Jesus Telles prometeu ajudar seus alunos a realizar uma pesquisa de campo — eles sairiam da escola para coletar dados e para conversar com as pessoas. Os próprios alunos quiseram estudar as relações entre “trabalho e consumo”, isto é, entre ganhar dinheiro e gastar dinheiro, e por isso Luciane achou que deveria ajudá-los a distinguir entre “gastar dinheiro à toa” e “gastar dinheiro por necessidade”. (Os alunos de Luciane precisavam dessa ajuda, pois são crianças do quarto ano do ensino fundamental.) Ela distribuiu à classe folhetos de supermercados, e pediu a cada aluno que recortasse itens do folheto — como um pacote de arroz, ou um vidro de azeitonas — e colassem cada foto numa folha dividida em duas colunas: uma coluna para itens necessários e outra para itens supérfluos. Um aluno recortou a figura de um sabonete e se aproximou dela:

“Professora, onde eu colo?”

A mesma coisa aconteceu com xampu, chuveiro, sal, açúcar. “Eu dizia que eles deveriam colar essas coisas na coluna de itens necessários”, conta Luciane. Mas aí um deles disse que não tinha chuveiro em casa, e que dá para viver sem chuveiro. Outro disse que sua mãe quase não usava açúcar. “E assim, após intensa discussão, muitos produtos que eu classificaria como necessários foram parar na coluna dos itens supérfluos, e vice-versa!”

Muito professor está acostumado não a ensinar, mas a palestrar: ele fala, o aluno ouve; ele propõe questões pelas quais se interessa e para as quais já sabe a resposta, e ao aluno cabe o papel de conversar com o professor sobre tais questões, mesmo que no fundo não se interesse por elas. Num projeto de cunho mais prático, como uma pesquisa de campo, o professor é obrigado a abandonar esse papel — e se transforma em algo parecido com um sargento em campo de batalha: está em posição de autoridade, pode mandar e desmandar, mas não sabe tudo — longe disso. Num projeto assim, diz Luciane, os alunos aprendem e o professor também.

O peso da mochila. Luciane fez parte do projeto Nossa Escola Pesquisa sua Opinião (Nepso), mantido pelo Instituto Paulo Montenegro (do Ibope) em parceria com a ONG Ação Educativa. Uma das funcionárias do Instituto Paulo Montenegro, Fabiana Freitas, diz que o projeto Nepso foi criado para ajudar o professor a usar pesquisas de opinião como recurso pedagógico: o professor escolhe o tema (em geral com a ajuda da classe), e os funcionários do instituto (com prática em projetos Nepso) dão consultoria técnica. Desde o ano 2000, quando o projeto foi criado, até o fim de 2011, o instituto ajudou 4.108 professores, de 955 escolas, a realizar 1.828 pesquisas — isso tudo com a ajuda de 50.810 alunos.

A professora Luciane e funcionários do Instituto Paulo Montenegro explicam como o projeto funciona, em resumo, e quais seus efeitos sobre os alunos:

[1] Escolha do tema. Quase todos os professores pedem a ajuda dos alunos para escolher o tema da pesquisa, e o motivo é prático: quando o aluno sente que escolheu o tema, ele se dedica mais ao trabalho. Além disso, surgem temas nos quais talvez o professor não pensaria sozinho. Luciane dá exemplos: “Surgem tópicos como reciclagem, lixo na escola, a influência de games violentos, drogas, postura corporal, o peso da mochila, disciplina [no sentido de submissão a um regulamento], escolhas.” Em Pernambuco, segundo funcionários do instituto, os alunos escolheram o tema “gravidez na adolescência”. No Rio de Janeiro, numa escola situada entre duas favelas, escolheram o tema “significado da palavra esperança”. Na zona leste de São Paulo, escolheram “preconceito racial”. Quando as crianças e os adolescentes tomam a iniciativa, diz Fabiana Freitas, o processo de aprendizagem lhes parece mais interessante.

[2] Reportagem sobre o tema. Assim que o tema é escolhido, os consultores do Nepso recomendam ao professor uma “fase de qualificação”, na qual professores e alunos vão pesquisar sobre o assunto escolhido. Eles devem visitar uma biblioteca pública, procurar informações na internet, ver documentários e filmes, organizar passeios a lugares que tenham vinculação com o tema. Com tudo isso, eles ficarão cheios de dúvidas, e essa é uma boa hora para agir como repórteres, e marcar entrevista com especialistas no assunto. Para realizar o projeto “Trabalho e Consumo”, por exemplo, a professora Luciane fez seus alunos analisar mapas que mostravam a distribuição de crianças trabalhadoras, isto é, de trabalhadores com idade entre 5 anos e 17 anos; os mapas mostravam também o grau de escolaridade desses trabalhadores mirins.

[3] Questionário ideal. “Elaborar um bom questionário é um dos maiores obstáculos nesse projeto”, diz Luciane. “Ao chegar nessa etapa, se não estivermos com o tema bem delimitado e qualificado, o questionário acaba ficando confuso.” Para que uma pesquisa funcione, o questionário precisa ser simples, feito de perguntas cuja resposta, depois de tabulada, dará ao entrevistador bom conhecimento sobre o tema. Em 1968, o pintor espanhol Pablo Picasso resumiu bem essa descoberta sobre a importância das perguntas: “Computadores são inúteis. Eles só podem nos dar respostas.” Antes que o questionário esteja pronto, diz Maria Tereza Soares, coordenadora do projeto Nepso no Paraná, o professor e os alunos provavelmente vão criar várias versões, e isso é bom: essa etapa ajuda o aluno a se convencer de que as perguntas, por mais simples e diretas que sejam, são as melhores possíveis. “Para que uma pesquisa funcione”, diz Maria Tereza, “o entrevistador precisa estar convencido de que deve se restringir estritamente à pergunta escrita; ele deve também aprender a ouvir uma opinião que muitas vezes não é a dele.”

[4] Trabalho de campo. No projeto “Trabalho e Consumo”, a professora Luciane e seus alunos combinaram de ir a supermercados para anotar três preços a respeito dos itens necessários e supérfluos: o preço da marca mais cara, o preço da marca mais barata e o preço de uma marca que ficasse entre as duas. Fazendo isso, os alunos deduziram por si próprios uma ideia importante: é possível desperdiçar ao comprar produtos necessários (basta comprar o mais caro, quando um mais barato satisfaria a necessidade), assim como é possível economizar ao comprar produtos supérfluos (basta comprar o mais barato, caso ele sacie os desejos do comprador). Nessa fase, o aluno aprende a distinguir população de amostra: a população é o conjunto sobre o qual os pesquisadores querem inferir afirmações e, para fazer isso, eles farão medições numa amostra desse conjunto. Eles também podem usar a amostra para aceitar ou rejeitar uma hipótese a respeito da população. Além disso, quase sempre é impossível medir todos os elementos da população, e por isso o pesquisador não tem escolha senão medir o que deseja medir apenas numa amostra da população.

[5] Tratamento dos dados. Entre as fases do projeto, diz Luciane, está “tratar os dados, analisar os resultados e elaborar um plano de ação a partir dos dados”. Na mente de um adulto, tais palavras evocam a imagem de colegas de trabalho discutindo os dados num escritório. Com crianças, contudo, o método deve ser outro: elas têm de fazer coisas mais práticas. Luciane juntou os alunos em duplas e ajudou cada dupla a imaginar “situações-problema”, isto é, cada dupla imaginou perguntas às quais as outras duplas poderiam responder, caso examinassem os dados com atenção. Em algumas dessas atividades, eles puderam usar uma calculadora. Por fim, os alunos simularam a compra e a venda dos produtos pesquisados, mas usando, nas palavras de Luciane, “dinheirinho de brinquedo”.

Ela soube que o projeto ia bem pelo que aconteceu depois: os alunos perguntaram à professora se não haveria um jeito de realizar transações comerciais de verdade, com dinheiro de verdade. Luciane conversou com a diretora, que conseguiu produtos em consignação, como carrinhos, bonecas, figurinhas, pares de meia. A escola organizou um bazar, e os alunos puderam vender os produtos consignados para colegas da própria escola. Ao final do bazar, eles deveriam prestar contas do estoque e do faturamento (a tabela a seguir mostra os resultados de um dos alunos). Esse bazar deixou os estudantes motivados, diz Luciane. “É bom trabalhar com situações matemáticas reais.”

TABELA DE VENDAS

Produtos

Valor unitário (R$)

Valor total (R$)

1 carrinho

3,00

3,00

1 boneca

1,50

1,50

6 Beyblades

3,00

18,00

1 par de meias

1,00

1,00

3 motos

2,00

6,00

13 livros para pintar

1,00

13,00

10 livros para ler

1,00

10,00

23 cartelas de figurinhas

Uma cartela: 0,40

Três cartelas: 1,00

7,80

TOTAL

60,30

Mas o “plano de ação a partir dos dados” não se limitou às situações-problema e ao bazar: depois de pensar sobre trabalho e consumo, as crianças passaram a encostar os pais na parede. Essa história apareceu numa reunião entre pais e professores. “Os filhos”, diz Luciane, “passaram a fazer cobranças em relação ao consumismo dos pais.”

O saber da estatística. Ao trabalhar numa pesquisa de opinião, o aluno pratica vários tópicos de matemática: ele coleta, armazena, e trata dados, como um técnico em informática; realiza operações aritméticas básicas, como um contador; maneja gráficos, frações, médias, e porcentagens, como um estatístico; escolhe o gráfico mais adequado para um conjunto de dados, e prepara uma apresentação, como um executivo. Ele depara com problemas bem práticos: se começa o eixo x com o número 0, mas começa o eixo y com o número 1, o gráfico distorcerá os dados. Ele lê muito. Segundo Maria Tereza Soares, ao longo do projeto, o aluno se habitua a usar matemática; se tiver sorte, talvez perceba que a matemática enriquece o dia a dia.

Os professores também aprendem. Maria Tereza já lidou com professores do ensino fundamental 1 (a quem cabe ensinar matemática para crianças do 1º ao 5º ano, isto é, da pré-escola à 4ª série) que não sabiam direito o que era porcentagem. Tais professores achavam que “porcento” e “porcentagem” só devem ser usados quando lidam com conjuntos de 100 unidades, ou no máximo com múltiplos de 100. “Esses professores queriam delimitar o número de entrevistados a 100 pessoas.” Com o projeto, o professor percebe que, se não entende nem mesmo a ideia de porcentagem, como poderá ajudar seus alunos a realizar um projeto Nepso? Então ele passa a estudar matemática com outros olhos, e às vezes até descobre que tem usado material didático antiquado ou inadequado, ou que tem ensinado os assuntos da matemática numa ordem imprópria.

Em Araucária, a professora Luciane Telles leu o livro O Ensino de Estatística no Contexto da Educação Matemática, de Maria Lúcia Lorenzetti Wodewotzki e Otávio Roberto Jacobini. Os autores justificam de várias maneiras as aulas de estatística para crianças e adolescentes, mas Luciane se impressionou mais com uma das justificativas: o homem só consegue compreender fenômenos muito complexos, de natureza aleatória, por meio da estatística. “Os autores ressaltam que o ensino de estatística dá oportunidade para reflexões e críticas, especialmente quando tratamos de fenômenos de ordem social.” Em outras palavras, só com estatística o homem pode compreender melhor a sociedade em que vive. {}



{2}/ Apêndice: Valor padrão e valor do desvio

Professores e estudantes em geral não gostam de estudar duas ideias da estatística descritiva (o valor padrão e o valor do desvio), mas adoram já ter estudado e já ter aprendido, pois elas são úteis, ainda mais para quem sabe usar uma planilha eletrônica.

Ao calcular o valor padrão, o estudante (vamos chamá-lo de Gentil) calcula quão longe ou quão perto um valor dentro de uma amostra de valores está da média da amostra. Se o valor é igual à média, o valor padrão é 0. Se o valor está a um desvio padrão acima da média, o valor padrão é 1. Se o valor está a dois desvios padrão abaixo da média, o valor padrão é –2. Para começar a entender essa ideia, Gentil avalia as três primeiras colunas da tabela a seguir, que mostram as notas de história e de biologia numa classe de 18 alunos.

Aluno História Biologia Valor padrão de história Valor padrão de biologia Valor do desvio de história Valor do desvio de biologia
A

73

59

0,854632916594456

0,318949405712341

58,5463291659446

53,1894940571234

B

61

73

0,341853166637782

1,0631646857078

53,4185316663778

60,631646857078

C

14

47

-1,66653418735919

-0,318949405712341

33,3346581264081

46,8105059428766

D

41

38

-0,512779749956673

-0,797373514280852

44,8722025004333

42,0262648571915

E

49

63

-0,170926583318891

0,531582342853901

48,2907341668111

55,315823428539

F

87

56

1,45287595821057

0,15947470285617

64,5287595821057

51,5947470285617

G

69

15

0,683706333275564

-2,02001290284482

56,8370633327556

29,7998709715518

H

65

53

0,512779749956673

0

55,1277974995667

50

I

36

80

0,854632916594456

1,43527232570553

58,5463291659446

64,3527232570553

J

7

50

-1,96565570816725

-0,15947470285617

30,3434429183275

48,4052529714383

K

53

41

0

-0,637898811424682

50

43,6210118857532

L

100

62

2,00838735399697

0,478424108568511

70,0838735399697

54,7842410856851

M

57

44

0,170926583318891

-0,478424108568511

51,7092658331889

45,2157589143149

N

45

26

-0,341853166637782

-1,43527232570553

46,5814683336222

35,6472767429447

O

56

91

0,128194937489168

2,02001290284482

51,2819493748917

70,2001290284482

P

34

35

-0,811901270764733

-0,956848217137022

41,8809872923527

40,4315178286298

Q

37

53

-0,683706333275564

0

43,1629366672444

50

R

70

68

0,726437979105287

0,797373514280852

57,2643797910529

57,9737351428085

MÉDIA

53

53

DESVIO PADRÃO

23,4018601573364

18,8117610271122

Ao examinar a tabela, ele nota que a média de história e a de biologia são iguais, mas que o desvio padrão em história é maior que o desvio padrão em biologia. Isso significa que, em história, as notas se espalharam para mais longe da média e, em biologia, elas ficaram mais juntas perto da média. Gentil também nota que o aluno A tirou nota 73 em história e o aluno B tirou nota 73 em biologia. Visto que a média é a mesma, mas o desvio padrão é diferente, o que significa tirar 73 numa matéria versus tirar 73 na outra?

Gentil chama o valor padrão de Z, o valor de cada nota de X, o valor da média aritmética de μ e o valor do desvio padrão de σ, e usa a fórmula abaixo:

Com a fórmula, faz o Excel calcular o valor padrão de todos os 18 alunos nas duas matérias. (É o que o leitor pode ver nas colunas 4 e 5 da tabela de notas.)

O valor padrão do aluno que tirou 73 em história é 0,85, mas o valor padrão do aluno que tirou 73 em biologia é 1,06; com essa informação, Gentil sabe que tirar 73 na prova de biologia foi um feito maior que tirar 73 na prova de história. Em outras palavras, na prova de biologia, menos gente teve nota perto de 73, pois mais gente teve nota perto da média da classe (visto que o desvio padrão é menor).

Embora o valor padrão seja útil ao comparar um conjunto de dados (uma lista de notas, ou uma de preços, ou uma de características técnicas de certas peças de um mecanismo), pois realça quem está na média e quem está longe da média, ele é desconfortável, e por isso os matemáticos inventaram o valor do desvio. Gentil nota que o valor do desvio é uma versão do valor padrão mais fácil de ler: todo valor igual à média se transforma em 50, e todo valor igual ao desvio padrão se transforma em 10. Gentil chama o valor do desvio de VD, e usa a fórmula:

Com essa fórmula, Gentil recalcula as notas da classe de história e de biologia. (Veja as colunas 6 e 7 da tabela de notas.)

Quando um professor faz essa padronização dos dados (como eles fazem em vários países, incluindo o Japão), ele divulga a nota do aluno na prova e o valor do desvio bem ao lado. Para entender melhor esse ponto, Gil examina as notas do aluno L e do aluno O. Em história, o aluno L tirou a nota máxima (100), mas seu valor do desvio virou 70. Em biologia, o aluno O tirou 91 na prova, que virou 70 também. Por quê? Na classe de história, com desvio padrão maior (= maior dispersão dos valores), houve mais gente que tirou nota perto de 100, então tirar 100 é um feito menos extraordinário — talvez a prova tenha sido fácil para quem estudou bastante. Na classe de biologia, com desvio padrão menor (= notas mais perto da média), e nenhuma nota igual a 100, tirar 91 foi um feito mais extraordinário. O mesmo raciocínio vale para os alunos A e B, que tiraram nota igual a 73; depois da padronização, Gentil percebe que o aluno B foi mais longe quando tirou 73 na prova de biologia.

Gentil nota que padronizar os dados é útil para quem está comparando valores em dinheiro — por exemplo, o valor dos salários nas empresas da cidade, ou o valor do quilo nos restaurantes por quilo perto do escritório. A empresa com nota igual a 50 paga salários na média da cidade, e cada 10 pontos a mais, melhor. O restaurante com nota igual a 50 cobra por quilo a média dos outros restaurantes. Padronizar dados também serve, pensa Gentil, para que a humanidade aprenda a dar valor às planilhas eletrônicas. Já pensou calcular isso tudo à mão?

Lembrete. Nenhum matemático recomenda comparar o valor do desvio de duas amostras com média e desvio padrão diferentes. Então, quem obteve valor do desvio igual a 70 na prova de biologia não teve o mesmo desempenho de quem obteve valor do desvio igual a 70 na prova de história, porque a média e o desvio padrão nas duas disciplinas são diferentes. O valor do desvio é útil para comparar, de um jeito mais natural, os valores contidos dentro de uma mesma amostra — como as notas de história dos alunos que fizeram a mesma prova no mesmo dia. {}



{3}/ Apêndice: O bê-á-bá das porcentagens

Matemáticos usam uma definição simples de porcentagem: é uma proporção, uma taxa, uma razão ou uma fração expressa de modo que o denominador seja igual a 100. Assim, 20% é igual a 20/100, isto é, 1/5 ou 0,2.

Os leigos, incluindo professores de matemática no ensino fundamental 1 e seus alunos, sentem maior dificuldade para compreender a definição, porque não sabem manejar frações direito e não conhecem bem a ideia de proporcionalidade.

A ideia essencial da porcentagem é “comparar com 100”. Talvez o leitor (Gentil) tenha dois números importantes em mãos (23 e 75), e queira compará-los com 100. Primeiro ele deve decidir: qual dos dois números equivaleria a 100? 23 ou 75? Se 23 fosse igual a 100, 75 seria igual a 326,09, ou seja, 75 é 326,09% de 23. Isso é fácil de ver nas frações:

Mas talvez Gentil queira igualar 75 a 100. Se 75 fosse igual a 100, 23 seria igual ao quê? Seria igual a 30,67, ou seja, 23 é 30,67% de 75. Às fórmulas:

Com o tempo e a prática, Gentil descobre que não precisa realizar todas essas etapas: basta dividir 75 por 23, que dá 3,2609, para saber que 75 é 326,09% de 23; basta dividir 23 por 75, que dá 0,3067, para saber que 23 é 30,67% de 75.

Gentil nota ainda que o leigo se atrapalha com essa divisão tão simples, e, pensando no assunto e rabiscando umas contas, descobre dois motivos: o leigo não sabe como traduzir a palavra “de” em matemática; e, além disso, muitas vezes ele não quer saber quanto 75 é de 23 em termos porcentuais, ou quanto 23 é de 75 em termos porcentuais, mas sim quanto 23 deve aumentar, em termos porcentuais, para chegar a 75, ou quanto 75 deve diminuir, em termos porcentuais, para chegar a 23.

A palavra “de”. Ela quase sempre significa “multiplicar”. Quando Gentil fala em “45% de 152”, fala de uma multiplicação:

Quando faz uma pergunta do tipo “Quanto 38 é de 95?”, Gentil também está falando de uma multiplicação, mas, neste caso, a verdadeira pergunta é: “Se 95 fosse 100, 38 seria quanto? Ou seja: devo multiplicar 95 por qual número para chegar a 38?” Gentil obtém a resposta com a álgebra básica:

Basta bater o olho em 0,4 para saber o que significa: 40%, pois 40/100 é igual a 0,4. Então, 38 é 40% de 95, ou seja, basta multiplicar 95 por 40% para chegar a 38.

Aumentos e diminuições porcentuais. Isso já é um pouco mais abstrato, e portanto mais difícil de entender. Gentil tem o número 55 em mão, e quer saber: quanto esse número deveria crescer, em termos porcentuais, para chegar a 139? Ele arranja a álgebra assim:

Então, 55 precisa crescer 152,73% para chegar a 139. (Mas 139 continua sendo 252,73% de 55.) Com o tempo, Gentil aprende que, neste caso (um número menor se transformou num número maior), basta dividir o número maior pelo menor, e mentalmente tirar 1 do resultado — eis a porcentagem de crescimento.

Diminuições porcentuais funcionam da mesma maneira. Gentil tem 143 em mãos, e se pergunta: quanto esse número 143 precisa diminuir, em termos porcentuais, para chegar a 7? E daí Gentil rabisca no caderno a álgebra desse problema:

Com a prática, Gentil percebe que tem um número maior que se transformou num número menor; ele apenas divide o menor pelo maior, tira esse quociente de 1, e interpreta o resultado como uma porcentagem. “143 tem de diminuir 95,105% para chegar a 7.” Apesar dessa operação, contudo, Gentil nota que 7 continua sendo 4,9% de 143. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 21, outubro de 2012, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações são as que valiam por ocasião da publicação.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Evanildo da Silveira.

3. Se quiser uma versão em Excel da tabela de alunos e de notas, clique aqui.

Uma palavra mal escolhida, um aluno mal encaminhado


No ensino fundamental 1, a maioria das professoras não foi bem treinada em matemática, tem medo do ábaco aberto, e usa palavras inadequadas. Resultado: muito aluno nunca chega a compreender por que o algoritmo da adição e o da subtração funcionam.


{1}/ “No máximo cabe nove”

Uma vez, um pai examinou as contas da filha no caderno. Ela estava no ensino fundamental 1, e tinha enchido o caderno de contas assim:

“Como pode uma coisa dessas?” O pai não se conformava. “Essa menina sabia fazer conta de mais antes de entrar na escola!” Ele procurou um amigo mais entendido de matemática, e os dois foram conversar com a menina, que se explicou mais ou menos assim:

“A professora falou que aqui [a menina apontou a coluna das unidades ao dizer ‘aqui’] no máximo cabe nove!”

Ora, pensou a menina, se na coluna das unidades cabe no máximo o numeral 9, e se 7 + 5 é igual a 12, então, para resolver esse problema, basta anotar 9 na coluna das unidades e passar 3 para a coluna ao lado. Daí 3 + 3 + 1 é igual a 7.

“Isso não é lógico?”, pergunta o professor Nílson José Machado para um grupo de professores reunidos na Faculdade de Educação da USP. Eles apareceram para ouvir uma palestra de Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos, a respeito de erros comuns no ensino fundamental 1, mas não erros cometidos por alunos, e sim induzidos pela professora. (Ao falar sobre o ensino de matemática nos anos iniciais, Imenes usa a palavra “professora”, no feminino; ele viaja o Brasil inteiro, e quase todos os professores de matemática no ensino fundamental 1 com os quais se encontra são, na verdade, professoras.) A certa altura da palestra, Imenes disse que a professora não tem noção das consequências provocadas pelas palavras que escolhe ao explicar as coisas, e daí Nílson contou a história do 37 + 15 = 79 à guisa de ilustração.

Imenes diz que a professora típica do ensino fundamental 1 não estudou matemática de modo bem técnico (pois estudou pedagogia na faculdade), receia o ábaco aberto, e sente-se obrigada a ensinar todas as crianças sob sua responsabilidade a fazer adições e subtrações (sem contar multiplicações e divisões, que não eram tema da palestra). Por último, diz Imenes, ela não desenvolveu a ideia de que ensinar matemática não significa ensinar os métodos pelos quais fazemos contas, mas sim ensinar por que tais métodos funcionam. No desespero de cumprir suas obrigações antes que o ano letivo acabe, a professora típica recorre a palavras e expressões para lá de inadequadas, e lança mão de métodos “muito carcomidos”, diz Imenes. “Fica um nevoeiro na frente dela [Imenes estende os braços para frente, e tateia o ar como se andasse às cegas em terreno incerto], que dificulta seu acesso às ideias matemática, e por tabela prejudica seu trabalho com as crianças.”

Argolas coloridas. Logo nos primeiros minutos da palestra, Imenes pede a ajuda de dois voluntários. Na sala cheia de professores de matemática, tão acostumados a chamar alunos à lousa, ninguém se apresenta.

“Ninguém?!”

Então ele mesmo escolhe dois ajudantes, um homem e uma mulher, posiciona os dois de frente para a classe: a mulher à esquerda (do ponto de vista da plateia), o homem à direita. Então conta conta a história de um povo na África que, para contar suas cabeças de gado, usava um ábaco humano. Os dois voluntários deveriam se imaginar na África, à saída de um curral, ambos com os dedos das mãos fechados. Alguém abriu o curral, e os animais começaram a passar um de cada vez na frente dos dois. (Imenes gesticula para mostrar os animais passando na frente dos dois ajudantes.) Cada vez que um animal passava, o homem à direita levantava um dedo. Quando ele levantava o décimo dedo, fechava imediatamente as duas mãos, e sua colega ao lado levantava um dedo. A certa altura daquele teatro, a mulher à esquerda estava com nove dedos levantados, e o homem, com cinco. Imenes parou a recriação e se voltou para a classe:

“Quantos animais passaram pelos dois?”

“95!”

Imenes chama mais uma mulher, posiciona à direita da primeira mulher (mas, do ponto de vista da plateia, a segunda mulher ficou mais à esquerda), e repetiu o teatro sobre o povo africano até que a mulher à esquerda mostrava quatro dedos, a mulher do meio mostrava cinco (uma mão aberta), e o homem à esquerda mostrava cinco (uma mão aberta), e de novo perguntou à classe:

“Quantos animais agora?”

“455!”

“Por que vocês olham para essa mão aberta [mostra a mão da mulher do meio] e dizem ‘cinquenta’, mas olham para essa mão aberta [mostra a mão do homem à direita] e dizem ‘cinco’?”

A classe demora uns três segundos para responder, talvez porque ninguém quisesse dar uma resposta técnica, do tipo “a mão da mulher do meio significa 5 × 101, mas a mão do homem à esquerda significa 5 × 100”, até que a professora Andrea Poligicchio responde:

“Ué, porque a gente combinou assim.”

“Exatamente!”, diz Imenes. “É porque a gente combinou assim!”

Imenes passa a explicar à classe por que costuma realizar a atividade do ábaco humano antes das outras: ela ajuda as professoras a entender que, no sistema de numeração posicional, o valor do algarismo depende da posição que ocupa; mas, principalmente, que o valor da posição é uma convenção social. O brasileiro usa dez algarismos e cada posição é uma potência de dez, mas poderia usar dois algarismos e cada posição ser uma potência de dois, como nos computadores. Imenes diz também que o ábaco humano é boa introdução às atividades com o ábaco aberto.

“Curiosamente”, diz Imenes à classe, “o ábaco é pouco conhecido nas nossas escolas. As professoras usam bastante o material dourado, mas não o ábaco.”

Ábacos surgiram várias vezes na história da humanidade, e em várias versões; é difícil dizer quão velha é a ideia do ábaco. Os professores conversam um pouco sobre isso. Na Roma antiga, dois ábacos comuns eram o de areia e o de pedrinhas. O calculista desenhava um risco na areia, e o lugar do risco dizia se devia ser interpretado como 1, 10, ou 100. Ou o calculista colocava uma pedrinha num dos compartimentos, e conforme o compartimento a pedrinha valia 1, 10, ou 100. (A palavra “ábaco” vem da palavra “areia” nas antigas línguas do oriente médio; a palavra “cálculo” vem de “calculus”, que é “pedra” em latim.) Imenes tira duma sacola um ábaco aberto e um saco de argolas coloridas, e a classe fica estranhamente tensa — quase dá para ler o pensamento de todos: “O que será que ele vai aprontar agora?”

Um ábaco aberto

“Isto aqui é um ábaco aberto”, diz Imenes. “É uma versão industrializada. Em algumas escolas, as professoras instruem as crianças assim: ‘Vamos usar argolas amarelas no pino das unidades, pretas no pino das dezenas, vermelhas no pino das centenas…’ O que vocês acham dessa ideia?”

Um momento depois, duas pessoas falam ao mesmo tempo:

“Essa ideia acaba com a notação posicional!”

“A professora até pode dispensar o ábaco: basta ficar com as pedrinhas coloridas!”

Imenes concorda. Diz que a professora pode usar as cores para ajudar a criança a contar: por exemplo, colocar no mesmo pino cinco argolas verdes, cinco amarelas e duas azuis, para que a criança facilmente conte 5 mais 5 mais 2 e chegue a 12 argolas. Mas ela não deve destruir a grande sacada do sistema posicional.

“O que vale no ábaco é a posição, e não a cor”, diz Imenes. “Não recomendo nenhuma prática que se desvie dessa ideia.”

Imenes de novo olha para a classe, com aquela cara de “um de vocês terá de dar um passo à frente”.

Quarenta e doze. De novo ninguém se habilita, mas desta vez alguém da classe sugere “o Júlio!”, e o pobre Júlio se levanta para ajudar Imenes a fazer alguma conta com o ábaco aberto.

“Júlio, como você usaria o ábaco para somar 37 com 15?”

Júlio pega o saco de argolas e olha para o ábaco, pensativo. Então, com movimentos decididos, põe três argolas no pinto das dezenas e sete argolas no pino das unidades. Logo em seguida, põe mais uma argola no pino das dezenas e mais cinco argolas no pino das unidades, e olha para Imenes com um “Voilà!” estampado no rosto.

Imenes olha bem o ábaco e sorri:

“A primeira coisa com que a professora vai se incomodar é com esse 12 na casa das unidades. Ela conta de uma argola até dez argolas, mas, quando chega no dez, fica confusa. Ela quer trocar imediatamente dez argolas nas unidades por uma argola nas dezenas, como se fosse proibido colocar 12 argolas nas unidades!”

Várias pessoas começam a dar palpite sobre isso, e alguém lembra que essa regra tem até nome: é a “regra do nunca dez”. Com o ábaco humano esse problema não aparece, pois a pessoa que representa as unidades tem só dez dedos.

“Por favor, leiam em voz alta o número que esse ábaco está nos mostrando.”

Alguns dizem “52”, mas vários dizem “40 e 12”.

“412?”, pergunta Imenes.

Desta vez, a classe se decide pelo formato 40 e 12, como se estivesse sob o controle de um único cérebro, pois vários respondem com convicção:

“Não: 40 e 12!”

“Muitas professoras já ouviram crianças falar assim, 40 e 12”, diz Imenes. “Esse é um pensamento natural e muito lógico. Mas elas dizem: ‘Não podemos falar desse jeito. Está errado!’ Bem, eu não acho que está errado; ao contrário, acho que está certo. Não falamos cinquenta e dois? O que significa cinquenta e dois?”

Imenes olha para a classe, esperando uma resposta. Alguém responde:

“Cinquenta mais dois.”

“É isso aí”, diz Imenes. “Do mesmo jeito, eu posso falar 40 e 12, se realmente quero dizer 40 mais 12. Aliás, esse é um bom jeito de dizer a idade. [Imita uma pessoa:] ‘Quantos anos você tem?’ [Imita a outra:] ‘Quarenta e [murmúrio inaudível].’”

“Ora, se é assim”, diz o professor Nílson, “é muito melhor falar ‘Vinte e [murmúrio inaudível]!’”

A classe cai na gargalhada, e Imenes espera um pouco ela se recuperar. Quando todos estão prestando atenção de novo, ele começa uma discussão sobre o 40 e 12. Diz que a professora típica tem enorme dificuldade de aceitar mais que dez argolas em cada um dos pinos. Algumas, aliás, não deixariam o aluno colocar primeiro as argolas das dezenas, como Júlio fez; elas obrigariam a criança a colocar as argolas das unidades, depois a das dezenas, e assim por diante. Alguém até lembra que essa mania não combina com o modo como todo brasileiro escreve números num pedaço de papel: do algarismo mais significativo ao menos significativo. Quem escreve 856, primeiro escreve 8, depois 5, e por último 6. Outra pessoa lembra que impedir a criança de escrever o algarismo mais significativo primeiro é a mesma coisa que negar a propriedade associativa da adição. Imenes se aproxima do ábaco.

“Tenho 12 argolas nas unidades. Vou trocar 10 dessas argolas por 1 argola nas dezenas.” Ele realiza a operação, e o ábaco fica com cinco argolas nas dezenas e duas nas unidades. “Que número é esse?”

“Cinquenta e dois”, a classe responde, com ênfase em “cinquenta” e ênfase igual em “dois”, para marcar bem a semelhança de 50 e 2 com 40 e 12.

“Isso mesmo: 37 mais 15 dá 52. Não podemos ensinar a criança a dizer 40 e 12. O papel do professor é ajudá-la a dar esse passo final, e trocar 40 e 12 por 50 e 2. Mas, para a criança que está entendendo tudo, dizer que 40 e 12 está errado é uma tijolada.”

Imenes faz uma pausa, assim a classe absorve bem a palavra “tijolada”, e mais uma vez pede um voluntário, e mais uma vez ninguém se apresenta, e mais uma vez um ajudante, neste caso a ajudante Marina, recebe a ordem de se voluntariar.

“Marina, faz de conta que você vai contar a história do que o Júlio fez para alguém. Faz de conta que essa pessoa conhece o ábaco, mas não sabe somar com o ábaco, então você vai contar a história para ensiná-la a somar. O que você diria?”

Em resumo, com várias idas e vindas, Marina conta uma história mais ou menos assim: “Você tem de somar 37 com 15. Então, você põe três argolas no pino das dezenas e sete argolas no pino das unidades, mas poderia pôr sete argolas no pino das unidades e depois três argolas no pino das dezenas, tanto faz. Daí, você põe mais uma argola no pino das dezenas e mais cinco argolas no pino das unidades. Então, você fica com quatro argolas no pino das dezenas e doze argolas no pino das unidades, isto é, fica com 40 e 12. Mas 40 e 12 não é padrão. Então, você tira 10 argolas do pino das unidades, e troca por uma argola no pino das dezenas, visto que está trabalhando com o sistema decimal, cuja base é dez. Daí você fica com cinco argolas no pino das dezenas e duas argolas no pino das unidades, e essa é a soma de 37 com 15, isto é, 52.”

Imenes vai à lousa para desenhar o modo como a criança pode realizar essa conta com o algoritmo da adição; enquanto escreve na lousa, vai falando em voz alta o modo correto de pensar e de usar as palavras (na seção 2, o leitor pode ver uma paráfrase da explicação).

“A gente pode pensar nisso tudo [Imenes aponta a conta armada no quadro-negro] como um relato dessa história, semelhante ao relato da Marina, mas mais abstrato; tão abstrato, na verdade, que até quem fala chinês entende.”

A classe passa a discutir expressões comuns em livros didáticos, ainda mais nos antigos, como “adição com reagrupamento”, “adição com reserva”. Imenes dá sua opinião: esse tipo de expressão faz parte do nevoeiro. “O que é isso? Quanto menos palavrório, melhor: bastava dizer adição com troca.”

A diferença igual. De novo Imenes pede um voluntário, e de novo uma moça, Márcia, é voluntariada na marra pela classe, e daí Imenes lhe pede que use o ábaco para tirar 16 de 72.

Márcia põe sete argolas no pino das dezenas e duas no pino das unidades, e imediatamente fica claro que existe aqui uma dificuldade técnica: como tirar seis argolas do pino das unidades, se ele contém só duas?

“Bem”, diz Imenes, “acho que já deu para sentir o drama, não deu? O que temos de fazer?”

Tendo a palavra “troca” tão fresca na memória, várias pessoas sugerem a melhor estratégia possível: tirar uma argola das dezenas e trocá-la por dez argolas nas unidades — o que Márcia faz.

“Me digam: qual é a quantidade que o ábaco está mostrando?”

“60 e 12!”, a classe responde com um tom de admiração.

Feito isso, Márcia tira seis argolas das unidades e uma argola das dezenas, e o ábaco fica com cinco argolas nas dezenas e seis argolas nas unidades. Imenes lhe pede que vá ao quadro-negro e conte a história com o apoio do algoritmo comum da subtração, o que ela faz (veja a seção 2).

“Quem aprendeu assim?”, pergunta Imenes, apontando a conta 72 menos 16 na lousa, resolvida com o algoritmo mais comum. Alguns levantam a mão, outros não, e um deles diz:

“Eu já nem me lembro mais!”

“Notem que a gente escreve 60 e 12 quando vai realizar uma subtração, mas a professora não deixa escrever 60 e 12 na adição. Se ela fica dizendo que 60 e 12 está errado na adição, imaginem a criança que está entendendo tudo, imaginem como ela vai se sentir quando chegar na subtração e ver que, na subtração, pode escrever 60 e 12!”

Depois disso, Imenes se oferece para explicar o outro algoritmo da subtração, que brasileiros jovens e velhos conhecem. (Não é um algoritmo associado à geração; é um algoritmo associado à escola.) Vários professores se interessam; fica claro que, se fossem obrigados a explicar esse outro algoritmo com clareza, teriam dificuldades. Imenes vai à lousa e escreve 75 menos 38:

Então ele fala como uma pessoa falaria consigo mesma para fazer a conta:

“Oito para quinze é sete. Desce um. Quatro para sete é três.”

O quadro-negro fica desenhado assim:

“Foi assim que eu aprendi”, diz Imenes. “Para mostrar a vocês o que fizemos, preciso de um voluntário.”

Um jovem se apresenta, e Imenes diz:

“Vejam que existe uma diferença de altura entre mim e ele. Vamos dizer que essa diferença seja de um centímetro.”

Então, ele puxa duas cadeiras, põe uma ao lado da outra, sobe numa delas e pede ao jovem que suba na outra. Ficam os dois de pé, cada um em cima duma cadeira, de frente para a classe.

“Nossa cabeça está mais alta em relação ao piso, mas o que você acham a respeito da nossa diferença de altura?”

“Continua a mesma!”, uma mulher responde.

“Sim, continua a mesma. Se existe uma diferença entre duas quantidades, e se as duas aumentam ou diminuem o mesmo tanto, a diferença entre essas duas quantidades permanece a mesma. Se uma pessoa é cinco anos mais velha que outra, daqui a vinte anos ela continuará cinco anos mais velha que a outra.”

Os dois descem da cadeira e Imenes vai à lousa explicar o algoritmo.

“Eu acho difícil tirar 38 de 75, porque 8 é maior que 5. Mas, se eu somo 10 a 75 e somo 10 a 38, a diferença entre os dois números, que é 37, permanece a mesma. Mas como eu somo 10 a 75? Eu ponho dez argolas no pino das unidades. E como eu somo 10 a 38? Eu ponho uma argola no pino das dezenas. Isso me permite dizer ‘8 para 15 é 7’ e ‘4 para 7 é 3’. É assim que funciona esse algoritmo.”

Imenes vai à lousa e escreve outra subtração que as crianças acham difícil:

Imenes explica que, com essa ideia de que a diferença entre dois números não se altera se alguém adiciona o mesmo tanto aos dois, ou subtrai o mesmo tanto dos dois, fica fácil resolver a conta até mesmo de cabeça:

“Aqui, basta tirar uma unidade de cada um dos números. Vejam como fica.”

Imenes desenha ao lado a nova subtração.

“Na época em que a preocupação era ensinar o algoritmo, mas não ensinar a lógica do algoritmo, tudo bem ensinar com palavras como ‘vai um’, ‘empresta um’, ‘sobe um’, ‘desce um’, ‘oito para cinco não pode’. Mas hoje queremos que as crianças aprendam. Queremos que elas saibam a lógica dos algoritmos. Queremos que elas compreendam as coisas, e que gostem de matemática. Então, não podemos mais usar esse linguajar obscuro; isso não dá mais. Não podemos mais continuar a dizer ‘não dá para tirar oito de cinco’: se não dá, como é então que a gente tira? Precisamos limpar o palavrório, e precisamos usar o ábaco aberto em sala de aula.”

A classe entra numa discussão do tipo “ensinar matemática é ensinar a argumentar”; os professores concordam com a ideia de que o estudante, para dar sua contribuição à sociedade complexa em que vive, precisa aprender a raciocinar com lógica e a argumentar com base nessa lógica.

Mudança de linguagem. Imenes costuma dizer que escreve seus livros didáticos (em parceria com outros matemáticos, especialmente com Marcelo Lellis) mantendo em vista a pressuposição de que ninguém precisa aprender os algoritmos para realizar contas. Antes que essa explicação gere polêmica, ele explica: à volta da criança, todos os adultos fazem contas com máquinas. Talvez usem uma calculadora científica, talvez usem a calculadora embutida no celular, talvez usem uma planilha eletrônica. Portanto, a única razão para ensinar uma criança a adicionar, subtrair, multiplicar, e dividir por meio de algoritmos não é ensiná-la a adicionar, subtrair, multiplicar, e dividir, mas sim ensiná-la os motivos pelos quais os algoritmos funcionam. Fazendo assim, a criança não só aprende a fazer contas, como consegue explicar o funcionamento do sistema de numeração posicional.

“Se é para aprender os algoritmos como aprendemos quando éramos moleques”, diz Imenes à classe; “se é para imitar procedimentos feito um papagaio, acho melhor fazer as contas com a calculadora. Acho que o foco do trabalho com as contas escritas deve ser a compreensão dos algoritmos, a compreensão de sua lógica.”

Alguém relembra como autores antigos diziam que um algarismo podia ter um valor absoluto e um valor relativo. No número 55, diziam tais autores, o valor absoluto do 5 mais à esquerda é 5, assim como o valor absoluto do cinco mais à direita. O valor relativo do 5 mais à esquerda é 50, mas o valor relativo do 5 mais à direita é 5. Vários balançam a cabeça em sinal de desaprovação, e a professora Marisa Ortegoza da Cunha lembra um dos problemas que essa definição desastrada gerava:

“Lá na frente, quando tentávamos ensinar o valor absoluto [o módulo de um número], os alunos faziam confusão.”

Alguns professores dizem que é melhor usar o ábaco para fazer o estudante perceber que, no sistema posicional decimal, existem dez símbolos (de 0 a 9), mas que o valor de cada um desses símbolos depende da posição que ocupa (com exceção do 0, que sempre vale 0); contudo, é melhor ensinar isso sem recorrer às expressões “valor absoluto” e “valor relativo”. Imenes concorda, começa a falar sobre o assunto, e a certa altura faz o gesto de socar a carteira com a mão direita fechada, mas não chega a tocar a carteira — seu gesto serve apenas de ênfase:

“Se a gente quer ensinar matemática direito, temos de mudar a linguagem!” {}


{2}/ As contas de armar mencionadas na seção acima

Para somar 37 com 15

No ábaco

No algoritmo

A criança coloca três argolas no pino das dezenas e sete argolas no pino das unidades, ou então sete argolas no pino das unidades e três argolas no pino das dezenas. A ordem não importa, visto que a adição é associativa e comutativa, isto é, 30 mais 7 é o mesmo que 7 mais 30.

Ela escreve 37 numa linha do caderno.

Coloca uma argola no pino das dezenas e cinco argolas no pino das unidades, ou cinco argolas no pino das unidades e uma argola no pino das dezenas.

Escreve 15 logo abaixo de 37 (escreve o algarismo 5 debaixo do algarismo 7 e o algarismo 1 debaixo do algarismo 3), e escreve o símbolo “+” em algum lugar próximo, só para lembrar qual operação aritmética deve realizar.

Ela pode usar as cores para distinguir as parcelas (desde que varie sempre as cores, para não associar uma potência de 10 a nenhuma cor). Por exemplo, pode usar azul para 37 e violeta para 15.

Ela pode colocar cada algarismo numa espécie de tabela, marcando a linha à direita com “U”, de unidades, e a linha à esquerda com “D”, de dezenas.

Ela fica com 12 argolas no pino das unidades e quatro argolas no pino das dezenas.

No começo, ela pode realizar a soma e marcar 12 na coluna das unidades e 4 na coluna das dezenas, desde que saiba o que está fazendo.

Ela tira dez argolas das unidades, que troca por uma argola nas dezenas.

Ela deixa o algarismo 2 nas unidades, e põe um algarismo 1 na coluna das dezenas.

Ela fica com cinco argolas no pino das dezenas (três da primeira parcela, uma da segunda e uma que foi trocada por dez unidades) e duas argolas no pino das unidades.

Para concluir a conta, ela soma os algarismos na coluna das dezenas: 3 + 1 + 1. Se estiver usando uma versão mais simples do algoritmo, troca 12 unidades por 2 unidades e 1 dezena, e daí soma 4 com 1 para chegar a 52.

Para subtrair 16 de 72

No ábaco

No algoritmo

A criança coloca sete argolas no pino das dezenas e duas argolas no pino das unidades.

Ela escreve 72 numa linha do caderno.

Para tirar seis unidades do pino das unidades, a criança tira uma argola do pino das dezenas e a troca por dez argolas no pino das unidades. Ela fica com seis argolas no pino das dezenas e 12 argolas no pino das unidades.

Ela escreve 16 bem debaixo de 72, de modo a alinhar unidades com unidades e dezenas com dezenas, e anota o símbolo “–” em algum lugar por perto.

Agora ela realiza a subtração: tira seis argolas do pino das unidades e uma argola do pino das dezenas, e fica com cinco argolas no pino das dezenas e seis argolas no pino das unidades.

Ela risca o algarismo 7 e o troca por 6, e daí escreve o algarismo 1 bem à esquerda do algarismo 2, para marcar o fato de que trocou 1 dezena por 10 unidades. Então ela realiza a subtração: tira 6 unidades de 12 unidades, que dá 6 unidades, e por isso escreve 6 na coluna das unidades; e tira 1 dezena de 6 dezenas, que dá 5 dezenas, e por isso escreve 5 na coluna das dezenas.

Como alternativa, ela pode dizer a si mesma: “Em vez de tirar 16 de 72, vou tirar 26 de 82.” Então ela coloca 10 argolas no pino das unidades, e fica com 7 argolas no pino das dezenas e 12 argolas no pino das unidades. Daí ela tira 6 argolas do pino das unidades e 2 argolas do pino das dezenas, e fica com 5 argolas nas dezenas e 6 argolas nas unidades.

Ela diz a si mesma: “Em vez de tirar 16 de 72, vou tirar 26 de 82.” Para marcar o fato de que acrescentou 10 unidades ao minuendo, ela escreve o algarismo 1 à esquerda do algarismo 2, ficando com 12 unidades, e daí tira 6 unidades de 12 unidades, e por isso escreve 6 na coluna das unidades. Para marcar o fato de que acrescentou 1 dezena ao subtraendo, ela troca o algarismo 1 na coluna das dezenas pelo algarismo 2, e daí tira 2 dezenas de 7 dezenas, e por isso escreve o algarismo 5 na coluna das dezenas.

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 22, novembro de 2012, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. As ilustrações de ábaco aberto são do artista gráfico Henrique Arruda.

3. Alguns professores dizem que a operação se chama “adição”, e que o resultado da operação se chama “soma”. Para eles, seria errado dizer “vamos somar 3 com 5”; o certo seria dizer “vamos adicionar 3 a 5”, ou algo nessa linha. Quanto a mim, não vejo nenhum problema em usar “soma” no lugar de “adição”, “somar” no lugar de “adicionar”, etc., e portanto neste blogue só dou atenção ao uso dessas palavras quando detecto uma ambiguidade.

A probabilidade do tempo

Especialistas em teoria da relatividade e mecânica quântica dizem que, conforme o universo envelhece, o antes, o agora e o depois tendem a se confundir.

O tempo é o conceito mais fascinante e misterioso da física.

Élcio Abdalla, professor do departamento de física matemática do Instituto de Física da USP


{1}/ O tempo fora das equações

Todo mundo sabe o que é o tempo. Sabe mesmo? Se o tempo fosse tão óbvio quanto o ar, será que o homem precisaria de relógio no pulso, relógio no celular, relógio na parede, relógio no computador, relógio na rua, relógio no carro e, discando 130, relógio declamado pela moça da telefônica? Quando o sujeito está na praia, deitado numa espreguiçadeira, olhando a vida passar, até parece que o tempo passa mais devagar; quando está pilotando um carro de fórmula 1, e o S do Senna se aproxima, o tempo mal dá para pensar na marcha, no breque, no ângulo. Como seria a vida se o tempo não existisse?

Físicos e matemáticos especializados em física teórica têm a resposta, e faz anos: a vida seria exatamente como é, pois o tempo, tal como o homem costuma pensar nele, já não existe. Nunca existiu.

Na década de 1920, Erwin Schrödinger e Werner Carl Heisenberg puseram no papel os princípios da mecânica quântica, ou seja, a física necessária para compreender o que acontece com partículas atômicas e subatômicas. Eles até incluíram o tempo nas equações, mas, no processo de simplificação, o tempo sumiu. O curso natural do tempo, dividido entre antes, agora, e depois, dividido entre causas (antes) e efeitos (depois), não se mostrou relevante no modelo matemático das coisas atômicas. Mais tarde, ao longo do século 20, vários cientistas usaram tanto a mecânica quântica quanto a teoria da relatividade para explicar o universo. Afinal, se tudo é feito de átomos, talvez a mecânica quântica complementasse bem a teoria da relatividade. “Se você tenta escrever uma descrição de todo o universo com base na mecânica quântica”, escreveu o físico teórico Paul Davies, professor da Universidade Estadual do Arizona (EUA), “os parâmetros relativos ao tempo simplesmente caem fora das equações.”

Nenhum cientista, contudo, acha que o assunto está esgotado. “Na minha opinião”, diz Élcio Abdalla, professor do departamento de física matemática do Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP), “todo mundo que fala sobre esse assunto tem isso: uma opinião.” Élcio pesquisou partículas subatômicas toda a vida, e, nos últimos anos, dedicou mais tempo às pesquisas sobre o tempo. “O tempo é o conceito mais fascinante e misterioso da física.”

Tempo de vilarejo. A julgar por documentos históricos antigos, o homem sempre encarou o tempo como um fato natural da vida — o Sol se põe e se levanta, o inverno termina e então começa a primavera, os bebês nascem, viram homens feitos, e morrem. Para sobreviver, os antigos tinham de encarar o tempo como algo contínuo, que sempre existiu e sempre existiria: se não fosse assim, não haveria por que guardar alimentos para o próximo inverno.

Mas o tempo da vida prática não se refletiu bem no tempo das histórias religiosas. Élcio diz que, na mitologia grega, o tempo assume formatos parecidos com os da física teórica: os deuses Caos e Noite geraram Érebo (escuridão) e Éter (luz). A deusa Hemera (dia) e o deus Eros (amor íntimo) tiveram Gaia (Terra), que, por sua vez, deu à luz Urano (céu). Cronos, filho de Gaia e Urano, é a personificação do tempo — o que os gregos queriam dizer sobre o tempo ao transformá-lo no filho de um homem que se deitou com a própria mãe? Maldito seja esse tempo que só avança? Os gregos, diz Élcio, também tinham a ideia de que tudo começou a partir de um ponto inicial. “Eles achavam que não fazia sentido falar sobre o antes desse ponto.”

Mais tarde, Pitágoras deixou textos explicando como medir o tempo com uma vareta fixada no solo — o gnômon, que o homem moderno chama de relógio de sol. Só de olhar para o modo como o gnômon projetava a sombra no solo, os antigos sabiam tanto a hora quanto a época do ano, isto é, se o inverno estava longe ou às portas. “O gnômon de Pitágoras permitiu as primeiras medidas sistemáticas do tempo”, diz Élcio, “e permitiu o ano de 360 dias, herdado dos babilônios, que depois os egípcios corrigiriam para 365 dias.” A partir do gnômon, os astrônomos da antiguidade fizeram calendários bem precisos.

Tais calendários foram corrigidos em 1582 por Nicolau Copérnico, e mais tarde foram usados por Johannes Kepler, por Galileu Galilei. e por Isaac Newton para descrever o movimento de estrelas e planetas. Dos três, Newton foi o que melhor descreveu a mecânica celeste — para pôr no papel uma boa descrição matemática de como os planetas giram em órbita elíptica em torno do Sol, Newton criou uma parte importante do cálculo diferencial e integral. Mas ele considerou o tempo como algo constante, absoluto, presente da mesma forma em todo lugar. “Por sua própria natureza”, escreveu Newton, “o tempo flui uniformemente sem relação com nenhum fator externo.” Mesmo que todos os relógios parassem de funcionar, e mesmo que a Terra sumisse da Via Láctea, mesmo assim o tempo continuaria a existir e a fluir do ontem para o hoje para o amanhã.

Élcio diz que esse tipo de visão do tempo é natural para quem vive numa cidadezinha pacata e é muito religioso (como Newton era). A lista de afazeres era pequena, ao menos para gente da estirpe de Newton. Além disso, a vida era eterna: vinha de Deus e voltava para Deus. Newton levou anos para publicar suas descobertas, em parte porque detestava críticas, em parte porque não tinha pressa mesmo.

Pesadelo matemático. Em 1905, Albert Einstein publicou a teoria da relatividade restrita, que já continha a ideia essencial da teoria da relatividade geral (1915): o tempo é relativo. O relógio de uma pessoa tiquetaqueia numa velocidade, mas o das outras pessoas tiquetaqueia numa velocidade distinta. “O tempo é pessoal”, diz Paul Davies. E Einstein não disse isso como um místico, sem evidências; ele disse isso depois de mostrar uma série de equações importantes, sendo a peça mais importante dessas equações o velho teorema de Pitágoras. “O impacto da descoberta sobre Einstein foi tão grande”, diz Élcio, “que ele achou, no início, que seus cálculos estavam errados.”

Einstein escreveu algo mais ou menos assim: imagine uma mulher dentro de um vagão de trem. O trem está em movimento, e passa velozmente por uma estação, onde, na plataforma, parado de pé, um homem olha o trem a passar (da direita para a esquerda). No exato instante em que passa pelo homem, a mulher acende uma lanterna com o facho de luz para cima. Para a mulher e para todas as pessoas dentro do vagão, o facho de luz viaja direto e reto para o teto do vagão. Para o homem e para todas as pessoas com ele na plataforma, o facho de luz viaja na diagonal para o teto do vagão. O homem vê o deslocamento da luz somado ao deslocamento do trem.

Para a mulher dentro do trem em movimento, a luz da lanterna viaja direto e reto para cima (esquerda); para o homem na plataforma da estação, a luz percorre a hipotenusa de um triângulo retângulo (direita).

Einstein podia ter pensado: é ilusão de ótica. Mas ele era um sujeito prático, que, até prova em contrário, acreditava nos próprios olhos. Então teve uma ideia diferente: para a mulher, a luz percorre um trajeto mais curto; para o homem na plataforma, a luz percorre um trajeto mais longo. Não há nenhuma ilusão de ótica envolvida. No entanto, dizia Einstein, a velocidade relativa da luz deve ser a mesma para todos os observadores. (De onde saiu isso? Suas equações não funcionariam se não fosse assim…) Velocidade é a distância pelo tempo, como todo estudante aprende na escola; ou seja: é a distância percorrida, dividido pelo tempo para percorrer tal distância. Chame a velocidade da luz de vc, a distância de s e o tempo de t:

Einstein (e tantos depois dele) examinou bem a fórmula acima. Se a velocidade da luz é constante (cerca de 300.000 quilômetros por segundo) para o homem e para a mulher; se para a mulher a luz percorreu uma distância menor; e se para o homem a luz percorreu uma distância maior (equivalente à hipotenusa de um triângulo retângulo), o que tem de acontecer para que a velocidade relativa da luz permaneça a mesma para ambos? O tempo tem de passar mais devagar para a mulher e mais depressa para o homem!

Caso a mulher use seu relógio para fazer as contas, e caso o homem também use seu relógio para fazer as contas, ambos vão chegar ao mesmo resultado: a luz viaja a 300.000 quilômetros por segundo. Só que o relógio da mulher tiquetaqueia mais devagar e o do homem, mais depressa.

Mais tarde, em 1915, Einstein aperfeiçoou a teoria: espaço e tempo estão entrelaçados, como o tecido de uma cama elástica. Um planeta como a Terra entorta o espaço à sua volta como uma bola de boliche entorta o tecido da cama elástica, mas, visto que a velocidade relativa da luz é a mesma para todos os observadores, a Terra entorta o tempo à sua volta também. Quanto maior a massa do corpo celeste, mais ele curva o espaço — e mais ele dilata o tempo, ou seja, mais devagar o tempo passa. Essa relação é tão inevitável que, em seus textos, Einstein se referia ao espaço e ao tempo como espaço-tempo, e escreveu: “Os dois têm a mesma natureza geométrica.”

Fonte: NASA

Um grande corpo celeste, como a Terra, entorta o espaço-tempo à sua volta; visto que a velocidade relativa da luz é sempre a mesma para todos os observadores, então os relógios tiquetaqueiam mais devagar quanto mais curvado o espaço-tempo. (Atenção: não use a imagem acima para tirar conclusões; a probabilidade de que suas conclusões não passem de bobagem é grande. O único jeito de tirar conclusões corretas com base na teoria da relatividade geral é conhecer toda a teoria, inclusive toda a matemática com que a teoria foi feita.)

Ao longo do século 20, cientistas e engenheiros viram como Einstein tinha razão em muitas ocasiões. Hoje, com os relógios atômicos, eles conseguem medir a dilatação do tempo num prédio comum: um relógio atômico no primeiro andar de um prédio tiquetaqueia uns bilionésimos de segundo mais devagar que um relógio atômico no último andar do mesmo prédio. (Quando mais perto do centro da Terra, maior a curvatura do espaço-tempo e, portanto, mais devagar o tempo passa.) Engenheiros e técnicos responsáveis pelo serviço de posicionamento global (GPS) precisam fazer constantes correções de tempo: os satélites estão a 20.000 quilômetros de altura, e viajam a 515 metros por segundo. Estando mais longe do centro da Terra, o tempo passa mais depressa para eles. Viajando mais velozmente, o tempo passa mais devagar. O saldo é: uma diferença de 1 milissegundo nos satélites do GPS significa uma diferença de 300 metros na superfície da Terra. “A dilatação do tempo tem um efeito real”, diz Élcio; “ela não é somente algum tipo de pesadelo matemático.”

Em tese, os efeitos da massa sobre o espaço-tempo podem chegar a extremos, como Stephen Hawking demonstrou: na superfície de uma estrela de nêutrons, o tempo flui 70% mais devagar do que na superfície da Terra. Se um sujeito pudesse sobreviver 30 anos na superfície de um buraco negro (o que é impossível), que entorta o espaço-tempo à sua volta de modo radical, quando ele voltasse à Terra seus amigos já teriam morrido há milhões de anos. Na Terra, quem usasse um telescópio para espiar os movimentos desse sujeito teria a impressão de que ele é eterno — sempre lá, sempre na mesma posição, sempre jovem. “Para medir os efeitos mais extremos descritos na teoria da relatividade”, diz Élcio, “precisamos esperar que a exploração espacial avance mais.”

Do vivo para o morto. Se cada pessoa tem seu tempo particular, fruto do lugar em que está e da velocidade com que se move, dá para falar de presente, passado, e futuro? Einstein chegou a dizer que, para os físicos, “A separação entre passado, presente, e futuro é apenas uma ilusão, mesmo que uma ilusão crível.” Apesar disso, diz Élcio, cientistas e matemáticos continuam a trabalhar com a ideia de presente, passado, e futuro. Sem essa ideia, é difícil calcular a velocidade de um objeto, por exemplo. “Experiências comuns, como lançar uma bola, exigem que você trabalhe com um tempo cronológico.”

Mas, em todas as equações da física, inclusive nas equações da teoria da relatividade e, mais recentemente, nas equações da gravitação quântica, não existe nenhuma restrição à passagem do tempo numa direção ou noutra. Matematicamente falando, pelo menos, o tempo tanto pode avançar quanto retroceder, assim como alguém pode aplicar uma força para mover um objeto à direita ou à esquerda. No dia a dia, contudo, o homem percebe “a flecha do tempo” fluindo numa única direção: basta reencontrar um amigo que não vê há anos. O amigo estará mais velho, e não mais jovem. Basta olhar para duas fotos dos mesmos ovos: numa foto, os ovos estão inteiros; noutra, um dos ovos está quebrado. Qual das fotos foi tirada primeiro? E qual delas depois? Todos sabem a resposta.

Qual dessas fotos foi tirada primeiro? Físicos teóricos respondem assim: é muitíssimo grande a probabilidade de que a foto dos ovos inteiros tenha sido tirada primeiro. Para eles o tempo é, de certo modo, uma ilusão estatística.

Mas os físicos modernos não têm mais tanta certeza. Quando falam do tempo, eles tendem a mencionar a segunda lei da termodinâmica, mas da forma como ela foi reescrita por Ludwig Boltzmann em 1878: “A entropia de um sistema isolado tende sempre a aumentar.” Traduzindo: um sistema isolado tende a se desorganizar. (Entropia = desorganização.) A palavra-chave é tende. Boltzmann disse que o calor tende a fluir do quente para o frio, e um ovo lançado ao chão tende a se quebrar para sempre. Ele estava falando de probabilidades. Segundo seus cálculos, o calor poderia fluir do frio para o quente, assim como um ovo lançado ao chão poderia se quebrar, e os cacos e toda a meleca poderiam quicar no chão de maneira tão especial que o ovo voltaria a ficar intacto. As equações matemáticas permitem tudo isso — só que tudo isso é muitíssimo improvável.

Esse ponto é importante: a segunda lei da termodinâmica, a lei da entropia, diz ao tempo em que direção ele deve caminhar: do organizado para o desorganizado. Da energia concentrada para a energia dispersada. Do começo do universo para o fim do universo. Do vivo, com tudo no lugar, para o morto, com tudo em decomposição.

Imagine um sujeito tirando um baralho novinho da caixinha. São 52 cartas. Você tira uma foto, e ela mostra o sujeito revelando à câmera as cartas do baralho, e dá para ver direitinho quatro ases juntos. Você tira uma segunda foto, e ela mostra o sujeito embaralhando as cartas com vigor. Você tira uma terceira foto, e ela mostra o sujeito revelando à câmera as cartas em desordem. Você mostra essas fotos a um amigo, e pergunta: “Em que ordem eu tirei essas fotos?” Ele vai organizar as fotos na ordem em que foram tiradas: da primeira para a terceira. Contudo, existe uma possibilidade em 52! (ou 1/[8 1067]) de que, depois de embaralhar e embaralhar um maço de cartas novinho em folha, o sujeito termine com um baralho arrumadinho, como se tivesse saído da caixa. Seu amigo, olhando as três fotos (arrumado, embaralhando, arrumado), não saberia dizer em que ordem foram tiradas. Não houve entropia, e a flecha do tempo perde o sentido.

Em 2011, três cientistas ganharam o Prêmio Nobel de Física justamente porque provaram que o universo se expande a grande velocidade. Isso diz muito sobre a história do universo, e também diz muito sobre o tempo. Saul Perlmutter, Brian Schmidt, e Adam Riess, os três cientistas, também fizeram outra afirmação importante: o universo e o tempo começaram com o big bang, mas, visto que o universo se expande (tende a se desorganizar cada vez mais), não há sinais de que um dia o universo vai se contrair e o tempo, recomeçar. Parece que a seta do tempo tende a ir de um começo para um fim, e se for assim, como tudo estará desorganizado em todo lugar, como será impossível distinguir as fotos do antes e do depois. Se for assim, será o fim do tempo. {}

Teoria da relatividade. Se a velocidade aumenta, o tempo corre mais devagar. Se o espaço-tempo se dilata (ou seja, se a gravidade aumenta), o tempo corre mais devagar. A questão é que a velocidade relativa da luz, isto é, a velocidade da luz relativa a cada observador, tem de ser a mesma. (É desse fato que vem o nome da teoria.) O tempo corre mais depressa para o sujeito deitado numa espreguiçadeira na praia, e mais devagar para o piloto de fórmula 1.



{2}/ Apêndice: Como Parmênides usou a noção de tempo para refutar toda mudança

Pouca coisa sobrou da obra do filósofo grego Parmênides, que viveu no século 5 a.C. na colônia grega de Eleia (que hoje fica na Itália). Mas sobraram fragmentos em número suficiente para que você possa refutar a existência de todo tipo de mudança.

O argumento é por redução ao absurdo, e começa com uma proposição incontestável. (Nas linhas a seguir, “P1” significa “premissa 1” e “C1”, “conclusão 1”.)

P1. As mudanças são reais. (Premissa para reductio.)

Para acreditar nisso, basta olhar para um relógio de pulso e observar o movimento do ponteiro dos segundos; ou basta olhar para as árvores, cujos galhos e folhas balançam ao vento.

P2. Se as mudanças são reais, então elas implicam ou (a) um objeto que passa a existir ou passa a ter alguma propriedade ou (b) um objeto que deixa de existir ou deixa de ter alguma propriedade.

Parmênides usou linguagem mais poética (e mais confusa) para escrever essa segunda premissa. Ele disse que, para acreditar numa mudança, você precisa acreditar em algo que é e não é, em algo que tem e não tem — e isso é uma contradição. Toda mudança envolve algum tipo de criação ou de destruição: a criação ou a destruição de um ente ou ser (pense, por exemplo, em escrever uma carta e depois queimá-la numa das bocas do fogão), ou então a criação ou destruição de uma propriedade de um ente ou ser (pense em escrever uma equação na lousa, para logo depois apagá-la). Assim, usando o exemplo da lousa, se você acredita em mudanças, então acredita numa lousa na qual há uma equação escrita a giz e na mesma lousa na qual não há nenhuma equação escrita a giz. Como isso é possível?

Nesse ponto, talvez queira protestar: “Ora, mas aí não há nenhuma contradição. A equação estava escrita na lousa no tempo t0, mas não estava escrita no tempo t1, cinco minutos depois de t0.” Parmênides antecipou esse protesto.

P3. Se é o caso de P2, então existem três tempos distintos: passado, presente, e futuro.

C1. Existem três tempos distintos: passado, presente, e futuro. (Silogismo hipotético com P1, P2, P3.)

Para acreditar nas mudanças seriamente, disse Parmênides, você tem de acreditar seriamente em passado, presente, e futuro. Mas existe uma diferença fundamental entre os três: o presente existe de modo muito concreto, e de modo inegável. Basta olhar à sua volta: a concretude de um tronco de árvore banhado pela luz do Sol é de emocionar. Na linguagem de Parmênides: “Tudo aquilo que é, é agora inteiro, único, contínuo.” E quanto ao passado? E quanto ao futuro?

O passado não existe dessa maneira concreta: ele existe apenas na memória, e sempre de um jeito menos vívido que o presente. Quanto mais antiga a lembrança, menos vívida; e se uma lembrança antiga é muito vívida, provavelmente você deve desconfiar dela, como todos os psicólogos e investigadores de polícia sabem. Memórias muito vívidas são as que têm grande carga emocional, e todos devemos desconfiar de memórias associadas a emoções intensas. Quanto ao futuro, ele existe de maneira menos concreta ainda: é uma criação do intelecto, um desejo que gente acordada transforma num tipo de sonho. Pense assim: se sua memória lhe permitisse guardar apenas 1 segundo de informações, na prática o passado não existiria para você; e se você não tivesse a capacidade de usar seu cérebro para simular o futuro, na prática o futuro não existiria para você.

Parmênides não confiava na memória, nem em planos para o futuro. Para ele, você deve confiar apenas nas sensações imediatas de seus cinco sentidos, e mesmo assim deve confiar, desconfiando.

P4. Não existem três tempos distintos — existe tão somente o presente.

C2. Existem três tempos distintos e não existem três tempos distintos. (Conjunção de C1, P4.)

C3. As mudanças não são reais. (Reductio, P1 a C2.)

O argumento completo, sem interrupções, fica assim:

P1. As mudanças são reais. (Premissa para reductio.)

P2. Se as mudanças são reais, então elas implicam ou (a) um objeto que passa a existir ou passa a ter alguma propriedade ou (b) um objeto que deixa de existir ou deixa de ter alguma propriedade.

P3. Se é o caso de P2, então existem três tempos distintos: passado, presente, e futuro.

C1. Existem três tempos distintos: passado, presente, e futuro. (Silogismo hipotético com P1, P2, P3.)

P4. Não existem três tempos distintos — existe tão somente o presente.

C2. Existem três tempos distintos e não existem três tempos distintos. (Conjunção de C1, P4.)

C3. As mudanças não são reais. (Reductio, P1 a C2.)

Note que, com o argumento acima, Parmênides negou tanto a realidade do tempo (por meio da premissa P4, não justificada no próprio argumento) quanto a realidade das mudanças (por meio do argumento em si). Ele sabia perfeitamente, contudo, que nossos sentidos são marcados pela sensação de que tudo à nossa volta muda e pela impressão de que o tempo passa — e dizia que essas duas impressões não passam de ilusão. Se for assim, como agir? O que fazer? Eis a solução de Parmênides: tanto quanto possível, dedique-se àquelas coisas que são tão eternas quanto o instante atual, isto é, dedique-se a coisas como a matemática, a lógica, e a filosofia. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 11, dezembro de 2011, pág. 40. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita; o texto da seção 2 é inédito.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Claudia Tozetto. A ilustração da mulher no trem é do artista gráfico Milton Rodrigues Alves, dono da Casa Paulistana de Comunicação & Design.

3. Os filósofos atuais, incluindo filósofos versados na teoria da relatividade geral, ainda discutem energicamente o status ontológico do tempo, isto é, o que o tempo de fato é — se é que é alguma coisa. É possível dizer, sem medo de errar muito, que hoje a maioria dos filósofos aceita a realidade das mudanças e discute a realidade do tempo. Quanto a mim, ainda acho o argumento de Parmênides muito bom: nunca li nada que me fizesse dizer, “Puxa, desta vez Parmênides foi refutado para além de qualquer dúvida.”

Na boca do povo, os termos técnicos da matemática

Muita gente usa termos técnicos de forma imprecisa, e não há problema nisso: a língua cotidiana é assim mesmo, feita de termos emprestados das várias ciências. O problema é quando, sem que o falante perceba, um significado popular altera o sentido de um significado técnico.

Se uma pessoa tem 200% de certeza sobre algo, bem, o leitor pode ter a certeza de que essa pessoa é 100% exagerada.


{1}/ O turbilhão da linguagem corrente

Será que a Tessália ficou com o Iran? Há 50 anos, talvez menos, qualquer brasileiro interpretaria essa frase assim: Iran é um bebê, e Tessália pensava em adotá-lo. Iran é um cachorro, e Tessália pensava em comprá-lo. Iran é um cavalo, e Tessália pensava em montá-lo. Tessália e Iran são amigos, entraram na mesma faculdade, e todos se perguntavam se os dois caíram na mesma classe. “Na minha época”, diz Cláudio Possani, professor de matemática na Universidade de São Paulo, “as pessoas não ficavam.” Elas se beijavam, se acariciavam, mas não ficavam. “O verbo ficar não tinha esse significado que tem hoje. Na linguagem científica, essa evolução não existe. As palavras watts e volts não mudam de significado a cada dez anos, e se mudassem, eu não conseguiria ligar meu barbeador elétrico na tomada da parede.” Cláudio diz que as mudanças no português e na matemática são uma evidência de que a linguagem corrente e a linguagem matemática são duas coisas distintas.

No entanto, muitos termos técnicos da matemática vão parar na linguagem corrente e, uma vez que façam parte do turbilhão que é a língua portuguesa, às vezes preservam traços do significado técnico, mas muitas vezes descambam em significados que, à luz da matemática, ficam engraçados. “As pessoas empregam termos como energia positiva e energia negativa quando querem agregar um quê científico a um discurso emocional.”

Embora alguns erros comuns fiquem grosseiros quando examinados com matemática, todos os professores ouvidos nesta reportagem disseram a mesma coisa: eles jamais corrigem o interlocutor. Eles só abrem duas exceções à regra: quando o interlocutor é um amigo ou quando é um aluno. O caso do aluno é especial, pois às vezes os significados do português cotidiano alteram, na mente do aluno, o significado de alguma afirmação matemática precisa, e se o aluno não tiver consciência da alteração, pode errar à toa uma questão de prova.

Acima e abaixo da média. Duas amigas conversam, e uma diz à outra que seu namorado atual beija acima da média. As duas amigas vão entender a mensagem: o atual namorado de uma delas beija melhor que os anteriores, mas não é isso que acima ou abaixo da média significa, explica Janice Valia de los Santos, professora de matemática na Universidade Cruzeiro do Sul. Para que algo esteja acima da média para duas pessoas, a média tem de ser a mesma para as duas, e esse não é o caso de beijos. “O que pode ser um tremendo beijo para mim”, diz Janice, “para você pode ser uma chatice.” Além disso, a qualidade de um beijo, ou a qualidade de uma sensação, não pode ser quantificada: é um dado categórico, e não numérico. (É verdade que uma pessoa pode atribuir nota de 0 a 10 a um dado categórico, e a partir daí tratá-lo como se fosse numérico, mas o truque não transforma dados categóricos em numéricos.) “Estar muito triste ou muito alegre é muito diferente para cada um.”

Muito grande e infinito. Cláudio Possani sempre repara quando alguém diz que um atleta é infinitamente melhor que outro, ou que um celular é infinitamente melhor que outro. “Grande é uma coisa”, diz Cláudio; “infinito é outra completamente diferente.” Ele recomenda a palavra incomensurável. Duas coisas são incomensuráveis quando não há como achar uma escala capaz de medir as duas, talvez porque uma delas esteja noutra categoria — a categoria das coisas muito melhores. Além disso, se o falante quer se colocar num patamar superior, deve mesmo usar a frase “meu celular é incomensuravelmente melhor que o seu”. Provavelmente, seu interlocutor terá de passar o vexame de perguntar o que é incomensurável…

Alta relação custo-benefício. A relação custo-benefício significa o custo dividido pelo benefício. Quanto maior o custo, ou quanto menor o benefício, mais alta a relação — isto é, pior para quem compra, melhor para quem vende. Quanto menor o custo, e quanto maior o benefício, mais baixa a relação — isto é, melhor para quem compra, pior para quem vende. Se o vendedor se aproxima do cliente e diz: “Estas pedras preciosas são legítimas, com alta relação custo-benefício”, ele não poderá ser acusado de que vendeu algo meio inútil por muito dinheiro… (Há quem defina a relação custo-benefício como sendo a diferença entre os benefícios, vistos como positivos, e os custos, vistos como negativos. Daí a análise acima se inverte: um produto com alta relação custo-benefício é bom para quem compra, ruim para quem vende.)

“Especialista veem soma de fatores na tragédia do Rio.” É uma frase comum no noticiário, diz Glenn Albert Jacques van Amson, supervisor de matemática do Sistema Anglo de Ensino. Não há nada errado com a frase, pois fator significa “aquilo que contribui para um resultado”. O problema é quando o estudante se deixa levar pelo português cotidiano e se esquece de que, numa adição, ele adiciona parcelas para chegar à soma, que é o resultado da adição. Os fatores entram apenas na multiplicação: o estudante multiplica fatores para chegar ao produto. Se alguém pede ao estudante que identifique os fatores na expressão (5 + x)(y – 2), os fatores são 5 + x, de um lado, e y – 2, de outro.

50% de chance de chover no sábado e 50% de chance de chover no domingo. Muita gente pensa assim: então, há 100% de chance de chover no fim de semana. Janice (Cruzeiro do Sul) ouviu um apresentador de telejornal dizer algo nessa linha. “Esse é um erro grave porque a pessoa está somando percentuais de eventos independentes. Pode não chover em nenhum dos dias, como pode chover o dia inteiro nos dois dias, entre outras possibilidades.”

“Minha vida deu uma guinada de 360 graus.” Foi o que disse a apresentadora Adriane Galisteu em 1998, quando anunciou o noivado com o publicitário Roberto Justus. É certo que ela vivia um momento importante de sua história, e é bem provável que se sentisse feliz, mas disse o oposto do que pretendia dizer. “Quando você dá uma guinada de 360 graus, você volta ao mesmo lugar”, diz Nílson José Machado, professor na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo. “Ela quis dizer que deu uma guinada de 180 graus, e que foi para o sentido oposto ao que ia.” Os falantes cometem esse erro porque 360 é maior que 180, e, associado a uma mudança, 360 soa mais radical.

O x da questão. Edna Maura Zuffi, professora no Instituto de Ciência Matemáticas e de Computação da USP em São Carlos (SP), diz que o x da questão deveria ser uma variável ou uma incógnita. O estudante deve pensar no x da questão como algo que, conforme muda, muda o valor de uma função qualquer (se x for uma variável); ou como algo que ele deve descobrir para resolver uma equação ou achar o valor numérico de uma expressão qualquer. “No senso comum”, diz Edna, “o x da questão virou o ponto crucial da questão.”

O escritor Carlos Drummond de Andrade (1902-1987) acertou ao se referir a um ponto x no conto A Salvação da Alma, incluído no livro Contos de Aprendiz (Companhia das Letras, 2012): “Briga de irmãos… Nós éramos cinco e brigávamos muito, recordou Augusto, olhos perdidos num ponto x, quase sorrindo. Isto não quer dizer que nos detestássemos. Pelo contrário. A gente gostava bastante uns dos outros e não podia viver na separação.”

Círculo e redondo. Só quem tem treinamento em matemática distingue círculo, circunferência, e esfera; em geral, o leigo recorre às palavras círculo, redondo, e bola; às vezes permuta essas palavras como se significassem a mesma coisa. Edna explica: a circunferência é só o contorno ou o perímetro do círculo (que é uma figura bidimensional), e o círculo é a circunferência mais a região interna. A esfera é um objeto tridimensional, como uma bola, mas a palavra ‘esfera’ indica apenas a superfície. Numa bola de futebol comum, diz Edna, a superfície é feita de couro e a região interna é feita de ar sob pressão. [O sentido dessas palavras está mudando: hoje em dia, círculo é o contorno, o perímetro, isto é, o lugar geométrico dos pontos a uma mesma distância r de um ponto central; circunferência é o comprimento do círculo (ou a medida desse comprimento); disco é o círculo mais os pontos internos ao círculo. Esfera e bola continuam com o mesmo sentido de antes.]

“Tenho 200% de certeza.” Glenn Albert, do Sistema Anglo, diz que toda certeza absoluta vale 100%. Na probabilidade, a possibilidade de que algo ocorra está sempre entre 0 e 1, isto é, entre 0% (não ocorrerá) e 100% (ocorrerá). “Mais do que 100% de certeza é impossível.”

Os impostos do carro. Glenn Albert diz que muita gente diz assim: “Eu paguei 50% do preço deste carro em impostos”; depois disso, a pessoa se explica: “O preço de um carro é o valor de custo mais 50% de impostos.” Ora, as duas coisas são diferentes. Nas contas abaixo, p é o preço do carro ao consumidor, e c é o custo do carro na fábrica, antes dos impostos.

O preço do carro inclui 50% de impostos

O custo do carro, mais 50% de impostos, dá o preço do carro

 

No primeiro caso, diz Glenn, com o preço do carro ao consumidor, e sem os impostos, o cliente poderia comprar dois carros a preço de custo. No segundo caso, poderia comprar um carro e meio.

A lógica é clara. Para José Luiz de Morais, analista de sistemas, professor do Complexo Educacional Damásio de Jesus e autor do livro Matemática e Lógica para Concursos (Saraiva, 2012), quase sempre o aluno se sai bem numa prova mesmo que atribua significado incorreto a umas poucas palavras técnicas. Contudo, se o aluno está fazendo uma prova de lógica, aí todo cuidado é pouco. (Essa expressão popular, todo cuidado é pouco, significa em termos lógicos que a batalha está perdida de antemão, pois se 100% do cuidado é pouco, então não há cuidado suficiente no estoque para vencer a batalha…) “A linguagem lógica”, diz José Luiz, “não aceita vícios ou ênfases.”

A língua portuguesa, por exemplo, permite que o falante negue algo ao negar algo duas vezes. “Não há ninguém aqui” significa “há ninguém aqui” ou “não há nem mesmo uma única pessoa aqui”, mas não significa “há alguém aqui”. Na lógica, porém, negar uma afirmação duas vezes significa validar a afirmação. Se a afirmação T significa “há pelo menos uma pessoa aqui”, ¬T (não T) significa “não é o caso de que há pelo menos uma pessoa aqui”, e ¬¬T significa “não é o caso de que não é o caso de que há pelo menos uma pessoa aqui”, isto é, significa T = “há pelo menos uma pessoa aqui”.

Organizadores de provas e concursos, diz José Luiz, com frequência montam questões para saber se o candidato conhece quantificadores como “todo”, “nenhum”, e “algum”, cujo sentido é bem específico. Numa conversa informal, o candidato pode dizer que a negação de “todos os alunos estão presentes” é “nenhum aluno está presente” — tal afirmação vale no português cotidiano. Na lógica, contudo, a negação de “todos os alunos estão presentes” é “existe pelo menos um aluno que não está presente”. José Luiz explica: “Quando negamos uma parte do todo, negamos o todo.”

Suponha que Maria diga que a parede é branca, e que João diga que a parede é amarela. Na lógica, eles não estão se contradizendo, mas se contrariando. Numa contradição, só existem duas opções: ou branca ou amarela. A parede, contudo, talvez seja verde ou azul. “Isso cai bastante em provas. Os dois estão se contrariando, e talvez os dois estejam mentindo.” Se eles estivessem se contradizendo, um deles estaria dizendo a verdade: a parede seria ou branca ou amarela.

Se o candidato diz: “Se eu for a seu escritório, conversamos.” E se o candidato não for ao escritório? Muitos acham que, se não vai, então a resposta certa é: “Se eu não for a seu escritório, não conversamos.” Isso é uma falácia, isto é, um erro de raciocínio, cujo nome técnico é falácia de negação de antecedente. “O correto seria a dúvida mesmo”, diz José Luiz. “Se eu não for, talvez conversemos, talvez não.” (O nome técnico dessa falácia é uma espécie de resumo da ópera. Um nome completo deveria ser: a falácia de, ao negar o antecedente, negar também o consequente.)

José Luiz gosta de uma questão elaborada pela Fundação Carlos Chagas (FCC) para o concurso do Tribunal Regional do Trabalho (TRT) do Paraná:

Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: “No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu lhe disse: ‘Hoje não compro nada.’ Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime.”

Sendo assim, o acusado:

(a) Não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime.

(b) Não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime.

(c) Foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime.

(d) Foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime.

(e) Foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime.

“A alternativa correta é a c”, diz José Luiz. São três negações de negações, uma seguida da outra: se a afirmação A significa “fui a lugar nenhum”, ¬A significa “não é o caso de que fui a lugar nenhum”, ou seja: “fui a algum lugar”. José Luiz continua: “A campeã de assinalamento tem sido a alternativa a, pois é a que mais de aproxima da linguagem cotidiana.” {}


{2}/ A matemática no inconsciente coletivo

O professor Glenn van Amson, supervisor de matemática do Sistema Anglo de Ensino, reuniu alguns exemplos nos quais as pessoas, sem perceber, usam termos técnicos da matemática corretamente. É sinal de que, no fundo, todo mundo tem noções de matemática.

Exemplo

Significado

Ele saiu pela tangente.

Ele achou um caminho mais fácil, e se não tivesse achado, teria entrado numa enrascada. A curva representa um caminho mais difícil de percorrer; mas a reta tangente à curva representa um caminho mais fácil de percorrer.

Trata-se de uma pessoa ímpar.

Você pode dividir um número par em duas partes iguais. Mas, com números ímpares, sempre sobra uma unidade. Uma pessoa ímpar sempre tem algo que se destaca.

Ele é um zero à esquerda.

À toa, irrelevante, pois 051 = 51.

Esse cara é dez.

Um sujeito ótimo, nota máxima.

Foi um falso positivo.

Negação de um resultado anterior.


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 17, junho de 2012, pág. 34. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Aline Viana.

Matemática: uma maquete imperfeita

Quase todos os matemáticos dizem que ninguém pode representar a realidade com perfeição, por mais complexa que seja a teoria a respeito da realidade. Mesmo assim, aconselham: estude matemática. É impossível retratar a realidade com perfeição, mas é possível retratá-la.

Um modelo matemático não é cópia da realidade, mas serve de inspiração. A questão de fundo é a relação entre teoria e realidade.

Nílson José Machado, professor da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo


Nílson José Machado, especialista no ensino de ciências e de matemática, professor titular da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, se coloca de pé diante de outros dez professores de matemática e anuncia o tema a ser debatido:

“O que é um modelo? Um modelo é cópia ou é inspiração?”

Eles estão no laboratório de matemática da FE-USP, sentados em carteiras organizadas em U. O tema é tão grande que, por um instante, os dez professores ficam em silêncio, e Nílson olha para eles, curioso. Distribui a todos dois documentos: um sobre modelos e outro com uma história em quadrinhos, em que Piteco, um dos personagens da Turma da Mônica, entra numa caverna e acha três velhos olhando para sombras projetadas numa das paredes da caverna. Os velhos acreditam que as sombras são a realidade.

“Acho que vou me sentar”, Nílson anuncia e se senta. Devagar, ele ajuda os professores a discutir o assunto.

Às vezes, a palavra modelo significa uma teoria a respeito da realidade. Economistas falam de “modelo econômico”, e com isso querem dizer: um jeito especial de olhar a realidade, para desprezar os fatos que não interessam e ressaltar os fatos que interessam, e além disso interligá-los de um jeito especial. Matemáticos e muitos cientistas, inclusive economistas, também usam modelo com outro sentido: eles usam o modelo para explicar a realidade, mas tal modelo explica a realidade de modo aproximado, isto é, imperfeito. É como se usassem um desenho para explicar as entranhas de um animal — um desenho não pode ser um animal. Além disso, matemáticos usam modelo com um sentido bem técnico: é uma teoria dentro da qual uma proposição matemática é verdadeira ou falsa. Um sujeito, se estiver falando de geometria euclidiana, pode dizer: se existe um ponto P fora da reta r, então só passa pelo ponto P uma reta s que seja paralela à reta r. Essa proposição é verdadeira no modelo da geometria euclidiana. (O sujeito também pode dizer que essa proposição é verdadeira no sistema da geometria euclidiana.) Se estiver falando de geometria elíptica, não pode dizer isso; não passa nenhuma reta s pelo ponto P que seja paralela à reta r.

Essa discussão inocente sobre modelos sempre termina numa discussão nada inocente: será que um dia o homem descobrirá como a realidade realmente é? Será que um dia acordará de suas fantasias para encarar o mundo tal como é, como fez Neo no filme Matrix? Será que os três velhos podem sair da caverna para olhar o mundo real, iluminado pelo Sol? Ou será que, para descobrir como a realidade realmente é, o homem não tem escolha senão aperfeiçoar seus modelos da realidade, ou seja, aperfeiçoar os desenhos um pouco por dia, até o dia de morrer?

Metáfora e álgebra. Nílson e os dez professores concordaram num ponto: existem dois tipos de matemática. Existe a matemática dos que acreditam que a realidade está ao alcance das mãos, e que o homem pode tocá-la. Para quem acredita nisso, o modelo se confunde com a realidade. “Esse modelo”, diz Nílson, “arroga-se o direito de controlar a realidade.” Essa é a matemática dos que dizem que “a equação rege o fenômeno”. E existe a matemática dos que acreditam que a realidade nunca foi perfeitamente compreendida, nem nunca será. Para quem acredita nisso, um modelo matemático, por mais complexo que seja, não passa de uma espécie de maquete. “Ele não é uma cópia da realidade”, diz Nílson, “mas serve de inspiração. A questão de fundo é a relação entre a teoria e a realidade.”

No laboratório de matemática, os 11 professores procuravam jeitos de ajudar o estudante a desprezar as fantasias sobre a matemática, para enxergá-la tal como é. Com frequência, o estudante sai da escola com a sensação de que deve se submeter ao modelo: ele deve copiar o modelo, deve segui-lo à risca, ou não chegará à resposta “certa”. Por um tempo, os professores conversam sobre o teorema de Gödel (resumindo): uma teoria é consistente se e somente se ela tem um modelo, e todo modelo forte o suficiente para representar a aritmética ou é coerente, mas incompleto, ou é completo, mas incoerente. É difícil ajudar o estudante a ver isso: ele terá de estudar matemática anos a fio para entender melhor fenômenos muito complexos (como um avião durante a decolagem), mas que sua matemática, obtida com tanto esforço, tem de ser incompleta para que seja coerente e, portanto, útil. Um modelo matemático jamais representará a realidade com perfeição.

[Um jeito atual de dizer isso: só o próprio universo computa as leis da física com a mais absoluta perfeição. Qualquer computador que seja subconjunto próprio do universo não pode computar as leis da física com perfeição, e isso vale para qualquer combinação de qualquer número finito de cérebros humanos, apoiados por qualquer combinação de um número finito de computadores (no sentido de máquinas de Turing).]

Nílson cita Max Black, autor do livro Modelos e Metáforas: “Toda ciência começa como metáfora e termina como álgebra.” Quando alguém investiga qualquer fenômeno pela primeira vez, diz Nílson, percebe o óbvio: a quantidade de dados passíveis de medição e de análise é infinita. Tendo um bom modelo matemático (uma metáfora), o investigador mede e analisa tudo aquilo que pode incluir em seu modelo, e despreza o resto. Quando o estudante entende isso, entende duas consequências importantes. A primeira delas: caso ele estude matemática anos a fio, terá mais modelos à disposição (como a geometria euclidiana e a geometria elíptica), e poderá usá-los para explicar a realidade de várias maneiras distintas, isto é, com enfoque distinto. A segunda: talvez aqueles três velhos não tenham como sair da caverna, mesmo que desejem; talvez o único jeito de compreender a realidade melhor seja polir a parede da caverna onde as sombras aparecem. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 11, dezembro de 2011, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Caso queira comparecer a um dos Seminários de Educação Matemática (SEMA), basta querer: eles são abertos ao público, e você não precisa se inscrever antes. Veja a programação aqui.

3. Importante: Muito estudante, e inclusive muito professor, atribui aos teoremas de Gödel implicações que eles não têm. Em particular, o teorema da incompletude não destrói a lógica nem solapa as ambições humanas. Ele apenas diz que certos sistemas axiomáticos, caso satisfaçam certas condições, não podem ser completos, isto é: tais sistemas necessariamente têm de conter proposições que não podem ser provadas verdadeiras ou falsas por meio do próprio sistema. (O teorema da incompletude não diz nada sobre a importância das proposições indecidíveis: num certo sistema, talvez tais proposições não tenham nenhuma importância prática ou teórica.) Contudo, talvez o matemático consiga provar a verdade ou a falsidade de uma proposição indecidível ao recorrer a outros sistemas axiomáticos.

Todas as ideias se interconectam: até as muito simples

Professores dizem que o estudante não leva em boa conta as ideias mais simples da matemática, as que estudou quando criança e adolescente, e que admira as ideias mais complicadas. Quem faz pesquisa, contudo, com frequência resolve problemas complicados quando identifica, dentro deles, ideias muito mais simples.

O artigo que estou a escrever é sobre um problema muito abstrato, mas Arquimedes já desenhava na areia o fato que me destravou o problema.

Jorge Boescu, professor de matemática na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa


{1}/ Ideias caídas do céu

“Por que tenho de estudar a desigualdade triangular?”, pergunta o jovem estudante (vamos chamá-lo de Estudante), inconformado pelo que está sendo obrigado a fazer: não só a estudar relações válidas num triângulo (quem se interessa por triângulos?), como ainda por cima a estudar algo óbvio a respeito de triângulos. Estudante continua:

“É óbvio que, num triângulo qualquer, um dos lados é menor do que a soma dos outros dois, e maior do que a diferença dos outros dois! Por que o professor me obriga a estudar isso?!”

Jorge Boescu, professor de matemática na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, há um ano trabalha num artigo científico sobre as propriedades de certa classe de funções (com muitas variáveis complexas). Notou que as funções exibiam seguidamente uma propriedade específica, mas não conseguia imaginar o porquê. “Até que, de repente, me dei conta de que aquilo era uma desigualdade triangular”, diz Jorge. “Este artigo que estou a escrever é sobre um problema muito abstrato, mas Arquimedes já desenhava na areia o fato que me destravou o problema.”

Nem sempre Estudante resolverá um problema complicado ao recorrer a ideias básicas, mas professores de matemática, Jorge entre eles, recomendam: deve rever ideias básicas da matemática sempre que puder. No mínimo, sempre que estudar uma ideia nova e mais avançada. Pois o matemático é quem tenta resolver problemas complicados fazendo contas as mais simples possíveis. A única diferença entre Estudante, que reclama, e Jorge, que publica livros e artigos sobre matemática, é que Jorge estudou e estudou até chegar ao ponto de aplicar as ideias básicas da matemática a objetos matemáticos muito complexos, e com isso obter resultados os quais, para o leigo Estudante, parecem caídos do céu.

O ferro do hóquei. Irene Fonseca, matemática portuguesa, presidente da Sociedade de Matemática Aplicada e Industrial (SIAM), diz que estudantes tendem a procurar soluções sofisticadas e complicadas aos problemas que resolvem, talvez porque soluções complicadas lhes pareçam sedutoras. “Outro dia”, diz Irene, “um de meus alunos de doutorado veio me fazer perguntas sobre um projeto em que está envolvido. Ele tinha muitas páginas de cálculos nas mãos, e fui obrigada a lhe dizer que aquilo era muito mais simples do que estava fazendo.” Irene acha que estudantes precisam de treinamento para se habituar a tentar resolver problemas com ideias simples primeiro, para só depois recorrer a ideias mais complicadas. “Quando alguém lhe pergunta alguma coisa”, diz Irene, “antes de começar a ler os livros mais complicados que há sobre a matéria, sente-se, pegue lápis e papel, e tente escrever um argumento simples e direto. Com meu estudante de doutorado, fiz os cálculos no quadro e ele ficou estarrecido, pois estava a fazer uma coisa complicadíssima à volta de um problema muito simples.”

Graças ao hábito de buscar soluções tão simples quanto possível, Irene pôde ajudar a NBC (uma rede de TV nos Estados Unidos) a produzir um documentário sobre os aspectos matemáticos do hóquei sobre gelo. É um dos jogos mais rápidos do mundo: quando um jogador bate de jeito no disco de ferro, pode lançá-lo a 160 quilômetros por hora na direção do gol. Irene estudou como um jogador deve bater o taco no disco para que consiga marcar um gol de ângulo, como deve segurar o taco para aumentar o diminuir seu comprimento ao bater no disco, como a velocidade do jogador ao bater no disco influi na velocidade do disco. “Tive de voltar aos meus livros da universidade”, diz Irene, “para rever o que havia estudado no primeiro e no segundo ano da faculdade.” Reestudou não apenas física e química como também matemática; por exemplo, vetores. O resultado foi um documentário em vários capítulos que teve ótima audiência e está sendo usado por professores de ciências e de matemática nos países onde o povo gosta de hóquei no gelo.

Para Jorge Boescu, o estudante não deve confundir “usar ideias básicas” com “usar resultados básicos”. Uma ideia básica é a sequência lógica de passos pelos quais o matemático parte do ponto A (as premissas) e chega ao ponto B (as conclusões); uma ideia básica é, portanto, um raciocínio (ou um argumento). Atualmente, Jorge ensina álgebra linear para estudantes de física e de biomédicas no primeiro ano da faculdade, e sempre vê as analogias entre matemática mais avançada e mais básica. “O processo mental de fazer matemática avançada é parecido com o de fazer matemática elementar: precisamos encontrar as ideias certas das quais partir. A grande vantagem da matemática elementar é que ela nos deixa competentes num certo padrão de raciocínio.” O estudante, diz Jorge, deve se preocupar com as demonstrações — ao estudá-las, verá como fazer “o jogo das ideias, o jogo do encaixe de ideias”, e poderá usar esse padrão de encaixe a vida toda, seja lidando com problemas simples, seja lidando com problemas complicados ou muito abstratos. “O estudante deve saber, por exemplo, como alguém parte da definição de número primo e chega ao teorema fundamental da aritmética. À partida, não parece que o teorema fundamental da aritmética surgirá dos números primos. Venho usando esse tipo de raciocínio a vida toda, para perceber que ideias fazem sentido, e que ideias não fazem.”

Romancista e filósofo. Vivendo num pedacinho do planeta Terra, nem sempre a pessoa percebe que tudo no planeta está interligado; ao contrário, esse tipo de afirmação parece coisa de ecochato. É por isso que astronautas se comovem ao ver a Terra de longe — para eles, fica óbvio que ela é a base de um ecossistema, e como a palavra “sistema” indica, todas as partes estão de alguma maneira ligadas a todas as outras. Matemáticos chegam a essa mesma emoção não de uma vez, mas lentamente, conforme estudam; para Jorge e Irene, quando mais alguém estuda, mais percebe o quanto todas as ideias da matemática estão ligadas a todas as outras. “Por fim, descobrimos que o trabalho do matemático não é fazer contas”, diz Jorge. “Esse é o trabalho do computador. O trabalho do matemático é pegar ideias e encaixá-las umas nas outras e, no limite, criar ideias novas.” Em que, portanto, difere o trabalho do matemático do trabalho do filósofo, que também encaixa ideias umas nas outras?

O matemático estabelece correlações inequívocas entre dois objetos matemáticos; tais correlações podem ser de natureza quantitativa, mas também podem ser 100% lógicas, isto é, abstraídas da ideia de número. É daí que vem a espantosa utilidade da matemática. Se alguém vê como o objeto A do mundo real se parece com o objeto C da matemática, e como o objeto B do mundo real se parece com o objeto D da matemática, é bem provável que muitas das correlações entre os objetos C e D da matemática sejam válidas entre os objetos A e B do mundo real. “A matemática é uma ciência com uma unidade muito grande”, diz Jorge. “E as ideias matemáticas novas muitas vezes surgem quando examinamos ideias da matemática mais elementar.” {}


{2}/ Apêndice: A desigualdade triangular

Fig. 1

A figura 1 mostra o essencial sobre o teorema da desigualdade triangular. Por meio dele, o estudante (vamos chamá-lo de Estudante) pode afirmar que, para quaisquer três pontos A, B, C no plano cartesiano, |AC| ≤ |AB| + |BC|; como consequência, |AB| ≤ |BC| + |AC| e |BC| ≤ |AB| + |AC|. (Nessas expressões, |AC|, por exemplo, denota a distância do ponto A ao ponto C.) Em outras palavras, pode afirmar que o lado de um triângulo é menor ou igual à soma dos outros dois lados. (O caso “igual” ocorre quando os três pontos estão na mesma linha reta, isto é, quando formam um triângulo degenerado.)

Euclides provou esse fato n’Os Elementos (livro 1, proposição 20); Estudante pode prová-lo mais facilmente recorrendo ao teorema de Pitágoras. Divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, o ABD e o DBC, e chama a distância AD de a, assim como DC de b, AB de c, BC de d e DB de e. Sendo assim:

Como próximo passo, Estudante afirma a desigualdade que pretende provar verdadeira. Se a afirmação descambar em contradição, é falsa; se descambar noutra afirmação verdadeira, é verdadeira.

Agora, eleva os dois lados da desigualdade ao quadrado, e depois substitui, nos lugares convenientes, c por √(a2 + e2) e d por √(b2 + e2).

Aqui, Estudante chegou a uma implicação:

Com a implicação, fez a seguinte afirmação: “Se o lado esquerdo da implicação é verdade, então o lado direito tem de ser verdade para quaisquer valores de e, inclusive quando e é igual a 0.” Fazendo e = 0, Estudante reescreve a implicação.

Só que, quando e = 0, os pontos B e D estão sobrepostos, e daí a é igual a c e b é igual a d; com essa manobra, o lado direito da igualdade fica sendo verdadeiro (pois ab = ab), o que automaticamente torna a implicação como um todo verdadeira. Ora, se Estudante começou com uma afirmação que presumiu verdadeira, e chegou a outra que é indiscutivelmente verdadeira (ab = ab), então a afirmação inicial é de fato verdadeira.

No fundo, com a desigualdade triangular, Estudante afirmou que a menor distância entre dois pontos de um mesmo plano é uma linha reta. Essa mesma afirmação tem consequências nas operações com números complexos (se z1 e z2 são números complexos, |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|) e nas operações com vetores (se |a| é o comprimento do vetor a e |b| é o comprimento do vetor b, então |a + b| ≤ |a| + |b|).


{3}/ Apêndice: Um pouco sobre o teorema fundamental da aritmética

O teorema diz: qualquer número inteiro positivo maior que 1 pode ser expresso como um produto de números primos, e essa expressão é única, exceto pela ordem em que os primos aparecem. Nesta definição, o leitor Estudante deve adaptar levemente o sentido da palavra “produto”, para que os próprios números primos caibam na definição. Então, deve encarar o lado direito da expressão 2 = 2 como se fosse “um produto de números primos”.

Para achar os fatores primos de um número qualquer, Estudante começa dividindo o número pelo primo 2, se o tal número for divisível por 2 (isto é, se a divisão por 2 com o algoritmo da divisão der resto igual a 0). Se o número não for divisível por 2, deve dividi-lo pelo próximo da lista, 3, caso seja divisível por 3, e assim por diante. Estudante deve usar o mesmo método para o quociente de cada divisão, até que, no fim do processo, ele tenha tão somente um número primo como o último quociente a dividir. Por exemplo, como Estudante acha os fatores primos de 168?

Fazendo essa conta, descobre que 168 pode ser expresso como um produto de números primos:

Ao estudar estruturas algébricas diferentes daquelas que usa no dia a dia, Estudante pode provar que não é óbvia a ideia de que a expressão de um número como um produto de primos é única. Por exemplo, quando lida com os números da estrutura algébrica Z√(–5), na qual denota todos os números na forma a + b√(–5) (em que a e b são inteiros), nota que pode escrever o número 6 de duas maneiras diferentes como um fator de números primos:

Nessa estrutura algébrica, Estudante considera x como um número primo se seus únicos fatores são ±1 e ±x; é o caso de 1 + √(–5) e de 1 – √(–5). Euclides (de novo) provou que o produto de números primos é único porque, na estrutura algébrica com a qual trabalhava, pôde usar o algoritmo da divisão: para quaisquer dois inteiros n e d, com d > 0, há dois outros inteiros q e r tais que n = dq + r, com 0 ≤ r < d. O número q é conhecido como quociente, o r, como resto, o n, como numerador ou dividendo, e o d, como denominador ou divisor. Estudante não tem como usar essa versão do algoritmo da divisão na estrutura algébrica Z√(–5), e por isso não tem como demonstrar que, nessa estrutura, o produto de primos é único. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, fevereiro de 2013, pág. 46. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Note que as informações são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes, que na ocasião morava em Lisboa.

3. Existe um jeito de generalizar o teorema fundamental da aritmética para que continue válido inclusive numa estrutura algébrica como Z√(–5), mas, para fazer isso, o leitor tem de generalizar a ideia de número; essa é uma história complicada, e fica para outro dia.

Qual currículo é melhor? Escolha entre 205 trilhões

Alguns estudiosos dizem que é bom ensinar a contar com balas e palitos; outros acham que é melhor mencionar exemplos da própria matemática. Uns dizem que, se o aluno erra, o professor deve chamar sua atenção na hora; outros, que é melhor deixá-lo aprender com os próprios erros no seu próprio ritmo. Ken Koedinger, da Universidade Carnegie Mellon, e Julie Booth, da Universidade Temple, pegaram apenas 30 técnicas de ensino, dividiram-nas em partes, e viram que, se quisessem, poderiam usar as partes para montar 205 trilhões de jeitos distintos de ensinar matemática. Para os dois, todo debate simples, nos quais um grupo se contrapõe a outro grupo, necessariamente vai simplificar esse cenário a tal ponto que as conclusões do debate, se houver conclusões, serão inválidas na prática.

“Não há apenas duas formas de ensinar, como em geral nossos debates sobre educação sugerem”, diz Ken. “Há trilhões de formas de ensinar, e nosso desafio é justamente esse: a técnica que funciona num contexto não funciona noutro contexto ligeiramente diferente.” Uma boa aula vai depender de variáveis que mudam a toda hora e em todo lugar; uma delas é quanto o estudante já sabe no começo da aula; outra é qual objetivo o professor pretende atingir (quer passar informação? ensinar a classe a usar um algoritmo? explicar que ideias fundamentais explicam o algoritmo?). Os dois pesquisadores acham que, diante do número imenso de opções e de circunstâncias, os cientistas da cognição nem deveriam se concentrar em pesquisas de laboratório para avaliar uma opção diante da outra. Ao contrário, deveriam se concentrar em iniciativas com maior chance de sucesso. Alguns itens da lista de “perguntas interessantes para as quais o homem precisa achar a resposta”:

1. Quais conjuntos de técnicas funcionam melhor para certas necessidades comuns? Por exemplo: quais delas são melhores quando o professor quer que os alunos decorem certos fatos, e quais são melhores quando o professor quer que os alunos entendam por que tais fatos são verdadeiros?

2. Como usar os computadores e a internet para pesquisar certos temas com a ajuda de milhares ou de milhões de internautas? (Por exemplo, por meio de jogos online, com um computador central analisando o comportamento dos jogadores.)

3. Os cientistas precisam de bancos de dados com informações atualizadas sobre ensino e aprendizagem. Algum órgão de governo deveria colocá-lo à disposição, assim como as universidades (especialmente) deveriam colocar gente para atualizar tais bancos. Eis uma pergunta importante que os cientistas ainda não sabem responder: como os testes padronizados (tipo Enem) afetam a sala de aula, e como a sala de aula afeta por sua vez os testes padronizados?

4. Sem parcerias entre universidades e escolas comuns, de modo que ambas possam passar técnicas e dados umas para as outras, é impossível distinguir direito o que funciona do que não funciona. Como montar tais parcerias? Como montá-las de tal modo que funcionem, mesmo que uma ou outra instituição se recuse a participar?

Lendo o trabalho dos dois (que foi publicado na revista Science em novembro de 2013), uma coisa fica óbvia: o homem ainda não criou métodos e instituições pelos quais ensinar assuntos complexos (como a matemática) para a maioria da população. Talvez um indivíduo ou outro saiba ensinar assuntos complexos para um pequeno grupo de pessoas, mas a espécie como um todo não sabe. {FIM}


Observação:

1. Publiquei essa breve matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 36, janeiro de 2014, pág. 7. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Caso queira ler o artigo no original em inglês, clique aqui. (A revista Science cobra 30 dólares pelo acesso ao artigo por um dia.)