O milagre da liberdade remunerada

gugu_impaQuando Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira (Gugu) terminou o ensino médio, terminou ao mesmo tempo o mestrado no Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Rio de Janeiro (Impa). Aos 20 anos, já era doutor. Acha incrível que alguém seja pago para estudar matemática com liberdade.


Uma lenda quase verdadeira. Todo mundo no Impa gosta de contar essa história: Gugu foi candidato a vereador pelo PC do B, e ganhou 18 segundos no horário eleitoral gratuito. Dizem que gastava seus 18 segundos assim: “Companheiros! Eu sou o Gugu, candidato a vereador pelo partidão, número 21.602. Meu trabalho vocês conhecem: eu provei que intersecções estáveis de conjuntos de Cantor regulares são densas na região onde a soma das dimensões de Hausdorff é maior que 1! Urubu vota no Gugu!” Gugu conta a história e ri muito. “É mentira. É uma lenda, mas o povo adora contar essa lenda aqui. Se eu tivesse feito isso, acho que teria sido eleito.”

Mas a lenda ilustra algo verdadeiro: assim como tantos outros matemáticos, Gugu não consegue explicar direito o que faz, e por conta disso o povo do século 21 alimenta dois mitos sobre matemática.

Dois mitos comuns. É impossível explicar o que os matemáticos fazem durante as horas em que pesquisam? “Isso não é verdade”, diz Gugu. “O que falta é tempo. Se eu for para o quadro negro, acho que em meia hora consigo dar uma boa ideia do que fiz. Mas em poucos minutos não consigo.” Visto que matemáticos precisam de tempo e de um quadro negro para explicar o que fazem, a população em geral mantém uma ideia errada do que é matemática. “Existe esse sentimento de que a matemática foi feita há vários séculos, e que às vezes é útil. De novo, isso não é verdade. Criamos mais matemática no último século do que em toda a história da humanidade. Poucas pessoas sabem disso.”

Como as olimpíadas ajudam. Gugu trabalha na Olimpíada Brasileira de Matemática, e acha que os jovens que participam de olimpíadas entendem melhor o que significa ser matemático. A diferença entre as aulas regulares de matemática e a olimpíada é como a diferença entre exercício e problema. “No exercício, você não sabe a resposta, mas sabe que técnica deve usar para obter a resposta. No problema, você não sabe a resposta, e também não é óbvio quais técnicas deve usar.” Essa situação é parecida com a situação do matemático profissional, com uma diferença: o profissional não tem de resolver o problema em poucas horas, e aliás o profissional nem sabe se o problema pode ser resolvido.

Matemática pura ou aplicada? Gugu se especializou em sistemas dinâmicos (ou teoria do caos, no linguajar leigo), mas tenta resolver problemas de combinatória, de aproximações diofantinas, de teoria dos números. “Eu sou um pouco dispersivo. Às vezes, ataco até problemas muito maiores do que eu, como a hipótese de Riemann.” Gugu acha que, entre intelectuais e cientistas, a importância da matemática para a sociedade está bem estabelecida. “Para ter boa matemática aplicada, precisamos de boa matemática pura, e para ter boa matemática pura, precisamos de liberdade. Acho quase milagroso que eu seja pago para fazer matemática, logo eu, que fui estudar matemática por diversão.”

A contribuição dos economistas. Gugu não simpatiza com a ideia de pesquisar temas importantes de economia, em que poderia aplicar com vantagens a teoria sobre sistemas dinâmicos. “Os problemas que os matemáticos especializados em economia escolhem já contêm uma série de pressuposições que são, na verdade, escolhas políticas. Se o matemático decide estudar meios para otimizar a distribuição de mercadorias, por exemplo, ele não tomou uma decisão meramente técnica, mas política. A humanidade já produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar todo mundo, e mesmo assim muita gente passa fome. O problema da fome é político, é anterior a todos os problemas técnicos.”

Duas batidas de carro. Existe algo no qual Gugu seja incompetente? “Ah, sim, muita coisa. Depois de bater o carro duas vezes, desisti de aprender a dirigir.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei este breve perfil pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 9, outubro de 2011, pág. 31. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

livro-teoria-dos-numeros2. Gugu e outros três colegas escreveram um livro agradável sobre teoria dos números: Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro: Rio de Janeiro, Impa 2010. Não chega a ser um livro para leigos, mas está ao alcance do leitor determinado.

Três gatos, três ratos, e uma pergunta


{1}/ A pergunta

Problema. Se três gatos caçam três ratos em três minutos, quantos gatos caçariam 100 ratos em 100 minutos?

É um problema mais difícil do que parece à primeira vista; tente resolvê-lo, e depois veja a resposta na seção 2 logo abaixo.

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{2}/ A resolução

Muita gente conclui depressa: 1 gato caça 1 rato em 1 minuto. Daí, em 100 minutos, basta 1 gato para caçar os 100 ratos, visto que caçará 1 rato por minuto. Mas essa resposta está errada.

Outras pessoas pensam assim: “Não posso tirar a média de nada, pois tenho de me ater às informações do enunciado. Logo, divido 100 minutos por 3 minutos. Obtenho 33 intervalos de 3 minutos mais um intervalo de 1 minuto. Com os mesmos 3 gatos, a cada intervalo eles caçam 3 ratos; logo, em 33 intervalos eles caçam 99 ratos e, no minuto final, caçam o 100º rato. Preciso, portanto, de três gatos.” Essa resposta está errada também.

Martin Gardner, que incluiu este problema no ótimo livrinho Entertaining Mathematical Puzzles, comenta: “É possível que, quando os três gatos se juntam para caçar o último rato, possam cumprir a tarefa em menos de um minuto.” Depois desse trecho, dá um aviso importante ao leitor: “Contudo, não há nada no enunciado da charada que nos permita saber em quanto tempo três gatos caçam um único rato.” Aliás, pensando bem, não há nada no enunciado que permita ao estudante saber se os mesmos três gatos caçariam três ratos a cada três minutos; talvez caçassem 9 ratos em 9 minutos e daí se dirigissem ao lugar mais confortável do sofá para descansar por umas 6 horas. Gatos são assim: adoram um sofá. Melhor dizendo: adoram o melhor lugar do sofá.

Quase todo estudante de matemática acha esse problema difícil, porque, neste caso, parte dum pressuposto incorreto: o de que todo problema tem solução. O matemático profissional aborda um problema consciente de que vai chegar a um entre três resultados distintos:

[1] Ou vai escrever uma conjectura e provar que sua conjectura está correta, e daí poderá rebatizá-la de teorema. (Atenção: “provar que a conjectura está correta” talvez signifique “provar que a afirmação a ser provada é falsa”, se essa for a conjectura.)

[2] Ou vai escrever uma conjectura e provar que é impossível provar se a conjectura é correta ou incorreta. (Em vários campos da matemática, essa é uma possibilidade real.)

[3] Ou nem conseguirá escrever uma conjectura digna da palavra “conjectura”, pois não terá a capacidade de obter informações suficientes sobre o problema, e assim será obrigado a deixar o problema para a posteridade.

A bem da verdade, o matemático profissional leva anos para desenvolver tal consciência, o que explica por que é tão fácil encontrar estudantes de matemática crentes de que todo problema matemático tem solução. “Só existe uma resposta correta ao problema dos três gatos”, diz Martin: “A pergunta é ambígua e não pode ser respondida sem que haja mais informações sobre como tais gatos caçam ratos.” {FIM}


Observação: Publiquei esse problema pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 33, outubro de 2013, pág. 65. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

A espantosa utilidade da matemática


Professores há tempos se habituaram ao caráter abstrato dos objetos matemáticos. Estão acostumados a achar natural que um desses objetos, criado para resolver o problema X, depois seja usado para resolver o problema Y. Às vezes, contudo, até eles se pegam dizendo: “Eu jamais poderia imaginar que tal abstração matemática servisse para um problema assim.”

Vocabulário: Neste texto, abstração matemática e objeto matemático são a mesma coisa. Pode ser uma reta no plano, pode ser um método da álgebra linear, pode ser um axioma — pode ser qualquer um dos elementos que compõem a matemática.



{1}/ Um jantar entre amigos

No livro A Matemática das Coisas, o matemático português Nuno Crato propõe ao leitor o problema a seguir:

Eu queria convidar três amigos para jantar comigo e comemorar meu aniversário; desse modo ocuparíamos uma mesa para quatro pessoas no restaurante de que mais gosto. Tenho cinco bons amigos, mas o Antônio está zangado com a Beatriz, sua antiga namorada. Esta e o Carlos são inseparáveis. O Carlos, que é amigo do Antônio, está de relações cortadas com o Daniel. Este, por seu turno, não dá um passo sem trazer consigo a Eduarda, que não pode nem ver o Antônio. Será que consigo convidar três dos meus cinco bons amigos para jantar comigo?

O estudante (vamos chamá-lo de Alx) pode resolver o problema por tentativa e erro, mas notará que, mesmo num problema tão simples, tentativa e erro dá bastante trabalho. Pode também recorrer a um grafo: a ideia de grafo foi usada pela primeira vez por Leonhard Euler (1707-1783), quando precisou resolver o problema das pontes de Königsberg; quanto à palavra grafo, surgiu em 1878, quando James Joseph Sylvester publicou um artigo sobre álgebra e diagramas na revista Nature. Para resolver o problema do jantar de aniversário, Alx examina a ideia de relação binária e, logo em seguida, a definição de grafo; daí parte para a resolução em si. (Sobre relações binárias, grafos, e a ponte de Königsberg, veja as seções 2, 3, e 4.)

Decide representar a relação binária “X não pode ver a cara de Y” por XY, e torna essa relação simétrica: se XY, então YX. Reconhece que tal simetria pode não existir na vida real — se Eduarda está zangada com Antônio, talvez Antônio ainda adore Eduarda. Contudo, do ponto de vista do aniversariante, visto que Eduarda não quer saber de Antônio nem que escove os dentes com chocolate, nenhum dos dois pode ser convidado para o mesmo jantar. Alx representa a relação “X não vai a lugar nenhum sem Y” por XY, isto é, “convidar X implica convidar Y”; porém, não torna a relação XY simétrica: X não vai a lugar nenhum sem Y, mas Y, quando toma uma iniciativa sozinho, não necessariamente convida X. Alx representa XY com uma linha azul, e XY com uma linha vermelha orientada, e assim esboça a figura 1, em que A representa Antônio, B, Beatriz, C, Carlos, D, Daniel e E, Eduarda.

figura-1

Figura 1

Alx percebe que deve estudar os pontos que não estão conectados por linhas azuis. Depois de uns minutos, monta uma lista desses pontos, já sem redundâncias:

A e C

A e D

B e C

B e D

B e E

C e E

A partir daí, monta uma tabela: na primeira coluna, cada um dos pares; na coluna do meio, um estudo do que aconteceria se o aniversariante convidasse as duas pessoas do par; na terceira coluna, marca com “OK” caso possa convidar as duas pessoas do par e com “NOK” caso não possa.

A e C C B, mas BA NOK
A e D D E, mas EA NOK
B e C B = C, pois B C e C B OK
B e D B C, mas CD NOK
B e E B = E; B C, mas C = E OK
C e E C = E; C B, mas B = E OK

 

Alx percebe que o aniversariante pode convidar, sem nenhum problema, os pares de vértices (B, C), (B, E) e (C, E). Isso significa que pode convidar Beatriz, Carlos e Eduarda para o jantar de aniversário. “Como é possível”, pensa Alx, “que eu possa ajudar alguém a escolher os amigos com os quais jantar usando uma abstração matemática criada, há 278 anos, para o problema das pontes de Königsberg?” Tem gente que acha esse tipo de pergunta tola, pois matemática é pura abstração, e é natural que seja usada para resolver todo tipo de problema real cuja representação abstrata guarde semelhanças com outros problemas reais. (Neste caso, essa gente toma “abstrair” por “desconsiderar os aspectos irrelevantes do problema e se concentrar apenas nos relevantes”.) Ora, não é verdade que 5 + 2 pode ser “cinco reais mais dois reais” e pode ser “cinco figurinhas mais duas figurinhas” e pode ser “cinco goles mais dois outros goles”? E ninguém se espanta ao notar que 5 + 2 serve para representar tantos problemas distintos.

Contudo, até mesmo matemáticos profissionais se surpreendem com essa característica da matemática. De vez em quando, recorrem a um objeto matemático qualquer para resolver um problema e se pegam dizendo aos amigos: “Puxa vida, eu nunca tinha pensado que esse objeto da matemática pudesse servir para resolver um problema como este que resolvi.” Um desses matemáticos é Pedro Lauridsen Ribeiro, especialista em física-matemática, pesquisador no departamento de matemática aplicada do Instituto de Matemática e Estatística da USP, e professor no centro de matemática, computação e cognição da Universidade Federal do ABC. Quando participava do concurso da UFABC, foi avisado de que teria de dar uma espécie de aula sobre regressão linear para a comissão julgadora dos candidatos; o assunto da aula foi escolhido por sorteio, como é comum em concursos assim. “Esse era um assunto que eu temia”, diz Pedro, “pois não tinha contato com ele há pelo menos uns dez anos!” Para se preparar, vasculhou livros. Achou um de análise numérica em que esse assunto, regressão linear, era reinterpretado e apresentado como um problema de álgebra linear. “Descobri que poderia ver a regressão linear como o cálculo da pseudoinversa de uma matriz.” Na condição de especialista em física-matemática, Pedro conhece álgebra linear, isto é, sabe realizar muitos tipos de operações com matrizes. “Essa reinterpretação do tema não só me surpreendeu, como me salvou na prova, porque pude apresentar o assunto de um ponto de vista que me era mais familiar.”

O que é distância? O matemático inglês Timothy Gowers costuma dizer que, quando um matemático usa uma abstração num contexto inesperado, e se surpreende com isso, tanto o matemático quanto a matemática melhoram. Se pega um objeto que costumava usar num contexto e o usa num contexto diferente (como Pedro fez quando examinou a ideia de regressão linear no contexto da álgebra de matrizes), é porque foi capaz de produzir uma afirmação matemática mais genérica. Com ela, resume o que tem observado em instâncias particulares; por isso, ela lhe permite pôr dois objetos matemáticos distintos num mesmo conjunto de objetos. “Um dos benefícios disso”, diz Gowers, “é que podemos ver conexões entre objetos que a princípio nos pareciam diferentes. Achar conexões surpreendentes entre áreas distintas da matemática quase sempre nos leva a avanços importantes.”

A ideia de que surpresa leva a avanço vale para matemáticos profissionais e para estudantes; para testá-la, o estudante Alx examina um trecho de livro didático sobre espaços métricos.

Existem muitas situações nas quais o matemático precisa trabalhar com um conjunto de pontos e saber se estão próximos um do outro. “Isso me parece fácil na dimensão 1”, diz Alx. “A dimensão 1 é simplesmente a reta real, e posso representar cada ponto de dimensão 1 com um único número; por exemplo, (−2) ou (π). Posso dizer que a distância entre eles é |−2| + |π|, isto é, 2 + π.” Para entender esse ponto, Alx esboça a figura 2.

Figura 2

Figura 2

Olhando o texto, descobre que pode representar essa distância assim:

Alx parte então para a dimensão 2. Como descobrir se os pontos de dimensão 2 estão próximos um do outro? Sabe que, para visualizar um espaço de dimensão 2 com simplicidade, deve recorrer a um plano cartesiano, no qual pode identificar cada ponto com dois números; por exemplo, (x, y), (1, 3), (3, 1). “Li uma vez que posso usar o teorema de Pitágoras para determinar a distância entre esses dois pontos.” Esboça a figura 3, e junto dela põe as contas já passadas a limpo.

Figura 3

Figura 3

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E assim vai. Ao examinar o texto, Alx lê e relê a definição de distância entre pontos num espaço de dimensão n, isto é, de dimensão arbitrária, na qual localiza cada ponto por meio de n números reais. Pensa no ponto P1 = (x1, x2, x3, …, xn) e no ponto P2 = (y1, y2, y3, …, yn). A distância entre eles fica sendo:

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Nem se arrisca a fazer um desenho disso, mas desconfia da definição. Como alguém pode saber que essa ideia de distância faz sentido num espaço de dimensão 26, se ninguém jamais viveu num espaço assim? Lendo melhor o trecho do livro, vê que os próprios matemáticos fizeram essa pergunta uns aos outros, até que chegaram à definição de métrica, isto é, à definição de como deve funcionar a fórmula (ou as fórmulas) com a qual o matemático obtém a distância em função dos pontos:

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Com as fórmulas (I), os matemáticos disseram três coisas: Qualquer que seja o tipo de espaço em que os pontos estão, para que haja a ideia usual de distância, então a distância entre dois pontos tem de ser maior ou igual a zero, isto é, jamais pode ser negativa. Além disso, devemos estimar tal distância com uma fórmula d bem precisa. Por fim, se a distância entre dois pontos é zero, então os dois pontos devem ser o mesmo ponto. Com a linha (II), disseram: a distância entre o ponto P1 e o ponto P2 tem de ser a mesma que entre o ponto P2 e o ponto P1; em outras palavras, distância é uma relação binária simétrica. E, com a linha (III), disseram: para quaisquer três pontos distintos P1, P2, e P3, vale a desigualdade triangular. Podemos encarar cada um desses três pontos como o vértice de um triângulo; então o comprimento de um dos lados jamais excede a soma do comprimento dos outros dois. Em outras palavras, para que haja a ideia usual de distância, o espaço, qualquer que seja, deve permitir que achemos o caminho mais curto entre dois pontos.

Alx fica surpreso com o que os matemáticos fizeram ao criar essas três linhas. “Eles não falaram nada do tipo de espaço em que esses pontos estão. Pode ser reto, pode ser curvo. Pode ser o plano cartesiano, pode ser a superfície de uma esfera, pode ser a superfície de uma fita de Möbius! Se a definição de métrica vale nesse espaço, então posso falar de distância de um jeito abstrato, mas ainda assim próximo do jeito que estou acostumado a falar dela.”

O trecho continua: se o estudante define uma fórmula para a função d, e se tem um conjunto X de pontos, e se as afirmações (I) a (III) valem quando aplica d aos elementos de X, então definiu um espaço métrico. Embora quase todo estudante associe a ideia de distância com o teorema de Pitágoras, há vários exemplos de espaço métrico nos quais a métrica (isto é, a função d mais o conjunto X) não é consequência do teorema de Pitágoras. Alx pensa num deles: “Se viajo de avião de São Paulo para Recife, não me interessa somar o comprimento de todas as estradas que me levam de uma à outra, e sim o caminho mais curto entre as duas cidades na superfície do planeta, que posso imaginar como sendo uma esfera.” Mais uma vez Alx nota que, se pode definir a rota mais curta numa superfície qualquer, e se essa definição preserva as afirmações (I) a (III), então essa superfície nem precisa ser plana. (No caso de superfícies curvadas, a rota mais curta entre dois pontos tem nome: geodésica. Contudo, alguns matemáticos usam a palavra para indicar a rota mais curta entre dois pontos não importa qual seja a curvatura da superfície; nesse sentido, o matemático pode chamar um segmento de reta num plano de geodésica.)

Pedro Lauridsen diz que todo matemático faz isso: pega dois objetos da matemática (como um plano e uma esfera), vê como ignorar alguns detalhes em ambos os objetos de modo a escrever alguma definição que sirva para os dois (como a definição de distância contida nas afirmações (I) a (III)), e daí abstrai ainda mais: estuda essa definição como se ela fosse um objeto em si, sem nenhuma conexão com os dois objetos dos quais surgiu. Foi isso o que os matemáticos fizeram com os espaços métricos e com os grafos. (Hoje eles usam espaços métricos para estudar as rotações de poliedros em dimensões arbitrárias.) Contudo, para quem vai aplicar a matemática a problemas reais, Pedro aconselha: cuidado para não resolver o problema errado! “Corremos o risco de abstrair demais”, diz Pedro. “Abstraímos certos aspectos do problema, para deixá-lo mais fácil de resolver, só que, muitas vezes, nesse processo de abstração não captamos exatamente o problema original, mas um problema parecido, com certas características comuns com o original. Com as abstrações, abrimos os nossos olhos, mas, especialmente no caso da matemática aplicada, corremos o risco de resolver uma versão desfigurada do problema que nos interessava.” {❏}

Ilustrações correlatas:

Um triângulo esférico

Um triângulo esférico (Wikipedia)

 

O que a imagem acima mostra: Numa esfera, a menor distância entre dois pontos é um círculo máximo: é um círculo na superfície da esfera cujo centro coincide com o centro da esfera. A figura mostra três pontos unidos por círculos máximos, ou seja, mostra um triângulo sobre a esfera

Lembrete: Tecnicamente, a palavra esfera designa apenas os pontos na superfície da bola. Dizer “superfície da esfera” é mais ou menos como dizer “superfície da superfície”. Contudo, até matemáticos usam “superfície da esfera”, talvez porque o leigo mistura bola com esfera.


 

De São Paulo a Recife

 

Distância geodésica 2.118 quilômetros
Tempo de viagem na velocidade do som… 1 hora e 45 minutos
… e na velocidade da luz dentro de uma fibra ótica 7 milissegundos


{2}/ Relação binária

O estudante usa o símbolo ~ para representar uma relação qualquer entre os elementos a e b, isto é, uma relação binária. Assim, quando escreve a ~ b, quer dizer “a está relacionado de alguma forma com b”. Uns poucos exemplos: a < b é uma relação binária comum no conjunto dos números naturais; “r é perpendicular a s” é uma relação binária comum no conjunto das retas no plano cartesiano. Mas o estudante pode usar o símbolo ≠ para representar “não pode ver a cara de” e escrever a relação binária AB quando quer dizer “Antônio não pode ver a cara de Beatriz”. Alguns matemáticos preferem denotar uma relação binária com uma letra maiúscula bem escolhida; por exemplo, para representar “não pode ver a cara de”, o estudante usa a letra N, e daí AB vira A N B. Sempre que o estudante escolhe um símbolo para ~, pode usar um símbolo do tipo ≁ para representar o caso em que não pode declarar válida a relação ~; assim, se usou AB para denotar “Antônio não gosta de Beatriz”, pode escrever A = B para denotar “Antônio gosta de Beatriz”. Uma relação binária ~ talvez seja simétrica, ou talvez não: às vezes, se a ~ b, então b ~ a; às vezes, contudo, a ~ b, mas não necessariamente b ~ a. {❏}



{3}/ O que é um grafo

De modo bem simples, um grafo é um conjunto de pontos, alguns dos quais conectados entre si por meio de linhas. O estudante pode chamar os pontos de vértices ou de nós; e pode chamar as linhas de arestas. Dois pontos unidos por uma linha estão adjacentes. Um analista costuma usar grafos para representar relações binárias: se dois pontos estão interligados por uma linha, então vale entre eles a relação binária ~ (que é o símbolo de uma relação binária genérica). Por exemplo, une os pontos com uma linha azul, sem nenhuma seta, para representar a relação binária simétrica “A não pode ver a cara de B, e B não pode ver a cara de A”. Mas pode também unir dois pontos com uma linha orientada, isto é, com o sentido indicado por uma seta. Se une o ponto C com o ponto D com uma seta para indicar CD, talvez queira dizer “C convida D para tudo o que faz, mas não necessariamente D convida C para tudo o que faz”. Quando usa um grafo, o analista quer entender quais pares de pontos fazem parte de certo conjunto de pontos adjacentes, e quais pares não fazem parte desse conjunto. Se um par de pontos faz parte do conjunto, significa que os pontos têm entre eles certa relação binária; se um par não faz parte do conjunto, os pontos não têm entre eles a relação binária. {❏}


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{4} As pontes de Königsberg

No começo do século 18, havia sete pontes na cidade de Königsberg (hoje, Kaliningrado). Elas cruzavam braços distintos do rio Pregolya, como mostra a figura acima. Alguém perguntou: será possível, a partir de algum ponto inicial em terra firme, cruzar cada uma das pontes uma única vez e voltar ao ponto inicial? Euler se interessou pelo problema, e representou cada massa de terra com um vértice, e cada ponte interligando tal massa de terra às outras massas com uma linha. Na linguagem atual, a pergunta ficaria assim: o grafo que representa o problema de Königsberg é um circuito euleriano? Em outras palavras: o analista pode começar num dos vértices, viajar pelo grafo percorrendo cada aresta uma única vez, e voltar ao vértice original? Euler demonstrou que um grafo só pode ser um circuito euleriano se e somente se cada vértice é de grau par (é tocado por um número par de arestas). No caso do grafo de Königsberg, todos os vértices são de grau ímpar: o problema é insolúvel. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 30. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista foi feita pelo jornalista Renato Mendes.

Equações deixam prédios transparentes

Para Alexander J. Hahn, professor de matemática na Universidade de Notre Dame (Estados Unidos), a matemática permite ao homem ver aquilo que, de outra forma, jamais poderia ver. Ao usar ferramentas matemáticas para estudar prédios antigos e novos, Alex percebeu que, quando os matemáticos criam conceitos novos, arquitetos talentosos transformam tais conceitos em construções mais ousadas.

Na foto acima: A Cidade das Artes e das Ciências, uma espécie de centro cultural localizado na cidade de Valência (Espanha), é exemplo do que um arquiteto (Santiago Calatrava) é capaz de fazer quando gosta de matemática.


O aqueduto de Segóvia, na Espanha

Num aqueduto romano, o intervalo entre os arcos é uma espécie de resposta a vetores que representam forças horizontais. Então, a matemática me dá ideias que uma descrição verbal da construção ou que um desenho não me daria.


Alexander Hahn

Alexander Hahn


{1}/ Introdução: Um algebrista estuda arquitetura

Em 2012, Alexander J. Hahn lançou um livro sobre matemática e arquitetura (Mathematical Excursion to the World’s Greatest Buildings, isto é, Excursões Matemáticas aos Grandes Prédios do Mundo), mas não deixa que ninguém tente classificá-lo como “um matemático que gosta de arquitetura”: ele até aceita o rótulo, no fim das contas, mas antes disso protesta. “Nos últimos poucos anos”, diz Alex, “tenho tido grande satisfação quando consigo interligar tópicos da matemática elementar a outras disciplinas. Um livro sobre as interconexões entre a matemática elementar e a arquitetura foi apenas minha realização mais recente. No fundo, contudo, ainda sou um algebrista.”

Quando Alex usa as palavras “matemática elementar”, não se refere apenas à matemática que todos estudam no ensino básico, mas inclui também cálculo diferencial e integral e álgebra linear, isto é, inclui tudo aquilo que um engenheiro estuda nos dois primeiros anos de faculdade. E ele não tem buscado enxergar as interligações entre matemática elementar e outras coisas apenas por curiosidade, mas porque tem dado aulas para turmas de arquitetos e de engenheiros na Universidade de Notre Dame, localizada no estado de Indiana, nos Estados Unidos. “Quando você tem de dar aulas sobre um assunto”, diz Alex, “ganha tempo de pensar a respeito dele. Além disso, tenho grandes amigos na universidade que são arquitetos. Gosto muito de ouvi-los conversar entre si sobre arquitetura.”


{2}/ A entrevista em si

Como você veio a gostar de matemática?

Nasci em Innsbruck, uma bela cidade, que hoje faz parte da Áustria. Quando eu tinha 13 anos de idade, meus pais se mudaram para os Estados Unidos. Eu não conseguia entender nem uma palavra de inglês. Entrei numa escola americana e literalmente não entendia nada. Mas, quando o professor de matemática entrou na sala e escreveu na lousa a equação a2 + b2 = c2, eu pensei: “Ahhh, isso eu sei o que é.” Eu finalmente entendi alguma coisa.

A mesma história se repetiu mais ou menos assim na faculdade. Entre enfrentar um curso de psicologia, cujo livro tem 500 páginas e cujo professor me obrigaria a ler 50 páginas difíceis antes de cada aula, e um curso de matemática, cujo livro tem 300 páginas e para mim faz mais sentido, ficou claro para mim que matemática era a melhor escolha. Eu gostava de estudar matemática, e sentia que tinha algum talento para a coisa. Deu certo, porque já dou aulas de matemática há uns 40 anos.

Todo prédio bonito tem alguma característica matemática comum?

A única coisa que podemos dizer com certeza a respeito de dois prédios distintos é que eles misturam vários tipos de formas geométricas. Acho difícil dizer mais do que isso. Veja os templos gregos ou as pirâmides egípcias: são basicamente feitos de linhas retas, mas são bonitos e interessantes. Quanto a mim, prefiro prédios cheios de curvas; acho as curvas mais atraentes. Penso aqui no arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer, ou no arquiteto espanhol Santiago Calatrava. Gosto de pensar nas curvas hiperbólicas da catedral de Brasília, ou de pensar na Cidade das Artes e das Ciências de Valência. Quanto a Calatrava, ele tem ótimos conhecimentos de matemática. Quando pega um papel em branco e faz um esboço, sabe mais ou menos que curva matemática está esboçando, e sabe dizer se aquele esboço é passível de ser construído ou não. Calatrava não precisa recorrer a um engenheiro calculista para saber se suas ideias são factíveis, e isso faz dele um caso interessante.

Acha difícil enxergar inter-relações entre arquitetura e matemática?

Algumas coisas são óbvias. Para quem tem prática, é fácil sugerir o círculo de curvatura de um arco. Mas, para mim, o principal desafio é captar os aspectos quantitativos que revelam a estrutura de uma construção, e essa revelação deve me surpreender. Por exemplo: pense nos arcos romanos, como aqueles que vemos em aquedutos. Quais forças laterais são geradas nessa estrutura semicircular? Para obter a resposta, precisamos de trigonometria e das propriedades básicas dos vetores. Pego as forças envolvidas e as decomponho em componentes vetoriais verticais e horizontais. Os vetores verticais têm a ver com a força da gravidade e com a massa, e nos dizem quais forças a estrutura pode aguentar. Os vetores horizontais têm a ver com as forças restantes. Num aqueduto romano, o intervalo entre os arcos é uma espécie de resposta a esses vetores horizontais. Então, a matemática me dá ideias que uma descrição verbal da construção ou que um desenho não me daria. Os antigos romanos não sabiam de nada dessas coisas todas, como é óbvio: seus conhecimentos foram obtidos por tentativa e erro. Para eles, seria impossível construir algo como a ópera de Sydney [na Austrália].

Então o conhecimento explícito de matemática influenciou a arquitetura?

sydney-operaSim: é impossível construir essas formas gigantescas sem ter um modelo matemático prévio. Só com o modelo a equipe [arquiteto e engenheiros] poderá identificar os pontos de tensão e de compressão, onde as forças laterais agem, e quais são as forças de rotação envolvidas. A ópera de Sydney mistura elementos de geometria hiperbólica, de geometria elíptica e de uma incrível geometria esférica.

Ao longo dos estudos para completar o livro, compreendi que os conhecimentos explícitos de matemática influenciaram o modo como o homem desenhou e construiu seus prédios, e além disso os grandes projetos arquitetônicos forneceram recursos financeiros e técnicos importantes para a aplicação da matemática. Ao analisar os aspectos matemáticos dos prédios ao longo da história, e também a história da matemática, achei incrível notar como ideias matemáticas novas eram logo adotadas por arquitetos. Um registro histórico da arquitetura nos dá, grosso modo, um registro histórico das ideias matemáticas, pois é impossível construir prédios como a ópera de Sydney usando o método da tentativa e erro.

Existe algum prédio que não achava interessante, mas que agora acha?

capela-le-corbusierO arquiteto Le Corbusier construiu uma capela de concreto na cidade francesa de Besançon [capela Notre Dame du Haut]. No começo da minha pesquisa, não via nada demais naquela construção. Depois de examinar sua estrutura matemática, contudo, passeia achar essa catedral muito interessante. Acabei não incluindo a capela de Besançon no livro, mas agora gosto muito dela.

Qual será seu próximo livro?

Acho que todo professor tem de perseguir o objetivo de promover a matemática entre as pessoas das gerações mais jovens. Por isso quero escrever um livro de cálculo [diferencial e integral] aplicado aos voos espaciais. Gostaria de dar resposta a perguntas como: que tipo de coisa os engenheiros e físicos têm de levar em conta para mandar uma nave espacial fotografar Saturno? {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista foi realizada pelo jornalista Felipe Dreher.

3. Como prometeu no último parágrafo da entrevista, em poucos meses Hahn publica dois novos livros: Calculus in Context: Background, Basics, and Applications; e Calculus of Planetary Orbits and Interplanetary Flight. Ambos estão em fase final de preparação: o primeiro pela Johns Hopkins University Press e o segundo pela Springer-Verlag.

Introdução ao Excel II: Como saber mais sobre mulheres lindas

Sandra Bullock

Sandra Bullock na internet


Nesta reportagem (que é a segunda de uma série de três; veja a primeira aqui), o leitor verá como um consultor de São Paulo usou as funções estatísticas do Excel para conhecer melhor umas poucas atrizes famosas.


{0}/ Lista de ilustrações

ilustracao-1Ilustração 1: A tabela Atrizes.xls mostra o ano de nascimento, o peso e a altura de várias mulheres bonitas e famosas


ilustracao-2

Ilustração 2: Como calcular o índice de massa corporal: basta dividir o peso pelo quadrado da altura


ilustracao-3Ilustração 3: Depois de preencher a fórmula do IMC para a primeira mulher, o usuário usa a cruz fina para replicar a mesma fórmula para todas as 25 mulheres da lista


ilustracao-4Ilustração 4: Com o comando =média(c2:c26), o usuário calcula a média do peso de todas as 25 mulheres de uma vez


ilustracao-5Ilustração 5: Com o Excel, o usuário calcula médias com facilidade: basta dizer onde estão os dados, que o computador faz o resto sozinho


ilustracao-6Ilustração 6: Aqui, o usuário usou o comando =med(c2:c26) para saber qual é a mediana do peso, isto é, qual peso está bem no meio da amostra


ilustracao-7Ilustração 7: Uma vez que saiba digitar o comando de mediana, o usuário consegue obter a mediana de todas as colunas que lhe interessam


ilustracao-8Ilustração 8: Sandra Bullock, Cláudia Raia, Jennifer Aniston e Jennifer Lopez têm mais de 40 anos, e puxam para cima a média de idade


ilustracao-9Ilustração 9: O desvio padrão informa até que ponto os dados estão espalhados pela reta real


ilustracao-10Ilustração 10: O usuário sabe que, mais ou menos, 68% dos dados estão entre a média menos 1 desvio padrão e a média mais 1 desvio padrão


ilustracao-11Ilustração 11: Quase todas as mulheres estão com o IMC dentro de limites saudáveis, segundo a Organização Mundial da Saúde


ilustracao-12Ilustração 12: Com a opção de filtrar números, o usuário pode ver na tela apenas as células que estejam de acordo com certos critérios


ilustracao-13Ilustração 13: O computador mostra apenas as oito mulheres cuja altura é maior que 1 metro e 70 centímetros, mas todos os dados continuam na memória



{1}/ Mulheres cuidam melhor da saúde

Gustavo Vieira, de São Paulo (SP), dá consultoria para empresas, e por isso é craque em Excel. Usando o Excel, Gustavo faz quase tudo: coleta dados automaticamente (o Excel é capaz de ir sozinho buscar um dado na internet), processa os dados, usa os resultados do processamento para analisar o desempenho da empresa que lhe contratou os serviços. Muitas vezes, Gustavo usa o Excel para entender como os impostos afetam a empresa, pois a ela deve calcular cada um dos impostos com uma base diferente: um deve ser calculado sobre o valor bruto dos salários, e outro deve ser calculado sobre o valor líquido, e outro ainda sobre o número total de funcionários (independente do salário). Seu desafio é fazer a empresa faturar mais e lucrar mais, sem contudo deixar de pagar os impostos obrigatórios, porque em geral o governo não perdoa. O que é dele, é dele.

Nas horas de folga, Gustavo escreve um blog sobre cultura pop, e mesmo para manter o blog usa o Excel. Quando sorteia livros e DVDs entre seus leitores, por exemplo, às vezes usa o Excel para sortear o leitor, visto que a planilha contém uma função de sorteio aleatório. Muita gente sabe usar o Excel bem, diz Gustavo. Em 2008, a banda AC/DC fez um clipe em Excel para a música Rock ‘N Roll Train, assim os fãs da banda poderiam ver o clipe e ouvir a música na baia do escritório — pois muitas empresas proíbem o tráfego de vídeo e de música, mas permitem o tráfego de dados do Excel…

O que Gustavo conseguiria fazer com uma planilha de dados com o peso e a altura das 25 mulheres mais lindas do mundo? (Essa planilha, feita com dados que as próprias mulheres informaram a revistas de celebridades ou de dietas, se chama Atrizes está disponível aqui.) Com uma planilha eletrônica, o usuário consegue fazer cálculos com uma grande quantidade de números, além de operações lógicas com uma grande quantidade de dados qualitativos (não numéricos). Por exemplo, Gustavo usou a planilha Atrizes para calcular o índice de massa corporal das 25 mulheres lindas. (Como mostra a ilustração 1; ele só não usou uma planilha para calcular o IMC dos homens mais lindos do mundo porque ficou com medo de, depois disso, olhar para o próprio IMC e morrer de vergonha…) Caso o analista chame o peso de P (em quilogramas) e a altura de A (em metros), a fórmula do IMC é:

equation-2

Em condições ideais de pizza e salada, o IMC deve ficar entre 18,5 e 25 (para simplificar). Gustavo lembra que, numa planilha, as colunas representam perguntas, e as linhas representam cada uma das respostas a cada uma das perguntas. Então, para a pergunta “Qual é o IMC desta linda mulher?”, Gustavo usou a coluna E; na célula E1, escreveu a palavra “IMC”. Na célula E2, bem ao lado da altura da apresentadora Angélica, Gustavo digitou a fórmula do IMC, como mostra a ilustração 2.

=C2/(D2^2)

Para fazer isso, Gustavo se perguntou: “Onde está gravado o peso da Angélica? Na célula C2. E sua altura? Na célula D2.” Feito isso, ele escreveu a fórmula do IMC usando a sintaxe do Excel. Usou C2 e D2 como se fossem variáveis; para evitar erros provocados por ambiguidades, colocou D2^2 (D22) entre parênteses, assim o Excel não ficaria na dúvida sobre o que deveria dividir pelo quê. Gustavo não pretendia digitar essa mesma fórmula para todas as 25 mulheres, e por isso, uma vez que escreveu a fórmula =C2/(D2^2) na célula E2, foi cuidadosamente com o cursor no canto inferior direito da célula E2, esperou o cursor se transformar numa cruz fina, clicou sobre o quadradinho preto e então, mantendo o mouse clicado, arrastou a janela até a célula E26. Por fim, soltou o botãozinho do clique e, como que por mágica, apareceu o IMC de todas as atrizes na coluna E (ilustração 3). Então Gustavo examinou a planilha. Nenhuma delas tem IMC maior que 25, e muitas têm IMC menor que 20.

Funções estatísticas. Muita gente se assusta com a palavra estatística, mas a estatística descritiva é fácil de entender: dado um conjunto de números, que contas o analista deve fazer para ter a capacidade de interpretar aquele conjunto de números de forma inteligente? Gustavo diz que o Excel está cheio de botões e de menus com funções estatísticas pré-programadas; basta aprender a selecionar os dados e apertar o botão correto para conhecer, por exemplo, a média aritmética do conjunto de dados. (Às vezes, esse conjunto de dados é chamado de amostra.) Se o analista tiver o conjunto de dados {a1, a2, a3, …, an}, deve calcular a média aritmética (μ) assim:

equation-3

Em palavras: para calcular a média aritmética de um conjunto de dados, como o conjunto da altura de cada uma de 25 lindas mulheres, Gustavo deveria somar cada valor e dividir a soma pela quantidade de valores, ou, o que é a mesma coisa, dividir cada valor pela quantidade de valores e adicionar todas as somas.

A média mostra nada mais que o centro de todos os dados; ela mostra o centro da soma de todos os dados, de modo que metade da soma fica abaixo da média e metade da soma fica acima da média. (Metade da soma, e não metade dos dados, pois cada dado é em geral diferente dos outros dados; pode acontecer de boa parte dos dados ficar acima da média, se um deles for baixo demais, ou boa parte dos dados ficar abaixo da média, se um deles for alto demais.) Gustavo se pergunta quanto as 25 mulheres pesam, em média. Então, ele clica na célula G2 (podia ser qualquer célula vazia) e digita “Média de peso”. Ele sabe que a informação sobre o peso está na coluna C: da célula C2 à célula C26. Sendo assim, na célula H2 (bem ao lado da coluna G2, mas podia ser qualquer célula vazia), Gustavo digita:

=MÉDIA(C2:C26)

Assim que dá ENTER, o Excel já mostra o resultado: as 25 mulheres lindas pesam, em média, 54,56 quilogramas (ilustração 4). Da mesma forma, Gustavo faz a si mesmo outras perguntas:

Qual será a altura média dessas mulheres?

E o IMC médio?

E a idade média?

Usando o mesmo método, Gustavo obtém as informações mostradas na ilustração 5: em média, essas mulheres medem 1 metro e 67 centímetros, e têm IMC de 19,63, e nasceram em 1975 e, portanto, têm em média 41 anos.

Só a média não basta para entender bem um conjunto de dados. Gustavo gosta de saber a mediana também. A mediana é o termo que está bem no meio do conjunto, se ele tem número ímpar de termos, e se está organizado em ordem crescente ou decrescente. Se o conjunto tem número par de termos, a mediana é a média aritmética dos dois termos localizados bem no centro (de novo, se o conjunto está organizado em ordem crescente ou decrescente). Se a planilha contivesse os dados de Elena Cornaro Piscopia, matemática italiana que nasceu em 1646, a média do ano de nascimento ficaria distorcida: cairia de 1975 para 1963, e a idade média subiria de 36 anos para 48 anos. Tudo isso por causa de um único valor muito abaixo da média dos outros valores.

O PIB per capita é uma média — o analista soma todas as riquezas produzidas no país e divide a soma pelo número de habitantes. Segundo o FMI, o PIB per capita brasileiro em 2011 era de 11.845 dólares por ano por habitante — algo como 1.777 reais por mês. Isso significa que, na média, todos os bebês que nasceram ontem ganham 1.777 reais por mês, assim como todos os mendigos, todas as crianças no nono ano do ensino fundamental, todos os pacientes em coma na UTI de todos os hospitais. Esse absurdo só faz sentido porque no Brasil moram pessoas muito, muito ricas.

A mediana também é uma medida de distribuição dos dados. Uma vez que Gustavo conheça a mediana, ele sabe que metade dos dados está abaixo da mediana, e metade estará acima. Com 25 atrizes, e com os dados organizados em ordem crescente ou decrescente, a mediana é o dado da atriz localizada na 13ª linha.

Gustavo vai na célula G8 e digita “Mediana do peso”. Depois disso, na célula H8, ele digita:

=MED(C2:C26)

É o que mostra a ilustração 6: a mediana do peso é 54 quilos, isto é, Jennifer Aniston. Da mesma forma, Gustavo digita os comandos necessários para conhecer a mediana da altura (1 metro e 66 centímetros), do IMC (19,49) e do ano de nascimento (1977); com o ano de nascimento, ele calcula a mediana da idade (35 anos), como mostra a ilustração 7. Uma coisa notável sobre essas 25 mulheres: em termos de peso, altura e IMC, elas são parecidas, pois a média e a mediana estão próximas uma da outra. Só na idade elas diferem mais: a mediana ficou mais longe da média, porque Maitê Proença, Sandra Bullock, Cláudia Raia, Jennifer Aniston e Jennifer Lopez têm mais de 40 anos, e puxam para baixo a média do ano de nascimento e para cima a média de idade. É o que mostra a ilustração 8.

O analista pode também medir até que ponto os dados de um conjunto estão perto uns dos outros ou longe uns dos outros, isto é, até que ponto os dados estão dispersos; para isso, ele usa a ideia de desvio padrão. A fórmula do desvio padrão (σ) é complicada:

equation-4

O que ela diz? O analista deve calcular a média do conjunto de dados (μ), depois deve tirar a média de cada um dos elementos do conjunto (de a1, de a2, de a3…), aí deve elevar essa subtração ao quadrado. Quando tiver feito isso para todos os elementos do conjunto, deve somar todos esses quadrados, dividir pelo número de elementos do conjunto e tirar a raiz quadrada dessa divisão. Pronto: obteve o desvio padrão do conjunto. A vantagem é saber que 68% dos elementos do conjunto estão localizados entre 1 desvio padrão abaixo da média (μσ) e 1 desvio padrão acima da média (μ + σ), e 95% dos elementos do conjunto estão entre dois desvios padrão abaixo da média (μ – 2σ) e dois desvios padrão acima da média (μ + 2σ). O quociente intelectual do físico Albert Einstein, por exemplo, estava localizado três desvios padrão acima da média; em outras palavras, ele era absurdamente inteligente.

Com o Excel, Gustavo calcula o desvio padrão com facilidade. Na célula G14, ele escreve “Desvio padrão do peso”, e na célula H14 escreve o comando:

=DESVPAD(C2:C26)

Gustavo obtém 4 quilos e 882 gramas, como mostra a ilustração 9. Isso significa que 68% das mulheres dessa amostra (ou 17 das 25 mulheres) pesam entre a média do peso menos 1 desvio padrão e a média do peso mais 1 desvio padrão, isto é, 17 mulheres pesam entre 49,678 quilos e 59,442 quilos. Gustavo calcula o desvio padrão das outras colunas do arquivo: o desvio padrão da altura, do IMC, do ano de nascimento e da idade, como mostra a ilustração 10.

Formatação condicional. Como vai a saúde das 25 lindas mulheres da planilha, a julgar somente pelo ano de nascimento, peso, e altura? Segundo a Organização Mundial da Saúde, o IMC de uma pessoa saudável fica entre 18,5 e 25 (para simplificar; na verdade, deve ser menor que 25). Se o IMC estiver abaixo de 18,5, a pessoa está magra demais; se estiver abaixo de 16, a pessoa está subnutrida. Se estiver entre 25 e 30, está com excesso de peso; se estiver acima de 30, está gorda demais. Gustavo checa tudo isso com uma ferramenta do Excel: a formatação condicional.

Ele atribui cores a um determinado intervalo; se o valor ficar dentro daquele intervalo, será pintado daquela cor, e assim ele terá a informação que procura batendo os olhos na planilha. “Quando minhas planilhas serão usadas por terceiros”, diz Gustavo, “uso a formatação condicional; assim eu coloco alertas visuais para quando o usuário acerta ou erra ao preencher a planilha.” Na planilha com os dados das atrizes, Gustavo marca a coluna do IMC inteira: ele clica no cabeçalho “E”. Feito isso, ele clica na aba “Início”, depois procura o grupo de botões acima da palavra “Estilo”. Um desses botões se chama “Formatação condicional”. Gustavo clica nesse botão, e escolhe a opção “Realçar regras das células”.

Em primeiro lugar, Gustavo quer ver quem está com o IMC saudável, isto é, entre 18,5 (inclusive) e 25 (inclusive). Ele clica no botão “Está entre” e preenche o formulário; pede ao Excel que pinte o IMC entre 18,5 e 25 de verde, e clica “OK”. Depois, repete o processo para IMC menor do que 18,5. Ao examinar a ilustração 11, Gustavo nota que quase todas estão dentro dos limites saudáveis, exceto quatro: Gisele Bündchen, Taís Araújo, Penélope Cruz, e Cameron Diaz. (Vale lembrar que os dados foram coletados de entrevistas publicadas por revistas de celebridades; não há garantia de que os dados sejam esses mesmos.)

AutoFiltro. Nem sempre Gustavo gosta de pintar as células, porque a planilha fica colorida demais e o leitor pode pensar que ela é mais difícil de interpretar do que na verdade é. Ele usa mais a ferramenta batizada de AutoFiltro.

Primeiro, seleciona a primeira linha inteira (a linha que contém o título em negrito de cada coluna), depois clica na aba “Dados” e, na seção “Classificar e filtrar”, clica no botão “Filtro”. Na primeira linha de cada coluna (no canto direito da primeira célula), o Excel mostra uma seta virada para baixo; Gustavo clica na seta no topo da coluna “Altura”, aparece um menu e, como mostra a ilustração 12, Gustavo clica na opção “Filtros de número” e depois na opção “É maior ou igual a”, e aí preenche o formulário: ele quer saber quais mulheres tem mais de 1 metro e 70 centímetros de altura, e o Excel mostra só as oito mulheres que satisfazem essa condição.

Gustavo chama a atenção para o número das linhas: eles não vão mais de 1 em 1, começando em 1 e terminando em 8; eles estão azuis; e no pé da planilha está escrito “8 de 25 registros localizados”. (Veja a ilustração 13.) O Excel está mostrando que os dados não sumiram, mas que o usuário está olhando para uma seleção dos dados. Com esse mesmo menu, Gustavo pode combinar as seleções: pode selecionar qual delas mede mais de 1 metro e 70 centímetros e, além disso, qual delas nasceu antes de 1970. Sobram só duas mulheres na planilha: Cláudia Raia e Sandra Bullock.

Para exibir de novo todos os dados, Gustavo clica no pequeno funil no topo de cada coluna usada como critério de seleção, depois clica na opção “Selecionar tudo” e clica em “OK”. A tabela volta a ser como era antes, e aí Gustavo usa o AutoFiltro para testar a ideia de distribuição normal, isto é, a ideia de que 68% dos dados de uma amostra estão entre 1 desvio padrão abaixo da média (μσ) e 1 desvio padrão acima da média (μ + σ). Ele clica no filtro da coluna “Peso”, e escolhe a opção “Está entre”, e preenche o formulário: quer saber quais mulheres têm peso entre 49,678 quilos e 59,442 quilos. Ficam 19 mulheres na planilha — e 17 mulheres era o número mágico. O que aconteceu? Bem, a amostra é muito pequena, e é comum que a distribuição normal não se revele perfeitamente em amostras pequenas demais; além disso, as informações sobre as atrizes podem estar erradas, ou porque as revistas não apuraram as informações direito, ou porque alguma atriz mentiu a respeito do peso.

Gustavo diz que, qualquer dia desses, vai convidar Cameron Diaz para jantar. O oráculo de Delos diz que a probabilidade de sucesso de tal empreitada é menor que 0,01%, não porque Gustavo seja feio, mas porque é bem provável que Cameron ganhe mais caso permaneça magra. {FIM}


 


{2}/ Apêndice: Algumas fórmulas úteis

=SOMA(C3:C25)

Soma todos os valores contidos na célula C3 (inclusive) à célula C25 (inclusive). O usuário pode somar os valores de várias colunas; por exemplo, se tem uma linha para cada produto à venda e uma coluna para as vendas de cada mês, pode somar os valores de várias colunas, para saber as vendas de vários meses.

=MÉDIA(D30:D100)

Calcula a média dos valores contidos na célula D30 (inclusive) à célula D100 (inclusive). Neste caso, o usuário deve tomar o cuidado de calcular a média de valores do mesmo tipo: a média do peso, ou a média da altura, ou a média das despesas com cinema, mas nunca a média do peso e da altura, ou a média da altura e das despesas com cinema. Enfim, o usuário deve tomar o cuidado de comparar laranjas com laranjas e bananas com bananas.

=MED(INICIAL:FINAL)

Informa a mediana, ou o valor bem no meio de uma amostra organizada em ordem crescente ou decrescente. (O usuário não precisa se preocupar em organizar a amostra, contudo; o Excel faz isso sozinho.) De novo, o usuário deve tomar o cuidado de comparar maçãs com maçãs.

=DESVPAD(INICIAL:FINAL)

Desde que o usuário tome os mesmos cuidados que tomou com a média e a mediana, vai achar útil conhecer o desvio padrão. É uma medida de dispersão dos dados: desvio padrão igual a 0 significa que os dados são todos iguais e, a partir de 0, quanto maior o desvio padrão, mais dispersos estão os dados ao longo da reta real. No caso de dados cuja distribuição é normal, como é o caso de muitos dados relativos às coisas humanas, 68,2% dos termos de uma amostra ficam a 1 desvio padrão de distância da média aritmética da amostra.


Fonte: Wikipedia/ MT

Fonte: Wikipedia/ Mwtoews


{3}/ Apêndice: A distribuição normal

Estatísticos usam muito essa distribuição (ou curva), porque uma grande quantidade de experimentos tende a produzir resultados que são distribuídos normalmente: eles plotam num gráfico o valor de cada termo de uma amostra (no eixo x) e o número de vezes que aquele valor apareceu (no eixo y) e, quanto maior o número de termos dentro duma amostra, mais o gráfico se parece com o sino da distribuição normal. O gráfico diz que a probabilidade de que um termo da amostra tenha valor perto da média aritmética μ é maior que a probabilidade de o termo tenha um valor muito longe de μ. {❏}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 16, maio de 2012, pág. 48. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada, embora eu tenha alterado poucas das informações que valiam em 2012.

2. A entrevista e a maioria das explicações técnicas são do jornalista Marcelo Soares, que é especialista em análise de dados.

3. Na próxima reportagem desta série (a terceira e última), o leitor verá como usar o Excel para produzir gráficos, inclusive gráficos dinâmicos.

Imenes e Lellis: Reforma do ensino médio

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{1}/ Introdução: Dois tipos de autor

Grosso modo, você pode classificar os autores de livros didáticos em duas classes.

Numa delas fica o autor cujo propósito é ajudar o professor de matemática a dar a aula que já se acostumou a dar. Tal autor não pede ao professor que mude seus métodos: se o professor está acostumado a dar uma breve explicação teórica (com as definições todas prontas), a mostrar uns poucos exemplos à classe, e a passar exercícios do tipo “façam como eu fiz”, então esse autor escreve livros assim: breve texto de introdução (com definições), alguns exemplos, vários exercícios parecidos com os exemplos. Se o professor está acostumado a explicar em detalhes todas as funções, e depois delas as progressões, então esse autor escreve livros assim: tudo sobre funções, e depois disso as progressões. Essa classe de autores vende bastante porque, no Brasil, a maioria dos professores dá aulas de matemática dessa forma: a sequência de assuntos é mais ou menos a mesma faz 30 anos, talvez mais, e a estrutura das aulas é: definições, exemplos, exercícios parecidos com os exemplos.

Na outra classe ficam autores como Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. Eles acham que o aluno deve construir sozinho uma parte razoável de seus conhecimentos matemáticos. Logo, o professor deve ajudá-lo a examinar várias ocorrências matemáticas, a ver repetições e coincidências, a elaborar conjecturas sobre tais repetições e coincidências (e, para elaborar uma conjectura, o aluno tem de escrever suas próprias definições), a tentar provar que suas conjecturas estão corretas (não tem importância que a prova seja informal). Só depois disso o professor dá as explicações convencionais, e ajuda o aluno a fundir o que descobriu por conta própria com o que os matemáticos já sabem faz tempo.

Só que dar aulas dessa maneira dá mais trabalho. “Com os nossos livros”, diz Imenes, que é o mais falante dos dois, “não dá para ir para a sala de aula sem preparar a aula antes. Isso é uma ideia natural para gente como eu ou o Marcelo, mas parece que esse hábito de preparar a aula antes está ficando cada vez menos frequente…”

Imenes e Lellis hoje são os autores responsáveis por uma das coleções da Editora Moderna, feita para o ensino fundamental. Estão interessados em produzir uma coleção para o ensino médio, e por isso têm lido bastante sobre o assunto, e conversado com professores de todo o Brasil. É o que justifica a entrevista, que ocorreu na casa de Imenes em São Paulo.

No texto a seguir, NR significa “nota do redator”. Serve para ajudar o leitor a compreender certos pontos que, durante uma conversa cara a cara, redator e entrevistados assumem tacitamente.


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{2}/ A entrevista em si

É realmente necessário reformar o ensino médio?

Lellis: Sim. Uma das críticas que fazemos ao ensino médio, pelo menos o ensino médio de boas escolas, é que ele é muito enciclopédico. O que o aluno estuda de biologia é muita biologia, o que estuda de química é muita química, e o que estuda de matemática é muita matemática. Isso me parece uma grande injustiça com o aluno, porque ninguém pode ser assim tão enciclopédico em todas as matérias.

É por isso que, depois do vestibular, se o aluno entra em medicina, ele esquece quase tudo o que estudou de física, geografia, matemática. Tudo o que não é correlacionado com medicina, ele acaba esquecendo.

O triste não é que ele se esqueça dos mutíssimos detalhes técnicos das disciplinas que não usa mais no dia a dia: ele se esquece também das ideias fundamentais.

[NR: É como se as ideias fundamentais estivessem, de algum modo, conectadas aos detalhes técnicos. Quando o cérebro arquiva os detalhes técnicos há muito tempo sem uso, parece que também arquiva as ideias fundamentais com eles, e o aluno perde tudo o que um dia veio a saber. Isso, é claro, presumindo que ele tenha estudado adequadamente as ideias fundamentais, o que possivelmente não é o caso.]

imenes_moritaImenes: Conheci uma professora de história que dizia: todos nós queremos entender melhor o mundo. Ao estudar uma disciplina, é como se você ganhasse um par de óculos para olhar o mundo à luz daquela disciplina, e com isso pode ter uma visão mais rica da realidade. Com os óculos da geografia, por exemplo, você entende um monte de aspectos desse mundo, e a mesma coisa acontece quando coloca os óculos da literatura, da matemática, da filosofia, da física.

Esses óculos são o que a escola básica [= fundamental e médio] deveria proporcionar a todo cidadão, não importa se ele depois vai ganhar a vida como advogado ou como açougueiro.

Mas fica difícil fornecer ao aluno os óculos da matemática, por exemplo, quando ele gasta um semestre inteiro estudando tudo de trigonometria. Para citar um dos exageros comuns no ensino médio, acho que só especialistas têm de saber resolver equações e inequações trigonométricas. Não faz sentido ensinar isso a todo o mundo, isto é, isso não faz parte da educação básica de ninguém. Contudo, em toda disciplina é a mesma história: em vez de dar esse par de óculos tão especiais, com os quais o aluno pode olhar o mundo de um jeito diferente, a escola dá um monte de detalhes técnicos que só interessam a especialistas, e no fim das contas o aluno não fica com quase nada.

Lellis: São muitos detalhes, e, na cabeça do aluno, tudo fica muito fragmentado.

Imenes: Para o aluno, parece que a reta no capítulo de geometria analítica tem pouco a ver com a reta no capítulo de funções. Parece que progressões aritméticas e geométricas são uma coisa, funções logarítmicas e exponenciais são outra.

Lellis: E aquelas equações da reta com vários nomes? Equação geral da reta, equação segmentária da reta, forma normal ou forma de Hesse, equação paramétrica da reta, equação paramétrica reduzida… [risos, quase sem ar] São formas da mesma coisa! Você transforma uma forma na outra com só um pouquinho de álgebra! Do ponto de vista do aluno, no entanto, ele tem de saber nomes diferentes para fórmulas diferentes.

Imenes: O aluno sai do ensino básico sem ter uma noção do papel do cálculo diferencial e integral na construção da ciência moderna. Não estou dizendo que ele precisa saber calcular derivadas e integrais — porque não precisa. Mas, em vez de gastar um tempão estudando equações e inequações trigonométricas, que só têm importância na vida do especialista, o aluno gastaria melhor seu tempo caso se dedicasse a ideias bonitas e fortes. Ele não precisa estudar as geometrias não euclidianas, mas precisa saber que tais geometrias existem — e, aliás, precisa conhecer seu papel na teoria da relatividade, que é uma das ideias mais importantes da física atual.

Lellis: Veja a incongruência: o aluno sai do ensino básico tendo visto um monte de matemática que vai esquecer logo depois do vestibular, mas sem conhecer o que é uma demonstração matemática. Ele não sabe que, para o matemático, a demonstração é como se fosse o experimento com o qual vai validar ou invalidar sua conjectura. Se ele soubesse isso, seria muito bom, pois essa ideia é de grande valor histórico e filosófico; mas a verdade é que ele sai do ensino médio sem saber direito o que significa a palavra “teorema”.

Aliás, pensando bem, o aluno sai da Escola Politécnica sem saber direito o que significa “teorema”…

Imenes: A maioria das pessoas vê a matemática como um conjunto de dogmas, um conjunto de verdades que caiu do céu e que são absolutas. Aliás, muitos professores de matemática na escola básica também veem a matemática assim.

Isso não pode!

Lellis: [falando por cima] Ou pelo menos a gente acha que não pode!

Imenes: [retomando] Todas as afirmações matemáticas, sem exceção, são relativas. Elas são da forma “se isso é verdade, então aquilo é verdade”. É o exato oposto das verdades absolutas! Mas a escola básica em geral, e o ensino médio em particular, passa essa imagem completamente deformada do que é a matemática.

[NR: Um exemplo, para deixar esse ponto tão importante mais claro. Suponha esta afirmação matemática:  + 1 = 0. Se está pressupondo que só deve atribuir valores reais a x, então tem de se render ao fato de que a equação não tem solução. Contudo, em vez disso, mude as condições do problema: encare os números não como pontos numa reta orientada, mas como deslocamentos no plano, e invente uma álgebra de deslocamentos que funcione de modo muito parecido com a álgebra usual de números reais. Pronto! Agora você tem um sistema de números complexos, no qual há solução para a afirmação  + 1 = 0; ela é x = ±i, sendo  = –1. A matemática é um negócio incrivelmente flexível.]

Lellis: É claro que algumas coisas sempre se salvam. Talvez o aluno resolva uns poucos problemas interessantes, e se lembre deles pelo resto da vida. Mas, mesmo assim, a escola básica não passa o significado filosófico da matemática.

Quais são os pontos do ensino médio que, na opinião de vocês dois, são difíceis de reformar? Em outras palavras: quais são os problemas que, entra ano, sai ano, permanecem essencialmente os mesmos?

Imenes: É difícil tirar do ensino médio seu caráter propedêutico. [Um curso propedêutico é o curso por meio do qual o aluno se prepara para outro curso.]

Um vez, faz uns dez anos, houve um encontro de professores de matemática em Brasília, e houve uma sessão conduzida pelo coordenador do vestibular da Universidade de Brasília, que, na ocasião, também era o chefe do departamento de matemática da UnB.

Vale lembrar que a UnB foi pioneira ao realizar mudanças importantes no vestibular, pois ela queria atrair alunos de perfil mais autônomo, mais questionador.

Esse coordenador nos contou a seguinte história: todo ano a UnB chama os professores de colégios e de cursinhos para explicar qual é o perfil dos alunos que a universidade está procurando, e, em razão disso, como vai organizar o vestibular em linhas gerais.

Então, naquela ocasião, a UnB perguntou aos professores: “A prova que temos aplicado nos últimos vestibulares é condizente com esse nosso discurso? Ou estamos dizendo uma coisa, mas, no vestibular, fazendo outra?”

Todos os professores presentes foram unânimes ao dizer que o vestibular da UnB era coerente com o perfil de aluno que a universidade ambicionava.

E então ele perguntou:

“Se é assim, por que vocês não mudam o ensino médio? Vocês diziam que não mudavam o curso porque o vestibular não deixava. Nós mudamos o vestibular, mas vocês continuam fazendo a mesma coisa!” [risos]

Com essa história quero ilustrar um aspecto do ensino médio que, parece, ninguém consegue mudar há décadas: essa tendência à propedêutica.

[NR: Parece que ninguém consegue montar um curso de ensino médio que seja valioso por si mesmo, isto é, que atraia os alunos por seus próprios méritos, e não porque prepara o aluno para o vestibular.]

Lellis: Existe uma obsessão por detalhes técnicos, que podemos explicar mais ou menos assim: é mais fácil fazer provas recorrendo a detalhes técnicos. É assim até na faculdade: você pede ao aluno que calcule o valor de uma derivada. Se o aluno sabe fazer o cálculo, sabe a matéria. Se não sabe fazer o cálculo, não sabe a matéria.

Contudo, sabemos que não é assim: é mais importante conhecer as ideias, os conceitos. Só que fazer uma prova com questões sutis da teoria, que obrigará o aluno a redigir a resposta em bom português, bem, esse tipo de prova é muito difícil de corrigir…

Imenes: Além da obsessão com a técnica, existe a obsessão de ensinar tudo, de cumprir o cronograma. Mas, como já dissemos, o currículo é detalhado demais, de modo que o cronograma é apertado demais.

Outro dia, eu participei da Semana da Licenciatura na Universidade Federal Fluminense; eles me convidaram para a palestra de encerramento. Em várias sessões, os participantes discutiram a questão muito grave que é a formação dos professores em cursos de licenciatura. Uma das professoras, que dá aulas de cálculo, me perguntou: “Se você estivesse no meu lugar, o que faria?”

Isso me deu o gancho para lhes contar uma história. Vou contá-la agora, mas sem entrar em muitos detalhes.

Uma vez, eu e outros professores ajudamos uma faculdade de São Paulo a montar um curso de licenciatura em matemática. Isso foi na década de 1970.

Coube a mim dar dar o curso de geometria analítica. As ementas do curso vinham do MEC. Eu teria de dar uma breve retomada na geometria analítica plana do ensino médio, depois teria de ir para o R3, e daí teria de generalizar para Rn.

[NR: R3: espaços euclidianos de dimensão 3, isto é, espaços tridimensionais, nos quais existe a noção de que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Rn: espaços euclidianos de dimensão arbitrária.]

A primeira turma tinha 50 alunos. Dois deles queriam de fato fazer matemática. Os demais só se matricularam no curso de licenciatura em matemática porque não puderam passar no curso que realmente queriam. Boa parte da classe tinha vindo do Mobral. [Movimento Brasileiro de Alfabetização; era um programa de alfabetização funcional. Hoje, suas funções são cumpridas pelo EJA, Ensino de Jovens e Adultos.]

Na primeira semana de aula, descobrimos que a maioria dos alunos não sabia resolver um sistema de equações, não conhecia o teorema de Pitágoras, e assim por diante.

Lellis: Esses cursos de licenciatura eram baratos, e naquela época o Brasil precisava muito de professores.

Imenes: Nós, os professores, e a direção da faculdade fizemos várias reuniões para decidir o que fazer. Se fizéssemos um curso de acordo com as ementas do MEC, sabíamos que os alunos não iriam aprender nada, e seríamos obrigados a fingir que ensinamos, os alunos seriam obrigados a fingir que aprendem, e a faculdade seria obrigada a fingir que avalia os alunos.

Decidimos deixar as ementas de lado e ensinar o que fosse necessário ensinar.

O aluno não sabe o que é equação polinomial de primeiro grau? Não tem importância: a gente ensina. Não sabe o que é o teorema de Pitágoras? A gente ensina. A única regra, que dissemos aos alunos claramente, era: É proibido não querer aprender. Mas é permitido não saber alguma coisa: não tem importância, vamos ensinar.

Preciso dizer que não cheguei nem perto de ensinar a geometria analítica generalizada para espaços de dimensão n?

Então, voltando à Semana da Licenciatura na UFF, eu contei essa história e disse mais o seguinte: 90% do professorado brasileiro é oriundo das camadas sociais mais desfavorecidas. Esse pessoal estudou nas escolas públicas tais como elas existem hoje, e não naquela escola pública idealizada do passado. Teve poucas oportunidades na vida, e veio de um ambiente familiar no qual não havia conversas sobre literatura, filosofia, matemática. E daí o jovem entra num curso de licenciatura em matemática, até porque é difícil não entrar num curso desses. E por fim ele faz cursos de cálculo 1, 2, 3, e 4, além de cursos sobre álgebra linear, geometria analítica, probabilidade e estatística… Todos sabem que ele não vai aprender muita coisa — pois é impossível aprender matemática começando pelo cálculo!

Ele se forma e passa a dar aulas.

Acontece então uma coisa curiosa: muitos desses alunos entram em cursos de pós-graduação do tipo Gestar, do MEC, nos quais o aluno estuda os assuntos que ele deve ensinar em sala de aula, e estuda também métodos pelos quais ensinar esses assuntos. [Gestar: Programa Gestão da Aprendizagem Escolhar; é um curso de 300 horas, específico para professores atuantes na rede pública.] Até hoje, nunca vi um professor que tivesse passado por um curso desses e que não fosse só elogios.

Minha proposta à plateia da UFF foi:

“Vamos ensinar na graduação o que hoje o Gestar ensina na pós-graduação. E vamos ensinar na pós-graduação o que hoje ensinamos na graduação. Havendo um programa de educação continuada, o professor vai aprender cálculo, álgebra linear, análise, teoria dos números na pós-graduação. O caso é que estamos numa situação de emergência: o Brasil precisa que façamos assim.”

Eu disse isso, mas tenho a consciência de que nunca será feito dessa maneira.

Contei toda essa história para chegar ao seguinte ponto: temos de fazer a mesma coisa no ensino médio, isto é, ensinar o que é necessário ensinar, ensinar bem as ideias fundamentais, de forma a dar ao aluno aqueles óculos com os quais olhar a realidade de modo especial.

Agora, pouca gente sabe disso, mas a quantidade de aulas de matemática por semana varia muito Brasil afora — vai de duas aulas por semana a sete aulas por semana. Além disso, o perfil do alunado também varia muito. O que um professor precisa fazer se deseja dar um curso de matemática em tantas aulas para um alunado assim e assado? Ele precisa fazer um planejamento, isto é, fazer escolhas.

É possível dar um excelente curso de matemática em duas aulas por semana? Sim, é possível, desde que o professor não dê o mesmo curso que daria se tivesse cinco aulas por semana.

Mas, de modo geral, o professor não consegue fazer essa adaptação. Dá sempre o mesmo curso, não importa se tem duas aulas por semana ou cinco aulas por semana. Pois, para planejar um curso conforme o número de aulas e o perfil da classe, o professor precisa ter a capacidade de dizer o que vai ensinar e o que não vai ensinar. Poucos têm essa capacidade, e, além disso, poucas escolas dão essa autonomia ao professor.

Se vocês pudessem reformar umas poucas coisas, o que reformariam?

Imenes: Uma vez, eu e o Marcelo levamos a uma editora um projeto assim: escreveríamos um livro para o ensino médio em duas partes. Primeiro, haveria um livro básico, com aquilo que realmente as pessoas precisam saber de matemática de nível médio caso nunca mais venham a estudar matemática. Depois, haveria um livro para quem tivesse tempo de ir mais longe.

A editora gostou do projeto, mas, antes de investir nele, decidiu entrevistar vários professores. O Marcelo assistiu às entrevistas, atrás de um vidro espelhado.

[Marcelo Lellis sorri com a lembrança.]

Acho que, se ele pudesse, enforcava os professores! [risos] Eles caíram de pau sobre o projeto, porque querem dar sempre o mesmo curso, sempre do mesmo jeito, e em geral esse curso é do tipo “arme e efetue”.

A editora desistiu, mas até hoje achamos que esse é o melhor jeito de organizar um curso de matemática para o ensino médio. E essa ideia está mais presente hoje em dia, a ideia de diversificar o ensino médio, isto é, de dar um curso de matemática diferente para vocações diferentes. Na França, há quatro tipos de curso de matemática para o ensino médio. Na Alemanha também há vários tipos. Digamos assim: seria bom fazer um curso de matemática no ensino médio voltado para o comércio e as finanças, outro voltado para as ciências exatas, outro voltado para as ciências biológicas, outro voltado para as humanidades.

Só que isso pressupõe um curso em duas etapas: uma etapa comum a todos, e uma de especialização conforme a vocação.

Lellis: Nessa primeira etapa comum a todos, o aluno precisa focar nas ideias fundamentais. Ele não precisa aprender a calcular determinantes. Ele precisa ter uma boa ideia das noções mais importantes, de seu escopo, até que ponto são úteis na resolução de certos problemas; e precisa também conhecer os problemas mais típicos associados a certa noção importante. Precisa conhecer o valor histórico e filosófico dessas noções.

Imenes: Em todas as etapas do ensino básico, devemos ensinar matemática de modo que haja reflexão, discussão de conceitos, boas explicações. Em qualquer nível da matemática escolar, se não houver boas explicações, haverá dogmas, e aí já não estamos mais falando de matemática, mas de um arremedo de matemática.

Lellis: Por exemplo, no ensino médio, professores e alunos têm de perceber quando alguém está recorrendo a uma indução vulgar para justificar alguma coisa.

[NR: Quando o aluno estuda um objeto matemático qualquer e percebe que certa propriedade vale para n = 1, 2, 3, …, k, talvez conclua apressadamente que a propriedade vale para todo valor inteiro positivo de n. Isso é uma indução vulgar, que é perigosa, pois com frequência é falsa. Por exemplo: n2 + n + 41 produz números primos para n = 1, 2, 3, …, 39. Se o aluno concluir que pode usar a expressão para obter números primos para todo valor inteiro positivo de n, fez uma indução vulgar e errou, pois, ao pensar em n = 40, deve obter 1.681, que não é primo.]

E o que vocês acharam da proposta de reforma do ensino médio do governo Temer?

Imenes: A forma como essa reforma está sendo proposta, por decreto, por medida provisória, não me parece o melhor jeito de fazer uma reforma na educação.

Todo mundo está desconfiado, mas, com um ministro da educação que recebe o Alexandre Frota, acho que todos têm motivo para ficar desconfiados… [risos]

Lellis: É importante notar que o governo não anunciou nenhuma medida concreta. Ele ainda vai propor um currículo base para o ensino médio. Até lá, só podemos nos pronunciar em termos muito gerais.

Imenes: Dito isso, uma reforma no ensino médio é uma iniciativa louvável. A ideia de diversificar o ensino médio, de haver ensinos médios diferentes para vocações diferentes, é uma coisa boa. Quero dizer, essa é uma ideia boa qualquer que seja o governo, e qualquer que seja o modelo.

Lellis: Mas só temos condições de dizer se isso vai realmente acontecer quando vier a BNCC [Base Nacional Comum Curricular]. Porque o texto da medida provisória remete à BNCC, de modo que só quando pudermos estudar a BNCC vamos ter ideia de como eles pretendem organizar de fato o ensino médio.

[NR: Por enquanto, só existe um esboço de BNCC no website do MEC, que é mais detalhado para o ensino fundamental e menos detalhado para o ensino médio.]

Imenes: Acho que uma boa reforma do ensino médio depende de a sociedade brasileira ter uma clareza muito maior do que ela quer do ensino básico, em geral, e do ensino médio, em particular. A sociedade precisa decidir isso com clareza, por meio de um debate vigoroso; é por isso que não acho adequado reformar o ensino médio por decreto.

Uma reforma malfeita deve incorrer em quais problemas?

Imenes: Como já dissemos, o ensino médio brasileiro têm essa inércia absurda. Mudam os vestibulares, surge o Enem, muda o Enem, mas o ensino médio permanece mais ou menos o mesmo. Eu viajo pelo Brasil, e sei que o ensino médio mudou muito pouco em todo lugar. Contudo, ele é objeto de críticas há muitas décadas; se você pensar bem, isso é uma coisa muito esquisita.

O problema é que o ensino médio ficou muito abandonado nas discussões. Olhe a produção acadêmica: quase todas as discussões, os debates, as pesquisas, são sobre o ensino fundamental. Sabe por quê? A educação fundamental melhorou muito quando a turma da matemática fez parceria com a turma da didática, com a da pedagogia, com a da psicologia. Só que especialistas em didática, pedagogia, e psicologia em geral só conseguem acompanhar as discussões sobre a matemática do ensino fundamental 1; muitos já sentem dificuldades com os temas do ensino fundamental 2. Esse é outro motivo pelo qual o ensino médio ficou abandonado.

Acho que a universidade brasileira tem uma dívida impagável com a escola básica, especialmente o ensino médio. Isso porque a universidade nunca deu muita bola para o ensino básico. Me diga o nome de uma única universidade brasileira na qual o curso de pedagogia ou de licenciatura tem o mesmo status do curso de medicina, engenharia, ou direito.

Então, de modo geral, especialistas de universidades não sabem como deveríamos ensinar matemática na escola básica. É claro que há exceções, mas o panorama é esse: não sabem. Eles não têm prática com a sala de aula, cujas características no Brasil variam muito. Mas são esses especialistas que escrevem as reformas — até porque eles acham que sabem como se ensina matemática na escola básica.

Lellis: Quero voltar um pouco à BNCC, ao que sabemos sobre ela por enquanto. [O texto sobre a BNCC no website do MEC é dividido em duas partes: uma introdução, explicando as ideias que serviram de referência para as decisões, e uma sugestão de assuntos ano a ano; Marcelo se refere a tais sugestões como “objetivos”.] Nos objetivos, a BNCC diz que você deve explicar a crianças de 9, 10, 11 anos a propriedade das igualdades: se você adicionar uma certa quantidade dos dois lados de uma igualdade válida, a igualdade permanece válida.

Nessa idade, essa ideia não é nada simples. Mesmo assim, está lá nos objetivos para essa idade.

E o texto da BNCC está cheio de coisas desse tipo: fica claro que foi escrito por gente que não têm experiência com sala de aula, e que não acompanha a pesquisa acadêmica sobre didática da matemática. Essa gente acha que certas ideias são importantes, e devo dizer que algumas realmente são, mas as coloca no ano errado.

Imenes: Quer ver outro exemplo de contradição?

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais [que a BNCC vai substituir], a álgebra está dentro do eixo de números e operações, isto é, ela não foi salientada à parte. Na BNCC, ela foi salientada à parte: é um quinto eixo. Tudo bem: quanto a isso, não vejo nenhum problema.

No fundamental 1, trabalhar com álgebra é trabalhar com padrões, com regularidades, com leis de formação, para que o aluno aprenda a fazer generalizações.

[NR: Um exemplo: Se você coloca um cubo sobre a mesa, quantas faces do cubo pode ver? Cinco. (Supondo que sua mesa não seja transparente.) Se você empilha dois cubos sobre a mesa, quantas faces dos dois cubos pode ver? Cinco do cubo de cima, quatro do cubo de baixo. (Supondo que seus cubos não sejam transparentes.) Perseguindo pensamentos desse tipo, o aluno deve chegar a algo como F = 5 + 4D, isto é, o número F de faces que pode ver é igual a cinco faces do cubo de cima mais quatro vezes o número D de cubos debaixo do cubo de cima.]

Em outras palavras, o aluno entra no mundo da álgebra pela porta das funções. O professor trabalha com essas regularidades, e o aluno aprende a expressar conclusões gerais por meio de funções, e entende que a linguagem algébrica, se não nasceu para tais conclusões gerais, serve bastante bem para expressá-las.

Quero dizer, primeiro o aluno tem um contato com o x variável, digamos assim. Depois de alguma prática com isso, aí ele tem o primeiro contato com o x incógnita.

[NR: Se o aluno pode ver 37 faces nos cubos empilhados, quantos cubos estão empilhados? Agora, D virou uma incógnita.]

Há uma grande quantidade de pesquisa acadêmica dizendo que esse é o melhor jeito de ensinar álgebra. Quando eu li o texto de introdução da BNCC, fiquei contente, e pensei: “Puxa, que legal, essa vai ser a proposta desta vez.” Quando fui examinar os objetivos do quarto ano [terceira série], estava lá: aprender a resolver equações. Isso é o mesmo que aprender a achar o valor da incógnita.

Lellis: Eles propõem problemas de repartição no sexto ano. São aqueles problemas do tipo “você tem três irmãos, o primeiro recebe o dobro do terceiro”, etc. Na verdade, esse tipo de problema desapareceu do sexto ano faz uns 30 anos.

Eu não acho essa contradição específica muito grave, mas o problema é que há uma grande quantidade de contradições assim. Eles simplesmente acham que o aluno tem de aprender certa ideia em certo ano, para daí aprender outra ideia num ano mais à frente, mas isso saiu da cabeça de alguém sem prática com sala de aula, e que não se atualizou. Isso não saiu da pesquisa acadêmica mais recente sobre didática da matemática.

Então, mais uma vez, o único jeito de saber se essa reforma do ensino médio vai ser boa é ver o detalhamento da BNCC, já que o texto da medida provisória remete à BNCC. Dadas as contradições que por enquanto pudemos detectar, não temos como saber se essa reforma vai gerar coisas boas.

Precisamos mesmo de um currículo nacional? O mundo está cheio de livros maravilhosos — não podemos simplesmente listar os livros de matemática que os alunos de ensino médio deveriam ler, possivelmente com a ajuda de seus professores?

Imenes: Toda vez que vou a uma escola, na condição de autor, para discutir algum aspecto técnico com a equipe de matemática da escola, raramente alguém me faz uma pergunta que já não esteja esclarecida no manual do professor.

Isso significa que raramente alguém lê o manual do professor.

Lellis: Além disso, incluímos nos nossos livros textos escritos especificamente para que sejam lidos pelo aluno antes da aula. O professor pode passar o texto como lição de casa, e na aula seguinte tem condições de conduzir a aula de uma maneira mais rica, pois o aluno já teria tido um primeiro contato com algumas ideias importantes.

Daí, na aula seguinte, o professor pergunta: “Vocês leram?” Invariavelmente uma parte grande da sala não leu. Parece que, no Brasil, é proibido ler.

Imenes: O que estamos querendo dizer é que a sala de aula é muito heterogênea. Um livro didático é especialmente desenhado para que não “trave” a aula, isto é, é especialmente desenhado para ajudar o professor a dar aulas em condições reais, e não ideais. De certa forma, portanto, não é bem um livro.

Além disso, nada impede o professor de usar um livro didático e de pedir à classe que leia algum outro livro. [NR: Sugestão: Tio Petros e a Conjectura de Goldbach.]

Uma questão importante: no papel, não há nenhuma briga sobre “como ensinar”. Todos concordam com as mesmas coisas: o aluno deve ser o protagonista do próprio aprendizado, a escola deve usar tanto quanto possível as novas tecnologias, os métodos devem incentivar a ação e desestimular a passividade, a leitura deve ter papel importante, etc.

Na prática, contudo, cada um faz do seu jeito — mas todos dizem que estão fazendo a mesma coisa.

Apesar disso, eu sou um otimista. Acho que tudo isso pelo que estamos passando faz parte de nosso aprendizado, e um dia vamos saber como ensinar matemática na escola básica. {FIM}


Observação: As fotos dos entrevistados são do fotógrafo Gustavo Morita.

E se o Minotauro enfrentasse matemáticos?


Todos os dias as pessoas tomam várias decisões parecidas com aquelas que um matemático toma ao resolver labirintos — que ele chama de dédalos. Se mais gente entendesse um pouco de labirintos, o Minotauro ficaria numa situação difícil.

Lembrete: Para um sujeito mal-humorado, um labirinto, como o de Creta, não tem graça, pois a pessoa tem de tomar só duas decisões em cada ponto: na entrada, se entra ou não; no centro, se volta ou não; numa bifurcação, se vai pela direita ou pela esquerda. É que especialistas só usam a palavra “labirinto” para labirintos muito simples, e o labirinto de Creta é simples. Assim, nesta matéria, o que chamamos de labirinto é, na verdade, um dédalo, que é um objeto matemático cheio de problemas atraentes.

labirinto-1

O labirinto de Creta e seu grafo, isto é, sua representação gráfica mais simples


 

{1}/ Labirintos, grafos, computadores

Um casal sai de carro para jantar num restaurante; ela ao volante, ele de copiloto. O marido digita no GPS o endereço do destino e o sistema exibe três rotas: A, B e C. Ele escolhe a mais curta, que leva ao restaurante em 14 minutos, passando por grandes avenidas. Entre a origem e o destino, há centenas de rotas distintas, que passam por combinações de ruas de todo tipo; entre elas, há inclusive a maior rota de todas, a que passa por todas as ruas da cidade. Mas o sistema escolhe apenas três, pois especialistas o programam com ideias muito parecidas com aquelas que um matemático usaria para resolver labirintos. Visto que uma cidade é um labirinto bem complexo e com múltiplas soluções, o especialista deixa de procurar a solução como chegar ao destino e passa a procurar como chegar ao destino pelo caminho mais curto ou pelo caminho que signifique menor gasto de tempo.

No mapa, pode visualizar as ruas como os corredores do labirinto, os quarteirões e cruzamentos em que não pode entrar como as paredes que determinam um corredor. Ao colocar o endereço no aplicativo, o marido na verdade está perguntando ao sistema: Qual o melhor jeito de chegar ao restaurante? Aqui “melhor” talvez signifique “evite grandes avenidas com trânsito, ou bairros perigosos, ou blitze policiais”. Algo útil caso estivesse também num labirinto com armadilhas ou jogando Pac-Man. Após o jantar, o casal usa o GPS para encontrar o melhor trajeto de volta para casa. Ao traduzir essa situação para um labirinto, poderia refazer a pergunta: É possível chegar ao centro do labirinto? (O centro é um ponto determinado pelo criador do labirinto, e algo que ilustra o destino do casal.) Contudo, o motorista está em vantagem em relação ao sujeito no labirinto, pois conhece a região, ou tem um mapa. Quando se perde num bairro desconhecido, usa uma ideia eficiente na resolução de labirintos: “Já passei por essa padaria agora há pouco.” Se for bom de memória, não entrará de novo na rua que o levou ali.

Milhões de pessoas tomam todos os dias decisões parecidas com as de quem resolve um labirinto. Quando usam o metrô, se perguntam: “Quantas baldeações devo fazer para chegar à estação X? Será que se fizer a baldeação na estação A e não na B, chego mais rápido? Evito mais tempo de fila?” Seja o trajeto no metrô, no labirinto ou no mapa da cidade, os problemas são essencialmente os mesmos e o matemático pode estudá-los com topologia de redes. Transforma o labirinto num grafo (um diagrama de pontos e linhas) e analisa apenas o que é essencial. Não precisa, se não quiser, levar em conta a distância entre os pontos ou entre as linhas. Por isso o mapa do metrô é eficiente: o usuário não está interessando na distância entre uma estação e outra, mas sim nas diferentes formas de chegar a uma estação passando pelo menor número de pontos. Contudo, há diferenças importantes entre uma situação e outra, como entre o grafo da cidade, que tem linhas orientadas (as ruas de mão única), e o grafo do metrô, no qual pode passear nas linhas em ambas as direções.

Christopher Budd, professor de matemática aplicada na Universidade de Bath no Reino Unido, dá vários exemplos de labirintos no cotidiano, como a rede do Facebook ou estradas interurbanas, mas considera a internet o labirinto com o qual, hoje, é mais difícil lidar. “São bilhões de computadores todos conectados, então são bilhões de vértices.” Num resumo bem resumido, especialistas lidam com problemas de labirinto em situações mais ou menos assim: um rapaz envia um e-mail que, para chegar ao destinatário, passa por várias arestas da rede (as linhas de transmissão) e por vários pontos (os nós de comunicação de dados), mas se encontra um ponto congestionado, demora mais para atingir o destino; ou a polícia precisa identificar quem postou imagens de um suposto crime na internet e precisa vasculhar a rede de uma forma ótima para encontrar pistas sobre o caso.

Labirinto trivial. Na mitologia grega, Minos, um dos filhos de Zeus com uma mortal, ascende ao trono da ilha de Creta após brigar com os irmãos pelo governo. Poseidon, deus do mar, envia um touro de presente para demonstrar que aprova o reinado, e Minos deve sacrificar o touro em sinal de respeito ao deus. Porém, acha o bicho muito bonito, e tem a ideia de sacrificar outro touro no lugar do presente. Como castigo, Poseidon faz a mulher de Minos, Pasífae, se apaixonar pelo touro. Ela pede ao artesão Dédalo que construa uma vaca de madeira onde possa se esconder e atrair o touro, e seu plano dá certo: ela engravida do touro e dá à luz ao Minotauro, uma criatura metade touro, metade homem, que se alimenta de gente. Conforme o Minotauro cresce e se torna mais feroz, Minos encomenda a Dédalo a construção de uma câmara com corredores tortuosos e um centro onde pudesse esconder a criatura: o labirinto de Creta.

Numa briga entre povos, Minos perde um filho, morto por atenienses, e declara guerra a Atenas. Após sua vitória, ele exige como punição que os atenienses mandem de tempos em tempos sete meninos e sete meninas para servir de alimento ao Minotauro, mas num dos sacrifícios, Teseu, filho do rei de Atenas, se propõe a matar a criatura. Ariadne, filha de Minos, tem uma queda por Teseu, e quer ajudá-lo a sair do labirinto depois da matança, então lhe dá um novelo para marcar seu trajeto da entrada ao centro. Por fim, Teseu chega ao centro do labirinto, mata o Minotauro, salva as crianças e consegue retornar à entrada com a ajuda do novelo. Mas a verdade é que Ariadne gastou novelo e preocupação à toa. Tivesse consultado um matemático (havia muitos bons matemáticos na Grécia antiga), em vez de algum oráculo, o matemático logo teria dito: “Não se preocupe, isso aí é um labirinto trivial!”

labirinto-2

Quando olha o mapa de um labirinto, o matemático primeiro identifica o objetivo daquele problema, que pode ser por exemplo chegar ao centro M (veja a figura 1). Quem define esse ponto é o criador do labirinto; nem todos precisam ter um, pois depende do que o criador propõe. Depois identifica todos os pontos de decisão, isto é, todos os lugares onde terá de escolher entre ir à direita, à esquerda, para trás, etc. Ele considera inclusive a entrada, pois sempre pode optar por não entrar (veja figura 2). Num papel, desenha um grafo para representar o labirinto: faz uma bolinha para cada ponto de decisão, e liga uma bolinha a outra por linhas que representam os corredores (veja figura 3).

Ao usar grafos, o matemático recorre a um hábito útil: transformar um problema difícil noutro mais simples. Vê apenas as características que realmente importam no problema. Se Ariadne construísse um grafo do labirinto de Creta, veria apenas dois pontos de decisão: a entrada (entro ou não entro?) e o centro (volto ou não volto?); ou seja, desenharia duas bolinhas ligadas entre si por uma linha. Ainda assim, um matemático só o chamaria de trivial no sentido de desinteressante, pois o verdadeiro grafo trivial é aquele formado tão somente por um ponto.

O europeu só começou a criar fortalezas com encruzilhadas, becos sem saída, e caminhos em círculos quando o cristianismo e a ideia de livre arbítrio se espalharam pelo que sobrou do império romano. A partir daí, o europeu passou a se interessar por construções como os labirintos, nas quais os visitantes, se quisessem sair, teriam de recorrer à astúcia; ele achava que esse tipo de construções funcionava como uma homenagem ao pensamento lógico, e isso era uma homenagem ao cristianismo — na cultura daquela época, a mais lógica das escolhas.

Chris Budd explica que há dois tipos de labirintos: o mais simples, em que todas as paredes dos corredores estão ligadas à parede externa — os matemáticos o chamam de um grafo simplesmente conexo — e o mais complexo, em que há ilhas, isto é, corredores cujas paredes não estão conectadas de forma alguma com a parede externa. Qualquer um consegue resolver labirintos do tipo simples com o algoritmo da mão na parede. Basta botar uma das mãos na parede e percorrer os corredores sem desencostá-la da parede por todo o trajeto. “Ele pode te levar a duas coisas: ao centro do labirinto, e em seguida até a entrada [ou alguma outra saída]. Ou você fará um tour que o levará apenas à entrada — nesse caso não resolve o problema, mas pelo menos não se perde [risos].”

Sem mapa. Na figura 1, o estudante vê uma ilha bem onde está M, ou seja, não tem como resolver o labirinto com o algoritmo da mão na parede. Por isso, Chris sugere um método inventando no século 19 por um engenheiro francês, Charles Pierre Trémaux (1859-1882), que garante a chegada ao centro. Basta usar um marcador para indicar os pontos de decisão e os caminhos por onde passou. “Eu normalmente uso algo biodegradável, como amendoins.” Mas visto que um passarinho pode comê-los, ou que algumas formigas podem carregá-los para longe, talvez seja melhor usar giz. Com as marcas que fará no chão saberá por onde já passou e terá condições de obedecer à suprema regra do algoritmo: a de nunca, nunquinha mesmo, passar mais de duas vezes pelo mesmo caminho.

Suponha que uma jovem (vamos chamá-la de Gabi) esteja na entrada A do labirinto na figura 2, sem no entanto conhecer esse mapa. Ao chegar em B, faz um risco no chão e decide seguir até C, marca o caminho de B a C com uma flecha (sempre na direção em que está caminhando; veja a figura 4 mais abaixo). Ao se deparar com um beco sem saída, faz um traço no chão em C e marca com uma flecha o caminho de volta a B. Faz mais um traço em B, formando um X, e toma um novo caminho, marcando-o com uma flecha até chegar em D, marca D, então escolhe, por exemplo, o caminho que leva até K. Marca-o com uma flecha, faz um traço em K e escolhe o caminho até L, marca o caminho com a flecha, e ao se ver num beco sem saída faz um traço em K e volta pelo mesmo caminho. Daí, marca o retorno com uma flecha, faz um novo traço em K formando um X, depois escolhe um novo caminho, marca-o com a flecha e chega a I.

Nesse ponto, Gabi tem duas opções, marca I e pega o caminho até J, desenha a flecha como de costume, mas chega a um beco sem saída, então faz um traço e volta até I pelo mesmo caminho, fazendo uma flecha na direção contrária à anterior. Faz um novo traço em I e decide entre o caminho que vai até M ou o que vai até G, e assim por diante marcando os caminhos com flechas direcionadas e os pontos de decisão com um traço e, na segunda passagem, com mais um traço formando um X (veja figura 4). Com essa estratégia, ela garante que não passa mais de uma vez na mesma direção em cada caminho e, com o grafo do labirinto, pode representar a rota que fez assim: A-B-C-B-D-K-L-K-I-J-I-M.

labirinto-4

Nível facílimo. Num labirinto, diz Chris, não importa o quanto você caminha, mas quantas vezes têm de optar por um caminho num entroncamento. Claro que ele diz isso do ponto de vista matemático; afinal, até o labirinto de Creta, se tivesse corredores compridos demais, cansaria qualquer maratonista. Com um mapa em mãos, Gabi teria uma vantagem grande sobre o método de Tréumax, pois poderia eliminar as decisões erradas sem ter de percorrer os caminhos. Um labirinto assustador, como os construídos sobre superfícies estranhas como um cubo ou a faixa de Möbius, parece brincadeira de criança se usar o truque de preencher os becos. Primeiro, ela começa eliminando becos pequenos, que não levam a lugar nenhum, e sente que vai durar uma eternidade pintar um por um. Mas começa a notar que os corredores pintados se juntam formando caminhos e pontos de decisão que não levam a lugar nenhum. Por fim, deixa em branco apenas os caminhos que levam à solução.

Figura 5: A técnica de pintar becos sem saída

Nesse método, Gabi raciocina de forma parecida com o algoritmo de Trémaux, porém sem percorrer os caminhos em que marcará duas vezes. Quer dizer, irá percorrê-los com caneta sobre o papel, em vez de fazer longos trajetos de tentativa e erro. “Esse algoritmo mostra uma ideia interessante da matemática”, pensa Gabi. “Para achar o caminho certo (ou a solução), olho primeiro para os caminhos que levam a lugar nenhum (ou a contradições).” Num grupo de colegas, poderia propor que buscassem algoritmos para resolver labirintos usando raciocínio lógico, e é provável que surgissem durante a discussão alguns métodos parecidos com os formais.

Chris faz isso com seus alunos; gosta de levá-los ao Jubilei Maze, um labirinto famoso no Reino Unido. Primeiro eles resolvem o labirinto com algum algoritmo que criaram em aula; depois fazem uma espécie de esconde-esconde no local. “Solucionar um labirinto é tecnicamente fácil, mas fica muito mais divertido quando organizamos um jogo de perseguição. É um dia ao ar livre bem legal, tem muita matemática, e eles ainda se divertem.” No jogo, os alunos podem propor perguntas do tipo: que formas, ou em quanto tempo, ou quantos perseguidores são necessários para pegar os fugitivos?

O criador. Arquitetos criam labirintos espalhados por tudo que é lugar. Um deles, Adrian Fisher, os constrói há 35 anos e já criou mais de 600 labirintos em 30 países. Fez de todo tipo: com espelhos, com pés de milho, em cachoeiras, e tem em sua casa um labirinto feito de tijolos. Ao pedir alguma dica de como resolvê-los, ele não se rende: “Recomendo que entre no labirinto e relaxe; brinque como uma criança.” Muitas pessoas pensam que não passam de um quebra-cabeça desenhado num pedaço de papel, mas, quando entram num labirinto de verdade, se transformam em crianças. “A verdade é que eles são muito mais do que brinquedos. Num grupo, as pessoas acabam se aproximando, e o labirinto é uma ótima oportunidade para conhecer melhor outras pessoas.”

Divertido é, mas sem alguma técnica (e aqui vale o raciocínio lógico sem formalidades), uma pessoa tende a usar um método ineficiente: o algoritmo aleatório do rato. (O nome não faz justiça à esperteza dos ratos.) Ela anda a esmo pelos corredores até chegar ao próximo ponto de decisão. A única regra inconsciente a que obedece é nunca virar 180°, ou seja, nunca voltar para trás, a não ser que seja inevitável — por exemplo, ao entrar num beco sem saída. Nesse método existe a possibilidade da pessoa nunca achar a saída. É sorte que, nos labirintos reais, os organizadores deixam pistas ao longo dos caminhos; mas hoje em dia muita gente rouba, pois usa o GPS embutido no celular. {FIM}


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Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 38, março de 2014, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pela jornalista Fernanda Kiehl em Londres, Inglaterra.