Professores devem se guiar pela intuição, mas ela também engana


Walter Spinelli diz que, às vezes, o professor deixa se enganar pela própria intuição — por exemplo, quando evita obrigar os alunos a estudar algo que não gostam de estudar.

Se eu me concentrasse num curso de matemática focado apenas em aplicações práticas, não sairia das quatro operações da aritmética.


{1}/ Introdução à entrevista

Na ocasião da entrevista (novembro de 2011), Walter Spinelli coordenava o curso de matemática no Colégio Móbile, em São Paulo (SP), mas continuava a dar aulas de matemática e de física, como fazia há 40 anos em várias escolas. (Até hoje o Móbile não permite que um coordenador pare de dar aulas.) “Quando assumi minha primeira classe”, diz Walter, “eu tinha vinte anos e era o mais jovem da turma. Hoje, neste colégio, sou dez anos mais velho que o professor mais velho.” Apesar da tarimba, Walter diz que uma coisa esquisita vem acontecendo com ele nos últimos dois anos. “A cada semana que passa, eu vou para a sala de aula e me sinto não mais seguro, em razão da experiência, mas mais inseguro.” Há poucos anos, ele dava aulas na zona norte de São Paulo pelas manhãs e no Colégio Móbile à tarde. Aproveitava o trânsito lento para preparar as aulas da tarde dentro do carro, mentalmente. “Eu não sou mais assim”, diz Walter. “Se não preparar a aula muito bem, e se não pensar em todos os aspectos, eu me sinto inseguro.”

Se não sabia direito o que estava acontecendo consigo, Walter sabia o que provocou a mudança: a tese de doutorado, que defendeu na Faculdade de Educação da USP no final de 2011, na qual procurou descobrir ao certo o que significa contextualizar a matemática.



{2}/ A entrevista em si

O que é preciso para dar uma boa aula de matemática?

Há muitos anos eu acho que um bom professor tem de ter boa intuição. Ele deve usar a intuição para ousar na preparação da aula, para escolher quais assuntos ele vai ilustrar com mais exemplos ou com menos exemplos, para escolher quais problemas ele vai propor ao aluno antes de qualquer exposição prévia de teoria [versus propor ao aluno alguns exercícios depois da exposição da teoria].

Os professores com os quais eu convivi, fossem bons ou picaretas, se saíam muito bem dentro da sala de aula quando tinham uma boa intuição. Ao contrário, já vi professores bem preparados, e bem intencionados, que não se saíam bem na sala de aula porque não tinham boa intuição. Se a intuição de um professor não é boa, parece que ele se prontifica a repetir padrões que outras pessoas ditaram. Esses professores vêm e me perguntam: “O que você quer que eu faça?” Eu não posso responder a essa pergunta, pelo menos não formulada assim; isso porque, dentro da sala de aula, é só ele e os alunos. Eu não estou lá.

Mas a minha intuição me incomodava. Eu não sabia disso na época, porque, na verdade, algo me incomodava, e eu nem sabia o que era. Por isso eu fui fazer o doutorado. Hoje eu sei que agir pela intuição me incomodava. Eu queria descobrir se os meus caminhos, escolhidos por meio da intuição, estavam corretos.

Qual é o papel da intuição?

No doutorado, descobri que alguém já tinha pensado em tudo aquilo que me incomodava, e tinha pensado com qualidade, de maneira profunda, incluindo questões sobre a validade do conhecimento científico. Com o doutorado, eu me fortaleci, pois descobri que a maioria dos meus métodos e das minhas ideias era válida. Então hoje, quando entro na sala de aula, eu me preocupo menos com o papel das minhas decisões intuitivas

Um exemplo: no próximo ano [2012], vou dar o curso de estatística para o pessoal do terceiro ano do ensino médio. Tive a ideia de arranjar dados sobre a qualidade da educação no Brasil e sobre a distribuição de renda. Pedi então aos alunos que escolham alguma ferramenta de tecnologia, qualquer uma que eles queiram, e que usem a ferramenta e os dados para produzir infográficos onde seja possível ver as correlações entre renda e educação, caso elas existam. Não quero coisa mequetrefe: quero um material bacana, que se compare ao que é publicado num jornal ou revista.

Bem, eu nunca fiz isso. Eu nunca vi estudantes escolhendo suas próprias ferramentas e usando estatística para criar seus próprios infográficos a partir de dados brutos reais. Então, graças à minha intuição, estou ousando. Talvez eu caia do cavalo, mas minha intuição me diz que essa experiência vai dar certo.

Matemática atraente é matemática aplicada?

De jeito nenhum! Essa ideia é uma armadilha. Com os infográficos, não estou tentando obrigá-los a gostar só da matemática que podem aplicar, mas sim tentando mostrar um dos contextos nos quais a matemática vale a pena. Meu papel é ajudar o aluno a ver as relações entre a matemática que ele está estudando e outras coisas — talvez uma situação prática, talvez a história da matemática, ou talvez até outros tópicos da própria matemática.

Eu sempre acho que vale a pena dizer onde determinado tópico da matemática é usado. Números complexos, por exemplo, são usados na análise de circuitos elétricos. Se o tópico tiver relação com o cotidiano do aluno, não vejo nenhum problema em falar disso. Mas eu vejo problema em ficar só nisso.

Se eu me concentrasse num curso de matemática focado apenas em aplicações práticas, eu não sairia das quatro operações da aritmética, exagerando um pouco. Então, eu não posso trabalhar os logaritmos só com a escala Richter, nem trabalhar seno e cosseno só com o cálculo de rampas… Aliás, muitas vezes eu me recuso a dizer aos alunos para que determinado tópico da matemática serve. Ao contrário, eu lhes pergunto isso, e às vezes eles me surpreendem com a resposta. Quem tem de estabelecer as relações entre a matemática e as situações nas quais a matemática serve de algo não sou eu, mas o aluno.

Você fazia alguma coisa errada, e mudou?

O doutorado me fortaleceu porque me mostrou que eu estava certo em muitos aspectos, mas mudei algumas coisas sim. Eu achava que estava fazendo sucesso, mas [folheia um livro imaginário e aponta um trecho com o dedo] desse ponto de vista aqui, ó, estou fazendo tudo errado!

Eu me traía, por exemplo, por causa da vontade de ensinar o que os alunos gostam de estudar. Eu dava um exemplo gostoso de analisar, depois dava mais um exemplo gostoso, e daí partia para as generalizações matemáticas. Meu orientador, o professor Nílson José Machado, tem uma teoria engraçada sobre isso: é a teoria da chuva. Choveu ontem, choveu hoje, então vai chover amanhã. O doutorado me mostrou que eu devo contextualizar a matemática, como já fazia, e que devo também falar de matemáticos e da história da matemática, mas devo também fazer o aluno abstrair de qualquer contexto prático: devo ajudá-lo a fortalecer a matemática pela matemática, para que ele possa usá-la em qualquer contexto.

Um exemplo: trigonometria. Os cursos de trigonometria sempre foram muito calcados em relações algébricas [o professor usa álgebra para mostrar ao aluno que determinada afirmação é verdadeira]. Isso me incomodava. Então, procurei achar aplicações da trigonometria na descrição de fenômenos cíclicos: as marés, o relógio de sol. E aí eu gastava muito tempo com as aplicações práticas da trigonometria, e menos tempo com a álgebra. Só que eu estava errado. O professor deve dividir o tempo entre o contexto (as aplicações) e a parte algébrica também, por menos que os alunos gostem de álgebra.

Então, hoje dou muito maior importância à formalização dos métodos matemáticos. Eu pego um problema, talvez um problema sobre triângulos, e se para resolver esse problema os alunos têm de resolver uma inequação do segundo grau, eu chamo a atenção para a inequação. Eu digo: vocês precisam estudar as inequações polinomiais, porque elas aparecem não só nesse problema aqui, mas também ali, ali, e ali. Eu chamo a atenção deles para um método da matemática mais pura, por assim dizer.

Seu curso ficou mais convencional?

Não. Eu não vou pedir que eles resolvam 40 exercícios sobre inequações do segundo grau. Isso eu não faço! [risos]

Quando eu era mais jovem, eu propunha um problema mais simples, resolvia esse problema para a classe, e depois propunha um mais complicado, resolvia, e aí propunha dois ou três problemas mais complicados ainda, que a classe resolvia sozinha. Eu partia da situação mais simples e chegava à mais complexa, passo a passo. Os cursos convencionais de matemática são assim. Bom, isso eu não consigo fazer mais. Esse tipo de curso contraria tudo aquilo em que acredito agora.

O doutorado me mostrou que preciso fazer o aluno resolver problemas por si mesmo. Ele tem de movimentar estratégias de raciocínio diferentes, que não estejam no livro didático. Assim, quando ele resolve o problema sozinho, ele estabelece relações entre a matemática e os contextos da matemática. Então, agora eu simplesmente proponho um problema ao aluno, e deve ser um problema mesmo: ele não deve saber resolvê-lo, porque, se ele souber, isso já não é mais um problema, mas sim um exercício. Eu quero colocá-lo para pensar por si mesmo.

Eu não quero que o aluno cumpra tarefas mecanicamente apenas para sair da escola. Eu quero que eles saiam da escola com as competências necessárias para usar a matemática em qualquer situação. Muito aluno aqui não gosta de mim por causa disso. Vários alunos preferem um curso do tipo um tópico, muitos exercícios, outro tópico, muitos exercícios; esses alunos se dão bem num curso assim. Eu fico pensando: “Nossa, antigamente eu conseguia dar um curso desses tão bem!” Hoje não consigo mais.

Você inventa os problemas?

Na maior parte das vezes, sim; isso é parte do trabalho do professor. Outro dia, um professor daqui deu a primeira aula de geometria analítica assim: ele desenhou uma reta no plano cartesiano, e desenhou um ponto fora dessa reta. E aí perguntou à classe: como eu faço para traçar uma reta paralela à primeira reta, e que passe pelo ponto?

Ele nem tinha falado de equação da reta, de nada disso. Ele se deixou guiar pela intuição, propôs o problema e deixou o pessoal pensar. Saíram várias soluções, algumas boas, algumas erradas, mas essa foi uma ideia simples que, a meu ver, é melhor do que explicar a equação da reta e propor um monte de exercícios escalonados, do mais fácil para o mais difícil.

Lógico, dar aulas desse jeito demora mais, mas eu tenho a convicção de que o aluno, depois de resolver um problema de verdade, ou pelo menos de tentar resolvê-lo, apreende o conteúdo muito melhor.

Quais são seus planos para o futuro?

Dentro da sala de aula, especialmente uma sala do ensino médio, o professor precisa de muita garra, muita paciência. Eu sinto que não tenho mais essa garra. Eu tenho mais dificuldades hoje do que tinha há dois anos, e mais ainda do que tinha há quatro anos. Acho que, se eu desse aulas na universidade, para um público mais velho, talvez eu nem notasse nenhuma diferença. Mas aqui, no ensino médio, eu noto.

Então, tenho pensado nisso: acho que eu seria mais útil fora da sala de aula. Eu seria mais eficiente e feliz se trabalhasse na formação e na coordenação de professores mais jovens, cheios de energia, que ficariam dentro da sala de aula no meu lugar. Não sei direito o que vai acontecer comigo este ano, mas sei que posso ajudar bastante nessas questões de metodologia do ensino. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 14, março de 2012, pág. 18. A entrevista foi revista e atualizada.

2. Hoje, Walter Spinelli é consultor de escolas públicas e particulares; caso queira conhecê-lo pessoalmente, com frequência participa dos Seminários de Educação Matemática na Faculdade de Educação da USP.

3. A foto do entrevistado é do fotógrafo profissional Gustavo Morita.

4. Feliz 2017!

A impossível missão de sortear números reais


Imagine todos os números reais — todos! Não só números inteiros como 5 ou –5, mas também racionais como 37/283 ou –37/283, e irracionais como √7 ou –√7. Talvez seja mais fácil imaginar a reta dos números reais: cada ponto da reta corresponde a um número. Suponha que existe um método pelo qual possa sortear ao acaso um único número real entre todos os números da reta. Bem, a probabilidade de sortear um número específico é zero.

Essa ideia deixa muita gente intrigada, mas nem é tão difícil de entender. Suponha que tem um daqueles globos de sorteio, e que pode escrever cada número numa bolinha, tipo uma bolinha de bingo. Se houver só um número no globo, digamos o número x1, qual é a probabilidade de que sorteie x1 ao acaso?

A probabilidade é de 1 (ou 100%), pois só há uma bolinha no globo.

E se coloca duas bolinhas no globo, uma com o número x1, e outra com o número x2 (com x1x2). Qual é agora a probabilidade de que sorteie x1 ao acaso?

É 1/2 (ou 50%), pois há duas bolinhas no globo, e qualquer uma delas pode cair no dispensador.

Se houver no globo os números x1, x2, e x3, a probabilidade de sortear x1 é 1/3. Se houver os números x1, x2, x3, x4, a probabilidade de sortear x1 é 1/4. E se houver os números x1, x2, x3, …, xn? A probabilidade de sortear x1 é 1/n. Conforme adiciona uma bolinha de cada vez ao globo, de uma bolinha a n bolinhas, cada uma delas com um número distinto, a sequência de probabilidades fica assim:

f-001

Quanto maior o valor inteiro positivo de n, menor a diferença entre 1/n e zero. Se quiser, pode passar essa ideia escrevendo assim: “A sequência 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … converge para zero.” (Com os três pontinhos, passa a seu leitor a ideia de que ele pode imaginar a sequência com tantos termos quantos queira: 100 termos, 1 bilhão de termos, 1 trilhão de termos, não importa.)

Suponha que seu globo seja tão grande que possa adicionar uma bolinha de cada vez indefinidamente, e que, um belo dia, para além do fim da eternidade, o globo contenha todos os números reais, um em cada bolinha. Pense agora como um matemático: “Visto que cada termo da sequência se aproxima cada vez mais de zero pela direita, posso dizer que o limite da sequência infinita 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/4, 1/5, … é zero. E posso definir a probabilidade de sortear ao acaso o número x1 entre todos os demais números como sendo o limite dessa sequência. Fazendo assim, portanto, a probabilidade de sortear ao acaso o número x1 entre todos os demais números reais é zero.”

E no entanto, se tal globo existisse, uma das bolinhas cairia no dispensador de bolinhas. Quer dizer, embora a probabilidade de sortear um número específico ao acaso seja zero, um número certamente tem de cair no dispensador. Quem mexe com probabilidades associadas a processos infinitos logo se acostuma com ideias assim.

Caindo em pecado. Mas o caso é que um globo gigante com todos os números reais gravados em bolinhas só pode existir na imaginação. Existe um método pelo qual sortear números reais?

Use o sistema posicional decimal: suponha um globo contendo apenas dez bolinhas, numeradas de 00 a 09. Suponha também que tem uma moeda perfeita: cara é sinal positivo, coroa é sinal negativo. Você lança a moeda e tira coroa. Dai sorteia uma bolinha: 03. Devolve a bolinha para o globo e anota o resultado como sendo o coeficiente de 100, isto é, o algarismo na casa antes da vírgula.

–3,

Sorteia a segunda bolinha, que é 00, devolve a bolinha para o globo e anota o resultado como sendo o coeficiente de 10–1, isto é, o algarismo na primeira casa depois da vírgula.

–3,0

E dessa maneira você sorteia também 04 e 07.

–43,07

E então sorteia 05 e 04.

–543,074

Em outras palavras, você primeiro sorteia o sinal do número; depois sorteia o coeficiente de 100, o de 10–1, o de 101, o de 10–2, o de 102, o de 10–3; etc. (Sempre devolvendo a bolinha para o globo.) De modo geral, sorteia as bolinhas em duplas: o coeficiente de 10n, e logo em seguida o de 10–(n+1). Caso sorteie coroa outra vez, e sorteie também as cinco duplas 07, 02; 09, 07; 06, 08; 01, 02; 09, 05, nessa ordem, pode anotar num papel o número real –91.697,27825.

Com dez algarismos como coeficientes de potências de 10, veja que tem como escrever números racionais entre –99.999,99999 e +99.999,99999. Como pode sortear cada coeficiente entre dez bolinhas, com dez coeficientes você tem ao todo 1010 permutações de dez algarismos em dez posições; ou, em palavras comuns, tem ao todo 10 bilhões de permutações de dez algarismos em dez posições. Como está usando a moeda para sortear sinal positivo ou negativo, tem ao todo 2 · 1010 permutações menos uma, porque, com o zero, tanto faz se o sinal é positivo ou negativo.

E se apostasse uma grana no número inteiro 5? Percebe que, com dez posições, teria de torcer para que a moeda saísse com cara e para retirar do globo as bolinhas 05, 00; 00, 00; 00, 00; 00, 00; 00, 00? Porque só assim poderia escrever 00.005,00000 e ganhar o prêmio: é uma possibilidade entre [2 · (10 bilhões) – 1], isto é, uma possibilidade entre 19.999.999.999.

Para sortear um número irracional, cuja expansão decimal é infinita e não periódica, teria de passar o resto da eternidade, e mais um pouco, sorteando duplas de bolinhas do globo. Para sortear um número racional como 1/3, que é igual a 0,333333…, teria de sortear cara em primeiro lugar, e, depois disso, teria de sortear seguidamente a dupla de bolinhas 00, 03 por toda a eternidade. Difícil, não é mesmo?

Não existe maneira prática de sortear ao acaso um número real qualquer, dando a cada número a mesma possibilidade de que seja sorteado. A qualquer momento que interrompa o sorteio de duplas de algarismos, exclui todos os números irracionais, todos os racionais com dízima periódica diferente de zero, todos os números acima ou abaixo de determinados valores. Enfim, exclui quase todos os números! Como este experimento mental deixa claro, contudo, mesmo que existisse uma maneira prática de fazer isso, a probabilidade de sortear um número real específico, qualquer um, seria igual a zero. E mesmo assim sortearia um número.

Talvez queira saber se um dia chegará a usar o que viu neste texto, isto é, se este texto tem algum valor prático. Sim, tem. Pensamentos desse tipo são bastante úteis em qualquer tipo de fila. {FIM}


Qualquer um que considere métodos aritméticos para produzir algarismos aleatórios está, é claro, em estado de pecado.

John von Neumann (1903-1957), matemático húngaro naturalizado americano

Um sociólogo das redes sociais


Renaud Lambiotte sabe calcular como grãos de areia devem escorrer pela ampulheta, porque aprendeu a usar mecânica estatística para explicar fenômenos físicos. Aos 33 anos, contudo, ficou famoso no meio acadêmico por conta de uma descoberta sociológica: usou a mecânica estatística para provar que nós, humanos, evitamos triângulos emocionais estressantes, como quando um amigo nosso faz amizade com um dos nossos inimigos. Mas Renaud não se sente bem na pele de sociólogo: tem medo de bancar o charlatão.

Com nove anos, vi que a matemática é um jeito criativo de entender o mundo à minha volta.

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{1}/ Introdução à entrevista

“Como a interação entre cada um dos grãos de areia com os grãos vizinhos”, pergunta Renaud, “determina o modo como a ampulheta inteira funciona?”

Físicos estatísticos buscam a resposta desse tipo de pergunta: como grandes sistemas surgem das interações entre os menores pedacinhos do sistema? Renaud nasceu e se formou na Bélgica, fala inglês com forte sotaque francês, se veste de tênis, jeans, camiseta, moletom com capuz; e sorri fácil. Porque sabe física estatística, conseguiu um cargo no departamento de matemática do Imperial College de Londres, na Inglaterra, onde divide uma sala com três outros cientistas. Quando desce as escadas do Imperial College para a rua, e está chuviscando, não perde o humor. “Chuva é bom para ir aos museus.” Ele simplesmente puxa o capuz do moletom sobre a cabeça, enfia as mãos nos bolsos, e sai debaixo de chuvisco a passos decididos, mas sem pressa. Não há nele nenhuma pista visual de que provou uma teoria sociológica à espera de prova desde a década de 1940.

Renaud conhece um sujeito chamado Michael Szell, matemático húngaro, professor da Universidade de Viena, na Áustria, e dono de um jogo famoso na internet: o Pardus. Jogadores do Pardus vivem uma espécie de Jornada nas Estrelas misturada com Guerra nas Estrelas: eles pilotam naves espaciais, fundam colônias em planetas distantes, fazem negócios com outros exploradores do espaço e, se necessário, vão à guerra. Quando o internauta joga Pardus, deixa registros de suas ações nos computadores que controlam o jogo. Renaud e Michael analisaram os registros que 300.000 jogadores deixaram ao longo de quatro anos para provar a teoria do equilíbrio estrutural: todos nós evitamos triângulos emocionais estressantes. Se um amigo nosso faz amizade com um dos nossos inimigos, esse é um triângulo emocional estressante, que não vamos deixar quieto: ou nosso amigo desfaz a amizade ou, não demora muito, cortamos relações com nosso amigo.



{2}/ A entrevista em si

Por que escolheu a teoria dos triângulos emocionais?

Eu sempre viajo para Viena, tenho amigos por lá, e parece que todos os meus amigos vienenses se interessam por grandes redes sociais. [Renaud usa “rede social” em sentido amplo: os habitantes de uma cidade formam uma rede social, assim como os membros de uma família, assim como os usuários do Facebook.] Em outubro de 2009, num congresso científico em Amsterdã [Holanda], um desses meus amigos vienenses me apresentou o Michael Szell, e eu descobri que ele tinha criado esse jogo na internet, o Pardus, e que tinha todos os dados sobre todos os jogadores desde 2006 — são 300.000 jogadores do mundo inteiro! Nós podíamos saber quem mandava mensagens para quem, quem fazia comércio com quem, quem tentava destruir as naves de quem.

Então, em janeiro de 2010, passei um mês em Viena, conversando com o Michael e com outros amigos. Queríamos usar esses dados numa pesquisa científica, mas analisar dados sem rumo não adianta nada. Precisávamos usar os dados para buscar a resposta de uma pergunta. Então, precisávamos de uma pergunta bacana.

Como eu conheço um pouquinho de sociologia, mencionei essa teoria dos anos 1940, a teoria do equilíbrio estrutural (veja a seção 3). Outros sociólogos já haviam comprovado a teoria, mas com grupos pequenos, de 20 ou 30 pessoas, que sabiam que estavam sendo observados. Nós tínhamos um grupo enorme, de 300.000 pessoas, que não sabia que estava sendo observado. Propus a seguinte investigação: se a teoria estiver certa, os jogadores deveriam formar uma grande quantidade de triângulos emocionais estáveis e uma pequena quantidade de triângulos emocionais instáveis.

Levamos duas semanas para acertar as perguntas e, depois disso, só duas semanas para coletar os dados. Fizemos tudo sob a supervisão da Universidade de Viena; ela garantiu a proteção da privacidade dos jogadores. Em fevereiro, voltei para Londres já com os dados à mão, e ficamos seis semanas escrevendo o artigo.

As conclusões obtidas com os dados de um jogo valem para o mundo real?

Todo mundo nos pergunta isso. Acho válida a pergunta; talvez as pessoas sejam mais agressivas no mundo virtual.

Contudo, muitos cientistas estudam como as pessoas se comportam em redes eletrônicas, e até agora elas têm se comportado mais ou menos do mesmo jeito no mundo real e no mundo eletrônico. [Isso quando sabem que não estão sendo observadas; não é o caso do Facebook.] Por exemplo, o Michael já estudou como os jogadores se movem dentro do jogo, e descobriu uma coisa surpreendente: elas se movem quase do mesmo jeito que se movem na vida real. Ora, na vida real, seguimos uma rotina monótona: eu me levanto todo dia à mesma hora, vou tomar meu café perto de casa, vou trabalhar na faculdade, saio do trabalho e tomo uma cerveja com amigos, volto para casa. No mundo virtual as pessoas poderiam se mover de forma caótica, se quisessem, mas elas seguem padrões monótonos, previsíveis, parecidos com os padrões da vida real.

Talvez então cada pessoa se comporte do mesmo jeito em qualquer circunstância, seja real ou virtual. Talvez nossos comportamentos estejam mais embutidos dentro de nós do que pensamos.

Você não conhece sociologia direito. Como lida com isso?

Os dados gerados por grandes redes sociais nos vêm muito crus, muito sujos. É frustrante. Até aplicar a estatística, não há como saber para o que estamos olhando. Então, depois de aplicar a estatística e tirar as conclusões, ficamos com medo de descobrir o que, para um sociólogo treinado, seria óbvio.

Contudo, as ferramentas matemáticas e estatísticas usadas pelos sociólogos não servem para os grandes bancos de dados gerados por grandes redes sociais eletrônicas. Os sociólogos desenvolveram essas ferramentas (muito boas, aliás) para tirar dados de grupos pequenos. Por isso eles precisam de matemáticos e de físicos.

Boa parte da história da física tem sido justamente achar os aspectos elementares de fenômenos complexos, e usar a linguagem matemática para descrever esses aspectos elementares da forma a mais simples possível. Então, eu posso usar as ferramentas da física estatística para descobrir as regras elementares pelas quais uma grande rede social funciona, e posso usar a matemática para descrever essas regras de forma simples. Isso é novo até para sociólogos experientes.

No primeiro semestre de 2010, fui a um evento no MIT [um centro de pesquisas tecnológicas nos Estados Unidos], sobre pesquisas sociais feitas com os bancos de dados de redes celulares. Havia 250 cientistas no evento: físicos, matemáticos, sociólogos, psicólogos, engenheiros. Eu acho isso ótimo, porque não me sinto capaz de analisar esses dados sozinho. Uma pessoa com entendimento profundo de sociologia ajuda. Eu quero propor leis simples pelas quais uma rede social funciona, mas não quero propor leis simplistas.

Você é jogador do Pardus?

Isso é muito triste de dizer [risos], mas eu nunca joguei o Pardus. Eu me registrei como usuário, li todas as instruções, vi como o jogo funciona. Mas nunca gostei de jogos eletrônicos, nem quando era adolescente. Prefiro jogar futebol.

Como você veio a gostar de matemática?

Quando eu tinha oito ou nove anos, na escola, o professor propôs um problema: se um trem sai de Bruxelas às 10 horas da manhã em direção a Namur, que está a 60 quilômetros de Bruxelas, e se o trem viaja a 60 quilômetros por hora, a que horas eu deveria estar na estação de Namur para esperar um amigo meu? Eu adorei. Fiquei encantado de saber que, usando matemática, não precisava andar até a estação às 10 horas da manhã: eu podia esperar uma hora. Pela primeira vez, vi que a matemática é um jeito criativo de entender o mundo à minha volta.

Foi essa sensação de encantamento que mais tarde me levou à física. Os físicos usam matemática para descrever o mundo real, das partículas atômicas às estrelas e planetas, de forma sucinta e elegante. Por exemplo: é difícil descrever um buraco negro com palavras comuns, seja usando francês, inglês, ou português brasileiro. Mas na faculdade, quando estudei as expressões matemáticas que descrevem um buraco negro, fiquei surpreso ao descobrir que, em termos matemáticos, ele não é tão complicado assim. {❏}



{3}/ A teoria do equilíbrio estrutural

Cada pessoa se liga às pessoas à sua volta de forma positiva (por exemplo, ela declara amizade) ou negativa (declara inimizade). A teoria do equilíbrio estrutural diz que certos triângulos afetivos são estáveis (provocam prazer) e certos triângulos são instáveis (provocam estresse).

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Numa sociedade de estrutura 100% equilibrada, diz um teorema de Cartwright-Hararay, todos os triângulos emocionais devem ser estáveis.

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Agora, o leitor já consegue provar sozinho uma das consequências do teorema de Cartwright-Hararay: numa sociedade 100% estável, ou todos os membros da sociedade são amigos uns dos outros ou eles se dividem em dois grupos estáveis, mas inimigos entre si.

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Basta pegar um indivíduo dessa sociedade (A) e dividir quatro de seus conhecidos em dois grupos: B e C são amigos e ficam num subgrupo e D e F também são amigos e ficam num outro subgrupo. Como preencher os sinais dos relacionamentos marcados com ponto de interrogação?

Resposta. Para que a sociedade inteira seja estável, todos os triângulos emocionais devem ser estáveis: ou todos são amigos; ou A é amigo de B e C, mas inimigo de D e F; ou A é amigo de D e F, mas inimigo de B e C. O mesmo raciocínio vale para todos os indivíduos e todos os triângulos.



{4}/ Jogadores do Pardus revelam características da humanidade

Os humanos não fazem parte de uma rede social, mas de várias, cada uma com regras distintas: o trabalho, a igreja, a escola. Renaud e seus colegas estudaram seis redes dentro do Pardus. Os jogadores podem declarar amizade, se comunicar, e fazer comércio (três redes de relacionamentos positivos); ou podem declarar inimizade, atacar outro jogador, ou pôr a cabeça de um jogador a prêmio (três redes de relacionamentos negativos).


Dentro do Pardus, existem triângulos estáveis em maior número

Tipo de triângulo emocional + + + + + – + – – – – –
Estado do equilíbrio Equilibrado Desequilibrado Equilibrado Desequilibrado
Número de triângulos 26.329 4.428 39.519 8.032

Os principais números obtidos por Renaud estão na tabela acima. Algumas conclusões:

• As pessoas pagam os atos positivos na mesma moeda, mas não os atos negativos. Em linguagem técnica: há maior grau de reciprocidade nas relações positivas.

• Amigos se comunicam. Quando a comunicação pára, a amizade “congela”; raramente um enlace positivo vira negativo.

• Negociantes se comunicam. Quando a comunicação pára, o comércio imediatamente pára também.

• Quem ataca um, faz inimizade com muito mais do que um, pois faz inimizade com todos os amigos do jogador atacado.

• Antes de agressões, atacantes e atacados se comunicam intensamente entre si.

• Dois comerciantes tendem a permanecer comerciantes. Poucas vezes eles conseguem converter relações de comércio em relações de amizade.

• Jogadores com experiência em comércio raramente põem a cabeça de outros jogadores a prêmio: eles não gastam dinheiro à toa.


Quase todos pagam o bem com o bem

Como mostra o índice de reciprocidade, os jogadores tendem a ignorar quem age mal
Ligações positivas Ligações negativas
Tipo de rede Amizade Mensagens privadas Comércio Inimizade Ataques Recompensas
Número de pessoas na rede 4.313 5.877 18.589 2.906 7.992 2.980
Número de ligações diretas entre as pessoas 31.929 185.908 796.733 21.183 57.479 5.096
Reciprocidade 68% 84% 57% 11% 13% 20%

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 2, março de 2011, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita, mas todos os dados são os que valiam em 2011.

2. Certa vez, uma jornalista me perguntou: “Como você sabe que ele ‘puxa o capuz do moletom, enfia as mãos nos bolsos, e sai debaixo do chuvisco a passos decididos, mas sem pressa’?” Eu vi a cena, pois gravei a entrevista no Imperial College de Londres pessoalmente.

3. Hoje Renaud Lambiotte é professor de matemática no Centro da Universidade de Namur para Sistemas Complexos, em Namur, Bélgica.

Todo erro é uma descoberta


Em países como o Brasil, se uma pessoa comete um erro de matemática, coitada: ela precisa de conserto. No Japão, quem erra faz uma descoberta, a ser explorada com satisfação. É por isso que professores japoneses obtêm resultados excelentes até mesmo de alunos medíocres.


{1}/ O método da borboleta

Quanto é 1/3 multiplicado por 1/5? Nos Estados Unidos, certa vez um aluno calculou a resposta como sendo 1. O que o professor deve dizer a um aluno desses? Que ele errou ou que fez uma descoberta? Em países como Estados Unidos e Brasil, é bem provável que o professor diga ao aluno que errou; logo em seguida, que mostre ao aluno, e talvez à classe inteira, o jeito certo de calcular o resultado dessa multiplicação de frações.

Um professor japonês não recorreria ao método “Você errou. Eis aqui como deve proceder para acertar da próxima vez.” Em vez disso, conversaria com o aluno e em seguida diria à classe algo do tipo:

“O Fulano aqui descobriu que determinada abordagem ao problema não funciona. Fulano, por favor, explique sua descoberta à classe.”

Suponha agora que o professor americano siga o método japonês; ele daria ao Fulano a oportunidade de explicar o que aconteceu:

“Eu usei o método da borboleta para multiplicar as duas frações. Esse método funciona na adição e na subtração de frações. Por isso supus que funcionaria na multiplicação de frações também.”

O método da borboleta é um método do tipo decoreba; é péssimo, mas comum nos Estados Unidos, a ponto de figurar em apostilas de matemática e fazer sucesso no YouTube. Para somar 1/3 com 1/5, primeiro o aluno coloca as duas frações lado a lado:

equation-1

Feito isso, desenha a borboleta:

descobertas_1

O aluno usa o sinal de mais, na cabeça da borboleta, como lembrete de que, em algum momento, terá de somar números na parte de cima da borboleta; e usa o sinal de vezes, no rabo da borboleta, como lembrete de que terá de multiplicar os denominadores na parte de baixo. E daí o aluno multiplica em cruz: o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda, o denominador da primeira pelo numerador da segunda. Com isso, preenche a borboleta:

descobertas_2

Nesse caso, o aluno multiplicou 1 por 5 e anotou o resultado no topo da asa esquerda; multiplicou 1 por 3 e anotou o resultado no topo da asa direita; somou os dois produtos na parte de cima e anotou o resultado na cabeça da borboleta; multiplicou os denominadores e anotou o resultado no abdômen da borboleta. Daí escreveu o resultado:

equation-2

E se o aluno quer tirar 1/5 de 1/3? Pode usar o mesmo método. Começa escrevendo a expressão cujo valor pretende calcular:

equation-3

Depois, desenha a borboleta e a preenche com os números:

descobertas_3

Com isso, pode arrematar o resultado:

equation-4

Estudiosos dizem que esse método é péssimo justamente porque é um decoreba estupendo. O aluno nunca mais se esquece de como somar e subtrair frações; contudo, não consegue ver o que está acontecendo nos bastidores. O método da borboleta, como todo bom decoreba, não dá margem para a argumentação. Em consequência, com ele talvez o aluno se confunda, e ache que pode realizar a multiplicação de frações assim:

descobertas_4

Daí a deduzir que multiplicar 1/3 por 1/5 resulta em 15/15 = 1 é um pulinho.

Nos Estados Unidos, há alguns anos um pesquisador de nome Phil Daro ficou intrigado com um mistério: por que professores japoneses obtinham resultados excelentes ao ensinar matemática inclusive para alunos medíocres, enquanto os professores americanos obtinham resultados medíocres ao ensinar matemática inclusive para alunos brilhantes? Phil gravou em vídeo centenas de aulas nos Estados Unidos e no Japão. “Eu assisti àqueles vídeos dezenas de vezes ao longo de anos”, diz Phil Daro. “Não conseguia ver nada de especial no professor japonês: era um professor como qualquer professor nos Estados Unidos.” Um dia, olhando um dos vídeos, teve um estalo: o professor americano e o japonês encaram o erro de forma completamente distinta. “Levei anos para ver o óbvio, que estava na minha cara o tempo todo.”

Nos Estados Unidos, quando um Fulano erra, a primeira reação do professor, dos outros alunos, e do próprio Fulano é dizer: “Há algo de errado com o Fulano. Vamos descobrir o que é. Vamos consertá-lo.” Phil diz que essa nunca é a primeira reação numa sala de aula japonesa. Ao contrário, é: “Ao tentar resolver este problema que estamos tentando resolver, o Fulano adotou uma abordagem que não funciona. Visto que ele é uma pessoa como outra qualquer, talvez alguém da classe venha a escolher essa abordagem no futuro. Portanto, é muito importante que descubramos juntos por que a abordagem lhe pareceu boa, e descobrir também por que jamais poderia funcionar.”

Em outras palavras, nos Estados Unidos, um erro é uma vergonha a ser mitigada; no Japão, é uma descoberta a ser explorada.

Feita a constatação, Phil quis saber por que os dois países tratam erros de modo tão distinto. Haveria nos dois países um traço cultural a explicar a diferença de tratamento? Depois de pensar bastante no assunto, Phil tem uma conjectura: nos Estados Unidos, o objetivo de professores e alunos é obter a resposta certa, e depressa. No Japão, o objetivo é completamente outro: aprender a raciocinar corretamente a respeito de entidades de cunho matemático. Diz Phil: “O objetivo do professor americano é: ‘Como eu ensino meus alunos a obter rapidamente a resposta certa de problemas desse tipo?’ O objetivo do professor japonês é: ‘Que matemática os alunos devem aprender com problemas desse tipo? E como vou usar os problemas para fazê-los compreender essa matemática?’”

Problema de software. Todo professor experiente pode contar histórias como a da multiplicação pelo método da borboleta. (Veja a seção 2 para outras histórias assim.) E todos os que já pensaram mais profundamente sobre a questão do erro em aulas de matemática dizem mais ou menos a mesma coisa: que erros e acertos são irmãos. Ambos têm o mesmo pai e a mesma mãe, que são o raciocínio lógico e o pensamento estruturado. Às vezes, como no exemplo da borboleta, o raciocínio que produz a resposta errada é idêntico ao que produz a resposta certa; o aluno não percebe que o problema novo inclui certas pressuposições novas e exclui certas pressuposições antigas, e que isso invalida o raciocínio com o qual estava acostumado a trabalhar. Às vezes, o raciocínio que produz a resposta errada é apenas ligeiramente diferente do que produz a certa, e a diferença entre os dois é tão sutil que até o professor passa apuros para achar a sutileza. (Um programador diria: “Achar o bug no software.”) É por isso que, durante as aulas de matemática, a classe não pode focar em acertos e erros, mas em argumentos.

[Mini ensaio filosófico. Uma pessoa pode chamar o método da borboleta de “raciocínio”? A rigor, não. É um algoritmo; como todo algoritmo, o estudante pode executá-lo sem pensar. (Um bom algoritmo é justamente aquele que dispensa o raciocínio.) Mas se um professor ensinou o método em sala de aula, ou mesmo se recomendou um vídeo sobre o método, então, do ponto de vista do estudante, é um raciocínio tão válido quanto qualquer outro, pois tem o aval do professor.]

Antônio José Lopes (conhecido como Bigode), autor de livros didáticos e consultor do MEC, sabe dizer por que “fazer matemática” se transformou em “achar a resposta certa”: é por causa de testes, concursos, vestibulares. “A nossa cultura de cursinho sempre privilegiou o acerto”, diz Bigode. “Isso porque é possível quantificar facilmente a quantidade de acertos versus a quantidade de erros. Se você faz um teste de múltipla escolha com 20 questões, e acerta 17 delas, é muito simples: você acertou 85% das questões. Tal fato passa ao aluno a falsa impressão de que sabe a matéria.”

Por que Bigode usou a locução “falsa impressão”? Quem acerta 17 questões entre 20 não sabe a matéria?

Nem sempre, como o exemplo da borboleta demonstra: o estudante soma e subtrai frações, e acha a resposta certa, mas, como está recorrendo a uma receita de bolo, sabe tão pouco que nem consegue ver por que jamais deveria usar a borboleta para multiplicar ou dividir frações. “Muitas vezes”, diz Bigode, “o erro surge dessa cultura do macete, da prescrição.” Com tal cultura na cabeça, professores e alunos no fim das contas dão ênfase excessiva a acertos e erros, que são o fim de um processo, em vez de dar ênfase ao processo em si.

Meu amigo Pólya. Quando Bigode quer explicar o que significa “dar ênfase ao processo”, ou o que significam expressões equivalentes, do tipo “ensinar matemática de verdade”, “ensinar o pensamento matemático”, ele menciona o nome de um matemático húngaro: George Pólya, autor do famoso livro A Arte de Resolver Problemas. “O que ele fez?”, diz Bigode. “Estudou como seus melhores alunos, que eram mestrandos e doutorandos, resolviam problemas matemáticos. Ele viu que havia um padrão.” Pólya identificou quatro passos na arte de resolver problemas:

1. Primeiro, o matemático tem de entender qual é o problema.

2. Entendido o problema, deve criar um plano de resolução, ou, como os matemáticos gostam de dizer, uma estratégia de ataque.

3. Deve executar o plano.

4. Uma vez que o problema esteja resolvido, deve voltar atrás e revisar cada detalhe. Talvez ache um erro. Talvez tenha uma ideia que leve a uma resolução melhor.

O estudante deve notar que esse não é uma receita a ser seguida passo a passo rigorosamente, pois, no passo 3, pode perceber que uma parte do plano não está funcionando, e daí tem de voltar ao passo 1 para ver se realmente entendeu o problema. Até passar a resolução a limpo, talvez execute os passos num vaivém assim: 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 4, 1, 2, 3, 4. (Para uma descrição mais detalhada de tais passos, veja a seção 3.)

Muita gente acha que só grandes matemáticos se preocupam com as instruções de Pólya, isto é, acha que elas servem somente para resolver problemas matemáticos difíceis e profundos. Não é verdade, como explica a professora Edda Curi, coordenadora do programa de mestrado no ensino de ciências e de matemática da Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul): “Se o professor, diante de crianças que mal sabem ler, lê em voz alta um problema de matemática adequado para a idade delas, elas conseguem resolver. Elas não precisam estar completamente alfabetizadas para resolver problemas. Aliás, elas nem precisam ter aprendido as operações matemáticas básicas, pois conseguem inventar sua própria notação e seus próprios procedimentos.”

O bom de estudar a arte de resolver problemas é que o aluno deixa de encarar a matemática como “a arte de dizer qual é a resposta certa rapidinho” para encará-la como “a arte de demonstrar por que motivos a resposta certa é a resposta certa”. Se o professor pedisse a um estudante bem treinado que somasse 1/3 com 1/5, o que tal estudante entregaria ao professor? Um documento, passado a limpo, contendo algo mais ou menos assim:


Teorema. Digo que a equação a seguir é verdadeira:

equation-6

Demonstração. Multiplique a primeira parcela por 5/5. Isso equivale a multiplicá-la por 1 e não altera seu valor:

equation-7

Multiplique agora a segunda parcela por 3/3. De novo, isso equivale a multiplicá-la por 1 e não altera seu valor:

equation-8

Visto que os denominadores estão iguais, conclua a operação ao somar os dois numeradores. Note ainda que 8 e 15 são primos entre si, de modo que ninguém pode simplificar a fração resultante mais que isto:

equation-9


Em outras palavras, o estudante não escreveu “a resposta certa é 8/15”, mas “a resposta certa, não há dúvida quanto a isso, tem de ser 8/15”. (É claro que ele já sabe somar frações com denominadores iguais, etc.) Além disso, com um método forte desses, pode usá-lo para realizar operações algébricas mais complicadas. (Veja a seção 4.)

Errou? Pare tudo! André Luís Trevisan dá aulas de cálculo, álgebra linear, e geometria analítica na Universidade Tecnológica Federal do Paraná; além disso, é doutorando na Universidade Estadual de Londrina. Evita dar aulas de cálculo do tipo “ache a resposta certa depressa aplicando a regra da cadeia”, e se esforça para dar aulas do tipo “pratique a arte de resolver problemas”, mas avisa aos interessados em dar aulas assim: é difícil. Por exemplo, quando André pega uma prova, e percebe que certo aluno não entendeu bem certo conceito, pede ao aluno um ensaio sobre o conceito. Quando alguém diz: “A resposta certa é X”, e X é de fato a resposta certa, André não responde com: “Está certo”, mas com: “Como você pensou para chegar nisso?” E quando alguém diz: “A resposta certa é X”, mas X é a resposta errada, mais uma vez André responde com: “Como você pensou para chegar nisso?” Todo mundo acha essa abordagem estranha: os outros professores, os alunos, os pais dos alunos. Às vezes, um aluno lhe diz para dar aulas da mesma forma que dão aulas todos os demais professores, em todas as demais faculdades. “Se você foge do padrão”, diz André, “cedo ou tarde alguém te diz que não está agindo do jeito certo.”

Para tornar sua situação ainda mais difícil, André não ensina cálculo na ordem em que todas as outras faculdades ensinam. Ele recorre a uma ordem mais ou menos histórica: por exemplo, começa com problemas de áreas e volumes, que levam naturalmente ao cálculo integral; só depois disso passa para o cálculo diferencial. Durante o doutorado, conheceu um autor holandês chamado Hans Freudenthal, para quem a missão do professor é ajudar o aluno a reinventar a matemática por si só. “Você não pode presumir que o aluno conseguirá reconstruir uma matemática que centenas de matemáticos talentosos construíram ao longo de milênios”, diz André; “apesar disso, se o professor apresenta ao aluno problemas bem planejados, daí o aluno consegue recriar sozinho os conceitos mais importantes, e mais ou menos como foram construídos ao longo da história.” Um curso desses só funciona se professor e aluno resolvem problemas à moda de Pólya; ele jamais funcionaria se ambos ficassem obcecados com a resposta certa (errada) dos exercícios ímpares no fim do livro didático.

Mas essa luta vale a pena, diz André. Muitos alunos, conforme ficam mais velhos e avançam no curso, percebem que aprenderam bem a matéria do primeiro ano. “Eles param de adotar uma atitude muito comum no Brasil, que é a atitude de quem, se errou alguma coisa, pára tudo e espera o professor escrever a resposta certa na lousa, para então simplesmente copiar a resposta certa.” Recentemente, André e equipe conseguiram verba do CNPq para estudar esse método mais sistematicamente, o que devem fazer de dezembro de 2014 a dezembro de 2017.

Pólya sempre funciona? Se o professor insiste em fazer o aluno escrever ensaios sobre as razões pelas quais a resposta certa é certa, o aluno sempre corresponde? Bigode diz que sim. “Quando um professor não consegue implementar a resolução de problemas no curso de matemática, em geral é porque tem problemas com o material didático, cuja escolha cabe ao diretor. É porque o diretor escolheu o material didático pensando nas finanças da instituição, e não na didática.” Em 40 anos de profissão, Bigode nunca se arrependeu de dar ao aluno a oportunidade de mostrar do que é capaz. “Se você quer concluir a aula sorrindo, feliz da vida, faça o aluno raciocinar. Aluno gosta de raciocinar. Quando eu era mais jovem, uma de minhas professoras vivia me dizendo: Cuidado. Talvez a criança não tenha errado. Talvez ela tenha apenas resolvido outro problema.” {❏}



{2}/ Apêndice I: Erros quase certos

• Edda Curi diz que muita criança ignora o zero ao realizar operações aritméticas com números como 1.045 e 203; por exemplo, faz 1.045 + 203 = 168, pois ignora os zeros ao montar a conta de armar. “Pudera”, diz Edda: “muito professor vive dizendo que o zero não tem valor, e a criança leva essa frase ao pé da letra.”

Para ser mais preciso, de algum modo o professor precisa passar a ideia de que o zero tem duas propriedades: x + 0 = 0 + x = x para qualquer valor de x; e x · 0 = 0 · x = 0 para qualquer valor de x. De modo nenhum isso equivale a dizer: “O zero não tem valor”, que a criança vai interpretar como: “Você pode ignorar o zero porque ele não tem importância.”

• Certa vez, diz Bigode, um professor perguntou à classe quantos lados tem um cilindro. “Não é uma boa pergunta.” Um dos alunos respondeu: “Infinitos.” O professor considerou a resposta errada. “O menino entendeu que a base do cilindro é um polígono com infinitos lados, o que me parece uma ideia legítima.” Afinal, é assim que um programa de computador desenha um círculo: imprime uma linhazinha reta, muda o ângulo um pouquinho, imprime outra linhazinha reta, muda o ângulo um pouquinho, etc. “Sem saber, o aluno estava trabalhando com a ideia de limite, mas sua resposta foi tachada de errada porque não era aquela que o professor esperava.”

• Tem aluno que soma frações assim:

equation-10

Aqui, ele somou 2 com 4 e 3 com 5. Se o professor diz que isso está errado, sem perguntar como o aluno pensou, perde a chance de discutir um assunto bem legal: existem situações nas quais essa soma, feita desse jeito, faz sentido. Bigode explica: “Imagine que 2/3 significa dois gols em três jogos. Imagine ainda que o time jogou mais cinco jogos, dos quais ganhou quatro jogos. Daí ele ganhou seis jogos em oito jogos.”

Numa situação dessas, o que o professor deve fazer, de algum modo, é dizer ao aluno que o matemático deve explicar como dá sentido a cada entidade matemática. Por exemplo, o aluno deve descobrir que não pode trocar 6/8 por 3/4, pois, do modo como definiu essa operação de adição, ela não admite simplificações. (Se o campeonato dura oito jogos, dura oito jogos; o estudante não pode usar uma expressão que sugira um campeonato de quatro jogos.) Uma solução possível é inventar uma notação nova, que sinalize o fato de que o aluno não está lidando com a mera soma de números racionais; por exemplo:

equation-11



{3}/ Apêndice II: Os passos de Pólya

1. Primeiro, o matemático tem de entender qual é o problema. Para tanto, pode responder a perguntas como: O que tem de descobrir ou demonstrar? Será que compreende todas as palavras e símbolos usados na redação original do problema? (Se a redação foi feita por outra pessoa.) Pode reescrever o problema com suas próprias palavras? Pode esboçar figuras, gráficos, ou tabelas que o ajudem a compreender o problema? Será que tem informações suficientes para resolver o problema? Se não tem, pode achar as informações que faltam? Será que tem de elaborar uma pergunta antes de ir atrás da resposta que procura?

2. Entendido o problema, deve criar uma estratégia de ataque. Algumas delas: Tentar adivinhar a resposta. Fazer uma lista de respostas possíveis. Fazer uma lista das respostas absurdas. Achar algum tipo de simetria. Estudar casos especiais, especialmente casos mais simples. Montar uma equação, e tentar resolvê-la. Procurar padrões (coincidências recorrentes). Partir do pressuposto de que o problema já foi resolvido, e imaginar as consequências. Insistir no problema, ter paciência, dormir — essa é a receita para ter uma ótima ideia logo ao despertar.

3. Deve executar o plano. Pólya pede ao estudante que não desanime com seu estado de confusão: todo matemático, enquanto está no processo de resolução de um problema, está em estado de confusão.

4. Uma vez que o problema esteja resolvido, deve voltar atrás e revisar cada detalhe. Talvez ache um erro. Talvez tenha uma ideia que leve a uma resolução melhor. Nessa fase, é importante pôr no papel o que funcionou e o que não funcionou, pois tal conhecimento será útil no futuro. Com o problema resolvido e revisado, é hora de escrever: matemáticos resolvem problemas não para achar a resposta certa, mas para explicar tim-tim por tim-tim por que a resposta certa é certa.



{4}/ Apêndice III: Multiplicando por um, somando zero

Suponha um estudante, codinome Pólya, que uma vez teve de realizar a divisão a seguir, na qual x denota um número real qualquer (com exceção de zero):

equation-12

Pólya está habituado a multiplicar números reais por 1 e sabe mexer com expoentes. Decidiu então multiplicar o quociente por 1, isto é, por x−3/x−3:

equation-13

Noutra ocasião, Pólya teve de trabalhar com a expressão a seguir:

equation-14

Viu que, se pudesse inverter o sinal dos termos no numerador, teria a oportunidade de simplificar a expressão. Então a multiplicou por 1, isto é, por (–1)/(–1):

equation-15

O resultado só é válido para x ≠ –1 e para x ≠ 1 (por causa da expressão original).

Pólya também costuma usar outro recurso, tão útil quanto esse, que é somar zero a alguma expressão — o que não altera seu valor. Por exemplo, um dia começou com x2 + y2, e daí somou à expressão 2xy − 2xy, que vale zero, e com isso pôde estabelecer a igualdade:

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

Essas duas ideias, multiplicar pela unidade e adicionar zero, são muito úteis. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Francisco Bicudo e Ludmila Fraccari.

Indícios sobre a economia do conhecimento em 2016

{1}/ A indústria eletrônica e a economia do conhecimento

Na quinta-feira da semana passada (8 de dezembro), a Associação Brasileira da Indústria Elétrica e Eletrônica (Abinee) divulgou os números referentes a 2016, as comparações com os números de anos anteriores, e algumas previsões para 2017.

Dizem os economistas que alguns setores servem de termômetro para a economia como um todo. O setor da construção civil é um deles — poucas vezes na história a economia foi bem, mas a construção civil, mal; ou vice-versa. Pois a indústria eletrônica serve de termômetro para um subconjunto especial da economia — a “economia do conhecimento”, como às vezes é chamada. É o subconjunto no qual estão engenheiros, cientistas, matemáticos, professores, escritores e jornalistas, artistas em geral, organizadores de feiras e eventos temáticos. Tais profissionais precisam de computadores, monitores, câmeras, mesas digitalizadoras, impressoras, celulares, dispositivos de comunicação de dados, além dos muitos serviços associados a tais produtos. Quando a economia do conhecimento prospera, em geral a indústria eletrônica também prospera; para o bem e para o mal, há uma correlação positiva entre o desempenho de ambas.

Na seção 2 a seguir, você verá uns poucos números sobre o setor eletrônico e umas poucas comparações, mais uma breve análise do que talvez signifiquem. Na seção 3, algumas curiosidades sobre os métodos usados pela Abinee para obter os números e a opinião de seus associados — se você trabalha com métodos quantitativos, vale a pena pensar nas informações contidas nessa seção.


{2}/ Os números de 2016

Para resumir, 2016 foi um ano ruim. (O redator ia escrever “péssimo”, mas se conteve: péssimo é o que está acontecendo em Aleppo, na Síria.) Comparando 2016 com 2015, o faturamento nominal em reais caiu 8%. (O faturamento real, descontados os efeitos da inflação, caiu 11%.) O faturamento em dólares caiu 12%. As exportações caíram 5%. Para azar de nossos vizinhos latino-americanos, especialmente argentinos, as importações caíram 20%. O saldo da balança comercial do setor caiu 23%. O número de empregados caiu 6% — as empresas do setor fecharam 14.000 postos de trabalho. A utilização da capacidade produtiva instalada se manteve estável em 71%. Os investimentos caíram 25%.

O faturamento do setor de informática, mais especificamente, caiu 23%. O de telecomunicações caiu 3%. O de equipamentos industriais, que serve de termômetro para como as empresas se preparam para o futuro, caiu 8%.

Nenhum dos membros da Abinee espera um 2017 exuberante. Em média, eles acham que o faturamento do setor vai crescer 1%. (É pouco: se o faturamento diminuiu 8% em 2016, deveria crescer 8,7% em 2017 apenas para voltar ao valor de 2015. Mas é melhor que uma nova queda.) Humberto Barbato, o presidente da Abinee, explica: “Você pode ver o gasto com equipamentos eletrônicos, por exemplo computadores e tablets, como sendo um investimento em eficiência. Mas, com a economia parada do jeito que está, pessoas e empresas não veem razões para investir em eficiência.”


{3}/ Informações do Brasil no exterior

Luiz Cezar Elias Rochel, gerente de economia da Abinee, é o profissional responsável pela coleta e pela organização das informações. Diz que a associação faz questão de não usar nenhum método quantitativo complicado para coletar os números de seus associados, para consolidá-los, e para com eles fazer projeções. “Se a associação usasse métodos complicados, de cunho estatístico”, diz Luiz, “tudo ficaria desnecessariamente mais caro e mais difícil. Além disso, nesse caso, um método sofisticado pode induzir a erro mais facilmente que um método simples.”

Eis como essa ideia funciona: se a Abinee usasse um método sofisticado, e por meio dele viesse a acreditar que o setor vai crescer 7% em 2017, haveria empresários do setor que usariam esse número para se preparar — por exemplo, para fazer investimentos, para adiar demissões, para estocar matéria-prima. Mesmo aquele empresário que hoje aposta em 1% de crescimento talvez descartasse sua impressão e adotasse o número da associação — afinal de contas, se a associação usou um método sofisticado, ela deve estar certa e eu, errado, não é mesmo? “Existem várias exceções ao que vou dizer agora, mas, na maior parte das vezes, o empresário tem impressões corretas sobre o que provavelmente vai acontecer.”

Essa história ilustra, mais uma vez, uma regra importante entre profissionais especializados em matemática aplicada: não use matemática quando ela não é uma ferramenta intelectual adequada. A implicação: o especialista precisa aprender a reconhecer as situações nas quais pode tirar a matemática da caixa de ferramentas.

Luiz diz que o melhor jeito de coletar informações das empresas associadas à Abinee é fazer as mesmas perguntas com frequência. “É o que fazemos. De três em três meses, fazemos as mesmas perguntas — por exemplo, quantos funcionários a empresa tem, ou se acha que o faturamento da empresa vai crescer ou diminuir nos próximos seis meses.” Fazendo as mesmas perguntas com regularidade, Luiz e seus colegas rapidamente percebem erros de avaliação e variações no humor do empresariado.

Uma curiosidade: muitas empresas do setor eletrônico instaladas no Brasil são multinacionais, de modo que as informações sobre o Brasil não estão no Brasil. “Às vezes, fazemos uma pergunta até que simples, que uma empresa brasileira responderia rapidamente, mas os executivos brasileiros são obrigados a pedir os dados para seus colegas no exterior.” {FIM}

Uma velha venerável e uma jovem energética


Não há provavelmente ciência como a matemática, que se apresenta de modo tão diferente para quem a cultiva e quem não a cultiva. Para quem não a cultiva, ela é antiga, venerável, completa; é uma coleção de argumentos áridos, irrefutáveis, inequívocos. Para o matemático, por sua vez, ela está no comecinho de uma juventude longa e energética.

C. H. Chapman, citado por Ian Stewart no livro Concepts of Modern Mathematics (1995)

Um problemão disfarçado de probleminha


Quando o matemático se depara com um problema aparentemente insolúvel, de tão difícil, pode adotar uma linha de ação pouco conhecida pelo leigo: tornar o problema ainda mais difícil. (Por incrível que pareça, essa providência às vezes dá resultados excelentes.) Walter Carnielli, professor no departamento de filosofia da Unicamp, tornou mais geral (e mais difícil) um problema da teoria dos números que até criança entende e aprecia, mas que ninguém ainda resolveu.



{1}/ Introdução à entrevista: filosofia e matemática

Um jovem acaba de se matricular num curso de filosofia e, todo pintado pelos colegas mais velhos, pensa: “Finalmente, vou estudar o que escolhi. Nada de física, de química, de matemática…” Quando chega à sala de aula, dá de cara com o professor de lógica, e eis que é um matemático. O jovem, que sempre foi mais “de humanas”, fica confuso. Talvez seja assim que alguns alunos da filosofia na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) se sentem quando encontram Walter Carnielli pela primeira vez. Matemático há mais de 30 anos, diz que um bom filósofo precisa conhecer uns poucos campos da matemática — por exemplo, lógica e teoria dos conjuntos. “Meus alunos não gostam muito, mas estudam. Digo que eles têm de olhar para os grandes filósofos como Kant, Aristóteles, e Platão, que prezavam muito a matemática.”

Muitos matemáticos famosos se transformaram em filósofos famosos — Bertrand Russell talvez seja o melhor exemplo. O estudante deve seguir seu exemplo. Quando o matemático conhece a história do mundo e das ideias, a filosofia da ciência, e por que as ciências são do jeito que são, corre menor risco de dizer bobagens. “Os grandes matemáticos sabem disso”, diz Carnielli. Na hora de propor um problema, porém, o matemático tem de ser minimalista, objetivo, caso contrário não sai do lugar. “O geômetra, por exemplo, tem de esquecer a noção filosófica de reta e tentar propor uma teoria axiomática sobre retas, pontos e planos. É uma questão de método, mas nada o impede de depois refletir sobre as consequências filosóficas do problema matemático. Ele não precisa ser um ignorante.”

Carnielli fez pesquisa em matemática e filosofia em diversos países, entre eles Alemanha e Estados Unidos. Diz que as duas disciplinas são “flores do mesmo jardim”. Há cerca de 20 anos, Carnielli mudou-se para o departamento de filosofia da Unicamp, que hoje abriga o departamento de lógica. Chegou a haver uma discussão na Unicamp sobre se lógica fazia ou não fazia parte do departamento de matemática. “Podemos dizer que essa discussão estava ocorrendo no início dos anos 1990 em vários lugares do Brasil. Então, no fim das contas, eu e todo o pessoal de lógica fomos para a filosofia.” Ele escolheu a profissão por causa de uma ideia que dá muito debate filosófico. Desde o ensino médio se surpreendia com a existência do infinito, e se perguntava como o homem pode ter algum domínio sobre o infinito com a ajuda de matemática. Hoje vê que o problema do infinito é maior do que imaginava — ainda bem, pois é por meio do infinito que a humanidade chegou a descobertas bonitas e úteis. Sequências e séries estão entre elas; mas também está a generalização do problema de Collatz (sobre isso, veja a seção 3).

Há dois anos, Carnielli generalizou esse problema “demoníaco”. Foi dormir pensando nele e, depois de um sonho, acordou com a sensação: “É óbvio: se não posso resolvê-lo, devo piorá-lo.” Escreveu um artigo sobre uma generalização possível desse problema fácil de entender, mas avisa que o transformou em infinitos problemas e o deixou ainda mais difícil de resolver.



{2}/ A entrevista em si

Como se tornou matemático?

Se eu tivesse de botar a culpa em alguma coisa por ter feito matemática, colocaria no infinito. Hoje vejo que o problema do infinito é maior do que eu pensava. Quando estava no ensino médio, um professor nos mostrou o método indutivo. Por exemplo, como o matemático prova que a soma dos primeiros ímpares sempre é igual a um quadrado perfeito? [começa recitar as contas] Olha: 1 + 3 = 4, que é 22; 1 + 3 + 5 = 9, que é 32; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, que é 42; e assim por diante. Eu me perguntava: “Como com três passinhos provo algo sobre o infinito?” Guardadas as proporções, isso tem cara de prova da existência de Deus! [Risos] Aquilo me encucou profundamente. Afinal, quem me garantia que aquela prova daria certo? A ONU? O João Figueiredo, o presidente da época? Então fui entender na faculdade que são os fundamentos da matemática que me dão o direito de ter domínio sobre o infinito.

Também gosto muito do embate do finito com o infinito, isto é, da matemática discreta com a contínua. Se pudesse, faria uma pequena correção a Kronecker [Leopold Kronecker, matemático alemão do século 19], que disse: “Deus criou os números inteiros e o resto é obra do homem.” Para mim foi o demônio quem inventou os inteiros e o resto é obra do homem. Os problemas que envolvem os números inteiros são tremendamente difíceis. Deus soprou assim: “Inventem o infinito.” Aí o demônio falou: “Ah, é? Então vou jogar o finito para vocês. Pensarão que é fácil, mas vão tropeçar nele, e o finito vai atrapalhar a vida de todo mundo.” Acho que o infinito é uma invenção humana, mas é nosso monstro. Os números inteiros são demoníacos, o que é fácil de ver com o problema de Collatz.

Como conheceu o problema de Collatz?

Eu o conheci quando estava fazendo doutorado na Unicamp e fiz uma visita à USP. Durante um almoço, um colega me perguntou se conhecia “o problema do 3x + 1” [este é mais um dos vários nomes para o problema de Collatz]. É um problema tremendo. Eu me interessei por ser um dos mais simples de entender. Até mais simples do que o último teorema de Fermat, que inclui potenciação, ou a conjectura de Goldbach, em que a pessoa precisa saber o que é um número primo. Uma vez até mostrei o 3x + 1 para minha sobrinha de 10 anos. Qualquer pessoa consegue entender, só precisa saber tabuada, adição, e o que é par e ímpar.

Tentou resolver esse problema?

Tentei. Muitos matemáticos gastam um tempinho com ele. Eu gastei uns 15 anos [em 2013, quando ocorreu a entrevista]. Quando estou com insônia, penso nele para dormir. Ou quando estou no avião e começa uma turbulência, penso nesse problema e fico numa paz profunda. É como um calmante. Mas é claro que o problema de Collatz já me deixou bem frustrado. Já achei que tinha encontrado uma forma de resolvê-lo usando um negócio chamado sequências p-ádicas. Tentei aquele método por dias e depois de um tempo voltei ao ponto de partida. Mas foi há muito tempo e sei que não posso passar a vida pensando apenas nele. Tenho de dar aulas, escrever relatórios. Não posso escrever assim: “Como gastei meu tempo? Pensando num problema aparentemente insolúvel. E cheguei numa solução? Não.” Tenho um monte de problemas nos quais pensar e não fico obcecado pelo problema de Collatz, pois tenho um pouco de bom senso. Sei que beira o impossível e se quisesse resolvê-lo só faria isso da vida. E talvez uma vida não seria suficiente; talvez 500 vidas não seriam suficientes.

Como faz para generalizar um problema ainda sem solução?

Fiz uma generalização do problema de Collatz há uns dois anos e sabe como tive acesso a essa ideia? Num sonho. Eu me perguntava por que ele é tão difícil e no sonho me veio na cabeça o seguinte: é difícil porque ele é ultra-super-simétrico, não tenho por onde segurar nele. Então pensei: se não posso resolvê-lo, será que não poderia piorá-lo? Acordei de manhã para tomar café e rabisquei a generalização num papel, ou caso contrário poderia esquecê-la. Em menos de três dias estava pronta, mas depois demorei para escrever um artigo bonito e organizado. Também consultei um especialista em teoria dos números para ver se alguém já não tinha tido essa mesma ideia. O matemático viu a ideia da generalização e achou que valia a pena [ele se chama Keith Matthews e vive na Austrália]. Outros matemáticos já tinham generalizado casos particulares do problema, mas o meu método era mais simples e direto.

Fiquei muito contente com essa generalização, porque é uma espécie de sobrevivência para sempre. Acho que esse problema vai ficar por aí até depois que a raça humana desaparecer. Talvez algum dia outros seres venham aqui, encontrem esse problema e digam: “Olha, aqui existia uma raça de bichos que se entretinha com uns problemas engraçados!” Problemas assim são uma espécie de legado do raciocínio humano.

Ainda brinca com o problema de Collatz?

Agora estou tentando aplicar métodos de sistemas dinâmicos para resolver a minha generalização. Como não sou especialista, contudo, tenho de estudar mais essa área. Outras pessoas já aplicaram esses métodos em outras variantes, mas não vão aplicar na minha. Se eu quiser que o meu problema avance, tenho de fazer isso eu mesmo. Por isso vou estudar por mais ou menos um ano esses métodos e ver se consigo dizer algo novo sobre ele. Se não conseguir nada em um ano, é porque não adianta continuar por esse caminho.

Na filosofia, os alunos precisam saber a linguagem matemática da lógica?

Precisam. Meus alunos aprendem. Não gostam muito, mas aprendem. Digo que olhem os grandes filósofos como Immanuel Kant, Aristóteles, Platão, que prezavam muito a matemática. Essa divisão ridícula de cursinho de vestibular entre exatas e humanas é antieducativa e perversa. A ciência, e o conhecimento humano em geral, é fruto da nossa maneira de pensar. Por que milagre a matemática dá certo para construir pontes? Quem disse que a ponte tem de se comportar como a matemática quer? É que nossa teoria sobre pontes é irmã da nossa teoria sobre matemática, somos nós que fazemos tudo. É besteira chamá-la de exata, pois somos nós que temos um ponto de vista. A ciência é um fruto humano. Toda ela: a matemática, a física, a ética, a literatura. É besteira querer separar.

Como é fazer matemática em outros países?

Não só a matemática, mas a cultura científica é diferente em cada país. Fiquei dois anos na Alemanha fazendo pesquisa e notei que os alemães, em geral, consideram a intuição algo privado. O matemático não tem de explicar a ninguém como funcionou sua intuição para resolver certo problema. Para eles, apenas a formalização e a justificativa são coisas públicas. Lembro que, às vezes, ia a encontros e tentava explicar minhas intuições, mas eles não gostavam de ouvir. Não lhes interessa muito essa questão, mas sim os resultados. Já os americanos e os brasileiros, por exemplo, gostam muito de ouvir sobre como você descobriu tal coisa, como sua intuição funcionou. Não digo que seja algo ruim a forma como a ciência sofre com essa questão cultural de cada país. Seria como comparar a culinária japonesa com a francesa. Ambas são boas, mas existem momentos distintos para cada uma, e acho que essas diferenças afetam o resultam global da ciência.

Já teve muitas angústias matemáticas?

Ainda tenho. É muito difícil propor e inventar algo original. Mais difícil ainda inventar algo original e relevante. Como também é difícil escrever bem sobre essa coisa e convencer as pessoas de que aquilo faz sentido. Depois de tudo isso, pode ser ainda que parte, ou tudo, daquilo já tenha sido feito por outra pessoa. Já aconteceu comigo muitas vezes e percebi que, se criar um pingo de novidade, já é bastante coisa. No próprio problema de Collatz, por exemplo, algumas pessoas já tinham feito a generalização de casos particulares parecidos com alguns dos meus casos. Minha generalização não é absolutamente nova. É mais simples, e promissora, mas não chega a ser uma pepita de ouro.

Na matemática, uma ideia sempre tem alguma intersecção com a ideia de outra pessoa. Só que é uma angústia, afinal passo um bom tempo entre ter a ideia e transformar aquilo em material de verdade. É como o inventor que passa um bom tempo entre inventar uma máquina e conseguir patrocínios, patentes, etc. Talvez também seja a angústia do escritor durante o tempo entre ter uma bela ideia e transformá-la num romance que vire um best-seller. Acho que é uma angústia humana: a angústia de todos. {❏}



{3}/ Apêndice I: o problema 3x + 1

Matemáticos acreditam que o alemão Lothar Collatz (1910-1990) propôs a conjectura 3x + 1 na primeira metade do século 20. Embora alguns acreditem que foi proposto em 1937, não há documentos escritos sobre o problema até os anos 1970, nem há certeza de quem originalmente o propôs. O enunciado mais simples do problema diz o seguinte:

Seja x um número inteiro positivo que serve de ponto de partida para a lei: se x for ímpar, a lei é 3x + 1; se x for par, é x/2. Se uma pessoa aplicar essas leis a qualquer inteiro positivo, e repeti-las a cada novo resultado, em algum momento a pessoa chegará a x = 1. Um leitor, por exemplo, inicia o processo pelo número 6, que é par, e faz a sequência de operações aritméticas logo abaixo. (Neste texto, excepcionalmente, leia a seta → assim: “leva naturalmente a”; por exemplo: leia AB com as palavras “A leva naturalmente a B”.)

x = 6

x = 6/2 = 3

x = 3 · 3 + 1 = 10

x = 10/2 = 5

x = 3 · 5 + 1 = 16

x = 16/2 = 8

x = 8/2 = 4

x = 4/2 = 2

x = 2/2 = 1

Assim, começando com x = 6, o leitor realiza oito iterações para chegar a x = 1, e produz a sequência 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. A conjectura de Collatz diz que, não importa o inteiro positivo com o qual o leitor comece a sequência, ela sempre desemboca em x = 1. É uma afirmação extraordinária, na verdade, pois algumas sequências dão a impressão de que vão se afastar de x = 1 em definitivo; por exemplo, caso o leitor comece com x = 27, vai produzir uma sequência com 112 termos, que subirá até x = 9.232 antes de descer até x = 1.

Muitos matemáticos, Walter Carnielli entre eles, tentaram e tentam resolver esse problema, que é chamado de muitas maneiras: problema de Siracusa, conjectura de Ulam, problema de Kakutani. Eles também fizeram várias mudanças na conjectura original, por exemplo para incluir inteiros negativos como ponto de partida. Por enquanto, usando computadores, especialistas só conseguiram evidências de que a conjectura é verdadeira para qualquer x ≤ 19 · 258 ≊ 5,48 · 1018. {❏}



{4}/ Apêndice II: Como tornar um problema difícil ainda mais difícil

Se o matemático não pode vencer um problema, às vezes, brinca com ele de outra forma. Pega o problema como se fosse massinha de modelar e o manuseia para criar novas formas, mas sem destruir a forma original. Carnielli fez algo assim com o problema 3x + 1, isto é, generalizou o problema para deixá-lo mais complicado. Para entender essa generalização, o leitor deve entender em primeiro lugar um jeito ligeiramente mais sofisticado de enunciar o problema original.


Problema. Seja uma sequência de inteiros positivos x1, x2, x3, x4, …, xn, cuja regra de formação funciona segundo a iteração a seguir.

equation-9

Não importa qual seja o valor inteiro positivo que atribua a x1, pode dizer que sempre será o caso de que xn = 1 para um número n suficientemente grande de iterações.


[Note que essa versão funciona apenas para inteiros positivos; o redator escolheu assim para simplificar a exposição. Um pouco de nada sobre a notação ab (mod c): é um jeito conveniente de dizer que, caso divida a por c, deve obter resto igual a b; ou então, o que é a mesma coisa, é um jeito conveniente de dizer que ab é um múltiplo de c. Umas poucas restrições, que, se quiser, pode ignorar: a pode ser um inteiro qualquer, positivo, nulo, ou negativo; c ≥ 2 é um inteiro; e 0 ≤ b < c.]

Ao colocar o problema desta forma, o leitor usou a aritmética módulo m (com m = 2) para descrever o que é um número par e um número ímpar. Como interpreta a primeira linha da função xn+1? Deve dividir o valor de xn por 2 se tal valor for congruente a 0 módulo 2, isto é, se tal valor, quando dividido por 2, deixe resto igual a 0; em termos mais simples, se tal valor for múltiplo de 2. Quanto à segunda linha, é a mesma coisa: Se o valor de xn for congruente a 1 no módulo 2 (isto é, se xn for ímpar e deixar resto 1 quando da divisão por 2), o leitor deve multiplicar tal valor por 3, somar 1 ao resultado, e dividir tudo isso por 2. Vai produzir uma sequência ligeiramente diferente daquela que Carnielli explicou durante a entrevista (e diferente da forma na seção 3), mas, mesmo assim, tal sequência sempre desemboca em xn = 1 para algum valor suficientemente grande de n. (Ou assim diz a conjectura.) Por exemplo, se começa com x1 = 6, produz a sequência 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1.

Muitos matemáticos acham (e acharam) que vai demorar bastante para que alguém consiga resolver o problema de Collatz, pois, como diz Carnielli, esse problema tem “simetrias demais”. Toda vez que o leitor multiplica um número ímpar por 3 e soma um, restabelece a paridade par que pode ter sido quebrada no passo anterior. “Eu restabeleço e quebro a paridade par de novo e de novo”, diz Carnielli. “Então, para piorar o problema, pensei o seguinte: por que restabelecer a paridade se posso restabelecer o resto da divisão? Tudo é uma questão do resto da divisão.”

Escreveu então o artigo O Problema ax + b: A Generalização Mais Natural do Problema de Collatz. No artigo, propõe algo mais ou menos assim: em vez do matemático escolher um inteiro x ≠ 0 e verificar se é par ou ímpar, deve escolher um inteiro x ≠ 0 e também escolher com qual módulo d ≥ 2 gostaria de trabalhar. Carnielli conjecturou o seguinte: depois de um número finito de iterações, a sequência de inteiros entra num ciclo final com número finito de elementos, e além disso existe um número finito de ciclos finais possíveis. Para que tudo isso funcione, Carnielli escreveu duas funções um pouco diferente daquelas no problema original:

equation-10

O leitor talvez queira testar essa conjectura. Se começa com d = 2, vai simplesmente lidar com o problema original. Faça, à guisa de exemplo, d = 3, e comece a sequência com x1 = 4. Então, logo nota que, para aplicar uma das funções, precisa responder a duas perguntas:

x1 é múltiplo de 3? Se sim, pode imediatamente dividi-lo por 3.

x1 não é múltiplo de 3? Então, deve aplicar a segunda regra da função.

Eis como pode proceder a partir de x1 = 4. Bem, x1 = 4 não é múltiplo de 3; logo, use o algoritmo da divisão para escrever 4 = 3 · 1 + 1; assim, i = 1 e, ao aplicar a segunda regra, deve chegar a:

equation_11

Usando esse método com cuidado, vai produzir a sequência 4, 6, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, …. Portanto, a sequência para x1 = 4 e d = 3 é 4, 6, 2, 3, 1, e o ciclo final é 2, 3, 1.

Com tudo isso, agora o leitor tem ideia do que Carnielli fez: para testar a conjectura generalizada de Collatz, o matemático tem de testar não apenas cada inteiro de um conjunto infinito de inteiros diferentes de zero, mas cada inteiro com cada módulo d ≥ 2. É trabalho que não acaba mais.

Carnielli diz que talvez um dos leitores se pergunte: “Por que alguém gasta seu tempo para deixar um problema mais difícil do que já é? E por que uma universidade ainda por cima paga a essa pessoa um salário?” Eis a resposta: “Tais problemas”, diz Carnielli, “são minas de ouro, são riquíssimos em sabedoria, pois nos mostram claramente os limites do homem, da matemática, e da ciência.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, fevereiro de 2013, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone.