Raciocinando do específico para o geral

Você já partiu de uma conjectura e provou um teorema? Por meio de dois exemplos simples, um do ensino fundamental e outro do médio, verá o que um matemático faz, e terá ideia de como ele se sente.

O artigo a seguir foi publicado pela primeira vez pelo professor de matemática Bill Russell na revista Pi in the Sky, nº 14, do instituto canadense Pacific Institute for the Mathematical Sciences. Bill dá aulas na James Bowie High School, Texas (Estados Unidos). O artigo foi traduzido e adaptado com autorização do editor canadense.


Ao resolver um problema que envolva números, talvez você abra caminho para descobrir um conceito matemático mais geral. Muito da matemática é sobre correlações, e uma vez que você reconheça uma correlação, o próximo passo lógico é tentar estendê-la até descobrir revelações mais profundas.

Por exemplo, ao praticar a tabuada, o estudante talvez observe que o produto de dois números ímpares parece que é sempre outro número ímpar. Como existem infinitas combinações de dois números ímpares, é impossível checar todas elas para verificar se todas geram um produto ímpar. Um estudante com conhecimentos básicos de álgebra, contudo, tem as ferramentas para provar que essa conjectura vale para todos os casos.

Você pode representar um número ímpar como 2n + 1, em que n é um inteiro não negativo (isto é, pode valer zero). E pode representar um segundo número ímpar como 2m + 1, em que m também é um inteiro não negativo, talvez diferente de n. Como você representa o produto desses dois números?

A última expressão representa nada mais que a adição de um inteiro par (pois todo número multiplicado por 2 é par) com a unidade, e um inteiro par mais 1 se transforma num inteiro ímpar. Você provou que o produto de dois números ímpares, não importa quais sejam, é um número ímpar também. Sempre.

Com esse exemplo bem simples, vê como um problema numérico específico, do tipo 3 × 5 = 15, pode ser estendido até se transformar num conceito mais genérico, do tipo ímpar × ímpar = ímpar. Agora aplicará esse método a um problema mais avançado.

O problema da cerca (tentativa 1). Você tem 240 metros de cerca para cercar um terreno retangular (veja a figura abaixo). Ache a medida dos lados adjacentes x e y que lhe dariam a maior área cercada.

 

Você sabe que o perímetro do retângulo tem de ser igual a 240 metros, ou seja:

Lembrete: A seta torta significa “leva naturalmente a”. Logo, 240 = 2x + 2y leva naturalmente a y = –x + 120.

Se seu objetivo é maximizar a área, você tem de calcular a área, e sabe que a área é igual a lado adjacente multiplicado por lado adjacente. Para calcular a área em função de x:

Isso é uma função polinomial quadrática (fazendo a multiplicação, você chega a x2 + 120x), e portanto seu gráfico tem uma linha de simetria entre suas duas raízes (ou os dois zeros), como pode ver na figura abaixo.

 

Visto que a função A acima está na forma fatorada, para achar as duas raízes (ou os dois zeros), basta igualar cada fator com zero e ver o que acontece. Você obterá:

O coeficiente do termo mais significativo é negativo, então a parábola está voltada para baixo, e a função terá o valor máximo no vértice. Como manda a simetria, o vértice está localizado entre as duas raízes, no ponto em que x = 60. Sendo assim, você acha a largura da área cercada calculando o valor de y para x = 60:

Sendo assim, a área máxima que você consegue cercar com 240 metros de cerca é igual a:

3.600 metros quadrados é o resultado, mas não chega a entusiasmar. Mais interessante do que isso é notar que, quando a área é máxima, x é igual a y. Isso é coincidência ou é o exemplo numérico de uma lei maior, mais geral? Se você desconfia que topou com uma lei universal (obtemos a área máxima de um retângulo quando seus quatro lados são idênticos, ou seja, quando o retângulo é um quadrado), como prová-la?

Seria fácil variar o comprimento da cerca e mostrar que, para cada área máxima imaginável, x e y são iguais. Mas mil casos particulares não formam uma generalização — aliás, nem 1 bilhão de casos particulares formam uma generalização. Para provar que isso é sempre verdade, você tem de resolver um problema genérico semelhante, e substituir os valores numéricos por variáveis. Com isso em mente, pode agora escrever o problema original de outra maneira.

O problema da cerca (tentativa 2). Você tem T metros de cerca, e com ela deve cercar uma região retangular, cujo comprimento será igual a x e cuja largura será igual a y. Demonstre que, quando a área do retângulo é máxima, o comprimento x é igual à largura y.

Você sabe que o perímetro T é igual à soma de 2x com 2y; logo:

Seu objetivo é maximizar a área, e você pode escrever a área A em função de x:

Você nota de novo que a função A é polinomial quadrática, e que o coeficiente de x2 é negativo (é –1). Isso significa que a parábola está virada para baixo, e que há um ponto de máximo, e que esse ponto de máximo está bem na linha de simetria entre as duas raízes da função A. Logo, o primeiro passo é achar as duas raízes, e para isso basta igualar cada um dos dois fatores acima com zero:

Como manda a simetria, o vértice da parábola está localizado entre as duas raízes (0 e T/2). Vamos chamar esse ponto de xV, ou o x do vértice. Ele é igual a:

Qual é o valor de y quando x = xV? Essa é uma pergunta importante. Vamos retomar uma das fórmulas acima e substituir os valores.

Isso significa que, no ponto em que a área A é máxima, x e y são iguais, e ambos valem o perímetro T dividido por 4.

Rápido feito gênio. Vamos tirar um momento para rever o que você acabou de fazer. Depois de resolver um problema numérico de rotina, você observou um resultado interessante. Ao tentar obter uma prova desse resultado para incluir todos os outros problemas semelhantes, você refez a afirmação inicial de uma maneira mais genérica, e logo em seguida a provou. Em poucas palavras, você provou um teorema. Embora sua prova tenha sido feita com álgebra simples, você complementou a álgebra com frases da língua portuguesa, explicando ao leitor o que estava fazendo em cada um dos passos mais importantes. No fim, você ganhou como prêmio um resultado simples, mas poderoso, pois você nunca mais precisará fazer esse tipo de conta no futuro. Quer ver? Um amigo lhe pergunta:

“Eu tenho 324 metros de cerca de arames farpados. Qual é a área máxima que eu posso cercar com isso, sendo que essa área tem de ter a forma de um retângulo?”

Você responde sem nem mesmo tirar os olhos do que está fazendo:

“Cada lado do retângulo tem de ter 324 metros divididos em 4 partes iguais. Quanto dá isso?”

Seu amigo aciona a calculadora do celular.

“Isso dá 81 metros.”

Você continua:

“Com 324 metros de cerca, você deve cercar um quadrado com 81 metros de lado, para ter área de… Quanto dá 81 vezes 81?”

Seu amigo digita os números na calculadora de novo.

“Dá 6.561 metros quadrados.”

“Essa é a área máxima do retângulo que você consegue cercar com 324 metros de cerca.”

Seu amigo vai te achar um gênio.

Nesse problema da cerca, é possível usar o mesmo método numérico para provar o caso genérico, ou seja, para provar o teorema. A única diferença foi que, no teorema, você usou variáveis em vez de números. Nem sempre essa abordagem é possível. Muitas vezes, você vai notar um padrão fácil de exemplificar com números, mas achará dificílimo, se não impossível, prová-lo em termos genéricos. Um exemplo famoso é a conjectura de Goldbach: todo inteiro par maior do que 2 é igual à soma de dois números primos. Dois exemplos: 10 = 7 + 3; 16 = 11 + 5. Embora Christian Goldbach tenha proposto a conjectura em 1742, nenhum matemático ainda conseguiu prová-la verdadeira, falsa, ou impossível de provar verdadeira ou falsa. [Essas são as três únicas possibilidades na matemática.]

Os matemáticos estão sempre aumentando o número de teoremas contidos na matemática, ou seja, estão sempre aumentando o número de ferramentas à disposição de quem estuda matemática. O que lhes move é a curiosidade. Estão sempre notando a existência de novas correlações, e a história é sempre essa: alguém faz umas contas, nota um padrão que se repete, pergunta a si mesmo por que o padrão se repete, e pergunta se tal padrão pode ser expresso de modo genérico, com as variáveis de algum tipo de álgebra. Por meio dos exemplos usados neste artigo, você percorreu caminhos que já foram percorridos milhares de vezes antes de você, e tais exemplos mostram como os caminhos são descobertos em primeiro lugar, e como devemos pensar e agir diante de uma conjectura quando queremos transformá-la num teorema. Se gostou da experiência, há muito mais a explorar no país da matemática! {FIM}


Observação:

O autor diz que o matemático está sempre à procura de “correlações”. Usou, portanto, o significado vulgar da palavra “correlação”, e não o significado que a palavra tem na matemática, o de correlação entre duas variáveis aleatórias. Na verdade, o matemático está sempre à procura de implicações. Mais precisamente, dado um sistema matemático (uma linguagem L, um conjunto S de elementos, e as relações e funções que o matemático pode formar com os elementos de S e expressar com os recursos da linguagem L), o matemático está sempre em busca de evidências de implicações importantes no sistema, para em seguida tentar prová-las verdadeiras, ou falsas, ou impossíveis de provar verdadeiras ou falsas.

O valor da palavra “ainda”

Existem dois tipos de estudante no mundo: os que já entenderam a matéria e os que ainda não a entenderam. A palavra-chave é “ainda”. O professor que a enfatiza ajuda a pôr fim na antiga crença de que existem apenas dois tipos de gente no mundo: o que tem cabeça para a matemática e o que não tem remédio.


Roberto Moisés

Roberto Moisés, professor de matemática no Colégio Santa Cruz, diz que basta examinar com cuidado os pais numa reunião de pais e mestres para ver indícios de como a sociedade brasileira tem fracassado ao ensinar matemática. Em geral, o professor de matemática é o que tem mais pais e mães à sua espera, querendo saber por que a criança vai mal, ou querendo fazer perguntas que os outros professores não precisam responder.

Um dos motivos, diz Roberto, é a cultura escolar do já, já, já. A criança tem três anos e o pai quer mostrar para o mundo inteiro que ela já sabe contar, já sabe ler, já sabe escrever, já sabe falar inglês, e já sabe dar golpes de judô. “É uma questão de status, e por causa disso muitos alunos se sentem excluídos do processo de aprendizagem. Eles sentem dificuldade e acabam se achando incompetentes.” Isso é evidente na matemática, cujo aprendizado requer mais tempo e maior paciência. O aluno é bom em história e ciências, escreve quase como um Machado de Assis, mas, nas aulas de matemática, demora a entender os conceitos. Conclui que há algo de errado com ele. Diante dessa frustração, cria um mecanismo de defesa contra a aula e o professor, que são as centenas de perguntas do tipo: “Para que estudar matemática? Para que isso serve? Por que meu pai teve sucesso e nunca fez uma conta na vida?”

Mike Askew e Rob Eastaway, matemáticos britânicos, escrevem no livro More Maths for Mums and Dads que há algo de errado nessa pergunta. Desde quando crianças e jovens se importam se estão aprendendo algo útil para a vida adulta? “Aliás, muitos pais reclamam que seus filhos não pensam o suficiente no futuro, pois estão muito focados em curtir o presente.” Os autores sugerem que, na maioria das vezes, o aluno questiona a utilidade da matemática por outros motivos: está entediado, ou está com dificuldades.

Lilian Spalding

Lilian Spalding, da Escola Vera Cruz, recorda alguns dos alunos que resistem às aulas. “O aluno não é necessariamente ruim, mas se coloca dessa maneira. Se ele se dedicasse, seria brilhante.” A criança age como um personagem conhecido das fábulas de Esopo: a raposa que desdenha as uvas. Na fábula, ela vê os apetitosos cachos de uva na videira, mas não consegue alcançá-los; por fim, desiste, e se justifica dizendo que estão verdes demais, e vai embora. Porém, na escola, muitas crianças desistem da matemática muito cedo, e carregam esse desdém por toda a vida escolar, quando não também por toda a vida adulta. Mike e Rob propõem uma ideia simples, mas crucial para mudar a atitude desses estudantes: enfatizar a palavra “ainda”.

Quando o estudante diz que nunca vai entender matrizes e determinantes, o professor deve encorajá-lo ao dizer: “Você ainda não entende.” Pode então divulgar essa ideia de que poucos saem da escola sabendo, de que a matemática envolve progresso e crescimento pessoal; não é algo que o estudante ou é capaz de entender ou não é. Os pais também são imediatistas, querem que o filho aprenda rápido e bem, e assim, como resultado, a escola perde uma função importante: a de ser o lugar onde o estudante melhora com os próprios erros e aprende a se esforçar mesmo que sinta muitas dificuldades. Sem essa experiência, ele cresce acreditando que o mundo é feito de burros coitados e de gênios de nascença.

O professor que deixa essa ideia se perpetuar permite que a matemática seja apenas um monte de algoritmos sem significado, sem beleza, e sem qualquer relação com o ser humano. Por isso, Roberto gosta de usar a história da matemática para mostrar que gente de carne e osso visualizou padrões na natureza e inventou um conjunto de ideias para descrevê-los. “O que a gente ensina na aula são apenas os padrões que deram certo”, diz Roberto. “Peço que meus alunos tentem imaginar o tanto de lixo, o tanto de folhas de papel amassadas que os matemáticos jogaram fora antes de concluir certas coisas. Gosto de trabalhar com esse ponto de vista humano, porque uma criação é esse tipo de drama.”

Quando o professor tenta abordar um lado mais humano para a matemática, os alunos que se dizem “da área de humanas” ficam muito animados. Mas depois de um tempo, quando a classe entende a ideia de que certo conceito tem uma história, ela mesma perde a paciência e exige: “Tá bom, mas quando vem a matemática?”

Algo mais. No início da carreira de professor, Roberto se sentia mais aluno de matemática que professor, então justificava todo conceito por meio de contas e explicações rigorosas. Um dia percebeu que não havia significado naquela maneira de ensinar, e procurou se identificar com seus alunos; passou a se perguntar para que aquilo servia. “Percebi que precisava de algo mais; me coloquei na posição do aluno e disse: preciso entender isso!” A partir daí começou a estudar o que ensinava e a usar nas próprias aulas a dinâmica com que aprendia, as dificuldades que tinha. Ao ver a matemática como linguagem e como criação humana, Roberto acha que se tornou um professor melhor. “Até brinco que não sou bom em matemática e isso me torna um bom professor. Acredito que os desafios que tive são parecidos com os que eles terão, e penso nas etapas que construí para mim mesmo na hora de me explicar.”

O estudante que sente prazer de aprender não desanima ao estudar por estudar, sem pensar em utilidade prática ou apenas em tirar notas. “Posso até apontar alguma utilidade prática, mas não é isso que motiva o matemático”, diz Roberto. “A vida da gente não exige mais que as quatro operações nem mais que uma calculadora de cinco reais.” Roberto tenta passar a ideia de que somos mais do que essa nossa vidinha, e a matemática é uma forma de transcender. Lilian concorda: a matemática é uma maneira de pensar, de ver um conjunto de ideias, e de resolver problemas. “Tenho uma sensação ruim quando um professor responde de bate pronto que isso serve para esse modelo.” Qualquer isso da matemática é muito pequeno em relação a toda a matemática.

Lilian diz que usar o caminho inverso do usual ajuda bastante na hora de prender a atenção dos alunos. Eles investigam um problema e sentem que precisam de algo que não sabem, então o professor fornece dados e conceitos para o problema. Depois que sentiram a necessidade do saber, fica fácil organizar e formalizar o conceito, pois o aluno vê algum sentido naquilo. “Esse método leva mais tempo, mas eles adquirem um conhecimento permanente.” Por meio desse método, o estudante começa a aplicar uma técnica recém-aprendida a outros problemas, isto é, começa sozinho a estabelecer as relações entre temas que, num curso convencional, parecem desconexos.

Matemáticos demoraram séculos para desenvolver a teoria que o professor explica em duas ou três aulas, e outros matemáticos levaram mais alguns anos para rever e organizar essas ideias antigas. Visto que na escola o estudante vê pela primeira vez assuntos de pelo menos 200 anos atrás, ele sente que tem dificuldade com um assunto bem estabelecido, do qual ninguém jamais duvidou. “É engraçado que em outras matérias o professor pode debater o tema durante a aula e deixar o aluno colocá-lo no papel quando estiver em casa”, diz Lilian. “Isso não funciona nas aulas de matemática. Não adianta o professor só verbalizar e explicar o conceito.” O aluno tem de colocar as mãos nas ideias, por assim dizer; tem de manipulá-las várias e várias vezes para entender o que o professor diz.

Renata Rossini

Renata Rossini, professora na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sempre lembra os alunos da paciência que a matemática exige. O aluno precisa de tempo para se acostumar com as palavras-chave da disciplina e com “a linguagem” dos símbolos, mas esse tempo deve ser empregado com prática e repetição. Quando dá aulas para calouros do curso sistemas da informação, Renata retoma o conceito de função estudaram no ensino básico, depois apresenta a ideia nova de limite e a desenvolve até que, por consequência, surge o conceito de derivada. No começo, parece que está falando árabe, mas após uns exercícios ela explica de novo, os alunos fazem mais exercícios e daí começam a interiorizar as regras e a nova forma de pensar. “Se percebo que o aluno está interessado, eu explico de um jeito e de outro, dou exercícios de um jeito e de outro. Quero que ele veja o conceito de vários ângulos; em algum momento, ele vai me entender.”

Lilian diz que existe um tipo de aluno raro: o que, mesmo que não goste do conteúdo, sabe o valor do que o professor ensina, o valor da forma como ele a ensina. Existe outro tipo mais comum: o que, embora ouça várias explicações sobre os mesmos conceitos, não consegue compreendê-los, pois existe algo entre ele e a matéria. Lilian acha mais fácil ajudar o aluno com dificuldades no conteúdo, pois é um problema conhecido. “O grande desafio são os alunos que têm a capacidade, mas não a usam. Como mostrar a eles que também são bons em matemática?”

Não é só o aluno que precisa de paciência. O professor lida com a dificuldade de falar para um público no qual cada um aprende num ritmo, e de uma maneira diferente, e no qual todos questionam seu trabalho. Poucos perguntam a razão de estudar, por exemplo, a revolução industrial, ou os romances de Monteiro Lobato. É como se, para o aluno, um fato histórico ou um escritor famoso já tivesse significado por si só. Roberto lembra a brincadeira que Nílson José Machado, professor na Faculdade de Educação da USP, costuma fazer: “Vou aprender poesia para ganhar uma namorada.” Esse pode até ser um jeito de fazer um xaveco bacana, diz Roberto, mas os poemas não servem só para isso. Da mesma forma, a matemática tem muitas aplicações, mas seu valor não se resume ao uso. “Não importa o que eu faço com a matemática”, diz Roberto; “importa o que a matemática faz comigo.”

Com os anos, até o professor começa a ver um novo significado no próprio trabalho, pois percebe que na verdade não ensina matemática, mas sim os conceitos com os quais o aluno vai construir sua própria matemática. “Se o aluno não vai ser um professor de matemática e não vai usar os conceitos, o que ganha com aquilo?”, pergunta Lilian. “Ele ganha a forma de pensar, o raciocínio lógico, e além disso aprende que pode lidar com uma situação nova a partir das referências que já tem. Essa é uma forma de acomodar a insatisfação do aluno, ancorando o que está aprendendo no que já sabe.”

Mamão ao sol. Quando o aluno diz que só gosta de álgebra, mas não de geometria, ou vice-versa, Roberto tem uma sensação estranha. “Tá de brincadeira: não pode! Quando dizem isso, tenho a convicção de que não tiveram tempo de entender e foram treinados para dizer: tem figura, é geometria; não tem figura, é álgebra.” Com essa visão fragmentada, o estudante escolhe o caminho fácil do desdém. Por isso, Roberto incentiva o aluno a assumir uma atitude mais honesta: a de dizer que tem maior facilidade com a geometria, ou com a álgebra, mas logo em seguida admitir que, caso se esforce mais, pode entender um assunto que lhe parece complicado. “Afinal, a vida não é feita só do que a gente gosta.” Nesse processo, ele nota que perde alunos. Aqueles mais imediatistas desistem.

Na PUC-SP, Renata dá aulas de matemática para vários cursos e não vê tanta resistência, mas sim corpo mole. Os estudantes sabem que o assunto não está ali para enfeitar o currículo e tem um uso mais prático, então fazem o suficiente para tirar notas, mas não dão o melhor de si. Muitas vezes erram exercícios por falta de organização; noutras não veem como usar os símbolos para descrever o raciocínio lógico. “Quando pego uma prova, vejo que o aluno não sabe o que está fazendo porque iguala tudo a zero”, diz Renata. “Ele inventa coisas ou tem preguiça de escrever todos os símbolos necessários.”

Lilian e Roberto citam três assuntos com os quais os alunos batalham: logaritmos, matrizes, e geometria espacial. São os alvos campeões de perguntas do tipo: Para que serve? Roberto gosta de propor primeiro uma situação assim:

“Gente, se eu escrever 2x = 10, será que existe esse expoente?”

Ele transforma a questão numa narrativa lógica: faz o gráfico da função exponencial de base 2 e os alunos veem que é contínua; é natural concluir que o expoente deve existir.

“E qual o valor desse expoente?”

Ninguém ainda sabe, mas intuem que é um valor entre 3 e 4, pois 23 = 8 e 24 = 16. Assim Roberto constrói a noção de logaritmo, isto é, o valor x ao qual deve elevar 2 para obter 10. Ele escreve isso na lousa por extenso, e então diz:

“Vamos simplificar isso aqui, porque na matemática não é para ficar escrevendo ‘o valor de x ao qual devo elevar 2 para obter 10’ toda hora. Vamos chamar esse x de logaritmo? Vamos chamá-lo de logaritmo de 10 na base 2?”

Depois Roberto conta um pouco de história: o homem começou a usar logaritmos numa época em que o comércio crescia, as navegações cresciam, havia exploradores na América, havia mais capital, havia bancos, crédito, juros. O professor consegue usar esse contexto para relacionar o uso dos logaritmos com outras áreas do conhecimento, mas muitas vezes o professor de matemática não sabe dessas coisas. Só existe um jeito de usar a história da matemática para ensinar matemática: estudar a história, e é o que Roberto faz; acha importante se interessar pelo que ensina. “Será que hoje sou um professor melhor que no passado? Tenho certeza que sim, pois o professor se forma em serviço.” O aluno também se forma praticando e estudando, por isso a palavra ainda mostra o valor do progresso.

É como ocorre com o matemático. Quando não sabe nada sobre um problema, ele não significa nada, é um grande mistério; depois que o entende bem e o resolve, o problema às vezes perde a graça. É no durante, é na fase da conquista que está toda a emoção da matemática. O estudante faz bem se aprende a curtir essa fase, tanto durante as aulas quanto sozinho em casa, pois, no calendário escolar, usar a palavra ainda é difícil. Renata diz que, na PUC-SP, os alunos agora têm disciplinas semestrais em vez de anuais. Se contar as férias e os feriados, eles têm apenas quatro meses de aulas. “O professor tem de fazer com o aluno o mesmo que faz com mamão: colocar ao sol para amadurecer mais rápido [risos].” OK, mas converse com quem tem pomar: a fruta que amadurece no tempo certo fica mais doce. {FIM}


Gráfico da função exponencial de base 2


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes, que também tirou as fotos.

3. No texto, você viu que Roberto Moisés desenha o gráfico da função exponencial de base 2 para mostrar aos alunos que y = f(x) = 2x é uma função contínua. É claro que ele só pode fazer isso quando dá aulas para alunos no ensino médio, pois um mero gráfico é insuficiente para provar que tal função é contínua. (É fácil imaginar funções descontínuas em toda parte cujo gráfico é, contudo, aparentemente contínuo; um exemplo é y = g(x) = 2x se x é racional, mas y = g(x) = 0 se x é irracional. Um computador, ao plotar o gráfico de g e o gráfico de f, vai plotar dois gráficos idênticos na aparência.) Para provar apropriadamente que f é uma função contínua, o estudante precisa de ferramentas matemáticas mais sofisticadas: precisa do conceito de limite ou então do conceito de infinitésimo. Clique aqui caso queira usar o conceito de infinitésimo no estudo de funções contínuas.

Parábolas, tarde demais

Daniela Stevanin Hoffmann, professora na Universidade Federal de Pelotas (RS), diz que o aluno no ensino fundamental e no médio não percebe que a matemática da física é, pura e simplesmente, matemática.


{1}/ Lembranças associadas a parábolas

Daniela estudou o modo como um professor poderia usar as seções cônicas para modelar problemas do dia a dia com a matemática do ensino básico. (O estudo ocorreu por conta de um trabalho de pós-graduação.) Os exemplos clássicos são o voo de uma bola pelo ar e a curvatura de uma antena parabólica. Mas já nesse trabalho deixava claro algo do que nem todo professor tem consciência: qualquer seção cônica é um objeto matemático complicado; para dominá-lo, o estudante teria de estudá-lo por bastante tempo. Ocorre que o estudante no ensino básico não se dedica a nenhuma seção cônica por tempo o suficiente; tudo o que vê são alguns detalhes e umas poucas aplicações desses detalhes. Como consequência, não consegue juntar esses poucos retalhos de informação numa colcha de retalhos que lhe cubra os pés. Não seria melhor pensar em alternativas? Daniela acha que sim, e até sugere: talvez seja o caso de dedicar menos tempo ainda às parábolas, para que o estudante tenha tempo de aprender alguma coisa bem.

Qual são as coisas mais curiosas sobre as parábolas no ensino básico?

Uma vez, quando dava aulas no ensino médio, eu e uma colega professora de física organizamos o experimento do foguete. É aquele experimento no qual dividimos a classe em turmas, e cada turma faz um foguete com garrafa de refrigerante, água, bombinha, etc. Cada grupo tinha de montar o foguete, estudar a teoria, fazer as previsões com as fórmulas mais básicas e, no dia do experimento, tinha de pegar os dados: o tempo total do percurso, a altura máxima, essas coisas. Pois bem: a gurizada ficou tão preocupada com pegar os dados que nem percebeu que o foguete percorreu uma trajetória parabólica. A sorte é que eles acreditam muito no que nós, professores, dizemos. [risos]

Mais tarde, nas aulas em que fomos estudar os dados, eu mostrei a equação mais básica do movimento e mostrei como ela gera uma curva parabólica — mas os alunos acharam esquisito o fato de que eu, sendo professora de matemática, estivesse falando de física! Para eles, era como se a professora de matemática não pudesse entender de física. É como se a matemática e a realidade fossem coisas muito descoladas uma da outra.


A equação do movimento

Nessa equação, r é a posição do objeto em função do tempo t; r0 é a posição inicial, v0 é a velocidade na posição inicial, e a é a aceleração do objeto. Essa equação descreve bem a trajetória de um foguete de brinquedo.


Acho que deveríamos fazer atividades como a do foguete, ou qualquer outra atividade assim, mais cedo, no ensino fundamental. Quando vamos trabalhar com as seções cônicas no ensino médio, tenho a impressão de que é tarde, pois os alunos têm muitas dificuldades para fazer as conexões entre a teoria matemática e a realidade. Parece-me algo com o que eles deveriam ter feito experiências mais jovens.

E daí, no ensino médio, acontece outra coisa engraçada: nós trabalhamos a parábola com a ideia de foco e de diretriz. A parábola não é mais apenas uma versão da fórmula y = ax2 + bx + c; ela surge da relação entre certos pontos do plano cartesiano, de um lado, e o foco e a diretriz, de outro. Então, se o estudante gera uma parábola com diretriz x = a e foco no ponto (a, 0), ele chega na relação y2 = 4ax e fica com uma parábola cujo eixo de simetria está na horizontal. [Veja a figura 1, mais abaixo, na qual a = 1.] Daí a parábola deixa de ser uma função, pois há dois valores de y para cada valor de x. Isso para eles é muito confuso e complicado! A gente passa a vida dizendo que, para ser uma função, não pode haver dois valores de y para cada valor de x, e eles passam a vida vendo as parábolas como funções. Quando veem uma parábola do tipo y2 = 4ax, enlouquecem.

Como os alunos no ensino médio reagem mal a esses fatos matemáticos, na prática alguns professores escolhem não explorar as cônicas no ensino médio, o que é uma pena.

Fig. 1

Como um professor poderia, em tese, explorar bem as parábolas no ensino básico como um todo?

É possível arrumar um cone, por exemplo um cone de isopor, ou de sabão, e mostrar ao estudante que, conforme o jeito que ele corta um cone, revela um círculo, ou uma parábola, ou uma elipse, ou uma hipérbole. É importante mostrar ao aluno como a parábola surge de definições fundamentais, como foco e diretriz, mas devemos também mostrar que ela surge do modo como seccionamos um cone.

Conforme a turma, dá para propor perguntas sobre como deslocar a parábola no plano cartesiano, e sobre como os deslocamentos alteram a fórmula da parábola e vice-versa. No ensino médio, acho que perguntas assim funcionam até melhor que as aplicações práticas, pois, para o adolescente, algumas das aplicações parecem forçadas demais. Uma vez, eu disse que a trajetória de uma bola de futebol é parabólica, e um aluno me desafiou com uma pergunta excelente:

“Ah, professora, a senhora não vai me dizer que o jogador para a bola e faz o cálculo antes do chute, vai?!”

Essa é uma ótima questão para explorar. O jogador não faz cálculo nenhum, mas isso não significa dizer que nós não podemos coletar os dados e fazer os cálculos com base nos dados. Na atividade do foguete, fazemos os cálculos e prevemos como o foguete vai se comportar, ou coletamos os dados e montamos as equações que produzem dados semelhantes. E se um aluno gostaria de programar jogos de computador, ele precisa aprender a programar os movimentos para que pareçam reais. Um videogame pode ser uma boa desculpa para uma conversa mais aprofundada sobre seções cônicas. Quando eu estava na graduação, lembro que mexemos com um programa de computador sobre basquete, e tínhamos de calcular tudo para jogar a bola na cesta, bem ao estilo do jogo Angry Birds.

Trabalhar com alunos do ensino médio é mais difícil porque realmente querem saber das aplicações; é uma questão importante para eles. E são exigentes: não querem saber de aplicações forçadas. Uma vez, usei o exemplo de uma pessoa que pula de um trampolim na piscina. As fórmulas rendem uma parábola com a concavidade voltada para cima (e não para baixo, como é usual com casos como o do foguete), e eles puderam calcular a profundidade máxima que o mergulhador atingiria. Ficaram muito faceiros com esse exemplo.

O problema, como já disse, é que muitos alunos não veem as aplicações da matemática como sendo matemática; eles as veem como sendo física, química, etc. E outros alunos não conseguem tirar proveito de um curso forte em álgebra, com muitas manipulações de x para lá, y para cá. A gente fala das aplicações, fala dos foguetes, e de repente o quadro está cheio de x e de y. Muitos alunos se perdem completamente nisso. Há alunos com grande dificuldade de fazer o vínculo entre a álgebra e as aplicações práticas. Se o professor propõe problemas simples de física, por exemplo o chute do jogador e a trajetória da bola, o aluno resolve o problema: ele pensa em domínio, imagem, concavidade, sinais, etc., talvez sem pensar nos termos técnicos. Se o professor propõe o mesmo problema de forma abstrata, do tipo “dada a função f(x) assim e assado, diga qual é o domínio assim e assado e a imagem assim e assado”, daí ele se perde completamente. Mas a pergunta é a mesma! Talvez tenha algo a ver com o que ele viu ou deixou de ver antes de chegar ao ensino médio; não sei.

Seria o caso de tirar alguns assuntos do currículo para trabalhar melhor os assuntos que ficaram?

Essa é uma discussão complicada. Quase todo mundo acha que precisamos rever o cronograma do ensino fundamental e do médio. Eu também acho — mas a unanimidade acaba aí.

Seria importante ter um currículo básico menor, pois daí haveria mais tempo para trabalhar assuntos que uma turma específica acha interessante, ou para realizar uma atividade como a do foguete, ou algo assim. Agora, vou ser honesta: não sei se seria necessário ou desejável dar maior espaço para as parábolas, ou mesmo para as seções cônicas. Eu gosto de trabalhar com as seções cônicas; acho legal dizer que a equação de uma parábola talvez não satisfaça as definições de função, mas que uma parábola nunca deixa de ser uma seção cônica. Agora, com um assunto desses, existe o risco de focar o ensino excessivamente em propriedades algébricas, e não tenho certeza se vale a pena correr esse risco.

Um fato interessante sobre as seções cônicas é que conversamos sobre tudo isso com professores do ensino básico nos cursos de aperfeiçoamento da UFPel; mesmo assim, eles acham difícil levar o que aprenderam para a escola.

Se a gente para e pensa, isso é muito estranho. Você pode achar uma pessoa que, na escola básica, nunca usou determinantes para resolver um sistema de equações lineares, ou que não chegou a estudar uma introdução à matemática financeira; mas não vai achar alguém que nunca tenha resolvido uma equação de segundo grau. Uma equação dessas se refere a uma parábola, e é estranho pensar como não fica, na nossa memória, nenhuma história com parábolas…

Eu mesma sirvo de exemplo: era boa aluna de matemática, porque resolvia todos os exercícios. Mas hoje eu reconheço que não entendia direito o que estava fazendo; eu conhecia sim todas as receitinhas. Só fui ver uma demonstração da fórmula de Bháskara na faculdade, e a demonstração me pareceu tão simples! Não sou tão velha, mas posso dizer que no meu tempo não havia nada de aplicações, modelagem, experimento, nada disso. Portanto, não tenho nenhuma lembrança associada às parábolas especificamente.

O professor poderia usar as parábolas como ilustração de afirmações importantes sobre os números?

Sim. O professor pode pedir aos alunos que plotem no plano cartesiano os pontos inteiros que, por exemplo, satisfazem a equação y = x2. Esses desenhos ficam bonitos, com os pontos espaçados daquela forma tão peculiar, e daí o professor pode fazer perguntas interessantes sobre os pontos com coordenadas racionais. Daí pode explorar as diferenças entre os números reais e os outros conjuntos de números. Pode explorar questões como “o que aconteceria se eu multiplicasse o eixo das abscissas pelo número tal”, para que o estudante visse como pode abrir ou fechar a concavidade da parábola. O problema, contudo, é que atividades assim exigem muito do professor. {}


Imagem de internet


{2}/ Apêndice: foco e diretriz

Um jeito de definir uma parábola: é o lugar geométrico de todos os pontos P que estão à mesma distância de uma linha (a diretriz) e de um ponto (o foco). Para mencionar um exemplo: num plano cartesiano, o estudante pode imaginar a diretriz na linha vertical x = –a e o foco no ponto F = (a, 0). Qual é a equação que representa tal lugar geométrico?

Como primeiro passo, o estudante se organiza. Chama as coordenadas de cada ponto P de (x, y), e chama a distância entre cada ponto P e a diretriz de d. Esboça um desenho para servir de guia ao raciocínio (a figura 2 mais abaixo). Daí basta usar Pitágoras para levantar as distâncias entre os pontos marcados no desenho. Primeiro, a distância d entre P = (x, y) e F = (a, 0):

Depois, a mesma distância d entre o ponto P = (x, y) e o ponto D = (a, y):

Como d = d implica d2 = d2:

Ao marcar no planto cartesiano os pontos P que satisfazem a equação, o estudante desenhará uma parábola com eixo de simetria na horizontal (neste exemplo, o eixo de simetria é o eixo das abscissas).

Ele pode usar o mesmo método e a figura 3 para criar uma parábola como a que está acostumado a ver. Os pontos P continuam a ter coordenadas (x, y), mas o foco F agora fica no eixo das ordenadas com coordenadas (0, a) e o ponto D, na diretriz, passa a ter coordenadas (x, a). Depois de fazer as contas, chega em:

E com isso descobre que a parábola mais conhecida, que é y = x2, tem foco no ponto (0, 1/4) e diretriz na linha horizontal y = –1/4.

O matemático russo N. B. Delone costumava dizer que todo amante de matemática deve estudar as translações e rotações dos eixos coordenados. É verdade. Ele deduz só uma das equações da parábola e, ao transladar e girar os eixos X e Y, produz todas as outras, e de quebra se habitua a pensar numa curva como sendo passível de adaptações.

{FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 12. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. Para saber mais sobre como realizar translações e rotações de curvas num plano cartesiano, veja a seção 3 da matéria Ensino médio: o curso de matemática ideal.

A matemática das reuniões de família

O estudante pode usar matemática discreta, incluindo probabilidade, para iniciar conversas animadas sobre coincidências esquisitas, e o professor pode usá-las para incentivar seus alunos a pensar e a estudar quase sem perceber.


{1}/ Uma área com pouca estrutura

Num salão de festas com 30 pessoas, qual é a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia?

Professores devem fazer perguntas como essa mais vezes, diz Rogério Osvaldo Chaparin, um professor de professores. (Ele costuma dar aulas para professores de matemática no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática [CAEM], localizado dentro da Universidade de São Paulo.) Rogério chama esse tipo de pergunta, e toda a discussão na qual a sala vai se meter, de “análise combinatória contextualizada”. Alguns problemas de análise combinatória podem ser resolvidos até por crianças; essa é uma área da matemática “pouco estruturada”, no linguajar dos matemáticos: a criança não precisa ler 10 livros antes de começar a resolver problemas complicados; muitos problemas ela resolve desenhando, fazendo tabelas, batendo papo com os colegas. No ensino médio, depois de uns poucos dias de estudos (fatorial, números binomiais, binômio de Newton, princípio fundamental da contagem, permutações, arranjos e combinações; probabilidade), o jovem já pode resolver problemas bem complexos. Ao resolver problemas de combinatória, a criança e jovem, quase sem perceber, praticam muita coisa de matemática: raciocínio lógico, somas, subtrações, divisões, multiplicações, operações com frações, operações com conjuntos. Uma criança habituada desde cedo a cultivar o raciocínio lógico, diz Rogério, quando crescer estará um pouco mais bem preparada para tomar decisões difíceis.

Por exemplo, o salão com 30 festeiros. A probabilidade de que três deles façam aniversário no mesmo dia é 1 menos a probabilidade de que nenhum dos três faça aniversário no mesmo dia. (Lembrete: 1 = 100%, que é o valor da probabilidade do conjunto universo.) E a probabilidade de que nenhum dos três faça aniversário no mesmo dia é:

Isso porque o primeiro festeiro pode ter nascido em qualquer dia do ano (um ano com 365 dias), mas o segundo tem de ter nascido nos outros 364 dias do ano, e o terceiro nos outros 363. (A sequência de multiplicações é consequência do princípio fundamental da contagem. O estudante pode pensar nisso como um dado com 365 faces. A chance de que saia uma face exclusiva para o jogador 1 é 365/365; a chance de que saia uma face exclusiva para o jogador 2 é 364/365; etc.) A mesma lógica vale para o salão de festas com 30 pessoas. A fórmula mais genérica para calcular a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo dia é:

O que essa fórmula diz: a probabilidade de que dois festeiros façam aniversário no mesmo dia é a probabilidade do conjunto universo (= 1) menos a probabilidade de que nenhum deles faça aniversário no mesmo dia. E qual é o resultado dessa conta?


Lembrete: O sinal de produtório

Para multiplicar a sequência de números a1, a2, a3, a4, …, an, o estudante pode usar a notação de produtório, feita com a letra grega pi maiúscula:

Equation-13

Esse sinal funciona de forma análoga ao sinal de somatório, que é mais conhecido. Um exemplo:

Equation-14


Na festa, provavelmente ninguém vai acreditar nisso. Numa sala de aula com 30 alunos, também os alunos não vão se conformar com o resultado. Afinal, eles dirão entre eles, há só 30 alunos, e há 365 dias no ano; como pode a probabilidade de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia seja tão alta? Eles vão fazer uma lista das pessoas na classe que fazem aniversário no mesmo dia. Em muitas classes Brasil afora, deve acontecer algo ainda mais extraordinário: haverá três, quatro, cinco, seis pessoas na mesma sala com aniversário no mesmo dia (por exemplo, dois alunos fazem aniversário num dia, e três outros fazem aniversário num outro dia). Então o professor pode falar sobre uma geração inteira de brasileiros que nasce por meio de parto cesariano, isto é, nasce apenas nos dias úteis do ano. Num ano com 264 dias úteis, a conta acima se transforma em:

Equation-4

Numa classe de 40 alunos, quase todos nascidos em cesarianas, como é o caso de muitas classes em colégios privados de São Paulo (SP), seria difícil o professor topar com 40 alunos que fazem aniversário em 40 dias distintos, pois a chance de que dois deles façam aniversário no mesmo dia é de 96%.

Equation-5

Numa classe de 30 alunos, ou num churrasco com 30 festeiros, qual é a chance de o avô de dois deles tenha morrido no mesmo dia do ano? Qual é a chance de que os pais de dois deles tenham se conhecido no mesmo dia do ano? A mesma lógica dos aniversários pode ser aplicada a qualquer data importante na vida de uma pessoa (desde que a data tenha um forte componente aleatório; não vale, por exemplo, perguntar qual é a chance de que dois deles tenham quebrado a perna no mesmo dia, pois quase sempre as pessoas quebram a perna quando estão de férias ou de folga, fazendo as loucuras que as pessoas fazem quando estão de folga).

Rogério diz que o curso no IME existe desde 1984, mas que, nos últimos poucos anos, os professores parecem mais interessados em assimilar novas ideias a ponto de usá-las em sala de aula. Em janeiro de 2012, por exemplo, ele deu um curso de férias para 60 professores (a probabilidade de que dois deles façam aniversário no mesmo dia, num ano de 365 dias, é de ≅99,4%), e os professores gostaram da parte de combinatória. “Nós incentivamos o hábito, já nas séries iniciais, de propor problemas que busquem contextualizar as operações aritméticas por meio de análise combinatória. Desde cedo a criança pode pensar no número de possibilidades ao se vestir ou ao escolher um lanche.” Rogério não está dizendo que os professores vão mudar o jeito de dar aulas só porque participaram de um curso de férias; muitos gostam do curso no IME, ficam entusiasmados, mas depois não acham jeito de usar a combinatória em sala de aula de modo permanente.

A gatinha Fiona. Outro jeito de aproveitar bem uma aula, e de eletrizar uma festa em família, diz Rogério, é fazer crianças e jovens brincar com nomes. Talvez um aluno tenha uma gatinha chamada Fiona, e talvez outro aluno tenha uma avó chamada Hermenegilda. De quantos modos o aluno pode arranjar as letras de Fiona? Ele pode começar com Fiona, depois ir para Afion, Nafio, Onafi, etc. Não demora muito, o aluno vai cansar, e vai desconfiar que o número de permutações é alto (isto é, que o número de anagramas de Fiona é alto). É boa hora de ensinar o que é uma permutação simples de n objetos:

Equation-6

No caso de Hermenegilda, são 12 objetos, dos quais 3 repetidos (isto é, indistinguíveis entre si). O aluno vai cansar ainda mais depressa. Ao longo da aula, o professor explica de onde saiu a fórmula das permutações simples com n objetos, dos quais r objetos repetidos:

Equation-7

Os alunos, diz Rogério, vão ficar abismados de ver como o número de permutações aumenta conforme o número de letras aumenta: 80 milhões de permutações significam mais palavras do que existem na língua portuguesa! E isso só com as letras do nome da vovó Hermenegilda! Passada essa fase, o professor pode perguntar a uma classe de 32 alunos: de quantas maneiras podemos dividir essa classe em oito grupos com quatro pessoas em cada grupo? Os alunos, mesmo os jovens, devem perceber bem depressa que o grupo formado pelos alunos A, B, C, e D é igual ao grupo formado pelos alunos C, A, D, e B; eles vão notar que o raciocínio válido para as permutações não vale para este caso. E então o professor explica alguns detalhes das combinações de n elementos, escolhidos k a k de cada vez; neste caso, 32 elementos, escolhidos 4 a 4 de cada vez:

Equation-8

Ao longo dos 12 anos do ensino básico (do primeiro ano do fundamental ao terceiro ano do médio), se uma classe de 32 alunos se reunisse em grupos de 4 alunos duas vezes por semana, e nunca repetisse a formação de um grupo, não chegaria a usar 22% das combinações possíveis.

Mas talvez o professor queira complicar um pouco. E se a classe de 32 alunos fosse dividida em oito grupos de quatro alunos, cada grupo sentado numa mesa redonda, de forma que todo grupo tem de se sentar à mesa sempre numa configuração diferente, e nenhum grupo pode repetir exatamente a mesma configuração? O nome disso, diz o professor, é permutação circular. O estudante já sabe que pode organizar 4 alunos numa mesa redonda de 24 maneiras (4!), mas, ao fazer um desenho, percebe que cada maneira distinta é equivalente a três outras maneiras:

Caso o estudante faça um desenho com cinco pessoas, verá que cada maneira distinta de pôr as cinco pessoas em volta da mesa é equivalente a quatro outras maneiras. Se fizer um desenho com seis pessoas, verá que cada maneira distinta de pôr as seis pessoas em volta da mesa é equivalente a cinco outras maneiras. Perseguindo pensamentos desse tipo, verá que uma permutação circular PC(m) de m elementos é igual a:

Equation-9

Então, numa classe de 32 pessoas, os alunos conseguem se dividir em 35.960 combinações distintas de quatro pessoas, e cada combinação dessas significa seis maneiras de organizar um grupo de quatro pessoas numa mesa redonda, de forma que todas essas seis maneiras sejam distintas entre si. Em fórmulas:

Equation-10

Qualquer jovem consegue adaptar um tema desses para instigar os festeiros numa reunião de família. Se seus pais estão organizando um jantar para a família, de quantos modos distintos podem pôr 12 pessoas à mesa? De 39.916.800 modos distintos, e um número desses, tão alto, tanto os jovens quanto seus pais acham fascinante.

A melhor mão do pôquer. José Alberto Pacheco Vieira dá aulas para alunos mais velhos num curso de controle de qualidade do Instituto Mauá de Tecnologia, mas também usa as situações do dia a dia para interessá-los em combinatória, em primeiro lugar, e em todo o resto que vem imediatamente depois da combinatória. Logo na primeira aula, Pacheco usa um projetor para mostrar aos alunos o símbolo de somatório (∑). “Aí eu digo que o sigma veio para somar, e não para causar medo.” Como os alunos são mais velhos, Pacheco costuma propor exercícios sobre jogos de azar.

Por exemplo: ele pede aos alunos que vejam em casa o filme Bem-vindo ao Jogo (Lucky You), em que o protagonista joga pôquer. Feito isso, Pacheco faz algumas perguntas sobre pôquer, como:

“Qual é a chance de que alguém tire uma mão com royal straight flush?”

No jogo tradicional, o baralho tem 52 cartas e a cartada royal flush é feita de ás, rei, rainha, valete, e dez, todos de paus (à moda do velho oeste; há muitas variações sobre qual mão de royal flush vale mais). Cada jogador recebe uma mão com sete cartas. A chance de tirar um conjunto específico de cinco cartas numa mão de sete cartas de um baralho de 52 cartas é de:

Equation-11

Até um simples iPod pode confundir os estudantes, diz Pacheco. Ele costuma perguntar à classe: se você tiver dez músicas gravadas no seu iPod, de quantas maneiras distintas pode ouvi-las em sequência? Melhor dizendo: quantas sequências de dez músicas o aluno pode fazer com as dez músicas do iPod? Isso é uma permutação simples de 10 elementos:

Equation-12

Se o estudante ouvir uma sequência de manhã, enquanto vai trabalhar, e outra à noite, enquanto vai para casa, precisará de 4.971 anos para ouvir essas dez músicas em todas as sequências possíveis.

Pensamento fatalista. Segundo o Movimento Todos pela Educação, só 35 cidades brasileiras conseguem formar 50% dos alunos do 9º ano do ensino fundamental com conhecimentos de matemática adequados para a série. Quando elas entram no ensino médio, enfrentam um curso de matemática espinhoso em vários sentidos: a matemática do ensino médio, tal como é ensinada tradicionalmente, é complexa demais para as situações do dia a dia, mas simples demais para ser usada em problemas típicos da vida profissional. Os estudantes não veem sentido naquilo tudo e desanimam. No fim das contas, dos estudantes que chegam a concluir o ensino médio, só 11% sabem toda a matemática que deveriam saber.

Quando o jovem adulto ou o homem maduro volta a estudar, José Pacheco percebe o quanto ele foi mal formado em matemática. Como Pacheco dá aulas de pós-graduação em controle de qualidade, costuma lidar com adultos que já têm um diploma de faculdade. “De modo geral”, diz Pacheco, “meus alunos chegam com algum tipo de déficit na matemática.” O problema do professor, diz Pacheco, é ajudar quem está atrasado a emparelhar com os que estão mais adiantados, sem contudo desestimular os que estão mais adiantados.

Rogério Chaparin elogia os professores que se inscrevem em cursos como os do CAEM, porque suas aulas tendem a ficar mais interessantes. Esse tipo de professor vai produzir crianças e jovens que não vão pensar de modo fatalista, assim: “Se o livro didático mostra como resolver esse problema, então sei resolvê-lo. Se não mostra, não sei.” A criança (ou o jovem) vai pensar em opções; vai pensar inclusive na opção de que talvez o problema diante dela não tenha solução. Mas Rogério não acredita em mudanças rápidas. Talvez o Brasil precise de uma geração inteira (25 anos) para formar professores de matemática capazes de ensinar matemática de fato, isto é, de ensinar o aluno a ter paciência, a ter fé em si mesmo, a experimentar várias estratégias até resolver um problema (nem que demore), mas, principalmente, a gostar de resolver problemas matemáticos. Ensinar a gostar é o mais importante, e o mais difícil. {❏}



{2}/ O que é combinatória?

Não existe nenhuma definição capaz de englobar tudo o que os matemáticos incluem dentro da caixa “combinatória”. (Muitos, inclusive o autor deste blogue, chamam “combinatória” de “matemática discreta”.) Em certas ocasiões, o matemático dirá que as ferramentas da combinatória servem para contar coisas. Em outras ocasiões, dirá que as ferramentas da combinatória servem para lidar com “estruturas discretas”, isto é, com pontos que podem ser isolados uns dos outros (em oposição a “estruturas contínuas”). Em outras ainda, dirá que as ferramentas da combinatória servem para lidar com problemas com “poucas restrições”. Qualquer que seja a definição, os matemáticos concordam numa coisa: a combinatória é “pouco estruturada”, ou seja, o interessado não precisa estudar dez anos antes de resolver o primeiro problema difícil; ao contrário, ele começa a produzir logo depois das primeiras aulas.



{3}/ Probabilidade de aniversário em ação no futebol

Nos 11 jogos de final de copa do mundo entre 1970 e 2010, em 9 desses jogos pelo menos dois jogadores em campo (incluindo o juiz) faziam aniversário no mesmo dia (probabilidade de ≅82%):

AnoAniversariantes em campo
2010Gergory Kurtley van der Wiel (Holanda) e Joan Capdevila Méndez (Espanha), 3 de fevereiro
2006Patrick Vieira e Zinedine Zidane (França), 23 de junho
2002Ninguém
1998Emmanuel Petit (França), Ronaldo (Brasil), 22 de setembro
1994Franco Baresi (Itália), Claudio Taffarel (Brasil), 8 de maio
1990Ninguém
1986Sergio Batista (Argentina), Andreas Brehme (Alemanha Ocidental), 9 de novembro
1982Ninguém
1978Rene e Willy van de Kerkhof (Holanda), 16 de setembro; Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro
1974Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro
1970Piazza (Brasil), Perluigi Cera (Itália), 25 de fevereiro

Com 23 pessoas em campo, e com um ano de 365 dias, a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia é de ≅50,6%. Como a probabilidade nessas 11 finais ficou tão alta, talvez a distribuição dos nascimentos de jogadores profissionais não seja aleatória, isto é, talvez jogadores profissionais de futebol tendam a nascer em certos meses do ano. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 15, abril de 2012, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Guilherme Meirelles.

3. Eu disse no texto: “Quando elas entram no ensino médio, [os alunos] enfrentam um curso de matemática espinhoso em vários sentidos: a matemática do ensino médio, tal como é ensinada tradicionalmente, é complexa demais para as situações do dia a dia, mas simples demais para ser usada em problemas típicos da vida profissional. Os estudantes não veem sentido naquilo tudo e desanimam.” Um bom professor é capaz de montar um curso de matemática interessante para alunos de ensino médio, mas não se o propósito do curso for preparar os alunos para o Enem e os vestibulares. Em outras palavras, para montar um curso interessante, o professor precisaria de liberdade, em especial a liberdade de ignorar o Enem e os vestibulares — até porque a maioria dos alunos de ensino médio não vai fazer faculdade.

Definindo “inovação”: quanto vale uma caixa?

Muito brasileiro iguala “inovação” com “novidade de cunho eletrônico”, mas qualquer ideia que dê lucros e empregos a muita gente é uma inovação — até mesmo uma mera caixa de metal.


Se o leitor (vamos chamá-lo de Ixw) gostaria de ter uma ideia inovadora e assim enriquecer, deveria conhecer não a história de Steve Jobs, o criador da Apple e do iPad, mas a história de Malcom McLean, que ficou rico ao desenhar uma caixa de aço de 3 metros de comprimento, 2,4 metros de largura e 2,4 metros de altura. Essa caixa de metal foi uma inovação maior que o iPad — pois, ao menos por enquanto, o mundo vive sem iPads, mas não vive sem essas caixas de aço. Malcom desenhou o primeiro contêiner transmodal tal como o conhecemos hoje. Ele observava os operários num porto de Nova York sofrendo para descarregar algodão de um trem para carregá-lo num navio, e disse a um amigo:

“No próximo porto, mais operários vão sofrer para tirar o algodão do navio e colocá-lo num trem.”

Seria muito melhor, pensou Malcom, se um único operário, talvez pilotando um guindaste, colocasse contêineres cheios no primeiro trem, e depois, no porto, um único operário tirasse os contêineres do trem e os colocasse num navio, e depois, no outro porto, um único operário tirasse os contêineres do navio e os colocasse no segundo trem, e depois, nalguma estação ferroviária de carga e descarga, um único operário tirasse os contêineres do trem e os colocasse em caminhões, quem sabe um contêiner por caminhão… No fundo, Malcom não teve apenas a ideia de fabricar uma caixa de aço, mas de fabricar uma caixa de aço padronizada, que coubesse em qualquer caminhão, em qualquer trem, em qualquer navio, que pudesse ser levantada por qualquer guindaste, que pudesse ser empilhada, que resistisse à chuva. “O contêiner foi uma das inovações mais revolucionárias na área dos transportes”, diz José Paulo Silveira, diretor associado da Macroplan, uma consultoria especializada em administração de empresas. “E estamos falando aqui, no limite, simplesmente de uma caixa enorme.”

Quase todos os brasileiros confundem “inovação” com “novidade”, diz Renato Cruz, repórter do jornal O Estado de S. Paulo; Renato escreveu uma dissertação de mestrado e uma tese de doutorado sobre inovação. “Talvez por conta da origem comum das duas palavras.” José Paulo confirma: a maioria de seus interlocutores associa a palavra “inovação” a algo mágico, e por isso fora do alcance das pessoas comuns. Muitos especialistas, Renato e José Paulo entre eles, acham que os brasileiros financiam boas universidades (na forma de impostos ou de mensalidades), mas, mesmo assim, não conseguem converter em dinheiro toda a pesquisa científica produzida no Brasil — e isso acontece porque os brasileiros não sabem direito o que significa a palavra “inovação”.

Esse é um problema difícil de resolver. Talvez Ixw queira contratar o melhor redator publicitário do Brasil para escrever uma carta e explicar a cada brasileiro o que é, de verdade, inovação. Para mandar a carta a cada um dos brasileiros, Ixw teria de comprar um banco de dados com o endereço de todo mundo (ou montar um). Um empreitada dessas não sairia por menos de 1 bilhão de reais, pois bancos de dados com endereços atualizados são caros. Uma correspondência publicitária fantasticamente bem-feita, contudo, será aberta por 10% dos destinatários, mais ou menos. Em resumo, na melhor das hipóteses, mudar a cabeça de 19 milhões de brasileiros custaria mais ou menos 1 bilhão de reais — e levaria um tempão.

Desconte a poupança. Se uma pessoa não sabe o que é inovação, não é culpa só dela. Especialistas no assunto costumam dar uma explicação que, para eles, é precisa, mas que pessoas comuns tendem a embaralhar: “Inovação”, diz José Paulo, “implica sempre a geração de valor.” Geração de valor, para gente como José Paulo, tem um significado técnico específico e, para entendê-lo, Ixw rabisca a tabela abaixo.

A empresa…

… antes da inovação,

… logo depois da inovação,

… bem depois da inovação.

Ixw usou L para representar lucro, R para receita total e D para despesas totais. Ixw sabe que uma empresa deve dar lucro, isto é, deve ganhar mais do que gasta; deve até mesmo ganhar mais do que ganharia se mantivesse o dinheiro aplicado a juros num banco, e por isso Ixw inclui nas despesas a receita que obteria se mantivesse o dinheiro numa caderneta de poupança. (Muitas empresas fazem essa conta.) E quanto aos números a e b?

Uma inovação pode ser qualquer coisa. A empresa talvez inove ao comprar tecnologia nova para os escritórios ou a fábrica, ao encomendar uma campanha publicitária atraente, ao mandar um grupo de funcionários para estudar na Alemanha, ao lançar um produto novo, ao reformar um produto velho, ao copiar um produto da concorrência (com mais atributos ou com menos atributos), ao adotar novos métodos de trabalho, ao aperfeiçoar os métodos existentes, ao abrir uma linda loja no shopping mais chique da cidade, ao fechar a linda loja no shopping mais chique da cidade para abrir cinco lojas em shoppings mais modestos, ao estrear uma página sensacional no Facebook, ao se manter longe das redes sociais, ao dar entrevista apenas para os repórteres do Fantástico, ao dar entrevista apenas para repórteres de jornais pequenos de cidades pequenas… Não importa o que faça, uma empresa só inova quando aumenta a receita ou reduz as despesas, isto é, quando a ou b ou ambos são números maiores que 1 — e quando os efeitos positivos da inovação duram.

Talvez a e também b sejam números maiores que 1, e nesse caso a receita vai aumentar e a despesa vai diminuir. (Uma receita multiplicada por um fator maior que 1 vai aumentar de valor; uma despesa dividida por um quociente maior que 1 vai diminuir de valor.) Esse tipo de inovação é raro. Para entender o que pode acontecer com a empresa em razão de uma inovação, Ixw esboça a tabela a seguir.

Situação de a e b

Consequências

0 < a < 1 e b > 1

Tanto a receita quanto as despesas diminuem. Para que haja inovação, as despesas devem diminuir mais que a receita, isto é, o lucro deve aumentar.

a = 1 e b > 1

A receita permanece a mesma e as despesas diminuem. Bom.

a > 1 e b > 1

A receita aumenta e as despesas diminuem. Quando uma empresa inova desse jeito, todo mundo fica maravilhado.

a > 1 e b = 1

A receita aumenta e as despesas permanecem as mesmas. Bom.

a > 1 e 0 < b < 1

A receita aumenta, mas as despesas aumentam também. Esse é um tipo comum de inovação; por exemplo, quando a empresa demite funcionários baratos, mas displicentes, e contrata funcionários mais caros, mas competentes. Para que haja inovação, contudo, o lucro deve aumentar.

0 < a < 1 e 0 < b < 1

A receita cai e as despesas aumentam. Isso não é uma inovação, mas um erro, ou até mesmo um desastre.

Então, como diz José Paulo, inovação deve “gerar valor”, ou, como Ixw traduziu, dar lucro logo depois e bem depois da inovação. Ixw faz questão de manter essa distinção em mente, pois às vezes uma empresa toma uma iniciativa que aumenta o lucro por alguns meses, mas, dois anos depois, ou três anos depois, aquela mesma iniciativa cobra seu preço. Por exemplo, quando a empresa demite gente demais: as despesas caem e o lucro aumenta, mas a empresa perde a capacidade de vender mais, de entregar o que vende, de atender bem os fregueses. “À esquerda do ponto em que a ideia agrega valor”, diz José Paulo, recorrendo à imagem da linha dos números, “ela é apenas uma ideia à espera de seu tempo. À direita, é uma inovação.”

O estoque das ideias. Antes de inovar, Ixw deve ter boas ideias, e boas ideias não caem do céu. (Algumas até caem na cabeça de uns poucos felizardos, feito maçãs, mas são poucas.) Quase todos os países recorrem ao mesmo método para manter cheio o estoque de ideias: eles investem em pesquisa científica. Será que nesse ponto o Brasil vai bem?

O universo é complicado, o que naturalmente inclui as abelhas e o cérebro humano. Um cientista inglês, James Marshall, estudando abelhas, chegou à conclusão de que, dentro do cérebro humano, cada neurônio ataca quimicamente os neurônios vizinhos para impedir o cérebro de travar numa situação difícil — pois, numa situação difícil, tomar uma decisão qualquer é melhor do que não tomar decisão nenhuma. Isso é ciência. Isso é uma ideia, que equivale a conhecimento sobre como o mundo funciona. Se ninguém fizer nada com ela, não passa de uma ideia surgida de uma pesquisa científica. Caso um empresário mude os procedimentos de sua empresa, e obrigue os funcionários a, na primeira oportunidade, rever as decisões que tomaram em circunstâncias difíceis, isso talvez aumente a receita da empresa ou talvez reduza suas despesas — e aí a ideia virou inovação.

No Brasil, há um bom estoque com ideias, pois os brasileiros também produzem pesquisa científica. Em 2009, publicaram 32.900 artigos em periódicos científicos indexados; isso dá 2,7% da ciência mundial (o que é mais ou menos consistente com o tamanho da economia brasileira, de 3% da economia mundial). Ao todo, o Brasil forma uns 12 mil doutores e uns 40 mil mestres por ano, ao custo de 1,27% do produto interno bruto. (Para comparar, os Estados Unidos gastam 2,7% do PIB para formar mestres e doutores, o que é bastante, pois o PIB americano é 6,6 vezes maior que o brasileiro.) Por causa da história do Brasil, contudo, o cientista brasileiro não tenta vender suas ideias a um empresário e, mesmo que tentasse, o empresário brasileiro não tem o hábito de comprar ideias para transformá-las em lucros. “Há poucas décadas, o empresário brasileiro ganhava dinheiro sem investir diretamente em inovação”, explica Roberto Vermulm, diretor de desenvolvimento científico e tecnológico da Financiadora de Estudos e Projetos (Finep). “A indústria automobilística no Brasil é um exemplo. Ela chegou e provocou efeitos econômicos. Ela gerou empregos. Mas os resultados ficaram limitados, pois a capacidade de inovar era pequena.”

Talvez o cenário fosse melhor se o empresário brasileiro pagasse por inovações, pois, numa civilização capitalista, o cidadão tende a valorizar mais as coisas pelas quais paga diretamente. Mas o empresário banca apenas um quinto da pesquisa brasileira — os outros quatro quintos são bancados pelo Estado, com o dinheiro dos impostos (que, sendo de todos, muitas vezes é visto como não sendo de ninguém). Na Coreia do Sul (2,2% da economia mundial), o empresário banca 80% da produção científica, e por isso a Coreia, tendo menos habitantes e uma economia menor, fica à frente do Brasil em todas as listas de produção científica e de inovação. Se o empresário sul-coreano pagou por um artigo científico, ele não vai deixá-lo arquivado numa biblioteca, mas fará de tudo para transformá-lo em lucro.

Uns poucos números mostram mais claramente essas diferenças culturais. Dois funcionários do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), João Alberto de Negri e Mario Sergio Salerno, estudaram 70.000 empresas brasileiras e acharam apenas 300 que mereciam o rótulo de “inovadoras”. Segundo Renato Cruz, as empresas pequenas e médias dificultam a inovação no Brasil. A história é mais ou menos assim: toda empresa grande está no centro de uma comunidade de empresas menores, que lhe presta serviços. De pouco adianta só a empresa grande inovar: para que as inovações aumentem o valor de um setor inteiro da economia, muitas empresas desse mesmo setor precisam inovar também. “De modo geral”, diz Renato, “as empresas pequenas e médias não sabem o que é inovação.” Uma explicação possível: empresas pequenas e médias deveriam contratar mais engenheiros, mas o Brasil forma poucos engenheiros. Na Coreia do Sul, de cada 200 jovens que concluem uma faculdade, 40 concluem um curso de engenharia. Na China, são 58. No Brasil, são 9. (Em parte porque, de todos os jovens que terminam o ensino médio, só 11% terminam conhecendo toda a matemática que deveriam conhecer; sem saber matemática, o jovem estudante de engenharia por fim abandona o curso.) Pela lei da oferta e da procura, tais profissionais ficam mais caros, e a empresa de porte menor não pode contratar um deles, e então ela no fim das contas não emprega nenhuma pessoa capaz de compreender artigos científicos a ponto de transformá-los em inovação.

Na internet, existe um “manual da inovação”, que é conhecido como Manual de Oslo. Foi redigido em 2005 por funcionários da Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico da Comissão Europeia (OCDE), e tem sido usado como referência por especialistas no assunto. Esse manual também é usado para criar as listas de países mais inovadores ou menos inovadores; ele detalha coisas como a formação de pessoal, o fluxo de informações, a cultura típica das empresas, o papel do governo. Na lista de 2008, o Brasil ficou na 42ª posição; nos seis primeiros lugares, ficaram Suécia, Suíça, Finlândia, Israel, Japão, e Estados Unidos. A situação brasileira vem melhorando com o tempo, mas, mesmo assim, o Brasil está sempre mal colocado para o tamanho de sua economia e para a diversidade e a qualidade de sua produção científica.

Com o tempo, a mentalidade do empresário, do funcionário, e do cientista brasileiro talvez mude, diz Roberto Vermulm; ela talvez fique mais ousada. Um dia vai se aproximar da mentalidade de Geoff Nicholson, que inventou o Post-it quando trabalhava na multinacional 3M. Ele tem uma definição de inovação que, segundo Renato Cruz (que leu muitas definições), é a melhor de todas: “Pesquisa é transformar dinheiro em conhecimento”, disse Geoff. “Inovação é transformar conhecimento em dinheiro.” Quando esse dia chegar, se chegar, o brasileiro também será capaz de converter em lucros uma mera caixa enorme de metal. {FIM}



Apêndice 1: Só lucro define inovação?

Especialistas em inovação fazem questão de dar ênfase para o lucro, porque sem lucro não existe valor; mas uma definição mais completa de inovação inclui outros aspectos. Por exemplo, inclui o meio ambiente.

Se um funcionário tem uma ideia, e a empresa consegue transformar essa ideia em receita maior ou despesas menores, mas por causa disso a empresa passa a poluir mais, ou a consumir mais recursos naturais não renováveis, ou a explorar a mão de obra de modo indigno, então não houve inovação, e talvez tenha até havido um crime. Os especialistas no assunto são unânimes quanto a isso: a verdadeira inovação muda o mundo para melhor.

Uma pergunta ao leitor: se for assim, até que ponto as redes sociais, com suas fake news, são de fato inovação?



Apêndice 2: Inovações esquisitas

Muita gente classifica os itens da lista abaixo como inovações, pois são ideias que, todos os anos, dão empregos e salários a muita gente. O que pensa o leitor?

Boneca Barbie

Biquíni

Goma de mascar

Fraldas descartáveis

Lego

Teclado QWERTY

Controle remoto de TV

Canivete suíço

Zíper


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 18, julho de 2012, pág. 46. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Francisco Bicudo.

Cálculo Tornado Fácil 9

Em vez de manipular uma expressão matemática complicada para obter uma resposta, às vezes o estudante pode convertê-la num somatório de expressões mais simples — com isso, metade da trabalheira desaparece e, de quebra, o estudante ganha maior capacidade de análise.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 51 porque o texto anterior terminou na 50. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, e CTF 8.

 


{51}/ Capítulo 13A

Outros truques úteis

Truque 1: Frações parciais. Você já viu que, quando vai diferenciar uma expressão matemática dividida por outra, tem de executar uma operação matemática complicada. [Para designar “uma expressão matemática dividida por outra”, Silvanus usa a palavra “fração”; o tradutor vai deixar assim, embora prefira reservar a palavra “fração” para números racionais no contexto escolar.] Além disso, se tem de diferenciar uma fração complicada, é obrigado a trabalhar muito para chegar a uma derivada que, quase sempre, é uma expressão matemática muito mais complicada que a original. Mas e se pudesse repartir a fração original em duas ou várias frações mais simples, cuja soma fosse igual à original? Fazendo isso, poderia seguir adiante e diferenciar cada uma dessas expressões mais simples. Obteria o resultado da diferenciação ao somar dois ou mais coeficientes diferenciais, cada um dos quais relativamente simples. É claro que a expressão final será a mesma que obteria se não recorresse ao truque das frações parciais, mas, ao mesmo tempo, você trabalha menos e fica com a opção, se assim achar conveniente, de representar a derivada como um somatório de termos mais simples.

Vejamos agora como alcançar um resultado assim. Primeiro, tente concluir a tarefa de somar duas frações juntas para formar uma fração resultante; por exemplo, as duas frações a seguir.

Qualquer criança no fundamental 2 consegue somar as duas frações acima para obter:

Desse mesmo jeito, você pode somar três ou mais frações. Agora, certamente pode ver que conseguiria reverter esse processo, isto é: se eu lhe desse a soma das duas frações, depois de um tempo conseguiria repartir a soma de volta nas duas frações originais, ou, dizendo de outra forma, repartiria a soma em duas frações parciais. O problema é que nem sempre achará fácil ver como repartir uma fração em frações parciais. Para descobrir o método, deve começar primeiro com um caso simples. É importante, antes de tudo, manter em mente o fato de que o método que vai estudar a seguir se aplica às frações algébricas ditas “próprias”, quero dizer, às frações cuja expressão no numerador tem grau menor que a expressão no denominador. Na prática, o maior expoente de x no numerador tem de ser menor que o maior expoente de x no denominador. [Em termos mais técnicos, o grau do polinômio no numerador tem de ser menor que o grau do polinômio no denominador; isso vale também para polinômios cuja variável foi batizada com outras letras, como polinômios em z ou em k.] Se você tem de tratar a expressão (x2 + 2)/(x2 – 1), na qual os dois polinômios têm o mesmo grau, use tudo o que estudou sobre a divisão de polinômios para ver que pode converter o denominador (x2 – 1) na expressão (x + 1)(x – 1), e o numerador (x2 + 2) na expressão (x + 1)(x – 1) + 3. No fim das contas, deve chegar a:

Agora, pode ver que 3/[(x + 1)(x – 1)] é uma fração do tipo própria, à qual poderá aplicar o método para dividi-la em frações parciais.

Vamos então examinar juntos uns poucos casos? A questão aqui será fazer uma boa reengenharia reversa da soma de funções racionais. (Para ver uma definição de função racional, veja a seção 53.)

Caso I. Se você realiza muitas adições de duas ou mais frações cujo denominador contém apenas termos com x, mas não termos com x2, x3 ou qualquer outra potência de x, pode ver que uma coisa sempre acontece: o denominador da soma dessas frações todas (o denominador do resultado) é o produto dos denominadores das frações que adicionou até chegar à soma. Como consequência lógica disso, se fatora o denominador dessa fração resultante da soma, acha cada um dos denominadores das frações parciais às quais está buscando.

Então, suponha que vai começar com (3x + 1)/(x2 – 1) e que vai obter as frações parciais que, somadas, levam a esse resultado; já sabe que são 1/(x + 1) e 2/(x – 1). Mas, mesmo que não soubesse, você bate os olhos em x2 – 1, reconhece nele o produto notável (x + 1)(x – 1) e se prepara para a tarefa à sua frente assim:

O que fez foi deixar os numeradores em branco até que saiba o que colocar em cada um deles. Pode sempre assumir que o sinal entre as frações parciais é o sinal de mais (+), pois, caso venha a ser o de menos (–), simplesmente troque o sinal do denominador correspondente. Agora, visto que as frações parciais são sempre frações próprias, e visto que o x no denominador é x1, os numeradores não terão nenhum x (ou, melhor dizendo, terão x0 = 1), e se quiser pode representá-los com as letras A, B, C, etc. Sendo assim, eis o que obtém por enquanto:

Deve agora somar as duas frações parciais à direita; ao fazer isso, obtém:

Sabe que essa expressão deve ser igual à expressão à esquerda da igualdade:

Visto que o denominador das duas expressões é o mesmo, o numerador de uma tem de ser equivalente ao da outra.

Ora, essa é uma única equação com duas incógnitas, e sua primeira reação talvez seja: “Isso é informação insuficiente: para achar o valor de duas incógnitas, preciso de duas equações!” Há um jeito de contornar essa dificuldade. Essa equação deve ser verdadeira para todos os valores de x; portanto deve ser verdadeira para os valores de x que fazem x + 1 e x – 1 se igualar a zero; sendo assim, você deve ver o que acontece quando x = –1 ou x = 1. Se iguala x a –1, obtém –2 = –2A, de modo que A = 1; se iguala x a 1, obtém 4 = 2B, de modo que B = 2. Ao colocar os valores de A e B nas frações parciais, eis o que produz:

Voilà! Seu trabalho está pronto!

Que tal agora um exemplo mais complicado desse caso I? Examine a fração abaixo:

Quando faz x = 1, o denominador se transforma em zero; portanto, x – 1 é um dos fatores do polinômio no denominador. Ao dividir x3 + 3x2x – 3 por x – 1, obtém x2 + 4x + 3, cujas raízes são x = –3 e x = –1, de modo que x3 + 3x2x – 3 = (x + 1)(x – 1)(x + 3). Sendo assim, ao seguir o método, pode escrever a fração acima do seguinte modo:

Como já fez no caso anterior, a certa altura das contas vai igualar o numerador à esquerda com aquele à direita:

Agora, se faz x = 1, obtém –8 = 8B, de modo que B = –1; se faz x = –1, obtém –12 = –4A, e daí A = 3; se faz x = –3, obtém 16 = 8C, e daí C = 2. Quais são, portanto, as três frações parciais que deve somar para obter a fração original?

Penso que você achará mais fácil diferenciar (em relação a x) qualquer uma dessas duas versões do que diferenciar a expressão complicada da qual provieram.

Caso II. Talvez você lide com um denominador que contenha fatores com x2, e não ache conveniente fatorar tais fatores ainda mais. Por exemplo, ao tratar de um denominador como x3 + x2 + x + 1, depois de trabalhar um pouco deve chegar ao produto de fatores (x2 + 1)(x + 1), e depois de trabalhar muito mais pode chegar a x(x(x + 1) + 1) + 1 ou a (xi)(x + i)(x + 1), produto no qual i2 = –1 (i representa o número complexo 0 + 1∙i). Bem, depois de fazer uns testes, vê que é mais fácil trabalhar com (x2 + 1)(x + 1) no denominador, e daí o numerador de (x2 + 1) talvez tenha um termo com x. É por isso que é mais fácil representar esse numerador desconhecido com Ax + B. Por exemplo:

Ao seguir os primeiros passos do método, chega à igualdade a seguir:

Quando faz x = –1, obtém –4 = 2C, e daí C = –2. Depois de pôr essa informação na fórmula acima, aonde chega?

Faz x = 0 e obtém B = –1. Portanto:

De modo que A = 1. Sendo assim, o somatório de frações parciais é:

Tome agora como exemplo a fração abaixo:

Ao seguir o método, sua primeira etapa deve ser:

Não achará fácil determinar o valor de A, B, C e D, mas pode conseguir caso siga uma variação do procedimento: Sabendo que a fração com a qual começou a trabalhar e que a soma de frações parciais que está procurando são iguais, e que têm o mesmo denominador, pode concluir que os dois numeradores (à esquerda e à direita da igualdade) são iguais. Num caso desses, e para expressões como as que está manipulando neste exemplo (polinomiais), o coeficiente de x à esquerda é idêntico ao coeficiente de x à direita, o coeficiente de x2 à esquerda é idêntico ao coeficiente de x2 à direita e, de modo geral, o coeficiente de xk à esquerda é idêntico ao coeficiente de xk à direita.

Então, que tal expandir o numerador à direita e agrupar os termos multiplicados por xk?

Com as informações contidas na igualdade acima, pode montar um sistema simples de quatro equações.

Ao resolver o sistema, chega a A = –1, B = –2, C = 2 e D = 2, de modo que o somatório de frações parciais é:

Você pode usar esse método sempre que quiser. Apesar disso, o primeiro método que te mostrei é o mais rápido e fácil quando lida com denominadores com x1 somente. [Em outras palavras, pode usar Ax + B sempre que quiser, mas, nos casos mais simples, descobrirá que x = 1 e que B = 0.]

Caso III. Com algumas frações nas quais algum termo do denominador está elevado a alguma potência, deve considerar a possiblidade de trabalhar com um somatório de frações parciais nas quais os denominadores representam todos os fatores possíveis do denominador original, com todas as potências de x, inclusive a maior. Por exemplo, veja o caso de dividir a fração abaixo num somatório de frações parciais:

Deve considerar a possibilidade de colocar, no denominador de cada fração parcial, fatores como (x + 1), (x + 1)2, (x – 2).

Você talvez pense que, visto que vai usar (x + 1)2 num dos denominadores, tem de usar então Ax + B no numerador, de modo que:

Contudo, se tentar achar os valores de A, B, C e D, nada conseguirá, pois tem quatro incógnitas e apenas três relações conectando as quatro; apesar disso, digo que a igualdade abaixo é verdadeira:

A questão é achar isso ou algo equivalente a isso. E se usasse só três incógnitas? O que aconteceria?

Depois das contas, chegaria à famosa igualdade entre numeradores:

Isso dá C = 1 para x = 2. Depois de trocar C por 2, transpor, juntar os termos afins e dividir tudo por x – 2, você obtém –2x = A + B(x + 1), e com isso chega a A = –2 quando x = –1. Trocando A por –2, daí chega a:

Logo, B = 2 quando x = 0. Com isso, já pode escrever as frações parciais.

Bem, isso é diferente das três frações parciais que te mostrei mais acima. Para esclarecer o mistério, note que pode dividir a primeira parcela daquele somatório num somatório de duas frações parciais:

Então, aquele somatório, que eu te disse era verdadeiro, de fato equivale a:

Essas são as três frações parciais que obteve com o novo truque. O que foi, na verdade, que acabei de mostrar? Se no denominador houver fatores com x elevado a índices maiores que 1, mas que você pode fatorar num produto de fatores com x elevado a 1, daí, para achar as frações parciais, basta uma única letra. Agora, se no denominador houver fatores com x elevado a 2 ou mais que 2, e que não pode expressar num produto de fatores mais simples, daí definitivamente deve usar algo como Ax + B no numerador.

Eis um exemplo do que estou falando:

Depois das contas, obtém:

Procure um valor de x que faça muitos desses termos zerar. Para x = –1, a equação resulta em E = –4. Depois de usar o valor de E e de transpor, reunir os termos afins e dividir tudo por x + 1, obtém:

Como consequência, 2C = 16 e C = 8; 2D = –16 e D = –8; AC = 0 ou A – 8 = 0, e daí A = 8; finalmente, BD = 3 e B = –5. Desse modo obteve seu somatório de frações parciais:

É claro que, depois de tantas contas, deve checar os resultados. Um jeito bem prático de fazer isso: troque x por um valor simples, como +1, tanto na expressão com a qual começou a trabalhar quanto no somatório de frações parciais. Ambas deve se igualar. [Pode acontecer de você cometer um erro muito especial, um erro inspirado por algum deus brincalhão, e daí as duas expressões se igualam quando x = 1 mas não se igualam quando x ≠ 1. Mas você não é tão azarado assim, nem os deuses ficam pegando no seu pé, não é mesmo?]

Sempre que o denominador contém um único fator, multiplicado por si mesmo n vezes, pode adotar um método mais simples. Por exemplo, a fração a seguir:

Agora, faça x + 1 = z, e daí x = z – 1. Trocando as expressões, fica com:

Sendo assim, pode agora calcular as frações parciais.

Agora, veremos uma aplicação dessas técnicas à diferenciação. Eu gostaria, por exemplo, que diferenciasse a expressão a seguir:

Daí, ao diferenciar y em relação a x com os métodos comuns (com a regra da diferenciação de um quociente de funções), obtém:

Mas e se pegasse a expressão original e a transformasse num somatório de frações parciais?

Isso é mais fácil de diferenciar:

O resultado é o mesmo, no fim das contas, mas a expressão com frações parciais é mais bonita e revela melhor o que está acontecendo. (Fica mais fácil ver, sem olhar o gráfico, que dy/dx tem duas assíntotas verticais, uma quando x = –3/2 e outra quando x = 1/3.) Além disso, quando eu e você chegarmos às técnicas de integração, vai achar essa coisa de dividir uma expressão em frações parciais a melhor invenção da humanidade depois do bolo de chocolate com sorvete de creme.



{52}/ Exercícios XI

Converta as expressões a seguir num somatório de frações parciais.

>> as equações vão de 46 a 63.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)



{53}/ Frações parciais de números racionais

Os matemáticos, para dizer que estão trabalhando com um polinômio dividido por outro polinômio, hoje em dia usam a expressão “função racional”, definida assim:

Nessa expressão, f1 e f2 são funções polinomiais, e a expressão é válida somente quando f2 ≠ 0.

Em geral, o estudante do ensino médio acha difícil dividir um polinômio por outro. Não vamos explicar o método aqui, mas, se você examinar bem um vídeo na internet (por exemplo), pode ver que o método é exatamente o mesmo que usa ao dividir, digamos, 26 por 6 com o método da chave. Só que não vai escrever 26 e 6, mas sim:

[O programa que uso para compor as fórmulas, chamado MathMagic, não oferece bons recursos para desenhar uma divisão pelo método da chave. O leitor terá de usar a imaginação.]

Que número deve multiplicar por 3 para chegar o mais perto possível de 11? Por 3.

Agora, 3 vezes 3 é 9, 3 vezes 2 é 6 e 3 vezes 1 é 3. Deve tirar esses produtos do numerador.

Com essa coisa complicada, quis dizer apenas que multiplicou 3 por 3, e que tirou o resultado 9 de 11; multiplicou 3 por 2, e tirou o resultado 6 de 7; e multiplicou 3 por 1, e tirou o resultado 3 de 5. Ficou com o “resto de restos” 2 + 1 + 2 + 3, que pode reescrever, se quiser, como 4 + 3 + 1. Agora, é só recomeçar o processo.

De novo: deve multiplicar 3 por qual número para chegar o mais perto possível de 4? Por 1. Daí 1 vezes 3 é 3, que deve tirar de 4, e 1 vezes 2 é 2, que deve tirar de 3, e 1 vezes 1 é 1, que deve tirar de 1. O algoritmo termina aqui, pois o resto 1 + 1 = 2 é menor que a maior parcela denominador 3 + 2 + 1. O que fez aqui, em resumo?

É exatamente isso o que faz ao dividir um polinômio por outro, com a diferença que, ao trabalhar com polinômios, não está vendo os números em si, mas os coeficientes de alguma variável (como x) elevada a alguma potência.

Agora que o método ficou mais fácil de visualizar, pode usá-lo para converter um número racional qualquer num somatório de frações parciais. Por exemplo:

Como primeiro passo, acha os fatores primos de 231. São eles 13, 7, e 11. Sendo assim:

Seguindo o método, por fim vai igualar os numeradores:

Essa equação tem infinitas soluções inteiras. Uma delas pode ser com A = 8, B = 23 e C = –65. Portanto, caso tenha escolhido essa solução:

Será que o professor deveria ensinar truques como esse no ensino básico? Talvez não, pois seu aluno não está estudando cálculo, e portanto dificilmente se divertirá com essas manipulações todas, pois não está motivado — não está querendo conhecê-las. Tudo muda se o professor propuser um problema interessantíssimo à guisa de preâmbulo. Mas será que existe um problema assim, um que seja mais interessante que o próprio cálculo?



{54}/ Capítulo 13B

Um outro truque

Truque 2: O diferencial de uma função inversa. Estude um pouco a função y = 3x. Não demora muito, e vê que pode expressar x em função de y:

Pode chamar essa última forma de “a função inversa de y”; de modo geral, se expressa a em função de b, com a função inversa de a (se ela existir) você acha o valor de b se já tiver o de a. Agora examine as relações a seguir.

A derivada de x em função de y (a derivada da função inversa) parece ser o recíproco da derivada de y em função de x (a derivada da função original). Haverá aqui um padrão? Que tal examinar mais um exemplo?

Então, para resumir, é verdade: digo que a derivada de x em função de y é o recíproco da derivada de y em função de x.

Pode ver uma explicação simples desse fato na seção 55 mais abaixo. O caso é que, se precisa calcular o coeficiente diferencial de uma função qualquer, mas julga mais fácil calcular o coeficiente diferencial da função inversa, então faça isso; quando tiver chegado ao resultado, o recíproco do coeficiente diferencial da função inversa é igual ao coeficiente diferencial da função original.

Como exemplo, suponha que queira diferenciar a função a seguir:

Pode, se quiser, seguir o método que já estudou até aqui: escreve u = (3/x) – 1 e daí calcula dy/du e depois du/dx. Como ficariam as contas?

Mas e se você não lembrasse mais como esse método funciona, ou quisesse checar o resultado por meio de um método distinto? Ou se, por qualquer outra razão, não quisesse usar o método mais comum? Bem, começaria com a função inversa e seguiria daí em diante. Suas anotações ficariam assim:

Agora, outro exemplo:

Desta vez, mais diretamente, você acha a função inversa de y e segue adiante. (Veja como, no primeiro passo, pode escrever a fórmula de y com expoentes fracionários e depois elevar os dois lados da igualdade ao expoente –3.)

Agora, dy/dθ é o recíproco da expressão acima.

Você poderia ter achado esse coeficiente diferencial de outro modo, mas depois de trabalhar mais tempo. Agora, precisa praticar. Por que não folheia os capítulos deste livro e usa esse método para resolver vários exemplos e exercícios? Acho que, a essa altura, já percebeu que o cálculo muitas vezes lembra uma arte, e não uma ciência; e uma arte só pode ser dominada, como em todas as artes, por meio da prática. Então deve resolver muitos problemas e exercícios, e propor a si mesmo muitos problemas, até que fique à vontade com os vários artifícios da arte do cálculo.



{55}/ A derivada de uma função inversa

Eis uma prova simples de por que a derivada de uma função inversa é o recíproco da derivada da função original. Primeiro, você considera a função y = f(x), que é derivável para todo valor de x. Além disso, caso tenha o valor de y, pode calcular x com a função inversa x = g(y), que também é derivável em toda parte. (São duas funções as mais bem comportadas possível.)

Agora, pode expressar x assim:

Agora, deve tirar a derivada dessa expressão inteira, considerando que x é a variável de referência e g e f são funções; terá de usar a regra da cadeia, isto é, a regra pela qual derivar uma função que é função de outra função.

Como último passo, pode reescrever a linha acima com a notação de Leibniz.

E com isso completou essa prova simples, desde que impeça qualquer uma das duas derivadas de assumir o valor zero. Se quiser um dia produzir uma prova completa, com todas as formalidades, e que leve em conta todas as possibilidades, daí terá de trabalhar muito mais. {FIM}


Observação:

No texto Cálculo diferencial com números hiper-reais, pode ver uma prova completa do teorema da função inversa na seção 66.

Matemática maia: contando com os dedos das mãos e dos pés

O estudante, acostumado com um sistema numérico de base 10, à talvez ache o sistema dos maias muito complicado, pois era de base 20, com algarismos de 0 a 19. Mas não. Basta um pouco de esforço para compreendê-lo, e, depois disso, já está fazendo continhas de mais e de menos como todo maia bem treinado fazia.


No fim de 2012, o mundo estava a um passo do fim. Às vésperas do dia 21 de dezembro, um grupo de pessoas seguiu para uma vila remota na parte francesa dos Pireneus. Outro rumou para uma vila na Turquia, às margens do mar Egeu. Acreditavam que, enquanto o apocalipse corresse solto pela Terra, espaçonaves desceriam nesses lugares e os transportariam para outros planetas. Na China, umas mil pessoas de um culto cristão foram presas por se deliciar com o fim do comunismo. Um sujeito construiu sete cápsulas de sobrevivência, com capacidade para 14 pessoas cada uma. E teve quem esperou pelo fim do mundo na própria península do Yucatán, onde a civilização maia (os supostos autores da profecia) se desenvolveu há séculos.

Porém, pela centésima quinquagésima vez desde o ano 1 a.C. (segundo uma lista na Wikipédia), o mundo não acabou.

Historiadores têm indícios de que a civilização maia era a mais antiga das que viviam no continente americano antes da chegada de Cristóvão Colombo. Começaram a se instalar na região entre a América do Norte e a América Central entre 2.600 a.C. e 1.800 a.C., e desenvolveram um império com cidades e grandes construções entre 250 d.C. e 900 d.C., em regiões que hoje fazem parte de México, Belize, Guatemala, El Salvador, e Honduras. Mais tarde a civilização entrou em declínio, até que, no século 16, houve a invasão dos espanhóis. Thiago José Bezerra Cavalcanti, antropólogo e autor do livro Calendário Maia, 2012 e Nova Era, diz que ainda hoje existem na região mais de 30 etnias descendentes dos maias. “Na Guatemala, tem gente que se refere ao próprio aniversário dizendo o nome do dia no calendário maia.”

Thiago diz que, para os maias, fazer contas era parte do dia a dia. (Pelo menos para os alfabetizados, é claro.) Usavam matemática para administrar as colheitas, registar a passagem do tempo, realizar objetos artísticos, estudar astronomia; e muitas vezes a matemática usada numa área estava interligada com as outras. Um dos calendários maias era feito de ciclos de 260 dias. “Tem uma teoria de que a origem do ciclo calendárico de 260 dias tem a ver com a duração do ciclo do milho, da semeadura até a colheita.” Para Thiago, isso mostra o quanto os maias usavam sua aritmética em vários contextos, e como os vários contextos influenciavam sua aritmética. Eles observavam as ocorrências frequentes na vida dos seres humanos, das plantas, dos animais, e dos astros, e se um número lhes parecia importante, usavam-no em várias circunstâncias.

Os maias criaram calendários com vários ciclos independentes, porém sincronizados. O calendário que corresponde ao ciclo biológico humano tinha 260 dias divididos em 20 meses de 13 dias. O calendário correspondente ao tempo de translação do planeta Terra em torno do Sol tinha 365 dias divididos em 18 meses de 20 dias e um mês de 5 dias. Os maias o usavam para administrar a agricultura, a meteorologia, e a vida cotidiana. E, a partir desses dois calendários sincronizados, criaram outro de 18.980 dias, que é o mínimo múltiplo comum entre 260 e 365. Também tinham um sistema numérico de base vigesimal e notação posicional, que teriam desenvolvido, supõe-se, ao contar com os dedos das mãos e dos pés. Muita gente considera esse sistema numérico bem sofisticado, pois surgiu numa época em que, do outro lado do Atlântico, os europeus ainda não usavam o sistema posicional hindu-arábico, nem o zero. Foram conhecê-lo por volta do século 13, graças a Fibonacci.

Tatiana Roque, autora do livro História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas, explica a diferença entre o sistema posicional e o aditivo. O sistema aditivo dos egípcios, por exemplo, tinha 7 símbolos. Representavam o 1 com uma barra vertical, o 2 com duas barras, e assim sucessivamente até o número 9. Então tinham um símbolo para o 10, o 100, o 1.000, o 10.000, o 100.000 e o 1.000.000. “Com esse sistema, fica difícil representar um número muito grande, porque precisamos de muitos símbolos. Mas num sistema posicional como o nosso, fica fácil. Com dez símbolos diferentes, representamos uma infinidade de números, dependendo da posição em que colocamos os símbolos.” Os maias também usavam as vantagens do sistema posicional: começando com três símbolos, escreviam os algarismos de 0 a 19, que depois usavam para formar qualquer número maior que 19, por maior que fosse.

O estudante acostumado com a base decimal talvez ache o sistema dos maias de quebrar a cabeça, mas pode estudá-lo um pouquinho para treinar como converter números de uma base numérica para outra. Um menino chamado Bej (dizem que esse nome maia significa caminho) fez um esforço para entender o sistema. Primeiro estudou os símbolos que os maias usavam: o ponto representava o 1, a barra representava o 5, e o zero era uma espécie de concha. Representavam com o zero a ausência de valor, mas ele também servia para evitar confusão no sistema posicional.

Bej fez uma tabela com os números de 0 a 20 em maia. Escreveu de um a quatro colocando primeiro um ponto, depois dois e assim por diante. Depois, para escrever o cinco, em vez de fazer cinco pontos, traçou uma barra; escreveu o seis com uma barra e um ponto em cima dela, e depois o sete com uma barra e dois pontos. A tabela ficou como na figura 1.

A partir desses 20 algarismos básicos, daí os maias escreviam os números de cima para baixo, da classe de maior valor para a de menor valor; é como se Bej escrevesse o número 125 assim:

1

2

5

No sistema decimal, Bej pode escrever, por exemplo, o 9.999, da seguinte forma: 9.999 = (9 × 1.000) + (9 × 100) + (9 × 10) + (9 × 1) = (9 × 103) + (9 × 102) + (9 × 101) + (9 × 100). Num sistema vigesimal, contudo, o número 9.999 significa (9 × 203) + (9 × 202) + (9 × 201) + (9 × 200) = 75.789, e em símbolos maias ele fica como na figura 2.

Para somar um número ao outro no modo maia, Bej fez um diagrama de quadradinhos com quatro colunas por quatro linhas. (Veja a figura 3.) Escreveu ao lado da linha mais abaixo “1’s” para representar os quadrados das unidades, na linha acima escreveu “20’s” para representar os quadrados das vintenas (que, no sistema decimal, seria o quadrado das dezenas). Na terceira linha escreveu “400’s” para indicar os quadrados das quatro centenas (que, no sistema de base decimal, seria a casa das centenas). Por fim, na primeira linha colocou a conta de adição em números escritos com o formato atual.

Bej olhou para a primeira coluna e viu o 448 lá em cima; então olhou a tabela de números maias e pensou num jeito de representar 448 na base 20. Relembrou o algoritmo que usa para converter números de uma base para outra: “Primeiro divido 448 por 20, e daí obtenho quociente 22 e resto 8.” Depois ele pegou o resultado 22 e o dividiu mais uma vez por 20, para obter quociente 1 mais resto 2. Como 1 é menor que 20, a divisão acaba por aí. Tais contas, dispostas no método da divisão com chave, ficaram como na figura 4.

Fez um tracinho vermelho nos último quociente e nos restos, pois é com tais algarismos que deve representar 448 na base 20: o algarismo 1 é o de maior peso; o 8, o de menor peso. Com tais contas, viu que 448(10) = 128(20), e daí passou a pensar em como representá-lo com algarismos maias. Com a ajuda da figura 1, colocou no quadradinho dos 400’s da figura 3 uma bolinha, que representa 1 × 202 = 400. Em seguida, buscou o algarismo que representa 2, isto é, duas bolinhas, e as colocou no primeiro quadradinho das vintenas. Por último, precisou de mais oito unidades para formar 448; então procurou o dígito maia que representa oito e o colocou no primeiro quadrado das unidades.

Na segunda coluna, Bej fez a mesma coisa com o número decimal 392. Dividiu 392 por 20 para obter quociente 19 mais resto 12; e já viu que não podia mais dividir 19 por 20 para obter outro quociente inteiro, e por isso parou por aí. Escreveu a divisão (com o método das chaves) e destacou com vermelho o quociente e o resto da divisão, que representam 392 na base 20, pois 392(10) = 19|12(20).

Buscou na figura 1 o algarismo maia para representar 19, e daí desenhou no segundo quadradinho das vintenas três tracinhos e quatro bolinhas. Depois procurou o 12 em maia e desenhou no segundo quadrado das unidades dois tracinhos e duas bolinhas.

Quando soube os algarismos maias que deveria juntar, reuniu os elementos nos quadradinhos da primeira coluna e da segunda para obter os correspondentes na terceira coluna. Na última coluna, Bej fez como uma criança que usa o ábaco aberto para somar: organizou os elementos de cada casa para obter o resultado da forma a mais simples possível. Primeiro, olhou o terceiro quadrado na linha das unidades e viu três tracinhos e cinco bolinhas; trocou as cinco bolinhas por um tracinho e obteve quatro tracinhos. Porém, quatro tracinhos significam 20 unidades, que podia representar com uma bolinha na casa das vintenas e uma concha (o zero) na casa das unidades.

Em seguida, olhou o terceiro quadrado das vintenas e contou os três tracinhos e as seis bolinhas; trocou cinco bolinhas por um traço, para ficar com quatro traços e uma bolinha. “Ora, quatro traços na casa das vintenas significa 20 × 20, ou seja, 400”, disse Bej; então colocou uma bolinha no último quadrado dos 400’s e deixou a bolinha restante no último quadrado das vintenas. Seguiu para a linha dos 400’s e viu no terceiro quadrado apenas uma bolinha, que simplesmente transferiu para o quadrado à direita. E por fim reescreveu o resultado, dessa vez sem a delimitação dos quadrados (figura 6).

“As duas bolinhas de cima representam 800, as duas do meio, 40, e a concha é o zero; e tudo isso significa 840.” Bej achou interessante treinar diferentes bases numéricas: elas dão um breve nó no cérebro, mas, quando o estudante finalmente entende o que está acontecendo, tem a sensação de que pode ver melhor as engrenagens do sistema que vem usando inconscientemente desde que recorria aos dedinhos das mãos para contar. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 50, março de 2015, pág. 62. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Ludmila Fraccari, e a primeira versão do texto é da jornalista Mariana Osone.

3. Se quiser saber mais sobre sistemas posicionais, há duas matérias sobre isso neste bloque: uma mais fácil (Um algarismo vale muitos passos) e outra um pouco mais difícil (Lendo Andrews: Capítulo 1).