Tesselações: em busca do encaixe perfeito


Certas ideias só surgem (ou surgem mais facilmente) quando o cientista está entre cientistas, conversando sobre ciência. Foi o que Asla Medeiros e Sá descobriu em 2012, ao participar de um congresso em Brighton, na Inglaterra: teve a ideia de usar a tecnologia de impressão em três dimensões para construir a embalagem perfeita, o que faz sentido quando o objeto a ser embalado é delicado e valioso. Com a experiência, mudou seu jeito de dar aulas na Escola de Matemática Aplicada da Fundação Getulio Vargas (Rio de Janeiro).


{0}/ Antes de começar, duas palavras

Tetraedro — Uma figura sólida, delimitada por quatro faces triangulares (uma na base, três sobre a base), com 4 vértices e 6 arestas. Um tetraedro regular tem faces compostas por triângulos equiláteros, de modo que todas as arestas têm o mesmo comprimento.

Octaedro — Um poliedro com 8 faces, não necessariamente regulares, mas em geral regular. O octaedro regular é um dos sólidos platônicos, e suas faces são triângulos equiláteros, de modo que todas as arestas têm o mesmo comprimento. Tem 6 vértices e 12 arestas.

Eis como preencher um pedaço do espaço tridimensional com seis octaedros e oito tetraedros regulares.


Asla Medeiros e Sá


{1}/ Introdução à entrevista: uma madona em pedaços

Em julho de 2012, com verba do governo brasileiro (Capes), Asla pôde participar de um congresso em Brighton, na Inglaterra, onde todos discutiam jeitos de aplicar tecnologias de realidade virtual à arqueologia e a objetos culturais muito valiosos. Numa das sessões do congresso, viu o que cientistas italianos fizeram para reconstruir La Madonna di Pietranico, uma estátua de Maria, mãe de Jesus, esculpida no século 15: está sentada, com o rosto em paz, e tem as mãos em semiconcha na altura do peito, como se precisasse de apenas mais dois segundos para juntá-las em oração. Um terremoto na região central da Itália, ocorrido em 2009, deixou a madona em pedaços.

Os italianos recolheram todos os pedaços que puderam achar, e em vez de descobrir manualmente como se encaixavam, usaram escâneres de três dimensões (3D) para obter uma réplica virtual de cada pedaço, uma que pudessem, dentro da memória do computador, manejar e posicionar quantas vezes quisessem, sem contudo manusear o pedaço em si. (Pedaços argila cozida, ou terracota, são muito frágeis.) Assim puderam fazer centenas de testes até que, finalmente, souberam com certeza o lugar correto de cada pedaço. Remontaram virtualmente a madona, mas a estátua ficou cheia de buracos, pequenos e grandes, pois vários pedaços desapareceram para sempre. Então os italianos usaram uma impressora 3D para imprimir o negativo dos buracos, isto é, para imprimir os pedaços que faltavam, e desse jeito reconstruíram a madona com perfeição.

“Achei essa história muito linda”, diz Asla. “E ela me deu uma ideia: imprimir o negativo de um objeto é uma ideia muito poderosa, não para fazer um molde do objeto, mas para construir uma embalagem perfeita na qual transportá-lo.” Ao longo dos meses seguintes, ela e mais seis colegas (alguns brasileiros, outros estrangeiros) trabalharam num artigo científico sobre uma questão de matemática aplicada: De que modo usar a tecnologia 3D (escaneamento e impressão) para construir uma embalagem perfeita, que dê ao objeto proteção durante o transporte, mas que possa ser construída com o mínimo de matéria-prima? O resultado foi apresentado ainda em novembro de 2012, durante um simpósio em Brighton.



{2}/ A entrevista em si

Por que realidade virtual, arqueologia, e cultura?

Por que tudo isso tinha a ver com a minha tese de doutorado [sobre como controlar a iluminação de um objeto para obter o máximo de informações sobre ele durante o processo de escaneamento 3D]; eu tinha preparo técnico para entender a discussão. Além disso, essa conversa entre curadores de museus, funcionários do governo, fornecedores de tecnologia, e professores de universidades quase não existe no Brasil, mas é importante. Não se trata apenas de realizar feitos como o que os italianos realizaram com a Madonna di Pietranico — ao contrário. Muita gente, no mundo inteiro, está de olho em aplicações de técnicas tridimensionais, isto é, em aplicações do escaneamento de objetos 3D e da impressão de objetos 3D. Posso citar um exemplo: especialistas em ciências biomédicas se preparam para o dia em que poderão escanear o osso de um paciente e imprimir uma versão 3D desse osso, que servirá de prótese, e que se encaixará perfeitamente no lugar do osso original.

O escaneamento de objetos 3D é uma tecnologia muito cara. No mínimo, porque o analista precisa tirar milhares de fotos de um único objeto para produzir uma versão 3D do objeto fotografado. Então, só o banco de dados para armazenar todas essas fotos e os dados deduzidos a partir dessas fotos já fica muito caro — sem contar as máquinas fotográficas, os sistemas de iluminação, os mecanismos para manter as máquinas alinhadas. Então, por enquanto, essa tecnologia só se justifica para objetos únicos e de grande valor; no caso do médico, esse objeto único é o osso de um paciente; no caso do curador do museu, é um objeto como o Davi de Michelangelo.

Do meu ponto de vista, há uma pergunta matemática muito interessante nos projetos 3D: quais são as equações matemáticas que geram estruturas de baixa densidade, ou seja, estruturas vazadas, mas que tenham certas características estruturais predeterminadas? Essa parte da matemática sempre me interessou, e pude retomá-la no projeto das embalagens perfeitas.

Qual é a matemática da embalagem 3D perfeita?

É na verdade uma matemática clássica, porque o desafio é preencher o espaço tridimensional com figuras geométricas comuns. Esse é um tópico estudado há muitos anos não só por matemáticos, como também por engenheiros e arquitetos.

Os matemáticos já sabem que é possível tesselar um espaço com octaedros e tetraedros. [‘Tesselar o espaço’ é preencher o espaço com uma combinação qualquer de sólidos.] Por isso, no nosso trabalho, usamos octaedros e tetraedros. A ideia era escanear um objeto 3D e depois produzir seu negativo, como se fôssemos produzir um molde; e daí poderíamos usar esse negativo para produzir uma embalagem na qual o objeto encaixaria com perfeição.

Contudo, queríamos imprimir a embalagem com uma impressora 3D. Como funciona a impressão 3D do tipo mais comum? A impressora joga uma fina camada de pó de gesso sobre uma superfície, e depois a cabeça de impressão, digamos assim, joga gotículas de cola nos lugares corretos. Feito isso, a impressora joga de novo mais uma fina camada de pó, e de novo joga gotículas de cola nos lugares corretos. Com isso, camada por camada, vai construindo um objeto tridimensional, feito de partículas de pó de gesso coladas entre si. Quando a impressão termina, temos algo parecido com um tijolo, ou um pedaço de madeira. Mas aí basta assoprar esse objeto: sobram apenas os grãos colados entre si, isto é, sobra o objeto 3D. A última etapa da impressão 3D é mergulhar o objeto impresso numa resina epóxi, de modo a deixá-lo mais resistente.

Então, o custo de uma impressão 3D é proporcional à quantidade de matéria-prima empregada na impressão. Pensamos que seria ótima ideia produzir a embalagem com uma tesselação do espaço feita de tetraedros e de octaedros; em vez de imprimir uma embalagem compacta, imprimiríamos apenas as arestas dos sólidos. Em linguagem técnica, imprimiríamos uma estrutura celular [vazada] a partir da treliça de octetos obtida com octaedros e tetraedros.

Existem programas de computador especializados em gerar a treliça de octetos de modo que, nos lugares apropriados, uma superfície qualquer sirva de limite à treliça. [Neste caso, as superfícies delimitadoras são as paredes do contêiner onde a treliça será colocada e o molde do objeto a ser transportado, isto é, o espaço vazio onde o objeto se encaixará.] Mas esses programas não dizem nada sobre as propriedades mecânicas da treliça. Então, fizemos vários testes para ver qual seria o diâmetro ideal das arestas de modo que a treliça tivesse as propriedades estruturais e mecânicas desejadas por nós e, ao mesmo tempo, pudesse ser impressa com o mínimo possível de matéria-prima, ou seja, pudesse ser impressa pelo menor custo.

Uma das embalagens perfeitas produzidas por Asla e equipe: a peça fica assentada no espaço vazio composto com o negativo da peça (ou com seu molde); e a espessura das arestas dos tetraedros e octaedros determina as propriedades mecânicas da embalagem e o custo da impressão 3D.

Precisou estudar matemática para fazer tudo isso?

Sempre senti curiosidade por esse assunto, o de tesselar um plano com polígonos ou tesselar o espaço com poliedros. Então, não tive de estudar nada novo, mas tive sim de relembrar muita coisa. Por exemplo: se eu souber o valor do comprimento da aresta de um octaedro regular, qual é sua altura? Se eu souber as coordenadas de um de seus vértices, quais são as coordenadas dos outros vértices? [Sobre isso, veja a seção 3: ‘As Coordenadas do Octaedro Regular’.]

Há muitos anos matemáticos, cientistas e engenheiros pesquisam essas formas de preencher o espaço com figuras geométricas. O Graham Bell, por exemplo, chegou a usar tetraedros para construir pipas [ou papagaios]. Hoje em dia, a vantagem de usar octaedros e tetraedros para preencher o espaço é que é mais fácil lidar com eles no ambiente computacional. Um computador trata mais facilmente um vértice do qual saem várias arestas do que um vértice no meio de um segmento de reta.

Mudou o estilo das aulas de geometria?

Na FGV, dou aulas de geometria no sentido mais clássico, mais genérico. Não entro tanto em aplicações práticas da geometria, como o escaneamento de objetos 3D ou a impressão 3D. Contudo, antes eu também não tratava de tesselações do plano ou do espaço durante o curso, porque isso me parecia mais uma curiosidade minha, uma curiosidade pessoal. Depois dessa experiência, porém, estou convencida de que há aplicações de inquestionável importância para as tesselações. Agora sei que posso dar exercícios sobre isso para meus alunos, pois agora o que está em discussão é matemática aplicada.

Há outra questão importante: a tecnologia do escaneamento 3D e da impressão 3D não é do tipo plug and play [do tipo basta ligar e sair usando]. Não adianta colocar esse tipo de tecnologia nas mãos de qualquer pessoa; se o usuário não sabe bastante matemática, ele não consegue usar a tecnologia. Para que cheguem a alguma solução, o médico e o matemático precisam trabalhar juntos no mesmo laboratório, assim como o curador e o matemático… Não teríamos conseguido realizar esse trabalho se antes não conhecêssemos as estruturas matemáticas que geram sólidos de baixa densidade.

Quais são os próximos passos?

Ainda há muita coisa para desenvolver na área da computação gráfica, para deixar esses sistemas mais fáceis de usar. Também há o que desenvolver na área de materiais. O epóxi usado para deixar a impressão 3D mais forte é abrasivo, e nenhum curador colocaria um objeto valioso em contato com uma superfície abrasiva. Temos então o desafio de propor materiais que sejam neutros para objetos de arte ou objetos frágeis. Temos de pensar em métodos para que o software calcule o diâmetro das arestas sozinho, conforme o peso do objeto a ser transportado e a resistência necessária contra choques e vibrações. É claro também que temos de pensar, a cada proposição, nas relações entre custos e benefícios, e nas oportunidades de negócio.

Além disso, embora a matemática usada neste caso tenha sido uma matemática muito antiga, ainda há pontos que exigem investigação. Recentemente [2011], por exemplo, Salvatore Torquato, professor de química na Universidade de Princeton, descobriu novos jeitos de combinar tetraedros e octaedros para tesselar espaços de três dimensões. Podemos dizer que, na matemática, sempre há pontos que exigem mais investigação… {}



{3}/ As coordenadas do octaedro regular

Lembrete: Em gráficos com mais de uma dimensão, o símbolo significa “você está vendo a ponta da seta, logo o eixo está vindo na sua direção”; o símbolo significa “você está vendo a base da seta, logo o eixo está se afastando de você”.

A professora dá aos alunos a missão:

“Considerem um octaedro regular. Vocês conhecem o comprimento das arestas, que é l, e também as coordenadas de um dos vértices, que são (x1, y1, z1). Como calculam as coordenadas dos outros vértices?”

Mais tarde, em casa, um dos alunos (codinome Enock) lê um pouquinho sobre octaedros e vê uma imagem de um octaedro dentro de um cubo. Percebe na hora que aquela imagem é a chave para achar as coordenadas dos outros cinco pontos, e a partir dela desenha figura 1.

Fig. 1

Como tem dificuldade para pensar em três dimensões ao mesmo tempo, Enock começa esboçando a figura 2, por meio da qual vê, de cima, o octaedro em apenas duas dimensões, marcadas com o eixo x e o eixo z. (Isso supondo que o eixo y marca para cima e para baixo…) Nota que o ponto P6 está bem em cima do ponto P1, e por isso parecem ocupar o mesmo lugar.

Fig. 2

Enock pensa: “A figura central é um quadrado de lados iguais a l. Isso significa que o segmento de reta que une P2 a P5 é a diagonal desse quadrado, assim como o segmento que une P3 a P4.” Com essa informação, esboça a figura 4, com a qual pretende achar o comprimento dessa diagonal.

Fig. 3

Com o desenho e o teorema de Pitágoras, tenta expressar o comprimento da diagonal d (que não conhece) em função do comprimento do lado l (que conhece):

Com essa informação, esboça a figura 4, que é a figura 2 com mais informações:

Fig. 4

Concluída a figura 4, Enock se sente capaz de tratar das coordenas xn e zn dos pontos Pn. Quanto à coordenada yn (ou quanto à dimensão y), vai deixá-la para a próxima rodada. “Se P1 = (x1, y1, z1), o que posso dizer dos outros pontos?” Escreve no caderno o resultado das contas:

Agora, para tratar da coordenada yn de todos os pontos, Enock vira o desenho: mantém o eixo x apontado para a direita, o y apontado para cima e o z apontado para a frente. Desse modo, esboça a figura 5.

Com o desenho pronto, parte para o cálculo de cada yn, lembrando sempre que ele já sabe as coordenadas do ponto P1 [que são (x1, y1, z1)] e o comprimento l:

Para testar o modelo, Enock acha as coordenadas do octaedro cujo ponto P1 foi posto na origem (0, 0, 0) e cuja aresta l é igual a √2. Consegue realizar as contas de cabeça:

Enock reconhece que, com o mesmo método, consegue achar o octaedro de aresta igual a √2 logo acima desse primeiro octaedro, bastando para isso repetir o método usando o ponto P6(0, 2, 0) à guisa de primeiro ponto. Da mesma forma, desta vez com pequenas adaptações, o método funciona para achar os octaedros à direita, à esquerda, à frente, atrás e abaixo do primeiro octaedro. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 27, abril de 2013, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Se quiser saber mais sobre a produção de Asla Medeiros e Sá, clique aqui.

Matemáticos também não dão respostas rápidas e corretas a perguntas difíceis


Às vezes, alguém descobre que gosto de matemática, e que sou o responsável por um blogue sobre matemática, e daí me pergunta algo do tipo “Ah, gosta de matemática? Pode então me dizer se a Ponte Preta tem chance no próximo jogo?” ou do tipo “Como eu uso o computador para controlar as finanças lá de casa?” Existe esse preconceito: se um sujeito estuda matemática por gosto, ora bolas, então é capaz de dizer a resposta, de bate-pronto, a qualquer pergunta que contenha uma pitada de matemática. Contudo, qualquer estudante de matemática trabalharia duro por dias ou semanas até esboçar uma resposta razoável às duas perguntas. (Razoável no sentido de conforme uma linha de raciocínio explícita, que leve corretamente das pressuposições às conclusões.) Acho que mesmo um matemático com treinamento excepcional seria obrigado a trabalhar bastante.

Dê a um leigo breves explicações sobre um octaedro regular e sobre como usar as ideias da geometria de coordenadas para localizar pontos no espaço tridimensional. Peça depois que elabore um método pelo qual descobrir as coordenadas dos seis vértices do octaedro, visto que saberá as coordenadas de um dos vértices e o comprimento das arestas. O leigo provavelmente classificará a missão como superdifícil, e ficará surpreso ao ver que o matemático esboça um método em meia hora. Talvez por isso o leigo desenvolva a noção de que o matemático acha a resposta a perguntas difíceis em tempo recorde. Contudo, o problema do octaedro é simples para quem tem treinamento, mas o da Ponte Preta e o das finanças familiares são complexos até para doutores. O leigo confunde as duas classes de problemas.

Se existe uma diferença real entre o leigo e o matemático, isto é, entre quem não estuda matemática nunca e quem estuda sempre, é esta: o leigo não consegue dar resposta às duas perguntas, mas o matemático consegue. O matemático trabalhará bastante por vários dias seguidos (reunindo informações, ajeitando as equações, rodando simulações no computador), mas um dia chegará à resposta. Qual é, portanto, o verdadeiro poder que o estudante obtém ao dedicar umas poucas horas por semana à matemática? Não é o de produzir uma resposta qualquer de imediato, mas sim o de, trabalhando bastante, e às vezes por bastante tempo, produzir uma resposta razoável. {FIM}


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 27, abril de 2013, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Às vezes, consigo convencer alguém de que vale a pena voltar a estudar matemática, e meu interlocutor quer saber o que deveria estudar. Supondo uma pessoa que já tenha concluído o ensino médio (não importa se o curso de matemática foi bom ou ruim), eu sempre recomendo três matérias: lógica, cálculo, e álgebra linear. Não recomendo que a pessoa volte a estudar os temas do ensino médio, com livros de ensino médio: a sensação de andar para trás é grande demais, e desanima. Digo mais ou menos o seguinte: “Compre três bons livros, um sobre lógica, um sobre cálculo, e um sobre álgebra linear, e vá lendo os três devagar e sempre, sem pular nenhum exercício. Se empacar em algum ponto, porque falta algum conceito típico do ensino médio, daí sim recorra a um bom livro de ensino médio para reestudar esse ponto específico.” Lembrete importante: fazer matemática nunca é achar a resposta certa, mas explicar por que a resposta certa é a resposta certa. O leitor não deve se esquecer disso ao resolver exercícios.

Ensino médio: o curso de matemática ideal


Perguntamos a quatro professores experientes: se você desse um curso de matemática para apenas um aluno, do jeito que bem entendesse, como agiria? O que incluiria ou excluiria? Pois bem: nenhum dos quatro continuaria a dar aulas do modo como vem fazendo.


{1}/ Antes de mais nada, uma receita de bolo

Bolo de maçã da tia Denise. Ingredientes: 2 xícaras de farinha de trigo; 2 xícaras de açúcar; 1 colher de sopa de fermento em pó; 1 colher de sopa de canela em pó; 1 pitada de sal; 1 xícara de leite; 1 maçã bem grande picada com a casca (tire o miolo); 3 ovos; 1/2 xícara de óleo. Método de preparo: bata no liquidificador os ovos, o óleo, o leite, o açúcar, a maçã, a canela e o sal; acrescente devagar a farinha, e por último o fermento; leve para assar em fôrma untada e polvilhada (forno em 180 graus centígrados).

A receita é de Denise Cunha, moradora de São Caetano (SP). “Até criança faz, e fica uma delícia. Se você não tiver maçã grande, use umas três ou quatro daquelas pequenas, da Turma da Mônica.”



{2}/ Ignorando os vestibulares e o Enem

Um estudante talvez não entenda patavina de bioquímica, mas, na cozinha, se segue à risca uma receita de bolo, ao final do processo obtém um bolo gostoso para comer com amigos, talvez com uma xícara de chá cada um. E na matemática? O que ele ganha depois de seguir uma receita de bolo? “O estudante ganha só um número”, diz Claudio Possani, professor na Universidade de São Paulo. “Na matemática, seguir uma receita de bolo é muito pior que na cozinha.” Receitas de bolo são comuns até na universidade, mas ainda mais comuns no ensino médio: como o estudante acabou de sair de uma escola para crianças e agora tem de se debruçar sobre assuntos mais complicados, é maior a probabilidade de que não os entenda e se sinta obrigado a seguir receitas de bolo para obter resultados; e como ele ainda não tem acesso a ferramentas teóricas mais sofisticadas (cálculo, matrizes, grupos, grafos, espaços multidimensionais, etc.), quando se mete num labirinto, não tem nem mesmo a ideia de marcar o chão para saber por onde já passou.

Dois jornalistas (Aline Viana e Renato Mendes) entraram em contato com professores de matemática especializados no ensino básico para discutir uma situação hipotética:

O curso de matemática ideal no ensino médio. Todos sabem que é impossível implementar um curso de matemática ideal num país inteiro: é muito professor para treinar, é muito pai e mãe para os quais dar explicações, é muito livro didático para reeditar, etc. Mas talvez você queira considerar a seguinte situação hipotética: vai dar aulas a um único jovem que acabou de entrar no ensino médio. Só um. É um jovem inteligente e esforçado, embora ainda não tenha dado sinais de que se tornará um matemático profissional. Além disso, vai desconsiderar os vestibulares e o Enem, pois não pretende treinar esse jovem para testes de admissão, e sim para o resto da vida. Sob tais circunstâncias, como funcionaria seu curso de matemática ideal?

Mais uma vez, esse experimento mostrou que há algo errado com o ensino médio no Brasil: nenhum professor quis dar aulas exatamente como elas estão sendo dadas hoje. Todos quiseram modificar o curso — alguns propuseram mais modificações, outros menos, mas todos propuseram modificações sérias.

Mais tempo, menos assuntos. Em primeiro lugar, todos os professores propuseram um currículo menor. Nesse ponto da conversa, quase sempre surgem duas palavras que um leigo não saberia interpretar bem: “conteudismo” e “conteudista”. Se quiser, o falante pode atribuir sentido positivo às duas palavras: conteudista é a pessoa que gostaria de dar um curso cujo conteúdo é importante, tão extenso quanto possível, bem ensinado; um adepto do conteudismo acredita que, para saber se um estudante sabe matemática, basta medir se ele domina bem o conteúdo de um bom livro didático. Afinal, um bom estudante de matemática tem de ter “conteúdo”. Em geral, porém, os professores pronunciam essas duas palavras com um quê de reprovação. Usam “conteudismo” para rotular a vontade de incluir no curso, e no livro didático, uma lista extensa demais de tópicos, tão extensa que o livro vai ficando muito grosso e o curso, muito corrido. Usam “conteudista” para rotular o professor que ensina o tópico da semana sem se incomodar com o que esteja acontecendo no universo: ele ensina as operações básicas com conjuntos e, antes que a classe tenha assimilado bem a ideia, parte para os intervalos, e depois para as funções, etc. Um belo dia, dá aulas sobre logaritmos para uma classe que ainda não entendeu direito por que os professores são obcecados pelas raízes da equação de 2º grau. E, por falar em pressa, esse professor conteudista está atrasado com o cronograma.

Na Espanha, os alunos ficam o dia todo na escola, mas mesmo assim o currículo de matemática no ensino médio é menor. A mesma coisa em Portugal. “Nesses dois países”, diz Patrícia Azevedo, professora de matemática na Escola Vera Cruz, em São Paulo (SP), “os professores têm mais tempo para tratar de uma lista menor de assuntos.” Patrícia estudou o sistema espanhol por conta de um curso de pós-graduação, e acha o currículo espanhol muito bom; quanto ao currículo português, nunca o estudou formalmente, mas já leu sobre o assunto e conversou com colegas portugueses. “No Brasil, não só o nosso currículo é maior, como também temos menos tempo.” Ora, para que o professor tenha tempo de mostrar como uma progressão aritmética e uma geométrica têm a ver com os conceitos de função exponencial e logarítmica, e como têm a ver com médias aritméticas e geométricas, será obrigado a deixar alguns assuntos fora do currículo. O que o professor brasileiro típico tiraria do currículo completamente, ou então mencionaria apenas de passagem?

Coitadas das matrizes e dos determinantes, coitados dos números complexos, coitados dos polinômios e das equações polinomiais — fora! “Toda a teoria a partir dos números complexos poderia ser deixada para o ensino superior”, diz Claudio Possani. No ensino médio, tais assuntos são adequados para apenas dois tipos de estudante: o que adora a matemática pura (isto é, a matemática pelo prazer da matemática, sem nenhuma outra justificativa), e o que já tem certeza de que vai entrar numa faculdade de física ou de engenharia. Patrícia concorda, embora com pesar. “Não quero passar a impressão de que não gosto de números complexos ou de matrizes. Eu acho tais assuntos lindos. Mas, no ensino médio, será mesmo que o aluno precisa estudar números complexos para descobrir que gosta de matemática?” Maria José Vasconcellos, coordenadora do curso de matemática no Colégio Rio Branco (São Paulo, SP), também escolheu reduzir o escopo da trigonometria. O estudante não precisa estudar certas fórmulas específicas, que só vai usar, se usar, num número pequeno de situações. “Muitas vezes, o professor sente vontade de trabalhar o detalhe do detalhe; isso porque ele gosta desse detalhe. Como resultado, produz um aluno incapaz de calcular o juro que vai pagar no empréstimo do automóvel, mas capaz de resolver uma inequação trigonométrica com um artifício técnico sofisticado.” Maria José acha que certas ideias só fazem sentido de verdade para quem já tem alguns anos de prática. O estudante só conseguirá apreciar a beleza dos números complexos, dos determinantes e das minúcias da trigonometria quando já tiver construído “um edifício matemático grande”, para usar as palavras de Maria José. “Antes disso, ele se sente atropelado.”

(Nenhum desses professores está dizendo que o professor não deve mencionar tais assuntos em aula, ou mesmo ensinar os fatos mais básicos para dar ao jovem uma ideia do que vem pela frente, até porque o próprio estudante pergunta se existe algo a fazer com a equação x2 = –1. O que eles estão dizendo é que talvez não seja necessário obrigar o jovem estudar em detalhes cada um desses assuntos.)

Pois bem: o que tais professores quiseram fazer com o tempo livre hipotético? Que assuntos incluíram no currículo?

Que amor de função. Patrícia quis dedicar bastante tempo ao estudo do conceito de função. É o jeito mais natural de trabalhar vários assuntos ao mesmo tempo: geometria de coordenadas (ou geometria analítica), progressões aritméticas e geométricas, comprimentos e áreas, inter-relações entre números, resolução de equações, intervalos. “A geometria analítica é muito potente”, diz Patrícia; “o estudante pode usá-la na física, na química, na biologia.” Ela acha que o professor, caso recorra bastante à geometria de coordenadas ao ensinar funções, facilmente faz o estudante se debruçar sobre trigonometria; muitas questões técnicas da trigonometria, que são meio artificiais quando ensinadas à parte, ficam mais naturais no contexto de uma função.

Como consequência feliz desse enfoque mais demorado em funções, e com o apoio da geometria de coordenadas, Patrícia conseguiria ensinar melhor a matemática financeira. Para o jovem habituado ao trato com funções, a matemática financeira não apresenta nenhum desafio de ordem matemática; ela é mais um desafio de vocabulário, pois o que o estudante tem de fazer é converter em matemática o jargão usado por empresas, bancos, e governos. “Para mim, a matemática financeira é mera aplicação das funções. Não precisamos de um módulo só sobre isso, nem de um professor só para isso, nem de um dia na semana só para isso.”

Com as funções, diz Patrícia, o professor também pode explicar melhor a probabilidade e a estatística, assuntos para os quais ela também dedicaria mais tempo. “Vejo mais esse assunto como sendo ligado à cidadania, para além da escola. O estudante também é um leitor — e um eleitor.”

Por fim, se pudesse, Patrícia quis introduzir no currículo um assunto novo: lógica. “Se é para dar um curso ideal, tenho de ensinar lógica.” Ela se refere à parte da lógica que o matemático usa para escrever demonstrações, em geral com bastante referência a locuções e símbolos típicos da teoria dos conjuntos. O estudante precisa saber o que são axiomas e teoremas, hipóteses e teses, implicações e relações de equivalência; ele precisa saber o que deve fazer para provar que A implica B, ou que A se e somente se B; ele precisa saber o que é condição necessária, condição suficiente, condição necessária e suficiente; ele precisa saber como montar uma tabela verdade e interpretá-la. “A lógica tem uma vantagem”, diz Patrícia: “ela deixa o estudante bem mais capaz de usar a tecnologia. Um bom curso de lógica naturalmente se transforma num curso de programação de computadores. Se quero formar o estudante para o século 21, tenho de seguir esse caminho: lógica e programação. Quando paro para pensar nisso um pouquinho, percebo como o currículo brasileiro é inadequado.”

Claudio Possani diz algo semelhante, mas com outras palavras: no ensino básico (fundamental e médio), a maioria dos alunos não sabe fazer nem mesmo as demonstrações mais básicas. “No sexto ano”, diz Possani, “o aluno já discute a ideia de fonte primária durante as aulas de história, e já sabe distinguir fonte primária de fonte secundária, e também já sabe, do jeito inocente dele, o que autoriza o historiador a dizer que Napoleão fez isso ou aquilo. No ensino médio, contudo, o aluno ainda não sabe dizer por que o teorema de Pitágoras é verdadeiro. Ele não sabe produzir uma demonstração dessa verdade; no curso de matemática, ele não estuda a história de como os matemáticos validam as ideias matemáticas.”

Possani ficou imaginando como usaria parte de seu tempo livre para contar a história das ideias matemáticas, mas sempre de um jeito a interligá-la a outras histórias. Pois a história dos conceitos matemáticos faz parte de várias outras histórias interessantes: a da filosofia, a da ciência, a da guerra, a do comércio. Esther Pacheco de Almeida Prado, professora no Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da USP em São Carlos (SP), também quis dar maior ênfase à história, e não só porque o aluno em geral gosta, mas porque a história é o único jeito de passar certas distinções técnicas refinadas. O professor só consegue explicar apropriadamente por que a definição de função é tão complicada quando recorre à história, isto é, quando explica os problemas que os matemáticos tiveram no passado por causa de definições mais toscas. (Especialmente o problema de definir com precisão o que seria a função inversa de uma função. Sem uma definição precisa de função inversa, ninguém consegue, por exemplo, definir bem a função y = ex; pois hoje em dia os matemáticos definem precisamente a função y = lnx e só depois disso definem y = ex como sendo a inversa de y = lnx. Além disso, o conceito de função serve de alicerce para muitos outros conceitos importantes, entre os quais o de grupo e o de espaço vetorial.) “Todos sempre dizem que a história da matemática é algo importante na educação básica”, diz Esther. “Contudo, como a história não aparece nos vestibulares nem no Enem, os professores em geral só a mencionam de passagem.”

Maria José concorda com seus colegas, e acha que mais tempo para as funções, a geometria de coordenadas e a história daria ao professor a oportunidade de ajudar o aluno a estudar melhor — ora, ora! — os números. Em outras palavras, ela quis dar a seu sortudo aluno imaginário uma espécie de introdução à teoria dos números. Isso porque alunos do ensino médio conseguem entender, e apreciar, o teorema fundamental da aritmética, o algoritmo da divisão, a aritmética módulo m. “Mesmo assim”, diz Maria José, “eu não chegaria a trabalhar os números complexos em toda a sua glória.”

De problema em problema. Todos eles abandonaram o estilo comum de dar aulas: exponha um tópico da teoria, passe uns poucos exercícios de fixação, tire dúvidas, passe exercícios mais difíceis, tire dúvidas, passe lição de casa, tire dúvidas. Exponha outro tópico da teoria e repita o processo.

No lugar desse estilo comum, adotaram um mais difícil, que exige mais do professor e do aluno, mas que lembra a matemática tal como é praticada por matemáticos:

Passe um problema difícil e interessante ao aluno. Deixe-o lutar com o problema por um tempo. Dê um pouquinho de teoria. Deixe-o trabalhar mais no problema, desta vez equipado com esse pouco de teoria. Quando o aluno estiver no ponto certo, peça-lhe um ensaio sobre a resolução do problema. (O aluno deve virar um autor de ensaios sobre ideias matemáticas, e não um resolvedor de exercícios propostos.) Leia a primeira versão do ensaio produzido pelo aluno. Tire dúvidas e dê mais teoria. Deixe-o trabalhar no problema um pouco mais. Aprove o ensaio final. Explique a notação moderna para aquele tipo de problema. Peça ao aluno que revise o ensaio para deixá-lo com notação moderna. Aprove a versão revisada do ensaio. Por último, passe uma lista de exercícios interessantes que, a essa altura, o aluno consegue resolver, pois já conhece a teoria e domina a notação. Tire dúvidas. Depois disso, passe outro problema difícil e interessante e repita o processo. (Veja a figura 1 logo abaixo.)

Fig. 1. É assim que um curso de matemática deveria ser organizado, dizem professores experientes: de problema em problema. As bolas grandes representam problemas interessantes e difíceis. As pequenas representam exercícios. A distância entre as bolas representa o tempo que o professor deve dar ao aluno para trabalhar no problema e estudar a teoria e a notação. O formato helicoidal representa um método didático: a cada problema, o professor apresenta assuntos novos e retoma assuntos antigos.

 

Uma das vantagens desse método, diz Possani, é que o problema tanto pode ser da matemática pura quanto da aplicada. A certa altura, o professor pode pedir ao aluno que ache um jeito de dizer que a circunferência de um círculo de raio igual a 1 vale 2π radianos, para que o aluno tenha a ideia de “integrar” o círculo por meio de uma sucessão de semirretas cada vez mais curtas. (Veja a figura Cqb.) Ou o professor pode perguntar qual a probabilidade de que alguém seja atropelado na faixa de pedestres, com o farol de pedestres verde, por um carro branco cujo motorista, de uns 60 anos, não viu o farol vermelho para os carros. Depois que o aluno trabalhar à beça para obter os dados e calcular a probabilidade, o professor pode ainda perguntar: quantas vezes isso acontece por dia na cidade?

Outra vantagem: o professor não passa um tópico inteiro de uma única vez e, depois disso, não toca mais no assunto. A cada problema, e guiado pelo professor, o aluno recorre a ideias e métodos de vários campos da matemática: álgebra, combinatória, funções, geometria de coordenadas, trigonometria, estatística, conjuntos, lógica, simetrias, topologia, grafos, probabilidade, computação.

Maria José até acha que um ótimo jeito de começar esse ensino médio ideal seria dar ao aluno um curso de introdução à resolução de problemas; o professor talvez queira usar o livro A Arte de Resolver Problemas, de George Pólya, como referência. “Não podemos esperar que o aluno saia resolvendo problemas sem que passe por um período específico de preparação. Ele precisa saber qual é o papel do raciocínio, da criatividade, da perseverança.”

Mais livros, menos livros. Nenhum aluno se daria bem num curso assim se não fosse um bom leitor de textos sobre matemática, e isso também deve fazer parte do curso ideal de matemática no ensino médio, diz Maria José. “É fundamental capacitar o aluno para a leitura. Quem ensina a ler matemática não é o professor de português, mas o de matemática.” Ela pede desculpas pelo óbvio, mas afirma: o aluno que sabe ler um romance complicado não necessariamente sabe ler um livro de matemática; é algo que deve aprender. “Além disso, não pense que o aluno, ao ler sobre equações de segundo grau, naturalmente vai notar a semelhança com as fórmulas da física. De modo geral, ele não nota isso sozinho. É função do professor, durante o curso de leitura, digamos assim, ajudar o aluno a fazer essa conexão da matemática com outras áreas da ciência.”

Nenhum dos professores quis abandonar o livro didático, mas todos reduziram bastante o tempo gasto com eles. Em compensação, pensaram em obrigar o aluno a ler mais trabalhos “de personalidade”, por falta de locução melhor: livros, artigos científicos, artigos de divulgação científica; na internet, blogs. Um exemplo: Matemática Lúdica, de Leon Battista Alberti (Zahar, 2006). Alberti é um autor do século 15, que se esforçou para explicar a seu leitor, “mui claramente”, coisas do tipo “como medir com a vista a altura de uma torre” e do tipo “como medir a profundidade de um poço até o nível d’água”. Outro exemplo: Elementary Number Theory, de Underwood Dudley; é um livro sobre teoria dos números que qualquer estudante do ensino médio pode entender, caso tenha uma mãozinha de seu professor de matemática e do professor de inglês.

Maria José acha que o curso ideal não existe por causa de motivos bem simples: não existe professor ideal, pais ideais, sociedade ideal. Como um professor pode reduzir a ênfase sobre os números complexos se eles caem no vestibular? Como pode ensinar a aritmética módulo m se ele mesmo não domina o assunto tão bem quanto gostaria? Como pode usar menos livros didáticos e mais livros “de autor” se tem pouco tempo para ler, e se poucos desses livros estão vertidos para o português? Como pode montar um curso do tipo “de problema em problema” se o aluno e seus pais esperam um curso do tipo “me ensine aí como responder as questões do vestibular em menos de 3 minutos”? Diz Maria José: “Faz uns poucos anos, o Enem era diferente dos vestibulares, e nos ajudava a justificar um curso de matemática mais perto do ideal. Agora, contudo, tenho a impressão de que o Enem está se aproximando dos vestibulares; está virando algo mais conteudista. Assim, hoje em dia, montar um curso mais próximo do ideal voltou a ficar difícil.”

Principalmente, contudo, um curso ideal só funciona se houver um aluno ideal. O aluno não precisa ser nenhum gênio, mas deve compreender alguns fatos básicos: se não se esforçar, não vai entender; se não estiver sempre resolvendo problemas e lendo sobre matemática, vai esquecer o que aprendeu (pois a capacidade de fazer matemática é algo que se perde com a falta de prática); não pode esperar que o professor lhe ensine tudo de mão beijada, pois o professor não sabe tudo, e além disso o ensino médio dura somente três anos. A matemática é grande demais. Ela não cabe no ensino fundamental, nem no médio, nem no superior — não cabe nem na vida inteira de uma pessoa que estude matemática por décadas a fio. {}



{3}/ Apêndice: Geometria ou transformações?

Com um pouco de teoria sobre a geometria de coordenadas e as primeiras ideias sobre relações e funções, o professor já pode introduzir a ideia de transformações no plano, que é totalmente inútil para quem só se preocupa com o vestibular e absurdamente útil para quem resolve problemas. Um bom primeiro passo é mostrar a figura 2 com a seguinte história: “Você tem um desenho num plano cartesiano, que pode ver como se fosse um conjunto de pontos, cada um com sua dupla de coordenadas (x, y). Você gostaria de mover todos esses pontos 5 unidades para a direita e 3 unidades para cima. Como pode começar?”

A certa altura, o estudante (vamos chamá-lo de Bernardo) vai chegar a uma versão da equação a seguir:

Com ela, quis dizer o seguinte: “Por meio da transformação T, pego as coordenadas de um ponto do desenho, que são x e y, e as transformo nas coordenadas do novo ponto, no desenho já deslocado, que são x’ e y’. Em outras palavras, a abscissa x do desenho original vira a abscissa x’ do desenho novo, e a ordenada y do desenho original vira a ordenada y’ do desenho novo.”

Mas, como Bernardo deve deslocar cada ponto do desenho 5 unidades para a direita e 3 unidades para cima, cada abscissa x do desenho original se transforma em x + 5 no desenho novo, e cada ordenada y se transforma em y + 3. Sendo assim:

As duas equações implicam uma informação importante e útil:

Bernardo brinca com isso tudo por um tempo. A certa altura, o professor diz: “Você já sabe que, caso plote o gráfico da equação y = x2 num plano cartesiano, vai plotar a parábola mais conhecida de todas. [Mostra ao estudante uma versão da figura 3.] O que deve fazer caso queira deslocar essa parábola 5 unidades para a direita e 3 unidades para cima?”

Fig. 3

Depois de experimentar com as informações que possui, Bernardo a certa altura pensa assim: “Sei que y = x2. Sei também que x’ = x + 5, logo x = x’ – 5. E sei também que y’ = y + 3, logo y = y’ – 3. Vou agora substituir, na equação y = x2, y por y’ – 3 e x por x’ – 5.”

Fig. 4

Ao plotar as duas curvas no mesmo plano cartesiano (figura 4), vê que obteve o que pretendia: a curva de y = x2 (em azul) se deslocou 5 unidades para a direita e 3 unidades para cima [a equação da curva vermelha é y – 3 = (x – 5)², isto é, y = x² – 10x + 28]. Com isso, entendeu por que “mover o gráfico 5 unidades para a direita” significa, na prática, “trocar x por x – 5”, e “mover o gráfico 5 unidades para a esquerda” significa “trocar x por x + 5”. Esse lance de “menos 5” leva o gráfico para a direita e “mais 5” leva o gráfico para a esquerda confunde um monte de gente.

Perseguindo ideias desse tipo com a ajuda do professor, Bernardo descobre várias coisas:

(a) Com a transformação G(x, y) = (x, –y), reflete uma imagem tendo o eixo x como eixo de reflexão, ou como “espelho”. Assim, y = x2 vira y’ = –(x’)2.

Transformação G

(b) Com a transformação H(x, y) = (y, –x), gira uma imagem 90° no sentido horário. Desse modo, y = x2 vira x’ = (y’)2 (ou y’ = ±√x’). Bernardo nota que, com essa transformação H, partiu de uma função bem definida (para cada valor de x, existe só um valor de y) e chegou numa relação (para cada valor de x, há dois valores de y).

Transformação H

(c) Os matemáticos chamam as transformações T, G e H de “transformações rígidas”, porque elas “preservam as distâncias”, isto é, não esticam nem encolhem as imagens. Se a distância entre dois pontos na figura original é de 1 unidade, na figura transformada a distância entre os dois pontos correspondentes é também de 1 unidade. Com transformações desse tipo, Bernardo consegue provar, com pouco trabalho, afirmações que deram uma trabalheira desgraçada a Euclides em Os Elementos.

(d) Bernardo descobre que pode aplicar várias transformações em sequência. Se R, S e T são transformações no plano cartesiano comum, U = RST significa: “Aplique a cada ponto (x, y) primeiro a transformação T, depois a S, e por último a R.” Ao ir atrás das consequências lógicas de pensamentos desse tipo, o professor pode ajudar Bernardo a ver a necessidade de estudar matrizes e álgebra linear, além de teoria dos grupos.

(e) Uma transformação não precisa ser rígida. Ela pode esticar ou comprimir as imagens. Com a transformação J(x, y) = (x2, xy), por exemplo, Bernardo pega uma figura e a estica e a amplia à direita, como mostrou na figura a seguir, na qual, depois da transformação não linear J, y = x2 virou y’ = x’ · ±√x’.

Transformação J (o que interessa é só o primeiro quadrante)

(f) Com a prática, Bernardo começa a perceber como é (relativamente) fácil construir programas de computador para fazer animações. Programas de computador especializados em animação estão cheio de termos técnicos que parecem retirados de livros sobre transformações: translação, rotação, centro de rotação, reflexão, eixo de reflexão. Não é coincidência.

(g) Bernardo pega uns artigos sobre matemática mais avançada e circunda algumas expressões nas quais aparece a palavra “transformação”: “você pode representar as duas transformações com matrizes 2 × 2”, “se a matriz A representa tal reflexão”, “uma função é mais ou menos uma transformação desse tipo”, “tais simetrias permanecem constantes num tal grupo de transformações”. O estudante pode explicar essas ocorrências ao examinar textos de matemáticos como Felix Klein (1849-1925) e Andrei Kolmogorov (1903-1987); para ambos, as transformações eram o verdadeiro objeto da geometria. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 44, setembro de 2014, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pelos jornalistas Aline Viana e Renato Mendes.

3. Há outras matérias neste blogue correlacionadas com o tema “Como reformar o ensino médio”. Eis as mais lidas:

(a) Imenes e Lellis: Reforma do ensino médio.

(b) Cálculo no ensino médio: já passou da hora.

(c) Um cérebro, duas variações (também sobre cálculo no ensino médio).

(d) O Lamento de um Matemático (excelente artigo do matemático americano Paul Lockhart).

(e) Para que serve a matemática? (Artigo de Underwood Dudley.)

(f) Para pensar sobre o ensino de logaritmos no ensino médio, leia Logaritmo é mais que outro nome para expoente.

(g) O artigo Tudo sobre números complexos, baseado num capítulo de livro do matemático inglês G. H. Hardy, é para mim o melhor jeito de abordar o assunto.

(h) Se quiser saber mais sobre aritmética módulo m, veja o artigo Álgebra abstrata: Um amor à primeira vista.

Serras circulares e demonstrações matemáticas

De que adianta uma serra circular para quem nunca mexe com madeira? Muito aluno de matemática no ensino médio se sente assim: a escola lhe dá furadeira, serra circular, lixadeira, mas não a madeira; ele nunca cria nada com madeira.

Tive essa impressão outro dia enquanto folheava livros didáticos de matemática para o ensino médio. Estão cada vez mais bonitos. Há muitas definições, boas ilustrações para deixar as definições mais claras e naturais, e ilustrações para mostrar ao estudante por que deve aceitar certas propriedades como sendo verdadeiras. Mas os críticos do ensino médio têm razão quando afirmam que há poucas demonstrações, e limitadas às mais fáceis. Se o aluno julga a matemática apenas com base no livro didático, pode dizer que ela é um conjunto de fatos que todo aluno deve aceitar.

Isso explica em parte por que o aluno tem a impressão de que a matemática é feita de assuntos isolados. Por exemplo, conjuntos. Há explicações sobre eles no começo do livro, mas você pode folhear páginas e páginas do meio e do fim do livro sem ver nenhum símbolo da teoria dos conjuntos, nenhuma referência a palavras típicas dos conjuntos. O aluno fica com a impressão de que certo assunto, por exemplo conjuntos, tem pouco a ver com outro assunto, por exemplo matrizes, quando na verdade conjuntos e matrizes têm tudo a ver.

Seria bem diferente se tivesse de resolver um problema e, depois disso, convencer a si mesmo e a seu leitor de que o problema está resolvido em definitivo — e sem recorrer ao fim do livro, porque, na matemática, não existe “fim de livro”. Mesmo demonstrações simples nos obrigam a lançar mão de conceitos matemáticos de áreas distintas. O estudante vai provar que certas permutações dos n primeiros números naturais têm certas propriedades e logo está se perguntando: como é mesmo a fórmula da soma de uma progressão aritmética? Sem planejar nada disso, ligou combinatória com funções afins. Como o aluno de ensino médio só tem de marcar a alternativa certa, mas não tem de redigir demonstrações, tudo o que precisa fazer é rabiscar uns lembretes numas linhas muito bagunçadas. Por causa desse estado de coisas, o aluno sente muita dificuldade para “colar” os vários assuntos matemáticos uns nos outros.

Não vale dizer que redigir uma demonstração exige o domínio de detalhes técnicos difíceis, como o de tabelas verdade de implicações e de relações de equivalência. É verdade, mas, no ensino médio, e mesmo na faculdade, o estudante não precisa escrever provas como se fosse um matemático profissional. Pode encarar uma demonstração como se fosse uma carta. Pensa num amigo ou parente e começa a demonstração assim: “Oi, vovô! Que saudades! Você não sabe o que descobri sobre a potenciação de números ímpares.” A única característica que não pode faltar a nenhuma demonstração, formal ou informal, é esta: Se o leitor da carta aceitar as premissas, não terá escolha exceto concordar com a conclusão. {FIM}

O poder da matemática reside precisamente na combinação da intuição com o rigor. O gênio controlado; a lógica inspirada. Todos conhecem gente brilhante cujas ideias nunca funcionam direito, assim como gente limpinha e organizada que nunca realiza grande coisa. O matemático deve evitar esses dois extremos.

Ian Stewart, matemático britânico, no ótimo livro Concepts of Modern Mathematics, de 1995


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 44, setembro de 2014, pág. 4. A versão que acabou de ler foi revista e corrigida.

2. Se um aluno conclui sua educação formal sem conhecer a filosofia da matemática, corre o risco bastante grande de se transformar num daqueles adultos que acham possível provar afirmações sobre a realidade material (ou sobre o mundo físico, se quiser assim). Tais adultos dizem: “O sociólogo Fulano de Tal provou isso assim e assado sobre sociedades capitalistas”; ou dizem: “Einstein provou que a velocidade relativa da luz é sempre de no máximo 300.000 quilômetros por segundo.” Sem saber ao certo o que é uma demonstração matemática, sem boa noção do que é matemática e do que é filosofia, tais adultos não sabem que um cientista não tem condições de provar nada sobre a realidade material — o máximo que ele pode fazer é sugerir explicações para os fatos conhecidos em seu tempo, explicações que os cientistas da posteridade fatalmente terão de modificar, ou mesmo de abandonar, conforme descobrem novos fatos.

Será que todo número existe?


Vemos na escola que, quando elevamos o número √2 ao quadrado (isto é, quando multiplicamos √2 por si mesmo), obtemos 2. Por muito tempo os matemáticos se perguntaram se números como √2 de fato existem, mas não acharam a resposta. O que fizeram? Inventaram uma resposta que não é bem uma resposta e seguiram em frente, felizes da vida, fazendo matemática.


{1}/ Uma questão de definir bem

O professor (vamos chamá-lo de Moisés) entra na classe, põe um grande rolo de papel sobre a mesa, tira um rolo de fita crepe do bolso do jaleco branco e também o põe sobre a mesa, deseja um bom dia à turma, e por fim desenha na lousa uma fórmula simples:

x2 = 2

Vira-se para a classe e pergunta:

“Pessoal, quanto vale x?”

Um dos alunos responde, meio na dúvida:

“Raiz de dois.”

“É o que eu esperava ouvir”, diz Moisés. Ele se vira para a lousa de novo e desenha o símbolo de raiz de dois: √2. “Como é que vocês sabem que esse número existe?”

Vários alunos dão alguma versão das respostas mais comuns: existe porque o professor disse que existe; existe porque a calculadora diz que existe; existe porque é justamente o número que, quando multiplicado por si mesmo, dá 2; existe porque, se não existisse, como resolver a equação da lousa?

“Certo. O símbolo √2 denota um número positivo x que, quando multiplicado por si mesmo, resulta em 2. Por favor, não se esqueçam: –√2 também é uma raiz da equação x2 = 2, pois (–√2)2 também é igual a 2. Mas, na discussão de hoje, para simplificar, vamos conversar sobre números não negativos.”

Desenha na lousa o que acabou de dizer, para que ele e a classe falem a mesma língua.

“Vou usar umas horas desta manhã para lhes dizer que essa afirmação é ex-tra-or-di-ná-ria [Moisés marca cada sílaba da palavra com o punho direito indo para cima e para baixo]. Até hoje ela contém mistérios!”

Sanduíche de racionais. Numa aula anterior, a turma já tinha visto a prova de que √2 é um número irracional, isto é, que não existem dois inteiros positivos c e d tais que c/d = √2. Então Moisés mostra à classe como consegue achar as casas decimais do número x. Primeiro, mostra que 12 = 1 e que 22 = 4.

“O número x, portanto, é maior do que um e menor do que dois.”

Pede a ajuda de um dos alunos, que tem uma calculadora científica, e vai usando esse método para montar uma tabela na lousa, na qual os alunos veem como o valor de x vai sendo ensanduichado entre os valores de a, sempre menor que x, e os valores de b, sempre maior que x.

a

a2

axb

b

b2

1,4

1,96

x 1,4

1,5

2,25

1,41

1,9881

x 1,41

1,42

2,0164

1,414

1,999396

x 1,414

1,415

2,002225

1,4142

1,99996164

x 1,4142

1,4143

2,00024449

1,41421

1,9999899241

x 1,41421

1,41422

2,0000182084

1,414213

1,999998409369

x 1,414213

1,414214

2,000001237796

1,4142135

1,99999982358225

x 1,4142135

1,4142136

2,00000010642496

Os alunos entendem que, se 1,41 ao quadrado é menor do que 2, mas 1,42 é maior, então x está entre 1,41 e 1,42; se 1,414 ao quadrado é menor, mas 1,415 é maior, x está entre 1,414 e 1,415. E assim por diante. Moisés os ajuda a ver que podem realizar esse processo indefinidamente.

“Vocês veem que o processo é bem mecânico?”, pergunta Moisés à classe. “Veem que podemos obter a expansão decimal de x com 20 algarismos, ou com 500, ou com 5 bilhões?”

Mostra à classe que, seguindo o método, os números a e b vão ficando cada vez mais iguais, isto é, a diferença entre eles ficando cada vez menor. Da mesma forma, quanto mais casas decimais o estudante obtém, mais a2 se aproxima de 2 pela esquerda, e mais b2 também se aproxima de 2, só que pela direita.

“Parece razoável dizer que esse número, raiz de dois, existe? Parece razoável dizer que, quando elevamos a raiz de dois ao quadrado, obtemos dois?”

Todo mundo diz que sim, cada um a seu modo, uns com “Massa!”, uns com grunhidos, uns olhando para a lousa fixamente e em silêncio.

“Agora, notem uma coisa interessante. Quando usamos a = 1,4, não estamos lidando com um número irracional, mas com um número racional. Quando usamos b = 1,5, é a mesma coisa.”

Desenha na lousa o que acabou de dizer.

Moisés pede de novo a ajuda do aluno com a calculadora científica; ela é do tipo que, quando o usuário digita um número decimal, ela devolve a fração geratriz. O professor, o aluno e a calculadora se juntam para desenhar na lousa uma tabela mais completa.

a

x

b

1,4

1,41

1,414

√2

1,415

1,42

1,5

7/5

141/100

707/500

√2

283/200

71/50

3/2

“Nós podemos fazer uma tabela assim com quantas colunas quisermos. Contudo, visto que a expansão decimal de a e de b é finita, estamos ensanduichando x entre dois números racionais. Já vimos que x é um número irracional, mas todas as aproximações que vimos de x são números racionais, não importa quantas casas decimais tenham. Não é estranho isso?”

Moisés abre o rolo que tinha posto sobre a mesa; era um cartaz enorme. Pede a ajuda de quatro alunos, e os cinco usam a fita crepe para prender o cartaz sobre a lousa, de modo que todos o vejam (figura 1).

Fig. 1. Um corte de Dedekind/ Wikipedia

“Notem que, se continuamos esse processo por toda a vida, vamos obter um número a e um número b, ambos racionais, tais que a é menor do que b. Vamos obter um número a tal que a2 é sempre um pouquinho menor do que 2 e um número b tal que b2 é sempre um pouquinho maior. É por isso que devemos presumir que o número √2 está entre esses dois números.”

Moisés faz uma pausa, para deixar a classe assimilar essas informações enquanto olha para a figura presa sobre a lousa.

“Agora, como os matemáticos sabem que esse número x = √2 existe? Como eles podem ter a certeza de que, bem no lugar em que deveria haver o número x, na verdade há, digamos assim, um buraquinho, uma ausência? Como eles sabem que justamente esse ponto não está faltando? Como sabem, em resumo, que a reta dos números reais é perfeitamente contínua?”

A classe entra numa discussão e um engraçadinho, que leu O Guia do Mochileiro das Galáxias, diz que a resposta é “obviamente 42”. Moisés se diverte, até que interrompe a algazarra para fazer um anúncio.

“Pessoal!”, faz uma pausa: “os matemáticos não sabem! [De novo marca a ênfase com a mão fechada.] Ao longo dos séculos, milhões de pessoas pegaram milhões de gravetos e fizeram milhões de riscos na areia, e depois disso milhões de pessoas pegaram milhões de canetas e fizeram milhões de riscos no caderno — por causa disso, por causa dessa experiência acumulada, todo mundo acredita que uma linha reta é contínua, inclusive os matemáticos. Só que, na matemática, essa crença tem nome: é o axioma da continuidade.”

Moisés segue explicando que os matemáticos gostam de questões como essa, mas que levam a matemática na esportiva. O que lhes interessa a respeito de um ponto não é se existe (“se existe num plano espiritual, metafísico, vejam bem”), mas sim se podem defini-lo com precisão. Neste caso do número x = √2, “defini-lo com precisão” significa determinar a posição de um racional tão próximo de √2 quanto seja necessário, seja um racional com 5 casas decimais na expansão decimal, seja um racional com 5 trilhões de casas decimais. Visto que podem sim determinar a posição desse racional próximo do ponto x = √2, tão próximo quanto queiram, então, para efeitos práticos, esse ponto existe — mesmo que alguém goste de pensar que não existe… {❏}



{2}/ Cortes de Dedekind

Numa boa escola do ensino básico (= fundamental e médio), é bem possível que o estudante pense sobre os números mais ou menos nesta sequência (sempre usando a linha dos números como referência): operações aritméticas com inteiros não negativos; operações aritméticas com frações não negativas; operações aritméticas com inteiros (entram os inteiros negativos); operações aritméticas com números racionais (entram as frações negativas).

Cedo ou tarde, querendo ou não, aparecem os irracionais. Visto que o estudante não tem ainda as ferramentas intelectuais adequadas para lidar com irracionais, o que a maioria das escolas faz? Segundo Hung-Hsi Wu, um especialista americano em didática da matemática, a escola não discute adequadamente o que é um número irracional e mesmo assim leva o aluno a acreditar que pode lidar com todos os números da reta real, inclusive √2 ou π, exatamente da mesma forma com a qual lida com os inteiros e os racionais. É o que Wu batizou de Pressuposição Fundamental da Matemática Escolar:

Pressuposição Fundamental da Matemática Escolar (PFME). Você pode aplicar, aos números irracionais, toda informação verdadeira sobre operações aritméticas com números inteiros e com números racionais.

“Essa é uma pressuposição muito profunda”, escreve Wu no livro Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. “Ela permite que o estudante manipule números irracionais da mesma maneira que manipula inteiros ou racionais, embora o estudante não tenha a menor ideia do que é um irracional.”

E daí surgem dezenas, centenas de dúvidas, tais como: “Como os matemáticos sabem que números como √2 existem, se de modo nenhum podem conhecer toda a sua expansão decimal?” Ou dúvidas muito mais exóticas e incapacitantes, tais como: “Se tenho de somar duas frações esquisitas, sendo que o denominador de uma é 7 e o denominador da outra é 3√5, de que maneira posso tirar o mínimo múltiplo comum entre 7 e 3√5?”

Wu se apressa em dizer que a PFME é correta, mas a escola não deveria pedir ao estudante que acreditasse nela sem, antes disso, discuti-la em atividades semelhantes àquela descrita na seção 1.

A atividade na seção 1 foi feita com base num dos métodos com os quais, na faculdade, o estudante de bacharelado em matemática constrói os números irracionais: com os cortes de Dedekind.

Se o leitor gostaria de montar um corte de Dedekind, eis uma breve explicação: particione todos os números racionais em dois conjuntos disjuntos, o conjunto E e o D. (As letras E e D servem para lembrá-lo de esquerda e direita.) Todos os racionais menores que certo valor x ficam no conjunto E. Todos os racionais iguais a certo valor x, ou maiores que certo valor x, ficam no conjunto D. Fazendo assim, todo elemento e de E é menor que x e, portanto, menor que todo elemento d de D; e todo elemento d de D é igual a x ou maior que x e, portanto, maior que todo elemento e de E.

Depois disso, o leitor pode dar o salto genial que Richard Dedekind deu em 1901: definir “número real” como sendo esse corte, isto é, como sendo essa partição dos racionais em dois conjuntos disjuntos. Se existe um elemento de D que seja o menor de todos (isto é, se x é racional e, portanto, x D), daí esse corte representa o número racional x. Mas, se não existe um elemento d de D que seja o menor de todos (isto é, se x D), daí esse corte representa o número irracional x.

A coisa toda é ligeiramente mais complicada do que isso, mas Dedekind conseguiu, com uma definição semelhante a essa, caracterizar perfeitamente um número real. Caso o leitor use a definição para construir o corte relativo a x = √2, vai definir os conjuntos E e D assim:

E = {e Q : e2 < 2}

D = {d Q : d2 ≥ 2}

Pode verificar como D não pode ter um elemento que seja o menor de todos, pois x = √2 não é elemento de D, pois não é racional. No entanto, você pode manipular o corte da mesma maneira que manipula um número real: pode, de maneira muito natural, somá-lo a outro corte, dividi-lo por um corte que não seja equivalente a zero, etc. (Diante de dois cortes, caracterizados pelos conjuntos E e D, de um lado, e E’ e D’, de outro, para somar os dois basta somar cada um dos elementos de E a cada um dos elementos de E’, e cada um dos elementos de D a cada um dos elementos de D’. O que vai obter são os conjuntos E” e D’’, que deve definir assim: E’’ = {e + e’ : e E e e’ E’}; D’’ = {d + d’ : d D e d’ D’}. Os conjuntos E” e D’’ caracterizam o corte equivalente à soma do número real equivalente ao corte E, D com o número real equivalente ao corte E’, D’.)

Mas daí talvez queira saber:

“OK, entendi. Mas e o valor de √2? Tendo diante de mim o corte de Dedekind relativo a √2, como eu acho o valor de √2?”

Simples: Escolha qualquer racional e do conjunto E, ou qualquer racional d do conjunto D, tal que e2 ou d2 esteja o mais próximo possível de 2 para seus propósitos práticos. Daí, para seus propósitos práticos, declare o valor de √2 como sendo o valor de e ou de d. Foi mais ou menos isso o que, na seção 1, o professor Moisés ajudou a classe a ver.

E talvez ainda queira saber:

“Ora, mas √2 existe? A questão principal não era essa?”

Sim, existe. Na matemática, se você pode definir os critérios objetivos a partir dos quais deve pensar a respeito de determinado conceito, então pode aplicar esse conceito, e obviamente, se pode aplicá-lo, ele existe. Em essência, a matemática é o estudo das consequências lógicas de critérios que podemos estabelecer objetivamente, isto é, de critérios cuja interpretação independe da subjetividade do leitor. Visto que Dedekind pôde estabelecer um critério objetivo pelo qual descrever tanto números racionais quanto números irracionais, então os números irracionais existem. {FIM}


Observação:

Publiquei a matéria da seção 1 pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita. Quanto à seção 2, é inédita.

O valor de exercícios fáceis


{1}/ As primeiras duas vantagens

Outro dia, um professor de matemática me disse que ele tem dificuldade para convencer seus alunos a resolver exercícios fáceis. Assim que os alunos estudam um assunto e resolvem uns poucos exercícios, reclamam caso o professor insista num exercício fácil.

“Ah, esse não, professor!”, eles dizem. “Esse a gente já sabe.”

Contudo, se o estudante resolve exercícios fáceis de quando em quando, ele se prepara melhor para a matemática, comparado àquele que só resolve exercícios difíceis. Exercícios fáceis nos ensinam a prestar atenção. Quando realizamos algo que consideramos fácil, nossa atenção ao que estamos fazendo cai — entramos, por assim dizer, no modo automático. Fazemos as contas, manipulamos os sinais dos números e das variáveis, movemos as letras de lugar — e, ao mesmo tempo, ficamos pensando no melhor menu para o jantar. Sopa de legumes ou sobrecoxa de frango assada?

Esse mesmo fenômeno acontece em outras áreas da vida. A maioria dos acidentes de carro, por exemplo, ocorre perto de casa, porque o motorista se sente em casa, relaxa, e sua atenção cai. Na matemática, enquanto fazemos as contas e tudo o mais, dividimos uma expressão por x sem levar em consideração que, talvez, x seja igual a zero. Segundo especialistas em olimpíadas de matemática, até competidores muito bons cometem erros bobos e erram sinais por falta de atenção.

Treinar com exercícios fáceis rende mais duas vantagens. Uma delas: para resolver um exercício difícil, o estudante tem de realizar dezenas ou centenas de operações matemáticas fáceis, com as quais já está acostumado. Se sua atenção cai durante tais operações, ele corre o risco de cometer um erro bobo, e se isso acontece torna o exercício difícil mais difícil do que deveria ser. A outra vantagem: exercícios fáceis deixam o estudante feliz. Isso é bom: recarrega o ânimo. Quem só ataca problemas difíceis está sempre cansado de se sentir burro.



{2}/ Uma ressalva: facilidade e criatividade

Não quero desculpar o professor que insiste em exercícios fáceis e chatos, pois um exercício pode ser ao mesmo tempo fácil e criativo. Por exemplo:

Problema. Um arco e uma flecha custam 11 reais ao todo. O arco custa 10 reais a mais que a flecha. Quanto custa a flecha?

Pense no problema por um instante. A solução está logo abaixo.

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Resolução. Muita gente responde no modo automático:

“A flecha custa 1 real.”

Ora, se o arco custa 10 reais a mais que a flecha, e se a flecha custa 1 real, então o arco custa 11 reais — com isso, o arco e a flecha juntos custam 12 reais. Resposta errada.

Para resolver esse problema adequadamente, nada melhor que um pouco de álgebra escolar. Nas linhas a seguir, usei A para denotar o preço do arco e F, o preço da flecha.

Assim, a flecha custa 50 centavos, o arco custa 10 reais e 50 centavos, e o conjunto todo custa 11 reais.



{3}/ Revisitando lugares conhecidos

Outro dia, num dos Seminários de Educação Matemática (FE/USP), o professor João Tomás do Amaral me cutucou e me mostrou uma página, na qual ele havia acabado de escrever à mão:

7x + 12y = x + Ay

“E aí?”, ele me perguntou.

Eu comecei, sempre olhando para o papel:

“Tire x dos dois lados, tire 12y dos dois lados, e você fica com 7xx = Ay – 12y […]” Parei de repente. Falávamos baixinho, porque a palestrante discorria sobre como a álgebra tem aparecido nos livros didáticos nos últimos anos, e sobre como a escola distorce o sentido da álgebra, e eu deveria ter desconfiado.

Em vez de olhar para o papel, olhei para o João, e vi que ele mal conseguia disfarçar a vontade de rir.

Recomecei:

“O que você quer dizer com x, y, A, 7, 12, o sinal de mais, e o sinal de igual?”

João riu, pois essa era a pegadinha: antes de usar algum tipo de álgebra, e antes de dizer qualquer coisa sobre álgebra, você tem de saber com que sistema está trabalhando. (Sistema = estrutura algébrica.) Olhei para a expressão no papel e parti do pressuposto de que dizia algo sobre o sistema dos números reais — e que x, y, e A, portanto, denotavam números reais. Mas não havia nada no papel que me autorizasse a pensar assim. E se os números denotassem grandezas escalares e as letras, matrizes ou vetores? No problema do arco e da flecha, por exemplo, o estudante, ao atribuir valores para A e para F, só pode usar múltiplos inteiros de 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos, 1 real, 2 reais, 5 reais, 10 reais, 50 reais, e 100 reais. Poucos estudantes pensam nisso quando resolvem problemas sobre dinheiro, pois ainda não se acostumaram a perguntar: “Qual é o conjunto do qual devo retirar os valores de minhas variáveis?”

E essa é, portanto, mais uma das vantagens de resolver exercícios fáceis (e criativos) de quando em quando: visto que você está sempre aprendendo mais, vai olhar para eles de outro ângulo, e ver coisas que não poderia ter visto quando sabia menos. {FIM}


Observações:

1. Publiquei uma versão da seção 1 na carta ao leitor da revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 3, abril de 2011, pág. 5. As outras duas seções são inéditas.

2. Minha versão prática de “resolva exercícios fáceis” é “leia vários livros sobre o mesmo assunto”. Nunca perdi meu tempo ao ler um livro sobre um assunto que, em tese, já estudei e deveria saber. Meu primeiro livro de cálculo foi difícil, pois o assunto era novo para mim e, a bem da verdade, o livro era mal escrito; o mais recente (Infinitesimal Calculus, por Henle e Kleinberg) foi uma tremenda aventura — divertido e estimulante. Mas só tive condições de me divertir porque esse era meu sexto livro de cálculo; se tivesse sido o primeiro, não sei nem se teria conseguido terminá-lo.

Uma lógica para estudar o arco-íris


Num sistema feito com lógica clássica, se uma afirmação se revela verdadeira e falsa ao mesmo tempo, o sistema trava. Contudo, pesquisadores têm usado a lógica paraconsistente, com a qual um sistema não trava diante de uma afirmação verdadeira e falsa, para criar máquinas mais inteligente e até óculos para deficientes visuais.



{1}/ Para além da lógica convencional

Uma mulher (vamos chamá-la de Andresa) está lendo ao ar livre, mas levanta os olhos do livro e nota um arco-íris. Ela repara nas faixas coloridas: o arco-íris começa (ou termina) numa faixa vermelha, que vai clareando até virar uma faixa amarela. Andresa acha que o meio da primeira faixa é vermelho, e que o meio da segunda faixa é amarelo, mas e as transições? Em que ponto exato ocorre a transição do vermelho para o amarelo, isto é, em que ponto exato o vermelho deixa de ser vermelho e o amarelo começa a ser amarelo? Se Andresa usa a lógica clássica para modelar esse problema, não pode ir longe, porque a lógica clássica só lida com problemas do tipo ou “verdadeiro” ou “falso”, mas nunca ambos. Se é o caso de que algo seja vermelho, ele só pode ser vermelho.

Andresa não iria longe com a lógica clássica mesmo que recorresse a medidores sofisticados. Se num ponto a faixa do arco-íris contém 98% de amarelo 2% de vermelho, ela é amarela ou vermelha? A natureza com frequência funciona assim: vai da brisa ao furacão em transições suaves. “Não podemos nos limitar aos princípios binários da lógica clássica, do verdadeiro ou falso, do sim ou não, do é ou não é”, diz o professor Jair Minoro Abe, líder do grupo de pesquisas sobre lógica paraconsistente e inteligência artificial da Universidade Paulista (Unip) e coordenador do grupo de lógica e teoria da ciência no Instituto de Estudos Avançados da USP. Abe estuda as aplicações da lógica paraconsistente em áreas como engenharia e biomedicina — e a palavra-chave é paraconsistente, ou seja, além da consistência da lógica clássica.

Na lógica clássica, se um sistema permite a criação de uma afirmação verdadeira, e se essa afirmação verdadeira leva a uma contradição, então todo o sistema perde consistência. Em termos técnicos, ele se torna trivial, isto é, ele permite provar a verdade de qualquer afirmação. Num artigo publicado na revista Plus Magazine, o matemático neozelandês Maarten McKubre-Jordens dá um exemplo: na lógica clássica, se é possível provar que a afirmação A é verdadeira, e que a afirmação não-AA) também é, então é possível provar que Cleópatra é a atual secretária-geral da ONU. Na lógica clássica, uma contradição não é apenas inaceitável; ela é destrutiva. (Ou, no linguajar técnico, ela é “explosiva”.) Essa é, segundo o professor Abe, uma das fragilidades da lógica clássica.

Nas lógicas paraconsistentes, as regras são ligeiramente diferentes. Uma contradição não necessariamente destrói todo o sistema — ou não necessariamente “explode”. Se o matemático considera a afirmação “a neve é branca” verdadeira (como na realidade muitas vezes é), e se considera a afirmação “a neve não é branca” também verdadeira (na realidade, muito facilmente a neve se torna suja; ela não permanece imaculadamente branca por muito tempo), então ele tacha as duas afirmações de inconsistentes (contraditórias), mas não vai além e condena o sistema lógico inteiro. Se ele considera ambas as afirmações falsas, então ele tacha as duas de paracompletas. Fazendo assim, o matemático trabalha com contradições sem trivializar todo o resto. Andresa, observando o arco-íris, pode taxar a transição de vermelha e também de não vermelha, ou de amarela e também de não amarela, sem trivializar o fato de que, no centro da faixa, a faixa vermelha é 100% vermelha e a faixa amarela é 100% amarela.

O professor Abe diz que o cérebro humano funciona mais segundo a lógica paraconsistente. Se um paciente vai ao primeiro médico e recebe o diagnóstico de câncer, e depois vai ao segundo médico e não recebe diagnóstico de câncer, ele não sairá do segundo consultório achando que o planeta Terra foi povoado por girafas alienígenas. Ele vai procurar uma terceira opinião, ou talvez uma quarta, até que tenha condições de dizer qual das afirmações tem valor de verdade, câncer ou ¬câncer, ou até que tenha condições de dizer que é impossível determinar o valor de verdade de qualquer uma das duas afirmações. Enquanto isso, para efeitos lógicos e práticos, as duas afirmações são tratadas como ambas verdadeiras ou (inclusive) ambas falsas. Muitos cientistas, diz Abe, usam a lógica paraconsistente para descobrir coisas novas sobre a natureza.

Sem bengala e sem cão. Jair Abe todo mês se reúne com um grupo de cientistas na Faculdade de Medicina da USP; os membros do grupo discutem modos de usar um tipo de lógica paraconsistente, a lógica anotada, para conduzir suas pesquisas. Esse grupo desenvolveu, por exemplo, um par de óculos especial para pessoas com deficiências visuais ou auditivas (em parceria com a Fundação Dorina Nowill para Cegos). Nas laterais dos óculos, há emissores e sensores de ultrassom, capazes de detectar obstáculos no caminho do usuário. Enquanto a pessoa se movimenta, se houver um obstáculo à direita, os óculos vibram à direita; se houver um obstáculo à esquerda, eles vibram à esquerda; se houver um obstáculo à frente, eles vibram dos dois lados. E se o usuário estiver caminhando na direção de uma porta aberta? Um sensor pode detectar o vão livre da porta e dizer aos óculos que não vibrem; o outro sensor pode detectar a parede bem ao lado da porta e dizer aos óculos que vibrem. Se os óculos funcionassem segundo a lógica clássica, duas afirmações verdadeiras, livre e ¬livre, travariam o sistema. Por meio de uma vibração especial, os óculos avisam o usuário que não conseguem decidir qual das duas afirmações é verdadeira, e o usuário movimenta a cabeça para lá e para cá até entender o que está acontecendo, e para onde deve andar.

Abe se surpreendeu ao observar deficientes visuais usando os óculos (na verdade, protótipos): em geral, quando usa uma bengala, o deficiente não move a cabeça. Ao usar os óculos, os deficientes rapidamente passaram a mover a cabeça como se tivessem nascido com aqueles óculos. É mais uma prova de que o ser humano se adapta facilmente às lógicas paraconsistentes, simplesmente porque ele também é paraconsistente. Agora, Abe e seu grupo planejam embutir sistema de localização por satélite (GPS) nos óculos, o que dará maior autonomia aos usuários.

Os pesquisadores também estudam aplicações da paraconsistência em redes neuronais artificiais, que, por exemplo, poderiam analisar distúrbios da fala, ajudar o paciente a conviver com imperfeições nas articulações da boca, reconhecer células de câncer de colo interino, sequenciar o código genético de um animal, ajudar o médico a diagnosticar a doença de Alzheimer. Engenheiros de produção podem usar a lógica anotada para examinar os procedimentos pelos quais a empresa toma decisões a respeito da produção. O professor Abe também colabora com cientistas estrangeiros, que desenvolvem aplicações dessa lógica em microprocessadores, semáforos inteligentes, bancos de dados inteligentes, computação coletiva, sistema de controle de trens ou de elevadores.

Em sistemas computacionais, os cientistas têm conseguido grandes avanços com o uso de lógicas paraconsistentes. Segundo o professor Marcelo Finger, do departamento de ciência da computação do Instituto de Matemática e Estatística (IME-USP), ninguém consegue traduzir a lógica clássica, principalmente sua forma mais útil (a lógica modal) em programas de computador. O analista de sistemas consegue fazer o computador resolver pequenos problemas de lógica em segundos (em geral, com lógica booleana), mas, conforme o problema lógico fica maior e mais complicado, o tempo de processamento cresce exponencialmente, a ponto de deixar alguns problemas fora do alcance da computação moderna. “Passamos a levar horas, dias e semanas para processá-los; alguns problemas precisariam de séculos”, diz Marcelo. “Para fugir dessa explosão combinatória, como a chamamos, usamos as lógicas paraconsistentes na esperança de tornar tratáveis parte desses problemas.” Na avaliação de Marcelo, à medida que as pessoas desenvolvem programas, robôs e máquinas que, mesmo com autonomia limitada, têm de tomar decisões, de alguma forma eles devem incorporar elementos paraconsistentes.

Problemas de todos os tipos. O neozelandês Maarten McKubre-Jordens diz que estudiosos de lógica paraconsistente não entram em pânico quando acham uma contradição num sistema qualquer — para eles, o paradoxo é sinal de que há algo interessante naquele sistema, que precisa de mais estudos. Um exemplo famoso é o paradoxo do mentiroso. Um sujeito afirma: “Eu sou mentiroso.” Se o que ele diz é verdade, então ele não mentiu; pelo menos uma vez na vida não foi mentiroso. Se o que ele diz é mentira, então costuma dizer a verdade, mas pelo menos uma vez na vida foi verdadeiro. Enfim: se diz a verdade, ele costuma mentir, e se mente, costuma dizer a verdade. “Muitas mentes brilhantes se afligiram diante de problemas como esse”, escreve Maarten, “e não há uma única solução que seja aceita por todos.”

Ora, tudo bem, diz o professor Décio Krause, que dá aulas de lógica no departamento de filosofia da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Quem trabalha com lógica não tem a obrigação de dizer, de uma vez por todas, se uma afirmação lógica é verdadeira ou falsa — o pesquisador só precisa construir um sistema, em geral um sistema computadorizado, que não trave diante de inconsistências lógicas. “Existe um número primo maior que 10 milhões?” Décio faz a pergunta e diz que o papel do lógico não é dizer se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Essa atribuição cabe ao matemático — e, neste caso, é verdadeira, como demonstrou Euclides. O lógico está preocupado com um fluxograma: se for verdadeira, faça assim, ou se for falsa, faça assado. O especialista em lógica paraconsistente inclui um terceiro item no menu: se for verdadeira e falsa, siga em frente e faça desse outro jeito. “A grande sacada é que, com as lógicas paraconsistentes, o sistema não trava quando há uma contradição.”

Com lógicas paraconsistentes, diz Décio, o matemático e o analista conseguem tratar melhor de negações. Diz um sujeito a outro: “Estou falando com você debaixo da soleira da porta do meu quarto.” E aí? O falante está dentro do quarto (Q) ou fora do quarto (¬Q)? “Segundo a lógica clássica”, diz Décio, “eu tenho de estar dentro ou fora, mas há situações em que a resposta não é tão simples.” Décio diz que cientistas têm feito bom uso da lógica paraconsistente para sistematizar, de modo rigoroso, as teorias que fazem uso da ideia de complementaridade (proposições complementares são aquelas que, tomadas individualmente, podem ser ou só verdadeiras ou só falsas, mas, tomadas em conjunto, levam a contradições). Um exemplo é a teoria do átomo de Niels Bohr (1885-1962); por causa dele, todo físico moderno, quando lida com mecânica quântica em conjunto com a teoria da relatividade geral, lida com algum tipo de lógica paraconsistente.

Além disso, especialistas aplicam as lógicas paraconsistentes no controle de tráfego aéreo e urbano. Eles elaboram softwares paraconsistentes que fazem o semáforo ficar aberto ou fechado por mais ou menos tempo em função do fluxo de veículos, ao invés de ficar um tempo fixo em cada estado.

Já na medicina, onde as pessoas não tomam decisões a partir de um mero sim ou não, Décio Krause imagina situações em que o paciente usa um computador para responder a perguntas sobre si mesmo. Se o computador tiver um programa adequado, pode fazer inferências sobre o paciente ainda que receba respostas contraditórias, do tipo ‘o médico A me disse que tenho câncer, mas o médico B me disse que não’. “Com isso, o governo poderia reduzir as filas nos postos de saúde. Os Estados Unidos usam sistemas desse tipo desde a década de 1980.”

No direito, especialistas usam lógicas paraconsistentes deônticas para interpretar noções como obrigatório e permitido conforme a lei ou conforme algum sistema moral. Há muitas situações nas quais a lei manda fazer A e também manda fazer ¬A, do tipo “é proibido abortar o bebê” e “é proibido arriscar a vida da mãe do bebê”. “Com a lógica paraconsistente”, diz Décio, “podemos discutir como lidar com sistemas morais conflitantes, ou até contraditórios, sem que sejamos tachados de irracionais.” {❏}



{2}/ Os passos da paraconsistência

O polonês Jan Lukasiewicz (1876-1956) e o russo Nicolai A. Vasiliev (1880-1940) foram os primeiros lógicos a dizer que alguns princípios da lógica clássica, como o da redução ao absurdo, deveriam ser revisados. Em 1948, Stanislaw Jaśkowski, um discípulo de Lukasiewicz, apresentou uma lógica para ser aplicada a sistemas envolvendo contradições, sem torná-los triviais. Jaśkowski chamou esse tipo de lógica de discussiva ou discursiva, mas se limitou a reformar uma parte do cálculo proposicional (nome da área da lógica preocupada com proposições, isto é, com afirmações cujo valor de verdade ou seja verdadeiro ou seja falso), e não elaborou nenhuma lógica 100% paraconsistente.

Na década de 1950, o lógico brasileiro Newton da Costa (1929-  ), então professor da Universidade Federal do Paraná, publicou vários estudos sobre sistemas lógicos que admitissem contradições. Newton foi além do cálculo proposicional, o que lhe rendeu fama internacional; ele é hoje reconhecido no mundo todo como o fundador das lógicas paraconsistentes. O termo paraconsistente foi cunhado pelo filósofo peruano Francisco Miró Quesada em 1976, numa carta a Newton da Costa.


O blivet


{3}/ Um exemplo: o blivet

Um sujeito está estudando a proposição P, e chegou à conclusão de que ela é verdadeira ou se a proposição A é verdadeira ou se a proposição B é verdadeira, mas nunca é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Em símbolos:

P = AB

Então, caso o sujeito descubra que A é verdadeira, B é falsa, e caso descubra que A é falsa, B é verdadeira. Assim é a lógica proposicional convencional, que é muito útil. Mais à frente em seus estudos, contudo, o sujeito descobre que, em certas circunstâncias, não tem condições de dizer se A é verdadeira ou se é falsa; nessas circunstâncias, seria bom se pudesse escrever A & ¬A, isto é: “Qualquer que seja o valor de verdade de A, verdadeiro ou falso, eu gostaria de trabalhar com a duas opções.” Na lógica proposicional comum, isso é uma contradição, e toda a teoria que o sujeito montou antes disso iria para o lixo, pois ela se tornaria trivial, ou seja, poderia ser usada para inferir qualquer coisa, inclusive que o homem descende de antigas estátuas do Homer Simpson. Com algumas das lógicas paraconsistentes, o sujeito pode anotar A & ¬A, e pode seguir adiante, pois elas fornecem mecanismos para seguir adiante; o que o sujeito terá de fazer é postergar qualquer inferência ou conclusão a respeito de B, assim como de P.

Com a lógica paraconsistente, os matemáticos agora estudam objetos como o blivet, uma espécie de peça de jogo de montar. Um blivet é uma ilusão de ótica, e é portanto um objeto absurdo. Até antes da lógica paraconsistente, ninguém podia estudá-lo com as ferramentas convencionais da matemática, que não foram feitas para dar tratamento adequado a contradições e absurdos. Contudo, aos olhos do especialista em lógica paraconsistente, o blivet tem lógica — pois, se não tivesse algum tipo de lógica, como alguém poderia desenhá-lo? O desafio hoje em dia é expressar um objeto como o blivet com lógica paraconsistente, e quem sabe até ensinar um computador a criar objetos semelhantes. Um computador desses teria uso militar: porta-aviões desenhados para se parecer com o blivet confundiriam os sistemas do inimigo, que não saberiam direito onde mirar, pois não saberiam interpretar os dados. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 16, maio de 2012, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. As entrevistas foram feitas pela jornalista Andréa Cordiolli.