Cálculo Tornado Fácil 17


Os truques do algebrista. Desta vez, Silvanus mostra como certos passes de mágica deixam o processo de integração mais fácil. O estudante já pode realizá-los quase todos automaticamente, com um computador, mas, para dominar a máquina, precisa conhecê-los.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 88 porque o texto anterior terminou na 87. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, CTF 10, CTF 11, CTF 12, CTF 13, CTF 14, CTF 15, e CTF 16.



{88}/ Capítulo 20

Artimanhas, armadilhas, e triunfos

Artimanhas. Ao realizar uma integração, vai gastar boa parte de seu tempo golpeando as expressões matemáticas até que estejam num formato que deixe a integração mais fácil. Os livros de cálculo integral (e por livros quero dizer os livros sérios) estão cheios de planos, métodos, e artimanhas para esse tipo de trabalho. Selecionei uma lista de quatro artimanhas, que vamos estudar juntos.

Integração por partes. É como batizaram uma das artimanhas mais úteis, cuja fórmula é:

Vai usá-la quando achar mais fácil integrar a expressão à direita do que a expressão à esquerda; a fórmula diz que, quando pode achar uma expressão para ∫xdu, então pode achar uma expressão para ∫udx também. Como pode deduzir a fórmula, de modo que possa compreender como e por que funciona? Comece com a regra pela qual calcula a derivada do produto das funções y = u(x) e y = x.

Pode reescrever a expressão cima assim:

Ao integrar toda a expressão diretamente, obterá a fórmula da integração por partes. (Sobre isso, veja também a seção 90 mais abaixo.)

Agora, uns poucos exemplos.

(1) Ache ∫w∙senwdw.

Reescreva o integrando assim: w = u e senwdw = dx. Para usar a fórmula da integração por partes, precisa achar uma expressão para x. Mas, se senwdw = dx, daí:

Com isso, já pode trabalhar:

(2) Ache ∫xexdx.

Pode escrever u = x (e daí du = dx) e exdx = dv (e daí v = ex). Colocando tudo isso na fórmula, obterá:

(3) Tente agora ∫cos2θdθ.

Comece com u = cosθ e cosθdθ = dv; daí du = senθdθ e v = senθ. A primeira parte da conta deverá se parecer com:

(4) Ache a expressão equivalente a ∫x2senxdx.

Se quiser, pode escrever x2 = u e senxdx = dv; daí du = 2xdx e v = cosx. Às contas:

Agora deve achar uma expressão para ∫xcosxdx. Pode recorrer de novo à integração por partes, usando o exemplo 1 como guia.

Depois de colocar essa descoberta na expressão para ∫x2senxdx, obterá:

Não deixe de notar que multiplica C por 2 e obtém C de novo. Por quê? Ora, C denota uma constante de valor arbitrário; seu valor pode ser qualquer um.

(5) Ache ∫√(1 x2)∙dx.

Há várias maneiras de seguir adiante aqui. Pode fazer u = √(1 x2) e dx = dv. Use então o capítulo 9 como guia para achar du:

Sendo assim:

Aqui pode usar outra artimanha: reescrever ∫√(1 x2)dx.

Ao adicionar as duas equações mais acima, vai se livrar de ∫[x2/√(1 x2)]dx e ficar com:

Talvez se lembre de ter visto dx/√(1 x2), pois já topou com ela ao diferenciar y = arcsenx; logo sua integral é arcsenx, e, portanto:

Quando achar uma expressão para uma integral, se tiver tempo faça o exercício: calcule a derivada da expressão e veja se obtém algo equivalente à expressão no integrando. Em símbolos: se partir de ∫f(x)dx e chegar a F(x) + C, calcule a derivada de F(x) + C e veja se obtém f(x).

Substituição de variável. Essa é a mesma artimanha que já usou no capítulo 9. Veja como ela surge: você parte de uma expressão do tipo y = f(x). Olhando a fórmula de f, percebe que pode fazer x = g(u). (Isto é, pode calcular x em função de outra variável.) Substitui x por g(u) em y = f(x) e obtém algo do tipo y = F(u). Daí diferencia x = g(u):

É mais fácil ver essa regra em ação por meio de uns poucos exemplos.

(1) Ache ∫√(3 + x)dx.

Comece com 3 + x = u, de modo que x = u 3 e dx = du. A consequência é:

(2) ∫{dx/(ex + ex)}.

Aqui, pode começar com ex = u. Daí x = lnu e, portanto:

(3) Ache ∫{dx/(x2 + 2x + 3)}.

Como primeiro passo, reescreva a expressão no denominador até que esteja bem mais amigável.

Faça agora x + 1 = u, de modo que dx = du. Daí o próximo passo é este:

Pode fazer a = √2. Veja como a última integral fica:

Examine uma tabela de derivadas e de integrais. Verá que 1/(u2 + a2) é a derivada de:

Portanto, a resposta é:

Fórmulas de redução. São fórmulas especiais, que vai aplicar principalmente ao integrar expressões binomiais e trigonométricas, as quais deve reduzir para alguma forma cuja integral seja conhecida.

Racionalização e fatoração do denominador. São artimanhas que pode aplicar em casos especiais, mas que não admitem nenhuma explicação simples ou genérica. O único jeito de ganhar fluência com tais artimanhas preparatórias é resolver dezenas de exercícios e problemas.

Com o exemplo a seguir, verá como pode usar durante uma integração o processo de expansão de uma fração num somatório de frações parciais (algo que já estudou no capítulo 18). Considere de novo a integral a seguir:

Se expande o integrando em frações parciais, vai no frigir dos ovos obter:

Nessa expressão, i é a unidade imaginária, isto é, i2 = 1. Veja como, conforme o método que escolhe, pode partir da mesma integral e obter duas expressões completamente diferentes uma da outra; ainda assim, as duas são equivalentes.

Armadilhas. Um novato está sujeito a negligenciar certos pontos sobre os quais um matemático experiente se debruçaria com atenção. Por exemplo, o novato talvez recorra sem perceber a fatores que ou valem zero ou valem infinito, ou recorra a expressões cujo valor não pode determinar a contento, como 0/0. Não existe regra única pela qual tratar cada caso, exceto talvez uma: deve tratar cada caso com atenção e cuidado. Como exemplo de armadilha que só pode contornar com amor aos detalhes, reveja um dos exemplos do capítulo 18, quando atacou o problema de integrar x1dx.

Triunfos. Por “triunfo”, deve pensar no sucesso com que matemáticos, cientistas e engenheiros usaram o cálculo para resolver problemas que, antes, pareciam intratáveis. Com bastante frequência, ao estudar as relações presentes na natureza, o cientista consegue montar uma expressão matemática para a lei que governa a interação entre as partes de um sistema ou para as forças que as governam; e tal expressão surge naturalmente na forma de uma equação diferencial, isto é, uma equação cheia de coeficientes diferenciais, com ou sem outras quantidades algébricas. (Isso porque o cientista está sempre medindo mudanças; coeficientes diferenciais expressam mudanças.) Uma vez que tal equação tenha sido posta no papel, o cientista não pode avançar enquanto não tiver a capacidade de integrá-la.

De modo geral, é muito mais fácil pôr no papel uma equação diferencial apropriada do que resolvê-la — pois o verdadeiro problema começa mesmo quando o cientista precisa integrá-la, e a equação diferencial não apareceu numa forma padrão, que já esteja contida em livros especializados no assunto. Você pode chamar a equação que surge do processo de integração da equação diferencial de “sua solução”, e acho que vai se surpreender muitas vezes ao ver como o resultado da integração parece uma borboleta, enquanto a equação original lembra uma lagarta. Considere, por exemplo, a equação diferencial a seguir:

Ao integrar tal equação, pode obter qualquer uma das duas formas a seguir:

Quem diria que uma equação diferencial tão simples pudesse se transformar numa das duas expressões mais complicadas? E no entanto cada uma delas serve de solução à equação diferencial original.

Como último exemplo, vamos resolver a equação diferencial acima. Recorra primeiro às frações parciais antes de seguir adiante.

Nem é uma metamorfose tão difícil assim!

Há muitos bons tratados sobre a resolução de equações diferenciais; não deixe de arranjar um deles e de estudá-lo.

Cálculo diferencial e integral no cotidiano. No dia a dia, todo mundo calcula derivadas e integrais com o computador ou a calculadora científica. Se quiser calcular uma derivada com a ajuda do portal Wolfram Alpha, por exemplo, digite na linha de comando:

Nesse caso, f(x) representa a expressão a derivar e x é a variável de referência, ou a variável independente. Por exemplo, se quiser derivar x2 + 1, digite derivative[x^2 + 1, x]; o portal devolve a resposta: 2x.

Se quiser calcular uma integral definida entre limites, digite:

Agora, a representa o limite inferior e b, o superior.

Mas não pare de estudar cálculo e de praticar com as próprias mãos, ou não saberá interpretar as respostas do portal. Em outras palavras, quanto mais o estudante sabe, mais útil o computador.



{89}/ Exercícios XIX

Ache a expressão matemática equivalente a cada uma das integrais a seguir.

Exercício (1):

Exercício (2):

Exercício (3):

Exercício (4):

Exercício (5):

Exercício (6):

Exercício (7):

Exercício (8):

Exercício (9):

Exercício (10):

Exercício (11):

Exercício (12):

Exercício (13):

Exercício (14):



{90}/ A notação de linha na integração por partes

Comece com uma pergunta comum: qual é a derivada de f(x)g(x)? Use a regra pela qual obter a derivada de um produto de funções:

Agora integre a equação inteira em relação a x.

Para realizar essa passagem, usou as definições de integral e de derivada (e sempre pode ignorar a constante arbitrária C nos passos intermediários). Veja como elas funcionam para o caso genérico y = φ(x):

Com a última linha, em essência quis dizer o seguinte: a integral da derivada de uma função é a própria função. Agora já pode chegar à fórmula da integração por partes:

Muita gente acha mais fácil pensar usando essa linha como referência. Tome, por exemplo, o caso de ∫xsenxdx. Suas notas devem ficar mais ou menos assim:

Essas são as informações básicas: você atribuiu uma expressão para f(x) e outra para g’(x), e daí achou as expressões para f’(x) e para g(x). Agora, basta usar a fórmula.

Você deve se acostumar também com a notação de Leibniz. Pense em u e v como funções de x. Daí:

{Fim}

Por que ler filósofos como Nietzsche

Nietzsche aos 25 anos

O filósofo alemão Friedrich Nietzsche (1844-1900) afirmou certa vez num de seus textos: a ideia do “eterno retorno do mesmo” havia sido seu pensamento mais importante. Só que, como todos os leitores assíduos de Nietzsche sabem, em nenhum de seus livros ele explicou esse pensamento detalhadamente, assim como em nenhum lugar escreveu um argumento formal para defender sua importância. Ao contrário, em todas as vezes que Nietzsche mencionou o eterno retorno do mesmo (foram poucas), ele foi conjectural demais, oblíquo demais, metafórico demais, abstrato demais. Só nos últimos cem anos, apesar disso, 18 filósofos de primeira linha (entre eles Paul Katsafanas, Alexander Nehamas, e Bernard Williams) discorreram sobre o eterno retorno do mesmo em 21 livros. Williams, por exemplo, tratou do assunto num capítulo do livro The Sense of the Past, de 2006 — que é difícil e bonito.

Por que filósofos de primeira linha gastam seu tempo com um pensamento que o autor original mencionou poucas vezes, e não se deu ao trabalho defender com argumentos detalhados?

Para entender o motivo, sugiro um problema de matemática discreta. Você tem um globo de sorteio, como os globos usados no sorteio da Mega-Sena; e tem oito frascos de esmalte para unhas organizados em fila diante de você, cada um de uma cor: C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8.

Suponha que no globo haja apenas uma bola, a bola B1. Você vai girar o globo, a certa altura vai sortear uma das bolas ao acaso, e vai fazer uma pequena marca na bola com o esmalte de cor C1. Vai devolver a bola para o globo e repetir o processo, mas desta segunda vez vai pintar a bola sorteada com a cor C2. E assim por diante: só vai parar quando tiver usado cada um dos oito frascos de esmalte exatamente uma vez, para fazer uma marca numa das bolas do globo, sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de que pinte a bola B1 com todas as oito cores?

Ora, é 100%. Pois só há uma bola no globo, que é justamente a bola B1. Sempre que parar de girar o globo, a bola que vai cair no dispensador é a bola B1.

Suponha agora que há duas bolas no globo, a bola B1 e a B2. Qual é a probabilidade de que, seguindo o método acima (retira uma das bolas do globo, faz nela uma marquinha de esmalte, devolve a bola ao globo, e usa cada frasco de esmalte exatamente uma vez), pinte uma das bolas com todas as oito cores?

Vejamos. Quando tiver terminado a operação toda, há 256 situações possíveis: [1 × (8 + 0)], significando que só existe uma maneira de pintar a bola B1 com oito cores e a bola B2 com zero cores. (Estou usando aqui a ideia de combinação: com oito cores, de quantas maneiras pode montar subconjuntos distintos de oito cores? De uma maneira apenas.) Da mesma forma, [8 × (7 + 1)], pois há oito maneiras de pintar a bola B1 com sete cores e a bola B2 com uma cor. (Ou seja: com oito cores, há oito maneiras de montar subconjuntos distintos de sete cores cada um.) Perseguindo pensamentos desse tipo: [28 × (6 + 2)], [56 × (5 + 3)], [70 × (4 + 4)], [56 × (3 + 5)], [28 × (2 + 6)], [8 × (1 + 7)], e por fim [1 × (0 + 8)]. Logo, a probabilidade de que pinte a bola B1 com oito cores vale 1/256; a probabilidade de que pinte a bola B2 com oito cores vale 1/256; e a probabilidade de que pinte uma das duas bolas B1 ou B2 com oito cores vale 2/256 = 1/128.

Há um jeito mais abstrato, e mais simples, de calcular essa mesma probabilidade. Você pega o esmalte de cor C1 e vai sortear uma das duas bolas. Quanto vale a probabilidade de que a bola B1 caia no dispensador? Vale 1/2. Agora pega o esmalte C2 e vai sortear uma das duas bolas. Quanto vale a probabilidade de que a mesma bola B1 caia no dispensador? Mais uma vez, vale 1/2. Continuando assim, qual é a probabilidade de que pinte a bola B1 com todas as oito cores?

Faça as contas da mesma maneira para a bola B2, e da mesma maneira vai chegar à probabilidade de que pinte a bola B2 com todas as oito cores: 1/256. Assim, a probabilidade de que pinte uma das duas bolas B1 ou B2 com oito cores vale 1/256 + 1/256 = 2/256 = 1/128.

E se tiver três bolas no globo, a bola B1, a B2, e a B3? Qual é a probabilidade de que, recorrendo ao mesmo procedimento, pinte uma delas com todas as oito cores?

Use agora o método mais abstrato, pois o das partições fica complicado demais com três bolas. Ao pegar o esmalte C1, a probabilidade de que caia a bola B1 no dispensador vale 1/3. A probabilidade de que a bola B1 caia todas as vezes que vai pintar uma das bolas com uma das cores (exatamente uma vez) vale:

E a probabilidade de que pinte uma das três bolas B1, B2, ou B3 com todas as oito cores vale:

Pensando dessa mesma maneira, usando o mesmo procedimento, a sequência de probabilidades para que pinte uma bola entre uma bola com as oito cores, uma bola entre duas bolas com as oito cores, uma bola entre três bolas com as oito cores, e assim por diante, é a sequência a seguir.

Por que comecei com Nietzsche, o eterno retorno do mesmo, e pulei para a tarefa de pintar bolas sorteadas ao acaso com a ajuda de um globo de sorteio? Imagine cada uma das cores como sendo uma das características de um filósofo extraordinário.

(C1) Ele (ou ela) se sente coagido, por sua própria personalidade, a pensar sobre os grandes assuntos: conhecimento, razão, verdade, mente, liberdade, destino, identidade, deuses, bondade, justiça, beleza. Ele nunca acha que pensar sobre tais assuntos é perda de tempo ou é pecado, e pensa neles enquanto cozinha, enquanto desce as escadas de uma estação de metrô, até mesmo enquanto conversa.

(C2) Dá valor a conceitos, ideias, palavras, procedimentos, crenças. Sabe que tais coisas são a matéria-prima do pensamento, e que determinam, em grande medida, o modo como vemos o mundo, nos relacionamos com ele, e atribuímos valor às coisas que acontecem, tanto dentro de nós quanto fora de nós.

(C3) Ele se esforça, tanto quanto pode, para dar respostas precisas a perguntas difíceis — “Será possível que uma parcela importante dos livros de filosofia contenha pura e simplesmente preconceitos populares, mas numa linguagem engrandecedora?”

(C4) Tem uma profunda capacidade de autoanálise, de introspecção. Percebe mudanças sutis em seus sentimentos, emoções, ímpetos instintivos, e percebe as consequências de tais mudanças em seus pensamentos — e vice-versa.

(C5) Tem uma imensa capacidade de lidar com alternativas. Gosta de comparar vários argumentos distintos; gosta de pensar ora como um devoto cristão e ora como um cético ateu. Gosta de conversar com pessoas que pensam de maneira discrepante à dele, ou até mesmo de maneira completamente oposta.

(C6) Sente uma vontade veemente de manter um conjunto consistente de crenças. Se percebe que duas de suas crenças não podem ser ambas verdadeiras nas mesmas situações, mas que está agindo como se fossem verdadeiras, não sossega enquanto não decide qual delas deve modificar ou abandonar.

(C7) Dá valor à imaginação e a seus frutos — literatura, arquitetura, teatro, cinema, matemática, música. Subscreve o mote inspirado no pintor espanhol Goya: “A imaginação, abandonada pela razão, produz monstros: unida a ela, torna-se a mãe de todas as artes e a fonte de suas maravilhas.”

(C8) Sente-se à vontade na posição de cético moderado, ou mesmo na posição de pessimista ligeiramente otimista, pois muitas vezes na vida pensou, pensou, e pensou até que chegou à conclusão de que só podia chegar a conclusões provisórias. “Quando lidamos com essas doutrinas tão sublimes”, escreveu certa vez o filósofo britânico Simon Blackburn, “parece que sempre há palavras melhores logo ali, depois do horizonte — se apenas pudéssemos alcançá-lo!”

Depois de imaginar cada uma das oito cores como sendo uma característica de um grande filósofo, pense no seguinte: todos os anos, nascem no Brasil mais ou menos 2 milhões e 900 mil crianças. Suponha que, todo ano, a deusa Fortuna sorteia as oito características entre as crianças brasileiras nascidas naquele ano. Qual é a probabilidade de que uma delas fique com todas as oito características? — Qual é a probabilidade de que Fortuna pinte uma das crianças com todas as oito cores?

É mais ou menos a probabilidade de jogar um dado comum 58 vezes para cima, e tirar o lado igual a 6 em todas as 58 vezes!

Isso significa que filósofos da estirpe de Platão, Aristóteles, Spinoza, Locke, Hume, Kant, Nietzsche, e Wittgenstein são incrivelmente raros. Eles são aberrações da Natureza — no sentido estrito do termo, isto é, são desvios extremos da média. É por isso que os filósofos profissionais passam a vida estudando tais autores, especialmente quando um deles, feito Nietzsche, diz que certo pensamento é importante. Não importa que ele se absteve de desenvolver o pensamento do modo como os filósofos atuais, que são professores universitários, são obrigados a fazê-lo por imperativo profissional — se é Nietzsche, e se disse que é importante, então deve ser mesmo importante.

Em todas as vezes que Nietzsche pediu ao leitor que considerasse o eterno retorno do mesmo, pediu na verdade que considerasse um experimento mental: a ideia de que todos os eventos do mundo, do maior terremoto ao mais delicado pensamento, vão se repetir da mesma forma, na mesma ordem, não apenas uma vez, não apenas duas vezes — mas infinitas vezes. Como o leitor se sentiria se tivesse de repetir sua vida infinitas vezes, tudo do mesmo jeito, tudo na mesma ordem — os mesmos gestos, as mesmas lágrimas, as mesmas decisões? Nietzsche está fazendo mais ou menos como o cônjuge A que pergunta ao cônjuge B: “Você se casaria comigo de novo, se a história toda se repetisse?” Para responder a uma pergunta desse tipo, o cônjuge B tem de avaliar o casamento — e da mesma maneira a ideia do eterno retorno do mesmo exige do leitor uma avaliação da vida. O cônjuge B talvez não se importasse de casar de novo com a mesma pessoa uma vez mais, ou duas vezes mais, ou dez vezes mais — mas e quanto a infinitas vezes mais?

De acordo com o filósofo americano R. Lanier Anderson, são três as principais características do eterno retorno do mesmo:

(a) O passado se repete, e assim aquilo que uma pessoa experimentou até aqui, vai experimentar de novo.

(b) O passado se repete da mesmíssima maneira, até o mais ínfimo detalhe.

(c) O passado se repete da mesmíssima maneira infinitas vezes.

Com a repetição (a), parece que Nietzsche pretendeu forçar o leitor a levar o passado em consideração, em vez de esquecê-lo. Visto que o homem não pode mudar o que já aconteceu, mas supõe que pode mudar o futuro, tende a deixar o passado para trás e a se concentrar exclusivamente no futuro. Tipicamente, o homem é orientado a futuro. Para Nietzsche, esse jeito de olhar a vida é um jeito de desvalorizar a vida — e é muito reforçado pela religião cristã, com foco no paraíso do fim dos tempos. Com o eterno retorno do mesmo, Nietzsche obriga o leitor a atribuir valor a sua vida ao considerar a vida como um todo — “da capo”, como escreveu no aforismo 56 de Além do Bem e do Mal. Com a repetição da mesmíssima maneira (b), Nietzsche força o leitor a avaliar sua vida honestamente, isto é, sem excluir nenhum momento, sem alterar nenhum momento, por mais doloroso ou vergonhoso que seja. Não vale dizer: “Ah, da próxima vez eu faço assim e assado — da próxima vez, será melhor.” Isso não serve como avaliação honesta do que o leitor fez.

A característica mais interessante do experimento mental é a (c), a repetição infinita da vida tal como transcorreu, tim-tim por tim-tim. Pois com (c) o leitor se vê obrigado a dar imensa importância ao presente, ao agora, a cada palavra que está para dizer, a cada gesto que está para fazer — a cada decisão que está para tomar. A cada minuto, o leitor tem a oportunidade de tornar toda a história até aqui mais harmoniosa — mais valiosa. Um gesto agora, se for divinamente bem pensado, talvez redima o leitor de um erro passado, ou de vários, e deixe a vida como um todo mais bonita. Em vez de se lamentar pela infância indigna, não seria o caso de escrever um romance? Em vez de lamentar pelas injustiças que sofreu na Empresa X, não seria o caso de organizar um sindicato? Em vez de se lamentar pela doença constante, pela dor de cabeça e pelos vômitos, não seria o caso de escrever sobre o homem o mais saudável que possa existir? Mais uma vez, Nietzsche pretende forçar o leitor a se livrar de certos hábitos cristãos de pensamento, que estimulam o crente a encarar a vida atual como um mero teste de fé, a troco de uma vida futura no paraíso, batendo palmas e cantando. Para Nietzsche, isso é um jeito triste de viver; pois ele prega alegria com a vida real, tal como foi, tal como é. “Os poetas são descarados com suas memórias do passado: eles as exploram”, escreveu no aforismo 161 de Além do Bem e do Mal. A cada minuto, o leitor tem a oportunidade de fazer com sua vida o que os poetas fazem com seus versos — a oportunidade de acrescentar alguma ação que fará a coisa toda rimar, que transformará a vida inteira em algo “transfigurado, elegante, selvagem, e divino” (aforismo 188).

A vida não é um teste de fé a troco de um paraíso futuro, sugeriu essa criação tão improvável da Fortuna, chamada Nietzsche, com a ideia do eterno retorno do mesmo. A vida infinitamente repetível serve para que o homem descubra “o reino de nossa invenção” (aforismo 223), “o reino no qual nós também podemos ser originais” — o reino no qual nós, “os palhaços de Deus”, agimos somente quando a perspectiva de agir da mesma maneira infinitas vezes nos provoca a vontade de “uma risada espiritual”. {Fim}



Observações:

1. Listei oito características dos grandes filósofos, mas provavelmente eles têm mais do que oito características marcantes. Suponha que têm k características distintas, com k inteiro positivo. Em outras palavras, suponha que vai pintar as bolas do globo de sorteio com k cores distintas. A probabilidade de que pinte qualquer uma das n bolas do globo com todas as k cores, usando cada frasco de esmalte exatamente uma vez, vale n·(1/n)k, isto é, o valor dessa probabilidade diminui conforme aumenta o valor de n ou o de k; além disso, no caso de k, diminui exponencialmente.

2. É claro que a deusa Fortuna não tem apenas um kit de esmaltes para pintar as crianças brasileiras todo ano. Provavelmente, tem mais de um kit, isto é, vários frascos da cor C1, vários frascos da cor C2, etc. Portanto, a probabilidade de que uma criança brasileira tenha todas as características de um grande filósofo é maior do que a que calculei neste texto. Contudo, ainda assim é baixa, especialmente se a lista de características marcantes tem mais de oito itens, como acho que na verdade tem.

3. A ideia de que o eterno retorno do mesmo é um experimento mental foi defendida principalmente por Alexander Nehamas num livro de 1985: Nietzsche: Life as Literature. Nem todos concordam com Nehamas, pois dizem que Nietzsche acreditava efetivamente no eterno retorno, que não era, portanto, um experimento mental, mas sim uma tese metafísica. Quanto a mim, acho bem possível que Nietzsche tenha começado acreditando na verdade efetiva do eterno retorno do mesmo, mas, com tempo, percebeu que o valor de verdade da tese não faz diferença — seus efeitos continuam relevantes mesmo que seja vista como fábula. Esse é um movimento comum na filosofia de Nietzsche: primeiro ele propõe uma afirmação como se fosse verdadeira, mas depois explora suas consequências como se fosse fábula. É o jeito nietzscheano de dizer: Se este pensamento é verdadeiro ou falso, não importa, pois é essencial àqueles que buscam “a virtude dos filósofos”, isto é, a honestidade a mais brutal que possa haver. Nietzsche achava que honestidade vale muito mais que verdade.

4. Quanto à ideia de comparar o eterno retorno do mesmo com a famosa pergunta “Você se casaria comigo de novo?”, é da filósofa americana Maudemarie Clark, e está no livro Nietzsche on Truth and Philosophy, de 1990.

5. ‘Da capo’ é uma expressão latina usada por músicos quando querem passar o comando de que devem recomeçar uma peça desde o início. Ela significa justamente “desde o início”. Quem já viu uma orquestra sinfônica ensaiando sabe que, de vez em quando, o maestro interrompe a peça, dá uma bronca em todo mundo, e por fim diz: “Vamos lá, pessoal — da capo!”

6. Quando digo “o homem”, quero me referir ao conjunto {x : x é um dos indivíduos que compõem a espécie humana}.

7. Existe uma biografia esplêndida de Nietzsche, publicada em 2018 pela escritora anglo-norueguesa Sue Prideaux: I Am Dynamite! A Life of Friedrich Nietzsche. A autora mostra, com texto claro e gracioso, a absurda quantidade de coisas que devem acontecer no mundo para que um grande filósofo surja, se desenvolva, seja reconhecido, e passe a fazer parte da cultura.

 

Na matemática, o estudante tem de domar a impressão de movimento

Assim como nos quadrinhos, na matemática tudo está sempre paradinho da silva — e nisso reside seu incrível poder. No entanto, dentro da mente, tanto os quadrinhos quanto a matemática parecem superproduções cinematográficas. Dentro da mente, os objetos da matemática se movem. O estudante, para que possa avançar a passos firmes, tem de aprender a domar a impressão de movimento.


{1}/ Hipóteses e teses na geometria

Professores de matemática não são malvados. Não é isso. É que, de vez em quando, eles gostam de ver se seus alunos estão acordados.

Uma vez, um desses professores pegou giz e régua T, foi à lousa e desenhou o conteúdo da figura 1 no maior capricho. Concluído o desenho, perguntou à classe:

“Pessoal: qual é o valor de x?”

Vários alunos reagiram assim:

a) Os triângulos são semelhantes.

b) O comprimento de cada lado no triângulo maior vale duas vezes o comprimento do lado equivalente no triângulo menor.

c) Logo, como está para lá de óbvio, x vale 12.

Carlos Nely C. de Oliveira, coordenador do curso de matemática no Colégio Bandeirantes em São Paulo (SP), diz que o estudante costuma cometer esse erro porque não entende o que é hipótese ou tese. “Essa é uma tremenda deficiência conceitual, apesar de comum”, diz Carlos: “de modo geral, o aluno não sabe o que é premissa, o que é dado, o que é inferido.” Em outras palavras, o jovem não sabe que todo matemático prova a verdade de um teorema mais ou menos do mesmo jeito: parte de axiomas, definições, e regras de inferência para mostrar que, se alguém assume a verdade e a validade dos axiomas, das definições, e das regras de inferência, tem de aceitar a verdade do teorema. Em palavras mais simples: se a hipótese é verdadeira (e ela pode ser um conjunto de afirmações), e se a lógica do raciocínio não contém erros, então a tese (o teorema) é verdadeira também. Mais ou menos assim:

Teorema. É a tese que você pode inferir, por meio de raciocínio lógico impecável, da hipótese e de outras verdades já conhecidas. Esquematicamente: (hipótese & verdades já conhecidas & raciocínio lógico impecável) tese.

Conclusão inescapável: para provar um teorema, o estudante precisa saber o que tais palavras significam.

Para compreender melhor o que Carlos está dizendo, um estudante (de codinome Bloomfield) atacou o problema da lousa prestando maior atenção às palavras “hipótese”, “tese”, e “recíproca”. Como primeiro passo, produziu a figura 2, e em seguida escreveu no caderno: “O teorema de Pitágoras diz que, se num triângulo um de seus ângulos é um ângulo reto, como desenhei na figura 2, então c2 = a2 + b2. Vou chamar a afirmação ‘um dos ângulos do triângulo é reto’ de ‘afirmação A’, e a afirmação ‘c2 = a2 + b2’ de ‘afirmação B’.” Daí escreveu no caderno:

A B

A é a hipótese, B é a tese, e já estou careca de saber que essa implicação é verdadeira, ou seja: se essa hipótese é verdadeira, então essa tese também é. Não quero me estender nisso. Estou mais interessado na recíproca dessa implicação, isto é, na recíproca desse teorema.” [Sobre esta última frase, veja a seção 2.] Bloomfield pôs no caderno a recíproca de A B.

B A

E daí começou a trabalhar. Reescreveu a afirmação B: “Num triângulo cujos lados medem a, b, c, e no qual c > a, b, a equação c2 = a2 + b2 é verdadeira.” Chamou de θ o ângulo entre a semirreta com a qual mede a e a semirreta com a qual mede b, e daí aceitou como verdadeira a lei dos cossenos. (Ele pode fazer isso porque é possível provar a lei dos cossenos sem recorrer ao teorema de Pitágoras.)

Na expressão à direita, substituiu a2 + b2 por c2.

Tirou c2 dos dois lados e dividiu toda a equação por –2ab.

Chegou ao momento de uma pergunta importante: “Qual é o ângulo θ tal que seu cosseno vale 0 radiano?” Essa informação existe em qualquer dicionário de matemática, no verbete sobre funções trigonométricas: se cosθ = 0 e se 0 < θ < π (como é o caso num triângulo não degenerado, no qual qualquer um dos ângulos internos é maior que zero e menor que π), então obrigatoriamente θ = π/2 (ou θ = 90°). “Sei que, se o teorema de Pitágoras é verdadeiro, não necessariamente sua recíproca é verdadeira”, escreveu Bloomfield. “Mas, por meio da argumentação que acabei de esboçar, posso dizer que a recíproca do teorema de Pitágoras é verdadeira.”

Feito isso, Bloomfield pegou um manual de lógica e descobriu que, se A B e se também B A, então pode escrever A B (“A se e somente se B”); além disso, se é verdade que A B, também é verdade que ¬A ¬B. (A negação de A implica a negação de B, e também vice-versa.) “Posso resumir essa descoberta assim: vejo a medida de cada um dos lados de um triângulo, rotulo de c a medida maior e de a ou b cada uma das outras duas, e verifico se c2 = a2 + b2; caso descubra que essa equação é falsa, posso imediatamente concluir que nenhum dos ângulos internos desse triângulo é reto.”

Carlos Oliveira diz que um jovem bem treinado deve raciocinar como Bloomfield: na figura 1, as medidas do triângulo 3-4-6 não satisfazem a equação c2 = a2 + b2, pois 62 ≠ 32 + 42, e por causa da recíproca do teorema de Pitágoras esse triângulo não pode conter nenhum ângulo interno reto. Como consequência, os dois triângulos são dessemelhantes; não há nenhuma informação no triângulo 3-4-6 que o jovem possa usar para calcular o valor de x, que é 10. (O verdadeiro triângulo 3-4-6 está na figura 3 mais abaixo.) “Uma consequência dessa falta de prática com demonstrações e teoremas”, diz Carlos, “é que o aluno acredita piamente nas ilustrações. Ele olha duas retas que se cruzam, e parece que se cruzam a 90 graus, e por isso ele marca 90 graus no desenho e faz as contas. Ele não entende que a figura não passa de um primeiro passo: ela serve apenas de apoio ao raciocínio, já que ninguém pode produzir um desenho perfeito de uma ideia matemática.”

Carlos acredita que o estudo das transformações no plano coordenado serve de remédio ao mal descrito até aqui, pois obriga o estudante a pensar mais sobre demonstrações. É um ótimo jeito de emprestar “movimento” à geometria, de refletir sobre funções e relações binárias, de fazer as primeiras perguntas sobre vetores, álgebra linear, ou simetrias; é um ótimo jeito de unir a matemática à física (a óptica dos espelhos) e à arte (as projeções, as distorções, os desenhos animados). Ora, se é assim, por que as escolas não ensinam as transformações há mais tempo? “Dá muito trabalho desenhar na lousa”, diz Carlos. “Há professores que, entre uma aula de geometria e uma de álgebra, preferem a de álgebra, pois ganham a mesma coisa e não precisam desenhar quase nada. Mas, com a tecnologia atual, essa desculpa já não tem mais cabimento.”

Lembre-se de girar. Certa vez, Carlos Oliveira estava a postos num plantão de dúvidas e um aluno apareceu com o problema a seguir.

Problema. Duas retas paralelas às bases de um trapézio dividem os lados oblíquos em três partes iguais. Se as áreas dos trapézios adjacentes às bases são A e B, determine a área do trapézio entre esses dois.

“O enunciado nos provoca com tamanha clareza e precisão, não é mesmo?” Carlos diz que o aluno já havia feito um desenho; ele precisava apenas de uns empurrões para o lado correto de cada bifurcação do raciocínio. “Coloquei umas letras aqui e ali e daí aplicamos juntos o teorema de Tales para concluir que a altura de cada trapézio era congruente às outras duas.” (Veja a figura 4.) Quando ambos resolveram o problema, a sequência do raciocínio ficou mais ou menos assim:

(1) Expressaram a área do trapézio A, do B, e do S.

(2) Recorreram a um pouco de “perseverança algébrica”, como diz Carlos, para somar as expressões (i) e (ii) na esperança de que surgisse alguma informação importante sobre S.

(3) Viram que precisavam eliminar a parcela h(a + b)/2 da equação (iv); tiveram a ideia de pôr no papel a área do trapézio maior.

(4) Dividiram os dois lados por 3, para ficar somente com h(a + b)/2 do lado direito da equação.

(5) Substituíram (vi) em (iv) e concluíram as contas.

“Descobrimos”, diz Carlos, “que a área do trapézio do meio é igual à média aritmética dos outros dois.” O problema estava num livro de geometria plana, que não mencionava transformações ou construções com régua e compasso, e Carlos acha que por isso o atacou dessa maneira. Depois, contudo, mostrou a resolução a um colega especializado em desenho geométrico, que lhe disse algo mais ou menos assim:

“Vocês poderiam ter girado o trapézio em torno do ponto médio de um dos lados oblíquos, depois girado em torno do ponto médio do lado cuja medida é a e por fim juntado o trapézio original com o trapézio virado de ponta-cabeça.”

A figura 5 mostra um jeito de olhar para tais movimentos rígidos. “Eu deveria ter visto isso”, diz Carlos, “pois é justamente um dos métodos que uso para deduzir a área do trapézio!” Daí, como na figura 6 o paralelogramo do meio equivale qualquer um dos outros dois, a área S sai de uma simples conta de cabeça.

Com as transformações no plano coordenado, muitos outros teoremas saem assim — depois de pouco trabalho. Diz o matemático britânico Ian Stewart no livro Concepts of Modern Mathematics: “Depois de um pouco de prática, você passa a perceber que muitos teoremas da geometria são consequência direta de movimentos rígidos, e passa a ter a sensação de que tais teoremas são ‘triviais’. Isso é muito bom, pois agora você pode se concentrar no estudo das propriedades geométricas que não te parecem triviais. Ao usar os movimentos rígidos, você destaca os resultados realmente interessantes, que estavam perdidos debaixo de uma montanha de trivialidades.”

Um coração pulsante. Os gregos antigos chegaram a perceber as vantagens de mover as figuras geométricas sobre o plano, e de ampliá-las ou contraí-las, mas não investigaram pensamentos desse tipo, ou pelo menos não os puseram no papel. Por culpa do paradoxo de Zenão, eles desconfiavam de demonstrações nas quais houvesse referência a movimento. Só nos séculos mais recentes surgiram os remédios: a ideia de plano coordenado, a definição precisa de função, a ideia de limite de uma sequência. Com tais remédios, os matemáticos puderam emprestar movimento à geometria sem que nada realmente se movesse.

Como o estudante Bloomfield pode pensar nisso tudo? Em resumo:

I) Ele imagina uma figura geométrica G plana e a coloca num sistema de coordenadas retangulares XY. Com isso, todos os pontos da figura passam a ter “endereço”, isto é, pode localizar cada um deles com um par ordenado de números reais, tipo (x, y).

II) Bloomfield imagina ainda que, magicamente, tais pontos estão acesos, como lâmpadas; os outros ou estão apagados ou brilham suavemente. (Mas ele toma o cuidado de não dar dimensão aos pontos: eles se acendem como lâmpadas, mas não têm comprimento, largura, ou altura.)

III) Daí pensa numa função f com a qual correlaciona cada ponto (x, y) de G a um novo ponto (x’, y’) do mesmo plano. Se tal função f preserva a distância entre pontos e o ângulo entre retas, pode chamá-la de “movimento rígido”, e com isso o plano passa a conter duas figuras congruentes, G e G’.

IV) Agora Bloomfield tanto pode apagar os pontos originais e acender os novos pontos como pode baixar a luminosidade dos pontos originais e aumentar a luminosidade dos novos pontos; também pode, é claro, acender os pontos de G e de G’ a toda intensidade, de modo que consiga examinar as duas figuras ao mesmo tempo.

V) Nenhum ponto se move no plano: o conjunto de pontos que perfaz G permanece onde está, quer fique aceso ou apagado, e o conjunto de pontos que perfaz G’ continua no lugar em que sempre esteve.

VI) Não há movimento, mas, para todos os efeitos práticos e psicológicos, há movimento, e na verdade Bloomfield pode, se quiser, imaginar as figuras serpenteando pelo plano ao longo de ondas senoidais, se mexendo tanto um coração pulsante num cartaz de neon.

Hoje em dia, várias escolas começam a ensinar transformações no fundamental 1 e 2. A princípio, a criança trabalha com figuras recortadas, com brinquedos, com aquelas réguas cheias de figuras geométricas vazadas. Depois passa a trabalhar com papel quadriculado, compasso, régua. Marcos Valério Paes, professor de matemática no Colégio Visconde de Porto Seguro em Valinhos (SP), trabalha com papel quadriculado já no sétimo ano (sexta série). No ensino médio, o jovem aprende a usar o sistema de coordenadas retangulares. Com a prática e uma ajuda do professor, diz Marcos, o jovem passa a notar regularidades importantes, que vai estudar apropriadamente na faculdade:

1. Sempre que soma o par ordenado (x, y) com o par ordenado (a, b), de modo a obter o par ordenado (x + a, y + b), os pontos da figura G “andam” no plano a unidades à direita (se a é positivo) ou a unidades à esquerda (se é negativo) e b unidades para cima (se b é positivo) ou b unidades para baixo (se é negativo). Com essa observação, ele está pronto para a ideia de vetor.

2. Sempre que gira uma figura 360° em torno de um ponto do plano, a nova figura se sobrepõe à figura inicial, e surge a ideia de que certas transformações no plano se comportam como se fossem a unidade na multiplicação: elas deixam tudo inalterado. Ele está pronto para a ideia de isomorfismo e de grupo.

3. Sempre que precisa trabalhar com vários pontos, fica com vontade de usar algum método mais fácil e automático de fazer as contas com vários pontos de uma vez. Está pronto para a teoria das matrizes e para a álgebra linear.

“Quando a gente trabalha com as transformações no plano”, diz Marcos, “parece que fica mais fácil entrelaçar vários assuntos de uma vez.”

Carlos Oliveira tem amigos que dão aulas de geometria em faculdades importantes. Seus amigos dizem que mesmo na faculdade é difícil abordar o tema das transformações, pois muitos calouros só têm conhecimentos rudimentares de geometria. “Há escolas nas quais a aula de geometria é, na verdade, uma espécie de aula de artes plásticas: as crianças desenham e pintam, mas ninguém faz contas, ninguém prova nada.”

Talvez o melhor benefício de estudar as transformações no plano nem seja se preparar melhor para a faculdade, mas sim, como destaca Ian Stewart, o de casar intuição com rigor. O estudante pode mover as figuras de uma área do plano para outra, girá-las em torno dum ponto, refleti-las conforme uma linha, ampliá-las, reduzi-las, distorcê-las. Enquanto faz isso, usa a forte intuição visual que todos os membros da espécie humana têm — mas, se quiser, sempre pode recorrer às funções e à álgebra para se certificar, com demonstrações rigorosas, de que a intuição bate com as contas. {}



{2}/ “A recíproca de um teorema”

Neste trecho, Bloomfield usou a ideia de que teoremas são afirmações do tipo A B, isto é, A implica B. A maior parte dos teoremas tem esse formato, mas ele não é o único: pode haver teoremas que, em linguagem simbólica, não se referem a implicações. (No entando, visto que para provar um teorema matemático o estudante precisa assumir muita coisa da matemática, inclusive suas regras de inferência, qualquer teorema, quer esteja ou não esteja no formato A B, pode ser reescrito num teorema desse formato; basta fazer “A” = “Axiomas, definições, e regras de inferência da matemática atual”.)

Se o teorema for mesmo do tipo A B, daí a recíproca é B A; e a contrapositiva é ¬B ¬A. Se a primeira implicação é verdadeira, a contrapositiva também é; quanto à recíproca, talvez seja verdadeira ou talvez não, isto é, a recíproca de uma implicação verdadeira não necessariamente é verdadeira.

Mais genericamente: dado um conjunto consistente de afirmações D = {a1, a2, a3, …, an}, no qual cada ai é uma afirmação declarativa e a palavra “consistente” significa que as afirmações de D são todas verdadeiras no mesmo conjunto de situações S = {s1, s2, s3, …, sk}, provar o teorema T significa provar que, de acordo com certas regras de inferência específicas (ou de acordo com certa lógica L), T também é verdadeira em toda situação sj S. Em outras palavras, se o matemático assume D e qualquer uma das situações sj S, pode também assumir T.



{3}/ Transformações e coloquialismos

Para pensar sobre as transformações de modo produtivo, o leitor deve examinar algumas definições técnicas (mais de uma, pois cada autor aborda o assunto a seu modo) e escrever uma versão mais coloquial das definições. No texto a seguir, pode ver como uma dessas versões coloquiais ficou.

Definição. Use 2 para denotar o conjunto de todos os pontos de um plano coordenado, como os matemáticos costumam fazer. Daí uma transformação T no plano coordenado é uma função injetora T que associa um ponto P do domínio a um ponto P’ da imagem; pode escrever isso assim: T : 2 2, onde T(P) = P’. (Essa setinha esquisita denota o tipo de função: injetora. O significado dessa palavra é: se dois elementos do domínio forem diferentes um do outro, os elementos correspondentes na imagem serão diferentes um do outro; se dois elementos do domínio forem iguais um ao outro, os elementos correspondentes na imagem serão iguais um ao outro. Se uma função de 2 em 2 não tiver essa propriedade, é melhor não chamá-la de ‘transformação no plano coordenado’.) Se denota o ponto P com o par ordenado (x, y), pode denotar o ponto P’ com o par ordenado (x’, y’), e daí pode definir T assim: T : 2 2, onde T(x, y) = (x’, y’). Aqui, usou o apóstrofo ‘ à guisa de lembrete: “novo x, novo y”.

Deve notar que, ao recorrer à transformação T, associa o ponto (x, y), no domínio, ao ponto (x’, y’), na imagem. Suponha que o conjunto de pontos no domínio sejam os pontos que satisfazem a relação x2 + y2 = 1. Essa equação descreve um círculo de raio unitário com centro na origem, e ela contém duas funções: y = √(1 – x2) e y = –√(1 – x2). Embora tenha montado o conjunto inicial de pontos com uma relação (duas funções), a transformação T é uma função perfeitamente regular, pela qual associa cada ponto (x, y) a um único ponto (x’, y’).

Esse exercício, o de reescrever definições técnicas em linguagem mais coloquial, serve para perder o medo de textos que contenham locuções como “uma função injetora de 2 em 2”.



{4}/ Reflexões: um guia de estudos

Como um estudante (vamos chamá-lo de Bloomfield) deve estudar as transformações no plano coordenado? O primeiro passo é seguir o conselho do matemático húngaro Paul Halmos (1916-2006):

“Não apenas leia o texto: lute com ele! Faça suas próprias perguntas, procure seus próprios exemplos, descubra suas próprias demonstrações. A hipótese é necessária? A recíproca é verdadeira? O que acontece no caso clássico especial? E nos casos degenerados? Em que parte da demonstração o autor usa a hipótese?”

Bloomfield entendeu que deve estudar as transformações assim justamente porque elas vão lhe ajudar a preparar a própria mente para tópicos mais avançados da matemática, como a teoria dos grupos e a álgebra linear.

Começou com uma transformação famosa: aquela que reflete os pontos ao longo da linha y = x, isto é, aquela na qual pode imaginar a linha y = x como se fosse um espelho. Esboçou a figura 7, batizou a transformação de R (para lembrá-lo de “reflexão”) e pôs no papel seus objetivos:

1. Descobrir que operações algébricas deve realizar com os valores x e y do ponto (x, y) para obter os valores x’ e y’ do ponto espelhado (x’, y’).

2. Descobrir qual matriz realiza a transformação R automaticamente.

Viu que o primeiro passo é descobrir a menor distância d entre o ponto A e a linha y = x, pois, para que a transformação R funcione como gostaria, o ponto A’ deve estar à mesma distância d da linha y = x. (Figura 8, que é a ampliação de um pedacinho da figura 7.)

Qualquer dicionário de matemática inclui um verbete com a fórmula para a menor distância entre um ponto e uma reta. (É consequência direta do teorema de Pitágoras.) Bloomfield estudou a equação e chegou a uma fórmula para d.

Depois, olhando o desenho, viu que os pontos A, A’ e o ponto no qual as linhas x = x e y = y’ se cruzam formam um triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 2d. Portanto:

Substituiu d pela expressão (†) e expandiu a equação completamente, usando o fato de que |xy| = √(xy)2:

Depois de experimentar alguns valores para x, y, x’, y’, Bloomfield percebeu a simetria da equação: se fizesse x’ = y e y’ = x, obteria 0 = 0. “Perfeito!” Viu que a descoberta combinava com a reta y = x, que deve permanecer “no mesmo lugar” depois da transformação R, e o único jeito de fazer isso é trocar x por y e y por x em todos os pontos da reta! (“Da próxima vez”, anotou no caderno, “o primeiro passo é pensar numa transformação R que deixe os pontos da reta de referência no lugar em que estão.”)

Para se exercitar, pôs a transformação R no papel com os termos técnicos:

Depois disso, desenhou uns triângulos num papel quadriculado, cujos vértices tinham coordenadas inteiras, e viu que a transformação R funcionava como deveria: refletia os triângulos como se a linha y = x fosse um espelho. Também testou seus poderes com a equação y = 10x3 – 60x2 + 110x – 60, que, depois da transformação R, virou x = 10y3 – 60y2 + 110y – 60; plotou as duas curvas com a reta y = x no mesmo plano. (Figura 9.)

Daí fez a si mesmo uma pergunta importante:

“Se eu pensar no par ordenado (x, y) de um ponto como se fosse um vetor de coluna, qual é a matriz de transformação que converte o vetor de coluna {x, y} no vetor de coluna {y, x}?”

No caderno, converteu essa pergunta em símbolos:

Nessa equação, R(n) é uma matriz. Bloomfield percebeu que, para que a multiplicação de Cayley funcionasse, R(n) deveria ser uma matriz 2 × 2, isto é, uma matriz quadrada de ordem 2. Reescreveu assim a equação:

Ele sabia que essa equação representava um sistema de equações lineares; por isso decidiu, em busca de uma luz, realizar as contas e olhar o sistema:

Depois de um momento, ficou claro que a = 0, b = 1, c = 1 e d = 0. Assim, a equação completa da transformação R, no reino das matrizes, é:

Se Bloomfield precisasse programar um computador para aplicar a transformação R a um conjunto grande de pontos esparsos, não correlacionados por uma equação, usaria a informação acima. Computadores lidam bem com matrizes; colocaria o domínio numa parte da memória, pré-multiplicaria cada elemento do domínio pela matriz R(2), e colocaria os elementos da imagem noutra parte da memória.

Depois dessas pequenas vitórias, Bloomfield achou que deveria estudar outra questão importante: se quisesse, poderia ver a transformação R como um movimento rígido, isto é, um movimento que preserva a distância entre pontos. Nenhum ponto se aproxima de outro, nenhum se afasta de outro. (Como consequência, R preserva também os ângulos entre retas.) “Como poderia pensar nisso?”

Começou com dois pontos do domínio: (x, y) e (u, v). A distância entre eles é:

Depois disso, obteve a imagem de (x, y) e de (u, v) por meio de R.

E daí calculou a distância entre (y, x) e (v, u).

Igualou as duas distâncias, elevou os dois lados da equação ao quadrado e rearranjou os termos para obter uma tautologia do tipo a = a:

Com essa equação, obteve a prova: qualquer que seja a distância entre os pontos P1 e P2 do domínio, haverá a mesma distância entre os pontos P1’ e P2’ da imagem. Bloomfield descobriu ainda que os matemáticos usam a equação |P1P2| = |P1P2’|para definir as transformações que se referem a movimentos rígidos, e isso revela uma estratégia comum entre eles: descobrem métodos pelos quais verificar se uma afirmação é verdadeira e depois usam tais métodos para defini-la. {Fim}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes.

3. Há mais uma postagem neste blogue sobre transformações no plano: A Aritmética do Espaço.

Matemática: enfeiada pela escola

Todo amante de matemática sabe o quanto ela é divertida, instigante, viciante, satisfatória. Por que então há quem não veja nela nenhuma graça?


Logo que terminou o doutorado, Vanderlei Horita, vice-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), recebeu a visita de um colega de pesquisa. Matemáticos que colaboram num trabalho costumam se encontrar pessoalmente para discutir ideias, mostrar esboços, organizar os próximos passos do trabalho. “Nessas ocasiões, aproveitamos o tempo o máximo possível, incluindo finais de semanas e feriados”, explica Vanderlei. Então outros amigos, não matemáticos, ficaram curiosos com o trabalho. “Perguntaram se passávamos o tempo todo fazendo contas, qual o ‘tamanho’ dos números envolvidos e se os computadores não faziam isso melhor que a gente.” Vanderlei encarou o desafio de explicar o que faz um matemático, mas diz que até hoje acha difícil fazer isso sem que o interlocutor perca o interesse depressa.

John William MacQuarrie, matemático escocês e pesquisador na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), acha compreensível que uma pessoa escolhida ao acaso na rua não saiba dizer o que a matemática é — ou que ainda a defina com características que ela não tem. “Isso não é estranho”, diz John, “porque nós matemáticos também não sabemos o que ela é.” Porém, enquanto o matemático tem a certeza de que é algo maravilhoso, vários leigos a acham feia, inútil, entediante.

Para Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos da Editora Moderna, a culpa não é da matemática, em geral, mas sim da matemática escolar. “A escola costuma desfigurar o conhecimento não só da matemática, como também de outras áreas.” Outros especialistas, como Antonio Carlos Rosso Júnior, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, também listam outras razões, como seu caráter abstrato demais. “As pessoas querem resultados de imediato, e é difícil ver as aplicações diretas da matemática no dia a dia”, diz Antonio Carlos. “É diferente com a química ou a biologia, nas quais descrevemos objetos ou entes concretos da natureza. Com a matemática, descrevemos uma versão muito ideal do universo.”

A matemática é inútil. Muita gente tem essa impressão, mas, se colasse um selinho com os dizeres “Esta Coisa Contém Matemática” em tudo o que é feito ou construído com a ajuda de bastante matemática, haveria um selinho desses em todo computador, todo carro, todo telefone, todo avião, todo semáforo, todo filme de cinema… Porém, porque ela pertence aos bastidores, ninguém a vê. Cristina Acciarri, pesquisadora no departamento de matemática da Universidade de Brasília, lista sem esforço as várias aplicações da matemática. “Se pensar num cartão de crédito, ou na criptografia para a segurança na internet, por exemplo, estamos falando de conceitos matemáticos. Para criar essas soluções, digamos, fáceis para nosso dia a dia, os matemáticos resolveram problemas difíceis, ou até mesmo recorreram a soluções parciais de problemas sem solução.”

Quando dá aulas para turmas de engenharia, Cristina volta e meia precisa responder à inevitável pergunta: para que estudar álgebra linear? “Até para eles, que se interessam e têm maior contato com a matemática, é complicado entender por que precisam estudar certos conceitos.” Cristina então conta como hoje é impossível fazer desenhos animados sem álgebra linear. Ela desenha na lousa um plano cartesiano com um bonequinho, e daí pergunta como pode movê-lo de uma região a outra sem deformá-lo. Em resumo, o aluno deve multiplicar matrizes; o produto dessa multiplicação é a nova posição do bonequinho. Noutras vezes, o aluno encrenca com vetores de ordem 4, ordem 5, ordem n. Não vê utilidade em estudar tantas dimensões, já que o mundo tem apenas três. “Nem sempre a aplicação é do tipo geométrico”, diz Cristina. “As informações que armazenamos dentro de uma matriz podem ser de qualquer natureza, como as variáveis do trânsito em Brasília: o tipo de carro, a estrutura das ruas, o horário em que está ocorrendo o estudo.” Cada uma dessas observações compõe uma das dimensões do vetor, que facilmente chega a muitas dimensões.

Ricardo Miranda Martins, matemático da Universidade de Campinas, diz que, para entender muitas aplicações, o leigo teria de entender conceitos mais avançados. Além disso, reconhece que, em geral, os matemáticos não fazem propaganda de tão boa qualidade quanto os físicos fazem. “Vemos com frequência em filmes e séries de TV termos como viagem no tempo, relatividade, e mecânica quântica de forma muito mais ficção científica do que são na realidade: um monte de equações matemáticas difíceis de resolver, ou mesmo de entender.” Ricardo também menciona outra explicação: o currículo de matemática, tanto no ensino básico quanto no superior, é grande demais. Nem sempre sobra tempo para mostrar as belas aplicações.

Basta pegar um livro de história da matemática para ver o contraste entre como a escola ensina os conceitos e como os matemáticos os criaram e investigaram suas propriedades. O processo histórico lembra uma criança que aprende a andar: há muitos tombos, muitos recomeços, muita diversão. Nos anos 1960, quando Luiz Márcio Imenes era estudante, usava como livro didático uma adaptação d’Os Elementos, de Euclides. “O professor Manfredo Perdigão, do Impa, disse uma vez numa palestra que adotar Euclides como livro didático é um grande equívoco; esse livro é mais bem entendido por filósofos e matemáticos. N’Os Elementos, a matemática aparece desprovida de vida, sem as contradições e as motivações do matemático.”

Mesmo hoje, estudantes ainda usam livros que copiam o modelo de Euclides: axiomas, definições, regras de inferência, teoremas, aplicações — sem contar nenhuma história de contexto, nenhuma história de aventura ou descoberta. Um livro assim lembra uma lista de dogmas. “Há quem sugira um modelo mais próximo do de Arquimedes, que misturava experimentação e dedução”, diz Imenes. “É uma matemática mais viva, impregnada de sentido e significado.” Sim, professores e alunos têm de formalizar a matemática, mas não sem antes experimentar muito, pois, para Imenes, apresentar a matemática pronta e acabada beira a calamidade.

Helenara Sampaio, coordenadora da licenciatura em matemática na Universidade Norte do Paraná, diz que os povos precisaram de matemática para desenvolver a agricultura, a navegação, a ciência. Se hoje o estudante tem celular, computador, e videogame, foi porque os matemáticos resolveram problemas difíceis, muitos dos quais nos últimos 100 anos. Num escritório qualquer, restaria pouca coisa se retirassem dele tudo o que foi construído graças à matemática.

A cada ano os matemáticos criam cada vez mais matemática; o número de artigos em revistas especializadas aumenta com muita rapidez. John MacQuarrie, da UFMG, arrisca um chute: “Talvez haja dez vezes mais artigos por ano agora do que havia há dez anos.” Contudo, hoje mais do que antes, em geral o matemático trabalha motivado por perguntas muito abstratas, ainda sem nenhuma possibilidade de aplicação prática. (Exceção feita aos matemáticos que se interessam por problemas surgidos nas outras ciências.) Cristina explica: muitas vezes, o matemático está interessado em beleza; ele se deixa guiar apenas pela própria curiosidade. “É um pouco como a filosofia. Se você pensar bem, qual é a aplicação prática filosofia?”

Cedo ou tarde alguém acha aplicação prática para alguma ideia matemática. John diz que as regras da matemática servem como imagem aproximada de fenômenos do mundo real. “Mas as aplicações da matemática não são a mesma coisa que a matemática em si.”

A matemática é uma ciência. Até matemáticos às vezes dizem que a matemática é uma ciência; quanto mais estudantes e professores comuns. Muitos matemáticos, contudo, não se incomodariam se a classificassem como uma arte: a arte de criar objetos ficcionais perfeitamente definidos, tão simples quanto possível, e de depois disso investigar suas propriedades. O cientista tem a obrigação de descobrir como o universo funciona — as proteínas, as galáxias, os pulmões. As regras já existem, e não podem ser modificadas pela mera vontade humana. O matemático cria universos novos para depois explorá-los, e quando se cansa de explorar um desses universos, muda as regras e o transforma num outro. (E depois ainda descobre que pode correlacionar os dois com algum tipo de morfismo…)

Até filósofos têm de trabalhar sob condições mais estritas. “O filósofo”, diz John, “tem de justificar suas proposições.” John quer dizer o seguinte: o filósofo mostra que as afirmações A e B implicam a afirmação C, mas, antes que possa asseverar que C é verdadeira, tem de justificar A e B. Se não fizer assim, seu leitor não vai aceitar C. Não é a mesma coisa com o matemático. Ele pode presumir que A e B são verdadeiras, e daí provar a implicação. Aliás, ele com bastante frequência presume a verdade das premissas e segue em frente. Afinal, como poderia provar, recorrendo a experimentos no mundo real, a existência de segmentos de reta que podem ser divididos indefinidamente em duas partes iguais? Isso é impossível.

Outro ponto no qual matemáticos e cientistas diferem: o peso que dão às evidências. Se um cientista achasse 400 quadrilhões de evidências em favor de uma explicação, e nenhuma evidência contrária, ele a classificaria como “explicação excelente”. Que tal pensar agora na conjectura de Goldbach?

Conjectura de Goldbach. Todo inteiro par maior que 2 é igual à soma de dois números primos.

De fato: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, …, 154 = 71 + 83, etc. A conjectura já foi confirmada para os primeiros 4 ∙ 1017 inteiros positivos. Qualquer cientista ficaria feliz com isso, e se daria por satisfeito, mas não o matemático, que só classificará a conjectura como teorema no dia em que alguém publicar uma demonstração cabal.

É coisa de gente sem criatividade. Helenara Sampaio, da Unopar, ouve o tempo todo comentários de que a matemática só complica tudo; estão sempre questionando sua utilidade. Imenes diz que as pessoas têm essa impressão porque se acostumaram a vê-la de modo deturpado. Muitas vezes, diz Imenes, a escola omite as aplicações e conexões que existem dentro da própria matemática. “Quanto mais as relações que ela tem com a arte e outras disciplinas!” Se na escola o leigo só conheceu a matemática feia, é fácil imaginá-la como O Reino dos Sem Imaginação. “É ficar fazendo contas como um papagaio”, diz Imenes. “O ser humano não tolera coisas sem sentido; procuramos nexo nas coisas.”

A ideia de que a matemática embota a criatividade é tão forte que, entre os que acreditam nessa ideia, é fácil encontrar quem diga: a matemática estraga a experiência de vida — pois deixa tudo “excessivamente racional”. A verdade é que o matemático profissional, para resolver um problema difícil, tem de recorrer a doses cavalares de criatividade. Quase sempre, a resolução de um grande problema faz surgir uma nova área da matemática, e com ela fica mais fácil ver coisas que antes ficavam invisíveis — isto é, com ela o mundo fica mais bonito. Se hoje o homem pode construir uma sonda espacial, enviá-la ao espaço para fazer medições, e com as medições calcular o raio do universo visível (46 bilhões de anos-luz; quem não fica de queixo caído diante de uma informação dessas?), é porque Bolyai, Lobachevsky, e Riemann criaram as geometrias não euclidianas no século 19.

Cristina lembra como muita gente se orgulha de dizer que não tem cabeça para a matemática. “É como se, ao dizer que não sabe nada de matemática, a pessoa mostrasse como é imaginativa, artística.” Mas nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura, pois seria tachada de ignorante. John diz que não há nada mecânico ou automático na matemática, e se algum aspecto dela se torna automático e mecânico, o matemático não hesita em delegá-lo a computadores. “Quando dizemos que o matemático precisa de criatividade”, diz John, “não é criatividade para fazer contas, mas sim para manejar ideias.” Cristina diz que matemáticos muitas vezes agem como crianças. “Eles deixam a mente bem aberta, pois caso contrário as ideias não aparecem.” Ela até acha que se transformou numa pessoa melhor graças à matemática, ou melhor, graças ao hábito de olhar um problema de vários ângulos. “Isso me ajudou a ser menos impulsiva. Muitas vezes, estou vendo o cantinho de um problema, mas mudo o ângulo e percebo que ele é bem maior.” Cristina reconhece ainda: se as pessoas não conhecem bem a matemática, isso também é culpa dos matemáticos, que não sabem se comunicar direito.

Para Vanderlei Horita, da SBM, a culpa é também da própria matemática: provoca tanto contentamento que, para o matemático, divulgar seu trabalho se torna secundário. O matemático se envolveu numa atividade na qual cria regras das quais surgem universos novos e maravilhosos. “Certa vez, tive a ingenuidade de contestar a frase tão certo quanto 2 mais 2 são quatro”, diz Vanderlei. O leigo só conhece a aritmética comum, mas há muitas décadas os matemáticos recorrem à aritmética módulo m, na qual 2 + 2 = 1 ou 2 + 2 = 0. Para entender essa ideia melhor, o estudante pode desenhar um relógio com 3 números:

Fig. 1

Daí, com o dedo repousado em zero, começa a contar: 1, 2, 3, 4 movendo o dedo para 1, 2, 0, 1. Com isso, pode dizer que, na aritmética módulo 3, o 4 é congruente a 1. Pode fazer o mesmo para entender a aritmética módulo 4. Desenha outro relógio, desta vez com quatro números: 0, 1, 2, 3:

Fig. 2

Conta 1, 2, 3 apontando para 1, 2, 3, mas ao contar 4 só lhe resta apontar o 0. Com isso, conclui que, na aritmética módulo 4, 2 + 2 = 0. E ainda assim o estudante pode se divertir com uma ideia bonita: 2 + 2 é sempre igual a 4, mesmo nas aritméticas nas quais o algarismo 4 não existe.

Feia, feiíssima. Muita gente acha que a matemática é feia, mas todo professor de matemática e todo matemático pode testemunhar o contrário: ela provoca prazeres estéticos parecidos com aqueles que uma pessoa sente quando aprecia uma escultura ou ouve um concerto. John MacQuarrie (UFMG) é algebrista e, para mostrar a verdadeira cara da matemática, gosta de explicar o que é um grupo. Primeiro, cita um exemplo de grupo: os números inteiros com a operação de adição. O estudante adiciona 3 ao 4 e obtém 7, que também é um inteiro. Ou então subtrai 3 de 4 e obtém 1, outro inteiro. Ele pode então generalizar essa ideia ao definir um grupo:

Um conjunto G fechado para uma operação , isto é, ao pegar dois elementos a e b em G, e ao combiná-los segundo as regras que especificam a operação , obtém um terceiro elemento que também está em G. (Em outras palavras: o elemento a b também está em G.) Além disso, num grupo existem três regrinhas:

• Para todo a, b, e c em G, a (b c) = (a b) c, isto é, nele vale a propriedade associativa.

• Existe em G um elemento identidade e tal que a e = e a = a para todo a em G.

• Para cada a em G, existe um elemento inverso a’ em G tal que a a’ = e.

Desde criancinha, o estudante sabe que números inteiros têm a propriedade associativa, e que existe um número, o zero, tal que se adicioná-lo a qualquer outro inteiro (como 0 + 1, 0 + 2, 0 + 3, …) obterá como resultado o próprio inteiro (pois 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3, …). Assim como cada número tem seu inverso: o de 0 é o próprio 0, o de 1 é –1, o de 2 é –2, e assim por diante. “Agora esqueça os números, esqueça as simetrias”, diz John. “Você tem apenas essas três propriedades. Então, pode usá-las para estudar objetos no mundo abstrato que também as tenham. Acho os grupos lindos de um jeito muito prático. Essas três regras são exatamente o que precisam ser, fazem exatamente o que precisam fazer.”

Matemáticos muitas vezes veem a beleza num conceito matemático, como o de grupo, por causa de suas propriedades, isto é, por causa do que conseguem fazer com ele. No caso da teoria dos grupos, se podem provar que certo objeto muito complexo é um grupo, podem também provar que existe uma correspondência entre tal objeto e o grupo dos números inteiros com a operação de adição. Ora, existem muitos teoremas úteis sobre os inteiros com a adição, e o estudante pode usá-los para descobrir coisas sobre esse objeto mais complexo. Ele pode até verificar que vale para seu grupo a conjectura de Goldbach.

Para Antonio Carlos, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, muita gente fica com a ideia errada porque estuda a matemática como se fosse meramente um conjunto de procedimentos, e não como um conjunto de ideias a partir das quais os matemáticos desenvolveram os procedimentos. Quando estuda a multiplicação de dois dígitos, por exemplo, o estudante talvez ache uma chatice repetir um algoritmo aparentemente sem pé nem cabeça. Por exemplo, ao fazer 12 vezes 15:

No livro Matemática: Uma Breve Introdução, o matemático britânico Timothy Gowers explica por que tanta gente odeia a matemática. Matemáticos constroem conceitos novos em cima dos antigos. Se o leigo acha o algoritmo da multiplicação de números com dois dígitos uma chatice, tem de voltar uns passos para trás e compreender seu mecanismo: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Para visualizar isso melhor, o estudante usa um desenho de quadradinhos, como o da figura 3. Ao somar os quadradinhos, pode ver que está fazendo o seguinte ao usar o algoritmo da multiplicação: 2·(10 + 5) + 10·(10 + 5).

Fig. 3

“Sem isso [a propriedade distributiva] é natural que você se sinta pouco à vontade ao expandir expressões como (x + 2)(x + 3), e isso implica que não compreende bem as equações quadráticas”, escreveu Gowers. “E, não tendo uma boa compreensão das equações quadráticas, não perceberá por que a razão áurea é (1 + √5)/2.”

Por pouco. Visto que é difícil entender bem uma matemática mais avançada sem entender conceitos básicos, muitos jovens nunca descobrem que a má reputação da matemática vale (quando vale) apenas para a matemática no ensino básico. Cristina explica: “É como aprender a falar para aprender a escrever poesia.” É mais charmoso escrever poesia do que simplesmente falar, mas uma coisa não vem sem a outra. Cristina sabe pouco sobre como funciona o ensino médio no Brasil, pois estudou na Itália, mas acha que o brasileiro se interessa tanto por matemática quanto qualquer outro cidadão de qualquer outro país. A diferença entre o Brasil e a Alemanha, por exemplo, é que na Alemanha há mais especialistas interessados no trabalho de divulgar a matemática. Quando era estudante, Cristina já gostava de matemática, mas visto que só via contas, equações, algoritmos, etc., não se interessava tanto assim.

Por acaso, leu um livro sobre matemática e simetrias. “Não lembro mais o nome, mas era um autor dos Estados Unidos. O livro tinha muitas imagens, desenhos, e falava da matemática na vida, na simetria das flores, da série de Fibonacci que aparece em vários lugares…” Então ficou em dúvida entre fazer letras ou matemática, mas como a matemática era algo misterioso, resolveu descobrir mais sobre ela. Seus pais a apoiaram, se bem que com alguma reticência. “Quando cheguei lá, achei a matemática uma coisa muito mais bonita do que imaginava.” John conta uma história semelhante: na Escócia, a reputação da matemática também é ruim, mas tudo mudou na universidade. “Para mim foi incrível descobrir que não existe só um tipo de infinito — incrível!” Ricardo Martins é outro caso de “por pouco não fiz matemática”. Quando prestou o vestibular, escolheu matemática com o propósito de pedir mais tarde a transferência para o curso de computação. “Eu mesmo tinha a ideia equivocada de que precisaria decorar fórmulas. Quando descobri que elas vinham de algum lugar, comecei a achar tudo muito interessante e segui a carreira.”

Quantas outras pessoas não dariam ótimas matemáticas, e não seriam até mais felizes, não fosse a péssima reputação da matemática? Uma vez, o matemático Bertrand Russell (1872-1970) escreveu (tratando de outro assunto): “É como a teoria de que sempre acabamos descobrindo o assassino. Evidentemente, todos os assassinos que conhecemos foram descobertos, mas quem pode calcular o número daqueles sobre os quais nada sabemos? Da mesma forma, todos os homens de gênio de que já ouvimos falar triunfaram sobre circunstâncias adversas, mas não há razão para supor que não tenham existido diversos outros gênios malogrados durante a juventude.” Não há razão para supor que, tivesse a matemática boa fama, muitos dos que hoje se orgulham de não ter cabeça para os números passariam horas, felizes da vida, pensando sobre coisas como a aritmética módulo m e a conjectura de Goldbach. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Danielle Ferreira e Dubes Sônego.

3. Um dos entrevistados pergunta: “Qual é a aplicação prática da filosofia?” Eu acho mais fácil mostrar as aplicações práticas da filosofia (aparentemente, não há nenhuma) do que as aplicações práticas da matemática (certamente, há muitas). Pois, se você disser, “A filosofia não é importante”, não tem escolha senão defender essa tese com um argumento de natureza filosófica! Logo, a filosofia é inescapável e, na verdade, os seres humanos estão filosofando constantemente, mas aqueles com bom treinamento em filosofia percebem quando estão a filosofar, e aqueles sem treinamento não percebem. O filósofo britânico Simon Blackburn costuma dizer que a filosofia é como qualquer outra atividade — é algo que podemos fazer bem ou mal. Quem estuda filosofia, com a prática percebe quando está a filosofar, e até consegue dizer se está filosofando bem ou mal. Quem não estuda, não percebe, e portanto não tem ideia se está filosofando mal. Além disso, poucos sabem que o método científico, que é talvez a maior criação da humanidade, surgiu de discussões filosóficas, e até hoje está sendo aperfeiçoado por meio de discussões filosóficas.

4. Em certa altura do texto, eu digo: “Nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura.” Como o mundo muda! Sou admirador de Heráclito, e portanto não deveria ficar surpreso ao constatar que o mundo muda, mas me surpreendi mesmo assim. Hoje muita gente se orgulha de dizer que não leva jeito para a leitura; hoje muita gente não mais percebe essa deficiência com embaraço. Outro dia, eu conversava com um sujeito e ele me disse, com evidente satisfação: “Eu nunca li um livro na vida, e até hoje não me fez nenhuma falta!”

5. Quando mencionei a aritmética módulo m, fiz uma pequena simplificação para não deixar o texto confuso. O que eu deveria ter escrito, se não quisesse evitar símbolos técnicos, é 2 + 2 1 (mod 3) em vez de 2 + 2 = 1, e 2 + 2 0 (mod 4) em vez de 2 + 2 = 0. Se o leitor quiser saber mais sobre aritmética módulo m, clique aqui.

6. Digo no texto que, para muita gente, a matemática deixa o mundo “excessivamente racional”. O filósofo britânico David Hume (1711-1776), em várias passagens de seus livros, defendeu a tese de que o ser humano não é guiado pela razão, mas sim por suas paixões. “A razão é, e deve ser, escrava das paixões, e não deve ambicionar nenhuma outra responsabilidade senão servir e obedecer às paixões.” Hume cita vários exemplos para justificar a afirmação, todos mais ou menos com esta estrutura: Se uma pessoa nota que há uma relação de causa e efeito entre praticar ginástica e emagrecer, e se descobre que terá vantagens ao emagrecer, ela mesmo assim não vai praticar ginástica para emagrecer, a não ser que tenha a vontade de emagrecer.

Acho que Hume tem razão: em primeiro lugar vem a vontade (para usar o palavreado de Nietzsche), e em segundo lugar o agente usa a razão para ver como realizar sua vontade. As pessoas percebem isso, por instinto; mas não sabem articular bem essa percepção. Logo, quando topam com alguém de perfil matemático, de perfil mais lógico ou filosófico, elas logo desconfiam: “Tais palavras racionais estão a serviço de que espécie de paixão? Que paixão se esconde atrás de tantos axiomas, teoremas, fórmulas, argumentos? Que vontade está querendo se impor? Que vontade está querendo suplantar a minha vontade?” Como nem todo amante de matemática conhece essa característica da psicologia humana, ele apresenta seus argumentos muito racionais sem antes pensar bastante sobre vontades e emoções — e imediatamente deixa o interlocutor com um pé atrás. Quanto ao interlocutor, tendo se sentido compelido a se retrair, e sem ter visão clara dos motivos (pois agiu instintivamente), sente-se acuado — e daí surge a sensação de que a matemática estraga a experiência do mundo, pois deixa as coisas “excessivamente racionais”.

Corolário. Um bom sistema de ensino deve ajudar os alunos a conhecer suas emoções, as emoções dos outros, e a governar essa economia de emoções tanto quanto possível; e logo depois disso, deve ensinar aos alunos como pôr a razão a serviço da vontade — incluindo usar a razão para dar à luz novas vontades.

Um Carcereiro Bizarro, fake news, e um Político Bestialógico


O autor da historieta a seguir não a chama de historieta, mas de “experimento mental”, pois, como o experimento que um cientista faz no laboratório, você pode escarafunchá-la para obter a resposta de perguntas difíceis.

O Carcereiro Bizarro. Toda noite, ele espera até que todos os presos estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente destranca todas as portas do presídio (as portas das celas, dos corredores, do prédio, das cercas, dos muros) e, por algumas poucas horas, as deixa encostadas (como se estivessem trancadas), mas certamente destrancadas. É uma cadeia pequena, e não há nenhum outro guarda além dele. Enquanto observa as instalações pelas câmeras do circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se algum preso sair, vou deixar que saia! Vou me divertir olhando pelas câmeras sua surpresa e suas hesitações!”

O filósofo americano Daniel Dennett, autor do experimento mental, pergunta: “Nessas poucas horas nas quais todas as portas estão destrancadas, os prisioneiros estão livres?”

Vejamos. Um preso acorda no meio da noite, com vontade de usar a privada de sua cela. (Estou pensando em algo do tipo Fuga de Alcatraz, com Clint Eastwood no papel principal.) Enquanto está lá, pensa na vida, fica olhando à volta. Não lhe ocorre a ideia de ir até as grades da cela para ver se estão apenas encostadas, e na verdade destrancadas. Não lhe ocorre a ideia de que pode ir embora tranquilamente, andando, deixando o presídio como se deixasse o cinema quando o filme termina.

Esse preso, na verdade, não tem a oportunidade de sair, pois, para aproveitar a circunstância favorável à fuga, ele precisa saber que as portas estão destrancadas. Ele não sabe. Ao contrário, quando olha para a porta de sua cela, visto que está encostada como se estivesse trancada, para ele a porta está indiscutivelmente trancada. Se para realizar a ação y um agente precisa antes da informação x, e se ele não tem acesso à informação x, então não pode realizar a ação y.

É como a história do sujeito que, andando numa das ruas do bairro onde mora, passa ao lado de um contêiner de lixo, sem saber que, dentro do contêiner, debaixo de sacos e sacos de lixo, há um baú com tesouros de valor altíssimo — ouro, joias, moedas antigas. O sujeito teve a chance de ficar rico? Não, pois não tem o costume de vasculhar contêineres de lixo, nem nunca teve. Para ele, contêineres de lixo não têm valor, e isso vale para o contêiner dentro do qual há um baú com tesouros.

Para que o sujeito que passeia pelo bairro fique rico, e para que o outro saia da prisão, em primeiro lugar eles precisam obter no ambiente a informação de que existe uma oportunidade. Sem isso, nenhum dos dois pode agir.

Com essas duas histórias, Dennett pretende ressaltar a importância de o agente obter informação oportuna sobre o ambiente em que vive, a tempo de usá-la em processos de decisão, isto é, em pensamentos sobre o que fazer no futuro. Sem informações corretas e atualizadas sobre a situação, na verdade o agente não está em condições de agir. Dennet usa as duas histórias para explorar a ideia de livre-arbítrio, e questioná-la. Não pode haver arbítrio completamente não causado, diz Dennett, pois, para decidir o que fazer, o agente precisa estar inserido no fluxo de causas e efeitos do meio ambiente; ou, o que é quase a mesma coisa, precisa estar inserido no fluxo de informações que representam o meio ambiente: de certa forma, ele precisa ‘receber’ informações do ambiente e ‘fornecer’ informações ao ambiente para que possa dizer que é “livre para agir”. Portanto, não existe isso de “escolhas livres”, no sentido de “escolhas não causadas”. Para que haja livre-arbítrio de verdade, diz Dennett, é necessário que o agente esteja imerso na malha de causas e efeitos do mundo, às vezes como efeito, às vezes como causa; às vezes como receptor de informações, às vezes como gerador.

Mas essas duas histórias, como uma pequena modificação, também servem para explorar o problema das fake news, isto é, das notícias falsas produzidas de modo que tenham o jeitão de notícia verdadeira. A pequena modificação é esta:

O Anfitrião Bestialógico. O Anfitrião Bestialógico é o gerente de um hotel. Toda noite, ele espera até que todos os hóspedes estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente tranca todas as portas do hotel (as portas dos quartos, dos corredores, das escadas, do prédio, das cercas, dos muros, da garagem) e, por algumas poucas horas, as deixa trancadas. Enquanto observa as instalações pelo circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se acontecer alguma coisa, caso alguém passe mal, caso aconteça um incêndio, vou me divertir olhando pelas câmeras o desespero das pessoas, que, quando foram dormir, achavam que sua liberdade duraria para sempre!”

Nas poucas horas em que as portas estão trancadas, os hóspedes estão livres? A resposta agora é óbvia: não. Suponha, por exemplo, que um dos hóspedes acorde à noite e pense: “Estou com vontade de fumar um cigarro.” Ele não pode fumar no quarto do hotel, pois é proibido e há sensores de fumaça; ele teria de pôr um roupão, descer até o lobby, e sair do hotel para fumar na calçada. “Se eu não estivesse com tanta preguiça”, pensa o hóspede, “desceria para fumar.” Não lhe ocorre a ideia de que não desceria, de jeito nenhum, pois está preso. Não lhe ocorre a ideia de verificar se realmente consegue abrir a porta do quarto, se consegue chamar o elevador. Para que tivesse a ideia de que está preso, para que parasse de fazer planos sobre fumar um cigarro, ele precisa da informação de que todas as portas do hotel estão trancadas. Se para abandonar o plano y um agente precisa antes da informação x, e se não tem acesso à informação x, então, em vez de abandonar o plano y, ele o considera como se fosse viável. Antes, no caso do Carcereiro Bizarro, os agentes estavam livres, mas achavam que estavam presos, e por isso não aproveitaram a liberdade; depois, no caso do Anfitrião Bestialógico, os agentes perderam a liberdade, mas achavam que continuavam livres, e por isso planejavam o futuro e nada fizeram para escapar de sua prisão antes que fosse tarde demais — antes do incêndio.

Há coisas do tipo notícia falsa no mundo dos objetos e das máquinas. A nota falsa de 100 reais, a lâmpada na frente da célula fotoelétrica. Há coisas do tipo notícia falsa no mundo das plantas e dos animais, mas com os nomes técnicos de mimetismo e camuflagem: o bicho-pau é um inseto, mas parece um graveto seco; o peixe-borboleta (Chaetodon capistratus) tem duas manchas parecidas com olhos perto da cauda, de modo que, quando observado por detrás, parece que está olhando o observador. Na cabeça do predador do peixe-borboleta, algo se passa com esta lógica: “Não adianta nada atacar esse peixe aí, pois ele já me viu.”

Mas o reino das notícias falsas é o reino da política. Assim como o Carcereiro Bizarro e o Anfitrião Bestialógico, o Político Bestialógico usa notícias falsas para manipular o público. É mais fácil entender corretamente essa ideia ao imaginar um membro do público como sendo uma máquina de estados finitos.

Tais máquinas monitoram o meio ambiente (incluindo elas mesmas) e, conforme o resultado do monitoramento, tomam decisões e agem. Se a máquina está no estado s quando recebe a entrada i, ela produz a saída o e passa para o estado y. É assim que a máquina deve funcionar, para seu próprio bem, para o bem de todas as outras máquinas, e para o bem do mundo. Suponha, portanto, que a máquina está no estado s, e que a Natureza produz todas as condições para que a máquina receba a entrada i; contudo, o Político Bestialógico distribuiu notícias falsas, nas quais a máquina acreditou, e em razão de suas crenças falsas ela interpreta mal a Natureza e, em vez de receber a entrada i, recebe a entrada x. Em consequência disso, em vez de produzir a saída o, ela produz a saída p; em vez de passar para o estado y, ela passa para o estado z. Ela não agiu para seu próprio bem, nem para o bem das outras máquinas, nem para o bem do mundo. Porém, não está consciente disso; desconhece que não viu o que estava lá, no ambiente, nem que viu o que não estava. Seu histórico de estados não corresponde mais ao histórico de mudanças no meio ambiente. Ela também não está consciente de que agiu para o bem do Político Bestialógico.

Quase sempre, o Político Bestialógico espalha notícias falsas para provocar medo, e logo em seguida raiva — pois medo e raiva são dois sentimentos que andam sempre um perto do outro. De acordo com a ideologia do Político Bestialógico, ele vai provocar raiva de pobres ou raiva de ricos; raiva de bandidos ou raiva de polícia; raiva de comunistas ou raiva de fascistas; raiva de instituições públicas ou raiva de empresas privadas; raiva da justiça ou raiva da milícia; raiva das universidades ou raiva das igrejas. Para o Político Bestialógico, nem é tão difícil estimular medo e raiva em seu público, pois basta que ele se aproveite de qualquer um dos vários defeitos característicos da mente de um ser humano. Por exemplo, um destes dois:

(1) O humano tende a prestar maior atenção a informação que confirme suas crenças, e por isso tende a se lembrar mais facilmente daquelas informações que confirmaram suas crenças;

(2) Tende a lidar muito mal com probabilidades; isso porque dá peso desproporcional à influência do passado sobre o futuro, mesmo quando o passado já não tem mais influência sobre o futuro, ou mesmo quando nunca teve (como é o caso dos números sorteados na Mega-Sena).

O filósofo japonês Watsuji Tetsurô (1889-1960) dizia o seguinte: Quando um ser humano se aproxima de outro, o ideal é que suas expectativas sejam positivas. O ideal é que haja boa vontade, alegria, sinceridade; o ideal é que, a princípio, cada um esteja disposto a simpatizar com o outro. Para Watsuji, a ética é a arte e o ofício de criar uma sociedade na qual tais aproximações possam ocorrer da maneira a mais próxima possível da ideal. Chame a aproximação ideal de aproximação idealmente positiva. Toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo mais parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente louvável. Ao contrário, toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo pouco parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente deplorável.

Assim, segundo Watsuji, sempre que um Político Bestialógico divulga notícias falsas, faz o público pensar que está livre quando na verdade está preso, ou pensar que está preso quando na verdade está livre, e fazendo assim provoca medo e raiva. Fazendo assim, portanto, o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. {Fim}



Observações:

1. Os experimentos mentais de Daniel Dennett estão no livro Intuition Pumps and Other Tools for Thinking.

2. No último parágrafo, digo que o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. Não quero dizer com isso que o leitor deve simplesmente entrar nas redes sociais e xingar todo mundo que lhe parece mau. Quem age dessa maneira, escreveu Spinoza, “é danoso para si mesmo e para os outros”. (Ética, parte 4, apêndice, capítulo 13.) Para Spinoza (que Watsuji conhecia, e que admirava), o único jeito de ajudar os seres humanos a se guiar pela razão é por meio de “amor e generosidade”. Portanto, ainda segundo Spinoza, repudiar o Político Bestialógico é equivalente a “dedicar-se com empenho a tudo aquilo que está a serviço do vínculo da concórdia e da amizade”.

Nietzsche daria umas boas risadas tanto de Watsuji quanto de Spinoza. Para Nietzsche, a ética é a arte e o ofício de imaginar e de implementar hierarquias — hierarquias de pessoas, de coisas, de ideias. Ele acreditava piamente que há ideias mais importantes que outras ideias, coisas mais importantes que outras coisas, e pessoas mais importantes que outras pessoas. Ele também acreditava que uma pessoa mais importante, segundo uma hierarquia X, deve ser mais bem tratada que uma pessoa menos importante, segundo a mesma hierarquia. Nietzsche dizia de si mesmo: Eu sou dinamite! Ele é um bom contraponto à cortesia de Watsuji e à santidade de Spinoza, mas deve ser lido com cuidado, pois é de fato explosivo.

3. Esta é a última postagem deste ano. Desejo a todos os frequentadores deste blogue boas festas e um feliz 2020!

Construindo novas pontes na matemática

Olivia Caramello/ Arquivo pessoal

Quando Olivia Caramello tinha 19 anos, se formou em matemática e música. É italiana, mas dá aulas em universidades italianas e francesas (para ser preciso, na Università degli Studi dell’Insubria e no Institut des Hautes Études Scientifiques). Há treze anos desenvolve uma teoria com a qual estabelece pontes entre teorias matemáticas distintas e, à primeira vista, desconexas.

Topos é uma palavra de origem grega; significa “lugar”. (Plural: toposes.) No início dos anos 1960, Alexander Grothendieck (1928-2014) introduziu o conceito de topos para denotar um objeto matemático que forneceria um quadro geral para uma de suas teorias na geometria algébrica, a coomologia etal. Ainda na mesma década, Francis William Lawvere publicou trabalhos com uma variante do conceito de topos, que chamou de “topos elementar” (é uma generalização de um topos de Grothendieck), e obteve a atenção dos especialistas em categorias (sobre isso, veja a seção 2).

Antes dos 13 anos, a matemática me parecia uma espécie de jogo mecânico. Não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova, tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade, que dura para sempre.


{1}/ Aventuras com caneta, papel, e cabeça

Aos 19 anos, Olivia se formou em matemática na Universidade de Torino (Itália) e obteve diploma de piano no Conservatorio di Cuneo. (No Brasil, muitos chamam Torino de Turim.) No mestrado, começou a se interessar por lógica categórica, principalmente pelos toposes de Grothendieck, e por isso foi para a Universidade de Cambridge (Inglaterra) fazer doutorado com um dos grandes especialistas em teoria de topos, Peter Johnstone. Nessa época, Olivia se sentia atraída pela ideia de transferir conhecimentos entre diferentes teorias matemáticas, e tinha a intuição de que poderia construir pontes entre teorias usando os toposes de Grothendieck. Mas Johnstone se interessava mais pelo topos elementar, um tipo de topos mais geral, com o qual Olivia não poderia construir pontes como desejava. Ela então obteve de Johnstone o consentimento para tomar uma direção diferente. “Sou muito grata pela oportunidade que tive de fazer basicamente o que quisesse. Isso é importante porque, para elaborar novos pontos de vista, o pesquisador precisa de liberdade.”

Olivia passou o primeiro e a metade do segundo ano do doutorado lendo tudo que podia sobre toposes de Grothendieck e outros assuntos correlatos. Queria começar a pesquisa apenas quando soubesse o que de melhor já haviam escrito naquele campo; queria também uma visão abrangente sobre outras teorias. Um projeto ambicioso exige conhecimentos sólidos de várias áreas da matemática. Para Olivia, em vez de desenvolver um trabalho apenas na teoria dos toposes, seria melhor aplicar essa teoria em campos como álgebra, análise funcional, lógica, teoria de modelos, teoria de provas. “Eu precisava de uma consciência geral do que acontece na matemática”, diz Olivia. “E essa ideia de usar os topos como pontes é algo que veio de um estudo muito intenso. Acho que, para mudar paradigmas e introduzir novas visões, o pesquisador não pode ter medo de voltar aos fundamentos e repensar as coisas desde as bases.”

Há poucas pessoas trabalhando com toposes classificadores, e, até o dia em que Olivia propôs a ideia num trabalho de doutorado, os matemáticos não pensavam em usá-los como ponte entre teorias. Hoje, porém, seu trabalho atrai a atenção da comunidade matemática. “A geração mais velha resiste um pouco a aceitar esse ponto de vista, mas as coisas têm ido bem. A geração mais jovem, por sua vez, em geral entende esse ponto de vista mais rapidamente.”

Como se interessou por essa teoria de unificação da matemática?

No início do doutorado em Cambridge, em 2006, conheci muitos conceitos importantes na lógica categórica; essa já era minha principal área de interesse na Itália, em particular os toposes de Grothendieck. E achei interessante os conceitos de lógica unificadora e a possibilidade de transferir conhecimentos entre diferentes campos da matemática. Então comecei a me perguntar: de que forma um topos pode ser aplicado na matemática? Quais ideias a teoria de topos pode me dar sobre a matemática clássica? Tive a intuição de que poderia usar os toposes de Grothendieck como uma espécie de ponte para conectar diferentes teorias; conectar no sentido de transferir resultados, técnicas, noções e ideias de uma teoria para a outra.

E como funciona essa técnica?

Imagine que tenha uma teoria da análise, uma da álgebra, e uma da geometria. Pode associar a cada uma delas um tipo de objeto, que é um topos. Então é natural que depois possa comparar as diferentes teorias comparando cada um dos toposes associado a cada uma delas. Se descubro, por exemplo, que um topos associado a uma teoria na álgebra é equivalente a um topos associado a uma teoria na análise, isso automaticamente me sugere uma conexão entre as duas teorias. É isso o que chamo de ponte. Embora a palavra “ponte” faça surgir uma imagem útil para compreender meu trabalho, eu a uso num sentido mais técnico.

Isso significa que um topos classificador admite diferentes representações; por exemplo, uma em termos da teoria algébrica, e outra em termos da teoria analítica. Ao fazer isso e estudar as propriedades invariantes dos toposes equivalentes (ou relacionados), obtenho uma propriedade algébrica e uma propriedade analítica que são logicamente equivalentes — o nome dessa equivalência é “equivalência de Morita”. É assim que construo as pontes.

Se tenho duas teorias com a equivalência de Morita, isso me dá o tabuleiro da ponte. [Tabuleiro: é o nome técnico do piso da ponte.] E os arcos [que numa ponte de verdade transferem o peso da ponte para as laterais] seriam as relações obtidas com a solução dessa invariante nos termos das duas diferentes representações. Ao compor os arcos com o tabuleiro, posso encontrar uma forma de traduzir uma propriedade num lado da ponte para uma propriedade no outro lado.

Como é a rotina de desenvolver uma nova teoria?

Tento me equilibrar entre teoria e aplicações: divido meu tempo entre desenvolver a teoria em geral e estudar campos específicos da matemática nos quais posso aplicar a teoria. Falo com muitos especialistas em diferentes áreas, e a partir dessas discussões tenho ideias de possíveis territórios matemáticos nos quais poderia aplicar uma técnica nova. Uma vez que identifico um bom problema para tratar usando minhas técnicas, começo a trabalhar nisso.

É importante manter esse vaivém entre teoria e aplicações, pois acho que, se o matemático desenvolve apenas a teoria, perde contato com os problemas que interessam os matemáticos especialistas e isso é uma lástima, pois a matemática não deveria ser desenvolvida apenas do ponto de vista abstrato, mas também a partir de problemas concretos [na própria matemática]. Por outro lado, se o matemático se preocupa apenas com problemas concretos, perde uma visão mais abrangente que possa haver além deles. Então, gosto de tentar manter esse equilíbrio, e até agora tenho conseguido.

Aliás, ando colaborando com cada vez mais pessoas nos últimos anos, inclusive especialistas, porque as pessoas agora se interessam mais por tais técnicas. Isso funciona bem, porque não consigo ter toda a bagagem de um especialista, mas ao falar com eles, tenho uma ideia dos conhecimentos especializados e eles têm comigo uma ideia das técnicas e da visão geral.

Como você se inspira e onde busca criatividade para o trabalho?

O que me motiva é encontrar bons conceitos e boas estruturas. Na minha opinião, uma boa indicação de algo frutífero é a possibilidade de calcular dentro de certa teoria. Por exemplo, o campo dos toposes de Grothendieck é muito eficiente do ponto de vista computacional e é muito convincente o fato de que, ao identificar um ambiente natural para as coisas, encontramos cálculos que podem ser feitos naturalmente. Talvez as pessoas imaginem por que alguém inventou o zero, ou por que inventaram o plano complexo. Afinal, essas coisas não são tão concretas, especialmente se pensar na raiz de menos 1 — isso não é concreto mesmo!

Mas pense no plano complexo: ainda que a pessoa esteja interessada em resolver equações polinomiais apenas na reta real, ao trabalhar num contexto estendido [o do plano complexo], ela tem maior poder, porque a possibilidade de calcular a raiz que procura está relacionada à existência de simetrias. Quando o matemático encontra um bom conceito, uma boa definição, uma boa estrutura, elas carregam em si mesmas a possibilidade de calcular ou, no mínimo, a de contemplar seus problemas matemáticos de uma forma eficaz.

No meu trabalho sempre procuro a naturalidade: as coisas têm de ser naturais, canônicas — tão canônicas quanto possível —, além de ricas no sentido computacional. Claro que há um elemento de criatividade e as pessoas devem usar a intuição, mas isso não significa fazer escolhas arbitrárias. Acho que o matemático deve tentar descobrir verdades de forma a mais natural possível; a teoria deve provar a si mesma assim que colocá-la no contexto certo. Isso, claro, é uma forma muito grothendickiana de pensar, é assim que ele descreve o modo de fazer matemática. Nunca tentou forçar as coisas, sempre se importou em encontrar bons fundamentos, bons conceitos, e estava convencido de que, uma vez que os encontrasse, poderia abordar os problemas nos quais estava interessado com maior consciência.

Fico muito contente com a teoria de topos, porque posso encontrar todos esses elementos nela, além de ser cheia de simetrias e cálculos eficazes. Isso me permite fazer operações com teorias no lugar de números. Posso, por exemplo, intersectar duas teorias, posso pegar a união de duas teorias ou mesmo fatorar um morfismo entre teorias. Os objetos com os quais trabalho são as próprias teorias matemáticas e a teoria de topos é como uma calculadora universal para elas.

Até que ponto se inspirou nos trabalhos de Grothendieck?

Li sobre ele quando ainda estava em Torino, durante a universidade, e fiquei impressionada com sua forma de pensar. Grothendieck realizou grandes coisas e certamente é o matemático com quem sinto a maior afinidade em termos de estilo matemático.

Como decidiu ser matemática?

O momento decisivo foi quando tinha 13 anos. Antes disso, a matemática parecia uma espécie de jogo mecânico, não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade; uma vez que algo é provado verdadeiro ou falso, dura para sempre. Há lindos exemplos: o teorema de Pitágoras, as provas euclidianas; eles têm milhares de anos, mas ainda são verdades e ninguém nunca vai mudar isso. Então, por um lado, existe esse aspecto de eternidade matemática, que me parece atraente e único. Nas ciências experimentais, de certa forma tudo é provisório. Além disso, gostei da ideia de resolver um problema de formas completamente diferentes, provas diferentes para um mesmo resultado. E a linguagem matemática é precisa e universal; ela nos permite compartilhar ideias de maneira objetiva, sem ambiguidade e com pessoas de todo o mundo. No fim, o matemático acaba sendo parte de uma aventura intelectual coletiva da qual o mundo inteiro participa. Além disso, há muita liberdade na matemática, embora isso não fique claro para quem está no ensino médio.

Você gostava da matemática escolar nessa época?

Quando está no ensino médio, o estudante não tem essa impressão de liberdade, porque faz apenas exercícios… Até chega a parecer meio entediante. Mas, conforme avança nos estudos, consegue ver cada vez mais casos em que pode resolver problemas de maneiras completamente diferentes, e acaba percebendo que há muita liberdade na matemática. Ninguém é forçado a resolver o problema de um jeito específico; cada um pode escolher sua própria abordagem — dá até para desenvolver um estilo matemático! Desde o começo entendi que a matemática é uma atividade bem criativa e até mesmo artística; há um elemento estético muito forte nela.

Essa visão era algo comum na sua escola?

Não, para ver isso o estudante precisa abstrair da forma clássica com que ensinam a matemática na escola. As pessoas acham bem entediante, ninguém espera que a gente use muito a intuição, ou pelo menos era assim onde estudei: bem mecânico e entediante. Pude formar uma ideia diferente da matemática lendo livros — me lembro em particular de O Que é Matemática?, do [Richard] Courant e do [Herbert] Robbins. Ele me fez olhar para a matemática de uma forma completamente diferente da forma como a olhava na escola. Nessa época, também gostava de resolver problemas, que baixava da internet. Resolvia problemas que eram mais difíceis que os da escola, eram mais elaborados e interessantes. Às vezes, passava horas tentando resolvê-los, e quando encontrava a solução ficava muito feliz. Pesquisava alguns tópicos elementares da teoria dos números e sentia muito prazer em descobrir resultados já conhecidos. E isso não importava, afinal estava tendo minha própria experiência. Gosto muito dessa sensação de me ver diante um problema difícil apenas com caneta, papel, e minha cabeça. Por tudo isso, decidi ser matemática e nunca mudei de ideia.

A música influenciou de alguma forma seu trabalho na matemática? Ou vice-versa?

A relação entre a matemática e a música sempre foi frutífera para mim, porque ambas têm muitas simetrias e, em certa medida, a beleza é dada por simetrias. Como matemática, sempre procuro simetrias e isso me ajuda a trabalhar nelas de maneira sistemática, então o treinamento matemático com certeza provocou impacto no modo como interpreto a música — ela tem tantas simetrias, tantas partes matemáticas que, eu sendo matemática, talvez as reconheça com maior naturalidade. Por outro lado, estudar música enriqueceu minha comunicação e minha capacidade de ter uma visão mais global da matemática. Quando interpreta uma peça, o músico tem de memorizar tudo, ter a peça completa na cabeça, o que o ajuda a pensar de modo global e coerente.

Você notou diferenças entre fazer pesquisa na Itália, na Inglaterra, e na França?

Bom, em geral, eu prefiro a França à Inglaterra, porque descobri que, de alguma forma, na França há uma sensibilidade abstrata maior na forma de fazer matemática. Além disso, tem a influência de Grothendieck; ele era professor no instituto onde trabalho hoje [Institut des Hautes Études Scientifiques], ou seja, trabalho no lugar onde Grothendieck originalmente introduziu os toposes. Eu não poderia desejar mais que isso [risos]. Estou muito feliz e, se puder, fico por aqui mais dois anos. {}



{2}/ Apêndice: categorias e pontes

Teoria de categorias. É uma linguagem com a qual os matemáticos pretendem unificar vários conceitos matemáticos. Com ela, eles compreendem melhor as propriedades dos objetos matemáticos, e visualizam melhor (de um ponto de vista mais alto ou mais geral) o modo como se inter-relacionam.

Categoria. É uma entidade matemática que consiste em objetos e morfismos. O estudante pode considerar um morfismo como uma função entre dois objetos; quando apropriado, pode compor dois morfismos. Os dois axiomas básicos para uma categoria são a associatividade da composição de morfismos e a existência de um morfismo identidade para cada objeto. Um exemplo é a categoria dos espaços vetoriais reais, que possui espaços vetoriais como objetos e as transformações lineares como seus morfismos.

A ideia de ponte. O leitor pode entender melhor a ideia de ponte ao pensar, por exemplo, na geometria analítica. Ao levar em consideração as coordenadas cartesianas, consegue associar uma reta a uma equação de primeiro grau, ou uma parábola a uma equação de segundo grau. Olivia diz que esse é um exemplo bem simples de ponte, pois com ela pode resolver problemas da geometria usando apenas manipulações algébricas, e resolver problemas algébricos usando apenas geometria.

O estudante bem treinado talvez ache difícil ver onde está a ponte entre a geometria e a álgebra, pois, para ele, a ligação entre os dois assuntos surge naturalmente. Contudo, pode pensar nas duas linguagens com que consegue representar o mesmo objeto. “Quando faz provas na geometria euclidiana, não precisa usar nenhuma equação”, diz Olivia. “Por outro lado, quando manipula equações, não precisa da geometria. São campos bem independentes.”

Em seu trabalho, Olivia trata de objetos mais avançados, mas a ideia é parecida com a da geometria analítica. É como se criasse um dicionário entre duas teorias distintas, com o qual, por meio dos toposes, pode traduzir os resultados de uma teoria em resultados de outra. Assim, pode ser que o matemático consiga traduzir um resultado simples numa teoria em um resultado complicado em outra, e vice-versa. É algo útil na hora de resolver problemas matemáticos. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, pág. 14, dezembro de 2014. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi feita pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto.

3. A teoria de categorias têm sido usada com sucesso em áreas como física, ciência da computação, linguística, e filosofia. A teoria é mais uma evidência de que o leitor, se quiser, pode encarar a matemática como uma espécie de ficção com certas características especiais. Com esse jeito de encará-la (cujo nome é ficcionalismo matemático), fazer matemática é bolar ficções que sirvam como metáfora para processos do mundo real, ou para processos naturais tais como os apreendemos com nossos sentidos e nosso intelecto.

A arte de resolver problemas matemáticos é a arte de escrever


Outro dia, eu e uns amigos víamos um documentário sobre astronomia na TV. A certa altura, o narrador comparou os elementos químicos com os números primos. Tudo o que existe no universo, disse o narrador, é feito de 118 elementos químicos; é como se os 118 elementos fossem os números primos da matéria física. Já os números primos são infinitos, e em parte por isso os números inteiros são infinitos também.

Uma moça ficou impressionada com a informação:

“Existem infinitos números primos?”

Ela se virou para mim e tirou a dúvida:

Infinitos? Está certo isso?”

E eu fiquei impressionado com a conversa que se seguiu. Ela gostou muito de saber que é possível provar a existência de infinitos números primos; percebi que ficou remoendo essa informação um tempão. Contudo, não se lembrava de ter ouvido a informação ao longo dos anos que passou na escola — 20 ao todo, pois tem mestrado.

É bem provável que algum professor tenha dito isso algum dia, mas ela não estava pronta para sentir curiosidade por uma informação dessas. Não sei, e ela também não. Em todo caso, com essa história desemboco num de meus assuntos favoritos: nenhum professor, nenhuma escola, e nenhum sistema de ensino consegue passar o que a matemática de fato é. A matemática é grande demais, e incrivelmente multifacetada. Nem os que vivem 110 anos têm tempo para conhecer toda a matemática que existe para ser conhecida. Portanto, não acho grave que alguém desconheça algum fato matemático ou alguma nuance interessante. O que me parece grave na história de minha amiga é outra coisa.

Ela não tinha a noção de que uma pessoa pode provar que existem infinitos números primos sem ter de contá-los um a um. Foi o que de fato a surpreendeu. Em outras palavras, ela nunca havia escrito uma prova semelhante a essa na vida: nunca havia lidado com provas por indução matemática, ou com procedimentos recursivos. Ou, se havia, foi de um jeito tão desleixado que não deixou marcas.

Quando eu era mais jovem, gostaria que alguém tivesse me dito várias vezes, até que eu entendesse: “Olha, a escola não será capaz de te mostrar, nem mesmo brevemente, o que a matemática é, qual seu poder, e por que é bonita. Você terá de descobrir tudo isso por si mesmo. Vale a pena o esforço extra, pois, na pior das hipóteses, ganhará o passatempo mais satisfatório do mundo. E qual é o melhor jeito de descobrir o que a matemática é? Resolva problemas, quero dizer, prove afirmações de cunho matemático para além de qualquer dúvida, explicando tim-tim por tim-tim por que são verdadeiras.” Se alguém tivesse dito algo assim à minha amiga, de um jeito que pudesse entender, duvido que teria ficado tão surpresa com a informação sobre os primos, e, mesmo que ficasse, teria daí um ótimo projeto com o qual se divertir. {Fim}



Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014. A versão que acabou de ver foi revista e ligeiramente reescrita.

2. O matemático americano Hung-Hsi Wu costuma dizer o seguinte: “Não existe absolutamente nenhuma distinção lógica entre resolver um problema e provar um teorema.”

Acho que a escola básica e muitos cursos universitários têm dificuldade de passar essa mensagem aos alunos, pois se concentram demais em achar a resposta certa, pura e simplesmente; ou então, o que é quase a mesma coisa, se concentram demais em usar a matemática, pura e simplesmente, sem questioná-la ou compreendê-la. (Por exemplo, usá-la na física.) Só que achar a resposta certa não é a mesma coisa que fazer matemática. Antes disso, fazer matemática é explicar, tim-tim por tim-tim, por que motivos a resposta certa é certa. Portanto, provar um teorema (e resolver um problema de cunho matemático) é uma atividade muito mais próxima de escrever um ensaio do que de fazer desenhos e contras desordenados num pedaço de papel.

3. Para ver como provar a existência de infinitos números primos, veja a postagem Deserto de números primos e um erro comum no ensino básico; vá direto para a seção 3.

4. Quando o narrador do documentário disse que toda a matéria do universo é feita de 118 elementos químicos… bem, ele pulou uma discussão filosófica difícil e interessante.

Segundo o modelo de universo mais usado por físicos, o universo é infinito em todas as direções. Visto que não temos acesso a todos os lugares do universo, nem nunca teremos (se o modelo for verdadeiro), não podemos afirmar que, incontestavelmente, toda matéria do universo é feita dos 118 elementos químicos da tabela periódica. Essa inferência é razoável, considerando o sucesso das narrativas científicas que temos hoje, mas não pode ser justificada por meio de argumentos cujas premissas sejam irrefutáveis.