Não dê xeque-mate em uma jogada


{1}/ Um problema de xadrez

Este quebra-cabeça foi criado pelo problemista alemão Karl Fabel em 1952. É interessante por si só, mas também por conta de algumas ligações com a matemática.

Problema. É sua vez de jogar com as brancas. Seu desafio é não dar xeque-mate em apenas uma jogada.

Monte um tabuleiro diante de si com a configuração acima e divirta-se. Evite ler a resolução antes de resolver por si mesmo o problema, até porque, caso leia a resolução antes da hora, vai se privar de um prazer intelectual muito satisfatório: esse problema é bom.

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{2}/ A resolução

Ao estudar a configuração, deve descobrir que não pode mover nenhum peão, nem o rei, nem o bispo em h7, nem a torre em h8. Só pode mover os dois cavalos, o bispo em a8, e a torre em g6. Além disso, à primeira vista, qualquer que seja a peça que mova, o rei preto cai em xeque-mate.

Cedo ou tarde vai descobrir o que fazer:

1. Tc6+!

Que alegria ver isso pela primeira vez! Essa é uma das semelhanças entre xadrez e matemática: o prazer quando você finalmente vê qual é a solução de um problema. Ao jogar 1. Tc6+, bloqueia a diagonal a8-h1, e portanto bloqueia o bispo em a8; com isso dá às pretas a possibilidade de usar a torre para responder ao xeque.

1. …     T×h7.

Agora você já resolveu o problema, e pode dar xeque-mate de qualquer maneira que deseje. Eu gosto de:

2. Tc7 mate.

Pois, fazendo assim, dá o xeque-mate com o bispo que bloqueou da primeira vez.

Se quiser, pode ver outra semelhança desse problema com problemas de matemática: depois que vê a solução, o problema perde a graça. Nem todo problema de xadrez é assim, pois alguns continuam interessantes mesmo depois que você vê a solução; e nem todos os problemas de matemática são assim também.

E por fim esse problema tem mais outra semelhança com matemática: depois que você vê a solução, e o problema perde a graça, você insiste nele um pouco mais, passa a estudá-lo de pura teimosia, e ele de repente volta a ter graça! Talvez a história transcorra assim: você acha a solução, explora os movimentos possíveis depois que as pretas capturam o bispo em h7, e por fim volta o tabuleiro à posição original. E só então vê que, na posição original, as brancas têm dois bispos em diagonais brancas.

Pode isso, Arnaldo?

Se essa fosse a história de um problema matemático, ela poderia ter transcorrido assim: você partiu de certas hipóteses e usou seus conhecimentos para provar uma tese. Feito isso, voltou atrás para estudar melhor as hipóteses e descobriu nelas algo que lhe parece inconsistente. O que fazer?

Um jeito é dar de ombros e dizer: “Bem, a matemática é a arte de provar que, se meu leitor aceita determinadas hipóteses, não tem escolha senão aceitar a tese. Em outras palavras, se aceita os axiomas, e visto que minha argumentação não contém falhas, então não tem escolha senão aceitar os teoremas produzidos a partir de tais axiomas. Sendo assim, considero meu trabalho acabado, e adeus.” No problema de xadrez, seria dizer que 1. Tc6+ resolve o problema, e adeus.

Outro jeito é investigar essa aparente inconsistência nas hipóteses iniciais e transformá-la num problema em si. No decurso de uma partida usual, pode haver dois bispos de diagonal branca? Uma posição na qual haja dois bispos de diagonal branca é um teorema do xadrez?

Muitos leitores fizeram pergunta semelhante a essa para Karl Fabel em pessoa. Ele respondeu mais ou menos assim:

Durante a partida, ao promover um peão, você deve trocá-lo por cavalo, bispo, torre ou dama — portanto, pode trocá-lo por um bispo. O leitor imagine isto: as brancas promoveram um peão em a8, ou seja, promoveram um peão a bispo. (Visto que as brancas não têm dois peões, o leitor até pode imaginar outras histórias.)

Em geral, ao promover um peão, o jogador deseja uma peça forte, tipo uma dama ou uma torre, mas já houve casos reais em que isso não aconteceu. Quase sempre, se o jogador das brancas planeja promover um peão, põe uma peça para proteger a casa em que ocorrerá a promoção. O jogador das pretas, por sua vez, desloca uma peça para capturar o peão assim que for promovido. Suponha que as brancas estão protegendo a casa da promoção com um cavalo, e que as pretas deslocaram uma torre para capturar o peão promovido. Se as brancas promovem o peão a uma torre ou a uma dama, as pretas cedem uma torre em troca de outra torre ou, melhor ainda, em troca de uma dama. Mas e se as brancas promovem o peão a um cavalo ou a um bispo? Talvez as pretas, para ficar com sua torre, se sintam tentadas a deixar o peão recém-promovido em paz, e daí dois bispos de diagonal branca viram um teorema do xadrez, a partir do qual a posição depois de Tc6+ também é um teorema. {FIM}


Observação sobre axiomas e teoremas:

Não há nenhuma diferença essencial entre axioma, teorema, lema, corolário, postulado, etc.; se quiser, pode trocar qualquer uma dessas palavras por teorema. Em geral, chame de axiomas os teoremas que usa como ponto de partida; são afirmações que ou você aceita como válidas ou você já provou válidas em outros carnavais. E chame de teorema uma afirmação que pôde deduzir, por meio de argumento lógico válido, de um grupo de axiomas. Fazendo assim, “afirmação válida da matemática” e “teorema” se tornam sinônimos, o que é bastante conveniente. Por exemplo, caso alguém te pergunte: “Essa afirmação A é um teorema da teoria dos números?”, o que está querendo dizer é: “Essa afirmação A é um axioma da teoria dos números ou foi logicamente deduzida de tais axiomas?” Frases desse tipo são comuns em textos atuais sobre axiomática, lógica, e filosofia da matemática.

Note que os gregos antigos fizeram diferença entre axiomas, postulados, teoremas. Na verdade, fizeram uma confusão danada com tais termos; contudo, foi porque não puderam pensar no assunto direito, já que o assunto é difícil e eles eram pioneiros. Hoje em dia, para gente habituada a textos sobre axiomática, toda afirmação válida da matemática é um teorema. Transpondo isso para o jogo de xadrez, você e seu oponente declaram a posição inicial como sendo um teorema; a partir dela, desde que ambos movimentem as peças conforme as regras do jogo, todas as posições subsequentes também são teoremas.

Descubra qual é o gráfico mais lindo


QUAL FOI o gráfico mais importante e bonito que o homem jamais criou? Maria do Carmo de Souza, professora na Universidade Federal de São Carlos (SP), na tentativa de elaborar uma resposta, acaba mencionando o gráfico da figura 1. “Hoje, em qualquer país do mundo”, diz Maria do Carmo, “tem havido uma luta histórica, uma luta de muitos anos, para fazer com que qualquer cidadão escolarizado compreenda a importância desse gráfico e saiba usá-lo, pois representa uma das grandes conquistas da humanidade.” Esse gráfico “interessante e belo”, nas palavras dela, é feito de tão somente de duas linhas cruzadas:

Fig. 1

É só isso. O que há nesse gráfico? O que um matemático vê nele? Ele não vê dois eixos ortogonais (que se cruzam em ângulo reto), cada um deles marcado com uma escala. Ele vê um conjunto, o conjunto X, cujos elementos são números reais, cada um dos quais ele representa com a letra x. Em geral, marca isso com a notação típica dos conjuntos:

Lê essa linha assim: “Existe esse conjunto X, cujo elemento genérico quero chamar de x, tal que x pertence ao conjunto dos números reais, isto é, x é um número real.” Olhando o gráfico com as duas retas, ele vê também o conjunto Y, cujos elementos são números reais e cujo elemento genérico representa com a letra y:

E daí ele vê uma coisa que o leigo só pode ver com dificuldade, depois de se esforçar: o produto cartesiano dos conjuntos X e Y, que é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tais que xX e yY. Na prática, ele vê todos os pontos do plano, pois pode localizar cada um desses pontos com um par ordenado (x, y) de números reais; ele vê todas as infinitas combinações possíveis de elementos de X com elementos de Y. Em resumo, ele vê o plano inteiro — um plano que se estende infinitamente à esquerda do ponto O (o ponto que marca a origem), infinitamente à direita de O, infinitamente acima de O e infinitamente abaixo de O.

Ora, e que novidade é essa? Os gregos já não imaginavam retas e planos tão compridos quanto quisessem? O que pode haver de belo e interessante nisso? OK — vamos lá. Então agora o matemático imagina um grego dando instruções matemáticas a outro grego, falando, claro, grego antigo:

“Imagine uma reta. Imagine um ponto de referência localizado nessa reta. Imagine agora um ponto fora dessa reta, localizado assim: ande duas unidades à direita do ponto de referência, e depois suba três unidades, mas perpendicularmente em relação à reta que primeiro imaginou.”

Difícil, não é verdade? A figura 2 mostra o que esse grego está querendo dizer.

Fig. 2

Não seria mais fácil mencionar “plano cartesiano” e “ponto (2, 3)”? É por isso que Maria do Carmo menciona a palavra taquigrafia. “Vários historiadores se referem ao plano cartesiano como sendo a taquigrafia do matemático, pois é uma forma extremamente eficiente e bonita de descrever as relações entre duas variáveis, sejam relações puramente matemáticas, sejam as relações entre duas variáveis do mundo real, relações que surgem por meio de medições. Eu desenho dois eixos X e Y, marco uns pontos, e a pessoa escolarizada imediatamente sabe do que estou falando.” Mas o estudante vê mais fácil a beleza e a importância do plano cartesiano quando examina um exemplo mais complicado.

Que tal bactérias? “Meus alunos adoram a história das bactérias”, diz Maria do Carmo. Um ecossistema contém alimentos adequados para que as bactérias se reproduzam; quando chega a hora de uma bactéria se reproduzir, ela simplesmente se divide em duas. (São assexuadas.) O ecossistema começa com uma bactéria. Depois de uma unidade de tempo, ela se divide em duas. Depois de mais uma unidade de tempo, cada uma das duas se divide em mais duas — e assim por diante. (Depois de apenas 50 unidades de tempo já existem 1.125.899.906.842.624 bactérias no ecossistema, supondo que ele suporte tudo isso.) O matemático usa o plano cartesiano e passa essa ideia com simplicidade por meio da figura 3.

Fig. 3

Mas o matemático não precisa se ater à situação real, isto é, se ater à contagem de bactérias no ecossistema em que se reproduzem. Ele pode imaginar uma regra pela qual ligar qualquer elemento de X a um elemento de Y de modo que, quando x for um número natural, y será o número natural 2x. Fazendo assim, ele inclui a contagem de bactérias, mas vai muito mais longe:

Aqui, o matemático criou um novo conjunto, o conjunto B, que é feito de pares ordenados (x, y) tais que a abscissa x pertence a X, a ordenada y pertence a Y e ele, quando conhece o valor de x, pode calcular o valor de y ao elevar 2 a x. Esse conjunto B é um lugar geométrico, isto é, um conjunto específico de pontos no plano: apenas os pontos que tornam válida a relação y = 2x entre pontos x e y do plano. (O estudante também pode aplicar o nome lugar geométrico a pontos no espaço, que pode ser inclusive um espaço impossível de visualizar, como um de dimensão 26.) Se quiser, o matemático pode ver o conjunto B como uma curva ou um gráfico, o que é a mesma coisa que dizer que B pode ser visto como um subconjunto do plano cartesiano (ou do produto cartesiano X × Y), como mostra a figura 4.

Fig. 4

A linha azul marca apenas uma parte dos pontos que pertencem a B (já que a linha se estende indefinidamente à esquerda e à direita). Com o processo de abstração, o matemático abandonou a realidade das bactérias e criou uma realidade em que faz sentido falar não apenas de 21 ou 250, mas também de 2π ou de 2√2; não só faz sentido falar dessa realidade imaginária como, usando-a como guia, ele até consegue desenhá-la e comunicar sua existência sem usar nenhuma palavra. “É uma forma enxuta e bela de descrever certos movimentos”, diz Maria do Carmo. “Agora, uma fórmula e um desenho viraram a mesma coisa.”

Acomodando quadradinhos. Nicolau Corção Saldanha, professor na PUC-Rio, gosta de mencionar um problema comum na vida de qualquer pessoa que mexa com probabilidade e estatística: o de calcular o valor do fatorial de n, isto é, o valor de n!, sendo n um inteiro não negativo. Uma pessoa, por exemplo, pega 26 fichas e escreve uma letra do alfabeto em cada uma delas: A, B, C, D, …, W, X, Y, Z. Depois põe essas fichas numa máquina, que deve sortear cinco delas. (Nenhuma ficha volta para a máquina depois de sorteada e a ordem do sorteio importa.) Qual é a probabilidade de que a máquina sorteie a sequência BWHRF? A pessoa deve pensar assim: “Ao sortear a primeira letra, a máquina tem 26 letras; ao sortear a segunda, tem 25 letras; e assim vai.” O número total de sequências possíveis é:

26 · 25 · 24 · 23 · 22 = 7.893.600

A sequência BWHRF é só uma entre todas elas; logo a probabilidade de BWHRF é:

E se, nas mesmas condições, a máquina sortear uma sequência de sete letras? Qual será a probabilidade de sair, por exemplo, HTOGDPX? Fazendo as contas do mesmo jeito, é:

E se, nas mesmas condições, a máquina sortear uma sequência de k letras de um alfabeto com n letras? É aqui, quando o matemático pula para uma pergunta genérica, que ele usa os fatoriais. De posse de um computador, ele trabalha menos para calcular a razão mais à direita da igualdade abaixo do que a razão mais à esquerda:

É mais ou menos em situações como essa que o especialista em probabilidade e estatística topa com fatoriais: ele imagina de quantas maneiras distintas um sistema pode se organizar, para daí verificar qual é a probabilidade de que uma dessas maneiras ocorra. Além disso, nas situações reais de pesquisa (da matemática pura ou aplicada), o matemático tem de lidar com fatoriais de números muito grandes. Como ele faz para calcular, por exemplo, o fatorial de 5 trilhões? (Um número grande como esse não cabe nas especificações técnicas de um computador comum, que, em geral, devolve uma mensagem de erro para 5.000.000.000.000!) O que muito estudante desconhece, diz Nicolau, é que um matemático, para calcular mais ou menos o valor de um fatorial como esse, na verdade usa a curva da função 1/t, sendo t um número real positivo (figura 5).

Fig. 5

Na faculdade, os professores definem o logaritmo natural de x com essa hipérbole: lnx é a área debaixo da curva de 1/t entre t = 1 e t = x; a definição vale para x > 0. A fórmula junto da figura 6, embora pareça complicada, contém uma sequência simples de instruções: pegue a curva de 1/t num plano cartesiano, meça qual é a área delimitada pelo eixo X, pela curva de 1/t, e pelas linhas verticais t = 1 e t = x e por fim, ao achar o valor dessa área, terá achado o valor de lnx. (Por convenção, se x < 1, isto é, se x está à esquerda de 1, a área deve ter valor negativo.)

Fig. 6

Partindo dessa informação, e seguindo uma sequência complicada de deduções (que não vamos mostrar), Nicolau chega à famosa aproximação de Stirling:

Essa fórmula diz que, em vez de calcular n! = 1 · 2 · 3 · 4 · ··· · (n – 1) · n, o matemático pode elevar n ao índice n, dividir isso por e elevado ao índice n, e multiplicar essa razão pela raiz quadrada de (2 vezes π vezes n). Para valores grandes de n, as duas contas ficam quase iguais. Ora bolas, isso é mais fácil que calcular o fatorial de n? A questão não é essa, mas sim que o matemático pode facilmente transformar a versão à direita da equação acima num somatório de termos mais simples, e daí a programar um computador para lidar com os termos do somatório é um pulinho de programador recém-formado. “Acho isso legal porque, olhando a fórmula, não parece que na verdade estamos comparando áreas.”

Fig. 7

A equação da capa do livro

Nicolau gosta de outra característica inesperada das hipérboles: elas contêm o número de divisores inteiros positivos do número k, sendo k um inteiro positivo. Ele mostra a capa de um livro que escreveu com outros três matemáticos, onde aparece uma hipérbole cheia de quadradinhos embaixo. (Veja a figura 7.) “Quero dizer o que essa fórmula da capa significa”, anuncia Nicolau. “D(k) é o número de divisores inteiros positivos de k. Nessa fórmula, você acha o número de divisores positivos de 1, o número de divisores positivos de 2, e assim por diante até o número de divisores positivos de n, e daí soma tais números.” Esse somatório parece complicado porque alguns números, como os primos, têm só dois divisores — é o caso de 59 e de 61. Alguns números têm muitos divisores: no caso de 60, são 12 ao todos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, e 60. O que um matemático faz?

Ele reconhece que pode acomodar essa soma de números de divisores positivos de 1 até n debaixo de uma hipérbole, de modo que a soma dos números será mais ou menos igual à área debaixo da hipérbole! É isso o que o desenho e a fórmula dizem: o termo n∙logn fornece a área debaixo da hipérbole (não toda ela, mas a área que interessa), e os outros termos corrigem a diferença entre a área debaixo da hipérbole e a área ocupada pelos quadradinhos, que representa a soma de divisores positivos de 1 até n. (Note que, neste caso, logn = lnn; em textos sobre teoria dos números, log costuma significar logaritmo natural, e não logaritmo de base 10.) “Acho essa figura muito bacana, pois junto uma curva clássica, que é a curva da hipérbole, com os quadradinhos, e com tudo isso posso ver o significado de um somatório complicado. Ninguém se surpreende que haja uma figura geométrica bonita na capa de um livro de geometria. Mas esse é um livro sobre teoria dos números!” Nicolau tem até um conselho: todo estudante deve se esforçar para achar um jeito de visualizar as afirmações matemáticas. Nem sempre isso é possível, mas muitas vezes é, e ao desenhar o estudante verá que fica mais fácil pensar em ideias complicadas.

Entra o famoso Fibonacci. Na Universidade Estadual de Londrina, o professor e autor Ulysses Sodré menciona o problema que Leonardo de Pisa (Fibonacci) publicou em 1202:

Problema. Um criador de coelhos começa com um único casal de coelhos (recém-nascido). Quantos casais terá em um ano se todo mês um casal dá à luz a um novo casal de coelhos, e se o casal recém-nascido se torna fértil a partir do segundo mês de nascimento?

A resolução moderna funciona assim: no mês 0, por convenção há 0 casais de coelhos. No mês 1, há um casal jovem demais para procriar. No mês 2, ainda há 1 casal jovem demais para procriar. No mês 3, há 2 casais: o primeiro casal mais a primeira cria (um casal). No mês 4, há 3 casais: o primeiro casal, um casal de um mês e um casal recém-nascido. No mês 5, há 5 casais: o primeiro casal, a primeira cria (que já está fértil), mais uma cria do primeiro casal, mais uma cria da primeira cria, e uma cria de só um mês. E assim vai. Com algum esforço, e depois de desenhar bastante, o estudante chega à fórmula para gerar a sequência de Fibonacci:

Em essência, a fórmula diz que um termo específico dessa sequência tão famosa é a soma dos dois termos anteriores. Os primeiros termos são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e 144, e portanto a resposta é: ao fim de 12 meses, o criador terá 144 pares de coelhos, pois F12 = 144. De 1202 para cá, os matemáticos já descobriram muita coisa sobre a sequência de Fibonacci (a maioria das quais o próprio Fibonacci desconhecia), entre elas:

[] Conforme n tende ao infinito, a razão entre Fn+1 e Fn tende ao número áureo ϕ:

[] Isso também pode ser visto num gráfico, que, em geral, “causa grande impacto”, segundo Ulysses. É a famosa espiral de Fibonacci, que, conforme o número de quadrados aumenta, fica cada vez mais semelhante a uma espiral áurea (feita com retângulos que guardam entre si a proporção áurea):

Fig. 8

Eis aí um desenho que representa bem a história da matemática: um sujeito cria um probleminha irreal (coelhos que só produzem um macho e uma fêmea a cada gestação? filhotes de coelhos que nunca morrem?), cuja solução é uma sequência interessante de números, e daí matemáticos começam a achar essa sequência em muitos recantos da matemática, assim como cientistas começam a ver essa sequência em muitas coisas da natureza. “Mas, na verdade”, diz Ulysses, “eu gostaria de dizer que não tenho preferência por uma fórmula ou uma curva.” Ele apenas menciona Fibonacci e as espirais mais famosas porque já notou que as pessoas ficam bem impressionadas. Para Ulysses, tudo na matemática é bonito e importante: o matemático estuda a matemática movido pelo simples prazer que sente ao estudar matemática (= resolver problemas de cunho matemático), e um belo dia alguém vê um pedacinho de matemática na natureza. (Só vê a matemática na natureza porque a olha com boa vontade. Não existe nenhuma situação real que se conforme perfeitamente aos critérios objetivos de aplicação da teoria matemática.) Fazendo assim, devagar o homem compreende melhor o modo como o universo funciona. “No fundo”, diz Ulysses, “acho que estudamos essas coisas da matemática porque gostaríamos de entender a natureza.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 38, março de 2014, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. As figuras 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 8 são do artista gráfico Henrique Arruda.

4. Os autores do livro Teoria dos Números, do qual Nicolau Saldanha é coautor, se esforçaram para escrever um livro bem-humorado. No prefácio, por exemplo, eles descrevem assim certas palavras especiais:

“ ”

Claramente. Nós não estamos com vontade de escrever todos os passos intermediários.

Lembre. Nós não deveríamos ter dito isso, mas…

Sem perda de generalidade. Nós não faremos todos os casos, então vamos fazer só um e deixar você adivinhar o resto.

Verifique. Essa é a parte chata da prova, então você deve fazê-la na privacidade de seu lar, quando ninguém estiver olhando.

Esboço de prova. Estamos com muita preguiça de fornecer os detalhes, então só listamos alguns passos que fazem parte do argumento.

Dica. A maneira mais difícil dentre as várias maneiras de resolver um problema.

Analogamente. Pelo menos uma linha da prova acima é igual à prova deste caso.

Por um teorema anterior. Nós não nos lembramos de como era o enunciado (na verdade, não temos certeza se provamos isso ou não), mas se o enunciado está correto, o resto da prova se segue.

Prova omitida. Acredite, é verdade.

“ ”

É um livro muito bom, mas, para o matemático amador, não chega a ser leitura fácil. Se você é do tipo que não desiste nunca, pode comprá-lo: não vai se arrepender.

Ciência, matemática, ou filosofia?

Para responder a uma pergunta desse tipo, o respondente tem de ser ao mesmo tempo cientista, matemático, e filósofo. Existe alguém assim? Sim, existe: Rodrigo de Alvarenga Freire, professor de filosofia na Universidade de Brasília.

O que você verá neste texto:

Seção 1: Uma breve apresentação do entrevistado.

Seção 2: A entrevista pingue-pongue em si.

Seção 3: Três definições de filosofia feitas com passagens de três filósofos vivos.

Seção 4: A famosa refutação da tese de que “conhecimento é crença verdadeira”.

Seção 5: Uma versão brasileira do artigo Filosofia para Leigos, do matemático e filósofo britânico Bertrand Russell.


{1}/ Introdução à entrevista: Sem paz de espírito

Rodrigo Freire em selfie

Obviamente, se Rodrigo é professor de filosofia, é porque escolheu a filosofia em detrimento da matemática e da ciência — e em breve o leitor saberá o porquê. Quando Rodrigo dá as boas-vindas a uma turma nova de alunos, porém, procura descobrir os motivos pelos quais cada um dos alunos optou pela filosofia. “Durante as primeiras aulas”, diz Rodrigo, “percebo que alguns alunos estão atrás de verdades absolutas, ou seja, estão atrás de algum tipo de conforto.” O próximo passo é ajudar o aluno a entender o que é a filosofia. “A filosofia não é uma busca por paz de espírito. Ela não é uma busca por tranquilidade — na verdade, é o exato oposto disso. A filosofia é a atividade de pensar sistematicamente, e de produzir argumentos como resultado desse pensamento sistemático. Ora, pensar não nos traz conforto, pois quem pensa está sempre produzindo fontes de inquietação. Pensar certamente não traz a ninguém paz de espírito.”

Rodrigo entrou na faculdade em 1999 para estudar engenharia elétrica, e logo no segundo ano obteve uma bolsa de iniciação científica. Ao longo da graduação, estudou a distribuição de energia em supercondutores de uma cavidade, e ele e seu professor orientador publicaram dois artigos científicos sobre isso. Por um período, achou que se transformaria num físico profissional, e por isso decidiu estudar física mais intensamente, especialmente a teoria da relatividade. Foi fazer uns poucos cursos de verão no Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Rio de Janeiro (Impa). Aos poucos percebeu que se interessava mais pelo problema dos fundamentos da matemática. “Na física, eu resolvia muitas equações, o que é natural. A cada uma delas, me perguntava: Qual é o significado disso tudo? Quando conversamos sobre matemática, sobre o que estamos conversando afinal?” Daí para a filosofia, foi um pulo.



{2}/ A entrevista em si: Filosofar não é ler

Como aconteceu o salto da matemática para a filosofia?

Quando eu estava trabalhando como físico, me interessava pela fundamentação da física, e por isso fui estudar matemática mais intensamente. Mas, quando estudava matemática, quando resolvia problemas de matemática, não podia deixar de notar que havia em mim uma inclinação por problemas de fundamentação. No fundo, eu queria saber mais sobre os fundamentos do conhecimento humano. Isso ainda não estava bem claro, mas era essa a sensação.

Para entender a matemática melhor, fui estudar lógica, o que me levou naturalmente a estudar um pouco de filosofia.

Para resumir, você queria saber por que todos esses tipos de conhecimento fazem sentido?

Isso. O caminho que eu tinha imaginado para mim, que era fazer um doutorado em física, e depois um doutorado em matemática, não se concretizou. O que aconteceu de verdade é que, depois da graduação, fui fazer um doutorado em filosofia no centro de lógica da Unicamp [Universidade Estadual de Campinas]. Meu orientador era o Walter Carnielli, e de cara fui estudar coisas como teoria dos conjuntos, lógica formal, teoria de modelos, computabilidade… Foi ótimo: eu me encontrei.

Por que se interessou pelos fundamentos da matemática?

Quase todo mundo pensa na matemática como sendo a arte da dedução. Quando falamos de matemática, automaticamente pensamos em deduções, demonstrações. Mas, se você vai deduzir algo, ou vai demonstrar a validade de algo, você começa de axiomas, ou de definições prévias.

Mas o que são essas definições? O que expressamos com elas? Qual é o peso do aspecto semântico da nossa linguagem natural nas definições matemáticas? Quem disse que uma definição realmente expressa o que desejamos que expresse? Qual é realmente o significado da linguagem matemática?

Todas essas perguntas já estavam presentes, de alguma forma, no meu primeiro doutorado [de 2009], e venho trabalhando com elas desde então.

Até que ponto conhece a rotina do matemático?

Eu sempre achei que, para fazer uma boa filosofia da matemática, o filósofo precisa conhecer matemática. Não há como escapar disso.

Não basta conhecer a geometria euclidiana e mais outros assuntos típicos da escola básica. Não basta nem mesmo conhecer as primeiras ideias do cálculo e da álgebra linear. Acho que o filósofo precisa conhecer bastante bem o que os matemáticos estão fazendo hoje.

E hoje eles trabalham intensamente com definições. O aspecto definicional da matemática atual é fortíssimo. Você pode ter uma ideia do que estou falando se pensar na álgebra linear, na qual a importância das definições não demora muito para aparecer. [Quando o aluno estuda espaços vetoriais; em geral, o estudo começa com a definição abstrata de espaço vetorial, que não menciona nenhum espaço em particular.] Esse aspecto definicional não existe dessa maneira no cálculo, pois em geral as faculdades montam o curso de introdução ao cálculo com base em ideias mais intuitivas; é só no curso de análise que o aluno vai começar com definições formais abstratas e, depois disso, deduzir o cálculo a partir das definições.

Por isso, logo que comecei o doutorado em filosofia, passei a fazer cursos como aluno especial no IME [Instituto de Matemática e Estatística da USP]. Assim que terminei o primeiro doutorado, ingressei no segundo, desta vez no próprio IME e como aluno regular. (Já terminei os dois doutorados; no IME, defendi uma tese sobre lógica, com um componente técnico mais forte, visto que eu estava numa faculdade de matemática.) Em outras palavras, acho que preciso conhecer a prática matemática moderna, aquela que é feita hoje, se quero ter uma visão mais correta da matemática. Caso contrário, como eu poderia filosofar sobre os fundamentos da matemática? Isso seria falar sobre algo sem saber do que estou falando.

E como aconteceu de ensinar filosofia em Brasília?

Foi por meio de concurso. O departamento de filosofia abriu concurso para professor, eu concorri e passei. Estou há dois anos no departamento de filosofia da UnB.

Comecei com um trabalho de base, cujo objetivo é dar aos alunos uma fundação forte em lógica e em fundamentos da matemática. Meus colegas na UnB e eu até criamos disciplinas novas; neste semestre, por exemplo, estou dando um curso de filosofia da matemática. Os alunos vão filosofar sobre conjuntos e sobre a parte mais básica da lógica. Tudo isso tem sido muito bom.

Dou também um curso de introdução à filosofia. Tenho achado interessante esse curso, pois sua estrutura reflete bastante bem o que penso da filosofia.

O que é a filosofia?

Vou dizer o que é a filosofia para mim: é a atividade de pensar, de modo muito racional, sobre os fundamentos das diversas ciências, e uso a palavra “ciência” em sentido amplo.

Uma das atividades do filósofo é a de elucidar conceitos. Se um conceito está meio obscuro, meio confuso, o filósofo pega esse conceito e tenta apresentar uma definição melhor em termos de conceitos já mais bem entendidos — se isso for possível. Outra atividade é a de fundamentação, isto é, o trabalho de encontrar os primeiros princípios de um corpo teórico. E outra atividade é a de refutação de teses, isto é, o de achar argumentos novos para refutar teses que eram aceitas no passado. O exemplo clássico é a tese de que podemos definir o conhecimento como sendo a crença que é verdadeira. Essa tese já foi refutada, e hoje as definições de conhecimento não passam nem perto disso. [Para estudar a refutação, veja a seção 4.]

A primeira ideia que procuro passar a meus alunos é esta: o trabalho do filósofo atual não é produzir ensaios sobre os filósofos mais antigos e veneráveis. O trabalho do filósofo é pensar sistematicamente para produzir argumentos a favor de uma tese ou contra uma tese. Se o filósofo não estiver produzindo argumentos, não está filosofando.

Para ajudá-los, divido o curso em vários temas (metafísica, epistemologia, ética, linguagem, filosofia da mente, filosofia da ciência), e juntos nós estudamos vários argumentos para cada tema, tanto argumentos que os alunos produzem quanto argumentos clássicos. Por exemplo, estudamos argumentos sobre o problema do livre-arbítrio, ou sobre o problema do mal.

Costumo dizer: o trabalho do filósofo é saber do que está falando. Se o aluno não entende o que outra pessoa está falando, talvez não seja culpa dele, mas sim dessa outra pessoa. Contudo, se ele não entende o que ele mesmo está falando, certamente é culpa dele. Entender o que estamos dizendo é entender as condições de verdade do que estamos dizendo, isto é: o que teria de acontecer para que aquilo que estamos dizendo seja verdadeiro? Filosofar é dar resposta a essa pergunta.

Você recomenda a seus alunos um primeiro livro, para lhes dar uma ideia do que é ser filósofo?

Não. Adoto o método de não atribuir leitura — pelo menos não no primeiro curso de introdução. Quero com isso enfatizar a ideia de que a filosofia não é uma atividade de leitura. Filosofar não é a atividade de ler — filosofar é a atividade de pensar.

É claro que o aluno pode ler, se ele quiser, mas desde que a leitura sirva de apoio ao pensamento. Ele não deve usar a leitura para repetir, de qualquer modo que seja, aquilo que está lendo. Eu não quero que meus alunos se transformem em filósofos do pensamento dos outros. Lamento dizer que isso acontece com bastante frequência em faculdades de filosofia.

Durante as minhas aulas, portanto, muitas vezes eu apresento um argumento e peço à classe que pense sobre ele. Está correto? Incorreto? Para dizer isso, o aluno tem de produzir um argumento. Às vezes, apresento uma pergunta difícil (toda pergunta boa é difícil) e fatalmente algum dos alunos me pergunta: “Professor, como se resolve isso?” Se a pergunta é realmente boa, eu não tenho como saber, e por isso respondo: “Não sei. O que você acha?”

Que bom que você não começa seu curso pedindo aos alunos que leiam Platão e Aristóteles! Seria como começar um curso de matemática pedindo aos alunos que lessem Euclides, não é mesmo?

[risos] Eu sempre digo que, na filosofia, por causa dessa ênfase desmedida na leitura, que é dominante, ocorre uma valorização desmedida das línguas.

Dizem que, para estudar esse ou aquele filósofo, você tem de saber alemão ou grego. E de fato eu costumo ouvir coisas do tipo: “Só dá para entender esse argumento em alemão.” Ora, em qualquer departamento de física do mundo, nenhum físico vai dizer que só dá para realizar certo experimento em alemão! [risos] Se um argumento pode ser explicado em alemão ou grego, então pode ser explicado em inglês ou português. Agora, se o argumento é obscuro, a explicação fica obscura, e o problema não é que foi escrito originalmente em alemão — o problema é que o argumento é obscuro, e continuará sendo obscuro em qualquer outro idioma.

Diagrama de Venn de “se isso, então aquilo”, de “isso implica aquilo”, ou de “todo isso é um aquilo”. A letra “U” denota o conjunto universo

Quais são as dúvidas mais comuns de seus alunos, ao menos nas primeiras semanas?

No curso de lógica, com frequência eles têm dúvidas sobre o conceito de implicação material. Na linguagem natural, a implicação em geral aparece assim: “Se isso, então aquilo.” [Pode ser também: “Todo isso é um aquilo” ou “Isso implica aquilo.” Vocabulário: “isso” é o antecedente ou a condição suficiente; “aquilo” é o consequente ou a condição necessária. Às vezes, chamam “isso” de hipótese e “aquilo” de tese.] Demora para o aluno entender como funciona uma implicação.

Quando alguém vai estudar o conceito de implicação, percebe que as condições de verdade de uma implicação são tais que, se o antecedente da implicação é falso, a implicação em si deve ser declarada verdadeira independentemente do valor de verdade do consequente. Outro ponto de confusão são as inversões: o que é condição necessária, o que é condição suficiente, e em que circunstâncias uma implicação válida implica a validade da inversão “Se aquilo, então isso.”

Um exemplo: suponha que tem um filho ou uma filha, e quer dar uma instrução à criança — ela não pode comer só a sobremesa e deixar o almoço. Suponha ainda que vai usar a lógica para dar a instrução. O que deve dizer à criança? Ofereço aos alunos duas opções:

(A) Se você almoça, então come a sobremesa.

(B) Se você come a sobremesa, então almoça.

A resposta correta é (B), porque, em (B), para que a implicação seja válida, a criança só pode comer a sobremesa caso já tenha almoçado. A resposta (A) é incorreta porque, se a criança comer a sobremesa sem almoçar, se ela aliás jogar o almoço fora, a implicação continua válida.

Quase ninguém acerta isso, pois há uma inversão da ordem temporal das ações. Em geral, primeiro a gente almoça, e depois come a sobremesa. Contudo, na lógica a ordem temporal não importa (ou pelo menos não importa num curso de introdução à lógica). A implicação material não tem nada a ver com a ordem com que fazemos as coisas, mas com o valor de verdade das afirmações.

Com base na sua experiência, o que é filosofia, mas não é nem ciência nem matemática?

Existem muitos problemas que são genuinamente filosóficos; eles até podem ter alguma ligação com matemática e ciência, mas vão muito além de tais ligações. Por exemplo, o problema da incompatibilidade entre livre-arbítrio e determinismo.

Eu posso dizer que, do ponto de vista do cientista, tudo o que acontece é consequência das leis da natureza, do estado inicial do universo (ou do estado do universo num passado remoto), e, digamos assim, de certos componentes aleatórios. [Eles são comuns, por exemplo, na mecânica quântica.] Essas três coisas determinam tudo o que é o caso. Elas são muito razoáveis: acho que um físico, por exemplo, vai se sentir à vontade com as três afirmações.

O fato é que nenhuma dessas três coisas nos competem. Não temos competência nenhuma sobre as leis da natureza, nem sobre o estado inicial do universo, nem sobre aquilo que é aleatório. Assim, é possível montar um argumento muito bom, até hoje válido, dizendo o seguinte: tudo o que eu faço é consequência dessas três coisas. Contudo, se nenhuma delas me compete, ninguém pode me responsabilizar pelo que faço, porque, na verdade, não escolho fazer o que faço.

Ora, a razão humana tem como ideal a liberdade, a autonomia, a responsabilidade, mas, segundo esse argumento (e devo dizer mais uma vez que ele é bom), o que na verdade existe é uma ilusão de liberdade, uma ilusão de autonomia — isto é, uma ilusão de racionalidade. Tudo o que fazemos, inclusive esta conversa que estamos tendo agora, está determinado por esses três componentes, os quais não nos competem.

Esse é um exemplo de argumento genuinamente filosófico; em geral, ele aparece como “o problema do livre-arbítrio”.

Outro exemplo, este mais simples: “Papai Noel não existe.”

Nós dizemos coisas assim, e elas nos parecem verdadeiras. É uma frase do tipo sujeito, verbo, e predicado. Se a frase é verdadeira, então o sujeito deve ter mesmo o predicado, isto é, o sujeito deve de algum modo existir a ponto de ter o predicado.

Mas qual é o sujeito? É “papai Noel”. Então papai Noel existe, certo? E qual propriedade ele deve ter? A de não existir. Assim, supondo que a frase seja verdadeira, você se pergunta: O que é que tem essa propriedade de não existir? Papai Noel. Mas se algo tem uma propriedade, deveria de algum modo existir, não é mesmo?

Portanto, para que a frase tenha sentido, ela deve ser falsa; sendo falsa, segue-se que, de algum modo, papai Noel existe.

Esse tipo de discussão, que devemos a pensadores como Gottlob Frege e Bertrand Russell, é uma discussão tipicamente filosófica, e com ela estamos explorando os limites entre o que sabemos e o que pensamos que sabemos. Nesse caso específico, descobrimos que a forma lógica da frase não tem muito a ver com o sujeito, o verbo, e o predicado da linguagem natural. Discussões como essa levaram ao desenvolvimento do que hoje chamamos de lógica de primeira ordem, e mostraram as muitas dificuldades que a linguagem natural cria ao pensamento sistemático. Especialmente, existe um ponto hoje que já está universalmente aceito entre lógicos e filósofos: existência e não existência não podem ser predicados.

O trabalho do filósofo é este: discutir coisas como os dois exemplos que acabei de mencionar, e um dia ter a capacidade de dizer, “Se você pretende expressar certas ideias, não deve expressá-las com linguagem assim e assado, mas de outra maneira, e com outro tipo de linguagem.”

Suas inquietações sobre os fundamentos da matemática estão mais aplacadas ou continuam fortes?

Eu consegui entender alguns dos problemas que me incomodavam. Por exemplo: O que é, exatamente, uma demonstração matemática? Outro exemplo: A matemática é uma ciência sobre objetos particulares, isto é, existem objetos particulares sobre os quais o matemático faz suas investigações? E outro ainda: Como entender a ideia de existência em matemática? Porque, se você afirma que “Não, a matemática não é uma ciência sobre objetos particulares”, como então entender os teoremas do tipo “dada uma equação diferencial com as características tais e tais, existe uma solução”, “dado um espaço vetorial, existe uma base”, “dado um corpo, existe um fecho algébrico”?

Eu dei minha contribuição nisso tudo: afirmei que a matemática não é uma ciência de objetos particulares. O matemático estuda critérios objetivos, e não objetos; ou melhor: o matemático estuda critérios objetivos para estruturas matemáticas, mas não objetos particulares em si.

Por critério objetivo eu quero dizer o seguinte: para cada situação, para cada circunstância, ou o critério se aplica ou não se aplica, mas nunca ambos. É essa característica que explica por que a matemática é tão útil, e pode ser aplicada a objetos diversos, como os objetos particulares da física ou os da sociologia.

Deixe-me dar um exemplo: você pode usar a aritmética para contar os objetos desta mesa, os carros que passam na rua, as pessoas que entram e saem deste café. Apesar disso, a aritmética não é sobre nenhum deles em particular; ao contrário, é sobre todos eles, mas de um modo abstrato.

Como assim? Ora, desde que você mostre que certo domínio de objetos particulares satisfaz os critérios objetivos de aplicação da aritmética, pode aplicar os teoremas da aritmética àquele domínio. Um contraexemplo: você não pode aplicar a aritmética às gotas do mar, já que uma gota do mar mais uma gota do mar continua sendo uma gota do mar. A adição de duas unidades não preserva cada unidade individualmente; essa adição de gotas não reflete a concatenação de comprimentos inteiros na reta dos números reais. Visto que as gotas do oceano não satisfazem os critérios objetivos de aplicação da aritmética, não pode usar a aritmética para estudá-las.

Enfim, é essa a concepção de matemática com a qual tenho trabalhado: a matemática é a ciência dos critérios objetivos, e não de objetos matemáticos eles próprios.

Depois que você conheceu a filosofia, a matemática ficou mais interessante ou menos interessante?

Talvez menos interessante, mas ainda estou pensando sobre isso. Para mim, ficou mais óbvio o caráter compulsivo da matemática, a compulsão pelo quebra-cabeça, pelo problema. Há o prazer de resolver um problema, e o desprazer de não resolvê-lo, mas o que aquilo tudo significa?

Veja bem: não há absolutamente nada de errado com a atividade de resolver quebra-cabeças e problemas. Suponha que me perguntem se certa configuração de um jogo de xadrez é possível ou impossível. [Ou seja, se aquela configuração pode surgir naturalmente no decurso de uma partida.] Eu acho que esse é um problema matemático muito interessante, e entendo aqueles que se dedicam a resolvê-lo.

Apesar disso, esse problema não chega a me causar inquietação. É o contrário do problema do livre-arbítrio: o problema do determinismo versus liberdade me deixa inquieto. Isso porque, partindo de premissas razoáveis, e usando métodos de argumentação também razoáveis, você chega a uma conclusão que não é nada razoável — a de que o livre-arbítrio não existe. Isso me incomoda. Isso me parece um problema de verdade, pois, se tal conclusão se revelar verdadeira, nossa capacidade de análise e nossa capacidade de tomar decisões com base na análise que fizemos não passam de ilusões.

Ao longo da história, já houve muitas tentativas de refutar o problema do livre-arbítrio, mas, mesmo assim, ele continua de pé. É algo que combina bem com a filosofia. Quando um problema filosófico é resolvido para a satisfação de todos, dizemos que não era bem um problema filosófico, até porque em geral ele passa a fazer parte da ciência ou da matemática. Parece que os bons problemas filosóficos nunca são resolvidos para a satisfação de todos.

E quanto à ciência?

Eu ainda tenho muito interesse pela teoria da relatividade, mas, de certa forma, para mim a ciência ficou para trás.

É claro que existem muitos problemas interessantes na filosofia da ciência. Por exemplo: Como é que podemos falar do mundo lá fora? Como é que podemos falar de algo que, em tese, e em última instância, não depende de nossa experiência do mundo?

Pois eu acho que o objetivo último da ciência é falar do universo lá fora — é dizer coisas que sejam verdadeiras na superfície de Júpiter, e não que sejam verdadeiras apenas no laboratório. Mas como dizer tais coisas se apenas podemos estar presentes no laboratório, mas não na superfície de Júpiter?

Do ponto de vista filosófico, ainda não está claro que podemos fazer a transição do laboratório para o universo. Nós produzimos explicações com base no que vemos no laboratório, e até usamos palavras como “observador” e “observado”; como podemos a partir disso produzir explicações que valham para o universo como um todo?

O que estou querendo dizer com isso? Na filosofia, não basta você afirmar a validade de uma tese qualquer. Muita gente tem essa impressão errada — a de que o filósofo tem autorização para afirmar qualquer tese. Isso não é verdade. Para qualquer afirmação, o filósofo tem de perguntar: “Como, exatamente?”

“Ah, a ciência é assim e assado.”

“Como, exatamente?”

“Ah, a matemática é assim e assado.”

“Como, exatamente?”

“Ah, a ciência é sobre teorias que nos permitem prever os resultados de experiências de laboratório, e sobre a atividade de extrapolar tais teorias para o universo como um todo.”

“Como, exatamente?”

Se você me faz uma afirmação como essa última, tem de me apresentar uma semântica especial para a linguagem que está usando, sem apelar para absolutamente nada da realidade, de modo que sua teoria seja verdadeira sem apelar para átomos, partículas subatômicas, ondas eletromagnéticas — nada que seja real. Não é trivial fazer isso, e devo dizer que talvez nem seja possível fazer isso, mas esse é o trabalho do filósofo da ciência, um filósofo de verdade, isto é, um filósofo que não seja meramente um diletante.

O que não é ciência, não é matemática, e não é filosofia?

A ciência não é uma visão de mundo infalível, ou, melhor dizendo, qualquer visão de mundo infalível não pode fazer parte da ciência. A ciência é um empreendimento que, por sua própria natureza, é falível; e por isso a marca da ciência é estar sujeita a revisão. E, ao dizer isso, não podemos perder de vista a pergunta filosófica essencial: “Como, exatamente, a ciência tem de estar sujeita a revisão?”

Note que a ciência começa quando você tem diante de si uma afirmação que ou está certa ou está errada. Muitas das afirmações com as quais lidamos no dia a dia não chegaram a esse ponto — elas são tão ambíguas e confusas que nem chegaram ao ponto de estar certas ou erradas.

Quanto à matemática, se você adota a linha “a matemática é o estudo das consequências lógicas de critérios objetivos”, daí muita coisa pode ser matemática, mas, se faltam os critérios objetivos, obviamente não é matemática.

Quanto à filosofia, é uma atividade próxima da ciência, no sentido de que eu não classificaria visões de mundo definitivas como sendo filosofia. A filosofia é a atividade de pensar sistematicamente sobre os fundamentos dos nossos diversos empreendimentos intelectuais, mas sem necessariamente estabelecer posições definitivas ou infalíveis.

Em particular, o filósofo não produz um corpo teórico, como fazem os matemáticos. Os filósofos produzem argumentos, e um argumento ou é contra ou é a favor de uma tese.

Certamente a atividade de leitura não é filosofia, embora o leigo confunda a atividade de filosofar com a atividade de ler filósofos.

Quanto tempo leva para que alguém se transforme num bom filósofo?

Na matemática, se o estudante começa com cálculo e álgebra linear, começa bem. Não existe isso na filosofia — não existe começo ideal nem currículo mínimo. Leva bastante tempo para aprender a filosofar, e devo dizer que não existe um roteiro, mas certamente com o tempo e a prática vamos ficando mais maduros como filósofos. {FIM DA ENTREVISTA}


{3}/ Três definições de filosofia

As três definições a seguir foram adaptadas de artigos escritos por filósofos vivos — um filósofo americano, Daniel Dennett, e dois britânicos, Simon Blackburn e Nigel Warburton.

Daniel Dennett: Qual deve ser o trabalho de um filósofo? O de compor um argumento, e de pensar sobre ele muito escrupulosamente. Não me refiro a um argumento qualquer, mas sim a um argumento capaz de abrir os olhos do pensador para um ponto de vista novo. Das duas, uma: ou o argumento faz o pensador ver mais nitidamente o que antes estava turvo ou mal entendido; ou o argumento faz o pensador meditar de um jeito completamente novo sobre algo que, até hoje, ele supunha bem entendido e dominado. Isso é o que a filosofia deveria ser, mas apenas esporadicamente é.

Simon Blackburn: A filosofia é a arte e o ofício de dar resposta àquelas perguntas que estruturam o modo como pensamos sobre o mundo e sobre nosso lugar no mundo. O que é o conhecimento? Podemos conhecer alguma coisa apenas pensando, ou obrigatoriamente temos de realizar experimentos no mundo real? Aliás, podemos conhecer alguma coisa, qualquer coisa, ou o que chamamos de “conhecimento” é mera ilusão? Existe destino? Existe livre-arbítrio? Pode haver destino e livre-arbítrio ao mesmo tempo? O que é o tempo? É possível definir a diferença entre passado e futuro? Deus existe? Se não existe, devo mesmo assim praticar o bem? O que é “bem”? Existe alguma definição racional de bem que implique a impossibilidade de praticá-lo? A coisa mais insólita sobre tais perguntas não é que elas sejam desconcertantes à primeira vista, mas sim que elas desafiam qualquer tentativa apressada de resposta — e às vezes desafiam tentativas de resposta que já duram séculos. Nós, seres humanos, pensamos. A filosofia é a arte e o ofício de pensar sobre aquilo em que estamos pensando e sobre os processos pelos quais pensamos.

Nigel Warburton: A filosofia é uma atividade. É um jeito de pensar sobre perguntas de certos tipos. Sua característica mais distinta é o uso de argumentos lógicos. Em geral, os filósofos lidam com argumentos: ou eles escrevem argumentos inéditos, ou criticam os argumentos de outros filósofos, ou ambos. Eles também analisam conceitos para deixá-los mais claros. E sobre quais perguntas os filósofos profissionais escrevem argumentos à guisa de resposta? Em geral, eles examinam severamente as crenças nas quais a maioria de nós acredita na maior parte do tempo. Muitas de nossas crenças, quando as examinamos com severidade, se revelam assentadas em bases sólidas; muitas outras, contudo, não passam de estereótipo ou, pior ainda, de crendice. Vários filósofos disseram que não vale a pena levar uma vida não examinada. Realizar as rotinas cotidianas sem nunca investigar os princípios nos quais elas se baseiam é mais ou menos como dirigir um carro que nunca foi para a revisão. Você confia no breque e no acelerador, porque sempre funcionaram, mas não pode de nenhuma maneira justificar a confiança que tem neles: eis que talvez falhem bem no momento em que seriam mais úteis.


{4}/ Conhecimento e crença verdadeira são coisas distintas

O argumento que vai estudar a seguir foi proposto pela primeira vez em 1963 pelo filósofo Edmund Gettier, num artigo que publicou na edição 23 da revista Analysis.

Conhecimento é crença verdadeira? Muita gente já tentou afirmar as condições necessárias e suficientes para que determinada pessoa saiba determinada proposição. Se quiser, pode resumir várias dessas tentativas com a forma a seguir.

(a) O sujeito S sabe que a proposição P é verdadeira se, e somente se:

I) P é verdadeira.

II) S acredita que P é verdadeira.

III) S está justificado ao acreditar em P.

Um exemplo de uma dessas tentativas. O filósofo Roderick M. Chisholm afirmou que a forma a seguir contém as condições necessárias e suficientes para definir conhecimento.

(b) S sabe que P é verdadeira se, e somente se:

I) S aceita P.

II) S tem evidências adequadas de que P é verdadeira.

III) P é verdadeira.

Outro exemplo, desta vez do filósofo Alfred J. Ayer. Ele afirmou que as condições necessárias e suficientes para que P seja verdadeira são estas a seguir.

(c) S sabe que P é verdadeira se, e somente se:

I) P é verdadeira.

II) S tem a certeza de que P é verdadeira.

III) S tem o direito de ter a certeza de que P é verdadeira.

Vou mostrar que (a) é falsa, pois as condições estipuladas não constituem condições necessárias e suficientes para garantir a verdade da afirmação “S sabe que P é verdadeira”. Com o mesmo argumento, você pode mostrar que (b) e (c) também falham; basta que substitua “tem evidências adequadas de que” ou “tem o direito de ter a certeza de que” por “está justificado em acreditar em”.

Para começar, preciso destacar dois pontos. Primeiro, o sentido da palavra “justificado”, essencial para que S esteja justificado ao acreditar em P: é possível uma pessoa se sentir justificada ao acreditar numa proposição que é de fato falsa. Assim, “S está justificado ao acreditar em P” não é bem a mesma coisa que “S se sente justificado ao acreditar em P”: no primeiro caso, qualquer observador vai dizer que S de fato está justificado em sua crença; no segundo caso, talvez algum observador veja que S está em erro, mas o próprio S não veja isso. Segundo ponto: para qualquer proposição P, se S está justificado ao acreditar em P, e se além disso P implica Q, e se além disso S deduz Q a partir de P, então, como resultado do raciocínio dedutivo que realizou, S está justificado ao acreditar em Q. Mantenha esses dois pontos em mente; vou mostrar dois casos nos quais as condições expostas em (a) são verdadeiras para alguma proposição P, embora ao mesmo tempo seja falso o fato de que S está justificado ao saber que a proposição P é verdadeira.

Caso 1. Suponha que Mateus e João tenham se candidatado para certa vaga de emprego. E suponha que Mateus tem fortes evidências de que a proposição conjuntiva a seguir é válida.

(d) João é o homem que conseguirá o emprego, e além disso João tem dez moedas em seus bolsos.

Talvez Mateus tenha as seguinte evidências para acreditar em (d): o presidente da empresa contratante em pessoa lhe disse que no fim das contas o emprego caberia a João; e João e Mateus, uns minutos antes, contaram todas as moedas que havia nos bolsos de João. (Não me pergunte como nem por quê.)

A proposição (d) implica a proposição a seguir:

(e) O homem que conseguirá o emprego tem dez moedas em seus bolsos.

Suponha que Mateus veja a proposição (e) como sendo consequência de (d), e que aceite a validade de (e) com base na validade de (d), visto que ele tem fortes evidências de que a proposição (d) é verdadeira. Nesse caso, qualquer observador deve concordar com o fato de que Mateus está claramente justificado ao acreditar que a proposição (e) é verdadeira.

Mas imagine que, sem que Mateus saiba, o presidente tomou sua decisão, e vai contratar o próprio Mateus, e não João, como havia dito a Mateus. Suponha ainda que, sem que Mateus saiba, ele mesmo tem dez moedas nos bolsos. Daí a proposição (e) é verdadeira, embora a proposição (d), da qual (e) deriva por implicação, é falsa. Nesse nosso exemplo, portanto, (I) a proposição (e) é verdadeira; (II) Mateus acredita que a proposição (e) é verdadeira; e (III) Mateus está justificado em acreditar que a proposição (e) é verdadeira. Mas é igualmente claro que Mateus não sabe que (e) é verdadeira; pois, para ele, (e) é verdadeira porque acredita incorretamente que João conseguirá o emprego, e também porque Mateus sabe que João tem dez moedas em seus bolsos, embora não saiba que ele mesmo, Mateus, também tem dez moedas nos bolsos.

Caso 2. Suponha que Mateus tem fortes evidências de que a proposição a seguir é verdadeira.

(f) João possui um Ford.

As evidências de Mateus podem ser as seguintes: até onde Mateus consegue se lembrar, João possuía um carro, e esse carro era um Ford. Aliás, João acabou de oferecer carona a Mateus, e João estava dirigindo um Ford. Agora imagine outra coisa: Mateus tem um outro amigo, o Bezerra, e não tem a menor ideia da cidade na qual Bezerra está. Assim, meio ao acaso, de brincadeira, Mateus escolhe três cidades nas quais Bezerra talvez esteja, e com ela monta três proposições do tipo “isso ou aquilo” (pela definição lógica do conectivo “ou”, elas são válidas caso “isso” seja verdadeiro e “aquilo”, falso; caso “isso” seja falso e “aquilo”, verdadeiro; ou caso “isso” e “aquilo” sejam ambos verdadeiros).

(g) João possui um Ford ou Bezerra está em São Paulo.

(h) João possui um Ford ou Bezerra está em Brasília.

(i) João possui um Ford ou Bezerra está no Rio de Janeiro.

Cada uma dessas proposições é uma implicação de (f). Suponha que Mateus se dê conta de que cada uma dessas proposições é uma implicação de (f) e que, com base em (f), acredite que ou (g), ou (h), ou (i) são proposições verdadeiras. Mateus corretamente inferiu (g), (h), e (i) de uma proposição (f) na qual ele está justificado em acreditar. Mateus está, portanto, igualmente justificado em acreditar que ou (g), ou (h), ou (i) são proposições verdadeiras. Apesar disso, é claro que Mateus não tem ideia da cidade em que Bezerra está.

Imagine, contudo, que duas outras proposições são de fato verdadeiras. A primeira delas é: João não possui um Ford, mas no momento está dirigindo um Ford alugado. A segunda delas: por pura coincidência, Bezerra está em Brasília. Se essas duas condições são verdadeiras, João não possui um Ford, mas ainda assim a proposição (h) é verdadeira, visto que Bezerra está em Brasília. Portanto, observe isto: (I) a proposição (h) é verdadeira; (II) Mateus acredita que a proposição (h) é verdadeira; e (III) Mateus está justificado ao acreditar que (h) é verdadeira.

Com esses dois casos, pode ver como a definição (a) não explica as condições suficientes para que algum sujeito S saiba que uma proposição P é verdadeira. Com os mesmos dois casos, e umas poucas adaptações, você pode provar que nem a definição (b) nem a (c) servem para explicar as condições suficientes para que alguém saiba alguma proposição.

Conclusão: Crença verdadeira não é a mesma coisa que conhecimento.


{5}/ Filosofia para Leigos

Texto baseado no ensaio Philosophy for Laymen, de Bertrand Russell,

publicado pela primeira vez em 1946

Russell em foto de 1907

Desde que existem comunidades civilizadas, a humanidade tem enfrentado problemas de dois tipos. Um deles inclui o problema de dominar as forças da natureza, o de adquirir conhecimentos e competências para produzir ferramentas e armas, e o de encorajar a natureza a produzir animais e plantas úteis. No mundo moderno, tais problemas ficam a cargo de cientistas e de especialistas em tecnologia, e a história nos mostra que, para lidar com esse tipo de problema adequadamente, precisamos treinar uma grande quantidade de especialistas em assuntos bastante restritos.

Mas existem os problemas do segundo tipo, no qual você pode incluir todas as questões sobre como a humanidade deve usar seu domínio sobre a natureza da melhor forma possível. É um tipo mais difícil de definir, e que alguns tacham erroneamente de irrelevante. Ele inclui problemas aflitivos como democracia versus ditadura, capitalismo versus socialismo, governo internacional versus anarquia internacional, liberdade de pensamento versus dogma autoritário. Sobre problemas como esses, em nenhum laboratório você achará orientação definitiva. Para resolvê-los, a humanidade precisa de um tipo especial de conhecimento, que só pode obter depois de pesquisar amplamente os vários modos de vida de nossos antepassados e de nossos contemporâneos, enquanto reflete sobre as fontes de miséria e de contentamento conforme elas apareceram ao longo da história. Se você fizer tal pesquisa, descobrirá que a tecnologia, por si só, não garantiu a todos um aumento do bem-estar ou a sensação de felicidade.

Quando a humanidade primeiro aprendeu a cultivar o solo, usou seus conhecimentos para estabelecer o cruel culto do sacrifício humano. Aqueles que primeiro domaram cavalos usaram-nos para pilhar e escravizar indivíduos pacíficos. Na infância da revolução industrial, quando aprendeu a usar máquinas para produzir bens de algodão, os resultados foram horríveis: na América, Jefferson estava a ponto de ser bem-sucedido com seu movimento para a libertação dos escravos, mas o movimento acabou de repente; na Inglaterra, deixaram o trabalho infantil degenerar numa crueldade estarrecedora; na África, desenvolveram um imperialismo impiedoso na esperança de convencer os povos africanos a se vestir com bens de algodão. Nos nossos dias, uma combinação de gênio científico com habilidades técnicas nos permitiu produzir a bomba atômica, e depois de produzi-la estamos apavorados e não sabemos o que fazer com ela. Esses exemplos, que escolhi dos mais variados períodos da história, mostram que a humanidade precisa de alguma coisa para além da tecnologia, alguma coisa que talvez possamos chamar de “sabedoria”.

Ora, se é que uma coisa como a sabedoria pode ser aprendida, então será aprendida por meio de outros estudos além daqueles necessários à produção de ciência e tecnologia. O rápido desenvolvimento da tecnologia moderna tornou nossos antigos hábitos de pensamento e de ação mais inadequados do que jamais foram em qualquer outra época, de modo que hoje a sabedoria é mais necessária do que jamais foi.

“Filosofia” significa “amor à sabedoria”, e a humanidade precisa conquistar a filosofia nesse sentido específico; pois cientistas e engenheiros continuam a entregar novos superpoderes a homens e mulheres comuns, e se não houver a aquisição da filosofia, tais homens e mulheres a comandar superpoderes talvez façam a humanidade mergulhar num cataclismo medonho. Contudo, a filosofia que deveria fazer parte da educação básica e universitária não é a mesma coisa que a filosofia dos especialistas. Em todos os ramos dos estudos acadêmicos, e não apenas na filosofia, existe uma distinção entre aquilo que tem valor cultural e aquilo que interessa apenas a profissionais do ramo. Historiadores talvez queiram debater o que aconteceu durante a fracassada expedição de Senaqueribe em 698 a.C., mas quem não é historiador não precisa saber a diferença entre essa expedição específica e a que ocorreu três anos antes. Helenistas profissionais talvez achem útil discutir uma interpretação incomum de uma peça de Ésquilo, mas tais assuntos importam pouco para quem deseja, apesar de uma vida corrida, adquirir alguns conhecimentos sobre a altura a que os gregos antigos ascenderam. Da mesma forma, aqueles que devotam a vida à filosofia devem considerar questões que o público em geral, por mais bem educado que seja, faz muito bem ao ignorar; por exemplo, as diferenças entre a teoria de universais de Tomás de Aquino e a de João Duns Escoto; ou ainda as características que uma linguagem deve ter para que, evitando o risco de cair em contradições, você possa usá-la para dizer coisas sobre ela mesma. Tais questões fazem parte dos aspectos técnicos da filosofia, e não faz sentido incluí-las na cultura do público em geral.

O estudante moderno não tem como escapar da especialização, inevitável diante de todo o conhecimento que a humanidade acumulou até aqui. Assim, para corrigir um pouco os efeitos dessa especialização, o sistema educacional, especialmente a universidade, deveria fazer o estudante dedicar tanto tempo quanto fosse possível ao estudo de disciplinas como história, literatura, e filosofia. Se o jovem não sabe grego, que tenha acesso a livros traduzidos e possa conhecer um pouco do que os gregos alcançaram. Em vez de discorrer sobre uma sucessão interminável de reis, rainhas, e batalhas, o professor de história deveria se esforçar para interligar os problemas do nosso dia a dia aos problemas dos sacerdotes egípcios, dos administradores babilônicos, dos reformadores atenienses; e também às aflições e às esperanças dos séculos seguintes. Quanto a mim, quero tratar neste ensaio, e com uma abordagem similar, tão somente da filosofia.

Desde o comecinho, os filósofos buscavam dois objetivos distintos, que, segundo acreditavam, estavam intimamente inter-relacionados. Um deles era tentar obter uma compreensão teórica da estrutura do universo; o outro, tentar descobrir e recomendar o melhor jeito possível de levar a vida. De Heráclito até Hegel, ou mesmo até Marx, todo filósofo manteve consistentemente os dois objetivos em vista; a filosofia nunca chegou a ser puramente teórica nem puramente prática, mas buscava uma teoria do universo a partir da qual a humanidade concebesse uma ética prática. Os filósofos, portanto, têm trabalhado intensamente tanto com ciência quanto com religião.

Vamos considerar primeiro sua relação com a ciência. Até o século 18, toda gente incluía a ciência naquilo que chamava de “filosofia”, mas desde então passou a usar o verbo “filosofar”, no sentido de “teorizar”, para designar o trabalho do cientista apenas quando lida com tópicos mais gerais e especulativos. É comum ouvir dizer que o filósofo não sai nunca do lugar, mas isso é em grande parte um problema verbal: tão logo alguém descobre um jeito de chegar a conhecimento categórico sobre alguma questão filosófica antiga, todos passam a contar o novo conhecimento como sendo “ciência”, e a filosofia fica sem o crédito. No tempo dos gregos, e até o tempo de Newton, todo mundo classificava as teorias sobre o movimento dos planetas como sendo “filosofia”, pois eram incertas e especulativas, mas Newton tirou o assunto do reino das hipóteses mirabolantes e o transformou num assunto de categoria diferente, pois já não estava mais aberto a tantas dúvidas fundamentais. No século 6 a.C., Anaximandro propôs uma teoria para a evolução das espécies, e afirmou que a humanidade descendia de peixes. Isso era filosofia, pois era especulação sem o fundamento de evidências minuciosas; porém, quando Darwin propôs sua teoria da evolução das espécies por seleção natural, transformou o assunto em ciência, porque baseou sua teoria numa série de formatos de seres vivos achados como fósseis, e na distribuição de animais e plantas em muitos lugares do mundo.

Alguém pode dizer, com grau de verdade adequado para justificar a piada: “Ciência é o nome que se dá ao que sabemos, e filosofia é o nome que se dá ao que ignoramos.” Contudo, você deve reconhecer que as especulações dos filósofos sobre o que a humanidade de seu tempo ainda não sabia mostraram-se um preparativo valioso ao conhecimento científico exato. O que seria dos cientistas se não fossem os palpites dos pitagóricos sobre a astronomia, de Anaximandro e de Empédocles sobre a evolução dos seres vivos, de Demócrito sobre a constituição atômica da matéria? Não existissem os filósofos antigos e seus palpites, talvez determinada hipótese nunca ocorresse a um cientista da posteridade. Assim, pode dizer que, pelo menos enquanto atividade especulativa, a filosofia consiste (ao menos em parte) em imaginar grandes hipóteses gerais que nenhum cientista ainda está em posição de testar; mas, quando chega a hora em que se torna possível testar uma hipótese, talvez ela se revele verdadeira — e partir daí, passa a fazer parte da ciência e deixa de contar como sendo “filosofia”.

Não deve restringir a utilidade da filosofia, do ponto de vista teórico, a especulações que talvez veja confirmadas ou refutadas pela ciência enquanto estiver vivo. Algumas pessoas se impressionam tanto com o que os cientistas sabem que se esquecem de tudo o que não sabem; outras se interessam muito mais pelo que os cientistas não sabem, e no fim das constas menosprezam as conquistas da ciência. Quem pensa que a ciência é tudo se torna desdenhoso e sabichão, e deplora quem se interessa por problemas que não estão circunscritos à exatidão que é necessária ao tratamento científico. Tais pessoas, em questões práticas, tendem a pensar que gente tecnicamente competente pode tomar o lugar de gente sábia, e que matar uns aos outros usando a última tecnologia é mais “progressista”, e portanto melhor, do que manter uns aos outros vivos usando métodos antiquados. Quanto àqueles que esnobam a ciência, em geral retrocedem a alguma superstição antiga e perniciosa, e se recusam a admitir o quão mais felizes seríamos se todos usassem amplamente os métodos do cientista. Você deve reprovar ambas as atitudes e adotar a atitude correta, que é a da filosofia, para deixar explícitos logo de cara o alcance e as limitações do conhecimento científico.

Por enquanto, peço que deixe de lado todas as questões que têm a ver com ética ou com valores morais, pois vai matutar sobre várias questões puramente teóricas para as quais a ciência não tem como dar resposta, ou pelo menos não tem como dar resposta por enquanto, mas pelas quais todos se interessam desde sempre, e às vezes apaixonadamente. Será que sobrevivemos à nossa morte em qualquer sentido que seja, e se sobrevivemos, será que sobrevivemos por um tempo ou para sempre? Pode a mente dominar a matéria, ou a matéria domina completamente a mente? Ou cada uma delas, talvez, tem certa independência limitada? O universo tem propósito? Ou ele é impulsionado por inevitabilidade cega? Ou ele é mero caos e turbilhão, no qual as leis naturais que descobrimos não passam de um delírio gerado pelo nosso amor à ordem? Se existe um esquema cósmico, a vida tem maior importância nesse esquema do que a astronomia nos faz supor, ou nossa ênfase na importância da vida não passa de paroquialismo e vanglória? Eu não tenho a resposta de tais questões, nem acredito que alguém tenha, mas acho que sua vida ficaria mais pobre se você as esquecesse, ou se aceitasse respostas peremptórias sem a contrapartida de evidências dignas de mérito. Uma das funções de todo filósofo é manter vivo o interesse nessas grandes questões; outra é submeter cada resposta a uma análise escrupulosa.

Aquele que nutre a paixão por vantagens imediatas, e também por um balancete exato de esforço versus recompensa, talvez se impaciente ao estudar algo que não pode, no atual estado do conhecimento, dar ao pensador certezas absolutas; talvez veja tal estudo como sendo uma perda de tempo — uma meditação sempre inconclusiva sobre problemas insolúveis. Não assino embaixo desse ponto de vista de maneira nenhuma. Todo mundo sente a necessidade de algum tipo de filosofia (com a exceção de uns poucos incautos); e, na falta de conhecimentos, vai certamente satisfazer sua necessidade ao escolher uma filosofia qualquer entre as mais tolas. O resultado disso vemos nos jornais: a espécie humana dividida em grupos rivais de fanáticos, cada grupo firmemente convencido de que seu próprio tipo de besteirol é verdade sagrada, enquanto o besteirol dos grupos rivais é heresia intolerável. Arianos e católicos, cruzados e muçulmanos, protestantes e seguidores do Papa, comunistas e capitalistas têm passado boa parte dos últimos 1.600 anos numa contenda fútil, às vezes sanguinária; com um pouco de filosofia, todos os lados nessas contendas teriam visto que não havia boas razões para acreditar naquilo em que acreditavam. [Se quiser, o leitor brasileiro pode incluir mortadelas e coxinhas na lista.] O dogmatismo é inimigo da paz e uma barreira insuperável à democracia. Tanto nas épocas passadas quanto na atual, é o maior obstáculo mental à felicidade.

Todo mundo deseja certezas absolutas, mas mesmo assim isso é um vício intelectual. Se você leva suas crianças para um piquenique num dia de céu duvidoso, elas vão exigir uma resposta dogmática à pergunta: “Poderemos brincar o dia inteiro ou não?”, e vão ficar desapontadas quando você não lhes der certeza nenhuma. Mais tarde na vida, populações inteiras também vão exigir o mesmo tipo de certeza dogmática daqueles que se dão ao trabalho de liderar uma população à Terra Prometida. “Exterminem todos os capitalistas e os sobreviventes vão gozar as bênçãos eternas.” “Matem os judeus e todo o mundo será virtuoso.” “Para um futuro brilhante, matem os croatas e deixem os sérvios reinar.” “Para um futuro brilhante, matem os sérvios e deixem os croatas reinar.” Esses são exemplos de slogans de sucesso nos nossos dias. Mesmo uma pitada de filosofia seria suficiente para tornar impossível a aceitação de tais disparates sanguinários. Contudo, enquanto cada pessoa não for treinada a suspender o julgamento na falta de evidências, a humanidade dará ouvidos a profetas arrogantes — e é bastante provável que seus líderes ou sejam ignorantes ou vigaristas. Tolerar uma vida debaixo de incertezas é difícil, mas esse é o caso com quase todas as virtudes. Ora, para o aprendizado de qualquer virtude, existe uma disciplina que é a mais adequada — para a virtude de suspender seu julgamento e viver sob o signo da incerteza, a melhor disciplina é a filosofia.

Apesar disso, se gostaríamos que a filosofia servisse a propósitos práticos, não podemos ensinar o mero ceticismo, porque, enquanto o dogmático é prejudicial, o cético é inútil. Em certo sentido, o dogmatismo e o ceticismo são ambos filosofias absolutas: uma tem a certeza de que sabe, e a outra, de que não sabe. O verdadeiro filósofo é aquele que aprendeu a disciplinar tanto a certeza de conhecimento quanto a certeza de ignorância. Isso porque o conhecimento não é um conceito tão preciso quanto normalmente se pensa. Em vez de dizer: “Eu sei isso”, deveríamos dizer: “Eu mais ou menos sei algo mais ou menos parecido com isso.” É verdade que você quase nunca precisa tomar essa providência ao falar sobre a tabuada; mas deveria tomá-la ao falar de questões práticas, de cujo conhecimento não podemos ter o grau de certeza e de precisão da aritmética. Suponha que eu diga: “A democracia é uma coisa boa.” Devo admitir, em primeiro lugar, que tenho menos certeza a respeito disso do que tenha certeza a respeito de dois vezes dois é igual a quatro; em segundo lugar, que “democracia” é um termo meio vago, o qual não tenho como definir com precisão. Eu deveria dizer, portanto, algo mais ou menos assim: “Estou bastante seguro de que é uma coisa boa se um governo tem uma constituição com características semelhantes à constituição dos britânicos ou dos americanos.” Um dos propósitos mais nobres do sistema educacional deveria ser transformar afirmações desse tipo em afirmações eficazes, tão eficazes que um político pudesse usá-las no palanque, durante a campanha para as eleições, e ainda por cima ganhar as eleições.

Não basta a nenhum de nós reconhecer que todo o nosso conhecimento é, em grau maior ou menor, incerto e vago; ao mesmo tempo, devemos aprender a agir de acordo com a melhor hipótese, sem contudo acreditar nela dogmaticamente. Deixe-me voltar ao exemplo do piquenique: você se prepara para um dia de tempo bom, mesmo que admita que talvez chova; e mesmo assim leva em consideração a possibilidade oposta, e põe no cesto as capas de chuva. Se você fosse um dogmático, deixaria as capas de chuva em casa; se fosse um cético, cancelaria o piquenique. O mesmo princípio se aplica a questões mais importante. Mais geralmente, pode dizer algo assim (caso queira): “Posso arranjar tudo aquilo que se passa por conhecimento numa hierarquia de graus de certeza, com a aritmética e os fatos que percebo pelos sentidos no topo da hierarquia. Dois e dois são quatro, e eu estou sentado à mesa, escrevendo.” Qualquer dúvida séria de sua parte quanto a afirmações desse tipo estaria próxima de uma patologia. Quanto a mim, tenho quase certeza de que ontem foi um dia bonito, mas não tanta certeza, pois a memória às vezes nos prega umas peças bizarras. Em relação às lembranças mais distantes, duvido delas ainda mais, especialmente se houver alguma razão emocional forte para me lembrar delas incorretamente.

Quanto às leis da ciência, podem ser quase certas ou apenas levemente prováveis, de acordo com o estado das evidências. Assim, quando você age de acordo com hipóteses incertas (e você sabe que são incertas), deve agir de tal modo a provocar o menor estrago possível caso sejam falsas. No piquenique, não tem importância deixar as capas de chuva em casa se todos do grupo têm saúde de ferro; mas leve as capas se existe a possibilidade de que alguém pegue uma gripe. Ou suponha que você conheça um mórmon; pode discutir com ele os méritos da religião, pois não haverá grande prejuízo se Joseph Smith Jr. foi ou não foi um grande profeta. Mas não há justificativa para amarrar o mórmon a um tronco e queimá-lo vivo, pois o mal de ser queimado vivo é mais certo que qualquer suposição da teologia. É claro que, se os mórmons fossem muito numerosos e fossem todos eles fanáticos, e se a escolha fosse entre ou matar os mórmons ou morrer, aí você estaria diante de um problema ético mais complicado, mas o princípio geral se mantém: uma hipótese incerta não pode justificar um mal certo, a não ser que um mal igualmente certo esteja associado à hipótese oposta.

Eu disse anteriormente que a filosofia tem tanto um objetivo teórico quanto um objetivo prático. É hora de considerar o objetivo prático.

A maioria dos filósofos da antiguidade conectou muito fortemente a visão que tinha do universo com uma doutrina sobre o melhor jeito de levar a vida. Alguns deles fundaram fraternidades que tinham certa semelhança com as ordens monásticas de tempos posteriores. Sócrates e Platão ficavam chocados com os sofistas, pois nenhum sofista tinha objetivos religiosos. Ora, se desejamos que a filosofia seja uma parte séria da vida de gente leiga, devemos fazer com que a filosofia defenda algum modo de vida. Ao fazer isso, vamos transformá-la numa coisa parecida com a religião, mas com certas diferenças importantes. A maior diferença é esta: nenhum filósofo deve apelar à autoridade de nada nem de ninguém, nem deve exigir o apelo à autoridade de algo ou de alguém. Isso vale para a autoridade de qualquer pessoa, tradição, ou livro sagrado. A segunda diferença importante: nenhum filósofo deveria tentar estabelecer uma igreja. Auguste Comte tentou, mas falhou, e foi bem feito que falhou! A terceira: todo filósofo deveria dar grande ênfase às virtudes intelectuais, ênfase ainda maior do que aquela que tem sido dada desde o declínio da civilização helênica.

Há uma diferença importante entre os ensinamentos éticos adequados aos nossos dias e aqueles que apregoavam os filósofos antigos. Pois os antigos se dirigiam a cavalheiros sem nada o que fazer, desocupados que podiam viver do modo como bem entendessem e que, se quisessem, podiam fundar uma cidade independente cujas leis personificariam sua doutrina. A imensa maioria dos indivíduos modernos e bem educados não tem tamanha liberdade; cada um de nós deve ganhar a vida dentro dos limites da sociedade tal qual existe hoje, e não podemos fazer mudanças importantes no nosso estilo de vida a não ser que façamos mudanças importantes na política e na organização econômica. A consequência é que você deve expressar suas convicções éticas mais na forma de militância política e menos na forma de exortação privada. Em outras palavras, hoje a concepção do que é levar uma boa vida tem de ser uma concepção social, em vez de individual. É verdade que os filósofos antigos também punham a sociedade antes do indivíduo, mas, ainda assim, tinham uma concepção mais individualista dos propósitos da vida.

Feita a ressalva acima, vejamos o que a filosofia tem a dizer sobre o assunto “ética”.

Que tal começar com as virtudes intelectuais? Você deve buscar a filosofia com base na crença de que o conhecimento é bom, mesmo que aquilo que venha a conhecer provoque dor. Um sujeito imbuído de espírito filosófico, seja filósofo profissional ou amador, vai querer que suas crenças estejam tão próximas da verdade quanto possível, e em igual medida vai amar o conhecimento e odiar o erro. Esse princípio tem maior alcance do que aparenta à primeira vista. Nossas crenças surgem de uma grande variedade de causas: o que nos disseram nossos pais e professores quando éramos crianças, o que organizações poderosas nos dizem para nos obrigar a agir do modo como querem, o que excita ou acalma nossos medos, o que perturba nossa autoestima, e assim por diante. Qualquer uma dessas causas de crenças pode nos levar à verdade, mas é mais provável que nos leve na direção oposta. Se você deseja sobriedade intelectual, portanto, deve investigar suas crenças detalhadamente, com o objetivo de descobrir em qual delas tem alguma razão para acreditar. Se tem inclinação à sabedoria, deve aplicar a crítica mais severa àquelas crenças das quais acha mais doloroso duvidar, àquelas que provavelmente vão colocar você em conflito com as pessoas que mantêm crença oposta à sua, mas crença igualmente sem fundamento. Se esse princípio e essas atitudes se tornassem mais comuns, a aspereza das disputas diminuiria muito, e nosso ganho seria incalculável.

Existe ainda outra virtude intelectual, que é a de considerar cada assunto em abstrato e com imparcialidade. Recomendo o seguinte exercício: quando considera um argumento que expressa uma opinião política, e vê palavras que despertam emoções poderosas mas distintas em leitores distintos, tente trocá-las por símbolos como A, B, C, e tente depois disso se esquecer do significado particular de cada símbolo. Por exemplo, suponha que A é Inglaterra, B é Alemanha, e C é Rússia. Enquanto você se lembrar do que as letras significam, muitas das coisas nas quais vai acreditar dependem de sua nacionalidade — se é inglês, alemão, ou russo. Contudo, sua nacionalidade é logicamente irrelevante para o argumento. Na aulas de álgebra elementar, quando você resolvia problemas sobre A, B, e C subindo uma montanha, não tinha nenhum interesse emocional nas pessoas subindo a montanha, e fazia o possível para achar a solução do problema. Seu objetivo era uma correção impessoal. Mas se soubesse que A representa você mesmo, B representa seu rival mais odiado, e C representa o professor que propôs o problema, seus cálculos iriam para o brejo, pois acharia um jeito de fazer A chegar em primeiro lugar, B em segundo, e C por último. Ao pensar em problemas políticos, é bem possível que esse tipo de viés emocional esteja presente, e só com muito cuidado e prática você consegue pensar objetivamente, como pensaria ao resolver um problema algébrico.

Pensar em termos abstratos não é o único jeito de alcançar a imparcialidade na ética; você talvez consiga fazer isso melhor se desenvolve a capacidade de sentir emoções amplas ou difusas. A maioria das pessoas acha isso difícil. Se você tem fome, fará grandes esforços para obter comida; se suas crianças têm fome, talvez você sinta uma urgência ainda maior. Se um amigo seu está morrendo de fome, provavelmente você vai se esforçar para alimentá-lo. Mas se fica sabendo que milhões de pessoas correm risco de vida no Afeganistão ou na Etiópia por causa de desnutrição, o problema é tão vasto e tão distante que, a não ser que você tenha alguma responsabilidade oficial de entrar em ação, provavelmente vai logo esquecer o assunto. Se você tem a capacidade emocional de sentir agudamente o mal distante, tem autorização para confiar em seus sentimentos para atingir a imparcialidade na ética. No entanto, se você não tem esse dom raro, procure sempre estudar os problemas práticos tanto concretamente quanto em abstrato — esse é o melhor substituto possível a uma rara inclinação natural à imparcialidade na ética.

A inter-relação entre lógica e uma ética imparcial e genérica me parece um assunto muito interessante. “Amai o próximo como a ti mesmo” inculca uma emoção genérica, em abstrato; “Afirmações éticas não deveriam conter nomes próprios” inculca uma lógica também genérica, em abstrato. Os dois preceitos soam muito diferentes um do outro, mas se examiná-los atentamente verá que, para propósitos práticos, não pode distinguir um do outro. Gente benevolente vai preferir a forma tradicional; gente especialista em lógica, a outra forma. Eu mal consigo dizer qual dos dois grupos tem menos indivíduos. Se os estadistas aceitassem cada uma dessas afirmações equivalentes, e se cada povo as tolerasse, rapidamente chegaríamos a um milênio de paz. Judeus e árabes se juntariam e diriam: “Vamos ver como obter a maior quantidade de bem para ambos os lados, sem averiguar muito detalhadamente de que maneira o bem será distribuído entre nós.” Obviamente cada grupo obteria mais elementos de felicidade do que tem hoje em dia. O mesmo poderíamos dizer de turcos e curdos, sudaneses e etíopes, russos e chechenos. Mas ai de mim! Não tenho como esperar nem lógica nem benevolência de nenhum dos lados nessas disputas.

Em quase todos os países, os jovens estão ocupados obtendo conhecimentos especializados e valiosos ao funcionamento das instituições políticas e econômicas. Não podemos esperar que dediquem parte significativa de seu tempo ao estudo da filosofia. Mesmo assim, o pouco tempo que puderem dedicar à filosofia sem prejudicar seus estudos técnicos já será suficiente para que aumentem seu valor como ser humano e cidadão. A filosofia tem o poder de dar ao estudante o hábito do pensamento preciso e cuidadoso, não apenas sobre questões matemáticas e científicas, mas também sobre questões de grandes consequências práticas. Ela pode ajudá-lo a dar uma abrangência maior às suas concepções sobre o propósito da vida. Pode ajudá-lo a medir mais justamente seu papel na sociedade em que vive, e na sucessão de pessoas que vieram antes de você e que virão depois de você. Pode ajudá-lo a medir mais justamente a história da humanidade em relação à história do universo. A filosofia, ao tornar maiores os objetos de teus pensamentos, deve funcionar como antídoto às tuas ansiedades e angústias. Ela é o método mais à mão para que, neste mundo atormentado e incerto, um ser humano sensível como você alcance a serenidade. {FIM}


Observação:

1. Caso queira ler Philosophy for Laymen no original em inglês, clique aqui.

Questões mal redigidas: um fato da vida

Se o leitor tem provas de matemática pela frente, prepare-se, pois vai topar com questões difíceis de interpretar ou até impossíveis de resolver.


{0} A famigerada questão 66

Esta é a questão 66 de uma das provas do Enem 2009 — que vazou, isto é, foi ilegalmente distribuída entre estudantes, e por isso a prova inteira acabou sendo cancelada. Tente resolvê-la antes de continuar a leitura.

Questão 66. Segundo a Associação Brasileira de Alumínio, o Brasil foi campeão mundial, pelo sétimo ano consecutivo, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5% do que foi utilizado no mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhão de reais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando, assim, “emprego” e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em muitos casos, serve como complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.

Pergunta: Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em torno de:

(A) R$ 173,00

(B) R$ 242,00

(C) R$ 343,00

(D) R$ 504,00

(E) R$ 841,00

Fonte: Enem 2009, prova vazada, página 23

{1}/ Prova irretocável custa muito

Saiu no jornal Folha de S. Paulo: no final de 2010, a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo aplicou uma prova para selecionar 20.000 professores temporários, mas errou na composição de 20% das questões, inclusive quatro questões de matemática. Quando aparece notícia assim nos jornais, dois professores de matemática da USP se incomodam.

Antônio Luiz Pereira é um deles, e Severino Toscano do Rêgo Melo é o outro. Antônio se especializou na arte de preparar questões de matemática para provas e concursos, e até dá seminários sobre isso. Toscano dá cursos de matemática avançada para matemáticos, engenheiros e cientistas. No primeiro trimestre de 2010, os dois escreveram juntos uma crítica aos vários erros do Enem 2009 — tanto da prova que vazou quando da prova que, no fim das contas, valeu. Depois dessa experiência, os dois sempre prestam atenção em notícias sobre questões malfeitas ou erradas.

Preparar uma prova irretocável de matemática dá trabalho, é caro, mas é possível, dizem os dois. Contudo, eles dão má notícia para todos os que têm provas e concursos pela frente: é bom se preparar para questões malfeitas. Elas são um fato da vida.

Processo caro. A questão 66 da prova vazada do Enem 2009 serve de exemplo. Ela pode ser lida de quatro formas distintas; para três dessas formas, não há resposta entre as alternativas, e para uma delas, a resposta certa é a alternativa B (veja a seção acima; quanto à resolução, veja a seção 2). “Para resolver a questão 66”, diz Antônio, “o aluno é obrigado a ignorar parte do enunciado e supor que toda a renda mensal dos trabalhadores provém da coleta de latinhas.”

Para produzir questões perfeitas, diz Antônio, é preciso reunir vários tipos de especialistas num comitê. Um engenheiro, um economista, um biólogo, um matemático — quanto mais especialistas, melhor. Se um membro do comitê tem uma boa ideia de questão, propõe a ideia ao grupo. Cada um dá sua opinião e, depois de um tempo, o grupo chega a uma conclusão sobre como a questão deve ser proposta ao candidato. Um dos membros do grupo se compromete a pôr a questão no papel. Num outro dia, alguém distribui a questão já escrita, e os membros do grupo tentam resolvê-la como se a tivessem visto pela primeira vez. O redator da questão fica proibido de dar explicações. Por fim, o autor da ideia, o redator e os outros membros do comitê discutem o que aconteceu.

Poucas instituições conseguem reunir tanta gente boa em tantas reuniões.

Parecer real é difícil. Todo comitê tende a acertar mais as questões de “matemática pura”, como diz Toscano; questões do tipo “ache as raízes da equação x2i = 0” (se quer saber mais sobre números complexos, clique aqui). Mas, principalmente no Enem, os comitês querem escrever questões “contextualizadas”, ou seja, que pareçam tiradas de situações reais. Tais comitês querem saber se o aluno consegue interpretar a história e extrair as informações necessárias para responder à pergunta. “É uma política elogiável”, diz Toscano, ao que Antônio emenda: “Os estudantes do Enem só conhecem a matemática do ensino médio. É muito difícil preparar um problema simples o bastante para ser resolvido com a matemática do ensino médio e complexo o bastante para parecer real.”

É difícil preparar questões impecáveis, mas, mesmo assim, Antônio e Toscano gostam de contar uma estória a estudantes e candidatos. Um dos professores de matemática da USP, Manuel Garcia, nos dias de prova costuma vender dicas aos alunos. Se o aluno quiser comprar uma dica, paga com uma parcela da nota. As dicas mais baratas custam 2 décimos de ponto. Com frequência, os alunos se sentem tentados a comprar uma dica barata. Afinal, se a dica não ajudar muito, pelo menos não compromete a nota final. Às vezes, essa dica barata é: “Leia o enunciado com atenção.” {❏}


{2}/ Resoluções possíveis para a questão 66

[1] Se o estudante presume que os catadores complementam a renda mensal com as latinhas, não consegue responder à pergunta, pois o enunciado não fornece informação sobre a renda mensal, excluindo as latinhas.

[2] Se presume que 11,9 bilhões de latinhas equivalem a 96,5% do mercado, terá de fazer regra de três para descobrir quanto vale 100% do mercado, e não acha alternativa certa.

[3] Se presume que o número “523 milhões” significa 523 milhões de latas reusadas no Brasil, não acha alternativa certa.

A única leitura com solução: O estudante presume que “523 milhões” significa 523 milhões de reais por ano, divide esse valor por 180.000 catadores, acha 2.905 reais por catador por ano, divide esse valor por 12 e, por fim, acha 242 reais por catador por mês. Resposta B.


{3}/ Conselhos para quem presta provas de matemática

(a) Segundo Severino Toscano do Rêgo Melo, existem problemas “mal redigidos”, com matemática boa, mas português sofrível; e problemas “mal formulados”, com matemática sofrível. Todo estudante vai topar com quatro situações, às vezes na mesma prova: questão bem formulada e bem redigida; questão mal formulada e bem redigida; questão bem formulada e mal redigida; e questão mal redigida e mal formulada.

(b) Se o estudante já sabe que tem de escolher uma das respostas (no caso de provas de múltipla escolha), diz Toscano, deve usar as próprias respostas para perceber o que o avaliador quer.

(c) E todo avaliador, mesmo quando escreve uma questão de matemática pura, pressupõe que o aluno sabe algumas coisas. “Sempre existe uma ou outra informação que está implícita. É impossível mencionar tudo.”

(d) “Leia o enunciado como se fosse português, e não matemática”, diz Toscano. Ou seja: tente entender quem está fazendo o quê. “Depois, leia a pergunta. E daí volte para o enunciado e selecione os dados.”

(e) Como é difícil criar questões contextualizadas, que pareçam reais, é provável que o estudante tenha de lidar com questões em que a realidade aparece de modo caricato, do tipo: “Uma pessoa caminha por uma rampa e percebe que se deslocou 3,2 metros.” Quem consegue perceber uma coisa dessas?


{4}/ E se a solução é não haver solução?

Antônio Luiz Pereira costuma dar seminários sobre resolução de problemas para professores de matemática. Vários deles descobrem, durante o seminário, que nem todo problema foi criado para ser resolvido. “Logo no primeiro dia, eu dou um aviso à classe”, diz Antônio. O aviso é:

“Não partam do pressuposto de que o problema tem uma solução certinha.”

Há problemas ambíguos de propósito, e o estudante deve apontar a ambiguidade. Há problemas sem solução, e ele deve provar que é impossível achar uma solução. E há problemas com mais de uma solução. Nesse caso, ele deve decidir o que o avaliador pretende: só uma das soluções ou todas elas? {FIM}


Observação: Publiquei esta matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 2, março de 2011, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações são as que valiam na ocasião.

Florence Nightingale: Como salvar vidas com métodos quantitativos


Florence usou muita estatística para melhorar a saúde pública da Inglaterra. Deu tão certo que quase dois séculos depois especialistas ainda usam seus métodos para melhorar a vida da população.


{1}/ No tempo das enfermeiras bacantes

Uma garotinha inglesa de nove anos, chamada Florence Nightingale, vai até a horta de sua casa colher pepinos, pêssegos, e morangos. Sempre que colhe alguma coisa, toma notas. Depois de meses, examina o caderno cheio de tabelas e anotações e busca formas de organizar os dados da melhor maneira possível. Uns 30 anos mais tarde, trabalha num hospital militar na Guerra da Crimeia (veja a seção 2), onde faz novas anotações. Mas desta vez toma notas sobre mortos, doentes, feridos.

Há alguns anos Eileen Magnello, especialista no trabalho de Florence Nightingale, era como muitas pessoas: sabia que Florence tinha reformado a saúde pública no século 19, e que tinha formalizado o papel da enfermagem, mas não sabia que figurava entre as primeiras a organizar e estudar estatísticas sociais. Aliás, na maior parte da reforma que fez na saúde, usava métodos quantitativos: primeiro para descobrir o que tinha de errado no sistema, depois para convencer políticos a lidar com as descobertas. (O leitor, se quiser, pode trocar “métodos quantitativos” por “estatística”, embora as duas coisas não sejam a mesma coisa.) Ainda hoje, porém, muitos a conhecem apenas como “a senhora da lâmpada”, uma bondosa enfermeira que vagava à noite pelo hospital cuidando dos soldados que lutavam na guerra da Crimeia.

Eileen trabalha no Departamento de Ciência e Tecnologia da University College London (UCL) e só conhece o trabalho estatístico de Florence, pois fez um doutorado sobre Karl Pearson (1884-1936), matemático e fã das ideias e trabalhos estatísticos da enfermeira. Quando conseguiu uma bolsa de pós-doutorado no Instituto Welcome para a História da Medicina na UCL, Eileen explorou melhor o trabalho e a influência de Florence nas estatísticas médicas. “Florence Nightingale é reconhecida e venerada por seu papel na reforma de enfermagem, mas merece mais reconhecimento por usar estatística nessa reforma”, explica Eileen. “Seu trabalho de pesquisa estatística reduziu as mortes evitáveis em hospitais ingleses, sejam militares ou civis. Ela foi pioneira, e transformou a medicina baseada em evidências numa diretriz apoiada por médicos e políticos.”

Combate às estatísticas. Florence era de família rica, porém liberal para a época. Seu pai acreditava que as mulheres deviam estudar, por isso ele mesmo dava a Florence aulas sobre matemática, filosofia, latim. Desde cedo ela demonstrou gosto por números e métodos quantitativos. Eileen escreve num de seus artigos que, aos 20 anos, Florence tinha aulas de matemática com um tutor de Cambridge e ocupava suas manhãs examinando tabelas com dados a respeito de hospitais. Ela acumulava listas e listas de dados, e achava “renovador” olhar para aquele monte de números.

Logo decidiu que queria ser enfermeira, mas sua família não era tão liberal a ponto de apoiá-la nessa decisão. Naquela época, as enfermeiras tinham péssima fama: viviam bêbadas, falavam palavrões, roubavam os pacientes, tiravam sarro quando um deles morria, faziam sexo com os que podiam fazer sexo. Então, até os 31 anos, quando conseguiu sair de casa, Florence passou anos estudando medicina e saúde pública, e visitando sempre que podia crianças doentes e hospitais de bairros pobres.

A Guerra da Crimeia estourou em outubro de 1853. Os jornais noticiavam a história de soldados doentes e feridos que eram deixados para morrer sem nenhum cuidado médico. Florence viu ali uma boa oportunidade de carreira. Mandou uma carta ao amigo e secretário de guerra, Sidney Herbert, pois gostaria de trabalhar nos hospitais militares como voluntária. Sidney tinha tido ideia parecida e a convidou para ser superintendente de enfermagem no Hospital Geral Inglês na Turquia.

Quando Florence chegou ao local, em outubro de 1854, encontrou instalações com pulgas e ratos por todo lado. Além disso, os relatórios de pacientes não eram padronizados e ninguém registrava várias informações essenciais, inclusive mortes. Com os dados que coletou, Florence descobriu que em fevereiro de 1855, por exemplo, 42,7% das pessoas tratadas morreram. Além disso, as pessoas não morriam tanto assim por ferimentos de guerra, mas por falta de higiene, isto é, por conta de doenças que poderiam ter sido evitadas. Ela tinha dinheiro, doado por pessoas e instituições privadas, com o qual melhorou as condições do hospital. Em poucos meses, reduziu a morte de pacientes já tratados de 42,7% para 2,2%.

Após o final da guerra, em 1856, Florence voltou para a Inglaterra e usou estatística para convencer as autoridades de que, em outros hospitais militares, soldados também morriam por doenças evitáveis. Mostrou que a taxa de mortalidade de soldados doentes na Guerra da Crimeia não era muito maior que o número de mortes de soldados na própria Inglaterra — onde havia paz. Aliás, a taxa de mortalidade total das tropas britânicas na Crimeia era apenas 2/3 da mortalidade dos soldados na Inglaterra, ou, em outras palavras, eles estavam morrendo porque viviam em condições insalubres. Eileen conta o que Florence escreveu: “Nossos soldados se alistam para morrer nos quartéis.”

Números convincentes. Florence gostava da pesquisa de campo, de coletar dados antes de tirar conclusões. Mostrou o que hoje parece óbvio: a importância de obter informações sobre o paciente antes de definir um tratamento. Ou ainda a importância de saber por que certo paciente morreu, e se os médicos poderiam ter evitado aquela morte. Ela promoveu a investigação empírica que quase dois séculos depois ainda tem papel fundamental na saúde pública. Hoje profissionais da saúde, pesquisadores, e epidemiologistas usam métodos quantitativos aos montes para aumentar a qualidade de vida das pessoas, encontrar tratamentos para novas doenças, e combater epidemias.

Eileen conta que Florence também popularizou o uso de gráficos para comunicar os dados estatísticos dos hospitais: com os gráficos, conquistaria o apoio de políticos importantes, visto que os políticos da época não tinham o hábito de examinar tabelas de dados. Criou o gráfico polar e até lhe deu um toque feminino. “Foi um projeto artístico arrojado, com fatias e contornos bem definidos”, diz Eileen. “Ela inovou ao usar cores, atribuindo ao gráfico uma individualidade inconfundível.” Se não tivesse criado esse gráfico, que praticamente fala por si, Florence teria mais trabalho para convencer políticos e médicos de que novas políticas sanitárias reduziriam as várias taxas de mortalidade nos hospitais. Ao invés disso, conseguiu mudar até projetos arquitetônicos. As autoridades passaram a projetar hospitais com mais portas para melhorar a circulação do ar e reduzir o contágio por vias aéreas.

Se hoje as estatísticas estão em todo lugar para o bem e para o mal da população, naquela época era bem diferente. “Os políticos usam hoje dados estatísticos para fins eleitorais, muitas vezes para distorcer as informações em benefício próprio. Na era vitoriana [1837-1901, período em que a rainha Vitória comandou o Reino Unido], os políticos negligenciavam as informações estatísticas.” Só se interessavam por estatísticas que lhes mostrassem quantos cidadãos poderiam se alistar no exército ou pagar tributos. Outras pessoas usavam métodos quantitativos no comércio ou em propriedades rurais. Isso levou Florence a sugerir a criação de um departamento de estatística na Universidade de Oxford para que as pessoas aprendessem a coletar e interpretar dados de cunho estatístico. “Mas a ideia não avançou”, diz Eileen, “pois não recebeu apoio de outros acadêmicos.”

Além de diagramas e gráficos, especialistas também usam outra técnica influenciada por Florence: os ensaios clínicos aleatórios. Nesse método, o pesquisador organiza um experimento com mais de uma intervenção e realiza cada intervenção sorteando o paciente ao acaso, isto é, sem escolher o paciente de nenhuma maneira consciente ou inconsciente. Funciona mais ou menos assim: um especialista separa os participantes da pesquisa em dois grupos, grupos cujos membros devem ser escolhidos ao acaso; visto que todos os participantes são de algum modo parecidos (por exemplo, têm propensão a certa doença X), os dois grupos são de algum modo parecidos. Um grupo (o de estudo) recebe o tratamento A; o outro grupo (o de controle) recebe um placebo. Depois disso o especialista compara uma informação estatística num grupo com a mesma informação no outro. Depois verifica se, por exemplo, no grupo de estudo as pessoas apresentaram menos casos da doença X, enquanto as pessoas que receberam o placebo apresentaram mais casos da doença X.

Eileen explica que Florence não pensava em teorias estatísticas como as conhecemos hoje, pois foram criadas depois de sua morte, mas seus trabalhos empíricos influenciaram bastante os especialistas da posteridade. “A introdução da matemática nos métodos quantitativos ocorreu principalmente a partir de Karl Pearson no final do século 19 e de R. A. Fisher na década de 1920. Ambos forneceram a base teórica para as teorias que conhecemos hoje.” Florence não se preocupava com a teoria matemática que pudesse explicar os dados, mas sim com “dados vitais”, como ela dizia: dados que forneciam informações irrefutáveis sobre vida e morte.

Ao longo dos anos, Eileen mudou de ideia sobre o trabalho de Florence Nightingale, pois percebeu que a estatística do século 19 era mais eficiente do que ela imaginava quando começou a pesquisa, há 16 anos. O contato com o trabalho “prodigioso e exaustivo” de Florence faz “muitas de suas ideias estatísticas continuarem relevantes até hoje”. Eileen não pretende guardar o que descobriu nesses anos todos para si mesma. Promete publicar um livro sobre como Florence moldou a própria vida e como encarou suas escolhas a respeito de trabalhos estatísticos. Para Eileen, o assunto é tão universal que planeja escrever um livro tanto para historiadores, estatísticos, e enfermeiros quanto para o público em geral. “Com esse livro quero colocar Florence Nightingale na vanguarda da ciência e da estatística, ao invés de relegar seu trabalho a segundo plano, como tantos autores têm feito. Ela era uma cientista e uma estatística mais competente do que se pensa atualmente. Era muito mais do que apenas a senhora com a lâmpada.” {❏}


{2} Apêndice: A guerra da Crimeia

Em outubro de 1853, o império russo e a aliança dos impérios otomano, francês, e britânico, além do reino da Sardenha, começaram uma guerra pelo domínio ou por maior influência sobre os territórios do decadente império otomano. Os russos perderam a guerra, que terminou em fevereiro de 1856 e deixou 22 mil soldados britânicos mortos. Porém, apenas 4 mil desses soldados morreram em combate ou por ferimentos intratáveis de combate. O restante morreu de doenças causadas pelas más condições sanitárias que Florence Nightingale estudou. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 24, janeiro de 2013, pág. 58. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista com Eileen Magnello foi feita pela jornalista Mariana Osone.

3. Eileen ainda não lançou a biografia na qual trabalhava em 2013, mas não desistiu do projeto.

Como o bom senso sempre nocauteia a matemática


Ninguém tenta dobrar um pires como dobra um cobertor. Nem tenta amassar uma xícara como amassa uma folha de papel. E quando alguém diz que jamais faz coisas assim, diz que é porque tem bom senso, e não porque estudou matemática. Será mesmo?

As pessoas procuram algum tipo de congruência entre os objetos. Em palavras cotidianas, elas procuram ver se os objetos se encaixam.

Andy Isaacs, professor na Universidade de Chicago. Note o garfo no bolso: Andy é um piadista de rosto sério


TODO MUNDO sabe que pode dobrar um cobertor até que fique parecido com um paralelepípedo de tecido, e que pode amassar uma folha de papel até que fique parecida com uma bolinha de papel. “De modo intuitivo”, diz Andy Isaacs, codiretor do Centro para Educação em Matemática Elementar e Ciência da Universidade de Chicago, “todo mundo conhece a ideia de transformação. Toda gente sabe que pode aplicar movimentos e forças aos objetos para modificar sua forma ou tamanho. No entanto, quando vai guardar um grupo de xícaras e de pires, ninguém tenta dobrar os pires ou amassar as xícaras.”

Andy explica: o homem sabe que, ao aplicar forças e movimentos às xícaras e aos pires, fará com que eles mudem de lugar; se aplicar forças grandes demais, fará com que se quebrem em pedaços. (Vamos chamar esse representante genérico da espécie humana de Graco.) “Sabemos que as forças e os movimentos não mudam a forma desses objetos.” Em palavras técnicas, Graco sabe que tais objetos estão sujeitos apenas a transformações rígidas. Como então poderia guardá-los no armário?

Para encontrar a melhor forma, isto é, a que ocupa menos espaço, procura algum tipo de congruência entre os objetos. “Em palavras cotidianas”, diz Andy, “verá se os objetos se encaixam bem uns nos outros.” Se empilhar as xícaras e os pires assim: pires, xícara, pires, xícara, etc., ocupará espaço demais; se empilhá-los assim: pires, pires, …, pires, xícara, xícara, …, xícara, ocupará o mínimo espaço possível. Sem perceber, ao guardar xícaras e pires, Graco usa várias ideias matemáticas: transformações, topologia, otimização.

No entanto, esse mesmo sujeito que guardou as xícaras e os pires no menor espaço possível, e que não tentou dobrar os pires como dobraria um cobertor, nem tentou amassar as xícaras como amassaria um pedaço de papel, talvez diga que é péssimo de matemática. Talvez diga, com os olhos brilhando de orgulho: “Não sei nem somar dois com dois.” Rob Eastaway e Mike Askew, dois professores ingleses, dizem que Graco precisa fazer força para reconhecer que é melhor em matemática do que pensa ou diz. “Os adultos têm a tendência de rotular a matemática que eles conseguem realizar de bom senso”, dizem os dois num texto sobre as relações entre pais e filhos em idade escolar. “Quanto à matemática que não conseguem realizar, eles a chamam de matemática mesmo.” Por meio desse fenômeno comum, Graco atribui todas as suas vitórias ao bom senso e todos os seus fracassos à matemática.

Os preços mais próximos. Além de Andy Isaacs, Philip B. Stark, professor de estatística na Universidade da Califórnia em Berkeley, e Eloiza Gomes, professora de geometria analítica e álgebra linear no Instituto Mauá de Tecnologia, reuniram situações nas quais Graco recorre a raciocínios de cunho matemático, alguns sofisticados, mas rotula tais raciocínios de bom senso.

Num restaurante no qual nunca tinha ido antes, Graco examina o cardápio e escolhe a refeição abaixo:

Entrada com pães e patês: R$ 4,89.

Salada de César: R$ 7,29.

Espaguete à arrabiata: R$ 20,99.

(1) Arredondamentos e somas. Como acha difícil pensar nos preços tais como estão no cardápio, Graco os arredonda: 4,89 vira 5; 7,29 vira 7; e 20,99 vira 21. Ao todo, a refeição lhe custará 5 + 7 + 21, que Graco soma assim: “21 mais 7 é 28, 28 para 30 são 2, e somo a 30 os 3 reais que faltaram de 5 — quase 33 reais.” Ele sabe que, depois arredondar somente uns poucos preços, sua soma deve ficar próxima da soma real (33,17), pois a soma dos arredondamentos é pequena.

(2) Estimativas. Mentalmente, Graco compara os preços deste restaurante com os preços de outros restaurantes nos quais já esteve, para saber se este é mais barato, mais caro, ou a mesma coisa. Acha barato o restaurante em que está, quando comparado com outros restaurantes à la carte. Usou aqui um raciocínio de cunho estatístico: ele conhece um conjunto de números, cujo nome poderia ser “preços que já paguei em restaurantes”, e conhece mais ou menos o preço mais comum (a mediana), o preço mais baixo (abaixo da média), o preço mais alto (acima da média). Depois que terminar a refeição, fará também estimativas sobre custo e benefício: se a refeição for excelente, classificará o restaurante não como “barato”, mas como “baratíssimo”; se for péssima, classificará como “caro”.

Com a equação mais abaixo e o gráfico logo a segui, um matemático modelou o método que Graco usou para fazer os arredondamentos. A linha reta representa a seguinte função: y = x, isto é, o preço que Graco considera (y) é o preço que está no cardápio (x), sem nenhum arredondamento. A linha em escada surge de uma função mais complicada:

Com essa função, o matemático quis dizer: se a parte fracionária do preço no cardápio é menor que 50 centavos, Graco arredonda o preço para o maior número inteiro que seja igual ou menor do que x; se a parte fracionária do preço no cardápio é igual ou maior que 50 centavos, Graco arredonda o preço para o menor inteiro que seja igual ou maior do que x. (Em linguagem um pouco mais técnica: y é igual ao chão de x se a parte fracionária de x é menor que 50 centavos; e y é igual ao teto de x se a parte fracionária de x é igual ou maior que 50 centavos.)

Enfim, com a função y e com o gráfico, o matemático simplesmente colocou no papel, de modo preciso, o método pelo qual Graco raciocinou; contudo, é bem capaz que o próprio Graco, ao examinar a função e o gráfico, diga “Eu não entendo nada do que esses matemáticos escrevem — mal consigo somar dois com dois!”

(3) Frações e porcentagens. Assim que chega ao valor aproximado da refeição, de 33 reais, Graco calcula a gorjeta de 10%, e para tanto usa um método bem simples: 10% de 30 reais é 3 reais, e 10% de 3 reais é 30 centavos; logo, 10% de 33 reais é 3 reais e 30 centavos. Neste caso, o matemático percebeu que Graco usou a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição:

“Neste caso”, diz Andy, “muita gente se atrapalha porque não fixou perfeitamente a ideia de que 10% é a mesma coisa que 10/100, nem fixou a ideia de que 10% de um preço x é a mesma coisa que 0,1 ∙ x.” Andy e Philip dizem que Graco usa raciocínios semelhantes aos do restaurante em muitas circunstâncias distintas.

Por exemplo, ao preparar uma receita. Graco imagina que cada pessoa come 300 gramas de filé mignon; como vai receber dois casais de amigos, considera 400 gramas por pessoa e compra 1 quilo e 600 gramas de filé. Ele faz uma estimativa (que também é uma fração), arredonda a estimativa para cima para acomodar fatores aleatórios (um amigo que resolva bancar o glutão), e multiplica a fração por 4. Graco também mexe com frações e receitas quando modifica uma receita, como lembra a professora Eloiza. Se planeja cozinhar um bolo para seus amigos, mas tem uma receita para três pessoas, precisará dobrá-la para servir seis pessoas (os quatro amigos mais Graco e sua mulher). Se a receita original lhe pede três ovos e duas xícaras de farinha, pode começar com uma fração e multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por 2:

Mentalmente, sem colocar nada disso no papel, Graco vê que precisa comprar seis ovos e quatro xícaras de farinha; ele nem percebe, contudo, que ao modificar a receita usa a ideia de frações equivalentes, ou a ideia mais sofisticada de classes de equivalência aplicadas a frações.

No supermercado, Graco examina duas caixas de sabão em pó, ambas da mesma marca, mas de tamanho distinto. Uma caixa contém 2 quilogramas de sabão e custa 12 reais e 30 centavos; a outra contém 1 quilo e custa 5 reais e 15 centavos. Graco raciocina em termos de preço por quilograma, mas só faz a conta depois de arredondar os valores:

Compra a caixa menor, na qual o quilo de sabão custa ≊5 reais; se precisasse de 2 quilos de sabão, compraria duas caixas menores e economizaria 2 reais. Philip diz que Graco raciocina mais ou menos do mesmo jeito quando vai a um caixa eletrônico retirar dinheiro. O caixa pertence a um banco conveniado com o banco no qual mantém a conta-corrente; como é um banco conveniado, cobra 5 reais por transação.

Graco precisa de apenas 10 reais, mas rapidamente percebe que, caso retire só 10 reais, pagará 50% disso pela transação. Caso retire 20, pagará 25% pela transação. Graco decide retirar 400 reais, e daí acha razoável pagar 5 reais pela transação, pois neste caso o custo da transação fica em apenas 1,25% do valor retirado. “Num caso assim”, diz Philip, “quando o correntista usa a ideia de porcentagem, ele na verdade usa a ideia de valor relativo.”

(4) Probabilidade e estatística. Philip diz ainda que Graco usa muitas vezes ideias que um matemático classificaria como probabilidade e estatística. Por exemplo, quando adoça uma xícara de café. Graco pede o café, um expresso forte, e o garçom lhe traz também uma cestinha com cubinhos de açúcar. Graco joga um cubinho dentro do café e mexe. Será que deve jogar mais um cubinho? “Ele não precisa beber todo o café para saber se está adoçado da maneira que lhe agrada mais”, diz Philip. “Visto que o café já foi mexido, basta um golinho.” A ideia aqui é a de amostra aleatória. Se Graco mexe bem o café, espalha bastante bem o açúcar por todo o líquido. Então, basta examinar uma amostra aleatória (um gole) para saber se o líquido contém açúcar em quantidade suficiente.

É claro que Graco acha essa ideia perfeitamente natural, e acha também desnecessário incluir a expressão “amostra aleatória” na conversa. Contudo, quando um instituto de pesquisa entrevista 2.500 brasileiros escolhidos ao acaso, e descobre que eles já não aprovam mais o governo no poder, Graco fica pensando: Como podem saber o que os brasileiros pensam se entrevistaram só 2.500 pessoas? Como podem saber o que os brasileiros pensam se nunca me entrevistaram? Com um pouquinho mais de treinamento, Graco reconheceria que, assim como basta experimentar só um golinho do café para saber se está doce o suficiente (bom senso), basta sortear 2.500 brasileiros para saber se eles aprovam o governo ou não (matemática).

O matemático imagina um problema semelhante ao do café e ao da pesquisa de opinião: um mágico tem três moedas, duas comuns e uma viciada (com duas caras). Ele sorteia uma das moedas e tira cara ou coroa. Sai cara. Qual é a probabilidade de que tenha sorteado a moeda viciada? Graco não faz ideia, mas o matemático sim: é 50%. O matemático chama de A o evento “jogar cara e coroa com uma moeda de duas caras”, de B o evento “jogar cara e coroa com uma moeda comum”, e de C1 o evento “obter uma cara”, de C2 o evento “obter duas caras”, de C3 o evento “obter três caras”, etc. Com a fórmula abaixo, ele expressa a probabilidade do mágico ter sorteado a moeda viciada visto que, ao lançá-la uma vez, obteve cara.

Neste caso, Pr(A | C1) significa a probabilidade de que tenha escolhido a moeda viciada, visto que, ao jogá-la uma vez, saiu cara; Pr(C1 | A) significa a probabilidade de jogar a moeda uma vez e tirar cara, visto que sorteou a moeda viciada; Pr(A) é a probabilidade de sortear a moeda viciada; Pr(C1 | B) é a probabilidade de jogar a moeda uma vez e tirar cara, visto que sorteou uma das moedas comuns; e por fim Pr(B) é a probabilidade de sortear uma das moedas comuns. Tudo isso é o teorema de Bayes, que por sua vez é, em essência, nada mais que bom senso vertido em linguagem matemática. (Sobre o teorema de Bayes, veja a matéria Doentes Perfeitamente Saudáveis.)

Fazendo as contas com o mesmo método, o matemático rascunha a tabela abaixo:

Questão Valor Termos usados nas contas
Pr(A | C1) 50% Pr(C1 | A) = 1 e Pr(C1 | B) = 1/2
Pr(A | C2) 66,67% Pr(C2 | A) = 1 e Pr(C2 | B) = 1/4
Pr(A | C3) 80% Pr(C3 | A) = 1 e Pr(C3 | B) = 1/8
Pr(A | C4) 89% Pr(C4 | A) = 1 e Pr(C4 | B) = 1/16
Pr(A | C5) 94% Pr(C5 | A) = 1 e Pr(C5 | B) = 1/32

Com a sexta linha da tabela, quis dizer: Qual é a probabilidade de que, tendo jogado a moeda e obtido cinco caras seguidas, o mágico tenha sorteado a moeda viciada? Bem, com o teorema de Bayes, o matemático obtém uma resposta precisa: é de 94%.

Quanto a isso, Graco se revolta, e pensa: Ora bolas, se o mágico jogou cara e coroa cinco vezes, e obteve cara cinco vezes seguidas, então me parece óbvio que escolheu a moeda viciada em primeiro lugar. Isso é puro bom senso! Ninguém precisa recorrer à matemática para salpicar de números um caso tão patente de bom senso!

O estudante mais bem treinado em matemática percebe as falhas no pensamento de Graco. Embora o mágico tenha jogado cara e coroa cinco vezes, e obtido cinco caras seguidas, isso não significa que escolheu a moeda viciada; há ainda 6% de probabilidade de que tenha escolhido uma moeda comum, e 6% é um valor bem grande para que possa ser classificado como 0%. Outra coisa: o bom senso, temperado com matemática, permite ao matemático passar adiante uma informação interessante; essa informação tem a ver com experimentar apenas um golinho de café ou com entrevistar só 2.500 pessoas para saber o que os brasileiros pensam:

“Quantas vezes o mágico precisaria jogar essa moeda para saber, com 80% de certeza, se ele sorteou uma moeda viciada?”

Graco, munido apenas do bom senso, não consegue dar resposta à pergunta; mas o matemático, munido do teorema de Bayes, consegue: três vezes, como mostra a linha 4 da tabela.

Philip Stark diz que Graco usa matemática o tempo todo, sempre rotulada de bom senso: ele converte distância em tempo (leva meia hora para caminhar até a academia, mas leva cinco minutos para ir de carro, mais os dez minutos para achar vaga e estacionar); converte preços totais em preços por unidade de tempo (uma máquina de lavar de 1.200 reais, com cinco anos de garantia, custa 240 reais por ano; uma máquina de 800 reais, com dois anos de garantia, custa 400 reais por ano; isso porque essas máquinas costumam quebrar um dia depois do vencimento da garantia). Eloiza diz até que Graco resolve equações diferenciais, isto é, equações nas quais as variáveis são derivadas de funções: por exemplo, quando calcula até que ponto deve brecar seu carro, visto que o motorista do carro da frente reduziu a velocidade, e a velocidade com que os dois carros se aproximam aumentou.

O estudante pode usar uma imagem para pensar nessa questão: a do escultor. O mármore bruto é o bom senso. O escultor é o processo pelo qual Graco estuda matemática. A escultura é o bom senso aprimorado pelos anos de estudos de matemática: a escultura tem a mesma natureza do pedaço de mármore bruto, que fica em depósitos e em oficinas, mas ela merece um lugar no museu, sobre um pedestal, pois é muito mais bonita. {FIM}

Eis o processo de educação matemática transformando o bruto bom senso em algo mais civilizado

 


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 32, setembro de 2013, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Fabiana Lopes, que na ocasião vivia em San Ramon, Califórnia.

Sim, há uma distância entre as palavras

Foto_Katrin Erk


Katrin Erk, professora de linguística na Universidade do Texas em Austin, bolou um método com o qual pôde transformar o significado de uma palavra numa seta localizada num espaço de dimensão 10.000; com o método, os computadores poderão, por exemplo, procurar documentos na internet com maior eficiência. Teve a ideia depois de perceber que as pessoas sentem duas palavras de significado muito distinto como estando “longe” uma da outra.


{1}/ Introdução à entrevista

522099291Como alguém arrola os significados de uma palavra? Pode recorrer a três métodos comuns na história da humanidade: introspecção, pesquisa, e dicionário. Com o método da introspecção, o sujeito se senta numa poltrona confortável, munido de caderno e caneta, e vai escrevendo todos os significados dos quais se lembra, bancando cada um deles com dois ou três exemplos. É um jeito agradável de passar uma tarde. Com o método da pesquisa, o sujeito reúne umas pessoas e lhes passa um questionário: “Quais são os significados da palavra ‘pintor’? Justifique sua resposta com exemplos.” Desta vez, as pessoas passam uma tarde agradável, e ao sujeito basta depois reunir as respostas num documento. Com o método do dicionário, bem, o sujeito só tem de ler o verbete “pintor”. O Aurélio diz:

pintor

(ô). [Do lat. vulg. *pinctore, por pictore, ‘pintor’, com infl. de pintar.] Substantivo masculino. 1. Indivíduo que sabe ou exerce a arte da pintura. 2. Aquele que pinta: pintor de paredes. 3. Fig. Escritor que narra com grande exatidão. 4. Lus. Indivíduo trapaceiro. Pintor de liso: 1. Pintor de paredes.

E daí um crítico de música um dia escreve: “Ontem, o flautista Fulano de Tal nos pintou uma história na qual todas as portas começam escancaradas, mas vão se fechando uma a uma até que a peça termina em completa angústia.” Isso quer dizer que flautistas também são pintores?

Katrin Erk se especializou em semântica léxica, ou seja, ela estuda como o homem lida com o significado das palavras. Ao longo dos anos, usou vários métodos de pesquisa, mas hoje não acha mais adequado perguntar às pessoas coisas do tipo “Sublinhe no texto abaixo as ocorrências da palavra ‘correr’, e, a cada ocorrência, veja a lista abaixo de significados possíveis e me diga qual significado, dentre aqueles da lista, traduz bem o significado da palavra.”

“É muito interessante ver como as pessoas lutam com essa tarefa”, diz Katrin. “Para elas, isso é difícil. [Katrin imita a voz de um voluntário perdido:] ‘Ah, o significado dessa ocorrência da palavra é bem parecido com o sentido 4 da lista, mas me parece que o sentido 7 também se aplicaria!’ Essa reação é tão comum que passei a me perguntar se não existe algo de fundamentalmente errado com as listas de significados. O problema é que sabemos usar a linguagem, mas não sabemos como ela funciona, e não somos bons de introspecção. A linguagem é tão complexa que nem mesmo um gênio seria capaz de se sentar e, por meio apenas do pensamento, descobrir como ela funciona.”

Então, a partir de 2009, Katrin mudou de estratégia. Passou a usar computadores, com sua fria eficiência mecânica, para arrolar o que as palavras significam, partindo do modo como ocorrem em textos escritos — e os resultados têm sido extraordinários.


{2}/ A entrevista em si

Quando viu que o significado das palavras tinha algo a ver com vetores?

Tentamos muitas abordagens. Em certos momentos, enquanto fazia minhas pesquisas e coletava dados, eu tinha quatro ou cinco modelos matemáticos distintos na cabeça. E uma das primeiras abordagens, distinta das listas, foi a da álgebra linear. Bolamos um método pelo qual converter as respostas de cada pessoa em vetores. [Sobre vetores, veja a seção 4.] Com isso, estávamos em condições de olhar os significados de cada palavra como pontos num espaço euclidiano, isto é, cada vetor representaria um ponto. Feito isso, poderíamos olhar a diferença entre dois significados distintos como sendo a distância entre dois pontos. E daí veio uma pergunta importante: será que, dentro da cabeça das pessoas, esse espaço é mesmo do tipo euclidiano? Ou seria um espaço peculiar, distorcido, no qual não existiria a noção de “a menor distância entre dois pontos é uma linha reta”?

Organizamos experimentos para testar isso, e nossa reação foi: “Uau!” As pessoas foram muito consistentes: podíamos ver os números que elas atribuíram para o significado das palavras como se fosse um vetor, ou como um ponto no espaço, e quanto maior a distância entre dois pontos, maior a diferença de significado. Verificamos até a existência da desigualdade triangular nesse espaço; em outras palavras, a menor distância entre dois significados era mesmo uma linha reta. Então, as pessoas têm na cabeça uma imagem bem consistente do significado das palavras, e “veem” duas palavras de significado semelhante como estando próximas uma da outra. Foi um resultado profundo.

Como chegou a imaginar palavras como vetores?

Vamos supor que alguém diga a frase “ele e seus amigos beberam tesbino demais ontem à noite”. Ninguém sabe o que é tesbino, mas, pelo contexto, dá para saber que é algo de beber; e dá para supor que é alcoólico, pois grupos de amigos costumam pedir bebidas alcoólicas à noite; além disso, se a bebida for alcoólica, sabemos que não se deve beber “demais”. Então, com apenas uma frase, podemos dizer muita coisa sobre uma palavra completamente desconhecida. Por quê?

Isso acontece porque a palavra tesbino está próxima de outras palavras. Existe um contexto. Faz tempo desconfiamos que o homem dá significado às palavras mais pelo contexto do que pelo significado listado num lugar qualquer — por exemplo, um dicionário. Então, o que fizemos, numa descrição bem geral?

Arranjamos bancos de dados com bilhões de palavras; eram textos dos mais diversos tipos, muitos deles obtidos na internet. Depois pusemos um supercomputador para selecionar uma palavra específica, escolhida por nós, e contar a ocorrência das cinquenta palavras antes dessa uma e a ocorrência das cinquenta palavras depois dessa uma. Perto da palavra “vinho”, por exemplo, aparecem palavras como “beber”, “copo”, “vermelho”, “branco”, “mesa”, “árvore”, “computador”, “cordeiro”. Então, para cada palavra que escolhemos, o computador contava a ocorrência de 10.000 outras palavras, que também escolhemos. Com isso, cada palavra gerava um conjunto ordenado de 10.000 números. É claro que podemos ver isso como um vetor num espaço de dimensão 10.000! [Veja a seção 3; o ponto de exclamação é só um ponto de exclamação, e não sinal de fatorial…]

Visto que podemos interpretar um vetor como sendo o lugar geométrico de um ponto, percebemos que muitas palavras, dependendo do contexto em que estavam, se transformavam em pontos próximos uns dos outros. Por exemplo: a palavra “banco”, numa frase do tipo “o banco diminuiu os juros”, ficava perto da palavra “gerentes”, numa frase do tipo “os gerentes do banco diminuíram os juros”. Isso significa que contar a ocorrência das palavras nas cercanias de uma palavra qualquer é semelhante a obter o significado daquela palavra — e sem perguntar nada a ninguém. Chamamos isso de “semântica distributiva”, que tem sido uma linha de pesquisa de sucesso.

Da mesma forma, ao ver as palavras como vetores, ou como pontos, nos permitiu interpretar a distância entre eles como sendo, grosso modo, a distância de significado. Assim, pontos perto uns dos outros significam mais ou menos a mesma coisa; e pontos longe uns dos outros significam coisas distintas.

Essa abordagem se revelou vantajosa. Quando o computador conta a ocorrência das palavras perto de uma palavra qualquer, ficamos dispensados de preparar uma lista bem definida dos significados possíveis dessa palavra, coisa que aliás ninguém sabe fazer direito. Além disso, essa abordagem nos permite fazer várias perguntas interessantes, que a abordagem de lista não dava ensejo.

Vetores permitem quais perguntas sobre palavras?

Quando digo algo do tipo “o significado das palavras pode ser visto como os vetores da álgebra linear”, isso é a mesma coisa que dizer: “Agora posso usar essa extensíssima teoria, chamada álgebra linear, para estudar o significado das palavras!”

A partir do momento em que digo “o sentido de uma palavra é como se fosse um vetor”, tenho condições de fazer perguntas interessantes: O que significa a distância entre dois vetores? Será que a teoria a respeito de tensores de dimensão mais alta tem significado no meu modelo? Visto que posso converter pontos e distâncias em grafos, será que a teoria sobre grafos tem significado no meu modelo? Assim como posso pensar em passeios aleatórios nos pontos de um grafo, posso pensar em passeios aleatórios nos significados de uma palavra?

Então, antes de associar uma teoria matemática a um fenômeno qualquer, as perguntas que fazemos sobre esse fenômeno são meio vagas, meio ambíguas. Mas, quando associamos uma teoria matemática ao fenômeno, as perguntas ficam melhores. O modelo deixa claro o que estou vendo, ele me ajuda a pensar, ele me ajuda a bolar perguntas de sentido extremamente preciso. Isso porque o modelo vem com centenas, às vezes milhares de teoremas. Por exemplo, certos teoremas da álgebra linear me permitem representar um ponto num espaço de dimensão 10.000 com um vetor de dimensão menor; por exemplo, de dimensão 300. Conforme o caso, essas contrações do espaço preservam as distâncias relativas entre pontos. Como posso usar tais teoremas? O que eles me dizem sobre o significado das palavras?

Além disso, uma teoria matemática bem conhecida também nos ajuda com a engenharia. Outras pessoas já criaram programas de computador, algoritmos, e procedimentos — que podemos usar. Vale notar que computadores e álgebra linear nasceram um para o outro…

Daqui a 20 anos estaremos falando com os computadores?

[Katrin faz uma careta do tipo “Eu, hein!? Não sabemos tanto assim!”] Essa ideia nos ocorre porque, para nós, a linguagem parece uma coisa muito fácil. Contudo, ela é um fenômeno incrivelmente complexo.

Especialistas em inteligência artificial classificam a linguagem como um fenômeno “IA-completo”, querendo dizer: para entender perfeitamente a linguagem, uma máquina deve ser tão inteligente quanto uma pessoa, e mais do que isso: ela também deve saber o que uma pessoa sabe. Só que as pessoas sabem muito, mesmo que não percebam. As crianças já sabem que, se soltam um objeto pesado, ele cai no chão; se brincam com água, ficam molhadas. Elas sabem o que é “nadar”, pois já nadaram; elas sabem o que é “azul”, pois já viram o céu. Quando fazemos o computador lidar com linguagem, ele começa numa posição desvantajosa, pois não tem nenhuma experiência de vida.

No entanto, nosso trabalho oferece a base para aplicações interessantes. Por exemplo, com o método da contagem e dos vetores, em tese um computador pode examinar centenas de artigos médicos sobre uma doença qualquer, extrair automaticamente os fatos, e redigir automaticamente conclusões que sejam decorrentes dos fatos.

Você ainda estuda matemática?

Estou sempre lendo sobre álgebra linear, estatística, aprendizado de máquina, grafos, passeios aleatórios em grafos, coisas assim. Estou sempre lendo sobre linguística e psicologia experimental. Mesmo assim, sei muito pouco sobre certas áreas da linguística, como fonologia.

Me formei em ciência da computação, e sei como é pensar profundamente no que um computador significa, no que um algoritmo significa. Para mim, um modelo matemático bem-feito é algo esteticamente prazeroso. Acho legal aquela sensação assim: “Ei! Existe esse mundão supercomplicado lá fora, mas fui capaz de simplificá-lo com esse modelo matemático belo e simples, e graças a isso consigo fazer perguntas pertinentes e precisas sobre o mundão supercomplicado.” É uma alegria, que tento passar a meus estudantes.

Como é sua rotina?

Há coisas que posso fazer sozinha, como as coisas mais teóricas. Há coisas para as quais preciso da ajuda de dois ou três estudantes de mestrado e de doutorado; por exemplo, os modelos computacionais. E há coisas para as quais preciso da ajuda de muita gente. O bom disso tudo é que posso variar bastante minha rotina. O que tenho vontade de fazer hoje? Ler artigos científicos? Escrever programas de computador? Conversar com outros pesquisadores?

Você já usou no dia a dia alguma de suas descobertas científicas sobre linguagem?

[Fazendo careta de ‘não’.] Nééé! Somos incrivelmente bons em usar a linguagem sem que tenhamos de pensar sobre ela. Acho que estou um pouco mais consciente dos muitos significados que uma palavra pode ter, e talvez eu escolha uma palavra pensando nisso, mas, no geral, no dia a dia sou como qualquer outra pessoa. Mas coleciono frases ambíguas publicadas nos jornais, que às vezes uso nas minhas pesquisas. {❏}


{3}/ Como transformar palavras em vetores

Para entender mais ou menos o que Katrin Erk fez, o estudante (vamos chamá-lo de Garcia) elabora um experimento mental simples. Escreve num caderno três frases bem parecidas:

(1) O garoto morreu de amores pelo cachorrinho.

(2) O garoto morreu de dó do cachorrinho.

(3) O garoto morreu de câncer no esôfago.

E depois imagina um conjunto de números ordenados assim: (x1, x2, x3, x4, x5, x6), no qual a variável x1 indica o número de vezes que a palavra “garoto” aparece perto da palavra “morreu”; da mesma forma, x2 representa a contagem de ocorrências de “amores”, x3, de “cachorrinho”, x4, de “dó”, x5, de “câncer” e x6, de “esôfago”. Garcia sabe que pode ver um conjunto ordenado de número como sendo um vetor, e por isso põe lado a lado o vetor que representa a frase (1), que chama de v1, assim como o vetor v2 e o v3.

Equation-1

Com esse método, inspirado no de Katrin, Garcia reconhece que está contando a ocorrência das palavras nas três frases para arrolar automaticamente os significados do verbo “morrer”. Garcia sabe que é impossível visualizar um vetor num espaço de dimensão 6, pois o cérebro humano só consegue imaginar espaços tridimensionais. Então Garcia providencia uma imagem de dois vetores num espaço de dimensão 3, o vetor (1, 0, 5) e o vetor (3, 7, 11), só para olhar para eles e fornecer ao cérebro um apoio ao pensamento.

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O melhor seria arranjar um computador com recursos gráficos sofisticados, um que mostrasse, de modo compreensível, um vetor em seis dimensões. Mas tudo bem. Feito isso, Garcia vai atrás de calcular a distância entre os três vetores v1, v2, e v3, e para tanto recorre à fórmula usual da distância entre pontos num espaço euclidiano de dimensão 6. Usa a notação d(vi, vj) para denotar a distância entre vi e vj.

d(v1, v2) = √2 ≊ 1,4142

d(v1, v3) = 2

d(v2, v3) = 2

As contas deixam claro que os vetores v1 e v2 estão mais próximos um do outro, e que ambos estão à uma distância maior do vetor v3. Isso combina com o significado da palavra “morreu” nas frases (1), (2), e (3): nas duas primeiras frases, o significado é semelhante; na terceira, é mais distinto.

Bem, foi mais ou menos assim, mas usando vetores com 10.000 dimensões e computadores capazes de organizar tais vetores em conjuntos de pontos, que Katrin conseguiu fazer o computador “examinar” uma afirmação e dizer, com base nela, se a afirmação seguinte era verdadeira ou falsa — e o computador acertou a resposta em 85% das vezes que examinou uma afirmação qualquer.


{4}/ Vetores

Há várias maneiras de definir um vetor; a mais simples delas, usada ao longo desta reportagem, é dizer que um vetor é o conjunto mínimo de números necessários para localizar um ponto num espaço de dimensão n, sendo n um número inteiro positivo, desde que haja um sistema adequado de coordenadas.

O leitor (codinome Garcia) pode localizar um ponto numa reta com apenas um número do tipo (x); exemplos: (2), (-3), (7).

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Garcia pode localizar um ponto num espaço bidimensional com apenas dois números ordenados, do tipo (x, y); por exemplo, (-5, 1).

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E pode localizar um ponto num espaço tridimensional com apenas três números ordenados, do tipo (x, y, z); por exemplo, (1, 2, –3).

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Ou Garcia pode, como também Katrin pôde, localizar um ponto num espaço de dimensão 10.000 com apenas 10.000 números ordenados, do tipo (x1, x2, x3, …, x10.000). Garcia não tem como usar a imaginação para visualizar um espaço de 10.000 dimensões (haja imaginação!), mas pode usar a álgebra linear para manipular tais vetores e dizer, por exemplo, se duas frases têm significado semelhante ou distinto.

Quando Katrin menciona o espaço euclidiano, quer apenas dizer espaços nos quais a menor distância entre dois pontos é uma linha reta; os pontos na superfície de uma bola não servem de exemplo para um espaço euclidiano, pois, na superfície da bola, a menor distância entre dois pontos é um círculo máximo. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 32, setembro de 2013, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Katrin faz questão de ressaltar que não inventou a semântica distributiva, que já existe há uns 20 anos; o que ela fez de novo foi divisar um método pelo qual olhar os vários significados de uma palavra como pontos no espaço. Esse método tem dado resultados extraordinários; veja a lista de artigos recentes de Katrin Erk clicando aqui.

3. Gilbert Strang, um famoso professor de álgebra linear no MIT, escreve no prefácio de Linear Algebra and its Applications: “Acredito que muito mais gente precisa de álgebra linear do que precisa de cálculo. Isaac Newton talvez discorde! Contudo, ele não está ensinando matemática no século 21. Certamente você pode expressar as leis da física muito bem com equações diferenciais, e por isso Newton precisou do cálculo. Tudo bem, entendo isso. Mas o escopo da ciência, da engenharia, da administração, e da vida é hoje muito maior que a física, e a álgebra linear se moveu para o centro do palco, […] embora as universidades ainda não tenham ajustado o currículo para lhe dar a ênfase correta.” Concordo. Acho que o matemático amador deve estudar cálculo com afinco, pois a história recente da matemática se confunde com a história do cálculo; mas deve estudar álgebra linear com afinco ainda maior, pois ela tem papel mais importante no mundo atual — basta lembrar que os computadores fazem sua mágica movidos, em essência, por álgebra linear.

4. Caso queira saber um pouco mais sobre vetores, veja a matéria A Aritmética do Espaço.