Didática moderna: muita teoria, pouca prática


Viviane Lovatti Ferreira pesquisou a história de como os brasileiros ensinam outros brasileiros a ensinar matemática. Nos anos 1930, alunos de licenciatura tomavam aulas de como apagar o quadro-negro. Hoje, eles leem Vygotsky, mas quase não têm prática. E eles se sentem desprestigiados desde os anos 1930.

Muitos professores, de outros institutos e faculdades, veem os alunos de licenciatura de um jeito… menor.


{1}/ Introdução à entrevista

Uma pessoa estudou pedagogia num curso qualquer de licenciatura, e, por conta disso, dá aulas de matemática para crianças do 1º ao 5º ano. Outra pessoa estudou matemática, e, por conta disso, dá aulas de matemática para crianças e adolescentes do 6º ano do ensino fundamental até o 3º ano do ensino médio. Suponha que essas duas pessoas sejam brasileiras típicas: elas estudaram em faculdades particulares e dão aulas em alguma cidade do interior. Suponha que elas tenham vontade de dar boas aulas. Em tese, essas duas pessoas teriam acesso a um grande número de dissertações de mestrado, teses de doutorado e livros em português, inglês e francês a respeito de teorias sobre o que significa dar boas aulas. Viviane Lovatti Ferreira diz que, na prática, esses dois professores não têm acesso a todo esse material. “O professor no chão de fábrica, lááááá no Ceará, por exemplo, provavelmente só tem acesso ao livro didático; o livro didático é o programa para muitos professores.”

Viviane fez algo inédito no Brasil: estudou a história de uma disciplina, a que hoje é chamada de metodologia do ensino de matemática. Nas faculdades brasileiras, essa disciplina é aquela na qual os professores da faculdade ensinam seus alunos a ensinar matemática. Na década de 1930, ela apareceu nos currículos com o nome de didática especial da matemática; na década de 1960, virou prática de ensino da matemática; nos anos 1990, virou metodologia do ensino de matemática.

Sempre que os brasileiros mudaram o nome, diz Viviane, é porque passaram a ver a disciplina de outro jeito. Viviane transformou seus estudos num livro, Metodologia do Ensino de Matemática — História, Currículo e Formação de Professores, mas tomou uma decisão controversa: sua conclusão mais importante só foi incluída no livro de modo indireto. Ela acredita que as faculdades puseram tanta teoria nessa disciplina de ensinar a ensinar matemática que, para efeitos práticos, tornaram a disciplina quase inútil. “O terceiro capítulo foi o mais difícil de pôr no papel”, diz Viviane (é o capítulo no qual ela teria de dizer, preto no branco, que a disciplina se anulou). “Como alguém pode dizer isso? Com que autoridade? Achei melhor escrever algo incontestável: essa disciplina se ampliou muito, e agora inclui uma grande quantidade de referências teóricas, uma multiplicidade enorme de saberes. Mas abarcar tudo está perto de não abarcar nada.”


{2}/ A entrevista em si

Você foi boa aluna de matemática?

Fui uma aluna mediana — nem boa nem ruim. Na graduação, estudei pedagogia, e entrei num projeto de iniciação científica; foi por causa desse projeto que me interessei pela história do modo como ensinamos matemática no Brasil. Eu tive medo. Pensei comigo: será que vou me dar bem nesse negócio de educação matemática? Mas não fiz o projeto de iniciação científica, o mestrado, e o doutorado sobre esse assunto para exorcizar meus traumas; fiz porque, como muita gente, sinto curiosidade a respeito da matemática. Além disso, a história de como ensinamos a ensinar matemática ainda não foi contada. Penso que muita gente achará a história interessante.

Já deu aulas? Gostou da experiência?

Dei aulas para professores do curso de licenciatura em pedagogia. Não era fácil… [risos] O pessoal que trabalha com as primeiras séries do ensino fundamental não conhece bem a matemática; a carência é muito grande. Então, algumas coisas nós [professores da licenciatura] temos de ensinar antes de entrar nos aspectos didáticos e pedagógicos. Sobre isso, incluí no livro um comentário do professor Sérgio Aparecido Lorenzato [na página 105]:

“Eu tinha uma caixinha, uma espécie de urna, para pôr ali as perguntas. Muitos alunos não querem se expor aos colegas ao fazer a pergunta. Então, valia o anonimato. Essa pergunta podia surgir em uma conversa na casa do aluno, entre parentes, pessoas mais velhas que ele. Eram perguntas sobre a matemática! Quantas vezes surgiu Por que um número elevado a zero é um? ou Por que menos com menos dá mais? Eu perdi a conta! […] O tempo passa e as perguntas continuam as mesmas.”

Mas dei aula apenas dois anos. Consegui bolsa da Fapesp para estudar a história de ensinar a ensinar matemática no Estado de São Paulo, e virei mais uma pesquisadora de história da educação do que uma professora de licenciatura em pedagogia.

Como foi a pesquisa?

Optei por levantar a história da metodologia do ensino de matemática em três instituições: a Universidade de São Paulo, a Universidade Estadual de Campinas, e a Universidade Estadual Paulista em Rio Claro. Eu quis misturar uma análise de toda a documentação ligada à história da disciplina com história oral, e por isso também entrevistei cinco professores: Amélia Domingues de Castro, Sérgio Aparecido Lorenzato, Ubiratan D’Ambrósio, Antonio Carlos Carrera de Souza, e Nílson José Machado.

Quando comecei, não tinha hipótese nenhuma. Fui construindo a história em cima dos documentos que pude encontrar. Foi difícil ter acesso aos documentos, especialmente na USP, embora eu me apresentasse como aluna da USP. Por exemplo, a USP não guarda os programas de ensino da disciplina de metodologia de ensino de matemática. Quando fui perguntar, ninguém sabia de nada. Consegui por fim acesso a uns documentos bem técnicos, mas não pude xerocar nem fotografar nada: só pude tomar notas. Na Unicamp é diferente: cada unidade tem um arquivo setorial, com todos os programas disponíveis desde 1970. A Unesp também mantém um arquivo no setor de graduação. Analisei currículos (os que pude achar), documentos oficiais, provas, cartas, notícias de jornal, livros didáticos, leis; a história de uma disciplina nos permite conhecer a história da educação.

Passei o tempo todo coletando coisas. Não foi assim: ah, já coletei tudo o que queria, então vou escrever. Não. Fui escrevendo e coletando o material ao mesmo tempo.

E qual ficou sendo a mensagem central do livro?

No começo, quando a disciplina se formou [mais ou menos nos anos 1930 no Brasil], não havia um conjunto de teorias e um conjunto de práticas bem definidos. Os professores de didática adotaram um enfoque bem prático: eles até ensinavam os alunos a usar o retroprojetor. O D’Ambrósio menciona isso [na página 56]:

“Quanto à didática especial… Foi um curso que passou em brancas nuvens. Ensinar como trabalhar no quadro-negro, como preparar um plano de aula… Olha, eu nem me lembro da professora.”

Nos depoimentos, os professores disseram que fizeram a licenciatura porque, caso contrário, eles não poderiam ensinar no magistério secundário. Era uma imposição. Se eles pudessem ficar só no bacharelado, teriam ficado. O Benedito Castrucci contou uma história assim [na página 64]:

“Eu não fiz aquele curso de didática. Havia um curso de didática da matemática, mas esse o Fontappiè nos aconselhou a não fazer: ‘Estuda matemática, deixa de lado essas coisas de didática, porque didática só tem uma regra boa: saber a matéria. Se você souber a matéria, será um artista, e se for um bom artista, será um bom professor.’”

A partir dos anos 1970, mais ou menos, muita gente criticou essa abordagem prática. Os professores reclamavam: a disciplina de didática da matemática não tinha bibliografia. E muita gente, inclusive muitos professores brasileiros, trabalhou duro para formar um corpo teórico amplo; o problema é que, nesse corpo teórico, nós acabamos incluindo uma infinidade de coisas. Hoje o aluno entra jovem na licenciatura, e ele não tem prática nenhuma, mas vai estudar Vygotsky [Lev Vygotsky (1896-1934), psicólogo russo]. Isso adianta? Pergunto porque, depois, ele entra numa sala de aula sem saber como se alfabetiza uma criança na prática. Talvez por tudo isso tanta gente bata na tecla da educação continuada.

Para resumir tudo isso bastante: antes havia a matemática tradicional, aí veio a matemática moderna, mas ensinar a matemática moderna já não queremos mais, e aí ficamos com muitas teorias. E ao longo de todo o processo sempre houve o desprestígio. Muitos professores, de outros institutos e faculdades, veem os alunos de licenciatura de um jeito… menor.

Sempre desmereceram a licenciatura?

Sempre houve esse desprestígio. É uma coisa que aparece nos documentos e, principalmente, nos depoimentos. Todos os entrevistados bateram nessa tecla.

Talvez isso tenha a ver com o modo como as faculdades de educação surgiram. O governo Getulio Vargas criou a Faculdade Nacional de Filosofia em 1939, e disciplinou, digamos assim, as faculdades de filosofia, ciências, e letras de todo o país. A USP, como muitas outras universidades, decidiu aperfeiçoar a ciência e deixar a docência em segundo plano, e trouxe professores estrangeiros para o Brasil. Contudo, não há registro de professor estrangeiro na Faculdade de Educação. É como se dissessem: para as disciplinas pedagógicas, o que a Faculdade de Educação está fazendo está muito bom. Para mim, isso já foi sinal de desprestígio.

Você pretende voltar a dar aulas?

Pretendo! Estou prestando concursos públicos. Eu poderia dar aulas em universidades privadas, mas elas desvalorizam o professor. Quero dizer: elas respeitam a cota de mestres e doutores, mas, se você é doutor, e não está na cota, é obrigado a esconder sua titulação, porque eles não querem pagar mais para um doutor que não esteja na cota… Não quero isso. Nas universidades públicas, há maior liberdade, e terei estímulo para pesquisar e seguir adiante não importa quantas outras pessoas tenham titulação na faculdade.

Qual foi o trecho mais gostoso de escrever?

Gostei da conversa com o professor Nílson José Machado. Quando ele dá aulas, pede a seus alunos que leiam um livro, e que preparem uma apresentação sobre o livro para o resto da classe. Ele recomenda: “Não me venha falar mal do livro; se o livro é ruim, deixe-o para lá, e comece outro.” O professor Nílson acha inadmissível que o aluno termine a disciplina sem ter lido um livro e sem ter trazido algo de novo para a classe. Não se trata de entrar na sala de aula e só ouvir, só receber, mas também de entrar para falar, para ensinar. Ele tem essa concepção de que formar um bom professor de matemática é, no fundo, formar um bom leitor: é mais provável que um bom leitor se transforme num bom professor. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 11, dezembro de 2011, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Eis os dados sobre o livro de Viviane: Metodologia do Ensino de Matemática: História, Currículo e Formação de Professores, de Viviane Lovatti Ferreira. São Paulo: Cortez, 2011. Preço na página de internet da editora: 48 reais.

Mudanças, mas a um passo por vez

Em certo momento da entrevista, Luiz Roberto Dante explica: “Eu tenho um editor, e um editor não faz livro para juntar pó na prateleira — ele faz livro para vender.” Dante personifica dois fatos importantes sobre o ensino de matemática no Brasil: o setor mudou bastante desde 50 anos atrás; mas ele mudou, e ainda muda, devagar. Dante é um dos autores mais vendidos, e seu sucesso se deve a essa filosofia passo a passo: a cada nova coleção, propõe mudanças, mas evita aquelas grandes o suficiente para assustar um professor.


{1}/ Introdução à entrevista: o peso da tradição

DANTE ESCREVE coleções de livros didáticos e paradidáticos para o ensino fundamental 1 (do primeiro ano ao quinto), ensino fundamental 2 (sexto ao nono), e para o ensino médio. De qual coleção gosta mais? Ele desconversa: “Eu me dedico a todas igualmente.” Mas com qual gosta mais de trabalhar? Qual lhe dá maior prazer? Depois de resistir por mais uns momentos, por fim responde: “Gosto mais das coleções para o primeiro ao quinto.”

É a fase mais importante na vida matemática de uma pessoa, diz Dante. “Se a criança for conquistada para a matemática nesses primeiros cinco anos, ela verá a matemática com bons olhos para o resto da vida. Se ela for traumatizada nesse período, o que aliás ocorre com bastante frequência, daí talvez um bom professor a reconquiste mais tarde, mas não deveríamos contar com essa possibilidade.”

Ao contar sua história, sem querer descreve o modo como certas empresas, as editoras de livros didáticos, até que modificam a sociedade à sua volta, mas apenas de pouquinho em pouquinho. Elas precisam vender, mas o comprador, o professor de matemática, se apega à tradição — se a coleção exigir uma modificação grande na rotina, encalha. Só quando o governo entra em ação, e publica diretrizes educacionais bem específicas, é que a sociedade muda mais depressa. Dante diz que este talvez seja o problema mais grave com o ensino médio: não há regras claras, e ninguém consegue analisar as questões do Enem para então deduzir as regras implícitas, se é que existem.


{2}/ A entrevista em si

Professoras no ensino fundamental 1 precisam de treinamento especial?

Sempre que converso com um grupo de professoras do ensino fundamental 1, se tenho a chance pergunto:

“Vocês ensinam frações próprias e impróprias?”

Elas me dizem que sim. Daí pergunto:

“E o que é uma fração imprópria?”

Elas me dizem que é uma fração, isto é, um número racional, na qual o numerador é maior que o denominador. Peço exemplos e elas me dão exemplos, como 5/4. Daí pergunto:

“E por que vocês estão usando essa palavra, imprópria? Por que a fração é imprópria?”

Aí fica o maior silêncio.

Então eu pego um dicionário e leio os sentidos mais comuns da palavra fração. O mais importante é: “Parte de um todo.” Vou à lousa, desenho um quadrado e o divido em quatro partes iguais, das quais pinto três. Digo que o quadrado representa a unidade, que dividi a unidade em quatro partes iguais, e que só considerei três delas. Como de fato 3/4 é parte do todo, isto é, parte da unidade, é próprio falar em “fração do todo”. Depois desenho dois quadrados, divido cada um deles em quatro partes iguais, e pinto cinco. Pinto de colorido um quadrado inteiro e uma parte do outro quadrado. Digo que cada quadrado representa uma unidade, e que o desenho todo quer dizer que considerei uma unidade inteira mais um quarto de unidade. Então, como 5/4 é maior que o todo, isto é, maior que a unidade, é impróprio falar em “fração do todo”.

Nesse ponto, digo que, na matemática, muitas vezes “in” significa “não”: a fração imprópria é a fração que não é propriamente uma fração; um número ímpar é um número que não é par; e assim por diante. Elas ficam encantadas com a descoberta. É claro que, se soubessem tais coisas e ensinassem assim desde o primeiro dia, todo mundo adoraria a matemática.

Qual é o principal problema?

O professor sabe que a criança aprende melhor se tudo for uma grande brincadeira, se o aprendizado for “lúdico”, como dizemos hoje. E há bons materiais com os quais brincar: o material dourado, os blocos lógicos criados por Zoltán Pál Dienes [1916-2014, matemático húngaro], que são uma maravilha. Mas vejo muito professor brincando, brincando, brincando, sem chegar a lugar nenhum. Por quê? Falta ao professor vários conhecimentos matemáticos; ele tem lacunas de formação.

Isso é assim em todas as fases do ensino, mas é pior no ensino fundamental 1. Todos já conhecem a explicação clássica: pondo de parte as honrosas exceções, quem escolhe o curso de pedagogia na faculdade não é nenhum fã de matemática; além disso, durante a faculdade, tem um semestre de conteúdo matemático (conteúdo técnico), e um semestre de metodologia do ensino da matemática. Deveria ser o contrário: o professor do ensino fundamental 1 deveria ser o mais bem preparado de todos. Se ele fosse, não confundiria “matemática” com “linguagem da matemática”.

O que quero dizer com isso?

A professora vai à lousa e escreve 1 + 2 = 3. Ela acha que está ensinando uma operação aritmética. Mas a criança olha para o que está na lousa e vê desenhos: para ela, “1” é só um desenho, “+” é só um desenho, “2” é só um desenho, “=” é só um desenho, e “3” é só um desenho.

O que a professora deve fazer é chamar um aluno lá na frente, e depois chamar dois alunos, e dizer para as crianças: “Estão vendo? Vamos juntá-las? Tínhamos uma criança, depois vieram mais duas, e ao juntá-las temos três.” É uma ideia natural, que a criança deve praticar com tampinhas, pecinhas do material dourado, bolinhas desenhadas no caderno. Quando estiver nessa fase, a de bolinhas desenhadas no caderno, a professora pode ajudá-la a substituir uma bolinha pelo símbolo 1, duas pelo símbolo 2, etc.

É importante ressaltar que a ideia matemática em si é natural. Já sua representação matemática, que é 1 + 2 = 3, não é nada natural; a troca de um jeito de pensar por outro tem de ser feita lentamente, para evitar que a criança confunda o conceito com a representação do conceito.

A dificuldade com a linguagem matemática persiste ao longo da vida?

Pesquisas de mestrado e de doutorado mostram uma coisa com clareza: quando o aluno diz que não entendeu matemática, muitas vezes quer dizer que não entendeu a notação matemática. Cito como exemplo a ideia de função, que é um dos assuntos do ensino médio.

Imagine que uma pessoa vai com sua motocicleta no posto de gasolina, e que o litro de gasolina custa 3 reais. Se ela colocar um litro, paga 3 reais. Se colocar dois litros, paga 6 reais. Se colocar 3 litros, paga 9 reais. É fácil entender que existe uma correspondência entre o número de litros que colocou no tanque da moto e o preço a pagar ao posto de gasolina.

Mas se você disser mais ou menos assim: seja um conjunto A, composto de números reais, e seja um conjunto B, também composto de números reais; se houver uma regra pela qual possa, para cada elemento de A, associar um único elemento de B, daí pode dizer que existe uma função de A em B, e pode denotá-la com y = f(x), etc. Bom, daí ninguém entende nada. A linguagem matemática, assim como a notação matemática, tem essa capacidade de ofuscar conceitos simples.

Já fizemos uma pesquisa com alunos no primeiro ano da faculdade: eles não sabem explicar corretamente o que significa f(x). Ele não sabe dizer que, conforme troca o valor de x, que é o argumento dentro dos parênteses, troca o valor de f(x) de acordo com uma regra de correspondência batizada de f. Mas é claro que esse mesmo aluno compreende perfeitamente a história da moto no posto de gasolina.

Essa deficiência nasce lá atrás, no ensino fundamental 1. Eis por que o professor não deve deixar a criança simplesmente brincar com objetos — ele deve incentivá-la a brincar com os conceitos. Para que o professor consiga dar aulas assim, precisa de preparo; é por isso que tenho grande carinho pela coleção do primeiro ao quinto — sinto que minha responsabilidade é enorme.

Por que os livros de ensino médio dão pouca ênfase à resolução de problemas?

Dou maior ênfase à resolução de problemas nas coleções do primeiro ao nono. Sou grande admirador do George Pólya [1887-1985, matemático húngaro], estudei o livro mais famoso dele, A Arte de Resolver Problemas, e ajudo o estudante a percorrer as quatro fases da resolução de um problema: compreender o problema, planejar uma forma de resolvê-lo, executar o plano, verificar se a resolução está correta, escrever a resposta apropriadamente. Insisto bastante nisso nos livros para o fundamental.

Nos livros do ensino médio, em várias partes toco de novo no assunto, mas a ênfase é realmente menor. O currículo do ensino médio é muuuito extenso, e por isso inviável. Todos os professores dizem que é impossível ensinar bem todos os assuntos no currículo do ensino médio, ainda mais na rede pública, na qual algumas escolas dão só três aulas de matemática por semana. Se o professor quiser cobrir todos os assuntos, não tem escolha exceto explicá-los brevemente.

Contudo, ninguém sabe ao certo como proceder — nem os autores, nem os professores. Existem diretrizes curriculares para o ensino médio, mas não parâmetros curriculares, como existem para o ensino fundamental. Na prática, a diferença é grande: as diretrizes curriculares estão num documento do MEC, numa tabelinha, onde há instruções do tipo “tem de ser assim”, “tem de ser assado”. Os parâmetros curriculares são mais completos; com eles, há maior clareza sobre o que devemos enfatizar ou não enfatizar.

Na prática, o que está mandando no ensino médio é o Enem. Quando o governo realiza um Enem, todos nós vamos correndo ver o que ele pediu ou não pediu. E aí surgem vários problemas.

Um deles é que certos assuntos do ensino médio não apareceram no Enem nenhuma vez. Alguns exemplos: números complexos, polinômios, matrizes e determinantes. Ao mesmo tempo, muitos assuntos da matemática não aparecem em questões de matemática, mas em questões de outros assuntos — aparece um problema de física que, para ser resolvido, o aluno tem de saber geometria no espaço. Isso é bom. Significa que o Enem está sendo bem feito. Mas professores e alunos não veem assim.

Outro dia, logo depois de uma prova do Enem, um aluno me disse: “Quase não caiu matemática nesse Enem.” Eu fui correndo ver se era verdade, mas vi matemática em quase todas as questões de todas as matérias!

Então, os professores vêm me perguntar: “Como eu preparo meu aluno para o Enem?” Ora, o que eu posso dizer? Dou a resposta que todo mundo dá: faça seu aluno praticar leitura e interpretação de texto, pois os enunciados do Enem são longos; ajude o aluno a identificar as informações dadas, as informações pedidas; ajude-o a ver qual ideia matemática seria útil na resolução da questão — é a ideia de função? é a ideia de sistema de equações lineares? Não posso dizer mais do que isso; não posso dizer: “Olha, não precisa trabalhar números complexos, pois não caem no Enem.” E se cair?

Os autores e as editoras, por meio das associações Abrale e Abrelivros, estão conversando com o MEC para ver se não poderíamos ter parâmetros curriculares também para o ensino médio. Na dúvida, todos os autores colocam todos os assuntos típicos do ensino médio na sua coleção, até porque universidades importantes não usam o Enem. Mas, se houvesse maior clareza sobre o que devemos enfatizar e o que podemos desprezar, daí o aluno poderia se concentrar num rol menor de assuntos.

Até que ponto é difícil mudar a cabeça de um professor?

Antigamente, eu colocava um capítulo sobre matemática financeira nos volumes do primeiro ano do ensino médio. Na minha nova coleção [Projeto Múltiplo: Matemática: Ensino Médio], a pedido do editor, coloquei esse capítulo nos volumes do terceiro ano; a ideia é tratar o assunto mais completamente, já que a essa altura o aluno sabe mais.

Aí um professor, um amigão meu lá de Goiânia, me disse assim: “Daaante! Não posso mais usar seus livros!” E eu: “Por quê?! Tem algum erro grave?” Ele respondeu: “Não, é que você colocou a matemática financeira no terceiro ano, mas estou acostumado a dar esse assunto no primeiro ano.” [risos] Em geral, os professores ensinam progressões aritméticas e geométricas depois de todas as funções. Seria melhor se as ensinassem antes, ou pelo menos antes das funções exponencial e logarítmica, pois daí poderiam chamar a atenção dos alunos para certas propriedades interessantes dessas duas funções. Sabe o que acontece se eu fizer isso? A coleção encalha!

Não quero criticar os professores. Como disse, não existem parâmetros curriculares para o ensino médio, o rol de assuntos a ensinar é grande demais — o curso é puxado e eles são bastante cobrados, tanto pela escola quanto pelos pais. É natural que queiram dar aulas do modo como estão mais acostumados, pois são mais eficientes assim.

Não é que eu não faça mudanças — eu faço. Estou sempre mexendo nas minhas coleções, incluindo coisas, excluindo coisas, alterando a ordem, sugerindo atividades novas no manual do professor [que só os professores recebem]. É um momento de solidão esse, o de ser um autor, pois me tranco de 12 a 15 horas por dia no meu escritório em Rio Claro [SP], onde moro; é uma sala cheia de livros, mas sem TV, sem rádio, sem netos, nada. Contudo, para que as mudanças sejam aceitas, preciso conversar com os professores pessoalmente. É por isso que também sou um dos autores que mais viajam pelo Brasil.

Na fase de divulgação das minhas coleções, viajo toda semana. Saio de casa na madrugada da segunda-feira. Às 7:30 já pego um avião no aeroporto de Viracopos [em Campinas] e sigo para alguma cidade do Brasil. De segunda a quinta, cumpro um cronograma de visitas bastante apertado, todo organizado por uma equipe da Editora Ática. Sou recebido pelos professores, tiro fotos com os alunos da escola, dou autógrafos, dou palestras. Quanto mais viajo e visito as escolas, mais tenho a oportunidade de mudar um pouquinho a visão que eles têm de ensinar e de estudar matemática. É curioso ver a surpresa deles com a descoberta de que sou uma pessoa comum — eu converso, bebo água. Esse corpo a corpo aumenta a venda de minhas coleções, é claro, mas aumenta também minha responsabilidade: sendo um autor querido, tenho o dever de tentar mudar as coisas, nem que seja um pouquinho de cada vez.

Livros didáticos são feitos para ser lidos da primeira à última página?

O professor precisa se acostumar com uma ideia difícil de aceitar: a de que ele não vai ensinar, mas sim ajudar o aluno a aprender. Se o professor se acostumasse com essa ideia, poderia inclusive tratar de assuntos os quais não domina bem. De modo geral, o professor não gosta de tratar os assuntos que não domina; se ele folheia o livro didático e vê alguma coisa que lhe parece difícil, ou ele não compra a coleção ou pula aquela parte.

Se ele se acostumasse com essa ideia, aceitaria mais facilmente uma outra: a de que o livro didático é só uma diretriz. O professor não precisa começar na primeira página e ir, página por página, até a última, fazendo todos os exercícios. Não é esse o objetivo principal de um autor de livros didáticos — é o de ajudar uma comunidade grande e diversificada de professores e alunos. Cada classe tem seus interesses, de modo que professores e alunos podem pular partes, ler fora de ordem, ir e voltar num assunto.

Nesse ponto, os pais atrapalham. Se por exemplo a editora entrega cadernos de atividades com a coleção, mas o professor não consegue realizar todas as atividades, ou decide não realizar todas elas, os pais ficam nervosos. Um deles aparece na escola para reclamar: “Olha, está chegando o fim do ano, e meu filho ainda nem abriu este caderno de atividades.” E daí a escola liga para a editora e reclama: “Não estamos dando conta de dar todo o material que veio com a coleção.”

Eu sempre tento mudar as coisas com meus livros, mas é duro enfrentar o mercado. É por isso que estou sempre adaptando, adaptando, adaptando minhas coleções. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 48, janeiro de 2015, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Caso queira ler mais sobre a correlação entre progressões aritméticas e geométricas com a função exponencial e a logarítmica, clique aqui.

3. Como talvez já saiba, o Congresso aprovou a reforma do ensino médio, isto é, aprovou a reforma que o governo Temer anunciou por meio da medida provisória 746/2016. Em tese, dois grupos de assuntos ganharam destaque: linguagens e suas tecnologias, e matemática e suas tecnologias. Contudo, a reforma faz referência à Base Nacional Curricular Comum (BNCC), que ainda não existe; portanto, só será possível avaliar a probabilidade de que a reforma melhore a situação do ensino médio, que é ruim, depois que a BNCC for divulgada. Se a BNCC mantiver a exigência de que a escola passe em três anos um número muito grande de assuntos, é provável que não dê em nada.

4. Caso queira saber o que outros dois autores (Imenes & Lellis) pensam da reforma do ensino médio, clique aqui. Caso queira estudar um texto de caráter mais filosófico sobre o ensino de matemática, clique aqui.

Plural indevido: uma simples questão de aritmética

Diga-me: as pessoas têm um nariz cada uma ou dois narizes (ou mais) cada uma?

Se acha que elas têm um nariz cada uma, deve escrever coisas assim:

(1) “Aquele vapor químico fez com que todas as crianças coçassem o nariz quase ao mesmo tempo.”

Porém, não deve escrever assim:

(2) “Aquele vapor químico fez com que todas as crianças coçassem os narizes quase ao mesmo tempo.”

Melhor dizendo: só deve escrever (2) se acha que cada criança tem dois narizes no rosto, ou mais de dois.

Se quiser, examine o texto de escritores como Carlos Drummond de Andrade, José Lins do Rego, Guimarães Rosa: eles não cometem esse tipo de erro, conhecido como plural indevido.

Plural indevido: definição por oposição. Se cada pessoa ou coisa tem uma e só uma característica (ou propriedade, ou atributo), então várias pessoas ou coisas têm uma e só uma dessa mesma característica (ou propriedade, ou atributo), de modo que deve colocá-la sempre no singular.

Melhor dizendo: escritores competentes só incluem um plural indevido num romance ou reportagem se for para incluí-lo na fala de um personagem. Seu propósito é caracterizar o personagem, isto é, mostrar ao leitor que ele não domina bem a norma culta da língua portuguesa.

Cinco exemplos:

(3) “A polícia conseguiu identificar a identidade dos assaltantes.” Isso porque cada assaltante tem uma e só uma identidade. Plural indevido: “A polícia conseguiu identificar as identidades dos assaltantes.” Essa frase só se justifica se cada assaltante têm mais de uma identidade, e a polícia tentava identificar cada uma delas; por exemplo, numa reportagem sobre assaltantes que são, ao mesmo tempo, falsários.

(4) “Os jornalistas aguardavam o comparecimento do prefeito e do governador.” Isso porque cada pessoa só pode comparecer a determinado lugar, em determinada hora, uma vez e só uma vez. Plural indevido: “Os jornalistas aguardavam os comparecimentos do prefeito e do governador.”

(5) “Pode ter sido coincidência, mas a língua dos passageiros que pediram sorvete de sobremesa ficou azul.” Isso porque cada pessoa tem uma e apenas uma língua. Plural indevido: “Pode ter sido coincidência, mas as línguas dos passageiros que pediram sorvete de sobremesa ficaram azuis.”

(6) “Durante as primeiras voltas da prova de testes, os pilotos não souberam explorar a potência dos carros novos.” Isso porque cada carro tem uma e só uma potência. Plural indevido: “Durante as primeiras voltas da prova de testes, os pilotos não souberam explorar as potências dos carros novos.”

(7) “Aqueles quatro senadores impuseram sua vontade aos demais.” Isso porque, naquela ocasião, cada senador tinha uma vontade e só uma vontade: por exemplo, a de suprimir determinado artigo de determinado projeto de lei. Plural indevido: “Aqueles quatro senadores impuseram suas vontades aos demais.”

No exemplo a seguir, o plural indevido não é apenas uma amolação, que obriga o leitor a imaginar gente com vários braços direitos, várias bocas e línguas, vários umbigos, várias almas; nem é apenas o motivo pelo qual a frase dói aos ouvidos; ele também dá ensejo a uma ambiguidade:

(8) “Antes que os jovens pudessem entrar no clube, os seguranças lhes carimbaram as mãos com tinta fosforescente.” Os seguranças carimbaram as duas mãos de cada jovem? Isso é pouco provável; o mais provável é que tenha acontecido algo mais ou menos assim: “Antes que os jovens pudessem entrar no clube, os seguranças lhes carimbaram o dorso da mão direita com tinta fosforescente.”

Talvez por influência de inglês mal traduzido, jornais, revistas, e livros estão infestados de plurais indevidos. É uma pena, pois cada redator está diante de um problema fácil de diagnosticar e de corrigir: basta a capacidade de distinguir “um” de “mais de um”. {FIM}


P. S. Em inglês, o jeito certo de dizer “Eles prepararam muito bem o espírito para o lançamento” é “They’ve prepared well enough their spirits for the launch.” Eu tive um professor de inglês que andava de bengala, e começava toda aula da mesma maneira: batia a bengala com toda a força no tablado, várias vezes, enquanto berrava: “Inglês não é português! Inglês não é português! Inglês não é português!”

Será que dia de prova é dia de matemática?

No dia a dia, todos consultam livros, amigos, e a internet para resolver problemas matemáticos. Por que o professor tem dificuldade de aplicar provas mais parecidas com situações reais? Especialistas resumem os motivos: uma espécie de medo sistêmico.


COMO ALGUÉM usa matemática no dia a dia? Primeiro, tem um problema a resolver e lhe parece importante resolvê-lo. E por isso usa uma calculadora científica, consulta livros, busca informações na internet, rascunha as primeiras tentativas de resolução, conversa com amigos, vai dormir. No dia seguinte, usa uma calculadora científica, consulta livros, busca informações na internet, revisa as primeiras tentativas de resolução e rascunha as segundas, conversa com amigos, vai dormir. E assim por diante até que o problema esteja equacionado e resolvido. Mas que imagem da matemática os professores passam a seus alunos quando é dia de prova?

O aluno não pode usar calculadora, nem consultar nenhum livro, nem navegar na internet, nem conversar com amigos; além disso, é melhor que não cochile, ou vá ao banheiro, pois deve gastar no máximo 5 minutos por questão. “Não enchemos a boca para dizer que incentivamos o trabalho em grupo?” A pergunta é do matemático argentino Adrián Paenza. “Não enchemos a boca para dizer que incentivamos as consultas bibliográficas, as interconsultas com outros especialistas, as discussões e debates em fóruns? Por que não reproduzimos essas situações na ficção que é a aprendizagem?”

Em poucas palavras: “O professor tem medo.” A autora do diagnóstico é Aline do Reis Matheus, uma professora de professores (ela dá aulas no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática da USP), uma professora de alunos comuns (ela já deu aulas em várias escolas, inclusive no Colégio Visconde de Porto Seguro, em São Paulo) e uma coordenadora de professores de matemática (no mesmo colégio). O professor tem medo de organizar uma prova diferente e virar alvo de seus colegas professores, do coordenador, do diretor da escola, dos pais — e dos próprios alunos.

Os olhos do mundo. Adrián critica o modo como as provas são feitas, mas acha que todo professor deve aplicar algum tipo de prova. “Não proponho o não exame”, ele se explica. “Acho óbvio que, para progredir em qualquer área, em qualquer estágio da educação, precisamos demonstrar de alguma forma que sabemos o que deveríamos saber. Isso está fora de discussão.” Em tese, 100% dos professores concordam com Adrián. Aline diz que está bem disseminada a ideia de que as provas não servem para avaliar o aluno, mas sim o professor, a escola para a qual o professor trabalha, o país no qual professores e alunos vivem. “Eu queria que a classe aprendesse isso, isso, e mais isso”, explica Aline. “Será que ela aprendeu? Posso seguir adiante ou terei de contornar um problema, pois muitos da classe não entenderam esse ponto ou aquele?” Segundo essa ideia, aplicar provas não significa exatamente medir o que o aluno já sabe, mas sim diagnosticar problemas no sistema de ensino. Embora esse jeito de encarar a função das provas esteja bem disseminado, na prática a prova ainda é bastante usada como mecanismo de punição.

Quando um professor aplica uma prova, para ele muita coisa está em jogo. Se os alunos obtiverem notas muito boas, a diretoria da escola vai desconfiar: será que ele deu uma prova muito fácil? Os pais também vão desconfiar: será que esse professor é mole? É possível que os próprios alunos queiram desafiar o professor. “No imaginário do aluno”, diz Aline, “professor bom é o professor que cobra, que é exigente. Então exigente é aquele que torna as coisas difíceis?” E se as notas forem muito baixas? A diretoria também vai desconfiar: será que ele sabe ensinar a matéria? Os pais vão reclamar: Esse professor não ensina direito, mas depois, durante a prova, quer que por um milagre meu filho saiba o que não pôde aprender, porque o professor não ensinou. Os próprios alunos vão reclamar. Caso as perguntas da prova não sejam idênticas às perguntas exibidas durante as aulas, de modo que o aluno aplique o método já visto em classe para obter a “resposta certa”, os alunos falam mal do professor para seus pais e para a diretoria. “Esse problema não foi trabalhado em sala de aula é uma reclamação muito comum”, diz Aline. “Muita gente, inclusive os alunos e seus pais, tem essa visão de que a escola serve para reproduzir. Se o aluno tem todas as ferramentas intelectuais para resolver um problema, mas esse tipo de problema não foi detalhadamente explicado em sala de aula, então, segundo essa visão, não pode ser usado na prova.”

Provas se tornaram assunto difícil porque são usadas na burocracia do sistema escolar. São documentos formais oriundos de um procedimento formal: um funcionário de escalão mais alto que o professor vai anotar as notas nalgum documento oficial, que depois enviará para secretarias e ministérios. “Se você reparar bem”, diz Aline, “o gestor da escola vai olhar para a avaliação, isto é, para o desempenho dos alunos na avaliação. Os pais do aluno também. Os olhos de todo mundo se voltam muito mais para a avaliação do que para a aula.” Isso significa que até mesmo professores ousados em sala de aula se comportam de modo mais conservador no dia da prova.

Daniel Cérgoli, professor do Colégio Objetivo nos cursos do ensino médio e nos cursos pré-vestibulares, e também professor do Caem-USP, vê uma manifestação disso no colégio onde dá aulas — embora todos no Objetivo estejam conscientes das discrepâncias entre aulas, provas, e vida real. “No primeiro e no segundo ano do ensino médio”, diz Daniel, “a gente consegue colocar [na prova] questões que exigem mais raciocínio do aluno.” No terceiro ano, contudo, todo mundo — alunos, professores, pais — está preocupado com o vestibular. Neste caso, a prova deve medir se o aluno será capaz de passar num bom vestibular. A consequência é inevitável: o professor fica com menos opções, e as provas se transformam em eventos parecidos com minivestibulares. Em outras palavras, de certo modo a prova se ajusta automaticamente ao que professores, pais, e alunos esperam da escola.

Mero teatro. Se um brasileiro qualquer quer saber como uma escola encara o papel das provas, deve estudar como ela prepara o planejamento. Aline ilustra esse ponto com um exemplo: no sexto ano, a escola deve ensinar números primos à criançada. Numa escola mais moderna, ela começará o planejamento com as “expectativas de aprendizagem”, isto é, respondendo à pergunta: depois que o aluno concluir o sexto ano, ele terá de saber que coisas a respeito de números primos? Afinal, números primos são um tema amplíssimo; no mundo inteiro matemáticos brilhantes ganham o pão de cada dia pensando a respeito deles. “O que esperamos que o aluno do sexto ano aprenda sobre números primos? Quando entendemos melhor as expectativas de aprendizagem, podemos criar um mapa melhor para orientar o dia a dia do professor.”

Uma vez que a escola saiba o que o aluno deve aprender, fica mais fácil escolher as ferramentas: Que objetos o aluno vai manusear? Que atividades vai realizar com computadores? Que atividades vai realizar fora da escola? Que textos vai ler ou escrever? Que filmes vai ver? Um planejamento caprichado, diz Aline, praticamente grita o modo como as provas devem ser aplicadas, e com quais objetivos. Para todos dentro da escola (exceto talvez para os alunos e seus pais, que não têm a visão do todo), ficará claro que a prova não serve para castigar ou premiar professores ou alunos por desempenho, nem para emular o vestibular, nem para rechear os arquivos de órgãos do governo. A prova serve tão somente para saber se os alunos estão aprendendo o que deveriam aprender de acordo com o planejamento.

Por isso, nas escolas nas quais a prova serve mais para castigar que para orientar, o planejamento quase sempre é mero teatro. Nessas escolas, há anos o professor ensina o mesmo assunto do mesmo jeito para jovens da mesma idade. Se o planejamento lhe for imposto, vai achar um mecanismo pelo qual deixá-lo de lado: talvez possa encará-lo como mera burocracia que a escola deve cumprir, mas que ele pode ignorar. “Isso é muito frequente”, diz Aline. Quando uma escola ganha o apoio do professor, é porque negociou o planejamento do ano com ele, de modo a fazê-lo ver que o planejamento muda todo ano porque as circunstâncias mudam todo ano — uma turma pode ser mais forte ou mais fraca, mais interessada ou menos interessada. Além disso, a legislação pode mudar de um ano para outro, ou pode surgir alguma técnica pedagógica nova; ou quem sabe a escola decidiu usar outra coleção de livros didáticos, ou talvez o mercado de trabalho imponha certos assuntos que antes não pareciam importantes.

Um sinal de que a escola inclui o professor na negociação, em vez de lhe dar ordens, é que ela matricula o professor em cursos especiais para professores. Aline diz que o professor ignora o planejamento não porque é birrento, mas porque não sabe matemática o suficiente para variar o estilo da aula. “Esse professor tem muita dificuldade para usar ferramentas pouco conhecidas”, diz Aline, e cita o exemplo dos programas de computador especializados em geometria, como o Geogebra. Se o planejamento inclui um item do tipo “dar aos alunos uma visão mais intuitiva do comportamento de funções importantes”, então tem de treinar o professor, para que saiba entrar em sala de aula e ajudar os alunos a plotar o gráfico de funções importantes e a usar os gráficos na resolução de problemas. Um item como esse não se materializa apenas com palavras no planejamento.

Para Adrián Paenza, uma escola só consegue aplicar provas mais semelhantes a situações reais quando persegue um objetivo difícil de alcançar: estimular crianças e jovens a fazer a si mesmos as perguntas que, numa escola convencional, são propostas pelo professor. “A primeira coisa que um bom professor deveria fazer é gerar perguntas”, diz Adrián. “Quando conseguimos despertar a curiosidade de um jovem, quando tocamos a corda adequada, ele sai em busca da resposta porque lhe interessa encontrá-la.” Visto que um jovem assim confia mais em seu professor, tende a encarar a prova como um momento em que ambos, ele e o professor, saberão se os métodos que têm usado estão funcionando, e não como um momento em que vale a pena trapacear. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 24, janeiro de 2013, pág. 52. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes.

3. As ideias de Adrián Paenza estão no livro Matemática… Cadê Você?, publicado no Brasil em 2009 pela editora Civilização Brasileira.

Lendo Andrews: Capítulo 1

{0}/ O porquê e o como deste texto

number-theoryEste é o primeiro texto de uma nova série, por meio da qual quero ajudá-lo a ler o livro Number Theory, de George E. Andrews: Dover Publications, Nova York, 1994. É um clássico, publicado pela primeira vez em 1971, e está à venda no Brasil — as lojas da Livraria Cultura, por exemplo, com frequência têm um exemplar ou dois na seção de matemática.

Andrews escreveu um livro diferente de introdução à teoria dos números; queria incentivar o leitor a abordar os temas básicos recorrendo a um pouco de combinatória. Para justificar a ideia, menciona uma passagem que o matemático Herbert Ryser escreveu no livro Combinatorial Mathematics: “[A] combinatória e a teoria dos números são disciplinas irmãs. Elas compartilham uma certa intersecção de conhecimentos comuns, e uma genuinamente enriquece a outra.” Dizem os matemáticos que a combinatória é uma área da matemática “com pouca estrutura”; em outras palavras, o leitor já pode começar a usá-la depois de conhecer um nadica de teoria.

Escrevi este texto para que funcione sozinho, pois sei que nem todo mundo lê inglês. (Se você gosta de matemática e não sabe inglês, corrija essa deficiência o mais depressa que puder. A língua inglesa vai te dar acesso a uma literatura matemática diversificada e de qualidade excelente.) Contudo, o melhor jeito de aproveitá-lo é comprar o livro de Andrews e ler o capítulo 1, fazendo todos os exercícios à moda de um matemático: seu objetivo não deve ser “achar a resposta certa”, mas demonstrar a seu leitor por que a resposta certa é certa. Depois disso, leia este texto. Ou vice-versa: leia este texto primeiro, resolva todos os exercícios por si mesmo, e depois leia o capítulo 1 do livro de Andrews.

Bem, ao trabalho. Nas seções a seguir, o número dos teoremas, corolários, exemplos, e exercícios é o mesmo número que Andrews usa no livro; essa regra também vale para números de páginas. Portanto, se vir no texto algo como “teorema 1-3 (pág. 8)”, estou me referindo ao teorema 1-3, que pode examinar na página 8. Apesar disso, o número de cada seção a seguir não tem nada a ver com o modo como Andrews numerou suas seções, pois não escrevi este texto para ser uma mera tradução do livro de Andrews — ao contrário, uso o livro tão somente como ponto de partida. Quanto aos teoremas marcados com letras, tipo “teorema A”, são teoremas que aparecem neste texto, mas não no livro de Andrews.

O que verá neste texto: Como somar progressões aritméticas. O princípio da indução matemática. Somas de potências de x. Sequências de Fibonacci. Como somar os termos de várias sequências de Fibonacci. Sequências de Lucas. Como somar os termos de várias sequências de Lucas. O teorema da base de representação e algumas de suas consequências.


{1}/ Somando progressões aritméticas

Em muitas situações de pesquisa, o matemático precisa somar uma sequência de inteiros positivos. (É uma ocorrência comum não só na teoria dos números, mas no cálculo integral também.) Por exemplo, os primeiros dez inteiros positivos:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Isso aconteceu tantas vezes na história da matemática que, um belo dia, alguém percebeu um truque útil: se quisesse, poderia organizar as parcelas numa linha, da menor para a maior; na linha de baixo, poderia organizar as mesmas parcelas da maior para a menor; e na linha debaixo, poderia escrever a soma dos termos nas duas linhas imediatamente acima. Em outras palavras, a terceira linha mostraria a soma da primeira parcela com a última, da segunda com a penúltima, …, da última com a primeira.

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Como pode ver, 1 + 2 + ··· + 10 = (10 · 11)/2, isto é, você adicionou dez parcelas de valor igual a onze, mas obteve soma igual ao dobro do que desejava (pois adicionou cada parcela duas vezes); portanto, deve dividir 10 · 11 por 2 para saber a soma que a princípio desejava, que é 55.

Eis outro jeito de pôr esse truque no papel:

(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) + (6 + 5) + (7 + 4) + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1) = 10 · 11; portanto:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (10 · 11)/2 = 55

Alguém então se perguntou: “Será que o truque funciona com os termos de qualquer progressão aritmética?” Para explorar a pergunta, imagine a progressão 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29; isto é, imagine a progressão cujo primeiro termo vale 5, cujo último termo vale 29, e cuja diferença entre termos adjacentes vale 4.

Quanto será que vale a soma a seguir?

5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29

Use logo de uma vez o método das três linhas sobrepostas.

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Sendo assim, ao recorrer a um argumento semelhante ao anterior, diga que 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 = (7 · 34)/2 = 119.

Imagine agora a seguinte situação: você tem de adicionar os termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo vale 893, cuja diferença entre termos vale 78, e que tem 2.130 termos. Pense nos assunto por uns instantes. Vai certamente dizer a si mesmo: “Não posso fazer uma conta tão comprida à mão. Preciso de métodos mais genéricos.”

Veja como pode começar os trabalhos: chame o primeiro termo da sequência de a1; assim, a1 = 893. Chame a diferença entre termos de d; assim, d = 78. Suas anotações no caderno talvez fiquem da maneira a seguir.

a1 = 893;

a2 = a1 + d = 893 + 78 = 971;

a3 = a2 + d = a1 + 2d = 893 + 2·78 = 1.049;

a4 = a3 + d = a1 + 3d = 1.127;

a5 = a4 + d = a1 + 4d = 1.205;

· · ·

ak = a1 + (k – 1)d

· · ·

a2.130 = 893 + (2.130 – 1)·78 = 166.955

Talvez agora pense: “Ficou muito fácil concluir a conta. A soma do primeiro termo com o último vale 167.848; além disso, tenho 2.130 termos. Logo, o somatório dessa progressão aritmética cujo primeiro termo vale 893, cuja diferença entre termos adjacentes vale 78, e cujo último termo vale 166.955 só pode ser (2.130 · 167.848)/2 = 178.758.120.” Se realmente pensou mais ou menos assim, então acertou o resultado, mas cometeu dois erros de raciocínio. Se as circunstâncias fossem outras, os dois erros talvez invalidassem o argumento.


{2}/ O princípio da indução matemática

Para começar, eis uma analogia do princípio da indução matemática, que é difícil de colocar em palavras, pois é uma ideia muito sutil. (O matemático britânico Keith Devlin diz que é uma das mais sutis de toda a matemática.) Imagine uma prateleira muito longa, que sustenta uma muito longa sequência de livros.

(I) Se a capa do livro mais à esquerda é vermelha,

(II) e se um livro imediatamente à direita de um livro com a capa vermelha tem uma capa vermelha, então todos os livros na estante supercomprida têm capa vermelha.

Essa analogia é de Justin Rising, um especialista americano em estatística.

Outro jeito de explicar o princípio, desta vez com as palavras de Keith Devlin: “Intuitivamente, o que precisamos demonstrar é que, embora já tenhamos demonstrado a validade de certa afirmação para os n primeiros caos, sempre podemos demonstrá-la para mais um caso.”

É hora de colocar o princípio em termos mais técnicos.

Princípio da indução matemática. Uma afirmação An sobre inteiros positivos é verdadeira para todos os inteiros n maiores ou iguais a 1 se:

(I) A afirmação An é verdadeira para o inteiro 1, isto é, a afirmação A1 é verdadeira. (Essa é a base da indução.)

(II) E se, além disso, sempre que a afirmação An é verdadeira para os inteiros 1, 2, 3, …, k, então ela também é verdadeira para o inteiro k + 1, isto é, sempre que A1, A2, A3, …, Ak são verdadeiras, então Ak+1 também é verdadeira.

Tendo provado essas duas coisas, daí pode dizer que a afirmação An é verdadeira para todo valor inteiro positivo de n. Pois A1 é verdadeira, e implica a validade de A2. A2 é verdadeira, e implica a validade de A3. A3 é verdadeira, e implica a validade de A4. E assim por diante ad infinitum.

Muitas vezes, o matemático se refere à presunção “a afirmação An é verdadeira para n = 1, 2, 3, …, k” como “hipótese de indução” ou “passo indutivo”. Às vezes, “princípio da indução matemática” aparece como “princípio da indução finita”. Em certas situações de pesquisa, talvez você prove a afirmação An para certo inteiro n = b > 1, e depois disso prove que, se nb, An implica An+1. Não tem importância: isso significa apenas que, por meio do princípio da indução matemática, sua afirmação An vale para todo nb.

* * *

Já pode voltar ao problema da seção anterior, pois, para resolvê-lo em definitivo, tem de usar o princípio da indução matemática para provar duas afirmações.

Uma delas, que pode chamar de An, é esta: Para calcular o n-ésimo termo de uma progressão aritmética cujo primeiro termo vale a1, e cuja diferença entre dois termos consecutivos vale d, basta usar a fórmula a seguir:

an = a1 + (n – 1)d

Será que A1 é verdadeira?

a1 = a1 + (1 – 1)d

.   = a1 + 0·d

.   = a1

Sim, A1 é verdadeira. Será que, se Ak é verdadeira, a validade de Ak implica a validade de Ak+1? Para saber isso, você deve adicionar a diferença d à expressão para Ak, e ver se obtém a expressão para Ak+1.

ak + d = a1 + (k – 1)d + d

.          = a1 + (k – 1 + 1)d

.          = a1 + ([k + 1] – 1)d

.          = ak+1

QED. Assim, no problema da seção 1, a2.130 sem dúvida vale 893 + (2.130 – 1)·78 = 166.955. Que tal dar destaque a essa descoberta à moda do matemático?

Teorema A. Se usa a1, a2, a3, …, an, … para denotar uma progressão aritmética cujo primeiro termo vale a1, e cuja diferença entre termos adjacentes vale d (isto é, ak + d = ak+1), então pode calcular o valor do enésimo termo da progressão com a fórmula an = a1 + (n – 1)d.

Agora vem a segunda prova pelo princípio da indução matemática.

Chame de Bn a seguinte afirmação sobre inteiros positivos: “Tudo o que tenho de fazer para calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo vale a1, e cuja diferença entre termos adjacentes vale d, é adicionar o primeiro termo a1 com o último termo an, multiplicar essa soma por n, e dividir tudo isso por 2.” Ponha a afirmação em notação matemática, sem se esquecer de que an = a1 + (n – 1)d.

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E essa é a forma algébrica da afirmação Bn. Verifique agora se a base da indução é válida, isto é, se B1 é válida. (B1 significa que você vai adicionar só um termo da progressão, que é o primeiro.)

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Assim, B1 é válida. Agora, supondo que Bn é válida, será que a validade de Bn implica a validade de Bn+1? O que deve fazer é adicionar an+1 dos dois lados da igualdade, sem se esquecer de que an+1 = a1 + nd.

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E a última linha é o que obteria se tivesse aplicado a fórmula de Bn a Bn+1. Logo, pelo princípio da indução matemática, a afirmação Bn é válida para todo valor inteiro positivo de n. Agora sim: no problema da seção 1, a1 + a2 + ··· + a2.130 sem dúvida nenhuma vale (2.130 · 167.848)/2 = 178.758.120.

Não é incrível que possa calcular o valor de um somatório tão longo ao recorrer a uma expressão tão simples? Mais uma vez, dê destaque ao que descobriu e provou:

Teorema B. Se a1, a2, a3, …, an são termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo vale a1, e cuja diferença entre termos adjacentes vale d (isto é, ak + d = ak+1), então você pode calcular o somatório a1 + a2 + a3 + ··· + an com a expressão na1 + ½[n(n – 1)d].

Um bônus. Ao resolver o problema da seção 1 por meio do princípio da indução matemática, você ganhou um prêmio: agora sabe calcular a soma dos n primeiros inteiros positivos. Reconheça que os n primeiros inteiros positivos perfazem uma progressão aritmética cujo primeiro termo a1 vale 1, cuja diferença d entre termos adjacentes vale 1, e cujo último termo an vale n. Daí tudo o que tem a fazer é aplicar a fórmula da afirmação Bn, isto é, aplicar o teorema B.

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Dê destaque a essa descoberta, pois ela aparece em destaque em muitos livros de teoria dos números.

Teorema 1-1 (pág. 5). (Corolário do teorema B.) Para calcular a soma dos n primeiros inteiros positivos, basta que use a expressão [n(n + 1)]/2, isto é, 1 + 2 + 3 + ··· + n = ½[n(n + 1)].

Pode chamar a sequência de inteiros 1, 3, 6, 10, 15, 21, …, cujos termos representam a soma de 1 + 2 + 3 + ··· + n quando faz n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, de “inteiros triangulares”, pois com eles você pode formar triângulos de bolinhas.

Fonte: Wikipedia

Com esses três teoremas, já pode resolver uma grande quantidade de problemas práticos e teóricos.


{3}/ Mais dois teoremas úteis

Multiplique x – 1 por 1, e o que obtém é x – 1.

Nada de novo até aqui, mas insista: multiplique x – 1 por 1 + x, e o que obtém é x2 – 1. Multiplique x – 1 por 1 + x + x2, e o que obtém é x3 – 1. Multiplique x – 1 por 1 + x + x2 + x3, e o que obtém é x4 – 1.

Brincando com os números, alguém descobriu isso um dia: se faz x ≠ 1, e daí se multiplica x – 1 por 1 + x + x2 + x3 + ··· + xn–1, sempre obtém xn – 1. (Você faz x ≠ 1 para excluir o caso sem graça em que a multiplicação dá zero.)

Para ver mais facilmente por que isso acontece, faça n = 6, por exemplo, e organize bem os termos do somatório. Assim:

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Ao organizar os termos em duas colunas, fica claro que eles se cancelam na diagonal: xx = 0, x2x2 = 0, x3x3 = 0, x4x4 = 0, x5x5 = 0; no somatório, sobram apenas x6 e –1. Ou, se quiser, pode pensar assim: o termo 1 é oposto do termo 4, o termo 3 é oposto do termo 6, o termo 5 é oposto do termo 8, o termo 7 é oposto do termo 10, o termo 9 é oposto do termo 12, e, nessa lista toda, sobram apenas os termos 2 e 11, isto é, x6 – 1.

Também parece claro que isso sempre acontece, mas, para dizer algo assim com certeza, você precisa do princípio da indução matemática. Chame esta afirmação de An: se x é um número real diferente de 1, e se n é um inteiro positivo, daí a afirmação a seguir deve ser verdadeira.

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Veja se a base da indução é válida, isto é, se a afirmação An é válida quando n = 1.

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Então, a afirmação A1 é válida. Agora suponha que a afirmação An seja válida, e veja se ela implica a validade da afirmação An+1; para tanto, basta adicionar xn dos dois lados da igualdade.

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Então, sim: a validade da afirmação An implica a validade de An+1, de modo que a afirmação An é válida para todo valor inteiro positivo de n.

Dê destaque à descoberta, porque ela é importante, e vai usá-la muitas vezes na teoria dos números.

Teorema 1-2 (pág. 5). A soma das n primeiras potências não negativas do número real x, com x ≠ 1, é igual a (xn – 1)/(x – 1), isto é:

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Corolário 1-1 (pág. 5). (Corolário do teorema 1-2.) Se m e n são inteiros positivos, e se além disso m > 1, daí n < mn.

Prova. Basta aplicar o teorema 1-2.

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Mais tarde, vai usar esse corolário várias vezes.


{4}/ Lista de exercícios (pág. 6)

Ao resolvê-los, não deixe de usar o princípio da indução matemática. Lembre-se do conselho de Paul Halmos: “Não apenas leia o texto: lute com ele! Faça suas próprias perguntas, monte seus próprios exemplos, descubra suas próprias demonstrações. A hipótese é necessária? A recíproca é verdadeira? O que acontece no caso especial clássico? E quanto aos casos degenerados? Em que ponto da prova o autor usa a hipótese?” É assim que se estuda matemática.

(E1). Prove a afirmação a seguir.

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(E2). Prove a afirmação:

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(E3). Prove a afirmação:

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(E4). Prove a afirmação:

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(E5). Prove a afirmação:

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(E6). Prove a afirmação:

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(E7). Sequência de Fibonacci. Faça F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, e, em geral, para todo inteiro n ≥ 3, Fn = Fn–1 + Fn–2. (Pode chamar Fn de “o enésimo número de Fibonacci”; F5, por exemplo, é o quinto número de Fibonacci.) Prove a afirmação:

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Nos problemas 8 a 16 abaixo, Fn denota o enésimo número na sequência de Fibonacci.

(E8). Prove a afirmação:

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(E9). Prove a afirmação:

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(E10). Prove a afirmação:

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(E11). Prove a afirmação:

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(E12). Prove a afirmação:

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(E13). Sequência de Lucas. Faça L1 = 1 e, para cada n ≥ 2, faça Ln = Fn–1 + Fn+1. Prove a afirmação:

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(E14). Explique o que há de errado com o argumento a seguir.

Argumento com erro. Deixe-me supor que Ln = Fn para n = 1, 2, 3, …, k. Daí posso concluir o seguinte:

Lk+1 = Lk + Lk–1     (pelo exercício E13)

.      = Fk + Fk–1     (pela minha suposição inicial)

.      = Fk+1             (pela definição de Fk+1)

Portanto, pelo princípio da indução matemática, Fn = Ln para todo inteiro positivo n.

(E15). Prove que F2n = FnLn. (Esse é difícil: insista, tome muitas notas.)

(E16). Prove a afirmação a seguir.

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(E17). Prove que n(n2 – 1)(3n + 2) é divisível por 24 para cada inteiro positivo n.

(E18). Prove que, se faz k um inteiro positivo ímpar, daí x + y é um fator de xk + yk. Por exemplo, se faz k = 3, daí x3 + y3 = (x + y)(x2xy + y2).


{5}/ O teorema da base de representação

Você já sabe que representamos os números reais com um sistema posicional de base 10 (mais especificamente, o sistema posicional de base 10 hindu-arábico, como já viu na matéria Um Algarismo Vale Muitos Passos). Eis o que representa quando escreve 209 num pedaço de papel:

2 · 102 + 0 · 101 + 9 · 100

E o que representa quando escreve 4.129:

4 · 103 + 1 · 102 + 2 · 101 + 9 · 100

Talvez já saiba que pode representar um número com outras bases. Nas linhas a seguir, pode ver o número 209 na base 2 (na qual usa só dois algarismos, 0 e 1), na base 6 (na qual usa seis algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5), e na base 19 (na qual usa 19 algarismos: 0, 1, 2, …, 8, 9, A, B, C, …, H, I):

209 = 11010001(2) = 1·27 + 1·26 + 0·25 + 1·24 + 0·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20

209 = 545(6) = 5·62 + 4·61 + 5·60

209 = B0(19) = B·191 + 0·190 = 11·191 + 0·190

Se já brincou com bases diferentes de 10 antes, deve um dia ter se perguntado: Será que qualquer inteiro positivo serve de base? (Não. Tem de excluir a base 1, com um único algarismo, o zero; com tal base, só pode representar o número zero.) Será que, ao representar um inteiro na base k ≥ 2, essa representação é sempre única? Ao estudar a prova do teorema a seguir, vai dar resposta às duas perguntas.

Teorema 1-3 (pág. 8). “Teorema da base de representação.” Faça k um inteiro qualquer maior que 1. Daí você pode representar qualquer inteiro positivo n com a expressão a seguir.

f-102

Nessa expressão, todo ai é um inteiro não negativo, com a0 ≠ 0; além disso, para todo valor inteiro não negativo de i, 0 ≤ aik – 1, isto é, ai ∈ {0, 1, 2, …, k – 1}. Essa representação de n na base k é única.

Lembrete 1. Tem de fazer a0 ≠ 0, pois o inteiro que está representando é positivo, e portanto existe o coeficiente positivo a0 da maior potência de k. Contudo, para cada base k, pode representar o número zero ao fazer ai = 0 para todo i.

Lembrete 2. Note que n é um inteiro positivo, e você pode imaginá-lo na base 10, com a qual está acostumado; por exemplo, 23 = 212(3) = 27(8). Mas não confunda o número com seu numeral na representação decimal: 23 é o numeral com o qual você representa o deslocamento de zero, o ponto inicial de referência, até vinte e três unidades à direita de zero. Se quiser, pode ver esse deslocamento como sendo o número em si; como consequência, as propriedades de um número, como a propriedade de ser par ou ímpar, não dependem do numeral que escolhe para representá-lo. Exemplo: 10 na base 5 é o mesmo que 5 na base 10, e o número 5 é ímpar de qualquer jeito.

Prova. Use bk(n) para denotar o número de representações de n na base k. Nesta prova, vai mostrar que bk(n) é sempre igual a 1.

Você já sabe que a0 ≠ 0. No entanto, é possível que, numa representação particular de n, alguns ai sejam iguais a zero e você possa desconsiderá-los. Por exemplo, em 2.100 = 2·103 + 1·102 + 0·101 + 0·100, você pode desconsiderar os coeficientes a2 e a3. Portanto, suponha o seguinte:

f-103

Supondo assim, tanto a0 ≠ 0 quanto as–t ≠ 0; isto é, está desconsiderando todos os ai à direita de as–t que são iguais a zero. (Note que, entre a0 e as–t, talvez haja alguns ai iguais a zero.)

Agora tire uma unidade dos dois lados da igualdade e adicione ktkt = 0 do lado direito; nenhuma das duas operações altera a validade da igualdade.

f-104

Use o teorema 1-2 para substituir a parcela mais à direita entre parênteses; para usar o teorema 1-2, basta fazer x = k.

f-105

E agora você descobriu que, para cada representação de n na base k, pode produzir uma representação de n – 1 na mesma base k. Se n tem várias representações na base k, então n – 1 também tem as mesmas várias representações. Você não sabe se n – 1 tem mais representações na base k do que n, mas certamente sabe que, se n tem duas representações, ou três, ou mil, então n – 1 também tem.

f-106

Note que pode declarar a inequação (1-2-2) válida mesmo que n não tenha nenhuma representação na base k, pois daí bk(n) = 0 ≤ bk(n – 1).

A inequação (1-2-2) implica as inequações a seguir.

f-107

E, em geral, se faz mn + 4:

f-108

Pelo corolário 1-1 (pág. 5), sabe que kn > n, e tem a certeza de que o inteiro kn tem pelo menos uma representação na base k, que é kn mesmo. Além disso, só pode representar o número 1 na base k de uma única maneira, que é 1. Portanto:

f-109

Como pode ver, as extremidades dessas inequações são iguais a 1, e assim todos os valores intermediários têm de ser iguais a 1 também. Portanto, diga que bk(n) = 1, e com isso o teorema está provado.

* * *

Uma vez que tenha escolhido uma base k ≥ 2, pode usar o teorema 1-3 para representar n como uma soma de potências de k. Na igualdade a seguir, cada ai é elemento do conjunto de inteiros não negativos {0, 1, 2, 3, …, k – 1}.

f-110

Se k = 2, ai ∈ {0, 1}; se k = 3, ai ∈ {0, 1, 2}; se k = 16, uma base muito usada na computação, ai ∈ {0, 1, 2, …, 8, 9, A, B, C, D, E, F}, onde A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, e F = 15.

Em geral, se quer escrever um número na base k, o que deve fazer é mostrar a seu leitor os coeficientes ai do coeficiente diferente de zero mais significativo ao coeficiente menos significativo, com a base k entre parênteses e subscrita: asas–1as–2···a2a1a0(k). Exceção: se a base é 10, não precisa escrever (10) subscrito; está subentendido que, se não houver um aviso ao leitor, a base é 10. Dois exemplos:

25 = 34(7), pois 3·7 + 4 = 25 ;

217 = D9(16), pois D·16 + 9 = 13·16 + 9 = 217

Talvez nunca tenha notado, mas, no dia a dia, usa com bastante frequência a base sexagesimal. Faça k = 60, e chame a unidade de “1 segundo”. Daí 2-52-15(60) = 10.335 segundos, mas costuma pronunciar 2-52-15(60) desta maneira: “Duas horas, 52 minutos, e 15 segundos.”

Não pense que a capacidade de representar números na base k ≥ 2 é simplesmente uma curiosidade. Talvez já saiba que, na computação, engenheiros de hardware e software usam extensamente as bases 2, 4, 8, e 16. Mas você, para provar teoremas na teoria dos números, vai muitas vezes tomar a providência de escrever certo número n em certa base k, e com isso sua prova ficará mais simples.


{6}/ Lista de exercícios (pág. 10)

(E1). Escrevas os inteiros 25, 32, e 56 na base 5.

(E2). Escreva os inteiros 47, 68, e 127 na base 2.

(E3). Imagine uma balança de dois pratos, sem escala. Imagine ainda que alguém vai colocar um objeto num dos pratos da balança, cuja massa em quilogramas pode ir de 0 quilograma a 63 quilogramas; a massa M de tal objeto, contudo, será sempre equivalente a um inteiro não negativo. (M = 0, 1, 2, 3, …, 63.)

Problema. Qual é o menor número de pesos de que precisaria para pesar qualquer número inteiro de quilogramas de 0 quilograma a 63 quilogramas, sendo que pode pôr seus pesos tão somente no prato vazio da balança?

(E4). Prove que, com a expressão a seguir, pode representar qualquer inteiro não nulo, e de maneira única.

f-111

Nessa expressão, cs ≠ 0 e cada cj é igual a –1, 0, ou 1.

(E5). Usando o teorema do exercício E4 acima, determine o menor número de pesos de que precisa para pesar qualquer número inteiro de quilogramas, de 0 quilograma a 80 quilogramas, se você pode pôr os pesos em ambos os pratos da balança.

(E6). Prove o seguinte: se usa a expressão a seguir para representar n na base k, com as ≠ 0, então 0 < nks+1 – 1.

f-112

(E7). Sem usar o corolário 1-1 (pág. 5), prove diretamente o seguinte: se tem diante de si duas representações distintas na base k, então tem diante de si dois inteiros distintos. Dica: use o teorema do exercício E6 acima.


{7}/ Por que estudar a teoria dos números?

Você pode usar as relações entre números inteiros para pensar sobre muitas das relações que existem na natureza, pois muitas delas são relações entre objetos discretos. Ora, o sistema dos números inteiros forma um aparato intelectual adequado para pensar nas relações entre objetos discretos. Se A deve 2 reais a B, mas B deve 3 reais a A, daí A pode entender essa história com –2 + 3 = 1 e concluir que, caso receba 1 real de B, ambos ficam quites.

Além disso, é difícil pensar sobre relações e funções contínuas sem recorrer a números inteiros. Um exemplo: a série de potências para exp(x), que é uma função contínua.

f-129

Mesmo que faça x = π, um número irracional, na prática será obrigado a trabalhar com uma aproximação racional para π, por exemplo 3,14159; e também terá de escolher um número finito de parcelas da série de potências, por exemplo n = 100. No fim das contas, o que de fato fará para calcular um valor aproximado adequado para exp(π) é realizar um número finito de operações com inteiros.

Por último, graças à ideia de morfismo, você tem condições ver muitos problemas matemáticos como se fossem problemas de teoria dos números — e às vezes isso vale para áreas que, à primeira vista, não têm nada a ver com teoria dos números. {❏}


{8}/ A resolução dos exercícios

(E1, pág. 6). Verifique primeiro se a base da indução é válida, isto é, se a afirmação do exercício E1 vale quando n = 1.

f-027

Sim, a base é válida. Agora verifique o seguinte: se a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, …, k, isso implica que também é válida para n = k + 1? Para verificar a resposta, monte a afirmação para n = k, adicione (k + 1)2 aos dois lados da igualdade, e veja se, do lado direito, consegue obter (1/6)[(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)] = (1/6)(2k3 + 9k2 + 13k + 6).

f-028

Com a última linha, fica claro que, se a fórmula para n = k é válida, então a fórmula para n = k + 1 também é, de modo que a afirmação é válida para todo n inteiro positivo. (Ela é válida para n = 1; mas isso implica que é válida para n = 2; mas isso implica que é válida para n = 3; etc.)

Pode chamar os inteiros na forma (1/6)[n(n + 1)(2n + 1)], com n inteiro positivo, de “números piramidais quadrados”, pois com eles você pode formar pirâmides de, por exemplo, bolinhas.

Fonte: Wikipedia

Fonte: Wikipedia

É possível que, antigamente, o interesse pela sequência de inteiros 1, 5, 14, 30, 55, … tenha surgido de uma pergunta do tipo: “De quantas frutas eu preciso para montar uma pirâmide com cinco camadas de altura?” Resposta: (1/6)[5(5 + 1)(2·5 + 1)] = 55. Ou talvez o interesse tenha surgido de perguntas do tipo: “De quantas bolas de canhão eu preciso para montar uma pirâmide com cinco camadas de altura?”


(E2, pág. 6). Aqui, pode usar o teorema 1-1 (pág. 5).

f-029

Essa é a afirmação que deve provar por indução matemática. Veja se a base da indução é válida, isto é, veja se a afirmação vale quando n = 1.

f-030

Portanto, a base da indução é válida. Adicione agora (n + 1)3 aos dois lados da igualdade, e veja se consegue organizar o lado direito até que obtenha (1/4)[(n + 1)2(n + 2)2] = (1/4)(n4 + 6n3 + 13n2 + 12n + 4).

f-031

Então, pelo princípio da indução matemática, você pode calcular a soma dos n primeiros cubos perfeitos com a fórmula (1/4)n2(n + 1)2.

Examine mais uma vez a afirmação que provou ao resolver o exercício E2. (Alguns autores chamam essa afirmação de “teorema de Nicomachus”.)

f-032

Com ela, você está dizendo que, ao somar os n primeiros cubos perfeitos, consegue organizar a soma como um quadrado cujos lados são um inteiro triangular; ou, dizendo isso de outra forma, se tem um quadrado cujos lados perfazem um inteiro triangular, pode usar a área do quadrado para montar uma soma de cubos perfeitos. É mais fácil ver tudo isso com uma ilustração.

Fonte: Wikipedia

Fonte: Wikipedia

O matemático holandês R. J. Stroeker escreveu, num artigo de 1995: “Todo estudante de teoria dos números um dia se maravilhou com o fato milagroso de que, para cada inteiro positivo n, a soma dos n primeiros cubos perfeitos é um quadrado perfeito.”


(E3, pág. 6). Esse é difícil para quem topa com ele pela primeira vez.

Comece com um exemplo modesto, para ter uma ideia de como a prova deve funcionar; por exemplo, faça n = 3.

f-033

Como vê, os termos do meio somam zero (ou se cancelam), e só sobram os termos dos extremos. É um pouco mais fácil ver por que isso acontece se você usa uma grade de multiplicação.

Pode ver como os termos se cancelam na diagonal (olhando apenas para os seis termos no centro da grade): o segundo da linha de cima é o oposto do primeiro na linha de baixo; o terceiro na linha de cima é o oposto do segundo na linha de baixo; de modo que, feita a adição, sobram apenas o primeiro da linha de cima e o último da linha de baixo.

Será que o padrão se repete sempre? Para ter maior certeza, faça n = 4, e vá direto para a grade de multiplicação.

f-035

De novo os termos se cancelam na diagonal (olhando para os oito termos no centro da grade): o segundo da linha de cima é o oposto do primeiro na linha de baixo; o terceiro na linha de cima é o oposto do segundo na linha de baixo; o quarto na linha de cima é o oposto do terceiro na linha de baixo. Assim, feitas as contas, sobram apenas o primeiro termo da linha de cima e o último da linha de baixo.

Com isso, você já tem condições de fazer uma prova com o princípio da indução matemática. Primeiro, verifique a validade da afirmação quando n = 1, isto é, verifique a validade da base da indução.

f-036

A base é válida.

Agora, presuma que a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, 4, …, k. Faça, portanto, n = k e monte a grade de multiplicação. Verá que vai obter a expressão para n = k + 1.

f-037

Como vê (olhando só para os termos do “meio” da grade), sobram apenas a primeira parcela da linha de cima (xk+1) e a última da linha de baixo (–yk+1). Todas as outras somam zero, pois a segunda na linha de cima é o oposto da primeira na linha de baixo; a terceira na linha de cima é o oposto da segunda na linha de baixo; …; a j-ésima na linha de cima é o oposto da (j – 1)-ésima na linha de baixo; …; até que a última na linha de cima é o oposto da penúltima na linha de baixo. Portanto:

f-038

E com tudo isso você provou a validade da afirmação para todo valor inteiro positivo de n: xy é um fator de xnyn.

Há outros métodos para provar essa afirmação por meio do princípio da indução matemática, mas o método que acabou de ver aqui é simples, e além disso agradavelmente visual.


(E4, pág. 6). Para escrever uma prova por indução, faça n = 1 e veja se a base da indução é válida.

f-039

E agora mostre que, se a afirmação vale para n = 1, 2, 3, …, k, então também vale para n = k + 1. Para tanto, monte a expressão para n = n, e adicione o produto (n + 1)(n + 2) dos dois lados da igualdade. No lado direito, você tem de reescrever a expressão até que chegue a (1/3)(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (1/3)(n3 + 6n2 + 11n + 6).

f-040

Então, sim, a afirmação é válida para todo valor inteiro positivo de n. Duas sutilezas:

[1] É curioso que possa usar polinômios para calcular o valor de somatórios tão distintos de números inteiros positivos e, como neste caso do exercício E4, somatórios tão complicados. Se todo estudante percebesse isso durante o ensino médio, será que daria maior valor aos polinômios?

[2] Olhe mais uma vez a igualdade do exercício E4. Com ela, você está dizendo que o produto de três inteiros positivos consecutivos n, n + 1, e n + 2 é sempre um inteiro divisível por 3. Você sabe que é um inteiro porque a expressão do lado esquerdo da igualdade só pode ser um inteiro, visto que é um somatório de inteiros. Agora, se pensar bem, é natural que o produto de três inteiros consecutivos seja divisível por 3, pois entre dois múltiplos consecutivos de 3 há apenas dois inteiros (veja: …, 0*, 1, 2, 3*, 4, 5, 6*, 7, 8, 9*, …); jamais conseguiria escolher três inteiros consecutivos, positivos ou não, sem que um deles não fosse múltiplo de 3.


(E5, pág. 6). Para resolver esse problema, simplesmente use o teorema B, pois está somando uma progressão aritmética cujo primeiro termo a1 vale 1 e cuja diferença d entre termos adjacentes vale 2.

f-041

 

Com essa afirmação (ou com esse teorema, já que você provou a afirmação verdadeira), está dizendo que, ao somar os n primeiros números ímpares, obtém um quadrado perfeito. Há muitas imagens desse teorema na internet, e pode ver uma delas a seguir.

Fonte: Wikipedia


(E6, pág. 6). Como vai provar essa afirmação com o princípio da indução matemática, o primeiro passo é verificar a validade da base da indução. Faça, portanto, n = 1 e veja se a igualdade se mantém válida.

f-042

 

Agora, presuma que a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, …, k. Adicione 1/[(k + 1)(k + 2)] aos dois lados da igualdade e veja se consegue arrumar o lado direito até que se transforme em (k + 1)/(k + 2), que é o que obteria se aplicasse a regra com n = k + 1.

f-043

E com isso o teorema está provado.

Mais uma vez, não se esqueça de se maravilhar com o poder incrível dos polinômios; pois, com uma expressão racional simples, você pode calcular o valor de um somatório que, à primeira vista, é complicado.

Note que, conforme o valor de n tende ao infinito, o valor do somatório tende a 1 pela esquerda. Veja a sequência de valores do somatório para n = 1, 2, 3, 4, 5, …, 99.

f-044

Caso use o sistema dos números hiper-reais e faça n = N um hiper-real inteiro positivo infinito, a soma será um hiper-real infinitamente próximo de 1.

f-045

Isso significa que a série converge, o que, na matemática pura, é sempre uma informação útil.

Lembrete: Se quiser, use “série” para se referir a um somatório com número infinito de termos.


(E7, pág. 6). Antes de começar, vale a pena fazer uma lista dos primeiros 10 números da sequência de Fibonacci e uma lista com o resultado do somatório dos n primeiros números da sequência para n = 1, 2, 3, …, 8. Na tabela a seguir, estão os primeiros 10 números na sequência na coluna da esquerda e o resultado dos primeiros oito somatórios na coluna da direita.

f-046

Como pode ver, realmente parece que pode calcular o resultado do somatório de F1 + F2 + ··· + Fn ao obter o valor de Fn+2 e dele subtrair uma unidade.

Então, à prova, usando o princípio da indução matemática. Veja se a base da indução é válida, isto é, se a fórmula funciona quando faz n = 1.

1 = F1 = F3 – 1 = 2 – 1 = 1

Agora, presuma que a fórmula vale para n = 1, 2, 3, …, k, e então adicione Fk+1 dos dois lados da igualdade.

f-047

Para explicar a passagem da linha 3 para a 4, use a regra de formação dos números na sequência de Fibonacci: Fk+3 = Fk+3–1 + Fk+3–2 = Fk+2 + Fk+1. QED.

Isso é muito bacana, mas, se pára e pensa, é algo que deveria esperar da sequência, pois calcula o valor de cada termo ao adicionar os dois termos anteriores, e portanto cada termo contém pistas sobre o somatório dos termos anteriores.


(E8, pág. 7). Ponha a igualdade em palavras: “Caso eu some os n primeiros termos ímpares da sequência de Fibonacci, vou obter o valor do n-ésimo termo par da sequência.” Na tabela a seguir, pode ver os 10 primeiros números da sequência de Fibonacci.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fn

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

Veja como a afirmação do exercício E8 faz sentido:

F1 = 1 = F2

F1 + F3 = 1 + 2 = 3 = F4

F1 + F3 + F5 = 1 + 2 + 5 = 8 = F6

F1 + F3 + F5 + F7 = 1 + 2 + 5 + 13 = 21 = F8

F1 + F3 + F5 + F7 + F9 = 1 + 2 + 5 + 13 + 34 = 55 = F10

Muito bem: é hora de uma prova por indução. A base da indução é válida, pois a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, 4, 5. Falta provar que, se é válida para n = 1, 2, 3, …, k, então também é válida para n = k + 1.

Pegue a igualdade para n = n e adicione, dos dois lados, o próximo número de Fibonacci ímpar, que é F2n–1+2 = F2n+1.

f-048

Portanto, a afirmação é válida para todo valor inteiro positivo de n.


(E9, pág. 7). Em palavras: “Se você adiciona os n primeiros termos pares da sequência de Fibonacci, a soma será uma unidade menor que o valor do termo ímpar imediatamente posterior ao n-ésimo termo par.” Use a tabela da resolução anterior para acompanhar os três primeiros casos.

F2 = 1 = F3 – 1

F2 + F4 = 1 + 3 = 4 = F5 – 1

F2 + F4 + F6 = 1 + 3 + 8 = 12 = F7 – 1

À prova. Já validou a base da indução para n = 1, 2, 3. Agora, presuma que a afirmação é verdadeira quando n = 1, 2, 3, …, k; adicione F2(k+1) dos dois lados da igualdade, e reescreva o lado direito para obter F2(k+1)+1 – 1 = F2k+3 – 1.

f-049

Portanto, a afirmação é válida para todo valor inteiro positivo de n.

Consolidando a curiosidade. Repare: você obtêm a soma dos n primeiros termos ímpares da sequência de Fibonacci com o termo par imediatamente seguinte ao último termo ímpar; e obtém a soma dos n primeiros termos pares com o termo ímpar imediatamente seguinte (menos uma unidade).


(E10, pág. 7). Quem topa com esse problema pela primeira vez talvez apanhe dele um par de dias. Se isso aconteceu com você, é normal.

Existe uma afirmação semelhante a essa na teoria dos números: qual é a diferença entre n2 e (n – 1)(n + 1), com n inteiro? Por exemplo, qual é a diferença entre 72 e 6·8, ou a diferença entre 232 e 22·24? É sempre 1 unidade, pois n2 – (n – 1)(n + 1) = 1. Ao resolver esse exercício E10, vai provar o seguinte: caso multiplique o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci por si mesmo, e tire do resultado o produto do termo imediatamente anterior pelo termo imediatamente posterior, vai obter no fim das contas 1 se n é par ou –1 se n é ímpar.

Prova 1. Prepare-se para uma prova por indução. Para provar a base da indução, e ao mesmo tempo ter uma ideia de como a igualdade funciona, calcule os três primeiros casos.

f-050

Presuma, portanto, que a igualdade funciona para n = 1, 2, 3, …, k. Em outras palavras, a linha (*) a seguir é verdadeira por hipótese.

f-051

Agora, eis um jeito de continuar: monte a igualdade para n = k + 1, e veja se encontra nela, embutida em suas entranhas, por assim dizer, a igualdade para n = k, que, como já presumiu, é válida. Se encontrar, a prova está quase pronta.

f-052

Pare um pouco para verificar que expressões pode usar no lugar de Fk+2, Fk+3, (Fk+2)2, e de Fk+1Fk+3.

f-053

Como já viu, a igualdade (*) é verdadeira pela hipótese de indução. Além disso, (–1)k+1 = (–1)(–1)k, isto é, você tem uma expressão equivalente a (–1)k, e tem uma equivalente a (–1)k+1; para igualar as duas, basta multiplicar a expressão equivalente a (–1)k por –1.

f-054

Como você montou a igualdade para n = k + 1 e desembocou na lei de Leibniz (na matemática em geral e na lógica em particular, x = x para todo x), a igualdade para n = k + 1 tem de ser válida, pois, na matemática, não existe afirmação inválida que leve a uma afirmação válida. Com tudo isso, provou que a afirmação é válida para todo valor inteiro positivo de n.

Prova 2. Uma vez que tenha feito tudo isso, pode escrever a prova de outro jeito, se quiser, que é mais satisfatório, embora quem a examine pela primeira vez vai achá-la misteriosa: basta ir de trás para a frente usando a prova 1 como referência. Comece com a afirmação a seguir:

f-055

Do lado direito da igualdade, use a regra ab + a2 = a(b + a) para pôr o termo Fk em evidência.

f-056

Já sabe que, por definição, Fk+1 + Fk = Fk+2. Faça a troca no lado direito.

f-057

Subtraia (Fk+1)2 dos dois lados da igualdade, o que não vai alterar sua validade.

f-058

Do lado direito, use a regra –a + b = (–1)(ab) para pôr o fator (–1) em evidência.

f-059

Já sabe que, pela hipótese de indução (*), a expressão dentro do parênteses mais à direita vale (–1)k. Faça a substituição.

f-060

Do lado esquerdo da igualdade, adicione e subtraia Fk+1Fk; isso equivale a adicionar zero e não altera a validade da igualdade.

f-061

Verifique como (Fk+1)2 + Fk+1Fk = Fk+1(Fk+1 + Fk) = Fk+1Fk+2. Faça a substituição no lado esquerdo da igualdade.

f-062

Adicione e subtraia (Fk+1)2 do lado esquerdo da igualdade.

f-063

Verifique como (Fk+1)2 + 2FkFk+1 + (Fk)2 = (Fk+1 + Fk)2 = (Fk+2)2. Além disso, Fk+2 + Fk+1 = Fk+3, e também Fk+1Fk+2 + (Fk+1)2 = Fk+1(Fk+2 + Fk+1) = Fk+1Fk+3. Faça todas essas substituições.

f-064

E isso é exatamente o que obteria se simplesmente tivesse escrito a afirmação para n = k + 1. Portanto, a validade da afirmação para n = k implica sua validade para n = k + 1, e, visto que verificou a validade da afirmação para n = 1, 2, 3, pode afirmar que ela é válida para todo valor inteiro positivo de n, QED.


(E11, pág. 7). Veja como funciona um exemplo concreto dessa afirmação, com n = 4; o último fator da última parcela deve ter o índice subscrito 8 = 2·4.

F1F2 + F2F3 + F3F4 + F4F5 + F5F6 + F6F7 + F7F8 = (F8)2

Ou seja:

1·1 + 1·2 + 2·3 + 3·5 + 5·8 + 8·13 + 13·21 = (21)2

441 = 441

Sempre que possível, escreva somatórios complicados com a notação sigma. O que aprende ao fazer isso às vezes é útil mais tarde.

f-065

Quando o contador t = 2n – 1, a última parcela será F2n–1F2n. Note que, portanto, o índice subscrito do último fator na última parcela tem de ser par.

À prova por indução. Verifique se a base da indução é válida, isto é, se a afirmação é válida quando n = 1.

f-066

É válida. Presuma agora que a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, …, k. Adicione as parcelas F2kF2k+1 e F2k+1F2k+2 aos dois lados da igualdade, e por fim veja se consegue arranjar o lado direito para que se transforme em (F2k+2)2.

f-067

Antes de continuar, uma pausa: (F2k+2)2 equivale a qual expressão?

f-068

Retome os trabalhos e veja se arranja dessa maneira o lado direito da igualdade.

f-069

E isso é o que obteria se tivesse usado a afirmação para n = k + 1 logo de cara. Portanto, se a afirmação vale para n = 1 e se, quando ela vale para n = k, vale também para n = k + 1, então ela vale para todo valor inteiro positivo de n.


(E12, pág. 7). Desta vez, o índice subscrito do último fator na última parcela é ímpar, pois 2n é par e 2n + 1 é ímpar. Veja como fica o somatório com a notação sigma:

f-070

À prova por indução. Veja se a base da indução é válida, isto é, se a igualdade é válida quando n = 1.

f-071

Pode escrever a hipótese de indução: a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, …, k. Feito isso, adicione as parcelas F2k+1F2k+2 e F2k+2F2k+3 aos dois lados da igualdade, e veja se consegue arrumar o lado direito até que seja igual a (F2k+3)2 – 1 = (F2k+2 + F2k+1)2 – 1 = (F2k+2)2 + 2F2k+2F2k+1 + (F2k+1)2 – 1.

f-072

E isso é o que obteria se tivesse usado a afirmação para n = k + 1. Portanto, provou que a validade da igualdade para n = k implica a validade para n = k + 1, de modo que a pode declarar válida para todo valor inteiro positivo de n.


(E13, pág. 7). Calcule os primeiros números de Lucas, e veja como é fácil chegar à conjectura Ln = Ln–1 + Ln–2 para n ≥ 3.

L1 = 1 por definição.

L2 = F3 + F1 = 2 + 1 = 3

L3 = F4 + F2 = 3 + 1 = 4 (e 4 = L2 + L1)

L4 = F5 + F3 = 5 + 2 = 7 (e 7 = L3 + L2)

L5 = F6 + F4 = 8 + 3 = 11 (e 11 = L4 + L3)

Da lista acima, você já sabe que a conjectura é válida para n = 3, 4, 5. Portanto, já provou a base da indução no caso de uma prova por indução. Suponha agora que a conjectura é válida para n = 3, 4, 5, …, k.

Lk = Lk–1 + Lk–2

O que deve adicionar do lado esquerdo da igualdade para obter Lk+1? Sabe que, por definição, Lk = Fk+1 + Fk–1, e que Lk+1 = Fk+2 + Fk. Logo, deve adicionar Fk–2 e Fk do lado esquerdo.

f-073

Ótimo: se adiciona Fk–2 e Fk do lado esquerdo, pode transformar Lk em Lk+1 usando apenas a definição de número de Lucas. E do lado direito? Pois tem de adicionar Fk–2 e Fk dos dois lados da igualdade para que permaneça válida. É aqui que vai usar a hipótese indutiva: vai começar com Lk = Lk–1 + Lk–2, que é válida por hipótese, e adicionar Fk–2 e Fk dos dois lados. Como acabou de ver, pode transformar o lado esquerdo em Lk+1. Só tem agora de transformar o lado direito em Lk + Lk–1 para provar o teorema.

f-074

Bingo. A afirmação vale para n = 3. Além disso, se vale para n = 3, 4, 5, …, k, também vale para n = k + 1. Portanto, vale para todo inteiro n ≥ 3.

Curiosidade. A sequência de Lucas deve seu nome ao matemático francês François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), que estudou várias sequências e transformou tanto os números de Lucas quanto os de Fibonacci em casos especiais das sequências de Lucas.


(E14, pág. 7). Visto que o exercício E14 é importante, você deve respondê-lo com extremo cuidado — e essa exigência o torna difícil.

Comece colocando lado a lado os primeiros cinco valores de Ln e de Fn.

L1 = 1, F1 = 1

L2 = 3, F2 = 1

L3 = 4, F3 = 2

L4 = 7, F4 = 3

L5 = 11, F5 = 5

“Assuma que Ln = Fn para n = 1, 2, 3, …, k”, é o que Andrews te pede no enunciado de E14. Como a tabela acima mostra, a afirmação é válida apenas para n = 1, mas, apesar disso, você não pode usar a tabela para dizer que a pressuposição inicial é falsa!

Eis o motivo: numa situação real de pesquisa, o matemático verifica a validade de certa afirmação para um certo número de casos iniciais, que pode ser pequeno ou grande, não importa. (No caso deste exercício E14, a afirmação é válida para n = 1.) Feito isso, ele parte para a hipótese de indução: a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, …, k, com k maior que o número de casos que estudou a princípio. (O que ele quer é provar uma implicação do tipo AkAk+1, isto é, se a afirmação Ak é válida, então a afirmação Ak+1 também é.) Quase sempre, ele não tem a menor ideia se a hipótese de indução é válida ou não — é justamente isso o que está tentando descobrir.

No exercício E14, o erro do argumento ocorre depois da hipótese de indução, isto é, ocorre um passo depois do passo indutivo. Supondo que a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, …, k, o melhor que pode fazer é começar com Lk = Fk, e depois disso descobrir o que fazer para partir de Lk e chegar a Lk+1. Em outras palavras, o autor do argumento errado não deveria ter presumido que a afirmação é válida para n = k + 1. Ele deveria ter deduzido isso.

Como já viu em E13, deve adicionar Fk–2 + Fk a Lk para obter Lk+1. (Não deixe de ver que adicionar Fk–2 + Fk dos dois lados da igualdade Lk = Fk é a mesma coisa que adicionar Lk–1 dos dois lados.) Faça isso.

f-075

Ora, Lk+1 = Fk+1 apenas se 2Fk–2 = 0, isto é, se Fk–2 = 0; contudo, Fn > 0 para todo valor inteiro positivo de n. Se partiu da hipótese de indução e chegou a uma contradição, pode declarar a hipótese como inválida.

Talvez você se oponha ao argumento acima: “Mas o autor disse que Lk + Lk–1 = Lk+1 pelo teorema contido no exercício 13. Ora, visto que Ln = Fn para n = 1, 2, 3, …, k, daí realmente pode trocar Lk + Lk–1 por Fk + Fk–1.” Quase certo, pois a afirmação Lk + Lk–1 = Lk+1 só é válida para k ≥ 3. Ao notar isso, você seria obrigado a reescrever a hipótese de indução: “Assuma que Ln = Fn para n = 3, 4, 5, …, k”, e tal hipótese cai por terra já na base da indução, pois L3F3.


(E15, pág. 7). O primeiro passo é entender o enunciado: 2n é um inteiro par, e n é a metade de 2n. Os primeiros cinco casos são:

1 = F2 = F1L1 = 1·1 = 1

3 = F4 = F2L2 = 1·3 = 3

8 = F6 = F3L3 = 2·4 = 8

21 = F8 = F4L4 = 3·7 = 21

55 = F10 = F5L5 = 5·11 = 55

Bem, por definição, Ln = Fn+1 + Fn–1 para todo n ≥ 2. Pense agora em n ≥ 2 e use essa informação:

f-076

Se puder provar que essa afirmação vale para todo n ≥ 2, provou o teorema. Ela certamente vale para a base da indução:

f-077

É bem possível que, na tentativa de produzir a prova, você chegue a muitas afirmações mais ou menos com a mesma estrutura. Veja uma lista incompleta delas:

f-078

Até que, a certa altura, depois de dar voltas e mais voltas em círculos, vai atinar com o que fazer: primeiro, deve presumir que (Fn)2 + (Fn–1)2 = F2n–1, pois, em vários pontos de suas tentativas, deve ter dito a si mesmo: “Como seria bom se isso fosse verdade!” Ora, verifique a validade dessa igualdade para alguns valores de n ≥ 2; (para que Fn–1 = F1 se n = 2); depois, presuma que ela é verdadeira para todo valor inteiro positivo de n ≥ 2, siga em frente, e por último veja se pode provar que ela é verdadeira.

Comece com a hipótese indutiva:

f-130

Agora, use sua segunda presunção, a de que a equação (Fn)2 + (Fn–1)2 = F2n–1 é verdadeira. (Isso equivale a usar uma segunda hipótese indutiva.)

f-131

Agora, use mais uma vez a primeira hipótese de indução na expressão entre parênteses, mas com n – 1 no lugar de n.

f-132

 

Como chegou à lei de Leibniz, que é verdadeira por definição, pode dizer o seguinte: se a primeira e a segunda hipóteses de indução são ambas válidas, a afirmação do teorema é válida.

Falta provar a segunda hipótese de indução, isto é, provar a igualdade (Fn)2 + (Fn–1)2 = F2n–1. Veja como pode prosseguir:

f-133

Use agora a segunda hipótese de indução com a expressão dos primeiros parênteses, e a primeira hipótese de indução com a expressão dos segundos parênteses.

f-134

E a prova está completa.

O que acabou de fazer tem nome: indução simultânea. Você presume que certa hipótese de indução 2 é verdadeira para provar a hipótese de indução 1; e depois usa a hipótese de indução 1 para provar a hipótese de indução 2. Pense bem no assunto: se a hipótese de indução 2 contivesse algum erro, você chegaria a algum tipo de contradição ao usá-la na prova da hipótese de indução 1; como não chegou a nenhuma contradição, pode usar a hipótese de indução 1 para provar a hipótese de indução 2.

Leva um tempo para se acostumar com essa ideia…


(E16, pág. 7). Antes de partir para a prova, veja uns poucos exemplos. Calcule Fj e Lj para j = 1, 2, 3, 4, 5, e depois verifique a validade da afirmação para n = 1, 2, 3, 4.

f-085

Quando n = 1:

f-086

Quando n = 2:

f-087

Quando n = 3:

f-088

Por fim, quando n = 4:

f-089

Bem, para começar uma prova por indução, já sabe que a base da indução é válida. Presuma, portanto, que a afirmação vale para n = 1, 2, 3, 4, …, k. Adicione 2kLk+1 dos dois lados da igualdade, e veja se consegue reescrever o lado direito até que se transforme em 2k+1Fk+2 – 1.

f-090

E isso é o que obteria se tivesse acreditado na afirmação logo de início. Portanto, visto que a base da indução é válida, e visto que, se a afirmação é válida para n = 1, 2, 3, …, k, então também é válida para n = 1, 2, 3, …, k + 1, pode dizer que ela é válida para todo valor inteiro positivo de n.


(E17, pág. 8). Batize a afirmação de An. Antes de partir para uma prova por indução, veja na tabela a seguir como afirmação An é verdadeira para n = 1, 2, 3, …, 7.

f-091

Com isso, pode declarar válida a base da indução.

Agora, ao trabalho com a álgebra. Expanda a expressão original.

f-092

E expanda a expressão referente à afirmação An+1.

f-093

Agora, subtraia a expressão para An da expressão para An+1. Seu propósito é descobrir o que deve adicionar a An para chegar a An+1.

f-094

Portanto, caso adicione 12n(n + 1)2 à expressão para a afirmação An, chega à expressão para An+1. Se puder provar que 12n(n + 1)2 é divisível por 24, conclui a prova, pois poderá dizer: a base da indução é válida e, além disso, se 24 divide A1, A2, A3, …, Ak, também divide Ak+1, pois divide a diferença entre Ak e Ak+1. (Mais sobre isso logo abaixo, no pé desta resolução.)

f-095

Agora, portanto, a questão é saber se 2 divide n(n + 1)2. Mas esse tem de ser o caso, pois, se n é par, n(n + 1)2 é par; se n é ímpar, n + 1 é par, e daí mais uma vez n(n + 1)2 é par. Portanto, 24 divide 12n(n + 1)2: a afirmação An é válida para todo valor inteiro positivo de n, e a prova está completa.

Dividindo uma diferença. Suponha que o inteiro positivo d divide o inteiro a; logo, a = dx para algum inteiro x. Suponha ainda que d divide o inteiro b; logo, b = dy para algum inteiro y. Sendo assim:

f-096

Como pode ver, d também divide a diferença entre a e b.


(E18, pág. 8). Vai usar aqui o mesmo método que já usou para provar o teorema 1-2 (pág. 5).

Primeiro, verifique se a base da indução é válida.

f-097

Logo, x + y é fator de x1 + y1.

Trabalhe agora com um caso maior, ou com vários casos, para se habituar com o método. Por exemplo, para verificar se x + y divide x7 + y7, use uma grade para multiplicar x + y por x6x5y + x4y2x3y3 + x2y4xy5 + y6.

f-098

Como pode ver, olhando só para o centro da grade, os termos somam zero na diagonal (ou se cancelam na diagonal): o segundo termo da linha de cima (–x6y) é o oposto do primeiro termo na linha de baixo (x6y), o terceiro na linha de cima é o oposto do segundo na linha de baixo, e assim por diante. Depois que termina todas as adições, sobram apenas o primeiro termo da linha de cima (x7) e o último da linha de baixo (y7). Portanto, pode usar a linha a seguir para dizer que x + y divide x7 + y7.

f-099

Note que 6 = 2 · 3 e 7 = 2 · 3 + 1. Ora, se k tem de ser um inteiro positivo ímpar, você pode expressá-lo na forma k = 2n + 1 para algum inteiro n ≥ 0.

Está pronto para provar a afirmação de modo genérico. Primeiro, monte a grade de multiplicação.

f-100

Como pode ver olhando para o miolo da grade, os termos somam zero na diagonal; sobram apenas o primeiro da linha de cima (x2n+1) e o último da linha de baixo (y2n+1). Portanto, eis como expressar o fato de que x + y divide x2n+1 + y2n+1 para todo inteiro n ≥ 0:

f-101

E com isso a prova está completa.

Sutileza. Talvez tenha se perguntado: mas isso é uma prova por indução? Qual é a hipótese indutiva? Onde está o passo indutivo, isto é, em que ponto da prova o redator usou a hipótese de indução?

Sim, é uma prova por indução: quando você multiplica x + y pelo somatório com n = 0, obtém a base da indução, isto é, obtém a igualdade x + y = x1 + y1. Se presume que o método funciona para n = 0, 1, 2, 3, …, m, e depois disso multiplica x + y pelo somatório com n = m + 1, verá, ao examinar os cancelamentos na grade de multiplicação, que necessariamente tem de obter o produto x2m+3 + y2m+3, e o argumento quanto a isso não contém nenhum tipo de ambiguidade. Mas para que todo esse trabalho se é mais fácil provar, logo de uma vez, que o método funciona para todo valor não negativo de n?


(E1, pág. 10). Lembre-se: seu desafio é escrever o inteiro n na base k, ou seja, é produzir uma igualdade do tipo n = asks + as–1ks–1 + ··· + a1k + a0, com 0 ≤ aj < k e com as ≠ 0 se n ≠ 0.

Veja como fica o primeiro passo no caso de 25 na base 5:

f-113

Há trabalho ainda a fazer, pois todo coeficiente de potências de cinco tem de ser menor que 5. (Isto é, cada aj ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.) Assim, escreva o coeficiente de 51, que é 5, na base 5.

f-114

Ponha essa descoberta na equação anterior.

f-115

 

Agora, 32 na base 5. Direto às contas.

f-116

Por fim, 56 na base 5.

f-117

Se ainda não reparou, repare: está usando bastante o algoritmo que, na escola básica, muitos chamavam de “divisão com resto”.


(E2, pág. 10). Direto às contas de 47 na base 2.

f-118

Esse método é trabalhoso, mas você está no controle o tempo todo, pois vê o que acontece na passagem de uma linha para a outra; e quando cada coeficiente de cada potência de 2 é menor que 2, sabe que seu trabalho acabou.

Quanto a 68 e a 127 na base 2, eis a resposta para simples conferência: 68 = 1000100(2) e 127 = 1111111(2).


(E3, pág. 10). O autor te pede para representar certo número inteiro (a massa do objeto) por meio da adição de certos “pesos”. Talvez demore, mas cedo ou tarde você vai pensar: “Ah! Ele quer que eu use o teorema da base de representação!”

Até que tenha uma ideia luminosa, provavelmente você vai brincar um pouco; por exemplo, vai representar 57 quilogramas usando como referência várias bases.

57 = 111001(2)

57 = 2010(3)

57 = 321(4)

57 = 212(5)

Em palavras: para medir 57 quilogramas com um sistema de base 2, você precisa de um peso de 1 quilograma, um de 8 quilogramas, um de 16 quilogramas, e um de 32 quilogramas. Com um sistema de base 3, precisa de dois pesos de 27 quilogramas e um de 3 quilogramas. Com base 4, precisa de três pesos de 16 quilogramas, dois de 4 quilogramas, e um de 1 quilograma. Com base 5, precisa de dois pesos de 25 quilogramas, um de 5 quilogramas, e dois de 1 quilograma. Com qualquer base ≥ 58, precisa de 57 pesos de 1 quilograma. Essa é a ideia geral.

Suponha que você tenha pesos na base 2: 1 quilograma, 2 quilogramas, 4 quilogramas, 8 quilogramas, 16 quilogramas, 32 quilogramas, 64 quilogramas, etc. De quantos pesos precisa, portanto, para medir a massa de qualquer objeto de 0 quilograma a 63 quilogramas? (Lembrete: objeto de massa inteira.) De seis pesos no máximo, como pode ver na tabela a seguir.

25

24

23

22

21

20

32

16

8

4

2

1

0

0

0

0

0

0

0 kg

0

0

0

0

0

1

1 kg

0

0

0

0

1

0

2 kg

0

0

0

0

1

1

3 kg

···

···

···

···

···

···

···

1

1

1

1

1

0

62 kg

1

1

1

1

1

1

63 kg

Em palavras: você não sabe a massa do objeto, mas, se não colocar nenhum peso no outro prato da balança, e ela se equilibrar, é porque a massa do objeto é zero (ele não pesa nada). Se colocar um peso de 1 quilograma no outro prato da balança, e ela se equilibrar, é porque a massa é 1 quilograma. Se colocar um peso de 32 quilogramas, um de 4 quilogramas, e um de 1 quilograma, é porque a massa é de 37 quilogramas. (Pois 37 = 100101(2).)

Na tabela acima, portanto, pode ver o peso como sendo o inteiro no topo da tabela, isto é, a potência de 2; e pode ver o algarismo, nesse caso 0 ou 1, como sendo a quantidade de potências de 2, ou a quantidade de pesos com aquela massa.

O problema agora se transforma em outro: Existe alguma base com a qual consiga produzir os inteiros de 0 a 63 com apenas seis “pesos”?

Recorrendo à base 3, você pode usar os algarismos 0, 1, e 2; e as primeiras potências de 3 são 30 = 1, 31 = 3, e 32 = 9. Com seis pesos, você só consegue medir de 0 quilograma a 26 quilogramas, pois 222(3) = 26. É o que pode ver na tabela a seguir.

32

31

30

9

3

1

0

0

0

0 kg

0

0

1

1 kg

0

0

2

2 kg

0

1

0

3 kg

0

1

1

4 kg

0

1

2

5 kg

0

2

0

6 kg

···

···

···

···

2

2

1

25 kg

2

2

2

26 kg

 

Assim, usando a base 3 como referência, com seis pesos (dois de 1 quilograma, dois de 3 quilogramas, e dois de 9 quilogramas) você consegue medir a massa de qualquer objeto de massa inteira entre 0 quilograma e 26 quilogramas, mas não consegue chegar a 63 quilogramas.

E assim por diante: na base 4, com seis pesos você vai até no máximo 15 quilogramas, pois 33(4) = 15. Na base 5, vai até no máximo 14 quilogramas, pois 24(5) = 14. Na base 6, vai até 11 quilogramas no máximo, pois 15(6) = 11. Por último, no caso de qualquer base ≥ 7, com seis pesos você vai até 6 quilogramas no máximo, pois 6(7) = 6(8) = 6(9) = 6(10) = 6(11) = ··· = 6.

Portanto, eis a resposta: se pode colocar os pesos apenas num dos pratos da balança (que será o prato vazio, ou seja, o prato no qual não está o objeto que deseja pesar), você precisa de no mínimo seis pesos para pesar qualquer objeto de massa inteira de 0 quilograma a 63 quilogramas.


(E4, pág. 10). Um bom jeito de começar é trabalhar uns poucos exemplos, para ver como a coisa toda funciona. Na tabela a seguir, pode ver como representar os inteiros positivos entre 5 e 14.

27

9

3

1

n

0

1

–1

–1

5

0

1

–1

0

6

0

1

–1

1

7

0

1

0

–1

8

0

1

0

0

9

0

1

0

1

10

0

1

1

–1

11

0

1

1

0

12

0

1

1

1

13

1

–1

–1

–1

14

Pegue o caso de n = 14. Veja como pode transformar o somatório da tabela acima na adição de dois números escritos na base 3.

f-119

Note que não foi difícil transformar um somatório do tipo ∑cj3j na adição de dois inteiros de base 3. A receita é simples:

(a) Comece com o somatório ∑cj3j, que por hipótese representa um inteiro positivo.

(b) Partindo de ∑cj3j, forme o inteiro positivo p de base 3 assim: troque todo cj que valha –1 por cj = 0.

(c) Partindo de ∑cj3j, forme o inteiro positivo q de base 3 assim: troque todo cj que valha 1 por cj = 0, e troque todo cj que valha –1 por cj = 1.

(d) Agora, ∑cj3j = pq, onde p, q são inteiros positivos de base 3 cujos coeficientes das potências de 3 ou valem 0 ou valem 1.

Recorrendo ao teorema da base de representação (o teorema 1-3), sabe que a representação de p é única, assim como a de q. Falta provar que sempre pode pegar um inteiro positivo de base 3, qualquer um, e expressá-lo como uma diferença pq entre inteiros positivos de base 3. Contudo, é importante que os coeficientes de tais inteiros p, q sejam ou zero, ou 1, mas nunca 2.

Depois de várias tentativas, talvez chegue a linhas como estas abaixo.

f-120

Isso significa que, qualquer que seja o inteiro expresso na base 3, sempre pode pegar os termos cujo coeficiente vale 2 e convertê-lo num somatório com dois termos cujos coeficientes valem 1 e –1. Veja como usar essa descoberta, por exemplo, no caso de 222(3) = 26.

f-121

Mais um exemplo: 212(3) = 23.

f-122

Nesse caso, realizou a troca de 2·3n por 1·3n+1 – 1·3n em duas linhas, na segunda e depois de novo na quarta.

Esses dois exercícios sugerem um jeito de pensar na prova (um algoritmo):

[1] Você pega um inteiro positivo n qualquer e o expressa na base 3, e já sabe que pode expressar qualquer inteiro na base 3, e que, se o inteiro for diferente de zero, essa expressão é única (teorema 1-3).

[2] Transforma cada termo cujo coeficiente é igual a 2 num somatório com dois termos cujos coeficientes são 1 e –1, e soma os coeficientes de cada uma das n-ésimas potências de 3 que desse modo obteve.

[3] Se reaparecer um termo com coeficiente igual a 2, de novo troca esse termo por um somatório com dois termos cujos coeficientes são 1 e –1, isto é, de novo troca 2·3n por 1·3n+1 – 1·3n.

[4] Repete os passos [2] e [3] quantas vezes precisar, isto é, até que obtenha um somatório de potências de 3 cujos coeficientes são 1, 0, ou –1. Como transformou o inteiro positivo com o qual começou num polinômio finito em 3, vai realizar os passos [2] a [4] um número finito de vezes.

[5] Fazendo assim, transforma o inteiro positivo original numa subtração pq de dois outros inteiros positivos p, q, ambos expressos na base 3, ambos expressos de tal forma que cada coeficiente de potência de 3 ou é zero ou é 1, mas nunca é 2. Com esse algoritmo, prova a existência de ∑cj3j = pq para todo inteiro positivo n; se puder provar que essa subtração é única, o teorema está provado.

Mas ela tem de ser única, por um argumento semelhante ao que usou no teorema 1-3. Eis um jeito de prosseguir:

Suponha que c030 + c131 + c232 + ··· + cs3s = d030 + d131 + d232 + ··· + ds3s, onde cs ≠ 0, ds ≠ 0, e cj, dj ∈ {–1, 0, 1}. Daí (c0d0)30 + (c1d1)31 + (c2d2)32 + (c3d3)33 + ··· + (csds)3s = 0. Visto que 30 = 1, pode escrever (c0d0) + (c1d1)31 + (c2d2)32 + (c3d3)33 + ··· + (csds)3s = 0. Sabe que pode dividir zero por 3, e portanto também pode dividir o somatório à esquerda da igualdade por 3; com isso, deve concluir que c0d0 = 0, isto é, c0 = d0, porque, para todo j, –2 ≤ cjdj ≤ 2. Mas, ao dividir os dois lados por 3, e levando em conta que c0d0 = 0, o que obtém é (c1d1)30 + (c2d2)31 + (c3d3)32 + ··· + (csds)3s–1 = 0. Ao repetir o argumento em que 30 = 1, deve chegar a c1d1 = 0 e c1 = d1. Continuando dessa maneira por indução, vai chegar à conclusão de que cj = dj para todo j.

[Se quiser um argumento mais completo, faça c030 + c131 + c232 + ··· + cs3s = d030 + d131 + d232 + ··· + ds3s + ··· + dt3t, onde cs ≠ 0, dt ≠ 0, st, e cj, dj ∈ {–1, 0, 1}. Mas aí, usando o mesmo argumento do parágrafo acima, você rapidamente chega à conclusão de que s = t. O caso st é semelhante.]

Falta agora tratar de inteiros negativos, mas isso é fácil, pois um inteiro negativo é simplesmente seu oposto positivo, porém multiplicado por –1. Se os coeficientes cj do inteiro positivo n = ∑cj3j são –1, 0, e 1, os coeficientes desse inteiro multiplicado por –1 serão 1, 0, e –1.


(E5, pág. 11). Em razão do exercício E4, é quase certo que vai experimentar primeiro esta hipótese: um sistema de base 3 deve ser o mais eficiente de todos. Mas, para começar a testá-la, tem de se familiarizar com o processo de pesagem.

Suponha que o objeto a ser pesado tem massa de 80 quilogramas. Veja como poderia usar o teorema contido no exercício 4 para escrever n = 80.

34 = 81

33 = 27

32 = 9

31 = 3

30 = 1

n = 80

1

0

0

0

–1

Pode interpretar essas duas linhas assim: se a massa de algo vale 80 quilogramas, você coloca esse algo num prato da balança, acrescenta um peso de 1 quilograma e, no outro prato da balança, o prato vazio, coloca um peso de 81 quilogramas. Assim, –1·30 significa “coloque um peso de 1 quilograma no mesmo prato em que está o objeto a ser pesado”; e 1·34 significa “coloque um peso de 81 quilogramas no prato vazio”.

Outro exemplo: o objeto a ser pesado tem massa de 21 quilogramas.

34 = 81

33 = 27

32 = 9

31 = 3

30 = 1

n = 21

0

1

–1

1

0

 

Você coloca o objeto de a ser pesado num dos pratos da balança, coloca um peso de 9 quilogramas no mesmo prato e, no outro prato, o prato vazio, coloca um peso de 27 quilogramas e um de 3 quilogramas. Se os pratos se equilibram, é porque o objeto pesa 21 quilogramas.

Assim, usando o método do exercício E4, você pode pesar objetos de massa inteira de 0 quilograma até 80 quilogramas usando apenas cinco pesos: um de 1 quilograma, um de 3 quilogramas, um de 9 quilogramas, um de 27 quilogramas, e um de 81 quilogramas.

A questão agora é mostrar que, com qualquer outra base, usaria mais pesos. Bem, 80 = 1010000(2), e com isso de cara elimina a base 2, porque, para contar de 0 a 80 na base 2, precisaria de no mínimo sete pesos.

E quanto à base 4? Sabe que 80 = 1100(4). Para contar de 0 a 80 na base 4, colocando os pesos apenas na balança vazia, você precisa de 10 pesos: um de 64 quilogramas, três de 16 quilogramas, três de 4 quilogramas, e três de 1 quilograma. Pode ver isso melhor na tabela a seguir.

64 = 43

16 = 42

4 = 41

1 = 40

n = 0

0

0

0

0

n = 1

0

0

0

1

n = 2

0

0

0

2

n = 3

0

0

0

3

n = 4

0

0

1

0

···

···

···

···

···

n = 48

0

3

0

0

n = 49

0

3

0

1

n = 50

0

3

0

2

···

···

···

···

···

n = 77

1

0

3

1

n = 78

1

0

3

2

n = 79

1

0

3

3

n = 80

1

1

0

0

E se colocar pesos nos dois pratos da balança? Será que daí poderia usar menos pesos para medir a massa de um objeto de massa inteira de 0 quilograma a 80 quilogramas?

Antes de dar resposta à pergunta, veja bem o que fez no exercício E4: em vez de representar números inteiros não negativos na base 3 com os coeficientes usuais 0, 1, e 2, você os representou com os coeficientes –1, 0, e 1. Notou que evitou o coeficiente de maior valor? Notou que usou os coeficiente menores que o coeficiente de maior valor em duas versões, uma positiva e outra negativa?

É o que deve fazer na base 4. Em essência, deve trocar 3·4n por 1·4n+1 – 1·4n, pois as duas expressões valem a mesma coisa. Em outras palavras, em vez de representar os inteiros não negativos na base 4 com os coeficientes 0, 1, 2, e 3, vai trocar 3·4n por 1·4n+1 – 1·4n até que possa representá-los com os coeficientes –2, –1, 0, 1, e 2. Veja a tabela a seguir.

n

64

16

4

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

2

0

0

0

2

3

0

0

1

–1

4

0

0

1

0

5

0

0

1

1

···

···

···

···

···

48

1

–1

0

0

49

1

–1

0

1

50

1

–1

0

2

···

···

···

···

···

77

1

1

–1

1

78

1

1

–1

2

79

1

1

0

–1

80

1

1

0

0

Depois de um pouco de prática, vai ficar claro que precisará de um peso de 64 quilogramas, dois de 16 quilogramas, dois de 4 quilogramas, e dois de 1 quilograma, isto é, que precisará de sete pesos ao todo. É menos do que os dez pesos de que precisaria se fosse obrigado a colocá-los no prato vazio da balança, mas é mais do que os cinco pesos de que precisa quando usa os dois pratos da balança e a base 3.

Se fizer tabelas para a base 5, 6, 7, 8, e for subindo, verá que o número de pesos nunca é menor do que seis. Existe um jeito de descrever essa descoberta de maneira mais genérica?

Existe: se usa a base k e só o prato vazio da balança, vai representar os inteiros não negativos de 0 a 80 com os coeficientes do conjunto {0, 1, 2, 3, …, k – 1}. Como já viu com o exercício E3, nesse caso nenhuma base vence a base 2, com a qual vai usar o menor número de pesos (sete). Se usa a base k e os dois pratos da balança, você parte da representação do inteiro na base k, troca sistematicamente (k – 1)·kn por 1·kn+1 – 1·kn, e daí trabalha com coeficientes do conjunto {–(k – 2), –(k – 3), …, –2, –1, 0, 1, 2, …, k – 3, k – 2}. No caso da base 3, trabalha com os coeficientes {–1, 0, 1} e usa cinco pesos.

Daí a questão fica sendo esta, que é simples: Com cinco pesos, se você vai contar de 0 a 80 na base 4, 5, 6, …, 80, até que inteiro pode chegar no máximo? (Foi o que fez ao resolver o exercício E3, pág. 10.) No caso da base 4, trabalha com os coeficientes {–2, –1, 0, 1, 2} e chega no máximo a 122(4) = 26. No caso da base 5, trabalha com os coeficientes {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} e chega no máximo a 23(5) = 13. No caso da base 6, trabalha com os coeficientes {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} e chega no máximo a 14(6) = 10. Com qualquer base k ≥ 7, com cinco pesos você chega no máximo ao inteiro n = 5.


(E6, pág. 11). Suponha primeiro que ai = k – 1 para todo valor inteiro não negativo de i. Em outras palavras, suponha a linha a seguir.

f-123

Essa é só outra forma de pensar no teorema 1-2 (pág. 5). Nessas condições, se você adicionar 1 a n, vai obter ks+1. Logo, se ai = k – 1 para todo i, n + 1 = ks+1 e n = ks+1 – 1. Contudo, se houver pelo menos um ai < k – 1, daí n < ks+1 – 1. Com isso, você estabelece a primeira parte do teorema:

f-124

Agora, se ai = 0 para todo valor de i, daí n = 0. Portanto, se ai = 0 para todo valor de is, e se além disso as ≠ 0, daí 0 < nks+1 – 1, como pretendia demonstrar.

Curiosidade. Se faz ai = k – 1 para todo valor inteiro não negativo de i, daí n + 1 = ks+1. Veja como isso se manifesta na prática das contas de armar:

125

Sutileza. Não deixe de perceber a razão prática do teorema. Se você tem diante de si um inteiro positivo n escrito na base 2, por exemplo, e com oito algarismos (isto é, o dígito mais significativo desse número na base 2 é o oitavo da direita para a esquerda), então pode imediatamente escrever n ≤ 28 – 1 = 255. Da mesma forma, se tem diante de si um inteiro positivo n escrito na base 10 com cinco algarismos, pode imediatamente escrever n ≤ 105 – 1 = 99.999.


(E7, pág. 11). Primeiro, considere a representação dos inteiros n1 e n2 na base k; n1 e n2 talvez sejam iguais, ou talvez diferentes.

f-125

Se todo ai = 0 e se todo bt = 0, então você está diante de dois jeitos distintos de grafar o número zero, e o problema é trivial. Suponha, portanto, que as ≠ 0 e br ≠ 0, com as, br > 0. (Em outras palavras, primeiro considere n1 e n2 dois inteiros positivos.)

De cara pode dizer: se s < r, por exemplo, daí n1 < n2. Para ver por que isso é verdade, examine o caso mais extremo, em que as = k – 1, isto é, o valor de as é o maior possível; e br = 1, isto é, o valor de br é o menor possível (para um inteiro positivo). (Lembrete: ai, bt ∈ {0, 1, 2, …, k – 1}.)

f-126

Essa última linha tem de ser verdadeira, pois, se r = s + 1, daí ks+1 < ks + kr é o mesmo que ks+1 < ks + ks+1; e se r > s + 1, daí a última linha é verdadeira mais ainda.

Por meio de argumento semelhante, se s > r, daí n1 > n2.

É hora de estudar o caso em que s = r.

O que deve provar é: se ar < br, daí n1 < n2, não importa quais valores atribua aos demais coeficientes ai, bt. Um bom jeito de seguir adiante: afirme o que pretende provar, e veja se chega a alguma contradição. Portanto, faça ar < br e, além disso:

f-127

Para simplificar um pouco a notação, faça brar = x. Além disso, considere o pior caso possível: br–1, br–2, …, b1, b0 são todos iguais a zero, isto é, todos têm o menor valor possível; e ar–1, ar–2, …, a1, a0 são todos iguais a k – 1, isto é, todos têm o maior valor possível. Assim, para todo valor de ir – 1, biai = 1 – k.

f-128

E a última linha é obviamente verdadeira, pois com ela você representou dois inteiros positivos na base k, ambos com o mesmo número r de algarismos, e com o algarismo x ≥ 1, já que br > ar. No pior caso possível, em que x = 1, daí n2n1 = 1 > 0 e n1n2.

Se ar = br, tudo o que tem de fazer é repetir o argumento acima para ar–1 < br–1, e assim por diante. É claro que todo o argumento funciona caso faça n1 > n2: basta trocar a por b e b por a em todo lugar. E todo o argumento também funciona para o caso de inteiros negativos e o caso em que um deles é positivo e o outro, negativo — basta trabalhar com a ideia de valor absoluto e com a ideia de simetria.

Em resumo, se você tem uma representação de base k para o inteiro n1 (com pelo menos um algarismo diferente de zero) e outra distinta para o inteiro n2, então ou n1 < n2 ou n1 > n2, isto é, certamente n1n2. {FIM}


Se vir algum erro, por favor escreva para {ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com}.

Existe um seminário só de coisas legais


{1}/ Café, lousa, animação

Onde há matemáticos, há uma sala para tomar café, tanto é que o matemático Paul Erdös disse uma vez: “O matemático é uma máquina de transformar café em teoremas.” Em geral, nessa sala há também uma lousa numa das paredes. É um lugar que, de uma hora para outra, fica animado: basta que um grupo se entusiasme ao discutir uma ideia bacana. Muitas vezes, porém, o que discutem ali, ali fica. É por isso que Leandro Aurichi e alguns colegas do Instituto de Ciências Matemáticas e Computacionais na USP, em São Carlos (SP), tiveram a ideia de criar o Seminário de Coisas Legais: para transformar as conversas de café numa coisa de maior alcance.


{2}/ Se você disse legal duas vezes, então…

Numa sexta-feira 13, em 2013, o relógio marcava 13:13 quando Leandro ligou o telão de slides numa sala do ICMC:

“Bom, primeiro queria agradecer o convite dos organizadores do Seminário de Coisas Legais. Vou comemorar a sexta-feira 13 apresentando um dos piores pesadelos matemáticos […] E por que é um pesadelo? Vou deixar essa pergunta em aberto quase que o seminário inteiro, mas você fique pensando nisso aqui: o que os matemáticos gostam de fazer? Se não sabe, acho que está na sala errada [risos], mas imagino que saiba alguma coisa disso e a apresentação toda é baseada nessa pergunta.”

Leandro conta um pouco sobre os matemáticos que viveram entre o fim do século 19 e o começo do 20. Nos 50 minutos seguintes, explica um roteiro das ideias que Kurt Gödel usou ao provar o teorema da incompletude, em 1931 (veja a seção 4 mais abaixo). É isso que o pessoal no ICMC faz às sextas: cada semana um voluntário apresenta algum problema ou conceito matemático, dos mais básicos aos mais avançados; a única imposição é que o assunto seja legal. Estudantes de matemática, de física, e professores do instituto se revezam no palco. Até o público varia: às vezes surge um aluno de ensino médio que ouviu falar do Seminário de Coisas Legais.

E como o pessoal escolhe os temas? Sempre que Leandro topa com um problema legal, atualiza a lista de problemas legais no website do ICMC, na esperança de que alguém se anime a abordá-lo num dos seminários. Alguém sempre se anima. Ou alguém sugere um tema, como o estudante Renan Mezabarba, que apresentou o seminário Shakespeare: Um Jogo de Dardos e a Hipótese do Contínuo. Renan conta que, um dia, folheava um livro e achou uma seção sobre jogos de dardos e a hipótese do contínuo; achou estranho que houvesse relação entre os dois assuntos, mas gostou de um teorema. Daí pensou: “Tem jogo de dardos, que é uma coisa legal, e a hipótese do contínuo, que é outra coisa legal.” Lembrou o que Leandro uma vez disse: “Se apareceu legal duas vezes, é grande a chance de que seja assunto para o seminário.”


{3}/ A entrevista em si

Como surgiu a ideia para o Seminário?

Em 2002, concluí a graduação no IME em São Paulo [Instituto de Matemática e Estatística da USP]; em 2009, o doutorado. Desde quando era aluno sentia falta de ver assuntos que achava legais. Eles surgem em conversas no café, mas não passam disso; faltava um encontro mais regular e organizado. Um dia, estava conversando com o Eduardo Tengan, professor do ICMC, e ele tinha a ideia de fazer um seminário legal. Queríamos algo que fosse bom tanto para os alunos quanto para a gente. Depois o um seminário virou mais de um, e continuou até que se tornou o que é hoje.

No encontro, os matemáticos conhecem campos novos; eu mesmo não conhecia boa parte do que apresentaram até agora. Para os alunos, aí de fato a maioria dos assuntos é novidade. Às vezes, a pessoa vê algo de áreas que nunca tinha ouvido falar ou que conhecia superficialmente. Em outras, ela vê o seminário sobre um probleminha específico de sua área, mas que não conhecia e tem uma solução legal. Ou então até tinha parado para pensar no problema, mas alguém apresenta uma solução diferente, melhor ou mais bonita.

De qual seminário você mais gostou?

É difícil escolher. Gostei particularmente do Como Ganhar um Milhão só Jogando Mario. Eu achava o tema legal, sugeri para alguns alunos, e daí o Érik [Amorim], que terminou o mestrado em 2014, gostou e resolveu apresentar. Acho que ele se apresenta muito bem, e o tema, computação teórica, é legal mesmo para quem já conhece a área. Ele fala do problema P igual a NP [esse é o problema P versus NP, um dos problemas do milênio do Instituto Clay de Matemática]. O Érik mostrou um lado do problema que quase ninguém conhece e o que esse lado tem a ver com o jogo do Mario [o videogame Mario Bros. da Nintendo].

Também gostei do seminário 42, em que comemoramos esse número com minipalestras. Cada pessoa apresentava um resultado bonitinho ou problema que tivesse solução surpreendente. Eu, por exemplo, falei sobre um método que os aliados [Estados Unidos, Inglaterra e União Soviética] usaram na segunda guerra mundial para descobrir quantos tanques os alemães tinham. Eles olhavam o número de série dos tanques capturados ou encontrados nas batalhas, e tentavam estimar quantos tanques a Alemanha teria produzido até então. O método funcionou, mas, se você roubar um pouquinho, consegue usá-lo para estimar quantas pessoas vão existir na história da humanidade e isso não faz muito sentido. Esse paradoxo é o “doomsday argument” [argumento do juízo final, em tradução literal] e foi baseado no problema dos tanques alemães. O legal disso é que foi um caso concreto e quando acabou a guerra conseguiram os registros da produção. Por exemplo, em junho de 1940, eles estimaram 169 tanques, e os alemães tinham produzido 122. Em junho de 1941, estimaram 244, contra 271. Em agosto de 1942, estimaram 327, mas os alemães tinham produzido 342.

O público tem de entender matemática avançada para achar os problemas legais legais mesmo?

Não. Muitos dos seminários não exigem conhecimentos avançados do público; boa parte usa apenas coisas do colégio. É claro que há alguns seminários com assuntos mais avançados, mas na maioria desses, se a pessoa está interessada, aproveita bastante mesmo sem entender tudo. Em geral o seminário tem várias camadas e cada público acompanha uma; então, no fim, cada um gosta mais de uma parte, dependendo do nível de intimidade com o assunto.

O seminário que chega mais perto da minha área [teoria dos conjuntos] foi sobre o teorema de Gödel. Nesse a gente abriu uma exceção; ele é um pouco mais pesado, mais técnico. Apresentei como é feita a demonstração do teorema, fui fazendo as construções que o público tinha de acompanhar o tempo todo. Nos outros seminários, costuma haver bloquinhos pequenos que, se a pessoa não entende uma parte, pode entender as outras. Aquele seminário, não, pois é uma história inteira que tem de acompanhar do início ao fim; se pegasse o seminário no meio, já era, a pessoa não entenderia nada.

E você conseguiu explicar o que queria?

Olha, o teorema de Gödel é difícil, então tentei fazer uma apresentação que servisse para diferentes públicos. Se a pessoa conhece alguma coisa, vai entender uma parte, se conhece menos coisas vai entender uma parte menor, mas tentei apresentar de um jeito que todo mundo entendesse alguma coisa. Mas entender tudo não era de se esperar, a não ser que a pessoa já conhecesse o problema.

Todo mundo conhece uma versão informal do enunciado, mas tem curiosidade sobre como é feita a demonstração. No seminário, não fiquei fazendo conta ou a parte técnica da coisa; dei um roteiro de como a pessoa deveria fazer a demonstração. Vamos supor que alguém vá estudar aquilo de verdade, então ela deve completar os detalhes desse roteiro, o que vai lhe dar bastante trabalho. Mas a parte importante mesmo são as ideias gerais, pois a parte técnica, para alguém experiente, é muito fácil. É assim que um matemático conversa com outro sobre um teorema: ele passa a ideia geral e o outro sabe como completar os passos.

Qual assunto legal você acha que não dá para abordar?

Isso é relativo. Por exemplo, um problema pode ter um enunciado legal, mas a solução nem é tanto. Uma saída para isso é apresentar apenas o problema e dar apenas as ideias gerais da solução. Ou então, acontece o contrário: o problema em si nem é tão legal, mas a solução sim. Daí é um pouco mais complicado, tem de apresentar o problema rapidamente e começar logo a solução, que é a parte legal. Por exemplo, o famoso problema das quatro cores, que diz: para pintar qualquer mapa sem que dois países adjacentes tenham a mesma cor, você precisa apenas de quatro cores. Isso é um enunciado legal que as pessoas em geral não conhecem e existe uma prova disso muito, muito extensa, que usa computadores.

Bem, o que aconteceu? Os matemáticos provaram que para resolver o problema basta resolver, sei lá, quatro mil casos; daí colocaram os quatro mil casos no computador e pronto, está provado. Então não é uma prova que dá para falar num seminário; é legal falar do problema, que conseguiram provar, qual técnica usaram. Daí um aluno resolveu uma versão mais fraca do problema, com cinco cores, e apresentou a demonstração com todos os detalhes. Mas com quatro, não sabemos se dá para resolver, a não ser com essa prova que já existe, enorme.

Já teve seminário em que o problema era legal, mas a solução não?

Não é questão de o problema ser legal, tem algumas coisas cuja solução é bonita, mas só conseguimos enxergar a beleza se temos material suficiente para entender a pergunta. Às vezes, a pessoa precisa de muitos pré-requisitos para entender a pergunta, mas não para entender a solução em si. Bom, não dá para apresentar isso num seminário de coisas legais, teria de explicar a teoria toda antes de fazer a pergunta e, uma vez que você a entende, a resposta é fácil.

É possível ensinar qualquer conceito de um jeito legal?

Esse é o desafio. É lógico que, quanto mais avançado, mais difícil é tornar o tópico compreensível para quem não conhece bem a área. Não sei se dá para ensinar qualquer coisa, mas acredito que sempre dá para fazer uma apresentação legal sobre as ideias principais em torno de alguns problemas.

Os seminários ajudam os alunos a se comunicar melhor e a comunicar melhor a matemática?

Na verdade, a maioria dos alunos que se apresentou não tinha problema de timidez ou didática. Alguns poucos são mais tímidos e aceitam o desafio de falar para uma plateia grande; daí a gente [ele e os outros organizadores] ensaia com eles e acaba ajudando. Claro que ao praticar eles melhoram, mas a maioria já parte, não de um ponto ruim para ficar bom, e sim de um ponto bom para ficar melhor. {FIM DA ENTREVISTA}


{4}/ Um dos piores pesadelos matemáticos

Muita gente conhece alguma versão dos teoremas da incompletude de Gödel, que, grosso modo, diz: é impossível definir um sistema de axiomas compatível com a aritmética que seja ao mesmo tempo completo e consistente — ou ele é completo e inconsistente, ou é consistente e incompleto. Até o início do século 20, os matemáticos acreditavam que um dia provariam todas as afirmações verdadeiras que existem; era só uma questão de tempo. Também achavam que conseguiriam fundamentar toda a matemática pura a partir de uns poucos princípios lógicos da teoria dos conjuntos. O matemático austríaco Kurt Gödel publicou em 1931 o teorema que acabou com o sonho de que a matemática um dia seria ao mesmo tempo completa e consistente.

Numa sexta-feira 13 de 2013, Leandro Aurichi apresentou as ideias gerais que um matemático usaria para demonstrar o teorema de Gödel (a gravação inteira está disponível no YouTube). Na segunda metade do século 19, Georg Cantor elaborou a teoria moderna dos conjuntos e com ela a hipótese do contínuo, na qual falava sobre tipos distintos de infinito. O estudante sabe, por exemplo, que os números naturais são infinitos e os números reais também, porém o infinito dos números naturais é “menor” que o dos reais. A partir dessa ideia, Cantor afirmou que não existe outro tipo de infinito entre o infinito dos números naturais e o dos números reais, o que ficou conhecido como a hipótese do contínuo. Em 1900, David Hilbert criou uma lista de 23 problemas com os quais, em sua opinião, os matemáticos deveriam se ocupar ao longo do século 20. O primeiro item da lista era provar a hipótese do contínuo e o segundo era construir uma base sólida, com um número finito de axiomas, para a teoria dos números (= aritmética avançada). Gödel resolveu atacar o segundo problema, mas acabou demonstrando os teoremas da incompletude, e mostrou que nem o primeiro nem o segundo problema podiam ser provados. No seminário, Leandro explica um roteiro geral da prova de Gödel com sete passos, assim o estudante pode entender um pouquinho melhor as manobras que Gödel usou ao provar o famoso teorema.

Ele apresenta os símbolos da tabela 1 a seguir e os algarismos que atribui a cada um deles, pois usa a notação para ilustrar alguns passos. Como há mais símbolos que algarismos de base decimal, recorre às letras A, B e C para os que restaram. Então explica que o apóstrofo serve para, em vez de escrever por exemplo v1 ou v2, escrever v’ e v’’, evitando novos símbolos que não definiu de início; e o símbolo de jogo da velha (o sustenido) serve para sinalizar quando termina uma fórmula e começa outra. Outro detalhe importante é que Leandro atribui o algarismo zero ao símbolo “e” para evitar afirmações que comecem com zero; afinal, nenhuma afirmação matemática bem formulada começa com “e”. Quanto a símbolos para, por exemplo, “existe pelo menos um” ou “pertence a”, ele avisa: o estudante pode construir sentidos equivalentes a esses com a tabela 1. Pode usar o “∃” ou o “∈” por praticidade, mas nesse contexto é importante saber que pode reescrevê-los com os símbolos preestabelecidos.

O que é Símbolo Algarismo
“e” 0
Função sucessora s 1
Zero 0 2
Não ~ 3
Fecha parênteses ) 4
Abre parênteses ( 5
Variável v 6
Posição da variável 7
Para todo 8
Igual = 9
Soma + A
Multiplicação B
Espaço entre fórmulas # C

Passo 1. Associe cada fórmula a um número natural. Num dicionário de matemática, o estudante encontra o que um lógico quer dizer com fórmula no verbete well-formed formula, isto é, fórmula bem formada. Esse termo tem um significado específico: uma fórmula bem formada é construída a partir de símbolos e de uma sequência de símbolos de acordo com regras formais da lógica. Sabendo disso, o estudante pode anotar no caderno o exemplo de Leandro para ilustrar este passo: “Para todo v’, não é o caso de que v’ seja igual a seu sucessor”; ou em símbolos: ∀v’~(v’ = s(v’)). Ao atribuir um número natural à fórmula, o estudante chega ao número 86735679156744, e pode batizar com a letra F uma tabela com números associados a fórmulas.

Passo 2. Associe cada sequência de fórmulas a um número natural. Por exemplo, se tem a fórmula φ1 e φ2, explica Leandro, pode formar uma sequência usando o sustenido: φ12. Assim quando trocar φ1 e φ2 pelos números atribuídos a elas, basta olhar o algarismo C para saber onde uma fórmula termina e a outra começa. E o número que associa a essa sequência é a concatenação dos números de φ1 e φ2 unidos por C (que é 12 no sistema decimal). O estudante pode imaginar que tem uma tabela com os números associados a essas sequências e batizar essa tabela de S.

Passo 3. Escolha um conjunto de axiomas que “defina” a teoria dos números. Leandro explica que não precisa escolher um conjunto de axiomas específico: “O legal dessa demonstração é que não funciona para um conjunto de axiomas específico: finge lá que você pegou um.”

Passo 4. Defina um conjunto P de todos os números naturais cuja sequência associada forma uma demonstração com os axiomas escolhidos no passo anterior. Leandro diz que uma demonstração é uma sequência de fórmulas (o estudante deve notar que importa a ordem em que estão), que ou são axiomas ou são consequência das fórmulas anteriores. “Como assim consequência? Assim parece que estou roubando, né?” Dá então um exemplo: se vê na demonstração uma fórmula U, depois vê a fórmula “U implica V”, uma das fórmulas seguintes que pode aparecer na demonstração é V. “Se você sabe que vale U e sabe que, se vale U, vale V, então tem de valer V. Pode ser que a primeira fórmula esteja na terceira linha, a segunda na quinta e a terceira na vigésima, não tem problema.” Para formar o conjunto P, o estudante olha um número na tabela S, por exemplo 734123, daí vê que está associado a uma sequência de fórmulas e checa se essa sequência é uma demonstração. Se sim, então 734123 está dentro de P.

Passo 5. Defina o conjunto D de todos os naturais cuja fórmula associada admite uma demonstração. Leandro explica que cria o conjunto P apenas para construir o conjunto D. Para fazer isso, o estudante olha a tabela F do primeiro passo, escolhe um número, por exemplo 123, e vê a qual fórmula ele está associado, daí procura no conjunto P se há uma demonstração para a fórmula que pegou. Ao fazer isso a partir de números, o estudante procura um número em P que termine com o número da fórmula que escolheu, no caso 123. Então pode achar o número do passo anterior 734123 e ver que é a demonstração de 123. Neste caso, 123 está no conjunto D.

Esse truque também serve, diz Leandro, para ver se por exemplo a variável v’’’ faz parte dessa fórmula. “O número de v’’’ é 6777, então é só ver se esse número está presente no número daquela fórmula, e você vai descobrindo coisas assim com perguntas desse tipo.”

Para visualizar esse passo com ideias mais simples, o estudante pode imaginar que tem em mãos, por exemplo, a fórmula de Bháskara e procura numa pilha de demonstrações matemáticas a demonstração dessa fórmula. Como faz isso? Pode olhar apenas a última linha na última folha de cada demonstração procurando a fórmula. É a mesma coisa, mas nesse caso, o estudante não está usando a linguagem aritmética.

Passo 6. A fórmula nD diz que o número n não pertence a D; portanto, a fórmula associada a n não tem demonstração. Neste passo, Leandro apresenta uma fórmula (nD) que fala sobre o número n, mas também sobre existir demonstração, e por isso começa a ficar perigoso entrar numa contradição. Ele explica que, ao usar os números, Gödel quer dizer: “Pense que sua fórmula fala sobre números. Daí ele [Gödel] mostra que falar sobre número, de maneira indireta, é falar sobre existir demonstração para aquela fórmula. Percebe que começa a misturar as coisas? É essa mistura que vai dar problema no final.”

Passo 7. Consiga uma fórmula φ cujo número associado a ela seja um número n0 e a fórmula seja equivalente a n0D. “Este aqui é o único passo mais difícil do ponto de vista técnico”, diz Leandro. O estudante pensa numa fórmula φ que seja equivalente a n0D, (no sentido de vale a primeira fórmula se e somente se vale a segunda), daí atribui a φ um número n0. “Se o número associado a essa fórmula [n0 ∉ D] fosse n0, a gente chegava numa contradição e acabava a demonstração muito mais fácil”, diz Leandro. Porém, não consegue fazer isso por alguns motivos, então busca uma fórmula equivalente e associa a ela n0, para só então chegar à contradição.

A ideia geral. Leandro pede que, a partir desses sete passos, o estudante pense em φ e no que sabe sobre essa fórmula. O estudante sabe que n0 está associado a φ, mas também sabe que φ ⇔ n0D, isto é, φ é verdade se e somente se (n0D) é verdade. Então supõe que a negação de φ é demonstrável, daí ~φ ⇔ n0D. Mas se n0 pertence a D, significa que a fórmula associada a n0, que é φ, é demonstrável, mas já tinha dito no passo 7 que φ ⇔ n0D. O mesmo ocorre, se o estudante pensar que φ tem demonstração, pois daí n0 tem demonstração e, portanto, pertence a D, mas a fórmula equivalente a φ dizia o contrário. “Então deu numa contradição?”, pergunta Leandro. “Não! O problema é que achamos que φ ou ~φ tem uma demonstração. O único jeito de você escapar disso é dizer: φ não tem demonstração e ~φ não tem demonstração. É uma fórmula que você não pode provar que é verdadeira nem pode provar que é falsa. E esse é o pesadelo.”


{5}/ O resumo da ópera

Desde Gödel, o matemático sabe que, diante de uma conjectura matemática, talvez consiga fazer uma de três coisas: (1) provar que a conjectura é verdadeira; (2) provar que a conjectura é falsa; (3) provar que ninguém jamais poderá provar que a conjectura é verdadeira ou falsa. A palavra “talvez” indica que talvez não consiga fazer nenhuma das três coisas, pois vai morrer tentando. Em geral, o público leigo conhece as opções (1) e (2), mas fica surpreso de saber que existe a opção (3). {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 42, julho de 2014, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone, com apuração adicional do jornalista André Eler.

Na matemática, estamos todos sozinhos

Com o passar dos anos, o aluno se decepciona com a matemática, pois ela vai parecendo cada vez mais velha e inútil. Quanto mais decepcionado, mais desanimado. Especialistas dizem que o professor tem de aprender a quebrar esse ciclo, pois só existe uma pessoa no mundo capaz de ensinar matemática ao aluno, e ela é o próprio aluno.


Quando ainda dava aulas, Dana Mackenzie, professor de matemática e autor, gostava de dar um curso de verão sobre teoria dos números para adolescentes de 13 a 17 anos. (Nos Estados Unidos, “um curso de verão” significa “um curso de férias”, pois os alunos saem de férias em julho e agosto.) Num dia desse curso, quando tinha acabado de pintar um panorama das invenções e descobertas mais interessantes, um dos alunos suspirou alto e disse:

“Eu sinto como se tivesse nascido tarde demais.” Ele esperou até que todos prestassem atenção no que estava dizendo, e arrematou: “Todos os bons teoremas já foram provados!”

“Aquela frase me pegou de surpresa”, diz Dana. “Eu lhe dei uma resposta, mas estava tão despreparado para aquilo que, hoje posso dizer, minha resposta não foi boa.” Dana acha que o aluno voltou para casa naquele dia ainda com a sensação de que, para fazer diferença na matemática em geral, e na teoria dos números em particular, o estudante precisa dar um jeito de nascer uns séculos mais cedo.

Agora ele acha que todo professor de matemática (na verdade, todo adulto responsável por crianças e adolescentes em idade escolar, incluindo pais, tios, irmãos) deve se preparar para uma resposta adequada a um questionamento desses, pois a escola de fato passa uma imagem errada de como a matemática funciona. No ensino básico (fundamental e médio), quase todos os conceitos são antigos. O estudante percebe isso por via indireta: nos livros didáticos, muitos autores incluem quadradinhos com nomes e datas. O que ele vê? Referências ao papiro de Rhind (1.650 anos antes de Cristo), onde apareceu pela primeira vez uma espécie de cotangente; à escola pitagórica (530 anos a.C.), com a lendária história do teorema de Pitágoras e da descoberta dos números irracionais; mais recentemente (1707), à fórmula de Moivre, que interliga os números complexos às funções trigonométricas. Até mesmo na universidade talvez o estudante fique com a impressão de que a matemática é tão velha que já inventaram e descobriram tudo, pois a maioria dos estudantes universitários vai se debruçar apenas sobre o cálculo e a álgebra linear (a história europeia de ambos começou no século 17). Só os estudantes de matemática vão esquadrinhar os conceitos mais recentes.

Bem, qual é o problema? Essa resposta vai determinar o destino matemático do aluno; ocorre que tal destino é importante mesmo que ele não queira estudar matemática na universidade. Todos os especialistas em educação dizem que o jovem desanima se percebe que não poderá pôr seus conhecimentos em prática. Na música, “pôr os conhecimentos em prática” significa tocar numa orquestra ou banda; talvez ninguém estudasse a guitarra se não tivesse a esperança de um dia tocar numa banda tipo Pink Floyd. Na astronomia, “pôr os conhecimentos em prática” significa ter a oportunidade de passar uns poucos dias num telescópio ou radiotelescópio importante, de modo que possa descobrir alguma coisa nova sobre o universo. (O Brasil tem acordos com vários países; por exemplo, o estudante brasileiro de astronomia tem boa probabilidade de passar umas horas no Alma, o radiotelescópio de grande matriz milimétrica do Atacama.) Na matemática, “pôr os conhecimentos em prática” significa duas coisas distintas.

(1) Obviamente o matemático profissional porá em prática tudo o que aprendeu de matemática nos anos de escola: ele vai provar teoremas novos; provar teoremas mais antigos com abordagens diferentes; unir vários teoremas dispersos numa teoria mais coesa. É seu trabalho. Mas, para se transformar num matemático profissional, o jovem precisa entrar num mestrado focado em matemática e, depois, num doutorado. Para tanto, antes disso precisa entrar num curso de graduação em matemática. Mas o jovem só vai disputar uma vaga num bacharelado de matemática se tiver ideia de que a matemática é como a biologia ou a física ou a mecatrônica: um campo cheio de gente interessante fazendo coisas novas e legais.

(2) Muito menos obviamente, todo profissional, de qualquer área do conhecimento ou da economia, tem em tese a chance de colocar sua matemática em prática. Basta que veja um jeito de aplicar um teorema (ou vários) a algum problema do mundo real. Foi o que Katrin Erk fez quando viu um jeito de estudar o significado das palavras com vetores de dimensão 10.000. Foi o que Renaud Lambiotte fez quando viu um jeito de estudar os registros de um jogo com as ferramentas da física estatística, para então compreender por que todos evitam o amigo que faz amizade com um inimigo. Foi o que Eric Lander fez quando viu um jeito de aplicar o conceito de cadeia de Markov ao mapeamento de genomas; muitos dizem que, se ele não tivesse visto isso, o genoma humano ainda não estaria mapeado. Só que, para ver o uso de um teorema nalguma situação prática, o sujeito precisa ser um estudante permanente de matemática. Ele não pode se contentar apenas com a matemática dos dois primeiros anos da faculdade — cálculo e álgebra linear, estudados na maior pressa. Mas como esse sujeito vai se transformar num estudante permanente de matemática? Como fará isso se acha que (a) a matemática é velha e que, sendo velha, (b) muitos antes dele tiveram a chance de ver onde a poderiam aplicar, e para ele não sobrou mais nada que possa ver sozinho? Se ele pensa assim, por que se dedicaria ao estudo de matemática?

Em qualquer dos dois casos, a responsabilidade de estudar matemática cabe ao jovem exclusivamente. Ele é o sujeito solitário dessa ação. Não pode esperar que um professor graciosamente enfie um rol mínimo de conceitos matemáticos importantes na sua cabeça.

Ocorre que, para que a resposta tenha o poder de abrir os olhos do jovem para tudo isso, e de fazê-lo vasculhar a biblioteca em busca de um livro de matemática avançada que possa estudar sozinho, ela não pode ser um mero discurso. Mesmo que o professor seja um ótimo palestrante, e mesmo que estude bastante para que suas palestras deem à classe a sensação de uau!, todo aluno precisa de uma resposta de cunho prático, isto é, que surja de suas próprias ações. Ele precisa se envolver em projetos cujo resultado, no fim das contas, contenha a resposta a esse questionamento: “Por que tive o azar de nascer no último minuto do segundo tempo?”

Problemas em aberto. Na matemática, “entrar em ação” sempre significa “resolver problemas”. O que muitos especialistas em didática da matemática vêm sugerindo é uma nova forma de fazer o alunato entrar em ação: durante as aulas, assim como em casa, cada jovem deve resolver problemas mais simples cujo pano de fundo seja, contudo, um problema em aberto. Um exemplo:

Operadores estranhos. O professor vai à lousa e define dois novos operadores binários, que não são + nem − nem × nem ÷; ao contrário, são os operadores @ e #:

a @ b = abb2

a # b = a + bab2

E depois pede à classe que calcule o valor da expressão a seguir:

(6 @ 2)/(6 # 2)

Quem fizer as contas corretamente vai chegar ao quociente –0,5. Depois de dar uns poucos problemas semelhantes a esse, o professor faz perguntas cada vez mais difíceis, as quais, contudo, o alunato consegue responder:

• Será que a @ b é equivalente a b @ a para quaisquer a, b? E quanto a a # b? Será que é sempre equivalente a b # a?

• Se que, se a @ b = d e a @ c = d, então b = c? Da mesma forma, se a # b = d e a # c = d, será que b = c?

• Visto que ninguém deve dividir nada por zero (a não ser que queira atrair para si uma multidão de zumbis), será que, no quociente acima, o aluno consegue achar valores para a e b tais que a # b = 0?

• Se o jovem está tirando os valores de a e de b do conjunto dos números naturais, será que o resultado de a @ b é sempre elemento dos naturais? E quanto a a # b?

O professor terá de fazer adaptações para o nível da classe (por exemplo, incluir ou excluir os números negativos, incluir ou excluir os números complexos), mas, por meio de problemas assim, vai preparando o aluno para as questões que os matemáticos exploram com a teoria dos grupos. “A teoria dos grupos”, diz Dana, citando uma frase do matemático americano Nathan Carter, “é o ramo da matemática que responde à questão: O que é simetria?” Dana acha que, se o professor fizer a classe explorar vários operadores estranhos, usando como referência os conceitos de grupo, anel, e corpo, deixará a classe pronta para explorar, por exemplo, a matemática associada aos cubos mágicos mais simples (com quatro quadradinhos em cada face). Também a deixará mais preparada para lidar com matrizes quando chegar ao ensino médio e à faculdade (pois o jovem, tendo resolvido vários problemas com operadores estranhos, não achará a multiplicação de Cayley tão estranha assim). Principalmente, deixará a classe preparada para entender problemas em aberto, como este:

Problema. Será que existe uma fórmula pela qual alguém pode calcular a probabilidade de que, caso escolha ao acaso dois elementos de um conjunto, tais elementos gerem um grupo simétrico Sn?

Em português: o aluno imagina um conjunto de, por exemplo, números com quatro algarismos, como 1234, e uma operação & definida de alguma forma; qual é a probabilidade de pegar dois números desse conjunto, por exemplo 3421 e 1324, executar com eles a operação & (isto é, 3421 & 1324), e obter como resultado uma permutação dos algarismos dos dois elementos originais? (3421 & 1324 = 4132) E pegar esse resultado, 4132, executar com ele a operação & com qualquer dos dois números sorteados ao acaso, e de novo obter uma permutação dos algarismos dos dois elementos originais? E de novo? E de novo?

Esse problema está em aberto, e é difícil. “Eu amo assuntos assim”, diz Dana, “e acho que eles deveriam ser mais ensinados na escola, pois deixam os alunos mais preparados para apreciar problemas em aberto, como a conjectura dos primos gêmeos ou a conjectura de Goldbach.”

O papel da nova geração. Por que tanto trabalho? Professores como Dana acham que a função principal da escola não é ensinar uma lista de conceitos e técnicas básicos, mas sim certas atitudes básicas, sendo a atitude mais importante esta: o aluno precisa aprender a gostar de estudar matemática por si só. Se aprende isso, vai gostar de todas as etapas da resolução de problemas, inclusive aquelas nas quais vai à biblioteca em busca de conceitos e técnicas novos, que tornem a resolução de certos problemas mais fácil. E ele tem de aprender a gostar de estudar matemática por si só porque, se olhar bem, de fato está só.

Quem explica esse ponto é Ian Stewart no capítulo 4 do livro Letters to a Young Mathematician: “Se a matemática fosse um prédio”, escreveu Ian, “ela se pareceria com uma pirâmide de ponta-cabeça.” Quanto mais alto o prédio se torna, mais surge espaço para construir mais coisas e deixar o prédio mais alto. (Quanto mais os matemáticos inventam ou descobrem, mais há o que inventar e o que descobrir.) A cada década que passa, uma parte dessa abundante matemática nova vai parar nos livros didáticos do ensino básico (menos) e do superior (mais). Ora, com o que têm de ensinar hoje, os professores já não conseguem discutir com a classe todos os assuntos que gostariam de discutir — portanto, a situação só tende a piorar. A cada ano que passa, os professores precisam de alunos mais ativos, que não fiquem sentadinhos esperando as lições do professor, mas que entrem na sala de aula preparados para uma discussão mais profunda dos assuntos do dia, e porventura até com prática em problemas correlacionados com os assuntos do dia.

(O físico americano Richard Feynman, que ganhou o Prêmio Nobel de Física em 1965, entrava em sala de aula e escrevia na lousa: “Alguma dúvida?” Muitas vezes, passava a aula toda apenas tirando dúvidas. Na opinião dele, era absurdo e triste um aluno entrar em sala de aula sem já ter estudado o assunto do dia.)

“O que não pode continuar”, diz Dana, “é esse jeito suicida de ensinar matemática, no qual até parece que o assunto mais novo tem 400 anos.” Depois que deu aquela resposta insatisfatória no curso de verão, Dana teve a chance de trabalhar numa série de livros de divulgação chamados What’s Happening in the Mathematical Sciences [O que Está Acontecendo nas Ciências Matemáticas], editados pela Sociedade Americana de Matemática (AMS). Já publicou dez e, seguindo a recomendação da AMS, pretende publicar um livro desses a cada dois anos; trata de assuntos como o bóson de Higgs e as esferas exóticas de dimensão 2n – 2. Hoje Dana diz que saberia dar resposta ao aluno que nasceu tarde demais. Começaria assim:

“Você está enganado. Na matemática, todo ano alguém prova teoremas novos e maravilhosos, e a cada teorema novo surgem novas e maravilhosas perguntas ainda sem resposta. É a sua geração que vai achar a resposta de tais perguntas.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 42, julho de 2014, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista com o professor Dana Mackenzie foi feita pelo jornalista Dubes Sônego.