O adorável teorema fundamental do cálculo

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{0}/ Introdução

Este é o sétimo capítulo sobre como você usa o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial e integral. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto, oitavo, nono, décimo.) Desta vez, o assunto é o teorema fundamental do cálculo; o resumo desta ópera é: “Para calcular integrais, calcule derivadas; e de uma vez por todas entenda o que significa ln(x) e exp(x).” Lembretes: a seção a seguir é a 72 porque o capítulo anterior terminou com a seção 71; e “figura §72-1” significa “a primeira figura que vai encontrar na seção 72”.


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{72}/ O que áreas têm a ver com tangentes

Ao longo de quase 2.000 anos, os matemáticos estudaram técnicas de integração e de derivação como se pertencessem a duas partes distintas da matemática, sem conexão entre si. Afinal, com o cálculo integral eles tratavam de áreas; com o cálculo diferencial, de retas tangentes. O que pode uma área ter a ver com uma tangente? Um dia, finalmente, passaram a notar certas coincidências recorrentes.

Ao explorar a seção 51 do capítulo anterior, que tratava de funções área, você talvez tenha notado tais coincidências. Mas suponha por um momento que não; suponha que não notou nenhuma delas. A seguir, veja como passar por uma experiência parecida com a que seus antepassados matemáticos passaram. Usando o que sabe de cálculo integral, calcule uma expressão para esta função área, na qual k é uma constante real:

f-1

Certamente chegou a F(x) = kx, e portanto ykx é uma das funções primitivas da função constante y = k. Repare que F’(x) = [kx]’ = k, isto é: ao integrar a função constante y = k de 0 a x, você chegou à primitiva ykx, e ao tirar a derivada da primitiva ykx, voltou à função constante y = k. Parece que calcular uma área debaixo de y = k tem algo a ver com calcular uma tangente a y = kx.

Mais uma vez: calcule uma expressão para a função área a seguir.

f-2

Se quiser, use o exemplo 2 da seção 51 como referência para chegar a F(x) = (1/3)x3. Tire a derivada de F. Deve chegar a F’(x) = x2. Mais uma vez, se integra x2 de 0 a x chega a (1/3)x3, e se tira a derivada de (1/3)x3 chega a x2. Parece que calcular uma área debaixo de y = x2 tem algo a ver com calcular uma reta tangente a y = (1/3)x3.

(Lembrete: as variáveis no argumento da integral são “vazias”; não importa que tenha escrito t² e que depois fale sobre “a função ”.)

Que tal fazer como muitos matemáticos fizeram no passado, e elaborar uma lista de casos semelhantes? Vai logo se convencer de que essa coincidência recorrente merece a redação de uma conjectura. Por exemplo, a lista a seguir.

f-3

Demorou bastante até que os matemáticos pusessem a conjectura no papel e a provassem, mas finalmente fizeram isso, e você não precisa passar por todas as agruras mentais pelas quais eles passaram: vá direto ao teorema fundamental do cálculo.

Teorema §72-1. “Teorema fundamental do cálculo.” Suponha f uma função contínua qualquer no intervalo fechado [a, b]. Daí, para qualquer função H, H é uma primitiva de f para todo x em [a, b] se, e somente se, f é a derivada de H. Outro jeito de dizer isso: Se f é contínua em [a, b] e se H é uma função tal que H’(x) = f(x) para todo x em [a, b], daí a linha a seguir é verdadeira:

f-4

E outro jeito ainda: Para qualquer função diferenciável g e quaisquer dois números reais a e b, vale a linha a seguir.

f-5

Muitos professores dizem que é difícil fazer o estudante apreciar o valor desse teorema. Ele logo se acostuma a calcular integrais por meio de primitivas, e se esquece de quão difícil é calcular uma integral. Para evitar esse desastre, tente usar a teoria do quinto capítulo desta série para achar o valor desta integral:

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Gaste umas poucas horas com isso, para ver o tanto que deve trabalhar até calcular a área debaixo de uma função, mesmo uma função polinomial. Ainda bem que Cauchy pôde provar o teorema fundamental do cálculo. Com o TFC, você tem a opção de calcular o valor da integral ao imaginar uma função cuja derivada seja igual à função que você está tentando integrar. No caso de funções polinomiais, com a prática realiza essa operação de cabeça:

A derivada de x7 é 7x6.

A derivada de x6 é 6x5. Logo, a derivada de 2x6 é 12x5.

A derivada de x4 é 4x3. Logo, a derivada de 5x4 é 20x3.

A derivada de 7x é 7.

Agora ficou fácil: faça P(x) = x7 + 2x6 + 5x4 + 7x. Daí P’(x) = 7x6 + 12x5 + 20x3 + 7. Invoque o teorema fundamental do cálculo e realize a conta.

f-7

Lembrete: são 44.135 unidades ao quadrado, pois o que calculou foi uma área. (Se quiser, também pode escrever “44.135 unidades de área”.)

O primeiro a provar o teorema foi James Gregory, matemático escocês, em 1668; contudo, era uma prova geométrica, cheia de limitações. O primeiro a prová-lo com todo o rigor e generalidade foi Cauchy em 1823, mas ele recorreu à ideia de limite; nenhum de seus alunos na École Royale Polytechnique gostou de trabalhar com limites. A versão que hoje você estuda em livros comuns de cálculo é de Weierstrass.

Uma prova do teorema fundamental do cálculo. Presuma que H é uma primitiva de f. Use a para denotar um número real qualquer e Δx para denotar um número real maior que zero. Visto que f é contínua, assume um máximo M e um mínimo m no intervalo fechado [a, a + Δx]. É o que vê na figura a seguir.

Fig_1

Figura §72-1

Suponha agora que f(b) = M e que f(c) = m. Daí pode escrever a linha a seguir, que é verdadeira por hipótese. (Para compreendê-la, observe a figura §72-2; ela mostra que a área que você denota com a integral não pode ser menor que o retângulo de área m·Δx nem maior que o retângulo de área M·Δx.)

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Fig_3

Figura §72-2

Visto que H é uma primitiva de f, transforme a linha acima na linha abaixo.

f-9

Agora, divida a linha toda por Δx, o que não altera as desigualdades, e substitua M por f(b) e m por f(c).

f-10

O que acabou de fazer foi usar uma versão da linguagem L, a lógica de primeira ordem, para dizer: “Para todo Δx > 0, existem dois números reais b e c no intervalo fechado [a, a + Δx] tais que f(c) ≤ [H(a + Δx) – H(a)]/Δxf(b).”

Visto que essa afirmação é verdadeira no sistema dos números reais, e que a escreveu com a linguagem L, então também é verdadeira no sistema dos hiper-reais. Assim, para qualquer infinitésimo ϖ > 0, existem números b e c no intervalo fechado [a, a + ϖ] tais que a linha a seguir é verdadeira por hipótese.

f-11

Mas agora aa + ϖ, isto é, a está infinitamente próximo de a + ϖ, e além disso acba + ϖ. Visto que f é contínua, diga que f(a) ≈ f(b) ≈ f(c), e então a linha abaixo também é válida por hipótese.

f-12

Só que f(a) é um número real e a expressão [H(a + ϖ) – H(a)]/ϖ só pode estar infinitamente próxima de um único número real, de modo que a linha a seguir tem de ser verdadeira.

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Caso comece com com Δx < 0 e repita o argumento para algum infinitésimo ϖ negativo, deve chegar à mesma conclusão. Pode por causa disso concluir que H’(a) = f(a). Portanto, se f é uma função contínua em [a, b] e H é uma primitiva de f nesse intervalo, então f é a derivada de H em [a, b].

Falta agora provar a implicação recíproca.

Suponha que H(x) é uma função tal que H’(x) = f(x). Defina G(x) como a função área a seguir.

f-14

Visto que tanto H quanto G têm a mesma derivada f (pela primeira parte deste teorema), invoque o teorema §59-1 (a regra da derivada de uma adição de funções) e diga que a derivada de HG tem de ser zero. Daí, com o corolário §62-1, diga que HG é uma função constante. Use k para denotar o valor dessa constante. Visto que H(x) – G(x) = k, então H(x) = G(x) + k. Invoque o teorema §52-1 para dizer que H é uma primitiva de f, e com tudo isso prova a recíproca.

Em palavras simples, para resumir: Se gostaria de calcular a integral de f em [a, b], ache uma primitiva H de f. Se puder achá-la, daí a integral de f em [a, b] vale simplesmente H(b) – H(a).


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{73}/ Um jeito mais intuitivo de imaginar o TFC

Em vez de calcular a integral de f em [a, b] por meio de somatórios infinitos, o que às vezes é complicado à beça, você pode invocar o teorema fundamental do cálculo e procurar uma função F cuja derivada seja f e calcular F(b) – F(a), o que é mais simples. Vale a pena, portanto, entender o TFC de um jeito mais intuitivo, ou visual.

Imagine a função contínua f. Imagine ainda que definiu a função F como na linha a seguir.

f-15

Observe a figura §73-1 mais abaixo. O que acontece se você quer calcular a diferença entre F(x + ϖ) e F(x)? (Sendo ϖ um infinitésimo positivo ou negativo, embora a figura mostre o caso positivo.) Daí quer calcular a área hachurada de vermelho, que é a área debaixo de f de zero até x + ϖ menos a área de zero até x.

Fig_2

Figura §73-1

Ora, o valor dessa área está infinitamente próximo da área do retângulo cuja base vale ϖ e cuja altura vale f(x). Sendo assim:

f-16

Note que a expressão funciona corretamente mesmo quando ϖ é negativo, pois daí F(x + ϖ) – F(x) também é negativo (para uma curva positiva), e o sinal de f(x) fica correto. Você agora pode dividir a expressão inteira por ϖ, e então, visto que f(x) é um número real, trocar a proximidade infinita por uma igualdade.

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No fundo, você está dizendo que, se dividir a área hachurada de vermelho por ϖ, vai obter um número hiper-real infinitamente próximo do número real f(x); contudo, graças a uma muito feliz coincidência, esse número real f(x) também é a derivada de F em x.


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{74}/ Regras de derivação e técnicas de integração

Sempre que puder invocar o teorema fundamental do cálculo, também pode transformar regras de derivação em regras de integração. Especialistas dizem que essa é uma das grandes vantagens do TFC, já que, ao longo da história, os matemáticos produziram muito mais teoremas sobre derivação do que sobre integração. É o que fará nesta seção: converter algumas das regras de derivação que já conhece em regras de integração.

Comece com as linhas a seguir, a título de lembrete, nas quais f e g são funções contínuas.

f-18

Com tais linhas, disse que, pelo modo como definiu F e G, f é a derivada de F e g é a derivada de G; a primitiva de f é F e a primitiva de g é G. É assim que vai pensar nas letras f, F, g, G em toda esta seção 74.

Pegue o teorema §59-1: F’ + G’ = (F + G)’ = f + g. (A derivada de uma adição de funções é a adição das derivadas.) Isso sugere a seguinte regra de derivação:

f-19

Em palavras: “A integral de uma adição de funções é a adição da integral de cada uma das funções.” Eis como pode prová-la:

Prova. Seja F a primitiva de f e G a primitiva de g. Recorrendo ao teorema fundamental do cálculo, diga que a soma das primitivas de f e de g, que é F + G, é a primitiva de f + g. Assim:

f-20

Esse é o método, e pode usar essa primeira prova para se inspirar.

* * *

Passe ao teorema §59-2: Se H(x) = F(x)G(x), daí H’(x) = F’(x)G(x) + F(x)G’(x), isto é, H’(x) = f(x)G(x) + F(x)g(x). É a regra da derivada de um produto de funções. Usando o TFC, você sabe que H(x) é a primitiva de H’(x); veja como pode organizar as informações:

f-21

Agora você tem uma regra de integração, batizada de integração por partes. Ela é útil quando você supõe mais fácil calcular a integral à direita da igualdade que calcular a integral à esquerda. Por exemplo, como pode usar a regra da integração por partes para calcular a integral a seguir?

f-22

Faça F(x) = x e g(x) = cosx. Daí f(x) = 1 e G(x) = senx. Tudo o que deve fazer agora é realizar a conta.

f-23

Com isso, você descobriu que xsenx + cosx é uma primitiva de xcosx. Visto que pode definir xsenx + cosx para todo x real, então, para quaisquer dois números reais a e b, eis o que de fato descobriu:

f-24

Abra agora um dicionário de matemática e procure a definição de integração por partes. É bem possível que o autor apresente essa regra de integração desta maneira:

f-25

Note que o sinal de integral não contém nenhuma indicação de intervalo. Você pode usar o sinal de integral, sem nenhuma referência a intervalo, para denotar a primitiva de uma função; e daí deve chamar o símbolo todo de integral indefinida. Em outra palavras: com uma integral indefinida, você denota uma primitiva; a integral indefinida é válida caso a primitiva exista, e inválida caso não exista. Por exemplo: a derivada de senx é cosx, que, por sua vez, é uma função contínua; logo, a primitiva de cosx é senx. Veja:

f-26

Três coisinhas:

Primeira. Se você usa o símbolo de integral indefinida, presume que a função no integrando de fato tem uma primitiva. Assim, se escreve ∫f(x)dx = F(x), quer dizer que F é a primitiva de f, isto é, que F’(x) = f(x). Sua afirmação será verdadeira se F é realmente a primitiva de f, e será falsa se F não é a primitiva de f.

Segunda. Note que a primitiva genérica de cosx é senx + C, onde C denota uma constante real qualquer, pois a derivada de senx + C é cosx. No entanto, quase todo autor omite a constante indefinida C, pois, ao calcular a integral de cosx no intervalo [a, b], a constante C desaparece, seja qual for seu valor: ∫[a, b](cosx)dx = senb + C – [sena + C] = senb – sena. Neste capítulo, o redator também omitiu a constante indefinida C, exceto nos pontos em que ela tem valor teórico, como é o caso deste parágrafo.

Terceira. Atenção ao domínio de f e ao de F, que nem sempre coincidem. Quando um autor escreve ∫f(x)dx = F(x), mas o domínio de f e o de F diferem, ele espera que você estude o domínio das duas funções e tome decisões sensatas ao realizar uma integração; em particular, ele espera que você só vai calcular ∫[a, b]f(x)dx se [a, b] faz parte de um intervalo no qual f é contínua e, portanto, F é a primitiva de f.

Para deixar esse ponto bem claro, estude este formulário com atenção:

f-27

Com ele você está dizendo que, se f é uma função contínua, e se F é uma função área de f, então F é uma primitiva de f, e para dizer isso usou o símbolo de integral indefinida à direita da implicação. Mais uma vez, atenção aos intervalos: deve usar F para calcular a integral de f no caso do intervalo fechado [b, c] ⊆ [a, x], o que nem sempre é o caso de todo intervalo [b, c] que possa imaginar.

* * *

Releia o teorema §59-3, sobre a derivada do recíproco de uma função. Eis como transformá-lo numa regra de integração:

f-28

Em palavras: sempre que tiver de integrar um quociente de funções, veja se não pode ver a função D no divisor como o quadrado de uma função d, isto é, d2 = D; e veja se a função no dividendo não é a derivada dessa função d no divisor. Em caso afirmativo, então a primitiva dessa função a integrar é o oposto do recíproco dessa função d no divisor. Não se esqueça de que não pode dividir nada por zero, e por isso deve tirar do domínio da função d todo valor que a torna nula.

Para montar um exemplo simples: comece com x2 – 2, cuja derivada é 2x e cujo quadrado é x4 – 2x2 + 4. Daí:

f-29

Mesmo num exemplo tão simples, é difícil bater os olhos no integrando e atinar rapidamente com o que deve fazer para achar uma expressão para a primitiva. Lembrete: pode usar essa primitiva para calcular o valor da integral em [a, b] para quaisquer valores de a, b, desde que ±√2 ∉ [a, b].

* * *

Agora, o teorema §59-4, com a regra para a derivada de um quociente de funções.

f-30

Use o resultado da última linha quando achar mais fácil calcular a integral do lado direito da igualdade que a integral do lado esquerdo.

Não se esqueça de manter em mente o que deve fazer com o termo F(x)/G(x) quando estiver trabalhando com um intervalo [a, b] qualquer:

f-31

Por último, lembre-se de verificar se, no intervalo [a, b], existe algum valor de x tal que G(x) = 0. Não pode.

* * *

Examine agora o teorema §59-5, que representa a regra da cadeia. Ele dá origem a duas regras de integração importantes.

A primeira regra é a regra da troca de variáveis:

f-32

É mais fácil ver como usar essa regra examinando um exemplo, como este a seguir:

f-33

 

Assim que você reconhece que, se faz F(x) = x2 + 1, daí f(x) = 2x, está a meio caminho da solução. Só falta ver qual função G produziria como derivada g(x) = x8:

f-34

Agora é só montar a solução, trocando as expressões para F, f, G, g:

f-35

Em parte é por isso que essa regra foi batizada com a locução regra da troca de variáveis. No entanto, o nome fica mais claro quando você assiste a um professor ensinando essa regra pela primeira vez, pois é bem possível que ele peça à classe para de fato realizar uma troca de variáveis. Vai explicar mais ou menos o seguinte:

Faça u = x2 + 1. Daí use a notação de Leibniz para expressar a derivada de u em relação a x:

f-36

Feito isso, o professor realiza um passo que, no sistema dos números hiper-reais, dá algum trabalho justificar completamente: ele pede à classe que multiplique a linha toda por dx.

f-37

Veja agora como fica a integral indefinida com as substituições.

f-38

Dá trabalho justificar essa troca de variáveis porque, no sistema dos hiper-reais, eis o que significa du/dx:

f-39

Ou seja: o primeiro significado de du/dx não é bem o quociente de du por dx; ao contrário, é apenas o símbolo com o qual você denota um número real, qual seja, a parte padrão do número hiper-real que você representou com a expressão dentro dos colchetes, na qual ϖ é um infinitésimo positivo ou negativo. Esse símbolo podia ser qualquer coisa, tipo ⌽, mas, por razões históricas, é du/dx.

Contudo, você pode combinar com seu leitor o seguinte procedimento: faça u = φ(x), isto é, faça u uma função φ de x. (As letras não têm a menor importância; poderia usar, como é comum, y = f(x), mas, já que nesta passagem está usando a letra f com outro propósito [a derivada de F], é melhor escolher uma letra nada a ver, tipo φ.) Daí apresente o significado usual de du/dx:

f-40

Se o valor real padrão da expressão dentro dos colchetes é sempre o mesmo para qualquer infinitésimo ϖ que venha a escolher, positivo ou negativo, então existe a derivada de u em x, que você denota com φ’(x). Suponha que ela exista, e que você a tenha calculado, isto é, que tenha em mãos o número real φ’(x). Então, a partir desse ponto, pode combinar com seu leitor outro significado para du/dx, que é este:

f-41

Nessa linha, você pode atribuir a dx qualquer valor infinitesimal, positivo ou negativo; se fizer isso, du é um infinitésimo positivo ou negativo [se φ’(x) é positivo], ou um infinitésimo negativo ou positivo [se φ’(x) é negativo], ou é zero [se φ’(x) é zero]. Em qualquer um desses casos, o quociente du/dx é o quociente de dois infinitésimos, ou o quociente de zero por um infinitésimo, e seu valor é exatamente φ’(x). Talvez ache esquisito ter dois dignificados distintos para o mesmo símbolo du/dx, mas não há nisso nenhum inconveniente, pois du/dx = φ’(x) em qualquer um dos dois significados.

Quando usar du/dx dessa segunda maneira, pode chamá-los de diferenciais; por exemplo: “O quociente do diferencial du pelo diferencial dx.” Caso seu interlocutor tenha bom treinamento, ele vai entender que deve escolher o valor de cada um dos diferenciais de modo que seu quociente seja igual ao valor da derivada de φ em x.

Volte agora à explicação típica do professor: se considera du e dx como diferenciais, pode atribuir significado a du e a dx de modo que du = 2x dx, e a regra da troca de variáveis funciona à perfeição.

Regra da substituição. Agora, a segunda regra de integração proveniente da regra da cadeia na diferenciação. Ela se chama regra da substituição.

Já sabe que a derivada de F é f, isto é:

f-42

Mas e se fosse conveniente trocar x por G(u) para alguma variável u? Isto é, e se olhasse uma expressão e visse vantagem em fazer x = G(u)? Veja daí o que obteria, dado que a derivada de F[G(u)] é f[G(u)]g(u).

f-43

É difícil visualizar como alguém pode usar essa regra, e no entanto é uma das mais úteis. Um exemplo: como poderia achar uma expressão para a primitiva a seguir?

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Folheando as tabelas de fórmulas que estudou no ensino médio, a certa altura você acha a equação sec2A = 1 + tan2A, que lembra a expressão no divisor do integrando, e pensa: “E se eu fizesse x = G(u) = tanu?” Veja como pode explorar essa decisão, mais uma vez com o conceito de quociente de diferenciais.

f-45

Agora substitua x por tanu e dx por sec2u du, e não se esqueça de usar a equação que achou na tabela de fórmulas, onde aliás existe também a equação secA = 1/cosA.

f-46

Resta decidir o que fazer com a expressão senu. Ora, a derivada de senu é cosu, mas é também a expressão no integrando da primitiva original. Além disso, visto que x = tanu, daí senu = xcosu. Portanto:

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Como pode ver, usar as técnicas de integração é uma arte, a ser conquistada com bastante prática.

* * *

Agora, ao teorema §59-6, sobre a regra da derivada da parcela de um polinômio. Com ele, você pode estabelecer a regra de integração a seguir, que é muito útil, pois também se refere a polinômios.

A integral da parcela de um polinômio. Suponha F(x) = rxn, sendo r um número real qualquer e n inteiro não negativo. Daí F’(x) = f(x) = nrxn–1. Isso é simplesmente o resultado do teorema §59-6. Recorrendo ao teorema fundamental do cálculo [já que f(x) = nrxn–1 é uma função contínua], eis o que escrever:

f-48

Não é assim que os dicionários de matemática apresentam essa regra, simplesmente porque o integrando sempre aparece na forma Rxk, isto é, o produto de um número real R por uma potência inteira não negativa de x. Logo, para deixar sua regra mais amigável ao leitor, faça n – 1 = k, e daí n = k + 1. Faça também nr = R, e daí r = R/n = R/(k + 1). Realize agora as substituições.

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Essa regra deixa a atividade de integrar polinômios muito simples. Por exemplo, como integrar o polinômio P(x) = 7x6 + 12x5 + 20x3 + 7 no intervalo [–5, 2]? É a integral que já viu na seção 72. É assim que talvez fiquem suas notas ao aplicar a regra da integral da parcela de um polinômio.

f-50

É trabalhoso, porém simples.

Agora pode usar a resolução do problema §67-10, com o qual trabalhou no capítulo anterior, para deixar essa regra ainda mais genérica, isto é, válida para expoentes racionais de x.

A integral de uma potência racional de x. Nas linhas abaixo, n é um número inteiro positivo, negativo, ou nulo; m é um inteiro positivo; e r é um número real qualquer.

f-51

Para propósitos práticos, o formato da última linha é inútil. Você jamais conseguiria bater os olhos num integrando e visualizar qual é o valor de r e o da fração n/m. Use, portanto, as igualdades a seguir para deixar essa regra de integração mais amigável.

f-52

Sendo assim, você pode usar a regra de integração a seguir, na qual R é um número real qualquer e q é um racional diferente de –1 (para excluir o caso em que n = 0):

f-53

Mais à frente, ainda neste texto, verá outro motivo pelo qual não deve usar essa regra quando, no integrando, o expoente racional de x vale –1.

* * *

Quase todo matemático classifica a regra de integração a seguir como sendo “praticamente inútil”. No entanto, você deve estudá-la, pois o ponto desta seção não é apenas construir uma tabela de regras de integração, mas aprender a usar o teorema fundamental do cálculo para converter teoremas de derivação em teoremas de integração.

Já sabe que, se F é uma função derivável no intervalo fechado [a, b], então a função derivada f vale zero nos pontos em que F atinge um máximo e um mínimo, como pode ver na figura a seguir. (Não se esqueça de que, no começo desta seção, definiu F como sendo a função área da função contínua f; logo, F é derivável em [a, b], e sua derivada é f.)

Fig_4

Figura §74-1

Assim, f(c) = 0 para algum c em [a, b], onde F(c) é o valor máximo de F em [a, b], e f(d) = 0 para algum d em [a, b], onde F(d) é o valor mínimo de F em [a, b].

Isso significa que existe um x = c em [a, b] tal que F(c)(ba) é o valor máximo que ∫f(x)dx atinge em [a, b], assim como existe um x = d em [a, b] tal que F(d)(ba) é o valor mínimo que ∫f(x)dx atinge em [a, b]. Em notação matemática:

f-54

* * *

Agora, a versão do teorema do valor médio (teorema §62-2) para integrais.

Teorema do valor médio para integrais. Você já sabe que F é diferenciável em [a, b], e que a derivada de F é f. Daí pode invocar o teorema §62-2 e dizer que, para algum x = c no intervalo aberto (a, b), vale a expressão a seguir.

f-55

Mas, graças ao teorema fundamental do cálculo, também já sabe que ∫f(x)dx = F(x). Portanto:

f-56

Pode ver o que isso significa na figura §74-2 a seguir. Se f é uma função contínua em [a, b], a área debaixo da curva de f entre x = a e x = b é igual à área do retângulo de lados iguais a (ba) e f(c) para algum c em (a, b). [“Para algum c em (a, b)” significa que c não se confunde nem com a nem com b, isto é, a < c < b.] Em outras palavras, para algum x = c em (a, b), a área ∫f(x)dx em [a, b] é igual à área debaixo da linha reta y = f(c) entre x = a e x = b.

Fig_5

Figura §74-2

Essa linha reta horizontal y = f(c) é o valor médio de ∫f(x)dx entre x = a e x = b. Por exemplo, talvez você esteja usando a curva de f para representar a temperatura de uma sala num período de 24 horas, isto é, sua curva mostra a temperatura f(t) a cada instante t. Com o teorema do valor médio para integrais, você sabe que existe um instante t = c nesse período de 24 horas cuja temperatura f(c) representa a temperatura média do período.

Leia mais uma vez a seção 65 do capítulo anterior. Se você usa F(t) para representar a distância de um objeto em relação a certo ponto de referência no instante t, daí usa f(t) para representar a velocidade do objeto no instante t. Assim, como pode dar significado à expressão a seguir, na qual t = c é um instante em (a, b)?

f-57

A expressão significa que, se você pega a distância final F(b), subtrai dela a distância inicial F(a), e divide essa diferença pelo período de tempo ba decorrido entre as duas medições de distância, vai achar a velocidade média f(c) do objeto no período decorrido entre t = a e t = b, sendo que o objeto de fato se deslocou a tal velocidade, no mínimo uma vez, no instante t = c.


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{75}/ Regras de integração: resumo

Use a tabela a seguir como um resumo das técnicas de integração mais simples e úteis. Com o domínio de tais técnicas, ou de tais ideias, você não se transformou num ás da integração, mas ganhou ferramentas teóricas para compreender textos sobre técnicas de integração mais sofisticadas.

Integração de uma soma de funções.

f-58

Integração por partes.

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Integração por troca de variáveis.

f-60

Integração por substituição de variável.

f-61

Integração de uma potência racional de x.

f-62


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{76}/ Finalmente, logaritmos e expoentes

Com a lista de problemas a seguir, você vai usar tudo o que estudou até agora para construir duas funções de variável real muito importantes: a função logarítmica natural de x e a função exponencial de x.

Lembre-se da verdadeira missão do matemático: não é achar a resposta certa, mas demonstrar, num texto tão claro quanto possível, por que motivos a resposta certa é indiscutivelmente certa. Portanto, encare cada pergunta da lista a seguir como um convite a escrever um breve ensaio. Veja sugestões de resposta na próxima seção, a 77.

Problema §76-1. Prove que a função 1/x é contínua para todo x > 0. Recorra ao teorema §43-2 para concluir: 1/x é integrável em todo intervalo positivo.

Definição §76-1. Para todo x > 0, suponha a função área a seguir, cujo nome é “logaritmo natural de x”.

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Em textos sobre teoria dos números, com frequência o autor escreve logx no lugar de lnx. A figura a seguir mostra o que significa essa definição §76-1.

Fig_7

Figura §76-1: O logaritmo natural de x > 0 é a área debaixo de 1/t entre t = 1 e t = x

Problema §76-2. Prove que lnx é uma primitiva de 1/x para todo x positivo, e use o teorema §50-1 para mostrar que ln1 = 0.

P. §76-3. Prove que a derivada de lnx é 1/x para todo x > 0.

P. §76-4. Use a regra da cadeia para provar que, se k é uma constante positiva qualquer, a derivada de ln(kx) é 1/x.

P. §76-5. Use o corolário §62-1 para provar que, se k é uma constante positiva qualquer, existe uma constante C tal que:

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Dica: Faça f(x) = ln(kx) – lnx e ache f’(x) usando o problema §60-5.

P. §76-6. Prove que ln(kx) = lnk + lnx. (Dica: use o problema acima e faça x = 1, lembrando que ln1 = 0.) Conclua o seguinte:

Para todo par de números reais positivos a, b:

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P. §76-7. Use a resolução do problema acima para mostrar que, para todo par de números reais positivos a, b:

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Dica: faça x = a/b, k = b.

P. §76-8. Se r é um número racional qualquer, prove que a derivada da função lnxr é r/x. Use a regra da cadeia e o problema §67-10.

P. §76-9. Prove que, se r é um número racional qualquer, existe uma constante c tal que lnxr = c + rlnx.

P. §76-10. Prove que, para qualquer número racional r, lnxr = rlnx.

P. §76-11. Use o teorema da função inversa (corolário §66-1) para provar que lnx tem uma função inversa.

Definição §76-2. Use exp para denotar a função inversa de ln, de modo que, para todo número real x adequado, exp(lnx) = x e ln(expx) = x.

Problema §76-12. Faça b = expa, d = expc, de modo que lnb = a e lnd = c. Use o problema §76-6 para provar o seguinte:

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P. §76-13. Prove a afirmação a seguir.

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P. §76-14. Faça b = expa, e faça r um número racional. Prove que exp(ar) = (expa)r.

P. §76-15. Prove que, para todo a > 0, com r racional, ar = exp(rlna).

Definição §76-3. Para todo número real r (não apenas r racional), e para todo número real x > 0, faça xr = exp(r lnx).

Definição §76-4. Defina agora a constante e. Faça e = exp1, de modo que lne = 1.

Problema §76-16. Prove que ex = expx.

P. §76-17. Prove que ab · ac = ab+c. Use o problema §76-12.

P. §76-18. Prove que ab/ac = abc.

P. §76-19. Prove que (ab)c = abc.

P. §76-20. Prove que a derivada da função xr é rxr–1 para todo número real r.

Lembrete. No ensino médio, muitas vezes o professor define lnx com logex, “O logaritmo de x na base e.” O problema é que, sem o cálculo, o aluno tem grande dificuldade de visualizar o que é essa “base e”.


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{77}/ A resolução dos problemas

Resolução §76-1. Reveja a definição de continuidade (§29-1): Se 1/x é uma função contínua para todo x > 0, então, para qualquer infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, x + ϖx implica 1/(x + ϖ) ≈ 1/x, isto é, a diferença entre 1/(x + ϖ) e 1/x tem de ser um infinitésimo ou zero. É esse o caso?

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Sim, é o caso: a diferença é um infinitésimo, pois equivale a um infinitésimo dividido por um hiper-real infinitamente próximo de x2, isto é, um infinitésimo ϖ dividido por um hiper-real infinitamente maior que ϖ.

Assim, graças ao teorema §43-2, lnx = ∫[0, x](1/t)dt = st[S[0, x](1/t)ϖ] tem o mesmo valor real padrão para todo infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Ou, em outras palavras, 1/x é uma função contínua e perfeitamente integrável, de modo que pode definir lnx para todo valor real de x > 0.

Fig_11

 


Resolução §76-2. Olhe a definição §51-2 no texto sobre integrais. Daí, para quaisquer dois números reais positivos a, b:

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Graças ao teorema §50-1, o formulário acima funciona não importa como escolha os valores de a e b; funciona, por exemplo, com 1 ≤ ab, mas também com b ≤ 1 ≤ a, etc. Isso basta para provar que, pelo modo como você a definiu, lnx é uma primitiva de 1/x.

Agora, recorrendo mais uma vez ao teorema §50-1:

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Essa ideia fica bem clara quando você plota o gráfico de lnx.

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Resolução §76-3. Aqui, basta recorrer à resolução acima e ao teorema §72-1, o teorema fundamental do cálculo: para todo x > 0, lnx é uma primitiva de 1/x se, e somente se, 1/x é a derivada de lnx. Visto que lnx é por definição uma primitiva de 1/x, como acabou de ver, então 1/x é a derivada de lnx.

Mais tarde, ainda nesta seção, verá outra maneira de resolver esse mesmo problema.


Resolução §76-4. Relembrando a regra da cadeia: [f(g(x))]’ = f’(g(x))g’(x). Assim:

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Note que k tem de ser uma constante positiva porque só pode definir lnx para x > 0. Logo, se k ≤ 0, não pode atribuir significado a ln(kx), e se a expressão não tem significado, não há por que tirar sua derivada. [No caso de k < 0, pode atribuir significado a ln(kx) se invocar o sistema dos números complexos, mas isso é história para outro dia.]


Resolução §76-5. Comece seguindo a dica do redator e tire a derivada de f.

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Se f’(x) = 0 para todo x > 0, diga então que f é constante no intervalo (0, ∞). Suponha que o valor constante de f seja C, isto é, f(x) = C para todo x > 0. Daí basta realizar a substituição.

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Com um desenho, pode ver mais claramente o que essa linha quer dizer; a mensagem é simples e poderosa.

Fig_8

Imagine: se movimentar as duas linhas horizontais paralelas, mas mantendo constante o comprimento C entre elas, a linha de baixo cruza a curva de lnx no ponto em que a abscissa vale x, e a linha de cima cruza a curva de lnx no ponto em que a abscissa vale kx.

Percebe que, se quisesse, poderia partir dessa figura e projetar uma régua de cálculo com a qual poderia achar o valor do produto kx? Percebe que poderia usar a mesma régua para dividir kx por k e obter x?


Resolução §76-6. Já sabe que ln(kx) = C + lnx para algum número real C. Essa expressão tem de valer para x = 1; portanto faça, como o redator sugere, x = 1. Daí lnx = 0 e lnk = C. Portanto, a constante C do problema anterior vale lnk.

De modo geral, para qualquer par de números reais positivos a, b:

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Veja na figura a seguir como fica sua régua de cálculo, com a qual gostaria de multiplicar a por b: (1) Você consulta o gráfico de lnx para saber o valor de lna e de lnb. (2) Passa a linha reta horizontal y = lna; passa uma linha reta paralela a essa, distante dela de acordo com a magnitude de lnb (respeitando o sentido da magnitude, positivo ou negativo); em outras palavras, você soma a magnitude vertical y = lna com a magnitude vertical y = lnb. (3) Daí a linha reta horizontal y = ln(ab) cruza o gráfico de lnx no ponto em que a abscissa vale ab. Em essência, é assim que você usa a função lnx para realizar uma multiplicação realizando, em seu lugar, uma adição, e é por causa desse teorema que as réguas de cálculo funcionam.

Fig_9

Essa propriedade de converter multiplicações em adições se chama “propriedade logaritmo”: se f(xy) = f(x) + f(y), a função f tem a propriedade logaritmo.


Resolução §76-7. Faça como o redator sugere: x = a/b, k = b. Já sabe que ln(kx) = lnk + lnx. Portanto, eis o que acontece ao realizar as substituições:

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Resolução §76-8. Indo direto às contas:

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Resolução §76-9. Adapte o método que já usou no problema §76-5: a questão é achar uma função f cuja derivada seja zero. Depois de tentar umas vezes, deve chegar à função a seguir, válida para x positivo e r real.

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Ache uma expressão para a derivada de f.

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Se f’(x) = 0 para todo x positivo, então f é constante no intervalo (0, ∞). Chame esse valor constante de C. Daí:

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Resolução §76-10. Para provar isso, o que deve fazer é provar que a constante C da resolução anterior vale zero. Mais uma vez, faça x = 1.

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Resolução §76-11. Para todo x real positivo, a derivada de lnx é 1/x. Ora, 1/x também é positivo para todo x real positivo, isto é, [lnx]’ > 0 para todo x no intervalo (0, ∞). Sendo assim, lnx é uma função monótona estritamente crescente, e por causa disso, de acordo com o corolário §66-1, tem uma função inversa.


Resolução §76-12. Ao resolver o problema §76-6, você viu que, para qualquer par de números reais positivos b, d, ln(bd) = lnb + lnd. Comece com essa equação e calcule o valor da função exp dos dois lados da equação.

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Note que, visto que tem uma definição ótima para lnx, está usando essa definição para construir a função expx, e por enquanto, em tese, nem precisa saber exatamente que função é essa. (Por acaso, se você não esteve hibernando nos últimos 500 anos e só tenha despertado ontem, sabe que expx = ex; mas o ponto é que, a esta altura da teoria, nem precisava saber isso.)


Resolução §76-13. Use as mesmas definições do problema §76-12, e recorra à resolução do problema §76-7. Visto que lnd = c, d é um número positivo, e portanto pode colocá-lo no divisor. Veja como provavelmente ficaram suas notas:

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Resolução §76-14. Nesta resolução, deve usar o que aprendeu com o problema §76-10. Eis como seu argumento deve ter ficado:

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Resolução §76-15. Deve usar aqui a resolução do problema §76-10 e a definição §76-2 de exp. Lembrete: se a > 0, ar > 0 não importa o valor do racional r, e portanto pode atribuir significado a lnar. Suas notas provavelmente ficaram assim:

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O significado dessa última linha é importante: você pode usar a função logaritmo natural e sua inversa, a função exp, para expressar a potência racional de qualquer base positiva a. Em outras palavras: se quer elevar a base positiva a ao expoente racional r, então calcule exp(rlna), pois as duas coisas se equivalem.


Resolução §76-16. Use a definição §76-4 e a resolução do problema §76-14.

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A definição §76-3: uma discussão necessária. Preste bastante atenção ao que realizou com a definição §76-3: você sabe atribuir significado à equação ar = exp(rlna) quando a é um número real positivo e r, um número racional. O que te autoriza a trocar r por um número real qualquer, racional ou irracional, e dizer que, realizando a troca, a equação continua sendo verdadeira?

Pois, afinal de contas, as definições clássicas de número real são complicadas à beça. Um jeito de defini-los é com sequências infinitas de números racionais, conhecidas como “sequências de Cauchy”. Outro jeito é com partições de números racionais, conhecidas como “cortes de Dedekind”. As duas definições são tão ardilosas e profundas que mesmo matemáticos experientes, quando estão na fila da padaria, gostam de pensar nelas para se distrair.

A questão essencial é que, com o cálculo diferencial e integral, mais o teorema fundamental do cálculo, você tem uma definição ótima de lnx para todo x positivo: é o valor padrão do somatório infinito 𝓢[0, x](1/t)dt (um número hiper-real), como viu no capítulo sobre cálculo integral. Assim, você sabe bastante bem como calcular o valor de lna: deve calcular o valor da expressão a seguir (à direita da igualdade).

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Depois disso, rlna é apenas o produto de dois números reais. Você também sabe fazer isso. Chame esse produto de s, isto é, s = rlna. Daí como pode atribuir significado a exp(rlna) = exps? Ora, já sabe que ln(exps) = s por definição. Portanto:

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Veja o que isso significa na ilustração a seguir.

Fig_10

Em palavras: “Imaginando o gráfico de 1/t, com exps quero dizer o valor específico de x no eixo das abscissas tal que a área debaixo de 1/t no intervalo [1, x] vale s.” A esta altura de suas investigações, você ainda não sabe como achar tal valor de x para obter tal área, mas, com o que sabe, pode explicar perfeitamente o que significa exp(rlna), e portanto pode explicar perfeitamente o que significa ar para qualquer valor real positivo de a e qualquer valor real de r.

Essa mesma discussão vale para o valor da constante e. Qual é o valor de e? É o valor de x tal que a equação e a ilustração a seguir se tornam verdadeiras.

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Fig_12

Mais tarde, noutro capítulo desta série, verá como calcular o valor de e com séries infinitas. Enquanto isso, na seção 78 a seguir, verá um jeito de calcular o valor de e que até estudantes de ensino médio podem usar, na hipótese de que saibam o básico sobre cálculo.


Resolução §76-17. Reescreva ab como exp(b lna) e ac como exp(c lna). Daí seu argumento fica mais ou menos assim:

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Resolução §76-18. Desta vez, vai usar também a resolução do problema §76-13. Nas linhas a seguir, pode ver as duas notações que são consequência da definição §76-4 e do problema §76-16.

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Resolução §76-19. Deve usar o resultado do problema §76-14.

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Resolução §76-20. Eis uma prova que funciona para x real positivo e r real (negativo, nulo, ou positivo). Faça xr = exp(r lnx) e use a regra da cadeia. Daí:

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Para continuar, você tem de atribuir significado ao termo exp’(r lnx). É hora de usar o teorema da função inversa para investigar uma questão importante: qual é a derivada de expx, isto é, como pode achar uma expressão válida para exp’(x)?

Mais uma vez, suponha x > 0 e defina a função f e sua inversa g, isto é: y = f(x) = lnx e x = g(y) = exp(lnx). Com essa notação, pode usar o teorema da função inversa exatamente como está grafado na seção 66 do capítulo anterior.

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Ora, visto que x = x, eis o que pode concluir:

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Acabou de descobrir que, seja lá qual for o valor da constante e (coisa que verá como calcular logo mais na seção 78), a derivada de ey é ey para todo y real. Está na hora de completar o argumento que pausou três parágrafos atrás.

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Talvez queira saber: “Não seria possível realizar essa prova para todo valor real de x, e não apenas para todo valor positivo de x? Pois, quando estou mexendo com o termo xr de um polinômio, quero o direito de atribuir a x qualquer valor real.” Por enquanto, não seria possível com as funções exp e ln. Mas você pode fazer como já fez na definição §76-3, e definir a derivada de xr como sendo rxr–1 para todo x real.

A estratégia funciona mais ou menos assim: Quando resolveu o problema §67-10, descobriu a regra da derivada de um potência racional de x, isto é, se p é um número racional qualquer, daí [xp]’ = pxp–1. Essa regra vale para todo valor real de x. Agora, descobriu que, se x > 0 e r é um número real qualquer, [xr]’ = rxr–1. Por simetria, seria muito bom se tal regra valesse para todo valor real de x, e não apenas para x > 0. Então, você parte para uma definição: “Se x, r é um par de números reais quaisquer, daí [xr]’ = rxr–1.” Você testa sua definição numa série de exemplos práticos, e vê que ela não te causa nenhum problema — tudo o que estava funcionando, continua funcionando. E daí fica de olhos e ouvidos abertos, esperando a primeira oportunidade de provar o que definiu a partir de axiomas e teoremas mais sólidos, isto é, esperando a primeira oportunidade de trocar a definição por uma demonstração. É o que fará num próximo capítulo desta série, no qual vai estudar polinômios infinitos.


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{78}/ O valor de e: primeira abordagem

Você já sabe que e é o valor de x tal que a afirmação a seguir é verdadeira.

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Sabe também que o símbolo de integral denota um tipo especial de somatório. Ponha esse somatório no papel e arrume a expressão para deixá-la pronta para cálculos.

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Se supuser N como um hiper-real inteiro positivo infinito, pode calcular o valor exato da área debaixo de 1/t de t = 1 até t = x, isto é, pode calcular o valor exato de lnx. Qual é o valor de x tal que lnx = 1? Será que x vale 2? Recorra a uma calculadora científica, faça N igual a um número bem alto, como N = 2.000, e veja o que obtém ao calcular o somatório para x = 2. (O redator usou uma HP 50g.)

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Então, x = 2 é um valor muito baixo. Pode ver na tabela a seguir o valor do somatório com N = 2.000 e x = 2,1, x = 2,2,…, x = 2,8.

x

2

0,69302219618

2,1

0,7417933166

2,2

0,7882937478

2,3

0,83272545583

2,4

0,87526460443

2,5

0,91606577125

2,6

0,95526533663

2,7

0,99298423236

2,8

1,02933019036

 

Assim, e é um número entre 2,7 e 2,8, pois, com x = 2,7, a área debaixo de 1/t é um pouco menor que 1, e com x = 2,8, é um pouco maior. Você pode continuar com o método e calcular o valor do somatório para x = 2,71, x = 2,72, etc. E pode ir repetindo o processo até que a precisão da calculadora não te permita mais continuar. Fazendo assim, vai descobrir que e = 2,71828182846… Quanto maior a precisão da calculadora, mais longe pode ir na expansão decimal de e.

Imagine o que seria realizar tais tarefas sem a ajuda de uma calculadora científica: sim, seria difícil calcular o valor da constante e. Apesar disso, em 1748, usando outro método, Leonhard Euler calculou e com 23 casas decimais — à mão.


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{79}/ Quando o TFC é válido ou inválido

Muito estudante de matemática logo se familiariza com a ideia de que a integração é uma espécie de “reverso” da diferenciação, e daí passa o resto da vida achando que isso é verdade em qualquer circunstância. Vale a pena, portanto, examinar mais uma vez o que você quer expressar com o teorema fundamental do cálculo.

O teorema tem duas partes: com a primeira, você diz que pode usar a diferenciação para “desfazer” o que fez com a integração; com a segunda, diz que pode usar a integração para “desfazer” o que fez com a diferenciação. Só que as duas partes só funcionam em condições específicas.

Eis o que você quer dizer com a primeira parte do teorema: se f é uma função contínua no intervalo [a, b], e se você define a função F como sendo F(x) = ∫[a, x]f(t)dt, com axb, daí F é diferenciável em [a, b] e F’(x) = f(x) para todo x.

De modo análogo, eis o que quer dizer com a segunda parte: se f é diferenciável no intervalo [a, b], e se a derivada f’ de f é contínua nesse intervalo, daí a afirmação a seguir é verdadeira.

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Quanto a você, deve manter algo importante em mente: tais afirmações não são verdadeiras por definição. Elas são consequência lógica de definições e teoremas anteriores, tanto do cálculo integral quanto do cálculo diferencial. Isso tanto é verdade que, muitas vezes, o teorema fundamental do cálculo ou é inútil ou falha. Examine, por exemplo, a afirmação a seguir:

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Com ela, você não necessariamente quer dizer “ache a primitiva G de g e calcule G(b) – G(a)”, pois talvez g não tenha uma primitiva G, e mesmo assim talvez você possa usar uma soma de Riemann para calcular o valor da área entre a curva de g, o eixo das abscissas, e as linhas retas verticais x = a e x = b. Por exemplo, talvez g não seja uma função contínua; apesar disso, como já viu no capítulo sobre integração, muitas vezes você pode calcular o valor da integral definida de uma função descontínua.

Existe até uma área da matemática, a co-homologia de Rham, com a qual os matemáticos (grosso modo) “medem” até que ponto podem confiar no TFC, especialmente quando estudam certos objetos topológicos, as variedades, em espaços de dimensão maior que 3.

Em resumo: graças ao teorema fundamental do cálculo, você pode unir, de uma forma excepcionalmente proveitosa, o cálculo integral ao cálculo diferencial. Mas não caia no erro frequente de agir como se o teorema valesse em qualquer circunstância. {FIM}


Aviso. Caso veja algum erro neste capítulo ou queira tirar uma dúvida, escreva para o redator:

<ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com>.


Fig_11

Existe livro de cálculo que seja bom?

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{1}/ A resposta de Paul Halmos

“Professores de matemática elementar nos Estados Unidos com frequência reclamam que todos os livros de cálculo são ruins. Quero usar essa afirmação como exemplo de um ponto maior. Os livros de cálculo são ruins porque não existe esse assunto chamado ‘cálculo’; ele não é um assunto porque é, na verdade, um monte de assuntos.

“O que hoje em dia chamamos de cálculo é uma colagem de um pouco de lógica e de teoria dos conjuntos; um pouco da teoria axiomática dos corpos completamente ordenados; um pouco de geometria analítica e de topologia, tanto no sentido mais geral (limites e funções contínuas) quanto no sentido algébrico (orientação); um pouco de teoria de variável real propriamente dita (diferenciação); um pouco da manipulação combinatória de símbolos chamada de integração formal; um pouco de teoria das medidas para espaços de dimensão baixa; um pouco de geometria diferencial; os primeiros passos na análise clássica das funções trigonométricas, logarítmicas, exponenciais; e, por fim, a depender do espaço disponível e das inclinações do autor, algumas receitas de bolo sobre equações diferenciais, mecânica elementar, umas poucas aplicações práticas.

“É difícil escrever um bom livro sobre qualquer um desses assuntos isoladamente; sobre essa colagem de assuntos, então, é impossível.”

Paul R. Halmos (1916-2006): How to Write Mathematics. Revista L’Enseignement Mathématique, nº 16, pág. 125, 1970.


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{2}/ Matemática e música

Do que Halmos está falando?

Não é apenas de livros bons ou ruins, mas de uma ideia importante: é quase impossível mostrar ao estudante o que é a matemática, mas a matemática de verdade, a matemática dos que a adoram e se divertem com ela, pois, para que ele entenda o que ela é, precisa antes disso saber bastante matemática. Uma pessoa só aprecia a grandeza e a beleza da matemática quando sabe o suficiente para enxergar as muitas conexões entre os vários assuntos, e isso só acontece tarde na vida. Se o estudante tiver sorte, acontece lá pelo fim da graduação. Se não tiver sorte, como a maioria não tem, não acontece, e ele sai da faculdade com uma ideia distorcida da matemática.

É diferente com a música. Talvez o estudante de música toque seu piano muito mal, a ponto de irritar os vizinhos; talvez toque sua clarineta muito mal, a ponto de pôr os cachorros da vizinhança para uivar. Mesmo assim, é capaz de apreciar uma sonata de Liszt para piano ou um concerto de Mozart para clarineta. Sua incompetência como músico não o impede de apreciar música bem-feita.

Imagine se, para gostar de música, uma pessoa tivesse de primeiro estudar a teoria musical e, depois, de aprender a tocar um instrumento à perfeição. Imagine se, antes disso, tudo o que ouvisse de música lhe parecesse desafinado, desencontrado, desagradável. Daí é claro que poucos gostariam de música.

Existe solução para esse problema aparentemente sem solução? Sim, existe. Ela vai mais ou menos na linha do artigo O Lamento de um Matemático, de Paul Lockhart, cujo resumo resumidíssimo é: Fazer matemática significa se interessar por problemas de natureza matemática (e uma pessoa só se interessa por um problema matemático caso sinta que tem condições de resolvê-lo, ou pelo menos de explorá-lo com alegria) e depois, quando o problema estiver resolvido, escrever uma explicação muito boa, demonstrando os motivos pelos quais o leitor não tem escapatória — se aceitar as hipóteses do problema, terá de aceitar também a tese, isto é, a resolução é de fato uma resolução. {FIM}

Seja inteligente: use pouco a cabeça

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Com imagens obtidas por ressonância magnética, e com estatística, cientistas especializados em neurociência devagar descobrem como o cérebro humano aprende matemática. Eles já sabem, por exemplo, que as pessoas bem treinadas usam menos o cérebro ao resolver problemas.


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{1}/ Região cerebral, função cerebral

Por muitos anos, os cientistas só podiam estudar qual parte do cérebro faz o que quando alguém dava um tremendo azar: um soldado levava um tiro na cabeça, perdia a capacidade de cheirar, e passava a tropeçar mais e a trombar nas coisas. Assim os cientistas descobriram que, quando o homem vira a cabeça para cima ou para baixo, para a direita ou para a esquerda, uma parte de seu cérebro usa a variação nos cheiros para ajudar o resto do cérebro a posicionar o corpo num ambiente tridimensional. Brian Butterworth, um cientista inglês, estudou um paciente que, depois de um derrame cerebral, não conseguia associar palavras a objetos. Quando Brian apontava para um relógio e lhe perguntava:

“O que é isso?”

O paciente não conseguia trazer à memória a palavra “relógio”. E quando Brian lhe dizia, sem apontar para nada:

“Me aponte um relógio.”

O paciente não entendia a ordem. Mesmo assim, escreveu Brian num artigo científico, esse mesmo paciente realiza operações aritméticas complexas normalmente. Brian também estudou outro paciente que, depois de um derrame, conversa normalmente, mas não consegue contar para além de quatro. Estudando esse tipo de gente, os cientistas entenderam que a capacidade de se comunicar por meio de linguagem fica a cargo de certas regiões do cérebro, e a capacidade de fazer matemática fica a cargo de outras regiões. (Sobre isso, veja os resultados obtidos pela pesquisadora britânica Rosemary Varley.) Quando um sujeito perde a linguagem, ele tem afasia; quando perde a matemática, tem acalculia.

Desde a década de 1990, porém, os cientistas não precisam mais contar apenas com azarados para descobrir como o cérebro leva a cabo raciocínios de cunho matemático: passaram a usar aparelhos de espectroscopia por ressonância magnética nuclear com tecnologia fMRI — e analisam as imagens com estatística. Desse jeito, eles têm estudado gente saudável.

Com a fMRI e a estatística, o cientista faz o voluntário realizar alguma tarefa (por exemplo, descobrir as propriedades de um cubo pintado, como o leitor pode ver na seção 2 mais abaixo), vê que áreas do cérebro entram em atividade e esquentam (ou acendem, no jargão técnico), e depois usa estatística para escrever frases mais ou menos do tipo: “A probabilidade de que a área tal do cérebro seja usada assim e assado durante a fase tal do estudo de um cubo é de 83%.” Em outras palavras, o cientista usa fMRI e estatística para correlacionar uma região do cérebro com a função pela qual provavelmente é responsável. Alexandre Castro Caldas, um neurocientista português com 40 anos de experiência, diz que desse jeito o homem descobriu o que significa ser competente em matemática, do ponto de vista funcional: enquanto uma pessoa bem treinada resolve problemas, poucas regiões de seu cérebro acendem; o cérebro de uma pessoa mal treinada, contudo, acende tanto que até parece enfeite de Natal. A pessoa bem treinada em matemática gasta muito menos energia para resolver problemas.

stock-illustration-75076949-turn-on-idea-brainLista pequena. Não sairá tão cedo um “Manual de Instruções ao Professor de Matemática Feito a Partir das Recentes Descobertas dos Neurocientistas Equipados com Tecnologia fMRI e Estatística”, porque tais pesquisas ainda estão muito no começo, e o cérebro é complicado demais. Para visualizar as limitações desse tipo de pesquisa, um estudante (vamos chamá-lo de TjZ) examinou uma analogia — um cientista alienígena filma seres humanos para descobrir de que serve a boca, e usa estatística para chegar à conclusão: “Em 95% das vezes que os humanos abrem a boca, eles o fazem para estabelecer algum tipo de comunicação oral. Logo, é possível que sua boca tenha evoluído para a comunicação, e depois o processo de evolução por seleção natural a modificou para ajudar na digestão.” TjZ sabe que a história do homem é o contrário disso. A estatística serve para estabelecer correlações (“abrir a boca” está fortemente correlacionado com “falar”), mas nem sempre serve para estabelecer relações de causa e efeito. Ainda assim, os cientistas já aprenderam umas poucas coisas.

● Crianças já entram na escola sabendo várias coisas de matemática, pois já nascem sabendo. Bebês de poucos meses têm noção de cardinalidade, isto é, de quantos elementos há dentro de um conjunto. Também têm noções de estatística: se um macaquinho toca bumbo quase todas as vezes que o bebê aperta um botão vermelho, então ele acha provável que o macaquinho toque bumbo quando aperta o botão vermelho. “Quando a criança entra na escola”, diz Alexandre Castro Caldas, “ela já consegue contar, perceber o maior e o menor; ela já tem noção de número e de ordem; ela já realiza várias operações algébricas.” Tais habilidades estão sediadas no hemisfério direito do cérebro (com filiais no esquerdo). Nos primeiros anos de escola, a função do professor é explicar à criança como ela pensa, e ensiná-la a descrever seu pensamento com a ajuda de símbolos lógicos. Por exemplo: quase todas as crianças conseguem resolver o problema do cubo pintado (seção 2), desde que o número de subdivisões seja baixo. Um bom sistema de ensino, explica Alexandre, ajuda a criança a interligar melhor os dois hemisférios, isto é, a instalar funções lógicas nas regiões do cérebro responsáveis por decisões intuitivas e criativas, e a instalar mecanismos criativos nas regiões responsáveis por pensamentos lógicos. Se a escola fizer isso bem, o adolescente e o adulto devem resolver o problema do cubo de modo mais genérico, e com álgebra (letras no lugar de expressões e de números).

● Ninguém deve comparar a aprendizagem da língua materna com a aprendizagem de matemática. O estudante TjZ sabe que está mergulhado em linguagem: o dia inteiro, e todo dia, ele diz coisas para outras pessoas e as outras pessoas lhe dizem coisas, ele escreve coisas para outras pessoas e outras pessoas lhe escrevem coisas. (TjZ usa a língua materna para se comunicar mesmo quando está sozinho, pois liga a TV ou abre um livro.) Matemática não é assim e, por isso, aprender matemática está mais perto de aprender uma língua bem diferente do português, como alemão, e de aprender um jogo complicado, como xadrez. (A conjunção “e” se justifica no lugar de “ou”: matemática é uma espécie de linguagem e também uma espécie de jogo.) Para imergir em matemática como já está imerso em linguagem, TjZ tem de resolver problemas de cunho matemático (pode ser questões de vestibular ou problemas de olimpíadas). A função da prática, diz o neurocientista Alexandre, é deixar o cérebro mais “inteligente”, e Alexandre tem uma definição bem técnica de inteligência: “O cérebro gasta muita energia. Quanto mais uma pessoa treina seu uso, menores serão as áreas que estarão envolvidas quando essa pessoa estiver a resolver problemas.”

● Para ir bem na matemática, diz Alexandre, o estudante precisa treinar a memória. “Não tenho mais a menor dúvida: na escola, as crianças precisam fazer teatro, para decorar textos longos, e precisam também decorar a tabuada.” Um exemplo simples: quanto vale (a + b)2? Quem já decorou esse produto notável gasta menos energia para resolver problemas, pois substitui automaticamente a expressão por a2 + 2ab + b2.

stock-illustration-2962179-student-homeworkHoras-bunda. Muita gente diria que uma lista dessas é pouco para reformar o ensino de matemática, mas ela parece incompleta e inconsistente porque os neurocientistas têm se dedicado aos estudos de como aprendemos matemática (cognição matemática) há poucos anos, e têm acesso a tecnologias como fMRI e a programas de computador especializados em estatística há menos tempo ainda. Quase todos os voluntários são adultos, e nenhum neurocientista se arrisca a dizer que o que acontece num adulto acontece do mesmo jeito numa criança. Outro problema, de acordo com Eleanor Robson, professora de história da ciência na Universidade de Cambridge (Inglaterra): esse assunto, como o homem aprende matemática, tem sido uma bagunça. Ele é estudado por sociólogos nos países ricos e por antropólogos nos países pobres; os historiadores se concentram mais na história dos matemáticos de elite, enquanto a história da matemática feita por crianças e por pessoas comuns tem sido estudada por psicólogos. Por último, boa parte da verba destinada a pesquisas sobre cognição matemática tem sido gasta com preditores, jargão usado por cientistas no lugar de uma pergunta: O especialista pode usar quais características de uma pessoa para prever se essa pessoa irá bem na matemática no futuro? Joana Rato, pesquisadora do Centro de Investigação Interdisciplinar em Saúde (em Lisboa), estuda crianças em idade pré-escolar (sob a supervisão de Alexandre), e explica por que tanta gente no mundo inteiro se preocupa com preditores: “A aquisição de competências matemáticas é muito importante para o indivíduo, pois determina seu futuro profissional e acadêmico.” Alguns preditores já conhecidos são:

● Crianças de 2 a 4 anos que brincam com quebra-cabeças depois desenvolvem melhor noção do espaço tridimensional abstrato. Em outras palavras, um adolescente que brincou muito com quebra-cabeças quando era criança, ao resolver o problema do cubo pintado, provavelmente conseguirá girar um cubo imaginário dentro da mente, sem que tenha de manipular um cubo real ou de fazer esboços detalhados.

● Crianças que entendem os bastidores das operações com frações se saem melhor no ensino médio e na faculdade.

● Crianças e adultos com ansiedade à matemática, quando precisam resolver um problema matemático, ativam a amígdala, região do cérebro responsável pelo medo; ao ativar a amígdala, elas ficam com menos recursos mentais para resolver o problema. É um círculo vicioso (fica com medo e não resolve, não resolve e fica com medo), que só um especialista em fobias sabe quebrar.

O recado desse tipo de pesquisa é claro: os adultos devem pôr as crianças para resolver quebra-cabeças na pré-escola; devem dar ênfase ao ensino de frações no ensino fundamental; devem pedir o auxílio de um especialista em fobias quando identificarem um estudante com grave ansiedade à matemática. Alexandre e Joana acham que o professor de matemática deveria conhecer “como funciona o cérebro das crianças”, nas palavras de Alexandre. Profissionais de educação deveriam conhecer os resultados obtidos por neurocientistas, e neurocientistas deveriam se informar sobre o que acontece em sala de aula. “Estamos numa fase de aproximação”, diz Alexandre. “Não há regras.”

Cristina Loureiro, presidente da Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Lisboa, simpatiza com esse tipo de conselho, mas discorda. “Estamos sempre a pensar que o professor deve saber cada vez mais coisas”, diz Cristina. “Isso é visível nos currículos. E agora queremos que ele conheça o funcionamento do cérebro. No fundo, estamos pedindo a um professor que seja uma superpessoa.” Cristina acha que essa atitude surge de uma espécie de preconceito: educar é responsabilidade da escola, ou, mais particularmente, do professor. Isso é mentira. No dia em que o país quiser modificar o ensino da matemática à luz da neurociência, então pais, diretores, técnicos, cientistas, políticos, autores de livros didáticos, editoras, e até editores de publicações jornalísticas tomarão iniciativas que ajudem o professor a realizar seu trabalho em sala de aula — pois educar crianças e jovens é uma realização coletiva.

Como Cristina é uma pessoa muito ocupada, tem a tendência de ser muito prática. Ela diz que, se fosse obrigada a escolher um único problema social no qual trabalhar, tentaria tirar dos pais a ideia de que matemática é para poucos e que, se a criança está tirando notas baixas de matemática, tudo bem. Os pais tendem a dizer: Na matemática sempre fui péssimo, então é natural que meu filho também seja péssimo — os deuses quiseram assim, assim será. “Eles não percebem que deficiência na matemática não é a mesma coisa que deficiência física”, diz Cristina, “e por isso desculpam os filhos muito depressa.” Brian Butterworth concorda com ela, pois costuma dizer: “O único fator estatisticamente significante a distinguir quem sabe matemática de quem não sabe é o número de horas sentado a estudar.” {FIM DA MATÉRIA PRINCIPAL}


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{2}/ O problema do cubo pintado

Problema. Um artesão pintou um cubo de madeira de azul, e depois o dividiu em 27 cubos iguais.

1. Quantos desses 27 cubos têm três faces pintadas, quantos têm só duas, quantos têm só uma e quantos não têm nenhuma?

2. E se o artesão tivesse dividido o cubo azul em 343 cubos iguais? Quantos teriam três faces pintadas, ou duas, ou uma, ou nenhuma?

3. E se o artesão tivesse dividido o cubo em n3 cubos iguais?

Resolução. A professora Cristina Loureiro gosta desse problema porque crianças e adultos, ao resolvê-lo, passam mais ou menos pelas mesmas etapas — e tais etapas refletem tanto a grande história da matemática (aquela que ocorreu com a espécie humana) quanto a pequena história da matemática (aquela que todo dia ocorre com cada ser humano).

Como o estudante (vamos chamá-lo de TjZ) resolve esse problema? Ele arruma 27 cubinhos, e os arranja num cubo maior; ou talvez faça um desenho. Vai notar que, para dividir um cubo em 27 cubinhos, tem de dividir cada aresta em três partes iguais — e vai notar também a coincidência: 27 = 33. Também vai notar que um cubo tem oito cantos, e apenas esses oito cantos podem ter as três faces pintadas. Então TjZ fará uma tabela, pois sabe que uma tabela ajuda a pensar.

Cada aresta foi dividida em quantas partes iguais? Quantos cubinhos com três faces pintadas? Quantos cubinhos com duas faces pintadas? Quantos cubinhos com uma face pintada? Quantos cubinhos sem nenhuma face pintada? Número total de cubinhos?
3 8 12 6 1 27

 

Nesse estágio, basta pegar os 27 cubinhos, empilhá-los num cubo maior, e usar os dedos para contar. Contudo, para dar resposta à pergunta 2, TjZ percebe que esse método funcionaria mal, e também que precisa achar uma fórmula: como correlacionar o número de vezes nas quais divide cada aresta em partes iguais com todo o resto?

TjZ pega 64 cubinhos e monta um cubo em que cada aresta foi dividida em quatro partes iguais. Mais uma vez, nota a coincidência: 64 = 43. Por raciocínio indutivo, chega à conclusão de que, se dividir cada aresta do cubo em n partes iguais, dividirá o cubo em n3 cubinhos. TjZ chama o número de cubinhos de C e chega a duas fórmulas úteis.

Equation-1

 

TjZ também percebe que, no cubo com 64 cubinhos, há oito cubinhos com as três faces pintadas. Nesse problema, esses oito cubinhos com três faces pintadas representam uma invariante, e sempre que matemáticos dos 8 aos 80 anos acham uma invariante, ficam atentos. O número de cubinhos com duas faces pintadas (C2) é o número de vezes em que cada aresta foi dividida em partes iguais (n) menos os cubinhos das pontas (com três faces pintadas), e isso tudo vezes 12 arestas. Mais uma fórmula:

Equation-2

 

No cubo com 27 cubinhos, em cada face há só um cubinho com uma face pintada (C1). No cubo com 64 cubinhos, há 4 cubinhos. No cubo com 125 cubinhos (cada aresta dividida por 5), há 9 cubinhos. Depois de examinar essa questão, TjZ chega ao motivo: C1 é o número de vezes nas quais cada aresta foi dividida em partes iguais, menos os cubinhos das pontas, tudo isso ao quadrado (pois, no centro de cada face, há um quadrado feito com a face dos cubinhos centrais), tudo isso multiplicado por seis faces. TjZ escreve a fórmula:

Equation-3

 

C0, o número de cubos com nenhuma face pintada”, diz TjZ para si mesmo, “é o número de cubos dentro do cubo, onde o artesão não pôde passar o pincel.” Examinando o cubo de 27 cubos, o de 64 cubos e o de 125 cubos, TjZ chega à fórmula para ligar n ao número de cubos internos:

Equation-4

 

Com isso, TjZ preenche melhor sua tabela, e com ela dá resposta às três perguntas do problema. (A última linha vale para n ≥ 3.)

Cada aresta foi dividida em quantas partes iguais? Quantos cubinhos com três faces pintadas? Quantos cubinhos com duas faces pintadas? Quantos cubinhos com uma face pintada? Quantos cubinhos sem nenhuma face pintada? Número total de cubinhos?
3 8 12 6 1 27
4 8 24 24 8 64
5 8 36 54 27 125
6 8 48 96 64 216
7 8 60 150 125 343
n 8 12∙(n − 2) 6∙(n − 2)2 (n − 2)3 n3

 

Diz Cristina Loureiro que o estudante, seja ele TjZ ou qualquer outro, por meio desse exercício mergulha numa investigação matemática bem parecida com as investigações reais; ele examina um objeto da matemática e “culmina seu trabalho na fase de generalização”.

Eis um esboço de prova de que a tabela está correta:

Equation-5

 


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{3}/ Três descobertas feitas com fMRI e estatística

● Ao realizar um trabalho criativo (como pintar um quadro) ou ao resolver um trabalho lógico (como resolver um problema de matemática), ambos os lados do cérebro trabalham intensamente. Nem a criatividade nem a lógica estão sediadas num único hemisfério do cérebro. (Lisa Aziz-Zadeh, Universidade da Califórnia.)

● Pessoas com ansiedade à matemática, mas ainda assim boas de matemática, conseguem se concentrar na tarefa à frente e controlar as emoções negativas. Todo treinamento que ajude uma pessoa a se concentrar e a controlar as emoções terá efeito positivo nas notas de matemática. Entre tais treinamentos, a meditação ganha destaque. (Sian Beilock, Universidade de Chicago.)

● Quando uma pessoa realiza várias tarefas “ao mesmo tempo” (isto é, pula de uma para outra todo instante), não consegue se concentrar o suficiente para aprender coisas complicadas como matemática, e isso vale para jovens e velhos. (Adam Gazzaley, Universidade da Califórnia.) {FIM}


Observação: Publiquei esta matéria na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 20, pág. 56, setembro de 2012. A reportagem é do jornalista Renato Mendes, que na ocasião morava em Lisboa, e por isso a maioria dos entrevistados é portuguesa. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

A garrafa sapiente

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Num programa de auditório, um físico, um matemático, e um astrólogo tiveram de escolher a maior invenção de todos os tempos. O físico escolheu o fogo, que deu à humanidade controle sobre a matéria. O matemático escolheu o alfabeto, que deu à humanidade o primeiro passo em direção à álgebra. O astrólogo escolheu a garrafa térmica.

“Garrafa térmica?”, quis saber o apresentador do programa. “Por que uma garrafa térmica?”

“No inverno, ela mantém os líquidos quentes quentes. No verão, mantém os líquidos frios frios.”

“Sim, mas e daí?”

“Pense um pouco a respeito”, disse o astrólogo. “Como a garrafa sabe?!”

O monstro dentro de mim

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Existe um monstro dentro de mim, e ele é inteligente e egoísta. Se fosse por ele, eu faria tão somente o que lhe dá prazer — passar o dia rindo de piada besta, ou comer 1 quilograma de carne vermelha bem gorda, talvez linguiça, melhor ainda se for linguiça frita em banha de porco. Em resumo, se fosse por ele, eu não estudaria matemática nem mesmo para somar seis com sete. “Se você é incapaz de apreender imediatamente o número de elementos de um grupo de elementos”, o monstro me diz, “então acho que esse número não vai lhe salvar a vida, e se não vai lhe salvar a vida, para que a amolação?”

Costumo dar a mim mesmo presentes bem simples quando conquisto um pouquinho mais de matemática — por exemplo, quando resolvo um exercício difícil ou termino um capítulo de livro. Quase sempre uma xícara de café basta. Outro dia, terminei o capítulo 2 de um livro e tomava minha xícara de café na cozinha quando um pensamento me surgiu:

“E se eu morrer amanhã? Terá valido a pena todo o tempo que gastei com esse livro, com tantos exercícios?”

Não foi a primeira vez que esse pensamento levantou a mão e pediu a palavra. Fiquei ali, bebericando meu café e avaliando minha situação: só fui descobrir que adoro matemática em 2010, aos 43 anos, e, visto que não sou mais menino e tenho de trabalhar, só posso estudar nas horas de folga. De quanto tempo precisarei para aprender cálculo assim? E álgebra abstrata? E teoria dos números? E estatística? E combinatória? Mesmo que viva mais 40 anos, só terei tempo de estudar uma parcela ínfima da matemática já inventada — sem mencionar o fato de que, muito provavelmente, jamais chegarei a provar um teorema inédito.

Só percebi a tramoia quando havia um nó de ansiedade no meu estômago — era o diabo do monstro tentando me convencer a ver TV ou a tirar uma soneca ou a fazer alguma outra coisa da qual ele gostasse mais. Ele é inteligente, mas não é nenhum gênio. Pensei: “A morte não tem nenhum significado, e sim o modo passo cada minuto. Estou gostando de estudar a matemática universitária? Sim, estou. Todo o esforço me parece em vão? Não, não me parece, ao contrário. Então, meu chapa, aproveite o dia.” Terminei o café, dei ao monstro um bombom, e comecei o capítulo 3. {FIM}


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Observação: Publiquei esta carta ao leitor na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 29, setembro de 2012, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

Quanto ao livro que estava lendo na ocasião, Elementary Matrix Theory, de Howard Eves, acabei. Com a experiência de hoje, não recomendo a leitura desse livro sozinho, pois, embora seja bom, é árido demais. Em vez disso, recomendo sua leitura em paralelo com um bom livro de introdução à álgebra linear — por exemplo, Introduction to Linear Algebra, de Serge Lang. Lang vai te mostrar os motivos pelos quais certas matrizes são importantes; Eves vai te dar a competência para manuseá-las como se fossem brinquedos intelectuais.

Um cérebro, duas variações

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{1}/ Dois problemas para começar

Em primeiro lugar, tente resolver os dois problemas a seguir. Não precisará de nada mais que uma folha de papel e uma caneta.

Problema 1. Um leitor mandou, para uma revista, a seguinte análise de um livro que ele havia acabado de ler, de 400 páginas:

“O livro é eletrizante, muito envolvente mesmo! A cada página terminada, mais rápido eu lia a próxima! Não conseguia parar!”

Desenhe um gráfico que represente o número n de páginas que esse leitor concluía pelo tempo decorrido t, mas de modo a refletir corretamente a mensagem do leitor à revista. Não se preocupe com detalhes, mas com a tendência geral do gráfico. Explique brevemente como pensou.

Problema 2. Alguém usou uma torneira de vazão constante para encher uma garrafa que, a princípio, estava completamente vazia. A garrafa, vista de lado, tinha o formato da figura a seguir.

Figura_1

Como varia na garrafa o nível da água ao longo do tempo? Para responder à pergunta, desenhe o gráfico do nível da água em função do tempo. Mais uma vez, não se preocupe com detalhes, mas com a tendência geral do gráfico. Explique brevemente como pensou.


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{2}/ Raciocínio covariacional

Fabio Orfali, professor de matemática no Insper, deu as duas questões da seção acima (entre outras) para alunos do primeiro ano dos cursos de economia e administração — fez os alunos responder às duas questões e a questões semelhantes na primeira aula de matemática que tiveram no Insper. Eles mal haviam conhecido o professor.

“Eu disse aos alunos que respondessem às questões da melhor maneira possível, mas que não se preocupassem, pois a atividade não contava para nota”, explicou Fabio a um grupo de professores presente a um dos Seminários de Educação Matemática, que o professor Nílson José Machado organiza toda sexta-feira na Faculdade de Educação da USP. (O seminário é grátis e aberto a qualquer um que deseje aparecer; veja a programação aqui.) Fabio está interessado na resposta de uma pergunta importante: “Se o aluno desenvolve bem esse tipo de raciocínio covariacional ao longo do ensino médio”, disse à classe de professores, “ou então se ele não desenvolve bem, qual será o impacto disso no primeiro curso de cálculo?”

Explicou brevemente o que pretende dizer com a locução raciocínio covariacional: a capacidade de pensar nas variações de uma magnitude conforme outra magnitude também varia. Pelo modo como os professores reagiram às falas de Fabio, ficou claro por que está interessado na pergunta: é seu tema de doutorado.


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{3}/ A resposta dos alunos

Houve resposta para todos os gostos, como se deve esperar numa classe cheia de alunos com a mais variada história pregressa, inclusive esta a seguir, que se refere à primeira pergunta.

Fig_2

O aluno justificou assim o desenho: “Ao ler a primeira página, o leitor não conseguiu parar mais; logo, seu comportamento é regular e contínuo, sendo representado por uma reta.”

É difícil saber o que se passa na cabeça de uma pessoa, mas, a julgar pelo desenho e pela explicação, o aluno desenhou o gráfico da vontade de saber o que acontece depois pelo tempo — de fato, se uma história é bem contada, a cada página só aumenta a vontade de saber como a história vai se desenrolar. Mas não era isso o que o enunciado pedia.

Outro aluno desenhou algo mais condizente com o enunciado da primeira pergunta.

Fig_3

Esse aluno não escreveu nada para se justificar (embora o enunciado pedisse uma breve explicação), e por isso os professores passaram um tempo tentando entender o que ele quis dizer com a parte constante à direita do gráfico. Estritamente falando, ela significa que o leitor está lendo à taxa constante de 400 páginas por instante de tempo, mas certamente o aluno estava pensando em outra coisa.

Quanto ao problema 2, um dos gráficos foi assim:

Fig_4

Estaria certo se o enunciado pedisse o gráfico do volume de água na garrafa em função do tempo, já que a torneira fornece volume constante o tempo todo. Mas o enunciado pedia nível de água pelo tempo. Um dos professores comentou:

“Nem sempre o aluno percebe que o volume de água pelo tempo é constante, mas o nível da água não é.” Sim, pois o nível da água depende do formato da garrafa. Outro professor perguntou:

“Fabio, como se põe essa garrafa de pé?”

Todos riram.


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{4}/ Fórmulas e tabelas não bastam

Depois que o grupo todo conversou sobre a resposta dos alunos, Fabio quis saber:

“Numa questão como essa, o aluno tem de recorrer a um tipo específico de raciocínio. Como o aluno desenvolve esse raciocínio no ensino médio?”

Vários respondem, de um jeito bem desencontrado:

“Funções!”

Aí Fabio pegou um livro didático do ensino médio e abriu nas páginas sobre funções, e mostrou ao grupo umas poucas páginas.

“Estão vendo? O enfoque maior é lei algébrica e tabelinha. No curso de matemática do ensino médio, o professor e o aluno tratam questões desse tipo de um jeito instrumental, operacional.”

Para quem não está acostumado com palavras como “instrumental” e “operacional”, que são comuns entre especialistas em didática da matemática, eis o que Fabio quis dizer: o aluno vai manipular a fórmula que representa a função, ou vai examinar com cuidado os valores da tabela, mas, provavelmente, não vai pensar a fundo nos fenômenos que a lei ou a tabela representam. Em particular, não vai se dar ao trabalho de imaginar como uma magnitude está variando em função da variação de outra magnitude.

“Esse tipo de pensamento covariacional não é intuitivo”, disse Fabio. “Ele tem de ser desenvolvido na escola. O problema é que, no curso básico de matemática, em geral esse desenvolvimento não acontece.”

Ora, como pode o professor monitorar 40 alunos para saber se estão desenvolvendo adequadamente a própria capacidade de raciocínio covariacional? A maior responsabilidade tem de ser do próprio aluno: ele é protagonista do próprio aprendizado; ele sozinho tem de construir os conceitos matemáticos. (Afinal, já não é mais criança.) O grupo começa a discutir esse problema, e num instante está falando mal de um traço cultural brasileiro que merece pichação.

“Como o aluno estuda história?”, perguntou Fabio. “Ele lê o livro de história. Lê mesmo: eu já vi! Mas como ele estuda matemática? De jeito nenhum — de jeito nenhum! — ele abre o livro de matemática!”

Nesse ponto, uma das professoras culpou os próprios professores de matemática:

“Os professores estimulam esse tipo de relação com o livro didático, porque eles estimulam o aluno a não ler.”

Outro:

“Sim, o aluno aprende a não ler o livro de matemática, porque aprende um monte de truques para extrair as informações do enunciado sem que seja obrigado a ler o enunciado!”

Outro:

“Minha experiência me diz que, numa classe comum de ensino médio, no máximo 10% leem o livro didático de matemática com regularidade.”

Por uns momentos, a classe discute a ideia de que os livros didáticos estão cheios de “ciência passada a limpo”. Muito aluno não faz ideia de que a ciência é uma empreitada confusa, cheia de vaivéns. Por meio do livro didático, com tudo tão arrumadinho, o aluno fica com a impressão de que ciência e matemática são coleções de afirmações ponderosas, as quais ninguém pode contestar, como se fossem as afirmações de uma religião.

Nílson José Machado citou Francis Bacon:

“A verdade nasce mais facilmente do erro que da confusão.” Depois de uma breve pausa: “Se você está errado, está a meio caminho de estar certo!” E então, como fica o aluno? Recorrendo a livros em que tudo está impecavelmente passado a limpo, como pode ficar nesse estado de, digamos, erro potencialmente feliz?


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{5}/ A matemática das variações

Para desenvolver o pensamento covariacional, o estudante deve fazer mais do que simplesmente estudar cálculo. Fabio diz que muito aluno com o curso de cálculo I nas costas não se sai bem ao resolver problemas como os dois na seção 1. “Pesquisas mostram que mesmo alunos que já fizeram o curso de cálculo I têm dificuldade de visualizar e de explicar as variações na taxa de crescimento de uma função.” Esse fenômeno se manifesta de outras maneiras, como estas duas: gente que passa no curso de cálculo, mas não no de pré-cálculo (essa é uma ocorrência comum nas faculdades onde ainda existe o curso de pré-cálculo); gente que passa no curso de cálculo, mas, no de álgebra linear, não entende por que o conjunto de todas as funções infinitamente deriváveis forma um espaço vetorial.

Fabio mostrou que esse fenômeno se manifestou de outra maneira no experimento que realizou no Insper.

Depois daquele primeiro dia de aula no qual o aluno teve de resolver problemas como o da garrafa esférica, ele passou a ter aulas normalmente, inclusive aulas de cálculo I. E por fim fez a primeira prova de cálculo no Insper.

Com base nas atividades do primeiro dia, Fabio classificou os alunos em dois grupos (grosso modo): o grupo com bom raciocínio covariacional e o grupo com raciocínio covariacional imperfeito. Também classificou os alunos em dois outros grupos: o grupo com boa técnica algébrica e o grupo com técnica algébrica imperfeita. (Fez essa classificação por meio de uma avaliação que não está descrita nesta matéria.) Havia de tudo, como é natural, inclusive alunos com com bom raciocínio covariacional e técnica algébrica imperfeita. Assim que os alunos fizeram a primeira prova de cálculo, Fabio usou um pouco de estatística para estudar duas questões:

Existe uma correlação positiva entre bom pensamento covariacional e boa nota na primeira prova de cálculo?

Sim, existe.

Existe uma correlação positiva entre boa técnica algébrica e boa nota na primeira prova de cálculo?

Sim, existe, mas menor.

O grupo de alunos com bom pensamento covariacional tirou nota média de 8,2 (de 0 a 10), contra 6,4 do grupo com pensamento covariacional imperfeito; e o grupo com boa técnica algébrica tirou nota média de 8, contra 6,4 do grupo com técnica algébrica imperfeita. À primeira vista, parece que tanto faz: se o aluno tiver bom pensamento covariacional, vai bem na primeira prova de cálculo, e se tiver boa técnica algébrica, também vai bem. Fabio diz que, muito provavelmente, não é verdade.

Isso porque a nota média do grupo com pensamento covariacional forte, mas técnica algébrica imperfeita, foi maior que a nota média do grupo com técnica algébrica forte, mas pensamento covariacional imperfeito: foi 7,3 contra 7,1. Tais números sugerem que o aluno com pensamento covariacional bem desenvolvido está mais bem preparado para o primeiro curso de cálculo do que o aluno com técnica algébrica bem desenvolvida, embora o ideal seja que o aluno desenvolva bem as duas qualidades.

Aliás, é por isso que o Insper organizou os cursos de engenharia de maneira diferente dos cursos de economia e administração: no primeiro semestre dos cursos de engenharia, o aluno estuda modelagem matemática (o curso de chama “Modelagem e Simulação do Mundo Físico”). Só no segundo semestre ele começa a estudar cálculo propriamente dito, e não com esse nome: o curso se chama “A Matemática das Variações”. Durante o curso de modelagem matemática, o aluno desenvolve bem o raciocínio covariacional, e por causa disso mais tarde acha o curso de cálculo um pouco mais fácil. “Mesmo assim”, diz Fabio, “percebemos que os alunos vindos do ensino médio com o pensamento covariacional bem desenvolvido se saem melhor no curso de modelagem.”


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{6}/ Lugar de cálculo é no ensino médio

Ouvindo Fabio discorrer sobre tais questões, fica-se com a impressão de que ele está estudando, no doutorado, maneiras de melhorar o curso de cálculo na universidade. Não é bem isso.

“Estou interessado em descobrir o melhor jeito de ensinar o cálculo diferencial e integral no ensino médio”, disse Fabio numa entrevista à parte. “Uma escola de ensino médio é o melhor lugar no qual ter o primeiro curso de cálculo.”

Muitos especialistas estão preocupados com este problema: o curso de matemática no ensino médio parece uma colagem meio arbitrária de assuntos. O autor do livro didático explica certo conceito num capítulo e, depois disso, não menciona esse conceito ao longo do resto do livro, de modo que o aluno fica com a impressão de que estudou aquilo à toa. (Por exemplo, o conjunto complementar de um determinado conjunto.) Fabio Orfali e Nílson José Machado estão entre os que defendem um ensino médio no qual o aluno gaste mais tempo com “assuntos estruturantes”, como dizem, isto é, assuntos que exigem a investigação de outros assuntos e que, por isso mesmo, interligam outros assuntos entre si. O cálculo é um desses assuntos estruturantes: ao estudá-lo, o aluno se vê obrigado a fazer a si mesmo perguntas importantes, não necessariamente correlacionadas com o cálculo, e se sente estimulado a ir atrás de respostas. No ensino médio, o professor não precisa nem deve ensinar cálculo em toda a sua glória, tendo Apostol como referência; ao contrário, deve ensiná-lo numa versão mais simples, focada em funções polinomiais.

A história da matemática moderna é, num grau absurdo, a história do cálculo.

É o que dizem os matemáticos James M. Henle e Eugene M. Kleinberg, autores do ótimo livrinho Infinitesimal Calculus. Dizem os dois que, desde a década de 1960, quando os matemáticos inventaram o sistema dos números hiper-reais, não há mais desculpas: um professor pode ensinar o cálculo de forma rigorosa e, ainda assim, intuitiva, talvez até divertida. {FIM}


Fig_5


Observação. Se gostaria de saber como desenhar o gráfico do problema  1 e o do 2, veja as sugestões acima. À esquerda, o gráfico do P1; à direita, o do P2.