Questões mal redigidas: um fato da vida

Se o leitor tem provas de matemática pela frente, prepare-se, pois vai topar com questões difíceis de interpretar ou até impossíveis de resolver.


{0} A famigerada questão 66

Esta é a questão 66 de uma das provas do Enem 2009 — que vazou, isto é, foi ilegalmente distribuída entre estudantes, e por isso a prova inteira acabou sendo cancelada. Tente resolvê-la antes de continuar a leitura.

Questão 66. Segundo a Associação Brasileira de Alumínio, o Brasil foi campeão mundial, pelo sétimo ano consecutivo, na reciclagem de latas de alumínio. Foi reciclado 96,5% do que foi utilizado no mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhão de reais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando, assim, “emprego” e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em muitos casos, serve como complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.

Pergunta: Com base nas informações apresentadas, a renda média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em torno de:

(A) R$ 173,00

(B) R$ 242,00

(C) R$ 343,00

(D) R$ 504,00

(E) R$ 841,00

Fonte: Enem 2009, prova vazada, página 23

{1}/ Prova irretocável custa muito

Saiu no jornal Folha de S. Paulo: no final de 2010, a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo aplicou uma prova para selecionar 20.000 professores temporários, mas errou na composição de 20% das questões, inclusive quatro questões de matemática. Quando aparece notícia assim nos jornais, dois professores de matemática da USP se incomodam.

Antônio Luiz Pereira é um deles, e Severino Toscano do Rêgo Melo é o outro. Antônio se especializou na arte de preparar questões de matemática para provas e concursos, e até dá seminários sobre isso. Toscano dá cursos de matemática avançada para matemáticos, engenheiros e cientistas. No primeiro trimestre de 2010, os dois escreveram juntos uma crítica aos vários erros do Enem 2009 — tanto da prova que vazou quando da prova que, no fim das contas, valeu. Depois dessa experiência, os dois sempre prestam atenção em notícias sobre questões malfeitas ou erradas.

Preparar uma prova irretocável de matemática dá trabalho, é caro, mas é possível, dizem os dois. Contudo, eles dão má notícia para todos os que têm provas e concursos pela frente: é bom se preparar para questões malfeitas. Elas são um fato da vida.

Processo caro. A questão 66 da prova vazada do Enem 2009 serve de exemplo. Ela pode ser lida de quatro formas distintas; para três dessas formas, não há resposta entre as alternativas, e para uma delas, a resposta certa é a alternativa B (veja a seção acima; quanto à resolução, veja a seção 2). “Para resolver a questão 66”, diz Antônio, “o aluno é obrigado a ignorar parte do enunciado e supor que toda a renda mensal dos trabalhadores provém da coleta de latinhas.”

Para produzir questões perfeitas, diz Antônio, é preciso reunir vários tipos de especialistas num comitê. Um engenheiro, um economista, um biólogo, um matemático — quanto mais especialistas, melhor. Se um membro do comitê tem uma boa ideia de questão, propõe a ideia ao grupo. Cada um dá sua opinião e, depois de um tempo, o grupo chega a uma conclusão sobre como a questão deve ser proposta ao candidato. Um dos membros do grupo se compromete a pôr a questão no papel. Num outro dia, alguém distribui a questão já escrita, e os membros do grupo tentam resolvê-la como se a tivessem visto pela primeira vez. O redator da questão fica proibido de dar explicações. Por fim, o autor da ideia, o redator e os outros membros do comitê discutem o que aconteceu.

Poucas instituições conseguem reunir tanta gente boa em tantas reuniões.

Parecer real é difícil. Todo comitê tende a acertar mais as questões de “matemática pura”, como diz Toscano; questões do tipo “ache as raízes da equação x2i = 0” (se quer saber mais sobre números complexos, clique aqui). Mas, principalmente no Enem, os comitês querem escrever questões “contextualizadas”, ou seja, que pareçam tiradas de situações reais. Tais comitês querem saber se o aluno consegue interpretar a história e extrair as informações necessárias para responder à pergunta. “É uma política elogiável”, diz Toscano, ao que Antônio emenda: “Os estudantes do Enem só conhecem a matemática do ensino médio. É muito difícil preparar um problema simples o bastante para ser resolvido com a matemática do ensino médio e complexo o bastante para parecer real.”

É difícil preparar questões impecáveis, mas, mesmo assim, Antônio e Toscano gostam de contar uma estória a estudantes e candidatos. Um dos professores de matemática da USP, Manuel Garcia, nos dias de prova costuma vender dicas aos alunos. Se o aluno quiser comprar uma dica, paga com uma parcela da nota. As dicas mais baratas custam 2 décimos de ponto. Com frequência, os alunos se sentem tentados a comprar uma dica barata. Afinal, se a dica não ajudar muito, pelo menos não compromete a nota final. Às vezes, essa dica barata é: “Leia o enunciado com atenção.” {❏}


{2}/ Resoluções possíveis para a questão 66

[1] Se o estudante presume que os catadores complementam a renda mensal com as latinhas, não consegue responder à pergunta, pois o enunciado não fornece informação sobre a renda mensal, excluindo as latinhas.

[2] Se presume que 11,9 bilhões de latinhas equivalem a 96,5% do mercado, terá de fazer regra de três para descobrir quanto vale 100% do mercado, e não acha alternativa certa.

[3] Se presume que o número “523 milhões” significa 523 milhões de latas reusadas no Brasil, não acha alternativa certa.

A única leitura com solução: O estudante presume que “523 milhões” significa 523 milhões de reais por ano, divide esse valor por 180.000 catadores, acha 2.905 reais por catador por ano, divide esse valor por 12 e, por fim, acha 242 reais por catador por mês. Resposta B.


{3}/ Conselhos para quem presta provas de matemática

(a) Segundo Severino Toscano do Rêgo Melo, existem problemas “mal redigidos”, com matemática boa, mas português sofrível; e problemas “mal formulados”, com matemática sofrível. Todo estudante vai topar com quatro situações, às vezes na mesma prova: questão bem formulada e bem redigida; questão mal formulada e bem redigida; questão bem formulada e mal redigida; e questão mal redigida e mal formulada.

(b) Se o estudante já sabe que tem de escolher uma das respostas (no caso de provas de múltipla escolha), diz Toscano, deve usar as próprias respostas para perceber o que o avaliador quer.

(c) E todo avaliador, mesmo quando escreve uma questão de matemática pura, pressupõe que o aluno sabe algumas coisas. “Sempre existe uma ou outra informação que está implícita. É impossível mencionar tudo.”

(d) “Leia o enunciado como se fosse português, e não matemática”, diz Toscano. Ou seja: tente entender quem está fazendo o quê. “Depois, leia a pergunta. E daí volte para o enunciado e selecione os dados.”

(e) Como é difícil criar questões contextualizadas, que pareçam reais, é provável que o estudante tenha de lidar com questões em que a realidade aparece de modo caricato, do tipo: “Uma pessoa caminha por uma rampa e percebe que se deslocou 3,2 metros.” Quem consegue perceber uma coisa dessas?


{4}/ E se a solução é não haver solução?

Antônio Luiz Pereira costuma dar seminários sobre resolução de problemas para professores de matemática. Vários deles descobrem, durante o seminário, que nem todo problema foi criado para ser resolvido. “Logo no primeiro dia, eu dou um aviso à classe”, diz Antônio. O aviso é:

“Não partam do pressuposto de que o problema tem uma solução certinha.”

Há problemas ambíguos de propósito, e o estudante deve apontar a ambiguidade. Há problemas sem solução, e ele deve provar que é impossível achar uma solução. E há problemas com mais de uma solução. Nesse caso, ele deve decidir o que o avaliador pretende: só uma das soluções ou todas elas? {FIM}


Observação: Publiquei esta matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 2, março de 2011, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações são as que valiam na ocasião.

Florence Nightingale: Como salvar vidas com métodos quantitativos


Florence usou muita estatística para melhorar a saúde pública da Inglaterra. Deu tão certo que quase dois séculos depois especialistas ainda usam seus métodos para melhorar a vida da população.


{1}/ No tempo das enfermeiras bacantes

Uma garotinha inglesa de nove anos, chamada Florence Nightingale, vai até a horta de sua casa colher pepinos, pêssegos, e morangos. Sempre que colhe alguma coisa, toma notas. Depois de meses, examina o caderno cheio de tabelas e anotações e busca formas de organizar os dados da melhor maneira possível. Uns 30 anos mais tarde, trabalha num hospital militar na Guerra da Crimeia (veja a seção 2), onde faz novas anotações. Mas desta vez toma notas sobre mortos, doentes, feridos.

Há alguns anos Eileen Magnello, especialista no trabalho de Florence Nightingale, era como muitas pessoas: sabia que Florence tinha reformado a saúde pública no século 19, e que tinha formalizado o papel da enfermagem, mas não sabia que figurava entre as primeiras a organizar e estudar estatísticas sociais. Aliás, na maior parte da reforma que fez na saúde, usava métodos quantitativos: primeiro para descobrir o que tinha de errado no sistema, depois para convencer políticos a lidar com as descobertas. (O leitor, se quiser, pode trocar “métodos quantitativos” por “estatística”, embora as duas coisas não sejam a mesma coisa.) Ainda hoje, porém, muitos a conhecem apenas como “a senhora da lâmpada”, uma bondosa enfermeira que vagava à noite pelo hospital cuidando dos soldados que lutavam na guerra da Crimeia.

Eileen trabalha no Departamento de Ciência e Tecnologia da University College London (UCL) e só conhece o trabalho estatístico de Florence, pois fez um doutorado sobre Karl Pearson (1884-1936), matemático e fã das ideias e trabalhos estatísticos da enfermeira. Quando conseguiu uma bolsa de pós-doutorado no Instituto Welcome para a História da Medicina na UCL, Eileen explorou melhor o trabalho e a influência de Florence nas estatísticas médicas. “Florence Nightingale é reconhecida e venerada por seu papel na reforma de enfermagem, mas merece mais reconhecimento por usar estatística nessa reforma”, explica Eileen. “Seu trabalho de pesquisa estatística reduziu as mortes evitáveis em hospitais ingleses, sejam militares ou civis. Ela foi pioneira, e transformou a medicina baseada em evidências numa diretriz apoiada por médicos e políticos.”

Combate às estatísticas. Florence era de família rica, porém liberal para a época. Seu pai acreditava que as mulheres deviam estudar, por isso ele mesmo dava a Florence aulas sobre matemática, filosofia, latim. Desde cedo ela demonstrou gosto por números e métodos quantitativos. Eileen escreve num de seus artigos que, aos 20 anos, Florence tinha aulas de matemática com um tutor de Cambridge e ocupava suas manhãs examinando tabelas com dados a respeito de hospitais. Ela acumulava listas e listas de dados, e achava “renovador” olhar para aquele monte de números.

Logo decidiu que queria ser enfermeira, mas sua família não era tão liberal a ponto de apoiá-la nessa decisão. Naquela época, as enfermeiras tinham péssima fama: viviam bêbadas, falavam palavrões, roubavam os pacientes, tiravam sarro quando um deles morria, faziam sexo com os que podiam fazer sexo. Então, até os 31 anos, quando conseguiu sair de casa, Florence passou anos estudando medicina e saúde pública, e visitando sempre que podia crianças doentes e hospitais de bairros pobres.

A Guerra da Crimeia estourou em outubro de 1853. Os jornais noticiavam a história de soldados doentes e feridos que eram deixados para morrer sem nenhum cuidado médico. Florence viu ali uma boa oportunidade de carreira. Mandou uma carta ao amigo e secretário de guerra, Sidney Herbert, pois gostaria de trabalhar nos hospitais militares como voluntária. Sidney tinha tido ideia parecida e a convidou para ser superintendente de enfermagem no Hospital Geral Inglês na Turquia.

Quando Florence chegou ao local, em outubro de 1854, encontrou instalações com pulgas e ratos por todo lado. Além disso, os relatórios de pacientes não eram padronizados e ninguém registrava várias informações essenciais, inclusive mortes. Com os dados que coletou, Florence descobriu que em fevereiro de 1855, por exemplo, 42,7% das pessoas tratadas morreram. Além disso, as pessoas não morriam tanto assim por ferimentos de guerra, mas por falta de higiene, isto é, por conta de doenças que poderiam ter sido evitadas. Ela tinha dinheiro, doado por pessoas e instituições privadas, com o qual melhorou as condições do hospital. Em poucos meses, reduziu a morte de pacientes já tratados de 42,7% para 2,2%.

Após o final da guerra, em 1856, Florence voltou para a Inglaterra e usou estatística para convencer as autoridades de que, em outros hospitais militares, soldados também morriam por doenças evitáveis. Mostrou que a taxa de mortalidade de soldados doentes na Guerra da Crimeia não era muito maior que o número de mortes de soldados na própria Inglaterra — onde havia paz. Aliás, a taxa de mortalidade total das tropas britânicas na Crimeia era apenas 2/3 da mortalidade dos soldados na Inglaterra, ou, em outras palavras, eles estavam morrendo porque viviam em condições insalubres. Eileen conta o que Florence escreveu: “Nossos soldados se alistam para morrer nos quartéis.”

Números convincentes. Florence gostava da pesquisa de campo, de coletar dados antes de tirar conclusões. Mostrou o que hoje parece óbvio: a importância de obter informações sobre o paciente antes de definir um tratamento. Ou ainda a importância de saber por que certo paciente morreu, e se os médicos poderiam ter evitado aquela morte. Ela promoveu a investigação empírica que quase dois séculos depois ainda tem papel fundamental na saúde pública. Hoje profissionais da saúde, pesquisadores, e epidemiologistas usam métodos quantitativos aos montes para aumentar a qualidade de vida das pessoas, encontrar tratamentos para novas doenças, e combater epidemias.

Eileen conta que Florence também popularizou o uso de gráficos para comunicar os dados estatísticos dos hospitais: com os gráficos, conquistaria o apoio de políticos importantes, visto que os políticos da época não tinham o hábito de examinar tabelas de dados. Criou o gráfico polar e até lhe deu um toque feminino. “Foi um projeto artístico arrojado, com fatias e contornos bem definidos”, diz Eileen. “Ela inovou ao usar cores, atribuindo ao gráfico uma individualidade inconfundível.” Se não tivesse criado esse gráfico, que praticamente fala por si, Florence teria mais trabalho para convencer políticos e médicos de que novas políticas sanitárias reduziriam as várias taxas de mortalidade nos hospitais. Ao invés disso, conseguiu mudar até projetos arquitetônicos. As autoridades passaram a projetar hospitais com mais portas para melhorar a circulação do ar e reduzir o contágio por vias aéreas.

Se hoje as estatísticas estão em todo lugar para o bem e para o mal da população, naquela época era bem diferente. “Os políticos usam hoje dados estatísticos para fins eleitorais, muitas vezes para distorcer as informações em benefício próprio. Na era vitoriana [1837-1901, período em que a rainha Vitória comandou o Reino Unido], os políticos negligenciavam as informações estatísticas.” Só se interessavam por estatísticas que lhes mostrassem quantos cidadãos poderiam se alistar no exército ou pagar tributos. Outras pessoas usavam métodos quantitativos no comércio ou em propriedades rurais. Isso levou Florence a sugerir a criação de um departamento de estatística na Universidade de Oxford para que as pessoas aprendessem a coletar e interpretar dados de cunho estatístico. “Mas a ideia não avançou”, diz Eileen, “pois não recebeu apoio de outros acadêmicos.”

Além de diagramas e gráficos, especialistas também usam outra técnica influenciada por Florence: os ensaios clínicos aleatórios. Nesse método, o pesquisador organiza um experimento com mais de uma intervenção e realiza cada intervenção sorteando o paciente ao acaso, isto é, sem escolher o paciente de nenhuma maneira consciente ou inconsciente. Funciona mais ou menos assim: um especialista separa os participantes da pesquisa em dois grupos, grupos cujos membros devem ser escolhidos ao acaso; visto que todos os participantes são de algum modo parecidos (por exemplo, têm propensão a certa doença X), os dois grupos são de algum modo parecidos. Um grupo (o de estudo) recebe o tratamento A; o outro grupo (o de controle) recebe um placebo. Depois disso o especialista compara uma informação estatística num grupo com a mesma informação no outro. Depois verifica se, por exemplo, no grupo de estudo as pessoas apresentaram menos casos da doença X, enquanto as pessoas que receberam o placebo apresentaram mais casos da doença X.

Eileen explica que Florence não pensava em teorias estatísticas como as conhecemos hoje, pois foram criadas depois de sua morte, mas seus trabalhos empíricos influenciaram bastante os especialistas da posteridade. “A introdução da matemática nos métodos quantitativos ocorreu principalmente a partir de Karl Pearson no final do século 19 e de R. A. Fisher na década de 1920. Ambos forneceram a base teórica para as teorias que conhecemos hoje.” Florence não se preocupava com a teoria matemática que pudesse explicar os dados, mas sim com “dados vitais”, como ela dizia: dados que forneciam informações irrefutáveis sobre vida e morte.

Ao longo dos anos, Eileen mudou de ideia sobre o trabalho de Florence Nightingale, pois percebeu que a estatística do século 19 era mais eficiente do que ela imaginava quando começou a pesquisa, há 16 anos. O contato com o trabalho “prodigioso e exaustivo” de Florence faz “muitas de suas ideias estatísticas continuarem relevantes até hoje”. Eileen não pretende guardar o que descobriu nesses anos todos para si mesma. Promete publicar um livro sobre como Florence moldou a própria vida e como encarou suas escolhas a respeito de trabalhos estatísticos. Para Eileen, o assunto é tão universal que planeja escrever um livro tanto para historiadores, estatísticos, e enfermeiros quanto para o público em geral. “Com esse livro quero colocar Florence Nightingale na vanguarda da ciência e da estatística, ao invés de relegar seu trabalho a segundo plano, como tantos autores têm feito. Ela era uma cientista e uma estatística mais competente do que se pensa atualmente. Era muito mais do que apenas a senhora com a lâmpada.” {❏}


{2} Apêndice: A guerra da Crimeia

Em outubro de 1853, o império russo e a aliança dos impérios otomano, francês, e britânico, além do reino da Sardenha, começaram uma guerra pelo domínio ou por maior influência sobre os territórios do decadente império otomano. Os russos perderam a guerra, que terminou em fevereiro de 1856 e deixou 22 mil soldados britânicos mortos. Porém, apenas 4 mil desses soldados morreram em combate ou por ferimentos intratáveis de combate. O restante morreu de doenças causadas pelas más condições sanitárias que Florence Nightingale estudou. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 24, janeiro de 2013, pág. 58. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista com Eileen Magnello foi feita pela jornalista Mariana Osone.

3. Eileen ainda não lançou a biografia na qual trabalhava em 2013, mas não desistiu do projeto.

Como o bom senso sempre nocauteia a matemática


Ninguém tenta dobrar um pires como dobra um cobertor. Nem tenta amassar uma xícara como amassa uma folha de papel. E quando alguém diz que jamais faz coisas assim, diz que é porque tem bom senso, e não porque estudou matemática. Será mesmo?

As pessoas procuram algum tipo de congruência entre os objetos. Em palavras cotidianas, elas procuram ver se os objetos se encaixam.

Andy Isaacs, professor na Universidade de Chicago. Note o garfo no bolso: Andy é um piadista de rosto sério


TODO MUNDO sabe que pode dobrar um cobertor até que fique parecido com um paralelepípedo de tecido, e que pode amassar uma folha de papel até que fique parecida com uma bolinha de papel. “De modo intuitivo”, diz Andy Isaacs, codiretor do Centro para Educação em Matemática Elementar e Ciência da Universidade de Chicago, “todo mundo conhece a ideia de transformação. Toda gente sabe que pode aplicar movimentos e forças aos objetos para modificar sua forma ou tamanho. No entanto, quando vai guardar um grupo de xícaras e de pires, ninguém tenta dobrar os pires ou amassar as xícaras.”

Andy explica: o homem sabe que, ao aplicar forças e movimentos às xícaras e aos pires, fará com que eles mudem de lugar; se aplicar forças grandes demais, fará com que se quebrem em pedaços. (Vamos chamar esse representante genérico da espécie humana de Graco.) “Sabemos que as forças e os movimentos não mudam a forma desses objetos.” Em palavras técnicas, Graco sabe que tais objetos estão sujeitos apenas a transformações rígidas. Como então poderia guardá-los no armário?

Para encontrar a melhor forma, isto é, a que ocupa menos espaço, procura algum tipo de congruência entre os objetos. “Em palavras cotidianas”, diz Andy, “verá se os objetos se encaixam bem uns nos outros.” Se empilhar as xícaras e os pires assim: pires, xícara, pires, xícara, etc., ocupará espaço demais; se empilhá-los assim: pires, pires, …, pires, xícara, xícara, …, xícara, ocupará o mínimo espaço possível. Sem perceber, ao guardar xícaras e pires, Graco usa várias ideias matemáticas: transformações, topologia, otimização.

No entanto, esse mesmo sujeito que guardou as xícaras e os pires no menor espaço possível, e que não tentou dobrar os pires como dobraria um cobertor, nem tentou amassar as xícaras como amassaria um pedaço de papel, talvez diga que é péssimo de matemática. Talvez diga, com os olhos brilhando de orgulho: “Não sei nem somar dois com dois.” Rob Eastaway e Mike Askew, dois professores ingleses, dizem que Graco precisa fazer força para reconhecer que é melhor em matemática do que pensa ou diz. “Os adultos têm a tendência de rotular a matemática que eles conseguem realizar de bom senso”, dizem os dois num texto sobre as relações entre pais e filhos em idade escolar. “Quanto à matemática que não conseguem realizar, eles a chamam de matemática mesmo.” Por meio desse fenômeno comum, Graco atribui todas as suas vitórias ao bom senso e todos os seus fracassos à matemática.

Os preços mais próximos. Além de Andy Isaacs, Philip B. Stark, professor de estatística na Universidade da Califórnia em Berkeley, e Eloiza Gomes, professora de geometria analítica e álgebra linear no Instituto Mauá de Tecnologia, reuniram situações nas quais Graco recorre a raciocínios de cunho matemático, alguns sofisticados, mas rotula tais raciocínios de bom senso.

Num restaurante no qual nunca tinha ido antes, Graco examina o cardápio e escolhe a refeição abaixo:

Entrada com pães e patês: R$ 4,89.

Salada de César: R$ 7,29.

Espaguete à arrabiata: R$ 20,99.

(1) Arredondamentos e somas. Como acha difícil pensar nos preços tais como estão no cardápio, Graco os arredonda: 4,89 vira 5; 7,29 vira 7; e 20,99 vira 21. Ao todo, a refeição lhe custará 5 + 7 + 21, que Graco soma assim: “21 mais 7 é 28, 28 para 30 são 2, e somo a 30 os 3 reais que faltaram de 5 — quase 33 reais.” Ele sabe que, depois arredondar somente uns poucos preços, sua soma deve ficar próxima da soma real (33,17), pois a soma dos arredondamentos é pequena.

(2) Estimativas. Mentalmente, Graco compara os preços deste restaurante com os preços de outros restaurantes nos quais já esteve, para saber se este é mais barato, mais caro, ou a mesma coisa. Acha barato o restaurante em que está, quando comparado com outros restaurantes à la carte. Usou aqui um raciocínio de cunho estatístico: ele conhece um conjunto de números, cujo nome poderia ser “preços que já paguei em restaurantes”, e conhece mais ou menos o preço mais comum (a mediana), o preço mais baixo (abaixo da média), o preço mais alto (acima da média). Depois que terminar a refeição, fará também estimativas sobre custo e benefício: se a refeição for excelente, classificará o restaurante não como “barato”, mas como “baratíssimo”; se for péssima, classificará como “caro”.

Com a equação mais abaixo e o gráfico logo a segui, um matemático modelou o método que Graco usou para fazer os arredondamentos. A linha reta representa a seguinte função: y = x, isto é, o preço que Graco considera (y) é o preço que está no cardápio (x), sem nenhum arredondamento. A linha em escada surge de uma função mais complicada:

Com essa função, o matemático quis dizer: se a parte fracionária do preço no cardápio é menor que 50 centavos, Graco arredonda o preço para o maior número inteiro que seja igual ou menor do que x; se a parte fracionária do preço no cardápio é igual ou maior que 50 centavos, Graco arredonda o preço para o menor inteiro que seja igual ou maior do que x. (Em linguagem um pouco mais técnica: y é igual ao chão de x se a parte fracionária de x é menor que 50 centavos; e y é igual ao teto de x se a parte fracionária de x é igual ou maior que 50 centavos.)

Enfim, com a função y e com o gráfico, o matemático simplesmente colocou no papel, de modo preciso, o método pelo qual Graco raciocinou; contudo, é bem capaz que o próprio Graco, ao examinar a função e o gráfico, diga “Eu não entendo nada do que esses matemáticos escrevem — mal consigo somar dois com dois!”

(3) Frações e porcentagens. Assim que chega ao valor aproximado da refeição, de 33 reais, Graco calcula a gorjeta de 10%, e para tanto usa um método bem simples: 10% de 30 reais é 3 reais, e 10% de 3 reais é 30 centavos; logo, 10% de 33 reais é 3 reais e 30 centavos. Neste caso, o matemático percebeu que Graco usou a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição:

“Neste caso”, diz Andy, “muita gente se atrapalha porque não fixou perfeitamente a ideia de que 10% é a mesma coisa que 10/100, nem fixou a ideia de que 10% de um preço x é a mesma coisa que 0,1 ∙ x.” Andy e Philip dizem que Graco usa raciocínios semelhantes aos do restaurante em muitas circunstâncias distintas.

Por exemplo, ao preparar uma receita. Graco imagina que cada pessoa come 300 gramas de filé mignon; como vai receber dois casais de amigos, considera 400 gramas por pessoa e compra 1 quilo e 600 gramas de filé. Ele faz uma estimativa (que também é uma fração), arredonda a estimativa para cima para acomodar fatores aleatórios (um amigo que resolva bancar o glutão), e multiplica a fração por 4. Graco também mexe com frações e receitas quando modifica uma receita, como lembra a professora Eloiza. Se planeja cozinhar um bolo para seus amigos, mas tem uma receita para três pessoas, precisará dobrá-la para servir seis pessoas (os quatro amigos mais Graco e sua mulher). Se a receita original lhe pede três ovos e duas xícaras de farinha, pode começar com uma fração e multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por 2:

Mentalmente, sem colocar nada disso no papel, Graco vê que precisa comprar seis ovos e quatro xícaras de farinha; ele nem percebe, contudo, que ao modificar a receita usa a ideia de frações equivalentes, ou a ideia mais sofisticada de classes de equivalência aplicadas a frações.

No supermercado, Graco examina duas caixas de sabão em pó, ambas da mesma marca, mas de tamanho distinto. Uma caixa contém 2 quilogramas de sabão e custa 12 reais e 30 centavos; a outra contém 1 quilo e custa 5 reais e 15 centavos. Graco raciocina em termos de preço por quilograma, mas só faz a conta depois de arredondar os valores:

Compra a caixa menor, na qual o quilo de sabão custa ≊5 reais; se precisasse de 2 quilos de sabão, compraria duas caixas menores e economizaria 2 reais. Philip diz que Graco raciocina mais ou menos do mesmo jeito quando vai a um caixa eletrônico retirar dinheiro. O caixa pertence a um banco conveniado com o banco no qual mantém a conta-corrente; como é um banco conveniado, cobra 5 reais por transação.

Graco precisa de apenas 10 reais, mas rapidamente percebe que, caso retire só 10 reais, pagará 50% disso pela transação. Caso retire 20, pagará 25% pela transação. Graco decide retirar 400 reais, e daí acha razoável pagar 5 reais pela transação, pois neste caso o custo da transação fica em apenas 1,25% do valor retirado. “Num caso assim”, diz Philip, “quando o correntista usa a ideia de porcentagem, ele na verdade usa a ideia de valor relativo.”

(4) Probabilidade e estatística. Philip diz ainda que Graco usa muitas vezes ideias que um matemático classificaria como probabilidade e estatística. Por exemplo, quando adoça uma xícara de café. Graco pede o café, um expresso forte, e o garçom lhe traz também uma cestinha com cubinhos de açúcar. Graco joga um cubinho dentro do café e mexe. Será que deve jogar mais um cubinho? “Ele não precisa beber todo o café para saber se está adoçado da maneira que lhe agrada mais”, diz Philip. “Visto que o café já foi mexido, basta um golinho.” A ideia aqui é a de amostra aleatória. Se Graco mexe bem o café, espalha bastante bem o açúcar por todo o líquido. Então, basta examinar uma amostra aleatória (um gole) para saber se o líquido contém açúcar em quantidade suficiente.

É claro que Graco acha essa ideia perfeitamente natural, e acha também desnecessário incluir a expressão “amostra aleatória” na conversa. Contudo, quando um instituto de pesquisa entrevista 2.500 brasileiros escolhidos ao acaso, e descobre que eles já não aprovam mais o governo no poder, Graco fica pensando: Como podem saber o que os brasileiros pensam se entrevistaram só 2.500 pessoas? Como podem saber o que os brasileiros pensam se nunca me entrevistaram? Com um pouquinho mais de treinamento, Graco reconheceria que, assim como basta experimentar só um golinho do café para saber se está doce o suficiente (bom senso), basta sortear 2.500 brasileiros para saber se eles aprovam o governo ou não (matemática).

O matemático imagina um problema semelhante ao do café e ao da pesquisa de opinião: um mágico tem três moedas, duas comuns e uma viciada (com duas caras). Ele sorteia uma das moedas e tira cara ou coroa. Sai cara. Qual é a probabilidade de que tenha sorteado a moeda viciada? Graco não faz ideia, mas o matemático sim: é 50%. O matemático chama de A o evento “jogar cara e coroa com uma moeda de duas caras”, de B o evento “jogar cara e coroa com uma moeda comum”, e de C1 o evento “obter uma cara”, de C2 o evento “obter duas caras”, de C3 o evento “obter três caras”, etc. Com a fórmula abaixo, ele expressa a probabilidade do mágico ter sorteado a moeda viciada visto que, ao lançá-la uma vez, obteve cara.

Neste caso, Pr(A | C1) significa a probabilidade de que tenha escolhido a moeda viciada, visto que, ao jogá-la uma vez, saiu cara; Pr(C1 | A) significa a probabilidade de jogar a moeda uma vez e tirar cara, visto que sorteou a moeda viciada; Pr(A) é a probabilidade de sortear a moeda viciada; Pr(C1 | B) é a probabilidade de jogar a moeda uma vez e tirar cara, visto que sorteou uma das moedas comuns; e por fim Pr(B) é a probabilidade de sortear uma das moedas comuns. Tudo isso é o teorema de Bayes, que por sua vez é, em essência, nada mais que bom senso vertido em linguagem matemática. (Sobre o teorema de Bayes, veja a matéria Doentes Perfeitamente Saudáveis.)

Fazendo as contas com o mesmo método, o matemático rascunha a tabela abaixo:

Questão Valor Termos usados nas contas
Pr(A | C1) 50% Pr(C1 | A) = 1 e Pr(C1 | B) = 1/2
Pr(A | C2) 66,67% Pr(C2 | A) = 1 e Pr(C2 | B) = 1/4
Pr(A | C3) 80% Pr(C3 | A) = 1 e Pr(C3 | B) = 1/8
Pr(A | C4) 89% Pr(C4 | A) = 1 e Pr(C4 | B) = 1/16
Pr(A | C5) 94% Pr(C5 | A) = 1 e Pr(C5 | B) = 1/32

Com a sexta linha da tabela, quis dizer: Qual é a probabilidade de que, tendo jogado a moeda e obtido cinco caras seguidas, o mágico tenha sorteado a moeda viciada? Bem, com o teorema de Bayes, o matemático obtém uma resposta precisa: é de 94%.

Quanto a isso, Graco se revolta, e pensa: Ora bolas, se o mágico jogou cara e coroa cinco vezes, e obteve cara cinco vezes seguidas, então me parece óbvio que escolheu a moeda viciada em primeiro lugar. Isso é puro bom senso! Ninguém precisa recorrer à matemática para salpicar de números um caso tão patente de bom senso!

O estudante mais bem treinado em matemática percebe as falhas no pensamento de Graco. Embora o mágico tenha jogado cara e coroa cinco vezes, e obtido cinco caras seguidas, isso não significa que escolheu a moeda viciada; há ainda 6% de probabilidade de que tenha escolhido uma moeda comum, e 6% é um valor bem grande para que possa ser classificado como 0%. Outra coisa: o bom senso, temperado com matemática, permite ao matemático passar adiante uma informação interessante; essa informação tem a ver com experimentar apenas um golinho de café ou com entrevistar só 2.500 pessoas para saber o que os brasileiros pensam:

“Quantas vezes o mágico precisaria jogar essa moeda para saber, com 80% de certeza, se ele sorteou uma moeda viciada?”

Graco, munido apenas do bom senso, não consegue dar resposta à pergunta; mas o matemático, munido do teorema de Bayes, consegue: três vezes, como mostra a linha 4 da tabela.

Philip Stark diz que Graco usa matemática o tempo todo, sempre rotulada de bom senso: ele converte distância em tempo (leva meia hora para caminhar até a academia, mas leva cinco minutos para ir de carro, mais os dez minutos para achar vaga e estacionar); converte preços totais em preços por unidade de tempo (uma máquina de lavar de 1.200 reais, com cinco anos de garantia, custa 240 reais por ano; uma máquina de 800 reais, com dois anos de garantia, custa 400 reais por ano; isso porque essas máquinas costumam quebrar um dia depois do vencimento da garantia). Eloiza diz até que Graco resolve equações diferenciais, isto é, equações nas quais as variáveis são derivadas de funções: por exemplo, quando calcula até que ponto deve brecar seu carro, visto que o motorista do carro da frente reduziu a velocidade, e a velocidade com que os dois carros se aproximam aumentou.

O estudante pode usar uma imagem para pensar nessa questão: a do escultor. O mármore bruto é o bom senso. O escultor é o processo pelo qual Graco estuda matemática. A escultura é o bom senso aprimorado pelos anos de estudos de matemática: a escultura tem a mesma natureza do pedaço de mármore bruto, que fica em depósitos e em oficinas, mas ela merece um lugar no museu, sobre um pedestal, pois é muito mais bonita. {FIM}

Eis o processo de educação matemática transformando o bruto bom senso em algo mais civilizado

 


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 32, setembro de 2013, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Fabiana Lopes, que na ocasião vivia em San Ramon, Califórnia.

Sim, há uma distância entre as palavras

Foto_Katrin Erk


Katrin Erk, professora de linguística na Universidade do Texas em Austin, bolou um método com o qual pôde transformar o significado de uma palavra numa seta localizada num espaço de dimensão 10.000; com o método, os computadores poderão, por exemplo, procurar documentos na internet com maior eficiência. Teve a ideia depois de perceber que as pessoas sentem duas palavras de significado muito distinto como estando “longe” uma da outra.


{1}/ Introdução à entrevista

522099291Como alguém arrola os significados de uma palavra? Pode recorrer a três métodos comuns na história da humanidade: introspecção, pesquisa, e dicionário. Com o método da introspecção, o sujeito se senta numa poltrona confortável, munido de caderno e caneta, e vai escrevendo todos os significados dos quais se lembra, bancando cada um deles com dois ou três exemplos. É um jeito agradável de passar uma tarde. Com o método da pesquisa, o sujeito reúne umas pessoas e lhes passa um questionário: “Quais são os significados da palavra ‘pintor’? Justifique sua resposta com exemplos.” Desta vez, as pessoas passam uma tarde agradável, e ao sujeito basta depois reunir as respostas num documento. Com o método do dicionário, bem, o sujeito só tem de ler o verbete “pintor”. O Aurélio diz:

pintor

(ô). [Do lat. vulg. *pinctore, por pictore, ‘pintor’, com infl. de pintar.] Substantivo masculino. 1. Indivíduo que sabe ou exerce a arte da pintura. 2. Aquele que pinta: pintor de paredes. 3. Fig. Escritor que narra com grande exatidão. 4. Lus. Indivíduo trapaceiro. Pintor de liso: 1. Pintor de paredes.

E daí um crítico de música um dia escreve: “Ontem, o flautista Fulano de Tal nos pintou uma história na qual todas as portas começam escancaradas, mas vão se fechando uma a uma até que a peça termina em completa angústia.” Isso quer dizer que flautistas também são pintores?

Katrin Erk se especializou em semântica léxica, ou seja, ela estuda como o homem lida com o significado das palavras. Ao longo dos anos, usou vários métodos de pesquisa, mas hoje não acha mais adequado perguntar às pessoas coisas do tipo “Sublinhe no texto abaixo as ocorrências da palavra ‘correr’, e, a cada ocorrência, veja a lista abaixo de significados possíveis e me diga qual significado, dentre aqueles da lista, traduz bem o significado da palavra.”

“É muito interessante ver como as pessoas lutam com essa tarefa”, diz Katrin. “Para elas, isso é difícil. [Katrin imita a voz de um voluntário perdido:] ‘Ah, o significado dessa ocorrência da palavra é bem parecido com o sentido 4 da lista, mas me parece que o sentido 7 também se aplicaria!’ Essa reação é tão comum que passei a me perguntar se não existe algo de fundamentalmente errado com as listas de significados. O problema é que sabemos usar a linguagem, mas não sabemos como ela funciona, e não somos bons de introspecção. A linguagem é tão complexa que nem mesmo um gênio seria capaz de se sentar e, por meio apenas do pensamento, descobrir como ela funciona.”

Então, a partir de 2009, Katrin mudou de estratégia. Passou a usar computadores, com sua fria eficiência mecânica, para arrolar o que as palavras significam, partindo do modo como ocorrem em textos escritos — e os resultados têm sido extraordinários.


{2}/ A entrevista em si

Quando viu que o significado das palavras tinha algo a ver com vetores?

Tentamos muitas abordagens. Em certos momentos, enquanto fazia minhas pesquisas e coletava dados, eu tinha quatro ou cinco modelos matemáticos distintos na cabeça. E uma das primeiras abordagens, distinta das listas, foi a da álgebra linear. Bolamos um método pelo qual converter as respostas de cada pessoa em vetores. [Sobre vetores, veja a seção 4.] Com isso, estávamos em condições de olhar os significados de cada palavra como pontos num espaço euclidiano, isto é, cada vetor representaria um ponto. Feito isso, poderíamos olhar a diferença entre dois significados distintos como sendo a distância entre dois pontos. E daí veio uma pergunta importante: será que, dentro da cabeça das pessoas, esse espaço é mesmo do tipo euclidiano? Ou seria um espaço peculiar, distorcido, no qual não existiria a noção de “a menor distância entre dois pontos é uma linha reta”?

Organizamos experimentos para testar isso, e nossa reação foi: “Uau!” As pessoas foram muito consistentes: podíamos ver os números que elas atribuíram para o significado das palavras como se fosse um vetor, ou como um ponto no espaço, e quanto maior a distância entre dois pontos, maior a diferença de significado. Verificamos até a existência da desigualdade triangular nesse espaço; em outras palavras, a menor distância entre dois significados era mesmo uma linha reta. Então, as pessoas têm na cabeça uma imagem bem consistente do significado das palavras, e “veem” duas palavras de significado semelhante como estando próximas uma da outra. Foi um resultado profundo.

Como chegou a imaginar palavras como vetores?

Vamos supor que alguém diga a frase “ele e seus amigos beberam tesbino demais ontem à noite”. Ninguém sabe o que é tesbino, mas, pelo contexto, dá para saber que é algo de beber; e dá para supor que é alcoólico, pois grupos de amigos costumam pedir bebidas alcoólicas à noite; além disso, se a bebida for alcoólica, sabemos que não se deve beber “demais”. Então, com apenas uma frase, podemos dizer muita coisa sobre uma palavra completamente desconhecida. Por quê?

Isso acontece porque a palavra tesbino está próxima de outras palavras. Existe um contexto. Faz tempo desconfiamos que o homem dá significado às palavras mais pelo contexto do que pelo significado listado num lugar qualquer — por exemplo, um dicionário. Então, o que fizemos, numa descrição bem geral?

Arranjamos bancos de dados com bilhões de palavras; eram textos dos mais diversos tipos, muitos deles obtidos na internet. Depois pusemos um supercomputador para selecionar uma palavra específica, escolhida por nós, e contar a ocorrência das cinquenta palavras antes dessa uma e a ocorrência das cinquenta palavras depois dessa uma. Perto da palavra “vinho”, por exemplo, aparecem palavras como “beber”, “copo”, “vermelho”, “branco”, “mesa”, “árvore”, “computador”, “cordeiro”. Então, para cada palavra que escolhemos, o computador contava a ocorrência de 10.000 outras palavras, que também escolhemos. Com isso, cada palavra gerava um conjunto ordenado de 10.000 números. É claro que podemos ver isso como um vetor num espaço de dimensão 10.000! [Veja a seção 3; o ponto de exclamação é só um ponto de exclamação, e não sinal de fatorial…]

Visto que podemos interpretar um vetor como sendo o lugar geométrico de um ponto, percebemos que muitas palavras, dependendo do contexto em que estavam, se transformavam em pontos próximos uns dos outros. Por exemplo: a palavra “banco”, numa frase do tipo “o banco diminuiu os juros”, ficava perto da palavra “gerentes”, numa frase do tipo “os gerentes do banco diminuíram os juros”. Isso significa que contar a ocorrência das palavras nas cercanias de uma palavra qualquer é semelhante a obter o significado daquela palavra — e sem perguntar nada a ninguém. Chamamos isso de “semântica distributiva”, que tem sido uma linha de pesquisa de sucesso.

Da mesma forma, ao ver as palavras como vetores, ou como pontos, nos permitiu interpretar a distância entre eles como sendo, grosso modo, a distância de significado. Assim, pontos perto uns dos outros significam mais ou menos a mesma coisa; e pontos longe uns dos outros significam coisas distintas.

Essa abordagem se revelou vantajosa. Quando o computador conta a ocorrência das palavras perto de uma palavra qualquer, ficamos dispensados de preparar uma lista bem definida dos significados possíveis dessa palavra, coisa que aliás ninguém sabe fazer direito. Além disso, essa abordagem nos permite fazer várias perguntas interessantes, que a abordagem de lista não dava ensejo.

Vetores permitem quais perguntas sobre palavras?

Quando digo algo do tipo “o significado das palavras pode ser visto como os vetores da álgebra linear”, isso é a mesma coisa que dizer: “Agora posso usar essa extensíssima teoria, chamada álgebra linear, para estudar o significado das palavras!”

A partir do momento em que digo “o sentido de uma palavra é como se fosse um vetor”, tenho condições de fazer perguntas interessantes: O que significa a distância entre dois vetores? Será que a teoria a respeito de tensores de dimensão mais alta tem significado no meu modelo? Visto que posso converter pontos e distâncias em grafos, será que a teoria sobre grafos tem significado no meu modelo? Assim como posso pensar em passeios aleatórios nos pontos de um grafo, posso pensar em passeios aleatórios nos significados de uma palavra?

Então, antes de associar uma teoria matemática a um fenômeno qualquer, as perguntas que fazemos sobre esse fenômeno são meio vagas, meio ambíguas. Mas, quando associamos uma teoria matemática ao fenômeno, as perguntas ficam melhores. O modelo deixa claro o que estou vendo, ele me ajuda a pensar, ele me ajuda a bolar perguntas de sentido extremamente preciso. Isso porque o modelo vem com centenas, às vezes milhares de teoremas. Por exemplo, certos teoremas da álgebra linear me permitem representar um ponto num espaço de dimensão 10.000 com um vetor de dimensão menor; por exemplo, de dimensão 300. Conforme o caso, essas contrações do espaço preservam as distâncias relativas entre pontos. Como posso usar tais teoremas? O que eles me dizem sobre o significado das palavras?

Além disso, uma teoria matemática bem conhecida também nos ajuda com a engenharia. Outras pessoas já criaram programas de computador, algoritmos, e procedimentos — que podemos usar. Vale notar que computadores e álgebra linear nasceram um para o outro…

Daqui a 20 anos estaremos falando com os computadores?

[Katrin faz uma careta do tipo “Eu, hein!? Não sabemos tanto assim!”] Essa ideia nos ocorre porque, para nós, a linguagem parece uma coisa muito fácil. Contudo, ela é um fenômeno incrivelmente complexo.

Especialistas em inteligência artificial classificam a linguagem como um fenômeno “IA-completo”, querendo dizer: para entender perfeitamente a linguagem, uma máquina deve ser tão inteligente quanto uma pessoa, e mais do que isso: ela também deve saber o que uma pessoa sabe. Só que as pessoas sabem muito, mesmo que não percebam. As crianças já sabem que, se soltam um objeto pesado, ele cai no chão; se brincam com água, ficam molhadas. Elas sabem o que é “nadar”, pois já nadaram; elas sabem o que é “azul”, pois já viram o céu. Quando fazemos o computador lidar com linguagem, ele começa numa posição desvantajosa, pois não tem nenhuma experiência de vida.

No entanto, nosso trabalho oferece a base para aplicações interessantes. Por exemplo, com o método da contagem e dos vetores, em tese um computador pode examinar centenas de artigos médicos sobre uma doença qualquer, extrair automaticamente os fatos, e redigir automaticamente conclusões que sejam decorrentes dos fatos.

Você ainda estuda matemática?

Estou sempre lendo sobre álgebra linear, estatística, aprendizado de máquina, grafos, passeios aleatórios em grafos, coisas assim. Estou sempre lendo sobre linguística e psicologia experimental. Mesmo assim, sei muito pouco sobre certas áreas da linguística, como fonologia.

Me formei em ciência da computação, e sei como é pensar profundamente no que um computador significa, no que um algoritmo significa. Para mim, um modelo matemático bem-feito é algo esteticamente prazeroso. Acho legal aquela sensação assim: “Ei! Existe esse mundão supercomplicado lá fora, mas fui capaz de simplificá-lo com esse modelo matemático belo e simples, e graças a isso consigo fazer perguntas pertinentes e precisas sobre o mundão supercomplicado.” É uma alegria, que tento passar a meus estudantes.

Como é sua rotina?

Há coisas que posso fazer sozinha, como as coisas mais teóricas. Há coisas para as quais preciso da ajuda de dois ou três estudantes de mestrado e de doutorado; por exemplo, os modelos computacionais. E há coisas para as quais preciso da ajuda de muita gente. O bom disso tudo é que posso variar bastante minha rotina. O que tenho vontade de fazer hoje? Ler artigos científicos? Escrever programas de computador? Conversar com outros pesquisadores?

Você já usou no dia a dia alguma de suas descobertas científicas sobre linguagem?

[Fazendo careta de ‘não’.] Nééé! Somos incrivelmente bons em usar a linguagem sem que tenhamos de pensar sobre ela. Acho que estou um pouco mais consciente dos muitos significados que uma palavra pode ter, e talvez eu escolha uma palavra pensando nisso, mas, no geral, no dia a dia sou como qualquer outra pessoa. Mas coleciono frases ambíguas publicadas nos jornais, que às vezes uso nas minhas pesquisas. {❏}


{3}/ Como transformar palavras em vetores

Para entender mais ou menos o que Katrin Erk fez, o estudante (vamos chamá-lo de Garcia) elabora um experimento mental simples. Escreve num caderno três frases bem parecidas:

(1) O garoto morreu de amores pelo cachorrinho.

(2) O garoto morreu de dó do cachorrinho.

(3) O garoto morreu de câncer no esôfago.

E depois imagina um conjunto de números ordenados assim: (x1, x2, x3, x4, x5, x6), no qual a variável x1 indica o número de vezes que a palavra “garoto” aparece perto da palavra “morreu”; da mesma forma, x2 representa a contagem de ocorrências de “amores”, x3, de “cachorrinho”, x4, de “dó”, x5, de “câncer” e x6, de “esôfago”. Garcia sabe que pode ver um conjunto ordenado de número como sendo um vetor, e por isso põe lado a lado o vetor que representa a frase (1), que chama de v1, assim como o vetor v2 e o v3.

Equation-1

Com esse método, inspirado no de Katrin, Garcia reconhece que está contando a ocorrência das palavras nas três frases para arrolar automaticamente os significados do verbo “morrer”. Garcia sabe que é impossível visualizar um vetor num espaço de dimensão 6, pois o cérebro humano só consegue imaginar espaços tridimensionais. Então Garcia providencia uma imagem de dois vetores num espaço de dimensão 3, o vetor (1, 0, 5) e o vetor (3, 7, 11), só para olhar para eles e fornecer ao cérebro um apoio ao pensamento.

MSP8791c7562h65325b6c6000025e9h3ggf00b82di

O melhor seria arranjar um computador com recursos gráficos sofisticados, um que mostrasse, de modo compreensível, um vetor em seis dimensões. Mas tudo bem. Feito isso, Garcia vai atrás de calcular a distância entre os três vetores v1, v2, e v3, e para tanto recorre à fórmula usual da distância entre pontos num espaço euclidiano de dimensão 6. Usa a notação d(vi, vj) para denotar a distância entre vi e vj.

d(v1, v2) = √2 ≊ 1,4142

d(v1, v3) = 2

d(v2, v3) = 2

As contas deixam claro que os vetores v1 e v2 estão mais próximos um do outro, e que ambos estão à uma distância maior do vetor v3. Isso combina com o significado da palavra “morreu” nas frases (1), (2), e (3): nas duas primeiras frases, o significado é semelhante; na terceira, é mais distinto.

Bem, foi mais ou menos assim, mas usando vetores com 10.000 dimensões e computadores capazes de organizar tais vetores em conjuntos de pontos, que Katrin conseguiu fazer o computador “examinar” uma afirmação e dizer, com base nela, se a afirmação seguinte era verdadeira ou falsa — e o computador acertou a resposta em 85% das vezes que examinou uma afirmação qualquer.


{4}/ Vetores

Há várias maneiras de definir um vetor; a mais simples delas, usada ao longo desta reportagem, é dizer que um vetor é o conjunto mínimo de números necessários para localizar um ponto num espaço de dimensão n, sendo n um número inteiro positivo, desde que haja um sistema adequado de coordenadas.

O leitor (codinome Garcia) pode localizar um ponto numa reta com apenas um número do tipo (x); exemplos: (2), (-3), (7).

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Garcia pode localizar um ponto num espaço bidimensional com apenas dois números ordenados, do tipo (x, y); por exemplo, (-5, 1).

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E pode localizar um ponto num espaço tridimensional com apenas três números ordenados, do tipo (x, y, z); por exemplo, (1, 2, –3).

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Ou Garcia pode, como também Katrin pôde, localizar um ponto num espaço de dimensão 10.000 com apenas 10.000 números ordenados, do tipo (x1, x2, x3, …, x10.000). Garcia não tem como usar a imaginação para visualizar um espaço de 10.000 dimensões (haja imaginação!), mas pode usar a álgebra linear para manipular tais vetores e dizer, por exemplo, se duas frases têm significado semelhante ou distinto.

Quando Katrin menciona o espaço euclidiano, quer apenas dizer espaços nos quais a menor distância entre dois pontos é uma linha reta; os pontos na superfície de uma bola não servem de exemplo para um espaço euclidiano, pois, na superfície da bola, a menor distância entre dois pontos é um círculo máximo. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 32, setembro de 2013, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Katrin faz questão de ressaltar que não inventou a semântica distributiva, que já existe há uns 20 anos; o que ela fez de novo foi divisar um método pelo qual olhar os vários significados de uma palavra como pontos no espaço. Esse método tem dado resultados extraordinários; veja a lista de artigos recentes de Katrin Erk clicando aqui.

3. Gilbert Strang, um famoso professor de álgebra linear no MIT, escreve no prefácio de Linear Algebra and its Applications: “Acredito que muito mais gente precisa de álgebra linear do que precisa de cálculo. Isaac Newton talvez discorde! Contudo, ele não está ensinando matemática no século 21. Certamente você pode expressar as leis da física muito bem com equações diferenciais, e por isso Newton precisou do cálculo. Tudo bem, entendo isso. Mas o escopo da ciência, da engenharia, da administração, e da vida é hoje muito maior que a física, e a álgebra linear se moveu para o centro do palco, […] embora as universidades ainda não tenham ajustado o currículo para lhe dar a ênfase correta.” Concordo. Acho que o matemático amador deve estudar cálculo com afinco, pois a história recente da matemática se confunde com a história do cálculo; mas deve estudar álgebra linear com afinco ainda maior, pois ela tem papel mais importante no mundo atual — basta lembrar que os computadores fazem sua mágica movidos, em essência, por álgebra linear.

4. Caso queira saber um pouco mais sobre vetores, veja a matéria A Aritmética do Espaço.

Explique por escrito: Como funciona um clipe de papel?

No final de 2016, quando foram divulgados os resultados do Pisa 2015, o leitor descobriu que, mais uma vez, os jovens estudantes brasileiros ficaram entre os últimos colocados. (O Pisa é um programa internacional de avaliação de estudantes de 15 anos, coordenado pela OCDE, uma organização internacional.) Participaram 70 países; o Brasil ficou em 59º lugar em leitura, 66º lugar em matemática, e 63º lugar em ciências. Não pretendo comentar esse assunto, pois suponho que o leitor já leu várias análises sobre o Pisa 2015 nos jornais e na internet. No entanto, acho que as três notas estão interligadas de um modo peculiar.

Falando em termos muito gerais, o adolescente brasileiro não sabe matemática porque não sabe ler e escrever; além disso, não se interessa por matemática porque não se interessa por ciência. Um livro de matemática exige um leitor enérgico, que tem de examinar cada frase com cuidado e muitas vezes, e tem de refazer cada conta, enquanto escreve bastante num caderno de apoio. E as aplicações mais excitantes da matemática são feitas por cientistas — se o adolescente se encanta apenas com os resultados da ciência, mas não com o método científico, ele pode se acomodar no papel de receptor passivo de afirmações científicas. Nesse papel, para que se dar ao trabalho de estudar matemática?

Há muitos anos, quando preciso aprender alguma coisa, providencio caderno e caneta e me preparo para escrever. Vou lendo e pondo no papel, com as minhas palavras, o que acabei de ler, o que me espantou, o que me deixou confuso. Se tento explicar alguma coisa, mas sinto que as palavras fogem de mim, é sinal de que ainda não sei o suficiente — pois, quando já sei, depois de umas horas de trabalho as palavras não resistem e vêm em meu auxílio. Vários professores dizem que esse método, “aprender a escrever, escrever para aprender”, funciona bem. Pelo menos funcionou comigo, e tem funcionado nos meus estudos de matemática.

Muita gente não sabe como começar a escrever. Eis minha a minha dica desta semana: comece explicando como funciona alguma coisa simples, como um clipe de papel. Encare seu texto como um manual de instruções: você vai explicar ao leitor como o clipe funciona e como o leitor deve usar um clipe. Ao longo de uns dias, reescreva sua explicação até que fique ótima, isto é, gostosa de ler em voz alta e com todas as relações de causa e efeito bem organizadas. Dê seu texto para um leitor de teste e veja como ele reage; faça os ajustes que julgar necessários. Parta então para um projeto novo: explique como funciona e como se usa um objeto simples da matemática; por exemplo, a equação da reta ou a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. Depois de repetir tais exercícios algumas vezes (explicar um objeto palpável do cotidiano, explicar um objeto impalpável da matemática), verá que sua capacidade de escrever melhorou, e como consequência sua capacidade de ler melhorou muito mais. {FIM}


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 36, janeiro de 2014, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. Ainda sobre o tema “aprender a escrever, escrever para aprender”, veja os textos Aprender a Escrever, Escrever para Aprender; Para Estudar Bem, Aprenda a Reescrever o Autor; William Zinsser, o Professor Que Nunca Vi; e My Daughter Reads Maths at Cambridge.

3. No segundo parágrafo, note que fiz a distinção entre gostar dos resultados da ciência e gostar do método científico. Muita gente fica encantada ao saber que, segundo Einstein, nenhuma informação pode viajar no universo a velocidade maior que a velocidade da luz no vácuo; assim, se duas pessoas estiverem brincando de cabo de guerra com uma corda de 2 anos-luz de comprimento, e se alguém corta a corda bem ao meio, levará um ano até que cada uma delas perceba que a corda foi cortada. Menos gente para e pensa: “Mas como Einstein sabia disso? Que método ele e os cientistas que vieram depois dele usaram para elaborar essa tese e testá-la?” A escola básica merece elogios se produz estudantes que gostem dos resultados da ciência, mas merece muito mais que elogios se produz estudantes que sejam capazes de usar o método científico.

Mate um vampiro com probabilidade


Nem sempre um analista, neste caso também um caçador de monstros, precisa conhecer os meandros matemáticos de um problema para resolvê-lo.


{1}/ O problema

Um vampiro e uma caçadora de vampiros estão debaixo de um feitiço. (Vamos chamá-la de Lila.) O vampiro vive num castelo com 17 tumbas, mas nunca pode dormir na mesma tumba duas noites seguidas; ao contrário, é obrigado a dormir numa tumba adjacente àquela em que dormiu na noite anterior. Lila, por sua vez, só pode abrir uma única tumba por dia: se acha o vampiro, crava uma estaca no coração dele e lhe corta a cabeça fora; se não acha, por culpa do feitiço, deve esperar o dia seguinte. O que Lila pode fazer para ter a certeza de que matará o vampiro?


{2}/ A resolução do problema

Lila leu uma vez que, ao atacar um problema (e neste caso ela iria atacá-lo mesmo, com martelo e estaca), pode reduzi-lo a uma versão mais simples à guisa de primeiro passo. Foi o que fez: “E se esse vampiro tivesse apenas uma tumba onde passar a noite?” Bolou um sistema de notação em que mostra o número da tumba em que o vampiro V dormiu e o número da tumba que ela abriu — e chamou a si mesma de C, pois é caçadora. Quando os dois números coincidiam, marcou o evento com o símbolo †, que significa: “Uma boa cristã eliminou mais um vampiro da face da Terra.”

V 1
C 1†

Então, com uma tumba, precisaria de apenas um dia para matar o vampiro. “E com duas tumbas?” Rascunhou uma tabela na qual o vampiro começa dormindo na tumba 1.

V 1 2 1 2
C 1†
2 1 2 1
2 2†

Para entender a tabela, Lila a traduziu em palavras: “Se o vampiro começa dormindo na tumba 1, e tenho a sorte da abrir a tumba 1, encerro o assunto. Mas se abro a 2, e depois a 1, e depois a 2, e depois a 1, ficamos assim eternamente. Não posso aceitar isso, pois toda noite ele faz vítimas no vilarejo, além do que preciso da recompensa — afinal, caçadoras de vampiros também têm contas para pagar. Agora, se começo na 2, e não há nenhum vampiro lá, repito a 2 no dia seguinte e mato o vampiro. Lógico! Se abro a 2, e não vejo vampiro, é porque está na 1, e será obrigado a dormir na 2 no dia seguinte.”

Da mesma forma, Lila rascunhou uma tabela para o caso do vampiro começar dormindo na tumba 2.

V 2 1 2 1
C 1 2 1 2
2†
1 1†

“Gozado”, disse Lila para si mesma: “De novo, se abro uma tumba vazia, devo repetir a mesma tumba no dia seguinte. Como será que isso funciona com três tumbas?” Depois de vários rascunhos, Lila percebeu que, com três tumbas, o problema fica mais complicado: o vampiro tem três lugares para escolher onde passar a primeira noite, e, caso escolha a tumba do meio, dois lugares para escolher na noite seguinte. Então, rascunhou as várias possibilidades à disposição do vampiro.

V 1 2 1 2
1 2 3 2
2 1 2
2 3 2
3 2

Na primeira linha, Lila mostrou o vampiro começando na tumba 1 e dormindo depois, como é obrigado, na tumba 2. Ela usou a primeira linha para fazê-lo voltar à 1 e a segunda para fazê-lo dormir na 3. A partir daí, a primeira e a segunda linha coincidem. Na terceira e na quarta, explorou o que aconteceria se o vampiro começasse na 2. Na quinta, o que aconteceria se ele começasse na terceira tumba. Feito isso, Lila ampliou a tabela para incluir suas próprias decisões.

V 1 2 1 2
C 1†
2 1 2
2 3 2
2 2†
2 3 3 2†
3 1 1†
3 1 2 2†
V 1 2 3 2
C 1†
2 2†
2 3 3 2†

Lila desistiu antes de esgotar todas as possibilidades, mas percebeu um padrão: sempre que ela repete uma tumba, acaba achando o vampiro mais cedo. Então, mudou de estratégia, e tentou estabelecer uma rotina de busca que cercasse o vampiro de qualquer jeito, mesmo que ele tivesse acesso à rotina de antemão. Chegou à rotina 2, 2, 2:

C 2 2 2
V 1 2†
2†
3 2†

“Por que, quando repito uma tumba, deixo menos opções ao vampiro?” Lila olhou a tabela um tempão, até que teve uma ideia: tem algo a ver com números ímpares e pares! Como o vampiro só pode se mudar para uma tumba adjacente à que dormiu, se está numa tumba par, tem de ir para uma tumba ímpar, e se está numa ímpar, tem de ir para uma par. “Já sei o segredo!” Lila gritou. “Tenho de sincronizar a sequência de par e ímpar!” Para isso, Lila entendeu que não precisa necessariamente buscar a sequência mais eficiente: basta que vá da primeira tumba à última, repita a última, e volte para a primeira. No caso de três tumbas, rabiscou uma tabela assim:

C 1 2 3 3 2 1
V 1†
2 1 2 1 2†
2 1 2 3†
2 3 2 etc.
3 2†

Feito isso, Lila escreveu a solução para 17 tumbas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Rabiscou várias possibilidades para o vampiro, e em nenhuma delas ele escapa: na melhor das hipóteses (para ela, não para ele), Lila acharia o vampiro no 1º dia. Na pior, no dia 33º.

(Para ver como a perseguição funciona, ponha-se no lugar do vampiro e tente fugir da caçadora. Verá que, por mais que tente, não consegue: se coloca o vampiro numa casa par quando Lila abre uma ímpar, e move o vampiro para uma casa ímpar quando Lila abre uma par, na segunda metade da perseguição, depois que Lila repete a casa 17, você não tem escolha senão sincronizar par e ímpar com a caçadora, e aí escapar se torna impossível. De fato, se há n tumbas, e se Lila abre as tumbas na ordem 1, 2, 3, …, n, n, n – 1, n – 2, …, 3, 2, 1, daí o vampiro consegue sobreviver por no máximo 2n – 1 dias. Aliás, pensando bem, dá para usar a palavra “sobreviver” com o vampiro, visto que tecnicamente falando está morto?)

Mas Lila é uma mulher de sorte, e por isso se perguntou: “Será que posso usar probabilidade aqui?” Pensou em colocar num jarro os números de 1 a 17; toda manhã, poderia sortear a tumba que abriria. “Qual é a probabilidade de que eu escolha a tumba em que o vampiro não está?” Escreveu no caderno a probabilidade: os casos favoráveis (tumbas nas quais o vampiro não está) divididos pelos casos totais (17 tumbas).

Depois, se perguntou qual seria a probabilidade de que sorteasse a tumba em que o vampiro não está dois dias seguidos.

Lila percebeu que, quanto mais vezes multiplica 16/17 por si mesmo, menor fica o resultado da multiplicação — pois, quanto maior o número de sorteios, menor a probabilidade de que não ache o vampiro num dos sorteios. “Qual será a probabilidade de que, por n dias um atrás do outro, eu sorteie uma tumba na qual o vampiro não está?” Lila colocou a fórmula no papel:

Feito isso, quis saber quantos sorteios deveria fazer para ter a certeza de que acharia o vampiro com 99,99% de probabilidade. Depois de umas poucas tentativas, chegou à fórmula:

Com a fórmula, ela disse: o conjunto universo (1), menos a chance de não achar o vampiro em n sorteios, é igual a 99,99%. Desenvolveu a conta e chegou a:

Com a última linha, ela se perguntou: “Devo elevar a fração 16/17 a qual número para que o resultado seja 0,01%?” Descobriu que, com 152 sorteios, é muitíssimo provável que ache o vampiro.

Ficou pensando na diferença entre as duas formas de modelar o problema. Com um algoritmo determinístico, resolve o problema em 33 dias ou menos; porém precisa compreendê-lo perfeitamente, isto é, saber como seus meandros matemáticos funcionam. Com o método probabilístico, é bastante provável que resolva o problema em 152 dias ou menos (bem menos, de fato, pois o vampiro não tem todas as tumbas à sua escolha todos os dias); porém fica dispensada de conhecer seus meandros matemáticos. “A probabilidade me proporciona um método fantástico para fazer previsões e tomar decisões sem que precise conhecer completamente o sistema sobre o qual faço previsões”, escreveu Lila no caderno. “É o que faz o meteorologista.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 62. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. No último parágrafo, Lila começa falando de probabilidade e termina citando o exemplo do meteorologista. Talvez esse salto incomode algum leitor, já que o meteorologista é mais usuário de estatística do que usuário de combinatória e probabilidade. Apesar disso, se quiser pode ver a estatística como sendo o conjunto de métodos pelos quais o pesquisador levanta informações de cunho probabilístico a respeito de sistemas conhecidos apenas parcialmente.

3. Os filósofos profissionais ainda debatem se a aleatoriedade realmente existe no mundo real ou se, ao contrário, é algo que o ser humano vê no mundo real por sua conta e risco. (Resista à tentação de tachar tais debates de inúteis; os argumentos são de excelente qualidade e, enquanto não forem refutados para além de qualquer dúvida, a humanidade não poderá ter certeza quanto à verdadeira natureza da mecânica quântica ou do livre arbítrio, para citar dois exemplos importantes.) Entretanto, como a resolução deste problema sugere, em muitas circunstâncias o estudante pode deixar as inquietações filosóficas de lado e pressupor que a aleatoriedade existe, para então usá-la a seu favor.

Receitas – Despesas = Tempo Livre


A receita de uma empreitada de sucesso é simples: ganhar X, gastar menos que X. E se o cidadão não sabe quanto gastou e ganhou? Ele perde o recurso mais valioso no estoque de qualquer pessoa: tempo.


{1}/ Lágrimas pelo fluxo de caixa

Homem de negócios chora. Francisco Barbosa Neto já viu a cena várias vezes, porque é consultor especializado em empresas à beira da falência. Seus clientes aparecem no escritório, pedem ajuda, e uns dias depois aparecem de novo para o veredicto. Vários preferem ouvir de pé o que Francisco tem a dizer. Depois eles se sentam e choram (no caso dos que choram). “Eles choram de alívio”, diz Francisco, “mas também de raiva.”

Elcio Ferreira foi um deles. Em 2001, ele fundou a Visie, empresa especializada na construção de portais de internet velozes. Quando a Visie tinha dois anos de idade, Elcio pediu socorro a Francisco, porque devia um mês de faturamento para bancos e devia impostos para o governo. Francisco fez as contas e deu o veredicto: a empresa era rentável. Francisco também explicou por que Elcio tinha se metido naquela situação:

“Você não sabe fazer conta de somar e de subtrair.”

Se Elcio quisesse, contudo, sairia daquela situação em dois anos. Elcio chorou de raiva de si mesmo. “Dois anos da minha vida jogados fora.”

A conta de somar e de subtrair, que Elcio não soube fazer, tem um nome técnico difícil: fluxo de caixa. Mas a ideia é simples: todo dia entra e sai dinheiro do caixa da empresa. Alguém deve adicionar o que entrou e subtrair o que saiu, mas, principalmente, alguém deve explicar tim-tim por tim-tim por que sobrou ou faltou dinheiro no caixa. Apesar da simplicidade, 60% das empresas vão à falência em menos de seis anos porque não há ninguém na empresa providenciando explicações tim-tim por tim-tim para os lançamentos do fluxo de caixa. Quando o empresário perde o controle sobre o caixa, ele perde dinheiro sem perceber, e daí uma coisa curiosa lhe acontece: seu tempo some. Se ele vai à falência, diz Francisco, não é porque lhe faltou dinheiro, mas porque lhe faltou tempo para repor sua vida no lugar. Elcio aprendeu sua lição e agora recomenda: todos deveriam aprender a controlar o fluxo de caixa, inclusive pessoas comuns, que vivem de salário. (Se um assalariado perde o controle sobre o caixa, ele se mete em dívidas, e passa a trabalhar demais para pagar o que deve: seu tempo também some.) “Com os conceitos certos na cabeça”, diz Elcio, “dá para interpretar a realidade usando uma matemática bem simples.”

O lucro de direito. Todo empresário, diz Francisco, enfrenta a situação resumida na tabela 1 (mais abaixo). No mês atual, o empresário JJ (vamos chamá-lo assim) vendeu mercadorias à vista no valor de 20.000 reais. Vendeu também mercadorias a prazo no valor de 50.000 reais, mas combinou com o cliente: JJ entregaria metade da mercadoria no mês 2 e a outra metade, no mês 3. O cliente, por sua vez, pagaria 10.000 reais no mês 2, 20.000 no mês 3 e 20.000 no mês 4.

Mas JJ tem um custo fixo mensal de 1.875 reais, quer ele venda quer não venda. Além disso, para produzir qualquer coisa, ele gasta 25% do preço da mercadoria com custos variáveis, ou seja: para produzir a mercadoria que ele vendeu à vista, ele precisa gastar 5.000 reais; para produzir a mercadoria que ele vendeu a prazo, ele precisa gastar 6.250 reais no mês 1 (e preparar a primeira metade da encomenda para o mês 2) e outros 6.250 reais no mês 2 (e preparar a segunda e última metade da encomenda). A tabela mostra as consequências dessa história: se nada mudar, no mês 1 JJ ficará com o caixa negativo em 8.125 reais; além disso, a partir do quinto mês, ele volta a arcar sozinho com o custo fixo de 1.875 reais por mês.

Tabela 1

Mês 0 (atual)

Mês 1

Mês 2

Mês 3

Mês 4

Vendas à vista

20.000

Vendas a prazo

+10.000

+20.000

+20.000

Custo fixo

-1.875

-1.875

-1.875

-1.875

-1.875

Custo variável

-5.000

-6.250

-6.250

SALDO

13.125

-8.125

+1.875

+18.125

+18.125

“Sabe o que o brasileiro faz, em geral?” Francisco faz a pergunta e já conta a história típica: JJ montou todo o negócio para gerar lucro de 10% sobre o preço de venda ao consumidor. Então, se ele fez uma venda de 20.000 reais à vista e outra de 50.000 reais a prazo, ele se sente no direito de embolsar 7.000 reais na primeira oportunidade. No fim do mês atual, quando ele topa com os 13.125 reais sobrando no caixa, fica todo feliz e faz as contas: pode gastar 7.000 reais com mimos para si e para a família, e 6.125 reais com coisas importantes para a empresa, tipo novos extintores de incêndio. “Ele compra um iPad para as crianças.”

No fim do mês 1, ele não tem como cobrir os 8.125 reais negativos. Mas tem um bom acordo com o banco: se emite um cheque especial sem fundos, o banco cobre o saldo negativo e parcela o valor do cheque em dez vezes, com juros de 8,79% ao mês. Sem burocracia, sem visitas ao gerente do banco, sem papelada para assinar. Então, é isso que JJ faz: assina um cheque especial de 8.125 reais, paga as contas do mês, e dorme em paz.

As consequências dessa decisão estão na tabela 2. A partir do mês 2, JJ passa a pagar a prestação daquele cheque especial, de 1.254 reais por mês. Ele não se importa muito, porque o cliente que comprou a prazo paga em dia. A partir do mês 5 (se nada mudar), ele não terá receita de nenhuma venda. Vai arcar com o custo fixo, de 1.875 reais, e com a parcela do cheque especial, de 1.254 reais; o caixa vai ficar 3.129 reais negativos. E no sexto mês também. E assim por diante.

Por causa daquele cheque especial de 8.125 reais, ele vai pagar 1.254 reais por dez meses, ou seja, vai gastar ao todo 12.545 reais. Portanto, só de juros, ele vai gastar 4.420 reais (12.545 menos 8.125). De onde esse dinheiro tem de sair? “Do lucro”, diz Francisco. “Juros a gente sempre tira do lucro.” Ou seja: 7.000 reais de lucro menos 4.420 reais de juros, o lucro real dessa situação toda é de 2.580 reais. Mas agora é tarde: JJ tirou 7.000 reais já no mês 0.

Tabela 2

Mês 0 (atual)

Mês 1

Mês 2

Mês 3

Mês 4

Vendas à vista

20.000

Vendas a prazo

+10.000

+20.000

+20.000

Custo fixo

-1.875

-1.875

-1.875

-1.875

-1.875

Custo variável

-5.000

-6.250

-6.250

Saldo parcial

13.125

-8.125

+1.875

+18.125

+18.125

Cheque especial

+8.125

-1.254

-1.254

-1.254

SALDO TOTAL

13.125

0

621

16.871

16.871

Depois de uns meses de decisões parecidas com essa, JJ está à beira da falência. Ele passa cada vez menos tempo cuidando da empresa e cada vez mais tempo cuidando da “fábrica de dinheiro”, como diz Francisco: arrumando a papelada para tomar emprestado de um banco e pagar o que deve a outro banco. Principalmente, ele passa um tempão cuidando da antecipação de recebíveis. Ele faz uma troca com o banco: dá ao banco o direito de cobrar tudo o que seus clientes devem lhe pagar ao longo dos próximos meses; em troca, o banco lhe adianta o dinheiro a receber dos clientes, mas o empresário assume uma dívida com juros de 4% ao mês. Antecipação de recebíveis é uma operação comum no Brasil. Ela dá trabalho porque o empresário precisa provar que os clientes lhe devem de forma legal, e que pagam em dia.

Apesar de todo o tempo desperdiçado dentro da fábrica de dinheiro, seu contador lhe diz que seu negócio dá lucro e que, portanto, ele deve pagar os impostos relativos a um negócio rentável. (O poder público não quer saber se ele está torrando o lucro com juro.) Aí ele procura consultores como Francisco, fuzilando de raiva.

Dinheiro na mão não é vendaval. Todo mês, Francisco trabalha para uns trinta clientes. As primeiras lições são sobre o fluxo de caixa. O empresário JJ deve colocar numa planilha tudo o que ele espera ganhar e gastar nos próximos meses, se possível nos próximos dois anos (veja uma lista típica na seção 2). Essa planilha tem nome: previsto versus realizado. Se JJ tivesse feito uma tabela parecida com a tabela da seção 2, teria avaliado sua situação melhor, e não teria caído na situação retratada na tabela 2. No mínimo, ele teria procurado um empréstimo mais barato que o cheque especial. “Muitas despesas numa empresa são previsíveis”, diz Francisco. “Por exemplo: se você contrata um funcionário, será obrigado a lhe pagar o décimo terceiro salário, e terá de lhe dar férias depois de um ano.” Tudo isso deve ir para a planilha imediatamente. Curiosamente, muita gente, inclusive empresários, não se prepara para despesas previsíveis.

Na Visie, Elcio não poupava o dinheiro do 13º dos funcionários. Quando chegava a hora de pagar a primeira parcela do 13º, em novembro, ele tinha de tomar emprestado de bancos; e a história se repetia em dezembro, com a segunda parcela. “O saldo no banco era insuficiente para pagar as contas”, diz Elcio. “Então, nós postergávamos todas as coisas pequenas.”

A segunda lição de Francisco é sobre isso: coisas pequenas têm essa propriedade de se transformar em coisas grandes. O banco entra na jogada, e com o banco, o juro entra nas contas, e aí todo probleminha em poucos meses se transforma numa gárgula.

Então, diz Francisco, JJ deve controlar o fluxo de caixa. Toda receita e todo pagamento deve entrar na planilha. Se ele precisa pagar contas, mas o caixa do dia está negativo, ele tem alternativas: atrasar o fornecedor, penhorar joias, vender o carro, antecipar os recebíveis. “Ele não precisa imediatamente sacar o talão de cheques especiais.” E se sobrou dinheiro no caixa, ele precisa entender a lição mais importante de todas: provavelmente, aquele dinheiro não é dele. Aquele dinheiro será necessário para cobrir um dia ou um mês ruim lá na frente. Esse dinheiro para pagar as contas quando o caixa está negativo tem nome: capital de giro. “Ou o capital de giro sai do colchão, ou sai do lucro, ou sai do banco.”

Mas e o lucro? As pessoas não montam empresas para ter lucro? As pessoas não trabalham para ganhar seu salário no fim do mês? Elas não têm o direito de usar o lucro ou o salário para comprar iPad’s para as crianças?

“O que os empresários só vão entender quando é tarde demais”, diz Francisco, “é que o que sobra no caixa é liquidez, e não lucro. Lucro é um sonho de verão.” Se JJ faz uma venda em seis parcelas, ele só verá o lucro depois que o cliente quitar a última parcela. Ele não deve retirar o lucro antes; o cliente, por algum motivo, talvez lhe dê calote. Como mostra a tabela 2, se ele tira o lucro antes, terá de entrar no banco de chapéu na mão. “Tudo o que ele paga pela antecipação de recebíveis ele deve tirar do lucro”, diz Francisco. “Mas muita gente não tira. Muita gente paga 4% ao mês pela antecipação de recebíveis e ainda assim acha que tem lucro.”

Paixão rende dinheiro. Elcio chorou quando viu a primeira versão da planilha com o retrato da Visie. Isso foi em 2003, e ele empregava só três funcionários. Ele precisou de dois anos para arrumar a empresa, e já em 2011 empregava 15 pessoas, estava na terceira sede, e de 2005 a 2011 o faturamento da Visie cresceu seis vezes (ou seja, 500%). “Em 2011, pela primeira vez na história da Visie”, diz Elcio, “pudemos dividir com os funcionários os lucros de 2010.”

O que ele aprendeu de mais importante?

É preciso estudar até que ponto cada produto ou serviço rende dinheiro à empresa, ou seja, estudar a margem de contribuição de cada um deles (veja a seção 4). Antes da gestão firme sobre o fluxo de caixa, a Visie dava cursos técnicos para clientes. “A sala de cursos vivia lotada”, diz Elcio. Os cursos movimentavam muito dinheiro, mas a margem era pequena e, pior do que isso, Elcio ocupava muito de seu tempo preparando aulas, corrigindo provas, assinando diplomas. Nas planilhas que Francisco lhe apresentou, havia uma solução contraintuitiva. Elcio deveria fechar o setor de cursos e gastar o tempo extra com atividades mais importantes, de maior margem — que são sempre, diz Francisco, as atividades pelas quais o empresário é apaixonado. Ele fará essas atividades muito bem e poderá cobrar mais; os clientes, diz Francisco, tendem a pagar mais por serviço bem-feito. Elcio seguiu o conselho: fechou o setor de cursos e se concentrou em portais de internet de altíssimo desempenho, como o portal Bebê Johnson’s, capaz de receber 27 milhões de visitas por dia. “É melhor assim para nós, que trabalhamos mais satisfeitos”, diz Elcio, “e para o cliente, que é bem atendido.”

Antigamente, Francisco trabalhava no risco, ou seja: se ele acertasse a situação da empresa, ganhava uma porcentagem sobre a receita por uns meses. “Não faço mais isso”, diz Francisco. “Ao contrário: se a situação da empresa estiver muito ruim, cobro adiantado.” Aconteceu várias vezes com antigos clientes: quando a empresa começava a melhorar, o cliente passava a implicar com Francisco e sua porcentagem mensal. “Veja só”, diz Francisco. “Assim que eles começavam a sair do buraco, já consideravam a ideia de me dar calote.” {❏}


{2}/ Apêndice: A planilha do fluxo de caixa

Os anos se repetem, e as despesas também. Não há por que ser pego de surpresa, no trabalho ou na vida. A planilha abaixo deve ser revista todo dia. Com pequenas adaptações, ela também vale para pessoas comuns.

VALOR EM REAIS
DISPONÍVEL INICIAL

(vindo do dia ou do mês anterior)

ENTRADAS

VENDAS À VISTA

VENDAS A PRAZO

OUTRAS ENTRADAS

ANTECIPAÇÕES

DESMOBILIZAÇÕES

EMPRÉSTIMOS

TOTAL DE ENTRADAS
SAÍDAS

IMPOSTOS INCIDENTES S/ VENDAS

COMISSÕES

PROPAGANDA

CUSTO DE MERCADORIA

CUSTO DE MATÉRIA-PRIMA

CUSTO DE SERVIÇOS

MÃO DE OBRA

MATERIAL DE CONSUMO

ÁGUA

ALUGUEL

ENERGIA

TELEFONE

IPTU

MANUTENÇÃO PREDIAL

MANUTENÇÃO DE EQUIPAMENTOS

GERAIS

PRESTAÇÃO DE SERVIÇO

TAXAS / CONTRIBUIÇÕES

PRÓ-LABORE

IMOBILIZADO

EMPRÉSTIMO

BANCÁRIAS

TOTAL DE SAÍDAS
DIFERENÇA DO DIA (E – S)
SALDO CAIXA FINAL

(para transferir para o próximo dia ou mês)

 


{3}/ Apêndice: Poupar, confiar na sorte, ou passar um cheque especial?

Muitas das despesas feitas por uma empresa são previsíveis. Essa é uma ideia fácil de entender — e ela vale para pessoas comuns. Se uma pessoa pagou 1.500 reais de IPTU em fevereiro deste ano, ela vai pagar uns 1.500 reais de IPTU em fevereiro do ano que vem — quanto a isso, não há escapatória. A tabela mostra os três cenários possíveis (a partir de fevereiro, quando a pessoa pagou o IPTU): confiar na sorte, usar o cheque especial, ou poupar desde já.

TRÊS CENÁRIOS A ESCOLHER

IPTU de 1.500 reais, a vencer em fevereiro do ano que vem, com 6% de desconto no caso de pagamento à vista

Preço do cenário em reais
Pagar à vista se houver dinheiro disponível na conta. 1.410
Depositar desde já um pouco por mês, numa caderneta de poupança com juro de 0,5% ao mês. 1.368
Usar o crédito do cheque especial, parcelado em dez vezes, com juro de 8,79% ao mês. 2.180

 

A diferença entre o cenário mais caro e o mais barato é de 60%. O risco do cenário mais barato é o menor de todos: se o sujeito poupar 114 reais na caderneta de poupança, ele certamente terá o dinheiro para pagar o IPTU do ano que vem à vista.

As fórmulas do IPTU no cheque especial. Se a pessoa usar o cheque especial para pagar o IPTU à vista (1.500 reais com desconto de 6%, que dá 1.410 reais), vai assumir um empréstimo de dez prestações mensais, com juros de 8,79% ao mês. Para calcular o valor da prestação mensal PM:

PM = VX · CF

Nessa expressão, VX é o valor a financiar (neste caso, 1.410 reais) e CF é o coeficiente de financiamento, cuja fórmula é:

equation-6

Em que i é a taxa de juros por período (8,79% ao mês) e n é o número de períodos (10 meses). Fazendo as contas:

equation-7

Então, a prestação mensal desse empréstimo será de 218 reais.

As fórmulas da poupança para o IPTU. Para saber quanto capital C a pessoa precisa depositar na poupança todo mês para, depois de n meses, ter o dinheiro disponível DD desejado, ela usa a fórmula:

equation-8

Em que i é a taxa de juro da poupança (de 0,5% ao mês) e n é o número de períodos, ou o número de vezes que a pessoa vai depositar o capital na poupança (12 meses). Fazendo as contas:

equation-9

Depositar 114 reais por mês durante um ano significa depositar ao todo 1.368 reais.

Observação: As contas ficam mais complicadas do que isso caso queira considerar não apenas juro, mas também inflação, isto é, caso queira trabalhar com juro real (com a inflação já descontada). Contudo, se está preocupado com o orçamento da casa ou de uma empresa pequena, não precisa complicar: simplesmente divida 1.410 reais por 12, o que dá uns 118 reais por mês, e deposite 118 reais por mês numa poupança dedicada ao IPTU do ano que vem. Quando chegar a hora de pagar o IPTU, talvez tenha um pouco a mais do que o necessário na poupança, ou um pouco a menos, mas certamente terá condições de fazer um ajuste de uns poucos reais.


{4}/ Apêndice: O que é a margem de contribuição

A margem de contribuição (MC) é o preço de venda (PV) menos todas as despesas variáveis (Dv):

MC = PV – Dv

Note que a margem de contribuição é calculada só com as despesas variáveis, e não com as fixas. Contudo, o empresário deve calcular tudo com cuidado para que a margem de contribuição contribua para cobrir as despesas fixas e gerar o lucro (daí vem o nome). Numa empresa com vários produtos e serviços, cada um deles terá margem de contribuição distinta. O segredo é montar um cardápio inteligente de produtos e serviços.

Em outras palavras:

PV = Dv + MC

Quem trabalha no setor de serviços deve entender uma ideia importante: algumas empresas tiram produtos do estoque para vendê-los, mas empresas de serviço tiram horas de trabalho do estoque. Se um funcionário passa uma hora à toa, essa hora vai na linha das despesas fixas. Se ele passa uma hora trabalhando para algum cliente, essa hora vai na linha das despesas variáveis. Uma empresa de serviços precisa estudar como cada funcionário emprega seu tempo antes de calcular a margem de contribuição de cada serviço; só então ela será capaz de calcular corretamente o preço a cobrar do cliente. {FIM}


Observação: Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 3, abril de 2011, pág. 42. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.