O que os olhos não veem, o raciocínio revela

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O que é matemática? Muita gente responde algo na linha “é a ciência dos números”, e então dá uns poucos exemplos tirados da aritmética básica. Nesta reportagem, professores exploram a ideia de que a matemática permite ao homem ver coisas que, sem matemática, permaneceriam encobertas — como quando cientistas brasileiros viram, no corpo humano, objetos matemáticos comuns na transmissão digital de dados.


Bird Toy


{1}/ Passarinhos, eleições, e a catedral de Brasília

“Você já viu um daqueles passarinhos que podemos equilibrar pelo bico?” Quem pergunta é Juliana Costa Camargos, professora de matemática de dois colégios bem conhecidos de Belo Horizonte (MG): Pitágoras e Bernoulli. Ela se refere a um brinquedo, um passarinho de papel ou plástico; basta apoiar o bico do passarinho num dos dedos e todo o resto de seu corpo fica parado no ar, como se estivesse flutuando. “Muita gente, quando vê aquele brinquedo pela primeira vez, exclama: Como isso é possível?!”

Para esboçar uma resposta, o estudante (vamos chamá-lo de tU7) precisa pedir uma ajuda para o resto da humanidade, pois tem de recorrer a informações que os físicos coletaram nos últimos quatro séculos. Segundo o princípio da gravitação universal, todos os corpos com massa se atraem mutuamente. Caso tU7 chame de F a força de atração entre dois corpos de massa m1 e m2, e chame de d a distância entre eles, pode calcular a magnitude da força F com a fórmula a seguir:

Equation-1

Nessa fórmula, G é a constante gravitacional; ela vale 6,672 ∙ 10−11 Nm2/kg (N significa newton, uma medida de força). Mas o que tU7 precisa entender aqui é, simplesmente, que a Terra atrai todos os corpos para si (em razão de sua massa), de modo que, no caso de um objeto específico, a força de atração mútua depende da massa do objeto e da distância entre o centro de gravidade do objeto e do centro de gravidade da Terra. Ora, eis as palavras-chave, que tU7 escreve no caderno dentro de um retângulo vermelho: centro de gravidade.

Todas as forças gravitacionais que atuam sobre um objeto se somam e se cancelam de modo complexo, e no fim das contas é como se uma única força resultante atuasse sobre um único ponto fixo do objeto, cujo nome é centro de gravidade. (Na verdade, é centro de massa, mas os dois com frequência coincidem.) Todo o peso do objeto se manifesta nesse ponto fixo, de modo que, se for possível apoiá-lo nesse ponto, no centro de gravidade, ficará em equilíbrio. À guisa de exemplo, tU7 calcula o centro de gravidade de um triângulo, seguindo as instruções da professora Juliana. Num triângulo feito de material cuja massa se distribui uniformemente, o centro de gravidade coincide com o centroide. “Para achar o centroide”, diz Juliana, “basta traçar as medianas do triângulo. O ponto de equilíbrio estará no encontro das medianas.” (Veja a figura 1.)

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Fig. 1

Ninguém vê o centroide de um triângulo, mas, como tU7 conhece a fórmula para achá-lo, pode descobrir onde é, e equilibrar o triângulo inteiro na ponta de uma caneta. Ninguém vê o centro de gravidade do pássaro equilibrista, mas, como tU7 conhece um pouco de cálculo diferencial e integral, pode projetar um pássaro de plástico cujo centro de gravidade fique bem na ponta do bico, e daí poderá equilibrá-lo na ponta do indicador esquerdo. Keith Devlin, um matemático anglo-americano, costuma dizer: “A matemática nos ajuda a converter o invisível em visível.” tU7 não pode ver a gravidade, mas, conhecendo sua fórmula, pode até vencê-la; tudo o que tem a fazer, por exemplo, é construir um foguete cujo sistema de propulsão empurre o foguete para cima com força superior à força para baixo, que é exercida sobre o foguete pelo planeta Terra.

Devlin cunhou a frase “a matemática torna visível o invisível” porque, desde 1997, tem se esforçado para mudar o modo como o público em geral vê os matemáticos e, por tabela, a matemática. Eis uma caricatura comum, segundo Devlin:

O matemático se concentra em matemática porque ela é previsível, porque sempre há uma resposta certa que pode verificar no fim do livro, porque gosta de obedecer a regras bem estritas, porque ela lhe permite escapar da vida cotidiana para se exilar num mundo que não tem nada a ver com o cotidiano, e porque a matemática não requer criatividade, virtude que aliás o matemático não tem.

“Não sou eu quem diz isso”, disse Devlin uma vez, num discurso. “É uma parcela importante da sociedade.” (Veja a íntegra do discurso aqui.) Ele tem uma receita para combater caricaturas como essa: todos aqueles que gostam de matemática precisam se esforçar para espalhar uns poucos slogans melodiosos, fáceis de lembrar, e que revelem o que é e para que serve a matemática. “A matemática torna visível o invisível” é um desses slogans. Quem disser isso, precisa em seguida dar um ou dois exemplos, como o do pássaro equilibrista; Devlin acha que os exemplos precisam ser bem sacados, pois há muito em jogo. “Entendi”, escreve tU7 no caderno. “Posso não saber perfeitamente o que é gravidade, gravitação, força gravitacional, etc. Mas, se consigo expressar essas coisas por meio de fórmulas matemáticas, é como se as visse; e tal visão é tão precisa que, mesmo não sabendo explicar o que elas de fato são, mesmo assim posso usá-las para equilibrar um triângulo sobre a ponta duma caneta, ou para pôr um satélite em órbita da Terra.”

stock-photo-91754719-three-cups-and-a-ballEleições: três bolas coloridas. Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto, professor no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas, relembra o exemplo de Eratóstenes de Cirene (275-195 a.C.), que soube estimar o tamanho da Terra. Ele notou que, num dia específico do ano, ao meio-dia, a luz do Sol estava a pino numa cidade, e uma estaca fincada no chão não produzia sombra; notou também que, nesse mesmo dia e horário, numa outra cidade a vários dias de distância (de camelo), o Sol não estava a pino, de modo que a estaca produzia sombra. Eratóstenes mediu o ângulo da sombra em relação à estaca, de 7 graus e 12 minutos, estimou a distância entre as duas cidades (uns 900 quilômetros), presumiu que a Terra era uma esfera e fez as contas. Errou por pouco — segundo alguns historiadores, errou por 16,3% em relação ao tamanho real da Terra. Mas o erro não importa. O caso é que Eratóstenes usou matemática para transformar o que pensava ver (a Terra é plana) no que deveria ver (a Terra se assemelha a uma esfera).

Pesquisas de opinião, como as pesquisas eleitorais, estão entre as coisas que permanecem invisíveis para quem não sabe matemática. “As pessoas custam a acreditar”, diz Francisco, “mas é possível entrevistar 3.000 pessoas no Brasil e acertar, com precisão razoável, os resultados de uma eleição.” Na verdade, Francisco foi cortês: muita gente não acredita nisso de jeito nenhum, por mais que ouça explicações, e tal descrença alimenta mil teorias da conspiração.

Para entender esse ponto, o estudante tU7 cria um breve teste mental. Fecha os olhos e visualiza quatro sacos pretos, opacos, nos quais há três bolas cada um; um deles contém três bolas vermelhas; outro, duas vermelhas e uma branca; outro, uma vermelha e duas brancas; e o último, três bolas brancas. tU7 sorteia um dos sacos ao acaso e, sem olhar, tira uma bola de dentro dele. Tira uma bola vermelha. Só com isso, com apenas uma bola, já pode excluir a probabilidade de que sorteara o saco com três bolas brancas.

Usando o teorema de Bayes como guia (veja o item 4 das observações no fim desta matéria), conclui ainda que a probabilidade de que sorteara o saco com três bolas vermelhas é de 50% (1/2); a probabilidade de que sorteara o saco com duas vermelhas e uma branca é de ≅33% (1/3); e a probabilidade de que sorteara o saco com uma bola vermelha e duas brancas é de 16,7% (1/6). Se isso fosse uma eleição, poderia dizer: a probabilidade de que o candidato VVV ganhe as eleições é de 50%, contra 33% do candidato VVB, 17% do candidato VBB e 0% do candidato BBB. Os partidários do candidato BBB acusariam tU7 de ceder à “pressão das elites”, e diriam: “Como esse pilantra pode vomitar tal vaticínio se entrevistou só uma bola?!” E se o candidato VBB ganhasse as eleições, como aliás é possível, diriam: “Viram? Não dissemos que esse tU7 era um pilantra? Viram como entrevistar só uma bola não basta?”

Juliana Camargos também gosta de dois outros exemplos: o da elipse e o do triângulo. “Na Casa Branca”, diz Juliana, “existe o famoso salão oval, que tem a forma de uma elipse. Em salões assim, se você coloca uma pessoa num dos focos da elipse e outra pessoa no outro foco, as duas se ouvem mesmo que falem em voz mais baixa. Isso se deve a uma propriedade das elipses.” Essa propriedade funciona assim: caso tU7 trace uma linha reta de um dos focos da elipse até um dos pontos na curva da elipse, meça o ângulo entre essa linha e a reta tangente à elipse naquele ponto, e depois “reflita” essa linha com o mesmo ângulo em relação à reta tangente, a linha refletida passará pelo outro foco, como mostra a figura 2. “A catedral metropolitana de Brasília também é assim.” Para quem não sabe matemática, a ampliação da voz talvez pareça sobrenatural. Para quem sabe, o mecanismo se revela visível — as ondas sonoras emitidas num dos focos viajam em todas as direções, mas batem nas paredes e vão parar no outro foco.

Fig_2

Em construções de todo tipo, diz Juliana, o estudante pode ver triângulos. Há triângulos em portões, bicicletas, cavaletes, pontes, automóveis — em Paris, na França, há triângulos na torre Eiffel. Por quê? “O triângulo é a única figura geométrica rígida que não deforma”, diz Juliana. “Se você empurrar o vértice de um triângulo, ou um de seus lados, ele continua a ser o mesmo triângulo. Mas se você empurrar do mesmo jeito um quadrado ou um retângulo, ele pode virar um losango.” (Veja a figura 3.) Por isso, em todo lugar no qual o engenheiro pretende dar à construção maior resistência a deformações, ele inclui um triângulo num cantinho apropriado.

Fig_3

No Curso Anglo Vestibulares, o professor Glenn Albert Jacques Van Amson gosta de mencionar o exemplo dos impostos. “Eu costumo pegar táxi com um motorista que tem uma deficiência física”, diz Glenn. “Por isso, ele compra carros com desconto nos impostos.” Outro dia, o motorista foi buscá-lo com um carro novo, e Glenn perguntou quanto ele havia desembolsado. “Digamos que o preço do carro na loja era de 40.000 reais. Ele disse que pagou a metade, 20.000 reais.” Glenn perguntou então quanto os consumidores pagam de impostos sobre o valor do carro, e o motorista respondeu o que 80% das pessoas respondem: os impostos equivaliam a 50% do valor do carro, pois ele havia pago a metade. É o que o motorista pensa que vê: o carro custa 40.000 reais, ele pagou 20.000 reais — e a palavra “metade” naturalmente lhe vem à mente. “Na verdade”, diz Glenn, “os impostos representam 100% do preço do carro sem impostos.” Essa conta é simples, mas mesmo assim o leitor tU7 resolve colocá-la no papel:

Equation-2

tU7 usou c para denotar o preço do carro antes dos impostos, i para denotar a porcentagem relativa aos impostos, (1 + i) para denotar o aumento porcentual provocado pelos impostos, e p para denotar o preço final ao consumidor. Se ele conhece c e p, como pode calcular i?

Equation-3

Agora, tudo o que tem a fazer é substituir as variáveis pelos valores do problema de Glenn e seu amigo taxista:

Equation-4

tU7 reconhece que, com essa fórmula simples, substituiu o que era aparência pelo que é essência e, de certa forma, tornou o invisível visível. Glenn diz que o cidadão comum não confunde apenas isso. “Em geral, as pessoas comuns também não entendem a ideia de juro composto.”

No interior de São Paulo, a professora Elíris Cristina Rizzioli, da Universidade Estadual Paulista em Rio Claro, prefere um exemplo que interliga o dia a dia de engenheiros de sistemas de comunicação de dados com o dia a dia de biólogos, geneticistas, médicos, e farmacêuticos. Há anos os engenheiros (e os matemáticos) pensam em mecanismos de correção de erros ao transmitir dados. O caso é que eles projetam máquinas para transmitir bits, ou seja, uns e zeros (na forma de energia presente e energia ausente); acontece da máquina se confundir e tomar um 0 por um 1, ou um 1 por um 0. E para isso existem os mecanismos de correção de erros, conhecidos pela sigla em inglês: ECC. Quando transmite uma sequência de bits, a máquina calcula o ECC referente àquela sequência, e o transmite junto. A máquina receptora recebe a sequência de bits, calcula o ECC da sequência que acabou de receber, e o compara com o ECC transmitido pela máquina transmissora. Se estiverem iguais, ótimo. Se estiverem diferentes, houve um erro de transmissão. Às vezes, a máquina receptora usa o ECC da transmissora para identificar e corrigir o erro; mas, se tal não for possível, a receptora pede a retransmissão da sequência de bits.

Ora, dentro dos seres vivos, as células usam o código genético (DNA) para produzir proteínas. Com um pouco de criatividade, tU7 pode encarar isso assim: os pais transmitem seu código genético aos filhos. É como se transmitissem uma sequência de bits. Com o código genético que receberam dos pais, os filhos produzem todas as moléculas de que precisam para viver. Sendo assim, tU7 acha que pode ver uma geração como transmissora, e a geração posterior como receptora. Mas e se, de uma geração para outra, houver um erro de transmissão? Será que existe algo equivalente ao ECC no código genético do homem?

Sim, existe, como descobriu uma equipe de cientistas brasileiros da USP e da Unicamp. Quando as células do nosso corpo usam o DNA para produzir proteínas, usam certos trechos do DNA como ECC, para verificar se as instruções a respeito daquela proteína estão corretas. Foi a primeira vez que cientistas viram, no corpo humano, objetos matemáticos comuns na transmissão digital de dados. “Eles usaram a teoria matemática da informação de forma surpreendente”, diz Elíris. Desse modo, tornaram visível o invisível, e a partir de agora o homem pode ver se consegue mexer no ECC contido no DNA para, por exemplo, compensar as mutações genéticas que provocam o diabetes. “O que parecia fruto do acaso”, diz Elíris, “tem um padrão.”

stock-illustration-43353190-paris-city-hand-drawn-vector-illustrationO que está em jogo. Matemáticos organizam a rotina em torno de converter o invisível em visível. Há muitos exemplos disso na série especial sobre cálculo infinitesimal, que o redator desta Imaginário Puro está publicando desde julho de 2015. Como o leitor viu no artigo mais recente da série, quem poderia dizer que é possível provar, e de um jeito muito satisfatório, que ab · ac = ab+c usando a integral ∫[1, x]dt/t? Algo que estava invisível para os matemáticos do passado se tornou visível para os estudantes atuais de matemática.

Mas poucas vezes o professor pensa na matemática desse jeito: como algo que permite ao homem tornar visível o invisível. “Eu mesmo”, diz Francisco Gomes, da Unicamp, “não tinha parado para pensar nesse assunto em particular.” Sempre que arruma quem lhe ouça, Keith Devlin explica o que está em jogo: se a população não entende bem o que é a matemática, e para que serve, talvez permita que um grupo de políticos reduza os gastos do país com departamentos de matemática em universidades e com o treinamento de professores de matemática. Monteiro Lobato disse uma vez que um país se faz com homens e livros. Mas e se os homens desse país não conseguem ler livros de matemática, e muito menos escrevê-los? Muita gente usa a frase de Lobato para justificar o tempo gasto com a leitura de romances, mas a frase se aplica melhor a livros de física, química, matemática — principalmente matemática. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 36, pág. 24, janeiro de 2014. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Dubes Sônego.

3. O crédito da foto do passarinho equilibrista é: APN MJM / Wikipedia.

stock-photo-17705061-maybe-dice4. O teorema de Bayes, em poucos símbolos e palavras: Pr(A | B) = Pr(B | A ) · [Pr(A)/Pr(B)], isto é, a probabilidade de que tenha acontecido A, dado que B aconteceu, é igual à probabilidade de que aconteça B, caso A tenha acontecido antes, vezes a probabilidade de A dividida pela probabilidade de B.

Tornando o invisível visível

Keith Devlin_Crédito_Richard Ressman


Artigo de: Keith Devlin

Como acabar com uma epidemia de vírus? Com uma vacina, o que é, dito de outra forma, usar vírus para acabar com os vírus. Neste artigo, o matemático britânico Keith Devlin pede aos que amam a matemática: invente e espalhe slogans memoráveis e corretos sobre matemática. Além disso, lembre-se: um bom slogan representa uma ideia que todo mundo sente vontade de compartilhar.

Observação: Este texto é a transcrição de um discurso, que Devlin pronunciou no dia 23 de maio de 1997, por ocasião da cerimônia de colação de grau da turma de matemática na Universidade da Califórnia em Berkeley.

Como matemáticos, sabemos (mesmo que a maioria das outras pessoas não saiba) que a matemática é mais importante para a sociedade de hoje do que jamais foi. Precisamos ter a certeza de que a matemática continue a receber apoio, e de que um número suficiente de pessoas continue a cultivá-la.


{1}/ O artigo em si

stock-illustration-6932313-robot-cyborg-metal-man-cartoon-characterBoa tarde.

Todos vocês que se graduam hoje têm boa cabeça para os números.

Vocês gostam de somar longas colunas de números, e de cabeça.

Vocês sempre acharam fácil contabilizar o saldo da conta-corrente.

Vocês se deleitam ao resolver sistemas de dez equações lineares com dez incógnitas. De cabeça.

Todos vocês vão se transformar em professores de matemática ou contabilistas.

Vocês são tristes.

Vocês são maçantes.

Vocês não têm senso de humor.

Vocês se concentraram em matemática porque ela é previsível, porque sempre há uma resposta certa que podem verificar no fim do livro, porque gostam de obedecer a regras bem estritas, porque ela lhes permite escapar da vida cotidiana para se exilar num mundo que não tem nada a ver com o cotidiano, e porque a matemática não requer criatividade, virtude que aliás vocês não têm.

Não sou eu quem está dizendo isso. É a maior parte da sociedade.

Hoje, todos aqueles que aqui se formam se tornam membros oficiais da comunidade dos matemáticos — com cartão de visitas e tudo o mais. Como consequência, assumiram para si todas as caricaturas que acabei de mencionar. Por enquanto, têm de se acostumar; para o futuro, contudo, há duas opções. Uma é continuar a aguentá-las. Outra é fazer alguma coisa, e tentar mudar os equívocos tão comuns a respeito de nossa profissão.

Penso que não têm alternativa exceto ficar com a segunda opção: fazer alguma coisa. E penso que devem começar imediatamente; todos devemos começar imediatamente. Meu senso de urgência vem de uma mudança no modo como o público percebe a matemática, que vi se desenvolver ao longo das últimas poucas décadas.

Quando recebi meu bacharelado em matemática no King’s College de Londres, em 1968, todas aquelas caricaturas que mencionei uns instantes atrás eram comuns. Mas, naquela época, todo mundo concordava com a ideia de que a matemática era extremamente importante — importante para a ciência, importante para a tecnologia, importante para a corrida espacial, e importante para o crescimento econômico.

Hoje em dia, muitos consideram a matemática como sendo irrelevante para a vida em geral. Quando a imprensa popular clama por crianças mais bem treinadas em matemática, o que ela quer dizer é aritmética básica, e não pensamento matemático.

A percepção de que matemática é irrelevante torna duplamente importante a nossa ação. Antes de tudo, há uma razão egoísta, e de cunho estético. Nenhum de nós, que sabemos o que a matemática é e quanto prazer pode nos dar, gostaríamos de vê-la falecer. Queremos continuar a ter a possibilidade de perseguir ideias matemáticas, e queremos que muitos outros, tantos quanto possível, compartilhem nossa alegria com essa matéria.

Há também uma razão altruística e utilitária. Como matemáticos, sabemos (mesmo que a maioria das outras pessoas não saiba) que a matemática é mais importante para a sociedade de hoje do que jamais foi. Na condição de membros da categoria profissional dos matemáticos, portanto, é nossa responsabilidade — e só nossa — assegurar que a sociedade não estrague tudo. Precisamos ter a certeza de que a matemática continue a receber apoio, e de que um número suficiente de pessoas continue a cultivá-la.

A questão é: Como tomamos providências para reparar as consequências de centenas de anos de publicidade negativa?

Escrever artigos para publicações especializadas será insuficiente. Ou escrever livros, até mesmo livros populares. Ou proferir discursos como este. Tais atividades são como pregar para convertidos. Se muitos de nós nos engajarmos com atividades assim, e se nos engajarmos com frequência, obteremos algum efeito — mas não muito, e nada semelhante ao que seria suficiente.

A televisão é um meio mais promissor. Hoje, a boa notícia é que, ao longo dos últimos quatro anos, um grupo tem tocado um projeto para abastecer o público de matemática, mas com doses maciças de publicidade positiva e verdadeira. O projeto está quase pronto. Na próxima primavera, a rede de TV PBS transmitirá uma série de seis programas, de uma hora cada um, cujo nome será A Vida pelos Números (Life by the Numbers).

Essa série está sendo produzida pela estação de TV WQED, de Pittsburgh, com o grosso do financiamento provindo da Texas Instruments e da Fundação Nacional de Ciência. Ao longo dos últimos dois anos, eu me envolvi no projeto como consultor, e no momento escrevo um livro que servirá de acompanhamento para a série. [O livro é ‘Life by the Numbers’, de 1998, com 214 páginas.]

Essa é a primeira vez em que houve investimento dessa monta para, por meio de televisão, tentar mudar o modo como o público percebe a matemática. Talvez seja o único projeto assim que venhamos a ver na nossa vida. Eu já assisti a todos os trechos que a WQED produziu até agora, e acho que a série tem grande chance de fazer algum progresso.

Mas uma série de TV sozinha ainda não será o suficiente. Ela atingirá apenas aquelas pessoas que veem a PBS com regularidade, e isso ainda é uma porção pequena da população.

stock-illustration-79650595-business-concept-drawingQual é a dificuldade que enfrentamos? É que o modo como o público forma sua percepção das coisas é feito pelo que Richard Dawkins, o biólogo evolucionista, chamou de memes. Memes são pensamentos e ideias que as pessoas produzem e tornam públicos — histórias, melodias, poemas, mitos, crenças, religiões, teorias científicas e coisas assim.

A palavra “meme” é desse jeito para enfatizar sua similaridade com a palavra “gene”. Memes são o equivalente mental dos genes — são entidades autorreplicantes que se multiplicam e se espalham pela sociedade; eles influenciam no jeito como a sociedade se desenvolve e forma sua cultura.

Como no caso de nossos genes, os memes precisam de um hospedeiro humano para proliferar. Assim como acontece com genes, alguns memes sobrevivem a várias gerações de membros individuais da sociedade em questão. Um meme também pode produzir uma mutação e gerar uma nova variante. Isso acontece com teorias científicas e com religiões, para citar só dois exemplos.

Por muitos milhares de anos, os memes foram transmitidos de pessoa para pessoa de um jeito bem direto: da boca para o ouvido. Então, com a invenção da escrita e dos serviços postais, passaram a ser transmitidos de pessoa para pessoa através de grandes distâncias, tendo o papel como portador. Com a invenção da imprensa, um único meme podia se espalhar por um país inteiro em questão de dias. Hoje, um novo meme pode se multiplicar e se espalhar pelo globo em segundos, viajando à velocidade das ondas de rádio no ar ou das ondas de luz nas fibras ópticas.

Como é fácil de entender, a maioria dos memes não sobrevive muito tempo. Mas alguns sobrevivem, e são os que dão forma à nossa cultura. Como aquelas musiquinhas de comerciais de TV, que entram na nossa cabeça e passam o dia lá, se recusando a sumir, um meme, uma vez que se estabeleça, pode ser difícil de eliminar.

Na maioria das sociedades ocidentais, os memes matemáticos que listei no início deste discurso estão agora completamente desenvolvidos e bem estabelecidos. Será difícil erradicá-los. A nossa única esperança, creio eu, é introduzir um meme mortal feito um vírus, que os mate a todos. Ou então, melhor ainda, toda uma coleção de memes viróticos.

Com o que um meme virótico deveria se parecer? Que características uma ideia deveria ter para que crescesse rápido o bastante e tivesse assim chance de sobrepujar os memes que já fazem parte de nossa cultura? Acho que existe apenas uma resposta possível. É a mesma coisa que os publicitários usam para nos convencer a comprar mercadorias, e é a mesma coisa que elege um presidente.

Slogans.

Estou dizendo isso com toda a seriedade: slogans.

stock-illustration-71124625-enjoy-every-momentCaso examinem melhor o modo como a opinião do público se forma hoje em dia, acho que encontrarão evidências inegáveis de que só temos uma chance de mudar tal opinião: vamos soltar um pequeno bando de slogans meméticos e viróticos, que conceberemos com cuidado, assim eles terão condições de sobreviver e de prosperar.

Lembrem-se: não estou tentando mudar até que ponto o público entende de matemática. Por coincidência, não acho que seja possível mudar significativamente o grau de compreensão do público. O que quero mudar é o jeito como ele percebe a matemática. Mudar a percepção é bem diferente de mudar o entendimento, e além disso é mais importante.

Assim, como começamos a criar memes viróticos de cunho matemático? O truque é apreender, num único slogan fácil de lembrar, a essência da matemática.

Ora, escolha alguém a esmo na rua, e lhe peça para descrever a matemática numa única frase; acho que provavelmente ouvirá algo do tipo: “A matemática é mexer com números.” Se queremos melhorar a percepção pública da matemática, precisamos inventar um ou vários memes igualmente memoráveis, que devem extinguir tais descrições imprecisas da matemática de uma vez por todas. Vou lhes dar dois memes viróticos que talvez cumpram esse papel. Eu lhes peço que me ajudem, e que passem os dois a seus amigos e parentes, pois assim criaremos juntos uma epidemia memética.

O primeiro meme é a frase: “A matemática é a ciência dos padrões.” Ela não é minha. Eu a li pela primeira vez no título de um artigo na revista Science, escrito por Lynn Steen nos anos 1980, mas Lynn diz que não foi ele seu criador. Contudo, quem quer que seja o criador desse meme em particular, há quatro anos fiz o que pude para o espalhar, quando escrevi um livro, editado pela Biblioteca da Scientific American, cujo título era Math: the Science of Patterns [Matemática: A Ciência dos Padrões]. Acho que é um bom slogan; eis por que o escolhi como título do meu livro. Ele capta tanto a natureza quanto o âmbito da matemática:

• Na aritmética e na teoria dos números, estudamos os padrões nos números e na contagem.

• Na geometria, os padrões nas formas.

• No cálculo, os padrões nos movimentos.

• Na lógica, os padrões nos raciocínios.

• Na teoria da probabilidade, os padrões na sorte.

• Na topologia, os padrões na contiguidade e na posição.

• E assim por diante.

E esse meme está começando a pegar. Hoje em dia, vejo mais vezes a palavra “padrão” associada à palavra “matemática”. Essa ideia é um dos temas condutores da série de TV que mencionei há pouco. Só nos resta desejar a esse meme vida longa, e esperar que se espalhe pela população.

stock-illustration-3770031-satellite-dishes-antenna-doppler-radarMeu segundo meme virótico é a frase: “A matemática torna o invisível visível.” É um meme novo. Se sobreviver, vocês terão estado presentes no momento em que nasceu. Permitam-me dar alguns exemplos do que estou querendo dizer.

Sem matemática, ninguém pode entender o que mantém um avião a jato no ar. Como todos sabemos, grandes objetos de metal não ficam acima do solo, exceto que algo lhes sirva de suporte. Contudo, quando vocês veem um grande avião a jato voando no céu, não podem ver nada segurando a máquina toda lá em cima. Precisamos de matemática para “ver” o que mantém um avião nas alturas. Nesse caso, o que nos permite ver o invisível é uma equação descoberta pelo matemático Daniel Bernoulli no começo do século 18.

Já que estamos nesse assunto de voar, o que faz um objeto como um avião cair no chão quando o soltamos? “Gravidade”, vocês todos me dizem. Mas isso é apenas dar à coisa um nome. Não nos ajuda a entendê-la — ela continua invisível, e bem poderíamos chamá-la de mágica. Para compreendê-la, precisamos vê-la. E foi exatamente isso que Newton fez, no século 17, com suas cinco equações de movimento e sua mecânica. A matemática de Newton nos permitiu “ver” as forças invisíveis que mantêm a Terra girando em torno do Sol e obrigam uma maçã a cair, da árvore em que estava, no chão.

Tanto a equação de Bernoulli quanto as equações de Newton empregam o cálculo. O cálculo funciona porque nos permite ver o infinitamente pequeno. Eis outro exemplo de converter o invisível em visível.

E aqui vai mais um exemplo: 2.000 anos antes que pudéssemos mandar uma espaçonave ao espaço para tirar umas fotos do nosso planeta, o matemático grego Eratóstenes usou matemática para mostrar que a Terra era redonda. De fato, ele calculou seu diâmetro, e portanto sua curvatura, com grande precisão.

Hoje, estamos perto de repetir o feito de Eratóstenes; basta que descubramos se o universo é curvo. Usando matemática e telescópios poderosos, podemos “ver” os recantos mais longínquos do universo. De acordo com o astrônomo Robert Kirschner, em breve seremos capazes de ver longe o bastante para detectar qualquer curvatura no espaço, e para medir a curvatura que acharmos, qualquer que seja ela.

Conhecer a curvatura do universo nos dará um corolário, como costumamos dizer no mundo da matemática. Como o matemático Bob Osserman explica no excelente livrinho The Poetry of the Universe [A Poesia do Universo], se pudermos calcular a curvatura do espaço, poderemos usar matemática para olhar o futuro e “ver” o dia em que o universo se extinguirá.

Usando matemática, já pudemos olhar para o passado distante, e tornar visível os momentos invisíveis nos quais o universo foi criado, no evento que chamamos de big bang.

Voltando para a Terra e para os dias de hoje, como você “vê” o que forma as imagens e os sons de um jogo de futebol [americano] entre Stanford e Cal, de modo que apareçam miraculosamente numa telinha de TV do outro lado da cidade? Uma resposta é que as imagens e os sons são transmitidos por ondas de rádio — um caso especial do que chamamos de radiação eletromagnética. Contudo, assim como ocorre com a gravidade, isso significa apenas dar ao fenômeno um nome, o que não nos ajuda a vê-lo. Para “ver” as ondas de rádio, vocês têm de usar matemática. As equações de Maxwell, descobertas no século 19, tornam visíveis para nós as de outra forma invisíveis ondas de rádio.

Eis agora alguns padrões humanos:

• Aristóteles usou matemática para tentar “ver” os padrões invisíveis nos sons que reconhecemos como música.

• Ele também usou matemática para tentar descrever a estrutura invisível de uma encenação dramática.

• Nos anos 1950, o linguista Noam Chomsky usou matemática para “ver” e descrever o padrão invisível e abstrato das palavras que reconhecemos como perfazendo uma sentença gramaticalmente correta. Por meio disso, ele transformou a linguística, que passou de um obscuro ramo da antropologia para uma ciência matemática próspera.

Por fim, usando a matemática, temos o poder de dar uma espiadela no futuro:

• Com a teoria da probabilidade e a estatística, podemos prever os resultados de uma eleição, frequentemente com notável exatidão.

• Usamos o cálculo para prever se vai chover no dia seguinte.

• Analistas de mercado usam várias teorias matemáticas para tentar prever o comportamento futuro do mercado de ações.

• Empresas de seguro usam estatística e probabilidade para prever a plausibilidade de que ocorra um acidente nos próximos 12 meses, e fixam seus preços de acordo com a previsão.

Quando o assunto é olhar o futuro, usando a matemática tornamos visível um invisível diferente — o invisível das coisas que ainda não aconteceram. Nesse caso, nossa visão matemática é imperfeita. Nossas predições às vezes não se realizam. Mas, sem a matemática, não podemos nem mesmo dar uma espiadela.

Bem, eis então meu presente — meu novo meme: “A matemática torna o invisível visível.”

Deixo o resto por sua conta, isto é, deixo por conta dos graduandos da Universidade da Califórnia em Berkeley, turma de 1997, a missão de providenciar mais exemplos desse meme: bons exemplos de como usamos a matemática para tornar visível o invisível.

E eu recomendo que vocês, ao espalhar esses dois memes, ajudem a mudar o jeito errado pelo qual a população percebe a matemática. Lembrem-se: memes, assim como outros vírus, se espalham exponencialmente, e como matemáticos vocês conhecem o poder do crescimento exponencial, uma vez que comece.

Obrigado, e congratulações. {FIM DO ARTIGO}


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{2}/ A palavra “pattern”

Não há um jeito satisfatório de traduzir a palavra inglesa “pattern”. O redator desta Imaginário Puro acha que poucos brasileiros associam à palavra “padrão” as mesmas ideias que o americano médio associa à palavra “pattern”. O leitor pode experimentar muitas opções, entre elas:

• Matemática: a ciência das afinidades.

• Matemática: a arte de decifrar coincidências aparentes.

• Matemática: a ciência das semelhanças.

• Matemática: a ciência dos traços comuns.

Caso opte pela segunda opção, por exemplo, pode dizer: “Na geometria, deciframos as coincidências que percebemos nas formas.” Caso opte pela quarta, pode dizer: “No cálculo, estudamos os traços comuns a todos os movimentos.”


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{3}/ Quem é o autor do artigo

Keith Devlin nasceu na Inglaterra, mas hoje tem cidadania britânica e americana. Formou-se em matemática em 1968; agora, dirige várias iniciativas da Universidade Stanford, nos Estados Unidos.

Tem trabalhado bastante com a criação de jogos educativos e com cursos de matemática via internet. Por exemplo:

• Um portal com jogos nos quais o jogador tem de usar raciocínios de cunho matemático para ganhar pontos e passar de fase. O portal inclui jogos especiais para crianças pequenas.

• Um curso do tipo MOOC, sigla em inglês para “curso aberto e online feito para atender milhares de estudantes de uma vez”. O curso se chama (na tradução em português) “Introdução ao Pensamento Matemático” e tem sido elogiado; está hospedado no Coursera. O livrinho azul que acompanha o curso, de mesmo título (mas escrito em inglês), já foi testado pelo redator desta Imaginário Puro e é ótimo.

• Caso queira ler o discurso no original em inglês, clique aqui. {FIM}


Observação: Publiquei esse artigo na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 36, pág. 30, janeiro de 2014. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada. A foto do autor é de Richard Ressman. Copyright © 1997 by Keith Devlin.

A perseverança é um superpoder

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{0}/ O motivo desta entrevista

Fábio Borges Dias é cego, mas estuda matemática no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo e, em 2012, aprendeu a resolver o cubo mágico. Praticou tanto que hoje resolve o cubo em 2 minutos ou menos. Ficou animado com os resultados, tanto é que planeja voltar a jogar xadrez. É um personagem extraordinário porque não tem nenhum superpoder para compensar a cegueira, exceto a perseverança.

Um dia, quero resolver o cubo só de memória. Tenho até lido sobre técnicas de memorização. Isso porque é realmente difícil estudar matemática sem enxergar: eu preciso manter muita informação na cabeça quando trato de uma expressão matemática complicada.


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{1}/ Introdução: Um estudante como outro qualquer

Deve haver um jornalista que gostaria de entrevistar um cego que fosse, também, gênio da matemática. Ele escreveria sua matéria de modo a mostrar a seus leitores como, digamos assim, Deus escreve certo por linhas tortas: o sujeito é cego, entretanto tem gênio, e emprega sua genialidade para elevar-se acima de uma vida difícil. Ainda bem que esse jornalista não trabalha para a Imaginário Puro, pois talvez não conseguisse apreciar a característica mais interessante de Fábio: ele é uma pessoa comum.

O próprio Fábio explica o que isso quer dizer: “Há quem ache que a deficiência visual necessariamente provoque algum tipo de alteração psicológica ou cognitiva. Não existe esse necessariamente. Sou deficiente, mas sou também um estudante como outro qualquer, quero dizer: não sou superdotado só porque estou estudando matemática apesar de minha deficiência. Tenho muitas dificuldades como estudante, e se não fosse deficiente visual, provavelmente teria dificuldades do mesmo jeito. O curso é difícil mesmo.”

Uma vez, John von Neumann (1903-1957) dava uma palestra, e a certa altura um dos presentes lhe disse: “Não consigo entender o assunto tal.” Von Neumann respondeu: “Meu jovem, na matemática você não entende as coisas — você se acostuma com elas.” Fábio serve de exemplo do que von Neumann falava. Ele repete um curso uma, duas, três, quatro vezes — tantas vezes quantas forem necessárias. “Um dia”, diz Fábio, “de repente as ideias se encaixam. E daí fico olhando aquelas ideias, que antes me pareciam estranhas, e digo: nossa, isso é muito legal!”


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{2}/ A entrevista em si

Como veio a resolver o cubo mágico?

Há uns dois anos [em 2012], eu me sentia desmotivado, e me encontrei com o Rafael Cinoto [um especialista brasileiro no cubo mágico]. Conversamos sobre o cubo, e no fim das contas ele preparou um cubo especial para mim, no qual posso distinguir os lados com os dedos. Ele é muito caprichoso. Também me deu umas aulas, me explicou alguns dos algoritmos pelos quais mover uma peça de lugar.

Eu achava que resolver o cubo seria dificílimo, mas, para minha surpresa, não foi. Fiquei tão feliz quando resolvi o cubo pela primeira vez! Liguei para meu irmão, para contar a novidade, e daí ele ficou com vontade de aprender também, e pude ensiná-lo. Também ensinei o que sabia a um dos meus sobrinhos. Hoje, às vezes nos reunimos para jogar juntos [cada um com seu cubo], e trocamos dicas. Não sei como designar isso com palavras, mas ter a capacidade de ensinar uma coisa dessas para meu irmão e meu sobrinho, e depois aprender uns truques com eles, me fez bem.

O cubo me trouxe um pouco de notoriedade, porque de modo geral as pessoas acham que resolver o cubo é muito difícil. Mas agora eu sei a verdade: é algo que podemos aprender. No início, fiz como todo mundo faz: recorri à repetição para decorar os algoritmos pelos quais mover as peças, e depois pratiquei. O gozado é que, depois de um tempo, comecei a perceber como os algoritmos se encaixam. Já consigo pensar assim: “Se uso esse algoritmo agora, as peças vão ficar assim e assado, e então posso usar aquele outro algoritmo lá.” Achei isso interessante: comecei decorando, depois usei o que decorei para criar soluções mais sintéticas, e agora estou combinando os algoritmos para ganhar velocidade.

O cubo te ajuda de alguma forma na matemática?

Com o cubo, estou vendo se consigo melhorar minha memória. Tenho até lido sobre técnicas de memorização. Isso porque é realmente difícil estudar matemática sem enxergar. Por exemplo: eu escaneio uma página de livro, e daí ponho o computador para ler aquela página para mim, com software de reconhecimento de caracteres e de sintetização de voz. Mas, se há uma fórmula complicada na página, um quociente com uma expressão matemática complicada no numerador e outra expressão complicada no denominador, eu preciso que o computador leia aquilo muitas vezes, porque senão esqueço os termos. Isso porque o computador faz uma leitura linear, uma coisa depois da outra, o que quase nunca é a leitura mais adequada. Então, tenho de manter muita informação na cabeça para entender aquilo.

Sei de gente que consegue resolver o cubo mágico de olhos vendados. Não é a mesma coisa que resolvê-lo sendo cego. Esses jogadores memorizam a posição inicial, e depois resolvem o cubo sem olhar — confiam apenas na memória. Seria como se eu memorizasse a posição inicial com o tato, retirasse os adesivos, e depois resolvesse o cubo sem verificar as posições intermediárias.

Meu objetivo é um dia resolver o cubo só de memória. Estou fazendo uma espécie de aposta: acho que esse treino vai melhorar meu desempenho com expressões matemáticas mais complicadas.

Quais são os temas mais difíceis para quem não enxerga?

Para mim, trabalhar com matrizes é difícil. Isso porque, numa operação simples com matrizes, não raro eu preciso movimentar uma quantidade muito grande de números ou de variáveis, o que exige bastante da minha memória. Então, geometria analítica, autovetores, autovalores, enfim, todos esses assuntos nos quais as matrizes são importantes ficaram difíceis para mim. Operações com matrizes nos obrigam a realizar um número muito grande de contas, e em casos assim eu facilmente me perco pelo meio.

E será que alguma matéria ficou mais fácil?

Não, nada ficou mais fácil, porque afinal de contas o mundo é feito para pessoas videntes. Além disso, que eu saiba, não existe material didático com matemática avançada feito especialmente para deficientes visuais. Existem algumas coisas em braile, mas não sei ler braile muito bem.

Mas tenho maior facilidade com geometria, porque tenho maior facilidade com o pensamento espacial. Consigo imaginar uma figura tridimensional, e consigo movê-la e girá-la na minha mente. Então, a geometria com régua e compasso, por exemplo, foi um curso que achei mais fácil, até porque não precisei desenhar. Numa prova, posso responder a uma pergunta só com palavras, escrevendo algo do tipo “ponha a ponta seca do compasso no ponto A, abra o compasso com raio igual a r”, e assim por diante.

Por causa dessa facilidade com geometria, meu desempenho foi melhor nos cursos de cálculo 1 e 2, e na matemática vetorial de três dimensões, pois o conteúdo dessas matérias é bem geométrico. Também tive maior facilidade no cálculo numérico, apesar da quantidade imensa de números, porque podemos usar o computador. Eu programo em Python, então consegui programar o computador para lidar com as matrizes corretamente.

Olha, estou dizendo que foi mais fácil, mas não que foi fácil! O curso de geometria com régua e compasso eu fiz quatro vezes. Na quarta vez, tive um professor fantástico, o Sérgio Alves, porque ele falava de um jeito tão especial — ele falava de um jeito que me fazia ver as imagens. Eu não precisava de ninguém para me dizer o que estava desenhado na lousa, porque eu ouvia as palavras e via o desenho com a imaginação. Também nesse curso usei pela primeira vez um quadro de velcro, que me foi útil. Eu colocava fios de lã nesse quadro para representar as linhas e as figuras.

Devo dizer que o professor Sérgio ajudou, mas também que fiz o mesmo curso quatro vezes. É uma coisa que acontece na matemática: primeiro, você não entende tudo, e depois as coisas vão se solidificando na sua cabeça, e um dia de repente tudo se encaixa. Agora estou fazendo o curso de análise real com o Toscano [Severino Toscano do Rêgo Melo], que é um curso bem difícil. Então, eu digo para mim mesmo: é claro que minha cegueira não facilita as coisas, mas penso que acharia esse curso difícil mesmo que enxergasse perfeitamente. Conheço gente que abandonou a faculdade de matemática por causa do curso de análise real! Já fiz essa matéria algumas vezes, e parece que desta vez vai dar certo, até porque o Toscano é atencioso. Então, para concluir, não sou o primeiro a sofrer com análise real, e nem posso atribuir minhas dificuldades à cegueira! [risos]

Como veio a ficar cego?

Nasci com uma miopia muito forte, e com sete anos diagnosticaram um glaucoma, que tratei tão bem quanto podia. Aos 19 anos, contudo, eu já não enxergava quase nada. Então, antes de ficar completamente cego, eu vi imagens matemáticas. [Na ocasião da entrevista, Fábio tinha 36 anos; hoje, tem 38.] Não sei como seria se tivesse nascido cego, e se nunca tivesse visto uma figura matemática na vida.

Eu tinha facilidade com matemática, mas também fico pensando: será que fui para a matemática porque nas matérias de humanas os textos são muito compridos? Na matemática, há muito menos texto. Eu leio o enunciado de um problema algumas vezes, e assim que consigo memorizá-lo, carrego o problema comigo para onde for, sem ter de carregar papel ou livro, e vou pensando, pensando. Quando a solução me ocorre, converso com alguém (em geral, com minha namorada, que também estuda no IME), chego em casa e ponho tudo no computador — isso dá um gosto!

Quando eu tinha 20 anos, terminei o ensino médio, mas fiquei desmotivado e não prestei o vestibular. Minha família tem uma loja de aquários, e eu me engajei com os negócios da família. Um dia, meu pai comprou um computador para a loja, e eu logo aprendi a usar as ferramentas de acessibilidade — por exemplo, inverter as cores do texto. Acho que tive sorte, porque, conforme minha deficiência ficava pior, as ferramentas de acessibilidade ficavam melhores. Hoje, o computador é a minha grande ferramenta.

Alguma coisa na matemática te dá prazer em especial?

Gosto de pensar no modo como a trigonometria e os números complexos até parece que foram feitos um para o outro. São coisas diferentes, cada uma delas com uma história própria, mas quando o estudante atribui uma interpretação geométrica aos números complexos, tudo se encaixa tão bem! É uma coisa que me parece interessante.

Já deu aulas?

Huuummm… isso eu acho complicado. Sou muito tímido, e não tenho certeza se consigo me expressar direito. Antes, eu me imaginava mais como professor, mas hoje já não consigo me imaginar dando aulas.

Outro dia, no trabalho, um colega me pediu ajuda. [Fábio é funcionário público concursado; trabalha com computação na Superintendência de Assistência Social da própria USP.] Ele está estudando economia, e estava com dificuldades nas aulas de cálculo. Eu prometi ajudá-lo, mas fiquei preocupado — nem dormi direito. No dia em que combinamos, contudo, nós nos encontramos, ele me fez as perguntas que o incomodavam, e eu sabia as respostas! Fiquei superfeliz, porque fazia tempo que não estudava cálculo, mas pude ajudá-lo. A sensação foi muito boa.

Quais são seus planos para o futuro?

Entrei no IME muito tarde, e estou cursando matemática há vários anos. Faltam só duas matérias obrigatórias e duas optativas. Fico contente de pensar que vou concluir o curso.

Voltando ao cubo mágico, eu achava que resolvê-lo seria muito difícil, e no fim das contas não foi tão difícil quanto eu imaginava. Isso me deu ânimo, e me fez pensar em voltar a jogar xadrez. Eu jogava antes, e gostava muito, mas parei quando minha cegueira piorou. Estou conversando com um amigo sobre isso, e com a ajuda dele pretendo voltar a jogar. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 36, pág. 14, janeiro de 2014. A versão que acabou de ler foi revisada.

2. A foto da abertura é da fotógrafa profissional Ilana Bar.

3. Análise real, que Fábio menciona como sendo um assunto difícil, é uma espécie de curso de cálculo diferencial e integral no qual o estudante tem de questionar duramente os conceitos subjacentes ao cálculo. É difícil mesmo.

Gênesis, capítulo 1

 

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Acharam um antigo manuscrito hebraico com a história da criação da matemática! Eis o que diz:

“No princípio, enquanto criava os céus e a terra, Deus criou também a unidade e o contínuo. E disse Deus: haja um; e houve um. E foi a tarde e a manhã, o dia primeiro. Nos outros cinco dias, Deus criou os outros cinco inteiros positivos depois do um, dizendo pela manhã: Haja dois! E houve dois. Haja três! E houve três. Haja quatro! E houve quatro. Haja cinco! E houve cinco. Haja seis! E houve seis. E viu Deus que era bom o seis, pois era perfeito e era ainda a soma de três quadrados. E, visto que planejava descansar no dia seguinte, disse ainda Deus um pouco antes do pôr do Sol:

“1 é um número natural. Todo número natural x tem outro número natural como seu sucessor, coisa que posso designar por S(x), isto é, S(x) = x + 1. Para todo x, S(x) ≠ 1. Se S(x) = S(y), daí x = y. E viu Deus tudo quanto tinha feito, e eis que era muito bom, especialmente esse conjunto dos números naturais, que até os dias de hoje nunca mais parou de crescer.”

Como o sinal de igual atrapalha

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Professores dizem que muito estudante não consegue entender o que significa y = f(x), e que isso não ocorre apenas no ensino médio. No final do primeiro ano da faculdade, depois de já ter passado por cálculo I e II, ainda assim ele talvez se atrapalhe para explicar o significado de y = f(x), até porque, a essa altura, está batalhando para entender o significado de LA(X) = AX, expressão na qual LA denota uma transformação linear, X denota um vetor de coluna de ordem n, A denota uma matriz de ordem mn. Como vai entender tudo isso se ainda não se sente seguro quanto a y = f(x)?

É um problema complicado de didática, sobre o qual pesquisadores brasileiros já escreveram centenas de dissertações de mestrado e teses de doutorado. Apesar disso, poucos chamaram a atenção para o sinal de igual. Hung-Hsi Wu, pesquisador americano de didática da matemática, escreveu na página 39 do ótimo livro Understanding Numbers in Elementary School Mathematics: “O sinal de igual é uma das fontes de confusão para o estudante de matemática elementar.”

Wu diz que a confusão nasce de dois jeitos.

537433228Jeito 1: o sinal de comando. O professor escreve com muita frequência coisas do tipo:

4 + 7 = ?

“Fazendo assim”, escreveu Wu, “o professor, sem perceber, transforma o sinal de igual num comando para realizar um cálculo ou solucionar uma equação.” Toda vez que o estudante vê o sinal de igual, automaticamente acha que tem de fazer alguma coisa para tornar verdadeira a expressão na qual o sinal aparece.

Essa mania atrapalha quando vê a expressão y = f(x) em contextos mais abstratos. O estudante pensa: “Que conta devo fazer para resolver isso? Será que devo de algum modo aplicar a fórmula de Bháskara? Onde está o resto das informações, já que o professor e o livro se referem a y = f(x) como se eu fosse obrigado a adivinhar o que devo fazer para resolver a equação?” Enfim, o estudante não percebe que y = f(x) quer dizer algo mais simples: que existe uma regra de correspondência f por meio da qual ele pode associar cada valor de x, sem exceção, a um e apenas um valor de y. Se os valores de x, y satisfazem a regra de correspondência f, a expressão é verdadeira. Ao contrário, se os valores de x, y não satisfazem a regra de correspondência f, a expressão é falsa. Não há equação a resolver. Não há contas para fazer. [Não, pelo menos, apenas com a informação de que y = f(x).]

Escreveu Wu: “Professor, quando puser na lousa coisas do tipo 4 + 7 = 5 + 6, faça um esforço para dizer a seus alunos que o sinal de igual entre as duas adições não significa ‘realize uma operação para obter uma resposta’. Faça um esforço para mostrar a seu aluno que, com o sinal de igual, ele está simplesmente dizendo que, para declarar a igualdade como sendo verdadeira, as duas expressões devem representar o mesmo ponto na linha dos números.”

stock-illustration-68098321-walkway-concept-vectorJeito 2: igual por definição. Raramente os professores de matemática dizem que o sinal de igual tem mais de um significado, e isso vale para professores de todos os níveis. “No ensino fundamental 1”, escreveu Wu, “dois números inteiros positivos a e b são iguais se você pode verificar, por meio de contagem, que ambos os pontos a e b coincidem na reta dos números, isto é, que ambos representam o mesmo ponto na reta dos números.” Esse é talvez o significado mais simples de a = b, mas, conforme o estudante avança na matemática, o significado fica mais complicado. Por exemplo:

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Diante dessa igualdade, o estudante bem treinado pode agir de quatro maneiras distintas. Se a, b, c, d são números inteiros, e se b e d são diferentes de zero, ele pode declarar a igualdade como verdadeira se ad = bc, e isso significa, pura e simplesmente, que a/b e c/d representam o mesmo ponto na reta dos números. Porém, se adbc, ele deve declarar a igualdade como falsa, pois a/b representa um ponto na reta dos números e c/d representa um ponto distinto. (Declarar a equação a/b = c/d como falsa significa declarar a inequação a/bc/d como verdadeira.) Se b ou d é igual a zero, deve declarar a expressão inteira como desprovida de significado. Se a, b, c, d não denotam números inteiros, mas outro tipo de objeto matemático (por exemplo, determinantes), deve se informar antes de declarar a igualdade como verdadeira, falsa, ou desprovida de significado.

Se estiver mal treinado, porém, o estudante mais uma vez vai olhar o sinal de igual e achar que deve fazer uma conta e achar uma resposta. Talvez até bata os olhos no sinal de igual e fique ansioso.

É possível que o matemático use o sinal de igual para definir algum objeto matemático. Esse é um uso comum do sinal, sobre o qual os professores falam pouco ou não falam. O leitor desta Imaginário Puro já viu esse uso no primeiro artigo do curso de cálculo por meio do sistema dos números hiper-reais: se h é um número hiper-real, então é uma sequência infinita de números reais. Assim:

h = h1, h2, h3, h4, h5, …

Nessa expressão, o redator usou h para denotar o número hiper-real, hi para denotar o número real na i-ésima posição da sequência, e o sinal de igual para denotar “a expressão à esquerda equivale à expressão à direita”. Alguns autores escrevem a linha acima assim:

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O sinal ≝ significa “igual por definição”. Um matemático pode escrever algo desse tipo de muitas maneiras, a depender da idade e do temperamento: A := B, AB, e AB às vezes significam “você pode definir A, que não conhece, como sendo completamente equivalente a B, que já conhece”. O problema está na locução “às vezes”. Visto que tais sinais são usados de modo inconsistente mundo afora, muito autor acha que, se deseja declarar A e B como sendo iguais ou como sendo equivalentes, basta botar a frescura de lado e escrever A = B. “Mas, para fazer isso”, escreveu Wu, “o professor deve se certificar de que o estudante sabe como pode verificar a veracidade da igualdade. Se o estudante não sabe o que A ou B significa, é como pedir que conte o número de unicórnios no subsolo da escola.” {FIM}


stock-illustration-86627887-chart-business-vector-iconP. S. Há outra maneira de denotar a ideia contida na frase: “Enfim, o estudante não percebe que y = f(x) quer dizer algo mais simples: que existe uma regra de correspondência f por meio da qual ele pode associar cada valor de x a um e apenas um valor de y.” Ela é f : xy = f(x). É o jeito moderno de dizer que f é uma transformação que leva de x, um elemento do domínio, a y = f(x), um elemento da imagem.

Harvard: um lugar de gentilezas

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{1}/ A burocracia funciona

Imagine: você é aluno de pós-graduação, está se preparando para pesquisar, escrever, e defender sua tese de doutorado, e gostaria de passar uma temporada em Harvard, a mais famosa universidade dos Estados Unidos, e talvez a mais famosa do mundo. É bem provável que pense: “Eu nunca vou conseguir uma coisa dessas. É muito difícil, é muita sorte.”

Sonia Maria Pereira Vidigal conseguiu. Ganhou bolsa de estudos para passar onze meses em Harvard, de agosto de 2014 a julho de 2015. Na ocasião, era aluna de doutorado do professor Nílson José Machado, na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo. Quão difícil foi conseguir essa temporada em Harvard? “Essa foi a primeira das minhas muitas surpresas nessa história”, diz Sonia. “Foi tudo muito rápido, e mais simples do que eu imaginava.”

De acordo com as leis brasileiras e as normas da Fundação Capes (órgão do Ministério da Educação que financia estudantes de pós-graduação), para que um estudante de pós-graduação ganhe bolsa para estudar no exterior, basta que seja aceito por um professor da universidade estrangeira. Sonia se informou e seguiu o processo: preparou seu currículo, descreveu seu projeto, caprichou nas justificativas técnicas, incluiu o nome de professores que podiam servir de referência, e por fim escreveu para a professora americana Catherine Z. Elgin, que trabalha na Escola de Educação de Harvad. Catherine foi coautora do filósofo americano Nelson Goodman (1906-1998), cujas ideias Sônia pretendia usar bastante na tese. (Tanto Catherine quanto Nelson são filósofos especializados em educação, arte, e ciência.) Seria bom, portanto, estudar sob a supervisão de alguém que conhecesse bem as ideias de Nelson. “O aceite da professora Catherine foi muito rápido”, diz Sonia, “e o resto do processo burocrático andou depressa.”


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{2}/ A entrevista em si

Quais foram suas primeiras impressões nessa aventura?

Logo que fui aceita, que tudo já estava certo, recebi uma carta de uma moça que trabalha no departamento de educação de Harvard. A carta estava cheia de frases do tipo “que bom que você nos escolheu”, “muito obrigada por vir estudar em Harvard”. Era tão bem escrita, e tão gentil, que eu realmente fiquei com a impressão de que eles tinham passado a vida inteira me esperando! [risos] Mas eu quis ser realista, e por isso achei que essa receptividade tão agradável ficaria restrita àquela carta.

Assim que cheguei lá, contudo, tive minha segunda surpresa: Harvard soube montar uma incrível rede de apoio às pessoas que vão estudar lá. Aquela carta era só a primeira gentileza numa série de muitas outras.

O que você esperava?

Eu não conhecia os Estados Unidos; só tinha ido uma vez a Nova York para passear, mas foi aquela experiência típica de turista.

Você sabe como é a fama dos bostonianos nos Estados Unidos [Harvard fica em Boston, a nona cidade mais rica da América]: eles são considerados arrogantes. Então, eu esperava um americano frio, distante. É claro que eu esperava polidez, mas só aquela polidez até um metro de distância. [Faz o gesto de estender o braço como quem diz: “Não se aproxime mais do que isso.”] Eu esperava um monte de colegas arrogantes, pois, afinal de contas, são estudantes que estão em Harvard, a melhor universidade do mundo. Francamente, eu me imaginava sempre sozinha, passando o dia na biblioteca, sem conversar com quase ninguém, fazendo a minha pesquisa.

E o que aconteceu de verdade?

Tudo isso caiu por terra! [risos]

Ainda em São Paulo, quando recebi a primeira leva de correspondência de Harvard, havia uma carta dizendo que, no mês de agosto, a universidade organizaria encontros para dar aos alunos as orientações locais.

Eu fui a um desses encontros: eles explicaram tudo direitinho. Como pegar ônibus, onde estavam os supermercados mais baratos, onde estavam os supermercados que vendiam comida mais saudável, como declarar o imposto de renda (que o estudante estrangeiro tem de declarar, ainda que não pague nada), etc. Eles explicaram que, nos meses seguintes, se a gente tivesse alguma dúvida daquele tipo, havia um lugar e uma equipe só para isso, e que podíamos agendar uma sessão.

Só na faculdade de educação, onde trabalhava aquela moça que me mandou a carta supergentil, havia um departamento chamado de student affairs, com seis pessoas, só para dar apoio ao estudante. Por exemplo: se você precisasse de uma pasta assim e assado, para guardar papéis assim e assado, e não conseguisse achar, era só ir nesse departamento que eles te ajudavam a achar um fornecedor.

Na biblioteca, há cursos de escrita em inglês, e os alunos de doutorado têm o direito de certo número de horas semanais desse curso, sem pagar nada.

Tem uma outra casa, perto da Harvard Square [no centro da cidade], que serve só de apoio ao aluno. Quando você vai lá pela primeira vez, eles te fazem assinar um papel, um papel sobre sigilo das informações. Assinei, achando que eu deveria manter sigilo das informações que me dariam naquele lugar. Mais tarde, li o papel com cuidado, e vi que eu tinha me enganado: eles se comprometiam a guardar sigilo das minhas informações, de modo que o aluno pode procurá-los por causa de qualquer problema, acadêmico ou não, inclusive problemas de saúde. Naquela carta, eles se comprometiam a ajudar até onde lhes fosse possível, mas também a guardar segredo.

Então, em todo lugar que estive, e para todo lugar que olhei, havia suporte para o aluno. E tudo sempre com uma impressionante gentileza geral. Só em duas ocasiões uma pessoa foi rude comigo, porque eu não era tão fluente no inglês quanto ela esperava, mas nenhuma dessas ocorrências aconteceu na universidade: um moço num guichê e uma moça num caixa de supermercado. Durante os cursos que fiz, achei que seria recebida com frieza pelos alunos regulares, especialmente os americanos, mas não foi o que aconteceu. O que encontrei foi gente normal, gente como a gente, que, apesar de estar estudando em Harvard, não agia com o menor traço de arrogância, ao contrário.

Um dia, num almoço, eu até perguntei a uma americana por que os bostonianos tinham essa fama de antipatia. Ela era de outra região dos Estados Unidos, e me respondeu: “Ora, no metrô, você se senta, e fica lá sentada a viagem inteira, e ninguém conversa com você.” [risos] Eu fiquei de queixo caído, porque, sendo uma paulistana, jamais esperaria que um estranho conversasse comigo no metrô!

Não quero passar a impressão de que a gentileza geral só acontecia na universidade. Era em todo lugar, e isso me deixou impressionada. Como eu não tinha carro, ia para o supermercado e voltava para casa a pé, carregando as sacolas. Quanta gente não se ofereceu de me ajudar! Até uma senhora bem velhinha! Uma vez, eu ia para casa a pé com as minhas sacolas, e um ônibus fora de serviço parou para mim; o motorista insistiu em me dar uma carona de alguns quarteirões, porque ele não queria que eu carregasse as sacolas por muito tempo.

Qual será o propósito dessa rede de apoio na universidade?

Tem muito estrangeiro em Harvard — muito, muito, muito! Fiz um curso na John F. Kennedy School of Government [uma escola de gestão especializada em assuntos de governo], na qual havia alunos de trinta e oito países. Noutra matéria, em outra faculdade, dos quinze alunos, doze eram estrangeiros e só três eram americanos. Então, acho que Harvard se organizou para dar suporte ao aluno, especialmente o aluno estrangeiro.

Mas, pensando nisso melhor, eu acho que descobri o que faz de Harvard, Harvard: eles nunca te perguntam “Será que você é capaz?” Nunca. Ao contrário, eles se organizaram para te perguntar: “De que modo nós podemos ajudá-la para que você tenha condições de dar o melhor de si?”

Então, você não ficou sozinha na biblioteca?

Não! [risos]

Eles se preocupam com o bem-estar dos alunos, e por isso organizam muitos eventos nos quais você pode se socializar. Por exemplo, fui a uma festa para comemorar o ano-novo chinês. Só a faculdade de educação organizava um grande evento todo mês; por exemplo: festa de Halloween, festa à fantasia para filhos de professores e de alunos. Tudo sempre muito bem organizado, arrumado, com fartura de comida.

E muita pizza! Quando voltei a São Paulo, fiquei um tempo sem comer pizza…

E também organizam muitos eventos de pequeno porte, como happy hours. Certa vez, recebi um convite para participar de um almoço no qual todos os convidados tinham mais de dez anos de experiência profissional em escolas; eu iria conhecer gente como eu e trocar experiências. Todos esses eventos tinham o objetivo de ajudar o aluno a construir uma rede de relacionamentos com pessoas com interesses comuns.

Enfim: se o aluno quiser, tem um mundo de coisas para fazer, e ele só não aproveita e conhece gente nova se não quiser. Eu fiz questão de querer.

Tais atividades não atrapalhavam os estudos?

Não, porque nada é exagerado. Um happy hour começa às seis da tarde em ponto e termina no máximo às oito da noite. Parece que tudo é bem organizado, simples, e focado. Tudo muito focado. Mesmo que você vá a vários desses eventos, como eu fui, sobra bastante tempo para estudar e trabalhar.

Também ajuda o fato de que todo mundo está lá para estudar. No começo, eu perguntava aos meus colegas: “O que você vai fazer este fim de semana?” Eles ficavam meio confusos com a pergunta, e me respondiam: “Ué, vou estudar.” [risos] E estudavam mesmo. As paredes da biblioteca da faculdade de educação são de vidro, de modo que você pode ver lá dentro. Eu passava sempre por lá no sábado e no domingo, e a biblioteca sempre estava cheia de gente estudando.

Esse jeito de ser foi para mim uma surpresa: a tônica é estudar, estudar, estudar, o tempo todo, e se divertir com frequência, mas sem exagero.

Até as conversas são mais ou menos assim. Sempre que eu me encontrava com um de meus colegas, ou com um professor, ele ou ela parava para conversar comigo por alguns minutos; e então pedia licença para ir trabalhar ou estudar. Não é que a pessoa esteja indisponível: é de fato um estilo de vida. As pessoas vão aos happy hours, às festinhas, aos almoços, aos jantares, mas estão constantemente focadas nos estudos e no trabalho.

Qual era o tema de seu doutorado?

Fiz um trabalho teórico sobre ética, assunto que é a minha paixão. Para resumir bastante, a ética está mais para agir de acordo com princípios. É diferente da moral: uma pessoa de boa moral pode agir bem sem refletir sobre o que está fazendo, mas, havendo ética, há reflexão. Talvez uma pessoa faça o bem porque quer se sentir bem. Com a ética, ela faz o bem não porque deseja a sensação boa de fazer o bem, mas porque deseja o bem em si.

Agora, eu trabalho com matemática. Já trabalhei com a formação de professores no ensino fundamental 1, e atualmente trabalho com a formação de professores do ensino fundamental 2; meu papel é pensar em estratégias para o ensino da matemática.

Só que, assim como não existe ética sem moral, não existe ética sem cognição. A matemática nos dá a possibilidade de desenvolver raciocínios lógico-dedutivos de caráter sofisticado, e sem tais raciocínios fica difícil falar de ética. Os estudiosos desse assunto dizemos que desenvolver o raciocínio é condição necessária para o desenvolvimento da moral e, em seguida, da ética; não é condição suficiente, mas é necessária.

A temporada em Harvard mudou o modo como hoje vê o seu entorno no Brasil?

Bem, para começar, em onze meses, depois de fazer 12 cursos, só vi lista de presença uma vez. Então, existe o suporte, existe todo aquele apoio, mas não vi policiamento.

Aqui, é comum o aluno interromper o professor para dizer alguma coisa. Em Harvard, se um aluno quer dizer algo, levanta a mão e espera o professor lhe dar a vez. [Faz o gesto de quem levanta a mão e espera a vez. Faz também uma careta de quem pergunta: “Isso não é estranho?”] Quando o professor lhe dá a palavra, o aluno talvez discorde do professor, mas mesmo assim o diálogo fica num nível acadêmico muito bom.

Eu não vejo isso aqui com tanta frequência. Fiquei com a sensação de que aqui há menor tolerância, menor diversidade, menos correntes teóricas diferentes. Agora, sempre que converso com alguém que pensa diferente de mim, tenho procurado fazer o que fui estimulada a fazer em Harvard: ouvir, perguntar, contrapor, mas sem pressa de julgar. Parece que aqui, no Brasil, há um incentivo a afastar quem não fala as coisas segundo a sua cartilha, parece que há um incentivo a fechar os olhos, e eu tenho me esforçado bastante para não cair nessa. {FIM}


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P. S. Caso queira ler a tese de doutorado de Sonia Maria Pereira Vidigal, clique aqui.