Construindo novas pontes na matemática

Olivia Caramello/ Arquivo pessoal

Quando Olivia Caramello tinha 19 anos, se formou em matemática e música. É italiana, mas dá aulas em universidades italianas e francesas (para ser preciso, na Università degli Studi dell’Insubria e no Institut des Hautes Études Scientifiques). Há treze anos desenvolve uma teoria com a qual estabelece pontes entre teorias matemáticas distintas e, à primeira vista, desconexas.

Topos é uma palavra de origem grega; significa “lugar”. (Plural: toposes.) No início dos anos 1960, Alexander Grothendieck (1928-2014) introduziu o conceito de topos para denotar um objeto matemático que forneceria um quadro geral para uma de suas teorias na geometria algébrica, a coomologia etal. Ainda na mesma década, Francis William Lawvere publicou trabalhos com uma variante do conceito de topos, que chamou de “topos elementar” (é uma generalização de um topos de Grothendieck), e obteve a atenção dos especialistas em categorias (sobre isso, veja a seção 2).

Antes dos 13 anos, a matemática me parecia uma espécie de jogo mecânico. Não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova, tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade, que dura para sempre.


{1}/ Aventuras com caneta, papel, e cabeça

Aos 19 anos, Olivia se formou em matemática na Universidade de Torino (Itália) e obteve diploma de piano no Conservatorio di Cuneo. (No Brasil, muitos chamam Torino de Turim.) No mestrado, começou a se interessar por lógica categórica, principalmente pelos toposes de Grothendieck, e por isso foi para a Universidade de Cambridge (Inglaterra) fazer doutorado com um dos grandes especialistas em teoria de topos, Peter Johnstone. Nessa época, Olivia se sentia atraída pela ideia de transferir conhecimentos entre diferentes teorias matemáticas, e tinha a intuição de que poderia construir pontes entre teorias usando os toposes de Grothendieck. Mas Johnstone se interessava mais pelo topos elementar, um tipo de topos mais geral, com o qual Olivia não poderia construir pontes como desejava. Ela então obteve de Johnstone o consentimento para tomar uma direção diferente. “Sou muito grata pela oportunidade que tive de fazer basicamente o que quisesse. Isso é importante porque, para elaborar novos pontos de vista, o pesquisador precisa de liberdade.”

Olivia passou o primeiro e a metade do segundo ano do doutorado lendo tudo que podia sobre toposes de Grothendieck e outros assuntos correlatos. Queria começar a pesquisa apenas quando soubesse o que de melhor já haviam escrito naquele campo; queria também uma visão abrangente sobre outras teorias. Um projeto ambicioso exige conhecimentos sólidos de várias áreas da matemática. Para Olivia, em vez de desenvolver um trabalho apenas na teoria dos toposes, seria melhor aplicar essa teoria em campos como álgebra, análise funcional, lógica, teoria de modelos, teoria de provas. “Eu precisava de uma consciência geral do que acontece na matemática”, diz Olivia. “E essa ideia de usar os topos como pontes é algo que veio de um estudo muito intenso. Acho que, para mudar paradigmas e introduzir novas visões, o pesquisador não pode ter medo de voltar aos fundamentos e repensar as coisas desde as bases.”

Há poucas pessoas trabalhando com toposes classificadores, e, até o dia em que Olivia propôs a ideia num trabalho de doutorado, os matemáticos não pensavam em usá-los como ponte entre teorias. Hoje, porém, seu trabalho atrai a atenção da comunidade matemática. “A geração mais velha resiste um pouco a aceitar esse ponto de vista, mas as coisas têm ido bem. A geração mais jovem, por sua vez, em geral entende esse ponto de vista mais rapidamente.”

Como se interessou por essa teoria de unificação da matemática?

No início do doutorado em Cambridge, em 2006, conheci muitos conceitos importantes na lógica categórica; essa já era minha principal área de interesse na Itália, em particular os toposes de Grothendieck. E achei interessante os conceitos de lógica unificadora e a possibilidade de transferir conhecimentos entre diferentes campos da matemática. Então comecei a me perguntar: de que forma um topos pode ser aplicado na matemática? Quais ideias a teoria de topos pode me dar sobre a matemática clássica? Tive a intuição de que poderia usar os toposes de Grothendieck como uma espécie de ponte para conectar diferentes teorias; conectar no sentido de transferir resultados, técnicas, noções e ideias de uma teoria para a outra.

E como funciona essa técnica?

Imagine que tenha uma teoria da análise, uma da álgebra, e uma da geometria. Pode associar a cada uma delas um tipo de objeto, que é um topos. Então é natural que depois possa comparar as diferentes teorias comparando cada um dos toposes associado a cada uma delas. Se descubro, por exemplo, que um topos associado a uma teoria na álgebra é equivalente a um topos associado a uma teoria na análise, isso automaticamente me sugere uma conexão entre as duas teorias. É isso o que chamo de ponte. Embora a palavra “ponte” faça surgir uma imagem útil para compreender meu trabalho, eu a uso num sentido mais técnico.

Isso significa que um topos classificador admite diferentes representações; por exemplo, uma em termos da teoria algébrica, e outra em termos da teoria analítica. Ao fazer isso e estudar as propriedades invariantes dos toposes equivalentes (ou relacionados), obtenho uma propriedade algébrica e uma propriedade analítica que são logicamente equivalentes — o nome dessa equivalência é “equivalência de Morita”. É assim que construo as pontes.

Se tenho duas teorias com a equivalência de Morita, isso me dá o tabuleiro da ponte. [Tabuleiro: é o nome técnico do piso da ponte.] E os arcos [que numa ponte de verdade transferem o peso da ponte para as laterais] seriam as relações obtidas com a solução dessa invariante nos termos das duas diferentes representações. Ao compor os arcos com o tabuleiro, posso encontrar uma forma de traduzir uma propriedade num lado da ponte para uma propriedade no outro lado.

Como é a rotina de desenvolver uma nova teoria?

Tento me equilibrar entre teoria e aplicações: divido meu tempo entre desenvolver a teoria em geral e estudar campos específicos da matemática nos quais posso aplicar a teoria. Falo com muitos especialistas em diferentes áreas, e a partir dessas discussões tenho ideias de possíveis territórios matemáticos nos quais poderia aplicar uma técnica nova. Uma vez que identifico um bom problema para tratar usando minhas técnicas, começo a trabalhar nisso.

É importante manter esse vaivém entre teoria e aplicações, pois acho que, se o matemático desenvolve apenas a teoria, perde contato com os problemas que interessam os matemáticos especialistas e isso é uma lástima, pois a matemática não deveria ser desenvolvida apenas do ponto de vista abstrato, mas também a partir de problemas concretos [na própria matemática]. Por outro lado, se o matemático se preocupa apenas com problemas concretos, perde uma visão mais abrangente que possa haver além deles. Então, gosto de tentar manter esse equilíbrio, e até agora tenho conseguido.

Aliás, ando colaborando com cada vez mais pessoas nos últimos anos, inclusive especialistas, porque as pessoas agora se interessam mais por tais técnicas. Isso funciona bem, porque não consigo ter toda a bagagem de um especialista, mas ao falar com eles, tenho uma ideia dos conhecimentos especializados e eles têm comigo uma ideia das técnicas e da visão geral.

Como você se inspira e onde busca criatividade para o trabalho?

O que me motiva é encontrar bons conceitos e boas estruturas. Na minha opinião, uma boa indicação de algo frutífero é a possibilidade de calcular dentro de certa teoria. Por exemplo, o campo dos toposes de Grothendieck é muito eficiente do ponto de vista computacional e é muito convincente o fato de que, ao identificar um ambiente natural para as coisas, encontramos cálculos que podem ser feitos naturalmente. Talvez as pessoas imaginem por que alguém inventou o zero, ou por que inventaram o plano complexo. Afinal, essas coisas não são tão concretas, especialmente se pensar na raiz de menos 1 — isso não é concreto mesmo!

Mas pense no plano complexo: ainda que a pessoa esteja interessada em resolver equações polinomiais apenas na reta real, ao trabalhar num contexto estendido [o do plano complexo], ela tem maior poder, porque a possibilidade de calcular a raiz que procura está relacionada à existência de simetrias. Quando o matemático encontra um bom conceito, uma boa definição, uma boa estrutura, elas carregam em si mesmas a possibilidade de calcular ou, no mínimo, a de contemplar seus problemas matemáticos de uma forma eficaz.

No meu trabalho sempre procuro a naturalidade: as coisas têm de ser naturais, canônicas — tão canônicas quanto possível —, além de ricas no sentido computacional. Claro que há um elemento de criatividade e as pessoas devem usar a intuição, mas isso não significa fazer escolhas arbitrárias. Acho que o matemático deve tentar descobrir verdades de forma a mais natural possível; a teoria deve provar a si mesma assim que colocá-la no contexto certo. Isso, claro, é uma forma muito grothendickiana de pensar, é assim que ele descreve o modo de fazer matemática. Nunca tentou forçar as coisas, sempre se importou em encontrar bons fundamentos, bons conceitos, e estava convencido de que, uma vez que os encontrasse, poderia abordar os problemas nos quais estava interessado com maior consciência.

Fico muito contente com a teoria de topos, porque posso encontrar todos esses elementos nela, além de ser cheia de simetrias e cálculos eficazes. Isso me permite fazer operações com teorias no lugar de números. Posso, por exemplo, intersectar duas teorias, posso pegar a união de duas teorias ou mesmo fatorar um morfismo entre teorias. Os objetos com os quais trabalho são as próprias teorias matemáticas e a teoria de topos é como uma calculadora universal para elas.

Até que ponto se inspirou nos trabalhos de Grothendieck?

Li sobre ele quando ainda estava em Torino, durante a universidade, e fiquei impressionada com sua forma de pensar. Grothendieck realizou grandes coisas e certamente é o matemático com quem sinto a maior afinidade em termos de estilo matemático.

Como decidiu ser matemática?

O momento decisivo foi quando tinha 13 anos. Antes disso, a matemática parecia uma espécie de jogo mecânico, não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade; uma vez que algo é provado verdadeiro ou falso, dura para sempre. Há lindos exemplos: o teorema de Pitágoras, as provas euclidianas; eles têm milhares de anos, mas ainda são verdades e ninguém nunca vai mudar isso. Então, por um lado, existe esse aspecto de eternidade matemática, que me parece atraente e único. Nas ciências experimentais, de certa forma tudo é provisório. Além disso, gostei da ideia de resolver um problema de formas completamente diferentes, provas diferentes para um mesmo resultado. E a linguagem matemática é precisa e universal; ela nos permite compartilhar ideias de maneira objetiva, sem ambiguidade e com pessoas de todo o mundo. No fim, o matemático acaba sendo parte de uma aventura intelectual coletiva da qual o mundo inteiro participa. Além disso, há muita liberdade na matemática, embora isso não fique claro para quem está no ensino médio.

Você gostava da matemática escolar nessa época?

Quando está no ensino médio, o estudante não tem essa impressão de liberdade, porque faz apenas exercícios… Até chega a parecer meio entediante. Mas, conforme avança nos estudos, consegue ver cada vez mais casos em que pode resolver problemas de maneiras completamente diferentes, e acaba percebendo que há muita liberdade na matemática. Ninguém é forçado a resolver o problema de um jeito específico; cada um pode escolher sua própria abordagem — dá até para desenvolver um estilo matemático! Desde o começo entendi que a matemática é uma atividade bem criativa e até mesmo artística; há um elemento estético muito forte nela.

Essa visão era algo comum na sua escola?

Não, para ver isso o estudante precisa abstrair da forma clássica com que ensinam a matemática na escola. As pessoas acham bem entediante, ninguém espera que a gente use muito a intuição, ou pelo menos era assim onde estudei: bem mecânico e entediante. Pude formar uma ideia diferente da matemática lendo livros — me lembro em particular de O Que é Matemática?, do [Richard] Courant e do [Herbert] Robbins. Ele me fez olhar para a matemática de uma forma completamente diferente da forma como a olhava na escola. Nessa época, também gostava de resolver problemas, que baixava da internet. Resolvia problemas que eram mais difíceis que os da escola, eram mais elaborados e interessantes. Às vezes, passava horas tentando resolvê-los, e quando encontrava a solução ficava muito feliz. Pesquisava alguns tópicos elementares da teoria dos números e sentia muito prazer em descobrir resultados já conhecidos. E isso não importava, afinal estava tendo minha própria experiência. Gosto muito dessa sensação de me ver diante um problema difícil apenas com caneta, papel, e minha cabeça. Por tudo isso, decidi ser matemática e nunca mudei de ideia.

A música influenciou de alguma forma seu trabalho na matemática? Ou vice-versa?

A relação entre a matemática e a música sempre foi frutífera para mim, porque ambas têm muitas simetrias e, em certa medida, a beleza é dada por simetrias. Como matemática, sempre procuro simetrias e isso me ajuda a trabalhar nelas de maneira sistemática, então o treinamento matemático com certeza provocou impacto no modo como interpreto a música — ela tem tantas simetrias, tantas partes matemáticas que, eu sendo matemática, talvez as reconheça com maior naturalidade. Por outro lado, estudar música enriqueceu minha comunicação e minha capacidade de ter uma visão mais global da matemática. Quando interpreta uma peça, o músico tem de memorizar tudo, ter a peça completa na cabeça, o que o ajuda a pensar de modo global e coerente.

Você notou diferenças entre fazer pesquisa na Itália, na Inglaterra, e na França?

Bom, em geral, eu prefiro a França à Inglaterra, porque descobri que, de alguma forma, na França há uma sensibilidade abstrata maior na forma de fazer matemática. Além disso, tem a influência de Grothendieck; ele era professor no instituto onde trabalho hoje [Institut des Hautes Études Scientifiques], ou seja, trabalho no lugar onde Grothendieck originalmente introduziu os toposes. Eu não poderia desejar mais que isso [risos]. Estou muito feliz e, se puder, fico por aqui mais dois anos. {}



{2}/ Apêndice: categorias e pontes

Teoria de categorias. É uma linguagem com a qual os matemáticos pretendem unificar vários conceitos matemáticos. Com ela, eles compreendem melhor as propriedades dos objetos matemáticos, e visualizam melhor (de um ponto de vista mais alto ou mais geral) o modo como se inter-relacionam.

Categoria. É uma entidade matemática que consiste em objetos e morfismos. O estudante pode considerar um morfismo como uma função entre dois objetos; quando apropriado, pode compor dois morfismos. Os dois axiomas básicos para uma categoria são a associatividade da composição de morfismos e a existência de um morfismo identidade para cada objeto. Um exemplo é a categoria dos espaços vetoriais reais, que possui espaços vetoriais como objetos e as transformações lineares como seus morfismos.

A ideia de ponte. O leitor pode entender melhor a ideia de ponte ao pensar, por exemplo, na geometria analítica. Ao levar em consideração as coordenadas cartesianas, consegue associar uma reta a uma equação de primeiro grau, ou uma parábola a uma equação de segundo grau. Olivia diz que esse é um exemplo bem simples de ponte, pois com ela pode resolver problemas da geometria usando apenas manipulações algébricas, e resolver problemas algébricos usando apenas geometria.

O estudante bem treinado talvez ache difícil ver onde está a ponte entre a geometria e a álgebra, pois, para ele, a ligação entre os dois assuntos surge naturalmente. Contudo, pode pensar nas duas linguagens com que consegue representar o mesmo objeto. “Quando faz provas na geometria euclidiana, não precisa usar nenhuma equação”, diz Olivia. “Por outro lado, quando manipula equações, não precisa da geometria. São campos bem independentes.”

Em seu trabalho, Olivia trata de objetos mais avançados, mas a ideia é parecida com a da geometria analítica. É como se criasse um dicionário entre duas teorias distintas, com o qual, por meio dos toposes, pode traduzir os resultados de uma teoria em resultados de outra. Assim, pode ser que o matemático consiga traduzir um resultado simples numa teoria em um resultado complicado em outra, e vice-versa. É algo útil na hora de resolver problemas matemáticos. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, pág. 14, dezembro de 2014. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi feita pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto.

3. A teoria de categorias têm sido usada com sucesso em áreas como física, ciência da computação, linguística, e filosofia. A teoria é mais uma evidência de que o leitor, se quiser, pode encarar a matemática como uma espécie de ficção com certas características especiais. Com esse jeito de encará-la (cujo nome é ficcionalismo matemático), fazer matemática é bolar ficções que sirvam como metáfora para processos do mundo real, ou para processos naturais tais como os apreendemos com nossos sentidos e nosso intelecto.

CNMAC 2019: Leo Dorst dará um curso sobre álgebra geométrica


Na 39ª edição do Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional (CNMAC), o físico Leo Dorst, professor na Universidade de Amsterdã (Holanda), dará um breve curso (seis horas) sobre álgebra geométrica. (Leo dará o curso em três partes, de duas horas cada uma.)

É um assunto novo, que não tem nada a ver com geometria algébrica, apesar dos nomes tão parecidos. Em essência, o especialista em geometria algébrica estuda as soluções de sistemas de equações polinomiais; é uma área importante da matemática pura atual. O especialista em álgebra geométrica, por sua vez, se concentra nas álgebras com as quais pode estudar as muitas interpretações geométricas que alguém pode dar aos fenômenos matemáticos que ocorrem em espaços vetoriais; é uma área importante da matemática aplicada atual, e de especial importância para físicos e cientistas da computação.

(É difícil, senão impossível, separar as áreas da matemática em pura, de um lado, e aplicada, de outro. Geometria algébrica está mais para matemática pura, embora tenha muitas aplicações práticas; álgebra geométrica está mais para matemática aplicada, embora muitas de suas questões em aberto têm um viés puramente matemático. Basta dizer, não peremptoriamente, que o especialista em geometria algébrica se inclina mais para a matemática pura, e que o especialista em álgebra geométrica se inclina mais para a matemática aplicada à física e à computação.)

Suponha que tem de executar algumas rotações e translações de um sólido num ambiente de três dimensões. O sólido começa numa certa posição inicial e, depois das rotações e das translações, termina numa posição final. Qual é o número mínimo de translações e de rotações para tirar o sólido da posição inicial e colocá-lo na posição final? Isso talvez seja muito difícil de resolver com os métodos usuais; por exemplo, com álgebra linear comum ou com geometria de coordenadas. Mas, com os símbolos e a sintaxe da álgebra geométrica, isso talvez seja um problema fácil de resolver. Sem contar a vantagem de que a álgebra geométrica funciona em espaços de dimensão arbitrária.

Na SBMAC, você vai dar um curso sobre “álgebra geométrica”. Pode explicar o que é isso?

Leo Dorst (arquivo pessoal). Ao fundo, a cidade de Jerusalém

“Álgebra geométrica” é, digamos assim, uma linguagem nova; portanto, agora existe uma linguagem com a qual podemos considerar objetos geométricos, e as relações entre eles, para realizar computações diretas, como se tais objetos e relações fossem números.

Por exemplo, imagine que gostaríamos de atribuir significado à razão entre dois planos. Isso é possível? Bem, queremos algo que torne verdadeira a seguinte igualdade: p1 = (p1/p2) · p2, onde p1 e p2 são dois planos, não necessariamente distintos. Mas é possível fazer isto: basta que vejamos a razão entre os dois planos p1 e p2 como sendo a rotação que transforma um plano no outro; com essa providência, p1 = (p1/p2) · p2 é uma afirmação verdadeira, na qual p1/p2 denota a rotação que transforma p2 em p1.

[Eis um jeito de verter a igualdade inteira em palavras mais cotidianas: “Para obter o plano p1 a partir do plano p2, aplique a rotação p1/p2 a p2.”]

Assim, a álgebra geométrica se transformou numa linguagem matemática muito útil para escrever programas de computador, por exemplo para robôs ou sistemas eletrônicos de visão; pois, graças à álgebra geométrica, o robô pode realizar computações diretamente com os elementos que ocorrem no nosso mundo.

Para aqueles leitores que sabem um pouco mais de matemática, especialmente um pouco de álgebra linear e de cálculo, com a álgebra geométrica nós finalmente temos um arcabouço computacional algébrico para lidar com elementos essenciais da álgebra linear, como os subespaços.

[Subespaços são subconjuntos de algum espaço vetorial, isto é, de alguma estrutura na qual haja objetos abstratos que se comportam como vetores, mais uma operação de adição de vetores e outra de multiplicação de vetores por escalares.]

Antes da álgebra geométrica, só podíamos representar tais elementos por meio de descrições matemáticas, ou então por meio de descrições baseadas em algum sistema de coordenadas. Mas agora, com a álgebra geométrica, temos condições de exprimir muitas coisas mais. A métrica se transforma numa ferramenta de modelagem, com a qual conseguimos integrar o cálculo e a álgebra linear de um jeito muito eficiente.

Espaços métricos. Na matemática, um espaço métrico é um conjunto S de elementos mais uma métrica M aplicada àqueles elementos; a métrica, por sua vez, é alguma definição que dê corpo à noção de distância. Para que um espaço seja métrico, a distância entre um elemento x de S e o próprio x deve ser igual a zero; a distância entre x e y, com xy, tem de ser positiva; etc. Há muitos conjuntos de elementos distintos de números nos quais é possível implementar uma métrica.

Com tudo isso, podemos estabelecer relações entre os elementos do subespaço de maneira covariante, isto é, de maneira tal que fica mais fácil fazer certas substituições de um elemento por outro. Assim, as operações básicas que realizamos com cada tipo de geometria podemos aplicar universalmente aos elementos de cada geometria, o que simplifica muito o ato de afirmar certas verdades, de prová-las, e depois de implementá-las com software.

Dada a sua experiência profissional, como avalia os usos da matemática em investigações científicas?

Eu não sou matemático. Estudei física, mas estudei física porque gosto muito de ver a matemática funcionando no mundo real. Para mim, resolver um problema de cunho prático é de central importância, e vejo a matemática como uma de minhas ferramentas. Na verdade, como a ferramenta mais poderosa que a humanidade já desenvolveu.

Dito isso, acho muito decepcionante que aspectos geométricos distintos de um mesmo problema, porém aspectos bastante correlacionados entre si, nos obriguem a recorrer a áreas da matemática que são difíceis de integrar umas com as outras, e que são ensinadas separadamente.

Por razões históricas, essas áreas da matemática divergiram no passado, e se transformaram em formalismos muito distintos uns dos outros, de modo que usá-las ao longo do processo de resolução de um mesmo problema nos obriga a uma montanha de traduções complicadas entre formalismos.

Mas, com a álgebra geométrica, agora temos um arcabouço teórico unificado para exprimir os mais variados formalismos distintos a respeito de aspectos geométricos de um problema, e para computá-los. Isso permite a feitura de programas de computador muito melhores — mais compactos e mais estáveis.

Ainda assim, acho decepcionante que a álgebra geométrica tenha ficado escondida, à vista de todos, por mais de cem anos — desde quando Clifford morreu até quando Hestenes a redescobriu.

William Kingdon Clifford, matemático britânico, nasceu em 1845 e morreu aos 34 anos, de tuberbulose. Gostava muito de geometria e lançou as fundações do que hoje se conhece por “álgebras de Clifford”, e que são o ponto de partida da álgebra geométrica. David Hestenes, matemático americano, nasceu em 1933 e até hoje, aos 86 anos, coordena projetos de pesquisa para instituições do governo americano. É de Hestenes a ideia de que as álgebras de Clifford são muito mais úteis do que todos supunham, especialmente na física e, por extensão, na computação teórica e prática.

Por causa desse descuido, hoje é tarde demais para substituir as fundações de certas áreas do conhecimentos, como a computação gráfica, por fundações feitas com álgebra geométrica. Isso porque as fundações atuais já estão implementadas no hardware [em particular, nos circuitos integrados] especializado em tratamento de imagens. Mesmo assim, vamos seguir tentando.

Você por acaso gosta de filosofia da matemática?

Eu acho que filosofia é algo que uma pessoa deve estudar antes dos 25 anos, quando ainda não sabe nada, ou então depois dos 75 anos, quando já sabe tudo o que virá a saber. Mas um cientista, no período produtivo de sua vida profissional, deveria ter coisas mais úteis para fazer. {Fim}


Observações:

1. Para ver a programação do CNMAC 2019 e fazer sua inscrição, clique aqui.

2. O CNMAC é organizado pela Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC), cujo website fica aqui.

3. Leo Dorst deu uma entrevista ao autor deste blogue no dia 21 de agosto de 2019, por e-mail. Se quiser saber mais sobre ele, clique aqui; nessa mesma página, Leo mantém uma lista de perguntas e respostas sobre álgebra geométrica (aqui) e um curso de introdução em duas partes (parte I e parte II).

4. Ao dizer o que disse sobre filosofia, acho que Leo Dorst está certo — mas só até certo ponto. Produzir filosofia de boa qualidade é realmente difícil, especialmente nos dias de hoje, em que as exigências de qualidade são altas. Portanto, de fato um cientista profissional não tem tempo, “no período produtivo de sua vida”, de escrever um artigo filosófico que mereça destaque, pelo simples motivo de que ele tem outras obrigações a cumprir.

Dito isso, considero a filosofia muito importante. A arte da filosofia é a arte de questionar, severamente, o que pensamos que sabemos. E não existe ninguém melhor do que um físico experiente, por exemplo, para questionar severamente aquilo que a humanidade pensa que sabe sobre física.

Só que leva anos para que alguém aprenda a filosofar; leva mais tempo para formar um bom filósofo do que um bom cientista ou matemático. Penso que todo profissional, ao longo da vida, deve dedicar uma parcela pequena de seu tempo para estudar os métodos da filosofia e os melhores filósofos, especialmente aqueles que, de alguma forma, escreveram sobre assuntos correlatos com sua especialidade. Basta um bom livro por ano. Desse modo, quando fizer 75 anos, já estudou uns 50 livros de filosofia e está pronto para se sentar ao computador e refletir, de maneira informada, sobre sua experiência profissional e de vida.

5. Há um outro artigo sobre o CNMAC 2019 neste blogue: é a entrevista pingue-pongue com Celina de Figueiredo.

Teorias de erro no mundo do trabalho e na matemática


O que fazer quando você descobre que os outros acreditam num conjunto de afirmações que são sistematicamente falsas? Stephen Finlay, filósofo neozelandês, recomenda um procedimento comum entre filósofos: não apenas aponte o problema, mas mostre por que pessoas inteligentes e racionais tinham motivos para cair em erro. Pois ninguém gosta de estar errado, e muitas vezes é emocionalmente mais fácil continuar em erro.


No mundo corporativo, às vezes um executivo tem de dizer a seus colegas que eles estão errados.

Psicólogos afirmam que essa é uma situação tão estressante que, com frequência, o executivo dá sinais de sofrimento mental. Ele (ou ela) supõe que, ao apontar o erro de seus colegas, vai perder status; o cérebro humano, porém, interpreta qualquer perda de status como uma ameaça à sobrevivência — e daí surge a inquietação nervosa. (Nas savanas africanas, onde a espécie humana surgiu, até hoje é assim: quando uma tribo expulsa um de seus membros, ele quase sempre morre dias depois.)

Stephen Finlay, professor de filosofia na Universidade do Sul da Califórnia (EUA), saberia ajudar o executivo nessa situação tão difícil, pois conhece bem uma linha de investigações filosóficas batizadas de teorias de erro. “As teorias de erro”, diz Finlay, “são interessantes e importantes.”

Como definir uma teoria de erro?

Segundo o modo como os filósofos em geral usamos a expressão “teoria de erro”, com ela queremos simplesmente dizer que as afirmações de determinado tipo são todas falsas (ou, no mínimo, que não podem ser classificadas de verdadeiras).

Quando explico esse assunto para meus alunos, sigo mais ou menos o seguinte roteiro: Em primeiro lugar, uma teoria de erro é sempre uma teoria de erro sobre X, sendo que X é um discurso, ou seja, um conjunto de proposições [afirmações que ou são verdadeiras, ou falsas]. Em segundo lugar, uma teoria de erro sobre X é o entendimento de que as proposições do discurso X são sistematicamente falsas. Em quase todos os casos, uma teoria de erro diz que as proposições de X são falsas porque dependem de uma pressuposição Y, que é falsa, e que torna falso o discurso X.

Alguns exemplos: uma famosa teoria de erro sobre moralidade diz que nada pode ser moralmente certo ou errado, porque um acerto moral ou um erro moral depende de valores absolutos, mas tais valores absolutos não existem. Uma teoria de erro sobre proposições religiosas diz que toda crença religiosa é sistematicamente falsa, pela razão de que deuses não existem. Uma teoria de erro sobre proposições matemáticas diz que toda crença em verdades matemática é falsa, pela razão de que números não existem. Há muitas teorias de erro na filosofia, por exemplo sobre o conceito de eu, de livre-arbítrio, de raciocínio indutivo. E existem teorias de erro sobre certas classes específicas de teorias de erro.

Numa corporação, como um executivo pode usar o conceito de teoria de erro?

Qualquer um que proponha uma teoria de erro sobre X deve explicar por que razão as pessoas acreditam em X. Ele deve explicar o seguinte: Como foi que a pessoa P veio a acreditar no conjunto de proposições X, sendo que as proposições de tal conjunto são falsas? Em outras palavras, ele deve partir do pressuposto de que a pessoa P é racional, e que veio a acreditar em X por meio da razão. Por exemplo, todos nós temos um profundo desejo de que as pessoas más estejam objetivamente erradas, isto é, que estejam erradas qualquer que seja o observador, qualquer que seja o ponto de vista; e isso nos leva a acreditar que existem fatos morais objetivos. Se você disser algo assim, talvez as pessoas aceitem mais facilmente sua teoria de erro sobre proposições morais.

É bom notar que uma teoria de erro é mais importante quando as crenças falsas que o executivo está tentando combater não são apenas as crenças de uma pessoa, mas de um grupo grande de pessoas, ou então de um grupo de autoridades. Isso porque o ser humano tende a acreditar naquilo em que muitos acreditam, e também naquilo em que as autoridades acreditam. Em casos assim, é fundamental prover uma explicação sobre os motivos pelos quais as pessoas e as autoridades vieram a acreditar em proposições falsas.

Vale lembrar que propor uma teoria de erro sobre X pode ser perigoso se X é muito importante para a comunidade. Imagine defender uma teoria de erro sobre proposições religiosas para uma comunidade de religiosos, da qual você faz parte. Você monta um argumento mostrando que Deus não existe, e diz que essa conclusão torna verdadeira sua teoria de erro. Ora, é possível que você convença pouca gente da comunidade, ou mesmo ninguém; para piorar, arruma muitos inimigos, e talvez até ponha sua vida em risco.

Você acha que uma pessoa precisa de treinamento especial para abandonar suas crenças prediletas em resposta a argumentos logicamente válidos e semanticamente sólidos?

Essa é uma pergunta mais apropriada para psicólogos, mas posso esboçar uma resposta.

Os psicólogos têm achado uma grande quantidade de evidências de que nossas convicções influenciam fortemente nossos raciocínios. Alguns, como Jonathan Haidt, dizem que as evidências e a lógica são quase impotentes na guerra contra aquilo em que queremos acreditar.

Eu, pessoalmente, não acho que a situação seja tão ruim. As pessoas desistem de crenças prediletas com relutância, e muito devagar, mas elas desistem. De certa forma, elas têm razão em ir devagar, pois é raro topar com um argumento válido que seja ao mesmo tempo irresistível. Mesmo um argumento sólido raramente usa premissas convincentes — elas até podem ser verdadeiras, mas não são convincentes à primeira vista. Assim, quando alguém vê um argumento desses dizendo que suas crenças mais prediletas são falsas, é natural que duvide da conclusão, e que passe um tempão tentando desqualificar pelo menos uma das premissas. Por exemplo, se um canal de TV apresenta notícias desabonadoras sobre um político o qual você apoia, você talvez suspeite de notícia falsa, ou do ideário político do canal. Contudo, todos podemos nos lembrar de ocasiões nas quais nós, relutantemente, abandonamos uma crença e viemos a acreditar em algo que, a princípio, desejávamos que não fosse verdade.

Esse é um dos objetivos principais de minhas aulas de filosofia: eu me esforço para que meus alunos aprendam a reconhecer um bom argumento cuja conclusão eles detestam, e um mau argumento cuja conclusão eles amam. Assim, respondendo à pergunta, um bom treinamento, como o treinamento de boas faculdades de filosofia, deixa a pessoa mais receptiva a evidências e a argumentos lógicos.

Você saberia montar uma lista dos motivos pelos quais as pessoas acreditam em proposições falsas?

Nossa, essa lista ficaria longa demais! Posso tentar uma lista bastante parcial:

(1) Temos o desejo muito forte de que certas proposições sejam verdadeiras. Por exemplo, desejamos que, de alguma forma, nossa mente sobreviva à nossa morte.

(2) Pensamento supersimplista: achamos que alguma coisa deve explicar as variações do tempo e do clima. Pronto! Inventamos Thor, o Deus do Trovão!

(3) A falácia patética: achamos que algo subjetivo, como um sentimento, é na verdade algo objetivo, como uma propriedade que existe por si mesma no mundo.

Existe um método pelo qual compor teorias de erro?

Não que eu saiba. Mas suponha uma pessoa que antes acreditava em certo discurso, e que agora vê as proposições desse discurso como sistematicamente falsas. Ela pode usar a introspecção para refletir sobre por que um dia chegou a acreditar nesse discurso. Isso talvez seja útil. Um problema é que nem sempre conseguimos interpretar corretamente nossos próprios estados mentais. Outro é que talvez as outras pessoas vieram a acreditar nesse discurso por outros motivos. O certo é que, quando uma pessoa passa a pensar mais frequentemente sobre teorias de erro, ela aprecia melhor o que realmente existe no mundo, e eu acho isso bom. {FIM}


Observações:

1. A revista Você RH, da Editora Abril, publicou uma versão ligeiramente diferente desta minha matéria sobre teorias de erro na edição de maio de 2018. Copyright © Abril Mídia S.A.

2. Uma das teorias de erro mais promissoras hoje em dia se chama “ficcionalismo na filosofia da matemática”. Ela diz que afirmações matemáticas são sistematicamente falsas, pois conceitos abstratos não existem e, portanto, números não existem. Quem lê sobre ficcionalismo pela primeira vez tem a sensação de que está lidando com gente maluca, mas, com o tempo, ele passa a fazer cada vez mais sentido. (Eu mesmo acho mais fácil acreditar em ficcionalismo que em platonismo.) Em resumo, um ficcionalista diz o seguinte sobre afirmações matemáticas:

Quando alguém diz “Marte é um planeta vermelho”, está fazendo uma afirmação sobre Marte, que existe, e que é um planeta do sistema solar; e essa afirmação é a de que, para os observadores humanos na Terra, Marte aparece como sendo vermelho. E de fato Marte é vermelho, como sabe qualquer um que já tenha visto Marte numa noite de céu límpido; e portanto a afirmação “Marte é um planeta vermelho” é verdadeira. Mas quem diz “17 é um número primo” está fazendo uma afirmação sobre algo que, em última instância, é uma ficção, mais ou menos como quem diz “Sherlock Holmes tocava violino muito bem.” Assim como Sherlock Holmes não existe no nosso mundo, pois é um personagem de ficção, 17 não existe no nosso mundo, pois, de certa maneira, também é um personagem de ficção.

Pensando nisso de outra forma: Suponha que só vai aceitar coisas reais, palpáveis, mensuráveis, sensíveis, como sendo o referente dos termos de seu vocabulário. Se fizer isso, terá de classificar a afirmação “17 é um número primo” como sendo falsa, pois não existe nada no mundo real que sirva de referente para o termo “17”. Os únicos referentes que poderá achar são livros de matemática, que contam muitas estórias nas quais 17 é um personagem importante; em particular, nessas estórias, 17 de fato é um número primo. De certa forma, o professor de matemática e o de literatura são, profissionalmente falando, como primos de primeiro grau.

Se o leitor gostaria de saber mais sobre ficcionalismo, clique aqui.

3. A “famosa teoria de erro sobre moralidade”, à qual Finlay se refere logo no começo da entrevista, é a do filósofo australiano John Mackie (1917-1981). Para saber mais sobre antirrealismo moral, em geral, e sobre o argumento de Mackie, em particular, clique aqui. Mackie inventou a locução “teoria de erro”, e a tornou famosa, mas teorias de erro existem desde os pré-socráticos.

CNMAC 2019: A palestra inaugural será sobre o problema P versus NP

Na abertura do 39º Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional (CNMAC 2019), Celina Miraglia Herrera de Figueiredo, professora de ciência da computação na Universidade Federal do Rio de Janeiro, dará uma palestra sobre o problema P versus NP. Resumindo ao máximo, quem primeiro resolver esse problema dará resposta à pergunta: Será que é possível automatizar, de modo muito eficiente, a criatividade humana?


{1}/ Introdução à entrevista: tempo polinomial

O jeito mais simples de entender o problema P versus NP é, em primeiro lugar, examinar uns poucos exemplos. (A partir de agora, seguindo o costume da internet, usarei “P =? NP” para grafar “P versus NP”; isso porque “P =? NP” sugere a pergunta: “Será que os problemas computacionais de categoria P são iguais aos de categoria NP?” No entanto, quando bater os olhos em “P =? NP”, leia desta maneira: “P versus NP”.) Sendo assim, comece pensando nos três exemplos a seguir.

Exemplo 1. Você pode usar as letras LEAROLCMU para formar uma palavra da língua portuguesa? (Tem de usar cada letra exatamente uma vez.)

Exemplo 2. Suponha que te digam que o inteiro 661.643 é o produto de dois números primos p, q. Usando apenas papel e lápis, ache o valor de p, q.

Exemplo 3. Quanto tempo a mais você levaria, grosso modo, para fatorar um inteiro positivo com 2n algarismos em fatores primos, comparado com um inteiro positivo com n algarismos? (Se quiser, presuma que tem acesso a uma lista ordenada de primos 2, 3, 5, 7, 11, …, longa o suficiente para fatorar tanto o inteiro com n algarismos quanto o inteiro com 2n algarismos.)

Resolver cada um dos três exemplos dá trabalho. No primeiro, você começa rearranjando as letras mais ou menos a esmo, até que, por pura sorte, certa combinação de letras sugere a resposta. No segundo, você usa o crivo de Eratóstenes para ir produzindo uma lista de primos, e quando sua lista já tiver um bom comprimento, passa a testá-los. No terceiro, você tem de fatorar inteiros positivos com 1 algarismo, 2 algarismos, 3 algarismos, etc., até ver se consegue descobrir uma função que associe o número de algarismos do inteiro positivo ao tempo necessário para fatorá-lo. A partir dessa função (se houver uma), procura uma fórmula para calcular a diferença de tempo entre fatorar um inteiro com n algarismos e com 2n algarismos.

Suponha, contudo, que alguém te apresentasse os dois primeiros exemplos de maneira completamente diferente. Assim:

Exemplo 1B. Você pode usar as letras LEAROLCMU, cada uma delas exatamente uma vez, para formar a palavra “molecular”?

Exemplo 2B. Dados os dois números primos 541 e 1.223, será que 541 × 1.223 = 661.643?

Agora, ficou fácil. Ficou tão fácil que ficou chato.

O leitor está pronto para entender a diferença entre os problemas da “classe de complexidade P” e os da “classe de complexidade NP”. Os problemas da classe P são aqueles que podem ser tanto resolvidos quanto verificados em “tempo polinomial”, isto é, pode calcular o tempo para resolver o problema por meio de um polinômio, assim como o tempo para verificar se foi resolvido. (O polinômio para calcular o tempo de resolução não precisa ser idêntico ao polinômio para calcular o tempo de verificação; aliás, eles podem ser bem diferentes.) É o caso do problema no exemplo 3. Se te pedem para fatorar o inteiro 8.384, você leva um tempo para achar os fatores primos 2, 2, 2, 2, 2, 2, 131 (pois 26 × 131 = 8.384). No entanto, se te pedem para verificar que 26 × 131 = 8.384, o problema não fica imensamente mais fácil. Nesse caso, o grau de dificuldade de resolver e de verificar é, em certo sentido, semelhante: você pode calcular o tempo necessário para achar o fatores com um polinômio em x, no qual x é a quantidade de algarismos do inteiro a fatorar; assim como pode verificar se o produto de certos fatores resulta em certo inteiro com um polinômio em x (não necessariamente igual ao polinômio anterior). Essa é a marca dos problemas na classe de complexidade P: tempo polinomial para achar a solução, tempo polinomial para verificar se a solução achada é verdadeira.

Quanto aos problemas da classe NP, resolvê-los é muito mais difícil do que verificá-los — ou assim nos parece. É difícil achar uma palavra da língua portuguesa que possa escrever usando as letras LEAROLCMU exatamente uma vez, mas é fácil verificar que, para escrever MOLECULAR, você usa cada uma das letras LEAROLCMU exatamente uma vez. É difícil achar os primos p = 541 e q = 1.223 se te dão apenas o inteiro 661.643 mais papel e lápis, mas é fácil verificar que 541 × 1.223 = 661.643. A classe de complexidade NP contém aqueles problemas que, conforme sua complexidade aumenta, o tempo para verificar uma solução correta aumenta polinomialmente; contudo, aparentemente, o tempo para achar uma solução correta aumenta exponencialmente. (O valor de uma função exponencial sempre aumenta mais velozmente que o valor de uma função polinomial.)

A pergunta de 1 milhão de dólares é: Será que os problemas da classe de complexidade NP são, na verdade, elementos da classe de complexidade P? (Ou seja, será que a classe NP é, na verdade, subconjunto da classe P? Será que NP P?) Será que verificar é tão complicado quanto resolver? Será que, diante de certos problemas, achamos muito mais complicado resolvê-los do que verificá-los simplesmente porque ainda não atinamos com um algoritmo eficiente por meio do qual resolvê-los em tempo polinomial?

Sim, essa pergunta realmente vale 1 milhão de dólares. Não é força de expressão. No dia 24 de maio de 2000, o Instituto de Matemática Clay (um instituto americano sem fins lucrativos) publicou uma lista com sete problemas em aberto, que chamou de “Problemas do Milênio”. Quem resolver qualquer um deles ganha 1 milhão de dólares do instituto, e entre eles está o problema P =? NP. É hora de entender, um pouco mais tecnicamente, por que a resposta a esse problema é tão importante.

Quem lida com as questões da computação teórica está sempre diante do problema de determinar a quantidade mínima de recursos para que certo computador (teórico) possa executar certa tarefa computacional, isto é, possa executar certo algoritmo. O recurso mais básico é o tempo. De maneira equivalente, o recurso mais básico é o número máximo de passos necessários para executar o algoritmo; conforme o hardware que está sendo levado em consideração, é fácil converter o número máximo de passos em intervalo máximo de tempo. E logo em seguida o pesquisador (ou pesquisadora) tem de lidar com a seguinte pergunta: “Quanto tempo a mais vou precisar para executar o algoritmo caso a entrada fique mais complicada?” Por exemplo, de quanto tempo a mais o pesquisador precisa para fatorar um inteiro positivo com 2n algarismos, comparado com o tempo de que precisa para fatorar um inteiro positivo com n algarismos?

A classe de complexidade P contém todos os algoritmos que podem ser executados em tempo polinomial em função da complexidade da tarefa, isto é, existe um inteiro k tal que, se a complexidade da tarefa tem algo a ver com n (como a quantidade n de algarismos), então a computação pode ser executada em no máximo nk passos. A complexidade n do problema é a base do polinômio. A classe de complexidade NP contém todos os algoritmos cuja resposta correta pode ser verificada em tempo polinomial, mesmo que não necessariamente possa ser achada em tempo polinomial. Em outras palavras, existe um inteiro k tal que, se a complexidade da tarefa tem algo a ver com n, então a correção da resposta pode ser verificada em no máximo nk passos; contudo, parece que achar a resposta leva no máximo an passos, para algum número real a. Agora, a complexidade n do problema vai no expoente de uma função exponencial de base a. É o jeito técnico de dizer que, para os problemas na classe de complexidade NP, conforme o tamanho do problema aumenta, o tempo necessário para verificar se o problema foi resolvido aumenta polinomialmente, mas o tempo necessário para resolvê-lo aumenta exponencialmente. Ou assim parece.

Tudo isso tem boa correspondência com a intuição humana. Parece mesmo que é mais difícil e demorado achar a prova de um teorema do que verificar se a prova está correta. Parece mais demorado escrever um bom romance do que verificar se um romance foi bem escrito. Só que ninguém ainda conseguiu provar que P ≠ NP, como nossa intuição nos diz.

Visto que ninguém provou que P ≠ NP, então talvez seja o caso de que P = NP. Se alguém algum dia provar que P = NP, então nossa intuição sempre esteve errada. Achar uma palavra da língua portuguesa que possa escrever usando as letras LEAROLCMU exatamente uma vez é, em certo sentido, tão complicado quanto verificar que MOLECULAR usa as tais letras exatamente uma vez. Achar os números primos p, q tais que pq = 661.643 é, em certo sentido, tão complicado quanto verificar que 541 × 1.223 = 661.643. Achar a prova de um teorema é, em certo sentido, tão complicado quanto verificar que a prova está correta. Escrever um bom romance é, em certo sentido, tão complicado quanto verificar que foi bem escrito. (Esse “certo sentido” é o sentido técnico: conforme a complexidade da tarefa aumenta, o tempo necessário para executá-la aumenta polinomialmente.) Se alguém algum dia provar que P = NP, significa dizer que existe em teoria a possibilidade de automatizar a criatividade humana de um jeito bastante eficiente. É por isso que, de acordo com todos os que entendem do assunto, o problema P =? NP é o mais importante da computação teórica.


Celina de Figueiredo/ Arquivo pessoal


{2}/ A entrevista pingue-pongue: um problema matemático

Por que escolheu o problema P =? NP para a palestra de abertura do CNMAC 2019? A plateia já não conhece esse problema bastante bem?

Quando existe um problema como o P =? NP, que é um problema importante, e que está aberto há muitos anos, a gente nunca sabe o suficiente sobre ele — e talvez alguns da plateia saibam pouco sobre ele.

Por exemplo: em maio de 2019, pude falar sobre esse problema num seminário da PUC-Rio, organizado pelo professor Lorenzo J. Díaz, que é um grande matemático. Na ocasião do seminário tínhamos um dia especial para as mulheres matemáticas — é o dia 12 de maio, dia do nascimento de Maryam Mirzakhani, que, em 2014, foi a primeira mulher a ganhar a Medalha Fields (junto com o nosso Artur Ávila). Então o professor Lorenzo achou que eu, uma mulher matemática, deveria dar uma palestra de divulgação do problema P =? NP.

Ora, havia gente muito boa na plateia, gente interessada em matemática, e competente, mas que só conhecia o problema P =? NP de modo superficial, porque não conhece bem os problemas importantes da teoria da computação. Algumas pessoas, aliás, tinham ouvido falar do problema, mas na verdade não o conheciam. Uma coisa é ter visto alguma vez as letrinhas P e NP, outra coisa é saber o que significam.

Eu até perguntei aos matemáticos que estavam ali presentes: “Vocês sabem em que pé estão os problemas do milênio?” E, naquela ocasião específica, a maioria das pessoas na plateia não estava bem informada das notícias. É por isso que uma palestra de abertura sobre P =? NP é uma boa iniciativa. Eu encaro essa palestra como um trabalho de divulgação científica, durante o qual quero discorrer um pouco sobre os resultados mais importantes que pesquisadores do mundo inteiro obtiveram até agora.

(Aliás, se você me perguntar agora como andam os outros problemas do milênio, além desse P =? NP, eu vou ter de pesquisar… Eu não saberia falar de improviso sobre nenhum deles.)

Não quero que essa palestra seja muito técnica — pois a verdade é que o problema P =? NP é difícil, tão difícil que é difícil explicá-lo. Assim, se a palestra ficar excessivamente técnica, vai ficar hermética; e, se ficar hermética, não cumpre seus objetivos. Ora, um deles é mostrar que o problema P =? NP não é apenas um problema de computação, mas de matemática. A SBMAC tem feito um esforço para mostrar que matemática pura, matemática aplicada, e matemática computacional são, todas elas, pura e simplesmente matemática. As fronteiras entre elas são artificiais, e surgem mais durante a disputa por recursos humanos e financeiros finitos — tal disputa produz feudos, e cada feudo puxa a sardinha para seu lado. De todo modo, acho que o problema P =? NP está bem na fronteira entre as várias matemáticas. Ele é claramente um problema matemático, pois foi colocado na lista dos problemas do milênio por matemáticos. Mas pode ser perfeitamente classificado como um problema de teoria da computação.

Brevemente, e nas suas palavras, qual é o problema P =? NP?

Esse problema captura duas ideias muito interessantes: a letra P captura a ideia de “resolver com relativa facilidade”; as letras NP capturam a ideia de “verificar com relativa facilidade”. Quando escrevemos P = NP, estamos dizendo que resolver um problema leva mais ou menos o mesmo tempo que verificar se a resolução está certa. Da mesma forma, com P ≠ NP estamos dizendo que o tempo para resolver um problema é diferente, e talvez bastante diferente, do tempo para verificar se foi resolvido. [Conforme o problema, resolver leva mais tempo que verificar; ou então leva menos tempo que verificar.]

Existe um livro muito interessante sobre isso, que costumo consultar sempre: Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, cujos autores são Michael R. Garey e David S. Johnson. Neste ano, o livro está comemorando quarenta anos, pois foi publicado pela primeira vez em 1979.

Os autores desse guia estavam interessados nos limites da computação. (Aliás, é bom ressaltar: estou falando de computação, e não de computador. Eu sei pouco sobre computadores, que são os equipamentos; a computação é a ciência, é a teoria.) Desde Alan Turing, estamos todos muito interessados em entender bastante bem quais são os limites do que é possível fazer com um algoritmo computacional.

Garey e Johnson colocaram no final do guia uma lista com doze problemas em aberto que eles julgavam muito importantes, todos correlacionados com o problema P =? NP. Até parece que eles tinham bola de cristal! Porque, quarenta anos depois, cinco dos problemas foram classificados como sendo do tipo P, isto é, podem ser resolvidos em tempo polinomial. O problema de testar números primos é um deles, e o de resolver questões de programação linear é outro. Ambos estavam na lista. Além disso, cinco foram classificados como problemas do tipo NP-completo. Quanto aos outros dois, ainda não se sabe.

Mas o que significa dizer que um problema é do tipo NP-completo? Significa o seguinte: que ainda não temos nenhum algoritmo que possa resolver qualquer um dos problemas NP-completos em tempo polinomial. A expressão “P =? NP” captura uma dúvida: Será que os problemas do tipo NP-completo podem ser resolvidos em tempo polinomial? Graças a um teorema da computação, sabemos que se alguém achar pelo menos um algoritmo para resolver um problema NP-completo em tempo polinomial, então todos os problemas NP-completos podem ser resolvidos em tempo polinomial. Essa é a marca dos problemas NP-completos.

Deixe-me citar dois exemplos de problemas NP-completos: o problema do caixeiro viajante e o problema de colorir mapas com o menor número possível de cores.

Ora, eu achava que o problema das cores já havia sido resolvido. Não foi?

Não!

O que foi resolvido foi o seguinte: se eu te der um mapa qualquer, você já sabe, sem nem mesmo olhar o mapa, que precisará de no máximo quatro cores para pintar cada “país”, sem que haja dois países adjacentes pintados com a mesma cor.

Contudo, o problema da otimização ainda está em aberto: dado um mapa qualquer, qual é o menor número de cores para pintar cada “país”? Já sabemos que o número máximo de cores é quatro. Mas, dado um mapa específico, será que poderia pintá-lo com apenas três cores, por exemplo?

Esse problema de otimização é muito difícil, e é do tipo NP-completo.

Se eu te der o mapa da América Latina, você pode me dizer: “Ah, já sei que vou precisar de no mínimo quatro cores, porque já sei que existem quatro países mutuamente adjacentes, e o teorema de Appel-Haken me diz que uma situação dessas exige quatro cores.” [Os quatro países mutuamente adjacentes são: Brasil, Bolívia, Paraguai, e Argentina.]

E se eu te der o mapa do Brasil? Aí pode me dizer: “Ah, também vou precisar de quatro cores, pois há no Brasil um ciclo ímpar: temos cinco estados que formam um ciclo em torno de um sexto estado.” [Ao redor de Goiás, temos Minas Gerais, Bahia, Tocantins, Mato Grosso, e Mato Grosso do Sul.] Para esses cinco estados, você precisa de quatro cores: duas cores para pintar um sim, um não, um sim, um não; uma terceira cor para pintar o quinto estado, que faz fronteira com o primeiro e o quarto; e uma quarta cor para pintar o sexto estado no meio deles. O nome técnico disso é “certificado”, e os matemáticos conhecemos muitos certificados semelhantes a esse, mas até agora ninguém conseguiu produzir um algoritmo que determine o número mínimo de cores, para qualquer mapa, em tempo polinomial.

É diferente com os números primos. Para números primos, temos uma caracterização bem específica: um inteiro positivo é primo se e somente se blá-blá-blá. Temos um certificado muito claro do que é um número primo, do que é um número composto, e fomos capazes de produzir um algoritmo para dizer, em tempo polinomial, se um inteiro positivo qualquer é primo ou não é.

No caso dos mapas, não temos um certificado para marcar perfeitamente os mapas que exigem exatamente quatro cores, ou exatamente três cores, etc. Temos apenas casos e casos.

Dizer que existe uma solução polinomial para resolver o número mínimo de cores conforme o número de “países” é dizer que existe um polinômio em x, associado com um algoritmo, no qual o número de países é x, isto é, que você acha em tempo polinomial o número mínimo de cores para x = 1 país, x = 2 países, x = 3 países, …, x = 1 milhão de países, etc. Mas isso ainda não existe — ninguém achou esse algoritmo.

Dizer que posso resolver um problema em tempo polinomial é dizer o quanto esse problema é tratável. Com os números primos, tenho essa possibilidade, isto é, de verificar se um número é primo em tempo polinomial. Com os mapas, ainda não tenho. E assim por diante.

Os problemas do tipo NP-completo, como o dos mapas, como o do caixeiro viajante, parece que ficam muito mais difíceis de resolver conforme aumenta o valor de x, isto é, parece que não podem ser resolvidos em tempo polinomial. Ao contrário, parece que só podem ser resolvidos em tempo exponencial, isto é, o valor de x não vai para a base dos termos de um polinômio, mas para o expoente de uma base qualquer.

Existem ideias equivocadas sobre o problema P =? NP, mas ainda assim comuns? Isto é, existem lendas urbanas sobre esse problema?

Uma ideia que talvez seja errada é que os problemas computacionais ou são do tipo P ou são do tipo NP-completo, sem que haja nada no meio.

No entanto, os pesquisadores que trabalham na prova sobre isomorfismos de grafos acham que talvez esse problema nem seja polinomial nem seja NP-completo: talvez ele fique numa categoria no meio dos dois. Se isso se revelar verdadeiro, se os pesquisadores estiverem certos quanto a isso, daí talvez não seja correta a ideia de que ou P = NP ou P ≠ NP.

Se um dia houver uma prova de que P = NP, ela terá de ser assim: o pesquisador pegará um problema NP-completo, como o do caixeiro viajante, e apresentará um algoritmo para resolvê-lo em tempo polinomial. Isso será o bastante para provar que todo problema NP-completo pode ser resolvido em tempo polinomial.

A prova para P ≠ NP, se um dia houver uma, tem de ser uma prova global: o pesquisador tem de mostrar, talvez por meio de redução ao absurdo, que não pode haver um algoritmo de tempo polinomial que resolva qualquer um dos problemas do tipo NP-completo, como o do caixeiro viajante ou qualquer outro.

Agora, se houver uma classe intermediária entre P e NP, talvez alguém prove que existe um problema em NP que não é NP-completo nem é polinomial; e com isso a afirmação P = NP tem de ser falsa. [No sentido de que talvez, para algum problema do tipo NP, P = NP; mas, para todos os problemas do tipo NP-completo, P ≠ NP.]

Qual é a sua impressão? Em que apostaria: P = NP ou P ≠ NP?

Eu acho que P ≠ NP.

Quando um problema é classificado como NP-completo, como o do caixeiro viajante, muita gente começa a trabalhar nele, tentando achar um algoritmo para resolvê-lo em tempo polinomial. Assim, há muita gente mundo afora trabalhando em todo tipo de problema que já tenha sido classificado como NP-completo, e não parece que alguém esteja sequer perto de mostrar um algoritmo em tempo polinomial para qualquer um desses problemas.

É claro que isso não serve de prova que P ≠ NP, mas isso sugere que P ≠ NP.

Apesar disso, é bom dizer que há muita coisa a explorar sobre problemas NP-completos, mesmo que um dia provem que P ≠ NP. Há muita gente trabalhando em soluções aproximadas; a ideia é elaborar métodos para achar uma boa solução aproximada, dentro de certos padrões, em certa quantidade finita de tempo. Há algoritmos probabilísticos, algoritmos aproximativos, etc.

Muitos desses algoritmos são extremamente bonitos. Eles nos dão muitos detalhes — por exemplo, a probabilidade de acertar a melhor solução em certo número de tentativas. Existem livros inteiros sobre métodos pelos quais atacar o problema do caixeiro viajante, livros inteiros sobre coloração de grafos. O que quero dizer é que houve avanços importantes nesses algoritmos aproximativos, e no entanto ninguém tem ideia de como provar que P = NP. Isso sugere que P ≠ NP, mas, de novo, enquanto não houver uma prova definitiva, não podemos ter certeza.

Como é sua pesquisa nessa área?

Sou especializada em algoritmos, grafos, e otimização. Já consegui resolver vários problemas nessas áreas, tanto para o lado dos problemas de tipo P quanto dos problemas de tipo NP-completo. Por exemplo, eu e duas coautoras argentinas provamos que certo problema era do tipo NP-completo; fazia 40 anos que essa classificação estava em aberto.

Assim, estou fazendo a minha parte — de uma maneira modesta, estou contribuindo para a resolução desses problemas. A matemática é uma atividade feita em grupo, em que cada um faz tudo o que está a seu alcance para resolver os problemas que, na nossa época, todos achamos importantes. {FIM}



Observações:

 

1. Para ver a programação do CNMAC 2019 e fazer sua inscrição, clique aqui.

2. O CNMAC é organizado pela Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC), cujo website fica aqui.

3. Celina de Figueiredo deu a entrevista ao autor deste blogue no dia 11 de junho de 2019, às 10:00, por telefone.

4. A maioria dos especialistas acredita que P ≠ NP, mas Donald Knuth, um especialista respeitadíssimo, autor do maravilhoso The Art of Computer Programming, acredita que P = NP.

5. Dos sete problemas do milênio, um deles já foi resolvido: Grigori Perelman provou em 2003 que a conjectura de Poincaré era verdadeira. Perelman se recusou a receber o prêmio de 1 milhão de dólares, pois se recusou a cumprir a burocracia necessária para o recebimento do prêmio.

6. Existe um artigo maravilhoso sobre as várias possibilidades entre os dois extremos P = NP e P ≠ NP: A Personal View of Average-Case Complexity, de Russell Impagliazzo, que pode ser compreendido mesmo por leitores que só entendem um pouquinho de computação teórica. (Clique aqui para ler o artigo.)

7. Na internet, muita gente diz que, se alguém provar que P = NP, o sistema mundial de criptografia vai para o vinagre, pois daí achar a chave privada a partir da chave pública e da mensagem criptografada é, em certo sentido, tão simples quanto usar a chave privada para criptografar a mensagem original. Isso não é necessariamente verdade. Se alguém provar que P = NP, terá apenas provado duas coisas: (a) que o tempo para achar a solução de um problema cresce em tempo polinomial conforme a complexidade do problema, assim como o tempo para verificar se a solução é verdadeira; e que, portanto, (b) a criptografia perfeitamente segura é teoricamente impossível. Contudo, não necessariamente os dois polinômios são iguais; na prática, talvez a criptografia atual continue a ser a melhor opção de segurança. Isso porque, mesmo supondo que achar a chave privada a partir da chave pública e da mensagem criptografada seja um problema de tempo polinomial, mesmo assim talvez os recursos necessários para a quebra da criptografia sejam proibitivos. Por exemplo, talvez o tempo para resolver certo problema da classe de complexidade P cresça segundo um polinômio do tipo x100 + x99 + x98 + ··· + x, com x medido em dias, ou seja, talvez cresça depressa demais para a conveniência dos seres humanos.

8. Definição do problema do caixeiro viajante. Dada uma lista de cidades e a distância entre cada dupla de cidades, qual é a rota mais curta possível para visitar cada cidade e voltar para a cidade de origem?

9. O problema das quatro cores. Caso você pegue um plano e o separe em regiões contíguas, formando assim um mapa, precisará de no máximo quatro cores para pintar cada “país” com uma cor tal que nenhum país adjacente será pintado com a mesma cor. (“Adjacente” significa que duas regiões compartilham a mesma fronteira; não significa que elas se tocam em apenas um ponto.) O teorema foi provado em 1976 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken com o auxílio de um computador, que examinou 1.936 casos distintos ao longo de milhares de horas. Foi a primeira vez que usaram um computador para provar um teorema, iniciativa que gera discussões acaloradas até hoje.

10. A sigla “NP” vem da expressão inglesa “nondeterministic polynomial time”, isto é, “tempo polinomial não determinístico”.

11. O melhor jeito de definir a diferença entre os problemas de tipo P e de tipo NP-completo é usar a definição formal de máquina de Turing, e a partir daí trabalhar manejando sequências binárias de vários comprimentos. Essa abordagem, contudo, ficaria excessivamente abstrata para este blogue.

12. Maryam Mirzakhani morreu de câncer em 2017, e por isso o dia de seu nascimento, 12 de maio, se tornou o Dia Internacional das Mulheres na Matemática.

13. Para ver a lista dos problemas do milênio no Instituto Clay, clique aqui.

Três especialistas explicam a economia axiomática de Ludwig von Mises

O economista austríaco von Mises dizia que a economia surge porque o homem pensa e age. Para quem gosta de matemática, ele fascina pela contradição: seu método de fato lembra o axiomático, mas via com reserva a matemática aplicada à economia.



{1}/ Introdução à entrevista: a ação humana

A história de Ludwig von Mises lembra a de Sigmund Freud: ambos acreditavam que um pensador pode chegar a verdades universais sobre a espécie humana caso se sente à escrivaninha e escreva sobre si mesmo, e sobre o mundo à sua volta, com honestidade brutal. Muito do que Freud afirmou se revelou, décadas mais tarde, incorreto; mas até seus críticos dizem que tudo o que escreveu é “interessante, mesmo que seja falso”. Apesar de seus erros, Freud entrou para a história porque descreveu certos aspectos da mente com precisão surpreendente; por exemplo, nenhuma pessoa está perfeitamente consciente do que lhe vai pela cabeça, e muitas vezes não sabe explicar por que fez o que fez, mas ela está sempre dando sinais do que lhe vai pela cabeça — nas roupas, na escolha das palavras, nos gestos, no jeito de acertar o relógio.

Von Mises acreditava que a economia surge porque o homem age: porque ele, numa bela manhã, escolhe algo de olho num prêmio a ser usufruído à tarde — ou em dez anos. (Aviso: estou usando “homem” como substituto de “homens, mulheres, crianças”, isto é, como substituto de “espécie humana”.) “A ação humana é a vontade posta em operação para atingir fins e objetivos”, escreveu uma vez. A partir de afirmações assim, usou o método da geometria: foi deduzindo, com cuidado, outras afirmações. Para quem está habituado com ciência, e sabe que o cientista deve achar um jeito de confrontar suas afirmações com a realidade, os textos de von Mises causam a mesma estranheza que os de Freud: “Isso é interessante, mesmo que se revele falso.”

Os três especialistas nesta entrevista são: Bernardo Vieira Emerick, bacharel em matemática e computação científica pela Universidade Federal de Santa Catarina; antes de matemática, estudou economia por cinco semestres; Fábio Barbieri, professor de economia na Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo em Ribeirão Preto (SP); e Daniel Marchi, graduado em economia pela FEA-USP; faz parte de um grupo informal de estudos da escola austríaca de economia cujos membros moram em Brasília (DF). Cada um deles foi entrevistado num dia distinto, por telefone ou Skype.



{2}/ A entrevista pingue-pongue: deduções cuidadosas

Dizem que a teoria econômica de von Mises é axiomática, e de certa forma parecida com a geometria. Como assim?

Bernardo — Ela é matemática no sentido de que von Mises parte de certos postulados e vai deduzindo o resto de forma lógica e rigorosa. Quando a gente olha a geometria, vemos que ela é um sistema dedutivo: partimos de um conjunto de axiomas e vamos deduzindo as conclusões necessárias desses axiomas. Tanto é que, se alguém perguntar a um matemático qual é a geometria certa, se é a plana ou a hiperbólica, ele vai dizer que a pergunta não faz sentido, pois o matemático se preocupa mais com a validade das conclusões, que são os teoremas. Ele sabe que, se quiser ou se lhe for conveniente, pode mudar os axiomas; com isso, automaticamente muda o corpo de teoremas. Simples assim.

Mas há uma diferença na teoria econômica de von Mises: seus axiomas são apodícticos [o economista pode considerá-los verdadeiros, pois são difíceis de refutar]. Então, não se trata apenas de estudar as deduções de um conjunto de axiomas, mas de validar tal conjunto como sendo de fato verdadeiro. Vou dar um exemplo: o axioma mais importante de von Mises é o que trata da “ação dos homens”. Esse axioma diz que os homens agem, e que agir significa escolher; agir significa preferir uma coisa em detrimento de outra. Mesmo que uma pessoa não aja, ela escolheu, pois escolheu não agir. Partindo desse axioma, ele deduz outras afirmações de cunho econômico. Então, para resumir, os axiomas de von Mises não são arbitrários como os da geometria, pois têm de ter correlação com a realidade à nossa volta; mas o sistema de deduções cuidadosas lembra o sistema axiomático.

Fábio — Von Mises conhecia bem a economia clássica, que na época dele era a tradição, e cuja teoria era escrita com um discurso natural, mas nunca com fórmulas matemáticas. E ele construiu essa teoria dogmática, quero dizer, baseada em premissas do tipo “as pessoas agem porque escolhem”, “as pessoas querem enriquecer”, “se lhes for possível, as pessoas querem evitar custos”. Seus críticos diziam que essas premissas eram falsas, porque eram arbitrárias. Só que von Mises estava consciente da complexidade das questões que estudava; ele sabia que as causas e efeitos que perfazem a economia estão em perpétuo fluxo. Então, sim, ele considerava suas premissas verdadeiras, mas verdadeiras apenas num sentido bastante geral. Seus críticos não chegaram a entender esse ponto.

Daniel — Vamos examinar um exemplo concreto: todo ser humano precisa de uma moradia. É difícil negar essa afirmação. Contudo, uma pessoa compra uma casa, outra aluga, outra mora num hotel, outra se acomoda debaixo de uma ponte. A intenção de cada pessoa é a mesma, ter uma moradia, mas cada uma delas conquista sua moradia de modo diferente. O que o von Mises dizia é que os parâmetros da economia, como juro ou PIB, como investimento ou lucro, em última instância derivam do axioma da ação humana, o axioma segundo o qual os homens agem porque têm um propósito a alcançar.

Agora, há quem diga que von Mises era avesso à matemática; aliás, que toda a escola austríaca repudiava a matemática. Por quê?

Bernardo — Se o leitor entender a matemática no sentido de equações, de modelos matemáticos, aí de fato von Mises era avesso à matemática. Mas, se era avesso, não era por aversão à matemática, nem por aversão a seus métodos, nem por ignorância. O motivo era outro: ele achava que a matemática não era apropriada para descrever a economia.

O objeto a ser descrito e compreendido faz diferença. A física, por exemplo: ela se presta à matematização, e quando o homem passou a matematizá-la, obteve resultados excelentes. O físico pode tratar o espaço e o tempo como se fossem grandezas reais, contínuas; ele pode falar de dez metros por segundo, pode discorrer sobre a derivada da velocidade quando o tempo tende a zero. Tudo isso faz sentido na física; o físico de fato consegue medir o espaço percorrido por um objeto, e consegue cronometrar o tempo.

Na economia, contudo, muitos modelos matemáticos não fazem sentido. Eu posso falar de 1,3 carro por pessoa, mas ou uma pessoa não tem nenhum carro, ou tem um, ou tem dois — os valores são sempre discretos. Von Mises, assim como os outros membros da escola austríaca, achava que falar de 1,3 carro por pessoa é simplesmente falsificar o objeto de estudo. Num de seus artigos, tem uma frase assim: o objeto da economia não são as batatas, os aparelhos de barbear, as camisas; o objeto da economia são as ações humanas, dirigidas por juízos de valor subjetivos. É fácil ver isso quando pensamos no modo como, dentro da nossa cabeça, tratamos os bens — em geral, pensamos assim: “Prefiro isso a aquilo.” Colocamos os bens em ordem de preferência: primeiro, segundo, terceiro. Não tem sentido realizar operações algébricas com números ordinais.

Então, von Mises evitava a matemática porque não queria corromper seu objeto de estudo. Ele não queria deformar seu objeto de estudo apenas para que ficasse adequado ao cálculo diferencial.

Fábio — Von Mises não usa a matemática porque, para ele, usar a matemática implicaria usar valores concretos. Por exemplo, a lei da demanda — ela diz que, quanto mais caro um produto, menos pessoas querem comprá-lo. Eu até posso desenhar uma curva invertida, na qual o valor de y cai conforme aumenta o valor de x. Só que, para von Mises, não devo especificar os valores, porque todo dia morrem umas pessoas, nascem outras, e outras ainda mudam de ideia. A sociedade não fica parada e, portanto, eu até posso saber que, se aumento o preço do meu produto, diminuo a demanda por ele, mas não posso desenhar uma curva com valores concretos. Um filósofo chamado John Watkins até sugeriu a expressão “teoria algébrica”, nas quais eu posso falar “o custo x sobe, o custo x desce”, e posso até mostrar fórmulas ao leitor, mas nunca posso substituir as variáveis por números, pois os números variam todo dia.

Enfim, von Mises acreditava numa teoria econômica com a qual pudéssemos explicar o mundo, mas não prever o mundo. Ele defendia a teoria no plano o mais genérico possível. Eu posso dizer que, quando um governo controla preços, existe a tendência de haver filas nos supermercados e existe a tendência de surgir um mercado negro; eu posso dizer que isso é uma lei da economia, pois tem sido assim desde os tempos da Babilônia. Agora, se amanhã o governo quiser controlar preços, haverá filas nos supermercados? Não sei; não posso dizer. A economia é uma rede muito complicada de causas e efeitos. A escola austríaca enfatizava a ideia de complexidade, e achava que, para usar a matemática, o economista era obrigado a simplificar as coisas demasiadamente. Mas ela nunca fez um ataque à matemática em si.

Daniel — No mundo natural, as coisas se submetem às leis da natureza, às leis da física e da química. No mundo econômico, contudo, as pessoas não necessariamente se submetem, pois o homem é criativo. Se você realiza vários experimentos com uma bola de golfe, se as condições forem as mesmas, os resultados serão mais ou menos os mesmos. Mas se você realiza vários experimentos com pessoas, elas reagem de um jeito num dia, e de outro jeito no dia seguinte. É da natureza do ser humano fazer o que ele acha que deve ser feito (ainda que por omissão); então, quando falo de modelagem matemática das ações humanas, posso incorrer em distorções graves. Não é que haja um problema na matemática; é que há um erro de metodologia.

Não estou falando aqui da matemática básica, com a qual, por exemplo, contamos os bens e controlamos os estoques. Estou falando de usar a matemática para explicar coisas que, olhando de perto, não têm necessariamente uma explicação matemática.

Eu posso verificar, por exemplo, quantos anos de estudos uma pessoa tem, quantos banheiros, quantas geladeiras, quantos empregos teve ao longo da vida, quantos livros lê por mês, etc. Posso fazer uma regressão estatística e ver como essas coisas estão correlacionadas com a renda mensal da pessoa. Mas, ao fazer isso, é quase como se eu dissesse que a renda mensal de uma pessoa não é resultado de suas decisões e ações. Parece que a pessoa é um objeto inanimado que, se tiver tantos anos de estudos e tantas geladeiras, tem certa renda mensal. Por meio dessa matemática, eu retiro a ação humana da análise. Isso é desumanizar o que entendo por economia.

Existe lugar para a matemática na economia?

Bernardo — Será que todo conhecimento a respeito da economia pode ser expresso no formato axiomático? Von Mises não escreveu nada sobre isso, mas eu acho que não, isto é: existem outras formas de conhecimento econômico.

As informações que obtemos por meio de métodos estatísticos, por exemplo, são válidas em muitas circunstâncias práticas. Se alguém trabalha num supermercado, pode usar a estatística para dizer qual é a probabilidade de que atenda tantos clientes numa segunda-feira. É melhor isso do que tomar uma decisão sem informação nenhuma. Contudo, esse conhecimento não é de ordem teórica. Ele não constitui uma explicação. Então, uma pessoa roda seus modelos estatísticos, isola as variáveis, e acha correlações. Provavelmente, ela não achou relações de causa e efeito; ao contrário, achou um fenômeno em busca de uma explicação.

É a teoria que nos permite explicar o que está acontecendo com os números, e a escola austríaca diz que essa teoria deve versar sobre o conjunto das intenções e das ações humanas.

Fábio — Posso pensar no princípio de Pareto e adotar um modelo simples no qual três variáveis explicam 80% das consequências, e encarar o resto como sendo um ruído que trato com probabilidade e estatística. Esse é, grosso modo, o jeito atual de fazer economia. Com os computadores, muita coisa que não era modelável há 20 anos é modelável hoje. Mas acho que a matemática na economia deixou um legado dúbio.

Existe hoje uma revisita à obra de economistas como von Mises justamente porque o histórico de erros recentes dos economistas é grande demais. Há, digamos assim, uma desilusão com o rigor matemático dos modelos econômicos, tanto é que todo mundo ridiculariza a capacidade dos economistas de fazer previsões.

Daniel — Olhando para trás, vejo que meu curso de graduação em economia foi uma espécie de curso de matemática aplicada. Além disso, os livros de economia estão ficando incompreensíveis para quem não tem afinidade com a matemática. Não tenho certeza se isso é certo. Se falo de economia e ninguém me entende, há um problema comigo, e não com meu interlocutor, pois as questões econômicas permeiam nossa vida. E insisto: quando você mergulha nesses livros, percebe que pode questionar o poder explicativo dos modelos matemáticos modernos. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 40, maio de 2014, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. De tudo o que von Mises escreveu, ninguém pode deduzir que a contabilidade de uma pessoa ou de um empreendimento importa pouco, porque é matemática, “e von Mises não aprovava a matemática na economia”. Contabilidade não é matemática: é um conjunto de procedimentos para a classificação de receitas e despesas — e importa muito. Uma coisa é agir da maneira x tendo lucro acumulado de 1 milhão de reais; outra coisa, muito diferente, e talvez até estúpida, é agir da mesma maneira x tendo prejuízo acumulado de 1 milhão de reais. Para mim, a contabilidade é um jeito incrivelmente inteligente de olhar para as receitas e as despesas de uma entidade qualquer.

Sara Santos: um saltimbanco na matemática

Sara vinha levando a vida típica de quem se dedica à matemática: mestrado, doutorado, aulas. Um dia, descobriu que tinha talento para divertir o público com palhaçadas matemáticas.


{1}/ O primeiro axioma: divertimento

Sara Santos, jovem matemática portuguesa, entende de geometria não euclidiana e de sistemas dinâmicos. Vinha levando a vida típica de quem se dedica à matemática: mestrado, doutorado, aulas. Mas é uma mulher ativa: joga capoeira, pratica ioga, dança. Uma vez, participou de um concurso promovido pela Amazon, a livraria da internet: Qual é o melhor jeito de embrulhar um presente? Sara mandou sua sugestão (com provas matemáticas), ganhou o concurso, e deu várias entrevistas para jornalistas do mundo inteiro. Descobriu que tem talento para conversar sobre matemática com pessoas leigas, e descobriu que consegue usar a matemática para divertir seu interlocutor. Depois conheceu um artista de rua, juntou o talento para explicações com a capoeira, e hoje Sara é reconhecida pela capacidade de fazer um passante apressado parar, curtir um show de rua sobre matemática, e seguir sua vida com vontade de saber um pouco mais.

Você é matemática ou divulgadora de ciência?

Hoje eu trabalho com a divulgação de matemática e, em parte de meus projetos, desenvolvo técnicas para comunicar a matemática para determinados públicos. Grande parte do meu trabalho na The Royal Institution of Great Britain é comunicar matemática para uma audiência altamente técnica, ou seja, para crianças com talento em matemática, crianças que já são ases da matemática. Num de meus projetos, eu comunico a matemática para pessoas que não escolheram estudar matemática — elas estão apenas passando na rua, fazendo alguma outra coisa, e se sentem atraídas pela apresentação de maths busking [em inglês, um ‘busker’ é um artista de rua, desses que andam em bicicletas de uma roda só, cospem fogo, equilibram pratos, fazem mágicas com a gravata de um passante].

Esse projeto me rendeu um prêmio em Portugal, o Prêmio Seeds of Science 2011. Fiquei muito feliz de saber que o que tenho feito fora de Portugal também interessa a profissionais portugueses de comunicação. Fiquei a pensar na possibilidade de levar o projeto para Portugal.

Como surgiu o espetáculo de rua?

Maths busking é levar matemática para a pessoa que está vivendo sua rotina de todo dia, está passando na rua, fazendo compras, a caminho da escola ou do trabalho; que está no intervalo do almoço. Uma pessoa só vai parar para assistir um espetáculo se ela achá-lo interessante. Temos de contar que o público é passivo: ele não está necessariamente interessado em participar. Temos de cativar o público.

O projeto maths busking começou em 2010. Tínhamos dois objetivos na ocasião: atrair a atenção do público para a matemática e, ao mesmo tempo, mostrar para a comunidade científica que é possível comunicar bem a matemática. Muitas pessoas que vivem de divulgar a ciência não acham possível divulgar a matemática para um público leigo.

Eu tenho um amigo que é comediante, do tipo stand-up. Ele me deu detalhes sobre o que é espetáculo de rua, e juntos nós identificamos elementos essenciais para um espetáculo sobre matemática. Desenhamos um paralelo entre os espetáculos de rua e as técnicas existentes para comunicar ideias matemáticas. No espetáculo de rua, existem ideias fundamentais, às quais demos o nome de axiomas.

O primeiro dos nossos axiomas é que o maths busking é… busking. Quero dizer, a audiência não está comprometida, está de passagem. Temos de trazer a audiência para o nosso lado, e sem envergonhar ninguém. O segundo dos nossos axiomas é que a atração principal do espetáculo tem de ser matemática, porque não queremos desvirtuar o projeto e atrair artistas que só sabem fazer malabarismos com serras elétricas, que só sabem usar fogo: isso é batota [trapaça no jogo]. O terceiro dos nossos axiomas é que o público tem de tirar alguma coisa do espetáculo. Ou a pessoa leva uma ideia matemática, ou leva uma atitude positiva em relação à matemática, ou leva alguma coisa que nós lhe tenhamos dado. Às vezes, distribuímos umas tirinhas de papel para fazer pentágonos, onde há o endereço do nosso website e todas as explicações para entender o show.

Como é entreter uma pessoa na rua com matemática?

O espetáculo pode durar entre 3 minutos e 10 minutos, mas já fizemos espetáculos de 30 minutos. Não podemos dar às pessoas um quebra-cabeça para resolver. Isso não é divertido. Para fazer um show de sucesso, temos de usar o humor.

Nós convidamos o público a participar. Usamos cartas mágicas, cordas, coletes, algemas, dinheiro. As pessoas ficam surpresas com a quantidade de objetos que usamos. Nós pedimos às pessoas que segurem uma carta para nós, ou que se deixem atar, e aí pedimos às pessoas atadas que usem a matemática para se livrar do nó sem cortar as cordas.

Nós treinamos voluntários para o show, e apresentamos temas que conhecemos bem ou que, por curiosidade, gostaríamos de conhecer melhor. No treinamento, usamos os materiais que já temos, mas é igualmente importante criar novos shows. No treinamento dos voluntários, muitas vezes surgem ideias novas.

Eu avalio o espetáculo assim: a que distância está o pensamento do leigo de um pensamento matemático qualquer? Precisamos pensar desse jeito para pôr as pedras no caminho do público, para que ele consiga atravessar o rio, digamos assim. Os temas mais adequados para o espetáculo de rua são aqueles que exigem pouco contexto; ou então o contexto precisa ser simples, fácil de aprender em pouco tempo. Usamos as técnicas que os animadores e os mágicos conhecem bem: usamos linguagem familiar e divertida, e fazemos o público focar no que estamos fazendo.

Como foi seu trabalho com a Amazon?

Em 2005, a Amazon [uma livraria americana] fez uma campanha publicitária; ela tinha a ideia de aplicar ideias e conceitos matemáticos ao Natal. Seus funcionários entraram em contato com várias universidades, inclusive a Universidade de Manchester [Inglaterra], onde eu estava a acabar meu doutorado. Para apresentar uma ideia à Amazon, essa ideia deveria ser surpreendente de alguma forma; decidi aceitar o desafio.

Criei um método para desenvolver o embrulho de papel perfeito, um embrulho que usasse o mínimo possível de papel e de cola. Mesmo assim, o padrão impresso no papel de presente deveria se juntar de modo perfeito, simétrico. [Isto é, o comprador não deveria notar a linha onde o papel fora cortado.] Cheguei à conclusão de que a caixa de presente perfeita teria de ter uma base quadrada. Quando as pessoas embrulham uma caixa quadrada, elas tendem a pôr o papel de presente em paralelo com as arestas da caixa. Se não houver muita sobreposição de papel, esse método evita o desperdício, mas o padrão impresso no papel de presente fica desalinhado.

De que modo esse projeto influenciou sua carreira?

Falei com muitas pessoas da mídia, interessadas na comunicação desse feito matemático. Isso foi muito interessante para mim: foi muito bom saber que eu conseguia falar de matemática para os meios de comunicação de massa. Esse projeto me deu experiência.

O que o passante aprende num espetáculo de rua?

Não acho que seja possível ensinar matemática apenas com o maths busking. Mas já sabemos que as brincadeiras provocam bons efeitos na aprendizagem. Tirar partido desse conhecimento é salutar. Ao mesmo tempo, a diversão dá energia para a pessoa que precisa se dedicar ao trabalho árduo de estudar. Muitos professores frequentam as nossas seções justamente em busca de novas ideias, novos métodos, novas ferramentas. Eu gostaria que, nas escolas, naquelas festas de fim de ano, as crianças não fizessem apenas uma peça de teatro, nem tocassem apenas uma música, mas que fizessem maths busking.

Já fizemos isso uma vez. Uma escola nos chamou para treinar seus alunos para um espetáculo, que ocorreria num jantar para levantar fundos. Treinamos meninos e meninas para executar o show durante o jantar. No mínimo, por causa desse projeto, ganhamos meninos e meninas capazes de comunicar bem as ideias matemáticas. É muito bom quando o aluno também assume o papel de professor.

O que você faz na Organização Real da Grã-Bretanha?

Eu administro uma rede nacional de voluntários, isto é, uma rede de voluntários de todo o Reino Unido; essa rede organiza aulas especiais para estudantes com talento para a matemática. Os voluntários organizam as aulas, entram em contato com as escolas, organizam tudo para que os alunos estejam presentes. Eu dou orientações sobre como uma aula dessas deve ser, e dou treinamento para os oradores.

Como resultado desse trabalho todo, no fim deste mês [janeiro de 2012] vamos anunciar um museu da matemática. Ainda estamos escolhendo o melhor lugar. Também não sabemos se vamos usar a palavra museu, que passa a ideia de algo estático. Em português, temos a palavras exploratório, que seria uma boa escolha. Será um centro para que o visitante aprecie e compreenda a matemática. Esse centro não servirá apenas para passar as ideias técnicas, mas também a parte cultural da matemática: a matemática é uma ferramenta que se desenvolveu dentro de nosso cérebro ao longo da evolução [de nossa espécie], e é uma ferramenta que temos para conhecer o mundo. Essa capacidade de abstrair é extremamente necessária à sobrevivência da nossa espécie. Vamos também apresentar a história da matemática: celebrar as pessoas que levaram a matemática adiante, explicar por que elas se interessaram por matemática.

Ser portuguesa deu a você alguma vantagem?

Acho que mudar de contexto nos traz benefícios. Um professor meu, Antônio Maquiavel, do Porto, me motivou muito — hoje ele é meu amigo. Ele era um professor diferente dos outros, e usava técnicas de comunicação de matemática que hoje eu uso nos espetáculos de rua e nas aulas no Reino Unido. Ele conseguia nos mostrar a matemática para além do que é vulgar.

Mas também acho que existe aquela coisa de mudar de país, e de começar tudo de novo. Quando estamos numa comunidade nova para nós, não sentimos o julgamento da comunidade. Em Portugal, talvez eu reconhecesse algum dos passantes, e isso poderia ser um entrave. Mas, estando aqui [ela mora em Londres], eu não sei o que as pessoas pensam, e isso é um bocado libertador. Mudar de contexto, mudar de país, enfim, isso me permitiu pôr de lado certas barreiras. Além disso, ao mudar de país, eu não deixei de ter o apoio das pessoas das quais eu gostava em Portugal. Isso é muito importante.

Mas existe uma diferença fundamental entre Portugal e Inglaterra: na Inglaterra, é possível se comunicar mais facilmente com pessoas de diversas hierarquias. Em Portugal, tenho a experiência de entrar em contato com alguém e não receber resposta, por conta de diferenças hierárquicas. Na Inglaterra, há mais possibilidades. Isso muda a nossa atitude. Se eu pudesse fazer um apelo a outros povos, pediria que eles dessem ouvidos aos mais novos. {}



{2}/ Como um matemático embrulha presentes

Em 2005, a livraria eletrônica Amazon organizou um concurso, e a matemática portuguesa Sara Santos ganhou o concurso ao imaginar “O Perfeito Embrulho de Papel”, isto é, o embrulho que exigisse a menor quantidade possível de papel e que, mesmo assim, ficasse bonito. Sara concluiu que o embrulho de papel perfeito só funcionaria com uma caixa quadrada; qualquer outro formato implicaria em desperdício de papel.

Pois bem: havendo um presente dentro de uma caixa quadrada, como o leitor a deveria embrulhar? (Vamos chamar esse leitor de Mathias.) Como primeiro passo, Mathias se pergunta qual deveria ser o tamanho do papel de presente. Antes de começar as contas, ele esboça a figura 1, a figura de uma caixa quadrada.

Feito isso, e seguindo uma dica de Sara Santos, Mathias esboça a figura 2. Em termos genéricos, ele sabe que o papel de presente, assim como a caixa, devem ser quadrados. No esboço, Mathias dá o nome de c ao comprimento do lado desse papel quadrado.

Então Mathias se concentra no primeiro quadrante da figura 2, pois ele contém todos os elementos necessários ao cálculo de c. Para facilitar o trabalho, ele desenha o primeiro quadrante em detalhes, como na figura 3.

Mathias faz a si mesmo a primeira pergunta importante: quanto vale a? Ele nota que a é a metade da diagonal dentro do quadrado de lados iguais a w. Sendo assim, duas vezes o valor de a é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a w.

Logo depois, Mathias se pergunta: quanto vale b? Essa pergunta é importante porque b + h + b é igual à diagonal do primeiro quadrante, e, mais tarde, deve ser útil no cálculo de c. Mathias nota que b é o cateto adjacente do triângulo CAD, cuja hipotenusa é igual a a e cujo cateto oposto é igual à metade de w. Logo:

Agora Mathias já consegue calcular o valor de c. Ele nota que o triângulo EAF é um triângulo retângulo com hipotenusa igual a b + h + b e com dois catetos iguais à metade de c. E Mathias faz as contas:

Pronto. Mathias já pode entender as instruções de Sara Santos:

1. Para embrulhar uma caixa quadrada de lados iguais a w e altura igual a h, corte o papel de presente na forma de um quadrado de lados iguais a (√2)(w + h).

2. Se o papel é listrado, faça com que, bem no meio dele, esteja o meio de uma das listras, e que as listras à direita e à esquerda estejam como que espelhadas.

3. Se o papel é quadriculado, faça com que sua metade vertical e sua metade horizontal coincidam com a metade de uma fileira de quadrados.

4. Coloque a caixa no meio do papel de presente, de modo que os cantos da caixa dividam o papel em duas partes iguais.

5. Junte duas pontas opostas do papel de presente e as grude com fita adesiva.

6. Dobre o excesso de papel para dentro do embrulho (bem junto da caixa), e daí junte as outras duas pontas opostas do papel de presente.

7. Grude essas duas últimas pontas com fita adesiva e, se quiser, termine com uma fita de enfeite.

Fazendo assim, Mathias fará as listras ou os quadriculados coincidir perfeitamente, o que é bonito, e ao mesmo tempo gastará tão pouco papel de embrulho quanto possível. {FIM}


Observações:

1. Publiquei a matéria da seção 1 pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 13, fevereiro de 2012, pág. 20. Quanto à matéria da seção 2, eu a publiquei pela primeira vez na edição 14, março de 2012, pág. 56. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi feita pelo jornalista Renato Mendes, que na época vivia em Lisboa.

3. Se quiser saber mais sobre o projeto Maths Busking, clique aqui.

4. Note que, se y2 = x, daí y = ±√x. Contudo, nas fórmulas da seção 2, usei a seguinte regra de inferência: se y2 = x, daí y = √x. Em outras palavras, desprezei a raiz negativa. Só pude fazer isso porque estava lidando com comprimentos maiores que zero.

A história como problema, a história como remédio

Tatiana Roque, professora na UFRJ, diz que a história da matemática, da forma como tem sido contada, contribui para criar no estudante e impressão de que ela é algo ao alcance apenas de gênios. Para passar uma imagem mais verdadeira da matemática (que é uma imagem mais agradável), o professor precisa conhecer melhor a verdadeira história.


{1}/ “Desfazendo mitos e lendas”

Em 1998, Tatiana mudou de ideia sobre o que é pesquisar história da matemática. Antes, para ela, historiadores respondiam à pergunta: Como o homem chegou até aqui? [A partir desta linha, para simplificar, vou escrever apenas história no lugar de história da matemática, mas Tatiana usou “história da matemática” durante toda a entrevista.] Durante parte do tempo que passou na França, por conta do doutorado, Tatiana descobriu uma pergunta mais interessante: O que cada personagem da história criou, mas no contexto da época em que vivia? “Não importa se é uma história de sucesso ou não; não importa se contribuiu para nossa matemática atual ou não.”

Até então, ela diz que tinha uma cabeça “muito matemática”. Estava interessada na história dos sistemas dinâmicos (que o leigo conhece por teoria do caos) nos anos 1950, e achou que só teria de consultar a teoria e mais alguns textos atuais. Mudou de ideia na França, porque passou a fazer parte da Rehseis, uma equipe especializada em história e filosofia da ciência. “Fiquei ávida por aquele tipo de conhecimento”, diz Tatiana, “e por isso ia a todos os seminários e grupos de estudo.” Percebeu que a história não é tão linear e certinha quanto pensava, e passou a estudar a vida de matemáticos cada vez mais antigos. Passou a estudar Poincaré e, antes dele, no século 18, Lagrange e Laplace, mas ouviu o conselho do orientador. “Ele me falou assim”, conta Tatiana: “Desse jeito você não vai terminar o doutorado. Comece do Poincaré que já está bom.”

Hoje Tatiana ainda vasculha os escritos de Poincaré, mas sempre pensando no contexto em que ele vivia. Também dá aulas para professores e futuros professores de matemática, e reflete sobre como a história pode ajudar no ensino. Há muito tempo, no entanto, sentia falta de livros em português para usar nas aulas de história, e por isso há tempos preparava seu próprio material. Como resultado, em 2012 publicou o livro História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas.

Matemáticos mencionados

Poincaré: Jules Henri Poincaré (1854-1912), francês.

Lagrange: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), italiano.

Laplace: Pierre Simon, marquês de Laplace (1749-1827), francês.

Viète: François Viète (1540-1603), francês.

Boyer: Carl Benjamin Boyer (1906-1976), americano.

Como surgiu a ideia para o livro?

Tatiana Roque/ Arquivo pessoal

Comecei faz uns sete, oito anos. Eu dava aulas de história, mas não tinha material, porque todos os livros em português eram ultrapassados, publicados há muito tempo e por autores estrangeiros. Esses autores eram matemáticos ou professores com curiosidade pelo assunto, mas não eram especialistas. Desde os anos 1980, a pesquisa em história produziu muito, pois virou uma área de pesquisa científica feita por profissionais e os livros em português não levavam em conta esses anos mais recentes de trabalho. Comecei a escrever as notas de aula usando artigos e uma bibliografia, que não tem em português, e a cada vez que dava o curso aperfeiçoava o material até que quis transformá-lo em livro.

As anotações iniciais viraram dois livros: História da Matemática foi uma proposta para um público mais amplo, feita em conjunto com a editora. Gostei da ideia, porque queria que fosse acessível e que contribuísse para uma visão diferente da matemática. O outro, Tópicos da História da Matemática, fiz em conjunto com um colega e tem um conteúdo mais matemático, com exemplos e exercícios, e é usado como livro didático no Profmat [curso de mestrado profissional da Sociedade Brasileira de Matemática].

No primeiro, achei interessante apresentar o relato tradicional e logo depois desconstruí-lo. Conforme dava aulas na universidade ou em cursos para professores, via certos mitos da história muito arraigados na cabeça das pessoas — mitos reproduzidos sem nenhuma base histórica. Nos cursos de licenciatura que têm história da matemática, quem dava a aula muitas vezes era gente sem treinamento em história. O que esses professores faziam? Pegavam um desses livros ultrapassados, como o do Boyer, e o seguiam. Isso está mudando; hoje já existem especialistas em história dando esse tipo de aula.

Por que a pesquisa em história mudou?

Começou com a história da ciência, a partir dos anos 1970. Thomas Kuhn fez um trabalho marcante com A Estrutura das Revoluções Científicas. Ele dizia que, para estudar a história de uma ciência, não adianta estudar apenas seus conceitos: devemos estudar a forma como a comunidade científica de uma época pensava e se estruturava. Os historiadores da ciência passaram a ter preocupações de caráter social; eles viram que a forma como as pessoas organizam a pesquisa interfere no próprio resultado da produção científica.

Na matemática, a mudança ocorreu mais tarde. Historiadores que vieram da matemática ou de outras áreas começaram a ter contato com essas teorias e viram que não podiam ficar de fora das discussões. Grattam-Guinness, um historiador da matemática, fala sobre a diferença entre história e herança. A história feita por matemáticos adota o ponto de vista da herança, ou seja, como chegamos até aqui. Estudam um conceito matemático e investigam como chegou até hoje, o que em geral são histórias de sucesso. Já a pergunta do historiador é outra: O que as pessoas desenvolveram num determinado tempo a partir do contexto em que viviam? Não importa se é uma história de sucesso ou se contribuiu para nossa matemática atual.

O que mais te marcou nesse trabalho?

Fiquei muito emocionada ao ver como, por preconceito, a história europeia criou uma imagem deturpada da matemática árabe. Foi uma maneira de criar uma divisão ocidente/oriente que tem consequências até hoje. Tem um grupo muito grande na França reescrevendo a história da matemática e um dos pesquisadores, de origem árabe, diz uma coisa bonita: o simbolismo algébrico e a álgebra fizeram parte do renascimento, na idade média, graças ao esforço conjunto de muitos povos e países: os países do Magreb, os países do mediterrâneo, outros países europeus, além dos matemáticos judeus. Ele diz que reescrever a história desse período poderia dar um sentimento de cidadania mediterrânea. Talvez isso ajudasse as pessoas a superar sentimentos de hostilidade, algo perceptível na França, onde moradores magrebinos são discriminados. Ou seja, franceses e magrebinos poderiam se ver como o mesmo povo, no sentido da produção do conhecimento.

Na história tradicional, a matemática árabe é vista como um período de transição, na qual os árabes traduziam e difundiam o conhecimento grego para que depois matemáticos europeus pudessem de novo desenvolvê-lo. No livro, mostro que isso não é verdade, e que essa versão não reconhece a produção original dos árabes. Na época de ouro do islã, mais ou menos entre o século 8 e o 12, a relação entre a pesquisa científica e a religião era bem diferente do que imaginamos; era bem diferente da relação que mantemos hoje. A religião não se opunha ao desenvolvimento da ciência, que era vista como um serviço a Deus.

Por que pesquisar história da matemática?

Para mudar a imagem que as pessoas têm da matemática, acho a história fundamental. A história tradicional não foi a única responsável, mas contribuiu para que as pessoas vissem a matemática como uma ciência abstrata, cheia de conceitos prontos e acabados, e ao alcance apenas de gênios. Isso faz com que as pessoas, primeiro, não a entendam; segundo, não gostem dela; e, terceiro, tenham uma visão mitificada da matemática. Muitas vezes falo para meus amigos que sou matemática e eles dizem:

“Ah, eu sou péssimo em matemática!”

Isso faz parte dessa imagem. A gente não sabe os problemas que geraram os resultados, só estudamos esses resultados já prontos. Na educação básica é pior ainda, porque as pessoas só estudam ferramentas, uma linguagem que não sabem para que serve. Por outro lado, quando demandam que aquilo sirva para alguma coisa, pensam apenas no mundo concreto. Mas não é isso: a matemática pode servir para propósitos internos, da própria matemática.

Esquema de composição de funções/ Wikipedia

E como a história pode ajudar no ensino?

Por exemplo, no ensino básico os alunos veem o conceito de função primeiro a partir da definição de conjuntos.  [Como nas figuras acima.] Depois, deixam essa definição de lado e veem exemplos de funções afins e quadráticas, com exemplos de retas e parábolas. Qual a relação das funções afins e quadráticas com a definição de função em termos de conjuntos? O aluno não entende.

O que acontece é o seguinte (olha que loucura): a noção de função como variação vem do século 16 ou 17, com o estudo de curvas e trajetórias. A história toda é complicadíssima, passou pela legitimidade das técnicas do cálculo infinitesimal, com Leibniz e Newton. Depois os matemáticos do século 18 as consideraram ilegítimas e propuseram a definição de função como expressão analítica. [Grosso modo, uma “expressão analítica” é uma fórmula matemática usual, em que as variáveis são números reais ou complexos.] Então os matemáticos, no fim do século 18 e no início do 19, começaram a se perguntar quando uma função qualquer é expressa como uma série trigonométrica [as séries de Fourier]. Para isso Dirichlet precisou definir função como um tipo específico de relação em que as variáveis têm de satisfazer certas condições, como: um elemento do domínio não pode se associar a mais de um elemento no contradomínio. Depois Cantor e Dedekind criaram a definição dos números reais e de conjuntos, e só aí Bourbaki [pseudônimo de um grupo de matemáticos] se dedicou ao projeto de fundamentar a matemática com base na definição moderna de conjuntos.

Como quer que o aluno do ensino médio entenda o porquê dessa definição de função? Você pode explicar toda a história para ele? Não, porque passa por teorias que ele não estuda. Para mim, ela é dispensável. O aluno tem de ver a função como variação, e então estudar uma riqueza maior de funções, não só as de R em R, nem só a afim e a quadrática. Nesse caso, a história ajuda não para ensiná-la aos alunos, mas para o professor entender melhor as dificuldades que eles têm. Gosto muito da frase de um filósofo: a ordem da exposição inverte a ordem da invenção. Não é sempre, mas é fato que muitas vezes os alunos têm dificuldade por causa dessa inversão, e a história pode ajudar até para repensar o currículo do ensino.

Futuros matemáticos também devem estudar a história?

Eu acho que sim. Não sei se a história da matemática toda, mas pelo menos a de sua área de interesse. O matemático não precisa saber toda a história para se interessar ou se motivar, mas para conhecer os problemas e como se desenvolveram. A pesquisa matemática é muito especializada e com a história ele vê melhor a relação entre uma área e outra com a qual normalmente não teria contato, assim tem uma ideia melhor do objeto que está estudando. Tanto é que todo matemático bom de verdade conhece um pouco da história de seu campo e sabe que isso pode ajudar. Às vezes, não consegue resolver um problema com certa teoria, mas usa outra na qual não tinha pensado antes. E se vai demonstrar um teorema realmente importante, em geral, precisa de um conhecimento muito mais amplo da matemática, não só de sua área.

Sente falta de fazer matemática?

Nenhuma. Eu fiz mestrado em matemática e disciplinas de matemática no doutorado, mas durante esse tempo vi que me interessava mais em saber como aquelas ideias se desenvolveram que em usá-las para provar teoremas. Já me disseram que isso não é matemática, o que acho estranho, porque matemática não devia ser só demonstrar teorema. Estudar o desenvolvimento das teorias também pode ser considerado matemática.

Faço história para ver que a matemática também é algo que não parece ser. Para vê-la como uma multiplicidade de práticas e não como a rainha das ciências ou como algo linear. A imagem de que toda a história do desenvolvimento colaborou para torná-la essa ciência rigorosa edificada sobre bases sólidas não me agrada nenhum pouco. Existem muitas práticas matemáticas, algumas de sucesso, outras não. Algumas permaneceram no tempo e outras não; as que permaneceram não eram necessariamente melhores, e as que não permaneceram não eram necessariamente piores. A matemática é uma prática humana de idas e vindas, erros e acertos. Acho essa ideia muito mais fascinante do que a do edifício coerente. {}



{2}/ Equação de 2º grau sem polinômios

No ensino fundamental, os alunos costumam estudar equações polinomiais de 2º grau aplicando a fórmula da equação quadrática (conhecida também como fórmula de Bháskara). Se y = ax2 + bx + c, equação na qual a, b, c são números reais (ou, em contextos mais sofisticados, são números complexos), daí o estudante pode achar as raízes da equação com:

Tatiana diz que o professor faz bem se usar em aula a história desses símbolos. O aluno não sabe que, por muitos séculos, os matemáticos resolviam equações apenas com palavras. Depois, passaram a usar símbolos só para as incógnitas. A fórmula acima só pôde surgir quando tiveram a ideia de usar símbolos também para os coeficientes a, b, c do polinômio de segundo grau. Com essa história, diz Tatiana, o aluno vê que os símbolos nem sempre são do mesmo tipo. Por exemplo, na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c, x são símbolos, mas têm características e nomes diferentes, isto é:

x é a incógnita, ou seja, é desconhecido, mas pode ser encontrado com a fórmula da equação quadrática;

a, b, c são os coeficientes e não podem ser encontrados a partir da fórmula. Cada conjunto de valores para a, b, c, com a ≠ 0, determina uma única equação no universo de todas as equações quadráticas.

Matemáticos usavam vários métodos do tipo passo a passo para resolver tais equações até que, no século 16, Viète propôs a fórmula que todos conhecem hoje. Para Tatiana, quando o aluno estuda outras formas de resolver equações, ele se livra da fórmula — o que é bom, pois fórmulas deixam a matéria maçante e sem sentido. “Se o aluno vê o conhecimento inserido num contexto, entende a diferença entre incógnita e coeficiente e vê que há muito mais envolvido do que somente aplicar a fórmula e resolver a equação.” Por anos, matemáticos geniais resolviam equações sem fórmulas; recorriam a métodos interessantíssimos. Ela mostra em seu livro o método geométrico descrito por Al-Khwarizmi (séc. 9 d.C.) para resolver a equação que hoje o aluno descreveria como x2 + 10x = 39. Al-Khwarizmi explica a resolução com palavras e diz para o leitor pensá-la como quadrados de lados desconhecidos.

Primeiro, o aluno desenha um quadrado com diagonal AB, cuja área representa o quadrado da incógnita, isto é, x2. (Veja a figura abaixo.) Depois constrói em dois lados adjacentes do quadrado retângulos de lados iguais à metade de 10, ou seja, a metade do coeficiente b. A soma da área de cada uma das três figuras é 39, ou nos termos de hoje: x2 + 10x = 39. Em seguida, completa a figura com um quadrado de mesmo lado que os retângulos, ou seja, com área igual a 25. A área total da figura é 39 + 25 = 64 e seus lados medem 8; assim, o leitor subtrai 5 de 8 e chega ao x da questão: x = 3. Na resolução, considera apenas a raiz positiva; afinal, as figuras têm comprimentos e áreas maiores que zero. (O estudo de comprimentos e áreas iguais a zero, ou negativos, é mais recente.)

 

Hoje o leitor resolve a mesma equação com a fórmula quadrática. Primeiro, deve colocá-la na forma canônica: x2 + 10x 39 = 0. Então, usa os coeficientes e a fórmula para achar a raiz positiva.

Bháskara não inventou tal fórmula; em seu tempo não havia esse simbolismo algébrico. Se ela não é de Bhaskara, é de quem? Tatiana diz que essa é a típica pergunta a ser desconstruída e responde: não é de ninguém. Sua história transcorre ao longo de vários séculos, e os historiadores não têm como reconstruí-la para apontar quem a inventou. “O importante aqui não é só dizer que não é de Bhaskara, mas dizer que a pergunta ‘De quem é?’ não é uma boa pergunta.” {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 31, agosto de 2013, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi feita pela jornalista Mariana Osone, que também ficou a cargo da primeira versão do texto.

3. Se você costuma ler textos de matemática em inglês, atenção a uma diferença importante de nomenclatura entre inglês e português: “função afim”, em português, é “linear function”, em inglês; mas “função linear”, em português, é a função afim que passa pela origem. Dizendo isso de outra forma, pode chamar a função afim f : R R cuja fórmula é y = f(x) = mx + k de “função linear” apenas quando f(0) = 0 e, consequentemente, k = 0. Contudo, visto que matemáticos e professores de matemática estão sempre lendo alguma coisa em inglês, é comum ouvir um deles dizer “função linear” para se referir a uma função afim na qual k ≠ 0.

Uma função afim (em vermelho) e uma linear (em verde)

4. Há outras entrevistas neste blogue com especialistas em história da matemática: Os mesopotâmicos sabiam mais do que imaginávamos, O teorema de Pitágoras não é de Pitágoras, e Conheça a história da matemática, mas pense bem antes de usá-la.

5. Pode obter mais informações sobre o livro de Tatiana Roque aqui, no website da editora.