A absurda eficácia da matemática: uma explicação idealista


Em 1960, o físico húngaro-americano Eugene Paul Wigner publicou um artigo intitulado “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”, algo como “A Incrível Eficácia da Matemática nas Ciências Naturais”. Wigner não estava maravilhado com o fato de que os físicos acham conveniente expressar as afirmações da física com linguagem matemática — pois, afinal, vários físicos desenvolveram estruturas matemáticas com o objetivo explícito de facilitar o registro de afirmações científicas e a reflexão sobre tais afirmações. Um exemplo é o de Isaac Newton, que concebeu o cálculo diferencial e integral para melhor conduzir suas investigações sobre mecânica celeste. Wigner estava sim maravilhado com o fato de que às vezes o físico pega uma estrutura matemática criada há 200 anos, e criada sem nenhum propósito prático ulterior (isto é, criada pelo puro prazer da matemática pura), pega também umas poucas medições, e então usa a estrutura e as medições para estabelecer generalizações que vão muito além das poucas medições. O sujeito estuda a queda de maçãs na Terra, por assim dizer, e atina com um jeito de explicar por que a órbita de Saturno é do jeito que é.

Muita gente já se debruçou sobre essa pergunta tão fascinante, “Por que a matemática é tão útil para descrever a realidade física?”, e todo tipo de resposta já surgiu. Houve quem disse que a matemática é surpreendentemente ineficaz para descrever a realidade, pois, para cada quilograma de matemática útil, o homem foi obrigado a criar toneladas de matemática inútil. Alguns disseram que a matemática é útil porque o universo é matemático. O físico Max Tegmark, por exemplo, dizia que o universo é isomórfico a uma estrutura matemática, e que o homem está apenas descobrindo essa estrutura aos poucos. Em outras palavras, as teorias matemáticas atuais a respeito do universo físico são, na verdade, teorias matemáticas meio toscas a respeito de uma estrutura matemática magnífica.

Isomórfico. “X é isomórfico a Y” = “X e Y funcionam de maneira não necessariamente igual, mas sim equivalente, de modo que, ao observar o funcionamento de X, você obtém informação sobre o funcionamento de Y, e vice-versa.”

E houve os que recorreram ao idealismo. Como é comum na filosofia, há muitas maneiras de definir “idealismo”, mas, resumindo bastante, as definições mais famosas são:

(1) Idealismo epistemológico. A estrutura do pensamento humano determina, de modo inescapável, os conteúdos que uma pessoa pode vir a conhecer. Em outras palavras, a pessoa não tem como conhecer x se x é incongruente com a estrutura de seu pensamento, mesmo que x exista de alguma forma no universo.

(2) Idealismo ontológico ou metafísico. As fundações da realidade são um tipo de pensamento, e o pensamento humano participa desse pensamento que perfaz a realidade. Assim, toda afirmação que mereça a classificação de “conhecimento” é, de certa forma, autoconhecimento.

Em vez de “pensamento”, alguns usam “mente”, “espírito”, “razão”, “vontade”, ou mesmo “software”. Veja como fica essa definição (2) com “software” no lugar de “pensamento”:

(2’) As fundações da realidade são um tipo de software, e o software do ser humano é parte integrante desse software maior que perfaz a realidade. Assim, toda afirmação que mereça a classificação de “conhecimento” é, de certa forma, autoconhecimento.

(3) Idealismo transcendental. Para Immanuel Kant, um idealista não tem como dizer o que existe ou não existe no mundo em última instância. Não pode nem mesmo dizer que a realidade é um tipo de software. Ao contrário, a única coisa que alguém pode afirmar com certeza sobre os objetos do mundo é que são públicos, isto é, que podem ser percebidos por este ou aquele indivíduo, de acordo com o equipamento sensório e intelectual deste ou daquele. Assim, o modo como a mente do homem representa as coisas, especialmente o espaço e o tempo, não caracteriza perfeitamente as coisas em si mesmas (as coisas públicas, as que existem mesmo que nenhum homem existisse), mas caracteriza sim sua própria mente, conforme ela se relaciona com os objetos do mundo.

Entre os que recorreram a idealismo para explicar a eficácia da matemática, está o matemático brasileiro Jairo José da Silva, professor aposentado da Unesp, especialista em filosofia da matemática. Jairo publicou em 2017 um livro sobre o assunto, Mathematics and its Applications: A Transcendental-Idealist Perspective (Springer, Synthese Library, vol. 385), que está sendo elogiado por quem entende dessas coisas; além disso, está escrevendo outro livro, desta vez sobre o que é a matemática e para que ela serve. Jairo concedeu uma entrevista ao autor deste blogue no dia 30 de janeiro de 2019, às 9:30, numa padaria perto de sua casa em Rio Claro (SP). “A matemática é útil”, disse Jairo, “porque nós elaboramos matematicamente o mundo da percepção para melhor servir à ciência.”

Nesta ilusão de óptica [acima], vemos linhas inclinadas quando elas são, na verdade, perfeitamente paralelas. Gostaria de saber se essa ilusão sugere o seguinte: por meio dos sentidos, a gente não apreende o mundo em si, por assim dizer, mas apreende uma elaboração intelectual do mundo. Idealismo é isso?

Jairo J. da Silva/ Arquivo pessoal

Não, não é isso, não exatamente. Eu já disse que elaboramos o mundo da percepção para melhor servir à ciência, mas não era disso que estava falando.

O próprio mundo da percepção já é uma elaboração. Temos os nossos cinco sentidos, isto é, recebemos estímulos do mundo exterior a nós e, a partir dos estímulos, fornecemos algum tipo de resposta sensorial. Mas essa resposta não é percepção ainda. É um estágio anterior à percepção. Criamos a ilusão de óptica nesse estágio anterior, e automaticamente. Para que haja percepção, os estímulos que nos chegam pelos cinco sentidos precisam ser elaborados por certos mecanismos cerebrais, que são inatos à nossa espécie, e que transformam sensações em percepções, das quais a ilusão já faz parte.

Se entendi a explicação corretamente, interpretamos automaticamente os estímulos que nos chegam pelos sentidos, e assim construímos automaticamente a ilusão de óptica. A interpretação intelectual, que está impregnada de matemática, e que serve à ciência, vem num estágio posterior. É isso?

Mais ou menos isso, sim.

Nós não nos damos conta, mas estamos o tempo todo, dentro de nosso aparato psicofísico, fazendo inferências. Não são inferências lógicas, evidentemente; são, digamos assim, “chutes”. Nosso psiquismo está constantemente chutando, constantemente fazendo inferências com base nos dados sensoriais. [A ilusão de óptica surge como efeito desses chutes.]

E nosso psiquismo faz inferências não só com base nos dados sensoriais [os dados brutos, talvez], mas principalmente com base em mecanismos de inferência montados ao longo da história evolutiva de nossa espécie. Assim, as ilusões perceptuais, como essa que me mostrou, são inferências que nossa estrutura perceptiva faz a partir das sensações, e essas inferências são aquelas que, ao longo de nossa história evolutiva, em circunstâncias semelhantes a esta, representam o melhor chute possível para o que está acontecendo.

Ocorre que isso não é uma elaboração intelectual. O intelecto não entra nessas operações: elas são automáticas. É pura percepção. Ninguém “quer” ver as linhas inclinadas, em vez de paralelas — a gente simplesmente vê daquele jeito, querendo ou não. Assim, essas ilusões nos mostram algo muito interessante: que nossas percepções sensoriais não são a mesma coisa que nossas sensações. As nossas percepções sensoriais são elaborações automáticas de nossas sensações.

A matemática entra num estágio posterior, portanto. Como?

Vou tentar resumir: as nossas sensações são elaboradas instintivamente, digamos assim, em percepções sensoriais; e nossas percepções sensoriais, por sua vez, são elaboradas intelectualmente em objetos distintos.

Existe essa gradação, e com ela fica bastante clara a grande distância que existe entre a natureza, tal como os físicos a consideram, e a natureza tal como a vemos.

Veja bem: não é que inventamos o que vemos. Não se trata de uma invenção. [Não se trata de algo que realizamos de acordo com nossos desejos, algo cujos resultados mudam conforme nossos desejos mudam.] Mas o fato é que ocorre uma elaboração, que podemos chamar de idealização.

E um aspecto muito importante nessa idealização é o aspecto da quantificação. Em outras palavras, podemos medir as coisas, ou podemos medir aquilo que idealizamos. Podemos medir o tempo entre dois eventos, o espaço entre dois objetos; podemos medir a temperatura, a velocidade, a massa, a condutividade elétrica, a amplitude eletromagnética — podemos medir muita coisa!

Além disso — note bem —, a gente só pode escrever equações se pode realizar medições. Porque equações nada mais são que relações entre variáveis que assumem certos valores de certos conjuntos numéricos. E mesmo entidades físicas mais sofisticadas, como vetores e tensores, no fundo são um monte de números, isto é, um monte de medições.

Assim, o ser humano elabora intelectualmente a realidade de modo que possa fazer medições, de modo que possa usar as medições para fazer matemática e com ela compor um retrato da realidade. Ele entra, portanto, num processo que se retroalimenta: quer usar a matemática para retratar a realidade, e para isso elabora intelectualmente a realidade de modo que possa fazer medições, o que por fim lhe dá a oportunidade de usar a matemática para retratar a realidade. Isso resume mais ou menos o que está querendo dizer?

Sim. Note que os cientistas são pessoas muito inteligentes, e eles quase sempre arrumam um jeito de fazer medições e obter números a respeito da realidade. Com isso, eles de algum modo “preparam” a realidade para um tratamento matemático.

Mas o que é verdadeiramente importante nessa história é isso: a matemática só se aplica à realidade porque a realidade é “feita” para que a matemática se aplique à realidade. Em outras palavras, a realidade é tornada matemática para que a matemática se aplique à realidade.

Agora, a gente só consegue entender essas ideias quando consegue entender o papel do sujeito no objeto do conhecimento. O objeto do conhecimento não nos é dado. A gente não tropeça nele. O sujeito participa ativamente na constituição daquilo que ele conhece. E isso é a perspectiva idealista, e por isso eu acredito que só uma perspectiva idealista pode dar conta do mistério de por que a matemática é tão útil.

Vamos supor que o mundo seja regido por leis, leis muito simples, que se aplicam igualmente a todos os menores elementos da realidade, sejam eles quais forem. Esses “átomos”, digamos assim, regidos por leis muito simples, dão ensejo a regularidades de nível mais alto, que por sua vez dão ensejo a regularidades de nível mais alto ainda, até que, a certa altura, que é a altura na qual o ser humano vive com sua mente, ele nota as regularidades.

Posso fazer uma correção ao que acabou de dizer? Ela é: “Vamos supor que o mundo tal como nós o vemos seja regido por leis muito simples […]”

Não, não é bem isso: estou supondo que o mundo seja de fato regido por leis muito simples, objetivamente, inquestionavelmente. E o ser humano surgiu nesse mundo, por meio do processo de evolução por seleção natural, respondendo a um mundo que é objetivamente regido por leis muito simples em última instância. E por causa disso, isto é, porque surgiu no mundo reagindo a leis em última instância muito simples, criou a matemática, que é um jeito intelectualmente sofisticado de responder a um mundo regido por leis, no qual há muitas e muitas regularidades. Essa concepção das coisas faz sentido para você?

Não, para mim não faz sentido.

Se alguém me pergunta: “Em que universo nós vivemos?”, vou responder assim: “Vivemos num universo que, de alguma forma, tem a nossa marca.” O universo, para nós, é de alguma forma marcado pela nossa presença.

Deixe-me explicar isso mais demoradamente.

Em primeiro lugar, não estou negando que existe alguma coisa independente de nós. [Kant chamou essa coisa de ‘mundo noumenal’, e os idealistas alemães a chamaram de ‘mundo em si mesmo’.] Sim, existe uma coisa independente de nós, mas, do modo como eu a vejo, seguindo uma intuição muito crua, o universo é algo amorfo, mas capaz de se apresentar de diferentes formatos a espécies que ocupem diferentes perspectivas.

Assim, as leis do universo, que são objetivas, que são reais, são as leis do universo de acordo com a nossa perspectiva.

Nada me garante que uma espécie alienígena inteligente, mas que não vive nas condições em que vivemos, e não teve a história evolutiva que nós tivemos, nada me garante que essa espécie perceberá o universo da mesma maneira.

Talvez um habitante de um planeta qualquer, a muitos e muitos anos-luz daqui, tenha uma teoria do universo tão completamente diferente da nossa que essa teoria seja incomunicável para nós, e a nossa teoria seja incomunicável para ele. Talvez o que para ele é informação, para nós é ruído; talvez o que para nós é informação, para ele é ruído. Mesmo assim, cada uma dessas duas teorias do universo é muito boa para cada uma das duas espécies, para o universo tal como ele é percebido por cada uma das duas espécies. Esse é o ponto.

Então, seguindo essa intuição muito crua, o universo é como se fosse uma coisa amorfa, mas, dependendo do ponto de vista do qual é observado, ele se mostra por meio de uma série de regularidades.

Essas regularidades estão ali? Sim, estão, num certo sentido; mas, em outro sentido, não estão, porque dependem de nós.

Se estou certo, portanto, esse seria um fenômeno localizado. Mas eu não estou dizendo que, se você levar os seres humanos para uma viagem a esse planeta distante, onde vive essa espécie inteligente que percebe o universo de outra forma, daí os seres humanos vão também perceber o universo de outra forma. Não é nada disso! Para nós, o universo terá lá as mesmas leis que tem aqui, porque levamos conosco nossa forma de perceber o universo.

Para cada uma das duas espécies, o universo é completamente regular, mas talvez não com as mesmas regularidades. E tais regularidades nascem de uma dinâmica localizada, espécie a espécie.

Mas a matemática é uma coisa muito, muito psicodélica. Com ela, podemos criar mundos completamente estranhos, nos quais nossa intuição falha completamente. Não podemos usá-la para criar mundos que seriam equivalentes ao mundo tal como percebido por essa espécie alienígena?

Não, isso não é possível, porque a matemática é nossa: é feita por nós, segundo as nossas condições.

Veja bem: há uma contradição em dizer que somos capazes de perceber alguma coisa que é, em tese, completamente independente de nossa capacidade de perceber as coisas.

Nós nem conseguimos imaginar como seria perceber o universo de outro ponto de vista, que não o nosso, porque os nossos instrumentos de cognição e de intelecção também estão determinados pela nossa forma de perceber o universo. E eu incluo a matemática entre esses instrumentos de cognição e de intelecção. Esse é o meu ponto.

Eu acho até divertido que uma pessoa coloque informações matemáticas num satélite, na esperança de que seres inteligentes um dia vão achá-lo e dizer: “Nossa! Eles conhecem o conceito de π!” [risos]

Talvez, do modo como esses seres veem o universo, o conceito de π não faça o menor sentido. A matemática deles, para nós, talvez seja ruído; e a nossa, para eles, talvez seja ruído. Quando eu digo que uma espécie “tem uma matemática”, quero dizer que ela tem uma teoria da estrutura formal do universo, que é uma estrutura idealizada, abstrata.

Em outras palavras, eu não acredito que haja uma racionalidade universal. Não existe uma razão universal. A nossa razão é a nossa razão, e não pode ser universal, porque nasceu de uma interação localizada com o universo.

Resumindo: não temos como dizer de que maneira é a realidade, independente de como podemos conceber a realidade. Dizer isso seria cair em contradição.

É possível que exista mesmo essa realidade amorfa, para além da realidade tal como nós a percebemos?

Eu acho que sim, seguindo aquela minha intuição muito crua, mas a resposta correta é: eu não sei.

O que sei é que toda realidade que podemos conceber e explicar será categorizada segundo o nosso ponto de vista, e portanto não existe realidade para nós além daquela que podemos conceber e explicar.

Por outro lado, se alguém entende que essa forma de categorizar a realidade é localizada, então em princípio existem outras formas de categorizá-la, embora nenhum ser humano possa, de maneira nenhuma, conceber qualquer uma dessas formas, porque isso seria uma contradição.

Precisamos, portanto, de humildade. Precisamos entender que não podemos ter a pretensão de ter a forma [objetivamente] ideal de ver, conceber, pensar.

E mesmo assim vale a pena estudar matemática?

É óbvio que sim!

Certamente, a matemática, assim como a ciência, é uma visão extremamente adequada da realidade, de uma certa perspectiva. A ciência e a matemática são nossas formas mais sofisticadas de capturar a estrutura formal da realidade, de nosso ponto de vista — mas abstraindo todos os conteúdos ou significados da realidade para nós.

Eu digo isso porque acho a arte uma forma tão sofisticada de expressar a realidade quanto a ciência. O artista procura expressar a realidade da forma como ela é vivida, em todos os seus conteúdos e significados. Os conteúdos da experiência, da percepção, das vivências, só podem ser bem tratados pelo pintor, pelo músico, pelo escritor. O matemático e o cientista, por sua vez, abstraem os conteúdos para ficar apenas com a forma, com as regularidades.

Assim, eu não acho que os produtos intelectuais humanos podem ser ordenados de forma linear, com a ciência e a matemática no topo.

Evidentemente, a ciência é um instrumento excelente, especialmente a ciência matematizada, que começou lá com Galileu. Ela é um instrumento excepcional para compreender, categorizar, racionalizar uma certa dimensão de nossa dinâmica localizada com o universo, que é a dimensão formal. Quando eu digo “dimensão”, quero dizer que é um aspecto da realidade, uma parte da realidade tal como nós a percebemos. [Não há nada de místico na palavra, portanto.]

Em razão de suas investigações filosóficas, você mudou de opinião sobre a matemática, ainda que levemente?

Eu dei aulas de matemática e de lógica, num departamento de matemática de uma universidade, por 35 anos. É claro que, com essa história, eu tendia a ver a matemática como sendo algo formal, muito apropriada para o raciocínio dedutivo, etc. Talvez essa visão tenha mudado um pouco.

Isso porque hoje tenho maior consciência de que a matemática é feita de uma maneira muito “suja”, digamos assim; ou talvez muito “caótica”. Só depois vem a limpeza da formalização, da axiomatização.

Contudo, essa fase de axiomatizar, que é importante, tem muito pouco a ver com o modo como realmente criamos matemática, e talvez essa fase seja menos relevante do ponto de vista do processo criativo real.

A matemática tem esse aspecto de ruminação íntima. À medida que a matemática avança, à medida que os matemáticos conquistam novas teorias, novos teoremas, eles ruminam constantemente os conhecimentos obtidos até hoje, tentando expressá-los em termos de conceitos novos.

Portanto, se fosse possível perguntar a um matemático do século 17, “O que é um número?”, a resposta não seria de jeito nenhum a mesma que vai obter com um lógico do século 21. A resposta do lógico sequer passaria pela cabeça do matemático do século 17.

Só que há um fenômeno muito interessante: os matemáticos tendem a considerar a última resposta como sendo a correta. Ora, essa atitude é temerária: visto que a matemática sempre evolui, e visto que a última resposta é a correta, é óbvio que, daqui a 200 anos, os matemáticos vão criar novas teorias e provar novos teoremas, olhar para trás, e dizer como nós no século 21 não sabíamos bem do que estávamos falando.

É possível que haja uma lógica universal, ainda não inventada ou descoberta, mesmo que seja uma lógica que é universal apenas da perspectiva humana, isto é, à qual todas as outras lógicas humanas estão subordinadas?

Acho que não.

Toda lógica tem pressupostos. Por exemplo: a lógica clássica parte do princípio do terceiro excluído. [Uma afirmação ou é 100% verdadeira ou é 100% falsa, mas nunca ambas.] A lógica intuicionista, por sua vez, rejeita o princípio do terceiro excluído. Quem está certo?

A resposta é: as duas lógicas estão certas. Para que o princípio do terceiro excluído seja válido, o pensador precisa de certos pressupostos a respeito do domínio sobre o qual está raciocinando. Para que não seja válido, precisa de outros pressupostos. Assim, a lógica que se aplica a determinado contexto depende de certos pressupostos que o pensador, conscientemente ou não, faz a respeito do domínio sobre o qual vai refletir.

Para que existisse uma lógica universal, deveria existir um contexto universal, ou um contexto ideal, e não me parece que isso exista. Acho até que essa ideia não é concebível.

O fato é que ninguém realmente decide a forma como vai pensar; o que a gente decide, de verdade, é em que vai pensar. Essa decisão determina qual a lógica é a mais adequada, entre aquelas que o pensador conhece no momento da decisão.

Deixe-me dar um exemplo: suponha que você vai pensar sobre suas vivências mentais. E aí você diz: “Preciso de uma lógica especial, porque minhas vivências mentais não têm a mesma estabilidade de minhas vivências sensoriais.” Ora, você realmente pode dizer isso? Não parece correto, porque também as sensações não são estáveis — ora você percebe algo, ora não percebe.

Contudo, existe uma constituição da realidade que extrapola a percepção sensorial. Você imagina que, mesmo que não esteja vendo este copo [aponta para um copo sobre a mesa], visto que não está olhando para ele, o copo continua existindo. Só que isso é um pressuposto ontológico, isto é, é uma pressuposição que faz parte do modo como concebemos o universo.

Agora, esse mesmo raciocínio não vale para as vivências mentais. Se eu tenho uma lembrança, mas depois a esqueço completamente, não vou dizer, “Olha, aquela lembrança continua a existir, mesmo que eu já a tenha esquecido completamente.” Assim, a lógica que escolho para o universo físico não pode ser adequada para o universo mental, e isso por causa de um pressuposto ontológico, que surge da nossa interação com o universo.

Existem essências no universo? Existe algo que não varia, de maneira nenhuma, de um instante para outro?

Minha abordagem dessas questões é idealista. E, na abordagem idealista, a identidade não está nas coisas. [Segura o copo com uma das mãos.] Eu digo “A no tempo t = 0 é idêntico a A no tempo t = 1” não porque A seja mesmo idêntico a A nesses dois momentos, ou porque exista uma substância imutável que faz com que A seja A ao longo do tempo.

Eu percebo A como sendo A porque existe uma ação intencional nessa minha percepção, que me faz identificar momentos distintos de uma coisa como sendo momentos de uma mesma coisa.

“Ação intencional.” É uma ação do tipo ver, perceber, imaginar, etc. É uma ação dirigida a um objeto, que é aquilo que é visto, percebido, imaginado, etc.

Se a gente pensar bem sobre o nosso corpo, por exemplo, ora, todas as suas células já mudaram várias vezes ao longo das décadas. De certa maneira, nascemos várias vezes. Assim, o que sobra de uma pessoa, exatamente, conforme o tempo passa? Suas experiências mudaram, suas memórias mudaram, seu corpo tem uma aparência diferente, ela sente as coisas de maneira diferente. Então, por que ela acorda de manhã dizendo que é a mesma pessoa que foi dormir ontem?

Se a gente quisesse, poderia pensar nisso tudo de maneira completamente diferente, e dizer que somos vários, e que vamos ao longo do tempo nos transformando em outras pessoas. Só que não fazemos isso. Não fazemos isso porque a identidade é uma construção — não apenas individual, mas também coletiva. A mulher não vai reagir ao marido de manhã cedo como se tivesse um novo marido; ela vai reagir ao marido como se ele fosse a mesma pessoa que foi dormir ontem.

Assim, a identidade de uma coisa, como este copo, mas especialmente a identidade de uma pessoa, não é algo referente à coisa em si, mas sim referente a um processo muito complicado de manutenção de identidades. Quando digo que a identificação é uma ação intencional quero dizer que é um ato de um sujeito; ele identifica vivências distintas como vivências da mesma coisa. O objeto do ato é a identidade dessa coisa. Assim, o objeto do ato intencional de identificação é uma identidade.

Respondendo à pergunta, portanto, não acho que existam essências no universo, exceto aquelas que percebemos como essência em razão de nossa interação localizada com o universo, e de nossas ações intencionais.

Vamos examinar um exemplo mais difícil. Segundo a física atual, dois elétrons distintos têm as mesmas propriedades. Eles são idênticos. Mas, se são idênticos, o que os diferencia? Como alguém pode falar de “dois elétrons” se não pode diferenciar um do outro?

Evidentendemente, o que diferencia um elétron do outro é a experiência: o cientista diz “O elétron dessa experiência é um, o elétron daquela experiência é outro.” Existe um contexto no qual a separação desses dois elétrons distintos, mas idênticos, faz sentido, mas é preciso que haja esse contexto para que haja dois elétrons distintos, separados.

Assim, pensando bem, essa atitude de declarar dois elétrons idênticos como sendo distintos, ou de identificar dois elétrons idênticos como sendo o mesmo elétron, sempre é dependente do agente que faz a distinção ou que declara a identidade.

Isso mostra algo importante: quando falamos de identidade, de uma coisa que permanece ao longo do tempo, com frequência nos esquecemos de pensar no agente. Nós nos esquecemos de que “o mundo” é, na verdade, “o mundo para alguém”. E quando o pensador se esquece do sujeito, ele tem a tendência de procurar na própria realidade algo que faça o papel do sujeito. Um pensador idealista faz um constante esforço para não se esquecer do sujeito, assim como das várias comunidades de sujeitos.

O que pensa do platonismo?

Com a minha história com o idealismo, penso que o platonismo é uma espécie de ilusão. É uma ilusão simpática, e muitas vezes útil, mas ainda assim uma ilusão.

Veja, por exemplo, o caso desta lata de Coca-Cola [levanta a lata com uma das mãos]. Ela é vermelha. O vermelho desta lata é um objeto abstrato. Um objeto abstrato é um objeto ontologicamente dependente de outro objeto ou de outros objetos. A cor desta lata, que é vermelha, só pode existir enquanto a lata existir.

Se eu junto esses dois objetos aqui [aproxima uma garrafa d’água de um copo d’água], eu tenho uma coleção que tem uma forma, uma forma quantitativa, ou um aspecto quantitativo, que comumente chamamos de “número 2”. O que você está vendo aqui não é o número 2, mas uma instanciação do número 2.

Quanto ao número 2, em si próprio, é uma idealização, é um conceito abstrato.

Objetos abstratos existem em todo lugar. E instanciações de conceitos abstratos também ocorrem em todo lugar. Agora, não podemos confundir objetos abstratos, como a cor vermelha, com conceitos abstratos, como o conceito de 2.

A cor desta lata está localizada no tempo e no espaço. Objetos reais existem no tempo. É o caso de ideias [no sentido de configurações do cérebro], crenças [idem], lembranças [idem], esta cadeira aqui. Para nós, seres humanos, o tempo é o grande marcador da realidade. Agora, conceitos abstratos, como o conceito de 2, não são objetos temporais. É claro que o conceito de 2 tem uma origem no tempo; ele surgiu em algum momento na história de nossa espécie. Mas ele em si não é um objeto no tempo.

Assim, existem objetos reais e seu contrário, objetos ideais [conceitos abstratos]; existem objetos concretos e seu contrário, objetos abstratos.

O conceito de número 2 é um conceito abstrato, mas não é uma ideia no sentido de que está na minha cabeça ou na sua; ele tem um tipo de existência especial, que não depende de mim ou de você — não depende de ninguém em particular. Contudo — e isso é importante —, o conceito de 2 não está no universo para todo o sempre, sub specie aeternitatis. Ele não tem uma existência que seja independente de nós, do tipo: “Ah, se nunca tivesse havido um ser humano, mesmo assim existiria o conceito abstrato de 2!”

Isso provavelmente não é verdade. O conceito de 2, sendo um conceito abstrato, não está em lugar nenhum, nem em tempo nenhum, mas ele se instancia em aspectos abstratos da realidade. Mas, como idealista, digo que essas instanciações surgem da interação localizada de nossa espécie com o universo, aquela coisa amorfa. Os conceitos abstratos não têm essa independência ontológica que os platonistas lhes atribuem.

Para o matemático, contudo, o platonismo parece muito convincente. Quando alguém está pensando sobre números primos, por exemplo, e se pergunta, “Será que existem números primos p na forma p 4 (mod 5)?”, sabe perfeitamente que existe uma resposta: ou existem, ou não existem. E, de certa forma, é verdade. Contudo, isso só é verdade porque o conceito de número, e os outros conceitos abstratos da matemática, foram constituídos assim. Nós, os seres humanos, constituímos um mundo que eu chamo de ontologicamente bem definido.

Isso significa o seguinte: a gente admite, de antemão, que qualquer afirmação sobre números, afirmação que tenha significado, ou é verdadeira ou é falsa. Mas isso não é uma propriedade dos números em si, mas sim é parte do modo como constituímos o mundo dos números. Nós já o constituímos com base no pressuposto de que nele vale, ou tem de valer, a lei do terceiro excluído.

De uma forma mais ampla, isso significa: antes de investigar um domínio qualquer, a gente tem de predeterminar como esse domínio é. Se não fazemos isso, nem temos ideia do que fazer durante a pesquisa. Essa predeterminação é essencial para que o trabalho científico possa começar.

E os domínios matemáticos são predeterminados como sendo ontologicamente bem definidos, epistemologicamente estáveis, etc. As coisas são verdadeiras ou falsas. Elas são o que são, e depois não deixam de ser o que uma vez foram. Portanto, eu concordo com tudo o que os platônicos dizem, exceto que essas coisas da matemática são independentes de nossa ação no universo.

Deixe-me dar um exemplo mais banal. Antes de investigar qualquer coisa, o cientista tem de predeterminar o que vai conhecer, num certo sentido, e até certo ponto. Por exemplo, suponha que eu diga o seguinte: “Se você for para Marte, e fizer um furo no solo de três quilômetros de profundidade, ao fim desse furo vai encontrar magnetita.” Verdadeiro ou falso?

Não sei, não faço ideia, mas, pelo modo como a afirmação foi feita, já sabemos que ela ou é verdadeira ou é falsa — isso já foi predeterminado ao fazer a afirmação. Nós, seres humanos, antes de fazer qualquer coisa, predeterminamos uma série de coisas sobre o mundo. Uma delas é que o mundo é ontologicamente estável (ou, dependendo do ponto de vista, ônticamente estável). Mas, quando investigamos o porquê disso, vemos que tem algo a ver com a nossa história evolutiva.

“Ontologicamente estável, ônticamente estável.” Ontologicamente estável quer dizer: as coisas que de fato existem no mundo, existem de maneira estável. Ônticamente estável quer dizer: as coisas do mundo tais como as vemos, nós as vemos de maneira estável.

Imagine que está numa caverna, que acabou de acordar, e que na noite anterior ouviu um urso lá fora. Você tem de fazer certas pressuposições sobre o mundo, ou em caso contrário morre hoje mesmo. Em particular, tem de pressupor que talvez o urso ainda esteja lá fora. Ora, ou ele está, ou não está.

O caso é que tem de assumir que o mundo tem uma certa estabilidade se quiser agir com bom senso, e essa estabilidade muitas vezes implica a lei do terceiro excluído.

Assim, a constituição de um mundo estável é uma necessidade de sobrevivência, e por isso não me causa nenhuma surpresa que a ciência, incluindo a matemática, presuma que seus domínios de investigação são estáveis, onde as coisas estão definidas a priori. E essa é a fantasia do platonismo: a de achar que as ideias abstratas existem estavelmente não nessa nossa realidade, mas em outra semelhante a essa.

Se pudesse, como organizaria um curso de filosofia da matemática?

Eu começaria com o livro de Herman Weyl, Filosofia da Matemática e das Ciências Naturais. É uma obra-prima. Aliás, um curso que fosse baseado apenas em livros e artigos de Weyl seria um ótimo curso.

Agora, não se pode cair no erro de fazer filosofia da matemática da mesma maneira que se faz matemática. A forma de pensar quando fazemos matemática não é a forma de pensar correta quando fazemos filosofia da matemática.

Muitos matemáticos, quando fazem filosofia da matemática, acham que basta formalizar o assunto, axiomatizá-lo, que o problema está resolvido. Muitos acham que dizer o que uma coisa é é a mesma coisa que dizer a que conjunto ela pertence. É lógico que não! A formalização não é a mesma coisa que compreensão. Em primeiro lugar, quem disse que conjuntos são a entidade básica do universo? Aliás, quem disse que os matemáticos sabem perfeitamente bem o que é um conjunto?

A verdade é que uma teoria formal não diz o que uma coisa é — ela diz que formato essa coisa tem. Você pode ter uma lista das propriedades formais do número 2, e mesmo assim não saber ao certo o que é, de verdade, o número 2. Só que essa pergunta, “O que é de verdade o número 2?”, é a verdadeira pergunta filosófica. {FIM}



Observações:

1. Talvez o leitor queira saber se o autor deste blogue defende o idealismo transcendental moderno ou não. Não, ou pelo menos não completamente. Entre as versões atuais do platonismo e do idealismo transcendental, o idealismo transcendental me parece mais verdadeiro. Ainda assim, por enquanto penso que o ficcionalismo explica melhor muitas coisas, inclusive a matemática. Definição simples de ficcionalismo: Considere um certo discurso U, isto é, um certo conjunto U de afirmações sobre certo aspecto do universo. Um ficcionalista diz que é melhor encarar as afirmações de U como sendo uma espécie de ficção. As afirmações do xadrez são uma espécie de ficção, que nos permite tirar conclusões sobre o xadrez, mas não nos permite tirar muitas conclusões a respeito do universo em si. As afirmações da física são uma espécie de ficção, que nos permite tirar conclusões a respeito do universo em si, mas não nos permite tirar muitas conclusões a respeito do xadrez. As afirmações da matemática são uma espécie de ficção, que nos permite tirar conclusões sobre procedimentos para classificar as coisas e para pensar sobre elas. Todas essas ficções têm falhas, ou pontos cegos; isto é, nenhuma delas têm correspondência exata com a realidade objetiva: as afirmações do xadrez não nos permitem tirar todas as conclusões possíveis e imagináveis nem mesmo sobre xadrez, e às vezes nos induzem a tirar conclusões incorretas sobre xadrez. O mesmo para as afirmações da física e da matemática, mutatis mutandis. Dito isso, estou consciente das várias objeções ao ficcionalismo, algumas das quais muito boas, e talvez mude de ideia no futuro.

2. Jairo é o autor de um livro sobre filosofia da matemática que, dada a complexidade do assunto, é tão acessível quanto um livro desses pode ser: Filosofias da Matemática: São Paulo, Editora Unesp, 2007.

3. Há mais duas outras entrevistas neste blogue nas quais o tema é filosofia: Ciência, matemática, ou filosofia? é uma delas; Métodos formais para filósofos novatos: mais eficientes que lógica é a outra.

Raciocinando do específico para o geral

Você já partiu de uma conjectura e provou um teorema? Por meio de dois exemplos simples, um do ensino fundamental e outro do médio, verá o que um matemático faz, e terá ideia de como ele se sente.

O artigo a seguir foi publicado pela primeira vez pelo professor de matemática Bill Russell na revista Pi in the Sky, nº 14, do instituto canadense Pacific Institute for the Mathematical Sciences. Bill dá aulas na James Bowie High School, Texas (Estados Unidos). O artigo foi traduzido e adaptado com autorização do editor canadense.


Ao resolver um problema que envolva números, talvez você abra caminho para descobrir um conceito matemático mais geral. Muito da matemática é sobre correlações, e uma vez que você reconheça uma correlação, o próximo passo lógico é tentar estendê-la até descobrir revelações mais profundas.

Por exemplo, ao praticar a tabuada, o estudante talvez observe que o produto de dois números ímpares parece que é sempre outro número ímpar. Como existem infinitas combinações de dois números ímpares, é impossível checar todas elas para verificar se todas geram um produto ímpar. Um estudante com conhecimentos básicos de álgebra, contudo, tem as ferramentas para provar que essa conjectura vale para todos os casos.

Você pode representar um número ímpar como 2n + 1, em que n é um inteiro não negativo (isto é, pode valer zero). E pode representar um segundo número ímpar como 2m + 1, em que m também é um inteiro não negativo, talvez diferente de n. Como você representa o produto desses dois números?

A última expressão representa nada mais que a adição de um inteiro par (pois todo número multiplicado por 2 é par) com a unidade, e um inteiro par mais 1 se transforma num inteiro ímpar. Você provou que o produto de dois números ímpares, não importa quais sejam, é um número ímpar também. Sempre.

Com esse exemplo bem simples, vê como um problema numérico específico, do tipo 3 × 5 = 15, pode ser estendido até se transformar num conceito mais genérico, do tipo ímpar × ímpar = ímpar. Agora aplicará esse método a um problema mais avançado.

O problema da cerca (tentativa 1). Você tem 240 metros de cerca para cercar um terreno retangular (veja a figura abaixo). Ache a medida dos lados adjacentes x e y que lhe dariam a maior área cercada.

 

Você sabe que o perímetro do retângulo tem de ser igual a 240 metros, ou seja:

Lembrete: A seta torta significa “leva naturalmente a”. Logo, 240 = 2x + 2y leva naturalmente a y = –x + 120.

Se seu objetivo é maximizar a área, você tem de calcular a área, e sabe que a área é igual a lado adjacente multiplicado por lado adjacente. Para calcular a área em função de x:

Isso é uma função polinomial quadrática (fazendo a multiplicação, você chega a x2 + 120x), e portanto seu gráfico tem uma linha de simetria entre suas duas raízes (ou os dois zeros), como pode ver na figura abaixo.

 

Visto que a função A acima está na forma fatorada, para achar as duas raízes (ou os dois zeros), basta igualar cada fator com zero e ver o que acontece. Você obterá:

O coeficiente do termo mais significativo é negativo, então a parábola está voltada para baixo, e a função terá o valor máximo no vértice. Como manda a simetria, o vértice está localizado entre as duas raízes, no ponto em que x = 60. Sendo assim, você acha a largura da área cercada calculando o valor de y para x = 60:

Sendo assim, a área máxima que você consegue cercar com 240 metros de cerca é igual a:

3.600 metros quadrados é o resultado, mas não chega a entusiasmar. Mais interessante do que isso é notar que, quando a área é máxima, x é igual a y. Isso é coincidência ou é o exemplo numérico de uma lei maior, mais geral? Se você desconfia que topou com uma lei universal (obtemos a área máxima de um retângulo quando seus quatro lados são idênticos, ou seja, quando o retângulo é um quadrado), como prová-la?

Seria fácil variar o comprimento da cerca e mostrar que, para cada área máxima imaginável, x e y são iguais. Mas mil casos particulares não formam uma generalização — aliás, nem 1 bilhão de casos particulares formam uma generalização. Para provar que isso é sempre verdade, você tem de resolver um problema genérico semelhante, e substituir os valores numéricos por variáveis. Com isso em mente, pode agora escrever o problema original de outra maneira.

O problema da cerca (tentativa 2). Você tem T metros de cerca, e com ela deve cercar uma região retangular, cujo comprimento será igual a x e cuja largura será igual a y. Demonstre que, quando a área do retângulo é máxima, o comprimento x é igual à largura y.

Você sabe que o perímetro T é igual à soma de 2x com 2y; logo:

Seu objetivo é maximizar a área, e você pode escrever a área A em função de x:

Você nota de novo que a função A é polinomial quadrática, e que o coeficiente de x2 é negativo (é –1). Isso significa que a parábola está virada para baixo, e que há um ponto de máximo, e que esse ponto de máximo está bem na linha de simetria entre as duas raízes da função A. Logo, o primeiro passo é achar as duas raízes, e para isso basta igualar cada um dos dois fatores acima com zero:

Como manda a simetria, o vértice da parábola está localizado entre as duas raízes (0 e T/2). Vamos chamar esse ponto de xV, ou o x do vértice. Ele é igual a:

Qual é o valor de y quando x = xV? Essa é uma pergunta importante. Vamos retomar uma das fórmulas acima e substituir os valores.

Isso significa que, no ponto em que a área A é máxima, x e y são iguais, e ambos valem o perímetro T dividido por 4.

Rápido feito gênio. Vamos tirar um momento para rever o que você acabou de fazer. Depois de resolver um problema numérico de rotina, você observou um resultado interessante. Ao tentar obter uma prova desse resultado para incluir todos os outros problemas semelhantes, você refez a afirmação inicial de uma maneira mais genérica, e logo em seguida a provou. Em poucas palavras, você provou um teorema. Embora sua prova tenha sido feita com álgebra simples, você complementou a álgebra com frases da língua portuguesa, explicando ao leitor o que estava fazendo em cada um dos passos mais importantes. No fim, você ganhou como prêmio um resultado simples, mas poderoso, pois você nunca mais precisará fazer esse tipo de conta no futuro. Quer ver? Um amigo lhe pergunta:

“Eu tenho 324 metros de cerca de arames farpados. Qual é a área máxima que eu posso cercar com isso, sendo que essa área tem de ter a forma de um retângulo?”

Você responde sem nem mesmo tirar os olhos do que está fazendo:

“Cada lado do retângulo tem de ter 324 metros divididos em 4 partes iguais. Quanto dá isso?”

Seu amigo aciona a calculadora do celular.

“Isso dá 81 metros.”

Você continua:

“Com 324 metros de cerca, você deve cercar um quadrado com 81 metros de lado, para ter área de… Quanto dá 81 vezes 81?”

Seu amigo digita os números na calculadora de novo.

“Dá 6.561 metros quadrados.”

“Essa é a área máxima do retângulo que você consegue cercar com 324 metros de cerca.”

Seu amigo vai te achar um gênio.

Nesse problema da cerca, é possível usar o mesmo método numérico para provar o caso genérico, ou seja, para provar o teorema. A única diferença foi que, no teorema, você usou variáveis em vez de números. Nem sempre essa abordagem é possível. Muitas vezes, você vai notar um padrão fácil de exemplificar com números, mas achará dificílimo, se não impossível, prová-lo em termos genéricos. Um exemplo famoso é a conjectura de Goldbach: todo inteiro par maior do que 2 é igual à soma de dois números primos. Dois exemplos: 10 = 7 + 3; 16 = 11 + 5. Embora Christian Goldbach tenha proposto a conjectura em 1742, nenhum matemático ainda conseguiu prová-la verdadeira, falsa, ou impossível de provar verdadeira ou falsa. [Essas são as três únicas possibilidades na matemática.]

Os matemáticos estão sempre aumentando o número de teoremas contidos na matemática, ou seja, estão sempre aumentando o número de ferramentas à disposição de quem estuda matemática. O que lhes move é a curiosidade. Estão sempre notando a existência de novas correlações, e a história é sempre essa: alguém faz umas contas, nota um padrão que se repete, pergunta a si mesmo por que o padrão se repete, e pergunta se tal padrão pode ser expresso de modo genérico, com as variáveis de algum tipo de álgebra. Por meio dos exemplos usados neste artigo, você percorreu caminhos que já foram percorridos milhares de vezes antes de você, e tais exemplos mostram como os caminhos são descobertos em primeiro lugar, e como devemos pensar e agir diante de uma conjectura quando queremos transformá-la num teorema. Se gostou da experiência, há muito mais a explorar no país da matemática! {FIM}


Observação:

O autor diz que o matemático está sempre à procura de “correlações”. Usou, portanto, o significado vulgar da palavra “correlação”, e não o significado que a palavra tem na matemática, o de correlação entre duas variáveis aleatórias. Na verdade, o matemático está sempre à procura de implicações. Mais precisamente, dado um sistema matemático (uma linguagem L, um conjunto S de elementos, e as relações e funções que o matemático pode formar com os elementos de S e expressar com os recursos da linguagem L), o matemático está sempre em busca de evidências de implicações importantes no sistema, para em seguida tentar prová-las verdadeiras, ou falsas, ou indecidíveis (impossíveis de provar verdadeiras ou falsas).

O valor da palavra “ainda”

Existem dois tipos de estudante no mundo: os que já entenderam a matéria e os que ainda não a entenderam. A palavra-chave é “ainda”. O professor que a enfatiza ajuda a pôr fim na antiga crença de que existem apenas dois tipos de gente no mundo: o que tem cabeça para a matemática e o que não tem remédio.


Roberto Moisés

Roberto Moisés, professor de matemática no Colégio Santa Cruz, diz que basta examinar com cuidado os pais numa reunião de pais e mestres para ver indícios de como a sociedade brasileira tem fracassado ao ensinar matemática. Em geral, o professor de matemática é o que tem mais pais e mães à sua espera, querendo saber por que a criança vai mal, ou querendo fazer perguntas que os outros professores não precisam responder.

Um dos motivos, diz Roberto, é a cultura escolar do já, já, já. A criança tem três anos e o pai quer mostrar para o mundo inteiro que ela já sabe contar, já sabe ler, já sabe escrever, já sabe falar inglês, e já sabe dar golpes de judô. “É uma questão de status, e por causa disso muitos alunos se sentem excluídos do processo de aprendizagem. Eles sentem dificuldade e acabam se achando incompetentes.” Isso é evidente na matemática, cujo aprendizado requer mais tempo e maior paciência. O aluno é bom em história e ciências, escreve quase como um Machado de Assis, mas, nas aulas de matemática, demora a entender os conceitos. Conclui que há algo de errado com ele. Diante dessa frustração, cria um mecanismo de defesa contra a aula e o professor, que são as centenas de perguntas do tipo: “Para que estudar matemática? Para que isso serve? Por que meu pai teve sucesso e nunca fez uma conta na vida?”

Mike Askew e Rob Eastaway, matemáticos britânicos, escrevem no livro More Maths for Mums and Dads que há algo de errado nessa pergunta. Desde quando crianças e jovens se importam se estão aprendendo algo útil para a vida adulta? “Aliás, muitos pais reclamam que seus filhos não pensam o suficiente no futuro, pois estão muito focados em curtir o presente.” Os autores sugerem que, na maioria das vezes, o aluno questiona a utilidade da matemática por outros motivos: está entediado, ou está com dificuldades.

Lilian Spalding

Lilian Spalding, da Escola Vera Cruz, recorda alguns dos alunos que resistem às aulas. “O aluno não é necessariamente ruim, mas se coloca dessa maneira. Se ele se dedicasse, seria brilhante.” A criança age como um personagem conhecido das fábulas de Esopo: a raposa que desdenha as uvas. Na fábula, ela vê os apetitosos cachos de uva na videira, mas não consegue alcançá-los; por fim, desiste, e se justifica dizendo que estão verdes demais, e vai embora. Porém, na escola, muitas crianças desistem da matemática muito cedo, e carregam esse desdém por toda a vida escolar, quando não também por toda a vida adulta. Mike e Rob propõem uma ideia simples, mas crucial para mudar a atitude desses estudantes: enfatizar a palavra “ainda”.

Quando o estudante diz que nunca vai entender matrizes e determinantes, o professor deve encorajá-lo ao dizer: “Você ainda não entende.” Pode então divulgar essa ideia de que poucos saem da escola sabendo, de que a matemática envolve progresso e crescimento pessoal; não é algo que o estudante ou é capaz de entender ou não é. Os pais também são imediatistas, querem que o filho aprenda rápido e bem, e assim, como resultado, a escola perde uma função importante: a de ser o lugar onde o estudante melhora com os próprios erros e aprende a se esforçar mesmo que sinta muitas dificuldades. Sem essa experiência, ele cresce acreditando que o mundo é feito de burros coitados e de gênios de nascença.

O professor que deixa essa ideia se perpetuar permite que a matemática seja apenas um monte de algoritmos sem significado, sem beleza, e sem qualquer relação com o ser humano. Por isso, Roberto gosta de usar a história da matemática para mostrar que gente de carne e osso visualizou padrões na natureza e inventou um conjunto de ideias para descrevê-los. “O que a gente ensina na aula são apenas os padrões que deram certo”, diz Roberto. “Peço que meus alunos tentem imaginar o tanto de lixo, o tanto de folhas de papel amassadas que os matemáticos jogaram fora antes de concluir certas coisas. Gosto de trabalhar com esse ponto de vista humano, porque uma criação é esse tipo de drama.”

Quando o professor tenta abordar um lado mais humano para a matemática, os alunos que se dizem “da área de humanas” ficam muito animados. Mas depois de um tempo, quando a classe entende a ideia de que certo conceito tem uma história, ela mesma perde a paciência e exige: “Tá bom, mas quando vem a matemática?”

Algo mais. No início da carreira de professor, Roberto se sentia mais aluno de matemática que professor, então justificava todo conceito por meio de contas e explicações rigorosas. Um dia percebeu que não havia significado naquela maneira de ensinar, e procurou se identificar com seus alunos; passou a se perguntar para que aquilo servia. “Percebi que precisava de algo mais; me coloquei na posição do aluno e disse: preciso entender isso!” A partir daí começou a estudar o que ensinava e a usar nas próprias aulas a dinâmica com que aprendia, as dificuldades que tinha. Ao ver a matemática como linguagem e como criação humana, Roberto acha que se tornou um professor melhor. “Até brinco que não sou bom em matemática e isso me torna um bom professor. Acredito que os desafios que tive são parecidos com os que eles terão, e penso nas etapas que construí para mim mesmo na hora de me explicar.”

O estudante que sente prazer de aprender não desanima ao estudar por estudar, sem pensar em utilidade prática ou apenas em tirar notas. “Posso até apontar alguma utilidade prática, mas não é isso que motiva o matemático”, diz Roberto. “A vida da gente não exige mais que as quatro operações nem mais que uma calculadora de cinco reais.” Roberto tenta passar a ideia de que somos mais do que essa nossa vidinha, e a matemática é uma forma de transcender. Lilian concorda: a matemática é uma maneira de pensar, de ver um conjunto de ideias, e de resolver problemas. “Tenho uma sensação ruim quando um professor responde de bate pronto que isso serve para esse modelo.” Qualquer isso da matemática é muito pequeno em relação a toda a matemática.

Lilian diz que usar o caminho inverso do usual ajuda bastante na hora de prender a atenção dos alunos. Eles investigam um problema e sentem que precisam de algo que não sabem, então o professor fornece dados e conceitos para o problema. Depois que sentiram a necessidade do saber, fica fácil organizar e formalizar o conceito, pois o aluno vê algum sentido naquilo. “Esse método leva mais tempo, mas eles adquirem um conhecimento permanente.” Por meio desse método, o estudante começa a aplicar uma técnica recém-aprendida a outros problemas, isto é, começa sozinho a estabelecer as relações entre temas que, num curso convencional, parecem desconexos.

Matemáticos demoraram séculos para desenvolver a teoria que o professor explica em duas ou três aulas, e outros matemáticos levaram mais alguns anos para rever e organizar essas ideias antigas. Visto que na escola o estudante vê pela primeira vez assuntos de pelo menos 200 anos atrás, ele sente que tem dificuldade com um assunto bem estabelecido, do qual ninguém jamais duvidou. “É engraçado que em outras matérias o professor pode debater o tema durante a aula e deixar o aluno colocá-lo no papel quando estiver em casa”, diz Lilian. “Isso não funciona nas aulas de matemática. Não adianta o professor só verbalizar e explicar o conceito.” O aluno tem de colocar as mãos nas ideias, por assim dizer; tem de manipulá-las várias e várias vezes para entender o que o professor diz.

Renata Rossini

Renata Rossini, professora na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sempre lembra os alunos da paciência que a matemática exige. O aluno precisa de tempo para se acostumar com as palavras-chave da disciplina e com “a linguagem” dos símbolos, mas esse tempo deve ser empregado com prática e repetição. Quando dá aulas para calouros do curso sistemas da informação, Renata retoma o conceito de função estudaram no ensino básico, depois apresenta a ideia nova de limite e a desenvolve até que, por consequência, surge o conceito de derivada. No começo, parece que está falando árabe, mas após uns exercícios ela explica de novo, os alunos fazem mais exercícios e daí começam a interiorizar as regras e a nova forma de pensar. “Se percebo que o aluno está interessado, eu explico de um jeito e de outro, dou exercícios de um jeito e de outro. Quero que ele veja o conceito de vários ângulos; em algum momento, ele vai me entender.”

Lilian diz que existe um tipo de aluno raro: o que, mesmo que não goste do conteúdo, sabe o valor do que o professor ensina, o valor da forma como ele a ensina. Existe outro tipo mais comum: o que, embora ouça várias explicações sobre os mesmos conceitos, não consegue compreendê-los, pois existe algo entre ele e a matéria. Lilian acha mais fácil ajudar o aluno com dificuldades no conteúdo, pois é um problema conhecido. “O grande desafio são os alunos que têm a capacidade, mas não a usam. Como mostrar a eles que também são bons em matemática?”

Não é só o aluno que precisa de paciência. O professor lida com a dificuldade de falar para um público no qual cada um aprende num ritmo, e de uma maneira diferente, e no qual todos questionam seu trabalho. Poucos perguntam a razão de estudar, por exemplo, a revolução industrial, ou os romances de Monteiro Lobato. É como se, para o aluno, um fato histórico ou um escritor famoso já tivesse significado por si só. Roberto lembra a brincadeira que Nílson José Machado, professor na Faculdade de Educação da USP, costuma fazer: “Vou aprender poesia para ganhar uma namorada.” Esse pode até ser um jeito de fazer um xaveco bacana, diz Roberto, mas os poemas não servem só para isso. Da mesma forma, a matemática tem muitas aplicações, mas seu valor não se resume ao uso. “Não importa o que eu faço com a matemática”, diz Roberto; “importa o que a matemática faz comigo.”

Com os anos, até o professor começa a ver um novo significado no próprio trabalho, pois percebe que na verdade não ensina matemática, mas sim os conceitos com os quais o aluno vai construir sua própria matemática. “Se o aluno não vai ser um professor de matemática e não vai usar os conceitos, o que ganha com aquilo?”, pergunta Lilian. “Ele ganha a forma de pensar, o raciocínio lógico, e além disso aprende que pode lidar com uma situação nova a partir das referências que já tem. Essa é uma forma de acomodar a insatisfação do aluno, ancorando o que está aprendendo no que já sabe.”

Mamão ao sol. Quando o aluno diz que só gosta de álgebra, mas não de geometria, ou vice-versa, Roberto tem uma sensação estranha. “Tá de brincadeira: não pode! Quando dizem isso, tenho a convicção de que não tiveram tempo de entender e foram treinados para dizer: tem figura, é geometria; não tem figura, é álgebra.” Com essa visão fragmentada, o estudante escolhe o caminho fácil do desdém. Por isso, Roberto incentiva o aluno a assumir uma atitude mais honesta: a de dizer que tem maior facilidade com a geometria, ou com a álgebra, mas logo em seguida admitir que, caso se esforce mais, pode entender um assunto que lhe parece complicado. “Afinal, a vida não é feita só do que a gente gosta.” Nesse processo, ele nota que perde alunos. Aqueles mais imediatistas desistem.

Na PUC-SP, Renata dá aulas de matemática para vários cursos e não vê tanta resistência, mas sim corpo mole. Os estudantes sabem que o assunto não está ali para enfeitar o currículo e tem um uso mais prático, então fazem o suficiente para tirar notas, mas não dão o melhor de si. Muitas vezes erram exercícios por falta de organização; noutras não veem como usar os símbolos para descrever o raciocínio lógico. “Quando pego uma prova, vejo que o aluno não sabe o que está fazendo porque iguala tudo a zero”, diz Renata. “Ele inventa coisas ou tem preguiça de escrever todos os símbolos necessários.”

Lilian e Roberto citam três assuntos com os quais os alunos batalham: logaritmos, matrizes, e geometria espacial. São os alvos campeões de perguntas do tipo: Para que serve? Roberto gosta de propor primeiro uma situação assim:

“Gente, se eu escrever 2x = 10, será que existe esse expoente?”

Ele transforma a questão numa narrativa lógica: faz o gráfico da função exponencial de base 2 e os alunos veem que é contínua; é natural concluir que o expoente deve existir.

“E qual o valor desse expoente?”

Ninguém ainda sabe, mas intuem que é um valor entre 3 e 4, pois 23 = 8 e 24 = 16. Assim Roberto constrói a noção de logaritmo, isto é, o valor x ao qual deve elevar 2 para obter 10. Ele escreve isso na lousa por extenso, e então diz:

“Vamos simplificar isso aqui, porque na matemática não é para ficar escrevendo ‘o valor de x ao qual devo elevar 2 para obter 10’ toda hora. Vamos chamar esse x de logaritmo? Vamos chamá-lo de logaritmo de 10 na base 2?”

Depois Roberto conta um pouco de história: o homem começou a usar logaritmos numa época em que o comércio crescia, as navegações cresciam, havia exploradores na América, havia mais capital, havia bancos, crédito, juros. O professor consegue usar esse contexto para relacionar o uso dos logaritmos com outras áreas do conhecimento, mas muitas vezes o professor de matemática não sabe dessas coisas. Só existe um jeito de usar a história da matemática para ensinar matemática: estudar a história, e é o que Roberto faz; acha importante se interessar pelo que ensina. “Será que hoje sou um professor melhor que no passado? Tenho certeza que sim, pois o professor se forma em serviço.” O aluno também se forma praticando e estudando, por isso a palavra ainda mostra o valor do progresso.

É como ocorre com o matemático. Quando não sabe nada sobre um problema, ele não significa nada, é um grande mistério; depois que o entende bem e o resolve, o problema às vezes perde a graça. É no durante, é na fase da conquista que está toda a emoção da matemática. O estudante faz bem se aprende a curtir essa fase, tanto durante as aulas quanto sozinho em casa, pois, no calendário escolar, usar a palavra ainda é difícil. Renata diz que, na PUC-SP, os alunos agora têm disciplinas semestrais em vez de anuais. Se contar as férias e os feriados, eles têm apenas quatro meses de aulas. “O professor tem de fazer com o aluno o mesmo que faz com mamão: colocar ao sol para amadurecer mais rápido [risos].” OK, mas converse com quem tem pomar: a fruta que amadurece no tempo certo fica mais doce. {FIM}


Gráfico da função exponencial de base 2


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes, que também tirou as fotos.

3. No texto, você viu que Roberto Moisés desenha o gráfico da função exponencial de base 2 para mostrar aos alunos que y = f(x) = 2x é uma função contínua. É claro que ele só pode fazer isso quando dá aulas para alunos no ensino médio, pois um mero gráfico é insuficiente para provar que tal função é contínua. (É fácil imaginar funções descontínuas em toda parte cujo gráfico é, contudo, aparentemente contínuo; um exemplo é y = g(x) = 2x se x é racional, mas y = g(x) = 0 se x é irracional. Um computador, ao plotar o gráfico de g e o gráfico de f, vai plotar dois gráficos idênticos na aparência.) Para provar apropriadamente que f é uma função contínua, o estudante precisa de ferramentas matemáticas mais sofisticadas: precisa do conceito de limite ou então do conceito de infinitésimo. Clique aqui caso queira usar o conceito de infinitésimo no estudo de funções contínuas.

Parábolas, tarde demais

Daniela Stevanin Hoffmann, professora na Universidade Federal de Pelotas (RS), diz que o aluno no ensino fundamental e no médio não percebe que a matemática da física é, pura e simplesmente, matemática.


{1}/ Lembranças associadas a parábolas

Daniela estudou o modo como um professor poderia usar as seções cônicas para modelar problemas do dia a dia com a matemática do ensino básico. (O estudo ocorreu por conta de um trabalho de pós-graduação.) Os exemplos clássicos são o voo de uma bola pelo ar e a curvatura de uma antena parabólica. Mas já nesse trabalho deixava claro algo do que nem todo professor tem consciência: qualquer seção cônica é um objeto matemático complicado; para dominá-lo, o estudante teria de estudá-lo por bastante tempo. Ocorre que o estudante no ensino básico não se dedica a nenhuma seção cônica por tempo o suficiente; tudo o que vê são alguns detalhes e umas poucas aplicações desses detalhes. Como consequência, não consegue juntar esses poucos retalhos de informação numa colcha de retalhos que lhe cubra os pés. Não seria melhor pensar em alternativas? Daniela acha que sim, e até sugere: talvez seja o caso de dedicar menos tempo ainda às parábolas, para que o estudante tenha tempo de aprender alguma coisa bem.

Qual são as coisas mais curiosas sobre as parábolas no ensino básico?

Uma vez, quando dava aulas no ensino médio, eu e uma colega professora de física organizamos o experimento do foguete. É aquele experimento no qual dividimos a classe em turmas, e cada turma faz um foguete com garrafa de refrigerante, água, bombinha, etc. Cada grupo tinha de montar o foguete, estudar a teoria, fazer as previsões com as fórmulas mais básicas e, no dia do experimento, tinha de pegar os dados: o tempo total do percurso, a altura máxima, essas coisas. Pois bem: a gurizada ficou tão preocupada com pegar os dados que nem percebeu que o foguete percorreu uma trajetória parabólica. A sorte é que eles acreditam muito no que nós, professores, dizemos. [risos]

Mais tarde, nas aulas em que fomos estudar os dados, eu mostrei a equação mais básica do movimento e mostrei como ela gera uma curva parabólica — mas os alunos acharam esquisito o fato de que eu, sendo professora de matemática, estivesse falando de física! Para eles, era como se a professora de matemática não pudesse entender de física. É como se a matemática e a realidade fossem coisas muito descoladas uma da outra.


A equação do movimento

Nessa equação, r é a posição do objeto em função do tempo t; r0 é a posição inicial, v0 é a velocidade na posição inicial, e a é a aceleração do objeto. Essa equação descreve bem a trajetória de um foguete de brinquedo.


Acho que deveríamos fazer atividades como a do foguete, ou qualquer outra atividade assim, mais cedo, no ensino fundamental. Quando vamos trabalhar com as seções cônicas no ensino médio, tenho a impressão de que é tarde, pois os alunos têm muitas dificuldades para fazer as conexões entre a teoria matemática e a realidade. Parece-me algo com o que eles deveriam ter feito experiências mais jovens.

E daí, no ensino médio, acontece outra coisa engraçada: nós trabalhamos a parábola com a ideia de foco e de diretriz. A parábola não é mais apenas uma versão da fórmula y = ax2 + bx + c; ela surge da relação entre certos pontos do plano cartesiano, de um lado, e o foco e a diretriz, de outro. Então, se o estudante gera uma parábola com diretriz x = a e foco no ponto (a, 0), ele chega na relação y2 = 4ax e fica com uma parábola cujo eixo de simetria está na horizontal. [Veja a figura 1, mais abaixo, na qual a = 1.] Daí a parábola deixa de ser uma função, pois há dois valores de y para cada valor de x. Isso para eles é muito confuso e complicado! A gente passa a vida dizendo que, para ser uma função, não pode haver dois valores de y para cada valor de x, e eles passam a vida vendo as parábolas como funções. Quando veem uma parábola do tipo y2 = 4ax, enlouquecem.

Como os alunos no ensino médio reagem mal a esses fatos matemáticos, na prática alguns professores escolhem não explorar as cônicas no ensino médio, o que é uma pena.

Fig. 1

Como um professor poderia, em tese, explorar bem as parábolas no ensino básico como um todo?

É possível arrumar um cone, por exemplo um cone de isopor, ou de sabão, e mostrar ao estudante que, conforme o jeito que ele corta um cone, revela um círculo, ou uma parábola, ou uma elipse, ou uma hipérbole. É importante mostrar ao aluno como a parábola surge de definições fundamentais, como foco e diretriz, mas devemos também mostrar que ela surge do modo como seccionamos um cone.

Conforme a turma, dá para propor perguntas sobre como deslocar a parábola no plano cartesiano, e sobre como os deslocamentos alteram a fórmula da parábola e vice-versa. No ensino médio, acho que perguntas assim funcionam até melhor que as aplicações práticas, pois, para o adolescente, algumas das aplicações parecem forçadas demais. Uma vez, eu disse que a trajetória de uma bola de futebol é parabólica, e um aluno me desafiou com uma pergunta excelente:

“Ah, professora, a senhora não vai me dizer que o jogador para a bola e faz o cálculo antes do chute, vai?!”

Essa é uma ótima questão para explorar. O jogador não faz cálculo nenhum, mas isso não significa dizer que nós não podemos coletar os dados e fazer os cálculos com base nos dados. Na atividade do foguete, fazemos os cálculos e prevemos como o foguete vai se comportar, ou coletamos os dados e montamos as equações que produzem dados semelhantes. E se um aluno gostaria de programar jogos de computador, ele precisa aprender a programar os movimentos para que pareçam reais. Um videogame pode ser uma boa desculpa para uma conversa mais aprofundada sobre seções cônicas. Quando eu estava na graduação, lembro que mexemos com um programa de computador sobre basquete, e tínhamos de calcular tudo para jogar a bola na cesta, bem ao estilo do jogo Angry Birds.

Trabalhar com alunos do ensino médio é mais difícil porque realmente querem saber das aplicações; é uma questão importante para eles. E são exigentes: não querem saber de aplicações forçadas. Uma vez, usei o exemplo de uma pessoa que pula de um trampolim na piscina. As fórmulas rendem uma parábola com a concavidade voltada para cima (e não para baixo, como é usual com casos como o do foguete), e eles puderam calcular a profundidade máxima que o mergulhador atingiria. Ficaram muito faceiros com esse exemplo.

O problema, como já disse, é que muitos alunos não veem as aplicações da matemática como sendo matemática; eles as veem como sendo física, química, etc. E outros alunos não conseguem tirar proveito de um curso forte em álgebra, com muitas manipulações de x para lá, y para cá. A gente fala das aplicações, fala dos foguetes, e de repente o quadro está cheio de x e de y. Muitos alunos se perdem completamente nisso. Há alunos com grande dificuldade de fazer o vínculo entre a álgebra e as aplicações práticas. Se o professor propõe problemas simples de física, por exemplo o chute do jogador e a trajetória da bola, o aluno resolve o problema: ele pensa em domínio, imagem, concavidade, sinais, etc., talvez sem pensar nos termos técnicos. Se o professor propõe o mesmo problema de forma abstrata, do tipo “dada a função f(x) assim e assado, diga qual é o domínio assim e assado e a imagem assim e assado”, daí ele se perde completamente. Mas a pergunta é a mesma! Talvez tenha algo a ver com o que ele viu ou deixou de ver antes de chegar ao ensino médio; não sei.

Seria o caso de tirar alguns assuntos do currículo para trabalhar melhor os assuntos que ficaram?

Essa é uma discussão complicada. Quase todo mundo acha que precisamos rever o cronograma do ensino fundamental e do médio. Eu também acho — mas a unanimidade acaba aí.

Seria importante ter um currículo básico menor, pois daí haveria mais tempo para trabalhar assuntos que uma turma específica acha interessante, ou para realizar uma atividade como a do foguete, ou algo assim. Agora, vou ser honesta: não sei se seria necessário ou desejável dar maior espaço para as parábolas, ou mesmo para as seções cônicas. Eu gosto de trabalhar com as seções cônicas; acho legal dizer que a equação de uma parábola talvez não satisfaça as definições de função, mas que uma parábola nunca deixa de ser uma seção cônica. Agora, com um assunto desses, existe o risco de focar o ensino excessivamente em propriedades algébricas, e não tenho certeza se vale a pena correr esse risco.

Um fato interessante sobre as seções cônicas é que conversamos sobre tudo isso com professores do ensino básico nos cursos de aperfeiçoamento da UFPel; mesmo assim, eles acham difícil levar o que aprenderam para a escola.

Se a gente para e pensa, isso é muito estranho. Você pode achar uma pessoa que, na escola básica, nunca usou determinantes para resolver um sistema de equações lineares, ou que não chegou a estudar uma introdução à matemática financeira; mas não vai achar alguém que nunca tenha resolvido uma equação de segundo grau. Uma equação dessas se refere a uma parábola, e é estranho pensar como não fica, na nossa memória, nenhuma história com parábolas…

Eu mesma sirvo de exemplo: era boa aluna de matemática, porque resolvia todos os exercícios. Mas hoje eu reconheço que não entendia direito o que estava fazendo; eu conhecia sim todas as receitinhas. Só fui ver uma demonstração da fórmula de Bháskara na faculdade, e a demonstração me pareceu tão simples! Não sou tão velha, mas posso dizer que no meu tempo não havia nada de aplicações, modelagem, experimento, nada disso. Portanto, não tenho nenhuma lembrança associada às parábolas especificamente.

O professor poderia usar as parábolas como ilustração de afirmações importantes sobre os números?

Sim. O professor pode pedir aos alunos que plotem no plano cartesiano os pontos inteiros que, por exemplo, satisfazem a equação y = x2. Esses desenhos ficam bonitos, com os pontos espaçados daquela forma tão peculiar, e daí o professor pode fazer perguntas interessantes sobre os pontos com coordenadas racionais. Daí pode explorar as diferenças entre os números reais e os outros conjuntos de números. Pode explorar questões como “o que aconteceria se eu multiplicasse o eixo das abscissas pelo número tal”, para que o estudante visse como pode abrir ou fechar a concavidade da parábola. O problema, contudo, é que atividades assim exigem muito do professor. {}


Imagem de internet


{2}/ Apêndice: foco e diretriz

Um jeito de definir uma parábola: é o lugar geométrico de todos os pontos P que estão à mesma distância de uma linha (a diretriz) e de um ponto (o foco). Para mencionar um exemplo: num plano cartesiano, o estudante pode imaginar a diretriz na linha vertical x = –a e o foco no ponto F = (a, 0). Qual é a equação que representa tal lugar geométrico?

Como primeiro passo, o estudante se organiza. Chama as coordenadas de cada ponto P de (x, y), e chama a distância entre cada ponto P e a diretriz de d. Esboça um desenho para servir de guia ao raciocínio (a figura 2 mais abaixo). Daí basta usar Pitágoras para levantar as distâncias entre os pontos marcados no desenho. Primeiro, a distância d entre P = (x, y) e F = (a, 0):

Depois, a mesma distância d entre o ponto P = (x, y) e o ponto D = (a, y):

Como d = d implica d2 = d2:

Ao marcar no planto cartesiano os pontos P que satisfazem a equação, o estudante desenhará uma parábola com eixo de simetria na horizontal (neste exemplo, o eixo de simetria é o eixo das abscissas).

Ele pode usar o mesmo método e a figura 3 para criar uma parábola como a que está acostumado a ver. Os pontos P continuam a ter coordenadas (x, y), mas o foco F agora fica no eixo das ordenadas com coordenadas (0, a) e o ponto D, na diretriz, passa a ter coordenadas (x, a). Depois de fazer as contas, chega em:

E com isso descobre que a parábola mais conhecida, que é y = x2, tem foco no ponto (0, 1/4) e diretriz na linha horizontal y = –1/4.

O matemático russo N. B. Delone costumava dizer que todo amante de matemática deve estudar as translações e rotações dos eixos coordenados. É verdade. Ele deduz só uma das equações da parábola e, ao transladar e girar os eixos X e Y, produz todas as outras, e de quebra se habitua a pensar numa curva como sendo passível de adaptações.

{FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 12. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. Para saber mais sobre como realizar translações e rotações de curvas num plano cartesiano, veja a seção 3 da matéria Ensino médio: o curso de matemática ideal.

A matemática das reuniões de família

O estudante pode usar matemática discreta, incluindo probabilidade, para iniciar conversas animadas sobre coincidências esquisitas, e o professor pode usá-las para incentivar seus alunos a pensar e a estudar quase sem perceber.


{1}/ Uma área com pouca estrutura

Num salão de festas com 30 pessoas, qual é a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia?

Professores devem fazer perguntas como essa mais vezes, diz Rogério Osvaldo Chaparin, um professor de professores. (Ele costuma dar aulas para professores de matemática no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática [CAEM], localizado dentro da Universidade de São Paulo.) Rogério chama esse tipo de pergunta, e toda a discussão na qual a sala vai se meter, de “análise combinatória contextualizada”. Alguns problemas de análise combinatória podem ser resolvidos até por crianças; essa é uma área da matemática “pouco estruturada”, no linguajar dos matemáticos: a criança não precisa ler 10 livros antes de começar a resolver problemas complicados; muitos problemas ela resolve desenhando, fazendo tabelas, batendo papo com os colegas. No ensino médio, depois de uns poucos dias de estudos (fatorial, números binomiais, binômio de Newton, princípio fundamental da contagem, permutações, arranjos e combinações; probabilidade), o jovem já pode resolver problemas bem complexos. Ao resolver problemas de combinatória, a criança e jovem, quase sem perceber, praticam muita coisa de matemática: raciocínio lógico, somas, subtrações, divisões, multiplicações, operações com frações, operações com conjuntos. Uma criança habituada desde cedo a cultivar o raciocínio lógico, diz Rogério, quando crescer estará um pouco mais bem preparada para tomar decisões difíceis.

Por exemplo, o salão com 30 festeiros. A probabilidade de que três deles façam aniversário no mesmo dia é 1 menos a probabilidade de que nenhum dos três faça aniversário no mesmo dia. (Lembrete: 1 = 100%, que é o valor da probabilidade do conjunto universo.) E a probabilidade de que nenhum dos três faça aniversário no mesmo dia é:

Isso porque o primeiro festeiro pode ter nascido em qualquer dia do ano (um ano com 365 dias), mas o segundo tem de ter nascido nos outros 364 dias do ano, e o terceiro nos outros 363. (A sequência de multiplicações é consequência do princípio fundamental da contagem. O estudante pode pensar nisso como um dado com 365 faces. A chance de que saia uma face exclusiva para o jogador 1 é 365/365; a chance de que saia uma face exclusiva para o jogador 2 é 364/365; etc.) A mesma lógica vale para o salão de festas com 30 pessoas. A fórmula mais genérica para calcular a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo dia é:

O que essa fórmula diz: a probabilidade de que dois festeiros façam aniversário no mesmo dia é a probabilidade do conjunto universo (= 1) menos a probabilidade de que nenhum deles faça aniversário no mesmo dia. E qual é o resultado dessa conta?


Lembrete: O sinal de produtório

Para multiplicar a sequência de números a1, a2, a3, a4, …, an, o estudante pode usar a notação de produtório, feita com a letra grega pi maiúscula:

Equation-13

Esse sinal funciona de forma análoga ao sinal de somatório, que é mais conhecido. Um exemplo:

Equation-14


Na festa, provavelmente ninguém vai acreditar nisso. Numa sala de aula com 30 alunos, também os alunos não vão se conformar com o resultado. Afinal, eles dirão entre eles, há só 30 alunos, e há 365 dias no ano; como pode a probabilidade de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia seja tão alta? Eles vão fazer uma lista das pessoas na classe que fazem aniversário no mesmo dia. Em muitas classes Brasil afora, deve acontecer algo ainda mais extraordinário: haverá três, quatro, cinco, seis pessoas na mesma sala com aniversário no mesmo dia (por exemplo, dois alunos fazem aniversário num dia, e três outros fazem aniversário num outro dia). Então o professor pode falar sobre uma geração inteira de brasileiros que nasce por meio de parto cesariano, isto é, nasce apenas nos dias úteis do ano. Num ano com 264 dias úteis, a conta acima se transforma em:

Equation-4

Numa classe de 40 alunos, quase todos nascidos em cesarianas, como é o caso de muitas classes em colégios privados de São Paulo (SP), seria difícil o professor topar com 40 alunos que fazem aniversário em 40 dias distintos, pois a chance de que dois deles façam aniversário no mesmo dia é de 96%.

Equation-5

Numa classe de 30 alunos, ou num churrasco com 30 festeiros, qual é a chance de o avô de dois deles tenha morrido no mesmo dia do ano? Qual é a chance de que os pais de dois deles tenham se conhecido no mesmo dia do ano? A mesma lógica dos aniversários pode ser aplicada a qualquer data importante na vida de uma pessoa (desde que a data tenha um forte componente aleatório; não vale, por exemplo, perguntar qual é a chance de que dois deles tenham quebrado a perna no mesmo dia, pois quase sempre as pessoas quebram a perna quando estão de férias ou de folga, fazendo as loucuras que as pessoas fazem quando estão de folga).

Rogério diz que o curso no IME existe desde 1984, mas que, nos últimos poucos anos, os professores parecem mais interessados em assimilar novas ideias a ponto de usá-las em sala de aula. Em janeiro de 2012, por exemplo, ele deu um curso de férias para 60 professores (a probabilidade de que dois deles façam aniversário no mesmo dia, num ano de 365 dias, é de ≅99,4%), e os professores gostaram da parte de combinatória. “Nós incentivamos o hábito, já nas séries iniciais, de propor problemas que busquem contextualizar as operações aritméticas por meio de análise combinatória. Desde cedo a criança pode pensar no número de possibilidades ao se vestir ou ao escolher um lanche.” Rogério não está dizendo que os professores vão mudar o jeito de dar aulas só porque participaram de um curso de férias; muitos gostam do curso no IME, ficam entusiasmados, mas depois não acham jeito de usar a combinatória em sala de aula de modo permanente.

A gatinha Fiona. Outro jeito de aproveitar bem uma aula, e de eletrizar uma festa em família, diz Rogério, é fazer crianças e jovens brincar com nomes. Talvez um aluno tenha uma gatinha chamada Fiona, e talvez outro aluno tenha uma avó chamada Hermenegilda. De quantos modos o aluno pode arranjar as letras de Fiona? Ele pode começar com Fiona, depois ir para Afion, Nafio, Onafi, etc. Não demora muito, o aluno vai cansar, e vai desconfiar que o número de permutações é alto (isto é, que o número de anagramas de Fiona é alto). É boa hora de ensinar o que é uma permutação simples de n objetos:

Equation-6

No caso de Hermenegilda, são 12 objetos, dos quais 3 repetidos (isto é, indistinguíveis entre si). O aluno vai cansar ainda mais depressa. Ao longo da aula, o professor explica de onde saiu a fórmula das permutações simples com n objetos, dos quais r objetos repetidos:

Equation-7

Os alunos, diz Rogério, vão ficar abismados de ver como o número de permutações aumenta conforme o número de letras aumenta: 80 milhões de permutações significam mais palavras do que existem na língua portuguesa! E isso só com as letras do nome da vovó Hermenegilda! Passada essa fase, o professor pode perguntar a uma classe de 32 alunos: de quantas maneiras podemos dividir essa classe em oito grupos com quatro pessoas em cada grupo? Os alunos, mesmo os jovens, devem perceber bem depressa que o grupo formado pelos alunos A, B, C, e D é igual ao grupo formado pelos alunos C, A, D, e B; eles vão notar que o raciocínio válido para as permutações não vale para este caso. E então o professor explica alguns detalhes das combinações de n elementos, escolhidos k a k de cada vez; neste caso, 32 elementos, escolhidos 4 a 4 de cada vez:

Equation-8

Ao longo dos 12 anos do ensino básico (do primeiro ano do fundamental ao terceiro ano do médio), se uma classe de 32 alunos se reunisse em grupos de 4 alunos duas vezes por semana, e nunca repetisse a formação de um grupo, não chegaria a usar 22% das combinações possíveis.

Mas talvez o professor queira complicar um pouco. E se a classe de 32 alunos fosse dividida em oito grupos de quatro alunos, cada grupo sentado numa mesa redonda, de forma que todo grupo tem de se sentar à mesa sempre numa configuração diferente, e nenhum grupo pode repetir exatamente a mesma configuração? O nome disso, diz o professor, é permutação circular. O estudante já sabe que pode organizar 4 alunos numa mesa redonda de 24 maneiras (4!), mas, ao fazer um desenho, percebe que cada maneira distinta é equivalente a três outras maneiras:

Caso o estudante faça um desenho com cinco pessoas, verá que cada maneira distinta de pôr as cinco pessoas em volta da mesa é equivalente a quatro outras maneiras. Se fizer um desenho com seis pessoas, verá que cada maneira distinta de pôr as seis pessoas em volta da mesa é equivalente a cinco outras maneiras. Perseguindo pensamentos desse tipo, verá que uma permutação circular PC(m) de m elementos é igual a:

Equation-9

Então, numa classe de 32 pessoas, os alunos conseguem se dividir em 35.960 combinações distintas de quatro pessoas, e cada combinação dessas significa seis maneiras de organizar um grupo de quatro pessoas numa mesa redonda, de forma que todas essas seis maneiras sejam distintas entre si. Em fórmulas:

Equation-10

Qualquer jovem consegue adaptar um tema desses para instigar os festeiros numa reunião de família. Se seus pais estão organizando um jantar para a família, de quantos modos distintos podem pôr 12 pessoas à mesa? De 39.916.800 modos distintos, e um número desses, tão alto, tanto os jovens quanto seus pais acham fascinante.

A melhor mão do pôquer. José Alberto Pacheco Vieira dá aulas para alunos mais velhos num curso de controle de qualidade do Instituto Mauá de Tecnologia, mas também usa as situações do dia a dia para interessá-los em combinatória, em primeiro lugar, e em todo o resto que vem imediatamente depois da combinatória. Logo na primeira aula, Pacheco usa um projetor para mostrar aos alunos o símbolo de somatório (∑). “Aí eu digo que o sigma veio para somar, e não para causar medo.” Como os alunos são mais velhos, Pacheco costuma propor exercícios sobre jogos de azar.

Por exemplo: ele pede aos alunos que vejam em casa o filme Bem-vindo ao Jogo (Lucky You), em que o protagonista joga pôquer. Feito isso, Pacheco faz algumas perguntas sobre pôquer, como:

“Qual é a chance de que alguém tire uma mão com royal straight flush?”

No jogo tradicional, o baralho tem 52 cartas e a cartada royal flush é feita de ás, rei, rainha, valete, e dez, todos de paus (à moda do velho oeste; há muitas variações sobre qual mão de royal flush vale mais). Cada jogador recebe uma mão com sete cartas. A chance de tirar um conjunto específico de cinco cartas numa mão de sete cartas de um baralho de 52 cartas é de:

Equation-11

Até um simples iPod pode confundir os estudantes, diz Pacheco. Ele costuma perguntar à classe: se você tiver dez músicas gravadas no seu iPod, de quantas maneiras distintas pode ouvi-las em sequência? Melhor dizendo: quantas sequências de dez músicas o aluno pode fazer com as dez músicas do iPod? Isso é uma permutação simples de 10 elementos:

Equation-12

Se o estudante ouvir uma sequência de manhã, enquanto vai trabalhar, e outra à noite, enquanto vai para casa, precisará de 4.971 anos para ouvir essas dez músicas em todas as sequências possíveis.

Pensamento fatalista. Segundo o Movimento Todos pela Educação, só 35 cidades brasileiras conseguem formar 50% dos alunos do 9º ano do ensino fundamental com conhecimentos de matemática adequados para a série. Quando elas entram no ensino médio, enfrentam um curso de matemática espinhoso em vários sentidos: a matemática do ensino médio, tal como é ensinada tradicionalmente, é complexa demais para as situações do dia a dia, mas simples demais para ser usada em problemas típicos da vida profissional. Os estudantes não veem sentido naquilo tudo e desanimam. No fim das contas, dos estudantes que chegam a concluir o ensino médio, só 11% sabem toda a matemática que deveriam saber.

Quando o jovem adulto ou o homem maduro volta a estudar, José Pacheco percebe o quanto ele foi mal formado em matemática. Como Pacheco dá aulas de pós-graduação em controle de qualidade, costuma lidar com adultos que já têm um diploma de faculdade. “De modo geral”, diz Pacheco, “meus alunos chegam com algum tipo de déficit na matemática.” O problema do professor, diz Pacheco, é ajudar quem está atrasado a emparelhar com os que estão mais adiantados, sem contudo desestimular os que estão mais adiantados.

Rogério Chaparin elogia os professores que se inscrevem em cursos como os do CAEM, porque suas aulas tendem a ficar mais interessantes. Esse tipo de professor vai produzir crianças e jovens que não vão pensar de modo fatalista, assim: “Se o livro didático mostra como resolver esse problema, então sei resolvê-lo. Se não mostra, não sei.” A criança (ou o jovem) vai pensar em opções; vai pensar inclusive na opção de que talvez o problema diante dela não tenha solução. Mas Rogério não acredita em mudanças rápidas. Talvez o Brasil precise de uma geração inteira (25 anos) para formar professores de matemática capazes de ensinar matemática de fato, isto é, de ensinar o aluno a ter paciência, a ter fé em si mesmo, a experimentar várias estratégias até resolver um problema (nem que demore), mas, principalmente, a gostar de resolver problemas matemáticos. Ensinar a gostar é o mais importante, e o mais difícil. {❏}



{2}/ O que é combinatória?

Não existe nenhuma definição capaz de englobar tudo o que os matemáticos incluem dentro da caixa “combinatória”. (Muitos, inclusive o autor deste blogue, chamam “combinatória” de “matemática discreta”.) Em certas ocasiões, o matemático dirá que as ferramentas da combinatória servem para contar coisas. Em outras ocasiões, dirá que as ferramentas da combinatória servem para lidar com “estruturas discretas”, isto é, com pontos que podem ser isolados uns dos outros (em oposição a “estruturas contínuas”). Em outras ainda, dirá que as ferramentas da combinatória servem para lidar com problemas com “poucas restrições”. Qualquer que seja a definição, os matemáticos concordam numa coisa: a combinatória é “pouco estruturada”, ou seja, o interessado não precisa estudar dez anos antes de resolver o primeiro problema difícil; ao contrário, ele começa a produzir logo depois das primeiras aulas.



{3}/ Probabilidade de aniversário em ação no futebol

Nos 11 jogos de final de copa do mundo entre 1970 e 2010, em 9 desses jogos pelo menos dois jogadores em campo (incluindo o juiz) faziam aniversário no mesmo dia (probabilidade de ≅82%):

AnoAniversariantes em campo
2010Gergory Kurtley van der Wiel (Holanda) e Joan Capdevila Méndez (Espanha), 3 de fevereiro
2006Patrick Vieira e Zinedine Zidane (França), 23 de junho
2002Ninguém
1998Emmanuel Petit (França), Ronaldo (Brasil), 22 de setembro
1994Franco Baresi (Itália), Claudio Taffarel (Brasil), 8 de maio
1990Ninguém
1986Sergio Batista (Argentina), Andreas Brehme (Alemanha Ocidental), 9 de novembro
1982Ninguém
1978Rene e Willy van de Kerkhof (Holanda), 16 de setembro; Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro
1974Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro
1970Piazza (Brasil), Perluigi Cera (Itália), 25 de fevereiro

Com 23 pessoas em campo, e com um ano de 365 dias, a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia é de ≅50,6%. Como a probabilidade nessas 11 finais ficou tão alta, talvez a distribuição dos nascimentos de jogadores profissionais não seja aleatória, isto é, talvez jogadores profissionais de futebol tendam a nascer em certos meses do ano. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 15, abril de 2012, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Guilherme Meirelles.

3. Eu disse no texto: “Quando elas entram no ensino médio, [os alunos] enfrentam um curso de matemática espinhoso em vários sentidos: a matemática do ensino médio, tal como é ensinada tradicionalmente, é complexa demais para as situações do dia a dia, mas simples demais para ser usada em problemas típicos da vida profissional. Os estudantes não veem sentido naquilo tudo e desanimam.” Um bom professor é capaz de montar um curso de matemática interessante para alunos de ensino médio, mas não se o propósito do curso for preparar os alunos para o Enem e os vestibulares. Em outras palavras, para montar um curso interessante, o professor precisaria de liberdade, em especial a liberdade de ignorar o Enem e os vestibulares — até porque a maioria dos alunos de ensino médio não vai fazer faculdade.