O cinema dos 5 segundos

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Os filmes estão ficando cheios de cortes muito rápidos? Sim, estão, como uma equipe americana provou com medições e estatística. Por causa disso, o filme comercial moderno está cada vez mais parecido com filmes de artistas de vanguarda, e prende mais facilmente a atenção do espectador.


King Kong 2005


{–2}/ King Kong em recortes de 3 segundos

No filme King Kong, de 2005, aos 75,7 minutos de filme, o espectador vê uma debandada de dinossauros. A sequência dura 3,4 minutos, com tomadas de 3 segundos em média, nas quais 43% da imagem de um fotograma já mudou dois fotogramas depois — e assim o filme fica mais fácil de assistir, e não mais difícil.


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{–1}/ Antes de continuar, duas palavras importantes

Tomada. É um trecho de filme, rodado sem nenhuma interrupção.

Cena. São os acontecimentos que ocorrem num mesmo ambiente, em geral com os mesmos personagens. Uma cena pode ser feita de uma única tomada, mas em geral é feita de muitas. (Lembrete. O conceito de cena na literatura escrita é diferente: são os acontecimentos que ocorrem sem interrupção do tempo; podem ocorrer num mesmo lugar ou numa sequência de lugares, desde que não haja saltos no tempo.)


Original do Kubelka

Alguns fotogramas do filme Arnulf Rainer


{0}/ É isto um filme?

No filme Arnulf Rainer, Kubelka usou apenas dois tipos de fotograma: ou completamente preto ou completamente branco.

Peter Kubelka

Peter Kubelka, 82 anos, artista austríaco


 

{1}/ A rapidez é instinto de sobrevivência

471387821Peter Kubelka, artista austríaco de 82 anos, completou oito filmes de arte, e o espectador pode achar trechos desses filmes na internet. Por exemplo, o filme Adebar, terminado em 1957. O trecho disponível na internet tem 2 minutos e 29 segundos, mas mesmo assim muito espectador reclama: “Parece mais!” Ele vê uns quadros negros, depois uns brancos; aí aparecem umas pessoas dançando: elas estão brancas contra um fundo preto. Depois o filme inverte: as pessoas ficam pretas contra um fundo branco. Aparecem uns riscos na tela. Aparecem umas letras e uns números, às vezes de ponta cabeça. E assim vai, tudo em preto e branco, cada cena marcada com o som de uma flauta de madeira, como que tocada por uma criança que não sabe tocar flauta. Todos os oito filmes, juntos, duram apenas 70 minutos, mas, por causa deles, Kubelka há anos vive de dar palestras sobre arte moderna e cinema em universidades do mundo inteiro.

Ele compôs seus filmes como um músico comporia uma sinfonia. O músico anota numa partitura um símbolo para cada nota musical, e põe no símbolo várias informações: o tom da nota, sua intensidade, sua duração. Kubelka fez algo semelhante: anotava o que seus filmes deveriam mostrar — fotograma por fotograma. Como ele trabalhava com filmadoras do padrão Super-8, tinha à disposição 24 fotogramas por segundo. Num filme como Arnulf Rainer, de 6 minutos e 24 segundos, Kubelka pensou a respeito de cada um dos 9.216 fotogramas do filme — que ou eram completamente pretos ou eram completamente brancos.

Fred Camper, um especialista brasileiro em cinema, diz que ninguém deve ver um filme de Kubelka para se divertir, mas para pensar. “As produções do Kubelka exigem muito do espectador”, diz Fred. Mesmo assim, o espectador moderno não estranha tanto um filme de Kubelka como o espectador de 40 anos atrás. “A exemplo dos videoclipes”, diz Fred, “hoje as pessoas estão mais bem preparadas para o corte rápido.”

Kubelka usou matemática para compor seus filmes. Ele pensou em números, proporções, frequências. Mas o setor americano de cinema (para simplificar, Hollywood) também tem usado matemática para compor os filmes modernos, como tem mostrado um psicólogo americano, James E. Cutting, que tem treinamento em métodos quantitativos. O que Kubelka vem fazendo de caso pensado, contudo, Hollywood vem fazendo por instinto de sobrevivência.


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{2}/ O espaço e o tempo visual

Embora o espectador possa classificar os filmes de Kubelka como um tipo de revolta contra o sistema, bem, não são. Kubelka fez seus filmes sempre para promover alguma coisa: um artista, um estabelecimento, um produto, um evento. De certo modo, seus filmes são publicitários. Mesmo assim, ele pensou tanto em cada detalhe que mesmo o espectador preconceituoso, que se senta na poltrona disposto a detestar, se vê obrigado a reconhecer: depois de alguns segundos, aquela confusão de imagens e de sons começa a dar uma sensação de ordem.

Numa entrevista aos autores do livro Peter Kubelka: A Essência do Cinema (Bernardo Vorobow e Carlos Adriano), o próprio Kubelka explicou seus motivos: “Quando tomo a película cinematográfica nas mãos, vejo que há imagens do mesmo tamanho, regulares, uma depois da outra — e isso já é a descrição da possibilidade de um ritmo regular e de uma estrutura, a possibilidade de trabalhar o tempo com uma precisão de 1/24 [avos] de segundo e de fixar exatamente as informações visuais no tempo. A imagem cinematográfica é ruim. Não podemos compará-la à pintura; as cores são ruins, o quadro é desproporcional, as formas, imprecisas. O cineasta não pode concorrer com o pintor no campo da imagem. Mas eu posso dar 24 informações visuais por segundo, precisamente, no espaço do tempo. Eu posso dizer: aqui, quando é 275 vezes 1/24 de segundo, certa imagem aparece. Essa é uma possibilidade de trabalhar o espaço, o tempo visual, de uma maneira que nenhuma outra disciplina pode se avizinhar. Uma possibilidade essencial do cinema, segundo minha concepção, é a velocidade visual, a precisão do posicionamento dessas informações visuais no tempo.”

Original 2Fred Camper diz que Kubelka nunca teve a intenção de criar emoções definidas com seus filmes, como alegria ou tristeza, mas sim de evocar várias emoções de uma só vez, as quais talvez o espectador sentisse depois de deixar o cinema e repassar o filme em memória. No filme Adebar, Kubelka projetou 26 fotogramas por segundo, e montou a obra de modo que houvesse 16 grupos de fotogramas. Cada grupo deveria durar um múltiplo de 26, e Kubelka escolheu um número mágico no cinema: o número 4. (Quase todo filme é dividido em quatro partes.) Bem, 4 × 26 = 104; 16 grupos de fotogramas com 104 fotogramas em cada um, isso tudo dá um filme com 1.664 fotogramas. Ora, 1.664 fotogramas a 26 fotogramas por segundo dá 1 minuto e 4 segundos, e Adebar dura exatamente isso. (O trecho na internet é uma remontagem do original, e por isso é mais longo.) No filme Arnulf Rainer, feito só de quadros 100% pretos ou 100% brancos, Kubelka trabalhou com “temas”, alguns com duração de apenas 1 fotograma, outros com duração de 288 fotogramas; ele dividiu cada tema em “episódios”, alguns com duração de apenas 1 fotograma preto ou branco, outros com duração de 24 fotogramas pretos ou brancos. Para a trilha sonora, escolheu um som que lembra o ruído de uma TV dessintonizada. O crítico italiano Stefano Masi diz que os episódios e temas se combinam em “estruturas e degraus superiores”. O próprio Kubelka disse que esse filme, Arnulf Rainer, ficou o mais próximo possível da essência do cinema: “É luz e ausência de luz”, explicou Kubelka, “som e ausência de som, e seu desenrolar no tempo.”


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{3}/ Energia na concentração

James Cutting, o psicólogo americano, abre um de seus artigos científicos com uma reclamação de David Bordwell, historiador americano de cinema: “Para muitos de nós, o cinema popular americano é sempre rápido, quase sempre desprezível, e quase sempre fora de controle. O que nos vêm à mente são refilmagens sem fim, comédias grosseiras, efeitos especiais esmagadores, e explosões gigantescas — com o herói arremessado na direção da câmera logo à frente de uma bola de fogo.” James Cutting, tendo treinamento em métodos quantitativos, desconfiou dessa afirmação assim que a leu pela primeira vez. Será verdade? Ou será apenas impressão?

Então, obteve verba, juntou uns colegas e estudou 150 filmes de 1935 a 2005 e 10 filmes de 2010 para cá. “Em primeiro lugar”, diz James, “medimos o comprimento de cada uma das tomadas.” Feito isso, James montou tabelas com o comprimento de cada tomada por período, por gênero de filme; algumas tabelas mostravam máximos e mínimos, outras mostravam médias, outras mostravam o logaritmo natural do comprimento da tomada; outras convertiam a sequência de comprimentos em funções, e outras ainda extraíam a transformada de Fourier de tais funções. (Há mais sobre Fourier na seção 4.) A certa altura, James começou a achar que já tinha visto aqueles números em algum lugar. Vasculhou seus arquivos, e achou artigos do psicólogo americano David Gilden, que estuda quanto tempo o ser humano leva para reagir a certos eventos naturais ou culturais.

Quando um homem lida com algo, diz David, sua mente foca e desfoca, e ele se concentra ou divaga, mais ou menos em proporção com o inverso da frequência das mudanças daquele algo. David emprestou uma fórmula nascida na física, a fórmula do ruído rosa, para correlacionar o quanto um homem gasta de energia mental para se concentrar em algo conforme a frequência com que esse algo se move ou muda. Se o gasto de energia for S e a frequência f:

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Isso diz que, quanto maior a frequência das mudanças, menor o gasto de energia para se concentrar, e quanto menor a frequência, maior o gasto de energia. (O nome ruído rosa vem da física: num sinal de luz, quando a densidade de potência de cada onda senoidal que caracteriza o sinal é proporcional ao inverso da frequência da dita onda senoidal, então o sinal tende à cor rosa.) Convertendo essa fórmula para o cinema: quanto menor o tempo de cada tomada, maior a frequência das mudanças, e menos energia o espectador gasta para se manter concentrado no filme; e quanto maior o tempo de cada tomada, mais energia. James Cutting descobriu não só que o tempo médio de cada tomada caiu e estacionou em 5 segundos, como que a distribuição das tomadas segue o ruído rosa 1/f. Isso significa que Hollywood tem diminuído o tempo das tomadas ao longo dos anos para impedir o espectador de divagar, e de gastar energia para emergir da divagação e de novo se concentrar no filme. James conta um pouco melhor: “Nossa surpresa foi ver que, dos anos 1930 até os anos 1950, a distribuição das cenas era essencialmente aleatória. Dos anos 1960 para cá, a distribuição das cenas tem ficado cada vez mais perto de 1/f, o que reflete as flutuações na atenção humana. Ou seja, esses filmes agora são editados para comandar a atenção do espectador.”

Outra descoberta: David Bordwell, o historiador reclamão, estava errado. Quando James e equipe compararam os dados de filmes antigos com os de filmes novos, não encontraram diferenças significativas em roteiros, direção, atuação, cenários, maquiagem, figurino — antigamente, havia filmes bons e ruins, e hoje há filmes bons e ruins. Antigamente, contudo, as tomadas duravam mais, em média, e eram distribuídas ao longo do filme como que ao acaso; hoje elas duram 5 segundos, em média, e são distribuídas ao longo do filme num padrão 1/f.

James faz uma distinção entre ação e movimento. Ação é quando os personagens de movimentam: quando Jason Bourne sobe as escadas correndo (A Supremacia Bourne), quando Neo se posiciona para lutar kung fu (Matrix), quando a arara Blue cai do galho (Rio). Movimento é quando o diretor move a câmera, quando troca as lentes, quando acende ou apaga uma luz azul, quando aproxima a câmera de um detalhe ou a afasta para mostrar o cenário geral. Ação mais movimento resultam em atividade visual. James diz que a quantidade de ação quase não mudou dos filmes antigos para os filmes novos, mas a quantidade de movimento aumentou muito, e portanto aumentou muito a atividade visual. Os editores do filme têm material de sobra para mostrar uma cena por meio de uma imensa colagem de tomadas de 5 segundos em média. O quarto filme sobre James Bond, 007 Contra a Chantagem Atômica (1965), tem mais atividade visual que o 22º, 007: Quantum of Solace (2008), mas o filme de 2008 parece mais moderno: o tempo médio de cada tomada ficou em 5 segundos (algumas sequências têm tempo médio de 0,84 segundo), as tomadas estão distribuídas no padrão 1/f, e o espectador acha mais fácil prestar atenção no filme novo, comparado ao filme mais velho.

Peter Kubelka montou seus filmes de caso pensado. Em Arnulf Rainer, há sequências em que dois fotogramas são pretos e dois brancos, dois pretos e dois brancos, e o espectador até fica tonto. James Cutting acha que Hollywood não tem diminuído o tempo médio das tomadas nem tem distribuído as tomadas no padrão 1/f de caso pensado, mas por instinto — para vender mais. Hoje é mais difícil abandonar um filme ruim, mas, em compensação, é mais gostoso assistir a um filme bom. Até Peter Kubelka concorda com isso (um pouquinho), pois escreveu certa vez: “Billy Wilder disse que fazer filmes em Hollywood é como fazer carros em Detroit. Ele estava certo. Dito isso, porém, há carros lindos!” {FIM}


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{4}/ Apêndice: As transformações de Fourrier

Frederico Cesarino, formado em engenharia mecânica na Universidade de Brasília e em matemática na Universidade Estadual do Amazonas, diz que às vezes é difícil trabalhar com uma função, mas é mais fácil trabalhar com essa função “transformada” pelos métodos de Joseph Fourier (1768-1830). “Transformamos a função original em outra ou em outras, que são derivadas ou integrais da função original, e assim ganhamos outras visões da função original.” De modo bem geral, o analista realiza uma transformação de Fourier para decompor funções genéricas em superposições de funções simétricas, e daí pode estudar as simetrias embutidas na função original.


 

{5}/Apêndice: Duas ilustrações muito legais

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Na era do cinema mudo, o tempo médio das tomadas foi caindo conforme funcionários de Hollywood aprendiam mais. Com a introdução do som, em 1927, Hollywwod se desorganizou e o tempo médio das tomadas subiu. De lá para cá, conforme Hollywood aprendia a lidar com o som e a tecnologia, o tempo médio das tomadas voltou a estacionar em 5 segundos.

 

 

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Até que ponto as imagens do fotograma n mudam para o fotograma n + 2? Se tudo muda, o índice de atividade visual (IAV) é igual a 1. Se nada muda, é igual a 0. Em quase todos os filmes de Hollywood, a distribuição do IAV é semelhante às duas distribuições mostradas na ilustração. Ela mostra que, tanto em Anna Karenina quanto em King Kong, há poucas duplas de fotogramas em que tudo muda ou nada muda, mas que, em King Kong, o IAV médio é maior. {❏}

 


 

484638318Observações.

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 18, julho de 2012, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. Parte da apuração das informações foi realizada pela jornalista Camilla Perez.

3. As duas ilustrações da seção 5 foram feitas pelo designer gráfico Henrique Arruda, a partir de gráficos num artigo científico de James Cutting.

O companheiro ideal

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Esse companheiro conhece a história da matemática, a biografia de 96 matemáticos, e sabe explicar centenas de teoremas. Mas ele não é uma pessoa.


{1}/ Estudar para ignorar

Não seria bom ter um amigo que soubesse tudo de matemática pura? Não seria bom se esse amigo, sempre que desse uma explicação, tivesse pena do ouvinte e se esforçasse ao máximo para ser claro? Assim que começou a trabalhar no livro The Princeton Companion to Mathematics [O Companheiro de Princeton para Matemática], o matemático britânico Timothy Gowers imitou o famoso doutor Frankenstein, e tratou de criar esse amigo ideal.

Ao longo de cinco anos, 135 pessoas escreveram ou editaram artigos para o livro. “Em pouquíssimos artigos fizemos mudanças triviais”, escreveu Gowers no prefácio. “Quase todos os artigos passaram por mudanças substanciais, algumas feitas pelo próprio autor, outras pela equipe de edição.” Entre os autores do livro, estão Clifford Cocks (que inventou o algoritmo de criptografia conhecido hoje como RSA), Peter Sarnak (membro permanente do IAS, um instituto famoso de estudos avançados), e Terence Tao (ganhador da medalha Fields de 2006).

Gowers e seus colegas dividiram o livro em oito partes: (I) introdução, (II) as origens da matemática moderna, (III) conceitos matemáticos, (IV) ramos da matemática, (V) teoremas e problemas, (VI) biografia de matemáticos, (VII) a influência da matemática, e (VIII) perspectivas finais. O livro se parece com uma lista telefônica, tem 1.038 páginas, e foi feito para ser lido da primeira página à última, embora os autores tenham caprichado no índice remissivo e nas referências cruzadas para ajudar o leitor que só quer entender, por exemplo, o que são as funções L. (Vamos chamar esse leitor de Mq4.) É um volume grosso, de capa preta, e lembra uma bíblia para míopes. Para levantá-lo da mesa do escritório, Mq4 preciou usar as duas mão. Ao folhear o volume, viu que, se lesse todo o material do começo ao fim, teria boa ideia do que são coisas como:

● Axioma da escolha.

● Análise bayesiana.

● Função gama.

● Superfícies riemannianas.

● Álgebras de Von Neumann.

● Complexidade computacional.

● Problema P versus problema NP.

● Conjecturas de Weil.

stock-illustration-54647528-growth-graphTeria também boa ideia de quem foram e o que fizeram 96 matemáticos, entre eles Arquimedes, Pierre-Simon Laplace, Camille Jordan, e Alfred Tarski. Terminado o livro, Mq4 notou que palavras como homeomorfismo, variedade, corpo, grupo, e anel passaram a fazer sentido. Não significa que Mq4 passou a dominar os tópicos da matemática pura; longe disso. Ele quase entendeu alguns trechos, como o que trata de geometria hiperbólica — quase. Ficou com a sensação de que o assunto é difícil, mas não intransponível, e se transformou: passou de uma pessoa que se achava incapaz de entender geometria hiperbólica para uma que, com os livros adequados diante de si, e tempo, se sente capaz de aprender o assunto.

Num dos trechos do livro, Gowers explicou por que a geometria projetiva ainda é importante para os matemáticos, embora ela não seja mais ensinada nas escolas do ensino básico:

“Para entender o que é uma projeção, imagine dois planos P e P’ no espaço, e um ponto x que não pertence a nenhum desses planos. Você pode ‘projetar’ P em P’ da seguinte forma: Se a é um ponto em P, então sua imagem φ(a) é o ponto em P’ no qual passa a linha que une x e a. (Despreze por enquanto o caso em que essa linha é paralela a P’.) Se você está em x e olha uma figura desenhada em P, então essa figura, conforme a projeção φ, será a figura desenhada em P’ que, para você em x, parece exatamente a mesma. Na verdade, contudo, a figura em P’ foi distorcida; a transformação φ provocou uma diferença no formato da figura. Tais transformações claramente não preservam distâncias, mas elas preservam outras características interessantes, como pontos, linhas, seções cônicas, e quantidades conhecidas como razões anarmônicas.”

A partir daí, Gowers explicou como uma transformação dessas pode ajudar o matemático a descobrir coisas sobre a figura original que, sem a transformação, talvez não notasse.

O livro é inteiro desse jeito: difícil de interpretar, mas ainda assim claro. Mq4 ficou com a primeira impressão de que cada autor entrou em detalhes técnicos demais, mas, com duas releituras de um trecho difícil, percebeu que o autor tentou evitar os detalhes técnicos — tentou explicar apenas o suficiente para que seu leitor se sentisse capaz de compreender uma ideia. Os autores mostram bem uma das vantagens de estudar matemática, porque o trabalho do matemático é estudar detalhes técnicos aos montes e, depois de uns poucos anos, ganhar a capacidade de abstrair cada vez mais, isto é, de ignorar os detalhes que não servem de nada na resolução de um problema.


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{2}/ Umas poucas ideias curiosas

Sempre que um matemático usa combinatória para resolver um problema de alguma área mais estruturada da matemática, significa que esse problema não pertencia a essa área: era uma ilusão. (Áreas estruturadas da matemática são aquelas em que o estudante deve aprender A antes de B, B antes de C, C antes de D, e assim por diante. Áreas com pouca estrutura são aquelas em que o estudante compreende ideias difíceis sem treinamento prévio. A combinatória é uma área com pouca estrutura.)

Um sujeito pode ser ótimo especialista em ciência da computação e ser incapaz de programar um computador.

Como os físicos não têm a obrigação de provar afirmações matemáticas com rigor, e como vivem de examinar fenômenos muito complexos, eles às vezes fazem descobertas matemáticas antes dos matemáticos. E aí os matemáticos entram em cena, para provar as afirmações matemáticas que os físicos descobriram na natureza. Muitas vezes, na busca desse tipo de prova, os matemáticos fazem descobertas de cunho puramente matemático.

Como o matemático responde à pergunta: “Você gostaria do seu café com ou sem açúcar?” Ele responde desta maneira: “Sim, por favor.” Pois se P e Q são afirmações, então a afirmação “P ou Q” é verdadeira caso P ou caso Q ou caso ambas sejam verdadeiras. “Sim, por favor” significa que o matemático quer seu café com açúcar ou então sem açúcar.

Quanto mais uma pessoa estuda a matemática de nível universitário, mais usos ela acha para a palavra “número”, tanto é que vários dicionários de matemática se abstêm de defini-la. {FIM}


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Observações: Publiquei essa resenha pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 18, julho de 2012, pág. 58. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

Aprenda errado com um livro didático

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Nem todo livro didático é perfeito — ao contrário, vários contêm falhas graves, inclusive entre aqueles aprovados pelo MEC. Uma professora de Porto Alegre (RS) acha que o único jeito de lidar com o problema, ao menos por enquanto, é treinar o jovem professor a achar as falhas e a contorná-las.

Os números primos não podem ser escritos como produtos de outros números. Portanto, um número primo não é múltiplo de outros números, além de 1 e dele mesmo.

Cydara Cavedon Ripoll, professora de matemática na UFRGS, destacou a frase acima num livro didático e reclama: “Portanto, 1 é primo!”

(Veja mais sobre isso na ressalva no pé desta matéria.)


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{1}/ “Eu, o leitor, devo ser o culpado pelo erro do autor”

Como funciona o processo de ensino de matemática no Brasil — em tese? Suponha a escola pública, que faz parte do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). O professor examina uma lista de coleções de livros didáticos, e escolhe uma das coleções da lista. (Cada uma das coleções foi avaliada por especialistas a serviço do Ministério da Educação.) O governo encaminha à escola tantos exemplares da coleção quanto o número de alunos matriculados. Do ponto de vista do aluno, receberá um livro de matemática entregue pelo próprio professor — um livro cheio de textos, fórmulas, ilustrações, exemplos, exercícios.

Explicado assim, o processo parece infalível — mas não é. Para que fosse, os métodos de avaliação instaurados pelo MEC deveriam ser infalíveis, ou então, se não fossem, o professor deveria ser capaz de analisar a coleção e detectar os erros que escaparam ao MEC. Contudo, os especialistas a serviço do MEC deixam passar erros, o professor não consegue detectá-los, e no fim das contas passa à classe um trecho errado. Fazendo isso, realimenta um ciclo vicioso.

Cydara Cavedon Ripoll tem estudado esse ciclo. Ela dá aulas no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS); dá aulas tanto para alunos de graduação quanto de pós-graduação. Há anos ela notou que vários alunos de licenciatura em matemática (que vão se transformar em professor), mesmo os que se dedicam bastante aos estudos, saem da universidade incapazes de avaliar bem o conteúdo de um livro didático. Eles acreditam no livro, e mesmo quando topam com uma frase errada ou mal escrita, culpam não o livro, mas eles próprios — talvez não sejam bons leitores, talvez não tenham feito um bom curso. Cydara se inclui entre tais alunos, pois ela mesma, quando concluiu o curso de licenciatura, se viu obrigada a reconhecer que não sabia avaliar um livro didático do modo como deve ser avaliado. Em 2005, passou a dedicar mais tempo ao estudo desse assunto; pretendia dar a seus alunos (seus futuros colegas professores) um conjunto de métodos com os quais avaliar livros didáticos.

Como resultado dessa decisão, chegou ao texto Mal Ditas Frases Encontradas em Livros Didáticos de Matemática para a Escola Básica (disponível na internet), que é resultado de uma série de palestras. Cydara diz que muitos livros didáticos contêm erros, pura e simplesmente erros, ou contêm frases mal ditas, isto é, trechos ambíguos ou incompreensíveis. Para ela, o professor precisa de treinamento específico para identificar as frases mal ditas e lidar com elas.

stock-illustration-70594961-colorful-picture-with-happy-kidsProfessor inocente. Há erros em livros didáticos porque o processo de revisão instaurado pelo MEC contém falhas — se não contivesse, não haveria erros. (O MEC foi procurado pelo repórter e pelo editor desta matéria, mas preferiu não se pronunciar.) Contudo, muitos professores julgam impossível instaurar um processo perfeito, capaz de detectar todo tipo de erro. Afinal, o revisor tem de ler todo o texto, examinar todos os exemplos, examinar tabelas e ilustrações, resolver todos os exercícios; ele tem de verificar se os exemplos estão de acordo com o modo como a matéria foi exposta, e se os exercícios podem ser realizados apenas com os elementos da teoria contidos na exposição. Visto que uma coleção de matemática típica contém centenas de páginas com milhares de exemplos e exercícios, e visto que o revisor especialista nem sempre consegue se colocar no papel de um professor mal treinado ou de um aluno mais jovem, é óbvio que deixará passar frases mal ditas. O certo seria levar um comitê de especialistas para um hotel, e deixá-lo lá até que todos os membros do comitê chegassem a um consenso sobre cada uma das páginas da coleção sob análise, mas um processo de avaliação assim ficaria excessivamente caro e demorado.

Se há erros em livros didáticos, então cada professor deveria começar o ano letivo examinando a coleção que escolheu, para ver se consegue detectar o que o povo do MEC deixou escapar. Muitos professores não fazem isso, ou porque confiam no livro, ou porque não se sentem capazes. Em várias escolas Brasil afora, o professor de matemática não tem treinamento bom o bastante para realizar uma tarefa tão complicada. Ou ele concluiu um curso de graduação fraco ou concluiu um curso de graduação em matérias como física, química e engenharia, e acabou dando aulas de matemática por acaso.

Há ainda outro tipo de professor, chamado por seus colegas de “professor inocente”: nem lhe passa pela cabeça que um livro aprovado pelo MEC possa conter erros. Para ele, se a coleção foi aprovada pelo MEC, está perfeita.

Como resultado, vários alunos do ensino básico aprendem matemática com erro. Um dia, prestam vestibular e entram na universidade. Vários desses erros não provocarão nenhum efeito se o aluno estuda administração ou medicina. “Mas, se ele aprendeu matemática de forma errada”, diz William Vieira, professor de matemática da Universidade Presbiteriana Mackenzie, “e se der o azar de ir para uma faculdade fraca ou de topar com mestres que não fazem questão de corrigir erros provindos do ensino fundamental, não tem jeito: ele vai virar professor, vai escolher livros com erros, e vai ensinar errado.” Um erro na cabeça de um único professor facilmente se transforma num erro na cabeça de 40 alunos ou mais — por ano.

stock-illustration-22978008-hand-painted-the-creative-figureLivros rabiscados. Para mudar esse cenário, o primeiro passo deve ser mudar todos os cursos de licenciatura em matemática, diz o professor Roberto Seidi Imafuku, da Universidade de Mogi das Cruzes e do Colégio Agostiniano São José. Mudar como? Instaurando uma atividade frequente em bons cursos de licenciatura:

— Peguem os livros tais e tais — diz o professor à classe de licenciandos. — Vamos procurar erros, classificar tantos erros quanto pudermos, e depois bolar estratégias para contorná-los.

Esse tipo de aula, diz Roberto, logo se transforma num painel com os erros mais comuns, pois os mesmos erros aparecem de várias formas em muitos livros. O aluno de licenciatura aprende a ficar ligado nesse bestiário de erros frequentes. “Desse modo”, diz Roberto, “o professor entende os problemas que ele mesmo causa quando escolhe o livro errado. Se uma atividade assim virasse prática, não resolveríamos todos os problemas no ensino de matemática no Brasil, mas resolveríamos vários.”

Nos últimos anos, Cydara tem recorrido a uma tática semelhante. Sempre que assume uma nova turma de matemática na UFRGS, ela pede aos alunos que vasculhem a casa em busca de livros antigos — os livros que usaram quando eram crianças e adolescentes. Os alunos acham esquisito, mas obedecem: vasculham a casa, assopram o pó dos velhos livros de matemática, e aparecem na aula seguinte carregados de livros velhos na mochila. Sob a orientação de Cydara, examinam página por página em busca das frases mal ditas — e acham muitas. Cada aluno anota as frases que achou num arquivo ou no caderno, e Cydara pede que leiam as frases um para o outro durante uma das aulas. Os alunos se indignam, riem, e por fim discutem alternativas para cada frase mal dita: como dizê-la bem?

Eles também têm outra missão: classificar as frases mal ditas em cinco categorias. São elas:

❏ As que contêm erros de matemática.

❏ Aquelas cujo texto dá margem a mais de uma interpretação.

❏ As que revelam um autor inexperiente: um que não conhece direito os métodos matemáticos.

❏ Aquelas cujo conteúdo está mal elaborado, por exemplo colocado numa sequência desastrada, mesmo que as frases tenham sido escritas com correção.

❏ Aquelas que reúnem vários dos problemas acima numa mesma frase mal dita.

Depois de aulas como essa, diz Cydara, os alunos ficam mais espertos com o livro. Eles se habituam a bater uma definição com definições de dicionários de matemática, a conferir as ideias mencionadas numa passagem, a fazer os cálculos para ver se os exercícios estão adequados. Principalmente, os alunos entendem que não podem confiar cegamente no que sabem, pois talvez tenham aprendido errado algum conceito matemático quando estavam no ensino básico. Eles entram num processo de rever tudo, no sentido estrito da palavra “rever”: ver tudo de novo, desta vez com os olhos de quem já sabe que foi enganado aqui e ali.

William diz que esse tipo de aula provoca um efeito poderoso: é mais fácil ensinar direito da primeira vez do que apagar um conceito mal aprendido lá atrás e gravar o conceito correto por cima. Assim, quando o professor descobre que aprendeu errado, e que não pode confiar 100% num livro didático aprovado pelo MEC, ele não repete essa história com seus próprios alunos. O ciclo vicioso se desfaz. William diz também que os alunos até mudam o jeito de explicar as coisas durante a aula. “Como nos sentimos enganados, a gente faz uma análise no material de aula e no próprio jeito de explicar tudo. Porque a gente não quer que os alunos sintam o mesmo que sentimos, ou que repliquem nossos erros.”

Sempre que pode, Cydara dá palestras sobre seu trabalho para outros professores. Sabe que uma pessoa não pode resolver os problemas de uma sociedade com 205 milhões de indivíduos, mas sabe também que uma palestra é melhor que nada: se um jovem ouviu palavras mal ditas no ensino básico, e ninguém o avisa disso nunca, talvez tais palavras tenham o poder de, até certo ponto, amaldiçoar sua vida. “Mal dita”, diz Cydara, “vira maldita.” William, por sua vez, gosta quando um de seus alunos pergunta:

“Professor, o que fazer com um livro didático que contenha erro?”

Muita gente acha estranho rabiscar um livro, como se livros fossem sagrados. William responde com uma instrução: rabisque o livro e, no primeiro dia de aula, peça que cada aluno rabisque também seu exemplar. (Se ele tiver idade para isso, claro.) Caso os alunos de uma turma sejam jovens demais, então rabisque todos os exemplares que vai entregar no ano, mesmo que isso signifique rabiscar 40 livros um atrás do outro. Talvez os alunos reclamem do livro todo cheio de riscos e avisos escritos à mão, mas, ao conversar sobre isso com eles, o professor vai ajudá-los a ver que livros são sagrados, é verdade, mas não pela aparência, e sim pelo conteúdo.


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{2}/ Quatro exemplos de frases mal ditas

Eis quatro exemplos, escolhidos entre aqueles que a professora Cydara Ripoll, do Instituto de Matemática da UFRGS, costuma mencionar em palestras.

❏ Exemplo 1

“√2 não tem representação decimal periódica, e por isso é um número irracional.”

Neste caso, diz Cydara, o autor não se preocupou em provar (inclusive para si mesmo) que não pode existir um número racional A cujo quadrado seja igual a 2. Como não existe um racional A = √2 tal que A2 = 2, então √2 é um número irracional, isto é: não pode ser expresso como uma razão entre dois números inteiros. Ora, uma razão entre dois números inteiros sempre resulta num número cuja expansão decimal é periódica. Portanto, √2 não pode ter expansão decimal periódica. Em resumo, o autor da frase apresentou uma tese (um consequente) como se fosse uma hipótese (um antecedente).

(Que a razão entre dois inteiros resulta num número com expansão decimal periódica é um teorema, isto é, uma afirmação passível de prova. Atenção ao caso de números racionais como 0,5, que, para alguns autores, têm “expansão decimal finita”. Outros autores, com boa lógica, dizem que não existe isso de “expansão decimal finita”, pois 0,5 = 0,5000…, isto é, 0,5000… tem expansão decimal periódica, só que há apenas um algarismo no período, e esse algarismo é o zero.)

Matemáticos profissionais realizam todo dia a operação de selecionar uma característica de um objeto matemático para defini-lo, se o contexto permite uma operação assim. Então, todo número irracional tem expansão decimal não periódica, e se o matemático está lidando com um número novo, o número B, e se consegue provar que sua expansão decimal é não periódica, pode e deve escrever: “Provei que B tem expansão decimal não periódica, e portanto provei que B é um número irracional.” O problema é escrever algo assim para o aluno do ensino básico, que não está habituado com longas sequências de implicações, e não necessariamente consegue distinguir que operação mental o autor realizou.

❏ Exemplo 2

“Apesar de ser muito antiga a convivência do ser humano com os números não racionais, somente a partir do século 19 estes números receberam um tratamento rigoroso. Eles compõem, juntamente com os números irracionais, os números reais.”

Cydara avisa: se um número não é racional, não significa que seja irracional. O número complexo 2i não é racional, mas também não é irracional: é um deslocamento no plano complexo, cujas coordenadas são (0, 2). Da mesma forma, o que dizer dos quatérnions ou dos números p-ádicos?

(Matemáticos especializados em teoria dos números consideram sim um número complexo com a parte imaginária diferente de zero como sendo irracional, pois, para eles, a unidade imaginária i é irracional. Mas a maioria dos autores de livros didáticos para o ensino básico prefere aplicar a palavra “irracional” apenas a números contidos na reta real.)

Qual é então o problema? “O diabo está nos detalhes”, diz um ditado popular. Na matemática, é o contrário: Deus está nos detalhes. Um autor de livros didáticos, assim como um professor de matemática, só consegue realizar seu trabalho direito se ama detalhes. Caso o autor da frase acima tivesse escrito “número irracional é todo número real que não é racional”, teria escrito uma definição perfeita — por causa da palavra real. Ela restringe a definição à reta dos números reais, na qual os números ou são racionais ou irracionais.

(Huuummm… Será? De novo, os malditos detalhes: alguns autores acham tecnicamente inadequado dizer que o conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos números racionais. Tais autores pensam em sistemas: o sistema dos números inteiros inclui os números em si e as operações que pode realizar com eles; o sistema dos números racionais inclui os números em si e as operações que pode realizar com eles; e assim por diante. Quando um matemático pensa em sistemas, não aceita mais certas frases que, em outros contextos, são boas.)

stock-illustration-20644550-pi❏ Exemplo 3

“O número π não é conhecido com exatidão, pois sua representação decimal tem infinitas casas decimais e não é uma dízima periódica.”

Aqui, diz Cydara, o autor confundiu o número em si com a representação decimal desse número. O número π é sim conhecido com exatidão: para qualquer círculo com raio maior que zero, π é a razão entre a circunferência e o diâmetro. (Precisa dizer que é a razão entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do comprimento do diâmetro?) Quem dera o estudante pudesse definir todos os números importantes tão claramente. Há fórmulas matemáticas com as quais o matemático pode obter a expansão decimal de π com quantos algarismos desejar — por exemplo, 10 trilhões de algarismos, como Shigeru Kondo e Alexander Yee fizeram em 2011. É claro que o homem jamais conhecerá todos os algarismos da expansão decimal de π, simplesmente porque ela é não periódica, mas o mesmo vale para qualquer número irracional, inclusive para o número irracional 0,0110101000101…, onde a n-ésima casa decimal vale 1 se n inteiro positivo é primo ou zero se n não é primo. Aliás, o mesmo vale para qualquer número racional cujo período na expansão decimal seja grande demais; por exemplo, um matemático consegue provar que existem números racionais com dízima periódica de tamanho n, isto é, de tamanho arbitrário — por exemplo, n = 101.000 algarismos. Talvez seja mais difícil produzir um racional assim do que conhecer mais alguns trilhões de algarismos na expansão decimal de π.

❏ Exemplo 4

“Os números primos não podem ser escritos como produtos de outros números. Portanto, um número primo não é múltiplo de outros números, além de 1 e dele mesmo.”

Qual é a consequência desse parágrafo? Cydara explica: “1 é primo!” Há muitas definições semelhantes a essa em livros didáticos, e todas têm essa característica comum: o autor se esquece de excluir da definição o número 1. Qualquer pessoa que já tenha escrito um parágrafo sobre matemática sabe que a coisa mais fácil do mundo é se esquecer de excluir o número 1 da definição de primo: todo autor sabe que números primos servem de bloco básico para a construção dos outros inteiros, e todo mundo acha natural pensar no 1 também como um bloco básico de construção de inteiros… Como resultado, até autores competentes às vezes definem os números primos de modo que o 1 cabe na definição.

De fato, a exclusão da unidade na definição de número primo é arbitrária, no sentido de que é uma escolha. O número 1 tem todas as características de um número primo, pois seus únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Porém, se os matemáticos incluíssem o número 1 na definição de primo, ganhariam um único número primo (o próprio 1) e transformariam todos os outros em números compostos. É óbvio que uma definição dessas não serviria de nada, pois os matemáticos queriam justamente escolher, entre os números naturais, aqueles que não fossem múltiplos de 2, depois os que não fossem múltiplos de 3, depois os que não fossem múltiplos de 5, e assim por diante. Esse conjunto de números {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} contém segredos bem mais interessantes sobre os números do que o conjunto {1} poderia conter.

Definição de número primo: É um inteiro positivo p ≠ 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e p.

(Veja mais sobre esse exemplo na ressalva no pé deste arquivo.)


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{3}/ Minieditorial: Diga não a radicalismos

Com enorme frequência, os matemáticos provam teoremas a partir de determinadas definições matemáticas antes que as definições estejam boas — às vezes, séculos antes. No século 17, matemáticos como Leibniz provaram teoremas importantes do cálculo diferencial e integral recorrendo à ideia de infinitésimo (um número positivo menor do que qualquer outro número positivo, por menor que seja); contudo, a definição perfeita de infinitésimo só surgiu em 1963. (Veja mais sobre isso aqui.) Então, os matemáticos vivem assim: provando teoremas e reclamando das definições, provando e reclamando, provando e reclamando, até que um dia conseguem escrever definições muito boas, das quais ninguém reclama mais.

É por isso que muito matemático não gosta de ver estudantes obcecados por definições. É saudável o estudante pensar nelas, questioná-las, ver se não consegue escrevê-las mais brevemente, presumindo menos hipóteses. Mas não é saudável atacar alguém que define π como a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo qualquer, só porque o interlocutor não especificou diâmetro diferente de zero ou não recorreu à fórmula “a razão entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do comprimento do diâmetro” — sendo que a circunstância nem pedia a distinção entre a medida de um comprimento, o comprimento em si, e o nome dado ao comprimento.

Enfim, equilíbrio: a matemática é a arte e o ofício de bolar definições e de provar que determinadas afirmações decorrem das definições, mas o estudante obcecado com definições perfeitas talvez fique paralisado, especialmente ao lidar com áreas da matemática nas quais as definições estão longe da perfeição. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, fevereiro de 2013, pág. 58. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. A reportagem é do jornalista Fabiano Candido.

3. Caso queira ler um dos textos da professora Cydara sobre frases mal ditas, clique aqui.

4. Os autores Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis sugeriram uma ressalva ao exemplo 4, o do “o número 1 é primo”. Para estudá-la, clique aqui.

A katana e a matemática

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O leitor da Imaginário Puro já sabe que todo curso de matemática é corrido demais, não importa quão boa seja a faculdade: em apenas quatro anos, professores e alunos devem conversar sobre centenas de tópicos difíceis. (Numa faculdade particular de licenciatura, eles têm menos tempo ainda — três anos.) Uma vez, um aluno perguntou ao matemático John Von Neumann (1903-1957): “Como você faz para entender a matemática tão bem?” Von Neumann respondeu: “Na matemática, você não entende as coisas — você se acostuma com elas.” A frase ficou famosa. Ora, como alguém pode se acostumar com centenas de coisas matemáticas em apenas quatro anos? É claro que não pode.

Para amenizar esse problema, o estudante pode recorrer a dicionários de matemática. (Que ele evite os dicionários comuns, como o Aurélio ou o Houaiss: em geral, as definições técnicas são confusas ou simplesmente erradas.) Suponha que começou a estudar álgebra linear. Ele examina uma passagem do livro didático e, antes de fazer os exercícios, consulta nos dicionários todos os termos técnicos mencionados na passagem. Faz os exercícios, e depois consulta outra vez os mesmos termos. Examina a passagem seguinte, consulta os dicionários, faz os exercícios, consulta os dicionários. E assim vai. (Dicionários no plural mesmo; cada autor define um termo de modo peculiar, e o estudante ganha ao comparar várias definições umas com as outras.) Com o tempo, lerá as mesmas definições dezenas de vezes, e a cada vez notará um detalhe que não havia notado antes; em outras palavras, a cada vez entenderá um pouco mais, porque entender é ver. Caso siga esse método, estará se acostumando com as ideias matemáticas, como recomendou Von Neumann. Só assim descobrirá que pode usar a álgebra linear para estudar figuras isoperimétricas (figuras de igual perímetro). Quem diria que a álgebra linear serve para isso? Quem diria que uma palavra dessas existe?

Sei que as coisas matemáticas são ideias, mas acho que esse método funciona porque, dentro do cérebro, tais coisas se parecem com mecanismos ou objetos. Por exemplo: uma pessoa tem a ambição de manusear uma katana com perfeição. O que ela faz? Vai à academia e, com a supervisão do mestre, repete os mesmos movimentos centenas de vezes. Seu objetivo é memorizá-los, isto é, se acostumar com eles. {FIM}


stock-photo-57120244-samurai-sword-katanaObservações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, pág. 5, fevereiro de 2013. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Uso constantemente dois dicionários muito bons: Oxford Concise Dictionary of Mathematics e Penguin Dictionary of Mathematics. Também uso constantemente o ótimo Princeton Companion to Mathematics, que está mais para uma enciclopédia.

“Fazer a contabilidade” = “Contar uma história”

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Ariovaldo dos Santos, professor titular na Faculdade de Economia e Administração da Universidade de São Paulo, especialista em contabilidade, pede ao leitor (vamos chamá-lo de Noleto) que tente um breve experimento mental. “Imagine que vou colocá-lo de olhos vendados na porta de um grande supermercado, localizado numa cidade brasileira na qual você nunca esteve.” Ariovaldo espera um pouco, de modo que Noleto consiga visualizar a situação. “Agora, eu tiro a venda e te peço para me mostrar onde ficam as cervejas. Quanto tempo acha que precisaria para achar as prateleiras certas?”

Noleto nem precisa responder, pois Ariovaldo sabe qual será a resposta: pouco tempo; talvez uns poucos segundos. Ariovaldo pede a seu interlocutor que imagine a situação e tente responder à pergunta para que, logo em seguida, tenha condições de entender o que é e para que serve a contabilidade. “No Brasil, sempre preciso desmistificar a ideia de que a contabilidade é uma ciência exata. Não é uma ciência exata, mas sim uma ciência social.” Em resumo, o contabilista classifica os eventos que constituem a história de uma empresa, atribui um número ou uma sequência de números para cada evento, e organiza os eventos assim classificados e numerados numa “demonstração contábil” — um relatório. Seu propósito é permitir que os administradores da empresa batam os olhos na demonstração e digam rapidamente o que tem acontecido. Eles entendem depressa a história porque o contabilista organiza as informações de um jeito (mais ou menos) padronizado, assim como, num supermercado, os funcionários organizam as coisas de um jeito (mais ou menos) padronizado.

506912315Números são abstrações — Noleto sabe disso. São ideias de perfeição inefável, que Noleto pode atribuir a qualquer coisa, usando um critério qualquer. Pode atribuir um número para significar “a distância entre o ponto A e o ponto B”, como o número 1,33 representa a distância entre a Terra e Saturno em horas-luz. Pode atribuir um número para significar “as permutações das letras usadas em Ariovaldo”, como é o caso do número 90.720. Pode atribuir uma sequência de números para significar “os gastos mensais que assumimos ao comprar um caminhão novo”. Então, Noleto jamais deve se perguntar: “Os números a respeito de minha empresa estão bons?” O que ele deve se perguntar é: “Os critérios segundo os quais obtive os números a respeito de minha empresa são bons?” Deve ainda se perguntar: “Também estão bons os critérios segundo os quais peguei os números da empresa e os combinei num relatório, de modo a resumir o que vem acontecendo com ela?”

Ariovaldo não gosta de definições mirabolantes de contabilidade. “Ela é uma forma de sintetizar tudo aquilo que a empresa fez.” É, portanto, uma espécie de narrativa. “A maioria das empresas que vão à falência”, diz Ariovaldo, “quebra porque escolheu os critérios errados pelos quais visualizar o que estava acontecendo com elas.” Depois de pensar nisso tudo um tempinho, Noleto entende por que vale a pena estudar um pouco de contabilidade — é bom aprender a contar a própria história usando os métodos de empresas competentes, pois assim aumenta as chances de que suas empreitadas produzam bons frutos.

stock-illustration-47709878-taxi-iconUm táxi bem caro. Muita gente, diz Ariovaldo, acha que a contabilidade se resume a números organizados em duas colunas — a coluna de débito e a de crédito. “A contabilidade também é isso, mas nela existem muitas ideias interessantes para explorar.” Ele propõe a seguinte situação: vai contabilizar os salários que uma empresa pagou a um grupo de funcionários porque eles trabalharam ao longo do mês de novembro de 2013. O pagamento foi feito no dia 5 de dezembro de 2013. “O salário de novembro, que a empresa pagou em dezembro, eu devo contabilizar como despesa quando? Em novembro ou dezembro?” Ariovaldo diz que 110% dos leigos respondem “Dezembro!”, mas ele contabilizaria a despesa em novembro.

Essa é a diferença fundamental entre dois jeitos de olhar as despesas e as receitas de uma empresa — um deles se chama “regime de caixa” e o outro se chama “regime de competência”. No regime de caixa, o fluxo de caixa manda mais, isto é, o contabilista registra as despesas e as receitas no momento em que ocorrem; seu propósito é mostrar ao empresário quanto dinheiro pode sacar do caixa. No regime de competência, o contabilista registra as despesas e as receitas no momento em que ocorreu o fato gerador. “Os dois jeitos estão corretos”, diz Ariovaldo, pois uma das obrigações do contabilista é escolher um critério e compreender as consequências de sua escolha. “Mas, quando uma empresa quebra, em geral é porque escolheu o regime errado, e em geral é porque escolheu o regime de caixa.”

Ariovaldo acha que o melhor jeito de visualizar isso é examinar um exemplo simples e concreto. Um sujeito trabalhava há anos como funcionário assalariado, e ganhava 3.000 reais por mês. Um dia, a empresa o demite, e ele sai com uma indenização no valor total de 50.000 reais. Compra um táxi e passa a trabalhar como taxista independente. “Antes”, diz Ariovaldo, “ele trabalhava do dia um ao dia trinta para ganhar o direito de receber seu salário no quinto dia do mês seguinte. Agora, ele ganha um pouquinho toda vez que faz uma corrida.” Faz uma corrida, ganha 40 reais. Faz outra, ganha 12. Faz outra, ganha 67. E assim vai. Depois de uma semana, ao fazer as contas, o taxista percebe que está ganhando uns 12.000 reais por mês! “Ele passa a administrar sua vida pelo fluxo de caixa”, diz Ariovaldo, “pois há dinheiro no caixa, e se ele precisa pagar alguma coisa, vai lá e paga.” As crianças querem cadernos da série Meu Malvado Favorito? Paga. Massagem relaxante para a mulher no spa do bairro? Paga. Uma pintura no apartamento? Paga. Um pneu estourou e uma das rodas do táxi estourou? Compra um pneu novo e paga o conserto da roda. “O que está acontecendo?”, Ariovaldo pergunta. “Ele não percebe isso bem, mas está gastando o dinheiro que tem em caixa, e que não deveria gastar.”

Em poucos meses, o taxista está numa situação financeira difícil. Se tivesse contabilizado sua empreitada usando como critério o regime de competência, teria pensado assim:

stock-illustration-45685782-net-worth-words-on-two-red-diceCusto total de um carro — O taxista desembolsou o valor do carro na concessionária, mas não gastou só isso: ele também se comprometeu com outros gastos. Licenciamento, IPVA, DPVAT, seguro, combustível, revisões (pneus, peças e mão de obra), multas, estacionamento, lavagem e limpeza, a desvalorização natural do carro (que ele tem de poupar se quiser, depois de uns três ou quatro anos, trocar o carro que acabou de comprar por um novo), desconto ao vender o carro (já que é difícil vender um carro pelo preço de tabela), custo de oportunidade (é o dinheiro que ele ganharia se, em vez de comprar um táxi, tivesse posto os 50.000 reais na poupança e arrumado outro emprego semelhante ao anterior), acidentes cujo preço do conserto fica menor que a franquia do seguro — e, por cima disso tudo, a inflação. Por causa da inflação, os 12.000 reais que ele ganhará daqui a cinco meses valerão menos do que os 12.000 reais que ele ganhou este mês. Pondo tudo isso numa tabela, e fazendo as contas com bastante cuidado, um táxi raramente sai por menos de uns 6.000 reais por mês! E isso significa que o taxista não está ganhando 12.000 reais por mês, mas uns 6.000. (Significa também que, se num mês ele fatura só 6.000 reais, não ganha nada.) “Esse taxista toma decisões erradas porque está trabalhando com os conceitos errados do que é receita bruta, receita líquida, lucro.”

Ariovaldo abre sobre a mesa o balanço da Petrobras relativo a 2010. Diz que um estudante como Noleto deve prestar atenção principalmente em duas partes: o balanço patrimonial (na página 16) e a demonstração de resultados (na página 18). No balanço patrimonial, existem as expressões “ativo circulante”, “ativo não circulante”, “passivo circulante” e “passivo não circulante”. Diz Ariovaldo: “A contabilidade é uma coisa extremamente lógica.” Se Noleto entende a lógica dessas expressões, pode usá-las no dia a dia.

Ativo — É o que uma empresa possui ou ganha, o que inclui prédios, máquinas, dinheiro em caixa, mercadorias estocadas, investimentos, créditos (quantias que outras pessoas ou empresas devem à empresa em questão).

Ativo circulante — É a parte dos ativos que a empresa consegue transformar em dinheiro no período em questão na demonstração contábil. No balanço anual da Petrobras, é a parte dos ativos que a Petrobras consegue transformar em dinheiro em menos de um ano (106 bilhões de reais); no balanço mensal do taxista, é a parte dos ativos que ele consegue transformar em dinheiro em menos de um mês. Se Noleto vende um carro para um amigo em seis parcelas mensais, a primeira parcela, paga no momento da compra, entra na coluna do ativo circulante. As outras entram na coluna do ativo não circulante.

Ativo não circulante — É a parte dos ativos que a empresa só consegue transformar em dinheiro a prazo mais longo.

Passivo — É tudo o que uma empresa deve, incluindo os gastos que assume ao comprar alguma coisa ou ao contratar alguém. (Um funcionário jamais custa apenas o salário mensal; o empregador deve poupar para pagar férias, 1/3 sobre as férias, impostos, décimo terceiro, horas extras, dias parados por doença, um eventual processo trabalhista.) Por exemplo, ao comprar uma calculadora científica, o estudante deve pôr na coluna do passivo o gasto com pilhas.

Passivo circulante — É tudo o que uma empresa deve no período em questão na demonstração contábil. No balanço anual da Petrobras, o passivo circulante valia 57 bilhões de reais. “Era uma situação confortável essa de 2010”, diz Ariovaldo: “ativo circulante de 106 bilhões de reais menos passivo circulante de 57 bilhões de reais.” No balanço mensal do taxista, o combustível a ser comprado no mês entra no passivo circulante, mas o combustível dos meses seguintes entra no passivo não circulante.

Passivo não circulante — É tudo o que uma empresa deve além do período em questão (seja tal período um ano, um trimestre, um mês). “Se o taxista contrair um empréstimo de 10 anos, pagável em 10 parcelas anuais, ele põe a primeira parcela no circulante do relatório anual, e as demais nove parcelas põe no passivo não circulante.”

Demonstração de resultados — É uma conta, tão detalhada quanto possível, de tudo o que uma empresa ganhou e tudo o que gastou no período da demonstração contábil. É onde a empresa ou o taxista pode ver se está tendo lucro ou prejuízo.

Patrimônio líquido — É a diferença entre o ativo e o passivo. Patrimônio líquido positivo significa que a empresa ganha mais que o suficiente para pagar tudo o que deve. Patrimônio líquido negativo significa que a empresa não ganha o suficiente para pagar o que deve.

stock-illustration-45569830-close-up-of-shelves-with-some-books-and-accessoriesEspeto e pasta A-Z. Ariovaldo acha que, uma vez que a pessoa adote os critérios corretos, a tecnologia com a qual vai controlar o empreendimento não importa. A Petrobras usa computadores de grande porte; nas situações de crise, seus executivos conseguem produzir relatórios duas vezes por dia, uma de manhã e outra à tarde. Um taxista, ou um dono de pizzaria de bairro, ou qualquer proprietário de empreendimento pequeno, pode usar caixas de papelão rotuladas (despesas fixas, despesas extraordinárias, receitas fixas, receitas extraordinárias), pode usar pastas do tipo A-Z (com subdivisórias). Pode usar até dois espetos para papel, um onde vai espetar as contas a pagar e outro, as contas a receber. “Alguém pode dizer que isso não seja controle? Se o senhor Manuel, o dono da padaria, usa os espetos de papel há 20 anos e nunca deixou de pagar uma conta, é porque está no controle.”

Dito isso, existe uma diferença entre guardar a papelada no compartimento certo da pasta A-Z e fazer a escrituração contábil do empreendimento. Escriturar significa escrever no livro contábil (que pode ser um caderno universitário comum) os valores nas colunas certas. O empresário não precisa batizar as colunas com títulos técnicos como “ativo circulante” e “passivo circulante”; pode escrever “coisas que recebi no mês tal” e “coisas pelas quais paguei no mês tal”, assim como “coisas que planejo receber no mês que vem” e “coisas pelas quais devo pagar no mês que vem”. Depois da escrituração, vem a fase dos relatórios. Com as mesmas informações dos livros contábeis, o empresário pode fazer um relatório só sobre despesas fixas, para ver se estão aumentando ou diminuindo, ou só sobre o ativo não circulante, para ver se está vendendo fiado para além da conta. Cada relatório representa um jeito de olhar para o empreendimento, e a frequência dos relatórios importa. Em situações de crise, empresas grandes produzem dois relatórios por dia para evitar perdas desnecessárias. Qual é a ideia? De nada adianta descobrir que certos aspectos do empreendimento vão mal quando ele já faliu. Depois dos relatórios, vem a fase de análise. Analisar é estudar, achar tendências, elaborar hipóteses, experimentar com valores imaginários. (“E se eu trocasse o Citroën C4 Pallas por um Toyota Corolla? E se eu pagasse um bom cursinho para meu filho, de modo que ele entrasse numa universidade pública, que é grátis?”)

O brasileiro não tem a cultura de fazer ou encomendar demonstrações contábeis. “Ele nunca aprendeu a usar um balanço”, diz Ariovaldo, “e os escritórios de contabilidade nem oferecem isso, pois cobram mensalidades muito baixas.” Parte do problema é que ele vê a contabilidade como uma coisa muito técnica. O leitor Noleto, que é amante de matemática, agora sabe que a contabilidade é a arte de registrar o que está acontecendo com a empresa, de produzir relatórios interessantes, e de estudá-los como quem estuda o resumo de uma história; deve achar fácil produzir os relatórios relativos a suas aventuras empresariais.

Noleto pode encarar a história do professor Ariovaldo como se fosse uma dica: todo dono de empreendimento, seja qual for o empreendimento, deve se transformar num pesquisador da área da contabilidade. Não é que Noleto deve escrever trabalhos científicos e submetê-los às revistas especializadas, como o próprio Ariovaldo faz — nada disso. Ele deve copiar a atitude. Ariovaldo está sempre propondo a si mesmo perguntas como: Na vida de uma empresa, um evento deve se transformar em quais números? Como o contabilista deve registrar tais números? Como deve usá-los, num relatório, para dar ênfase a certos aspectos da história da empresa? Como o contabilista pode mudar a feitura de um relatório, de modo que seja mais útil para o público-alvo tal ou qual? (Seja ele o sócio, o funcionário, o cliente.) Noleto pode fazer a si mesmo perguntas semelhantes: Será que estou colocando todas as informações importantes na minha pasta A-Z? Será que estou escriturando as informações no meu caderno da melhor forma possível, e colocando os números nas colunas corretas? Será que estou usando as informações para preparar relatórios que realmente me ajudem a ver o que está acontecendo com meu empreendimento? Ora, se Noleto consegue inscrever um cone numa esfera de modo que o volume do cone seja o maior possível, também consegue dar resposta satisfatória às perguntas acima — basta que se interesse por elas. {FIM}


Observações.

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 38, pág. 26, março de 2014. A versão que acabou de ler foi revisada.

2. A reportagem é do jornalista Renato Mendes.

3. Como a Operação Lava Jato vem mostrando, os relatórios contábeis da Petrobras em 2010 não refletiam fielmente a realidade da empresa. Contavam uma história, mas não toda a história.

Ariovaldo dos Santos

Quando uma empresa quebra, em geral é porque escolheu o jeito errado de resumir sua própria história.

Ariovaldo dos Santos, professor na FEA-USP especializado em contabilidade, em foto do jornalista Renato Mendes.

Sequências e séries infinitas com números hiper-reais

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{0}/ Introdução

Este é o oitavo capítulo sobre como você usa o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial e integral. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo, nono, décimo.) Desta vez, vai estudar sequências infinitas de números, assim como o somatório dos termos de uma sequência infinita. Na faculdade, muito estudante fica surpreso quando descobre que o matemático encara coisas como cos(x), ln(x), ou exp(x) como se fossem somatórios infinitos. E depois fica pasmo ao descobrir que é mais natural encará-las como somatórios infinitos do que encará-las de qualquer outra maneira.

Lembretes: a seção a seguir é a 80 porque o capítulo anterior terminou com a seção 79; e “definição §81-1” e “teorema §81-1” significam “a primeira definição que vai encontrar na seção 81” e “o primeiro teorema que vai encontrar na seção 81”.


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{80}/ Família feliz: “A vida fica mais fácil com polinômios”

Com o que viu até aqui, você se sente mais à vontade com os conceitos de derivação e de integração. Depois de compreender o teorema fundamental do cálculo, está mais confiante: sabe que, para integrar uma função, é bem provável que tenha apenas de achar uma primitiva para essa função, e achar uma primitiva se resume a pensar em derivadas.

Com a prática, contudo, já percebeu que o mundo da matemática não é tão cor-de-rosa, porque, com exceção de umas poucas funções muito camaradas, achar a primitiva de uma função é difícil à beça. É mais fácil que calcular a integral com uma soma de Riemann, mas, mesmo assim, é difícil.

Por exemplo, o leitor facilmente verifica que a derivada de 5x2 – 2x + 1 é 10x – 2; e também que a primitiva de x3 – 6x2 + 2x + 7 é (1/4)x4 – 2x3 + x2 + 7x. Qual é, contudo, a derivada da função a seguir?

f-1

E qual é a primitiva da função a seguir?

f-2

Ficou difícil. Por qual razão você pôde verificar mentalmente que a derivada de 5x2 – 2x + 1 é 10x – 2 e que a primitiva de x3 – 6x2 + 2x + 7 é (1/4)x4 – 2x3 + x2 + 7x?

Resposta: Estava lidando com polinômios.

Num comercial de margarina, logo que aparece a família feliz, o cachorro de rabo abanando, o gatinho lambendo uma das patas dianteiras, o locutor deveria dizer: “A vida fica mais fácil com polinômios.” Se quiser, ponha no papel, com ares de formalidade, as regras pelas quais acha a derivada e a primitiva de uma função polinomial.

Regra §80-1. Se p(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ··· + a2x2 + a1x + a0 é uma função polinomial em x, sendo x um número real, daí a expressão (I) a seguir é a derivada p’ de p, e a expressão (II) é a primitiva P de p.

f-3

Para quem não é do ramo, parece uma regra difícil. Para você, que já conhece bem as ideias de integração e de derivação, é até um exagero chamar essa regra de “regra”, pois ela se tornou muito natural, e não precisa anotá-la em nenhum lugar para que se lembre dela.

Não seria ótimo se pudesse igualar toda função f a um polinômio? Porque, se pudesse, daí, para cada uma dessas funções, acharia a derivada e a integral de cabeça, ou então, se sua cabeça não é para tanto, no máximo precisaria de uma caneta Bic e de um guardanapo de papel, ferramentas que pode encontrar em qualquer cafeteria.

Mas, de cara, já sabe que é impossível igualar toda função f a um polinômio: polinômios são diferenciáveis, por exemplo, mas há funções que não são diferenciáveis.

Existe um obstáculo adicional:

stock-illustration-87682489-abstract-3d-faceted-zero-number-with-connected-black-linesDiante de qualquer função polinomial p(x), você pode calcular a derivada p’(x), a derivada da derivada p’’(x), a derivada da derivada da derivada p(3)(x), etc. Contudo, cedo ou tarde, uma dessas derivadas será uma função nula para todo x, isto é, para algum k ≥ 1 inteiro, p(k)(x) = 0 para todo x. A partir desse momento, para todo n não negativo, p(k+n)(x) = 0 para todo x.

Como então você poderia igualar a função sen(x) a um polinômio? Pois pode derivar sen(x) indefinidamente, isto é, se usa [sen(x)]’(n) para denotar a enésima derivada de sen(x), então [sen(x)]’(n) ou vale ±cos(x) ou vale ±sen(x), que não são funções nulas. (Para que uma função em x seja nula, ela deve ser igual a zero para todo x.)

Como daria solução a esse problema?

Ora, se p(x) é uma função polinomial não nula de ordem n, você vai obter uma função nula depois de derivar p(x) n + 1 vezes, isto é, p(n+1)(x) = 0 para todo x. A partir daí, se k ≥ 1, p(n+k)(x) = 0 para todo x.

No século 18, os matemáticos pegaram uma ideia que já existia faz tempo e a puseram formalmente no papel: E se o matemático transformar p(x) numa função polinomial de ordem infinita? Isto é, e se você pensar em p(x) como um somatório de monômios atxt que se estende ao infinito? Em notação matemática, ele ficaria assim:

f-4

Nessa expressão, an é o coeficiente real da n-ésima parcela do polinômio. Percebe que agora pode derivar p(x) quantas vezes bem entender? Será que, fazendo assim, pode igualar sen(x) e algum polinômio de ordem infinita?

Bem, este é o objetivo deste capítulo: ajudá-lo a construir não as funções polinomiais infinitas em si, mas sim os fundamentos sobre os quais poderá construí-las e manejá-las no próximo capítulo desta série.


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{81}/ Sequências infinitas de números

Comece os trabalhos examinando a noção de uma sequência infinita de números. Veja três exemplos:

f-5

O melhor é usar uma definição matematicamente precisa.

Definição §81-1. “Sequência infinita.” Uma sequência infinita é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos e cuja imagem é um subconjunto dos reais.

Para verificar a correlação entre essa definição e a noção intuitiva de sequência infinita, use f para denotar a função. Daí a sequência fica assim:

f-6

É tradição entre matemáticos usar a notação a seguir para denotar a sequência infinita a1, a2, a3, a4, a5, …, na qual ak = f(k).

f-7

Observação sobre a notação acima: se estiver claro pelo contexto que a sequência é infinita, pode denotá-la mais simplesmente com {an}.

Lembrete 1: A função f não precisa ser uma função bem comportada, com uma expressão algébrica e tudo o mais; ela pode ser até mesmo desconhecida. Por exemplo, você pode pensar numa função f com a qual vai correlacionar o enésimo inteiro positivo ao enésimo número primo; assim, f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 5, f(4) = 7, f(5) = 11, etc. Na sua imaginação, pôde descrever perfeitamente essa função f, assim como a sequência infinita {f(n)} de números primos, embora ninguém ainda tenha descoberto uma fórmula bem comportada para tal função f — a existência dessa fórmula é um problema em aberto na matemática. A função ak = f(k) pode ser também errática, isto é, os termos a1, a2, a3, a4, a5, … formam uma sequência completamente errática de números reais.

Lembrete 2: Visto que pôde definir sua sequência infinita {an} com a linguagem L, invoque o teorema de Łós e diga que também pode defini-la no sistema dos números hiper-reais. Assim, para todo hiper-real N inteiro positivo infinito, o N-ésimo termo da sequência, que é aN, vale simplesmente f(N). Desta vez, contudo, a imagem é um subconjunto dos hiper-reais, e um elemento da imagem talvez seja não padrão. (Mais sobre esse ponto na seção 95.)

Lembrete 3: Ao usar o símbolo {f(n)} numa situação concreta, pode substituir f(n) pela expressão para f(n), se houver uma expressão. Por exemplo:

f-8

Lembrete 4: Outra palavra comum para denotar “sequência” é “progressão”, de modo que talvez ouça ou leia a locução “progressão infinita” no lugar de “sequência infinita”. Sequência, contudo, é uma palavra melhor.

* * *

Por que estudar sequências infinitas? No mínimo, porque algumas delas têm uma propriedade interessante e útil: conforme você avança na sequência, cada termo vai ficando cada vez mais próximo de determinado número fixo. Por exemplo, os termos da sequência {1/n} ficam cada vez mais próximos de zero conforme você atribui a n um valor cada vez maior. É essa ideia que vai capturar e detalhar nas duas definições a seguir.

Definição §81-2. “A ideia de convergência.” Diga que a sequência infinita {an} converge para o número real a se, e somente se, aNa para todo N inteiro positivo infinito. Se quiser, pode denotar esse fato com os símbolos ana e as palavras “an tende ao limite a” ou “an converge para o limite a”; ou com os símbolos lim an = a e as palavras “o limite da sequência infinita {an} é a”. Também pode escrever {an} → a ou lim{an} = a. Se a sequência não converge, diga que ela diverge.

Definição §81-3. “Sequências limitadas e ilimitadas.” Se aN é um hiper-real finito para todo N inteiro positivo infinito, diga que a sequência {an} é limitada. Caso contrário, que é ilimitada.

Como usar tais definições para estudar as sequências que já viu de exemplo?

(a) A sequência {1/n} converge para zero (1/n → 0), pois, se escolhe N > 0 infinito, o N-ésimo termo da sequência, que é 1/N, é um infinitésimo e está infinitamente próximo de zero. Além disso, {1/n} é limitada, visto que 1/N é finito para todo N inteiro positivo infinito.

(b) Também {1/2n} → 0, porque, se faz n um inteiro positivo, 1/2n < 1/n, e portanto 1/2N < 1/N é um infinitésimo. Da mesma forma, diga que a sequência {1/2n} é limitada, pois o termo 1/2N é finito para todo N inteiro positivo infinito.

Lembrete: frases como “o número 1/2N < 1/N é um infinitésimo”, que são comuns na matemática, significam: “O número 1/2N, que é menor do que 1/N, é um infinitésimo.”

(c) À guisa de contraexemplo, imagine a sequência a seguir.

f-9

Não tem como dizer que essa sequência é limitada, pois, ao calcular o N-ésimo termo, vai chegar a um hiper-real infinito:

f-10

Por definição, um hiper-real infinito não está infinitamente próximo de nenhum número real, por maior que seja, e portanto a sequência diverge. Pode dizer que ela é ilimitada, ou, se quiser usar linguagem convencional, que ela “tende ao infinito”.

Teorema §81-1. Uma sequência converge para no máximo um único número real. Em outras palavras, se você descobre que {an} converge para a, e depois também descobre que {an} converge para b, então a = b.

Prova. Faça N > 0 um inteiro infinito. Se aNa e aNb, daí ab. Visto que a, b são ambos números reais, a diferença entre eles é zero, e a = b.

Teorema §81-2. Se descobre que {an} é uma sequência convergente, então {an} é limitada.

Prova. Suponha que {an} converge para a. Daí aNa para todo N inteiro positivo infinito e, sendo assim, visto que a é real, aN é finito para todo N.

Teorema §81-3. Suponha que {an} é uma sequência infinita que converge para a, e que {bn} converge para b. Daí a sequência {an + bn} converge para a + b, a sequência {an · bn} converge para a · b, e, se b ≠ 0, a sequência {an/bn} converge para a/b.

Prova. Se {an} → a, daí st[aN] = a para todo N inteiro positivo infinito. Da forma análoga, st[bN] = b para todo N inteiro positivo infinito. Com isso, o N-ésimo termo de {an + bn} é aN + bN, o N-ésimo termo de {an · bn} é aN · bN, e, se b ≠ 0, o N-ésimo termo de {an/bn} é aN/bN. Usando os teoremas das seções 21 e 22, eis o que pode concluir:

f-11

* * *

Nem toda sequência limitada converge. Considere, por exemplo, a sequência 0, 1, 0, 1, 0, … Qual é o valor de aN, o N-ésimo termo da sequência? (Sendo N um inteiro positivo infinito.) É zero se N é ímpar e 1 se N é par. Nos dois casos, é um valor finito, e portanto a sequência é limitada. Porém, não há nenhum número real a tal que aNa para todo N inteiro positivo infinito. Sendo assim, por definição a sequência diverge.


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{82}/ Lista de problemas

Mostre se cada uma das sequências infinitas a seguir é limitada, em primeiro lugar, e se converge, em segundo. Se a sequência converge, ache o limite.

f-12

Um dica para o problema 6: o N-ésimo termo da sequência é:

f-13

Veja as sugestões de resposta na seção 94.


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{83}/ Sequências de Cauchy

Ao longo da história, muito matemático se perguntou se definições como a §81-2 eram o melhor que a humanidade poderia escrever. Será que só é possível saber se uma sequência converge se for possível saber para qual número ela converge? E se uma sequência até parece que converge, mas o matemático não consegue descobrir o número específico para o qual ela converge? Em casos assim, não seria ótimo se fosse possível descobrir se ela converge ou diverge?

Ou, dito ainda de outra forma: Não seria bom se você pudesse definir o que é uma sequência infinita convergente sem mencionar, nenhuma vez, o número real para o qual ela converge? É o que fará com a definição a seguir.

Definição §83-1. Uma sequência infinita {an} converge se, e somente se, para qualquer par N, M de inteiros positivos infinitos, aNaM.

Foi Cauchy quem concebeu essa definição pela primeira vez. (Não com números hiper-reais, mas com limites.) Para ver que ela corresponde à definição anterior, você primeiro precisa de umas poucas definições e conceitos.

Definição §83-2. “Sequências de Cauchy.” Pode dizer que uma sequência infinita {an} é uma sequência de Cauchy se, e somente se, para qualquer par N, M de inteiros positivos infinitos, aNaM.

Teorema §83-1. Toda sequência de Cauchy converge, isto é, se {an} é uma sequência de Cauchy, daí existe um número real a tal que aNa para todo N inteiro positivo infinito. (Pode chamar essa propriedade dos números reais de “completude”.) Além disso, a recíproca é verdadeira: se você descobre que a sequência infinita {bn} converge para o número real b, então {bn} é uma sequência de Cauchy.

Prova. Suponha que {an} é uma sequência de Cauchy. Em primeiro lugar, note que, se a suposição é verdadeira, a linha (*) a seguir, na qual r é um número real positivo, tem de ser verdadeira também:

f-14

Se essa afirmação fosse falsa, daí a afirmação a seguir teria de ser verdadeira:

f-15

Com isso você quis dizer que, se an não fica dentro dos limites do intervalo [–r, r] para todo valor inteiro positivo de n, significa que os valores de an “andam” na linha dos números para a direita (se an vai assumindo valores uns cada vez maiores que outros) ou então “andam” para a esquerda, e cedo ou tarde “ultrapassam” o valor de r ou o valor de –r. Se é assim, para todo n, existe um inteiro positivo m tal que a distância entre an e am é maior que 1.

Ora, se isso é verdade no sistema dos reais, tem de ser verdade no dos hiper-reais. Assim, para N infinito, |am| > |aN| + 1 é falso para todo m > N, pois {an} é uma sequência de Cauchy e a diferença aNam ou é um infinitésimo ou é zero. Portanto, a linha (*) é verdadeira.

Visto que (*) é verdade, aN é finito para todo N > 0. E visto que {an} é uma sequência de Cauchy, para todo par N, M de inteiros positivos infinitos:

f-16

Portanto, {an} converge para st[aN].

Agora, a implicação recíproca. Se {bn} converge para b, daí, para qualquer par N, M de inteiros positivos infinitos, por definição bNb e bMb. Em outras palavras, bN = b + ϖ e bM = b + ϖ2, onde ϖ e ϖ2 são infinitésimos positivos (se {bn} se aproxima de b pela direita) ou negativos (se {bn} se aproxima de b pela esquerda). Em qualquer dos dois casos, bNbM, pois a diferença entre os dois ou é infinitesimal ou é zero:

f-17

Pode acontecer de que ϖ seja positivo e ϖ2 seja negativo, ou vice-versa; é quando {bn} se aproxima de b aos saltos, ora à direita de b, ora à esquerda de b. Com tudo isso, você prova a recíproca: se {bn} é uma sequência infinita que converge para o número real b, então {bn} é uma sequência de Cauchy.


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{84}/ A completude dos reais

Já reúne as condições de apreciar uma ideia bonita e difícil. Faça as contas: se m, n é um par de inteiros positivos, e se m/n é uma boa aproximação para √2, então (m + 2n)/(m + n) é uma aproximação melhor ainda. Com essa regra, você pode construir uma sequência infinita de números racionais tais que seu quadrado fica cada vez mais perto de 2, começando com m = n = 1:

f-18

Pode ver como, se pega duas frações consecutivas da sequência, o quadrado de uma está à direita de 2 e o quadrado de outra está à esquerda de 2, só que mais perto; ou vice-versa. Então, cada termo da sequência fica cada vez mais perto do número real √2, e você pode invocar Łós e dizer: “Se M, N é um par de inteiros positivos infinitos, e se M/N está infinitamente próximo de √2, então (M + 2N)/(M + N) está ainda mais próximo.” Claramente você está lidando com uma sequência de Cauchy cujo limite é √2, isto é, cujo limite é o número real positivo tal que, ao multiplicá-lo por si mesmo, obtém 2.

Agora, será que o número irracional √2 realmente existe, já que não pode representá-lo como a razão entre dois inteiros positivos? Por muito tempo, essa pergunta incomodou todo matemático que parou para pensar no assunto por uns poucos minutos, até que os matemáticos tiveram a ideia de transformar a completude dos reais num axioma:

stock-illustration-49998160-be-happy-chalkboard-concept“Sim, √2 existe.”

“Existe como?”

“Axiomaticamente, por definição. O axioma da completude dos reais diz que todos os pontos da reta real existem, mesmo aqueles que você não pode representar com um número racional.”

“Mas eu quero ver algo concreto no lugar de √2. Eu quero algo para pôr no papel. O que você pode me mostrar à guisa de número √2?”

“Posso te mostrar a sequência infinita 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, etc. Essa sequência converge para √2, pois o quadrado de cada termo da sequência vai ficando cada vez mais perto de 2. Logo, se você precisa fazer uma conta com √2, pegue um termo da sequência que esteja próximo o bastante de √2 para seus propósitos e use esse termo no lugar de √2.”

“Mas o que é √2, de verdade, no fundo no fundo? Por favor, estou assolado por mil inquietudes filosóficas!”

“Ora, √2 é a própria sequência de Cauchy que acabei de descrever, ou qualquer outra sequência de Cauchy {an} tal que, para todo N inteiro positivo infinito, (aN)2 ≈ 2. Por que não vai estudar jornalismo e para de me amolar?”


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{85}/ Sequências que divergem

A sequência {n} = 1, 2, 3, 4, 5, …, n, …, não converge, pois o N-ésimo termo vale N, que não está infinitamente próximo de nenhum número real. É uma situação diferente da sequência 0, 1, 0, 1, 0, 1, …, cujo N-ésimo termo é finito, embora a sequência não convirja para um número real específico. Assim, por convenção, pode dizer que o limite da sequência {n} é infinito. Em palavras, {n} diverge para o infinito; em símbolos, {n} → ∞ ou lim{n} = ∞.

Definição §85-1. No caso de uma sequência infinita {an}, diga que an → ∞ se, e somente se, aN > 0 é infinito para todo N inteiro positivo infinito. Ou diga que an → –∞ se, e somente se, aN < 0 é infinito para todo N inteiro positivo infinito.

Lembrete: Com o símbolo ∞ você não denota nenhum número em particular, e portanto, de modo geral, não faz sentido grafar coisas como 1 = 1, expressão que pode encontrar facilmente na internet. A expressão 1 = 1 não tem significado, simplesmente porque os matemáticos, de comum acordo, decidiram não atribuir à expressão nenhum significado concreto. Agora, se N é um hiper-real infinito qualquer, positivo ou negativo, daí 1N = 1 é uma afirmação perfeitamente válida no sistema dos números hiper-reais.


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{86}/ Lista de problemas

Descubra se as sequências a seguir divergem para o infinito.

(1). {2n}

(2). {√n}

(3). 1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6, …

(4). 1, –2, 3, –4, 5, –6, …

(5). Mostre que, se an → ∞ ou se an → –∞, daí 1/an → 0.

(6). Ache uma sequência {an} tal que an → 0, mas {1/an} não tem limite finito ou infinito.

Sugestões de resposta na seção 94.


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{87}/ As sequências monótonas

Estude com atenção a definição e o teorema a seguir. Vai usá-los muitas vezes mais tarde.

Definição §87-1. Pode dizer que uma sequência infinita {an} é monótona não decrescente se anam sempre que n < m, e que {an} é monótona não crescente se anam sempre que n < m. (Se an < am sempre que n < m, diga que {an} é monótona estritamente crescente; e se an > am sempre que n < m, diga que {an} é monótona estritamente decrescente. Se quiser, pode substituir a palavra “monótona” por “monotônica”.)

Veja na figura a seguir um exemplo de sequência monótona não decrescente (na verdade, um exemplo de sequência monótona estritamente decrescente): os valores da sequência estão no eixo y, e correspondem à ordenada de cada uma das bolinhas, tomadas da esquerda para a direita.

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Caso não deseje especificar se a sequência monótona não decresce ou não cresce, diga apenas que a sequência é monótona.

Teorema §87-1. Toda sequência monótona limitada converge.

Prova. Primeiro, suponha que {an} é monótona não decrescente e limitada. Você vai mostrar que, nesse caso, {an} é uma sequência de Cauchy. Pois, se {an} não for uma sequência de Cauchy, daí aNaM para algum inteiro positivo infinito N > M. Mas, visto que aN > aM, então aN > aM + r para algum número real r. Assim, visto que {an} é monótona, a afirmação a seguir é verdadeira no sistema dos números hiper-reais.

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Se é assim, invoque Łós e diga que a afirmação também é verdadeira no sistema dos números reais. Portanto, é verdadeira para cada um dos inteiros positivos finitos m.

Por exemplo, existe um n1 (finito) tal que:

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Da mesma forma, existe um n2 (finito) tal que:

f-21

Existe um n3 (finito) tal que:

f-22

Ao perseguir pensamentos desse tipo, vai achar óbvio que, para todo k inteiro positivo, existe um inteiro positivo n tal que an > a1 + kr. Essa afirmação é verdadeira nos reais; logo, é verdadeira nos hiper-reais, de modo que, para todo inteiro positivo infinito K, existe um inteiro positivo infinito N tal que aN > a1Kr. Visto que r é um real positivo, Kr é infinito, e portanto aN também é infinito. Mas isso contradiz sua suposição, a de que {an} é limitada; portanto, {an} é uma sequência de Cauchy e, pelo teorema §83-1, converge.

(A prova para o caso em que {an} é monótona não crescente é quase igual a essa.)

* * *

Há um corolário interessante e útil do teorema §87-1:

Corolário §87-1. Se 0 ≤ r < 1, daí rn → 0.

Na ilustração a seguir, veja o gráfico para r = 1/2.

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Prova. O caso em que r = 0 é trivial. Estude, portanto, os casos em que r ≠ 0.

Para todo 0 < r < 1, rn < rm se n > m, isto é, 0 < rn < 1 para todo inteiro positivo n. Visto que pode bancar essa afirmação no sistema dos números reais, pode bancá-la no sistema dos hiper-reais; assim, rN é um hiper-real finito, de modo que a sequência é limitada. A sequência {rn} também é monótona não crescente (se r ≠ 0, é monótona estritamente decrescente), e então pode invocar o teorema §87-1 para dizer que rna para algum número real a.

Se N é um inteiro positivo infinito, rNa, e assim, ao multiplicar os dois lados da expressão por r, rN+1 = rN · rar. Mas N + 1 também é um inteiro positivo infinito, e portanto rN+1a. Ora, então ara, e como ar e a são ambos números reais, eles têm de ser o mesmo número real. Visto que r ≠ 1, só pode ser o caso de que a = 0.


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{88}/ Lista de problemas

(1). Use a prova da seção anterior para mostrar que rn → 0 para todo r tal que 0 ≤ |r| < 1.

(2). Prove que {rn} é uma sequência infinita monótona não crescente para todo 0 ≤ r < 1.

Sugestões de resposta na seção 94.

Note que estudantes de ensino médio estudam algumas das características de sequências do tipo {rn}, com r real: são as sequências geométricas, ou, para usar linguagem comum no ensino médio, progressões geométricas. Elas são úteis no cálculo.


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{89}/ A soma de sequências infinitas

É hora de examinar um dos assuntos mais interessantes da matemática: a adição dos termos de uma sequência infinita de números.

Você sabe como adicionar dois números a1 e a2 para obter a soma S:

f-25

Essa é uma operação simples quer a1, a2 sejam números reais ou hiper-reais.

E você também sabe como adicionar n números a1, a2, …, an para obter a soma S:

f-26

Mas e se tiver de somar uma quantidade infinita de números reais a1, a2, …, an, …? O que fazer para calcular o valor de S se S = a1 + a2 + ··· + an + ···?

Definição §89-1. “Séries infinitas.” Pode chamar uma soma de infinitos números reais a1, a2, …, an, … de série infinita. Chame de {Sn} a sequência de números reais Sn tais que, para cada valor inteiro positivo de n:

f-27

Daí, se a sequência {Sn} de somas parciais Sn converge para um número real A, diga que A é o valor da série infinita a1 + a2 + ··· + an + ···. Em símbolos:

f-28

Nesse caso, diga que a série infinita converge. Ao contrário, se SN é infinito para algum N inteiro positivo infinito, ou se há um par N, M de inteiros positivos infinitos tal que SN não está infinitamente próximo de SM, diga que a série infinita a1 + a2 + ··· + an + ··· diverge.

Definição §89-2. Esta definição se refere a notação: como denotar, de modo mais breve, a soma de uma série infinita. Assim:

f-29

Sempre que a soma de uma série infinita converge para o número a, você pode denotar isso assim:

f-30

Se quiser, pode traduzir isso na linguagem típica do sistema dos números hiper-reais: a definição a seguir vale para todo N inteiro positivo infinito.

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É importante que você não se deixe confundir com o sinal de igual. Ao escrever ∑[1, ∞)at = a, você não está dizendo que, se fosse possível adicionar todos os infinitos termos at, obteria a soma a. E não está dizendo isso por um motivo simples: é impossível adicionar um número infinito de parcelas. Ora, se é impossível, você não vai nem mesmo tentar — nem você, nem ninguém. O que está dizendo, mais simplesmente, é que pode fazer com que a soma fique tão próxima de a quanto queira — tudo o que tem a fazer é adicionar um número suficiente de parcelas, e muitas vezes nem precisa adicioná-las de fato, pois pode adicioná-las na sua imaginação.


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{90}/ Zenão, Aquiles, e a tartaruga

Talvez sem perceber, quase todo mundo já lidou com séries infinitas na escola. Por exemplo, veja se consegue identificar qual é o número real a seguir:

f-32

É um jeito de grafar um somatório infinito, que, como verá em breve, vale 1/9:

f-33

Pouca gente tecla 1 ÷ 9 na calculadora, vê no visor 0,11111111, e pensa: “Nossa! Estou lidando com uma série infinita!”

A história mais famosa sobre séries infinitas é a da corrida entre Aquiles e a tartaruga. Segundo Aristóteles, a história foi proposta pelo filósofo grego Zenão, cujo propósito era chamar a atenção para uma falha (a seu ver) em raciocínios de cunho matemático.

Suponha que o poderoso guerreiro Aquiles vai apostar corrida com uma tartaruga, e que dá à tartaruga 1 quilômetro de vantagem. Dada a partida, Aquiles tem de correr metade da distância que o separa da tartaruga; depois disso, tem de correr metade da distância remanescente; depois disso, tem de correr metade da distância remanescente; e assim por diante. Zenão disse que Aquiles jamais poderia alcançar a tartaruga, porque, segundo os matemáticos, sempre é possível dividir a distância que o separa da tartaruga em duas partes iguais, a primeira das quais Aquiles deve percorrer se pretende alcançar a tartaruga. Zenão perguntou: “Como um sujeito pode percorrer uma sucessão infinita de distâncias?”

Os matemáticos gregos ficaram tão perturbados com esse paradoxo que evitaram, a todo custo, a ideia de movimento na geometria. O que hoje um estudante chama de “translação” ou de “transformação rígida” não era coisa bem vista numa academia grega de matemática…

Quando os matemáticos aprenderam a lidar com séries infinitas, no século 19 (tão tarde!), o paradoxo se desfez. Suponha que Aquiles precise de t minutos para percorrer a primeira metade da distância, (1/2)t minutos para percorrer a segunda metade, (1/4)t minutos para percorrer a terceira metade, e assim por diante. Aquiles vai sim alcançar a tartaruga porque o somatório infinito a seguir converge:

f-34

Como verá em breve, essa série converge para 2t, e portanto Aquiles alcança a tartaruga em 2t minutos, embora tenha de percorrer infinitas metades da distância remanescente entre ele e a tartaruga.


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{91}/ Teoremas e problemas sobre séries infinitas

Nesta seção, verá os teoremas mais importantes sobre séries infinitas, intercalados com alguns problemas. Embora sejam teoremas importantes, e com eles você possa fazer muita coisa, afaste o pensamento de que sabe tudo sobre séries infinitas, pois já houve quem escreveu livro de 300 páginas só sobre séries!

Teorema §91-1. Se a série infinita ∑at converge, então a sequência infinita a1, a2, a3, …, at, … converge para zero.

Prova. Pense em Sk = a1 + a2 + ··· + ak. Visto que a sequência infinita {Sk} converge, é uma sequência de Cauchy, de modo que SK+1SK para cada K inteiro positivo infinito, isto é, SK+1SK ≈ 0. Mas SK+1SK = aK+1, e com isso aK+1 ≈ 0. Portanto, a sequência infinita a1, a2, a3, …, at, … converge para zero.

Teorema §91-2. Suponha que as expressões a seguir são verdadeiras.

f-35

Daí pode provar a validade de três afirmações: ∑(at + bt) = a + b; ∑(atbt) = ab; e, para qualquer número real k, ∑kat = ka.

Prova. Recorra ao teorema §81-3. Faça Am = a1 + a2 + ··· + am e Bm = b1 + b2 + ··· + bm. Por hipótese, sabe que {Am} converge para a e que {Bm} converge para b; em outras palavras, se M é um inteiro positivo infinito, AMa e BMb. Portanto, st[AM + BM] = a + b, st[AMBM] = ab, e, se k é um número real qualquer, st[kAM] = k st[AM] = ka.

Sendo assim, basta aplicar agora a definição §89-2:

f-36

Teorema §91-3. Defina Sn como na equação a seguir. Se a série infinita ∑at é a soma de números não negativos, então ela converge se, e somente se, a sequência {Sn} é limitada.

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Prova. Visto que cada parcela at é não negativa, a sequência {Sn} é monótona, isto é, SkSk+1 para todo inteiro positivo k. Daí invoque o teorema §87-1 e afirme que {Sn} converge se, e somente se, {Sn} é limitada.

* * *

A série mais comum, e a mais fácil de estudar, é a série geométrica, na forma a0 + a1 + a2 + a3 + ··· = 1 + a1 + a2 + a3 + ···, na qual a ≠ 0 é um número real qualquer. (Para incluir o caso em que a = 0, você tem de combinar com seu leitor o caso especial 00 = 1; em algumas poucas circunstâncias, é vantajoso combinar isso, mas em muitas outras faz melhor se encara 00 como desprovido de significado.)

Eis um jeito simples de calcular a soma de uma série geométrica finita: se faz Sn = 1 + a1 + a2 + ··· + an, daí pode multiplicar a equação inteira por a e explorar as consequências.

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A fórmula vale no sistema dos números reais e, portanto, no dos hiper-reais. Agora suponha que 0 < |a| < 1. Então, para todo N inteiro positivo infinito, aN+1 é um infinitésimo (teorema §91-1), e sendo assim:

f-39

Você acabou de provar que, para todo 0 < |a| < 1, o limite da série infinita 1 + a1 + a2 + a3 + ··· é 1/(1 – a). Escrevendo isso com a notação §89-2:

f-40

Formulário §91-1

O redator marcou este formulário com §91-1 porque você vai usá-lo mais tarde, e várias vezes. Veja o que acontece quando faz a = 1/10.

f-41

Com isso, pode calcular o valor da série infinita 0,11111…:

f-42

Problema §91-1. Use o método acima para calcular, mais genericamente, o valor da série infinita 0,ddddd…, no qual d denota um dígito qualquer de 0 a 9. (“Dígito” = “Algarismo”.)

Resolução. Bem, você já sabe que, se a = 1/10, o limite da série geométrica 1 + a1 + a2 + a3 + ··· é 10/9, e, por definição, isso significa que o o valor da série é 10/9. O que acontece se comparar a série infinita 0,ddddd… com a série 1 + a1 + a2 + a3 + ···?

f-43

Portanto, se d =1, 0,11111… = 1/9; se d = 2, 0,22222… = 2/9; e, por fim, se d = 9, 0,99999… = 9/9 = 1.

O quê?!

Sim, é isso mesmo: 0,99999… = 1.

Vale a pena explorar essa ideia melhor, porque muito estudante fica estupefato ao topar com esse resultado pela primeira vez. Defina o somatório Dn como na linha abaixo.

f-44

Veja agora o que significam D1, D2, D3, …, Dn e a diferença 1 – D1, 1 – D2, 1 – D3, …, 1 – Dn.

f-45

Visto que essa sequência de linhas é verdadeira no sistema dos números reais, também é verdadeira no dos hiper-reais. Sendo assim, faça N um inteiro positivo infinito e veja o que significam DN e a diferença 1 – DN.

f-46

Ora, (1/10)N é um infinitésimo, e portanto 1 ≈ DN, isto é, st[DN] = 1. Assim como já fez ao definir a derivada dy/dx, que é a parte padrão do quociente da variação infinitesimal em y que você obtém ao provocar uma variação infinitesimal em x, e assim como já fez ao definir a integral, que é a parte padrão de um somatório infinito, pode e deve definir o valor real de DN como sendo st[DN] = 1.

Vários matemáticos já tentaram ver se seria possível definir 0,999… como sendo alguma coisa diferente de 1, mas não conseguiram construir nenhum sistema que prestasse. (O matemático inglês Timothy Gowers foi um deles, e de propósito escreveu um artigo engraçado sobre a tentativa.) Portanto, se você pode tornar a diferença entre 1 e 0,999… igual a um infinitésimo (ou, na linguagem usual do cálculo, “tão pequena quanto queira”), então, no sistema dos números reais, para todos os propósitos práticos e teóricos, as duas expressões se equivalem.

A consequência disso tudo é que 2 = 1,999…, 3 = 2,999…, 0,5 = 0,4999…, etc. Apesar disso, neste curso de cálculo diferencial e integral com números hiper-reais, o redator adotou sempre a convenção de que 1 = 1,000…, e não a convenção de que 1 = 0,999….

* * *

Lista de problemas:

Problema §91-2. Converta o decimal a seguir numa fração.

f-62

Problema §91-3. No decimal a seguir, pense em r, s como algarismos de 0 a 9, não necessariamente diferentes, isto é, r, s ∈ {0, 1, 2, …, 9}. Use a resolução do problema acima para dizer como pode transformar este decimal numa fração.

f-65

Problema §91-4. No decimal a seguir, pense em p, q, r como algarismos de 0 a 9, não necessariamente diferentes, ou seja, p, q, r ∈ {0, 1, 2, …, 9}. Use a resolução dos dois problemas anteriores para transformá-lo numa fração.

f-67

Problema §91-5. Use o que aprendeu com os quatro problemas §91-1, 2, 3, 4, escreva uma conjectura mais geral, e prove sua conjectura.

Problema §91-6. Converta o decimal a seguir em fração.

f-72

As sugestões de resolução estão na seção 94.

* * *

O matemático com frequência precisa dizer se uma série converge ou diverge, e portanto os matemáticos criaram vários testes de convergência. Um deles é o teste a seguir.

Teorema §91-4. “O teste da comparação.” Se a1 + a2 + ··· + at + ··· é uma série tal que todo termo at é não negativo; se b1 + b2 + ··· + bt + ··· é uma série que converge; e se atbt para todo t, então a1 + a2 + ··· + at + ··· também converge.

Prova. Faça Sn = ∑[1, n]bt e Tn = ∑[1, n]at. Pelo teorema §91-3, a sequência {Sn} é limitada. Por hipótese, 0 ≤ TnSn, e portanto a sequência {Tn} também é limitada. Invoque mais uma vez o teorema §91-3 e diga que ∑[1, ∞)at converge.

Corolário do teorema §91-4. Use a contrapositiva do teste da comparação como um teste útil de divergência: se para todo t inteiro positivo 0 < atbt, daí, se ∑[1, ∞)at diverge, então ∑[1, ∞)bt também diverge.

(Para uma breve discussão sobre implicações, recíprocas, e contrapositivas, veja a resposta do problema §92-16.)

* * *

Existe um conceito mais poderoso e mais restritivo de convergência, cujo nome é convergência absoluta. Esse conceito capta a ideia de que determinadas séries convergem mesmo que você troque o sinal de cada parcela a seu bel-prazer: se todas as parcelas forem positivas, a série converge; se todas forem negativas, a série converge; se houver qualquer combinação de parcelas positivas e negativas, a série converge.

Definição §91-1. Diga que a série a1 + a2 + ··· + at + ··· é absolutamente convergente se, e somente se, a série |a1| + |a2| + ··· + |at| + ··· converge.

Teorema §91-5. Se a1 + a2 + ··· + at + ··· é uma série absolutamente convergente, então ela converge.

Prova. Primeiro, defina duas séries novas:

f-47

Verifique como cada t-ésimo termo de {an+} e de {an} ou é igual ou é menor que o t-ésimo termo de |an|; por conta disso, com o teste da comparação pode dizer que as duas séries a seguir convergem.

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Contudo, para cada valor inteiro positivo de n, an+an = an, e daí pode usar o método na resolução do teorema §91-1 e dizer que a série a seguir também converge.

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O teste a seguir é, talvez, o mais útil teste de convergência que existe.

Teorema §91-6. “O teste do quociente.” Faça a1 + a2 + ··· + at + ··· uma série infinita na qual at ≠ 0 para todo t. Assuma que o quociente a seguir é finito e tem a mesma parte padrão r para todo N inteiro não negativo infinito.

f-50

Dizendo isso com notação matemática, a linha a seguir é verdadeira por hipótese.

f-51

Daí, se (1) r < 1, a série converge absolutamente; mas, se (2) r > 1, a série diverge.

Prova. Primeiro, o caso (1). Você precisa mostrar que a série ∑[1, ∞)|an| converge. Veja que a linha a seguir é verdadeira para todo N inteiro positivo infinito.

f-52

 

Sendo assim, existe um número real t, 0 < r < t < 1, tal que a linha a seguir é verdadeira no sistema dos números hiper-reais.

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Com ela, você quis dizer que, não importa quão perto ponha o número t de r, a partir de certo inteiro positivo n0 (que até pode ser infinito), o quociente entre o termo |an+1| e o termo |an| está entre t e r, pois tal quociente fica cada vez mais perto de r conforme o valor de n aumenta.

Ora, visto que essa afirmação é válida no sistema dos hiper-reais, então é válida no dos reais também. Sendo assim, |an+1| < t|an| para todo n finito maior que um certo n0. Esse fato imediatamente implica as linhas a seguir.

f-54

A última linha vale para todo j > n0. Eis o que pode concluir:

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Visto que 0 < t < 1, a série ∑[1, ∞)tj converge; usando o teste da comparação, portanto, diga que a série ∑[1, ∞)|at| não só converge, como converge absolutamente.

Agora, o caso (2). Na linha abaixo, se a expressão à esquerda é verdadeira para todo N inteiro positivo infinito (e ela é verdadeira por hipótese), então a expressão à direita também é verdadeira nos hiper-reais (basta pensar em n0 infinito).

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Logo, a expressão à direita também é verdadeira no sistema dos reais, e assim |an+1| > |an| para todo n que seja maior que n0, e não se esqueça de que n0 é um inteiro positivo finito. Assim, para N inteiro positivo infinito, |aN| > |an0| > 0; sendo assim, aN ≉ 0. Pode com isso invocar o teorema §91-3 e dizer que a série ∑[1, ∞)an diverge.

* * *

Pense na série ∑an a seguir.

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Será que ela converge? Aplique o teste do quociente.

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Não pode concluir nada, pois o limite da série não vale nem menos que 1 nem mais que 1, mas vale 1. Para casos como esse, existe um teste adicional.

Teorema §91-7. “O teste da integral.” Suponha que uma sequência {an} cujos termos an sejam todos positivos, e que você os possa calcular por meio de uma função f:

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Suponha ainda que a função f seja uma função monótona não crescente. Daí, se o valor da integral abaixo é finito, a série ∑[1, ∞)an converge.

f-60

Veja a ilustração a seguir. Como o gráfico sugere, pode encarar a soma da série ∑[1, ∞)an como sendo equivalente à área total dos retângulos. (A área do retângulo de altura igual a an e base igual a 1 vale an.)

Somatório de Áreas_1

Figura §91-1

A integral ∫[1, N]f(x)dx, por sua vez, é a área hachurada nesta ilustração abaixo, na qual a curva de f é roxa.

Somatório de Áreas_2

Fica fácil concluir o seguinte: ∫[1, N]f(x)dx ≥ ∑[2, N]an. Assim, se ∫[1, N]f(x)dx é finito, ∑[2, N]an também é. Visto que ∑[1, ∞)an = ∑[2, N]an + a1 é finito (pois a1 é um número real, e portanto finito), invoque mais uma vez o teorema §91-3 e diga que ∑[1, ∞)an converge.

* * *

Aplique agora o teorema §91-7 à soma dos termos da sequência infinita {1/n2}.

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Visto que o valor da integral é finito para todo N inteiro positivo infinito, invoque o teorema e diga que a série ∑[1, ∞)(1/n2) converge.


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{92}/ Lista de problemas

(1). Veja se consegue dizer se a série a seguir converge ou diverge.

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Essa é a famosa série harmônica. Veja a resolução desse problema na resolução do problema §92-17.

Para os problemas (2) a (15), demonstre se a série converge ou diverge.

f-77

(16). Prove a recíproca do teorema §91-7, e depois estude a contrapositiva da recíproca, para chegar ao seguinte teorema: Se ∫[1, N]f(x)dx é infinito, então ∑[1, ∞)an também é, ou seja, diverge.

(17). Use o teorema §91-7 e a contrapositiva da recíproca e descubra para quais números reais p a série a seguir converge.

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Sugestões de resposta na seção 94.


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{93}/ A parte fracionária com base diferente de 10

Cedo ou tarde, o matemático tem de registrar números com base diferente de 10. Quando mexe com um problema de computação, por exemplo, talvez precise registrar o número 249 na base 2 (11111001), ou na base 8 (371), ou na base 16 (F9). É por isso que também tem de se habituar a converter, na forma de fração usual, a parte fracionária de números escritos com base diferente de 10. Três exemplos:

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Estude melhor o último exemplo para ver um dos motivos pelos quais bases diferentes são úteis. Na base 7, pode grafar o número racional 2.397/2.401 com apenas quatro algarismos na parte fracionária. (“Expansão fracionária”, ou só “expansão”, é uma expressão comum para denotar a parte fracionária.) Se fosse grafar esse mesmo racional na base 10, teria de escrever uma dízima periódica cujo período tem 2.058 algarismos decimais!

Lista de problemas. Converta cada um dos números a seguir em fração.

(1). 0,11111…(2).

(2). 0,22222…(7).

(3). 0,1313131313…(6).

(4). 0,6422222…(9).

Respostas na seção 94.

* * *

Você não precisa usar somente bases positivas para representar um número, pois, se quiser, pode usar uma base numérica negativa também. Veja dois exemplos:

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Se quiser, pesquise: pode expressar qualquer número real, positivo ou negativo, com uma base numérica negativa.

Lista de problemas. Converta cada um dos números a seguir em fração.

(5). 0,22222…(–5).

(6). 1,11111…(–2).

(7). 0,5353535353…(–6).

(8). 0,22222…(–10).

Respostas na seção 94.

* * *

Você pode grafar determinado número de infinitas maneiras distintas, pois pode grafá-lo com qualquer base b tal que |b| ≥ 2. (Quanto à base 1, não tem graça, pois com ela só pode expressar um número: o zero.) E, se quiser, também pode grafá-lo como um fracimal. Veja três exemplos de fracimais:

f-80

Com os fracimais, pode grafar o mesmo número racional de várias maneiras distintas, como é o caso de 1/2.

f-82

A partir dos três exemplos, que tal partir para uma conjectura?

Conjectura. Se 0,3.3.3.3.3…. é um fracimal infinito, então converge para 1/2, ou seja:

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Lista de problemas:

(9). Prove que a conjectura é verdadeira, isto é, que 0,3.3.3.··· = 1/2.

Converta cada um dos fracimais a seguir em fração.

(10). 0,4.4.4.4.4.···

(11). 0,2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.···

(12). 0,5.3.3.3.3.3.···

Respostas na seção 94 a seguir.


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{94}/ A resolução dos problemas

❏ §82-1. Com {n} você denota a sequência infinita 1, 2, 3, 4, 5, …. Se N é um inteiro positivo infinito, o N-ésimo termo da sequência é N. Visto que Na para qualquer número real a, por maior que seja, a sequência {n} diverge para o infinito; ela é ilimitada.


❏ §82-2. Com {1/n2}, você denota a sequência 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, …. O N-ésimo termo da sequência é 1/N2, que é um infinitésimo; pela definição de infinitésimo, 1/N2 ≈ 0. Sendo assim, a sequência {1/n2} é limitada e converge para zero.


❏ §82-3. Bem, {(1 + n)/n} = 2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, …. Para ver mais facilmente que o valor de cada termo vai diminuindo conforme você avança na sequência, use decimais: com duas casas decimais, {(1 + n)/n} = 2,00 ; 1,50 ; 1,33 ; 1,25 ; 1,20 ; 1,16 ; etc. Reescreva (1 + n)/n como (1/n) + 1; assim, o N-ésimo termo da sequência é (1/N) + 1, que é um infinitésimo mais 1 e está infinitamente próximo de 1. Portanto, a sequência é limitada e converge para 1 pela direita.


❏ §82-4. Só de olhar os termos da sequência {n/(n + 1)} = 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, …, você percebe que, quando n é muito grande, vai dividir um número grande por um número quase do mesmo tamanho — só uma unidade maior. Parece, portanto, que a sequência se aproxima de 1 pela esquerda; e de fato o 200º termo da sequência vale ≅0,9950249. Assim, para N inteiro positivo infinito, se N/(N + 1) está infinitamente próximo de 1, a diferença entre N/(N + 1) e 1 tem de ser um infinitésimo. É o caso?

f-100

Sim, é um infinitésimo. Logo, a sequência {n/(n + 1)} é limitada e converge para 1.

Como você pode saber o valor do 200º termo da sequência? Simples: com uma calculadora científica (o redator usa uma HP 50g) ou com um software de computação algébrica. Você põe a sequência na calculadora, vê qual deve ser o limite, e usa a álgebra para verificar se o N-ésimo termo da sequência está infinitamente próximo do limite.

Tem como fazer isso sem uma calculadora? Sim: basta reescrever a expressão com a qual obtém o N-ésimo termo da sequência.

f-137

O que fez aqui foi multiplicar o numerador e o denominador da expressão à esquerda por 1/N, o que equivale a multiplicá-la por 1 e não altera seu valor.

É errado olhar a calculadora para ter uma ideia de qual é o limite, e depois disso usar a álgebra para verificar se o N-ésimo termo da sequência está mesmo infinitamente próximo do limite? Não, não é errado, e com frequência é a coisa mais prática que pode fazer, especialmente no caso de limites complicados. Na história da matemática, muito matemático primeiro fez contas e depois, olhando as contas, chutou qual deveria ser o limite; e por fim provou sua conjectura. Contudo, deve sempre se perguntar: “Como eu poderia ter achado o valor desse limite se não tivesse uma calculadora?” Esse hábito é saudável porque, muitas vezes, a calculadora é inútil, e mesmo um bom software de computação algébrica é inútil, e não tem escolha senão usar a cabeça e a álgebra.


❏ §82-5. Na expressão a seguir, n é um inteiro positivo finito e N, um inteiro positivo infinito.

f-101

Visto que o N-ésimo termo da sequência é um infinitésimo, ela é limitada e converge para zero.


❏ §82-6. Note que, quando n = 4, o denomidador da expressão é zero. O que fazer nesse caso? Simples: omita da sequência o valor da expressão quando n = 4.

f-102

Parece que a sequência converge para –2, pois o 300º termo vale ≅–2,02357, e cada termo vai ficando maior que o anterior, sem, contudo, ficar maior que –2. [Parece que a sequência se aproxima de (–2) pela esquerda.] O que deve fazer é verificar se a diferença entre o N-ésimo termo da sequência e –2 é um infinitésimo.

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Sim, é um infinitésimo, e negativo. Logo, a sequência é limitada e converge para –2 pela esquerda.

E se multiplicasse a expressão para o N-ésimo termo da sequência por (1/N)/(1/N)?

f-139


❏ §82-7. O primeiro termo da sequência vale 7/9 = 0,777…. O 300º vale ≅0,6677704. (Segundo a tabela que pode obter com a calculadora.) Portanto, parece que a sequência converge para 6/9 = 0,666…, embora seja difícil dizer se é isso mesmo só de olhar os números da calculadora, pois, se é que a sequência converge para 6/9, converge bem devagar. Para verificar a conjectura, calcule a diferença entre o N-ésimo termo da sequência e 6/9.

f-104

Visto que a diferença é um infinitésimo, e que uma sequência infinita só pode convergir para um único número real, então a sequência é limitada e converge para 6/9 = 2/3 pela direita.


❏ §82-8. O primeiro passo é verificar quais são as raízes do polinômio no denominador, por exemplo com Bháskara: são –(1/3) e 2. Portanto, você começa a sequência com o valor da expressão para n = 1, pula n = 2 para não igualar o denominador a zero, e continua a partir daí.

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O 600º termo dessa sequência vale ≅–0,330373, o que sugere um limite igual a –(1/3). Para testar a conjectura, verifique se a diferença entre o N-ésimo termo da sequência e –(1/3) é igual a um infinitésimo.

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Da segunda para a terceira linha, o redator multiplicou numerador e denominador por 1/N, o que equivale a multiplicar a expressão inteira por 1 e não altera seu valor. Com a expressão resultante, pode ver que obteve um hiper-real finito no numerador (infinitamente próximo de 16), dividido por um hiper-real infinito no denominador — logo, obteve um infinitésimo. Sendo assim, a sequência é finita e converge para –(1/3).

E se não quisesse ter usado a calculadora? Poderia ter multiplicado o numerador e o denominador da expressão para o N-ésimo termo da sequência por 1/N². Veja:

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❏ §86-1. A sequência {2n} = 2, 4, 8, 16, 32, … tende ao infinito positivo, pois, se n < m são dois inteiros positivos, 2n < 2m também são; logo, se faz M um inteiro positivo infinito, daí n < M para qualquer n inteiro positivo finito, por maior que seja, e 2M > 2n é um inteiro positivo infinito.


❏ §86-2. Se n < m são dois inteiros positivos, √n < √m. Agora, para todo N inteiro positivo infinito, e para qualquer m inteiro positivo finito, por maior que seja, m < N e √m < √N. Portanto, visto que o N-ésimo termo da sequência {√n} é um hiper-real infinito, a sequência diverge para o infinito.


❏ §86-3. Observe na linha a seguir a continuação da sequência, onde N é um ímpar infinito.

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Assim, conforme a sequência tende ao infinito, ela oscila entre um ímpar infinito e um infinitésimo. Diga que a sequência diverge, mas, visto que não satisfaz nem a definição de sequência que converge para zero nem a definição de sequência que diverge para o infinito, não pode dizer que ela diverge para o infinito.


❏ §86-4. Se N é um ímpar infinito, o N-ésimo termo da sequência vale N, um inteiro positivo infinito, e o termo seguinte vale –(N + 1), um inteiro negativo infinito. Logo, deve dizer que a sequência diverge, mas não pode dizer que a sequência tende a um limite infinito.


❏ §86-5. Se an → ∞, aN > 0 é infinito para todo N inteiro positivo infinito; e daí, pelo que já viu no terceiro capítulo desta série (sobre a linha dos números hiper-reais), 1/aN é um infinitésimo (positivo). Um argumento semelhante a esse vale se an → –∞, isto é, 1/aN também é um infinitésimo (negativo). Nos dois casos a sequência 1/an tende para zero, ou converge para zero, pois, se 1/aN = ϖ é um infinitésimo, positivo ou negativo, então st[ϖ] = 0.


❏ §86-6. Use a resolução dos dois problemas anteriores como inspiração. Na linha a seguir, N é um ímpar positivo infinito.

f-108

Sendo assim, {an} → 0 porque, para todo N inteiro positivo infinito, aN ≈ 0; apesar disso, {1/an} não converge para nenhum limite, finito ou infinito, pois, para todo N ímpar positivo infinito, 1/aN = N é um inteiro positivo infinito, mas 1/a(N+1) = –(N + 1) é um inteiro negativo infinito. Em termos intuitivos, pode dizer isso assim: para valores muito grandes de n, a sequência {1/an} “salta” entre –∞ e +∞.


❏ §88-1. É um bom momento para um argumento por simetria: se x é um número positivo, a distância de zero a x é a mesma distância de zero a –x.

Assim, para todo número real 0 < r < 1 e para todo N positivo par infinito, rN = (–r)N; logo, se rN ≈ 0, (–r)N ≈ 0. E para todo M positivo ímpar infinito, –rM = (–r)M; portanto, se rM ≈ 0, daí –rM ≈ 0 e (–r)M ≈ 0. Como conclusão, se –1 < x < 0, xn → 0 quando n → ∞, com o detalhe de que o valor de xn vai trocando de sinal conforme tende a zero: é positivo quando n é par e negativo quando n é ímpar.

Lembrete: “o número 0 < r < 1” é um jeito comum de expressar “o número r, que é maior do que 0, mas menor do que 1”.


❏ §88-2. Se r = 0, é fácil ver a validade da afirmação, poir rn = 0 para todo valor de n, e portanto rn → 0 quando n → ∞. Assim, trabalhe com o caso mais difícil: pense em 0 < r < 1.

Releia o corolário §62-1, no capítulo sobre cálculo diferencial. Se puder provar que a derivada de f(n) = rn é negativa para todo valor de n, daí, como consequência do corolário, f é monótona, estritamente decrescente, e nunca é constante, ou seja, rn > rm se n < m.

Ora, se f(n) = rn, então f’(n) = ln(rrn. Para verificar isso, releia a resolução do problema §76-15, a definição §76-3, e a resolução do problema §76-20 no capítulo anterior (sobre o teorema fundamental do cálculo). Eis com o que seu argumento deve se parecer:

f-24

Visto que r > 0, rn > 0 para todo valor de n, pois pode ver rn como o produto de n fatores iguais a r. Contudo, visto que 0 < r < 1, ln(r) < 0 pela própria definição de logaritmo natural:

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Logaritmo Negativo

Portanto, f’(n) < 0 para todo valor positivo de n, rn > rm se n < m, e assim rn → 0 quando n → ∞, isto é, rN ≈ 0 quando N é um inteiro positivo infinito.

Esse é um aspecto surpreendente do cálculo — ele é útil em circunstâncias nas quais, à primeira vista, não se aplica. Tente, por exemplo, resolver esse problema sem usar o cálculo, e veja como tudo fica mais difícil.

Às vezes, vai achar muito útil pensar na multiplicação de dois números como sendo uma área. Na figura a seguir, a área de cada um dos quadrados mede uma unidade, pois o comprimento dos lados mede uma unidade. Se você interpretar o produto a · b como sendo a área do retângulo cuja base mede a e cuja altura mede b, pode ver como o produto de um número 0 < r < 1 por ele mesmo n vezes sempre resulta num número positivo, mas menor que r. O que está vendo nos seis quadrados (da esquerda para a direita, de cima para baixo) é r · 1, r · r, r² · 1, r² · r², r4 · 1, e r4 · r.

Áreas Diminuindo


❏ §91-2. Como primeiro passo, deve reescrever 0,121212… até que o padrão de repetições fique bem claro. Logo em seguida, na quinta linha do formulário a seguir, para calcular o valor da série infinita, use o formulário §91-1, já que 0 < |a| = 1/100 < 1.

f-63

Atenção! Quando você sabe de antemão que uma série converge, não há risco em rearranjar as parcelas. Contudo, quando não sabe direito com o que está lidando, e não tem como descobrir se a série converge ou diverge, é melhor trabalhar com a sequência {Sn} de somas parciais. Veja mais sobre esse ponto na seção 95.

E como pode saber de antemão que 0,121212… converge? Esse é um exercício interessante: use o teste do quociente para provar que 0,999… converge; daí, se usa di para denotar um algarismo qualquer de 0 a 9, então 0,d1d2d3d4d5… também converge pelo teste da comparação, pois 0,d1d2d3d4d5… ≤ 0,999…. Em palavras: todo número grafado com notação posicional decimal converge para algum número real.


❏ §91-3. No fim das contas, vai chegar à primeira linha da expressão a seguir; basta desenvolvê-la. (Não se esqueça de que rs não significa r multiplicado por s, mas r · 10 + s · 1, pois r, s são dígitos do sistema posicional decimal.)

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Isso significa que 0,151515… = 15/99 = 5/33, que 0,373737… = 37/99, e que, mais uma vez, 0,999999… = 99/99 = 1.


❏ §91-4. Eis uma maneira de começar os trabalhos:

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Mais uma vez, faça a = 1/103 e use o resultado do formulário §91-1. Na prática, compare as duas séries, e veja como a diferença entre as duas é de uma unidade (a0 = 1). Sendo assim:

f-69

Três exemplos práticos: 0,456456456… = 456/999 = 152/333; 0,838838838… = 838/999; e, uma vez mais, 0,999999999… = 999/999 = 1.


❏ §91-5. Um jeito de escrever a conjectura:

O número decimal 0,d1d2d3···dn… é uma dízima periódica cujo período é d1d2d3···dn, onde os algarismos d1, d2, d3, …, dn ∈ {0, 1, 2, …, 9}. (Por exemplo, na dízima periódica 0,637637637…, o período é 637, e d1 = 6, d2 = 3, e d3 = 7.) Sendo assim, a fração correspondente à dízima periódica 0,d1d2d3···dn… é:

f-70

Prova. Agora vai usar algumas propriedades comuns das potências de 10 e da notação posicional decimal, inclusive o fato de que 102 – 1 = 99, 103 – 1 = 999, 104 – 1 = 9.999, 105 – 1 = 99.999, etc.

f-71


❏ §91-6. Veja em primeiro lugar uma resolução longa, mas na qual você está o tempo todo no controle da situação; mais uma vez, vai usar o resultado do formulário §91-1.

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Para lidar corretamente com os expoentes dentro dos colchetes, o que deve fazer é reconhecer que está lidando com uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 5, cuja diferença é 2, e cujo enésimo termo é 5 + (n – 1)·2 = 2n + 3. (Eis uma aplicação prática das progressões aritméticas!)

Agora uma resolução mais curta, mas ainda assim não a mais curta possível (que verá logo em seguida). Nessa resolução, vai usar o resultado do problema §91-5 e o sempre muito útil recurso de multiplicar uma expressão por 1, o que não altera seu valor.

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E, por fim, a resolução mais curta possível, que você deve ter visto durante o ensino médio. Embora seu professor no ensino médio não tenha dito nada, essa resolução só funciona porque o teorema §91-2 é verdadeiro, e te permite subtrair o limite de duas séries infinitas um do outro.

Em primeiro lugar, faça x = 0,242424…. Daí:

f-75

Talvez queira saber: “Por que eu preciso do teorema §91-2 para realizar uma operação tão natural, ou tão lógica?” Como verá na seção 95, quando está mexendo com séries infinitas, não está mexendo com algo natural, e portanto não deve confiar nem na intuição nem na aparência de ordem e lógica.


❏ §92-2. Use o teste do quociente (teorema §91-6). Para usar a mesma notação do teorema, faça {an} = {1/n!}. Note que, para todo n inteiro positivo, 1/n! é positivo. Sendo assim, com N inteiro positivo infinito:

f-109

Invoque o teorema e diga que a série {1/n!} converge absolutamente.

Para qual valor ela converge? Essa é outra história. De modo geral, é mais fácil dizer para qual valor uma sequência converge do que dizer para qual valor a série dessa sequência converge (se é que converge). No próximo capítulo desta série sobre cálculo infinitesimal, no qual vai estudar polinômios infinitos, verá como provar que a série {1/n!} converge para e – 1.


❏ §92-3. Neste caso, basta usar a resposta do problema anterior e aplicar o teorema §91-2: visto que a série ∑(1/t!) converge, ∑(2/t!) = 2 ∑(1/t!) também converge.


❏ §92-4. Na linha a seguir, mais uma vez vai usar o teorema §91-2.

f-110

Agora a questão é saber se a série à direita converge. Aplique o teste do quociente: faça aN+1 = 1/(N + 1) e aN = 1/N. (Com N inteiro positivo infinito.) Daí:

f-111

Bem, aN+1/aN tem a mesma parte padrão para todo N inteiro positivo infinito, mas essa parte padrão não é menor que 1 nem maior que 1, e por isso não pode invocar o teste do quociente.

Recorra à contrapositiva da recíproca do teste da integral (teorema §91-7, mais problema §92-16). Talvez tenha notado que 1/n é a derivada de ln(n), e de fato pode usar a definição de logaritmo natural para resolver esse problema: para usar a mesma notação do teorema, faça f(n) = an = 1/n. Essa função f é monótona e estritamente decrescente, ou seja, é não crescente como pede o teorema. Mas daí o que significa ∫[1, N]f(x)dx?

f-112

Como já viu antes, lnx é uma função estritamente crescente, pois sua derivada 1/x é sempre positiva (já que, no sistema dos números reais, só pode definir lnx para valores positivos de x). Em outra palavras, lna < lnb se a < b; portanto, para todo número real positivo r, por maior que seja, lnr < lnN, já que r < N. E então, graças à contrapositiva da recíproca do teste da integral, a série ∑(1/t) diverge para o infinito, de modo que 2 ∑(1/t) = ∑(2/t) também diverge.

Uma curiosidade sobre a série ∑(1/n): ela diverge muito devagar. Para que o somatório ultrapasse 10, você tem de adicionar as primeiras 12.000 parcelas!


❏ §92-5. Basta começar com o teorema §91-2 e usar a resolução do problema anterior:

f-113

Visto que lnN é um hiper-real infinito, a série diverge para o infinito. Aliás, para toda constante real positiva r, por maior que seja, a série ∑[1/(rn)] também diverge para o infinito, pois ao dividir um hiper-real infinito por um número real, por maior que seja, você obtém um hiper-real infinito.


❏ §92-6. Bem, sen(πn) = 0 para todo valor inteiro positivo de n. Logo, a série converge, e não só isso: converge absolutamente para zero.


❏ §92-7. Em primeiro lugar, vale a pena olhar os primeiros termos da série.

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Essa série provocou muita polêmica no passado, até que os matemáticos puderam inventar a definição moderna: uma série converge se a sequência {Sn} de somas parciais também converge. Caso contrário, diverge. Neste caso, S1 = –1, S2 = 0, S3 = – 1, S4 = 0 e, de modo geral:

f-115

Assim, para todo N ímpar infinito, SN = –1 e SN+1 = 0, isto é, SNSN+1. Portanto, a série infinita ∑cos(πn) diverge por definição: não diverge para o infinito, mas diverge.

Sobre a polêmica entre nossos antepassados matemáticos, veja a seção 95 a seguir.


❏ §92-8. Chame de an o n-ésimo termo da série. Talvez tenha tentado primeiro o teste do quociente; se tentou, viu que não dá certo, pois o que obtém é um hiper-real infinito. (O teorema pede, explicitamente, um quociente aN+1/aN cuja parte padrão seja a mesma para todo N inteiro positivo infinito.) Apesar disso, o teste do quociente é um bom primeiro passo:

f-141

O valor das primeiras parcelas só diminui: a1 = 1/(1.000.000), a2 = 2/(1.000.000.000.000), a3 = 6/(1.000.000.000.000.000.000), etc. Contudo, note duas coisas importantes: enquanto n é um inteiro positivo finito, as parcelas nunca se igualam a zero, pois está sempre dividindo um número real positivo por um número real positivo, o que resulta num número real positivo, por menor que seja; e, principalmente, para obter a parcela an+1, o que você faz é multiplicar o numerador da parcela an por n + 1 e o denominador da parcela an por 106. Em outras palavras, de parcela para parcela, o que você faz é multiplicar o numerador da parcela anterior por um fator que só aumenta e multiplicar o denominador da parcela anterior por um fator fixo.

Ora, existe um momento em que n + 1 é maior que 106:

f-142

Então, até n < 99.999, para obter o valor de an+1, você multiplica an por um fator menor do que 1, e com isso diminui o valor de an. Contudo, a partir de n = 1.000.000, para obter o valor de an+1, você multiplica an por um fator maior do que 1, e com isso aumenta o valor de an. E, a partir dessa etapa, o valor de cada parcela só aumenta, porque esse fator maior do que 1 só aumenta. Por exemplo, quando n = 199.999.999: para obter a parcela a200.000.000, você deve multiplicar a parcela a199.999.999 por 200.

Sendo assim, está lidando com um somatório infinito de termos positivos cujos termos só diminuem de valor até n < 99.999 e só aumentam de valor a partir de n > 99.999, e claramente um somatório como esse diverge.


❏ §92-9. Pelo teste do quociente, a série converge. Faça aT+1 = (T + 1)/2(T+1) e aT = T/2T, onde T é um inteiro positivo infinito. Daí o quociente aT+1/aT vale:

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Visto que a parte padrão do quociente é a mesma para todo T infinito, e que é menor do que 1, a série converge absolutamente.


❏ §92-10. Pelo teste do quociente, a série converge absolutamente. Às contas, com a mesma notação da resolução anterior:

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❏ §92-11. Pelo teste do quociente, a série converge absolutamente. Nas linhas a seguir, N é um inteiro positivo infinito.

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❏ §92-12. Pelo teste do quociente, a série converge absolutamente. Nas linhas a seguir, T é um inteiro positivo infinito.

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Pausa: para que consiga avançar a partir dessa linha, precisa desenvolver o produto (T + 1)T. Só que T é um inteiro positivo infinito! Como sair dessa enrascada? Um jeito é criar notação que esconda complexidade. Faça E(n) a expressão que você obtém ao expandir o produto (x + 1)n, só que retire de E(n) a parcela de maior expoente, que é xn. Assim, visto que (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, daí E(2) = 2x + 1 e (x + 1)2 = x2 + E(2); visto que (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1, daí E(3) = 3x2 + 3x + 1 e (x + 1)3 = x3 + E(3). E assim por diante: (x + 1)n = xn + E(n). Note que, se x é positivo, xn e E(n) são ambos positivos. Agora pode continuar.

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A expressão na penúltima linha é um infinitésimo porque você dividiu 1 por (T + 1 + “alguma coisa”); em primeiro lugar, essa coisa é positiva, e além disso ou ela é um hiper-real finito ou é infinito. Não importa: nos dois casos, o que você tem em mãos é um infinitésimo, e com isso o problema está resolvido.

Mesmo sistemas de computação algébrica se atrapalham com essa série infinita.


❏ §92-13. Encare x como um número real qualquer, e daí, pelo teste do quociente, a série converge absolutamente. Nas expressões a seguir, N é um inteiro positivo infinito. Tem de usar o símbolo de valor absoluto porque x talvez seja negativo e N, um inteiro ímpar.

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Se já estudou esses assuntos antes, talvez tenha reconhecido essa série: ela equivale a exp(x) – 1. Verá o porquê no próximo capítulo.


❏ §92-15. Neste caso, o teste da integral é o mais simples.

Você pode obter os termos da sequência {1/n3} por meio da função f(x) = 1/x3, com x real. Visto que a função derivada f’(x) = –(3/x4) é negativa para todo x maior que zero, a função f é estritamente decrescente no intervalo (0, ∞), e portanto pode usar o teste da integral. Nas linhas a seguir, N é um inteiro positivo infinito.

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O valor padrão da integral é finito e é o mesmo para todo inteiro positivo infinito N; portanto invoque o teorema §91-7 e diga que a série converge.

stock-illustration-94533089-wow-reaction-man-fear-retro-comic-pop-artNote a curiosidade: a série infinita ∑(1/t3) converge para um número ≤ 1,5, mas a série ∑(1/t) diverge para o infinito. Ora bolas: tanto na sequência {1/t3} quanto na sequência {1/t}, cada termo é sempre maior que zero. Apesar disso, na série ∑(1/t3), você adiciona tantos novos termos quantos queira e não consegue cobrir a distância até o limite; mas, na série ∑(1/t), sempre pode adicionar um certo número de termos suficiente para ultrapassar o valor de qualquer limite, por maior que seja. Se pensar nisso por uns minutos, vai se convencer de que é um fato  matemático extraordinário.


❏ §92-16. Você pode obter cada termo da sequência {1/(tt)} com a função f(x) = 1/(xx); para valores positivos de x, a função derivada f’(x) = –[(3√x)/(2x3)] é sempre negativa, ou seja, f é estritamente decrescente no intervalo (0, ∞). Logo, use o teste da integral. Nas linhas a seguir, N é um inteiro positivo infinito.

f-125

 

Sendo assim, a série converge.


❏ §92-17. Use a figura §91-1 como ponto de partida, mas desloque as barras uma unidade para a direita, como vê na figura abaixo. O que deve obter é uma sequência de valores (áreas) a1, a2, a3, …, e a soma de tais áreas ou é maior que a área da integral de f ou, no mínimo, é igual, isto é:

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Teste da Integral

Com esse recurso, você prova a recíproca do teste da integral: suponha que pode criar uma função integrável f, monótona não crescente, tal que f(n) = an para todo n inteiro positivo; daí, se ∑at converge, o valor ∫[1, N]f(x)dx é finito para todo N inteiro positivo infinito.

Mas não é bem essa afirmação na qual está interessado. Ao contrário, a contrapositiva da recíproca é mais útil: suponha que pode criar uma função integrável f, monótona não crescente, tal que f(n) = an para todo n inteiro positivo; daí, se ∫[1, N]f(x)dx é infinito para algum N inteiro positivo infinito, a série infinita ∑at diverge. Essa afirmação é verdadeira porque, se a recíproca da regra de integral é verdadeira (e é, como viu pela figura acima), então a contrapositiva da recíproca também é.

Curso vapt-vupt de implicação, recíproca de uma implicação, e contrapositiva de uma implicação. Uma implicação é uma afirmação do tipo AB, na qual A e B são afirmações que ou são verdadeiras ou são falsas. (Existem várias maneiras de ler a expressão AB; a duas mais comuns são: “A implica B” e “se A, então B”.) Pode pensar na implicação AB de duas maneiras: como a ajuda de conjuntos e com a ajuda de tabelas-verdade:

A implica B

 

A

B

A B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Nessa tabela, 0 significa “falso”, “inválido”, ou “não pertence ao conjunto acima”; 1 significa “verdadeiro”, “válido”, ou “pertence ao conjunto acima”. Ela diz que, se puder provar que a afirmação A é falsa (“o elemento x não é elemento do conjunto A ⊆ B”), não pode dizer nada sobre B, e a implicação é válida por definição; contudo, se puder provar que B nunca é falsa se A for verdadeira (“o elemento x é elemento do conjunto A ⊆ B”), então a implicação é verdadeira (“e portanto o elemento x também é elemento do conjunto B”).

No caso dos problemas §92-15 e §92-16, pode encarar a afirmação A como sendo feita de duas partes, ligadas pelo conectivo “e”: “A função f é uma função integrável, monótona não crescente, tal que f(n) = an para todo n inteiro positivo” & “O valor de ∫[1, N]f(x)dx é finito para todo N inteiro positivo infinito.” Quanto à afirmação B, ela é: “A série infinita ∑at converge.” Assim, (A1 & A2) → B é o teorema do teste da integral: “Se a função f é uma função integrável, monótona não crescente, tal que f(n) = an para todo n inteiro positivo, e se também o valor de ∫[1, N]f(x)dx é finito para todo N inteiro positivo infinito, então a série infinita ∑at converge.”

A contrapositiva de AB é ¬B → ¬A. (Leia ¬B → ¬A assim: “não B implica não A”.) A recíproca de AB é BA. E a contrapositiva de BA é ¬A → ¬B. O interessante sobre a contrapositiva de uma implicação é que, se puder provar que a implicação é verdadeira, então sua contrapositiva também é — e vice-versa. Veja o caso BA e ¬A → ¬B:

B

A

B A

¬A

¬B

¬A ¬B

1

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

Como pode ver, a coluna BA é idêntica à coluna ¬A → ¬B, isto é: visto que pôde provar que B implica A, pôde ao mesmo tempo provar que não A implica não B. Se quiser, escreva isso assim: (BA) ⇔ (¬A → ¬B), ou “B implica A se, e somente se, não A implica não B.”


❏ §92-18. A série infinita ∑1/(tp) converge para todo p > 1 e diverge para todo p ≤ 1.

Em primeiro lugar, desenvolva a expressão ∑1/(t p) para ter uma ideia melhor do problema.

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Quando p = 1, o problema se transforma num problema famoso: a série harmônica ∑(1/t) converge ou diverge?

Para um problema famoso, há também uma resolução famosa. Estude a série a seguir.

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Essa série é ilimitada. Faça Sn a soma dos n primeiros termos, e daí obterá S1 = 1, S2 = 1 + 1/2, S4 = 2, S8 = 2 + 1/2, S16 = 3, S32 = 3 + 1/2 e, em geral, se fizer N um inteiro positivo infinito:

f-129

 

Portanto, o valor de S2^N é infinito, e pelo teorema §91-3, a série diverge. Agora, cada um dos termos dessa série ou é igual ao termo correspondente da série harmônica ∑(1/t), ou é menor. Assim, pelo teste da comparação, a série harmônica também diverge.

Estude agora o caso em que p > 1. Para usar o teste da integral, primeiro defina a função f a função a seguir:

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Ela é contínua e integrável para todo x ≠ 0. Mas você gostaria que ela fosse monótona não crescente, e pode descobrir como fazer isso ao tirar a derivada de f e estudar as condições pelas quais f’ é não crescente.

f-131

Se x é positivo, xp+1 é positivo para todo valor de p; logo, para que f’(x) < 0 para todo valor de x > 0, p deve ser positivo. Já sabe, contudo, que p ≠ 1. Sendo assim, por enquanto, p > 0 e p ≠ 1.

E quanto à integral ∫[1, N]f(x)dx?

f-132

Se p – 1 < 0, isto é, se p < 1, daí 1/Np–1 = N1–p, um hiper-real infinito: se o valor da integral ∫[1, N]f(x)dx diverge para o infinito, pode invocar a resolução do problema §92-16 e dizer que a série ∑1/(t p) diverge.

Se p – 1 > 0, isto é, se p > 1, daí 1/Np–1 é um infinitésimo, e a integral ∫[1, N]f(x)dx converge para –1/(1 – p), que é um real positivo para todo p > 1. Sendo assim, pelo teste da integral, a série ∑1/(t p) converge.


❏ §93-1. Mais uma vez, vai usar o resultado que expressou no formulário §91-1.

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Se quiser, veja esse resultado como mais uma maneira de grafar a essência paradoxo de Zenão: ao percorrer metade do caminho, falta a outra metade; ao percorrer a metade mais um quarto, falta o outro um quarto; ao percorrer a metade mais um quarto mais um oitavo, falta o outro oitavo; etc. A soma de todas as metades que já percorreu com as metades que falta percorrer perfazem o caminho completo.

Lembrete: Se você pode ver a unidade como sendo o somatório de infinitas parcelas diferentes de zero, pode ver qualquer número da reta real como sendo o somatório de infinitas parcelas diferentes de zero.


❏ §93-2. Direto às contas:

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Tem autorização para fazer a passagem da primeira linha para a segunda, e colocar o fator 2 em evidência, graças ao teorema §91-2.


❏ §93-3. Neste caso, pode organizar as parcelas de duas em duas. [Lembrete: pode reorganizar as parcelas porque já sabe que a série converge; o argumento é muito semelhante ao que usaria para provar que 0,d1d2d3d4d5(10) converge.]

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❏ §93-4. Direto às contas:

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❏ §93-5. Direto às contas:

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Aqui você pode admirar a flexibilidade da mente humana, quando comparada a uma máquina, pois, embora a resolução desse problema seja breve, a calculadora científica HP 50g não consegue realizar esse somatório infinito no qual as parcelas trocam de sinal conforme o expoente é par ou ímpar.


❏ §93-6. Às contas.

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❏ §93-7. Às contas. Desta vez, o redator deixou um pouco mais claro o passo indutivo pelo qual você troca duas parcelas contíguas por uma parcela só.

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❏ §93-8. Às contas:

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Se já não reparou nisso antes, repare agora: com uma base negativa, a parte fracionária de um número talvez tenha sinal positivo; com uma base positiva, a parte fracionária desse mesmo número talvez tenha sinal negativo. Esse contraste faz cócegas no pensamento.


❏ §93-9. Às contas, e elas até que são simples.

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❏ §93-10. Às contas:

f-93

Os dois últimos resultados sugerem uma conjectura: a de que, se n ≥ 2 é um inteiro, 0,n.n.n.n.n.··· = 1/(n – 1). Às contas:

f-94

Sim, a conjectura é verdadeira, e então pode expressá-la como um teorema:

Teorema §94-1. Se n ≥ 2 é um inteiro, e se x = 0,n.n.n.n.n.··· é um fracimal infinito, então x converge para 1/(n – 1).


❏ §93-11. Esse é mais difícil. Às contas:

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Já viu na resolução do teorema §91-2 que pode adicionar duas sequências infinitas. O segredo de resolver bem este problema §93-11 é ver a linha do formulário acima como um somatório bem comportado de duas duas sequências infinitas bem comportadas.

Comece colocando primeiro todas as parcelas em que n é ímpar, e depois disso todas as parcelas em que n é par. (Ou vice-versa, não importa.)

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Visto que 1/3k–1 vale a mesma coisa que 3/3k, arrume melhor o primeiro somatório infinito e siga adiante com as contas.

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Talvez fique desconfiado: “Será que existe aqui uma conjectura a ser provada? Pois veja as coincidências: 4 = 2 · 2, ou 4 = 3 + 1; além disso, 5 = 2 + 3 ou 5 = (2 · 3) – 1.” Sim, existe um teorema aqui, cuja prova é quase um espelho da resolução que acabou de verificar.

Teorema §94-2. Se p, q são dois inteiros positivos tais que pq ≠ 1, daí as afirmações a seguir são verdadeiras, isto é, o fracimal infinito 0,p.q.p.q.p.q.··· converge para (q + 1)/(pq – 1).

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❏ §93-12. Depois do problema anterior, esse ficou fácil. Às contas.

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{95}/ Um pouco de história e umas poucas sutilezas

Examine mais uma vez a série do problema §92-6:

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Agora, reúna os termos dois a dois assim: os dois primeiros, o terceiro e o quarto, o quinto e o sexto, e, em geral, se t é um inteiro positivo ímpar, o termo t e o termo t + 1.

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E parece que a série infinita ∑cos(πn) vale zero.

Contudo, reúna agora os termos assim: você deixa o primeiro à parte e, a partir daí, reúne os próximos dois a dois.

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Agora parece que a série infinita ∑cos(πn) vale –1.

E, por fim, faça o seguinte: troque todos os termos positivos e negativos de lugar; por exemplo, passe cada um dos termos positivos para a posição à esquerda do termo negativo à sua esquerda. A série infinita vai se transformar em 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ···. Separe o primeiro termo e adicione os demais dois a dois:

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Agora parece que a série infinita ∑cos(πn) vale +1.

No passado, especialmente no começo do século 19, os matemáticos discutiram isso com fervor. Eles examinavam uns exemplos e diziam: “Parece que, com as séries infinitas, a adição perde a propriedade associativa.” Depois examinavam outros exemplos e diziam: “Parece que também perde a propriedade comutativa.”

(Propriedade associativa da adição: Se a, b, c são números reais, (a + b) + c = a + (b + c). Propriedade comutativa da adição: a + b = b + a.)

Em 1826, numa carta, o famoso matemático norueguês Niels Henrik Abel escreveu:

Não existe na matemática uma única série infinita cujo valor possamos determinar de forma rigorosa.

Mais tarde, depois de pensar e de conversar muito, os matemáticos atinaram com o que estava acontecendo: nenhum objeto da matemática têm significado por si só. É preciso que o homem atribua significado a cada símbolo, a cada operação, a cada relação — deliberadamente. Portanto, séries infinitas não podiam ter significado por si só. O matemático precisava determinar o modo pelo qual atribuir significado a uma série infinita. E foi assim que surgiu a definição que estudou neste capítulo: uma série infinita ∑at converge para o número real a se, e somente se, a sequência {Sn} de somas parciais finitas converge para a. Essa definição é muito boa porque, a cada rodada, para calcular o valor de Sn, você lida com um somatório finito, e pode rearranjar as parcelas como já está habituado. Com essa definição, a série ∑cos(πn) diverge, pois a sequência {Sn} = –1, 0, –1, 0, –1, 0, … diverge.

Eis a lição a tirar dessa história: ao lidar com séries infinitas, tome cuidado, pois a propriedade associativa da adição, assim como a propriedade comutativa, só valem para somatórios com número finito de termos. (Valem também para séries as quais você sabe, de antemão, que convergem; pois, se uma série infinita converge, é claro que não pode fazê-la divergir ao rearranjar os termos.)

Um aviso necessário: Existem outras maneiras de atribuir significado a séries infinitas, que são úteis na resolução de certas classes de problemas. Numa dessas definições, a série ∑cos(πn) vale –(1/2).

* * *

Talvez queira saber como foi que surgiu a ideia de determinar o limite de uma série por meio do limite da sequência de somas parciais.

Ela surgiu mais ou menos assim: se você tem em mãos a sequência S1, S2, S3, …, Sn, pode facilmente produzir uma sequência a1, a2, a3, …, an tal que S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, …, Sn = a1 + ··· + an. Basta fazer como se segue:

f-136

Então, começando com a sequência S1, S2, S3, …, Sn, você facilmente produz a sequência S1 = a1, S2S1 = a2, S3S2 = a3, S4S3 = a4, …, SnSn–1 = an.

Ao estudar essas linhas, verá com clareza o que os matemáticos do século 19 pretendiam: se a sequência infinita {Sn} converge para um número real a, a diferença SkSk–1 se torna cada vez menor (em valor absoluto), isto é, a sequência infinita {an} tende a zero e a série infinita ∑an converge.

* * *

stock-photo-40385250-multiethnic-hands-holding-text-wow-with-exclamation-pointNo sistema dos números hiper-reais, uma série infinita é uma sequência infinita de números hiper-reais, e cada número hiper-real, por sua vez, é uma sequência infinita de números reais.

Percebeu a beleza e a complexidade dos objetos com os quais lidou neste capítulo? Pois lidou com sequências infinitas de sequências infinitas, e com somatórios infinitos de sequências infinitas!

* * *

Considere a sequência infinita {(1/2)n} = 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, …. Você já sabe que ela converge para zero pela direita, pois o primeiro termo da sequência vale 1/2 e os termos subsequentes valem cada vez menos que 1/2.

Contudo, se quiser, pode plotar o gráfico da função f(x) = (1/2)x. Veja como fica:

save-2

Note como os valores de f(x) se aproximam do eixo y = 0, o eixo das abscissas, por cima. É algo em que deve pensar: quando usa uma função f(x) para visualizar os valores de uma sequência {an}, se o gráfico de f(x) se aproxima de certo valor y = a por cima, significa que a sequência {an} se aproxima de a pela direita; se o gráfico de f(x) se aproxima de a por baixo, significa que a sequência {an} se aproxima de a pela esquerda.

* * *

stock-illustration-59253918-illustration-of-toolbox-with-toolsReveja a definição §81-1: “Uma sequência infinita é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos e cuja imagem é um subconjunto dos reais.”

E daí, umas linhas depois, o redator está dizendo que talvez o valor do termo aN da sequência é um infinitésimo positivo ϖ, e que, por causa disso, a sequência converge para zero. Ora bolas — de que modo ϖ faz parte da imagem da função, se a imagem da função é um subconjunto dos reais e ϖ é um número não padrão?

Na verdade, ϖ não pode fazer parte dos reais. Contudo, neste curso de cálculo, você está usando o sistema dos números hiper-reais apenas para realizar descobertas sobre números reais. Ele é uma ferramenta intelectual. Por exemplo: se {an} é uma sequência estritamente decrescente, e se aN = ϖ para algum N inteiro positivo infinito, então você sabe que an ≠ 0 para todo n inteiro positivo finito, por maior que seja o valor de n, pois um termo infinitamente à direita de an, que é o termo aN, ainda não se igualou a zero. Visto que os termos de {an} só diminuem de valor, e visto que aN = ϖ, não pode existir um termo an que seja igual a zero.

Essa é a força absurda do teorema de Łós: se pode usar lógica de primeira ordem para compor uma afirmação verdadeira no sistema dos reais, ela é verdadeira no sistema dos hiper-reais, e vice-versa, e de repente o infinitamente grande e o infinitamente pequeno estão ao alcance da álgebra mais corriqueira. {FIM}


Aviso. Caso veja algum erro neste capítulo ou queira tirar uma dúvida, escreva para o redator:

<ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com>.

A matemática com um toque de charme

Danica McKellar


{1}/ O porquê desta entrevista

A atriz Danica McKellar, a Winnie Cooper da série de TV Anos Incríveis, foi estudar matemática na Universidade da Califórnia em Los Angeles (UCLA) logo depois que a série acabou, e percebeu que muitas meninas evitam a matemática para evitar o rótulo de nerd. Teve a ideia de escrever livros sobre matemática num tom de revista para adolescentes, e soube de meninas que levaram seu livro escondido na mochila para mostrar às amigas na escola.


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{2}/ Introdução: bom uso de holofotes

De vez em quando Danica recebe e-mails com histórias peculiares: uma leitora conta que levou para a escola, às escondidas, o livro Math Doesn’t Suck (A Matemática Não É um Saco, em tradução livre). Queria mostrá-lo às amigas, pois o professor não pretendia autorizar um livro cujo título incluía a palavra matemática tão perto da palavra saco. Esse é o primeiro de quatro livros que Danica publicou desde 2008. As coisas melhoraram, e ela já não recebe mais mensagens de diretores de escola dizendo: “Olha, não deixamos as crianças vestir camisetas com a palavra suck; como vamos deixá-las ler seu livro?” Ri ao contar como se sentia com histórias assim: “Uau, se as meninas andam com um livro de matemática às escondidas, é porque estou fazendo alguma coisa certa.”

Quando começou a planejar o primeiro livro, tinha duas evidências em mente: por volta dos 12 anos, as meninas querem ser bonitas e populares, e passam a dar crédito ao estereótipo de que, para combinar, devem parecer burras. Nessa mesma época, começam a estudar conceitos matemáticos mais complicados e daí até desistir da matéria são dois palitos. Isso quase aconteceu com Danica na sétima série, não porque quisesse ser bonita e popular, mas porque ficava confusa com as explicações do professor. Porém, na oitava série, uma nova professora dava aulas de um jeito que Danica entendia e com o qual se divertida. Foi quando descobriu que entender matemática tem algo a ver com o modo como a explicam.

Mais tarde se formou em matemática na UCLA e chegou a um resultado da física matemática conhecido na mídia como teorema Chayes-McKellar-Winns. Mas deixou a matemática pura para voltar à vida de atriz e aproveitou os holofotes para colocar a matemática em cena.


{3}/ A entrevista em si

math doesn't suckVocê sempre gostou de matemática?

Sempre. Mas aos 12 anos tinha um professor que não sabia ensinar a matéria. Ficava confusa e assustada com as aulas e, como a maioria dos alunos, pensava: “O professor sabe o que faz e eu não sou inteligente o suficiente para entendê-lo.” Mas logo depois tive uma professora que fazia a mesma matéria assustadora ser divertida e factível. De repente, não precisei mais me sentir mal comigo mesma, porque apesar do trabalho, era um trabalho divertido e que tinha significado. Essa professora me mostrou que, quando se trata de matemática, a forma de explicar faz diferença; é como uma língua estrangeira que precisamos traduzir de forma divertida e adequada para que as crianças a entendam.

Entrei na UCLA para estudar cinema, mas me inscrevi numa aula de cálculo de múltiplas variáveis e fui tão bem que o professor me disse: “Você tem talento para a matemática, deveria fazer o curso.” Cogitei estudar cinema e matemática ao mesmo tempo, mas no 2º ano vi que não aproveitaria bem os dois cursos. Fico feliz por ter optado pela matemática; eu era boa naquilo, o que me deixava impressionada, e eu me sentia bem comigo mesma.

Já vivenciou preconceito por causa de estereótipos?

As pessoas a meu redor sempre me apoiaram, diziam que poderia fazer o que quisesse e que era inteligente e capaz. Nunca me disseram que não poderia fazer matemática por ser menina. Mesmo assim me sentia incapaz de aguentar a matemática universitária. Olhando agora, acho que fui vítima do mesmo estereótipo de que muitas meninas ainda são hoje. Apesar do incentivo na minha vida pessoal, o mundo sustenta essa ideia de que garotas não são tão boas em matemática quanto garotos e, com essa ideia na cabeça, elas mudam a forma como pensam sobre si mesmas.

Para mim, estudar e ser boa de matemática me deu confiança; era um mérito que não tinha nada a ver com Anos Incríveis. Quando entrei na UCLA, tínhamos terminado a última temporada da série há pouco tempo [a série começou quando Danica tinha 12 anos]. Muitos pequenos atores ficam deslocados quando terminam um trabalho tão longo e se perguntam: “Quem eu seria se não tivesse feito esse trabalho?” Somos admirados por causa de um personagem e quando o programa termina, não sabemos quem realmente somos, se temos outro valor como pessoa.

Quando me formei, voltei a atuar, mas sentia saudade da matemática. Comecei a notar que muitas pessoas se espantavam por eu ter feito matemática. Era um assunto assustador, principalmente para as garotas, e eu tinha ideias de como torná-lo divertido. Também sei que a adolescente não precisa ser atriz para questionar a si mesma. Com os livros, pude mostrar que a matemática é uma matéria desafiadora, mas que, ao provar a si mesma que pode resolver um problema, a menina aprende que é mais forte e inteligente do que pensava. É como se desse um presente para si mesma, que ninguém nunca poderá lhe tirar. Essa é minha parte favorita de escrever livros — não é ensinar garotas a tirar nota máxima em matemática (o que também é ótimo), mas o real valor é que essas garotas construam algo para si mesmas que vai durar a vida toda.

Girls Get CurvesComo escolheu os temas?

Primeiro comecei uma pesquisa e vi que geralmente aos 12 anos as meninas começam a prestar mais atenção em si mesmas e nos estereótipos de como uma garota deve ser. Nos Estados Unidos, muitas meninas têm medo de que, se forem boas em matemática, serão excluídas e tachadas de nerd. Eu queria mostrar que não precisavam escolher entre ser inteligente e ser bonita e popular, por isso produzi meus livros no estilo das revistas para adolescentes. Também queria mostrar que estudar matemática exercita o cérebro e nos faz tomar decisões mais acertadas sobre tudo, seja na carreira ou sobre um paquera.

As meninas começam a se afastar da matemática mais ou menos no ensino fundamental 2, por isso escrevi o primeiro livro para esse público-alvo. Quando o livro saiu, eu não esperava tanto sucesso e fiquei muito empolgada. A editora pediu mais livros, então escrevi Kiss My Math, que aborda conceitos de pré-álgebra e, em seguida, Hot-x: Algebra Exposed, sobre álgebra 1. Depois o passo seguinte na sequência de tópicos era abordar a geometria do ensino médio, então escrevi Girls Get Curves: Geometry Takes Shape.

Todos são sobre matemática, mas contêm mensagens sobre como construir uma boa autoestima. É difícil ser adolescente e eu também passei por momentos em que poderia ter usado esses conselhos. No livro sobre geometria, aproveito as ideias de curvas e formas para falar sobre como lidar com a própria aparência. Isso não significa engordar o quanto puder nem se preocupar em ser perfeita (seja lá o que isso signifique), mas tomar conta da própria saúde, fazer exercícios, comer de forma saudável. Sem, contudo, se preocupar com cada pequeno detalhe. É ter uma vida equilibrada.

Qual livro deu mais trabalho?

Trato de todos os conceitos com precisão matemática, mas de forma divertida. No livro de geometria, mostro o conceito de prova, dou exemplos e provo teoremas bem importantes na geometria do ensino médio, além de mostrar como funciona o raciocínio lógico. Talvez esse tenha sido o mais desafiador, porque tinha tópicos muito diferentes. Nos anteriores, era como se um fosse puxado pelo outro, mas o primeiro foi o que mais demorei para escrever, porque tinha de pensar em toda a estrutura, nas ilustrações, nos elementos:

— Hum… [faz um barulhinho de quem tem uma ideia] Acho que poderia colocar o desenho de uma menina aqui.

— Hum… [faz o barulho de novo] Vamos ver, talvez seja legal colocar um quiz sobre personalidade.

Nesse processo sentia como se conversasse com as leitoras, mas num tempo diferente. Escrevia o livro e, depois de um ano, recebia um e-mail agradecendo pela ajuda e até hoje recebo mensagens sobre o primeiro. Sinto que as leitoras são minhas aluninhas, mesmo não conhecendo a maioria delas [risos].

Nunca pensou em dar aulas?

Já ensinei colegas algumas vezes, mas passava metade do tempo falando sobre Anos Incríveis e sobre atuação, então não era muito produtivo [risos]. Era divertido, mas não sei se faria sentido ser professora, acho que consigo alcançar mais pessoas escrevendo livros do que se estivesse numa sala de aula.

Por que você acha que as meninas se interessam menos por matemática?

É uma questão social. Garotas são criadas para acreditar que o maior valor que têm é a aparência: saber se comportar, se maquiar, se vestir. Isso é importante, mas é apenas a cobertura do bolo; literalmente, é decoração. Desde pequenas escutam: “você é tão bonita” ou “que vestidinho lindo”. Mas ninguém lhes diz, ou não diz o suficiente, que o mais importante é o interior. É claro que crianças são lindas, mas não é bom enfatizar isso demais, senão acham que esse é seu único valor. Elas crescem rodeadas de propaganda, revistas e reality shows que as faz pensar: ser bem-sucedida é ser sexy, e, às vezes, é ser burra e sexy. Então ficam obcecadas pelo peso, pela pele, pelo rosto, e não em formar o caráter, a mente, coisas que as farão mais felizes na vida e na carreira.

Você tem talento especial para a matemática?

Conheci algumas pessoas que automaticamente entendiam os conceitos matemáticos, mas sempre tive de estudar e esse esforço é parte do valor que a matemática me deu. Eu sempre gostei de desafios, então adorava a sensação de superar essas dificuldades. Todos têm alguma coisa em que são melhores, por isso uma pessoa tem dificuldades diferentes do que outra em relação à matemática; contudo, todo mundo pode entendê-la melhor. A matemática não é algo do tipo: ou você nasceu para ela ou não. Gosto de enfatizar isso em meus livros: você tem o poder de melhorar seus conhecimentos matemáticos.

Estuda matemática todos os dias?

Sou mãe agora, tenho um garoto de 3 anos, e ainda atuo, então estou sem tempo para abrir meus livros. Enquanto escrevia o livro de geometria, passei todos os dias durante sete ou oito meses fechada no escritório. Meu filho tinha um ano e perdi a chance de passar tempo com ele, e não quero cometer esse erro de novo. Quando ele crescer mais, voltarei a me concentrar na matemática. Muita gente me pede para escrever um livro infantil (e talvez até seja menos trabalhoso), mas não sei, agora estou relaxando pela primeira vez na minha vida — sério! [risos] — e passando tempo com meu filho. Então, vamos ver; quem sabe no futuro faça um livro de matemática para crianças. {FIM}


Observações:

1. Esta é uma versão revisada de uma matéria que publiquei na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 35, pág. 16, dezembro de 2013. O filho de Danica, portanto, faz 5 anos este ano.

2. A reportagem é da jornalista Mariana Osone.

3. As fotos são do arquivo pessoal de Danica McKellar.

4. A série de TV Anos Incríveis foi transmitida no Brasil pela primeira vez pela TV Cultura, e fez sucesso.