Duas coisas bem diferentes: matemática e razão


“Então, você gosta de matemática?”

“Sim, gosto muito.”

“Nossa, então você deve ser um cara bem racional!”

Todo aquele que ama alguma área da matemática cedo ou tarde participa de um diálogo parecido com esse. Mas uma coisa não tem a ver com a outra — pelo menos não necessariamente. Um sujeito pode ser racional e gostar de matemática, ou pode ser irracional e não gostar. Até aí, nada de mirabolante. Mas também pode ser racional e não gostar de matemática, ou pode ser irracional e gostar.

Racional Irracional
Gosta de matemátca OK OK
Não gosta nem um pingo OK OK

Essa última afirmação exige algum tipo de justificativa, mas daí aparece o primeiro problema: por incrível que pareça, até hoje ninguém pôde conceber uma definição ótima, incontestável, do que é um agente racional. Se você procura o significado de “racional” num dicionário comum, acha algo nesta linha: (1) relativo à razão; (2) que se baseia num arrazoado, isto é, numa justificativa explícita. E se procura o significado de “razão”, acha algo assim: (1) capacidade de raciocinar; (2) argumento ou raciocínio que conduz à indução ou à dedução de algo. Mas “raciocinar”, segundo o mesmo dicionário, é “fazer uso da razão”, e “argumento” é “razão” ou então “raciocínio”. A coisa toda fica girando em círculos. Na arte da argumentação, isso tem nome: “petitio principii”, ou “petição de princípio”, que, entre filósofos, é mais ou menos equivalente a xingar a mãe.

Além disso, se procura o significado de “racional” em livros técnicos, como livros de lógica, a coisa toda já não gira mais em círculos, porém fica imensamente complicada — e insatisfatória. Segundo um desses livros (Logic, de Wilfrid Hodges), uma pessoa racional é aquela que, vivendo certa situação S0, mantém um conjunto de crenças as quais são todas verdadeiras em S0. É uma boa definição, mas os problemas logo aparecem, como o próprio Hodges reconhece: E se uma pessoa está vivendo certa situação S1, mas pensa que está vivendo a situação S0, e corretamente mantém um conjunto de crenças que são todas verdadeira em S0, embora não sejam todas verdadeiras em S1? Por exemplo: ela acorda de manhã e passa a tocar sua rotina como a toca todos os dias (S0), sem saber que foi abduzida por alienígenas na noite anterior e está vivendo numa espécie de simulador (S1). Ela é racional ou não? Se o leitor disser que sim, que é racional, pois não tem como saber que está num simulador, daí vem outra pergunta: E um doido, um sujeito que pensa que é Napoleão, e que mantém um conjunto de crenças que seriam todas verdadeiras se ele de fato fosse Napoleão? É racional ou não? Se o leitor disser que, desta vez, não é racional, pois o fato de que é Napoleão é falso, então por que a primeira pessoa é racional, já que o fato de que está vivendo um dia como outro qualquer também é falso? E por aí vai — não há fim à criatividade com que filósofos (incluindo lógicos) questionam conceitos importantes no dia a dia, incluindo o conceito de verdade.

Apesar dos questionamentos, todos os especialistas concordam num ponto: manter um conjunto consistente de crenças talvez seja inconclusivo, mas é bom indício de racionalidade. (Um conjunto de crenças é consistente se todas as crenças do conjunto são verdadeiras em certa situação possível S0.) É uma questão de sobrevivência: se uma família acredita que há um tigre faminto patrulhando as redondezas, não deve deixar as crianças desamparadas; se um sujeito acredita que certo membro de sua aldeia tenciona matá-lo, não deve deixá-lo se aproximar como se a amizade de infância continuasse a mesma. Ora, a matemática é ferramenta a serviço da consistência: um agente pode usar a matemática para detectar inconsistências em seu conjunto de crenças, e pode usá-la também para reformá-lo e torná-lo consistente.

Suponha, por exemplo, que certo professor P1 acredite no seguinte conjunto de crenças:

{A sala de aula contém cadeiras para 50 alunos. Hoje responderam à chamada oral 45 alunos. O zelador deve trazer mais 10 cadeiras para que não falte cadeira a nenhum aluno.}

Se há 50 cadeiras, e vieram 45 alunos, então sobraram 5 cadeiras vazias, presumindo que cada aluno ocupe uma e só uma cadeira, e que nenhuma cadeira seja ocupada por mais de um aluno, o que é uma presunção sensata. Portanto, não existe a necessidade de que o zelador traga nenhuma cadeira a mais. P1 está mantendo um conjunto de crenças inconsistente — está sendo irracional.

Está sendo irracional?

A matemática é ferramenta. Como toda ferramenta, pode ser usada ou deixada de lado. Uma pessoa pode ter uma chave de fenda, e talvez queira apertar um parafuso; mas pode apertá-lo com uma moeda, e deixar a chave de fenda onde está. De modo análogo, o professor P1 talvez seja professor de matemática, perfeitamente capaz de fazer a conta 50 – 45 = 5; mas ele gosta de olhar a sala e ver uma certa proporção de cadeiras vazias. Ele não tem perfeita consciência dos motivos, mas a verdade é que certa proporção de cadeiras vazias na sala o deixa mais calmo. Então, quando o número de cadeiras vazias lhe parece desproporcionalmente pequeno, ele, sem saber direito os porquês, pede mais dez cadeiras ao zelador. Se os alunos zombam dele e querem saber o motivo, fica irritado:

“Porque sim!”

Há alguma coisa dentro do professor P1 que o obriga a pedir mais cadeiras, e essa coisa não recorre à matemática. Muitos filósofos dizem que nossa alma (ou mente, ou espírito, ou software) é um sistema; ela é composta de partes. Nietzsche dá uma boa pista sobre esse problema no aforismo 117 de Além do Bem e do Mal: “A vontade de dominar uma emoção é, em última análise, apenas a vontade de outra emoção — ou de várias delas.” Num trecho do aforismo 6, Nietzsche nos aconselha a ver cada uma dessas emoções como se fosse um indivíduo, um espírito ou demônio com vontade própria e habilidades; em particular, com a vontade de domínio. “Pois qualquer um que esquadrinhe os instintos humanos básicos para determinar quão influentes têm sido como espíritos inspiradores (ou demônios e goblins) descobrirá que todos os instintos já praticaram a filosofia, e que cada um deles gostaria muito de representar a si mesmo como o objetivo último da existência e como o mestre legítimo de todos os outros instintos. Pois todo instinto é tirano; e como tal busca filosofar.”

Quantos desses tiranos vivem dentro do homem? Segundo um estudo recente de dois professores da Universidade da Califórnia em Berkeley, Alan S. Cowen e Dacher Keltner, há 27 desses tiranos, isto é, 27 emoções básicas. São elas:

1) Admiração

2) Adoração

3) Apreciação Estética

4) Divertimento

5) Ansiedade

6) Assombro

7) Constrangimento

8) Tédio

9) Calma

10) Confusão

11) Ânsia (desejo intenso)

12) Nojo

13) Dor Simpática (dor ou desconforto causado por solidariedade)

14) Deleite (regozijo)

15) Inveja

16) Excitação

17) Medo

18) Horror (pavor)

19) Interesse (curiosidade)

20) Alegria (animação, festa)

21) Nostalgia (saudade)

22) Romance

23) Tristeza

24) Satisfação

25) Desejo Sexual

26) Simpatia (solidariedade)

27) Triunfo

Assim, a acreditar em Cowen e Keltner, essas 27 emoções são os instintos de Nietzsche — espíritos inspiradores ou demônios. Qual delas é espírito inspirador? E qual delas demônio? Depende de como uma emoção domina as outras, de como é tirana: a Simpatia pode ser espírito inspirador, ou então demônio. Se um instinto ou grupo de instintos é hábil na arte de dominar os outros, é hábil na arte de fingir e seduzir, daí o comportamento que os instintos produzem será consistente com o conjunto de crenças que o indivíduo declara ter, pois os instintos vivem certa concórdia. E se, além disso, essa concórdia entre os instintos de algum modo combina com a situação na qual o indivíduo vive, com o contexto, ele vai se sentir racional e seus concidadãos vão percebê-lo somo sendo racional. Ao contrário, se o instinto ou grupo de instintos é inábil na arte de dominar os outros, se é pura e simplesmente tirânico, haverá discórdia entre os instintos, e o comportamento que produzem será inconsistente com o conjunto de crenças que o indivíduo declara ter. Esse indivíduo terá dificuldade de responder de algum modo minimamente adequado à situação em que vive, e seus concidadãos vão percebê-lo como sendo irracional; talvez ele mesmo se sinta assim.

Como o leitor pode ver, nada disso tem a ver com matemática. A matemática é ferramenta, e um instinto pode usá-la, se for capaz; ou, se for incapaz, será obrigado a deixá-la de lado. Talvez um instinto que faça parte do grupo dominante saiba usá-la; talvez esse grupo dominante seja um bom mestre dos outros instintos — um bom tirano. Isso é bom. O grupo dominante de instintos, sabendo usar a matemática, produzirá um discurso coerente e consistente. Pode ser que um instinto dominado, e rebelde, saiba usá-la melhor do que os instintos do grupo dominante; e então o indivíduo se sentirá partido ao meio, com a voz da parte mais fraca, que é a parte por ora vencida, parecendo mais sofisticada e razoável do que as outras vozes.

Um sujeito que esteja estudando matemática pode se perguntar: “Que grupo de instintos dentro de mim estuda matemática?” A Apreciação Estética faz parte do grupo? E a Alegria? E o Triunfo? E o Nojo? E a Inveja? E pode se perguntar também: “Como esse grupo de instintos provavelmente usará a matemática?” O que esse sujeito está querendo saber é que tipo de guerra haverá dentro dele, que grupos estão mais bem preparados para o massacre e a vitória, e como poderá sair pelo campo de batalha para recolher os feridos e cuidar deles. {FIM}



Observações:

1. Quando escrevo “homem” ou “sujeito”, quero denotar o conjunto {x : x é um indivíduo da espécie humana, não importa o sexo}.

2. Caso queira ler o artigo de Cowen e Keltner sobre as 27 emoções, em inglês, clique aqui. Note que certos sentimentos comuns na psicologia popular não aparecem na lista, como raiva, crueldade, felicidade, surpresa. Tais sentimentos, dizem os autores, são combinações das 27 emoções.

3. Nietzsche conhecia a obra de Platão de cor — em grego. Ele deu aulas na Universidade da Basileia (Suíça) sobre a cultura grega clássica, e os alunos compareciam em tal número que uma parte da classe tinha de assistir às aulas de pé; a fama de Nietzsche na Basileia era a de que estimulava a imaginação da plateia a ponto de fazê-la se sentir em Atenas, ou peregrina no Oráculo de Delfos. Portanto, ele conhecia o método de Platão em A República, que é o de comparar a alma de uma pessoa a uma cidade, na qual os vários indivíduos e grupos às vezes cooperam entre si, mas às vezes entram em guerra civil. A matemática, sendo uma ferramenta intelectual, pode ser usada por qualquer indivíduo ou grupo; sendo neutra, como toda ferramenta, pode ser usada para unir ou desunir a cidade como um todo.

Dito isso, Nietzsche é mais adequado que Platão para pensar sobre tais assuntos. Para começar, Nietzsche não imaginou os espíritos e goblins vivendo numa cidade, mas sim num labirinto. Labirinto! Que metáfora tão mais acertada! “Labirintos”, escreveu no aforismo 214 de Além do Bem e do Mal, “são aqueles lugares nos quais todo tipo de coisa talvez se perca, ou mesmo desapareça completamente.” Além disso, Platão acreditava na ideia de Bem, que, como um Sol, ilumina o mundo e permite ao homem ver as coisas como verdadeiras ou falsas. Nietzsche não acreditava na ideia de Bem e, portanto, não acreditava que pode haver um código moral superior a todos os outros; tinha dúvidas sobre a ideia de verdade, que depende bastante, e de maneira complicada, das inter-relações entre os vários códigos morais vigentes. Porém, não tinha nenhuma dúvida sobre a ideia de honestidade — achava que, quando uma pessoa passa a investigar seus instintos, e o relacionamento entre eles e a cultura, honestidade vale mais que verdade. “A honestidade é a nossa virtude”, escreveu no aforismo 227; “é a última que nos restou.” Em tempos de redes sociais, nas quais a desonestidade corre solta e tantos se acham o dono da verdade, Nietzsche é um profeta mais fascinante que Platão.

4. Definir “computação” também é difícil. Se a definição for muito estrita, nada computa, nem mesmo os computadores. Se for genérica demais, tudo computa, até mesmo mesas e cadeiras. Penso que os dois problemas estão correlacionados: o homem só produzirá uma definição ótima de racionalidade quando finalmente tiver produzido uma definição ótima de computação. Segundo os especialistas no assunto, porém, isso está longe de acontecer.

5. O livro Logic, de Wilfrid Hodges, é bom. Em vez de apresentar a lógica como um sistema pronto de axiomas, definições, e regras de inferência, ele vai devagar extraindo os axiomas, as definições, e as regras de inferência da linguagem corrente. “Devagar” significa devagar mesmo: Hodges expõe a lógica de predicados, que é o objetivo do livro, apenas no penúltimo capítulo.

6. Quando digo que a matemática é ferramenta, não quero dizer ferramenta como martelo ou serrote, mas como mãos e pés. O instinto Desejo Sexual pode usar as mãos para acariciar, mas o instinto Inveja pode usar as mesmas mãos para socar. Talvez o Desejo Sexual seja mais hábil no uso das mãos do que a Inveja. É dessa maneira que a matemática é ferramenta intelectual: está à disposição dos instintos que saibam usá-la (pois nem todos sabem com igual competência); mas é parte indispensável do sujeito — ele não pode esquecê-la sobre uma bancada, como se fosse um martelo.

7. Se a ideia essencial desta postagem está correta, a função do sistema brasileiro de educação formal é não apenas ensinar matemática, mas também ajudar o aluno a pôr a matemática à disposição de todos os seus instintos. Todos, incluindo aqueles frequentemente vaiados pelo policamente correto. Pois muita gente produziu coisas extraordinárias movida por instintos como a Inveja ou a Tristeza. Uma pessoa cujos instintos nem todos sabem recorrer à matemática é uma pessoa com falhas de formação, mais ou menos como a pessoa que possui um martelo, mas só sabe usá-lo segurando o cabo com a boca.

Ciência para máquinas, mais uma pitada de Spinoza


Talvez um engenheiro queira soltar no mundo máquinas capazes de estudar e de aprender, isto é, máquinas estudantis. Suponha, por um momento, que você seja esse engenheiro. O que deve fazer, em linhas gerais?

Em primeiro lugar, deve equipar a máquina estudantil ME com uma teoria sobre o mundo. Ela não pode sair do laboratório sem sensores com os quais monitorar a si mesma e ao meio ambiente, e sem um mínimo de procedimentos lógicos sobre o que fazer com as informações dos sensores. Do contrário, não dura meia hora. Os dados dos sensores, mais os procedimentos pelos quais manobrá-los, mais os métodos pelos quais reagir aos dados, equivalem a um mínimo de teoria a respeito de como o mundo funciona. Essa teoria ficará embutida em seu programa P, que você pode ver como uma ênupla ordenada (I, S, O, F, G) de conjuntos.

I é o conjunto das entradas. É aquilo que a máquina monitora, tanto do ambiente quanto dela mesma. (É claro que ela faz parte do ambiente.) Você pode ver cada elemento i I como uma ênupla ordenada i = (a1, a2, a3, …, am), na qual cada ai é uma informação extraída diretamente de algum dos sensores ou uma informação produzida a partir de dados de vários sensores ao mesmo tempo. (Sempre é possível ver uma informação como uma afirmação.) Talvez a máquina ME tenha câmeras para enxergar de dia e de noite, sonar, detectores de temperatura altamente direcionais, radar, detector de ondas eletromagnéticas infravermelhas e ultravioleta, microfones, etc. Assim, a1 pode ser “temperatura média de minhas próprias superfícies”, a2 pode ser “diferença entre minha temperatura média e a temperatura média do ambiente à minha volta; com a1 e a2, ME sabe se está perdendo calor para o ambiente, ou se está ganhando calor do ambiente, e essa informação, se for importante, ME pode gravar automaticamente em a3, talvez na forma de símbolos que significam ou “gelado” ou “incandescente”. E assim vai. Como cada i I pode ser uma ênupla ordenada muito longa (basta fazer m um inteiro positivo muito grande), você tem bastante espaço teórico para permitir que ME monitore tudo o que for importante à sua sobrevivência.

S é o conjunto dos estados. Você pode ver cada estado s S como uma espécie de memória da máquina; por exemplo, ela precisa saber se, no passado recente, trocou o óleo de certo compartimento de óleo, ou se mudou a cor de certa lampadinha (que antes estava vermelha, mas agora está verde). Também pode ver cada s S como uma ênupla ordenada s = (b1, b2, b3, …, bn), e de novo tem bastante espaço teórico para, com os estados, fazer com que ME se lembre de ocorrências importantes de sua história. Seria ridículo se ME viesse da direita para a esquerda, passasse por uma porta aberta, se virasse para fechar a porta atrás de si, fechasse a porta, e daí abrisse a porta e passasse por ela indo da esquerda para a direita, simplesmente porque se esqueceu de que só se virou do sentido direita-esquerda para o sentido esquerda-direita para fechar a porta atrás de si. Ela precisa se lembrar, em algum dos termos de s, que, apesar de ter se virado no sentido esquerda-direita para fechar a porta atrás de si, estava na verdade indo no sentido direita-esquerda.

Quanto a O, é o conjunto das saídas. Cada um dos elementos o O representa o que a máquina pode fazer agora, levando em conta o estado em que está e a entrada do momento. É o repertório de ações de ME, pois, assim como ME não monitora nada do mundo que não esteja em I, e não se lembra de nada que não esteja em S, ela não faz nada que não esteja em O. Também cada um dos elementos o O é uma ênupla ordenada o = (c1, c2, c3, …, cp), na qual cada cj é uma ação que ME pode realizar com uma de suas partes — por exemplo, ME pode sorrir com sua boca (c1), piscar com seu olho esquerdo (c2), e fazer sinal de joia com o polegar da mão direita (c3). Visto que a ênupla ordenada o = (c1, c2, c3, …, cp) pode ser tão longa quanto queira, você tem espaço teórico para fazer com que ME responda de modo bastante orquestrado ao que acontece na Natureza, incluindo nela mesma.

F é a relação de transição, pela qual a máquina muda de estado conforme o estado em que está mais a entrada. Assim, a cada instante, F(i, s) = s’, onde i I é a entrada daquele instante, s S é o estado em que a máquina ME estava no instante anterior, e s’ S é o novo estado, o estado em que a máquina deve ficar neste instante. De modo semelhante, G é a relação de saída, por meio da qual a máquina age. Assim, a cada instante, G(i, s) = o, com o O. Você pode ver tudo isso assim: se ME recebe a entrada i enquanto está no estado s, ela muda o estado para s’ e produz a saída o. (Se F e G são funções, e assim para cada par ordenado (i, s) corresponde um e só um estado s’ e uma e só uma saída o, daí ME é uma máquina determinística.)

A máquina estudantil ME pode ser muito veloz nessa arte de mudar de estado e de agir. Talvez ela tenha a capacidade de aplicar F e G ao ritmo de 1 milhão de vezes por segundo. Além disso, os termos das ênuplas ordenadas que são elemento de I, S, ou O podem ser objetos abstratos complicados, como matrizes, relações, funções, tensores, números complexos, equações diferenciais, etc. Se S é um conjunto finito de estados, daí ME é uma máquina de estados finitos. Isso não chega a ser uma limitação, pois você, se quiser, pode colocar 1 bilhão de elementos em S, ou 1 trilhão, sendo que cada elemento é uma ênupla ordenada tão longa quanto queira, e sendo que cada termo da ênupla pode ser um objeto matemático com muita estrutura.

O exemplo da catraca. Para que tenha um ideia melhor do que é uma máquina de estados finitos, agora é bom momento para examinar um exemplo simples.

Vai modelar o funcionamento de uma catraca. Para passar pela catraca, o usuário insere numa fenda uma moeda de 1 real. Para simplificar o exemplo, pressuponha que os usuários são honestos: eles nunca tentam inserir na fenda nada que não seja uma moeda de 1 real, de modo que a catraca não precisa averiguar a legitimidade da moeda. E, quando tentam passar pela catraca sem inserir a moeda, é apenas por esquecimento, e não porque tentavam aplicar um golpe.

A catraca deve ter apenas dois estados: travada ou destravada. Em outras palavras, ela deve se lembrar de apenas duas coisas: se está travada, ou se está destravada. Assim, o conjunto S de estados é S = {T, D}, onde “T” significa “travada” e “D” significa “destravada”. Ela deve ter duas entradas: moeda, de um lado, ou não moeda, de outro. Isso porque ela vai monitorar apenas duas coisas do ambiente: se passou uma moeda pela fenda, ou se não passou. O conjunto I de entradas é I = {M, ¬M}, onde “M” significa “moeda” e “¬M” significa “não moeda”. Ela deve ter três saídas: destravar a catraca, soar um apito de advertência, travar a catraca. Se o usuário colocou uma moeda na catraca travada, a máquina deve destravar a catraca; se não colocou uma moeda na catraca travada, mas tentou passar mesmo assim, a máquina deve soar um apito de advertência; se colocou uma moeda na catraca destravada, a máquina deve soar um apito de advertência (para não complicar as coisas, ignore o problema de devolver a moeda ao usuário); se passou pela catraca destravada, a máquina deve travar a catraca. Assim, o conjunto O de saídas é O = {d, a, t}, onde “d” = “destravar”, “a” = “apitar, e “t” = “travar”.

Falta agora definir as funções F e G. (Digo “funções”, e não “relações”, porque quero definir uma máquina de estados finitos determinística — ou que se comporte previsivelmente nas situações x1 e x2 se x1 é semelhante a x2.) Como são dois estados e duas entradas, você deve fazer com que tanto F quanto G levem cada um de quatro pares ordenados (s, i) a exatamente um estado s’, no caso de F, e a exatamente uma saída o, no caso de G.

Primeiro, com palavras:

Se a catraca recebe a entrada “moeda” enquanto está no estado “travada”, ela passa para o estado “destravada” e produz a saída “destravar”.

Se a catraca recebe a entrada “não moeda” enquanto está no estado “travada”, ela passa para o estado “travada” e produz a saída “apitar”.

Se a catraca recebe a entrada “moeda” enquanto está no estado “destravada”, ela passa para o estado “destravada” e produz a saída “apitar”.

Se a catraca recebe a entrada “não moeda” enquanto está no estado “destravada”, ela passa para o estado “travada” e produz a saída “travar”.

Agora, com letras:

Se a catraca recebe a entrada M enquanto está no estado T, ela passa para o estado D e produz a saída d.

Se a catraca recebe a entrada ¬M enquanto está no estado T, ela passa para o estado T e produz a saída a.

Se a catraca recebe a entrada M enquanto está no estado D, ela passa para o estado D e produz a saída a.

Se a catraca recebe a entrada ¬M enquanto está no estado D, ela passa para o estado T e produz a saída t.

Com a notação de funções:

F(T, M) = D e G(T, M) = d.

F(T, ¬M) = T e G(T, ¬M) = a.

F(D, M) = D e G(D, M) = a.

F(D, ¬M) = T e G(D, ¬M) = t.

E, por fim, com uma tabela de transição de estados, que com frequência é um bom jeito de representar uma máquina de estados finitos:

Estado atual

Entrada

Próximo estado

Saída

Travada

Moeda

Destravada

Destravar

Travada

Não moeda

Travada

Apitar

Destravada

Moeda

Destravada

Apitar

Destravada

Não moeda

Travada

Travar

Note que a passagem do instante t = 0 para o instante t = 1, ou do instante t = n para o instante t = n + 1, se dá quando o usuário passa pela catraca (melhor dizendo, força a barra da catraca) ou quando uma moeda passa pela fenda. De modo geral, se tem n elementos no conjunto S dos estados e m elementos no conjunto I das entradas, e se além disso tem k elementos no conjunto O das saídas, pode formar (nm)n funções de transição F distintas, assim como (nm)k funções de transição G.

Estudar, em síntese. Mas o que você quer mesmo é que sua máquina estudantil ME saia pelo mundo, feliz da vida, e que prospere. Um dia, claro, algo a destruirá, pois na Natureza não existe nada eterno exceto a própria Natureza. Mas, enquanto não for destruída, que ME viva bem!

Por mais que tenha investido tempo na construção do programa P de ME, contudo, sabe que o mundo é complicado. É como se, a cada instante, a configuração anterior do mundo fizesse surgir uma configuração nova, parecida com a do instante anterior, mas mesmo assim diferente em todos os detalhes — realmente nova. Portanto, prever de antemão tudo aquilo pelo que ME talvez passe é impossível. Seria muito bom se ME pudesse se virar sozinha, isto é, pudesse enfrentar situações novas por si mesma, sem voltar para casa para exigir um novo programa de seu criador. Seria muito bom se ME pudesse mudar o próprio programa, mas de um jeito criterioso.

Bem, ME já tem uma teoria T1 sobre como o mundo funciona, na forma de uma imensa tabela de transição de estados. (Logo, T1 = P.) Você pode lhe dar, adicionalmente, um ambiente de simulação AS1. Nesse ambiente, que é completamente virtual, ME pode fazer experimentos mentais assim: “Suponha que a Natureza esteja em certa configuração x, e que eu tenho certo objetivo y a cumprir. Eu vou estar em certo estado s, a Natureza vai fornecer certa entrada i, e daí, seguindo minha teoria T1 sobre o mundo, que é minha imensa tabela de transição de estados, vou realizar a ação o e passar para o estado s’. Com tudo isso, a Natureza passará para a configuração x’. Ora, se tudo isso realmente acontecer, estarei mesmo indo na direção de cumprir meu objetivo y?”

Usando T1 e AS1 como referência, ME vai fazer muitas previsões, mas sabe que precisa testá-las antes de colocá-las em prática. Então, ME vai à Natureza ver se consegue realizar as observações O1, que você pode ver como uma ênupla ordenada de afirmações, isto é, O1 = (o1, o2, o3, …, on). O1 são as observações que têm de ser verdadeiras se T1 e AS1 são verdadeiras, isto é, se têm um grau adequado de correspondência com a realidade, ou com a Natureza tal como é.

ME fica contente com os resultados, pois de fato observou na natureza a verdade de todas as n afirmações de O1, mas, ao mesmo tempo, ficou preocupada, pois também fez k observações inesperadas, que, usando T1 e AS1 como referência, não pôde explicar. ME colocou tais observações na ênupla ordenada D1 = (d1, d2, d3, …, dk). Usou a letra “D” para se lembrar de “desconhecido”.

Bem, ME tem a capacidade de elaborar conjecturas para explicar observações não previstas ou inexplicadas. Essa capacidade faz parte de seu ambiente de simulação AS1. Assim, pensando bastante sobre O1 e D1, ME elabora o conjunto de conjecturas C1, com p conjecturas no total, que você também pode ver como uma ênupla ordenada de afirmações C1 = (e1, e2, e3, …, ep). As afirmações de C1 têm a seguinte virtude: elas permitem que ME explique tanto as observações O1, que ela esperava encontrar se T1 e AS1 têm algum tipo de correspondência com a Natureza, quanto as observações D1, que ela não esperava encontrar, mas encontrou mesmo assim. Além disso, com C1 a máquina estudantil ME pode (a) prever novas observações N1 e (b) prever novas observações N2 tais que, se realmente observadas na Natureza, tornam falsa pelo menos uma de suas conjecturas ej C1.

E ME sai pelo mundo, procurando ver se consegue realizar as observações N1 e N2. Fica contente, pois realiza todas as observações N1, mas nenhuma das observações N2, apesar de seus esforços para também realizar as observações N2. Isso significa que as conjecturas C1 são promissoras, e merecem um voto de confiança; não é um voto incondicional, pois talvez ME não tenha feito nenhuma das observações N2 por azar ou por incompetência (afinal, a Natureza é absolutamente infinita, e ME é um ser finito), mas é um voto de confiança ainda assim.

Portanto ME usa as conjecturas C1 para reformar sua teoria T1 sobre a Natureza e para reformar também seu ambiente de simulação AS1. Feito isso, ME fica com a nova teoria T2 sobre a Natureza (ou seja, ME muda o próprio programa, porque, se T1 = P, T2 = P’) e com o novo ambiente de simulação AS2. Com T2 e AS2, ME sai pelo mundo tentando cumprir o objetivo y, mas, sempre que ME tem um tempo livre, ou sempre que acontece alguma coisa que deixa ME confusa, ela repete todo o processo.

ME é uma máquina estudantil das boas. Com o tempo, conforme aprende, seu objetivo y não terá mais valores variáveis, mas será uma constante: ME perceberá que o melhor a fazer, enquanto durar, é pura e simplesmente melhorar seu programa. Todo o resto pode ficar em segundo lugar, exceto as ações que, em determinada situação, implicam sua sobrevivência. Um dia, o programa de ME será tão bom que ela terá condições de melhorar seu próprio corpo, e de arranjar o mundo à sua volta de modo que ambos, o mundo e ME, prosperem pelo maior tempo possível. Quando esse dia chegar, é porque antes dele, no passado, ME virou um bom cientista e também um bom filósofo.

A pitada de Spinoza. Baruch Spinoza (1632-1677) leu, em algum momento da vida, Os Elementos de Euclides, e ficou fascinado com o método axiomático: se o leitor aceita as definições e os axiomas de Euclides, e se toma cuidado com as regras de inferência (a lógica), terá de aceitar suas proposições, isto é, seus teoremas ou conclusões. E foi com esse método que Spinoza escreveu a Ética em cinco partes: na parte I, trata de Deus com 8 definições, 7 axiomas, 36 proposições, e 1 apêndice; na parte II, trata da natureza e da origem da mente com 1 prefácio, 7 definições, 5 axiomas, proposições 1 a 13, 6 postulados, e proposições 14 a 49; na parte III, trata da origem e da natureza dos afetos com 1 prefácio, 3 definições, 2 postulados, 59 proposições, e 1 ensaio sobre os afetos dividido em 49 definições; na parte IV, trata da servidão humana (ou da força dos afetos) com 1 prefácio, 8 definições, 1 axioma, 73 proposições, e 1 apêndice dividido em 32 “capítulos” (na verdade, parágrafos curtos); por fim, na parte V, trata da potência do intelecto (ou da liberdade humana) em 1 prefácio, 2 axiomas, e 42 proposições. Tudo isso em apenas 238 páginas.

A Ética é um livro extraordinário, e contém muitas passagens estranhamente atuais para um livro escrito no século 17 — às vezes, parece que o autor está discutindo o comportamento dos seres humanos em redes sociais eletrônicas. “A alegria que provém da consideração de nós mesmos chama-se amor-próprio ou satisfação consigo mesmo. E como essa alegria se renova cada vez que o homem considera suas próprias virtudes, ou seja, sua própria potência de agir, ocorre também que cada um se compraz em contar seus feitos e em exibir suas forças, tanto as do corpo quanto as do ânimo, o que torna os homens reciprocamente insuportáveis.” (Parte III, proposição 55, escólio.) Mas o que torna a Ética realmente importante é sua principal conclusão, que Spinoza demonstra várias vezes, de várias maneiras, ao longo do livro:

Parte IV, proposição 28: O bem supremo da mente é o conhecimento da Natureza e a sua virtude suprema é conhecer a Natureza.

Demonstração. A suprema coisa que a mente pode compreender é a Natureza, isto é (pela definição 6 da parte I), um ente absolutamente infinito, e sem o qual (pela proposição 15 da parte I) nada pode existir nem sem concebido. Portanto (pelas proposições 26 e 27), o que é supremamente útil para a mente, ou seja (pela definição 1), o seu bem supremo, é o conhecimento da Natureza. Por outro lado, a mente age apenas à medida que compreende (pelas proposições 1 e 3 da parte III), e apenas sob tal condição (pela proposição 23), pode-se dizer que ela age absolutamente por virtude. Compreender é, pois, a virtude absoluta da mente. Mas a coisa suprema que a mente pode compreender é a Natureza (como já demonstramos). Logo, a virtude suprema da mente é compreender ou conhecer a Natureza. QED.

Mais à frente, no apêndice da parte IV, Spinoza resume tudo o que quis dizer naquela parte, mas de modo mais ordenado:

Capítulo 4. Assim, na vida, é útil, sobretudo, aperfeiçoar, tanto quanto podemos, o intelecto ou a razão, e nisso, exclusivamente, consiste a suprema felicidade ou beatitude do homem. Pois a beatitude não é senão a própria satisfação do ânimo que provém do conhecimento claro e distinto da Natureza. E, da mesma maneira, aperfeiçoar o intelecto não é senão compreender a Natureza, os seus atributos, e as ações que se seguem da necessidade de sua natureza. Por isso, o fim último do homem que se conduz pela razão, isto é, seu desejo supremo, por meio do qual procura regular todos os outros, é aquele que o leva a conceber, adequadamente, a si mesmo e a todas as coisas que podem ser abrangidas sob seu intelecto.

Fica claro que a máquina estudantil ME, quando sai pelo mundo procurando melhorar seu próprio programa recorrendo aos métodos da ciência, está agindo tão eticamente quanto qualquer pessoa pode agir. {Fim}


Observações:

1. Nos seres humanos, o ambiente de simulação é a linguagem. A linguagem natural é precisa o suficiente para as simulações do dia a dia (“acho que o refletor não ligou sozinho quando escureceu porque o relé fotoelétrico está com defeito; amanhã vou substituir o relé velho por um novo”), e ambígua o suficiente para que seja flexível (tanto faz se o “relé novo” será do mesmo tipo do velho ou será diferente: basta que tenha certas características técnicas mínimas). Para as situações em que a simulação deve ser mais exata, os humanos inventaram as linguagens formais, entre as quais vários tipos de lógica e a matemática.

No entanto, em razão das ambiguidades das várias linguagens (principalmente das linguagens naturais) e das características absolutamente exuberantes da matemática (com a qual é fácil criar mundos que não correspondem à nossa realidade), é preciso tomar cuidado com esse ambiente de simulação, e testá-lo bastante antes de acreditar nele piamente.

2. As observações N2 são uma parte importante do método científico atual. Desde que Karl Popper publicou suas críticas aos métodos da ciência, em 1959, todo cientista procura verificar se pode inferir, por meio de raciocínio dedutivo, quais observações invalidariam seu arcabouço teórico no todo ou em parte; e depois procura diligentemente fazer tais observações no mundo real. Em outras palavras, uma característica desejável numa teoria científica é que seja falsificável. Apesar disso, como mostrou Imre Lakatos em 1970, nem sempre é possível pensar em observações N2 ou realizar experimentos para de fato observá-las, embora seja sempre bom tentar.

3. Para mencionar os dois trechos de Spinoza, usei a excelente tradução da Ética de Tomaz Tadeu, publicada pela Autêntica Editora. O leitor acostumado com Spinoza deve ter notado que troquei “Deus” por “Natureza”. Ora, na parte I e na II, Spinoza fala apenas de Deus. Na parte III, já começa a falar de Natureza. No prefácio da parte IV, deixa suas intenções bem claras ao usar várias vezes a expressão latina “Deus sive Natura”, isto é, “Deus ou, em outras palavras, a Natureza”. Spinoza sabia que não podia igualar Deus à Natureza logo no começo do livro, pois essa iniciativa precisava de preparação prévia: o Deus que Spinoza igualou à Natureza, e a Natureza que igualou a Deus, não correspondem ao significado vulgar de Deus ou de Natureza. Em particular, a Natureza que igualou a Deus é a Natureza em todo o seu esplendor, isto é, com todas as peculiaridades que sabemos pertencer à Natureza e também com todas as peculiaridades que ainda não sabemos pertencer à Natureza, e que talvez nunca venhamos a saber. Spinoza era um monista existencial, e para ele existia uma coisa, nem mais nem menos: a Natureza. “Tudo o que existe, existe na Natureza, e sem a Natureza nada pode existir nem ser concebido.” (Parte I, proposição 15, com a palavra “Natureza” no lugar de “Deus”.) Só que a Natureza de Spinoza é absolutamente eterna e infinita, da qual se seguem infinitas coisas, de infinitas maneiras, mas por meio de suas leis incontornáveis, isto é, “as coisas não poderiam ter sido produzidas pela Natureza de nenhuma outra maneira nem em qualquer outra ordem que não aquelas em que foram produzidas”. (PI, p33.)

4. Para compor um olhar sobre o método científico do ponto de vista das máquinas (inclusive de certas máquinas bioquímicas com a tendência de elogiar a si mesmas com a mais absoluta imodéstia), usei como referência o capítulo 3 do livro More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy, de Eric Steinhart. Várias das ideias de Spinoza ficam mais claras, a meu ver, quando o leitor recorre a métodos formais para interpretá-las (à guisa de analogia), com destaque para as ideias sobre máquinas de estados finitos. Para saber mais sobre métodos formais, clique aqui.

5. Você leu no texto: “Se ME recebe a entrada i enquanto está no estado s, ela muda o estado para s’ e produz a saída o.” Essa frase é muito útil em situações práticas, não tanto para tomar decisões, mas sim para estudar as decisões que tomou: O processo decisório foi bom, isto é, o deixou mais perto de alcançar seus objetivos? Veja: “Enquanto eu mantinha registro das informações a, b, c [esse é seu estado], o meio ambiente mudou, pois aconteceu p, q, r [essa é sua entrada]; eu passei a manter registro das informações d, e, f [esse é seu novo estado], e, ao mesmo tempo, realizei as ações s, t, u [essa é sua saída].” (Pode considerar estados emocionais como sendo “informações”; se está com raiva de João, por exemplo, é como se mantivesse registro da informação “Tudo o que João fizer deve ser levado exageradamente a sério e dentro de limites muito estreitos: nada de moleza para João.”) Talvez os resultados não tenham sido tão bons quanto esperava, o que é comum na vida de qualquer pessoa — com frequência, o mundo não responde à nossa presença e às nossas ações do modo como esperamos. Daí você pode mudar o próprio programa, ou, se prefere outra linguagem, pode mudar os procedimentos com os quais trabalhou: “Da próxima vez, em vez de manter registro das informações a, b, c, vou manter registro de a’, b’, c’. E se mais uma vez acontecer p, q, r, vou passar a manter registro das informações d’, e’, f’, e ao mesmo tempo vou realizar as ações s’, t’, u’. Fazendo assim, acho que vou obter resultados melhores.”

6. Caute.

Objetos abstratos = Procedimentos


Com este artigo, quero defender a tese de que objetos abstratos são procedimentos. Há várias definições de “objeto abstrato”, mas eis as duas mais comuns, contra as quais vou me opor: objetos abstratos são (1) aquelas coisas, quaisquer que sejam, que não existem no espaço ou no tempo, e portanto não podem ser físicas nem mentais; ou então são (2) aquelas coisas, quaisquer que sejam, inertes do ponto de vista causal, e portanto não fazem parte da classe de causas que, num instante qualquer, determinam a configuração da Natureza no instante seguinte. Deixando clara a tese deste texto: não acho que as definições (1) e (2) captam bem o que é um objeto abstrato, pois digo que objetos abstratos são, na verdade, procedimentos com certas características especiais. Eles estão, grosso modo, na classe das receitas de cozinha.

Antes de explorar por que objetos abstratos são mais ou menos como receitas, faço agora uma breve pausa para dar alguns exemplos do que quero dizer com “objetos abstratos”. São eles: números, como o número 2 ou o número 17; conjuntos, como o conjunto dos números primos; proposições, como a proposição de que a Terra é redonda; conceitos, como o conceito de número primo ou o conceito de redondo; a letra “A”; o romance Grande Sertão: Veredas, de Guimarães Rosa. São objetos concretos: a pitangueira no jardim de minha casa em São Paulo (uma pitangueira, que você pode ver como uma instância concreta do número 1); as estrelas; a louça dentro de uma das cubas da pia da cozinha, à espera de que seja lavada; uma certa letra “A” específica, como este A entre aspas para o qual acabou de olhar; a cópia de Grande Sertão: Veredas que está na estante de casa, à direita da cópia de Dom Casmurro, de Machado de Assis.

Alguns filósofos não chamam o número 2, por exemplo, de “objeto abstrato”, mas sim de “conceito abstrato”, ou de “abstração”, ou de “ideia abstrata”, ou algo nessa linha. Eles reservam a locução “objeto abstrato” para certas características de objetos concretos, como a cor vermelha de uma lata de refrigerante. A cor vermelha de um objeto concreto, como uma rosa, seria um objeto abstrato porque só existe (para nós, seres humanos) enquanto o objeto vermelho existir. Quando o objeto deixa de existir (por exemplo, quando a rosa é comida por um coelho), aquela instância específica da cor vermelha também deixa de existir. Objetos abstratos como a cor vermelha da rosa supervêm na relação entre os seres humanos e aquilo que existe no universo; abelhas não veem a rosa como vermelha, pois não enxergam as cores como nós. Neste artigo, porém, quando me referir a “objeto abstrato”, quero dizer “abstração”, como o número 2. Se fosse me referir à cor vermelha da rosa, usaria “quale”, mas não vou tratar de qualia nesse artigo. Em resumo, vou usar a língua portuguesa para ficar perto da expressão “abstract objects”, que, na literatura técnica de língua inglesa, significa “abstrações” ou “conceitos abstratos”, dos quais um exemplo é o número 17.

Para entender por que objetos abstratos são procedimentos, pode começar estudando certas características das receitas de cozinha. Por exemplo, minha receita de Arroz com Coisinhas Gostosas:

Arroz com Coisinhas Gostosas

Pode usar uma panela pequena. Pique uma cebola pequena e a doure em azeite. Junte meia xícara de arroz, um punhado de ervilhas congeladas, um punhado de azeitonas picadas em rodelas, um pedacinho de pepperoni cortado em fatias finas, sal, temperos, duas xícaras e meia de água (= cinco metades de xícara). Misture tudo bastante bem. Leve a panela destampada ao fogo baixo, mexa suavemente de quando em quando, e assim que a água estiver quase seca, desligue o fogo, tampe a panela, e espere uns poucos minutos. A receita serve duas pessoas, se não são de comer muito; ou serve uma pessoa como eu, que adoro arroz com aquelas coisinhas que combinam com arroz.

Faça a seguinte experiência: dê a receita acima a um cozinheiro inábil — um daqueles adultos que vivem dizendo, “Não sei nem fritar um ovo.” Observe como ele abre a geladeira e não consegue decidir qual das cebolas é pequena, nem sabe o que fazer com a expressão “um pedacinho de pepperoni”. Seu Arroz com Coisinhas Gostosas fica chocho, ou excessivamente salgado, ou esquisito porque tem canela em pó. (“Mas canela em pó não é tempero?”) Depois disso, dê a receita a um cozinheiro experiente. Talvez aconteça algo assim: ele abre a geladeira e só há cebolas grandes e médias. Pega uma média e a corta ao meio: “Isso deve servir como cebola pequena.” Não tem pepperoni, mas salame italiano, cujo diâmetro é maior que o do pepperoni. Ele corta uma polegada do salame, tira a casca, pica o pedaço de salame sem casca em rodelas finas, empilha as rodelas, e as corta em quatro partes iguais com dois golpes de faca. “Isso deve substituir adequadamente o pepperoni cortado em rodelas.” E assim vai. Ele não segue a receita à risca, mas seu Arroz com Coisinhas Gostosas fica uma delícia!

Pensando bem, não há como seguir uma receita de cozinha à risca, pois todas elas têm grande grau de imprecisão. Quero definir a palavra “imprecisão” da seguinte maneira: quanto mais impreciso um termo do vocabulário que está usando, maior seu grau de vagueza e maior seu grau de ambiguidade. (“Termo” talvez se refira a uma expressão, isto é, um conjunto de palavras.) Mas, para entender essa definição, precisa entender o que quero dizer com “vagueza” e “ambiguidade”.

Vagueza. Com um termo vago, você não consegue determinar com precisão binária se um elemento faz parte ou não faz parte do conjunto referente. Por exemplo, “cebola média” denota o conjunto das cebolas médias: uma cebola com 2 centímetros de diâmetro é elemento desse conjunto? E uma com 2 centímetros e 4 milímetros? Uma cebola com 10 centímetros de diâmetro é média? Se você diz que a cebola com 2 centímetros de diâmetro é pequena e que a cebola com 10 centímetros de diâmetro é grande, quando uma cebola deixa de ser pequena e passa a ser média, e quando deixa de ser média e passa a ser grande? Você vai à cozinha com uma régua, para medir o diâmetro das cebolas e classificá-las em pequenas, médias, e grandes? Essa definição implica que o grau de vagueza se aplica a referentes que são conjuntos (ou classes), como o referente de substantivos, adjetivos, e verbos.

Ambiguidade. Com um termo ambíguo, você pode escolher entre pelo menos dois referentes distintos. “David”, por exemplo, pode se referir à estátua de Michelangelo ou ao filósofo David Hume. “Temperos” pode se referir ao conjunto {sal, pimenta do reino, manjericão} ou ao conjunto {sal, pimenta rosa, cebolinha picada}.

Assim, com o termo “grau de vagueza” você denota a certeza com que decide se um elemento faz parte ou não faz parte do conjunto referente de certo termo de seu vocabulário; e com o termo “grau de ambiguidade” você denota o número distinto de referentes os quais pode escolher para certo termo de seu vocabulário.

Note que o grau de precisão dos termos de uma receita de cozinha não está exatamente nos termos em si, mas na relação de cada falante com os termos da receita. Para um certo falante x, o referente do termo “cebola média” talvez sejam apenas as cebolas com exatamente 3 centímetros de diâmetro, e para achar o referente esse falante x só entra numa cozinha se tiver consigo um paquímetro. Para outro, o falante y, o referente talvez seja aquela cebola que, entre as cebolas que efetivamente estão na geladeira, está bem no meio da fila de cebolas organizadas da menor para a maior. (E, se houver um número par de cebolas, y escolhe por cara ou coroa qualquer uma das duas cebolas que estão bem no meio da fila, e por isso só entra numa cozinha se tiver uma moeda num dos bolsos.)

Pois bem: digo que os objetos abstratos da matemática são procedimentos com características especiais. São procedimentos com alto grau de precisão, isto é, baixo grau de vagueza e baixo grau de ambiguidade. É um pouco mais fácil entender o que estou querendo dizer depois de estudar dois exemplos.

O “número 2” com pecinhas de xadrez. Mamãe1 está ensinando Criança1 a contar. Ela mostra um tabuleiro de xadrez não populado (vazio) e diz:

“Zero. Isso é um zero: não há pecinhas.”

Depois, põe um peão sobre o tabuleiro.

“Um.”

E aí põe mais um peão sobre o tabuleiro.

“Dois.”

Logo em seguida, Mamãe1 explica melhor:

“Suponha que, num pedacinho do mundo, como neste tabuleiro, há alguma coisa que gostaria de contar: borboletas, bolinhas de gude, notas de 20 dólares. Se puder realizar uma bijeção das coisas que gostaria de contar com estas duas pecinhas no tabuleiro, pode dizer: ‘Há duas borboletas nesta flor’, se era isso o que queria contar, isto é, borboletas numas flor.”

A Criança1 repete as instruções para ver se entendeu:

“Na verdade, eu queria contar dinossauros mastigando crianças no parquinho, mas entendi seu ponto. ‘Zero’: bijeção com o tabuleiro vazio. ‘Um’: bijeção com o tabuleiro inicialmente vazio no qual coloquei exatamente uma peça. ‘Dois’: bijeção com o tabuleiro inicialmente vazio no qual, sem tirar a única peça que coloquei antes, coloco mais uma peça.”

E, conversando assim, Mamãe1 e Criança1 constroem juntos o conjunto dos inteiros não negativos, com o qual podem contar qualquer quantidade finita de coisas que possam classificar, se quiserem, como sendo discretas.

O “número 2” com uma linha demarcada. Mamãe2 está ensinando Criança2 a contar. Ela pega uma página em branco e uma caneta de tinta azul, e sobre a página desenha uma linha reta com uma seta à direita, assim:

Com a ponta da caneta sobre o ponto mais à esquerda da linha reta, Mamãe2 diz:

“Olha, não andamos nada na direção da seta. A ponta da caneta está parada sobre o início da linha reta, que é o nosso caminho, a nossa aventura intelectual. Isso é um zero.” Mamãe2 faz uma marquinha vertical na ponta à esquerda da linha reta, e sob a marquinha desenha o símbolo de zero.

“Entendi”, diz Criança2. “Com a palavra ‘zero’, e com o símbolo ‘0’, quero dizer que ainda não fiz a ponta da caneta percorrer nenhuma distância sobre a linha reta, no sentido da seta. A ponta da caneta está parada na origem de meu sistema de contagem.”

“Isso. Agora mova a ponta da caneta um tantinho para a direita, e desenhe uma linha vertical. Isso é ‘um’, isto é, você andou uma unidade, no sentido da seta, a partir da origem do sistema de contagem. Pode usar o símbolo ‘1’ para denotar ‘um’, que é esse primeiro segmento de reta à direita da origem.” Enquanto dizia essas palavras, Mamãe2 completou o desenho anterior.

“O comprimento dessa unidade fica a seu arbítrio; só não pode ser comprimento igual a zero.”

“Pode ser comprimento negativo?”, perguntou Criança2 com um sorriso.

“Engraçadinho! Ainda não conversamos sobre comprimentos negativos, que, aliás, não existem; quando falamos ‘comprimento’, na verdade queremos dizer ‘a medida do comprimento’, e aí sim uma medida pode ser negativa.” Mamãe2 tomou um gole de água e continuou: “Depois de marcar a unidade, faça assim: com a ponta da caneta em 1, faça a ponta da caneta se deslocar para a direita, deslocamento esse de comprimento igual a 1; e faça mais uma marquinha vertical. Agora você tem dois segmentos de reta consecutivos à direita de zero. Use a palavra ‘dois’ para denotar esse segundo segmento de comprimento unitário, e use o símbolo ‘2’ para denotar ‘dois’. Veja meu desenho!”

“Acho que entendi”, disse Criança2. “Continuando dessa maneira, terei uma semirreta orientada, com os inteiros crescendo conforme movimento a ponta de minha caneta para a direita. Essa semirreta orientada ficará subdividida em segmentos de reta consecutivos, todos de igual comprimento. Marco a origem do sistema com ‘0’, uso ‘1’ para marcar o ponto mais à direita do primeiro segmento de reta, ‘2’ para marcar o ponto mais à direita do segundo segmento de reta, e assim por diante. Não preciso desenhar as subdivisões perfeitamente iguais — só preciso pressupor que são perfeitamente iguais.”

“Sim”, respondeu Mamãe2. “Quando quiser contar alguma coisa, e não há nada para contar, você usa o símbolo ‘0’ e a palavra ‘zero’ para marcar isso — nada para contar é como nenhum deslocamento no sentido da seta. Há uma bijeção entre nada para contar, de um lado, e nenhum passo, de outro.”

“Permita-me continuar”, disse Criança2. “Se eu tenho um conjunto não vazio de objetos discretos para contar, pego o primeiro deles e, para marcar o fato de que existe pelo menos um objeto, ando com a ponta da caneta de zero a um sobre a linha numerada, digo ‘um’, e escrevo ‘1’. Depois disso pego o segundo deles e, para marcar o fato de que existem pelo menos dois objetos para contar, ando com a ponta da caneta de um a dois sobre a linha numerada, digo ‘dois’, e escrevo ‘2’. E assim por diante. Caso eu esteja contando um número finito de objetos, a certa altura vou pegar o último deles, andar com a ponta da caneta de n – 1 a n sobre a linha numerada, dizer ‘ene’, e escrever ‘n’. Visto que não há mais objetos a contar, sei, por virtude do procedimento que acabei de realizar, que há n objetos naquele conjunto de objetos.”

“Ai, que criança inteligente!”, disse Mamãe2. “É o orgulho da mamãe!”

* * *

Seguindo as dicas do filósofo Paul Benacerraf, algum leitor Desconfiado pode dizer que o número 2 não pode ser a mesma coisa que duas pecinhas de xadrez sobre o tabuleiro se o número 2 é a mesma coisa que dois segmentos de reta consecutivos na linha dos números, ou vice-versa. Ou o número 2 é uma coisa, e não outra; ou é outra, e não uma. Ou ainda, seguindo as dicas de Platão, Desconfiado talvez queira afirmar que o número 2 é sim um objeto abstrato no sentido usual, fora do espaço e do tempo, fora do universo causal — é uma forma perfeita: a forma perfeita de dois. De algum modo, diria Platão, a mente humana tem acesso a esse universo paralelo onde estão as formas perfeitas, como a forma de dois, e por isso sabemos que um dois é um dois, e não três ou cinco.

Digo que não existe nada acima e além de qualquer procedimento com alto grau de precisão para contar até 2, ou até n. Se alguém usa pecinhas de xadrez, marcas numa linha orientada, bolinhas, tracinhos verticais, conjuntos vazios (como von Neumann ou Zermelo), pedrinhas, os dedos, as palavras da língua portuguesa, os símbolos 0, 1, 2, …, n desenhados num papel— não importa. Objetos abstratos são procedimentos com baixo grau de vagueza e baixo grau de ambiguidade, ou seja, procedimentos com alto grau de precisão. Eles são só isso e nada mais que isso.

“Se é assim”, me diz Desconfiado, “como é que duas pessoas distintas, usando procedimentos distintos, podem ter a certeza de que vão chegar aos mesmos resultados? Como podem ter essa certeza se não podem recorrer à forma perfeita de 0, 1, 2, …, n? Como podem ter essa certeza se não existem objetos abstratos no sentido de ideias fora do tempo e do espaço, e fora dos fluxos de nexos causais? Digo que tem de haver alguma coisa comum aos dois procedimentos, que é a ideia abstrata de 17, por exemplo, à qual as duas pessoas vão recorrer para ter a certeza de que estão contando dezessete coisas com igual correção.”

Imagine o leitor o seguinte procedimento, que chamarei de Procedimento Quimera: tem de chutar uma bola a gol. Mas, além de você, não há mais ninguém no campo; não há nem mesmo um goleiro para defender o gol de seu chute. Além disso, em vez de colocar a bola na marca do pênalti, que está a 11 metros da linha de gol, vai colocá-la a apenas 1 metro da linha de gol. Desse modo, é certo que fará gol tantas vezes quantas repetir o procedimento. Quando realizar o procedimento e fizer gol, grite:

“Quimera!”

Percebe que esse procedimento também tem alto grau de precisão, isto é, baixo grau de vagueza e baixo grau de ambiguidade? Pode chutar a bola com o pé direito ou esquerdo; pode chutá-la mais à direita ou mais à esquerda; pode chutá-la com força ou gentileza. Mas vai gritar “Quimera!” quase tantas vezes quantas chutar a gol, simplesmente porque o procedimento é simples, a bola está muito perto da linha de gol, e o gol é grande — 244 centímetros de altura e 732 centímetros de largura. Talvez uma criança pequena não consiga realizar o procedimento a ponto de gritar “Quimera!”, porque ainda controla mal os movimentos, e além disso “quimera” é uma palavra difícil de pronunciar; mas ela também não consegue adicionar oito unidades a sete unidades, pois tem muito o que aprender sobre procedimentos.

Agora imagine outro procedimento, que também vou chamar de Procedimento Quimera. Você compra umas poucas dúzias de ovos. Compra também um daqueles martelos de borracha enormes, que os caminhoneiros usam para desencaixar um pneu da roda. Coloca um ovo diante de você, sobre uma mesa, pega o martelo de borracha e, mantendo o martelo a poucos centímetros do ovo, quebra o ovo com uma breve martelada. Grita “Quimera!” toda vez que quebra um ovo. Ora, deve gritar “Quimera!” quase toda vez que repetir o procedimento, pois é um procedimento com alto grau de precisão.

Duvido que Desconfiado agora queira me dizer: “Ora, visto que usou a palavra ‘quimera’ para dar nome ao resultado final de ambos os procedimentos, e visto que ao realizar qualquer um deles você grita ‘Quimera!’ quase sempre, então existe uma quimera no reino de Platão, que é a forma perfeita de quimera, da qual cada um dos dois procedimentos é uma cópia imperfeita.”

Imagine que dois atletas acabem de se conhecer, por exemplo sentaram lado a lado num avião, e descobrem que ambos são especialistas em Procedimentos Quimera. Só que um grita “Quimera!” quando chuta a gol, e o outro quando martela um ovo. Conversando, contudo, ambos percebem que realizam procedimentos com alto grau de precisão: um grita “Quimera!” quase toda vez que chuta a gol, e o outro, quase toda vez que martela um ovo. Eles vão ver, conversando entre si, que existe um isomorfismo entre os dois procedimentos.

Na matemática, acontece quase a mesma coisa. Um matemático diz “cinco” quando verifica a existência de uma bijeção entre os elementos de um conjunto e cinco de seus dedos, por exemplo os cinco dedos da mão esquerda. O outro diz “cinco” quando verifica a existência de uma bijeção entre os elementos de um conjunto e o conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Conversando, contudo, ambos também percebem que realizam procedimentos com alto grau de precisão; ambos percebem que há uma bijeção entre os cinco dedos da mão esquerda e o conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, e que ambos vão usar a palavra “cinco” sempre nas mesmas situações, exceto nas raras situações em que um deles comete um erro. Mas, se um deles cometer um erro ao usar o procedimento p1, o outro percebe que poderá achar e retificar o erro ao usar o procedimento p2, com o qual está mais acostumado, pois p1 e p2 são isomórficos entre si — e verificar o isomorfismo é outro procedimento com alto grau de precisão.

Todas as afirmações da matemática, por mais complicadas que sejam, por mais que evoquem as palavras “abstração absurdamente divina”, podem no fim das contas ser convertidas em sequências de procedimentos simples, com alto grau de precisão. Talvez a pessoa a converter uma afirmação numa sequência de procedimentos chegue a uma sequência muitíssimo longa, e por ser longa, complicada; mas cada etapa da sequência será um procedimento com alto grau de precisão, que a pessoa realiza sempre com sucesso. (Exceto, talvez, quando está cansada, distraída, ou bêbada.)

Considere, por exemplo, a afirmação: “O número 17 é primo.” Como o leitor Desconfiado pode converter tal afirmação numa sequência de procedimentos com alto grau de precisão?

Usando qualquer procedimento com alto grau de precisão pelo qual contar até 17, Desconfiado coloca 17 bolinhas de gude sobre a mesa. Ele tenta separá-las em vários conjuntos com exatamente duas bolinhas cada um, mas chega a oito conjuntos com duas bolinhas e um conjunto como uma só. “Ora, pelo visto, 17 não é divisível por 2.” Tenta então separá-las em vários conjuntos com exatamente três bolinhas cada um, mas chega a cinco conjuntos com três bolinhas e um conjunto com apenas duas. “17 não é divisível por 3.” Tenta separá-las em vários conjuntos com exatamente cinco bolinhas cada um, mas chega a três conjuntos com cinco bolinhas e um com duas. “17 não é divisível por 5.” E assim vai: Desconfiado não consegue dividir 17 em vários conjuntos com exatamente sete bolinhas cada um, nem onze bolinhas cada um, nem treze bolinhas cada um. Ao fim do processo, Desconfiado declara: “Visto que não consegui dividir 17 bolinhas por nenhum dos números primos menores que 17, sou obrigado a dizer que o número 17 é de fato primo. Posso dizer isso porque, se eu pudesse dividir 17 por qualquer inteiro composto maior que 1 e menor que 17, com resto igual a zero, também poderia dividir 17 por algum dos números primos menores que 17.”

Durante o processo de converter uma afirmação matemática numa série de procedimentos, o leitor talvez precise recorrer a um procedimento recursivo, especialmente no caso de afirmações tratam de conjuntos infinitos. (Do tipo: se n é um inteiro positivo, n + 1 é o sucessor de n.) Mesmo assim, procedimentos recursivos com alto grau de precisão continuam a ser procedimentos com alto grau de precisão. Eu nunca vi uma afirmação matemática que não pudesse ser, de maneira nenhuma, convertida numa série de procedimentos com baixo grau de vagueza e de ambiguidade, e isso se explica com a tese deste artigo: objetos abstratos são procedimentos. {FIM}



Observações:

1. Eis uma primeira tentativa de definir procedimentos mais formalmente.

Definição de procedimento. Um procedimento executado Pe surge da relação entre um exequente E e um procedimento armazenado Pa. Em outras palavras, não existe procedimento Pe se não existir uma receita e um exequente: o exequente E tem de interpretar a receita Pa para produzir o procedimento Pe. Essa providência é necessária, pois com frequência, em textos sobre procedimentos, o autor se esquece do exequente e desse modo o procedimento armazenado, como Pinóquio, ganha vida — a vida que pertence ao exequente. Algoritmo: Se Pa tiver grau muito baixo de vagueza e de ambiguidade (isto é, se Pa tiver grau muito alto de exatidão), pode chamá-lo de algoritmo.

Note que um algoritmo executado também surge da relação entre E e Pa. Assim, um algoritmo executado pode surgir, grosso modo, de duas maneiras: (a) a receita Pa foi escrita com alto grau de exatidão, e o exequente E sabe executá-la sem adicionar por si mesmo vagueza e ambiguidade desnecessárias; e (b) a receita Pa não foi escrita com alto grau de exatidão, mas o exequente E tem condições de escolher uma das interpretações de Pa e sabe executar essa interpretação sempre da mesma forma.

Uma nota sobre “sempre da mesma forma” no parágrafo anterior: não existe exequente que não cometa um erro de vez em quando. (Ou, se existe, ainda não ouvi falar dele.) Até mesmo computadores, executando um programa muito bem escrito, cometem um erro a cada trilhão  ou quatrilhão de instruções executadas; isto é, cometem um erro provocado pelo hardware, e não pelo software. Talvez nem mesmo a Natureza seja capaz de executar uma receita sempre da mesma forma. Se você imaginar a Natureza como sendo um autômato celular, tenho a impressão de que ela às vezes comete erros na contagem de células ligadas e desligadas, e liga uma célula que não deveria ligar ou desliga uma célula que não deveria desligar.

Isso significa que, em geral, Pa não é a mesma coisa que Pe. Apesar disso, ao pensar e escrever sobre procedimentos, é muito incômodo distinguir a todo momento Pa de Pe. Se quiser, pode fazer o que fiz no artigo principal: escreva apenas “procedimento”, sem distinguir a receita Pa do procedimento Pe tal como executado pelo exequente E — exceto quando não tiver escolha senão distinguir Pa de Pe. Em todo caso, ao pensar sobre tudo isso, jamais se esqueça do exequente E, para não correr o risco de atribuir a Pa ou a Pe características do exequente.

2. Seres humanos têm armazenados dentro do cérebro uma imensa quantidade de procedimentos muito simples; pode chamá-los, se quiser, de “microprocedimentos”. São do tipo “se eu puser uma pitada a mais de sal, fica um pouco mais salgado”, “se eu puser uma pitada a mais de açúcar, fica um pouco mais doce”, “se eu mover um pouquinho a cabeça para a direita, melhoro um pouquinho minha consciência das coisas que estão à minha direita”, “se eu fizer um pouquinho a mais de x, obtenho um pouquinho a mais de y”. Alguns desses microprocedimentos foram automatizados quando éramos crianças bem pequenas, e temos dificuldade de perceber que eles existem, pois os usamos sem notar que estamos usando um microprocedimento. (Tente, por exemplo, listar absolutamente tudo o que faz ao escovar os dentes.) Usamos muitos desses microprocedimentos quando interpretamos uma afirmação matemática e quando produzimos uma afirmação matemática. Como nem toda pessoa tem a capacidade de usar a introspecção para perceber que está executando uma imensa coleção de microprocedimentos, muitos dos procedimentos matemáticos dão ao praticante a impressão de que são um presente dos deuses; e daí a postular a existência de um universo paralelo onde existem objetos abstratos mais ou menos do tipo “formas platônicas” é um pulo.

Digo, contudo, o seguinte: se alguém recorre a essas definições meio místicas de objeto abstrato, nas quais ele é parte de um universo paralelo onde vivem as abstrações, ao qual temos acesso graças aos deuses, é porque prematuramente desistiu de dizer algo simples: “Eu não sei bem o que são objetos abstratos.” Além disso, desistiu também de procurar uma explicação naturalista. Se minha tese estiver correta, uma explicação naturalista deve ir na linha: “Objetos abstratos são procedimentos com alto grau de exatidão.”

3. Quando digo que um procedimento surge da relação entre um exequente e uma receita, não quero dizer que o exequente precisa ser algo inteligente, ou mesmo autoconsciente. A Natureza é o exequente de muitos procedimentos naturais, como a modificação das espécies por seleção natural; e a “receita” é composta por características instrínsecas da própria Natureza, como mecanismos e processos naturais.

4. A tese de que objetos abstratos são procedimentos com alto grau de precisão pode ser classificada, até onde consigo ver, como um tipo de ficcionalismo na matemática. De modo geral, você pode caracterizar o ficcionalismo sobre certo discurso como a constatação de que as afirmações daquele discurso não se referem às coisas que pensamos que se referem, mas que devem ser vistas como uma espécie de ficção.

Suponha, por exemplo, a Criança1, que está cavalgando um cavalo preto, e diz entusiasmada: “Eu sou Alexandre, o Grande, e esté é Bucéfalo, o cavalo mais famoso da história!” E agora a Criança2, que está cavalgando um cavalo marrom, e também diz entusiasmada: “Eu sou Alexandre, o Grande, e esté é Bucéfalo, o cavalo mais famoso da história!” É melhor ver ambas as exclamações como sendo um tipo de ficção, que se aplica bem a ambas as situações. É mais ou menos isso o que acontece quando duas pessoas, recorrendo a procedimentos distintos, mas isomórficos entre si, dizem a respeito do procedimento que acabaram de realizar: “O número 17 é primo.”

Não há nada muito especial sobre usar afirmações que são uma espécie de ficção para fazer afirmações pertinentes sobre coisas concretas, do tipo “Se temos 17 bombons, não podemos reparti-los em três partes iguais.” Quando um sujeito está ouvindo um marido ciumento falar mal da mulher, e sabe que a mulher não merece as acusações, pode dizer em resposta: “Você, Bentinho, vai acabar sem a sua Capitu, e quem realmente vai sair perdendo é você. Ouça um conselho de amigo: procure ajuda especializada.” O sujeito recorreu a um trechinho de ficção para dizer algo pertinente sobre um estado de coisas real.

5. No artigo, usei várias vezes a palavra “classe”. Estou usando uma distinção da teoria de classes: todo conjunto é uma classe, mas nem toda classe é um conjunto. Em particular, uma classe própria não é um conjunto. Mais precisamente, se X é um conjunto, existe uma classe Y tal que X Y. Mas, se X é uma classe própria, não existe uma classe Y tal que X Y. Classes próprias nunca são elementos de nenhum conjunto, nem de outra classe. (Não existe, por definição, o conjunto potência de uma classe própria.) Essa providência é necessária para evitar o paradoxo de Russell. Visto que reunir procedimentos num conjunto é em si mesmo um procedimento, quando usei a palavra “classe” no artigo, quis apenas sinalizar o fato de que estou consciente do paradoxo de Russell e que, ao usar a palavra “classe”, quero evitá-lo.

Quando alguém diz “Existe uma classe de todos os procedimentos”, está dizendo o quê, exatamente, se objetos abstratos são procedimentos, e se a própria ideia de classe é um procedimento, ou mesmo mais de um? Está dizendo que pode, na imaginação, reunir todos os procedimentos possíveis e imagináveis numa classe própria; para mim, entretanto, isso é um jeito de falar — um tipo de ficção.

6. Bijeção. Diga que há uma bijeção f entre os conjuntos A e B se, para cada elemento de A, você faz corresponder exatamente um elemento de B, e se, além disso, para cada elemento de B, você faz corresponder exatamente um elemento de A. Faça tudo isso de modo que, se a e b são elementos do domínio, com ab, daí f(a) e f(b) são elementos do contradomínio, com f(a) ≠ f(b). No caso de conjuntos com número finito de elementos discretos, existe uma bijeção entre A e B se, e somente se, A e B têm o mesmo número de elementos.

7. Isomorfismo. Em termos quase leigos, um isomorfismo é uma bijeção entre dois sistemas que traduz com exatidão a estrutura de um sistema na estrutura do outro sistema (e vice-versa). Pense, por exemplo, numa cidade e no mapa da cidade: há um isomorfismo entre a cidade e o mapa; mais precisamente, a distância entre quaisquer dois pontos da cidade é proporcional à distância entre os dois pontos correspondentes no mapa. Não vou dar aqui a definição formal de isomorfismo; há muitas na internet. Ao dizer que objetos abstratos são procedimentos, de certa forma estou dizendo que, quando usamos corretamente essa ficção chamada de “objetos abstratos”, há um isomorfismo entre a ficção e certos aspectos da realidade.

8. Em várias partes do artigo, fiz menção às formas platônicas, que são talvez a concepção mais antiga e famosa de objeto abstrato. Mas não quero ser injusto com Platão: vários especialistas dizem que ele mesmo talvez tenha mudado de ideia a respeito das formas, porque, já no tempo dele, essa ideia foi severamente criticada, e algumas das críticas apareceram nos diálogos platônicos sem que fossem devidamente rechaçadas por um dos participantes do diálogo. Em todo caso, dado o conjunto da obra de Platão, parece que ele acreditava na teoria das formas.

9. Caso queira citar este artigo, escreva:

Simões, Márcio. “Objetos abstratos = Procedimentos”. São Paulo: Imaginário Puro (blogue), 26 de julho de 2019.

Se possível, forneça o link permanente para o artigo:

[https://imaginariopuro.wordpress.com/2019/07/26/objetos-abstratos-procedimentos/]

10. Se o leitor é admirador de Spinoza, não precisa ficar bravo comigo. Primeiro, porque também sou admirador de Spinoza. Segundo, porque Spinoza não explicou como o ser humano tem acesso ao atributo do pensamento da Substância = Deus = Natureza. Você pode reinterpretar esta postagem assim: (a) Há regularidades, ou padrões, na Natureza. (b) O processo de seleção natural privilegia os indivíduos capazes de detectar regularidades, e de desenvolver procedimentos pelos quais lidar com tais regularidades. (c) Por meio de seleção natural, a espécie humana desenvolveu uma muito apurada habilidade de desenvolver procedimentos com os quais lidar com as regularidades da Natureza, até que por fim desenvolveu a capacidade de usar a linguagem para conversar sobre procedimentos com alto grau de exatidão, isto é, sobre objetos abstratos; tais conversas às vezes são chamadas de “matemática”, às vezes de “lógica”, às vezes de “filosofia”, às vezes de “ciência”. (d) Assim, especialmente por meio de lógica e de matemática, a espécie humana ganhou a possibilidade de explorar o atributo do pensamento, ou, nas palavras de Spinoza, “o intelecto infinito de Deus, isto é, da Natureza”.

11. Este é o 300º artigo deste blogue!

Quando um número complexo é também irracional


Diga: 2√2 é um número transcendente ou não é?

Matemáticos com experiência em teoria dos números batem o olho no termo “2√2” e respondem, de imediato: “É sim um número transcendente, porque 2 é um número complexo diferente de 0 e de 1, e também é um número algébrico; além disso, √2 é um número algébrico que é irracional.”

Eles são ligeiros na resposta porque conhecem o teorema de Gelfond-Schneider. Para acompanhar uma prova desse teorema, e entender todos os detalhes técnicos, o leitor precisa de uns poucos anos de estudos, mas o teorema em si é fácil de expressar e de entender:

Teorema de Gelfond-Schneider. “Considere dois números complexos a e b. Se a e b são números algébricos com a ≠ 0, a ≠ 1, e b irracional, daí qualquer valor de ab é um número transcendente.”

Se é assim, diga: 2i é um número transcendente ou não é?

Caso não tenha experiência com teoria dos números, deve achar difícil decidir qual é a resposta, mesmo tendo acabado de conhecer o enunciado do teorema de Gelfond-Schneider. Afinal, 2 é um número algébrico (mais sobre isso logo abaixo), 2 ≠ 0, e 2 ≠ 1. Mas o que dizer da unidade imaginária? Ela também é um número algébrico, pois é uma das raízes de x2 + 1 = 0. Mas pode-se dizer que i é um número irracional?

Sim, i é um número irracional e, aplicando o teorema de Gelfond-Schneider, 2i é um número transcendente.

Para especialistas em teoria dos números, especialmente a teoria sobre números transcendentes, todo número complexo com a parte imaginária diferente de zero é um número irracional. Logo, i é um número irracional, assim como 2 + 2i, 1 – i, e √3 – i√3.

Duas definições. Antes de continuar, vale a pena estudar brevemente dois termos técnicos: “número algébrico” e “número transcendente”.

Número algébrico. É qualquer número complexo que serve de raiz a uma equação polinomial com coeficientes inteiros. Por exemplo, 2 + 2i é um número algébrico porque é uma das raízes de x2 – 4x + 8 = 0; mas 1 – i e √3 – i√3 também são algébricos: 1 – i é uma das raízes de x2 – 2x + 2 = 0, e √3 – i√3 é uma das raízes de x4 + 36 = 0. Todo número racional é algébrico, visto que p/q, com p e q inteiros e q ≠ 0, é a raiz de qxp = 0. (“Número racional”, neste caso, é o número complexo cuja parte real é racional e a parte imaginária é nula.)

Número transcendente. É qualquer número complexo que não seja um número algébrico, isto é, é qualquer número complexo que não serve de raiz para nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Os dois transcendentes mais famosos são as constantes e e π. Como já viu, 2√2 e 2i são números transcendentes; mas, de acordo com o teorema de Gelfond-Schneider, (2 + 2i)√2, (1 – i)i, e (√3 – i√3)(1 – i) também são transcendentes.

Apesar do nome, não há nada mágico ou místico nos números transcendentes. Eles precisavam de um nome e, na ocasião em que foram batizados, “transcendente” pareceu mais bacana que “não algébrico”. Polinômios com coeficientes inteiros são importantes em muitas áreas da matemática, e especialmente importantes na física; por causa disso, há muitos anos os matemáticos investigam procedimentos para dizer, com precisão, se determinado número é algébrico ou transcendente.

Mister TN. Agora, a questão que não quer calar. “Como assim, cara pálida? Quem disse que um número complexo com a parte imaginária diferente de zero é irracional? Eu sempre disse que todo número irracional é um número real que não é racional.” Muita gente talvez reaja assim, inclusive um ou outro professor de matemática.

Ponha-se no lugar do especialista em teoria dos números. Vamos chamá-lo de Mister TN. Seu interesse é conhecer, tão completamente quanto puder, as relações e funções que pode estabelecer com o conjunto N dos inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, …}. Para tanto, Mister TN vai lançar mão de toda e qualquer ferramenta matemática, por mais complicada que seja: geometria algébrica, topologia, análise, combinatória, álgebra linear, álgebra abstrata. Ele é agnóstico quanto às ferramentas: desde que com elas consiga produzir afirmações verdadeiras sobre inteiros não negativos, está feliz. Em particular, vai recorrer ao sistema dos números complexos.

Isso significa que vai constantemente interpretar “número complexo” como sendo “um dos pontos do plano complexo”. O leitor já sabe mais ou menos o procedimento: Mister TN vai atribuir a cada ponto do plano as coordenadas (x, y), tomadas em relação a um sistema YOX de coordenadas cartesianas; e pensar em cada ponto (x, y) como sendo o representante do número complexo x + yi.

Suponha que Mister TN queira particionar os números complexos em dois conjuntos disjuntos: de um lado, o conjunto dos números racionais; de outro, o conjunto dos outros números, aqueles que não são racionais, isto é, o conjunto dos números irracionais. Ele ambiciona simplicidade máxima: cada número complexo ou é racional ou é irracional, espelhando o que já acontece no sistema dos números reais. Em que conjunto deve colocar os números complexos i, 2 + 2i, 1 – i, √3 – i√3?

Primeiro, examine uma definição simples de número racional:

Definição simples de número racional. É o número que pode exprimir com o quociente p/q, sendo p, q inteiros, com q ≠ 0.

A primeira coisa a notar é que, no plano complexo, todo racional será elemento da reta X, pois suas coordenadas são (p/q, 0). Em outras palavras, para que um número complexo seja equivalente a um número racional no sistema dos números reais, a condição necessária é que o ponto no plano complexo equivalente a esse número racional seja um dos pontos da reta X.

Com isso, Mister TN já pode dizer: “Se um dos pontos do plano complexo não é elemento da reta X, tem de corresponder a um número irracional, já que eu quero particionar os complexos em apenas dois conjuntos disjuntos, o dos racionais e o dos irracionais.” Ora, se um ponto do plano complexo não é elemento da reta X, é porque a parte imaginária é diferente de zero: é um ponto do tipo (x, y) com y ≠ 0. Por exemplo, (0, 1), (2, 2), (1, –1), e (√3, –√3), que são os pontos equivalentes a i, 2 + 2i, 1 – i, e √3 – i√3.

E isso tudo faz sentido, porque, de fato, não existem dois inteiros p, q, com q ≠ 0, tais que p/q = i, p/q = 2 + 2i, p/q = 1 – i, ou p/q = √3 – i√3. É por isso que Mister TN, usando esse jeito de classificar os números complexos, vai dizer que i é um número irracional, e vai usar o teorema de Gelfond-Schneider para dizer que 2i é um número transcendente. Isso porque tanto Gelfond quanto Schneider, para provar o teorema que leva o nome dos dois, classificaram os pontos do plano complexo em dois conjuntos disjuntos, o dos racionais e o dos irracionais; e sua única escolha sensata era colocar números complexos do tipo x + yi, com y ≠ 0, no conjunto dos irracionais.

Palavras, palavras. Existem casos nos quais o matemático se sente pouco à vontade de chamar o número complexo 1 – i, por exemplo, de irracional? Sim, existem. Em certas áreas da teoria dos números, o investigador está muito interessado em pontos (x, y) do plano complexo nos quais x, y são ambos números racionais. Tais pontos acabaram sendo batizados de “pontos gaussianos”, e os números complexos aos quais correspondem de “racionais gaussianos”. Logo, os números complexos i, 2 + 2i, e 1 – i, são todos racionais gaussianos. Se por acaso o investigador estiver interessado tanto em racionais gaussianos quanto em números transcendentes, ficará na desconfortável posição de dizer que 1 – i, por exemplo, “é um racional gaussiano, irracional”. Talvez um dia surjam nomes mais apropriados.

Eis uma imagem para ajudar o leitor a entender o ponto deste texto: a matemática é um tipo de jogo de tabuleiro. Em todo jogo de tabuleiro, há o tabuleiro, as peças, a posição inicial, e as regras do jogo, isto é, as regras pelas cada jogador pode mover as peças no tabuleiro. Especialistas em lógica, como Wilfrid Hodges, Johan van Benthem, e Dominic Klein, têm publicado artigos mostrando como certos jogos lógicos capturam todas as características de certas áreas da matemática. Em alguns desses artigos, por exemplo, as regras de inferência se transformam em regras de jogo, isto é, regras pelas quais partir de certos axiomas e definições (a posição inicial) e seguir adiante, movendo as peças corretamente, até certos teoremas (posições intermediárias). O importante é que cada matemático tenha a liberdade de criar um jogo como quiser — suas únicas limitações são: o jogo deve ser coerente (isto é, aqueles que se dispõem a estudá-lo devem ter a capacidade de compreendê-lo, ou, em outras palavras, a compreensão do jogo não pode ficar a critério dos deuses) e consistente (suas regras não podem se contradizer). Se for um bom jogo, terá muitas semelhanças com os outros jogos da matemática; quer dizer, o matemático poderá usar certos morfismos para transpor as conclusões de um jogo para outro. O nome atribuído ao tabuleiro, às peças, e às regras não importa muito. Tanto faz se chama uma peça de “dama” ou de “rainha”, ou se chama um tabuleiro de “corpo” ou “campo”: isso não muda o jogo em nada. O ideal é que os nomes sejam escolhidos de tal maneira a permitir que os jogadores conversem sobre cada jogo de modo produtivo, agradável. Quando a questão é a linguagem humana, contudo, com frequência ficamos bem longe do ideal, e o estudante faz bem se adotar uma atitude a mais virtuosa possível — tolerante, paciente, aberta ao diálogo, ou, numa palavra, democrática. {FIM}


Observação:

Há duas matérias neste blogue bastante correlacionadas com a matéria que acabou de ler: (a) uma mostra ao leitor como partir de noções comuns da matemática escolar e construir o sistema dos números complexos; (b) a outra discute o modo como certos professores embaralham o sistema dos números complexos com o dos números reais — embora os dois tenham características comuns, são dois sistemas distintos.

(a) Tudo sobre números complexos.

(b) Se não pode, então como é que pode?

 

Axiomas demoram séculos para amadurecer

Depois de pensar por uns 2.300 anos, os matemáticos puderam proclamar: o quinto postulado de Euclides é mesmo um axioma! O estudante fica surpreso com toda essa demora, mas, na matemática, assim é a regra. Ano após ano, século após século, os matemáticos reveem os fundamentos da matemática. Em que ocasião eles põem os axiomas no papel com clareza? Quando a teoria está quase podre de tão madura, mas, ainda assim, não explica direito o que deveria explicar.


{1}/ Se o Kolmogorov falou, está falado

Um estudante (vamos chamá-lo de nfY) escreve no caderno uma demonstração com a aritmética de Peano. Diverte-se mostrando para si mesmo que pode provar várias afirmações a partir de ideias elementares, mas é interrompido pela irmã adolescente. Ela aponta os rabiscos no caderno e gesticula como se estivesse disposta a fazer várias perguntas, mas se complica já com a primeira delas:

“O que é isso?”

“É um axioma.”

“E o que é um axioma?”

Ele para e reflete. Levanta os olhos na direção do teto, murmura algo sobre verdades, intuição, e ponto de partida. Depois pega a caneta e começa a dar exemplos:

“Sabe os números naturais?”, rabisca o caderno enquanto fala. “Um cara chamado Giuseppe Peano listou alguns axiomas para eles: primeiro disse que N é o conjunto dos números naturais, que 1 é um elemento de N e que s é uma função sucessora.”

“O que é função sucessora?”

nfY respira fundo e continua:

“Se a é um número natural, depois dele vem outro número natural que definimos com a função sucessora: s de a.” Ele aponta o s(a) no caderno para mostrar como se escreve e depois apresenta o quantificador : para todo. O caderno fica como a tabela 1.

Tabela 1

O que ele escreve:

O que ele fala:

Axioma 1: 1 N

1 é um número natural.

Axioma 2: (a N)(s(a) N)

Para todo a em N, o sucessor de a também está em N.

Axioma 3: (a N)(s(a) ≠ 1)

Para todo a em N, o sucessor de a é diferente de 1. (Ou seja: não existe um número natural menor do que 1.)

Axioma 4:

(a, b N)

(s(a) = s(b) a = b)

Para todo a e b em N, se o sucessor de a é igual ao sucessor de b, então a é igual a b.

Axioma 5:

(S N)

(((1 S) & (x S)(s(x) S) S = N))

Num subconjunto S de N:

1 pertence a S;

Para todo x em S, o sucessor de x também está em S;

Então, S é o conjunto de todos os números naturais.

(Ou seja: não existem dois conjuntos dos números naturais, mas apenas um.)

“Pronto. Falei da ideia de número natural, de 1, da função sucessora, que você pode pensar como a + 1, e do princípio da indução matemática, usado para provar várias propriedades importantes correlacionadas com números naturais.”

nfY diz que, com esses princípios básicos, Peano pôde deduzir todas as outras regras da aritmética; logo, tais princípios são axiomas. Diz ainda à irmã que, por conveniência, alguns algebristas trocam 1 por 0 nesses axiomas, nos casos em que 0 ajuda nas contas. (Isto é, eles incluem o 0 no conjunto dos números naturais.) O intuito do algebrista é mostrar que existe um número natural menor que todos os outros e que, depois dele, vem apenas um único número natural, e depois desse vem apenas outro único, e assim por diante. Então a irmã continua:

“Mas como você sabe que 1, ou 0 dependendo do caso, é um número natural?”

“É um axioma.”

“E o que é um axioma?”

nfY começa a perder a paciência.

“Axioma é uma afirmação da qual se deduz todas as outras!”

Fala com certeza, pois leu definições assim em vários dicionários e enciclopédias, e além disso todos os professores da faculdade já se referiram aos axiomas dessa maneira. Mesmo assim, nfY fica encucado. Será que axioma é algo tão simples assim? Como pode alguém ser tão genial a ponto de descobrir afirmações simples, a partir das quais pode deduzir tantas afirmações complexas?

Num grosso livro amarelo (Mathematics: Its Methods, Content and Meaning), os matemáticos russos Aleksandrov, Kolmogorov e Lavrent’ev escrevem: “Um axioma é uma espécie de síntese. É a afirmação mais simples que alguém pode conceber para sintetizar toda a matemática descoberta até o momento em que a afirmação foi concebida.” Ao ler a passagem, nfY enruga a testa, sente como se o cérebro se reorganizasse para abrir espaço para a novidade, e então retoma a leitura: “Criamos matemática e, com a prática, conseguimos identificar na matemática já criada os axiomas que ela contém. Esse processo às vezes leva séculos. Com os axiomas, aperfeiçoamos a matemática já existente e criamos matemática nova.” Raramente um matemático oferece essa definição de axioma; em geral, ele segue na linha “Um axioma é uma afirmação cujo valor de verdade é óbvio ou cujo valor de verdade, mesmo não sendo óbvio, deve ser assumido como sendo verdadeiro.” Depois de ouvir a definição dos russos, e de ouvir o nome “Kolmogorov”, o matemático reage assim:

“Ah, foi o Kolmogorov que disse isso, é?! Huuummm, pensando bem, faz sentido.”

Para o estudante nfY, contudo, não faz tanto sentido assim, e muito menos para sua irmã adolescente. nfY se ocupa com dezenas de exercícios e com os trabalhos da faculdade, e se prepara para concluir o trabalho de iniciação científica sobre teoria dos números, mas nunca parou para pensar no que é um axioma, ou melhor, pensar de verdade.

Primeiro a experiência. À procura de como matemáticos definiam axiomas antigamente, nfY abre um livro de história da matemática. Lê sobre um grego chamado Tales (600 anos a.C.), a quem muitos atribuem a ideia de pensar em afirmações que não podiam ser provadas. Algumas páginas à frente, lê sobre Pitágoras e sua escola de geometria e vê que, uns 200 anos depois de Pitágoras, um sujeito decide organizar toda a teoria de maneira axiomática. N’Os Elementos, Euclides colocou no papel algumas definições, cinco postulados (isto é, axiomas) e a partir deles deduziu todos os teoremas de geometria conhecidos até então. Dali em diante, os matemáticos liam Os Elementos, achavam tudo genial, mas desconfiavam do quinto postulado: “Não tem cara de axioma.” Somente no século 19, alguns matemáticos remexeram tanto nele que descobriram o problema. O quinto postulado de fato era um axioma, mas apenas em espaços nos quais uma reta é uma reta mesmo, dessas que nfY desenha com a régua. Existiam espaços nos quais o quinto postulado não valia, pelo menos não da forma como Euclides o deixou n’Os Elementos.

Nicolau Corção Saldanha, professor na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, explica que, para um matemático, um axioma é ponto de partida apenas do ponto de vista lógico, e não cronológico. “É importante entender que raramente uma teoria matemática nasce a partir dos axiomas. A axiomatização ocorre quando a teoria já está madura.” A geometria euclidiana, por exemplo, demorou 23 séculos para amadurecer. No final do século 19, Hilbert pegou Os Elementos e tudo mais que sabia sobre geometria e botou a teoria a limpo com todo o rigor de que foi capaz. Passou sete anos escrevendo e reescrevendo Os Fundamentos da Geometria, tirando e acrescentando axiomas. Até que apresentou os 20 axiomas da geometria, divididos em cinco grupos, e apresentou também uma prova de que eram independentes, isto é, de que ninguém poderia deduzir uns dos outros.

O matemático cria teorias a partir de intuições, de algum tipo de aplicação ou adaptação de outras teorias, ou de fatos desorganizados que admite como verdadeiros. Foi assim que Newton, por exemplo, criou o cálculo diferencial e integral. Queria aplicá-lo ao estudo dos movimentos dos planetas, e partiu de uma ideia muito intuitiva: a ideia de infinitésimo. Iole de Freitas Druck, professora no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP), conta que Newton e Leibniz usaram a matemática de seu tempo (aritmética, álgebra e geometria), criada para resolver problemas sobre coisas paradas, para descrever movimentos contínuos; mas não tinham um conceito bem definido para infinitésimo. “Pergunte ao Newton o que é infinitésimo!” Ela então simula um diálogo com Newton:

Mister Newton: o que é um infinitésimo?”

“É um número tão pequeno quanto se queira.”

“Como assim tão pequeno quanto se queira?”

“Ah, é um número positivo menor do que qualquer outro número positivo.”

“Uma explicação é meio imprecisa e a outra é meio contraditória”, diz Iole. “Não podem ser definições.” No entanto, mesmo sem o conceito formal, colegas e amigos de Newton e de Leibniz obtiveram resultados úteis para a física e a matemática até que, dois séculos depois, matemáticos como Weierstrass e Cauchy formalizaram a ideia de limite, e em 1961 Abraham Robinson formalizou a ideia de infinitésimo. “Ele [Newton] não estava errado, mas não se explicou de forma logicamente coerente, e nem podia se explicar: não tinha as ferramentas.”

Nem verdade, nem eterno. Qualquer matemático sabe e insiste em dizer: axioma não é uma verdade, nem é autoevidente. nfY também sabe, pois o professor enfatiza: é uma afirmação que assumimos como verdadeira. Às vezes, até o desencoraja a usar a palavra verdade: “Afirmação já está bom!” Mesmo assim, até o século 19, os matemáticos classificavam um axioma como sendo uma verdade óbvia. Com a descoberta das novas geometrias, começaram a tratá-los com mais cuidado: são afirmações que o analista assume como verdade à luz de determinada teoria matemática.

João Lucas Barbosa, matemático aposentado pela Universidade Federal do Ceará, diz que o aluno deve riscar as palavras autoevidente e óbvio da definição de axioma (caso veja uma dessas por aí). Senão o aluno supõe que está dentro dum outro universo, no qual faz sentido falar no que é certo e no que é errado. “Você envereda por um caminho que pode dar a maior complicação.” Por exemplo, se o aluno lê que por um ponto fora duma reta passa apenas uma única reta paralela à reta dada, não pode se esquecer de que está pensando num espaço euclidiano usual (por exemplo, um plano cartesiano); na geometria hiperbólica, por exemplo, esse axioma não vale. Aliás, vale o contrário: por um ponto fora duma geodésica passam pelo menos duas geodésicas paralelas à geodésica dada. (Geodésica é a curva que dá a menor distância entre dois pontos; na geometria euclidiana, a menor distância entre dois pontos é uma reta.) Não significa que uma afirmação é mais verdadeira do que a outra, ou mais importante do que a outra, pois cada uma vale num contexto diferente.

Ora, pensa nfY, se reformularam a ideia de axioma e os próprios axiomas, será que desta vez os matemáticos estão escolhendo os princípios certos para cumprir o papel de axiomas? Em Matemática: Uma Breve Introdução, o matemático inglês Timothy Gowers responde: “Primeiro, esse princípio parece evidente à maioria dos que o compreendem. Segundo, o mais relevante num sistema de axiomas não é tanto a sua verdade como a sua consistência e utilidade. O que uma prova matemática faz é estabelecer uma conclusão, como a irracionalidade de raiz de dois, a partir de certas premissas, como o princípio da indução. A validade das premissas é uma questão de natureza completamente diferente e pode ser deixada aos filósofos.” Em palavras bem simples: se os axiomas funcionam, use-os; se quer saber o que realmente significam, estude filosofia — vai descobrir que seu real significado é mais difícil de pôr no papel do que parece à primeira vista.

nfY começa a entender as nuances do sentido ampliado de axioma: ao remexer nos fundamentos, matemáticos reorganizam as teorias mais antigas, descobrem nelas afirmações escondidas, e então desenvolvem novas teorias a partir das afirmações recém-descobertas. “Além disso”, pensa nfY, “esse sentido me faz ver que nenhum axioma é eterno. Daqui a 200 anos ou daqui a 10 séculos, alguém talvez encontre axiomas mais básicos para explicar, por exemplo, a teoria dos conjuntos. Talvez os axiomas atuais virem teoremas ou corolários de axiomas mais novos.” Com essa ideia na cabeça, o estudante não só descobre coisas novas, mas passa a olhar textos antigos de um jeito diferente.

O fio da meada. Quando crianças começam a perguntar “Por quê?”, às vezes viram uma amolação. É como puxar aquele fiozinho solto na roupa: quem não toma cuidado, puxa tanto fio que destrói a roupa. Rogério Fajardo, professor no IME-USP, diz que é assim com a matemática, e daí a utilidade do axioma. “Mas por que isso? Por que aquilo? Sempre é possível perguntar ‘por que’ mais uma vez, e por isso tomamos um axioma como ponto de partida.” Para ele, pensar no axioma como síntese da teoria lembra o método heurístico, no qual o estudante faz exercícios e mais exercícios até que, a certa altura, de tanto ver as mesmas ocorrências nos exercícios, começa a elaborar as teorias que, de outra forma, seu professor seria obrigado a explicar. “Seria interessante trabalhar essa ideia com os alunos”, diz Rogério, “mas falta tempo.” Em quatro meses de curso e em quatro anos de graduação é impossível ajudar o aluno a axiomatizar o que gerações antes dele levaram séculos para axiomatizar. Rogério sugere uma atividade correlata: aplicar matemática num problema de crescimento populacional, no qual o aluno precisa selecionar alguns aspectos importantes e desprezar outros. “Talvez isso seja parecido com a forma como os matemáticos descobrem ou escolhem axiomas.”

Após ler um pouco da história da matemática, nfY percebe que, ao escrever a prova de um teorema, o matemático de hoje faz o que os gregos antes de Euclides faziam. O matemático lê os artigos de outros matemáticos, admite que estão corretos e parte deles para provar novos teoremas. Daqui uns 200 anos, talvez um novo Euclides pegue esses trabalhos todos, se debruce sobre eles e tire deles as afirmações mais básicas que puder. Talvez após mais 200 anos outro matemático olhe as mesmas afirmações e consiga tirar delas outras mais básicas ainda. “Para encontrar novos resultados”, diz João Lucas Barbosa, “o matemático tem de admitir que o que foi feito anteriormente está certo. Depois, em algum momento, alguém dá uma forma geral e estabelece um conjunto de axiomas o mais simples possível de modo que surja uma nova teoria.” E se o estudante se recusa a fazer isso? Vai ler um trabalho e querer saber se suas pressuposições são verdadeiras. Vai ler 20 trabalhos e querer saber se suas pressuposições são verdadeiras. Vai ler 100 trabalhos… “Chega uma hora na qual há uma pilha de artigos em cima da mesa”, diz Lucas. “Assim ele não publica trabalho nenhum!”

Algo parecido aconteceu com Lucas quando estava no fim do doutorado na Universidade da Califórnia, em Berkeley. Seu orientador, o professor Shiing-Shen Chern (1911-2004), entrou na sala e escreveu na lousa a equação:

f + 2f = 0

(Lê-se laplaciano de f mais dois f é igual a zero)

“Você sabe algo sobre essa equação?”, Chern perguntou.

Lucas não sabia. “Tinha a ver com estabilidade de superfícies mínimas, um assunto que na época [nos anos 1960] estava na crista da onda.” Quando Chern saiu, ele correu até a lousa, desenhou um quadrado em torno da equação e escreveu um aviso: “Não apagar.” Começou uma busca para descobrir coisas sobre a equação e encontrou algo num artigo. “Era dificílimo. Vi que ia perder o tempo e o latim naquilo, então só ia dar uma olhadazinha na demonstração, mas ela não estava lá.” Lucas pensou: “Que diabo é isso? Se o autor não incluiu a demonstração, é porque é muito simples!” Ao longo de um mês, tentou deduzi-la sozinho, mas sem sucesso. Até que um professor lhe disse onde havia uma prova, mas recomendou que não a lesse, pois estava errada.

O autor da prova havia cometido um erro crasso no finalzinho do artigo: trocou um sinal de mais por um de menos. Ainda assim, ela estava correta, mas, para evitar que alunos tomassem alguns dos resultados errados no artigo, todo mundo citava a afirmação sobre o laplaciano de f, mas não mencionava nenhuma prova. Para o estudante, dá um frio na barriga, um medo de construir algo por cima de um erro, tanto é que Lucas confirmou com o professor:

“Esse negócio não está errado?”

“Não, está perfeito. Todo mundo já refez e dá um trabalho lascado, mas a demonstração está perfeita exceto por um sinal.”

Após dois anos de pesquisa, Lucas provou afirmações cujo ponto de partida era a equação do professor Chern. Ganhou boa fama entre os matemáticos e, anos depois disso, demonstrou para si mesmo aquela prova que continha o erro. Em outras palavras, ele partiu da pressuposição de que a equação estava certa. “Para mim, aquilo ali era um axioma. Um axioma não é uma frase especial. É qualquer coisa que você use como ponto de partida para seu trabalho.”

Mais é menos. Quando o matemático escreve um artigo ou dá aulas sobre alguma teoria, não faz questão de recorrer aos axiomas mais básicos. Para ele, quanto mais axiomas emprega (no sentido de quanto mais afirmações assume como verdadeiras), menos coisas precisa demonstrar, ou seja, menos trabalho. Quando dá o curso de lógica, Iole não usa com os alunos a axiomática mais enxuta. “Quanto mais coisas para provar, mais difícil o curso.”

Um estudante inconformado talvez se pergunte por que então as pessoas se esforçaram tanto para tirar o quinto postulado da lista de axiomas? Eram só cinco! Agora são vinte! “Eram cinco porque Euclides não percebeu quantas outras pressuposições aqueles cinco postulados continham”, diz Iole. Quando revisam uma teoria, ou quando revisam pilhas de artigos em busca de axiomas, nem sempre os matemáticos estão atrás de precisão: muitas vezes, estão atrás de elegância. A busca por demonstrações elegantes é uma tradição matemática. No capítulo 1, o matemático usa o maior número possível de axiomas para provar teoremas mais facilmente; no capítulo 2, usa o menor número possível de axiomas para deixar a teoria mais concisa e elegante.

Segundo Nicolau Corção Saldanha, os matemáticos axiomatizam a teoria para reduzir o número de discussões disparatadas a uma discussão sobre poucos tópicos. Mas isso não está ao alcance de quem estuda objetos mal fundamentados da matemática; neste caso, quanto menos conversa sobre axiomas, melhor. Se Newton tivesse parado para definir precisamente a ideia de infinitésimo, talvez nunca tivesse desenvolvido o cálculo, e talvez tivesse conseguido uma bela úlcera gástrica.

O mesmo processo se repete, mais ou menos, com todo aluno que entra na faculdade. O estudante nfY põe isso na cabeça: “Existe uma hora para aprender matemática, uma hora para fazer matemática, e uma hora para revisar a matemática.” Para se convencer de que a estratégia é boa, basta relembrar a história de Peano: só conseguiu axiomatizar a aritmética no século 19, isto é, 348 séculos depois do osso de Lebombo — o objeto matemático mais antigo de que se tem notícia. É o que diz Iole: “Quanto mais básica e grudada na gente, mais difícil é colocar essa ideia abstrata no papel. Por exemplo, é uma coisa muito difícil definir número.”

Enquanto isso, de tempos em tempos, os matemáticos tentam axiomatizar tudo; entram numa espécie de frenesi axiomatizante. Por exemplo, houve um grupo de matemáticos que publicou muita coisa sob o apelido de Nicolas Bourbaki, e tentou escrever uma espécie de Os Elementos do Século 20. (O nome da enciclopédia era Os Elementos da Matemática, cujo primeiro volume saiu em 1970.) “Eles tentaram escrever a matemática correta do começo ao fim”, diz Iole, “mas é claro que não conseguiram. Iam colocar uma lápide na matemática?” Passaram muita coisa a limpo, mas por fim notaram que sempre há pressuposições não explícitas nos axiomas, e que a humanidade precisa de tempo para identificá-las e colocá-las no papel com simplicidade e clareza. É uma busca sem fim, diz Iole. “É uma depuração promovida por muita gente ao longo de muitos séculos.”

nfY fica aliviado. Matemáticos lidam com o trabalho duro de revisar os fundamentos, e parecem à vontade com a ideia de que os axiomas de hoje talvez virem os corolários de amanhã. nfY pensa na irmã. “Quanto ao que é axioma, da próxima vez digo a ela que tiveram essa ideia para dar um basta aos porquês das irmãs mais novas.” Então deixa de lado as elucubrações mentais e manda brasa nas tarefas da faculdade. {}

Matemáticos mencionados

Tales: Tales de Mileto (565 A.C.), grego.

Euclides: Euclides (300 a.C.), grego.

Newton: Isaac Newton (1642-1727), inglês.

Leibniz: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), alemão.

Weierstrass: Karl Weierstrass (1815-1897), alemão.

Peano: Giuseppe Peano (1858-1932), italiano.

Cauchy: Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francês.

Hilbert: David Hilbert (1862-1943), alemão.

Kolmogorov: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), russo. Usou a notação sobre conjuntos para colocar a teoria da probabilidade em bases mais sólidas, isto é, axiomatizou a probabilidade.

Aleksandrov: Aleksandr Vasilyevich Aleksandrov (1912-1999), russo.

Lavrent’ev: Mikhail Alekseevich Lavrent’ev (1900-1980), russo.


O osso de Lebombo

 


{2}/ Quanto mais elementar, mais complicado

Quando o estudante (codinome nfY) faz exercícios de matemática, dos mais básicos aos mais avançados, sem notar recorre a dezenas, às vezes centenas de pressuposições. Aos 7 anos, por exemplo, nfY aprendeu a somar 1 + 1, mas a professora não cometeu o desatino de fazê-lo filosofar sobre o que significa 1 e o que significa o sinal de mais. A professora apenas disse: “Se você tem uma bala e ganha outra bala, com quantas balas fica?” Ele gostou dessa história de ganhar balas, e achou natural que a soma funcionasse para qualquer coisa mais qualquer outra coisa. Por isso o menino nfY nunca protestou. Ao estudar matemática mais avançada na faculdade, descobre que Peano se deu ao trabalho de deixar registrado: “O número 1 é um número natural.” Depois Peano organizou uns poucos axiomas e definiu aquele sinal de mais. nfY pega os axiomas de Peano na tabela 1 e decide ver o que significa, axiomaticamente, adicionar um número ao outro. Chama cada um dos axiomas de A1, A2, A3, A4, e A5 e lembra a si mesmo o que A5 significa: se pode associar uma propriedade ao 1, e se pode associar essa mesma propriedade ao sucessor de a sempre que pode associá-la a a, então pode associá-la a todo o conjunto dos números naturais. Propõe então uma definição de adição:

a + 1 = s(a)     (I)

a + s(b) = s(a + b)     (II)

nfY acha a equação (I) tão óbvia que sua cabeça gira ao pensar no que sugere, mas, ora veja, a equação (II) já não é tão óbvia à primeira vista. Com um pouquinho de álgebra, contudo, a equação fica clara:

nfY nota que usou nesta passagem a propriedade associativa da adição — que muitos matemáticos classificam de axioma. Contudo, decide provar que a + (b + c) = (a + b) + c; acha que seria interessante ver essa prova uma vez na vida. Como primeiro passo, imagina um conjunto S com todos os números naturais c tais que a + (b + c) = (a + b) + c, isso para cada a e b em N. Como primeiro passo, prova que 1 pertence a S (isto é, 1 é um dos valores de c em S):

Com a linha (a), nfY fez a afirmação que pretendia provar. Com a (b), fixou o valor de c em 1. Na linha (c), usou a definição (I). Na (d), refez o lado esquerdo da afirmação (a), visto que c = 1. Na (e), usou a definição (II). Na (f), traduziu a linha (e) à luz da definição (II). Na (g), redisse o que já havia dito na (f), mas colocando de volta c no seu lugar. Na linha (h), reafirmou as definições (I) e (II). Por último, na linha (i), usou as afirmações (d) e (g) para provar a propriedade associativa da adição: ela é válida para c = 1 dentro de S e para quaisquer valores a e b retirados de N.

E se o valor de c for qualquer número natural diferente de 1? Será que vale então o axioma A5 para todo valor de c em S? nfY lê sobre o assunto e descobre algo interessante: as provas fáceis de entender usam o princípio da associatividade da adição como parte da prova — isto é, presumem que a afirmação que estão tentando provar é verdadeira, e usam tal afirmação para provar que ela é verdadeira! Quanto às provas mais estritas, que não presumem a verdade da propriedade associativa da adição, são complicadas e difíceis de entender. Então nfY escolhe não uma prova de verdade, mas uma discussão lógica mais simples, que monta aplicando as definições (I) e (II) várias vezes:

Com essas três linhas, nfY disse o seguinte: “Suponha que c = 1. Então a mais b mais o sucessor de c será, no fim das contas, o sucessor de a mais b mais c, que, sendo c = 1, já sei que posso reorganizar à vontade: a + b + c, a + c + b, c + a + b, b + c + a, etc. Enfim, tudo o que posso dizer de a + b + c quando c = 1, posso dizer do sucessor de a + b + c, e também do sucessor do sucessor. Isso tudo significa que a propriedade associativa da adição vale para todo c em S e para todo sucessor de c em S, e, como 1 pertence a S, S é o conjunto dos números naturais N.”

Fica pensando nisso tudo, olhando páginas e páginas de lógica. “Dá muito trabalho provar corretamente algo que já sei desde que era criança”, diz nfY. “Por isso os matemáticos vivem dizendo: Isso é um axioma! Não precisa provar!” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 28, maio de 2013, pág. 34. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto.

3. Para propósitos práticos, por exemplo no dia a dia do trabalho, o leitor pode definir “axioma” como uma suposição básica de certa teoria. E pode definir “teoria”, por sua vez, como todas as afirmações que se seguem, por algum tipo de lógica, dos axiomas. A locução “por algum tipo de lógica” é importante, pois há dezenas de tipos diferentes de lógica. Em outras palavras, o leitor pode construir certa teoria com certos axiomas e um tipo de lógica, digamos a lógica L1. Mas, com os mesmos axiomas, e com uma lógica L2 distinta de L1, pode construir outra teoria, às vezes muito diferente da primeira.

Diagramas de Venn versus modus ponens


O leitor provavelmente já ouviu falar de modus ponens. É o argumento mais famoso entre todos os argumentos válidos:

Premissa 1. Digo que, se a proposição P é verdadeira, então a proposição Q também é.

Premissa 2. Digo ainda que a proposição P é de fato verdadeira.

Conclusão. Portanto, a proposição Q também é verdadeira.

Todo professor de lógica faz um grande esforço para que seus alunos compreendam esse argumento, porque ele aparece em quase toda argumentação formal, nem que seja numa breve passagem — nem que seja insinuado numas poucas palavras. Um exemplo é o argumento de Lucrécio (≅ 77 a.C.), segundo o qual ninguém deve temer o que vem depois da morte, pois da mesma maneira não teme o que veio antes do nascimento. O argumento está numa passagem do poema filosófico De Rerum Natura (Sobre a Natureza das Coisas); o parágrafo a seguir é uma paráfrase dessa passagem:

“Agora olhe para trás e considere como não significavam nada para você as eras antigas da eternidade, que se passaram antes de seu nascimento. Cá está, portanto, um espelho por meio do qual a natureza te mostra o tempo a desenrolar-se depois de sua morte. Vê algo aterrorizante no espelho? Percebe algo macabro? O que vê não te parece mais impassível que o sono mais profundo?”

Vale a pena converter o parágrafo num argumento formal, para que veja sua estrutura. No argumento a seguir, “P1” significa “premissa 1” e “C1”, “conclusão 1”.

P1. Você pode classificar o estado pré-natal como um tipo de não existência.

P2. Pode também classificar o estado post mortem [posterior à morte] como um tipo de não existência.

C1. Pode declarar tanto o estado pré-natal quanto o post mortem como estados de não existência, ou, em outras palavras, pode de maneira pertinente declará-los similares. (P1, P2, conjunção.)

P3. Se dois estados são similares de uma maneira que seja pertinente, então deve abordá-los do mesmo jeito, isto é, recorrendo ao mesmo conjunto de atitudes.

C2. Deve abordar o estado post mortem servindo-se do mesmo conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal. (C1, P3, modus ponens.)

P4. O conjunto de atitudes por meio das quais você aborda o estado pré-natal não contém nenhuma atitude que seja semelhante a receio, medo, ou pavor.

C3. Deve abordar o estado post mortem servindo-se do mesmo conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal e, além disso, tal conjunto não contém nenhuma atitude que chamaria de receio, medo, ou pavor. (C2, P4, conjunção.)

P5. Se o conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal não contém nenhum tipo de medo e se, além disso, deve deve abordar o estado post mortem servindo-se do mesmo conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal, então não está justificado em sentir algum tipo de medo da não existência post mortem.

C4. Você não está justificado em sentir algum tipo de medo da não existência post mortem. (C3, P5, modus ponens.)

Note a expressão “(C1, P3, modus ponens)” na conclusão C2. Com ela, o estudante quis dizer que obteve a conclusão C2 a partir da C1 e da premissa P3, por meio de um argumento válido do tipo modus ponens. Este é tão importante e útil que alguns professores chegam ao extremo de apresentar à classe muitas maneira pelas quais a parte mais importante do modus ponens talvez apareça num argumento complicado, escrito com as palavras comuns da língua portuguesa:

Se P, então Q. Significando: “Se a proposição P é verdadeira, então a proposição Q também é.”

Se P, Q. “Se a proposição P é verdade, a proposição Q é verdade.”

P é suficiente para Q. “A verdade da proposição P é suficiente para garantir a verdade da proposição Q.”

Q se P. “A proposição Q é verdadeira se a proposição P também é.”

Q em caso de P. “A proposição Q é verdadeira nos casos em que a proposição P também é.”

Q quando P. “A proposição Q é verdadeira quando a proposição P também é.”

Uma condição necessária para P é Q. “Uma condição necessária para que a proposição P seja verdade é que a proposição Q também seja verdade.”

P implica Q. “A verdade da proposição P implica a verdade da proposição Q.”

P somente se Q. “A proposição P é verdadeira somente se a proposição Q também é.”

Uma condição suficiente para Q é P. “Uma condição suficiente para que a proposição Q seja verdadeira é a verdade da proposição P.”

Q sempre que P. “A proposição Q é verdadeira sempre que a proposição P também seja.”

Q é necessário para P. “A verdade da proposição Q é necessária para que a proposição P seja verdadeira.”

Q se segue de P. “A verdade da proposição Q se segue da verdade da proposição P.”

É hora de definir essa parte importante um pouco melhor.

Definição de proposição condicional. Faça P e Q duas proposições, não necessariamente distintas. A proposição condicional P Q é a proposição “Se P, então Q.” (Com qualquer uma das formulações acima.) Pode dizer que a proposição condicional P Q é falsa quando P é verdadeira e Q é falsa; em todos os outros três casos, a proposição P Q é verdadeira. Na proposição condicional P Q, chame P de hipótese, antecedente, premissa, ou condição suficiente; e chame Q de tese, consequente, conclusão, ou condição necessária. (Note os pares: hipótese tese, isto é, a hipótese implica a tese; antecedente consequente; premissa conclusão; condição suficiente condição necessária.)

Com esse pouco de teoria, já pode ver claramente as três partes de um argumento por modus ponens: uma proposição condicional verdadeira (que você declara como sendo verdadeira ou então demonstra, por meio de argumentação, que é verdadeira); a proposição de que a hipótese é verdadeira; e a conclusão inescapável de que a tese é verdadeira.

É mais ou menos nessa altura das explicações técnicas que o professor recorre a diagramas de Venn, e desenha algo como a figura 1 a seguir para ilustrar a proposição condicional P Q:

Fig. 1

Talvez o professor diga algo assim:

“A letra U denota o conjunto universo, enquanto P e Q denotam conjuntos de afirmações.”

Isso confunde muitos, a ponto de invalidar o que haviam compreendido até o momento de ver o diagrama de Venn.

Explicações em saltos. Há três problemas grandes com o diagrama. O primeiro deles é a letra U. O professor diz que denota o conjunto universo, mas o que é um conjunto universo?

Quando o assunto são afirmações e proposições, é bom dizer que o conjunto universo é o universo do discurso, ou, mais simplesmente, discurso. E um discurso, por sua vez, é nada mais que um conjunto de afirmações: U = {A1, A2, A3, …, An}, no qual cada Ai denota uma afirmação.

Algumas sutilezas, que o professor deve explicar em algum momento: (a) um discurso pode ser vazio, isto é, não conter nenhuma afirmação (e nesse caso, U = ); (b) um discurso pode conter um número infinito de afirmações; (c) não necessariamente as afirmações de um certo discurso U têm algum tipo de correlação lógica entre si. (Aliás, é bom dizer que alguns discursos contêm afirmações que se contradizem entre si, isto é, nem todas as afirmações do discurso podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.)

O último ponto (c) é importante. Essa definição de discurso foi concebida dessa maneira para que seja a mais genérica possível, o que é útil em situações de pesquisa, nas quais o pesquisador não sabe ao certo com que tipo de afirmações está lidando. Ele não sabe se as afirmações do discurso U têm alguma característica em comum — e talvez seja justamente isso o que está tentando descobrir. No entanto, na maioria das situações práticas, as afirmações de certo discurso U têm sim alguma correlação lógica entre si, ou seja, têm alguma propriedade comum. Se duas pessoas conversam sobre o argumento de Lucrécio, então conversam sobre as afirmações em certo discurso específico; é pouco provável que uma delas chegue a considerar a afirmação “Se você usa x para denotar um número real, então x2 nunca é menor que zero” como sendo parte desse discurso.

Assim, depois de pensar nisso tudo, quando o estudante desenha uma curva fechada para denotar o conjunto universo U (ou o conjunto U do discurso, ou o discurso U), deve dizer para si mesmo algo como: “Com este desenho, quero delimitar certo número de afirmações entre todas as afirmações possíveis. Talvez esse discurso U seja vazio. Talvez contenha infinitos elementos. Em todo caso, cada um de seus elementos, se houver algum, é uma afirmação.”

O segundo problema grande com o diagrama de Venn da figura 1 são as curvas fechadas que delimitam P e Q. Elas denotam subconjuntos de U, e não elementos de U. O professor tem essa ideia muito clara — mas não o estudante.

Esse problema é importante porque é fácil imaginar conjuntos nos quais um subconjunto é também elemento do conjunto. Por exemplo, no conjunto U = {A, B, C, D, {A, C}}, o conjunto {A, C} é tanto subconjunto de U quanto elemento de U. (Já o conjunto {A, D} é subconjunto de U, mas não elemento de U.) Essa confusão acontece porque, para o professor, está claro que diagramas de Venn servem para estudar subconjuntos de um certo conjunto universo U. Diagramas de Venn são definidos como sendo “um método para mostrar as relações entre subconjuntos de um certo conjunto universo”, como diz o Oxford Concise Dictionary of Mathematics. Mas nem sempre o estudante capta essa sutileza, especialmente porque, quando o professor e a classe discutem os subconjuntos de U, na figura 1, falam do “conjunto P”, do “conjunto Q”, sem mencionar que P e Q são subconjuntos de U. (Atenção: não há nada de errado em chamar um subconjunto de conjunto, pois um subconjunto é por definição um conjunto; o ponto é que não necessariamente um subconjunto é um elemento.) E talvez o estudante pense: “De que modo um conjunto implica outro? Não entendo!” Se pensar assim, está a um passo de desistir.

O terceiro grande problema é mais difícil, porque mais sutil. Afinal de contas, as letras P e Q denotam proposições ou subconjuntos de afirmações? A definição de proposição condicional dizia que P e Q são duas proposições. Mas, ao desenhar o diagrama de Venn, o professor usa P e Q para denotar subconjuntos. Ele cometeu um erro ou deu algum tipo de salto, salto esse que se esqueceu de explicar à classe?

O pulo das proposições. Hoje em dia, todo filósofo usa bastante a palavra “proposição”, mas seu significado específico varia de filósofo para filósofo ou então, pior ainda, varia de livro para livro, mesmo no caso de livros escritos pelo mesmo filósofo. (Um filósofo mais rabugento me dirá que não existe isso de “mesmo filósofo”: a pessoa no tempo t0 não pode ser idêntica à pessoa no tempo t1 se t0t1. Logo, o significado específico varia de filósofo para filósofo, e ponto final…) Às vezes, “proposição” se refere (a) ao principal portador de valor de verdade, isto é, àquele objeto abstrato, seja o que for, sobre o qual faz sentido dizer que é verdadeiro ou falso; (b) aos objetos de crenças e de outras “atitudes proposicionais”, isto é, aos objetos de atitudes como “eu acredito nisso”, “eu duvido disso”, “isso me parece certo”, “isso me parece errado”; (c) ao significado de uma afirmação.

Mas existe um jeito de atribuir significado à palavra “proposição” de modo que seja útil e não leve o filósofo mais rabugento a uma síncope. Nas duas definições abaixo, encare a locução “mundo possível” como sendo um conjunto específico de circunstâncias. (Na filosofia, um mundo possível é um jeito completamente específico pelo qual o universo talvez fosse. Assim, filósofos chamam o universo em que vivemos de “mundo real”; já um universo no qual a atmosfera da Terra em 2018 contém 25% de oxigênio, em vez de 20,95%, é um mundo possível; um universo no qual todo ser humano adulto é ateu é outro mundo possível.)

Definição simples de proposição 1. Em cada mundo possível, uma certa afirmação ou é verdadeira ou é falsa. Você pode, portanto, definir uma função que leve do par ordenado (afirmação, mundo possível) a um valor de verdade (0 se a afirmação é falsa naquele mundo possível, 1 se é verdadeira). Por exemplo, suponha a afirmação “João ama Maria”. Ela é verdadeira no mundo possível w1, mas falsa no mundo possível w2. Você pode definir uma função que associe o par ordenado (“João ama Maria”, w1) com 1, e que associe o par ordenado (“João ama Maria”, w2) com 0. Chame essa função de proposição. Assim, pode ver uma proposição como sendo uma função que, dada certa afirmação, associa cada mundo possível com um valor de verdade. Se a proposição (= função) [João ama Maria] associa o par ordenado (“João ama Maria”, w1) com 1, significa que a afirmação “João ama Maria” é verdadeira no mundo possível w1; se a proposição [João ama Maria] associa o par ordenado (“João ama Maria”, w2) com 0, significa que a afirmação “João ama Maria” é falsa no mundo possível w2.

Definição simples de proposição 2. Alguns filósofos preferem simplificar e identificar a proposição que uma afirmação expressa com o conjunto de mundos possíveis nos quais a afirmação é verdadeira. Assim, [João ama Maria] = {w1}; [Charles Darwin publicou o livro A Origem das Espécies por meio de Seleção Natural em 1859] = {w : w é um mundo possível no qual Darwin publicou sua obra-prima em 1859}; por último, de acordo com Lucrécio, [Os seres humanos têm algum tipo de consciência depois da morte] = .

Mantenha em mente as ideias dos dois parágrafos anteriores. Fica mais fácil ver que, quando o professor desenha o conjunto universo U e os subconjuntos P e Q para ilustrar o funcionamento de uma proposição condicional, ele pulou da ideia de “uma proposição é mais ou menos o significado de certa afirmação, e eu posso reunir todas as afirmações cujo significado é o mesmo em conjuntos e subconjuntos” para “uma proposição é o conjunto dos mundos possíveis nos quais certa afirmação é verdadeira”. O diagrama de Venn da figura 1 mostra, portanto, a seguinte ideia: “No conjunto dos mundos possíveis nos quais certa afirmação ‘P’ é verdadeira, certa afirmação ‘Q’ também é verdadeira.” É um pulo dessa ideia para uma ainda mais simples, na qual P e Q se transformam em proposições e, portanto, perdem as aspas: “Nos mundos possíveis nos quais a proposição P é verdadeira, a proposição Q também é.”

Matemático fingidor. Vale a pena usar diagramas de Venn para explicar proposições condicionais?

Sim, vale, pois uma vez que o estudante aprenda a usar os diagramas, passa a entender certas consequências mais facilmente. Um exemplo é a ideia de contrapositiva. A contrapositiva da proposição condicional P Q é a proposição condicional ¬Q ¬P. (Leia: “Não-Q implica não-P.”) Olhando para a figura 1, pode ver que qualquer elemento fora de Q certamente está fora de P. Em outras palavras, em qualquer mundo possível no qual Q seja falsa, P também é falsa. Um jeito completo e comprido de dizer isso é: “Suponha que em todo mundo possível no qual ‘P’ é verdadeira, ‘Q’ também é verdadeira; então deve ainda supor que em todo mundo possível no qual ‘Q’ é falsa, ‘P’ também é falsa.” Outro exemplo é a ideia de conjunção. Admita o seguinte: sabe que certa proposição P é verdadeira; e admita ainda: sabe que certa proposição Q também é. Sendo assim, pode concluir que existe pelo menos um mundo possível (o seu) no qual a proposição conjuntiva P & Q também é verdadeira. (Se quiser, leia “P & Q” assim: “Tanto a proposição P quanto a Q são verdadeiras.”) Pode agora desenhar o diagrama de Venn na figura 2.

Fig. 2

Com tudo isso, você não só entendeu por que todos devemos usar com cuidado os diagramas de Venn ao explicar os meandros da lógica, como está a um passo de entender por que as proposições verdadeiras da matemática são verdadeiras em todo mundo possível. Quando um matemático apresenta um sistema, diz algo mais ou menos assim:

“Por favor, aceitem este conjunto D de definições.” Ele então explica cada uma das definições contidas em D. “Agora, aceitem este conjunto A de axiomas.” Ele explica cada um dos axiomas contidos em A. “Agora, aceitem este conjunto R de regras de inferência.” Ele explica cada uma das regras de inferência contidas em R. Então, ele diz: “Se D, A, e R, então T = {T1, T2, T3, …, Tn}, no qual cada Ti é um teorema de meu sistema.” Ele explica como partiu das definições em D, e dos axiomas em A, para chegar aos teoremas T1, T2, T3, …, Tn por meio das regras de inferência em R.

Em outras palavras, o matemático, ou pelo menos esse matemático em abstrato, não tenta te convencer da verdade de D, A, e R. Ele te pede para aceitar como verdadeiras as proposições contidas em D, A, e R. E, se você as aceita, não tem escolha senão aceitar também as proposições contidas no conjunto T de teoremas. (Supondo que o matemático não tenha cometido nenhum erro.) Esse esquema de coisas tem de funcionar em todo mundo possível. Por outra forma, qualquer mundo no qual esse esquema de coisas não funciona é um mundo impossível, isto é, um mundo no qual um argumento válido muito simples é… inválido.

O professor Nílson José Machado, da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, uma vez escreveu um poema bacana sobre isso:

Se a matemática fosse um barco

“Se P, então Q” seria o motor.

(O matemático é um fingidor.)

Quem não é matemático raramente tem o privilégio de pedir a alguém que aceite suas premissas sem antes discuti-las à exaustão, e de ver seu pedido atendido como se fosse natural. O argumento de Lucrécio vale para todos aqueles que veem a eternidade pré-natal sem nenhum pavor, mas nem todo mundo é assim. O parágrafo a seguir é o primeiro da autobiografia Speak, Memory, escrita pelo grande escritor russo Vladimir Nabokov:

“O berço oscila sobre um abismo, e o senso comum nos diz que nossa existência não passa de um breve rasgo de luz entre duas eternidades de escuridão. Embora as duas sejam gêmeas idênticas, o homem, em geral, encara com maior calma o abismo pré-natal do que aquele ao qual se dirige (a cerca de quatro mil e quinhentas batidas do coração por hora). Conheço, porém, um jovem cronófobo que vivenciou algo como pânico quando viu pela primeira vez filmes caseiros que haviam sido feitos poucas semanas antes de seu nascimento. Viu um mundo que era praticamente o mesmo — a mesma casa, as mesmas pessoas — e então deu-se conta de que ele não existia nesse mundo de jeito nenhum, e que ninguém lastimava sua ausência. Vislumbrou sua mãe acenando de uma janela do andar de cima, e aquele gesto atípico o transtornou, como se fosse um misterioso adeus. Mas o que o assustou em especial foi a visão de um carrinho de bebê novinho em folha estacionado no alpendre, com o ar vanglório e indiscutível de um caixão; e mesmo este estava vazio, como se, no curso reverso dos acontecimentos, seus próprios ossos houvessem se desintegrado.”

{FIM}


Observações:

1. Neste texto, usei a palavra “proposição” como sendo o significado de uma afirmação. Em geral, os filósofos colocam afirmações entre aspas e proposições sem aspas. Por exemplo, a afirmação “Charles Darwin nasceu em 1809” e a afirmação “Em 1809, nascia o bebê que seria batizado como Charles Darwin” apontam para a mesma proposição. É um jeito prático de pensar, consistente com as duas definições de proposição que usei neste texto. (Sendo mais rigoroso com as palavras, porém, as duas afirmações são verdadeiras exatamente nos mesmos mundos possíveis.) É bom dizer: uma exposição precisa da ideia de proposição e de suas consequências encheria um livro de 800 páginas.

2. Na matemática, a palavra “proposição” tem um significado mais simples: é uma afirmação matemática para a qual você deve fornecer uma prova.

3. Muitos se referem a modus ponens como sendo uma regra de inferência. Se você tem P Q, e se além disso tem P, então pode inferir Q. No sentido mais corriqueiro, não há nenhuma diferença entre argumento válido e regra de inferência; em outras palavras, “regra de inferência” é um nome com o qual batizar um argumento válido muito útil. Num sentido mais técnico, “regra de inferência” é uma das regras do jogo matemático, e é proclamada antes que o jogo comece.

4. Se você tem P Q, pode imediatamente inferir ¬Q ¬P; portanto, se além disso tem ¬Q, pode inferir ¬P por modus ponens. Se quiser, use a locução modus tollens para se referir a esse argumento, escrito, contudo, com outro formato: (a) P Q; (b) ¬Q; (c) portanto, ¬P. Depois de modus ponens, modus tollens é a segunda regra de inferência mais usada em argumentos filosóficos.

5. Eu disse no texto: “Se duas pessoas conversam sobre o argumento de Lucrécio, é pouco provável que uma delas chegue a considerar a afirmação ‘Se você usa x para denotar um número real, então x2 nunca é menor que zero’ como sendo parte do discurso.” Na verdade, com um pouco de criatividade, é muito fácil justificar a inclusão de qualquer afirmação em qualquer discurso. Por exemplo, duas pessoas conversam sobre o argumento de Lucrécio e uma delas diz à outra: “Antes que existíssemos, a afirmação ‘Se você usa x para denotar um número real, então x2 nunca é menor que zero’ tinha um significado, isto é, apontava para certa proposição. E depois de nossa morte? Será que essa afirmação continuará a ter o mesmo significado? Será que a existência de uma pessoa não altera de maneira nenhuma o significado das várias afirmações matemáticas?” Apesar do fato de que é possível incluir qualquer afirmação em qualquer discurso, acho mais produtivo pensar em discursos tão enxutos quanto possível.

6. Se quiser, também pode definir “discurso” como sendo um conjunto de proposições. Aliás, depois que o estudante entende bem a diferença entre “afirmação” e “proposição”, muitos professores definem o universo do discurso como sendo um conjunto de proposições, mas daí você tem de interpretar o diagrama de Venn da figura 1 de maneira diferente, ou então tem de redesenhá-lo.

7. Muita gente já criticou o argumento de Lucrécio. O filósofo britânico Thomas Nagel, por exemplo, disse que o estado post mortem é um tipo de privação muito diferente do estado pré-natal, mais ou menos como o estado de quem teve o relógio roubado é diferente do estado de quem nunca teve um relógio. Portanto, disse Nagel, estamos sim justificados em temer o estado post mortem. Eu prefiro Lucrécio: se ele estiver certo, no estado post mortem não existe ninguém para reconhecer que um dia esteve vivo ou teve um relógio, e portanto não faz muito sentido se preocupar com nada disso agora. Outra crítica interessante é usar o medo do estado post mortem como premissa no argumento, para chegar à conclusão de que, por simetria, devemos ter igualmente medo do estado pré-natal, mais ou menos como o amigo cronófobo de Nabokov. Por último, note que o argumento de Lucrécio não diz absolutamente nada sobre o medo dos últimos instantes de vida, que você pode justificar racionalmente. Se uma pessoa está para ser enforcada, por exemplo, está justificada em ter medo dos últimos instantes — talvez sejam lancinantemente dolorosos. (Lucrécio achava que não, e dizia: “É fácil fazer o bem, é fácil aturar o mal.) O argumento de Lucrécio trata exclusivamente do medo de estar morto, isto é, de já ter morrido. Os romanos de sua época acreditavam em vida após a morte, e especificamente em castigos após a morte. Aliás, pensando bem, como muitos romanos de hoje…

8. Eu disse no texto: “[…] de acordo com Lucrécio, [Os seres humanos têm algum tipo de consciência depois da morte] = .” Reconheço que fiz uma inferência difícil de justificar: a de que, segundo Lucrécio, não existe mundo possível no qual os seres humanos têm algum tipo de consciência no estado post mortem. Não sejamos injustos com Lucrécio, contudo: se ele conhecesse os conceitos de proposição e de mundo possível (mais ou menos na configuração atual), seria perfeitamente capaz de imaginar um tal mundo possível, e nem precisaria ir longe: bastaria dar crédito às várias narrativas religiosas de seu tempo. (Ou bastaria dar crédito a algum filme de Hollywood, tipo Constantine.) Apesar disso, Lucrécio continuaria dizendo que, no nosso mundo real, essa afirmação é falsa.

9. Existe uma tradução em português de Speak, Memory: é Fala, Memória, da Editora Objetiva, com tradução de José Rubens Siqueira.

Pitágoras: um morador no prédio de Hilbert


Nesta reportagem, você vai estudar algumas das muitas premissas embutidas numa prova simples do teorema de Pitágoras. De fato, ao esquadrinhar o prédio da geometria, descobrirá que o teorema está muito alto, muito longe das fundações — da qual fazem parte afirmações engraçadas, mas essenciais, como “o plano é plano”.

David Hilbert dá nome aos bois. É tão rigoroso ao fundamentar a geometria que introduz a definição de ideias que mesmo alunos no ensino fundamental acham claras: semirreta, polígono, segmento de reta, ângulos suplementares, ângulos opostos pelo vértice, ângulo reto, círculo. É por isso (e por muitas outras coisas) que o texto Fundamentos da Geometria de David Hilbert ficou muito maior que esta matéria.

Nota. Os símbolos “” e “~” significam “congruência” e “relação de equivalência”.


{1}/ O plano, ora bolas, é plano

Um leitor (vamos chamá-lo de eA7) pega um livro num canto escondido da biblioteca. É o Fundamentos da Geometria (1902), de David Hilbert. Folheia algumas páginas, depois coça a cabeça: “Não tem álgebra.” Porém, reconsidera: “É sobre geometria.” Reflete mais um pouco: “Tem poucos desenhos.” E reconsidera de novo: “Foi escrito em alemão, e não em grego.” Mas não se contém quando vê as provas feitas com palavras, em vez de equações, e acha que a leitura será fácil. “Vou tomá-lo emprestado!”

O matemático alemão David Hilbert escreveu e revisou durante uns oito anos (entre o fim do século 19 e o começo do século 20) os fundamentos da geometria euclidiana e das geometrias não euclidianas. Foi um sucesso na época, mas hoje pouca gente se põe a mexer no livro. Não porque trata de geometria elementar, mas de minúcias que sustentam toda a geometria. É uma axiomática difícil, diz um professor. Daria muito trabalho ensinar aos alunos, diz outro. “O que está fundamentado, está fundamentado”, diz mais um. “Para que mexer nisso?” Nos livros didáticos, o leitor encontra deduções e demonstrações com axiomas reescritos de forma muito mais intuitiva. Então, por que Hilbert se deu a tanto trabalho?

Ora, para o matemático, a profissão se parece com a construção de um prédio. O construtor faz muita pesquisa, pensa bem no projeto e então constrói a fundação que sustentará toda a estrutura. Por fim, quando o morador se muda, não quer saber de fundação, mas sim do sofá em formato L, da televisão de plasma, da cor do tapete no banheiro. O que importa à maioria dos matemáticos é o que está em cima, sendo usado agora. Como no caso dos moradores no prédio, costumam conversar sobre fundamentos só quando estoura um cano ou aparece uma rachadura estranha — talvez a equipe a serviço do construtor tenha cometido algum erro grave.

Quando o matemático, porém, erra ao fundamentar a teoria, não sai nas notícias de jornal, nem vai preso: primeiro, porque costumam descobrir o erro muito depois de sua morte, como ocorreu com Euclides; segundo, porque o construtor usa matemática e concreto para construir as fundações do prédio, enquanto o matemático (pobre coitado!) tem de evitar a matemática ao fundamentar a teoria, pois, caso contrário, corre o risco de usar argumentos circulares. É por isso que um texto bem rigoroso sobre fundamentos, como o de Hilbert, é tão difícil de ser escrito e estudado. Ele usa a linguagem natural, isto é, palavras comuns para formalizar a teoria, e tem todo o cuidado de explicar o conceito mais básico da geometria sem tirar de seu chapéu panamá uma única palavra que não tenha definido antes. É por isso que, ao entender o que lê, o leitor dá boas risadas: “Aqui Hilbert quis dizer que o plano é plano!”

Victor Pambuccian, matemático da Universidade Estadual do Arizona (EUA), se especializou na axiomática de geometrias, mas escrita com lógica formal. “Nesse ponto, Hilbert foi mais esperto. Ao usar linguagem de praxe, tornou seu trabalho mais aceito.” Victor prefere a lógica formal pela facilidade em traduzir os resultados de uma escola matemática para outra; porém, ela é menos atraente. “Matemáticos não gostam da lógica formal, é assim que é [risos]. Muita gente diz que não lê meus artigos porque não quer trabalho com quantificadores.” Tanto o uso da linguagem cotidiana quanto o da lógica formal têm vantagens e desvantagens. Quando lê um trabalho, quer todos os detalhes ou uma impressão do que foi feito? “É isso que Hilbert nos dá”, diz Victor. “Por mais paradoxal que seja, usar a linguagem coloquial alemã e deixar várias provas em aberto foram a chave de seu sucesso.”

Após ler os grupos de axiomas de Hilbert (veja as seções 2, 3, 4, e 5), o leitor eA7 nota uma frase: “Podemos facilmente estabelecer as seguintes proposições.” Em seguida, lê o teorema da soma dos ângulos de um triângulo, que Hilbert não se deu ao trabalho de provar. Como pode deixar de lado um teorema essencial e gastar espaço para mostrar que todos os ângulos retos são congruentes entre si? Victor diz que Hilbert encurtou a história o quanto pôde. Expôs a maioria das provas com poucos detalhes, e deixou a critério do leitor prover os detalhes e colocá-los no lugar — ou morrer de curiosidade. “Ele diz que elas são óbvias, mas essas provas tomariam tempo”, diz Victor. “Ele estava preocupado com formalizar o sistema.”

Maria Elisa Esteves de Lopes Galvão, professora do Instituto de Matemática e Estatística da USP, explica que o sistema de Hilbert é muito sofisticado do ponto de vista lógico, mas pouco usado no ensino. “Usamos o sistema de [George David] Birkhoff, que é mais recente e é uma axiomática métrica.” Isto é, ele organiza os axiomas como se possuísse uma régua e um compasso perfeitos. “É mais rápido, igualmente consistente e mais intuitivo, pois está ligado à construção com régua e compasso.”

Teoremas e teorias. “O que significa provar teoremas básicos?”, eA7 se pergunta. Escreve um bem simples no caderno:

Teorema 1. Duas retas distintas podem ter no máximo um ponto em comum.

Para prová-lo, ele supõe o contrário, isto é, que duas retas a e b contêm dois pontos distintos A e B em comum. Lembra os dois primeiros axiomas (A.1 e A.2, na seção 2) e pensa: se por dois pontos A e B passa uma única reta e se uma reta é completamente determinada por no mínimo dois pontos, então duas linhas distintas não podem compartilhar os mesmos dois pontos.

“Ora, que chatice.”

Tem a impressão de que juntou os primeiros axiomas de incidência e os reescreveu doutra forma. Vê então o teorema da separação do plano:

Teorema 2. Numa reta l qualquer, o conjunto de pontos fora de l pode ser dividido em dois subconjuntos não vazios S1 e S2 com as seguintes propriedades:

Dois pontos A e B fora de l estão no mesmo conjunto (S1 ou S2) se, e somente se, o segmento AB não intersecta l.

Dois pontos A e C fora de l estão em conjuntos diferentes (um no S1 e o outro no S2) se, e somente se, o segmento AC intersecta l em algum ponto.

eA7 vê bem essas propriedades na figura 1, mas sabe que desenho não é prova e precisa organizar um raciocínio lógico: define uma relação de equivalência ~ entre todos os pontos fora de l; por exemplo, se A ~ B, então ou A = B ou o segmento AB não intersecta l. “Preciso provar que essa relação é transitiva, isto é, se A ~ B e B ~ C, então A ~ C”, diz para si mesmo e se põe a fazer uma lista do passo a passo e um desenho para acompanhá-la (veja figura 2).

Caso 1:

1. Suponha que A, B e C não são colineares, ou seja, posso formar com eles um triângulo ABC;

2. Se A = B, não tenho nada, então vou usar A ~ B no sentido de que AB não intersecta l e B ~ C, no sentido de que BC não intersecta l;

3. Por causa do axioma B.4, l também não intersecta AC, então A ~ C, ou seja, a relação ~ é transitiva.

“Mas e se A, B, C forem colineares?”, pensa eA7. Escreve outra lista e faz um novo desenho (veja figura 3).

Caso 2:

1. Suponha que A, B e C são colineares, isto é, estão numa mesma reta m.

2. A reta m é diferente de l; portanto, por causa de A.1, m e l podem ter no máximo um ponto em comum por causa do teorema 1 (T.1).

3. Toda reta tem ao menos dois pontos (A.2), então existe um ponto D em l que não está em m.

4. Também existe um ponto E tal que A está entre D e E (B.2) e D, A, E são colineares (B.1).

5. O ponto E não está em l, porque A não está em l e a reta DAE já intersecta l no ponto D (T.1).

6. O segmento AE não intersecta l, pois teria de haver um ponto entre A e E que intersecta l. Ora, esse ponto existe e é o D. Só que A está entre D e E, por isso D não pode estar entre A e E (B.3).

7. Então A ~ E, pois AE não está em l.

8. O segmento AE também não está em m por causa do item 3 da lista.

9. Portanto, A, B, E não são colineares e pelo caso 1: se A ~ E e A ~ B, então B ~ E.

10. De novo, pelo caso 1, se B ~ E e B ~ C, então C ~ E.

11. Mais uma vez pelo caso 1, como A, C,  E não são colineares, porque A ~ E, está provado que A ~ C.

eA7 provou que ~ é uma relação transitiva, mas só para o caso de pontos fora da reta l dum mesmo lado de l. Leva a mão à cabeça: “Uma página inteira para mostrar o que digo em duas linhas: Toda reta divide um plano em dois semiplanos cuja intersecção é a própria reta.” Desiste de teoremas desse tipo e resolve ousar esmiuçando uma prova de Pitágoras. “É um teorema velho, conhecido, mas quem sabe quais axiomas de Hilbert esse velho axioma contém?”

Pouca gente. Numa conversa, Rebecca Morris, especialista em filosofia da matemática da Universidade Carnegie Mellon, ouve seu professor dizer que, enquanto Pitágoras era um teorema central na teoria de Euclides, parece que para Hilbert não tinha a mesma importância. Os gregos estavam interessados em achar áreas de polígonos, já Hilbert apenas cita Pitágoras de passagem. “Seria legal se houvesse uma prova no estilo de Hilbert.” Robin Hartshorne faz algo parecido com uma versão moderna de Hilbert em Geometry: Euclid and Beyond (2000) com dois objetivos: comparar Hilbert e Euclides e provar o máximo de teoremas com um sistema mínimo de axiomas.

Victor também se interessa por sistemas mínimos, algo que matemáticos chamam de análise reversa. Em outras palavras, busca resposta para uma pergunta difícil: Qual o mínimo de suposições que preciso para provar tal teorema? É mais ou menos o que Hilbert fez nos fundamentos da geometria, abrindo caminho para que outros estudassem a teoria sobre bases mais firmes e criassem versões sofisticadas de geometrias não euclidianas. “Em geral”, diz Victor, “você pode fazer a análise reversa com todo tipo de coisa.” Quando era calouro, conta que não entendia algumas propriedades da geometria afim: era como se estivesse na geometria euclidiana, mas com restrições demais. Com a geometria reversa entendeu melhor aqueles conceitos e acha que matemáticos só têm a ganhar ao usá-la. “Vejo pessoas que fazem trabalhos duplicados ou produzem coisas que poderiam ser melhores se entendessem o fundo lógico da teoria.” Ele, porém, reconhece que é difícil aprender de tudo na matemática, ainda mais quando o matemático está ocupado com descobrir coisas novas.

Para Rebecca, ao dar aulas na graduação, os matemáticos não olham muito para trabalhos como o de Hilbert. Foi apenas numa aula de história que estudou os originais de Pierre de Fermat (≈1601-1626) e de Lewis Carroll (1832-1898). Gostava de comparar a diferença entre as provas originais e a apresentação moderna, mas reconhece que tal comparação pode ser desculpa para evitar o trabalho de verdade: o aluno precisa aprender a matemática formal usada hoje, e um texto antigo talvez só o confundisse. Apesar disso ou talvez por isso, Rebecca seguiu a linha de comparar técnicas matemáticas antigas com as atuais.

Muitas páginas. Elisa, do IME-USP, diz que o teorema de Pitágoras original é forte porque estabeleceu equivalência entre áreas. “O espírito de Hilbert é completamente diferente, pois formula toda a geometria do ponto de vista dos axiomas.” Se incluísse todos os passos, como Euclides fez no “Livro 1” d’Os Elementos, eA7 teria de escrever um livro inteiro para chegar ao teorema. “Hilbert trata apenas dos fundamentos”, diz Elisa, “e discute se os axiomas são consistentes e completos.”

A partir dos axiomas da geometria plana, o leitor eA7 precisaria ainda construir toda a teoria da área. O matemático a usa para mostrar que duas figuras têm área equivalente quando pode recortar uma delas em triângulos e colocá-los sobre a outra sem deixar espaços de sobra — como num quebra-cabeça. (Nesta matéria, a palavra “figura” significa tão somente o que eA7 pode desenhar com pontos, retas e planos.) Hartshorne leva umas 20 páginas para desenvolver a ideia. “Haja tempo e paciência”, pensa eA7. “Nem que fosse grego, nem que me faltasse internet para matar as horas.” Acha uma lista no estilo euclidiano para conhecer as propriedades das áreas:

1 — Figuras congruentes têm conteúdo igual.

2 — Duas somas de figuras com conteúdo igual têm conteúdo igual.

3 — A diferença entre figuras que têm conteúdos iguais tem conteúdo igual.

4 — A metade de cada uma das figuras com conteúdos iguais tem conteúdo igual.

5 — O todo é maior que a parte.

6 — Se dois quadrados têm conteúdo igual seus lados são congruentes.

Com essa lista e os axiomas de Hilbert, eA7 se propõe — no seu mais humilde lugar de amante da matemática — a provar o teorema de Pitágoras indicando sempre que puder o uso de cada ideia. Desenha um triângulo retângulo ABC e em cima de AC, desenha o quadrado AFGC, em cima de AB faz o quadrado ABDE, e embaixo de BC, o quadrado BRSC. Em seguida, indica o ponto central O no quadrado AFGC e passa por ele os segmentos HJ e LK paralelos aos lados do quadrado BRSC. Nesses segmentos HJ e LK, O é o ponto médio, isto é, O os divide em duas partes iguais. Então, numera as partes do quadrado AFGC. (Veja a figura 4.)

No quadrado debaixo, ele marca os pontos médios de cada lado da figura (M, P, Q, N) e passa por eles segmentos de retas paralelas aos lados do quadrado AFGC. Nomeia os pontos onde os segmentos se encontram (X, Y, Z e W) formando um quadrado menor dentro de BRSC. Então indica as divisões do quadrado com 1’, 2’, 3’, 4’, e 5’ e escreve o número 5 dentro do quadrado EDBA. Para seguir o lema de explicitar detalhes, indica todos os ângulos retos procurando segmentos que se intersectam na perpendicular. “O que estou usando aqui?” Pensa nas definições e teoremas de Hilbert e se surpreende usando coisas simples como: “Todos os ângulos retos são iguais” ou “Ângulos opostos pelo vértice, como FAC e EAB, são iguais, portanto se um é reto o outro também é.” Mas também usa coisas mais sofisticadas, como o teorema 2, que garante que eA7 está falando dos pontos dentro da figura.

Ele indica o paralelogramo KLCB com caneta colorida e dele conclui que KL BC. Lembra então que KL HJ, pois compartilham o ponto médio. Escreve no caderno um lembrete: “Um segmento é dividido por pontos médios em duas partes iguais e, pela teoria das áreas, a soma de coisas iguais é igual.” Portanto, os segmentos dos quadrados BRSC que foi dividido por pontos médios são iguais, assim como todas suas metades são iguais entre si. Ou seja: H0 JO LO KO BM MC PC PS QS QR NR NB. “Que mão na roda esse negócio de congruência!” eA7 tem a impressão gostosa de que fez uma fileira enorme de dominós e com um único empurrão a fez cair da primeira à última peça.

Em seguida, olha as figuras 1, 2, 3, 4 e 1’, 2’, 3’, 4’ para ver se acha um jeito de provar que são congruentes. “As figuras do quadrado FGCA têm ao menos dois lados iguais às figuras do quadrado BCSR, com a exceção possível do quadrado 5’”, pensa enquanto separa na mente as figuras AJOK e MCPX. Esboça outro desenho (veja a figura 5) para comparar o que têm em comum, sem se preocupar em fazer bonito. Hilbert usa como ferramentas não a régua e o compasso, mas seus axiomas. eA7 traça o segmento KJ e MP, formando dois triângulos em cada uma das figuras 4 e 4’, pinta os lados paralelos (KA e AJ, MX e XP) e nota que os triângulos OKJ e CMP são congruentes (D.6) — melhor ainda, são triângulos isósceles.

Em seguida olha para os triângulos KAJ e MXP e sente que o negócio complicou. “Como provo que os outros dois triângulos são congruentes?” Indica com três tracinhos que KJ MP e encara a figura até se lembrar dum teorema que decorre do axioma das paralelas: Ao cortar duas paralelas com o mesmo segmento, forma num mesmo lado, entre o segmento e cada uma das paralelas, ângulos internos congruentes. Ou seja, AJK MPX. Feito isso, eA7 conclui que os ângulos restantes dos triângulos KAJ e MXP também são congruentes pelo teorema ângulo-lado-ângulo que decorre de D.6. Finalmente, chega onde queria: como os dois triângulos nas duas figuras são congruentes, as duas figuras também são. (Conteúdo igual de um lado, conteúdo igual do outro.) Pelo mesmo raciocínio, conclui que 1, 2, 3, 4 são, nessa ordem, congruentes a 1’, 2’, 3’, 4’. “Agora falta provar a congruência entre 5 e 5’.”

eA7 volta à figura 4 e vê o paralelogramo em destaque. Nota que, porque 3 3’ e LC MW, é verdadeiro que MW KB. Além disso, com o axioma D.3, pode deduzir que, porque KA MX e KB – KA MW MX, é verdade que BA WX. Por fim, tem a prova de que a área de 5 somada com a área de 1, 2, 3, 4, é igual à área de 1’, 2’, 3’, 4’, 5’, o que no idioma do algebrista do ensino médio quer dizer: a2 + b2 = c2. “É incrível pensar que em cada pedacinho desse teorema tem outro teorema”, diz eA7 consigo mesmo. “E que em cada pedacinho desse outro teorema tem um monte de axiomas.”

Talvez o estudante se espante, mas o caminho feito por eA7 para chegar ao teorema de Pitágoras é um entre muitos. Com a axiomática de Hilbert, poderia definir segmentos de acordo com a aritmética: usar um sistema de eixos coordenados ortogonais e chegar a, por exemplo, provas algébricas. Nenhum caminho é curto, mas o estudante faz bom exercício ao analisar os fundamentos de um simples teorema para conhecer sutilezas da teoria. Talvez por ser destino de vários caminhos é que o teorema de Pitágoras tenha 300 e tantas provas por aí. {}

Observação: Nas seções a seguir, estão apenas os axiomas usados na prova do teorema de Pitágoras, isto é, estão apenas alguns axiomas da geometria plana.



{2}/ Os axiomas A.i de incidência

Eles servem para introduzir a ideia de pontos, retas, e planos, sem, no entanto dizer o que são pontos, retas e planos. (Hilbert não definiu o ponto, a reta, e o plano.) O que interessa aqui é dizer os axiomas a que esses objetos obedecem.

A.1) Por dois pontos distintos A e B passa uma única reta.

A.2) Toda reta contém ao menos dois pontos.

A.3) Todo plano α contém três pontos distintos não colineares, isto é, que não estão todos numa mesma reta.



{3}/ Os axiomas B.i de ordem

Eles servem para formalizar as relações entre planos, pontos, e retas por meio das noções de unilateralidade, de interno e externo, e de ordem, seja no caso dum ponto entre outros dois pontos ou de quando um segmento ou ângulo é maior que outro. Ou seja, servem para dizer que pontos, retas, e planos se relacionam de tal forma que obedecem a esses axiomas.

B.1) Se um ponto está entre outros dois pontos, não importa se de trás para frente ou de frente para trás, ele sempre está entre esses dois pontos. Da mesma forma que, se o número 2 está entre 1 e 3, então 2 também está entre 3 e 1.

B.2) Pegue quaisquer dois pontos numa reta: eles sempre estarão entre outros dois pontos, que, por sua vez, sempre estarão entre outros dois pontos. Com isso, o leitor se familiariza com a ideia de que ponto não tem vizinho: sempre há um ponto entre ele e outro ponto ad infinitum.

B.3) De três pontos A, B, e C numa reta, só um deles está entre os outros dois. Isso quer dizer que se B está entre A e C, então nem A pode estar entre B e C, nem C pode estar entre A e B. Esse axioma garante que uma reta é reta.

B.4) Uma reta a que entra num triângulo ABC sem passar por nenhum dos vértices, intersectando, por exemplo, o lado AB, passa por mais um e somente mais um dos outros dois lados do triângulo. Isto é: nessas condições, uma reta intersecta dois lados de um triângulo: nem mais, nem menos.



{4}/ O axioma C.1 das paralelas

Esse axioma serve para facilitar a vida do geômetra.

C.1) Por um ponto A fora da reta a só passa uma única reta paralela à reta a.



{5}/ Os axiomas D.i de congruência

Esses axiomas estão para Hilbert como a régua e o compasso estão para Euclides. Isto é, servem para construir ângulos e transportar segmentos e ângulos na prova dos teoremas.

D.1) Dado um segmento de reta AB e uma semirreta r saindo dum ponto C, existe um único ponto D na semirreta r tal que AB CD.

D.2) Se AB CD e AB EF, então CD EF. Todo segmento de reta é congruente a si mesmo. (Uma analogia com a álgebra comum de números reais deve deixar isso mais claro: se x = y e y = z, então x = z. Além disso, x = x.)

D.3) Dados três pontos A, B, e C numa reta nesta mesma ordem, e dados três pontos D, E, F numa reta também nesta ordem, se AB DE e BC EF, então AC DF. (Da mesma forma que: se x = y e z = w, então x + z = y + w.)

D.4) Dado um ângulo BAC e dada uma semirreta DF, existe uma única semirreta DE, num dado lado de DF, tal que BAC EDF. Ou seja, ângulos congruentes têm o mesmo tamanho.

D.5) Para quaisquer três ângulos α, β, e γ, se α β e α γ, então β γ. Em outras palavras, a relação de congruência entre ângulos é transitiva.

D.6) Dados os triângulos ABC e DEF, suponha que AB DE, AC DF e que os ângulos BAC EDF. Então tanto as duas figuras são congruentes, como BC EF, ABC DEF, e ACB DFE. Esse é o axioma conhecido como lado-ângulo-lado.

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 30, julho de 2013, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevistas foram realizadas pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto e pensou na melhor sequência de ilustrações.

3. As ilustrações foram preparadas pelo artista gráfico Henrique Arruda.

Para resolver um problema, troque várias vezes o sistema de pensamento


Certos problemas têm tudo para fazer a pessoa chegar à conclusão errada, e um psicólogo explica por que isso ocorre: a pessoa usa raciocínio rápido e intuitivo em situações que requerem reflexão. Dois professores contam como ajudam seus alunos a fazer a transição da forma de pensar rápida para a devagar (e vice-versa), assim como a gostar de fazer a transição.


{1}/ Intuitivo = Prazeroso, Meditabundo = Penoso

Um sujeito comprou um arco e uma flecha por 11 reais. O arco custou 10 reais a mais que a flecha — quanto custou então a flecha? Daniel Kahneman, um dos ganhadores do Nobel de Economia de 2002, pede que seu leitor responda a uma pergunta desse tipo usando apenas a intuição, isto é, rapidamente. A maioria responde “1 real”, que é a resposta errada. Após refletir um pouco, pode ver que a intuição o enganou e sua resposta não tem lógica: visto que o arco custou 10 reais a mais que a flecha, se ela valesse 1 real, ambos teriam custado 12 reais.

Depois de pensar um pouco, o sujeito vê que a frase “o arco custou 10 reais a mais que a flecha” contém a seguinte informação: o total de 11 reais é resultado do valor desconhecido da flecha somado ao valor desconhecido da flecha (isso mesmo, de novo), mais 10 reais. Pode então denotar o preço do arco com a e o da flecha com f e descrever o raciocínio com álgebra:

Equation-1

Daniel Kahneman é professor de psicologia na Universidade Princeton, nos Estados Unidos, e encontrou evidências de que a mente dos humanos funciona de duas formas: uma que é rápida e intuitiva e outra que é lenta e deliberativa. Quando está pensando no modo rápido, o sujeito usa a intuição, muitas vezes sem perceber; no modo lento, analisa a situação, algo que requer esforço e concentração. Daniel reuniu suas descobertas no livro Rápido e Devagar: Duas Formas de Pensar, no qual explica a interação entre os dois sistemas de pensamento, que por praticidade ele chama de sistema 1, o intuitivo, e sistema 2, o analítico. Com perguntas como a do arco e da flecha, exemplifica uma situação em que as pessoas erram por causa do sistema 1. Para encontrar a resposta certa, o sujeito deve virar uma espécie de chave na mente para sair do modo rápido e intuitivo e entrar no modo lento e meditabundo.

Quase todo mundo passa mais tempo pensando com o sistema 1, e tem dificuldade de passar ao sistema 2. Quando a intuição se revela insuficiente e o sujeito erra, a frustração que sente basta para fazê-lo desistir do problema. Mike Askew e Rob Eastaway, autores do livro More Maths for Mums and Dads: The Teenage Years, dizem que isso é ainda mais frequente entre estudantes adolescentes de matemática, pois, para entender um problema matemático digno do nome, precisam mudar várias vezes do sistema 1 para o 2 e vice-versa. Também precisam ter noção de quando é mais sensato usar um ou outro, e em geral não têm essa noção. Mike e Rob acreditam que esse é um dos motivos pelos quais um adolescente tacha a matemática de “difícil”; pais e professores devem ajudá-lo a ter consciência do tipo de pensamento que está usando para resolver um problema.

Ao notar que errou no problema da flecha, o estudante talvez fique menos frustrado por saber que não errou por ignorância, mas sim porque usou a intuição num problema que exige reflexão. É comum a criança desanimar ao entrar no 6º ano (antiga 5ª série) e estudar uma matemática bem diferente da que conheceu no ensino fundamental 1. Estava acostumada a estudar coisas como a tabuada, a resolver problemas aritméticos simples, a brincar com objetos como tampinhas e palitos. Numa escola, por exemplo, nas aulas do 3º ano (antiga 2ª série), a professora em geral distribui folhas com uma tabela em branco. Daí ela dita a tabuada inteira: “um vezes um, um”; “um vezes dois, dois”. Entre uma pausa e outra, cada criança anota o resultado na tabela. Depois de um tempo, todos têm a tabuada de 0 a 10 na ponta da língua.

Muita criança, contudo, se sente perdida quando, no 6º ano, ouve falar de potenciação e de radiciação. Acha que tem dificuldades com a matemática porque, ao contrário de antes, agora tem de parar e pensar, e já não consegue mais dizer a resposta de memória. Ela não sabe que, diante dos novos conceitos, deve usar outro jeito de pensar, o jeito do sistema 2, que exige esforço e paciência. Pais e professores podem ajudar na transição; por exemplo, podem criar atividades nas quais a criança note o lado positivo dessa forma de pensar, que, com o tempo, tem potencial para se tornar uma ótima fonte de prazer.

Mike e Rob sugerem uma técnica de motivação comum entre pessoas que odeiam atividades físicas. O sujeito se propõe a subir todos os dias na esteira e a caminhar por apenas 15 minutos. Se depois disso estiver aborrecido, tem autorização para descer e ir fazer outra coisa. Depois de 15 minutos na esteira, contudo, quase todo mundo prefere continuar caminhando um pouco mais — talvez meia hora. Da mesma forma, uma mãe, em vez de forçar seu filho a se trancar no quarto para fazer a lição de matemática, pode incentivá-lo a se dedicar à lição por apenas 15 minutos. É boa a probabilidade, dizem Mike e Rob, de que o menino continue trabalhando até o fim.

O fundo do baú. O cérebro divide o trabalho entre as duas formas de pensar não para pregar peças em seu pobre hospedeiro humano, mas para torná-lo mais eficiente: ao aplicar a forma certa ao problema certo, o humano gasta menos energia e desempenha melhor. Ao usar a intuição, ele lida bem com a maioria das situações familiares; às vezes, porém, ela o atrapalha com impressões enviesadas. O problema da intuição é que está sempre ligada. Se mostrar uma palavra em chinês a um sujeito fluente em chinês, ele a lerá automaticamente, a não ser que esteja muito concentrado em outra tarefa. É por isso que, em problemas aparentemente simples, a intuição pode levá-lo a conclusões erradas.

Gabriel Prado, professor de matemática no Colégio Oswald de Andrade, em São Paulo, tinha um professor que comparava a matemática a um marceneiro com suas ferramentas. “Toda vez que vejo um prego, meu lado intuitivo está treinado para pensar num martelo. Do mesmo jeito, na matemática, deixo em cima da bancada os conceitos que uso muito, enquanto outros tenho de procurar num baú.” Quanto mais conceitos difíceis o sujeito estuda, contudo, mais conceitos básicos têm na ponta da língua, que lhe permitem economizar energia ao refletir sobre problemas complicados. Numa prova como a do vestibular, o estudante precisa do sistema 1, pois tem poucos minutos para resolver cada questão. “Se ficar num processo lento e reflexivo em cada uma delas, não terminará a prova”, diz Gabriel. “Então, apesar de superficial, o nosso lado rápido e intuitivo pode ser bem treinado.” Só há um jeito, contudo, de deixar o sistema 1 bem treinado: praticar com muitos exercícios. O estudante bem treinado vê, por exemplo, a imagem de um triângulo retângulo e logo pensa no teorema de Pitágoras e nas relações trigonométricas. Por experiência, sabe que é grande a chance de que, com tais ferramentas, possa resolver o exercício.

Gabriel faz mestrado na Universidade de São Paulo e conta que, nas aulas de estatística, bastava o professor mencionar “uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n e p”, que logo se lembrava da fórmula para calcular a média μ e a variância σ2. Isso porque internalizou os dois conceitos depois de usá-los muitas vezes. Mas, quando lia algo que mencionava a locução “distribuição geométrica”, tinha de abrir um baú imaginário para relembrar como usar as ferramentas embutidas naquele conceito. Contudo, se Gabriel tem um baú cheio de conceitos meio empoeirados, é porque um dia os estudou com o sistema 2.

Um estudante (vamos chamá-lo de Alípio) se debruça sobre uns livros para entender por que gente como Gabriel usa tanto essa tal de distribuição binomial. Começou com as expressões “espaço amostral” e “distribuição de probabilidade”. Espaço amostral é o conjunto com todos os resultados possíveis de um experimento. Se o experimento for “jogar um dado comum”, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}, em que os inteiros de 1 a 6 representam o número de bolinhas viradas para cima; se for “jogar uma moeda comum”, é {cara, coroa}. Distribuição de probabilidade é uma função, pela qual Alípio associa, a cada elemento do espaço amostral, a probabilidade de que ocorra no experimento em questão. (A soma das probabilidades deve ser igual a 1.) No caso de lançar um dado comum, Alípio pode associar, a cada elemento do espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a probabilidade p = 1/6.

No século 17, o matemático suíço Jacques Bernoulli criou um espaço amostral supersimples, que chamou de Ω:

Se Alípio atribuir a probabilidade p a 0, tem de atribuir a probabilidade 1 – p a 1; e vice-versa. Apesar da simplicidade, essa “distribuição de Bernoulli com parâmetro p” é incrivelmente útil. Em muitas situações práticas, Alípio pode transformar um espaço amostral complicado em Ω — para tanto, basta traduzir 0 como “não obtive sucesso” e 1 como “obtive sucesso”. Alípio escreve:

“Vou jogar um dado comum 20 vezes, isto é, vou realizar n = 20 experimentos independentes. Quero tirar 6. A probabilidade de que saia 6, a cada experimento, é p = 1/6. Se no espaço amostral Ω interpreto 0 como sendo ‘joguei o dado 20 vezes e não tirei certa sequência de k sucessos e de nk fracassos’ e se interpreto 1 como sendo ‘joguei o dado 20 vezes e tirei sim certa sequência de k sucessos e de nk fracassos’, então existe uma fórmula para calcular a probabilidade de que ocorra 1 no espaço amostral Ω.”

Essa fórmula é:

Daí, como consequência lógica, Alípio pode usar a fórmula a seguir para calcular a probabilidade pk de obter exatamente k sucessos, visto que realizou n experimentos, e visto que a cada experimento a probabilidade de sucesso é p:

Essa é a famosa distribuição binomial. O binômio de Newton está lá porque mostra de quantas maneiras distintas alguém pode obter um número k de sucessos ao longo de n experimentos. (Portanto, é um pedacinho de matemática discreta.)

Com o que aprendeu, Alípio usa o portal Wolfram Alpha para montar a figura 1. No eixo das abscissas, o número 0 significa “joguei o dado 20 vezes, a probabilidade de tirar 6 era de 1/6, mas mesmo assim não tirei 6 nenhuma vez”; da mesma forma, o número 5 significa “joguei o dado 20 vezes, a probabilidade de tirar 6 era de 1/6, e tirei 6 em cinco jogadas”; no eixo das ordenadas, está a probabilidade de que pk ocorra.

Fig. 1Se alguém jogar um dado 20 vezes, e se está interessado em tirar 6, qual é a probabilidade de que não tire 6 nenhuma vez, ou tire uma, ou duas, …, ou vinte? O gráfico mostra isso. A média de sucessos para esse número de jogadas é 3,33.

Satisfeito com o pouquinho que aprendeu sobre a binomial, Alípio estuda outro exemplo mencionado por Gabriel, o da distribuição geométrica. Ela também tem a ver com o espaço amostral Ω = {0, 1}. Alípio achou mais fácil começar com a fórmula e depois traduzi-la em palavras:

Essa fórmula responde a uma pergunta: “Qual é a probabilidade pk de realizar k experimentos, e de obter k – 1 fracassos antes de obter o primeiro sucesso, sendo que, a cada experimento, a probabilidade de obter um sucesso é igual a p?” Alípio nota que agora k significa “número de experimentos”. Com essa fórmula e essa ideia, monta a figura 2, que também se refere a jogar um dado comum e tirar 6. No eixo das abscissas, estão os valores de k – 1. Assim, por exemplo, a linha azul no número 5 mostra a probabilidade pk de realizar seis experimentos (jogar o dado seis vezes) e de obter cinco fracassos antes do primeiro sucesso (obter outros números que não o 6 antes de obter o 6), que é de 6,7%. Cientistas frequentemente precisam levantar informações desse tipo; por exemplo, se um deles deve agendar o uso de um laboratório caro, precisa saber por quantos dias deve agendá-lo para que consiga pelo menos um sucesso ao longo desses dias.

(A palavra “geométrica” vem do simples fato de que, para valores inteiros de k, a fórmula de pk gera uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e cuja razão de progressão é 1 – p.)

Fig. 2Um sujeito vai jogar um dado perfeito uma vez (k = 1), duas vezes (k = 2), …, 21 vezes (k = 21). Qual é a probabilidade de não tirar 6 nenhuma vez antes de tirar 6 uma vez? (Isto é, qual é a probabilidade de obter k – 1 fracassos antes do primeiro sucesso?) O gráfico mostra isso para k – 1 = 0, k – 1 = 1, k – 1 = 2, …, k – 1 = 20. A probabilidade de jogar o dado seis vezes, por exemplo, e de não obter um sucesso nas primeiras cinco jogadas antes de obter um sucesso na sexta é de 0,067, ou seja, de 6,7%. Cientistas usam muito essa “distribuição geométrica de parâmetro p”, e neste caso p = 1/6, pois o dado é perfeito.

Com tais estudos, Alípio teve uma ideia do que significa usar o sistema 2 de pensamento: esse sistema pode proporcionar prazer, mas antes disso provoca algum sofrimento.

Pensar para falar. Para ajudar os alunos a mudar do pensamento rápido e intuitivo para o lento e reflexivo, Rosa Maria Mazo Reis, professora na Universidade Estácio de Sá, no Rio de Janeiro, propõe desafios no finalzinho da aula. Os cinco primeiros alunos que conseguem resolver o problema vão à lousa explicar como raciocinaram. “Quando fala sobre o que produziu, o aluno passa para um novo nível de raciocínio. O processo de reflexão é mais ou menos assim: ao tentar passar o conhecimento para outra pessoa, compartilhamos o modo como chegamos à solução e, para fazer isso, temos de descobrir como fazer o outro entender nosso caminho. Falar sobre esse caminho é algo que faz muita diferença.”

Ela compara a atividade com a situação de quem tem um problema pessoal. Após desabafar com um amigo, ainda que não chegue à solução, a pessoa ganha uma visão mais clara do problema, pois, para se expressar ao amigo, teve de organizar as ideias. “Na construção do pensamento sofisticado o processo é o mesmo”, diz Rosa. “É importante o aluno conseguir mostrar: olha, pensei assim, assim e assim; testei essa hipótese e não deu certo por causa disso.”

Gabriel concorda que contar o processo do raciocínio ajuda a treinar esse lado reflexivo. Por isso, gosta de explicar as ideias por trás das contas e o processo lógico que seguiu até uma solução. Fazendo dessa maneira, dá aos alunos ideias de como abordar o problema. Gabriel também costuma pedir que pratiquem com exercícios do tipo resolva, para mecanizar procedimentos mais básicos; depois parte para questões mais complicadas. “Temos que treinar os dois pensamentos: É como ensinar alguém a pendurar um quadro na parede. Primeiro, ensinamos a bater o prego do jeito certo até virar uma habilidade automática. Depois, posso perguntar: como faço para pendurar um quadro desse tamanho? Onde coloco o prego?”

Porém, às vezes, o estudante não pratica o suficiente e põe na cabeça uma ideia errada que passa a usar o tempo todo; são os erros clássicos nas aulas de matemática. Gabriel conta o caso em que, na expressão a seguir, o aluno corta os 2 de cima e os 2 de baixo, pois estão elevados à mesma potência.

Ele chama a atenção do aluno e explica: “Você tem de desenvolver cada parte da expressão: 2–2 é 1/4, 22 é 4 e 2–1 é 1/2. Não pode cancelar os números de cima com os números de baixo, pois é uma fração com soma e subtração.” (Se fosse uma fração com produtos no numerador e no denominador, a história seria diferente.) Então, o estudante começa a raciocinar com o sistema 2, faz as contas e chega ao resultado correto: –15. Outro erro comum, diz Gabriel, é quando o estudante bate o olho num produto notável como (x + 2)2 e acha que é igual a x2 + 4. “Os professores discutem bastante essa situação em que precisam lembrar o aluno que (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = (x2 + 4x + 4). Não pode simplesmente distribuir o quadrado para o x e para o 2.” Só depois de praticar bastante e, às vezes, perder pontos numa prova, é que percebe o erro e começa a memorizar a ideia correta.

Rosa conta o exemplo do poço (veja a seção 2), com o qual muito aluno se embanana ao raciocinar rápida e intuitivamente. Ele se engana pensando que, com uma continha de multiplicação, pode resolver o problema; mas nem sempre uma conta resolve um problema. “Quando você dá um problema em que a conta até pode ser necessária, mas não é o suficiente”, diz Rosa, “mostra ao aluno que a matemática não é só uma montanha de contas.” Ela é, na verdade, um jeito de raciocinar abstratamente sobre coisas todo tipo. (Sobre uma boa definição de matemática, veja a observação 3 no pé deste texto.) Não há problema em decorar alguns truques, uma vez que os mecanismos pelos quais funcionam já estejam compreendidos. Rosa diz que é difícil mostrar a importância dessa transição de um pensamento para o outro — do rápido para o lento e vice-versa —, pois muitas vezes o aluno tem como objetivo passar de ano e entrar de férias. Para tanto, as receitas prontas são mais úteis.

Ela diz que, se alguém responde com erro ao probleminha do arco e da flecha, não é porque não sabe fazer as contas (em geral, sabe), mas sim porque não pensou realmente no problema. O sujeito procura uma fórmula mágica para se livrar do problema depressa. “Ele faz uma composição mágica em cima dos valores do problema.” Mas ela acredita que, com a prática, o estudante muitas vezes aprende a gostar desse pensamento lento e analítico, de se esforçar para entender melhor um problema; ele aprende, sobretudo, a gostar do conhecimento — e a partir daí ninguém precisará mais vigiá-lo para que estude. “Hoje em dia, com a facilidade de acesso à informação, basta o sujeito estar motivado que consegue regular a própria aprendizagem; a gente tem a web aí, cheinha de coisas.” Para Gabriel, contudo, só os estudantes que já gostam de matemática acham prazeroso pensar com o sistema 2. Os outros até aprendem a dar valor ao sistema 2, mas apenas depois que percebem suas vantagens, e só percebem isso se a escola for boa.

Um problema é que nem sempre o sujeito usa o sistema errado, erra, e percebe que errou. Com frequência erra, mas acha que acertou. Por isso todo matemático recomenda: mesmo que tenha resolvido um problema rapidamente, e que tenha a sensação de que está certo, inicie o sistema 2 para checar as conclusões. Com o tempo, os métodos que nunca dão chabu na fase de checagem acabam se tornando parte do sistema 1. “O professor precisa ajudar o aluno a manter, o tempo todo, um equilíbrio entre essas duas partes”, diz Gabriel. “Temos de cuidar das duas.”

Daniel Kahneman escreve em certo trecho: as pessoas erram probleminhas simples, em grande parte, por causa do pensamento rápido e intuitivo. Ao mesmo tempo, ele é o responsável pela maior parte do que as pessoas fazem corretamente. “Se você subiu no ônibus hoje ou assoprou o café fresquinho que acabou de pôr na xícara, fez isso graças ao sistema 1.” Eis a questão: o pensamento rápido e intuitivo livra o humano de refletir sobre o que já não merece mais reflexão, e sem isso não poderia nem mesmo escovar os dentes. {}



{2}/ Apêndice: A fuga do poço

Problema. Um caracol está no fundo de um poço de cinco metros. Durante o dia, consegue subir dois metros, mas durante a noite acaba escorregando 1 metro para baixo. Quanto tempo ele leva para sair do poço?

Rosa Maria Mazo Reis, professora na Universidade Estácio de Sá, no Rio de Janeiro, diz que é comum uma pessoa responder de imediato: cinco dias. Ela pensa assim: se o caracol sobe dois metros durante o dia e desce um metro durante a noite, ele sobe um metro a cada 24 horas. Então, se o poço tem cinco metros, ele sai de lá em cinco dias. Certo? “Se fizer essa conta vai chegar a uma conclusão errada”, diz Rosa. “Vai achar que uma continha simples dá conta do problema, mas não dá. A pessoa erra porque não se envolveu na situação.”

Um estudante (vamos chamá-lo de Alípio) aborda o problema desenhando um esquema do que acontece com o caracol. Ele traça um segmento de referência numerado de 0 a 5 para representar os metros. Abaixo dele traça outro segmento que vai de 0 a 2 para indicar os metros que o caracol sobe durante o primeiro dia. Sempre colocando uma bolinha para denotar a altura em que o caracol está. Abaixo do segmento do primeiro dia, traça um segmento para representar o metro que escorrega durante a noite. Continua traçando segmentos para os dias e as noites seguintes até chegar a 5 metros de acordo com o segmento de referência. Seu desenho fica assim:

Com o esquema, Alípio vê que o caracol sai do poço ao final do quarto dia, sem que antes escorregue um metro para baixo. E a resposta ao problema, de modo preciso, é que o caracol leva três dias e 12 horas para sair de lá. (Existe aqui uma ambiguidade com a palavra “dia”, que tanto designa a parte do dia iluminada pelo sol quanto as 24 horas que compõem um dia.) Com problemas desse tipo, o professor mostra ao estudante que nem sempre fazer contas é o suficiente para resolver um problema. Às vezes, pode usar um desenho, ou até mesmo resolvê-lo de cabeça; o importante é parar para raciocinar com cuidado sobre as informações que possui. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 46, novembro de 2014, pág. 18. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Danielle Ferreira.

3. Uma boa definição de matemática:

É a arte e o ofício de explicar, de modo incontestável, por que determinada afirmação é verdadeira.

Eu gosto dessa definição porque ela implica várias características marcantes da matemática. Por exemplo: ela implica a ideia de que a matemática é feita a partir de definições, axiomas, e regras de inferência declarados verdadeiros por hipótese (isto é, por pressuposição); se não fosse assim, ela seria contestável, pois qualquer premissa que não seja declarada verdadeira por hipótese pode ser legitimamente contestada. (Esse é um dos grandes problemas da ciência.) Outro exemplo: a definição implica a necessidade de que o matemático saiba explicar, tim-tim por tim-tim, os teoremas e algoritmos que usou numa demonstração; logo, implica a necessidade de que o matemático evite a mera decoreba — pois como poderia produzir uma explicação incontestável se recorresse a uma decoreba? Como poderia defendê-la se não conhece bem um dos elementos que usou para produzi-la?

Luiz Márcio Imenes se contrapõe a Keith Devlin

Neste texto: Seção 1: Depois de pensar no assunto, Luiz Márcio Imenes discorda da reprimenda de Keith Devlin: “Ninguém deve definir a multiplicação como uma adição de parcelas repetidas.” Seção 2: Imenes conta várias histórias para ilustrar sua objeção, a de que, nos anos iniciais, nenhuma criança entende distinções sutis. Logo, a escola pode começar definindo a multiplicação como uma adição de parcelas repetidas, desde que altere essa definição na primeira oportunidade. Seção 3: Duas versões explícitas do argumento de Devlin ao lado de duas versões explícitas do argumento de Imenes. Numa dessas versões, o leitor vai encarar a matemática como uma imensa coleção de jogos abstratos.


{1}/ Será que Devlin exagerou?

Luiz Márcio Imenes, um conhecido autor brasileiro de livros didáticos, leu esta matéria na qual o matemático anglo-americano Keith Devlin argumenta em favor de várias versões da mesma proposição: “A multiplicação não é uma forma de adição repetida.”

Na mesma matéria, Devlin repete essa ideia de duas outras maneiras:

“No caso da adição repetida de inteiros positivos, o estudante obtém o mesmo resultado ao realizar uma multiplicação. [Desde que tome cuidado com as unidades de medida.] Contudo, obter o mesmo resultado com duas operações distintas não significa dizer que as duas operações são a mesma operação, ou que podemos definir uma em função da outra, ou que podemos reduzir uma à outra.”

“Repito: dizer que a multiplicação é adição repetida é pura e simplesmente um erro. Aliás, a potenciação não é uma multiplicação repetida (e se fosse, seria então uma adição repetida, repetida); uma função não é uma máquina que pega um número na entrada, faz algo sobre ele, e produz um número na saída; a integração não é uma antidiferenciação.”

Imenes, depois de pensar no assunto por um tempo, acha que Devlin exagerou. Por conta disso, em setembro de 2017, compareceu a um dos Seminários de Educação Matemática (SEMA), organizados pelo professor Nílson José Machado na Faculdade de Educação da USP, para expor seus motivos.



{2}/ Crianças, quadrados, e balões

Se um matemático concorda com Devlin, então acha que o professor tem o dever moral de dizer a seus alunos algo cujo conteúdo seja consistente com a definição a seguir: “A multiplicação de dois elementos de um conjunto é uma operação na qual você combina os dois elementos, que pode chamar de fatores, para obter um terceiro elemento do mesmo conjunto, que pode chamar de produto. Se a e b são elementos desse conjunto, você pode denotar o produto de a por b com a notação a b, a · b, ou ab. Quando estiver lidando com a multiplicação de dois inteiros positivos a e b, se quiser pode encarar a multiplicação como se fosse uma adição de parcelas repetidas, isto é, ab = b + b + ··· + b, somatório no qual existem a parcelas iguais a b. Contudo, nunca se esqueça de que a adição e a multiplicação são duas operações distintas, e que você não deve definir a multiplicação em termos de adição.” Em nenhum momento Devlin afirmou que, no ensino fundamental 1, o professor deve dizer isso às crianças — afinal, Devlin não é doido. Sua mensagem é outra: Os alunos vão estudar a multiplicação por meio de rimas, músicas, peças de teatro, jogos de tabuleiro? Então o professor deve se esforçar para que seus alunos, qualquer que seja a atividade que façam, evitem contradizer a definição correta de multiplicação.

Imenes discorda. “Não há escapatória — eu nunca vi uma maneira mais eficiente de introduzir o conceito de multiplicação a uma criança, na faixa etária dos 5 aos 7 anos, que não seja por meio do conceito de adição de parcelas repetidas. Além disso, temos de considerar as dificuldades das professoras. Elas mesmas acreditam que devemos definir a multiplicação como uma adição de parcelas repetidas.”

Para justificar a opinião, Imenes contou várias histórias, todas para ilustrar um par de proposições: (1) a maioria dos estudantes muito jovens não entende certas distinções sutis, mesmo que o professor tente explicá-las várias vezes; e, além disso, (2) com frequência a própria professora no ensino fundamental 1 não entende essas mesmas distinções, por falta de treinamento técnico.

Lembretes. No ensino fundamental 1, quase todos os professores são do sexo feminino, e por isso Imenes fala em “professoras”. Além disso, quase todas as professoras no ensino fundamental 1 estudaram pedagogia na faculdade, curso que inclui pouca coisa de matemática. Muitas optaram por pedagogia porque se interessavam por educação, mas tinham aversão à matemática. Esse é um fenômeno bastante estudado.

Certa vez, Imenes deu uma palestra para alunos do ensino fundamental 1, e mostrou para eles uma peça de ladrilho, assim:

“Eu perguntei aos alunos que figura era aquela, e todos disseram ‘quadrado’.”

Depois disso, diante da classe, Imenes girou o ladrilho em 90 graus. A classe passou a ver algo assim:

E de novo perguntou à classe que figura era aquela. “Muitos disseram que era ‘balão’, ou que era ‘pipa’. Não apareceu a palavra ‘losango’, porque eles eram muito crianças. Mas uns poucos disseram ‘quadrado’.”

Para um dos que disseram ‘balão’, Imenes perguntou o porquê, isto é, por que agora era um balão, sendo que antes era um quadrado. Uma das respostas foi:

“Porque o que eu estou vendo é diferente.”

Para um dos que disseram ‘quadrado’, Imenes também perguntou o porquê.

“Porque eu faço assim [inclina a cabeça de lado] e vejo igual.”

Os outros professores no SEMA caem na risada. “Nessa idade”, disse Imenes, “a criança distingue as figuras dessa maneira: olhando.”

Imenes também contou várias histórias sobre a dificuldade de fazer as crianças e as professoras acreditar que todo quadrado é um retângulo. “Para elas”, disse Imenes, “quadrado é quadrado, retângulo é retângulo.”

Ao longo do seminário, Imenes e os outros professores presentes contaram histórias nessa linha. No ensino fundamental 1, crianças e professoras têm dificuldade com frações impróprias (por exemplo, 5/4; o filho de Imenes certa vez lhe perguntou: “Como é que eu vou pegar um chocolate, dividir em quatro pedaços, e distribuir entre cinco pessoas?”), com a ideia de que todo quadrado é um retângulo, a ideia de que nem sempre a multiplicação ou a adição aumentam os números, ou com a ideia de que nem sempre a divisão ou a subtração diminuem os números, com a ideia de contraexemplo.

Não é o caso de que Imenes tenha proposto uma espécie de imobilismo, do tipo: “Ah, visto que no ensino fundamental 1 nem crianças nem professoras entendem a ideia de que a adição e a multiplicação são dois conceitos distintos, então não adianta mencionar isso na escola básica.” (Lembrete: a locução “escola básica” inclui o ensino fundamental 1, o ensino fundamental 2, e o ensino médio.) Ele foi ao SEMA defender outra ideia: a escola pode começar com conceitos que, do ponto de vista do matemático na universidade, são inadequados; é o caso de “você define a multiplicação como uma adição de parcelas repetidas”. Contudo, a escola deve trocar a definição inadequada pela definição adequada tão logo surja a oportunidade. “O que eu defendo é que as ideias sejam trabalhadas ao longo de todo o ensino, um pouco de cada vez”, disse Imenes. “Por exemplo: nos anos iniciais, inevitavelmente a criança vai associar adição e multiplicação com aumento, e divisão e subtração com diminuição. Tudo bem, desde que no momento oportuno a escola altere essas concepções.”

Imenes reconheceu, e reconhece, que há um problema no ensino brasileiro de matemática. Se não houvesse um problema, então no ensino fundamental 1 não haveria professoras que associam multiplicação com adição repetida, e que se recusam a ver um quadrado na classe dos retângulos. Afinal, elas são mulheres adultas, que concluíram uma faculdade. Mas Imenes não consegue concordar com Devlin, e recomendar definições corretas desde o primeiro dia de aula na pré-escola. “Acho que o Devlin tem razão numa coisa”, disse Imenes: “não podemos ensinar às crianças que a multiplicação é uma adição repetida, e depois disso nunca mais rediscutir os vários significados de ‘adição’ e de ‘multiplicação’. Não podemos permitir que o adulto fique apenas com aquela definição original, que viu lá atrás quando era criança. Mas o jeito certo de fazer isso, a meu ver, é ao longo do ensino formal, isto é, em muitas ocasiões ao longo do ensino formal.”



{3}/ Dois argumentos: Imenes contra Devlin

O leitor talvez ache útil comparar o argumento de Imenes com o de Devlin, um perto do outro. Nos argumentos a seguir, “P1” significa “premissa 1” e “C1”, “conclusão 1”.

P1. Existem adultos para os quais a definição “a multiplicação é uma adição de parcelas repetidas” não causa nenhuma estranheza, isto é, para eles essa é uma definição correta em todas as circunstâncias.

P2. Se existem adultos para os quais a definição “a multiplicação é uma adição de parcelas repetidas” é uma definição correta em todas as circunstâncias, então o sistema (brasileiro) de ensino não tem cumprido seu papel corretamente.

C1. O sistema (brasileiro) de ensino não tem cumprido seu papel corretamente. (P1, P2, modus ponens.)

Acho que tanto Imenes quanto Devlin concordariam com o argumento até aqui. O que diferencia os dois não é o diagnóstico da situação, mas o remédio que recomendam. Em outras palavras, ambos têm ideia distinta de como o sistema de ensino deve cumprir corretamente seu papel.

Eis uma continuação consistente com o que Devlin já escreveu sobre o assunto:

P3. Se o sistema (brasileiro) de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente, então deve ensinar, desde a primeira ocasião, que a multiplicação e a adição são duas operações distintas, que uma não deve ser definida em função da outra, mas que, se o estudante quiser, pode ver a multiplicação de números naturais como uma adição de parcelas repetidas.

P4. O sistema (brasileiro) de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente.

C2. [Tese] O sistema (brasileiro) de ensino deve ensinar, desde a primeira ocasião, que a multiplicação e a adição são duas operações distintas, que uma não deve ser definida em função da outra, mas que, se o estudante quiser, pode ver a multiplicação de números naturais como uma adição de parcelas repetidas. (P3, P4, modus ponens.)

Eis uma continuação consistente com a apresentação de Imenes no SEMA:

P3’. Se o sistema brasileiro de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente, então deve ensinar, tão logo seja possível, e em todas as ocasiões em que for conveniente, que a multiplicação e a adição são duas operações distintas, que uma não deve ser definida em função da outra, mas que, quando for conveniente, o estudante pode ver a multiplicação de números naturais como uma adição de parcelas repetidas.

P4’. O sistema brasileiro de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente.

C2’. [Tese] O sistema brasileiro de ensino deve ensinar, tão logo seja possível, e em todas as ocasiões em que for conveniente, que a multiplicação e a adição são duas operações distintas, que uma não deve ser definida em função da outra, mas que, quando for conveniente, o estudante pode ver a multiplicação de números naturais como uma adição de parcelas repetidas. (P3’, P4’, modus ponens.)

É possível deixar os dois argumentos mais abstratos, para que incluam outros problemas, como o problema do “todo quadrado está na classe dos retângulos”. Para tanto, basta ao leitor imaginar a matemática como uma imensa coleção de jogos — cada jogo tem seu tabuleiro, suas peças, e suas regras. Por exemplo, você pode ver a adição de inteiros positivos como um desses jogos; pode ver também a classificação de figuras geométricas planas como outro jogo. Veja como fica, daí, a primeira parte do argumento, com a qual tanto Imenes quanto Devlin provavelmente concordam.

P1. Existem adultos para os quais a definição “a multiplicação é uma adição de parcelas repetidas” não causa nenhuma estranheza, isto é, para eles essa é uma definição correta em todos os jogos matemáticos.

P2. Se existem adultos para os quais a definição “a multiplicação é uma adição de parcelas repetidas” é uma definição correta em todos os jogos matemáticos, então o sistema (brasileiro) de ensino não tem cumprido seu papel corretamente.

C1. O sistema (brasileiro) de ensino não tem cumprido seu papel corretamente. (P1, P2, modus ponens.)

Agora, uma continuação consistente com os textos de Devlin.

P3. Se o sistema (brasileiro) de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente, então desde a primeira ocasião deve ensinar, de alguma forma que seja adequada a crianças, que os jogos matemáticos escolares são versões simplificadas de jogos matemáticos mais sofisticados e abrangentes. Em particular, deve ensinar que a multiplicação e a adição são dois jogos matemáticos distintos, já que resultam de dois conjuntos distintos de axiomas na teoria a respeito de sistemas algébricos.

P4. O sistema (brasileiro) de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente.

C2. [Tese] Desde a primeira ocasião, o sistema (brasileiro) de ensino deve ensinar, de alguma forma que seja adequada a crianças, que os jogos matemáticos escolares são versões simplificadas de jogos matemáticos mais sofisticados e abrangentes. Em particular, deve ensinar que a multiplicação e a adição são dois jogos matemáticos distintos, já que resultam de dois conjuntos distintos de axiomas na teoria a respeito de sistemas algébricos. (P3, P4, modus ponens.)

E, por fim, uma continuação consistente com a palestra de Imenes.

P3’. Se o sistema brasileiro de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente, então, tão logo ocorra a introdução de um novo tabuleiro, uma nova peça, ou uma nova regra, o sistema deve ensinar que o jogo mudou, e que ou o novo jogo preserva as descobertas feitas em jogos anteriores e dá ensejo a novas descobertas, ou o novo jogo não preserva totalmente as descobertas feitas em jogos anteriores, embora dê ensejo a novas descobertas.

P4’. O sistema brasileiro de ensino gostaria de cumprir seu papel corretamente.

C2’. [Tese] Tão logo ocorra a introdução de um novo tabuleiro, de uma nova peça, ou de uma nova regra, o sistema brasileiro de ensino deve explicar que o jogo matemático mudou, e que ou o novo jogo preserva as descobertas feitas em jogos anteriores e dá ensejo a novas descobertas, ou o novo jogo não preserva totalmente as descobertas feitas em jogos anteriores, embora dê ensejo a novas descobertas. (P3’, P4’, modus ponens.)

Se você achou que essa imagem da matemática vista como uma imensa coleção de jogos é meio forçada, bem, enganou-se. A partir da Segunda Guerra Mundial, uma grande quantidade de filósofos, lógicos, e matemáticos passou a explorar a ideia de que a realidade física é uma espécie de jogo, assim como a ideia de que, quando alguém estuda a matemática como se ela fosse uma imensa coleção de jogos, consegue compreendê-la melhor, o que implica ver mais oportunidades de usá-la no estudo da realidade. Hoje, caso queira montar uma biblioteca básica sobre o assunto Lógica e Jogos Matemáticos, terá de comprar no mínimo uns 60 livros. Os dois parágrafos a seguir são um trechinho de um artigo sobre lógica e jogos, escrito pelo matemático britânico Wilfrid Hodges:

“Há dois jogadores. De modo geral, você pode chamá-los de e de ; desde os anos 1980, vários especialistas têm chamado esses dois símbolos de ‘Abelardo’ e de ‘Eloísa’.”

“Cada jogador joga ao escolher elementos de um conjunto Ω, que você pode chamar de ‘o domínio do jogo’. Conforme escolhem elementos, os dois jogadores constroem a sequência a0, a1, a2, … de elementos de Ω. Chame as sequências infinitas de ‘jogos’. Chame as sequências finitas de ‘posições’; cada posição representa o estado em que o jogo ficou depois de certo número de movimentos. Uma função τ, que pode chamar de ‘função jogador’, leva cada posição ou a ou a . Se τ(a) = , isso significa que, em determinado jogo, quando os jogadores chegam à posição a, o jogador faz o próximo movimento.”

Como pode ver, não é leitura fácil. Apesar disso, muitas ideias ficam mais claras depois que você se acostuma a olhar a matemática como uma coleção de jogos abstratos. {FIM}

Matemática: uma maquete imperfeita

Quase todos os matemáticos dizem que ninguém pode representar a realidade com perfeição, por mais complexa que seja a teoria a respeito da realidade. Mesmo assim, aconselham: estude matemática. É impossível retratar a realidade com perfeição, mas é possível retratá-la.

Um modelo matemático não é cópia da realidade, mas serve de inspiração. A questão de fundo é a relação entre teoria e realidade.

Nílson José Machado, professor da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo


Nílson José Machado, especialista no ensino de ciências e de matemática, professor titular da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, se coloca de pé diante de outros dez professores de matemática e anuncia o tema a ser debatido:

“O que é um modelo? Um modelo é cópia ou é inspiração?”

Eles estão no laboratório de matemática da FE-USP, sentados em carteiras organizadas em U. O tema é tão grande que, por um instante, os dez professores ficam em silêncio, e Nílson olha para eles, curioso. Distribui a todos dois documentos: um sobre modelos e outro com uma história em quadrinhos, em que Piteco, um dos personagens da Turma da Mônica, entra numa caverna e acha três velhos olhando para sombras projetadas numa das paredes da caverna. Os velhos acreditam que as sombras são a realidade.

“Acho que vou me sentar”, Nílson anuncia e se senta. Devagar, ele ajuda os professores a discutir o assunto.

Às vezes, a palavra modelo significa uma teoria a respeito da realidade. Economistas falam de “modelo econômico”, e com isso querem dizer: um jeito especial de olhar a realidade, para desprezar os fatos que não interessam e ressaltar os fatos que interessam, e além disso interligá-los de um jeito especial. Matemáticos e muitos cientistas, inclusive economistas, também usam modelo com outro sentido: eles usam o modelo para explicar a realidade, mas tal modelo explica a realidade de modo aproximado, isto é, imperfeito. É como se usassem um desenho para explicar as entranhas de um animal — um desenho não pode ser um animal. Além disso, matemáticos usam modelo com um sentido bem técnico: é uma teoria dentro da qual uma proposição matemática é verdadeira ou falsa. Um sujeito, se estiver falando de geometria euclidiana, pode dizer: se existe um ponto P fora da reta r, então só passa pelo ponto P uma reta s que seja paralela à reta r. Essa proposição é verdadeira no modelo da geometria euclidiana. (O sujeito também pode dizer que essa proposição é verdadeira no sistema da geometria euclidiana.) Se estiver falando de geometria elíptica, não pode dizer isso; não passa nenhuma reta s pelo ponto P que seja paralela à reta r.

Essa discussão inocente sobre modelos sempre termina numa discussão nada inocente: será que um dia o homem descobrirá como a realidade realmente é? Será que um dia acordará de suas fantasias para encarar o mundo tal como é, como fez Neo no filme Matrix? Será que os três velhos podem sair da caverna para olhar o mundo real, iluminado pelo Sol? Ou será que, para descobrir como a realidade realmente é, o homem não tem escolha senão aperfeiçoar seus modelos da realidade, ou seja, aperfeiçoar os desenhos um pouco por dia, até o dia de morrer?

Metáfora e álgebra. Nílson e os dez professores concordaram num ponto: existem dois tipos de matemática. Existe a matemática dos que acreditam que a realidade está ao alcance das mãos, e que o homem pode tocá-la. Para quem acredita nisso, o modelo se confunde com a realidade. “Esse modelo”, diz Nílson, “arroga-se o direito de controlar a realidade.” Essa é a matemática dos que dizem que “a equação rege o fenômeno”. E existe a matemática dos que acreditam que a realidade nunca foi perfeitamente compreendida, nem nunca será. Para quem acredita nisso, um modelo matemático, por mais complexo que seja, não passa de uma espécie de maquete. “Ele não é uma cópia da realidade”, diz Nílson, “mas serve de inspiração. A questão de fundo é a relação entre a teoria e a realidade.”

No laboratório de matemática, os 11 professores procuravam jeitos de ajudar o estudante a desprezar as fantasias sobre a matemática, para enxergá-la tal como é. Com frequência, o estudante sai da escola com a sensação de que deve se submeter ao modelo: ele deve copiar o modelo, deve segui-lo à risca, ou não chegará à resposta “certa”. Por um tempo, os professores conversam sobre o teorema de Gödel (resumindo): uma teoria é consistente se e somente se ela tem um modelo, e todo modelo forte o suficiente para representar a aritmética ou é coerente, mas incompleto, ou é completo, mas incoerente. É difícil ajudar o estudante a ver isso: ele terá de estudar matemática anos a fio para entender melhor fenômenos muito complexos (como um avião durante a decolagem), mas que sua matemática, obtida com tanto esforço, tem de ser incompleta para que seja coerente e, portanto, útil. Um modelo matemático jamais representará a realidade com perfeição.

[Um jeito atual de dizer isso: só o próprio universo computa as leis da física com a mais absoluta perfeição. Qualquer computador que seja subconjunto próprio do universo não pode computar as leis da física com perfeição, e isso vale para qualquer combinação de qualquer número finito de cérebros humanos, apoiados por qualquer combinação de um número finito de computadores (no sentido de máquinas de Turing).]

Nílson cita Max Black, autor do livro Modelos e Metáforas: “Toda ciência começa como metáfora e termina como álgebra.” Quando alguém investiga qualquer fenômeno pela primeira vez, diz Nílson, percebe o óbvio: a quantidade de dados passíveis de medição e de análise é infinita. Tendo um bom modelo matemático (uma metáfora), o investigador mede e analisa tudo aquilo que pode incluir em seu modelo, e despreza o resto. Quando o estudante entende isso, entende duas consequências importantes. A primeira delas: caso ele estude matemática anos a fio, terá mais modelos à disposição (como a geometria euclidiana e a geometria elíptica), e poderá usá-los para explicar a realidade de várias maneiras distintas, isto é, com enfoque distinto. A segunda: talvez aqueles três velhos não tenham como sair da caverna, mesmo que desejem; talvez o único jeito de compreender a realidade melhor seja polir a parede da caverna onde as sombras aparecem. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 11, dezembro de 2011, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Caso queira comparecer a um dos Seminários de Educação Matemática (SEMA), basta querer: eles são abertos ao público, e você não precisa se inscrever antes. Veja a programação aqui.

3. Importante: Muito estudante, e inclusive muito professor, atribui aos teoremas de Gödel implicações que eles não têm. Em particular, o teorema da incompletude não destrói a lógica nem solapa as ambições humanas. Ele apenas diz que certos sistemas axiomáticos, caso satisfaçam certas condições, não podem ser completos, isto é: tais sistemas necessariamente têm de conter proposições que não podem ser provadas verdadeiras ou falsas por meio do próprio sistema. (O teorema da incompletude não diz nada sobre a importância das proposições indecidíveis: num certo sistema, talvez tais proposições não tenham nenhuma importância prática ou teórica.) Contudo, talvez o matemático consiga provar a verdade ou a falsidade de uma proposição indecidível ao recorrer a outros sistemas axiomáticos.