O primeiro mandamento: resolva exercícios


José de Oliveira Siqueira criou 12 cursos de pós-graduação, e hoje dirige o departamento de estatística do Instituto de Psicologia da USP. Um professor lhe ensinou o segredo: não apenas contemple o livro de matemática, seja qual for, mas resolva exercícios até cair de cansaço.


{1}/ Introdução à entrevista

José fez dois cursos de pós-doutorado no Instituto Courant de Ciências Matemáticas, em Nova York, talvez o instituto de matemática aplicada mais famoso do mundo. Mas antes disso, em 1981, estudou processamento de dados na Escola Técnica Federal de São Paulo (hoje Instituto Federal São Paulo), e atribui suas conquistas até agora, inclusive os dois cursos no Instituto Courant, ao professor de matemática da escola técnica: Flávio Evaristo Ribeiro.

Todos os alunos da escola técnica passam a vida contando a amigos e conhecidos como era a aula inaugural do professor Flávio. Era mais ou menos assim: “Meu nome é Flávio Evaristo Ribeiro, e serei seu professor de matemática. Vamos ter aulas na sexta-feira e na segunda-feira. Nós temos de cobrir dois anos de curso num ano só, para que vocês tenham tempo no ano que vem para as matérias técnicas. Então, na sexta-feira vou entregar uma lista com 100, 150 exercícios, que vocês devem resolver e entregar na aula seguinte, que é segunda-feira. Vocês ficarão chateados. Vocês ficarão nervosos. Vocês dirão que isso é uma injustiça. Caso queiram reclamar com o coordenador do curso, façam isso. O nome dele é Flávio Evaristo Ribeiro.”

Esse professor ensinou José a pôr a matemática à disposição do intelecto. “Não adianta contemplar o livro der matemática”, diz José. “Também não adianta só ler o livro. Ler é pouco. O estudante tem de pôr a mão na massa, tem de resolver exercícios. Quanto mais, melhor. Quanto mais difíceis, melhor. Só assim ele vai descobrindo as sutilezas do raciocínio matemático. Até hoje, tenho muito carinho por esse professor.”



{2}/ A entrevista pingue-pongue

Ao entrar na faculdade, você se sentia preparado?

Na época da escola técnica, meu sonho era entrar na Poli [a Politécnica, escola de engenharia da USP], que era um sonho de menino quantitativo. Passei na Fuvest com nota boa; eu me sentia bem preparado, e achava que matemática era um assunto familiar, dominado. Mesmo assim, levei um choque. Na verdade, os primeiros meses de Poli se transformaram num dos meus traumas, porque, na primeira prova de cálculo, tirei 2. Eu nunca tinha tirado uma nota tão baixa na minha vida. Eu não entendia as aulas, não atinava com o que os professores estavam falando. Então fiz o que o professor Flávio Evaristo Ribeiro me ensinou a fazer: exercícios.

Eu e uns amigos descobrimos que a Poli mantinha um arquivo com todos os exercícios das provas anteriores, mas resolvidos. Íamos à biblioteca e resolvíamos todos os exercícios de provas referentes ao ponto em que estávamos no livro de cálculo — todos. A partir daí, nosso nível de sucesso melhorou muito — tirei 7,5 na segunda prova, o que me deu média 5, e passei para o semestre seguinte. Com essa estratégia, fiz todos os cursos de cálculo no tempo certo, o que é difícil.

Pensando bem, fui ingênuo. Eu não sabia que na Europa e nos Estados Unidos existem cursos de pré-cálculo; esses cursos ajudam a fazer a transição entre a matemática do nível médio e a do nível superior. Alguns dos meus colegas de Poli, mais espertos do que eu, já tinham estudado algum livro de pré-cálculo antes de entrar na faculdade, ou até já tinham estudado cálculo 1; essa é a situação ideal. No ensino superior, há um rigor maior nas demonstrações e na resolução dos exercícios. Às vezes, você só chega à resolução do exercício se escrever a resolução com rigor, com todos os passos lógicos bem detalhados — a resolução está no rigor. Para mim, isso foi uma descoberta.

E aí eu percebi uma coisa curiosa comigo: eu adorava as aulas de matemática, mas não gostava tanto assim das aulas técnicas. Então, fiz vestibular de novo [em 1984] e fui estudar estatística no Instituto de Matemática e Estatística da USP.

Por que escolheu estatística?

Ela me parecia mais difícil. Inclui probabilidades, teoria das decisões, teoria dos jogos. Mas levei o curso com a mesma tônica: muitos exercícios, resolvidos com o maior rigor do qual eu era capaz.

Mas aí, quando eu tinha só 25 anos, a Faculdade de Economia e Administração abriu concurso para professor; eu fiz o concurso, e passei em primeiro lugar. Fiquei confuso. Eu não achava que havia matemática de alta complexidade no curso de administração. Mas fui para a FEA mesmo assim (porque ninguém despreza uma carreira de professor universitário), e fiz mestrado e doutorado em administração. No fim das contas, acho que a gente não controla a própria vida.

No meu trabalho de doutorado, eu citava um matemático argentino famoso, o Marco Avellaneda, um cara especializado na modelagem matemática de turbulências [seja a turbulência do ar, seja a turbulência no mercado financeiro]. Ele criou, dentro do Instituto Courant, um departamento de matemática aplicada ao mercado financeiro. Então eu simplesmente coloquei nos correios uma cópia do meu doutorado para o Marco. Por uma dessas ironias do destino, ele é fluente em português. Um mês depois [em 2000], ele me ligou, e me convidou para passar um ano no Instituto Courant. Pedi bolsa para a Fapesp e fui.

Como se faz matemática em Nova York?

Eu não sabia que existia um lugar como o Instituto Courant: matemáticos faziam matemática de altíssima qualidade, mas aplicada a situações reais. Eu pensava como tantos matemáticos até hoje pensam: que a matemática aplicada é inferior à matemática pura. O espírito do Instituto Courant, contudo, é outro: ao lidar com situações reais, o matemático esbarra em mil dificuldades, que vão de fazer contatos profissionais com financistas ou biólogos, por exemplo, a estudar a fundo uma área nova, como o mercado financeiro ou a biologia. Como a realidade é muito complicada, se o matemático não tiver a postura de buscar excelência na matemática, ele não produz nada que preste. Hoje eu admiro as pessoas capazes de fazer matemática aplicada de alta qualidade; elas vivem num mundo menos confortável do que o mundo em que vive o matemático puro. Digo isso sem desmerecer em nada o trabalho do matemático puro — no fim das contas, todos nós recorremos ao que ele produz.

Como usou a experiência americana no Brasil?

Depois de passar um ano no instituto Courant, eu me sentia atrasado. Eu tinha passado quase dez anos sem estudar matemática. Mas, de volta à FEA, eu tinha o direito de criar disciplinas novas de pós-graduação, e de ministrá-las. Então, nos oito anos seguintes [2002-2010], eu pensava comigo: O que eu mesmo quero aprender? Que livros eu quero ler?

Criei 12 disciplinas de pós-graduação, e ministrei todas elas, e desse jeito eu mesmo me reeduquei. E olha: havia demanda. Muitos alunos de administração se interessam por métodos quantitativos; mesmo assim, a maioria das faculdades brasileiras não investe nesse tipo de curso. Enquanto eu estudava para ministrar os 12 cursos novos, a tônica era a mesma: exercícios, exercícios, exercícios. Foi de onde tirei o material para meu livro.

Como você organizou seu livro?

Quando ofereci o livro à editora, ainda estava na FEA, onde os alunos têm cálculo 1. Então, parti para as aplicações do cálculo 1 no dia a dia de profissionais formados pela FEA: administradores, economistas, contabilistas. Um leitor inteligente, que tenha uma base simples de cálculo, já é capaz de usar o livro.

Eu queria um livro que incentivasse o leitor a aplicar matemática às ciências sociais. Como acredito em problemas e exercícios, organizei o livro por meio de problemas: eles enfatizam situações reais, clássicas, que vivemos na vida profissional, e eles estão organizados numa sequência lógica. Acho que o leitor passa pela parte teórica, não entende tudo, e aí resolve os problemas e exercícios um a um, enquanto vai reformulando o que entendeu. Eu mesmo estou sempre fazendo esse movimento: resolvo um problema ou exercício, e revejo a parte teórica. Além disso, todos os exercícios estão resolvidos; alguns no próprio livro, outros no portal da editora, num arquivo PDF gratuito.

Uso no livro o que chamo de matemática computável gratuita. Não precisamos mais desenhar à mão o gráfico de uma função, ou calcular à mão a derivada ou a integral de uma função: portais como o Wolfram Alpha ou o Scilab fazem isso por nós. Do mesmo jeito que uma pessoa pode usar uma calculadora para somar, subtrair, multiplicar, e dividir muitos números, pode usar esses portais de internet para resolver problemas complicados; por exemplo, multiplicar uma longa sequência de matrizes.

Esse livro é minha pequena contribuição à humanidade, porque um livro desses não dá retorno financeiro — livros técnicos vendem muito pouco. Além disso, um livro técnico não conta pontos na academia. Mas ele me deu grande satisfação pessoal.

Por que estudar métodos quantitativos?

Depois que o aluno passa por treinamento em métodos quantitativos, ele passa a ver a administração de empresas com outros olhos. Ele fica mais crítico, mais rigoroso, e passa a ter condições de ler revistas técnicas importantes, como a Econometrica. Eu acho que esse é o papel do professor: no mínimo, dar a seus alunos a capacidade de ler os periódicos mais importantes de seu campo, para que o aluno conheça o que de melhor está sendo feito no mundo. Um dos meus alunos, o Edson Bastos dos Santos, hoje dá aulas nos Estados Unidos, na Universidade de Columbia — até agora, essa foi a minha maior glória como professor. {}



{3}/ Apêndice: Métodos quantitativos

É o nome da soma de matemática, estatística, e computação. Um especialista em métodos quantitativos deve usar a matemática para compreender um fenômeno impossível de reproduzir em laboratório (ou em experimentos controlados), como uma empresa, um segmento da sociedade, uma epidemia. Ao mesmo tempo, o especialista em métodos quantitativos deve evitar os fatores de confusão, ou seja, deve evitar confundir causas e efeitos, ou atribuir relação de causa e efeito a duas variáveis que não têm relação causal. {FIM}


Observação:

Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 8, setembro de 2011, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos, contudo, são os que valiam na ocasião.

Para resolver um problema, troque várias vezes o sistema de pensamento


Certos problemas têm tudo para fazer a pessoa chegar à conclusão errada, e um psicólogo explica por que isso ocorre: a pessoa usa raciocínio rápido e intuitivo em situações que requerem reflexão. Dois professores contam como ajudam seus alunos a fazer a transição da forma de pensar rápida para a devagar (e vice-versa), assim como a gostar de fazer a transição.


{1}/ Intuitivo = Prazeroso, Meditabundo = Penoso

Um sujeito comprou um arco e uma flecha por 11 reais. O arco custou 10 reais a mais que a flecha — quanto custou então a flecha? Daniel Kahneman, um dos ganhadores do Nobel de Economia de 2002, pede que seu leitor responda a uma pergunta desse tipo usando apenas a intuição, isto é, rapidamente. A maioria responde “1 real”, que é a resposta errada. Após refletir um pouco, pode ver que a intuição o enganou e sua resposta não tem lógica: visto que o arco custou 10 reais a mais que a flecha, se ela valesse 1 real, ambos teriam custado 12 reais.

Depois de pensar um pouco, o sujeito vê que a frase “o arco custou 10 reais a mais que a flecha” contém a seguinte informação: o total de 11 reais é resultado do valor desconhecido da flecha somado ao valor desconhecido da flecha (isso mesmo, de novo), mais 10 reais. Pode então denotar o preço do arco com a e o da flecha com f e descrever o raciocínio com álgebra:

Equation-1

Daniel Kahneman é professor de psicologia na Universidade Princeton, nos Estados Unidos, e encontrou evidências de que a mente dos humanos funciona de duas formas: uma que é rápida e intuitiva e outra que é lenta e deliberativa. Quando está pensando no modo rápido, o sujeito usa a intuição, muitas vezes sem perceber; no modo lento, analisa a situação, algo que requer esforço e concentração. Daniel reuniu suas descobertas no livro Rápido e Devagar: Duas Formas de Pensar, no qual explica a interação entre os dois sistemas de pensamento, que por praticidade ele chama de sistema 1, o intuitivo, e sistema 2, o analítico. Com perguntas como a do arco e da flecha, exemplifica uma situação em que as pessoas erram por causa do sistema 1. Para encontrar a resposta certa, o sujeito deve virar uma espécie de chave na mente para sair do modo rápido e intuitivo e entrar no modo lento e meditabundo.

Quase todo mundo passa mais tempo pensando com o sistema 1, e tem dificuldade de passar ao sistema 2. Quando a intuição se revela insuficiente e o sujeito erra, a frustração que sente basta para fazê-lo desistir do problema. Mike Askew e Rob Eastaway, autores do livro More Maths for Mums and Dads: The Teenage Years, dizem que isso é ainda mais frequente entre estudantes adolescentes de matemática, pois, para entender um problema matemático digno do nome, precisam mudar várias vezes do sistema 1 para o 2 e vice-versa. Também precisam ter noção de quando é mais sensato usar um ou outro, e em geral não têm essa noção. Mike e Rob acreditam que esse é um dos motivos pelos quais um adolescente tacha a matemática de “difícil”; pais e professores devem ajudá-lo a ter consciência do tipo de pensamento que está usando para resolver um problema.

Ao notar que errou no problema da flecha, o estudante talvez fique menos frustrado por saber que não errou por ignorância, mas sim porque usou a intuição num problema que exige reflexão. É comum a criança desanimar ao entrar no 6º ano (antiga 5ª série) e estudar uma matemática bem diferente da que conheceu no ensino fundamental 1. Estava acostumada a estudar coisas como a tabuada, a resolver problemas aritméticos simples, a brincar com objetos como tampinhas e palitos. Numa escola, por exemplo, nas aulas do 3º ano (antiga 2ª série), a professora em geral distribui folhas com uma tabela em branco. Daí ela dita a tabuada inteira: “um vezes um, um”; “um vezes dois, dois”. Entre uma pausa e outra, cada criança anota o resultado na tabela. Depois de um tempo, todos têm a tabuada de 0 a 10 na ponta da língua.

Muita criança, contudo, se sente perdida quando, no 6º ano, ouve falar de potenciação e de radiciação. Acha que tem dificuldades com a matemática porque, ao contrário de antes, agora tem de parar e pensar, e já não consegue mais dizer a resposta de memória. Ela não sabe que, diante dos novos conceitos, deve usar outro jeito de pensar, o jeito do sistema 2, que exige esforço e paciência. Pais e professores podem ajudar na transição; por exemplo, podem criar atividades nas quais a criança note o lado positivo dessa forma de pensar, que, com o tempo, tem potencial para se tornar uma ótima fonte de prazer.

Mike e Rob sugerem uma técnica de motivação comum entre pessoas que odeiam atividades físicas. O sujeito se propõe a subir todos os dias na esteira e a caminhar por apenas 15 minutos. Se depois disso estiver aborrecido, tem autorização para descer e ir fazer outra coisa. Depois de 15 minutos na esteira, contudo, quase todo mundo prefere continuar caminhando um pouco mais — talvez meia hora. Da mesma forma, uma mãe, em vez de forçar seu filho a se trancar no quarto para fazer a lição de matemática, pode incentivá-lo a se dedicar à lição por apenas 15 minutos. É boa a probabilidade, dizem Mike e Rob, de que o menino continue trabalhando até o fim.

O fundo do baú. O cérebro divide o trabalho entre as duas formas de pensar não para pregar peças em seu pobre hospedeiro humano, mas para torná-lo mais eficiente: ao aplicar a forma certa ao problema certo, o humano gasta menos energia e desempenha melhor. Ao usar a intuição, ele lida bem com a maioria das situações familiares; às vezes, porém, ela o atrapalha com impressões enviesadas. O problema da intuição é que está sempre ligada. Se mostrar uma palavra em chinês a um sujeito fluente em chinês, ele a lerá automaticamente, a não ser que esteja muito concentrado em outra tarefa. É por isso que, em problemas aparentemente simples, a intuição pode levá-lo a conclusões erradas.

Gabriel Prado, professor de matemática no Colégio Oswald de Andrade, em São Paulo, tinha um professor que comparava a matemática a um marceneiro com suas ferramentas. “Toda vez que vejo um prego, meu lado intuitivo está treinado para pensar num martelo. Do mesmo jeito, na matemática, deixo em cima da bancada os conceitos que uso muito, enquanto outros tenho de procurar num baú.” Quanto mais conceitos difíceis o sujeito estuda, contudo, mais conceitos básicos têm na ponta da língua, que lhe permitem economizar energia ao refletir sobre problemas complicados. Numa prova como a do vestibular, o estudante precisa do sistema 1, pois tem poucos minutos para resolver cada questão. “Se ficar num processo lento e reflexivo em cada uma delas, não terminará a prova”, diz Gabriel. “Então, apesar de superficial, o nosso lado rápido e intuitivo pode ser bem treinado.” Só há um jeito, contudo, de deixar o sistema 1 bem treinado: praticar com muitos exercícios. O estudante bem treinado vê, por exemplo, a imagem de um triângulo retângulo e logo pensa no teorema de Pitágoras e nas relações trigonométricas. Por experiência, sabe que é grande a chance de que, com tais ferramentas, possa resolver o exercício.

Gabriel faz mestrado na Universidade de São Paulo e conta que, nas aulas de estatística, bastava o professor mencionar “uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n e p”, que logo se lembrava da fórmula para calcular a média μ e a variância σ2. Isso porque internalizou os dois conceitos depois de usá-los muitas vezes. Mas, quando lia algo que mencionava a locução “distribuição geométrica”, tinha de abrir um baú imaginário para relembrar como usar as ferramentas embutidas naquele conceito. Contudo, se Gabriel tem um baú cheio de conceitos meio empoeirados, é porque um dia os estudou com o sistema 2.

Um estudante (vamos chamá-lo de Alípio) se debruça sobre uns livros para entender por que gente como Gabriel usa tanto essa tal de distribuição binomial. Começou com as expressões “espaço amostral” e “distribuição de probabilidade”. Espaço amostral é o conjunto com todos os resultados possíveis de um experimento. Se o experimento for “jogar um dado comum”, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}, em que os inteiros de 1 a 6 representam o número de bolinhas viradas para cima; se for “jogar uma moeda comum”, é {cara, coroa}. Distribuição de probabilidade é uma função, pela qual Alípio associa, a cada elemento do espaço amostral, a probabilidade de que ocorra no experimento em questão. (A soma das probabilidades deve ser igual a 1.) No caso de lançar um dado comum, Alípio pode associar, a cada elemento do espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a probabilidade p = 1/6.

No século 17, o matemático suíço Jacques Bernoulli criou um espaço amostral supersimples, que chamou de Ω:

Se Alípio atribuir a probabilidade p a 0, tem de atribuir a probabilidade 1 – p a 1; e vice-versa. Apesar da simplicidade, essa “distribuição de Bernoulli com parâmetro p” é incrivelmente útil. Em muitas situações práticas, Alípio pode transformar um espaço amostral complicado em Ω — para tanto, basta traduzir 0 como “não obtive sucesso” e 1 como “obtive sucesso”. Alípio escreve:

“Vou jogar um dado comum 20 vezes, isto é, vou realizar n = 20 experimentos independentes. Quero tirar 6. A probabilidade de que saia 6, a cada experimento, é p = 1/6. Se no espaço amostral Ω interpreto 0 como sendo ‘joguei o dado 20 vezes e não tirei certa sequência de k sucessos e de nk fracassos’ e se interpreto 1 como sendo ‘joguei o dado 20 vezes e tirei sim certa sequência de k sucessos e de nk fracassos’, então existe uma fórmula para calcular a probabilidade de que ocorra 1 no espaço amostral Ω.”

Essa fórmula é:

Daí, como consequência lógica, Alípio pode usar a fórmula a seguir para calcular a probabilidade pk de obter exatamente k sucessos, visto que realizou n experimentos, e visto que a cada experimento a probabilidade de sucesso é p:

Essa é a famosa distribuição binomial. O binômio de Newton está lá porque mostra de quantas maneiras distintas alguém pode obter um número k de sucessos ao longo de n experimentos. (Portanto, é um pedacinho de matemática discreta.)

Com o que aprendeu, Alípio usa o portal Wolfram Alpha para montar a figura 1. No eixo das abscissas, o número 0 significa “joguei o dado 20 vezes, a probabilidade de tirar 6 era de 1/6, mas mesmo assim não tirei 6 nenhuma vez”; da mesma forma, o número 5 significa “joguei o dado 20 vezes, a probabilidade de tirar 6 era de 1/6, e tirei 6 em cinco jogadas”; no eixo das ordenadas, está a probabilidade de que pk ocorra.

Fig. 1Se alguém jogar um dado 20 vezes, e se está interessado em tirar 6, qual é a probabilidade de que não tire 6 nenhuma vez, ou tire uma, ou duas, …, ou vinte? O gráfico mostra isso. A média de sucessos para esse número de jogadas é 3,33.

Satisfeito com o pouquinho que aprendeu sobre a binomial, Alípio estuda outro exemplo mencionado por Gabriel, o da distribuição geométrica. Ela também tem a ver com o espaço amostral Ω = {0, 1}. Alípio achou mais fácil começar com a fórmula e depois traduzi-la em palavras:

Essa fórmula responde a uma pergunta: “Qual é a probabilidade pk de realizar k experimentos, e de obter k – 1 fracassos antes de obter o primeiro sucesso, sendo que, a cada experimento, a probabilidade de obter um sucesso é igual a p?” Alípio nota que agora k significa “número de experimentos”. Com essa fórmula e essa ideia, monta a figura 2, que também se refere a jogar um dado comum e tirar 6. No eixo das abscissas, estão os valores de k – 1. Assim, por exemplo, a linha azul no número 5 mostra a probabilidade pk de realizar seis experimentos (jogar o dado seis vezes) e de obter cinco fracassos antes do primeiro sucesso (obter outros números que não o 6 antes de obter o 6), que é de 6,7%. Cientistas frequentemente precisam levantar informações desse tipo; por exemplo, se um deles deve agendar o uso de um laboratório caro, precisa saber por quantos dias deve agendá-lo para que consiga pelo menos um sucesso ao longo desses dias.

(A palavra “geométrica” vem do simples fato de que, para valores inteiros de k, a fórmula de pk gera uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e cuja razão de progressão é 1 – p.)

Fig. 2Um sujeito vai jogar um dado perfeito uma vez (k = 1), duas vezes (k = 2), …, 21 vezes (k = 21). Qual é a probabilidade de não tirar 6 nenhuma vez antes de tirar 6 uma vez? (Isto é, qual é a probabilidade de obter k – 1 fracassos antes do primeiro sucesso?) O gráfico mostra isso para k – 1 = 0, k – 1 = 1, k – 1 = 2, …, k – 1 = 20. A probabilidade de jogar o dado seis vezes, por exemplo, e de não obter um sucesso nas primeiras cinco jogadas antes de obter um sucesso na sexta é de 0,067, ou seja, de 6,7%. Cientistas usam muito essa “distribuição geométrica de parâmetro p”, e neste caso p = 1/6, pois o dado é perfeito.

Com tais estudos, Alípio teve uma ideia do que significa usar o sistema 2 de pensamento: esse sistema pode proporcionar prazer, mas antes disso provoca algum sofrimento.

Pensar para falar. Para ajudar os alunos a mudar do pensamento rápido e intuitivo para o lento e reflexivo, Rosa Maria Mazo Reis, professora na Universidade Estácio de Sá, no Rio de Janeiro, propõe desafios no finalzinho da aula. Os cinco primeiros alunos que conseguem resolver o problema vão à lousa explicar como raciocinaram. “Quando fala sobre o que produziu, o aluno passa para um novo nível de raciocínio. O processo de reflexão é mais ou menos assim: ao tentar passar o conhecimento para outra pessoa, compartilhamos o modo como chegamos à solução e, para fazer isso, temos de descobrir como fazer o outro entender nosso caminho. Falar sobre esse caminho é algo que faz muita diferença.”

Ela compara a atividade com a situação de quem tem um problema pessoal. Após desabafar com um amigo, ainda que não chegue à solução, a pessoa ganha uma visão mais clara do problema, pois, para se expressar ao amigo, teve de organizar as ideias. “Na construção do pensamento sofisticado o processo é o mesmo”, diz Rosa. “É importante o aluno conseguir mostrar: olha, pensei assim, assim e assim; testei essa hipótese e não deu certo por causa disso.”

Gabriel concorda que contar o processo do raciocínio ajuda a treinar esse lado reflexivo. Por isso, gosta de explicar as ideias por trás das contas e o processo lógico que seguiu até uma solução. Fazendo dessa maneira, dá aos alunos ideias de como abordar o problema. Gabriel também costuma pedir que pratiquem com exercícios do tipo resolva, para mecanizar procedimentos mais básicos; depois parte para questões mais complicadas. “Temos que treinar os dois pensamentos: É como ensinar alguém a pendurar um quadro na parede. Primeiro, ensinamos a bater o prego do jeito certo até virar uma habilidade automática. Depois, posso perguntar: como faço para pendurar um quadro desse tamanho? Onde coloco o prego?”

Porém, às vezes, o estudante não pratica o suficiente e põe na cabeça uma ideia errada que passa a usar o tempo todo; são os erros clássicos nas aulas de matemática. Gabriel conta o caso em que, na expressão a seguir, o aluno corta os 2 de cima e os 2 de baixo, pois estão elevados à mesma potência.

Ele chama a atenção do aluno e explica: “Você tem de desenvolver cada parte da expressão: 2–2 é 1/4, 22 é 4 e 2–1 é 1/2. Não pode cancelar os números de cima com os números de baixo, pois é uma fração com soma e subtração.” (Se fosse uma fração com produtos no numerador e no denominador, a história seria diferente.) Então, o estudante começa a raciocinar com o sistema 2, faz as contas e chega ao resultado correto: –15. Outro erro comum, diz Gabriel, é quando o estudante bate o olho num produto notável como (x + 2)2 e acha que é igual a x2 + 4. “Os professores discutem bastante essa situação em que precisam lembrar o aluno que (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = (x2 + 4x + 4). Não pode simplesmente distribuir o quadrado para o x e para o 2.” Só depois de praticar bastante e, às vezes, perder pontos numa prova, é que percebe o erro e começa a memorizar a ideia correta.

Rosa conta o exemplo do poço (veja a seção 2), com o qual muito aluno se embanana ao raciocinar rápida e intuitivamente. Ele se engana pensando que, com uma continha de multiplicação, pode resolver o problema; mas nem sempre uma conta resolve um problema. “Quando você dá um problema em que a conta até pode ser necessária, mas não é o suficiente”, diz Rosa, “mostra ao aluno que a matemática não é só uma montanha de contas.” Ela é, na verdade, um jeito de raciocinar abstratamente sobre coisas todo tipo. (Sobre uma boa definição de matemática, veja a observação 3 no pé deste texto.) Não há problema em decorar alguns truques, uma vez que os mecanismos pelos quais funcionam já estejam compreendidos. Rosa diz que é difícil mostrar a importância dessa transição de um pensamento para o outro — do rápido para o lento e vice-versa —, pois muitas vezes o aluno tem como objetivo passar de ano e entrar de férias. Para tanto, as receitas prontas são mais úteis.

Ela diz que, se alguém responde com erro ao probleminha do arco e da flecha, não é porque não sabe fazer as contas (em geral, sabe), mas sim porque não pensou realmente no problema. O sujeito procura uma fórmula mágica para se livrar do problema depressa. “Ele faz uma composição mágica em cima dos valores do problema.” Mas ela acredita que, com a prática, o estudante muitas vezes aprende a gostar desse pensamento lento e analítico, de se esforçar para entender melhor um problema; ele aprende, sobretudo, a gostar do conhecimento — e a partir daí ninguém precisará mais vigiá-lo para que estude. “Hoje em dia, com a facilidade de acesso à informação, basta o sujeito estar motivado que consegue regular a própria aprendizagem; a gente tem a web aí, cheinha de coisas.” Para Gabriel, contudo, só os estudantes que já gostam de matemática acham prazeroso pensar com o sistema 2. Os outros até aprendem a dar valor ao sistema 2, mas apenas depois que percebem suas vantagens, e só percebem isso se a escola for boa.

Um problema é que nem sempre o sujeito usa o sistema errado, erra, e percebe que errou. Com frequência erra, mas acha que acertou. Por isso todo matemático recomenda: mesmo que tenha resolvido um problema rapidamente, e que tenha a sensação de que está certo, inicie o sistema 2 para checar as conclusões. Com o tempo, os métodos que nunca dão chabu na fase de checagem acabam se tornando parte do sistema 1. “O professor precisa ajudar o aluno a manter, o tempo todo, um equilíbrio entre essas duas partes”, diz Gabriel. “Temos de cuidar das duas.”

Daniel Kahneman escreve em certo trecho: as pessoas erram probleminhas simples, em grande parte, por causa do pensamento rápido e intuitivo. Ao mesmo tempo, ele é o responsável pela maior parte do que as pessoas fazem corretamente. “Se você subiu no ônibus hoje ou assoprou o café fresquinho que acabou de pôr na xícara, fez isso graças ao sistema 1.” Eis a questão: o pensamento rápido e intuitivo livra o humano de refletir sobre o que já não merece mais reflexão, e sem isso não poderia nem mesmo escovar os dentes. {}



{2}/ Apêndice: A fuga do poço

Problema. Um caracol está no fundo de um poço de cinco metros. Durante o dia, consegue subir dois metros, mas durante a noite acaba escorregando 1 metro para baixo. Quanto tempo ele leva para sair do poço?

Rosa Maria Mazo Reis, professora na Universidade Estácio de Sá, no Rio de Janeiro, diz que é comum uma pessoa responder de imediato: cinco dias. Ela pensa assim: se o caracol sobe dois metros durante o dia e desce um metro durante a noite, ele sobe um metro a cada 24 horas. Então, se o poço tem cinco metros, ele sai de lá em cinco dias. Certo? “Se fizer essa conta vai chegar a uma conclusão errada”, diz Rosa. “Vai achar que uma continha simples dá conta do problema, mas não dá. A pessoa erra porque não se envolveu na situação.”

Um estudante (vamos chamá-lo de Alípio) aborda o problema desenhando um esquema do que acontece com o caracol. Ele traça um segmento de referência numerado de 0 a 5 para representar os metros. Abaixo dele traça outro segmento que vai de 0 a 2 para indicar os metros que o caracol sobe durante o primeiro dia. Sempre colocando uma bolinha para denotar a altura em que o caracol está. Abaixo do segmento do primeiro dia, traça um segmento para representar o metro que escorrega durante a noite. Continua traçando segmentos para os dias e as noites seguintes até chegar a 5 metros de acordo com o segmento de referência. Seu desenho fica assim:

Com o esquema, Alípio vê que o caracol sai do poço ao final do quarto dia, sem que antes escorregue um metro para baixo. E a resposta ao problema, de modo preciso, é que o caracol leva três dias e 12 horas para sair de lá. (Existe aqui uma ambiguidade com a palavra “dia”, que tanto designa a parte do dia iluminada pelo sol quanto as 24 horas que compõem um dia.) Com problemas desse tipo, o professor mostra ao estudante que nem sempre fazer contas é o suficiente para resolver um problema. Às vezes, pode usar um desenho, ou até mesmo resolvê-lo de cabeça; o importante é parar para raciocinar com cuidado sobre as informações que possui. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 46, novembro de 2014, pág. 18. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Danielle Ferreira.

3. Uma boa definição de matemática:

É a arte e o ofício de explicar, de modo incontestável, por que determinada afirmação é verdadeira.

Eu gosto dessa definição porque ela implica várias características marcantes da matemática. Por exemplo: ela implica a ideia de que a matemática é feita a partir de definições, axiomas, e regras de inferência declarados verdadeiros por hipótese (isto é, por pressuposição); se não fosse assim, ela seria contestável, pois qualquer premissa que não seja declarada verdadeira por hipótese pode ser legitimamente contestada. (Esse é um dos grandes problemas da ciência.) Outro exemplo: a definição implica a necessidade de que o matemático saiba explicar, tim-tim por tim-tim, os teoremas e algoritmos que usou numa demonstração; logo, implica a necessidade de que o matemático evite a mera decoreba — pois como poderia produzir uma explicação incontestável se recorresse a uma decoreba? Como poderia defendê-la se não conhece bem um dos elementos que usou para produzi-la?

Será que o acaso existe mesmo?


Se você pudesse perceber o mundo em câmera lentíssima, de modo que visse o que está para acontecer, usaria menos a palavra “aleatório”. Nesta matéria, especialistas discutem as inter-relações entre as ideias contidas em palavras como “aleatório”, “pseudoaleatório”, “ciência”, e “dinheiro”.


{1}/ “Aleatório” “Barato”

Um professor escreve na lousa uma sequência de algarismos:

[2] [1] [5] [1] [1] [9] [7] [?]

Vira-se para a classe e pergunta:

“Qual é o próximo algarismo nessa lista?”

A sala fica em silêncio. Francisco Cribari-Neto, professor no departamento de estatística da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), faz essa brincadeira com seus alunos para explicar o que é pseudoaleatoriedade. “O que estou fazendo é o seguinte: escrevo o primeiro dígito do meu CPF, depois o primeiro dígito do meu celular, o segundo dígito do CPF, o segundo do celular, e assim por diante. Em algum momento eu paro e eles não conseguem predizer o próximo número na sequência, mas eu consigo, porque conheço o mecanismo que a gerou.” Francisco anuncia então o próximo algarismo, por exemplo 7, e os alunos ficam inquietos: como ele sabe? Francisco escreve uma sequência de algarismos que tem todo o jeitão de ter sido escolhida ao acaso, mas que foi produzida por um algoritmo determinístico que ele mesmo criou: eis um bom exemplo de sequência pseudoaleatória.

Qualquer um pode usar métodos desse tipo para criar sequências as quais outra pessoa, a não ser que conheça o método, achará sem pé nem cabeça. Ou então teria de analisá-las de tal forma que descobrisse o algoritmo gerador. Era mais ou menos isso o que fazia o matemático britânico Alan Turing (1912-1954) quando trabalhava em Bletchley Park, centro de pesquisas especializado em mensagens cifradas, montado pelo governo britânico durante a segunda guerra mundial. Turing ajudou os aliados a vencer a guerra contra a Alemanha, a Itália, e o Japão ao quebrar o sistema de criptografia da máquina alemã Enigma. Analisava as sequências que representavam mensagens cifradas do exército nazista para descobrir qual algoritmo as gerava.

Uma vez que apresentou a pseudoaleatoriedade, Francisco faz outra brincadeira: recorta vários papeizinhos e escreve um único algarismo de 0 a 9 em cada um deles, então os dobra e os coloca num copo; chacoalha o copo e pede a alguém que retire um papelzinho a esmo. Ele escreve na lousa o algarismo sorteado, devolve o papel para o copo, e recomeça o processo. “Essa sequência é aleatória porque ninguém, nem mesmo eu, é capaz de predizer o próximo algarismo da sequência.” Porém, quando Francisco escreve lado a lado as duas sequências de dígitos, uma feita com os dígitos do CPF mais os do celular, a outra feita por sorteio, os alunos não conseguem dizer qual delas é aleatória e qual não é. “Essa é a natureza da pseudoaleatoriedade: a gente não quer que as pessoas sejam capazes de distinguir algo aleatório de algo pseudoaleatório.”

Especialistas sabem, no entanto, que as sequências pseudoaleatórias têm uma propriedade que as denuncia: a reciclagem. Em algum momento, a sequência começa a se repetir. Suponha que o número do CPF usado no exemplo do professor seja 251.798.337-28 e o do celular seja 11 976 548 123; quando terminar de escrever os dígitos, tem de recomeçar novamente com o mesmo algoritmo:

215119779685343871228321511977968534387122832151197796853438712283

Por causa do período tão curto até recomeçar do princípio (22 dígitos), um leigo não demora a notar o padrão, ainda que não possa explicar como surgiu. Por isso, o especialista em criptografia busca produzir sequências tenham duas características cruciais: parecer aleatória e ter longos períodos de reciclagem. Francisco conta que, no início, os algoritmos geravam sequências cujo segundo período começava na posição 32. Depois, criaram algoritmos em que o segundo período começava na posição 60, e hoje existem os que produzem sequências com períodos de quase 220.000 posições. “Hoje demora praticamente uma eternidade para a sequência começar a se repetir.”

Porém, para o sujeito saber com certeza se uma sequência é aleatória ou não, depende de alguém que saiba como ela surgiu ou de equipamentos com boa capacidade computacional. Avi Wigderson, especialista em ciências da computação da Universidade de Princeton, sugere que a aleatoriedade está nos olhos de quem a vê, ou na capacidade computacional de quem a vê. Ele deu uma palestra na qual discute se existe algo completamente aleatório no mundo real. (Veja em [http://goo.gl/YHrvke].)

Bicho imprevisível. Leigos chamam algo de aleatório quando tem um comportamento irregular, sem padrão aparente; mas os estatísticos definem sequências aleatórias (de valores, de objetos em fila, etc.) como aquelas cuja disposição só pode ser descrita em termos de probabilidade. Em muitas circunstâncias teóricas e práticas, a probabilidade de cada elemento da sequência é a mesma; por exemplo, se podem aparecer n elementos distintos em cada posição da sequência, a probabilidade de que um deles apareça é 1/n. (Para alguns especialistas, essa deve ser a única definição de aleatório: probabilidade igual de aparecer.) Para um matemático ou um especialista em ciências da computação, o exemplo mais comum é o da moeda não enviesada: se jogar cara ou coroa com uma moeda dessas, qual a probabilidade de acertar se o resultado será cara (ou coroa)? 50%. “Agora, imagine que eu repita a jogada”, diz Avi, “mas que desta vez você tenha a ajuda de equipamentos computacionais de última geração, e sensores precisos; por exemplo, você tem uma série de câmeras de alta velocidade ligadas a medidores. A moeda começa a parecer bem menos aleatória! Se o computador e os sensores forem bons o suficiente, você terá maior probabilidade de prever o resultado. Em ambos os casos a jogada foi a mesma, mas o observador mudou e, portanto, mudou também a aleatoriedade na situação.”

Dani Gamerman, professor na Universidade Federal do Rio de Janeiro e autor do blog Statpop (com o qual procura divulgar a estatística), explica que todo o estudo da probabilidade pressupõe que uma série de fenômenos é aleatória, como o caso da moeda. Ele concorda com Avi: o jogo de cara ou coroa, assim como outros fenômenos aleatórios, no fundo tem pouco de aleatório — e talvez não tenha nada de aleatório. “Uma vez que a moeda é lançada, posso estudar suas propriedades físicas, o ângulo do lançamento, a força do vento e, por meio de cálculos, determinar como ela vai cair.” Dani sugere que muitos eventos considerados aleatórios são na verdade uma sucessão de processos físicos bem determinados e conhecidos (ou talvez não tão conhecidos), mas cujos resultados, se o homem tivesse disposição, tempo, dinheiro, energia, e capacidade computacional, seriam perfeitamente passíveis de previsão.

Persi Diaconis, um matemático da Universidade de Stanford, nos Estados Unidos, diz que as pessoas poderiam discutir essa pergunta — Existe algo realmente aleatório? — para sempre, como ocorre habitualmente com as boas perguntas filosóficas. Contudo, Persi tem a capacidade de jogar uma moeda e de fazê-la cair sempre com o lado cara para cima; é um truque que aprendeu há anos. Um sujeito talvez veja a cena imbuído da pressuposição de que a probabilidade de cara (ou de coroa) é a mesma — mas, graças ao truque de Persi, não é. Para Persi, a probabilidade de que algo ocorra está mais ligada ao conhecimento do observador que ao mundo. O que isso significa? Se a humanidade soubesse todas as variáveis envolvidas num sistema, por exemplo na previsão do tempo, poderia predizer exatamente a que horas cairá a próxima gota de tempestade? Poderia desocupar uma área que, daqui a uma semana, será atingida por um terremoto?

“Não temos como saber”, diz Francisco Cribari-Neto. “Essa questão de será que existe uma aleatoriedade pura ou será que não é algo que nunca saberemos.” Para ele, não existem evidências que sustentem a ideia de que, com uma supercapacidade computacional, o homem faria previsões perfeitas. “É um pensamento interessante, uma conjectura que merece discussão. Mas em última instância é isso: uma conjectura.” Dani concorda que a discussão é muito mais filosófica que matemática: se algo do mundo real é aleatório, ou não, é uma decisão muito mais subjetiva que objetiva. Mas assumir que algo é aleatório (ainda que não seja), como ocorre com qualquer modelo matemático, é um bom jeito de se aproximar da realidade. Em muitas situações práticas, o analista sensato parte do pressuposto de que  um fenômeno é aleatório; pois, se não fizesse tal presunção e fosse atrás de todas as informações, precisaria de tempo infinito, verba infinita, paciência infinita.

Sutileza. Na matemática, que é o reino da imaginação pura, com toda a certeza existem processos aleatórios — não há nenhuma discussão quanto a isso. Suponha, por exemplo, um dado ideal, de modo que cada face tenha probabilidade de 1/6 de cair virada para cima. Esse dado existe? Ele pode existir? Sim, pois existe no reino da matemática, que é o reino das afirmações declaradas verdadeiras por hipótese.

O preço da certeza. Para o meteorologista, vale mais a pena dizer às pessoas que a chance de chuva no sábado é de 10% do que dizer: “Preparem o guarda-sol e o biquíni, pois com certeza absoluta não choverá de jeito nenhum no sábado.” Isso porque 10% de chance de chuva é uma boa aproximação, comparada ao custo e ao trabalho de obter uma previsão exata. “Não há nada de incerto na previsão do tempo”, diz Dani Gamerman. “Se souber como funcionam os ventos, a rotação da Terra em torno do Sol; se conhecer toda a física envolvida, você pode descobrir exatamente o que vai acontecer em cada local. Só que esse trabalho é gigantesco; é mais fácil tratar o tempo como algo aleatório.”

Ao classificar eventos reais como aleatórios, os probabilistas e estatísticos simplificam a complexidade do problema, e para esse fim a aleatoriedade é muito útil. “É complicado conviver com a incerteza”, diz Dani. “Mas muitas vezes o custo para obter a certeza é tão alto que preferimos considerar o fenômeno como incerto.” Então, é isso: às vezes, por questões práticas, os cientistas tratam coisas não aleatórias como aleatórias; noutras vezes, tentam imitar algumas características da aleatoriedade, gerando sequências pseudoaleatórias. “Essas sequências são muito úteis não só na computação, mas também na matemática, na estatística, e em várias outras áreas”, diz Francisco. “Muitas vezes a pseudoaleatoriedade é mais importante que a própria aleatoriedade.”

Francisco se especializou em econometria, que em resumo é estatística aplicada à economia, e começou a fazer análises empíricas, coletando e analisando dados. A certa altura de suas investigações, desenvolveu novos métodos estatísticos e precisava verificar se eram bons. Quando um cientista está criando uma nova vacina, tem de fazer uma série de experimentos em animais para ver se ela funciona bem. Do mesmo modo, o estatístico, quando cria um novo método, precisa testá-lo. Ele gera conjuntos de dados artificiais no computador (5.000, 10.000 , 50.000 conjuntos), que chama de “cenários”, e aplica o procedimento a cada um deles. Talvez Francisco aplique seu método em 10.000 cenários, e obtenha bons resultados em 9.750. “Isso indica que meu procedimento é bom. Mas, se dos 10.000 ele funcionar bem apenas em 430, não é um procedimento que mereça mais estudos.”

Para gerar esses cenários artificiais, Francisco usa as famosas simulações de Monte Carlo. O matemático Stanislaw Ulam criou, com Nicholas Metropolis e John von Neumann, o método de Monte Carlo. E o chamou assim em referência ao cassino de Monte Carlo, em Mônaco. Com o método, queria encontrar soluções aproximadas usando experimentos amostrais repetidos, para observar em qual proporção certa propriedade surgia. Para métodos com probabilidades mais complexas, o estatístico usa o computador para simular as repetições do experimento e ver a frequência relativa n/N da propriedade naqueles experimentos (onde n é o número de vezes que a propriedade é satisfeita, e N é o número de experimentos realizados).

Nesse caso, não tem interesse em produzir os cenários de forma aleatória, pois precisa que outras pessoas tenham a capacidade de reproduzir os experimentos. Se gerar esses 10.000 cenários de forma aleatória e alguém disser que não acredita nos resultados, o cientista não será capaz de gerá-los de novo para refazer tudo. “Precisamos da capacidade de reproduzir os experimentos científicos da física, da química, da biologia”, diz Francisco. “Queremos checar, por exemplo, se os resultados foram fraudados. É importante saber quando a reprodutibilidade é desejável, como na criptografia ou nas simulações de Monte de Carlo, e quando não é, como no caso das loterias.”

Quando o responsável pela Mega-Sena organiza o sorteio da semana, com as bolinhas marcadas de 1 a 60, fabricadas com a maior perfeição possível, ele quer que tudo esteja preparado para um evento imprevisível. (No sentido de que ninguém poderá prever as seis dezenas sorteadas.) Caso fizesse o sorteio por meio de um método determinístico, talvez um funcionário fosse capaz de roubá-lo e de predizer os resultados da loteria nas próximas semanas. “No caso da loteria, não precisamos de reprodutibilidade”, diz Francisco. “O sujeito não precisa reproduzir perfeitamente a série de eventos que gerou os números do sorteio ocorrido na semana passada.”

Futuro incerto. Os especialistas em segurança da informação usam sequências pseudoaleatórias para criptografar senhas como as do banco. Quando o usuário acessa a página do banco na internet e digita sua senha, um algoritmo a quebra em uma sequência de números e letras, e depois disso o sistema do banco a recebe e é capaz de reconstruir a senha, pois conhece o algoritmo. Se, no entanto, alguém interceptar a senha durante a comunicação entre os computadores, só verá um monte de letras e números sem nenhum significado aparente. “Nesse caso, a pseudoaleatoriedade também é mais útil”, diz Francisco. “Pois se usasse um mecanismo totalmente aleatório, quando o banco recebesse a senha, não conseguiria reconstruí-la.”

Francisco explica que ele mesmo também precisa verificar se um algoritmo é bom, e quando isso acontece costuma usar uma bateria de testes chamada “diehard”. George Marsaglia (1924-2011), cientista da computação norte-americano, criou esse método para checar se uma sequência pseuadoaleatória tem uma série de propriedades estatísticas que se esperaria de uma sequência verdadeiramente aleatória. “Quando um algoritmo gera sequências e esses testes (são uns 17 ou 18) não detectam nenhum tipo de regularidade, ficamos satisfeitos”, diz Francisco. “Isso significa que o algoritmo gera sequências determinísticas que, para todos os fins práticos, são indistinguíveis de sequências aleatórias.”

A certa altura de sua palestra, Avi Wigderson pergunta ao público: “Como lidar com um mundo em que não existe aleatoriedade? Isto é, se ela não existisse, as aplicações que a levam em consideração também deixariam de existir?” Para exemplificar o que está dizendo, ele recorre a um problema: Suponha que tenha uma região no plano como o da figura 1; daí use ladrilhos em formato de dominó, 2 por 1, como na figura 2. De quantas maneiras distintas pode dispor tais ladrilhos?

Figura 1

Figura 2

Cientistas chamam esse problema de “contagem do monômero-dímero”; é uma questão fundamental na física e na química, que está relacionada à organização de moléculas com dois átomos na superfície de um cristal. A partir do modo como determinada região é coberta pelos dominós, o cientista pode prever as propriedades termodinâmicas de um cristal. Contudo, o problema é difícil mesmo para regiões pequenas; supercomputadores levariam toda a eternidade para contar todas as possibilidades em regiões maiores. Então o cientista pode recorrer ao método de Monte Carlo para obter estimativas, o que costuma ser suficiente para propósitos práticos.

Com esse algoritmo probabilístico, pode fazer passeios aleatórios (veja o texto da seção 2) na terra de todos os ladrilhados possíveis, mas visitando apenas algumas poucas possibilidades. Porém, isso depende crucialmente de escolhas perfeitamente aleatórias. (Assim: o sistema testa umas poucas possibilidades pseudoaleatórias numa região; dá um salto verdadeiramente aleatório para outra região e testa outras poucas possibilidades pseudoaleatórias; dá um salto etc.) Se não existe aleatoriedade no mundo real, pergunta Avi, de onde o matemático poderia tirar a aleatoriedade para esta e outras aplicações do método de Monte de Carlo, ou de tantos outros algoritmos probabilísticos?

Para Francisco, a conjectura de Avi sugere dois cenários possíveis: Se houver mecanismos puramente determinísticos por trás dos eventos que parecem aleatórios, como terremotos ou um asteroide vindo na direção da Terra, caso os cientistas e matemáticos obtenham conhecimento desses mecanismos, poderão prever todos esses eventos. Ou então: existem sim mecanismos puramente aleatórios por trás desses eventos, daí o jeito é desenvolver tecnologia e conhecimento suficiente para melhorar as previsões. “Mas, neste caso, nunca chegaremos a uma previsão completamente precisa, porque a natureza dos eventos é de fato aleatória.”

Dani diz que dá para tratar muito bem vários fenômenos apenas assumindo que são aleatórios, mesmo que não sejam; a questão é se faz diferença saber se eles são aleatórios ou não. “Isso eu não sei responder, mas acho que a questão acaba sendo mais filosófica, pois vamos pensar nas implicações de assumir que algo não pode ser predito, quando na verdade pode.” Talvez uma pessoa ache mais eficiente admitir a aleatoriedade do que gastar tempo e dinheiro com uma previsão mais precisa de eventos não aleatórios. “A questão de fundo que fica é: essa pergunta tem consequências? Ora, se você presume que não pode conhecer algo que poderia conhecer, e se você, depois de conhecer esse algo, poderia adquirir maior controle sobre ele, então acho que a pergunta tem consequências sim…”

Francisco se lembra do filme Pi (1998), no qual um matemático começa a enxergar padrões na natureza, na expansão decimal do número π, nas flutuações da bolsa de valores, na Torá (o livro sagrado do judaísmo). Ele ganha a capacidade de predizer coisas que antes todos julgavam aleatórias, isto é, descobre que existem mecanismos determinísticos por trás desses fenômenos. “Esse filme parece uma paródia artística da conjectura principal contida nessa palestra [de Avi Wigderson]”, diz Francisco. Como estatístico, ele acredita que há fenômenos gerados por algum mecanismo aleatório e que só cabe aos estudiosos acumular conhecimentos técnicos e ferramentas computacionais para prevê-los. “Não ambiciono chegar ao cenário onde eu teria uma previsão perfeita. Em todo caso, não sei dizer se tudo na vida é determinístico. Eu admito que há coisas aleatórias, mas não saberia dizer quais são.” {}



{2}/ Brincando com passeios aleatórios

Crédito da imagem: Morn (talk)/Wikipedia

Um estudante (vamos chamá-lo de Bernardo) estuda o que são passeios aleatórios. Imagina um plano no qual um animal (uma bolinha) dá uma sucessão de passos aleatórios para a direita ou para a esquerda. O animal começa na origem 0, e por isso Bernardo descreve cada passo à direita como 1 e cada passo à esquerda como 1. Então entra na página Random.org e gera uma tabela com 100 valores binários, do tipo 0 ou 1 (quanto ao zero, Bernardo o troca em todo lugar por –1). Coloca os valores num gráfico, no qual o eixo vertical representa a distância da origem e o eixo horizontal o número de passos; com isso descreve o trajeto do animal. Depois gera mais algumas tabelas do mesmo modo, cada uma resultando num gráfico diferente.

Com tal experiência, Bernardo nota uma propriedade dos passeios aleatórios: após n passos, a distância da origem é, aproximadamente, √n. Ou seja, após 100 passos, o animal em geral está a mais ou menos 10 passos da origem. “Interessantíssimo!”, pensa Bernardo. “Mas será que tais passeios servem de alguma coisa no mundo de verdade?” Resolve pesquisar mais sobre assunto e descobre que os físicos usam passeios aleatórios para modelar o movimento das partículas de gases numa sala. Visto que as partículas mudam de direção sempre que colidem umas com as outras, o físico usa os passeios para estimar quanto tempo elas demoram para se mover de um local ao outro. Fica ainda mais surpreso ao descobrir que pode aplicar os passeios ao beisebol; basta para isso fazer umas suposições estranhas, tais como: uma equipe de beisebol perfeitamente mediana, isto é, com 50% de chances de ganhar ou perder cada jogo. “Parece que tudo sempre volta à ideia de tirar cara ou coroa com uma moeda perfeita…”, pensa Bernardo. “Aposto que dá até para pensar num passeio aleatório pseudoaleatório.”

Bernardo descobre que ninguém sabe se existe mesmo a aleatoriedade pura, perfeitinha, axiomática, tal como Kolmogorov a expressou em 1956. O que todos os matemáticos sabem é: eles criaram um grupo de objetos matemáticos perfeitos dentro da mente, e a eles deram o nome de “teoria da probabilidade”, e com eles conseguem descobrir tanta coisa verdadeira sobre fenômenos reais os quais, a princípio, compreendem mal.

Lembrete. Existem outras interpretações da ideia de probabilidade (e de aleatório) além da interpretação de Kolmogorov. Uma das mais interessantes se chama “interpretação por meio de frequências”. Segundo essa interpretação, você não pode dizer que a probabilidade de tirar cara (ou coroa) é igual a 50%. Em vez disso, deve dizer: “Caso eu lance esta moeda um número n de vezes, sendo n um inteiro positivo, e, além disso, caso a razão entre o número de caras e o número n de lançamentos tenda a 50% conforme o inteiro n fica maior, daí posso dizer que, com esta moeda, e só com ela, a probabilidade de tirar cara é de 50%.”

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 46, novembro de 2014, pág. 26. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A primeira versão deste texto foi escrita pela jornalista Mariana Osone, com base nas entrevistas realizadas pelo jornalista Dubes Sônego.

Pilotar planadores deixa a matemática mais interessante


Quando era criança e estava na escola, bastava a José Nogueira Marmontel Neto ouvir o barulho de um avião para que sua mente abandonasse a classe e viajasse na imaginação. Quando se tornou professor de matemática, o amor pelos aviões se revelou útil.

Uma característica negativa dessas apostilas, ou pelo menos da apostila que usei, é que elas só mencionam aplicações muito simples dos conceitos.


Foto do arquivo pessoal


{1}/ Introdução à entrevista: Quase no mundo da Lua

Uma breve pesquisa na internet deixa claro que os jovens alunos de Marmontel gostam dele. Pudera: quem não gostaria de ter um professor de matemática que é também piloto de planadores? É quase como ter um professor que já pisou na Lua.

Do hobby incomum, Marmontel aproveita histórias e problemas. Se o assunto é conversão de unidades de medida, pode mencionar o problema de converter nautical miles per gallon em quilômetros por litro, o que significa tanto converter inglês em português quanto converter uma razão entre duas unidades comuns em países de língua inglesa numa razão entre duas unidades comuns no Brasil. Se o assunto é razões e proporções, pode explicar por que é tão importante compreender o significado da locução “razão de afundamento 30:1”. Se o assunto é como às vezes a razão e a emoção entram em conflito, pode contar a história de como, numa competição, às vezes sente medo e não consegue seguir o planejamento de voo que fez em casa. (Para adaptar esta última frase para o caso deste blogue, basta pensar na maneira como, ocasionalmente, o que sabemos de filosofia e matemática entra em conflito com nossos instintos de sobrevivência.)

Marmontel nunca pisou na Lua, como todos sabem, mas, quando era criança e adolescente, chegou perto. “Na escola, bastava ouvir o barulho de um avião que minha mente viajava. Eu confesso que não era lá muito chegado em matemática não, porque não queria decorar nada — decorar me dava uma revolta! —, mas também porque vivia no mundo da Lua.”



{2}/ A entrevista pingue-pongue

Como veio a se interessar por planadores?

Meu pai gostava de aviões, e tenho fotos nas quais eu e meu irmão, nós dois muito pequenos, estamos com ele num aeroporto, cada um de nós segurando um aviãozinho de plástico. Acho que, se ele tivesse tido a chance, teria estudado engenharia aeronáutica.

Ele também vivia trazendo para casa problemas de matemática. Era do tipo que, no jantar, nos perguntava:

“Se um tijolo pesa um quilograma mais meio tijolo, quanto pesa um tijolo?”

Eu não sei de onde ele tirava esses problemas, porque, naquela época, sem internet, e vivendo no interior do Paraná, não era fácil. Não posso mais perguntar isso, porque já faleceu. Mas me lembro de uma vez em que, resolvendo um desses problemas, eu entendi por que às vezes é vantajoso calcular o máximo divisor comum. Isso nunca tinha me acontecido na escola! Quando eu tinha 13 anos, ele me deu uma calculadora de presente de Natal, e gostava de me mostrar o que era possível fazer com uma calculadora:

“Vamos calcular o pi?!”

“Vamos calcular o volume d’água no poço?!”

Ele também falava muito sobre mapas, bússolas, latitude e longitude — eu achava tudo aquilo fascinante. Mais tarde, ele me deu uma calculadora científica. Mais ou menos nessa época, comecei a ler a revista americana Flying, que leio até hoje; aprendi inglês só por causa dessa revista. Ela me dava um trabalhão danado, porque mencionava, por exemplo, que um avião fazia tantas nmpg. Eu tive de descobrir, sem internet, que nmpg significa “nautical miles per gallon”, e que 1 milha náutica por galão significa 489,2 metros por litro. Eu fazia uma conta e descobria que, com certo modelo de avião, certa viagem duraria 4,77 horas. Daí tive de descobrir o que significa “0,77 hora”, isto é, como devo converter 0,77 hora em minutos e segundos.

Em 1994, quando eu tinha 30 anos, decidi aprender a pilotar planadores, e daí me apaixonei por eles. Ajudei a fundar o aeroclube de Campo Mourão [no Paraná], que, na ocasião da fundação, ganhou um planador de madeira. É o que usamos até hoje. Além disso, agora sou instrutor de planadores.

O nome técnico para pessoas como eu é “volovelista”; ele designa não apenas o sujeito que sabe voar de planador, mas também o sujeito que gosta das atividades em terra — as manobras de pista, as tarefas de manutenção, a conversa fiada sobre o voo a vela, etc. “Volovelista” vem de “voo a vela”, que é o jeito técnico de dizer “voar com um planador”.

E como se tornou professor de matemática?

Sou uma vocação tardia. Acho que, por influência de meu pai, fiz faculdade na Escola de Engenharia Industrial de São José dos Campos [SP]. Fiquei de DP em cálculo 1, e isso foi um divisor de águas para mim, porque meu pai me chamou e me disse:

“Olha, você vai ter de estudar, hein?! Eu não vou pagar sua faculdade para você ficar de DP.”

Depois disso, estudei bastante. Trabalhei na serralheria do meu pai, por um tempo, e no fim de uma longa história virei professor de informática. A história de como passei da informática para a matemática é mais ou menos a seguinte:

Eu tinha de ensinar meus alunos de informática a usar uma planilha eletrônica para calcular porcentagem — mas eles não tinham o conceito de porcentagem. Então, eu primeiro ensinava a porcentagem e depois ensinava a programação da planilha. Fui gostando disso, até que um dia passei a cuidar da infraestrutura de informática de uma escola. Daí eu ajudava os professores a usar a informática para ensinar — por exemplo, eu e o professor de física programamos um computador para fazer simulações de movimento uniformemente acelerado. Os professores dessa escola me disseram que eu devia virar professor. Comecei a dar aulas nessa mesma escola em 1999, aos 35 anos, para alunos da oitava série, e concluí a licenciatura em matemática em 2002. Dei aulas para a oitava série por dez anos. Hoje dou aulas para os três anos do ensino médio no Colégio Sesi de Campo Mourão.

Qual é a matemática sobre planadores que usa com maior frequência em sala de aula?

Gosto de propor o seguinte problema, que aliás é comum na vida de um piloto: um avião parte do ponto A, anda x quilômetros numa direção, faz uma curva de tantos graus, anda y quilômetros na nova direção, e chega ao ponto B. Qual é a distância do ponto A ao ponto B em linha reta?

No Sesi, as classes contêm alunos dos três anos. [A locução técnica é “classe multisseriada”.] É interessante ver que mesmo os alunos que ainda não estudaram nada sobre as igualdades trigonométricas depois de um tempo conseguem “perceber” que a solução está numa fórmula chamada de “lei dos cossenos”.

Lei dos cossenos. Chame o ângulo de θ e a distância entre A e B de r, como mostra a figura. Daí, ao aplicar a lei dos cossenos, você obtém:

É claro que essa conta funciona para as pequenas distâncias envolvidas num voo de planador, conta na qual a curvatura da Terra não provoca erros crassos. Com distâncias maiores, o piloto teria de conhecer a geometria elíptica, que é mais adequada para descrever deslocamentos na superfície curva do planeta.

Também menciono muito a razão de planeio. A determinada velocidade, a razão de planeio do nosso planador é de 30 para 1 [escreve-se “30:1”]; isso significa que ele avança 30 metros à frente e cai 1 metro de altitude. É muito importante manter a razão de planeio em mente, porque um planador está sempre descendo (exceto quando está ganhando altitude numa inversão térmica, ocasião na qual o piloto voa em círculos até atingir a altitude desejada). Então, se o piloto viaja àquela velocidade, e está a 800 metros acima do solo, o aeroporto tem de estar a no máximo 24 quilômetros de distância.

Às vezes, eu mostro também a curva polar de um planador. Ela mostra a razão de planeio conforme a velocidade — quanto maior a velocidade, menor a razão de planeio. É sempre assim: quanto mais rápido o planador avança, mais depressa ele desce. Por exemplo, se o piloto aumenta a velocidade do planador do nosso clube, a razão de planeio pode cair para 18:1, e daí, se está a 800 metros de altitude, o aeroporto tem de estar a no máximo 14 quilômetros e 400 metros de distância.

Uma vez que o aluno entenda isso, proponho o seguinte problema, que em geral ele acha difícil: numa competição, ao concluir a rota da viagem, o piloto estará a 500 metros de altitude, e terá de voltar ao aeroporto numa velocidade tal que a razão de planeio será de 25:1. Supondo que a rota da viagem é um triângulo isósceles com o aeroporto bem no centro do triângulo, qual é a distância máxima entre os vértices do triângulo e o aeroporto, e qual é o raio do círculo circunscrito no triângulo? Esse problema pode soar meio artificial, mas na verdade ele é extremamente comum na vida de um piloto, especialmente quando se planeja para uma competição.

Outro problema que gosto de discutir com meus alunos: suponha que o piloto parta às 9:30 da manhã, e que tenha planejado uma viagem de 3,63 horas. A que horas vai chegar de volta ao aeroporto? [O resultado tem de ser 13:07’48.]

Há tempo para propor problemas fora do currículo convencional?

O Colégio Sesi não adota nenhuma apostila, então o professor tem de inventar. Eu gosto muito dessa característica, embora ela dê ao professor mais trabalho.

Uma vez, trabalhei para uma escola que usava apostilas. Eu dava aulas para a quinta série. [Hoje, sexto ano.] E me propus a ensinar frações bem devagar, conceito a conceito; estava disposto a não ensinar regrinhas antes que a classe tivesse entendido os conceitos. Mas logo veio um aluno com a lição de casa feita e me avisou:

“Meu pai me disse que fazendo assim e assado é mais fácil.”

Ele veio com uma regra pronta, e não foi só ele: outros alunos vieram com uma regra pronta. No fim das contas, levei uma tremenda bronca do coordenador do curso, que me disse que os pais nos pagavam para que cumpríssemos a apostila.

Uma característica negativa dessas apostilas, ou pelo menos da apostila que usei, é que elas só mencionam aplicações muito simples dos conceitos. Por exemplo: certa turma estudava métodos algébricos para resolver sistemas de equações lineares, mas todos os exemplos eram tão simples que o aluno conseguia resolvê-los de cabeça. Ele ficava daí com a impressão de que o método algébrico era uma frescura, uma complicação desnecessária. Eu tinha de intervir e propor um exemplo mais complicado, com números racionais positivos e negativos na solução, que ninguém conseguiria resolver de cabeça, pois só daí o aluno dava valor à álgebra. [Sobre isso, veja a seção 3.]

Mas reconheço que tudo no Brasil pende para o vestibular. Eu queria que fosse diferente, e gostaria de propor mais problemas aos alunos, para deixá-los investigar um problema difícil por bastante tempo. Na prática, contudo, por causa do vestibular, o tempo fica curto demais. Além disso, nem todo aluno reage bem a um ensino focado em problemas; alguns de fato esperam um curso de matemática do tipo “explicações, fórmulas de fácil aplicação, exercícios cuja resposta pode ser perfeitamente obtida com as fórmulas”, etc. É com tristeza que constato isso.

Qual é a missão do professor, na sua opinião?

Como eu cursei a licenciatura em matemática tarde na vida, só recentemente vim a descobrir que professor de matemática e matemático são duas coisas diferentes.

As pessoas me perguntavam:

“Ah, você está estudando matemática? Então você é matemático?”

Foi só a partir de perguntas como essa que parei para pensar: “Ôpa! Estou estudando matemática, vou virar professor de matemática, mas não sou matemático. Não, pelo menos, como o Andrew Wiles, que provou o último teorema de Fermat, nem como o Artur Ávila, que ganhou a Medalha Fields…” Bem que eu gostaria — acho tão chique uma pessoa ser matemático! Mas penso que não tenho tutano para aquelas demonstrações supertécnicas.

Então, acho que minha função primordial é fazer com que os alunos gostem de matemática; é transformá-los em aficionados. Se eu conseguir isso, acho que um ou outro deles um dia se torna pesquisador. É por isso que, se percebo que um aluno se interessa de verdade por matemática, procuro evitar que a escola o trate como se fosse um aluno como todos os outros. Se isso acontecer, ele talvez perca o estímulo.

Durante um voo, você já tomou alguma decisão que, se não fosse pela matemática, não tomaria, porque te pareceria errada?

Sim. Isso acontece principalmente em competições.

Sou do tipo que planeja tudo e calcula tudo em terra. Eu marco os mapas: por exemplo, marco a que altura devo estar quando passar por cima de um trevo na estrada, ou por cima de uma vila. Acho essa a maior curtição do voo: marcar os ângulos, as razões, as velocidades, calcular os tempos, marcar no mapa os pontos de referência. Levo tabelas comigo, para decidir que velocidade e que razão de planeio posso escolher se, por exemplo, houver na rota uma térmica que me permita subir a 2 metros por segundo. Levo tabelas prontas que me ajudem a decidir como corrigir o planejamento da viagem caso alguma coisa dê errado — coisas assim.

Uma fase da competição se chama “planeio final”. É quando o piloto pega a última inversão térmica [para subir] e, depois dela, vai direto para o aeroporto. Numa competição, a velocidade é importante: você tem de ir à maior velocidade possível. Como eu disse, quanto maior a velocidade, menor a razão de planeio, isto é, maior o afundamento.

Suponha que eu chegue na última térmica a 500 metros de altitude, e que o aeroporto esteja a 15 quilômetros de distância, e que desejo realizar o planeio final a uma velocidade tal que a razão de planeio será 12:1. Eu já fiz todas as contas em solo: para que consiga chegar ao aeroporto, tenho de permanecer nessa térmica até que o planador esteja a 1.250 metros de altitude.

Mas minha mente fica me dizendo: “Você vai correr muito! O planador vai afundar muito depressa! Olha como o aeroporto está lááá longe no horizonte! Não vai dar tempo! Você vai ter de fazer um pouso de emergência!”

Daí eu subo uns 200 metros a mais, subo a 1.450 metros, só para ter uma margem de segurança. Isso me custa um tempo. Ou então subo a 1.250 metros e decido que vou mais devagar, para reduzir o afundamento.

Sabe o que em geral acontece quando faço isso? Chego no aeroporto alto demais e me arrependo! Digo para mim mesmo: “Puxa, eu podia ter vindo antes!” ou “Eu podia ter vindo mais depressa!” Posso perder uma prova por causa de decisões assim, e nessas ocasiões eu vejo como a matemática é maravilhosa. {}



{3}/ De cabeça, sem cabeça

Suponha o sistema a seguir:

Basta olhar para ele e escolher mentalmente uns poucos valores de x e y para descobrir a solução: x = 5 e y = 0; o sistema deixa claro que o valor de y não influi no resultado.

Suponha agora o sistema:

Para achar a solução de um sistema desses (x = 87/35 e y = 143/70), diz Marmontel, o aluno não consegue usar a intuição, nem consegue experimentar valores de x e de y mentalmente — ele tem de recorrer à álgebra. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 46, novembro de 2014, pág. 12. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião.

2. Eu também acho que a escola básica deveria impor a si mesma a função de produzir alunos que cultuassem certas matérias, a ponto de estudá-las por conta própria em casa, mesmo depois de formados. Em particular, a escola básica deveria trabalhar para produzir 80% de aficionados de matemática. É possível fazer isso? Sim, mas é bastante difícil, como sugere o matemático Paul Lockhart no artigo “O Lamento de um Matemático”.