Logaritmo é mais que outro nome para expoente

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Com reportagem adicional do jornalista Dubes Sônego.

{1}/ Como estudar e ensinar logaritmos

Que tipo de aulas sobre logaritmos os professores de matemática tiveram quando eram adolescentes? Quando Aline dos Reis Matheus estava no ensino médio, entendia as aulas de matemática, mas não captava o porquê dos logaritmos. (Hoje ela é uma professora de professores no Centro de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática da Universidade de São Paulo, o Caem.) “Para mim, era uma coisa sem sentido. Eu pensava assim: Se o logaritmo é um expoente, por que preciso de um nome novo e de uma notação nova? Por que preciso de um nome diferente para uma ideia que já conheço?”

Pelo menos Aline teve aulas sobre logaritmos, porque Martha Salerno Monteiro, vice-diretora do Caem, nem teve. “No primeiro ano do ensino médio, minha professora era meio atrapalhada, e não pôde ensinar os logaritmos: o ano acabou antes. No ano seguinte, o professor precisava cumprir um cronograma apertado, e não quis retomar o assunto. Eu e outros alunos questionamos, e daí, ao final de uma aula, ele nos chamou num cantinho e disse: ‘Vejam como é fácil.’ Em dez minutos passou o bê-á-bá. Não é um absurdo? Só fui estudar o assunto apropriadamente na faculdade.”

Muitos professores de matemática têm histórias semelhantes para contar, e hoje vários deles ambicionam ensinar logaritmos bem. Não chegaram ainda a um consenso sobre qual método funciona melhor. O professor deve contar ao aluno a história dos logaritmos? Uns acham que sim, outros dizem que a história não mata ninguém, mas… Deve então dar ênfase às propriedades pelas quais manipular os logaritmos? Uns acham que sim, outros acham que todo aluno deve dominar o modo como os logaritmos funcionam, entretanto… Deve citar exemplos de aplicações dos logaritmos? Uns acham que sim, outros acham que exemplos ajudam, é claro, porém… O número de vezes que palavras como “mas”, “entretanto”, e “porém” aparecem nas conversas sobre logaritmos serve de indício da falta de consenso. Mesmo assim, tais professores recorrem a artifícios encantadores.

No mundo das progressões. Como seria um dia na vida do estudante que participou de cursos sobre logaritmos com professores de várias escolas? (Vamos chamar esse sortudo de Wayner.) De quais atividades Wayner seria obrigado a participar, e que tipo de explicações ouviria? (Nota ao leitor: só daremos ênfase às explicações e atividades que nos pareceram incomuns, mas eficientes.)

Em primeiro lugar, Wayner estuda a definição de função e três funções importantes: a polinomial afim (do tipo y = f(x) = k0 + k1x, em que k0 e k1 são constantes reais), a polinomial quadrática (y = g(x) = k0 + k1x + k2x2, na qual k2 ≠ 0) e a exponencial de base k (y = h(x) = kx, com k positivo e diferente de 1). Com um computador, ou uma calculadora gráfica, estuda também o gráfico dessas funções: experimenta o que acontece quando muda o valor das constantes. Quando se acostuma com seu comportamento, estuda as progressões aritméticas e geométricas. Daí, um dia, o professor começa um programa para ajudá-lo a ver a relação entre progressões aritméticas e funções afim, além da relação entre progressões geométricas e funções exponenciais de base k. Como primeiro passo, Wayner desenha várias figuras como a 1.

Figura 1

Figura 1

Wayner já estudou o que é uma progressão aritmética (“começo com um primeiro termo, que chamo de a1, e daí, para saber o segundo termo a2, somo a diferença comum d ao termo a1, com d ≠ 0; para saber o terceiro termo a3, somo a diferença comum d ao termo a2; para saber o termo n + 1, somo a diferença comum d ao termo an”); também já deduziu a fórmula pela qual representar o termo genérico an de uma progressão aritmética qualquer:

Equation-2

Por exemplo, ao examinar a progressão {5, 8, 11, 14, 17, 20, …}, faz umas contas e chega ao termo genérico dessa progressão:

Equation-3

Mas nota que, se faz f(x) = 3x + 5, que é a função afim com a qual gerou o gráfico da figura 1, daí pode reescrever essa mesma progressão aritmética assim:

Equation-4

“Ora, ora”, pensa Wayner numa dessas aulas, “vejo que a progressão aritmética an = 5 + (n – 1)3 tem a ver com a função polinomial f(x) = 3x + 5. Até que ponto?” Com a ajuda dos colegas e do professor, descobre várias coisas legais.

● Pode substituir a fórmula do termo genérico da progressão aritmética pela função f(x) = 3x + 5, desde que faça umas observações sobre o domínio, assim:

Equation-6

Em palavras: a fórmula funciona quando n é um inteiro positivo. Para testar a ideia, Wayner pega a fórmula de f e substitui x por n – 1.

Equation-7

Ao escrever essas linhas, Wayner pensava assim: “Existe uma sequência de números, que posso batizar de {an}, de modo que, desde que n seja um inteiro positivo, posso calcular o termo genérico an dessa sequência com a fórmula 3n + 2.” Por exemplo, a1 = 5, como deveria ser, e a5 = 17, como também deveria ser. Por último, o professor pede à classe que diga se consegue sempre pegar uma progressão aritmética qualquer e expressá-la com a ajuda de uma função afim (com modificações). Wayner se lança à tarefa com vontade: acha que conseguirá produzir uma prova simples, pois tem aquela sensação de que, se abrir a torneira, sai água.

Em primeiro lugar, escreve a fórmula do termo genérico da PA:

Equation-2

Depois, expande o lado direito da fórmula e o rearranja:

Equation-8

Wayner reconhece que d é constante (a maioria dos professores exige que d seja diferente de zero), assim como a1 d, e que n é variável. Daí compara a fórmula que acabou de obter com uma função afim genérica f(x) = k1x + k0.

Equation-9

Wayner acha que ficou claro que pode ver toda progressão aritmética com a ajuda de uma função afim, adequadamente calculada, e amostrada quando x é um inteiro positivo.

Logo depois, o professor pede à classe que faça o seguinte exercício: que plote uma função exponencial qualquer; que marque, no eixo y, uma progressão geométrica qualquer; e que, usando a curva da função exponencial como referência, ache no eixo x os valores correspondentes aos termos da PG do eixo y.

Wayner entende o que deve fazer: usa um computador para imprimir um trechinho da função y = ex e marca, no eixo y, a PG cujo primeiro termo g1 é igual a 1 e cuja razão comum é igual a 2: {1, 2, 4, 8, 16, …}; no eixo x, mantendo a curva de ex como referência, usa régua e caneta para marcar os valores correspondentes como {x1, x2, x3, x4, x5, …}. Com esse método, produz a figura 2.

(Lembrete: A maioria dos professores, ao dizer “PA”, presume uma progressão aritmética cuja diferença comum d seja diferente de 0; e, ao dizer “PG”, uma progressão geométrica cuja razão comum r seja diferente de –1, 0, e 1.)

 

Figura 2

Figura 2

De fato, usa a régua para traçar, por exemplo, uma linha horizontal de y = 8 até a curva de ex, e depois uma linha vertical da curva até o eixo x, e desse movo obtém, mais ou menos, o valor de x4; com o mesmo método, calcula mais ou menos os valores de cinco xi.

x1

0

x2

0,65

x3

1,4

x4

2,08

x5

2,76

Daí o professor pergunta:

— Será que esses números, no eixo x, perfazem uma progressão aritmética?

Wayner calcula a diferença entre eles: de x1 até x2, 0,65; de x2 até x3, 0,75; de x3 até x4, 0,68; de x4 até x5, 0,68. Acha que esses números se parecem com uma PA cuja diferença comum está em torno de 0,68, não fosse o gráfico pequeno demais, e não fossem sua régua e sua caneta grossas demais.

— Ué — diz Wayner. — O que está acontecendo?

Calculadoras de papel. Na aula seguinte, o professor entra na classe com umas folhas pautadas, cada uma com três colunas, cujo título é Calculadoras Rudimentares. A primeira coluna já está numerada de 1 a 20. Dá instruções à classe:

— Por favor, na coluna do meio coloquem uma progressão aritmética que comece com 0. Pode ser qualquer uma. Na coluna mais à direita, coloquem uma progressão geométrica que comece com 1. De novo, pode ser qualquer uma. Atenção: por enquanto, estão proibidos de usar calculadora. Vocês têm de fazer as contas à mão.

A classe fica na dúvida sobre esse “qualquer uma”. Pode ser uma PA que comece com 0 e cuja diferença seja, por exemplo, 12? “Pode”, diz o professor. Pode ser uma PG que comece com 1 e cuja razão seja, por exemplo, 8? “Pode.”

Wayner trabalha um tempão para preencher três folhas. Uma delas (tabela 1) contém uma PA cuja diferença comum é 4 e uma PG cuja razão comum é 3.

Tabela 1

Linha

PA

PG

1

0

1

2

4

3

3

8

9

4

12

27

5

16

81

6

20

243

7

24

729

8

28

2.187

9

32

6.561

10

36

19.683

11

40

59.049

12

44

177.147

13

48

531.441

14

52

1.594.323

15

56

4.782.969

16

60

14.348.907

17

64

43.046.721

18

68

129.140.163

19

72

387.420.489

20

76

1.162.261.467

Feito isso, o professor dá várias vezes instruções assim:

— Multipliquem o termo da PG na linha 4 pelo termo na linha 10.

Wayner gasta um tempo multiplicando 27 por 19.683, para obter 531.441.

— Multipliquem o termo da PG na linha 2 pelo termo na linha 11.

Wayner multiplica laboriosamente 3 por 59.049, para obter 177.147.

— Multipliquem o termo da PG na linha 6 pelo termo na linha 13.

Wayner multiplica 243 por 531.441, para obter, depois de muito sufoco, 129.140.163.

E assim vai. O professor só para a tortura quando um dos alunos levanta a mão e pergunta:

— Professor: você notou que multiplicar um termo da PG por outro termo da PG é equivalente a somar o termo da PA ao lado do primeiro termo da PG ao termo da PA ao lado do segundo termo da PG? Você notou que o resultado da adição cai na mesma linha que o resultado da multiplicação?

“Alguém sempre nota isso”, diz Aline, que recorre às calculadoras rudimentares no Colégio Visconde de Porto Seguro, onde dá aulas. “Alguém sempre pergunta se isso sempre dá certo. Eu nem preciso conduzir a aula, porque essas calculadoras despertam a curiosidade.” Chega um momento, diz Aline, que os alunos percebem como é chato chamar o termo da PA, ao lado do termo da PG em questão, de “termo da PA ao lado do termo da PG na linha tal”; é o momento no qual o professor propõe um acordo à classe:

— Vamos dar um nome para esses termos da PA, já que estamos fazendo a multiplicação dos termos na PG com a ajuda da PA, e já que toda hora precisamos nos referir a esse termo da PA? Vamos usar o mesmo nome que os antigos usavam?

— Que nome eles usavam? — um dos alunos pergunta.

— Logaritmo!

A classe entende o recado. Wayner olha sua tabela e vê: quando adiciona o logaritmo de 243, que vale 20, ao logaritmo de 177.147, que vale 44, obtém 64. Bem, 64 é o logaritmo de 43.046.721, que é o resultado da multiplicação de 243 por 177.147. “Que legal”, diz Wayner. “Em vez de gastar meu tempo fazendo essas multiplicações tão compridas, obtenho o resultado da multiplicação depois de fazer uma adição bem simples: a adição de dois logaritmos.” E logo alguém nota que dividir dois números da PG equivale a subtrair os logaritmos na PA.

Mirifici logarithmorum. Nas aulas seguintes, Aline, Martha e seus colegas do Caem dizem que o professor tem uma série de tarefas a cumprir para tirar proveito do que os estudantes descobriram com as calculadoras rudimentares, e de seu encantamento inicial. Uma delas é contar a história dos logaritmos, ou então colocar os alunos para apurar a história. “Pois foi de um jeito muito semelhante a esse que os logaritmos foram descobertos”, diz Martha. “A humanidade descobriu essas tabelas muito antes de descobrir por que funcionavam.”

John Napier (1550-1617), matemático escocês, era também empresário, inventor, físico, astrônomo. Ao investigar o espaço sideral, tinha de multiplicar números muito grandes; ao criar suas invenções, tinha de multiplicar números muito pequenos — tudo isso sem calculadora. Quando descobriu que poderia substituir multiplicações por adições e divisões por subtrações, ficou encantado. Em 1614, publicou sua primeira tabela de logaritmos num livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, que significa Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos; trabalhou nessa tabela por 20 anos, e a publicou consciente de que doava algo importante a todos os que precisavam fazer multiplicações e divisões difíceis. “Raramente os livros didáticos mostram como Napier chegou à ideia de uma tabela de logaritmos”, diz Martha. Napier não chegou a encarar os logaritmos como a função inversa da exponenciação — essa ideia só se consolidou entre matemáticos uns 200 anos mais tarde. Ele também não inventou os logaritmos naturais (de base e); tais logaritmos ganharam o nome de neperianos à guisa de homenagem.

Depois de obter o encantamento e contar a história, o professor deve colocar a classe para trabalhar. Uma pergunta importante: a soma de dois termos da PA é sempre um termo da mesma PA? O produto de dois termos da PG é sempre um termo da mesma PG? A soma e o produto sempre caem na mesma linha?

Para achar as repostas, Wayner põe no papel uma PA qualquer cujo primeiro termo é 0:

Equation-10

Logo em seguida, ele adiciona dois termos quaisquer dessa PA: o termo ap e o aq.

Equation-11

“Então, a resposta é sim”, escreve Wayner no caderno. “A adição dos termos ap com aq dessa PA resulta no termo a(p+q−1) dessa mesma PA.” E quanto à multiplicação de dois termos da PG ao lado? É sempre um termo da própria PG?

De novo, Wayner começa com a fórmula de uma PG cujo primeiro termo é 1. Para não fazer confusão com a PA, ele chama o termo genérico da PG de gn.

Equation-12

E aí multiplica os termos gp e gq, isto é, os termos que estão ao lado dos termos ap e aq na PA.

Equation-13

Com essas linhas, Wayner não só provou que o produto de dois termos da PG é também um termo da PG, como provou que esse produto fica bem ao lado, na mesma linha, da soma dos dois termos da PA.

Quando Aline chamou os termos da PA de logaritmos, plantou a sementinha que deve levar os jovens mais espertos a entender sozinhos a coisa toda: afinal, eles já conhecem as propriedades mais importantes dos expoentes e das funções exponenciais de base k; eles já fizeram as brincadeiras com os gráficos, inclusive a que transforma uma PG no eixo y numa PA no eixo x. Wayner, ao examinar melhor os números da tabela 1, acaba chegando à fórmula que a resume:

Equation-14

Põe essa linha em palavras: “O termo gn da progressão geométrica é igual a alguma base k, que ainda não sei qual é, elevada ao termo an da progressão aritmética.” (Entende nesse ponto porque a PA deve começar com 0 e a PG com 1: para que k0 = 1.) Pode calcular k de duas maneiras: com álgebra (se o estudante for bom de expoentes, dá uns 5 minutos de trabalho); ou com uma calculadora científica. Por exemplo: entrando com a linha k36 = 19.683 (a linha 10 da tabela 1), a calculadora devolve o valor de k: 4√3. Com essa informação, Wayner põe no papel a fórmula que representa a tabela 1 por completo (sendo n um inteiro positivo):

Equation-16

Com essa linha, Wayner entende o essencial: passou a chamar cada termo da PA de logaritmo porque ele é um logaritmo — os termos da PA são os logaritmos de base 4√3 dos termos da PG. Essa linha também explica por que a multiplicação de dois termos da PG pode ser calculada com a adição de dois termos da PA:

Equation-17

Aline diz que, mais ou menos nesse ponto, sempre tem um aluno que pergunta:

— Professora, já que pode ser qualquer PA, desde que comece com 0, e já que pode ser qualquer PG, desde que comece com 1, porque não uma PA cuja diferença é 1 e uma PG cuja razão é 2?

Eis um momento a comemorar: a classe entendeu que, se vai usar a PA para calcular a multiplicação dos termos da PG, então só tem a ganhar se a PA for a mais simples possível; e se vai usar os termos da PG para fazer multiplicações, só tem a ganhar se a PG cresce mais devagar. É hora de demonstrar as propriedades operatórias dos logaritmos, fazer a classe cumprir uma lista de exercícios e, por fim, para aproveitar o momento ao máximo, o professor pode propor à classe mais um gráfico:

— Plotem o gráfico de uma função logarítmica qualquer. No eixo x, marquem uma PG simples, com g1 = 1 e r = 2. Usem régua e caneta para marcar, no eixo y, os valores correspondentes a cada termo da PG, e me digam o que aconteceu.

Wayner escolhe a função logarítmica y = lnx e segue as instruções do professor para produzir a figura 3 e a tabelinha de valores a seu lado. “Bem”, escreve no caderno, “parece que a progressão geométrica no eixo x se transformou numa progressão aritmética no eixo y, cujo primeiro termo é 0 e cuja diferença comum é um número em torno de 0,7.”

Figura 3

Figura 3

 

gn = an
1 0
2 0,7
4 1,38
8 2,1
16 2,8

Aline e Martha dizem que, mais ou menos nesse ponto, a classe está em condições de apreciar as duas ideias fundamentais contidas nas funções exponenciais e nas logarítmicas: (1) Uma função exponencial transforma adições em multiplicações (uma PA no eixo x gera uma PG no eixo y); por causa disso, ela serve para modelar fenômenos (matemáticos ou da vida real) nos quais, quanto maior o valor de x, maior o efeito que uma mudança no valor de x provoca sobre o valor de y. (2) Uma função logarítmica transforma multiplicações em adições (uma PG no eixo x gera uma PA no eixo y); por causa disso, serve para modelar fenômenos nos quais, quanto maior o valor de x, menor o efeito que uma mudança no valor de x provoca sobre o valor de y.

Curto-circuito mental. Wayner gostou de conhecer a abordagem acima, mas é pouco provável que um estudante qualquer venha a ter aulas desse jeito. A maioria dos professores de matemática ensina os assuntos na ordem em que estão nos livros didáticos (ou nas apostilas); e a maioria dos autores de didáticos, por sua vez, apresenta ao leitor as funções polinomiais e, logo em seguida, as funções exponenciais e logarítmicas, visto que uma é a inversa da outra. Só depois disso apresenta as PAs e as PGs. O autor até incentiva o jovem a olhar a PA com a ajuda de uma função afim, e a PG com a ajuda de uma função exponencial, mas encerra o assunto aí. (Em alguns livros, PAs e PGs só aparecem no segundo ano do ensino médio; além disso, segundo os editores de livros didáticos, se um autor inclui PAs e PGs antes dos logaritmos, seu livro vende menos.)

Aline diz que mesmo um professor que já tenha feito um curso sobre o assunto no Caem talvez ainda dê aulas do jeito mais comum, pois uma aula não é fruto apenas dos desejos do professor — é uma criação coletiva. Outros professores, o coordenador do curso de matemática, e a direção da escola precisam aprovar a nova abordagem, e obter tal aprovação às vezes significa aturar, por meses a fio, uma intensa disputa política.

Saddo Ag Almouloud, coordenador do programa de estudos de pós-graduação em educação matemática da PUC-SP, acredita em aulas diferentes sobre logaritmos, e procura dar aulas diferentes, mas entende o professor que prefere um curso à moda mais tradicional. Tal professor acha que o estudante do ensino médio não tem a maturidade necessária para tirar proveito das atividades com os gráficos, a calculadora rudimentar, e tudo o mais. Saddo cita um exemplo de como a mente do jovem às vezes entra em curto-circuito.

O jovem já estudou funções, PA, PG, logaritmos, tudo. Em tese, sabe o que deveria saber. Um dia, contudo, o professor entra na classe e apresenta as características principais de uma função f, sem apresentar, contudo, a fórmula de f:

Equation-19

O professor dá ainda umas poucas informações sobre a função f (por exemplo, ela é contínua). Por fim, pergunta: qual é a imagem de 100? Diz Saddo: “Muito aluno bom, de notas boas, tem dificuldade para fazer essa passagem.” (Veja a seção 2.) “Essa função f tem uma propriedade chamada propriedade logaritmo, que é justamente a de transformar uma progressão geométrica numa progressão aritmética.” Se o jovem reconhece isso e se sabe de verdade mexer com PA, PG, e expoentes, leva uns poucos minutos para chegar à reposta. “Para mim, o mais importante é isso”, diz Saddo: “o aluno deve saber usar o que estudou para resolver problemas.”

Roberto Miguel El Jamal, professor de matemática no Anglo Vestibulares, não tem nada contra a história, nem contra a calculadora rudimentar, nem contra nada disso, mas acha que, antes de discutir os logaritmos com maior profundidade, o estudante precisa se sentir à vontade com suas propriedades. Como assim? Roberto pede para imaginar um professor que entra em sala de aula e diz:

— Pessoal, hoje vamos estudar logaritmos!

“Sabe qual será a resposta?”, pergunta Roberto, e dá a resposta típica do estudante:

— Professor, não entendi a matéria!

— Alto lá! — responde o professor. — Como não entendeu?! Eu nem comecei a explicar nada!

Roberto ri ao contar a historieta. “Basicamente, o aluno tem medo dos logaritmos porque não sabe direito as propriedades da potenciação.” Diz ainda que, se o professor começa com uma revisão simples da potenciação e das funções exponenciais de base k, e apresenta as propriedades dos logaritmos logo em seguida, em geral o jovem entende o que está acontecendo. “O problema está na potenciação, e não nos logaritmos. É mais medo da palavra nova do que qualquer outra coisa.” Uma vez que o jovem entendeu as propriedades, vem a hora de praticar com uns problemas bem escolhidos. Só então chega o dia de conversar mais profundamente sobre o assunto. Roberto está ao lado de um sujeito famoso, pois Timothy Gowers, o matemático inglês que ganhou a medalha Fields de 1998, também pensa assim. (Veja a seção 3.)

Aí vem o vestibular! Todos os professores ouvidos nesta reportagem elogiam quem se esforça para apresentar ao aluno situações práticas nas quais os logaritmos aparecem, mas a maioria dos problemas práticos (ou “problemas contextualizados”, como às vezes aparecem em livros didáticos) tem pouco a ver, ou nada a ver, com o cotidiano dos jovens no ensino médio. Não adianta muito falar em escala Richter, com a qual os geólogos medem a energia liberada num terremoto, para jovens que vivem num país onde quase nunca há terremotos. Não adianta muito falar de pH para jovens que não se veem, no futuro, trabalhando como químicos ou engenheiros ou farmacêuticos.

Apesar da ressalva, os professores recomendam um discurso mais ou menos assim: visto que os logaritmos são utilíssimos na própria matemática (por exemplo, na teoria dos números e no cálculo), acabam sendo usadíssimos em situações reais, nas quais um cientista ou engenheiro usa matemática para modelar um problema qualquer. (É mais ou menos como comprar um carro: quem compra um carro, compra a borracha dos pneus, mesmo que não se interesse por borrachas.) Além da escala Richter e do pH, os logaritmos aparecem no estudo dos sons e da música; aparecem na astronomia; aparecem aos montes na economia e na ciência da computação. A mensagem é clara: sem compreender os logaritmos, o jovem não avança na matemática, e sem avançar na matemática, não tem como virar cientista ou engenheiro ou economista.

Mas jovens sabem agir agora em vista das consequências de suas ações no futuro? Em média, não sabem, como centenas de artigos científicos mostram — jovens são péssimos em análise de riscos. (É por isso, aliás, que se lançam em aventuras malucas e mudam o mundo.) Se essa conversa sobre a utilidade dos logaritmos não funcionar, o professor pode seguir o conselho de Roberto Jamal: o jovem deve estudá-los porque caem no Enem e no vestibular. {❏}


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{2}/ Quanto vale a imagem de 100?

O jovem Wayner pode escrever f(1) = 0 como f(100) = 0, f(10) = 1 como f(101) = 1. Pode reescrever f(100) como f(101 ∙ 101); visto que f(ab) = f(a) + f(b), então f(101 ∙ 101)= f(101)+ f(101) = 1 + 1 = 2. Se o jovem desconfiar que f(x) = logx, acertou.


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{3}/ Lado a lado, as propriedades de expoentes e de logaritmos

Nesta seção e na lista da seção 4 a seguir, a e b são números reais positivos, mas diferentes de 1; x e y são números reais positivos (incluindo o 1); e u e v são números reais (positivos, negativos, ou nulos). O jeito mais simples de definir os logaritmos é recorrer à definição de exponenciação:

Equation-34

Essa linha diz que o logaritmo de x na base a é igual a u se e somente se a elevado a u é igual a x. Como é uma relação de equivalência, a recíproca é verdadeira: a elevado a u é igual a x se e somente se o logaritmo de x na base a é igual a u. Isso significa, em palavras muito simples, que logax é um expoente; neste caso, é o expoente u, tanto é que a^(logax) = x. No entanto, a palavra logaritmo se justifica. Se o estudante Wayner está lidando, por exemplo, com a equação ex = 3, em vez de dizer: “Estou procurando o expoente x tal que, quando elevo a constante e a esse expoente x, obtenho 3”, pode dizer mais simplesmente: “Estou procurando o logaritmo natural de 3.” Tais palavras até ajudam a operar a calculadora: aperta 3, aperta o botão ln e confere o resultado no visor: ≅1,0986.

Timothy Gowers não gosta do método pelo qual os logaritmos e a exponenciação são usualmente ensinados nas escolas do Reino Unido. O método é bem conhecido: o professor diz que 23 significa 2 · 2 · 2, que x2 significa x · x, e que ay significa a · a · … · a um número y de vezes. Depois de uns poucos exemplos assim, mostra à classe por que ax ∙ ay = a(x+y): se o jovem está multiplicando a por si mesmo um número x de vezes, e se está multiplicando a por si mesmo um número y de vezes, e se por fim está multiplicando esses dois produtos, então, obviamente, está multiplicando a por si mesmo um número x + y de vezes. Depois disso, o professor demonstra a regra pela qual log(ab) = log(a) + log(b): o jovem eleva 10 a log(ab), depois eleva 10 a log(a) + log(b), manipula os expoentes com cuidado, e chega a ab nos dois casos. “E mesmo assim, surpreendentemente”, diz Timothy, “os alunos cometem o erro de igualar log(a + b) com log(a) + log(b).” O que o professor diz quando o jovem faz isso? “Você não entendeu o conceito.” O que o jovem ouve? “Você é burro.”

Haverá um jeito melhor? Timothy acredita no que chama de “método abstrato”, usado por matemáticos profissionais: quando considera um assunto difícil, deixa de refletir sobre seu “significado profundo”; em vez disso, passa a encará-lo como uma mera lista de símbolos e de regras pelas quais manusear os símbolos — e daí tudo o que tem a fazer é seguir as regras tão estritamente quanto alguém seguiria aquelas pelas quais montar um trenzinho de brinquedo. Conforme resolve problemas manipulando cada objeto matemático de acordo com as regras (ou usando as “propriedades operatórias”, como são chamadas no Brasil), vai se habituando ao assunto e, um belo dia, às vezes sem perceber, domina seu significado.

Se Timothy estiver certo, o professor deve apresentar a tabela a seguir à classe, e dizer algo do tipo “os matemáticos já provaram que essas regras definem os logaritmos e os expoentes”. Depois disso deve mostrar que, se o jovem aplica as regras corretamente, todas as contas funcionam como deveriam. E daí, conforme o jovem usa as regras e resolve problemas, vai ganhando a capacidade de demonstrá-las; por exemplo, para dizer o que significa x2, usa a regra 1 da potenciação para reescrever isso como x1+1 = x1x1, e usa a regra 6 para concluir: x2 = xx. Vai vendo também que elas funcionam com números inteiros, com fracionários, com irracionais; que elas funcionam em equações e funções; que elas funcionam em brincadeiras com PAs, PGs, e calculadoras rudimentares. Um dia, as coisas se invertem na sua mente: tais objetos matemáticos funcionam assim não por causa da tabela de propriedades; ao contrário, a tabela de propriedades foi escrita assim para espelhar a realidade de tais objetos matemáticos. Um dia, o que era consequência vira causa.

“Aqueles que criticam o método abstrato”, diz Timothy, “tendem a achar que advogo a decoreba pura e simples. Na verdade, estou sugerindo que, se queremos verdadeiramente compreender um conceito sofisticado como o da função exponencial ou o da função logarítmica, somos obrigados a deixar de lado o significado intuitivo e a usar, em seu lugar, as propriedades definidoras do conceito.” Com o tempo e a prática, o jovem acha mais fácil, e não mais difícil, investigar os porquês das regras e imaginar suas consequências. “E caso o jovem erre”, diz Timothy, “o professor pode simplesmente lhe dizer que esqueceu a definição.” Neste caso, o aluno não ouvirá um “Você é burro”, mas sim, no máximo, um “Você se distraiu.”


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{4}/ Lista de propriedades dos logaritmos e da potenciação

❏ Propriedade (I) dos logaritmos:

Equation-20

Essa é sua principal propriedade: os logaritmos transformam multiplicações em adições, pois o logaritmo de um produto é igual à adição do logaritmo de cada um dos fatores; é por isso que a função logarítmica de base a transforma progressões geométricas em progressões aritméticas.

❏ Propriedade (I) da potenciação:

Equation-25

Essa é a principal propriedade da potenciação: ela transforma adições em multiplicações; é por isso que a função exponencial de base a transforma progressões aritméticas em progressões geométricas.

* * *

❏ Propriedade (II) dos logaritmos:

Equation-21

❏ Propriedade (II) da potenciação:

Equation-26

* * *

❏ Propriedade (III) dos logaritmos:

Equation-22

Da mesma forma que logaritmos transformam multiplicações em adições, transformam também divisões em subtrações. (Note que, no caso da equação acima, y ≠ 0.)

❏ Propriedade (III) da potenciação:

Equation-27

Se a potenciação transforma adições em multiplicações, também transforma subtrações em divisões.

* * *

❏ Propriedade (IV) dos logaritmos:

Equation-23

❏ Propriedade (IV) da potenciação:

Equation-28

* * *

❏ Propriedade (V) dos logaritmos:

Equation-24

Essa propriedade é útil, visto que, com uma calculadora científica, você pode usar a tecla referente ao logaritmo de base 10 ou a tecla do logaritmo de base e (a tecla ln) para calcular qualquer tipo de logaritmo.

❏ Propriedade (V) da potenciação:

Equation-29

* * *

❏ Propriedade (VI) dos logaritmos:

Equation-31

Isso significa que toda função logarítmica, não importa a base, passa pelo ponto (1, 0).

❏ Propriedade (VI) da potenciação:

Equation-30

Isso significa que toda função exponencial, não importa a base, passa pelo ponto (0, 1).

* * *

❏ Propriedade (VII) dos logaritmos (só para quem já sabe cálculo):

Equation-33

Em palavras: quanto maior o valor da variável x, no eixo das abscissas, menor o impacto que uma variação pequena em x provoca na variável dependente, no eixo das ordenadas. Isso também significa que, na função logarítmica de base a > 1, de modo geral a imagem de x é um número muito menor que o próprio x.

❏ Propriedade (VII) da potenciação:

Equation-32

Em palavras: quanto maior o valor da variável u, no eixo das abscissas, maior o impacto que uma variação pequena em u provoca na variável dependente, no eixo das ordenadas. Na função exponencial de base a > 1, de modo geral a imagem de u é um número muito maior que o próprio u.

* * *

❏ Propriedade (VIII) dos logaritmos:

Equation-35

É um detalhe de notação: logx representa o logaritmo de x na base 10; lnx representa o logaritmo de x na base e. Alguns autores, contudo, usam logx para denotar o logaritmo natural de x. Esse uso é mais frequente entre especialistas em teoria dos números, para os quais a notação lnx para denotar o logaritmo natural de x é, nas palavras de um deles, “um negócio meio infantil”.

❏ Propriedade (VIII) da potenciação:

Equation-36

Se f(x) = exp(x), então a derivada de f é f’(x) = exp(x). A constante e é a única com a qual você pode realizar tal proeza, e por isso ela é tão importante: a função exponencial y = f(x) = exp(x) serve para modelar todos os fenômenos cujo crescimento instantâneo em x é proporcional ao valor de f(x) (isto é, ao valor da própria função no ponto x); por exemplo, o crescimento de uma população, ou o crescimento da inflação.


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{5}/ Um desafio ao leitor

Examine de novo a tabela 1. O que acontece se tirar a média aritmética dos termos ap e ap+1 na progressão aritmética? O que acontece se tirar a média geométrica dos termos gp e gp+1 na progressão geométrica? E se tirar a média aritmética dos termos ap e aq? E se tirar a média geométrica dos termos gp e gq? Como pode explicar o que descobriu? {FIM}


Observação 1: Esta é uma versão revisada e corrigida de uma matéria que publiquei pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, número 33, página 42, de outubro de 2013.

Observação 2: Nos próximos textos do curso de cálculo diferencial e integral por meio de infinitesimais, você verá de que modo os matemáticos usam a integração para definir o logaritmo natural de x como sendo a área de uma região do plano; a partir daí, eles deduzem as propriedades da função logarítmica e, logo em seguida, da função exponencial. É um jeito extraordinário de abordar o assunto. Não perca!

Dentro de nós, vivem tanto Justifica quanto Lista

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Vários professores já me disseram que os estudantes de matemática se dividem em dois tipos — vou chamar o primeiro de Justifica e o segundo de Lista.

Justifica precisa de justificativas para estudar. Ele se pergunta, e também pergunta ao professor, por que raios deve estudar as propriedades operatórias do objeto X. Em que circunstâncias vai usá-las? Com que frequência? Se não estudá-las agora, mas precisar delas no futuro, pode aprendê-las rapidamente? Enfim, Justifica precisa compreender bem os motivos pelos quais estudar X, e põe o professor à prova a cada novo assunto da matemática. Ele gosta de longas explicações sobre a história de X, e só quando se sente justificado ataca uma lista pequena de exercícios, desde que seja interessante. Se desconfiar que certo assunto lhe será inútil, Justifica não estuda, e muito menos resolve uma lista de exercícios.

Lista, por sua vez, é o contrário de Justifica. Adora longas listas de exercícios e cumpre a lista mesmo que não saiba para que serve o objeto X, se é que serve para alguma coisa. Recentemente, descobri que os dois tipos coabitam em mim.

Quando comecei a estudar cálculo, usei textos que não explicavam bem os motivos pelos quais estudar cálculo — iam direto para as definições, os limites, os épsilons e deltas. Achei difícil. Mais tarde, comprei um livro de introdução ao cálculo, cujo autor prometia não ensinar o cálculo em si, mas mostrar ao leitor por que estudar cálculo é importante, e depois desse livro o cálculo me parece mais fácil. Por conta disso, eu me classificava como um Justifica.

Depois, comprei um livro de álgebra linear, cujo autor prometia contar ao estudante a história, explicar os porquês, justificar tudo tim-tim por tim-tim. Fiquei entusiasmado a princípio, mas, antes de concluir o segundo capítulo, só de olhar a capa daquele livro eu ficava desanimado. Semanas depois, tive um estalo e mudei de estratégia — comprei um livro do tipo “teoria seca”, organizado assim: definições, teoremas, e um monte de exercícios do tipo “prove a parte (a) do teorema tal”, “prove isso”, “prove aquilo”; tudo muito técnico e sem contexto. Esse eu adorei.

Eu não sabia que Justifica e Lista coabitavam uma pessoa só, e agora presto maior atenção ao modo como me sinto: se preciso de contexto, dou corda para Justifica; se preciso de férias das histórias e dos porquês, dou corda para Lista. Talvez a questão toda seja esta: com frequência partimos do pressuposto de que é mais fácil estudar matemática conhecendo sua história e sua filosofia, mas, conforme o assunto, o estudante só aprecia uma discussão histórica ou filosófica depois que domina os detalhes técnicos — e não antes. {FIM}


Nota: Publiquei uma versão desta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 33 (outubro de 2013), página 5.

Se algo cresce 10%, cresce 10 pontos porcentuais?

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{1}/ Retrato de um erro comum

Em 2014, a inflação foi de 6,4%. Em 2015, foi de 10,67%. (Tais índices são calculados e divulgados pelo IBGE.) Sempre há quem cometa o erro de escrever: “De 2014 para 2015, a inflação aumentou 4,27%.” O redator tirou 6,4% de 10,67%, obteve diferença igual a 4,27%, e a tachou de aumento porcentual, pensando assim: “Ora bolas, 6,4% mais 4,27% é igual a 10,67%; portanto, o aumento foi de 4,27%.” Cometeu um erro frequente mesmo entre quem já concluiu alguma faculdade; contudo, ninguém deve realizar uma operação desse tipo com porcentagens, pois, de 2014 para 2015, a inflação na verdade aumentou quase 67%. Se tivesse aumentado apenas 4,27%, teria partido de 6,4% em 2014 para chegar a ≅6,67% em 2015.

O que o redator deveria ter escrito? “De 2014 para 2015, a inflação aumentou 4,27 pontos porcentuais.”

Caso o leitor lide bem com porcentagens, prossiga normalmente e leia a seção 2 a seguir, na qual verá uma investigação em torno de uma pergunta bacana: “Em que circunstâncias uma variação porcentual coincide com uma diferença em termos de pontos porcentuais? Em outras palavras, em que circunstâncias um aumento de 23%, por exemplo, coincide com um aumento de 23 pontos porcentuais?” Contudo, caso as porcentagens não sejam seu forte, leia agora a seção 4, que é um curso vapt-vupt sobre porcentagens, e depois volte para a seção 2.


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{2}/ Pensando errado para dizer o certo

Suponha que um operário, codinome hMo, tenha tido aumento de salário de 100% em 2014, e que, em 2015, teve novo aumento de 123%. Em casa, ao estudar sua situação, hMo tirou 100% de 123%, e obteve resto igual a 23%. Cometeu então o erro clássico, e disse: “Em relação ao aumento de 2014, o aumento de 2015 foi 23% maior.” Por coincidência pensou errado e disse o certo, visto que 100% · (1 + 0,23) = 100% · 1,23 = 123%. (Em palavras: 100 por cento, mais 23 por cento de 100 por cento, dá 123 por cento.) O aumento foi de 23 pontos porcentuais, e além disso também foi de 23%. Aliás, se o aumento de salário em 2015 tivesse sido de apenas 34%, daí hMo poderia tirar 100% de 34%, para ficar com resto de –66%. Houve uma queda de 66 pontos porcentuais, mas, se ele dissesse que houve uma queda de 66%, mais uma vez teria pensado errado e dito o certo, pois 100% · (1 – 0,66) = 34%.

Tais exemplos sugerem a pergunta que você vai explorar neste texto: em que circunstâncias uma diferença em termos de pontos porcentuais é igual a uma variação porcentual?

Chame de A a porcentagem anterior, e de P a porcentagem posterior. E chame de x a diferença em termos de pontos porcentuais para ir de A a P. Assim:

A + x = P

Note que x pode ser um número real qualquer: negativo, nulo, ou positivo. Se a diferença em termos de pontos porcentuais é igual à variação porcentual, a equação a seguir também deve ser verdadeira:

A(1 + x) = P

E com isso você tem um sistema simples para resolver.

expr 1

Comece com a equação (II) escreva x em função de A e de P.

expr 2

Não é que A não possa ser igual a zero — pode. Mas daí, para que as duas equações (I) e (II) continuem verdadeiras, P = 0 e x = 0. Viu o que aconteceu aqui? Acabou de descobrir uma situação na qual a diferença em termos de pontos porcentuais coincide com a variação porcentual: se A = 0, x = 0, e P = 0, tanto houve crescimento de zero ponto porcentual quanto houve crescimento de 0%.

Continue. Na equação (I), substitua x pela expressão para x que obteve com a equação (II).

expr 3

Da linha 3 para a 4, multiplicou os dois lados da equação por A; da linha 5 para a 6, multiplicou o termo P(1 – A) duas vezes por –1, o que significa multiplicá-lo por 1 e não altera seu valor: P(1 – A) = (–1)P(–1)(1 – A) = –P(A – 1). Com a última linha, marcada com (*), você tem todas as condições nas quais uma diferença em termos de pontos porcentuais é, por coincidência, igual a uma variação porcentual.

Se A = P, (AP) = 0 e a linha (*) é verdadeira. Mas, se A = P, daí pode usar a equação (I) para descobrir que x = 0. Exemplo: se a porcentagem anterior foi de 21% e a posterior de 21%, pode calcular a diferença entre elas, que é de zero ponto porcentual. E, para fazer 21% crescer até 21%, basta multiplicá-lo pelo fator (1 + 0), isto é, basta calcular um aumento de 0%. Essa descoberta inclui a que fez umas poucas linhas acima, pois, se A = P = 0, daí a variação de x = 0% satisfaz as condições do problema.

Agora, se A = 1 = 100%, daí (A – 1) = 0, e de novo a linha (*) é verdadeira. Você já viu um exemplo desse caso no primeiro parágrafo desta seção. Outro exemplo: A = 100% e P = 64%; daí x = –36%. De A para P houve uma queda de 36 pontos porcentuais, e por coincidência houve também uma queda de 36%.

Que lição deve tirar deste texto? Examine mais uma vez a linha (*).

Lição a tirar deste texto: Se a porcentagem anterior é diferente da porcentagem posterior e se, além disso, a porcentagem anterior é diferente de 100%, daí a diferença entre as duas, em termos de pontos porcentuais, certamente é diferente da variação porcentual necessária para obter a porcentagem posterior a partir da anterior.


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{3}/ Os milagres da álgebra: um exemplo radical

Se a porcentagem anterior A é igual a 7%, e se a porcentagem posterior P é igual a 55%, daí a diferença d entre ambas é de d = 55% – 7% = 48% ou 48 pontos porcentuais; mas a variação porcentual x de A para P é quase igual a 686%, pois 7%(1 + 6,86) ≅ 55%. A porcentagem posterior é maior que a anterior, e portanto a variação porcentual foi positiva, mas não podia ser igual à diferença em termos de pontos porcentuais, pois nem A = P, nem A = 100%. De forma análoga, se A = 15% e P = 4%, daí d = 4% – 15% = –11% ou –11 pontos porcentuais; e a variação porcentual x de A para P é quase igual a –73%, pois 15%(1 + [–0,73]) ≅ 4%. A porcentagem posterior é menor que a anterior, e portanto a variação porcentual tinha de ser negativa; além disso, visto que AP e A ≠ 100%, a variação porcentual não podia mesmo ser igual à diferença em termos de pontos porcentuais.

Depois do trabalho que você teve com a seção 2, deve ter achado o parágrafo acima bem mais fácil de entender, e talvez o tenha achado desnecessário. “Para que a redundância?” Para que possa apreciar mais facilmente o exemplo a seguir.

Exemplo radical. Se a porcentagem anterior foi de –92% (houve queda de 92%) e a posterior, de 28% (houve aumento de 28%), a diferença d entre ambas é de 120 pontos porcentuais, pois é d = 28% – (–92%) = 120%. A variação porcentual x, contudo, é de quase –130%, por incrível que pareça, pois –0,92(1 + [–1,3]) ≅ 0,28. Imagine que a queda porcentual de –92% tenha sido uma coisa ruim; por exemplo, 100 reais no banco se transformaram em 8 reais. Imagine ainda que o aumento porcentual de 28% tenha sido uma coisa boa; os 8 reais se transformaram em 10 reais e 24 centavos. Daí veja como é difícil explicar isto a um leigo: a situação melhorou absurdamente, mas a variação porcentual foi negativa! Tal esquisitice sempre acontece quando A é negativo e P, positivo; e, num caso desses, para não confundir um leitor leigo, um redator cuidadoso mencionaria apenas a diferença em termos de pontos porcentuais.

Esse exemplo radical ilustra uma virtude da matemática: você só consegue achar as palavras para descrever certos problemas, ou certas situações, depois de examinar com cuidado as equações que usou para descrever a situação. E, depois de escolher as palavras com cuidado, mal acredita na frase que acabou de pôr no papel — você sabe que ela é verdadeira, e sabe explicar por que motivos é verdadeira, mas mesmo assim não resiste à impressão de que é falsa.


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{4}/ Curso vapt-vupt de porcentagens

Ao escrever 23%, você também está escrevendo 0,23, pois o símbolo % de porcentagem significa “multiplique o número à esquerda por 1/100”, ou, o que é a mesma coisa, “divida o número à esquerda por 100”. Para dizer isso com álgebra: se x é um número real qualquer, positivo, negativo, ou nulo, daí x% = x · 1/100 = x/100.

Para deixar esse ponto bem claro, examine três exemplos:

❏ 13% é o mesmo que 0,13, pois é 13 · 1/100 ou 13/100, e 0,13 é o mesmo que 13%, pois basta começar com 0,13, multiplicá-lo por 100 para chegar a 13, e dividi-lo por 100 (com o símbolo %) para voltar a 0,13. (Multiplicar por 100 e dividir por 100 é o mesmo que multiplicar por 1, o que não altera o número em nada.)

❏ 99% é o mesmo que 0,99, pois é 99 · 1/100 ou 99/100, e 0,99 é o mesmo que 99%, pois basta começar com 0,99, multiplicá-lo por 100 para chegar a 99, e dividi-lo por 100 (com o símbolo %) para voltar a 0,99.

❏ 243% é o mesmo que 2,43, pois é 243 · 1/100 ou 243/100, e 2,43 é o mesmo que 243%, pois basta começar com 2,43, multiplicá-lo por 100 para chegar a 243, e dividi-lo por 100 (com o símbolo %) para voltar a 2,43.

Agora que já sabe como ver um número como porcentagem e uma porcentagem como número, uma questão de linguagem: o que significa “193% de 140” ou “17% de 140”? Quase sempre, você pode traduzir a palavra “de” na língua portuguesa com o “sinal de vezes” na matemática. De fato, 193% de 140 é o mesmo que 193% · 140 = 193 · (1/100) · 140 = 1,93 · 140 = 270,2. Da mesma forma, pode traduzir “17% de 140” com 17% · 140 = 17 · (1/100) · 140 = 0,17 · 140 = 23,8.

E com tudo isso você tem condições de compreender por que 23% de 36 é o mesmo que 36% de 23. (Dica: use o fato de que a multiplicação de números reais é comutativa: xy = yx.)

A ideia de porcentagem surge muito naturalmente quando você compara dois números quaisquer. Por exemplo, 15 e 20. Se 20 fosse 100, quanto seria 15? Responder à pergunta equivale a igualar duas razões.

expr 4

Com a prática, se você quer saber quais são as relações porcentuais entre dois números como 15 e 20, simplesmente divide 15 por 20 para obter 0,75, mentalmente multiplica os dois lados da igualdade por 20, e de cara sabe que 15 é 75% de 20; ou divide 20 por 15 para obter ≅1,33, mentalmente multiplica os dois lados da igualdade por 15, e de cara sabe que 20 é 133% de 15.

Contudo, quase todo mundo sente necessidade da ideia de porcentagem quando quer descobrir a variação porcentual. No momento 1, a medida de certa coisa é 65; no momento 2, é 126. Qual foi a variação porcentual? Ou ainda: em termos porcentuais, quanto é um aumento de 65 para 126?

Aqui, você deve usar a ideia de “uma coisa mais certa porcentagem dessa coisa”. Chame essa “certa porcentagem” de x. Eis o que está procurando:

expr 5

É sempre assim, conforme vai notar com a prática: se algo valia A e cresceu para valer P, é porque você pode multiplicar A pelo fator 1 + x para obter P, e x representa o aumento porcentual. No caso em que A = 65 e P = 126, x ≅ 93,85%, e isso significa que 65 · 1,9385 ≅ 126. (Note que as palavras estão escolhidas pensando em A como um número positivo.)

E se no momento 1 algo vale 103, mas, no momento 2, vale 9? Como pode calcular a variação porcentual? Em termos porcentuais, quanto é uma diminuição de 103 para 9? Desta vez, está atrás de um argumento do tipo “algo menos certa porcentagem de algo”; mais uma vez, chame essa “certa porcentagem” de x.

expr 6

Diminuições porcentuais quase sempre têm esse formato: A(1 – x) = P, equação na qual x é um número positivo. No caso de A = 103 e P = 9, a diminuição porcentual foi de ≅91,26%. (Veja que ainda está pensando em A como um número positivo.)

Deve ter notado como os dois métodos se assemelham. De fato, se tem um valor anterior A e um posterior P, e se gostaria de saber qual foi a variação porcentual x de A para P, não se preocupe se A é maior ou menor que P, nem se preocupe se A ou P é positivo, nulo, ou negativo: tudo o que deve fazer é resolver a equação A(1 + x) = P. [Deve chegar a x = (P/A) – 1, expressão válida somente se A ≠ 0.] O sinal correto de x, positivo ou negativo, aparece automaticamente, e vai sugerir que palavras deve escolher para descrever a situação. Por exemplo, veja o caso em que A = 122 e P = 22.

expr 7

Logo, se antes o valor era 122 e depois passou a ser 22, é porque houve uma diminuição porcentual de ≅81,97%. O sinal negativo de x sugere a locução “diminuição porcentual”, e se você sabe que A é um número não negativo, só de olhar o sinal de x também sabe se houve um aumento ou uma diminuição porcentual.

Quem aprende a mexer com porcentagens sabe interpretar corretamente uma variação porcentual famosa no Brasil: a inflação. Quando o IBGE diz que a inflação foi de 10,67% em 2015, diz que os brasileiros em média elevaram os preços por um fator igual a 1 + 0,1067. Se algo valia 100 reais no último dia de 2014, passou a valer 100 · 1,1067 = 110 reais e 67 centavos no último dia de 2015. Essa variação porcentual positiva dos preços ganha o nome técnico de inflação. Se em 2016 a inflação for mais uma vez igual a 10,67%, em 31 de dezembro de 2016 esse algo estará valendo 122 reais e 48 centavos: o problema de uma inflação constante e alta é que, todo ano, ela incide sobre preços cada vez maiores. {FIM}

A aritmética do espaço

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{0}/ Introdução a um assunto difícil de ensinar

Este é o primeiro texto deste blogue sobre álgebra linear. Entre na internet e leia os comentários sobre livros de álgebra linear: quase todo estudante reclama, e muito, do primeiro livro que comprou na vida. Um reclama de exercícios fáceis demais, e outro de exercícios difíceis demais; um reclama de poucas aplicações práticas da teoria, e outro de aplicações práticas em excesso; um reclama do primeiro capítulo sobre vetores, que é excessivamente detalhado, e outro do primeiro capítulo sobre vetores, que é excessivamente breve. E assim vai. Parece que, não importa como o autor organize o texto, não consegue agradar gregos, troianos, e paulistanos.

Tenho uma hipótese sobre isso: o homem ainda não aprendeu qual é a melhor forma de ensinar álgebra linear pela primeira vez, de modo que todo livro e todo curso dá essa sensação de que “está faltando alguma coisa”, ou de que foi mal planejado e mal executado. Se o autor começa com com o tópico A, desagrada, pois, para entender A, o leitor precisaria entender B e C. Se começa com B, desagrada, pois, para entender B, o leitor precisaria entender A e C. E, se começa com C, desagrada, pois, para entender C, o leitor precisaria entender A e B.

É por isso que escolhi, à guisa de guia deste primeiro texto, o capítulo 1 do livrinho A Path to Modern Mathematics, que o matemático britânico W. W. Sawyer publicou pela primeira vez em 1966, e que não está em nenhuma lista de textos de introdução à álgebra linear. É que o título do livro e seu propósito enganam. Sawyer o escreveu para mostrar por que os professores da época falavam tanto de “matemática moderna”, e por que tantos outros professores, usando essa tal de “matemática moderna” como desculpa, tomavam decisões esquisitíssimas. Mas o que Sawyer no fim das contas escreveu foi um curso de introdução às ideias mais simples da álgebra linear — o melhor que já vi.

O texto que você vai ler a seguir é, portanto, uma adaptação bastante livre do capítulo 1, no qual Sawyer explica uma aritmética especial para pontos num espaço afim de dimensão n. Se não entendeu a última parte dessa última frase, não se preocupe: entenderá. O mais importante é ler o texto com a disposição de espírito adequada: ele é uma introdução às primeiras ideias da álgebra linear, e portanto serve ao leitor que ainda não as conhece; mas ele é também um texto sobre como explicar a alguém as primeiras ideias da álgebra linear. Em resumo, é um texto bacana tanto para quem sabe pouco quanto para quem sabe muito.


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{1}/ As adições no espaço

Mesmo no ensino médio, há alunos que levam meses para entender por que, começando com a ideia de plano cartesiano XOY, podem ver uma linha reta no plano e a equação y = mx + c como se fossem a mesma coisa. Alguns nunca chegam a entender essa ideia.

Apesar disso, pergunte a qualquer criança:

“Olha, se você já tem três gatos e um cão, e daí alguém lhe dá de presente mais um gato e mais dois cães, com quantos gatos e cães você fica?”

Chame a quantidade inicial de gatos e cães de A. Chame o presente com dois cães e um gato de B. Chame a soma de A com B de C, de modo que C = A + B. Organize as informações assim: a quantidade g de gatos fica em cima, e a quantidade c de cães fica embaixo, como na equação a seguir.

expr 1

Daí você pode representar o pensamento da criança como na equação deste formulário 1.

expr 2

Formulário 1

É fácil ver que a criança vai adicionar três gatos a um gato para ficar com quatro gatos; e que vai adicionar um cão a dois cães para ficar com três cães. Você pode ver facilmente que, para resolver o problema com a notação do formulário 1, tudo o que tem a fazer é adicionar os dois números de cima para obter o número de gatos e os dois números de baixo para obter o de cães. É fácil ver que a quantidade final C de gatos e cães é quatro gatos, três cães. Tais ideias, e tal notação, parecem simples demais para levar alguém a algum lugar; porém, começando com tais ideias e tal notação, em breve você terá condições de olhar a geometria de um jeito novo, e até mesmo de finalmente entender os porquês da equação da reta.

Continuando: ilustre o problema dos gatos e dos cães com papel quadriculado. No eixo horizontal (o eixo das abscissas), marque a quantidade de gatos; no eixo vertical (o das ordenadas), marque a quantidade de cães. Na figura 1, veja o que significa C = A + B. O ponto A, cujas coordenadas são (3, 1), representa 3 gatos e 1 cão. O ponto B, cujas coordenadas são (1, 2), representa 1 gato e 2 cães. O ponto C = (4, 3) representa 4 gatos e 3 cães, que é a soma A + B. Por fim, o ponto O representa 0 gato, 0 cão. Note o que é impossível não notar: os pontos O, A, B, C são os vértices do paralelogramo OACB.

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Figura 1

Será que isso sempre acontece?

Faça um teste: escolha a esmo muitos valores inteiros não negativos para A e B; por exemplo, faça A = (0, 5) e B = (3, 8); ou faça A = (15, 2) e B = (7, 7); ou faça A = (1, 3) e B = (2, 6). E daí faça mais uma vez C = A + B. Ao plotar tais pontos em papel quadriculado, verá três coisas: os pontos O, A, B, C sempre formam um paralelogramo; às vezes, contudo, quando O, A, B estão em linha (ou fazem parte da mesma reta), daí O, A, B, C formam uma reta; por último, quando O = A = B, isto é, quando vai somar nenhum gato e nenhum cão a nenhum gato e nenhum cão, os pontos O, A, B, C se confundem com o ponto O. Nesses dois últimos casos, se quiser, pode dizer que formam um “paralelogramo degenerado numa reta” ou um “paralelogramo degenerado num ponto”. Se quiser assim, daí OACB é sempre um paralelogramo.

Antes de ir adiante, um aviso: notou que, com a ajuda de papel quadriculado, pode ver um ponto no plano como se fosse uma coleção de animais distintos? Por enquanto, seus pontos P = (g, c) representam uma coleção com certo número g de gatos mais certo número c de cães. Notou ainda que, caso não tivesse decidido se vai tratar de gatos e cães, ou de elefantes e leões, ou de pintassilgos e cucos, ou de vermelhos e azuis, ou de homens e mulheres, poderia, provisoriamente, ver seus pontos P = (x, y) como que a representar certa quantidade x de alguma coisa mais certa quantidade y de outra coisa distinta?

Se algum dia você estudou um pouco de física, já viu a conexão entre adições e paralelogramos, pois usou a ideia de paralelogramo para adicionar duas forças ou duas velocidades. E, provavelmente, chamou os pontos de vetores.


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{2}/ As multiplicações no espaço

Que forma uma multiplicação de gatos e cães assumiria em papel quadriculado? Como pode atribuir significado a uma pergunta como esta: “Você tem dois gatos e um cão: e se tivesse três vezes isso?” Chame de P o conjunto de dois gatos e um cão, assim: P = (2, 1), expressão na qual mais uma vez você marca o número de gatos primeiro, o número de cães depois. Já sabe que 3 ✕ 2 gatos = 6 gatos, e que 3 ✕ 1 cão = 3 cães. Se chama de R o conjunto de gatos e cães que obtém depois da multiplicação, parece que pode contar essa história com R = 3·P = 3·(2, 1) = (6, 3). Veja como contar a história com a notação vertical:

expr 3

Isso parece promissor, pois é consistente com as regras da aritmética: se quiser, pode ver 3P como P + P + P, e vice-versa. Caso marque os pontos O, P, R em papel quadriculado, obterá algo como a figura 2, na qual o ponto R está em linha com os pontos O e P, mas está três vezes mais longe do ponto O que o ponto P.

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Figura 2

Já sabe que, se estiver afim, pode ver a multiplicação por inteiros não negativos como uma adição de parcelas repetidas, e vice-versa. Faça o seguinte experimento mental: comece com O = (0, 0), isto é, com nenhum gato e nenhum cão; e daí, para obter os pontos P, Q, R, S, a cada vez adicione dois gatos e um cão à coleção de gatos e cães que já tem. Seus cálculos devem ficar parecidos com os que vêm a seguir.

expr 4

Plote os pontos O, P, Q, R, S em papel quadriculado para obter a figura 3. Veja como pode conectar tais pontos um ao outro com algo que lembra uma escada: em termos aritméticos, de um ponto para o ponto imediatamente seguinte, você adiciona dois gatos e um cão; mas, em termos geométricos, você parte de um ponto e, para chegar ao ponto seguinte, anda duas unidades à direita e uma unidade para cima. Em outras palavras, vai a passos constantes de 2 unidades à direita, 1 unidade para cima; 2 unidades à direita, 1 unidade para cima; etc. Não deixe de notar que pode conectar os pontos O, P, Q, R, S com uma reta verde.

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Figura 3

Existe um jeito bacana de pôr essa ideia (a de andar o mesmo passo equivalente a duas unidades à direita, uma unidade para cima) para funcionar: é quando gostaria de lidar com movimentos rígidos no plano. Veja a figura 4. A linha quebrada DEFG representa, por exemplo, uma pecinha de plástico sobre o papel quadriculado. Mas se mover o ponto D ao passo P (duas unidades à direita, uma unidade acima), e o ponto E ao passo P, e o ponto F ao passo P, e o ponto G ao passo P, ficará com D’E’F’G’, e isso é o mesmo que mover a peça de plástico inteira duas unidades à direita, uma unidade acima. As setas servem para sugerir esse movimento, o de partir da posição DEFG e chegar à posição D’E’F’G’.

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Figura 4

Chame uma mudança desse tipo de “translação”. Ao realizar uma translação, é como se mudasse de lugar todos os pontos que compõem uma figura pela mesma distância, mesma direção, e mesmo sentido. (Lembrete: num plano coordenado, os pontos não saem do lugar. Essa locução, “mudar de lugar”, não passa de uma analogia. Talvez seja melhor usar a imaginação assim: numa translação, é como se correlacionasse cada ponto de uma figura, sem exceção, a um e apenas um ponto de uma figura idêntica, só que sem fazer nenhuma rotação ou reflexão.) No exemplo da figura 4, você consegue a translação ao adicionar P (2 gatos mais 1 cão) a cada ponto da linha quebrada DEFG, isto é: D’ = D + P, E’ = E + P, F’ = F + P, G’ = G + P.

Com a figura 3, ilustrou o fato de que pode começar com nada e depois, repetidamente, adicionar P a esse nada. Mas, se quisesse, poderia começar com alguma coisa e adicionar P repetidamente a essa coisa. Faça uns testes em papel quadriculado; comece, por exemplo, com K = (3, 5), ou com K = (1, 2). Ao adicionar P repetidas vezes a K, deve desenhar um gráfico como o da figura 5.

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Figura 5

Percebeu que está montando uma espécie de aritmética para descrever certas mudanças de posição num plano? Será que essa aritmética é útil? Em que classe de problemas poderia usá-la? Examine mais uma vez a figura 5. Veja como os pontos marcados com K, K + P, K + 2P, K + 3P, e K + 4P lembram os passos de um homem que anda direto e reto numa certa direção e num certo sentido, e anda a passos regulares. Pois você marcou pontos em linha reta, igualmente espaçados um do outro. Depois dessa constatação, talvez queira explorar a ideia de que essa nova aritmética serve para pensar em segmentos de reta, os quais vai dividir em partes iguais.

* * *

Até aqui, tem usado P para representar 2 gatos, 1 cão. É hora de abandonar esse significado e pensar em P como qualquer coleção de gatos e cães, inclusive, se estiver a seu alcance, meio gato e um terço de cão; em outras palavras, pense em P como qualquer coleção de gatos e cães que lhe seja útil para resolver um problema. Por enquanto, os problemas que verá a seguir são todos do mesmo tipo: você conhece todas as informações sobre dois pontos, K e L; que passo P deveria imaginar para partir de K e chegar a L em certo número n de passos? (Por enquanto, para simplificar, imagine n como um inteiro não negativo.)

Ora, qual é a fórmula para o ponto médio M de KL? Esse é o problema mais simples desse tipo. Você sabe as coordenadas de K e de L, isto é, sabe quantos gatos e cães K e L representam. E daí gostaria de saber as coordenadas de M, também em termos de gatos e cães.

Depois de desenhar esse problema (figura 6), verá que deve partir de K e chegar a L em dois passos P. (Na figura, os pontos dentro do círculo vermelho são os que você conhece.) Isso significa que deve descobrir que valores atribuir a P para que K + 0P, K + P, e K + 2P coincidam com K, M, e L. Como pode achar as informações sobre P? Não adianta ficar olhando para K, pois com K = K + 0P está simplesmente dizendo que K = K. Você ainda não sabe nada sobre o ponto M, e portanto M = K + P não te revela nada sobre P. [Ao contrário, quando souber o valor de P, poderá usar essa equação para descobrir o valor de M. Lembrete: “o valor de P” é o significante do significado real, que é: “Todos os valores do par ordenado (x1, x2) que escolheu representar com a letra maiúscula P.”] Contudo, o terceiro ponto contém bastante informação: L = K + 2P, e você conhece tanto K quanto L. Para resolver a equação em função de K e de L, e desse modo achar o valor de P, basta recorrer à álgebra básica.

expr 5

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Figura 6

Tem como visualizar isso um pouco melhor. Suponha que K represente x1 gatos e y1 cães, e que L represente x2 gatos e y2 cães. Veja como pode agora representar P com a notação vertical.

expr 6

Visto que já sabe que M = K + P, pode agora achar o valor de M, isto é, as coordenadas de M.

expr 7

Veja bem o que descobriu: o ponto médio M é a média aritmética dos pontos K e L, e isso significa dizer que as coordenadas de M são a média aritmética das coordenadas de K e L. É uma lição que vai usar por toda a vida.

Um exemplo concreto: qual é o ponto médio de (2, 1) e (8, 3)? Ao fazer as contas, descobrirá que M = ½(2, 1) + ½(8, 3) = (1, ½) + (4, 1½) = (5, 2). Use papel quadriculado para marcar tais pontos e verá que, de fato, os pontos (2, 1), (5, 2), e (8, 3) formam uma reta, com o ponto (5, 2) bem no meio dos outros dois.

Veja que tomou a liberdade de pensar em ½ cão, e mais tarde tomará a liberdade de pensar em –3 gatos. É óbvio que não está levando essa analogia de gatos e cães a ferro e fogo. Ela serve apenas para, de um jeito infantil, lembrá-lo de que essas ideias são simples, e de que, se quisesse, poderia ensiná-las a crianças; além disso, a analogia provê um contexto natural para a adição de coordenadas e a multiplicação de coordenadas por um número (ou, em termos mais técnicos, para a adição de vetores de coluna e a multiplicação de vetores de coluna por um número). Por último, a analogia te permite usar rótulos simples e convenientes, como “a adição de gatos e cães”, “a multiplicação de gatos e cães por um número”.


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{3}/ Um teorema sobre paralelogramos

Com o que viu até aqui, tem condições de provar um teorema famoso da geometria plana: as diagonais de um paralelogramo bissectam uma à outra (ou cada uma delas divide a outra ao meio). Para simplificar o argumento, suponha que um dos vértices do paralelogramo é a origem O. Se os outros vértices são A, B, C, da forma como estão dispostos na figura 7a, pode de imediato dizer que C = A + B, pois, como já viu, a adição de gatos e cães sempre corresponde a um paralelogramo. O que deve mostrar é que o ponto médio de AB coincide com o ponto médio de OC, e para tanto vai usar uma versão da fórmula M = ½K + ½L.

Bem, o ponto médio M de AB é M = ½A + ½B. O ponto médio M’ de OC é M’ = ½O + ½C; porém, O = (0, 0), pois o ponto O representa nenhum gato, nenhum cão, e com isso pode dizer que M’ = ½C. Visto que C = A + B, você pode multiplicar a equação inteira por ½: ½C = ½A + ½B. Basta agora realizar as substituições para ver que M’ = M, e o teorema está provado. (Veja a figura 7b.)

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Figura 7

Se quiser provar o resultado mais geral, no qual não necessariamente um dos pontos coincide com a origem, deve estudar o paralelogramo cujos vértices são os pontos K, K + A, K + B, e K + A + B. Nesse caso, K cumpre o papel que antes você atribuiu a P, isto é, cumpre o papel de um passo fixo (tantos gatos à direita, tantos cães acima): vai mover todos os pontos do paralelogramo OABC por um passo fixo igual a K, de modo que obterá o paralelogramo transladado O’A’B’C’, em que O’ = K, A’ = A + K, B’ = B + K, e C’ = C + K = A + B + K. Depois de fazer as contas, deve descobrir que as coordenadas do ponto no qual as diagonais bissectam uma à outra são K + ½A + ½B, como deveria ser numa translação em que moveu todos os pontos por um passo equivalente a K.


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{4}/ Como dividir um segmento de reta em n partes iguais

Assim como dividiu um segmento de reta em duas partes iguais, pode facilmente adaptar o argumento para dividi-lo quantas partes iguais bem entender. Suponha, por exemplo, que gostaria de saber as coordenadas de um ponto S a três quartos da distância entre K e L.

Nesse caso, pode imaginar um ponto pairando sobre K, e daí deve fazê-lo dar quatro passos P iguais para partir de K e chegar a L: a rota será K, K + P, K + 2P, K + 3P = S, K + 4P = L; é o que pode ver na figura 8. Ora, se L = K + 4P, daí P = ¼(LK). Ao substituir essa expressão para P em S = K + 3P, eis o que vai obter:

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Figura 8

Examine o resultado. Veja que 3/4 apareceu como o coeficiente de L, o ponto de destino; quanto ao coeficiente de K, o ponto de origem, é 1 – ¾ = ¼. Veja ainda que ¼ + ¾ = 1.


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{5}/ Lista de problemas

§5-1. Tente adivinhar a fórmula para o ponto a um terço do caminho entre K e L, e depois para o ponto a dois terços do caminho. Depois reaproveite o argumento da seção 4 e veja se seu chute foi correto.

§5-2. Ache a fórmula geral para o ponto a m/n do caminho entre K e L. (Por enquanto, pense em m como inteiro não negativo, e em n como inteiro positivo; não perde nada se pensar em m, n como primos entre si.)

Sugestão de resposta na seção 14, mais abaixo.


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{6}/ Medianas e intersecções de medianas

Examine a figura 9 e pense na questão a seguir: você tem três pontos A, B, C que formam um triângulo ABC. D é o ponto médio entre C e B. Ache uma fórmula para G, que está a dois terços do caminho entre A e D.

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Figura 9

À luz dos problemas que resolveu na seção 5, resolver esse problema é só questão de ter paciência com as contas. Se o ponto G está a dois terços do caminho entre A e D, daí G = ⅓A + ⅔D. Mas D, sendo o ponto médio entre C e B, tem de ser o ponto D = ½C + ½B. Ao substituir a equação para D na equação para G, deve chegar a G = ⅓A + ⅔(½C + ½B) = ⅓A + ⅓B + ⅓C.

Embora tenha começado a investigação com o ponto A, pode ver que a resposta tem uma simetria: o ponto B e o C entram nas coordenadas de G da mesma forma que A. Examine agora a figura 10: se tivesse começado com o ponto B e quisesse saber as coordenadas do ponto a dois terços do caminho até o ponto E, ou se tivesse começado com o ponto C e mais uma vez quisesse saber as coordenadas do ponto a dois terços do caminho até o ponto F, teria em ambos os casos descoberto as coordenadas de G. De fato, o ponto G é aquele no qual as linhas medianas AD, BE, e CF se interceptam. (Linha mediana é aquela com a qual você divide um ângulo ao meio.) Na mecânica, G é um ponto importante, pois é o centro de gravidade do triângulo ABC, ou é o centro de gravidade de três corpos idênticos (massa idêntica), um dos quais vai colocar sobre A, outro sobre B, e outro sobre C.

(Veja: o centro de gravidade de um segmento de reta é a média aritmética dos dois pontos nas extremidades, e está vendo “ponto” como “coleção de coordenadas”. O centro de gravidade de um triângulo, ou a centroide de um triângulo, é a média aritmética dos três pontos nas extremidades, isto é, nos vértices. Isso não é mera coincidência, como verá noutra matéria desta série.)

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Figura 10


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{7}/ Entra um robô alienígena inteligente

O argumento que acabou de construir na seção 6 é muito mais simples do que qualquer argumento geométrico, à moda de Euclides n’Os Elementos. Todos os argumentos com essa aritmética do espaço tendem a ser simples, pois tudo o que deve fazer é somar pontos ou multiplicar pontos por números reais. (Ou, para dizer isso de um jeito um tantinho mais técnico, tudo o que tem a fazer é somar vetores de coluna, ou multiplicar vetores de coluna por escalares reais.) Por mais que o argumento se complique, você nunca vai trabalhar com coisas mais complicadas que expressões de grau 1, como aquelas com as quais trabalhava no ensino fundamental, do tipo “adicione 2x + 3yz a 4x +5y + 8z”, ou “multiplique 5x + 4y – 3z por 7”.

É importante que tenha condições de interpretar tais afirmações algébricas em termos geométricos. Sua ferramenta básica é o fato que ilustrou na figura 5: os pontos K, K + P, K + 2P, K + 3P, …, fazem parte da mesma linha reta e estão igualmente espaçados um do outro. Se você conhece as especificações de três pontos U, V, W, na forma de gatos e cães, pode determinar se estão ou não estão na mesma linha reta, porque, se estão, basta calcular a razão entre as distâncias UV e VW e daí usá-la para ir de um ponto ao outro. Pense assim: caso U, V, W estejam em linha reta, daí U + P1 = V, isto é, você precisa de um passo P1 para sair de U e chegar a V; da mesma forma, V + P2 = W. Se W está em linha reta com U e com V, daí existe um número real k tal que P2 = kP1, isto é, você pode “esticar” ou “comprimir” o passo P1 por um fator k para obter o passo P2 e partir de V para chegar a W. Se W não está em linha com U e V, isto é, se U, V, W formam um triângulo, tal número real k não existe; pois, com um número real não negativo k, ou você estica a distância UV ou você a comprime, mas não pode fazer o segmento de reta UV se dobrar e mudar de direção.

Suponha agora que uma civilização alienígena mandou um robô inteligente à Terra, e que você está conversando com ele. O robô é inteligente, já conhece a aritmética do ensino básico, mas ainda não tem noção de geometria. Seu papel é explicar ao robô o básico sobre geometria no plano. Pode definir um ponto do plano como sendo “x gatos, y cães”, ou (x, y) para resumir. E daí você vai transformar os resultados que obteve até aqui em definições. Vai definir o ponto médio entre A e B como sendo o ponto ½A + ½B; vai definir o ponto a três quartos do caminho entre A e B como sendo o ponto ¼A + ¾B; vai definir o ponto a m/n do caminho entre A e B como sendo o ponto (1 – m/n)A + (m/n)B. (Por enquanto, com m/n sendo um número racional não negativo.) No fim das contas, mais genericamente, vai definir o ponto que divide o segmento de reta AB à razão de t para (1 – t), com 0 ≤ t ≤ 1 e t real, como sendo o ponto (1 – t)A + tB.

(Se não entendeu bem esse último ponto, veja a seção 14.)

Com tais definições, o robô inteligente tem condições de explorar o plano por meio de simples aritmética. Por exemplo, você pergunta o que ele pode descobrir sobre os pontos A, B, C, D, E, F, G, H, e I, sendo que A = (1, 1), B = (2, 1), C = (3, 1), D = (1, 2), E = (2, 2), F = (3, 2), G = (1, 3), H = (2, 3), I = (3, 3). Depois de fazer contas, o robô dirá que B é o ponto médio de AC, D é o ponto médio de AG, H é o ponto médio de GI, F é o ponto médio de CI, enquanto E é o ponto médio de AI, DF, GC, e HB. E você pode verificar a validade de tais afirmações ao plotar os pontos em papel quadriculado. Para o robô, as afirmações não tem nenhuma materialidade: são resultados aritméticos, formais, pois condizem com as definições. O robô nunca viu papel quadriculado, nem pode imaginar o que seja um sistema de eixos coordenados; aliás, não sabe o que é ponto médio. Mas, de posse das definições, e sabendo realizar operações aritméticas com números reais, o robô produz afirmações que fazem sentido para quem imagina figuras geométricas.

Será que, com esse procedimento, o robô constrói toda a geometria euclidiana? Qualquer um que já tenha sofrido para produzir provas de afirmações da geometria de coordenadas sabe que não. A álgebra deste texto é simples demais para tanta coisa. Na verdade, note uma sutileza importante: com a ideia de uma aritmética de gatos e cães, você produziu o que produziu até agora sem mencionar ideias como o comprimento de uma linha, ou quando e por que duas linhas coordenadas devem ser perpendiculares entre si. Até aqui, em todos os desenhos, tem examinado figuras nas quais o eixo dos gatos é perpendicular ao eixo dos cães, e o comprimento da unidade no eixo dos gatos é o mesmo no eixo dos cães. A razão é simples: se está desenhando as coisas com papel quadriculado, esse é o jeito mais simples de desenhá-las. Mas, nas ideias matemáticas em si, não existe nenhuma razão para que os dois eixos sejam perpendiculares, ou para que o comprimento das duas unidades seja o mesmo. Na figura 11, pode ver três maneiras distintas pelas quais o robô inteligente poderia representar os pontos A, B, C, D, E, F, G, H, e I sobre os quais fez contas. Em 11-1, os eixos são perpendiculares e o comprimento da unidade é o mesmo; em 11-2 e 11-3, não. Nos três desenhos, contudo, as afirmações do robô permanecem válidas; por exemplo, nos três E é o ponto médio de GC. (Use a imaginação, e veja que E continua sendo o ponto médio de GC mesmo que gire o eixo dos cães até que se sobreponha ao dos gatos, ou seja, E continua sendo o ponto médio de GC mesmo que o ângulo entre o eixo dos cães e o dos gatos seja zero.)


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{8}/ Ângulos que não têm medida

Um professor menciona duas retas num mesmo plano, e você, por inocência, pergunta a medida do ângulo entre elas. O professor responde: “Para esse ângulo, não existe medida.” Pode lidar com essa dificuldade de duas maneiras. Chame uma delas de “maneira axiomática”; a outra, de “programa de Erlanger”.

Com a maneira axiomática de lidar com problemas matemáticos, você parte de certas afirmações que pressupõe verdadeiras e explora todas as suas consequências lógicas. Pode dizer que as pressuposições, mais os teoremas que provou a partir delas, perfazem uma área da matemática, ou que perfazem uma teoria matemática. (Teoria = axiomas mais os teoremas decorrentes dos axiomas. Só matemáticos usam a palavra “teoria” dessa maneira.) O robô inteligente recebeu certas informações e, a partir delas, pôde produzir várias afirmações verdadeiras, como a de que H é o ponto médio de GI. Mas nenhuma das afirmações dá ao robô condições de distinguir entre si as três figuras 11-1, 11-2, e 11-3. Em todas elas, as equações algébricas sobre os pontos A, B, C, D, E, F, G, H, e I valem da mesma forma. Em todas elas, A + B = F, isto é, a partir de B, com um passo equivalente a A (uma unidade à direita, uma para cima), você chega a F; além disso, E = 2A, B + D = I. Qualquer equação do tipo que está considerando neste texto, se vale para 11-1, vale também para 11-2, 11-3, e para qualquer gráfico desse tipo, não importa o ângulo entre o eixo dos gatos e o dos cães. Apesar disso, pode ver como os ângulos nas três figuras são diferentes, e pode ver também como a razão entre AB e AD, por exemplo, é diferente em cada uma delas. Em resumo: numa teoria na qual o robô só tem de se preocupar com as consequências das definições que recebeu, é como se ângulos e razões entre comprimentos não existissem.

Antes de partir para o programa de Erlanger, vale a pena pensar num ponto. Sim, o robô pode comparar comprimentos quando tais comprimentos estão em linhas retas paralelas. Na figura 11, pode ver a validade das equações H = D + A e I = A + 2A. Isso significa, para usar a imagem que já vem usando faz tempo, que pode ir de D a H por meio de um único passo A; contudo, para ir de A a I, deve dar dois passos A. Com isso, o robô tem o material necessário para provar um dos teoremas de Euclides que se aplicam a essa situação: a linha DH une o ponto médio do segmento AG com o ponto médio do segmento GI, sendo que o segmento AG e o segmento GI fazem parte do triângulo AGI; portanto, a linha reta DH tem de ser paralela à base AI do triângulo, e seu comprimento tem de ser metade do comprimento de AI. O robô, contudo, não tem condições de atribuir nenhum significado a comparações de comprimentos em linhas cuja direção é diferente; por exemplo, não tem como saber se AD é metade do comprimento de AC. De fato, essa última afirmação é verdadeira na figura 11-1, mas falsa em 11-2 e 11-3.


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{9}/ O programa de Erlangen

Com o método axiomático, você aborda certo assunto matemático a partir de definições perfeitas, mas excessivamente formais. O método pressupõe que você pegará uma lista de afirmações, que deve considerar como válidas, e que tirará conclusões lógicas dessas afirmações. Contudo, trabalhando assim, nunca fica bem claro como deve ir atrás de conclusões lógicas, pois talvez, lendo as afirmações iniciais, sua imaginação fique completamente vazia. É quando sente vontade de ver, de alguma maneira, o que está fazendo. Porém, nesse ponto, topa com uma dificuldade: se desenha alguma coisa, talvez o desenho mostre informação demais; sem que você perceba, talvez ele te obrigue a presumir um conjunto maior que afirmações iniciais válidas do que o conjunto de afirmações com o qual começou a trabalhar, e que não instigou sua imaginação.

O nome oficial do assunto sobre o qual o robô inteligente refletiu é “geometria afim”. Nessa geometria, como viu, não deve levar ângulos retos em consideração, e só pode comparar comprimentos em circunstâncias especiais. O problema é que o mundo à sua volta lembra bastante a geometria euclidiana, e você vê ângulos retos em todo lugar, e além disso compara comprimentos minuto sim, minuto não. Se gostaria de usar desenhos para visualizar melhor o funcionamento da geometria afim, tem de achar um jeito de destruir parte das informações que lhe chegam à mente por meio dos sentidos.

Já viu um jeito de fazer isso quando explorou as três partes da figura 11. Imagine que desenhou uma figura geométrica em papel quadriculado. Imagine agora que alguém pegou seu desenho e que, de algum modo, teve o poder de distorcê-lo; com a distorção, quadrados se transformaram em paralelogramos, como em 11-2 e 11-3. Bem, pode dizer que, se está interessado na geometria afim, está interessado apenas nas conclusões que sobrevivem a tais distorções; e daí, se quisesse, poderia provar o seguinte: pode expressar, com a aritmética que acabou de ensinar ao robô inteligente, qualquer propriedade que sobreviva às distorções aceitáveis na geometria afim.

E quais são, mais especificamente, essas distorções? Você pode (a) mudar o tamanho da unidade no eixo dos gatos; pode (b) mudar o tamanho da unidade no eixo dos cães; e pode (c) alterar a direção dos eixos. Talvez queira descrever tais distorções assim: na geometria afim, pode aceitar uma distorção se ela transforma os pontos de uma reta em pontos de outra reta, e se transforma retas paralelas em retas paralelas. (Com a linguagem típica das funções, pode dizer que aceita uma distorção se ela manda todo e cada ponto de uma reta, sem exceção, para um e só um ponto de outra reta; e se manda duas retas paralelas para outras duas retas paralelas.) De fato, pode construir toda a geometria afim com apenas duas ideias, a de linha reta e a de retas paralelas.

Do ponto de vista axiomático, o conjunto dos teoremas que pode provar na geometria afim é subconjunto do conjunto dos teoremas que pode provar na geometria euclidiana. Em outras palavras, todo teorema que puder provar na geometria afim está automaticamente provado para a geometria euclidiana. A recíproca não é verdadeira: nem todo teorema da geometria euclidiana é válido na geometria afim.

A questão é que a geometria afim é muitíssimo mais simples que a geometria euclidiana. Quando você aprende a reconhecer quando uma afirmação faz parte da geometria afim, pode prová-la com métodos muito simples. É fácil testar se uma afirmação faz parte da geometria afim: se continua válida depois das distorções que examinou na figura 11, pertence à geometria afim; se perde a validade, não pertence. Todos os teoremas deste texto, provados com o método dos gatos e dos cães, passam no teste. (E são as fundações da álgebra linear.)

No final do século 19, os matemáticos já haviam reconhecido vários tipos distintos de geometria: geometria euclidiana, geometria afim, geometria projetiva, geometria inversiva; além das geometrias não euclidianas de Bolyai, Lobachevsky, e Riemann, que mais tarde Einstein usaria na teoria da relatividade. Em 1872, os matemáticos já havia produzido muito material sobre novas geometrias, tanto que, numa palestra na Universidade de Erlangen, o famoso matemático alemão Felix Klein sugeriu um princípio para a classificação das várias geometrias — que ficou conhecido como “programa de Erlangen”. (Alguns escrevem “programa erlanger”; erlanger é algo de Erlangen, assim como paulistano é algo de São Paulo e soteropolitano é algo de Salvador.)

Nessa palestra famosa, Klein sugeriu uma ideia curiosa: você sabe com qual geometria está trabalhando pela maneira como protesta quando alguém altera seus desenhos. A geografia é a geometria mais restritiva de todas: você protestaria se alterassem distâncias ou direções. A geometria euclidiana é menos restritiva que a geografia: você não protestaria se alterassem a escala de seu desenho, ou se movessem o desenho para outro canto da página, ou se girassem a página, ou se refletissem seu desenho com um espelho. A geometria afim é menos restritiva ainda: além de tudo o que pode fazer na geometria euclidiana, pode também realizar as distorções da figura 11. Na geometria projetiva, sua liberdade é ainda maior: pode substituir uma figura por uma fotografia dessa figura, que tirou de um ângulo bem oblíquo. A topologia é a menos restritiva de todas as geometrias: desde que você não rasgue seu papel, pode esticá-lo ou torcê-lo do modo como bem entender. Uma propriedade topológica é aquela que sobrevive a todo esse monte de distorções. Na topologia, por exemplo, você não tem como distinguir um triângulo de um círculo, pois, visto que seu papel imaginário é perfeitamente elástico, pode distorcer um triângulo até transformá-lo num círculo, e vice-versa.

Há muito mais no programa de Erlangen do que o que viu até aqui. Mas deve ter captado a ideia essencial: há duas maneiras de pensar sobre temas da geometria afim. Numa delas, você parte de definições formais, que são os axiomas, e vê o que pode deduzir a partir deles. Na outra, você desenha linhas retas que cruzam eixos coordenados e que se cruzam em pontos, e vê quais conclusões sobre tais desenhos sobrevivem às três distorções (a), (b), e (c) que examinou na figura 11. Com essa segunda maneira, você pode usar desenhos, o que é muito bom, sem correr o risco de contaminar seus pensamentos com fatos não bancados pelos axiomas.


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{10}/ Mudando os eixos coordenados

Já viu que não deve nenhuma fidelidade ao sistema de coordenadas perpendiculares XOY com o qual se acostumou na escola. Quaisquer duas linhas retas coordenadas, desde que apontem para direção distinta, servem como sistema de eixos de referência. Portanto, caso peça a duas pessoas que cubram uma página plana com uma rede de paralelogramos que sirva de referência para gráficos, é bem possível que cada uma delas escolha um sistema diferente da outra. Quão difícil seria converter os dados que uma das pessoas registrou com seu sistema num formato adequado para que a outra pessoa use o outro sistema? Esse problema soa muito difícil, mas é fácil; tudo o que você deve fazer é recorrer à álgebra da escola básica.

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Figura 12

Pode ver na figura 12 dois sistemas de coordenadas. Num deles, os eixos estão marcados com g de gatos e com c de cães; nesse sistema, pode marcar qualquer ponto com x gatos mais y cães, ou com xg + yc para resumir. No outro sistema, os eixos estão marcados com G de gatos e C de cães, e nele pode marcar qualquer ponto com x gatos mais y cães, ou xG + yC para resumir. Assim, os pontos marcados com letras minúsculas foram marcados de acordo com o primeiro sistema, e os pontos marcados com letras maiúsculas, de acordo com o segundo sistema. Pode ver no desenho os pontos F, H, E, M, K, J, N, L e, neste caso, as letras em maiúsculas não se referem necessariamente ao segundo sistema, ou ao primeiro; são simplesmente pontos no plano. Pode ver também o ponto g, que representa 1 gato no primeiro sistema, assim como o ponto c, que representa 1 cão; pode ver os pontos G, C, que representam 1 gato, 1 cão no segundo sistema.

Por meio da tabela a seguir, veja como poderia caracterizar um ponto no primeiro sistema e no segundo. (O quadriculado em rosa se refere ao primeiro sistema.)

Ponto No primeiro sistema No segundo sistema
G 3g + c G
E 6g + 2c 2G
C g + c C
F 2g + 2c 2C
M 3g + 3c 3C
H 4g + 2c G + C
J 7g + 3c 2G + C

Ao comparar as especificações de cada ponto na tabela, deve notar certas coincidências. C correponde a g + c; 2C, que é o dobro de C, corresponde a 2g + 2c, que é o dobro de g + c; e 3C, que é o triplo de C, corresponde a 3g + 3c, que é o triplo de g + c. Se isso não for mera coincidência, significa que pode calcular o valor de 4C, 5C, 6C, etc., sem olhar para o gráfico: pode simplesmente dizer que, por exemplo, 6C num sistema equivale ao ponto 6g + 6c no outro. Pode notar a mesma coincidência com G e 2G. Na verdade, os cálculos parecem simples e constantes como aqueles que realiza numa casa de câmbio, quando troca reais por dólares e libras: 9 reais = 1 dólar + 1 libra. Se troca C por g + c, troca 2C por 2g + 2c, e assim por diante. Como essa ideia funciona quando tem de especificar um ponto com G e C? Visto que G equivale a 3g + c e C equivale a g + c, G + C deveria equivaler a 4g + 2c, e realmente equivale: veja o ponto H. Todos os pontos da tabela parecem sustentar esse método de cálculo.

Tais resultados estão de acordo com as figuras geométricas e o significado de adição e de multiplicação. Considere o ponto 4G + 5C. Esse é o ponto que atingiria se partisse da origem O, andasse quatro passos G, e depois andasse cinco passos C. No primeiro sistema, G equivale a 3g + c, e portanto quatro passos G significam quatro passos 3g + c, ou seja, 12g + 4c; além disso, C equivale a g + c, e cinco passos C equivalem a cinco passos g + c, ou seja, 5g + 5c. O resultado final é 17g + 9c.

Ora, visto que cada eixo coordenado tem sua unidade (isto é, um comprimento que serve de unidade), e que pode marcar em cada um deles todos os números reais, possivelmente achará fácil acreditar que tais cálculos de um sistema para o outro são mera questão de substituição: G = 3g + c; C = g + c. Logo, 4G + 5C = 4(3g + c) + 5(g + c) = 12g + 4c + 5g + 5c = 17g + 9c.

O que acabou de fazer com 4G + 5C poderia ter feito com qualquer ponto XG + YC. Você calcula XG + YC = X(3g + c) + Y(g + c) = 3Xg + Xc + Yg + Yc = (3X + Y)g + (X + Y)c. Se você especifica um ponto no primeiro sistema com xg + yc, tem daí um sistema de equações lineares para resolver:

expr 9

Com esse sistema do jeito que está, pode imediatamente achar as coordenadas (x, y) de um ponto no primeiro sistema quando sabe as coordenadas (X, Y) de um ponto no segundo sistema. Mas e se você sabe as coordenadas (X, Y) de um ponto de acordo com o segundo sistema, e gostaria de convertê-las nas coordenadas (x, y) de acordo com o primeiro sistema? Depois de realizar as substituições, deve chegar a:

expr 10

E agora está em posição de traduzir afirmações válidas num sistema para o outro sistema. Traduções como essa ocorrem com muita frequência. Você começa trabalhando com um conjunto de eixos coordenados, e depois de um tempão percebe que, se tivesse começado com outro conjunto, seria bem mais fácil continuar, e daí precisa traduzir todas as afirmações que já produziu até o momento. Nesta série de textos sobre álgebra linear, verá alguns exemplos desse tipo.

Alguns dos autores antigos de livros sobre geometria de coordenadas, ou sobre “geometria analítica”, dão a impressão de que é muito difícil trabalhar com eixos oblíquos, isto é, com eixos que não são perpendiculares entre si (ou não são ortogonais entre si). Eles em geral começavam com um sistema de coordenadas perpendiculares XOY e, quando precisavam mencionar eixos oblíquos, usavam as ferramentas da trigonometria para realizar as conversões. Contudo, os dois sistemas da figura 12 têm eixos oblíquos, e você foi capaz de traduzir a localização dos pontos de um sistema no outro sem usar nada de trigonometria. O trabalho não exigiu nada mais complicado que expressões lineares e, no finalzinho, um sistema com duas equações lineares simultâneas para resolver.


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{11}/ Elefantes, zebras, tamanduás

No começo deste texto, você pensou sobre coleções de gatos e cães. Mas por que restringir suas descobertas a apenas dois tipos de animal? Por que não considerar também elefantes, zebras, tamanduás, saguis?

Até agora, você tem pensado assim: primeiro, considera o problema recorrendo à álgebra; depois disso, recorrendo a uma ilustração.

É fácil acreditar que a álgebra não vai mudar com mais animais. Se vai adicionar dois gatos, três cães, um elefante, cinco zebras, oito tamanduás, e três saguis a um gato, dois cães, dez elefantes, sete zebras, quatro tamanduás, e um sagui, vai ficar com a soma três gatos, cinco cães, onze elefantes, doze zebras, doze tamanduás, e quatro saguis. O verdadeiro problema, agora, é desenhar essa adição de vetores.

Quando o número n de animais é três, você consegue desenhar um espaço de dimensão três ao recorrer à ideia de três eixos, um apontando (por exemplo) para o norte, outro para o leste, e outro ainda para cima, para o céu. Mas, com n ≥ 4, fica difícil desenhar o espaço numa folha de papel. Nosso cérebro, tão bem adaptado para uma vida em três dimensões, não nos ajuda a imaginar um espaço de dimensão n = 6. Que atitude você deve tomar? Pode tratar apenas de coleções com até três animais, pois consegue desenhar uma figura tridimensional. Ou, bem melhor que isso, pode usar como guia a simplicidade da álgebra.

Antes de dar resposta definitiva a essa pergunta (Que atitude tomar?), que é tão importante, examine o caso em que n = 3.


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{12}/ Gráficos em três dimensões no papel

A maioria de nós consegue imaginar objetos sólidos de um jeito bastante vago. É por isso que, nas escolas, a geometria de coordenadas no espaço fica para o fim do ensino médio; contudo, muita gente só vai estudar esse tema mais a fundo, ou pela primeira vez, no primeiro ano da faculdade. É uma pena, pois vivemos num espaço de dimensão 3, e a maioria dos objetos que construímos ou usamos ocupa o espaço de três dimensões, como um avião ou um carro, e não o espaço de duas dimensões, como um desenho ou uma folha de papel A4.

Contudo, até crianças conseguem estudar muitos assuntos da geometria de coordenadas num espaço de dimensão 3: basta que possam manusear um modelo do espaço, isto é, uma espécie de “papel quadriculado” concreto, palpável. Quanto a você, que já não é mais criança, pode manusear esse modelo na própria imaginação.

Imagine portanto um dispositivo assim: uma base retangular cheia de furos igualmente espaçados, onde pode encaixar pinos de vários tamanhos (veja a figura 13). Você coloca a base à sua frente, e escolhe, por exemplo, o furo do canto inferior esquerdo como a origem O. Daí cada furo à direita de O representa uma unidade à direita de O, ou uma unidade a leste de O, ou um gato g. Cada furo à frente de O representa uma unidade à frente de O, ou uma unidade ao norte de O, ou um cão c. E cada furo acima de O representa uma unidade acima de O, ou uma unidade em direção ao céu, ou um porco p. Na figura 13, o ponto A está três unidades ao leste de O, uma unidade ao norte de O, e duas unidades acima de O. O ponto A significa 3 gatos, 1 cão, 2 porcos, e pode escrever isso assim: A representa 3g + 1c + 2p. Na geometria de coordenadas, você pode dizer que o ponto A é o ponto (3, 1, 2), e pode até escrever A = (3, 1, 2).

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Figura 13

É hora de investigar argumentos semelhantes aos que investigou em duas dimensões, com gatos e cães. Como pode usar o modelo para verificar o efeito de adicionar dois pontos? Se descobre que R = 3P, como pode correlacionar R com P? Qual é o efeito de dar o mesmo passo P três vezes seguidas? Você pode dar resposta a tais perguntas ao usar o retângulos de furos — usar com as mãos, se tiver um retângulo e pinos palpáveis, ou com a imaginação. E daí vai descobrir muitas semelhanças com o que já viu com gatos e cães.

Semelhança 1: a adição ainda corresponde a paralelogramos. Veja a figura 14: ela mostra a adição de C = A + B, onde A = (4, 2, 1) e representa 4g + 2c + 1p, e B = (1, 3, 2).

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Figura 14

É difícil ver isso no desenho, mas os pontos OACB formam um paralelogramo. Suponha que tenha um modelo palpável no qual possa representar essa adição C = A + B; você poderia cortar um paralelogramo de papelão e repousá-lo direitinho sobre os pontos O, A, B, C: ele se acomodaria perfeitamente sobre a linha tracejada na figura 14. Se quiser, pense assim: na figura 14, os pontos OBD formam um triângulo, assim como os pontos OAE. Se estiver no ponto A e adicionar o passo B, vai formar, a partir de A, o triângulo ACF — que é idêntico ao triângulo OBD. Logo, os dois segmentos de reta OB e AC têm o mesmo comprimento e são paralelos, e isso te basta para caracterizar o paralelogramo OACB. Da mesma forma, se estiver no ponto B e adicionar o passo A, vai formar, a partir de B, o triângulo BCG — que é idêntico ao triângulo OAE. Logo, os dois segmentos BC e OA têm o mesmo comprimento e são paralelos, e outra vez isso te basta para caracterizar o paralelogramo OACB. Esse argumento vale quaisquer que sejam os valores que atribua a A e B, especialmente se aceita o caso em que “segmento de reta” = “paralelogramo degenerado”, que ocorre, por exemplo, quando A = B.

Semelhança 2: a multiplicação por inteiros ainda produz uma linha reta. Pode ver na figura 15 uma ilustração do caso R = 3P, com P = (3, 2, 1), isto é, com P a representar 3g + 2c + 1p. Daí R = (9, 6, 3), e representa 9g + 6c + 3p. (Na figura 15, as linhas horizontais vão de duas em duas unidades.) Note o método: a partir de O, você anda três unidades à direita, duas unidades à frente, uma unidade para cima; a partir de P, anda três unidades à direita, duas unidades à frente, uma unidade para cima; a partir de Q, anda três unidades à direita, duas unidades à frente, uma unidade para cima. Como já ocorria em duas dimensões, O, P, Q, R estão em linha, com R três vezes mais distante de O que P.

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Figura 15

Semelhança 3: o espaçamento continua constante. Pode ver na figura 12 o ponto Q = (6, 4, 2), que representa Q = 2P. O efeito de adicionar P a O repetidas vezes produz uma linha reta, dividida num número idêntico de partes iguais. No caso da figura 15, o segmento OR, que você fez com O + 3P, está dividido em três partes iguais: OP, PQ, QR. Sendo assim, se num espaço de dimensão 3 você quiser dividir um segmento de reta em n partes iguais, basta fazer como já fez antes: ache o passo P tal que R = nP. Em vez de partir de O e dar n passos idênticos sobre a superfície da placa perfurada horizontal, você vai como que subir uma pirâmide dando n passos idênticos ao longo da lateral.

Esse pensamento é importante, pois foi por meio de passos idênticos que pôde obter a fórmula para o ponto médio de um segmento de reta, e também para a divisão de um segmento em quantas n partes deseje. Todas as fórmulas valem, sem nenhuma alteração, para os segmentos de reta que constrói em dimensão 3. Por exemplo, se A, B, e C são três pontos no espaço, distintos entre si, ainda é verdade que o ponto G = ⅓A + ⅓B + ⅓C representa o ponto no qual as três medianas do triângulo ABC se interceptam.

Como um exemplo disso, examine a figura 16, na qual pode ver um tijolo com um dos cantos na origem O. O ponto D é o ponto médio de BC, e o ponto E, o ponto médio de AC, de modo que os segmentos AD e BE são duas medianas do triângulo ABC. Eles devem se interceptar num ponto G dentro do tijolo. Você já sabe que G = ⅓A + ⅓B + ⅓C.

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Figura 16

Agora, num dos lados do tijolo, OJBC é um paralelogramo (de fato, um retângulo), de modo que J = B + C. Se do ponto J você der um passo igual a A, chega a L, e portanto L = J + A = A + B + C. Ao comparar os resultados que obteve para G e para L, pode ver que L é um passo três vezes mais longo que G, e sendo assim, L = 3G. Então, G faz parte do segmento de reta OL, e na verdade o divide bem na terça parte. Ora, G faz parte do plano no qual está o triângulo ABC, e sendo assim é o ponto no qual a linha OL intercepta o plano ABC. Se agora você reunir numas linhas do caderno as informações que obteve até aqui, deve chegar ao seguinte resultado: o plano ABC intercepta a diagonal OL num ponto G a um terço do caminho entre O e L, e esse mesmo ponto G é aquele no qual as medianas do triângulo ABC se interceptam.

Não é esse um resultado extraordinário?! Note que é tão extraordinário que é difícil desenhá-lo, mas, apesar disso, pôde prová-lo com nada mais que aritmética elementar.

Você provou esse resultado para um “tijolo” (na verdade, para um paralelepípedo retângulo), pois um tijolo é um objeto familiar, fácil de visualizar. Contudo, tudo o que já viu antes sobre as “distorções” permitidas na geometria afim continua valendo. O argumento que acabou de ver não depende em nada de eixos coordenados ortogonais — se você “entortasse” o paralelepípedo de modo que suas faces continuassem sendo paralelogramos, o teorema sobre a diagonal OL e sobre o triângulo ABC continuaria valendo.

Em outras palavras, não precisa imaginar eixos coordenados apontando para leste, norte, e verticalmente para cima. Pode imaginar eixos que apontem para 36 graus a nordeste, 320 graus a noroeste, e para cima de um jeito inclinado. Quase todo mundo imagina os eixos coordenados como que num canto de um paralelogramo retângulo, mas isso é força de hábito; é apenas um traço cultural. Você não deve perder de vista que os teoremas deste texto não dependem de ângulos retos, e aliás não dependem da existência de ângulos retos.

Agora, é o momento ideal para um salto de abstração, ou, como alguns dizem, para uma viagem na maionese, mas uma viagem e uma maionese bastante comuns entre matemáticos modernos. Deve ter percebido que, com três dimensões, você obteve os mesmos resultados que obteve com duas dimensões, usando os mesmos argumentos e a mesma notação. É natural que venha a pensar: “Não teria sido possível imaginar um jeito de desenvolver esse assunto, e de obter os resultados que obtive até aqui, sem mencionar a dimensão com a qual estou trabalhando?” Se isso fosse possível, você construiria uma teoria válida em qualquer número de dimensões. Logo mais à frente, ainda neste texto, verá que é fácil conceber a existência de espaços com quatro dimensões, cinco dimensões, …, n dimensões, nos quais todos os resultados continuam valendo. E daí a economia de pensamento é, literalmente, infinita: no instante em que prova algo pensando em dimensão dois e três, como quase todos fazem, provou também algo válido em dimensão mil.


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{13}/ Espaços com quatro ou mais dimensões

Você tem como se justificar quando fala de “espaços de dimensão n” se n é maior que 3? Como viu antes, o cotidiano te autoriza a falar de linhas retas (espaços de dimensão 1), de planos (dimensão 2), e de espaços (dimensão 3). Mas ele não te dá elementos para falar de espaços de dimensão 4, e muito menos de 5. Qual é a situação atual dessa ideia?

Antes de continuar, é bom desvencilhar essa ideia de qualquer outra ideia da física. Não deve se preocupar com a teoria da relatividade, nem deve pensar no tempo como se fosse uma espécie de quarta dimensão. Não deve se perguntar se em algum outro universo, ou mesmo se neste universo, existem criaturas que vivem em espaços de dimensão 6. Deve se preocupar apenas com a solidez matemática da ideia; o que vai investigar é se pode raciocinar corretamente pensando em dimensão n com n ≥ 4, visto que essa ideia tem aplicações bem mundanas, por exemplo na estatística, quando trabalha com conjuntos de seis “animais”: homens com 40 anos ou mais, homens com menos de 40 anos e mais do que 12 anos, meninos com 12 anos ou menos; mulheres com 40 anos ou mais, mulheres com menos de 40 anos e mais do que 12 anos, meninas com 12 anos ou menos.

Pode dizer que a situação é perfeitamente clara do ponto de vista algébrico. Se alguém deseja investigar as propriedades de coleções de animais e gostaria de adicionar duas coleções ou de multiplicar uma coleção por um número real, nada o impede de considerar coleções com muitas espécies de animal.

Além disso, você viu certas correspondências entre as coleções com uma espécie, duas, e três com certas figuras geométricas, como um segmento de reta, um trecho do plano, um sólido no espaço. Você pode ensinar um robô alienígena inteligente a encarar um resultado algébrico, como A = B + C, como se fosse o paralelogramo OACB. Mas que vantagem o robô tira disso? Nenhuma! Um robô alienígena não tem experiência com a geometria humana; para ele, a palavra “paralelogramo” tem tanto significado quanto a palavra “beijo”, e o exercício todo lhe parece fútil. Somos nós, humanos, que tiramos benefício da tradução. Você passou muitos anos observando o mundo à sua volta, e pensando nele com a ajuda do vocabulário geométrico que aprendeu a usar na escola; seu cérebro armazenou uma imensa rede de associações entre ideias, que os termos técnicos da geometria evocam. Para você, traduzir a álgebra em geometria traz dois benefícios. Em primeiro lugar, a tradução te permite usar a precisão da álgebra para esboçar desenhos e, mesmo que imperfeitamente, ver os resultados que obteve; foi o que fez com o tijolo agora há pouco. Com as imagens, você dá vida a resultados algébricos, e usa a vividez das imagens para se lembrar dos resultados que obteve; é o caso das figuras 5 e 11, que resumem as ideias mais importantes deste texto. Além disso, com as imagens, é bem possível que consiga pensar melhor sobre a álgebra, e tenha ideias que, olhando somente para a álgebra, não teria.

Você deve achar o jeito geométrico de olhar as equações especialmente útil quando tem de trocar os eixos coordenados. Suponha que tenha trabalhado com um sistema de eixos coordenados, e que já tenha estabelecido vários resultados. Daí, por algum motivo, tem a vontade de trocar o sistema que usou por outro sistema de eixos coordenados. Pode usar os resultados que já obteve ou deve testá-los tudo de novo? Depende da natureza dos resultados que obteve. Se eles expressam o que poderia classificar como “fatos da geometria afim”, ainda valem com o sistema novo; em caso contrário, talvez não valham. Se você prova que um ponto está a meio caminho entre dois pontos, pode ter a certeza de que sua descoberta não vai se alterar com a troca de um sistema de coordenadas por outro. Contudo, se você prova que uma das coordenadas dos pontos com os quais está trabalhando vale sempre zero, talvez essa descoberta deixe de ser válida com a troca de coordenadas.

Por exemplo, considere os pontos F, H, e E na figura 12, e suponha que tenha começado os trabalhos com o sistema de coordenadas que representou com as linhas verdes. Daí F = 2C, H = G + C, E = 2G, e disso pode concluir que H = ½E + ½F, de modo que H é o ponto médio do segmento EF. Esse fato geométrico permanece verdadeiro mesmo que decida trocar o sistema de coordenadas, por exemplo pelo sistema que representou com as linhas rosas. Daí, com as linhas rosas, você tem F para representar 2g + 2c, H para representar 4g + 2c, e E para representar 6g + 2c, e de fato com os novos símbolos pode verificar como H vale ½E + ½F. Contraste isso com as coordenadas de F e de E: com as linhas verdes, F = (0, 2) e E = (2, 0); você pode obter as coordenadas de E ao reverter as de F. Com as linhas rosas, contudo, F = (2, 2) e E = (6, 2). Essa propriedade (“para obter as coordenadas de E, troque de posição as coordenadas de F”) era tão somente um acidente, causado pelo sistema de coordenadas com o qual trabalhou da primeira vez, e não permanece válida com a troca de eixos coordenados.

(Lembrete: ao trocar os eixos coordenados, os pontos permanecem no lugar, isto é, os pontos com os quais está trabalhando permanecem fixados onde estavam. Essa operação é, portanto, diferente de movimentar, comprimir, e esticar os eixos coordenados, como fez na figura 11.)

Existem muitos problemas que te forçarão na direção de estudar espaços com quatro dimensões ou mais. Na álgebra elementar, você usava o gráfico da equação y = x2 para entender as propriedades da própria equação; por exemplo, o fato de que y nunca é negativo. É claro que desenhava o gráfico de y = x2 com duas dimensões, pois tinha de lidar com dois símbolos que não se misturavam, x e y. Mais tarde, no ensino médio, você topou com os números complexos na forma z = x + yi, onde i2 = –1. Se w e z são dois números complexos, com z = x + yi e w = u + vi, daí, para estudar a equação w = z2, você teria de lidar com os quatro números x, y, u, v. Mas desenhar o gráfico dessa equação exigiria o uso de quatro eixos coordenados, isto é, exigiria um espaço de dimensão 4. Se você vivesse num espaço de quatro dimensões, acharia fácil estudar números complexos, pois poderia desenhá-los num gráfico muito naturalmente. Se não tem a possibilidade de desenhá-los a contento, porém, deve achar um modo de pensar sobre eles.

Por tais razões, e por muitas outras, deve achar um jeito geométrico de falar sobre situações nas quais precisa de quatro ou mais números. Então, faça você mesmo como o robô alienígena inteligente: arranje algumas regras para traduzir afirmações algébricas em geométricas. Entre você e o robô, você está na vantagem, pois conhece a aparência de espaços de dimensão 1, 2, e 3. A linguagem geométrica, portanto, estimula sua imaginação; ela sugere analogias. Algumas dessas analogias talvez sejam enganadoras; certas coisas acontecem com dois números, mas talvez não aconteçam com três. Quando em dúvida, você retorna à álgebra, e verifica a correção de seus pensamentos fazendo contas.

Assim, todas as questões de lógica, e todos os passos de uma prova, você deve resolver por meio de álgebra, ou deve resolver por meio de argumentos lógicos a partir de afirmações geométricas que já tenham sido provadas com álgebra.

Numa abordagem completamente lógica, portanto, locuções como “paralelo”, “em linha reta”, “na metade do caminho” apareceriam primeiro como traduções de situações da álgebra. Nos casos particulares de afirmações feitas com uma, duas, ou três dimensões, você conseguiria demonstrar que tais locuções concordam com o significado visual, o que pode ilustrar com papel quadriculado. Por exemplo, no começo deste texto, você viu que C = A + B corresponde aos pontos O, A, B, C no papel quadriculado, e que tais pontos formam um paralelogramo. Você não provou esse resultado; na verdade, não tem como prová-lo, não deve prová-lo, e não precisa prová-lo. A correspondência entre a álgebra de gatos e cães com os desenhos que pôde fazer em papel quadriculado de verdade é um fenômeno do mundo real: você pode estabelecê-lo por meio de experimento, mas nunca por meio de argumento.

É claro que você pode dizer que a geometria euclidiana nos dá ótima noção de como as coisas se comportam na realidade, e ela é, mais ou menos, um sistema lógico. Se quisesse, não poderia provar, recorrendo à geometria euclidiana, que OACB tem de ser um paralelogramo, nem que seja um paralelogramo degenerado? Sim, poderia. Você poderia pegar um, dois, três sistemas distintos de coordenadas, desenhados em papel transparente, poderia colocá-los por cima de um sistema cartesiano ortogonal XOY, e daí poderia usar a geometria euclidiana para ver o que está acontecendo nos outros sistemas. Contudo, a geometria euclidiana é um assunto vastamente mais complicado que as afirmações simples da geometria afim que estudou neste texto. Seu propósito, neste texto, foi o de se colocar no lugar de um robô alienígena inteligente para, começando com as instruções deste texto, e mais umas poucas instruções extras (que verá nos próximos textos desta série sobre álgebra linear), provar todos os teoremas da geometria euclidiana. Seu projeto e sua esperança é terminar com a geometria euclidiana, e não começar com ela.

De fato, a sequência de textos nesta série será mais ou menos assim: comece com a álgebra de gatos e cães (que é este primeiro texto); estude um dicionário por meio do qual pode expressar os resultados que obtiver com gatos e cães na linguagem da geometria afim; estude uns poucos casos de aplicações dessa álgebra e dessa geometria, para ver como é útil; e, mais tarde, acrescente algumas pressuposições extras (isto é, alguns axiomas extras) e deduza logicamente a geometria euclidiana.

Assim, portanto, quando fala de pontos num espaço de cinco dimensões, não está apostando em nenhum tipo novo de fé. Está, mais simplesmente, usando uma linguagem pitoresca, cuja utilidade é sugerir analogias entre a álgebra de n símbolos e a experiência geométrica que você e seus amigos vivem no dia a dia. {FIM}


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{14}/ A resolução dos problemas

§5-1. Tente adivinhar a fórmula para o ponto a um terço do caminho entre K e L, e depois para o ponto a dois terços do caminho. Depois reaproveite o argumento da seção 4 e veja se seu chute foi correto.

Primeiro, adivinhando: o ponto a um terço do caminho é ⅔K + ⅓L, e o ponto a dois terços do caminho é ⅓K + ⅔L.

Agora, provando: divida o segmento de reta entre K e L em três partes iguais, mais ou menos como já fez na figura 8. Daí, para chegar a L em três passos P, você começa em K = K + 0P; avança um passo P para o ponto a um terço do caminho, que é K + P; avança um passo P para o ponto a dois terços do caminho, que é K + 2P; e por fim avança um passo P para chegar ao destino L = K + 3P. Qual é, portanto, o valor de P? Lembre-se de que conhece os valores de K e L.

expr 12

Logo, o ponto a um terço do caminho é K + P = K + ⅓L – ⅓K = (1 – ⅓)K + ⅓L = ⅔K + ⅓L. E, se aplicar um argumento similar ao ponto a dois terços do caminho, deve chegar ao ponto (1 – ⅔)K + ⅔L = ⅓K + ⅔L.


§5-2. Ache a fórmula geral para o ponto a m/n do caminho entre K e L.

Depois do problema §5-1, esse fica fácil. Use a figura 8 como referência. Você traça uma linha reta entre K e L, e a divide em n partes iguais. Daí começa em K = K + 0P. Dá um passo P na direção de L e chega ao ponto K + 1P, que está a 1/n do caminho entre K e L. Dá mais um passo P na direção de L e chega ao ponto K + 2P, que está a 2/n do caminho entre K e L. Dá mais alguns passos P na direção de L e chega ao ponto K + mP, que está a m/n do caminho entre K e L. E por fim dá n passos P na direção de L e chega ao destino, que é o ponto L = K + nP. Qual é o valor de P?

expr 13

O ponto a m/n do caminho entre K e L é o ponto K + mP. Ao substituir P nessa expressão, deve obter o seguinte:

expr 14

Note como, em razão do argumento que acabou de usar, o coeficiente de K e o de L são dois números racionais não negativos cuja soma é 1. Outra coisa: repare como na figura 8, que usou como referência, não há coordenadas. Isso serve para lembrá-lo, como verá outras vezes ao longo desta série, que suas descobertas valem segmentos de reta KL “imersos” em espaços de dimensão n, isto é, para pontos que deve localizar com n coordenadas, ou n animais.

Talvez você já saiba que pode ver qualquer número irracional como sendo o limite de uma sequência infinita de números racionais. Por exemplo, √2 é o limite da sequência 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; etc. (Conforme você multiplica cada racional dessa sequência por si mesmo, vai obtendo produtos cada vez mais próximos de 2.) Partindo dessa ideia, generalize o que acabou de descobrir: para achar as coordenadas de qualquer ponto no segmento de reta KL, use a fórmula xK + yL, na qual x, y são dois números reais não negativos, e x + y = 1. Receita: pense num número real r tal que 0 ≤ r ≤ 1, e daí faça x = 1 – r e y = r. Fazendo dessa forma, o ponto xK + yL faz parte do segmento KL. Caso se sinta inseguro, sempre pode escapar assim: “Vou substituir r por um número racional p tão próximo de r quanto eu queira, e daí sigo adiante normalmente, fazendo contas só com racionais.”