A história como problema, a história como remédio

Tatiana Roque, professora na UFRJ, diz que a história da matemática, da forma como tem sido contada, contribui para criar no estudante e impressão de que ela é algo ao alcance apenas de gênios. Para passar uma imagem mais verdadeira da matemática (que é uma imagem mais agradável), o professor precisa conhecer melhor a verdadeira história.


{1}/ “Desfazendo mitos e lendas”

Em 1998, Tatiana mudou de ideia sobre o que é pesquisar história da matemática. Antes, para ela, historiadores respondiam à pergunta: Como o homem chegou até aqui? [A partir desta linha, para simplificar, vou escrever apenas história no lugar de história da matemática, mas Tatiana usou “história da matemática” durante toda a entrevista.] Durante parte do tempo que passou na França, por conta do doutorado, Tatiana descobriu uma pergunta mais interessante: O que cada personagem da história criou, mas no contexto da época em que vivia? “Não importa se é uma história de sucesso ou não; não importa se contribuiu para nossa matemática atual ou não.”

Até então, ela diz que tinha uma cabeça “muito matemática”. Estava interessada na história dos sistemas dinâmicos (que o leigo conhece por teoria do caos) nos anos 1950, e achou que só teria de consultar a teoria e mais alguns textos atuais. Mudou de ideia na França, porque passou a fazer parte da Rehseis, uma equipe especializada em história e filosofia da ciência. “Fiquei ávida por aquele tipo de conhecimento”, diz Tatiana, “e por isso ia a todos os seminários e grupos de estudo.” Percebeu que a história não é tão linear e certinha quanto pensava, e passou a estudar a vida de matemáticos cada vez mais antigos. Passou a estudar Poincaré e, antes dele, no século 18, Lagrange e Laplace, mas ouviu o conselho do orientador. “Ele me falou assim”, conta Tatiana: “Desse jeito você não vai terminar o doutorado. Comece do Poincaré que já está bom.”

Hoje Tatiana ainda vasculha os escritos de Poincaré, mas sempre pensando no contexto em que ele vivia. Também dá aulas para professores e futuros professores de matemática, e reflete sobre como a história pode ajudar no ensino. Há muito tempo, no entanto, sentia falta de livros em português para usar nas aulas de história, e por isso há tempos preparava seu próprio material. Como resultado, em 2012 publicou o livro História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas.

Matemáticos mencionados

Poincaré: Jules Henri Poincaré (1854-1912), francês.

Lagrange: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), italiano.

Laplace: Pierre Simon, marquês de Laplace (1749-1827), francês.

Viète: François Viète (1540-1603), francês.

Boyer: Carl Benjamin Boyer (1906-1976), americano.

Como surgiu a ideia para o livro?

Tatiana Roque/ Arquivo pessoal

Comecei faz uns sete, oito anos. Eu dava aulas de história, mas não tinha material, porque todos os livros em português eram ultrapassados, publicados há muito tempo e por autores estrangeiros. Esses autores eram matemáticos ou professores com curiosidade pelo assunto, mas não eram especialistas. Desde os anos 1980, a pesquisa em história produziu muito, pois virou uma área de pesquisa científica feita por profissionais e os livros em português não levavam em conta esses anos mais recentes de trabalho. Comecei a escrever as notas de aula usando artigos e uma bibliografia, que não tem em português, e a cada vez que dava o curso aperfeiçoava o material até que quis transformá-lo em livro.

As anotações iniciais viraram dois livros: História da Matemática foi uma proposta para um público mais amplo, feita em conjunto com a editora. Gostei da ideia, porque queria que fosse acessível e que contribuísse para uma visão diferente da matemática. O outro, Tópicos da História da Matemática, fiz em conjunto com um colega e tem um conteúdo mais matemático, com exemplos e exercícios, e é usado como livro didático no Profmat [curso de mestrado profissional da Sociedade Brasileira de Matemática].

No primeiro, achei interessante apresentar o relato tradicional e logo depois desconstruí-lo. Conforme dava aulas na universidade ou em cursos para professores, via certos mitos da história muito arraigados na cabeça das pessoas — mitos reproduzidos sem nenhuma base histórica. Nos cursos de licenciatura que têm história da matemática, quem dava a aula muitas vezes era gente sem treinamento em história. O que esses professores faziam? Pegavam um desses livros ultrapassados, como o do Boyer, e o seguiam. Isso está mudando; hoje já existem especialistas em história dando esse tipo de aula.

Por que a pesquisa em história mudou?

Começou com a história da ciência, a partir dos anos 1970. Thomas Kuhn fez um trabalho marcante com A Estrutura das Revoluções Científicas. Ele dizia que, para estudar a história de uma ciência, não adianta estudar apenas seus conceitos: devemos estudar a forma como a comunidade científica de uma época pensava e se estruturava. Os historiadores da ciência passaram a ter preocupações de caráter social; eles viram que a forma como as pessoas organizam a pesquisa interfere no próprio resultado da produção científica.

Na matemática, a mudança ocorreu mais tarde. Historiadores que vieram da matemática ou de outras áreas começaram a ter contato com essas teorias e viram que não podiam ficar de fora das discussões. Grattam-Guinness, um historiador da matemática, fala sobre a diferença entre história e herança. A história feita por matemáticos adota o ponto de vista da herança, ou seja, como chegamos até aqui. Estudam um conceito matemático e investigam como chegou até hoje, o que em geral são histórias de sucesso. Já a pergunta do historiador é outra: O que as pessoas desenvolveram num determinado tempo a partir do contexto em que viviam? Não importa se é uma história de sucesso ou se contribuiu para nossa matemática atual.

O que mais te marcou nesse trabalho?

Fiquei muito emocionada ao ver como, por preconceito, a história europeia criou uma imagem deturpada da matemática árabe. Foi uma maneira de criar uma divisão ocidente/oriente que tem consequências até hoje. Tem um grupo muito grande na França reescrevendo a história da matemática e um dos pesquisadores, de origem árabe, diz uma coisa bonita: o simbolismo algébrico e a álgebra fizeram parte do renascimento, na idade média, graças ao esforço conjunto de muitos povos e países: os países do Magreb, os países do mediterrâneo, outros países europeus, além dos matemáticos judeus. Ele diz que reescrever a história desse período poderia dar um sentimento de cidadania mediterrânea. Talvez isso ajudasse as pessoas a superar sentimentos de hostilidade, algo perceptível na França, onde moradores magrebinos são discriminados. Ou seja, franceses e magrebinos poderiam se ver como o mesmo povo, no sentido da produção do conhecimento.

Na história tradicional, a matemática árabe é vista como um período de transição, na qual os árabes traduziam e difundiam o conhecimento grego para que depois matemáticos europeus pudessem de novo desenvolvê-lo. No livro, mostro que isso não é verdade, e que essa versão não reconhece a produção original dos árabes. Na época de ouro do islã, mais ou menos entre o século 8 e o 12, a relação entre a pesquisa científica e a religião era bem diferente do que imaginamos; era bem diferente da relação que mantemos hoje. A religião não se opunha ao desenvolvimento da ciência, que era vista como um serviço a Deus.

Por que pesquisar história da matemática?

Para mudar a imagem que as pessoas têm da matemática, acho a história fundamental. A história tradicional não foi a única responsável, mas contribuiu para que as pessoas vissem a matemática como uma ciência abstrata, cheia de conceitos prontos e acabados, e ao alcance apenas de gênios. Isso faz com que as pessoas, primeiro, não a entendam; segundo, não gostem dela; e, terceiro, tenham uma visão mitificada da matemática. Muitas vezes falo para meus amigos que sou matemática e eles dizem:

“Ah, eu sou péssimo em matemática!”

Isso faz parte dessa imagem. A gente não sabe os problemas que geraram os resultados, só estudamos esses resultados já prontos. Na educação básica é pior ainda, porque as pessoas só estudam ferramentas, uma linguagem que não sabem para que serve. Por outro lado, quando demandam que aquilo sirva para alguma coisa, pensam apenas no mundo concreto. Mas não é isso: a matemática pode servir para propósitos internos, da própria matemática.

Esquema de composição de funções/ Wikipedia

E como a história pode ajudar no ensino?

Por exemplo, no ensino básico os alunos veem o conceito de função primeiro a partir da definição de conjuntos.  [Como nas figuras acima.] Depois, deixam essa definição de lado e veem exemplos de funções afins e quadráticas, com exemplos de retas e parábolas. Qual a relação das funções afins e quadráticas com a definição de função em termos de conjuntos? O aluno não entende.

O que acontece é o seguinte (olha que loucura): a noção de função como variação vem do século 16 ou 17, com o estudo de curvas e trajetórias. A história toda é complicadíssima, passou pela legitimidade das técnicas do cálculo infinitesimal, com Leibniz e Newton. Depois os matemáticos do século 18 as consideraram ilegítimas e propuseram a definição de função como expressão analítica. [Grosso modo, uma “expressão analítica” é uma fórmula matemática usual, em que as variáveis são números reais ou complexos.] Então os matemáticos, no fim do século 18 e no início do 19, começaram a se perguntar quando uma função qualquer é expressa como uma série trigonométrica [as séries de Fourier]. Para isso Dirichlet precisou definir função como um tipo específico de relação em que as variáveis têm de satisfazer certas condições, como: um elemento do domínio não pode se associar a mais de um elemento no contradomínio. Depois Cantor e Dedekind criaram a definição dos números reais e de conjuntos, e só aí Bourbaki [pseudônimo de um grupo de matemáticos] se dedicou ao projeto de fundamentar a matemática com base na definição moderna de conjuntos.

Como quer que o aluno do ensino médio entenda o porquê dessa definição de função? Você pode explicar toda a história para ele? Não, porque passa por teorias que ele não estuda. Para mim, ela é dispensável. O aluno tem de ver a função como variação, e então estudar uma riqueza maior de funções, não só as de R em R, nem só a afim e a quadrática. Nesse caso, a história ajuda não para ensiná-la aos alunos, mas para o professor entender melhor as dificuldades que eles têm. Gosto muito da frase de um filósofo: a ordem da exposição inverte a ordem da invenção. Não é sempre, mas é fato que muitas vezes os alunos têm dificuldade por causa dessa inversão, e a história pode ajudar até para repensar o currículo do ensino.

Futuros matemáticos também devem estudar a história?

Eu acho que sim. Não sei se a história da matemática toda, mas pelo menos a de sua área de interesse. O matemático não precisa saber toda a história para se interessar ou se motivar, mas para conhecer os problemas e como se desenvolveram. A pesquisa matemática é muito especializada e com a história ele vê melhor a relação entre uma área e outra com a qual normalmente não teria contato, assim tem uma ideia melhor do objeto que está estudando. Tanto é que todo matemático bom de verdade conhece um pouco da história de seu campo e sabe que isso pode ajudar. Às vezes, não consegue resolver um problema com certa teoria, mas usa outra na qual não tinha pensado antes. E se vai demonstrar um teorema realmente importante, em geral, precisa de um conhecimento muito mais amplo da matemática, não só de sua área.

Sente falta de fazer matemática?

Nenhuma. Eu fiz mestrado em matemática e disciplinas de matemática no doutorado, mas durante esse tempo vi que me interessava mais em saber como aquelas ideias se desenvolveram que em usá-las para provar teoremas. Já me disseram que isso não é matemática, o que acho estranho, porque matemática não devia ser só demonstrar teorema. Estudar o desenvolvimento das teorias também pode ser considerado matemática.

Faço história para ver que a matemática também é algo que não parece ser. Para vê-la como uma multiplicidade de práticas e não como a rainha das ciências ou como algo linear. A imagem de que toda a história do desenvolvimento colaborou para torná-la essa ciência rigorosa edificada sobre bases sólidas não me agrada nenhum pouco. Existem muitas práticas matemáticas, algumas de sucesso, outras não. Algumas permaneceram no tempo e outras não; as que permaneceram não eram necessariamente melhores, e as que não permaneceram não eram necessariamente piores. A matemática é uma prática humana de idas e vindas, erros e acertos. Acho essa ideia muito mais fascinante do que a do edifício coerente. {}



{2}/ Equação de 2º grau sem polinômios

No ensino fundamental, os alunos costumam estudar equações polinomiais de 2º grau aplicando a fórmula da equação quadrática (conhecida também como fórmula de Bháskara). Se y = ax2 + bx + c, equação na qual a, b, c são números reais (ou, em contextos mais sofisticados, são números complexos), daí o estudante pode achar as raízes da equação com:

Tatiana diz que o professor faz bem se usar em aula a história desses símbolos. O aluno não sabe que, por muitos séculos, os matemáticos resolviam equações apenas com palavras. Depois, passaram a usar símbolos só para as incógnitas. A fórmula acima só pôde surgir quando tiveram a ideia de usar símbolos também para os coeficientes a, b, c do polinômio de segundo grau. Com essa história, diz Tatiana, o aluno vê que os símbolos nem sempre são do mesmo tipo. Por exemplo, na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c, x são símbolos, mas têm características e nomes diferentes, isto é:

x é a incógnita, ou seja, é desconhecido, mas pode ser encontrado com a fórmula da equação quadrática;

a, b, c são os coeficientes e não podem ser encontrados a partir da fórmula. Cada conjunto de valores para a, b, c, com a ≠ 0, determina uma única equação no universo de todas as equações quadráticas.

Matemáticos usavam vários métodos do tipo passo a passo para resolver tais equações até que, no século 16, Viète propôs a fórmula que todos conhecem hoje. Para Tatiana, quando o aluno estuda outras formas de resolver equações, ele se livra da fórmula — o que é bom, pois fórmulas deixam a matéria maçante e sem sentido. “Se o aluno vê o conhecimento inserido num contexto, entende a diferença entre incógnita e coeficiente e vê que há muito mais envolvido do que somente aplicar a fórmula e resolver a equação.” Por anos, matemáticos geniais resolviam equações sem fórmulas; recorriam a métodos interessantíssimos. Ela mostra em seu livro o método geométrico descrito por Al-Khwarizmi (séc. 9 d.C.) para resolver a equação que hoje o aluno descreveria como x2 + 10x = 39. Al-Khwarizmi explica a resolução com palavras e diz para o leitor pensá-la como quadrados de lados desconhecidos.

Primeiro, o aluno desenha um quadrado com diagonal AB, cuja área representa o quadrado da incógnita, isto é, x2. (Veja a figura abaixo.) Depois constrói em dois lados adjacentes do quadrado retângulos de lados iguais à metade de 10, ou seja, a metade do coeficiente b. A soma da área de cada uma das três figuras é 39, ou nos termos de hoje: x2 + 10x = 39. Em seguida, completa a figura com um quadrado de mesmo lado que os retângulos, ou seja, com área igual a 25. A área total da figura é 39 + 25 = 64 e seus lados medem 8; assim, o leitor subtrai 5 de 8 e chega ao x da questão: x = 3. Na resolução, considera apenas a raiz positiva; afinal, as figuras têm comprimentos e áreas maiores que zero. (O estudo de comprimentos e áreas iguais a zero, ou negativos, é mais recente.)

 

Hoje o leitor resolve a mesma equação com a fórmula quadrática. Primeiro, deve colocá-la na forma canônica: x2 + 10x 39 = 0. Então, usa os coeficientes e a fórmula para achar a raiz positiva.

Bháskara não inventou tal fórmula; em seu tempo não havia esse simbolismo algébrico. Se ela não é de Bhaskara, é de quem? Tatiana diz que essa é a típica pergunta a ser desconstruída e responde: não é de ninguém. Sua história transcorre ao longo de vários séculos, e os historiadores não têm como reconstruí-la para apontar quem a inventou. “O importante aqui não é só dizer que não é de Bhaskara, mas dizer que a pergunta ‘De quem é?’ não é uma boa pergunta.” {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 31, agosto de 2013, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi feita pela jornalista Mariana Osone, que também ficou a cargo da primeira versão do texto.

3. Se você costuma ler textos de matemática em inglês, atenção a uma diferença importante de nomenclatura entre inglês e português: “função afim”, em português, é “linear function”, em inglês; mas “função linear”, em português, é a função afim que passa pela origem. Dizendo isso de outra forma, pode chamar a função afim f : R R cuja fórmula é y = f(x) = mx + k de “função linear” apenas quando f(0) = 0 e, consequentemente, k = 0. Contudo, visto que matemáticos e professores de matemática estão sempre lendo alguma coisa em inglês, é comum ouvir um deles dizer “função linear” para se referir a uma função afim na qual k ≠ 0.

Uma função afim (em vermelho) e uma linear (em verde)

4. Há outras entrevistas neste blogue com especialistas em história da matemática: Os mesopotâmicos sabiam mais do que imaginávamos, O teorema de Pitágoras não é de Pitágoras, e Conheça a história da matemática, mas pense bem antes de usá-la.

5. Pode obter mais informações sobre o livro de Tatiana Roque aqui, no website da editora.

Somos todos umas bestas quadradas

Uma vez, o matemático americano Paul Zeitz definiu um matemático assim: é o sujeito que aprendeu a ter coragem diante da própria estupidez. Para aprender essa coragem, ele precisa resolver problemas. No Brasil, contudo, várias escolas deixam os problemas para atividades extraclasse, de modo que só uma parcela dos alunos chega à vida adulta sabendo o que é, de verdade, a matemática.


{1}/ Prólogo: uma lista com 13 problemas

Tente resolvê-los antes de ler o resto da matéria. Se fizer isso, ela ficará dez vezes mais agradável.

Problema número

Enunciado

Professor

1

Com quais padrões geométricos você pode pavimentar o chão? (Em termos mais técnicos: com quais polígonos pode tesselar o plano?)

Lilian Spalding

2

Como pode achar o ponto no centro de um círculo usando apenas o compasso? (Não vale usar a régua!)

José Luiz Pastore Mello

3

Pense num número inteiro positivo. Se for par, divida por 2 (n vira n/2). Se for ímpar, multiplique por 3 e adicione 1 (n vira 3n + 1). Com o resultado, repita o algoritmo. Pare quando chegar ao número 1. Todo número inteiro positivo sempre chega ao número 1?

Idem

4

Pegue duas folhas de papel A4, e com cada uma delas monte um cilindro: monte um dos cilindros juntando os lados mais compridos de uma das folhas e o outro juntando os lados mais curtos. Cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros?

Walter Spinelli

5

Imagine um queijo de minas inteiro. Como pode dividir o queijo em oito partes iguais com apenas três cortes?

Vincenzo Bongiovanni

6

Veja o desenho a seguir, no qual r e s são retas paralelas. Mostre seis jeitos distintos de calcular a medida do ângulo representado pela letra x.

Idem

7

Um homem tem 1 metro e 80 centímetros de altura e está à beira do mar, olhando para aquele ponto do horizonte no qual parece que o mar vira céu e o céu vira mar. Quão longe está essa linha do horizonte? (Suponha o raio da Terra com 6.367 quilômetros.)

Idem

8

Uma formiga mora na superfície de um cubo maciço com aresta de 1 metro. Para ir do vértice G ao vértice oposto A, a formiga vai percorrer qual distância mínima?

Idem

9

Um matemático perguntou a uma mulher qual era a idade de seus três filhos. Sabendo que ele era matemático, a mulher não facilitou:

“Multiplique a idade dos três e obterá 36.”

Ele pensou um pouco.

“É impossível dizer a idade deles.”

A mulher deu mais uma dica:

“Some a idade dos três. A soma é o número dessa casa aí em frente.”

O matemático olhou o número da casa em frente e sacudiu a cabeça:

“Ainda é impossível.”

“Meu filho mais velho toca piano.”

O matemático sorriu e disse a idade dos três.

Idem

10

Como você pode montar quatro triângulos com apenas seis palitos de fósforo? (Não vale quebrar nenhum palito!)

Idem

11

Você ganhou um velho quebra-cabeça de 300 peças. Elas vieram num tubo de papelão, pois a caixa original já não existe mais, de modo que não sabe que imagem o quebra-cabeça formará. Mas você gostaria de saber se todas as peças das bordas estão no tubo, pois gosta de montar quebra-cabeças primeiro pelas bordas. Quantas peças de borda deveria haver dentro do tubo?

Mike Askew e Rob Eastaway

12

Um pescador quer chegar à beira do rio. Numa bifurcação, não sabe se deve ir à direita ou à esquerda. Na bifurcação, há dois homens debaixo dum cartaz onde se lê: “Um desses homens sempre diz a verdade e o outro sempre mente.” Que pergunta deveria fazer, e para qual deles, de modo que saiba qual lado da bifurcação o levará à beira do rio?

Eugênio Benito Júnior

13

Você acabou de conhecer um sujeito numa festa e descobriu que ele tem duas crianças, e que ao menos uma delas é uma menina. Qual é a probabilidade de que ambas sejam meninas?

Leandro Fiorini Aurichi



{2}/ Coragem, estúpido!

Muito matemático diz que “fazer matemática” significa “resolver problemas”. Depois da afirmação, ele em geral gasta um tempinho ajudando o interlocutor a distinguir entre “fazer exercícios” e “resolver problemas”: ao fazer um exercício, o estudante já sabe que técnica deve usar para obter a resposta (deve usar a técnica que acabou de estudar); ao resolver um problema, mal sabe por onde começar. “Os problemas são o coração da matemática”, disse uma vez o matemático húngaro-americano Paul Halmos, “de modo que deveríamos enfatizá-los durante as aulas, os seminários, os artigos, os livros; temos de ajudar nossos alunos a propor problemas a si mesmos, e a resolvê-los, melhor do que nós já fizemos.” Uma vez, o matemático americano Paul Zeitz deu uma palestra para alunos do nono ano, e o título de sua palestra, que ele escreveu na lousa com letras enormes, era ESTÚPIDO. “O matemático”, disse Zeitz às crianças, “é o sujeito que aprendeu a ter coragem diante da própria estupidez.” Mas vá o estudante (vamos chamá-lo de TVt) conversar com professores de matemática Brasil afora, e descobrirá que, em quase toda escola do ensino básico, uma parte dos estudantes só resolve problemas depois das aulas de matemática — raramente durante as aulas.

Walter Spinelli, professor de matemática há 41 anos, gosta de propor o seguinte problema a alunos do nono ano: pegue duas folhas de papel A4 e construa com cada uma delas um cilindro; construa um deles juntando os dois lados maiores, e o outro juntando os dois lados menores. Se fosse encher cada cilindro com arroz, em qual deles caberia mais arroz? “Em 80% dos casos”, diz Walter, “antes de fazer as contas a classe diz que cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros.” Mas daí os alunos fazem as contas, e ficam surpresos: cabe 41% mais arroz no cilindro mais baixo. (A resolução dos problemas na seção 1 está na seção 3 mais abaixo.) Isso ainda não é um problema: o professor fez uma pergunta simples, os alunos conheciam as fórmulas que teriam de usar, e fizeram as contas para obter a informação pedida pelo professor. O problema vem em seguida, quando Walter desafia a classe a explicar por que isso acontece. Eles levam um tempo para pôr os motivos em palavras: no cálculo do volume do cilindro, a área da base tem uma influência bem maior que a altura, de modo que, ao aumentar um pouco a altura do cilindro, o estudante aumenta o volume só um pouco; porém, ao aumentar um pouco a área da base, aumenta o volume muito mais.

Embora Walter goste de propor problemas, e de resolvê-los, reconhece que está cada vez mais difícil propô-los durante as aulas — e isso vale tanto para escolas públicas quanto particulares. (Ele conhece bem os dois ambientes: é autor de livros didáticos e dá consultoria pedagógica.) “Nos sistemas de ensino baseados em apostilas, que são a maioria, o professor quase não tem autonomia. Para propor um problema por semestre, tem de brigar, e se de fato propõe dois problemas por ano, é um herói.” Como outros professores em outras cidades, Walter usa a internet para instigar seus alunos a resolver problemas (por exemplo, posta problemas e oferece algum benefício a quem se dispõe a resolvê-los). Também organiza grupos do tipo “clube de matemática”. E também estimula um aluno mais interessado a trabalhar num projeto do tipo “iniciação científica”, no qual o aluno usa a matemática para estudar um assunto tão completamente quanto puder. Seja como for, nos três casos a matemática de verdade fica para as horas de folga.

Fazendo assim, a escola cria dois conjuntos de alunos. Um delas contém aqueles que saem da escola sem nunca ter resolvido um problema de matemática real — TVt chamou esse conjunto de Ξ, da letra grega xi, pois pensou assim: “Xiii, mas que azar!” O outro contém aqueles que sairão tendo resolvido alguns — esse é o conjunto Σ, sigma, pois não se assusta à mera visão de um Σ. Esse modelo tem algumas vantagens, mas, antes de examiná-las, TVt gastou um tempinho examinando as desvantagens.

O cenário. As aulas transcorrem no estilo “exposição da teoria seguida de exercícios”. Os exercícios batem direitinho com a teoria, isto é, basta ao aluno aplicar a teoria recém-exposta para resolvê-los. Alguns desses exercícios são questões de vestibular ou de provas similares, como o Enem. Os exercícios mais contextualizados, que parecem retirados de situações reais, soam artificiais, quando não soam absurdos. O aluno com maior aptidão para a matemática raramente gasta uma hora com um exercício difícil. O aluno criativo e estudioso vai bem nas provas; o aluno mala sem alça e estudioso também vai. Um aluno estudioso consegue resolver todos os exercícios, sem exceção.

Uma lista pequena de consequências desse cenário é:

Sabe-tudo. O aluno não questiona o que sabe, pois sempre sabe o suficiente para resolver a lista de exercícios. Quando os alunos de Walter Spinelli ficam surpresos ao descobrir que não cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros de papel A4, embora tenham usado a mesma quantidade de matéria-prima para construí-los, eles questionam o que sabem sobre o volume de sólidos.

Robô imbecil. Como o aluno toda vida segue procedimentos para resolver exercícios em menos de uma hora, muitos dos quais lembram caricaturas absurdas de situações reais, sai da escola com a ideia de que a matemática é isso: ela serve para gente que não se importa de seguir regras estritas à risca para resolver problemas referentes a situações reais ridiculamente distorcidas. Que aplicação prática uma matéria dessas pode ter? Quem quer estudar um negócio desses na faculdade?

Esquecível. Como o aluno Ξ resolve a lista de exercícios rapidinho, pode esquecer completamente a matemática assim que fecha o livro e o caderno. “Isso não acontece com quem está resolvendo um problema”, diz Lilian Spalding Degani, professora de matemática na Escola Vera Cruz em São Paulo (SP). “Em geral, o aluno não consegue resolver um bom problema num único dia. O problema fica lá, cutucando, um dia, dois dias, uma semana. Enquanto o problema cutuca, o aluno faz matemática, esteja ou não esteja na escola.”

Prazer enorme. Depois de pensar um pouco sobre tudo o que ouviu dos professores, TVt chegou à conclusão de que a principal vantagem do modelo “os problemas ficam para depois da aula” é que, desse jeito, nenhum aluno pega raiva dos problemas, nem o aluno Ξ nem o Σ. Quanto ao aluno Σ, ocorre o contrário: ele resolve problemas pelo mesmo motivo que os matemáticos os resolvem e do mesmo jeito — porque gosta e sem pressa. Poincaré, o famoso matemático francês, uma vez disse algo assim: “Um cientista que mereça esse título, e sobretudo um matemático, vive seu trabalho da mesma forma que um artista: seu prazer é enorme e da mesma natureza.” (Nenhum pintor produz uma natureza-morta em uma hora, a não ser que banque o moderno.) Em 1970, o matemático húngaro Alfréd Rényi disse algo na mesma linha: “Se me sinto triste, faço matemática para ficar alegre. Se me sinto alegre, faço matemática para permanecer alegre.” (Para ele, fazer matemática significava resolver problemas.) Bem, dessa principal vantagem o aluno Σ extrai várias outras, que TVt listou na melhor ordem em que pôde pensar.

(1) Livrar-se de obsessões. Em 2012, o professor Vincenzo Bongiovanni organizou um grupo de alunos do ensino médio, que se encontrava toda semana para resolver problemas. (Hoje ele é professor de matemática na Universidade Bandeirantes de São Paulo.) Num desses encontros, Vincenzo apresentou o desenho mostrado no problema 6. Explicou então o que queria:

“Considerem r e s como sendo retas paralelas. E daí determinem a medida do ângulo representado pela letra x.”

Até aqui, isso não é um problema, mas um mero exercício de fixação. Então Vincenzo deu um viés de problema ao exercício:

“Cada um de vocês deve descobrir seis maneiras distintas pelas quais achar a medida de x.”

Com esse problema, Vincenzo quis mostrar a seus alunos que nem sempre existe uma única solução para cada problema. “Na escola básica, o aluno tende a acreditar que a solução certa de um problema é aquela apresentada pelo professor.” Essa crença é tão forte que, às vezes, um aluno Ξ chega à solução de um problema, mas a rotula de “errada” apenas porque é diferente da solução explicada pelo professor. “Eu pedi seis soluções, mas esse problema admite outras.”

Ainda no capítulo “há vários jeitos de resolver um problema”, Vincenzo gosta de apresentar os problemas 5 e 10. Para resolver o problema dos palitos, quase sempre os alunos põem os palitos sobre a mesa e os movem de tudo quanto é jeito imaginável. A história sempre é a mesma: de repente um deles chama a atenção dos outros com um berro, e mostra sobre a mesa um tetraedro regular. “Esse problema só pode ser resolvido quando o aluno sai da dimensão dois e pula para a três. Ele só tem um defeito: quando um dos alunos descobre a solução, não tem como esperar que os outros a descubram sozinhos.” Para resolver o problema do queijo, o aluno segue a mesma estratégia: só consegue resolvê-lo quando para de ficar desenhando círculos cortados com três linhas, e desenha um cilindro dividido com dois cortes verticais e um horizontal. Aliás, quando o professor apresenta um desses dois problemas logo depois do outro, em geral os alunos acham a solução do segundo mais fácil, pois já sacaram que não devem ficar obcecados por uma dimensão.

(2) Energizar a criatividade. Poucos sabem toda a matemática que deveriam saber na sua idade, e por mil razões: ficaram doentes e faltaram uns dias, houve uma greve de professores, trocaram de escola. Junte a isso a mania que o brasileiro tem de achar que só pode estudar matemática sob a supervisão de um professor (mas jamais sozinho) e pronto: o que esse sujeito Ξ não sabe, não sabe, e não vai estudar por conta própria. Um bom problema, diz Eugênio Benito Júnior, professor no Centro Universitário Salesiano de São Paulo, tem o poder de dar ao estudante energia para ir atrás de estudar o que deveria saber — e até mais.

Eugênio dá aulas no primeiro ano dos cursos de engenharia e lida com muitos alunos que não sabem o conteúdo do ensino básico. Usa os problemas para animá-los. (Eugênio diz que esse truque não funciona com todo mundo, mas funciona com muitos.) A questão é que o aluno animado por um problema, mas que se sente ligeiramente menor que o problema, fica com uma consciência mais clara das falhas na própria formação. (Se o aluno se sente esmagado pelo problema, desiste sem peso na consciência.)

Conforme ajuda seus alunos a recuperar o passo, percebe que vários deles têm dificuldade para usar a imaginação. Não têm prática. Contudo, ao estudar matemática, o jovem Σ precisa da imaginação para criar ou convocar imagens e cenas vívidas. “Eu sempre dou um toque”, diz Eugênio, “e digo que eles devem recuperar a atitude de quando eram moleques, e brincavam de caubói e de astronauta. Essa capacidade de fantasiar e de brincar é fundamental para quem deseja aprender matemática.” Eugênio até pede a seus alunos que leiam mais romances: um jovem Σ precisa partir das palavras e criar sozinho um cenário mental no qual os personagens agem e interagem. “Ele não pode permitir que essas imagens mentais lhe sejam exclusivamente fornecidas pela TV.”

(3) Perder o medo de se arriscar. O estudante Ξ, que só resolve exercícios, conclui o ensino básico com a falsa impressão de que a matemática escolar é suficiente para todo tipo de problema matemático, diz Lilian Spalding. Isso porque é suficiente para resolver todos os exercícios do livro didático e todas as questões dos vestibulares. Lilian acha que, diante de um problema bem sacado (como o problema 1, o do ladrilhamento do plano), o estudante faz uma pergunta, que responde, e mais outra, que responde — e por fim faz uma pergunta que não consegue responder. Sua matemática não é mais suficiente. E daí vai conversar com a professora Lilian para saber por que sua matemática é pequena diante do problema. “Ai, eu brinco com ele”, diz Lilian, “e digo que um dos objetivos do problema não era chegar a todas as respostas, mas chegar a uma situação para a qual ele claramente não pode achar a resposta. Eu quero fazer o aluno entender que ele sabe matemática o suficiente para entender o problema, para conversar sobre ele, mas não para resolvê-lo por completo. Nesse ponto, é hora de criar mais matemática, é hora de estudar mais.”

Para propor um problema com essa virtude, diz Lilian, o professor tem de se arriscar: tais problemas são aqueles que geram perguntas muitas das quais nem o professor conhece a resposta. “Não pode ser um problema falso. Não pode ser um problema cujas respostas o professor já conheça todas de antemão. Eu não me importo de propor problemas assim, pois acho que não saber o fim da história é uma coisa boa.”

(4) Ganhar a capacidade de se divertir. Quem se acostumou a resolver problemas, vê problemas em todo lugar. Muitos matemáticos dizem isso, e José Luiz Pastore Mello também. (Pastore dá aulas no Colégio Santa Cruz, em São Paulo, e é autor de livros didáticos.) Uma vez, enquanto dava uma aula de trigonometria para uma turma de ensino médio, foi desenhar um círculo na lousa e o compasso escapou. Como já havia feito parte do desenho, não quis apagá-lo e recomeçar — procurou o centro do círculo, mas o compasso não havia deixado marca. “Na hora me lembrei de um problema matemático famoso”, diz Pastore, “que é o problema de achar o centro da circunferência só com o compasso.” (Sobre as palavras “círculo” e “circunferência”, veja a nota logo depois deste parágrafo.) Pastore comentou o problema com a classe e a aula acabou: todo mundo quis tentar resolvê-lo. “A primeira reação deles foi que o problema era fácil. Começaram a me descrever o processo de achar o centro por meio de mediatrizes, que é um processo com régua e compasso, mas tive de interrompê-los: o problema é achar o centro sem a régua — só com o compasso.” Pastore diz que a turma ficou semanas atrás dele; um dia, revelou o nome dos matemáticos que resolveram esse problema, e ela foi atrás. (A solução é consequência do teorema Mohr-Mascheroni.) “Eles acharam um website na Itália e, a partir dele, montaram uma demonstração. Esse tipo de problema, mais aberto, costuma pegar muito.”

Círculo e circunferência. Neste blogue Imaginário Puro, adoto o padrão comum em artigos científicos atuais: círculo é o lugar geométrico (cuja equação é (xa)2 + (yb)2 = r2, onde r é o raio e a e b são as coordenadas do centro) e circunferência é um número real que denota a medida do comprimento associado ao lugar geométrico. Mas muitos professores brasileiros preferem circunferência para denotar o círculo, e comprimento da circunferência para denotar o número real.

Pastore diz ainda que um problema tem outra virtude: ele faz com que o aluno, especialmente o jovem no ensino médio, pare de valorizar a matemática apenas pelo lado utilitário. “Ele vê a matemática como algo para se dar bem na vida, para se dar bem no mundo do trabalho.” Quem seria capaz de ver a beleza da literatura se encarasse a literatura apenas como um passo importante para escrever bons relatórios de vendas, ou para formatar o currículo? Pouquíssima gente, e o mesmo ocorre com a matemática, diz Pastore: quem vê somente o lado utilitário não vê a beleza.

Às vezes, ele menciona um problema com o objetivo explícito de suscitar a sensação de beleza: a conjectura de Collatz, que funciona com crianças no ensino fundamental e com adolescentes no ensino médio. “Pense num número natural qualquer”, diz Pastore. “Se esse número for par, divida por dois. Se for ímpar, multiplique por três e some mais um. E daí recomece o processo a partir do resultado, mas pare quando chegar a 1.” Por exemplo, 23:

(23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

É bom parar em 1 porque, depois de 1, o algoritmo produz sempre os mesmos resultados: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … Outro exemplo: 25.

(25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

Em 1937, o matemático alemão Lothar Collatz propôs a seguinte conjectura: não importa com qual inteiro positivo o estudante comece o processo, chegará a 1 depois de um número finito de passos. “Isso é curiosíssimo”, diz Pastore. “A primeira coisa que acontece, quando o aluno ouve falar desse problema pela primeira vez, é testar a conjectura para vários números.” Especialistas em computação usam a conjectura para ver se redes de computadores e computadores de grande porte estão funcionando corretamente: as máquinas novas têm de obter os mesmos resultados obtidos até hoje — por enquanto, tais especialistas viram que a conjectura vale para todos os inteiros positivos iguais a ou menores que 5 ∙ 260. Alguns números terminam em 1 depois de uma sequência curta de passos; outros, depois de uma sequência longa. O número 9.780.657.630, por exemplo, termina em 1 depois de 1.132 passos.

“Esse problema contém muitas sutilezas fascinantes”, diz Pastore. “Por exemplo: se o número é par, eu o divido por dois, então ele diminui; se é ímpar, eu o multiplico por três, e adiciono mais uma unidade, então ele aumenta. À primeira vista, alguém pode dizer que a sequência aumenta, porque os aumentos são mais fortes que as diminuições. Contudo, eu realizo mais operações com números pares que com ímpares. Dá para discutir os porquês disso em sala de aula.”

Os estudantes não vão demonstrar a conjectura de Collatz, pois ela é um problema em aberto na matemática, e dos difíceis. (Talvez seja um problema mais difícil que o último teorema de Fermat.) Mas eles podem explorar algumas características do problema, e podem entrar na faculdade com pelo menos um problema em aberto na cabeça. “Eu menciono a conjectura de Collatz porque os alunos têm ferramentas matemáticas para se aproximar do problema”, diz Pastore. “Isso é importante. Não adianta nada, por exemplo, mencionar a hipótese de Riemann. É um problema distante demais do jovem no ensino básico. O aluno não consegue ver nenhuma beleza nele, porque fica paralisado com os detalhes técnicos.”

Mike Askew e Rob Eastaway, dois autores ingleses, dizem que um sujeito do tipo Σ resolve um problema de matemática sem nem perceber que resolveu um problema de matemática. Para ilustrar essa afirmação, contam uma história real, que aconteceu com uma garota de 12 anos chamada Amy. (Veja o problema 11.)

Amy ganhou de presente um velho quebra-cabeça com 300 peças, mas as peças não estavam mais na caixa original, e sim num tubo de papelão, de modo que ela não tinha como ver uma foto do quebra-cabeça montado. Ela jogou as peças sobre o tapete e começou a separar as peças das bordas. Contudo, achou que havia menos peças de borda do que deveria haver para um quebra-cabeça com 300 peças, e se perguntou se havia peças perdidas. Contou as peças das bordas, mas percebeu que não tinha com o que comparar.

Quantas peças de borda deveria haver num quebra-cabeça com 300 peças?

Amy resolveu esse problema (a solução está na seção 3 a seguir), mas, para quem a olhava de longe, como um dos autores a olhava, ela foi pensando e tomando notas sem perceber que resolvia um problema de matemática. Mike e Rob dizem que isso é muito bom, mas que tem um lado negativo: quando um sujeito não consegue entender um problema de matemática, ou consegue entendê-lo mas não resolvê-lo, fica com plena consciência de que falhou na matemática; quando consegue resolver um problema, tende a achar que tão somente usou o bom senso. Fazendo assim, o bom senso ganha todos os méritos e a matemática não ganha nenhum. “A vida não nos aparece e diz: Olá, eu sou um problema de matemática com uma solução inteira positiva bem fácil de calcular à mão”, dizem os autores. “Às vezes, nem fica óbvio que estamos diante dum problema de matemática.” O estudante Σ deve combater esse aspecto negativo da capacidade de resolver problemas — fazendo força para tornar óbvio o papel da matemática. {}



{3}/ A resolução dos 13 problemas

Problema 1. Lilian Spalding diz que esse problema pode ser apresentado do primeiro ano do ensino fundamental ao último do ensino médio — cada aluno consegue dar algum tipo de resposta, mesmo que seja simples. Os que já sabem usar a régua e o compasso podem demonstrar como alguém constrói, com régua e compasso, a tesselagem. Os que já conseguem transformar geometria em álgebra podem dar respostas mais genéricas. “No final, todas as soluções convergem com a intermediação do professor. Mas esse é um projeto para várias semanas.”

A parte difícil na resolução desse problema nem é tanto demonstrar que as figuras geométricas se encaixam, mas que elas se espalham em todas as direções e cobrem o plano completamente, sem que nenhuma figura se sobreponha a nenhuma outra.

Problema 2. Esse é um problema complicado; poucos alunos conseguem resolvê-lo sozinhos. Muitos, contudo, entram na internet, acham a construção em questão e conseguem entender por que ela funciona. A construção está na figura 1.

O professor pode dar as instruções: “(1) Marque dois pontos A e B em qualquer lugar do círculo cujo centro quer achar; deixe A e B meio longe um do outro, mas não muito longe. (2) Com a ponta seca do compasso em A, faça um círculo de raio AB. (3) Com a ponta seca do compasso em B, faça um círculo de raio BA. (4) Com a ponta seca em C, faça um círculo de raio CA. (5) Com a ponta seca em D, faça um círculo de raio DA. (6) Com a ponta seca em E, faça um círculo de raio EA. (7) Com a ponta seca em F, faça o círculo de raio FA.” Feio isso, aí o professor pode desafiar a classe: “Prove que o ponto G é o centro que procurava.” Uma vez que a construção já esteja feita, o estudante de ensino médio consegue produzir uma prova; se recorre ao apoio de um plano cartesiano, produz até uma prova algébrica. (Em resumo, ele terá de provar que as distâncias AG e BG são idênticas, e que portanto G é o centro do círculo onde estão A e B.)

Problema 3. Neste caso, o aluno vai brincar com a conjectura de Collatz, que é um problema em aberto, isto é, para o qual nenhum matemático achou ainda uma prova. Matemáticos profissionais de talento acham que vão morrer antes que alguém consiga prová-la. Então, é bem provável que o aluno do ensino básico não dará a resposta pedida pelo professor, mas, mesmo assim, ele tem como descobrir coisas legais.

José Luiz Pastore Mello diz que muitos alunos explicam por que a sequência termina em 1, embora os aumentos sejam mais fortes que as diminuições: “Quando pegamos um número par e o dividimos por 2, o quociente pode ser par ou ímpar. Mas quando pegamos um número ímpar e o multiplicamos por três e somamos mais um, o resultado é um número par. Então, ao seguir o algoritmo, nós transformamos mais números em números pares do que em números ímpares, e por isso realizamos mais operações com pares do que com ímpares. Nesse processo, ocorrem mais contrações do que expansões.”

Outra coisa legal: ao aplicar o algoritmo a uma potência de 2 do tipo 2n, com n inteiro e maior que zero, o algoritmo vai produzir o número 1 depois de n passos, ou de “n contas”, como diz Pastore. Por último, o aluno pode examinar inteiros positivos na forma a seguir:

Todos os inteiros nesse formato terminam em 1, e Pastore mostra o motivo:

Dois exemplos: 21, que é (26 – 1)/3, e 341, que é (210 – 1)/3.

Problema 4. TVt já conhecia a fórmula pela qual calcula o volume V de um cilindro cujo raio vale r e cuja altura vale h:

Pegou um pacote de folhas de papel A4 e procurou na embalagem as dimensões de cada folha: segundo o fabricante, ela é um retângulo de 210 milímetros de largura por 297 milímetros de comprimento. Antes de estudar a fórmula do volume, decidiu primeiro calcular o volume do cilindro mais comprido de papel A4, aquele feito ao juntar os dois lados mais compridos. A altura h desse cilindro vale 297 milímetros.

Ao escrever a fórmula, percebeu que precisaria descobrir o raio desse cilindro. Ora, se juntou os lados mais compridos, então a circunferência do círculo na base do cilindro vale 210 milímetros. TVt colocou essa informação na fórmula da circunferência C de um círculo de raio r:

Com essa informação, calculou o volume do cilindro com 297 milímetros de altura:

Da mesma forma, calculou o raio de um círculo cuja circunferência vale 297 milímetros (tal raio vale 297/2π milímetros) e depois disso o volume V’ de um cilindro com 210 milímetros de altura:

Dividindo V’ por V, TVt descobriu que V’ é 41,46% maior que V. O cilindro mais baixo comporta muito mais arroz!

Depois disso, passou a estudar o motivo pelo qual o cilindro mais baixo encerra um volume maior. Em primeiro lugar, imaginou a seguinte situação: manteria o raio r fixo, e mudaria a altura h de h1, a menor altura, para h2, a maior. Qual seria a razão entre os dois volumes?

TVt olhou a fórmula e pensou no que aconteceria se h2 fosse o dobro de h1V2 seria o dobro de V1. “Se mantiver o raio fixo e alterar só a altura”, escreveu TVt, “altero o volume na mesma proporção.” Então imaginou a situação oposta: manteria a altura fixa, mas mudaria o raio de r1, o menor raio, para r2, o maior. O que aconteceria?

De novo TVt imaginou o que aconteceria se r2 fosse o dobro de r1 — nesse caso, multiplicaria o volume original por 4. “Ao dobrar o raio”, escreveu, “eu quadruplico o volume. Isso quer dizer que uma mudança no raio, comparada a uma mudança na altura, provoca efeito mais espetacular sobre o volume.”

Nesse ponto, TVt achou que deveria usar o cálculo para estudar a derivada das duas funções — volume em função da altura e volume em função do raio.

No primeiro caso, πr2 é uma constante; isso quer dizer que, qualquer que seja o valor da altura h, a taxa instantânea de variação do volume em função da altura é a sempre a mesma. No segundo caso, 2πh é uma constante, mas r é variável; a taxa instantânea de variação do volume em função do raio não é sempre a mesma, mas cada vez maior quanto maior o valor de r. “Olhando as duas derivadas e as outras contas”, escreveu TVt, “fica claro o que aconteceu com os dois cilindros de papel A4: os efeitos do raio sobre o volume são tão espetaculares que um aumento de 14 milímetros no raio compensa com folga uma redução de 87 milímetros na altura.” Depois, colocou sobre a mesa, diante de si, um paralelepípedo e um cilindro (na verdade, um dicionário de matemática e uma garrafinha d’água), e ficou examinando os dois. Percebeu por que a alteração na altura h no cilindro provoca efeito menor que a alteração no raio r: o cilindro é um objeto de três dimensões, e ao mexer no raio, mexe em duas dimensões de uma vez. Seria como se alterasse uma das diagonais numa das faces do paralelepípedo: alteraria duas dimensões de uma vez. Ao mexer só na altura, porém, mexe só numa das dimensões.

TVt ficou pensando… Como poderia usar esse problema na escola, se fosse professor? Ele arranjaria folhas de papel A4 de boa qualidade, fita colante, cartolina, balança, arroz, e faria as crianças construir os cilindros, enchê-los de arroz, pesar o arroz de cada cilindro. Faria as crianças investigar que redução na altura compensaria um aumento de 13 milímetros no raio, ou que alteração y na altura compensaria uma alteração x no raio. Enfim, faria as crianças pôr mãos à obra. “Acho que elas nunca mais esqueceriam o fato de que, se alteram uma das medidas de um objeto de três dimensões, talvez provoquem alterações não lineares no volume, mas não necessariamente.”

Problema 5. Neste caso, TVt resolveu o problema assim que parou de pensar num círculo desenhado sobre uma folha de papel. Quando começou a pensar num cilindro, neste caso um cilindro feito de queijo, em pouco tempo atinou com a solução: com dois cortes verticais (perpendiculares entre si), divide o queijo em quatro partes iguais; com um corte horizontal, divide o queijo em oito partes iguais.

Problema 6. Vincenzo Bongiovanni diz que, provavelmente, o aluno fornecerá uma versão das seis soluções a seguir:

Desenho

Descrição da estratégia

Aqui, TVt estendeu a reta AB até que ela cruzasse com s. Daí 125° + x = 180°.

Estendeu a reta CB até que interceptasse r. De novo, 125° + x = 180°.

Passou pelo ponto B uma reta perpendicular a r. Daí 70° + x + 55° = 180°.

Passou pelo ponto B uma reta paralela a r. Daí x = 35° + 20°.

Criou o triângulo ABC e usou a incógnita auxiliar y. Daí x + (145° – y) + (y – 20°) = 180°.

Passou pelo ponto C uma reta perpendicular a r, e assim formou o quadrilátero ADCB. Daí 145° + 90° + 70° + x = 360°.

Problema 7. TVt resolveu esse problema assim que chegou ao esboço da figura 2.

Quando teve a ideia de imaginar um homem que olha para seus pés e depois levanta o olhar até que a linha de visada fique tangente ao planeta Terra, o problema praticamente se resolveu por si mesmo.

Problema 8. TVt resolveu esse problema quanto teve a ideia de usar a reta DC como eixo para levantar a tampa imaginária DA’B’C, e desse jeito formou o retângulo HA’B’G, como esboçou na figura 3. Daí a solução salta aos olhos: o caminho mais curto entre G e A corresponde à reta entre G e A’. Assim que teve a ideia, TVt usou Pitágoras para determinar o comprimento GA’.

TVt poderia ter parado aí, se quisesse, mas sentiu curiosidade por outros aspectos do problema. Marcou o ponto J e o ângulo  φ e quis saber: “Qual é a distância entre J e D, ou entre J e C? E qual é a correspondente medida do ângulo φ?”

(Para simplificar as notas, decidiu não marcar as distâncias com o sinal de módulo; assim, nas suas anotações, DC = CD = |DC|. Em outras palavras, os comprimentos seriam positivos não importa o sentido em que fossem medidos.)

Das aulas de geometria, ele se lembrava de que, se corta um triângulo retângulo bem ao meio, como cortou o triângulo HA’G bem ao meio com a linha DJ, também corta a hipotenusa bem ao meio. Com isso, viu que podia dizer a distância A’J de cabeça.

Com essa informação, de novo usou Pitágoras para determinar o comprimento JD.

Eis a resposta: a formiga deve partir do ponto G, andar em linha reta até o meio da aresta DC, e daí andar em linha reta até o ponto A; fazendo isso, andará o mínimo possível, que é √5 unidades. (Nesse ponto, TVt ficou curioso: e se o retângulo HA’B’G tivesse outras medidas quaisquer? O ponto J ficaria bem no meio entre D e C? Chamou a distância HG de a e a distância HA’ de b, fez as contas e descobriu que sim: a distância entre J e D  é a/2.) Bem, quando a formiga seguir essa receita, qual será o valor do ângulo φ? TVt usou a lei dos cossenos:

Para determinar o valor de φ, recorreu a uma calculadora científica, que fornece o valor aproximado em radianos e em graus. Como TVt conhece um pouquinho de cálculo, quis saber se poderia expressar a distância percorrida em função do ângulo φ. Depois de uns esboços, viu que esse problema era difícil, exceto se fizesse a simplificação que sugeriu com a figura 3, na qual o ângulo φ é sempre maior que zero, mas sempre menor que 45° (π/4), e se restringe à face DCGH do cubo. “Se eu chamasse a distância percorrida de y”, escreveu TVt, “será que consiguiria uma fórmula f para expressar y como sendo função de φ?”

Viu que teria de achar uma fórmula tal que, entrando com o valor de φ, obteria a soma de dois comprimentos: JA’ e GJ. Começou estudando o triângulo JGC, que desenhou de pé (TVt não gosta de trabalhar com triângulos de ponta-cabeça…). Com a figura pronta, usou a lei dos senos, mas com os ângulos em radianos (já que empregaria o cálculo), e recorreu também a uma tabela de identidades trigonométricas para fazer as simplificações.

Com esse passo, soube o comprimento de uma parte do caminho; GJ mede sec(φ) unidades de medida. Para calcular a outra parte, de novo recorreu a Pitágoras:

Antes de continuar, foi atrás do valor de JC.

E com isso calculou o valor do comprimento A’J:

Pronto: já podia expressar a distância y em função de φ. TVt montou a fórmula e providenciou um gráfico da função para o intervalo que lhe interessava, como mostra a figura 4.

Ficou claro que essa função tem um mínimo no intervalo (0, φ/4). Para achá-lo, calculou a derivada de y, a igualou a zero e achou o valor de φ para o qual a derivada vale zero. (Tudo isso dá bastante trabalho.) Fazendo assim, achou o valor de φ para o qual a distância percorrida entre G e A’ é a menor possível.

Por fim, só para confirmar, colocou esse valor de φ na fórmula de y e, com uma calculadora científica, obteve a distância mínima de 2,23607 unidades, que é justamente √5.

TVt ficou contente de explorar esse problema, e, como parte do ritual de comemoração, voltou e releu o enunciado. Só aí percebeu a referência a um cubo “maciço”. Escreveu no caderno: “Esses professores! O que eles acham? Que, se não mencionassem um cubo maciço, eu acharia que a formiga iria voar do ponto G direto ao ponto A? Ou que eu imaginaria um túnel ligando G a A?” Ficou olhando essas palavras, e por fim concluiu: “Bem, do jeito que estou sempre procurando um atalho, é bem possível que eu de fato inventasse esse túnel entre G e A. Ainda bem que o problemista escreveu ‘maciço’ e não me deixou seguir pelo caminho mais curto…”

Problema 9. De quantas maneiras TVt pode multiplicar três números naturais e obter 36? Depois de experimentar um pouco, achou essas tríades de números:

Com esses oito conjuntos de números, de fato é impossível saber a idade das crianças.

E quanto à soma da idade das três crianças?

Se o matemático olhou o número da casa e não soube dizer quais eram os números, é porque a casa em frente era a de número 13, e as duas tríades são {2, 2, 9} e {1, 6, 6}. Quando a mãe disse “Meu filho mais velho toca piano”, o matemático presumiu que ela falava do menino de 9 anos.

A maioria dos estudantes fica contente com essa solução, mas TVt viu aqui uma leve ambiguidade. Gêmeos não nascem ao mesmo tempo: Esaú e Jacó eram gêmeos, mas Esaú nasceu primeiro e pôde até vender sua primogenitura ao irmão mais novo. Um dos gêmeos sempre nasce primeiro, de modo que um deles é o mais velho dos dois; além disso, uma criança de 6 anos pode tocar piano, pois Mozart tocava bem aos 4. Se TVt desse aulas e alguém da classe percebesse a ambiguidade, transformaria a questão num novo problema: como aperfeiçoar o problema? O que a mãe poderia dizer na última frase, de modo a inequivocamente identificar uma das tríades cuja soma é 13?

Problema 10. Em três dimensões, a solução é simples:

Problema 11. Depois de pensar bastante sobre o problema, e de desenhar uns esboços, TVt percebeu que podia ver o problema como um retângulo feito de quadradinhos: cada peça do quebra-cabeça é um quadradinho, e o número total de peças é quadradinhos na lateral esquerda multiplicados por quadradinhos no topo. Em resumo, percebeu que lidava com os fatores de 300: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300}.

Não achou que fazia sentido pensar num quebra-cabeça com 1 peça na lateral e 300 peças no topo, nem 2 peças na lateral e 150 peças no topo. Mesmo um quebra-cabeça com 10 peças na lateral e 30 peças no topo pareceria comprido demais. Agora, 15 peças na lateral e 20 peças no topo já parece um quebra-cabeça mais gostoso de olhar, e TVt apostou nisso.

Quantas peças de borda há num quebra-cabeça com 15 peças na lateral e 20 no topo? Para não contar os quatro cantos duas vezes, TVt chegou à seguinte conta: 20 peças no topo, 20 na base, 13 na lateral esquerda e 13 na direita — ao todo, 66 peças. “Essa é uma história real”, escrevem Rob Eastaway e Mike Askew no livro More Maths for Mums and Dads, “e Amy de fato contou 66 peças de borda.”

Problema 12. TVt deu nome aos caminhos na bifurcação: E significa esquerda e D, direita; deu nome também aos dois homens: M é o mentiroso e V, o verdadeiro. Depois montou várias tabelas verdade. Percebeu que teria de fazer uma pergunta que obrigasse os dois homens a dizer a mesma coisa. Supôs então que o lado certo é E. Por fim, chegou à pergunta que procurava, que poderia fazer a qualquer um dos dois: “Se eu perguntasse para o seu colega aqui ao lado qual lado da bifurcação me leva à beira do rio, o que seu colega me responderia?”

M diria que V responderia D, pois V diria a verdade e responderia E. V diria que M responderia D, pois M mentiria e responderia D. De qualquer forma, ambos responderiam D, e TVt seguira feliz pelo lado esquerdo da bifurcação.

Problema 13. Leandro Aurichi escolheu aqui um problema publicado por Martin Gardner (1914-2010), um conhecido autor de problemas matemáticos para divertimento. Leandro pede a seus alunos que adotem umas poucas convenções: uma criança ou é menino ou é menina; uma criança escolhida a esmo será menino ou menina com probabilidade de 50%; essa probabilidade é independente de qualquer outra característica da criança em questão ou de seus irmãos. “Essas hipóteses não refletem a realidade”, diz Leandro; o aviso é importante, pois nascem mais meninas que meninos, e pais de meninos tendem a ter meninos, assim como pais de meninas tendem a ter meninas. “Mas esse é um problema de probabilidade, e não um estudo demográfico.”

Depois ele desenha na lousa o que pode acontecer com os dois filhos do sujeito na festa; na tabela a seguir, A significa menina e O significa menino:

Criança 1

Criança 2

A

A

A

O

O

A

O

O

A probabilidade de cada linha da tabela é de 25%. Mas ao dizer que “pelo menos uma das crianças é uma menina”, o problemista elimina a quarta linha, com dois filhos homens. Leandro lembra a regra básica pela qual a probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos totais, e põe o problema numa equação.

Lembrete: Pr((A, A)) significa a probabilidade do par ordenado (A, A), num conjunto em que há quatro pares ordenados distintos.

“A princípio, nossa intuição nos diz que a probabilidade deveria ser de 50%”, diz Leandro. “Se a pergunta fosse formulada de modo diferente, a resposta não iria contra nossa intuição. Por exemplo: Um pai tem duas crianças e não é verdade que ambas sejam meninos. Qual é a probabilidade de que ambas sejam meninas? Com essa formulação, a reposta de 33% nos parece mais aceitável.” {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 40, maio de 2014, pág. 18. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelos jornalistas Aline Viana, Dubes Sônego, e Renato Mendes.

3. As figuras foram feitas pelo artista gráfico Henrique Arruda.

4. Há um texto neste blogue no qual explico melhor por que prefiro “círculo” a “circunferência”: clique aqui.

5. Sobre a incrível importância de problemas na matemática, veja também o artigo O Lamento de um Matemático, do matemático americano Paul Lockhart.

Cálculo Tornado Fácil 10

A constante e = 2,71828… talvez seja o número mais importante da matemática — mais importante que π, mais importante que Φ (a razão áurea). Sem dúvida é o número mais importante do cálculo diferencial e integral. Neste capítulo, Silvanus mostra como o estudante começa brincando com a ideia de juro composto e, a partir daí, define sozinho a base dos logaritmos naturais.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 56 porque o texto anterior terminou na 55. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, e CTF 9.


{56}/ Capítulo 14 (Parte I)

Sobre o juro composto verdadeiro e a lei do crescimento orgânico

Pense numa quantidade que cresce assim: durante certo período de tempo, o incremento provocado pelo crescimento tem de ser proporcional à magnitude da quantidade, de modo que quanto maior a magnitude, maior o incremento provocado pelo crescimento. Isso lembra o processo pelo qual calculamos o juro sobre o dinheiro conforme uma taxa fixa; pois, quanto maior o capital, maior o juro sobre ele num certo período.

Agora você precisa distinguir claramente entre dois casos de juro: aquele nos quais realiza seus cálculos conforme a regra do juro simples ou aquele conforme a regra do juro composto. No primeiro caso, você mantém o capital fixo ao longo do tempo; no segundo, você adiciona o juro ao capital, que desse modo cresce um pouco a cada adição de juro.

(1) Com juro simples.  Vamos estudar um caso concreto. Imagine o capital inicial igual a 100 reais, e o juro igual a 10% ao ano. Daí o investidor obterá incremento de 10 reais por ano. Se ele retira o incremento todo o ano e o esconde numa de suas meias ou num cofre, daí, se faz isso por dez anos, ao fim dos dez anos terá recebido dez incrementos de 10 reais cada um; ao todo, com o capital original, ele terá capital de 200 reais. [Aqui, estou desprezando fenômenos como inflação e deflação.] Em outras palavras, suas posses vão dobrar em dez anos. Se a taxa de juro tivesse sido de 5%, o investidor precisaria de 20 anos para dobrar suas posses. Se tivesse sido de apenas 2%, precisaria de 50 anos. Você pode ver que, se o valor do juro anual equivale a 1/n, o investidor precisa esperar n anos para dobrar suas posses.

Que tal dizer isso de modo mais genérico? Chama de y o capital original, e o juro anual de y/n. Daí, ao final de n anos, o investimento deve ser equivaler a:

Pode dizer isso também assim, se quiser: se o investidor está recebendo juro simples de 1/n ao ano, e se pretende esperar certo número de anos para ter capital total equivalente a xy (x é um inteiro positivo), então deve resolver a equação a seguir.

 

(2) Com juro composto. Como antes, o investidor começa com 100 reais, e ganha juro de 10% ao ano, mas, em vez de esconder seu juro num pé de meia, ele todo ano adiciona o juro ao capital, de modo que o próprio capital cresce todo ano. Ao final de um ano, portanto, o capital original de 100 reais cresce e se transforma em 110 reais; ao final de dois anos, ainda com juro de 10% ao ano, o capital se transforma em 121 reais — 110 reais do primeiro ano e juro de 11 reais no segundo ano. O investidor começará o terceiro ano com capital de 121 reais, e receberá ao final do ano juro de 12 reais e 10 centavos, de modo que começa o quarto ano com capital de 133 reais e 10 centavos, e assim por diante. Ao continuar essa sequência de contas, pode dizer que, ao final de dez anos, o investidor terá capital total de 259 reais e 37 centavos. De fato, pode dizer que, ao final de cada ano, cada real ganha 1/10 de real, e assim, se todo ano você adiciona 1/10 de real ao capital investido, todo ano multiplica o capital investido por 11/10; e se continua nesse passo por dez anos, no fim das contas vai multiplicar o capital inicial por 2,59374. Devemos colocar tudo isso em símbolos. Pode usar y0 para denotar o capital original; 1/n é a razão que adiciona ao capital investido ao final de cada um dos n períodos; e yn é o valor que obtém assim que recebe o n-ésimo juro. Daí:

Ninguém acha justo receber o juro apenas uma vez por ano. Você acha? Então, mesmo durante o primeiro ano, pode presumir que os 100 reais cresceram ao longo do ano. Ao final do primeiro semestre, o capital e o juro deveriam valer pelo menos 105 reais, e certamente seria mais justo calcular o juro do segundo semestre sobre um capital de 105 reais. Isso seria equivalente a combinar, com o banco, juro de 5% a cada seis meses. Pense em 20 operações assim, nas quais, ao final de cada período, o investidor multiplica o capital por 21/20. Calculando as coisas desse modo, ao final dos dez anos ele terá capital equivalente a 265 reais e 33 centavos; veja o porquê:

 

Mesmo assim, pode dizer que esse processo não é completamente justo, pois, ao final do primeiro mês, o investidor poderia adicionar algum juro ao capital; mas, com as regras tais como estão, o banco presume que o capital fica parado por seis meses. Suponha então que o investidor e o banco combinem assim: vão dividir o ano em dez partes, e o banco pagará juro de 1% ao final de cada décimo de ano. Agora, você começa com y0 = 100 reais e tem 100 operações ao longo de dez anos, ou seja:

Ao fazer as contas, deve chegar a y100 270 reais e 48 centavos.

Mas mesmo isso não é o final dessa história. E se o banco dividisse os dez anos em 1.000 períodos, cada um equivalente a 1/100 de ano, e se comprometesse a pagar juro de 1 décimo de 1% por período? Daí:

Ao fazer a conta, deve chegar a 271 reais e 69 centavos.

Não precisa parar por aqui. Pode dividir os dez anos em 10.000 partes, cada uma delas equivalente a 1/1000 de ano, com juro de 1/100 de 1%. Com isso:

As contas devem te dizer que y10.000, neste caso, vale 271 reais e 81 centavos.

Por fim, mais para a frente verá que, em última análise, nós dois estamos tentando achar o valor da expressão a seguir:

Você já viu que, para n > 1, ela é maior que 2; e já viu também que, conforme n vai ficando grande, ela fica cada vez mais perto de certo valor limite. Não interessa se atribui para n o maior valor no qual possa imaginar — a expressão jamais passa do valor a seguir:

2,7182818…

Você jamais deve se esquecer desse número!

Agora, vai olhar algumas ilustrações geométricas desses fatos. Na figura 36, o comprimento OP significa o valor original. OT é o tempo no qual o capital está crescendo. Pode dividir OT em dez períodos, em cada um dos quais pode ver um passinho para cima de igual magnitude (em relação ao período anterior). Neste caso, vê que dy/dx é constante; e se cada passo para cima é 1/10 do comprimento OP, então, depois de 10 passos assim, a altura dobra de tamanho. Ou então, para dobrar a altura OP em n degraus, pense em n períodos, cada um deles subindo 1/n da altura original OP. Bem, com essa figura você ilustra o caso do juro simples, e permite que 1 cresça até que vire 2.

Na figura 37, pode ver uma ilustração da progressão geométrica que nos interessa. Cada uma das sucessivas ordenadas deve ser 1 + 1/n maior que a ordenada anterior, ou (n + 1)/n multiplicado pela ordenada anterior. Os passos para cima não são iguais, pois cada degrau sobe 1/n da ordenada naquela parte da curva. Se tem dez passos, com 1 + 1/10 à guisa de fator multiplicativo (ou razão comum, para usar a linguagem típica das progressões geométricas), a altura final total tem de ser (1 + 0,1)10 ou 2,594 vezes o comprimento 1 original. Mas se você divide OT num número n muito grande de partes, e com isso faz 1/n se transformar num valor muito pequeno, daí o valor final de (1 + 1/n)n para o qual a unidade vai crescer é 2,7182 (com quatro casas decimais).

Épsilon. Para denotar esse misterioso número 2,7182818 etc., os matemáticos escolheram o símbolo ε, que é a letra grega épsilon. [Mais recentemente, substituíram ε pela letra latina e escrita em itálico; e quase todos dizem “número e”. Que pena! Nas línguas derivadas do latim, como o português, nas quais as vogais têm papel importante e às vezes uma vogal é uma palavra, seria útil ter um símbolo bem distinto para o número e. Desta linha em diante, vamos grafar e, mas manter as referências de Silvanus à palavra “épsilon” para dar ao texto um gostinho de história: o leitor pode substituir mentalmente “épsilon” por “número e”.] Toda criança sabe que a letra grega π (pi) significa 3,141592 etc; mas quantas delas sabem que épsilon significa 2,71828? Apesar disso, e é muito mais importante que π!

Então, o que é épsilon?

Suponha que deixe 1 crescer, a juro simples, até que se transforme em 2. Mantenha a mesma taxa de juro nominal, e mantenha o mesmo tempo, mas deixe 1 crescer com o verdadeiro juro composto — daí o número 1 inicial vai crescer até atingir o valor de épsilon.

Você pode batizar de “crescimento exponencial” esse processo pelo qual algo cresce, a cada instante, proporcionalmente à magnitude naquele instante. Com tal crescimento, uma unidade cresce, em uma unidade de tempo, até atingir 2,718281… Também pode chamar esse crescimento de “crescimento orgânico”, se quiser, porque, em certas circunstâncias, um organismo cresce de forma proporcional a seu tamanho.

Pode resumir tudo isso mais ou menos assim: se fixa a taxa de crescimento de algo como sendo de 100%, e daí permite que 1 cresça aritmeticamente durante uma unidade de tempo, 1 vai crescer até virar 2; mas se fixa a taxa de crescimento como sendo exponencial, em uma unidade de tempo 1 vai crescer até virar 2,718281 etc.

Um pouco mais sobre épsilon. Já viu que precisa saber o valor da expressão (1 + 1/n)n quando n se torna indefinidamente grande (ou tende ao infinito). A seguir, mostro alguns valores da expressão para alguns valores de n. [Coisa que qualquer um pode calcular com uma calculadora científica comum.]

No entanto, deve achar um jeito melhor, mais matemático, de calcular o valor desse número imensamente importante. Mais uma vez vou ajudá-lo a tirar proveito do teorema binomial para expandir a expressão de e. Partindo do teorema binomial, deve chegar à expressão a seguir:

Substitua agora a por 1 e b por 1/n, e deve obter:

Agora, suponha que faça n tender ao infinito, isto é, que atribua a n valores tão grandes quanto queira [para usar uma expressão comum entre matemáticos]. Penso que achará fácil acreditar que n – 1, n – 2, n – 3 etc. vão ficando cada vez mais iguais a n conforme o valor de n aumenta, e que a divisão de n – 1 por n tende a 1, assim como a divisão de (n – 1)(n – 2) por n2 tende a 1, e assim por diante. [Pode verificar isso facilmente com uma calculadora que produza tabelas; por exemplo, 898/899 ≈ 0,99889, mas 8.998/8.999 ≈ 0,9998889; e assim por diante.] Sendo assim, a série se transforma em:

Essa série converge para o valor limite de e bem depressa, e pode ver isso ao somar as 10 primeiras parcelas da série. Veja como fica:

1

1

dividindo 1 por 2!

0,5

dividindo 1 por 3!

0,16666666666666666667

dividindo 1 por 4!

0,04166666666666666667

dividindo 1 por 5!

0,00833333333333333333

dividindo 1 por 6!

0,00138888888888888889

dividindo 1 por 7!

0,00019841269841269841

dividindo 1 por 8!

0,00002480158730158730

dividindo 1 por 9!

0,00000275573192239859

SOMA TOTAL

2,718281

O número e é incomensurável com 1, isto é, é um número irracional, cuja expansão decimal é infinita e não periódica. Nesse sentido, lembra o número π.

A série exponencial. Nas suas investigações matemáticas, vai precisar ainda de outra série importante. De novo vou ajudá-lo a ver como pode usar o teorema binomial para expandir a expressão:

Essa expressão vale o mesmo que ex quando n tende ao infinito.

Nessa última linha, pode ver que, quando n tende ao infinito, os termos com n no denominador tendem a zero, de modo que pode simplificar a expressão assim:

Deve chamar essa série de “série exponencial”. Com o símbolo de somatório, pode colocá-la no papel de um jeito simples:

Os matemáticos acham e de grande importância porque ex possui uma propriedade que nenhuma outra função de x possui: quando você diferencia a expressão de ex, obtém a mesma expressão; em outras palavras, o coeficiente diferencial de ex é igual a ex. Pode ver isso ao diferenciar a expressão de ex em relação a x:

A última linha acima é exatamente a série original. Agora, você poderia ter começado essa investigação toda ao contrário, e dizer: “Deixe-me ver se existe uma função de x tal que seu coeficiente diferencial é idêntico à própria função.” Ou talvez se perguntar: “Existe uma expressão matemática, que envolva apenas potências de x, que permanece inalterada depois dos procedimentos de diferenciação?” Com uma pergunta dessas na cabeça, você presume que essa expressão existe, e escreve assim:

Nessa expressão, sua tarefa fica sendo determinar o valor dos coeficientes A, B, C, D etc. de modo que dy/dx seja igual a y. Então você usa o que já sabe e calcula o coeficiente diferencial de y em relação a x:

Agora, se essa série tem de ser igual à série anterior, daí, obrigatoriamente, A = B; C = B/2 = A/2!; D = C/3 = A/3!; E = D/4 = A/4!; e assim por diante. Com essa descoberta, pode agora reescrever a série original.

Qual é o jeito mais simples de dar o próximo passo? Que tal igualar A a 1?

Já sabe que, não importa quantas vezes diferencie y em relação a x, sempre obtém uma expressão idêntica à expressão original, pois calculou y para que assim fosse.

Agora, se pega esse caso particular no qual A = 1, e calcula o valor da série para vários valores inteiros positivos de x, começa a entender como essa função especial funciona.

Agora, pode generalizar isso, se quiser.

[Nota: O salto de expoentes inteiros positivos para expoentes reais é enorme, e exigiria uma prova mais detalhada; contudo, não se esqueça: neste Cálculo Tornado Fácil, Silvanus tornou o cálculo fácil a poder de marteladas.]

(Nota: Como ler exponenciais. Para aqueles que não têm um professor com quem conversar, talvez seja útil saber que pode ler ex como “exponencial de x”. Da mesma forma, pode ler ept como “exponencial pê tê”. Assim, batendo os olhos em e–2, diga “exponencial menos dois” ou, se quiser evitar ambiguidades, “exponencial a menos dois”, que vem de “exponencial elevado a menos dois”. Também pode dizer, se quiser, “o número e elevado a menos dois”.)

Penso que agora, depois de todas essas contas, deve achar claro que a função ey permanece inalterada quando diferenciada em relação a y. Além disso, quando diferenciar eax em relação a x (o que é o mesmo que diferenciar (ea)x em relação a x), deve obter aeax, pois a é uma constante. [Com a regra da cadeia, pode provar isso em dois tempos.]

Logaritmos naturais ou neperianos. Outra razão pela qual o número e é importante: foi criado por Napier, o inventor dos logaritmos, para ser usado na base de seu sistema. [Mais tarde, os especialistas em história da matemática descobriram que Napier não usou e na base dos logaritmos neperianos, mas sim um número próximo de 1/e; aliás, Napier não chegou a estudar objetos matemáticos como funções exponenciais, e muito menos estudou algo parecido com ex. Na época de Silvanus, contudo, muitos acreditavam na lenda urbana de que Napier havia criado a constante e.] Se y é o valor de ex, então x é o logaritmo de y na base e. Ou, dizendo isso com símbolos:

Nas figuras 38 e 39, plotei as duas curvas que representam tais funções. Alguns dos pontos marcados com linhas tracejadas são:

Na figura 38:

x

0

0,5

1

1,5

2

y

1

1,65

2,71

4,5

7,39

Na figura 39:

y

1

2

3

4

8

x

0

0,69

1,10

1,39

2,08

Logo verá que, embora os cálculos produzam pontos distintos para a plotagem das curvas, o resultado final é idêntico. As duas equações de fato significam a mesma coisa.

Visto que muitas pessoas que usam logaritmos não conhecem bem os logaritmos naturais (cuja base é e em vez de base 10), vale a pena dizer algumas palavras sobre eles. As regras comuns pelas quais os logaritmos funcionam continuam valendo, como a regra segundo a qual o logaritmo de um produto pode ser reescrito como a soma de dois logaritmos:

Da mesma forma, a regra da potência também vale:

Contudo, visto que 10 não é mais a base, você não pode mais multiplicar por 100 ou por 1.000 ao meramente adicionar 2 ou 3 ao índice. Se quiser, pode multiplicar o logaritmo natural por 0,4343 para convertê-lo num logaritmo comum (de base 10); da mesma forma, pode multiplicar o logaritmo comum por 2,3026 para convertê-lo num logaritmo natural. Em fórmulas (com precisão de quatro casas decimais):

log(x) = 0,434 · ln(x) e ln(x) = 2,3026 · log(x)

[Notou aqui o contexto histórico? Na época de Silvanus, as pessoas de fato usavam os logaritmos de base 10 para fazer contas, especialmente multiplicações e divisões. Hoje todo mundo usa uma calculadora. Outro ponto importante: estamos usando logx para significar log10x e lnx para significar logex, mas muitos matemáticos usam logx para significar lnx — muitos mesmo; não há na palavra “muitos” nenhum exagero. Para tais matemáticos, o logaritmo natural é o mais importante de todos, então acham que devem usar o símbolo mais gostoso, que é logx, para denotar “o logaritmo natural de x”.]

Equações exponenciais e logarítmicas. Agora, finalmente, vamos diferenciar certas expressões que contêm logaritmos e exponenciais. Por exemplo, a equação a seguir:

Antes de continuar, transforme a equação acima numa função exponencial.

Agora, já sabe que o coeficiente diferencial de ey em relação a y permanece inalterado:

Pode ir agora da derivada da função inversa para a derivada da função original:

Bem, eu acho esse resultado bastante curioso. Pode reescrevê-lo assim:

Note que jamais obteria x–1 se simplesmente aplicasse a regra da diferenciação de potências de x, segundo a qual, para diferenciar x3, você transforma o expoente 3 num coeficiente 3 e reduz o expoente por 1 unidade: [x3]’ = 3x2; [x2]’ = 2x1. Mas, ao diferenciar x0, você obtém 0; pode ver isso como sendo 0∙x–1 ou como sendo o resultado de diferenciar 1, pois  x0 é 1, ou seja, é uma constante. Mais tarde, quando estivermos estudando a integração, voltaremos a estudar esse fato tão curioso de diferenciar lnx e obter x–1.

* * *

Agora, tente diferenciar a expressão a seguir:

De novo, reescreva a expressão para obter a função inversa, e daí diferencie a função inversa, sabendo que o coeficiente diferencial de ey é ey:

O próximo exemplo não é assim tão simples. Tente diferenciar a seguinte expressão:

Como primeiro passo, pode tirar o logaritmo dos dois lados.

Visto que 1/lna é uma constante, ao diferenciar x em relação a y:

Agora, já sabe que dy/dx é o recíproco de dx/dy.

Veja mais uma vez por que isso é verdade:

Deve notar que, sempre que diferencia uma expressão do tipo lny = (uma função qualquer de x), obtém 1/ydy/dx = (o coeficiente diferencial da função de x), de modo que, ao bater os olhos em lny = x∙lna, poderia ter escrito imediatamente:

Mais alguns exemplos; não se esqueça de que o cálculo é uma arte, e só pode obter fluência técnica numa arte se praticar bastante.

(1) Diferencie:

Pode começar igualando –ax a z, e daí y = ez.

Ou pode tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Pode ainda usar a regra da cadeia aplicada à notação de linha, com o lance da “função de dentro” e da “função de fora”:

(2) Diferencie:

Para esconder complexidade, pode fazer z = x2/3.

Um jeito de pensar sobre isso é: se vir o número e elevado a uma função de x, a derivada disso tudo é o número e elevado à função de x, mas multiplicado pela derivada da função de x. (É mais um jeito de expressar a regra da cadeia: “A derivada da função de fora, tendo a função de dentro como argumento, vezes a derivada da função de dentro.”)

Pode ainda, como sempre, tirar o logaritmo natural dos dois lados:

(3) Diferencie:

Antes de continuar, veja o texto na seção 59 (mais abaixo), no qual explico a notação acima; em todo caso, exp(x) simplesmente significa ex. Agora, tire o logaritmo natural dos dois lados e siga em frente.

Pode checar as contas fazendo z = 2x/(x + 1).

(4) Diferencie:

 

Pode tirar o logaritmo natural dos dois lados.

Pode pensar em tudo isso usando mais variáveis:

Pode checar tudo escrevendo √(x2 + a) = z.

(5) Diferencie:

Exemplos como esse já estão começando a ficar fáceis, não estão? Pode fazer z = (a + x3), e daí y = lnz.

(6) Diferencie:

Faça 3x2 + √(a + x2) = z; daí y = lnz.

(7) Diferencie:

A vantagem de saber tirar a derivada da função logaritmo natural é que, ao lidar com um produto de funções quaisquer, pode tirar o logaritmo natural de tudo e trocar um produto por uma soma.

(8) Diferencie:

De novo, tire o logaritmo natural de tudo, para trocar multiplicações por adições:

 

Acho bom parar um pouco para explicar como pode obter tudo isso. Você faz u = ln(x3 + 3) e x2 + 3 = z, assim u = lnz. Daí:

Da mesma forma:

Terminadas as explicações, só falta concluir as contas:

(9) Diferencie:

Agora, ao tirar o logaritmo natural dos dois lados, vai trocar uma divisão por uma subtração.

(10) Diferencie:

De novo, pode, se quiser, começar tirando o logaritmo natural dos dois lados:

(11) Diferencie:

Suas notas devem conter os seguintes elementos:

(12) Diferencie:

Pode tirar o logaritmo natural dos dois lados e seguir adiante:

Tente agora resolver todos os exercícios a seguir, e não tenha pressa.



{57}/ Exercícios XII

(1) Diferencie a expressão a seguir:

(2) Ache o coeficiente diferencial em relação a t da expressão a seguir:

(3) Se y = nt, ache uma expressão para o coeficiente diferencial abaixo:

(4) Sabendo que S T significa “a afirmação S leva naturalmente à afirmação T”, demonstre a afirmação a seguir:

(5) Se w = pvn, ache dw/dv.

(6) a (12) Diferencie as expressões a seguir.

(6)

(7)


(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13) [Questão suprimida: muito confusa.]

(14) Ache o máximo ou o mínimo da expressão a seguir:

(15) Diferencie:

(16) Diferencie:



{58}/ Apêndice: Tirando o logaritmo dos dois lados

Em muitas situações, o matemático vê o que acontece quando tira o logaritmo natural dos dois lados de uma igualdade ou desigualdade. Ele faz isso para interligar a expressão a uma constante útil (o número e), para converter multiplicações em adições e divisões em subtrações (o que facilita as contas), entre outros objetivos. Mas por que o truque funciona?

Todo estudante tem o direito de fazer essa pergunta, pois o domínio de lnx é o conjunto dos números reais positivos, isto é, excluindo o zero e os números reais negativos. Daí o estudante pode pensar assim: “Mas e se um dos termos da expressão vale zero ou é negativo? Será que mesmo assim vai dar certo tirar o logaritmo natural dos dois lados?”

Um jeito de olhar isso é examinar a equação:

Nesse caso, f(x) significa qualquer expressão matemática, por mais complicada que seja.

Caso I. Ora, se y é positivo, f(x) também é, e daí a equação a seguir é perfeitamente válida:

Tudo o que o estudante puder descobrir a partir da equação acima, poderá aplicar à equação original sem nenhuma adaptação.

Caso II. Se y é negativo, f(x) também é, e daí as conclusões tiradas de lny = ln[f(x)] precisam de uma adaptação. Mesmo que não tenha consciência disso a princípio, se y é negativo, então ao tirar o logaritmo dos dois lados o estudante está na verdade  analisando a igualdade a seguir:

Caso III. Se y e f(x) são iguais a zero, lny = ln[f(x)] não significa nada. O eixo x = 0 é uma assíntota vertical de lnx.

Em resumo, os matemáticos tiram o logaritmo natural dos dois lados de uma igualdade, mas, antes de aceitar as conclusões como verdadeiras, eles estudam os valores que as variáveis e as expressões podem assumir, e reescrevem as conclusões de acordo com o estudo.



{59}/ Apêndice: As propriedades de exp(x)

O estudante pode encarar exp(x) como sendo outro jeito de escrever ex. [Na faculdade, os professores definem exp(x) de modo mais complicado, mas o efeito é esse.] Sendo assim, todas as propriedades de ex valem para exp(x). Você não é obrigado a usar os parênteses em exp(x), isto é, pode escrever expx se não houver chance de ambiguidade.

(Na tabela a seguir, excepcionalmente, a b significa “a tende a b”, e a b significa “a implica b”.)

Esse jeito de escrever, expx, é útil quando o expoente de e é uma expressão complicada, pois aí você pode escrever a expressão com letras maiores. Por exemplo, compare as duas versões da fórmula da distribuição normal:

Deve ter achado mais fácil de ler a expressão com a notação exp(x).



{60}/ Apêndice: Nada supera o crescimento exponencial

Os matemáticos definem a expressão “crescimento exponencial” assim:

Nessa equação, A e k são constantes reais maiores que zero, e t representa tempo. Um fato interessante sobre o crescimento exponencial é que ele sempre supera qualquer tipo de crescimento linear ou polinomial. Por exemplo, a primeira equação a seguir representa crescimento linear em função do tempo t, e a segunda representa crescimento polinomial:

Para simplificar o estudo das três funções, pense em m e n como constantes positivas e faça A = k = 1, de modo que y vira et. Como poderia provar que, a partir de algum valor de t, o valor de y ultrapassa o de z e o de w? Um jeito de construir essa prova é tirar o logaritmo natural dos dois lados de todas as equações.

A última linha diz que, quanto t menos o logaritmo natural de t for maior ou igual ao logaritmo natural de m, a função y será maior ou igual a função z. E isso vai sempre acontecer, pois o lado esquerdo da desigualdade (na última linha) é uma função estritamente crescente (para t ≥ 1), enquanto o lado direito é um valor fixo; fica bem claro que, se o lado esquerdo está crescendo conforme t cresce, cedo ou tarde vai ultrapassar o lado direito. É gozado pensar nisso, pois m pode ser uma constante muito grande, tipo m = 1050; contudo, para esse valor superalto de m, o valor de et já é maior que o valor de 1050t quanto t ≅ 120.

Da mesma forma, o valor de y sempre supera o valor de w, não importa quão grande o valor de n:

De novo, quando te, t/lnt se torna uma função estritamente crescente, mas n é um valor fixo — por maior que seja, sempre poderá encontrar um valor positivo de t tal que t/lnt é maior que n, e isso equivale a dizer que sempre poderá achar um valor positivo de t tal que o valor da função y ultrapassa o valor da função w.

Você pode ler a matéria Ah, se dinheiro fosse tudo na vida… com tudo isso em mente: e se te oferecessem dois empregos, um no qual ganha 1.000 reais por mês mais 100 reais de aumento por mês e outro no qual ganha 1 centavo no primeiro mês, 2 centavos no segundo mês, 4 centavos no terceiro mês, 8 centavos no quarto mês, e assim por diante? Que emprego escolheria? Pegue uma calculadora científica e faça as contas: em 18 meses o salário da segunda opção já é igual ao da primeira; além disso, em dois anos a primeira opção paga ao todo 51.600 reais, mas a segunda paga ao todo 167.800 reais.

Nota sobre empréstimos bancários. Ao pensar sobre inflação e dívidas, pode ver a inflação como descrescimento exponencial do poder de compra e o juro composto como crescimento exponencial da dívida. Em geral, os bancos oferecem ao indivíduo S algo importante como chamariz (uma casa, um carro, a faculdade, capital de giro) para convencê-lo a assumir uma dívida que vai crescer exponencialmente; enquanto isso, nos bastidores da economia, a inflação vai corroer seu poder de compra também exponencialmente (caso S não disponha de mecanismos adequados de correção monetária da renda mensal). É uma corrida que S só conclui depois de grande sacrifício pessoal.

{FIM}


Observações:

1. Neste blogue, há uma matéria só sobre logaritmos: Logaritmo é mais que outro nome para expoente.

2. Com o que já sabe, pode compreender perfeitamente uma das aplicações mais legais dos logaritmos e do cálculo diferencial: a datação por carbono 14. Veja a matéria Há quantos anos um papiro existe?