“Se não pode, então como é que pode?”


{1}/ Se contém, então como é que não contém?

“O conjunto dos números complexos inclui o conjunto dos números reais.” Todo estudante de matemática já leu algo assim nalgum livro, ouviu algo assim de um professor ou de vários, e até mesmo disse algo assim a amigos.

Deveria ter dito isso? Será 100% verdade?

Luiz Márcio Imenes, um bem-humorado autor de livros didáticos, costuma dizer que certos professores de matemática usam frases e locuções danosas, mas que facilmente passam por frases e locuções inócuas. Elas atrapalham o aluno, especialmente o que está entendendo tudo, assim como a areia molhada atrapalha quem anda de sandálias Havaianas. Por exemplo, uma criança ainda não estudou nada sobre inteiros negativos, mas, de brincadeira, e por curiosidade, escreve no caderno: 3 – 7. O que o professor desatento diz? “Você não pode tirar um número maior de um menor!” Imenes informa: essa afirmação é mais comum do que deveria ser. Quando ele tem a oportunidade de conversar sobre ela, gosta de contestá-la com um sorriso e uma frase de efeito.

“Se não pode, então como é que pode?”

Sim, claro, pois em breve a criança começará a estudar os inteiros, e aprenderá a calcular 3 – 7 = –4. Se não pode tirar 7 de 3, então como é que pode? Mais tarde, mas ainda assim antes de estudar os números complexos, talvez essa mesma criança queira tirar a raiz quadrada de um número negativo; por exemplo, talvez queira calcular o valor de √(–1). E talvez um professor desatento lhe diga: “Você não pode tirar a raiz quadrada de números negativos!” Ora, se não pode, então como é que, no terceiro ano do ensino médio, daí pode?

Um fenômeno semelhante a esse ocorre com “O conjunto dos números complexos inclui o conjunto dos números reais.” Inclui mesmo? Ora, é possível, e até mesmo desejável, encarar cada número complexo como um par ordenado (x, y) de números reais, que denota o deslocamento no plano complexo da origem O ao ponto (x, y). (Você já viu tudo isso na matéria Tudo Sobre Números Complexos.) Pensando assim, considere alguns elementos do conjunto dos números complexos.

Formulário 1

Formulário 1

E considere agora alguns elementos do conjunto dos números reais.

Formulário 2

Formulário 2

Percebe agora o problema? Se o estudante é bom, e compreendeu a ideia mais importante sobre os números complexos (“um número complexo é um par ordenado de números reais, que representa um deslocamento no plano”), terá dificuldade de ver um conjunto de números reais soltos como sendo subconjunto de um conjunto de pares ordenados de números reais. Talvez vacile: “Acho que não estou entendendo esse assunto como pensei que estava. Acho que essa joça não é para mim. Já sei! Vou estudar jornalismo!” Parafraseando Imenes: Se o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais, então como é que não contém?

 



{2}/ Significante e significado

Essa é mais uma manifestação da famosa diferença entre significante e significado. Significante é o que um falante de fato diz. “Você tem uma caneta vermelha?” Significado é o que o falante gostaria que seu interlocutor entendesse. “Pode me emprestar sua caneta vermelha, caso tenha uma?”

Mesmo em situações cotidianas, a diferença entre significante e significado provoca confusão.

“Como foi seu dia?”, pergunta o marido à mulher quando se encontram à noite.

“Hoje de manhã, o trem estava muito lento.”

“Não, não!”, interrrompe o marido. “Você conversou com seu chefe sobre as férias?”

Na matemática, essa diferença pode provocar confusões homéricas, especialmente quando um dos falantes, que é professor, sabe muito, e o outro, que é aluno, sabe pouco e ainda por cima se sente inseguro do que sabe.

Quando dois matemáticos conversam, caso um deles diga algo na linha “o conjunto dos complexos contém o dos reais”, não é bem isso o que quis dizer, mas seu colega está ciente de que não é bem isso. Não há confusão, pois ambos têm consciência de uma ideia definida e explorada pelo matemático polonês Alfred Tarski em 1935, que é a ideia das inter-relações entre linguagem e estrutura matemáticas.

Definição: Estrutura & Linguagem. Você pode dizer que uma estrutura <S, R, F> é apropriada para uma certa linguagem Ψ se tiver um conjunto S de elementos, um conjunto R de relações que pode estabelecer com tais elementos, e um conjunto F de funções que pode estabelecer com tais elementos, mas é essencial que todo e cada símbolo de Ψ corresponda a algum elemento de S, de R, ou de F, sem exceção.

Mesmo que o estudante nunca tenha ouvido falar de Tarski, se já conhece os números complexos, está sempre trocando, na imaginação, a estrutura <R, R, F> (um conjunto de números reais, as relações que pode estabelecer com números reais, as funções que pode estabelecer com números reais) pela estrutura <C, R, F> (um conjunto de números complexos, mais as relações que pode estabelecer com números complexos, mais as funções que pode estabelecer com números complexos). As duas estruturas se sobrepõem, mas não completamente, ao contrário do que sugere a frase: “O conjunto dos números complexos contém o conjunto dos reais.” Em outras palavras, existe uma linguagem Ψ que funciona tanto na estrutura <CRF> quando na estrutura <RRF>, mas também existe uma linguagem Ψ2 que só funciona na estrutura <CRF> e uma linguagem Ψ3 que só funciona na estrutura <RRF>. Eis uma imagem disso:

O sistema dos números complexos não abarca completamente o dos números reais

O sistema dos números complexos não abarca completamente o dos números reais

Então, se a locução “o conjunto dos complexos contém o conjunto dos reais” é tão somente significante, qual é seu significado? Ele é, mais ou menos: “Tenho aqui um conjunto de pares ordenados de números reais, que representam deslocamentos no plano. Tenho também regras precisas pelas quais somar dois pares ordenados ou multiplicar dois pares ordenados. Esse conjunto de pares ordenados, mais esse conjunto de regras precisas pelas quais somá-los e multiplicá-los, mais as relações e funções que posso estabelecer com tais pares e tais regras, ganha o nome genérico de sistema dos números complexos. Percebo que, no sistema dos números complexos, quando trabalho apenas com pares ordenados do tipo (x, 0), isto é, pares ordenados nos quais a parte imaginária vale zero, ora, dependendo da afirmação matemática com a qual estou trabalhando, tais pares se comportam como se fossem números reais no sistema dos números reais.” (Que significado mais comprido!)

Por exemplo, examine as três afirmações a seguir.

Formulário 3

Formulário 3

Como pode atribuir significado à afirmação (I)? Assim: “Para todo x, para todo y, se x é diferente de y, então ou x é menor que y, ou x é maior que y, mas nunca x é ao mesmo tempo maior que y e menor que y.” É um exemplo de afirmação que pode montar com a linguagem Ψ3, que é verdadeira no sistema dos números reais, mas não no dos números complexos. Pois não há como definir, com toda a generalidade possível, relações de ordem entre números complexos. (Números complexos não servem para contar, nem para medir.) Visto que números complexos são deslocamentos no plano, quase sempre a locução “esse deslocamento é maior que aquele” não tem sentido, pois dois deslocamentos distintos podem ter direção e sentido distintos. Eis uma analogia: um passo no sentido do abismo é maior que dez passos no sentido contrário ao do abismo.

E quanto à afirmação (II)? Ela significa: “Para todo x, se x2 é igual a –1, então ou x é igual à unidade imaginária, ou é igual ao oposto da unidade imaginária.” É uma das afirmações que pode montar com a linguagem Ψ2: ela vale no sistema dos números complexos, mas não no dos reais.

Por fim, eis como pode atribuir significado à afirmação (III): “Para todo x, se x é diferente de zero, então existe um y tal que o produto de x por y, ou de y por x, é igual ao elemento neutro da multiplicação.” É uma afirmação feita com a linguagem Ψ, que funciona tanto no sistema dos números reais quanto no dos complexos.

Com a definição de estrutura e linguagem, Tarski deu significado preciso à ideia de “contexto” na matemática. Quando uma pessoa percebe que certas afirmações matemáticas valem num contexto, mas não em outro, é porque percebeu uma discrepância entre linguagem e estrutura.



{3}/ O dilema de escolher o público-alvo

As três afirmações no formulário 3 sugerem a origem da confusão: o estudante, com um pouco de prática, facilmente troca mentalmente o par ordenado (1, 0) pelo número real 1, troca o par ordenado (0, 1) pela unidade imaginária i, e troca o par ordenado (2, 3) pelo número complexo 2 + 3i, e assim por diante, e vice-versa. Com a prática de trocar mentalmente um sistema pelo outro, e de ajustar a linguagem ao sistema, e de ignorar as diferenças técnicas entre eles, o estudante muito facilmente vê o conjunto dos números reais como subconjunto dos complexos. (E, como é bom deixar claro, vê assim com toda a razão.)

Suponha então o aluno que está entendendo a história toda a respeito de números complexos: ele entendeu que um número complexo é um deslocamento no plano, entendeu como declarar dois deslocamentos como sendo equivalentes, entendeu por que deve representá-los com um par ordenado (x, y) de números reais, entendeu como combiná-los com um tipo especial de adição e um tipo especial de multiplicação, e por último entendeu a vantagem de representar o deslocamento (x, y) com a forma algébrica x + yi. Daí talvez o professor lhe peça para ir à lousa e escrever vários números complexos na forma algébrica, de modo que o aluno obedece:

Formulário 4

Formulário 4

Agora, sim! Diz então o professor à classe: “Olha, caso represente o deslocamento (x, y) com a forma algébrica x + yi, caso considere o número complexo 3 + 0i como sendo apenas 3, caso considere o número complexo 0 + 23i como sendo apenas 23i, caso não se esqueça de que um número complexo denota um deslocamento no plano, caso queira ver um deslocamento no eixo das abscissas como sendo um número real (se o componente vertical do deslocamento for igual a zero), daí você pode dizer, com toda a razão, que o conjunto dos complexos contém o dos reais. Contudo, não deve dizer que o sistema dos números complexos abarca completamente o sistema dos números reais, pois isso não é verdade, já que pode facilmente escrever afirmações verdadeiras para números reais, mas falsas para números complexos.” Quem pode acusar esse professor de confundir o aluno que está entendendo tudo? Ninguém.

Muita gente, contudo, dirá que esse professor vai confundir o aluno que não está entendendo bem essa história de “número real”, “número complexo”, “forma polar”, “forma algébrica”. É a mais pura verdade. Eis um dilema difícil de resolver. {FIM}


P.S. Você deve ter notado que, no curso sobre cálculo infinitesimal, o redator está usando com insistência as locuções “sistema dos números reais” e “sistema dos números hiper-reais”; e deve ter notado que, nesta matéria, usou as locuções “sistema dos números reais” e “sistema dos números complexos”. É uma boa saída ao problema em destaque nesta matéria: a palavra “sistema” contém o sentido de “um grupo de elementos que interagem entre si para formar um todo complicado”, mas, ao mesmo tempo, contém um grau adequado de ambiguidade, que dispensa o redator de fornecer todos os detalhes, ou de mencionar Tarski.

O sistema dos números hiper-reais: dois aspectos


{0}/ Introdução

Este é o segundo texto da série sobre como construir o cálculo diferencial e integral a partir do sistema dos números hiper-reais. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono, décimo.) Desta vez, você vai explorar os conjuntos quase-grandes e o fato de que, caso siga certas regras para escrever uma afirmação matemática válida no sistema dos números reais, tal afirmação também é válida no sistema dos números hiper-reais, de modo que pode usar tudo o que já sabe sobre números reais para raciocinar em termos de hiper-reais.

Note que as seções a seguir estão numeradas a partir de cinco; isso porque, no texto anterior, você explorou as primeiras propriedades dos números hiper-reais em quatro seções. A ideia é contar as seções continuamente, sem nunca reiniciar a contagem, para que fique mais fácil a referência a conceitos tratados em seções já publicadas, do tipo “Veja o exemplo §2-3.” Nessa frase, “exemplo §2-3” significa “o terceiro exemplo mencionado na seção 2”.

Um aviso: as seções contidas neste capítulo são difíceis, e passam uma impressão errada; talvez você chegue à conclusão de que construir o cálculo a partir do sistema dos números hiper-reais é mais difícil do que construí-lo do modo convencional, com limites, épsilons, e deltas. Não é verdade. As seções a seguir são como as fundações de um edifício: dão trabalho, mas depois, ao construir o edifício, na prática você poderá ignorá-las. Lance as fundações com cuidado, portanto, pois assim, a partir da próxima matéria desta série, poderá trabalhar menos e se divertir mais.



{5}/ Mudança de notação

No primeiro capítulo desta série, você denotou os números hiper-reais entre parênteses: com (3), por exemplo, quis dizer a sequência ordenada infinita de números reais (3, 3, 3, 3, …), ou qualquer outra sequência equivalente a ela; no sistema dos números hiper-reais, tal sequência se comporta como o número real 3 no sistema dos números reais.

Visto que é muito maçante escrever os números entre parênteses, e visto que vai misturar na mesma expressão matemática tanto números reais comuns quanto hiper-reais incomuns, faça agora uma mudança de notação: em vez de escrever (3), escreva tão somente 3. Basta manter em mente que, no sistema dos números hiper-reais, ao escrever 3, quer dizer a sequência ordenada infinita (3, 3, 3, 3, 3, …), ou qualquer sequência equivalente a ela. Da mesma forma, em vez de escrever (jn), escreva tão somente j, pois sabe que, com j, quer dizer a sequência ordenada infinita de números reais (j1, j2, j3, …).



{6}/ Os conjuntos quase-grandes

Como deve se lembrar, você definiu os números hiper-reais e aprendeu a realizar com eles algumas operações. Contudo, mesmo para realizar uma operação simples, como verificar se x é igual a y (x = y), foi obrigado a recorrer à ideia de conjunto quase-grande.

É possível que tenha pensado: “Por que sou obrigado a recorrer aos conjuntos quase-grandes? Por que eles são importantes?”

Comece primeiro com a resposta à segunda pergunta: Por que os conjuntos quase-grandes são importantes no sistema dos números hiper-reais?

Para ver sua importância em ação, divida o número hiper-real x pelo hiper-real y.

 

Formulário 1

Pode inspecionar os dois números. Note que x é um infinitésimo (pois é maior que zero, mas é também menor que qualquer número real maior que zero, por menor que seja), e que y é uma sequência finita com três termos iguais a zero, seguida de uma sequência infinita de termos iguais a 2. Já sabe que, para calcular o valor de x/y, tem de dividir x1 = 1 por y1 = 0, x2 = 1/2 por y2 = 0, x3 = 1/3 por y3 = 0, x4 = 1/4 por y4 = 2, etc.

A essa altura, já deve estar protestando: “Mas eu não posso dividir nada por zero!” É verdade. Como então seguir adiante?

Há várias maneiras de sair dessa enrascada. Uma delas: use ND para indicar “operação aritmética não definida”. E daí realize a conta normalmente. Eis o que deve obter:

 

Formulário 2

 

Essa solução não é lá grande coisa, pois você não obteve um número hiper-real. (Que é uma sequência de números reais, e ND não conta como número real.) Ainda assim, examine o conjunto a seguir.

{n : xn/yn é uma operação aritmética válida}

Bem, esse é o conjunto {4, 5, 6, 7, 8, …}. Ele é quase-grande, pois é o conjunto dos inteiros positivos menos um número finito de inteiros, que são os inteiros 1, 2, 3. Com essa constatação, está pronto para compreender o significado intuitivo de conjunto quase-grande: ele garante que você pode dividir a maioria absoluta dos termos de pela maioria absoluta dos termos de y.

Ou você pode realizar essa operação de outro jeito, se quiser, que é um dos muitos modos pelos quais um matemático definiria uma operação como essa: comece definindo uma função f de duas variáveis, x e y.

 

Formulário 3

 

E com isso pode construir o número hiper-real que obtém ao dividir x por y:

 

Formulário 4

Formulário 4

 

Como poderia verificar se o número hiper-real x/y faz sentido? Recorra mais uma vez a um conjunto quase-grande; pode verificar, por exemplo, que o conjunto a seguir é quase-grande, e com isso você quer dizer que pode dividir a maioria absoluta dos termos de x pela maioria absoluta dos termos de y.

 

Formulário 5

Formulário 5

 

É para isso que vai usar os conjuntos quase-grandes no sistema dos números hiper-reais: para garantir que determinada afirmação matemática é válida para a maioria absoluta dos termos de cada um dos números hiper-reais que usou na afirmação. Assim, se A(x, y, z) é uma afirmação matemática qualquer na qual aparecem as variáveis hiper-reais x, y, z (por exemplo, uma equação), e se o conjunto {n : A(xn, yn, zn) é válida} é quase-grande, então você pode considerar a afirmação A(x, y, z) como sendo válida no sistema dos números hiper-reais. Caso contrário, declare A(x, y, z) como inválida.

Não deixe de ver que está fazendo uma escolha: “No meu sistema dos números hiper-reais, quero declarar como válidas as afirmações que estejam respaldadas por conjuntos quase-grandes, e quero declarar como inválidas, ou como inúteis, as afirmações que não estejam respaldadas por conjuntos quase-grandes.” Mais adiante, verá por que essa escolha é importante.

Outra vez: se você consegue provar que o conjunto {n : A(xn, yn, zn) é válida} é quase-grande, então provou o seguinte: “Essa afirmação A é válida para a maioria absoluta dos termos de x, de y, e de z.” (Pois x, y, z são sequências infinitas de números reais.) Não perca essa ideia de vista: você constrói os números hiper-reais com sequências infinitas de números reais, e, recorrendo aos conjuntos quase-grandes, garante que suas afirmações matemáticas valham para a maioria absoluta dos termos das sequências que está manejando.

Chegou a hora, portanto, de definir precisamente o que é um conjunto quase-grande.



{7}/ Como definir conjuntos quase-grandes

Já sabe que o conjunto dos inteiros positivos, Z≥1 = {1, 2, 3, 4, 5, …}, é quase-grande. (A partir de agora, pode chamar tal conjunto de “conjunto dos número naturais”, e denotá-lo com N.) Além disso, se vai chamar um conjunto de quase-grande, ou esse conjunto é o próprio N ou é um subconjunto de N. Então, sua missão é definir precisamente como pode batizar um subconjunto de N de quase-grande, de modo que tal subconjunto tenha as quatro propriedades a seguir.

§7-(1). Nenhum conjunto finito de inteiros positivos é quase-grande.

§7-(2). Se A e B são conjuntos quase-grandes, então o conjunto A ∩ B também é quase-grande.

§7-(3). Se A é quase-grande e AC, então C é quase-grande.

§7-(4). Se A não é quase-grande, então AC, que é o conjunto complemento de A, é quase-grande; ou vice-versa.

Note que um conjunto quase-grande tem de ter as quatro propriedades juntas; se não tiver qualquer uma delas, não é quase-grande.

(De onde saíram essas propriedades? Caso queira ler sobre o assunto, elas saíram de um tópico da teoria dos conjuntos, chamado ultrafiltros, que são uma aplicação do lema de Kuratowski–Zorn.)

À guisa de etapa preparatória, vai pensar em subconjuntos especiais de N, que pode batizar de “conjuntos cofinitos”; tais subconjuntos de N são aqueles conjuntos cujo complemento é finito. (A palavra “cofinito” traduz essa ideia: complemento de um conjunto finito.)

É bom começar o trabalho de caracterizar os conjuntos quase-grandes com tais subconjuntos de N, porque todo subconjunto cofinito de N é quase-grande. Pense assim: um subconjunto cofinito de N satisfaz a propriedade §7-(1), pois tem número infinito de elementos.

E quanto à propriedade §7-(2)?

Suponha agora que A e B são dois subconjuntos cofinitos de N. Daí AC e BC são ambos finitos, de modo que AC ∪ BC também é finito. Com isso, (ACBC)C é cofinito. Se usar agora a lei de De Morgan, deve chegar à afirmação a seguir.

 

Formulário 5

Formulário 6

 

Ora, neste caso, o complemento da união de dois conjuntos finitos é um conjunto infinito; logo, A ∩ B é infinito e é quase-grande, e com isso você obteve a propriedade §7-(2).

Para obter a propriedade §7-(3), pense assim: se AB, daí BCAC. Visto que AC é finito, então BC também é, de modo que B é cofinito.

Fica claro agora que todo subconjunto cofinito de N também satisfaz a propriedade §7-(4), desse modo: se A é um conjunto cofinito de N, AC é finito; logo, AC não é quase-grande, mas seu complemento (AC)C = A é quase-grande.

Então, mais uma vez: todo subconjunto cofinito de N é quase-grande.

Agora, será que todo conjunto quase-grande é cofinito? Não, pois o conjunto dos pares é infinito, e seu complemento, o conjunto dos ímpares, também é infinito. Nenhum dos dois é cofinito, mas um deles é quase-grande e o outro não é, à sua escolha. (Logo verá como fazer essa escolha.)

Então, o melhor é começar a definição de conjuntos quase-grandes com os subconjuntos cofinitos do conjunto N, que certamente são quase-grandes. A cada estágio desta definição, você definirá novos conjuntos quase-grandes, e a cada estágio terá a certeza de que os conjuntos definidos até o momento satisfazem as propriedades §7-(1), §7-(2), e §7-(3).

[A propriedade §7-(3) é consequência das duas primeiras. Se o conjunto A é quase-grande e AB, então B tem de ser quase-grande também. Eis uma prova por contradição: suponha que B não é quase-grande. Daí, pela propriedade §7-(4), BC é quase-grande. E então, pela propriedade §7-(2), A ∩ BC é quase-grande, mas A ∩ BC é o conjunto vazio, e portanto é um conjunto finito; por causa da propriedade §7-(1), não pode ser quase-grande. Contradição. A figura 1 mostra o diagrama de Venn dessa situação. Agora, se §7-(3) é consequência de §7-(1) e §7-(2), por que então colocá-la na lista? Ela será útil em provas e demonstrações, e vale a pena mantê-la em destaque.]

 

Figura 1

Figura 1

 

Então, liste na sua imaginação todos os subconjuntos de N: A1, A2, A3, A4, A5, …, An, … Absolutamente todos. Um detalhe: organize sua lista de modo que A1 seja ou um subconjunto finito de N ou o complemento de um subconjunto finito de N; por exemplo, faça com que A1 ou seja {1} ou seja {2, 3, 4, 5, …}. Feito isso, não deixe de notar que sua lista é infinita, tão “densa” que você não tem como contá-la com o conjunto dos números naturais.

A cada passo dessa construção dos subconjuntos quase-grandes de N você vai pegar um desses conjuntos, por exemplo A5, e vai torná-lo quase-grande ou vai tornar seu complemento quase-grande. Dessa maneira, quando tiver passado em revista todos os infinitos subconjuntos de N, daí todos os conjuntos quase-grandes terão de satisfazer a propriedade §7-(4).

Passo 1. Você verifica se A1 intersecta todos os conjuntos quase-grandes que definiu até agora. (Por enquanto, só definiu os conjuntos cofinitos; pode chamá-los de “conjuntos B”.) Assim, você verifica se, para todo conjunto quase-grande B, A1B ≠ Ø. Ou A1 tem essa propriedade, ou A1C. Isso porque, se B e C são conjuntos quase-grandes tais que A1B = Ø e A1CC = Ø, daí você teria BC = Ø, o que contradiz as propriedades §7-(1) e §7-(2).

Pode ver essa conclusão num diagrama de Venn. Para desenhar A1B = Ø e A1CC = Ø, tem de desenhar o diagrama da figura 2.

 

Figura 2

Figura 2

 

E daí, não tem como escapar disso, BC = Ø.

Então, ou A1 ou A1C intersecta todos os conjuntos quase-grandes que definiu até aqui, e daí, pela propriedade §7-(2), ou A1 ou A1C é quase-grande. (E, caso aconteça de que tanto A1 quanto A1C intersectem todos os conjuntos quase-grandes que definiu até aqui, simplesmente declare  A1 como sendo quase-grande.) Agora renomeie o conjunto que descobriu como sendo quase-grande: chame-o mais simplesmente de A. Daí você tem de dizer que AB é quase-grande para cada um dos conjuntos B quase-grandes com os quais começou.

Desse jeito, aumentou sua coleção de conjuntos que pode classificar como quase-grandes: começou com todos os subconjuntos B cofinitos de N, e agora juntou a tais conjuntos o conjunto A. Sua nova coleção satisfaz §7-(1) e §7-(2)? Sim, satisfaz. Veja como pode provar isso:

(i) Pense em AB como sendo qualquer um dos novos conjuntos quase-grandes. Esse conjunto poderia ser finito? Não, porque, se fosse finito, daí (AB)C seria cofinito, e portanto seria um dos subconjuntos B com os quais começou; e daí o conjunto (A ∩ B)C ∩ B teria de ser um dos subconjuntos B com os quais começou, visto que tais conjuntos B satisfazem a propriedade (2). Sendo assim, [(A ∩ B)CB]CA ≠ Ø; essa conclusão vale pelo modo como escolheu A. Mas [(A ∩ B)C ∩ B]C ∩ A = Ø. (Pode ver essa sequência de pensamentos nos diagramas de Venn da figura 3.) Isso contradiz o fato de que os velhos conjuntos quase-grandes satisfazem §7-(1), e portanto AB tem de ser infinito.

 

Figura 3

Figura 3

 

(ii) Para quaisquer dois novos conjuntos quase-grandes AB e AC, pode verificar como a intersecção (AB) ∩ (AC) = A ∩ (BC) também é quase-grande. Da mesma forma, a intersecção de um novo conjunto quase-grande AB e qualquer um dos velhos conjuntos B é quase-grande. Com tudo isso, você demonstrou que a coleção de velhos subconjuntos cofinitos de N, acrescida do novo conjunto A, ainda satisfaz as propriedades §7-(1) e §7-(2).

Passo 2. Repita todo o passo 1, mas desta vez para o conjunto A2.

Continuando dessa maneira, você executa cada um dos infinitos passos da mesma maneira que executou o passo 1. No passo α, deve considerar o conjunto Aα, e vai declarar ou Aα ou AαC como sendo quase-grande.

No final desse processo, terá todos os conjuntos quase-grandes que pode formar a partir do conjunto N. E, pelo jeito como construiu a coisa toda, ficará claro que tais conjuntos satisfazem §7-(1) e §7-(2), pois satisfizeram §7-(1) e §7-(2) a cada passo da construção; e satisfazem também a propriedade §7-(4) pelo próprio modo como foram construídos. E, como já sabe, se um conjunto quase-grande satisfaz as propriedades §7-(1), §7-(2), e §7-(4), com certeza satisfaz também a propriedade §7-(3).

E com isso você tem seus conjuntos quase-grandes bastante bem construídos.

Lembrete. Se o conjunto dos inteiros pares aparece primeiro na sua lista infinita de subconjuntos de N, você o vai declarar como sendo quase-grande, e seu complemento, o conjunto dos ímpares, como não sendo quase-grande. Se o conjunto dos ímpares aparece primeiro na lista, você o vai declarar como sendo quase-grande, e o dos pares, como não sendo. Isso não tem importância! Para o propósito de construir o cálculo diferencial e integral, tanto faz qual dos dois conjuntos é quase-grande, se o dos pares ou o dos ímpares.



{8}/ O sistema dos números hiper-reais

Você agora está em posição de definir, com precisão, o que quer dizer com “sistema de números hiper-reais”. (Não fique ansioso caso não compreenda algo na definição a seguir; pois vai examinar as explicações logo abaixo.)

Definição §8-1. Pode dizer que montou um sistema de números hiper-reais Ĥ caso seu sistema tenha as três propriedades a seguir:

§8-1-(1). Ĥ contém o sistema dos números reais. Com isso, você quer dizer não apenas que incluiu todos os números reais em Ĥ, mas também que toda relação ou função que pode definir no sistema dos números reais, pode também definir em Ĥ.

§8-1-(2). Ĥ contém um infinitésimo. O que quer dizer com isso? Que existe um número ϖ tal que ϖ > 0, mas que, apesar disso, ϖ < r para todo número real positivo r, por menor que seja.

§8-1-(3). Se pode recorrer à lógica de primeira ordem para fazer uma afirmação verdadeira no sistema R dos números reais, então essa afirmação também é verdadeira no sistema Ĥ dos números hiper-reais. (Pode dizer que uma afirmação escrita com lógica de primeira ordem foi escrita com “a linguagem L”.) A recíproca é verdadeira: se pode recorrer à linguagem L para fazer uma afirmação verdadeira no sistema Ĥ dos números hiper-reais, então essa afirmação também é verdadeira no sistema dos números reais. Em resumo, se usa a linguagem L para montar a afirmação B, então B é verdadeira em Ĥ se, e somente se, é verdadeira em R.

Note que a definição acima menciona “um sistema de números hiper-reais”; isso porque, em tese, você pode construir infinitos sistemas assim. Não importa: se seu sistema tiver as três características acima, poderá usá-lo para construir o cálculo diferencial e integral.

Contudo, visto que nesta série de capítulos você vai estudar um sistema específico, pode usar o símbolo Ĥ para denotar esse sistema, e pode se referir a ele como sendo “o” sistema dos números hiper-reais.


Comece a análise da definição §8-1 pelo item §8-1-(2): você já sabe que Ĥ contém pelo menos um infinitésimo. Faça ϖ = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/n, …). Bem, ϖ > 0, visto que o conjunto {n : ϖn > 0} é quase-grande; afinal, é o próprio conjunto N: ϖ1 = 1 > 0, ϖ2 = 1/2 > 0, ϖ3 = 1/3 > 0, e assim por diante. E ϖ < r para qualquer número real r, por menor que seja. Suponha, por exemplo, que r = 1/10 = (1/10, 1/10, 1/10, …). Daí ϖ < r, pois o conjunto {n : ϖn < r} = {11, 12, 13, …} é quase-grande. Ou suponha que r = 1/10100 = (1/10100, 1/10100, 1/10100, …); daí ϖ < r, pois o conjunto {n : ϖn < r} = {10100 + 1, 10100 + 2, 10100 + 3, …} é quase-grande. Pode aplicar um argumento semelhante a esse para qualquer valor real positivo de r, por menor que seja.

Chegou a hora de entender o que é essa linguagem L, e de explorá-la, para ver como pode usá-la para escrever afirmações matemáticas.

Na verdade, você já conhece a linguagem L, e já a conhece de longa data; já a usou muitas vezes, mesmo que não estivesse consciente disso. Assim como escreve uma frase em português com palavras, e escreve uma palavra com letras, você escreve afirmações na linguagem L com termos.

Definição §8-2. Um termo da linguagem L é qualquer um dos itens a seguir:

§8-2-(a). Uma constante. Por exemplo, a constante r, com a qual pode denotar um número real.

§8-2-(b). Uma variável. Por exemplo, x1, x2, x3; ou a, b, c; ou y1, y2, y3.

§8-2-(c). Um função f(t1, t2, t3, …, tn), na qual usou f para denotar a função, e usou t1, t2, t3, …, tn para denotar cada um de n termos. Estude este exemplo:

 

Formulário 5

Formulário 7

 

Bem, segundo o item §8-2-(b), x1 é um termo; x2 também; segundo o item §8-2-(a), 3 é um termo, e r, que denota uma constante real qualquer, também é um termo; 3r também é um termo, pois é uma constante; x12 é uma função de uma variável, e, pelo item (c), é um termo; o mesmo vale para x23; e o mesmo vale para x12x23 + 3r, de modo que a função f(x1, x2) é, ela própria, um termo. (Note que, com a palavra “função”, você denota a definição estrita de função, a que pode estudar em qualquer dicionário moderno de matemática; é o que os matemáticos também chamam de aplicação ou de mapa.)

Com os itens §8-2-(a), §8-2-(b), §8-2-(c) da definição §8-2, você já tem as palavras de sua linguagem L. Agora, verá que pode com tais palavras formar afirmações com começo, meio, e fim.

Definição §8-3. Uma fórmula da linguagem L é qualquer um dos itens a seguir.

§8-3-(i). R(t1, t2, t3, …, tn), expressão na qual usou R para denotar uma relação com n termos, e usou t1, t2, t3, …, tn para denotar os termos em si. Eis alguns exemplos: você pode definir a relação =(t1, t2), que é verdadeira se t1 é igual a t2 e falsa se t1 é diferente de t2; é o mesmo que escrever t1 = t2. (Veja: em geral, o estudante está tão acostumado a escrever x = y que nem lhe ocorre que x = y é uma relação binária, talvez verdadeira, talvez falsa, e que, se quisesse, podia escrevê-la de outra forma.) Você também pode definir a relação Menor(t1, t2), que é verdadeira se t1 é menor que t2 e é falsa se t1 é maior que t2; é o mesmo que escrever t1 < t2. Você também pode definir relações unárias; por exemplo, Z(x1), que é verdadeira se x1 é um inteiro, e falsa se x1 não é um inteiro. Não se esqueça de que os termos de uma relação R podem ser funções; você pode inventar a relação F_Racional[P1(x), P2(x), P3(x), …, Pn(x)], que é verdadeira se todos os termos P1(x), P2(x), P3(x), …, Pn(x) são funções racionais em x, e falsa se pelo menos um desses termos não for uma função racional em x. O céu é o limite.

§8-3-(ii). (FG), na qual F e G são fórmulas. [Leia (FG) assim: “F ou G”. Para que a fórmula (FG) seja verdadeira, ou F é verdadeira, ou G é verdadeira, ou F e G são verdadeiras; note que talvez a fórmula (FG) seja falsa, quando F e G são ambas falsas.]

§8-3-(iii). (FG), na qual F e G são fórmulas. [Leia (FG) assim: “F e G”. Para que a fórmula (FG) seja verdadeira, as fórmulas F e G têm de ser ambas verdadeiras; note que a fórmula (FG) talvez seja falsa.]

§8-3-(iv). (F → G), na qual F e G são fórmulas. [Leia (F → G) assim: “F implica G.” Essa expressão só é falsa quando F é verdadeira e G é falsa; nos demais casos, é verdadeira.]

§8-3-(v). ¬F, na qual F é uma fórmula. [Leia ¬F assim: “Não F”, ou “A negação de F.” ¬F é uma fórmula verdadeira se F é falsa, e é falsa se F é verdadeira.] Olhe de novo um dos exemplos do item §8-3-(i), e note que que ¬=(t1t2) é o mesmo que ≠(t1, t2), que é o mesmo que t1t2.

§8-3-(vi).

Formulário 8

 

Nessa expressão, F(xn) é uma fórmula na qual xn aparece. [Neste caso, ela significa: existe pelo menos um número real xn tal que F(xn) é verdadeira; a expressão é verdadeira se existe tal xn, ou é falsa se não existe.]

§8-3-(vii).

Formulário 7

Formulário 9

Nessa expressão, F(xn) é uma fórmula na qual xn aparece. [Neste caso, ela significa: para todo número real xn, F(xn) é verdadeira; a expressão é verdadeira se a fórmula é verdadeira para todo xn, ou é falsa caso haja um único xn que torne a fórmula inválida.]

(Caso queira ler um pouco mais sobre o assunto: mais uma vez, essa linguagem L nada mais é que a lógica de primeira ordem; em inglês, first-order logic.)

É o momento de explorar um pouco essa linguagem L, de explorar alguns exemplos, para ver como é fácil pegar uma afirmação feita em L, verdadeira para números reais, e prová-la verdadeira também para números hiper-reais (com a ajuda dos conjuntos quase-grandes).

Exemplo §8-1. Todo número real é igual a si mesmo.

Pode reescrever essa afirmação assim:

 

Formulário 8

Formulário 10

 

Será que essa afirmação também é verdadeira no sistema dos números hiper-reais? Sim, é, pois o conjunto {n : xn = xn} é quase-grande. Logo, você pode escrever:

 

Formulário 9

Formulário 11

 

(Fica claro que, na linha acima, HR denota Ĥ, o sistema dos números hiper-reais.)

Exemplo §8-2. Se a é igual a b, então b é igual a a.

Veja um jeito de escrever isso:

 

Formulário 10

Formulário 12

 

Essa linha é verdadeira para todo a, b reais. Mas também é verdadeira para todo a, b hiper-reais, pois, o conjunto {n : an = bn} é quase-grande se o hiper-real a é igual ao hiper-real b; mas, para todo an = bn, obrigatoriamente bn = an, de modo que o conjunto {n : bn = an} também é quase-grande, e, aliás, é idêntico ao conjunto {n : an = bn}.

Exemplo §8-3. Todo número diferente de zero tem um inverso multiplicativo, ou um recíproco.

Veja como pode escrever isso:

 

Formulário 12

Formulário 13

 

Pode dizer que essa afirmação é válida se x é um número hiper-real? Sim, pois, para todo hiper-real x, se o conjunto {n : xn ≠ 0} é quase-grande, então x ≠ 0. E daí você pode definir a função f a seguir:

 

Formulário 12

Formulário 14

 

E com ela, pode montar o número hiper-real x–1:

 

Formulário 13

Formulário 15

 

Pode verificar, com alguns exemplos práticos, como o conjunto {n : xn·xn–1 = 1} é quase-grande. Em palavras, se a maioria absoluta dos termos de x é diferente de zero, e se a maioria absoluta dos termos de x–1 é o recíproco do termo correspondente de x, então a maioria absoluta dos termos de xn·xn–1 é igual a 1.

Exercício §8-1. Use o mesmo método para explorar as afirmações a seguir, que são verdadeiras no sistema dos números reais. Escreva a afirmação com a linguagem L, e depois prove, recorrendo aos conjuntos quase-grandes, que ela vale para números hiper-reais.

(1) Todo número é igual a si mesmo.

(2) Se a = b, então b = a.

(3) Se a e b são ambos iguais a c, então b é igual a a.

(4) A adição é comutativa.

(5) A adição é associativa.

(6) O zero é o elemento neutro da adição.

(7) Todo número tem um inverso aditivo. (Ou todo número tem um oposto.)

(8) A multiplicação é comutativa.

(9) A multiplicação é associativa.

(10) O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

(11) Todo número diferente de zero tem um inverso multiplicativo. (Ou todo número diferente de zero tem um recíproco.)

(12) A multiplicação se distribui sobre a adição pela direita e pela esquerda.

(13) A soma de dois números positivos é um número positivo.

(14) O produto de dois números positivos é um número positivo.

(15) O inverso aditivo de um número positivo não é positivo. (Ou o oposto de um número positivo não é positivo.)

(16) Todo número diferente de zero ou é positivo ou é negativo.

Agora, suponha que monte uma afirmação na qual apareçam funções. Por exemplo, a afirmação a seguir.

 

Formulário 14

Formulário 16

 

Ela realmente vale para todo número real x. Mas será que vale para todo número hiper-real x? Como alguém pode pensar nesse problema, isto é: como colocar, no argumento do seno, e no argumento do cosseno, uma sequência infinita de números reais?

É um problema mais simples do que parece à primeira vista: tudo o que tem de fazer é verificar como o conjunto a seguir é quase-grande, pois é o conjunto N dos inteiros positivos.

 

Formulário 15

Formulário 17

 

Por exemplo, se x = (1, 2, 3, 4, 5, …), daí sen2x1 + cos2x1 = sen21 + cos21 = 1; sen2x2 + cos2x2 = sen22 + cos22 = 1; e assim por diante, não importa o valor real de xn. Então, se uma função f é verdadeira para o número real x, ela também é verdadeira para o número hiper-real x se o conjunto {n : f(xn)} é quase-grande. A mesma ideia vale para relações.

Veja outro problema interessante: suponha que R é uma relação, que j é um número real, e que R(j) é verdadeira. Daí, se j é um número hiper-real, R(j) é verdadeira se é quase-grande o conjunto {n : R(jn) é verdadeira}. Suponha que sim, e suponha ainda que o número hiper-real k é igual ao hiper-real j, pois o conjunto {n : jn = kn} é quase-grande. Daí será que R(k) é verdadeira? Sim. Examine os conjuntos abaixo.

 

Formulário 16

Formulário 18

 

Você já sabe que o conjunto A é quase-grande, assim como o conjunto C, pois supôs assim. (Lembrete: A = {n : R(jn)} significa “Ponha o inteiro n dentro do conjunto A sempre que a relação R for verdadeira para o número real jn.”) Sendo assim, AC também deve ser quase-grande [propriedade (2) na seção 7]; visto que ACB, B deve ser quase-grande [propriedade (3) na seção 7], de modo que R(k) é verdadeira. [Viu por que a propriedade (3) na seção 7 merece destaque, embora seja consequência das outras duas?]

Veja outro caso bacana: se j e k são números reais, e se j · k = 0, então ou j = 0, ou k = 0, ou j = k = 0. (Em linguagem técnica: o sistema dos números reais não tem divisores próprios de zero.) Se quiser expressar isso com a linguagem L, veja o que pode escrever:

 

Formulário 17

Formulário 19

 

Será que isso também vale para números hiper-reais? Suponha agora que j, k são números hiper-reais, e que jk = 0. E desenhe um diagrama de Venn para ilustrar os conjuntos A, B, C a seguir.

 

Formulário 18

Formulário 20

 

Figura 4

Figura 4

 

O conjunto A só contém os inteiros n tais que jn = 0; o conjunto B só contém os inteiros n tais que kn = 0; mas o conjunto C contém os inteiros n tais que ou jn = 0, ou kn = 0, ou jn = kn = 0. Logo, o conjunto C é a união de A com B: C = AB. Sendo assim, se C é quase-grande, e se ainda C = AB, daí ou AC é quase-grande, ou BC é quase-grande, ou A, C são ambos quase-grandes, de modo que a afirmação no formulário 19 também vale no sistema dos números hiper-reais.

Suponha agora que queira criar função I, que funciona assim: I(x) = 1 se x é um inteiro e I(x) = 0 se x não é um inteiro. É uma função unária bem-definida — e útil. Será que o hiper-real N a seguir é um inteiro?

 

Formulário 21

 

Sim, pois o conjunto {n : I(Nn) = 1} é quase-grande. Além disso, como já viu antes, N é maior do que qualquer número real r que possa imaginar, por maior que seja, pois o conjunto {n : Nn > rn} é quase-grande para qualquer valor de r, por maior que seja. [Pense, por exemplo, em r = 100 = (100, 100, 100, 100, 100, …), isto é, rn = 100 para todo valor natural de n. Daí o conjunto {n : Nn > rn} é o conjunto {101, 102, 103, 104, 105, …}, que é quase-grande.] Isso significa que, no sistema dos números hiper-reais, existem inteiros positivos que são maiores do que qualquer número real r que possa imaginar, por maior que seja.

Eis a questão, em resumo: parece que, quando você se acostuma a montar afirmações com a linguagem L, e quando recorre aos conjuntos quase-grandes para testá-las com os números hiper-reais, toda afirmação válida para números reais é também válida para número hiper-reais.


Chegou a hora, portanto, de estudar melhor o item (3) da definição §8-1. Você precisa mostrar que, se usa a linguagem L para fazer uma afirmação válida em R, então ela é válida também em Ĥ, e vice-versa. É um problema difícil, pois uma afirmação escrita com L pode ser tão grande e complicada quanto possa imaginar — ela pode se estender por 500 folhas de papel A4, ou por 10.000. Como pode ter a certeza de que, se for válida em R, será válida em Ĥ, e vice-versa?

Bem, para atacar esse problema corretamente, precisa acrescentar à linguagem L um símbolo para cada número hiper-real que possa imaginar — infinitésimos, inteiros naturais maiores que qualquer real, etc. Use agora os símbolos j1, j2, j3, …, jn, que denotam os números hiper-reais j1, j2, j3, …, jn. Lembre-se de que tais números são sequências ordenadas infinitas de números reais; j1, por exemplo, é a sequência ordenada (j1(1), j1(2), j1(3), …, j1(n), ….). Chame essa nova linguagem, na qual inclui símbolos para números hiper-reais, de L*.

Agora, imagine uma afirmação G, ou uma fórmula G, que você escreveu com a linguagem L*. Pode escrever assim:

 

Formulário 20

Formulário 22

 

Com isso, quis apenas dizer que escreveu uma fórmula G na qual aparecem os números hiper-reais j1, j2, j3, …, jn.

Bem, se j1, j2, j3, …, jn são sequências de números reais, o que acontece se você escrever a afirmação G com o primeiro termo de j1, o primeiro de j2, o primeiro de j3, …, o primeiro de jn? Terá a seguinte afirmação G:

 

Formulário 21

Formulário 23

 

Veja como agora você montou uma afirmação G na qual só existem números reais — não há nela nenhum número hiper-real, isto é, só há nela símbolos da linguagem L, mas não da linguagem L*. Já pode com isso entender uma definição importante:

Definição §8-4. Se G = G(j1, j2, j3, …, jn) é uma fórmula que você escreveu com a linguagem L*, daí Gn = G(j1(n), j2(n), j3(n), …, jn(n)) é uma fórmula de L.

Está pronto para apreciar um teorema do lógico polonês Jerzy Łós (1920-1998); o teorema está entre as grandes realizações da humanidade no século 20.

Teorema §8-1. Se G é qualquer fórmula escrita com a linguagem L*, daí G é verdadeira no sistema dos números hiper-reais se, e somente se, o conjunto {n : Gn é verdadeira nos sistema dos números reais} é quase-grande.

(Se quiser saber mais, esse teorema é um caso especial do teorema fundamental dos ultraprodutos.)



{9}/ A prova do teorema de Łós

Passo 1. Suponha que o teorema é falso.

Passo 2. Suponha que usou a linguagem L* para escrever uma fórmula G de modo que ou G é verdadeira no sistema dos números hiper-reais, mas o conjunto {n : Gn é verdadeira nos reais} não é quase-grande; ou G é falsa no sistema dos números hiper-reais, mas o conjunto {n : Gn é verdadeira nos reais} é quase-grande.

Passo 3. Suponha ainda que G é uma fórmula a menor possível, isto é, que não pode deixá-la mais simples do que está. Com ela, você fez uma afirmação matemática recorrendo ao menor número possível de elementos da linguagem L*.

Passo 4. Agora você vai provar que G não é uma fórmula do tipo §8-3-(i), nem do tipo §8-3-(ii), nem do tipo §8-3-(iii), …, nem do tipo §8-3-(vii). Visto que toda fórmula que escreve com L* tem de ser de um desses tipos, terá provado o teorema por contradição.

Passo 5. G não é uma fórmula do tipo §8-3-(i). Pelo modo como construiu os hiper-reais Ĥ, se uma relação R vale em Ĥ, o conjunto {n : Rn é verdadeira nos reais} tem de ser quase-grande. (Rn significa a mesma coisa que Gn.)

Passo 6. G não é uma fórmula do tipo §8-3-(ii). Suponha que G seja uma fórmula do tipo FK. Visto que F e K são ambas fórmulas mais curtas que G, o teorema é válido para cada uma delas. Então, suponha que G é verdadeira em Ĥ. Daí, ou F ou K tem de ser verdadeira em Ĥ; suponha que seja F. Ao aplicar o teorema a F, visto que F é verdadeira em Ĥ, daí o conjunto A = {n : Fn é verdadeira em R} é quase-grande. Faça B = {n : Gn é verdadeira em R}. Agora note que, para todo n natural, a afirmação Gn não passa de FnKn, e pode ver que AB. Logo, B tem de ser um conjunto quase-grande também.

Passo 7. Agora, prove a recíproca da afirmação contida no passo 6. Suponha que B = {n : Gn é verdadeira em R} é quase-grande. Faça A = {n : Fn é verdadeira em R} e C = {n : Kn é verdadeira em R}. Pode verificar, com um diagrama de Venn, como B = AC. Isso implica que um dos dois, A ou C, tem de ser quase-grande, ou ainda que ambos são quase-grandes. Suponha o contrário: nem A nem C são quase-grandes. Daí AC e CC são ambos quase-grandes, e com isso ACCC ∩ B seria quase-grande; porém ACCCB = Ø, o que é uma contradição. Então, suponha que C é quase-grande. Daí, ao aplicar o teorema a K, K tem de ser uma afirmação verdadeira em Ĥ, e como consequência G tem de ser verdadeira em Ĥ. De modo análogo, se A é quase-grande, daí F é verdadeira em Ĥ, de modo que G é verdadeira em Ĥ. Em qualquer um dos dois casos, G tem de ser verdadeira em Ĥ, de modo que o teorema é válido para G. Com isso, acabou de provar que G não pode ser do tipo §8-3-(ii).

Passo 8. Recorra a um procedimento semelhante ao procedimento descrito nos passos 6 e 7, e prove que G não é do tipo §8-3-(iii), §8-3-(iv), ou §8-3-(v).

Passo 9. G não pode ser do tipo §8-3-(vi). Suponha que G seja a fórmula a seguir.

 

Formulário 22

Formulário 24

 

Suponha ainda que G seja verdadeira em Ĥ. Daí pode achar um hiper-real j tal que F(j) é verdadeira em Ĥ. Visto que F(j) é uma afirmação mais breve que G, o teorema é verdadeiro para F, e assim o conjunto A = {n : F(j)n é verdadeira em R} é quase-grande. Mas AB = {n : Gn é verdadeira em R}, visto que Gn é a fórmula a seguir.

 

Formulário 23

Formulário 25

 

Além disso, F(j)n é a mesma coisa que Fn(jn). Portanto, B também é quase-grande.

Prove agora a recíproca disso. Suponha que B é quase-grande. Daí, para todo n em B, a afirmação no formulário 25 é verdadeira em R; assim, para todo valor de n, escolha um número real an tal que Fn(an) é verdadeira em R. E então defina o número hiper-real j com a função a seguir.

 

Formulário 24

Formulário 26

 

Daí BC = {n : Fn é verdadeira em R}, de modo que C também é quase-grande. Visto que F(j) é uma afirmação mais breve que G, o teorema vale para F(j), e assim F(j) tem de ser verdadeira em R. Daí G também tem de ser verdadeira em R. Como o teorema vale para G, G não pode ser uma fórmula do tipo §8-3-(vi).

Passo 10. Recorra a um argumento semelhante ao do passo 9, e prove que G também não pode ser uma fórmula do tipo §8-3-(vii).

Passo 11. E com isso você provou, por contradição, o teorema §8-1. Pois, se o teorema fosse falso, G não poderia ser nenhuma das fórmulas (i) a (vii) na definição §8-3; contudo, G tem de ser uma dessas fórmulas. Logo, o teorema é verdadeiro.

Note que essa prova é um tipo de prova por indução matemática. Ele inclui dois jeitos de pensar: primeiro, você está mostrando que, se determinada fórmula A é um contraexemplo ao teorema de Łós, então existe um contraexemplo mais curto, e outro mais curto, e outro mais curto, e assim por diante ao infinito, o que é impossível. Segundo, você está mostrando que, se pega fórmulas que satisfazem o teorema, e com elas monta uma fórmula ainda maior, a fórmula maior também satisfaz o teorema.



{10}/ Uma versão intuitiva do teorema de Łós

Suponha que tenha escrito a afirmação G recorrendo apenas à linguagem L, isto é, sem recorrer a nenhum símbolo que denote um hiper-real. Daí, necessariamente, Gn = G para todo n. Assim, se escreveu G com L, o conjunto {n : Gn é verdadeira em R} ou é o conjunto vazio (se G é falsa em R) ou é o conjunto N dos números naturais (se G é verdadeira em R). O conjunto vazio não é quase-grande, mas o conjunto N dos naturais é, e desse modo pode concluir, pelo teorema, que G é verdadeira no sistema Ĥ dos números hiper-reais se, e somente se, G é verdadeira no sistema R dos números reais.



{11}/ A importância do teorema de Łós

Se você consegue escrever afirmações verdadeiras no sistema R dos reais usando apenas constantes, variáveis, símbolos gramaticais comuns, conectivos, quantificadores, funções, e relações, então pode recorrer ao teorema de Łós para dizer que tais afirmações também são verdadeiras no sistema Ĥ dos números hiper-reais. E com isso tem diante de si uma tremendíssima vantagem.

Tremendíssima vantagem §11-1. Antes, você pensava assim: “O que acontece se n tende ao infinito positivo?” Agora, pode pensar assim: “O que acontece se n for um hiper-real infinito positivo, isto é, um hiper-real maior que qualquer real r que eu possa imaginar?” Antes, pensava assim: “O que acontece se x tende a zero?” Agora, pode pensar assim: “O que acontece se x for um hiper-real infinitésimo?” E logo depois de fazer tais perguntas, pode fazer contas que qualquer rapaz ou rapariga no ensino médio sabe fazer, e tirar conclusões certeiras sobre derivadas, integrais, polinômios infinitos.



{12}/ O que você não pode fazer

Note que, com a linguagem L, não pode quantificar conjuntos. Você pode escrever “existe pelo menos um número inteiro positivo x tal que blá-blá-blá”; se essa afirmação for verdadeira nos reais, será verdadeira nos hiper-reais, e vice-versa; mas não pode escrever “existe um conjunto X de números inteiros positivos tal que blá-blá-blá”. Você pode escrever “para todo número real x, blá-blá-blá”, mas não pode escrever “para todo conjunto X de números reais, blá-blá-blá”. Olhe de novo as definições contidas nos itens (i) a (vii) da definição §8-3: elas falam de usar símbolos (como letras) para representar constantes e variáveis reais, mas não dizem nada sobre usar letras para representar conjuntos genéricos de números.

Atenção: você pode caracterizar uma constante ou uma variável numérica, e isso significa que pode escrever coisas do tipo x ∈ R ou x ∉ N, pois com tais expressões está apenas querendo dizer que x é um número real ou que x não é um inteiro positivo. Porém, uma vez mais, não pode usar constantes e variáveis que denotem conjuntos, ou vai se arriscar a cair em contradição.



{13}/ O que realmente deve memorizar

Depois de ter compreendido bem este capítulo, o que você precisa guardar para o futuro é pouca coisa: (1) Se usa a linguagem L para escrever uma afirmação G válida no sistema R dos números reais, daí G também é válida no sistema Ĥ dos hiper-reais, e vice-versa. (2) O sistema Ĥ dos hiper-reais contém o sistema R dos reais. (3) Além disso, o sistema Ĥ contém pelo menos um infinitésimo, que é ϖ = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/n, …). Isso é suficiente para criar o cálculo diferencial e integral de modo intuitivo, mas com todo o rigor. {FIM}


Aviso 1. No próximo capítulo desta série, vai usar o que já sabe para construir a linha dos números hiper-reais, e ver de que modo ela é diferente da linha dos números reais. E então estará prontinho da silva para provar os teoremas mais importantes do cálculo diferencial e integral, e para começar a usá-los em problemas concretos, inclusive problemas que, com a abordagem convencional (com limites, épsilons, e deltas), o estudante sofre bastante para resolver.

Aviso 2. Se lê inglês e gostaria de estudar esse assunto mais depressa, pode começar com “Infinitesimal Calculus”, de James M. Henle e Eugene M. Kleinberg. Nova York: Dover Publications, 2003. Quando tiver terminado, leia “Nonstandard Analysis”, de Alain M. Robert. Nova York: Dover Publications, 2011. E, por fim, se estiver a fim de conhecer o assunto mais profundamente, e se tem energia para ler um livro escrito por matemático para matemáticos, leia “Non-Standard Analysis”, escrito pelo fundador dessa área, Abraham Robinson. Princeton: Princeton University Press, 1996.

Aviso 3. Caso veja algum erro neste capítulo ou queira tirar uma dúvida, escreva para o redator:

<ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com>.

A resolução da soma mágica


Este texto mostra a resolução do problema “A Soma Mágica”, publicado dia 18 de agosto de 2015.

Você jamais conseguirá achar oito números x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4 tais que a expressão S não resulte em zero. No jargão dos matemáticos: “S é completamente equivalente a zero.” Isso porque S é uma das maneiras de expressar o determinante a seguir.

Formulário 1

Formulário 1

Como talvez já saiba, se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas idênticas, seu determinante vale zero.

E se não estiver habituado à ideia de determinante? Se for assim, eis um curso num parágrafo: quando está lidando com uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e de colunas) cujos elementos são números reais, o determinante é um número real que pode associar a essa matriz a partir de seus elementos. Para calcular esse número especial, cujo nome é determinante, deve seguir um método de cálculo bem específico, que pode encontrar em qualquer dicionário de matemática. Ao longo dos últimos 200 anos, os matemáticos descobriram milhares de propriedades interessantes do determinante.

Uma dessas propriedades é justamente essa: se uma matriz tem duas linhas ou duas colunas idênticas, seu determinante vale zero. (Se conhece a definição explícita de determinante, a que fala de permutações e da paridade de cada permutação, a prova dessa afirmação é muito simples.) Visto que a expressão S denota o determinante da matriz A (em notação matemática: S = |A|), então S vale zero, e não interessa de que maneira escolha os valores de x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4.

O curioso desse problema é que, sem conhecer a ideia de determinante, você acharia extremamente difícil montar uma expressão como S. Suponha que um amigo te pedisse:

— Invente uma expressão matemática na qual apareçam dez números reais, não necessariamente iguais, não necessariamente diferentes, mas uma expressão tal que, não importa como eu escolha esses dez números reais, ela valha sempre zero.

Como poderia ajudar seu amigo se não conhecesse a ideia de determinante? Mas, conhecendo, o problema se torna mamão com mel: tudo o que tem a fazer é calcular o determinante |B| a seguir.

Formulário 2

Formulário 2

Visto que a linha 1 é idêntica à linha 3, |B| vale zero. Ora, o determinante |B| é uma expressão enorme: é um somatório com 120 parcelas, e cada parcela é o produto de cinco números, números que deve retirar da matriz segundo uma receita específica. Talvez queira deixar a expressão inteira mais simétrica ou mais bonita; daí, para tal propósito, pode atribuir o valor que bem entender a cada uma das letras a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, incluindo algum dos valores que já escolheu para x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, e incluindo também expressões nas quais apareçam x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5. {FIM}


P. S. Tudo o que está dito aqui vale para matrizes quadradas cujos elementos são números complexos. (A diferença é que o determinante de uma matriz com escalares complexos talvez seja um número complexo, mas tal diferença não importa neste caso, em que trata de determinantes completamente equivalentes a zero.) Em outras palavras, no caso da expressão S, caso atribua valores complexos para x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, ou caso misture valores reais e complexos, ainda assim vai obter S = 0, o que dá à expressão uma aura ainda mais sobrenatural.

Isaac Newton: “Monstro soberbo.”

Se criássemos uma raça de Isaac Newtons, não haveria progresso para a humanidade. Pois qual foi o preço que Newton teve de pagar por seu intelecto supremo? Ele era incapaz de amizade, amor, paternidade, e muitas outras coisas desejáveis. Como homem, foi um fracasso; como monstro, soberbo.

— Aldous Huxley (1894-1963), escritor britânico, numa entrevista publicada em 1934 pela revista Contemporary Mind.

 


Huxley não estava exagerando. Newton foi mesmo um gênio: visto que achava a matemática de seu tempo insuficiente para estudar astronomia, inventou o cálculo diferencial e integral, e com isso criou, por exemplo, a primeira explicação matemática de por que os planetas giram em torno do Sol em órbita elíptica. Mas era também solitário, distraído, irritadiço, obcecado por ideias religiosas esquisitas, e se deixava paralisar pela aversão a críticas. Enfim, meio doido. Uma vez, olhou para o Sol o máximo que pôde aguentar, apenas para saber o que aconteceria. Depois disso, até que seus olhos voltassem ao normal, foi obrigado a passar vários dias num quarto escuro. {FIM}

A soma mágica


Pense em quaisquer oito números reais x1, x2x3, x4, y1, y2, y3, y4. Eles podem ser de qualquer tipo: positivos, negativos, ou nulos; inteiros, racionais, ou irracionais. Faça daí Pij = xiyjxjyi; por exemplo, P12 = x1y2x2y1. E por fim calcule o resultado da expressão S a seguir.

Formulário 1

Formulário 1

Que resultado obteve?

Escolha então outros oito números, e calcule mais uma vez o valor de S. Que resultado obteve?

Problema. Será que consegue escolher oito números que não produzam esse mesmo valor de S? Caso se convença de que isso é impossível, será que consegue bolar uma explicação para o motivo?

Para ver a resposta, visite esta revista Imaginário Puro na sexta-feira, dia 21. A resposta tem algo a ver com uma das ideias mais produtivas já produzidas por matemáticos. {FIM}


P. S: Se quiser ler a resolução agora, clique aqui.

Uma viagem à estação dinossauro, passando por Jesus


Suponha que seja possível viajar para o passado, e suponha ainda que você inventou uma máquina do tempo eficiente: ela “aterrissa” automaticamente num lugar seguro, e recua no tempo ao ritmo de um ano por segundo.

Caso queira ouvir as palavras de Jesus Cristo em pessoa, terá de ficar sentado na sua máquina por 33 minutos. (Para se preparar, faria bem se achasse um curso de aramaico via internet.) Caso queira ver como ficou a Terra na última glaciação, terá de ficar sentado 4 horas e 10 minutos. Não tem importância: é como uma viagem agradável de trem. Mas, caso queira ver os dinossauros, um pouco antes do cometa que os exterminou, então tomara que tenha projetado uma máquina espaçosa e confortável, pois a viagem vai durar 2 anos, 33 dias, 21 horas, 20 minutos. E se quiser ver os primeiros vertebrados em terra seca? É uma viagem de 12 anos. E quanto aos primeiros seres vivos, muito simples, de 3,8 bilhões de anos atrás? Deverá convencer um grupo de amigos a viajar consigo, para que o grupo tenha filhos e netos durante a viagem, já que ela vai durar 120 anos.

Cientistas vivem dizendo que o universo, a Terra e a vida são muito antigos, e há quem guarde na memória as estimativas atuais: o universo tem 13,8 bilhões de anos, a Terra, 4,5 bilhões, e a vida, 3,8 bilhões. Mas cientistas, professores, e especialistas em técnicas de redação dizem também que o ser humano sente imensa dificuldade para compreender números muito grandes. Eis então uma aplicação bacana da aritmética escolar: converter números imensos em analogias que qualquer pessoa possa compreender.

Na brincadeira da máquina do tempo, basta que divida a quantidade de ano-num-segundo por 60 para obter o número de minutos; divida em seguida o número de minutos por 60 para obter o número de horas; divida o número de horas por 24 para obter o número de dias; e por fim divida o número de dias por 365 para obter o número de anos. O método é simples, mas tem gente que ficou famosa fazendo esse tipo de conversão.

Por exemplo, John McPhee, jornalista americano, amante de geologia. McPhee publicou vários livros sobre geologia para público leigo, que venderam bem. Um resenhista amigo dele comentou num artigo: “Como ele consegue vender livros sobre coisas que, quando andam depressa, andam à velocidade de 1 centímetro por ano?” A receita de McPhee é justamente a que você está examinando nesta matéria: acelerar o tempo, de modo a converter números grandes em números que qualquer pessoa pode visualizar. Por exemplo: abra os braços em cruz, e tente visualizar a história do planeta Terra como que indo da ponta do dedo médio da mão esquerda à ponta do dedo médio da mão direita. Bem, vá da ponta do dedo médio da mão esquerda ao pulso da mão direita: você foi do surgimento da Terra ao fim do período pré-cambriano, isto é, nem chegou à vida complexa (capaz de, por exemplo, formar conchas). Toda a história da vida complexa cabe na palma da mão direita. “E, de um só golpe”, escreveu McPhee em Basin and Range, “passando uma lixa de graduação média na unha do dedo médio da mão direita, você pode erradicar toda a história humana.”

Essa receita também é útil para entender algo que o geólogo entende bem, mas que nem sempre consegue passar ao leigo: o planeta Terra não para quieto. Imagine toda a história da Terra como que durando 24 horas — começando à meia-noite. A vida surge mais ou menos às 4 horas da madrugada; 18 horas depois, lá pelas 22 horas, surgem as plantas de Terra firme. Os dinossauros aparecem lá pelas 23 horas e dominam a Terra por 45 minutos. Os seres humanos passam a perambular pelo sudoeste da África quando falta 1 minuto e 17 segundos para a meia-noite. Enquanto tudo isso acontece, os continentes se movem pela superfície da Terra o tempo todo, trombando uns com os outros; montanhas se erguem e em minutos desaparecem com a erosão. A Terra vibra constantemente em razão terremotos — só os terremotos de grande porte, com medida maior ou igual a 8 na escala Richter, são 52.000 por segundo. Não bastasse esse chacoalhar permanente, em média, três cometas de tamanho grande se chocam com a Terra a cada minuto.

E, pensando nesse dia universal conturbado, talvez aprecie uma ideia comum entre biólogos: a vida é resistente, até porque ela se adapta velozmente às mudanças constantes e dramáticas pelas quais a Terra passa, mas, em média, pouquíssimas espécies duram mais que 40 segundos, e, se houvesse um cassino da vida, muito biólogo não apostaria todas as suas fichas na permanência da espécie humana. {FIM}

A grama molhada provoca chuva

{1}/ Causa e efeito: pensamento anticientífico

Neste fim de semana, num dos jornais de São Paulo, um especialista em métodos quantitativos disse que é fácil enganar jornalistas.

A certa altura da matéria, o jornalista (ou seu editor) afirma que existe “um teste estatístico para analisar se uma causa pode ser associada a um efeito”. Com essas palavras, fica claro que o jornalista mencionou o conceito de coeficiente de correlação, que é fantástico, e rende discussões animadas, mas não é o assunto desta matéria de hoje.

(Se meus professores de jornalismo me vissem abrindo uma matéria desse jeito, me enforcavam.)

Ainda não existe, na matemática inteira, uma única teoria que sirva para tratar de relações de causa e efeito. Em outra palavras, não existe teoria à qual alguém possa recorrer para modelar relações de causa e efeito. (Teoria = um conjunto de axiomas, mais uma coletânea de teoremas deduzidos de tais axiomas.) Essa ideia é tão importante que é bom dizê-la uma terceira vez, e de forma ainda mais simples: pelo menos por enquanto, relações de causa e efeito não fazem parte do escopo da matemática.

Quem conhece o conceito de função talvez se sinta compelido a discordar. Pois não é verdade que y = f(x) = x² se refere a uma variável, y, cujo valor é função de outra variável, x? Não é verdade que x é a variável independente, pois seu valor não depende do valor de y, e que y é a variável dependente, pois seu valor depende do valor de x? Não é verdade que, se x dobra de valor, daí, como consequência disso, y quadruplica de valor?

Por muitos séculos, matemáticos e usuários de matemática acharam que a matemática modelava perfeitamente relações de causa e efeito. Afinal, recorrendo a matemática de excelente qualidade, Isaac Newton aperfeiçoou a mecânica celeste de um jeito tão espetacular que a humanidade ganhou a capacidade de enviar três homens à Lua, e de esperar que voltassem com vida, o que de fato aconteceu. Contudo, principalmente ao longo do século 20, os matemáticos reviram cada cantinho da lógica matemática, questionaram cada definição, cada pressuposição, e reescreveram muita coisa para deixá-la mais precisa. (Reescreveram quase tudo o que julgavam de maior importância, da geometria ao cálculo, da probabilidade à álgebra.) Foi quando fizeram essa descoberta desconcertante: não existe matemática para modelar relações de causa e efeito. Nunca existiu. A descoberta vale inclusive para a teoria sobre funções, incluindo a função com a qual o estudante calcula o coeficiente de correlação, incluindo as funções com as quais os engenheiros da NASA calculam a posição de uma nave no espaço.

Judea Pearl, professor da Universidade da Califórnia em Los Angeles, especialista em lógica matemática e em inteligência artificial, é quem afirma: “Até hoje, nenhum lógico, assim como nenhum outro matemático especialista em qualquer área da matemática, desenvolveu ferramentas adequadas para tratar de problemas que incluam relações de causa e efeito. Muitos de meus colegas matemáticos acham inclusive que o vocabulário das relações causais é perigoso, mal definido, e talvez até anticientífico. Mesmo que um cientista acredite que A causa B, ou que A afeta B, se tiver bom treinamento em matemática, é bem provável que escreva A implica B no lugar de A causa B, ou A está correlacionada com B no lugar de A afeta B.” Judea faz parte de um pequeno mas ativo grupo de matemáticos que tenta colocar a ideia de causa e efeito em termos rigorosos, puramente matemáticos. Por enquanto, ele mesmo classifica o que produziu até agora de “ábaco”: é melhor do que nada, mas ainda é meio primitivo. Mesmo assim, para entender um de seus artigos (nos quais aparecem locuções como “cálculo causal”), o estudante precisa de ótimo treinamento na matemática de nível universitário.


{2}/ O que há na ideia de função

Quando um matemático menciona o conceito de função, o que quer dizer? (Vamos chamar esse matemático de ny9.)

Para resumir a história, em primeiro lugar ele imaginou uma grade, como a da figura 1. Essa grade representa o produto cartesiano de dois conjuntos, o conjunto D(f) = {a, b, c, d, e} e o conjunto CD(f) = {A, B, C, D}. ny9 imaginou um produto cartesiano como sendo um conjunto; neste caso, é o conjunto D(f) × CD(f) = {(a, A), (a, B), (a, C), (a, D), …, (e, A), (e, B), (e, C), (e, D)}, que é o conjunto de todos os 20 pares ordenados de elementos (x, y) tais que xD(f) e yCD(f). (Ou é o conjunto de todos os 20 arranjos de elementos xD(f) e yCD(f), nessa ordem.)

Figura 1

Figura 1

Depois que já estava com a imagem de produto cartesiano na cabeça, ny9 em segundo lugar imaginou a função f, que é um subconjunto especial do produto cartesiano. É isso mesmo: hoje em dia, uma função é meramente um conjunto de elementos, e neste caso cada elemento da função f é um par ordenado de elementos. Para merecer o nome de função, ny9 tomou o cuidado de montar o subconjunto f com uma característica especial: para determinar os pares ordenados de elementos (x, y) que são elementos de f, associou cada valor de x, sem exceção, a exatamente um valor de y. (O que significa “exatamente” em palavras comuns: ny9 associou um valor de y para cada valor de x — não mais do que um, não menos do que um.) Com a figura 2, ilustrou uma das 3.125 funções que pode montar com o produto cartesiano D(f) × CD(f). (Por que 3.125? ny9 pode ver isso como um arranjo de cinco letras, com repetição: a lista de arranjos começa com AAAAA e termina com DDDDD; há, portanto, 5^5 = 3.125 arranjos.) Visto que batizou essa função de f, pôde escrever f = {(a, C), (b, D), (c, B), (d, B), (e, A)}; e com isso também pôde escrever, como é comum, f(a) = C (“a leva a C” ou “C é função de a”), f(b) = D (“b leva a D” ou ”D é função de b”), f(c) = B (“c leva a B” ou “B é função de c”), f(d) = B (“d leva a B” ou “B é função de d”), f(e) = A (“e leva a A” ou “A é função de e”). Como ny9 desenhou o domínio de f à esquerda, à guisa de linhas da grade, e como desenhou o contradomínio de f acima, à guisa de colunas da grade, pôde empilhar argolinhas vermelhas na vertical, mas, se quiser definir uma função corretamente, não tem como permitir duas argolinhas vermelhas na mesma horizontal.

Figura 2

Figura 2

O estudante deve notar que, nos dois parágrafos acima, não há nenhuma menção à ideia de causa e efeito. Tal ideia não entra de nenhum modo na definição de função.

Nesse ponto, um ou outro estudante se revolta. “Mas, quando escrevo y = g(x) = x², não é verdade que uma variação em x provoca uma variação em y? É óbvio que sim. Desse modo, não posso dizer que uma variação em x causa uma variação em y, e que toda variação em y é efeito de determinada variação em x?”

Para dar resposta à pergunta, ny9 examinou o gráfico de y = g(x) = x² na figura 3. Pegou-se examinando um plano coordenado, isto é, um produto cartesiano, com a diferença de que os dois conjuntos que representou com o eixo X e com o eixo Y contêm infinitos pontos, e assim o produto cartesiano X × Y também contém infinitos pontos, cada um deles determinado por uma e só uma coordenada (x, y). ny9 percebeu que, ao olhar para a linha azul, estava olhando para um subconjunto desse produto cartesiano; a linha azul marca os pontos cujas coordenadas são x = x, y = x², isto é, marca os pontos que perfazem o subconjunto g ⊆ X × Y.

Figura 3

Pensando sobre tudo isso, ny9 notou que os pontos não saem do lugar. Os pontos do plano cartesiano não se mexem. Os valores de x não crescem nem diminuem, e os valores de y não ficam incansavelmente de olho nos valores de x para ver se devem crescer ou diminuir de acordo. ny9 notou ainda que toda a movimentação — “o valor dessa variável cresce, o dessa variável diminui, aqui ele tende a zero, ali ele tende ao infinito” — ocorre exclusivamente na sua imaginação, mas à parte das ideias matemáticas; ou, talvez, ocorre exclusivamente na linguagem que ny9 usa para se referir às ideias matemáticas. A movimentação toda não existe nas ideias matemáticas em si. Contudo, o ser humano, incluindo o cientista e o matemático, tende a ver intenção, planejamento, e ação até mesmo em variáveis inanimadas. Foi mais ou menos isso que os matemáticos descobriram ao longo do século 20, e é mais ou menos isso que Judea Pearl e seus colegas gostariam de consertar.

Judea costuma citar um exemplo interessante para aclarar uma discussão desse tipo. Ele pede ao estudante que pense numa das leis de Newton: f = ma, isto é, força é igual à massa multiplicada pela aceleração. Pelas leis da álgebra, o estudante pode reescrever isso como m = f/a ou como a = f/m. “Apesar disso”, diz Judea, “costumamos dizer que a força causa a aceleração, mas não dizemos que a aceleração causa a força. Da mesma forma, dizemos que, com a razão f/a, podemos determinar a massa, mas nunca dizemos que a razão f/a causa a massa.”

Então, quando um cientista olha para uma fórmula e vê nela uma relação de causa e efeito, está acrescentando à fórmula, por sua conta e risco, uma propriedade que não está presente na fórmula.

É claro que ele pode fazer isso se estiver consciente do que está fazendo, isto é, se estiver consciente de que deve usar os métodos da ciência para provar que, de fato, existe a relação de causa e efeito que consegue enxergar na fórmula. O problema, diz Judea, é quando o cientista olha para uma fórmula e, inconsciente do que está fazendo, vê nela uma relação de causa e efeito. Todo estudante de matemática sabe como as ideias matemática dominam a mente — como seduzem, como convencem. O cientista inconsciente de que a matemática não trata de relações de causa e efeito corre o risco de achar que a poderosíssima deusa Matemática está bancando sua opinião, e daí vai se sentir dispensado de usar o método científico para verificar, junto à natureza, se sua opinião tem fundamento, ou se não passa de um desejo. {FIM}


Observação: Filósofos especializados em ciência e matemática ainda não têm certeza se relações de causa e efeito existem no mundo real, ou no “mundo em si”, como eles preferem dizer, à moda de Kant. (Jonathan Schaffer é um deles.) Tais filósofos têm conseguido montar descrições sofisticadas de certos aspectos do mundo em si sem recorrer a nenhum mecanismo de causa e efeito; se um dia for possível provar que tais descrições são verdadeiras, ou são mais verdadeiras que as descrições opcionais, daí relações de causa e efeito podem figurar na lista de ilusões às quais o cérebro humano está propenso. Essa é a importância do trabalho de gente como Judea Pearl: se ele puder propor uma lógica especial para modelar relações de causa e efeito, é sinal de que tais relações talvez existam no mundo em si. Não é um sinal inequívoco, pois existência matemática não implica existência real, mas, visto que o ser humano gosta de pensar em termos de causa e efeito, muita gente ficaria aliviada.