Um brasileiro encolheu a Via Láctea

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{1}/ O homem: um sujeito preso num apartamento

Dois brasileiros batem papo de pé, seguram uma xícara de café com uma das mãos, comem um biscoito com a outra. Essa história começou em 2004 assim: uma conversa rápida no intervalo de um congresso. Nos meses e anos seguintes, um desses brasileiros, Alessandro Pereira Moisés, mediu a luz de 27 regiões específicas da galáxia em que vivemos, a Via Láctea, e fez centenas de cálculos com as medições. A cada região, os cálculos lhe diziam que a Via Láctea é menor do que a humanidade imaginava.

Cientistas, quando tocam uma pesquisa demorada, publicam resultados parciais em encontros e congressos. Alessandro fez isso; participou de cinco encontros de astrônomos e publicou resumos de seu trabalho em dois congressos. Em todas as vezes, outros astrônomos lhe disseram com franqueza: ele certamente havia errado em algum lugar. Em 2011, essa história chegou ao seguinte ponto: Alessandro acha que a Via Láctea deve ter a metade do tamanho que os astrônomos diziam que tinha. Uns poucos ainda lhe dizem que ele errou, mas a maioria de seus primeiros críticos se mantém em silêncio. Que um sujeito como Alessandro erre uma ou outra medição, um ou outro cálculo, bem, isso é possível. Mas passar cinco anos fazendo medições e cálculos e errar todos eles? Isso é bastante improvável. No mundo inteiro, por causa de Alessandro, há cientistas revendo medições e contas.

Alessandro Pereira Moisés, 31 anos, nascido em Palmeira dos Índios (Alagoas), faz parte de uma longa fila de cientistas que nos dizem: não, não estamos no centro do universo. No século 4 antes de Cristo, Aristóteles achava que todos os corpos celestes se moviam em torno da Terra. Mas, com esse modelo de universo, ficava difícil explicar o movimento do Sol, dos outros planetas, e de tudo o que a humanidade via no céu à noite. Nicolau Copérnico (1473-1543) explicou mais coisas quando colocou a Terra para girar em torno do Sol. Depois disso, por vários séculos, a Terra girou em torno do Sol, mas o Sol ficava no centro da Via Láctea, e esse modelo de universo também tornava difícil explicar várias coisas. Em 1917, o americano Harlow Shapley explicou mais ainda quando colocou o Sol a 283 quatrilhões de quilômetros de distância do centro da galáxia (ou 30.000 anos-luz), mas, como consolo, pelo menos a humanidade vivia numa galáxia com 100 mil anos-luz de comprimento. E agora Alessandro explica vários fatos ao cortar o comprimento máximo da Via Láctea — talvez à metade.

A história de Alessandro dá razão a Galileu Galilei (1564-1642): quem coleciona medições feitas com rigor cedo ou tarde descobre como a natureza funciona. Isso vale para o cientista, para o empresário, e para a dona de casa, mas o método é tão simples que, com frequência, todos se esquecem dele.

O herói. Em 2004, Alessandro participava de um congresso de astronomia na USP, em São Paulo, e assistiu à palestra do professor Augusto Damineli Neto. “Quando eu era adolescente”, diz Alessandro, “eu já lia textos do Augusto. Ele é uma espécie de herói para mim.” No intervalo para o café, Alessandro se aproximou do herói e puxou conversa. Explicou: vivia no Rio, tinha acabado o mestrado no Observatório Nacional, e queria fazer doutorado; será que o professor Augusto não precisava de um doutorando? Alessandro deu sorte, pois o professor precisava de um doutorando em astronomia.

Um ser humano é mais ou menos como o sujeito que nasceu num apartamento e, durante toda a sua vida, nunca saiu do apartamento. Ele nasceu, por exemplo, num apartamento do último andar do Mirante do Vale, o prédio mais alto de São Paulo. Ele não consegue ver nada da cidade durante o dia. Mas, à noite, vê a luz de outros apartamentos e de escritórios, a luz de postes em ruas e avenidas, a luz de pontes e parques, a luz de automóveis. Quando olha para o céu escuro, vê as luzes de outras cidades inteiras: de Nova York num canto do céu e de Amsterdã no outro, do Rio de Janeiro e de Manaus, de Johannesburgo e de Tóquio. Um astrônomo, por sua vez, é o ser humano com a ambição de comparar as luzes que lhe chegam à janela do apartamento com as luzes de outras cidades, e, dessa comparação, deduzir o formato de São Paulo sem sair do apartamento.

O primeiro passo é fotografar toda a cidade de todas as janelas do apartamento. Uma aluna do professor Augusto, Elysandra Figuerêdo, já tinha feito isso. Há anos ela usa telescópios modernos para fotografar as regiões da Via Láctea em que existem “regiões HII gigantes”, ou seja, as regiões em que se formam estrelas de grande massa (com dezenas, centenas de vezes a massa do Sol). Quando Alessandro e Augusto conversaram no café, Augusto precisava de alguém que escolhesse, em cada uma das fotos de Elysandra, as regiões HII mais importantes para estudá-las melhor.

Jantar bem cedo. Astrônomos adoram as regiões HII. Se elas estão perto do sistema solar, eles conseguem medi-las de três formas, porque elas emitem ondas de rádio, radiação infravermelha, luz visível. Se elas estão longe, eles conseguem no mínimo medir as ondas de rádio. As regiões HII contêm estrelas, e estrelas são os objetos que os astrônomos mais conhecem. E as regiões HII gigantes têm 600, 700 anos-luz de diâmetro; elas são tão grandes que, por conta das leis da gravidade, são forçadas a girar junto com a galáxia de modo mais ou menos comportado. “Elas são objetos traçadores”, diz Alessandro. “Com a ajuda delas, podemos traçar o formato da Via Láctea.” Astrônomos usam as regiões HII para deduzir o formato da galáxia assim como o astrônomo trancado no último andar do Mirante do Vale usaria a luz de grandes avenidas, de pontes, e de grandes prédios para deduzir o formato de São Paulo.

Alessandro estudou as fotos de Elysandra e escolheu os “alvos”. Depois disso, mandou a lista de alvos para um telescópio no Chile, o Soar, com as instruções. O pessoal do Soar deveria apontar o telescópio para cada uma das regiões HII da lista, tirar fotos e fazer várias medições. Por exemplo, deveria usar o espectrômetro para estudar a radiação infravermelha de cada alvo. (O astrônomo do apartamento usaria um prisma para dispersar a luz branca de uma lâmpada ao longe, e para saber que cores aquela lâmpada emite com mais força.) Com os resultados da espectrometria nas mãos, Alessandro sabe dizer que tipo de estrela está do outro lado. (O astrônomo do apartamento saberia dizer qual lâmpada existe do outro lado.) O pessoal do Soar também deveria usar outro instrumento para medir a quantidade de luz que chegou aqui, na Terra. A partir desse ponto, Alessandro só teria de usar raciocínio dedutivo — e matemática.

Se ele sabe que tipo de estrela há do outro lado, então sabe quanta luz saiu da estrela. Se ele sabe quanta luz chegou aqui, então põe essas duas informações numa equação logarítmica e obtém a distância da estrela. As fórmulas que explicam como a luz se enfraquece com a distância são bem conhecidas. Se o astrônomo no Mirante do Vale sabe que uma lâmpada de 150 watts emite luz com certa intensidade, e se ele mede menos intensidade chegando ao apartamento, então ele sabe que essa lâmpada está a, por exemplo, 2 quilômetros de distância.

Enquanto o povo do Soar trabalhava, Alessandro acompanhava as medições via internet. Mas, em 2007, passou quatro noites no Soar, no Cerro Pachón (Cordilheira dos Andes), a 2.700 metros de altitude. “Tem um dormitório lá”, diz Alessandro. “A rotina é descansar de dia, jantar antes de anoitecer, e apontar o telescópio e fazer as medições a noite inteira, sem parar. Telescópios são sistemas muito caros, então o pessoal do Soar não perde tempo.”

Galáxia M51

Na galáxia M51, a 31 milhões de anos-luz da Via Láctea, os pontos vermelhos são as regiões HII; tais regiões marcam bem a estrutura da galáxia

“Você errou.” Toda vez que Alessandro calculava a distância de uma região HII, comparava seus cálculos com aqueles feitos por astrônomos antes dele, e toda vez seus cálculos mostravam distância menor: às vezes, 80% da distância atual; às vezes, 70%; às vezes, 50%. “E aí o pessoal do método cinemático”, diz Alessandro, “me dizia que eu estava errando em algum lugar.”

Em geral, uma região HII está tão longe (do outro lado da galáxia) que não dá para medir direito a luz ou a radiação infravermelha, como Alessandro fez; a luz e a radiação mal chegam à Terra. Mas ondas de rádio chegam. Por isso os astrônomos empregam o método cinemático: eles usam radiotelescópios (como aquele do filme Contato) para medir a velocidade com que a região HII se afasta ou se aproxima da Terra. Se a região se afasta, as ondas de rádio ficam cada vez mais longas. Se a região se aproxima, as ondas de rádio ficam cada vez mais curtas. “É o efeito Doppler”, diz Alessandro, “que é bem conhecido.” Só que as fórmulas de Doppler-Fizeau dão a velocidade com que o objeto se aproxima ou se afasta, mas não a distância. “Para calcular a distância”, explica Alessandro, “a gente tem de entrar com a velocidade num modelo de rotação da galáxia.” Esse modelo (um programa de computador, que simula a galáxia) recebe a velocidade, faz contas, e fornece a distância.

Contudo, assim como o astrônomo do Mirante do Vale jamais saiu do apartamento em que nasceu, nenhum humano jamais saiu do sistema solar, que dirá da galáxia. Os astrônomos não sabem direito como a Via Láctea é. Para fazer um modelo de rotação, eles são obrigados a pressupor muita coisa: se a galáxia é espiral com barra, se ela tem dois ou quatro braços, se a massa é X ou Y. Por mais técnica que seja a pressuposição, é uma pressuposição.

O pessoal do método cinemático, contudo, perguntava: Alessandro, e se a intensidade da luz, que você mediu, diminuiu não por causa da distância, mas porque existem gás e poeira escuros entre a Terra e a região HII? (É como se eles tivessem perguntado: e se houvesse poluição e fuligem entre você e aquela lâmpada de 150 watts?) “É uma possibilidade, e não nego isso”, diz Alessandro. “Eles nunca questionaram as medições, mas minha interpretação.”

Alessandro, Augusto, e Elysandra até se reuniram para decidir o que fazer. Bem, há cientistas que vivem só de definir quanta matéria escura existe na Via Láctea, ou seja, até que ponto ela é transparente ou opaca. Alessandro foi atrás dos artigos desses cientistas, e escolheu o pior caso de todos (o meio interestelar é mais opaco) e o melhor caso (o meio interestelar é mais transparente). A partir daí, a cada região HII, Alessandro fez todos os cálculos para o pior e o melhor caso. Em cinco anos, ele mediu 27 regiões HII e estudou outras 54, até publicar a tese de doutorado. Em cada um dos 81 casos, a região HII estava mais perto do que se acreditava antes, o que sugere uma Via Láctea menor, talvez até com apenas 50.000 anos-luz de comprimento. “Agora”, diz Alessandro, “o pessoal do método cinemático já aceita que existe alguma coisa errada a ser investigada.”

Missão: frações. Daqui para a frente, Alessandro pretende continuar a fazer o que vinha fazendo: medir as regiões HII gigantes mais perto da Terra. Existem 100, ele já mediu 27, faltam 73. “É trabalho para mais uns dez anos”, diz Alessandro. “Isso porque o Brasil não tem tanto tempo assim nos telescópios. Temos de entrar na fila.” Ele já fez a lista de objetos que pretende fotografar e medir em 2011, e já mandou a lista para o povo do Soar.

Vai fazer esse trabalho ao mesmo tempo em que toca seu novo emprego: ele virou professor de matemática e de física da Univasf, em São Raimundo Nonato (Piauí). Dará aulas para os alunos do curso de ciências da natureza, que depois vão se transformar em professores de ciências nas escolas do ensino fundamental (1º ao 9º ano). Para Alessandro, tudo o que ele sabe, sabe graças ao povo brasileiro. Nas primeiras páginas da tese de doutorado, escreveu: “Ao povo brasileiro, que financiou o meu trabalho por meio do CNPq, sob o projeto nº 141420/2005-7.” Por isso ele prestou concurso público e se mudou para São Raimundo Nonato. “Eu quero devolver à sociedade o investimento que ela fez em mim.”

Em fevereirode 2011, ele ainda não conhecia seus alunos direito. Dava um curso de verão para quem foi mal nos semestres anteriores. “Eles precisam de aulas sobre coisas muito básicas mesmo: somar frações, resolver equações de segundo grau. É uma lástima.” Ao dizer isso, Alessandro avisa: “Não estou reclamando. Eles carregam deficiências desde o primeiro ano do primeiro grau. Então, tenho de arregaçar as mangas e explicar tudo direitinho.” {FIM DA MATÉRIA PRINCIPAL}


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{2} O ano-luz

Um ano-luz é uma medida de distância, e não de tempo. Um ano-luz é a distância que a luz percorre ao longo de um ano. Mas a luz é a coisa mais rápida do universo: ela viaja a 299.792 quilômetros por segundo; para arredondar, 300.000 quilômetros num mísero segundo! Um Boeing 777 leva 10 horas e 35 minutos para percorrer a rota São Paulo-Paris, de 9.376 quilômetros. A luz percorre essa distância em 31 milésimos de segundo. Bem, multiplicando a velocidade da luz por 365,2425 dias (o ano astronômico), o dia por 24 horas, a hora por 60 minutos, o minuto por 60 segundos, um ano-luz equivale a 9.460.730.472.581 quilômetros (para arredondar, 9 trilhões e 461 bilhões de quilômetros).

E por que os astrônomos medem distâncias com o ano-luz? As distâncias no universo são grandes demais para que sejam medidas em quilômetros. A estrela mais próxima do Sol, Alfa do Centauro, está a 39.735.067.984.839 quilômetros de distância — ou seja, 4,2 anos-luz.


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{3}/ O ano-F-15

É a distância percorrida por um F-15, o jato de caça da McDonnell Douglas, ao longo de um ano, desde que o avião não pare um único instante, nem para abastecer, nem para o piloto ir ao banheiro, e desde que o avião viaje à velocidade máxima de 2.600 quilômetros por hora, ou 43 quilômetros por minuto, ou 0,72 quilômetro por segundo. Logo, um ano-F-15 equivale a 22.791.053 quilômetros, ou 0,00024% do ano-luz.

Nessa velocidade, para chegar à estrela Alfa do Centauro, um F-15 precisaria de 1 milhão e 743 mil anos.


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Aspecto da Voyager 1, numa ilustração da Nasa


 

{4}/ O ano-Voyager

É a distância percorrida pela sonda espacial Voyager 1 ao longo de um ano. A Voyager 1 foi lançada pela Nasa no dia 5 de setembro de 1977 e, desde então, está viajando a 17 quilômetros por segundo, ou seja, 538.552.335 quilômetros por ano. Isso é 0,006% do ano-luz.

Ela ainda não saiu dos limites do sistema solar, embora já tenha percorrido 17 bilhões de quilômetros desde 1977. Segundo a Nasa, vai precisar de mais uns quatro anos.

Na velocidade da Voyager, para chegar à estrela Alfa do Centauro, uma nave precisaria de 70.000 anos.


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{5}/ Para a luz, tudo está quase parado

Uma pessoa anda a uns seis quilômetros por hora. E se a luz, em vez de viajar a 300.000 quilômetros por segundo, viajasse a 80 quilômetros por hora? Mantendo a proporção, qual seria a velocidade de uma pessoa a pé?

Essa é uma regra de três simples, em que x é a velocidade da pessoa nesse mundo de luz mais lenta.

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Talvez seja o caso de padronizar as unidades de medida em quilômetros por hora:

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Em outras palavras (faça as contas), se a luz viajasse a 80 quilômetros por hora, uma pessoa levaria 259 anos para andar um quilômetro.


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{6}/ Ciência não é religião

Alessandro Moisés diz que seus dados “apontam para uma galáxia menor”, mas, como todo bom cientista, ele prefere esperar uns anos até fazer afirmações categóricas. “Talvez alguém proponha uma explicação melhor para minhas medições. Se alguém propuser, quero ser o primeiro a aceitá-la.” {FIM}


 

Observação: Publiquei esta matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 2, março de 2011, página 30. A versão que acabou de ler foi revista e corrigida. Note que as referências a datas são as que valiam em 2011; por exemplo, hoje Alessandro tem 36 anos. Contudo, por enquanto ele ainda mantém o que disse na tese de doutorado: é bem possível que a Via Láctea seja menor do que antes se imaginava.

Cálculo integral com números hiper-reais

Figura 24


{0}/ Introdução

Este é o quinto capítulo sobre como você usa o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial e integral. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, sexto, sétimo, oitavo, nono, décimo.) Desta vez, o assunto é cálculo integral, que, num resumo bem resumido, significa “medir áreas muito difíceis de medir”. Dois lembretes: a seção a seguir é a 42 porque o capítulo anterior terminou com a seção 41; e “definição §43-2” significa “a segunda definição que vou encontrar na seção 43”.


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{42}/ A mágica dos retângulos evanescentes

Pense numa parábola do tipo y = x2. Como medir a área debaixo dessa parábola no intervalo entre x = 1 e x = 2? “Debaixo da parábola” significa “entre a curva de y = x2 e o eixo X”; é o que vê na figura §42-1.

Figura 1

Figura §42-1

 

Problemas desse tipo fascinaram os matemáticos por milênios. Os gregos antigos pensaram mais ou menos assim: “Se posso calcular a área de um retângulo, é claro que posso calcular a área de qualquer região delimitada por curvas contínuas. Pois não me parece que a figura de um retângulo seja essencialmente diferente de uma figura delimitada por linhas curvilíneas.” E, agindo de acordo com o pensamento, fizeram enormes esforços intelectuais, ao longo de muitas décadas, para determinar a área de regiões delimitadas por linhas curvas, mas tiveram sucesso só nuns poucos casos.

É para isso que, em essência, você vai usar o cálculo integral: para calcular a área delimitada pela curva de uma função contínua e pelo eixo das abscissas (num intervalo fechado). Porém, com uma diferença importante: não terá de se lançar em enormes esforços intelectuais. Só isso serve para entusiasmar aqueles com maior inclinação para a matemática:

“Você está me dizendo que, se eu souber cálculo integral, consigo calcular facilmente a área de todo tipo de região delimitada por curvas contínuas? Uau! Eu quero saber isso!”

Nem todo mundo, contudo, se empolga dessa maneira com uma ideia da matemática pura. Alguns precisam de um exemplo prático, para visualizar que poder mágico devem ganhar com seus estudos, e talvez esse seja seu caso. Eis o exemplo:

Seu chefe se aproxima e te entrega umas folhas de papel A4 impressas com números em duas colunas: numa coluna, a hora do dia no formato hora:minuto:segundo, tipo 10:24:56; noutra, uma velocidade, tipo 63 quilômetros por hora.

“Só temos essas informações a respeito do carro 159”, diz seu chefe. “Precisamos saber quantos quilômetros ele percorreu ontem das 11:15 às 13:30. É para uma investigação policial.”

A hora vai de cinco em cinco segundos. Eis as cinco primeiras linhas da tabela nas quais está interessado.

11:15:00

76,3

11:15:05

76,5

11:15:10

77,1

11:15:15

77,8

11:15:20

76,2

 

Visto que não sabe o que aconteceu o tempo todo (por exemplo, não tem como saber a velocidade do carro 159 às 11:15:13), tem a ideia de considerar a velocidade constante a cada intervalo de cinco segundos. Assim, se o motorista do carro 159 manteve a velocidade constante em 76,3 quilômetros por hora das 11:15:00 às 11:15:05, percorreu 106 metros, arredondando para cima. (Uma hora são 3.600 segundos, e 3.600 segundos divididos em intervalos de 5 segundos são 720 intervalos. Logo, viajando a 76.300 metros por hora, em cinco segundos o carro percorre 76.300/720 ≅ 106 metros.) Fazendo as contas dessa maneira para os primeiros cinco registros, você descobre que o carro 159 percorreu uns 533 metros das 11:15:00 às 11:15:25.

É claro que, com esse método, sabe (mais ou menos) que distância o carro percorreu das 11:15:00 às 13:30:00, pois tudo o que tem de fazer é somar as 1.620 pequenas distâncias que o carro percorreu em 1.620 intervalos de 5 segundos.

Pois bem: na matemática, esse método tem nome, que é “integração”. Em essência, é um método pelo qual você soma a área de retângulos. Isso mesmo: área de retângulos. Quando calculou os 106 metros de distância que o carro 159 percorreu das 11:15:00 às 11:15:05, talvez não tenha percebido, mas calculou a área de um retângulo cuja base mede 5 segundos e cuja altura mede 76,3 quilômetros por hora; e o valor dessa área é 106 metros, e corresponde à distância que o carro deve ter percorrido naqueles 5 segundos. Veja as contas:

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Ao longo do século 20, os matemáticos generalizaram a ideia de “região limitada do plano”, e a trocaram pela de “subconjunto limitado dos pontos que constituem o plano”. E daí imaginaram jeitos muito interessantes de dividir o plano em subconjuntos limitados de pontos; no caso de muitos desses subconjuntos, você não tem como atribuir um número com as propriedades que esperaria de um número que representa uma área. Em outras palavras, hoje não é mais verdade que pode achar a área de todo tipo de região delimitada do plano, e essa constatação deixaria os gregos abismados.

Apesar disso, neste texto vai provar que sempre pode achar a área daquelas regiões do plano delimitadas pela curva de uma função contínua e por um intervalo fechado do eixo das abscissas; algo como já viu na figura §42-1. Como? Em resumo, vai usar o sistema dos números hiper-reais para dividir a região do plano num número infinito de retângulos, vai calcular a área de cada um dos retângulos, e vai somar todas as áreas. Não se preocupe: acreditar que esse método funciona é fácil — basta acreditar na ideia de que pode calcular a área de um retângulo e invocar o teorema de Łós.


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{43}/ Quando a base é um infinitésimo

Comece os trabalhos com um problema simples. Imagine a função contínua y = f(x) como uma função constante. Talvez tenha imaginado algo como a figura §43-1. Você vê que a região delimitada pelas linhas verticais x = a e x = b é um retângulo (está trabalhando com um sistema cartesiano ortogonal XOY comum), e para calcular a área deve multiplicar a base pela altura: a base vale ba, e a altura, f(x). Chame a área dessa região de A. Daí A = (ba)f(x). Essa é a ideia mais importante do cálculo integral.

Figura 2

Figura §43-1: A ideia mais importante do cálculo integral

Agora imagine algo mais complicado: no intervalo fechado [a, b], a função y = f(x) é feita de vários trechinhos constantes distintos, como na figura §43-2. Num caso desses, a função f não é mais contínua, mas sim feita de várias funções contínuas constantes lado a lado. É claro que deve calcular a área debaixo da curva de f e acima do eixo X ao calcular a área de cada um dos retângulos, e somá-las. Foi isso o que fez ao calcular os 533 metros percorridos pelo carro 159 no intervalo fechado entre x = 11:15:00 e x = 11:15:25.

Figura 3

Figura §43-2

E se a curva da função contínua f é curvilínea, como no caso de y = f(x) = x2 no intervalo fechado entre x = 1 e x = 2? (Examine mais uma vez a figura §42-1.)

Talvez já tenha tido essa ideia por si mesmo: basta imaginar a região como que composta de retângulos cuja base vale um infinitésimo! Porém, antes de pôr no papel uma versão formal dessa ideia, deve primeiro examinar um caso com número finito de retângulos. (O primeiro passo na direção do infinito é sempre finito.)

Pense numa certa função não negativa f(x), num intervalo fechado [a, b], e numa distância real Δx > 0; e então use Δx para dividir o intervalo [a, b]. Veja esse processo na figura §43-3. Visto que o comprimento de cada subdivisão é Δx, rotule cada um dos pontos divisórios assim:

x0 = a

x1 = x0 + Δx = a + Δx

x2 = x1 + Δx = a + Δx + Δx = a + 2Δx

x3 = x2 + Δx = a + 3Δx

xi = x(i – 1) + Δx = a + iΔx

xn = x(n – 1) + Δx = a + nΔx

Se escolher Δx de modo que (ba) seja um múltiplo de Δx, é claro que você divide (ba) por Δx precisamente, e daí o último ponto da subdivisão tem de ser xn = b [em outras palavras, Δx = (ba)/n]. Mas talvez queira escolher Δx de modo que (ba) não seja um múltiplo de Δx, e se esse for o caso, vai sobrar um restinho de distância à direita do ponto xn. (Para dizer isso de outra forma, xn < b.) Chame de q o resto quando divide (ba) por Δx, de modo que ba = nΔx + q.

Figura 4

Figura §43-3

Agora, em cada pequeno intervalo fechado [x(i – 1), xi], você desenha um retângulo de altura igual a f(xi). É o que vê na figura §43-4.

Figura 5

Figura §43-4

A área de cada um dos retângulos vale f(xi)Δx. Numa figura como a §43-5, você deve desenhar um pequeno retangulinho no final do intervalo, à direita, pois escolheu Δx tal que xn < b. (Fez isso apenas para pensar no caso mais complicado.) A área desse retangulinho vale f(b)q.

Figura 5_B

Figura §43-5

Notação §43-1. Na equação a seguir, use a notação no lado esquerdo da igualdade para denotar o somatório da área de cada um de todos os retângulos que definiu mais acima; no lado direito da igualdade, examine o que esse somatório significa mais especificamente.

expr 2

Use o resultado desse somatório como aproximação para a área da região delimitada pela curva de f, pela linha reta horizontal y = 0 (o eixo X), e pelas linhas verticais x = a e x = b. (É com um método semelhante a esse que engenheiros determinam a área de um lago. Seu nome técnico é “soma de Riemann organizada à direita”, pois você determina a altura de cada retângulo pelo valor de f à direita.) Se quisesse calcular uma aproximação infinitamente próxima da área da região, antes de efetivamente realizar os cálculos e obter o valor do somatório S[a, b]f(x)Δx, poderia pensar em Δx, a base de cada retângulo, como sendo um infinitésimo.

E por que não faz isso logo duma vez? Afinal, agora já sabe lidar com números hiper-reais, e para você infinitésimos já são colegas de trabalho.

Assim, troque Δx por um infinitésimo, siga em frente, e calcule o valor de um somatório que estará infinitamente próximo do valor real da área da região. Pois pode ver o valor do somatório S[a, b]f(x)Δx como sendo uma função da variável real Δx (quanto menor o valor de Δx > 0, mais o valor do somatório se aproxima do valor da área da região); logo, invoque o teorema de Łós e diga que, se definiu o somatório S[a, b]f(x)Δx com a linguagem L, pode também defini-lo no sistema dos números hiper-reais. Sendo assim, escolha um infinitésimo positivo ϖ = dx para a base Δx e calcule o valor do somatório S[a, b]f(x)dx, que será um número bem-definido no sistema dos números hiper-reais.

Definição §43-1. Você pode dizer que uma função f definida no intervalo fechado [a, b] é “integrável” se o valor do somatório S[a, b]f(x)dx é um número hiper-real finito e se, além disso, tem sempre o mesmo valor real padrão para todo infinitésimo positivo dx.

Definição §43-2. Suponha que f seja integrável em [a, b]. Daí define “a integral de f em [a, b]” como sendo st[S[a, b]f(x)dx], isto é, como sendo o valor real padrão do número hiper-real finito S[a, b]f(x)dx para algum infinitésimo dx > 0. Na equação a seguir, veja à direita como denota a integral de f em [a, b].

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Definição §43-3. Se f(x) é uma função integrável e se, além disso, assume valores não negativos em [a, b], se quiser defina a área A da região delimitada pela curva de f, pelo eixo X, e pelas retas verticais x = a e x = b como sendo ∫[a, b]f(x)dx. É o que vê na expressão a seguir e na figura §43-6.

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Figura 6

Figura §43-6

Para que tais definições sejam úteis, seria bom se muitas funções fossem integráveis. Por sorte, é exatamente isso o que ocorre: toda função contínua é integrável.

Teorema §43-1. Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], daí S[a, b]f(x)dx é um número hiper-real finito para todo infinitésimo dx > 0.

Teorema §43-2. Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], daí S[a, b]f(x)dx tem o mesmo valor real padrão para todo infinitésimo dx > 0.

[Note que, nos dois teoremas, está presumindo que x é a variável real independente na função f, tipo f : xf(x). Se quisesse, poderia presumir diferente, e reescrever os teoremas para S[a, b]f(t)dt, ou S[a, b]f(z)dz, ou qualquer outra letra.]

Antes de continuar e provar os teoremas §43-1 e §43-2 (o que vai fazer na seção 47), seria bom se fizesse agora uma pausa para praticar o que viu até aqui e discutir alguns assuntos importantes. Ao estudar as seções 44-46 a seguir, parta do pressuposto de que os dois teoremas são verdadeiros.


 

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{44}/ Três exemplos resolvidos e comentados

Exemplo 1. Se y = f(x) = ½x, ache o valor de ∫[0, 4]f(x)dx.

Pare por um momento para esboçar a curva de f e pintar de verde a área cujo valor está procurando; deve chegar a algo como a figura §44-1.

Figura 7

Figura §44-1

Em palavras, está simplesmente procurando a área de um triângulo retângulo cuja base mede 4 unidades e a altura, 2 unidades; sabe de antemão que a área A = ∫[0, 4]f(x)dx = ½(4 · 2) = 4 unidades ao quadrado, pois já viu isso mil vezes na escola.

Visto que f é uma função contínua, invoque o teorema §43-2 e use qualquer infinitésimo dx > 0; se pode usar qualquer um, escolha um que deixe as contas mais fáceis. Comece escrevendo, desde o comecinho, o que está procurando:

expr 5

Divida o intervalo exatamente por n, um inteiro positivo, de modo que q = 0 e f(4)q = 0. Assim, Δx = (4 – 0)/n = 4/n, e xt = 0 + tΔx = tΔx. Eis, portanto, os próximo passos:

expr 6

Duas coisas: como vê, ao escrever o sinal de somatório, se não quiser não precisa repetir o contador t a cada linha; caso tenha a certeza de que seu leitor não se confundirá quanto ao contador, pode mencioná-lo na primeira vez e omiti-lo nas demais. Além disso, traduza ∑t como “a soma nos n primeiros inteiros positivos” ou como “a soma de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 1, cujo último termo é n, e cuja diferente entre termos é 1”. Você já estudou uma expressão para o somatório 1 + 2 + 3 + ··· + n na matéria “Teoria dos números: muita coisa boa num assunto só”; basta usá-la.

expr 7

Essa afirmação é verdadeira no sistema dos números reais; logo, é verdadeira no dos hiper-reais também. Troque, portanto, n por N, sendo N um hiper-real inteiro positivo infinito. Daí você transforma Δx = 4/n no infinitésimo dx = 4/N.

expr 8

E isso combina com tudo o que aprendeu na escola sobre trigonometria.

É um bom momento para generalizar o método. E se, em vez de a = 0 e b = 4, o problema tratasse de a = a e b = b, com a, b números reais não negativos, e a < b? (Com tais limitações em a, b, use à vontade a notação §43-1 e as definições §43-1 e §43-2.)

Sem delongas, comece pensando em Δx como um infinitésimo; comece logo com dx = (ba)/N, com N inteiro positivo infinito. Suas contas devem ficar mais ou menos como estas a seguir.

expr 9

 

E isso é exatamente o que deveria esperar da integral de f em [a, b]. Veja a figura §44-2. Essa integral representa a área do trapézio retângulo que você delimitou com a linha reta y = ½x, o eixo X e as linhas verticais x = a e x = b; para obter tal área, você soma a área do retângulo debaixo do triângulo retângulo, multiplicando a base (ba) pela altura (½)a, com a área do próprio triângulo retângulo, multiplicando a base (ba) pela altura (½)b – (½)a, e dividindo isso por 2.

Figura 8

Figura §44-2

Exemplo 2. Volte ao problema do início deste texto. Que tal calcular a área que delimitou com a função contínua y = f(x) = x2 no intervalo fechado [1, 2]?

Comece escolhendo um bom infinitésimo dx > 0; por exemplo, dx = (2 – 1)/N = 1/N para algum inteiro positivo infinito N. [Mais uma vez: visto que f é contínua, invoque o teorema §43-2 e use qualquer dx > 0; sendo assim, por que não divide (ba) por um inteiro positivo infinito N?] Daí:

expr 10

Note que, com apenas isso, numa situação prática já teria condições de calcular o valor aproximado da área; por exemplo, escolha N = 100 e use uma calculadora científica para obter 46.867/20.000 ≅ 2,35 unidades ao quadrado. Mas continue, pensando em N inteiro positivo infinito.

“Como assim, continue? O que faço com ∑t2?”

Há pelo menos dois jeitos de prosseguir: [1] Descubra agora uma expressão matemática com a qual calcular somatórios do tipo 1 + 4 + 9 + 16 + ··· + n2 = ∑t2, isto é, com a qual calcular a soma dos n primeiros quadrados perfeitos; [2] Use uma calculadora científica para descobrir que ∑t2 é igual a (1/6)[n(n + 1)(2n + 1)], e mais tarde tente entender o porquê disso. Em todo caso, há uma explicação detalhada desse porquê na seção 54.

De novo: continue, pensando em N inteiro positivo infinito.

expr 11

Então, em palavras, a área da região do plano entre a curva da parábola y = x2, o eixo X, e as linhas verticais x = 1 e x = 2 equivale a sete terços de unidade ao quadrado.

Assim como fez no exemplo 1, generalize o que descobriu aqui. E se quisesse saber a integral de f no intervalo [a, b], mas sem especificar os valores de a, b? Ora, pense em a, b como dois números reais quaisquer (já que a curva de f é não negativa para qualquer valor de x, positivo, negativo ou nulo), com a < b.

Comece com dx = (ba)/N, com N inteiro positivo infinito. Daí eis uma poucas expressões entre a longa sequência de expressões com as quais vai trabalhar.

expr 12

Da sétima para a oitava linha, o que fez foi resumir a expressão entre parênteses, que representa um infinitésimo, com o símbolo ϖ usual de infinitésimo. Se um dia tiver a chance de viajar numa máquina do tempo, explique o que acabou de descobrir para Arquimedes — ele fará de tudo para que o governo de Siracusa te cubra de presentes maravilhosos.

Exemplo 3. Se y = f(x) = x2 + x + 1, calcule a integral de f no intervalo fechado [–1, 2].

Bem, f é uma função contínua, pois é uma função polinomial; e é não negativa em [–1, 2], como vê na figura §44-3. Logo, escolha o Δx que bem entender; para facilitar, escolha dx = (2 – [–1])/N = 3/N para algum inteiro positivo infinito N.

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Figura §44-3

Visto que xt = (3/N)t – 1, eis como devem ficar, mais ou menos, suas contas:

expr 13


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{45}/ Lista de problemas

Calcule o valor das seguintes integrais.

§45-1. ∫[0, 2]3x2dx.

§45-2. ∫[–2, –1](x2 – 4x + 2)dx.

§45-3. ∫[0, 4](√x)dx. Dica: primeiro, calcule a área pintada de roxo na figura §45-1 logo abaixo.

Figura 9

Figura §45-1

As sugestões de resposta estão na seção 55.


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{46}/ Um pouco do paradoxo de Banach-Tarski

Durante séculos, muita gente viu a ideia de área como que sendo concreta, bastante condizente com a experiência do dia a dia: um objeto grande tem área maior que um objeto do mesmo tipo, mas menor; se duas figuras não estão sobrepostas, a área total das duas é a soma da área de uma com a área da outra; se duas figuras têm alguma sobreposição, a área das duas é a soma da área de uma com a da outra, menos a área da região em que há sobreposição; etc.

A partir do começo do século 20, porém, quando Edward Burr Van Vleck publicou vários trabalhos sobre teoria das medidas, o homem descobriu que há jeitos de criar regiões limitadas do plano que não satisfazem nenhum dos conceitos ordinários a respeito de área. O exemplo mais famoso desse tipo de descoberta hoje é conhecido como “paradoxo de Banach-Tarski”, no qual os dois matemáticos explicam como, num espaço de dimensão 3, você começa com uma bola (bola: uma esfera, que são os pontos só da superfície, mais os pontos do interior), a divide em subconjuntos disjuntos de pontos e, com certas rotações especiais, rearranja os subconjuntos em duas bolas quase idênticas à bola original (ficam faltando só uns poucos pontos).

É por tudo isso que medir o tamanho de conjuntos limitados de infinitos pontos se tornou um problema importante na matemática. Talvez a descoberta mais importante nesse sentido tenha sido feita no começo do século 20 por Lebesgue: ele provou que você pode atribuir um número do tipo “comprimento”, “área”, e “volume” a uma enorme quantidade de conjuntos, inclusive alguns bem esquisitos, que, à primeira vista, combinariam mal com a ideia de “comprimento, “área”, ou “volume”.

Em resumo, ao longo do século 20 os matemáticos descobriram que é melhor você encarar conceitos como “área” e “comprimento” como sendo números reais que, em certas circunstâncias, pode atribuir a certos conjuntos de pontos, e tais números representam bem suas noções intuitivas de tamanho. Em outras circunstâncias, contudo, tais números talvez não façam sentido, pelo menos não do jeito usual. Área não é, portanto, um conceito matemático “natural”, cujo significado está, digamos assim, “por aí, em todo lugar para onde se olha”: ao contrário, é um conceito ao qual você deve atribuir significado tomando muitos cuidados.

Neste texto, contudo, vai mexer só com funções contínuas, e, como dizem os teoremas §43-1 e §43-2, sempre pode atribuir um número real a ∫[a, b]f(x)dx se f é contínua em [a, b].

Antes de seguir adiante, um último assunto: volte atrás e veja como começou com um conceito bem conhecido, o de área de um retângulo, modificou esse conceito um pouco, para a área de um retângulo cujo comprimento da base é um infinitésimo, e com tais novos retângulos chegou a um método pelo qual calcular a área de figuras delimitadas por linhas curvas. Se estiver a seu alcance, faça agora um movimento ao qual os matemáticos profissionais logo se acostumam: transforme o ponto de chegada em ponto de partida. Faça f : xf(x) uma função contínua em [a, b], e daí ∫[a, b]f(x)dx fica sendo a definição de área. Com tal definição, calcule a área de todas as figuras com as quais se acostumou, como retângulos, trapézios, elipses — basta que posicione corretamente as figuras num sistema cartesiano ortogonal XOY e providencie as equações adequadas, como já fez no exemplo 1. Mas, com tal definição, calcule também a área de figuras delimitadas por curvas, como já fez no problema §45-3. Se pensar em ∫[a, b]f(x)dx como sendo a definição de área, resolve todos os problemas que já resolvia, e resolve também problemas novos.

Figura 10

Figura §46-1: Como você calcularia a área do hexágono com o apoio das retas f, g, e h?


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{47}/ A prova dos teoremas §43-1 e §43-2

Prova do teorema §43-1. Invoque o teorema §31-1 e diga que f é uma função limitada, isto é, que pode escolher um número real r > 0 tal que –r < f(x) < r para todo x em [a, b]. Veja a figura §47-1 a seguir: deve achar natural dizer que, para qualquer valor real de Δx:

expr 23

Figura 11

Figura §47-1

Com essa expressão, está apenas dizendo que a área delimitada pela curva de f tem de ser menor ou, no máximo, igual à área do retângulo cuja altura é r e cuja base é ba. (Ela é menor, sem dúvida, mas, se é menor, também é “menor ou igual”.)

Por meio de um argumento semelhante:

expr 24

Visto que essas duas afirmações são verdadeiras para todo Δx real, também são verdadeiras para todo hiper-real dx, e com isso escreva:

expr 25

Visto que –r(ba) e r(ba) são ambos números reais, afirme então que Sf(x)dx é um número hiper-real finito qualquer que seja o valor que atribua a dx. ❏

Prova do teorema §43-2. Como sempre, estude primeiro o caso finito. Tendo nas mãos uma função contínua f, você pode pensar assim:

“A cada vez que atribuo um valor distinto para Δx, é como se definisse o valor de uma nova função.”

Antes de se debruçar sobre esse ponto, examine com atenção a figura a seguir.

Figura 12

Figura §47-2

Essa nova função funciona assim: conforme escolhe um valor para Δx, usa f para descobrir a altura de cada retângulo delimitado à direita por f(xt), e com isso define um valor para o somatório Sf(x)Δx da área dos retângulos, valor esse que serve como valor aproximado da área debaixo da curva de f entre x = a e x = b.

Figura 13

Figura §47-3

Chame essa nova função de fΔx. Daí faça a afirmação a seguir.

expr 26

Bem, caso atribua dois números reais distintos para Δx, por exemplo Δx1 e Δx2, deve lidar com duas aproximações distintas para a área debaixo da curva de f, cada uma delas determinada por retângulos distintos. É o que vê na figura a seguir.

Figura 14

Figura §47-4

Com cada um dos números Δx1 e Δx2, você determina uma “função escalonada” distinta. (Talvez elas até sejam equivalentes, se por exemplo f for constante; mas, geralmente, serão distintas.) A ideia essencial desta prova: você vai comparar tais funções escalonadas entre si. Tendo escolhido dois Δx1 e Δx2, não necessariamente distintos, chame de dif(Δx1, Δx2) a diferença máxima de altura entre fΔx1 e fΔx2 no intervalo [a, b], como vê na figura a seguir.

Figura 15

Figura §47-5

Eis como definir dif(Δx1, Δx2) com uma equação:

expr 27

Daí use a expressão a seguir para denotar a área pintada de roxo na figura §47-5, que representa a área entre as duas funções escalonadas, isto é, a diferença entre as duas áreas que determinou com cada uma das duas funções escalonadas.

expr 28

Essa área tem de ser menor que ba multiplicado por dif(Δx1, Δx2), isto é: se você pegar a maior diferença entre fΔx1 e fΔx2 no intervalo [a, b], e multiplicá-la pelo comprimento ba do intervalo, vai obter uma área retangular no mínimo igual à área pintada de roxo, e possivelmente maior. (Na figura §47-5, acompanhe o tracejado azul mais claro para ver essa área retangular.) Eis como pôr essa ideia no papel:

expr 29

Mas, sendo assim, diga que a expressão a seguir também é válida.

expr 30

Visto que essa afirmação é verdadeira no sistema dos números reais, também é verdadeira no dos hiper-reais, de modo que deve trocar os números reais Δx1 e Δx2 pelos infinitésimos dx1 e dx2.

expr 31

Agora, precisa examinar bem a diferença máxima dif(dx1, dx2) para ver se consegue provar que é um infinitésimo. Em primeiro lugar, como vê na figura §47-6 a seguir, será capaz de achar dois hiper-reais c e d tais que cd e que f(c) – f(d) = dif(dx1, dx2). Faça e = st[c]. Daí, visto que f é contínua em [a, b], f(e) ≈ f(c) e f(e) ≈ f(d), de modo que f(c) ≈ f(d). Sendo assim, dif(dx1, dx2) é um infinitésimo. Sabendo isso, diga que as duas equações a seguir são verdadeiras:

expr 32

Figura 16

Figura §47-6

 

 

Visto que dx1 e dx2 são infinitésimos que escolheu arbitrariamente, conclua a prova aqui: Se f é contínua em [a, b], daí S[a, b]f(x)dx tem a mesma parte padrão para todo infinitésimo dx > 0. ❏

Mais uma vez, graças a esse teorema §43-2, não importa qual infinitésimo dx você escolhe para calcular o valor hiper-real de S[a, b]f(x)dx: qualquer que seja sua escolha, achará o valor real correto de ∫[a, b]f(x)dx, se tal valor existir. Sendo assim, na maioria das situações práticas, divida o comprimento (ba) por N, sendo N um hiper-real inteiro positivo infinito, para obter o infinitésimo dx; desse modo, dx divide (b a) exatamente, isto é, deve considerar o resto f(b)q igual a zero, e com tal providência as contas ficam mais simples. Foi o que já fez ao resolver os exemplos da seção 44.


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{48}/ Dois destaques sobre notação

Destaque 1. É importante que reconheça isto: a variável “x” em ∫f(x)dx é uma variável “vazia”; você pode representar a mesma integral de quantas maneiras quiser.

expr 33

Isso porque o valor da integral não depende de nenhum valor específico de x, nem depende de como batiza a variável independente com x, y, ou z. Ele depende, em essência, do intervalo fechado [a, b], no qual a curva de f é assim ou assado.

Em geral o matemático usa ∫f(t)dt se chamou a variável independente, no eixo das abscissas, de t; e usa ∫f(ζ) se a chamou de ζ. Contudo, ao longo de uma demonstração, se ele perceber que deve trocar o nome da variável para deixar alguma relação mais visível, vai de uma linha para outra trocar ∫f(t)dt por ∫f(ζ) e deixar muito estudante confuso.

Destaque 2. Examine mais uma vez o texto das definições §43-1, §43-2, e §43-3, e especialmente o texto dos teoremas §43-1 e §43-2. Note que eles falam de uma função f contínua em [a, b], mas não dizem nada sobre uma função f não negativa em [a, b]. Isso porque f pode ser negativa: se quiser, você define a integral de f em [a, b] quer a curva de f seja positiva, nula, ou negativa. Segundo a convenção atual, se a curva de f em [a, b] é negativa, a área entre a curva de f e as linhas y = 0, x = a, e x = b deve ter o sinal negativo. Se a curva de f é uma mistura de valores positivos, nulos, e negativos, daí, ao calcular o valor da expressão ∫f(x)dx, você vai no fim das contar tirar o valor das áreas abaixo do eixo X do valor das áreas acima do eixo X. É o que vê na figura §48-1 a seguir.

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Figura §48-1: Esta é uma imagem bastante acessada da Wikipedia


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{49}/ Um problema e duas sutilezas

Problema. Ache a área delimitada pela curva de f(x) = 9 + 6x – 3x2 e o eixo X.

Resolução. Veja que o enunciado não diz nada a respeito do intervalo. O que fazer? Como primeiro passo, examine a curva de f.

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Figura §49-1

O redator do enunciado deve ter presumido que você vai escolher o intervalo mais apropriado; como ele fala de “área”, o intervalo mais apropriado é aquele em que a curva de f é não negativa. Isso significa que deve achar os pontos nos quais a curva de f cruza o eixo X; a figura sugere que o cruzamento ocorre quando x = –1 e x = 3, mas é melhor confirmar com Bháskara.

expr 34

Sendo assim, o que você está procurando é o valor da expressão a seguir.

expr 35

Basta agora seguir o método que estudou na seção 44. Em primeiro lugar, escolha um infinitésimo dx conveniente, e já calcule a expressão para xt, pensando em N como um hiper-real inteiro positivo infinito.

expr 36

Daí sua sequência de expressões ficará mais ou menos assim:

expr 37

 

Então, a área entre a porção não negativa da curva de f e o eixo X vale 32 unidades ao quadrado, e deve ser isso o que o redator queria.

Sutileza #1. Eis um exemplo de função que você não pode integrar; já viu essa função antes:

expr 38

Agora vai provar que ∫[0, 1]f(x)dx não existe.

Bem, se Δx é racional, daí cada xt também é racional. Veja o que acontece:

expr 39

Se Δx é irracional, daí cada xt também é irracional, e eis o que deve obter:

expr 40

Assim, se dx é um infinitésimo racional, st[Sf(x)dx] = st[1] = 1. Se dx é um infinitésimo irracional, st[Sf(x)dx] = st[q] = 0, pois 0 < q < dx, isto é, o resto q é um infinitésimo. Visto que o valor de st[Sf(x)dx] varia conforme a escolha do infinitésimo dx, você não pode integrar a função f no intervalo [0, 1] e, em consequência, em nenhuma outro intervalo, pois todos são “idênticos” ao intervalo [0, 1].

Sutileza #2. Graças aos teoremas §43-1 e §43-2, sabe que, se f é contínua em [a, b], basta dividir ba por um infinitésimo dx > 0 qualquer para achar o valor da integral de f em [a, b]. Isso não quer dizer, contudo, que toda função que pode integrar é contínua. Talvez f seja descontínua, e mesmo assim possa achar a integral de f em [a, b].

Eis um exemplo simples:

expr 41

Figura 17

Figura §49-2

A função f é descontínua em x = 2, pois, para qualquer infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, f(2) = 0 ≉ 1 = f(2 + ϖ). Agora, para qualquer valor positivo que atribua a Δx, diga que a afirmação a seguir é válida por definição:

expr 42

Se escolhe Δx de modo a evitar que um dos xt ou b coincida com o número 2, eis como vai calcular o somatório.

expr 43

De outro modo, se um dos xt coincide com 2, eis o que vai obter:

expr 44

Isso porque você vai ficar com a área de um retângulo de base ba, altura igual a 1, menos a área de um retângulo de base Δx, altura igual a 1, já que f(2) = 0.

Com um argumento semelhante, se b coincide com 2:

expr 45

Portanto, caso um dos xt ou caso b coincida com x = 2, diga que a afirmação a seguir é válida.

expr 46

Essa afirmação é válida no sistema dos números reais; logo, também é válida no dos hiper-reais. Se imagina Δx como sendo o infinitésimo dx > 0, escreva o seguinte:

expr 47

Ora, Sf(x)dx é um número hiper-real, mas ba é um número real; se a diferença entre eles é menor ou igual a um infinitésimo, significa que a parte real de Sf(x)dx é ba. Assim, a afirmação a seguir é válida qualquer que seja o caso: nenhum xt nem b coincide com 2, um xt coincide com 2, ou b coincide com 2.

expr 48

Assim, se o valor de st[Sf(x)dx] permanece o mesmo qualquer que seja o valor infinitesimal que atribua a dx > 0, então diga que, apesar da descontinuidade em x = 2, f é uma função integrável em [a, b].


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{50}/ Os primeiros passos numa álgebra de integrais

Até agora, você tem calculado o valor de ∫[a, b]f(x)dx com a < b, o que é natural. Como pode, contudo, dar significado à expressão ∫[a, b]f(x)dx se a > b?

Eis como deve prosseguir, seguindo a tradição.

Definição §50-1. Se pode integrar f no intervalo fechado [b, a], onde b < a, deve definir ∫[a, b]f(x)dx como sendo –∫[b, a]f(x)dx. É o que vê, mais claramente, na linha a seguir.

expr 49

Em palavras: se mede a integral no sentido contrário ao do eixo X, ou no sentido contrário ao do eixo das abscissas, troque o sinal da integral. Começando com essa definição, prove o teorema §50-1 logo abaixo, importante, pois é o primeiro passo numa espécie de “álgebra de integrais”.

Teorema §50-1. Se f é contínua em [d, e] e se a, b, c são elementos de [d, e], daí a linha a seguir é válida.

expr 50

Nesta prova, vai considerar seis casos distintos.

(1) acb

(2) abc

(3) bac

(4) bca

(5) cba

(6) cab

Veja como provar o caso (1), no qual você afirma um fato familiar: com a linha vertical x = c, divide a integral de f em [a, b] em duas parcelas, e é claro que a soma dessas duas parcelas perfaz a integral.

Figura 18

Figura §50-1

Siga adiante formalmente, olhando as definições que conhece até aqui. Visto que f é contínua, escolha qualquer Δx que deseje. Escolha dx = (ca)/N para algum N inteiro positivo infinito. Isso é útil, pois, como vê na figura §50-1, se n é um inteiro positivo finito e se Δx = (ca)/n, daí só de olhar o diagrama e imaginar os retângulos de base Δx e depois dx você já sabe o seguinte:

expr 51

E isso é suficiente para provar o caso (1).

Agora, um caso mais difícil, o caso (3); veja a figura §50-3. Use o que aprendeu no caso (1) e simplesmente ponha no papel qual é a integral de f em [b, c].

expr 52

Figura 19

Figura §50-3

Mas bac. Use a definição §50-1.

expr 53

E essa é justamente a afirmação do teorema §50-1. {Em palavras, pensando no caso b < a < c: adicione um número real positivo (a integral de f em [a, c]) a um número real negativo de valor absoluto maior (a integral de f em [c, b]); obterá um número real negativo (a integral de f em [a, b]).} Repita um argumento semelhante a esse para os outros quatro casos: em todos eles vai obter, na última linha de suas anotações, a afirmação do teorema §50-1. ❏

Um detalhe de notação: suponha que f é contínua em x = a. Que valor deve atribuir à integral a seguir?

expr 54

Bem, o intervalo mede aa = 0. Assim, Δx = 0/n para algum inteiro positivo n. Se Δx = 0, invoque Łós e diga que f(xt)dx = 0. Portanto, a integral vale zero.

expr 55


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{51}/ A fantástica função área

Observe a figura §51-1 a seguir. Imagine uma função contínua f : x ↦ f(x). Imagine ainda que fixou uma linha vertical x = c. E, por fim, que pode mudar a linha vertical x = x para a posição que bem entender: à direita de x = c, à esquerda de x = c, ou mesmo coincidente com x = c.

Figura 20

Figura §50-1: A muito importante função área

Definição §51-1. Com tudo isso na imaginação, defina uma função área, a função F(x), desta maneira:

expr 56

Em palavras: com a função F, você calcula a área delimitada pela curva de f e pelas linhas retas y = 0, x = c e x = x. Faça agora um teste: pense em dois números reais a e b, e use o teorema §50-1 para subtrair F(a) de F(b). Veja o que acontece:

expr 57

Quer dizer: para qualquer par de números reais a, b, a expressão a seguir é válida.

expr 58

O que você acabou de fazer é uma descoberta extraordinária. Significa que pode definir uma função F tal que, para calcular a integral de f em [a, b], tudo o que deve fazer é calcular o valor de F em b, o valor de F em a, e tirar F(a) de F(b) — sem que tenha de se preocupar com a área da região delimitada por f em [a, b]. Ou, em palavras mais simples, pode achar uma função F de modo a calcular a área ∫[a, b]f(x)dx sem que tenha de se preocupar com o somatório da área de N retângulos! (Com N inteiro infinito.) É uma velha mania entre matemáticos: agora você calcula a área sem que tenha de calcular a área.

Está pronto para mais uma definição importante.

Definição §51-2. Imagine qualquer função contínua g. Se existe uma função H tal que, para todo par de números reais a, b, a equação logo abaixo é válida, então você deve chamar a função H de “a função primitiva de g” ou, mais simplesmente, de “a primitiva de g”. (No Brasil, muitos também dizem “a antiderivada de g”. O motivo desse nome, antiderivada, ficará mais claro noutro capítulo desta série.)

expr 59

Notação. Existe uma maneira mais breve de expressar a equação acima. Ela é:

expr 60

Eis dois exemplos de primitivas.

Exemplo 1. Imagine a função constante f(x) = k, sendo k um número real qualquer.

Figura 21

Figura §51-2

Daí as linhas a seguir são válidas.

expr 61

 

Isso significa que a função F(x) = kx é uma primitiva de f(x) = k. Veja como isso é incrível imaginando k = 1, isto é, f(x) = 1. Em palavras: para calcular a área do retângulo cuja base mede ba e cuja altura mede 1, recorra à função identidade y = F(x) = x e simplesmente calcule F(b) – F(a).

Exemplo 2. Faça f(x) = x2. Calcule agora ∫[0, x]f(t)dt, seguindo o método com bastante cuidado.

Como primeiro passo, escolha um dt adequado, que facilite as contas; por exemplo, dt = x/N para algum inteiro positivo infinito N. Eis algumas linhas que suas notas talvez contenham:

expr 62

Conclua, portanto, dizendo que x3/3 é uma primitiva de x2. Se quiser, volte ao problema no primeiro parágrafo deste capítulo: qual é a área debaixo da parábola y = x2 no intervalo entre a = 1 e b = 2? Agora que já conhece uma primitiva de x2, tudo o que tem a fazer é usá-la: 23/3 – 13/3 = 8/3 – 1/3 = 7/3, que é o valor que já achou antes, porém com maior esforço.

Viva as primitivas!

Outra coisa: note a lição contida na resolução deste exemplo 2. Muitas vezes, um jeito simples de achar uma primitiva de uma função contínua f é achar uma expressão para F(x) = ∫[0, x]f(t)dt. Se puder achá-la, visto que por definição F(0) = 0, ela representa uma primitiva de f.


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{52}/ Para cada função contínua, infinitas primitivas

Talvez tenha notado que, no texto da seção 51, o redator recorre com insistência à locução “uma primitiva”, em lugar de “a primitiva”. É que, se você acha uma primitiva para determinada função contínua f, então existem infinitas primitivas para f.

Teorema §52-1. Use c para denotar uma constante real qualquer, e g para denotar uma função contínua. Daí H é uma primitiva de g se, e somente se, para alguma constante real k, pode declarar a igualdade a seguir como válida.

expr 63

Prova. Primeiro, defina a função área G como na linha a seguir.

expr 64

Como já viu antes, G é uma primitiva de g. Agora use H para denotar uma função qualquer que, para uma constante real arbitrária k, a linha a seguir é válida.

expr 65

Sendo assim, para um par qualquer de números reais a, b, também são válidas as próximas linhas.

expr 66

Logo, H tem de ser uma das primitivas de g. Para provar a recíproca dessa implicação, caso use mais uma vez H(x) = ∫[c, x]g(t)dt + k para representar qualquer uma das primitivas de g, daí:

expr 67

Agora, se você faz k = H(c), daí H(x) = G(x) + k, como queria provar. ❏

Como consequência prática desse teorema e do que viu no último parágrafo da seção 51, adote a seguinte estratégia de ataque: diante de uma função contínua f, se quiser achar uma expressão que represente todas as primitivas de f, ache uma expressão que valide a equação a seguir, na qual k é uma constante real qualquer. Se tal façanha for possível (nem sempre é), então a expressão de F representa toda as infinitas primitivas de f, uma para cada valor de k.

expr 68


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{53}/ Lista de problemas

§53-1. Ache uma primitiva de f(x) = x.

§53-2. Ache uma primitiva de f(x) = x3.

§53-3. Ache uma primitiva de f(x) = √x. (Veja o problema §45-3.)

§53-4. Prove que, para quaisquer duas funções integráveis f e g, e para qualquer par de números reais a e b:

expr 69

Dica: trabalhe com a definição formal de integral, que estudou na seção 43.

§53-5. Prove que, para qualquer função integrável f, e para quaisquer três números reais k, a, b, a linha a seguir é válida.

expr 70

* * *

Os teoremas §53-4 e §53-5 foram provados pela primeira vez no século 17 por Cavalieri, embora a prova do teorema §53-5 tenha ficado ridícula até mesmo para as exigências de qualidade da época. Cavalieri usou quantidades que batizou de “indivisíveis”; elas eram não meramente quantidades infinitesimais, mas de fato iguais a zero. Foi uma das muitas tentativas frustradas de justificar o “método dos infinitésimos” antes que Cauchy sugerisse a ideia de limite e Robinson, a de número hiper-real.

As sugestões de resposta aos problemas estão na seção 55.


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{54}/ O que fazer com ∑t2?

Você já sabe que ∑t = (½)n(n + 1), isto é, que pode calcular o somatório dos n primeiros inteiros positivos com o polinômio de segundo grau (½)[n2 + n].

E essa constatação sugere o primeiro passo para descobrir o que fazer com ∑t2: será que pode calcular o somatório dos n primeiros quadrados perfeitos recorrendo a uma função polinomial de grau 3?

Não é uma pergunta interessante?

Junte num conjunto os seis primeiros valores de ∑t2 para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6; deve obter {1, 5, 14, 30, 55, 91}. Se existe uma função polinomial P de grau 3 com a qual você calcula tais valores, tem de ser da forma an3 + bn2 + cn + d = P(n). Você pode calcular o valor de n3, n2, e de n, pois em geral sabe o valor de n. Sendo assim, deve descobrir o valor de cada um dos quatro coeficientes a, b, c, d.

Recorra a um pouco de álgebra linear. Se quer descobrir o valor de quatro incógnitas, precisa de quatro equações. Basta produzir um sistema de equações lineares com o valor de P(n) para n = 1, 2, 3, 4, como o sistema a seguir.

expr 14

Veja esse sistema como uma matriz A de coeficientes, um vetor de coluna X com as incógnitas, e um vetor de coluna B com os resultados. Assim:

expr 15

Esse é, como talvez saiba, só um jeito mais compacto de representar o sistema de quatro equações lineares. Dos livros de álgebra linear, sabe que o sistema tem solução única caso o determinante de A seja diferente de zero; você pega uma calculadora científica, entra com a matriz A, pede o determinante: det(A) = 12, e com isso tem a certeza de que achará o vetor X que torna o sistema válido.

Se o determinante de A é 12 ≠ 0, então existe uma matriz A–1 tal que AA–1 = A–1A = I, sendo I a matriz identidade. Sendo assim, se AX = B, pré-multiplique os dois lados da igualdade por A–1 para obter A–1AX = A–1B, que no fim das contas é X = A–1B. Em palavras: para saber o valor das incógnitas a, b, c, d, tudo o que deve fazer é pré-multiplicar o vetor B pela matriz inversa de A.

Pode calcular os componentes de A–1 de muitas maneiras, inclusive a mais simples delas: entre com a matriz A na calculadora e aperte o botão 1/x. Eis o que obterá no visor:

expr 16

E daí tudo o que deve fazer é multiplicar A–1 por B para obter o vetor de coluna X com o valor de a, b, c, d.

expr 17

 

Desse modo, parece que o polinômio P(n) a seguir produz os valores de ∑t2:

expr 18

Por que a locução “parece que”? Bem, o que você achou foi o valor de a, b, c, d de tal forma a produzir os primeiros quatro somatórios 1, 5, 14, 30. Por enquanto, não tem como saber se pode usar P(n) para obter o valor de ∑t2 para qualquer valor de n, por maior que seja. O que fez até aqui, contudo, é promissor: quando n = 5, P(5) = ∑t2 = 55; quando n = 6, P(6) = ∑t2 = 91; quando n = 7, P(7) = ∑t2 = 140. Mas será que pode usar P(n) para produzir a sequência infinita {1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, …, ∑t2, …}?

Afinal de contas, talvez você esteja se enganando com seu próprio otimismo. Suponha que estivesse na pele de Euler em 1772, quando descobriu o polinômio n2 + n + 41, que, à primeira vista, produz números primos para todo valor inteiro positivo de n. Suponha ainda que não soubesse tanto quanto Euler sabia. Com n = 1, você obteria 43, um primo; com n = 2, obteria 47, outro primo; com n = 3, obteria 53, outro primo. E assim iria, obtendo primo depois de primo até n = 39, e certamente ficaria bastante entusiasmado, achando que descobriu um polinômio que gera números primos. Euler laboriosamente calculou à mão o valor de n2 + n + 41 até n = 39, mas parou por aí, pois sabia que, com n = 40, não teria como obter um primo, já que 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41= 40·41 + 41 = (40 + 1)41 = 412, que é, obviamente, um múltiplo de 41.

Então, para ter a certeza de que seu polinômio P(n) produz o valor correto de ∑t2 para todo valor inteiro positivo de n, o que deve fazer agora é arrumar bem a expressão de P(n) e partir para uma prova por indução.

Comece dividindo 2n3 + 3n2 + n por n + 1. Deve obter 2n3 + 3n2 + n = (2n2 + n)(n + 1). Divida 2n2 + n por n, para obter 2n2 + n = n(2n + 1). Logo, ∑t2 = (1/6)n(n + 1)(2n + 1).

Se quiser, chame de A(n) a afirmação que está querendo provar por indução: “Para todo valor inteiro positivo de n, posso usar o polinômio (1/6)n(n + 1)(2n + 1) para calcular ∑t2, isto é, para calcular o somatório dos n primeiros quadrados perfeitos.” Daí o que pretende provar é:

expr 19

Isso é só o jeito matemático de dizer: “Para todo n inteiro positivo, minha afirmação A(n) é válida.”

O próximo passo numa prova por indução é provar que A(1) é válida. E ela é, como já sabe, pois (1/6)1(1 + 1)(2·1 + 1) = 12.

O outro passo é provar a indução:

expr 20

Se você provar que A(n) implica A(n + 1), isto é, que, se A(n) é válida, A(n + 1) também é, daí A(1) é válida e implica A(2); A(2) é válida e implica A(3); A(3) é válida e implica A(4); e assim por diante quantas vezes desejar.

Comece, portanto, pondo no papel a afirmação A(n), que vai considerar válida por hipótese.

expr 21

Agora, some (n + 1)2 aos dois lados da equação, e veja se consegue arrumar o lado direito para obter (1/6)(n + 1)([n + 1] + 1)(2[n + 1] + 1) = (1/6)(n + 1)(n + 2)(2n + 3). Se conseguir, é porque a implicação é válida.

expr 22

Portanto, A(n) implica A(n + 1), e pelo princípio da indução matemática você diz que para todo n, A(n) é válida; em outras palavras, use o polinômio P(n) para calcular o valor do somatório ∑t2 para qualquer valor inteiro positivo de n, por maior que seja. A partir desse ponto, basta invocar o teorema de Łós e trocar n por N, sendo N um hiper-real inteiro positivo infinito, e está pronto para integrar expressões nas quais aparece o somatório ∑t2.


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{55}/ A resolução dos problemas

§45-1. Calcule o valor da integral ∫[0, 2]3x2dx.

Resolução. Bem, 3x2 é uma função contínua não negativa para todo x real. Logo, escolha um dx conveniente; por exemplo, dx = 2/N para algum inteiro positivo infinito N. Daí xt = (2/N)t. Com isso, já tem condições de armar os somatórios e concluir a conta.

expr 71

Lembre-se de como ler o resultado: “Oito unidades ao quadrado”, pois está atribuindo uma medida a uma área.


 

§45-2. Calcule o valor da integral ∫[–2, –1](x2 – 4x + 2)dx.

Resolução. Faça dx = [–1 –(–2)]/N = 1/N para algum inteiro positivo infinito N. Daí xt = –2 + (1/N)t. Suas contas devem ficar mais ou menos assim:

expr 72


§45-3. Calcule o valor da integral ∫[0, 4](√x)dx.

Resolução. Antes de seguir a dica do redator, que tal tentar resolver o problema sem seguir a dica?

Bem, faça dx = 4/N para algum inteiro positivo N. Daí xt = (4/N)t, e suas anotações ficam mais ou menos assim:

expr 73

E provavelmente vai achar esse somatório muito difícil de resolver. A dica do redator serve justamente para contorná-lo.

Note que, se y = √x, ao elevar os dois lados ao quadrado, obtém y2 = x. (Se x ≥ 0, elevar os dois lados da equação ao quadrado não altera sua validade.) Já viu essa integral antes: pense em x = y2, isto é, x no eixo das ordenadas, y no eixo das abscissas, como na figura §55-1. Daí basta seguir o método normalmente.

Figura 23

Figura §55-1

expr 74

Antes de continuar: viu por que, em ∫[0, 2]y2dy, a variável y é “vazia”? Se tivesse começado com ∫[0, 2]x2dx, com ∫[0, 2]z2dz, ou com ∫[0, 2]ζ2, teria escrito a segunda linha da sequência acima do mesmíssimo jeito.

Continuando: a área que está buscando é a área do retângulo de base igual a 4, lado igual a 2, menos a área pintada de roxo. Logo, o que está buscando é:

expr 75

Se já sabe um pouco de cálculo, deve ter pensado: “É tão mais fácil usar a regra da potência.” É verdade.


 

§53-1. Ache uma primitiva de f(x) = x.

Resolução. Copie o método que já estudou na seção 52.

expr 76

Usou a variável vazia z para não confundi-la com x nem com o contador t (do somatório). Faça dz = x/N para algum inteiro positivo infinito N. Daí zt = (x/N)t. Ao prosseguir com as contas, vai chegar a:

expr 77

Logo, (1/2)x2 é uma das primitivas de x, e com isso diga que ∫[a, b]xdx = (1/2)b2 – (1/2)a2.


 

§53-2. Ache uma primitiva de f(x) = x3.

Resolução. Mais uma vez: use o método da seção 52. Nas linhas a seguir, dz = x/N e zt = (x/N)t.

expr 78

Sendo assim, agora sabe que ∫[a, b]x3dx = (1/4)b4 – (1/4)a4. Notou o padrão? Parece que, para todo n inteiro positivo, ∫[a, b]x(n–1)dx = (1/n)bn – (1/n)an. Noutro capítulo desta série verá que sua hipótese está correta.

Outra coisa: talvez queira saber como o redator sabe que a linha a seguir é verdadeira:

expr 79

Um jeito prático de saber isso é teclar o somatório numa calculadora científica e ver o que ela sugere. O outro jeito é repetir o método que estudou na seção 54.

Resolvendo o somatório ∑t3. Se pode calcular a soma dos n primeiros inteiros positivos com um polinômio de grau 2 [que é (1/2)n(n + 1)], e se pode calcular a soma dos n primeiros quadrados com um polinômio de grau 3 [que é (1/6)n(n + 1)(2n + 1)], nada te impede de supor que pode calcular a soma dos n primeiros cubos com um polinômio P de grau 4. Assim:

expr 80

Para descobrir o valor dos cinco coeficientes a, b, c, d, e, se tal for possível, precisa de um sistema de equações lineares com cinco equações. Calcule então o valor de ∑t3 para n = 1, 2, 3, 4, 5 e monte o sistema.

expr 81

O melhor agora é representar o sistema com vetores e matrizes. Use AX = B, equação na qual A é uma matriz 5 ✕ 5 com os coeficientes, X é um vetor 5 ✕ 1 com as incógnitas e B é um vetor 5 ✕ 1 com o resultado de cada somatório.

expr 82

Se o determinante de A é diferente de zero, daí existe a matriz A–1 inversa de A, e a solução do sistema é simplesmente X = A–1B. Bem, det(A) = 288, e com isso sabe que vai achar o valor de A–1.

expr 83

Assim, a = 1/4, b = 1/2, c = 1/4, d = 0, e e = 0. Logo, o polinômio P com o qual você calcula (no mínimo) a soma dos cinco primeiros cubos é:

expr 84

Agora, para saber se deve usar P para calcular o valor de ∑t3 para todo valor inteiro positivo de n, vai mais uma vez recorrer a uma prova por indução.

Comece presumindo o que pretende provar: a afirmação a seguir é válida para todo valor inteiro positivo de n.

expr 85

Já sabe que ela vale quando faz n = 1. Agora, para provar que, se essa afirmação for válida, ela implica a validade da afirmação até n + 1, basta que some (n + 1)3 dos dois lados da equação. Feito isso, veja se rearranja o lado direito da equação até obter (1/4)[(n + 1)4 + 2(n + 1)3 + (n + 1)2] = (1/4)(n4 + 6n3 + 13n2 + 12n + 4).

expr 86

E isso é exatamente o que gostaria de demonstrar. ❏

Não acha incrível que, com um polinômio tão simples, possa calcular o valor do somatório ∑t3 mesmo quando atribui a n um valor inteiro positivo muito alto? Se acha incrível, espere até ver, nesta série, o capítulo sobre polinômios infinitos — com os quais ficará boca aberta.


 

§53-3. Ache uma primitiva de f(x) = √x. (Veja o problema §45-3.)

Num caso desses, é importante que siga o método à risca, mas refletindo sobre o método.

Comece procurando uma função F tal que:

expr 87

Você sabe que y = f(x) = √x. Se y = √x, então, como já viu nas figuras §45-1 e §55-1, ou como sugerem tais figuras, está procurando a área do retângulo cuja base é x e cuja altura é √x, menos a área pintada de roxo numa figura como a §45-1. Pense em x = y2, como já fez ao resolver o problema §45-3, e crie uma função área G para definir a área pintada de roxo:

expr 88

A partir desse ponto, fica mais fácil obter uma expressão para F.

expr 89

Sendo F uma primitiva de y = √x (com x ≥ 0) escreva, de acordo com o que viu nas seções 51 e 52:

expr 90


§53-4. Prove que, para quaisquer duas funções integráveis f e g, e para qualquer par de números reais a e b:

expr 69

Resolução. Olhando para as definições, e pensando em dx = (ba)N para algum inteiro positivo infinito N:

expr 91

Isso significa que, ao integrar um polinômio, vai integrar cada uma das parcelas separadamente, e depois somar todas as integrais.

Veja mais uma vez o exemplo 3 da seção 44. Use o que acabou de descobrir e o conceito de primitiva:

expr 92


§53-5. Prove que, para qualquer função integrável f, e para quaisquer três números reais k, a, b, esta expressão é válida:

expr 70

Resolução. Nas linhas a seguir, dx = (ba)/N para algum inteiro positivo infinito N; r é um número real; e ϖ é um infinitésimo, positivo ou negativo.

expr 93

De quebra, com esse teorema, você descobriu que, se k é uma constante real e p é um número hiper-real finito, daí k·st[p] = st[kp]. Além disso, também usará o teorema muitas vezes na integração de polinômios, já que a parcela típica de um polinômio em x é kxn e ∫[a, b]kxndx = [a, b]xndx. {FIM}


Figura 24

P. S. Neste capítulo, você foi longe! Examine mais uma vez a ilustração acima: é como uma matemático define a função y = f(x) = ln(x) [com x > 0], e agora sabe o que a expressão significa. [Mais para a frente, verá como explorar as propriedades de ln(x) com base nas propriedades de integrais e derivadas.] No próximo capítulo desta série, vai usar o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial. Não perca!

Aviso. Caso veja algum erro neste capítulo ou queira tirar uma dúvida, escreva para o redator:

<ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com>.

“My daughter reads maths at Cambridge.”

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{1}/ À vista de todos

Outro dia, entrei numa padaria perto do escritório, me sentei ao balcão e pedi uma xícara de café com leite e um pão com manteiga. Enquanto esperava, abri meu livro de cálculo e meu caderno, e passei a resolver exercícios. Um sujeito com roupas de operário da construção civil (macacão, botas, capacete) se sentou a meu lado, fez o pedido e ficou olhando de esguelha meu caderno. Logo puxou conversa:

“Você estuda engenharia?”

Perguntei de volta:

“Quem estuda cálculo estuda engenharia, é isso?”

Passamos a conversar, e ele me contou que gostaria de estudar engenharia, para conseguir uma promoção na firma em que trabalha, mas que tinha medo do cálculo. Seus colegas lhe diziam que é superdifícil. Eu disse o que sempre digo: não é verdade. Dei minha receita: compre um livro bom, desligue a TV, leia cada trecho com atenção, faça todos os exercícios, descubra meios de verificar sozinho se acertou ou errou, investigue por que errou um exercício, e por fim volte e releia cada trecho do livro. Nessa releitura, com os exercícios já feitos e refeitos, o estudante nota sutilezas que não havia notado na primeira leitura — e os conceitos ficam mais claros. Eu disse também que, embora o cálculo fosse útil na minha profissão (não entrei em detalhes), na verdade estudava cálculo por prazer. Ele riu; achou que eu estava brincando. Depois, quando insisti nisso, passou a me olhar como se eu estivesse mentindo.

Se um sujeito abre um romance na padaria, para ler enquanto toma o café da manhã, ninguém vai estranhar a cena, e se o sujeito disser que lê romances por prazer, ninguém vai achá-lo mentiroso. A sociedade brasileira incentiva o hábito de ler romances. Também incentiva o hábito de ler jornais, revistas, quadrinhos. Mas ela não incentiva o hábito de ler livros de matemática — ao contrário.

De modo geral, o brasileiro acha que só estuda matemática quem é obrigado; além disso, uma pessoa só deve estudá-la sob a supervisão de um professor, isto é, só deve estudá-la se estiver matriculado em algum tipo de curso. Como consequência, o brasileiro só estuda aquilo que o professor manda, e só estuda aquilo que dá tempo de estudar ao longo de um curso qualquer. Mas nem todo professor manda bem, e 100% dos cursos são excessivamente breves. Em cinco anos de faculdade, por melhor que ela seja, só dá para estudar uns poucos tópicos da matemática, e mesmo assim de modo superficial.

Não existe saída, portanto: se alguém deseja saber matemática bem, terá de aprender a escolher livros e a estudá-los sozinho. (É difícil escolher livros de matemática, pois à primeira vista se parecem muito; mas, pensando bem, também é difícil escolher romances.) Se puder estudá-los em público, numa padaria ou num parque, tanto melhor. Talvez as crianças, vendo a cena, passem a achar que estão autorizadas a se divertir com livros de matemática.


 

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{2}/ “My daughter reads maths at Cambridge.”

Traduzindo ao pé da letra: “Minha filha lê matemática em Cambridge.” Traduzindo mais livremente: “Minha filha está fazendo o curso de matemática da Universidade de Cambridge.”

Adoro essa expressão britânica: “I’m reading maths at University X.” Acho que ela captura com perfeição o que significa estudar matemática numa boa universidade: ler livros de matemática aos montes. Na verdade, ela captura com perfeição o que significa estudar matemática, seja numa universidade top, seja por esporte.

No Brasil, parte dos estudantes acha que estudar matemática é seguir o seguinte processo: assistir às aulas expositivas e, depois disso, cumprir uma lista de exercícios. De um lado, o professor explica; de outro, o aluno presta atenção nas explicações; mais tarde, o aluno verifica se entendeu as explicações ao resolver exercícios. Se tiver uma dúvida, vai conversar com alguém: um colega, um monitor, o próprio professor. Em universidades como Cambridge, Oxford, MIT, Harvard, alunos e professores achariam algo estranho nesse processo: os livros não aparecem.

Suponha que, segundo o cronograma do curso, haverá quatro aulas sobre espaços vetoriais, a começar daqui a duas semanas. Um bom aluno de uma boa universidade vai à biblioteca e lê tudo o que puder sobre espaços vetoriais: o capítulo III do livro de Serge Lang, o capítulo II do livro de Gilbert Strang, o capítulo I do livro de Sheldon Axler, o capítulo VI do livro de Howard Eves. Esta cena já apareceu em vários filmes: as estantes cheias de livros, uma mesa comprida, uma luminária de leitura, uma pilha de livros sobre a mesa, e o aluno sentado à mesa lendo um livro e tomando notas num caderno, lendo outro livro e tomando notas, até que um funcionário aparece para dizer que a biblioteca vai fechar em 15 minutos.

Um bom professor de uma boa universidade presume que os alunos fizeram isso, e dá uma aula de alto nível, com ênfase em pontos difíceis e sutilezas. A aula se parece com uma conversa entre alguém que conhece o assunto bastante bem (o professor) e alguém que já sabe o suficiente para fazer perguntas pertinentes ou difíceis (o aluno). É assim que se estuda matemática, dentro ou fora da universidade: livros em primeiro lugar, conversas em segundo; depois mais livros e mais conversas, e assim por diante até o dia da indesejada das gentes. {FIM}


Observações:

O texto da seção 1 é uma versão revista e reescrita da carta ao leitor que publiquei pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 18, julho de 2012, página 6. O texto da seção 2 é inédito.

Hardy: uma ótima influência prejudicial

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{1}/ A utilidade da matemática mais inútil

Godfrey Harold Hardy (1877-1947), matemático inglês, escrevia bem à maneira inglesa de escrever bem: dizia o que pensava com palavras simples, sem botar banca. O primeiro parágrafo do livrinho Em Defesa de um Matemático serve de prova:

“É uma experiência melancólica para um matemático profissional se ver escrevendo sobre matemática. A função de um matemático é fazer algo, provar novos teoremas, contribuir para a matemática — e não falar sobre o que ele e outros matemáticos fizeram. Os estadistas detestam os jornalistas, os pintores desprezam os críticos de arte, e médicos, físicos, e matemáticos geralmente têm esse mesmo sentimento; não há desprezo mais profundo ou, no geral, mais justificável que o desprezo dos homens que contribuem para com os que explicam. Exposição, crítica, apreciação é trabalho para uma mente de segunda categoria.”

Mais à frente, na página 63, Hardy escreve um pouco sobre leigos:

“O público não precisa ser convencido de que há algo de bom na matemática.” Mesmo assim, o valor que o público dá à matemática se baseia em “ignorância e confusão”.

Na página 81:

“Não há lugar permanente neste mundo para matemática feia.” Como prova, Hardy explica ao leitor alguns teoremas simples e bonitos, como aquele no qual Euclides provou que existem infinitos números primos. Depois das explicações, avisa: “Caso o leitor não consiga compreender esses exemplos, provavelmente não compreenderá coisa nenhuma de matemática.”

Gente que conviveu com Hardy, como o físico e escritor inglês C. P. Snow, e gente que estuda a história da matemática, como o matemático húngaro Béla Bollobás, dizem que Hardy se comportava na vida real tal qual se comportava no papel: era inteligente, franco, engraçado. Se vivesse hoje, teria milhares de seguidores no Twitter e seria perseguido por patrulheiros do politicamente correto. “No começo do século 20”, escreve Bollobás, “o padrão da análise matemática era baixo no Reino Unido. Hardy fez muito para remediar a situação, não só por meio de suas pesquisas, mas também por meio do livro Um Curso de Matemática Pura, publicado em 1908. Esse livro, que Hardy escreveu ‘como um missionário diante de canibais’, teve uma tremenda influência sobre várias gerações de matemáticos. Infelizmente, o amor que Hardy sentia pela matemática pura também sufocou o crescimento da matemática aplicada por várias décadas.”

Exército de Brancaleone. Várias pessoas dizem que Hardy escreveu o livrinho Em Defesa para desclassificar a matemática aplicada, e citam como prova as duas primeiras frases do penúltimo parágrafo: “Nunca fiz nada de útil. Nenhuma descoberta minha fez ou tem a possibilidade de fazer, direta ou indiretamente, para o bem e para o mal, a menor diferença para o conforto da vida neste mundo.” Tais pessoas dão a entender que Hardy escreveu isso com uma espécie de prazer maldoso. Não é verdade. Ao longo do livrinho inteiro, Hardy passou um recado diferente: mesmo que o matemático produza conhecimentos inúteis para a época em que vive, em primeiro lugar ele não tem escolha exceto ser um matemático; em segundo, a matemática pura é mais útil do que parece à primeira vista. (As descobertas de Hardy, por exemplo, são hoje usadas por especialistas em criptografia.)

Se o cabra é bom de futebol, mas bom mesmo, então ele deve ser jogador de futebol; se é bom de clarineta, mas bom mesmo, deve ser clarinetista; e se é bom de matemática, mas bom mesmo, deve ser matemático. “Se um homem é, sob algum aspecto, um matemático de verdade”, escreveu Hardy, “aposto cem contra um que sua matemática será muito melhor do que qualquer coisa que ele possa fazer.” Hardy dividia a humanidade mais ou menos assim:

● 95% dos homens não sabem fazer nada bem-feito. Para eles, tanto faz ser bombeiro, advogado, ou médico; qualquer que seja a profissão que exerçam, serão medíocres. “Essa é uma afirmação conclusiva”, escreveu Hardy, “mas será muito difícil ouvi-la de um homem de brio.”

● 4,9% dos homens são muito bons numa única coisa; por exemplo, matemática. Esses homens seriam tolos se não fizessem aquilo em que são bons.

● 0,1% dos homens é muito bom em duas ou mais coisas.

Uma vez dito isso, que um sujeito bom de matemática faz um favor a si mesmo se virar matemático, Hardy segue em defesa da matemática pura. Em primeiro lugar, só um matemático puro consegue produzir afirmações matemáticas profundas, isto é, capazes de interligar várias ideias da matemática. Como exemplo, Hardy cita o teorema de Pitágoras e a demonstração de que, se os lados de um quadrado são números racionais, então a diagonal é um número irracional (veja a seção 3). Em segundo lugar, uma pessoa só consegue usar a matemática em problemas complicados caso ela maneje a matemática com maestria — coisa que o especialista em matemática pura sabe fazer. “Isso porque o mais útil, acima de tudo, é a técnica, e a técnica da matemática se aprende principalmente por meio da matemática pura.”

Em 1908, por exemplo, Hardy publicou um artigo sobre genética, a respeito da proporção entre genes dominantes e recessivos. (Ele usou outros termos, pois as palavras gene e genética não existiam.) Usando argumentos matemáticos simples, refutou a ideia de que uma característica dominante tenderia a se espalhar entre os membros de determinada população, ou que uma característica recessiva tenderia a desaparecer. Também desbancou a ideia de eugenia, isto é, de que a raça humana teria o poder de melhorar a si mesma por meios artificiais, e ridicularizou os que desejavam proibir as pessoas com características indesejáveis de ter filhos.


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{2}/ Dicionário

Análise matemática. É uma área da matemática. O matemático especializado em análise estuda as fundações lógicas do cálculo diferencial e integral. Nos dias de Hardy, “análise” e “matemática pura” eram sinônimos, mas hoje essa correlação já não existe mais.


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{3}/ A diagonal do quadrado

 

Imagine um quadrado cujos lados medem a e cuja diagonal mede x. Se a é um número racional positivo qualquer, você pode invocar o teorema de Pitágoras (o quadrado da hipotenusa é igual à adição do quadrado de cada um dos catetos) para escrever:

Equation-1

 

Bem, √2 é um número irracional, e se você multiplica um número racional por um irracional, o que obtém é um número irracional.

Notação: Se x2 = 2a2, daí x = ±√(2a2). Neste caso, no qual está lidando com comprimentos positivos, pode desconsiderar a raiz negativa. {FIM}


 

Observação: Esta é uma versão revista e atualizada de um artigo que publiquei pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 14, março de 2012, página 64.

Capa do livro

William Zinsser, o professor que nunca vi

{–1}/ O motivo deste texto

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Há 20 anos eu leio, releio, e ficho o livro On Writing Well, do jornalista americano William Zinsser. (On Writing Well significa Sobre Escrever Bem.) Sinto como se Zinsser tivesse sido um de meus professores na faculdade — na imaginação, posso vê-lo diante da classe, com os polegares nos suspensórios, dizendo: “Se sua primeira frase não levar à segunda, seu texto está morto. Se sua segunda frase não levar à terceira, seu texto está igualmente morto.”

Pois bem, hoje entrei na internet para ver se Zinsser havia lançado algum livro nos últimos meses, e descobri que ele morreu no dia 12 de maio de 2015. Tive vontade de lhe prestar uma homenagem, o que me deu a ideia de publicar o texto a seguir, inédito, mas que escrevi em 2012.


{0}/ Introdução ao resumo de On Writing Well

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O leitor me perdoe o truísmo, mas pedaços importantes de minha vida se devem a golpes de sorte. Quando me mudei para São Paulo para estudar jornalismo, dividi, com outros estudantes da USP, um sobrado mobiliado na Vila Sônia. A proprietária estava vivendo no Japão, e cobrava pouco pelo aluguel; em troca, tomávamos conta de duas cadelas brancas. Entre os móveis havia uma estante lotada de livros, muitos deles velhos; quando me aproximei dela pela primeira vez, para saber se algo ali valia a pena, um volume magro chamou minha atenção: as letras prateadas e douradas sobre a capa dura verde-escura pareciam dizer: “Livro feito com esmero.” Era uma edição 1979 do livrinho The Elements of Style [Os Elementos do Estilo], escrito por William Strunk Jr. e E. B. White. Que sorte a minha ter conhecido esse livrinho ainda no primeiro ano da faculdade!

Talvez o leitor não saiba, mas, no curso de jornalismo, havia aulas nas quais professores e alunos, cheios de boa vontade, terminavam discutindo certas ideias por meio de locuções como “mudanças paradigmáticas na dialética emissor-receptor”. Não demorava muito, um de nós soltava uma “roupagem cognitiva”, outro rebatia com “mediação simbólica”, ao que outro contrapunha o “lúdico do contestatório”, e outro ainda relativizava tudo com “a ilusão metafísica de Marx”. Não sei se sabíamos bem o que estávamos dizendo, mas era divertido. Quando eu chegava ao sobrado da Vila Sônia, punha a máquina de escrever sobre a mesa da sala de estar, abria o livrinho Os Elementos do Estilo e usava seus conselhos para datilografar minhas notas de aula. Vou resumir agora o conselho número 16, localizado na página 21, e que se estende por quase três páginas:

16. Use linguagem categórica, específica, concreta. Prefira o categórico ao vago, o específico ao geral, o concreto ao abstrato. Os melhores escritores relatam os atributos que interessam; suas palavras evocam imagens e sensações. Em vez de “Ele demonstrou satisfação ao tomar posse de seu bem merecido prêmio”, escreva “Ele sorriu ao enfiar as moedas no bolso”, se é isso o que pretendia dizer.

Eu amei esse livrinho (ainda amo), e com sua ajuda me livrava das mudanças paradigmáticas na dialética emissor-receptor, da roupagem cognitiva, da mediação simbólica, do lúdico do contestatório, e da ilusão metafísica de Marx para datilografar um resumo mais pedestre das discussões em sala de aula; um resumo talvez ficasse assim: “Há mais e mais fontes de informação lá fora, e para usá-las o público precisa pensar menos e menos. Dois exemplos são a TV a cabo e o rádio. Quem fizer matéria de jornal como elas vêm sendo feitas, sem investir mais na apuração, no texto, e na edição, condena a si mesmo a se transformar em página virada.”

Um dia, caminhando pelo centro, passei na frente de um sebo e vi na vitrine um livro intitulado Writing to Learn, de William Zinsser. Novinho em folha. Bem, Escrever para Aprender era o que eu vinha fazendo ao datilografar minhas notas de aula. Será que o livro poderia me ensinar algo novo sobre um método que eu já usava? Comprei o livro, que li num único fim de semana — que texto claro e cheio de graça! Fui pesquisar mais sobre o autor e descobri duas coisas: o livro que ele mais amava na vida se chamava The Elements of Style (o meu livrinho de capa dura verde escura!); e havia escrito um livro, On Writing Well [Sobre Escrever Bem], com o qual mostrava ao leitor como pôr em prática os conselhos do livrinho verde-escuro para escrever bem sobre esportes, viagens, artes e espetáculos, pessoas, ciência. Providenciei uma cópia de Sobre Escrever Bem. Isso foi em 1994. Desde então, tenho lido, traduzido, fichado, comentado, e reescrito Os Elementos do Estilo e Sobre Escrever Bem quase todo ano, à guisa de exercício. Visto que Sobre Escrever Bem é de capa mole e papel barato, três vezes joguei uma cópia esbagaçada no lixo e comprei uma nova.

O resumo que o leitor verá a seguir é produto do fichamento que fiz em 2012, e que me tomou quase o ano todo, porque naquela ocasião caprichei mais. (Só tenho tempo para isso nos fins de semana e feriados; talvez não pareça, mas é um jeito agradável de passar uma tarde de domingo.) Espero sinceramente que goste. Mantive os títulos fiéis aos usados por Zinsser no livro, mas, quanto ao resto, não é um resumo de Sobre Escrever Bem, mas sim meu resumo: ponho nele muito de minhas virtudes e defeitos. À moda dos americanos, uso bastante a palavra “escritor”, que às vezes troco por “jornalista” quando isso me parece mais natural; basta ao leitor saber que um escritor de não ficção pode ser um jornalista, escrevendo uma matéria de jornal, ou um analista de sistemas, escrevendo o manual de operação de um programa de computador, ou uma quituteira, escrevendo instruções para uma cliente querida.

Agora, vamos supor que o leitor compre uma cópia de The Elements of Style e uma de On Writing Well, e as estude com cuidado sempre que tiver a chance. Um dia, perceberá que os dois autores às vezes ignoram suas próprias diretrizes e, por conta disso, escrevem frases passíveis de correção. Colocará um parágrafo de um deles no papel, corrigirá o que lhe parece imperfeito, e verá que sua versão ficou melhor — mais clara, ou eufônica, ou elegante, ou vívida. Caso faça assim, congratulações: se está editando escritores, é porque se transformou num escritor.


{1}/ O resumo em si: Introdução

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Se você tem a ambição de escrever bem, só precisa da máquina de escrever (o computador), do cesto de lixo (a tecla delete), e da vontade de imaginar e escrever, imaginar de novo e reescrever, até que esteja no papel o que pretendia dizer. Portanto, tem de descobrir o que pretende dizer — escrever é isso. Até hoje, só inventaram um método infalível: escreva a primeira versão, e então a reescreva várias vezes. Em essência, escrever é reescrever.


PARTE I — PRINCÍPIOS

{2}/ A Transação

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Todo escritor se sente vulnerável e tenso; para compensar a insegurança, muitos se sentam à máquina de escrever para perpetrar um ato de literatura ou bancar o engraçadinho. Seu problema é achar o homem atrás da tensão. Tem de descobrir um método que lhe permita usar a língua portuguesa para pôr no papel, com clareza e vigor, a mensagem pela qual se entusiasmou. (Que seu método lhe permita escrever sobre qualquer pessoa, mesmo que seja odiosa, com a vontade de compreendê-la.) É bom que o escritor diga a si mesmo: “Você não vende um assunto, meu chapa; vende quem você é.”


{3}/ Simplicidade

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Ninguém escreve uma frase simples e clara de bate-pronto, inclusive porque ninguém visualiza o que pretende dizer de bate-pronto. Você deve se perguntar o tempo todo:

“O que estou querendo dizer?”

Deve também imaginar um desconhecido: é o leitor, o sujeito que vai interpretar seu texto pela primeira vez. Ele não sabe o que você sabe, não conversou com quem você conversou, não viu o que você viu, mas dá valor à simplicidade. Uma vez que tenha escrito um parágrafo, você se pergunta:

“Eu disse o que estava querendo dizer, considerando que o leitor não sabe nada do que sei?”

Todo texto simples tem uma lógica. Deve simplificar suas frases e parágrafos para descobrir a lógica do texto, que é a lógica do que pretende dizer. Qual é a lógica? Depois de achar essa resposta, simplifique mais.


{4}/ Entulho

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Em vez de “agora”, alguém diz “neste exato momento”. Em vez de “operação tapa-buraco”, diz “processo de repavimentação de emergência”. Em vez de “matamos cinco passantes”, diz “houve danos colaterais involuntários”. Em vez de “fechamos uma fábrica”, diz “ocorreu um ajuste correlacionado com o volume previsto no cronograma da produção”. À sua volta, tanta gente infla as frases, ou fala do que não sabe, ou usa abstrações pomposas. Essa gente quer soar importante, ou quer esconder e confundir.

Você é um escritor, contudo, e deve usar as palavras para esclarecer. Leia seu texto em voz alta. Risque o que lhe soa como entulho: não dialogue com quem pode conversar, e por misericórdia não interfaceie com ninguém. Apague. Descubra o que pretende dizer. Reescreva com as palavras que usaria ao conversar com amigos, pois certamente você não interfaceia com seus amigos. Seja uma pessoa: simplifique. Livre-se do entulho.


{5}/ Estilo

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“Se eu simplificar e simplificar”, você talvez me pergunte, “não vou terminar escrevendo João ama Maria e A pata nada no lago, pata, pa, nada, na? Vai sobrar alguma coisa de mim nesse texto tão simplório?”

Não confunda simples com simplório. Ao buscar a simplicidade, cumprirá o mandamento mais difícil de todos: Seja você mesmo.

Escrever é um processo. [1] Decida o que pretende dizer, e em que ordem. [2] Escreva a primeira versão. [3] Reescreva várias vezes, enquanto se pergunta o tempo todo: “O que estou querendo dizer? Será que disse?” E vá assim até que o texto contenha o que queria dizer e soe bem, isto é, soe como você num jantar entre amigos. (Ninguém banca o pedante entre amigos.)

Caso duvide do processo, o leitor não verá nenhum traço seu no meio do entulho. É provável que soe feito um robô a serviço de uma corporação. Mas o leitor sempre tem escolha: vários jornais, várias revistas, vários portais de internet, a TV, a poltrona. Entre um robô pomposo e um sujeito corajoso o bastante para dizer as coisas com simplicidade e clareza, feito um simples mortal — bem, já sabe quem ele escolherá. Quem você escolheria?


{6}/ A audiência

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“Para quem estou escrevendo?” Todo escritor deve fazer a si mesmo essa pergunta tão fundamental. Mas não tente adivinhar o que editores e leitores querem, porque eles não sabem o que querem até o momento em que começam a leitura. Além disso, estão sempre procurando algo novo. Portanto, a resposta é: está escrevendo para si mesmo.

Não há nenhum paradoxo aqui. Um escritor deve dominar o ofício (escrever com simplicidade e vigor) e manter a atitude correta (escrever para si mesmo). Repare: todo bom escritor (jornalista ou ficcionista) sempre escreve para uma audiência de um. Ele estuda técnicas de redação para se tornar disponível. Uma vez que esteja à disposição do público (na forma de frases tão simples, claras e elegantes quanto possível), não controla o resto: ele é quem é, o leitor é quem é — e ou o escritor e o leitor se dão bem, ou não.


{7}/ Palavras

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Existe um estilo de texto que pode batizar de jornalistês, se quiser. Para quem escreve em jornalistês, ninguém manda um bilhete, mas dispara um aviso. Ninguém viaja a Brasília para pedir um favor a um senador, mas marcha até Brasília para clamar por mudanças fundamentais. Nenhuma empresa contrata ou demite funcionários, mas seduz colaboradores ou ajusta o quadro funcional. Quem escreve em jornalistês soa como todo tolo que já pisou ou pisará numa redação de jornal, porque todos soam do mesmo jeito. O leitor mal lê as primeiras frases e já sabe que não vai topar com nada original; abandona a leitura tão logo capte a mensagem essencial da matéria, se houver uma.

Seja obsessivo com as palavras: elas são sua única ferramenta. Enquanto faz e refaz as duas perguntas fundamentais (O que estou querendo dizer? Eu disse?), enquanto imagina e escreve, imagina de novo e reescreve, leia o texto em voz alta, ouça onde as palavras funcionam mal, e consulte seus dicionários. O leitor é também uma espécie de ouvinte, e gosta de palavras escolhidas com cuidado.


{8}/ Usos

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É permitido ou proibido escrever “OK”, “assistir TV”, “vende-se laranjas”? Se é proibido, existe um juiz. Quem é o juiz dos bons usos?

Ora, se escreve para uma audiência de um, o juiz é você, que decide tudo, inclusive o jeito de conjugar verbos. O preço a pagar: aguenta sozinho as consequências.

“Mas e daí?”, você me pergunta. “Se escrevo ‘vende-se laranjas’, alguns vão me acusar de rebaixar o valor da língua portuguesa. Se escrevo ‘vendem-se laranjas’, outros vão dizer que tenho ouvido de lata.”

Existe uma resposta lógica a esse dilema: vire um estudioso da língua portuguesa, de modo que possa tomar decisões com critério. Depois disso, mantenha em mente o conselho da escritora Marianne Moore: Não importa qual decisão você tome, ela deve soar bem.


PARTE II — MÉTODOS

{9}/ Uniformidade

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Se deseja escrever bem, escreva um texto uniforme do princípio ao fim. Padronize tudo o que puder padronizar: pronomes, tempos verbais, ponto de vista. Responda a si mesmo:

[1] Como vou me apresentar ao leitor, me comportar diante dele, e tratar o material? (Por exemplo, não comece em primeira pessoa, tratando o leitor por você, e depois mude para terceira pessoa, ignorando o leitor como se não existisse; nem vice-versa.)

[2] Quanto vou cobrir?

[3] Que única mensagem nova e provocativa quero passar?

As perguntas [2] e [3] são importantes. Quem escolhe cobrir muito e passar várias mensagens, desanima e escreve mal. Você ganha mais se evitar a tentação de, num único artigo, dar a última palavra sobre o assunto. Deixe para outros redatores a tarefa de escrever artigos definitivos — coitados.


{10}/ A abertura e o final

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A primeira frase deve levar à segunda, que deve levar à terceira, que deve levar à quarta, até que, a certa altura, uma dessas frases da abertura vai levar o leitor à tese da matéria, isto é, à pergunta essencial a qual você deve responder por meio do texto.

Leitores são egoístas. Não se demore demais na abertura: eles não têm paciência; querem saber logo o que vão ganhar com o texto. (Ouviu? O leitor deve ganhar alguma coisa com seu texto.) De modo geral, organize o texto em quatro partes: na parte 1, seduza o leitor com uma abertura bem imaginada; na parte 2, diga brevemente qual é sua tese; na parte 3, mostre ao leitor os fatos, e mostre também seus personagens agindo e falando, de modo a fazê-lo ver que sua tese é verdadeira, ou que pelo menos merece uma chance; na parte 4, se despeça do leitor com algo (um fato, uma ideia, uma declaração) que tenha a ver com a tese do texto, mas que o leitor não poderia antecipar. Em resumo: [1] seduza o leitor, [2] diga qual é a tese, [3] prove, [4] escolha um final surpreendente.

Escrever é reescrever: reescreva com cuidado a primeira frase do parágrafo, assim como a última, além da primeira frase do parágrafo seguinte. A última frase deve fazer o leitor pular para o parágrafo seguinte, talvez com humor. A primeira deve anunciar o assunto do parágrafo e, ao mesmo tempo, intrigar o leitor.

Se apresentou os fatos e passou a mensagem, não resuma o que já disse com outras palavras: procure a saída mais próxima. Aprenda a terminar bem um artigo. Um bom final deve teletransportar o leitor para outro ponto de vista, e desse jeito surpreendê-lo a ponto de obrigá-lo a rever o artigo todo de outro ângulo. Um bom final deve fazê-lo dizer: “Puxa, eu não sabia que esta matéria também era sobre isso.”


{11}/ Conselhos sortidos

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Verbos — Mantenha essa ferramenta pertinho de você, no bolso do seu macacão: use verbos ativos sempre, ou jamais escreverá com clareza e vigor. Com verbos ativos, você empurra seu leitor adiante; e se vê obrigado a pensar em quem fez o quê. Verbos ativos, para funcionar, exigem um pronome (ela), um substantivo (o campista), uma pessoa (Luciana). Portanto, escolha bem seus verbos; não se contente com os que funcionam a 80%. Não diga que o presidente da Empresa X saiu. Diga: ele se demitiu; ele se aposentou; ele teve um colapso nervoso e não toma mais banho.

Não confunda verbos passivos com voz passiva. Usamos a voz ativa e a passiva para controlar a ênfase, mas, nos dois casos, devemos usar verbos ativos — verbos precisos, concretos, vívidos, que nos obriguem a dizer quem fez o que a quem. Veja:

Frase: “Folhas vermelhas e secas cobriam o chão.” Explicação: O escritor usou a voz ativa para enfatizar o chão (pois, numa frase, a região da ênfase fica perto do ponto final), e o leitor espera que, de alguma forma, o assunto da próxima frase seja não as folhas, mas o chão coberto de folhas.

Frase: “O chão tinha sido coberto por folhas vermelhas e secas.” Explicação: O escritor usou a voz passiva para enfatizar as folhas vermelhas e secas, e o leitor espera que, de alguma forma, o assunto da próxima frase seja não o chão, mas as folhas.

Advérbios — Quase todos são desnecessários. Tantas vezes o escritor escolhe um bom verbo para, logo em seguida, enfraquecê-lo com um advérbio supérfluo. Em vez de escrever “A explosão devastou a fábrica”, escreve “A explosão devastou completamente a fábrica”, como se fosse possível devastar parcialmente.

Adjetivos — Quase todos são desnecessários também. O redator põe um “sujo de terra marrom” no texto sem pensar: terra é marrom. Se está num lugar em que a terra é amarela ou roxa, aí sim deve escrever “sujo de terra roxa”. Às vezes escrevemos um advérbio ou adjetivo sem perceber, mas escrever é reescrever: só deixe uma palavra no papel caso cumpra alguma função importante.

Pequenos qualificadores — Não diga que estava meio confuso e mais ou menos cansado e um tanto deprimido e de algum modo irritado. Não se esconda atrás dessas palavrinhas de tímidos e covardes. Fique confuso. Fique cansado. Fique deprimido. Se irrite à vontade.

É desnecessário dizer que alguém é bastante metódico. Questione toda palavra que signifique “muito”, “pouco”, “mais ou menos”: ou o sujeito é metódico ou não é. Leitores preferem a companhia de escritores que acreditam em si mesmos e na história que estão contando.

Pontuação — Aprenda a usar o ponto e a vírgula; eles são o arroz com feijão do texto bem pontuado. Quanto ao resto (—;:!?), pense bem. Leia o texto em voz alta: a pontuação provoca o efeito desejado? Ajuda o leitor a identificar a função de cada pedaço da frase ou do parágrafo? Ajuda a controlar o ritmo da leitura ou a delimitar o espaço visual?

Conjunções — Avise o leitor sobre qualquer mudança de humor, de lugar ou de tempo. Aprenda a usar “mas”, “contudo”, “mesmo assim”, “visto que”, “a não ser que”, “além disso”, “portanto”, “enquanto isso”, “antes”, “agora”, “hoje”, “depois”, “logo em seguida”. Veja: “Apesar do fato de que todos esses perigos lhe foram explicados, ele decidiu partir.” É tão mais fácil escrever: “Ainda assim, decidiu partir.” Procure os lugares em que uma dessas palavras ou locuções passará o mesmo significado de uma frase longa e desajeitada. Mantenha seu leitor orientado; pergunte-se sempre onde o deixou na frase anterior.

Substantivos abstratos — Os tolos, em vez de usar verbos para mostrar quem fez o quê, usam substantivos abstratos. “A reação comum é a da gargalhada incrédula”, eles escrevem, em vez de “Quase todos gargalham de incredulidade.” Quando um redator troca verbos por conceitos vagos como “reação”, “cinismo”, “resposta”, “hostilidade”, o leitor não consegue visualizar ninguém fazendo nada. Se deseja escrever bem, rotule seus personagens com substantivos concretos, e as ações que seus personagens realizam com verbos específicos. Em vez de “Conforme as maneiras, costumes, e divertimentos de uma nação são cruéis e bárbaros, as leis de seu código penal serão severas”, escreva algo do tipo “Quanto mais o povo se delicia com batalhas, touradas, e combates de gladiadores, mais pune com enforcamento, fogueira, e pau de arara.” Ponha seus personagens para agir.

Exagero — “Senti como se dez Jumbos 777 voassem dentro do meu cérebro”, o tolo descreve sua ressaca, “e considerei seriamente a possibilidade de pular pela janela e me matar.” Nunca se esqueça de que o escritor convida o leitor para uma viagem juntos. Não exagere. Não faça o leitor se sentir como se estivesse preso num elevador com um sujeito que só fala por meio de rimas.

Credibilidade — Não aumente o que aconteceu. Não enfeite. Não diminua. Escolha palavras que reflitam o que aconteceu com precisão. Para sobreviver, o escritor precisa de credibilidade.

Escrever não é uma competição — Cada escritor parte de um ponto diferente de todos os outros escritores e segue para um destino diferente de todos os outros. Não se compare com nenhum outro escritor. Você só compete com uma pessoa: você mesmo.

O inconsciente — Durma. Deixe seu inconsciente trabalhar por você. Amanhã, como que por mágica, achará a solução do problema difícil de hoje. Aviso aos vagabundos: essa solução só funciona para quem tentou resolver o problema hoje.

A cura mais rápida — Às vezes o escritor luta com uma frase ou um parágrafo por horas. Ele se esqueceu da saída mais rápida para esse tipo de encrenca: o cesto de lixo, a tecla delete. Aquela droga não se encaixava em lugar nenhum porque, desde o começo, era inútil.

Parágrafos — Evite parágrafos longos demais; você pode fazer o leitor desistir de seu texto antes mesmo de começar. Evite parágrafos curtos demais; todo mundo se irrita com uma sucessão de parágrafos curtinhos. Em resumo, varie o tamanho dos parágrafos. Todos os escritores competentes organizam o pensamento não em frases, mas em parágrafos. A cada novo parágrafo, eles dizem ao leitor: “Você venceu mais uma etapa. Parabéns. Agora vem mais outra.” Aprenda a organizar seus parágrafos assim: começo interessante, meio bem sacado, fim inesperado.

Sexismo e Preconceito — Entre seus leitores, há homens e mulheres, jovens e velhos, brancos e negros, mulatos e índios, católicos e protestantes e ateus, gordos e magros, altos e baixos, saudáveis e doentes. Se habitue a pensar nisso. Caso se decida por “entre seus leitores”, em vez de “entre suas leitoras”, que seja uma decisão a qual saiba justificar. Um jeito simples de evitar sexismo e preconceito: use “eu”, “você”, “nós”, como numa conversa entre amigos.

Reescrever — Reescrever é a essência de escrever bem: é quando você ganha ou perde esse jogo. Um texto é como um relógio: deve funcionar perfeitamente, e só com peças indispensáveis. Ninguém consegue escrever um primeiro rascunho assim, nem um segundo ou terceiro. Você nunca escreverá bem se não entender que escrever é um processo, não um produto. Leia seu texto em voz alta do começo ao fim, procurando se lembrar de quais informações o leitor tinha na frase anterior; assim achará quando mudou de época ou de lugar ou de personagem ou de assunto — e sem aviso prévio. Mantenha em mente as duas perguntas essenciais de quem está reescrevendo: [1] O que quero dizer? (Se não sabe, descubra.) [2] Eu disse? “Não gosto de escrever”, diz Zinsser no livro. “Gosto de ter escrito. Mas adoro reescrever.”

Confie no seu material — Não existe nada mais interessante que a verdade. Se você apura direito (evitando a mera propaganda), o que as pessoas fazem e dizem é sempre surpreendente. Não invente. Não embeleze. Não floreie. Não romantize. Não banque o engraçadinho. Não banque o pastor, gritando verdades de cima do púlpito. Não tente atribuir significados ponderosos a coisa nenhuma, muito menos a uma partida de futebol ou acidente de fórmula 1. Não escreva “surpreendentemente” ou “é claro”: não ponha um rótulo num fato antes que o leitor veja o fato por si mesmo. Apure direito e simplifique: confie no seu material.

Siga seus interesses — Você tem permissão para escrever sobre qualquer assunto: seus livros de matemática, sua gatinha, o filme que decorou de tanto rever. Caso se deixe levar por suas afeições, escreve bem e atrai leitores, mesmo aqueles que nunca pensaram em ler sobre gatos ou matemática. Não existe assunto especializado demais ou esquisito demais se você o aborda com honestidade e se esforça para escrever bem.


PARTE III — FORMAS

{12}/ Não ficção como literatura

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Zinsser não tem paciência com quem diz: “Não ficção é só outro nome para jornalismo, e jornalismo, não importa o nome, é palavrão.” Quem escreve não ficção cai toda hora nesse túnel do tempo e vai parar no século 19, quando somente poetas, romancistas, e ensaístas mereciam entrar no Distinto Clube da Literatura. “A única distinção que presta”, diz Zinsser, “é entre texto bom e texto ruim.” Se você se esforça para apurar informações relevantes, e depois para escrever com humanidade e afeto, clareza e vigor, então não deve nenhum tostão a nenhum romancista.


{13}/ Escrever sobre pessoas — a entrevista

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Escolha bem os personagens. Eles devem trabalhar com algo importante (presidir o Brasil) ou curioso (ensinar a cortar cabelos). Eles devem ter o poder de falar com franqueza e entusiasmo sobre as coisas mais vívidas de sua vida (nem todo presidente tem esse poder; nem todo instrutor de cabeleireiro tem esse poder). Evite, portanto, as entrevistas curtas e protocolares, nas quais uma fonte oficial vai recitar mensagens de marketing redigidas por uma equipe do departamento de relações públicas.

O primeiro passo para conduzir uma entrevista bacana: prepare-se. Leia o que puder sobre seu personagem, ponha-se no lugar dele, bole um roteiro de perguntas curtas e abertas, ou seja, que ele possa responder com mais do que “sim” ou “não”. Durante a entrevista, preste atenção ao que o personagem diz; procure visualizar as imagens, e guie-se por sua intuição para fazer mais perguntas: verifique datas, lugares, cenas, diálogos, detalhes do cenário, emoções. Tome notas com fervor, e tome notas de tudo, inclusive da linguagem corporal. Enfim, apure a história direito.

Ao escrever, edite; em nome do leitor, torne a coisa toda breve, simples, e interessante. Se acha que um ponto na página 5 das suas notas acrescenta algo importante ao que foi dito na página 2, por misericórdia, junte os dois trechos num lugar só. Ou seja: selecione, transponha, resuma, reescreva. Tempere aqui e ali com palavras, expressões, ou frases típicas do entrevistado. (Por quê? Durante a entrevista, o entrevistado luta para se expressar, e escolhe as palavras às pressas; assim que ele vê, no seu rosto, os sinais de que já o entendeu, pula para o assunto seguinte. Em outras palavras, quase sempre o entrevistado não se expressa do modo como gostaria de ter se expressado, se tivesse mais tempo. Portanto, publicar uma entrevista do modo como transcorreu é quase sempre burrice, a não ser que esteja disposto a incluir dezenas de notas de rodapé.)

Ao longo do processo todo, seja honesto. Não toque na ideia central, nem nas nuances. Não infira. Não deduza. Não invente. “Depois que põe as pessoas para falar”, diz Zinsser, “maneje o que elas disseram como manejaria um presente valioso.”

P.S. Ao contrário do que dizem alguns editores, uma matéria com várias fontes não é necessariamente melhor do que uma matéria com uma fonte só, nem vice-versa. (Fonte = entrevistado.)


{14}/ Escrevendo sobre lugares — a matéria de viagem

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Escrever sobre lugares é difícil. Todo escritor famoso já escreveu alguma droga de texto, e em geral sobre um lugar. Mas ninguém escapa de escrever sobre lugares, pois o escritor de não ficção tem a obrigação de apresentar pessoas ao leitor, e essas pessoas vivem em lugares. (O escritor de não ficção é uma espécie de guia turístico do leitor.)

Um lugar é feito de detalhes — ritmos e sons, cheiros, texturas e cores. O escritor só saberá quais detalhes escolher e quais ignorar se tiver uma tese, e é bom que essa tese seja original. Quando abrimos o jornal e vemos uma matéria sobre Paris, não nos interessa saber que há cafés em Paris, e que as pessoas fazem fila para subir na Torre Eiffel. Queremos viajar com um escritor capaz de nos dizer algo que ainda não sabemos.

Entreviste os padroeiros do lugar: porteiros e garçons, políticos e curadores, policiais e ambulantes. Visite o lugar várias vezes, até para saber se os padroeiros omitiram algo de você ou exageraram na propaganda.

Por último: o lugar escolhido não precisa ser a Torre Eiffel. Se o escritor cumpre o processo de produção do texto com cuidado, será lido mesmo que escreva sobre a sala de espera de um dos hospitais da cidade.


{15}/ Escrevendo sobre você mesmo — o memorial

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Zinsser dá um conselho a quem deseja escrever sobre si mesmo:

“O MINISTÉRIO DA SAÚDE ADVERTE: ESCREVER DEMAIS SOBRE SI MESMO FAZ MAL AO ESCRITOR E AO LEITOR.”

Mesmo assim, como sempre, você não precisa pedir a permissão de ninguém para escrever sobre si mesmo. “Você tem essa permissão”, diz Zinsser, “só pelo fato de ter nascido.” Ao escrever um memorial, siga o processo do texto à risca: pesquise bastante (e revire cada baú da memória; jogue todo o conteúdo no chão e examine cada lembrança, por mais fragmentada que esteja), escreva uma ótima tese, rascunhe a primeira versão do começo ao fim e reescreva a coisa toda várias vezes. (O que quer dizer? Disse?)

Ao escrever um memorial, nos inclinamos a pensar nos outros — conhecidos, amigos, pai e mãe. Não escreva um memorial para outras pessoas, diz Zinsser. “Escreva bem para si mesmo.” Nunca existiu uma pessoa com o seu código genético e com a sua história, e nunca mais existirá alguém assim. Caso escreva parte de sua história com honestidade e simplicidade, o leitor não terá escolha — vai gostar. Por que “parte de sua história”? Os melhores autores de memorial riscam toda palavra, frase, e parágrafo que não tenha a ver com a tese central do texto; eles nunca cobrem tudo. “O memorial”, diz Zinsser, “é a arte de inventar a verdade.”


{16}/ Ciência e tecnologia

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Aos que têm dom para exatas, mas não “jeito com as palavras”: português não é uma língua especial, cujo dono é o professor de português. Se você consegue pensar com clareza, consegue escrever com clareza, e sobre qualquer assunto, pois escrever não passa de pensar no papel. Aos que têm jeito com as palavras, mas não têm “cabeça para a matemática”: escrever sobre ciência e tecnologia, desmistificadas, é como contar a estória de uma viagem a Las Vegas.

Para escrever bem sobre ciência e tecnologia, eis a receita: gente e lógica. Não escreva sobre ideias ou produtos, mas sobre as pessoas cuja vida é pôr ideias no papel ou manter a linha de produção ativa. Faça como Lars von Trier em Dogville (2003): se concentre no que os personagens fazem e dizem, mas ignore todos os elementos do cenário que não acrescentam nada à história. Além disso, o escritor deve apresentar os fatos com lógica, e deve apresentar todos os fatos. “O artigo sobre ciência e tecnologia”, diz Zinsser, “não é lugar para verdades implícitas.” Imagine o texto como uma espiral. Começa pequeno, girando em torno do primeiro fato que o leitor precisa saber, e vai ficando maior, englobando fato após fato, até o momento em que, juntos, escritor e leitor estão em condições de apreciar as implicações de certa descoberta científica ou de certa tecnologia nova.

Siga o conselho de Joseph Conrad, o autor de O Coração das Trevas. “Pelo poder da palavra escrita, quero fazê-lo ouvir, fazê-lo sentir — o que é, antes de tudo, fazê-lo ver.” Feche os olhos, veja o que os personagens estão fazendo no reino de sua imaginação (pois a imaginação não é como uma terra mágica?) e, recorrendo a substantivos e verbos sensuais, faça o leitor ver.


{17}/ O texto sobre negócios — escrevendo no seu trabalho

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Compare os dois parágrafos abaixo. Diga qual deles foi escrito por um funcionário de uma corporação e qual deles foi escrito por um ser humano:

Versão 1: “A consideração objetiva de fenômenos modernos induz à conclusão de que sucesso ou fracasso em atividades competitivas não exibe nenhuma tendência de ser condizente com as capacidades inatas de quem compete, mas que um considerável elemento do aleatório deve invariavelmente ser levado em conta.”

Versão 2: “Voltei-me, e vi debaixo do sol que não é dos ligeiros a carreira, nem dos fortes a batalha, nem tampouco dos sábios o pão, nem tampouco dos prudentes as riquezas, nem tampouco dos entendidos o favor, mas que o tempo e a sorte pertencem a todos.”

“A versão 1”, diz Zinsser, “nos diz que uma mente ponderosa está a trabalhar. Não queremos ir a lugar nenhum com um sujeito que expressa a si mesmo com essa linguagem sufocante.” Por que razão quem trabalha para uma corporação se sente obrigado a escrever como se fosse uma corporação? As pessoas recorrem a jargão e a generalizações pomposas ou para se sentir seguras ou soar importantes; numa palavra, o problema é medo.

Leve a sério o memorando, a carta comercial, o relatório administrativo, a análise financeira, a proposta de marketing, o bilhete ao chefe, o fax, o e-mail, o post-it. Só tem de lembrar que o leitor não pode, nem que ele queira, fazer amizade com robôs medrosos a serviço de corporações; e que, para o leitor, você é as palavras que escolheu pôr no papel. Nas suas frases e parágrafos, portanto, converta as frases vagas e cheias de magnificência em frases simples e palpáveis: mostre ao leitor gente fazendo coisas.

Funcionários de corporações parecem presos à ideia de que uma frase simples reflete uma mente simples. É o contrário. Um estilo pomposo, e também quase sempre confuso, reflete um redator arrogante demais, estúpido demais, ou preguiçoso demais para organizar os pensamentos. Só consegue escrever uma frase simples quem se dispõe a trabalhar duro — e tem coragem.


{18}/ Esportes

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Tantos jornalistas esportivos evitam escrever uma palavra simples que o leitor possa visualizar — bola, trave, gol, estádio. Eles se imaginam um Olavo Bilac, e se sentem obrigados a procurar sinônimos; para a infelicidade do leitor, sempre há um sinônimo. Esses mesmos jornalistas também gostam de escrever coisas do tipo: “Na noite passada, o time do Corinthians entrou na arena determinado a descobrir um jeito ridículo de perder o jogo.” Eles também se imaginam um Sigmund Freud.

Tudo o que o escritor tem a fazer é reconhecer quatro coisas: ele não é a história, aqueles homens e mulheres a competir são seres humanos realizando uma empreitada imensamente difícil, o leitor quer saber o que aconteceu (não necessariamente a opinião de quem escreve), e não existe bom substituto para as palavras comuns e precisas da língua portuguesa.

Um bom jornalista reconhece: neste planeta Terra, não existe ninguém onisciente. Ninguém sabe perfeitamente o que aconteceu. O jornalista passa horas conversando com atletas e técnicos, empresários e torcedores, em lugares como o estádio, o ônibus, o vestiário. “Observe de perto”, diz Zinsser. “Entreviste em profundidade. Ouça os mais velhos.” O jornalista está atrás de uma composição honesta das versões: não quer endeusar uns e demonizar outros, mas mostrar como os homens e as mulheres do esporte passam seus dias, tomam suas decisões, e lidam com as consequências.

“Reflita sobre as mudanças”, diz Zinsser. Escrever sobre esportes muitas vezes é escrever sobre como passamos da infância para a maturidade, e da maturidade para a velhice.


{19}/ Escrevendo sobre arte — críticos e colunistas

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Por que gastar papel e tinta dizendo que achou algo ruim? Por que usar palavras vagas como ruim, péssimo, degradante, insosso? Os leitores vão continuar pagando por livros que você jogaria no lixo, os telespectadores vão continuar vendo os programas de TV que te fazem mudar de canal. Se o escritor evita a mera opinião, pode assumir dois papéis sociais importantes: o de resenhista ou o de crítico.

O resenhista usa as técnicas do jornalismo (a pesquisa, a entrevista, a observação) para noticiar o que a indústria cultural produz, mas dá a notícia com linguagem categórica, específica, concreta — com substantivos e verbos tão sensuais quanto possível. “É um filme sobre um trapalhão que tenta conquistar uma moça gostosa. No primeiro encontro, diante dela, ele ajeita o topete com o próprio esperma, mas ela pensa que ele ajeitou o topete com brilhantina. (Uns minutos antes dessa cena, o personagem havia se masturbado.) A plateia, que está torcendo pelos dois, se contorce na cadeira de angústia, enquanto ri sem saber por que está rindo.” Deixe que o leitor julgue se gostaria desse filme ou não.

O papel do crítico inclui o do resenhista, mas é maior: o crítico tem a obrigação de distinguir o que é vanguarda, por pior que seja, do que é imitação, por melhor que seja. Se o crítico cobre teatro, por exemplo, deve ir a todas as peças, e conversar com todos os atores, os diretores, os produtores, os técnicos; deve ler tudo o que escrevem sobre teatro e tudo o que já escreveram sobre teatro desde os tempos de Aristóteles. Sempre por meio de substantivos e verbos tão simples quanto possível, o crítico nos força a ver nossa civilização de outro ângulo. “Não é necessário que o crítico goste de tudo o que vê”, diz Zinsser, “mas é importante que vá ver qualquer coisa querendo gostar do que vai ver.” O crítico que vai ao teatro (por exemplo) disposto a não gostar da peça merece a morte por fuzilamento. “Não escreva sobre comida se não ama comida.”

Um crítico não pode ser covarde. Não pode usar 95% do artigo para dizer que certo filme é azul, e depois usar o resto do artigo para dizer que, bem, talvez o filme também seja vermelho ou branco. Zinsser recomenda um conselho do editor texano L. L. Engelking: “Vamos ver se a gente consegue se mijar por uma perna só.”


{20}/ Humor

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Depois de rir com o escritor, o leitor não conseguirá olhar para alguma característica bizarra da sociedade como se fosse natural. Algo se descolará na mente dele, e o que é bizarro passará a ser visto pelo que é: bizarro. Poucos escritores percebem que, às vezes, só podem tratar de algo importante caso recorram ao humor. Dê a si mesmo autorização para recorrer ao humor.

Contudo, Zinsser aconselha: não banque o humorista. O verdadeiro humorista tem o dom de trabalhar a sério e de produzir humor como efeito colateral. Ele não busca o humor em primeiro lugar, tentando revelar a verdade caso seja possível. Ao contrário, busca a verdade, e ao longo do processo descobre como a pode revelar por meio de humor. Se você é assim, ótimo; se não é, não é. Em resumo: procure dizer a verdade com simplicidade e clareza, de um jeito que lhe soe natural — e jamais dê sermão. “O sermão é a morte do humor.”


PARTE IV — ATITUDES

{21}/ O som da sua voz

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“Não importa sobre o que esteja escrevendo”, diz Zinsser, “minha mercadoria como escritor sou eu.” Ora, sendo assim, não ponha no papel nada que te desvalorize; em termos mais simples, não minta. Jamais minta.

Quando põe uma piadinha no papel não porque quer, mas porque acha que assim vai agradar o público, você mente. Jovialidade forçada desvaloriza o escritor. Quando vai contra a sua índole e se submete ao patrulhamento do público, e escreve “deficiente visual” no lugar de “cego”, você mente. Complacência desvaloriza o escritor. Quando, em vez de procurar os substantivos e os verbos que melhor descrevem o que vê no reino de sua imaginação, recorre a expressões batidas como “branco como a neve” ou “o sonho se transformou em pesadelo” ou “o futuro próximo”, você mente. Clichês desvalorizam o escritor.

Por que o escritor de não ficção tantas vezes se contenta com textos vagos? (Ou com prosa bege, como diz Tom Wolfe.) Ele não leu o suficiente, não visitou os lugares que deveria visitar, não entrevistou longamente as pessoas que deveria entrevistar. Quando fecha os olhos e procura examinar as imagens no reino de sua imaginação, percebe que seus anjos e demônios cochilam de tédio: não há nada por lá que mereça atenção.


{22}/ Prazer, medo, e confiança

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Para escrever algo que preste, deve ousar da primeira fase do processo (a das ideias gerais) à última fase (a das revisões). Não pode ter medo de, por exemplo, fazer perguntas estúpidas, pois seu problema é levar para a redação informações que te permitam escrever bem. “Se o entrevistado te achar um idiota”, diz Zinsser, “o problema é dele, não seu.” Para escrever sem medo, o escritor põe os dedos na testa e vira uma chave — da posição “com medo” para a posição “sem medo”. É uma questão de vontade; é algo que aprende a fazer. “Viver é o truque. As pessoas que escrevem com graça são as que se mantêm interessadas no assunto sobre o qual escrevem.”


{23}/ A tirania do produto final

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“Como faço para vender o que escrevo?” Alunos de Zinsser costumam fazer essa pergunta, à qual Zinsser não se dá ao trabalho de responder. “Não tenho vontade de ensinar meus alunos a vender”, diz Zinsser. “Quero ensiná-los a escrever.”

Na faculdade onde dá aulas (a New School em Nova York), Zinsser batizou seu curso de Pessoas e Lugares, porque o escritor de não ficção escreve sobre pessoas e lugares. E Zinsser ensina a escrever sem ensinar a escrever — sem obrigar seus alunos a ler parte de seu trabalho em voz alta para a classe, e sem editar o que eles produzem. Ele faz perguntas, e por meio delas cada um de seus alunos descobre o que deve escrever, e como. Algumas são: Por que deseja escrever sobre essa pessoa e esse lugar? Como pretende fazer isso? O que o assunto X significa para você, no nível mais profundo? Acha possível escrever sobre o assunto X por meio de uma única pessoa, num único lugar? Entre os muitos incidentes gravados na sua memória, qual deles te fez querer escrever sobre essa pessoa e esse lugar? É possível levar o leitor ao assunto X (= à pessoa e ao lugar escolhidos) por meio desse incidente?

Muitos alunos partiam em busca de algo — de uma ideia, de um significado. Seu texto lembrava a história de uma busca, de uma peregrinação, e os leitores adoram histórias de peregrinação. “Todo mundo já buscou algo na vida, ou ainda busca.” Enfim: descubra o que pretende fazer, descubra como vai fazer o que pretende fazer, e então vá e faça. Ninguém precisa vender sua mão de obra para um editor com interesses, nem precisa carregar o lixo para esse editor. “Se não quer escrever para destruir”, diz Zinsser, “não escreva.”


{24}/ As decisões de um escritor

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Cada escritor toma centenas de decisões antes de concluir um texto. Algumas são grandes: “Sobre o que devo escrever?” Outras são tão pequenas quanto a menor palavra: “Carro ou automóvel?” Princípios para as decisões:

● No começo do texto, você acrescenta os fatos não para informar o leitor, mas para mantê-lo interessado. No começo, é mais importante mantê-lo interessado do que mantê-lo informado.

● Pergunte-se sempre: O que o leitor vai querer saber agora, dado o contexto? Será que posso fornecer as informações de modo a mantê-lo interessado na estória? Será que posso dar resposta ao que ele quer saber, mas mesmo assim mantê-lo curioso ou tenso ou em suspense? Será que devo adiar algumas das respostas de modo a forçá-lo a continuar?

O que você vê na terra mágica de sua imaginação? Ache os substantivos e verbos que devem evocar, na imaginação do leitor, imagens semelhantes às que você vê. Feito isso, reveja e reescreva até que o texto fique gostoso de ler em voz alta.

Zinsser conclui esse trecho com um conselho: “Embarque no avião.” Vá ver as pessoas e os lugares pessoalmente. É o melhor jeito de povoar sua imaginação com imagens nítidas.


{25}/ A história de família e o memorial

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Como começar um memorial: levante-se cedo, sente-se ao computador, e escreva sobre alguma memória. Ponha no papel as imagens que te vêm à mente, na ordem em que aparecem. Não se preocupe em escrever bonito — apenas seja honesto, e escreva o que vê.

Faça isso todo dia por alguns meses, e se as lembranças de um dia não tiverem nada a ver com as do dia anterior, tudo bem. Imprima e grampeie as lembranças do dia, e guarde as folhas grampeadas numa caixa. Um dia, vai sentir que está pronto para a próxima fase.

Então leia e releia o material enquanto tenta escrever o roteiro. (Roteiro: 1. Seduza o leitor. 2. OK, chega de sedução: expresse a tese de seu memorial. 3. Prove sua tese com cenas, fatos, detalhes. 4. Escolha um ótimo final, inesperado, que faça o leitor olhar seu memorial de outro ângulo.) Quando esse trabalho estiver pronto, vai entender o que deve excluir, o que deve resumir, o que deve mostrar ao leitor em detalhes; vai entender em que ordem deve contar as coisas.

Terminado o primeiro rascunho, reveja e reescreva o memorial uma, duas, três, vinte vezes. Alguns lembretes:

● Está escrevendo o seu memorial, e não o da sua irmã ou o do seu pai. Conte as coisas tais quais se lembra delas.

● Use a mesma medida para você e para os outros personagens da história. Seja honesto a respeito dos outros e honesto a respeito de si. Não use o memorial para se gabar nem para choramingar nem para se vingar. “Os melhores memoriais são honestos”, diz Zinsser, “mas também estão cheios de amor e de perdão.”

● Ou escreve do ponto de vista que tinha quando as coisas ocorreram ou escreve do ponto de vista atual, em que você, mais velho, relembra os eventos do passado. Não misture os dois tipos. Escolha um.

● Leia tudo em voz alta.


{26}/ Escreva tão bem quanto puder

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A mãe de Zinsser recortava textos dos quais gostava: de um jornal, de uma revista, de um catálogo. Por causa dela, Zinsser aprendeu que bons escritores aparecem em todo tipo de publicação. O pai de Zinsser tinha uma fábrica de vernizes, mas nunca encarou o trabalho como uma forma de ganhar dinheiro. “Era uma arte”, diz Zinsser, “a ser praticada com imaginação e com os melhores materiais.” Por causa dele, Zinsser nunca teve paciência com materiais de segunda categoria (como entrevistas feitas às pressas) e sempre se sentiu compelido a buscar a qualidade pelo prazer da qualidade. “Você tem de achar um jeito de elevar a qualidade de seu texto ao nível do entretenimento.”

Zinsser entrega seus textos no prazo, bem apurados, bem escritos. Feito isso, defende cada ponto e cada vírgula de cada um deles. Numa redação, nem todo redator, editor, ou copidesque dá importância à qualidade. Talvez o editor tenha razão numa crítica, e ouvi-lo vai deixar o texto melhor. Talvez não tenha. Quem decide isso é você, o autor. Não permita que um editor descuidado faça você se envergonhar de seu trabalho. “Escreva bem”, diz Zinsser, “e defenda o que escreveu.”

Eis o último parágrafo do livro:

“Minha definição favorita de um escritor cuidadoso vem de Joe DiMaggio [jogador americano de beisebol], embora não soubesse que estava definindo um escritor. DiMaggio foi o maior jogador que jamais vi, e ninguém parecia mais tranquilo. Ele se movia com passadas graciosas e largas, cobrindo vastas distâncias no campo, e sempre chegava antes da bola, fazendo a captura mais difícil parecer rotina; e mesmo quando jogava como rebatedor, batendo o taco na bola com tremenda força, não parecia se esforçar. Eu ficava maravilhado com seu jeito sereno, pois ele só poderia fazer o que fazia depois de muito treinamento diário. Uma vez, um repórter lhe perguntou como conseguia jogar tão bem com tamanha constância, e ele disse: Sempre achei que há pelo menos uma pessoa nas arquibancadas que nunca me viu jogar, e não quero deixá-la desapontada.” {FIM}