Dica saudável: bolor no laboratório de matemática

Alguns professores ensinam funções exponenciais nessa sequência: conteúdo, exemplos, e exercícios. Muitos estudantes desanimam e desistem. Uma professora ousou mais: fez seus alunos cuidar de pães embolorados, e eles adoraram.


{1}/ Materiais feitos para a ocasião

Todos os dias de manhã, Daniela Mendes Vieira, professora de matemática, colocava uma mala de viagem pesada no porta-malas do carro. Quem a observasse teria razões para pensar: “Para onde ela tanto viaja?” A estrada era longa: Daniela percorria quase 60 quilômetros para dar aula em Duque de Caxias, na Baixada Fluminense; ao final do dia, enfrentava o tráfego intenso com os filhos sonolentos no banco de trás do carro, e ao chegar em casa tinha dirigido por cinco horas ao todo. Dentro da mala, levava revistas, tesouras sem pontas, tubinhos de cola, cartolinas, jornais, canetinhas, barbantes; a ideia era que seus alunos estudassem matemática produzindo objetos.

Então ela arrumou um emprego novo — foi trabalhar no recém-inaugurado Colégio Estadual Hebe Camargo, na zona oeste do Rio de Janeiro, a 25 minutos de distância da sua casa. Quando Daniela entrou na escola nova, viu escrito numa porta: Laboratório de Física e Matemática. Abriu a porta e deu uma espiada: cadeiras e mesas com cores ainda vivas. Entrou e passou a mão pelas paredes — tinta fresca! Tudo exalava cheiro de coisa nova. Nunca mais ela precisaria carregar aquela mala. Logo pensou: “Vou revolucionar esse lugar!”

No colégio Hebe Camargo, os alunos se formam como técnicos em telecomunicações. Daniela teve várias ideias de como transformaria aquele laboratório num ambiente instigante. Visto que os equipamentos da escola haviam sido desembrulhados há pouco tempo, achou caixas, plásticos, e isopores. Sendo quem é, Daniela não permitiu que jogassem toda aquela tralha no lixo — pois poderia transformá-la em objetos para o estudo de matemática. Em poucos dias, já conduzia experimentos dentro e fora do laboratório.

Ela sempre gostou de produzir seus próprios objetos matemáticos; é o que ela chama de materiais manipuláveis e sustentáveis — feitos de lixo. Para ensinar a ideia de baricentro, Daniela constrói um objeto com um pote velho, canudinhos e papelão; para somar os ângulos externos de um polígono convexo qualquer, usa isopor, cartolina, e mais canudinhos; para ensinar ângulos correspondentes, usa um CD antigo. Daniela também ensina seus alunos a construir cada um seu ábaco aberto com isopor, palitos de churrasco, e tampinhas de garrafa PET.

Ela gosta de materiais didáticos feitos assim, com matéria-prima descartável, pois ficam baratos; além disso, ela pode planejá-los, e os alunos podem construí-los, de modo a se adequar perfeitamente ao assunto em estudos. Quanto aos materiais industrializados, não gosta deles tanto assim. “O problema desse tipo de material é que ele serve para muita coisa. No caso do multiplano, ele serve para estudar funções, áreas, etc. São tantos assuntos que o professor pode ficar perdido, e o objeto acaba sem serventia nenhuma.” Ela já recorreu a jogos em sala de aula, mas nem sempre os alunos estudam de verdade. No caso do dominó de frações, por exemplo, Daniela diz que a criança reclama, pois não quer jogar dominó de frações: quer jogar dominó. “A criança fica chateada, pois tem que fazer continhas, sendo que era mais legal jogar o dominó convencional.”

Daniela conta que uma vez foi dar aula num colégio e encontrou uma série de materiais industrializados empoeirados numa sala. Tentou usá-los, mas não obteve o sucesso com o qual fantasiava. Foi quando percebeu que só os materiais com objetivo muito específico funcionam bem, e tais materiais, ora, é mais fácil construí-los que comprá-los — como o fabricante pode ser específico se está vendendo para mil e uma escolas Brasil afora? “O que serve para muita coisa, não serve para nada. O professor muitas vezes nem sabe o que vai fazer com aquilo.”

A arte de espernear bastante. Daniela acha normal que os alunos decorem alguns assuntos. Eles sabem que, numa prova, aquele que fez exercícios exaustivamente tende a se sair melhor do que aquele que não fez. Mas, segundo Daniela, todo mundo tem uma “memória associativa”. Isso significa que, a longo prazo, o aluno que consegue associar a matéria a uma atividade significativa se sai melhor do que o aluno que simplesmente decorou. “Por meio da associação, o aluno carrega os conhecimentos de tal forma que eles começam a fazer parte de quem ele é.” Ela sempre organiza atividades fora da sala de aula. “Como a memória é associativa, é preciso ter algo para puxar. Função exponencial: fungos. Função afim: corrida na quadra. Razão trigonométrica: super bolhas. Faz toda a diferença quando o aluno, tendo com o que puxar, consegue resgatar os conhecimentos guardados numa memória de longo prazo.”

Daniela diz que, no começo, seus alunos resistiram bastante. Primeiro, teve a ideia de realizar oficinas de matemática, que na verdade funcionariam como aulas de revisão. Ela levava um protótipo pronto e pedia à classe, dividida em turmas, que o reproduzisse. Ao reproduzir o protótipo, sua esperança era que eles reviveriam a matéria. “Foi um fracasso retumbante.” Dois motivos:

(1) Ela ensinava vários temas por dia, e nenhum deles ia cair na prova.

(2) Os estudantes trabalhavam em grupos de seis. Em termos escolares, isso é uma multidão incontrolável.

No fim das contas, uma atividade que deveria ter durado uma aula durou seis meses. Depois disso, ela mudou tudo: passou a levar o material didático já pronto, em vez de pedir aos grupos que o construíssem; montou grupos com quatro alunos; decidiu que cada oficina trataria de um único tema. Daniela diz que todos os indicadores de desempenho melhoraram.

De lá para cá, Daniela admite, continua a ter problemas frequentes com os alunos. Não é com um ou dois, mas com a maioria deles. “A regra é o aluno ser refratário. Ele quer conversar no horário da atividade, ele te pergunta se aquilo é realmente necessário, ele te informa que aprendia muito bem com a outra professora.” Até hoje, é comum um aluno se aproximar e perguntar:

“Professora, por que você usa essa metodologia?”

Outro:

“É aula de arte?”

Outro:

“Por que eu tenho de fazer isso tudo? Me dá logo a fórmula!”

Embora os alunos resistam, Daniela diz que eles se acostumam com o método e passo a passo vão se apropriando do espaço. “Eles começam a ver matemática com outros olhos. Alunos que antes não gostavam de matemática, passam a gostar, porque passam a entendê-la. Eles começam a ver que não precisam mais decorar, pois quem decora, esquece.”

Então, embora os alunos ainda resistam, meio que por reflexo condicionado, Daniela os considera bons parceiros. Eles já sugerem modificações e melhorias nos materiais que já usaram. “Hoje, o aluno é um questionador mesmo, e eu acho que ele está certo. Alguns professores veem isso como um problema, mas eu vejo como uma qualidade.”

No blogue Laboratório Sustentável da Matemática, a professora e os alunos registram os experimentos, dão dicas de como realizar as atividades e construir os objetos manipuláveis. Daniela também dá dicas e sugestões aos outros professores; vários gostam dessa ideia de laboratório. Segundo ela, o portal tem cerca de 10.000 visualizações mensais.

Pães embolorados. Um dia Daniela estava em casa e achou uma fatia de pão embolorada, mas não a jogou fora; no dia seguinte, a fatia estava mais embolorada ainda. Ela pensou: aquilo poderia ser útil num experimento sobre a função exponencial; e pediu ajuda ao professor de biologia. Ele disse que o fungo responsável pelo bolor do pão se chama Aspergillus sp, uma espécie que não oferece risco à saúde e se desenvolve bem à temperatura ambiente (de 25° a 30°). Prometeu ajudar, mas fez duas exigências: para que a colônia de fungos cresça, alguém deve regá-la diariamente; além disso, o ar-condicionado do laboratório deveria ficar desligado.

Numa sexta-feira, Daniela e seus alunos colocaram fatias de pão fresco sobre a mesa do laboratório e as contaminaram com 1 centímetro quadrado de fungos de um pão embolorado (saiba mais sobre isso na seção 2). Ela precisou de uma voluntária para acompanhar o desenvolvimento da colônia e escalou a aluna Lorena. Todos os dias, às 11:00, Lorena tinha a missão de sair da aula em que estava, fosse qual fosse, correr até o laboratório de matemática, regar a colônia de fungos, e voltar o mais depressa possível.

“Onde você está indo?”, perguntava um professor.

“Vou molhar os fungos!”

Como no sábado e domingo não houve aula, Lorena começou a trabalhar na segunda-feira, o terceiro dia — a colônia já estava com 6 centímetros quadrados. No quarto dia, 18 centímetros quadrados. No quinto e último dia, 38 centímetros quadrados.

Os alunos nem precisaram fazer conta. Eles viram que o crescimento foi rápido. “Eles se divertiram com cada etapa, e gostaram de contaminar o pão, e se surpreenderam com o crescimento rápido da colônia de fungos. Eles foram acompanhando com muito interesse tudo o que acontecia no experimento.”

“Professora, posso comer o pão?”, perguntou um deles.

“Será que fica bom com maionese?”, disse outro.

Daniela percebeu que os alunos gostaram tanto do experimento que ficariam chateados quando soubessem que as fatias iriam para lixo. Resolveu o problema assim: sem que ninguém visse, ela as jogou numa lixeira nos fundos da escola.

No mês passado [janeiro de 2015], os alunos do Colégio Hebe Camargo fizeram a avaliação integrada. Eles precisaram estudar todos os conteúdos de todas as disciplinas que viram no semestre. Daniela diz que nesse momento pôde ver que os alunos, de fato, mudaram. Depois da prova, eles saíram da sala de aula comemorando.

“Professora, na parte de matemática a gente sabia tudo!”

“Queremos o gabarito, professora!”

“A prova estava muito fácil, professora!”

Daniela jura que não. “Em todos os meus anos de magistério, nunca vi nada daquilo. Eles estavam felizes, batiam na mão um do outro.”

Hoje a professora coleciona histórias assim. Uma de suas alunas sempre dizia: “Xiii… matemática? Não entendo nada!” Depois do experimento com os pães embolorados, pediu para fazer parte do time de monitores do laboratório. Agora ela não chama mais o laboratório de “laboratório de matemática”, como fazia antes, mas de “nosso laboratório”. Daniela também se surpreendeu com um professor. Ela nem podia imaginar, mas o professor de geografia acompanhou o experimento e não se envergonhou de elogiar: “Parece aquelas aulas de canal educativo, muito bem-feitas.” {}



{2}/ Um pão embolorado embolora muitos pães

A professora Daniela levou seus alunos até o laboratório de matemática e lhes mostrou várias fatias emboloradas de pão e várias fatias de pão fresco. Anunciou:

“Hoje vou ensinar função exponencial de outro jeito: com a ajuda de uma colônia de Aspergillus sp.”

Os alunos se olharam com cara de ué.

“Asper… O quê?”, perguntou um deles.

Gente, sem drama”, respondeu Daniela. “Aspergillus sp nada mais é do que bolor!”

Ela deu explicações e daí cada grupo fez seu trabalho: contaminou uma fatia de pão fresco com 1 centímetro quadrado de fungos, retirados de uma fatia já embolorada. Para isso, basta um cotonete.

Durante cinco dias, eles acompanharam com cuidado o crescimento do bolor. Eis um modo de olhar para o problema: usando um sistema de coordenadas retangulares, basta imaginar o eixo X como sendo os dias e o eixo Y como sendo a área da colônia em centímetros quadrados.

Dia

Tamanho

Coordenadas

Ponto

Sexta-feira

1 cm2

(0, 1)

A

Sábado

Não avaliado

Domingo

Não avaliado

Segunda-feira

6 cm2

(3, 6)

B

Terça-feira

18 cm2

(4, 18)

C

Quarta-feira

38 cm2

(5, 38)

D

Há várias maneiras de proceder aqui. Um deles é pegar a fórmula genérica da função crescimento exponencial, que é y = kex (k positivo), e usar um dos pontos para descobrir o valor de k. Por exemplo, o ponto D:

Cada um dos pontos renderia um valor distinto para k, e o professor pode explorar esse tópico: não existe situação do mundo real que se comporte perfeitamente como uma função contínua. Cada ponto medido no mundo real ficará às vezes acima da curva da função, às vezes abaixo, mas raramente todos os pontos ficarão exatamente na curva. Usando o computador, os alunos poderiam usar todos os pontos para obter a curva exponencial que passe mais perto de todos eles. O computador usará as coordenadas dos quatro pontos e o método dos mínimos quadrados para devolver em resposta a curva y = 0,631155 ∙ exp(0,820859x):

(Na figura acima, os pontos vermelhos são os pontos A, B, C, D. Neste caso, o computador procurou números para a função y = KeRx, com K, R números reais positivos.)

Mas e se a turma não sabe usar o computador desse modo? Como o aluno pode escolher um valor médio para k? Esse é um tópico interessante de conversa. Será que o melhor jeito é recorrer à média aritmética? Será que é melhor recorrer à média geométrica? De todos os pontos ou só de alguns deles? E se a turma tentasse achar uma função polinomial de grau 4 que passasse por todos os pontos — poderia interpolar valores mais facilmente? Poderia extrapolar valores?



{3}/ Alfredo The Flash

Um homem (vamos chamá-lo de Alfredo) gosta de caminhar todas as manhãs num parque perto da sua casa. Ele já evoluiu bastante na atividade física; em breve vai começar a correr. Outro dia ficou pensando em quantos passos por minuto precisaria andar ou correr para poder participar de uma competição.

Alfredo imaginou se podia se desenvolver assim: no primeiro dia, só dois passos por minuto. No segundo dia, só quatro passos por minuto. No terceiro dia, só oito passados por minuto. E assim por diante. “No dia d”, pensou Alfredo todo alegre, “tenho de caminhar só 2d passos por minuto!”

Quando fez uma tabela com o cronograma de passos, viu que havia nela algo estranho.

Dia

Número de passos

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

7

128

8

256

9

512

10

1.024

11

2.048

12

4.096

“Será que alguém consegue dar 4.096 passos num minuto?” Alfredo fez as contas. No primeiro dia, teria 30 segundos para dar cada passo. Moleza. No décimo segundo dia, teria 0,015 segundo por passo, isto é, teria de mover as pernas umas 68 vezes por segundo e estaria correndo a mais ou menos 196 quilômetros por hora!

Numa atividade como a das fatias de pão emboloradas, o aluno pode brincar dessa maneira. Se a curva de crescimento da colônia de fungos é de y = 0,631155 ∙ exp(0,820859x), com y medido em centímetros quadrados e x medido em dias, qual seria o tamanho da mancha ao fim de, por exemplo, 30 dias, desde que houvesse pão suficiente? Ela teria pouco mais de 3 quilômetros quadrados! Com tais brincadeiras, o aluno vai pegando uma ideia matemática importante: ele começa imaginando uma quantidade y que cresce conforme cresce o valor de x, e denota essa ideia com y = f(x). Daí, se y cresce a ritmo exponencial, cedo ou tarde vai superar qualquer quantidade que cresça em função de x a ritmo linear e qualquer quantidade que cresça conforme uma potência fixa de x.



{4}/ Carta ao leitor: Esta matéria foi feita para professores?

Vários do leitores deste blogue não são professores — nunca foram, e talvez nunca sejam. São engenheiros, bancários, aposentados, oceanógrafos, físicos, contadores, biólogos, químicos, contabilistas, jornalistas. Sei disso. No entanto, em várias das matérias, os entrevistados são professores, e até parece que as matérias são escritas tento um professor em vista. Por quê?

A culpa é minha. Desde que comecei a produzir a revista Cálculo: Matemática para Todos, em 2010, eu achava que um bom matemático é, no fim das contas, um bom estudante de matemática, no sentido de que sabe estudar e está sempre estudando. De lá para cá, entrevistei dezenas de pessoas, li milhares de páginas, escrevi dezenas de matérias, editei muitas outras mais — e minha crença só se fortaleceu. Nunca vi ou ouvi falar de um bom matemático que não fosse também um bom estudante.

Uma coisa interessante sobre bons estudantes é que vivem às voltas com um bom professor. Às vezes esse relacionamento ocorre face a face, numa escola qualquer; contudo, nem sempre é assim. Às vezes ocorre via internet. Entretanto, quando o estudante passa semanas para cima e para baixo com um livro, às vezes esse relacionamento ocorre apesar do tempo, pois o autor morreu em 1947 e o leitor nasceu 20 anos depois. (Estou olhando para minha cópia de A Course of Pure Mathematics, de G. H. Hardy, um livro que amo.)

Bons professores também são bons estudantes, e mais do que isso: eles se preocupam com o melhor jeito de dizer as coisas, o melhor exemplo, a melhor sequência de assuntos, a melhor atividade, o melhor jeito de aferir se o aluno entendeu, a melhor dica de leitura. Graças à própria experiência, estão sempre bem informados sobre como um estudante reage a ideias novas e difíceis.

Quando neste blogue eu entrevisto um professor e produzo uma matéria que parece ter sido escrita com professores e para professores, tenho a esperança de que o leitor saberá abordá-la. Ele não vai dizer: “Essa matéria é sobre alunos e professores, e portanto não me interessa”; mas sim: “Será que existe aqui alguma ideia que ainda não conheço, ou uma ideia que conheço, mas dita de um jeito instigante?” Sim, existe — faço questão de que exista.

Além disso, todo amante de matemática cedo ou tarde dá aulas, mesmo que informalmente. Isso porque alguém se aproxima e pergunta: “Ouvi dizer que você gosta de matemática. É verdade? Será que pode me tirar uma dúvida?” Se o leitor souber um pouco sobre os desafios de ensinar, talvez conduza essa conversa habilmente. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 49, fevereiro de 2015, pág. 20. (A carta ao leitor na seção 4 é uma adaptação da Carta ao Leitor que publiquei na pág. 5 dessa mesma edição.) A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista com a professora Daniela Mendes Vieira foi feita pela jornalista Fernanda Lima.

3. Pessoalmente, nunca gostei de atividades em laboratório de matemática. Não gosto de cortar e colar coisas, nem de amarrar palitos, nem de dobrar papéis, etc. Gosto de matemática justamente porque posso estudá-la com apenas quatro coisas: (a) meu corpo, (b) um livro, (c) caderno de cartografia (com páginas em branco, sem pauta), e (d) lápis. Dito isso, simpatizo com a atividade dos pães embolorados, pois o professor pode usá-la para ilustrar a melhor ideia que a humanidade já teve: o método científico. Em resumo: (I) Faça medições no mundo real. (II) Crie uma teoria que explique o valor das medições. (III) Veja se, com suas explicações, consegue prever o valor de novas medições. (IV) Repita os passos (I) a (III) constantemente, conforme você e seus colegas cientistas criam novos medidores e novas ferramentas intelectuais, como novas teorias e novos métodos matemáticos.

Três especialistas explicam a economia axiomática de Ludwig von Mises

O economista austríaco von Mises dizia que a economia surge porque o homem pensa e age. Para quem gosta de matemática, ele fascina pela contradição: seu método de fato lembra o axiomático, mas via com reserva a matemática aplicada à economia.



{1}/ Introdução à entrevista: a ação humana

A história de Ludwig von Mises lembra a de Sigmund Freud: ambos acreditavam que um pensador pode chegar a verdades universais sobre a espécie humana caso se sente à escrivaninha e escreva sobre si mesmo, e sobre o mundo à sua volta, com honestidade brutal. Muito do que Freud afirmou se revelou, décadas mais tarde, incorreto; mas até seus críticos dizem que tudo o que escreveu é “interessante, mesmo que seja falso”. Apesar de seus erros, Freud entrou para a história porque descreveu certos aspectos da mente com precisão surpreendente; por exemplo, nenhuma pessoa está perfeitamente consciente do que lhe vai pela cabeça, e muitas vezes não sabe explicar por que fez o que fez, mas ela está sempre dando sinais do que lhe vai pela cabeça — nas roupas, na escolha das palavras, nos gestos, no jeito de acertar o relógio.

Von Mises acreditava que a economia surge porque o homem age: porque ele, numa bela manhã, escolhe algo de olho num prêmio a ser usufruído à tarde — ou em dez anos. (Aviso: estou usando “homem” como substituto de “homens, mulheres, crianças”, isto é, como substituto de “espécie humana”.) “A ação humana é a vontade posta em operação para atingir fins e objetivos”, escreveu uma vez. A partir de afirmações assim, usou o método da geometria: foi deduzindo, com cuidado, outras afirmações. Para quem está habituado com ciência, e sabe que o cientista deve achar um jeito de confrontar suas afirmações com a realidade, os textos de von Mises causam a mesma estranheza que os de Freud: “Isso é interessante, mesmo que se revele falso.”

Os três especialistas nesta entrevista são: Bernardo Vieira Emerick, bacharel em matemática e computação científica pela Universidade Federal de Santa Catarina; antes de matemática, estudou economia por cinco semestres; Fábio Barbieri, professor de economia na Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo em Ribeirão Preto (SP); e Daniel Marchi, graduado em economia pela FEA-USP; faz parte de um grupo informal de estudos da escola austríaca de economia cujos membros moram em Brasília (DF). Cada um deles foi entrevistado num dia distinto, por telefone ou Skype.



{2}/ A entrevista pingue-pongue: deduções cuidadosas

Dizem que a teoria econômica de von Mises é axiomática, e de certa forma parecida com a geometria. Como assim?

Bernardo — Ela é matemática no sentido de que von Mises parte de certos postulados e vai deduzindo o resto de forma lógica e rigorosa. Quando a gente olha a geometria, vemos que ela é um sistema dedutivo: partimos de um conjunto de axiomas e vamos deduzindo as conclusões necessárias desses axiomas. Tanto é que, se alguém perguntar a um matemático qual é a geometria certa, se é a plana ou a hiperbólica, ele vai dizer que a pergunta não faz sentido, pois o matemático se preocupa mais com a validade das conclusões, que são os teoremas. Ele sabe que, se quiser ou se lhe for conveniente, pode mudar os axiomas; com isso, automaticamente muda o corpo de teoremas. Simples assim.

Mas há uma diferença na teoria econômica de von Mises: seus axiomas são apodícticos [o economista pode considerá-los verdadeiros, pois são difíceis de refutar]. Então, não se trata apenas de estudar as deduções de um conjunto de axiomas, mas de validar tal conjunto como sendo de fato verdadeiro. Vou dar um exemplo: o axioma mais importante de von Mises é o que trata da “ação dos homens”. Esse axioma diz que os homens agem, e que agir significa escolher; agir significa preferir uma coisa em detrimento de outra. Mesmo que uma pessoa não aja, ela escolheu, pois escolheu não agir. Partindo desse axioma, ele deduz outras afirmações de cunho econômico. Então, para resumir, os axiomas de von Mises não são arbitrários como os da geometria, pois têm de ter correlação com a realidade à nossa volta; mas o sistema de deduções cuidadosas lembra o sistema axiomático.

Fábio — Von Mises conhecia bem a economia clássica, que na época dele era a tradição, e cuja teoria era escrita com um discurso natural, mas nunca com fórmulas matemáticas. E ele construiu essa teoria dogmática, quero dizer, baseada em premissas do tipo “as pessoas agem porque escolhem”, “as pessoas querem enriquecer”, “se lhes for possível, as pessoas querem evitar custos”. Seus críticos diziam que essas premissas eram falsas, porque eram arbitrárias. Só que von Mises estava consciente da complexidade das questões que estudava; ele sabia que as causas e efeitos que perfazem a economia estão em perpétuo fluxo. Então, sim, ele considerava suas premissas verdadeiras, mas verdadeiras apenas num sentido bastante geral. Seus críticos não chegaram a entender esse ponto.

Daniel — Vamos examinar um exemplo concreto: todo ser humano precisa de uma moradia. É difícil negar essa afirmação. Contudo, uma pessoa compra uma casa, outra aluga, outra mora num hotel, outra se acomoda debaixo de uma ponte. A intenção de cada pessoa é a mesma, ter uma moradia, mas cada uma delas conquista sua moradia de modo diferente. O que o von Mises dizia é que os parâmetros da economia, como juro ou PIB, como investimento ou lucro, em última instância derivam do axioma da ação humana, o axioma segundo o qual os homens agem porque têm um propósito a alcançar.

Agora, há quem diga que von Mises era avesso à matemática; aliás, que toda a escola austríaca repudiava a matemática. Por quê?

Bernardo — Se o leitor entender a matemática no sentido de equações, de modelos matemáticos, aí de fato von Mises era avesso à matemática. Mas, se era avesso, não era por aversão à matemática, nem por aversão a seus métodos, nem por ignorância. O motivo era outro: ele achava que a matemática não era apropriada para descrever a economia.

O objeto a ser descrito e compreendido faz diferença. A física, por exemplo: ela se presta à matematização, e quando o homem passou a matematizá-la, obteve resultados excelentes. O físico pode tratar o espaço e o tempo como se fossem grandezas reais, contínuas; ele pode falar de dez metros por segundo, pode discorrer sobre a derivada da velocidade quando o tempo tende a zero. Tudo isso faz sentido na física; o físico de fato consegue medir o espaço percorrido por um objeto, e consegue cronometrar o tempo.

Na economia, contudo, muitos modelos matemáticos não fazem sentido. Eu posso falar de 1,3 carro por pessoa, mas ou uma pessoa não tem nenhum carro, ou tem um, ou tem dois — os valores são sempre discretos. Von Mises, assim como os outros membros da escola austríaca, achava que falar de 1,3 carro por pessoa é simplesmente falsificar o objeto de estudo. Num de seus artigos, tem uma frase assim: o objeto da economia não são as batatas, os aparelhos de barbear, as camisas; o objeto da economia são as ações humanas, dirigidas por juízos de valor subjetivos. É fácil ver isso quando pensamos no modo como, dentro da nossa cabeça, tratamos os bens — em geral, pensamos assim: “Prefiro isso a aquilo.” Colocamos os bens em ordem de preferência: primeiro, segundo, terceiro. Não tem sentido realizar operações algébricas com números ordinais.

Então, von Mises evitava a matemática porque não queria corromper seu objeto de estudo. Ele não queria deformar seu objeto de estudo apenas para que ficasse adequado ao cálculo diferencial.

Fábio — Von Mises não usa a matemática porque, para ele, usar a matemática implicaria usar valores concretos. Por exemplo, a lei da demanda — ela diz que, quanto mais caro um produto, menos pessoas querem comprá-lo. Eu até posso desenhar uma curva invertida, na qual o valor de y cai conforme aumenta o valor de x. Só que, para von Mises, não devo especificar os valores, porque todo dia morrem umas pessoas, nascem outras, e outras ainda mudam de ideia. A sociedade não fica parada e, portanto, eu até posso saber que, se aumento o preço do meu produto, diminuo a demanda por ele, mas não posso desenhar uma curva com valores concretos. Um filósofo chamado John Watkins até sugeriu a expressão “teoria algébrica”, nas quais eu posso falar “o custo x sobe, o custo x desce”, e posso até mostrar fórmulas ao leitor, mas nunca posso substituir as variáveis por números, pois os números variam todo dia.

Enfim, von Mises acreditava numa teoria econômica com a qual pudéssemos explicar o mundo, mas não prever o mundo. Ele defendia a teoria no plano o mais genérico possível. Eu posso dizer que, quando um governo controla preços, existe a tendência de haver filas nos supermercados e existe a tendência de surgir um mercado negro; eu posso dizer que isso é uma lei da economia, pois tem sido assim desde os tempos da Babilônia. Agora, se amanhã o governo quiser controlar preços, haverá filas nos supermercados? Não sei; não posso dizer. A economia é uma rede muito complicada de causas e efeitos. A escola austríaca enfatizava a ideia de complexidade, e achava que, para usar a matemática, o economista era obrigado a simplificar as coisas demasiadamente. Mas ela nunca fez um ataque à matemática em si.

Daniel — No mundo natural, as coisas se submetem às leis da natureza, às leis da física e da química. No mundo econômico, contudo, as pessoas não necessariamente se submetem, pois o homem é criativo. Se você realiza vários experimentos com uma bola de golfe, se as condições forem as mesmas, os resultados serão mais ou menos os mesmos. Mas se você realiza vários experimentos com pessoas, elas reagem de um jeito num dia, e de outro jeito no dia seguinte. É da natureza do ser humano fazer o que ele acha que deve ser feito (ainda que por omissão); então, quando falo de modelagem matemática das ações humanas, posso incorrer em distorções graves. Não é que haja um problema na matemática; é que há um erro de metodologia.

Não estou falando aqui da matemática básica, com a qual, por exemplo, contamos os bens e controlamos os estoques. Estou falando de usar a matemática para explicar coisas que, olhando de perto, não têm necessariamente uma explicação matemática.

Eu posso verificar, por exemplo, quantos anos de estudos uma pessoa tem, quantos banheiros, quantas geladeiras, quantos empregos teve ao longo da vida, quantos livros lê por mês, etc. Posso fazer uma regressão estatística e ver como essas coisas estão correlacionadas com a renda mensal da pessoa. Mas, ao fazer isso, é quase como se eu dissesse que a renda mensal de uma pessoa não é resultado de suas decisões e ações. Parece que a pessoa é um objeto inanimado que, se tiver tantos anos de estudos e tantas geladeiras, tem certa renda mensal. Por meio dessa matemática, eu retiro a ação humana da análise. Isso é desumanizar o que entendo por economia.

Existe lugar para a matemática na economia?

Bernardo — Será que todo conhecimento a respeito da economia pode ser expresso no formato axiomático? Von Mises não escreveu nada sobre isso, mas eu acho que não, isto é: existem outras formas de conhecimento econômico.

As informações que obtemos por meio de métodos estatísticos, por exemplo, são válidas em muitas circunstâncias práticas. Se alguém trabalha num supermercado, pode usar a estatística para dizer qual é a probabilidade de que atenda tantos clientes numa segunda-feira. É melhor isso do que tomar uma decisão sem informação nenhuma. Contudo, esse conhecimento não é de ordem teórica. Ele não constitui uma explicação. Então, uma pessoa roda seus modelos estatísticos, isola as variáveis, e acha correlações. Provavelmente, ela não achou relações de causa e efeito; ao contrário, achou um fenômeno em busca de uma explicação.

É a teoria que nos permite explicar o que está acontecendo com os números, e a escola austríaca diz que essa teoria deve versar sobre o conjunto das intenções e das ações humanas.

Fábio — Posso pensar no princípio de Pareto e adotar um modelo simples no qual três variáveis explicam 80% das consequências, e encarar o resto como sendo um ruído que trato com probabilidade e estatística. Esse é, grosso modo, o jeito atual de fazer economia. Com os computadores, muita coisa que não era modelável há 20 anos é modelável hoje. Mas acho que a matemática na economia deixou um legado dúbio.

Existe hoje uma revisita à obra de economistas como von Mises justamente porque o histórico de erros recentes dos economistas é grande demais. Há, digamos assim, uma desilusão com o rigor matemático dos modelos econômicos, tanto é que todo mundo ridiculariza a capacidade dos economistas de fazer previsões.

Daniel — Olhando para trás, vejo que meu curso de graduação em economia foi uma espécie de curso de matemática aplicada. Além disso, os livros de economia estão ficando incompreensíveis para quem não tem afinidade com a matemática. Não tenho certeza se isso é certo. Se falo de economia e ninguém me entende, há um problema comigo, e não com meu interlocutor, pois as questões econômicas permeiam nossa vida. E insisto: quando você mergulha nesses livros, percebe que pode questionar o poder explicativo dos modelos matemáticos modernos. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 40, maio de 2014, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. De tudo o que von Mises escreveu, ninguém pode deduzir que a contabilidade de uma pessoa ou de um empreendimento importa pouco, porque é matemática, “e von Mises não aprovava a matemática na economia”. Contabilidade não é matemática: é um conjunto de procedimentos para a classificação de receitas e despesas — e importa muito. Uma coisa é agir da maneira x tendo lucro acumulado de 1 milhão de reais; outra coisa, muito diferente, e talvez até estúpida, é agir da mesma maneira x tendo prejuízo acumulado de 1 milhão de reais. Para mim, a contabilidade é um jeito incrivelmente inteligente de olhar para as receitas e as despesas de uma entidade qualquer.

Sara Santos: um saltimbanco na matemática

Sara vinha levando a vida típica de quem se dedica à matemática: mestrado, doutorado, aulas. Um dia, descobriu que tinha talento para divertir o público com palhaçadas matemáticas.


{1}/ O primeiro axioma: divertimento

Sara Santos, jovem matemática portuguesa, entende de geometria não euclidiana e de sistemas dinâmicos. Vinha levando a vida típica de quem se dedica à matemática: mestrado, doutorado, aulas. Mas é uma mulher ativa: joga capoeira, pratica ioga, dança. Uma vez, participou de um concurso promovido pela Amazon, a livraria da internet: Qual é o melhor jeito de embrulhar um presente? Sara mandou sua sugestão (com provas matemáticas), ganhou o concurso, e deu várias entrevistas para jornalistas do mundo inteiro. Descobriu que tem talento para conversar sobre matemática com pessoas leigas, e descobriu que consegue usar a matemática para divertir seu interlocutor. Depois conheceu um artista de rua, juntou o talento para explicações com a capoeira, e hoje Sara é reconhecida pela capacidade de fazer um passante apressado parar, curtir um show de rua sobre matemática, e seguir sua vida com vontade de saber um pouco mais.

Você é matemática ou divulgadora de ciência?

Hoje eu trabalho com a divulgação de matemática e, em parte de meus projetos, desenvolvo técnicas para comunicar a matemática para determinados públicos. Grande parte do meu trabalho na The Royal Institution of Great Britain é comunicar matemática para uma audiência altamente técnica, ou seja, para crianças com talento em matemática, crianças que já são ases da matemática. Num de meus projetos, eu comunico a matemática para pessoas que não escolheram estudar matemática — elas estão apenas passando na rua, fazendo alguma outra coisa, e se sentem atraídas pela apresentação de maths busking [em inglês, um ‘busker’ é um artista de rua, desses que andam em bicicletas de uma roda só, cospem fogo, equilibram pratos, fazem mágicas com a gravata de um passante].

Esse projeto me rendeu um prêmio em Portugal, o Prêmio Seeds of Science 2011. Fiquei muito feliz de saber que o que tenho feito fora de Portugal também interessa a profissionais portugueses de comunicação. Fiquei a pensar na possibilidade de levar o projeto para Portugal.

Como surgiu o espetáculo de rua?

Maths busking é levar matemática para a pessoa que está vivendo sua rotina de todo dia, está passando na rua, fazendo compras, a caminho da escola ou do trabalho; que está no intervalo do almoço. Uma pessoa só vai parar para assistir um espetáculo se ela achá-lo interessante. Temos de contar que o público é passivo: ele não está necessariamente interessado em participar. Temos de cativar o público.

O projeto maths busking começou em 2010. Tínhamos dois objetivos na ocasião: atrair a atenção do público para a matemática e, ao mesmo tempo, mostrar para a comunidade científica que é possível comunicar bem a matemática. Muitas pessoas que vivem de divulgar a ciência não acham possível divulgar a matemática para um público leigo.

Eu tenho um amigo que é comediante, do tipo stand-up. Ele me deu detalhes sobre o que é espetáculo de rua, e juntos nós identificamos elementos essenciais para um espetáculo sobre matemática. Desenhamos um paralelo entre os espetáculos de rua e as técnicas existentes para comunicar ideias matemáticas. No espetáculo de rua, existem ideias fundamentais, às quais demos o nome de axiomas.

O primeiro dos nossos axiomas é que o maths busking é… busking. Quero dizer, a audiência não está comprometida, está de passagem. Temos de trazer a audiência para o nosso lado, e sem envergonhar ninguém. O segundo dos nossos axiomas é que a atração principal do espetáculo tem de ser matemática, porque não queremos desvirtuar o projeto e atrair artistas que só sabem fazer malabarismos com serras elétricas, que só sabem usar fogo: isso é batota [trapaça no jogo]. O terceiro dos nossos axiomas é que o público tem de tirar alguma coisa do espetáculo. Ou a pessoa leva uma ideia matemática, ou leva uma atitude positiva em relação à matemática, ou leva alguma coisa que nós lhe tenhamos dado. Às vezes, distribuímos umas tirinhas de papel para fazer pentágonos, onde há o endereço do nosso website e todas as explicações para entender o show.

Como é entreter uma pessoa na rua com matemática?

O espetáculo pode durar entre 3 minutos e 10 minutos, mas já fizemos espetáculos de 30 minutos. Não podemos dar às pessoas um quebra-cabeça para resolver. Isso não é divertido. Para fazer um show de sucesso, temos de usar o humor.

Nós convidamos o público a participar. Usamos cartas mágicas, cordas, coletes, algemas, dinheiro. As pessoas ficam surpresas com a quantidade de objetos que usamos. Nós pedimos às pessoas que segurem uma carta para nós, ou que se deixem atar, e aí pedimos às pessoas atadas que usem a matemática para se livrar do nó sem cortar as cordas.

Nós treinamos voluntários para o show, e apresentamos temas que conhecemos bem ou que, por curiosidade, gostaríamos de conhecer melhor. No treinamento, usamos os materiais que já temos, mas é igualmente importante criar novos shows. No treinamento dos voluntários, muitas vezes surgem ideias novas.

Eu avalio o espetáculo assim: a que distância está o pensamento do leigo de um pensamento matemático qualquer? Precisamos pensar desse jeito para pôr as pedras no caminho do público, para que ele consiga atravessar o rio, digamos assim. Os temas mais adequados para o espetáculo de rua são aqueles que exigem pouco contexto; ou então o contexto precisa ser simples, fácil de aprender em pouco tempo. Usamos as técnicas que os animadores e os mágicos conhecem bem: usamos linguagem familiar e divertida, e fazemos o público focar no que estamos fazendo.

Como foi seu trabalho com a Amazon?

Em 2005, a Amazon [uma livraria americana] fez uma campanha publicitária; ela tinha a ideia de aplicar ideias e conceitos matemáticos ao Natal. Seus funcionários entraram em contato com várias universidades, inclusive a Universidade de Manchester [Inglaterra], onde eu estava a acabar meu doutorado. Para apresentar uma ideia à Amazon, essa ideia deveria ser surpreendente de alguma forma; decidi aceitar o desafio.

Criei um método para desenvolver o embrulho de papel perfeito, um embrulho que usasse o mínimo possível de papel e de cola. Mesmo assim, o padrão impresso no papel de presente deveria se juntar de modo perfeito, simétrico. [Isto é, o comprador não deveria notar a linha onde o papel fora cortado.] Cheguei à conclusão de que a caixa de presente perfeita teria de ter uma base quadrada. Quando as pessoas embrulham uma caixa quadrada, elas tendem a pôr o papel de presente em paralelo com as arestas da caixa. Se não houver muita sobreposição de papel, esse método evita o desperdício, mas o padrão impresso no papel de presente fica desalinhado.

De que modo esse projeto influenciou sua carreira?

Falei com muitas pessoas da mídia, interessadas na comunicação desse feito matemático. Isso foi muito interessante para mim: foi muito bom saber que eu conseguia falar de matemática para os meios de comunicação de massa. Esse projeto me deu experiência.

O que o passante aprende num espetáculo de rua?

Não acho que seja possível ensinar matemática apenas com o maths busking. Mas já sabemos que as brincadeiras provocam bons efeitos na aprendizagem. Tirar partido desse conhecimento é salutar. Ao mesmo tempo, a diversão dá energia para a pessoa que precisa se dedicar ao trabalho árduo de estudar. Muitos professores frequentam as nossas seções justamente em busca de novas ideias, novos métodos, novas ferramentas. Eu gostaria que, nas escolas, naquelas festas de fim de ano, as crianças não fizessem apenas uma peça de teatro, nem tocassem apenas uma música, mas que fizessem maths busking.

Já fizemos isso uma vez. Uma escola nos chamou para treinar seus alunos para um espetáculo, que ocorreria num jantar para levantar fundos. Treinamos meninos e meninas para executar o show durante o jantar. No mínimo, por causa desse projeto, ganhamos meninos e meninas capazes de comunicar bem as ideias matemáticas. É muito bom quando o aluno também assume o papel de professor.

O que você faz na Organização Real da Grã-Bretanha?

Eu administro uma rede nacional de voluntários, isto é, uma rede de voluntários de todo o Reino Unido; essa rede organiza aulas especiais para estudantes com talento para a matemática. Os voluntários organizam as aulas, entram em contato com as escolas, organizam tudo para que os alunos estejam presentes. Eu dou orientações sobre como uma aula dessas deve ser, e dou treinamento para os oradores.

Como resultado desse trabalho todo, no fim deste mês [janeiro de 2012] vamos anunciar um museu da matemática. Ainda estamos escolhendo o melhor lugar. Também não sabemos se vamos usar a palavra museu, que passa a ideia de algo estático. Em português, temos a palavras exploratório, que seria uma boa escolha. Será um centro para que o visitante aprecie e compreenda a matemática. Esse centro não servirá apenas para passar as ideias técnicas, mas também a parte cultural da matemática: a matemática é uma ferramenta que se desenvolveu dentro de nosso cérebro ao longo da evolução [de nossa espécie], e é uma ferramenta que temos para conhecer o mundo. Essa capacidade de abstrair é extremamente necessária à sobrevivência da nossa espécie. Vamos também apresentar a história da matemática: celebrar as pessoas que levaram a matemática adiante, explicar por que elas se interessaram por matemática.

Ser portuguesa deu a você alguma vantagem?

Acho que mudar de contexto nos traz benefícios. Um professor meu, Antônio Maquiavel, do Porto, me motivou muito — hoje ele é meu amigo. Ele era um professor diferente dos outros, e usava técnicas de comunicação de matemática que hoje eu uso nos espetáculos de rua e nas aulas no Reino Unido. Ele conseguia nos mostrar a matemática para além do que é vulgar.

Mas também acho que existe aquela coisa de mudar de país, e de começar tudo de novo. Quando estamos numa comunidade nova para nós, não sentimos o julgamento da comunidade. Em Portugal, talvez eu reconhecesse algum dos passantes, e isso poderia ser um entrave. Mas, estando aqui [ela mora em Londres], eu não sei o que as pessoas pensam, e isso é um bocado libertador. Mudar de contexto, mudar de país, enfim, isso me permitiu pôr de lado certas barreiras. Além disso, ao mudar de país, eu não deixei de ter o apoio das pessoas das quais eu gostava em Portugal. Isso é muito importante.

Mas existe uma diferença fundamental entre Portugal e Inglaterra: na Inglaterra, é possível se comunicar mais facilmente com pessoas de diversas hierarquias. Em Portugal, tenho a experiência de entrar em contato com alguém e não receber resposta, por conta de diferenças hierárquicas. Na Inglaterra, há mais possibilidades. Isso muda a nossa atitude. Se eu pudesse fazer um apelo a outros povos, pediria que eles dessem ouvidos aos mais novos. {}



{2}/ Como um matemático embrulha presentes

Em 2005, a livraria eletrônica Amazon organizou um concurso, e a matemática portuguesa Sara Santos ganhou o concurso ao imaginar “O Perfeito Embrulho de Papel”, isto é, o embrulho que exigisse a menor quantidade possível de papel e que, mesmo assim, ficasse bonito. Sara concluiu que o embrulho de papel perfeito só funcionaria com uma caixa quadrada; qualquer outro formato implicaria em desperdício de papel.

Pois bem: havendo um presente dentro de uma caixa quadrada, como o leitor a deveria embrulhar? (Vamos chamar esse leitor de Mathias.) Como primeiro passo, Mathias se pergunta qual deveria ser o tamanho do papel de presente. Antes de começar as contas, ele esboça a figura 1, a figura de uma caixa quadrada.

Feito isso, e seguindo uma dica de Sara Santos, Mathias esboça a figura 2. Em termos genéricos, ele sabe que o papel de presente, assim como a caixa, devem ser quadrados. No esboço, Mathias dá o nome de c ao comprimento do lado desse papel quadrado.

Então Mathias se concentra no primeiro quadrante da figura 2, pois ele contém todos os elementos necessários ao cálculo de c. Para facilitar o trabalho, ele desenha o primeiro quadrante em detalhes, como na figura 3.

Mathias faz a si mesmo a primeira pergunta importante: quanto vale a? Ele nota que a é a metade da diagonal dentro do quadrado de lados iguais a w. Sendo assim, duas vezes o valor de a é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a w.

Logo depois, Mathias se pergunta: quanto vale b? Essa pergunta é importante porque b + h + b é igual à diagonal do primeiro quadrante, e, mais tarde, deve ser útil no cálculo de c. Mathias nota que b é o cateto adjacente do triângulo CAD, cuja hipotenusa é igual a a e cujo cateto oposto é igual à metade de w. Logo:

Agora Mathias já consegue calcular o valor de c. Ele nota que o triângulo EAF é um triângulo retângulo com hipotenusa igual a b + h + b e com dois catetos iguais à metade de c. E Mathias faz as contas:

Pronto. Mathias já pode entender as instruções de Sara Santos:

1. Para embrulhar uma caixa quadrada de lados iguais a w e altura igual a h, corte o papel de presente na forma de um quadrado de lados iguais a (√2)(w + h).

2. Se o papel é listrado, faça com que, bem no meio dele, esteja o meio de uma das listras, e que as listras à direita e à esquerda estejam como que espelhadas.

3. Se o papel é quadriculado, faça com que sua metade vertical e sua metade horizontal coincidam com a metade de uma fileira de quadrados.

4. Coloque a caixa no meio do papel de presente, de modo que os cantos da caixa dividam o papel em duas partes iguais.

5. Junte duas pontas opostas do papel de presente e as grude com fita adesiva.

6. Dobre o excesso de papel para dentro do embrulho (bem junto da caixa), e daí junte as outras duas pontas opostas do papel de presente.

7. Grude essas duas últimas pontas com fita adesiva e, se quiser, termine com uma fita de enfeite.

Fazendo assim, Mathias fará as listras ou os quadriculados coincidir perfeitamente, o que é bonito, e ao mesmo tempo gastará tão pouco papel de embrulho quanto possível. {FIM}


Observações:

1. Publiquei a matéria da seção 1 pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 13, fevereiro de 2012, pág. 20. Quanto à matéria da seção 2, eu a publiquei pela primeira vez na edição 14, março de 2012, pág. 56. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi feita pelo jornalista Renato Mendes, que na época vivia em Lisboa.

3. Se quiser saber mais sobre o projeto Maths Busking, clique aqui.

4. Note que, se y2 = x, daí y = ±√x. Contudo, nas fórmulas da seção 2, usei a seguinte regra de inferência: se y2 = x, daí y = √x. Em outras palavras, desprezei a raiz negativa. Só pude fazer isso porque estava lidando com comprimentos maiores que zero.

Cálculo Tornado Fácil 12


Pêndulos e molas em equações: Neste capítulo, Silvanus mostra como achar o coeficiente diferencial de funções trigonométricas, que, em situações práticas, servem para modelar movimentos oscilatórios.

 

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 63 porque o texto anterior terminou na 62. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, CTF 10, e CTF 11.

 


{63}/ Capítulo 15

Como lidar com senos e cossenos

Muitos matemáticos usam letras gregas para representar ângulos; neste capítulo, vamos usar a letra comum para um ângulo qualquer — θ, isto é, a letra teta minúscula.

Então, para começar, considere a função:

O que deve investigar é o significado da expressão:

Em palavras, deve investigar o que acontece com y quando θ varia; isso significa achar uma relação matemática para expressar o incremento de y diante do incremento de θ, quando ambos os incrementos são infinitamente pequenos (quando tendem a zero). Examine a figura 43 mais abaixo.

É um círculo trigonométrico, que é um círculo de raio igual a 1, cuja origem coincide com a origem de um sistema comum de coordenadas cartesianas. A altura de y é equivalente ao seno de θ, e θ é o ângulo. Agora, se permite que o ângulo θ aumente só um tantinho, sendo esse tantinho dθ (que é um infinitésimo de ângulo), daí a altura de y, o seno, vai aumentar por um tantinho dy. A nova altura y + dy tem de ser equivalente ao seno do novo ângulo θ + dθ, e com isso você já tem os fatos para montar uma equação importante:

Bem, sabe que y = senθ, então pode subtrair y do lado esquerdo da equação e senθ do direito:

A expressão do lado direito é a diferença entre dois senos, e vai achar nos dicionários de matemática o que pode fazer com tal diferença (em geral numa tabela com o título “fórmulas trigonométricas” ou “identidades trigonométricas”):

Agora, se troca M por θ + dθ e N por θ, pode reescrever a expressão para dy assim:

Com tudo isso deixou a equação num formato ótimo para visualizar o que está acontecendo. Bem, sabe que dθ é um infinitésimo: é uma variável que tende a zero, sem, contudo, jamais se igualar a zero. Assim, o primeiro fator da linha acima tende cada vez mais a 2cosθ conforme dθ fica cada vez menor, de modo que pode desprezar a parcela dθ/2 no argumento. Agora vem um passo difícil: no segundo fator, conforme dθ/2 fica cada vez menor, sen(dθ/2) também fica cada vez menor, de modo que, no limite, o argumento dθ/2 e a função sen(dθ/2) ficam cada vez mais iguais. Pode então acreditar em mim e simplesmente trocar sen(dθ/2) por dθ/2 como se de fato fossem iguais:

[Caso use uma calculadora científica para montar uma tabela, verá tudo isso acontecendo.] Nos gráficos da figura 44, plotei a curva de y = senθ e de dy/dθ = cosθ; no eixo das abscissas, estão os valores de θ em radianos. [Na matemática universitária em geral, e no cálculo em particular, é mil vezes melhor medir ângulos em radianos.]

Fig. 44. Sen(x) em preto e cos(x) em vermelho.

Pode ver que, quando a inclinação da reta tangente a senθ é zero, cosθ também é; quando a inclinação da reta tangente a senθ é máxima, negativa ou positiva, cosθ também atinge um máximo com o sinal apropriado.

No texto Cálculo diferencial com números hiper-reais, há uma prova rigorosa dos motivos pelos quais a derivada de senx é cosx. Veja a resolução do exercício §60-15.


Agora, é hora de estudar o cosseno. Considere a função y = cosθ, e de novo olhe sua tabela de fórmulas trigonométricas. Uma delas diz o seguinte:

Daí, a função y = cosθ vira outra coisa:

A partir de agora, pegue o caminho mais curto: use o que acabou de descobrir sobre a derivada da função seno mais a regra da cadeia. (A derivada da função A, cujo argumento é a função B, é a derivada da função A, mantendo a função B como argumento, multiplicada pela derivada da função B. Na notação de linha: [f(g(x))]’ = f’(g(x))∙g’(x).) Isso dá:

De novo deve olhar uma tabela de identidades trigonométricas para saber o que fazer com o cosseno acima. Vai chegar a:

Essas duas últimas descobertas são importantes. É bom deixá-las lado a lado, como num resumo:

Nas curvas da figura 45, pode ver como faz sentido essa ideia de que a derivada do cosseno é o negativo do seno.

Fig. 45. Cos(x) em preto e sen(x) em vermelho.


Por último, vamos tratar da tangente. De novo, como primeiro passo, considere a função a seguir:

Daí deixa y crescer um pouco, de modo que vira y + dy, e como consequência o ângulo θ vira θ + dθ, como também mostro na figura 43.

Mais uma vez deve consultar suas tabelas de identidades trigonométricas, de modo que poderá refazer as transformações a seguir:

Agora, você parte do seguinte fato: se dθ tende a zero, o valor de tan(dθ) tende a ficar idêntico a dθ, e tanθdθ se torna pequeno demais quando comparado a 1; de modo que pode simplificar a expressão acima da maneira a seguir:

Pode também provar esse mesmo fato com o que descobriu sobre a derivada do seno e do cosseno, mais a regra pela qual derivar um quociente de funções (na primeira linha a seguir, à guisa de lembrete, pode igualar a função f ao seno de θ e a g ao cosseno de θ).

Pode agora coletar os resultados numa tabela.

y

dy/dθ

senθ

cosθ

cosθ

–senθ

tanθ

sec2θ

Às vezes, ao resolver problemas mecânicos ou outros problemas da física (por exemplo, o movimento harmônico simples), você tem de lidar com ângulos que aumentam conforme o tempo. Assim, se escreve T para denotar o tempo para completar um período, ou uma volta em torno do círculo trigonométrico, daí, visto que o ângulo de uma volta no círculo equivale a 2π radianos ou 360 graus, a quantidade de ângulo que percorre no tempo t equivale a:

Agora, caso denote a frequência do movimento por n (sendo a frequência n o número de períodos por segundo, ou o número de voltas no círculo por segundo), daí pode reescrever as equações acima assim:

E com isso pode também reescrever a função y = senθ:

Agora, se deseja saber como a função y varia conforme o tempo varia, não pode mais diferenciá-la em relação ao ângulo θ, pois deve diferenciá-la em relação ao tempo t. Para isso, mais uma vez, deve usar a regra da cadeia, fazendo y = senθ e θ = 2πnt:

De modo similar, pode chegar à conclusão expressa na equação a seguir:



{64}/ A segunda derivada do seno e do cosseno

Você já viu que, quando diferencia senθ em relação a θ, obtém cosθ; e quando diferencia cosθ em relação a θ, obtém –senθ. Sendo assim, em símbolos:

E então você tem esse resultado tão curioso: o de que, se diferencia uma função duas vezes, obtém a função original, mas com o sinal trocado de + para –.

O mesmo vale para –senθ e –cosθ: caso diferencie –senθ duas vezes, obterá senθ; e caso diferencie –cosθ duas vezes, obterá cosθ. Essa propriedade é única: senos e cossenos são as únicas funções que, ao diferenciá-las duas vezes, você obtém a função da qual partiu, mas com o sinal trocado.


Exemplos. Com o que viu até agora, já tem condições de diferenciar expressões matemáticas de natureza mais complexa.

(1) y = arcsenx

Se y é o arco cujo seno é x, daí x = seny. Pode continuar daí:

No passo seguinte, pode passar da função inversa para a função original (recorde a regra segundo a qual a derivada de uma função é igual ao recíproco da derivada da função inversa):

Agora, nunca se esqueça de que sen2x + cos2x = 1.

Não sei quanto a você, mas acho esse resultado bastante inesperado.

[Nota sobre o x em arcsenx: olhe bem a figura 43. Nos textos sobre cálculo, quando aparece senx ou cosx ou tanx, o melhor jeito de visualizar esse x é imaginar um círculo de raio igual a 1, e visualizar o x como sendo o comprimento do arco que corresponde ao ângulo θ. Esse comprimento x é a medida do ângulo θ em radianos. Daí, se quiser plotar o comprimento de y em função do comprimento x do arco, então sim pode usar um plano cartesiano e marcar o valor de x no eixo das abscissas e o valor de y no eixo das ordenadas; no caso de y = senx, obterá a famosa onda senoidal, presente tanto na figura 44 quanto na 45.]


(2) y = cos3θ

Agora, isso é a mesma coisa que y = (cosθ)3. Daí pode achar o coeficiente diferencial com a regra da cadeia. (Se quiser, faça cosθ = v, y = v3 e dy/dv = 3v2. Daí dy/dθ = (dy/dv)∙(dv/dθ).)


(3) y = sen(x + a)

Faça x + a = v; daí y = senv.


(4) y = ln(senθ)

Faça senθ = v, e daí y = lnv.


(5) y = cotθ = cosθ/senθ

De novo, deve usar a regra pela qual acha o coeficiente diferencial de um quociente de funções.


(6) y = tan(3θ)

Aqui, pode fazer 3θ = v e y = tanv; daí, basta usar a regra da cadeia:


(7) y = √(1 + 3tan2θ)

Neste caso, o melhor primeiro passo é usar expoentes fracionários.


(8) y = senxcosx

Aqui, deve usar a regra pela qual derivar um produto de funções. Para relembrar: [fg]’ = f’g + fg’.



{65}/ Exercícios XIV

(1) Diferencie as expressões a seguir.

(2) Ache o valor de θ para o qual senθ∙cosθ atinge um máximo.

(3) Ache o coeficiente diferencial de:

(4) Se y = senax, ache dy/dx.

(5) Diferencie a expressão y = ln(cosx).

(6) Diferencie: y = 18,2∙sen(x + 26°).

(7) Usando um computador, plote a curva de y = 100∙sen(θ – 15°); daí mostre que o gradiente da curva no ponto em que θ = 75° é a metade do gradiente máximo.

(8) Se y = senθ∙sen(2θ), ache dy/dθ.

(9) Se y = a∙tanm(θn), ache o coeficiente diferencial de y em relação a θ.

(10) Diferencie y = exsen2x.

(11) Diferencie as três equações do item (4) dos exercícios XIII e compare os coeficientes diferenciais; diga se são iguais ou quase iguais para pequenos valores de x, para grandes valores de x e para x no entorno de x = 30. (Os exercícios XIII foram publicados no CTF 11, seção 62.)

(12) Diferencie as expressões a seguir.

(13) Diferencie y = sen(2θ + 3)2,3.

(14) Diferencie a expressão a seguir:

(15) Ache o máximo ou o mínimo de y = θcosθ.

{FIM}