A impossível missão de sortear números reais


Imagine todos os números reais — todos! Não só números inteiros como 5 ou –5, mas também racionais como 37/283 ou –37/283, e irracionais como √7 ou –√7. Talvez seja mais fácil imaginar a reta dos números reais: cada ponto da reta corresponde a um número. Suponha que existe um método pelo qual possa sortear ao acaso um único número real entre todos os números da reta. Bem, a probabilidade de sortear um número específico é zero.

Essa ideia deixa muita gente intrigada, mas nem é tão difícil de entender. Suponha que tem um daqueles globos de sorteio, e que pode escrever cada número numa bolinha, tipo uma bolinha de bingo. Se houver só um número no globo, digamos o número x1, qual é a probabilidade de que sorteie x1 ao acaso?

A probabilidade é de 1 (ou 100%), pois só há uma bolinha no globo.

E se coloca duas bolinhas no globo, uma com o número x1, e outra com o número x2 (com x1x2). Qual é agora a probabilidade de que sorteie x1 ao acaso?

É 1/2 (ou 50%), pois há duas bolinhas no globo, e qualquer uma delas pode cair no dispensador.

Se houver no globo os números x1, x2, e x3, a probabilidade de sortear x1 é 1/3. Se houver os números x1, x2, x3, x4, a probabilidade de sortear x1 é 1/4. E se houver os números x1, x2, x3, …, xn? A probabilidade de sortear x1 é 1/n. Conforme adiciona uma bolinha de cada vez ao globo, de uma bolinha a n bolinhas, cada uma delas com um número distinto, a sequência de probabilidades fica assim:

f-001

Quanto maior o valor inteiro positivo de n, menor a diferença entre 1/n e zero. Se quiser, pode passar essa ideia escrevendo assim: “A sequência 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … converge para zero.” (Com os três pontinhos, passa a seu leitor a ideia de que ele pode imaginar a sequência com tantos termos quantos queira: 100 termos, 1 bilhão de termos, 1 trilhão de termos, não importa.)

Suponha que seu globo seja tão grande que possa adicionar uma bolinha de cada vez indefinidamente, e que, um belo dia, para além do fim da eternidade, o globo contenha todos os números reais, um em cada bolinha. Pense agora como um matemático: “Visto que cada termo da sequência se aproxima cada vez mais de zero pela direita, posso dizer que o limite da sequência infinita 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/4, 1/5, … é zero. E posso definir a probabilidade de sortear ao acaso o número x1 entre todos os demais números como sendo o limite dessa sequência. Fazendo assim, portanto, a probabilidade de sortear ao acaso o número x1 entre todos os demais números reais é zero.”

E no entanto, se tal globo existisse, uma das bolinhas cairia no dispensador de bolinhas. Quer dizer, embora a probabilidade de sortear um número específico ao acaso seja zero, um número certamente tem de cair no dispensador. Quem mexe com probabilidades associadas a processos infinitos logo se acostuma com ideias assim.

Caindo em pecado. Mas o caso é que um globo gigante com todos os números reais gravados em bolinhas só pode existir na imaginação. Existe um método pelo qual sortear números reais?

Use o sistema posicional decimal: suponha um globo contendo apenas dez bolinhas, numeradas de 00 a 09. Suponha também que tem uma moeda perfeita: cara é sinal positivo, coroa é sinal negativo. Você lança a moeda e tira coroa. Dai sorteia uma bolinha: 03. Devolve a bolinha para o globo e anota o resultado como sendo o coeficiente de 100, isto é, o algarismo na casa antes da vírgula.

–3,

Sorteia a segunda bolinha, que é 00, devolve a bolinha para o globo e anota o resultado como sendo o coeficiente de 10–1, isto é, o algarismo na primeira casa depois da vírgula.

–3,0

E dessa maneira você sorteia também 04 e 07.

–43,07

E então sorteia 05 e 04.

–543,074

Em outras palavras, você primeiro sorteia o sinal do número; depois sorteia o coeficiente de 100, o de 10–1, o de 101, o de 10–2, o de 102, o de 10–3; etc. (Sempre devolvendo a bolinha para o globo.) De modo geral, sorteia as bolinhas em duplas: o coeficiente de 10n, e logo em seguida o de 10–(n+1). Caso sorteie coroa outra vez, e sorteie também as cinco duplas 07, 02; 09, 07; 06, 08; 01, 02; 09, 05, nessa ordem, pode anotar num papel o número real –91.697,27825.

Com dez algarismos como coeficientes de potências de 10, veja que tem como escrever números racionais entre –99.999,99999 e +99.999,99999. Como pode sortear cada coeficiente entre dez bolinhas, com dez coeficientes você tem ao todo 1010 permutações de dez algarismos em dez posições; ou, em palavras comuns, tem ao todo 10 bilhões de permutações de dez algarismos em dez posições. Como está usando a moeda para sortear sinal positivo ou negativo, tem ao todo 2 · 1010 permutações menos uma, porque, com o zero, tanto faz se o sinal é positivo ou negativo.

E se apostasse uma grana no número inteiro 5? Percebe que, com dez posições, teria de torcer para que a moeda saísse com cara e para retirar do globo as bolinhas 05, 00; 00, 00; 00, 00; 00, 00; 00, 00? Porque só assim poderia escrever 00.005,00000 e ganhar o prêmio: é uma possibilidade entre [2 · (10 bilhões) – 1], isto é, uma possibilidade entre 19.999.999.999.

Para sortear um número irracional, cuja expansão decimal é infinita e não periódica, teria de passar o resto da eternidade, e mais um pouco, sorteando duplas de bolinhas do globo. Para sortear um número racional como 1/3, que é igual a 0,333333…, teria de sortear cara em primeiro lugar, e, depois disso, teria de sortear seguidamente a dupla de bolinhas 00, 03 por toda a eternidade. Difícil, não é mesmo?

Não existe maneira prática de sortear ao acaso um número real qualquer, dando a cada número a mesma possibilidade de que seja sorteado. A qualquer momento que interrompa o sorteio de duplas de algarismos, exclui todos os números irracionais, todos os racionais com dízima periódica diferente de zero, todos os números acima ou abaixo de determinados valores. Enfim, exclui quase todos os números! Como este experimento mental deixa claro, contudo, mesmo que existisse uma maneira prática de fazer isso, a probabilidade de sortear um número real específico, qualquer um, seria igual a zero. E mesmo assim sortearia um número.

Talvez queira saber se um dia chegará a usar o que viu neste texto, isto é, se este texto tem algum valor prático. Sim, tem. Pensamentos desse tipo são bastante úteis em qualquer tipo de fila. {FIM}


Qualquer um que considere métodos aritméticos para produzir algarismos aleatórios está, é claro, em estado de pecado.

John von Neumann (1903-1957), matemático húngaro naturalizado americano

Um sociólogo das redes sociais


Renaud Lambiotte sabe calcular como grãos de areia devem escorrer pela ampulheta, porque aprendeu a usar mecânica estatística para explicar fenômenos físicos. Aos 33 anos, contudo, ficou famoso no meio acadêmico por conta de uma descoberta sociológica: usou a mecânica estatística para provar que nós, humanos, evitamos triângulos emocionais estressantes, como quando um amigo nosso faz amizade com um dos nossos inimigos. Mas Renaud não se sente bem na pele de sociólogo: tem medo de bancar o charlatão.

Com nove anos, vi que a matemática é um jeito criativo de entender o mundo à minha volta.

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{1}/ Introdução à entrevista

“Como a interação entre cada um dos grãos de areia com os grãos vizinhos”, pergunta Renaud, “determina o modo como a ampulheta inteira funciona?”

Físicos estatísticos buscam a resposta desse tipo de pergunta: como grandes sistemas surgem das interações entre os menores pedacinhos do sistema? Renaud nasceu e se formou na Bélgica, fala inglês com forte sotaque francês, se veste de tênis, jeans, camiseta, moletom com capuz; e sorri fácil. Porque sabe física estatística, conseguiu um cargo no departamento de matemática do Imperial College de Londres, na Inglaterra, onde divide uma sala com três outros cientistas. Quando desce as escadas do Imperial College para a rua, e está chuviscando, não perde o humor. “Chuva é bom para ir aos museus.” Ele simplesmente puxa o capuz do moletom sobre a cabeça, enfia as mãos nos bolsos, e sai debaixo de chuvisco a passos decididos, mas sem pressa. Não há nele nenhuma pista visual de que provou uma teoria sociológica à espera de prova desde a década de 1940.

Renaud conhece um sujeito chamado Michael Szell, matemático húngaro, professor da Universidade de Viena, na Áustria, e dono de um jogo famoso na internet: o Pardus. Jogadores do Pardus vivem uma espécie de Jornada nas Estrelas misturada com Guerra nas Estrelas: eles pilotam naves espaciais, fundam colônias em planetas distantes, fazem negócios com outros exploradores do espaço e, se necessário, vão à guerra. Quando o internauta joga Pardus, deixa registros de suas ações nos computadores que controlam o jogo. Renaud e Michael analisaram os registros que 300.000 jogadores deixaram ao longo de quatro anos para provar a teoria do equilíbrio estrutural: todos nós evitamos triângulos emocionais estressantes. Se um amigo nosso faz amizade com um dos nossos inimigos, esse é um triângulo emocional estressante, que não vamos deixar quieto: ou nosso amigo desfaz a amizade ou, não demora muito, cortamos relações com nosso amigo.



{2}/ A entrevista em si

Por que escolheu a teoria dos triângulos emocionais?

Eu sempre viajo para Viena, tenho amigos por lá, e parece que todos os meus amigos vienenses se interessam por grandes redes sociais. [Renaud usa “rede social” em sentido amplo: os habitantes de uma cidade formam uma rede social, assim como os membros de uma família, assim como os usuários do Facebook.] Em outubro de 2009, num congresso científico em Amsterdã [Holanda], um desses meus amigos vienenses me apresentou o Michael Szell, e eu descobri que ele tinha criado esse jogo na internet, o Pardus, e que tinha todos os dados sobre todos os jogadores desde 2006 — são 300.000 jogadores do mundo inteiro! Nós podíamos saber quem mandava mensagens para quem, quem fazia comércio com quem, quem tentava destruir as naves de quem.

Então, em janeiro de 2010, passei um mês em Viena, conversando com o Michael e com outros amigos. Queríamos usar esses dados numa pesquisa científica, mas analisar dados sem rumo não adianta nada. Precisávamos usar os dados para buscar a resposta de uma pergunta. Então, precisávamos de uma pergunta bacana.

Como eu conheço um pouquinho de sociologia, mencionei essa teoria dos anos 1940, a teoria do equilíbrio estrutural (veja a seção 3). Outros sociólogos já haviam comprovado a teoria, mas com grupos pequenos, de 20 ou 30 pessoas, que sabiam que estavam sendo observados. Nós tínhamos um grupo enorme, de 300.000 pessoas, que não sabia que estava sendo observado. Propus a seguinte investigação: se a teoria estiver certa, os jogadores deveriam formar uma grande quantidade de triângulos emocionais estáveis e uma pequena quantidade de triângulos emocionais instáveis.

Levamos duas semanas para acertar as perguntas e, depois disso, só duas semanas para coletar os dados. Fizemos tudo sob a supervisão da Universidade de Viena; ela garantiu a proteção da privacidade dos jogadores. Em fevereiro, voltei para Londres já com os dados à mão, e ficamos seis semanas escrevendo o artigo.

As conclusões obtidas com os dados de um jogo valem para o mundo real?

Todo mundo nos pergunta isso. Acho válida a pergunta; talvez as pessoas sejam mais agressivas no mundo virtual.

Contudo, muitos cientistas estudam como as pessoas se comportam em redes eletrônicas, e até agora elas têm se comportado mais ou menos do mesmo jeito no mundo real e no mundo eletrônico. [Isso quando sabem que não estão sendo observadas; não é o caso do Facebook.] Por exemplo, o Michael já estudou como os jogadores se movem dentro do jogo, e descobriu uma coisa surpreendente: elas se movem quase do mesmo jeito que se movem na vida real. Ora, na vida real, seguimos uma rotina monótona: eu me levanto todo dia à mesma hora, vou tomar meu café perto de casa, vou trabalhar na faculdade, saio do trabalho e tomo uma cerveja com amigos, volto para casa. No mundo virtual as pessoas poderiam se mover de forma caótica, se quisessem, mas elas seguem padrões monótonos, previsíveis, parecidos com os padrões da vida real.

Talvez então cada pessoa se comporte do mesmo jeito em qualquer circunstância, seja real ou virtual. Talvez nossos comportamentos estejam mais embutidos dentro de nós do que pensamos.

Você não conhece sociologia direito. Como lida com isso?

Os dados gerados por grandes redes sociais nos vêm muito crus, muito sujos. É frustrante. Até aplicar a estatística, não há como saber para o que estamos olhando. Então, depois de aplicar a estatística e tirar as conclusões, ficamos com medo de descobrir o que, para um sociólogo treinado, seria óbvio.

Contudo, as ferramentas matemáticas e estatísticas usadas pelos sociólogos não servem para os grandes bancos de dados gerados por grandes redes sociais eletrônicas. Os sociólogos desenvolveram essas ferramentas (muito boas, aliás) para tirar dados de grupos pequenos. Por isso eles precisam de matemáticos e de físicos.

Boa parte da história da física tem sido justamente achar os aspectos elementares de fenômenos complexos, e usar a linguagem matemática para descrever esses aspectos elementares da forma a mais simples possível. Então, eu posso usar as ferramentas da física estatística para descobrir as regras elementares pelas quais uma grande rede social funciona, e posso usar a matemática para descrever essas regras de forma simples. Isso é novo até para sociólogos experientes.

No primeiro semestre de 2010, fui a um evento no MIT [um centro de pesquisas tecnológicas nos Estados Unidos], sobre pesquisas sociais feitas com os bancos de dados de redes celulares. Havia 250 cientistas no evento: físicos, matemáticos, sociólogos, psicólogos, engenheiros. Eu acho isso ótimo, porque não me sinto capaz de analisar esses dados sozinho. Uma pessoa com entendimento profundo de sociologia ajuda. Eu quero propor leis simples pelas quais uma rede social funciona, mas não quero propor leis simplistas.

Você é jogador do Pardus?

Isso é muito triste de dizer [risos], mas eu nunca joguei o Pardus. Eu me registrei como usuário, li todas as instruções, vi como o jogo funciona. Mas nunca gostei de jogos eletrônicos, nem quando era adolescente. Prefiro jogar futebol.

Como você veio a gostar de matemática?

Quando eu tinha oito ou nove anos, na escola, o professor propôs um problema: se um trem sai de Bruxelas às 10 horas da manhã em direção a Namur, que está a 60 quilômetros de Bruxelas, e se o trem viaja a 60 quilômetros por hora, a que horas eu deveria estar na estação de Namur para esperar um amigo meu? Eu adorei. Fiquei encantado de saber que, usando matemática, não precisava andar até a estação às 10 horas da manhã: eu podia esperar uma hora. Pela primeira vez, vi que a matemática é um jeito criativo de entender o mundo à minha volta.

Foi essa sensação de encantamento que mais tarde me levou à física. Os físicos usam matemática para descrever o mundo real, das partículas atômicas às estrelas e planetas, de forma sucinta e elegante. Por exemplo: é difícil descrever um buraco negro com palavras comuns, seja usando francês, inglês, ou português brasileiro. Mas na faculdade, quando estudei as expressões matemáticas que descrevem um buraco negro, fiquei surpreso ao descobrir que, em termos matemáticos, ele não é tão complicado assim. {❏}



{3}/ A teoria do equilíbrio estrutural

Cada pessoa se liga às pessoas à sua volta de forma positiva (por exemplo, ela declara amizade) ou negativa (declara inimizade). A teoria do equilíbrio estrutural diz que certos triângulos afetivos são estáveis (provocam prazer) e certos triângulos são instáveis (provocam estresse).

triangulos-emocionais_1

Numa sociedade de estrutura 100% equilibrada, diz um teorema de Cartwright-Hararay, todos os triângulos emocionais devem ser estáveis.

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Agora, o leitor já consegue provar sozinho uma das consequências do teorema de Cartwright-Hararay: numa sociedade 100% estável, ou todos os membros da sociedade são amigos uns dos outros ou eles se dividem em dois grupos estáveis, mas inimigos entre si.

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Basta pegar um indivíduo dessa sociedade (A) e dividir quatro de seus conhecidos em dois grupos: B e C são amigos e ficam num subgrupo e D e F também são amigos e ficam num outro subgrupo. Como preencher os sinais dos relacionamentos marcados com ponto de interrogação?

Resposta. Para que a sociedade inteira seja estável, todos os triângulos emocionais devem ser estáveis: ou todos são amigos; ou A é amigo de B e C, mas inimigo de D e F; ou A é amigo de D e F, mas inimigo de B e C. O mesmo raciocínio vale para todos os indivíduos e todos os triângulos.



{4}/ Jogadores do Pardus revelam características da humanidade

Os humanos não fazem parte de uma rede social, mas de várias, cada uma com regras distintas: o trabalho, a igreja, a escola. Renaud e seus colegas estudaram seis redes dentro do Pardus. Os jogadores podem declarar amizade, se comunicar, e fazer comércio (três redes de relacionamentos positivos); ou podem declarar inimizade, atacar outro jogador, ou pôr a cabeça de um jogador a prêmio (três redes de relacionamentos negativos).


Dentro do Pardus, existem triângulos estáveis em maior número

Tipo de triângulo emocional + + + + + – + – – – – –
Estado do equilíbrio Equilibrado Desequilibrado Equilibrado Desequilibrado
Número de triângulos 26.329 4.428 39.519 8.032

Os principais números obtidos por Renaud estão na tabela acima. Algumas conclusões:

• As pessoas pagam os atos positivos na mesma moeda, mas não os atos negativos. Em linguagem técnica: há maior grau de reciprocidade nas relações positivas.

• Amigos se comunicam. Quando a comunicação para, a amizade “congela”; raramente um enlace positivo vira negativo.

• Negociantes se comunicam. Quando a comunicação para, o comércio imediatamente para também.

• Quem ataca um, faz inimizade com muito mais do que um, pois faz inimizade com todos os amigos do jogador atacado.

• Antes de agressões, atacantes e atacados se comunicam intensamente entre si.

• Dois comerciantes tendem a permanecer comerciantes. Poucas vezes eles conseguem converter relações de comércio em relações de amizade.

• Jogadores com experiência em comércio raramente põem a cabeça de outros jogadores a prêmio: eles não gastam dinheiro à toa.


Quase todos pagam o bem com o bem

Como mostra o índice de reciprocidade, os jogadores tendem a ignorar quem age mal
Ligações positivas Ligações negativas
Tipo de rede Amizade Mensagens privadas Comércio Inimizade Ataques Recompensas
Número de pessoas na rede 4.313 5.877 18.589 2.906 7.992 2.980
Número de ligações diretas entre as pessoas 31.929 185.908 796.733 21.183 57.479 5.096
Reciprocidade 68% 84% 57% 11% 13% 20%

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 2, março de 2011, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita, mas todos os dados são os que valiam em 2011.

2. Certa vez, uma jornalista me perguntou: “Como você sabe que ele ‘puxa o capuz do moletom, enfia as mãos nos bolsos, e sai debaixo do chuvisco a passos decididos, mas sem pressa’?” Eu vi a cena, pois gravei a entrevista no Imperial College de Londres pessoalmente.

3. Hoje Renaud Lambiotte é professor de matemática no Centro da Universidade de Namur para Sistemas Complexos, em Namur, Bélgica.

Todo erro é uma descoberta


Em países como o Brasil, se uma pessoa comete um erro de matemática, coitada: ela precisa de conserto. No Japão, quem erra faz uma descoberta, a ser explorada com satisfação. É por isso que professores japoneses obtêm resultados excelentes até mesmo de alunos medíocres.


{1}/ O método da borboleta

Quanto é 1/3 multiplicado por 1/5? Nos Estados Unidos, certa vez um aluno calculou a resposta como sendo 1. O que o professor deve dizer a um aluno desses? Que ele errou ou que fez uma descoberta? Em países como Estados Unidos e Brasil, é bem provável que o professor diga ao aluno que errou; logo em seguida, que mostre ao aluno, e talvez à classe inteira, o jeito certo de calcular o resultado dessa multiplicação de frações.

Um professor japonês não recorreria ao método “Você errou. Eis aqui como deve proceder para acertar da próxima vez.” Em vez disso, conversaria com o aluno e em seguida diria à classe algo do tipo:

“O Fulano aqui descobriu que determinada abordagem ao problema não funciona. Fulano, por favor, explique sua descoberta à classe.”

Suponha agora que o professor americano siga o método japonês; ele daria ao Fulano a oportunidade de explicar o que aconteceu:

“Eu usei o método da borboleta para multiplicar as duas frações. Esse método funciona na adição e na subtração de frações. Por isso supus que funcionaria na multiplicação de frações também.”

O método da borboleta é um método do tipo decoreba; é péssimo, mas comum nos Estados Unidos, a ponto de figurar em apostilas de matemática e fazer sucesso no YouTube. Para somar 1/3 com 1/5, primeiro o aluno coloca as duas frações lado a lado:

equation-1

Feito isso, desenha a borboleta:

descobertas_1

O aluno usa o sinal de mais, na cabeça da borboleta, como lembrete de que, em algum momento, terá de somar números na parte de cima da borboleta; e usa o sinal de vezes, no rabo da borboleta, como lembrete de que terá de multiplicar os denominadores na parte de baixo. E daí o aluno multiplica em cruz: o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda, o denominador da primeira pelo numerador da segunda. Com isso, preenche a borboleta:

descobertas_2

Nesse caso, o aluno multiplicou 1 por 5 e anotou o resultado no topo da asa esquerda; multiplicou 1 por 3 e anotou o resultado no topo da asa direita; somou os dois produtos na parte de cima e anotou o resultado na cabeça da borboleta; multiplicou os denominadores e anotou o resultado no abdômen da borboleta. Daí escreveu o resultado:

equation-2

E se o aluno quer tirar 1/5 de 1/3? Pode usar o mesmo método. Começa escrevendo a expressão cujo valor pretende calcular:

equation-3

Depois, desenha a borboleta e a preenche com os números:

descobertas_3

Com isso, pode arrematar o resultado:

equation-4

Estudiosos dizem que esse método é péssimo justamente porque é um decoreba estupendo. O aluno nunca mais se esquece de como somar e subtrair frações; contudo, não consegue ver o que está acontecendo nos bastidores. O método da borboleta, como todo bom decoreba, não dá margem para a argumentação. Em consequência, com ele talvez o aluno se confunda, e ache que pode realizar a multiplicação de frações assim:

descobertas_4

Daí a deduzir que multiplicar 1/3 por 1/5 resulta em 15/15 = 1 é um pulinho.

Nos Estados Unidos, há alguns anos um pesquisador de nome Phil Daro ficou intrigado com um mistério: por que professores japoneses obtinham resultados excelentes ao ensinar matemática inclusive para alunos medíocres, enquanto os professores americanos obtinham resultados medíocres ao ensinar matemática inclusive para alunos brilhantes? Phil gravou em vídeo centenas de aulas nos Estados Unidos e no Japão. “Eu assisti àqueles vídeos dezenas de vezes ao longo de anos”, diz Phil Daro. “Não conseguia ver nada de especial no professor japonês: era um professor como qualquer professor nos Estados Unidos.” Um dia, olhando um dos vídeos, teve um estalo: o professor americano e o japonês encaram o erro de forma completamente distinta. “Levei anos para ver o óbvio, que estava na minha cara o tempo todo.”

Nos Estados Unidos, quando um Fulano erra, a primeira reação do professor, dos outros alunos, e do próprio Fulano é dizer: “Há algo de errado com o Fulano. Vamos descobrir o que é. Vamos consertá-lo.” Phil diz que essa nunca é a primeira reação numa sala de aula japonesa. Ao contrário, é: “Ao tentar resolver este problema que estamos tentando resolver, o Fulano adotou uma abordagem que não funciona. Visto que ele é uma pessoa como outra qualquer, talvez alguém da classe venha a escolher essa abordagem no futuro. Portanto, é muito importante que descubramos juntos por que a abordagem lhe pareceu boa, e descobrir também por que jamais poderia funcionar.”

Em outras palavras, nos Estados Unidos, um erro é uma vergonha a ser mitigada; no Japão, é uma descoberta a ser explorada.

Feita a constatação, Phil quis saber por que os dois países tratam erros de modo tão distinto. Haveria nos dois países um traço cultural a explicar a diferença de tratamento? Depois de pensar bastante no assunto, Phil tem uma conjectura: nos Estados Unidos, o objetivo de professores e alunos é obter a resposta certa, e depressa. No Japão, o objetivo é completamente outro: aprender a raciocinar corretamente a respeito de entidades de cunho matemático. Diz Phil: “O objetivo do professor americano é: ‘Como eu ensino meus alunos a obter rapidamente a resposta certa de problemas desse tipo?’ O objetivo do professor japonês é: ‘Que matemática os alunos devem aprender com problemas desse tipo? E como vou usar os problemas para fazê-los compreender essa matemática?’”

Problema de software. Todo professor experiente pode contar histórias como a da multiplicação pelo método da borboleta. (Veja a seção 2 para outras histórias assim.) E todos os que já pensaram mais profundamente sobre a questão do erro em aulas de matemática dizem mais ou menos a mesma coisa: que erros e acertos são irmãos. Ambos têm o mesmo pai e a mesma mãe, que são o raciocínio lógico e o pensamento estruturado. Às vezes, como no exemplo da borboleta, o raciocínio que produz a resposta errada é idêntico ao que produz a resposta certa; o aluno não percebe que o problema novo inclui certas pressuposições novas e exclui certas pressuposições antigas, e que isso invalida o raciocínio com o qual estava acostumado a trabalhar. Às vezes, o raciocínio que produz a resposta errada é apenas ligeiramente diferente do que produz a certa, e a diferença entre os dois é tão sutil que até o professor passa apuros para achar a sutileza. (Um programador diria: “Achar o bug no software.”) É por isso que, durante as aulas de matemática, a classe não pode focar em acertos e erros, mas em argumentos.

[Mini ensaio filosófico. Uma pessoa pode chamar o método da borboleta de “raciocínio”? A rigor, não. É um algoritmo; como todo algoritmo, o estudante pode executá-lo sem pensar. (Um bom algoritmo é justamente aquele que dispensa o raciocínio.) Mas se um professor ensinou o método em sala de aula, ou mesmo se recomendou um vídeo sobre o método, então, do ponto de vista do estudante, é um raciocínio tão válido quanto qualquer outro, pois tem o aval do professor.]

Antônio José Lopes (conhecido como Bigode), autor de livros didáticos e consultor do MEC, sabe dizer por que “fazer matemática” se transformou em “achar a resposta certa”: é por causa de testes, concursos, vestibulares. “A nossa cultura de cursinho sempre privilegiou o acerto”, diz Bigode. “Isso porque é possível quantificar facilmente a quantidade de acertos versus a quantidade de erros. Se você faz um teste de múltipla escolha com 20 questões, e acerta 17 delas, é muito simples: você acertou 85% das questões. Tal fato passa ao aluno a falsa impressão de que sabe a matéria.”

Por que Bigode usou a locução “falsa impressão”? Quem acerta 17 questões entre 20 não sabe a matéria?

Nem sempre, como o exemplo da borboleta demonstra: o estudante soma e subtrai frações, e acha a resposta certa, mas, como está recorrendo a uma receita de bolo, sabe tão pouco que nem consegue ver por que jamais deveria usar a borboleta para multiplicar ou dividir frações. “Muitas vezes”, diz Bigode, “o erro surge dessa cultura do macete, da prescrição.” Com tal cultura na cabeça, professores e alunos no fim das contas dão ênfase excessiva a acertos e erros, que são o fim de um processo, em vez de dar ênfase ao processo em si.

Meu amigo Pólya. Quando Bigode quer explicar o que significa “dar ênfase ao processo”, ou o que significam expressões equivalentes, do tipo “ensinar matemática de verdade”, “ensinar o pensamento matemático”, ele menciona o nome de um matemático húngaro: George Pólya, autor do famoso livro A Arte de Resolver Problemas. “O que ele fez?”, diz Bigode. “Estudou como seus melhores alunos, que eram mestrandos e doutorandos, resolviam problemas matemáticos. Ele viu que havia um padrão.” Pólya identificou quatro passos na arte de resolver problemas:

1. Primeiro, o matemático tem de entender qual é o problema.

2. Entendido o problema, deve criar um plano de resolução, ou, como os matemáticos gostam de dizer, uma estratégia de ataque.

3. Deve executar o plano.

4. Uma vez que o problema esteja resolvido, deve voltar atrás e revisar cada detalhe. Talvez ache um erro. Talvez tenha uma ideia que leve a uma resolução melhor.

O estudante deve notar que esse não é uma receita a ser seguida passo a passo rigorosamente, pois, no passo 3, pode perceber que uma parte do plano não está funcionando, e daí tem de voltar ao passo 1 para ver se realmente entendeu o problema. Até passar a resolução a limpo, talvez execute os passos num vaivém assim: 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 4, 1, 2, 3, 4. (Para uma descrição mais detalhada de tais passos, veja a seção 3.)

Muita gente acha que só grandes matemáticos se preocupam com as instruções de Pólya, isto é, acha que elas servem somente para resolver problemas matemáticos difíceis e profundos. Não é verdade, como explica a professora Edda Curi, coordenadora do programa de mestrado no ensino de ciências e de matemática da Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul): “Se o professor, diante de crianças que mal sabem ler, lê em voz alta um problema de matemática adequado para a idade delas, elas conseguem resolver. Elas não precisam estar completamente alfabetizadas para resolver problemas. Aliás, elas nem precisam ter aprendido as operações matemáticas básicas, pois conseguem inventar sua própria notação e seus próprios procedimentos.”

O bom de estudar a arte de resolver problemas é que o aluno deixa de encarar a matemática como “a arte de dizer qual é a resposta certa rapidinho” para encará-la como “a arte de demonstrar por que motivos a resposta certa é a resposta certa”. Se o professor pedisse a um estudante bem treinado que somasse 1/3 com 1/5, o que tal estudante entregaria ao professor? Um documento, passado a limpo, contendo algo mais ou menos assim:


Teorema. Digo que a equação a seguir é verdadeira:

equation-6

Demonstração. Multiplique a primeira parcela por 5/5. Isso equivale a multiplicá-la por 1 e não altera seu valor:

equation-7

Multiplique agora a segunda parcela por 3/3. De novo, isso equivale a multiplicá-la por 1 e não altera seu valor:

equation-8

Visto que os denominadores estão iguais, conclua a operação ao somar os dois numeradores. Note ainda que 8 e 15 são primos entre si, de modo que ninguém pode simplificar a fração resultante mais que isto:

equation-9


Em outras palavras, o estudante não escreveu “a resposta certa é 8/15”, mas “a resposta certa, não há dúvida quanto a isso, tem de ser 8/15”. (É claro que ele já sabe somar frações com denominadores iguais, etc.) Além disso, com um método forte desses, pode usá-lo para realizar operações algébricas mais complicadas. (Veja a seção 4.)

Errou? Pare tudo! André Luís Trevisan dá aulas de cálculo, álgebra linear, e geometria analítica na Universidade Tecnológica Federal do Paraná; além disso, é doutorando na Universidade Estadual de Londrina. Evita dar aulas de cálculo do tipo “ache a resposta certa depressa aplicando a regra da cadeia”, e se esforça para dar aulas do tipo “pratique a arte de resolver problemas”, mas avisa aos interessados em dar aulas assim: é difícil. Por exemplo, quando André pega uma prova, e percebe que certo aluno não entendeu bem certo conceito, pede ao aluno um ensaio sobre o conceito. Quando alguém diz: “A resposta certa é X”, e X é de fato a resposta certa, André não responde com: “Está certo”, mas com: “Como você pensou para chegar nisso?” E quando alguém diz: “A resposta certa é X”, mas X é a resposta errada, mais uma vez André responde com: “Como você pensou para chegar nisso?” Todo mundo acha essa abordagem estranha: os outros professores, os alunos, os pais dos alunos. Às vezes, um aluno lhe diz para dar aulas da mesma forma que dão aulas todos os demais professores, em todas as demais faculdades. “Se você foge do padrão”, diz André, “cedo ou tarde alguém te diz que não está agindo do jeito certo.”

Para tornar sua situação ainda mais difícil, André não ensina cálculo na ordem em que todas as outras faculdades ensinam. Ele recorre a uma ordem mais ou menos histórica: por exemplo, começa com problemas de áreas e volumes, que levam naturalmente ao cálculo integral; só depois disso passa para o cálculo diferencial. Durante o doutorado, conheceu um autor holandês chamado Hans Freudenthal, para quem a missão do professor é ajudar o aluno a reinventar a matemática por si só. “Você não pode presumir que o aluno conseguirá reconstruir uma matemática que centenas de matemáticos talentosos construíram ao longo de milênios”, diz André; “apesar disso, se o professor apresenta ao aluno problemas bem planejados, daí o aluno consegue recriar sozinho os conceitos mais importantes, e mais ou menos como foram construídos ao longo da história.” Um curso desses só funciona se professor e aluno resolvem problemas à moda de Pólya; ele jamais funcionaria se ambos ficassem obcecados com a resposta certa (errada) dos exercícios ímpares no fim do livro didático.

Mas essa luta vale a pena, diz André. Muitos alunos, conforme ficam mais velhos e avançam no curso, percebem que aprenderam bem a matéria do primeiro ano. “Eles param de adotar uma atitude muito comum no Brasil, que é a atitude de quem, se errou alguma coisa, para tudo e espera o professor escrever a resposta certa na lousa, para então simplesmente copiar a resposta certa.” Recentemente, André e equipe conseguiram verba do CNPq para estudar esse método mais sistematicamente, o que devem fazer de dezembro de 2014 a dezembro de 2017.

Pólya sempre funciona? Se o professor insiste em fazer o aluno escrever ensaios sobre as razões pelas quais a resposta certa é certa, o aluno sempre corresponde? Bigode diz que sim. “Quando um professor não consegue implementar a resolução de problemas no curso de matemática, em geral é porque tem problemas com o material didático, cuja escolha cabe ao diretor. É porque o diretor escolheu o material didático pensando nas finanças da instituição, e não na didática.” Em 40 anos de profissão, Bigode nunca se arrependeu de dar ao aluno a oportunidade de mostrar do que é capaz. “Se você quer concluir a aula sorrindo, feliz da vida, faça o aluno raciocinar. Aluno gosta de raciocinar. Quando eu era mais jovem, uma de minhas professoras vivia me dizendo: Cuidado. Talvez a criança não tenha errado. Talvez ela tenha apenas resolvido outro problema.” {❏}



{2}/ Apêndice I: Erros quase certos

• Edda Curi diz que muita criança ignora o zero ao realizar operações aritméticas com números como 1.045 e 203; por exemplo, faz 1.045 + 203 = 168, pois ignora os zeros ao montar a conta de armar. “Pudera”, diz Edda: “muito professor vive dizendo que o zero não tem valor, e a criança leva essa frase ao pé da letra.”

Para ser mais preciso, de algum modo o professor precisa passar a ideia de que o zero tem duas propriedades: x + 0 = 0 + x = x para qualquer valor de x; e x · 0 = 0 · x = 0 para qualquer valor de x. De modo nenhum isso equivale a dizer: “O zero não tem valor”, que a criança vai interpretar como: “Você pode ignorar o zero porque ele não tem importância.”

• Certa vez, diz Bigode, um professor perguntou à classe quantos lados tem um cilindro. “Não é uma boa pergunta.” Um dos alunos respondeu: “Infinitos.” O professor considerou a resposta errada. “O menino entendeu que a base do cilindro é um polígono com infinitos lados, o que me parece uma ideia legítima.” Afinal, é assim que um programa de computador desenha um círculo: imprime uma linhazinha reta, muda o ângulo um pouquinho, imprime outra linhazinha reta, muda o ângulo um pouquinho, etc. “Sem saber, o aluno estava trabalhando com a ideia de limite, mas sua resposta foi tachada de errada porque não era aquela que o professor esperava.”

• Tem aluno que soma frações assim:

equation-10

Aqui, ele somou 2 com 4 e 3 com 5. Se o professor diz que isso está errado, sem perguntar como o aluno pensou, perde a chance de discutir um assunto bem legal: existem situações nas quais essa soma, feita desse jeito, faz sentido. Bigode explica: “Imagine que 2/3 significa dois gols em três jogos. Imagine ainda que o time jogou mais cinco jogos, dos quais ganhou quatro jogos. Daí ele ganhou seis jogos em oito jogos.”

Numa situação dessas, o que o professor deve fazer, de algum modo, é dizer ao aluno que o matemático deve explicar como dá sentido a cada entidade matemática. Por exemplo, o aluno deve descobrir que não pode trocar 6/8 por 3/4, pois, do modo como definiu essa operação de adição, ela não admite simplificações. (Se o campeonato dura oito jogos, dura oito jogos; o estudante não pode usar uma expressão que sugira um campeonato de quatro jogos.) Uma solução possível é inventar uma notação nova, que sinalize o fato de que o aluno não está lidando com a mera soma de números racionais; por exemplo:

equation-11



{3}/ Apêndice II: Os passos de Pólya

1. Primeiro, o matemático tem de entender qual é o problema. Para tanto, pode responder a perguntas como: O que tem de descobrir ou demonstrar? Será que compreende todas as palavras e símbolos usados na redação original do problema? (Se a redação foi feita por outra pessoa.) Pode reescrever o problema com suas próprias palavras? Pode esboçar figuras, gráficos, ou tabelas que o ajudem a compreender o problema? Será que tem informações suficientes para resolver o problema? Se não tem, pode achar as informações que faltam? Será que tem de elaborar uma pergunta antes de ir atrás da resposta que procura?

2. Entendido o problema, deve criar uma estratégia de ataque. Algumas delas: Tentar adivinhar a resposta. Fazer uma lista de respostas possíveis. Fazer uma lista das respostas absurdas. Achar algum tipo de simetria. Estudar casos especiais, especialmente casos mais simples. Montar uma equação, e tentar resolvê-la. Procurar padrões (coincidências recorrentes). Partir do pressuposto de que o problema já foi resolvido, e imaginar as consequências. Insistir no problema, ter paciência, dormir — essa é a receita para ter uma ótima ideia logo ao despertar.

3. Deve executar o plano. Pólya pede ao estudante que não desanime com seu estado de confusão: todo matemático, enquanto está no processo de resolução de um problema, está em estado de confusão.

4. Uma vez que o problema esteja resolvido, deve voltar atrás e revisar cada detalhe. Talvez ache um erro. Talvez tenha uma ideia que leve a uma resolução melhor. Nessa fase, é importante pôr no papel o que funcionou e o que não funcionou, pois tal conhecimento será útil no futuro. Com o problema resolvido e revisado, é hora de escrever: matemáticos resolvem problemas não para achar a resposta certa, mas para explicar tim-tim por tim-tim por que a resposta certa é certa.



{4}/ Apêndice III: Multiplicando por um, somando zero

Suponha um estudante, codinome Pólya, que uma vez teve de realizar a divisão a seguir, na qual x denota um número real qualquer (com exceção de zero):

equation-12

Pólya está habituado a multiplicar números reais por 1 e sabe mexer com expoentes. Decidiu então multiplicar o quociente por 1, isto é, por x−3/x−3:

equation-13

Noutra ocasião, Pólya teve de trabalhar com a expressão a seguir:

equation-14

Viu que, se pudesse inverter o sinal dos termos no numerador, teria a oportunidade de simplificar a expressão. Então a multiplicou por 1, isto é, por (–1)/(–1):

equation-15

O resultado só é válido para x ≠ –1 e para x ≠ 1 (por causa da expressão original).

Pólya também costuma usar outro recurso, tão útil quanto esse, que é somar zero a alguma expressão — o que não altera seu valor. Por exemplo, um dia começou com x2 + y2, e daí somou à expressão 2xy − 2xy, que vale zero, e com isso pôde estabelecer a igualdade:

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

Essas duas ideias, multiplicar pela unidade e adicionar zero, são muito úteis. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Francisco Bicudo e Ludmila Fraccari.

Indícios sobre a economia do conhecimento em 2016

{1}/ A indústria eletrônica e a economia do conhecimento

Na quinta-feira da semana passada (8 de dezembro), a Associação Brasileira da Indústria Elétrica e Eletrônica (Abinee) divulgou os números referentes a 2016, as comparações com os números de anos anteriores, e algumas previsões para 2017.

Dizem os economistas que alguns setores servem de termômetro para a economia como um todo. O setor da construção civil é um deles — poucas vezes na história a economia foi bem, mas a construção civil, mal; ou vice-versa. Pois a indústria eletrônica serve de termômetro para um subconjunto especial da economia — a “economia do conhecimento”, como às vezes é chamada. É o subconjunto no qual estão engenheiros, cientistas, matemáticos, professores, escritores e jornalistas, artistas em geral, organizadores de feiras e eventos temáticos. Tais profissionais precisam de computadores, monitores, câmeras, mesas digitalizadoras, impressoras, celulares, dispositivos de comunicação de dados, além dos muitos serviços associados a tais produtos. Quando a economia do conhecimento prospera, em geral a indústria eletrônica também prospera; para o bem e para o mal, há uma correlação positiva entre o desempenho de ambas.

Na seção 2 a seguir, você verá uns poucos números sobre o setor eletrônico e umas poucas comparações, mais uma breve análise do que talvez signifiquem. Na seção 3, algumas curiosidades sobre os métodos usados pela Abinee para obter os números e a opinião de seus associados — se você trabalha com métodos quantitativos, vale a pena pensar nas informações contidas nessa seção.


{2}/ Os números de 2016

Para resumir, 2016 foi um ano ruim. (O redator ia escrever “péssimo”, mas se conteve: péssimo é o que está acontecendo em Aleppo, na Síria.) Comparando 2016 com 2015, o faturamento nominal em reais caiu 8%. (O faturamento real, descontados os efeitos da inflação, caiu 11%.) O faturamento em dólares caiu 12%. As exportações caíram 5%. Para azar de nossos vizinhos latino-americanos, especialmente argentinos, as importações caíram 20%. O saldo da balança comercial do setor caiu 23%. O número de empregados caiu 6% — as empresas do setor fecharam 14.000 postos de trabalho. A utilização da capacidade produtiva instalada se manteve estável em 71%. Os investimentos caíram 25%.

O faturamento do setor de informática, mais especificamente, caiu 23%. O de telecomunicações caiu 3%. O de equipamentos industriais, que serve de termômetro para como as empresas se preparam para o futuro, caiu 8%.

Nenhum dos membros da Abinee espera um 2017 exuberante. Em média, eles acham que o faturamento do setor vai crescer 1%. (É pouco: se o faturamento diminuiu 8% em 2016, deveria crescer 8,7% em 2017 apenas para voltar ao valor de 2015. Mas é melhor que uma nova queda.) Humberto Barbato, o presidente da Abinee, explica: “Você pode ver o gasto com equipamentos eletrônicos, por exemplo computadores e tablets, como sendo um investimento em eficiência. Mas, com a economia parada do jeito que está, pessoas e empresas não veem razões para investir em eficiência.”


{3}/ Informações do Brasil no exterior

Luiz Cezar Elias Rochel, gerente de economia da Abinee, é o profissional responsável pela coleta e pela organização das informações. Diz que a associação faz questão de não usar nenhum método quantitativo complicado para coletar os números de seus associados, para consolidá-los, e para com eles fazer projeções. “Se a associação usasse métodos complicados, de cunho estatístico”, diz Luiz, “tudo ficaria desnecessariamente mais caro e mais difícil. Além disso, nesse caso, um método sofisticado pode induzir a erro mais facilmente que um método simples.”

Eis como essa ideia funciona: se a Abinee usasse um método sofisticado, e por meio dele viesse a acreditar que o setor vai crescer 7% em 2017, haveria empresários do setor que usariam esse número para se preparar — por exemplo, para fazer investimentos, para adiar demissões, para estocar matéria-prima. Mesmo aquele empresário que hoje aposta em 1% de crescimento talvez descartasse sua impressão e adotasse o número da associação — afinal de contas, se a associação usou um método sofisticado, ela deve estar certa e eu, errado, não é mesmo? “Existem várias exceções ao que vou dizer agora, mas, na maior parte das vezes, o empresário tem impressões corretas sobre o que provavelmente vai acontecer.”

Essa história ilustra, mais uma vez, uma regra importante entre profissionais especializados em matemática aplicada: não use matemática quando ela não é uma ferramenta intelectual adequada. A implicação: o especialista precisa aprender a reconhecer as situações nas quais pode tirar a matemática da caixa de ferramentas.

Luiz diz que o melhor jeito de coletar informações das empresas associadas à Abinee é fazer as mesmas perguntas com frequência. “É o que fazemos. De três em três meses, fazemos as mesmas perguntas — por exemplo, quantos funcionários a empresa tem, ou se acha que o faturamento da empresa vai crescer ou diminuir nos próximos seis meses.” Fazendo as mesmas perguntas com regularidade, Luiz e seus colegas rapidamente percebem erros de avaliação e variações no humor do empresariado.

Uma curiosidade: muitas empresas do setor eletrônico instaladas no Brasil são multinacionais, de modo que as informações sobre o Brasil não estão no Brasil. “Às vezes, fazemos uma pergunta até que simples, que uma empresa brasileira responderia rapidamente, mas os executivos brasileiros são obrigados a pedir os dados para seus colegas no exterior.” {FIM}

Uma velha venerável e uma jovem energética


Não há provavelmente ciência como a matemática, que se apresenta de modo tão diferente para quem a cultiva e quem não a cultiva. Para quem não a cultiva, ela é antiga, venerável, completa; é uma coleção de argumentos áridos, irrefutáveis, inequívocos. Para o matemático, por sua vez, ela está no comecinho de uma juventude longa e energética.

C. H. Chapman, citado por Ian Stewart no livro Concepts of Modern Mathematics (1995)

Um problemão disfarçado de probleminha


Quando o matemático se depara com um problema aparentemente insolúvel, de tão difícil, pode adotar uma linha de ação pouco conhecida pelo leigo: tornar o problema ainda mais difícil. (Por incrível que pareça, essa providência às vezes dá resultados excelentes.) Walter Carnielli, professor no departamento de filosofia da Unicamp, tornou mais geral (e mais difícil) um problema da teoria dos números que até criança entende e aprecia, mas que ninguém ainda resolveu.



{1}/ Introdução à entrevista: filosofia e matemática

Um jovem acaba de se matricular num curso de filosofia e, todo pintado pelos colegas mais velhos, pensa: “Finalmente, vou estudar o que escolhi. Nada de física, de química, de matemática…” Quando chega à sala de aula, dá de cara com o professor de lógica, e eis que é um matemático. O jovem, que sempre foi mais “de humanas”, fica confuso. Talvez seja assim que alguns alunos da filosofia na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) se sentem quando encontram Walter Carnielli pela primeira vez. Matemático há mais de 30 anos, diz que um bom filósofo precisa conhecer uns poucos campos da matemática — por exemplo, lógica e teoria dos conjuntos. “Meus alunos não gostam muito, mas estudam. Digo que eles têm de olhar para os grandes filósofos como Kant, Aristóteles, e Platão, que prezavam muito a matemática.”

Muitos matemáticos famosos se transformaram em filósofos famosos — Bertrand Russell talvez seja o melhor exemplo. O estudante deve seguir seu exemplo. Quando o matemático conhece a história do mundo e das ideias, a filosofia da ciência, e por que as ciências são do jeito que são, corre menor risco de dizer bobagens. “Os grandes matemáticos sabem disso”, diz Carnielli. Na hora de propor um problema, porém, o matemático tem de ser minimalista, objetivo, caso contrário não sai do lugar. “O geômetra, por exemplo, tem de esquecer a noção filosófica de reta e tentar propor uma teoria axiomática sobre retas, pontos e planos. É uma questão de método, mas nada o impede de depois refletir sobre as consequências filosóficas do problema matemático. Ele não precisa ser um ignorante.”

Carnielli fez pesquisa em matemática e filosofia em diversos países, entre eles Alemanha e Estados Unidos. Diz que as duas disciplinas são “flores do mesmo jardim”. Há cerca de 20 anos, Carnielli mudou-se para o departamento de filosofia da Unicamp, que hoje abriga o departamento de lógica. Chegou a haver uma discussão na Unicamp sobre se lógica fazia ou não fazia parte do departamento de matemática. “Podemos dizer que essa discussão estava ocorrendo no início dos anos 1990 em vários lugares do Brasil. Então, no fim das contas, eu e todo o pessoal de lógica fomos para a filosofia.” Ele escolheu a profissão por causa de uma ideia que dá muito debate filosófico. Desde o ensino médio se surpreendia com a existência do infinito, e se perguntava como o homem pode ter algum domínio sobre o infinito com a ajuda de matemática. Hoje vê que o problema do infinito é maior do que imaginava — ainda bem, pois é por meio do infinito que a humanidade chegou a descobertas bonitas e úteis. Sequências e séries estão entre elas; mas também está a generalização do problema de Collatz (sobre isso, veja a seção 3).

Há dois anos, Carnielli generalizou esse problema “demoníaco”. Foi dormir pensando nele e, depois de um sonho, acordou com a sensação: “É óbvio: se não posso resolvê-lo, devo piorá-lo.” Escreveu um artigo sobre uma generalização possível desse problema fácil de entender, mas avisa que o transformou em infinitos problemas e o deixou ainda mais difícil de resolver.



{2}/ A entrevista em si

Como se tornou matemático?

Se eu tivesse de botar a culpa em alguma coisa por ter feito matemática, colocaria no infinito. Hoje vejo que o problema do infinito é maior do que eu pensava. Quando estava no ensino médio, um professor nos mostrou o método indutivo. Por exemplo, como o matemático prova que a soma dos primeiros ímpares sempre é igual a um quadrado perfeito? [começa recitar as contas] Olha: 1 + 3 = 4, que é 22; 1 + 3 + 5 = 9, que é 32; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, que é 42; e assim por diante. Eu me perguntava: “Como com três passinhos provo algo sobre o infinito?” Guardadas as proporções, isso tem cara de prova da existência de Deus! [Risos] Aquilo me encucou profundamente. Afinal, quem me garantia que aquela prova daria certo? A ONU? O João Figueiredo, o presidente da época? Então fui entender na faculdade que são os fundamentos da matemática que me dão o direito de ter domínio sobre o infinito.

Também gosto muito do embate do finito com o infinito, isto é, da matemática discreta com a contínua. Se pudesse, faria uma pequena correção a Kronecker [Leopold Kronecker, matemático alemão do século 19], que disse: “Deus criou os números inteiros e o resto é obra do homem.” Para mim foi o demônio quem inventou os inteiros e o resto é obra do homem. Os problemas que envolvem os números inteiros são tremendamente difíceis. Deus soprou assim: “Inventem o infinito.” Aí o demônio falou: “Ah, é? Então vou jogar o finito para vocês. Pensarão que é fácil, mas vão tropeçar nele, e o finito vai atrapalhar a vida de todo mundo.” Acho que o infinito é uma invenção humana, mas é nosso monstro. Os números inteiros são demoníacos, o que é fácil de ver com o problema de Collatz.

Como conheceu o problema de Collatz?

Eu o conheci quando estava fazendo doutorado na Unicamp e fiz uma visita à USP. Durante um almoço, um colega me perguntou se conhecia “o problema do 3x + 1” [este é mais um dos vários nomes para o problema de Collatz]. É um problema tremendo. Eu me interessei por ser um dos mais simples de entender. Até mais simples do que o último teorema de Fermat, que inclui potenciação, ou a conjectura de Goldbach, em que a pessoa precisa saber o que é um número primo. Uma vez até mostrei o 3x + 1 para minha sobrinha de 10 anos. Qualquer pessoa consegue entender, só precisa saber tabuada, adição, e o que é par e ímpar.

Tentou resolver esse problema?

Tentei. Muitos matemáticos gastam um tempinho com ele. Eu gastei uns 15 anos [em 2013, quando ocorreu a entrevista]. Quando estou com insônia, penso nele para dormir. Ou quando estou no avião e começa uma turbulência, penso nesse problema e fico numa paz profunda. É como um calmante. Mas é claro que o problema de Collatz já me deixou bem frustrado. Já achei que tinha encontrado uma forma de resolvê-lo usando um negócio chamado sequências p-ádicas. Tentei aquele método por dias e depois de um tempo voltei ao ponto de partida. Mas foi há muito tempo e sei que não posso passar a vida pensando apenas nele. Tenho de dar aulas, escrever relatórios. Não posso escrever assim: “Como gastei meu tempo? Pensando num problema aparentemente insolúvel. E cheguei numa solução? Não.” Tenho um monte de problemas nos quais pensar e não fico obcecado pelo problema de Collatz, pois tenho um pouco de bom senso. Sei que beira o impossível e se quisesse resolvê-lo só faria isso da vida. E talvez uma vida não seria suficiente; talvez 500 vidas não seriam suficientes.

Como faz para generalizar um problema ainda sem solução?

Fiz uma generalização do problema de Collatz há uns dois anos e sabe como tive acesso a essa ideia? Num sonho. Eu me perguntava por que ele é tão difícil e no sonho me veio na cabeça o seguinte: é difícil porque ele é ultra-super-simétrico, não tenho por onde segurar nele. Então pensei: se não posso resolvê-lo, será que não poderia piorá-lo? Acordei de manhã para tomar café e rabisquei a generalização num papel, ou caso contrário poderia esquecê-la. Em menos de três dias estava pronta, mas depois demorei para escrever um artigo bonito e organizado. Também consultei um especialista em teoria dos números para ver se alguém já não tinha tido essa mesma ideia. O matemático viu a ideia da generalização e achou que valia a pena [ele se chama Keith Matthews e vive na Austrália]. Outros matemáticos já tinham generalizado casos particulares do problema, mas o meu método era mais simples e direto.

Fiquei muito contente com essa generalização, porque é uma espécie de sobrevivência para sempre. Acho que esse problema vai ficar por aí até depois que a raça humana desaparecer. Talvez algum dia outros seres venham aqui, encontrem esse problema e digam: “Olha, aqui existia uma raça de bichos que se entretinha com uns problemas engraçados!” Problemas assim são uma espécie de legado do raciocínio humano.

Ainda brinca com o problema de Collatz?

Agora estou tentando aplicar métodos de sistemas dinâmicos para resolver a minha generalização. Como não sou especialista, contudo, tenho de estudar mais essa área. Outras pessoas já aplicaram esses métodos em outras variantes, mas não vão aplicar na minha. Se eu quiser que o meu problema avance, tenho de fazer isso eu mesmo. Por isso vou estudar por mais ou menos um ano esses métodos e ver se consigo dizer algo novo sobre ele. Se não conseguir nada em um ano, é porque não adianta continuar por esse caminho.

Na filosofia, os alunos precisam saber a linguagem matemática da lógica?

Precisam. Meus alunos aprendem. Não gostam muito, mas aprendem. Digo que olhem os grandes filósofos como Immanuel Kant, Aristóteles, Platão, que prezavam muito a matemática. Essa divisão ridícula de cursinho de vestibular entre exatas e humanas é antieducativa e perversa. A ciência, e o conhecimento humano em geral, é fruto da nossa maneira de pensar. Por que milagre a matemática dá certo para construir pontes? Quem disse que a ponte tem de se comportar como a matemática quer? É que nossa teoria sobre pontes é irmã da nossa teoria sobre matemática, somos nós que fazemos tudo. É besteira chamá-la de exata, pois somos nós que temos um ponto de vista. A ciência é um fruto humano. Toda ela: a matemática, a física, a ética, a literatura. É besteira querer separar.

Como é fazer matemática em outros países?

Não só a matemática, mas a cultura científica é diferente em cada país. Fiquei dois anos na Alemanha fazendo pesquisa e notei que os alemães, em geral, consideram a intuição algo privado. O matemático não tem de explicar a ninguém como funcionou sua intuição para resolver certo problema. Para eles, apenas a formalização e a justificativa são coisas públicas. Lembro que, às vezes, ia a encontros e tentava explicar minhas intuições, mas eles não gostavam de ouvir. Não lhes interessa muito essa questão, mas sim os resultados. Já os americanos e os brasileiros, por exemplo, gostam muito de ouvir sobre como você descobriu tal coisa, como sua intuição funcionou. Não digo que seja algo ruim a forma como a ciência sofre com essa questão cultural de cada país. Seria como comparar a culinária japonesa com a francesa. Ambas são boas, mas existem momentos distintos para cada uma, e acho que essas diferenças afetam o resultam global da ciência.

Já teve muitas angústias matemáticas?

Ainda tenho. É muito difícil propor e inventar algo original. Mais difícil ainda inventar algo original e relevante. Como também é difícil escrever bem sobre essa coisa e convencer as pessoas de que aquilo faz sentido. Depois de tudo isso, pode ser ainda que parte, ou tudo, daquilo já tenha sido feito por outra pessoa. Já aconteceu comigo muitas vezes e percebi que, se criar um pingo de novidade, já é bastante coisa. No próprio problema de Collatz, por exemplo, algumas pessoas já tinham feito a generalização de casos particulares parecidos com alguns dos meus casos. Minha generalização não é absolutamente nova. É mais simples, e promissora, mas não chega a ser uma pepita de ouro.

Na matemática, uma ideia sempre tem alguma intersecção com a ideia de outra pessoa. Só que é uma angústia, afinal passo um bom tempo entre ter a ideia e transformar aquilo em material de verdade. É como o inventor que passa um bom tempo entre inventar uma máquina e conseguir patrocínios, patentes, etc. Talvez também seja a angústia do escritor durante o tempo entre ter uma bela ideia e transformá-la num romance que vire um best-seller. Acho que é uma angústia humana: a angústia de todos. {❏}



{3}/ Apêndice I: o problema 3x + 1

Matemáticos acreditam que o alemão Lothar Collatz (1910-1990) propôs a conjectura 3x + 1 na primeira metade do século 20. Embora alguns acreditem que foi proposto em 1937, não há documentos escritos sobre o problema até os anos 1970, nem há certeza de quem originalmente o propôs. O enunciado mais simples do problema diz o seguinte:

Seja x um número inteiro positivo que serve de ponto de partida para a lei: se x for ímpar, a lei é 3x + 1; se x for par, é x/2. Se uma pessoa aplicar essas leis a qualquer inteiro positivo, e repeti-las a cada novo resultado, em algum momento a pessoa chegará a x = 1. Um leitor, por exemplo, inicia o processo pelo número 6, que é par, e faz a sequência de operações aritméticas logo abaixo. (Neste texto, excepcionalmente, leia a seta → assim: “leva naturalmente a”; por exemplo: leia AB com as palavras “A leva naturalmente a B”.)

x = 6

x = 6/2 = 3

x = 3 · 3 + 1 = 10

x = 10/2 = 5

x = 3 · 5 + 1 = 16

x = 16/2 = 8

x = 8/2 = 4

x = 4/2 = 2

x = 2/2 = 1

Assim, começando com x = 6, o leitor realiza oito iterações para chegar a x = 1, e produz a sequência 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. A conjectura de Collatz diz que, não importa o inteiro positivo com o qual o leitor comece a sequência, ela sempre desemboca em x = 1. É uma afirmação extraordinária, na verdade, pois algumas sequências dão a impressão de que vão se afastar de x = 1 em definitivo; por exemplo, caso o leitor comece com x = 27, vai produzir uma sequência com 112 termos, que subirá até x = 9.232 antes de descer até x = 1.

Muitos matemáticos, Walter Carnielli entre eles, tentaram e tentam resolver esse problema, que é chamado de muitas maneiras: problema de Siracusa, conjectura de Ulam, problema de Kakutani. Eles também fizeram várias mudanças na conjectura original, por exemplo para incluir inteiros negativos como ponto de partida. Por enquanto, usando computadores, especialistas só conseguiram evidências de que a conjectura é verdadeira para qualquer x ≤ 19 · 258 ≊ 5,48 · 1018. {❏}



{4}/ Apêndice II: Como tornar um problema difícil ainda mais difícil

Se o matemático não pode vencer um problema, às vezes, brinca com ele de outra forma. Pega o problema como se fosse massinha de modelar e o manuseia para criar novas formas, mas sem destruir a forma original. Carnielli fez algo assim com o problema 3x + 1, isto é, generalizou o problema para deixá-lo mais complicado. Para entender essa generalização, o leitor deve entender em primeiro lugar um jeito ligeiramente mais sofisticado de enunciar o problema original.


Problema. Seja uma sequência de inteiros positivos x1, x2, x3, x4, …, xn, cuja regra de formação funciona segundo a iteração a seguir.

equation-9

Não importa qual seja o valor inteiro positivo que atribua a x1, pode dizer que sempre será o caso de que xn = 1 para um número n suficientemente grande de iterações.


[Note que essa versão funciona apenas para inteiros positivos; o redator escolheu assim para simplificar a exposição. Um pouco de nada sobre a notação ab (mod c): é um jeito conveniente de dizer que, caso divida a por c, deve obter resto igual a b; ou então, o que é a mesma coisa, é um jeito conveniente de dizer que ab é um múltiplo de c. Umas poucas restrições, que, se quiser, pode ignorar: a pode ser um inteiro qualquer, positivo, nulo, ou negativo; c ≥ 2 é um inteiro; e 0 ≤ b < c.]

Ao colocar o problema desta forma, o leitor usou a aritmética módulo m (com m = 2) para descrever o que é um número par e um número ímpar. Como interpreta a primeira linha da função xn+1? Deve dividir o valor de xn por 2 se tal valor for congruente a 0 módulo 2, isto é, se tal valor, quando dividido por 2, deixe resto igual a 0; em termos mais simples, se tal valor for múltiplo de 2. Quanto à segunda linha, é a mesma coisa: Se o valor de xn for congruente a 1 no módulo 2 (isto é, se xn for ímpar e deixar resto 1 quando da divisão por 2), o leitor deve multiplicar tal valor por 3, somar 1 ao resultado, e dividir tudo isso por 2. Vai produzir uma sequência ligeiramente diferente daquela que Carnielli explicou durante a entrevista (e diferente da forma na seção 3), mas, mesmo assim, tal sequência sempre desemboca em xn = 1 para algum valor suficientemente grande de n. (Ou assim diz a conjectura.) Por exemplo, se começa com x1 = 6, produz a sequência 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1.

Muitos matemáticos acham (e acharam) que vai demorar bastante para que alguém consiga resolver o problema de Collatz, pois, como diz Carnielli, esse problema tem “simetrias demais”. Toda vez que o leitor multiplica um número ímpar por 3 e soma um, restabelece a paridade par que pode ter sido quebrada no passo anterior. “Eu restabeleço e quebro a paridade par de novo e de novo”, diz Carnielli. “Então, para piorar o problema, pensei o seguinte: por que restabelecer a paridade se posso restabelecer o resto da divisão? Tudo é uma questão do resto da divisão.”

Escreveu então o artigo O Problema ax + b: A Generalização Mais Natural do Problema de Collatz. No artigo, propõe algo mais ou menos assim: em vez do matemático escolher um inteiro x ≠ 0 e verificar se é par ou ímpar, deve escolher um inteiro x ≠ 0 e também escolher com qual módulo d ≥ 2 gostaria de trabalhar. Carnielli conjecturou o seguinte: depois de um número finito de iterações, a sequência de inteiros entra num ciclo final com número finito de elementos, e além disso existe um número finito de ciclos finais possíveis. Para que tudo isso funcione, Carnielli escreveu duas funções um pouco diferente daquelas no problema original:

equation-10

O leitor talvez queira testar essa conjectura. Se começa com d = 2, vai simplesmente lidar com o problema original. Faça, à guisa de exemplo, d = 3, e comece a sequência com x1 = 4. Então, logo nota que, para aplicar uma das funções, precisa responder a duas perguntas:

x1 é múltiplo de 3? Se sim, pode imediatamente dividi-lo por 3.

x1 não é múltiplo de 3? Então, deve aplicar a segunda regra da função.

Eis como pode proceder a partir de x1 = 4. Bem, x1 = 4 não é múltiplo de 3; logo, use o algoritmo da divisão para escrever 4 = 3 · 1 + 1; assim, i = 1 e, ao aplicar a segunda regra, deve chegar a:

equation_11

Usando esse método com cuidado, vai produzir a sequência 4, 6, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, …. Portanto, a sequência para x1 = 4 e d = 3 é 4, 6, 2, 3, 1, e o ciclo final é 2, 3, 1.

Com tudo isso, agora o leitor tem ideia do que Carnielli fez: para testar a conjectura generalizada de Collatz, o matemático tem de testar não apenas cada inteiro de um conjunto infinito de inteiros diferentes de zero, mas cada inteiro com cada módulo d ≥ 2. É trabalho que não acaba mais.

Carnielli diz que talvez um dos leitores se pergunte: “Por que alguém gasta seu tempo para deixar um problema mais difícil do que já é? E por que uma universidade ainda por cima paga a essa pessoa um salário?” Eis a resposta: “Tais problemas”, diz Carnielli, “são minas de ouro, são riquíssimos em sabedoria, pois nos mostram claramente os limites do homem, da matemática, e da ciência.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, fevereiro de 2013, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone.

Falta de educação mata


Um economista usou estatística para demonstrar que, quando crianças e jovens abandonam a escola, um ano depois aumenta o número de assassinatos na região.

Demonstrei que a evasão escolar fez a criminalidade aumentar em 51% em todos os estados brasileiros no período de 2001 a 2005.

Evandro Camargos Teixeira, professor universitário, especialista em econometria


{1}/ Efeitos da evasão escolar

Evandro Camargos Teixeira é economista, mas, em vez de estudar inflação, câmbio, ou balança comercial, prefere estudar algo conhecido como economia do bem-estar social. “Gosto de estudar a realidade do meu país e de entender quais são os obstáculos ao crescimento do Brasil”, diz Evandro. Quando precisa explicar o que faz, tenta ser tão didático quanto é capaz. “Isso porque muitos pensam que sou advogado ou sociólogo.”

Na ocasião em que deu entrevista para esta reportagem, era professor no curso de ciências econômicas da Universidade Federal de Ouro Preto (MG); vem estudando desde 2007 as correlações entre educação e criminalidade. (Hoje dá aulas na Universidade Federal de Viçosa.) Sua tese de doutorado, que defendeu em 2011, contém dois ensaios: um sobre como o crime alterou o produto interno bruto (PIB) da cidade de Curitiba (PR), outro sobre as variações nos aluguéis de imóveis localizados nos bairros mais violentos de Curitiba. “Quando comecei o doutorado”, diz Evandro, “eu já sabia o que pesquisar. Mas qualquer estudioso brasileiro, por mais idealista que seja, desanima com a falta de dados.” Evandro defendeu o doutorado na Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, da USP.

Quanto mais os jovens de uma região abandonam a escola, mostrou Evandro, mais violenta fica a região. Da mesma forma, quanto mais violenta a região, piores as notas dos jovens na escola. Evandro usou estatística para detalhar as correlações entre educação e violência em Curitiba, e depois aplicou seu modelo estatístico a outras cidades e estados brasileiros. “Depois de analisar o modelo econométrico desse problema”, diz Evandro, “demonstrei que a evasão escolar fez com que a criminalidade aumentasse em 51% em todos os estados brasileiros no período de 2001 a 2005.” Em termos simples: os jovens abandonaram a escola, e por causa disso cada dois crimes se transformaram em três.

Piores em matemática. Evandro chamou o primeiro ensaio de Impacto da Educação Defasada Sobre a Criminalidade no Brasil: 2001-2005; sempre que a taxa de abandono escolar aumenta numa região, mostrou Evandro, um ano mais tarde o número de assassinatos nessa região aumenta. Daí vem a palavra defasada. Evandro só notou a defasagem quando o trabalho já estava em andamento. “Os efeitos da evasão escolar não são imediatos.”

A história de cada jovem transcorre mais ou menos assim: ele abandona a escola ou porque quer procurar emprego ou porque arranjou um emprego; nesse emprego, em geral informal, ele ganha pouco; ele conhece membros de gangues, que lhe dizem algo do tipo “larga mão de ser otário e vem ganhar mais com a gente”. Ele larga mão de ser otário e, um ano mais tarde, mais ou menos, mata alguém ou é morto por alguém.

Evandro faz questão de frisar que nem todos os jovens que abandonam a escola se transformam em criminosos; muitos desses jovens, ou talvez a maioria deles, se conformam com o salário baixo e as condições informais de trabalho. “Mas, quando a evasão escolar aumenta, os homicídios aumentam um ano depois.”

A Relação Entre Violência nas Escolas e Desempenho Escolar no Estado de São Paulo em 2007: Uma Análise Multinível é o nome do segundo ensaio. Para escrevê-lo, Evandro fez a si mesmo uma pergunta simples: quanto mais alto os índices de violência associados a uma escola, piores as notas dos estudantes dessa escola? “Ficou claro que as escolas com índice de violência alto abrigam os estudantes com o pior desempenho em português e matemática.” Evandro usou dados do Saresp (uma prova aplicada a estudantes do 5º, 6º, 7º e 8º ano do ensino fundamental e a estudantes do 3º ano do ensino médio). Os dados mostram que, quando o índice de violência aumenta, logo depois a nota média dos alunos cai, e isso ocorre com maior intensidade na matemática. Evandro notou que a nota média das crianças (no ensino fundamental) cai muito mais do que a nota média dos adolescentes (no ensino médio). “Podemos dizer que a violência diminui a probabilidade de que o estudante vá bem nas provas, especialmente nas provas de matemática.”

Dupla derrota. Evandro também notou uma correlação forte entre evasão escolar, violência, e PIB. Uma região precisa de gente mentalmente saudável e bem treinada para se desenvolver, e então, se essa região perde recursos humanos para organizações criminosas, ela não se desenvolve. Além disso, as crianças e jovens que permanecem na escola, e resistem ao crime, acabam tirando notas mais baixas. Primeiro, porque eles não conseguem se concentrar (e talvez por isso não consigam estudar matemática adequadamente, pois matemática exige concentração); segundo, estão sempre tendo aulas com um professor novato. Os professores têm medo e abandonam a escola assim que podem.

Esse problema é difícil de resolver, diz Evandro, porque a sociedade inteira (e não apenas o governo) precisa ter a vontade de resolver o problema de fato. “Não existe uma receita”, diz Evandro. Muitas perguntas têm de ser respondidas: Os pais apoiam seus filhos? As crianças e jovens têm transporte público adequado? Eles têm o que comer na escola, e de graça? Os professores estão bem treinados e motivados? Se a sociedade em geral não se importa com o destino dessas crianças e jovens, diz Evandro, mesmo assim deveria reduzir o abandono escolar nem que fosse para reduzir o índice de crimes. “Um jovem que abandona a escola e se transforma num criminoso representa uma dupla derrota para todos nós. Esse jovem não aumenta a riqueza do país, não paga impostos, e aumenta o gasto governamental.”

Evandro cita uma ideia comum hoje em dia: o principal ativo numa economia do século 21 é o conhecimento, ou, em termos mais simples, é gente bem treinada e disposta a trabalhar e a estudar sempre mais. {❏}



{2}/ Apêndice 1: Uns poucos números

 

Se o grau de violência na escola aumenta, ainda que pouco, em quanto aumenta a probabilidade de que o estudante vá mal nas provas? Português Matemática
5° ano 0,14% 0,42%
7° ano 0,06% 0,19%
8° ano 0,05% 0,89%
3° ano do ensino médio 0,03% 0,54%

Evandro Camargos Teixeira tem uma explicação para a diferença entre português e matemática: se o aluno souber parte da resposta a uma questão, o professor de português pode lhe dar parte da nota. Por exemplo, o aluno talvez consiga escrever um ensaio com pé e cabeça sobre o livro Esaú e Jacó, de Machado de Assim, mas talvez escreva um ensaio cheio de erros de ortografia. Se a questão vale três pontos, o professor pode lhe cobrar um ponto pelos erros e lhe dar dois pontos pelo ensaio. O professor de matemática, contudo, não tem como ser tão flexível. Se a resposta está errada, está errada. Nem todo professor de matemática se dispõe a dar pontos para o aluno que usou um argumento correto, mas errou o resultado, ou para o aluno que acertou o resultado, mas não sabe explicar qual argumento usou.



{3}/ Apêndice 2: Correlações estatísticas e gatos

Você acha uma correlação entre as duas variáveis aleatórias X e Y quando acha até que ponto uma mudança na variável X provoca uma mudança na variável Y. Caso colha amostras de duas variáveis com métodos que permitam a comparação entre as amostras, e caso coloque tais amostras num conjunto de n amostras reunidas em pares (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), o coeficiente de correlação entre essas duas variáveis, nesse conjunto de amostras, é igual a:

equation-1

(Nessa fórmula, o x com um traço em cima é o sinal de média aritmética das amostras da variável aleatória X.)

Por meio de correlações estatísticas, médicos descobriram que cigarro causa câncer muito antes de descobrir o porquê. Mas cuidado com as correlações. Note que a existência de uma correlação entre duas variáveis não implica a existência de relação de causa e efeito entre elas. Existe uma correlação entre concluir a faculdade e ganhar mais que 5.000 reais por mês, mas isso não significa que todos os que concluam a faculdade ganharão mais que 5.000 reais por mês. Nos Estados Unidos, um matemático chegou a propor uma correlação estranha sobre gatos que caiam de prédios altos: quanto mais alto o andar, maior a probabilidade de que o gato saísse ileso, ou assim a correlação estatística parecia mostrar. Depois, investigando melhor, ele descobriu a razão: quando o gato caía de um andar muito alto, e saía ileso, seu dono contava o milagre para Deus e o mundo, inclusive para as autoridades; havia registros de sobrevivência. Quando o gato morria, seu dono chorava as pitangas só com os amigos mais próximos, mas não com as autoridades. {FIM}


Observação: Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 9, outubro de 2011, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

O milagre da liberdade remunerada

gugu_impaQuando Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira (Gugu) terminou o ensino médio, terminou ao mesmo tempo o mestrado no Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Rio de Janeiro (Impa). Aos 20 anos, já era doutor. Acha incrível que alguém seja pago para estudar matemática com liberdade.


Uma lenda quase verdadeira. Todo mundo no Impa gosta de contar essa história: Gugu foi candidato a vereador pelo PC do B, e ganhou 18 segundos no horário eleitoral gratuito. Dizem que gastava seus 18 segundos assim: “Companheiros! Eu sou o Gugu, candidato a vereador pelo partidão, número 21.602. Meu trabalho vocês conhecem: eu provei que intersecções estáveis de conjuntos de Cantor regulares são densas na região onde a soma das dimensões de Hausdorff é maior que 1! Urubu vota no Gugu!” Gugu conta a história e ri muito. “É mentira. É uma lenda, mas o povo adora contar essa lenda aqui. Se eu tivesse feito isso, acho que teria sido eleito.”

Mas a lenda ilustra algo verdadeiro: assim como tantos outros matemáticos, Gugu não consegue explicar direito o que faz, e por conta disso o povo do século 21 alimenta dois mitos sobre matemática.

Dois mitos comuns. É impossível explicar o que os matemáticos fazem durante as horas em que pesquisam? “Isso não é verdade”, diz Gugu. “O que falta é tempo. Se eu for para o quadro negro, acho que em meia hora consigo dar uma boa ideia do que fiz. Mas em poucos minutos não consigo.” Visto que matemáticos precisam de tempo e de um quadro negro para explicar o que fazem, a população em geral mantém uma ideia errada do que é matemática. “Existe esse sentimento de que a matemática foi feita há vários séculos, e que às vezes é útil. De novo, isso não é verdade. Criamos mais matemática no último século do que em toda a história da humanidade. Poucas pessoas sabem disso.”

Como as olimpíadas ajudam. Gugu trabalha na Olimpíada Brasileira de Matemática, e acha que os jovens que participam de olimpíadas entendem melhor o que significa ser matemático. A diferença entre as aulas regulares de matemática e a olimpíada é como a diferença entre exercício e problema. “No exercício, você não sabe a resposta, mas sabe que técnica deve usar para obter a resposta. No problema, você não sabe a resposta, e também não é óbvio quais técnicas deve usar.” Essa situação é parecida com a situação do matemático profissional, com uma diferença: o profissional não tem de resolver o problema em poucas horas, e aliás o profissional nem sabe se o problema pode ser resolvido.

Matemática pura ou aplicada? Gugu se especializou em sistemas dinâmicos (ou teoria do caos, no linguajar leigo), mas tenta resolver problemas de combinatória, de aproximações diofantinas, de teoria dos números. “Eu sou um pouco dispersivo. Às vezes, ataco até problemas muito maiores do que eu, como a hipótese de Riemann.” Gugu acha que, entre intelectuais e cientistas, a importância da matemática para a sociedade está bem estabelecida. “Para ter boa matemática aplicada, precisamos de boa matemática pura, e para ter boa matemática pura, precisamos de liberdade. Acho quase milagroso que eu seja pago para fazer matemática, logo eu, que fui estudar matemática por diversão.”

A contribuição dos economistas. Gugu não simpatiza com a ideia de pesquisar temas importantes de economia, em que poderia aplicar com vantagens a teoria sobre sistemas dinâmicos. “Os problemas que os matemáticos especializados em economia escolhem já contêm uma série de pressuposições que são, na verdade, escolhas políticas. Se o matemático decide estudar meios para otimizar a distribuição de mercadorias, por exemplo, ele não tomou uma decisão meramente técnica, mas política. A humanidade já produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar todo mundo, e mesmo assim muita gente passa fome. O problema da fome é político, é anterior a todos os problemas técnicos.”

Duas batidas de carro. Existe algo no qual Gugu seja incompetente? “Ah, sim, muita coisa. Depois de bater o carro duas vezes, desisti de aprender a dirigir.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei este breve perfil pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 9, outubro de 2011, pág. 31. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

livro-teoria-dos-numeros2. Gugu e outros três colegas escreveram um livro agradável sobre teoria dos números: Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro: Rio de Janeiro, Impa 2010. Não chega a ser um livro para leigos, mas está ao alcance do leitor determinado.

Três gatos, três ratos, e uma pergunta


{1}/ A pergunta

Problema. Se três gatos caçam três ratos em três minutos, quantos gatos caçariam 100 ratos em 100 minutos?

É um problema mais difícil do que parece à primeira vista; tente resolvê-lo, e depois veja a resposta na seção 2 logo abaixo.

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{2}/ A resolução

Muita gente conclui depressa: 1 gato caça 1 rato em 1 minuto. Daí, em 100 minutos, basta 1 gato para caçar os 100 ratos, visto que caçará 1 rato por minuto. Mas essa resposta está errada.

Outras pessoas pensam assim: “Não posso tirar a média de nada, pois tenho de me ater às informações do enunciado. Logo, divido 100 minutos por 3 minutos. Obtenho 33 intervalos de 3 minutos mais um intervalo de 1 minuto. Com os mesmos 3 gatos, a cada intervalo eles caçam 3 ratos; logo, em 33 intervalos eles caçam 99 ratos e, no minuto final, caçam o 100º rato. Preciso, portanto, de três gatos.” Essa resposta está errada também.

Martin Gardner, que incluiu este problema no ótimo livrinho Entertaining Mathematical Puzzles, comenta: “É possível que, quando os três gatos se juntam para caçar o último rato, possam cumprir a tarefa em menos de um minuto.” Depois desse trecho, dá um aviso importante ao leitor: “Contudo, não há nada no enunciado da charada que nos permita saber em quanto tempo três gatos caçam um único rato.” Aliás, pensando bem, não há nada no enunciado que permita ao estudante saber se os mesmos três gatos caçariam três ratos a cada três minutos; talvez caçassem 9 ratos em 9 minutos e daí se dirigissem ao lugar mais confortável do sofá para descansar por umas 6 horas. Gatos são assim: adoram um sofá. Melhor dizendo: adoram o melhor lugar do sofá.

Quase todo estudante de matemática acha esse problema difícil, porque, neste caso, parte dum pressuposto incorreto: o de que todo problema tem solução. O matemático profissional aborda um problema consciente de que vai chegar a um entre três resultados distintos:

[1] Ou vai escrever uma conjectura e provar que sua conjectura está correta, e daí poderá rebatizá-la de teorema. (Atenção: “provar que a conjectura está correta” talvez signifique “provar que a afirmação a ser provada é falsa”, se essa for a conjectura.)

[2] Ou vai escrever uma conjectura e provar que é impossível provar se a conjectura é correta ou incorreta. (Em vários campos da matemática, essa é uma possibilidade real.)

[3] Ou nem conseguirá escrever uma conjectura digna da palavra “conjectura”, pois não terá a capacidade de obter informações suficientes sobre o problema, e assim será obrigado a deixar o problema para a posteridade.

A bem da verdade, o matemático profissional leva anos para desenvolver tal consciência, o que explica por que é tão fácil encontrar estudantes de matemática crentes de que todo problema matemático tem solução. “Só existe uma resposta correta ao problema dos três gatos”, diz Martin: “A pergunta é ambígua e não pode ser respondida sem que haja mais informações sobre como tais gatos caçam ratos.” {FIM}


Observação: Publiquei esse problema pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 33, outubro de 2013, pág. 65. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

A espantosa utilidade da matemática


Professores há tempos se habituaram ao caráter abstrato dos objetos matemáticos. Estão acostumados a achar natural que um desses objetos, criado para resolver o problema X, depois seja usado para resolver o problema Y. Às vezes, contudo, até eles se pegam dizendo: “Eu jamais poderia imaginar que tal abstração matemática servisse para um problema assim.”

Vocabulário: Neste texto, abstração matemática e objeto matemático são a mesma coisa. Pode ser uma reta no plano, pode ser um método da álgebra linear, pode ser um axioma — pode ser qualquer um dos elementos que compõem a matemática.



{1}/ Um jantar entre amigos

No livro A Matemática das Coisas, o matemático português Nuno Crato propõe ao leitor o problema a seguir:

Eu queria convidar três amigos para jantar comigo e comemorar meu aniversário; desse modo ocuparíamos uma mesa para quatro pessoas no restaurante de que mais gosto. Tenho cinco bons amigos, mas o Antônio está zangado com a Beatriz, sua antiga namorada. Esta e o Carlos são inseparáveis. O Carlos, que é amigo do Antônio, está de relações cortadas com o Daniel. Este, por seu turno, não dá um passo sem trazer consigo a Eduarda, que não pode nem ver o Antônio. Será que consigo convidar três dos meus cinco bons amigos para jantar comigo?

O estudante (vamos chamá-lo de Alx) pode resolver o problema por tentativa e erro, mas notará que, mesmo num problema tão simples, tentativa e erro dá bastante trabalho. Pode também recorrer a um grafo: a ideia de grafo foi usada pela primeira vez por Leonhard Euler (1707-1783), quando precisou resolver o problema das pontes de Königsberg; quanto à palavra grafo, surgiu em 1878, quando James Joseph Sylvester publicou um artigo sobre álgebra e diagramas na revista Nature. Para resolver o problema do jantar de aniversário, Alx examina a ideia de relação binária e, logo em seguida, a definição de grafo; daí parte para a resolução em si. (Sobre relações binárias, grafos, e a ponte de Königsberg, veja as seções 2, 3, e 4.)

Decide representar a relação binária “X não pode ver a cara de Y” por XY, e torna essa relação simétrica: se XY, então YX. Reconhece que tal simetria pode não existir na vida real — se Eduarda está zangada com Antônio, talvez Antônio ainda adore Eduarda. Contudo, do ponto de vista do aniversariante, visto que Eduarda não quer saber de Antônio nem que escove os dentes com chocolate, nenhum dos dois pode ser convidado para o mesmo jantar. Alx representa a relação “X não vai a lugar nenhum sem Y” por XY, isto é, “convidar X implica convidar Y”; porém, não torna a relação XY simétrica: X não vai a lugar nenhum sem Y, mas Y, quando toma uma iniciativa sozinho, não necessariamente convida X. Alx representa XY com uma linha azul, e XY com uma linha vermelha orientada, e assim esboça a figura 1, em que A representa Antônio, B, Beatriz, C, Carlos, D, Daniel e E, Eduarda.

figura-1

Figura 1

Alx percebe que deve estudar os pontos que não estão conectados por linhas azuis. Depois de uns minutos, monta uma lista desses pontos, já sem redundâncias:

A e C

A e D

B e C

B e D

B e E

C e E

A partir daí, monta uma tabela: na primeira coluna, cada um dos pares; na coluna do meio, um estudo do que aconteceria se o aniversariante convidasse as duas pessoas do par; na terceira coluna, marca com “OK” caso possa convidar as duas pessoas do par e com “NOK” caso não possa.

A e C C B, mas BA NOK
A e D D E, mas EA NOK
B e C B = C, pois B C e C B OK
B e D B C, mas CD NOK
B e E B = E; B C, mas C = E OK
C e E C = E; C B, mas B = E OK

 

Alx percebe que o aniversariante pode convidar, sem nenhum problema, os pares de vértices (B, C), (B, E) e (C, E). Isso significa que pode convidar Beatriz, Carlos e Eduarda para o jantar de aniversário. “Como é possível”, pensa Alx, “que eu possa ajudar alguém a escolher os amigos com os quais jantar usando uma abstração matemática criada, há 278 anos, para o problema das pontes de Königsberg?” Tem gente que acha esse tipo de pergunta tola, pois matemática é pura abstração, e é natural que seja usada para resolver todo tipo de problema real cuja representação abstrata guarde semelhanças com outros problemas reais. (Neste caso, essa gente toma “abstrair” por “desconsiderar os aspectos irrelevantes do problema e se concentrar apenas nos relevantes”.) Ora, não é verdade que 5 + 2 pode ser “cinco reais mais dois reais” e pode ser “cinco figurinhas mais duas figurinhas” e pode ser “cinco goles mais dois outros goles”? E ninguém se espanta ao notar que 5 + 2 serve para representar tantos problemas distintos.

Contudo, até mesmo matemáticos profissionais se surpreendem com essa característica da matemática. De vez em quando, recorrem a um objeto matemático qualquer para resolver um problema e se pegam dizendo aos amigos: “Puxa vida, eu nunca tinha pensado que esse objeto da matemática pudesse servir para resolver um problema como este que resolvi.” Um desses matemáticos é Pedro Lauridsen Ribeiro, especialista em física-matemática, pesquisador no departamento de matemática aplicada do Instituto de Matemática e Estatística da USP, e professor no centro de matemática, computação e cognição da Universidade Federal do ABC. Quando participava do concurso da UFABC, foi avisado de que teria de dar uma espécie de aula sobre regressão linear para a comissão julgadora dos candidatos; o assunto da aula foi escolhido por sorteio, como é comum em concursos assim. “Esse era um assunto que eu temia”, diz Pedro, “pois não tinha contato com ele há pelo menos uns dez anos!” Para se preparar, vasculhou livros. Achou um de análise numérica em que esse assunto, regressão linear, era reinterpretado e apresentado como um problema de álgebra linear. “Descobri que poderia ver a regressão linear como o cálculo da pseudoinversa de uma matriz.” Na condição de especialista em física-matemática, Pedro conhece álgebra linear, isto é, sabe realizar muitos tipos de operações com matrizes. “Essa reinterpretação do tema não só me surpreendeu, como me salvou na prova, porque pude apresentar o assunto de um ponto de vista que me era mais familiar.”

O que é distância? O matemático inglês Timothy Gowers costuma dizer que, quando um matemático usa uma abstração num contexto inesperado, e se surpreende com isso, tanto o matemático quanto a matemática melhoram. Se pega um objeto que costumava usar num contexto e o usa num contexto diferente (como Pedro fez quando examinou a ideia de regressão linear no contexto da álgebra de matrizes), é porque foi capaz de produzir uma afirmação matemática mais genérica. Com ela, resume o que tem observado em instâncias particulares; por isso, ela lhe permite pôr dois objetos matemáticos distintos num mesmo conjunto de objetos. “Um dos benefícios disso”, diz Gowers, “é que podemos ver conexões entre objetos que a princípio nos pareciam diferentes. Achar conexões surpreendentes entre áreas distintas da matemática quase sempre nos leva a avanços importantes.”

A ideia de que surpresa leva a avanço vale para matemáticos profissionais e para estudantes; para testá-la, o estudante Alx examina um trecho de livro didático sobre espaços métricos.

Existem muitas situações nas quais o matemático precisa trabalhar com um conjunto de pontos e saber se estão próximos um do outro. “Isso me parece fácil na dimensão 1”, diz Alx. “A dimensão 1 é simplesmente a reta real, e posso representar cada ponto de dimensão 1 com um único número; por exemplo, (−2) ou (π). Posso dizer que a distância entre eles é |−2| + |π|, isto é, 2 + π.” Para entender esse ponto, Alx esboça a figura 2.

Figura 2

Figura 2

Olhando o texto, descobre que pode representar essa distância assim:

Alx parte então para a dimensão 2. Como descobrir se os pontos de dimensão 2 estão próximos um do outro? Sabe que, para visualizar um espaço de dimensão 2 com simplicidade, deve recorrer a um plano cartesiano, no qual pode identificar cada ponto com dois números; por exemplo, (x, y), (1, 3), (3, 1). “Li uma vez que posso usar o teorema de Pitágoras para determinar a distância entre esses dois pontos.” Esboça a figura 3, e junto dela põe as contas já passadas a limpo.

Figura 3

Figura 3

equation-5

E assim vai. Ao examinar o texto, Alx lê e relê a definição de distância entre pontos num espaço de dimensão n, isto é, de dimensão arbitrária, na qual localiza cada ponto por meio de n números reais. Pensa no ponto P1 = (x1, x2, x3, …, xn) e no ponto P2 = (y1, y2, y3, …, yn). A distância entre eles fica sendo:

equation-6

Nem se arrisca a fazer um desenho disso, mas desconfia da definição. Como alguém pode saber que essa ideia de distância faz sentido num espaço de dimensão 26, se ninguém jamais viveu num espaço assim? Lendo melhor o trecho do livro, vê que os próprios matemáticos fizeram essa pergunta uns aos outros, até que chegaram à definição de métrica, isto é, à definição de como deve funcionar a fórmula (ou as fórmulas) com a qual o matemático obtém a distância em função dos pontos:

equation-7

Com as fórmulas (I), os matemáticos disseram três coisas: Qualquer que seja o tipo de espaço em que os pontos estão, para que haja a ideia usual de distância, então a distância entre dois pontos tem de ser maior ou igual a zero, isto é, jamais pode ser negativa. Além disso, devemos estimar tal distância com uma fórmula d bem precisa. Por fim, se a distância entre dois pontos é zero, então os dois pontos devem ser o mesmo ponto. Com a linha (II), disseram: a distância entre o ponto P1 e o ponto P2 tem de ser a mesma que entre o ponto P2 e o ponto P1; em outras palavras, distância é uma relação binária simétrica. E, com a linha (III), disseram: para quaisquer três pontos distintos P1, P2, e P3, vale a desigualdade triangular. Podemos encarar cada um desses três pontos como o vértice de um triângulo; então o comprimento de um dos lados jamais excede a soma do comprimento dos outros dois. Em outras palavras, para que haja a ideia usual de distância, o espaço, qualquer que seja, deve permitir que achemos o caminho mais curto entre dois pontos.

Alx fica surpreso com o que os matemáticos fizeram ao criar essas três linhas. “Eles não falaram nada do tipo de espaço em que esses pontos estão. Pode ser reto, pode ser curvo. Pode ser o plano cartesiano, pode ser a superfície de uma esfera, pode ser a superfície de uma fita de Möbius! Se a definição de métrica vale nesse espaço, então posso falar de distância de um jeito abstrato, mas ainda assim próximo do jeito que estou acostumado a falar dela.”

O trecho continua: se o estudante define uma fórmula para a função d, e se tem um conjunto X de pontos, e se as afirmações (I) a (III) valem quando aplica d aos elementos de X, então definiu um espaço métrico. Embora quase todo estudante associe a ideia de distância com o teorema de Pitágoras, há vários exemplos de espaço métrico nos quais a métrica (isto é, a função d mais o conjunto X) não é consequência do teorema de Pitágoras. Alx pensa num deles: “Se viajo de avião de São Paulo para Recife, não me interessa somar o comprimento de todas as estradas que me levam de uma à outra, e sim o caminho mais curto entre as duas cidades na superfície do planeta, que posso imaginar como sendo uma esfera.” Mais uma vez Alx nota que, se pode definir a rota mais curta numa superfície qualquer, e se essa definição preserva as afirmações (I) a (III), então essa superfície nem precisa ser plana. (No caso de superfícies curvadas, a rota mais curta entre dois pontos tem nome: geodésica. Contudo, alguns matemáticos usam a palavra para indicar a rota mais curta entre dois pontos não importa qual seja a curvatura da superfície; nesse sentido, o matemático pode chamar um segmento de reta num plano de geodésica.)

Pedro Lauridsen diz que todo matemático faz isso: pega dois objetos da matemática (como um plano e uma esfera), vê como ignorar alguns detalhes em ambos os objetos de modo a escrever alguma definição que sirva para os dois (como a definição de distância contida nas afirmações (I) a (III)), e daí abstrai ainda mais: estuda essa definição como se ela fosse um objeto em si, sem nenhuma conexão com os dois objetos dos quais surgiu. Foi isso o que os matemáticos fizeram com os espaços métricos e com os grafos. (Hoje eles usam espaços métricos para estudar as rotações de poliedros em dimensões arbitrárias.) Contudo, para quem vai aplicar a matemática a problemas reais, Pedro aconselha: cuidado para não resolver o problema errado! “Corremos o risco de abstrair demais”, diz Pedro. “Abstraímos certos aspectos do problema, para deixá-lo mais fácil de resolver, só que, muitas vezes, nesse processo de abstração não captamos exatamente o problema original, mas um problema parecido, com certas características comuns com o original. Com as abstrações, abrimos os nossos olhos, mas, especialmente no caso da matemática aplicada, corremos o risco de resolver uma versão desfigurada do problema que nos interessava.” {❏}

Ilustrações correlatas:

Um triângulo esférico

Um triângulo esférico (Wikipedia)

 

O que a imagem acima mostra: Numa esfera, a menor distância entre dois pontos é um círculo máximo: é um círculo na superfície da esfera cujo centro coincide com o centro da esfera. A figura mostra três pontos unidos por círculos máximos, ou seja, mostra um triângulo sobre a esfera

Lembrete: Tecnicamente, a palavra esfera designa apenas os pontos na superfície da bola. Dizer “superfície da esfera” é mais ou menos como dizer “superfície da superfície”. Contudo, até matemáticos usam “superfície da esfera”, talvez porque o leigo mistura bola com esfera.


 

De São Paulo a Recife

 

Distância geodésica 2.118 quilômetros
Tempo de viagem na velocidade do som… 1 hora e 45 minutos
… e na velocidade da luz dentro de uma fibra ótica 7 milissegundos


{2}/ Relação binária

O estudante usa o símbolo ~ para representar uma relação qualquer entre os elementos a e b, isto é, uma relação binária. Assim, quando escreve a ~ b, quer dizer “a está relacionado de alguma forma com b”. Uns poucos exemplos: a < b é uma relação binária comum no conjunto dos números naturais; “r é perpendicular a s” é uma relação binária comum no conjunto das retas no plano cartesiano. Mas o estudante pode usar o símbolo ≠ para representar “não pode ver a cara de” e escrever a relação binária AB quando quer dizer “Antônio não pode ver a cara de Beatriz”. Alguns matemáticos preferem denotar uma relação binária com uma letra maiúscula bem escolhida; por exemplo, para representar “não pode ver a cara de”, o estudante usa a letra N, e daí AB vira A N B. Sempre que o estudante escolhe um símbolo para ~, pode usar um símbolo do tipo ≁ para representar o caso em que não pode declarar válida a relação ~; assim, se usou AB para denotar “Antônio não gosta de Beatriz”, pode escrever A = B para denotar “Antônio gosta de Beatriz”. Uma relação binária ~ talvez seja simétrica, ou talvez não: às vezes, se a ~ b, então b ~ a; às vezes, contudo, a ~ b, mas não necessariamente b ~ a. {❏}



{3}/ O que é um grafo

De modo bem simples, um grafo é um conjunto de pontos, alguns dos quais conectados entre si por meio de linhas. O estudante pode chamar os pontos de vértices ou de nós; e pode chamar as linhas de arestas. Dois pontos unidos por uma linha estão adjacentes. Um analista costuma usar grafos para representar relações binárias: se dois pontos estão interligados por uma linha, então vale entre eles a relação binária ~ (que é o símbolo de uma relação binária genérica). Por exemplo, une os pontos com uma linha azul, sem nenhuma seta, para representar a relação binária simétrica “A não pode ver a cara de B, e B não pode ver a cara de A”. Mas pode também unir dois pontos com uma linha orientada, isto é, com o sentido indicado por uma seta. Se une o ponto C com o ponto D com uma seta para indicar CD, talvez queira dizer “C convida D para tudo o que faz, mas não necessariamente D convida C para tudo o que faz”. Quando usa um grafo, o analista quer entender quais pares de pontos fazem parte de certo conjunto de pontos adjacentes, e quais pares não fazem parte desse conjunto. Se um par de pontos faz parte do conjunto, significa que os pontos têm entre eles certa relação binária; se um par não faz parte do conjunto, os pontos não têm entre eles a relação binária. {❏}


as-pontes-de-konigsberg


{4} As pontes de Königsberg

No começo do século 18, havia sete pontes na cidade de Königsberg (hoje, Kaliningrado). Elas cruzavam braços distintos do rio Pregolya, como mostra a figura acima. Alguém perguntou: será possível, a partir de algum ponto inicial em terra firme, cruzar cada uma das pontes uma única vez e voltar ao ponto inicial? Euler se interessou pelo problema, e representou cada massa de terra com um vértice, e cada ponte interligando tal massa de terra às outras massas com uma linha. Na linguagem atual, a pergunta ficaria assim: o grafo que representa o problema de Königsberg é um circuito euleriano? Em outras palavras: o analista pode começar num dos vértices, viajar pelo grafo percorrendo cada aresta uma única vez, e voltar ao vértice original? Euler demonstrou que um grafo só pode ser um circuito euleriano se e somente se cada vértice é de grau par (é tocado por um número par de arestas). No caso do grafo de Königsberg, todos os vértices são de grau ímpar: o problema é insolúvel. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 30. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista foi feita pelo jornalista Renato Mendes.