Por que ler filósofos como Nietzsche

Nietzsche aos 25 anos

O filósofo alemão Friedrich Nietzsche (1844-1900) afirmou certa vez num de seus textos: a ideia do “eterno retorno do mesmo” havia sido seu pensamento mais importante. Só que, como todos os leitores assíduos de Nietzsche sabem, em nenhum de seus livros ele explicou esse pensamento detalhadamente, assim como em nenhum lugar escreveu um argumento formal para defender sua importância. Ao contrário, em todas as vezes que Nietzsche mencionou o eterno retorno do mesmo (foram poucas), ele foi conjectural demais, oblíquo demais, metafórico demais, abstrato demais. Só nos últimos cem anos, apesar disso, 18 filósofos de primeira linha (entre eles Paul Katsafanas, Alexander Nehamas, e Bernard Williams) discorreram sobre o eterno retorno do mesmo em 21 livros. Williams, por exemplo, tratou do assunto num capítulo do livro The Sense of the Past, de 2006 — que é difícil e bonito.

Por que filósofos de primeira linha gastam seu tempo com um pensamento que o autor original mencionou poucas vezes, e não se deu ao trabalho defender com argumentos detalhados?

Para entender o motivo, sugiro um problema de matemática discreta. Você tem um globo de sorteio, como os globos usados no sorteio da Mega-Sena; e tem oito frascos de esmalte para unhas organizados em fila diante de você, cada um de uma cor: C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8.

Suponha que no globo haja apenas uma bola, a bola B1. Você vai girar o globo, a certa altura vai sortear uma das bolas ao acaso, e vai fazer uma pequena marca na bola com o esmalte de cor C1. Vai devolver a bola para o globo e repetir o processo, mas desta segunda vez vai pintar a bola sorteada com a cor C2. E assim por diante: só vai parar quando tiver usado cada um dos oito frascos de esmalte exatamente uma vez, para fazer uma marca numa das bolas do globo, sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de que pinte a bola B1 com todas as oito cores?

Ora, é 100%. Pois só há uma bola no globo, que é justamente a bola B1. Sempre que parar de girar o globo, a bola que vai cair no dispensador é a bola B1.

Suponha agora que há duas bolas no globo, a bola B1 e a B2. Qual é a probabilidade de que, seguindo o método acima (retira uma das bolas do globo, faz nela uma marquinha de esmalte, devolve a bola ao globo, e usa cada frasco de esmalte exatamente uma vez), pinte uma das bolas com todas as oito cores?

Vejamos. Quando tiver terminado a operação toda, há 256 situações possíveis: [1 × (8 + 0)], significando que só existe uma maneira de pintar a bola B1 com oito cores e a bola B2 com zero cores. (Estou usando aqui a ideia de combinação: com oito cores, de quantas maneiras pode montar subconjuntos distintos de oito cores? De uma maneira apenas.) Da mesma forma, [8 × (7 + 1)], pois há oito maneiras de pintar a bola B1 com sete cores e a bola B2 com uma cor. (Ou seja: com oito cores, há oito maneiras de montar subconjuntos distintos de sete cores cada um.) Perseguindo pensamentos desse tipo: [28 × (6 + 2)], [56 × (5 + 3)], [70 × (4 + 4)], [56 × (3 + 5)], [28 × (2 + 6)], [8 × (1 + 7)], e por fim [1 × (0 + 8)]. Logo, a probabilidade de que pinte a bola B1 com oito cores vale 1/256; a probabilidade de que pinte a bola B2 com oito cores vale 1/256; e a probabilidade de que pinte uma das duas bolas B1 ou B2 com oito cores vale 2/256 = 1/128.

Há um jeito mais abstrato, e mais simples, de calcular essa mesma probabilidade. Você pega o esmalte de cor C1 e vai sortear uma das duas bolas. Quanto vale a probabilidade de que a bola B1 caia no dispensador? Vale 1/2. Agora pega o esmalte C2 e vai sortear uma das duas bolas. Quanto vale a probabilidade de que a mesma bola B1 caia no dispensador? Mais uma vez, vale 1/2. Continuando assim, qual é a probabilidade de que pinte a bola B1 com todas as oito cores?

Faça as contas da mesma maneira para a bola B2, e da mesma maneira vai chegar à probabilidade de que pinte a bola B2 com todas as oito cores: 1/256. Assim, a probabilidade de que pinte uma das duas bolas B1 ou B2 com oito cores vale 1/256 + 1/256 = 2/256 = 1/128.

E se tiver três bolas no globo, a bola B1, a B2, e a B3? Qual é a probabilidade de que, recorrendo ao mesmo procedimento, pinte uma delas com todas as oito cores?

Use agora o método mais abstrato, pois o das partições fica complicado demais com três bolas. Ao pegar o esmalte C1, a probabilidade de que caia a bola B1 no dispensador vale 1/3. A probabilidade de que a bola B1 caia todas as vezes que vai pintar uma das bolas com uma das cores (exatamente uma vez) vale:

E a probabilidade de que pinte uma das três bolas B1, B2, ou B3 com todas as oito cores vale:

Pensando dessa mesma maneira, usando o mesmo procedimento, a sequência de probabilidades para que pinte uma bola entre uma bola com as oito cores, uma bola entre duas bolas com as oito cores, uma bola entre três bolas com as oito cores, e assim por diante, é a sequência a seguir.

Por que comecei com Nietzsche, o eterno retorno do mesmo, e pulei para a tarefa de pintar bolas sorteadas ao acaso com a ajuda de um globo de sorteio? Imagine cada uma das cores como sendo uma das características de um filósofo extraordinário.

(C1) Ele (ou ela) se sente coagido, por sua própria personalidade, a pensar sobre os grandes assuntos: conhecimento, razão, verdade, mente, liberdade, destino, identidade, deuses, bondade, justiça, beleza. Ele nunca acha que pensar sobre tais assuntos é perda de tempo ou é pecado, e pensa neles enquanto cozinha, enquanto desce as escadas de uma estação de metrô, até mesmo enquanto conversa.

(C2) Dá valor a conceitos, ideias, palavras, procedimentos, crenças. Sabe que tais coisas são a matéria-prima do pensamento, e que determinam, em grande medida, o modo como vemos o mundo, nos relacionamos com ele, e atribuímos valor às coisas que acontecem, tanto dentro de nós quanto fora de nós.

(C3) Ele se esforça, tanto quanto pode, para dar respostas precisas a perguntas difíceis — “Será possível que uma parcela importante dos livros de filosofia contenha pura e simplesmente preconceitos populares, mas numa linguagem engrandecedora?”

(C4) Tem uma profunda capacidade de autoanálise, de introspecção. Percebe mudanças sutis em seus sentimentos, emoções, ímpetos instintivos, e percebe as consequências de tais mudanças em seus pensamentos — e vice-versa.

(C5) Tem uma imensa capacidade de lidar com alternativas. Gosta de comparar vários argumentos distintos; gosta de pensar ora como um devoto cristão e ora como um cético ateu. Gosta de conversar com pessoas que pensam de maneira discrepante à dele, ou até mesmo de maneira completamente oposta.

(C6) Sente uma vontade veemente de manter um conjunto consistente de crenças. Se percebe que duas de suas crenças não podem ser ambas verdadeiras nas mesmas situações, mas que está agindo como se fossem verdadeiras, não sossega enquanto não decide qual delas deve modificar ou abandonar.

(C7) Dá valor à imaginação e a seus frutos — literatura, arquitetura, teatro, cinema, matemática, música. Subscreve o mote inspirado no pintor espanhol Goya: “A imaginação, abandonada pela razão, produz monstros: unida a ela, torna-se a mãe de todas as artes e a fonte de suas maravilhas.”

(C8) Sente-se à vontade na posição de cético moderado, ou mesmo na posição de pessimista ligeiramente otimista, pois muitas vezes na vida pensou, pensou, e pensou até que chegou à conclusão de que só podia chegar a conclusões provisórias. “Quando lidamos com essas doutrinas tão sublimes”, escreveu certa vez o filósofo britânico Simon Blackburn, “parece que sempre há palavras melhores logo ali, depois do horizonte — se apenas pudéssemos alcançá-lo!”

Depois de imaginar cada uma das oito cores como sendo uma característica de um grande filósofo, pense no seguinte: todos os anos, nascem no Brasil mais ou menos 2 milhões e 900 mil crianças. Suponha que, todo ano, a deusa Fortuna sorteia as oito características entre as crianças brasileiras nascidas naquele ano. Qual é a probabilidade de que uma delas fique com todas as oito características? — Qual é a probabilidade de que Fortuna pinte uma das crianças com todas as oito cores?

É mais ou menos a probabilidade de jogar um dado comum 58 vezes para cima, e tirar o lado igual a 6 em todas as 58 vezes!

Isso significa que filósofos da estirpe de Platão, Aristóteles, Spinoza, Locke, Hume, Kant, Nietzsche, e Wittgenstein são incrivelmente raros. Eles são aberrações da Natureza — no sentido estrito do termo, isto é, são desvios extremos da média. É por isso que os filósofos profissionais passam a vida estudando tais autores, especialmente quando um deles, feito Nietzsche, diz que certo pensamento é importante. Não importa que ele se absteve de desenvolver o pensamento do modo como os filósofos atuais, que são professores universitários, são obrigados a fazê-lo por imperativo profissional — se é Nietzsche, e se disse que é importante, então deve ser mesmo importante.

Em todas as vezes que Nietzsche pediu ao leitor que considerasse o eterno retorno do mesmo, pediu na verdade que considerasse um experimento mental: a ideia de que todos os eventos do mundo, do maior terremoto ao mais delicado pensamento, vão se repetir da mesma forma, na mesma ordem, não apenas uma vez, não apenas duas vezes — mas infinitas vezes. Como o leitor se sentiria se tivesse de repetir sua vida infinitas vezes, tudo do mesmo jeito, tudo na mesma ordem — os mesmos gestos, as mesmas lágrimas, as mesmas decisões? Nietzsche está fazendo mais ou menos como o cônjuge A que pergunta ao cônjuge B: “Você se casaria comigo de novo, se a história toda se repetisse?” Para responder a uma pergunta desse tipo, o cônjuge B tem de avaliar o casamento — e da mesma maneira a ideia do eterno retorno do mesmo exige do leitor uma avaliação da vida. O cônjuge B talvez não se importasse de casar de novo com a mesma pessoa uma vez mais, ou duas vezes mais, ou dez vezes mais — mas e quanto a infinitas vezes mais?

De acordo com o filósofo americano R. Lanier Anderson, são três as principais características do eterno retorno do mesmo:

(a) O passado se repete, e assim aquilo que uma pessoa experimentou até aqui, vai experimentar de novo.

(b) O passado se repete da mesmíssima maneira, até o mais ínfimo detalhe.

(c) O passado se repete da mesmíssima maneira infinitas vezes.

Com a repetição (a), parece que Nietzsche pretendeu forçar o leitor a levar o passado em consideração, em vez de esquecê-lo. Visto que o homem não pode mudar o que já aconteceu, mas supõe que pode mudar o futuro, tende a deixar o passado para trás e a se concentrar exclusivamente no futuro. Tipicamente, o homem é orientado a futuro. Para Nietzsche, esse jeito de olhar a vida é um jeito de desvalorizar a vida — e é muito reforçado pela religião cristã, com foco no paraíso do fim dos tempos. Com o eterno retorno do mesmo, Nietzsche obriga o leitor a atribuir valor a sua vida ao considerar a vida como um todo — “da capo”, como escreveu no aforismo 56 de Além do Bem e do Mal. Com a repetição da mesmíssima maneira (b), Nietzsche força o leitor a avaliar sua vida honestamente, isto é, sem excluir nenhum momento, sem alterar nenhum momento, por mais doloroso ou vergonhoso que seja. Não vale dizer: “Ah, da próxima vez eu faço assim e assado — da próxima vez, será melhor.” Isso não serve como avaliação honesta do que o leitor fez.

A característica mais interessante do experimento mental é a (c), a repetição infinita da vida tal como transcorreu, tim-tim por tim-tim. Pois com (c) o leitor se vê obrigado a dar imensa importância ao presente, ao agora, a cada palavra que está para dizer, a cada gesto que está para fazer — a cada decisão que está para tomar. A cada minuto, o leitor tem a oportunidade de tornar toda a história até aqui mais harmoniosa — mais valiosa. Um gesto agora, se for divinamente bem pensado, talvez redima o leitor de um erro passado, ou de vários, e deixe a vida como um todo mais bonita. Em vez de se lamentar pela infância indigna, não seria o caso de escrever um romance? Em vez de lamentar pelas injustiças que sofreu na Empresa X, não seria o caso de organizar um sindicato? Em vez de se lamentar pela doença constante, pela dor de cabeça e pelos vômitos, não seria o caso de escrever sobre o homem o mais saudável que possa existir? Mais uma vez, Nietzsche pretende forçar o leitor a se livrar de certos hábitos cristãos de pensamento, que estimulam o crente a encarar a vida atual como um mero teste de fé, a troco de uma vida futura no paraíso, batendo palmas e cantando. Para Nietzsche, isso é um jeito triste de viver; pois ele prega alegria com a vida real, tal como foi, tal como é. “Os poetas são descarados com suas memórias do passado: eles as exploram”, escreveu no aforismo 161 de Além do Bem e do Mal. A cada minuto, o leitor tem a oportunidade de fazer com sua vida o que os poetas fazem com seus versos — a oportunidade de acrescentar alguma ação que fará a coisa toda rimar, que transformará a vida inteira em algo “transfigurado, elegante, selvagem, e divino” (aforismo 188).

A vida não é um teste de fé a troco de um paraíso futuro, sugeriu essa criação tão improvável da Fortuna, chamada Nietzsche, com a ideia do eterno retorno do mesmo. A vida infinitamente repetível serve para que o homem descubra “o reino de nossa invenção” (aforismo 223), “o reino no qual nós também podemos ser originais” — o reino no qual nós, “os palhaços de Deus”, agimos somente quando a perspectiva de agir da mesma maneira infinitas vezes nos provoca a vontade de “uma risada espiritual”. {Fim}



Observações:

1. Listei oito características dos grandes filósofos, mas provavelmente eles têm mais do que oito características marcantes. Suponha que têm k características distintas, com k inteiro positivo. Em outras palavras, suponha que vai pintar as bolas do globo de sorteio com k cores distintas. A probabilidade de que pinte qualquer uma das n bolas do globo com todas as k cores, usando cada frasco de esmalte exatamente uma vez, vale n·(1/n)k, isto é, o valor dessa probabilidade diminui conforme aumenta o valor de n ou o de k; além disso, no caso de k, diminui exponencialmente.

2. É claro que a deusa Fortuna não tem apenas um kit de esmaltes para pintar as crianças brasileiras todo ano. Provavelmente, tem mais de um kit, isto é, vários frascos da cor C1, vários frascos da cor C2, etc. Portanto, a probabilidade de que uma criança brasileira tenha todas as características de um grande filósofo é maior do que a que calculei neste texto. Contudo, ainda assim é baixa, especialmente se a lista de características marcantes tem mais de oito itens, como acho que na verdade tem.

3. A ideia de que o eterno retorno do mesmo é um experimento mental foi defendida principalmente por Alexander Nehamas num livro de 1985: Nietzsche: Life as Literature. Nem todos concordam com Nehamas, pois dizem que Nietzsche acreditava efetivamente no eterno retorno, que não era, portanto, um experimento mental, mas sim uma tese metafísica. Quanto a mim, acho bem possível que Nietzsche tenha começado acreditando na verdade efetiva do eterno retorno do mesmo, mas, com tempo, percebeu que o valor de verdade da tese não faz diferença — seus efeitos continuam relevantes mesmo que seja vista como fábula. Esse é um movimento comum na filosofia de Nietzsche: primeiro ele propõe uma afirmação como se fosse verdadeira, mas depois explora suas consequências como se fosse fábula. É o jeito nietzscheano de dizer: Se este pensamento é verdadeiro ou falso, não importa, pois é essencial àqueles que buscam “a virtude dos filósofos”, isto é, a honestidade a mais brutal que possa haver. Nietzsche achava que honestidade vale muito mais que verdade.

4. Quanto à ideia de comparar o eterno retorno do mesmo com a famosa pergunta “Você se casaria comigo de novo?”, é da filósofa americana Maudemarie Clark, e está no livro Nietzsche on Truth and Philosophy, de 1990.

5. ‘Da capo’ é uma expressão latina usada por músicos quando querem passar o comando de que devem recomeçar uma peça desde o início. Ela significa justamente “desde o início”. Quem já viu uma orquestra sinfônica ensaiando sabe que, de vez em quando, o maestro interrompe a peça, dá uma bronca em todo mundo, e por fim diz: “Vamos lá, pessoal — da capo!”

6. Quando digo “o homem”, quero me referir ao conjunto {x : x é um dos indivíduos que compõem a espécie humana}.

7. Existe uma biografia esplêndida de Nietzsche, publicada em 2018 pela escritora anglo-norueguesa Sue Prideaux: I Am Dynamite! A Life of Friedrich Nietzsche. A autora mostra, com texto claro e gracioso, a absurda quantidade de coisas que devem acontecer no mundo para que um grande filósofo surja, se desenvolva, seja reconhecido, e passe a fazer parte da cultura.

 

O jogo dos seis cartões para pôr em ordem


Num jogo, quatro jovens descobrem que fazer matemática não é simplesmente aplicar fórmulas consagradas a problemas conhecidos, mas prestar atenção, conversar, se organizar, pedir um tempo, imaginar cenários. Não é apenas a questão de obter conhecimentos técnicos, mas de cultivar hábitos proveitosos.

* * *

Em Perdizes, bairro de São Paulo (SP) colado ao estádio do Palmeiras, existe o Colégio Brasil-Canadá. São duas casas lado a lado e há pouco espaço, de modo que as classes são pequenas. A turma do terceiro ano do ensino médio, por exemplo, só tem cinco alunos. Algumas das aulas são em inglês, e outras, como a de matemática, em português. Numa quinta-feira de junho de 2013, na segunda aula da manhã, a professora de matemática Yamara Regatieri entrou na sala e anunciou aos alunos que iriam resolver um problema.

“Podem ficar calmos”, disse Yamara, “porque vocês conseguem resolvê-lo.”

Sem esperar mais, pegou um pincel atômico e escreveu o problema no quadro branco:

Na mesa à sua frente, há seis cartões com números escritos neles, mas os números estão virados para baixo, de modo que não pode vê-los. Você tem permissão de escolher quaisquer dois cartões entre os seis, e de perguntar qual dos dois é o maior. (Mas não poderá ver os números.) O problema: Quantas perguntas desse tipo terá de fazer antes que seja capaz de colocar os cartões em ordem crescente, da esquerda para a direita? (Do seu ponto de vista.)

Um dos alunos havia faltado, então estavam na classe apenas quatro jovens: Vitor, Yasmimm, Thales, e Felipe. Enquanto a professora escrevia, Felipe copiava o texto no caderno, Vitor lia o texto no quadro, Thales e Yasmimm conversavam. Quando a professora terminou de escrever, começou um breve motim:

“Não entendi o que é para fazer!”, disse Yasmimm.

“É, professora: não entendi nada!”, apoiou Thales.

Yamara não deu trela. Explicou o problema nas palavras dela (pois propôs o problema à classe a pedido da revista Cálculo: Matemática para Todos), disse que os alunos teriam de bolar uma estratégia, mostrou as cartas, reforçou o fato de que o problema não é colocar as cartas em ordem, mas sim dizer quantas perguntas, no mínimo, uma pessoa deve fazer até que seja capaz de colocar as cartas em ordem.

Os quatro demoraram a entender o jogo. De repente, Yasmimm, que a princípio parecia desinteressada, assumiu o comando. Perguntou à professora qual era a carta maior entre as duas primeiras, à esquerda. A partir daí, os quatro se tornaram mais ativos, e meio que aceitaram o comando de Yasmimm; passaram a perguntar, carta por carta, qual era maior ou menor em relação à primeira da fila. Mas faziam perguntas e não anotavam nada em nenhum lugar. Felipe criticou o método. Depois de perguntar carta por carta, fizeram a mesma sequência de perguntas mais uma vez, mas fizeram uma mesma pergunta duas vezes e se esqueceram de fazer outra. Felipe puxou um caderno para tomar notas, mas parecia perdido — não sabia o que anotar, nem como. A certa altura, Yasmimm se convenceu de que as cartas já estavam na ordem crescente da esquerda para a direita. Pediram para a professora revelar as cartas: a quarta e a quinta cartas estavam fora de ordem. Os quatro jovens não foram capazes de esconder o desânimo.

Notação e algoritmo. Esse é um problema difícil, com o qual o professor vai ajudar seus alunos não a aprender a matemática escolar, exatamente, mas sim a dar valor para certos hábitos que ajudam muito na resolução de problemas. O primeiro hábito é: antes de partir para a resolução do problema (neste caso, antes de começar a fazer perguntas), compreenda o problema. Se os quatro alunos tivessem tido a ideia de fazer umas simulações no caderno, antes mesmo de fazer a primeira pergunta, é bem provável que, com uns 20, 30 minutos de trabalho, chegassem a um algoritmo eficiente. Para isso, teriam de ter dito à professora: “Pode nos dar um tempo, até que tenhamos entendido o problema?” Ter a coragem de pedir esse tempo é essencial em situações reais. Outros hábitos úteis são: exponha o que está pensando, ouça o que seus colegas têm a dizer e, principalmente, bole uma notação que te ajude a pensar. Dizem que a matemática é a arte de pensar, mas talvez fosse melhor descrevê-la como a arte de pensar com papel e caneta nas mãos.

Visto que o estudante não pode mover as cartas de lugar, tem de bolar um jeito de batizá-las e de controlar qual é maior, qual é menor. Há muitas maneiras de fazer isso. Um bom jeito é dar nome às cartas: A, B, C, D, E, F, sendo A a carta mais à esquerda e F a carta mais à direita. Depois disso, controlar as comparações, ou seja: qual carta o estudante já comparou com qual carta, e qual foi o resultado da comparação? Tomando emprestado a notação típica das relações binárias, o estudante pode escrever assim:

ApB (ABC)

ApB (BAC)

Com a primeira linha, quis dizer: “Perguntei à professora qual das duas cartas é maior, A ou B. Ela me disse que A é menor que B, então mantive as cartas na ordem em que estavam.” Com a segunda linha, quis dizer o contrário: “Perguntei à professora qual das duas cartas é maior, A ou B. Ela me disse que A é maior que B, então mudei a ordem das cartas.” Além de uma boa notação, o estudante precisará de um algoritmo. Como colocar as cartas em ordem, sabendo que o professor pode enfileirar as seis cartas de 720 maneiras distintas? (Pois 6! = 720; no portal Wolfram-Alpha, basta escrever na linha de comando RandomSample[{1, 2, 3, 4, 5, 6}] que o portal devolve os seis números embaralhados ao acaso; é um recurso útil para fazer simulações.)

Para colocar as três primeiras cartas em ordem, o estudante começa como Yasmimm começou: pergunta qual é maior, A ou B. Se não houver mudança, pergunta qual é maior, B ou C. Se de novo não houver mudança, significa que as três cartas já estão em ordem. Esse é o caso mais simples. No caso mais complicado, o estudante irá na seguinte ordem: ApB (BAC), ApC (BCA), BpC (CBA); isso significa que a sequência correta é CBA, isto é, depois de três perguntas, o estudante dirá: “Professor: para colocar as três primeiras cartas em ordem crescente da esquerda para a direita, troque as cartas A e C de lugar.” Com a tabela 1, o estudante vê as seis situações possíveis para as primeiras três cartas; a segunda linha mostra a situação inicial, a terceira linha mostra a primeira pergunta, a quarta linha mostra a situação após a primeira pergunta, etc. Só nas situações 1 e 3 ele consegue arrumar as três cartas com apenas duas perguntas: é quando não troca as cartas na primeira pergunta nem na segunda; ou é quando troca as cartas na primeira pergunta, mas não na segunda. Nas demais situações, ele é obrigado a fazer três perguntas, pois, visto que não vê os números, não tem como distinguir a situação 2 da 4, nem a situação 5 da 6.

Tabela 1

Situação 1

Situação 2

Situação 3

Situação 4

Situação 5

Situação 6

ABC

123

ABC

132

ABC

213

ABC

231

ABC

312

ABC

321

ApB

ApB

ApB

ApB

ApB

ApB

ABC

123

ABC

132

BAC

123

ABC

231

BAC

132

BAC

231

BpC

BpC

ApC

BpC

ApC

ApC

ABC

123

ACB

123

BAC

123

ACB

213

BCA

123

BCA

213

ApC

BpC

CAB

123

CBA

123

Feito isso, o estudante terá de colocar a quarta carta no lugar correto (isto é, a carta D). Um jeito simples de continuar: ele pergunta se a carta D é maior ou menor que a carta à esquerda — não à esquerda em cima da mesa, mas à esquerda na tabela do estudante (no caderno). Por exemplo, se tiver passado pela situação 6, seu caderno conterá o seguinte encadeamento de símbolos: ApB (BAC), ApC (BCA), BpC (CBA). Que pergunta terá de fazer? “Professor: a carta D é maior ou menor que a carta A?” Se D for maior que A, a sequência para aí, e as quatro primeiras cartas ficam sendo CBAD. Se D for menor que A, a sequência fica sendo CBDA, mas daí o estudante tem de perguntar BpD, isto é: “A carta B é maior ou menor que a D?” Se D for maior que B, a sequência para aí, e fica sendo CBDA. Mas, se D for menor que B, o estudante deve seguir fazendo a mesma pergunta. No pior caso, o estudante parte da situação 6 e segue assim: ApD (CBDA), BpD (CDBA) e CpD (DCBA). O mesmo método funciona para a quinta carta e a sexta.

No fim das contas, com seis cartas, no melhor caso (em que as cartas já estão em ordem: 1, 2, 3, 4, 5, 6), o estudante fará cinco perguntas: ApB (ABCDEF), BpC (ABCDEF), CpD (ABCDEF), DpE (ABCDEF) e EpF (ABCDEF). No pior caso (6, 5, 4, 3, 2, 1), fará 15 perguntas: ApB (BACDEF), ApC (BCADEF), BpC (CBADEF), ApD (CBDAEF), BpD (CDBAEF), CpD (DCBAEF), ApE (DCBEAF), BpE (DCEBAF), CpE (DECBAF), DpE (EDCBAF), ApF (EDCBFA), BpF (EDCFBA), CpF (EDFCBA), DpF (EFDCBA) e EpF (FEDCBA). Esses dois casos extremos são raros: a probabilidade de cada um deles é de 1/720, ou 0,14%.

Essa é, portanto, uma resposta razoável para o problema posto no quadro pela professora Yamara: para colocar os cartões em ordem crescente, da esquerda para a direita, o estudante deve fazer entre 5 perguntas e 15 perguntas.

Teorema de Thales. Depois da primeira tentativa fracassada, Yamara embaralhou as cartas e começou de novo; os quatro estudantes resolveram seguir a mesma estratégia. Logo descobriram que a primeira carta (A) era a mais baixa de todas, e ficaram obcecados com essa informação: conferiram isso mais vezes do que seria necessário. Yamara interrompeu:

“Vocês não estão prestando atenção, e não estão usando a lógica!”

Pensando bem, é uma boa lição: sem atenção, não há lógica. Depois de 12 perguntas, acertaram a sequência. Na terceira e na quarta rodadas, estranhamente, ficaram mais perdidos; repetiam as perguntas e não usavam as respostas para ordenar as cartas. A certa altura, Yamara passou o recado, mas de forma doce:

“Vocês não se organizam…”

Eles começaram a ficar impacientes. De vez em quando, Yasmimm se via obrigada a perguntar algo que já tinha perguntado, e fazia uma cara de ‘mas que droga, não me lembro direito, e agora vou ter de gastar uma pergunta para saber o que eu já sabia’. Vitor, o mais quieto dos quatro, tentava propor métodos alternativos, mas não era ouvido. A certa altura, Felipe interrompeu:

“Professora, isso é arranjo ou combinação? Qual é a fórmula do arranjo?”

Mais tarde um pouco, Thales também fez uma pergunta semelhante:

“Dá para descobrir matematicamente a lógica das perguntas? Por enquanto, a única coisa que a gente sabe é qual o menor de todos!”

As duas perguntas revelaram a vontade de saber uma fórmula mágica, que, se aplicada, resolveria o problema sem obrigá-los a gastar tanta energia com pensamentos. Um pouco antes da quinta rodada, Thales se saiu com essa:

“Vou inventar um teorema para resolver esse problema: um teorema de Thales!”

Todo mundo riu, e a piada fez efeito: os jovens passaram a curtir mais o problema, e seu desempenho melhorou. (Mark Twain: “O humor é a maior bênção sobre a humanidade.”) Yasmimm já tinha notado, nas rodadas anteriores, que eles não deviam fazer cada pergunta para saber mais sobre duas cartas, mas para saber mais sobre a sequência de cartas como um todo. Na quinta rodada, pensando em grupos de três cartas, grupos de quatro cartas e assim por diante, eles puseram as cartas em ordem com apenas oito perguntas. Quando o sinal tocou, em vez de sair correndo, tanto os jovens quanto a professora quiseram ficar na sala mais um pouco, conversando sobre o problema. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 31, agosto de 2013, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas, assim como a observação participante, foram feitas pela jornalista Maria Fernanda Ziegler de Castro.

3. Um detalhe curioso sobre pôr seis cartas em ordem: conforme a situação inicial, algumas soluções têm ponto fixo, isto é, cartas que não mudam de lugar.

4. Eu disse no texto: “Esse é um problema difícil, com o qual o professor vai ajudar seus alunos não a aprender a matemática escolar, exatamente, mas sim a dar valor para certos hábitos que ajudam muito na resolução de problemas.” Vale dizer que a matemática é, pura e simplesmente, a arte de resolver problemas; mais precisamente: a matemática é a arte de resolver problemas e de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos o problema foi resolvido corretamente. Assim, se o problema das seis cartas não ajuda o professor a passar o conteúdo da matemática escolar, ele ajuda a ensinar matemática.

Esse ponto é importante, e vale a pena explorá-lo um pouco mais. Segundo o lógico britânico Wilfrid Hodges, lógica e jogos são completamente equivalentes: não há lógica que não possa ser convertida num jogo, e não há jogo que não possa ser convertido numa lógica. Essa afirmação vale também para a lógica matemática, segundo Hodges. Assim, o leitor pode ver a matemática como sendo um jogo: os axiomas e as definições são como o tabuleiro e as peças do jogo; as regras de inferência são como as regras do jogo, isto é, as regras pelas quais movimentar as peças no tabuleiro; e cada posição das peças no tabuleiro, a partir da posição inicial (inclusive), é um teorema. (Desde que as peças tenham sido movidas de acordo com as regras do jogo, isto é, de acordo com as regras de inferência.)

Usemos agora as informações dos parágrafos anteriores para definir melhor a matemática:

A matemática é a arte de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos os axiomas, as definições, e as regras de inferência de certa área da matemática tornam verdadeira certa afirmação matemática, conhecida como teorema. Ou, dito de outra forma, completamente equivalente à forma anterior (mutatis mutandis), a matemática é a arte de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos certa posição num jogo matemático se segue naturalmente do tabuleiro abstrato, das peças abstratas, da posição abstrata inicial, e das regras do jogo.

Se a escola conseguisse incutir nos alunos o amor por todo tipo de jogo e a ideia de que resolver um problema matemático é completamente equivalente a vencer um jogo, acho que cumpriria seu papel social magistralmente, pois prepararia cada aluno para lidar com a principal característica das sociedades atuais: sua pesada dependência de máquinas de estados finitos, máquinas discretas, conhecidas como “computadores”. É perfeitamente possível ver máquinas de Turing como sendo jogos.

5. Wilfrid Hodges e Jouko Väänänen escreveram um artigo muito legal sobre lógica e jogos para a Enciclopédia de Filosofia de Stanford: clique aqui.

Cores para o intelecto e o bolso

Vale a pena estudar como um computador apresenta cores — não só porque o estudante se sente obrigado a rever a ideia de número, mas porque essa é uma linha de pesquisas difícil e rentável.


Teresa Chambel dá aulas para jovens estudantes de engenharia na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa (em Portugal), porque é especialista na interface entre pessoas e máquinas, especialmente computadores. Pouca gente dá um minuto de pensamento para o modo como o computador mostra imagens ao usuário, e ainda por cima imagens coloridas, mas Teresa faz seus alunos virar o assunto do avesso. “Eles desvendam a mágica pela qual o computador realiza as tarefas com as quais estão acostumados”, diz Teresa. Eles descobrem que a tela do computador é feita de milhares de pontos (ou pixels); num monitor de tela plana com 1.080 linhas e 1.920 colunas, são 2.073.600 pixels. Eles descobrem que, para cada pixel, o computador atribui três números de 0 a 255, e cada um desses números vai dizer à tela como iluminar o pixel com vermelho, verde e azul. Eles descobrem que um pixel laranja escuro pode ser representado com três números na base decimal, ou três números na base hexadecimal, ou três números na base binária. São três modos distintos de representar a cor de um pixel, mas são equivalentes:

Vermelho (R)

Verde (G)

Azul (B)

249

144

17

F9

90

11

11111001

10010000

00010001

“Curiosamente”, diz Teresa, “durante as aulas eles finalmente entendem alguns dos conceitos que estudaram quando crianças, como a aritmética da notação posicional de base 10. Eles só compreendem isso quando fazem contas com números escritos em outras bases, como a binária e a hexadecimal.” E aí eles não só estudam engenharia, como começam a fazer uns aos outros perguntas interessantes sobre matemática: como alguém pode identificar um número par ou um número ímpar numa outra base, como a binária ou a hexadecimal?

Quando o jovem estudante de engenharia (vamos chamá-lo de Dante) passa a investigar como os computadores mostram imagens e cores, descobre que nunca tinha parado para pensar que, até poucos anos atrás, os computadores só mostravam imagens com 480.000 pixels em tons de verde (se o monitor fosse de fósforo verde) ou tons de laranja (se o monitor fosse de fósforo âmbar). Descobre também que, embora hoje os computadores mostrem ao usuário imagens com mais pixels e com pixels coloridos, falta muito para apresentar imagens com a mesma qualidade daquelas que o cérebro do usuário produz com a ajuda de seus próprios olhos. Em resumo, há muito o que fazer para deixar os computadores melhores na arte de capturar e de apresentar imagens; essa é uma linha de pesquisas satisfatória para o intelecto e para o bolso.

Para máquinas e pessoas. Hoje os físicos sabem que a luz, em certas ocasiões, se comporta como se fosse feita de partículas discretas (os fótons), mas, em outras ocasiões, como se fosse feita de perturbações em ondas eletromagnéticas — ou, em outras palavras, a luz vibra ou oscila. Ondas eletromagnéticas podem vibrar tão lentamente quanto 1 quilohertz (mil oscilações por segundo) ou tão rapidamente quanto 2,4 ∙ 1023 hertz (240 milhares de bilhões de bilhões de oscilações por segundo), mas o olho humano só consegue ver uma parcela pequena do espectro eletromagnético, que vai de uns 400 terahertz (vermelho) a uns 789 terahertz (violeta). Segundo cientistas especializados no assunto, uma pessoa saudável reconhece 10 milhões de cores.

Quando surgiram os monitores coloridos, surgiu também o sistema RGB de representação de cores. Para cada pixel do monitor, o computador atribui três números: primeiro representa a quantidade de vermelho (red); o segundo representa a quantidade de verde (green); e o terceiro representa a quantidade de azul (blue). Como o computador usa 1 byte para representar cada número, e como 1 byte tem 8 bits, então o computador usa 24 bits para representar a cor de cada pixel, de:

00000000|00000000|00000000

Até:

11111111|11111111|11111111

Cada byte pode ir de 0 até 255 em notação decimal, isto é, de 00 até FF em notação hexadecimal. (Com oito bits por byte, o número de combinações é igual a 28 = 256.) Se um pixel ganha o código RGB (0, 0, 0), ele será 100% preto, pois nenhuma cor estará ativada. Se um pixel ganha o código RGB (255, 255, 255), ele será 100% branco, pois todas as cores estão ativadas ao máximo. Nos cursos de engenharia, talvez o Dante monte tabelas de cores, só para ir se acostumando com os efeitos de mais vermelho ou menos vermelho, mais verde ou menos verde, mais azul ou menos azul:

Código RGB

Cor do pixel

(80, 150, 200)10

(200, 150, 80)10

(200, 20, 115)10

(30, 255, 180)10

(90, 90, 90)10

Com menos vermelho, as cores tendem mais para o ciano (azul esverdeado). Com menos verde, elas tendem mais para a fúchsia (um tipo de violeta). Com menos azul, elas tendem mais para tons de amarelo e de laranja.

A certa altura do curso, Dante se pergunta quantas cores distintas um computador pode mostrar, e para achar a resposta recorre a um arranjo simples:

256 · 256 · 256 = 16.777.216

E aí pergunta a si mesmo: se o olho humano vê 10 milhões de cores, e se um computador consegue mostrar 16 milhões de cores, então um computador pode mostrar com perfeição todas as cores que o ser humano vê? Na verdade, não. Nem todas as cores podem ser convertidas em três componentes, sendo um vermelho, um verde, e um azul. A figura 1 mostra todas as cores do sistema RGB dentro de uma área cinza: essa área cinza representa as cores que um homem vê, mas que o sistema RGB não consegue reproduzir. É por isso que, no computador, mesmo as fotos mais realistas têm um quê de artificial.

Fig. 1. Com o sistema RGB, engenheiros conseguem mostrar as cores dentro do triângulo; o olho humano, contudo, pode ver cores que os engenheiros não podem representar com o sistema RGB. Nesta figura, tais cores estão mostradas em cinza.

Depois de estudar o sistema RGB, o Dante entende como os computadores manipulam pixels coloridos, mas ele não pode usar códigos RGB para conversar sobre cores com leigos — por exemplo, para conversar com o usuário que lhe encomendou um sistema. Para conversar com profissionais de artes gráficas, Dante terá de mencionar o sistema CMYK — C de ciano, M de magenta, Y de amarelo, K de preto. No sistema CMYK, Dante deve trabalhar com porcentagens — a porcentagem de ciano, de magenta, de amarelo e de preto. “Esse código é útil para quem lida com dispositivos à base de tintas, como as impressoras”, informa Teresa Chambel. Para calcular a conversão, Dante pode usar um portal especializado, como o Wolfram Alpha. Por exemplo, para converter o pixel de cor RGB (130, 60, 200), digita o comando “color #823CC8 in CMYK” e o portal devolve várias informações, entre elas:

Cor do pixel

Código RGB (decimal)

(130, 60, 200)

Código RGB (hexadecimal)

#823CC8

Código CMYK

(35%, 70%, 0%, 22%)

Sabendo disso, Dante deve dizer ao artista: “Este violeta tem 35% de ciano, 70% de magenta, nada de amarelo, e 22% de preto.” Mas o portal Wolfram Alpha devolve outra informação importante: o código HSB. Dante deve usar esse código quando quer que seu programa apresente ao usuário uma paleta de cores mais amigável. O programa (escrito por Dante) pede ao sistema operacional do computador (por exemplo, o Windows): apresente ao usuário a cor HSB (270º, 70%, 78%), e o sistema operacional vai apresentar ao usuário uma caixa de diálogo feita com base no sólido da figura 2 (abaixo). Para escolher uma cor no sistema HSB, a única coisa que o usuário tem de fazer, em geral, é posicionar o cursor sobre a cor desejada e apertar uns botões para determinar a saturação e o brilho. “O modelo HSB é orientado às pessoas”, diz Teresa. “Ele usa conceitos com os quais artistas, ou qualquer pessoa que trabalhe com cores, estão familiarizados.”

Fig. 2. No sistema HSB, o usuário informa o ângulo em que está a cor que lhe interessa (em graus), a saturação (em porcentagem) e o brilho (também em porcentagem). Note que Hue = Matiz, Saturation = Saturação, e Value = Brilho.

Pilha prima de biscoitos. Num curso de engenharia, depois de conhecer o básico sobre como representar uma cor, Dante se debruça sobre questões mais complicadas:

1. Como representar uma imagem por meio de figuras geométrica num plano (duas dimensões), de tal forma que as imagens deem a sensação de três dimensões? Ana Paula Cláudio, também professora na Universidade de Lisboa, diz que o aluno vai estudar geometria analítica à beça para representar os pontos no plano e o modo como os pontos devem ser mover — por exemplo, no caso de um filme ou de um jogo, ou no caso de um efeito especial aplicado a uma foto ou a um fotograma de filme.

2. Ao mover os pixels pela tela, como controlar sua cor e seu brilho? Numa situação real, sempre que um objeto se move, sua cor se altera, porque a luz a que está exposto se altera. Ana Paula diz que o estudante terá de criar algoritmos para tratar da reflexão e da refração da luz em cada um dos pixels da imagem. Isso significa criar algoritmos que façam cálculos com milhões de matrizes por minuto. “A luz é um fenômeno extremamente complexo”, diz Ana Paula. “O segredo é simplificar o problema e adotar artifícios técnicos para que as simplificações não comprometam a qualidade das imagens.”

3. Como usar os pixels coloridos numa imagem para determinar o formato dos objetos? Uma pessoa consegue olhar uma foto e distinguir o mergulhador da tartaruga marinha, mas o computador não consegue, exceto se tiver programas especiais de reconhecimento. É função do engenheiro bolar tais programas. Com um programa bem-feito, uma emissora de TV pode, por exemplo, catalogar automaticamente todos os filmes nos quais aparece uma determinada pessoa — dizendo em que hora, minuto, e segundo a pessoa aparece, e quanto tempo dura tal aparição.

4. E caso o computador precise apresentar ao usuário não coisas concretas, como mergulhadores e tartarugas, mas ideias mais abstratas, como arquivo, documento, índice? Beatriz Carmo, da Universidade de Lisboa, é doutora em técnicas de visualização de imagens. “Um exemplo é a visualização de uma coleção de documentos”, diz Beatriz. “Antes de bolar a visualização, preciso executar um pré-processamento da coleção, para coletar dados numéricos, como a frequência com que certa palavra ocorre. Isso me ajudará a identificar as palavras-chave.” Com essa informação, Beatriz bola um jeito de usar as cores de tal modo que o usuário compreenda rapidamente quais são os números mais importantes naquela coleção de documentos.

Teresa, Ana Paula, e Beatriz dizem que as primeiras aulas sobre o sistema RGB e sobre os outros sistemas põem os alunos para pensar em números de um jeito mais profundo. No sistema decimal, os números pares terminam com algum algarismo múltiplo de 2. E no sistema binário? Terminam com 0 — pois 2 é igual a 10, 4 é igual a 100, 6 é igual a 110. E no sistema hexadecimal? De 0 a 9, o sistema decimal e o hexadecimal coincidem, mas, a partir de (10)10, A é par, B é ímpar, C é par, D é ímpar, E é par e F é ímpar. O único modo de se habituar com esse método tão esquisito de encarar pares e ímpares é manter uma tabela colada na parede, com os números decimais de um lado e os hexadecimais de outro. Numa classe animada, logos os alunos compreendem algumas ideias que estudaram quando eram crianças e adolescentes: as propriedades de um número não têm nada a ver com o modo como o homem põe o tal número no papel. No sistema decimal, 59 é um número primo, e no sistema hexadecimal 3B também é. No sistema decimal, os divisores de 10 são 1, 2, 5, e 10, e no sistema hexadecimal, são 1, 2, 5, e A. “Conhecer os conceitos matemáticos que estão por trás das representações gráficas dá ao aluno uma maior sensação de domínio sobre o que ele usa”, diz Teresa. O aluno por fim até entende que pode ver uma pilha de biscoitos de chocolate como se fosse um número, e que, se a pilha for um número primo, por exemplo cinco, não pode ser repartida igualitariamente em pedaços inteiros, exceto por uma única pessoa (que come a pilha inteira) ou por cinco pessoas (que comem um biscoito cada uma). {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 16, maio de 2012, pág. 56. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita; as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Renato Mendes, que morava em Lisboa.

3. Se eu tivesse o poder de mudar o sistema brasileiro de educação por mágica, daria maior ênfase ao ensino de matemática discreta — conjuntos, relações e funções, máquinas de estados finitos e máquinas de Turing, semântica, probabilidade discreta, teoria da informação, teoria das decisões e dos jogos. Tudo isso sempre com o apoio de computadores, e com uma linguagem de computação boa para explorações e prototipagem, tipo Python. Em particular, colocaria meus alunos para jogar muitas variedades de jogos simples e, quando estivessem bons num jogo relativamente fácil, faria com que escrevessem programas de computador para apoiá-los durante as partidas, ou até programas que jogassem por si mesmos.

Dica saudável: bolor no laboratório de matemática

Alguns professores ensinam funções exponenciais nessa sequência: conteúdo, exemplos, e exercícios. Muitos estudantes desanimam e desistem. Uma professora ousou mais: fez seus alunos cuidar de pães embolorados, e eles adoraram.


{1}/ Materiais feitos para a ocasião

Todos os dias de manhã, Daniela Mendes Vieira, professora de matemática, colocava uma mala de viagem pesada no porta-malas do carro. Quem a observasse teria razões para pensar: “Para onde ela tanto viaja?” A estrada era longa: Daniela percorria quase 60 quilômetros para dar aula em Duque de Caxias, na Baixada Fluminense; ao final do dia, enfrentava o tráfego intenso com os filhos sonolentos no banco de trás do carro, e ao chegar em casa tinha dirigido por cinco horas ao todo. Dentro da mala, levava revistas, tesouras sem pontas, tubinhos de cola, cartolinas, jornais, canetinhas, barbantes; a ideia era que seus alunos estudassem matemática produzindo objetos.

Então ela arrumou um emprego novo — foi trabalhar no recém-inaugurado Colégio Estadual Hebe Camargo, na zona oeste do Rio de Janeiro, a 25 minutos de distância da sua casa. Quando Daniela entrou na escola nova, viu escrito numa porta: Laboratório de Física e Matemática. Abriu a porta e deu uma espiada: cadeiras e mesas com cores ainda vivas. Entrou e passou a mão pelas paredes — tinta fresca! Tudo exalava cheiro de coisa nova. Nunca mais ela precisaria carregar aquela mala. Logo pensou: “Vou revolucionar esse lugar!”

No colégio Hebe Camargo, os alunos se formam como técnicos em telecomunicações. Daniela teve várias ideias de como transformaria aquele laboratório num ambiente instigante. Visto que os equipamentos da escola haviam sido desembrulhados há pouco tempo, achou caixas, plásticos, e isopores. Sendo quem é, Daniela não permitiu que jogassem toda aquela tralha no lixo — pois poderia transformá-la em objetos para o estudo de matemática. Em poucos dias, já conduzia experimentos dentro e fora do laboratório.

Ela sempre gostou de produzir seus próprios objetos matemáticos; é o que ela chama de materiais manipuláveis e sustentáveis — feitos de lixo. Para ensinar a ideia de baricentro, Daniela constrói um objeto com um pote velho, canudinhos e papelão; para somar os ângulos externos de um polígono convexo qualquer, usa isopor, cartolina, e mais canudinhos; para ensinar ângulos correspondentes, usa um CD antigo. Daniela também ensina seus alunos a construir cada um seu ábaco aberto com isopor, palitos de churrasco, e tampinhas de garrafa PET.

Ela gosta de materiais didáticos feitos assim, com matéria-prima descartável, pois ficam baratos; além disso, ela pode planejá-los, e os alunos podem construí-los, de modo a se adequar perfeitamente ao assunto em estudos. Quanto aos materiais industrializados, não gosta deles tanto assim. “O problema desse tipo de material é que ele serve para muita coisa. No caso do multiplano, ele serve para estudar funções, áreas, etc. São tantos assuntos que o professor pode ficar perdido, e o objeto acaba sem serventia nenhuma.” Ela já recorreu a jogos em sala de aula, mas nem sempre os alunos estudam de verdade. No caso do dominó de frações, por exemplo, Daniela diz que a criança reclama, pois não quer jogar dominó de frações: quer jogar dominó. “A criança fica chateada, pois tem que fazer continhas, sendo que era mais legal jogar o dominó convencional.”

Daniela conta que uma vez foi dar aula num colégio e encontrou uma série de materiais industrializados empoeirados numa sala. Tentou usá-los, mas não obteve o sucesso com o qual fantasiava. Foi quando percebeu que só os materiais com objetivo muito específico funcionam bem, e tais materiais, ora, é mais fácil construí-los que comprá-los — como o fabricante pode ser específico se está vendendo para mil e uma escolas Brasil afora? “O que serve para muita coisa, não serve para nada. O professor muitas vezes nem sabe o que vai fazer com aquilo.”

A arte de espernear bastante. Daniela acha normal que os alunos decorem alguns assuntos. Eles sabem que, numa prova, aquele que fez exercícios exaustivamente tende a se sair melhor do que aquele que não fez. Mas, segundo Daniela, todo mundo tem uma “memória associativa”. Isso significa que, a longo prazo, o aluno que consegue associar a matéria a uma atividade significativa se sai melhor do que o aluno que simplesmente decorou. “Por meio da associação, o aluno carrega os conhecimentos de tal forma que eles começam a fazer parte de quem ele é.” Ela sempre organiza atividades fora da sala de aula. “Como a memória é associativa, é preciso ter algo para puxar. Função exponencial: fungos. Função afim: corrida na quadra. Razão trigonométrica: super bolhas. Faz toda a diferença quando o aluno, tendo com o que puxar, consegue resgatar os conhecimentos guardados numa memória de longo prazo.”

Daniela diz que, no começo, seus alunos resistiram bastante. Primeiro, teve a ideia de realizar oficinas de matemática, que na verdade funcionariam como aulas de revisão. Ela levava um protótipo pronto e pedia à classe, dividida em turmas, que o reproduzisse. Ao reproduzir o protótipo, sua esperança era que eles reviveriam a matéria. “Foi um fracasso retumbante.” Dois motivos:

(1) Ela ensinava vários temas por dia, e nenhum deles ia cair na prova.

(2) Os estudantes trabalhavam em grupos de seis. Em termos escolares, isso é uma multidão incontrolável.

No fim das contas, uma atividade que deveria ter durado uma aula durou seis meses. Depois disso, ela mudou tudo: passou a levar o material didático já pronto, em vez de pedir aos grupos que o construíssem; montou grupos com quatro alunos; decidiu que cada oficina trataria de um único tema. Daniela diz que todos os indicadores de desempenho melhoraram.

De lá para cá, Daniela admite, continua a ter problemas frequentes com os alunos. Não é com um ou dois, mas com a maioria deles. “A regra é o aluno ser refratário. Ele quer conversar no horário da atividade, ele te pergunta se aquilo é realmente necessário, ele te informa que aprendia muito bem com a outra professora.” Até hoje, é comum um aluno se aproximar e perguntar:

“Professora, por que você usa essa metodologia?”

Outro:

“É aula de arte?”

Outro:

“Por que eu tenho de fazer isso tudo? Me dá logo a fórmula!”

Embora os alunos resistam, Daniela diz que eles se acostumam com o método e passo a passo vão se apropriando do espaço. “Eles começam a ver matemática com outros olhos. Alunos que antes não gostavam de matemática, passam a gostar, porque passam a entendê-la. Eles começam a ver que não precisam mais decorar, pois quem decora, esquece.”

Então, embora os alunos ainda resistam, meio que por reflexo condicionado, Daniela os considera bons parceiros. Eles já sugerem modificações e melhorias nos materiais que já usaram. “Hoje, o aluno é um questionador mesmo, e eu acho que ele está certo. Alguns professores veem isso como um problema, mas eu vejo como uma qualidade.”

No blogue Laboratório Sustentável da Matemática, a professora e os alunos registram os experimentos, dão dicas de como realizar as atividades e construir os objetos manipuláveis. Daniela também dá dicas e sugestões aos outros professores; vários gostam dessa ideia de laboratório. Segundo ela, o portal tem cerca de 10.000 visualizações mensais.

Pães embolorados. Um dia Daniela estava em casa e achou uma fatia de pão embolorada, mas não a jogou fora; no dia seguinte, a fatia estava mais embolorada ainda. Ela pensou: aquilo poderia ser útil num experimento sobre a função exponencial; e pediu ajuda ao professor de biologia. Ele disse que o fungo responsável pelo bolor do pão se chama Aspergillus sp, uma espécie que não oferece risco à saúde e se desenvolve bem à temperatura ambiente (de 25° a 30°). Prometeu ajudar, mas fez duas exigências: para que a colônia de fungos cresça, alguém deve regá-la diariamente; além disso, o ar-condicionado do laboratório deveria ficar desligado.

Numa sexta-feira, Daniela e seus alunos colocaram fatias de pão fresco sobre a mesa do laboratório e as contaminaram com 1 centímetro quadrado de fungos de um pão embolorado (saiba mais sobre isso na seção 2). Ela precisou de uma voluntária para acompanhar o desenvolvimento da colônia e escalou a aluna Lorena. Todos os dias, às 11:00, Lorena tinha a missão de sair da aula em que estava, fosse qual fosse, correr até o laboratório de matemática, regar a colônia de fungos, e voltar o mais depressa possível.

“Onde você está indo?”, perguntava um professor.

“Vou molhar os fungos!”

Como no sábado e domingo não houve aula, Lorena começou a trabalhar na segunda-feira, o terceiro dia — a colônia já estava com 6 centímetros quadrados. No quarto dia, 18 centímetros quadrados. No quinto e último dia, 38 centímetros quadrados.

Os alunos nem precisaram fazer conta. Eles viram que o crescimento foi rápido. “Eles se divertiram com cada etapa, e gostaram de contaminar o pão, e se surpreenderam com o crescimento rápido da colônia de fungos. Eles foram acompanhando com muito interesse tudo o que acontecia no experimento.”

“Professora, posso comer o pão?”, perguntou um deles.

“Será que fica bom com maionese?”, disse outro.

Daniela percebeu que os alunos gostaram tanto do experimento que ficariam chateados quando soubessem que as fatias iriam para lixo. Resolveu o problema assim: sem que ninguém visse, ela as jogou numa lixeira nos fundos da escola.

No mês passado [janeiro de 2015], os alunos do Colégio Hebe Camargo fizeram a avaliação integrada. Eles precisaram estudar todos os conteúdos de todas as disciplinas que viram no semestre. Daniela diz que nesse momento pôde ver que os alunos, de fato, mudaram. Depois da prova, eles saíram da sala de aula comemorando.

“Professora, na parte de matemática a gente sabia tudo!”

“Queremos o gabarito, professora!”

“A prova estava muito fácil, professora!”

Daniela jura que não. “Em todos os meus anos de magistério, nunca vi nada daquilo. Eles estavam felizes, batiam na mão um do outro.”

Hoje a professora coleciona histórias assim. Uma de suas alunas sempre dizia: “Xiii… matemática? Não entendo nada!” Depois do experimento com os pães embolorados, pediu para fazer parte do time de monitores do laboratório. Agora ela não chama mais o laboratório de “laboratório de matemática”, como fazia antes, mas de “nosso laboratório”. Daniela também se surpreendeu com um professor. Ela nem podia imaginar, mas o professor de geografia acompanhou o experimento e não se envergonhou de elogiar: “Parece aquelas aulas de canal educativo, muito bem-feitas.” {}



{2}/ Um pão embolorado embolora muitos pães

A professora Daniela levou seus alunos até o laboratório de matemática e lhes mostrou várias fatias emboloradas de pão e várias fatias de pão fresco. Anunciou:

“Hoje vou ensinar função exponencial de outro jeito: com a ajuda de uma colônia de Aspergillus sp.”

Os alunos se olharam com cara de ué.

“Asper… O quê?”, perguntou um deles.

Gente, sem drama”, respondeu Daniela. “Aspergillus sp nada mais é do que bolor!”

Ela deu explicações e daí cada grupo fez seu trabalho: contaminou uma fatia de pão fresco com 1 centímetro quadrado de fungos, retirados de uma fatia já embolorada. Para isso, basta um cotonete.

Durante cinco dias, eles acompanharam com cuidado o crescimento do bolor. Eis um modo de olhar para o problema: usando um sistema de coordenadas retangulares, basta imaginar o eixo X como sendo os dias e o eixo Y como sendo a área da colônia em centímetros quadrados.

Dia

Tamanho

Coordenadas

Ponto

Sexta-feira

1 cm2

(0, 1)

A

Sábado

Não avaliado

Domingo

Não avaliado

Segunda-feira

6 cm2

(3, 6)

B

Terça-feira

18 cm2

(4, 18)

C

Quarta-feira

38 cm2

(5, 38)

D

Há várias maneiras de proceder aqui. Um deles é pegar a fórmula genérica da função crescimento exponencial, que é y = kex (k positivo), e usar um dos pontos para descobrir o valor de k. Por exemplo, o ponto D:

Cada um dos pontos renderia um valor distinto para k, e o professor pode explorar esse tópico: não existe situação do mundo real que se comporte perfeitamente como uma função contínua. Cada ponto medido no mundo real ficará às vezes acima da curva da função, às vezes abaixo, mas raramente todos os pontos ficarão exatamente na curva. Usando o computador, os alunos poderiam usar todos os pontos para obter a curva exponencial que passe mais perto de todos eles. O computador usará as coordenadas dos quatro pontos e o método dos mínimos quadrados para devolver em resposta a curva y = 0,631155 ∙ exp(0,820859x):

(Na figura acima, os pontos vermelhos são os pontos A, B, C, D. Neste caso, o computador procurou números para a função y = KeRx, com K, R números reais positivos.)

Mas e se a turma não sabe usar o computador desse modo? Como o aluno pode escolher um valor médio para k? Esse é um tópico interessante de conversa. Será que o melhor jeito é recorrer à média aritmética? Será que é melhor recorrer à média geométrica? De todos os pontos ou só de alguns deles? E se a turma tentasse achar uma função polinomial de grau 4 que passasse por todos os pontos — poderia interpolar valores mais facilmente? Poderia extrapolar valores?



{3}/ Alfredo The Flash

Um homem (vamos chamá-lo de Alfredo) gosta de caminhar todas as manhãs num parque perto da sua casa. Ele já evoluiu bastante na atividade física; em breve vai começar a correr. Outro dia ficou pensando em quantos passos por minuto precisaria andar ou correr para poder participar de uma competição.

Alfredo imaginou se podia se desenvolver assim: no primeiro dia, só dois passos por minuto. No segundo dia, só quatro passos por minuto. No terceiro dia, só oito passados por minuto. E assim por diante. “No dia d”, pensou Alfredo todo alegre, “tenho de caminhar só 2d passos por minuto!”

Quando fez uma tabela com o cronograma de passos, viu que havia nela algo estranho.

Dia

Número de passos

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

7

128

8

256

9

512

10

1.024

11

2.048

12

4.096

“Será que alguém consegue dar 4.096 passos num minuto?” Alfredo fez as contas. No primeiro dia, teria 30 segundos para dar cada passo. Moleza. No décimo segundo dia, teria 0,015 segundo por passo, isto é, teria de mover as pernas umas 68 vezes por segundo e estaria correndo a mais ou menos 196 quilômetros por hora!

Numa atividade como a das fatias de pão emboloradas, o aluno pode brincar dessa maneira. Se a curva de crescimento da colônia de fungos é de y = 0,631155 ∙ exp(0,820859x), com y medido em centímetros quadrados e x medido em dias, qual seria o tamanho da mancha ao fim de, por exemplo, 30 dias, desde que houvesse pão suficiente? Ela teria pouco mais de 3 quilômetros quadrados! Com tais brincadeiras, o aluno vai pegando uma ideia matemática importante: ele começa imaginando uma quantidade y que cresce conforme cresce o valor de x, e denota essa ideia com y = f(x). Daí, se y cresce a ritmo exponencial, cedo ou tarde vai superar qualquer quantidade que cresça em função de x a ritmo linear e qualquer quantidade que cresça conforme uma potência fixa de x.



{4}/ Carta ao leitor: Esta matéria foi feita para professores?

Vários do leitores deste blogue não são professores — nunca foram, e talvez nunca sejam. São engenheiros, bancários, aposentados, oceanógrafos, físicos, contadores, biólogos, químicos, contabilistas, jornalistas. Sei disso. No entanto, em várias das matérias, os entrevistados são professores, e até parece que as matérias são escritas tento um professor em vista. Por quê?

A culpa é minha. Desde que comecei a produzir a revista Cálculo: Matemática para Todos, em 2010, eu achava que um bom matemático é, no fim das contas, um bom estudante de matemática, no sentido de que sabe estudar e está sempre estudando. De lá para cá, entrevistei dezenas de pessoas, li milhares de páginas, escrevi dezenas de matérias, editei muitas outras mais — e minha crença só se fortaleceu. Nunca vi ou ouvi falar de um bom matemático que não fosse também um bom estudante.

Uma coisa interessante sobre bons estudantes é que vivem às voltas com um bom professor. Às vezes esse relacionamento ocorre face a face, numa escola qualquer; contudo, nem sempre é assim. Às vezes ocorre via internet. Entretanto, quando o estudante passa semanas para cima e para baixo com um livro, às vezes esse relacionamento ocorre apesar do tempo, pois o autor morreu em 1947 e o leitor nasceu 20 anos depois. (Estou olhando para minha cópia de A Course of Pure Mathematics, de G. H. Hardy, um livro que amo.)

Bons professores também são bons estudantes, e mais do que isso: eles se preocupam com o melhor jeito de dizer as coisas, o melhor exemplo, a melhor sequência de assuntos, a melhor atividade, o melhor jeito de aferir se o aluno entendeu, a melhor dica de leitura. Graças à própria experiência, estão sempre bem informados sobre como um estudante reage a ideias novas e difíceis.

Quando neste blogue eu entrevisto um professor e produzo uma matéria que parece ter sido escrita com professores e para professores, tenho a esperança de que o leitor saberá abordá-la. Ele não vai dizer: “Essa matéria é sobre alunos e professores, e portanto não me interessa”; mas sim: “Será que existe aqui alguma ideia que ainda não conheço, ou uma ideia que conheço, mas dita de um jeito instigante?” Sim, existe — faço questão de que exista.

Além disso, todo amante de matemática cedo ou tarde dá aulas, mesmo que informalmente. Isso porque alguém se aproxima e pergunta: “Ouvi dizer que você gosta de matemática. É verdade? Será que pode me tirar uma dúvida?” Se o leitor souber um pouco sobre os desafios de ensinar, talvez conduza essa conversa habilmente. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 49, fevereiro de 2015, pág. 20. (A carta ao leitor na seção 4 é uma adaptação da Carta ao Leitor que publiquei na pág. 5 dessa mesma edição.) A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista com a professora Daniela Mendes Vieira foi feita pela jornalista Fernanda Lima.

3. Pessoalmente, nunca gostei de atividades em laboratório de matemática. Não gosto de cortar e colar coisas, nem de amarrar palitos, nem de dobrar papéis, etc. Gosto de matemática justamente porque posso estudá-la com apenas quatro coisas: (a) meu corpo, (b) um livro, (c) caderno de cartografia (com páginas em branco, sem pauta), e (d) lápis. Dito isso, simpatizo com a atividade dos pães embolorados, pois o professor pode usá-la para ilustrar a melhor ideia que a humanidade já teve: o método científico. Em resumo: (I) Faça medições no mundo real. (II) Crie uma teoria que explique o valor das medições. (III) Veja se, com suas explicações, consegue prever o valor de novas medições. (IV) Repita os passos (I) a (III) constantemente, conforme você e seus colegas cientistas criam novos medidores e novas ferramentas intelectuais, como novas teorias e novos métodos matemáticos.

Um dia na vida de um topógrafo


Numa cidade grande, todo dia há uma equipe de topografia fazendo medições com a Estação Total (aquele aparelho no tripé). A equipe chama a atenção porque, todos sabem, onde há topógrafos, cedo ou tarde começa uma obra.


{1}/ Desenhos ligeiramente diferentes da realidade

Dois terrenos do tipo paralelogramo podem ter 25 metros de comprimento e 10 metros de largura. Os dois terão 250 metros quadrados de área. Mas os dois talvez sejam diferentes: um deles está mais para retângulo, o outro mais para paralelogramo inclinado. Se um engenheiro projetar uma casa para um desses terrenos, ela não caberá no outro. Esse é o papel do topógrafo: ele (ou ela) pega seu tripé, seus bastões, sua prancheta e vai a campo medir ângulos e distâncias para que, depois, os engenheiros e mestres de obra projetem e construam edifícios seguros, no menor prazo, com o menor custo. Em geral, o topógrafo topa com diferenças sutis entre um terreno e outro (ou seja, entre um paralelogramo e outro), mas mesmo assim suficientes para que objetos pré-fabricados ou pré-moldados, por exemplo, não caibam onde deveriam caber.

Se o topógrafo cumpre seu papel, as coisas se encaixam depois. Se ele não cumpre… “É muito comum”, diz Carlos Alberto Baba, sócio da Russo Topografia, “encontrar um documento oficial de um terreno com a informação de que parte do terreno tem 10 metros de comprimento. Quando vamos medir, encontramos 9 metros e 90 centímetros. Isso ocorre por uma série de razões: uma construção irregular, a invasão de um vizinho. A diferença é pequena, mas pode causar um problemão na hora de executar o projeto.” Pode causar um acidente, ou até a morte de alguém.

Topografia é coisa séria, mas empresários como Carlos Baba têm cada vez maior dificuldade para contratar topógrafos jovens. “Contratar novos topógrafos qualificados está cada vez mais complicado. Muitos profissionais com experiência estão se aposentando.” Carlos consegue contratar gente mais jovem, profissionais criativos e dedicados ao trabalho, mas eles não têm formação teórica. Eles até sabem fazer todas as medições necessárias, mas não sabem matemática. “Eles não sabem os porquês, não sabem para que servem aqueles números.”

Andréa de Seixas, professora do departamento de engenharia cartográfica da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), diz que existe uma tensão entre quem contrata jovens e entre os jovens que estudam topografia em algum curso universitário. “Muitos profissionais atuam nessa área sem respeitar a formação básica de um topógrafo”, diz Andréa. “Assim, o maior desafio da topografia no Brasil está em ocupar seu espaço na sociedade.” Em outras palavras: se o empresário contrata topógrafos sem formação, os salários médios caem (ficam entre 1.500 reais e 3.500 reais no máximo; mas há quem aceite trabalhar por 500, 600 reais), e aí quem está estudando, quem está a ponto de escolher uma profissão, já descarta a topografia de imediato — em vez disso, escolhe uma profissão com maior probabilidade de ganhar bem.

Numa coisa, contudo, os jovens estudantes estão enganados. Vale a pena estudar topografia porque, como fez Carlos Baba, vale a pena ser o dono de uma empresa de topografia. Entre os clientes, estão todas as empresas de engenharia. Se uma empresa precisa construir um túnel, ou determinar os limites de um sítio arqueológico, ou escolher o melhor lugar para plantar feijões, ou cercar um pasto para 10.000 cabeças de boi, ou montar uma fábrica dentro de um galpão já pronto, ou reformar o setor de um navio de grande porte, ou dividir um terreno em lotes… Essa empresa vai precisar dos serviços de uma empresa de topografia, e ela paga uns 10.000 reais por dia de trabalho.

Um dia ao ar livre. A palavra topografia vem de duas palavras gregas: topos, lugar, e graphía, escrever; topografar é descrever um lugar. Um topógrafo vai a campo com a disposição de pôr no papel tudo o que for necessário para, mais tarde, desenhar um mapa detalhado do lugar: um córrego, um portão, uma árvore, uma boca de lobo, um muro, uma calçada, um poste, a quina de uma casa, uma pedra. Primeiro, ele escolhe os pontos importantes do lugar. Depois, ele escolhe o ponto 1. A partir daí, ele mede distâncias, ângulos, e elevações. A que distância do ponto 1 está o muro? A que distância do ponto 1 está a quina da casa? Qual é o ângulo entre a linha reta que liga o ponto 1 ao muro e a linha reta que liga o ponto 1 à quina da casa? A base do muro está a quantos centímetros mais alta ou mais baixa que o ponto 1? E a base da quina da casa? E o topo da quina da casa? E assim o topógrafo vai de ponto em ponto. Num trabalho grande, talvez ele tenha de medir distâncias, ângulos, e elevações de mil pontos.

A ideia central é: se você conhece a medida do comprimento de alguns segmentos de reta e a medida de alguns ângulos, consegue calcular qualquer distância e qualquer elevação a partir desses segmentos e ângulos. Basta usar ideias básicas da geometria (especialmente a trigonometria) e da teoria sobre proporções. Um dia na vida de um topógrafo é, quase sempre, um dia ao ar livre — um dia divertido.

Com um mapa simples do local, constando nomes das ruas, lotes, pontos-chave a levantar, a equipe parte para o campo, pronta para iniciar as medições. Em geral, uma equipe é feita de três pessoas: um topógrafo e dois ajudantes. Eles levam com eles a Estação Total, que é o nome certo daquele tripé. Uma Estação Total moderna mede ângulos e distâncias sozinha, usando luz laser, por exemplo; ela vem com GPS, para medir latitude e longitude, e ainda armazena todas as medições na memória. Além da Estação Total, a equipe leva capa de chuva, guarda-chuva, mala de ferramentas, e bastões com um prisma na ponta.

Escolhido o ponto 1, o topógrafo usa uma bússola para marcar o norte; com essa informação, o mapa será desenhado com o norte no topo, como deve ser. A Estação Total é fixada no chão, bem alinhada. Um assistente vai levando, de ponto em ponto, o bastão com o prisma na ponta. O topógrafo aponta a Estação Total para o prisma, e daí a estação mede distâncias e ângulos e guarda os resultados na memória.

“O equipamento eletrônico facilita bastante o trabalho”, diz Vicente Russo, também sócio da Russo Topografia, e responsável pelos trabalhos de campo. “Ele permite levantar dados com maior precisão, agilidade, e rapidez. Antigamente tudo era feito com uma trena, ponto a ponto. Imagina o tempo que isso levava, além da maior possibilidade de erros.”

Mesmo assim, topógrafos experientes levam uma prancheta e anotam cada medida na prancheta. “Basta uma pane”, diz Vicente, “e perdemos todo o trabalho de um dia inteiro.” Papel não usa pilhas.

Além da planilha, o topógrafo desenha todos os pontos num esboço. Esse desenho feito às pressas vai impedir, depois, que alguém interprete errado alguma das medições e desenhe no mapa algo que não estava lá ou, se estava, não estava no lugar em que foi parar no mapa.

Feito o levantamento, a equipe de campo vai para o escritório com a planilha de anotações e o croquis. Todo o material vai parar nas mãos do topógrafo responsável pelo desenho da planta. Antigamente, o topógrafo calculava tudo manualmente; ele usava um transferidor para determinar todos os ângulos, e desenhava tudo à mão. Quando o primeiro rascunho ficava pronto, o topógrafo usava papel vegetal para ir passando o rascunho a limpo. Só depois disso o mapa estava apresentável o bastante para ser entregue ao cliente. “Imagine esse trabalho todo para um projeto de mil pontos”, diz Carlos Baba. Hoje, tudo isso mudou com a informática. A equipe de campo chega da rua e transfere os dados da Estação Total direto para um computador. “Para cada ponto”, diz Carlos, “o computador lê a distância e o ângulo, e vai plotando num mapa os pontos. Num instante a planta fica pronta.” As plantas mais comuns têm escala de 1:50 (um para cinquenta, ou seja, 1 unidade de medida no mapa vale 50 unidades de medida na vida real), de 1:100, ou de 1:5.000.

Aulas de topografia. Carlos Baba trabalha com topografia há 40 anos. Começou a trabalhar num escritório de topografia quando era adolescente, e aprendeu a desenhar e a calcular nesse escritório. Depois, trabalhou em campo. Só muito mais tarde ele foi estudar engenharia na faculdade, e só aí ele foi entender de verdade todos os porquês.

Até hoje, 40 anos depois, a história se repete. Como não existe curso universitário de topografia, em geral o jovem arruma um emprego num escritório de topografia, gosta da profissão, e depois vai estudar algo correlacionado com topografia. Em casos mais raros, o estudante de alguma engenharia faz um curso breve de topografia na faculdade e se apaixona. Andréa de Seixas diz que um bom topógrafo deve estudar cálculo 1 e 2, geometria analítica, álgebra linear, cálculo numérico, estatística, desenho técnico, processamento de dados, geometria descritiva.

Segundo Andréa, em geral os alunos não entendem direito o que é a topografia só com a teoria. Eles não conseguem visualizar o que estão estudando, e por isso não conseguem manipular as fórmulas matemáticas adequadamente. A ficha só cai quando eles vão a campo. “Ter a noção do espaço é fundamental”, diz Andréa. Depois que os alunos unem a teoria à prática, eles conseguem usar bem os equipamentos modernos, eletrônicos, e os programas de computador.

Toda essa teoria e prática parece bastante coisa para quem só vai medir distâncias e ângulos com uma Estação Total, e depois só vai pilotar um computador de mesa. Mas quem estuda bastante ganha muitas vantagens. Um topógrafo bem treinado consegue fazer ajustes muito complicados nas medidas. Por exemplo: se o prisma estiver longe da Estação Total, a distância medida pelo laser será um pouco menor do que a distância real. A Terra é curva — para calcular a distância real, o topógrafo tem de levar em conta a curvatura da Terra. {}



{2}/ Apêndice: O vocabulário básico da topografia

Topometria: é o ofício de medir distâncias e ângulos para, depois, reproduzir num desenho os detalhes do terreno. A topometria se divide entre planimetria e altimetria. Na planimetria, o topógrafo mede ângulos e distâncias no plano horizontal, para desenhar uma planta como se o terreno fosse visto de cima. Na altimetria, o topógrafo mede distâncias e ângulos no plano vertical (ou zenital, como eles dizem). Com essas medidas, o topógrafo desenha cortes do terreno, mostrando a altura das coisas.

Topologia: é a área da matemática preocupada com o estudo geral de formas e de espaços, especialmente com as propriedades que não mudam com distorções contínuas, como o esticamento da forma ou do espaço. Se o topógrafo estuda topologia, ele consegue representar um terreno com um número menor de pontos, porque aprende a escolher os pontos mais significativos para o projeto em questão.

Taqueometria: é o conjunto de técnicas para levantar as características de um terreno com o taqueômetro, que é o nome genérico da Estação Total (uma Estação Total é um taqueômetro cheio de tecnologia).

Fotogrametria: é o conjunto de técnicas para levantar as características de um terreno por meio de fotografias. A fotogrametria pode ser feita em terra, pelo time de topografia, ou no ar, com o emprego de dispositivos voadores. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 3, abril de 2011, pág. 50. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Amanda Vidal.

Esbanjo ou economizo? Indivíduo ou sociedade?

Em muitas circunstâncias, o indivíduo se sente compelido a tomar decisões contrárias aos interesses dos outros. Em condomínios de apartamentos, por exemplo, depois que o síndico instala hidrômetros individuais, o consumo total de água diminui: é sinal de que, antes, os moradores gastavam mais que o necessário. Professores da FGV dizem que a teoria dos jogos é “assustadoramente convincente” ao explicar circunstâncias assim.


{1}/ Aulas de teatro e jogos de matrizes

Um leitor paulistano (codinome Np4) recebe um convite de um amigo de infância: jantar de 50º aniversário no restaurante La Bonne Cuisine. “Não precisa levar presente”, diz o amigo no convite, “mas o jantar é por conta dos convidados!” Quando Np4 chega ao restaurante, descobre que, com exceção do próprio aniversariante, não conhece ninguém. Enquanto se acomoda numa das cadeiras da mesa comprida, prepara-se psicologicamente para ser simpático, e lista mentalmente os assuntos do dia, sobre os quais pode conversar na falta de assunto melhor: as tempestades, o novo papa, o novo filme de super-herói… Pega o menu e examina as opções:

Salada de folhas… R$ 26

Dobradinha… R$ 34

Risoto de camarão… R$ 76

Água mineral 500 ml… R$ 8

Quando o garçom se aproxima para tirar o pedido, Np4 já elaborou a estratégia: nada de antepasto ou bebida alcoólica; pedirá a dobradinha e uma garrafa de água mineral sem gás. Com os 10% do garçom, é como se tivesse dado um presente de 50 reais ao amigo. Está bom, não está? O rapaz a seu lado, por sua vez, pede um uísque (26 reais), a terrine de pato e pistache (28 reais) e depois, como prato principal, o risoto de camarão com aspargos ao perfume de laranja e brotos de beterraba (76 reais). Np4 vai ficando cada vez mais surpreso conforme bota reparo no que os outros convivas pedem: champanhes, vinhos, filés, patos, escargots. “Quanto esse povo ganha?” Pula a sobremesa, mas pede o café (6 reais); vários de seus colegas de mesa, contudo, pedem a taça de creme de castanha francesa (18 reais) e uma dose de conhaque para acompanhar (21 reais).

Quando chega a hora de dividir a conta, alguém levanta um copo, como se fosse propor um brinde, e grita:

“Sentou, sorriu, a conta dividiu!”

Todo mundo ri e com gestos exagerados saca o cartão de crédito, inclusive Np4, enquanto pensa: “Aquelas aulas de teatro no ensino médio às vezes servem para alguma coisa.” No fim, com a conta dividida em partes iguais, cada um paga 196 reais. Na saída, de pé na calçada em frente ao restaurante, faz uma promessa a si mesmo: se for convidado de novo no ano que vem, vai comer e beber do bom e do melhor, nem que para isso tenha de abrir uma caderneta de poupança.

O estudante pode compreender melhor a situação vivida por Np4 ao recorrer à teoria dos jogos; um dos capítulos da teoria, chamado de “jogos de matrizes” ou de “forma normal”, serve não só para modelar como os amigos do aniversariante agiram no restaurante, como também para modelar o jeito como, num condomínio de apartamentos, os condôminos gastam água, sabendo que a conta de água é dividida igualmente por todos. Na Escola de Matemática Aplicada da Fundação Getulio Vargas, no Rio de Janeiro (RJ), o professor Moacyr Alvim Horta Barbosa da Silva dá aulas sobre teoria dos jogos, assunto pelo qual se apaixonou no ano 2000. Na ocasião, leu o livro Evolution and the Theory of Games, de John Maynard Smith. “Ele discorria sobre jogos e sobre a evolução das espécies por seleção natural”, diz Moacyr, “e era assustadoramente convincente. Pensei: caramba, a teoria dos jogos é uma ferramenta poderosa! Eu me encantei, e passei a estudá-la.”

Os patetas da CET. Quando conversa sobre teoria dos jogos com um leigo, Moacyr com frequência tem de explicar que ela não serve apenas para modelar jogos como o xadrez (em que cada jogador tem vez para mover uma peça) ou o dois ou um (em que os dois jogadores mostram os dedos ao mesmo tempo); ao contrário, serve principalmente para modelar situações de conflito, reais e importantes, como manobras militares, negociações comerciais e ajustes afetivos (como o ajuste pelo qual Np4 passou no restaurante). A teoria foi concebida para ajudar o estudante a compreender as situações nas quais o resultado geral do jogo depende das decisões de cada jogador. “Mas o resultado nem sempre depende apenas de decisões individuais”, diz Moacyr. “Muitas vezes, depende também de dinâmicas coletivas. Decisões solitárias e comunitárias estão em permanente tensão.” Embora a teoria tenha ferramentas próprias (como a forma normal; veja a seção 2), o especialista em teoria dos jogos recorre a qualquer objeto matemático que lhe sirva para o momento, das equações diferenciais parciais à estatística, da geometria à álgebra linear.

Nas primeiras aulas, Moacyr apresenta aos alunos da FGV o paradoxo de Braess. Numa cidade qualquer, há duas rotas para ir do bairro A ao bairro B. A rota 1 começa com ruas estreitas e de trânsito lento, mas termina numa rodovia larga e rápida. A rota 2 começa com uma rodovia larga e rápida, mas termina com ruas estreitas e de trânsito lento. “Como o tempo de deslocamento nas duas rotas é parecido, a tendência é que os motoristas se distribuam igualmente nas duas rotas”, diz Moacyr. Nessa situação, o jogo “vou pela rota 1 ou pela rota 2” atinge depressa o equilíbrio de Nash (a situação em que nenhum jogador ganha nada ao mudar de estratégia). No entanto, a CET dessa cidade decide interligar a rota 1 à rota 2, e daí o motorista pode começar na parte rápida da rota 2 e, no meio da viagem, ir para a parte rápida da rota 1, de modo a evitar completamente as ruas estreitas. É o que quase todo mundo faz; como resultado, o trânsito trava. Na teoria dos jogos, essa situação tem nome: tragédia dos comuns. É quando todos tomam a decisão melhor para si e todos se prejudicam por causa disso. “O melhor que a autoridade de trânsito poderia fazer é fechar o atalho e voltar à situação inicial”, diz Moacyr. Nem sempre é possível alinhar o interesse dos indivíduos com o da comunidade.

Depois de treinar um pouco a matemática necessária para compreender o paradoxo de Braess, o estudante pode usá-la para compreender uma tragédia dos comuns muito comum: a conta de água em condomínios de apartamentos. Em muitos deles, todos os proprietários dividem a conta de água igualmente. O síndico não consegue identificar quem gasta demais ou de menos, de modo que, se um dos condôminos esbanja água, não será punido pelos vizinhos. “Neste exemplo”, diz Moacyr, “os alunos descobrem que existe um incentivo para aumentar o consumo de água. Contudo, por razões diversas, o consumo tende a se estabilizar num valor: o equilíbrio de Nash volta a ser alcançado.” Entre as razões, estão: embora o condômino esbanje água quando está no apartamento, fecha todas as torneiras quando sai para o trabalho; embora o condômino possa gastar o quanto quiser, sem que seja repreendido pelos vizinhos, talvez economize água para salvar o ecossistema. Na prática, os moradores conversam sobre o assunto, e o síndico faz campanhas, mas, mesmo assim, o síndico não tem o poder de coordenar o consumo de água, e no fim todos gastam mais do que gastariam se houvesse um hidrômetro para cada apartamento.

Moacyr faz seus alunos notar que a teoria dos jogos não trata de julgamentos morais. Ela presume que cada jogador (ou agente, na linguagem técnica) decidirá de modo a auferir o maior benefício possível para si (benefício real ou imaginado), mas não taxa de bonzinho o jogador que economiza água ou come dobradinha, nem de malandro o jogador que esbanja água ou come risoto de camarões. “A teoria nos permite analisar as diferentes opções.” Por coincidência, Moacyr divide a sala com o biólogo Flávio Codeço Coelho, também professor na EMAp, para quem é fundamental estudar os jogos da natureza sem realizar nenhum tipo de julgamento moral. (O biólogo que estuda uma espécie segundo critérios morais humanos está perdido…) Há os casos nos quais duas espécies disputam os mesmos recursos naturais, como pasto ou água. Há outros nos quais os machos da mesma espécie disputam o direito de fecundar as fêmeas. Alguns machos lutam para medir forças e o mais forte ganha o direito, mas eles param a luta antes que um dos dois se machuque gravemente (como fazem os impalas nas savanas africanas). Outros às vezes lutam até a morte de um deles por ferimentos ou exaustão (como fazem abelhas e vespas em qualquer jardim).

Flávio diz que, para compreender ecossistemas, o estudante usa equações diferenciais à exaustão, pois lida constantemente com taxas instantâneas de crescimento ou decrescimento: o crescimento de filhotes de machos mais vigorosos, o decrescimento dos filhotes de machos mais débeis; o crescimento da espécie A, o decrescimento da área de pasto, o decrescimento da espécie B. (Equações diferenciais servem para modelar fenômenos interligados, nos quais as taxas de crescimento ou descrescimento instantâneas fazem diferença.) Outro professor da FGV, Angelo Polydoro, também usa a teoria dos jogos e as equações diferenciais para seres vivos — neste caso, seres humanos em conflitos sociais. “Tais jogos partem do pressuposto de que as pessoas agem para ser felizes, enquanto as empresas agem para obter o maior lucro possível.” Depois de estudar um jogo no qual uma colônia de pescadores entra em conflito com uma siderúrgica (veja a seção 3), o estudante, diz Angelo, descobrirá algo difícil de acreditar: caso o governo dê à siderúrgica o poder de poluir a água, e de cobrar algo dos pescadores em troca de não poluir tanto e manter a pescaria rentável; ou caso o governo dê aos pescadores o direito sobre a água, e de cobrar algo da siderúrgica para que ela possa poluir um pouco; nos dois casos a situação atinge o equilíbrio ótimo para ambas as partes. “A moral da história é que, se os direitos de propriedade estiverem bem definidos, não importa a alocação inicial dos direitos: a barganha entre os agentes levará a uma alocação eficiente dos recursos naturais em benefício de toda a sociedade.” A ideia é mesmo surpreendente, tanto é que seu primeiro propositor, Ronald Harry Coase, recebeu um prêmio Nobel de economia pelo histórico de ideias originais — todas embasadas com matemática, inclusive teoria dos jogos. {}



{2}/ Jogos de matrizes no condomínio

O professor Moacyr Silva imagina dois vizinhos de condomínio, Alice e Bruno. Os dois são os únicos moradores do condomínio, e repartem o custo da água entre si; não podem saber quem gastou quanto, pois o hidrômetro é compartilhado.

Para simplificar, Moacyr obriga os dois a escolher apenas três modos de gastar água: consumo baixo, consumo regular e consumo alto. “Gastar muita água é melhor”, diz Moacyr, o que é fácil de entender: banho de banheira todo dia. “Mas se ambos gastam muito, pagam muito, do que eles não gostam.” Prepara uma tabela para mostrar com números as decisões de Alice e Bruno.

BRUNO

Baixo

Regular

Alto

ALICE

Baixo

1

0

–2

Regular

3

4

0

Alto

7

6

2

Neste caso, Moacyr preparou a tabela para espelhar as preferências de Alice, e ela deve ser lida assim:

Alice escolhe as linhas, e Bruno escolhe as colunas. (Mas os números contam a história do ponto de vista de Alice, e não de Bruno.)

Se Alice consumisse pouco, gostaria que Bruno também consumisse pouco. Como prefere essa situação, paga por ela com o valor 1 no cruzamento da coluna “Baixo” com a linha “Baixo”.

Se ela consumisse pouco, mas Bruno consumisse regularmente, ela não se importaria. Então, não paga nada no cruzamento de “Regular” com “Regular”.

Se ela consumisse pouco, mas Bruno consumisse muito, bem, ela não gostaria de estar nessa situação, que considera injusta. Por isso, ela paga –2 pelo cruzamento da linha “Baixo” com a coluna “Alto”, isto é, estando nessa situação, prefere receber 2 de Bruno a pagar qualquer coisa a Bruno.

O que ela gostaria mesmo é de gastar muita água enquanto Bruno gastaria pouca, assim os dois dividiriam a conta da água que ele não gastou, mas ela sim. Por isso, ela paga 7 no cruzamento da linha “Alto” com a coluna “Baixo”.

“Suponha agora que Bruno escolha o perfil baixo”, diz Moacyr. “Alice vai escolher o perfil alto, pois 7 é o maior valor na coluna Baixo. Se Bruno escolhe regular, Alice escolhe alto. E se Bruno escolhe alto, Alice escolhe alto também.” Para ambos, seria OK se escolhessem o perfil regular. “No entanto, estamos pensando numa situação em que não há instrumentos que permitam aos dois cooperar.”



{3}/ Apêndice: Pescadores contra siderúrgica

Os executivos de uma siderúrgica conseguiram colocar numa fórmula o lucro da siderúrgica em função de quanto produz (q), quanto gasta para produzir (c), quanto cobra à guisa de preço (p) e, principalmente, de quanto polui o ecossistema (h):

“O estudante deve notar que, quanto maior o valor de h, maior o lucro da siderúrgica”, diz Angelo Polydoro. (Até certo ponto, como mostra o gráfico, feito com (pc)q = 1 para deixar evidente o papel de h; a partir de certo ponto, as consequências da poluição começam a reduzir o lucro da siderúrgica.) “Em outras palavras, a empresa aumenta o próprio lucro se adota tecnologias mais sujas.” De fato, o ponto ótimo para a siderúrgica é quando a derivada de πS(h) é igual a zero. Em linguagem matemática, os executivos podem descrever isso assim:

Então, quando o nível de poluição h é igual a 2/(pc)q, a derivada de πS(h) é igual a zero e πS(h) atinge seu valor máximo. (Se o estudante faz (pc)q = 1, isso ocorre quando h = 2, como mostra o gráfico ilustrativo da função πS(h).)

Quanto aos pescadores, podem modelar seu lucro assim:

Quanto maior a poluição, menor o lucro dos pescadores; eles só podem obter o máximo lucro possível quando h é igual a zero, isto é, quando não existe nenhuma siderúrgica ou ela funciona com tecnologia avançada, 100% não poluente. Angelo diz que, em casos assim, a sociedade ganha quando ambos os empreendimentos vão bem: ela quer uma siderúrgica rentável e pescadores felizes; ela quer comprar metal a preço tão baixo quanto possível e quer peixe fresco e gostoso no almoço de domingo. Enfim, ela não quer importar metal e peixe da China. “Obtemos o nível ótimo de produção escolhendo um h que maximize o lucro de ambos os empreendimentos.” Em linguagem matemática, isso é:

Isso ocorre quando a derivada de W(h) é igual a zero; ou seja, quando W’(h) = 0, W(h) atinge seu ponto mais alto. Assim:

Se a decisão for deixada a cargo dos pescadores, eles fecham a siderúrgica ou a tornam inviável; se for deixada a cargo dos executivos, eles poluem duas vezes mais do que seria ótimo para todos. “A pergunta então é: como resolver esse problema?” Angelo diz que a solução deve ser montada assim: não importa quem tome a decisão a respeito de h, se um executivo ou um pescador, essa pessoa deve levar em conta os lucros do outro empreendimento. É aqui que entra o governo, cuja função mais nobre é coordenar os indivíduos para que busquem a própria felicidade sem prejudicar o restante da sociedade.

Ronald Coase escreveu um trabalho mostrando que, em casos como esse, tudo o que o governo tem a fazer é alocar com clareza o direito de propriedade sobre a água, e passar alguma legislação obrigando o dono da água a levar os interesses do resto da sociedade em consideração. “Suponha que os pescadores ganhem o direito de propriedade sobre a água limpa”, diz Angelo, “e que a legislação lhes permita vender o direito de produzir com poluição h por uma taxa T.” Sendo assim, os executivos aceitarão toda proposta tal que:

Sendo assim, no início das negociações, os pescadores devem propor uma taxa T em função de h (ou T em função de πS(h), o lucro da siderúrgica):

Os pescadores sabem que, caso fixem corretamente o valor de h, os executivos aceitarão a taxa T, pois preferem um lucro menor a nenhum lucro. Os pescadores escolherão h para maximizar a equação abaixo:

“Isso é a mesma coisa que escolher o melhor nível de poluição para benefício de toda a sociedade”, diz Angelo. Ao longo das negociações, os pescadores vão fixar h em 1/(pc)q e os executivos vão aceitar esse valor felizes da vida. Se o governo der o direito de propriedade sobre a água para a siderúrgica, e a legislação obrigar os executivos a levar os interesses da sociedade em consideração e lhes der o direito de que cobrem algo dos pescadores para não poluir tanto quanto gostariam, de novo ambos atribuem a h o valor ótimo. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 27, abril de 2013, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Francisco Bicudo.

3. Quase sempre, especialistas em teoria dos jogos não chamam cada jogador de “jogador”, mas de “agente”. Entre outras finalidades, a palavra “agente” serve para enfatizar o fato de que um agente pode ser uma pessoa, um sistema informático, um animal, uma parte do ecossistema. Na filosofia, os agentes num jogo são modelados como máquinas de estados finitos, de modo que cada situação possível (ou mundo possível) se transforma numa rede de máquinas que interagem entre si.

A matemática das reuniões de família

O estudante pode usar matemática discreta, incluindo probabilidade, para iniciar conversas animadas sobre coincidências esquisitas, e o professor pode usá-las para incentivar seus alunos a pensar e a estudar quase sem perceber.


{1}/ Uma área com pouca estrutura

Num salão de festas com 30 pessoas, qual é a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia?

Professores devem fazer perguntas como essa mais vezes, diz Rogério Osvaldo Chaparin, um professor de professores. (Ele costuma dar aulas para professores de matemática no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática [CAEM], localizado dentro da Universidade de São Paulo.) Rogério chama esse tipo de pergunta, e toda a discussão na qual a sala vai se meter, de “análise combinatória contextualizada”. Alguns problemas de análise combinatória podem ser resolvidos até por crianças; essa é uma área da matemática “pouco estruturada”, no linguajar dos matemáticos: a criança não precisa ler 10 livros antes de começar a resolver problemas complicados; muitos problemas ela resolve desenhando, fazendo tabelas, batendo papo com os colegas. No ensino médio, depois de uns poucos dias de estudos (fatorial, números binomiais, binômio de Newton, princípio fundamental da contagem, permutações, arranjos e combinações; probabilidade), o jovem já pode resolver problemas bem complexos. Ao resolver problemas de combinatória, a criança e jovem, quase sem perceber, praticam muita coisa de matemática: raciocínio lógico, somas, subtrações, divisões, multiplicações, operações com frações, operações com conjuntos. Uma criança habituada desde cedo a cultivar o raciocínio lógico, diz Rogério, quando crescer estará um pouco mais bem preparada para tomar decisões difíceis.

Por exemplo, o salão com 30 festeiros. A probabilidade de que três deles façam aniversário no mesmo dia é 1 menos a probabilidade de que nenhum dos três faça aniversário no mesmo dia. (Lembrete: 1 = 100%, que é o valor da probabilidade do conjunto universo.) E a probabilidade de que nenhum dos três faça aniversário no mesmo dia é:

Isso porque o primeiro festeiro pode ter nascido em qualquer dia do ano (um ano com 365 dias), mas o segundo tem de ter nascido nos outros 364 dias do ano, e o terceiro nos outros 363. (A sequência de multiplicações é consequência do princípio fundamental da contagem. O estudante pode pensar nisso como um dado com 365 faces. A chance de que saia uma face exclusiva para o jogador 1 é 365/365; a chance de que saia uma face exclusiva para o jogador 2 é 364/365; etc.) A mesma lógica vale para o salão de festas com 30 pessoas. A fórmula mais genérica para calcular a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo dia é:

O que essa fórmula diz: a probabilidade de que dois festeiros façam aniversário no mesmo dia é a probabilidade do conjunto universo (= 1) menos a probabilidade de que nenhum deles faça aniversário no mesmo dia. E qual é o resultado dessa conta?


Lembrete: O sinal de produtório

Para multiplicar a sequência de números a1, a2, a3, a4, …, an, o estudante pode usar a notação de produtório, feita com a letra grega pi maiúscula:

Equation-13

Esse sinal funciona de forma análoga ao sinal de somatório, que é mais conhecido. Um exemplo:

Equation-14


Na festa, provavelmente ninguém vai acreditar nisso. Numa sala de aula com 30 alunos, também os alunos não vão se conformar com o resultado. Afinal, eles dirão entre eles, há só 30 alunos, e há 365 dias no ano; como pode a probabilidade de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia seja tão alta? Eles vão fazer uma lista das pessoas na classe que fazem aniversário no mesmo dia. Em muitas classes Brasil afora, deve acontecer algo ainda mais extraordinário: haverá três, quatro, cinco, seis pessoas na mesma sala com aniversário no mesmo dia (por exemplo, dois alunos fazem aniversário num dia, e três outros fazem aniversário num outro dia). Então o professor pode falar sobre uma geração inteira de brasileiros que nasce por meio de parto cesariano, isto é, nasce apenas nos dias úteis do ano. Num ano com 264 dias úteis, a conta acima se transforma em:

Equation-4

Numa classe de 40 alunos, quase todos nascidos em cesarianas, como é o caso de muitas classes em colégios privados de São Paulo (SP), seria difícil o professor topar com 40 alunos que fazem aniversário em 40 dias distintos, pois a chance de que dois deles façam aniversário no mesmo dia é de 96%.

Equation-5

Numa classe de 30 alunos, ou num churrasco com 30 festeiros, qual é a chance de o avô de dois deles tenha morrido no mesmo dia do ano? Qual é a chance de que os pais de dois deles tenham se conhecido no mesmo dia do ano? A mesma lógica dos aniversários pode ser aplicada a qualquer data importante na vida de uma pessoa (desde que a data tenha um forte componente aleatório; não vale, por exemplo, perguntar qual é a chance de que dois deles tenham quebrado a perna no mesmo dia, pois quase sempre as pessoas quebram a perna quando estão de férias ou de folga, fazendo as loucuras que as pessoas fazem quando estão de folga).

Rogério diz que o curso no IME existe desde 1984, mas que, nos últimos poucos anos, os professores parecem mais interessados em assimilar novas ideias a ponto de usá-las em sala de aula. Em janeiro de 2012, por exemplo, ele deu um curso de férias para 60 professores (a probabilidade de que dois deles façam aniversário no mesmo dia, num ano de 365 dias, é de ≅99,4%), e os professores gostaram da parte de combinatória. “Nós incentivamos o hábito, já nas séries iniciais, de propor problemas que busquem contextualizar as operações aritméticas por meio de análise combinatória. Desde cedo a criança pode pensar no número de possibilidades ao se vestir ou ao escolher um lanche.” Rogério não está dizendo que os professores vão mudar o jeito de dar aulas só porque participaram de um curso de férias; muitos gostam do curso no IME, ficam entusiasmados, mas depois não acham jeito de usar a combinatória em sala de aula de modo permanente.

A gatinha Fiona. Outro jeito de aproveitar bem uma aula, e de eletrizar uma festa em família, diz Rogério, é fazer crianças e jovens brincar com nomes. Talvez um aluno tenha uma gatinha chamada Fiona, e talvez outro aluno tenha uma avó chamada Hermenegilda. De quantos modos o aluno pode arranjar as letras de Fiona? Ele pode começar com Fiona, depois ir para Afion, Nafio, Onafi, etc. Não demora muito, o aluno vai cansar, e vai desconfiar que o número de permutações é alto (isto é, que o número de anagramas de Fiona é alto). É boa hora de ensinar o que é uma permutação simples de n objetos:

Equation-6

No caso de Hermenegilda, são 12 objetos, dos quais 3 repetidos (isto é, indistinguíveis entre si). O aluno vai cansar ainda mais depressa. Ao longo da aula, o professor explica de onde saiu a fórmula das permutações simples com n objetos, dos quais r objetos repetidos:

Equation-7

Os alunos, diz Rogério, vão ficar abismados de ver como o número de permutações aumenta conforme o número de letras aumenta: 80 milhões de permutações significam mais palavras do que existem na língua portuguesa! E isso só com as letras do nome da vovó Hermenegilda! Passada essa fase, o professor pode perguntar a uma classe de 32 alunos: de quantas maneiras podemos dividir essa classe em oito grupos com quatro pessoas em cada grupo? Os alunos, mesmo os jovens, devem perceber bem depressa que o grupo formado pelos alunos A, B, C, e D é igual ao grupo formado pelos alunos C, A, D, e B; eles vão notar que o raciocínio válido para as permutações não vale para este caso. E então o professor explica alguns detalhes das combinações de n elementos, escolhidos k a k de cada vez; neste caso, 32 elementos, escolhidos 4 a 4 de cada vez:

Equation-8

Ao longo dos 12 anos do ensino básico (do primeiro ano do fundamental ao terceiro ano do médio), se uma classe de 32 alunos se reunisse em grupos de 4 alunos duas vezes por semana, e nunca repetisse a formação de um grupo, não chegaria a usar 22% das combinações possíveis.

Mas talvez o professor queira complicar um pouco. E se a classe de 32 alunos fosse dividida em oito grupos de quatro alunos, cada grupo sentado numa mesa redonda, de forma que todo grupo tem de se sentar à mesa sempre numa configuração diferente, e nenhum grupo pode repetir exatamente a mesma configuração? O nome disso, diz o professor, é permutação circular. O estudante já sabe que pode organizar 4 alunos numa mesa redonda de 24 maneiras (4!), mas, ao fazer um desenho, percebe que cada maneira distinta é equivalente a três outras maneiras:

Caso o estudante faça um desenho com cinco pessoas, verá que cada maneira distinta de pôr as cinco pessoas em volta da mesa é equivalente a quatro outras maneiras. Se fizer um desenho com seis pessoas, verá que cada maneira distinta de pôr as seis pessoas em volta da mesa é equivalente a cinco outras maneiras. Perseguindo pensamentos desse tipo, verá que uma permutação circular PC(m) de m elementos é igual a:

Equation-9

Então, numa classe de 32 pessoas, os alunos conseguem se dividir em 35.960 combinações distintas de quatro pessoas, e cada combinação dessas significa seis maneiras de organizar um grupo de quatro pessoas numa mesa redonda, de forma que todas essas seis maneiras sejam distintas entre si. Em fórmulas:

Equation-10

Qualquer jovem consegue adaptar um tema desses para instigar os festeiros numa reunião de família. Se seus pais estão organizando um jantar para a família, de quantos modos distintos podem pôr 12 pessoas à mesa? De 39.916.800 modos distintos, e um número desses, tão alto, tanto os jovens quanto seus pais acham fascinante.

A melhor mão do pôquer. José Alberto Pacheco Vieira dá aulas para alunos mais velhos num curso de controle de qualidade do Instituto Mauá de Tecnologia, mas também usa as situações do dia a dia para interessá-los em combinatória, em primeiro lugar, e em todo o resto que vem imediatamente depois da combinatória. Logo na primeira aula, Pacheco usa um projetor para mostrar aos alunos o símbolo de somatório (∑). “Aí eu digo que o sigma veio para somar, e não para causar medo.” Como os alunos são mais velhos, Pacheco costuma propor exercícios sobre jogos de azar.

Por exemplo: ele pede aos alunos que vejam em casa o filme Bem-vindo ao Jogo (Lucky You), em que o protagonista joga pôquer. Feito isso, Pacheco faz algumas perguntas sobre pôquer, como:

“Qual é a chance de que alguém tire uma mão com royal straight flush?”

No jogo tradicional, o baralho tem 52 cartas e a cartada royal flush é feita de ás, rei, rainha, valete, e dez, todos de paus (à moda do velho oeste; há muitas variações sobre qual mão de royal flush vale mais). Cada jogador recebe uma mão com sete cartas. A chance de tirar um conjunto específico de cinco cartas numa mão de sete cartas de um baralho de 52 cartas é de:

Equation-11

Até um simples iPod pode confundir os estudantes, diz Pacheco. Ele costuma perguntar à classe: se você tiver dez músicas gravadas no seu iPod, de quantas maneiras distintas pode ouvi-las em sequência? Melhor dizendo: quantas sequências de dez músicas o aluno pode fazer com as dez músicas do iPod? Isso é uma permutação simples de 10 elementos:

Equation-12

Se o estudante ouvir uma sequência de manhã, enquanto vai trabalhar, e outra à noite, enquanto vai para casa, precisará de 4.971 anos para ouvir essas dez músicas em todas as sequências possíveis.

Pensamento fatalista. Segundo o Movimento Todos pela Educação, só 35 cidades brasileiras conseguem formar 50% dos alunos do 9º ano do ensino fundamental com conhecimentos de matemática adequados para a série. Quando elas entram no ensino médio, enfrentam um curso de matemática espinhoso em vários sentidos: a matemática do ensino médio, tal como é ensinada tradicionalmente, é complexa demais para as situações do dia a dia, mas simples demais para ser usada em problemas típicos da vida profissional. Os estudantes não veem sentido naquilo tudo e desanimam. No fim das contas, dos estudantes que chegam a concluir o ensino médio, só 11% sabem toda a matemática que deveriam saber.

Quando o jovem adulto ou o homem maduro volta a estudar, José Pacheco percebe o quanto ele foi mal formado em matemática. Como Pacheco dá aulas de pós-graduação em controle de qualidade, costuma lidar com adultos que já têm um diploma de faculdade. “De modo geral”, diz Pacheco, “meus alunos chegam com algum tipo de déficit na matemática.” O problema do professor, diz Pacheco, é ajudar quem está atrasado a emparelhar com os que estão mais adiantados, sem contudo desestimular os que estão mais adiantados.

Rogério Chaparin elogia os professores que se inscrevem em cursos como os do CAEM, porque suas aulas tendem a ficar mais interessantes. Esse tipo de professor vai produzir crianças e jovens que não vão pensar de modo fatalista, assim: “Se o livro didático mostra como resolver esse problema, então sei resolvê-lo. Se não mostra, não sei.” A criança (ou o jovem) vai pensar em opções; vai pensar inclusive na opção de que talvez o problema diante dela não tenha solução. Mas Rogério não acredita em mudanças rápidas. Talvez o Brasil precise de uma geração inteira (25 anos) para formar professores de matemática capazes de ensinar matemática de fato, isto é, de ensinar o aluno a ter paciência, a ter fé em si mesmo, a experimentar várias estratégias até resolver um problema (nem que demore), mas, principalmente, a gostar de resolver problemas matemáticos. Ensinar a gostar é o mais importante, e o mais difícil. {❏}



{2}/ O que é combinatória?

Não existe nenhuma definição capaz de englobar tudo o que os matemáticos incluem dentro da caixa “combinatória”. (Muitos, inclusive o autor deste blogue, chamam “combinatória” de “matemática discreta”.) Em certas ocasiões, o matemático dirá que as ferramentas da combinatória servem para contar coisas. Em outras ocasiões, dirá que as ferramentas da combinatória servem para lidar com “estruturas discretas”, isto é, com pontos que podem ser isolados uns dos outros (em oposição a “estruturas contínuas”). Em outras ainda, dirá que as ferramentas da combinatória servem para lidar com problemas com “poucas restrições”. Qualquer que seja a definição, os matemáticos concordam numa coisa: a combinatória é “pouco estruturada”, ou seja, o interessado não precisa estudar dez anos antes de resolver o primeiro problema difícil; ao contrário, ele começa a produzir logo depois das primeiras aulas.



{3}/ Probabilidade de aniversário em ação no futebol

Nos 11 jogos de final de copa do mundo entre 1970 e 2010, em 9 desses jogos pelo menos dois jogadores em campo (incluindo o juiz) faziam aniversário no mesmo dia (probabilidade de ≅82%):

AnoAniversariantes em campo
2010Gergory Kurtley van der Wiel (Holanda) e Joan Capdevila Méndez (Espanha), 3 de fevereiro
2006Patrick Vieira e Zinedine Zidane (França), 23 de junho
2002Ninguém
1998Emmanuel Petit (França), Ronaldo (Brasil), 22 de setembro
1994Franco Baresi (Itália), Claudio Taffarel (Brasil), 8 de maio
1990Ninguém
1986Sergio Batista (Argentina), Andreas Brehme (Alemanha Ocidental), 9 de novembro
1982Ninguém
1978Rene e Willy van de Kerkhof (Holanda), 16 de setembro; Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro
1974Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holanda), 25 de novembro
1970Piazza (Brasil), Perluigi Cera (Itália), 25 de fevereiro

Com 23 pessoas em campo, e com um ano de 365 dias, a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia é de ≅50,6%. Como a probabilidade nessas 11 finais ficou tão alta, talvez a distribuição dos nascimentos de jogadores profissionais não seja aleatória, isto é, talvez jogadores profissionais de futebol tendam a nascer em certos meses do ano. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 15, abril de 2012, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Guilherme Meirelles.

3. Eu disse no texto: “Quando elas entram no ensino médio, [os alunos] enfrentam um curso de matemática espinhoso em vários sentidos: a matemática do ensino médio, tal como é ensinada tradicionalmente, é complexa demais para as situações do dia a dia, mas simples demais para ser usada em problemas típicos da vida profissional. Os estudantes não veem sentido naquilo tudo e desanimam.” Um bom professor é capaz de montar um curso de matemática interessante para alunos de ensino médio, mas não se o propósito do curso for preparar os alunos para o Enem e os vestibulares. Em outras palavras, para montar um curso interessante, o professor precisaria de liberdade, em especial a liberdade de ignorar o Enem e os vestibulares — até porque a maioria dos alunos de ensino médio não vai fazer faculdade.

Definindo “inovação”: quanto vale uma caixa?

Muito brasileiro iguala “inovação” com “novidade de cunho eletrônico”, mas qualquer ideia que dê lucros e empregos a muita gente é uma inovação — até mesmo uma mera caixa de metal.


Se o leitor (vamos chamá-lo de Ixw) gostaria de ter uma ideia inovadora e assim enriquecer, deveria conhecer não a história de Steve Jobs, o criador da Apple e do iPad, mas a história de Malcom McLean, que ficou rico ao desenhar uma caixa de aço de 3 metros de comprimento, 2,4 metros de largura e 2,4 metros de altura. Essa caixa de metal foi uma inovação maior que o iPad — pois, ao menos por enquanto, o mundo vive sem iPads, mas não vive sem essas caixas de aço. Malcom desenhou o primeiro contêiner transmodal tal como o conhecemos hoje. Ele observava os operários num porto de Nova York sofrendo para descarregar algodão de um trem para carregá-lo num navio, e disse a um amigo:

“No próximo porto, mais operários vão sofrer para tirar o algodão do navio e colocá-lo num trem.”

Seria muito melhor, pensou Malcom, se um único operário, talvez pilotando um guindaste, colocasse contêineres cheios no primeiro trem, e depois, no porto, um único operário tirasse os contêineres do trem e os colocasse num navio, e depois, no outro porto, um único operário tirasse os contêineres do navio e os colocasse no segundo trem, e depois, nalguma estação ferroviária de carga e descarga, um único operário tirasse os contêineres do trem e os colocasse em caminhões, quem sabe um contêiner por caminhão… No fundo, Malcom não teve apenas a ideia de fabricar uma caixa de aço, mas de fabricar uma caixa de aço padronizada, que coubesse em qualquer caminhão, em qualquer trem, em qualquer navio, que pudesse ser levantada por qualquer guindaste, que pudesse ser empilhada, que resistisse à chuva. “O contêiner foi uma das inovações mais revolucionárias na área dos transportes”, diz José Paulo Silveira, diretor associado da Macroplan, uma consultoria especializada em administração de empresas. “E estamos falando aqui, no limite, simplesmente de uma caixa enorme.”

Quase todos os brasileiros confundem “inovação” com “novidade”, diz Renato Cruz, repórter do jornal O Estado de S. Paulo; Renato escreveu uma dissertação de mestrado e uma tese de doutorado sobre inovação. “Talvez por conta da origem comum das duas palavras.” José Paulo confirma: a maioria de seus interlocutores associa a palavra “inovação” a algo mágico, e por isso fora do alcance das pessoas comuns. Muitos especialistas, Renato e José Paulo entre eles, acham que os brasileiros financiam boas universidades (na forma de impostos ou de mensalidades), mas, mesmo assim, não conseguem converter em dinheiro toda a pesquisa científica produzida no Brasil — e isso acontece porque os brasileiros não sabem direito o que significa a palavra “inovação”.

Esse é um problema difícil de resolver. Talvez Ixw queira contratar o melhor redator publicitário do Brasil para escrever uma carta e explicar a cada brasileiro o que é, de verdade, inovação. Para mandar a carta a cada um dos brasileiros, Ixw teria de comprar um banco de dados com o endereço de todo mundo (ou montar um). Um empreitada dessas não sairia por menos de 1 bilhão de reais, pois bancos de dados com endereços atualizados são caros. Uma correspondência publicitária fantasticamente bem-feita, contudo, será aberta por 10% dos destinatários, mais ou menos. Em resumo, na melhor das hipóteses, mudar a cabeça de 19 milhões de brasileiros custaria mais ou menos 1 bilhão de reais — e levaria um tempão.

Desconte a poupança. Se uma pessoa não sabe o que é inovação, não é culpa só dela. Especialistas no assunto costumam dar uma explicação que, para eles, é precisa, mas que pessoas comuns tendem a embaralhar: “Inovação”, diz José Paulo, “implica sempre a geração de valor.” Geração de valor, para gente como José Paulo, tem um significado técnico específico e, para entendê-lo, Ixw rabisca a tabela abaixo.

A empresa…

… antes da inovação,

… logo depois da inovação,

… bem depois da inovação.

Ixw usou L para representar lucro, R para receita total e D para despesas totais. Ixw sabe que uma empresa deve dar lucro, isto é, deve ganhar mais do que gasta; deve até mesmo ganhar mais do que ganharia se mantivesse o dinheiro aplicado a juros num banco, e por isso Ixw inclui nas despesas a receita que obteria se mantivesse o dinheiro numa caderneta de poupança. (Muitas empresas fazem essa conta.) E quanto aos números a e b?

Uma inovação pode ser qualquer coisa. A empresa talvez inove ao comprar tecnologia nova para os escritórios ou a fábrica, ao encomendar uma campanha publicitária atraente, ao mandar um grupo de funcionários para estudar na Alemanha, ao lançar um produto novo, ao reformar um produto velho, ao copiar um produto da concorrência (com mais atributos ou com menos atributos), ao adotar novos métodos de trabalho, ao aperfeiçoar os métodos existentes, ao abrir uma linda loja no shopping mais chique da cidade, ao fechar a linda loja no shopping mais chique da cidade para abrir cinco lojas em shoppings mais modestos, ao estrear uma página sensacional no Facebook, ao se manter longe das redes sociais, ao dar entrevista apenas para os repórteres do Fantástico, ao dar entrevista apenas para repórteres de jornais pequenos de cidades pequenas… Não importa o que faça, uma empresa só inova quando aumenta a receita ou reduz as despesas, isto é, quando a ou b ou ambos são números maiores que 1 — e quando os efeitos positivos da inovação duram.

Talvez a e também b sejam números maiores que 1, e nesse caso a receita vai aumentar e a despesa vai diminuir. (Uma receita multiplicada por um fator maior que 1 vai aumentar de valor; uma despesa dividida por um quociente maior que 1 vai diminuir de valor.) Esse tipo de inovação é raro. Para entender o que pode acontecer com a empresa em razão de uma inovação, Ixw esboça a tabela a seguir.

Situação de a e b

Consequências

0 < a < 1 e b > 1

Tanto a receita quanto as despesas diminuem. Para que haja inovação, as despesas devem diminuir mais que a receita, isto é, o lucro deve aumentar.

a = 1 e b > 1

A receita permanece a mesma e as despesas diminuem. Bom.

a > 1 e b > 1

A receita aumenta e as despesas diminuem. Quando uma empresa inova desse jeito, todo mundo fica maravilhado.

a > 1 e b = 1

A receita aumenta e as despesas permanecem as mesmas. Bom.

a > 1 e 0 < b < 1

A receita aumenta, mas as despesas aumentam também. Esse é um tipo comum de inovação; por exemplo, quando a empresa demite funcionários baratos, mas displicentes, e contrata funcionários mais caros, mas competentes. Para que haja inovação, contudo, o lucro deve aumentar.

0 < a < 1 e 0 < b < 1

A receita cai e as despesas aumentam. Isso não é uma inovação, mas um erro, ou até mesmo um desastre.

Então, como diz José Paulo, inovação deve “gerar valor”, ou, como Ixw traduziu, dar lucro logo depois e bem depois da inovação. Ixw faz questão de manter essa distinção em mente, pois às vezes uma empresa toma uma iniciativa que aumenta o lucro por alguns meses, mas, dois anos depois, ou três anos depois, aquela mesma iniciativa cobra seu preço. Por exemplo, quando a empresa demite gente demais: as despesas caem e o lucro aumenta, mas a empresa perde a capacidade de vender mais, de entregar o que vende, de atender bem os fregueses. “À esquerda do ponto em que a ideia agrega valor”, diz José Paulo, recorrendo à imagem da linha dos números, “ela é apenas uma ideia à espera de seu tempo. À direita, é uma inovação.”

O estoque das ideias. Antes de inovar, Ixw deve ter boas ideias, e boas ideias não caem do céu. (Algumas até caem na cabeça de uns poucos felizardos, feito maçãs, mas são poucas.) Quase todos os países recorrem ao mesmo método para manter cheio o estoque de ideias: eles investem em pesquisa científica. Será que nesse ponto o Brasil vai bem?

O universo é complicado, o que naturalmente inclui as abelhas e o cérebro humano. Um cientista inglês, James Marshall, estudando abelhas, chegou à conclusão de que, dentro do cérebro humano, cada neurônio ataca quimicamente os neurônios vizinhos para impedir o cérebro de travar numa situação difícil — pois, numa situação difícil, tomar uma decisão qualquer é melhor do que não tomar decisão nenhuma. Isso é ciência. Isso é uma ideia, que equivale a conhecimento sobre como o mundo funciona. Se ninguém fizer nada com ela, não passa de uma ideia surgida de uma pesquisa científica. Caso um empresário mude os procedimentos de sua empresa, e obrigue os funcionários a, na primeira oportunidade, rever as decisões que tomaram em circunstâncias difíceis, isso talvez aumente a receita da empresa ou talvez reduza suas despesas — e aí a ideia virou inovação.

No Brasil, há um bom estoque com ideias, pois os brasileiros também produzem pesquisa científica. Em 2009, publicaram 32.900 artigos em periódicos científicos indexados; isso dá 2,7% da ciência mundial (o que é mais ou menos consistente com o tamanho da economia brasileira, de 3% da economia mundial). Ao todo, o Brasil forma uns 12 mil doutores e uns 40 mil mestres por ano, ao custo de 1,27% do produto interno bruto. (Para comparar, os Estados Unidos gastam 2,7% do PIB para formar mestres e doutores, o que é bastante, pois o PIB americano é 6,6 vezes maior que o brasileiro.) Por causa da história do Brasil, contudo, o cientista brasileiro não tenta vender suas ideias a um empresário e, mesmo que tentasse, o empresário brasileiro não tem o hábito de comprar ideias para transformá-las em lucros. “Há poucas décadas, o empresário brasileiro ganhava dinheiro sem investir diretamente em inovação”, explica Roberto Vermulm, diretor de desenvolvimento científico e tecnológico da Financiadora de Estudos e Projetos (Finep). “A indústria automobilística no Brasil é um exemplo. Ela chegou e provocou efeitos econômicos. Ela gerou empregos. Mas os resultados ficaram limitados, pois a capacidade de inovar era pequena.”

Talvez o cenário fosse melhor se o empresário brasileiro pagasse por inovações, pois, numa civilização capitalista, o cidadão tende a valorizar mais as coisas pelas quais paga diretamente. Mas o empresário banca apenas um quinto da pesquisa brasileira — os outros quatro quintos são bancados pelo Estado, com o dinheiro dos impostos (que, sendo de todos, muitas vezes é visto como não sendo de ninguém). Na Coreia do Sul (2,2% da economia mundial), o empresário banca 80% da produção científica, e por isso a Coreia, tendo menos habitantes e uma economia menor, fica à frente do Brasil em todas as listas de produção científica e de inovação. Se o empresário sul-coreano pagou por um artigo científico, ele não vai deixá-lo arquivado numa biblioteca, mas fará de tudo para transformá-lo em lucro.

Uns poucos números mostram mais claramente essas diferenças culturais. Dois funcionários do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), João Alberto de Negri e Mario Sergio Salerno, estudaram 70.000 empresas brasileiras e acharam apenas 300 que mereciam o rótulo de “inovadoras”. Segundo Renato Cruz, as empresas pequenas e médias dificultam a inovação no Brasil. A história é mais ou menos assim: toda empresa grande está no centro de uma comunidade de empresas menores, que lhe presta serviços. De pouco adianta só a empresa grande inovar: para que as inovações aumentem o valor de um setor inteiro da economia, muitas empresas desse mesmo setor precisam inovar também. “De modo geral”, diz Renato, “as empresas pequenas e médias não sabem o que é inovação.” Uma explicação possível: empresas pequenas e médias deveriam contratar mais engenheiros, mas o Brasil forma poucos engenheiros. Na Coreia do Sul, de cada 200 jovens que concluem uma faculdade, 40 concluem um curso de engenharia. Na China, são 58. No Brasil, são 9. (Em parte porque, de todos os jovens que terminam o ensino médio, só 11% terminam conhecendo toda a matemática que deveriam conhecer; sem saber matemática, o jovem estudante de engenharia por fim abandona o curso.) Pela lei da oferta e da procura, tais profissionais ficam mais caros, e a empresa de porte menor não pode contratar um deles, e então ela no fim das contas não emprega nenhuma pessoa capaz de compreender artigos científicos a ponto de transformá-los em inovação.

Na internet, existe um “manual da inovação”, que é conhecido como Manual de Oslo. Foi redigido em 2005 por funcionários da Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico da Comissão Europeia (OCDE), e tem sido usado como referência por especialistas no assunto. Esse manual também é usado para criar as listas de países mais inovadores ou menos inovadores; ele detalha coisas como a formação de pessoal, o fluxo de informações, a cultura típica das empresas, o papel do governo. Na lista de 2008, o Brasil ficou na 42ª posição; nos seis primeiros lugares, ficaram Suécia, Suíça, Finlândia, Israel, Japão, e Estados Unidos. A situação brasileira vem melhorando com o tempo, mas, mesmo assim, o Brasil está sempre mal colocado para o tamanho de sua economia e para a diversidade e a qualidade de sua produção científica.

Com o tempo, a mentalidade do empresário, do funcionário, e do cientista brasileiro talvez mude, diz Roberto Vermulm; ela talvez fique mais ousada. Um dia vai se aproximar da mentalidade de Geoff Nicholson, que inventou o Post-it quando trabalhava na multinacional 3M. Ele tem uma definição de inovação que, segundo Renato Cruz (que leu muitas definições), é a melhor de todas: “Pesquisa é transformar dinheiro em conhecimento”, disse Geoff. “Inovação é transformar conhecimento em dinheiro.” Quando esse dia chegar, se chegar, o brasileiro também será capaz de converter em lucros uma mera caixa enorme de metal. {FIM}



Apêndice 1: Só lucro define inovação?

Especialistas em inovação fazem questão de dar ênfase para o lucro, porque sem lucro não existe valor; mas uma definição mais completa de inovação inclui outros aspectos. Por exemplo, inclui o meio ambiente.

Se um funcionário tem uma ideia, e a empresa consegue transformar essa ideia em receita maior ou despesas menores, mas por causa disso a empresa passa a poluir mais, ou a consumir mais recursos naturais não renováveis, ou a explorar a mão de obra de modo indigno, então não houve inovação, e talvez tenha até havido um crime. Os especialistas no assunto são unânimes quanto a isso: a verdadeira inovação muda o mundo para melhor.

Uma pergunta ao leitor: se for assim, até que ponto as redes sociais, com suas fake news, são de fato inovação?



Apêndice 2: Inovações esquisitas

Muita gente classifica os itens da lista abaixo como inovações, pois são ideias que, todos os anos, dão empregos e salários a muita gente. O que pensa o leitor?

Boneca Barbie

Biquíni

Goma de mascar

Fraldas descartáveis

Lego

Teclado QWERTY

Controle remoto de TV

Canivete suíço

Zíper


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 18, julho de 2012, pág. 46. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Francisco Bicudo.

Artes plásticas, literatura, música: como um hobby enriquece o matemático


{1}/ A arte de abandonar métodos queridos

Matemáticos famosos já disseram que estudar outro assunto, além de matemática, deixa a vida e a matemática mais interessantes e agradáveis. Um professor que se apaixone por um hobby talvez consiga usar em sala de aula alguma ideia da filosofia, da literatura, da história, das artes plásticas, da música, da culinária, do enxadrismo… Pode bolar uma brincadeira, criar um jogo, selecionar um trecho de texto para que os alunos o encenem — tudo para fazer com que os alunos pensem sobre matemática mais e melhor.

Cientistas americanos recentemente mostraram que, de fato, é mais fácil aprender uma nova habilidade quando o aprendizado o ajuda a correlacioná-la com outra — como aprender a tocar uma nova melodia ao piano. Caso o aluno caia de amores por história, daí é um passo para fazê-lo gostar de história da matemática. É exatamente o que disse o dramaturgo inglês Willian Shakespeare (1564-1616): “O que não dá prazer, não dá proveito.” Grandes universidades, como a Universidade de São Paulo, oferecem cursos e oficinas para ajudar o professor a misturar assuntos como literatura e matemática.

Há professores que têm a sorte de viver de matemática e de seu hobby ao mesmo tempo. Um deles é Rafael Montoito, professor de matemática no Instituto Federal Sul-rio-grandense, em Pelotas (RS), que conseguiu unir as aulas de matemática com um antigo amor: a literatura. ”Eu tenho uma história de leituras; meus pais sempre me incentivaram muito. Quando era criança, passava as férias praticamente lendo.” Na época de escolher a faculdade, Rafael ficou em dúvida entre jornalismo e matemática, mas optou pela licenciatura em matemática. “Várias pessoas da minha família já dão aulas, mas o que me fez decidir foi a paixão por geometria”, diz Rafael. “Geometria é o que mais me encanta na matemática. Ao mesmo tempo, não parei de ler Monteiro Lobato, Érico Veríssimo, Ziraldo, entre tantos outros.”

Hellen Castro Almeida Leite, professora de matemática da Universidade Federal do Espírito Santo, adora ler, e foi pesquisar os efeitos da leitura — ou da falta dela. Em conjunto com uma colega de universidade, a professora Maria Alice Veiga Ferreira de Souza, Hellen desenvolveu um trabalho com licenciandos em matemática depois de notar que eles tinham dificuldade para se comunicar. Muitas vezes um licenciando domina um tema, mas não pode explicá-lo bem porque não consegue achar as palavras. Há anos Maria Alice se debruça em pesquisas sobre resolução de problemas, e fez um pós-doutorado em Lisboa com um dos alunos do matemático húngaro George Pólya (1887-1985). Hellen também já estudava o tema: “Qualquer livro que trate de resolução de problemas tem como referência o Pólya.”

Hellen diz que, às vezes, o professor sabe o conteúdo, mas sente muitas dificuldades para explicar as coisas para alunos de 7º ou 8º ano, que não sabem muita coisa de álgebra, e para os quais (–1)·(1) = 1 ainda contém mistério. Quando o aluno termina o fundamental 2, já se habituou a várias ideias matemáticas e, graças ao estilo lacônico do professor, também se habituou a não procurar as palavras para explicá-las. As professoras dizem que a falta de leitura é a maior pedra no sapato. “Ainda existe o pensamento nocivo de que o professor de matemática não precisa possuir outras habilidades. Por isso as escolas não exigem que ele leia outros livros além daqueles que vai usar em sala de aula. Mas temos muito que oferecer ao aluno em termos de leitura — essa é a bandeira que a gente carrega.”

Como uma leitora assídua, Hellen diz que sua inspiração foi um dos livros mais famosos da história da matemática contemporânea: O Homem que Calculava, de Malba Tahan. Por causa do livro, ela cresceu achando que era possível se divertir com matemática. Alex Bellos, matemático britânico e autor do livro Alex no País dos Números, descreve o livro de Malba como “um dos maiores sucessos já escritos no Brasil”.

Assim como Rafael, Hellen Castro e Maria Alice, matemáticos famosos também encontraram inspiração em outras áreas, e um exemplo é o próprio Pólya, que estudou direito, línguas, literatura, e filosofia. Outro exemplo é Lewis Carroll (1832-1898), autor do clássico Alice no País das Maravilhas. Ainda há quem não saiba que Lewis era matemático, especialista em lógica, e que seu verdadeiro nome era Charles Lutwidge Dodgson. Escrevendo como C. L. Dodgson, o matemático, ele produziu mais de dez livros sobre questões técnicas, como O Jogo da Lógica (1887), Lógica Simbólica (1896) e o mais famoso, Euclides e seus Rivais Modernos (1879).

No clássico Alice, Lewis fez questão de incluir no texto desafios de lógica; criá-los era um de seus passatempos. Rafael Montoito, partindo da história de Alice, elaborou um trabalho de mestrado, que mais tarde transformou em livro. Chá com Lewis Carroll é um romance matemático, publicado em 2011, no qual Rafael investiga as passagens matemáticas de Alice. Na primeira parte do livro, apresenta ao leitor a biografia de Lewis; na segunda, analisa as obras; na terceira, detalha melhor as questões técnicas que Lewis incluiu na história. Rafael ajuda seu leitor a ver quando Lewis usou conceitos da teoria dos conjuntos, da lógica, das sequências numéricas, das figuras geométricas.

Quando começou o mestrado, Rafael tinha intenções modestas: queria aprender a usar Alice para ilustrar certas ideias matemáticas quando desse aulas para crianças. Agora, está estudando outros autores clássicos. “Algumas vezes dou exercícios baseados em livros como As Viagens de Gulliver, no qual um trecho menciona termos técnicos da geometria espacial.” (Sobre isso, veja a seção 3.) “A proposta é matematizar alguns trechos. No início, não é tranquilo, pois existe um estranhamento em ver matemática e literatura combinadas. É totalmente diferente do que os alunos estão acostumados: colocar literatura em formato de fórmulas para resolver.” Rafael diz que a escola deve formar leitores, e o professor de matemática também deve tomar para si parte da responsabilidade por tal formação.

Números com música. Gean Pierre da Silva Campos, que dá aulas na Universidade Federal do Espírito Santo, se define como um professor de matemática e de música. Para atrair a atenção de seus alunos, ele acha que um pouco de irreverência funciona. “Sempre que a gente leva a música para a sala de aula”, diz Gean Pierre, “a aula fica diferente. É que os alunos sentem prazer com a música.”

Não é uma iniciativa que funcione da primeira vez. Quando era mais jovem, Gean Pierre dava aulas de matemática e, em paralelo, aulas de música. Quebrava a cabeça para estabelecer uma relação entre as duas disciplinas, mas suas iniciativas não produziam o resultado que esperava. Só na faculdade, quando estudou melhor a história da matemática, encontrou a desculpa que procurava: os gregos antigos já tinham visto uma relação entre matemática e música e, de modo geral, os alunos adoram histórias com gregos antigos.

Os membros da escola pitagórica não viam a matemática como sendo “imaginação” e a realidade como sendo “realidade”; para eles, matemática e realidade estavam, de certa forma, fundidas — eram duas manifestações da mesma coisa. Movidos por tal crença, estudaram tão profundamente quanto puderam as inter-relações entre matemática e música. Descobriram, por exemplo, que se um músico afinar uma corda em dó natural, e se pressionar um ponto bem no meio da corda, e se daí tocar uma das metades, produz um dó natural uma oitava acima — e os dois sons combinam gostosamente! A partir de observações assim, dizem que Pitágoras criou o monocórdio, uma espécie de violão de uma corda só, com o qual estudou a progressão harmônica 1, 1/2, 1/3, 1/4, etc.

Gean, assim como Rafael, também transformou seu projeto de mestrado no livro Matemática e Música: Práticas Pedagógicas em Oficinas Interdisciplinares, publicado em 2013. “Eu ajudo o professor a entender que é possível usar notas musicais para falar de conjuntos, ao invés de utilizar números. Foi um grande desafio, pois o professor muitas vezes não tem familiaridade com música e fica meio acanhado de utilizá-la em sala de aula. O contrário também acontece: o professor de música se acanha e não usa a matemática nas aulas.”

O filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) disse uma vez: “A música é o prazer que a mente humana extrai da contagem sem ter a noção de que está contando.” É o que Gean gosta de fazer: manejar números com música. Quando leva o monocórdio para a sala de aula, pergunta aos alunos: como podem obter as notas musicais desse instrumento? Ou às vezes desafia a classe: “Por que dizem que tocar piano é como dedilhar sobre uma tábua de logaritmos?” Outras perguntas interessantes: Por que, no violão, as cordas mais grossas produzem sons mais graves? Para que uma corda grossa produza o mesmo som que uma corda fina, o músico tem de usar o dedo para dividir a corda grossa com qual proporção? Será que o diâmetro da corda grossa e o da fina têm alguma coisa a ver com essa proporção? Outro modo de usar a música para ensinar matemática é mostrar como as notas musicais são o ar indo e vindo a determinada frequência, e como essa mecânica pode ser bem representada com senos e cossenos. “O objetivo dos exercícios”, diz Gean, “é tentar ligar um conteúdo da matemática com um proveniente da música e utilizar outros sentidos que não os habituais.”

Para aplicar a teoria dos conjuntos, Gean gosta de usar a música Alma Brasileira, de Heitor Villa-Lobos (1887-1959); por meio de perguntas, faz a classe buscar na música o que existe de racionalidade matemática. “Todas as vezes que eu falo de conjuntos na música, tenho um retorno positivo dos alunos; eles dizem que essa abordagem é diferente e muito atraente. Acho que uma atividade assim ajuda aqueles que têm mais dificuldades.”

Gosto de matemática. Nem todo aluno sabe música; talvez a maioria não consiga tocar nem Parabéns a Você no piano. Nem todo aluno consegue ler um livro como Alice no País das Maravilhas se não já tiver o hábito de ler. Em casos assim, talvez o professor não consiga bons resultados ao recorrer à música ou à literatura, pois, além de matemática, que o aluno conhece mal, haverá outro assunto ou atividade que também conhece mal. É por isso que Manoel Lima Cruz Teixeira, professor na Universidade Federal do Rio de Janeiro, prefere recorrer a assuntos dos quais todos gostam, homens e mulheres, crianças e adolescentes, com ou sem treinamento — como artes plásticas e culinária, jogos e brincadeiras. Manoel quer dar ao aluno a oportunidade de modelar um problema real, palpável, em vez de modelar um problema fictício. “É assim que alguém começa a aceitar a matemática.”

Numa das atividades, Manoel entrega aos estudantes uma obra de arte qualquer — um quadro, uma foto — e um monte de figuras geométricas simples, como triângulos, discos, quadrados, de vários tamanhos e cores. É como brincar com lantejoulas. O aluno deve usar as figuras geométricas para reproduzir a obra de arte tão bem quanto puder; o resultado fica meio cubista. “A partir daí”, diz Manoel, “fica mais fácil, por exemplo, dar um curso de introdução à geometria.” O aluno entende que vai estudar as propriedades geométricas de figuras e de objetos que, se ele quiser, pode encarar como se fossem átomos de imagens ou de construções.

Em algumas atividades, Manoel também trabalha com ideias da topologia e da probabilidade. Quando o aluno usa um triângulo como se fosse a cabeça de um personagem, é porque entrevê a ideia de que, com a imaginação, pode deformar o triângulo até que se transforme numa cabeça humana real. Essa é uma noção da topologia: triângulos, círculos, retângulos, e elipses caem todos na mesma classe de equivalência, pois podem ser continuamente deformados e transformados em qualquer uma das figuras da mesma classe. Às vezes, seguindo as instruções de Manoel, o aluno não escolhe a cor do próximo objeto que usará: ele sorteia a cor. Talvez ele gostaria de colocar, num ponto da imagem, um triangulinho azul. Mas sorteia a cor vermelha. Daí ele talvez ele coloque um triangulinho vermelho no lugar em que colocaria o azul, e isso desencadeia uma série de novas decisões a respeito do desenho. Com a atividade, Manoel estabelece o cenário para uma discussão sobre a influência de eventos estocásticos nas decisões cotidianas, o que automaticamente deixa as aulas sobre probabilidade e estatística mais interessantes.

Quanto à receita, Manoel recorda um truque comum, que uma vez viu uma colega professora aplicar: ela deu à classe uma receita para duas pessoas, que a classe pôde executar em casa. Na aula seguinte, ela perguntou:

“E se você precisasse adaptar essa receita para dezoito pessoas?”

Uma pergunta dessas obriga o aluno a pensar na ideia de proporção, e abre caminho para uma discussão sobre as funções do tipo y = ax + b, isto é, sobre funções polinomiais de grau 1.

Manoel escreveu uma vez que um litro d’água pode se transformar numa xícara d’água. “É para isso que servem os sistemas de numeração, e é para isso que servem as frações. Mas, para ajudar o aluno a entender essas coisas, não podemos mais usar os métodos que temos usado.” A ideia é esta: se com os métodos antigos os alunos não entendem a matemática, então só vão entendê-la depois que, finalmente, o professor aceitar a ideia de que deve abandonar os métodos antigos — dos quais talvez ele goste muito. {}



{2}/ O paradoxo dos relógios loucos de Carroll

Um estudante (vamos chamá-lo de F4X) é apaixonado pelos livros de Lewis Carroll, especialmente aqueles de lógica. Um dia, resolve desafiar uma amiga com um dos paradoxos mais famosos desse autor: os relógios loucos de Carroll.

F4X pergunta à sua colega:

“Qual dos relógios registra o tempo mais fielmente: o que atrasa um minuto por dia ou o que não funciona?”

A amiga pensa por uns segundos e responde:

“É óbvio que é o relógio que atrasa um minuto por dia!”

Era tudo o que F4X queria ouvir: a resposta errada. Ele estufa o peito para dizer:

“Que bom que você errou! Era o que eu queria! Pois a resposta certa é: o relógio que registra melhor o tempo é o que está parado.”

A amiga olha atônita.

“Impossível. Você está mentindo para mim!”

“Imagine que o relógio começa a funcionar às 9 horas da manhã, e que está correto nesse horário. Como ele vai atrasando o tempo todo, esse é o único horário correto que mostrará ao longo do dia. No dia seguinte, depois de 24 horas, ele estará atrasado um minuto completo: vai mostrar 8 horas e 59 minutos quando, na verdade, são 9 horas. E assim vai.”

F4X puxa uma folha de papel, pega lápis e desenha uma tabela.

Horas decorridas

Hora real

Hora no relógio

0

9:00

9:00

24 (um dia)

9:00

8:59

48 (dois dias)

9:00

8:58

72 (três dias)

9:00

8:57

96 (quatro dias)

9:00

8:56

etc.

etc.

etc.

“Repare numa coisa: o ponteiro dos minutos está como que viajando para trás, no sentido anti-horário. Sendo assim, quando o ponteiro das horas marcará de novo 9 horas sendo que, no mundo real, é 9 horas mesmo?”

F4X desenha outra tabela.

Dias

Minutos atrasados

1

1

2

2

30 (um mês)

30 (meia hora)

60 (dois meses)

60 (uma hora)

90 (três meses)

90 (uma hora e meia)

120 (quatro meses)

120 (duas horas)

720 (dois anos)

720 (12 horas)

“No último caso, depois de 720 dias, o relógio estará mostrando 9 horas da noite anterior quando no mundo real é 9 horas da manhã. Contudo, como é um relógio analógico, você não percebe isso: o ponteiro das horas deu uma volta completa para trás e marca de novo 9 horas quando, no mundo real, é 9 horas da manhã. Ou seja: quando o ponteiro das horas dá uma volta completa para trás, significa que ‘andou’ no sentido anti-horário 12 horas; 12 horas são 720 minutos; como o relógio atrasa um minuto por dia, isso equivale a 720 dias, ou dois anos! Em outras palavras, o relógio que atrasa um minuto por dia mostra a hora certa uma vez a cada dois anos, mas o relógio parado mostra a hora certa duas vezes por dia, pois está correto às 9 horas da manhã e às 9 horas da noite. O relógio parado mostra o tempo mais fielmente!”

A amiga encara F4X incrédula.

“Onde você aprendeu isso?”

“Aprendi com Lewis… Ops, com Charles!”

Os dois conversam um tempão sobre isso. No tempo de Lewis Carroll, existiam relógios com marcador de 24 horas. (Há vários desses no Museu Britânico de Londres.) O usuário conseguia saber se eram 9 horas da noite ou da manhã. Um relógio desses só marcaria a hora certa uma vez a cada quatro anos. {}



{3}/ Gulliver e a matemática

O trecho abaixo foi retirado de As Viagens de Gulliver (1726), do autor inglês Jonathan Swift. No livro, Gulliver viaja por terras distantes, desembarcando em países de gigantes e de homúnculos. O professor Ricardo Montoito gosta de usar esse trecho com seus alunos.

“Meu jantar foi trazido, e quatro pessoas de qualidade, que eu lembrava de ter visto postadas bastante próximas do rei, deram-me a honra de me acompanhar no jantar. Foram duas entradas, com três pratos cada uma. Na primeira entrada, havia uma perna de carneiro, cortado na forma de triângulo equilátero, uma peça de carne na forma de um romboide e um pudim formando um cicloide. A segunda entrada era constituída por dois patos, preparados na forma de violinos, salsichas e pudins representando flautas, mais um peito de veado na forma de uma harpa. Os servos cortaram nosso pão em cones, cilindros, paralelogramos e várias outras formas matemáticas.”

A partir dessa passagem, Rafael propõe ao aluno problemas do tipo:

“Suponha um sólido na forma de cone e outro na forma de cilindro. Suponha, por exemplo, que sejam pães. Você sabe que o pão na forma de cone tem base cujo raio é r e cuja altura é h. Qual é o volume desse cone? E se houvesse um pão no formado de cilindro, também de comprimento h, qual teria de ser o valor do raio desse cilindro para que o volume fosse o mesmo?”

O que o estudante tem de fazer, no fim das contas, é igualar o volume do cone ao volume do cilindro, como na equação a seguir, na qual o volume do cilindro está à esquerda e o do cone, à direita. Neste caso, x denota o valor que o estudante procura:

A partir daqui, é rotina: o estudante divide os dois lados por πh (é claro que h ≠ 0), tira a raiz quadrada dos dois lados, despreza a raiz negativa (que neste caso não tem significado) e chega à expressão que procura:

Um professor experiente saberá mostrar ao estudante a verdadeira graça do problema: apesar da complicação aparente da relação entre o raio do cone e o do cilindro, na verdade a relação entre os dois é bem simples, pois é linear. Quando o raio do cone dobra, o do cilindro também dobra; quando o raio do cone cai à metade, o do cilindro também. (A figura bfN a seguir mostra o valor de x em função do valor de r para valores reais de r, embora neste caso o estudante está interessado apenas nos valores positivos de r.) Essa relação talvez não fique clara para o estudante que segura nas mãos um cilindro e um cone de mesmo volume.

Fig. bfN

{FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 46, novembro de 2014, pág. 56. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelos jornalistas Francisco Bicudo e Renato Mendes. A primeira versão do texto é da jornalista Mariana Osone.

3. Como o leitor habitual deste blogue já sabe, sou fã de filosofia, e encaro a matemática como um subconjunto das investigações filosóficas. (Do modo como vejo as coisas, o matemático é uma espécie de filósofo, só que especializado na produção de ferramentas intelectuais para um pensamento mais preciso. Ele é o maior fornecedor de ferramentas intelectuais para filósofos e cientistas.) Os matemáticos e filósofos vivos de que mais gosto têm vários interesses além de matemática ou filosofia: eles são carpinteiros, pianistas, cantores, ciclistas, paraquedistas, velejadores, jogadores de futebol, karatecas, romancistas, escultores, fotógrafos, roteiristas… Talvez seja o caso de dizer que dificilmente um sujeito consegue conduzir investigações filosóficas relevantes se fica tempo demais trancado num escritório.

Por que tanta gente gasta dinheiro com π


Quase todos os que precisam fazer contas precisam de, no máximo, 30 casas decimais de π. Quais seriam as razões, portanto, de quem dedica meses de trabalho para descobrir o valor de π com trilhões de casas decimais? É que π se revelou útil para quem testa hipóteses na área da computação.


{1}/ Uma verba bem aplicada

Um cientista japonês criou computadores e algoritmos para descobrir o valor do número pi (π) com 10 trilhões de casas decimais. E um professor brasileiro usou estatística para descobrir o valor de π com cinco casas decimais. Isso mesmo: cinco. (A calculadora do Windows mostra π com 31 casas decimais…) As duas histórias mostram o valor do número π: se o sujeito precisa testar um sistema (é o caso do japonês) ou uma hipótese (é o caso do brasileiro), e se pode usar o número π como referência, ótimo. Quando o cientista usa π como referência, age como o navegador português que usava o Sol e a Lua, pois, entra dia e sai dia, Sol e Lua estão sempre onde deveriam estar.

Ninguém precisa de π com 10 trilhões de casas decimais; aliás, para a maioria das pessoas, cinco casas decimais dão e sobram. Para calcular a grossura dos cabos de aço que sustentam uma ponte, um engenheiro precisa de π com apenas quatro casas decimais (π 3,1416). Para calcular a circunferência da Terra com erro de menos de 1 centímetro, o cientista precisa de π com dez casas decimais. Talvez um cosmologista queira calcular o diâmetro de um círculo para envolver todo o universo visível. Conforme escreveu Alex Bellos em Alex no País dos Números, se esse cosmologista tiver π com 39 casas decimais, seu círculo envolverá o universo visível com erro menor que um átomo de hidrogênio. Sendo assim, por que raios matemáticos, cientistas, engenheiros, e diletantes gastam meses de trabalho para descobrir mais e mais casas decimais de π? (Tirando a resposta fácil, a de que há gente para tudo neste mundo.) E por que um professor brasileiro gastou semanas de trabalho para descobrir cinco casas decimais de π, coisa que está impressa em todo dicionário de matemática?

No laboratório. Em 2010, o cientista japonês Shigeru Kondo colocou computadores para descobrir casas decimais de π, usando um algoritmo novo, que ele e um colega americano (Alexander Yee) desenvolveram. Os computadores trabalharam por 371 dias. Depois, Shigeru usou os mesmos computadores para verificar o resultado, e dessa vez eles trabalharam por 45 horas. No dia 16 de outubro de 2011, um domingo, Shigeru anunciou ao mundo o novo recorde: havia calculado o valor de π com 10 trilhões de casas decimais. Caso ele imprimisse esse número em folhas de papel A4, com 3.341 algarismos por página, precisaria de 14.966 toneladas de papel.

Há quem queira conhecer mais casas decimais de π por curiosidade, ou queira quebrar um recorde e sair em todos os jornais do mundo — tudo isso é agradável. Mas gente como Shigeru tem propósito mais prático: quer testar um novo computador, ou um novo algoritmo para computador, ou um novo sistema de computadores interligados. Quase todos os computadores gravam números com no máximo 128 bits (1001 é o número 5 gravado com quatro bits), isto é, gravam números menores que 340 undecilhões (um número com 39 algarismos). Para gravar o valor de cada uma das 10 trilhões de casas decimais de π, Shigeru construiu ele mesmo um computador especial, com 96 gigabytes de memória principal, fora os discos externos; e pôs o computador para funcionar numa sala da sua própria casa. Com o computador, Shigeru fez seu algoritmo realizar as contas e gravar, no lugar correto e na ordem correta, cada pedaço da representação decimal de π. Na sala em que o computador funcionava, a temperatura chegava a 40 graus; a mulher de Shigeru até usava a sala quente para secar roupas. A vantagem de empregar o número π num teste é que outros cientistas, usando outros métodos, podem verificar se o algoritmo acertou ou errou. Se Shigeru acertou com seu sistema e seu algoritmo, significa que foi capaz de montar um sistema confiável de computação; ele pode então empregar o sistema informático nas suas pesquisas de verdade — Shigeru investiga as interações entre as células dos seres vivos e seu código genético.

Quanto ao brasileiro que descobriu π com cinco casas decimais, seu nome é Roberto Nasser, e ele é professor no laboratório de engenharia de software da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Roberto imaginou um método para calcular π por meio de acaso e de estatística — por meio da matemática da sorte e do azar. Com esse método, provou mais ou menos assim sua hipótese: se os primeiros seis algarismos de π são 3,14159 (e eles são), então nenhuma empresa deve manter sistemas de computação que deem conta de 100% de suas necessidades. Toda empresa economiza caso mantenha sistemas próprios e também alugue os serviços de computação de um terceiro, ou, como se diz hoje, caso alugue os serviços de um provedor de computação em nuvem.

Ócio custa dinheiro. Roberto montou sua pesquisa a partir de uma observação da vida real: muita empresa monta o sistema informático para aguentar a carga máxima de processamento de dados, mas essa carga máxima só ocorre de vez em quando. Em outras palavras, a empresa monta o sistema para deixá-lo tempo demais trabalhando a meio vapor — ela desperdiça dinheiro. Como sistemas informáticos são caros, muitas vezes a empresa monta um sistema capaz de aguentar, por exemplo, 90% da carga máxima prevista. Ela confia na sorte; e, às vezes, dá azar. Seria bom, diz Roberto, se a empresa pudesse contratar computação extra só quando precisasse, recorrendo a um desses provedores de computação via internet. Para provar essa afirmação, Roberto usou π.

Estatísticos usam um método conhecido como método de Monte Carlo (MMC): quando querem determinar as probabilidades associadas a uma variável de natureza aleatória, eles colhem amostras daquela variável e, conforme o número de amostras aumenta, ganham boa ideia de quais valores aquela variável pode assumir. Em palavras mais simples, explica Roberto, o MMA serve para estimar a probabilidade de uma variável assumir determinado valor. “O método de Monte Carlo nos ensina o seguinte: num jogo de baralho, se você quer saber qual a chance de sair um ás de paus, a melhor maneira de saber isso é embaralhar muitas vezes, dar as cartas muitas vezes, e contar o número de vezes que a mão de cartas saiu com um ás de paus. É um método estatístico que funciona na força bruta.”

Roberto desenhou um círculo inscrito dentro de um quadrado, e colocou esse desenho num plano cartesiano. Depois colocou um computador para sortear as coordenadas (x, y) dos pontos dentro do quadrado. (Nesse caso, x e y são números racionais, pois computadores não mexem com irracionais; mas a ideia é pensar nesse exercício como se os computadores pudessem lidar com irracionais.) Conforme os dois números sorteados, talvez o ponto caísse dentro do círculo, ou talvez ele caísse dentro do quadrado, mas fora do círculo. A razão entre o evento “cair dentro do quadrado” e o evento “cair dentro do círculo” dá uma aproximação para o valor de π, e vale a pena entender as contas.

Roberto calculou a área A do círculo pelo método comum:

E também calculou a área B do quadrado pelo método comum:

Então, Roberto se perguntou: qual é a razão entre a área B e a área A? E o que essa razão revela sobre π?

O último passo: Roberto chamou o número de pontos sorteados dentro do círculo de n(A), e o número de pontos sorteados dentro do quadrado (incluindo os sorteados dentro do círculo) de n(B). Logo, graças a um dos axiomas de Kolmogorov, se alguém sortear as coordenadas dos pontos por toda a eternidade (coordenadas entre 0 e 2r), e se dividir o número de pontos sorteados dentro de A pelo número de pontos sorteados dentro de B, e se multiplicar o resultado dessa divisão por 4, vai obter o valor exato de π:

“Precisamos fazer bilhões de sorteios para chegar ao valor de π com cinco casas decimais”, conta Roberto. “Mais precisamente, usamos os computadores para sortear 100 bilhões de pontos. Imagine quantos sorteios precisaríamos fazer para chegar ao valor de π com 10 trilhões de casas decimais!” Roberto conseguiu demonstrar o que queria demonstrar desde o começo: ao comparar o custo desse cálculo apenas usando os computadores próprios da empresa com o custo desse cálculo com uma mescla de computadores próprios e computadores alugados na nuvem, o custo da mescla ficou menor. Além disso, com a mescla, Roberto realizou os cálculos mais depressa, pois as empresas que vendem computação via internet em geral instalam computadores de grande porte, que são muito rápidos. “Acho importante alocar a verba para recursos computacionais de modo inteligente.”

Matemáticos vêm calculando o valor de π há muitos séculos e, com os computadores, chegaram a 10 trilhões de casas decimais. Não vão parar por aí. Mesmo assim, π ainda guarda vários mistérios. Os matemáticos ainda não sabem, por exemplo, se π + e, π/e e ln(π) são números irracionais. {}



{2}/ Breve história do número π

Há muitos séculos os amantes de matemática sabem da relação entre a circunferência e o raio de um círculo. Na Bíblia, π aparece duas vezes (em I Reis, 7:23 e em Crônicas 4:2), mas com o valor aproximado de 3. Os babilônios usavam 3,125, e os egípcios, 3,1605. Os antigos geômetras chineses conheciam π com seis casas decimais.

Antônio Marcos Selmini, professor da Faculdade de Tecnologia da Informação (FIAP, como é mais conhecida), diz que o professor de faculdade faz bem se colocar seus alunos para criar algoritmos que resultem no valor de pi. Os alunos têm de converter alguma solução geométrica ou algébrica num algoritmo, e daí podem tanto comparar os algoritmos como podem usar um algoritmo para testar computadores — um computador talvez seja mais lento ou mais rápido ao rodar o tal algoritmo, comparado com outros computadores de configuração diferente.

O símbolo π foi usado pela primeira vez em 1706, pelo matemático galês William Jones, mas ficou famoso depois que Leonhard Euler passou a usá-lo também. Em 1761, Johann H. Lambert demonstrou que π é um número irracional, isto é, não existe um racional a/b, em que a e b são inteiros, com b ≠ 0, que resulte em π. Em 1882, Ferdinand von Lindemann provou que π é também transcendental, ou seja, não é raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais (√2 é irracional mas não é transcendental, pois é raiz da equação x2 – 2 = 0).



{3}/ De onde saem as fórmulas para achar π

No século 3 antes de Cristo, Archimedes usou polígonos inscritos e circunscritos para aproximar o valor de π. O perímetro do polígono inscrito é menor que a circunferência do círculo; e o perímetro do polígono circunscrito é maior. É um método trabalhoso, especialmente se o matemático não usa um sistema posicional, e por isso ele parou quando fez os cálculos para polígonos com 96 lados. Chegou a:

Uns 20 séculos mais tarde, os matemáticos passaram a usar as ferramentas do cálculo diferencial e integral para descobrir fórmulas precisas de π — quase todas são séries infinitas, isto é, somatórios de sequências infinitas de números. Por exemplo, Euler usou análise de Fourier para provar um teorema famoso:

Se o estudante se der ao trabalho de somar os primeiros 100.000 termos do somatório acima, conseguirá calcular π com precisão de quatro casas decimais. Mas há outros jeitos famosos de definir π:

O matemático define a função sen(x) como sendo a soma desta sequência:

Depois disso, ele demonstra que π é o menor número positivo tal que sen(x) = 0.

David Bailey, Peter Borwein, e Simon Plouffe descobriram esta fórmula em 1995:

Por meio do fator 16k, agora os matemáticos conseguem calcular os dígitos hexadecimais de π (isto é, dígitos escritos na base 16) sem que precisem calcular os dígitos que vêm antes. Por exemplo, com esse método, dá para saber que o trilhionésimo dígito hexadecimal de π é 8 — e isso é verdade mesmo que ninguém se dê ao trabalho de calcular os dígitos anteriores.



{4}/ Um ótimo gerador de números pseudoaleatórios

Especialistas em teoria dos números acham que a representação decimal de π é normal na base 10, isto é: os algarismos de 0 a 9 aparecem a esmo, e se alguém pudesse contar todas as vezes que o algarismo 9 aparece na representação decimal de π (que é infinita e não periódica), descobriria que aparece em torno de 10% das vezes. O mesmo vale para os outros algarismos. (Por enquanto, o que já foi provado é: quase todo número real é normal na base 10. Contudo, ninguém ainda provou que esse é o caso de π. Logo, afirmar que π é normal na base 10 é afirmar uma conjectura.) Duas consequências práticas dessa característica: o estudante pode usar π como gerador de números aleatórios; e existe boa probabilidade de que qualquer sequência de algarismos, não importa qual seja o comprimento da sequência, esteja em algum lugar da representação decimal.

Um exemplo da utilidade dos números aleatórios: caso o estudante pegue os primeiros 80 algarismos da representação decimal de π, e os separe em dez grupos de oito algarismos, tem nas mãos dez ótimas senhas de oito algarismos — feitas sem nenhuma regra aparente.

14159265

35897932

38462643

38327950

28841971

69399375

10582097

49445923

07816406

28620899

Uma desvantagem: como os hackers sabem que certas pessoas usam π como gerador de números pseudoaleatórios, testam tais números quando tentam invadir um sistema.

Agora um exemplo de números significativos para os humanos que aparecem na representação decimal de π:

Número

Em que algarismo da representação decimal de π esse número começa

8.549.000 quilômetros quadrados (a área do Brasil).

13.875.152º

2,7182818 é o número e com sete casas decimais.

73.154.827º

14031889, que pode ser visto como 14/03/1889,  a data de nascimento de Albert Einstein.

74.434.701º

18/04/1955 é a data em que Einstein morreu.

91.956.065º

1111121, que pode ser visto como 11 × 11 = 121.

2.645.269º

No romance Contato, de Carl Sagan, os alienígenas informam que, a partir de certo algarismo, o número π deixa de ser psudoaleatório e passa a revelar uma mensagem escrita em zeros e uns. Essa mensagem seria destinada a civilizações avançadas, pois só elas conseguem calcular a representação decimal de π com precisão. Será? E se essa mensagem for “Alguém viu onde deixei minhas chaves?”

Aliás, muita gente ouve falar dessas características de π e tem ataques de misticismo. Não há absolutamente nada de místico em π. O número irracional 0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21… certamente contém todo tipo de informação que possa ser codificada em algarismos decimais, mas ninguém tem ataques de misticismo com esse número. (Esse número se chama constante C10 de Champernowne.) O mesmo vale para a constante C2 de Champernowne, que é o irracional 0,0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001…; para montá-la, basta contar os inteiros não negativos por meio do sistema posicional binário. Essa constante certamente contém todo tipo de informação que possa ser convertida em bits, e é fácil calcular em que algarismo depois da vírgula certa sequência começa, mas, de novo, ela não provoca ataques de misticismo em ninguém.



{5}/ Uma rachadura na matemática

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) usou π para demonstrar que a lei do terceiro excluído, tão importante na lógica, nem sempre funciona na matemática. Segundo essa lei, negar uma afirmação duas vezes (¬¬p, ou não-não-p) sempre significa afirmá-la (p). Exemplo: “Não é o caso de que algum homem não seja mortal” significa dizer “todos os homens são mortais”. O desbanque de Brouwer funciona mais ou menos assim:

O matemático pode provar logicamente que, em algum lugar da representação decimal de π, existe a sequência 00112233445566778899. Pois, caso diga que essa sequência não está lá, então diz que, para todos os algarismos da representação decimal de π, não é o caso de que 00112233445566778899 apareça na representação. Mas ele não pode usar a matemática para provar essa afirmação. Mesmo que descubra o valor de π com 20 trilhões de casas decimais, ou 100 trilhões, ou 900 sextilhões, haverá sempre infinitos algarismos para descobrir e verificar. Ora, escreveu Brouwer, se não é verdade que todos os dígitos da representação decimal de π não contêm a sequência 00112233445566778899, então, se a lei do terceiro excluído valesse em qualquer situação, deveria ser verdade que, em algum lugar da representação decimal, tal sequência existe. Esse argumento é inaceitável, pois, para aceitá-lo, de novo o matemático deve checar toda a representação decimal de π, o que é impossível — e sempre será, por toda a eternidade. Com esse argumento, Brower demonstrou que o matemático deve tomar cuidado ao usar a lei do terceiro excluído, assim como toda prova por redução ao absurdo, especialmente quando mexe com conjuntos infinitos.

As inquietações de gente como Brower levou ao que hoje se chama “matemática construtiva”, que é interessante: seus praticantes interpretam a sequência de símbolos “xP(x)” não como sendo “existe um x tal que a afirmação P(x) é verdadeira”, mas sim como sendo “eu posso construir um x tal que, depois disso, posso provar que P(x) é verdadeira”. Em outras palavras, se o praticante não puder construir o tal x, nada deve dizer sobre o valor de verdade das proposições nas quais x aparece. Outro exemplo: seus praticantes interpretam a afirmação “P Q” não como sendo “P é verdadeira ou Q é verdadeira”, mas sim como sendo “eu posso provar P, ou então eu posso provar Q”. Se o matemático não pode provar nem P nem Q, nada deve dizer sobre o valor de verdade de P Q.

David Hilbert achava que a matemática construtiva impõe restrições demais ao matemático, e que torna a pesquisa matemática impossível. Até hoje essa opinião é comum — contudo, é falsa. Como o matemático americano Errett Albert Bishop provou em 1967, o matemático pode reescrever imensas porções da matemática mais avançada e abstrata recorrendo aos critérios e aos métodos da matemática construtiva — e isso também significa que ele pode implementá-las num computador. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 14, março de 2012, pág. 36. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. Parte das entrevistas foi realizada pelo jornalista Evanildo da Silveira.