Estrangeiro em todo lugar


Jacques Fux já deu aulas de metodologia científica, álgebra linear, criptografia, cálculo. Depois passou a estudar as relações entre matemática e literatura, e se especializou nos escritores Jorge Luis Borges e Georges Perec. Em 2014, ganhou o Prêmio São Paulo de Literatura por conta do romance Antiterapias. Hoje se sente um escritor de mentalidade excessivamente matemática, ou um matemático de mentalidade excessivamente filosófica, e por isso está feliz da vida.

Às vezes é fácil achar uma solução no conjunto dos reais, mas, no conjunto dos naturais, é extremamente difícil. Uma restrição dificulta as coisas, mas engrandece a obra.


{1}/ Introdução à entrevista

Um estudante resolve um exercício, confere a resposta no fim do livro, e vê que sua resolução está errada. Ou resolve um problema, mas, na fase de conferência, vê que duas partes da demonstração se contradizem. Ou lê sobre algum tópico da teoria, pensa que entendeu tudo, mas, quando vai estudar o primeiro exercício resolvido, percebe que se perde nos saltos lógicos do autor.

Em casos assim, quem não se sente estrangeiro no reino da matemática? Quem não pensa: “Será que isso é realmente para mim? Será que não passo de um impostor teimoso?”

O estudante tem de aprender a lidar com tais sentimentos de estranheza, ou está fadado a abandonar a matemática. Faz bem, portanto, se vier a conhecer um autor como Jacques Fux — ele passou a vida se sentindo estrangeiro (ainda passa), mas, ao contrário de tantos como ele, usa a literatura para pôr tais emoções no papel e lidar com elas.

Jacques é judeu, e muitos judeus se sentem estrangeiro em todo lugar. Sempre gostou de exatas, mas, quando foi estudar matemática na faculdade, ficou incomodado com seu excessivo pragmatismo. Sempre gostou de literatura, filosofia, artes, mas percebeu que tinha um pensamento matemático demais para elucubrações filosóficas. E, até ganhar o Prêmio São Paulo de Literatura em 2014, com o livro Antiterapias, também não se sentia autorizado a se declarar escritor. “Para um escritor, essa é uma questão importante”, diz Jaques: “a questão de não se sentir pertencente. A Clarice Lispector escrevia muito sobre isso.”



{2}/ A entrevista pingue-pongue

Por que um doutorado sobre matemática e literatura?

A tese que defendi, e que é importante, é esta: quanto mais matemática o leitor sabe, mais será capaz de entender a obra de escritores como Jorge Luis Borges [argentino] e Georges Perec [francês].

O Borges usou conceitos muito abstratos da matemática em sua ficção: o conceito de infinito, de infinito enumerável e não enumerável, de cardinalidade, de paradoxo. Mas Borges usou a matemática como elemento de sua ficção; ele a transformou numa coisa mágica, ficcional. [Ela faz parte da fantasia evocada pelas palavras; é como se fosse um personagem da história.] Já o Perec faz parte de uma escola que poderíamos chamar de axiomática: ele impôs restrições matemáticas à sua literatura; ele impôs regras restritivas, por meio das quais escreveu cada um de seus livros.

Por exemplo, um de seus livros se chama La Disparition [O Desparecimento, ou O Sumiço], e trata de temas como o desaparecimento, a perseguição, o assassínio de pessoas que não entendem por que estão sendo mortas. Quanto ele era criança, com quatro ou cinco anos, seus pais foram levados para a guerra. [A segunda guerra mundial.] O pai morreu no front francês; a mãe foi assassinada em Auschwitz. Ele era pequeno demais para entender tudo o que estava acontecendo, mas era velho o suficiente para entender alguma coisa. Então, toda a sua literatura é do tipo traumática: ele tentou entender o que aconteceu, tentou reconstruir momentos e paixões, tentou buscar na memória a contingência da vida. Perec escreveu La Disparition, um livro de umas 300 páginas, sem usar nenhuma palavra com a letra “e”, que é a letra mais comum na língua francesa! Só depois de um tempo o leitor percebe que está faltando alguma coisa. Isso é uma restrição matemática, cujo nome técnico é lipograma. Como traduzir um livro assim? Perec chegou a falar desse assunto, e disse que uma tradução seria impossível.

Outro trabalho de Perec se chama Le Grand Palindrome. [É um poema com 1.247 palavras e 5.566 letras.] Depois que foi publicado, Perec revelou o motivo do título: o poema inteiro é um palíndromo, que o leitor pode ler de trás para a frente. Quando eu dava aulas de computação, pedia aos alunos que escrevessem programas de computador que produzissem palíndromos.

Um palíndromo: “Amor, me ama em Roma?”

Qual é a sua história com a matemática?

Sempre fui bom de matemática na escola. Sempre gostei de matemática, física, química. Quando chegou a época do vestibular, estava perdido, mas estava perdido em três áreas de exatas: engenharia, computação, ou física. Acabei me matriculando no curso de engenharia elétrica, não gostei, e mudei para a matemática na Universidade Federal de Minas Gerais.

Confesso que, depois de um tempo, me desiludi um pouco com a matemática, que me pareceu excessivamente pragmática. Eu queria saber de onde vinham as coisas; queria saber inclusive de onde vinha a análise matemática. Queria saber de onde vinham as próprias demonstrações. Acabei indo parar na Unicamp, fazer um mestrado em lógica, pois com a lógica compreenderia esse começo. Concluí várias matérias de lógica; adorei tudo aquilo.

Na Unicamp, contudo, a lógica faz parte do departamento de filosofia. Entrei na fila das bolsas de mestrado e fiquei em último lugar; percebi que os temas de filosofia ganhavam prioridade. No fim das contas, mais uma vez me mudei para Belo Horizonte e fiz mestrado em computação. Ao defender minha dissertação de mestrado, ficou claro para mim que ainda gostava de matemática. Ainda gosto; gosto desse romantismo que existe na matemática.

Já dei aulas de computação. Por muitos anos, dei também aulas de cálculo 1 e 2, que são matérias com alto índice de reprovação. Queria incentivar meus alunos, então falava sobre os problemas de um milhão de dólares, falava do russo que resolveu um desses problemas [Grigori Perelman, que provou a conjectura de Poincaré, mas que abriu mão do prêmio em dinheiro], falava da conjectura de Goldbach. Contava as histórias e brincava com meus alunos, e acho que existe muito de literatura nisso, pois meu propósito era despertar paixão, despertar interesse. Quando conto uma história, também invento, aumento, brinco. Já usava a literatura para motivar o aluno.

O livro Antiterapias é pura ficção?

Antiterapias é uma autoficção. Falo da minha vida, da minha própria criação, mas é ficção. Conto como é ser criado numa cidade e numa comunidade pequenas [Belo Horizonte e sua comunidade judaica], como é ter minhas insatisfações, meus pais e parentes, aquele amor infantil que todo mundo tem e no qual é rejeitado, aquele amigo que não é amigo. Mas, assim como na obra de Perec, esse livro segue uma regra matemática, como um axioma: em cada capítulo, o personagem tem de se misturar a algum outro personagem, seja de Marcel Proust, seja de João Guimarães Rosa, seja de James Joyce. Uma professora da Universidade de Maryland descreveu Antiterapias como sendo “o jogo de descobrir as referências literárias”.

Cada capítulo começa com uma epígrafe — uma de Proust, uma de Cortázar, uma de Borges, e assim por diante. Mas digo, de brincadeira, que não são epígrafes, mas prefácios: esses caras estão prefaciando minha obra! [risos]

Acho que essa regra matemática engrandeceu minha escrita. As restrições matemáticas às vezes dificultam a resolução de um problema, mas engrandecem a resolução ao mesmo tempo. Por exemplo, às vezes é fácil achar uma solução no conjunto dos reais, mas, no conjunto dos naturais, é extremamente difícil. A restrição dificulta as coisas, mas engrandece a obra.

Meus livros de ficção tratam também de uma questão importante para Perec: as pessoas que sobreviveram ao holocausto querem contar o que aconteceu com elas, mas é uma tentativa impossível, pois há muito trauma, muita dor. [Como contar a história direito se está faltando algo tão importante quanto a letra ‘e’?] Nosso cérebro trabalha de forma a reconstituir nossas lembranças, mas, sem que notemos, ele às vezes as falseia, simplesmente porque não dá conta do que aconteceu. Em Antiterapias, trado disso assim: existe esse personagem judeu de Belo Horizonte, que acaba se misturando aos grandes escritores e aos grandes momentos da literatura, mas o caso é que o personagem usurpa tudo, e tudo passa a ser não mais meu, mas dele.

De que vale um prêmio literário?

Só passei a falar que sou escritor depois que ganhei esse prêmio, porque, até ganhá-lo, não sabia no que essa história de ficção ia dar. Um prêmio desses é um atestado de que estou fazendo alguma coisa interessante, ou talvez até importante.

Na matemática, se você tem um artigo para publicar, você o publica numa boa revista indexada, Qualis A1. É sinal indubitável de que seu trabalho é bom. O Arthur Ávila ganhou a Medalha Fields, mas antes disso publicou muitos artigos em boas revistas. Na literatura, é diferente.

É tudo muito subjetivo. Uma pessoa gosta do seu livro, e outra o detesta. Publiquei o livro por meio de uma editora pequena de BH, que, como toda editora pequena, tem problemas com a distribuição. Então o livro não chegava a lugar nenhum. Conheci pouquíssimas pessoas que leram meu livro, e quase todas estavam próximas de mim — era impossível confiar muito na opinião delas. Então, eu vivia essa dúvida, essa angústia. Sempre tive dúvidas sobre se era ou não era um escritor. Ao ganhar um prêmio desses, de repente me vejo fazendo literatura, e dizendo que sou escritor!

A inclinação para a literatura já tinha se manifestado?

Quando me comparava com meus colegas professores de matemática, percebia que me interessava mais do que eles por questões filosóficas, poéticas, literárias. Eles também eram mais estritos do que eu com a linguagem matemática.

Por meio da literatura, posso ser matemático, escritor, físico, neurocientista. Estudei neurociência para entender melhor o problema do trauma e da memória, sem o que não entenderia a literatura de Perec. Num de meus livros, O Livro dos Porquês, que escrevi para crianças, abordo as grandes questões metafísicas: Por que a gente ama? Por que a gente sofre? Por que a gente tem medo? Esse livro foi ilustrado por um amigo meu, o Daniel Bronfen. Mas as respostas não são nossas: são dos grandes personagens da literatura. Aparece a Claricinha Lispector, o Fernandinho Pessoa, o Freudizinho, o Riobaldozinho. Se me concentrasse apenas na matemática, teria duas amarras muito grandes: a linguagem matemática, em primeiro lugar, e a linguagem acadêmica, em segundo.

Mas a matemática marcou minha vida. Vejo que, quando estou fazendo literatura, ou mesmo quando estou lendo, meu pensamento é muitas vezes matemático: é pragmático, disciplinado.

Só que acabei me tornando um estrangeiro nos dois mundos. Em alguns momentos, me encanto mais com a matemática, mas vejo que seria possível explorar melhor as possibilidades literárias da matemática. Em outros momentos, me encanto mais com a literatura, mas vejo que falta um pouco de matemática na literatura, ou que seria possível usar a matemática como possibilidade artística. É mais uma vez a questão judaica, a de não pertencer a lugar nenhum.

Sente saudades de matemática?

Sinto falta de resolver umas integrais, umas derivadas; acho isso tudo muito bonito. Pretendo ver se consigo voltar a dar aulas de cálculo. Em todo caso, estou escrevendo sobre grandes matemáticos; é um novo projeto, um novo livro. Quero caprichar na diversão e na linguagem; tenho o background para um projeto assim, pois consigo entender o que esses matemáticos fizeram.

Qual é a ideia matemática mais bonita?

O Alan Sokal, um matemático e físico de grande prestígio, em 1996 mandou para uma revista de filosofia um artigo todo grandiloquente, cheio de referências à literatura, cheio de referências à filosofia, cheio de termos técnicos retirados da matemática e da física. [A revista era a ‘Social Text’, publicada pela Universidade Duke, nos Estados Unidos.] Mas esse artigo era somente uma colagem de besteiras. [Sokal escreveu o artigo deliberadamente como um embuste; tomou o cuidado, contudo, de apelar para os gostos e preferências dos editores.] Quando o artigo foi publicado, Sokal revelou o embuste. Disse que havia sido aceito por causa da “falácia da autoridade”, visto que o fato de ser um matemático e físico de sucesso não o torna especialista em filosofia, literatura, política. E depois disso ele escreveu um livro famoso, chamado Imposturas Intelectuais, sobre as pessoas que têm muitos conhecimentos de uma área qualquer e que por isso se sentem autorizadas a falar besteiras sobre a matemática.

O primeiro capítulo é sobre Jacques Lacan [psicanalista francês]. Sokal vai mostrando passo a passo as besteiras matemáticas que o Lacan mencionou. Quando eu era estudante de matemática, achei isso interessante. Mais tarde, fui esmiuçar o texto de Lacan e vi que, na verdade, ele nem queria falar de matemática. O que ele queria era uma linguagem isenta de ambiguidades para descrever o inconsciente, pois, quando alguém escreve um texto sobre o inconsciente, o leitor pode interpretá-lo de muitas maneiras. E o Lacan achava que a matemática fosse uma linguagem perfeitamente universal, e completamente isenta de ambiguidade.

Mas hoje acho que essa ideia de Lacan, essa ideia de achar alguma teoria que pudesse explicar tudo… Acho essa ideia muito bonita. É um sonho, que vem desde Pitágoras, ou que vem antes dele.

Como é sua rotina?

Como estou na área acadêmica, e na área literária, estou constantemente lendo e escrevendo. De certo modo, portanto, trabalho de domingo a domingo. {}



{3}/ Borges e a biblioteca infinita

Imagine que você tem à disposição 25 caracteres com os quais escrever — são 22 letras minúsculas, o ponto final, a vírgula, e o espaço. Qual é a probabilidade de que, ao sortear 17 caracteres ao acaso (com reposição), sorteie a frase a seguir?

era uma vez, fim.

Ora, tem de considerar todas as permutações de 22 caracteres numa sequência com 17 unidades de comprimento; são 2217 permutações, isto é, 66 sextilhões, 249 quintilhões, 952 quatrilhões, 919 trilhões, 459 bilhões, 433 milhões, 152 mil, e 512 permutações, das quais apenas uma é: “era uma vez, fim.”

No conto A Biblioteca de Babel, de 1944, Borges brinca com essa ideia. Os personagens vivem numa biblioteca cujas salas, ao que parece, se estendem ao infinito em todas as direções; nelas, estantes repletas de livros cobrem as paredes do teto ao chão. Os livros contêm todas as permutações possíveis de 25 caracteres, de todos os comprimentos possíveis. Os personagens presumem que a biblioteca deve conter todo livro que já foi ou que será escrito, todos os trabalhos científicos que já foram ou que serão escritos, todas as biografias de todo homem que já viveu ou que viverá, todo código genético de toda criatura que já viveu ou que viverá. Deve conter também um índice remissivo em algum lugar. Apesar disso, só acham livros cheios de letras, pontos, vírgulas, e espaços confusamente dispostos, sem nenhum significado aparente.

Quem já leu Fundações da Teoria da Probabilidade, de Andrey Kolmogorov, vai acompanhar as aventuras dos personagens com um nó de ansiedade no estômago: a probabilidade de que exista uma sequência A finita de caracteres contida numa sequência B infinita deles, sendo que a sequência B foi sorteada ao acaso, é de 100%. (A sequência B é a própria biblioteca; a sequência A é qualquer livro, ou qualquer código genético.) Apesar disso, explica Kolmogorov, não necessariamente a sequência A é subconjunto de B. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi realizada pelo jornalista Renato Mendes.

3. No livro Darwin’s Dangerous Idea: Evolution and the Meanings of Life, o filósofo americano Daniel Dennett dedica um capítulo quase inteiro a uma análise de A Biblioteca de Babel. Vale a pena a leitura, porque a análise é muito boa.

O aniversário da Cheryl dividiu o mundo em duas partes


{1}/ O problema da questão 24

O problema a seguir foi proposto numa olimpíada de matemática em Singapura. Veja se consegue resolvê-lo antes de ler a seção 2.

Problema. Albert e Bernard ficaram amigos da Cheryl, e lhe perguntaram quando é seu aniversário.

Ela entregou a cada um deles uma lista com dez datas, dizendo que seu aniversário é uma delas: 15 de maio, 16 de maio, 19 de maio, 17 de junho, 18 de junho, 14 de julho, 16 de julho, 14 de agosto, 15 de agosto, 17 de agosto.

Cheryl então chamou Albert num canto e lhe disse somente o mês do aniversário. Depois chamou Bernard num canto e lhe disse somente o dia.

Albert e Bernard primeiro se organizaram, e depois foram conversar um com o outro.

ALBERT: Eu não sei o aniversário da Cheryl, mas pelo menos sei que você também não sabe.

BERNARD: Até agora, eu não sabia o aniversário, mas agora eu sei.

ALBERT: Então agora eu também sei.

Pergunta. Quando é o aniversário da Cheryl?



{2}/ Dois tipos de gente

Em abril de 2015, o mundo inteiro quis saber quando era o aniversário da Cheryl, personagem que apareceu na questão 24 de uma olimpíada de matemática em Singapura. No Google em inglês, na ocasião, havia 35 milhões de referências a esse problema.

O problema mostrou, com bastante clareza, como a humanidade está dividida entre quem tem bom treinamento em matemática (ou tem inclinação para a matemática) e quem não tem (ou não tem inclinação).

Fig. 1

Para o estudante com prática, é um problema simples. Ele pode organizar as informações em quatro árvores, uma para cada mês (a figura 1 acima mostra apenas a árvore de maio). Daí fica claro que, se Albert tem certeza de que Bernard não sabe a data, é porque Albert ouviu julho ou agosto; caso contrário, não poderia ter certeza. Quando Bernard percebe isso e risca maio e junho nas suas notas, percebe que tem condições de saber a data: é porque ouviu 15, 16, ou 17. Quando Albert fica sabendo que Bernard já sabe a data, e descobre a data também, é porque ouviu julho. (Se tivesse ouvido agosto, não teria como escolher entre 15 e 17.) Cheryl faz aniversário no dia 16 de julho.

Já o estudante sem prática… Primeiro, organiza as informações muito mal, o que atrapalha o raciocínio. (Muitas imagens de internet revelam isso.) Depois, modifica o enunciado sem razão aparente: “Cheryl não pode fazer aniversário nem no dia 19 de maio nem no dia 18 de junho, ou aquela encenação não faria sentido — pois o Bernard saberia a data na hora!” Ou então faz suposições não bancadas pelo enunciado: “E se Albert blefou? E se o Bernard se enganou por causa do blefe? E se Cheryl e Bernard estão pregando uma peça no Albert?” Não à toa, gente sem prática achou o problema dificílimo — coisa de gênio asiático. {FIM}


Observação:

Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 6. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

Cálculo Tornado Fácil 3


Então, física é fácil?! Munido das primeiras regras de derivação, o estudante já consegue resolver exercícios de física; ele (ou ela) já redige respostas corretas a perguntas que, poucas semanas atrás, lhe pareciam escritas em sânscrito. Essa é a mágica da matemática.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 15 porque o texto anterior terminou na 14. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, e CTF 8.


{15}/ Capítulo 5

O próximo estágio: o que fazer com as constantes

Nas equações até agora, quase sempre você considerou x como a variável que cresce, e como resultado do crescimento de x, o valor de y também se alterou e cresceu (ou diminuiu, como no caso da escada contra a parede). Em geral você olha para x como sendo a quantidade que pode alterar; e, ao pensar na variação de x como uma espécie de causa, classifica a variação de y como uma espécie de consequência. Em outras palavras, qualifica o valor de y como sendo dependente do valor de x. Tanto x quanto y são variáveis, mas x é aquela que modifica, e y é a “variável dependente” de tal modificação. Em todo o capítulo anterior, tentou achar as regras pelas quais calcular uma razão: aquela entre a variação dependente de y e a variação independente que provocou em x.

No próximo passo, descobrirá que efeitos ocorrem no processo de diferenciação por causa de constantes, isto é, de números que não mudam quando x ou y muda de valor.

Constantes adicionadas. Comece com o caso simples de uma constante adicionada; por exemplo:

Como já fez antes, suponha que faz x crescer um pouquinho para virar x + dx e que, como consequência, y cresce para virar y + dy. Daí:

Agora despreza as quantidades pequenas de maior ordem de magnitude, e a expressão acima se transforma em:

Como y = x3 + 5, pode subtrair y do lado esquerdo e x3 + 5 do direito, para ficar com:

Vê que o número 5 desapareceu? Como ele não altera em nada o crescimento de x, não entra no cálculo do coeficiente diferencial. Se tivesse posto 7, ou 700, ou qualquer outro número no lugar de 5, teria desaparecido do mesmo jeito. Assim, se usa a letra a, ou b, ou c para representar uma constante qualquer, ela desaparecerá quando diferenciar a função.

Se a constante adicionada fosse negativa, como –5 ou –b, também teria desaparecido. [Sobre isso, veja a seção 16.]

Constantes multiplicadas. Realize um experimento simples, como o este:

Ao proceder como já se acostumou, chega a:

Sabe que pode subtrair y do lado esquerdo e 7x2 do direito, além de desprezar os termos pequenos de ordem maior de magnitude. Fica com:

Pode ilustrar esse exemplo ao elaborar o gráfico das equações y = 7x2 e (dy/dx) = 14x; para tanto, atribui a x valores sucessivos, como 0, 1, 2, 3, etc., e calcula os valores correspondentes de y e de dy/dx. Com isso, monta a tabela 1.

Tabela 1

 x

0

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

 y

0

7

28

63

112

175

7

28

63

 dy/dx

0

14

28

42

56

70

−14

−28

−42

Agora, usando uma escala conveniente, plota os valores num gráfico e obtém duas curvas, as que pode ver na figura 6.

Fig. 6

Depois de inspecionar as duas curvas, deve notar que a altura da ordenada da curva de 14x é proporcional à inclinação da reta tangente à curva 7x2 para cada valor de x; ou, o que é a mesma coisa, é proporcional ao gradiente da curva 7x2 no correspondente valor de x. À esquerda da origem O, onde o gradiente da curva original é negativo, (isto é, para baixo da esquerda para a direita), pode ver que a ordenada da curva derivada é negativa.

Agora, caso reveja os capítulos anteriores, deve se lembrar de que, ao diferenciar x2, obtém 2x. Sendo assim, o coeficiente diferencial de 7x2 é sete vezes maior que o coeficiente de x2. Se tivesse experimentado com 8x2, o coeficiente diferencial seria oito vezes maior que o de x2. Caso experimente com y = ax2, deve obter:

Se tivesse começado com y = axn, teria chegado a (dy/dx) = a∙nxn1. Pode concluir que, ao multiplicar uma função diferenciável por uma constante, a constante reaparece depois no processo de diferenciação [veja a seção 17]. E o que é verdade para a multiplicação é igualmente verdade para a divisão: pois, no exemplo acima, se tivesse experimentado com 1/7 no lugar de 7, terminaria multiplicando a expressão à direita por 1/7 ao concluir o processo de diferenciação.

Alguns poucos exemplos extras. Com os exemplos a seguir, que resolvi em detalhes, você dominará o processo de diferenciação de expressões algébricas comuns, e ganhará o poder de resolver sozinho os exercícios que incluí ao final do capítulo.

(1) Diferencie a função abaixo:

Veja que 3/5 é uma constante, e por isso desaparece. A partir daí, reconhece que está multiplicando x5 por 1/7, e faz as contas:

(2) Diferencie:

O termo (1/2)√a desaparece, pois é uma constante adicionada à função; quanto ao termo ax, pode reescrevê-lo como ax(1/2) e realizar as contas.

(3) Se ay + bx = byax + (x + y)√(a2b2), ache o coeficiente diferencial de y em relação a x.

Em geral, para resolver uma expressão desse tipo você precisa de conhecimentos além daqueles que estudou até agora; contudo, acho sempre bom verificar se a expressão pode ser reescrita de forma que possa realizar as contas.

Como primeiro passo, você tenta isolar y do lado esquerdo da equação, deixando do lado direito todos os termos que dependam de x e as constantes. Subtraindo by dos dois lados e somando ax aos dois lados, e simplificando tudo, chega a:

Elevando os dois lados ao quadrado (o que preserva a igualdade), obtém:

Trabalhando um pouco mais, pode simplificar esse monstrinho várias vezes:

Note que, neste caso, o coeficiente diferencial é constante para todo valor de x.

(4) Para achar o volume de um cilindro de raio r e altura h, você usa a fórmula V = πr2h. Calcule a taxa de variação do volume em relação ao raio quando r = 5,5 centímetros e h = 20 centímetros. Se r = h, calcule as dimensões de um cilindro tal que uma mudança de 1 centímetro no raio provoque uma mudança de 400 centímetros cúbicos no volume.

Deve notar que calcular a taxa de variação de V com relação a r é a mesma coisa que calcular o coeficiente diferencial dV/dr, isto é:

Se r = 5,5 centímetros e h = 20 centímetros, isso vira 691 centímetros cúbicos. Significa que uma mudança de 1 centímetro no raio provocará uma mudança de691 centímetros cúbicos no volume. Pode verificar isso facilmente, pois o volume do cilindro quando r = 5 é igual a 1.571 centímetros cúbicos; quando r = 6 é igual a 2.262 centímetros cúbicos; note que 2.262 1.571 = 691.

Além disso, se r = h:

(5) Caso queira medir a temperatura de um objeto sem tocá-lo, pode usar um pirômetro de Féry. No mostrador, verá a leitura θ, adimensional, mas correspondente à temperatura t do objeto, em graus centígrados. Pode achar a relação entre a leitura θ e a temperatura t do objeto com a fórmula:

Na fórmula, θ1 corresponde à leitura de uma temperatura t1, conhecida com certeza, do objeto.

Compare a sensibilidade do pirômetro ao medir 800 °C, 1.000 °C e 1.200 °C, sabendo que, quando a temperatura de um objeto de referência era de 1.000 °C, o pirômetro mostrou 25.

Bem, a sensibilidade é a taxa de variação da leitura com relação à temperatura, isto é, dθ/dt. Pode reescrever a fórmula e daí calcular o coeficiente diferencial:

Quanto t = 800, (dθ/dt) = 0,0512; quando t = 1.000, (dθ/dt) = 0,1; e quando t = 1.200, (dθ/dt) = 0,1728. Isso significa que, quando t = 1.000, cada alteração na temperatura provoca uma alteração maiorzinha (e mais visível) na leitura θ do pirômetro, em comparação com a situação em que t = 800. Pode dizer isso de outra forma: a sensibilidade quase dobra de 800 °C para 1.000 °C, e aumenta 73% de 1.000 °C para 1.200 °C.

Sutileza. Vale a pena guardar essa ideia: se o estudante tem um aparelho que mede a grandeza g, seja ela qual for, e que lhe mostra na tela o valor v, a sensibilidade do aparelho é dv/dg quando g vale a; na notação de linha, a sensibilidade é v’(a). Em linguagem coloquial: “Até que ponto a agulha do meu medidor mexe conforme a grandeza que estou medindo aumenta ou diminui uma unidade?”



{16}/ Como uma constante adicionada desaparece

Você pode usar uma definição mais rigorosa de derivada para ver como a constante somada sempre some. Pressupõe a função y = f(x), derivável para todo valor de x, tal que f(x) = g(x) + k, em que k representa uma constante real qualquer e g representa uma função derivável para todo valor de x. Como pode calcular a derivada dy/dx?

Como vê, a constante k desapareceu. A figura a seguir mostra isso. A linha de baixo representa y1 = x2; a de cima representa y2 = x2 + 3. Achar a derivada de y1 e de y2 no ponto em que x = 2 significa acrescentar um pouquinho a x (o pouquinho chamado de dx), fazer com que esse pouquinho se aproxime de 2, e calcular o limite da razão entre os catetos dos dois triangulinhos conforme dx se aproxima de 2 pela direita (isto é, conforme dx tende a zero). Contudo, os dois triangulinhos são idênticos, e por isso a razão dy1/dx e a razão dy2/dx são idênticas também.



{17}/ A multiplicação por uma constante

Neste caso, o estudante faz y = f(x), que é uma função diferenciável em toda parte, sendo que f(x) = a∙g(x), expressão na qual a é uma constante e g é uma função diferenciável em toda parte. Ao derivar y por meio das definições elementares de derivação, deve chegar a uma sequência de passos mais ou menos assim:

Da penúltima linha para a última, o estudante usou uma propriedade dos limites, em geral recitada por professores assim: “O limite de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicando o limite dessa função.”



{18}/ Exercícios II

Diferencie as funções a seguir.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Imagine outros exemplos por sua própria conta, e veja se consegue diferenciá-los.

(7)

Seja lt o comprimento de um bastão de ferro à temperatura de t graus centígrados, e seja l0 o comprimento do bastão à temperatura de 0 °C. Daí lt = l0(1 + 0,000012t). Ache a mudança no comprimento do bastão por grau centígrado.

(8)

Chame de c a capacidade de iluminação de uma lâmpada elétrica incandescente (em velas). Se V representa a voltagem (em volts), daí c = aVb, em que a e b são constantes. Ache a taxa de mudança da capacidade de iluminação conforme a voltagem quando V = 80 volts, 100 volts e 120 volts, no caso duma lâmpada em que a = 0,5 ∙ 10–10 e b = 6.

(9)

Imagine uma corda de diâmetro D, comprimento L e gravidade específica σ; essa corda está esticada com força T. Daí pode calcular a frequência n de vibração da corda com a fórmula:

Ache a taxa pela qual a frequência n muda quando muda só D, ou só L, ou só σ ou só T.

(10)

Qual é a maior pressão externa P que um tubo pode suportar sem ceder? Para calcular isso, use a fórmula:

Neste caso, E e σ são constantes, t é a espessura das paredes do tubo e D é seu diâmetro. (A fórmula assume que 4t é pequeno comparado a D.) Compare a taxa pela qual P varia para pequenas mudanças na espessura ou para pequenas mudanças no diâmetro, ocorrendo separadamente.

(11)

Use definições elementares para achar a taxa pela qual as características a seguir mudam conforme o raio muda:

(a) A circunferência de um círculo de raio r.

(b) A área de um círculo de raio r.

(c) A área lateral de um cone cuja hipotenusa mede l.

(d) O volume de um cone de raio r e altura h.

(e) A área de uma esfera de raio r.

(f) O volume de uma esfera de raio r.

(12)

Pode achar o comprimento L de um bastão de ferro à temperatura T ao usar a fórmula:

Na fórmula, lt representa o comprimento à temperatura t. Ache a taxa de mudança do diâmetro D de um aro de ferro, desenhado para fazer parte de uma roda, conforme varia a temperatura T.



{19}/ Capítulo 6

Somas, diferenças, produtos, e quocientes de funções

Você acabou de estudar, no capítulo 5, como diferenciar funções algébricas simples, por exemplo x2 + c ou ax4, e agora vamos ver como abordar a soma de duas ou mais funções. Um caso simples pode ser:

Como pode achar a derivada dy/dx? Como deve proceder para cumprir a contento essa nova tarefa?

A resposta a tal pergunta é muito simples: basta diferenciar cada um dos termos da adição, um depois do outro. Sendo assim:

Talvez fique na dúvida quanto a esse procedimento; se for o caso, tente resolver um caso mais geral, a partir de definições elementares. Eis como deve fazer:

Imagine a função y = u + v, em que u e v não são variáveis, mas sim funções de x. Feito isso, permita que x cresça para se transformar em x + dx; como resultado, u crescerá para virar u + du, v crescerá para virar v + dv e, por fim, y crescerá para virar y + dy. O que obterá então é:

Ora, y = u + v, então pode tirar y do lado esquerdo da igualdade e u + v do lado direito; você fica com:

Como último passo, divide todos os termos da equação acima por dx:

Isso justifica o procedimento: você diferencia uma função de cada vez e depois soma os resultados. Pegue agora a função no começo deste capítulo, use uma das notações que já viu mencionadas neste livro e faça as contas:

Lembrete. Neste caso, o autor chamou a função x2 + c de u e a função ax4 + b de v, isto é, u = x2 + c e v = ax4 + b. Daí trocou a letra que representa a função pela fórmula que determina a função.

Da mesma forma, se houvesse três funções de x, que batizaria de u, v, e w, de modo que:

Daí, por consequência:

Quanto à subtração, a regra surge de imediato, pois se a função v tivesse um sinal negativo, seu coeficiente diferencial também teria um sinal negativo; sendo assim, o que obterá ao diferenciar a função a seguir?

Trabalhe a partir de definições elementares; certamente chegará a:

Essa regra pode ser posta em palavras assim: “A derivada de uma soma de funções é a soma da derivada de cada função” ou “O coeficiente diferencial de uma soma de funções é a soma do coeficiente diferencial de cada uma das funções.”

Agora, quando mexe com o produto de funções, bem, a coisa toda fica um pouquinho mais complicada.

Suponha que eu te peça para diferenciar a expressão abaixo:

O que deve fazer? Vou adiantar o que não deve fazer: multiplicar 2x por 4ax3; é fácil ver que, ao fazer isso, ignorou cax4 e bx2, que são parcelas da multiplicação estendida Há dois métodos pelos quais pode achar esse coeficiente diferencial.

Método 1. Primeiro realiza toda a multiplicação, e depois a diferenciação. Assim:

O que fez foi realizar a multiplicação das funções e depois achar o coeficiente diferencial de uma soma de funções.

Método 2. Volte às definições elementares e pense na equação a seguir, na qual u e v são funções de x.

Agora você faz x crescer para virar x + dx, e por isso u cresce para virar u + du, v cresce para virar v + dv e, no fim das contas, y cresce para virar y + dy. Ao pôr tudo isso no papel, fica com:

Como y = uv, tira y do lado esquerdo e uv do direito.

O que faz com o último termo, du∙dv? Bem, reconhece que é um termo de segunda ordem de pequenez [ou de segunda ordem de magnitude, como é o caso de (dx)2], e daí já sabe que pode desprezar termos assim.

Por último, divide a expressão inteira por dx e ajeita os termos para que fiquem bonitos e claros:

Pode verter essa regra em palavras da seguinte maneira: “Para diferenciar o produto de duas funções, multiplique cada função pelo coeficiente diferencial da outra, e daí some os dois produtos”; ou então “Para diferenciar o produto de duas funções, multiplique a primeira função pela derivada da segunda, daí multiplique a segunda função pela derivada da primeira, e por fim some os dois produtos.”

Deve notar que pode resumir esse processo todo assim: trata a função u como se fosse uma constante enquanto diferencia v; depois trata a função v como uma constante enquanto diferencia u; e por fim, para achar o coeficiente diferencial dy/dx, soma o resultado desses dois tratamentos.

Tendo achado a regra do produto, pode aplicá-la ao exemplo concreto com o qual começamos a discussão desta parte. Como aplicaria a regra para diferenciar o produto a seguir?

Chama (x2 + c) de u e (ax4 + b) de v. Com isso, passa a trabalhar:

Exatamente como devia ser!

Por fim, precisamos ver como diferenciar quocientes de funções. O primeiro passo é pensar num exemplo, como este abaixo:

Num caso desses, você não pode realizar a divisão primeiro e achar o coeficiente diferencial depois, pois x2 + a não divide bx5 + c um número inteiro de vezes, nem as duas expressões têm um fator comum. Não tem escolha, portanto, exceto voltar às definições elementares e descobrir uma regra.

Como sempre, como primeiro passo, escolhe letras que representam funções da variável independente x:

Permite que x cresça para virar x + dx, e daí u cresce para virar u + du, v cresce para virar v + dv e y cresce para virar y + dy. No papel, põe as coisas assim:

Agora vem uma etapa difícil de acompanhar: dividir, usando o algoritmo da chave (aquele que aprendeu a usar no ensino fundamental), u + du por v + dv, até que chegue a uma equação que lhe permita tirar y do lado esquerdo da igualdade e (u/v) do lado direito. Rememore a nomenclatura: u + du é o dividendo, v + dv é o divisor; com o método a seguir, obtém um quociente cuja primeira parcela é u/v, e obtém um resto composto apenas por termos de ordens de magnitude mais altas, isto é, um resto que pode ser desprezado.

Como primeiro passo, multiplique o divisor por u/v, e tire o resultado do dividendo.

O que fez aqui? Como multiplicou v + dv por u/v, que é a primeira parcela do quociente, obteve u + (u/v)dv; ao tirar isso de u + du, obteve o primeiro resto, que é du (u/v)dv. Agora deve dividir esse primeiro resto mais uma vez pelo divisor v + dv; o melhor jeito é multiplicar o divisor por du/v e tirar o resultado do primeiro resto, assim:

O que fez, mas em palavras? Para dividir du – (u/v)dv por v + dv, multiplicou v + dv (o divisor) pela segunda parcela do quociente, que é du/v, e obteve du + (du∙dv)/v, que tirou então do dividendo du – (u/v)dv, para ficar com o resto – (u/v)dv – (du∙dv)/v. Tem agora de dividir esse segundo resto por v + dv, mais uma vez, pois esse resto ainda contém um termo de primeira ordem de magnitude (que é (u/v)dv). Pode começar multiplicando o divisor por –(u∙dv)/v2:

Em palavras: para dividir o segundo resto – (u/v)dv – (du∙dv)/v por v + dv, multiplicou v + dv pela terceira parcela do quociente, que é –(u∙dv)/v2, obteve – (u/v)dv – (u∙(dv)2)/v2, que tirou então do dividendo – (u/v)dv – (du∙dv)/v para ficar com o terceiro resto – (du∙dv)/v + (u∙(dv)2)/v2, que, desta vez, só contém termos pequenos da segunda ordem de magnitude, e pode ser desprezado.

Reescrevendo tudo isso na forma D = dq + r, isto é, dividendo igual a divisor vezes quociente, mais o resto, você fica com:

Já sabe que pode desprezar o resto. Ao reorganizar tudo, deve tirar y do lado esquerdo da equação, u/v do direito, dividir tudo por dx e deixar a expressão bem organizada. Assim:

[Para entender melhor o que Silvanus fez aqui, veja a seção 20.]

E essa é a famosa regra do quociente: “Para diferenciar o quociente de duas funções, multiplique a função no divisor pelo coeficiente diferencial da função no dividendo; depois multiplique a função no dividendo pelo coeficiente diferencial da função no divisor; depois subtraia a segunda da primeira; por fim, divida o resultado da subtração pelo quadrado da função no divisor”; ou ainda: “Para derivar o quociente de duas funções, multiplique a função no denominador pela derivada da função no numerador; subtraia disso a multiplicação da função no numerador pela derivada da função no denominador; e divida a diferença pelo quadrado da função no denominador.”

Lembrete. O estudante não deve se torturar com o pensamento “Eu jamais teria chegado a tal regra sozinho.” Poucos conseguem deduzir a regra do quociente sem a ajuda de um professor.

Sutileza. Note que Silvanus raramente diz que as funções sobre as quais está escrevendo são deriváveis (pois há funções contínuas em toda parte que, apesar disso, não são deriváveis em lugar nenhum). Da mesma forma, não diz que a função v, estando no denominador, deve ser diferente de zero. Parte do pressuposto de que seu leitor subentende tais restrições.

Agora, volte ao exemplo com o qual comecei esta parte. Faça bx5 + c = u e x2 + a = v. Depois disso, aplique a regra do quociente:

Verá que aplicar a regra do quociente é fácil, embora quase sempre seja tedioso. [A regra do quociente faz o estudante dar valor a uma das maiores invenções da humanidade, ao lado do fogo e do sorvete de creme: a calculadora científica, que Silvanus não teve a chance de conhecer.] Agora, vamos estudar juntos uns poucos exemplos.

(1) Diferencie:

Como a2/b2 é uma constante, desaparece, e você segue daí:

Contudo, sabe que x11 = x0 = 1, e com esse fato arruma a expressão:

(2) Diferencie:

Ponha a variável x na forma com expoentes para obter:

Trabalhoso, mas fácil.

(3) Diferencie:

Você reescreve a equação para que θ fique com expoentes, e relembra que 27°, sendo um termo constante, desaparece.

(4) Diferencie:

Mais tarde, verá um jeito bem direto de diferenciar expressões assim. Enquanto isso, pode expandir o cubo e daí, sem dificuldade, calcular o coeficiente diferencial.

De novo: tedioso, mas fácil.

(5) Diferencie:

Neste caso, deve aplicar a regra do produto mais de uma vez.

Mais simplesmente, poderia ter realizado todas as multiplicações e depois a diferenciação.

(6) Diferencie:

Com a regra do produto, obtém:

Faço a mesma observação do exemplo anterior: poderia ter multiplicado tudo e depois realizado a diferenciação.

(7) Diferencie:

Você começa reescrevendo θ com expoentes e depois aplica a regra do produto com cuidado.

De novo: poderia chegar ao mesmo resultado se tivesse realizado as multiplicações e então diferenciado. Contudo, saiba que muitas vezes não terá escolha a não ser aplicar a regra do produto, e por isso deve se habituar com ela.

(8) Diferencie:

O truque é reconhecer que a é uma constante e que deve aplicar a regra do quociente.

(9) Diferencie:

Agora, direto ao ponto:

(10) Diferencie:

Como primeiro passo, você passa a expressão para a forma com expoentes.

Daí aplica a regra do quociente:

(11) Diferencie:

De novo, converte a expressão para a forma com expoentes e aplica a regra do quociente.

(12) Imagine um reservatório em forma de pirâmide regular, cuja seção transversal é um quadrado, e cujos lados se inclinam com ângulo de 45° em relação à base. A pirâmide está virada de ponta-cabeça. (Imagine, portanto, o tronco de uma pirâmide regular, isto é, uma pirâmide regular com a ponta cortada, mas de cabeça para baixo.) O lado da base mede 200 metros. Ache uma expressão para a quantidade de água que entra ou sai do reservatório quando a profundidade varia 1 metro. Ache a quantidade retirada do reservatório, em litros por segundo, quando a profundidade cai de 14 metros para 10 metros em 24 horas.

Ao pesquisar, descobre como calcular o volume de um tronco de pirâmide com altura H e bases de área A e a:

Com um desenho simples, pode deduzir que, como a inclinação das faces laterais é de 45°, se chama a profundidade de h, o comprimento dos lados do quadrado composto pela superfície da água é (200 + 2h) metros (pois são iguais os catetos de um triângulo retângulo com um dos ângulos internos igual a 45°), de modo que o volume da água fica sendo:

Sendo assim, pode calcular o coeficiente diferencial dV/dh:

A unidade do número obtido com a fórmula acima é metros cúbicos por metro de variação na profundidade. A média entre 14 metros e 10 metros é 12 metros e, quando h = 12, (dV/dh) = 50.176 metros cúbicos por metro.

Para saber a quantidade de litros por segundo, correspondente a uma mudança de 4 metros em 24 horas, você realiza a conta abaixo:

(13) Segundo Pierre Louis Dulong, pode usar a fórmula abaixo para achar a pressão absoluta P, medida em atmosferas, de um vapor superaquecido à temperatura t °C:

A fórmula funciona desde que t seja maior que 80 °C. Como faz para achar a taxa de variação da pressão quando o vapor está a 100 °C?

Um jeito simples de fazer isso, mas trabalhoso, é usar o teorema binomial para desenvolver o numerador, e depois calcular a derivada:

Quando t = 100, isso vale 0,036 atmosfera por grau centígrado de variação na temperatura.



{20}/ O fantástico método da chave

Para entender o que Silvanus fez ao provar a regra do quociente, você pode usar o mesmo método para dividir, por exemplo, 73 por 19, mas de modo que o quociente seja a soma das frações abaixo:

Como primeiro passo para dividir 73 por 19 dessa maneira, multiplica 19 por 3/5, e tira o resultado do dividendo:

Em palavras, multiplicou (3/5) por 19, obteve (57/5), tirou isso de 73 e ficou com o primeiro resto de (308/5). Não pense: “Eu jamais conseguiria chegar a tais frações”, pois elas foram obtidas com a ajuda de uma calculadora científica (a HP 50g), e o que um tolo pode fazer, outro também pode.

Agora divide o primeiro resto por 19, mas de modo que o quociente seja 1/2:

Em palavras, multiplicou (1/2) por 19, obteve (19/2), tirou isso do primeiro resto (308/5) e ficou com o segundo resto de (521/10). Agora deve dividir o segundo resto por 19, mas de modo que o quociente seja (8/7):

De novo: multiplicou (8/7) por 19, obteve (152/7), tirou isso do segundo resto (521/10) e obteve o terceiro resto de (2.127/70). Agora pode expressar “73 dividido por 19” na forma D = dq + r, isto é, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, mais o resto:

Como vê, embora tenha usado o método da chave sempre do mesmo jeito ao longo do ensino básico, pode empregá-lo de modo muito flexível para demonstrar afirmações bem complicadas.



{21}/ Exercícios III

(1) Diferencie as funções abaixo:

(a) 

(b)

(c)

(d)

(2) Para a expressão a seguir, ache dw/dt.

(3) Ache o coeficiente diferencial da função abaixo:

(4) Diferencie:

(5) Para a expressão a seguir, ache dx/dy.

(6) Ache o coeficiente diferencial adequado para a expressão a seguir.

(7-10) Ache a derivada das seguintes funções:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11) Numa lâmpada elétrica incandescente, você pode calcular a temperatura t do filamento conforme a corrente elétrica C passando por ele com a fórmula:

Ache uma expressão pela qual calcular a variação da corrente que corresponde à variação da temperatura.

Lembrete. Note que o autor não menciona nenhuma unidade de medida para a corrente ou a temperatura. Não precisa: quaisquer que sejam as unidades, basta alterar o valor das constantes para que a fórmula funcione.

(12) Cientistas propuseram as fórmulas a seguir para expressar a relação entre a resistência elétrica R de um fio à temperatura t e a resistência R0 do mesmo fio à temperatura de 0 °C; a, b e c são constantes.

Ache a taxa de variação da resistência conforme a variação na temperatura de acordo com cada uma das fórmulas.

(13) Ao estudar um certo tipo de bateria, pode achar a força eletromotriz E (em volts) de acordo com a temperatura t (em graus centígrados) de acordo com a fórmula abaixo:

Ache a taxa de mudança da força eletromotiva por grau quando a temperatura da bateria é de 15°, 20°, e 25°.

(14) Para manter um arco elétrico de comprimento l, terá de calcular a força eletromotriz E conforme a corrente elétrica i de acordo com a fórmula:

Nessa fórmula (descoberta por Hertha Marks Ayrton), a, b, c, e k são constantes. Ache uma expressão para a variação da força eletromotriz conforme (a) o comprimento do arco e (b) a intensidade da corrente elétrica.

Curiosidade. Notou como o autor dá ênfase para a física? Não é apenas porque Silvanus era físico: à sua época, muitos livros de cálculo usavam a física como exemplo de matemática aplicada. Hoje os autores tomam mais cuidado para incluir exemplos de outras ciências.



{22}/ As regras de diferenciação com outra notação

Você pode grafar as regras mencionadas por Silvanus nestes dois capítulos como nas fórmulas abaixo; f, g, e h representam funções de x, deriváveis onde for possível, com f ou g diferentes de zero quando estão no denominador; f’ representa a derivada de f, g’ representa a derivada de g, e h’ representa a derivada de h; por fim, k representa uma constante.



{23}/ Como estudar estes dois capítulos

Ao aplicar as regras de derivação para realizar dezenas de contas tediosas, o estudante corre o risco de se esquecer do que está fazendo. Ele lê o problema, faz as contas, acha dy/dx (por exemplo), mas não sabe dizer ao certo o que acabou de realizar, ou nem pensa no assunto. É importantíssimo relembrar com frequência: “Estou procurando uma taxa instantânea de mudança: a taxa pela qual a função y muda de valor conforme ocorre uma mudança infinitésima na variável independente x; estou procurando um ‘isso’ dividido por um ‘aquilo’ conforme a variação em ‘aquilo’ tende a zero: se meço a função y em quilômetros, e se meço a variável independente x em horas, então estou procurando, num determinado ponto x = d, a taxa instantânea de mudança em quilômetros por hora.” {FIM}


Observações:

1. Não se esqueça de que Silvanus se esforçou para não mencionar detalhes técnicos importantes em seu curso de introdução ao cálculo; sua ambição era redigir um curso correto, mas intuitivo. Caso o leitor queira estudar uma introdução ao cálculo com todos os detalhes técnicos no lugar, clique aqui.

2. Para estudar a próxima parte desta série, clique aqui.

Fui estudar matemática para virar um bom psicólogo, administrador, biólogo

Este é um dos ursos que o biólogo Tiago Marques avistou, e que usou para estimar quantos ursos existem na camada de gelo do mar de Barents: 2.644

Entre os personagens desta reportagem, está um biólogo português que vive entre Lisboa (Portugal), St Andrews (Escócia), lugares legais do círculo polar ártico, e navios ao mar. Ele atribui essa vida legal à matemática.

Se conheço os princípios gerais da estatística, mesmo as coisas complexas se tornam simples, e procuro ajuda para aquilo que sei que não sei.

Tiago Marques, professor do Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa


Especialistas em trânsito dizem que a maior parte dos acidentes de moto acontece perto de casa. O piloto percorre 200 quilômetros em segurança, mas, a duas quadras de casa, começa a pensar se deve cozinhar um risoto de cogumelos ou pedir uma pizza de quatro queijos, e nem repara na vizinha que, lá na frente, corre com fones de ouvido, e que fez um leve movimento de cabeça — um leve sinal de que planeja atravessar a rua. Correndo. O acidente acontece porque o piloto está em território familiar. “Em face do familiar”, diz Teresa Garcia, professora do Instituto de Psicologia Aplicada de Lisboa, “tendemos a ativar respostas que já demos previamente.” Em outras palavras, deixamos de prestar atenção e ligamos o piloto automático.

Como Teresa pode saber uma coisa dessas? Ela usou estatística para ver como pessoas reagiram a estímulos, mas ela só pôde compreender os dados de seus experimentos porque ela mesma, sendo psicóloga, concluiu um mestrado em estatística. Muitos outros cientistas tomam essa mesma decisão todo ano — estudar matemática para se transformar num bom psicólogo, ou num bom administrador, ou num bom biólogo. Rui Menezes, responsável pelo departamento de métodos quantitativos do Instituto Universitário de Lisboa, foi estudar matemática para administrar empresas melhor, e sabe dizer até que ponto uma empresa deve atribuir seus sucessos e fracassos a seus próprios funcionários ou a funcionários de outras empresas. E Tiago Marques, biólogo especializado na contagem de animais, foi estudar matemática para contar ursos polares na camada de gelo sobre o mar de Barents. “Trabalho na Escócia e vivo em Portugal”, diz Tiago. “Eu não poderia fazer tudo o que faço hoje se fosse apenas um biólogo.”

A natureza é complicada. Se Tiago captura um urso não marcado (isto é, não marcado previamente por outros biólogos), o que isso diz sobre a quantidade de ursos no mar de Barents? E se ele captura um urso já marcado? Se um profissional qualquer estuda matemática e estatística, diz Tiago, ele ganha a capacidade de ver o que antes não conseguia ver. “Muitas vezes”, diz Tiago, “não conseguimos resolver um problema, e pedimos a ajuda de um amigo, não é verdade? Depois que nosso amigo nos ajuda, a solução até parece óbvia, mas tínhamos perdido a perspectiva. É isso o que a matemática nos traz: um novo jeito de ver nossos velhos problemas.”

Como contar animais. Tiago é o único português que avistou mais de 100 ursos polares distintos. Ele é professor do Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa, mas viaja com frequência para a Universidade de St Andrews, cidadezinha pertinho de Edimburgo. Já no curso de graduação ele percebeu que um biólogo faz perguntas pertinentes a respeito de um animal ou ecossistema — mas depois não obtém as respostas sozinho. É obrigado a consultar um matemático ou estatístico. Um professor notou sua inquietação e, no momento certo, o desafiou: por que Tiago não estudava estatística no mestrado? “Esse mestrado me deu muita dor de cabeça, porque eu não tinha as bases matemáticas necessárias”, diz Tiago. “Mas acho que essa aposta eu ganhei.”

Como se calcula a probabilidade de ver um animal selvagem? Depende. Em que lugar? Quanto tempo o biólogo pretende ficar nesse lugar, prestando atenção à sua volta? Suponha que existam 500 animais num lugar qualquer, e que, depois de passar uma semana no posto de observação, o biólogo viu só 1 animal. Ele chama a probabilidade de ver um animal de Pr(A), a quantidade total de animais (ou o espaço amostral) de n(S) e a quantidade de animais vistos naquele lugar, ao longo de uma semana, de n(A). Sendo assim, a probabilidade de ver um animal, naquele posto de observação, ao longo de uma semana é de:

Da mesma maneira, se o biólogo sobe num barco, lança a rede ao mar várias vezes e pega 50 cações-bico-doce, e alguém lhe diz que a probabilidade de pegar um cação-bico-doce é de 0,03, quantos cações dessa espécie existem naquele pedaço de mar? “Do ponto de vista intuitivo”, diz Tiago, “podemos entender que, se dividimos o número de animais detectados pela probabilidade de detectar um animal, teremos uma estimativa da abundância daquele animal naquele lugar.” Quantos cações-bico-doce?

O problema do biólogo é obter essa probabilidade, que na prática todo mundo, inclusive ele, desconhece. Ao estudar estatística, Tiago estudou os dois métodos mais comuns de inferir tal probabilidade com precisão: o método da amostragem por distâncias, e o de capturas e recapturas.

Na amostragem por distâncias, o biólogo cobre um mapa com um conjunto de linhas e faixas, sobe num helicóptero (por exemplo), e sobrevoa cada faixa, e percorre cada linha, atrás do animal em questão. A cada avistamento, o biólogo anota a distância do animal até as linhas e faixas mais próximas. Depois disso tudo, ele insere os dados num programa especial de computador, o Distance, que foi projetado por biólogos e é usado por biólogos do mundo inteiro; com algumas horas de computação, o Distance devolve a probabilidade de detectar um animal naquele ecossistema, e a partir daí, como no caso dos cações-bico-doce, o biólogo calcula a população total do animal. Foi assim que Tiago chegou ao número de 2.644 ursos polares na camada de gelo sobre o mar de Barents; a última medição, feita em 1980, sugeria entre 3.000 e 6.700 animais. (E qual a importância disso? Ursos polares servem de índice da saúde daquele ecossistema; se eles vão bem, significa que o ecossistema vai bem. E aquele ecossistema, por sua vez, tem sofrido com o aquecimento global. Tiago ajuda uma equipe de cientistas a entender o impacto do aquecimento global sobre a vida no planeta.)

Na amostragem de captura e recaptura, o biólogo delimita uma área e percorre essa área atrás de animais. Ao encontrar um animal, ele o captura, marca, e tira medidas: peso, comprimento, coisas assim. Depois ele deixa o animal escapar. O biólogo faz isso por um tempo, e suponha que marque 30 animais. Ele deixa passar um período (umas semanas talvez), para que os animais marcados tenham tempo de voltar à rotina. E aí o biólogo repete o processo: ele percorre a mesma área atrás de animais, seguindo o mesmo método tim-tim por tim-tim. Suponha que, desta vez, ele captura 30 animais, dos quais 6 marcados. Eis um jeito de interpretar o que aconteceu: naquela área, existem 6 animais marcados para cada 30 animais! Como o biólogo sabe quantos animais marcados existem (= 30), ele sabe mais ou menos o número total de animais:

Outro jeito de pensar isso: 6 animais marcados entre 30 animais significa que 20% dos animais naquela área foram marcados. Como o biólogo sabe que tais 20% significam 30 animais, ele sabe que 100% significam 150 animais.

Mas alguém precisa de mestrado em estatística para fazer contas tão simples? Sim, porque as contas não são tão simples assim (nesta reportagem, elas foram simplificadas para facilitar a compreensão da ideia geral) e, além disso, existem dezenas de métodos estatísticos distintos para cada tipo de problema. Se o biólogo não sabe estatística, ele tem de pedir a ajuda de um colega do departamento de matemática, e talvez seu colega não escolha o melhor método, pois não conhece biologia. “Todos os métodos estatísticos foram feitos com base no mesmo conjunto de princípios gerais”, diz Tiago. “Se eu conheço esses princípios, mesmo as coisas complexas se tornam mais simples. Eu não preciso saber tudo; preciso apenas saber o que não sei, pois daí procuro ajuda com o que eu já sei que não sei.”

Distração: prazer memorizado. No Instituto Universitário de Lisboa, Rui Menezes vive dizendo a seus alunos que administrar é tomar decisões, e um bom jeito de chegar às melhores decisões é raciocinar com lógica. Ele se especializou em usar estatística e lógica para dizer até que ponto uma empresa depende de outra na bolsa de valores. Quando os papéis da empresa B sobem porque os papéis da empresa A também subiram, Rui diz que a empresa A é exógena em relação a B, e que a empresa B é endógena em relação a A. Isso significa que os administradores da empresa B têm de pensar não só nos problemas da empresa B, como também nos problemas da empresa A. “Veja o exemplo da crise portuguesa atual [em 2011]”, diz Rui. “Uns políticos diziam que a crise era essencialmente interna, e portanto os portugueses são os únicos responsáveis pela crise, ou seja, não há causas externas, exógenas. Outros políticos diziam o contrário.” Rui aponta um dos grandes problemas da administração moderna: raramente uma empresa é puramente exógena ou endógena em relação a outras empresas; a teia de inter-relações é complexa, e se uma decisão faz sentido num cenário, pode ser um desastre num cenário ligeiramente diferente.

Teresa Garcia, por sua vez, cursou um mestrado em estatística porque chama os dados de suas pesquisas de filhos. “Costumo dizer que, dos meus filhos, trato eu.” Ela compara os dados de uma série de experimentos a um oráculo: o deus só responde à pergunta do homem se o homem fizer a pergunta segundo um ritual rigoroso; caso contrário, o deus despreza o homem. “Só a maestria a respeito do que são modelos estatísticos e só um uso bem técnico desses modelos me permitem pôr os dados a responder às minhas questões.” E que questões o oráculo respondeu, depois de ouvir o deus da estatística?

Ela colocou voluntários num ambiente como um tribunal, e os voluntários tinham de dizer se o réu era inocente, culpado, ou alguma coisa entre inocente e culpado. As respostas variaram muito; um leigo não saberia dizer se os jurados condenaram ou inocentaram o réu. Mas Teresa não estava interessada nisso. Antes de executar o experimento, ela preparou os voluntários sem que eles percebessem, de modo que, durante o experimento, uns estavam mais familiarizados do que outros com as tarefas que realizariam. A verdadeira pergunta era: até que ponto o grau de familiaridade com a tarefa explica a variação das notas dadas ao réu? Teresa comparou a variação das notas com variação ao acaso, e por fim viu que, quanto mais à vontade o voluntário se sentia com a tarefa, mais ele realizava a tarefa no automático, isto é, menos ele pensava em todas as variáveis. “O sentimento que chamamos de familiar está associado a um sentimento de ter gostado mais”, diz Teresa. “Em face do familiar, ativamos as respostas que já demos, e das quais gostamos mais.” Diante do réu, os voluntários familiarizados com suas tarefas não raciocinaram; eles perguntaram à própria memória: “No passado, quando passei por isso, gostei mais de fazer o quê?” E foi isso que eles fizeram com o réu: ou condenaram, ou inocentaram, ou algo no meio, mas sempre ligado ao que, no passado, eles gostaram mais de fazer.

Depois do mestrado em estatística, diz Teresa, ela passou a considerar a matemática como uma forma de ver. “Ela me permite enxergar o que meus olhos não veem.”

Tiago Marques admite que é impossível fazer boa biologia sem matemática, mas diz que os matemáticos já emprestaram ideias de biólogos, e é verdade. Um exemplo é o modelo Beverton-Holt, com o qual o biólogo consegue prever o número de indivíduos da próxima geração a partir do número de indivíduos da geração atual. Esse modelo foi inventado por biólogos interessados em pesca, foi melhorado por matemáticos, e hoje é usado até por economistas. “A biologia é uma ótima fonte de problemas”, diz Tiago. “Um colega meu da St Andrews costuma me dizer que a vida de um pesquisador acadêmico é inventar problemas, para resolvê-los depois.” Onde entra a matemática nisso? Tiago é esperto. Nem todo problema é “vendável” dentro de uma universidade, isto é, para alguns problemas, o biólogo não vai achar quem lhe dê financiamento. Mas, para um biólogo “na interface entre biologia e estatística”, o número de problemas vendáveis é maior: “Basta escolher um.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 10, novembro de 2011, pág. 30. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações são as que valiam na ocasião.

2. A entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes, que na época vivia em Lisboa.