Números p-ádicos, torres de marfim, e Zaratustra


Cercai-vos de pequenas coisas boas e perfeitas, ó homens superiores! Sua áurea madureza cicatriza o coração. O que é perfeito ensina a esperança.

Friedrich Nietzsche no livro Assim Falou Zaratustra, pág. 277. Tradução de Paulo César de Souza. São Paulo: Companhia de Bolso, 2018.


{1}/ Dois jeitos de organizar uma expressão

Este é um dos motivos pelos quais é bom estudar matemática: ela está cheia de pequenas coisas boas e perfeitas, pois tem sido criada com uma miríade de ideias que o homem foi aperfeiçoando (ou amadurecendo) ao longo dos séculos, de geração em geração. Um exemplo? O modo como Kurt Hensel usou a distinção entre local e global para criar uma nova área da teoria dos números — a teoria sobre números p-ádicos.

Essa história começa com Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) e Heinrich Weber (1842-1913), que sabiam muito sobre números, e notaram a possibilidade de explorar analogias entre números e funções, isto é, de usar o que sabiam sobre números para descobrir coisas novas sobre funções. Uns poucos anos mais tarde, Kurt Hensel (1861-1941) estudou o trabalho de ambos e fez o caminho ao contrário; mais precisamente, explorou a distinção entre local e global nas funções para descobrir coisas novas sobre números. Para entender essa ideia, examine a fórmula da função f a seguir.

É uma fórmula “local em x = 0”, pois deixa muito claro o valor de f quando x = 0. Basta bater os olhos na fórmula, substituir mentalmente a variável x por 0, para descobrir que f(0) = –18.

Agora, a mesma função f, mas com outra fórmula, que é equivalente à primeira:

Essa é uma fórmula local em x = 2, pois basta bater os olhos na fórmula para saber que, quando x = 2, f vale zero; em outras palavras, 2 é uma das raízes de f. A fórmula revela isso imediatamente a qualquer um que saiba interpretá-la.

Mais uma vez, a mesma função f com outra fórmula ainda, equivalente às outras duas:

É uma fórmula local em x = 3, pois deixa claro que f(3) = 0, ou deixa claro que x = 3 é uma das raízes de f.

Assim, a primeira fórmula é local em x = 0, pois privilegia o valor zero sobre todos os outros, e além disso revela o ponto (0, –18) no qual a curva de f cruza o eixo Y; por motivos semelhantes, a segunda é local em x = 2 e a terceira é local em x = 3. Na linha a seguir, porém, veja a aparência de f com uma fórmula mais global.

Com essa fórmula global, você tem condições de ver de uma só vez as cinco raízes de f, que são 2, 3 (duas vezes), e ±i. (Pois x2 + 1 = 0 leva naturalmente a x2 = –1, que leva a x = ±√(–1) = ±i.)

Hensel explorou essa ideia de local-global ao reescrever os números reais usando bases primas  — em vez de escrevê-los na base 10, como é usual, passou a escrevê-los na base 2, base 3, base 5, base 7, …, sempre procurando ver como uma base revelava informações novas sobre os números, fossem informações locais ou globais; e essa exploração lhe rendeu várias descobertas sobre os números reais, em geral, e sobre os inteiros não negativos, em particular. Ele chamou sua invenção de números p-ádicos, em que p é uma base prima, e com ela produziu uma prova elegante e curta de que a constante e é um número transcendental. Infelizmente, a prova continha um erro sutil e difícil de corrigir, o que diminuiu aos olhos dos outros matemáticos o valor da invenção de Hensel e colocou em dúvida suas descobertas. Poucos anos mais tarde, contudo, o jovem matemático Helmut Hasse (1898-1979) se interessou pelo trabalho de Hensel, corrigiu a prova de que e é transcendental, e bolou métodos pelos quais resolver problemas de teoria dos números tendo os números p-ádicos como fundamento; com tudo isso, Hasse colocou os números p-ádicos no currículo da matemática universitária. Quando Andrew Wiles provou o último teorema de Fermat, em 1995, usou a teoria sobre números p-ádicos em várias partes da prova.

Vale lembrar: a história inteira começou com uma “coisa boa e perfeita”, qual seja, a ideia de que uma expressão pode revelar coisas mais localmente ou mais globalmente, dependendo do modo como é arranjada.



{2}/ Vendo um livro como uma torre

O filósofo americano Daniel Dennett escreveu um livro muito interessante sobre “ferramentas intelectuais”, isto é, sobre procedimentos úteis com os quais resolver problemas intelectuais, especialmente aqueles que surgem na vida do filósofo: o livro se chama Intuition Pumps and Other Tools for Thinking. Em certa passagem da introdução, Dennett elogia a universidade na qual trabalha, a Tufts University: “É uma torre de marfim com o compromisso de resolver os problemas do mundo.”

Minha reação quando li a frase pela primeira vez foi: “Que legal! Nunca havia pensado assim antes: você pode viver numa torre de marfim e, mesmo assim, se comprometer com o mundo.” A frase me causou boa impressão porque tenho a tendência de me trancar em torres de marfim ou de me perder em mundos da lua, o que às vezes me deixa com sentimentos de culpa. Depois, pensando melhor no assunto, mudei de ideia: “Uma pessoa só pode se comprometer com o mundo, a ponto de resolver algum de seus problemas, caso passe de quando em quando uma temporada trancado numa torre de marfim. Uma coisa não existe sem a outra!”

Um livro de matemática é uma dessas torres. Suponha que certa pessoa tem algum problema para resolver — qualquer um. Talvez queira reformar a configuração do jardim; talvez queira se transformar num enfermeiro competentíssimo; talvez queira organizar um grupo influente de pessoas para depor um político ruinoso; talvez queira organizar uma viagem para fotografar os lugares nos quais seu filósofo favorito viveu. Se ela puder passar umas poucas temporadas trancada numa torre de marfim, é bem possível que ache a solução de seu problema mais facilmente. Não quero dizer que ela deve ler um livro do tipo A Matemática da Enfermagem se ela gostaria de se transformar num enfermeiro — não é isso. Não quero dizer que ela deve ler um livro do tipo A Matemática dos que Querem Viajar para Conhecer os Lugares nos quais seu Filósofo Favorito Viveu — não é isso. Quero dizer que, se um problema a preocupa (não importa sua natureza), o tempo que passa na torre de marfim estudando teoria dos números, por exemplo, vai ajudá-la a resolver o problema, mais ou menos como o jogador de futebol que faz musculação para melhorar o desempenho no jogo. Ao subir na torre de marfim para resolver um problema de teoria dos números, ela deixa seu saco de preocupações lá embaixo, ao pé da torre, pois não pode carregá-lo lá para cima — é grande e pesado, e não cabe direito na escadinha que leva ao topo. Mais tarde, quando resolve o problema e desce da torre, ela recoloca seu saco de preocupações às costas — mas então é uma pessoa diferente, mais forte, pois, digamos assim, está com seus sistemas de resolução de problemas mais bem ajustados e lubrificados.

Principalmente ela está mais forte porque mais esperançosa. Sim, Zaratustra tem razão: as pequenas coisas boas e perfeitas da matemática cicatrizam o coração e ensinam a esperança — sobre isso, todo praticante de matemática pode dar seu testemunho.

O problema é que a torre de marfim encerra um risco.



{3}/ “Aonde vai esse ladrão?”

Na pág. 11 de Assim Falou Zaratustra, Zaratustra e um homem velho, “um santo”, conversam sobre eremitas — sobre aqueles que passam uma temporada em montanhas, cavernas, desertos — e torres de marfim.

“Eles desconfiam de eremitas”, diz o santo; eles significando: os homens comuns, o povo. Mais à frente, o santo completa: “Para eles, nossos passos ecoam solitários demais pelas ruas. E quando, deitados à noite em sua cama, ouvem um homem a caminhar bem antes do nascer o sol, perguntam a si mesmos: aonde vai esse ladrão?”

Esse é o risco de todo aquele que, com frequência, passa uma temporada numa torre de marfim, seja porque gostaria de resolver um dos problemas do mundo, seja porque lá se sente bem. O homem comum, que perfaz 99% da população, não entende o impulso do eremita, o de gozar o próprio espírito em solidão. Para o homem comum, o eremita é uma espécie de ladrão: está trancado numa torre de marfim porque há algo errado com ele, porque fez algo errado, e quer esconder dos outros seu defeito ou pecado, ou talvez queira esconder dos outros o prazer com seu defeito ou sua vontade de pecado.

Todos os que gostam de matemática sabem do que estou falando. O leitor sabe: o homem comum reage com alguma admiração à sua capacidade de se entreter com matemática — sua capacidade de subir na torre, tão solitária, tão alta! Mas o homem comum também desconfia — “Por que essa pessoa se isola? Por que se afasta? O que pretende esconder de nós, homens comuns que somos, maioria que somos, e portanto homens bons?”

É fácil lidar com o risco associado à torre de marfim, basta um pouco de criatividade, desde que o leitor saiba que tal risco existe — e agora sabe. {FIM}



Observações:

1. O leitor já viu este aviso neste blogue antes: quando escrevo “homem”, quero denotar o conjunto {x : x é um indivíduo da espécie humana}.

2. Você pode escrever toda função polinomial de forma global, para revelar de uma vez todas as raízes, ou de forma local, para revelar só uma das raízes ou então alguma informação importante, como o ponto no qual o gráfico da função cruza o eixo Y. Deixo a exploração desse tópico como exercício, pois está ao alcance de qualquer um que tenha concluído o ensino médio.

3. Se já leu pelo menos um livro de introdução à teoria dos números, um de introdução ao cálculo diferencial e integral, e um de introdução à álgebra linear, tem condições de compreender um livro bacana de introdução aos números p-ádicos, escrito pelo matemático brasileiro Fernando Quadros Gouvêa: p-adic Numbers: An Introduction. Nova York: Springer, 2003. Para escrever a seção 1 desta postagem, usei como referência um artigo de Fernando no livro The Princeton Companion to Mathematics, intitulado “Local and Global in Number Theory”.

A equação de Drake e uma pergunta: Cadê os ETs?

Faz no mínimo 4.000 anos que o homem se pergunta se existe vida inteligente em outros lugares do universo, vida capaz de viajar pelo espaço, de colonizar planetas. Hoje a pergunta ficou mais modesta, mas ainda assim difícil de responder: existem, em corpos celestes extraterrestres, sinais químicos que indiquem a presença de seres microbianos?


ESA/VISTA

Aspecto geral da Grande Nuvem de Magalhães, uma pequena galáxia que orbita a Via Láctea. Haverá alguém por lá tentando captar mensagens de civilizações extramagalhânicas? Se houver, só captará alguma coisa transmitida por terráqueos (testes de telegrafia sem fio) no ano de 161.900.


{1}/ A equação de Drake

N = R · Fp · Ne · Fl · Fi · Fc · L

Na tabela logo abaixo deste parágrafo, pode ver uma explicação de cada um dos termos. Em essência, essa equação representa uma série de probabilidades concatenadas, na qual a menor probabilidade de todas restringe o maior valor que pode assumir o número N de mundos com a capacidade de se comunicar com a Terra. Muita gente já discutiu essa equação e, por enquanto, só há uma certeza: o parâmetro Fc é maior que zero, visto que, no planeta Terra, surgiu vida inteligente com a capacidade de se comunicar e disposta a se comunicar. Com chutes bem conservadores, N = 1, isto é, o homem está sozinho na Terra; com chutes os mais otimistas possíveis, N = 36 milhões.

N Número de mundos com a capacidade de se comunicar com a Terra. (Isto é, próximos o suficiente para enviar uma mensagem, receber uma mensagem de resposta, e enviar outra mensagem.) O próprio Drake considerava apenas a Via Láctea, e não o universo visível inteiro.
R Taxa pela qual surgem novas estrelas dentro do raio no qual a comunicação por rádio seria possível.
Fp Probabilidade de que uma estrela tenha planetas à sua volta.
Ne Probabilidade de haver um planeta parecido com a Terra em torno de alguma estrela; pode ser também o número médio, por sistema solar, de planetas onde possa haver vida.
Fl Probabilidade de surgir vida num planeta.
Fi Probabilidade de surgir vida inteligente.
Fc Probabilidade de surgir uma espécie inteligente capaz de se comunicar por meios eletromagnéticos, e disposta a se comunicar.
L Período de tempo que uma espécie permanece na fase de comunicação.


{2}/ Discussões simbólicas, mas racionais

Amâncio Friaça é astrofísico, é professor livre-docente no Instituto de Astronomia, Geofísica, e Ciências Atmosféricas da Universidade de São Paulo, fez pós-doutorado na Universidade de Cambridge (Inglaterra), e já viu discos voadores.

Passava o réveillon de 1980 com amigos, numa festa no bairro Alto da Lapa em São Paulo (SP), quando ele e outros participantes viram os discos. “Foi uma experiência fantástica”, diz Amâncio. Apesar da experiência, não acredita que discos voadores sejam sinal de vida extraterrestre. Se houvesse ETs capazes de viajar pelas imensas distâncias do universo, fariam parte de uma civilização antiga e seriam extremamente inteligentes. “Eles não deixariam sinais tão rudimentares quanto discos voadores.” Como explica então o que lhe aconteceu em 1980? Viu no céu algo que não pôde explicar e que, atualmente, pode chamar de “disco voador”, pois todos entendem o que quis dizer. Em outros tempos, usaria outras palavras: deuses, demônios, fadas, fragmentos da carruagem de Hélio, estripulias de Harry Potter e sua turma de bruxos.

De vez em quando, Amâncio dá palestras sobre o jeito como o homem vem pensando em vida extraterrestre ao longo dos milênios. Um ponto importante da palestra é a equação de Drake (veja a seção anterior), que cientistas usam não tanto para fazer cálculos, mas para refletir sobre a probabilidade de haver uma espécie extraterrestre inteligente com capacidade de se comunicar por meio de ondas eletromagnéticas (provavelmente, rádio). Hoje, os três primeiros termos da equação (R, Fp e Ne) são mais conhecidos, embora ainda haja sobre eles centenas de perguntas sem resposta. “A fronteira da pesquisa, por enquanto, está no cálculo de Fl”, diz Amâncio. “Não sabemos como a vida pode surgir num planeta.”

A carruagem do pai. Até onde se saiba, desde os tempos de Tales de Mileto os filósofos se perguntam se não haveria vida em outros lugares do universo, assim como se não haveria vida inteligente. (Ao longo da entrevista, Amâncio usou a palavra “filósofo” para denotar “amante do conhecimento”, como faziam os gregos antigos.) “Acho que essa é uma pergunta que nos fazemos desde sempre”, diz Amâncio. Muitas vezes, os antigos conduziam essa discussão de modo bastante simbólico, o que funciona bem nas civilizações em que muitos são analfabetos, e aprendem as coisas por meio de histórias, em geral contadas em rituais religiosos. “Havia, por exemplo, o mito de Faeton.” O deus grego Hélio tinha um filho, chamado Faeton, e uma carruagem e tanto, chamada Sol. Antes como hoje, o jovem Faeton desejava pilotar a carruagem do pai, e não teve dúvida: roubou o Sol, mas não o soube controlar. Zeus interviu e abateu a carruagem com um raio, e ela caiu na Terra. “Essa é a história de uma perturbação cósmica”, diz Amâncio. “Uns acham que é a história de um bólido, talvez um grande meteoro. Não penso que seja necessariamente isso. Essa história também mostra que há uma ordem cósmica, que às vezes, contudo, pode ser perturbada. Ela mostra também que existe uma conexão entre o céu e a Terra.”

Amâncio diz que a discussão ficou assim, bem metafórica, até que surgiu a matemática, quando então os termos da discussão se tornaram mais específicos. “A grande diferença é a matemática. Não quero dizer que antes o pensamento era irracional, porque o pensamento sobre tais questões nunca foi irracional. Mas a partir do século 6 antes de Cristo, mais ou menos, com o comércio e as navegações mais desenvolvidos, os filósofos passaram a conviver com especialistas em cálculos, isso quando não eram eles mesmos os especialistas. O comércio te dá o motivo para ir de um lugar a outro. A navegação te dá o instrumento, e ela te obriga a olhar o céu de modo muito concreto: para ir até Creta, mantenha aquela estrela ali à direita do navio. Para tudo isso, a sociedade precisa fazer cálculos, e daí surge o hábito de um pensamento muito estruturado. Nesse cenário, há todas as condições para que surja uma discussão mais concreta sobre a ideia de vida extraterrestre e a de viagem espacial.”

Curiosamente, com o surgimento do cálculo diferencial, no século 17, os ETs ficaram de lado. Como os cientistas ganharam o poder de descrever precisamente a órbita dos corpos celestes, eles se ocuparam com isso por vários séculos. A Terra virou mais um planeta entre tantos, e havia um “otimismo cósmico”, diz Amâncio, pois muitos acreditavam que havia vida em todo lugar. Mesmo assim, ocupados com massa, velocidade, aceleração, gravidade, órbita, pararam de pensar sistematicamente sobre vida extraterrestre. A discussão ressurgiu no século 20, por conta de telescópios e radiotelescópios, e pode ser resumida com dois itens da cultura: a equação de Drake e o paradoxo de Fermi.

Bactérias. Fermi era ótimo de estimativas grosseiras, tanto que hoje “estimativa de Fermi” significa uma estimativa grosseira, mas com boas justificativas lógicas. Diz a lenda que, num dia em que Fermi e outros cientistas conversavam sobre discos voadores e alienígenas, ele parou, pensou, e perguntou: “Onde está todo mundo?” Seu raciocínio seguiu esta linha: caso surgisse uma civilização capaz de viajar pelo espaço, em 100 milhões de anos ela colonizaria a Via Láctea; dizem que surge vida em toda lua e planeta onde há condições de surgir vida, dizem que fatalmente a vida se modifica até que apareça uma espécie capaz de construir uma civilização com base em ciência e tecnologia, e é fato que o universo existe há uns 13 bilhões de anos, no mínimo; logo, tal civilização já deveria ter surgido, e deveria estar em todos os lugares, ou, caso já tivesse surgido e se extinguido, seus sinais deveriam estar em todo lugar. Fermi não levava em consideração coisas como pirâmides, estátuas e desenhos; pensava mais em grandes naves abandonadas, cidades inteiras flutuando no espaço, fósseis. Essa pergunta, “Mas onde está todo mundo?”, é de cunho filosófico, diz Amâncio. Drake esboçou sua famosa equação a partir dela — pois se preparava para organizar um seminário, e pôs a equação no papel para organizar os pensamentos, à guisa de esboço.

Fermi deu voz aos mais céticos. Já faz 50 anos que cientistas buscam algum sinal de rádio emitido por alguma civilização extraterrestre, e até agora, nada. Tanto é que os cientistas agora se concentram mais no termo Fl da equação, pois procuram sinais de bactérias, ou, melhor dizendo, de seres microbianos, possivelmente unicelulares. Diz Amâncio: “Isso é muito mais provável.”

As bactérias conseguem viver em ambientes inóspitos — muito quentes ou muito frios. Como se adaptam com extraordinária competência, perfazem a maior parte da massa dos seres vivos da Terra — afinal, num único grama de solo, há umas 40 milhões de bactérias. “Assim que a crosta terrestre se solidificou”, diz Amâncio, “as bactérias surgiram uns 100 milhões de anos depois, e durante uns 3 bilhões de anos a vida microbiana foi o único tipo de vida no planeta.” Além disso, as espécies microbianas são muito ativas. “Foram elas que modificaram a atmosfera da Terra; por exemplo, criaram o oxigênio que respiramos.” Hoje, portanto, em vez de gastar tempo e dinheiro procurando sinais de rádio, quase sempre o cientista prefere gastá-los na busca de indícios de ecossistemas propícios à vida microbiana. Se houver isso, talvez haja também vida inteligente; talvez não inteligente a ponto de construir transmissores de rádio, como o homem, mas inteligente a ponto de aprender truques complicados, como o corvo.

Muita gente não gosta dessa nova tendência na busca por ETs, pois não quer admitir a possibilidade de que o homem seja a única espécie do universo rádio-alcançável capaz de fazer ciência. Dizem: “Os gregos antigos tinham histórias sobre robôs! Veja os argonautas! Veja a máquina que apareceu ao profeta Ezequiel, a que tinha quatro rostos, como também quatro asas!” Amâncio não se deixa abalar, logo ele, que já viu discos voadores. “Se você já tem tecnologia para usar o cobre, pode fazer bonequinhos de cobre que se mexem. Nos templos gregos, havia maquinários escondidos para causar efeitos de impacto.” A partir daí, faltam uns poucos passos para que surja um robô na imaginação. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 33, outubro de 2013, pág. 34. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi realizada pelo jornalista Eduardo Magossi.

3. Acho que o livro 2001: Uma Odisseia no Espaço, assim como o filme, ainda é a melhor descrição ficcional de um encontro entre humanos e ETs: se um dia houver um encontro, não será com os alienígenas em carne e osso, mas com algum dispositivo alienígena. Dispositivos suportam melhor as condições extremas do espaço interplanetário.

4. Estou com Zaratustra: “O homem é algo que deve ser superado.” Se um dia o homem tiver a capacidade de criar máquinas inteligentes, capazes de filosofia, matemática, ciência, capazes de produzir tecnologia nova — penso que daí tem a obrigação moral de criá-las, mesmo que isso coloque sua existência em risco. Talvez a inteligência num grau necessário para filosofia formal (incluindo matemática e ciência) seja algo raríssimo. Visto que o animal humano ou vai se extinguir ou se transformar num outro animal, não necessariamente mais inteligente, tem a obrigação moral de passar sua inteligência adiante tão logo possa: inteligência livre dos defeitos que puder identificar em si mesmo. Daí quem sabe os dispositivos criados pelo homem um dia se lançam numa exploração sistemática da galáxia, buscando mil jeitos de levar o dom da inteligência a tantos lugares quantos puderem.

305 frases legais correlacionadas com matemática


1. “Em tudo eu vejo sempre os antecedentes, as consequências, as razões, as causas: sou como as crianças que desmancham o brinquedo que as entretêm só pelo prazer de saber o que está dentro. Apesar do meu horror às ciências positivas, eu tenho uma grande dose de positivismo, e a ciência a que na vida ligo maior importância é a matemática.” — Florbela Espanca (1894-1930), poetisa portuguesa, em Correspondência.

2. “Ouvi dizer que o governo cobraria mais impostos dos ignorantes de matemática. Engraçado — pensei que a loteria já era justamente isso!” — Mike Gallagher, humorista americano.

3. “Eu devo estudar política e guerra para que meus filhos tenham a liberdade de estudar matemática e filosofia. Meus filhos devem estudar matemática e filosofia, geografia, ciências da natureza, engenharia naval, navegação, comércio, e agricultura para dar a seus filhos o direito de estudar pintura, poesia, música, arquitetura, escultura, tapeçaria, cerâmica.” — John Adams (1735-1826), primeiro vice-presidente dos Estados Unidos, numa carta para Abigail Adams (12 de maio de 1780).

4. “Quão feliz é o destino do matemático! Ele é julgado somente por seus pares, e o padrão é tão alto que nenhum colega ou rival jamais conquistará reputação que não mereça.” — W. H. Auden (1907-1973), poeta e crítico inglês, em The Dyer’s Hand. Londres: Faber & Faber, 1948.

5. “O progresso mais fundamental tem a ver com a reinterpretação de ideias básicas.” — Alfred North Whitehead (1861-1947), matemático e filósofo britânico, citado por W. H. Auden e L. Kronenberger em The Viking Book of Aphorisms. Nova York: Viking Press, 1966.

6. [Alguém pergunta a Isaac Todhunter se ele gostaria de ver uma demonstração prática da refração cônica em cristais.] “Não. Tenho ensinado isso toda a minha vida, e não quero perturbar minhas ideias.” — Isaac Todhunter (1820-1884), matemático britânico.

7. “Hoje o mais simples estudante conhece fatos [matemáticos] pelos quais Arquimedes sacrificaria a própria vida.” — Ernest Renan (1823-1892), matemático francês, em Souvenirs d’Enfance et de Jeunesse. Paris: Calmann Lévy, 1892.

8. “A coisa mais dolorosa sobre a matemática é quão longe você está de ser capaz de usá-la logo depois de aprendê-la.” — James R. Newman (1907-1966), matemático americano, em The World of Mathematics. Nova York: Simon & Schuster, 1956.

9. “Senhor avaliador: fale para o meu professor me ensinar mais geometria.” — Na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas de 2010, um aluno escreveu este recado no formulário de respostas.

10. “Erros com o uso de dados inadequados são muito menos frequentes do que erros com o uso de nenhum dado.” — Charles Babbage (1791-1871), matemático e inventor britânico.

11. “Uma coisa é matematicamente óbvia só depois que você a entende.” — Robert Daniel Carmichael (1879-1967), matemático americano, em Mathematical Maxims and Minims. Raleigh: Rome Press, 1988.

12. “Tudo o que é extraordinário e inspirador é criado pelo indivíduo que pode trabalhar com liberdade.” — Albert Einstein (1879-1955), físico alemão, citado por Howard Eves no livro Return to Mathematical Circles. Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1988.

13. “Não é o conhecimento, mas o ato de aprender, e não é o domínio, mas o ato de chegar lá que dá o maior prazer.” — Karl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático alemão, numa carta a János Bolyai, matemático húngaro. Citado por Howard Eves no livro Return to Mathematical Circles. Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1988.

14. “Aprendi uma coisa: não dá para aprender nada de forma passiva. Se eu quero aprender algo, tenho de tomar as rédeas do cavalo e de guiar o cavalo. Não consigo aprender nada sentado na garupa.” — Marcelo Gleiser, físico brasileiro, em entrevista à revista Cálculo: Matemática para Todos. (Para ler a entrevista, clique aqui.)

15. “Habilidade técnica é o domínio da complexidade, ao passo que criatividade é o domínio da simplicidade.” — Christopher Zeeman (1925), matemático britânico, no artigo científico “Catastrophe Theory”, de 1977.

16. “Coisas comuns acontecem, e a humanidade não se importa. É preciso uma mente incomum para se lançar à análise do óbvio.” — Afred North Whitehead (1861-1947), matemático britânico, em Science and the Modern World. Londres: Free Press, 1997.

17. “Uma prova matemática moderna não é muito diferente de uma máquina moderna: princípios fundamentais simples se escondem, quase invisíveis, debaixo de uma maçaroca de detalhes técnicos.” — Herman Weyl (1885-1955), matemático alemão, em Philosophie Der Mathematik Und Naturwissenschaft. Munique: Oldenbourg Wissensch, 2008.

18. “Temos um currículo amplo na Bélgica. Estudei latim, inglês, holandês, francês, e muitas outras coisas. Talvez por isso eu me sinta bem no papel de achar as ligações escondidas entre dois campos distintos do conhecimento.” — Renaud Lambiotte, físico belga, em entrevista à revista Cálculo: Matemática para Todos. (Para ler a entrevista, clique aqui.)

19. “Nas séries iniciais, os professores agem mais como pais, e as crianças vão melhor. Nas séries finais, os professores agem menos como pais, e aí elas vão pior.” — Madeline Gurgel Maia, consultora da Editora Moderna, explicando à revista Cálculo por que as crianças tiram boas notas de matemática no ensino fundamental I, embora os professores não tenham o preparo adequado para ensinar matemática.

20. “Existe uma palavra em matemática para resultados anteriores que, mais tarde, são alterados — são simplesmente chamados de erros.” — Ian Stewart, matemático britânico, citado por Mario Livio em Deus é Matemático? Rio de Janeiro: Record, 2010. Continue reading →

Uma amostra do livro “Um Curso de Matemática Pura”

Esta é uma adaptação livre dos dois primeiros capítulos da terceira edição do livro A Course of Pure Mathematics, de Godfrey Harold Hardy, lançado pela Cambridge University Press e pela Macmillan em 1921. Mais precisamente, é uma adaptação livre das 26 primeiras seções do livro, que estão contidas nos capítulos 1 e 2, e que tratam de números reais e de funções de números reais. Nas linhas a seguir, estou publicando minha versão brasileira do texto original das 26 primeiras seções, intercalada com 72 comentários ao texto. Quanto aos comentários, em parte surgiram de entrevistas que fiz com Rodrigo Cabral ao longo de um ano (junho de 2014 a junho de 2015); na ocasião, Rodrigo era aluno de mestrado no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Nós nos encontrávamos uma vez por mês para discutir o livro e conversar sobre estratégias de resolução dos problemas propostos por Hardy.

Uma convenção: O número das seções é o mesmo número usado por Hardy no UCMP; por exemplo, {1} se refere à seção 1, {2} à seção 2, etc. Quanto aos comentários e às explicações, estão marcados assim: {Com-1} significa “comentário 1”, {Com-2} significa “comentário 2”, e assim por diante.


{Com-1}/ Introdução à tradução: Nós, os canibais

Certa vez, um matemático disse que Hardy escreveu o livro UCMP “com o entusiasmo de um missionário diante de canibais”. É uma imagem adequada: parece que em todo parágrafo o autor procura inculcar no leitor uma ideia importante ou uma distinção sutil. Muitos historiadores dizem que este livro sozinho mudou a história da matemática nos países de língua inglesa, e que influenciou muita gente mundo afora. Entre os matemáticos mais conhecidos do século 20, muitos leram este livro em algum momento: ou como jovens tentando aprender, ou como velhos em busca de inspiração.

Hardy escreveu UCMP tendo em mente o aluno do primeiro ano da faculdade, mas não qualquer aluno, e sim o amante de matemática: “Este livro foi desenhado para o estudante cujos interesses são, em primeiro lugar, de cunho matemático”, escreveu no prefácio da primeira edição. “Espero que seja útil para outras classes de leitores, mas em todo caso é um livro para matemáticos: por exemplo, em nenhum lugar fiz nenhuma tentativa de atender às necessidades do estudante de engenharia.”

Uma dica: ao final de algumas seções, Hardy inclui uns poucos “exemplos”. Alguns deles não passam de exemplos, que o leitor compreenderá com uma, duas leituras, ou talvez com uma exploração breve. Alguns lembram um exercício de fixação. A maioria deles, contudo, lembra mais um problema: o leitor deve provar uma afirmação, ou provar a veracidade de uma implicação, ou algo assim. Em todo caso, a cada exemplo vale a pena se perguntar: “O que Hardy tentou me mostrar com o exemplo? Como devo encaixá-lo na teoria?” Outra dica: tente de todo jeito estudar o texto e os exemplos tão completamente quanto puder antes de olhar os comentários.

Sem mais demoras, eis a primeira seção do livro. Divirta-se!



{1}/ Números racionais

Você pode chamar um quociente r = p/q, no qual p e q são inteiros positivos ou negativos, de “número racional”. E daí pode supor (i) que p e q não têm fatores em comum, pois, se tiverem um fator em comum, pode dividir p e q pelo tal fator; e (ii) que q é positivo. Veja:

Aos números racionais definidos dessa forma, pode adicionar o “número racional zero”, que obtém ao imaginar p = 0.

Vou presumir que já se acostumou com as regras aritméticas com as quais manipula números racionais. Os exemplos que incluí a seguir não exigirão de você mais do que tais conhecimentos.

Exemplos I. 1. Se r e s são números racionais, daí r + s, rs, rs e r/s também são números racionais, exceto, no último caso, quando s = 0, pois daí r/s não tem significado nenhum.

2. Se λ, m e n são números racionais positivos, e se m > n, daí λ(m2n2), 2λmn e λ(m2 + n2) também são racionais positivos. Com essa informação, mostre como determinar qualquer número de triângulos retângulos cujos lados tenham todos comprimentos racionais.

3. Todo número decimal exato representa um racional cujo denominador não contém nenhum outro fator além de 2 ou 5. A recíproca é verdadeira: você pode expressar todo racional assim, e de uma única forma, como um decimal exato.

4. Pode arranjar os números racionais positivos numa sequência simples, como a que se segue:

Mostre que, com a fórmula a seguir, obtém a posição de p/q nessa sequência:

Note que, na sequência, todo número racional se repete infinitas vezes. Assim, o número 1 ocorre na forma de 1/1, 2/2, 3/3, etc. Você pode, se quiser, evitar isso ao omitir da sequência todo racional que já apareceu uma vez na forma mais simples; mas daí o problema de determinar a posição de p/q fica mais complicado. Continue reading →

Cálculo Tornado Fácil 18

Quando o estudante topa com as equações diferenciais pela primeira vez, em geral fica impressionado com a destreza técnica dos matemáticos, com sua capacidade de investigar questões sutis. No entanto, tais equações surgem todo dia na vida do engenheiro, do cientista, e do matemático.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 91 porque o texto anterior terminou na 90. Aliás, o texto a seguir é — finalmente! — o último da sequência. Os textos anteriores são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, CTF 10, CTF 11, CTF 12, CTF 13, CTF 14, CTF 15CTF 16, e CTF 17.


{91}/ Capítulo 21

Equações diferenciais: achando algumas soluções

Neste capítulo, quero ajudá-lo a achar a solução de algumas equações diferenciais importantes; para tanto, vai usar o que estudou nos capítulos precedentes.

Muitos dos métodos pelos quais achar a integral de uma função são fáceis de entender; o novato logo descobre isso. Porém, quando passa a lidar com equações diferenciais, descobre também como a integração é uma arte. E nessa arte, como em toda arte, só pode ganhar desenvoltura por meio da prática regular e diligente. Quem sonha com desenvoltura deve estudar exemplos e resolver exercícios, como os que existem em livros regulares de cálculo; depois deve estudar mais exemplos e resolver mais exercícios, e depois mais e mais. Aqui, meu propósito é dar a você a mais breve introdução possível ao trabalho de uma vida.

Equação diferencial: É uma relação entre uma variável independente (por exemplo, x), uma variável dependente (y) e uma ou mais das derivadas de y em relação a x (isto é, um ou mais dos coeficientes diferenciais de y em relação a x). Equação diferencial parcial: É uma relação entre uma variável dependente (y), mais de uma variável independente (x, z, u) e as derivadas parciais que remetem a tais variáveis (como ∂y/∂x, 2y/∂u2). Em resumo, numa equação diferencial, algumas das incógnitas ou das variáveis são coeficientes diferenciais.

Exemplo 1. Ache a solução da equação diferencial a seguir.

Antes de continuar, talvez queira reescrever a equação com a notação de linha — assim, ao pensar, pode ir de uma notação para a outra conforme julgar conveniente. Faça, por exemplo, y = f(x); daí y’ = f’(x).

O que tem a fazer é tirar ay dos dois lados e dividir a equação inteira por b. Ficará com:

Só de inspecionar essa relação, percebe que deve pensar num caso em que y’ é proporcional a y. Se pensa numa curva com a qual vai representar y em função de x, que características essa curva deve ter? Em qualquer ponto, seu gradiente será proporcional ao valor de y naquele ponto; será negativo se o valor de y for positivo; será muito negativo (em valor absoluto) se o valor de y for grande; e será quase zero se o valor de y for muito pequeno, isto é, muito próximo de zero. Você já viu uma curva assim quando estudou os decrescimentos exponenciais (capítulo 14, no CTF 11), e sabe que a solução conterá o fator ex; por tentativa e erro, consegue achar uma expressão tal que sua derivada seja a equação diferencial da qual partiu. Ainda assim, tente trabalhar fingindo que não percebeu isso.

Visto que tanto y quanto dy ocorrem na equação em lados distintos, não pode fazer quase nada enquanto não coloca y e dy de um lado, e dx do outro. (A solução genérica de equações diferenciais desse tipo simples é: ∫f(y)dy = ∫g(x)dx.) Para tanto, tem de separar os inseparáveis dy e dx.

Dado esse primeiro passo, pode ver que organizou a equação num formato o qual pode integrar, pois reconhece dy/y, ou (1/y)dy, como uma diferencial que já encontrou antes quando diferenciou logaritmos. Pode então de uma vez escrever as instruções relativas à integração.

Ao realizar as duas integrações, deve obter:

Aqui, lnC é a constante arbitrária de integração. (Visto que é arbitrária, pode colocá-la em qualquer formato. Por que não colocá-la num formato com o qual terá menos trabalho mais tarde?) Já pode tirar os logaritmos, que significa usar os termos da equação como expoentes da constante e.

E essa é a solução que procurava. Ela parece diferente da equação da qual surgiu; contudo, para alguém com espírito matemático, as duas contêm as mesmas informações sobre o modo pelo qual y depende de x.

Quanto à constante C, seu valor depende do valor inicial de y, isto é, do valor de y quando x = 0. Numa situação prática, o cientista mede o valor de y quando x = 0 e desse modo acha o valor de C, pois, quando x = 0, y = Ce–0, que é y = C; e assim você pode ver que, neste caso, C nada mais é que o valor inicial de y. Chame tal valor de y0; daí pode reescrever a solução da equação diferencial assim:

Observação. Qualquer tabela de derivadas e integrais contém a informação a seguir:

Silvanus, contudo, ignora o valor absoluto de y. Por quê? Ele tomou uma decisão de cunho prático: em situações cotidianas, o engenheiro está interessado em x, y ≥ 0, isto é, no que acontece no primeiro quadrante do sistema de coordenadas retangulares. Em situações teóricas, ou em situações práticas mais complicadas, o matemático lida com valores positivos e negativos tanto de x quanto de y. Em casos assim, tem de lembrar que, caso não possa trabalhar com o sistema dos número complexos, então a função lnx só vale para x > 0.

Exemplo 2. Vamos agora resolver a equação diferencial a seguir, na qual g é uma constante também.

De novo, ao inspecionar a equação, deve perceber que (1) de alguma forma o termo ex vai aparecer na solução, e que (2) se em alguma parte do gráfico da função houver um máximo ou um mínimo, no qual dy/dx = 0, daí y será igual a g/a. Mas vá ao trabalho da mesma forma que antes, isto é, fingindo que não percebeu nada disso, tentando separar os diferenciais e colocar os termos da equação num formato que permita a integração.

Você fez tudo o que podia para colocar y e dy de um lado, e dx do outro. Mas a equação que obteve é integrável? Bem, ela apareceu da mesma forma que já apareceu no capítulo 14; assim, ao escrever as instruções de integração, você obtém:

Ao realizar a integração e adicionar a constante arbitrária de integração, deve chegar a:

Essa é a solução. Contudo, se for possível dizer que y = 0 quando x = 0, daí pode achar um valor mais específico para C, pois a exponencial se transforma em 1 e você obtém:

E agora sua solução se transforma em:

A partir desse ponto, pode obter um resultado importante na física. Se permite que x cresça sem limite, y vai se aproximar cada vez mais de um limite máximo. Pois, quando x tende ao infinito, a exponencial tende a zero e y tende a g/a. Nesse caso, pode reescrever do modo a seguir a solução da equação diferencial.

Físicos usam uma equação semelhante a essa para calcular a carga de um capacitor depois de x segundos, o que é importante, por exemplo, quando querem saber em que instante um sistema de energia de emergência está em condições de assumir o lugar do sistema principal.

Exemplo 3. Considere a equação diferencial a seguir.

Comece a fazer umas tentativas. Vai achar essa mais difícil de tratar que a anterior. Primeiro, pode dividir tudo por b.

Do jeito que a equação ficou, você não pode integrar o lado esquerdo. Mas pode empregar um artifício e torná-lo integrável — e aqui entram os anos de prática com problemas semelhantes. Multiplique todos os termos por exp(t ∙ [a/b]).

Isso é o mesmo que a expressão a seguir.

Já pode diferenciar essa expressão, se assumir as igualdades abaixo:

Daí, com as técnicas de integração:

O último termo vai desaparecer conforme o valor de t aumenta, e se quiser pode omiti-lo. (Na equação [A], substituí exp(x) por ε(x) para que a linha toda não ficasse comprida demais; ambos os símbolos significam ex.) O problema agora é resolver a integral que aparece como um fator. Para tratar esse problema, deve recorrer ao truque da integração por partes, cuja fórmula geral é ∫udv = uv – ∫vdu. Para tanto, escreva assim:

Com isso, terá os seguintes resultados:

Ao inserir tais descobertas, a integral em questão se transforma em:

A última integral ainda está numa forma irredutível. Para contornar essa dificuldade, repita a integração por partes que fez no lado esquerdo da equação original, mas com outras funções:

Ao inserir tais descobertas no processo de integração, obtém:

Note que a integral intratável em [C] é a mesma que em [B]. Você pode eliminá-la. Multiplique [B] por (2πnb)/a e multiplique [C] por a/(2πnb), e depois disso some as duas equações. O resultado, depois de limpo, fica assim:

Ao inserir essa expressão em [A] e fazer as contas, obtém ainda:

Para simplificar essa expressão ainda mais, pode imaginar um ângulo φ tal que tanφ = (2πnb)/a. Daí:

Substituindo tais informações na equação de y, chega a:

E essa é a solução que procurava. Um físico reconheceria a equação acima: é a equação da corrente alternada num circuito elétrico, na qual g representa a amplitude da força eletromotriz; n, a frequência; a, a resistência; b, o coeficiente de autoindutância do circuito; e φ representa o ângulo de defasagem entre corrente e força eletromotriz.

Exemplo 4. Suponha agora a linha a seguir, na qual M e N denotam funções.

Você poderia integrar a expressão diretamente se M fosse função apenas de x e N fosse função apenas de y; mas se M e N são funções tanto de x quanto de y, como pode daí integrá-las? Será que a expressão representa um diferencial exato? Em outras palavras: será que você poderia formar M e N por meio de diferenciação parcial a partir de uma terceira função, digamos U? Se poderia, se essa função U existe, então vale o sistema a seguir. [Em caso de dúvida, reveja o capítulo 16, publicado no CTF 13.]

Se tal função U existe, daí a linha a seguir representa um diferencial exato.

Como pode testar essa presunção? Bem, se a expressão representa um diferencial exato, então as duas linhas a seguir têm de ser verdadeiras.

Use como ilustração a próxima equação.

É um diferencial exato? Aplique o teste.

Como são diferentes, o teste falhou: a linha não representa um diferencial exato, e as duas funções 1 + 3xy e x2 não surgem de uma função original em comum.

Em casos assim você pode encontrar, contudo, um “fator de integração”, isto é: pode achar um fator tal que, ao multiplicar a equação inteira por ele, você obtém no fim das contas um diferencial exato; com a experiência, conseguirá pensar num fator com essa propriedade. Neste exemplo, 2x compre o papel de fator de integração. Ao multiplicar a equação inteira por 2x, obtém:

Agora pode aplicar o teste de novo.

A equação passou no teste. Sendo assim, existe um diferencial exato, e ele pode ser integrado. Agora, se fizer w = 2x3y e realizar as operações de diferenciação parcial, chega a:

Faça as contas agora de trás para a frente e veja como a função U cumpre o papel que deveria cumprir.

Exemplo 5. Considere agora a equação diferencial a seguir.

Nesse caso, tem uma equação diferencial de ordem dois, ou de segunda ordem, na qual y aparece em carne e osso e também aparece na forma de um coeficiente diferencial de segunda ordem. Ao tirar n2y dos dois lados, obtém:

Pela equação, você descobre que está em busca de uma função y tal que, depois de diferenciá-la duas vezes, obtém um coeficiente diferencial que é proporcional à função em si, mas com o sinal trocado. No capítulo 15, estudou uma função com essa propriedade — a função seno. (Poderia ser também a função cosseno.) Desse modo, sem mais barulho, pode dizer que a solução vai se parecer com algo do tipo y = Asen(pt + q). Contudo, tente trabalhar como se ignorasse isso.

Multiplique ambos os lados por 2(dy/dt) e integre o que obtiver.

As duas linhas abaixo têm de ser verdadeiras; vai obter a segunda linha depois de integrar a primeira.

Na última equação, C é uma constante. Tire a raiz quadrada de todos os termos:

Mas, usando as informações do capítulo 15 (no CTF 12), pode provar a igualdade a seguir:

Agora, passe de ângulos para senos; na linha a seguir, C1 é um ângulo constante que vem junto com a integração:

Melhor ainda, pode fazer as contas e reescrever o resultado assim:

E essa é a solução genérica.

Exemplo 6. Agora, considere a equação:

Aqui, o que tem é uma função y tal que seu segundo coeficiente diferencial é proporcional à própria função y. Já conhece uma função com essa propriedade — a função exponencial, e pode ter a certeza de que sua solução à equação diferencial acima vai conter a constante e em algum lugar.

Proceda como antes: multiplique a equação inteira por 2(dy/dx) e integre. Sua sequência de notas deve ficar mais ou menos assim:

Nas equações acima, c é uma constante e, além disso:

Agora, você pode imaginar as funções de apoio w e u, definidas como na linha abaixo; e daí as linhas subsequentes são consequência do que já sabe até aqui.

Depois das operações de integração, o que deve obter é:

Subtraia agora (2) de (1) e divida tudo por 2; daí vem:

Visto que C e c são constantes arbitrárias, que podem “absorver” o sinal de menos, você tem condições de reescrever a equação acima para deixá-la mais amigável.

Note como, à primeira vista, a solução não se parece nem um pingo com a equação diferencial original. Ela mostra que deve montar a equação de y com dois termos, um dos quais cresce exponencialmente conforme x aumenta de valor, enquanto o outro diminui exponencialmente. Ainda assim, para qualquer valor real de x, o segundo coeficiente diferencial é proporcional ao valor correspondente de y.

Exemplo 7. A próxima equação diferencial tem semelhanças com a do exemplo 1 e do 6.

Caso atribua alguns valores para a e b, talvez chegue a uma conclusão interessante: se faz b = 0, obtém uma forma como a do exemplo 1, cuja solução era uma função exponencial de expoente negativo. Se faz a = 0, obtém uma forma como a do exemplo 6, cuja solução é a soma de um crescimento exponencial com um decrescimento exponencial. Sendo assim, não ficará surpreso ao ver a solução:

Não vou mostrar aqui os passos entre a equação diferencial original e sua solução — pois a sequência toda é longa demais e complicada. Mas o leitor poderá encontrá-los em tratados sobre equações diferenciais.

Exemplo 8. Você já viu a equação diferencial a seguir, no exemplo 4 do capítulo 16 (CTF 13):

Viu também que essa equação surge naturalmente da forma original a seguir, na qual F e f são funções arbitrárias de x (mas, é claro, diferenciáveis para os valores de x e de t que interessam):

Para olhar a equação diferencial de outro jeito, pode transformá-la um pouco com uma troca de variáveis:

Nessa equação, u = (x + at) e v = (x – at); a nova equação leva à mesma solução geral. Se considera um caso em que F tende a zero, daí pode simplesmente escrever:

Com essa equação, você diz que, quando t = 0, y é uma função apenas de x; pode nesse ponto encará-la como a curva que descreve a relação entre y e x, e que tem certo formato. Daí, qualquer mudança no valor de t equivale a dizer que o valor de y se deslocou em relação a uma origem, qual seja, o comprimento x para o qual calculou y antes. (Pode pensar nisso assim: quando t = 0, y = f(x); mas, quando t ≠ 0, o mesmo valor de y se repete ao calcular f(x + at); de modo que está lidando com algo periódico, algo que se repete.) Em outras palavras, parte I: a equação acima indica que a função original (com seu formato sendo preservado) vai se propagando ao longo do eixo X com velocidade uniforme equivalente a a. Em outras palavras, parte II: qualquer que seja o valor de y num determinado tempo t0 e num determinado ponto x0, o mesmo valor de y tem de se repetir num tempo subsequente t1 e num ponto subsequente x1, sendo que o valor de x1 é x0 + a(t1 – t0). Nesse caso, a equação simplificada representa a propagação de uma onda, de qualquer formato, viajando a velocidade uniforme ao longo do eixo X.

Suponha que tivesse escrito a equação diferencial assim:

Daí a solução teria sido a mesma, mas a velocidade de propagação da onda teria valor diferente:

* * *

Se você viajou até aqui, significa que está pisando na fronteira duma terra encantada. De agora em diante, para explorar essa terra, precisa de listas de exercícios, de uma boa tabela de derivadas, integrais, e de soluções das equações diferenciais mais comuns; precisa também de disposição para ler mais e estudar mais. O cálculo é também uma arte; como em toda arte, a prática leva à proficiência, e a falta de prática dissipará a proficiência que conquistou até hoje.



{92}/ Apêndice: Equações diferenciais

Tente resolver a equação a seguir:

É fácil: você soma 3 aos dois lados da equação, depois soma x aos dois lados, e chega a 2x = 5, de modo que x = 5/2. Para testar sua descoberta, substitui x por 2,5 na equação original e vê como –0,5 é de fato igual a –0,5. O que fez foi achar um valor específico de x que torne a equação verdadeira. (Com um pouco mais de trabalho, pode provar que sua solução é única.)

Que tal agora resolver uma equação mais difícil?

Você recorre ao método conhecido: faz Δ = b2 – 4ac e declara a seu leitor quais são as duas raízes, isto é, os dois valores de x que tornariam a expressão à esquerda igual a zero:

Por conveniência, você dá uns avisos a seu leitor: “Se estiver interessado apenas em raízes reais, faça Δ ≥ 0, isto é, faça b2 ≥ 4ac.” Se na situação anterior precisava achar um valor específico para x, que tornasse a equação verdadeira, na situação imediatamente acima precisa achar uma expressão para x, expressão tal que, quando posta na equação original, torna a equação verdadeira, isto é, torna o lado esquerdo igual a zero. Houve um salto em sofisticação, até porque você achou não apenas uma expressão adequada para x, mas duas.

Agora, resolva a equação a seguir, sabendo de antemão que x é função de t.

Agora, você faz uma sequência mais complicada de passos: tira t dos dois lados, ajeita os diferenciais de modo que fiquem num formato propício para a integração, integra os dois lados da equação e exibe o resultado.

O salto em sofisticação foi enorme. Visto que a equação original contém um coeficiente diferencial, com ela você propõe a seu leitor uma pergunta não sobre valores específicos, nem sobre expressões definidas, mas sim sobre funções: “Qual é a função x tal que, para todo valor de t no domínio de x, a taxa de crescimento instantânea de x em relação a t seja igual ao valor respectivo de t?” E você não achou uma resposta válida ou duas, mas infinitas. Para cada valor distinto que atribui a C, a função correspondente torna verdadeira a equação original; pois, qualquer que seja o valor de C, a derivada de x é t, e t menos t é zero. Tais perguntas sobre funções, feitas na forma de equações nas quais há coeficientes diferenciais (ou derivadas), recebem o nome de equações diferenciais. Pode pensar assim, se quiser: “Equações diferenciais são aquelas nas quais pelo menos um dos termos é um coeficiente diferencial.”

O estudante de ensino médio, quando ouve falar de equações diferenciais pela primeira vez, em geral se impressiona. Como pode o matemático se interessar por questões técnicas tão difíceis, tão etéreas? Equações diferenciais são um tópico difícil, é verdade, mas há nelas pouco de etéreo — pois surgem naturalmente na vida do engenheiro, do cientista, e do matemático.

Um exemplo simples: suponha que um cientista note (como tantos de fato notaram) que a população de certa espécie num ecossistema sempre cresce a uma taxa proporcional ao número de indivíduos da espécie. (Quanto mais indivíduos, mais filhotes.) O jeito mais simples de pôr essa constatação no papel é na forma de uma equação diferencial:

Nessa equação, y é o número de indivíduos no tempo t, e k é um número real maior que 0. Você já viu a solução dessa equação diferencial: y = y0exp(kt), na qual y0 é a contagem da população no momento t = 0.

Para projetar o pêndulo de um relógio, o relojoeiro tem de resolver uma equação diferencial. Para estabilizar um avião em todas as fases do voo, os engenheiros têm de resolver grandes sistemas de equações diferenciais, e para isso recorrem à teoria das matrizes (há partes inteiras dessa teoria dedicadas à resolução de equações diferenciais). Isaac Newton descobriu que os planetas giram numa órbita elíptica em torno do Sol ao resolver um sistema de equações diferenciais.

Mas elas não aparecem apenas na matemática aplicada — ao contrário. Ninguém escapa das equações diferenciais em nenhuma área da matemática pura — topologia, sistemas dinâmicos, geometria de espelhos, teoria de variedades, geometria algébrica, teoria da relatividade, mecânica quântica, teoria das cordas, álgebras de Lie. Livros de matemática avançada contêm a locução “equação diferencial” página sim, página não. A distribuição normal, talvez a equação mais famosa da estatística, surgiu naturalmente de uma equação diferencial. A própria constante e, que é a peça fundamental da distribuição normal, surgiu de uma equação diferencial: Jacques Bernoulli se perguntou (em latim e com outra notação) se existia uma função f tal que f(0) = 1 e f’(x) = f(x); ao resolver esse sistema com duas igualdades, descobriu a constante e ≊ 2,718281 e a função y = f(x) = ex.



{93}/ Epílogo e apólogo

Pode assumir o seguinte: quando este Cálculo Tornado Fácil cair nas mãos dum matemático profissional, que seja orgulhoso e vaidoso, ele vai se levantar da cadeira, dedo em riste, para condená-lo duramente. Dirá algo do tipo: “É um péssimo livro.” De sua perspectiva, não pode haver juízo diferente a respeito deste tratado, pois seu autor comete os erros mais graves e deploráveis.

Em primeiro lugar, ele mostra quão fáceis são as operações mais cotidianas do cálculo.

Depois, ele entrega tantos segredos! Ele mostra o seguinte: “O que um tolo pode fazer, outro também pode.” O autor permite que seus leitores vejam que um matemático grã-fino, tão orgulhoso de ter dominado um assunto tão difícil quanto o cálculo, na verdade não tem tanta razão de ficar tão vaidoso. O matemático orgulhoso gosta de fazê-lo pensar que o cálculo é dificílimo, e não gosta de saber que alguém tenta dissipar tal superstição.

Por fim, entre as coisas horríveis que o matemático vai dizer sobre esse meu “fácil”, inclue-se esta: que o autor falhou miseravelmente ao demonstrar, com toda a rigidez e completude, a validade dos métodos empregados no cálculo; que o autor apenas os demonstrou de forma excessivamente simplória; e que, ainda por cima, os empregou ousadamente para resolver problemas! Mas por que o autor não poderia fazer isso? Você não proíbe uma pessoa de vestir um relógio apenas porque não sabe como consertá-lo. Você não proíbe um violinista de tocar seu violino só porque não foi ele quem o construiu. E você só ensina as regras da gramática às crianças depois que estão falando o idioma com fluência. Seria igualmente absurdo exibir, a iniciantes na arte do cálculo, demonstrações rígidas e completas.

Outra coisa que o matemático profissional orgulhoso vai dizer sobre este livro totalmente ruim e imperfeito: o motivo pelo qual é fácil é que seu autor evitou abordar os assuntos difíceis. E a verdade nua e crua a respeito dessa última observação é — é a mais pura verdade! Qualquer um consegue tornar um assunto maravilhoso num repulsivo se capricha ao mostrá-lo incrustado de brilhantes dificuldades mil. Meu propósito com este livro era permitir que o novato aprendesse a linguagem do cálculo, se familiarizasse com suas partes mais simples, e visse como usar seus métodos poderosos na resolução de problemas, sem que para tudo isso fosse obrigado a desvendar os meandros de demonstrações matemáticas tecnicamente perfeitas, completamente verdadeiras e, para um novato, totalmente irrelevantes.

Há engenheiros jovens que já ouviram um professor dizer “o que um tolo pode fazer, outro também pode”. Peço a tais jovens que não revelem a identidade do autor, nem contem a ninguém o quão tolo ele de fato é. {FIM}



Observações:

1. Quando Silvanus publicou este livro pela primeira vez, não divulgou seu nome, e por isso no último parágrafo pede a seus jovens leitores que não divulguem a verdadeira identidade do autor. A página de rosto do livro dizia apenas que o autor era “F. R. S.” Isso significa que era um Fellow of the Royal Society, isto é, membro da Real Sociedade de Londres para a Melhoria dos Conhecimentos Científicos sobre a Natureza. Silvanus foi um professor brilhante e engraçado. Sempre que realizava uma passagem matemática difícil na lousa, e notava que os alunos ficaram impressionados com sua destreza, anunciava: “O que um tolo pode fazer, outro também pode!”

2. Há um outro curso de introdução ao cálculo neste blogue, com todas as demonstrações no lugar: para ver o capítulo 1, clique aqui; no pé do arquivo, verá os links para os demais capítulos.

3. Em 1846, Urbain Jean Joseph Le Verrier previu a existência de um planeta desconhecido (Netuno), e determinou sua posição no céu, ao resolver um sistema de equações diferenciais.

4. Mais uma vez: quando Silvanus pede ao leitor para “dividir a equação inteira por b” ou para “multiplicar a equação inteira por 2x”, está implicitamente pedindo ao leitor que faça b ≠ 0 e x ≠ 0, ou, em outras palavras, que tome cuidado com o zero: pois a divisão por zero não está definida no sistema dos números reais; além disso, uma equação falsa para todo x ≠ 0, como 2x = 5x, pode ser verdadeira para x = 0.

Estatística no esporte

Desde 1986 os administradores profissionais de times esportivos recorrem à estatística para tomar decisões inteligentes e melhorar a sorte de seu time.

Observação: Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 4, abril de 2011, pág. 38. A versão que vai ler a seguir foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.


{1}/ Estudando os fundamentos do jogo

Videntes fazem previsões ousadas, mas difíceis de ligar a um evento específico, do tipo “um sol brilhará na aura da política brasileira”. Aí, quando um político faz alguma coisa bacana, o vidente grita: “Eu avisei!” O estatístico é uma espécie de vidente também, mas ele faz previsões modestas e técnicas. Num jogo de vôlei, por exemplo, se no time do Brasil estiverem presentes os jogadores Murilo Endres e Leandro Vissotto, o estatístico consegue prever: Murilo deve agir menos dentro de quadra, e deve fazer menos pontos, mas, na média, ele ajudará mais o time do Brasil — porque errará menos e dará menos oportunidades ao adversário. Leandro deve agir mais, e fazer mais pontos, mas ele errará mais — em média. O estatístico também prevê o seguinte: talvez nada disso aconteça.

O Brasil se tornou uma potência no vôlei: 317 medalhas de ouro, 199 medalhas de prata, 178 medalhas de bronze. Mas só se tornou potência porque usa, desde 1986, as ferramentas da estatística, como conta Sandra Caldeira, ex-jogadora de vôlei profissional — e formada em estatística.

Até 1986, todo mundo no Brasil avaliava jogadores de vôlei com base em achismos. Mas José Carlos Brunoro, na época assistente-técnico da equipe masculina adulta, queria reunir dados sobre os jogadores brasileiros e estrangeiros, especialmente os jogadores de Cuba, Itália, Rússia, e Estados Unidos. Para ganhar de times tão organizados, dizia José Carlos, era preciso reorganizar o modo como o Brasil administrava seus times. Para mudar a gestão, era preciso coletar números. E aí Sandra Caldeira aceitou o convite: ela usaria sua própria experiência como jogadora e seus conhecimentos de estatística para montar um sistema de avaliação de jogadores brasileiros e estrangeiros. “Naquela época”, diz Sandra, “fazíamos todo o trabalho na calculadora e preenchíamos as planilhas a lápis.”

Hoje, a equipe técnica dos times profissionais usa computadores para estudar duas características de cada jogador: eficácia e eficiência. Cada jogador em quadra toma iniciativas: saca, bloqueia, levanta, ataca. Quanto mais eficaz o jogador, mais ele converte suas iniciativas em pontos para seu time. Quanto mais eficiente o jogador, menos ele erra, ou seja, menos pontos ele entrega ao time adversário. Um jogador A pode ser mais eficaz que o jogador B, porque converte mais iniciativas em pontos; mas pode ser menos eficiente que o jogador B, porque erra mais. (Veja na seção 2 a definição precisa de eficácia e de eficiência.)

Murilo Endres, por exemplo, foi eleito o melhor jogador do Campeonato Mundial de Vôlei Masculino de 2010, realizado na Itália. Durante o campeonato, ele tomou a iniciativa 186 vezes, das quais em 89 vezes marcou pontos; em compensação, errou 22 vezes, ou seja, o adversário marcou 22 pontos por causa de seus erros. Sua eficácia ficou em 47,85%, e sua eficiência, em 36%.

Seu colega Leandro Vissotto, um dos melhores jogadores da nova safra, tomou a iniciativa 201 vezes, e marcou pontos em 101 delas; mas, em compensação, errou 36 vezes. Sua eficácia, de 50,24%, foi maior que a de Murilo Endres, mas sua eficiência foi menor: 32,34%. Por isso Murilo embolsou alguns milhares de dólares a mais que Leandro.

Membros da equipe técnica fazem contas assim para cada um dos “fundamentos do jogo”, como eles dizem: saques, bloqueios, passes, fintas, largadas. Eles contam o número total de ações (por exemplo, saques), o número total de acertos (pontos para o time brasileiro), o número total de erros (pontos para o time adversário), e fazem as contas, usando as fórmulas de eficácia e eficiência. Os jogadores se revelam mais ou menos eficazes e eficientes em cada um dos fundamentos.

Cara ou coroa? Cientistas separam os fenômenos da natureza em dois grupos: aqueles que podemos prever com certeza (os determinísticos) e aqueles que podemos prever com algum grau de certeza (os estocásticos , isto é, não determinísticos; às vezes, são também chamados de aleatórios, mas isso é controverso). Se alguém sobe na Torre de Pisa e solta uma bola de chumbo lá de cima, pode usar as leis da física para calcular, com precisão de milésimos de segundo, quanto tempo a bola vai levar para atingir o chão. E se alguém fizer isso 20 vezes, 20 vezes a bola de chumbo vai demorar o mesmo tempo para bater no chão. Uma bola de chumbo caindo da Torre de Pisa é, tudo indica, um fenômeno determinístico. Se alguém joga uma moeda comum para o alto, contudo, não tem como saber qual lado cairá para cima: cara ou coroa? Uma moeda comum jogada para o alto representa um fenômeno estocástico, que pode ser descrito com probabilidade e estatística: há 50% de chance de que saia cara ou, dizendo isso de outra forma, 50% de que saia coroa. Para cada caso, um evento em dois, isto é, 1/2.

No cotidiano, lidamos muitas vezes por dia com fenômenos estocásticos. Vai chover? O trânsito estará bom? Haverá fila no restaurante? Mas, principalmente: Meu time vai ganhar o jogo de hoje à noite?

Nem todos entendem o que significa usar probabilidade e estatística para lidar com um fenômeno estocástico. Se um cidadão joga uma moeda para cima, e sai coroa cinco vezes seguidas, da próxima vez a chance de sair cara continua em 50%. Cada lance é equiprovável, ou seja, independe do lance anterior. A cada lance, o cidadão não tem como prever o que sairá.

Se não presta para prever o futuro, para que servem a probabilidade e a estatística? Para tomar decisões inteligentes. Vamos supor que um engravatado se aproxime de um cidadão e lhe proponha uma aposta: “Vamos jogar cara ou coroa mil vezes. Se sair cara 600 vezes ou mais, você me paga 1.000 reais. Se sair cara menos do que 600 vezes, eu te pago 1.000 reais.” Das duas, uma: ou o cidadão está diante de um ignorante de estatística com a compulsão de jogar, ou está diante de um embusteiro, e ele tem uma moeda enviesada. Para quem joga uma moeda não enviesada para cima 1.000 vezes, a probabilidade de sair cara 600 vezes ou mais é de 9 ocorrências em 100 bilhões; em outras palavras, sair cara menos do que 600 vezes é quase certo.

Corinthians 1, Grêmio 3. Estatística e esportes nasceram um para o outro. Dois grandes matemáticos do século 17, Blaise Pascal e Pierre de Fermat, trocaram muitas cartas sobre como usar a matemática para calcular as chances num jogo de azar, e dessa correspondência surgiram as primeiras ideias sobre o que depois se chamaria teoria das probabilidades. Bem mais tarde, em 1952, Frederich Mosteller usou estatística para descrever um esporte moderno, o baseball; Frederich pegou dados de campeonatos e publicou suas descrições no jornal da Associação Americana de Estatística. Desde então, o número de trabalhos estatísticos sobre esportes modernos cresceu tanto que a associação americana foi obrigada a criar uma seção específica do jornal só para a estatística dos esportes. Além disso, em 2004 surgiu um jornal acadêmico só para isso — o ótimo Journal of Quantitative Analysis in Sports.

Os técnicos e a equipe técnica usam estatística para reconstruir a trajetória de jogadores talentosos. Quais eram seus números quando eram jovens e inexperientes? Como seus números foram se transformando ao longo do tempo, isto é, ao longo do treinamento e da convivência com jogadores mais velhos? Que exercícios e atividades modificaram mais seus números? Quando ele joga com o jogador X ou com o Y, seus números melhoram ou pioram? Qual é o intervalo ideal entre jogos? Havendo dados em bancos de dados, e havendo quem saiba mexer com estatística, a equipe técnica consegue achar respostas bem precisas para perguntas muito difíceis de responder só com achismos. Ela consegue, por exemplo, contratar jogadores cujas características numéricas complementem as características do time.

A estatística serve também para decidir o melhor jeito de ganhar do time adversário. Em 2001, no final da Copa do Brasil, o Grêmio precisava vencer o Corinthians num jogo em São Paulo. Se vencesse o jogo, levava a copa. O técnico Tite estudou as estatísticas disponíveis sobre o Corinthians, e descobriu que os zagueiros erravam muito no momento de passar a bola para a frente. Então, Tite deu instruções: quando a posse de bola estivesse com o Corinthians, todos os jogadores corintianos seriam marcados com empenho — exceto os zagueiros. Cedo ou tarde, o corintiano marcado passaria a bola para um dos zagueiros livres, que chutaria para a frente, erraria o passe e daria a oportunidade para um contra-ataque. Nesse caso, a estatística funcionou: o Grêmio ganhou o jogo (por 3 a 1) com dois gols desse tipo.

Na Universidade Federal de São Carlos (SP), o professor Francisco Louzada-Neto criou um grupo especializado em modelagem estatística de esportes. No caso do futebol, o modo mais comum de converter o esporte em modelos estatísticos é correlacionar o número médio de gols de um time com os fatores que influem na média daquele time, para descobrir se a média de gols aumenta ou diminui conforme muda o capitão do time, o mando de campo, o estádio, o grupo de atacantes, o grupo de zagueiros, o comportamento da torcida. Com base em informações histórias e em estimativas (ou chutes, na linguagem popular), Francisco monta um modelo estatístico (uma simulação de computador), e põe um time virtual para jogar com outros times virtuais; depois disso, bate suas previsões com os jogos reais, e vai aperfeiçoando o modelo conforme os jogos reais e virtuais acontecem.

Foi assim que Francisco e equipe previram quase tudo o que aconteceu na Copa do Mundo de 2010, na África do Sul. Eles previram que a África do Sul não passaria para a segunda fase, e a África do Sul não passou. Previram que a Itália e a França não chegariam a figurar entre os favoritos, e ambas saíram cedo da copa. Previram que os quatro times na semifinal sairiam do grupo composto por Espanha, Holanda, Argentina, Portugal, Inglaterra, Alemanha — e Brasil. Acertaram 75%, porque Espanha, Holanda, e Alemanha de fato foram para a semifinal.

Quem prevê o juiz? “Não conseguimos incluir nos nossos modelos estatísticos”, diz Francisco às risadas, “lances como goleiro tromba com volantes e Felipe Melo pisa em Robben.” Segundo os modelos do professor Francisco e de seus alunos, o Brasil tinha 51,5% de chance de vencer a Holanda. Mas futebol é assim. “Mesmo que um time tenha chances muito boas de vitória”, diz Francisco, “não significa que ele não possa perder.”

É impossível usar a estatística para melhorar o desempenho de uma moeda no cara e coroa. Moedas não aprendem, não desejam, não se intimidam. A probabilidade de cara será sempre 50%, e a de coroa também, não importa quantas vezes o técnico Tite amaldiçoe a moeda. E é possível usar a estatística (e as maldições) para melhorar as médias de um jogador e de um time, e nisso jogadores e moedas em nada se parecem. Mas eles se parecem muito numa outra coisa: o resultado de um lance específico é, e sempre será, imprevisível. Um grande jogador pode errar um pênalti. O número de variáveis a considerar é, pura e simplesmente, grande demais.

Dizem que, no vôlei, a ciência virou o sétimo jogador em quadra — mas quem joga mesmo é jogador de carne e osso. “Numa final”, diz Sandra Caldeira, “um atleta que estava com as melhores pontuações de repente desaba. Basta uma coisa simples, como uma lesão ou um erro da arbitragem, e muito do que era vantagem para o time do Brasil vira vantagem para o adversário.” {}



{2}/ Eficácia e eficiência no vôlei profissional

Onde:

E1 = eficácia;

E2 = eficiência;

P = pontos para o próprio time;

E = erros que resultem em pontos para o time adversário;

I = iniciativas dentro de campo.

Exemplos do Mundial de Vôlei Masculino 2010:

Murilo Endres (30 anos)

Leandro Vissotto (28 anos)

Em linguagem corrente: Leandro Vissoto age mais dentro de campo e, em razão de suas ações, o time faz mais pontos. Mas Leandro erra mais, e dá ao time adversário a chance de fazer pontos — por isso ele é menos eficiente que Murilo, um jogador que age menos e converte menos ações em pontos, mas, em compensação, erra menos.



{3}/ Cuidado com comparações indevidas

Richard Jaeger, um autor americano, diz que existem três personagens importantes na estatística: quem coleta os números, quem faz as contas, e quem lê.

Coletar números sobre fenômenos complexos é difícil. Se duas pessoas vão ao estádio só para contar o número de chutes a gol, as duas vão sair com números diferentes. “O quê?! Você contou aquele chute desanimado como chute a gol? O jogador chutou sem rumo, e a bola foi mais ou menos na direção do gol por coincidência.” A outra pessoa responderá: “Chute a gol é chute a gol, seja desanimado ou não, seja intencional ou não.” Pronto: as duas definições pelas quais interpretar a realidade resultam em dois números distintos.

Depois de coletados os números, chega a vez do matemático fazer contas. Se for jovem, recém-saído da faculdade, ele dará preferência para algumas das ferramentas da estatística. Se for velho e experiente, dará preferência para outras, ou talvez até use ferramentas de outros campos da matemática, como topologia algébrica ou sistemas dinâmicos.

E aí vem o leitor. Se existe 99% de chance de que o Brasil ganhe da Holanda, um leitor sem noções de estatística vai achar que o jogo está ganho. Vuvuzela nos laranjinhas! O leitor com noções, contudo, sabe que 1% de chance é suficiente para que o Brasil perca o jogo. Aliás, qualquer chance maior que zero, por pequena que seja, já seria suficiente.

Os erros mais comuns. Esses erros aparecem com frequência em programas de TV.

Dizer que um time não ganha do outro há 15 anos, quando, nos últimos 15 anos, os dois times só jogaram duas vezes.

Comparar um time de 1970, com Pelé e Tostão, com um time de 2011, com Alexandre Pato e Nilmar. Os dois times são incomparáveis, ou, melhor dizendo, só podem ser comparados em tese, por alguém que soubesse extrair a essência de cada um dos times para comparar as duas essências, mas duvido que exista alguém com esse poder. Além disso, segundo os mais competentes filósofos modernos, talvez não existam essências.

Achar que, se um jogador faz 5 gols a cada 100 chutes a gol, e se ele está para chutar para gol, sua chance de fazer gol é mínima. Não é. Na ponta do lápis, sua chance é de 5% — ou seja, sua chance de fazer gol é 2.503.193 vezes maior que sua chance de acertar na Mega-Sena, caso tenha apostado em seis dezenas.

Dizer que um jogador está numa boa fase ou numa fase ruim quando, fazendo as contas, ele está na média. Se a eficiência do jogador Murilo Endres é de 36%, significa que, a cada 186 iniciativas, ele pode errar 22 vezes seguidas. Será execrado pelos torcedores. Mas aí ele pontua 89 vezes seguidas. Será adorado pelos torcedores. O tempo todo, contudo, a taxa de eficiência permaneceu estável em 36%.



{4}/ Probabilidade: noções básicas

Se alguém realiza um experimento qualquer, deve usar a notação Pr(A) para marcar a probabilidade de que o evento A aconteça em razão desse experimento. Se A nunca ocorre em razão do experimento, Pr(A) = 0. Se A sempre ocorre, Pr(A) = 1. Para qualquer evento A, a Pr(A) é sempre maior ou igual a zero ou menor ou igual a 1, isto é, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1.

Um espaço amostral S é um conjunto, cujos elementos representam tudo o que talvez aconteça em razão de um experimento qualquer. Um evento A também é um conjunto, que é subconjunto de S. Use a notação n(S) para denotar o número de elementos de S, isto é, o número de ocorrências possíveis em razão de um experimento; e use n(A) para denotar o número de elementos de A, isto é, o número de maneiras segundo as quais determinada coisa pode acontecer. Se S é um conjunto finito e as ocorrências possíveis são todas igualmente possíveis, daí a probabilidade de o evento A ocorrer nesse espaço amostral S será de:

Por exemplo, quando alguém joga uma moeda comum para cima, a moeda pode cair com cara, ou talvez com coroa. O espaço S de resultados possíveis é igual a {cara, coroa}, e n(S) = 2. Quanto ao conjunto A, faça A = {cara}; logo, n(A) = 1. Logo, a probabilidade de que saia cara (ou coroa) é igual a:

Se alguém joga dois dados sobre a mesa, dados comuns, a probabilidade de que saiam dois lados iguais a 5, dois lados iguais a 6, ou um lado igual a 5 e outro igual a 6 é de:

Leva anos para que alguém fique bom em probabilidade e estatística, porque essas duas áreas do conhecimento humano avançaram muito; mas ambas estão fundadas em ideias simples, que vale a pena conhecer bem.



{5}/ No basquete, os minutos finais contam

Narradores de jogos de basquete costumam dizer que o vencedor só se define nos instantes finais do jogo. Uma professora de estatística da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Jacira Guiro Marino, decidiu ver se os narradores têm razão. Em 1992, nos Jogos Olímpicos de Barcelona, ela tentou prever o resultado do jogo masculino de Brasil contra Espanha, e descobriu que os narradores têm razão.

“Nos minutos finais da partida”, diz Jacira, “os times dependem muito dos instantes anteriores. Um modelo matemático só vai representar bem o jogo se ele incluir os eventos dos últimos instantes do jogo.” O modelo estatístico criado por Jacira só indicou o nome do provável vencedor no minuto final do jogo. “Existe um aprendizado durante o jogo, de maneira que um time que faz cestas de três pontos desde o início estará mais apto a fazê-lo também no final da partida.”

O jogo foi estudado como uma série temporal, em que o placar de determinado instante pudesse ser explicado pelos eventos e pelo placar dos instantes anteriores. Jacira considerou também a diferença de pontos entre os dois times ao longo do jogo. “A Espanha esteve à frente na maioria das vezes, e com diferenças grandes. Ela tinha mais história no jogo.” A Espanha venceu. {Fim}


Observações adicionais:

1. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Andreza Emília Marino.

2. Que palavra é melhor: “chance” ou “probabilidade”? “Chance” é uma palavra coloquial, não técnica, em geral usada para dizer que certa coisa talvez aconteça (“Depois da entrevista pessoal, acho que tenho boas chances de ficar com a vaga”), ou que certo evento passado talvez tivesse acontecido de maneira diferente (“Se eu soubesse falar inglês melhor, minhas chances de ficar com a vaga teriam sido bem maiores”). “Probabilidade” é uma palavra técnica, assim como “estatística”. Aliás, probabilidade e estatística são duas coisas distintas: probabilidade é uma área da matemática, isto é, suas afirmações não se referem ao mundo real, mas são consequência de definições, axiomas, e regras de inferência declarados verdadeiros antes de tudo; estatística é uma área da ciência, isto é, suas afirmações se referem ao mundo real, e portanto devem ser constantemente cotejadas com o mundo real por meio de observações bem planejadas.

3. Aquilo que não é determinístico é estocástico, e não necessariamente aleatório. Alguns autores usam “estocástico” e “aleatório” como se fossem duas palavras intercambiáveis, mas outros reservam “aleatório” para designar espaços amostrais nos quais a probabilidade de qualquer um dos elementos do espaço é igual à probabilidade de qualquer outro elemento. (Logo, fenômenos aleatórios são subconjunto de fenômenos estocásticos.) Por exemplo, você pode ver {d1, d2, d3, d4, d5, d6} como um espaço amostral, e dizer que a probabilidade de cada um dos elementos é aleatória se e somente se Pr(d1) = Pr(d2) = Pr(d3) = Pr(d4) = Pr(d5) = Pr(d6) = 1/6. Depois disso, se quiser, pode usar esse modelo matemático para pensar sobre o resultado do lançamento de um dado comum, não enviesado. Porém, note que lançar um dado comum é algo do mundo real, isto é, algo distinto do modelo matemático.

4. Se você acredita na tese de que objetos abstratos são procedimentos com alto grau de exatidão, pode ver a probabilidade como sendo uma imensa fonte de procedimentos, com os quais talvez possa lidar com certos aspectos do mundo real.

5. Você pode adaptar as ideias da seção 2 para usá-las no mundo corporativo, isto é, no mundo dos negócios. Terá de pensar bastante para converter “pontos para o próprio time”, “erros que resultem em pontos para o time adversário”, e “iniciativas dentro de campo” em definições adequadas no negócio em questão, mas, caso tenha sucesso, poderá usar as ideias de eficácia e de eficiência para melhorar “os fundamentos do jogo” — desde que, é claro, saiba definir corretamente o que são os “fundamentos do jogo”.

Três especialistas explicam a economia axiomática de Ludwig von Mises

O economista austríaco von Mises dizia que a economia surge porque o homem pensa e age. Para quem gosta de matemática, ele fascina pela contradição: seu método de fato lembra o axiomático, mas via com reserva a matemática aplicada à economia.



{1}/ Introdução à entrevista: a ação humana

A história de Ludwig von Mises lembra a de Sigmund Freud: ambos acreditavam que um pensador pode chegar a verdades universais sobre a espécie humana caso se sente à escrivaninha e escreva sobre si mesmo, e sobre o mundo à sua volta, com honestidade brutal. Muito do que Freud afirmou se revelou, décadas mais tarde, incorreto; mas até seus críticos dizem que tudo o que escreveu é “interessante, mesmo que seja falso”. Apesar de seus erros, Freud entrou para a história porque descreveu certos aspectos da mente com precisão surpreendente; por exemplo, nenhuma pessoa está perfeitamente consciente do que lhe vai pela cabeça, e muitas vezes não sabe explicar por que fez o que fez, mas ela está sempre dando sinais do que lhe vai pela cabeça — nas roupas, na escolha das palavras, nos gestos, no jeito de acertar o relógio.

Von Mises acreditava que a economia surge porque o homem age: porque ele, numa bela manhã, escolhe algo de olho num prêmio a ser usufruído à tarde — ou em dez anos. (Aviso: estou usando “homem” como substituto de “homens, mulheres, crianças”, isto é, como substituto de “espécie humana”.) “A ação humana é a vontade posta em operação para atingir fins e objetivos”, escreveu uma vez. A partir de afirmações assim, usou o método da geometria: foi deduzindo, com cuidado, outras afirmações. Para quem está habituado com ciência, e sabe que o cientista deve achar um jeito de confrontar suas afirmações com a realidade, os textos de von Mises causam a mesma estranheza que os de Freud: “Isso é interessante, mesmo que se revele falso.”

Os três especialistas nesta entrevista são: Bernardo Vieira Emerick, bacharel em matemática e computação científica pela Universidade Federal de Santa Catarina; antes de matemática, estudou economia por cinco semestres; Fábio Barbieri, professor de economia na Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo em Ribeirão Preto (SP); e Daniel Marchi, graduado em economia pela FEA-USP; faz parte de um grupo informal de estudos da escola austríaca de economia cujos membros moram em Brasília (DF). Cada um deles foi entrevistado num dia distinto, por telefone ou Skype.



{2}/ A entrevista pingue-pongue: deduções cuidadosas

Dizem que a teoria econômica de von Mises é axiomática, e de certa forma parecida com a geometria. Como assim?

Bernardo — Ela é matemática no sentido de que von Mises parte de certos postulados e vai deduzindo o resto de forma lógica e rigorosa. Quando a gente olha a geometria, vemos que ela é um sistema dedutivo: partimos de um conjunto de axiomas e vamos deduzindo as conclusões necessárias desses axiomas. Tanto é que, se alguém perguntar a um matemático qual é a geometria certa, se é a plana ou a hiperbólica, ele vai dizer que a pergunta não faz sentido, pois o matemático se preocupa mais com a validade das conclusões, que são os teoremas. Ele sabe que, se quiser ou se lhe for conveniente, pode mudar os axiomas; com isso, automaticamente muda o corpo de teoremas. Simples assim.

Mas há uma diferença na teoria econômica de von Mises: seus axiomas são apodícticos [o economista pode considerá-los verdadeiros, pois são difíceis de refutar]. Então, não se trata apenas de estudar as deduções de um conjunto de axiomas, mas de validar tal conjunto como sendo de fato verdadeiro. Vou dar um exemplo: o axioma mais importante de von Mises é o que trata da “ação dos homens”. Esse axioma diz que os homens agem, e que agir significa escolher; agir significa preferir uma coisa em detrimento de outra. Mesmo que uma pessoa não aja, ela escolheu, pois escolheu não agir. Partindo desse axioma, ele deduz outras afirmações de cunho econômico. Então, para resumir, os axiomas de von Mises não são arbitrários como os da geometria, pois têm de ter correlação com a realidade à nossa volta; mas o sistema de deduções cuidadosas lembra o sistema axiomático.

Fábio — Von Mises conhecia bem a economia clássica, que na época dele era a tradição, e cuja teoria era escrita com um discurso natural, mas nunca com fórmulas matemáticas. E ele construiu essa teoria dogmática, quero dizer, baseada em premissas do tipo “as pessoas agem porque escolhem”, “as pessoas querem enriquecer”, “se lhes for possível, as pessoas querem evitar custos”. Seus críticos diziam que essas premissas eram falsas, porque eram arbitrárias. Só que von Mises estava consciente da complexidade das questões que estudava; ele sabia que as causas e efeitos que perfazem a economia estão em perpétuo fluxo. Então, sim, ele considerava suas premissas verdadeiras, mas verdadeiras apenas num sentido bastante geral. Seus críticos não chegaram a entender esse ponto.

Daniel — Vamos examinar um exemplo concreto: todo ser humano precisa de uma moradia. É difícil negar essa afirmação. Contudo, uma pessoa compra uma casa, outra aluga, outra mora num hotel, outra se acomoda debaixo de uma ponte. A intenção de cada pessoa é a mesma, ter uma moradia, mas cada uma delas conquista sua moradia de modo diferente. O que o von Mises dizia é que os parâmetros da economia, como juro ou PIB, como investimento ou lucro, em última instância derivam do axioma da ação humana, o axioma segundo o qual os homens agem porque têm um propósito a alcançar.

Agora, há quem diga que von Mises era avesso à matemática; aliás, que toda a escola austríaca repudiava a matemática. Por quê?

Bernardo — Se o leitor entender a matemática no sentido de equações, de modelos matemáticos, aí de fato von Mises era avesso à matemática. Mas, se era avesso, não era por aversão à matemática, nem por aversão a seus métodos, nem por ignorância. O motivo era outro: ele achava que a matemática não era apropriada para descrever a economia.

O objeto a ser descrito e compreendido faz diferença. A física, por exemplo: ela se presta à matematização, e quando o homem passou a matematizá-la, obteve resultados excelentes. O físico pode tratar o espaço e o tempo como se fossem grandezas reais, contínuas; ele pode falar de dez metros por segundo, pode discorrer sobre a derivada da velocidade quando o tempo tende a zero. Tudo isso faz sentido na física; o físico de fato consegue medir o espaço percorrido por um objeto, e consegue cronometrar o tempo.

Na economia, contudo, muitos modelos matemáticos não fazem sentido. Eu posso falar de 1,3 carro por pessoa, mas ou uma pessoa não tem nenhum carro, ou tem um, ou tem dois — os valores são sempre discretos. Von Mises, assim como os outros membros da escola austríaca, achava que falar de 1,3 carro por pessoa é simplesmente falsificar o objeto de estudo. Num de seus artigos, tem uma frase assim: o objeto da economia não são as batatas, os aparelhos de barbear, as camisas; o objeto da economia são as ações humanas, dirigidas por juízos de valor subjetivos. É fácil ver isso quando pensamos no modo como, dentro da nossa cabeça, tratamos os bens — em geral, pensamos assim: “Prefiro isso a aquilo.” Colocamos os bens em ordem de preferência: primeiro, segundo, terceiro. Não tem sentido realizar operações algébricas com números ordinais.

Então, von Mises evitava a matemática porque não queria corromper seu objeto de estudo. Ele não queria deformar seu objeto de estudo apenas para que ficasse adequado ao cálculo diferencial.

Fábio — Von Mises não usa a matemática porque, para ele, usar a matemática implicaria usar valores concretos. Por exemplo, a lei da demanda — ela diz que, quanto mais caro um produto, menos pessoas querem comprá-lo. Eu até posso desenhar uma curva invertida, na qual o valor de y cai conforme aumenta o valor de x. Só que, para von Mises, não devo especificar os valores, porque todo dia morrem umas pessoas, nascem outras, e outras ainda mudam de ideia. A sociedade não fica parada e, portanto, eu até posso saber que, se aumento o preço do meu produto, diminuo a demanda por ele, mas não posso desenhar uma curva com valores concretos. Um filósofo chamado John Watkins até sugeriu a expressão “teoria algébrica”, nas quais eu posso falar “o custo x sobe, o custo x desce”, e posso até mostrar fórmulas ao leitor, mas nunca posso substituir as variáveis por números, pois os números variam todo dia.

Enfim, von Mises acreditava numa teoria econômica com a qual pudéssemos explicar o mundo, mas não prever o mundo. Ele defendia a teoria no plano o mais genérico possível. Eu posso dizer que, quando um governo controla preços, existe a tendência de haver filas nos supermercados e existe a tendência de surgir um mercado negro; eu posso dizer que isso é uma lei da economia, pois tem sido assim desde os tempos da Babilônia. Agora, se amanhã o governo quiser controlar preços, haverá filas nos supermercados? Não sei; não posso dizer. A economia é uma rede muito complicada de causas e efeitos. A escola austríaca enfatizava a ideia de complexidade, e achava que, para usar a matemática, o economista era obrigado a simplificar as coisas demasiadamente. Mas ela nunca fez um ataque à matemática em si.

Daniel — No mundo natural, as coisas se submetem às leis da natureza, às leis da física e da química. No mundo econômico, contudo, as pessoas não necessariamente se submetem, pois o homem é criativo. Se você realiza vários experimentos com uma bola de golfe, se as condições forem as mesmas, os resultados serão mais ou menos os mesmos. Mas se você realiza vários experimentos com pessoas, elas reagem de um jeito num dia, e de outro jeito no dia seguinte. É da natureza do ser humano fazer o que ele acha que deve ser feito (ainda que por omissão); então, quando falo de modelagem matemática das ações humanas, posso incorrer em distorções graves. Não é que haja um problema na matemática; é que há um erro de metodologia.

Não estou falando aqui da matemática básica, com a qual, por exemplo, contamos os bens e controlamos os estoques. Estou falando de usar a matemática para explicar coisas que, olhando de perto, não têm necessariamente uma explicação matemática.

Eu posso verificar, por exemplo, quantos anos de estudos uma pessoa tem, quantos banheiros, quantas geladeiras, quantos empregos teve ao longo da vida, quantos livros lê por mês, etc. Posso fazer uma regressão estatística e ver como essas coisas estão correlacionadas com a renda mensal da pessoa. Mas, ao fazer isso, é quase como se eu dissesse que a renda mensal de uma pessoa não é resultado de suas decisões e ações. Parece que a pessoa é um objeto inanimado que, se tiver tantos anos de estudos e tantas geladeiras, tem certa renda mensal. Por meio dessa matemática, eu retiro a ação humana da análise. Isso é desumanizar o que entendo por economia.

Existe lugar para a matemática na economia?

Bernardo — Será que todo conhecimento a respeito da economia pode ser expresso no formato axiomático? Von Mises não escreveu nada sobre isso, mas eu acho que não, isto é: existem outras formas de conhecimento econômico.

As informações que obtemos por meio de métodos estatísticos, por exemplo, são válidas em muitas circunstâncias práticas. Se alguém trabalha num supermercado, pode usar a estatística para dizer qual é a probabilidade de que atenda tantos clientes numa segunda-feira. É melhor isso do que tomar uma decisão sem informação nenhuma. Contudo, esse conhecimento não é de ordem teórica. Ele não constitui uma explicação. Então, uma pessoa roda seus modelos estatísticos, isola as variáveis, e acha correlações. Provavelmente, ela não achou relações de causa e efeito; ao contrário, achou um fenômeno em busca de uma explicação.

É a teoria que nos permite explicar o que está acontecendo com os números, e a escola austríaca diz que essa teoria deve versar sobre o conjunto das intenções e das ações humanas.

Fábio — Posso pensar no princípio de Pareto e adotar um modelo simples no qual três variáveis explicam 80% das consequências, e encarar o resto como sendo um ruído que trato com probabilidade e estatística. Esse é, grosso modo, o jeito atual de fazer economia. Com os computadores, muita coisa que não era modelável há 20 anos é modelável hoje. Mas acho que a matemática na economia deixou um legado dúbio.

Existe hoje uma revisita à obra de economistas como von Mises justamente porque o histórico de erros recentes dos economistas é grande demais. Há, digamos assim, uma desilusão com o rigor matemático dos modelos econômicos, tanto é que todo mundo ridiculariza a capacidade dos economistas de fazer previsões.

Daniel — Olhando para trás, vejo que meu curso de graduação em economia foi uma espécie de curso de matemática aplicada. Além disso, os livros de economia estão ficando incompreensíveis para quem não tem afinidade com a matemática. Não tenho certeza se isso é certo. Se falo de economia e ninguém me entende, há um problema comigo, e não com meu interlocutor, pois as questões econômicas permeiam nossa vida. E insisto: quando você mergulha nesses livros, percebe que pode questionar o poder explicativo dos modelos matemáticos modernos. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 40, maio de 2014, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. De tudo o que von Mises escreveu, ninguém pode deduzir que a contabilidade de uma pessoa ou de um empreendimento importa pouco, porque é matemática, “e von Mises não aprovava a matemática na economia”. Contabilidade não é matemática: é um conjunto de procedimentos para a classificação de receitas e despesas — e importa muito. Uma coisa é agir da maneira x tendo lucro acumulado de 1 milhão de reais; outra coisa, muito diferente, e talvez até estúpida, é agir da mesma maneira x tendo prejuízo acumulado de 1 milhão de reais. Para mim, a contabilidade é um jeito incrivelmente inteligente de olhar para as receitas e as despesas de uma entidade qualquer.

Axiomas demoram séculos para amadurecer

Depois de pensar por uns 2.300 anos, os matemáticos puderam proclamar: o quinto postulado de Euclides é mesmo um axioma! O estudante fica surpreso com toda essa demora, mas, na matemática, assim é a regra. Ano após ano, século após século, os matemáticos reveem os fundamentos da matemática. Em que ocasião eles põem os axiomas no papel com clareza? Quando a teoria está quase podre de tão madura, mas, ainda assim, não explica direito o que deveria explicar.


{1}/ Se o Kolmogorov falou, está falado

Um estudante (vamos chamá-lo de nfY) escreve no caderno uma demonstração com a aritmética de Peano. Diverte-se mostrando para si mesmo que pode provar várias afirmações a partir de ideias elementares, mas é interrompido pela irmã adolescente. Ela aponta os rabiscos no caderno e gesticula como se estivesse disposta a fazer várias perguntas, mas se complica já com a primeira delas:

“O que é isso?”

“É um axioma.”

“E o que é um axioma?”

Ele para e reflete. Levanta os olhos na direção do teto, murmura algo sobre verdades, intuição, e ponto de partida. Depois pega a caneta e começa a dar exemplos:

“Sabe os números naturais?”, rabisca o caderno enquanto fala. “Um cara chamado Giuseppe Peano listou alguns axiomas para eles: primeiro disse que N é o conjunto dos números naturais, que 1 é um elemento de N e que s é uma função sucessora.”

“O que é função sucessora?”

nfY respira fundo e continua:

“Se a é um número natural, depois dele vem outro número natural que definimos com a função sucessora: s de a.” Ele aponta o s(a) no caderno para mostrar como se escreve e depois apresenta o quantificador : para todo. O caderno fica como a tabela 1.

Tabela 1

O que ele escreve:

O que ele fala:

Axioma 1: 1 N

1 é um número natural.

Axioma 2: (a N)(s(a) N)

Para todo a em N, o sucessor de a também está em N.

Axioma 3: (a N)(s(a) ≠ 1)

Para todo a em N, o sucessor de a é diferente de 1. (Ou seja: não existe um número natural menor do que 1.)

Axioma 4:

(a, b N)

(s(a) = s(b) a = b)

Para todo a e b em N, se o sucessor de a é igual ao sucessor de b, então a é igual a b.

Axioma 5:

(S N)

(((1 S) & (x S)(s(x) S) S = N))

Num subconjunto S de N:

1 pertence a S;

Para todo x em S, o sucessor de x também está em S;

Então, S é o conjunto de todos os números naturais.

(Ou seja: não existem dois conjuntos dos números naturais, mas apenas um.)

“Pronto. Falei da ideia de número natural, de 1, da função sucessora, que você pode pensar como a + 1, e do princípio da indução matemática, usado para provar várias propriedades importantes correlacionadas com números naturais.”

nfY diz que, com esses princípios básicos, Peano pôde deduzir todas as outras regras da aritmética; logo, tais princípios são axiomas. Diz ainda à irmã que, por conveniência, alguns algebristas trocam 1 por 0 nesses axiomas, nos casos em que 0 ajuda nas contas. (Isto é, eles incluem o 0 no conjunto dos números naturais.) O intuito do algebrista é mostrar que existe um número natural menor que todos os outros e que, depois dele, vem apenas um único número natural, e depois desse vem apenas outro único, e assim por diante. Então a irmã continua:

“Mas como você sabe que 1, ou 0 dependendo do caso, é um número natural?”

“É um axioma.”

“E o que é um axioma?”

nfY começa a perder a paciência.

“Axioma é uma afirmação da qual se deduz todas as outras!”

Fala com certeza, pois leu definições assim em vários dicionários e enciclopédias, e além disso todos os professores da faculdade já se referiram aos axiomas dessa maneira. Mesmo assim, nfY fica encucado. Será que axioma é algo tão simples assim? Como pode alguém ser tão genial a ponto de descobrir afirmações simples, a partir das quais pode deduzir tantas afirmações complexas?

Num grosso livro amarelo (Mathematics: Its Methods, Content and Meaning), os matemáticos russos Aleksandrov, Kolmogorov e Lavrent’ev escrevem: “Um axioma é uma espécie de síntese. É a afirmação mais simples que alguém pode conceber para sintetizar toda a matemática descoberta até o momento em que a afirmação foi concebida.” Ao ler a passagem, nfY enruga a testa, sente como se o cérebro se reorganizasse para abrir espaço para a novidade, e então retoma a leitura: “Criamos matemática e, com a prática, conseguimos identificar na matemática já criada os axiomas que ela contém. Esse processo às vezes leva séculos. Com os axiomas, aperfeiçoamos a matemática já existente e criamos matemática nova.” Raramente um matemático oferece essa definição de axioma; em geral, ele segue na linha “Um axioma é uma afirmação cujo valor de verdade é óbvio ou cujo valor de verdade, mesmo não sendo óbvio, deve ser assumido como sendo verdadeiro.” Depois de ouvir a definição dos russos, e de ouvir o nome “Kolmogorov”, o matemático reage assim:

“Ah, foi o Kolmogorov que disse isso, é?! Huuummm, pensando bem, faz sentido.”

Para o estudante nfY, contudo, não faz tanto sentido assim, e muito menos para sua irmã adolescente. nfY se ocupa com dezenas de exercícios e com os trabalhos da faculdade, e se prepara para concluir o trabalho de iniciação científica sobre teoria dos números, mas nunca parou para pensar no que é um axioma, ou melhor, pensar de verdade.

Primeiro a experiência. À procura de como matemáticos definiam axiomas antigamente, nfY abre um livro de história da matemática. Lê sobre um grego chamado Tales (600 anos a.C.), a quem muitos atribuem a ideia de pensar em afirmações que não podiam ser provadas. Algumas páginas à frente, lê sobre Pitágoras e sua escola de geometria e vê que, uns 200 anos depois de Pitágoras, um sujeito decide organizar toda a teoria de maneira axiomática. N’Os Elementos, Euclides colocou no papel algumas definições, cinco postulados (isto é, axiomas) e a partir deles deduziu todos os teoremas de geometria conhecidos até então. Dali em diante, os matemáticos liam Os Elementos, achavam tudo genial, mas desconfiavam do quinto postulado: “Não tem cara de axioma.” Somente no século 19, alguns matemáticos remexeram tanto nele que descobriram o problema. O quinto postulado de fato era um axioma, mas apenas em espaços nos quais uma reta é uma reta mesmo, dessas que nfY desenha com a régua. Existiam espaços nos quais o quinto postulado não valia, pelo menos não da forma como Euclides o deixou n’Os Elementos.

Nicolau Corção Saldanha, professor na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, explica que, para um matemático, um axioma é ponto de partida apenas do ponto de vista lógico, e não cronológico. “É importante entender que raramente uma teoria matemática nasce a partir dos axiomas. A axiomatização ocorre quando a teoria já está madura.” A geometria euclidiana, por exemplo, demorou 23 séculos para amadurecer. No final do século 19, Hilbert pegou Os Elementos e tudo mais que sabia sobre geometria e botou a teoria a limpo com todo o rigor de que foi capaz. Passou sete anos escrevendo e reescrevendo Os Fundamentos da Geometria, tirando e acrescentando axiomas. Até que apresentou os 20 axiomas da geometria, divididos em cinco grupos, e apresentou também uma prova de que eram independentes, isto é, de que ninguém poderia deduzir uns dos outros.

O matemático cria teorias a partir de intuições, de algum tipo de aplicação ou adaptação de outras teorias, ou de fatos desorganizados que admite como verdadeiros. Foi assim que Newton, por exemplo, criou o cálculo diferencial e integral. Queria aplicá-lo ao estudo dos movimentos dos planetas, e partiu de uma ideia muito intuitiva: a ideia de infinitésimo. Iole de Freitas Druck, professora no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP), conta que Newton e Leibniz usaram a matemática de seu tempo (aritmética, álgebra e geometria), criada para resolver problemas sobre coisas paradas, para descrever movimentos contínuos; mas não tinham um conceito bem definido para infinitésimo. “Pergunte ao Newton o que é infinitésimo!” Ela então simula um diálogo com Newton:

Mister Newton: o que é um infinitésimo?”

“É um número tão pequeno quanto se queira.”

“Como assim tão pequeno quanto se queira?”

“Ah, é um número positivo menor do que qualquer outro número positivo.”

“Uma explicação é meio imprecisa e a outra é meio contraditória”, diz Iole. “Não podem ser definições.” No entanto, mesmo sem o conceito formal, colegas e amigos de Newton e de Leibniz obtiveram resultados úteis para a física e a matemática até que, dois séculos depois, matemáticos como Weierstrass e Cauchy formalizaram a ideia de limite, e em 1961 Abraham Robinson formalizou a ideia de infinitésimo. “Ele [Newton] não estava errado, mas não se explicou de forma logicamente coerente, e nem podia se explicar: não tinha as ferramentas.”

Nem verdade, nem eterno. Qualquer matemático sabe e insiste em dizer: axioma não é uma verdade, nem é autoevidente. nfY também sabe, pois o professor enfatiza: é uma afirmação que assumimos como verdadeira. Às vezes, até o desencoraja a usar a palavra verdade: “Afirmação já está bom!” Mesmo assim, até o século 19, os matemáticos classificavam um axioma como sendo uma verdade óbvia. Com a descoberta das novas geometrias, começaram a tratá-los com mais cuidado: são afirmações que o analista assume como verdade à luz de determinada teoria matemática.

João Lucas Barbosa, matemático aposentado pela Universidade Federal do Ceará, diz que o aluno deve riscar as palavras autoevidente e óbvio da definição de axioma (caso veja uma dessas por aí). Senão o aluno supõe que está dentro dum outro universo, no qual faz sentido falar no que é certo e no que é errado. “Você envereda por um caminho que pode dar a maior complicação.” Por exemplo, se o aluno lê que por um ponto fora duma reta passa apenas uma única reta paralela à reta dada, não pode se esquecer de que está pensando num espaço euclidiano usual (por exemplo, um plano cartesiano); na geometria hiperbólica, por exemplo, esse axioma não vale. Aliás, vale o contrário: por um ponto fora duma geodésica passam pelo menos duas geodésicas paralelas à geodésica dada. (Geodésica é a curva que dá a menor distância entre dois pontos; na geometria euclidiana, a menor distância entre dois pontos é uma reta.) Não significa que uma afirmação é mais verdadeira do que a outra, ou mais importante do que a outra, pois cada uma vale num contexto diferente.

Ora, pensa nfY, se reformularam a ideia de axioma e os próprios axiomas, será que desta vez os matemáticos estão escolhendo os princípios certos para cumprir o papel de axiomas? Em Matemática: Uma Breve Introdução, o matemático inglês Timothy Gowers responde: “Primeiro, esse princípio parece evidente à maioria dos que o compreendem. Segundo, o mais relevante num sistema de axiomas não é tanto a sua verdade como a sua consistência e utilidade. O que uma prova matemática faz é estabelecer uma conclusão, como a irracionalidade de raiz de dois, a partir de certas premissas, como o princípio da indução. A validade das premissas é uma questão de natureza completamente diferente e pode ser deixada aos filósofos.” Em palavras bem simples: se os axiomas funcionam, use-os; se quer saber o que realmente significam, estude filosofia — vai descobrir que seu real significado é mais difícil de pôr no papel do que parece à primeira vista.

nfY começa a entender as nuances do sentido ampliado de axioma: ao remexer nos fundamentos, matemáticos reorganizam as teorias mais antigas, descobrem nelas afirmações escondidas, e então desenvolvem novas teorias a partir das afirmações recém-descobertas. “Além disso”, pensa nfY, “esse sentido me faz ver que nenhum axioma é eterno. Daqui a 200 anos ou daqui a 10 séculos, alguém talvez encontre axiomas mais básicos para explicar, por exemplo, a teoria dos conjuntos. Talvez os axiomas atuais virem teoremas ou corolários de axiomas mais novos.” Com essa ideia na cabeça, o estudante não só descobre coisas novas, mas passa a olhar textos antigos de um jeito diferente.

O fio da meada. Quando crianças começam a perguntar “Por quê?”, às vezes viram uma amolação. É como puxar aquele fiozinho solto na roupa: quem não toma cuidado, puxa tanto fio que destrói a roupa. Rogério Fajardo, professor no IME-USP, diz que é assim com a matemática, e daí a utilidade do axioma. “Mas por que isso? Por que aquilo? Sempre é possível perguntar ‘por que’ mais uma vez, e por isso tomamos um axioma como ponto de partida.” Para ele, pensar no axioma como síntese da teoria lembra o método heurístico, no qual o estudante faz exercícios e mais exercícios até que, a certa altura, de tanto ver as mesmas ocorrências nos exercícios, começa a elaborar as teorias que, de outra forma, seu professor seria obrigado a explicar. “Seria interessante trabalhar essa ideia com os alunos”, diz Rogério, “mas falta tempo.” Em quatro meses de curso e em quatro anos de graduação é impossível ajudar o aluno a axiomatizar o que gerações antes dele levaram séculos para axiomatizar. Rogério sugere uma atividade correlata: aplicar matemática num problema de crescimento populacional, no qual o aluno precisa selecionar alguns aspectos importantes e desprezar outros. “Talvez isso seja parecido com a forma como os matemáticos descobrem ou escolhem axiomas.”

Após ler um pouco da história da matemática, nfY percebe que, ao escrever a prova de um teorema, o matemático de hoje faz o que os gregos antes de Euclides faziam. O matemático lê os artigos de outros matemáticos, admite que estão corretos e parte deles para provar novos teoremas. Daqui uns 200 anos, talvez um novo Euclides pegue esses trabalhos todos, se debruce sobre eles e tire deles as afirmações mais básicas que puder. Talvez após mais 200 anos outro matemático olhe as mesmas afirmações e consiga tirar delas outras mais básicas ainda. “Para encontrar novos resultados”, diz João Lucas Barbosa, “o matemático tem de admitir que o que foi feito anteriormente está certo. Depois, em algum momento, alguém dá uma forma geral e estabelece um conjunto de axiomas o mais simples possível de modo que surja uma nova teoria.” E se o estudante se recusa a fazer isso? Vai ler um trabalho e querer saber se suas pressuposições são verdadeiras. Vai ler 20 trabalhos e querer saber se suas pressuposições são verdadeiras. Vai ler 100 trabalhos… “Chega uma hora na qual há uma pilha de artigos em cima da mesa”, diz Lucas. “Assim ele não publica trabalho nenhum!”

Algo parecido aconteceu com Lucas quando estava no fim do doutorado na Universidade da Califórnia, em Berkeley. Seu orientador, o professor Shiing-Shen Chern (1911-2004), entrou na sala e escreveu na lousa a equação:

f + 2f = 0

(Lê-se laplaciano de f mais dois f é igual a zero)

“Você sabe algo sobre essa equação?”, Chern perguntou.

Lucas não sabia. “Tinha a ver com estabilidade de superfícies mínimas, um assunto que na época [nos anos 1960] estava na crista da onda.” Quando Chern saiu, ele correu até a lousa, desenhou um quadrado em torno da equação e escreveu um aviso: “Não apagar.” Começou uma busca para descobrir coisas sobre a equação e encontrou algo num artigo. “Era dificílimo. Vi que ia perder o tempo e o latim naquilo, então só ia dar uma olhadazinha na demonstração, mas ela não estava lá.” Lucas pensou: “Que diabo é isso? Se o autor não incluiu a demonstração, é porque é muito simples!” Ao longo de um mês, tentou deduzi-la sozinho, mas sem sucesso. Até que um professor lhe disse onde havia uma prova, mas recomendou que não a lesse, pois estava errada.

O autor da prova havia cometido um erro crasso no finalzinho do artigo: trocou um sinal de mais por um de menos. Ainda assim, ela estava correta, mas, para evitar que alunos tomassem alguns dos resultados errados no artigo, todo mundo citava a afirmação sobre o laplaciano de f, mas não mencionava nenhuma prova. Para o estudante, dá um frio na barriga, um medo de construir algo por cima de um erro, tanto é que Lucas confirmou com o professor:

“Esse negócio não está errado?”

“Não, está perfeito. Todo mundo já refez e dá um trabalho lascado, mas a demonstração está perfeita exceto por um sinal.”

Após dois anos de pesquisa, Lucas provou afirmações cujo ponto de partida era a equação do professor Chern. Ganhou boa fama entre os matemáticos e, anos depois disso, demonstrou para si mesmo aquela prova que continha o erro. Em outras palavras, ele partiu da pressuposição de que a equação estava certa. “Para mim, aquilo ali era um axioma. Um axioma não é uma frase especial. É qualquer coisa que você use como ponto de partida para seu trabalho.”

Mais é menos. Quando o matemático escreve um artigo ou dá aulas sobre alguma teoria, não faz questão de recorrer aos axiomas mais básicos. Para ele, quanto mais axiomas emprega (no sentido de quanto mais afirmações assume como verdadeiras), menos coisas precisa demonstrar, ou seja, menos trabalho. Quando dá o curso de lógica, Iole não usa com os alunos a axiomática mais enxuta. “Quanto mais coisas para provar, mais difícil o curso.”

Um estudante inconformado talvez se pergunte por que então as pessoas se esforçaram tanto para tirar o quinto postulado da lista de axiomas? Eram só cinco! Agora são vinte! “Eram cinco porque Euclides não percebeu quantas outras pressuposições aqueles cinco postulados continham”, diz Iole. Quando revisam uma teoria, ou quando revisam pilhas de artigos em busca de axiomas, nem sempre os matemáticos estão atrás de precisão: muitas vezes, estão atrás de elegância. A busca por demonstrações elegantes é uma tradição matemática. No capítulo 1, o matemático usa o maior número possível de axiomas para provar teoremas mais facilmente; no capítulo 2, usa o menor número possível de axiomas para deixar a teoria mais concisa e elegante.

Segundo Nicolau Corção Saldanha, os matemáticos axiomatizam a teoria para reduzir o número de discussões disparatadas a uma discussão sobre poucos tópicos. Mas isso não está ao alcance de quem estuda objetos mal fundamentados da matemática; neste caso, quanto menos conversa sobre axiomas, melhor. Se Newton tivesse parado para definir precisamente a ideia de infinitésimo, talvez nunca tivesse desenvolvido o cálculo, e talvez tivesse conseguido uma bela úlcera gástrica.

O mesmo processo se repete, mais ou menos, com todo aluno que entra na faculdade. O estudante nfY põe isso na cabeça: “Existe uma hora para aprender matemática, uma hora para fazer matemática, e uma hora para revisar a matemática.” Para se convencer de que a estratégia é boa, basta relembrar a história de Peano: só conseguiu axiomatizar a aritmética no século 19, isto é, 348 séculos depois do osso de Lebombo — o objeto matemático mais antigo de que se tem notícia. É o que diz Iole: “Quanto mais básica e grudada na gente, mais difícil é colocar essa ideia abstrata no papel. Por exemplo, é uma coisa muito difícil definir número.”

Enquanto isso, de tempos em tempos, os matemáticos tentam axiomatizar tudo; entram numa espécie de frenesi axiomatizante. Por exemplo, houve um grupo de matemáticos que publicou muita coisa sob o apelido de Nicolas Bourbaki, e tentou escrever uma espécie de Os Elementos do Século 20. (O nome da enciclopédia era Os Elementos da Matemática, cujo primeiro volume saiu em 1970.) “Eles tentaram escrever a matemática correta do começo ao fim”, diz Iole, “mas é claro que não conseguiram. Iam colocar uma lápide na matemática?” Passaram muita coisa a limpo, mas por fim notaram que sempre há pressuposições não explícitas nos axiomas, e que a humanidade precisa de tempo para identificá-las e colocá-las no papel com simplicidade e clareza. É uma busca sem fim, diz Iole. “É uma depuração promovida por muita gente ao longo de muitos séculos.”

nfY fica aliviado. Matemáticos lidam com o trabalho duro de revisar os fundamentos, e parecem à vontade com a ideia de que os axiomas de hoje talvez virem os corolários de amanhã. nfY pensa na irmã. “Quanto ao que é axioma, da próxima vez digo a ela que tiveram essa ideia para dar um basta aos porquês das irmãs mais novas.” Então deixa de lado as elucubrações mentais e manda brasa nas tarefas da faculdade. {}

Matemáticos mencionados

Tales: Tales de Mileto (565 A.C.), grego.

Euclides: Euclides (300 a.C.), grego.

Newton: Isaac Newton (1642-1727), inglês.

Leibniz: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), alemão.

Weierstrass: Karl Weierstrass (1815-1897), alemão.

Peano: Giuseppe Peano (1858-1932), italiano.

Cauchy: Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francês.

Hilbert: David Hilbert (1862-1943), alemão.

Kolmogorov: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), russo. Usou a notação sobre conjuntos para colocar a teoria da probabilidade em bases mais sólidas, isto é, axiomatizou a probabilidade.

Aleksandrov: Aleksandr Vasilyevich Aleksandrov (1912-1999), russo.

Lavrent’ev: Mikhail Alekseevich Lavrent’ev (1900-1980), russo.


O osso de Lebombo

 


{2}/ Quanto mais elementar, mais complicado

Quando o estudante (codinome nfY) faz exercícios de matemática, dos mais básicos aos mais avançados, sem notar recorre a dezenas, às vezes centenas de pressuposições. Aos 7 anos, por exemplo, nfY aprendeu a somar 1 + 1, mas a professora não cometeu o desatino de fazê-lo filosofar sobre o que significa 1 e o que significa o sinal de mais. A professora apenas disse: “Se você tem uma bala e ganha outra bala, com quantas balas fica?” Ele gostou dessa história de ganhar balas, e achou natural que a soma funcionasse para qualquer coisa mais qualquer outra coisa. Por isso o menino nfY nunca protestou. Ao estudar matemática mais avançada na faculdade, descobre que Peano se deu ao trabalho de deixar registrado: “O número 1 é um número natural.” Depois Peano organizou uns poucos axiomas e definiu aquele sinal de mais. nfY pega os axiomas de Peano na tabela 1 e decide ver o que significa, axiomaticamente, adicionar um número ao outro. Chama cada um dos axiomas de A1, A2, A3, A4, e A5 e lembra a si mesmo o que A5 significa: se pode associar uma propriedade ao 1, e se pode associar essa mesma propriedade ao sucessor de a sempre que pode associá-la a a, então pode associá-la a todo o conjunto dos números naturais. Propõe então uma definição de adição:

a + 1 = s(a)     (I)

a + s(b) = s(a + b)     (II)

nfY acha a equação (I) tão óbvia que sua cabeça gira ao pensar no que sugere, mas, ora veja, a equação (II) já não é tão óbvia à primeira vista. Com um pouquinho de álgebra, contudo, a equação fica clara:

nfY nota que usou nesta passagem a propriedade associativa da adição — que muitos matemáticos classificam de axioma. Contudo, decide provar que a + (b + c) = (a + b) + c; acha que seria interessante ver essa prova uma vez na vida. Como primeiro passo, imagina um conjunto S com todos os números naturais c tais que a + (b + c) = (a + b) + c, isso para cada a e b em N. Como primeiro passo, prova que 1 pertence a S (isto é, 1 é um dos valores de c em S):

Com a linha (a), nfY fez a afirmação que pretendia provar. Com a (b), fixou o valor de c em 1. Na linha (c), usou a definição (I). Na (d), refez o lado esquerdo da afirmação (a), visto que c = 1. Na (e), usou a definição (II). Na (f), traduziu a linha (e) à luz da definição (II). Na (g), redisse o que já havia dito na (f), mas colocando de volta c no seu lugar. Na linha (h), reafirmou as definições (I) e (II). Por último, na linha (i), usou as afirmações (d) e (g) para provar a propriedade associativa da adição: ela é válida para c = 1 dentro de S e para quaisquer valores a e b retirados de N.

E se o valor de c for qualquer número natural diferente de 1? Será que vale então o axioma A5 para todo valor de c em S? nfY lê sobre o assunto e descobre algo interessante: as provas fáceis de entender usam o princípio da associatividade da adição como parte da prova — isto é, presumem que a afirmação que estão tentando provar é verdadeira, e usam tal afirmação para provar que ela é verdadeira! Quanto às provas mais estritas, que não presumem a verdade da propriedade associativa da adição, são complicadas e difíceis de entender. Então nfY escolhe não uma prova de verdade, mas uma discussão lógica mais simples, que monta aplicando as definições (I) e (II) várias vezes:

Com essas três linhas, nfY disse o seguinte: “Suponha que c = 1. Então a mais b mais o sucessor de c será, no fim das contas, o sucessor de a mais b mais c, que, sendo c = 1, já sei que posso reorganizar à vontade: a + b + c, a + c + b, c + a + b, b + c + a, etc. Enfim, tudo o que posso dizer de a + b + c quando c = 1, posso dizer do sucessor de a + b + c, e também do sucessor do sucessor. Isso tudo significa que a propriedade associativa da adição vale para todo c em S e para todo sucessor de c em S, e, como 1 pertence a S, S é o conjunto dos números naturais N.”

Fica pensando nisso tudo, olhando páginas e páginas de lógica. “Dá muito trabalho provar corretamente algo que já sei desde que era criança”, diz nfY. “Por isso os matemáticos vivem dizendo: Isso é um axioma! Não precisa provar!” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 28, maio de 2013, pág. 34. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto.

3. Para propósitos práticos, por exemplo no dia a dia do trabalho, o leitor pode definir “axioma” como uma suposição básica de certa teoria. E pode definir “teoria”, por sua vez, como todas as afirmações que se seguem, por algum tipo de lógica, dos axiomas. A locução “por algum tipo de lógica” é importante, pois há dezenas de tipos diferentes de lógica. Em outras palavras, o leitor pode construir certa teoria com certos axiomas e um tipo de lógica, digamos a lógica L1. Mas, com os mesmos axiomas, e com uma lógica L2 distinta de L1, pode construir outra teoria, às vezes muito diferente da primeira.

A história como problema, a história como remédio

Tatiana Roque, professora na UFRJ, diz que a história da matemática, da forma como tem sido contada, contribui para criar no estudante e impressão de que ela é algo ao alcance apenas de gênios. Para passar uma imagem mais verdadeira da matemática (que é uma imagem mais agradável), o professor precisa conhecer melhor a verdadeira história.


{1}/ “Desfazendo mitos e lendas”

Em 1998, Tatiana mudou de ideia sobre o que é pesquisar história da matemática. Antes, para ela, historiadores respondiam à pergunta: Como o homem chegou até aqui? [A partir desta linha, para simplificar, vou escrever apenas história no lugar de história da matemática, mas Tatiana usou “história da matemática” durante toda a entrevista.] Durante parte do tempo que passou na França, por conta do doutorado, Tatiana descobriu uma pergunta mais interessante: O que cada personagem da história criou, mas no contexto da época em que vivia? “Não importa se é uma história de sucesso ou não; não importa se contribuiu para nossa matemática atual ou não.”

Até então, ela diz que tinha uma cabeça “muito matemática”. Estava interessada na história dos sistemas dinâmicos (que o leigo conhece por teoria do caos) nos anos 1950, e achou que só teria de consultar a teoria e mais alguns textos atuais. Mudou de ideia na França, porque passou a fazer parte da Rehseis, uma equipe especializada em história e filosofia da ciência. “Fiquei ávida por aquele tipo de conhecimento”, diz Tatiana, “e por isso ia a todos os seminários e grupos de estudo.” Percebeu que a história não é tão linear e certinha quanto pensava, e passou a estudar a vida de matemáticos cada vez mais antigos. Passou a estudar Poincaré e, antes dele, no século 18, Lagrange e Laplace, mas ouviu o conselho do orientador. “Ele me falou assim”, conta Tatiana: “Desse jeito você não vai terminar o doutorado. Comece do Poincaré que já está bom.”

Hoje Tatiana ainda vasculha os escritos de Poincaré, mas sempre pensando no contexto em que ele vivia. Também dá aulas para professores e futuros professores de matemática, e reflete sobre como a história pode ajudar no ensino. Há muito tempo, no entanto, sentia falta de livros em português para usar nas aulas de história, e por isso há tempos preparava seu próprio material. Como resultado, em 2012 publicou o livro História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas.

Matemáticos mencionados

Poincaré: Jules Henri Poincaré (1854-1912), francês.

Lagrange: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), italiano.

Laplace: Pierre Simon, marquês de Laplace (1749-1827), francês.

Viète: François Viète (1540-1603), francês.

Boyer: Carl Benjamin Boyer (1906-1976), americano.

Como surgiu a ideia para o livro?

Tatiana Roque/ Arquivo pessoal

Comecei faz uns sete, oito anos. Eu dava aulas de história, mas não tinha material, porque todos os livros em português eram ultrapassados, publicados há muito tempo e por autores estrangeiros. Esses autores eram matemáticos ou professores com curiosidade pelo assunto, mas não eram especialistas. Desde os anos 1980, a pesquisa em história produziu muito, pois virou uma área de pesquisa científica feita por profissionais e os livros em português não levavam em conta esses anos mais recentes de trabalho. Comecei a escrever as notas de aula usando artigos e uma bibliografia, que não tem em português, e a cada vez que dava o curso aperfeiçoava o material até que quis transformá-lo em livro.

As anotações iniciais viraram dois livros: História da Matemática foi uma proposta para um público mais amplo, feita em conjunto com a editora. Gostei da ideia, porque queria que fosse acessível e que contribuísse para uma visão diferente da matemática. O outro, Tópicos da História da Matemática, fiz em conjunto com um colega e tem um conteúdo mais matemático, com exemplos e exercícios, e é usado como livro didático no Profmat [curso de mestrado profissional da Sociedade Brasileira de Matemática].

No primeiro, achei interessante apresentar o relato tradicional e logo depois desconstruí-lo. Conforme dava aulas na universidade ou em cursos para professores, via certos mitos da história muito arraigados na cabeça das pessoas — mitos reproduzidos sem nenhuma base histórica. Nos cursos de licenciatura que têm história da matemática, quem dava a aula muitas vezes era gente sem treinamento em história. O que esses professores faziam? Pegavam um desses livros ultrapassados, como o do Boyer, e o seguiam. Isso está mudando; hoje já existem especialistas em história dando esse tipo de aula.

Por que a pesquisa em história mudou?

Começou com a história da ciência, a partir dos anos 1970. Thomas Kuhn fez um trabalho marcante com A Estrutura das Revoluções Científicas. Ele dizia que, para estudar a história de uma ciência, não adianta estudar apenas seus conceitos: devemos estudar a forma como a comunidade científica de uma época pensava e se estruturava. Os historiadores da ciência passaram a ter preocupações de caráter social; eles viram que a forma como as pessoas organizam a pesquisa interfere no próprio resultado da produção científica.

Na matemática, a mudança ocorreu mais tarde. Historiadores que vieram da matemática ou de outras áreas começaram a ter contato com essas teorias e viram que não podiam ficar de fora das discussões. Grattam-Guinness, um historiador da matemática, fala sobre a diferença entre história e herança. A história feita por matemáticos adota o ponto de vista da herança, ou seja, como chegamos até aqui. Estudam um conceito matemático e investigam como chegou até hoje, o que em geral são histórias de sucesso. Já a pergunta do historiador é outra: O que as pessoas desenvolveram num determinado tempo a partir do contexto em que viviam? Não importa se é uma história de sucesso ou se contribuiu para nossa matemática atual.

O que mais te marcou nesse trabalho?

Fiquei muito emocionada ao ver como, por preconceito, a história europeia criou uma imagem deturpada da matemática árabe. Foi uma maneira de criar uma divisão ocidente/oriente que tem consequências até hoje. Tem um grupo muito grande na França reescrevendo a história da matemática e um dos pesquisadores, de origem árabe, diz uma coisa bonita: o simbolismo algébrico e a álgebra fizeram parte do renascimento, na idade média, graças ao esforço conjunto de muitos povos e países: os países do Magreb, os países do mediterrâneo, outros países europeus, além dos matemáticos judeus. Ele diz que reescrever a história desse período poderia dar um sentimento de cidadania mediterrânea. Talvez isso ajudasse as pessoas a superar sentimentos de hostilidade, algo perceptível na França, onde moradores magrebinos são discriminados. Ou seja, franceses e magrebinos poderiam se ver como o mesmo povo, no sentido da produção do conhecimento.

Na história tradicional, a matemática árabe é vista como um período de transição, na qual os árabes traduziam e difundiam o conhecimento grego para que depois matemáticos europeus pudessem de novo desenvolvê-lo. No livro, mostro que isso não é verdade, e que essa versão não reconhece a produção original dos árabes. Na época de ouro do islã, mais ou menos entre o século 8 e o 12, a relação entre a pesquisa científica e a religião era bem diferente do que imaginamos; era bem diferente da relação que mantemos hoje. A religião não se opunha ao desenvolvimento da ciência, que era vista como um serviço a Deus.

Por que pesquisar história da matemática?

Para mudar a imagem que as pessoas têm da matemática, acho a história fundamental. A história tradicional não foi a única responsável, mas contribuiu para que as pessoas vissem a matemática como uma ciência abstrata, cheia de conceitos prontos e acabados, e ao alcance apenas de gênios. Isso faz com que as pessoas, primeiro, não a entendam; segundo, não gostem dela; e, terceiro, tenham uma visão mitificada da matemática. Muitas vezes falo para meus amigos que sou matemática e eles dizem:

“Ah, eu sou péssimo em matemática!”

Isso faz parte dessa imagem. A gente não sabe os problemas que geraram os resultados, só estudamos esses resultados já prontos. Na educação básica é pior ainda, porque as pessoas só estudam ferramentas, uma linguagem que não sabem para que serve. Por outro lado, quando demandam que aquilo sirva para alguma coisa, pensam apenas no mundo concreto. Mas não é isso: a matemática pode servir para propósitos internos, da própria matemática.

Esquema de composição de funções/ Wikipedia

E como a história pode ajudar no ensino?

Por exemplo, no ensino básico os alunos veem o conceito de função primeiro a partir da definição de conjuntos.  [Como nas figuras acima.] Depois, deixam essa definição de lado e veem exemplos de funções afins e quadráticas, com exemplos de retas e parábolas. Qual a relação das funções afins e quadráticas com a definição de função em termos de conjuntos? O aluno não entende.

O que acontece é o seguinte (olha que loucura): a noção de função como variação vem do século 16 ou 17, com o estudo de curvas e trajetórias. A história toda é complicadíssima, passou pela legitimidade das técnicas do cálculo infinitesimal, com Leibniz e Newton. Depois os matemáticos do século 18 as consideraram ilegítimas e propuseram a definição de função como expressão analítica. [Grosso modo, uma “expressão analítica” é uma fórmula matemática usual, em que as variáveis são números reais ou complexos.] Então os matemáticos, no fim do século 18 e no início do 19, começaram a se perguntar quando uma função qualquer é expressa como uma série trigonométrica [as séries de Fourier]. Para isso Dirichlet precisou definir função como um tipo específico de relação em que as variáveis têm de satisfazer certas condições, como: um elemento do domínio não pode se associar a mais de um elemento no contradomínio. Depois Cantor e Dedekind criaram a definição dos números reais e de conjuntos, e só aí Bourbaki [pseudônimo de um grupo de matemáticos] se dedicou ao projeto de fundamentar a matemática com base na definição moderna de conjuntos.

Como quer que o aluno do ensino médio entenda o porquê dessa definição de função? Você pode explicar toda a história para ele? Não, porque passa por teorias que ele não estuda. Para mim, ela é dispensável. O aluno tem de ver a função como variação, e então estudar uma riqueza maior de funções, não só as de R em R, nem só a afim e a quadrática. Nesse caso, a história ajuda não para ensiná-la aos alunos, mas para o professor entender melhor as dificuldades que eles têm. Gosto muito da frase de um filósofo: a ordem da exposição inverte a ordem da invenção. Não é sempre, mas é fato que muitas vezes os alunos têm dificuldade por causa dessa inversão, e a história pode ajudar até para repensar o currículo do ensino.

Futuros matemáticos também devem estudar a história?

Eu acho que sim. Não sei se a história da matemática toda, mas pelo menos a de sua área de interesse. O matemático não precisa saber toda a história para se interessar ou se motivar, mas para conhecer os problemas e como se desenvolveram. A pesquisa matemática é muito especializada e com a história ele vê melhor a relação entre uma área e outra com a qual normalmente não teria contato, assim tem uma ideia melhor do objeto que está estudando. Tanto é que todo matemático bom de verdade conhece um pouco da história de seu campo e sabe que isso pode ajudar. Às vezes, não consegue resolver um problema com certa teoria, mas usa outra na qual não tinha pensado antes. E se vai demonstrar um teorema realmente importante, em geral, precisa de um conhecimento muito mais amplo da matemática, não só de sua área.

Sente falta de fazer matemática?

Nenhuma. Eu fiz mestrado em matemática e disciplinas de matemática no doutorado, mas durante esse tempo vi que me interessava mais em saber como aquelas ideias se desenvolveram que em usá-las para provar teoremas. Já me disseram que isso não é matemática, o que acho estranho, porque matemática não devia ser só demonstrar teorema. Estudar o desenvolvimento das teorias também pode ser considerado matemática.

Faço história para ver que a matemática também é algo que não parece ser. Para vê-la como uma multiplicidade de práticas e não como a rainha das ciências ou como algo linear. A imagem de que toda a história do desenvolvimento colaborou para torná-la essa ciência rigorosa edificada sobre bases sólidas não me agrada nenhum pouco. Existem muitas práticas matemáticas, algumas de sucesso, outras não. Algumas permaneceram no tempo e outras não; as que permaneceram não eram necessariamente melhores, e as que não permaneceram não eram necessariamente piores. A matemática é uma prática humana de idas e vindas, erros e acertos. Acho essa ideia muito mais fascinante do que a do edifício coerente. {}



{2}/ Equação de 2º grau sem polinômios

No ensino fundamental, os alunos costumam estudar equações polinomiais de 2º grau aplicando a fórmula da equação quadrática (conhecida também como fórmula de Bháskara). Se y = ax2 + bx + c, equação na qual a, b, c são números reais (ou, em contextos mais sofisticados, são números complexos), daí o estudante pode achar as raízes da equação com:

Tatiana diz que o professor faz bem se usar em aula a história desses símbolos. O aluno não sabe que, por muitos séculos, os matemáticos resolviam equações apenas com palavras. Depois, passaram a usar símbolos só para as incógnitas. A fórmula acima só pôde surgir quando tiveram a ideia de usar símbolos também para os coeficientes a, b, c do polinômio de segundo grau. Com essa história, diz Tatiana, o aluno vê que os símbolos nem sempre são do mesmo tipo. Por exemplo, na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c, x são símbolos, mas têm características e nomes diferentes, isto é:

x é a incógnita, ou seja, é desconhecido, mas pode ser encontrado com a fórmula da equação quadrática;

a, b, c são os coeficientes e não podem ser encontrados a partir da fórmula. Cada conjunto de valores para a, b, c, com a ≠ 0, determina uma única equação no universo de todas as equações quadráticas.

Matemáticos usavam vários métodos do tipo passo a passo para resolver tais equações até que, no século 16, Viète propôs a fórmula que todos conhecem hoje. Para Tatiana, quando o aluno estuda outras formas de resolver equações, ele se livra da fórmula — o que é bom, pois fórmulas deixam a matéria maçante e sem sentido. “Se o aluno vê o conhecimento inserido num contexto, entende a diferença entre incógnita e coeficiente e vê que há muito mais envolvido do que somente aplicar a fórmula e resolver a equação.” Por anos, matemáticos geniais resolviam equações sem fórmulas; recorriam a métodos interessantíssimos. Ela mostra em seu livro o método geométrico descrito por Al-Khwarizmi (séc. 9 d.C.) para resolver a equação que hoje o aluno descreveria como x2 + 10x = 39. Al-Khwarizmi explica a resolução com palavras e diz para o leitor pensá-la como quadrados de lados desconhecidos.

Primeiro, o aluno desenha um quadrado com diagonal AB, cuja área representa o quadrado da incógnita, isto é, x2. (Veja a figura abaixo.) Depois constrói em dois lados adjacentes do quadrado retângulos de lados iguais à metade de 10, ou seja, a metade do coeficiente b. A soma da área de cada uma das três figuras é 39, ou nos termos de hoje: x2 + 10x = 39. Em seguida, completa a figura com um quadrado de mesmo lado que os retângulos, ou seja, com área igual a 25. A área total da figura é 39 + 25 = 64 e seus lados medem 8; assim, o leitor subtrai 5 de 8 e chega ao x da questão: x = 3. Na resolução, considera apenas a raiz positiva; afinal, as figuras têm comprimentos e áreas maiores que zero. (O estudo de comprimentos e áreas iguais a zero, ou negativos, é mais recente.)

 

Hoje o leitor resolve a mesma equação com a fórmula quadrática. Primeiro, deve colocá-la na forma canônica: x2 + 10x 39 = 0. Então, usa os coeficientes e a fórmula para achar a raiz positiva.

Bháskara não inventou tal fórmula; em seu tempo não havia esse simbolismo algébrico. Se ela não é de Bhaskara, é de quem? Tatiana diz que essa é a típica pergunta a ser desconstruída e responde: não é de ninguém. Sua história transcorre ao longo de vários séculos, e os historiadores não têm como reconstruí-la para apontar quem a inventou. “O importante aqui não é só dizer que não é de Bhaskara, mas dizer que a pergunta ‘De quem é?’ não é uma boa pergunta.” {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 31, agosto de 2013, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi feita pela jornalista Mariana Osone, que também ficou a cargo da primeira versão do texto.

3. Se você costuma ler textos de matemática em inglês, atenção a uma diferença importante de nomenclatura entre inglês e português: “função afim”, em português, é “linear function”, em inglês; mas “função linear”, em português, é a função afim que passa pela origem. Dizendo isso de outra forma, pode chamar a função afim f : R R cuja fórmula é y = f(x) = mx + k de “função linear” apenas quando f(0) = 0 e, consequentemente, k = 0. Contudo, visto que matemáticos e professores de matemática estão sempre lendo alguma coisa em inglês, é comum ouvir um deles dizer “função linear” para se referir a uma função afim na qual k ≠ 0.

Uma função afim (em vermelho) e uma linear (em verde)

4. Há outras entrevistas neste blogue com especialistas em história da matemática: Os mesopotâmicos sabiam mais do que imaginávamos, O teorema de Pitágoras não é de Pitágoras, e Conheça a história da matemática, mas pense bem antes de usá-la.

5. Pode obter mais informações sobre o livro de Tatiana Roque aqui, no website da editora.

Cálculo Tornado Fácil 10

A constante e = 2,71828… talvez seja o número mais importante da matemática — mais importante que π, mais importante que Φ (a razão áurea). Sem dúvida é o número mais importante do cálculo diferencial e integral. Neste capítulo, Silvanus mostra como o estudante começa brincando com a ideia de juro composto e, a partir daí, define sozinho a base dos logaritmos naturais.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 56 porque o texto anterior terminou na 55. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, e CTF 9.


{56}/ Capítulo 14 (Parte I)

Sobre o juro composto verdadeiro e a lei do crescimento orgânico

Pense numa quantidade que cresce assim: durante certo período de tempo, o incremento provocado pelo crescimento tem de ser proporcional à magnitude da quantidade, de modo que quanto maior a magnitude, maior o incremento provocado pelo crescimento. Isso lembra o processo pelo qual calculamos o juro sobre o dinheiro conforme uma taxa fixa; pois, quanto maior o capital, maior o juro sobre ele num certo período.

Agora você precisa distinguir claramente entre dois casos de juro: aquele nos quais realiza seus cálculos conforme a regra do juro simples ou aquele conforme a regra do juro composto. No primeiro caso, você mantém o capital fixo ao longo do tempo; no segundo, você adiciona o juro ao capital, que desse modo cresce um pouco a cada adição de juro.

(1) Com juro simples.  Vamos estudar um caso concreto. Imagine o capital inicial igual a 100 reais, e o juro igual a 10% ao ano. Daí o investidor obterá incremento de 10 reais por ano. Se ele retira o incremento todo o ano e o esconde numa de suas meias ou num cofre, daí, se faz isso por dez anos, ao fim dos dez anos terá recebido dez incrementos de 10 reais cada um; ao todo, com o capital original, ele terá capital de 200 reais. [Aqui, estou desprezando fenômenos como inflação e deflação.] Em outras palavras, suas posses vão dobrar em dez anos. Se a taxa de juro tivesse sido de 5%, o investidor precisaria de 20 anos para dobrar suas posses. Se tivesse sido de apenas 2%, precisaria de 50 anos. Você pode ver que, se o valor do juro anual equivale a 1/n, o investidor precisa esperar n anos para dobrar suas posses.

Que tal dizer isso de modo mais genérico? Chama de y o capital original, e o juro anual de y/n. Daí, ao final de n anos, o investimento deve ser equivaler a:

Pode dizer isso também assim, se quiser: se o investidor está recebendo juro simples de 1/n ao ano, e se pretende esperar certo número de anos para ter capital total equivalente a xy (x é um inteiro positivo), então deve resolver a equação a seguir.

 

(2) Com juro composto. Como antes, o investidor começa com 100 reais, e ganha juro de 10% ao ano, mas, em vez de esconder seu juro num pé de meia, ele todo ano adiciona o juro ao capital, de modo que o próprio capital cresce todo ano. Ao final de um ano, portanto, o capital original de 100 reais cresce e se transforma em 110 reais; ao final de dois anos, ainda com juro de 10% ao ano, o capital se transforma em 121 reais — 110 reais do primeiro ano e juro de 11 reais no segundo ano. O investidor começará o terceiro ano com capital de 121 reais, e receberá ao final do ano juro de 12 reais e 10 centavos, de modo que começa o quarto ano com capital de 133 reais e 10 centavos, e assim por diante. Ao continuar essa sequência de contas, pode dizer que, ao final de dez anos, o investidor terá capital total de 259 reais e 37 centavos. De fato, pode dizer que, ao final de cada ano, cada real ganha 1/10 de real, e assim, se todo ano você adiciona 1/10 de real ao capital investido, todo ano multiplica o capital investido por 11/10; e se continua nesse passo por dez anos, no fim das contas vai multiplicar o capital inicial por 2,59374. Devemos colocar tudo isso em símbolos. Pode usar y0 para denotar o capital original; 1/n é a razão que adiciona ao capital investido ao final de cada um dos n períodos; e yn é o valor que obtém assim que recebe o n-ésimo juro. Daí:

Ninguém acha justo receber o juro apenas uma vez por ano. Você acha? Então, mesmo durante o primeiro ano, pode presumir que os 100 reais cresceram ao longo do ano. Ao final do primeiro semestre, o capital e o juro deveriam valer pelo menos 105 reais, e certamente seria mais justo calcular o juro do segundo semestre sobre um capital de 105 reais. Isso seria equivalente a combinar, com o banco, juro de 5% a cada seis meses. Pense em 20 operações assim, nas quais, ao final de cada período, o investidor multiplica o capital por 21/20. Calculando as coisas desse modo, ao final dos dez anos ele terá capital equivalente a 265 reais e 33 centavos; veja o porquê:

 

Mesmo assim, pode dizer que esse processo não é completamente justo, pois, ao final do primeiro mês, o investidor poderia adicionar algum juro ao capital; mas, com as regras tais como estão, o banco presume que o capital fica parado por seis meses. Suponha então que o investidor e o banco combinem assim: vão dividir o ano em dez partes, e o banco pagará juro de 1% ao final de cada décimo de ano. Agora, você começa com y0 = 100 reais e tem 100 operações ao longo de dez anos, ou seja:

Ao fazer as contas, deve chegar a y100 270 reais e 48 centavos.

Mas mesmo isso não é o final dessa história. E se o banco dividisse os dez anos em 1.000 períodos, cada um equivalente a 1/100 de ano, e se comprometesse a pagar juro de 1 décimo de 1% por período? Daí:

Ao fazer a conta, deve chegar a 271 reais e 69 centavos.

Não precisa parar por aqui. Pode dividir os dez anos em 10.000 partes, cada uma delas equivalente a 1/1000 de ano, com juro de 1/100 de 1%. Com isso:

As contas devem te dizer que y10.000, neste caso, vale 271 reais e 81 centavos.

Por fim, mais para a frente verá que, em última análise, nós dois estamos tentando achar o valor da expressão a seguir:

Você já viu que, para n > 1, ela é maior que 2; e já viu também que, conforme n vai ficando grande, ela fica cada vez mais perto de certo valor limite. Não interessa se atribui para n o maior valor no qual possa imaginar — a expressão jamais passa do valor a seguir:

2,7182818…

Você jamais deve se esquecer desse número!

Agora, vai olhar algumas ilustrações geométricas desses fatos. Na figura 36, o comprimento OP significa o valor original. OT é o tempo no qual o capital está crescendo. Pode dividir OT em dez períodos, em cada um dos quais pode ver um passinho para cima de igual magnitude (em relação ao período anterior). Neste caso, vê que dy/dx é constante; e se cada passo para cima é 1/10 do comprimento OP, então, depois de 10 passos assim, a altura dobra de tamanho. Ou então, para dobrar a altura OP em n degraus, pense em n períodos, cada um deles subindo 1/n da altura original OP. Bem, com essa figura você ilustra o caso do juro simples, e permite que 1 cresça até que vire 2.

Na figura 37, pode ver uma ilustração da progressão geométrica que nos interessa. Cada uma das sucessivas ordenadas deve ser 1 + 1/n maior que a ordenada anterior, ou (n + 1)/n multiplicado pela ordenada anterior. Os passos para cima não são iguais, pois cada degrau sobe 1/n da ordenada naquela parte da curva. Se tem dez passos, com 1 + 1/10 à guisa de fator multiplicativo (ou razão comum, para usar a linguagem típica das progressões geométricas), a altura final total tem de ser (1 + 0,1)10 ou 2,594 vezes o comprimento 1 original. Mas se você divide OT num número n muito grande de partes, e com isso faz 1/n se transformar num valor muito pequeno, daí o valor final de (1 + 1/n)n para o qual a unidade vai crescer é 2,7182 (com quatro casas decimais).

Épsilon. Para denotar esse misterioso número 2,7182818 etc., os matemáticos escolheram o símbolo ε, que é a letra grega épsilon. [Mais recentemente, substituíram ε pela letra latina e escrita em itálico; e quase todos dizem “número e”. Que pena! Nas línguas derivadas do latim, como o português, nas quais as vogais têm papel importante e às vezes uma vogal é uma palavra, seria útil ter um símbolo bem distinto para o número e. Desta linha em diante, vamos grafar e, mas manter as referências de Silvanus à palavra “épsilon” para dar ao texto um gostinho de história: o leitor pode substituir mentalmente “épsilon” por “número e”.] Toda criança sabe que a letra grega π (pi) significa 3,141592 etc; mas quantas delas sabem que épsilon significa 2,71828? Apesar disso, e é muito mais importante que π!

Então, o que é épsilon?

Suponha que deixe 1 crescer, a juro simples, até que se transforme em 2. Mantenha a mesma taxa de juro nominal, e mantenha o mesmo tempo, mas deixe 1 crescer com o verdadeiro juro composto — daí o número 1 inicial vai crescer até atingir o valor de épsilon.

Você pode batizar de “crescimento exponencial” esse processo pelo qual algo cresce, a cada instante, proporcionalmente à magnitude naquele instante. Com tal crescimento, uma unidade cresce, em uma unidade de tempo, até atingir 2,718281… Também pode chamar esse crescimento de “crescimento orgânico”, se quiser, porque, em certas circunstâncias, um organismo cresce de forma proporcional a seu tamanho.

Pode resumir tudo isso mais ou menos assim: se fixa a taxa de crescimento de algo como sendo de 100%, e daí permite que 1 cresça aritmeticamente durante uma unidade de tempo, 1 vai crescer até virar 2; mas se fixa a taxa de crescimento como sendo exponencial, em uma unidade de tempo 1 vai crescer até virar 2,718281 etc.

Um pouco mais sobre épsilon. Já viu que precisa saber o valor da expressão (1 + 1/n)n quando n se torna indefinidamente grande (ou tende ao infinito). A seguir, mostro alguns valores da expressão para alguns valores de n. [Coisa que qualquer um pode calcular com uma calculadora científica comum.]

No entanto, deve achar um jeito melhor, mais matemático, de calcular o valor desse número imensamente importante. Mais uma vez vou ajudá-lo a tirar proveito do teorema binomial para expandir a expressão de e. Partindo do teorema binomial, deve chegar à expressão a seguir:

Substitua agora a por 1 e b por 1/n, e deve obter:

Agora, suponha que faça n tender ao infinito, isto é, que atribua a n valores tão grandes quanto queira [para usar uma expressão comum entre matemáticos]. Penso que achará fácil acreditar que n – 1, n – 2, n – 3 etc. vão ficando cada vez mais iguais a n conforme o valor de n aumenta, e que a divisão de n – 1 por n tende a 1, assim como a divisão de (n – 1)(n – 2) por n2 tende a 1, e assim por diante. [Pode verificar isso facilmente com uma calculadora que produza tabelas; por exemplo, 898/899 ≈ 0,99889, mas 8.998/8.999 ≈ 0,9998889; e assim por diante.] Sendo assim, a série se transforma em:

Essa série converge para o valor limite de e bem depressa, e pode ver isso ao somar as 10 primeiras parcelas da série. Veja como fica:

1

1

dividindo 1 por 2!

0,5

dividindo 1 por 3!

0,16666666666666666667

dividindo 1 por 4!

0,04166666666666666667

dividindo 1 por 5!

0,00833333333333333333

dividindo 1 por 6!

0,00138888888888888889

dividindo 1 por 7!

0,00019841269841269841

dividindo 1 por 8!

0,00002480158730158730

dividindo 1 por 9!

0,00000275573192239859

SOMA TOTAL

2,718281

O número e é incomensurável com 1, isto é, é um número irracional, cuja expansão decimal é infinita e não periódica. Nesse sentido, lembra o número π.

A série exponencial. Nas suas investigações matemáticas, vai precisar ainda de outra série importante. De novo vou ajudá-lo a ver como pode usar o teorema binomial para expandir a expressão:

Essa expressão vale o mesmo que ex quando n tende ao infinito.

Nessa última linha, pode ver que, quando n tende ao infinito, os termos com n no denominador tendem a zero, de modo que pode simplificar a expressão assim:

Deve chamar essa série de “série exponencial”. Com o símbolo de somatório, pode colocá-la no papel de um jeito simples:

Os matemáticos acham e de grande importância porque ex possui uma propriedade que nenhuma outra função de x possui: quando você diferencia a expressão de ex, obtém a mesma expressão; em outras palavras, o coeficiente diferencial de ex é igual a ex. Pode ver isso ao diferenciar a expressão de ex em relação a x:

A última linha acima é exatamente a série original. Agora, você poderia ter começado essa investigação toda ao contrário, e dizer: “Deixe-me ver se existe uma função de x tal que seu coeficiente diferencial é idêntico à própria função.” Ou talvez se perguntar: “Existe uma expressão matemática, que envolva apenas potências de x, que permanece inalterada depois dos procedimentos de diferenciação?” Com uma pergunta dessas na cabeça, você presume que essa expressão existe, e escreve assim:

Nessa expressão, sua tarefa fica sendo determinar o valor dos coeficientes A, B, C, D etc. de modo que dy/dx seja igual a y. Então você usa o que já sabe e calcula o coeficiente diferencial de y em relação a x:

Agora, se essa série tem de ser igual à série anterior, daí, obrigatoriamente, A = B; C = B/2 = A/2!; D = C/3 = A/3!; E = D/4 = A/4!; e assim por diante. Com essa descoberta, pode agora reescrever a série original.

Qual é o jeito mais simples de dar o próximo passo? Que tal igualar A a 1?

Já sabe que, não importa quantas vezes diferencie y em relação a x, sempre obtém uma expressão idêntica à expressão original, pois calculou y para que assim fosse.

Agora, se pega esse caso particular no qual A = 1, e calcula o valor da série para vários valores inteiros positivos de x, começa a entender como essa função especial funciona.

Agora, pode generalizar isso, se quiser.

[Nota: O salto de expoentes inteiros positivos para expoentes reais é enorme, e exigiria uma prova mais detalhada; contudo, não se esqueça: neste Cálculo Tornado Fácil, Silvanus tornou o cálculo fácil a poder de marteladas.]

(Nota: Como ler exponenciais. Para aqueles que não têm um professor com quem conversar, talvez seja útil saber que pode ler ex como “exponencial de x”. Da mesma forma, pode ler ept como “exponencial pê tê”. Assim, batendo os olhos em e–2, diga “exponencial menos dois” ou, se quiser evitar ambiguidades, “exponencial a menos dois”, que vem de “exponencial elevado a menos dois”. Também pode dizer, se quiser, “o número e elevado a menos dois”.)

Penso que agora, depois de todas essas contas, deve achar claro que a função ey permanece inalterada quando diferenciada em relação a y. Além disso, quando diferenciar eax em relação a x (o que é o mesmo que diferenciar (ea)x em relação a x), deve obter aeax, pois a é uma constante. [Com a regra da cadeia, pode provar isso em dois tempos.]

Logaritmos naturais ou neperianos. Outra razão pela qual o número e é importante: foi criado por Napier, o inventor dos logaritmos, para ser usado na base de seu sistema. [Mais tarde, os especialistas em história da matemática descobriram que Napier não usou e na base dos logaritmos neperianos, mas sim um número próximo de 1/e; aliás, Napier não chegou a estudar objetos matemáticos como funções exponenciais, e muito menos estudou algo parecido com ex. Na época de Silvanus, contudo, muitos acreditavam na lenda urbana de que Napier havia criado a constante e.] Se y é o valor de ex, então x é o logaritmo de y na base e. Ou, dizendo isso com símbolos:

Nas figuras 38 e 39, plotei as duas curvas que representam tais funções. Alguns dos pontos marcados com linhas tracejadas são:

Na figura 38:

x

0

0,5

1

1,5

2

y

1

1,65

2,71

4,5

7,39

Na figura 39:

y

1

2

3

4

8

x

0

0,69

1,10

1,39

2,08

Logo verá que, embora os cálculos produzam pontos distintos para a plotagem das curvas, o resultado final é idêntico. As duas equações de fato significam a mesma coisa.

Visto que muitas pessoas que usam logaritmos não conhecem bem os logaritmos naturais (cuja base é e em vez de base 10), vale a pena dizer algumas palavras sobre eles. As regras comuns pelas quais os logaritmos funcionam continuam valendo, como a regra segundo a qual o logaritmo de um produto pode ser reescrito como a soma de dois logaritmos:

Da mesma forma, a regra da potência também vale:

Contudo, visto que 10 não é mais a base, você não pode mais multiplicar por 100 ou por 1.000 ao meramente adicionar 2 ou 3 ao índice. Se quiser, pode multiplicar o logaritmo natural por 0,4343 para convertê-lo num logaritmo comum (de base 10); da mesma forma, pode multiplicar o logaritmo comum por 2,3026 para convertê-lo num logaritmo natural. Em fórmulas (com precisão de quatro casas decimais):

log(x) = 0,434 · ln(x) e ln(x) = 2,3026 · log(x)

[Notou aqui o contexto histórico? Na época de Silvanus, as pessoas de fato usavam os logaritmos de base 10 para fazer contas, especialmente multiplicações e divisões. Hoje todo mundo usa uma calculadora. Outro ponto importante: estamos usando logx para significar log10x e lnx para significar logex, mas muitos matemáticos usam logx para significar lnx — muitos mesmo; não há na palavra “muitos” nenhum exagero. Para tais matemáticos, o logaritmo natural é o mais importante de todos, então acham que devem usar o símbolo mais gostoso, que é logx, para denotar “o logaritmo natural de x”.]

Equações exponenciais e logarítmicas. Agora, finalmente, vamos diferenciar certas expressões que contêm logaritmos e exponenciais. Por exemplo, a equação a seguir:

Antes de continuar, transforme a equação acima numa função exponencial.

Agora, já sabe que o coeficiente diferencial de ey em relação a y permanece inalterado:

Pode ir agora da derivada da função inversa para a derivada da função original:

Bem, eu acho esse resultado bastante curioso. Pode reescrevê-lo assim:

Note que jamais obteria x–1 se simplesmente aplicasse a regra da diferenciação de potências de x, segundo a qual, para diferenciar x3, você transforma o expoente 3 num coeficiente 3 e reduz o expoente por 1 unidade: [x3]’ = 3x2; [x2]’ = 2x1. Mas, ao diferenciar x0, você obtém 0; pode ver isso como sendo 0∙x–1 ou como sendo o resultado de diferenciar 1, pois  x0 é 1, ou seja, é uma constante. Mais tarde, quando estivermos estudando a integração, voltaremos a estudar esse fato tão curioso de diferenciar lnx e obter x–1.

* * *

Agora, tente diferenciar a expressão a seguir:

De novo, reescreva a expressão para obter a função inversa, e daí diferencie a função inversa, sabendo que o coeficiente diferencial de ey é ey:

O próximo exemplo não é assim tão simples. Tente diferenciar a seguinte expressão:

Como primeiro passo, pode tirar o logaritmo dos dois lados.

Visto que 1/lna é uma constante, ao diferenciar x em relação a y:

Agora, já sabe que dy/dx é o recíproco de dx/dy.

Veja mais uma vez por que isso é verdade:

Deve notar que, sempre que diferencia uma expressão do tipo lny = (uma função qualquer de x), obtém 1/ydy/dx = (o coeficiente diferencial da função de x), de modo que, ao bater os olhos em lny = x∙lna, poderia ter escrito imediatamente:

Mais alguns exemplos; não se esqueça de que o cálculo é uma arte, e só pode obter fluência técnica numa arte se praticar bastante.

(1) Diferencie:

Pode começar igualando –ax a z, e daí y = ez.

Ou pode tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Pode ainda usar a regra da cadeia aplicada à notação de linha, com o lance da “função de dentro” e da “função de fora”:

(2) Diferencie:

Para esconder complexidade, pode fazer z = x2/3.

Um jeito de pensar sobre isso é: se vir o número e elevado a uma função de x, a derivada disso tudo é o número e elevado à função de x, mas multiplicado pela derivada da função de x. (É mais um jeito de expressar a regra da cadeia: “A derivada da função de fora, tendo a função de dentro como argumento, vezes a derivada da função de dentro.”)

Pode ainda, como sempre, tirar o logaritmo natural dos dois lados:

(3) Diferencie:

Antes de continuar, veja o texto na seção 59 (mais abaixo), no qual explico a notação acima; em todo caso, exp(x) simplesmente significa ex. Agora, tire o logaritmo natural dos dois lados e siga em frente.

Pode checar as contas fazendo z = 2x/(x + 1).

(4) Diferencie:

 

Pode tirar o logaritmo natural dos dois lados.

Pode pensar em tudo isso usando mais variáveis:

Pode checar tudo escrevendo √(x2 + a) = z.

(5) Diferencie:

Exemplos como esse já estão começando a ficar fáceis, não estão? Pode fazer z = (a + x3), e daí y = lnz.

(6) Diferencie:

Faça 3x2 + √(a + x2) = z; daí y = lnz.

(7) Diferencie:

A vantagem de saber tirar a derivada da função logaritmo natural é que, ao lidar com um produto de funções quaisquer, pode tirar o logaritmo natural de tudo e trocar um produto por uma soma.

(8) Diferencie:

De novo, tire o logaritmo natural de tudo, para trocar multiplicações por adições:

 

Acho bom parar um pouco para explicar como pode obter tudo isso. Você faz u = ln(x3 + 3) e x2 + 3 = z, assim u = lnz. Daí:

Da mesma forma:

Terminadas as explicações, só falta concluir as contas:

(9) Diferencie:

Agora, ao tirar o logaritmo natural dos dois lados, vai trocar uma divisão por uma subtração.

(10) Diferencie:

De novo, pode, se quiser, começar tirando o logaritmo natural dos dois lados:

(11) Diferencie:

Suas notas devem conter os seguintes elementos:

(12) Diferencie:

Pode tirar o logaritmo natural dos dois lados e seguir adiante:

Tente agora resolver todos os exercícios a seguir, e não tenha pressa.



{57}/ Exercícios XII

(1) Diferencie a expressão a seguir:

(2) Ache o coeficiente diferencial em relação a t da expressão a seguir:

(3) Se y = nt, ache uma expressão para o coeficiente diferencial abaixo:

(4) Sabendo que S T significa “a afirmação S leva naturalmente à afirmação T”, demonstre a afirmação a seguir:

(5) Se w = pvn, ache dw/dv.

(6) a (12) Diferencie as expressões a seguir.

(6)

(7)


(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13) [Questão suprimida: muito confusa.]

(14) Ache o máximo ou o mínimo da expressão a seguir:

(15) Diferencie:

(16) Diferencie:



{58}/ Apêndice: Tirando o logaritmo dos dois lados

Em muitas situações, o matemático vê o que acontece quando tira o logaritmo natural dos dois lados de uma igualdade ou desigualdade. Ele faz isso para interligar a expressão a uma constante útil (o número e), para converter multiplicações em adições e divisões em subtrações (o que facilita as contas), entre outros objetivos. Mas por que o truque funciona?

Todo estudante tem o direito de fazer essa pergunta, pois o domínio de lnx é o conjunto dos números reais positivos, isto é, excluindo o zero e os números reais negativos. Daí o estudante pode pensar assim: “Mas e se um dos termos da expressão vale zero ou é negativo? Será que mesmo assim vai dar certo tirar o logaritmo natural dos dois lados?”

Um jeito de olhar isso é examinar a equação:

Nesse caso, f(x) significa qualquer expressão matemática, por mais complicada que seja.

Caso I. Ora, se y é positivo, f(x) também é, e daí a equação a seguir é perfeitamente válida:

Tudo o que o estudante puder descobrir a partir da equação acima, poderá aplicar à equação original sem nenhuma adaptação.

Caso II. Se y é negativo, f(x) também é, e daí as conclusões tiradas de lny = ln[f(x)] precisam de uma adaptação. Mesmo que não tenha consciência disso a princípio, se y é negativo, então ao tirar o logaritmo dos dois lados o estudante está na verdade  analisando a igualdade a seguir:

Caso III. Se y e f(x) são iguais a zero, lny = ln[f(x)] não significa nada. O eixo x = 0 é uma assíntota vertical de lnx.

Em resumo, os matemáticos tiram o logaritmo natural dos dois lados de uma igualdade, mas, antes de aceitar as conclusões como verdadeiras, eles estudam os valores que as variáveis e as expressões podem assumir, e reescrevem as conclusões de acordo com o estudo.



{59}/ Apêndice: As propriedades de exp(x)

O estudante pode encarar exp(x) como sendo outro jeito de escrever ex. [Na faculdade, os professores definem exp(x) de modo mais complicado, mas o efeito é esse.] Sendo assim, todas as propriedades de ex valem para exp(x). Você não é obrigado a usar os parênteses em exp(x), isto é, pode escrever expx se não houver chance de ambiguidade.

(Na tabela a seguir, excepcionalmente, a b significa “a tende a b”, e a b significa “a implica b”.)

Esse jeito de escrever, expx, é útil quando o expoente de e é uma expressão complicada, pois aí você pode escrever a expressão com letras maiores. Por exemplo, compare as duas versões da fórmula da distribuição normal:

Deve ter achado mais fácil de ler a expressão com a notação exp(x).



{60}/ Apêndice: Nada supera o crescimento exponencial

Os matemáticos definem a expressão “crescimento exponencial” assim:

Nessa equação, A e k são constantes reais maiores que zero, e t representa tempo. Um fato interessante sobre o crescimento exponencial é que ele sempre supera qualquer tipo de crescimento linear ou polinomial. Por exemplo, a primeira equação a seguir representa crescimento linear em função do tempo t, e a segunda representa crescimento polinomial:

Para simplificar o estudo das três funções, pense em m e n como constantes positivas e faça A = k = 1, de modo que y vira et. Como poderia provar que, a partir de algum valor de t, o valor de y ultrapassa o de z e o de w? Um jeito de construir essa prova é tirar o logaritmo natural dos dois lados de todas as equações.

A última linha diz que, quanto t menos o logaritmo natural de t for maior ou igual ao logaritmo natural de m, a função y será maior ou igual a função z. E isso vai sempre acontecer, pois o lado esquerdo da desigualdade (na última linha) é uma função estritamente crescente (para t ≥ 1), enquanto o lado direito é um valor fixo; fica bem claro que, se o lado esquerdo está crescendo conforme t cresce, cedo ou tarde vai ultrapassar o lado direito. É gozado pensar nisso, pois m pode ser uma constante muito grande, tipo m = 1050; contudo, para esse valor superalto de m, o valor de et já é maior que o valor de 1050t quanto t ≅ 120.

Da mesma forma, o valor de y sempre supera o valor de w, não importa quão grande o valor de n:

De novo, quando te, t/lnt se torna uma função estritamente crescente, mas n é um valor fixo — por maior que seja, sempre poderá encontrar um valor positivo de t tal que t/lnt é maior que n, e isso equivale a dizer que sempre poderá achar um valor positivo de t tal que o valor da função y ultrapassa o valor da função w.

Você pode ler a matéria Ah, se dinheiro fosse tudo na vida… com tudo isso em mente: e se te oferecessem dois empregos, um no qual ganha 1.000 reais por mês mais 100 reais de aumento por mês e outro no qual ganha 1 centavo no primeiro mês, 2 centavos no segundo mês, 4 centavos no terceiro mês, 8 centavos no quarto mês, e assim por diante? Que emprego escolheria? Pegue uma calculadora científica e faça as contas: em 18 meses o salário da segunda opção já é igual ao da primeira; além disso, em dois anos a primeira opção paga ao todo 51.600 reais, mas a segunda paga ao todo 167.800 reais.

Nota sobre empréstimos bancários. Ao pensar sobre inflação e dívidas, pode ver a inflação como descrescimento exponencial do poder de compra e o juro composto como crescimento exponencial da dívida. Em geral, os bancos oferecem ao indivíduo S algo importante como chamariz (uma casa, um carro, a faculdade, capital de giro) para convencê-lo a assumir uma dívida que vai crescer exponencialmente; enquanto isso, nos bastidores da economia, a inflação vai corroer seu poder de compra também exponencialmente (caso S não disponha de mecanismos adequados de correção monetária da renda mensal). É uma corrida que S só conclui depois de grande sacrifício pessoal.

{FIM}


Observações:

1. Neste blogue, há uma matéria só sobre logaritmos: Logaritmo é mais que outro nome para expoente.

2. Com o que já sabe, pode compreender perfeitamente uma das aplicações mais legais dos logaritmos e do cálculo diferencial: a datação por carbono 14. Veja a matéria Há quantos anos um papiro existe?