Um Carcereiro Bizarro, fake news, e um Político Bestialógico


O autor da historieta a seguir não a chama de historieta, mas de “experimento mental”, pois, como o experimento que um cientista faz no laboratório, você pode escarafunchá-la para obter a resposta de perguntas difíceis.

O Carcereiro Bizarro. Toda noite, ele espera até que todos os presos estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente destranca todas as portas do presídio (as portas das celas, dos corredores, do prédio, das cercas, dos muros) e, por algumas poucas horas, as deixa encostadas (como se estivessem trancadas), mas certamente destrancadas. É uma cadeia pequena, e não há nenhum outro guarda além dele. Enquanto observa as instalações pelas câmeras do circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se algum preso sair, vou deixar que saia! Vou me divertir olhando pelas câmeras sua surpresa e suas hesitações!”

O filósofo americano Daniel Dennett, autor do experimento mental, pergunta: “Nessas poucas horas nas quais todas as portas estão destrancadas, os prisioneiros estão livres?”

Vejamos. Um preso acorda no meio da noite, com vontade de usar a privada de sua cela. (Estou pensando em algo do tipo Fuga de Alcatraz, com Clint Eastwood no papel principal.) Enquanto está lá, pensa na vida, fica olhando à volta. Não lhe ocorre a ideia de ir até as grades da cela para ver se estão apenas encostadas, e na verdade destrancadas. Não lhe ocorre a ideia de que pode ir embora tranquilamente, andando, deixando o presídio como se deixasse o cinema quando o filme termina.

Esse preso, na verdade, não tem a oportunidade de sair, pois, para aproveitar a circunstância favorável à fuga, ele precisa saber que as portas estão destrancadas. Ele não sabe. Ao contrário, quando olha para a porta de sua cela, visto que está encostada como se estivesse trancada, para ele a porta está indiscutivelmente trancada. Se para realizar a ação y um agente precisa antes da informação x, e se ele não tem acesso à informação x, então não pode realizar a ação y.

É como a história do sujeito que, andando numa das ruas do bairro onde mora, passa ao lado de um contêiner de lixo, sem saber que, dentro do contêiner, debaixo de sacos e sacos de lixo, há um baú com tesouros de valor altíssimo — ouro, joias, moedas antigas. O sujeito teve a chance de ficar rico? Não, pois não tem o costume de vasculhar contêineres de lixo, nem nunca teve. Para ele, contêineres de lixo não têm valor, e isso vale para o contêiner dentro do qual há um baú com tesouros.

Para que o sujeito que passeia pelo bairro fique rico, e para que o outro saia da prisão, em primeiro lugar eles precisam obter no ambiente a informação de que existe uma oportunidade. Sem isso, nenhum dos dois pode agir.

Com essas duas histórias, Dennett pretende ressaltar a importância de o agente obter informação oportuna sobre o ambiente em que vive, a tempo de usá-la em processos de decisão, isto é, em pensamentos sobre o que fazer no futuro. Sem informações corretas e atualizadas sobre a situação, na verdade o agente não está em condições de agir. Dennet usa as duas histórias para explorar a ideia de livre-arbítrio, e questioná-la. Não pode haver arbítrio completamente não causado, diz Dennett, pois, para decidir o que fazer, o agente precisa estar inserido no fluxo de causas e efeitos do meio ambiente; ou, o que é quase a mesma coisa, precisa estar inserido no fluxo de informações que representam o meio ambiente: de certa forma, ele precisa ‘receber’ informações do ambiente e ‘fornecer’ informações ao ambiente para que possa dizer que é “livre para agir”. Portanto, não existe isso de “escolhas livres”, no sentido de “escolhas não causadas”. Para que haja livre-arbítrio de verdade, diz Dennett, é necessário que o agente esteja imerso na malha de causas e efeitos do mundo, às vezes como efeito, às vezes como causa; às vezes como receptor de informações, às vezes como gerador.

Mas essas duas histórias, como uma pequena modificação, também servem para explorar o problema das fake news, isto é, das notícias falsas produzidas de modo que tenham o jeitão de notícia verdadeira. A pequena modificação é esta:

O Anfitrião Bestialógico. O Anfitrião Bestialógico é o gerente de um hotel. Toda noite, ele espera até que todos os hóspedes estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente tranca todas as portas do hotel (as portas dos quartos, dos corredores, das escadas, do prédio, das cercas, dos muros, da garagem) e, por algumas poucas horas, as deixa trancadas. Enquanto observa as instalações pelo circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se acontecer alguma coisa, caso alguém passe mal, caso aconteça um incêndio, vou me divertir olhando pelas câmeras o desespero das pessoas, que, quando foram dormir, achavam que sua liberdade duraria para sempre!”

Nas poucas horas em que as portas estão trancadas, os hóspedes estão livres? A resposta agora é óbvia: não. Suponha, por exemplo, que um dos hóspedes acorde à noite e pense: “Estou com vontade de fumar um cigarro.” Ele não pode fumar no quarto do hotel, pois é proibido e há sensores de fumaça; ele teria de pôr um roupão, descer até o lobby, e sair do hotel para fumar na calçada. “Se eu não estivesse com tanta preguiça”, pensa o hóspede, “desceria para fumar.” Não lhe ocorre a ideia de que não desceria, de jeito nenhum, pois está preso. Não lhe ocorre a ideia de verificar se realmente consegue abrir a porta do quarto, se consegue chamar o elevador. Para que tivesse a ideia de que está preso, para que parasse de fazer planos sobre fumar um cigarro, ele precisa da informação de que todas as portas do hotel estão trancadas. Se para abandonar o plano y um agente precisa antes da informação x, e se não tem acesso à informação x, então, em vez de abandonar o plano y, ele o considera como se fosse viável. Antes, no caso do Carcereiro Bizarro, os agentes estavam livres, mas achavam que estavam presos, e por isso não aproveitaram a liberdade; depois, no caso do Anfitrião Bestialógico, os agentes perderam a liberdade, mas achavam que continuavam livres, e por isso planejavam o futuro e nada fizeram para escapar de sua prisão antes que fosse tarde demais — antes do incêndio.

Há coisas do tipo notícia falsa no mundo dos objetos e das máquinas. A nota falsa de 100 reais, a lâmpada na frente da célula fotoelétrica. Há coisas do tipo notícia falsa no mundo das plantas e dos animais, mas com os nomes técnicos de mimetismo e camuflagem: o bicho-pau é um inseto, mas parece um graveto seco; o peixe-borboleta (Chaetodon capistratus) tem duas manchas parecidas com olhos perto da cauda, de modo que, quando observado por detrás, parece que está olhando o observador. Na cabeça do predador do peixe-borboleta, algo se passa com esta lógica: “Não adianta nada atacar esse peixe aí, pois ele já me viu.”

Mas o reino das notícias falsas é o reino da política. Assim como o Carcereiro Bizarro e o Anfitrião Bestialógico, o Político Bestialógico usa notícias falsas para manipular o público. É mais fácil entender corretamente essa ideia ao imaginar um membro do público como sendo uma máquina de estados finitos.

Tais máquinas monitoram o meio ambiente (incluindo elas mesmas) e, conforme o resultado do monitoramento, tomam decisões e agem. Se a máquina está no estado s quando recebe a entrada i, ela produz a saída o e passa para o estado y. É assim que a máquina deve funcionar, para seu próprio bem, para o bem de todas as outras máquinas, e para o bem do mundo. Suponha, portanto, que a máquina está no estado s, e que a Natureza produz todas as condições para que a máquina receba a entrada i; contudo, o Político Bestialógico distribuiu notícias falsas, nas quais a máquina acreditou, e em razão de suas crenças falsas ela interpreta mal a Natureza e, em vez de receber a entrada i, recebe a entrada x. Em consequência disso, em vez de produzir a saída o, ela produz a saída p; em vez de passar para o estado y, ela passa para o estado z. Ela não agiu para seu próprio bem, nem para o bem das outras máquinas, nem para o bem do mundo. Porém, não está consciente disso; desconhece que não viu o que estava lá, no ambiente, nem que viu o que não estava. Seu histórico de estados não corresponde mais ao histórico de mudanças no meio ambiente. Ela também não está consciente de que agiu para o bem do Político Bestialógico.

Quase sempre, o Político Bestialógico espalha notícias falsas para provocar medo, e logo em seguida raiva — pois medo e raiva são dois sentimentos que andam sempre um perto do outro. De acordo com a ideologia do Político Bestialógico, ele vai provocar raiva de pobres ou raiva de ricos; raiva de bandidos ou raiva de polícia; raiva de comunistas ou raiva de fascistas; raiva de instituições públicas ou raiva de empresas privadas; raiva da justiça ou raiva da milícia; raiva das universidades ou raiva das igrejas. Para o Político Bestialógico, nem é tão difícil estimular medo e raiva em seu público, pois basta que ele se aproveite de qualquer um dos vários defeitos característicos da mente de um ser humano. Por exemplo, um destes dois:

(1) O humano tende a prestar maior atenção a informação que confirme suas crenças, e por isso tende a se lembrar mais facilmente daquelas informações que confirmaram suas crenças;

(2) Tende a lidar muito mal com probabilidades; isso porque dá peso desproporcional à influência do passado sobre o futuro, mesmo quando o passado já não tem mais influência sobre o futuro, ou mesmo quando nunca teve (como é o caso dos números sorteados na Mega-Sena).

O filósofo japonês Watsuji Tetsurô (1889-1960) dizia o seguinte: Quando um ser humano se aproxima de outro, o ideal é que suas expectativas sejam positivas. O ideal é que haja boa vontade, alegria, sinceridade; o ideal é que, a princípio, cada um esteja disposto a simpatizar com o outro. Para Watsuji, a ética é a arte e o ofício de criar uma sociedade na qual tais aproximações possam ocorrer da maneira a mais próxima possível da ideal. Chame a aproximação ideal de aproximação idealmente positiva. Toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo mais parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente louvável. Ao contrário, toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo pouco parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente deplorável.

Assim, segundo Watsuji, sempre que um Político Bestialógico divulga notícias falsas, faz o público pensar que está livre quando na verdade está preso, ou pensar que está preso quando na verdade está livre, e fazendo assim provoca medo e raiva. Fazendo assim, portanto, o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. {Fim}



Observações:

1. Os experimentos mentais de Daniel Dennett estão no livro Intuition Pumps and Other Tools for Thinking.

2. No último parágrafo, digo que o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. Não quero dizer com isso que o leitor deve simplesmente entrar nas redes sociais e xingar todo mundo que lhe parece mau. Quem age dessa maneira, escreveu Spinoza, “é danoso para si mesmo e para os outros”. (Ética, parte 4, apêndice, capítulo 13.) Para Spinoza (que Watsuji conhecia, e que admirava), o único jeito de ajudar os seres humanos a se guiar pela razão é por meio de “amor e generosidade”. Portanto, ainda segundo Spinoza, repudiar o Político Bestialógico é equivalente a “dedicar-se com empenho a tudo aquilo que está a serviço do vínculo da concórdia e da amizade”.

Nietzsche daria umas boas risadas tanto de Watsuji quanto de Spinoza. Para Nietzsche, a ética é a arte e o ofício de imaginar e de implementar hierarquias — hierarquias de pessoas, de coisas, de ideias. Ele acreditava piamente que há ideias mais importantes que outras ideias, coisas mais importantes que outras coisas, e pessoas mais importantes que outras pessoas. Ele também acreditava que uma pessoa mais importante, segundo uma hierarquia X, deve ser mais bem tratada que uma pessoa menos importante, segundo a mesma hierarquia. Nietzsche dizia de si mesmo: Eu sou dinamite! Ele é um bom contraponto à cortesia de Watsuji e à santidade de Spinoza, mas deve ser lido com cuidado, pois é de fato explosivo.

3. Esta é a última postagem deste ano. Desejo a todos os frequentadores deste blogue boas festas e um feliz 2020!

Construindo novas pontes na matemática

Olivia Caramello/ Arquivo pessoal

Quando Olivia Caramello tinha 19 anos, se formou em matemática e música. É italiana, mas dá aulas em universidades italianas e francesas (para ser preciso, na Università degli Studi dell’Insubria e no Institut des Hautes Études Scientifiques). Há treze anos desenvolve uma teoria com a qual estabelece pontes entre teorias matemáticas distintas e, à primeira vista, desconexas.

Topos é uma palavra de origem grega; significa “lugar”. (Plural: toposes.) No início dos anos 1960, Alexander Grothendieck (1928-2014) introduziu o conceito de topos para denotar um objeto matemático que forneceria um quadro geral para uma de suas teorias na geometria algébrica, a coomologia etal. Ainda na mesma década, Francis William Lawvere publicou trabalhos com uma variante do conceito de topos, que chamou de “topos elementar” (é uma generalização de um topos de Grothendieck), e obteve a atenção dos especialistas em categorias (sobre isso, veja a seção 2).

Antes dos 13 anos, a matemática me parecia uma espécie de jogo mecânico. Não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova, tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade, que dura para sempre.


{1}/ Aventuras com caneta, papel, e cabeça

Aos 19 anos, Olivia se formou em matemática na Universidade de Torino (Itália) e obteve diploma de piano no Conservatorio di Cuneo. (No Brasil, muitos chamam Torino de Turim.) No mestrado, começou a se interessar por lógica categórica, principalmente pelos toposes de Grothendieck, e por isso foi para a Universidade de Cambridge (Inglaterra) fazer doutorado com um dos grandes especialistas em teoria de topos, Peter Johnstone. Nessa época, Olivia se sentia atraída pela ideia de transferir conhecimentos entre diferentes teorias matemáticas, e tinha a intuição de que poderia construir pontes entre teorias usando os toposes de Grothendieck. Mas Johnstone se interessava mais pelo topos elementar, um tipo de topos mais geral, com o qual Olivia não poderia construir pontes como desejava. Ela então obteve de Johnstone o consentimento para tomar uma direção diferente. “Sou muito grata pela oportunidade que tive de fazer basicamente o que quisesse. Isso é importante porque, para elaborar novos pontos de vista, o pesquisador precisa de liberdade.”

Olivia passou o primeiro e a metade do segundo ano do doutorado lendo tudo que podia sobre toposes de Grothendieck e outros assuntos correlatos. Queria começar a pesquisa apenas quando soubesse o que de melhor já haviam escrito naquele campo; queria também uma visão abrangente sobre outras teorias. Um projeto ambicioso exige conhecimentos sólidos de várias áreas da matemática. Para Olivia, em vez de desenvolver um trabalho apenas na teoria dos toposes, seria melhor aplicar essa teoria em campos como álgebra, análise funcional, lógica, teoria de modelos, teoria de provas. “Eu precisava de uma consciência geral do que acontece na matemática”, diz Olivia. “E essa ideia de usar os topos como pontes é algo que veio de um estudo muito intenso. Acho que, para mudar paradigmas e introduzir novas visões, o pesquisador não pode ter medo de voltar aos fundamentos e repensar as coisas desde as bases.”

Há poucas pessoas trabalhando com toposes classificadores, e, até o dia em que Olivia propôs a ideia num trabalho de doutorado, os matemáticos não pensavam em usá-los como ponte entre teorias. Hoje, porém, seu trabalho atrai a atenção da comunidade matemática. “A geração mais velha resiste um pouco a aceitar esse ponto de vista, mas as coisas têm ido bem. A geração mais jovem, por sua vez, em geral entende esse ponto de vista mais rapidamente.”

Como se interessou por essa teoria de unificação da matemática?

No início do doutorado em Cambridge, em 2006, conheci muitos conceitos importantes na lógica categórica; essa já era minha principal área de interesse na Itália, em particular os toposes de Grothendieck. E achei interessante os conceitos de lógica unificadora e a possibilidade de transferir conhecimentos entre diferentes campos da matemática. Então comecei a me perguntar: de que forma um topos pode ser aplicado na matemática? Quais ideias a teoria de topos pode me dar sobre a matemática clássica? Tive a intuição de que poderia usar os toposes de Grothendieck como uma espécie de ponte para conectar diferentes teorias; conectar no sentido de transferir resultados, técnicas, noções e ideias de uma teoria para a outra.

E como funciona essa técnica?

Imagine que tenha uma teoria da análise, uma da álgebra, e uma da geometria. Pode associar a cada uma delas um tipo de objeto, que é um topos. Então é natural que depois possa comparar as diferentes teorias comparando cada um dos toposes associado a cada uma delas. Se descubro, por exemplo, que um topos associado a uma teoria na álgebra é equivalente a um topos associado a uma teoria na análise, isso automaticamente me sugere uma conexão entre as duas teorias. É isso o que chamo de ponte. Embora a palavra “ponte” faça surgir uma imagem útil para compreender meu trabalho, eu a uso num sentido mais técnico.

Isso significa que um topos classificador admite diferentes representações; por exemplo, uma em termos da teoria algébrica, e outra em termos da teoria analítica. Ao fazer isso e estudar as propriedades invariantes dos toposes equivalentes (ou relacionados), obtenho uma propriedade algébrica e uma propriedade analítica que são logicamente equivalentes — o nome dessa equivalência é “equivalência de Morita”. É assim que construo as pontes.

Se tenho duas teorias com a equivalência de Morita, isso me dá o tabuleiro da ponte. [Tabuleiro: é o nome técnico do piso da ponte.] E os arcos [que numa ponte de verdade transferem o peso da ponte para as laterais] seriam as relações obtidas com a solução dessa invariante nos termos das duas diferentes representações. Ao compor os arcos com o tabuleiro, posso encontrar uma forma de traduzir uma propriedade num lado da ponte para uma propriedade no outro lado.

Como é a rotina de desenvolver uma nova teoria?

Tento me equilibrar entre teoria e aplicações: divido meu tempo entre desenvolver a teoria em geral e estudar campos específicos da matemática nos quais posso aplicar a teoria. Falo com muitos especialistas em diferentes áreas, e a partir dessas discussões tenho ideias de possíveis territórios matemáticos nos quais poderia aplicar uma técnica nova. Uma vez que identifico um bom problema para tratar usando minhas técnicas, começo a trabalhar nisso.

É importante manter esse vaivém entre teoria e aplicações, pois acho que, se o matemático desenvolve apenas a teoria, perde contato com os problemas que interessam os matemáticos especialistas e isso é uma lástima, pois a matemática não deveria ser desenvolvida apenas do ponto de vista abstrato, mas também a partir de problemas concretos [na própria matemática]. Por outro lado, se o matemático se preocupa apenas com problemas concretos, perde uma visão mais abrangente que possa haver além deles. Então, gosto de tentar manter esse equilíbrio, e até agora tenho conseguido.

Aliás, ando colaborando com cada vez mais pessoas nos últimos anos, inclusive especialistas, porque as pessoas agora se interessam mais por tais técnicas. Isso funciona bem, porque não consigo ter toda a bagagem de um especialista, mas ao falar com eles, tenho uma ideia dos conhecimentos especializados e eles têm comigo uma ideia das técnicas e da visão geral.

Como você se inspira e onde busca criatividade para o trabalho?

O que me motiva é encontrar bons conceitos e boas estruturas. Na minha opinião, uma boa indicação de algo frutífero é a possibilidade de calcular dentro de certa teoria. Por exemplo, o campo dos toposes de Grothendieck é muito eficiente do ponto de vista computacional e é muito convincente o fato de que, ao identificar um ambiente natural para as coisas, encontramos cálculos que podem ser feitos naturalmente. Talvez as pessoas imaginem por que alguém inventou o zero, ou por que inventaram o plano complexo. Afinal, essas coisas não são tão concretas, especialmente se pensar na raiz de menos 1 — isso não é concreto mesmo!

Mas pense no plano complexo: ainda que a pessoa esteja interessada em resolver equações polinomiais apenas na reta real, ao trabalhar num contexto estendido [o do plano complexo], ela tem maior poder, porque a possibilidade de calcular a raiz que procura está relacionada à existência de simetrias. Quando o matemático encontra um bom conceito, uma boa definição, uma boa estrutura, elas carregam em si mesmas a possibilidade de calcular ou, no mínimo, a de contemplar seus problemas matemáticos de uma forma eficaz.

No meu trabalho sempre procuro a naturalidade: as coisas têm de ser naturais, canônicas — tão canônicas quanto possível —, além de ricas no sentido computacional. Claro que há um elemento de criatividade e as pessoas devem usar a intuição, mas isso não significa fazer escolhas arbitrárias. Acho que o matemático deve tentar descobrir verdades de forma a mais natural possível; a teoria deve provar a si mesma assim que colocá-la no contexto certo. Isso, claro, é uma forma muito grothendickiana de pensar, é assim que ele descreve o modo de fazer matemática. Nunca tentou forçar as coisas, sempre se importou em encontrar bons fundamentos, bons conceitos, e estava convencido de que, uma vez que os encontrasse, poderia abordar os problemas nos quais estava interessado com maior consciência.

Fico muito contente com a teoria de topos, porque posso encontrar todos esses elementos nela, além de ser cheia de simetrias e cálculos eficazes. Isso me permite fazer operações com teorias no lugar de números. Posso, por exemplo, intersectar duas teorias, posso pegar a união de duas teorias ou mesmo fatorar um morfismo entre teorias. Os objetos com os quais trabalho são as próprias teorias matemáticas e a teoria de topos é como uma calculadora universal para elas.

Até que ponto se inspirou nos trabalhos de Grothendieck?

Li sobre ele quando ainda estava em Torino, durante a universidade, e fiquei impressionada com sua forma de pensar. Grothendieck realizou grandes coisas e certamente é o matemático com quem sinto a maior afinidade em termos de estilo matemático.

Como decidiu ser matemática?

O momento decisivo foi quando tinha 13 anos. Antes disso, a matemática parecia uma espécie de jogo mecânico, não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade; uma vez que algo é provado verdadeiro ou falso, dura para sempre. Há lindos exemplos: o teorema de Pitágoras, as provas euclidianas; eles têm milhares de anos, mas ainda são verdades e ninguém nunca vai mudar isso. Então, por um lado, existe esse aspecto de eternidade matemática, que me parece atraente e único. Nas ciências experimentais, de certa forma tudo é provisório. Além disso, gostei da ideia de resolver um problema de formas completamente diferentes, provas diferentes para um mesmo resultado. E a linguagem matemática é precisa e universal; ela nos permite compartilhar ideias de maneira objetiva, sem ambiguidade e com pessoas de todo o mundo. No fim, o matemático acaba sendo parte de uma aventura intelectual coletiva da qual o mundo inteiro participa. Além disso, há muita liberdade na matemática, embora isso não fique claro para quem está no ensino médio.

Você gostava da matemática escolar nessa época?

Quando está no ensino médio, o estudante não tem essa impressão de liberdade, porque faz apenas exercícios… Até chega a parecer meio entediante. Mas, conforme avança nos estudos, consegue ver cada vez mais casos em que pode resolver problemas de maneiras completamente diferentes, e acaba percebendo que há muita liberdade na matemática. Ninguém é forçado a resolver o problema de um jeito específico; cada um pode escolher sua própria abordagem — dá até para desenvolver um estilo matemático! Desde o começo entendi que a matemática é uma atividade bem criativa e até mesmo artística; há um elemento estético muito forte nela.

Essa visão era algo comum na sua escola?

Não, para ver isso o estudante precisa abstrair da forma clássica com que ensinam a matemática na escola. As pessoas acham bem entediante, ninguém espera que a gente use muito a intuição, ou pelo menos era assim onde estudei: bem mecânico e entediante. Pude formar uma ideia diferente da matemática lendo livros — me lembro em particular de O Que é Matemática?, do [Richard] Courant e do [Herbert] Robbins. Ele me fez olhar para a matemática de uma forma completamente diferente da forma como a olhava na escola. Nessa época, também gostava de resolver problemas, que baixava da internet. Resolvia problemas que eram mais difíceis que os da escola, eram mais elaborados e interessantes. Às vezes, passava horas tentando resolvê-los, e quando encontrava a solução ficava muito feliz. Pesquisava alguns tópicos elementares da teoria dos números e sentia muito prazer em descobrir resultados já conhecidos. E isso não importava, afinal estava tendo minha própria experiência. Gosto muito dessa sensação de me ver diante um problema difícil apenas com caneta, papel, e minha cabeça. Por tudo isso, decidi ser matemática e nunca mudei de ideia.

A música influenciou de alguma forma seu trabalho na matemática? Ou vice-versa?

A relação entre a matemática e a música sempre foi frutífera para mim, porque ambas têm muitas simetrias e, em certa medida, a beleza é dada por simetrias. Como matemática, sempre procuro simetrias e isso me ajuda a trabalhar nelas de maneira sistemática, então o treinamento matemático com certeza provocou impacto no modo como interpreto a música — ela tem tantas simetrias, tantas partes matemáticas que, eu sendo matemática, talvez as reconheça com maior naturalidade. Por outro lado, estudar música enriqueceu minha comunicação e minha capacidade de ter uma visão mais global da matemática. Quando interpreta uma peça, o músico tem de memorizar tudo, ter a peça completa na cabeça, o que o ajuda a pensar de modo global e coerente.

Você notou diferenças entre fazer pesquisa na Itália, na Inglaterra, e na França?

Bom, em geral, eu prefiro a França à Inglaterra, porque descobri que, de alguma forma, na França há uma sensibilidade abstrata maior na forma de fazer matemática. Além disso, tem a influência de Grothendieck; ele era professor no instituto onde trabalho hoje [Institut des Hautes Études Scientifiques], ou seja, trabalho no lugar onde Grothendieck originalmente introduziu os toposes. Eu não poderia desejar mais que isso [risos]. Estou muito feliz e, se puder, fico por aqui mais dois anos. {}



{2}/ Apêndice: categorias e pontes

Teoria de categorias. É uma linguagem com a qual os matemáticos pretendem unificar vários conceitos matemáticos. Com ela, eles compreendem melhor as propriedades dos objetos matemáticos, e visualizam melhor (de um ponto de vista mais alto ou mais geral) o modo como se inter-relacionam.

Categoria. É uma entidade matemática que consiste em objetos e morfismos. O estudante pode considerar um morfismo como uma função entre dois objetos; quando apropriado, pode compor dois morfismos. Os dois axiomas básicos para uma categoria são a associatividade da composição de morfismos e a existência de um morfismo identidade para cada objeto. Um exemplo é a categoria dos espaços vetoriais reais, que possui espaços vetoriais como objetos e as transformações lineares como seus morfismos.

A ideia de ponte. O leitor pode entender melhor a ideia de ponte ao pensar, por exemplo, na geometria analítica. Ao levar em consideração as coordenadas cartesianas, consegue associar uma reta a uma equação de primeiro grau, ou uma parábola a uma equação de segundo grau. Olivia diz que esse é um exemplo bem simples de ponte, pois com ela pode resolver problemas da geometria usando apenas manipulações algébricas, e resolver problemas algébricos usando apenas geometria.

O estudante bem treinado talvez ache difícil ver onde está a ponte entre a geometria e a álgebra, pois, para ele, a ligação entre os dois assuntos surge naturalmente. Contudo, pode pensar nas duas linguagens com que consegue representar o mesmo objeto. “Quando faz provas na geometria euclidiana, não precisa usar nenhuma equação”, diz Olivia. “Por outro lado, quando manipula equações, não precisa da geometria. São campos bem independentes.”

Em seu trabalho, Olivia trata de objetos mais avançados, mas a ideia é parecida com a da geometria analítica. É como se criasse um dicionário entre duas teorias distintas, com o qual, por meio dos toposes, pode traduzir os resultados de uma teoria em resultados de outra. Assim, pode ser que o matemático consiga traduzir um resultado simples numa teoria em um resultado complicado em outra, e vice-versa. É algo útil na hora de resolver problemas matemáticos. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, pág. 14, dezembro de 2014. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi feita pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto.

3. A teoria de categorias têm sido usada com sucesso em áreas como física, ciência da computação, linguística, e filosofia. A teoria é mais uma evidência de que o leitor, se quiser, pode encarar a matemática como uma espécie de ficção com certas características especiais. Com esse jeito de encará-la (cujo nome é ficcionalismo matemático), fazer matemática é bolar ficções que sirvam como metáfora para processos do mundo real, ou para processos naturais tais como os apreendemos com nossos sentidos e nosso intelecto.

A arte de resolver problemas matemáticos é a arte de escrever


Outro dia, eu e uns amigos víamos um documentário sobre astronomia na TV. A certa altura, o narrador comparou os elementos químicos com os números primos. Tudo o que existe no universo, disse o narrador, é feito de 118 elementos químicos; é como se os 118 elementos fossem os números primos da matéria física. Já os números primos são infinitos, e em parte por isso os números inteiros são infinitos também.

Uma moça ficou impressionada com a informação:

“Existem infinitos números primos?”

Ela se virou para mim e tirou a dúvida:

Infinitos? Está certo isso?”

E eu fiquei impressionado com a conversa que se seguiu. Ela gostou muito de saber que é possível provar a existência de infinitos números primos; percebi que ficou remoendo essa informação um tempão. Contudo, não se lembrava de ter ouvido a informação ao longo dos anos que passou na escola — 20 ao todo, pois tem mestrado.

É bem provável que algum professor tenha dito isso algum dia, mas ela não estava pronta para sentir curiosidade por uma informação dessas. Não sei, e ela também não. Em todo caso, com essa história desemboco num de meus assuntos favoritos: nenhum professor, nenhuma escola, e nenhum sistema de ensino consegue passar o que a matemática de fato é. A matemática é grande demais, e incrivelmente multifacetada. Nem os que vivem 110 anos têm tempo para conhecer toda a matemática que existe para ser conhecida. Portanto, não acho grave que alguém desconheça algum fato matemático ou alguma nuance interessante. O que me parece grave na história de minha amiga é outra coisa.

Ela não tinha a noção de que uma pessoa pode provar que existem infinitos números primos sem ter de contá-los um a um. Foi o que de fato a surpreendeu. Em outras palavras, ela nunca havia escrito uma prova semelhante a essa na vida: nunca havia lidado com provas por indução matemática, ou com procedimentos recursivos. Ou, se havia, foi de um jeito tão desleixado que não deixou marcas.

Quando eu era mais jovem, gostaria que alguém tivesse me dito várias vezes, até que eu entendesse: “Olha, a escola não será capaz de te mostrar, nem mesmo brevemente, o que a matemática é, qual seu poder, e por que é bonita. Você terá de descobrir tudo isso por si mesmo. Vale a pena o esforço extra, pois, na pior das hipóteses, ganhará o passatempo mais satisfatório do mundo. E qual é o melhor jeito de descobrir o que a matemática é? Resolva problemas, quero dizer, prove afirmações de cunho matemático para além de qualquer dúvida, explicando tim-tim por tim-tim por que são verdadeiras.” Se alguém tivesse dito algo assim à minha amiga, de um jeito que pudesse entender, duvido que teria ficado tão surpresa com a informação sobre os primos, e, mesmo que ficasse, teria daí um ótimo projeto com o qual se divertir. {Fim}



Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014. A versão que acabou de ver foi revista e ligeiramente reescrita.

2. O matemático americano Hung-Hsi Wu costuma dizer o seguinte: “Não existe absolutamente nenhuma distinção lógica entre resolver um problema e provar um teorema.”

Acho que a escola básica e muitos cursos universitários têm dificuldade de passar essa mensagem aos alunos, pois se concentram demais em achar a resposta certa, pura e simplesmente; ou então, o que é quase a mesma coisa, se concentram demais em usar a matemática, pura e simplesmente, sem questioná-la ou compreendê-la. (Por exemplo, usá-la na física.) Só que achar a resposta certa não é a mesma coisa que fazer matemática. Antes disso, fazer matemática é explicar, tim-tim por tim-tim, por que motivos a resposta certa é certa. Portanto, provar um teorema (e resolver um problema de cunho matemático) é uma atividade muito mais próxima de escrever um ensaio do que de fazer desenhos e contras desordenados num pedaço de papel.

3. Para ver como provar a existência de infinitos números primos, veja a postagem Deserto de números primos e um erro comum no ensino básico; vá direto para a seção 3.

4. Quando o narrador do documentário disse que toda a matéria do universo é feita de 118 elementos químicos… bem, ele pulou uma discussão filosófica difícil e interessante.

Segundo o modelo de universo mais usado por físicos, o universo é infinito em todas as direções. Visto que não temos acesso a todos os lugares do universo, nem nunca teremos (se o modelo for verdadeiro), não podemos afirmar que, incontestavelmente, toda matéria do universo é feita dos 118 elementos químicos da tabela periódica. Essa inferência é razoável, considerando o sucesso das narrativas científicas que temos hoje, mas não pode ser justificada por meio de argumentos cujas premissas sejam irrefutáveis.

 

Cálculo Tornado Fácil 16

É assim que um matemático calcula áreas e volumes difíceis: divide a área em tiras, o volume em fatias, e depois aplica os métodos do cálculo integral.

 

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 83 porque o texto anterior terminou na 82. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, CTF 10, CTF 11, CTF 12, CTF 13, CTF 14, e CTF 15.

 


{83}/ Capítulo 19

Achando áreas via integração

Você pode usar o cálculo integral para averiguar o valor de áreas delimitadas por curvas. Penso que vai compreender esse assunto melhor se for passo a passo.

Na figura 52, imagine que AB é uma curva cuja equação conhece. Em outras palavras, pode achar o valor de y em função do valor de x. Pense agora num pedaço dessa curva, o pedaço que vai do ponto P ao Q.

Desenhe uma linha perpendicular ao eixo X passando pelo ponto P, para obter a linha PM; com o mesmo método, desenhe a linha QN. Daí batize o comprimento OM de x1 e ON de x2, e as ordenadas PM de y1 e QN de y2. Com esse método, marcou a área PQNM que reside entre o pedaço PQ da curva e o eixo das abscissas. Qual é a questão? Ela é: como pode calcular o valor dessa área?

O segredo de resolver esse problema é imaginar que vai dividir a área em várias tiras bem estreitas, cada uma delas com largura igual a dx. Quanto menor o valor que atribui a dx, mais tiras imagina entre x1 e x2.

Penso que achará fácil acreditar num fato: a área completa (ou a área integral) é a soma da área de cada uma das tiras. Seu negócio é, portanto, descobrir uma expressão para a área de qualquer uma das tiras, e daí integrar a tal expressão para adicionar a área de todas as tiras. Pense numa tira qualquer. Sua imaginação vai funcionar mais ou menos assim: cada tira é delimitada por dois lados verticais, com uma base horizontal de comprimento dx, e com um topo ligeiramente curvado ou inclinado. (Veja a figura 1i8 mais abaixo.) Suponha que tome a altura média da tira como sendo o valor de y naquele ponto x em que a tira está; daí, como o comprimento da base é dx, a área será y·dx. Não importa que o valor de y seja ligeiramente diferente do valor exato da altura média: visto que pode atribuir a dx um valor tão pequeno quanto queira, para deixar a tira tão estreita quanto queira, conforme o valor de dx tende a zero, a altura y tende a se igualar à altura média.

Fig. 1i8

Chame o valor da área integral desconhecida de S, para recordar a palavra “superfície”. A área de uma tira será simplesmente um pouquinho da área total, e pode chamá-la, se quiser, de dS. Com isso pode escrever:

área de 1 tira = dS = y·dx

Se adicionar todas as tiras, deve obter:

área total S = ∫dS = ∫y·dx

Em casos assim, para achar o valor de S, deve integrar y·dx, se isso for possível, a partir da expressão que já conhece para calcular o valor de y em função de x.

Por exemplo: suponha que lhe digam que a equação da curva em questão é y = b + ax2. Sem dúvida pode usar a expressão b + ax2 no lugar de y e dizer:

“Sendo assim, tenho de achar o valor de ∫(b + ax2)dx.”

Tudo isso é bem legal, não é mesmo? Contudo, depois de pensar um pouco, deve notar que falta fazer alguma coisa. Pois a área que está tentando encontrar não é a área debaixo de toda a curva de y, mas apenas a área limitada à esquerda por PM e à direita por QN; desse pensamento sentirá a necessidade de conceber algum método para definir a área entre tais “limites” ou “extremidades”.

Essa discussão exige a introdução de uma nova ideia, a de integrar entre limites. Você imagina x variando, e por enquanto não precisa pensar em nenhum valor menor que x1 (que é OM) ou maior que x2 (que é ON). Quando tem de definir uma integral entre dois limites, pode chamar o menor dos dois valores de “limite inferior” e o maior de “limite superior”. Deve chamar qualquer integral delimitada dessa maneira de “integral definida”, para distingui-la da integral que já conhece, a “integral total” ou “integral indefinida”.

Para dar instruções corretas a quem vai realizar a integração, você marca os limites ao colocá-los no topo e na base do símbolo de integração. Examine as duas expressões abaixo:

Ambas significam a mesma coisa. Deve lê-las assim: “Vou achar a integral de y·dx entre o limite inferior x1 e o limite superior x2.”

Ora, mas como alguém pode achar uma integral entre limites, quando recebeu as instruções contidas numa das expressões acima?

Examine de novo a figura 52. Suponha que poderia achar a área do pedaço maior de A a Q, isto é, de x = 0 a x = x2; essa é a área AQNO. Se daí pudesse subtrair a área menor da maior, ficaria com o resto, que é a área PQNM, justamente a que procura. Aqui tem a dica do que tem de fazer: a integral definida entre dois limites é a diferença entre a integral que calculou para o limite superior e a que calculou para o limite inferior.

Vamos lá: mãos à obra! Em primeiro lugar, ache a integral indefinida:

Contudo, como te disseram que y = b + ax2 é a equação da curva na figura 52, realize a substituição:

Essa é a integral indefinida que deve encontrar. Depois de realizar as operações de integração que estudou no capítulo anterior (Cálculo Tornado Fácil 15), obtém:

Até aqui, você sabia que, ao diferenciar essa expressão uma vez, produz a expressão que define y. Quero te dar uma nova informação: com a expressão bx + (a/3)x3 + C, você também calcula a área total debaixo da curva de y entre x = 0 e um valor qualquer que atribua à variável x. [Se quiser saber mais sobre isso, leia sobre o teorema fundamental do cálculo; em todo caso, pode saber tudo sobre ele no capítulo 7 do curso de cálculo com hiper-reais.] Com isso, já sabe que a área total debaixo da curva de y entre 0 e o limite superior x2 tem de ser:

Da mesma forma, a área entre 0 e o limite inferior x1 tem de ser:

Por fim, já pode subtrair a área menor da maior e obter a área total S, a que procurava:

Eis aí a resposta. Experimente com alguns valores numéricos. Suponha, por exemplo, b = 10, a = 0,06, x2 = 8 e x1 = 6. Daí a área S é igual a:

(Lembrete: esse número não significa mais 25,92 unidades, mas 25,92 unidades ao quadrado ou 25,92 unidades de área.)

Vamos colocar no papel toda essa história de integrar entre limites de um jeito mais simbólico:

Nessa equação, Φ2 é o valor integral de y·dx quando x = x2 e Φ1, o valor integral de y·dx quando x = x1.

Sempre que for integrar entre limites, terá de realizar uma operação como essa, a de achar a diferença entre dois valores. Não deixe de notar que, ao executar a subtração, a constante C desaparece, pois CC = 0.

Lembrete. A teoria não mudou. Você usa Φ para denotar a expressão cuja derivada é y, isto é:

É exatamente o que fez ao estudar o capítulo anterior. O que mudou é o jeito de interpretar a integração entre limites. Como deve ler a equação abaixo?

“Estou procurando a área debaixo da curva de y entre x1 e x2 (com x2 > x1). Essa área corresponde ao valor de Φ quando x = x2 menos o valor de Φ quando x = x1, sendo Φ uma expressão tal que sua derivada é y.”

Exemplos.

(1) Para se familiarizar com o processo, pratique com um caso cuja resposta já conhece de antemão. Ache a área de um triângulo retângulo cuja base x mede 12 unidades e a altura y, 4 unidades, como pode ver na figura 53. Já sabe que, num caso simples como esse, a área vale 24 unidades ao quadrado.

Neste caso, está trabalhando com uma curva que é uma reta inclinada, cuja equação é:

Chame a área em questão de S; o valor de S será:

Usando as técnicas que já conhece, ache a integral indefinida de (x/3)dx, coloque a expressão dessa integral entre colchetes, e marque no colchete à direita o limite inferior e o superior, à guisa de lembrete:

Coloquei a constante indefinida C dentro dos colchetes porque ela faz parte da integral indefinida. Contudo, como C desaparece durante a subtração, em geral os matemáticos a ignoram. Você pode também adotar essa prática, se quiser. Daí suas notas devem ficar assim:

Para se convencer de que esse artifício de cálculo de fato funciona, seria bom testá-lo mais completamente nesse exemplo simples. Pegue papel quadriculado e plote o gráfico da função y = x/3, usando o lado de cada quadradinho como unidade. Os valores inteiros, que deve obter com a equação, são:

x

0

3

6

9

12

y

0

1

2

3

4

Com tais valores como referência, seu gráfico deve ficar como o da figura 54.

Calcule a área debaixo da curva de y = x/3, de x = 0 até x = 12, mas contando o número de quadradinhos. Deve contar 18 quadradinhos completos; além deles, vai contar quatro triângulos retângulos de base igual a 3 unidades e altura igual a 1 unidade. A área de cada triângulo é, portanto, equivalente à área de 1 quadradinho e meio. Somando tudo, área equivalente a 24 quadradinhos!

Como exercício suplementar, mostre que o valor da mesma integral entre os limites x = 3 e x = 15 é 36 unidades ao quadrado.

(2) Ache a área, entre os limites x = x1 e x = 0 (com x1 > 0), da curva correspondente à equação a seguir:

De novo, chame a área de S; pode ver uma ilustração dessa área na figura 55. Daí:

Deve notar que todos estão sempre realizando esse processo de subtrair uma parte menor de uma maior. Como pode achar a área de um anel plano (figura 56), sendo que o raio interno vale r1 e o externo vale r2? Das aulas de geometria, já sabe que a área do disco maior vale πr22, enquanto a do disco menor vale πr12; daí subtrai a do disco menor da do maior e obtém a área do anel:

Isso pode ser escrito assim: π(r2 + r1)(r2r1), que significa “circunferência média do anel × largura do anel”.

(3) Eis outro caso — o da curva de decrescimento exponencial, que é importante quando investiga, por exemplo, a meia-vida de substâncias radioativas. Ache a área entre t = 0 e t = a da curva (na figura 57) cuja equação é:

De novo, pode chamar a área de S:

Se quiser, pode verificar que, se a expressão para y está sendo multiplicada por uma constante (neste caso, a constante A), antes de realizar a integração pode tirar a constante do integrando e colocá-la multiplicando a integral; isso equivale a colocá-la em evidência. (Use o exemplo 2 como referência.) Na figura 57, A = 2, k = 1 e a = 3.

(4) Existe outro exemplo interessante na curva adiabática de um gás perfeito; a equação dessa curva é pvn = c, na qual p significa pressão, v, volume, n é o número 1,42 e c é uma constante cujo valor varia de experimento para experimento conforme as condições. (Veja a figura 58.)

Adiabático. Num sistema físico, a palavra designa um processo de transformação no qual não ocorrem trocas térmicas com o exterior.

Quando você acha a área debaixo dessa curva entre o limite inferior v1 e o limite superior v2, na verdade acha um valor proporcional ao trabalho que deve realizar para comprimir o gás rapidamente. (Vai usar essa informação no projeto de um compressor.) Pode chamar a área que está procurando, portanto, de τ. (Muitos usam a letra grega tau para denotar trabalho, isto é, força multiplicada por deslocamento.)

Nesse caso, suas notas devem ficar assim:

Está vendo por que um manual de física contém centenas de fórmulas complicadas? Quase todas elas surgem naturalmente de alguma derivada ou integral.

Um exercício. Use o que aprendeu até aqui para demonstrar a conhecida fórmula pela qual calcula a área A de um círculo cujo raio é r, isto é, a fórmula A = πr2.

Pode começar desenhando um círculo de raio r e, dentro dele, um ânulo de raio x; esse ânulo serve de base para uma seção aneliforme de largura dx, como pode ver na figura 59.

Ânulo e seção aneliforme. “Ânulo” é a região entre dois círculos concêntricos. “Aneliforme” é qualquer coisa que tenha a forma de um ânulo, isto é, a forma de uma arruela.

Você pode considerar toda a superfície encerrada pelo círculo como que feita de tais seções aneliformes muitíssimo estreitas, e pode calcular toda a área A ao calcular a integral de tais seções do centro do círculo a seu perímetro, isto é, ao integrá-las de x = 0 até x = r.

O primeiro passo, portanto, é achar uma expressão para a área de uma única dessas seções aneliformes, cuja área equivale a um infinitésimo da área total, isto é, equivale a dA. Eis um jeito de pensar sobre isso: cada uma dessas tiras aneliformes tem largura dx, e, conforme dx tende a zero, seu comprimento tende à circunferência do círculo cujo raio é x. Em outras palavras, seu comprimento é 2πx (você já viu isso na escola). Daí a área dessa tira aneliforme infinitésima é seu comprimento multiplicada por sua largura (que é um infinitésimo do raio r), isto é:

Com tais informações, já pode integrar todos os infinitésimos de área dA para calcular a área total A:

Há outras maneiras de responder a essa mesma pergunta. Veja, por exemplo, a figura 7OL logo acima. Ela mostra a curva da equação x2 + y2 = r2 no primeiro quadrante, isto é, mostra um quarto de círculo com centro na origem e raio igual a r. Uma tira infinitésima desse um quarto de círculo tem base dx e altura y = √(r2x2), de modo que a área dessa tira é:

Como a figura mostra um quarto de círculo, ao integrar todas as áreas infinitésimas dA, você obterá um quarto da área total do círculo, isto é:

É hora de dar uma resposta adequada a uma pergunta difícil: qual é a integral indefinida de √(r2x2dx? Se consultar uma boa tabela de derivadas e integrais, vai achá-la:

Com isso, já pode arrematar o cálculo:

Há várias outras maneiras de obter uma resposta a essa mesma questão; tente achar sozinho uma ou duas delas.

Outro exercício. Tente achar a ordenada média da parte positiva da curva de y = xx2, que mostro na figura 60. Para achar tal ordenada, tem de achar a área da peça OMN, para daí dividi-la pelo comprimento da base ON. (Seu objetivo é achar a altura do retângulo cuja base é ON e cuja área é igual à área hachurada na figura 60.)

Antes de achar a área, contudo, tem de avaliar o comprimento do segmento de reta ON, para saber quais limites usará na integração. No ponto N, a ordenada vale zero; logo, tem de achar os valores de x tais que xx2 = 0. Se reescrever xx2 como x(1 – x), pode calcular as raízes de cabeça: x = 0 ou x = 1. Assim, as coordenadas do ponto N são (1, 0).

Qual é a área da tirinha infinitesimal? É a base dx multiplicada pela altura y:

Assim, a área que está procurando vale:

Visto que a base do retângulo é 1, sua altura tem de ser 1/6: esse retângulo tem a mesma área da parte hachurada, e portanto a ordenada média da parte positiva dessa curva é y = 1/6.

(Tente se divertir com um exercício simples: use o cálculo diferencial para achar o ponto máximo da curva de y = xx2 [é o ponto no qual dy/dx vale zero]; sua ordenada deve ser, obrigatoriamente, maior que 1/6.)

Para achar a ordenada média de qualquer curva [bem-comportada], do limite inferior x = 0 ao limite superior x = x1, deve usar a expressão a seguir, na qual ŷ significa “a média de y”:

Com esse método, você também consegue achar a área da superfície de um sólido de revolução.

Sólido de revolução. Imagine que vai girar uma região do plano, uma revolução completa, em torno de um eixo que não corta a região. Pode chamar a região de 3 dimensões que obteve de “sólido de revolução”. Se girar uma superfície em torno do eixo X, como na figura abaixo, pode obter um sólido maciço.

Exemplo. A curva de y = x2 – 5 está girando em torno do eixo X. Ache a área da superfície gerada pela curva entre x = 0 e x = 6. (Veja a figura p0I a seguir.)

Para realizar esse exercício, você precisa de um pouco de teoria. Vamos a ela!

Imagine uma função real f cuja fórmula de associação entre elementos x do domínio e elementos y da imagem é y = f(x). Imagine ainda que o valor de f(x) nunca é negativo no intervalo fechado [a, b], e que f é diferenciável para todo x [a, b]. Agora, usando um sistema de coordenadas retangulares, você vai plotar a curva de y = f(x) no intervalo [a, b] e girá-la em torno do eixo X. Com isso, obtém uma superfície de revolução, e a ela pode associar medidas como área e volume. Se quiser calcular a área, use a fórmula a seguir:

Por exemplo, imagine a superfície de revolução que obtém ao girar, em torno do eixo X, a curva da função real g : y = sen(x) no intervalo x [1, 2]. (Veja a figura E1.) Nesse caso, a área será:

Fig. E1

Para calcular o valor de uma integral dessas, recorra ao jeito mais simples: um sistema de computação algébrica. (No portal Wolfram Alpha, basta digitar NIntegrate[2 Pi Sin[x] Sqrt[1 + Cos[x]^2], {x, 1, 2}], que ele devolve o valor aproximado da integral.)

Por que deve calcular a área dessa maneira?

Na figura E2, pode ver um pedacinho infinitésimo da curva relativa a y = f(x). Do teorema de Pitágoras, sabe que (ds)2 = (dy)2 + (dx)2; visto que ds, dy e dx são infinitésimos, são variáveis que tendem a zero (e jamais elas se igualam a zero); e, conforme dx e dy tendem a zero, o comprimento ds tende ao comprimento da curva de f no intervalo [x, x + dx], de modo que pode usar ds como se fosse o comprimento da curva de f nesse intervalo.

Fig. E2

Sendo assim, na imaginação, deve dividir a superfície de revolução em infinitas tiras de comprimento igual a 2πy e largura igual a ds, como pode ver na figura E3; se for assim, um elemento infinitésimo da área A dessa superfície vale:

Fig. E3

A questão agora é o que fazer com o argumento da raiz, visto que gostaria de tirar dx para fora da raiz; assim pode integrar uma expressão em relação a dx. (Isso porque y depende de x.) Para tanto, basta estudar a igualdade a seguir, na qual obtém o termo à direita ao multiplicar o termo à esquerda por (dx)2/(dx)2, isto é, ao multiplicá-lo por 1.

Já pode integrar os dois lados da equação (†).

Como realizou todo o raciocínio para y ≥ 0, e como a integral de curvas negativas é negativa, é bom deixar claro para seu leitor em que condições a fórmula acima funciona. E daí deve escrever a coisa toda como vai encontrá-la em qualquer dicionário de matemática:

Área de uma superfície de revolução. Se y é uma variável real contínua dependente de x por meio da função real f, e se f é diferenciável no intervalo [a, b], e se, para todo x [a, b], daí y ≥ 0, então pode calcular a área A da superfície que obtém ao girar a curva de f em torno do eixo X com a fórmula a seguir:

Agora veja como tratar o problema do exemplo em questão adequadamente:

Na primeira parcela, se quisesse trabalhar com |x2 5|, tudo bem, daria certo. (Aliás, nesse caso, poderia considerar a função como sendo y = |x2 5| e integrá-la de uma vez no intervalo entre x = 0 e x = 6; daria certo também.) A superfície de revolução fica como na figura E4.

Fig. E4

Pode usar o mesmo raciocínio esboçado aqui para calcular o comprimento de um arco da curva de uma função real contínua e derivável no intervalo fechado [a, b]. (Tal comprimento é equivalente ao que obteria se estendesse a linha numa reta, sem esticá-la.) Use mais uma vez a figura E2 como guia, e note que um elemento infinitesimal do comprimento L é igual a ds. Fazendo as contas:

Observação: as demonstrações contidas nesta parte do texto não são propriamente demonstrações; estão mais para explicações, e do tipo que apela para a intuição. Silvanus escreveu todo o Cálculo Tornado Fácil recorrendo a explicações assim, que são mais fáceis de entender, e portanto podem figurar num curso de introdução. O risco é se deixar levar pela intuição em circunstâncias nas quais ela não vale. Para demonstrar apropriadamente a fórmula para a área de uma superfície de revolução (ou para o comprimento de um arco), você teria de montar uma soma de Riemann, que é um limite, e depois calcular o limite; ou então teria de recorrer ao sistema dos números hiper-reais para trabalhar com infinitésimos ϖ bem-comportados.

Essa superfície da figura E4 daria uma bela taça para coquetéis, e seria fácil produzi-la com uma impressora 3D.



{84}/ Áreas em coordenadas polares

Quando você conhece a equação do perímetro de uma área na forma polar (isto é, conhece a equação polar da curva que delimita a área), pode aplicar com facilidade o processo que acabou de estudar. [Curso rapidíssimo de coordenadas polares: você localiza um ponto P no plano cartesiano com a distância r de O até P e com o ângulo θ entre o eixo X e a linha OP, ângulo esse medido no sentido anti-horário.] Em vez de pensar numa tirinha da área, pensa num triângulo infinitésimo AOB, como pode ver na figura 61. O ângulo em O vale dθ. Para calcular a área, o que tem a fazer é somar a área de todos os triângulos infinitésimos que perfazem a figura.

Já sabe que a área de um triângulo é (base · altura)/2. Assim, a área dA do triangulinho infinitésimo é aproximadamente (AB · r)/2, ou mais precisamente:

A partir disso, pode calcular com a fórmula a seguir a área A incluída entre a curva e as linhas OC e OD (que não estão na figura 61; tem de imaginá-los), correspondentes aos ângulos θ1 e θ2:

Exemplos

(1) Ache a área de um setor de 1 radiano num círculo cujo raio mede a centímetros.

A equação polar de um círculo de raio a é r = a para todo θ. Sendo assim, a área A que procura é:

Você pode tirar a2 da integral porque é uma constante; não se esqueça de que a unidade de medida do valor que acabou de achar é centímetros ao quadrado. Além disso, vale a pena uma breve pausa para entender por que a integral indefinida acima vale 1.

A representação visual dessa integral está na figura FOJ. No eixo das abscissas, o valor de θ em radianos; no eixo das ordenadas, o valor constante de 1 radiano para todo valor de θ. A área hachurada vale 1 radiano ao quadrado. Lembrete: na linha dos números reais, 1 radiano tem exatamente o mesmo comprimento que o número real 1; a palavra “radiano” serve apenas para lembrá-lo que o comprimento real com o qual está lidando foi medido ao longo do perímetro de um círculo. De modo geral, você pode intercambiar livremente comprimentos em radianos e em números reais.

Faça o teste: use esse método para determinar o valor da área total de um círculo de raio igual a x. Visto que o limite inferior da integral é 0 e o superior é 2π, vai chegar a πx2.

(2) Ache a área da curva conhecida como caracol de Pascal (ou como limaçon, a palavra francesa para caracol), mas apenas a área relativa ao primeiro quadrante. A equação da curva neste caso é r = a(1 + cosθ).

Suas notas devem ficar mais ou menos assim:

A figura Zty mostra um desses caracóis, feito com a = 3.

A metade superior desta figura lembra um ‘limaçon’, isto é, um caracol



{85}/ Volumes por integração

Até o momento, o que você fez foi atinar com uma expressão para a área de uma tira infinitésima de uma superfície e somar a área de todas essas tiras para calcular a área total. Da mesma forma, pode atinar com uma expressão para uma fatia infinitésima de um sólido, e usar as técnicas de integração para calcular o volume do sólido ao somar o volume de todas as fatias infinitésimas.

Exemplos

(1) Ache o volume de uma esfera de raio r.

Imagine que o centro da esfera coincide com o centro de um sistema cartesiano com dois eixos de referência, X e Y, de modo que alguns pontos da esfera têm coordenadas (x, y). Você corta uma fatia dessa esfera perpendicular ao eixo X, como pode ver na figura 62. O volume da fatia infinitesimal a essa altura do eixo X é dV = ∫πy2dx (πy2 é a área do círculo que serve de base à fatia, pois y é o raio; dx é sua grossura). Como y2 = r2x2:

O volume total da esfera é duas vezes o volume da esfera entre os limites x = 0 e x = r; portanto:

Há vários outros métodos para achar o volume da esfera por integração. Não deixe de notar que a derivada do volume é a própria área da esfera, isto é, a área da superfície da bola.

Lembrete. Alguns professores não gostam da locução “o volume da esfera”; dizem que, visto que a esfera é a superfície da bola, não pode ter volume. Contudo, quando um matemático diz ou escreve “o volume da esfera”, quer dizer “um número real que calculei com o raio da esfera e que indica a aresta do cubo cujo volume seria equivalente ao volume dessa esfera em estudo”. Assim, “o volume da esfera” é uma locução perfeitamente válida.

(2) Ache o volume de um sólido gerado pela revolução da curva y2 = 6x em torno do eixo X, mas entre x = 0 e x = 4. (Veja a figura 99j.)

O volume de uma fatia infinitésima do sólido é πy2dx, sendo que pode trocar y2 por 6x; assim, o volume V que procura é:

Lembrete. São 150,8 unidades de volume.



{86}/ Sobre médias quadráticas

Em certos ramos da física, especialmente no estudo de circuitos de corrente alternada, precisará às vezes calcular a média quadrática de uma quantidade variável. Por “média quadrática” quero dizer a raiz quadrada da média dos quadrados de todos os valores no intervalo em questão. Outros nomes comuns para a média quadrática são: valor virtual, valor RMS (da locução inglesa root-mean-square value), valor eficaz ou, em francês, valeur efficace. Se y é a variável dependente, e se você deve calcular a média quadrática no intervalo entre x = 0 e x = l, daí pode expressar a média quadrática assim:

Exemplos

(1) Ache a média quadrática da função y = ax. (Veja a figura 63 mais abaixo.)

Neste caso, a integral é:

Depois de dividir por l e de extrair a raiz quadrada, deve obter:

Aqui, a média aritmética é ½al, e a razão entre a média quadrática e a aritmética é 2/√3 1,155. Na física, essa razão é conhecida como razão FF (do inglês form-factor); ela é útil porque te permite passar da média aritmética à quadrática e vice-versa.



{87}/ Exercícios XVIII

(1) Ache a área da curva y = x2 + x – 5 entre x = 0 e x = 6, e as ordenadas médias entre tais limites.

(2) Ache a área da parábola y = 2ax entre x = 0 e x = a. Mostre que é dois terços do retângulo cuja diagonal vai da origem ao ponto (a, ya).

(3) Ache a área da porção positiva da curva senoidal (isto é, ache a área de senx entre x = 0 e x = π radianos); ache também o valor da ordenada média.

(4) Ache a área da porção positiva da curva y = sen2x, e ache a ordenada média.

(5) Ache a área entre os dois braços da curva y = x2 ± x5/2 de x = 0 a x = 1; ache também a área da parte positiva do braço inferior dessa curva.

(6) Ache o volume de um cone cuja base tem raio r e cuja altura é h.

(7) Ache a área da curva y = x3 – lnx entre x = 0 e x = 1.

(8) Ache o volume gerado pela curva y = √(1 + x2), entre x = 0 e x = 4, conforme ela gira em torno do eixo X.

(9) Ache o volume gerado por uma curva senoidal conforme ela gira em torno do eixo X. Ache também a área da superfície. (Considere só um ciclo, isto é, de x = 0 a x = 2π.)

(10) Ache a área do arco da curva de xy = a entre x = 1 e x = a. Ache a ordenada média entre esses limites.

(11) Mostre que a média quadrática da função y = senx, entre os limites 0 e π radianos, é (√2)/2. Ache também a média aritmética da mesma função entre esses mesmos limites; daí mostre que a razão FF é 1,1.

(12) Ache a média aritmética e a quadrática da função x2 + 3x + 2, mas entre x = 0 e x = 3.

(13) Ache a média aritmética e a média quadrática da função y = A1senx + A1sen3x.

(14) Uma certa curva tem equação y = 3,42e0,21x (ou, o que é mais fácil de ler, y = 3,42 · exp[0,21x]). Ache a área entre a curva e o eixo X entre x = 2 e x = 8. Ache também a altura da ordenada média entre tais pontos.

(15) Mostre que o raio r de um círculo cuja área é o dobro da área de um diagrama polar é igual à média quadrática de todos os valores de r para aquele diagrama polar.

(16) Ache o volume gerado pela curva y = ±(x/6)√{x(10 – x)} conforme ela gira em torno do eixo X.

{Fim}