A aritmética do espaço

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{0}/ Introdução a um assunto difícil de ensinar

Este é o primeiro texto deste blogue sobre álgebra linear. Entre na internet e leia os comentários sobre livros de álgebra linear: quase todo estudante reclama, e muito, do primeiro livro que comprou na vida. Um reclama de exercícios fáceis demais, e outro de exercícios difíceis demais; um reclama de poucas aplicações práticas da teoria, e outro de aplicações práticas em excesso; um reclama do primeiro capítulo sobre vetores, que é excessivamente detalhado, e outro do primeiro capítulo sobre vetores, que é excessivamente breve. E assim vai. Parece que, não importa como o autor organize o texto, não consegue agradar gregos, troianos, e paulistanos.

Tenho uma hipótese sobre isso: o homem ainda não aprendeu qual é a melhor forma de ensinar álgebra linear pela primeira vez, de modo que todo livro e todo curso dá essa sensação de que “está faltando alguma coisa”, ou de que foi mal planejado e mal executado. Se o autor começa com com o tópico A, desagrada, pois, para entender A, o leitor precisaria entender B e C. Se começa com B, desagrada, pois, para entender B, o leitor precisaria entender A e C. E, se começa com C, desagrada, pois, para entender C, o leitor precisaria entender A e B.

É por isso que escolhi, à guisa de guia deste primeiro texto, o capítulo 1 do livrinho A Path to Modern Mathematics, que o matemático britânico W. W. Sawyer publicou pela primeira vez em 1966, e que não está em nenhuma lista de textos de introdução à álgebra linear. É que o título do livro e seu propósito enganam. Sawyer o escreveu para mostrar por que os professores da época falavam tanto de “matemática moderna”, e por que tantos outros professores, usando essa tal de “matemática moderna” como desculpa, tomavam decisões esquisitíssimas. Mas o que Sawyer no fim das contas escreveu foi um curso de introdução às ideias mais simples da álgebra linear — o melhor que já vi.

O texto que você vai ler a seguir é, portanto, uma adaptação bastante livre do capítulo 1, no qual Sawyer explica uma aritmética especial para pontos num espaço afim de dimensão n. Se não entendeu a última parte dessa última frase, não se preocupe: entenderá. O mais importante é ler o texto com a disposição de espírito adequada: ele é uma introdução às primeiras ideias da álgebra linear, e portanto serve ao leitor que ainda não as conhece; mas ele é também um texto sobre como explicar a alguém as primeiras ideias da álgebra linear. Em resumo, é um texto bacana tanto para quem sabe pouco quanto para quem sabe muito.


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{1}/ As adições no espaço

Mesmo no ensino médio, há alunos que levam meses para entender por que, começando com a ideia de plano cartesiano XOY, podem ver uma linha reta no plano e a equação y = mx + c como se fossem a mesma coisa. Alguns nunca chegam a entender essa ideia.

Apesar disso, pergunte a qualquer criança:

“Olha, se você já tem três gatos e um cão, e daí alguém lhe dá de presente mais um gato e mais dois cães, com quantos gatos e cães você fica?”

Chame a quantidade inicial de gatos e cães de A. Chame o presente com dois cães e um gato de B. Chame a soma de A com B de C, de modo que C = A + B. Organize as informações assim: a quantidade g de gatos fica em cima, e a quantidade c de cães fica embaixo, como na equação a seguir.

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Daí você pode representar o pensamento da criança como na equação deste formulário 1.

expr 2

Formulário 1

É fácil ver que a criança vai adicionar três gatos a um gato para ficar com quatro gatos; e que vai adicionar um cão a dois cães para ficar com três cães. Você pode ver facilmente que, para resolver o problema com a notação do formulário 1, tudo o que tem a fazer é adicionar os dois números de cima para obter o número de gatos e os dois números de baixo para obter o de cães. É fácil ver que a quantidade final C de gatos e cães é quatro gatos, três cães. Tais ideias, e tal notação, parecem simples demais para levar alguém a algum lugar; porém, começando com tais ideias e tal notação, em breve você terá condições de olhar a geometria de um jeito novo, e até mesmo de finalmente entender os porquês da equação da reta.

Continuando: ilustre o problema dos gatos e dos cães com papel quadriculado. No eixo horizontal (o eixo das abscissas), marque a quantidade de gatos; no eixo vertical (o das ordenadas), marque a quantidade de cães. Na figura 1, veja o que significa C = A + B. O ponto A, cujas coordenadas são (3, 1), representa 3 gatos e 1 cão. O ponto B, cujas coordenadas são (1, 2), representa 1 gato e 2 cães. O ponto C = (4, 3) representa 4 gatos e 3 cães, que é a soma A + B. Por fim, o ponto O representa 0 gato, 0 cão. Note o que é impossível não notar: os pontos O, A, B, C são os vértices do paralelogramo OACB.

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Figura 1

Será que isso sempre acontece?

Faça um teste: escolha a esmo muitos valores inteiros não negativos para A e B; por exemplo, faça A = (0, 5) e B = (3, 8); ou faça A = (15, 2) e B = (7, 7); ou faça A = (1, 3) e B = (2, 6). E daí faça mais uma vez C = A + B. Ao plotar tais pontos em papel quadriculado, verá três coisas: os pontos O, A, B, C sempre formam um paralelogramo; às vezes, contudo, quando O, A, B estão em linha (ou fazem parte da mesma reta), daí O, A, B, C formam uma reta; por último, quando O = A = B, isto é, quando vai somar nenhum gato e nenhum cão a nenhum gato e nenhum cão, os pontos O, A, B, C se confundem com o ponto O. Nesses dois últimos casos, se quiser, pode dizer que formam um “paralelogramo degenerado numa reta” ou um “paralelogramo degenerado num ponto”. Se quiser assim, daí OACB é sempre um paralelogramo.

Antes de ir adiante, um aviso: notou que, com a ajuda de papel quadriculado, pode ver um ponto no plano como se fosse uma coleção de animais distintos? Por enquanto, seus pontos P = (g, c) representam uma coleção com certo número g de gatos mais certo número c de cães. Notou ainda que, caso não tivesse decidido se vai tratar de gatos e cães, ou de elefantes e leões, ou de pintassilgos e cucos, ou de vermelhos e azuis, ou de homens e mulheres, poderia, provisoriamente, ver seus pontos P = (x, y) como que a representar certa quantidade x de alguma coisa mais certa quantidade y de outra coisa distinta?

Se algum dia você estudou um pouco de física, já viu a conexão entre adições e paralelogramos, pois usou a ideia de paralelogramo para adicionar duas forças ou duas velocidades. E, provavelmente, chamou os pontos de vetores.


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{2}/ As multiplicações no espaço

Que forma uma multiplicação de gatos e cães assumiria em papel quadriculado? Como pode atribuir significado a uma pergunta como esta: “Você tem dois gatos e um cão: e se tivesse três vezes isso?” Chame de P o conjunto de dois gatos e um cão, assim: P = (2, 1), expressão na qual mais uma vez você marca o número de gatos primeiro, o número de cães depois. Já sabe que 3 ✕ 2 gatos = 6 gatos, e que 3 ✕ 1 cão = 3 cães. Se chama de R o conjunto de gatos e cães que obtém depois da multiplicação, parece que pode contar essa história com R = 3·P = 3·(2, 1) = (6, 3). Veja como contar a história com a notação vertical:

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Isso parece promissor, pois é consistente com as regras da aritmética: se quiser, pode ver 3P como P + P + P, e vice-versa. Caso marque os pontos O, P, R em papel quadriculado, obterá algo como a figura 2, na qual o ponto R está em linha com os pontos O e P, mas está três vezes mais longe do ponto O que o ponto P.

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Figura 2

Já sabe que, se estiver afim, pode ver a multiplicação por inteiros não negativos como uma adição de parcelas repetidas, e vice-versa. Faça o seguinte experimento mental: comece com O = (0, 0), isto é, com nenhum gato e nenhum cão; e daí, para obter os pontos P, Q, R, S, a cada vez adicione dois gatos e um cão à coleção de gatos e cães que já tem. Seus cálculos devem ficar parecidos com os que vêm a seguir.

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Plote os pontos O, P, Q, R, S em papel quadriculado para obter a figura 3. Veja como pode conectar tais pontos um ao outro com algo que lembra uma escada: em termos aritméticos, de um ponto para o ponto imediatamente seguinte, você adiciona dois gatos e um cão; mas, em termos geométricos, você parte de um ponto e, para chegar ao ponto seguinte, anda duas unidades à direita e uma unidade para cima. Em outras palavras, vai a passos constantes de 2 unidades à direita, 1 unidade para cima; 2 unidades à direita, 1 unidade para cima; etc. Não deixe de notar que pode conectar os pontos O, P, Q, R, S com uma reta verde.

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Figura 3

Existe um jeito bacana de pôr essa ideia (a de andar o mesmo passo equivalente a duas unidades à direita, uma unidade para cima) para funcionar: é quando gostaria de lidar com movimentos rígidos no plano. Veja a figura 4. A linha quebrada DEFG representa, por exemplo, uma pecinha de plástico sobre o papel quadriculado. Mas se mover o ponto D ao passo P (duas unidades à direita, uma unidade acima), e o ponto E ao passo P, e o ponto F ao passo P, e o ponto G ao passo P, ficará com D’E’F’G’, e isso é o mesmo que mover a peça de plástico inteira duas unidades à direita, uma unidade acima. As setas servem para sugerir esse movimento, o de partir da posição DEFG e chegar à posição D’E’F’G’.

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Figura 4

Chame uma mudança desse tipo de “translação”. Ao realizar uma translação, é como se mudasse de lugar todos os pontos que compõem uma figura pela mesma distância, mesma direção, e mesmo sentido. (Lembrete: num plano coordenado, os pontos não saem do lugar. Essa locução, “mudar de lugar”, não passa de uma analogia. Talvez seja melhor usar a imaginação assim: numa translação, é como se correlacionasse cada ponto de uma figura, sem exceção, a um e apenas um ponto de uma figura idêntica, só que sem fazer nenhuma rotação ou reflexão.) No exemplo da figura 4, você consegue a translação ao adicionar P (2 gatos mais 1 cão) a cada ponto da linha quebrada DEFG, isto é: D’ = D + P, E’ = E + P, F’ = F + P, G’ = G + P.

Com a figura 3, ilustrou o fato de que pode começar com nada e depois, repetidamente, adicionar P a esse nada. Mas, se quisesse, poderia começar com alguma coisa e adicionar P repetidamente a essa coisa. Faça uns testes em papel quadriculado; comece, por exemplo, com K = (3, 5), ou com K = (1, 2). Ao adicionar P repetidas vezes a K, deve desenhar um gráfico como o da figura 5.

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Figura 5

Percebeu que está montando uma espécie de aritmética para descrever certas mudanças de posição num plano? Será que essa aritmética é útil? Em que classe de problemas poderia usá-la? Examine mais uma vez a figura 5. Veja como os pontos marcados com K, K + P, K + 2P, K + 3P, e K + 4P lembram os passos de um homem que anda direto e reto numa certa direção e num certo sentido, e anda a passos regulares. Pois você marcou pontos em linha reta, igualmente espaçados um do outro. Depois dessa constatação, talvez queira explorar a ideia de que essa nova aritmética serve para pensar em segmentos de reta, os quais vai dividir em partes iguais.

* * *

Até aqui, tem usado P para representar 2 gatos, 1 cão. É hora de abandonar esse significado e pensar em P como qualquer coleção de gatos e cães, inclusive, se estiver a seu alcance, meio gato e um terço de cão; em outras palavras, pense em P como qualquer coleção de gatos e cães que lhe seja útil para resolver um problema. Por enquanto, os problemas que verá a seguir são todos do mesmo tipo: você conhece todas as informações sobre dois pontos, K e L; que passo P deveria imaginar para partir de K e chegar a L em certo número n de passos? (Por enquanto, para simplificar, imagine n como um inteiro não negativo.)

Ora, qual é a fórmula para o ponto médio M de KL? Esse é o problema mais simples desse tipo. Você sabe as coordenadas de K e de L, isto é, sabe quantos gatos e cães K e L representam. E daí gostaria de saber as coordenadas de M, também em termos de gatos e cães.

Depois de desenhar esse problema (figura 6), verá que deve partir de K e chegar a L em dois passos P. (Na figura, os pontos dentro do círculo vermelho são os que você conhece.) Isso significa que deve descobrir que valores atribuir a P para que K + 0P, K + P, e K + 2P coincidam com K, M, e L. Como pode achar as informações sobre P? Não adianta ficar olhando para K, pois com K = K + 0P está simplesmente dizendo que K = K. Você ainda não sabe nada sobre o ponto M, e portanto M = K + P não te revela nada sobre P. [Ao contrário, quando souber o valor de P, poderá usar essa equação para descobrir o valor de M. Lembrete: “o valor de P” é o significante do significado real, que é: “Todos os valores do par ordenado (x1, x2) que escolheu representar com a letra maiúscula P.”] Contudo, o terceiro ponto contém bastante informação: L = K + 2P, e você conhece tanto K quanto L. Para resolver a equação em função de K e de L, e desse modo achar o valor de P, basta recorrer à álgebra básica.

expr 5

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Figura 6

Tem como visualizar isso um pouco melhor. Suponha que K represente x1 gatos e y1 cães, e que L represente x2 gatos e y2 cães. Veja como pode agora representar P com a notação vertical.

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Visto que já sabe que M = K + P, pode agora achar o valor de M, isto é, as coordenadas de M.

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Veja bem o que descobriu: o ponto médio M é a média aritmética dos pontos K e L, e isso significa dizer que as coordenadas de M são a média aritmética das coordenadas de K e L. É uma lição que vai usar por toda a vida.

Um exemplo concreto: qual é o ponto médio de (2, 1) e (8, 3)? Ao fazer as contas, descobrirá que M = ½(2, 1) + ½(8, 3) = (1, ½) + (4, 1½) = (5, 2). Use papel quadriculado para marcar tais pontos e verá que, de fato, os pontos (2, 1), (5, 2), e (8, 3) formam uma reta, com o ponto (5, 2) bem no meio dos outros dois.

Veja que tomou a liberdade de pensar em ½ cão, e mais tarde tomará a liberdade de pensar em –3 gatos. É óbvio que não está levando essa analogia de gatos e cães a ferro e fogo. Ela serve apenas para, de um jeito infantil, lembrá-lo de que essas ideias são simples, e de que, se quisesse, poderia ensiná-las a crianças; além disso, a analogia provê um contexto natural para a adição de coordenadas e a multiplicação de coordenadas por um número (ou, em termos mais técnicos, para a adição de vetores de coluna e a multiplicação de vetores de coluna por um número). Por último, a analogia te permite usar rótulos simples e convenientes, como “a adição de gatos e cães”, “a multiplicação de gatos e cães por um número”.


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{3}/ Um teorema sobre paralelogramos

Com o que viu até aqui, tem condições de provar um teorema famoso da geometria plana: as diagonais de um paralelogramo bissectam uma à outra (ou cada uma delas divide a outra ao meio). Para simplificar o argumento, suponha que um dos vértices do paralelogramo é a origem O. Se os outros vértices são A, B, C, da forma como estão dispostos na figura 7a, pode de imediato dizer que C = A + B, pois, como já viu, a adição de gatos e cães sempre corresponde a um paralelogramo. O que deve mostrar é que o ponto médio de AB coincide com o ponto médio de OC, e para tanto vai usar uma versão da fórmula M = ½K + ½L.

Bem, o ponto médio M de AB é M = ½A + ½B. O ponto médio M’ de OC é M’ = ½O + ½C; porém, O = (0, 0), pois o ponto O representa nenhum gato, nenhum cão, e com isso pode dizer que M’ = ½C. Visto que C = A + B, você pode multiplicar a equação inteira por ½: ½C = ½A + ½B. Basta agora realizar as substituições para ver que M’ = M, e o teorema está provado. (Veja a figura 7b.)

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Figura 7

Se quiser provar o resultado mais geral, no qual não necessariamente um dos pontos coincide com a origem, deve estudar o paralelogramo cujos vértices são os pontos K, K + A, K + B, e K + A + B. Nesse caso, K cumpre o papel que antes você atribuiu a P, isto é, cumpre o papel de um passo fixo (tantos gatos à direita, tantos cães acima): vai mover todos os pontos do paralelogramo OABC por um passo fixo igual a K, de modo que obterá o paralelogramo transladado O’A’B’C’, em que O’ = K, A’ = A + K, B’ = B + K, e C’ = C + K = A + B + K. Depois de fazer as contas, deve descobrir que as coordenadas do ponto no qual as diagonais bissectam uma à outra são K + ½A + ½B, como deveria ser numa translação em que moveu todos os pontos por um passo equivalente a K.


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{4}/ Como dividir um segmento de reta em n partes iguais

Assim como dividiu um segmento de reta em duas partes iguais, pode facilmente adaptar o argumento para dividi-lo quantas partes iguais bem entender. Suponha, por exemplo, que gostaria de saber as coordenadas de um ponto S a três quartos da distância entre K e L.

Nesse caso, pode imaginar um ponto pairando sobre K, e daí deve fazê-lo dar quatro passos P iguais para partir de K e chegar a L: a rota será K, K + P, K + 2P, K + 3P = S, K + 4P = L; é o que pode ver na figura 8. Ora, se L = K + 4P, daí P = ¼(LK). Ao substituir essa expressão para P em S = K + 3P, eis o que vai obter:

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Figura 8

Examine o resultado. Veja que 3/4 apareceu como o coeficiente de L, o ponto de destino; quanto ao coeficiente de K, o ponto de origem, é 1 – ¾ = ¼. Veja ainda que ¼ + ¾ = 1.


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{5}/ Lista de problemas

§5-1. Tente adivinhar a fórmula para o ponto a um terço do caminho entre K e L, e depois para o ponto a dois terços do caminho. Depois reaproveite o argumento da seção 4 e veja se seu chute foi correto.

§5-2. Ache a fórmula geral para o ponto a m/n do caminho entre K e L. (Por enquanto, pense em m como inteiro não negativo, e em n como inteiro positivo; não perde nada se pensar em m, n como primos entre si.)

Sugestão de resposta na seção 14, mais abaixo.


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{6}/ Medianas e intersecções de medianas

Examine a figura 9 e pense na questão a seguir: você tem três pontos A, B, C que formam um triângulo ABC. D é o ponto médio entre C e B. Ache uma fórmula para G, que está a dois terços do caminho entre A e D.

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Figura 9

À luz dos problemas que resolveu na seção 5, resolver esse problema é só questão de ter paciência com as contas. Se o ponto G está a dois terços do caminho entre A e D, daí G = ⅓A + ⅔D. Mas D, sendo o ponto médio entre C e B, tem de ser o ponto D = ½C + ½B. Ao substituir a equação para D na equação para G, deve chegar a G = ⅓A + ⅔(½C + ½B) = ⅓A + ⅓B + ⅓C.

Embora tenha começado a investigação com o ponto A, pode ver que a resposta tem uma simetria: o ponto B e o C entram nas coordenadas de G da mesma forma que A. Examine agora a figura 10: se tivesse começado com o ponto B e quisesse saber as coordenadas do ponto a dois terços do caminho até o ponto E, ou se tivesse começado com o ponto C e mais uma vez quisesse saber as coordenadas do ponto a dois terços do caminho até o ponto F, teria em ambos os casos descoberto as coordenadas de G. De fato, o ponto G é aquele no qual as linhas medianas AD, BE, e CF se interceptam. (Linha mediana é aquela com a qual você divide um ângulo ao meio.) Na mecânica, G é um ponto importante, pois é o centro de gravidade do triângulo ABC, ou é o centro de gravidade de três corpos idênticos (massa idêntica), um dos quais vai colocar sobre A, outro sobre B, e outro sobre C.

(Veja: o centro de gravidade de um segmento de reta é a média aritmética dos dois pontos nas extremidades, e está vendo “ponto” como “coleção de coordenadas”. O centro de gravidade de um triângulo, ou a centroide de um triângulo, é a média aritmética dos três pontos nas extremidades, isto é, nos vértices. Isso não é mera coincidência, como verá noutra matéria desta série.)

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Figura 10


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{7}/ Entra um robô alienígena inteligente

O argumento que acabou de construir na seção 6 é muito mais simples do que qualquer argumento geométrico, à moda de Euclides n’Os Elementos. Todos os argumentos com essa aritmética do espaço tendem a ser simples, pois tudo o que deve fazer é somar pontos ou multiplicar pontos por números reais. (Ou, para dizer isso de um jeito um tantinho mais técnico, tudo o que tem a fazer é somar vetores de coluna, ou multiplicar vetores de coluna por escalares reais.) Por mais que o argumento se complique, você nunca vai trabalhar com coisas mais complicadas que expressões de grau 1, como aquelas com as quais trabalhava no ensino fundamental, do tipo “adicione 2x + 3yz a 4x +5y + 8z”, ou “multiplique 5x + 4y – 3z por 7”.

É importante que tenha condições de interpretar tais afirmações algébricas em termos geométricos. Sua ferramenta básica é o fato que ilustrou na figura 5: os pontos K, K + P, K + 2P, K + 3P, …, fazem parte da mesma linha reta e estão igualmente espaçados um do outro. Se você conhece as especificações de três pontos U, V, W, na forma de gatos e cães, pode determinar se estão ou não estão na mesma linha reta, porque, se estão, basta calcular a razão entre as distâncias UV e VW e daí usá-la para ir de um ponto ao outro. Pense assim: caso U, V, W estejam em linha reta, daí U + P1 = V, isto é, você precisa de um passo P1 para sair de U e chegar a V; da mesma forma, V + P2 = W. Se W está em linha reta com U e com V, daí existe um número real k tal que P2 = kP1, isto é, você pode “esticar” ou “comprimir” o passo P1 por um fator k para obter o passo P2 e partir de V para chegar a W. Se W não está em linha com U e V, isto é, se U, V, W formam um triângulo, tal número real k não existe; pois, com um número real não negativo k, ou você estica a distância UV ou você a comprime, mas não pode fazer o segmento de reta UV se dobrar e mudar de direção.

Suponha agora que uma civilização alienígena mandou um robô inteligente à Terra, e que você está conversando com ele. O robô é inteligente, já conhece a aritmética do ensino básico, mas ainda não tem noção de geometria. Seu papel é explicar ao robô o básico sobre geometria no plano. Pode definir um ponto do plano como sendo “x gatos, y cães”, ou (x, y) para resumir. E daí você vai transformar os resultados que obteve até aqui em definições. Vai definir o ponto médio entre A e B como sendo o ponto ½A + ½B; vai definir o ponto a três quartos do caminho entre A e B como sendo o ponto ¼A + ¾B; vai definir o ponto a m/n do caminho entre A e B como sendo o ponto (1 – m/n)A + (m/n)B. (Por enquanto, com m/n sendo um número racional não negativo.) No fim das contas, mais genericamente, vai definir o ponto que divide o segmento de reta AB à razão de t para (1 – t), com 0 ≤ t ≤ 1 e t real, como sendo o ponto (1 – t)A + tB.

(Se não entendeu bem esse último ponto, veja a seção 14.)

Com tais definições, o robô inteligente tem condições de explorar o plano por meio de simples aritmética. Por exemplo, você pergunta o que ele pode descobrir sobre os pontos A, B, C, D, E, F, G, H, e I, sendo que A = (1, 1), B = (2, 1), C = (3, 1), D = (1, 2), E = (2, 2), F = (3, 2), G = (1, 3), H = (2, 3), I = (3, 3). Depois de fazer contas, o robô dirá que B é o ponto médio de AC, D é o ponto médio de AG, H é o ponto médio de GI, F é o ponto médio de CI, enquanto E é o ponto médio de AI, DF, GC, e HB. E você pode verificar a validade de tais afirmações ao plotar os pontos em papel quadriculado. Para o robô, as afirmações não tem nenhuma materialidade: são resultados aritméticos, formais, pois condizem com as definições. O robô nunca viu papel quadriculado, nem pode imaginar o que seja um sistema de eixos coordenados; aliás, não sabe o que é ponto médio. Mas, de posse das definições, e sabendo realizar operações aritméticas com números reais, o robô produz afirmações que fazem sentido para quem imagina figuras geométricas.

Será que, com esse procedimento, o robô constrói toda a geometria euclidiana? Qualquer um que já tenha sofrido para produzir provas de afirmações da geometria de coordenadas sabe que não. A álgebra deste texto é simples demais para tanta coisa. Na verdade, note uma sutileza importante: com a ideia de uma aritmética de gatos e cães, você produziu o que produziu até agora sem mencionar ideias como o comprimento de uma linha, ou quando e por que duas linhas coordenadas devem ser perpendiculares entre si. Até aqui, em todos os desenhos, tem examinado figuras nas quais o eixo dos gatos é perpendicular ao eixo dos cães, e o comprimento da unidade no eixo dos gatos é o mesmo no eixo dos cães. A razão é simples: se está desenhando as coisas com papel quadriculado, esse é o jeito mais simples de desenhá-las. Mas, nas ideias matemáticas em si, não existe nenhuma razão para que os dois eixos sejam perpendiculares, ou para que o comprimento das duas unidades seja o mesmo. Na figura 11, pode ver três maneiras distintas pelas quais o robô inteligente poderia representar os pontos A, B, C, D, E, F, G, H, e I sobre os quais fez contas. Em 11-1, os eixos são perpendiculares e o comprimento da unidade é o mesmo; em 11-2 e 11-3, não. Nos três desenhos, contudo, as afirmações do robô permanecem válidas; por exemplo, nos três E é o ponto médio de GC. (Use a imaginação, e veja que E continua sendo o ponto médio de GC mesmo que gire o eixo dos cães até que se sobreponha ao dos gatos, ou seja, E continua sendo o ponto médio de GC mesmo que o ângulo entre o eixo dos cães e o dos gatos seja zero.)


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{8}/ Ângulos que não têm medida

Um professor menciona duas retas num mesmo plano, e você, por inocência, pergunta a medida do ângulo entre elas. O professor responde: “Para esse ângulo, não existe medida.” Pode lidar com essa dificuldade de duas maneiras. Chame uma delas de “maneira axiomática”; a outra, de “programa de Erlanger”.

Com a maneira axiomática de lidar com problemas matemáticos, você parte de certas afirmações que pressupõe verdadeiras e explora todas as suas consequências lógicas. Pode dizer que as pressuposições, mais os teoremas que provou a partir delas, perfazem uma área da matemática, ou que perfazem uma teoria matemática. (Teoria = axiomas mais os teoremas decorrentes dos axiomas. Só matemáticos usam a palavra “teoria” dessa maneira.) O robô inteligente recebeu certas informações e, a partir delas, pôde produzir várias afirmações verdadeiras, como a de que H é o ponto médio de GI. Mas nenhuma das afirmações dá ao robô condições de distinguir entre si as três figuras 11-1, 11-2, e 11-3. Em todas elas, as equações algébricas sobre os pontos A, B, C, D, E, F, G, H, e I valem da mesma forma. Em todas elas, A + B = F, isto é, a partir de B, com um passo equivalente a A (uma unidade à direita, uma para cima), você chega a F; além disso, E = 2A, B + D = I. Qualquer equação do tipo que está considerando neste texto, se vale para 11-1, vale também para 11-2, 11-3, e para qualquer gráfico desse tipo, não importa o ângulo entre o eixo dos gatos e o dos cães. Apesar disso, pode ver como os ângulos nas três figuras são diferentes, e pode ver também como a razão entre AB e AD, por exemplo, é diferente em cada uma delas. Em resumo: numa teoria na qual o robô só tem de se preocupar com as consequências das definições que recebeu, é como se ângulos e razões entre comprimentos não existissem.

Antes de partir para o programa de Erlanger, vale a pena pensar num ponto. Sim, o robô pode comparar comprimentos quando tais comprimentos estão em linhas retas paralelas. Na figura 11, pode ver a validade das equações H = D + A e I = A + 2A. Isso significa, para usar a imagem que já vem usando faz tempo, que pode ir de D a H por meio de um único passo A; contudo, para ir de A a I, deve dar dois passos A. Com isso, o robô tem o material necessário para provar um dos teoremas de Euclides que se aplicam a essa situação: a linha DH une o ponto médio do segmento AG com o ponto médio do segmento GI, sendo que o segmento AG e o segmento GI fazem parte do triângulo AGI; portanto, a linha reta DH tem de ser paralela à base AI do triângulo, e seu comprimento tem de ser metade do comprimento de AI. O robô, contudo, não tem condições de atribuir nenhum significado a comparações de comprimentos em linhas cuja direção é diferente; por exemplo, não tem como saber se AD é metade do comprimento de AC. De fato, essa última afirmação é verdadeira na figura 11-1, mas falsa em 11-2 e 11-3.


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{9}/ O programa de Erlangen

Com o método axiomático, você aborda certo assunto matemático a partir de definições perfeitas, mas excessivamente formais. O método pressupõe que você pegará uma lista de afirmações, que deve considerar como válidas, e que tirará conclusões lógicas dessas afirmações. Contudo, trabalhando assim, nunca fica bem claro como deve ir atrás de conclusões lógicas, pois talvez, lendo as afirmações iniciais, sua imaginação fique completamente vazia. É quando sente vontade de ver, de alguma maneira, o que está fazendo. Porém, nesse ponto, topa com uma dificuldade: se desenha alguma coisa, talvez o desenho mostre informação demais; sem que você perceba, talvez ele te obrigue a presumir um conjunto maior que afirmações iniciais válidas do que o conjunto de afirmações com o qual começou a trabalhar, e que não instigou sua imaginação.

O nome oficial do assunto sobre o qual o robô inteligente refletiu é “geometria afim”. Nessa geometria, como viu, não deve levar ângulos retos em consideração, e só pode comparar comprimentos em circunstâncias especiais. O problema é que o mundo à sua volta lembra bastante a geometria euclidiana, e você vê ângulos retos em todo lugar, e além disso compara comprimentos minuto sim, minuto não. Se gostaria de usar desenhos para visualizar melhor o funcionamento da geometria afim, tem de achar um jeito de destruir parte das informações que lhe chegam à mente por meio dos sentidos.

Já viu um jeito de fazer isso quando explorou as três partes da figura 11. Imagine que desenhou uma figura geométrica em papel quadriculado. Imagine agora que alguém pegou seu desenho e que, de algum modo, teve o poder de distorcê-lo; com a distorção, quadrados se transformaram em paralelogramos, como em 11-2 e 11-3. Bem, pode dizer que, se está interessado na geometria afim, está interessado apenas nas conclusões que sobrevivem a tais distorções; e daí, se quisesse, poderia provar o seguinte: pode expressar, com a aritmética que acabou de ensinar ao robô inteligente, qualquer propriedade que sobreviva às distorções aceitáveis na geometria afim.

E quais são, mais especificamente, essas distorções? Você pode (a) mudar o tamanho da unidade no eixo dos gatos; pode (b) mudar o tamanho da unidade no eixo dos cães; e pode (c) alterar a direção dos eixos. Talvez queira descrever tais distorções assim: na geometria afim, pode aceitar uma distorção se ela transforma os pontos de uma reta em pontos de outra reta, e se transforma retas paralelas em retas paralelas. (Com a linguagem típica das funções, pode dizer que aceita uma distorção se ela manda todo e cada ponto de uma reta, sem exceção, para um e só um ponto de outra reta; e se manda duas retas paralelas para outras duas retas paralelas.) De fato, pode construir toda a geometria afim com apenas duas ideias, a de linha reta e a de retas paralelas.

Do ponto de vista axiomático, o conjunto dos teoremas que pode provar na geometria afim é subconjunto do conjunto dos teoremas que pode provar na geometria euclidiana. Em outras palavras, todo teorema que puder provar na geometria afim está automaticamente provado para a geometria euclidiana. A recíproca não é verdadeira: nem todo teorema da geometria euclidiana é válido na geometria afim.

A questão é que a geometria afim é muitíssimo mais simples que a geometria euclidiana. Quando você aprende a reconhecer quando uma afirmação faz parte da geometria afim, pode prová-la com métodos muito simples. É fácil testar se uma afirmação faz parte da geometria afim: se continua válida depois das distorções que examinou na figura 11, pertence à geometria afim; se perde a validade, não pertence. Todos os teoremas deste texto, provados com o método dos gatos e dos cães, passam no teste. (E são as fundações da álgebra linear.)

No final do século 19, os matemáticos já haviam reconhecido vários tipos distintos de geometria: geometria euclidiana, geometria afim, geometria projetiva, geometria inversiva; além das geometrias não euclidianas de Bolyai, Lobachevsky, e Riemann, que mais tarde Einstein usaria na teoria da relatividade. Em 1872, os matemáticos já havia produzido muito material sobre novas geometrias, tanto que, numa palestra na Universidade de Erlangen, o famoso matemático alemão Felix Klein sugeriu um princípio para a classificação das várias geometrias — que ficou conhecido como “programa de Erlangen”. (Alguns escrevem “programa erlanger”; erlanger é algo de Erlangen, assim como paulistano é algo de São Paulo e soteropolitano é algo de Salvador.)

Nessa palestra famosa, Klein sugeriu uma ideia curiosa: você sabe com qual geometria está trabalhando pela maneira como protesta quando alguém altera seus desenhos. A geografia é a geometria mais restritiva de todas: você protestaria se alterassem distâncias ou direções. A geometria euclidiana é menos restritiva que a geografia: você não protestaria se alterassem a escala de seu desenho, ou se movessem o desenho para outro canto da página, ou se girassem a página, ou se refletissem seu desenho com um espelho. A geometria afim é menos restritiva ainda: além de tudo o que pode fazer na geometria euclidiana, pode também realizar as distorções da figura 11. Na geometria projetiva, sua liberdade é ainda maior: pode substituir uma figura por uma fotografia dessa figura, que tirou de um ângulo bem oblíquo. A topologia é a menos restritiva de todas as geometrias: desde que você não rasgue seu papel, pode esticá-lo ou torcê-lo do modo como bem entender. Uma propriedade topológica é aquela que sobrevive a todo esse monte de distorções. Na topologia, por exemplo, você não tem como distinguir um triângulo de um círculo, pois, visto que seu papel imaginário é perfeitamente elástico, pode distorcer um triângulo até transformá-lo num círculo, e vice-versa.

Há muito mais no programa de Erlangen do que o que viu até aqui. Mas deve ter captado a ideia essencial: há duas maneiras de pensar sobre temas da geometria afim. Numa delas, você parte de definições formais, que são os axiomas, e vê o que pode deduzir a partir deles. Na outra, você desenha linhas retas que cruzam eixos coordenados e que se cruzam em pontos, e vê quais conclusões sobre tais desenhos sobrevivem às três distorções (a), (b), e (c) que examinou na figura 11. Com essa segunda maneira, você pode usar desenhos, o que é muito bom, sem correr o risco de contaminar seus pensamentos com fatos não bancados pelos axiomas.


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{10}/ Mudando os eixos coordenados

Já viu que não deve nenhuma fidelidade ao sistema de coordenadas perpendiculares XOY com o qual se acostumou na escola. Quaisquer duas linhas retas coordenadas, desde que apontem para direção distinta, servem como sistema de eixos de referência. Portanto, caso peça a duas pessoas que cubram uma página plana com uma rede de paralelogramos que sirva de referência para gráficos, é bem possível que cada uma delas escolha um sistema diferente da outra. Quão difícil seria converter os dados que uma das pessoas registrou com seu sistema num formato adequado para que a outra pessoa use o outro sistema? Esse problema soa muito difícil, mas é fácil; tudo o que você deve fazer é recorrer à álgebra da escola básica.

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Figura 12

Pode ver na figura 12 dois sistemas de coordenadas. Num deles, os eixos estão marcados com g de gatos e com c de cães; nesse sistema, pode marcar qualquer ponto com x gatos mais y cães, ou com xg + yc para resumir. No outro sistema, os eixos estão marcados com G de gatos e C de cães, e nele pode marcar qualquer ponto com x gatos mais y cães, ou xG + yC para resumir. Assim, os pontos marcados com letras minúsculas foram marcados de acordo com o primeiro sistema, e os pontos marcados com letras maiúsculas, de acordo com o segundo sistema. Pode ver no desenho os pontos F, H, E, M, K, J, N, L e, neste caso, as letras em maiúsculas não se referem necessariamente ao segundo sistema, ou ao primeiro; são simplesmente pontos no plano. Pode ver também o ponto g, que representa 1 gato no primeiro sistema, assim como o ponto c, que representa 1 cão; pode ver os pontos G, C, que representam 1 gato, 1 cão no segundo sistema.

Por meio da tabela a seguir, veja como poderia caracterizar um ponto no primeiro sistema e no segundo. (O quadriculado em rosa se refere ao primeiro sistema.)

Ponto No primeiro sistema No segundo sistema
G 3g + c G
E 6g + 2c 2G
C g + c C
F 2g + 2c 2C
M 3g + 3c 3C
H 4g + 2c G + C
J 7g + 3c 2G + C

Ao comparar as especificações de cada ponto na tabela, deve notar certas coincidências. C correponde a g + c; 2C, que é o dobro de C, corresponde a 2g + 2c, que é o dobro de g + c; e 3C, que é o triplo de C, corresponde a 3g + 3c, que é o triplo de g + c. Se isso não for mera coincidência, significa que pode calcular o valor de 4C, 5C, 6C, etc., sem olhar para o gráfico: pode simplesmente dizer que, por exemplo, 6C num sistema equivale ao ponto 6g + 6c no outro. Pode notar a mesma coincidência com G e 2G. Na verdade, os cálculos parecem simples e constantes como aqueles que realiza numa casa de câmbio, quando troca reais por dólares e libras: 9 reais = 1 dólar + 1 libra. Se troca C por g + c, troca 2C por 2g + 2c, e assim por diante. Como essa ideia funciona quando tem de especificar um ponto com G e C? Visto que G equivale a 3g + c e C equivale a g + c, G + C deveria equivaler a 4g + 2c, e realmente equivale: veja o ponto H. Todos os pontos da tabela parecem sustentar esse método de cálculo.

Tais resultados estão de acordo com as figuras geométricas e o significado de adição e de multiplicação. Considere o ponto 4G + 5C. Esse é o ponto que atingiria se partisse da origem O, andasse quatro passos G, e depois andasse cinco passos C. No primeiro sistema, G equivale a 3g + c, e portanto quatro passos G significam quatro passos 3g + c, ou seja, 12g + 4c; além disso, C equivale a g + c, e cinco passos C equivalem a cinco passos g + c, ou seja, 5g + 5c. O resultado final é 17g + 9c.

Ora, visto que cada eixo coordenado tem sua unidade (isto é, um comprimento que serve de unidade), e que pode marcar em cada um deles todos os números reais, possivelmente achará fácil acreditar que tais cálculos de um sistema para o outro são mera questão de substituição: G = 3g + c; C = g + c. Logo, 4G + 5C = 4(3g + c) + 5(g + c) = 12g + 4c + 5g + 5c = 17g + 9c.

O que acabou de fazer com 4G + 5C poderia ter feito com qualquer ponto XG + YC. Você calcula XG + YC = X(3g + c) + Y(g + c) = 3Xg + Xc + Yg + Yc = (3X + Y)g + (X + Y)c. Se você especifica um ponto no primeiro sistema com xg + yc, tem daí um sistema de equações lineares para resolver:

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Com esse sistema do jeito que está, pode imediatamente achar as coordenadas (x, y) de um ponto no primeiro sistema quando sabe as coordenadas (X, Y) de um ponto no segundo sistema. Mas e se você sabe as coordenadas (X, Y) de um ponto de acordo com o segundo sistema, e gostaria de convertê-las nas coordenadas (x, y) de acordo com o primeiro sistema? Depois de realizar as substituições, deve chegar a:

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E agora está em posição de traduzir afirmações válidas num sistema para o outro sistema. Traduções como essa ocorrem com muita frequência. Você começa trabalhando com um conjunto de eixos coordenados, e depois de um tempão percebe que, se tivesse começado com outro conjunto, seria bem mais fácil continuar, e daí precisa traduzir todas as afirmações que já produziu até o momento. Nesta série de textos sobre álgebra linear, verá alguns exemplos desse tipo.

Alguns dos autores antigos de livros sobre geometria de coordenadas, ou sobre “geometria analítica”, dão a impressão de que é muito difícil trabalhar com eixos oblíquos, isto é, com eixos que não são perpendiculares entre si (ou não são ortogonais entre si). Eles em geral começavam com um sistema de coordenadas perpendiculares XOY e, quando precisavam mencionar eixos oblíquos, usavam as ferramentas da trigonometria para realizar as conversões. Contudo, os dois sistemas da figura 12 têm eixos oblíquos, e você foi capaz de traduzir a localização dos pontos de um sistema no outro sem usar nada de trigonometria. O trabalho não exigiu nada mais complicado que expressões lineares e, no finalzinho, um sistema com duas equações lineares simultâneas para resolver.


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{11}/ Elefantes, zebras, tamanduás

No começo deste texto, você pensou sobre coleções de gatos e cães. Mas por que restringir suas descobertas a apenas dois tipos de animal? Por que não considerar também elefantes, zebras, tamanduás, saguis?

Até agora, você tem pensado assim: primeiro, considera o problema recorrendo à álgebra; depois disso, recorrendo a uma ilustração.

É fácil acreditar que a álgebra não vai mudar com mais animais. Se vai adicionar dois gatos, três cães, um elefante, cinco zebras, oito tamanduás, e três saguis a um gato, dois cães, dez elefantes, sete zebras, quatro tamanduás, e um sagui, vai ficar com a soma três gatos, cinco cães, onze elefantes, doze zebras, doze tamanduás, e quatro saguis. O verdadeiro problema, agora, é desenhar essa adição de vetores.

Quando o número n de animais é três, você consegue desenhar um espaço de dimensão três ao recorrer à ideia de três eixos, um apontando (por exemplo) para o norte, outro para o leste, e outro ainda para cima, para o céu. Mas, com n ≥ 4, fica difícil desenhar o espaço numa folha de papel. Nosso cérebro, tão bem adaptado para uma vida em três dimensões, não nos ajuda a imaginar um espaço de dimensão n = 6. Que atitude você deve tomar? Pode tratar apenas de coleções com até três animais, pois consegue desenhar uma figura tridimensional. Ou, bem melhor que isso, pode usar como guia a simplicidade da álgebra.

Antes de dar resposta definitiva a essa pergunta (Que atitude tomar?), que é tão importante, examine o caso em que n = 3.


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{12}/ Gráficos em três dimensões no papel

A maioria de nós consegue imaginar objetos sólidos de um jeito bastante vago. É por isso que, nas escolas, a geometria de coordenadas no espaço fica para o fim do ensino médio; contudo, muita gente só vai estudar esse tema mais a fundo, ou pela primeira vez, no primeiro ano da faculdade. É uma pena, pois vivemos num espaço de dimensão 3, e a maioria dos objetos que construímos ou usamos ocupa o espaço de três dimensões, como um avião ou um carro, e não o espaço de duas dimensões, como um desenho ou uma folha de papel A4.

Contudo, até crianças conseguem estudar muitos assuntos da geometria de coordenadas num espaço de dimensão 3: basta que possam manusear um modelo do espaço, isto é, uma espécie de “papel quadriculado” concreto, palpável. Quanto a você, que já não é mais criança, pode manusear esse modelo na própria imaginação.

Imagine portanto um dispositivo assim: uma base retangular cheia de furos igualmente espaçados, onde pode encaixar pinos de vários tamanhos (veja a figura 13). Você coloca a base à sua frente, e escolhe, por exemplo, o furo do canto inferior esquerdo como a origem O. Daí cada furo à direita de O representa uma unidade à direita de O, ou uma unidade a leste de O, ou um gato g. Cada furo à frente de O representa uma unidade à frente de O, ou uma unidade ao norte de O, ou um cão c. E cada furo acima de O representa uma unidade acima de O, ou uma unidade em direção ao céu, ou um porco p. Na figura 13, o ponto A está três unidades ao leste de O, uma unidade ao norte de O, e duas unidades acima de O. O ponto A significa 3 gatos, 1 cão, 2 porcos, e pode escrever isso assim: A representa 3g + 1c + 2p. Na geometria de coordenadas, você pode dizer que o ponto A é o ponto (3, 1, 2), e pode até escrever A = (3, 1, 2).

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Figura 13

É hora de investigar argumentos semelhantes aos que investigou em duas dimensões, com gatos e cães. Como pode usar o modelo para verificar o efeito de adicionar dois pontos? Se descobre que R = 3P, como pode correlacionar R com P? Qual é o efeito de dar o mesmo passo P três vezes seguidas? Você pode dar resposta a tais perguntas ao usar o retângulos de furos — usar com as mãos, se tiver um retângulo e pinos palpáveis, ou com a imaginação. E daí vai descobrir muitas semelhanças com o que já viu com gatos e cães.

Semelhança 1: a adição ainda corresponde a paralelogramos. Veja a figura 14: ela mostra a adição de C = A + B, onde A = (4, 2, 1) e representa 4g + 2c + 1p, e B = (1, 3, 2).

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Figura 14

É difícil ver isso no desenho, mas os pontos OACB formam um paralelogramo. Suponha que tenha um modelo palpável no qual possa representar essa adição C = A + B; você poderia cortar um paralelogramo de papelão e repousá-lo direitinho sobre os pontos O, A, B, C: ele se acomodaria perfeitamente sobre a linha tracejada na figura 14. Se quiser, pense assim: na figura 14, os pontos OBD formam um triângulo, assim como os pontos OAE. Se estiver no ponto A e adicionar o passo B, vai formar, a partir de A, o triângulo ACF — que é idêntico ao triângulo OBD. Logo, os dois segmentos de reta OB e AC têm o mesmo comprimento e são paralelos, e isso te basta para caracterizar o paralelogramo OACB. Da mesma forma, se estiver no ponto B e adicionar o passo A, vai formar, a partir de B, o triângulo BCG — que é idêntico ao triângulo OAE. Logo, os dois segmentos BC e OA têm o mesmo comprimento e são paralelos, e outra vez isso te basta para caracterizar o paralelogramo OACB. Esse argumento vale quaisquer que sejam os valores que atribua a A e B, especialmente se aceita o caso em que “segmento de reta” = “paralelogramo degenerado”, que ocorre, por exemplo, quando A = B.

Semelhança 2: a multiplicação por inteiros ainda produz uma linha reta. Pode ver na figura 15 uma ilustração do caso R = 3P, com P = (3, 2, 1), isto é, com P a representar 3g + 2c + 1p. Daí R = (9, 6, 3), e representa 9g + 6c + 3p. (Na figura 15, as linhas horizontais vão de duas em duas unidades.) Note o método: a partir de O, você anda três unidades à direita, duas unidades à frente, uma unidade para cima; a partir de P, anda três unidades à direita, duas unidades à frente, uma unidade para cima; a partir de Q, anda três unidades à direita, duas unidades à frente, uma unidade para cima. Como já ocorria em duas dimensões, O, P, Q, R estão em linha, com R três vezes mais distante de O que P.

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Figura 15

Semelhança 3: o espaçamento continua constante. Pode ver na figura 12 o ponto Q = (6, 4, 2), que representa Q = 2P. O efeito de adicionar P a O repetidas vezes produz uma linha reta, dividida num número idêntico de partes iguais. No caso da figura 15, o segmento OR, que você fez com O + 3P, está dividido em três partes iguais: OP, PQ, QR. Sendo assim, se num espaço de dimensão 3 você quiser dividir um segmento de reta em n partes iguais, basta fazer como já fez antes: ache o passo P tal que R = nP. Em vez de partir de O e dar n passos idênticos sobre a superfície da placa perfurada horizontal, você vai como que subir uma pirâmide dando n passos idênticos ao longo da lateral.

Esse pensamento é importante, pois foi por meio de passos idênticos que pôde obter a fórmula para o ponto médio de um segmento de reta, e também para a divisão de um segmento em quantas n partes deseje. Todas as fórmulas valem, sem nenhuma alteração, para os segmentos de reta que constrói em dimensão 3. Por exemplo, se A, B, e C são três pontos no espaço, distintos entre si, ainda é verdade que o ponto G = ⅓A + ⅓B + ⅓C representa o ponto no qual as três medianas do triângulo ABC se interceptam.

Como um exemplo disso, examine a figura 16, na qual pode ver um tijolo com um dos cantos na origem O. O ponto D é o ponto médio de BC, e o ponto E, o ponto médio de AC, de modo que os segmentos AD e BE são duas medianas do triângulo ABC. Eles devem se interceptar num ponto G dentro do tijolo. Você já sabe que G = ⅓A + ⅓B + ⅓C.

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Figura 16

Agora, num dos lados do tijolo, OJBC é um paralelogramo (de fato, um retângulo), de modo que J = B + C. Se do ponto J você der um passo igual a A, chega a L, e portanto L = J + A = A + B + C. Ao comparar os resultados que obteve para G e para L, pode ver que L é um passo três vezes mais longo que G, e sendo assim, L = 3G. Então, G faz parte do segmento de reta OL, e na verdade o divide bem na terça parte. Ora, G faz parte do plano no qual está o triângulo ABC, e sendo assim é o ponto no qual a linha OL intercepta o plano ABC. Se agora você reunir numas linhas do caderno as informações que obteve até aqui, deve chegar ao seguinte resultado: o plano ABC intercepta a diagonal OL num ponto G a um terço do caminho entre O e L, e esse mesmo ponto G é aquele no qual as medianas do triângulo ABC se interceptam.

Não é esse um resultado extraordinário?! Note que é tão extraordinário que é difícil desenhá-lo, mas, apesar disso, pôde prová-lo com nada mais que aritmética elementar.

Você provou esse resultado para um “tijolo” (na verdade, para um paralelepípedo retângulo), pois um tijolo é um objeto familiar, fácil de visualizar. Contudo, tudo o que já viu antes sobre as “distorções” permitidas na geometria afim continua valendo. O argumento que acabou de ver não depende em nada de eixos coordenados ortogonais — se você “entortasse” o paralelepípedo de modo que suas faces continuassem sendo paralelogramos, o teorema sobre a diagonal OL e sobre o triângulo ABC continuaria valendo.

Em outras palavras, não precisa imaginar eixos coordenados apontando para leste, norte, e verticalmente para cima. Pode imaginar eixos que apontem para 36 graus a nordeste, 320 graus a noroeste, e para cima de um jeito inclinado. Quase todo mundo imagina os eixos coordenados como que num canto de um paralelogramo retângulo, mas isso é força de hábito; é apenas um traço cultural. Você não deve perder de vista que os teoremas deste texto não dependem de ângulos retos, e aliás não dependem da existência de ângulos retos.

Agora, é o momento ideal para um salto de abstração, ou, como alguns dizem, para uma viagem na maionese, mas uma viagem e uma maionese bastante comuns entre matemáticos modernos. Deve ter percebido que, com três dimensões, você obteve os mesmos resultados que obteve com duas dimensões, usando os mesmos argumentos e a mesma notação. É natural que venha a pensar: “Não teria sido possível imaginar um jeito de desenvolver esse assunto, e de obter os resultados que obtive até aqui, sem mencionar a dimensão com a qual estou trabalhando?” Se isso fosse possível, você construiria uma teoria válida em qualquer número de dimensões. Logo mais à frente, ainda neste texto, verá que é fácil conceber a existência de espaços com quatro dimensões, cinco dimensões, …, n dimensões, nos quais todos os resultados continuam valendo. E daí a economia de pensamento é, literalmente, infinita: no instante em que prova algo pensando em dimensão dois e três, como quase todos fazem, provou também algo válido em dimensão mil.


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{13}/ Espaços com quatro ou mais dimensões

Você tem como se justificar quando fala de “espaços de dimensão n” se n é maior que 3? Como viu antes, o cotidiano te autoriza a falar de linhas retas (espaços de dimensão 1), de planos (dimensão 2), e de espaços (dimensão 3). Mas ele não te dá elementos para falar de espaços de dimensão 4, e muito menos de 5. Qual é a situação atual dessa ideia?

Antes de continuar, é bom desvencilhar essa ideia de qualquer outra ideia da física. Não deve se preocupar com a teoria da relatividade, nem deve pensar no tempo como se fosse uma espécie de quarta dimensão. Não deve se perguntar se em algum outro universo, ou mesmo se neste universo, existem criaturas que vivem em espaços de dimensão 6. Deve se preocupar apenas com a solidez matemática da ideia; o que vai investigar é se pode raciocinar corretamente pensando em dimensão n com n ≥ 4, visto que essa ideia tem aplicações bem mundanas, por exemplo na estatística, quando trabalha com conjuntos de seis “animais”: homens com 40 anos ou mais, homens com menos de 40 anos e mais do que 12 anos, meninos com 12 anos ou menos; mulheres com 40 anos ou mais, mulheres com menos de 40 anos e mais do que 12 anos, meninas com 12 anos ou menos.

Pode dizer que a situação é perfeitamente clara do ponto de vista algébrico. Se alguém deseja investigar as propriedades de coleções de animais e gostaria de adicionar duas coleções ou de multiplicar uma coleção por um número real, nada o impede de considerar coleções com muitas espécies de animal.

Além disso, você viu certas correspondências entre as coleções com uma espécie, duas, e três com certas figuras geométricas, como um segmento de reta, um trecho do plano, um sólido no espaço. Você pode ensinar um robô alienígena inteligente a encarar um resultado algébrico, como A = B + C, como se fosse o paralelogramo OACB. Mas que vantagem o robô tira disso? Nenhuma! Um robô alienígena não tem experiência com a geometria humana; para ele, a palavra “paralelogramo” tem tanto significado quanto a palavra “beijo”, e o exercício todo lhe parece fútil. Somos nós, humanos, que tiramos benefício da tradução. Você passou muitos anos observando o mundo à sua volta, e pensando nele com a ajuda do vocabulário geométrico que aprendeu a usar na escola; seu cérebro armazenou uma imensa rede de associações entre ideias, que os termos técnicos da geometria evocam. Para você, traduzir a álgebra em geometria traz dois benefícios. Em primeiro lugar, a tradução te permite usar a precisão da álgebra para esboçar desenhos e, mesmo que imperfeitamente, ver os resultados que obteve; foi o que fez com o tijolo agora há pouco. Com as imagens, você dá vida a resultados algébricos, e usa a vividez das imagens para se lembrar dos resultados que obteve; é o caso das figuras 5 e 11, que resumem as ideias mais importantes deste texto. Além disso, com as imagens, é bem possível que consiga pensar melhor sobre a álgebra, e tenha ideias que, olhando somente para a álgebra, não teria.

Você deve achar o jeito geométrico de olhar as equações especialmente útil quando tem de trocar os eixos coordenados. Suponha que tenha trabalhado com um sistema de eixos coordenados, e que já tenha estabelecido vários resultados. Daí, por algum motivo, tem a vontade de trocar o sistema que usou por outro sistema de eixos coordenados. Pode usar os resultados que já obteve ou deve testá-los tudo de novo? Depende da natureza dos resultados que obteve. Se eles expressam o que poderia classificar como “fatos da geometria afim”, ainda valem com o sistema novo; em caso contrário, talvez não valham. Se você prova que um ponto está a meio caminho entre dois pontos, pode ter a certeza de que sua descoberta não vai se alterar com a troca de um sistema de coordenadas por outro. Contudo, se você prova que uma das coordenadas dos pontos com os quais está trabalhando vale sempre zero, talvez essa descoberta deixe de ser válida com a troca de coordenadas.

Por exemplo, considere os pontos F, H, e E na figura 12, e suponha que tenha começado os trabalhos com o sistema de coordenadas que representou com as linhas verdes. Daí F = 2C, H = G + C, E = 2G, e disso pode concluir que H = ½E + ½F, de modo que H é o ponto médio do segmento EF. Esse fato geométrico permanece verdadeiro mesmo que decida trocar o sistema de coordenadas, por exemplo pelo sistema que representou com as linhas rosas. Daí, com as linhas rosas, você tem F para representar 2g + 2c, H para representar 4g + 2c, e E para representar 6g + 2c, e de fato com os novos símbolos pode verificar como H vale ½E + ½F. Contraste isso com as coordenadas de F e de E: com as linhas verdes, F = (0, 2) e E = (2, 0); você pode obter as coordenadas de E ao reverter as de F. Com as linhas rosas, contudo, F = (2, 2) e E = (6, 2). Essa propriedade (“para obter as coordenadas de E, troque de posição as coordenadas de F”) era tão somente um acidente, causado pelo sistema de coordenadas com o qual trabalhou da primeira vez, e não permanece válida com a troca de eixos coordenados.

(Lembrete: ao trocar os eixos coordenados, os pontos permanecem no lugar, isto é, os pontos com os quais está trabalhando permanecem fixados onde estavam. Essa operação é, portanto, diferente de movimentar, comprimir, e esticar os eixos coordenados, como fez na figura 11.)

Existem muitos problemas que te forçarão na direção de estudar espaços com quatro dimensões ou mais. Na álgebra elementar, você usava o gráfico da equação y = x2 para entender as propriedades da própria equação; por exemplo, o fato de que y nunca é negativo. É claro que desenhava o gráfico de y = x2 com duas dimensões, pois tinha de lidar com dois símbolos que não se misturavam, x e y. Mais tarde, no ensino médio, você topou com os números complexos na forma z = x + yi, onde i2 = –1. Se w e z são dois números complexos, com z = x + yi e w = u + vi, daí, para estudar a equação w = z2, você teria de lidar com os quatro números x, y, u, v. Mas desenhar o gráfico dessa equação exigiria o uso de quatro eixos coordenados, isto é, exigiria um espaço de dimensão 4. Se você vivesse num espaço de quatro dimensões, acharia fácil estudar números complexos, pois poderia desenhá-los num gráfico muito naturalmente. Se não tem a possibilidade de desenhá-los a contento, porém, deve achar um modo de pensar sobre eles.

Por tais razões, e por muitas outras, deve achar um jeito geométrico de falar sobre situações nas quais precisa de quatro ou mais números. Então, faça você mesmo como o robô alienígena inteligente: arranje algumas regras para traduzir afirmações algébricas em geométricas. Entre você e o robô, você está na vantagem, pois conhece a aparência de espaços de dimensão 1, 2, e 3. A linguagem geométrica, portanto, estimula sua imaginação; ela sugere analogias. Algumas dessas analogias talvez sejam enganadoras; certas coisas acontecem com dois números, mas talvez não aconteçam com três. Quando em dúvida, você retorna à álgebra, e verifica a correção de seus pensamentos fazendo contas.

Assim, todas as questões de lógica, e todos os passos de uma prova, você deve resolver por meio de álgebra, ou deve resolver por meio de argumentos lógicos a partir de afirmações geométricas que já tenham sido provadas com álgebra.

Numa abordagem completamente lógica, portanto, locuções como “paralelo”, “em linha reta”, “na metade do caminho” apareceriam primeiro como traduções de situações da álgebra. Nos casos particulares de afirmações feitas com uma, duas, ou três dimensões, você conseguiria demonstrar que tais locuções concordam com o significado visual, o que pode ilustrar com papel quadriculado. Por exemplo, no começo deste texto, você viu que C = A + B corresponde aos pontos O, A, B, C no papel quadriculado, e que tais pontos formam um paralelogramo. Você não provou esse resultado; na verdade, não tem como prová-lo, não deve prová-lo, e não precisa prová-lo. A correspondência entre a álgebra de gatos e cães com os desenhos que pôde fazer em papel quadriculado de verdade é um fenômeno do mundo real: você pode estabelecê-lo por meio de experimento, mas nunca por meio de argumento.

É claro que você pode dizer que a geometria euclidiana nos dá ótima noção de como as coisas se comportam na realidade, e ela é, mais ou menos, um sistema lógico. Se quisesse, não poderia provar, recorrendo à geometria euclidiana, que OACB tem de ser um paralelogramo, nem que seja um paralelogramo degenerado? Sim, poderia. Você poderia pegar um, dois, três sistemas distintos de coordenadas, desenhados em papel transparente, poderia colocá-los por cima de um sistema cartesiano ortogonal XOY, e daí poderia usar a geometria euclidiana para ver o que está acontecendo nos outros sistemas. Contudo, a geometria euclidiana é um assunto vastamente mais complicado que as afirmações simples da geometria afim que estudou neste texto. Seu propósito, neste texto, foi o de se colocar no lugar de um robô alienígena inteligente para, começando com as instruções deste texto, e mais umas poucas instruções extras (que verá nos próximos textos desta série sobre álgebra linear), provar todos os teoremas da geometria euclidiana. Seu projeto e sua esperança é terminar com a geometria euclidiana, e não começar com ela.

De fato, a sequência de textos nesta série será mais ou menos assim: comece com a álgebra de gatos e cães (que é este primeiro texto); estude um dicionário por meio do qual pode expressar os resultados que obtiver com gatos e cães na linguagem da geometria afim; estude uns poucos casos de aplicações dessa álgebra e dessa geometria, para ver como é útil; e, mais tarde, acrescente algumas pressuposições extras (isto é, alguns axiomas extras) e deduza logicamente a geometria euclidiana.

Assim, portanto, quando fala de pontos num espaço de cinco dimensões, não está apostando em nenhum tipo novo de fé. Está, mais simplesmente, usando uma linguagem pitoresca, cuja utilidade é sugerir analogias entre a álgebra de n símbolos e a experiência geométrica que você e seus amigos vivem no dia a dia. {FIM}


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{14}/ A resolução dos problemas

§5-1. Tente adivinhar a fórmula para o ponto a um terço do caminho entre K e L, e depois para o ponto a dois terços do caminho. Depois reaproveite o argumento da seção 4 e veja se seu chute foi correto.

Primeiro, adivinhando: o ponto a um terço do caminho é ⅔K + ⅓L, e o ponto a dois terços do caminho é ⅓K + ⅔L.

Agora, provando: divida o segmento de reta entre K e L em três partes iguais, mais ou menos como já fez na figura 8. Daí, para chegar a L em três passos P, você começa em K = K + 0P; avança um passo P para o ponto a um terço do caminho, que é K + P; avança um passo P para o ponto a dois terços do caminho, que é K + 2P; e por fim avança um passo P para chegar ao destino L = K + 3P. Qual é, portanto, o valor de P? Lembre-se de que conhece os valores de K e L.

expr 12

Logo, o ponto a um terço do caminho é K + P = K + ⅓L – ⅓K = (1 – ⅓)K + ⅓L = ⅔K + ⅓L. E, se aplicar um argumento similar ao ponto a dois terços do caminho, deve chegar ao ponto (1 – ⅔)K + ⅔L = ⅓K + ⅔L.


§5-2. Ache a fórmula geral para o ponto a m/n do caminho entre K e L.

Depois do problema §5-1, esse fica fácil. Use a figura 8 como referência. Você traça uma linha reta entre K e L, e a divide em n partes iguais. Daí começa em K = K + 0P. Dá um passo P na direção de L e chega ao ponto K + 1P, que está a 1/n do caminho entre K e L. Dá mais um passo P na direção de L e chega ao ponto K + 2P, que está a 2/n do caminho entre K e L. Dá mais alguns passos P na direção de L e chega ao ponto K + mP, que está a m/n do caminho entre K e L. E por fim dá n passos P na direção de L e chega ao destino, que é o ponto L = K + nP. Qual é o valor de P?

expr 13

O ponto a m/n do caminho entre K e L é o ponto K + mP. Ao substituir P nessa expressão, deve obter o seguinte:

expr 14

Note como, em razão do argumento que acabou de usar, o coeficiente de K e o de L são dois números racionais não negativos cuja soma é 1. Outra coisa: repare como na figura 8, que usou como referência, não há coordenadas. Isso serve para lembrá-lo, como verá outras vezes ao longo desta série, que suas descobertas valem segmentos de reta KL “imersos” em espaços de dimensão n, isto é, para pontos que deve localizar com n coordenadas, ou n animais.

Talvez você já saiba que pode ver qualquer número irracional como sendo o limite de uma sequência infinita de números racionais. Por exemplo, √2 é o limite da sequência 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; etc. (Conforme você multiplica cada racional dessa sequência por si mesmo, vai obtendo produtos cada vez mais próximos de 2.) Partindo dessa ideia, generalize o que acabou de descobrir: para achar as coordenadas de qualquer ponto no segmento de reta KL, use a fórmula xK + yL, na qual x, y são dois números reais não negativos, e x + y = 1. Receita: pense num número real r tal que 0 ≤ r ≤ 1, e daí faça x = 1 – r e y = r. Fazendo dessa forma, o ponto xK + yL faz parte do segmento KL. Caso se sinta inseguro, sempre pode escapar assim: “Vou substituir r por um número racional p tão próximo de r quanto eu queira, e daí sigo adiante normalmente, fazendo contas só com racionais.”