“Minha terra, onde canta o sabiá”

Um estudante (vou chamá-lo de QaC) sempre se esquece da regra pela qual expandir sen(A + B), sen(AB), cos(A + B), cos(AB), expressões nas quais QaC usa A e B para denotar ângulos medidos em radianos. Ele até se lembra de uma musiquinha que ouviu uma vez num cursinho pré-vestibular:

“Minha tenha tem palmeiras, onde canta o sabiá: seno A, cosseno B, seno B, cosseno A.”

Ele também lembra que deve montar duas das quatro expansões com cosseno A, cosseno B, seno A, seno B (isto é, em duas delas não deve misturar senos e cossenos); e deve montar duas delas com seno A, cosseno B, seno B, cosseno A (em duas delas, deve misturar senos e cossenos). Mas QaC raramente recorda qual expressão se refere a qual soma.

Portanto, QaC deve aplicar a musiquinha a qual expressão? E qual sinal deve usar: + ou –? Em outras palavras, a musiquinha fala de senA cosB + senB cosA ou de senA cosB – senB cosA?

Essas expansões são importantes, pois aparecem a todo momento na matemática pura e na aplicada. Por exemplo, quando QaC estava interessado em descobrir o porquê da regra pela qual deve dividir um número complexo por outro, viu que ela surge naturalmente de uma expressão do tipo cos(θ + ϕ).

Mas, mais uma vez, para QaC recordar o a expansão de cos(θ + ϕ), teve de consultar uma tabela no dicionário de matemática. Recentemente, contudo, atinou com um método.

Como primeiro passo, desenhou um versão bem simples do círculo trigonométrico, o círculo de raio igual a 1 (figura 1). Com ele, é fácil ver que cos(0) = 1, cos(π) = (–1), sen(π/2) = 1, sen(–π/2) = (–1). [Ou, na linguagem mais usada no ensino básico, cos(0º) = 1, cos(180º) = (–1), sen(90º) = 1, sen(–90º) = (–1).] E depois pensou assim: “Em primeiro lugar, tenho de escolher dois ângulos A e B que produzam sen(A + B) = 1 e sen(AB) = (–1), ou vice-versa; ou então que produzam cos(A + B) = 1 e cos(AB) = (–1), ou vice-versa.”

Figura 1: O círculo trigonométrico

Figura 1: O círculo trigonométrico

Começou com A = 0 e B = π/2. Daí sen(A + B) = 1, sen(AB) = (–1), cos(A + B) = 0, cos(AB) = 0. Escreveu as possibilidades no caderno, mas colocou um quadradinho no lugar em que deveria colocar mais tarde ou o sinal de mais ou o sinal de menos:

senA cosB ☐ senB cosA

senA cosB ☐ senB cosA

cosA cosB ☐ senA senB

cosA cosB ☐ senA senB

Bem, se A = 0 e B = π/2, daí QaC simplesmente olhou a figura 1 para ver que senA = 0, senB = 1, cosA = 1, cosB = 0. Com essas informações, a lista fica ficou assim:

(senA cosB = 0) ☐ (senB cosA = 1)

(senA cosB = 0) ☐ (senB cosA = 1)

(cosA cosB = 0) ☐ (senA senB = 0)

(cosA cosB = 0) ☐ (senA senB = 0)

Nesse ponto, QaC achou fácil ver que as duas primeiras fórmulas se referem a sen(A + B) e sen(AB); as duas últimas se referem a cos(A + B) e cos(AB). Além disso, viu que, se colocasse o sinal de mais na primeira, ela teria de se referir a sen(A + B); e se colocasse o sinal de menos na segunda, ela teria de se referir a sen(AB):

sen(A + B) = senA cosB + senB cosA

sen(AB) = senA cosB – senB cosA

Bem, QaC viu que metade do trabalho estava pronto, e desta vez não teve de recorrer a nenhuma musiquinha, nem teve de olhar a tabela de identidades trigonométricas no dicionário de matemática.

Depois, para produzir dois cossenos opostos, QaC escolheu A = π/2 e B = π/2. Com isso, cos(A + B) = (–1) e cos(AB) = 1. Além disso:

(cosA cosB = 0) ☐ (senA senB = 1)

(cosA cosB = 0) ☐ (senA senB = 1)

Achou fácil ver que deveria colocar o sinal de mais na primeira expressão, e o sinal de menos na segunda, para produzir o que queria.

cosA cosB + senA senB = 1

cosA cosB – senA senB = (–1)

Portanto, a primeira expressão se refere a cos(AB) = 1 e a segunda, a cos(A + B) = (–1). Daí QaC escreveu as duas linhas que faltavam:

cos(A + B) = cosA cosB – senA senB

cos(AB) = cosA cosB + senA senB

Depois disso, repetiu o método duas vezes, para se familiarizar com ele, e percebeu que, se precisasse dessas igualdades numa emergência, saberia repetir o procedimento para produzir as quatro igualdades sem nenhum erro. {FIM}

Um jeito de montar a tabela com canetas de duas cores

Um jeito de montar a tabela com canetas de duas cores


Círculo trigonométrico. Você também pode chamá-lo de “círculo unitário”. É muito útil. Pode imaginá-lo num plano cartesiano, com o centro na origem. Daí um ponto P no círculo determina um arco de comprimento equivalente ao número real x. [A medida desse comprimento é positiva se você a medir no sentido anti-horário, do ponto (1, 0) ao ponto P, e negativa se a medir no sentido horário.] Com a projeção ortogonal de P no eixo das abscissas, você vê o comprimento equivalente a cosx. Com a projeção ortogonal de P no eixo das ordenadas, vê o comprimento equivalente a senx. Com esse círculo, pode ver claramente por que sen(π/2) = 1 e cos(π/2) = 0, por exemplo, assim como pode ver por que –1 ≤ cosx ≤ 1, ou por que sen²x + cos²x = 1, entre muitas outras propriedades de senos e cossenos.

A resolução do problema dos camelos

Em geral, o estudante descobre que todos os camelos vão cair da passarela. (Vou chamar esse estudante de wvF.) wvF pensou assim: à direita, existe o camelo que está à direita de todos os outros. Se esse camelo anda para a direita, vai cair da passarela. Se anda para a esquerda, existem duas situações distintas: ou todos os outros camelos também andam para a esquerda, e o camelo mais à direita vai cair da passarela depois de todos os outros; ou pelo menos um dos outros camelos anda para a direita. Neste caso, o camelo mais à direita vai topar com algum outro camelo andando em sentido contrário, vai dar meia-volta, e vai cair da passarela.

wvF percebeu que poderia aplicar o mesmo raciocínio ao camelo que está à esquerda de todos os outros camelos. Percebeu também que, assim que o camelo mais à direita e o mais à esquerda caíssem da passarela, poderia aplicar o raciocínio aos camelos que restaram. Portanto, cedo ou tarde todos os camelos caem da passarela.

Esse tipo de raciocínio é o que matemáticos chamam de “prova” ou de “demonstração”: uma vez que alguém aceite as premissas, não pode mais negá-lo. Todos os camelos vão cair na areia do deserto lá embaixo. Mas esse tipo de prova não passa de uma primeira abordagem. Muitas vezes, com as primeiras abordagens, o matemático não consegue destrinçar o problema completamente.

Com essa primeira prova, por exemplo, wvF não pôde dizer em quanto tempo no máximo todos os camelos caem da passarela. (Melhor dizendo: ele viu que poderia, desde que usasse um computador para tratar todas as possibilidades. Achou fácil calcular o tempo máximo com dois ou três camelos, mas, com 100 camelos, o argumento fica convoluto demais.)

Depois da primeira abordagem, contudo, wvF teve uma ideia original: e se os camelos fossem como fantasmas? E se pudessem atravessar uns aos outros? Se assim fosse, dois camelos andando em sentido contrário simplesmente continuariam andando; cada um atravessaria o outro como se o outro não existisse.

Essa ideia não altera o enunciado do problema em nada: um camelo atravessar o outro e continuar andando no sentido em que já vinha andando é equivalente a dois camelos dar meia-volta quando se encontram. A partir dessa ideia, wvF achou fácil ver que todos os camelos vão cair da passarela e que isso ocorrerá em no máximo 1.000 segundos. Tudo o que teve de fazer foi imaginar um camelo num extremo da passarela, andando no sentido do outro extremo; visto que anda à velocidade de 1 metro por segundo, e que atravessa os outros camelos como um fantasma, precisará de 1.000 segundos para percorrer 1.000 metros.

Na história da matemática, ocorreu com frequência a seguinte situação: um matemático resolveu certo problema (= provou um teorema) e, séculos mais tarde, outro resolveu o mesmo problema muito mais facilmente, depois de ter uma ideia original, semelhante à de encarar cada camelo como se fosse um fantasma. O estudante não deve ficar ansioso, portanto, quando percebe que sua solução não é a mais elegante possível: isso é normal, pois soluções elegantes demoram a surgir, e só podem surgir quando uma comunidade de especialistas está sempre pensando nos mesmos problemas. Por exemplo, antes que os matemáticos aprendessem a tratar somatórios com número infinito de parcelas, muita gente implicava com a igualdade 1 = 0,999…, mas, depois que inventaram métodos pelos quais atribuir significado preciso ao conceito de somatório infinito, ficou fácil provar que 1 = 0,999… = 9/10 + 9/100 + 9/1.000 + etc. {FIM}


“De quantos matemáticos você precisa para trocar uma lâmpada?”

“De 0,999…”

O problema dos camelos

Imagine 100 camelos numa passarela de 1 quilômetro de comprimento, muito estreita, passarela essa que flutua no ar. Cada um dos camelos anda no sentido de uma das pontas da passarela à velocidade de 1 metro por segundo. Quando dois camelos andando um no sentido do outro se encontram, cada um deles imediatamente dá meia-volta e passa a andar no sentido oposto ao que vinha andando. Se um dos camelos alcança uma das pontas da passarela, cai na areia do deserto lá embaixo.

Perguntas: Será que todos os camelos cairão na areia? Se sim, em quanto tempo no máximo?


Tente resolver o problema sem pesquisar na internet. À primeira vista, parece bobinho, mas por meio dele você terá condições de explorar vários aspectos do que significa fazer matemática. Resposta e análise na segunda-feira, dia 27 de julho. {FIM}

O caos de um ônibus só

{1}/ Esperando no ponto de ônibus

“Que estranho. Onde está todo mundo? O trânsito está bom!”

“Que estranho. De onde saiu tanta gente? O trânsito está péssimo!”

Quem vive em cidades grandes, como São Paulo ou Rio de Janeiro, sabe que elas são assim: raramente se comportam como todos acham que vão se comportar, ou como gostariam que se comportassem. Agora uma equipe de cientistas de universidades latino-americanas comprovou essa impressão com boa matemática: em determinadas condições, o trânsito em cidades grandes é imprevisível a ponto de ser inadministrável.

Ao mesmo tempo, quem já viajou para cidades como Zurique, Edimburgo, ou Auckland, sabe que dá para acertar o relógio com os ônibus. Se num ponto de ônibus o cartaz diz que o ônibus da linha tal vai passar por aquele ponto às 16:27, então às 16:27 é bem provável que o ônibus esteja parado no ponto.

Qual é a diferença entre uma cidade e outra? Qual é a diferença entre um tipo de trânsito e o outro?

Jorge Villalobos, decano na Universidade de Ibagué, na Colômbia, e outros seis cientistas, bolaram um modelo para entender o papel do caos no trânsito de uma cidade; mais especificamente, o papel do caos na pontualidade dos ônibus. (“Caos” é uma palavra que cientistas como Jorge usam com um sentido bastante específico; sobre isso, veja a seção 2, mais abaixo.)

Visto que problemas como esse são complicados à beça, com centenas de milhares de variáveis correlacionadas, Jorge e equipe tiveram a ideia de construir um modelo matemático o mais simples possível: na cidade que imaginaram, só há uma rota de ônibus, por onde passa um único ônibus. Esse único ônibus anda sozinho — não precisa de motorista. Não há nenhum outro automóvel na cidade. E o ônibus não pega passageiros: só para no ponto por determinado tempo, e depois segue adiante, até porque o modelo matemático não diz nada sobre passageiros. Mais realismo fantástico que isso, impossível.

Contudo, a equipe colocou semáforos nessa rota de ônibus, e brincou muito com as regras pelas quais os semáforos deveriam ficar verdes ou vermelhos. Conforme o conjunto de regras, a equipe podia prever a que horas o ônibus estaria em cada ponto, e a que horas terminaria a viagem. Mas, conforme o conjunto de regras, não podia prever; fosse este caso um caso real, não teria como tomar decisões administrativas — pois ninguém administra o que não pode prever (no sentido de “ver antes que aconteça”).

“Usamos esse modelo”, explicou Jorge, “porque queríamos descobrir sob quais condições a interação do ônibus com os semáforos fazia surgir um sistema caótico. Só podíamos mexer num único quesito: o tempo que cada semáforo ficava no verde e no vermelho.”

Em sistemas dinâmicos, existe um número, chamado “expoente de Lyapunov”, que os matemáticos usam para caracterizar o sistema. Se o expoente é positivo, o sistema se torna caótico, e sobre ele fica difícil fazer previsões. “Na nossa simulação, identificamos a combinação de parâmetros que provocava o surgimento de um sistema com expoente de Lyapunov positivo”, explicou Jorge. “Com isso, pudemos identificar as condições pelas quais o sistema poderia ou não poderia ser administrado.”

Fazendo assim, a equipe deu uma cara matemática a um sentimento comum entre habitantes de cidades como São Paulo, onde o caos impera (caos no sentido matemático): por mais que as autoridades e os cidadãos tentem “gerenciar” o dia, parece que a cidade gosta de se rebelar e de surpreender. Parece que a cidade sempre acha um jeito de, digamos, mostrar a língua. “Não adianta você fingir que vai gerenciar e otimizar um sistema em circunstâncias de caos”, disse Jorge. “A gestão fica fisicamente impossível.”

Jorge e seus colegas também descobriram algo que os surpreendeu: toda vez que mexiam nos tempos dos semáforos, e que reduziam um pouquinho o tempo de parada em cada ponto, tudo isso para deixar a viagem a mais curta possível, surgia o caos. Em termos técnicos, sempre que tentavam otimizar o sistema, davam ensejo ao caos e tornavam o sistema inadministrável. Para fazer com que o caos desaparecesse (ou que o expoente de Lyapunov se tornasse nulo ou negativo), eles tinham de aumentar o tempo de parada em cada ponto, e organizar os semáforos para que a viagem durasse um pouco mais. Os cientistas vão ver se conseguem usar essa descoberta mais tarde, em simulações mais complicadas.


{2}/ O caos na matemática

Veja a sequência de números a seguir.

Por mais que tente, não vai achar uma receita pela qual gerá-la. Nem computadores com software especializado em álgebra acham a receita. Aliás, você provavelmente vai achar que é uma sequência de números escolhidos segundo o mais completo acaso.

Mas a sequência tem uma receita, que é muito simples:

Formulário 1

Formulário 1

Comece com x = 1/3 e calcule o valor de y; chegará a –4/3. Daí reponha esse resultado na fórmula: faça x = –4/3 e calcule o valor de y; chegará a –7/24. Faça x = –7/24 e calcule o valor de y; chegará a 527/336. E assim por diante. O nome disso é iteração: ao iterar a função f, começando com x = 1/3, você obtém a sequência de números, que em tudo e por tudo parece uma sequência sem nenhuma lógica.

Isso é o que matemáticos chamam de “sistema caótico”: é um conjunto de equações (um “sistema”) que começa com um estado inicial (isto é, o matemático atribui a cada uma das variáveis um certo valor inicial), e que gera uma sequência de estados posteriores conforme o matemático vai iterando o sistema. Contudo, para merecer o adjetivo “caótico”, uma pequena variação no estado inicial do sistema deve produzir uma sequência de estados completamente diferente, tão diferente que qualquer um diria: “Mas que sistema mais imprevisível!”

Tente iterar a função f, por exemplo, começando com x = 1/13.

Quando um especialista em matemática aplicada, como Jorge Villalobos, menciona a expressão “sistema caótico”, quer dizer mais ou menos o seguinte: “Esse sistema tem regras, eu sei quais são as regras, mas uma pequena variação no estado inicial do sistema produz enormes variações na sequência posterior de estados, e esse efeito das variações iniciais do sistema passa em testes de aleatoriedade, e além disso esse efeito das variações iniciais do sistema me deixa de boca aberta.”

A teoria sobre sistemas dinâmicos (que é o nome técnico de “sistemas caóticos”) está cada vez mais importante, porque os cientistas descobriram que os fenômenos da natureza se dividem, grosso modo, em dois tipos: os fenômenos aleatórios, para os quais não adianta procurar fórmulas matemáticas bonitinhas, pois elas não existem; e os fenômenos caóticos, para os quais adianta procurar fórmulas bonitinhas, pois elas existem. À primeira vista, ambos os fenômenos se parecem. Se quiser, você pode aplicar as ferramentas da estatística a ambos os tipos, mas, se desconfiar que um fenômeno não é aleatório, mas caótico, ganha mais se aplicar ao fenômeno as ferramentas dos sistemas dinâmicos.

Se você conhece o sentido das palavras “determinístico” e “estocástico”, um sistema dinâmico é um sistema determinístico que tem o maior jeitão de sistema estocástico. {FIM}


Para ler o artigo sobre os ônibus, em inglês, clique aqui.

“Chupa, Folha”: uma coincidência?

Você deve ter ouvido falar do caso do jornalista da Folha de S. Paulo que pediu demissão, e que, antes de ir embora, escreveu o obituário de uma senhora de 87 anos, no qual a primeira letra de cada parágrafo forma a sequência de letras “chupafolha”. (O nome disso é acróstico, um termo técnico emprestado da poesia.)

Poderia ter sido mera coincidência? Como um estudante de matemática pode responder à pergunta?

Bem, “chupafolha” contém dez letras. Atualmente, há 26 letras maiúsculas e 26 letras minúsculas no alfabeto da língua portuguesa. Para o caso em questão, pode pensar apenas nas 26 letras minúsculas. E daí suponha, para simplificar, que tem o direito de repetir letras. Por exemplo, tem o direito de incluir “yyyyyyyyyy” e “ijijijijij” entre as sequências válidas de dez letras.

Ora, está pensando numa única permutação de dez letras entre todas as permutações de dez letras. A pergunta se transforma em: Quantas permutações de dez letras tem condições de formar se dispõe de um alfabeto de 26 letras?

Se quiser, pode raciocinar assim: se tivesse só uma posição, poderia formar 26 permutações de uma letra, já que pode usar um alfabeto de 26 letras. Se tivesse duas posições, poderia formar 26 × 26 = 676 permutações de duas letras, pois pode formar 26 permutações de duas letras para cada uma das 26 permutações de uma letra. (Pense em aa, ab, ac, ad, ae, …, ax, ay, az; etc.) Se tivesse três posições, poderia formar 26 × 26 × 26 = 263 = 17.576 permutações de três letras.

E, insistindo em pensamentos desse tipo, verá que, com dez posições, pode formar 2610 = 141.167.095.653.376 permutações de dez letras. Por extenso: 141 trilhões, 167 bilhões, 95 milhões, 653 mil, 376 permutações de dez letras, uma das quais é “chupafolha”.

Você sabe que, neste problema, pode ver “probabilidade” como “o caso em questão dividido pelo número de casos possíveis”. A probabilidade de lançar uma moeda comum e obter cara é de 50%, ou 1/2. Da mesma forma, a probabilidade de que o jornalista tenha alinhado as dez letras de “chupafolha” por mera coincidência é igual a 1/(141.167.095.653.376).

Como um estudante de matemática responsável responderia à pergunta original? Foi ou não foi mera coincidência? Ele se sentiria obrigado a dizer: “A probabilidade de que tenha sido mera coincidência é maior que zero, e portanto pode ter sido mera coincidência. Apesar disso, multiplique tal probabilidade por 2 milhões, 818 mil, 741 e chegará à ínfima probabilidade de acertar na Mega-Sena apostando em seis dezenas somente.” {FIM}


P.S. Se você fizer a probabilidade de ganhar na Mega-Sena igual a 100 quilômetros (apostando só em seis dezenas), a probabilidade de escrever o acróstico “chupafolha” por mero acaso é igual a 3,5 centímetros.

O quilograma vai mudar

Lá pelo ano 2018, talvez você não pese mais o que pesa hoje, e talvez sua temperatura média normal não seja mais a que é hoje.

Não seja pessimista; não pense em mudanças drásticas, tipo “Vou ficar doente”, “Vou morrer”, ou, pior, “Vou engordar.” É que o quilograma e o kelvin, unidades que os cientistas usam para medir massa e temperatura, vão mudar. Vão mudar um pouquinho de nada, mas vão mudar.

De acordo com um artigo publicado este mês no Journal of Physical and Chemical Reference Data, os cientistas estão usando equipamentos cada vez mais precisos para medir as constantes da natureza — a constante de Planck, a velocidade da luz, a constante de Bolzmann, entre outras; estão usando também métodos de medição mais refinados, sobre os quais eles brigam muito menos do que brigavam no passado. Isso lhes deu a ideia de modificar o modo como padronizam o kelvin e o quilograma.

Os cientistas vivem bolando esquemas mirabolantes para medir essas constantes com maior precisão. É uma necessidade profissional. Eles precisam da constante de Planck para entender as relações entre a energia guardada num átomo e a frequência de suas emissões eletromagnéticas, sem o que não podem melhorar o projeto de relógios atômicos, sem o que não podem melhorar o projeto de sistemas globais de posicionamento, como o GPS. Eles precisam determinar precisamente a velocidade da luz, sem o que não podem compreender como o universo se formou, e como deve ainda se desenvolver.

Técnicos e cientistas já padronizaram várias unidades de medida levando tais constantes em consideração. Padronizaram o metro, por exemplo, em termos da velocidade da luz: 1 metro é o comprimento que certa onda de luz, emitida pelo átomo de krypton-86, viaja no vácuo ao longo de 1 segundo dividido por 299.792.458. Assim, em tese, em todo lugar do mundo qualquer um que saiba o que é um átomo de krypton-86 tem como saber perfeitamente o que é 1 metro.

Quanto ao quilograma, continua sendo definido à moda antiga — de acordo com um quilograma de referência, que alguém guarda com cuidado em algum lugar. Hoje em dia, os franceses guardam um cilindro de metal (platina e irídio) na cidade de Sèvres (arredores de Paris); esse cilindro serve de referência mundial para o quilograma. Mas quem garante, por exemplo, que o próprio cilindro não perde massa com o tempo? Ou que a gravidade em Sèvres não se altera com o tempo?

O kelvin, por sua vez, é padronizado de acordo com a temperatura da água em certas condições bem específicas.

Visto que os cientistas já brigam menos quanto ao valor das constantes mais importantes da natureza, especialistas em metrologia conversam mais sobre a possibilidade de usar tais constantes para mudar as definições de kelvin e de quilograma. Querem recorrer à constante de Bolzmann para definir o kelvin, e à constante de Planck para definir o quilograma. Se fizerem isso da forma como planejam, em 2018 os franceses terão de encaminhar o cilindro de Sèvres a um museu de ciência e tecnologia. {FIM}

Será que a matemática é importante?

Problema. Você tem diante de si 27 moedas idênticas em tudo, exceto uma, que pesa mais do que as outras. Tem uma balança de pratos sem escala. Como pode descobrir qual é a moeda diferente com apenas três pesagens? Detalhe: você não pode usar nenhum peso de referência; tem de pesar tão somente as moedas.


{1}/ Ensinando a admirar

David Leonhardt, jornalista do The New York Times, especialista em matérias sobre ciência e matemática, escolheu um problema desse tipo para ilustrar uma discussão que ocorreu no dia 30 de junho no Festival de Ideias de Aspen. (O problema que mencionou era mais complicado.) O tema da discussão: Será que a matemática é mesmo importante? Será que é importante em igual medida para todos?

Minutos depois que David propôs o problema, talvez menos, um sujeito da plateia teve a ideia de recorrer ao telefone celular para entrar no Google. Digitou as locuções “tantas moedas” e “três pesagens”, e em segundos tinha em mãos uma lista de links com a solução mais comentários.

Isso foi bom. Deu ao grupo de painelistas uma questão interessante para discutir: até que ponto uma pessoa precisa estudar matemática, sendo que pode resolver muitos problemas matemáticos ao simplesmente entrar na internet? Afinal, o internauta esperto calcula até derivadas e integrais com pouco esforço.

(Os painelistas eram: David Leonhardt, jornalista do The New York Times, no papel de perguntador-mor; Steven Strogatz, da Universidade Cornell; Jordan Ellenberg, da Universidade de Wisconsin; Jo Boaler, da Universidade Stanford; David Coleman, educador e autor; Elizabeth Green, educadora e autora; Pamela Fox, engenheira de software a serviço da Khan Academy; e Steve Rattner, empresário e financista.)

A certa altura, Steven Strogatz perguntou e respondeu:

— A matemática é importante? A resposta a essa pergunta é: “Obviamente que sim.” Mas ela também é: “Obviamente que não.”

É facílimo achar gente que viveu bem tendo usado a matemática escolar quase nunca, especialmente as partes mais sofisticadas dessa matemática escolar: progressões aritméticas e geométricas, logaritmos, matrizes e determinantes, polinômios, números complexos. É facílimo achar gente que, se necessário, tem o poder de usar a internet para resolver problemas relativamente complicados, como o das moedas, ou até mais complicados. Se uma dessas pessoas diz que a matemática não é assim tão importante, será que não tem razão, já que sua própria vida lhe dá razão?

“Apesar disso”, disse Steven, “todas as grandes economias do mundo precisam de cientistas, engenheiros, matemáticos. Precisam de especialistas com ótimo treinamento em matemática e métodos quantitativos. E, pensando desse modo, é fácil ver que a matemática é importante.”

Em vários momentos da discussão, os painelistas reconheceram que essa discussão (é importante? não é importante?) não leva ninguém a lugar nenhum. Há questões mais importantes a investigar; por exemplo: Como um país pode mostrar a seus estudantes que a matemática é fantástica e bonita? Se um país consegue fazer isso, daí seus cidadãos adultos se dividem em dois grupos:

Grupo 1. É o grupo das pessoas que quase nunca usa as ferramentas mais sofisticadas da matemática, mas continua a se divertir com elas, pois aprendeu a ver como a matemática é fantástica e bonita.

Grupo 2. É o grupo das pessoas que usa as ferramentas mais sofisticadas da matemática todo dia, e mesmo assim se diverte com elas, pois aprendeu a ver como a matemática é fantástica e bonita.

— Se uma pessoa aprende a gostar de matemática — disse Steven —, ela vê como é absurdo, nas discussões sobre as desigualdades sociais nos Estados Unidos, misturar milionários com bilionários. Vejo isso nos jornais com frequência, como se pudéssemos pôr milionários e bilionários no mesmo saco.

Para explicar melhor o que pretendia dizer, Steven usou o famoso exemplo dos segundos: 1 milhão de segundos é igual a 11 dias, 13 horas, 46 minutos, e 40 segundos. Mas 1 bilhão de segundos é igual a 31 anos, 8 meses, 15 dias, 17 horas, 46 minutos, e 40 segundos. “A diferença entre ‘um milhão de segundos’ e ‘um bilhão de segundos’ é só uma letra.” O americano médio passa anos na escola, e mesmo assim se forma sem  boa ideia da imensa diferença entre mil e milhão, entre milhão e bilhão. (O brasileiro também; jornalistas com frequência trocam milhão por bilhão.)

O ponto é que nenhum sistema escolar passa boas noções técnicas a milhares de estudantes se não tem a capacidade de passar um senso de admiração pela matemática. Quando surge a admiração, pouco tempo depois surge também a competência técnica, que é quase efeito colateral dessa sensação de que a matemática é fantástica e bonita.


{2}/ Decore, decore, decore

Elizabeth Green disse que nenhum país do mundo conseguiu montar um sistema de escolas que ensine matemática igualmente bem para todos, seja o aluno rico, seja pobre. Em todos os países, os alunos mais ricos recebem treinamento melhor, e os mais pobres, pior. “Em quase todas as grandes economias do mundo”, disse Elizabeth, “a porcentagem de estudantes que consegue resolver um problema matemático, e que consegue explicar tim-tim por tim-tim por que a resolução está certa, é menor que 10%.” Apesar disso, há países em que o grau de injustiça é menor, isto é, há países nos quais há mais estudantes pobres entre esses 10%. Entre tais países, estão Japão e Finlândia.

Japão e Finlândia, disse Elizabeth, montaram uma rede de escolas com características semelhantes. Eles procuram contratar não apenas professores bem treinados em matemática, mas professores que adoram matemática, e que passam ao estudante o entusiasmo que sentem pela matéria. Eles pedem aos professores que, tanto quanto possível, ensinem matemática por meio de problemas, como o problema das 27 moedas; a pressuposição é que um estudante facilmente se entusiasma por problemas, e daí não quer apenas  resolvê-los, mas explorá-los — nesse ponto, ele fica todo ouvidos para a teoria. Eles pedem aos professores que evitem a decoreba, as receitas de bolo, e que foquem nos conceitos. Visto que o professor precisa de tempo para fazer com que o aluno entenda um conceito matemático bastante bem, tais países adotam um currículo de matemática menor e mais flexível.

A certa altura, Jo Boaler interviu para concordar. “Nos Estados Unidos”, disse Jo, “o foco não é tanto nos conceitos matemáticos, mas na prática. O foco é ‘pratique, pratique, pratique’. Não há nenhum problema nisso, não fosse o fato de o estudante, que é jovem, interpreta ‘pratique, pratique, pratique’ como sendo ‘decore, decore, decore’.” Em geral, o estudante não gosta de decorar fatos, e por isso em pouco tempo já não gosta mais de matemática.


{3}/ O que é ser matemático

Um estudante (vou chamá-lo de xf3) atacou esse problema das moedas seguindo uma dica do próprio David Leonhardt: comece pesando dois grupos de moedas, e deixe um grupo de moedas à parte. Se a balança se desequilibrar, o prato mais baixo contém a moeda mais pesada. Se a balança se equilibrar, o grupo de moedas fora da balança contém a moeda mais pesada. Daí basta repetir o método.

A certa altura das discussões, David disse:

— Eu gosto desse problema porque ele mostra a força e a beleza da matemática. Você pesa dois grupos de moedas, e com isso obtém informações sobre o grupo que não pesou.

Depois que entendeu a sugestão de David, xf3 foi buscar inspiração num trecho de livro do qual gosta, um parágrafo do livro A Mathematician’s Delight (1943), escrito pelo matemático americano W. W. Sawyer. “Em geral”, escreveu Sawyer, “um matemático não resolve um problema para logo em seguida esquecê-lo. Ao contrário, assim que o resolve, começa a alterar as condições do problema, para ver se ainda assim poderia resolvê-lo. Ele quer descobrir se existe algum princípio ou regra subjacente à estrutura daquele problema, pois quer ter a certeza de que conseguirá identificar e resolver qualquer problema daquele tipo no futuro.”

xf3 brincou com  o problema das moedas um tempão, e descobriu um jeito interessante de explorar a resolução: andar de trás para a frente, ou do fim para o começo. Chamou a etapa final da resolução, na qual realiza a última pesagem, de “etapa n”. Na etapa n, ele pode ter três moedas no máximo. Ele pesa duas delas, e deixa uma à parte. Se a balança se equilibra, a moeda diferente é a que ficou à parte. Se a balança se desequilibra, a moeda diferente é a que ficou no prato mais baixo.

Como pode alterar o enunciado para combinar com essa resolução, isto é, para combinar com só uma etapa ou só uma pesagem? “Você tem três moedas e blá-blá-blá”, escreveu xf3 no caderno. “Como pode identificar a mais pesada com apenas uma pesagem?”

Voltando uma pesagem para trás, descobriu que, na etapa n – 1, poderia ter nove moedas. Bastaria pesar dois grupos de três moedas cada um, e deixar um grupo de três moedas à parte. Se a balança se equilibra, na etapa n ele pesa o grupo de três moedas que ficou à parte. Se a balança se desequilibra, pesa o grupo de três moedas que ficou no prato mais baixo.

E daí, voltando mais uma pesagem para trás, xf3 viu que, na etapa n – 2, poderia ter 27 moedas. Bastaria pesar dois grupos de nove moedas, e deixar um grupo de nove moedas à parte. Se a balança se equilibra, na etapa n – 1 ele pesa as nove moedas que ficaram à parte. Se a balança se desequilibra, pesa as nove moedas do prato mais baixo.

Como poderia alterar o enunciado do problema para este caso em que n = 3? “Você tem 27 moedas e blá-blá-blá”, escreveu xf3 no caderno. “Como pode identificar a mais pesada com apenas três pesagens?”

xf3 notou que estava lidando com uma função, ou com uma correspondência entre o número de etapas (ou de pesagens) e o número inicial máximo de moedas. Na etapa n – 0, são três moedas, isto é, 30+1. Na etapa n – 1, são nove moedas, isto é, 31+1. Na etapa n – 2, são 27 moedas, isto é, 32+1. Ficou claro que, andando para trás, na etapa nk, ele tem de pesar 3k+1 moedas no máximo, para que consiga chegar à etapa n com três moedas. Na etapa nk, tudo o que tem de fazer é dividir as 3k+1 moedas em três parcelas iguais, pesar duas delas, deixar uma delas à parte, e seguir adiante. Depois de pensar no assunto um pouco mais, xf3 percebeu que poderia deixar essa correspondência um pouco mais bem definida, e no fim das contas escreveu: “Pense num inteiro positivo n, que representa o número máximo de pesagens. Se pensar assim, na primeira pesagem, você pode começar com no máximo 3n moedas. Na segunda pesagem, terá 3n–1 moedas. Na terceira, 3n–2 moedas. Na quarta, 3n–3 moedas. Na r-ésima pesagem, terá 3n–(r–1) moedas, isto é, 3n+1–r moedas. Na última pesagem, a enésima, terá três moedas.”

Portanto, se fizesse n = 9, poderia reescrever o enunciado do problema da maneira a seguir:

Problema. Você tem diante de si 19.683 moedas idênticas em tudo, exceto uma, que pesa mais do que as outras. Tem uma balança de pratos sem escala. Como pode descobrir qual é a moeda diferente com apenas nove pesagens? Detalhe: você não pode usar nenhum peso de referência; tem de pesar tão somente as moedas.

Visto que xf3 agiu feito um matemático, se um dia topar com um problema desses, saberá o que deve fazer para resolvê-lo: “Divida as 19.683 moedas em três grupos com 6.561 moedas cada um. Pese dois desses grupos, e deixe um deles à parte. Se a balança se desequilibra, pegue as 6.561 moedas do prato mais baixo, que deve dividir em três grupos com 2.187 moedas cada um, etc.” Esse é o milagre que qualquer um obtém quando entende como um matemático se comporta: o milagre de transformar problemas difíceis, à primeira vista, em problemas fáceis.


{4}/ Três minutos para a resolução

Os painelistas conversaram sobre uma questão comum nos Estados Unidos (e no Brasil também): os alunos estudam matemática para passar em algum tipo de prova ou de teste vestibular. Esse é seu principal objetivo. Por causa disso, escolas e professores se veem obrigados a ensinar matemática mais ou menos como se ela fosse uma obrigação, sem a qual os alunos não podem passar no vestibular.

E então as aulas de matemática viram mesmo uma coisa do tipo “pratique, pratique, pratique, pois na prova você terá de responder uma questão de matemática a cada três minutos”, que os alunos acabam entendendo como “decore, decore, decore, pois na prova eu terei de responder uma questão de matemática a cada três minutos”. Num ambiente desses, como o estudante pode descobrir o que é matemática, e por que é importante?

O matemático Jordan Ellenberg lembrou que, em tais circunstâncias, o estudante não tem tempo nem motivação para aprender a lidar com sentimentos comuns entre matemáticos — o sentimento de estar confuso, o de se sentir perdido, o de ficar envergonhado da própria burrice, entre outros sentimentos afins. “Muita gente abandona a matemática assim que pode, pois não aguenta a sensação de vergonha. As pessoas pensam que um matemático nunca se sente assim, quando na verdade ele se sente assim com frequência. A diferença entre uma pessoa comum e um matemático é que o matemático aprendeu a lidar com tais sentimentos, especialmente com o sentimento de vergonha, que é a vergonha de não ter conseguido resolver um problema.”

Talvez, contudo, a principal lição do painel de discussões seja outra. Todos os painelistas sabiam bem o que é matemática, e por que é importante, mas não conseguiram passar o que sabiam e o que sentiam de modo que a plateia se visse transportada para dentro da cabeça de um matemático. A discussão foi interessante, mas muitas vezes confusa. Será que praticar a matemática é como saltar de paraquedas? Como uma pessoa, sentada na poltrona de casa, pode adivinhar de que jeito vai se sentir quando o piloto desliga o motor do avião, e ela vê que não tem escolha exceto desistir ou saltar? {FIM}


Para assistir ao painel de discussões, em inglês, clique aqui.