Cálculo sem pressa é bom

Por que tantos terminam a faculdade com a impressão de que cálculo diferencial e integral é tão difícil que chega a ser inútil? (É difícil, mas não tanto assim; e é muito útil.) Nesta reportagem, professores explicam o motivo: os jovens calouros têm só quatro meses para estudar o que a humanidade levou 23 séculos para aperfeiçoar, e, concluída a faculdade, nunca mais voltam aos livros.


COMO O LEITOR CHAMARIA uma pessoa que estuda o mesmo assunto há décadas, e que ainda não entendeu tal assunto 100%?

Quando Leila Maria Vasconcellos Figueiredo, Martha Salerno Monteiro, e Claudio Possani tiveram as primeiras aulas de cálculo infinitesimal, um computador portátil custava 32.000 dólares, tinha o jeitão do que hoje chamamos de calculadora científica, e pesava 20 quilos. Leila estuda cálculo há 47 anos, Martha, há 44 anos, e Claudio, há 43 anos. Não são três estudantes lerdos, mas professores no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP); são doutores em matemática e dão aulas de cálculo tanto para matemáticos quanto para os engenheiros da Escola Politécnica da USP. Leila se esforça para, durante as aulas, inserir breves explicações sobre a história do cálculo, mas nunca estudou tal história formalmente. “Eu esqueço as datas.” Martha, a cada curso que ministra ou cada livro que lê, aprende um pouco mais, mas, mesmo assim, gostaria de entender certos tópicos melhor. “Por exemplo, os multiplicadores de Lagrange.” Cláudio ainda estuda cálculo — estuda mesmo, como um estudante faria: arruma a mesa com o texto, o caderno, e a caneta, e vai lendo e escrevendo para acompanhar as explicações. “Ainda existem aspectos do cálculo que eu não pude estudar em profundidade.”

Se professores experientes ainda não compreendem perfeitamente um tópico ou outro do cálculo, o que esperar do estudante no primeiro semestre da faculdade, matriculado num curso de Cálculo I? Ele terá seis meses (na prática, tirando as férias, as faltas, e as greves, uns quatro meses) para estudar tudo o que James Stewart incluiu nas 650 páginas do livro Cálculo Volume 1. “O curso de cálculo é difícil e corrido”, diz Martha. “É muita coisa, e muita coisa profunda, em pouco tempo.” Leila concorda. Ninguém pode dizer quando as primeiras ideias do cálculo surgiram, mas muita gente usa Arquimedes como referência: no ano 370 antes de Cristo, ele recorreu a uma espécie de cálculo integral para calcular um valor aproximado da constante π. “Os professores têm só um semestre”, diz Leila, “para apresentar o que levou no mínimo 2.300 anos para descobrir.”

Na pressa, o professor passa rápido por ideias importantes, mas difíceis de engolir. Diante da classe, ele diz aos estudantes algo assim:

“Imagine dois números reais bem próximos um do outro, como 1 e 1,0001.”

Cada estudante tenta visualizar os dois números.

“Entre esses dois números”, continua o professor, “existem infinitos números.”

O professor faz uma breve pausa enquanto os estudantes pensam nisso: infinitos números entre 1 e 1,0001.

“Agora pegue dois números reais bem próximos um do outro bem no meio do intervalo entre 1 e 1,0001.”

Cada estudante imagina dois números do tipo 1,00005 e 1,000050001.

“Entre esses dois novos números, existem infinitos outros.”

Leila diz que alguns alunos se revoltam. “O estudante não se conforma com a ideia de que um número na reta real não tem um vizinho bem a seu lado. Entre quaisquer dois números, por mais próximos que estejam, existem infinitos outros números.” Claudio acha que essa ideia é difícil de engolir porque ela não tem correspondência com a realidade.

Se o estudante pega um lápis e desenha uma linha, essa linha é feita de grafite, e grafite é feito de átomos de carbono. O estudante entra na internet e descobre o diâmetro de um átomo de carbono: 340 picômetros (1 picômetro é um metro dividido por 1 trilhão). Em outras palavras, na linha desenhada a lápis, cada átomo de carbono tem um átomo vizinho; isso não acontece na reta dos números reais. “Muito estudante de cálculo 1”, diz Claudio, “termina o curso sem reparar que parou de medir ângulos em graus e que passou a medi-los em radianos. Eu tenho de chamar a atenção da classe para isso.” Correndo desse jeito, o estudante entra numa espécie de transe pela sobrevivência. “Ele só quer saber de estudar o que cai na prova”, diz Leila. “Ele só se interessa pelo caminho mais curto para passar de ano.”

Com a correria, o estudante fica sem escolha: sente-se obrigado a decorar o que não pôde entender. Termina o curso com a impressão de que o cálculo é bonito, tudo bem, mas é também um monte de regras a decorar e a seguir à risca — basta uma tangente fora do lugar e fica impossível calcular uma integral definida (isto é, a área entre a curva de uma função, o eixo X, e duas linhas verticais). E assim o estudante não chega a perceber que manejou uma criação humana mais extraordinária que a Apolo 11, dentro da qual três homens chegaram à Lua. Sem o cálculo diferencial e integral, não haveria Apolo 11.

Coisas curvadas e torcidas. Para que o estudante se dedique ao curso de cálculo, ele precisa justificar as horas de estudo a seu monstro interno — aquela coisa que, dentro de nós, só se entusiasma com sexo, pizza, e TV. Como o curso é corrido, o professor dedica apenas uma parte da primeira aula explicando aos calouros por que eles deveriam estudar cálculo com prazer e afinco — Leila fala em “duas horas”. Em geral, o professor segue a linha “o que você consegue fazer com o cálculo que, sem o cálculo, não conseguiria fazer”.

● “Pegue uma esfera”, diz Claudio aos alunos, “e desenhe umas linhas retas na superfície da esfera.” Os alunos descobrem depressa que, numa esfera, só podem desenhar linhas curvas; eles não conseguem desenhar nem o triângulo retângulo, o amigão do ensino básico. Usando apenas a geometria euclidiana, diz Claudio, o estudante não consegue criar uma função para mapear os pontos de uma linha na esfera aos pontos de outra linha — mas com o cálculo ele consegue. “Livros de geometria não euclidiana”, diz Claudio, “contém uma derivada ou uma integral a cada duas linhas. O cálculo nos permite tratar de planos curvados ou torcidos.”

● Qual é a temperatura média ao longo do dia? Muito estudante se engana com essa pergunta, porque ela parece fácil: some a maior temperatura com a menor e divida a soma por dois. Bem, é pouco provável que essa conta dê a temperatura média do dia. Para calcular a verdadeira temperatura média, o estudante deve medir a temperatura a cada instante, deve somar todas as medições, e por fim deve dividir a soma pela quantidade de instantes. Só que existem infinitos instantes ao longo de um dia, pois é possível dividir 1 segundo por 1 bilhão de instantes, por 100 trilhões de instantes… Com o cálculo, o estudante acha uma função que se comporta como a temperatura ao longo do dia, e depois disso, na imaginação, soma infinitas medições, que poderia ter feito a cada infinitésimo de instante, divide a soma pela quantidade infinita de instantes, e com isso obtém a verdadeira temperatura média do dia. (Uma vez que o estudante ache uma função contínua que se comporta como a temperatura ao longo do dia, pode usar a imaginação para fazer coisas incríveis.)

Na verdade, explica James Stewart, o autor dos livros de cálculo mais usados no Brasil, com o cálculo o estudante trata bem de qualquer fenômeno que possa ser expresso por meio de uma função. Se ele expressa a distância percorrida em função do tempo, usa o cálculo para achar, num instante qualquer, a velocidade ou a aceleração. Também usa o cálculo para achar, num período qualquer (período = o instante x2 menos o instante x1), a velocidade média. Se o estudante expressa a área da superfície da esfera em função do raio r, usa o cálculo para achar o volume de uma esfera de raio r: basta somar as infinitas áreas da superfície das infinitas esferas dentro da esfera de raio r. Se o estudante expressa a área que pode focar com os olhos em função do ângulo pelo qual se posiciona acima ou abaixo daquilo a que está olhando, então usa o cálculo para descobrir a melhor cadeira na qual se sentar no cinema. Sem o cálculo, diz Stewart, o piloto não teria como saber a que distância do aeroporto ele precisaria começar a descer o avião — pois aviões não descem em linha reta, como nos problemas do ensino básico; antes descem numa curva suave.

Bebês por ano. Depois do panorama, os professores se concentram nas duas ideias essenciais do cálculo: a ideia de derivada e a de integral. Um professor americano, Steven Strogatz, gosta de começar a aula sobre derivadas com uma informação absurda: com a derivada, você pode provar que as pessoas ficam suspensas no ar.

Para resumir bastante, a função derivada é a reta que tangencia uma função qualquer, derivável, num ponto x qualquer. Num plano cartesiano, retas são ótimas, pois elas passam claramente a informação do quanto varia o valor de y conforme varia o valor de x. Pode parecer bobagem, mas essa é uma informação útil. “A derivada é uma razão”, diz Mark Ryan no livro Cálculo para Leigos. “É um isso dividido por aquilo.” Quando o estudante fala em “2 quilômetros por hora”, em “5 litros por minuto”, em “10.000 bebês por ano”, em “2 celulares por pessoa”, em “5 miligramas de paracetamol por litro de sangue”, em “custo marginal de 8 reais por produto”, o estudante está falando de uma derivada. “Imagine um predador correndo atrás da presa”, diz Claudio Possani. “Os dois estão, a todo momento, calculando a derivada.” O predador calcula a quantidade de centímetros mais perto da presa a cada passada, e usa essa informação para acelerar, brecar, ou desistir da perseguição. A presa calcula a quantidade de centímetros mais longe do predador a cada passada, e usa a informação para acelerar, mudar violentamente de rumo, ou se voltar e enfrentar o predador. “Na nossa vida cotidiana, a todo momento topamos com esse ∆y/∆x”, diz Claudio. “Quando alguém pergunta Aumentou de novo a inflação?, essa pessoa está falando de uma variação de preço, que é um ∆y, relativa a uma variação do tempo, que é um ∆x. Isso é uma derivada.”

Na função que representa um jogador saltando no ar para comemorar um gol, existe um brevíssimo instante de tempo em que a derivada dessa função é igual a zero: é o brevíssimo instante de tempo em que o jogador não está subindo (com derivada positiva, talvez medida metros por segundo) nem está descendo (derivada negativa). “Por um infinitésimo de segundo”, diz Steven Strogatz, “o jogador fica parado no ar. Não é força de expressão: ele fica literalmente parado no ar.” Físicos, engenheiros, e economistas todo dia procuram os pontos de uma função nos quais a derivada é igual a zero; tais pontos são aqueles instantes nos quais as coisas pararam de subir e vão começar a descer, ou pararam de descer e vão começar a subir. “Perto de um ponto x qualquer”, diz Leila, “a função se comporta como uma reta. Por isso essa função, por complexa que seja, pode ser substituída pela função derivada, isto é, por uma reta tangente à função. Essa ideia é genial, e muito útil para engenheiros e físicos.” Cientistas e engenheiros precisam saber quando algo começará a descer ou a subir — em que instante a gravidade de Terra será compensada pela força centrífuga do foguete? Nesse brevíssimo instante, se a propulsão do foguete se extinguir, ele estará em órbita.

“Essa primeira introdução sobre derivadas é difícil”, diz Martha Salerno. “Muita gente está vendo certas ideias essenciais pela primeira vez — as equações da reta, por exemplo.” O aluno mal tem tempo de descobrir que ele deveria ter estudado as equações da reta no ensino básico, mas não estudou, quando o professor engata na próxima ideia essencial do cálculo: as integrais.

Somas de fatias bem finas. Todos os professores explicam aos alunos que a ideia de integração surgiu bem antes que a ideia de derivação; quase todos citam Arquimedes, que calculou corretamente a área sob uma parábola. Arquimedes preencheu a área a calcular com um triângulo, dois triângulos, três triângulos, e percebeu que, conforme ele aumentava o número de triângulos, a área sob a parábola tendia para um número. Ele presumiu que esse número era a área sob a parábola, e estava certo. (Quase certo, na verdade; veja a observação 3.)

Integração é isso: se o estudante precisa achar a área de uma figura cheia de curvas, ele fatia a figura, substitui cada fatia por um retângulo (isto é, substitui cada fatia por uma figura cuja área é fácil de calcular), e soma a área de todas as fatias. Conforme o número de fatias aumenta, a área de todos os retângulos somados se aproxima da área real; conforme o número de fatias tende ao infinito, a área de todos os retângulos somados tende à área exata. O método é o mesmo para calcular o volume de um sólido cheio de curvas: o estudante fatia o sólido, substitui cada fatia por um sólido cujo volume seja mais fácil de calcular, e soma todos os volumes de todas as fatias. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), matemático alemão que desenvolveu várias técnicas do cálculo, chamava o cálculo integral de calculus summatorius, ou cálculo de somatórios, e esse é um bom nome. “Com o cálculo integral, achamos uma área ou um volume”, diz Claudio. “Essa área ou volume pode representar a massa de um objeto, ou o momento de uma partícula, ou a temperatura média do dia, ou a altura média das crianças de 10 anos.”

Dito assim, tudo isso parece fácil, mas calcular uma integral é bem mais difícil que calcular uma derivada. Conforme a área ou o volume a calcular, essa soma de milhões de números atribuídos a fatias minúsculas se transforma não numa soma a realizar, mas num monstro a destruir. Tanto é que, depois de Arquimedes, por quase 20 séculos ninguém conseguiu fazer o cálculo integral avançar significativamente. Só no século 16 os matemáticos perceberam que havia uma correspondência entre integrais e derivadas, e só no século 17 usaram essa correspondência para fundar o cálculo como o conhecemos hoje.

Isaac Newton (1642-1727) colocou essa correspondência no papel com clareza: é possível calcular o valor de uma integral ao realizar uma operação aritmética simples com uma derivada. Mais tarde, essa afirmação seria provada com rigor e ganharia o nome de teorema fundamental do cálculo. “Se o TCF não existisse”, diz Claudio, “o cálculo certamente não seria tão útil.” Martha acha que o TFC foi “uma conquista importante da humanidade”.

Por que os elogios? Porque calcular integrais é de fato difícil — quanto a isso, todo exagero é pouco. É fácil dizer “divida a área em fatias infinitamente finas” e “some a área de infinitos retângulos cuja largura é infinitamente pequena”. Mas, para fazer as contas, o sujeito precisa ser bom de álgebra e ter disposição para fazer contas por dias a fio, e às vezes semanas ou meses. Calcular derivadas é muito mais fácil. Quase todos os estudantes de cálculo ficam bons no ofício de achar a derivada de uma função. Pois o TFC diz que, quando a função a integrar é a derivada de uma outra função, o estudante pode calcular uma integral com uma mera subtração — e fica dispensado de fatiar a área em tiras infinitamente finas ou de fatiar o sólido em fatias infinitamente finas, e fica dispensado de descobrir o limite da soma da área das infinitas tiras de largura infinitamente pequena, etc. “O TFC aumentou muito o número de integrais que conseguimos calcular”, diz Steven Strogatz, “e ele reduziu o trabalho a algo que você consegue fazer resmungando.”

Matemática parada. Steven Strogatz diz que o estudante pode aplicar a geometria e a álgebra básicas às mudanças mais simples, aquelas nas quais alguma coisa muda a uma taxa constante. É o caso dos problemas do tipo: se um carro viaja à velocidade constante de 80 quilômetros por hora… Esse carro, conforme a álgebra básica, percorre 80 quilômetros na primeira hora, 160 quilômetros nas duas primeiras horas, 240 quilômetros nas três primeiras horas. Mas e se essa coisa muda a uma taxa variável? Os motoristas brecam e aceleram o tempo todo; raramente o carro fica mais que uns poucos segundos a velocidade constante. Sendo assim, raramente a álgebra e a geometria básicas prestam.

“No ensino básico”, diz Leila, “a matemática é muito parada.” Ainda na primeira aula do curso de cálculo, o professor conversa com os alunos sobre alguns limites importantes. Com a ideia de limite, os calouros dão movimento à matemática do ensino básico, e logo conseguem usar aquela matemática parada para tratar das vibrações num trem, dos fluidos num sistema de freio, das paredes num prédio sacudido pelo vento. “Com a ideia de limites”, diz Claudio, “a humanidade pegou aquela matemática parada e inventou a geometria não euclidiana, os sistemas dinâmicos, a probabilidade e a estatística, a computação.” Em essência, diz Martha, o cálculo é um monte de truques com limites para deixar a matemática do ensino básico útil para problemas reais. “São técnicas simples para resolver problemas muito complicados.”

A certa altura do primeiro curso, Claudio conversa com os estudantes sobre a diferença entre usar a matemática e fazer ciência. Nenhum matemático, por mais genial que seja, consegue modelar um problema real com perfeição; vista assim, a matemática não serve de espelho perfeito à realidade. “Mas o cálculo resolve uma quantidade imensa de problemas de modelagem matemática”, diz Claudio. O matemático não consegue modelar a realidade com perfeição, mas consegue usar o cálculo para construir um modelo aproximado da realidade.

“O papel do cientista”, diz Claudio a seus alunos, “é dizer a si mesmo: usei o cálculo para obter a resposta exata a um modelo aproximado do problema real; até que ponto essa resposta exata a uma versão aproximada do problema real serve como boa aproximação para o problema real?”

É uma pergunta importante, que todo engenheiro, biólogo, e economista deveria tentar responder o tempo todo. Mas logo um dos alunos pergunta:

“Professor, esse tema cai na prova?”

Leila diz que a maioria dos 80 estudantes de cada classe está mais interessada em saber o jeito mais fácil de passar de ano. Difícil o estudante que dá valor ao que está estudando. “Sabemos que estamos sempre dando aulas para poucas pessoas.”

Tendo quatro meses líquidos para dar o curso de cálculo 1, os professores dão definições precisas, mas com pressa; eles não têm tempo de mostrar aos estudantes todas as demonstrações com todos os épsilons (ε) e deltas (δ) tendendo a zero. Com os computadores, os estudantes entram na internet e põem o computador para desenhar gráficos e sólidos e para fazer animações. “Eles não usam a imaginação”, diz Martha. “Essa geração acha que não tem tempo de parar e pensar sem a ajuda do computador.”

Exceções à parte, o estudante de cálculo 1 é como o sujeito que vai a Paris pela primeira vez, mas a trabalho. Ele acha que matemática é difícil demais, ele quer passar de ano, e seus professores não têm tempo de insistir na ideia de que ele está mexendo com uma admirável realização da humanidade. Ele faz o curso e passa de ano, e nem nota que não aprendeu cálculo direito. É como se, em Paris, ficasse o tempo todo trancado nas salas de reunião do hotel perto do aeroporto. Ele faz bem se volta a Paris de férias, para passar uma tarde no Le Café Beaubourg, olhando os passantes, escrevendo coisas numa caderneta Moleskine, feito um poeta ou filósofo. Ele faz bem se, como Leila, Martha, e Claudio ainda fazem, estuda cálculo depois da faculdade, ao longo da vida, mais devagar. Paris e o cálculo merecem muitas visitas. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 13, fevereiro de 2012, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Este blogue contém um curso de introdução ao cálculo em dez capítulos; para estudar o primeiro, clique aqui. No pé do texto, vai achar os links para os demais capítulos.

3. Por que Arquimedes estava quase certo, mas não certo: ao calcular a área de uma figura plana F cujo perímetro é curvo, você pode usar a ideia de calcular em vez disso o limite da soma da área de muitos retângulos — de cada vez mais retângulos, de modo que, conforme o número de retângulos aumenta, a área de cada um deles diminui, e a soma das áreas tende a um limite. Contudo, isso não é uma descoberta, mas sim uma invenção. Os antigos pensaram que a área da figura F existia antes do cálculo integral, e foi descoberta por meio do cálculo integral. Essa área era um fato matemático a ser achado. Errado. Hoje sabe-se que a área da figura F deve ser definida como sendo o número real que você acha por meio do cálculo integral. Demorou para que a humanidade percebesse que certos fatos matemáticos não são descobertas, ao contrário: devem ser vistos como invenções.

Um monstro desconhecido


Todo professor experiente de matemática sabe sugerir remédios para o ensino médio, que há anos vai mal. Só que as sugestões não coincidem, e não só isso: elas se contradizem. É sinal de que o problema é grande (pois se apresenta a cada um de modo distinto) e não está bem diagnosticado.


{1}/ Sim, sim, sim, não, não, não

Várias instituições brasileiras e estrangeiras medem a qualidade do ensino médio no Brasil, mas, qualquer que seja a instituição, qualquer que seja o método, os resultados indicam que o jovem brasileiro conclui o ensino médio sem saber matemática o bastante para o dia a dia, quanto mais para a faculdade. Isso quando conclui o ensino médio.

Segundo os organizadores do Pisa (um programa internacional de avaliação), por exemplo, em 2015 os estudantes brasileiros com 15 anos de idade ficaram em 63º lugar em ciência, 59º lugar em leitura, e 66º lugar em matemática, comparados com estudantes de outros 70 países. Numa lista publicada pela Pearson em dezembro de 2012, o Brasil ficou em 39º lugar, à frente apenas do último colocado, a Indonésia. Muita gente culpa a grade, dizendo que, no ensino médio, o aluno tem coisas demais para estudar: são 12 matérias (língua portuguesa, arte, educação física, língua estrangeira, matemática, física, biologia, química, história, geografia, psicologia, e filosofia). “Isso leva o aluno a não estudar nenhuma matéria com razoável profundidade”, disse um especialista, “e a estudar, forçado, matérias pelas quais não tem nenhum interesse.” Será então a grade o problema principal? O Brasil deve reduzir o número de matérias para dar mais horas ao professor de matemática?

Não é a grade. Uns poucos especialistas dizem que, ao reduzir o número de matérias e dar mais tempo ao professor de matemática, o problema se resolve sozinho; mas vários outros dizem que mudanças na grade não resolverão o problema. O Brasil deve então treinar melhor os professores de matemática? Uns dizem que sim, vários outros dizem que é bom treinar professores, mas só isso não resolve o problema. O Brasil deve então parar de organizar o ensino médio em função do vestibular? Uns dizem que sim, outros não reconhecem a ênfase no vestibular como um problema. O Brasil deve então aperfeiçoar testes como o Enem? Uns dizem que sim, outros acham que testes não resolvem o problema do ensino médio: um país querer solução por meio de testes é tão ridículo quanto o sedentário querer solução para sua falta de ar por meio de radiografias, quando o que ele deve fazer é se exercitar. Será culpa dos próprios alunos, que só querem saber de consumir e de exibir suas compras no Facebook, em vez de estudar e se transformar em adultos competentes? Uns poucos dizem que o aluno de hoje não é tão interessado quanto o de antigamente, e vários dizem que culpar o aluno é absurdo. Será o jeito de dar aulas? Será a configuração da sala? Será culpa dos pais, que passam aos filhos a ideia de que quem é bom de matemática tem um dom, e que dom é presente dos deuses? Uns dizem sim, sim, sim, e outros dizem não, não, não.

A julgar pelo modo como especialistas no assunto se contradizem, seja qual for o problema com o ensino de matemática no ensino médio, ele é grande, não está bem diagnosticado e, como consequência, o Brasil não poderá resolvê-lo tão cedo.

Cadê as ordens? Professores, pais e alunos se enganam a respeito da grade e do livro didático (que, até certo ponto, espelha as diretrizes brasileiras para o ensino de matemática, isto é, espelha a grade imaginada por técnicos a serviço do governo). Eles examinam o livro didático, veem 68 páginas dedicadas à geometria analítica e 40 dedicadas à trigonometria, e daí concluem: geometria analítica é mais importante que trigonometria. Ou então veem que o autor do livro colocou matrizes antes de combinatória, e concluem: devemos ensinar matrizes antes de combinatória. “O brasileiro”, disse um dos especialistas, “se acostumou ao algoritmo, ao decoreba.” (A partir de agora, vamos chamar os especialistas de ‘Klein’; veja a seção 2.) Em termos mais simples, o brasileiro se acostumou a seguir receitas de bolo tão à risca quanto possível — numa palavra, se acostumou a ordens. Não dá a si mesmo, nem a seus subordinados, autorização para encarar a grade e o livro didático como sugestões.

Por isso vários Klein não querem incluir o livro didático (e a grade) entre as principais causas de notas baixas no ensino médio: para eles, o professor não precisa ensinar tudo, nem precisa dar mais ênfase ao que o livro dá mais ênfase e menos ênfase ao que o livro dá menos ênfase, nem precisa ensinar as coisas na ordem em que aparecem no livro. Eles reconhecem que alunos e pais estão numa posição inferior (os alunos, porque são jovens e inexperientes; os pais, porque são leigos), e depois do reconhecimento dizem que nem mesmo o aluno precisa estudar a matéria tal como o professor sugere: ele está autorizado a estudar mais aquilo de que gostou mais, e menos aquilo de que gostou menos, embora não se sinta autorizado. “A grade pode e deve ser escolhida pelo próprio aluno”, disse um dos Klein. (No mínimo, o aluno pode fazer de propósito o que já faz sem pensar: estudar menos o que julga menos interessante, e arcar com as consequentes notas baixas nesse assunto, para ganhar tempo de estudar o que julga mais interessante. Em vez de agir assim à revelia do professor, pode pedir a consultoria técnica do professor.) No fundo, dizem os Klein, mais importante que o livro ou a grade é o modo como professor e aluno se relacionam.

Máquina de aulas atraentes. Tal relacionamento é importante porque o aluno de hoje tende a se distanciar mais do professor do que o aluno de 50 anos atrás, em parte porque o aluno de hoje nem sempre se intimida com adultos em posição de autoridade, em parte porque pode achar boas explicações sobre o assunto do dia na internet — e sabe disso. Há boas aulas na internet sobre quase todos os tópicos da matemática. Então, numa classe um professor dá aulas sobre números complexos, mas os alunos se distraem com o Twitter, pensando: “Mais tarde eu estudo a matéria.” Noutra classe outro professor dá aulas sobre os mesmos números complexos e a classe fica hipnotizada. O que distingue um professor do outro?

Não é meramente treinamento técnico. Um dos Klein dá aulas a professores de matemática profissionais, que estão cursando mestrado ou doutorado, mas não gosta do teor de várias das conversas que mantém com seus alunos. “Muitos deles ignoram conceitos elementares, e muitos mais não conhecem a história da matemática.” (Uma ressalva: o que é elementar para um professor pode não parecer elementar para um leigo; por exemplo, um professor tem de saber por que toda equação de reta é um caso especial de equação diofantina.) Usando o exemplo de professores assim, com problemas de formação, políticos e técnicos do governo lançam ou relançam programas de treinamento, e todos os Klein acham necessário gastar esse dinheiro, embora um deles duvide desses programas. “Tais cursos tendem a repetir os vícios da graduação.” Em tais cursos, disse esse Klein, entram professores com falhas técnicas na formação, e que dão aulas sem graça, e saem professores com menos falhas técnicas na formação, mas que continuam a dar aulas sem graça.

O bom professor de ensino médio, dizem os Klein, não hipnotiza seus alunos apenas recorrendo a conhecimentos técnicos; ele hipnotiza seus alunos mais pelo modo como encara a matemática e seu papel na sala de aula e na sociedade. “Ele superou o estilo de aula em que um fala e muitos escutam”, disse um Klein. Ele é inquieto: está sempre folheando jornais e revistas para ver se consegue chamar a atenção dos alunos com uma notícia, e depois mostrar a eles que, conhecendo matemática, podem compreender aquela notícia melhor — talvez até melhor do que o jornalista que a escreveu. Ele conhece a história da matemática, e sabe conduzir a aula de tal modo que o aluno pergunte as mesmas coisas que os matemáticos perguntaram ao longo dos séculos, e a partir desse ponto o próprio aluno sente curiosidade por detalhes mais técnicos.

Talvez seja impossível ensinar um professor a dar aulas assim, se ele não estiver a fim, mas é possível mostrar-lhe o método pelo qual mudar de um chato para um hipnotizador. A prefeitura de Curitiba dá bolsas para professores da rede municipal; em troca do dinheiro, o professor deve escrever um artigo do tipo “como ensinar melhor o assunto X”. Cada bolsista conta com a consultoria de um professor universitário. Se o bolsista implementa seu próprio método, e se obtém bons resultados, a cidade ganha duas vezes — outros professores podem fazer o mesmo (pois a prefeitura divulga o projeto e os resultados), e o tal bolsista se transformou num professor que sabe o que deve fazer para ensinar melhor qualquer assunto. “Esse projeto”, disse um dos Klein, “vale muito mais do que um curso regular de formação continuada de professores.”

Raciocinar ou acertar. Todos os Klein sugerem mudanças de ênfase. Talvez seja o caso de gastar menos tempo com matrizes, determinantes, e sistemas lineares e mais tempo com o estudo de funções, de combinatória, e de estatística; talvez seja o caso de gastar menos tempo com números complexos, ou então o caso de misturar números complexos com geometria analítica — cada Klein tem sua ideia. Um deles disse que, não importa a ênfase, o curso de matemática deveria ser dado numa sala específica — o professor não vai de sala em sala atrás dos alunos, mas os alunos vão para a sala da matemática, onde usam trenas, teodolitos, poliedros, calculadoras gráficas, e veem nas paredes cartazes com o gráfico das funções mais úteis (veja a seção 3).

Um deles acha que o Brasil tem de escolher entre dois tipos de ensino médio. Num deles, o aluno sabe realizar cálculos para obter resultados; ele usa a regra de Cramer para resolver um sistema linear de duas incógnitas, mas não se pergunta de onde surgiu essa regra de Cramer, nem se ela serve para resolver sistemas lineares com n incógnitas. No outro, o aluno aprende a escrever ensaios sobre tópicos importantes, do tipo “Por que Gabriel Cramer precisou inventar essa regra no século 18, e como é usada hoje?” Neste outro tipo, o aluno aprende melhor, mas é bem provável que os três anos do ensino médio não sejam suficientes para cobrir um livro didático comum. Vários professores elogiam esse último tipo de ensino, mas só da boca para fora; dentro da sala de aula, agem como todos os outros. “Para muita gente que ensina matemática”, disse um dos Klein, “o que interessa mesmo é obter resultados.” {❏}


{2}/ Apêndice: Quem são os Klein desta reportagem

Eis a lista, em ordem alfabética, dos especialistas que deram entrevista para esta matéria:

Célia Maria Carolino Pires, professora no departamento de matemática da PUC-SP.

Cláudio Saiani, professor na Universidade Federal Fluminense.

Cristiano Alberto Muniz, professor na Faculdade de Educação da Universidade de Brasília (DF) e presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática.

Dario Fiorentini, coordenador do grupo de estudos e pesquisas sobre formação de professores de matemática na Universidade Estadual de Campinas (SP).

Ivanete Batista dos Santos, professora no departamento de matemática da Universidade Federal de Sergipe.

Sonia Barbosa Camargo Igliori, coordenadora do programa de estudos em educação matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (SP).

Além deles, também usamos trechos de entrevistas anteriores com dois professores conhecidos:

José de Oliveira Siqueira, professor de métodos quantitativos no Instituto de Psicologia da Universidade de São Paulo.

Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos.

Decidimos chamá-los todos por Klein porque deram entrevista em separado, mas, como se contradisseram, talvez o leitor ficasse com a impressão errada de que se opõem. Talvez se oponham. Contudo, se dessem a entrevista na mesma ocasião, todos face a face, talvez chegassem juntos a um consenso. Não seria justo, portanto, justapor frases e apresentá-los como adversários.

Usamos o nome Klein em homenagem ao matemático alemão Christian Felix Klein (1849-1925), que teve a ambição de lançar uma enciclopédia de matemática avançada escrita do modo mais claro possível. Klein sabia que o estudante se atrapalha conforme avança nos estudos — ele tropeça nos próprios conhecimentos, digamos assim. “Todo mundo sabe o que é uma curva”, escreveu certa vez, “até que tenha estudado matemática o suficiente para se confundir com o incontável número de exceções possíveis.”


{3}/ Apêndice: Sala cheia de gráficos nas paredes

Um aluno estudou numa escola na qual as aulas de matemática ocorrem numa sala especial, com as paredes cobertas pelo gráfico de funções famosas, cada gráfico impresso bem grande. Com o tempo, o aluno obtém uma espécie de memória visual das funções. Como pode resolver a questão 27 da primeira fase do vestibular da Fuvest 2012?

Fuvest (2012) — As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham papel importante no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que √(a + b) = √a + √b.

b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a2b2 = 0, é verdadeiro que a = b.

c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que √(a2) = a.

d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b, é verdadeiro que (1/b) < (1/a).

e) Qualquer que seja o número real a, com 0 < a < 1, é verdadeiro que a2 < √a.

Numa questão assim, os organizadores querem ver se o vestibulando é capaz de achar contraexemplos simples de cada afirmação, pois, caso ache um mísero contraexemplo, pode tachar a afirmação de falsa. No caso da afirmação (a), o vestibulando rabisca o gráfico da função √x e pensa:

“Se faço a igual a 1 e b igual a 3, daí a raiz de a + b é 2, mas a raiz de a mais a raiz de b é certamente maior que 2. Essa afirmação é falsa.”

O gráfico de y = √x

O gráfico de y = √x

Aliás, se tivesse feito exercícios o suficiente, e examinado o gráfico nas paredes sempre que resolvesse um exercício com funções, o vestibulando teria a noção intuitiva de que uma curva como a da função √x não poderia dar origem a uma afirmação tão simétrica, do tipo f(a + b) = f(a) + f(b). É simetria demais para uma curva suave.

Na afirmação (b), o vestibulando vai lembrar que a função x2 é par, isto é, seu gráfico tem o eixo y como linha de simetria, e isso significa que dois valores opostos de x (por exemplo, 4 e –4) produzem o mesmo valor de y (16).

“Se faço a = 4 e b = –4, daí a2b2 = 0, mas a é diferente de b. Afirmação falsa.”

O gráfico de y = x²

O gráfico de y = x²

Ao examinar a afirmação (c), o vestibulando deve recordar um detalhe visual importante: o gráfico de √(x2) é idêntico ao gráfico de |x|, e ambas também são funções pares, assim como x2.

“Posso facilmente escolher a = –6, e daí √[(–6)2] vale 6, e 6 é diferente de –6. Afirmação falsa. Se o organizador tivesse afirmado que √(a2) = |a|, daí sim a afirmação seria verdadeira.”

O gráfico de y = √(x²) = |x|

O gráfico de y = √(x²) = |x|

Ao ler a afirmação (d), o vestibulando acostumado a gráficos pressente o perigo, pois o gráfico de 1/x ocupa o quadrante 1 e o quadrante 3 do plano cartesiano. Então o vestibulando escolhe dois valores para a e dois valores para b, e os posiciona de modo que revelem informações a respeito do quadrante 1 e do 3.

“Se faço b = 4 e a = 1, 1/b é realmente menor que 1/a. Se faço b = –1 e a = –4, 1/b é de novo menor que 1/a. Mas veja só: se faço b positivo, por exemplo b = 4, e faço a negativo, por exemplo a = –4, daí 1/b é sempre maior que 1/a, pois 1/b é positivo e 1/a é negativo. Por causa desse contraexemplo, a afirmação é falsa.”

O gráfico de y = 1/x

O gráfico de y = 1/x

Na afirmação (e), o vestibulando vai realmente usar sua memória visual, se tiver uma. Ele lembra que as funções x2 e √x começam no mesmo ponto (0, 0), se cruzam no ponto (1, 1) e, entre 0 e 1, √x é maior que x2. Aliás, esse é o único trecho em que √x é maior que x2; o vestibulando se lembra de como ficou impressionado ao descobrir como x2 cresce depressa, e como √x cresce devagar. (Com x = 100, por exemplo, x2 já vale 10.000, mas √x só vale 10.)

“O redator aqui excluiu os pontos (0, 0) e (1, 1), nos quais as duas funções são iguais, e por isso a afirmação é claramente verdadeira. Resposta (e).”

O gráfico de y = x² (em vermelho) e o de y = √x (em azul)

O gráfico de y = x² (em vermelho) e o de y = √x (em azul)


{4}/ Um curso de matemática com computadores

Um dos Klein disse que a matemática do ensino médio é complicada demais para os probleminhas do dia a dia, mas simples demais para problemas mais complexos. Como resultado, o aluno do ensino médio tem essa sensação de que está estudando uma matemática que não serve de nada; a sensação piora se o aluno já decidiu que não vai para a faculdade (como boa parte deles decide), pois não tem como dizer: “Pelo menos vou usar tudo isso no vestibular.” Só professores de enorme talento dissolvem essa sensação, mas um sistema nacional de escolas não pode se fiar em professores de enorme talento; o Brasil tem de se fiar em professores, sem nenhum adjetivo positivo ou negativo depois da palavra “professor”.

Por isso alguns dos Klein acham que o Brasil deveria treinar os professores para que usem computadores e calculadoras gráficas em sala de aula. O aluno, com umas poucas horas de treinamento nos conceitos mais importantes, consegue manejar o computador para achar derivadas e integrais, médias e desvios padrão; consegue calcular probabilidades e resolver sistemas complicados de equações lineares… Se fosse assim, o aluno aprenderia uma matemática mais útil para resolver problemas reais, que são naturalmente difíceis, e daí talvez quisesse estudar mais matemática para compreender melhor como o computador e a calculadora fazem sua mágica. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 24, janeiro de 2013, pág. 42. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. As entrevistas, com exceção de duas, foram feitas pelo jornalista Francisco Bicudo.

Não aposte no homem, mas sim no pombo

carolina-feher-da-silva


Muitas vezes, diz Carolina Feher da Silva, ratos e pombos tomam decisões de melhor qualidade que homens. Isso ocorre quando estão diante de eventos aleatórios. Visto que o homem é muito bom na arte de reconhecer padrões e de predizer o que acontece depois, ele tende a ver um padrão e a predizer o que acontece depois mesmo quando topa com um fenômeno aleatório — em que é impossível prever o que acontece depois.

Não vejo limitações intrínsecas à computação que impeçam o homem de um dia produzir inteligência artificial.


{1}/ Introdução à entrevista

Um sujeito ganha uma moeda vermelha de um amigo. “Ela é especial”, diz o amigo, mas não dá explicações. “Vamos jogar cara e coroa?” O sujeito escolhe cara, seu amigo fica com coroa, e depois de uns 100 lançamentos o sujeito já tem certeza de que a moeda é viciada. Cara sai mais ou menos 70% das vezes e coroa, mais ou menos 30% das vezes. Neste caso, qual é o melhor jeito de jogar cara e coroa?

(a) Enquanto estiver saindo cara, continue apostando em cara. Quando sair coroa, troque a aposta por coroa. Quando sair cara, volte a trocar por cara.

(b) Conte os resultados. Se cara já saiu mais ou menos 7 vezes, troque a aposta por coroa, espere coroa sair umas três vezes, e depois troque de novo por cara.

(c) Não importa o que aconteça com a moeda, aposte sempre em cara.

Carolina usou matemática para criar um ambiente cheio de animais virtuais (cada animal era, na verdade, uma rede neural), mediu o modo como tais animais tomavam decisões e evoluíam, e desse modo obteve seu doutorado. Ela sabe que, no caso da moeda viciada, a melhor estratégia possível é a (c). Mesmo sabendo disso, quando topa com um fenômeno aleatório no dia a dia, ela mesma se pega tentando adivinhar o que acontece depois. “Eu troco a minha aposta, e fico supercontente quando acerto, mesmo sabendo que isso não tem lógica!”

É bem possível que o homem esteja pré-programado por milhões de anos de seleção natural para achar um padrão nas coisas: para perceber que a primavera aparece depois do inverno, que chove quando o céu está coberto de nuvens escuras, que a raiz quadrada de números primos é sempre um número irracional. Diante de um fenômeno aleatório, em que é impossível prever o que acontece depois, o homem usa essa pré-programação para prever o que acontece depois. Carolina obteve seu doutorado na Universidade de São Paulo ao demonstrar que, quanto mais inteligente um animal, mais provavelmente ele se comporta de modo inadequado diante de fenômenos aleatórios.


{2}/ A entrevista em si

Como o homem se compara a outros animais?

Existe um experimento que já foi feito com várias espécies: o animal vê diante dele duas opções, ambas idênticas. Por exemplo, dois quadrados idênticos em tudo, até na cor. Ele tem de escolher um dos quadrados: se escolhe o quadrado certo, ganha algum tipo de prêmio; se escolhe o quadrado errado, não ganha nada. Então o pesquisador ajusta um dos lados, por exemplo o esquerdo, para dar prêmio 70% das vezes; só que a distribuição de prêmios entre os lados direito e esquerdo é aleatória. Em outras palavras, a cada apresentação do experimento, é impossível saber qual dos lados contém o prêmio.

Espécies menos inteligentes que a espécie humana, como pombos e ratos, assim que percebem que um lado premia mais frequentemente que o outro, perseveram nesse lado. Os pombos, por exemplo, bicam apenas o quadrado do lado esquerdo, e assim ganham seu prêmio 70% das vezes. Essa é a estratégia ótima diante de eventos aleatórios — só que praticamente nenhum ser humano faz isso! Toda pessoa acredita que existe uma lógica por detrás da distribuição do prêmio, e em vez de perseverar no lado mais frequente, ela fica mudando de lado, tentando adivinhar que lógica é essa. O nome técnico disso é emparelhamento de probabilidade. Nós repetimos esse experimento aqui [num pequeno laboratório dentro do Instituto de Ciências Biomédicas da USP]; depois que o voluntário participava, ele preenchia um questionário. Uma das perguntas era: Existe um padrão para os prêmios? Quase todo mundo disse que sim, e várias pessoas até escreveram o que elas achavam que era o padrão: EEEDDEEEDEED… [D para ‘direita’ e E para ‘esquerda’]. Um deles completou o experimento, preencheu o questionário, e veio me perguntar qual era a lógica da apresentação. Eu expliquei que não tinha lógica, pois era aleatória; expliquei também que o lado esquerdo saía 70% das vezes, mas que, numa apresentação específica, era impossível adivinhar o lado. Aí ele foi embora, mas, meia hora depois, estava de volta:

“Tem certeza que é aleatório?”

[risos] Isso é incrível: em qualquer lugar do mundo que seja repetido, o resultado é sempre o mesmo. Num experimento desses, portanto, se uma pessoa estiver jogando contra um pombo, o pombo vai ganhar mais do que a pessoa.

Há alguns anos os cientistas se perguntam: por que o homem não adota a estratégia ótima, mas animais adotam? Por que o homem sempre tenta emparelhar a probabilidade, mas os animais perseveram?

Todo mundo percebe que um dos lados é mais frequente que o outro?

Todo mundo, sem exceção. No nosso caso, cada voluntário viu 300 apresentações. Lá pela centésima, todos os voluntários já estavam apertando o lado mais frequente 70% das vezes e o lado menos frequente 30% das vezes. Em outras palavras, estavam tentando emparelhar a probabilidade. O certo seria apertar o lado mais frequente 100% das vezes.

O que você descobriu?

Criei um ambiente virtual cheio de animais (que na verdade eram redes neurais), todos capazes de aprender. [Carolina chama esses animais virtuais de ‘animats’.] Algumas dessas redes tinham seis nós e algumas tinham dez nós, isto é, algumas tinham menor capacidade de aprendizado e outras tinham maior capacidade de aprendizado. O ambiente apresentava aos animats uma variável binária, e eles tinham de dizer se a variável valia 0 ou 1, o que é equivalente a direita e esquerda no experimento com humanos. Instalei no ambiente virtual um algoritmo genético, isto é, um mecanismo de seleção semelhante à seleção natural. O objetivo era selecionar os animats das espécies com maior capacidade de adivinhar se um dígito valia 0 ou 1.

Depois de 1.000 gerações, o ambiente já estava cheio de animats inteligentes. Aí apresentei para esses animats vários tipos de padrões repetitivos; alguns muito fáceis, como 101101101, isto é, 101 repetidos várias vezes; e alguns muito difíceis, com 729 dígitos de comprimento. Todos os padrões apresentavam o 1 dois terços das vezes e o 0 um terço das vezes. Também apresentei padrões completamente aleatórios; nesses casos, em 70% das vezes saía o dígito 1, e em 30% das vezes o dígito 0, mas era impossível adivinhar quando sairia 0 ou 1.

Com o padrão 011, se um animat adotasse a estratégia de perseverar, ele escolheria sempre o 1, e daí receberia seu prêmio dois terços das vezes. Mas se ele descobrisse o padrão, emparelharia suas escolhas com o padrão, e daí receberia seu prêmio 100% das vezes. Todos os animats foram capazes de reconhecer essa sequência pequena, e todos eles emparelharam a probabilidade e acertaram 100% das apresentações.

No caso das sequências fixas mais longas, os animats com menor capacidade de reconhecer padrões perseveravam num dos lados, mas os animats com maior capacidade de reconhecer padrões tentavam reconhecer o padrão e emparelhar com a probabilidade. Nesse caso, os animats mais inteligentes demonstraram maior taxa de acertos. Então, nessas sequências mais longas, eles não acertavam tudo, mas acertavam mais do que os animats que perseveravam e acertavam mais do que se escolhessem 0 ou 1 a esmo [isto é, 70% de uns e 30% de zeros escolhidos ao acaso]. E, na sequência muito longa, de 729 dígitos, nenhum animat descobriu o padrão, mas todos aprenderam a perseverar.

Assim que os animats estavam bem evoluídos, eu lhes apresentei sequências aleatórias, com 70% de uns e 30% de zeros. Daí os animats com menor capacidade de reconhecer padrões perseveravam no 1, e os com maior capacidade de reconhecer padrões ficavam tentando emparelhar a probabilidade, e daí seus resultados foram piores que os de animats menos inteligentes. Nesse caso, a estratégia ótima é perseverar.

Enfim, o modelo demonstra que, diante de uma sequência difícil, o animal com menor capacidade de reconhecer padrões vai perseverar no lado mais frequente, seja a sequência aleatória ou não. O animal com maior capacidade, contudo, vai tentar emparelhar a probabilidade, seja a sequência aleatória ou não. Se ele fizer isso com sequências aleatórias, seu desempenho será pior.

É isso o que acontece com seres humanos?

Se eu dissesse que sim, não seria uma boa cientista. Não posso dizer que, já que essa correlação existe no meu modelo matemático, então ela existe na realidade. Mas é bem provável que essa correlação exista, visto que existe no meu modelo. Minha pesquisa demonstrou que essa explicação é muito plausível.

Você programou tudo isso ou contratou alguém?

Eu mesma programei tudo. Sou do tipo de gente que, aqui no ICB, todo mundo chama para resolver problemas com computador, para programar alguma coisa, e para resolver equações.

Até que ponto gosta de matemática?

Quando terminei o curso de ciências biomédicas, minha lista de coisas que eu deveria saber era enorme, e tinha muita coisa de matemática. Então entrei no curso de matemática aplicada do Instituto de Matemática e Estatística [da USP]. Mais para o fim desse curso, comecei a achar que ele estava ficando abstrato demais. Eu até gostava das matérias, mas tinha dificuldade de ver como poderia aplicá-las na biologia. É claro que pode ser um problema meu.

Então desisti de matemática aplicada e entrei no curso de ciência da computação, também do IME. Estou adorando esse curso; todas as matérias me parecem úteis.

Mas não pretendo trocar biologia por matemática. Acho muito legal fazer pesquisa na área da neurobiologia.

Você acha que um dia haverá inteligência artificial?

Acho que sim. Até agora, pelo menos, não vi nenhum argumento consistente que me diga o contrário. Em outras palavras, não vejo limitações intrínsecas à computação que impeçam o homem de um dia produzir inteligência artificial.

Outro dia, um professor me disse que o computador não tem o conceito de dois. Eu perguntei:

“Mas o que é o conceito de dois?”

Ele se embaralhou todo, falou de conhecimentos subjetivos, etc. É gozado: o que as pessoas dizem que o computador não pode fazer, elas também não conseguem descrever. Se o professor me descrevesse o conceito de dois com precisão absoluta, acho que eu seria capaz de pegar essa descrição e escrever um algoritmo para dar ao computador o conceito de dois. Enfim: não é que o computador não possa fazer o que um ser humano faz, mas sim que não compreendemos direito o ser humano. Nós não sabemos como um ser humano funciona.

O que você aprendeu de mais importante no doutorado?

Eu deveria saber mais sobre teoria da informação, teoria da decisão estatística, complexidade computacional, redes neurais, modelos matemáticos. O que vou dizer parece batido, mas, quanto mais estudo, mais fica patente para mim o quão pouco eu sei. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 24, janeiro de 2013, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Caso queira ler a tese de doutorado por si mesmo, clique aqui.

3. A foto da Carolina é do fotógrafo profissional Gustavo Morita.

4. O que a pesquisa mostra, em poucas palavras? Não espere que homens se comportem de modo perfeitamente racional diante de fenômenos com muitos componentes aleatórios — diante da bolsa de valores, do trânsito nas cidades grandes, do sorteio da Mega-Sena.

5. Existem outras maneiras de definir a palavra “aleatório”. Carolina usou uma maneira bastante comum entre cientistas: o resultado de um experimento aleatório específico não pode ser conhecido a priori, isto é, o resultado só pode ser conhecido depois de realizar o experimento.

“Se entendi a matéria, como não consigo resolver os exercícios?”

Outro dia, ouvi um professor reclamando da seguinte frase: “Entendi a matéria, mas tenho tido dificuldade com os exercícios.” Segundo o professor, seus alunos dizem algo assim de quando em quando, e para ele essa frase contém uma falha lógica grave: se o estudante tem dificuldade com os exercícios, é porque não entendeu a matéria. Se tivesse entendido, teria resolvido os exercícios com razoável facilidade.

Fiquei pensando no assunto, e acho que o professor tem razão. Eu mesmo me lembro de já ter dito frases parecidas com essa em várias ocasiões. Contudo, não acho que tenha razão em todas as circunstâncias. Acho que o estudante tem o direito de reclamar dizendo “entendi a matéria”, de um lado, e “não consigo resolver os exercícios”, de outro, caso a matéria tenha sido bem exposta e os exercícios sejam uma droga. Mas suponha que os exercícios sejam bons, isto é, que não sejam parte do problema; então tem de se concentrar na parte em que o professor expõe a matéria. Consigo pensar em duas opções:

Opção 1. O professor não explicou a matéria tão bem quanto supõe. Talvez tenha omitido detalhes para que a exposição coubesse no tempo da aula. Talvez tenha omitido detalhes maçantes para manter os alunos acordados. O mesmo vale para livros. Nenhum autor tem todo o espaço de que gostaria para explicar um assunto complicado; todo autor precisa acreditar que o leitor trabalhará para preencher as lacunas, e por isso o autor deve escolher: o que deixará explícito, e o que deixará implícito? Algumas misturas de explícito com implícito funcionam, mas outras não.

Opção 2. Ou então o professor explicou a matéria bem, e o aluno teve a sensação de que a compreendeu, mas na verdade deixou de notar detalhes importantes. É algo comum quando topamos com um assunto complicado pela primeira vez. É como se o professor tivesse dado ao aluno uma caixa de ferramentas, mas o aluno saísse da classe com só um martelo e um serrote. Se num dos exercício o aluno descobre que deve instalar uma luminária, terá muitas dificuldades com as ferramentas que veio a possuir.

É por isso que, se o estudante resolveu 80 exercícios e errou cinco deles, não deve sossegar enquanto não descobrir exatamente por que errou esses cinco. Cada exercício errado não deve ser apenas refeito, mas dissecado, pois se errou é porque não entendeu algo. Se tivesse entendido tudo, como diz o professor, não teria errado. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 24, janeiro de 2013, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Muitos professores são contra a prática de pedir ao aluno que resolva 80 exercícios, como é comum no primeiro curso de cálculo diferencial e integral ou no primeiro curso de álgebra linear; dizem que uns poucos exercícios bem escolhidos bastam. Tenho minhas dúvidas. Se o estudante é maduro, de fato uns poucos exercícios bastam, pois ele vai explorá-los à exaustão, mais ou menos à moda de Paul Halmos: “Não apenas leia o texto: lute com ele! Faça suas próprias perguntas, monte seus próprios exemplos, descubra suas próprias demonstrações. A hipótese é necessária? A recíproca é verdadeira? O que acontece no caso especial clássico? E quanto aos casos degenerados? Em que ponto da prova o autor usa a hipótese?” Mas, se o estudante é jovem e imaturo, enquanto resolve os 80 exercícios fica ocupado com a matéria por tempo o bastante para pensar melhor na teoria.

Professores devem se guiar pela intuição, mas ela também engana


Walter Spinelli diz que, às vezes, o professor deixa se enganar pela própria intuição — por exemplo, quando evita obrigar os alunos a estudar algo que não gostam de estudar.

Se eu me concentrasse num curso de matemática focado apenas em aplicações práticas, não sairia das quatro operações da aritmética.


{1}/ Introdução à entrevista

Na ocasião da entrevista (novembro de 2011), Walter Spinelli coordenava o curso de matemática no Colégio Móbile, em São Paulo (SP), mas continuava a dar aulas de matemática e de física, como fazia há 40 anos em várias escolas. (Até hoje o Móbile não permite que um coordenador pare de dar aulas.) “Quando assumi minha primeira classe”, diz Walter, “eu tinha vinte anos e era o mais jovem da turma. Hoje, neste colégio, sou dez anos mais velho que o professor mais velho.” Apesar da tarimba, Walter diz que uma coisa esquisita vem acontecendo com ele nos últimos dois anos. “A cada semana que passa, eu vou para a sala de aula e me sinto não mais seguro, em razão da experiência, mas mais inseguro.” Há poucos anos, ele dava aulas na zona norte de São Paulo pelas manhãs e no Colégio Móbile à tarde. Aproveitava o trânsito lento para preparar as aulas da tarde dentro do carro, mentalmente. “Eu não sou mais assim”, diz Walter. “Se não preparar a aula muito bem, e se não pensar em todos os aspectos, eu me sinto inseguro.”

Se não sabia direito o que estava acontecendo consigo, Walter sabia o que provocou a mudança: a tese de doutorado, que defendeu na Faculdade de Educação da USP no final de 2011, na qual procurou descobrir ao certo o que significa contextualizar a matemática.



{2}/ A entrevista em si

O que é preciso para dar uma boa aula de matemática?

Há muitos anos eu acho que um bom professor tem de ter boa intuição. Ele deve usar a intuição para ousar na preparação da aula, para escolher quais assuntos ele vai ilustrar com mais exemplos ou com menos exemplos, para escolher quais problemas ele vai propor ao aluno antes de qualquer exposição prévia de teoria [versus propor ao aluno alguns exercícios depois da exposição da teoria].

Os professores com os quais eu convivi, fossem bons ou picaretas, se saíam muito bem dentro da sala de aula quando tinham uma boa intuição. Ao contrário, já vi professores bem preparados, e bem intencionados, que não se saíam bem na sala de aula porque não tinham boa intuição. Se a intuição de um professor não é boa, parece que ele se prontifica a repetir padrões que outras pessoas ditaram. Esses professores vêm e me perguntam: “O que você quer que eu faça?” Eu não posso responder a essa pergunta, pelo menos não formulada assim; isso porque, dentro da sala de aula, é só ele e os alunos. Eu não estou lá.

Mas a minha intuição me incomodava. Eu não sabia disso na época, porque, na verdade, algo me incomodava, e eu nem sabia o que era. Por isso eu fui fazer o doutorado. Hoje eu sei que agir pela intuição me incomodava. Eu queria descobrir se os meus caminhos, escolhidos por meio da intuição, estavam corretos.

Qual é o papel da intuição?

No doutorado, descobri que alguém já tinha pensado em tudo aquilo que me incomodava, e tinha pensado com qualidade, de maneira profunda, incluindo questões sobre a validade do conhecimento científico. Com o doutorado, eu me fortaleci, pois descobri que a maioria dos meus métodos e das minhas ideias era válida. Então hoje, quando entro na sala de aula, eu me preocupo menos com o papel das minhas decisões intuitivas

Um exemplo: no próximo ano [2012], vou dar o curso de estatística para o pessoal do terceiro ano do ensino médio. Tive a ideia de arranjar dados sobre a qualidade da educação no Brasil e sobre a distribuição de renda. Pedi então aos alunos que escolham alguma ferramenta de tecnologia, qualquer uma que eles queiram, e que usem a ferramenta e os dados para produzir infográficos onde seja possível ver as correlações entre renda e educação, caso elas existam. Não quero coisa mequetrefe: quero um material bacana, que se compare ao que é publicado num jornal ou revista.

Bem, eu nunca fiz isso. Eu nunca vi estudantes escolhendo suas próprias ferramentas e usando estatística para criar seus próprios infográficos a partir de dados brutos reais. Então, graças à minha intuição, estou ousando. Talvez eu caia do cavalo, mas minha intuição me diz que essa experiência vai dar certo.

Matemática atraente é matemática aplicada?

De jeito nenhum! Essa ideia é uma armadilha. Com os infográficos, não estou tentando obrigá-los a gostar só da matemática que podem aplicar, mas sim tentando mostrar um dos contextos nos quais a matemática vale a pena. Meu papel é ajudar o aluno a ver as relações entre a matemática que ele está estudando e outras coisas — talvez uma situação prática, talvez a história da matemática, ou talvez até outros tópicos da própria matemática.

Eu sempre acho que vale a pena dizer onde determinado tópico da matemática é usado. Números complexos, por exemplo, são usados na análise de circuitos elétricos. Se o tópico tiver relação com o cotidiano do aluno, não vejo nenhum problema em falar disso. Mas eu vejo problema em ficar só nisso.

Se eu me concentrasse num curso de matemática focado apenas em aplicações práticas, eu não sairia das quatro operações da aritmética, exagerando um pouco. Então, eu não posso trabalhar os logaritmos só com a escala Richter, nem trabalhar seno e cosseno só com o cálculo de rampas… Aliás, muitas vezes eu me recuso a dizer aos alunos para que determinado tópico da matemática serve. Ao contrário, eu lhes pergunto isso, e às vezes eles me surpreendem com a resposta. Quem tem de estabelecer as relações entre a matemática e as situações nas quais a matemática serve de algo não sou eu, mas o aluno.

Você fazia alguma coisa errada, e mudou?

O doutorado me fortaleceu porque me mostrou que eu estava certo em muitos aspectos, mas mudei algumas coisas sim. Eu achava que estava fazendo sucesso, mas [folheia um livro imaginário e aponta um trecho com o dedo] desse ponto de vista aqui, ó, estou fazendo tudo errado!

Eu me traía, por exemplo, por causa da vontade de ensinar o que os alunos gostam de estudar. Eu dava um exemplo gostoso de analisar, depois dava mais um exemplo gostoso, e daí partia para as generalizações matemáticas. Meu orientador, o professor Nílson José Machado, tem uma teoria engraçada sobre isso: é a teoria da chuva. Choveu ontem, choveu hoje, então vai chover amanhã. O doutorado me mostrou que eu devo contextualizar a matemática, como já fazia, e que devo também falar de matemáticos e da história da matemática, mas devo também fazer o aluno abstrair de qualquer contexto prático: devo ajudá-lo a fortalecer a matemática pela matemática, para que ele possa usá-la em qualquer contexto.

Um exemplo: trigonometria. Os cursos de trigonometria sempre foram muito calcados em relações algébricas [o professor usa álgebra para mostrar ao aluno que determinada afirmação é verdadeira]. Isso me incomodava. Então, procurei achar aplicações da trigonometria na descrição de fenômenos cíclicos: as marés, o relógio de sol. E aí eu gastava muito tempo com as aplicações práticas da trigonometria, e menos tempo com a álgebra. Só que eu estava errado. O professor deve dividir o tempo entre o contexto (as aplicações) e a parte algébrica também, por menos que os alunos gostem de álgebra.

Então, hoje dou muito maior importância à formalização dos métodos matemáticos. Eu pego um problema, talvez um problema sobre triângulos, e se para resolver esse problema os alunos têm de resolver uma inequação do segundo grau, eu chamo a atenção para a inequação. Eu digo: vocês precisam estudar as inequações polinomiais, porque elas aparecem não só nesse problema aqui, mas também ali, ali, e ali. Eu chamo a atenção deles para um método da matemática mais pura, por assim dizer.

Seu curso ficou mais convencional?

Não. Eu não vou pedir que eles resolvam 40 exercícios sobre inequações do segundo grau. Isso eu não faço! [risos]

Quando eu era mais jovem, eu propunha um problema mais simples, resolvia esse problema para a classe, e depois propunha um mais complicado, resolvia, e aí propunha dois ou três problemas mais complicados ainda, que a classe resolvia sozinha. Eu partia da situação mais simples e chegava à mais complexa, passo a passo. Os cursos convencionais de matemática são assim. Bom, isso eu não consigo fazer mais. Esse tipo de curso contraria tudo aquilo em que acredito agora.

O doutorado me mostrou que preciso fazer o aluno resolver problemas por si mesmo. Ele tem de movimentar estratégias de raciocínio diferentes, que não estejam no livro didático. Assim, quando ele resolve o problema sozinho, ele estabelece relações entre a matemática e os contextos da matemática. Então, agora eu simplesmente proponho um problema ao aluno, e deve ser um problema mesmo: ele não deve saber resolvê-lo, porque, se ele souber, isso já não é mais um problema, mas sim um exercício. Eu quero colocá-lo para pensar por si mesmo.

Eu não quero que o aluno cumpra tarefas mecanicamente apenas para sair da escola. Eu quero que eles saiam da escola com as competências necessárias para usar a matemática em qualquer situação. Muito aluno aqui não gosta de mim por causa disso. Vários alunos preferem um curso do tipo um tópico, muitos exercícios, outro tópico, muitos exercícios; esses alunos se dão bem num curso assim. Eu fico pensando: “Nossa, antigamente eu conseguia dar um curso desses tão bem!” Hoje não consigo mais.

Você inventa os problemas?

Na maior parte das vezes, sim; isso é parte do trabalho do professor. Outro dia, um professor daqui deu a primeira aula de geometria analítica assim: ele desenhou uma reta no plano cartesiano, e desenhou um ponto fora dessa reta. E aí perguntou à classe: como eu faço para traçar uma reta paralela à primeira reta, e que passe pelo ponto?

Ele nem tinha falado de equação da reta, de nada disso. Ele se deixou guiar pela intuição, propôs o problema e deixou o pessoal pensar. Saíram várias soluções, algumas boas, algumas erradas, mas essa foi uma ideia simples que, a meu ver, é melhor do que explicar a equação da reta e propor um monte de exercícios escalonados, do mais fácil para o mais difícil.

Lógico, dar aulas desse jeito demora mais, mas eu tenho a convicção de que o aluno, depois de resolver um problema de verdade, ou pelo menos de tentar resolvê-lo, apreende o conteúdo muito melhor.

Quais são seus planos para o futuro?

Dentro da sala de aula, especialmente uma sala do ensino médio, o professor precisa de muita garra, muita paciência. Eu sinto que não tenho mais essa garra. Eu tenho mais dificuldades hoje do que tinha há dois anos, e mais ainda do que tinha há quatro anos. Acho que, se eu desse aulas na universidade, para um público mais velho, talvez eu nem notasse nenhuma diferença. Mas aqui, no ensino médio, eu noto.

Então, tenho pensado nisso: acho que eu seria mais útil fora da sala de aula. Eu seria mais eficiente e feliz se trabalhasse na formação e na coordenação de professores mais jovens, cheios de energia, que ficariam dentro da sala de aula no meu lugar. Não sei direito o que vai acontecer comigo este ano, mas sei que posso ajudar bastante nessas questões de metodologia do ensino. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 14, março de 2012, pág. 18. A entrevista foi revista e atualizada.

2. Hoje, Walter Spinelli é consultor de escolas públicas e particulares; caso queira conhecê-lo pessoalmente, com frequência participa dos Seminários de Educação Matemática na Faculdade de Educação da USP.

3. A foto do entrevistado é do fotógrafo profissional Gustavo Morita.

4. Feliz 2017!