Dois princípios para escrever bastante bem

Já li e reli uns cinquenta livros sobre a arte e o ofício de escrever, não apenas porque tais livros são úteis a um jornalista, mas principalmente porque o assunto me fascina. William Strunk Jr., por exemplo, me ensinou a usar coloquialismos e gírias sem colocá-los entre aspas. “Se você usa um coloquialismo ou uma gíria”, escreveu em The Elements of Style, “simplesmente use-o; não atraia a atenção para ele ao colocá-lo entre aspas. Fazer isso é se postar num pedestal, como se convidasse o leitor a se juntar a você no seleto Clube dos Sabichões.” Já E. B. White me ensinou a pensar duas vezes antes de recorrer a palavras e expressões fora da curva. “Evite o que é elaborado, pretensioso, exclusivo, fofinho”, escreveu no mesmo The Elements of Style. “Não se sinta tentado a usar uma palavra de 20 dólares quando tem à mão uma de 10 centavos.” Mais à frente, White completa: “Jamais chame um estômago de bucho, a não ser que tenha uma boa razão.” Nesta postagem, quero tratar dos dois princípios que uso com maior frequência.

Princípio #1. Faça coincidir personagem com sujeito, ação com verbo.

O mesmo princípio, com mais palavras para ficar mais fácil de entender: Faça coincidir o personagem da história que está contando com o sujeito da frase que está escrevendo, e a ação que esse personagem está realizando com o verbo da frase que está escrevendo. Mais esquematicamente: personagem = sujeito; ação = verbo. Escreva isso num pedaço de papel e o prenda na parede à sua frente, para que, sempre que levantar os olhos do teclado, lembre-se do esquema.

Vamos examinar juntos uns poucos exemplos, tirados do primeiro parágrafo de Dom Casmurro, de Machado de Assis.

(A) “Uma noite destas, vindo da cidade para o Engenho Novo, encontrei no trem da Central um rapaz aqui do bairro, que eu conheço de vista e de chapéu. Cumprimentou-me, sentou-se ao pé de mim, falou da Lua e dos ministros, e acabou recitando-me versos. A viagem era curta, e os versos pode ser que não fossem inteiramente maus. Sucedeu, porém, que, como eu estava cansado, fechei os olhos três ou quatro vezes; tanto bastou para que ele interrompesse a leitura e metesse os versos no bolso.”

O personagem da primeira frase é o próprio narrador, e o sujeito do três verbos “vindo”, “encontrei”, e “conheço” é “eu”, que denota o narrador. Personagem = sujeito. As ações que o personagem está realizando na primeira frase são: ele está viajando de trem da cidade para o Engenho Novo; ele encontrou um rapaz do bairro em que mora; esse rapaz o narrador conhece só de vista, mas na verdade o reconhece principalmente por conta do chapéu peculiar. Os verbos denotam, adequadamente, tais ações: “vindo”, “encontrei”, “conheço”. Ação = verbo.

Se Machado fosse um autor menos competente, talvez não fizesse coincidir personagem com sujeito, ação com verbo. Talvez escrevesse a primeira frase assim:

“Uma noite dessas, enquanto o trem me levava da cidade para o Engenho Novo, um encontro sucedeu-se entre mim e um rapaz aqui do bairro, cuja vista e cujo chapéu tanto fizeram que me obrigaram a reconhecê-lo.”

Agora o sujeito dos verbos “me levava”, “sucedeu-se”, e “tanto fizeram que me obrigaram” não é mais o personagem da história, o narrador; são “o trem”, “um encontro”, “a vista e o chapéu”. O trem até que é um bom personagem, pois é concreto e animado — ele se movimenta, apita, freia; mas “um encontro” e “a vista e o chapéu” são personagens de qualidade inferior, pois excessivamente estáticos e impalpáveis. Além disso, não coincidem com o personagem da história, que é o próprio narrador. O leitor não sabe direito em que deve dar ênfase: a história da primeira frase é sobre um trem, sobre um sucedido (um encontro), ou sobre a compleição de uma pessoa e a natureza peculiar de seu chapéu? Essa é a questão: faça coincidir personagem com sujeito, ação com verbo, pois o leitor espera que o personagem da história coincida com a maioria dos sujeitos, e que as ações que esse personagem realiza coincidam com a maioria dos verbos.

Vamos à segunda frase da passagem. O personagem agora é o rapaz de chapéu peculiar, e o sujeito de todos os verbos é “ele”, que denota o rapaz. Personagem = sujeito. As ações que o personagem está realizando são: ele cumprimentou o narrador, sentou-se a seu pé (isto é, sentou-se na poltrona à frente do narrador, como é comum em trens), falou da Lua e dos ministros, e recitou versos ao narrador. Os verbos são todos adequados: “cumprimentou-me”, “sentou-se”, “falou”, “recitou-me”. Ação = verbo. Mais uma vez, veja como Machado poderia ter mal escrito essa afirmação:

“Houve entre mim e o rapaz uma sessão de cumprimentos. Uma vez que sua figura estava acomodada na poltrona à minha frente, a Lua e os ministros imiscuiram-se na conversação, e os versos do rapaz acabaram sendo recitados.”

Agora os sujeitos são “uma sessão de cumprimentos”, “sua figura”, “a Lua e os ministros”, “os versos do rapaz”. Os verbos são todos excessivamente estáticos ou genéricos: haver, estar, ser. “Imiscuir-se” até que é um bom verbo, mas está mal usado, pois como a Lua e os ministros podem ambos imiscuir-se numa conversação? Como esse fenômeno tão estranho ocorre? Mais uma vez, o leitor não tem elementos para saber em que deve se concentrar, pois cada verbo tem um sujeito distinto, e nenhum dos sujeitos corresponde ao personagem da história, que, no caso da segunda frase, é o rapaz do chapéu. Visto que o verbo “imiscuir-se” é chamativo, talvez leve o leitor, por um momento, a dar atenção desmedida à Lua e aos ministros, que não têm peso na história.

Acho desnecessário continuar com essa análise detalhada. A terceira frase serve apenas para passar duas informações por meio de verbos de ligação (“ser”, nos dois casos), uma sobre o tempo de viagem, outra sobre a possível qualidade dos versos. Em casos assim, o leitor pode fazer a análise substituindo os verbos de ligação pelo sinal de igual: “viagem = curta”, e “versos = talvez não inteiramente maus”. Quanto à quarta frase, vem em duas partes, uma em que o personagem é o próprio narrador, outra em que o personagem é o rapaz do chapéu e dos versos; os sujeitos correspondem aos personagens, e os verbos correspondem às ações que tais personagens realizam.

Talvez o leitor Desconfiado tenha agora uma objeção: a de que minha versão ruim da passagem de Machado é ruim demais. “Ninguém escreve tão mal assim”, Desconfiado me diz. Ao que respondo: Mentira! Mentira! Mentira! Quem não se acostumou a pensar em personagem = sujeito, ação = verbo, e além disso não escreve bem por dom da Fortuna, em geral escreve confusamente, sempre usando substantivos quando deveria usar verbos, sempre colocando o personagem da história em segundo plano, ou sumindo com ele completamente. Estou olhando agora para uma apostila do Senac; veja a seguinte frase:

(B) “Um fator importante que não poderá ser esquecido é a contratação de um contador especializado no ramo de restaurantes.”

Se o redator conhecesse o princípio #1, teria escrito alguma coisa parecida com uma das duas versões abaixo:

(B’) “Não se esqueça de algo importante: contrate um contador especializado no ramo de restaurantes.”

(B’’) “O empresário deve se lembrar de algo importante: contratar um contador especializado no ramo de restaurantes.”

A versão (B’) trata o leitor por “você”; a versão (B’’) é um pouco mais impessoal, pois trata o leitor como sendo “o empresário”.

É fácil se esquecer do princípio #1 e escrever mal. Isso porque, quando o redator imagina a cena que gostaria de colocar no papel, em geral usa substantivos e adjetivos para rotular o que o personagem da história está fazendo. Na imaginação, vê um menino botar uma bolinha de gude num estilingue, esticá-lo, mirar a janela da casa do vizinho, e quebrá-la com uma estilingada perfeita. Mas as palavras que primeiro lhe vêm à mente são do tipo “travessura”, “maldade”, “inconveniente”, “prática”, “perigo”, “indiferença”, “aventura”, “inconsequência”. São substantivos e adjetivos com os quais o redator julga o personagem e suas ações; em vez de descrevê-los, aplica-lhes rótulos. Talvez a primeira versão do texto saia assim:

(C) “As travessuras maldosas de uma infância masculina ociosa se revelam em estilingadas, bolinhas de gude, janelas quebradas, vizinhos adultos magoados uns com os outros.”

Mas você está contanto uma história. Logo, a cada frase, conte uma história: personagem = sujeito, verbo = ação.

(C’) “Quando eu era pequeno, os meninos andávamos horas pelas ruas e vielas do bairro, depois da escola e antes do banho, vagueando em grupo. Talvez nossos pais nos davam tempo livre em excesso; e talvez ‘bando’ seja palavra melhor que ‘grupo’. Competíamos muito: quem cuspia mais longe, quem falava mais alto, quem chegava primeiro, quem contava a piada mais porca, quem construía o melhor estilingue com tripa de mico. Mas construir o melhor estilingue não bastava para dar a um menino uma semana de glória. A mira tinha de ser impecável: praticávamos tentando acertar aquela mancha naquela árvore, aquele pardalzinho naquele fio. Cedo ou tarde, alguém lançava um desafio: quem teria a coragem de quebrar uma das janelas da Dona Joana, a vizinha mais chata das redondezas? Uma vez, levei um susto ao descobrir que tinha sido o primeiro a se prontificar.”

A passagem (C) é minha, mas Machado de Assis também faz personagem = sujeito, verbo = ação, e consistentemente. Mais um exemplo, este de Memórias Póstumas de Brás Cubas:

(D) “Com efeito, um dia de manhã, estando a passear na chácara, pendurou-se-me uma idéia no trapézio que eu tinha no cérebro. Uma vez pendurada, entrou a bracejar, a pernear, a fazer as mais arrojadas cabriolas de volatim [equilibrista], que é possível crer. Eu deixei-me estar a contemplá-la. Súbito, deu um grande salto, estendeu os braços e as pernas, até tomar a forma de um X: decifra-me ou devoro-te.”

Não apenas Machado: todos os grandes da literatura fazem o mesmo. Veja Graciliano Ramos em Vidas Secas:

(E) “Fabiano procurou em vão perceber um toque de chocalho. Avizinhou-se da casa, bateu, tentou forçar a porta. Encontrando resistência, penetrou num cercadinho cheio de plantas mortas, rodeou a tapera, alcançou o terreiro do fundo, viu um barreiro vazio, um bosque de catingueiras murchas, um pé de turco e o prolongamento da cerca do curral. Trepou-se no mourão do canto, examinou a catinga, onde avultavam as ossadas e o negrume dos urubus. Desceu, empurrou a porta da cozinha. Voltou desanimado, ficou um instante no copiar, fazendo tenção de hospedar ali a família. Mas chegando aos juazeiros, encontrou os meninos adormecidos e não quis acordá-los. Foi apanhar gravetos, trouxe do chiqueiro das cabras uma braçada de madeira meio roída pelo cupim, arrancou touceiras de macambira, arrumou tudo para a fogueira.”

O sujeito de quase todos os verbos é “Fabiano”. Nos vários pontos nos quais um sujeito diferente talvez se intrometesse, Graciliano foi hábil o bastante para transformar verbos em substantivos ou adjetivos: o chocalho não toca, mas há um toque de chocalho; a porta não resiste, mas há uma resistência; as plantas não morrem, mas há plantas mortas; as catingueiras não murcham, mas há catingueiras murchas; os meninos não adormecem, mas há meninos adormecidos; o cupim não rói a madeira, mas há madeira roída pelo cupim. Fazendo assim, Graciliano força o leitor a se concentrar no personagem principal, que é Fabiano, e nas ações que esse personagem realiza, na forma de verbos cujo sujeito é “Fabiano”.

Até Guimarães Rosa, que escreve daquele jeito tão extravagante, toma cuidado para equilibrar bem sua quota de personagem = sujeito, ação = verbo. Os dois parágrafos a seguir são um trechinho de Grande Sertão: Veredas.

(F) “— ‘Certo de que, nesta vida? Pois eu nem costumo nunca xingar ninguém de filho daquela ou dessaí por receio de que seja mesmo verdade…’

“Assim a eles eu disse. Tanto enquanto riam, apreciando me ouvir, eu contei a estória de um rapaz enlouquecido devagar, nos Aiais, não longezinho da Vereda-da-Aldeia: o qual não queria adormecer, por um súbito medo que nele deu, de que alguma noite pudesse não saber mais como se acordar outra vez, e no inteiro de seu sono restasse preso.”

Rosa poderia ter escrito “um rapaz enlouqueceu devagar”, tornando o rapaz o sujeito inequívoco do verbo, mas a gente não enlouquece porque quer; a gente enlouquece porque o mundo nos obriga a enlouquecer, e por isso “um rapaz enlouquecido devagar”. Da mesma forma, o rapaz poderia ter sentido um súbito medo, mas ele não é propriamente o agente de seus medos. Os medos nos assaltam. Os medos se erguem dentro de nós por mecanismos ancestrais, e por isso “um súbito medo que nele deu”. Rosa merece ser lido com atenção porque ele faz isso excepcionalmente bem: quando o personagem é de fato agente, quando os motivos para sua ação estão sob o domínio de sua vontade, o personagem é o sujeito inequívoco de verbos de ação; porém, quando o personagem é mais paciente que agente, Rosa procura alternativas ao esquema personagem = sujeito, verbo = ação. Às vezes, o personagem vira objeto de verbos. Às vezes, vira sujeito de verbos que não expressam ação de vontade própria, mas coação sob a máquina do mundo — e daí “o rapaz no inteiro de seu sono resta preso”.

Princípio #2. Deixe o que escreveu sugerir o que escreverá em seguida.

Quando desejo escrever alguma coisa, tomo em primeiro lugar a iniciativa de criar um arquivo de notas de leitura. Para esta postagem, por exemplo, criei o arquivo “Notas de Leitura_Dois Princípios”. Passo a ler sobre o assunto, às vezes entrevisto uma pessoa ou mais de uma; e sempre que vejo algo ou ouço algo que talvez venha a usar, escrevo uns lembretes para mim mesmo no tal arquivo.

Cedo ou tarde sinto que tenho material suficiente para escrever. Imprimo o arquivo e o leio várias vezes, tomando notas com uma caneta vermelha. E daí tento escrever a primeira frase.

Escrevo várias primeiras frases, e as leio em voz alta. Uma delas me parece boa. Apago todas as outras e deixo só aquela boa frase no papel. E daí tento escrever a segunda frase.

Escrevo várias segundas frases. Leio a primeira mais a segunda frase #1. Depois leio a primeira mais a segunda frase #2. E assim por diante, até que uma dupla de frases me parece a melhor entre todas as duplas.

Vou assim por diante escrevendo cada frase, cada parágrafo: devagar e sempre, pensando constantemente no melhor jeito de usar o princípio #1, personagem = sujeito, ação = verbo.

Às vezes, empaco. O texto ainda não acabou, estou tentando escrever a frase n, mas não acho uma frase n que combine com tudo o que escrevi antes. Apago tudo e recomeço; desta vez, contudo, escolho outra frase como primeira frase, de preferência completamente diferente da frase que escrevi da primeira vez. Mesmo que eu tenha de recomeçar umas poucas vezes, o processo quase sempre termina. Já escrevi milhares de textos assim. Acontece, contudo, que às vezes me canso de recomeçar e abandono o texto. Se não consigo terminá-lo, significa que falta alguma coisa importante, e essa falta é sinal de que não tenho verdadeiramente o que dizer sobre aquele assunto. Espero; tenho de viver mais.

Vi o método desse princípio #2 pela primeira vez num livro de William E. Blundell, jornalista do The Wall Street Journal, cujo título é The Art and Craft of Feature Writing [A Arte e o Ofício de Escrever Reportagens Especiais]. Blundell compara o ofício de escrever a dirigir um carro à noite. Tenho noção de meu destino, e por isso sigo as placas de sinalização corretamente. Mas enxergo só um pouquinho da estrada à frente — é aquele pouquinho de estrada iluminado pelos faróis. Não sei mais nada além daquilo que está bem à minha frente, iluminado pelos faróis; e para descobrir como é a estrada 20 quilômetros à frente, tenho de dirigir com cuidado até lá.

Depois vi esse mesmo método num livro de Stephen King, On Writing: A Memoir of the Craft. King compara o ato de escrever a desenterrar um fóssil. Não posso desenterrá-lo de uma vez, por exemplo com uma escavadeira motorizada, pois vou quebrá-lo em mil pedaços. Antes, devo desenterrá-lo devagar, com instrumentos pequenos e delicados, limpando tudo constantemente com um pincel de pelos macios. Conforme vou expondo as partes do fóssil, descubro onde mais devo cavar, sempre devagar, sempre tomando cuidado. É assim que King escreve seus romances: ele começa com a primeira frase e vai devagar, frase por frase, desenterrando a história com delicadeza para não quebrá-la.

Por fim, vi esse método num filme sobre o escritor Ernest Hemingway, Hemingway & Gellhorn (2012), no qual o ator Clive Owen interpreta Hemingway. Em certa cena, Hemingway está escrevendo de pé, num quarto de hotel, com a máquina de escrever sobre uma cômoda alta. Ele datilografa uma frase, duas frases, e daí arranca o papel da máquina e o joga no chão sem amassá-lo. Repete: escreve uma frase, duas frases, três frases, quatro frases, e daí de novo arranca o papel da máquina e o joga no chão sem amassá-lo. E desse jeito ele segue: em pouco tempo, o chão do quarto fica coberto de folhas de papel semidatilografadas. Hemingway está tentando escrever um texto da primeira frase à última, deixando o que já escreveu sugerir o que escreverá em seguida e, quando o método não dá certo, arranca a página da máquina de escrever e recomeça.

Pense bem no assunto por um momento. Na verdade, é mais provável que use os dois princípios na ordem inversa: (1) Deixe o que escreveu sugerir o que escreverá em seguida; e, a cada frase, (2) Faça coincidir personagem com sujeito, ação com verbo. Essa inversão é natural. A ordem com que aprendemos a usar nossas ferramentas nem sempre é a ordem com que devemos usá-las. {Fim}



Observações:

1. No primeiro parágrafo, escrevi “fora da curva” para classificar o que White chama de “elaborado, pretensioso, exclusivo, fofinho”. Mas “fora da curva” não é um termo elaborado ou pretensioso? Não num blogue destinado a quem gosta de matemática. Suponho que todos os leitores deste blogue têm noção do que é um ponto fora da curva.

2. Atenção ao narrador de Dom Casmurro: ele é personagem do romance, e você não deve confundi-lo com o autor, Machado de Assis. Na verdade, o autor não aparece em nenhuma linha do romance — ele é pura e simplesmente autor. Digo isso porque já vi palestras sobre Dom Casmurro nas quais o palestrante disse que o autor Machado de Assis se revela na história por meio de truques metalinguísticos. Nada disso. Machado fez seu personagem Bento Santiago = Dom Casmurro recorrer a metalinguagem para trair certas vacilações emocionais com relação à estória que (Bento) está contando. Aliás, só existe um personagem em Dom Casmurro, que é o próprio Dom Casmurro, isto é, Bento Santiago já velho, olhando para a vida que levou. Todos os outros personagens, incluindo Capitu e o menino Bentinho, são conjuntos de afirmações que Bento Santiago passa ao leitor para obter certos efeitos, e as duas perguntas básicas desse romance magistral são: Que efeitos o velho Bento Santiago quer provocar em seu leitorado? Com quais propósitos?

3. Vi o princípio #1 pela primeira vez no livro Style: Toward Clarity and Grace, do linguista americano Joseph M. Williams. (Pode baixá-lo aqui.) Por muitos anos Williams conduziu experimentos na Universidade de Chicago para entender que problemas um leitor tem de resolver ao começar uma nova frase ou um novo parágrafo, e o que faz esse leitor classificar o texto como “fácil de entender” ou como “elegante”. Com base no que descobriu, Williams descreveu em detalhes os princípios pelos quais um redator criterioso compõe o texto de modo a ajudar seu leitorado a resolver tais problemas. Se o leitor deste blogue tem a vontade de um dia escrever com clareza e graça, ou simplesmente de se transformar num intérprete competente do texto alheio, pode dedicar umas semanas ao estudo de Style — não vai se arrepender.

4. Dica de revisão. Você pode converter muitos verbos em substantivos ou adjetivos, e vice-versa. Exemplos: escorregar — escorregamento, escorregadio; desmonetizar — desmonetização, desmonetizado; sortear — sorteio, sorteado; usurpar — usurpação, usurpado. Assim, quando escrever uma frase cheia de substantivos, adjetivos, e de verbos de ligação, desconfie: provavelmente, é porque a primeira palavra que te ocorreu ao escrever foi um substantivo ou adjetivo em vez de um verbo — fenômeno comum. (Exemplos de verbos de ligação: ser, estar, permanecer, ficar, tornar-se, andar, parecer, virar, continuar, viver. Em geral, são fórmulas verbais que você pode substituir pelo sinal = de igual.) Suponha que escreva:

“A sinalização dessa operação é uma luz vermelha para que haja destaque à possibilidade de acidentes.”

Sublinhe os substantivos e adjetivos:

“A sinalização dessa operação é uma luz vermelha para que haja destaque à possibilidade de acidentes.”

Converta os substantivos e adjetivos em verbos ou fórmulas verbais; seja criativo:

Sinalização — sinalizar. Operação — operar. Luz — iluminar. Vermelha — avermelhar, banhar com luz vermelha. Destaque — destacar. Possibilidade — tornar possível, possibilitar. Acidentes — acidentar-se, ferir-se, provocar um acidente.

Pergunte a si mesmo quais são os verdadeiros personagens da história: Quem está sinalizando? Quem está operando? Quem está iluminando? Quem está destacando? Etc.

Quando descobrir o verdadeiro personagem, ou personagens, conte a história com o esquema personagem = sujeito, ação = verbo:

“João decidiu sinalizar o início dessa operação com uma luz vermelha para que o funcionário não se iluda quanto ao risco de acidentes.”

Com a prática, vai realizar todo esse procedimento rapidamente, no intervalo entre imaginar o que gostaria de dizer e escolher as palavras, de modo que escreverá uma frase quase perfeita na primeira tentativa, sem passar pelo estágio de escrever uma frase excessivamente substantivada, ou adjetivada, e de revisá-la. E daí descobrirá que o verdadeiro desafio não é datilografar as palavras corretas, propriamente, mas sim saber das coisas — e excitar a imaginação.

5. Por que esta postagem num blogue sobre matemática, filosofia, ciência? Acho que Alfred North Whitehead (matemático e filósofo) estava no caminho certo quando publicou, em 1929, o livro Process and Reality: An Essay in Cosmology: É pouco provável que a realidade seja feita de coisas que permanecem as mesmas ao longo do tempo, como átomos; é pouco provável que seja feita de fatias infinitesimais de realidade, que se sucedem rapidamente, como num filme; é mais provável que seja feita de processos, isto é, a menor unidade que compõe a Natureza, se houver uma menor unidade, não é o átomo, ou qualquer coisa estática semelhante a um átomo, mas é um processo. Talvez seja uma infinidade de processos, como num fractal. Pois não importa se o Agente olha a Natureza de longe ou de perto, com um telescópio ou um microscópio, ela é sempre dinâmica; ela nunca está quieta, mas está sempre se mexendo, sempre mudando, sempre ativa; de perto ou de longe, parece que ela é sempre uma coleção imensa de processos interligados entre si. Portanto, escreveu Whitehead, o caráter dinâmico da Natureza deve ser o principal foco de qualquer descrição filosófica da realidade.

(Agente = homem, mulher, criança, máquina inteligente.)

Ora, o principal método pelo qual o Agente se engaja com a realidade é a linguagem. Logo, a prática com uma linguagem no formato personagem = sujeito, ação = verbo dá ao Agente uma maior capacidade de identificar processos que constituem a realidade (personagem), e o que tais processos realizam (ação), e dá também ao Agente uma melhor capacidade de comunicar suas descobertas na forma de substantivos e verbos tão vívidos quanto possível. Em outras palavras, ao usar o esquema personagem = sujeito, ação = verbo, o Agente obtém um grau maior de correspondência entre sua linguagem e a realidade; ou obtém um morfismo de melhor qualidade. (Nos casos ideais, obtém um isomorfismo.) Por último, visto que objetos abstratos são procedimentos, a prática com uma linguagem no formato personagem = sujeito, ação = verbo dá ao Agente a capacidade de se relacionar de modo mais produtivo com livros sobre ideias abstratas e complicadas, como livros de matemática, filosofia, e ciência, sem os quais é impossível descrever adequadamente o caráter dinâmico da Natureza. A coisa toda vira um ciclo, ou, melhor dizendo, um processo recursivo.

Se gostaria de saber mais sobre filosofia processista, recomendo um livro do filósofo alemão Nicholas Rescher, Process Philosophy: A Survey of Basic Issues: Pittsburgh, University of Pittsburgh Press, 2000.

6. Usei com frequência “verbo” para denotar “locução com função de verbo”, e “sujeito” para denotar “locução com função de sujeito”. Essa decisão deixa as frases mais simples, pois me permite dizer que “tanto fizeram que me obrigaram” é um verbo.

 

Cálculo Tornado Fácil 15

Eis a estratégia mais simples de partir de uma derivada e achar uma integral: imaginar como seria a integral que geraria a tal derivada.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 75 porque o texto anterior terminou na 74. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, CTF 10, CTF 11, CTF 12, CTF 13, e CTF 14.


{75}/ Capítulo 18

A integração como o reverso da diferenciação

Você pode descrever a diferenciação assim: é o processo pelo qual, quando conhece y (que é função de x), acha o coeficiente diferencial dy/dx. Tal coeficiente, já sabe, descreve a taxa instantânea de mudança de y quando x = x.

Como faz com tantos outros processos e operações matemáticos, também pode reverter o processo de diferenciação. Assim, ao diferenciar y = x4, obtém dy/dx = 4x3; se em vez disso começasse com dy/dx = 4x3, poderia reverter o pensamento e chegar a y = x4. Mas aqui acontece algo curioso. Você obtém dy/dx = 4x3 caso parta de qualquer uma destas expressões: x4, x4 + a, x4 + b, x4 c; enfim, x4 mais qualquer outra constante positiva, negativa ou nula. Deve então concordar comigo: ao trabalhar de trás para a frente e partir de dy/dx para chegar a y, de algum jeito tem de tomar providências para acomodar a constante adicionada, cujo valor deixará indeterminado até que possa averiguá-lo de alguma maneira. Assim, visto que ao diferenciar xn ou xn + C você obtém nxn1, ao partir de dy/dx = nxn1 deve chegar a y = xn + C, onde C denota uma constante cujo valor você desconhece.

Se quiser, pode chamar esse processo, o de reverter a diferenciação, de integração.

Será que já percebeu a primeira regra de integração? Quando trabalha com potências de x, a regra da operação de trás para a frente é: aumente o expoente por 1 unidade, divida a potência pelo expoente aumentado, e adicione ao quociente a constante indeterminada. Por exemplo, pode começar com a expressão:

Ao trabalhar de trás para a frente, deve obter:

Faça o teste: diferencie a expressão acima para ver como de fato chega a dy/dx = xn.

E se diferenciasse a equação y = axn + k (onde k é uma constante)? Obteria:

Então, basta usar o bom senso para perceber que, partindo da expressão à esquerda (logo abaixo), e trabalhando de trás para a frente, vai chegar à expressão à direita:

[Usei C em vez de k para sublinhar o fato de que, ao partir da derivada, não necessariamente terá como descobrir o valor de k na expressão original.]

Sendo assim, ao lidar com uma expressão que é multiplicada por uma constante, deve simplesmente colocar a constante como um fator no resultado da integração. Mais um exemplo: à esquerda, a derivada; à direita, a expressão original, obtida por integração, isto é, obtida por pensamentos do tipo de-trás-para-a-frente:

Como essa regra é importante e útil, vou repeti-la; veja as expressões a seguir. Ao diferenciar a expressão à esquerda (na primeira linha), obtém a expressão à direita; ao integrar a expressão à direita para obter a expressão à esquerda (na segunda linha), não deve se esquecer de adicionar a constante indeterminada C, mesmo que não tenha como descobrir seu valor.

Quando você integra uma expressão, significa que conhece uma expressão para dy ou para dy/dx e que, pensando de trás para a frente, vai achar o valor total de y. Até agora, você manteve dy e dx juntos no coeficiente diferencial dy/dx; daqui em diante, nos processos de integração, vai trabalhar mais frequentemente com ambos separados.

Comece com um caso simples:

Se quiser, pode reescrever essa expressão do seguinte modo:

Agora, isso é uma “equação na forma diferencial” (pois ressalta a diferença dy x2dx = 0); com ela, sabe que dy (um elemento de y) corresponde a dx (um elemento de x) multiplicado por x2. O que você quer, contudo, é o valor integral de y, e já sabe que o valor integral de y é a soma de todos os infinitésimos dy que o compõem. (Sobre isso, veja a seção 81 mais abaixo.) Sendo assim, ponha no papel, com os símbolos apropriados, as instruções para realizar a integração de ambos os lados:

[Uma nota sobre como ler integrais: para a expressão à esquerda, diga “integral dê ípsilon”;  para a expressão à direita, diga “integral xis ao quadrado dê xis”.]

Você ainda não integrou nada: apenas pôs no papel as instruções para realizar a integração, se tal for possível (nem sempre é). Vou ajudá-lo a tentar. Muitos outros tolos conseguem realizar essa operação — por que não eu e você? O lado esquerdo da expressão é a simplicidade materializada em tinta preta. A soma de todos os pedacinhos que compõem y, ou a soma de todos os infinitésimos que perfazem y, é o próprio y. Então, pode de uma vez escrever:

Ao estudar o lado direito da equação, deve manter em mente que não vai apenas somar todos os infinitésimos dx para obter x; ao contrário, vai somar todos os termos x2dx, e isso não é a mesma coisa que x2·∫dx, pois x2 não é uma constante. Vai multiplicar alguns dos infinitésimos dx por valores enormes de x2, e alguns outros por valores minúsculos de x2, de acordo com o valor de x. Assim, faz bem caso se atenha à história de que pode ver o processo de integração como se fosse o reverso da diferenciação. A regra para esse processo de trás para a frente ao lidar com xn, como já viu, é “adicione 1 unidade ao expoente e divida a potência pelo expoente aumentado”. Em outras palavras, x2 deve virar x3. Ponha isso na equação, e não se esqueça de adicionar a constante de integração C no final. Daí vai obter:

Viu o que acabou de fazer? Realizou com sucesso sua primeira integração! Não é fácil?

[Talvez queira saber o que aconteceu com o pequeno dx no final da primeira expressão. Bem, lembre-se de que ele era parte do coeficiente diferencial, e que nunca deixou de sê-lo. Você passou dx para a direita (ao multiplicar a expressão toda por dx), e assim a transformou em dy = x2dx, somente para que tivesse como se lembrar de que x é a variável independente, em relação à qual toda a operação está sendo realizada. Além disso, como resultado desse produto sendo somado até que totalize o valor integral de y, a potência de x deve ser aumentada por 1 unidade. Você logo estará familiarizado com tudo isso.]

Tente agora outro caso simples:

Nessa equação, a é uma constante qualquer. Já viu que, ao realizar a diferenciação, um fator constante qualquer na expressão para y reaparece intocada na expressão para dy/dx. Portanto, ao realizar o processo reverso que leva à integração, esse fator constante vai reaparecer na expressão para y. Pode seguir o mesmo caminho que já seguiu até aqui:

Acabou. Que fácil!

Já deve ter começado a perceber que pode ver o processo de integração como sendo o processo de partir da derivada de uma função e achar o caminho de volta à expressão original dessa função. Se no passado, ao diferenciar uma expressão para y, você descobriu que ela resulta em, por exemplo, ax12, pode partir de ax12 e achar o caminho de volta à expressão original. Um conhecido professor uma vez achou uma analogia interessante para o contraste entre os dois processos. Suponha que vá colocar um estrangeiro bem no meio da Trafalgar Square, e que vá lhe pedir para achar sozinho o caminho até a estação de trens Euston. [Em Londres.] O estrangeiro talvez ache a tarefa bem difícil. Mas se você e ele antes disso tivessem andado de Euston até Trafalgar Square, penso que ele conseguiria achar o caminho de volta até Euston, não é mesmo?



{76}/ A integração da soma ou da diferença entre duas funções

Considere a expressão a seguir:

Como consequência:

 

Não há razão pela qual não integrar cada parcela dessa soma separadamente, pois, como já viu antes, ao diferenciar a soma de duas funções distintas, a derivada é simplesmente a soma de duas derivadas distintas. Assim, quando trabalha de trás para a frente, realizando uma integração, a integral que procura deve ser simplesmente a soma de duas integrais distintas.

Deve pôr as seguintes instruções no papel:

Se algum dos termos fosse negativo, o correspondente termo na integral seria negativo também; isso significa que é mais fácil tratar subtrações como casos especiais da adição. Note ainda que você não precisa de duas letras C, uma para cada integral, pois as duas constantes de integração, cada uma provinda de uma integral, se combinam para virar uma constante só. Já que seu valor é indeterminado, e muitas vezes indeterminável, tanto faz escrever 2C ou C.



{77}/ Como lidar com termos constantes

Suponha que deva integrar uma expressão na qual há um termo constante, como esta:

Vai rir quando vir como é fácil. Tem apenas de lembrar que, quando diferencia a expressão y = ax, obtém dy/dx = a. Portanto, quando trabalha de trás para a frente na integração, faz a constante reaparecer multiplicando x. Com isso obtém:

* * *

Eis agora mais alguns exemplos com os quais pode pôr em prática seus poderes recém-conquistados.

(1) A partir da expressão abaixo, ache uma expressão adequada para y.

Em outras palavras, vai integrar 24x11. Como está aprendendo, deve seguir um passo por vez.

(2) Ache a integral a seguir:

“Ache a integral” significa “ache uma expressão para y tal que, depois da derivação de y, obtivesse dy/dx = (a + b)(x + 1)”. (Em vez de y, poderia ser qualquer letra que indicasse uma função, como z.) Bem, a + b é uma constante e pode multiplicar a integral:

(3) A partir da expressão a seguir, ache u.

Sua sequência de operações deve ficar mais ou menos assim:

(4) De novo: a partir da expressão a seguir, ache y.

Suas notas devem se parecer com:

Duas observações: ∫(x2)dx é a mesma coisa que ∫(1)x2dx e que (1)∫x2dx e que x2dx; além disso, yx é a mesma coisa que y(x). Matemáticos russos usam muito a notação yx para dizer “eis a fórmula de y em função de x”, pois acham mais fácil mover yx de um lado para outro que y(x), já que yx é menorzinho.

(5) Integre 9,75x2,25dx.

Como primeiro passo, apenas para ver melhor o que está acontecendo, pode supor que está buscando uma fórmula para y, isto é, que dy = 9,75x2,25dx. (De novo, poderia ser qualquer letra, como v; não fique viciado em letras.) Daí:

* * *

Depois que estiver mais acostumado, verá como os exemplos anteriores são de fato fáceis. Vamos agora tentar um caso novo:

Agindo como antes, pode escrever:

Então, a questão agora se resume à pergunta: qual é a integral de x1dx?

Se olha para trás, para os procedimentos que já realizou ao diferenciar x2, x3, …, xn, não acha nenhum deles tal que obtenha x1 ao calcular dy/dx. Pois, ao calcular a derivada de x3, obtém 3x2; ao calcular a de x2, obtém 2x; da mesma forma: de x, obtém 1; de x0 = 1, obtém 0; de x1, obtém x2; de x2, obtém 2x3; e assim por diante. O caso é que ninguém obtém x1 ao diferenciar x0, como tanta gente supõe antes de pensar no assunto. Primeiro, porque x0 = 1, e o coeficiente diferencial de uma constante é zero, já que o gradiente de uma linha horizontal no plano cartesiano é zero. Segundo, mesmo que aplique cegamente a x0 a regra da diferenciação de potências de x, obteria de qualquer maneira 0 · x1 = 0. Pode então concluir algo importante: que a regra a seguir serve para integrar qualquer potência de x, menos x1dx.

Bem, tente agora outra abordagem. Examine as postagens anteriores deste blogue (da série Cálculo Tornado Fácil), ou folheie seus cadernos ou um dicionário de matemática em busca de uma função de x tal que, ao ser diferenciada uma vez, resulte em x1. Cedo ou tarde verá que uma vez chegou a dy/dx = x1 quando diferenciou a função y = lnx.

Então, como deve ficar claro, visto que já sabe que ao diferenciar lnx obtém x1, então sabe que, ao reverter o processo para integrar dy = x1dx, obterá y = lnx. Só não pode se esquecer da constante a, que aparece na primeira versão deste problema, e da constante de integração, que é a constante indeterminada. Com tudo isso, chega à solução desse problema:

Acho que deve prestar atenção a esse fato extraordinário: o de que, se ninguém nunca tivesse diferenciado lnx e chegado a x1, nem eu nem você saberíamos como resolver o problema de integrar x1dx. Ficaríamos impedidos de prosseguir. Devo dizer isso francamente: vai achar muito difícil integrar uma função antes que, durante seus estudos, tenha visto uma função cuja derivada seja a função que gostaria de integrar. Até hoje, ninguém foi capaz de integrar a expressão a seguir:

Isso porque a expressão a–(x^2) nunca apareceu como sendo o resultado da diferenciação de alguma outra expressão. (Quando Silvanus escreveu essa afirmação, ela era verdadeira; hoje, não é mais, pois já se conhece essa integral. Veja a seção 82.)

Outro caso simples: ache ∫(x + 1)(x + 2)dx.

Ao olhar a função a ser integrada, você nota que é o produto de duas funções de x. Acha que poderia integrar (x + 1)dx sozinha, ou (x + 2)dx sozinha. É claro que poderia. Mas o que fazer com um produto de funções? Nenhuma das diferenciações que realizou até agora resultou num produto de funções como esse. Sendo assim, o jeito mais fácil de seguir adiante é multiplicar uma função pela outra, e daí integrar o produto expandido. E com isso obtém:



{78}/ Algumas outras integrais

Agora que já sabe que pode ver a integração como o reverso da diferenciação, pode examinar alguns dos coeficientes diferenciais que já conhece (pois já os viu neste curso), e ver de quais funções eles surgiram. Com isso, está pronto para construir sua primeira tabela de integrais. Como exercício, não deixe de diferenciar a expressão para y = f(x) (à direita) para ver se obtém dy/dx (à esquerda).

Deve pegar uma tabela de integrais e tentar derivar todas as funções originais (as antiderivadas) para ver se consegue obter a expressão a integrar. Além disso, sempre que derivar com sucesso uma função, veja se consegue estabelecer um método para percorrer o caminho inverso, isto é, para integrar a função derivada. Verá como sua competência aumentará firme e forte!



{79}/ Sobre integrais duplas e triplas

Em muitas ocasiões, você precisará integrar alguma expressão que contém duas ou mais variáveis; num caso assim, o sinal de integração aparece mais de uma vez. Veja:

Com essa expressão, você dá a si mesmo uma instrução: deve integrar a função f, que é função da variável x e da y. Assim como fez com as derivadas parciais, nesse caso você integra a expressão de f primeiro para x (deixando y constante) e depois para y (deixando x constante). Ou vice-versa, pois a ordem não importa. Por exemplo, pense na função x2 + y2. Ao integrá-la em relação a x, obtém:

Agora, procure integrá-la em relação a y:

Embora tenha usado a letra C nos dois casos para indicar a constante de integração, não significa que sejam iguais; C denota qualquer constante, de qualquer valor.

Se tivesse feito as duas integrações acima numa ordem diferente, teria chegado ao mesmo resultado.

Quando ataca problemas sobre a área de uma superfície ou sobre a superfície de um sólido, com frequência tem de integrar tanto para o comprimento quanto para a largura, ou tanto para o comprimento quanto para a altura, ou algo assim. Nesses casos, vai lidar com integrais na forma:

Nessa expressão, u denota uma propriedade (ou relação, ou função) que depende, em cada ponto, tanto de x quanto de y. Deve chamá-la de “integral de superfície”. Ela indica que deve de somar todos os valores de todos os elementos tais que u·dx·dy (isto é, o valor de u de um lado a outro do ínfimo retangulinho de comprimento dx e largura dy) ao longo de todo o comprimento e de toda a largura da área ou da superfície.

É a mesma história no caso de sólidos, os quais descreve com três dimensões. [Três dimensões significa três retas de referência, de modo que pode localizar cada ponto com três números, um de cada reta.] Pense num elemento do volume, ou num infinitésimo do volume, que é o cubinho cujas dimensões são dx·dy·dz. Se pode descrever o formato do sólido com a função f(x, y, z), daí o sólido terá um volume V definido com a “integral de volume” a seguir:

Naturalmente, deve levar a cabo uma integração dessas dentro de limites apropriados em cada dimensão; de modo geral, não poderá realizar a integração se não souber de que modo os limites de cada superfície dependem de x, de y, de z. [Mais adiante, no próximo capítulo, vamos estudar melhor a integração entre limites determinados.] Se os limites de x vão de x1 a x2, os de y vão de y1 a y2 e os de z vão de z1 a z2, daí tem de calcular esta integral de volume:

É claro que existem muitos casos complicados e difíceis; contudo, em geral, achará fácil decodificar o significado dos símbolos, para dizer se a integração significa achar o comprimento de uma linha, a área de uma figura, o volume de um sólido. Seja como for, vai estudar melhor esse assunto no próximo capítulo. O que deve fazer por enquanto é resolver os exercícios a seguir e, logo em seguida, reler este capítulo e o anterior umas duas vezes.



{80}/ Exercícios XVII

Ache uma expressão para as integrais a seguir.



{81}/ Um lembrete sobre integração

Silvanus fez uma escolha popular até hoje: definiu a integração como sendo o processo reverso da diferenciação. O matemático parte de uma expressão para a derivada e, por meio de pensamentos semelhantes aos que Silvanus detalhou, acha uma expressão para uma função tal que, quando diferenciada uma vez, gera a expressão para a derivada da qual partiu. Chame a derivada da qual partiu de f(x) e de φ(x) a expressão que, quando diferenciada uma vez, resulta em f(x), de modo que φ’(x) = f(x). Daí, segundo Silvanus, a frase “integre f” ou “ache a integral de f” significa “ache φ, que é a antiderivada de f, ou que é a primitiva de f”.

A figura Uk8 (mais abaixo) mostra o que tais palavras querem dizer. O matemático constrói o comprimento y somando todos os infinitésimos dy, isto é, y = ∫dy. Mas sabe que o gradiente da hipotenusa de cada triangulinho infinitésimo vale f(x), isto é, sabe que dy/dx = f(x) e que dy = f(x)dx. Com isso, pode substituir dy por f(x)dx em ∫dy e concluir: y = ∫f(x)dx. Agora, quando o comprimento x muda para x’ e o comprimento y muda para y’, há uma taxa de mudança — e se a x’ x tende a zero, essa taxa instantânea de mudança é uma derivada. Qual derivada? Ora, essa derivada tem de ser f(x). “Integrar”, portanto, significa: “Ache uma expressão para colocar no lugar de ∫f(x)dx, de modo que, quando y passa para y’ (sendo que y’ y 0), a taxa de instantânea de mudança seja dada pela fórmula de f, isto é, de modo que dy’/dx’ = f(x’).” É por isso que, tantas vezes, “integrar f” significa “ache a primitiva de f”, que é a função y = φ(x) tal que, quando x muda para x’ e y muda para y’, sendo que x’ x 0, a taxa instantânea de mudança de φ (ou a derivada de φ) seja f.

(Isso é muito natural: se partiu da derivada f para obter a função φ pela qual calcular a magnitude de y quando tiver a de x, vai desejar que a derivada dessa função φ seja f, no mínimo para manter tudo bem consistente.)

Na maioria das situações mais simples, essa história e essa linguagem bastam. Não há nada de errado em ver x2 + C como a primitiva de 2x. Mas o amante de matemática deve manter algo importante em mente: erra feio quando define a integração como sendo meramente o inverso da diferenciação, pois há infinitas funções que o estudante pode integrar, mas que não pode diferenciar. No reino abstrato da matemática, há muito mais funções integráveis que deriváveis; tais funções talvez não surjam na vida do engenheiro ou do cientista, mas surgem amiúde na vida do matemático. Na próxima postagem desta série, vamos tratar desse assunto um pouco mais.



{82}/ A integral de a–(x^2)

Hoje os matemáticos já conhecem uma expressão para a integral de a–(x^2); ela é complicada e gera um gráfico difícil de interpretar. (Mais precisamente, gera uma superfície.) Ainda assim, o ponto de Silvanus permanece válido: há infinitas expressões matemáticas cuja integral é desconhecida (mas talvez exista) ou é patentemente impossível de achar.

Na fórmula a seguir, que é a integral que Silvanus não conhecia, erf denota “error function”, ou seja, “função de erro”.

{Fim}


Lembrete:

A introdução ao cálculo de Silvanus é uma introdução informal. Para ver uma introdução formal, com todas as demonstrações nos lugares certos, clique aqui.