O mistério das jarras d’água


{1}/ Três problemas com jarras d’água

Problema 1. Suponha que te deem dois jarros d’água, um de 5 litros e um de 3 litros, e suponha também que tem acesso a uma pia com água encanada. Como pode usar os jarros para medir exatamente 4 litros d’água?

Problema 2. Se puder resolver o problema 1, eis outro: como pode medir exatamente 1 litro d’água?

Problema 3. Suponha agora que te peçam de volta os dois jarros do problema 1 e que te deem, no lugar deles, um jarro de 6 litros e um de 3 litros. Como pode com eles medir exatamente 4 litros d’água?



 

{2}/ Resolução

Quase todo mundo gosta desses problemas; crianças com cinco anos de idade já se divertem à beça com o problema 1, e se puderem experimentar com jarras d’água de verdade, vão à loucura.

A princípio, um jovem matemático desenhou as duas jarras, e logo percebeu que deveria começar enchendo uma delas até a boca — pois, em tese, não tem opção exceto encher uma jarra completamente ou, se já estiver cheia, esvaziá-la; de fato não tem como medir frações de uma jarra. (Vou chamar esse jovem matemático de Sj5.) Desenhou primeiro a jarra de 5 litros cheia e a jarra de 3 litros vazia. Teve então a ideia de jogar o conteúdo da jarra de 5 litros na de três litros, para ficar com 2 litros na jarra maior e 3 litros na menor.

Figura 1

Figura 1

E aí desistiu de desenhar, pois percebeu que, se fosse desenhar as duas jarras a cada passo da resolução, ficaria doido, sem contar a demora.

Logo depois de desistir, teve a ideia que muita gente antes dele já teve: a de montar uma tabela. Numa coluna, o conteúdo da jarra de 5 litros; na outra, o conteúdo da jarra de 3 litros; e, na outra, a soma do conteúdo das duas jarras.

5 litros 3 litros Soma

0

0

0

5

0

5

2

3

5

2

0

2

0

2

2

5

2

7

4

3

7

 

Sj5 viu que isso era suficiente para dar resposta ao problema 1: “Encho a jarra de cinco litros, jogo o conteúdo da jarra de cinco litros na jarra de três litros até enchê-la; esvazio a jarra de três litros e transfiro os dois litros da jarra de cinco litros para a de três litros. Encho mais uma vez a jarra de cinco litros, e com ela completo a jarra de três litros, e com tudo isso fico com exatamente quatro litros na jarra de cinco litros.” Mas viu que poderia continuar o trabalho com a tabela, e foi o que fez.

4

3

7

4

0

4

1

3

4

1

0

1

0

1

1

5

1

6

5

3

8

0

3

3

 

Sj5 notou que poderia medir exatamente os nove inteiros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e com isso resolveu também o problema 2. Olhando a tabela completa, sentiu algo que nem todo mundo sente — a sensação de que o método da tabela não funciona direito, e de que poderia criar um método melhor se atinasse com uma boa notação.

“O problema da tabela”, escreveu Sj5 no caderno, “é que tenho de ficar o tempo todo olhando o topo da tabela, para me lembrar do maior inteiro positivo que posso colocar em cada coluna. Isso até que não incomoda tanto com apenas duas colunas, mas e se o problema falasse de três jarras, ou de cinco jarras? Daí o método da tabela se tornaria uma amolação.”

Depois de experimentar várias opções, Sj5 finalmente achou uma que tornou seu trabalho mais fácil. Eis um exemplo de como funciona:

Com ela, quis dizer: “Quatro litros na jarra de cinco litros, mais três litros na jarra de três litros, é igual a sete litros ao todo.” E com essa notação refez o que tinha feito com a tabela, com o propósito de praticar.

Achou muito fácil explorar as possibilidades, e para testar sua nova notação, viu o que conseguiria se tivesse uma jarra de 9 litros e uma de 4 litros. (No formulário a seguir, examine uma coluna por vez, da esquerda para a direita.)

“Não é incrível?” escreveu Sj5 no caderno. “Com uma jarra de 9 litros e uma de 4 litros, posso medir, exatamente, todos os inteiros de 0 até 13, isto é, posso medir 0 litro, 1 litro, 2 litros, 3 litros, …, 12 litros, 13 litros. Quem diria?”

E daí, cheio de entusiasmo, atacou o problema 3.

“Ops!” Sj5 viu que desse ponto não avançaria mais. Com uma jarra de 6 litros e outra de 3 litros ele consegue medir exatamente 0, 3, 6, e 9 litros, mas não 1, 2, 4, 5, 7, e 8 litros. “A única solução possível ao problema 3”, escreveu no caderno, “é dizer que o problema não tem solução.” Na escola, o estudante se acostuma tanto a problemas com solução que se esquece, muito facilmente, de uma característica importante da matemática: ela está abarrotada de problemas insolúveis. Sj5 sabia disso: “A maior missão do matemático”, escreveu, “é provar suas afirmações sobre questões matemáticas para além de qualquer dúvida; e muitas vezes isso significa provar que determinado problema não tem solução.”

Depois disso, Sj5 fez a si mesmo uma pergunta importante: “O que diferencia o problema 1 e o problema 2 do problema 3? Como posso testar as jarras para saber se, com elas, consigo obter determinada quantidade inteira de litros?”



 

{3} Um nadica de teoria dos números

A verdade é que Sj5 fez a si mesmo uma pergunta difícil de responder. Pesquisando na internet, achou uma resposta curta:

Se uma das jarras comporta x litros, e a outra comporta y litros, com x e y inteiros positivos, Sj5 pode medir todos os inteiros não negativos de 0 até x + y somente se x e y são primos entre si, isto é, caso os únicos divisores comuns de x e de y sejam 1 e –1. (Não é o caso de 6 e de 3, já que Sj5 pode dividir ambos por 3.)

Caso x e y não sejam primos entre si, então têm um máximo divisor comum. Sj5 pode produzir todos os inteiros não negativos que sejam divisíveis por esse máximo divisor comum; quanto aos outros, não pode produzi-los. Por exemplo, 3 é o máximo divisor comum de 6 e de 3, e por causa disso Sj5 teve condições de produzir os inteiros 0, 3, 6, e 9, mas não 1, 2, 4, 5, 7, e 8.

Agora, provar tais afirmações é outra história, e muito longa — ficará para uma próxima matéria. {FIM}



 

P. S. Se vai montar um laboratório, escolha recipientes cujo volume máximo seja um coprimo dos outros volumes máximos; assim, numa emergência, pode usá-los para produzir frações inteiras da soma de todos os volumes.

Cálculo no ensino médio: já passou da hora


{1}/ Introdução

Como é o currículo de matemática no ensino médio? Muitos professores reclamam: dizem que é excessivamente fragmentado, com os assuntos organizados de um jeito antinatural, e com assuntos muito complicados tratados com brevidade excessiva. É verdade. Nesta entrevista, Nílson José Machado, professor na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, e autor de vários livros didáticos e paradidáticos, mostra a peça de que o professor e seus alunos necessitam para organizar melhor os assuntos do ensino médio: cálculo diferencial e integral.

Até hoje, no Brasil e no mundo, quase todas as tentativas de ensinar cálculo na escola básica falharam. “Tais fracassos não deveriam nos surpreender”, diz Nílson, “pois essas tentativas não passaram de uma antecipação do modo como o cálculo é ensinado na universidade, e o problema é que nem na universidade o curso de introdução ao cálculo funciona bem. Como poderia funcionar bem no ensino médio?”

Ora, não existe aqui uma contradição? Se na faculdade o aluno vai mal no curso de cálculo, como poderá ir bem num curso de introdução ao cálculo no ensino médio, quando ele sabe menos? Nílson acha que o melhor jeito de corrigir esse problema é justamente no ensino médio, onde o estudante conheceria as ideias mais importantes do cálculo por meio tão somente de funções simples, especialmente as funções polinomiais. (São aquelas do tipo y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ··· + anxn, nas quais os coeficientes ai são números reais.) Um estudante que conheça as principais ideias do cálculo, e que saiba usá-las para, por exemplo, esboçar o gráfico de funções polinomiais, está bem posicionado para estudar muitas ideias interessantes: a função logarítmica, a função exponencial, as séries infinitas, as equações diferenciais mais simples. Com a ideia de derivada, por exemplo, ele não precisa nunca mais decorar as fórmulas das coordenadas do vértice de uma parábola, pois, quando precisar das coordenadas, pega um pedaço de papel, calcula à mão a derivada de y = ax2 + bx + c, e a iguala a zero; com isso, acha a expressão para x, e com ela, a expressão para y. Fácil, fácil, e sem nenhuma decoreba. Além disso, conhecendo as principais ideias do cálculo, e sabendo empregá-las no estudo de funções polinomiais, o estudante está pronto para se sair bem num curso universitário de introdução ao cálculo.

* * *

Se o leitor precisa de um curso de cálculo diferencial e integral em poucas palavras, ei-lo: é a matemática dos movimentos e das mudanças. Com o cálculo, o estudante pode caracterizar muito bem magnitudes como distância, velocidade, e aceleração, mesmo quando elas variam o tempo todo.



 

{2}/ A entrevista em si

É possível ensinar cálculo diferencial e integral nas escolas de ensino médio?

O conjunto das ideias mais importantes do cálculo são o que chamo de “ideias fundamentais” e, sendo assim, elas são fundamentais desde o comecinho, desde o ensino fundamental. Então, não só é possível ensinar cálculo nas escolas de ensino médio, como é possível também ensiná-lo nas escolas do ensino fundamental.

Não tem nenhum sentido, numa escola do ensino básico, deixar de tratar de um assunto que os alunos acham muito interessante, para ensinar em seu lugar um amontoado de técnicas que os alunos nem sempre acham interessante.

E não tem sentido por um motivo bastante simples: no ensino médio, eu conseguiria dar um primeiro curso de introdução ao cálculo diferencial e integral em apenas duas aulas. Ensinaria a ideia de integral, a de derivada, e a de equação diferencial, nessa ordem, e em apenas duas aulas. Bastaria que pudesse combinar com a classe a seguinte situação de mentirinha: só existe no mundo a ideia de proporção. Tudo é proporcionalidade, de modo que só vamos estudar as funções polinomiais de primeiro grau.

Antes de continuar, como definir uma “ideia fundamental”?

O exercício que vou descrever a seguir eu já fiz em várias escolas de São Paulo, escolas de ensino médio.

Basta pegar uma mesa grande e acomodar todos os professores à volta da mesa. Peça para que os professores tragam a prova que vão aplicar na próxima avaliação, ou a prova que acabaram de aplicar na avaliação mais recente, tanto faz.

Todo mundo deve ler a prova uns dos outros, com a seguinte ideia: se qualquer uma das pessoas à volta daquela mesa não entender uma das questões, é porque a prova está malfeita. Quando faço esse exercício, costumo dizer: “Somos todos professores, adultos, vacinados. Já passamos por tudo isso, e já fizemos faculdade. Como é que pode a gente ler uma dessas questões de prova e não entender a questão?”

Veja bem: entender a questão não significa saber a resposta. É entender a pergunta, entender o motivo da pergunta, visto que aquela pergunta faz sentido para você, mesmo que não se lembre mais da resposta. Agora, se a questão nem faz sentido para uma pessoa adulta, com faculdade, é porque está errada!

Num primeiro momento, os professores reagem mal à experiência. O professor de uma disciplina acha que, se alguém não conhece as informações importantes de sua disciplina, nem merece estar vivo! [risos] Mas logo os professores entram no jogo, e isso em geral acontece quando começam a ler as provas dos outros, e sentem o drama.

Tem professor que reage assim: “Ah, se você tivesse visto minha aula do dia tal, entenderia a pergunta. Na aula, expliquei tudo direitinho, e o aluno que viu a aula sabe.” Essa reação está errada. O aluno deveria entender a pergunta mesmo que não tivesse visto aula; por exemplo, mesmo que o aluno tivesse estudado o assunto pela internet, ou com os colegas.

O aluno deveria entender a pergunta, e nós, os professores em volta do mesão, deveríamos entender a pergunta também, porque a função da escola básica é passar ao aluno ideias fundamentais. Você sempre entende uma pergunta bem-feita sobre ideias fundamentais, mesmo que não saiba a resposta.

Para identificar uma ideia fundamental, eu proponho três características. As três têm de valer ao mesmo tempo: se furar só uma delas, não presta.

Primeiro, eu consigo explicar qualquer ideia fundamental, e consigo explicar sua importância, recorrendo apenas à linguagem cotidiana, à linguagem do senso comum. Se eu tiver de recorrer a linguagem técnica para explicar a ideia, ou sua importância, é porque ela não é fundamental. Ela pode ser importante, mas não fundamental.

Segundo, nenhuma ideia fundamental está isolada numa disciplina. Ao contrário, ela está sempre ligada a muitas outras ideias da mesma disciplina. [Por exemplo, uma das ideias fundamentais na aritmética de números naturais, que é a ideia de igualdade como sendo uma relação binária reflexiva (para todo x, x = x), simétrica (se x = y, então y = x), e transitiva (se x = y e y = z, então x = z), é importante em muitas outras áreas da matemática.]

Terceiro, toda ideia fundamental transborda uma disciplina específica: nenhuma ideia fundamental cabe numa disciplina só. Quero dizer: uma ideia fundamental não só articula uma disciplina qualquer, internamente, como também transborda para outras disciplinas. Alguns exemplos: energia, mapa, narrativa. Mapas, por exemplo, são uma ideia fundamental na geografia, mas você não pode ver um plano cartesiano como uma espécie de mapa?

E quais são as ideias fundamentais do cálculo?

Todo o cálculo nasce de uma única ideia fundamental: o de usar uma linha reta para servir de aproximação a uma linha que não necessariamente é reta. [Em outras palavras: usar um valor constante para servir de aproximação a valores não constantes; na maioria das situações práticas, isso significa usar uma função polinomial de grau 1 como aproximação a uma função f qualquer, num determinado ponto que faça parte de f.] E dessa ideia surgem outras duas, que são a ideia de integral e a de derivada. Apesar dos nomes técnicos, são duas ideias muito simples.

A ideia de integral nasce assim: uma quantidade está variando o tempo todo, mas, durante pequenos intervalos de tempo, vou tratar essa quantidade como se fosse constante. Por exemplo, a temperatura desta sala [faz um gesto com as mãos para abarcar todo o escritório] está variando o tempo todo, mas, nas próximas duas horas, posso medir a temperatura de dez em dez minutos, e considerá-la constante ao longo de cada um desses intervalos de dez minutos. Essa abordagem me permite, por exemplo, calcular a temperatura média aproximada ao longo das duas horas. [É a soma das 12 medições dividida por 12, isto é, é a média aritmética das 12 medições.]

Vamos supor que você me diga que 12 medições é pouco, pois gostaria de uma aproximação mais precisa. Tudo bem: posso fazer uma medição a cada 5 minutos, ou uma por minuto, ou uma a cada 30 segundos, ou uma a cada segundo, ou uma a cada décimo de segundo. Essa é, em essência, a ideia de integral: conhecer melhor algo que está variando o tempo todo por meio de uma sequência de valores constantes. E é muito fácil trabalhar essa ideia fundamental na escola. O aluno nem precisa saber como se calcula a área de um trapézio; basta que saiba como se calcula a área de um retângulo. (Aliás, ele pode deduzir a fórmula da área do trapézio a partir da área do retângulo.) A ideia de integral é a mais simples das duas ideias fundamentais.

Quanto à ideia de derivada, nasce assim: quando uma coisa varia com o tempo, é muito natural que eu queira saber como ela varia. Em outras palavras, é muito natural que eu procure uma regularidade nessa variação. Caso eu ache uma regularidade, daí posso dizer coisas como “ontem esta árvore estava crescendo à taxa de cinco centímetros por mês”, “quando começamos a entrevista, a temperatura desta sala estava subindo à taxa de dois graus centígrados por hora”.

A questão é que o matemático está sempre procurando uma invariância. Assim, se uma coisa varia com o tempo, o matemático começa a estudá-la para ver se acha uma invariância no modo como ela varia. Essa invariância, essa rapidez com que uma magnitude varia, é a taxa instantânea de variação, ou é a derivada: “Isso varia o tempo todo, mas sempre assim e assado.”

E depois, na escola, é fácil generalizar essa ideia para estudar a taxa de variação instantânea de uma magnitude y em relação a uma magnitude x: o aluno pode usar o mesmo método que Newton usava. Basta que o professor escolha bem os exemplos. O aluno estuda a taxa de variação de y em relação ao tempo, a taxa de variação de x em relação ao tempo, e daí a taxa de variação de y em relação a x é a razão entre as duas taxas.

Contudo, mais uma vez, a ideia fundamental é muito simples: tudo está mudando, tudo está fluindo conforme o tempo passa. Mas eu posso entender como as coisas estão fluindo por hora. Se uma hora é muito, se você gostaria de uma aproximação melhor, posso entender como as coisas estão fluindo por minuto, ou por segundo, ou por décimo de segundo. Certamente vai haver uma aproximação que você possa considerar como uma boa aproximação da taxa de variação instantânea, que é a invariante.

E, por fim, a partir dessas duas ideias, também é fácil trabalhar com equações diferenciais, nas quais a incógnita é uma derivada. Se o professor começa trabalhando só com funções afins, a certa altura o aluno vai entender perfeitamente a pergunta: “Qual seria a função polinomial de primeiro grau cuja taxa de variação instantânea é 7?” Ele vai dizer, com muita naturalidade, que é y = 7x, mais uma constante b qualquer, que é a condição inicial.

E por que, no Brasil, não ensinamos cálculo na escola básica, especialmente no ensino médio?

Já houve várias tentativas de ensinar cálculo na escola básica; o cálculo já fez parte do currículo do ensino médio, e já foi tema obrigatório no exame da Fuvest. Isso foi antes da década de 1970.

Mas, do modo como era ensinado, não podia dar certo, pois era tão somente uma antecipação do modo como era ensinado na faculdade.

O cálculo tem uma história interessante: ele sempre foi uma técnica que funcionava bem, desde o tempo de Aristóteles, que usou ideias do cálculo para calcular áreas. Com Newton e Leibniz, no século 17, o cálculo foi usado com extremo sucesso, mas as explicações eram confusas, inclusive para os padrões da ciência que era praticada na época. Tudo era muito nebuloso.

Essa confusão foi arrumada no início do século 19, com Cauchy e outros matemáticos. Eles passaram a limpo todas as explicações sobre o cálculo. Mas fizeram isso com uma ferramenta pesadíssima, que é a ideia formal de limite. A ideia intuitiva de limite é simples, pois é a ideia de aproximações sucessivas, porém o conceito formal de limite é pesadíssimo; ainda assim, passou a ser decisivo.

Então, na faculdade, a maioria dos cursos começa com o conceito formal de limite, e isso foi reproduzido na escola básica. É impossível que uma abordagem como essa dê certo.

Permita-me ilustrar o que estou dizendo com um exemplo. Há 30 anos, eu participei de uma coleção de livros chamada “Fundamentos de Matemática Elementar”, uma coleção de dez volumes, que até hoje vende bem. Eu, o Gelson Iezzi, e o Carlos Murakami escrevemos um volume sobre o cálculo, o volume 8, que se chama “Limites, Derivadas, e Noções de Integral”.

Mas veja você [pega o livro da estante e passa a folheá-lo]: é um livro com umas 250 páginas, mas, até a página 125, o assunto é limites. Ou seja: 50% do livro é sobre limites, com técnicas para achar limites, com infinito para cá, infinito para lá. [Mostra uma das páginas:] Olha isso! Parece chinês! [risos] Depois vem a parte de derivadas, com só um pouquinho para cobrir as ideias fundamentais, e o resto com técnicas de derivação; e no fim do livro, o capítulo que escrevi, sobre integrais, com apenas 30 páginas.

A história foi assim: essa coleção era para discutir ideias do ensino médio. Na época, limites e derivadas faziam parte do currículo, mas não integrais. Então, o Gelson e o Carlos me pediram para escrever um capítulo breve sobre integração, e foi o que fiz.

A questão é que esse livro, organizado desse jeito, está vivíssimo: ele ainda vende bastante. A meu ver, contudo, esse jeito de ensinar cálculo está equivocado.

Veja este outro livro [pega mais um livro da estante]. É de uma coleção chamada “Matemática por Assunto”, para a qual escrevi o volume de cálculo inteiro. Neste livro não há limites, e consegui discutir o conceito de derivação, de integração, e de equações diferenciais. Eu já dei aulas no ensino médio usando este livro, e sei que ele funciona. Só que esse livro morreu: a editora não o publica mais.

Então, até onde eu saiba, em todo lugar do mundo no qual tentam ensinar cálculo na escola básica, começam com o conceito formal de limite. Só que essa abordagem não funciona nem na universidade! Por que, na universidade, o curso de cálculo reprova tanto? Porque o aluno, antes de estudar derivadas e integrais, tem de se transformar num doutor em limites. Isso é fria. Para piorar o problema, em geral o professor quer trabalhar com todo tipo de função, inclusive as mais extravagantes, como aquela y = 0 se x é racional, e y = 1 se x é irracional. Que função mais doida!

Visto que essa abordagem não funciona direito nem na universidade, a tendência é tirar o cálculo da escola básica, ou mencionar apenas umas poucas ideias, como a taxa de variação. Só que, como consequência dessa decisão, muitas ideias importantes ficam soltas. Na física, por exemplo, movimento retilíneo uniforme e movimento retilíneo uniformemente variado se transformam num monte de fórmulas meio sem sentido.

Como poderia funcionar um curso de cálculo no ensino médio?

O professor começa com a ideia mais simples, que é a de integral, e com as funções mais simples, que são as funções polinomiais de primeiro grau. Depois ele trabalha a ideia de derivada. E depois, a de equação diferencial. Assim, sempre trabalhando apenas com funções polinomiais de grau 1, o professor passa as ideias mais importantes do cálculo. Isso dá para fazer em poucas aulas.

E daí ele recomeça, mas desta vez com funções polinomiais de grau 2. Agora, a curva da função não é mais uma reta, mas uma parábola. O aluno vai perceber que, se sabe calcular a área de um retângulo, pode calcular a área aproximada debaixo de uma função polinomial do tipo y = ax2 + bx + c num intervalo qualquer: basta dividir o intervalo em n retângulos. Quanto maior o número de retângulos, melhor a aproximação.

A ideia de derivada também é simples: o aluno calcula o valor do polinômio para x = 1, x = 2, x = 3, etc. Vai ver que a taxa de variação por unidade não é mais constante, mas a taxa de variação da taxa de variação é constante! E isso ele descobre muito simplesmente, com tabelas.

E depois que essa ideia estiver bem explorada, daí o professor fala de equações diferenciais, mas limitadas a funções polinomiais de grau 1 e de grau 2. Se você tem a taxa da taxa, você acha a taxa, e daí acha a função polinomial de segundo grau original, a menos de uma constante.

Então, o curso vai nessa linha: depois o professor repassa as ideias mais importantes do cálculo com as funções polinomiais de grau 3. Não demora muito, está em condições de generalizar tais ideias para funções polinomiais de grau n.

Daí muitas ideias ficam mais simples. Por exemplo, quando a velocidade não é constante, o aluno pode falar de aceleração, que é a rapidez com que a velocidade varia; é a taxa da taxa. Depois de um tempo explorando as ideias do cálculo com as funções polinomiais, o professor e a classe já conseguem explorar, de um jeito bastante interessante, funções mais complexas, como a logarítmica e a exponencial. O próprio aluno se solta, e passa a fazer, por ele mesmo, perguntas muito pertinentes a respeito do comportamento das funções contínuas mais importantes.

É gozado: na escola, tratamos os polinômios no nível da técnica —fatoração de polinômios, divisão de polinômios, etc. Tudo técnica. Ninguém entende bem o que está fazendo, ou por que aquilo é importante. Contudo, as funções polinomiais são as mais fáceis de estudar com as ideias do cálculo, e um curso de cálculo simples, focado em polinômios, daria ao aluno a justificativa para estudar muitas outras ideias e técnicas de um jeito mais natural. {FIM DA ENTREVISTA}



 

{3}/ Uma brincadeira: trapézio

Um estudante (vamos chamá-lo de 3lt) decidiu ver se conseguiria usar ideias simples, mais a ideia de integral, para calcular a fórmula da área de um trapézio retângulo. (Qual é a ideia de integral, em pouquíssimas palavras? Num plano cartesiano, é a área entre uma curva contínua positiva e o eixo das abscissas, isso num intervalo fechado.) Começou desenhando o que pretendia fazer.

 

Figura 1

Figura 1

3lt manteve a figura a mais simples que pôde, pois pretendia usá-la apenas para guiar o pensamento. Desenhou, portanto, um plano cartesiano XOY, uma reta cuja equação é y = f(x) = ax + b, e o trapézio retângulo delimitado pelo eixo X, pelas linhas verticais x = x1 e x = x2, e pela reta y = f(x). Também incluiu no desenho duas alturas, f(x1) e f(x2), e a área dos n retângulos que usaria para calcular a área do trapézio. “Na figura 2, desenhei apenas seis retângulos”, escreveu 3lt no caderno, “mas posso pensar em n retângulos, tantos quantos eu queira, desde que imagine um 𝛥x menor.”

Se pudesse imaginar 100 retângulos, 3lt achou que calcularia uma área bem próxima da área real do trapézio; mas, se imaginasse 1.000 retângulos, 10.000 retângulos, 100.000 retângulos, daí a soma da área dos n retângulos ficaria cada vez mais próxima da área real do trapézio. “Essa é a ideia de integral”, escreveu 3lt: “quando faço 𝛥x tender a zero, isto é, quando faço 𝛥x tão pequeno quanto eu queira, o número n de retângulos tende ao infinito, isto é, fica tão grande quanto eu queira, e a soma da área dos n retângulos tende à área do trapézio, isto é, fica tão próxima da área do trapézio quanto eu queira.”

Para que pudesse colocar tais pensamentos numa expressão matemática, 3lt incluiu na figura 1 elementos para ajudá-lo a ver como deveria calcular a área de cada retângulo. (É o que pode ver em destaque na base da figura 1.) Com isso, depois de rabiscar bastante, chegou à expressão que gostaria de calcular.

 

Formulário 1

Formulário 1

Para deixar claro o que pretendia dizer com isso, 3lt escreveu: “Com a expressão à esquerda da igualdade, quero simplesmente dizer que pretendo calcular a soma da área dos retângulos cuja base vale 𝛥x e cuja altura vale f(x), isso no intervalo fechado entre x1 e x2. Fiz duas presunções para simplificar a coisa toda: x1 < x2 e, no intervalo fechado [x1, x2], a reta y = f(x) é positiva. Com a expressão à direita, quero dizer, mais especificamente, de que modo pretendo calcular o valor da expressão à esquerda: vou somar os n produtos de f(xt) por 𝛥x, ou, em outras palavras, vou somar a área dos n retângulos que obtive ao dividir x2x1 em n partes iguais.”

Querendo raciocinar em bases firmes, 3lt deixou claro o que significa 𝛥x e xt. Na expressão a seguir, usou n para indicar um inteiro positivo.

 

Formulário 2

Formulário 2

Feito isso, 3lt organizou o somatório melhor, usando o fato de que f(x) = ax + b.

 

Formulário 3

Formulário 3

 

Da primeira linha para a segunda, 3lt substituiu xt pela expressão equivalente a xt; da segunda para a terceira, multiplicou essa expressão por a; da terceira para a quarta, multiplicou a expressão entre parênteses pela expressão equivalente a 𝛥x; e, na última linha, organizou a expressão em função do contador t. Então 3lt tirou, para fora do somatório, tudo aquilo que não muda de valor conforme o valor de t.

 

Formulário 4

Formulário 4

Para arrematar a conta, 3lt substituiu o somatório de t por uma expressão equivalente, que é fácil de calcular. Esse é um somatório bem conhecido, pois é o somatório dos n primeiros inteiros não negativos, que 3lt considerou como a soma de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 0, cujo último termo é n – 1, e cuja diferença é 1.

 

Formulário 5

Formulário 5

Estudando a expressão, 3lt percebeu que, conforme aumenta o valor de n, diminui o valor da última parcela. “Posso aqui usar a linguagem típica do cálculo integral”, escreveu 3lt: “se faço n tão grande quanto eu queira, faço também o valor da última parcela tão pequeno quanto eu queira. Ou, como alguns dizem, se faço n tender ao infinito, faço o valor da última parcela tender a zero. Sendo assim, ou o valor da expressão inteira jamais é maior que o valor das duas primeiras parcelas (se o coeficiente a é positivo), ou o valor da expressão inteira jamais é menor que o valor das duas primeiras parcelas (se a é negativo), e posso ver esse limite como sendo o valor real da área do trapézio.” 3lt então pôs no papel o que quis dizer, mas com notação matemática convencional.

 

Formulário 6

Formulário 6

Antes de continuar, 3lt foi verificar se essa expressão corresponde à fórmula da área do trapézio retângulo — e corresponde. A primeira parcela dá conta da área do retângulo cujos lados são f(x1) e x2x1. A segunda parcela dá conta da área do triângulo retângulo cuja base é x2x1 e cuja altura é f(x2) – f(x1); e a área desse triângulo é base vezes altura, tudo isso dividido por 2. 3lt viu que poderia simplificar a expressão mais do que isso, se quisesse, mas daí perderia a capacidade de visualizar “a área do retângulo mais a área do triângulo em cima do retângulo”.

* * *

Com este exemplo, o leitor pode ter uma ideia do que o professor Nílson está falando. A brincadeira é de fato simples, e um professor habilidoso, caso escolha com cuidado a função y = f(x), pode começar os trabalhos com materiais bem concretos, como papel quadriculado.

Pode ver no formulário 6 o símbolo de limite. Em sala de aula, a confiar nos conselhos de Nílson, o professor pode usar a definição intuitiva de limite, que é simplesmente imaginar 𝛥x muito pequeno e cada vez menor; ou seja, não precisa, nem deve, recorrer à definição formal de limite, com épsilons, deltas, e inequações cheias de valores absolutos. (O leitor que já conhece o sistema dos números hiper-reais pode simplesmente trocar 𝛥x por um infinitésimo, o que, na última linha do formulário 5, significa trocar n por N, um inteiro hiper-real infinito positivo. Daí o valor da integral é, pura e simplesmente, o número real infinitamente próximo do valor não padrão do somatório; tal número real equivale justamente à expressão no formulário 6.) De vez em quando, o professor deve dizer à classe que a integral não é o somatório da área dos retangulinhos, mas o limite desse somatório quando 𝛥x tende a zero.

Note que esta brincadeira presume um leitor habituado à matemática. É claro que estudantes no primeiro ano do ensino médio não sabem como funciona a notação sigma, nem sabem como calcular a soma dos n primeiros inteiros não negativos. Portanto, eles vão começar com simplicidade: calculando uma por uma, devagar e sempre, a área de cada um dos n retângulos, depois e somando as n áreas à mão (ou com uma calculadora, ou com o Excel no celular). Mas, como Nílson faz notar na entrevista, o cálculo “articula” os assuntos do ensino médio: ao realizar atividades como essa em sala de aula, a certa altura o professor se vê obrigado a explicar várias coisas, entre elas a notação sigma e as progressões aritméticas. E o aluno gosta de tais explicações, pois elas vêm com contexto, e além disso ele vai usá-las para se livrar de trabalho tedioso.

Uma vez que o aluno tenha compreendido bem o conceito de integral, o de derivada, e o de equação diferencial, mesmo que trabalhando apenas com funções bem comportadas, fica em condições de compreender corretamente muita coisa: vários matemáticos famosos já disseram que a ideia mais importante da matemática é a ideia de função, e o cálculo é uma ferramenta extraordinária no estudo de funções. Escreveram os matemáticos James M. Henle e Eugene M. Kleinberg, autores do ótimo livrinho Infinitesimal Calculus: “A história da matemática moderna é, num grau absurdo, a história do cálculo.” {FIM}


Observações:

1. Talvez o leitor não saiba, mas este blogue Imaginário Puro contém um curso de introdução ao cálculo diferencial e integral em dez capítulos — clique aqui para ler o primeiro.

2. Hoje (2019) tenho muitas dúvidas sobre se uma pessoa deve mesmo dar primazia ao cálculo. Acho que deve dar primazia aos tópicos da matemática discreta; o cálculo é sem dúvida importante, e deve ser conhecido por todos, mas deve vir em segundo lugar. Deixe-me explicar isso um pouco melhor.

Imagine uma pessoa que vai seguir carreira na qual o cálculo não desempenha papel essencial; por exemplo, ela ambiciona ter um restaurante, ou uma loja de roupas num shopping, ou um consultório de dentista. Essa é a situação da maioria das pessoas. Nesse caso, ela deve estudar uma matemática que a ajude a pensar considerando seu estilo de vida. Eu acho que os tópicos da matemática discreta são mais úteis: conjuntos, relações, funções; lógica; teoria dos grupos; métodos de contagem; teoria dos números; probabilidade discreta; indução matemática e relações recursivas; teoria dos grafos; árvores; álgebra booleana; álgebra linear. E de que modo tais tópicos são mais úteis? Eles abrem caminho para o estudo de assuntos fascinantes e úteis no dia a dia, especialmente úteis como analogia: máquinas de estados finitos; semântica; teoria da informação; teoria das decisões e dos jogos.

Além disso, para aqueles que, como eu, acham que o sistema formal de ensino deve em primeiro lugar ensinar o aluno a gostar de matemática, de escrever sobre matemática, de se divertir com matemática — ora, os tópicos da matemática discreta também servem para tais propósitos. Além de úteis, eles são bonitos e instigantes, e cabem num currículo cujo propósito maior seja ensinar ao aluno o prazer da matemática.

Dito isso, vale enfatizar: todo brasileiro adulto deveria ter noções básicas de cálculo. Se o sistema formal de ensino não deve dar primazia ao cálculo, deve mesmo assim ensiná-lo, pois é impossível entender a história da matemática e da ciência sem saber nada de cálculo. Nesse sentido, o conselho do professor Nílson é inigualável: estude (ou ensine) cálculo no mínimo com funções polinomiais e outras funções reais bem comportadas.

Caso o leitor queira saber mais sobre matemática discreta, já escrevi sobre o assunto neste blogue: Não sabe usar bem a matemática? Eis um remédio; e Métodos formais para filósofos novatos: mais eficientes que lógica.

 

Por que um professor empurra seu aluno para a matemática


Com reportagem de Aline Viana

{1}/ Sem prazer e sem dinheiro

— Não vá você me decepcionar — disse outro dia o professor Thales a uma aluna do cursinho. O tópico da conversa: que curso fazer na faculdade?

— Acho que vou fazer medicina — respondeu a aluna.

— Nada disso! — respondeu Thales. — Você vai fazer matemática. Não me venha com “mas” nem “por quê”. Eu sei de que você gosta, eu sei o que você deve fazer: matemática. Não vá me fazer desfeita, hein?!

Thales Athanasio dá aulas de matemática no cursinho Anglo Vestibulares, e também no colégio Dante Alighieri (ambos em São Paulo); no Instituto de Ensino e Pesquisa (Insper), trabalha na monitoria de cálculo. Tem 24 anos, cabelos curtinhos, barba cheia: parece mais um aluno estiloso que um professor. Talvez um leitor, só um, pense assim: “Ah, sei. Esse Thales se revelou humano, demasiado humano: não me surpreenderia se, para ele, os outros deveriam gostar dos mesmos músicos dos quais ele gosta, ou deveriam adorar o mesmo Deus que ele adora; pois deseja que os outros abracem a mesma profissão que ele abraçou.”

Não é nada disso.

Em todas as escolas nas quais trabalha, Thales participa de eventos e de atividades extraclasse. No Dante, por exemplo, em algumas sextas-feiras à tarde Thales se reúne com um grupo de alunos para estudar questões de olimpíadas de matemática — não porque os alunos queiram participar de olimpíadas, mas porque se interessam por uma matemática mais difícil. “O propósito é só pegar mais pesado”, diz Thales. “Para esse grupo específico, a gente seleciona os melhores alunos. Só que os melhores alunos não são os que tiram as notas mais altas. Os melhores alunos são aqueles que realmente gostam de matemática.”

Thales tocou aqui numa questão essencial. Suponha um aluno que preste vestibular para matemática — o que acontecerá quando se formar? Reitores e diretores de faculdade dizem que a maioria vai trabalhar num escritório para alguma empresa grande; por exemplo, bancos. Outra parte vai dar aulas de matemática. E uma minoria se transforma em matemático (hoje em dia, isso é o mesmo que pesquisador de universidade). Contudo, nos três casos, é bastante provável que esse aluno dê aulas de matemática — seja em escola que paga bem, seja em escola que paga mal, seja em escola que não paga nada (se for voluntário); seja na rede pública, seja na particular; seja em tempo integral, seja à noite. Se der aulas, diz Thales, o aluno vai descobrir que o desafio de dar aulas não se resume aos 50 minutos da hora-aula — ao contrário.

“Dar aulas é a parte fácil. O que mata é o que está fora da aula: preencher formulários, participar de reuniões, montar a prova, corrigir as provas, preparar a aula. Se um grupo de alunos vai mal, tem de preparar outra prova, e corrigir as provas. No final do bimestre, para quem foi mal, tem de montar a recuperação, e corrigir as provas de recuperação. No final do ano, para quem foi mal, tem de montar e corrigir um provão. Meu Deus do céu! Eu não tinha ideia do trabalho todo fora dos 50 minutos da hora-aula. Contudo, o professor recebe pela hora-aula.”

A questão essencial, portanto, se resume numa palavra: prazer. Thales só empurra para a matemática aqueles alunos que, a seu ver, têm a capacidade de se divertir com matemática. Se as notas são altas ou baixas, isso é secundário. Ele gosta de ser “enfático”, como diz, porque acha que assim os jovens o entendem melhor. Além disso, existe a ideia de que, se o sujeito fizer matemática, certamente vai virar professor, e certamente vai passar fome; essa ideia é comum entre seus jovens alunos. “Eu ganho mais que vários de meus colegas de colégio, que fizeram cursos para ganhar dinheiro, como engenharia ou medicina. Um curso desses não é garantia de ganhar dinheiro. Então, se o aluno não fizer na faculdade um curso do qual realmente goste, no final do dia pode ficar sem dinheiro e sem a alegria do trabalho.”



 

{2} Na matemática, todo aluno é autodidata

Lilian Spalding, professora de matemática na Escola Vera Cruz (São Paulo), deu aulas para um jovem no primeiro ano do ensino médio, assim como no terceiro, e, em parte por causa dela, esse jovem foi estudar matemática na universidade. Ele era diferente. Tinha a ideia de que gostaria da vida de pesquisador, até porque seu pai é físico, então ele sabe o que é um pesquisador. E gostava de demonstrações matemáticas. “A maioria dos alunos”, diz Lilian, “não se interessa por demonstrações.” Mas o jovem estudou matemática por três anos; antes de concluir o curso, trocou matemática por pedagogia.

Ainda assim, Lilian diz que essa é uma história de sucesso.

Pois não é que o jovem ficou na matemática um ano, se deu mal, e trocou o curso. Ele ficou três anos, e estava indo bem. “Não é nada fácil fazer o curso de matemática de uma boa universidade”, diz Lilian. “Tudo é muito diferente da escola básica. Na universidade, o aluno tem de ser um ótimo autodidata, pois todos esperam dele que aprenda a matéria praticamente sozinho.” Esse aluno, contudo, foi fazer um curso de pedagogia numa das faculdades da universidade, se encantou com o professor, e o professor se encantou com ele, de modo que achou melhor trocar a matemática por pedagogia. Isso é bom. Significa que, em poucos anos, haverá um pesquisador na área de pedagogia com uma forte base matemática.

Lilian diz que raramente aborda um aluno e o incentiva a fazer matemática na universidade. Quando isso acontece, esse aluno tem umas poucas características especiais. Por exemplo, ele internalizou a ideia de que um texto matemático, com toda aquela álgebra muito bem estruturada, é uma coisa bonita. Ou ele não se importa com o fato de que suas criações vão ficar apenas no papel. (“O aluno com perfil mais de engenharia”, diz Lilian, “não se conforma com isso. Ele quer construir coisas palpáveis, e com as próprias mãos.”) Ainda assim, Lilian acha bem natural que, na faculdade, o aluno troque matemática por estatística (ou vice-versa), ou matemática por computação (ou vice-versa). “Raríssimos são aqueles que têm bastante claro o que querem fazer da vida, e que têm bastante claro como funciona a profissão que escolheram.”



 

{3}/ Se não há programas de TV…

Tanto Lilian quanto Thales acham que a cultura brasileira não estimula o jovem a estudar matemática na faculdade. Há poucos filmes, séries de TV, novelas, e peças de teatro nas quais a matemática seja o principal elemento do cenário; e, quando aparece algo assim, em geral o roteirista retrata o matemático como uma espécie de pária, ou mesmo como uma espécie de doido. Nem Lilian nem Thales conseguiram se lembrar de  um show no qual o cenário é a matemática, e o personagem principal, uma pessoa comum. (“A arte da ficção”, disse um especialista uma vez, “consiste de mostrar como se saem as pessoas comuns em situações incomuns, ou as pessoas incomuns em situações comuns.” Shows sobre matemáticos em geral mostram um personagem incomum numa situação incomum, e por isso a plateia tem dificuldade de se identificar com ele.)

Os jovens também pressionam uns aos outros, e não é para estudar matemática, já que, no imaginário deles, matemática não dá dinheiro. “Se um aluno anuncia a intenção de fazer música”, diz Thales, “mas continua estudando e tirando notas boas de matemática, os outros ficam bastante incomodados.” Na lógica adolescente, se alguém vai fazer música, deve estudar os outros assuntos o mínimo possível, apenas para passar de ano; fazer mais do que isso é uma espécie de traição. Lilian e Thales dizem que existe uma espécie de “cultura do desestímulo”, de modo que um dos papéis do professor é prestar atenção à classe para dar ao aluno de perfil matemático o estímulo certo na hora certa.

“Dar o estímulo” às vezes significa “mudar o jeito de agir, e de dar aulas”. Thales diz que, quando era estudante, usava apenas uma caneta azul para tomar notas. Muito estudante, contudo, gosta de anotar as ideias matemática em cores — de um lado de uma igualdade, ele escreve a variável x com caneta vermelha; do outro lado, escreve em vermelho uma expressão algébrica complicada; assim o estudante sabe, visualmente, que x equivale àquela expressão. “Eu nunca fui de colorir as coisas no quadro”, diz Thales. “Um dia, porém, eu e um colega estávamos no Anglo trabalhando no plantão de dúvidas. Daí veio uma aluna que costumava tirar dúvidas comigo, mas foi tirar com o meu colega. Depois, ela veio me provocar: ‘Sabe por que eu fui com ele, e não com você? Por que ele faz tudo colorido para mim.’ Hoje minha aula é colorida: uso as quatro cores da caneta, e todas as cores de giz.” {FIM}

Entrevista: como Marcelo Gleiser aprendeu matemática na marra

 

A nebulosa Olho de Gato (NGC 6543), um dos prazeres de quem ama a ciência: ela se expande a 16.400 quilômetros por segundo. (Foto: Hubble.)

A nebulosa Olho de Gato (NGC 6543), um dos prazeres de quem ama a ciência: ela se expande a 16.400 quilômetros por segundo. (Foto: Hubble.)


 

{0}/ Sobre a entrevista

Publiquei uma versão diferente (menor) desta entrevista com Marcelo Gleiser em novembro de 2010, na edição nº 1 da revista “Cálculo: Matemática para Todos”, pág. 12.


 

{1}/ Duas questões importantes

Os cientistas se dividem em dois grupos principais: os que inventam hipóteses para explicar medições já existentes, e os que inventam hipóteses para as quais ainda é impossível fazer medições. Marcelo Gleiser, professor de física e de astronomia da Universidade Dartmouth, em Hanover (Estados Unidos), faz parte do segundo grupo. Ele tem trabalhado na resposta para duas perguntas importantes:

1. Durante a infância do universo, durante os primeiros bilhões de anos depois da poderosíssima expansão inicial (conhecida como “big bang”), o universo se expandiu bem mais depressa do que se expande hoje? (Marcelo acha que sim.)

2. Por que a vida na Terra é feita exclusivamente de aminoácidos e proteínas canhotos (orientados para a esquerda) e de açúcares destros (orientados para a direita) se, em laboratório, essas moléculas básicas da vida se dividem espontaneamente em 50% canhotas e 50% destras? (Marcelo acha que essa característica da vida na Terra é mero acidente; em outros pontos do universo, deve existir vida com aminoácidos e proteínas destros e com açúcares canhotos.)

Em todo o universo, existe um banho de radiação micro-ondas, chamada de “radiação cósmica de fundo”, que é resquício do big bang. Caso Marcelo esteja certo, um dia os cientistas conseguirão comprovar a expansão mais rápida do universo ao medir variações de temperatura nos fótons (partículas de luz) que fazem parte da radiação cósmica de fundo. “Talvez em dez ou quinze anos”, diz Marcelo. E um dia uma nave da NASA descerá num planeta, lua ou asteroide e transmitirá à Terra a notícia de que achou vida com, por exemplo, aminoácidos destros. Mas isso deve demorar mais.

Todo artigo científico com a assinatura de Marcelo Gleiser está cheio de matemática e estatística, mas ele nem sempre foi bom de matemática.


 

{2}/ A entrevista em si

Como começou sua história com a matemática?

Nunca tive uma relação fácil com a matemática. Na terceira ou quarta série do primeiro grau, passei por momentos complicados, e meus pais até precisaram contratar uma professora particular, a dona Rute. Até a oitava série, eu passava de ano, mas a matéria não me vinha facilmente.

Meu irmão mais velho era uma espécie de geniozinho da matemática, e eu me sentia oprimido por isso. Meu irmão, um gênio, e eu, com todas aquelas dificuldades.

Isso mudou no científico, o que hoje chamam de ensino médio. Eu gostava de ciências e de história, e tinha lido uma frase de Galileu: “O grande livro da natureza está escrito em linguagem matemática.” E aí pensei comigo: “Bom, se quero conversar com a natureza, então tenho de aprender essa língua.” Tomei uma decisão, digamos assim, bem definida. Durante todo o colégio, quando tinha tempo livre, eu tocava violão, ou jogava vôlei, ou estudava matemática.

Sentei na cadeira mesmo [ri] e estudei muito. Comecei bem lá no começo, e revi tudo: revi álgebra, geometria. Mas estudei no meu ritmo; fiz a coisa toda a meu modo.

Aos poucos, fui percebendo que matemática, para mim, era como um jogo. Existem certas regras, que devemos obedecer, mas logo percebemos que, aplicando essas regras com um pouquinho de imaginação, conseguimos usar a matemática. Não sei o que aconteceu no meu cérebro naquela época, mas sei que finalmente a matéria entrou. Conforme eu compreendia o assunto melhor, minha admiração pela matemática aumentava. Foi uma transformação.

Nunca tive uma relação fácil com a matemática. Meus pais até precisaram contratar uma professora particular, a dona Rute.

E na universidade, onde a matemática é mais complexa?

Fui superbem nos meus cursos de cálculo e de álgebra, mas foi difícil: foi uma batalha, e me dediquei para ganhar essa batalha.

O Albert Einstein, no fim da vida dele, ajudava a filha de uma vizinha com a lição de casa, e a menina tinha dificuldade com a matemática. Einstein uma vez lhe disse: “Não se preocupe com os seus problemas matemáticos — os meus são muito piores.” Me deixei guiar um pouco por essa frase. Entendi que algumas pessoas nascem com dom para a matemática, mas, se me faltava o dom, podia aprender na marra.

Decidi ir além do conteúdo das aulas. Pedi a meus pais um presente: um livro de cálculo, desses usados por universidades americanas. Eu ia às aulas, mas também estudava com meu livro.

Quando estava no doutorado, na década de 1980, já fazia cálculos de 70, 80 páginas. Fazia o cálculo, refazia, dava erro, refazia, achava o erro, revisava — ia e voltava.

Li uma frase de Galileu uma vez: «O grande livro da natureza está escrito em linguagem matemática.» Pensei comigo: se quero conversar com a natureza, tenho de aprender essa língua.

Você ainda faz cálculos longos?

Para ser sincero, não. Primeiro, tenho alunos de doutorado que fazem os cálculos comigo, porque é parte do treinamento deles. Segundo porque hoje uso muito os computadores; eles fazem o grosso dos cálculos. Terceiro porque, aos 51 anos [em 2010], sendo professor titular, tenho mil afazeres além das aulas e da pesquisa, inclusive meu trabalho como escritor, como divulgador de ciência. Quarto porque, depois de uma certa idade, a gente perde a paciência para cálculos muito longos e repetitivos. Não há nada de surpreendente nisso. É óbvio que existe exceção para tudo, mas a maioria dos matemáticos era jovem quando fez contribuições fundamentais para a matemática.

Seu trabalho seria possível sem computadores?

Não, não seria. Fazemos ciência hoje de uma forma muito diferente da que fazíamos na década de 1980. Naquela época, entre fazer contas complicadas à mão, e ir para o computador, eu preferia fazer à mão. “Ir para o computador” era muito complicado, era uma coisa meio épica. Hoje é trivial.

Além disso, quase todos os problemas fáceis da física já foram resolvidos. Sobraram os problemas não lineares, os problemas cujas equações matemáticas dão respostas aproximadas. Então, usamos os computadores para ir calculando as aproximações.

E você sabe o que vai dentro desses programas de computador?

Eu escrevo esses programas! Escrevo programas usando duas linguagens de programação: Fortran, que é uma linguagem mais antiga, e C++, que é mais moderna.

Você inventa matemática nova ou é só usuário de matemática?

Sou usuário de matemática. Quero dizer: para resolver os problemas que eu quero resolver, toda a matemática necessária já foi inventada, já está disponível. Faço mais ou menos como o escritor, que usa as palavras existentes para criar livros originais.

Agora, às vezes me meto numa área da física nova para mim, e não conheço bem a matemática dessa área. Então, preciso dar uma parada, pegar uns livros de matemática e estudar. Foi assim quando estudei a teoria quântica dos campos [na física], que me obrigou a estudar a teoria dos cálculos funcionais [na matemática], que, aliás, é uma coisa bem complicada. Foi assim também quando estudei a teoria das supercordas, que me obrigou a estudar topologia algébrica. Para descrever como as partículas da matéria interagem, tive de aprender a álgebra de Lie.

Alguma área da física não avança porque falta matemática adequada?

Existe isso, especialmente nas áreas mais esotéricas da física. Acho que a teoria das supercordas, por exemplo, precisa de uma matemática mais avançada do que a que temos hoje.

Existe algum teorema ou objeto da matemática que seja muito importante na física?

Um dos teoremas mais importantes da matemática, e certamente o mais importante da física, é o teorema de Pitágoras. É incrível: na física, esse teorema aparece em tudo quanto é lugar. Einstein pegou uns elementos da física, juntou com o teorema de Pitágoras [no contexto das geometrias não euclidianas], e conseguiu provar que o espaço se contrai, que o tempo se dilata. Tenho uma profunda admiração por Pitágoras.

O teorema mais importante para a física é o teorema de Pitágoras. É incrível: na física, esse teorema aparece em todo lugar.

Você chegou a perceber a importância do teorema de Pitágoras antes de virar físico teórico?

A pergunta mais comum de quem estuda matemática é: para quê estou estudando esse negócio? Eu também me fiz essa pergunta muitas vezes. É lamentável, mas poucos professores conseguem conectar a matemática ao resto do mundo.

Como é a sua rotina?

É uma luta para otimizar o tempo, porque eu tenho coisas demais para fazer. Eu dou três cursos por ano, ou seja, dou três aulas por semana, de uma hora cada uma, por 30 semanas por ano. Tenho de preparar aulas, corrigir provas. Tenho minhas pesquisas na área de cosmologia, principalmente origem do universo, e na área de origem da vida, porque a história da vida na Terra está muito ligada à história da própria Terra. Dois dias por semana, terça e quinta, eu fico em casa escrevendo. Muitas vezes sobra trabalho para a noite, e às vezes eu me levanto às 4:30, trabalho até as 8 horas, e daí começo o dia.

Mas eu adoro o que faço; minha vida é um privilégio. Então, trabalhar um pouco mais, para mim, não é ruim.

Você tem conselhos para quem estuda matemática?

As pessoas tendem a transformar a matemática num monstro, e elas dizem para si mesmas: “Não vou aprender isso nunca.” Elas decretam o próprio fracasso antes mesmo de tentar. O que elas não sabem é que errar faz parte de estudar matemática. Todo mundo erra — Einstein errava. Em matemática, não existe não errar.

Matemática é muito parecido com futebol: ninguém nasce craque, e não dá para aprender de forma passiva, só assistindo. É questão de praticar, de suar. Todo mundo é capaz de aprender a jogar futebol direito, mesmo sem ser o Pelé.

Estudar matemática tem uma vantagem sobre o futebol: quem estuda matemática, ganha condições de aprender como o resto do mundo funciona — o carro, o computador, a conta bancária, o Sol. Quem estuda matemática, aprende a pensar. É uma coisa fisiológica; parece até que o cérebro se modifica. Quem estuda matemática, principalmente, ganha maior domínio sobre o próprio destino, o que, pelo menos eu acho, é melhor do que fazer gol. {FIM DA ENTREVISTA}

A matemática é muito parecida com o futebol: ninguém nasce craque, mas todo mundo é capaz de aprender a jogar, mesmo sem ser o Pelé.



 

{3}/ O teorema de Pitágoras

Existem mais de 350 provas distintas do teorema de Pitágoras; seus autores lançaram mão das mais variadas técnicas matemáticas para prová-lo. Mas o teorema se tornou imensamente importante quando Descartes inventou a geometria de coordenadas. É a combinação de um espaço coordenado com o teorema de Pitágoras que faz o teorema aparecer em todas as áreas da matemática e, por tabela, em todas as áreas das ciências matematizadas, como a física.

Eis um exemplo: imagine um plano com coordenadas retangulares comuns, tipo XOY. Imagine também um círculo de raio igual a r com centro na origem do sistema de coordenadas. (É o que pode ver na figura 1.) Qual é a equação que descreve o círculo?

Figura 1

Figura 1

O triângulo OPQ é um triângulo retângulo, e você pode usar |r| para denotar o comprimento da hipotenusa; |x|, o comprimento de um dos catetos; |y|, o comprimento do outro cateto. Daí, partindo do pressuposto de que o teorema de Pitágoras é verdadeiro, |r|2 = |x|2 + |y|2. Contudo, você sabe que o quadrado de um número é sempre não negativo, e pode se livrar do sinal de valor absoluto: r2 = x2 + y2; essa é a equação de um círculo de raio igual a r com centro na origem de um plano com coordenadas retangulares XOY. Pode aplicar um argumento semelhante a esse a espaços euclidianos de três dimensões, quatro dimensões, e assim por diante, incluindo espaços de dimensão 10, tão importantes na teoria das supercordas. (“Espaços euclidianos” são aqueles nos quais faz sentido a ideia de que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Vale lembrar que, para compor a teoria das supercordas, os físicos imaginaram espaços euclidianos “imersos” em espaços não euclidianos.) Pare por apenas um momento para apreciar o que acabou de acontecer: com a ideia de coordenadas, mais o teorema de Pitágoras, agora você pode investigar as características dos círculos ao investigar as características de uma equação.

Visto que pode ver o deslocamento da origem O ao ponto P como um número complexo, Pitágoras se torna automaticamente importante no sistema dos números complexos; visto que pode ver o deslocamento de O a P como um vetor, Pitágoras se torna automaticamente importante em todo espaço vetorial, e, por conseguinte, em toda a álgebra linear; visto que pode ver o deslocamento de O a P como sendo um deslocamento infinitesimal, que vai denotar com um número do sistema hiper-real, Pitágoras se torna automaticamente importante em todo o cálculo diferencial e integral, e por tabela em toda área da matemática construída sobre os fundamentos do cálculo — equações diferenciais, análise, topologia, e geometria não euclidiana, para mencionar umas poucas áreas entre muitas.


 


{4}/ O teorema é de Pitágoras?

No sentido moderno, não.

O teorema já era conhecido uns mil anos antes de Pitágoras, em várias cidades do mundo antigo, e até hoje nenhum historiador achou nenhuma evidência de que Pitágoras sequer tenha provado o teorema por si próprio. Aliás, não existem evidências inquestionáveis de que Pitágoras tenha existido; certamente existiu uma escola pitagórica, que era uma espécie de seita, cujos membros provavelmente conheciam o teorema. Isso é o máximo pelo que um historiador moderno poria a mão no fogo.

Porém, essa ideia de “Quem foi o primeiro?” é recente — grosso modo, surgiu com as universidades e com os pesquisadores profissionais, para os quais o currículo importa, e, portanto, ser o primeiro também importa. No mundo antigo, o autor de uma façanha era o personagem principal da história mais bem contada sobre aquela façanha e, pensando desse modo, ninguém supera Pitágoras: tinha uma coxa de ouro, sumia de um lugar e reaparecia em outro, mandou matar afogado o sujeito que demonstrou que não se pode expressar a diagonal de um quadrado unitário como a razão entre dois inteiros positivos, proibiu seus seguidores de comer feijão. Principalmente, acreditava que a matemática era a chave para uma compreensão melhor do universo. Por essa última ideia, Pitágoras, o herói, merece a honra de um teorema tão importante em seu nome. {FIM}

A extraordinária linha dos números hiper-reais


{0}/ Introdução

Este é o terceiro texto sobre como construir o cálculo diferencial e integral por meio do sistema de números hiper-reais. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, segundo, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono, décimo.) Neste texto, você vai explorar a linha dos números hiper-reais, e ver em que ela se parece com a dos números reais, e em que as duas diferem.



{14}/ Visualizando números como saltos

Por enquanto, o que sabe de mais importante sobre os números hiper-reais é que eles incluem pelo menos um infinitésimo e que uma afirmação escrita com lógica de primeira ordem (a linguagem L) é verdadeira no sistema dos números hiper-reais se for verdadeira no sistema dos reais, e vice-versa.

Mas isso é pouco para raciocinar em termos de hiper-reais. Seria bom se pudesse visualizá-los.

Hoje em dia, nas boas escolas do ensino fundamental, as crianças desenham uma “linha dos números” antes de fazer contas. Por exemplo, para somar 64 a 237, a criança desenha uma linha direcionada (por convenção cultural, desenha uma linha horizontal, com o sentido positivo à direita), marca a origem (o ponto que serve de zero), marca 237; e por fim realiza a soma. Pode fazer isso de muitas maneiras, entre as quais esta: dá um salto de 30 unidades à direita e marca 267; pensa: “Já foi trinta.” Dá um salto de 3 unidades à direita e marca 270; pensa: “Já foi trinta e três.” Dá um salto de 30 unidades à direita e marca 300; pensa: “Já foi sessenta e três.” Dá um salto de 1 unidade à direita e marca 301; pensa: “Já foi sessenta e quatro. Acabei.” (Você pode ver um filminho disso na figura 1.)

 

Figura 1

Figura 1

Fazendo assim, a criança desenvolve um bom senso dos números e se acostuma com ideias importantes, por exemplo a de sentido positivo e negativo, a de que pode visualizar operações aritméticas como saltos na reta dos números, e, principalmente, a ideia de que pode estabelecer uma correspondência um a um entre número real e ponto numa reta direcionada.

Então, é hora de explorar uma pergunta importante: Existe uma reta dos números hiper-reais? Se existe, como funciona?

Antes de continuar suas explorações, talvez queira pensar no seguinte: O que te permite ver os números reais como pontos numa reta direcionada? Para esboçar uma resposta, deve explorar a ideia de “corpo ordenado”.

O primeiro ponto é que, se r1 e r2 são dois números reais distintos, então ou r1 < r2 ou r2 < r1. Suponha que r1 < r2. Pode ver uma imagem dessa ideia na figura 2.

 

Figura 2

Figura 2

Com a ideia de número real, e a de reta direcionada com uma origem fixa, nunca acontece de que r1 < r2 e r2 < r1 ao mesmo tempo. (E se numa investigação qualquer você descobrir que r1r2 e que, ao mesmo tempo, r1r2, então deve concluir que r1 = r2.)

O segundo ponto é que, tendo em mãos três números reais r1, r2, r3, se r1 < r2, e se também r2 < r3, então r1 < r3. A relação binária “esse é menor do que aquele” é transitiva, e o mesmo vale para “esse é maior do que aquele”.

Será que os hiper-reais funcionam da mesma maneira? Bem, graças a Jerzy Łós, você já sabe que, caso use a linguagem L para escrever uma afirmação válida no sistema dos reais, tal afirmação também é válida no sistema dos hiper-reais. Estude as duas afirmações a seguir, nas quais r1, r2, r3 são números reais.

 

Formulário 1

Formulário 1

Pode ler a primeira linha assim: “Para todo r1, para todo r2, se r1 é diferente de r2, então ou r1 é menor que r2, ou r1 é maior que r2, mas nunca ambos ao mesmo tempo.” (O símbolo ∨, com a barrinha embaixo, é o símbolo de disjunção exclusiva, também chamada de “ou exclusivo”; ou a afirmação à esquerda do símbolo é verdadeira, ou a afirmação à direita é verdadeira, mas, para que a afirmação seja válida, nunca são ambas verdadeiras ou ambas falsas.) E eis como pode ler a segunda linha: “Para todo r1, para todo r2, para todo r3, se r1 é menor que r2, e se também r2 é menor que r3, então r1 é menor que r3.”

Visto que montou as duas afirmações com a linguagem L, e visto que as duas são verdadeiras no sistema dos reais, então são também verdadeiras no sistema dos hiper-reais. Sendo assim, você já tem o primeiro elemento para desenhar uma linha dos hiper-reais; na figura 3 a seguir, pode ver um jeito de ilustrar a segunda linha do formulário 1.

 

Figura 3

Figura 3

Mas também sabe que o sistema dos hiper-reais contém pelo menos um infinitésimo ϖ, que é positivo, e que no entanto é menor do que qualquer número real positivo. Então, por enquanto pode ilustrar a linha dos hiper-reais como na figura 4.

 

Figura 4

Figura 4

Agora, ϖ é um número hiper-real positivo, como todo número real positivo; mas ϖ é menor do que todo número real positivo, por menor que seja, e nenhum número real positivo tem essa propriedade. Portanto, você pode classificá-lo como “um número hiper-real que não é real” — e isso significa que existem números hiper-reais que não são reais. Nas duas definições a seguir, pode ver duas maneiras pelas quais se referir a ϖ.

Definição §14-1. Se um número hiper-real não é real, você pode chamá-lo de “número hiper-real não padrão”, ou, se o contexto permitir uma locução mais breve, “número não padrão”. Ao contrário, se no sistema dos hiper-reais um número hiper-real equivale a um número real no sistema dos reais, pode simplesmente chamar esse hiper-real de “número real”.

Definição §14-2. Pode chamar um hiper-real de “infinitésimo” se ele é diferente de zero, mas é menor do que todo número real positivo, e ainda assim é maior do que todo número real negativo.

Você já conhece o infinitésimo ϖ = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/n, …). Ele é maior que zero porque o conjunto {n : ϖn > 0} é quase-grande; e é também menor do que todo número real positivo r, por menor que r seja, pois o conjunto A = {n : ϖn < rn = r} é sempre quase-grande. [Está pensando em r = (r, r, r, r, r, …), onde r1 = r, r2 = r, r3 = r, etc. Deste ponto em diante, pode descrever o conjunto A mais simplesmente: A = {n : ϖn < r}.] Será que existem outros infinitésimos além de ϖ?

Bem, o que acontece se divide ϖ por 2?

Pode verificar como ϖ/2 é maior que zero (pois {n : ϖn/2 > 0} é quase-grande), e como é menor que qualquer número real r maior que zero (pois {n : ϖn/2 < r} é quase-grande para qualquer valor real positivo de r, por menor que seja). Isso sugere que há infinitos infinitésimos, já que, no mínimo, pode dividir ϖ/2 por 2, e dividir o resultado por 2, e dividir o resultado por 2, etc., quantas vezes bem entender, e cada um desses quocientes é um infinitésimo.

Está em condições de estudar um teorema importante.

Teorema §14-1. Se ϖ1 e ϖ2 são infinitésimos, e se r ≠ 0 é um número real, daí [1] ϖ1 é um infinitésimo; [2] ϖϖ2 é um infinitésimo; e por fim, [3] se ϖ1 + ϖ2 ≠ 0, então ϖ1 + ϖ2 é um infinitésimo.

Como primeiro passo para provar o teorema, você pode provar que ϖ1 e ϖϖ2 são ambos diferentes de zero. Basta pensar em termos de números reais: se x, y são dois números reais diferentes de zero, então o produto xy é diferente de zero. Tendo essa ideia em mente, pode escrevê-la com a linguagem L.

Essa afirmação é verdadeira no sistema dos reais; logo, também é verdadeira no dos hiper-reais. Assim, visto que escolheu r diferente de zero, e que ϖ1 e ϖ2, sendo infinitésimos, são por definição maiores que zero, pode concluir que r·ϖ1 e que ϖ1·ϖ2 são ambos diferentes de zero.

Agora você precisa mostrar que, para qualquer número real s maior que zero, por menor que seja:

Tem de usar o sinal de valor absoluto na primeira linha, pois talvez r < 0; nas outras duas, ele seria desnecessário, pois ϖ1, ϖ2 são ambos positivos. A decisão de manter o sinal nas três linhas é, em parte, por boniteza; em parte, para ressaltar o fato de que, no fundo, está comparando comprimentos, que são sempre positivos ou nulos. (A medida de um comprimento não nulo é que pode ser positiva ou negativa, conforme o sentido no qual realiza a medida; pense, por exemplo, em ϖ1 = –ϖ.)

E já que usou o sinal de valor absoluto, deve relembrar como pode realizar operações aritméticas com valores absolutos. Eis um curso vapt-vupt, já escrito na linguagem L:

Essa linha vale no sistema dos reais; portanto, vale no dos hiper-reais, e isso significa que, se |ϖ1| < s/|r|, então pode dizer que |ϖ1·r| < s. Visto que pode pensar em s tão pequeno quanto queira, ϖ1·r é um infinitésimo.

Mais uma afirmação na linguagem L:

Ela é verdadeira em R, e portanto é verdadeira em Ĥ. Sendo assim, visto que |ϖ1| < s e |ϖ2| < 1, pode deduzir que |ϖ1·ϖ2| < s, e com isso conclui que ϖ1·ϖ2 é um infinitésimo.

Outra afirmação na linguagem L; por ora, é a última:

Essa afirmação é válida em R, e portanto válida em Ĥ. (Pode explicar a passagem do primeiro consequente para o segundo assim: para quaisquer dois números reais a e b, |a + b| ≤ |a| + |b|.) Desse modo, visto que |ϖ1| < s/2 e que |ϖ2| < s/2, pode concluir que |ϖ1 + ϖ2| < s, isto é, pode concluir que ϖ1 + ϖ2 é um infinitésimo.

Com tudo isso, você provou o teorema §14-1, e o melhor que pode fazer agora é explorá-lo por uns momentos por meio de uns poucos exemplos concretos. (Na vida real, você brincaria com exemplos concretos antes, identificaria um padrão, e só então teria a ideia de propor uma conjectura e de prová-la; nunca se esqueça de que, num curso de matemática, muita coisa acontece de trás para a frente.) No sistema dos hiper-reais, imagine o real positivo r, o infinitésimo ϖ1 e o infinitésimo ϖ2 a seguir.

Bem, o que significa r·ϖ1?

Pode verificar como r·ϖ1 é maior que zero, pois o conjunto {n : (r·ϖ1)n > 0} é quase-grande. Além disso, r·ϖ1 é menor do que qualquer número real positivo s, por menor que seja, pois o conjunto {n : (r·ϖ1)n < s} também é quase-grande, já que, para quaisquer números reais positivos r, s, por menores ou maiores que sejam, e para algum inteiro positivo m, a expressão e a figura 5 a seguir são verdadeiras.

 

Figura 5

Figura 5

E quanto ao caso ϖ1·ϖ2? Faça mais uma vez ϖ1 igual ao infinitésimo clássico, mas agora faça ϖ2 igual ao infinitésimo a seguir; em seguida, multiplique os dois.

Pode verificar como ϖ1·ϖ2 é maior que zero, pois o conjunto {n : (ϖ1)n·(ϖ2)n > 0} é quase-grande. Além disso, ϖ1·ϖ2 é menor do que qualquer número real positivo r, por menor que seja, pois o conjunto {n : (ϖ1)n·(ϖ2)n < r} é sempre quase-grande; por exemplo, se r = 10–12, {n : (ϖ1)n·(ϖ2)n < r} = {999.999, 1.000.000, 1.000.001, 1.000.002, …}.

Por fim, o caso ϖ1 + ϖ2. Defina mais uma vez ϖ1 e ϖ2 como acima, e veja o que obtém ao realizar a soma.

Pode verificar como a sequência de números reais que compõe ϖ1 + ϖ2 é sempre positiva e sempre decrescente (com limite em zero), de modo que ϖ1 + ϖ2 é mesmo um infinitésimo: é maior que zero, mas menor que qualquer número real positivo r, por menor que r seja.


Com o teorema §14-1, pode dizer que existem infinitos infinitésimos; e não se esqueça do que isso realmente significa: tendo um infinitésimo diante de si, sempre pode produzir mais outro infinitésimo ao, por exemplo, dividi-lo por n ≠ 0. Pode dizer também que, na linha dos números hiper-reais, o número real zero está como que cercado por uma multidão de infinitésimos à direita e à esquerda.

E quanto aos outros números reais? Estão também cercados por uma multidão infinita de infinitésimos? Sim, pois, para qualquer número real r, e para algum infinitésimo ϖ, você sempre pode obter os números hiper-reais r + ϖ e rϖ. Por exemplo, faça r = 5 e ϖ = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …).

Pode ver como r + ϖ não é um infinitésimo (pois não é menor do que qualquer número real que possa imaginar), mas também não é um número real, pura e simplesmente; pois, para qualquer número real positivo s, por menor que seja, r + ϖ < r + s. Em outras palavras, r + ϖ é um número não padrão.

E, com essa ideia, está pronto para apreciar mais um teorema.

Teorema §14-2. Se r é um número real e h é um número não padrão, daí r + h é um número não padrão.

Para prová-lo, comece supondo que o teorema é falso. Daí, para algum número real s, existe um número real r e um número não padrão h tais que s = r + h. Mas isso implica h = sr. Visto que sr é um número real, h agora se transformou num número real, o que é uma contradição, e o teorema está provado.

Com o teorema §14-2, você sabe que números hiper-reais como ϖπ, π + ϖ, 2 + ϖ, e √3 – ϖ são todos não padrão. Isso significa que todo número real r está cercado por uma multidão infinita de números não padrão infinitamente próximos dele. Pode pensar assim: se ϖ e –ϖ são números infinitamente próximos de zero, pois são infinitésimos, então r + ϖ e rϖ são números infinitamente próximos de r.

Definição §14-3. Pode dizer que dois hiper-reais s e t estão infinitamente próximos um do outro quando a diferença st entre eles for um infinitésimo ou for zero. Notação: Quando s e t estiverem infinitamente próximos um do outro, escreva:


 


{15}/ Lista de problemas

§15-1. Prove que ϖ + ϖ é não padrão.

§15-2. Prove que ϖ2 é não padrão.

§15-3. Prove que, se r ≠ 0 é real, daí ϖ/r é um infinitésimo.

§15-4. Prove que, se a < b < c e se ac, daí ab.

§15-5. Prove que 4 e 4 + ϖ estão infinitamente próximos.

§15-6. Prove que, se ab, e se também bc, então ac.

§15-7. Prove que, se ab, se também ab, no mínimo um deles é um número não padrão.

§15-8. Prove que, se ab e cd, então a + cb + d.

§15-9. Prove que, se ab e cd, então acbd.

§15-10. Prove que, se ab é um infinitésimo, então ou a, ou b, ou ambos são infinitésimos.

§15-11. Prove que √ϖ é um infinitésimo.

Veja sugestões de resposta na seção 26, mais abaixo.



{16}/ Uma linha inimaginavelmente longa

Por tudo o que viu até agora, você já sabe que a linha dos números hiper-reais é mais “densa”, digamos assim, que a linha dos números reais, pois contém muito mais números. Basta pensar mais ou menos desta maneira: o que acontece se somar o número real r com n infinitésimos, tipo r + ϖ1 + ϖ2 + ··· + ϖn? Ora, visto que a soma de dois infinitésimos é um infinitésimo, o que obterá é algo equivalente a r + ϖ para algum infinitésimo ϖ, isto é, obterá um número hiper-real infinitamente próximo de r. Em outras palavras, não importa quão grande seja o valor que atribua a n, não sai jamais da vizinhança de r.

Será que a linha dos hiper-reais, além de mais densa, é também mais longa? Existe um número hiper-real positivo N que seja maior do que qualquer número real, ou existe um hiper-real negativo –N que seja menor do que qualquer número real? Sim. Você já viu esse hiper-real antes, na primeira matéria desta série, por ocasião da definição §4-3. Faça N = 1/ϖ, sendo ϖ o infinitésimo clássico, e obterá N = (1, 2, 3, 4, 5, …, n, …); N é maior que zero, pois o conjunto {n : Nn > 0} é quase-grande; e N > r para qualquer número real positivo r, pois o conjunto {n : Nn > r} também é quase-grande, já que sempre existe um inteiro positivo maior que certo número real positivo r. Um raciocínio semelhante a esse vale para –N.

Aliás, você pode montar o conjunto {n : Nn > r} com a função chão de x, que é C(x) = n tal que n é inteiro e nx < n + 1; com a função C(x), você correlaciona cada número real x com o maior inteiro que não seja maior que x. Em outras palavras, com C(x) = n, você obtém a parte inteira de x, quando escreve x como um número decimal; por exemplo, C(π) = 3. Daí o conjunto {n : Nn > r} é o conjunto {C(r) + 1, C(r) + 2, C(r) + 2, C(r) + 3, …}, que é sempre quase-grande, não importa quão grande seja o valor de r.

Definição §16-1. Você pode dizer que um número hiper-real é “infinito” se é maior que todo número real positivo ou se é menor do que todo número real negativo. Se um número hiper-real não é infinito, então pode dizer que é “finito”.

Teorema §16-1. O número hiper-real 1/ϖ é infinito.

Você já provou isso recorrendo aos conjuntos quase-grandes, mas agora pode acompanhar uma prova algébrica. Visto que ϖ > 0, daí 1/ϖ > 0, e portanto 1/ϖ é maior que todos os números reais negativos. Mas, se r é um número real positivo, por maior ou menor que seja, ϖ < 1/r, pois ϖ é um infinitésimo. No sistema dos reais positivos, você sabe que, se x > y, daí 1/x < 1/y, e se x < y, daí 1/x > 1/y; e se quiser pode escrever tais fatos com a linguagem L. (Veja uma imagem deles na figura 6.) Disso pode concluir que, se ϖ < 1/r, daí 1/ϖ > r, por maior que r seja. Portanto, 1/ϖ é um hiper-real infinito.

Figura 6

Figura 6

Sendo assim, se usa ϖ para representar um infinitésimo qualquer, pode dizer que 1/ϖ é um hiper-real infinito. Já sabe que o conjunto dos infinitésimos é infinito; logo, o conjunto dos hiper-reais infinitos também é. E com essa ideia está pronto para ver, na figura 7, a linha dos hiper-reais completa.

 

Figura 7

Figura 7

Pare um pouco para apreciar essa estonteante criação do intelecto humano. As linhas divisórias verticais servem para “separar” as três linhas infinitas, e “separar” deve mesmo ir entre aspas, pois as três linhas infinitas fazem parte de uma linha só, isto é, fazem parte de um contínuo. O caso é que a linha dos hiper-reais positivos infinitos só “começa” quando todos os reais positivos ficaram “para trás”, por assim dizer. É uma ideia de deixar zonzo, e só mesmo na matemática poderia existir uma criação dessas.


Será que o sistema dos hiper-reais contém inteiros infinitos?

Você sabe que pode criar uma relação unária no sistema dos reais: I(x) é verdadeira se x é um inteiro, e é falsa se x não é um inteiro. Com essa relação e a linguagem L, pode escrever afirmações do tipo “para todo x, se x é um inteiro, x + 1 também é”. Com isso, pode provar o teorema a seguir.

Teorema §16-2. O sistema Ĥ dos números hiper-reais contém inteiros infinitos.

Bem, para todo número real r, existe um inteiro n que é maior do que r. Veja como essa afirmação fica com a linguagem L:

Visto que essa afirmação é verdadeira nos reais, pode invocar o teorema de Łós e dizer que ela é verdadeira nos hiper-reais. Isso significa que existe um hiper-real N, maior que 1/ϖ, que é ao mesmo tempo um inteiro, isto é, que torna válida a relação unária I(N). N tem de ser um número não padrão, pois 1/ϖ é maior que todos os números reais; logo, N é um inteiro infinito.

De fato, é fácil imaginar números hiper-reais N tais que os conjuntos {n : Nn > r} e {n : I(Nn)} sejam ambos quase-grandes. Eis uns poucos exemplos:

Esses três hiper-reais são inteiros positivos infinitos.



{17}/ Lista de problemas

§17-1. Existem números irracionais infinitos?

§17-2. Existem números primos infinitos?

§17-3. Existe um inteiro infinito que seja o menor de todos os inteiros infinitos?

§17-4. Se N1 e N2 são inteiros infinitos, será que N1 + N2 é um inteiro infinito?

§17-5. Se N1, N2 são inteiros infinitos, o maior divisor comum de N1, N2 é também um inteiro infinito?

§17-6. Existem inteiros infinitos pares? E quanto a ímpares?

§17-7. Mostre que não existe um inteiro não padrão entre 13 e 15.

Definição §17.1. Suponha que 0 < a < b, e que b/a é infinito. Daí você pode dizer que a é infinitamente menor que b, e que b é infinitamente maior que a.

§17-8. Mostre que ϖ é infinitamente menor que 1.

§17-9. Mostre que ϖ2 é infinitamente menor que ϖ.

§17-10. Mostre que ϖ3 é infinitamente menor que ϖ2.

§17-11. Mostre que 1/ϖ2 é infinitamente maior que 1/ϖ.

§17-12. Mostre que √ϖ é infinitamente maior que ϖ. (Lembrete: ϖ > 0 por definição.)

§17-13. Mostre que, se a > 0, então existe um número infinitamente maior que a.

§17-14. Mostre que, se a > 0, então existe um número infinitamente menor que a.

§17-15. Existe um número hiper-real infinito positivo que seja o menor número infinito positivo de todos?

§17-16. Existe um infinitésimo que seja o maior infinitésimo entre todos os infinitésimos?

§17-17. Existe um número positivo padrão que seja o menor número positivo entre todos os números positivos padrão?

§17-18. Existe um número positivo não infinito que seja o maior positivo entre todos os positivos não infinitos?

Sugestões de resposta na seção 26.



{18}/ A representação decimal de números hiper-reais

Na seção 16, ao estudar a função chão de x, você viu que C(π) = 3, pois π = 3,1415… (Também pode chamar essa função de “função da parte inteira de x”, já que com ela obtém a parte inteira de x.) A questão é que, muitas vezes, é útil pensar em números reais olhando para sua representação decimal.

Será que também pode olhar para a representação decimal de números hiper-reais, inclusive os não padrão? Sim, pode. Basta para isso definir uma nova função, usando como ponto de partida a ideia da função chão de x.

Use d(r, n) para denotar o algarismo na enésima casa decimal da expansão decimal de um dado número real r. Por exemplo, no caso de r = π:

Com as duas funções, C(x) e d(x, n), pode representar qualquer número real que já conheça. Por exemplo, mais uma vez, π:

Suponha agora que pense assim: “Para todo número real r, o enésimo dígito da expansão decimal de r existe e é um dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.” Essa afirmação é sempre verdadeira (no sistema posicional decimal comum, é claro), e pode grafá-la com a linguagem L:

Visto que essa afirmação é sempre válida no sistema dos reais, é válida no dos hiper-reais, e isso significa que você pode igualar n a qualquer hiper-real inteiro positivo infinito N.

Em outras palavras, a expansão decimal de qualquer número hiper-real, finito ou infinito, padrão ou não padrão, contém mais dígitos. (É uma fila de dígitos infinitamente maior.) Eis, portanto, como deve pensar na representação decimal do número hiper-real x, seja x padrão ou não padrão:

 

Formulário 2

Formulário 2

Mistérios do infinito! (Se eu fundasse uma igreja matemática, durante a liturgia faria minha congregação repetir em voz alta, de tempos em tempos: “Mistérios do infinito!”)

Explore essa questão um pouco mais. Faça x = P = (π + 1, π + 2, π + 3, π + 4, π + 5, …, π + n, …). Como pode atribuir sentido a C(P)? E a d(P, 1)? Ora, tanto C(P) quanto d(P, 1) são ambos números hiper-reais, isto é, sequências infinitas de números reais.

Para escrever o hiper-real P no formato que pode ver no formulário 2, eis como deve proceder:

expr 22

Com o índice subscrito, está dizendo que, para formar a expansão decimal de P1, que é π + 1, vai pegar o primeiro inteiro de C(P), vírgula, o primeiro inteiro de d(P, 1), o primeiro inteiro de d(P, 2), e assim por diante.



{19}/ Dois jeitos de grafar decimais

Talvez saiba que pode grafar qualquer número real de duas maneiras: 1 = 0,999…; 2,5 = 2,4999…; 0,1 = 0,0999…; e assim por diante. Mais tarde, ao usar o sistema dos números hiper-reais para estudar séries infinitas, verá por que as duas formas são equivalentes; aliás, verá também que essa ideia é válida inclusive quando trabalha com outras bases — por exemplo, na base 2, 1 = 0,111…; na base 3, 1 = 0,222…; na base 4, 1 = 0,333….

Contudo, em todos os capítulos desta série sobre cálculo infinitesimal, pode pensar apenas na representação decimal comum; assim, C(3) = 3, e não 2; d(3, 1) = 0, e não 9; d(3, 2) = 0, e não 9; e assim por diante.



 

{20}/ Lista de problemas

Diga se as nove afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas; prove sua afirmação.

§20-1. Entre quaisquer dois números reais, existe um número hiper-real não padrão.

§20-2. Entre quaisquer dois números hiper-reais, existe um número real.

§20-3. A raiz cúbica de um número não padrão não necessariamente é um número não padrão.

§20-4. Se f(x) é real para todo número real x, daí é real para todo número x.

§20-5. Se f(x) < 17 para todo número real x, daí f(x) < 17 para todo número x.

Definição §20-1. Escreva ab para dizer que a e b estão infinitamente longe um do outro, isto é, para dizer que a diferença ab é um hiper-real infinito.

§20-6. ab implica acbc para todo c.

§20-7. ab e bc implica ac.

§20-8. ab e cd implica (a + c) ∞ (b + d).

§20-9. ab e a ≠ 0 e b ≠ 0 implica 1/a ≈ 1/b.


 

§20-10. Para n inteiro positivo, você sabe que d(⅓, 1) = 3, d(⅓, 2) = 3, d(⅓, 3) = 3, …, d(⅓, n) = 3, etc. E se n = N, sendo N um inteiro positivo infinito? Qual é o valor de d(⅓, N)?

§20-11. Você sabe que d(3/11, 1) = 2, d(3/11, 2) = 7, d(3/11, 3) = 2, d(3/11, 4) = 7, e assim por diante, pois 3/11 = 0,272727…. Se N é um inteiro positivo infinito, qual é o valor de d(3/11, N)?

§20-12. Como pode atribuir sentido a d(ϖ, 1), d(ϖ, 2), d(ϖ, 3), …?

Sugestões de resposta na seção 26.



 

{21}/ Uma pergunta importante sobre proximidade

Já sabe que todo número real está infinitamente próximo de infinitos números hiper-reais não padrão. Mas será que todo hiper-real finito está infinitamente próximo de um número real? Melhor dizendo: pode haver um hiper-real finito que não esteja infinitamente próximo de um número real?

Teorema §21-1. Se h é um hiper-real finito qualquer, então existe um número real r, padrão, infinitamente próximo de h.

À prova. Imagine um hiper-real h finito qualquer. Visto que h é finito, ele fica em algum lugar entre dois números reais, os dois inteiros n e n + 1.

Daí, como ocorre com qualquer número real entre n e n + 1, C(h) = n. (Melhor dizendo: como ocorre com qualquer número real x tal que nx < n + 1, C(x) = n.)

 

Figura 8

Figura 8

Agora você pode aplicar esse mesmo método para descobrir, uma a uma, cada uma das casas decimais que compõem h. Já obteve a parte inteira de h com a função chão, visto que C(h) = n. E quanto ao algarismo na primeira casa decimal? Divida a distância entre n e n + 1 em dez partes iguais (isto é, divida a unidade em dez partes iguais), e, como já fez com a função chão, considere maior décimo que é menor do que hn; esse será o valor de d(h, 1). (Veja a figura 9.) E quanto ao algarismo na segunda casa decimal? Divida a distância entre n e n + 1 em cem partes iguais, e considere o maior centésimo que é menor do que h – [n + d(h, 1)/10]; esse será o valor de d(h, 2). E assim por diante.

 

Figura 9

Figura 9

Agora você já pode examinar a representação decimal de h.

Daí, se você fica apenas com a parte real de h, que é n,d(h, 1)d(h, 2)d(h, 3)…, e despreza o resto, você tem em mãos um número real r. É um número real porque tem uma representação decimal convencional, típica de um número real. (Você só poderia dizer que não é um número real se pudesse dizer o seguinte: “Eu consigo empregar o método da representação decimal para grafar um número decimal que não é real.” Mas isso, você já sabe, jamais conseguirá fazer.) Então, ao menos provisoriamente, pode fazer a seguinte afirmação:

Para ver como essa afirmação é verdadeira, examine o significado de rh. Bem, já sabe r e h têm ambos a mesma parte real, e que a expansão decimal de rh deve começar apenas como zeros: rh = 0,000… … d(h, N)…, pois:

Isso significa que rh ou é zero ou é um infinitésimo, pois, se s é qualquer número real positivo, por menor que seja, daí s > 0,000…, e disso pode concluir que s > rh.

Ora, visto que rh ou é zero, ou é um infinitésimo, então, por definição, hr. E com isso o teorema §21-1 está provado.

Talvez, contudo, tenha ficado com uma dúvida: então, se grafar um infinitésimo na representação decimal, o que obterá é uma parte real equivalente a zero? Vale a pena explorar essa pergunta.

Pense em ϖ = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/n, …). Como já deve ter feito ao resolver o problema §20-12, ache a parte inteira de ϖ. Obterá um número hiper-real, isto é, uma sequência infinita de reais na qual vai colocar a parte inteira de 1, a de 1/2, a de 1/3, a de 1/4, a de 1/5, e assim por diante.

Pode dizer que C(ϖ) equivale ao número real zero, pois o conjunto {n : C(ϖ)n = 0} é quase-grande.

E quanto a d(ϖ, 1), isto é, ao algarismo na primeira casa decimal de ϖ? Mais uma vez, d(ϖ, 1) é um hiper-real, uma sequência infinita de reais, na qual vai colocar o algarismo da primeira casa decimal de 1, o algarismo da primeira casa decimal de 1/2, o algarismo da primeira casa decimal de 1/3, e assim por diante.

E de novo o hiper-real d(ϖ, 1) equivale ao número real zero, pois o conjunto {n : d(ϖ, 1)n = 0} é quase-grande. (É o conjunto dos inteiros positivos menos nove inteiros.)

E assim vai. De fato, ao montar a representação decimal de ϖ, a parte real equivale a 0,000….

COROLÁRIO IMPORTANTE! Não deixe de notar que um hiper-real finito h só pode estar infinitamente próximo de um e de apenas um número real r. (Se quiser, pode considerar essa afirmação como um corolário do teorema §21-1.) Pois se hr1, e se também hr2, daí r1r2 (problema §15-6) e, como consequência disso, r1 = r2 (problema §15-7).

Definição §21-1. Se h é um hiper-real finito, use st[h] para denotar o único número real r infinitamente próximo de h. Dito de outra forma, se h é um hiper-real finito, se r é um número real, e se hr, daí st[h] = r. Não deixe de notar que st[r] = r.

(“st” vem do inglês “standard”, isto é, “padrão”. Em versões anteriores deste capítulo, usei ®[h] = r em vez de st[h] = r, mas o símbolo ® não funciona bem em certos navegadores. Decidi adotar então a notação inglesa, que é a mais usada mundo afora.)

Bem, de agora em diante, tome um cuidado extra com o símbolo ϖ, que está usando para representar um infinitésimo. A esta altura, já deve ter se habituado a pensar em ϖ como sendo o infinitésimo (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/n, …). Contudo, nas demonstrações, em geral vai usar ϖ para representar qualquer um dos infinitos infinitésimos à sua disposição, e às vezes vai usar ϖ para representar infinitésimos negativos.



 

{22}/ Lista de problemas

§22-1. Se h é finito e não padrão, prove que existe um infinitésimo ϖ tal que st[h] + ϖ = h.

§22-2. Prove que, se r é real e ϖ é um infinitésimo, daí st[r + ϖ] = r.

Use h1 e h2 para representar dois números hiper-reais finitos, não necessariamente distintos, não necessariamente não padrão.

§22-3. Mostre que st[h1 + h2] = st[h1] + st[h2].

§22-4. Mostre que st[h1·h2] = st[h1]·st[h2].

§22-5. Mostre que st[h1h2] = st[h1] – st[h2].

§22-6. Mostre que, se st[h2] ≠ 0, daí st[h1]/st[h2] = st[h1/h2]. (Observação: e se h2 ≠ 0, mas st[h2] = 0, o que você pode fazer a respeito? Pode, por exemplo, atribuir significado ao recíproco de st[h1/h2]? Que notação usaria?)

§22-7. Mostre que, se h1h2, daí st[h1] ≤ st[h2].

§22-8. Mostre que, se h ∈ [a, b], com a, b ∈ R (isto é, [a, b] é um intervalo fechado), daí st[h] ∈ [a, b]. (Note que, neste caso, a, b ∈ R significa que a, b são dois números hiper-reais equivalentes a números reais.)

Pode ver uma resposta a cada um desses problemas na seção 26.



 

{23}/ Um teorema útil

É hora de pôr um teorema no papel, e de prová-lo, pois será útil muitas e muitas vezes; esse teorema tem a ver com o problema §22-8.

Teorema §23-1. Imagine os números reais a, b, com a < b. Daí, se h é qualquer hiper-real pertencente ao intervalo fechado [a, b], então st[h] = ®[h] também é elemento de [a, b].

Depois de umas tentativas, pode produzir uma prova simples e breve. Visto que h é elemento de [a, b], pode dizer que ahb.

 

Figura 10

Figura 10

Se st[h] não fosse elemento de [a, b], daí ou st[h] < a ou b < st[h]. Por ora, suponha que b < st[h]. (Como na parte de baixo da figura 10.)

Visto que hb < st[h], e que h ≈ st[h], pode concluir que b ≈ st[h]. Mas b e st[h] são dois números reais distintos: não são iguais um ao outro, logo a diferença entre eles é um número real diferente de zero, logo não podem estar infinitamente próximos um do outro. Com essa contradição, sabe que a relação b < st[h] é falsa. Por meio de um argumento semelhante, pode dizer que a relação st[h] < a é falsa. Portanto, a ≤ st[h] ≤ b.



 

{24}/ Infinitésimos em funções transcendentais

Você já está em condições de provar teoremas sobre funções no sistema dos números hiper-reais, inclusive funções transcendentais como seno e cosseno. Acompanhe este exemplo:

Teorema §24-1. Se ϖ é um infinitésimo, então sen(ϖ) também é um infinitésimo.

Mantenha em mente o teorema de Łós: se usa a linguagem L para compor uma afirmação válida no sistema dos números reais, tal afirmação é válida no sistema dos hiper-reais. Bem, para todo número real positivo x, se 0 < x < π/2, daí 0 < sen(x) < x; por simetria, –x < sen(–x) < 0. (Pode ver a validade dessa afirmação, mais facilmente, num círculo unitário com centro na origem, como o da figura 11.)

 

Figura 11

Figura 11

Logo, visto que ϖ > 0, então 0 < sen(ϖ) < ϖ. Por simetria, pode também dizer que –ϖ < sen(–ϖ) < 0. Visto que ϖ ≈ 0 e que –ϖ ≈ 0, sen(ϖ) ≈ 0 e sen(–ϖ) ≈ 0; logo, tanto sen(ϖ) quanto sen(–ϖ) são infinitésimos.

Eis agora uma lista de problemas similares; pode pensar em ϖ como um infinitésimo positivo, mas jamais deixe de pensar no caso –ϖ. Mais uma vez, veja sugestões de resposta na seção 26.

§24-1. Mostre que cos(ϖ) ≈ 1.

§24-2. Mostre que sen(π/2 – ϖ) ≈ 1.

§24-3. Mostre que tan(ϖ) ≈ 0.



 

{25}/ Um limite famoso e útil

Já deve ter visto o limite a seguir muitas vezes:

A expressão diz que, para todo x ≠ 0, quanto mais você aproxima x de zero, mais (senx)/x se aproxima de 1. É uma informação que vai usar no cálculo diferencial e integral umas 100.000 vezes, se é que já não usou, e agora pode prová-la recorrendo a infinitesimais. O que deve provar é a expressão a seguir, na qual usou ϖ para denotar um infinitésimo.

expr 29

Para provar a afirmação, comece com o círculo unitário com centro na origem.

 

Figura 12

Figura 12

Pode ver como a área do triângulo OAC é menor do que a área do setor OAB do círculo, que é menor do que a área do triângulo ODB. Em notação matemática, usando A(x) para indicar “a área de x”:

Fazendo as contas, isso se resume a:

Pode dizer que essa expressão certamente é verdadeira para todo ângulo θ real (medido em radianos) pertencente ao intervalo aberto (0, π/2); logo, a expressão é válida para o infinitésimo ϖ > 0.

Multiplique a desigualdade inteira por 2, e a divida por sen(ϖ) > 0, o que não vai alterá-la.

Na seção anterior, você já provou que cosϖ ≈ 1, e portanto já sabe que st[cosϖ] = 1; também provou que st[1/(cosϖ)] = 1/st[cosϖ]. Além disso, talvez se lembre deste fato: se a < b, então ab. Sendo assim:

expr 34

Pode pôr a conclusão no papel:

Formulário 3

Formulário 3

E daí, QED.

Duas observações. Uma: abra um livro de cálculo comum e acompanhe uma prova desse limite feita com épsilons e deltas, e veja como, comparada com a que acabou de examinar, é mais difícil de entender. Duas: note que, no formulário 3, você não pode dizer simplesmente que st[(senϖ)/ϖ] = st[senϖ]/st[ϖ], pois st[ϖ] = 0, mas isso não te impede de achar a parte real de (senϖ)/ϖ ao trabalhar com recíprocos.

Eis o xis questão: se gostaria de saber o que acontece com uma expressão se a variável real x tende ao infinito, simplesmente substitua x pelo número hiper-real infinito N e veja qual é a parte real da expressão (se existir). Se gostaria de saber o que acontece com uma expressão se x tende a infinito, mas no sentido negativo, simplesmente substitua x por –N e veja qual é a parte real da expressão (se existir). Se gostaria de saber o que acontece com uma expressão se x tende a zero pela esquerda, substitua x por um infinitésimo –ϖ e veja qual é a parte real da expressão (se existir). Por fim, se gostaria de saber o que acontece com uma expressão se x tende a zero pela direita, substitua x por um infinitésimo ϖ, e então veja qual é a parte real da expressão (se existir). Simples assim.



 

{26}/ A resolução dos problemas

§15-1. Prove que ϖ + ϖ é não padrão.

Graças ao teorema §14-1, você sabe que ϖ + ϖ é um infinitésimo; se é um infinitésimo, não é real, pois é menor do que qualquer número real positivo, por menor que seja; se não é real, é não padrão.


§15-2. Prove que ϖ2 é não padrão.

Graças ao teorema §14-1, outra vez você sabe que ϖ2 é um infinitésimo, e se é um infinitésimo, pelo mesmo motivo de §15-1, é não padrão.


§15-3. Prove que, se r ≠ 0 é real, daí ϖ/r é um infinitésimo.

Se imagina r e s como dois números reais positivos, por menores que sejam, tem de declarar o produto rs como um número real positivo. Daí ϖ < rs, pois ϖ é um infinitésimo: é maior que zero, mas menor do que qualquer número real positivo, por menor que seja. Agora pode dividir ϖ < rs por r, e obter ϖ/r < s para qualquer número real positivo s, por menor que seja. Assim, ϖ/r corresponde à definição de infinitésimo: é maior que zero, mas menor do que qualquer número real positivo, por menor que seja.

O caso em que r < 0 é semelhante. Pense em r = –x para algum número real positivo x. Por simetria, a distância da origem até ϖ/x é a mesma distância da origem até –(ϖ/x), de modo que –(ϖ/x) = ϖ/r também é um infinitésimo.


§15-4. Prove que, se a < b < c e se ac, daí ab.

Você pode pensar em qualquer combinação de número a, b, c: positivos, negativos, nulos; mas, como indica a expressão a < b < c, são todos distintos entre si. E se pensa em a, b, c como quaisquer três números reais distintos, pode usar a linguagem L para escrever a afirmação a seguir.

Ela é verdadeira no sistema dos números reais; logo, é verdadeira no dos hiper-reais.

Visto que ac e que ac, então ca = ϖ para algum infinitésimo ϖ; mas ca = ϖ > ba, isto é, 0 < ba < ϖ. A diferença ba é, portanto, um infinitésimo, e assim ab.

 

Figura 13

Figura 13


§15-5. Prove que 4 e 4 + ϖ estão infinitamente próximos.

Ora, (4 + ϖ) – 4 = ϖ. Se a diferença entre 4 + ϖ e 4 é um infinitésimo ϖ, por definição estão infinitamente próximos um do outro.


§15-6. Prove que, se ab, e se também bc, então ac.

Bem, se ab, então ou |ba| = 0 ou |ba| = ϖ1 para algum infinitésimo ϖ1; isso significa que a + 0 = b, ou a + ϖ1 = b, ou b + 0 = a, ou b + ϖ1 = a. Por meio de um argumento similar, para algum infinitésimo ϖ2, ou c + 0 = b, ou c + ϖ2 = b, ou b + 0 = c, ou b + ϖ2 = c. Visto que o número de possibilidades é pequeno, se quiser pode trabalhar com elas diretamente. Eis os resultados aos quais vai chegar ao realizar as substituições: a = c, ϖ1 = ca, ϖ1 = ac, ϖ2 = ac, ϖ2ϖ1 = ac, ϖ1 + ϖ2 = ac, ϖ2 = ca, ϖ1 + ϖ2 = ca, ϖ1ϖ2 = ac. Em todos eles, |ca| ou é zero ou é um infinitésimo (pois, pelo teorema §14-1, a soma ou a diferença de dois infinitésimos ou é zero ou é um infinitésimo), e portanto ac.

O que fez aqui foi uma descoberta: a relação binária xy é transitiva.


§15-7. Prove que, se ab, e se também ab, no mínimo um deles é um número não padrão.

Se ab e ab, daí a diferença entre eles é um infinitésimo, isto é: para algum infinitésimo ϖ, ou a = b + ϖ ou b = a + ϖ, e só isso basta para dizer que ou a ou b é um número não padrão.

Poderia ser o caso de que ambos fossem números não padrão? Sim. Faça, por exemplo, a = x + ϖ1, onde x é um número hiper-real qualquer, finito ou infinito, e ϖ1 é um infinitésimo; faça também b = x + ϖ2, onde ϖ2 é um infinitésimo. Daí ab = x + ϖ1xϖ2 = ϖ1ϖ2. Se a diferença ϖ1ϖ2 for diferente de zero, é um infinitésimo pelo teorema §14-1, e daí a e b são ambos números não padrão e ab.


§15-8. Prove que, se ab e cd, então a + cb + d.

Bem, se ab, ou a = b ou ab = ϖ1 para algum infinitésimo ϖ1, positivo (se a > b) ou negativo (se a < b). Da mesma forma, se cd, ou c = d ou cd = ϖ2 para algum infinitésimo ϖ2, positivo ou negativo. Daí, ao realizar a conta (a + c) – (b + d), você deve chegar a quatro resultados: 0, ϖ1, ϖ2, ou ϖ1 + ϖ2 (que ou vale zero, caso ϖ1 = –ϖ2, ou é um infinitésimo pelo teorema §14-1). Em todos os casos, a + cb + d.


§15-9. Prove que, se ab e cd, então acbd.

Mais uma vez, se ab, ou a = b ou ab = ϖ1 para algum infinitésimo ϖ1, positivo ou negativo. Da mesma forma, se cd, ou c = d ou cd = ϖ2 para algum infinitésimo ϖ2, positivo ou negativo. Ao realizar a conta acbd, experimentando todas as possibilidades, deve chegar a quatro resultados: 0, –2, 1, ou 2 + 1ϖ1ϖ2. Com qualquer um desses quatro casos, pode dizer que acbd.


§15-10. Prove que, se ab é um infinitésimo, então ou a, ou b, ou ambos são infinitésimos.

Pelo teorema §14-1, já sabe que, se a, b, ou ambos são infinitésimos, o produto ab é um infinitésimo também. Falta verificar o seguinte caso: pode ser que tanto a quanto b não sejam infinitésimos, mas que, mesmo assim, o produto ab seja um infinitésimo?

Bem, pode usar a linguagem L para explorar essa questão no sistema dos números reais. Se |a| é um número real positivo, daí existe um número real positivo r1 que é menor do que a. Um argumento similar vale para |b|. E daí:

Visto que essa afirmação é sempre verdadeira no sistema dos reais, tem de ser verdadeira no dos hiper-reais. Sendo assim, se a e b não forem infinitésimos, o produto |ab| será maior que algum número real positivo r1r2; portanto, se o produto |ab| for um infinitésimo, então você tem em mãos um infinitésimo maior que um número real, o que pode tachar de contradição.


§15-11. Prove que √ϖ é um infinitésimo.

Recorra mais uma vez à maravilhosa linguagem L. Com a afirmação a seguir, você diz que todo número real não negativo pode ser expresso como o quadrado de um outro número real.

Se isso vale para números reais (e vale), então vale também para infinitésimos; na afirmação a seguir, ϖ é um infinitésimo qualquer, maior que zero por definição.

Em razão do argumento que usou no problema §15-10, você sabe que, se o produto y2 é um infinitésimo, então o fator y é um infinitésimo, e desse modo este problema está resolvido.


§17-1. Existem números irracionais infinitos?

Pode resolver esse problema de várias maneiras; uma delas, muito simples, consiste em montar um irracional infinito.

Se quiser, pode começar criando a função Irr(x).

E daí use um número irracional, por exemplo π, para criar o número hiper-real P a seguir:

(Você talvez saiba que um número irracional, mais um inteiro positivo, continua sendo um número irracional.)

Agora pode verificar se P é irracional; basta verificar se o conjunto {n : Irr(Pn) = 1} é quase-grande, e é, pois é o conjunto dos inteiros positivos. Além disso, P é maior do que qualquer número real r que possa imaginar, por maior que seja, pois o conjunto {n : Pn > r} também é quase-grande. Portanto, sim, existem números irracionais infinitos.

De quebra, você agora sabe que também existem infinitésimos irracionais. Basta examinar 1/P, ou o recíproco de P. O conjunto {n : Irr(1/Pn) = 1} é quase-grande; e, por menor que seja o número real positivo r, o conjunto {n : 1/Pn < r} também é quase-grande.


§17-2. Existem números primos infinitos?

Se quiser, pode usar o mesmo método do problema acima, desta vez com uma “função número primo”, a função f(x), que vale 1 quando o número é primo e 0 quando não é. (Na verdade verdadeira, f(x) é uma relação unária, mas toda função é uma relação, embora nem toda relação seja uma função.) E daí, ao estudar o hiper-real R = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …), que é simplesmente a lista ordenada de todos os números primos, do menor para o maior, verá que são quase-grandes os conjuntos {n : Rn é primo} e {n : Rn > r} para qualquer número real r, por maior que seja. (Pode dizer isso, pois sabe que a lista dos números primos é infinita, isto é, não existe um primo que seja o maior de todos os primos.)

Contudo, vale a pena estudar outro método de resolução. Na afirmação a seguir, que pode escrever com a linguagem L, n e R são dois inteiros positivos.

Com essa afirmação, você apenas disse que, para todo inteiro positivo n, existe um inteiro positivo R que é maior do que n e que, além disso, é primo.

Visto que a afirmação é verdadeira no sistema dos reais, tem de ser verdadeira no dos hiper-reais: para todo inteiro infinito n (coisa que você já sabe que existe), pode achar um inteiro infinito R, maior do que n, e primo.

À guisa de brincadeira, veja como só pode dividir R por si mesmo ou por 1.

Por último, qual é um dos primos infinitos maior que o inteiro infinito (100, 101, 102, 103, 104, 105, …)? Um deles é (101, 103, 107, 109, 113, …).


§17-3. Existe um inteiro infinito que seja o menor de todos os inteiros infinitos?

No sistema dos reais, se n é um inteiro qualquer, positivo, negativo, ou nulo, a afirmação a seguir é verdadeira:

Com ela, você simplesmente disse que, se subtrai 1 de um inteiro, obtém um inteiro menor. Pelo teorema de Łós, essa afirmação tem de ser verdadeira no sistema dos hiper-reais com n inteiro infinito, e disso pode concluir que não existe um inteiro infinito que seja o menor de todos.


§17-4. Se N1 e N2 são inteiros infinitos, será que N1 + N2 é um inteiro infinito?

Não necessariamente. Faça N2 = –N1; daí N1 + N2 = 0, que é um inteiro finito.

Aliás, N1 + N2 pode ser qualquer inteiro finito m que deseje; basta fazer cada termo (N2)n de N2 igual a m – (N1)n; daí N1 + N2 = m. Por exemplo, se N1 = (1, 2, 3, 4, 5, …, n, …) e N2 = (2, 1, 0, –1, –2, …, 3 – n, …), daí N1 + N2 = 3.


§17-5. Se N1, N2 são inteiros infinitos, o maior divisor comum de N1, N2 é também um inteiro infinito?

Não necessariamente. Se a, b são dois números primos, a afirmação a seguir é verdadeira no sistema dos reais. [Pode usar gcd(a, b) para indicar o maior inteiro com o qual divide tanto a quanto b; gcd vem do inglês “greatest common divisor”, e a função gcd(x, y) é comum em linguagens de programação.]

Com essa afirmação, está dizendo simplesmente que o maior divisor comum dos números primos a, b, com ab, é 1. E, visto que ela é válida no sistema dos reais, também é válida no dos hiper-reais, quando N1 e N2 são números primos infinitos.

Então, o maior divisor comum de N1, N2 é 1, que é um inteiro finito.

Como poderia construir N1, N2? É fácil. Por exemplo, pegue a lista infinita de números primos; ponha o primeiro da lista em N1, o segundo em N2, o terceiro em N1, o quarto em N2, e assim por diante, de modo que N1 = (2, 5, 11, 17, 23, …) e N2 = (3, 7, 13, 19, 29, …). Daí gcd[(N1)n, (N2)n] = (1, 1, 1, 1, 1, …) = 1.


17-6. Existem inteiros infinitos pares? E quanto a ímpares?

Sim, existem inteiros infinitos pares e ímpares.

Se n é um inteiro, e se é par, então a afirmação a seguir é válida no sistema dos reais; usou P(n) para denotar uma relação unária: válida se n é par, inválida se é ímpar.

Com essa afirmação, você disse que, se ao dividir n por 2, obtém resto igual a zero, então n é par; e se n é par, então, ao dividi-lo por 2, obtém resto igual a zero. (É o que significa “se e somente se”, em linguagem corrente: vice-versa.) Como essa afirmação é válida no sistema dos reais, tem de ser válida no dos hiper-reais. Por exemplo, se N = (2, 4, 6, 8, 10, …), daí o conjunto {n : P(Nn)} é quase-grande, e portanto N é par; além disso, para todo número real r, por maior que seja, o conjunto {n : Nn > r} é quase-grande.

E quanto à expressão a seguir, na qual n é mais uma vez um inteiro?

Ela é sempre verdadeira nos reais: se divide um inteiro por 2, e obtém resto igual a 1, ele é ímpar, e vice-versa. Logo, tal afirmação também é válida nos hiper-reais; para examinar um exemplo, basta estudar N + 1.


§17-7. Mostre que não existe um inteiro não padrão entre 13 e 15.

Se n é um inteiro, elemento do intervalo aberto (13, 15), então n = 14. Você pode escrever isso com a linguagem L; na afirmação a seguir, a relação unária I(n) é válida se n é um inteiro.

Como essa afirmação é válida no sistema dos reais, tem de ser válida no sistema dos hiper-reais. Assim, se existe um inteiro não padrão entre 13 e 15 (excluídos), tal inteiro é igual a 14, e daí você tem uma contradição, pois 14 é padrão; portanto, não existe um inteiro n não padrão tal que 13 < n < 15.


§17-8. Mostre que ϖ é infinitamente menor que 1.

Bem, pela própria definição de infinitésimo ϖ, 0 < ϖ < 1; além disso, pelo teorema §16-1, 1/ϖ é um número hiper-real infinito. Portanto, de acordo com a definição §17-1, ϖ é infinitamente menor que 1, e 1 é infinitamente maior que ϖ.


§17-9. Mostre que ϖ2 é infinitamente menor que ϖ.

Para todo número real x ≠ 0, você pode usar a linguagem L para escrever a afirmação a seguir, sempre verdadeira no sistema dos reais.

Se é verdadeira nos reais, é verdadeira nos hiper-reais, e então ϖ/ϖ2 equivale ao hiper-real infinito 1/ϖ. Logo, ϖ2 é infinitamente menor que ϖ, e ϖ é infinitamente maior que ϖ2.


§17-10. Mostre que ϖ3 é infinitamente menor que ϖ2.

Você pode demonstrar isso de um jeito bem interessante. Primeiro, suponha x ≠ 0 e, além disso, 0 < x < 1. Multiplique essa última desigualdade por x; vai obter 0 < x2 < x < 1. Multiplique mais uma vez por x: 0 < x3 < x2 < x < 1. Agora divida tudo por x3; vai obter 0 < 1 < 1/x < 1/x2 < 1/x3.

Visto que tal sequência de afirmações é verdadeira nos reais, é verdadeira nos hiper-reais. Você já sabe que 1/ϖ é um hiper-real infinito; se fizer x = ϖ, daí 0 < 1 < 1/ϖ < 1/ϖ2 < 1/ϖ3. Sendo assim, ϖ3 é infinitamente menor que ϖ2, que ϖ, e que 1.


§17-11. Mostre que 1/ϖ2 é infinitamente maior que 1/ϖ.

Do problema anterior, você sabe que 0 < 1 < 1/ϖ < 1/ϖ2. Divida 1/ϖ2 por 1/ϖ; o que vai obter é 1/ϖ, um hiper-real infinito. Portanto, pela definição §17-1, 1/ϖ2 é infinitamente maior que 1/ϖ.


§17-12. Mostre que √ϖ é infinitamente maior que ϖ.

Faça mais uma vez 0 < x < 1, e multiplique todos os termos da desigualdade por x: 0 < x2 < x < 1. Tire a raiz quadrada de todos os termos da desigualdade, o que não vai alterá-la: 0 < x < √x < 1. (Com isso você sabe que ϖ < √ϖ.) Divida tudo por x: 0 < 1 < (√x)/x < 1/x. Você pode simplificar isso assim: 0 < 1 < 1/√x < 1/x. Como essa sequência de afirmações vale para números reais, vale para hiper-reais, e com isso você sabe que 0 < 1 < 1/√ϖ < 1/ϖ. Bem, 1/ϖ é um hiper-real infinito, pois é a unidade dividida por um infinitésimo; mas 1/√ϖ também é um hiper-real infinito, já que, graças ao problema §15-11, você sabe que, se ϖ é um infinitésimo, √ϖ também é.


§17-13. Mostre que, se a > 0, então existe um número infinitamente maior que a.

A princípio, você não sabe se a é um infinitésimo, se é um hiper-real finito, ou se é um hiper-real infinito. Logo, deve estudar os três casos.

Caso 1. Se a = ϖ, isto é, se a é um infinitésimo, daí 1/a é um hiper-real infinito, e portanto 1 é infinitamente maior que a. Você já provou essa afirmação no problema §17-8.

Caso 2. Se a é um hiper-real finito (seja padrão, seja não padrão), daí, pelo teorema §16-1, 1/ϖ é um hiper-real infinito, e com isso 0 < a < 1/ϖ. Caso divida todos os termos dessa igualdade por a, vai obter 0 < 1 < 1/(). Pelo teorema §14-1, é um infinitésimo, de modo que 1/() é um hiper-real infinito (mais uma vez, graças ao teorema §16-1). Ora, se dividiu 1/ϖ por a e obteve o hiper-real infinito 1/(), então 1/() é infinitamente maior que a.

Caso 3. Suponha que a é um hiper-real infinito, igual a 1/ϖ para algum infinitésimo ϖ. Daí, conforme o problema §17-11, 1/ϖ2 é infinitamente maior que a.


§17-14. Mostre que, se a > 0, então existe um número infinitamente menor que a.

Mais uma vez, deve estudar três casos: a é um infinitésimo; a é um hiper-real finito, padrão ou não padrão; a é um hiper-real infinito.

Caso 1. Se a = ϖ para algum infinitésimo ϖ, daí ϖ2 é infinitamente menor que a. (Veja o problema §17-9.)

Caso 2. Se a é qualquer número hiper-real finito, padrão ou não padrão, daí ϖ é infinitamente menor que a, pois 0 < ϖ < a e, além disso, a/ϖ é um hiper-real infinito. Visto que 1/ϖ > r para todo número real positivo r, por maior que seja, e visto ainda que a > 0, então a · 1/ϖ > ar; por causa disso, pode dizer que a/ϖ é um hiper-real infinito.

Caso 3. Já sabe que ϖ2 é infinitamente menor que ϖ. Além disso, sabe que, para qualquer número real positivo r, por maior que seja, 0 < ϖ2 < ϖ < 1/r. Sendo assim, 0 < r < 1/ϖ < 1/ϖ2, isto é, 1/ϖ2 é um hiper-real infinito. Ora, ao dividir 1/ϖ2 por 1/ϖ, o que obtém é 1/ϖ, um hiper-real infinito. Logo, se a = 1/ϖ2 para algum infinitésimo ϖ, 1/ϖ é infinitamente menor que a.


§17-15. Existe um número hiper-real infinito positivo que seja o menor número infinito positivo de todos?

Pode começar usando a linguagem L para escrever a afirmação a seguir, com a qual diz que, se r é um número real maior que zero, por menor que seja, r/2 é menor do que r.

Visto que essa afirmação é válida nos reais, é válida também nos hiper-reais: se N é um hiper-real positivo infinito, N/2 é um hiper-real positivo infinito menor do que N, e o mesmo vale para N/2 comparado a N/4, N/4 comparado a N/8, etc., de modo que não pode existir um hiper-real positivo infinito que seja o menor de todos.

Se quiser examinar um exemplo concreto, pense em N = (1, 2, 3, 4, 5, 6, …). Daí N/2 = (1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, …). Pode ver que, por mais vezes que divida o resultado por 2, o quociente é sempre um hiper-real infinito, pois o conjunto {n : Nn > r} é sempre quase-grande, não importa quão grande seja o valor real de r.


§17-16. Existe um infinitésimo que seja o maior infinitésimo entre todos os infinitésimos?

Examine a afirmação a seguir.

Com ela, você disse que, para todo real positivo r, por menor que seja, 2r é maior que r. É uma afirmação sempre verdadeira no sistema dos reais, e portanto tem de ser verdadeira no dos hiper-reais.

Então, para todo infinitésimo ϖ, não importa quão grande seja esse infinitésimo, ϖ < 2ϖ; porém 2ϖ é outro infinitésimo pelo teorema §14-1, e, portanto, não existe um infinitésimo que seja o maior de todos.


§17-17. Existe um número positivo não infinitésimo que seja o menor número positivo entre todos os números positivos não infinitésimos?

§17-18. Existe um número positivo não infinito que seja o maior positivo entre todos os positivos não infinitos?

Em ambos os casos, não. Para provar as duas afirmações, basta reciclar as ideias que já usou nas provas anteriores.


§20-1. Entre quaisquer dois números reais, existe um número hiper-real não padrão.

Verdadeiro.

Imagine dois números reais a e b, com a < b. Daí a linha a seguir é sempre verdadeira.

Agora, some a (a + b)/2 um infinitésimo ϖ qualquer: daí (a + b)/2 + ϖ é um número não padrão entre a e b.

(Você já sabe que, por maior que seja o infinitésimo ϖ, jamais será grande o suficiente para ir de (a + b)/2 até b.)


§20-2. Entre quaisquer dois números hiper-reais, existe um número real.

Falso.

Basta imaginar dois infinitésimos distintos, ϖ1 e ϖ2, com ϖ1 < ϖ2. Não há nenhum número real entre ϖ1 e ϖ2, pois, se houvesse, seria um número real menor do que qualquer outro número real, por menor que fosse, e não existe um número real com essa propriedade.


§20-3. A raiz cúbica de um número não padrão não necessariamente é um número não padrão.

Falso.

Quando lida com números reais, você sabe que 3x = y se, e somente se, y3 = x. Bem, faça y = r + ϖ para algum número real r e algum infinitésimo ϖ. Daí y3 = (r + ϖ)3 = r3 + 3r2ϖ + 3rϖ2 + ϖ3 = x. O somatório 3r2ϖ + 3rϖ2 + ϖ3 é um infinitésimo (veja o teorema §14-1), e esse infinitésimo só é igual a zero se ϖ = 0 ou se ϖ é um número complexo, o que, neste caso, não faz sentido; de modo que y só será um número padrão se ϖ = 0, mas daí x também é um número padrão.

É bom dizer isso na afirmativa: a raiz cúbica de um número não padrão é necessariamente um número não padrão.


§20-4. Se f(x) é real para todo número real x, daí é real para todo número x.

Falso.

Basta pensar na função y = f(x) = x, que é a função identidade. Nesse caso, f(x) é real para todo número real x, mas, se N é um número hiper-real infinito, daí f(N) = N também é um hiper-real infinito, e, obviamente, não é um número real.

Para resolver essa questão, o estudante deve tomar ciência de que, no sistema dos números hiper-reais, há números equivalentes a números reais e há números que não são equivalentes, de maneira nenhuma, a nenhum número real.

Recado: cuidado usar a linguagem L para escrever coisas do tipo “para todo x, f(x) é um número real”, pois o que essa afirmação realmente significa é: “para todo x real, f(x) é um número real”. Não pode dizer que a afirmação é necessariamente verdadeira nos hiper-reais, pois, nos hiper-reais, x talvez não seja real, e daí a implicação não necessariamente vale.


 

§20-5. Se f(x) < 17 para todo número real x, daí f(x) < 17 para todo número x.

Verdadeiro.

Pode escrever na linguagem L a afirmação a seguir.

Se ela é verdadeira no sistema dos reais, tem de ser verdadeira no dos hiper-reais, de modo que, se ϖ é um infinitésimo e N um hiper-real infinito, f(ϖ) < 17 e f(N) < 17.


§20-6. ab implica acbc para todo c.

Falso.

Basta pensar em c = 0.


§20-7. ab e bc implica ac.

Falso. Pense em c = a.


§20-8. ab e cd implica (a + c) ∞ (b + d).

Falso. Pense em a = –c, b = –d.


§20-9. ab e a ≠ 0 e b ≠ 0 implica 1/a ≈ 1/b.

Falso. Basta pensar em a = ϖ e b = 1/ϖ para algum infinitésimo ϖ. Daí ab e 1/a ∞ 1/b.

Com os problemas §20-6 a §20-9, deve ter percebido que deve tomar cuidado com números hiper-reais cuja diferença é infinitamente grande, mais ainda do que deve tomar cuidado com números cuja diferença é infinitesimal.


§20-10. Para n inteiro positivo, você sabe que d(⅓, 1) = 3, d(⅓, 2) = 3, d(⅓, 3) = 3, …, d(⅓, n) = 3, …. E se n = N, sendo N um inteiro positivo infinito? Qual é o valor de d(⅓, N)?

Bem, d(⅓, N) = 3.

Comece com a linguagem L. Na afirmação a seguir, n é um inteiro positivo.

Visto que essa afirmação é verdadeira nos reais, também é verdadeira nos hiper-reais.

Talvez queria estudar melhor o que significa d(⅓, N). Pense em N = (1, 2, 3, 4, 5, …, n, …). Daí d(⅓, N) = (d(⅓, N1), d(⅓, N2), d(⅓, N3), d(⅓, N4), d(⅓, N5), …, d(⅓, Nn), …) = (d(⅓, 1), d(⅓, 2), d(⅓, 3), d(⅓, 4), d(⅓, 5), …, d(⅓, n), …) = (3, 3, 3, 3, 3, …, 3, …) = 3.


§20-11. Você sabe que d(3/11, 1) = 2, d(3/11, 2) = 7, d(3/11, 3) = 2, d(3/11, 4) = 7, e assim por diante, pois 3/11 = 0,272727…. Se N é um inteiro infinito, qual é o valor de d(3/11, N)?

Para resumir, d(3/11, N) = 2 se N é um inteiro infinito par e d(3/11, N) = 7 se N é um inteiro infinito ímpar. (N é par se o conjunto {n : Nn é par} é quase-grande, e é ímpar se o conjunto {n : Nn é ímpar} é quase-grande.)


§20-12. Como pode atribuir sentido a d(ϖ, 1), d(ϖ, 2), d(ϖ, 3), …?

d(ϖ, 1) é o primeiro algarismo na expansão decimal de ϖ, mas ϖ é uma sequência infinita de números reais: ϖ = (ϖ1, ϖ2, ϖ3, …, ϖn, …); logo, pode dizer que d(ϖ, 1) é o primeiro algarismo na expansão decimal de cada um dos números reais ϖi com os quais você montou a sequência infinita de números reais que é ϖ. Daí d(ϖ, 1) vai se transformar numa sequência infinita de números reais, cuja maioria absoluta é igual a zero, e portanto d(ϖ, 1) = 0.

Por exemplo, faça ϖ = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, 1/n, …). Daí ϖ1 = 1, ϖ2 = 1/2, ϖ3 = 1/3, …, ϖn = 1/n, …. Veja o que acontece:

De modo geral, d(ϖ, n) é uma sequência infinita de números reais equivalente a zero, pois o conjunto {n : d(ϖn, k) = 0} é quase-grande para todo valor inteiro positivo de k. (A partir do momento em que n ≥ 10k + 1, d(ϖn, k) = 0.) Logo, o jeito mais sensato de atribuir sentido a d(ϖ, 1), d(ϖ, 2), d(ϖ, 3), …, é escrever: para todo valor inteiro positivo finito de n, d(ϖ, n) = 0.

E quando n = N para algum inteiro infinito N? O método é o mesmo, tirando que, a cada passo, você deve repetir o algoritmo para cada um dos números reais que perfazem N, já que N é uma sequência infinita (e de modo geral crescente) de números reais.


§22-1. Se h é finito e não padrão, prove que existe um infinitésimo ϖ tal que st[h] + ϖ = h.

Se h é finito e não padrão, por definição é um número do tipo h = r + ϖ, expressão na qual você usou r para denotar um número real e ϖ para denotar um infinitésimo positivo ou negativo.

Bem, st[h] é o número real infinitamente próximo de h. Esse número é igual a r, pois hr = ϖ. Em outras palavras, st[r + ϖ] = r, e portanto st[r + ϖ] + ϖ = st[h] + ϖ = h.


§22-2. Prove que, se r é real e ϖ é um infinitésimo, daí st[r + ϖ] = r.

Você já sabe que um hiper-real não padrão, se estiver infinitamente próximo de um número real, está infinitamente próximo de exatamente um número real. Ora, r + ϖr, pois (r + ϖ) – r = ϖ; logo, por definição, st[r + ϖ] = r.


§22-3. Mostre que st[h1 + h2] = st[h1] + st[h2].

Faça h1 = r1 + ϖ1 e h2 = r2 + ϖ2, onde r1, r2 denotam números reais, e ϖ1, ϖ2 denotam infinitésimos positivos, negativos, ou nulos. Daí h1r1, h2r2, e h1 + h2 = (r1 + r2) + (ϖ1 + ϖ2) ≈ r1 + r2. (Visto que a soma de dois infinitésimos é um infinitésimo.) Sendo assim, st[h1] = r1, st[h2] = r2, e st[h1 + h2] = r1 + r2 = st[h1] + st[h2].


§22-4. Mostre que st[h1·h2] = st[h1]·st[h2].

§22-5. Mostre que st[h1h2] = st[h1] – st[h2].

§22-6. Mostre que, se h2 ≠ 0, e se também st[h2] ≠ 0, certamente st[h1/h2] = st[h1]/st[h2].

Nesses três casos, use o mesmo método acima: faça h1 = r1 + ϖ1, h2 = r2 + ϖ2, e daí realize as contas. O caso §22-6 merece atenção. Suponha que h2 ≠ 0, que st[h2] = 0, e que st[h1/h2] ≠ 0. Esse é o caso, por exemplo, quando ϖ1/ϖ2 = 2, pois ϖ1 = 2ϖ2. Você pode atribuir significado a st[ϖ1/ϖ2], mas não a st[ϖ1]/st[ϖ2], pois st[ϖ2] = 0 e não pode dividir nada por zero. Além disso, se h1 ≠ 0, pode atribuir significado a 1/st[h1/h2]: basta fazer 1/st[h1/h2] = st[h2/h1], o que é consistente com todos os outros casos válidos de divisão.


§22-7. Mostre que, se h1h2, daí st[h1] ≤ st[h2].

Faça mais uma vez h1 = r1 + ϖ1 e h2 = r2 + ϖ2, onde r1, r2 denotam números reais (não necessariamente iguais, não necessariamente diferentes), e ϖ1, ϖ2 denotam infinitésimos positivos ou negativos (não necessariamente iguais, não necessariamente diferentes). Você já sabe que st[h1] = r1 e que st[h2] = r2. Como pode usar essa informação?

Bem, comece presumindo que h1h2. Daí as duas linhas a seguir são verdadeiras:

Você pode escrever isso porque pode usar a linguagem L para escrever esta frase, sempre verdadeira no sistema dos reais: “Para todo a, b, c, d reais, se a + bc + d, daí acdb.” Bem, ϖ2ϖ1 é um infinitésimo positivo ou negativo; ou então vale zero. Logo, ϖ2ϖ1 ≈ 0. Sendo assim, se ϖ2ϖ1 é um infinitésimo positivo, ou r1r2 vale zero (caso em que r1 = r2) ou r1r2 é negativo (caso em que r1 < r2). Se ϖ2ϖ1 é nulo, ou r1r2 vale zero (caso em que r1 = r2) ou r1r2 é negativo (caso em que r1 < r2). Se ϖ2ϖ1 é negativo, daí r1r2 é negativo (caso em que r1 < r2). Nos três casos, st[h1] ≤ st[h2].

(Por que “nos três casos”? Ora, mais uma vez, se a < b, então ab.)


§22-8. Mostre que, se h ∈ [a, b], com a, b ∈ R (isto é, [a, b] é um intervalo fechado), daí st[h] ∈ [a, b].

Suponha então que [a, b] denota um intervalo fechado, isto é: para todo x real, se x ∈ [a, b], daí axb. Ora, se isso vale para reais, vale também para hiper-reais: se h ∈ [a, b], daí ahb. Pelo teorema §21-1, existe um número real x infinitamente próximo de h; em outras palavras, x = st[h]. Agora, se x = st[h] ∉ [a, b], daí [a, b] não é um intervalo fechado, e com isso você contradiz sua pressuposição inicial. Portanto, x = st[h] ∈ [a, b].


§24-1. Mostre que cos(ϖ) ≈ 1.

Acompanhe o raciocínio com a figura 14, logo abaixo. (Ela representa, outra vez, um círculo unitário com centro na origem; a medida OB é igual a cosx, BP é igual a senx, e a medida do arco AP é x.) Primeiro, vai raciocinar em termos de números reais; fica claro que, se 0 ≤ xπ/2, daí cosx + BA = 1. E com isso pode dizer que |cosx – 1| = |BA|. (Pode encarar BA como um número real: é a medida do comprimento de B até A.)

Figura 14

Figura 14

Olhando agora o triângulo retângulo ABP. A medida do comprimento |AP| é a medida da hipotenusa AP, e ela é menor que x. Sendo assim, recorra a Pitágoras.

Visto que essa expressão vale para x real nesse intervalo, vale para um infinitésimo ϖ > 0 qualquer, já que ϖ também está no intervalo.

Bem, ϖ2 e sen2ϖ são infinitésimos, e por causa disso pode concluir que |cosϖ – 1| também é um infinitésimo. Se a diferença entre cosϖ e 1 é um infinitésimo, daí cosϖ ≈ 1.

Pode usar um argumento semelhante para o caso em que faz ϖ negativo; basta recorrer às simetrias presentes na figura 14.


§24-2. Mostre que sen(π/2 – ϖ) ≈ 1.

Bem, para x real, sen(π/2 – x) = cosx. Logo, use o que aprendeu com o problema anterior: sen(π/2 – ϖ) = cosϖ ≈ 1.


§24-3. Mostre que tan(ϖ) ≈ 0.

Neste caso, basta usar o que já aprendeu e os teoremas desta matéria, especialmente o teorema segundo o qual um hiper-real finito tem de estar infinitamente próximo de um número real, e só pode estar infinitamente próximo de um e de apenas um número real: tanϖ = senϖ/cosϖ; st[tanϖ] = st[senϖ/cosϖ] = st[senϖ]/st[cosϖ] = 0/1 = 0. Logo, tanϖ ≈ 0.


 


 

{27}/ Rebatendo uma crítica

Mundo afora, os estudantes de cálculo têm imensas dificuldades para construir o cálculo do modo tradicional, isto é, com o conceito de limites e a miríade de épsilons e deltas interligados por meio de desigualdades. Isso é fato incontestável.

Apesar disso, a maioria das faculdades faz o estudante construir o cálculo com limites, épsilons, e deltas. É uma questão de inércia cultural: o professor construiu o cálculo dessa maneira, os livros didáticos explicam o cálculo dessa maneira — parece que os limites, os épsilons, e os deltas se tornaram onipresentes. Então, o que aconteceria se você topasse com um professor que vive reclamando dessa parafernália técnica em torno dos limites, e perguntasse:

“Ei, professor, por que não ensina cálculo por meio do sistema dos números hiper-reais?”

Daí talvez a resposta seria assim:

“Ora, não quero transformar o curso de cálculo num curso de lógica.”

Por que não?

O estudante só pode usar limites, épsilons, e deltas no curso de cálculo ou em cursos nos quais o cálculo é a ferramenta mais importante, como análise, topologia, geometria diferencial. Se construir o cálculo com o sistema dos números hiper-reais, contudo, pode usar a lógica de primeira ordem não apenas nesses cursos, mas em todos os outros, e até em cursos não correlacionados diretamente com matemática, como retórica e algoritmos computacionais. Lógica é mil vezes mais útil que limites.

O conceito de limite é um truque desajeitado que serviu bem à humanidade por 200 anos, mas que, desde Abraham Robinson, se tornou desnecessário. Por meio de números hiper-reais infinitésimos e infinitos, o estudante consegue provar qualquer coisa que possa provar com limites, mas a recíproca não é verdadeira, pois, com hiper-reais, também consegue provar coisas que ninguém consegue provar com limites; por exemplo, há integrais que o estudante pode calcular com números hiper-reais, mas não com a soma de Riemann, nem com a integral de Lebesgue. (Você estudará uma dessas integrais nesta série sobre cálculo infinitesimal.)

Em 200 anos, talvez a ideia de limite com épsilons e deltas seja ensinada somente em cursos de história da matemática — porém, quem pode saber? Ninguém. Uma coisa, porém, pode dar como certa: com os números hiper-reais, não vai apenas se transformar num usuário mais competente de cálculo — vai se transformar num matemático mais competente. {FIM}


Na próxima matéria desta série sobre cálculo infinitesimal, finalmente vai estudar o cálculo propriamente dito: verá como caracterizar funções contínuas, e vai explorar suas propriedades. Não perca!

Aviso. Caso veja algum erro neste capítulo ou queira tirar uma dúvida, escreva para o redator:

<ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com>.

Poesia sobre ideias matemáticas


Nílson José Machado, professor na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, é especialista em didática da matemática, é um bom autor de livros didáticos, e é também poeta. Lançou este ano o livrinho Mattemas: quasepoesia, com uma seleção de seus mattemas. Todos os seus amigos e alunos sabem o que é um mattema, mas, caso você não saiba, eis como Nílson explica o termo na página 7 do livrinho:

Quando um poeta brinca com as palavras

E faz da Matemática seu tema

Nasce um mattema?

O livrinho é um ótimo presente para quem gosta de matemática, porque os poemas são bons.

Eis um sobre geometria:

Ambiciosa

Disfarça mal

A espiral.

Sempre fingindo,

Finge que chega

E vai saindo.

Um sobre aritmética:

Fazer contas dá confiança

Mas a realidade cansa.

Fazer de conta traz esperança…

E um sobre lógica:

Se a matemática fosse um barco

“Se p, então q” seria o motor.

(O matemático é um fingidor.)

Nílson diz que, na matemática, você pode trocar 2 por 6/3, ou por 5 (mod 3). Com a troca, a validade da afirmação matemática não se altera: se for verdadeira, continuará sendo verdadeira, e se for falsa, continuará sendo falsa. Isso não acontece na poesia. Troque uma palavra de um poema e provavelmente vai destruí-lo. Diz Nílson: “O lugar da exatidão é, pois, a poesia.” {FIM}


 

O livro está à venda na livraria virtual da Editora Scortecci.

 

 

“Quando é que vou usar isso?”


{1}/ Quem é o autor deste artigo

Douglas Corey, professor na Brigham Young University, publicou este artigo pela primeira vez na revista Math Horizons: novembro de 2014, vol. 22, número 2, pág. 34. Título original: “When Will I Ever Use This?” (© Mathematical Association of America.) Uma versão dele foi publicada na revista “Cálculo: Matemática para Todos”, edição 48, pág. 56. O artigo que vai ler a seguir é uma versão revisada e atualizada.


 


{2}/ Introdução

A pergunta que estudantes mais fazem numa aula de matemática é alguma variação de “Quando é que usarei isso alguma vez na vida?” Quando digitei a pergunta num mecanismo de busca, ele me sugeriu perguntas semelhantes, e as dez mais populares tinham algo a ver com a matemática escolar. Eu sei que estudantes ficam fascinados com a pergunta. Alguns a fazem querendo provocar o professor, tipo: “Duvido que possa me provar que usarei isso pelo menos uma vez na vida.” Muitos mais a fazem querendo sinceramente saber como poderão usar “isso” no futuro; vou presumir que você é um deles.

Nos dois casos, quase todos os professores reagem de três maneiras. Talvez o professor dê uma resposta banal: “Na prova da semana que vem”; “Na matéria do próximo ano.” Nada fascinante. Talvez dê uma resposta rápida, do tipo “se você não souber isso, nunca poderá usá-lo”, ou de um tipo similar; ele está dizendo a verdade, mas tal resposta não agrada mais que a primeira. Ou talvez dê a melhor resposta que um professor pode dar nessa situação: ele diz à classe o que todo estudante gostaria de ouvir — ou assim pensa. Em outras palavras, ele correlaciona a matemática com alguma carreira profissional (para fazer a correlação, pode recorrer a um pôster popular na internet), ou explica como alguém soube aplicar a matemática nalguma área que estudantes costumam achar interessante. Se você já esteve numa aula em que o professor fez o melhor que pôde, sabe que raramente seu esforço cai no gosto de todos.

Essa questão se transformou num paradoxo, no qual tenho pensado bastante: se a matemática é tão útil, como eu sei que ela é, por que temos dificuldade de mostrar ao estudante como ela pode lhe ser útil também? Neste ensaio, quero analisar esse paradoxo, e dar a minha resposta à sua pergunta: “Quando usarei isso alguma vez na vida?”

Para começar a análise, quero propor um experimento mental. Pare por um momento e pense na última vez em que usou a multiplicação fora do ambiente escolar. Talvez seja difícil, mas persista. Se não consegue se lembrar da última vez, pelo menos tente se lembrar de uma vez em que a usou recentemente. Pense… pense… pense. Já recordou alguma situação? Não precisa ser uma vez na qual resolveu uma multiplicação num pedaço de papel. Se a resolveu de cabeça ou usou uma calculadora, tudo bem. Se você é como eu, está achando difícil se lembrar de uma situação específica. Passei um tempão tentando recordar uma vez, embora a use o tempo todo. Ela está tão enraizada nos meus processos mentais que em geral eu a uso, mas não percebo. Aposto como é assim com quase todo mundo. Tenho a certeza de você usa a multiplicação, além de seus primos de primeiro grau: achar áreas, contar coisas em grupos ou arranjos, ampliar as coisas ou reduzi-las, trabalhar com proporções. Ela se tornou uma parte tão natural de nosso raciocínio que, conscientemente, nunca pensamos: “OK, eis um problema de multiplicação. O que foi mesmo que me ensinaram na escola?”

Esse deve ser o primeiro passo no entendimento do paradoxo. A matemática é útil, mas quase sempre a usamos de um jeito inconsciente. Quando você olha para um gráfico, um número, uma fórmula, um mapa, um algoritmo, ou qualquer coisa desse tipo, recorre a uma miríade de conexões matemáticas que fez durante as muitas horas que passou ouvindo explicações, fazendo exercícios, lendo; com tais conexões, rapidamente atina com o significado do que está vendo, lendo, experimentando, etc. (Ou pelo menos começa a atinar com o significado.) Raramente pensa em voltar atrás e relembrar quando foi que aprendeu as técnicas (ou a técnica) que usou para atribuir significado a alguma coisa. E mesmo que pense, é quase impossível relembrar o momento exato em que compreendeu certas técnicas específicas, especialmente aquelas que fazem parte dos esquemas que usa para interpretar o mundo. Como consequência disso, não dá o crédito que poderia dar aos professores que te ajudaram a estudar, simplesmente porque achar a fonte de cada conhecimento que possui é uma tarefa que beira o impossível.

Vamos voltar ao experimento mental. Espero que, a essa hora, já tenha uma situação na qual usou a multiplicação. Eu pensei em dois exemplos. Usei a multiplicação para calcular a área da plantação de framboesas que pretendia criar no meu quintal, assim poderia comparar tal área com as informações que obtive na internet sobre plantações de framboesas. Também usei a multiplicação para descobrir se havia pegado no mercadinho um número suficiente de latas de sopa cremosa de cogumelos. Eu precisava de 24 latas, e as organizei num arranjo de quatro por seis.

Outro dia, fiz essa mesma pergunta a outras duas pessoas. As duas situações que mencionaram foram: calcular se uma caixa de fraldas duraria o mês inteiro; e ver se um jogador famoso de beisebol terminaria a temporada com 100 rebatidas que geram corridas, caso seu desempenho continuasse bom. [Em inglês, você denota as “rebatidas que geram corridas” com a sigla RBI.] Acho que a situação que você pôde trazer à memória deve ser tão peculiar quanto essas duas.

Agora, suponha que um aluno te perguntasse: “Quando é que usarei a multiplicação pelo menos uma vez na vida?” E que você recorresse aos exemplos que acabei de mencionar para justificar os esforços de seu aluno. Como uma conversa dessas poderia transcorrer?

Estudante: Quando é que vou usar a multiplicação alguma vez na vida?

Professor: Eu a usei outro dia para calcular a área de uma plantação de framboesas no meu jardim.

Estudante: Ah, claro, como se eu fosse plantar framboesas alguma vez na vida — que coisa mais chata!

Professor: Bem, um amigo meu me disse ontem que usou a multiplicação para ver se o jogador Fulano de Tal chegaria a 100 RBIs até o fim da temporada de beisebol.

Estudante: Que droga é essa de RBI? E eu não gosto de basebol.

Professor: Você pode usar a multiplicação quando faz compras. Pode usá-la, por exemplo, para saber se o pacote de fraldas que gostaria de comprar vai durar até o próximo salário.

Estudante: Fraldas? Tá de sacanagem comigo? Se ter filhos significa que serei obrigado a usar matemática, então acho que não quero ter filhos.

Professor (baixinho, só para a plateia): Eu sabia que deveria ter virado dentista.

OK, a última linha é brincadeira, mas pode ver como é frustrante tentar convencer um aluno por meio dessa técnica; e lembre-se de que estou falando de uma operação matemática que todo mundo usa todo dia. Talvez você tenha chegado a um exemplo melhor, mas duvido que com ele consiga motivar um aluno a se devotar à lição de casa.

Claramente, isso não é jeito de tentar convencer um estudante de que a matemática é útil. Quero dizer que tais aplicações práticas provocam o efeito contrário: convencem o estudante de que a matemática é ABSOLUTAMENTE INÚTIL. Eu vivi essa situação repetidas vezes quando, sendo um aluno de pós-graduação, dava aulas de álgebra para a graduação. Quando ia ensinar determinado tópico, fazia o que achava que um bom professor faria: na primeira parte da aula, explicava a teoria; na segunda, mencionava algumas aplicações práticas. Sempre tinha a impressão de que os alunos acompanhavam a parte teórica com interesse, mas quando eu começava a falar dos problemas práticos, parecia que eu os ouvia falando com os próprios botões: “Ora, eu até cheguei a pensar que esse é um tópico importante, mas se as aplicações práticas são essas da [biologia, psicologia, história, física], então agora sei que nunca vou usar isso!” Qualquer problema prático que o professor escolha provavelmente não despertará o interesse da maior parte da classe, e portanto o estudante o usa como evidência de que nunca precisará daquela teoria na vida.

Eu chamo isso de “O Paradoxo das Aplicações”. E assim chego a meu segundo insight sobre o paradoxo maior que estamos tentando compreender: as aplicações práticas da matemática quase sempre envolvem circunstâncias tão específicas que ficam fora da realidade da maioria dos estudantes.

Isso coloca os professores de matemática numa situação difícil. Escolher a alternativa, que é ensinar matemática sem mencionar nenhuma aplicação prática, me parece uma estratégia ainda pior para convencer o estudante de que a matemática é útil. Os professores se veem forçados ao trabalho duro de achar ou de criar problemas práticos que são gerais o suficiente e interessantes o suficiente para ativar a curiosidade da maior parte da classe.



{3}/ Ligando os pontos

Na verdade, essa pergunta “quando é que vou usar isso” é uma injustiça com o professor. Ele não sabe quando você vai usá-la, se é que vai usá-la, exceto que vai usá-la na prova e no curso do próximo ano. Ele pode explicar como outras pessoas a usaram, mas, como já vimos, uma resposta assim não convence. A dificuldade para responder à questão surge de uma pressuposição implícita na própria pergunta. O estudante consegue visualizar as situações pelas quais vai passar na vida, e quando a resposta do professor não se aplica a tais situações, ele se sente à vontade para tachar a matemática de inútil. Ocorre que ele se ilude quando assume, depois de uns minutos de reflexão, que pode prever em quais situações vai se meter na vida, e em quais poderá usar isso ou aquilo. Por que se ilude? Ora — em geral, ninguém sabe o que não sabe.

Em certas áreas do conhecimento, uma pessoa pode olhar para a educação desse ponto de vista, isto é: “Eu sei o que não sei.” Ofícios, por exemplo. Se você gostaria de consertar aparelhos de ar condicionado, daí as coisas que estuda numa aula sobre Como Consertar Aparelhos de Ar Condicionado parecem pertinentes. Você consegue se visualizar tirando o painel externo de um aparelho e olhando para os componentes lá dentro, e tais componentes se parecem bastante com os que viu em classe, nas figuras do livro. E você sabe que não sabe como soldar tais componentes uns nos outros, ou como consertar qualquer um deles; e além disso você gostaria de aprender.

Mas tais situações, comparadas com outras nas quais usamos o que aprendemos, são pouquíssimas. Na maioria dos casos, não sabemos o que não sabemos. Isso torna muito difícil predizer de quais conhecimentos vamos precisar no futuro. E torna também muito difícil visualizar como poderíamos usar um conhecimento que ainda não temos. Eis umas poucas histórias para ilustrar esse último ponto.

A passagem a seguir foi retirada do discurso inaugural que Steve Jobs [fundador da Apple] fez na Universidade Stanford em junho de 2005[1].


“Eu fiz faculdade. Mas eu tolamente escolhi uma faculdade que era quase tão cara quanto Stanford, e estava gastando toda a poupança de meus pais assalariados com as mensalidades. Depois de seis meses, não conseguia ver o valor daquilo. Eu não tinha a menor ideia do que fazer com minha vida, nem a menor ideia de como a faculdade me ajudaria a descobrir. E lá estava eu, gastando todas as economias que meus pais haviam levado uma vida para juntar. Então, decidi cair fora e acreditar que tudo ficaria OK. Na ocasião, tive medo, mas olhando para trás foi uma das melhores decisões que já tomei na vida. No minuto em que desisti, pude parar de me matricular nas matérias obrigatórias que não me interessavam, e passei a assistir [informalmente, como ouvinte] só às aulas que me pareciam interessantes.

“Não foi nada romântico. Eu não tinha um quarto no dormitório da faculdade, de modo que dormi no chão do quarto de meus amigos; eu coletava garrafas de Coca-Cola para trocá-las por 5 centavos cada uma, e com o dinheiro comprava comida; todo domingo à noite eu andava 11 quilômetros pela cidade para comer uma boa refeição no templo Hare Krishina. Eu adorava. E muito daquilo com que topei ao seguir minha curiosidade e intuição se revelou impagável mais tarde. Deixe-me lhes dar um exemplo.

“A faculdade Reed naquela época oferecia talvez o melhor curso de caligrafia dos Estados Unidos. Em todo lugar do campus, todo pôster, todo rótulo em toda gaveta, era belamente escrito à mão. Visto que eu havia desistido e não precisava comparecer às aulas comuns, decidi aparecer nesse curso de caligrafia e ver como me saía. Estudei letras com e sem serifas, a quantidade variável de espaço entre as várias combinações de letras, o que torna fantástica uma tipologia fantástica. Era um assunto bonito, cheio de história, sutilmente artístico de um jeito que a ciência não pode captar, e eu o achei fascinante.

“Eu não tinha a menor esperança de aplicar um assunto desses na minha vida cotidiana. Dez anos depois, contudo, quando projetávamos o primeiro computador Macintosh, tudo isso me veio à memória. E projetamos tudo isso dentro do Mac. Ele foi o primeiro computador com tipologia bonita. Se eu nunca tivesse desistido de nenhuma matéria da faculdade, o Mac nunca teria várias tipologias com fontes proporcionalmente espaçadas. E visto que o Windows simplesmente copiava os Macs, talvez nenhum computador pessoal as teria. Se eu jamais desistisse, nunca teria aparecido nesse curso de caligrafia, e os computadores portáteis talvez não tivessem a bela tipologia que têm hoje. É claro que, quando eu estava na faculdade, era impossível olhar para o futuro e conectar os pontos. Mas isso ficou muito, muito claro quando, dez anos depois, olhei para trás.

“Repito: vocês não podem conectar os pontos olhando para a frente; só podem conectá-los olhando para trás. Sendo assim, têm de acreditar que, de algum modo, os pontos vão se conectar no futuro. Vocês têm de confiar em alguma coisa — ousadia, destino, vida, carma, o que for. Essa abordagem nunca me decepcionou, e fez toda a diferença na minha vida.”


Um colega meu foi a uma conferência nacional para professores de artes e ofícios — aqueles que dão aulas sobre marcenaria, mecânica de automóveis, soldagem, produção de conteúdo multimídia, animação assistida por computadores, etc. O palestrante principal era um médico que havia criado um pulmão artificial. Como parte de sua palestra, disse algo aos professores que nunca havia dito em público nenhuma vez. Contou qual foi a experiência a partir da qual, mais tarde, pôde criar um pulmão artificial. Os professores ficaram embasbacados quando confessou que a experiência mais importante ocorreu quando tinha 16 anos. Naquela ocasião, aprendeu como funcionavam os componentes de um carro, e de que modo funcionavam juntos. Por fim, admitiu: o pulmão artificial não passava de um radiador cheio de frescuras[2].

O que me parece mais interessante em histórias assim é que, se qualquer um de nós quisesse enfrentar o desafio de criar um pulmão artificial, nenhum de nós pensaria: “Já sei o que devo fazer! Tenho de reconstruir um carro velho!” Da mesma forma, se você fosse o cofundador da Apple, e estivesse criando um computador na garagem da sua casa, não se viraria para seu amigo Steve Wozniak e diria: “Steve, existe uma coisa que um de nós deve fazer, que é frequentar um curso de caligrafia. Isso vai nos ajudar a projetar um computador que se destacará dos demais.” Você não pode conectar os pontos olhando para o futuro, ou, em outras palavras, em geral você não sabe o que não sabe.

O que aprendemos, o que realmente aprendemos e entendemos, afeta a nossa vida de um jeito que não podemos compreender completamente. Todos os nossos conhecimentos prévios, toda a nossa experiência prévia, e todos os nossos pensamentos prévios afetam o modo como hoje pensamos. Considere essa afirmação do professor S. W. Kimball, que combina com um ponto importante na moderna ciência da cognição: “Todo pensamento que uma pessoa permite que percorra sua mente deixa traços. Pensamentos são coisas. Em grande medida, nossos pensamentos presidem nossa vida.”

O que é estudar senão modelar gradualmente nossa mente, coração, e mãos com esses pensamentos e experiências que deixam sua impressão e nos transformam num ser melhor e mais capaz do que era antes?



{4}/ O olho da mente

Embora isso possa acontecer de muitas maneiras, seus conhecimentos atuais são os que mais influem na sua capacidade de “ver”. E o que você é capaz de “ver” tem consequências de grande alcance no modo como vivencia tudo aquilo por que passa.

Eu tenho um colega que tinha um amigo que era professor de matemática. Esse professor tinha um aquário com peixes tropicais. O aquário tem de ser mantido a certa temperatura constante para que os peixes sobrevivam; por causa disso, há nele lâmpadas especiais para aquecer a água. A lâmpada do aquário do professor se queimou, e ele tinha de dirigir para uma cidade vizinha para comprar uma lâmpada nova. Durante os 15 minutos da viagem, ele concebeu uma equação diferencial, baseada no tamanho do aquário, para calcular a potência da lâmpada que manteria o aquário na temperatura correta. Quando chegou à loja, já tinha resolvido a equação, e comprou uma lâmpada adequada. Eu não seria capaz de fazer isso, e você provavelmente também não. Não sabemos matemática o suficiente para reconhecer que é possível calcular a potência da lâmpada desse modo. A maioria de nós nem veria nessa situação um problema de matemática.

Conheço um médico que tem uma sólida experiência com matemática. Ele não estudou matemática formalmente na faculdade, mas se matriculou nuns poucos cursos de cálculo e compreendeu bem os livros. Ele me disse que usa todo dia as ideias de limite, derivada, e integral. Ele as usa para compreender as medições do paciente anotadas no prontuário, para analisar a concentração de fármacos na corrente sanguínea do paciente conforme o tempo passa, e com isso ele chega a diagnósticos e se decide por este ou aquele tratamento. Os conceitos mais importantes do cálculo são inestimáveis em seu trabalho. E isso não acontece só com esse médico. Conheci uma vez um outro, também com sólidos conhecimentos de matemática, que me disse que usava o cálculo todo dia no trabalho.

Os médicos que não são fluentes no cálculo não usam suas ferramentas valiosas. Eles não podem usá-las porque não estão lá, dentro da mente deles, para que sejam usadas. Ainda assim, de acordo com meu amigo médico, seus colegas acham que ele perdeu tempo ao se matricular em cursos de cálculo. Quando ele lhes diz que, se soubessem cálculo, seriam mais capazes de resolver este ou aquele problema, eles não acreditam, pois não conseguem ver nenhum problema de cálculo no dia a dia.

Quando um dos meus filhos coloca uma camiseta do avesso e com a frente para trás, eu penso nos grupos de simetria gerados pelos movimentos aplicados à camiseta. Quando olho as informações nutricionais no rótulo de alimentos industrializados, penso em sistemas de equações lineares e em programação linear. Quando brinco na cama elástica com meus filhos, e temos bolas sobre a cama, penso em como poderia descrever a trajetória das bolas com geometria hiperbólica, e em como os físicos também usam tal geometria na teoria geral da relatividade para descrever a trajetória da luz percorrendo grandes distâncias.

Nada disso funciona ao contrário. As pessoas não param na beirada da cama elástica e se perguntam que conexão poderia haver ali com a geometria hiperbólica. Elas não olham uma bola rolando sobre a cama e se perguntam se isso tem alguma coisa a ver com o jeito como a luz viaja através do universo. Elas não têm a ideia de estudar álgebra abstrata quando veem uma camiseta do avesso. Elas não podem ver as conexões, e por isso as conexões não existem. Ainda assim, essas mesmas pessoas costumam dizer que a álgebra avançada não tem nenhuma conexão com a vida real. Bem, de certa forma, estão certas: não tem nenhuma conexão para elas, pois não sabem o suficiente para ver alguma conexão.

Algumas das pessoas mais bem-sucedidas tiveram sucesso porque trabalharam duro, mas elas também gastaram parte de seu tempo estudando. Larry H. Miller era um milionário que abriu várias lojas de automóveis no estado do Utah, mas ele era mais conhecido pelo time de basquete Utah Jazz. Há uns seis anos, numa entrevista para um programa de rádio, quando a economia ia muito mal, ele começou a discorrer sobre a economia dos Estados Unidos nos tempos da guerra da independência, e com isso colocou a recessão moderna numa perspectiva diferente. Fiquei surpreso de ouvi-lo falar, sendo ele um dono de time de basquete, mas a história ilustra o que quero dizer. Primeiro, ele era muito culto, tendo lido muito sobre vários assuntos. Segundo, por causa disso, ele entendeu uma recessão moderna de um jeito diferente da maioria das pessoas. Ele a viu de forma diferente por causa dos conhecimentos que possuía.



{5}/ É só consultar a internet

Esse ponto tem relação com outro comentário comum nas aulas de matemática, que em geral surge na forma de reclamação. Professores de matemática pedem a seus alunos que memorizem informações: fórmulas, definições, teoremas, provas, etc. Em geral, eles reagem dizendo que isso é uma perda de tempo, já que podem procurar tais informações. Ora, é certo que podem. Não discuto isso. O problema é que você procura coisas que sabe que não sabe — e, além disso, tem de saber com bastante precisão o que não sabe. É aqui que o problema começa — você tem de conhecer o assunto bastante bem para saber que existe um item específico que um dia poderá procurar. Sem esse conhecimento, você não sabe que existe uma fórmula, demonstração, estratégia, resultado, análise, e assim por diante, que poderia te ajudar.

O que me leva a uma das grandes falácias modernas quando o assunto é educação: ninguém precisa estudar as coisas que pode procurar em algum lugar. O problema é que, com as bibliotecas e a internet, você pode procurar qualquer coisa. Sendo assim, está pronto para concluir que não precisa estudar nada. O que acontece, então, com o conhecimento que molda nossos pensamentos? Só podemos pensar com as ideias que já estão formadas na nossa mente. É assim que compreendemos o que vivenciamos. Se tais ideias estão somente armazenadas em livros, vídeos, etc., significa que não estão disponíveis para que as usemos para pensar — não até que as tenhamos assimilado e façam parte de nós.

Eis um experimento. Leve um tempo memorizando uma citação. Há uma da qual sempre gostei, do inventor Thomas Edison.

Com frequência perdemos uma oportunidade porque ela vem vestida de macacão e parece serviço.

— Thomas Edison (1847-1931), inventor americano.

Decore a frase; pode repeti-la uma vez de manhã e outra vez à noite. Faça assim por duas semanas, e depois preste atenção a quantas vezes a frase te ocorre ao longo do dia. Para a maioria absoluta de vocês, isso acontecerá várias vezes. Mas, sem memorizá-la, você não pararia nas mesmas situações em que se lembrou dela e diria: “Eu gostaria de saber se existe uma frase do Thomas Edison que eu pudesse usar agora, talvez alguma frase sobre oportunidades que se vestem de macacão.” Um pensamento desses nunca te ocorreria. A citação vem à sua mente porque está vivendo alguma coisa que tem conexão com ela, e porque a conhece. Esse experimento ilustra a falácia de confiar na nossa habilidade de procurar coisas. Nossos pensamentos surgem do que sabemos — e não do que poderíamos saber. Nós interpretamos o mundo recorrendo aos conhecimentos e às crenças que já estão na nossa mente, não com o que podemos procurar com um telefone celular.



{6}/ Conclusão

Quando você vai usar as coisas que está estudando na escola? Não sei. Ninguém sabe. Vale a pena estudar algo mesmo que não possa ver uma aplicação imediata nas coisas que te interessam? Provavelmente, pois aplicamos nossos conhecimentos em situações que jamais poderíamos antecipar, ou em situações nas quais nem temos consciência dos conhecimentos que estamos usando. Essa é uma situação na qual os professores pedimos que tenha um pouco de fé naqueles que nasceram antes de você e que te dão aulas. As ideias neste ensaio não autorizam seu professor a relaxar, e daí não fazer o melhor que pode para dar a melhor aula de que é capaz, e também para ajudá-lo a compreender como tantos usam a matemática em problemas práticos. Ele ainda tem o dever de fazer isso. Mas, se ele está fazendo tudo o que pode, e se você ainda não se sente satisfeito, use as ideias deste ensaio para melhor entender os motivos.

Vale a pena estudar tanto quanto puder sobre tudo o que puder. É claro que você não pode estudar tudo, mas, quanto mais aprende, mais fica bom na arte de julgar o que mais vale a pena estudar. Agora, como você vai aproveitar tudo o que aprende? Isso poderá ver mais facilmente ao interligar os pontos olhando para trás. {FIM}


Referências

[1] O discurso de Steve Jobs ocorreu em junho de 2005, em Palo Alto, Califórnia, no campus da Universidade Stanford. O texto original está no website da universidade.

[2] J. Zwischenberger, durante palestra na Conferência Internacional de Educadores Especializados em Tecnologia e Engenharia, ocorrida em Minneapolis, Minesotta, em março de 2011.