Cálculo Tornado Fácil 1


O que um tolo pode fazer, outro também pode.

Antigo provérbio simiesco

Esta é uma adaptação livre da segunda edição do livro Calculus Made Easy, do físico inglês Silvanus P. Thompson, publicada pela editora Macmillan em 1914. Foi um sucesso ao longo do século 20, e faz sucesso até hoje, em parte graças ao tom bem-humorado. (O original em inglês está disponível na internet, pois caiu em domínio público.) Dizia o autor na página de rosto: “Sendo uma muito simples introdução àqueles belos métodos de computação que são geralmente chamados pelos temíveis nomes de cálculo diferencial e cálculo integral.” A partir de hoje, vou me esforçar para publicar uma parte do livro no mínimo uma vez por mês.

O que verá nesta postagem: Seção 1. O prólogo. Seção 2: Uma introdução aos dois símbolos mais comuns do cálculo. Seção 3: Quando alguém pode desprezar uma quantidade pequena diante de outras quantidades? Seção 4: Uma introdução informal à ideia de infinitésimo.



{1}/ Prólogo

Ao considerar quantos tolos são capazes de empregar truques de cálculo, fico surpreso ao ver que tantos outros acham a tarefa de dominar os mesmos truques difícil e tediosa.

Alguns truques são bem fáceis. Alguns, extremamente difíceis. Os tolos que escrevem livros didáticos sobre matemática avançada (e eles são na sua maioria tolos perspicazes) quase nunca se dão ao trabalho de mostrar quão fáceis são os cálculos mais fáceis. Ao contrário, dão a impressão de que desejam impressioná-lo com sua tremenda perspicácia ao abordar o assunto do jeito mais difícil.

Sendo eu mesmo um sujeito notavelmente estúpido, tive de desaprender as dificuldades, e agora tomo a liberdade de apresentar a meus tolos amigos as partes que não são tão difíceis. Domine tais partes e o resto virá sozinho. O que um tolo é capaz de fazer, outro também é.



{2}/ Capítulo 1

Cujo mote é libertá-lo dos pavores preliminares

Posso abolir de uma vez por todas o pavor preliminar, que desencoraja os jovens de até mesmo tentar aprender um pouquinho de cálculo, ao enunciar o significado dos dois principais símbolos em palavras coloquiais.

Tais símbolos temíveis são:

(1) d, que significa “um pouquinho de”.

Assim, dx significa um pouquinho de x; e du significa um pouquinho de u. Matemáticos normais acham mais educado dizer “um infinitésimo de” em vez de “um pouquinho de”. Escolha a seu bel-prazer. Você descobrirá, contudo, que pode considerar tais pouquinhos (ou tais infinitésimos) como sendo tão pequenos quanto queira.

(2) ∫, que é apenas um S alongado, e que você pode chamar (se quiser) de “a soma de”.

Então, ∫dx significa a soma de todos os pouquinhos de x; ou ∫dt significa a soma de todos os pouquinhos de t. Matemáticos normais se referem a esse símbolo como “a integral de”. Agora, qualquer tolo consegue ver que, se considera x como sendo uma soma de minúsculos pouquinhos, cada um deles batizado de dx, então, quando adiciona todos eles juntos, obtém a soma de todos os dx’s — e tal soma é a mesma coisa que o x inteiro. A palavra “integral” significa “inteiro, completo”. Pense numa duração de tempo de 1 hora; caso queira, pode dividi-la em 3.600 pedacinhos, cujo nome é segundo. A totalidade dos 3.600 pedacinhos, adicionados uns aos outros, dá 1 hora.

Quando vir uma expressão que começa com o temível símbolo ∫, daqui por diante saberá que foi posto lá tão somente para lhe dar instruções. Deve então segui-las para totalizar, se puder, todos os pouquinhos que estão indicados pelos símbolos seguintes.

Isso é tudo.



{3}/ Capítulo 2

Sobre graus distintos de pequenez

Você verá, no processo de cálculo, que terá de lidar com quantidades pequenas de vários graus de pequenez. Terá também de aprender sob quais circunstâncias pode tachar uma quantidade pequena como sendo tão miúda que pode desconsiderá-la. Tudo depende do grau relativo de miudeza.

Antes de fixar quaisquer regras, deixe-me ajudá-lo a pensar em casos familiares. Há 60 minutos na hora, 24 horas no dia, 7 dias na semana. Portanto, há 1.440 minutos no dia e 10.080 minutos na semana.

Como percebe, um minuto é quantidade de tempo muito pequena quando comparada com uma semana inteira. De fato, nossos antepassados o consideraram pequeno quando comparado com uma hora, e por isso o chamaram de “um minùte”, significando uma fração diminuta de uma hora — qual seja, um sessenta avos. Depois precisaram de subdivisões de tempo ainda menores, e dividiram cada minuto em 60 partes iguais ainda menores, que, naqueles dias, chamaram de “segundos minùtes”. (Quiseram dizer: quantidades pequenas de uma segunda ordem de pequenez.) Hoje chamamos essas pequenas quantidades na classe da segunda ordem de pequenez de “segundos”. Poucos sabem por que os segundos se chamam segundos.

Agora, se um minuto é pouco comparado com o dia todo, veja quão menor, por comparação, é um segundo!

De novo, pense numa moeda de 1 centavo quando comparada com uma de 1 real: a moeda menor vale não mais que 1/100 partes da maior. Ora, 1 centavo perde toda a importância quando comparado com 1 real: você pode então classificá-lo como uma quantidade pequena. Porém, compare 1 centavo com uma nota de 100 reais: em relação a esse valor maior, a moeda de 1 centavo vale 1/10.000 partes da nota de 100 reais. E mesmo um maço de notas de 100 reais é pouco diante da fortuna de um bilionário.

Agora, se para todos os propósitos práticos você classifica uma fração como sendo relativamente pequena diante do todo, pode facilmente fixar outras frações com um grau maior de pequenez. Sendo assim, quando lida com um intervalo de tempo, pode dizer que 1/60 é uma fração pequena do intervalo; e daí 1/60 de 1/60 (isto é, uma fração pequena de uma fração pequena) fica sendo uma pequena quantidade com uma segunda ordem de pequenez. (Matemáticos gostam de falar sobre a “segunda ordem de magnitude”, isto é, a segunda ordem de grandeza, quando na verdade eles querem dizer uma segunda ordem de pequenez. Isso confunde muitos iniciantes.)

Ou então, se por qualquer motivo você toma 1 por cento (isto é, 1/100) como sendo uma fração pequena, daí 1 por cento de 1 por cento (1/10.000) seria uma fração na classe da segunda ordem de pequenez; e 1/1.000.000 seria uma fração na classe da terceira ordem de pequenez, pois é 1 por cento de 1 por cento de 1 por cento.

“Ordem de magnitude”. Suponha que vai dividir uma quantidade Q por 60, isto é, que vai multiplicar uma quantidade Q por 1/60, que é o recíproco de 60. Pode dizer que o resultado está no conjunto da primeira ordem de magnitude, e para saber isso basta olhar o índice ao qual eleva a fração 1/60:

Tendo dividido Q em 60 partes iguais, pega uma das partes e a divide por 60. De novo, isso é o mesmo que multiplicá-la por 1/60, e ao fazer as contas verá que o resultado está no conjunto da segunda ordem de magnitude, pois eleva 1/60 ao expoente 2:

É assim que essa ideia de “ordem de magnitude” funciona.

Por fim, suponha que, para algum propósito prático, você possa considerar 1/1.000.000 como sendo pequeno. Assim, para que um relógio de boa qualidade não adiante nem atrase mais que meio minuto por ano, deve cronometrar o tempo com precisão de 1 parte em 1.051.200. E se, para tal propósito, você considera 1/1.000.000 como sendo uma quantidade pequena, daí 1/1.000.000 de 1/1.000.000 (isto é, 1/1.000.000.000.000) será uma quantidade pequena na classe da segunda ordem de pequenez, e pode ser terminantemente desconsiderada em comparação com a quantidade pequena.

Agora pode ver que, quanto menor essa menor quantidade é, mais insignificante se torna a correspondente quantidade pequena na classe da segunda ordem de pequenez. É dessa ideia que sabe que, em qualquer caso, pode desprezar as pequenas quantidades de segunda ordem, ou de terceira, ou de ordem mais alta, desde que escolha para a pequena quantidade de primeira ordem uma quantidade que seja realmente pequena.

Contudo, lembre-se de que as pequenas quantidades, quando aparecem numa expressão matemática como fatores multiplicados por algum outro fator, talvez fiquem importantes se forem multiplicadas por um fator grande o bastante.

Bem, no cálculo, você escreve dx para dizer um pouquinho de x. Essas coisas tais como dx, du e dy são chamadas de “diferenciais”, isto é, o diferencial de x, o diferencial de u, o diferencial de y. (Pronuncie assim: “dê-xis”, “dê-ú”, “dê-ípsilon”.) Pode dizer que dx é uma pequena porção de x, e relativamente pequena por si mesma, mas não pode dizer que x∙dx, ou x2∙dx, ou ax∙dx são valores desprezíveis. Mas certamente poderia desprezar dx∙dx, que seria uma pequena quantidade de segunda ordem.

Quero ilustrar isso tudo com um exemplo simples.

Pense numa quantidade x que pode aumentar um pouquinho para se transformar em x + dx, em que dx significa o pequeno incremento no valor de x provocado pelo crescimento. O quadrado disso é (x + dx)2 = x2 + 2xdx + (dx)2. Não pode desprezar o segundo termo dessa soma porque é uma quantidade de primeira ordem; entretanto, o terceiro termo é da segunda ordem de pequenez, pois é uma fraçãozinha de uma fraçãozinha de x2. Assim, se você considera dx como sendo, por exemplo, 1/60 de x, então o segundo termo vale 2/60 de x2, enquanto o terceiro termo vale 1/3.600 de x2. Esse terceiro termo é claramente menos importante que o segundo. Mas se for além, e fixar dx como sendo apenas 1/1.000 de x, daí o segundo termo vale 2/1.000 de x2, enquanto o terceiro vale apenas 1/1.000.000 de x2.

Lembrete. Se considera dx = (1/n)∙x, sendo n um número bem grande, daí se segue o raciocínio:

Você pode representar isso tudo, geometricamente, desse modo: desenhe um quadrado cujo comprimento da aresta vai representar a quantidade x. (Veja a figura 1 mais abaixo.) Agora suponha que fará esse quadrado crescer assim: aumentará um pouquinho o comprimento de duas arestas adjacentes ao somar dx a cada uma delas. Terá portanto desenhado um quadrado aumentado com o quadrado original (área de x2), mais os dois retângulos à direita e acima cuja área individual é x∙dx (e cuja área total é 2x∙dx), mais o pequeno quadrado no canto superior direito do quadrado aumentado [cuja área é (dx)2]. Na figura 2, representei dx como sendo uma fração grande de x. Mas suponha que eu tivesse conseguido desenhar dx como sendo apenas 1/100 de x, isto é, da grossura de uma linha. Daí o quadradinho do canto superior direito teria área de apenas 1/10.000 de x2 (figura 3), e seria praticamente invisível. Você vê claramente que pode desprezar (dx)2 se considera o incremento dx como sendo pequeno o bastante.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Deixe-me agora explicar a você uma analogia.

Suponha que um ricaço diga a seu motorista: na semana que vem, vou lhe dar de presente uma pequena fração do dinheiro que eu for capaz de ganhar na segunda-feira. E suponha que o motorista diga a seu filho: na semana que vem, vou lhe dar uma pequena fração do que meu patrão me der de presente. E suponha que essa pequena fração, nos dois casos, seja de 1 parte em 100. Quando chega a semana em questão, o ricaço ganha 1.000 reais na segunda-feira, e dá 10 reais de presente a seu motorista, que, por sua vez, dá 10 centavos a seu filho. Bem, 10 reais já seria uma quantidade pequena quando comparada com 1.000 reais; mas 10 centavos, então, é uma quantidade pequena bem pequena mesmo, de uma ordem bastante secundária. E qual seria a proporção se eles tivessem combinado 1 parte em 1.000? O ricaço ganharia 1.000 reais, o motorista ganharia 1 real e o menino, pobrezinho, ganharia 10% de 1 centavo — nem existe moedinha nesse valor!

O espirituoso Dean Swift uma vez escreveu: “Como os naturalistas observam, numa pulga há pulgas menores que vivem dela; e nas pulgas menores há pulgas menores ainda que vivem delas; e assim por diante ad infinitum.”

Um boi talvez se preocupe com uma pulga de tamanho ordinário — uma criatura na primeira classe de pequenez. Mas ele provavelmente não vai se incomodar com a pulga de uma pulga; sendo uma criatura na segunda classe de pequenez, poderia desprezá-la. Até umas dúzias de pulgas de pulgas não seriam suficientes para incomodar o boi. {}



{4}/ Apêndice: A palavra “infinitésimo”

Hoje, os matemáticos chamam de “infinitésimo” uma variável cujo limite é zero. (No sistema dos números hiper-reais, é um número hiper-real positivo menor do que qualquer número real positivo, por menor que seja.) Em geral, calculam tal limite por meio de incrementos em funções.

Assim, a razão Δy/Δx tende ao diferencial dy/dx conforme Δx tende a zero; Δx é o infinitésimo. Em linguagem mais formal, você pode escrever isso assim:

Eis um exemplo clássico: se y = x2, o que acontece quando o estudante adiciona Δx a x, sendo Δx uma fração muito, muito pequena de x? (Para simplificar, considere apenas o caso em que x ≥ 0.) Visto que y = x2 é uma função contínua e sempre crescente quando x ≥ 0, adicionar Δx a x fará com que y cresça em Δy, assim:

Visto que y = x2, o estudante pode trocar x2 (à direita da igualdade) por y, e depois tirar y dos dois lados da igualdade. Ficará com:

Só de olhar a figura 3 já fica claro que, quando Δx > 0 tende a zero, Δy/Δx tende a 2x; em outras palavras, quando o estudante soma quase nada a x, a área que adiciona ao quadrado tende a ser 2x, isto é, tende a ser metade do perímetro que já existia. Mas o olhar engana, e é muito melhor ter a certeza disso com uma pitada de álgebra. Como primeiro passo, o estudante divide a equação acima por Δx > 0.

Quando Δx tende a zero, 2x + Δx tende a 2x, e a razão Δy/Δx por definição tende ao diferencial dy/dx, que vale 2x:

Muito estudante se incomoda com essa passagem. “Por que posso desprezar Δx do lado direito, mas não do esquerdo? É porque Δx é um denominador?” Outra pergunta comum é: “Por que do lado esquerdo da equação Δx se transforma em dx e, do lado direito, ele some?”

Com a figura 3, Silvanus quase explicou tudo isso. Na verdade, quando o estudante diz que Δx tende a zero, quer dizer que Δx se aproxima cada vez mais de zero, sem jamais, contudo, se igualar a zero. Sendo assim, na equação (A), o lado direito da igualdade fica cada vez mais próximo de 2x conforme Δx fica cada vez mais próximo de zero, e a razão do lado esquerdo da igualdade permanece válida, pois Δx jamais se iguala a zero. Essa razão Δy/Δx, que permanece válida conforme Δx tende a zero, e cujo Δy depende de Δx, ganha o símbolo de dy/dx e ganha o nome de “diferencial”. Um jeito bacana de dizer tudo isso é:

É o raciocínio de Silvanus com outra roupagem. Na primeira linha, o estudante disse: “Visto que y depende de x, a razão entre uma fraçãozinha infinitamente minúscula de y e a correspondente fraçãozinha infinitamente minúscula de x equivale à razão entre um pouco de y e um pouco de x quando esse pouco de x tende a zero.” Com a segunda linha, o estudante substituiu Δy/Δx por 2x + Δx, já que são iguais, e assim disse: “Visto que y depende de x, a razão entre uma fraçãozinha infinitamente minúscula de y e a correspondente fraçãozinha infinitamente minúscula de x equivale a 2x mais um pouquinho de x quando esse pouquinho de x tende a zero.” Com a terceira linha, disse o que já havia dito na segunda, mas deixou claro qual parte da expressão tende a zero e qual parte permanece constante. Com a quarta linha, concluiu o raciocínio: “Visto que y depende de x, a razão entre uma fraçãozinha infinitamente minúscula de y e a correspondente fraçãozinha infinitamente minúscula de x equivale a 2x.”

Nesse raciocínio todo, Δx, a variável cujo limite é zero, é o famoso infinitésimo, que já provocou tantas disputas filosóficas no passado. {FIM}

Dica. No exemplo logo acima: e se o estudante quiser achar um valor válido para dy? Basta escolher um valor para dx, de preferência bem pequeno, e fazer as contas: 2x∙dx = dy.


Observações:

1. Vale o lembrete: este blogue contém um curso de introdução ao cálculo diferencial e integral por meio do sistema dos números hiper-reais. (Para ler o primeiro capítulo, clique aqui.) As duas abordagens se complementam bem: com o sistema dos números hiper-reais, o leitor pode construir o cálculo com o máximo de rigor matemático; com a abordagem de Silvanus, pode entender as ideias principais de um jeito mais informal.

Lembrete: Este texto é parte de uma sequência, e todos os textos da sequência são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, e CTF 8.

Tranças são objetos matemáticos, e dos úteis

Os matemáticos têm usado álgebra abstrata para estudar entrançamentos; com o que aprendem, têm descoberto coisas novas em outras áreas da matemática e das ciências, incluindo teoria dos nós, física estatística, e robótica.

Aviso. Os números sobrescritos entre colchetes, como [1], remetem a seções escritas para ajudar o leitor a entender o que o entrevistado quis dizer, já que ele não teve escolha senão recorrer a termos técnicos de sentido muito específico.



{1}/ Tranças, nós, anéis

Pegue uma esfera, ou algo parecido com uma esfera, tipo o planeta Terra. Ache um jeito de associar, a cada ponto da esfera, dois números que representam a medida de duas peculiaridades da esfera — por exemplo, temperatura e pressão, duas peculiaridades importantes na esfera Terra. Se esses dois números são produzidos por funções contínuas (que não dão saltos abruptos), como é o caso dos números produzidos por medidores de temperatura e pressão, então, a qualquer instante, sempre há dois pontos diametralmente opostos na esfera nos quais os dois números são idênticos. Dito de outra forma: a todo instante no planeta Terra, há dois pontos antipodais nos quais a temperatura e a pressão são iguais. O nome disso é teorema de Borsuk-Ulam, e por causa de teoremas assim Daciberg Lima Gonçalves, professor de topologia no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, veio a se transformar num especialista em tranças.

Tranças? Como as tranças das mulheres? Como as tranças dos rappers? Como as tranças no rabo de cavalos de corrida? “Hoje”, diz Daciberg, “a trança é um objeto geométrico, que estudamos com o apoio da teoria dos grupos.”[2] Ao contar sua história, Daciberg ilustra o poder da álgebra abstrata, com a qual o matemático estuda objetos que o leigo nem classificaria como objetos matemáticos, como sequências de notas musicais, simetrias de moléculas, características típicas do rosto. Mas por que estudar tranças? Daciberg explica: muito daquilo que o matemático descobre sobre tais objetos servem, mais tarde, no processo de resolução de problemas puramente matemáticos. E, uma vez que um problema matemático esteja resolvido, a resolução pode ser aplicada em situações práticas às vezes surpreendentes.

Só dois anos. Desde Bernard Bolzano (1781-1848), os matemáticos estudam teoremas de ponto fixo. Com a versão mais simples do teorema, o matemático diz que uma função contínua y = f(x) cujo domínio é [0, 1] e cujo contradomínio também é [0, 1] terá um ponto fixo, isto é, um ponto x = a de modo que f(a) = a; em outras palavras, terá um ponto cujas coordenadas x e y são iguais. Para entender essa ideia, um estudante (codinome Manuel) desenha o gráfico da figura 1.

Fig. 1. Em vermelho, y = cos(x); em azul, y = x; em verde, y = √x

O gráfico contém três funções contínuas: y = x (a função identidade), y = cosx e y = x. De modo intuitivo, Manuel pode ver que não consegue desenhar uma função contínua de [0, 1] em [0, 1] sem que a função cruze, no mínimo uma vez, com a reta y = x, isto é, sem que a função tenha no mínimo um ponto fixo. “Depois de Bolzano, no começo do século 20, Brouwer provou a existência de pontos fixos no disco R2, e a partir daí o nível de dificuldade aumentou muito.”[3] Uns anos mais tarde, o matemático alemão Emil Artin passou a estudar a existência de pontos fixos nas funções cujo domínio era o disco de raio igual a 1 e cujo contradomínio também era o disco de raio igual a 1. A certa altura das investigações, teve a ideia de recorrer a uma versão matemática das tranças para provar certos resultados — e a ideia deu tão certo que o estudo de tranças acabou virando uma área à parte da álgebra abstrata.[4] “Houve muitos resultados depois de Artin, tanto no plano quanto em superfícies como a esfera e o toro”, diz Daciberg. “Eu mesmo conheci os grupos de tranças quando participava de um grupo internacional de estudos de teoremas de ponto fixo. Nesse grupo, havia gente que se interessava muito por tranças, e eu quis saber que assunto era esse. Publico artigos científicos sobre tranças desde 1988; além disso, graças a um acordo de cooperação entre o governo brasileiro e o francês, chamado Capes-Cofecub, tenho cooperado sistematicamente com matemáticos europeus desde 1998.”

E como alguém estuda tranças? Daciberg diz que isso é possível graças à teoria sobre grupos. Em essência, com essa teoria, o matemático consegue comparar dois ou mais conjuntos, mesmo que tenham elementos de natureza completamente distinta — o conjunto dos números reais mais a adição, o conjunto dos números reais diferentes de zero mais a multiplicação, o conjunto das matrizes 2 por 2 mais a adição de matrizes, o conjunto dos vetores em espaços de três dimensões mais a adição de vetores, os quatro números 1, i, −1 e −i mais a multiplicação, etc. “Quando você conhece um grupo muito bem”, diz Daciberg, “caso seja capaz de identificar que seu objeto de estudo se comporta como aquele grupo, daí pode usar o grupo conhecido para tirar conclusões sobre seu objeto de estudo.” Ao explicar o que faz, Daciberg recorre a palavras como “aplicação”, “automorfismo”, “homeomorfismo”, mas faz questão de frisar: em dois anos, no máximo, qualquer estudante consegue entender essas palavras a ponto de entender os problemas principais e acompanhar as demonstrações. (“Para fazer pesquisa, contudo, ele precisará de mais uns anos de treinamento.”) E por que se dar ao trabalho?

Ao usar a teoria dos grupos, o matemático transfere boa parte do que sabe sobre algo conhecido (como o grupo das matrizes 2 por 2 com a operação de adição de matrizes) para tirar conclusões sobre algo desconhecido (por exemplo, rotações de um octaedro no espaço). Não chega a ser um processo automático, do tipo ‘tudo o que sei sobre matrizes serei capaz de transferir automaticamente para as tranças’, mas é um processo por meio do qual ele não começa do zero. Com uma vantagem extra: suponha que o matemático use as matrizes para descobrir coisas sobre as tranças, e depois estabeleça certas semelhanças entre as tranças e as funções contínuas que transformam x [0, 1] em y [0, 1]. Daí ele pode usar o que aprendeu sobre as tranças para tirar certas conclusões sobre funções. E daí talvez consiga usar o que aprendeu sobre as funções para descobrir coisas novas a respeito das matrizes. “Com a teoria dos grupos”, diz Daciberg, “não precisamos começar do zero nem mesmo quando estudamos algo tão extravagante quanto tranças.”

Daciberg diz que a ideia, em muitas situações, é transformar um grupo, como um grupo de tranças, em álgebra. “Quando conseguimos algebrizar um problema, muitas vezes também conseguimos torná-lo mais preciso, isto é, conseguimos expressá-lo numa formulação muito mais rigorosa, e de vez em quando só essa formulação rigorosa já nos deixa a meio caminho de resolver o problema.” Em outras palavras, o alemão Artin recorreu às tranças para algebrizar problemas sobre funções que, de outra forma, talvez não conseguisse algebrizar — e daí usou a álgebra obtida com as tranças para estudar as funções. “Técnicas assim são muito úteis, especialmente quando queremos dizer que duas coisas não são iguais, mas sim diferentes. Dizer isso, sem recorrer a grupos, às vezes é muito difícil.”

Publicar, publicar, publicar. No IME, Daciberg não dá aulas sobre grupos de tranças para alunos de graduação num curso regular, simplesmente porque nunca há interessados em número suficiente para abrir um curso regular, e por causa disso os grupos de tranças estão fora do currículo padrão. “Quando é o caso, organizo seminários, que é um formato mais adequado para poucas pessoas.” E Daciberg vê nisso um sintoma de um problema maior na pesquisa científica atual: as áreas da ciência nas quais é mais difícil publicar um artigo científico atraem menos interessados, pois, para o cientista moderno, quanto mais frequentemente consegue publicar artigos, melhor.

Daciberg explica que, embora seja possível estudar as tranças com a teoria dos grupos, mesmo assim o matemático precisa de tempo para maturar as ideias e descobrir algo importante e original — isto é, algo publicável. “Existem poucas técnicas disponíveis para o estudo de tranças, e mesmo as que existem são insuficientes. Muitos problemas dessa área deixam até mesmo os matemáticos mais experientes com aquela sensação assim: por onde será que eu começo?” Se o estudante de mestrado, de doutorado e de pós-doutorado tem a ambição de publicar com frequência, e se na área A isso é mais fácil que na área B, de modo geral o estudante prefere a área A. “Acho que a pesquisa básica é importante para o desenvolvimento de um país”, diz Daciberg, “e esse foco exagerado em publicar faz mal à pesquisa básica. Veja bem: nunca tive nenhum problema para publicar, isto é, não estou falando de mim. Mas acho que, se queremos dar maior importância ao papel do matemático na sociedade brasileira, um dia teremos de resolver esse problema.” {}



{2}/ Teoria dos grupos

O estudante (codinome Manuel) tem diante de si um grupo se tem um conjunto G e se pode combinar os elementos de G de maneira similar àquela pela qual soma dois números inteiros. Esse conjunto G pode ter qualquer tipo de elemento: por exemplo, matrizes 2 × 2, rotações de um poliedro — ou tranças.

Caso Manuel denote o fato de que combinou os elementos a e b com o símbolo a b, então o conjunto G será um grupo se e somente se é uma operação binária (isto é, o elemento a b, resultante da combinação de a com b por meio da operação , também pertence a G) e satisfaz três propriedades:

(1) A operação é associativa; para quaisquer três elementos a, b e c dentro de G, Manuel pode combiná-los assim: a (b c) = (a b) c, isto é, o primeiro combinado com a combinação do segundo e do terceiro, ou a combinação do primeiro e do segundo combinada com o terceiro.

(2) Existe um elemento I, chamado de elemento identidade, tal que, para qualquer a pertencente a G, Manuel pode combinar a com I em qualquer ordem para obter o próprio a: a I = I a = a.

(3) Para cada elemento a pertencente a G, também existe dentro de G um elemento a’, que depende de a e que é chamado inverso de a, tal que Manuel, ao combinar a com a’, obtém o elemento identidade: a a’ = a’ a = I.

O conjunto dos inteiros Z, mais a operação de adição, perfazem um grupo, no qual 0 é o elemento identidade e −a é o elemento inverso de a para todo a pertencente a Z, visto que a + (−a) = 0.



{3}/ O disco

Um disco fechado é o conjunto de todos os pontos que estão dentro de um círculo, incluindo os pontos do próprio círculo (isto é, os pontos do perímetro do disco ou os pontos do que antes se chamava circunferência); um disco aberto é o conjunto de todos os pontos dentro de um círculo, mas excluindo os pontos do próprio círculo. Um disco no R2, como diz Daciberg, é um disco num plano comum, cujos pontos podem ser identificados com duas coordenadas do tipo (x, y), sendo x e y números reais.



{4}/ O bê-á-bá das tranças

O estudante (codinome Manuel) pegou dois planos paralelos, cada um deles perfurado em n pontos. Por exemplo, um plano em cima e outro embaixo. Uniu os dois planos com n cordas, de modo que ligou cada ponto perfurado do plano de cima a um único ponto perfurado do plano debaixo. (Isso é uma bijeção: para cada elemento de um conjunto corresponde um único elemento do outro conjunto, e vice-versa.) Quando Manuel terminou essa operação, não importa qual ponto tenha unido a qual ponto, construiu uma trança.

A figura 2 ilustra três possibilidades. Se Manuel perfurou os dois planos em apenas um ponto, pode chamar esse grupo de tranças de B1. Se perfurou os dois planos em dois pontos, pode chamar o grupo de tranças de B2. Na figura 2, estão três tranças triviais — aquelas que levam o ponto pk ao ponto pk, sem nenhum entrelaçamento, para qualquer valor de k. Num grupo de tranças, a trança trivial equivale ao número 0 no grupo dos inteiros com a adição. “A trança trivial”, diz Daciberg, “funciona como o elemento identidade num grupo de tranças.”

Fig. 2

Para criar tranças num grupo de tranças, diz Daciberg, o matemático tem de usar um gerador — em resumo, um símbolo com um conjunto de regras associado ao símbolo. No caso das tranças, o gerador se chama σi (lê-se “sigma i”). Para entendê-lo, Manuel escreveu o símbolo e o desenho relativo ao símbolo (figura 3):

Fig. 3

Com o símbolo e o desenho, quis dizer o seguinte: para gerar os elementos mais simples do grupo Bn, deve usar o gerador σi; para usar o gerador σi, começa com a trança trivial, e passa a corda i por cima da corda i+1, de modo a interligar i (em cima) a i+1 (embaixo), e i+1 (em cima) a i (embaixo). Para ver como isso funciona, Manuel gerou os elementos básicos do grupo de tranças B3, que ilustrou na figura 4.

Fig. 4

“Um grupo de tranças tem uma operação”, diz Daciberg. “É uma regra pela qual, dados dois elementos do conjunto, você associa esses dois a um terceiro. Essa operação se chama concatenação.” Na figura 5, o estudante Manuel mostrou a concatenação σ1σ1σ2σ2σ1, que pode ser reescrita, para efeitos de álgebra, como (σ1)2(σ2)2σ1. Manuel entendeu o que significa concatenar num grupo de tranças: significa trançar!

Fig. 5

Nesse caso, as tranças levaram dos pontos p1p2p3 aos pontos p2p1p3. Daciberg diz que toda trança que leva dos pontos p1p2p3 aos pontos p1p2p3 deve ser chamada de “trança pura”. (Mais genericamente: toda trança que leva de pi a pi para qualquer valor de i é uma trança pura, a começar da trança trivial.)

Algumas regras para lidar com tranças: o matemático pode esticar as cordas, movê-las no espaço, flexioná-las, contraí-las; mas não pode desprendê-las dos pontos em cima e em baixo, nem pode usar nós (usando uma corda para dar um nó em volta de outra corda), nem pode passar as cordas por dentro uma da outra. Pode também remover os planos intermediários. No caso da figura 5, mesmo depois que Manuel removeu os planos intermediários, ficou com uma trança impossível de desfazer.

Para gerar os elementos inversos σ1−1 e σ2−1 no grupo de tranças B3, Manuel passa a corda 1 por baixo da 2 (e a 2 por cima da 1), e assim gera σ1−1; ou passa a corda 2 por baixo da 3, e a 3 por cima da 2, e assim gera σ2−1. Mais genericamente, para gerar o termo σn−1 num grupo de tranças Bn, Manuel passa a trança i (em cima) por baixo da trança i+1 (em cima), e passa a trança i+1 (em cima) por cima da trança i (em cima), e dessa forma une i (em cima) a i+1 (embaixo) e i+1 (em cima) a i (embaixo). Na figura 6, Manuel concatenou σ1 com σ1−1; ao remover o plano do meio e esticar as cordas (ou “pentear” as cordas, como às vezes o matemático diz), obteve uma trança trivial, como devia ser ao concatenar σ1 com seu inverso.

Fig. 6

Daciberg diz que, embora a maioria dos textos introdutórios use dois planos, com as cordas indo de um plano para outro, hoje os matemáticos usam um plano só. Com dois planos, uma corda sai do ponto p1 (em cima) e chega ao ponto p1 (embaixo), por exemplo; mas Daciberg vê isso como uma corda saindo do ponto p1 e chegando ao próprio ponto p1, no mesmo plano. “Com dois planos, a teoria fica cheia de tecnicalidades desnecessárias”, diz Daciberg. Essa providência tão simples também uniu a teoria das tranças à teoria dos nós: James Waddell Alexander II, matemático americano, provou que todos os nós que existem ou que venham a existir, assim como toda sequência de nós interligados entre si (ou todo enlaçamento de nós), podem ser criados com tranças puras, nas quais os pontos de saída e de chegada são os mesmos, e estão no mesmo plano. “Hoje”, diz Daciberg, “o estudo da teoria dos nós está muito interligado ao estudo dos grupos de tranças.”

Os anéis de Borromeo

Daciberg chama a atenção para uma trança pura especial, “muito usada por mulheres”: (σ1σ2−1)3n, com n inteiro positivo, isto é, a sequência de concatenações σ1σ2−1 σ1σ2−1 σ1σ2−1 repetida um número inteiro de vezes. (Veja a figura 7.) A sequência básica (σ1σ2−1)3 pode ser correlacionada com as permutações dos pontos (p1, p2, p3), nessa ordem: (p1, p2, p3), (p2, p1, p3), (p2, p3, p1), (p3, p2, p1), (p3, p1, p2), (p1, p3, p2), (p1, p2, p3). (Daciberg diz que essa correlação com combinatória não é coincidência: artigos científicos sobre tranças estão lotados de combinatória.) “Uma coisa muito interessante sobre essa trança”, diz Daciberg, “é que, se você retirar qualquer uma das três cordas, as outras duas se desentrelaçam, isto é, as outras duas viram uma trança trivial com duas cordas. Quando eu conto isso para uma pessoa mais leiga, é muito legal, porque ela fica encantada.” O nó equivalente a essa trança trivial são os anéis de Borromeo: retire qualquer um dos três anéis e os outros dois se soltam.

Fig. 7

{FIM}


Observação:

Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 30, julho de 2013, pág. 40. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

Aprende-se a gostar de matemática

Irene Fonseca concluiu o curso de matemática em 1980, na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Em 2012, foi eleita a presidente da Sociedade de Matemática Aplicada e Industrial (SIAM, na sigla em inglês), uma sociedade cujos membros somam 13.000 indivíduos e 500 instituições do mundo inteiro. Poucas pessoas nascem com gosto pela matemática, diz Irene, mas quase todas têm a capacidade de aprender a gostar de matemática.

Observações:

1. Publiquei esta entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 12, janeiro de 2012, pág. 20. A versão que vai ler a seguir foi revista e ligeiramente reescrita. As informações, contudo, são as que valiam em janeiro de 2012. (Hoje, por exemplo, Irene não é mais a presidente da SIAM.)

2. A entrevista foi feita pelo jornalista Renato Mendes, que na época vivia em Lisboa, Portugal.



{1}/ Introdução à entrevista

Irene nasceu em Lisboa (Portugal), e [em 2012 tinha] 55 anos. Exerceu sua vida profissional quase toda fora de Portugal, mas sempre tomou o cuidado de manter laços com matemáticos portugueses. Para Irene, a matemática e a ciência se fortalecem quando matemáticos e cientistas se encontram com frequência ou, melhor ainda, convivem. Ao longo dos anos, Irene ajudou tantos engenheiros e físicos com a matemática que se tornou especialista em materiais novos, como cristais líquidos, ligas metálicas que guardam a memória de seu formato inicial, e materiais superfinos. Por conta disso, quando ficou à frente da SIAM, prometeu ajudar os outros a repetir sua própria história: promete gastar dinheiro para reunir gente talentosa, não importa onde cada pessoa tenha nascido ou onde trabalhe.



{2}/ A entrevista pingue-pongue

O que significa presidir a SIAM?

A comunidade matemática me deu um voto de confiança, sobretudo na altura em que nos encontramos: há desafios enormes e sofisticados nas engenharias e na ciência, com impactos na sociedade em geral e em nossa qualidade de vida. Serei a presidente da SIAM por dois anos; em 2012, vou acompanhar as atividades que terei de assumir depois, e em 2013 e 2014 vou presidir a SIAM.

A história foi assim: há vários meses, o presidente atual da SIAM me contatou e me perguntou se eu estaria disposta a concorrer. O comitê de nomeação sempre escolhe dois candidatos para cada função; eu teria de concorrer com Juan Meza, que é reitor de uma das universidades da Califórnia. O Juan é uma pessoa de grande prestígio, e nós dois participamos de vários comitês; inclusive somos membros do conselho da National Science Foundation [que financia cientistas americanos e estrangeiros, quando a pesquisa é de interesse do governo americano]. Eu pensei bastante e aceitei o desafio.

Para que serve a SIAM?

Como em toda sociedade desse tipo, a SIAM publica revistas e livros, e organiza conferências e grupos temáticos. Mas seu objetivo principal é garantir uma ponte entre cientistas e engenheiros, de um lado, e matemáticos, de outro lado. Queremos garantir o convívio entre matemáticos e as pessoas que usam matemática em investigações científicas ou técnicas.

No mundo em que vivemos, a tecnologia evolui rápido demais, especialmente a computação. Com a SIAM, os investigadores se mantêm informados tanto sobre as fronteiras da matemática quanto sobre as fronteiras da ciência e da tecnologia; a SIAM é especialmente importante para os investigadores mais jovens, que precisam montar redes de parceiros. Por meio da SIAM, o jovem matemático percebe onde consegue ajudar, ou de que modo pode desenvolver novas tecnologias e novos conceitos.

Qual é o grande desafio do matemático especializado em aplicações da matemática?

Um deles está na letra “i” de SIAM: é o desafio da indústria. Precisamos envolver melhor as indústrias na sociedade. Dizem que o mundo é plano, e é verdade: é impossível desenvolver matemática aplicada só na universidade, sem contato com o mundo real, digamos assim. [Sobre a expressão ‘o mundo é plano’: era comum em 2012, e queria dizer que, com as telecomunicações, o mundo estava ficando sem acidentes geográficos que isolassem as pessoas, isto é, estava ficando ‘plano’.] Além disso, temos a obrigação de preparar uma geração de matemáticos não para trabalhar na universidade, nem para dar aulas, mas para trabalhar na indústria. As universidades ainda não estão preparadas para formar matemáticos assim, e nisso a SIAM tem um papel a desempenhar.

Gosto também de pensar que o “i” de SIAM tem a ver com “internacional”. Os presidentes da SIAM têm feito muitos esforços para manter a SIAM presente em outros países, mas há o que fazer na Ásia, no Oriente Médio, na África, e na América Latina. Essas regiões ainda não estão bem representadas na SIAM. Pretendo continuar a insistir, como venho insistindo há anos, no financiamento federal da matemática [referindo-se ao financiamento dado pelo governo dos Estados Unidos]. Quero manter os políticos bem informados sobre o que os matemáticos fazem nas universidades a nas indústrias. Além disso, nós, investigadores, temos a obrigação de manter o professor de matemática bem informado a respeito do que fazemos nas universidades; só assim o professor conseguirá entusiasmar seus alunos a seguir carreira na matemática.

Por que matemática aplicada?

Existe matemática em todos os avanços tecnológicos modernos. Ela pode não estar aparente, como não está no caso dos grandes bancos de dados. Médicos e biólogos não poderiam estudar o DNA se não tivessem acesso à matemática usada para investigar os padrões que emergem dessas grandes bases de dados. Tenho amigos matemáticos que trabalham no modelamento de doenças infecciosas, nos desafios da energia limpa, na criação de materiais menos poluentes. Tudo isso exige muita matemática.

Há duas formas de conduzir matemática aplicada. Uma delas é validar os modelos matemáticos usados por cientistas e engenheiros, por médicos e sociólogos. Eles gostariam que o modelo matemático fizesse certas previsões, e o especialista em matemática aplicada pode verificar se o modelo é capaz de fazer aquelas previsões de modo rigoroso. A outra forma é desenvolver matemática nova. Mesmo a matemática nascida de questões reais e palpáveis pode exigir que o matemático crie novas teorias, que muitas vezes provocarão consequências em outros ramos da matemática.

Ainda dentro dessa matéria chamada matemática aplicada, existem os matemáticos que investigam sem calendário, sem fim prático. Eles partem de teorias e criam aplicações da teoria, mas nem sempre encontram algum ramo da ciência ou da tecnologia que realmente precise daquela aplicação no momento. Tanto é que isso nem é considerado matemática aplicada, mas pura. Um exemplo é a teoria dos números, absolutamente teórica, guardada em segredo pelos deuses acadêmicos, mas cujos desdobramentos se revelaram úteis na criptografia. Hoje em dia, matemáticos desenvolvem muita coisa para tratar de grandes bases de dados, e essas coisas se revelam úteis em áreas como a teoria das equações derivadas parciais. É difícil divisar as várias fronteiras entre áreas da matemática e entre a matemática e as outras disciplinas.

Então, onde está o futuro? No diálogo entre os vários especialistas. Cada um deles aborda o mesmo problema de um ponto de vista completamente diferente, e se trabalham juntos, trazem respostas inesperadas ao problema.

O que você faz como professora?

Trabalho no departamento de ciências matemáticas da Universidade Carnegie Mellon, e sou diretora do centro para análises não lineares da universidade. Usamos análises não lineares para atacar muitos problemas que evolvem grandes bases de dados, e nós, matemáticos, ajudamos físicos, astrofísicos, engenheiros, sociólogos, médicos, e biólogos a resolver problemas.

Estamos agora [2012] no primeiro ano de um projeto chamado Pire [sigla em inglês de parcerias para a pesquisa e o ensino internacionais], são cinco anos de projeto; é uma rede internacional de universidades e centros de pesquisas. Também trabalho com ciência dos materiais, que chamamos de materiais inteligentes, ou seja, materiais feitos pelo homem para que tenham propriedades muito específicas. Meu papel é ajudar físicos e engenheiros a elaborar e validar modelos matemáticos desses materiais. E também trabalho com visão computacional, que é aplicar os computadores para tratar imagens digitais; por exemplo, para identificar e retirar elementos indesejados nessas imagens.

Que lições você já tirou de matemática?

Quero frisar uma coisa, especialmente para os mais novos: todos temos de aprender a gostar de matemática. Quando eu era estudante, não gostava de matemática, não era boa aluna, e nunca quis me transformar numa matemática. Virei matemática porque meu pai me convenceu: ele sempre quis ter uma filha matemática, e eu era a última filha… Mas, na universidade, tive professores excepcionais, e eles incutiram em mim o gosto pela matemática e pela investigação. Isso é uma bola de neve: quanto mais você sabe, quanto mais você entende, mais você gosta de saber.

Tive uma sorte imensa de pertencer a um departamento e a uma escola que encorajavam o sucesso, o que facilita imensamente o desejo fazer coisas importantes. E meu marido é matemático; de certo modo, nós nos amparamos. Quanto a meus alunos, tento incutir neles o que incutiram em mim: esse gosto pela ciência e pela matemática; tento mostrar a eles que acordar de manhã cedo para ocupar o dia com algo que você faria mesmo de graça é um imenso privilégio.

Qual a importância de trabalhar no exterior?

Saí de Portugal para fazer doutorado nos Estados Unidos, e depois passei dois anos fazendo pós-doutorado na França. Essa parte da França não foi boa; meu marido tinha emprego na França, eu tentei me arranjar lá, não consegui, e uma vez me disseram que eu queria tirar o lugar de homens. Foi uma decepção. Aprendi muito com os franceses, mas depois voltei para os Estados Unidos, e me empreguei na Carnegie Mellon, e estou aqui há 24 anos. Passei um período na Alemanha, mas já como funcionária da Carnegie Mellon.

De modo geral, o sistema americano é muito aberto a talentos estrangeiros. É diferente do sistema europeu, porque as universidades europeias são estatais, o número de vagas é muito limitado, e por isso o processo de seleção é completamente diferente. A flexibilidade e a simplicidade do sistema americano não existem na França, e quem diz França, diz Itália, Espanha, etc.

Dos prêmios que você já ganhou, de qual gosta mais?

Gosto do Prêmio Sônia Kovalevsky, dado pela AWM [sigla em inglês de associação das mulheres na matemática]; esse prêmio é importante para mim, pois acho importante que jovens mulheres consigam ver a si próprias como mulher e cientista.

Você conseguirá presidir a SIAM e seguir com a carreira acadêmica?

Eu sou conhecida por ser muito organizada, mas acho que terei de ser mais organizada do que já sou… Mas tenho a sorte de contar com um bom sistema de apoio aqui na Carnegie Mellon. A SIAM emprega 70 pessoas na sede, que fica na Filadélfia, com um diretor executivo permanente. Então, existe uma engrenagem que já está no lugar e que funciona bem há décadas. Espero que meu papel fique mais na liderança científica, e não no dia a dia. {FIM}