Olhe para você daqui a 200 anos


Seu queixo vai cair ao ver como Roberval, Fermat, Descartes, e Newton achavam retas tangentes a curvas no plano. Eles foram hábeis, mas, mesmo assim, seus métodos passam aquela sensação de ridículo que sentimos ao examinar fotos antigas: é a mesma sensação que, provavelmente, vamos provocar em nossos descendentes.


{0}/ Matemáticos mencionados neste texto

Cauchy: Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francês.

Descartes: René Descartes (1596–1650), francês.

Fermat: Pierre de Fermat (1601-1665), francês.

Leibniz: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), alemão.

Newton: Isaac Newton (1642-1727), inglês.

Roberval: Gilles Personne de Roberval (1602-1675), francês.



{1}/ O perigo da palavra “óbvio”

Quem nunca se surpreendeu pensando que nossos antepassados tinham um quê de ridículo? O leitor (vamos chamá-lo de Tarcísio) nem precisa relembrar a peruca que, no século 18, todo europeu de boa posição social vestia antes de sair às ruas. Para evocar a impressão de ridículo, basta ir à locadora, alugar um filme de Charles Chaplin e botar reparo no modo como os homens se vestiam: a gola alta, a gravata borboleta, o colete, a corrente ligada ao relógio no bolso do colete, o chapéu-coco, o bigode, a bengala. Ou então Tarcísio pode estudar um pouco da história do cálculo, mais especificamente a história de como os antepassados achavam o coeficiente angular de uma reta tangente à curva de uma função; é o que hoje chama de derivada. Como pode o Fermat, tão inteligente, ter bolado métodos que só funcionavam com determinadas curvas? Como pode não ter visto algo tão óbvio — que seu método caso a caso continha a semente de um método geral, que valeria para qualquer caso?

Vocabulário. Sem entrar em detalhes técnicos: coeficiente angular da reta tangente à curva de uma função = gradiente da reta tangente à curva de uma função = tangente da reta tangente à curva de uma função = inclinação da reta tangente à curva de uma função = derivada.

Na Escola de Artes, Ciências e Humanidades da Universidade de São Paulo (conhecida na cidade como USP Leste), o professor Carlos Henrique Barbosa Gonçalves precisa tomar cuidado para que seus alunos não fiquem com essa impressão de ridículo a respeito dos matemáticos antigos. Evita, por exemplo, a palavra óbvio. “Quando trato de história da matemática em sala de aula”, diz Carlos, “procuro nem pensar nesses termos, se as ideias eram óbvias ou não, porque os antigos estavam interessados em outras coisas. Os problemas que os moviam eram provavelmente diferentes dos problemas que nos movem.” Carlos acha que os elementos contidos nesse quê de ridículo podem reforçar no estudante Tarcísio a impressão de que a matemática está acima de seu tempo — pois é eterna. Tarcísio chegaria a tal conclusão mais ou menos assim: as ideias matemáticas são eternas; logo, a mesma ideia conhecida hoje estava presente, como uma espécie de espírito, no escritório em que Fermat ou Descartes escrevia; visto que eles trataram de temas que hoje todos associam a tal ideia, e visto que hoje todos acham essa ideia meio óbvia, e visto que Fermat ou Descartes não a viu, embora ela estivesse lá pairando pelo escritório, então Fermat ou Descartes foi ridiculamente ingênuo. “Quando alguém estuda um texto antigo de matemática”, diz Carlos, “acaba entendendo que a matemática é um produto do meio. Ela não é eterna; ela não fica do mesmo jeito, congelada para sempre. Aí então esse alguém terá um plá: daqui a 200 anos, é bem provável que nossos descendentes achem a matemática do século 20 e do século 21 muito desajeitada. Quem sabe?”

A pedido do redator deste blogue, Carlos explicou como os matemáticos antigos achavam o coeficiente angular da reta tangente à curva de determinada função. Escolheu concentrar as explicações em quatro matemáticos (Roberval, Fermat, Descartes, e Newton), e mostrar como eles achariam o coeficiente angular da reta tangente a uma parábola do tipo y = x2, pois todos eles estudaram parábolas desse tipo. Mas avisa: o leitor não deve concluir a leitura com a falsa impressão de que sabe tudo a respeito dos métodos antigos para achar tangentes. “Nestas explicações, vou fazer simplificações muito grandes. Vou recorrer, por exemplo, à notação e ao vocabulário atuais, e não à notação ou ao vocabulário usados por cada um deles.”

Os vetores de Roberval. Veio a ser conhecido mais pela cidade onde nasceu (Roberval) que pelo nome (Gilles), já que seu nome completo, Gilles Personne de Roberval, significa mais ou menos “Gilles, uma pessoa nascida em Roberval”. Para compreender as características de uma função, via seu gráfico como a rota de uma partícula; com isso, usava o que sabia (conscientemente ou não) a respeito de movimentos para descobrir características da função. “Para entender um gráfico”, diz Carlos, “Roberval pensava em pontos que se movimentavam no plano. As características dos movimentos revelariam características geométricas e matemáticas do gráfico.” Por exemplo, para achar a derivada de uma parábola, Roberval se perguntou: como posso decompor o movimento paraboloide de um ponto no plano em movimentos mais simples?

Com frequência, Roberval usava uma definição geométrica de parábola: é a curva formada por todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto (o foco) e de uma reta (a diretriz). Na figura 1 (logo abaixo), o foco se chama F e a diretriz, L; a distância do ponto P1 até F é, portanto, a mesma distância do ponto P1 ao ponto Q1. Roberval raciocinou assim: se a parábola é o traçado de um ponto em movimento, o tanto que esse ponto se afasta do foco deve ser o mesmo tanto que se afasta da diretriz. Se esse ponto tiver uma velocidade, o analista pode decompô-la em duas forças mais simples (figura 2). “O resultado dessa decomposição”, diz Carlos, “é essa diagonal do paralelogramo, cujo coeficiente angular é o mesmo da reta tangente à parábola no ponto P.”

Fig. 1 e Fig. 2

Ao examinar o desenho, o leitor Tarcísio tem a impressão de que já viu aquilo antes, em livros de álgebra linear — na linguagem atual, quem diria, Roberval somava vetores. No plano, um vetor é um objeto com magnitude, direção, e sentido; o estudante, ao usar a notação típica das matrizes, pode representá-lo com uma coluna com dois números reais; além disso, para propósitos didáticos, pode vê-lo como uma flecha depositada sobre o plano cartesiano. Tarcísio sabe que pode converter cada aresta do paralelogramo num vetor (cuja magnitude será igual à distância do ponto P ao foco F, ou então igual à distância de P à diretriz L), e que a diagonal do paralelogramo não passa da soma dos dois vetores que representam as duas arestas principais do paralelogramo.

Carlos faz questão de frisar que Roberval nunca pensou em vetores ou derivadas do modo como Tarcísio pensa neles hoje, até porque a palavra “vetor” apareceu pela primeira vez em 1704, e a palavra “derivada”, em 1670. “A partir de um raciocínio sobre movimentos ele deduziu o coeficiente angular da reta tangente à parábola”, diz Carlos. “É uma maneira diferente de tratar as retas tangentes porque o problema do qual partiu era diferente.”

Fermat e as coisas indistinguíveis. Fermat resolveu esse problema de um jeito mais geométrico, parecido com o modo como hoje, na escola, o aluno verifica se os teoremas sobre ângulos inscritos num círculo são verdadeiros mesmo. Fermat traçou uma linha pelo eixo de simetria da parábola, o que passa pelo vértice (figura 3); nessa linha, marcou quatro pontos: os pontos A, B, C (no vértice) e N. Então, traçou a reta que tangencia a parábola no ponto M, e que cruza o eixo de simetria no ponto N. Um ponto importante na reta tangente é o ponto P, na mesma reta horizontal que passa pelo ponto B. Fermat colocou esse ponto P na reta tangente, mas fora da parábola. Contudo, se a distância e for bem pequena (isto é, se os pontos A e B e os pontos M e P estiverem muito próximos um do outro), “daí essa distância BP escapa da parábola só um pouquinho”, diz Carlos. Ao lado desse desenho, Fermat traçou ainda três segmentos de reta verticais: uma para marcar a distância entre A e B, que chamou de e; um para marcar a distância entre A e C, que chamou de a; e outro para marcar a distância entre A e N, que chamou de d. “Note que, se Fermat tivesse usado um plano cartesiano, essa distância AM seria como a abscissa do ponto M, e essas distâncias a e d é como se fossem distâncias no eixo das ordenadas.”

Fig. 3

Com a ajuda do desenho, Fermat raciocinou assim: AM2 está correlacionada com AC. “Na linguagem de hoje”, diz Carlos, “é como se ele tivesse dito que deve pegar a distância x, no eixo das abscissas, e elevá-la ao quadrado para obter a distância y = x2 no eixo das ordenadas.” Fermat continuou: BP2 está correlacionada com BC; na verdade, não está perfeitamente correlacionado, pois o ponto P escapa um pouquinho da parábola, mas está quase. E daí Fermat chegou à primeira afirmação matemática válida sobre o desenho:

Aqui, Fermat chegou a uma afirmação bem simples; no linguajar atual, Tarcísio faria essa mesma afirmação assim: ao trabalhar com a função y = x2, se pego uma distância a no eixo x, e se pego também uma distância b no eixo x, e se daí divido b2 por a2, isso é o mesmo que dividir, no eixo y, a distância correlacionada com b (que é b2) pela distância correlacionada com a (que é a2). É como se Fermat tivesse dito que, numa parábola do tipo y = x2, b2/a2 é igual a b2/a2 para quaisquer a e b diferentes de 0. Contudo, Fermat usou o símbolo de menor que (<), em vez do símbolo de igual (=), justamente porque a distância BP é um pouquinho maior do que deveria ser, e por isso a razão AM2/BP2 é um pouquinho menor do que deveria ser.

Então Fermat notou que seu desenho mostrava dois triângulos retângulos semelhantes: o triângulo AMN e o triângulo BPN. Sendo assim, podia igualar uma razão entre duas medidas no triângulo AMN à razão entre as medidas equivalentes no triângulo BPN. Foi o que fez, e chegou a:

A partir desse ponto, Fermat usou álgebra: substitui os segmentos de reta por letras, com as quais lidava facilmente; substituiu AN por d, BN por (de), AC por a e BC por (a e) e chegou a:

Fermat então expande o lado direito da desigualdade, multiplica os dois lados por (d2 – 2de + e2) e por (a e), e simplifica tudo:

Notação. A setinha torta ↝ signfica “leva naturalmente a”. Assim, AB significa “a proposição A leva naturalmente à proposição B”. É uma notação mais informal que a notação AB, que indica “a proposição A implica a proposição B”.

“Fermat usou letras diferentes dessas”, diz Carlos, “mas essa era a ideia. Ele sabia que esta última linha valia para a parábola y = x2 não importasse onde estivessem os pontos que escolheu. Por fim, ele deve ter se perguntado: o que acontece se ponho o segmento de reta BP muito, muito próximo de AM?” Quanto mais Fermat aproximava BP de AM, menor ficava o valor de e; quanto menor o valor de e, menor ficava o produto de a por e. Fermat notou que, na última linha da desigualdade acima, podia desprezar o valor de ae, já que podia deixar o valor de e tão pequeno quanto quisesse. Por fim, escreveu:

Como Fermat começou conhecendo o ponto M e a distância AM, e como descobriu a distância d (AN), pôde traçar a reta tangente à parábola no ponto M e medir sua inclinação. “Agora, existe uma dificuldade aqui”, diz Carlos. “Como ele tinha a certeza de que poderia considerar e como uma quantidade desprezível?” Hoje o leitor Tarcísio traduz o símbolo ≈ como “quase igual a”, mas Fermat usou esse símbolo mais como “é praticamente indistinguível de”. Em outras palavras, Fermat trabalhava com uma noção não formalizada do conceito atual de limite, que, como todo professor de cálculo sabe, os estudantes acham perigosamente natural — eles não se incomodam de desprezar um termo que, na visão deles, claramente pode ficar tão pequeno a ponto de reduzir-se a nada. (Ou, se o leitor quiser, Fermat trabalhava com uma noção não formalizada de infinitésimo, no sentido de um número do sistema dos números hiper-reais; no sistema dos números hiper-reais, d ≈ 2a significa “d está infinitamente próximo de 2a”.) “Note que Roberval, no seu método, também empregava uma ideia semelhante à de infinitésimo”, diz Carlos. “Se você parte da pressuposição de que é capaz de determinar a cada instante a posição de um ponto em movimento, então parte da pressuposição de que existe algo parecido com um infinitésimo de tempo.”

Descartes recorre a círculos. Tarcísio supõe que Descartes quis saber o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = x2 no ponto (1, 1). O que deveria fazer? Ao examinar a explicação, nota como o método de Descartes se parece com os exercícios que aparecem em livros de geometria analítica. Pudera: Descartes foi um dos inventores da geometria feita com álgebra.

Fig. 4

Como primeiro passo, Descartes escreveu a principal igualdade com a qual trabalharia:

Daí ele marcou na parábola o ponto P = (1, 1). (Veja a figura 4.) Feito isso, desenhou um círculo que passa pelo ponto (1, 1) e que, ao mesmo tempo, tangencia a parábola nesse ponto. Que círculo é esse? Ele tem centro no ponto C = (0, c); para descobrir o valor de c, Descartes usou, na igualdade abaixo, a equação geral do círculo. No lado esquerdo da igualdade, colocou a equação geral de um círculo com centro no ponto (0, c); no lado direito, colocou a mesma equação, mas, desta vez, substituiu x por 1 e y por 1, pois procurava um círculo que tinha de passar pelo ponto (1, 1).

Ao chegar neste ponto, Descartes trocou x2 por y, e arrumou os termos em ordem decrescente de índice:

Olhando bem, Tarcísio percebe que Descartes obteve uma equação do segundo grau típica, do tipo a2x2 + a1x + a0 = 0, na qual o termo a2 vale 1, o termo a1 vale (1 – 2c), e o termo a0 vale (2c – 2). “Neste caso”, diz Carlos, “achar o valor de y é achar um valor para o qual a circunferência toca a parábola uma única vez.” (Uma única vez no quadrante 1; como y = x2 é uma função par, e portanto simétrica em relação ao eixo y, esse mesmo círculo toca a parábola também quando x = –1.) “Então”, diz Carlos, “essa equação tem de ter solução única. Como Descartes fez? Na linguagem atual, ele igualou o delta a zero, e com isso garantiu solução única para a equação do segundo grau.”

Descartes continuou (na equação abaixo, Tarcísio anota b2 – 4ac apenas porque memorizou esta fórmula desta maneira no ensino básico):

Ao resolver a última linha da equação acima (que também é uma equação do segundo grau), Descartes chegou a c = 3/2. Com isso, pôde responder a uma pergunta importante: qual é o coeficiente angular da reta que passa pelo centro do círculo, no ponto (0, 3/2), e também pelo ponto (1, 1)? Com a notação moderna, Descartes chamaria esse coeficiente de m. Agora, visto que tal reta é perpendicular à reta tangente à parábola no ponto (1, 1), o coeficiente angular da reta tangente tem de ser igual ao negativo do inverso multiplicativo de m, isto é, tem de ser igual a –(1/m). Descartes fez as contas:

Então, foi mais ou menos assim que Descartes descobriu o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = x2 no ponto (1, 1). Na linguagem atual, Descartes primeiro achou o coeficiente angular da reta normal à reta tangente, e daí achou o coeficiente angular da reta tangente. “O que podemos dizer sobre esses métodos até agora? Todos estão procurando caracterizar a reta tangente, mas partem de circunstâncias muito diferentes. A mesma história se repete com Newton.”

Lembrete. A equação genérica do círculo de raio r e com centro no ponto (a, b) é:

A fórmula é resultado direto do teorema de Pitágoras. Em palavras: o x em questão, menos a abscissa do centro, elevado ao quadrado; mais o y em questão, menos a ordenada do centro, elevado ao quadrado; o resultado dessa soma tem de ser igual ao quadrado do raio.

Newton: fluentes e fluxões. Como muitos matemáticos de seu tempo, Newton não era apenas matemático, mas também físico e astrônomo. (Na verdade, na linguagem de seu tempo, Newton era um filósofo; filósofos eram teólogos, físicos, astrônomos, matemáticos, e o que mais quisessem ser.) Seus textos sobre matemática contêm centenas de menções a movimento, como se para ele os números não fossem apenas pontos numa reta real idealizada, mas coisas que se moviam. Nos seus textos sobre cálculo, se referia à quantidade x como um fluido (alguns autores usam fluente); em suas próprias palavras, um fluido é “uma quantidade que flui”. Quanto à taxa instantânea de variação do fluido (isto é, a derivada do fluido x nesse ponto), Newton a chamou de fluxão. Com frequência Newton trabalhava com dois eixos: o eixo da variável dependente, que ele chamava de x (e que hoje comumente Tarcísio chama de y) e o eixo da variável independente, que quase sempre era o tempo, e que por isso ele chamava de t. Quando ocorria uma variação minúscula em t, variação diferente de 0 mas tendendo a 0, Newton a denotava com um t com um pingo em cima (algo como t’); tal variação minúscula em t provocava uma variação minúscula em x, que Newton denotava com um x com um pingo em cima (algo como x’),  sendo que t’ e x’ eram fluxões.

Fig. 5 e Fig. 6

Carlos desenha um plano cartesiano com eixo y e x (figura 5), em que y é função de x, rabisca uma curva qualquer para mostrar como x e y se relacionam, e explica: “Dada uma relação entre duas grandezas, talvez o estudante queira saber qual é a razão entre os respectivos fluxões, isto é, qual é a taxa de variação instantânea das duas grandezas. Em outras palavras, dada uma relação entre duas grandezas, talvez o estudante queira saber, à moda de Newton, a razão entre y’ e x’.” Graças a Newton, até hoje o estudante Tarcísio pode usar os pontos para indicar derivadas, desde que a variável independente (no eixo das abscissas) seja o tempo: caso trabalhe com a função y = f(t), pode usar algo como y’/t’ para denotar a derivada f’(t). “Newton sabia”, diz Carlos, “que a razão entre y’ e x’ daria o coeficiente angular da reta tangente.”

Depois da breve introdução, Carlos mostra como Newton talvez rabiscasse um pedaço de papel para estudar as grandezas x e y, cuja relação produz um gráfico na forma de parábola, e os fluxões y’ e x’, cuja razão produz o coeficiente angular da reta tangente (figura 6):

Daí, Newton calculou o que aconteceria com a função y = x2 caso ele adicionasse um valor proporcional a x’ à variável x, o que provocaria uma variação equivalente na variável y:

Neste caso, Newton chamou o coeficiente de proporcionalidade de o, e poderia atribuir a o (no linguajar atual) um valor tão pequeno quanto quisesse. Depois, Newton expandiu a equação acima e a simplificou, fazendo valer o fato de que podia trocar y por x2 e vice-versa:

“Aqui”, explica Carlos, “é como se ele tivesse pegado a velocidade da função [no eixo y] e a tivesse multiplicado por um tempinho [no eixo x]. Essa velocidade, mantida por um certo tempo, dá espaço, pois velocidade vezes tempo dá espaço. Mas Newton sabia que o é uma grandeza infinitamente pequena, e que ele podia diminuir essa quantia tanto quanto quisesse. Sendo assim, podia desprezar o termo multiplicado por o.” Foi o que Newton fez para obter:

Tarcísio nota que esse método é muito parecido com o que é ensinado hoje na faculdade. De fato, diz Carlos, Newton foi capaz de usá-lo não apenas para achar o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = x2, mas a qualquer parábola do tipo y = xn. Para tanto, usou o que Tarcísio chama de coeficiente binomial (ou binômio de Newton):

De novo, Newton pôde cortar y (à esquerda da igualdade) com xn (à direita), pois são iguais. De novo, dividiu tudo por o e desprezou todos os termos multiplicados por o, visto que o é infinitamente pequeno. Por fim, ficou com:

Essa talvez seja a regra de derivação mais conhecida de todas; Tarcísio a conhece por “regra da potência”: se y = xn, então y’ = nxn−1.

Carlos diz que o principal problema, naquela época, era justamente tratar dessas grandezas infinitamente pequenas. Ora, como alguém pode desprezar ox’2 e também desprezar ox’55, que é muito maior, e que aparece na parábola y = x55? Naquela ocasião, essa pergunta incomodava os matemáticos, mas, como as contas funcionavam, eles seguiram em frente, na esperança de que, um dia, alguém colocaria todas aquelas descobertas em bases mais sólidas — foi o que Cauchy fez no século 19, recorrendo a limites, e Abraham Robinson fez no século 20, recorrendo à lógica. “Ao comparar o método de Newton com o de Fermat”, diz Carlos, “o estudante percebe que os dois usaram uma grandeza infinitamente pequena, mas o método de Fermat só servia para a parábola, e o de Newton era muito mais geral. Com o de Newton, o estudante já consegue achar a derivada de todas as funções polinomiais.”

Lembrete: Coeficiente binomial. É o número que o estudante denota por C(n, r), em que n é um inteiro positivo e r é um inteiro tal que 0 ≤ rn, e que expressa com a fórmula:

Por convenção, 0! = 1, e portanto o estudante pode aceitar a igualdade a seguir:

O prédio da matemática. Carlos consegue dar todas essas explicações (mais explicações sobre os métodos de Leibniz, que não foram incluídas neste texto) em apenas meia hora, desde que o interlocutor recorde a matemática do ensino médio e já conheça um pouco de cálculo. Mesmo assim, raramente dá tais explicações a alunos da graduação. “Faço apenas breves comentários; por exemplo, digo que alguns autores achavam importante correlacionar movimento com formas geométricas.” Não dá tempo de parar um curso de graduação, no qual todo mundo está morrendo de pressa, para explicar os métodos antigos e o modo como os antigos pensavam. “Não acho que seja absolutamente essencial recorrer à história da matemática em sala de aula”, diz Carlos; isso porque há outras maneiras de o aluno se manter motivado. “O aluno de engenharia, por exemplo, estuda cálculo com afinco assim que percebe que, sem o cálculo, não tem como estudar direito os temas da engenharia.” No entanto, Carlos acha que o professor de matemática deve conhecer a história dos assuntos que ensina. Mesmo que não tenha tempo de se referir à história explicitamente, pode usá-la para propor exercícios, organizar a sequência de matérias, e aproveitar aquelas situações nas quais um aluno diz alguma coisa, ou faz uma brincadeira, e daí uma referência à história cabe com perfeição.

Ao estudar a história da matemática do jeito que deve ser estudada (veja mais abaixo a seção ‘Como Estudar a História da Matemática?’), o estudante (seja só estudante, seja também professor) deixa de ver tal história como um prédio, no qual cada geração adiciona uma nova fileira de tijolos. “Essa visão não faz muito sentido”, diz Carlos. “Na matemática, não existe nada atemporal; nem mesmo as ideias fundamentais da matemática são atemporais. O Euclides procurando padrões, por exemplo, é muito diferente de Cauchy procurando padrões, porque, se damos atenção aos detalhes, cada um deles está fazendo algo diferente do que o outro está fazendo.” Com as lições de história, o estudante Tarcísio percebe que cada geração reduz o prédio da matemática a escombros, e com os escombros constrói um prédio novo e diferente. Assim como no prédio anterior, no prédio novo existe um tijolo chamado “teorema de Pitágoras”, e outro chamado “limite”, e outro chamado “derivada”, mas esses tijolos estão em lugares diferentes do prédio, assentados em cima de tijolos diferentes e debaixo de tijolos diferentes, escondidos sob acabamento diferente. Uma ideia matemática só é eterna no sentido de que é revista e reescrita sempre que surgem ideias novas — mas ideias novas surgem sempre. {FIM DA MATÉRIA PRINCIPAL}



{2}/ Um estudo do método de Roberval

Fig. 7

Em primeiro lugar, Tarcísio precisa saber onde fica o foco duma parábola do tipo y = x2. Depois de umas tentativas, esboça a figura 7 (acima) e reúne num canto do caderno as informações sobre cada um dos pontos:

● A distância da origem O até o foco F é igual a a; logo as coordenadas do ponto F são (0, a).

● A distância do ponto O ao ponto D é x; as coordenadas de D são (x, 0).

● Pela definição de parábola, as coordenadas do ponto B são (0, –a), pois a distância da origem O até o foco F tem de ser a mesma da origem O até a diretriz, que passa pelo ponto B. (A diretriz é a linha y = –a.)

● Sendo assim, as coordenadas do ponto C são (x, –a).

● As coordenadas do ponto G, que pertence à parábola, são (x, x2).

● A distância d é a distância entre o foco F e o ponto G; pela definição da parábola, deve ser igual à distância entre o ponto C e o ponto G.

● A distância EG é igual a x2a, isto é, igual à ordenada de G menos a ordenada de E.

● A distância FE é igual a x, isto é, igual à abscissa de G menos a abscissa de F.

● Portanto, d = FG = CG, que deve ser igual a x2 + a, isto é, igual à ordenada de G mais o valor absoluto da ordenada de C, que é igual ao valor absoluto da ordenada de B.

Com tudo isso, Tarcísio usa o teorema de Pitágoras para criar e depois desenvolver a igualdade abaixo:

Feito isso, eleva os dois lados da igualdade ao quadrado:

Toma nota da descoberta: “O foco duma parábola do tipo y = x2 fica no ponto F = (0, 1/4). Como consequência, a diretriz dessa parábola fica na linha y = –1/4. Qualquer que seja o valor de x, a distância entre o ponto (x, x2) e o ponto (0, 1/4) tem de ser a mesma distância entre o ponto (x, x2) e a linha y = –1/4.” (Mantidos, é claro, os sinais corretos, positivo ou negativo.)

Fig. 8

Com o primeiro passo dado, Tarcísio esboça a figura 8, dá nome a todos os pontos (até aqueles que, depois, não vai usar para nada) e escreve no caderno mais coisas que pode dizer a respeito do desenho, visto que já descobriu onde fica o foco da parábola y = x2:

● A distância do ponto M até o ponto J é igual a x2.

● A distância de J até I tem de ser a mesma distância de E até G, pois os triângulos GFE e IGJ são idênticos; essa distância é igual a x2 – (1/4), isto é, a ordenada de G menos a ordenada de E.

● A distância de I até P tem de ser a mesma distância de G até H, pois tais pontos fazem parte do paralelogramo regular GHPI; tal distância é igual a x2 + (1/4), isto é, igual à ordenada de G mais o valor absoluto da ordenada de C. (Tarcísio notou que a distância GH é a mesma distância CG, que é a distância do ponto em estudo, o ponto G, até a diretriz da parábola.)

● As coordenadas do ponto M são (2x, 0).

Com tudo isso, Tarcísio sente que pode responder à pergunta: quais são as coordenadas do ponto P? A abscissa é fácil: é 2x, a mesma abscissa de M. A ordenada é a soma das distâncias de M até J (x2), de J até I (x2 – 1/4) e de I até P (x2 + 1/4): fazendo as contas, 3x2.

Bom, por meio de Roberval, Tarcísio sabe que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos G e P é igual à derivada de y = x2 no ponto G. As coordenadas de G são (x, x2) e as de P são (2x, 3x2). Tarcísio usa a teoria usual sobre retas para achar o gradiente do segmento de reta GP, que ele chama de mGP:

Perfeito. Tarcísio fica espantado com o fato de que, com a ajuda de um francês do século 17, tenha provado que a derivada de y = x2 é igual a 2x sem a ajuda de nenhum limite. “Roberval merece seu lugar na história.” {❏}



{3}/ Um estudo do método de Fermat

Fig. 9

Tarcísio examina de novo a prova de Fermat, e procura jeitos de traduzi-la em linguagem e notação atuais. Quando, na última linha de sua demonstração, Fermat afirmou que d ≈ 2a, o que quis dizer? Tarcísio esboça a figura 9, que mostra três pontos importantes no gráfico da parábola y = f(x) = x2, e percebe que Fermat disse o seguinte:

Tarcísio sabe que pode usar a derivada de f para reescrever a equação da reta t (do tipo y = mx + c) de outra maneira, visto que sabe que a reta t passa pelo ponto P = (b, b2) e pelo ponto C = (0, c) e é a reta tangente a y = x2 no ponto (b, b2):

Tarcísio simplesmente reafirmou que o gradiente da reta tangente (m na equação usual de uma reta qualquer) tem de ser igual à derivada e que, conhecendo os valores de b, de f(b) = b2 e da derivada f’(b), qualquer um pode calcular o valor de c. Com isso passa às contas, trocando as distâncias usadas por Fermat (d e a) pelas distâncias marcadas na figura 9 (sempre tomando cuidado com os sinais positivo e negativo):

Como a penúltima linha é verdadeira, Tarcísio prova que a afirmação de Fermat é verdadeira à luz da geometria analítica, mais uma pitada de cálculo diferencial. {❏}



{4}/ Coordenadas, abscissas, ordenadas

Quando usa o plano cartesiano, o estudante pode identificar cada ponto por meio de duas distâncias: a distância x da origem até a linha vertical que passa pelo ponto e a distância y da origem até a linha horizontal que passa pelo ponto. Se o ponto for chamado de P, pode identificá-lo assim: P = (x, y). A distância x é chamada de abscissa, e a distância y, de ordenada.



{5}/ Coeficiente angular ou tangente?

Fig. 10

Coeficiente angular, tangente, gradiente, e derivada são quatro nomes distintos para o mesmo objeto matemático; conforme o contexto, o matemático escolhe um nome ou outro.

Para entender esse ponto, o estudante Tarcísio desenha no caderno um plano cartesiano com uma reta r, e marca no plano os pontos A, B, e M (figura 10). A e B estão contidos na reta r, mas M é um ponto cuja reta que interliga A e M é paralela ao eixo x e cuja reta que interliga M e B é paralela ao eixo y. Feito isso, acha o gradiente da linha reta ao calcular o quociente de duas distâncias:

Ele nota que MB é a medida do vetor MB, isto é, a linha que liga B a M tem direção positiva para cima. Então, a distância MB vale |MB| se B está acima de M, mas vale –|MB| se B está abaixo de M. Da mesma forma, a distância AM = |AM| se M está à direita de A, mas a distância AM = –|AM| se M está à esquerda de A. Tarcísio traduz isso tudo assim: “O gradiente de r é o quanto y aumentou (no eixo y), aumento esse dividido pelo quanto x aumentou (no eixo x); ou, no caso de gradiente negativo, o quanto y diminuiu (no eixo y), diminuição essa dividida pelo quanto x aumentou (no eixo x).” É a famosa variação em y dividida pela variação correspondente em x.

“É o quanto subo na rampa em relação à distância que percorro no solo, ou o quanto desço na rampa em relação à distância que percorro no solo.”

Tarcísio denota o gradiente da reta r por mAB, as coordenadas do ponto A por (x1, y1) e do ponto B por (x2, y2), com x1x2. Então calcula o gradiente de r com facilidade:

Também recorre ao círculo trigonométrico (de raio igual a 1; veja a figura 11) e prova que o gradiente equivale à tangente do ângulo θ, o ângulo que a reta r faz com o eixo x (ângulo medido em radianos). “Coeficiente angular” é o nome dessa tangente de θ. Como os triângulos ABM e CDE são semelhantes, Tarcísio facilmente prova que:

Fig. 11

Conhecendo todas essas informações, mais a altura na qual a reta r cruza o eixo y (marcado no desenho pelo ponto (0, c)), Tarcísio pode escrever a equação da reta r assim:

Se a reta que une A e B é vertical, é costume dizer que o gradiente é infinito. (Visto que o gradiente é um quociente, em tese não faz sentido falar do gradiente de uma reta vertical; contudo, o gradiente tende ao infinito quando x2x1 tende a zero, e por isso é comum ouvir alguém falar de “gradiente infinito”.) Tarcísio toma notas sobre as propriedades principais do coeficiente angular:

● Os pontos A, B, e C = (0, c) são colineares se e somente se mAB = mAC. (Pontos colineares pertencem à mesma reta, isto é, suas coordenadas x e y, quando colocadas na equação da reta, tornam a equação verdadeira.) Isso inclui o caso em que mAB e mAC são ambos infinitos.

● As reta de gradiente m1 é paralela à reta de gradiente m2 se e somente se m1 = m2. Isso vale quando m1 e m2 são ambos infinitos.

● As reta de gradiente m1 é perpendicular à reta de gradiente m2 se e somente se m1 · m2 = –1. Tarcísio percebe que, ao analisar os números, precisa verificar se m1 = 0 e m2 é infinito, ou vice-versa, pois neste caso as duas retas são perpendiculares, porém a fórmula m1 · m2 = –1 não se aplica.

A ideia de derivada. Com essas informações, Tarcísio se pergunta: “Qual é coeficiente angular de uma curva y = f(x) num ponto A?” (Veja a figura 12.) De modo simples, intuitivo (ou heurístico, como dizem os matemáticos), pode definir esse coeficiente angular como o gradiente da reta tangente à curva no ponto A. Tarcísio arrisca uma explicação em termos menos elegantes: “O coeficiente angular de uma curva num ponto A é a tangente da reta tangente à curva no ponto A.”

Fig. 12

Hoje Tarcísio sabe que o melhor jeito de achar essa tangente é calcular um limite. Ele pega essa função y = f(x) qualquer, e marca um ponto A no gráfico dessa função, cujas coordenadas são (x0, f(x0)), e marca também um ponto B no gráfico, próximo de A, cujas coordenadas são (x0 + Δx, f(x0 + Δx)). (Δ é a letra grega delta, e é muito usada para passar a ideia de variação.) “Posso dizer que uma mudança Δx em x provoca, de acordo com a fórmula da função f, uma mudança Δy em y.” (Neste caso, Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).) Ao calcular o quociente Δyx, Tarcísio obtém o gradiente da corda AB. (Corda é um segmento de uma reta secante a uma curva; reta secante é a que intercepta uma curva.) Conforme Tarcísio diminui o valor de Δx (isto é, conforme aproxima o ponto B do ponto A), o coeficiente angular da corda AB (isto é, a tangente do ângulo α) se aproxima do coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto A (na figura 12, essa reta é a C). “A derivada de f no ponto A, ou seja, a derivada de f no ponto em que x = x0, é o limite do quociente Δyx conforme Δx tende a zero, caso esse limite exista.” Tarcísio põe tudo isso no papel:

 

Há vários símbolos para a derivada. Se r = g(s), isto é, se r é função de s conforme a fórmula representada pela letra g (por exemplo, r = s3s2), Tarcísio pode representar a derivada de g(s) de várias maneiras, todas equivalentes:

Tarcísio sabe então que, quando diz “a derivada da função g no ponto em que s = a”, está querendo dizer “o coeficiente angular da reta tangente à curva da função g no ponto em que s = a”, ou está querendo dizer “a tangente da reta tangente à curva da função g no ponto em que s = a”, ou está querendo dizer “o gradiente da reta tangente à curva da função g no ponto em que s = a” ou está querendo dizer “a tangente à curva da função g no ponto em que s = a”, ou, mais simplesmente, “a inclinação da curva da função g no ponto em que s = a”. Tarcísio sabe também que, se pudesse viajar para o passado, Roberval, Fermat, Descartes, Newton e Leibniz pagariam caro para saber o que ele estuda hoje em livros comuns de cálculo, e pagariam mais caro ainda para conhecer o sistema dos números hiper-reais. {❏}



{6}/ Por que a parábola?

Ao examinar textos de matemática a partir do século 17, o estudante fica com a impressão de que os matemáticos eram obcecados por parábolas. Todos os grandes matemáticos investigaram suas propriedades, e por isso o professor Carlos Gonçalves preferiu mostrar exemplos de como achar o coeficiente angular de retas tangentes a parábolas. Mas por que os matemáticos mais antigos ficavam fascinados com parábolas? Ora, parábolas abundam na natureza, e os matemáticos antigos raramente eram apenas matemáticos — eram também cientistas, principalmente físicos e astrônomos.

Ao jogar uma bola ao ar, por exemplo, ela percorre uma trajetória que pode ser bem descrita com as fórmulas de uma parábola. A trajetória de qualquer corpo que esteja sob a influência de um campo gravitacional uniforme (e que não seja desviado pela resistência do ar) pode ser descrita com as fórmulas de uma parábola: isso vale para uma bola de basquete quicando no chão, para uma bala de canhão voando pelo ar, para um planeta orbitando uma estrela… Oops! Um planeta orbitando uma estrela? Esse movimento não deve ser descrito com uma elipse?

Parábolas, elipses, hipérboles, e círculos são seções cônicas, e todo cientista usa muito tais seções para estudar fenômenos da natureza. Isso significa que, a partir do século 17, quando nasceu a ciência do modo como a entendemos hoje, todos os matemáticos trabalharam bastante para achar as derivadas e as integrais de todas as seções cônicas. Hoje, um aluno de engenharia que estude jeitos de aplicar o cálculo diferencial e integral às seções cônicas deu um passo largo na direção de se transformar num ótimo engenheiro. {❏}



{7}/ Como estudar a história da matemática?

Há ótimos livros de história da matemática no mundo, alguns publicados em português, mas Carlos Gonçalves diz que, na universidade, um estudo sério de história toma tempo — tanto tempo que o aluno é obrigado a escolher: ou história da matemática ou outra coisa qualquer. Pouquíssimos conseguem se especializar em outra coisa qualquer (como cálculo de variedades) e em história também.

Para começar, o estudante de história tem de ler textos antigos no original: sumério, grego, latim, francês, alemão, o que for. Carlos, por exemplo, é especialista em história da matemática na mesopotâmia antiga, e trabalha com textos de 4.000 anos de idade. Lê sumério e arcadiano (as línguas usadas pelos mesopotâmios daquela época) em textos cuneiformes. “O cuneiforme não é a língua”, diz Carlos, “mas o sistema de escrita.” Lê também grego e latim antigos.

Um estudante de história da matemática impõe a si mesmo o desafio de se livrar de seus olhos modernos. Deve usar a língua do matemático em estudo, sua notação, e deve também raciocinar de acordo com as ideias vigentes na época em estudo. “Uma das questões que costumamos pesquisar é: a partir do ponto de vista do personagem que estou estudando, por que determinada resposta a um problema lhe pareceu satisfatória? É difícil entender as motivações do personagem.” De certa forma, o trabalho do historiador beira o impossível.

Nesta reportagem, portanto, quando o leitor topa com uma frase do tipo “Fermat raciocinou assim e assado, e desenhou isso e aquilo”, deve saber que está diante de uma versão supersimplificada do que aconteceu no passado, criada não pelo professor Carlos Gonçalves (ele não faria isso), mas pelo redator deste blogue, com o objetivo de deixar o texto mais fácil de interpretar e mais agradável.



{8}/ A derivada de y = x2 pelo método moderno

O estudante Tarcísio já viu que, para calcular a derivada de y = f(x) = x2, deve calcular um limite:

 

Ele começa colocando x + h e x na fórmula da função f, e depois disso usa a teoria a respeito de limites para simplificar a fórmula da derivada f’:

Antes de arrematar a conta, Tarcísio para um pouco e examina a última linha da lista acima. “Isto é um infinitésimo”, ele anota no caderno. “O limite de h, quando h tende a zero, é zero. Uma variável cujo limite tende a zero é uma das definições atuais de infinitésimo. Antigamente, os matemáticos diziam que o infinitésimo era a quantidade que desaparecia, sem nunca, contudo, desaparecer de fato. Até certo ponto, estavam certos!” Então Tarcísio arremata a conta e acha a derivada de y = f(x) = x2, que grafa de dois jeitos, um com a notação de Newton (chamada hoje de notação de linha) e o outro com a notação de Leibniz:

Ambos os jeitos querem dizer a mesma coisa. A notação de Newton é vantajosa quando o estudante tem de realizar muitas manipulações algébricas, pois é mais fácil mover o símbolo f’(x) para cima e para baixo do que mover o quociente dy/dx. A notação de Leibniz é vantajosa quando o estudante quer deixar na cara do leitor a função original (x2), a variável que serve de referência para a derivada (x) e a derivada em si (2x). {❏}



{9}/ A derivada de todo dia

Todo engenheiro e cientista precisa muito da ideia de derivada. Por quê? Derivadas representam um isso dividido por um aquilo: quilômetros por hora, metros por segundo ao quadrado, mililitros por quilograma, reais por dia, calorias por semana. Como derivadas representam a velocidade com que alguma coisa muda em função das mudanças de outra coisa, são utilíssimas.

Se o leitor dirige, topa sempre com uma derivada ao olhar o velocímetro do carro. A distância total percorrida, dividida pelo tempo para percorrer tal distância, dá a velocidade média do carro durante a viagem. O motorista conhece a velocidade instantânea quando olha o velocímetro, e vê a taxa com que o carro está percorrendo, a cada instante infinitésimo da viagem, certa quantidade de quilômetros a cada hora. {FIM}


Observações:

1. Publiquei uma versão deste texto pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, fevereiro de 2013, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Se gostaria de saber mais sobre vetores, veja o texto A Aritmética do Espaço; para ver como usar a ideia de vetores na construção de números complexos, veja o texto Tudo Sobre Números Complexos.

3. Este blogue contém um curso de cálculo diferencial e integral com base não em limites, mas no sistema dos números hiper-reais. Para ler o primeiro capítulo, clique aqui.

4. Há outros dois bons textos sobre história da matemática: Os Mesopotâmicos Sabiam Mais do que Imaginávamos e O Teorema de Pitágoras Não É de Pitágoras.

5. As figuras 1 a 12 foram feitas pelo artista gráfico Henrique Arruda.

6. Sobre o modo como o blogueiro padronizou o uso das palavras “círculo” e “circunferência”, veja esta matéria.

Cálculo sem pressa é bom

Por que tantos terminam a faculdade com a impressão de que cálculo diferencial e integral é tão difícil que chega a ser inútil? (É difícil, mas não tanto assim; e é muito útil.) Nesta reportagem, professores explicam o motivo: os jovens calouros têm só quatro meses para estudar o que a humanidade levou 23 séculos para aperfeiçoar, e, concluída a faculdade, nunca mais voltam aos livros.


COMO O LEITOR CHAMARIA uma pessoa que estuda o mesmo assunto há décadas, e que ainda não entendeu tal assunto 100%?

Quando Leila Maria Vasconcellos Figueiredo, Martha Salerno Monteiro, e Claudio Possani tiveram as primeiras aulas de cálculo infinitesimal, um computador portátil custava 32.000 dólares, tinha o jeitão do que hoje chamamos de calculadora científica, e pesava 20 quilos. Leila estuda cálculo há 47 anos, Martha, há 44 anos, e Claudio, há 43 anos. Não são três estudantes lerdos, mas professores no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP); são doutores em matemática e dão aulas de cálculo tanto para matemáticos quanto para os engenheiros da Escola Politécnica da USP. Leila se esforça para, durante as aulas, inserir breves explicações sobre a história do cálculo, mas nunca estudou tal história formalmente. “Eu esqueço as datas.” Martha, a cada curso que ministra ou cada livro que lê, aprende um pouco mais, mas, mesmo assim, gostaria de entender certos tópicos melhor. “Por exemplo, os multiplicadores de Lagrange.” Cláudio ainda estuda cálculo — estuda mesmo, como um estudante faria: arruma a mesa com o texto, o caderno, e a caneta, e vai lendo e escrevendo para acompanhar as explicações. “Ainda existem aspectos do cálculo que eu não pude estudar em profundidade.”

Se professores experientes ainda não compreendem perfeitamente um tópico ou outro do cálculo, o que esperar do estudante no primeiro semestre da faculdade, matriculado num curso de Cálculo I? Ele terá seis meses (na prática, tirando as férias, as faltas, e as greves, uns quatro meses) para estudar tudo o que James Stewart incluiu nas 650 páginas do livro Cálculo Volume 1. “O curso de cálculo é difícil e corrido”, diz Martha. “É muita coisa, e muita coisa profunda, em pouco tempo.” Leila concorda. Ninguém pode dizer quando as primeiras ideias do cálculo surgiram, mas muita gente usa Arquimedes como referência: no ano 370 antes de Cristo, ele recorreu a uma espécie de cálculo integral para calcular um valor aproximado da constante π. “Os professores têm só um semestre”, diz Leila, “para apresentar o que levou no mínimo 2.300 anos para descobrir.”

Na pressa, o professor passa rápido por ideias importantes, mas difíceis de engolir. Diante da classe, ele diz aos estudantes algo assim:

“Imagine dois números reais bem próximos um do outro, como 1 e 1,0001.”

Cada estudante tenta visualizar os dois números.

“Entre esses dois números”, continua o professor, “existem infinitos números.”

O professor faz uma breve pausa enquanto os estudantes pensam nisso: infinitos números entre 1 e 1,0001.

“Agora pegue dois números reais bem próximos um do outro bem no meio do intervalo entre 1 e 1,0001.”

Cada estudante imagina dois números do tipo 1,00005 e 1,000050001.

“Entre esses dois novos números, existem infinitos outros.”

Leila diz que alguns alunos se revoltam. “O estudante não se conforma com a ideia de que um número na reta real não tem um vizinho bem a seu lado. Entre quaisquer dois números, por mais próximos que estejam, existem infinitos outros números.” Claudio acha que essa ideia é difícil de engolir porque ela não tem correspondência com a realidade.

Se o estudante pega um lápis e desenha uma linha, essa linha é feita de grafite, e grafite é feito de átomos de carbono. O estudante entra na internet e descobre o diâmetro de um átomo de carbono: 340 picômetros (1 picômetro é um metro dividido por 1 trilhão). Em outras palavras, na linha desenhada a lápis, cada átomo de carbono tem um átomo vizinho; isso não acontece na reta dos números reais. “Muito estudante de cálculo 1”, diz Claudio, “termina o curso sem reparar que parou de medir ângulos em graus e que passou a medi-los em radianos. Eu tenho de chamar a atenção da classe para isso.” Correndo desse jeito, o estudante entra numa espécie de transe pela sobrevivência. “Ele só quer saber de estudar o que cai na prova”, diz Leila. “Ele só se interessa pelo caminho mais curto para passar de ano.”

Com a correria, o estudante fica sem escolha: sente-se obrigado a decorar o que não pôde entender. Termina o curso com a impressão de que o cálculo é bonito, tudo bem, mas é também um monte de regras a decorar e a seguir à risca — basta uma tangente fora do lugar e fica impossível calcular uma integral definida (isto é, a área entre a curva de uma função, o eixo X, e duas linhas verticais). E assim o estudante não chega a perceber que manejou uma criação humana mais extraordinária que a Apolo 11, dentro da qual três homens chegaram à Lua. Sem o cálculo diferencial e integral, não haveria Apolo 11.

Coisas curvadas e torcidas. Para que o estudante se dedique ao curso de cálculo, ele precisa justificar as horas de estudo a seu monstro interno — aquela coisa que, dentro de nós, só se entusiasma com sexo, pizza, e TV. Como o curso é corrido, o professor dedica apenas uma parte da primeira aula explicando aos calouros por que eles deveriam estudar cálculo com prazer e afinco — Leila fala em “duas horas”. Em geral, o professor segue a linha “o que você consegue fazer com o cálculo que, sem o cálculo, não conseguiria fazer”.

● “Pegue uma esfera”, diz Claudio aos alunos, “e desenhe umas linhas retas na superfície da esfera.” Os alunos descobrem depressa que, numa esfera, só podem desenhar linhas curvas; eles não conseguem desenhar nem o triângulo retângulo, o amigão do ensino básico. Usando apenas a geometria euclidiana, diz Claudio, o estudante não consegue criar uma função para mapear os pontos de uma linha na esfera aos pontos de outra linha — mas com o cálculo ele consegue. “Livros de geometria não euclidiana”, diz Claudio, “contém uma derivada ou uma integral a cada duas linhas. O cálculo nos permite tratar de planos curvados ou torcidos.”

● Qual é a temperatura média ao longo do dia? Muito estudante se engana com essa pergunta, porque ela parece fácil: some a maior temperatura com a menor e divida a soma por dois. Bem, é pouco provável que essa conta dê a temperatura média do dia. Para calcular a verdadeira temperatura média, o estudante deve medir a temperatura a cada instante, deve somar todas as medições, e por fim deve dividir a soma pela quantidade de instantes. Só que existem infinitos instantes ao longo de um dia, pois é possível dividir 1 segundo por 1 bilhão de instantes, por 100 trilhões de instantes… Com o cálculo, o estudante acha uma função que se comporta como a temperatura ao longo do dia, e depois disso, na imaginação, soma infinitas medições, que poderia ter feito a cada infinitésimo de instante, divide a soma pela quantidade infinita de instantes, e com isso obtém a verdadeira temperatura média do dia. (Uma vez que o estudante ache uma função contínua que se comporta como a temperatura ao longo do dia, pode usar a imaginação para fazer coisas incríveis.)

Na verdade, explica James Stewart, o autor dos livros de cálculo mais usados no Brasil, com o cálculo o estudante trata bem de qualquer fenômeno que possa ser expresso por meio de uma função. Se ele expressa a distância percorrida em função do tempo, usa o cálculo para achar, num instante qualquer, a velocidade ou a aceleração. Também usa o cálculo para achar, num período qualquer (período = o instante x2 menos o instante x1), a velocidade média. Se o estudante expressa a área da superfície da esfera em função do raio r, usa o cálculo para achar o volume de uma esfera de raio r: basta somar as infinitas áreas da superfície das infinitas esferas dentro da esfera de raio r. Se o estudante expressa a área que pode focar com os olhos em função do ângulo pelo qual se posiciona acima ou abaixo daquilo a que está olhando, então usa o cálculo para descobrir a melhor cadeira na qual se sentar no cinema. Sem o cálculo, diz Stewart, o piloto não teria como saber a que distância do aeroporto ele precisaria começar a descer o avião — pois aviões não descem em linha reta, como nos problemas do ensino básico; antes descem numa curva suave.

Bebês por ano. Depois do panorama, os professores se concentram nas duas ideias essenciais do cálculo: a ideia de derivada e a de integral. Um professor americano, Steven Strogatz, gosta de começar a aula sobre derivadas com uma informação absurda: com a derivada, você pode provar que as pessoas ficam suspensas no ar.

Para resumir bastante, a função derivada é a reta que tangencia uma função qualquer, derivável, num ponto x qualquer. Num plano cartesiano, retas são ótimas, pois elas passam claramente a informação do quanto varia o valor de y conforme varia o valor de x. Pode parecer bobagem, mas essa é uma informação útil. “A derivada é uma razão”, diz Mark Ryan no livro Cálculo para Leigos. “É um isso dividido por aquilo.” Quando o estudante fala em “2 quilômetros por hora”, em “5 litros por minuto”, em “10.000 bebês por ano”, em “2 celulares por pessoa”, em “5 miligramas de paracetamol por litro de sangue”, em “custo marginal de 8 reais por produto”, o estudante está falando de uma derivada. “Imagine um predador correndo atrás da presa”, diz Claudio Possani. “Os dois estão, a todo momento, calculando a derivada.” O predador calcula a quantidade de centímetros mais perto da presa a cada passada, e usa essa informação para acelerar, brecar, ou desistir da perseguição. A presa calcula a quantidade de centímetros mais longe do predador a cada passada, e usa a informação para acelerar, mudar violentamente de rumo, ou se voltar e enfrentar o predador. “Na nossa vida cotidiana, a todo momento topamos com esse ∆y/∆x”, diz Claudio. “Quando alguém pergunta Aumentou de novo a inflação?, essa pessoa está falando de uma variação de preço, que é um ∆y, relativa a uma variação do tempo, que é um ∆x. Isso é uma derivada.”

Na função que representa um jogador saltando no ar para comemorar um gol, existe um brevíssimo instante de tempo em que a derivada dessa função é igual a zero: é o brevíssimo instante de tempo em que o jogador não está subindo (com derivada positiva, talvez medida metros por segundo) nem está descendo (derivada negativa). “Por um infinitésimo de segundo”, diz Steven Strogatz, “o jogador fica parado no ar. Não é força de expressão: ele fica literalmente parado no ar.” Físicos, engenheiros, e economistas todo dia procuram os pontos de uma função nos quais a derivada é igual a zero; tais pontos são aqueles instantes nos quais as coisas pararam de subir e vão começar a descer, ou pararam de descer e vão começar a subir. “Perto de um ponto x qualquer”, diz Leila, “a função se comporta como uma reta. Por isso essa função, por complexa que seja, pode ser substituída pela função derivada, isto é, por uma reta tangente à função. Essa ideia é genial, e muito útil para engenheiros e físicos.” Cientistas e engenheiros precisam saber quando algo começará a descer ou a subir — em que instante a gravidade de Terra será compensada pela força centrífuga do foguete? Nesse brevíssimo instante, se a propulsão do foguete se extinguir, ele estará em órbita.

“Essa primeira introdução sobre derivadas é difícil”, diz Martha Salerno. “Muita gente está vendo certas ideias essenciais pela primeira vez — as equações da reta, por exemplo.” O aluno mal tem tempo de descobrir que ele deveria ter estudado as equações da reta no ensino básico, mas não estudou, quando o professor engata na próxima ideia essencial do cálculo: as integrais.

Somas de fatias bem finas. Todos os professores explicam aos alunos que a ideia de integração surgiu bem antes que a ideia de derivação; quase todos citam Arquimedes, que calculou corretamente a área sob uma parábola. Arquimedes preencheu a área a calcular com um triângulo, dois triângulos, três triângulos, e percebeu que, conforme ele aumentava o número de triângulos, a área sob a parábola tendia para um número. Ele presumiu que esse número era a área sob a parábola, e estava certo. (Quase certo, na verdade; veja a observação 3.)

Integração é isso: se o estudante precisa achar a área de uma figura cheia de curvas, ele fatia a figura, substitui cada fatia por um retângulo (isto é, substitui cada fatia por uma figura cuja área é fácil de calcular), e soma a área de todas as fatias. Conforme o número de fatias aumenta, a área de todos os retângulos somados se aproxima da área real; conforme o número de fatias tende ao infinito, a área de todos os retângulos somados tende à área exata. O método é o mesmo para calcular o volume de um sólido cheio de curvas: o estudante fatia o sólido, substitui cada fatia por um sólido cujo volume seja mais fácil de calcular, e soma todos os volumes de todas as fatias. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), matemático alemão que desenvolveu várias técnicas do cálculo, chamava o cálculo integral de calculus summatorius, ou cálculo de somatórios, e esse é um bom nome. “Com o cálculo integral, achamos uma área ou um volume”, diz Claudio. “Essa área ou volume pode representar a massa de um objeto, ou o momento de uma partícula, ou a temperatura média do dia, ou a altura média das crianças de 10 anos.”

Dito assim, tudo isso parece fácil, mas calcular uma integral é bem mais difícil que calcular uma derivada. Conforme a área ou o volume a calcular, essa soma de milhões de números atribuídos a fatias minúsculas se transforma não numa soma a realizar, mas num monstro a destruir. Tanto é que, depois de Arquimedes, por quase 20 séculos ninguém conseguiu fazer o cálculo integral avançar significativamente. Só no século 16 os matemáticos perceberam que havia uma correspondência entre integrais e derivadas, e só no século 17 usaram essa correspondência para fundar o cálculo como o conhecemos hoje.

Isaac Newton (1642-1727) colocou essa correspondência no papel com clareza: é possível calcular o valor de uma integral ao realizar uma operação aritmética simples com uma derivada. Mais tarde, essa afirmação seria provada com rigor e ganharia o nome de teorema fundamental do cálculo. “Se o TCF não existisse”, diz Claudio, “o cálculo certamente não seria tão útil.” Martha acha que o TFC foi “uma conquista importante da humanidade”.

Por que os elogios? Porque calcular integrais é de fato difícil — quanto a isso, todo exagero é pouco. É fácil dizer “divida a área em fatias infinitamente finas” e “some a área de infinitos retângulos cuja largura é infinitamente pequena”. Mas, para fazer as contas, o sujeito precisa ser bom de álgebra e ter disposição para fazer contas por dias a fio, e às vezes semanas ou meses. Calcular derivadas é muito mais fácil. Quase todos os estudantes de cálculo ficam bons no ofício de achar a derivada de uma função. Pois o TFC diz que, quando a função a integrar é a derivada de uma outra função, o estudante pode calcular uma integral com uma mera subtração — e fica dispensado de fatiar a área em tiras infinitamente finas ou de fatiar o sólido em fatias infinitamente finas, e fica dispensado de descobrir o limite da soma da área das infinitas tiras de largura infinitamente pequena, etc. “O TFC aumentou muito o número de integrais que conseguimos calcular”, diz Steven Strogatz, “e ele reduziu o trabalho a algo que você consegue fazer resmungando.”

Matemática parada. Steven Strogatz diz que o estudante pode aplicar a geometria e a álgebra básicas às mudanças mais simples, aquelas nas quais alguma coisa muda a uma taxa constante. É o caso dos problemas do tipo: se um carro viaja à velocidade constante de 80 quilômetros por hora… Esse carro, conforme a álgebra básica, percorre 80 quilômetros na primeira hora, 160 quilômetros nas duas primeiras horas, 240 quilômetros nas três primeiras horas. Mas e se essa coisa muda a uma taxa variável? Os motoristas brecam e aceleram o tempo todo; raramente o carro fica mais que uns poucos segundos a velocidade constante. Sendo assim, raramente a álgebra e a geometria básicas prestam.

“No ensino básico”, diz Leila, “a matemática é muito parada.” Ainda na primeira aula do curso de cálculo, o professor conversa com os alunos sobre alguns limites importantes. Com a ideia de limite, os calouros dão movimento à matemática do ensino básico, e logo conseguem usar aquela matemática parada para tratar das vibrações num trem, dos fluidos num sistema de freio, das paredes num prédio sacudido pelo vento. “Com a ideia de limites”, diz Claudio, “a humanidade pegou aquela matemática parada e inventou a geometria não euclidiana, os sistemas dinâmicos, a probabilidade e a estatística, a computação.” Em essência, diz Martha, o cálculo é um monte de truques com limites para deixar a matemática do ensino básico útil para problemas reais. “São técnicas simples para resolver problemas muito complicados.”

A certa altura do primeiro curso, Claudio conversa com os estudantes sobre a diferença entre usar a matemática e fazer ciência. Nenhum matemático, por mais genial que seja, consegue modelar um problema real com perfeição; vista assim, a matemática não serve de espelho perfeito à realidade. “Mas o cálculo resolve uma quantidade imensa de problemas de modelagem matemática”, diz Claudio. O matemático não consegue modelar a realidade com perfeição, mas consegue usar o cálculo para construir um modelo aproximado da realidade.

“O papel do cientista”, diz Claudio a seus alunos, “é dizer a si mesmo: usei o cálculo para obter a resposta exata a um modelo aproximado do problema real; até que ponto essa resposta exata a uma versão aproximada do problema real serve como boa aproximação para o problema real?”

É uma pergunta importante, que todo engenheiro, biólogo, e economista deveria tentar responder o tempo todo. Mas logo um dos alunos pergunta:

“Professor, esse tema cai na prova?”

Leila diz que a maioria dos 80 estudantes de cada classe está mais interessada em saber o jeito mais fácil de passar de ano. Difícil o estudante que dá valor ao que está estudando. “Sabemos que estamos sempre dando aulas para poucas pessoas.”

Tendo quatro meses líquidos para dar o curso de cálculo 1, os professores dão definições precisas, mas com pressa; eles não têm tempo de mostrar aos estudantes todas as demonstrações com todos os épsilons (ε) e deltas (δ) tendendo a zero. Com os computadores, os estudantes entram na internet e põem o computador para desenhar gráficos e sólidos e para fazer animações. “Eles não usam a imaginação”, diz Martha. “Essa geração acha que não tem tempo de parar e pensar sem a ajuda do computador.”

Exceções à parte, o estudante de cálculo 1 é como o sujeito que vai a Paris pela primeira vez, mas a trabalho. Ele acha que matemática é difícil demais, ele quer passar de ano, e seus professores não têm tempo de insistir na ideia de que ele está mexendo com uma admirável realização da humanidade. Ele faz o curso e passa de ano, e nem nota que não aprendeu cálculo direito. É como se, em Paris, ficasse o tempo todo trancado nas salas de reunião do hotel perto do aeroporto. Ele faz bem se volta a Paris de férias, para passar uma tarde no Le Café Beaubourg, olhando os passantes, escrevendo coisas numa caderneta Moleskine, feito um poeta ou filósofo. Ele faz bem se, como Leila, Martha, e Claudio ainda fazem, estuda cálculo depois da faculdade, ao longo da vida, mais devagar. Paris e o cálculo merecem muitas visitas. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 13, fevereiro de 2012, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Este blogue contém um curso de introdução ao cálculo em dez capítulos; para estudar o primeiro, clique aqui. No pé do texto, vai achar os links para os demais capítulos.

3. Por que Arquimedes estava quase certo, mas não certo: ao calcular a área de uma figura plana F cujo perímetro é curvo, você pode usar a ideia de calcular em vez disso o limite da soma da área de muitos retângulos — de cada vez mais retângulos, de modo que, conforme o número de retângulos aumenta, a área de cada um deles diminui, e a soma das áreas tende a um limite. Contudo, isso não é uma descoberta, mas sim uma invenção. Os antigos pensaram que a área da figura F existia antes do cálculo integral, e foi descoberta por meio do cálculo integral. Essa área era um fato matemático a ser achado. Errado. Hoje sabe-se que a área da figura F deve ser definida como sendo o número real que você acha por meio do cálculo integral. Demorou para que a humanidade percebesse que certos fatos matemáticos não são descobertas, ao contrário: devem ser vistos como invenções.

A topologia da reta dos números


{0}/ Introdução

Este é o décimo e último capítulo sobre como você usa o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial e integral. (Eis os cliques para os capítulos anteriores: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono.) Desta vez, vai estudar a topologia da reta real, isto é, vai estudar como definir com clareza vários subconjuntos úteis de números reais, e explorar suas propriedades. De posse de tais conhecimentos, fica mais fácil estudar uma função contínua qualquer e o modo como, com ela, você correlaciona os elementos do domínio com os elementos da imagem.

Lembretes: a seção a seguir é a 112 porque o capítulo anterior terminou com a seção 111; e “teorema §113-1” significa “o primeiro teorema que vou encontrar na seção 113”.

Para estabelecer a atitude intelectual com a qual deve estudar este capítulo, pense nesta frase do matemático alemão David Hilbert (1862-1943):

A arte de fazer matemática é achar aquele caso especial que contém todas as sementes de generalidade.


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{112}/ Cálculo: um jeito de pensar

Talvez já saiba que, nas faculdades de matemática mais exigentes, muito aluno desiste da matemática quando não consegue passar no curso de análise real. O curso é difícil mesmo, mas principalmente porque o aluno tem de estudar muitas ideias complicadas em pouco tempo — e assim ele passa do assunto difícil A para o assunto difícil B sem que tenha tido tempo de se acostumar com o assunto difícil A.

Mas você não tem escapatória — cedo ou tarde, terá de estudar análise real se quiser avançar na matemática. Por sorte, ela fica um pouco mais fácil com o sistema dos números hiper-reais.

Definição §112-1. “Análise real.” Pode usar essa locução quando sua intenção é dizer o seguinte: “Vou usar as mesmas ideias que usei para construir o cálculo infinitesimal para estudar números reais, conjuntos de números reais, e relações e funções que posso estabelecer entre conjuntos de números reais.” Com ela você denota, portanto, um estudo mais aprofundado das matérias-primas do cálculo diferencial e integral: números reais, em primeiro lugar, e relações entre números reais, em segundo.

E o que dizer da palavra topologia?

Um matemático pode usá-la para dizer várias coisas distintas, mas, quando a usa junto com algum tipo de conjunto (e a reta dos números reais é um conjunto), quer dizer que vai estudar melhor a ideia de proximidade entre os elementos do conjunto, e com isso vai formalizar melhor a ideia de convergência.

Porém, é mais fácil entender o que é a topologia, e a topologia da reta real em particular, depois de já ter estudado alguns teoremas e resolvido uns poucos problemas. É o que fará ao longo deste capítulo; por fim, quando chegar ao fim da seção 118 (com a resolução dos problemas), estará em condições de entender melhor o significado de “topologia” e de “topologia da reta real”.

Depois que tiver entendido bem as ideias deste capítulo, estará também em condições de entender uma ideia sutil: quando alguém diz “a geometria é uma área da matemática” ou “a topologia é uma área da matemática”, não está apenas dizendo que existe uma área da matemática, chamada geometria, cujo objeto de estudo são as consequências dos 20 axiomas de Hilbert, ou que existe uma área da matemática, chamada topologia, cujo objeto de estudo são as propriedades de figuras geométricas que permanecem invariáveis conforme você submete as figuras a transformações contínuas; ao contrário, está dizendo também que existem dois jeitos de pensar, chamados de “geometria” e de “topologia”, que se aplicam a vários problemas, de várias áreas da matemática.

O cálculo diferencial e integral não é, portanto, simplesmente uma área da matemática — é também um jeito de pensar, e agora você vai usá-lo para resolver problemas que, à primeira vista, não têm nada a ver com cálculo.



{113}/ Conjuntos abertos e fechados

Já sabe o que é um intervalo aberto (a, b) em que a e b são números reais: é o conjunto de todos os números reais entre a e b, excluindo a e b. Quando pensa num intervalo aberto, em geral pensa mais ou menos assim: “Se o número real x é elemento de (a, b), então, se faço ϖ um infinitésimo positivo ou negativo, o hiper-real h = x + ϖ também é elemento de (a, b).” Em outras palavras, se x ∈ (a, b) e hx, então h ∈ (a, b), isto é, todos os hiper-reais infinitamente próximos de x também são elementos do intervalo aberto (a, b).

É o que pode ver na figura a seguir.

topologia-1

Agora pode generalizar essa ideia para criar o conceito de conjunto aberto, que é mais genérico e faz parte das fundações da análise e da topologia.

Definição §113-1. “Conjunto aberto.” Diga que um conjunto B é aberto se, e somente se, para qualquer número real x, caso xB e, além disso, hx, então hB.

Já sabe que intervalos abertos são conjuntos abertos; caso queira provar essa afirmação, como primeiro passo reveja a prova do teorema §23-1 (capítulo 3), e faça umas poucas adaptações.

Assim, o conjunto R dos números reais é um conjunto aberto, e essa afirmação quase todo mundo entende com pouco esforço. Mas, quando o estudante lê pela primeira vez algo na linha “o conjunto vazio ∅ também é um conjunto aberto”, em geral precisa se esforçar para aceitar a validade da afirmação, e por isso vale a pena estudá-la um pouco melhor.

Em primeiro lugar, releia a resolução do problema §92-16, onde há um curso vapt-vupt sobre implicações e suas recíprocas. Note que “A se e somente se B” significa: a afirmação A implica a afirmação B e, por sua vez, a B implica a A. Com tais ideias mais claras na sua mente, ponha no papel a definição §113-1 com lógica de primeira ordem.

f-001

Em palavras: Se é o caso de que B é aberto, então, caso x seja um elemento de B, e se além disso h está infinitamente próximo de x, é o caso de que h também é elemento de B. A recíproca é verdadeira: Caso x seja um elemento de B, e se para todo hx, é o caso de que h é elemento de B, então B é um conjunto aberto.

Veja como isso fica para o conjunto B = ∅:

Suponha que ∅ é um conjunto aberto. Examine agora a primeira linha do formulário acima. Daí não existe x real que seja elemento de ∅, e portanto nada pode dizer sobre se é o caso de que algum hx seja elemento de ∅, de modo que a segunda implicação é válida por definição, e pode declarar as duas implicações como válidas. Agora, a recíproca dessa afirmação: x ∉ ∅; logo, nada pode dizer sobre h ∈ ∅, e a primeira implicação é válida por definição; sendo assim, a segunda implicação se torna válida, visto que ∅ é um conjunto aberto por hipótese.

(Isso tudo faz a cabeça ferver, é verdade, mas deve lutar para entender tais ideias.)

Dois contraexemplos:

(a) Considere o conjunto {1}. Ora, 1 ∈ {1}, mas, para todo infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, 1 + ϖ ∉ {1}; logo, para que a implicação continue válida, não pode ser o caso de que {1} é aberto.

(b) Considere o intervalo fechado B = [0, 1]. Daí 0 ∈ B e, para algum infinitésimo ϖ < 0, ϖ ≈ 0; apesar disso, ϖB e, sendo assim, para que a implicação continue válida, não pode ser o caso de que B é um conjunto aberto.

Suponha que deseje criar conjuntos abertos mais complicados. Comece com certo número n de conjuntos abertos e faça um número qualquer, arbitrário, de uniões e um número finito de intersecções — o que obterá é outro conjunto aberto. (O número arbitrário de uniões pode ser inclusive um número hiper-real infinito; mas o número de intersecções tem de ser finito.) É o que vai provar nos dois teoremas a seguir.

Teorema §113-1. A união de qualquer número de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Uma sutileza: “qualquer número de conjuntos abertos” também significa “um número N de conjuntos abertos, sendo N um inteiro positivo infinito”; em outras palavras, a locução “qualquer número de conjuntos abertos” inclui o caso em que o número de conjuntos abertos tende ao infinito.

Prova. Suponha que A é a união de um número n arbitrário de conjuntos abertos; suponha ainda que xA é um número real. Pelo modo como constituiu A, xB para algum conjunto aberto BA. Assim, se hx, hBA, pois B é aberto, de modo que hA. Como supôs um número real x arbitrário, com tudo isso provou que A é um conjunto aberto.

Notação. Nas linhas a seguir, veja como denotar a união de dois conjuntos, três conjuntos, …, n conjuntos, e por fim n conjuntos, mas com n tendendo ao infinito.

f-002

Teorema §113-2. A intersecção de qualquer número n finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Prova. Suponha que A1, A2, …, An são conjuntos abertos, e que x é um número real elemento de A = A1A2 ∩ ··· ∩ An. Assim, se hx, h deve também se elemento de A1, A2, …, An, visto que cada um deles é aberto. Portanto, hA, e visto que escolheu um número real x arbitrário, o teorema está provado.

* * *

Como deve ter desconfiado pelo modo como o redator escolheu as palavras, a intersecção de um número arbitrário de conjuntos abertos não necessariamente é um conjunto aberto. Por exemplo, defina o intervalo aberto An da maneira a seguir, na qual n é um inteiro positivo.

f-003

Observe a figura abaixo. Se intersecciona os conjuntos A1, A2, e A3 , o que obtém é o conjunto intersecção A = A3.

msp22651ge889dci79e111g0000338745d436cd7e8b

De modo geral, do modo como definiu An, o conjunto intersecção de A1, A2, …, An é o conjunto A = An. Se fizer n = N, com N um inteiro positivo infinito, eis o que deve obter:

f-004

Só existe um número real nesse conjunto, que é 1. E pode continuar dessa maneira para  N + 1, N + 2, N + 3, …; eis o que por fim vai obter:

f-005

Encare a linha acima do mesmo modo que encararia o limite de uma sequência. Isso porque, para qualquer h ≈ 1, você sempre pode achar um inteiro positivo infinito M tal que 1/M < |1 – h|, de modo que hAM, e assim hA = A1 ∩ ··· ∩ AM; portanto, se faz n um inteiro tão grande quanto queira, e intersecciona os conjuntos Ak com k = 1, 2, 3, …, N, M, …, obtém um conjunto intersecção A que não condiz com a definição de conjunto aberto.

* * *

Do mesmo modo que pode generalizar a ideia de intervalo aberto para a de conjunto aberto, pode generalizar a ideia de intervalo fechado para a de conjunto fechado. Lembre-se: num intervalo fechado [a, b], se h é um hiper-real em [a, b], e se hx, sendo x um real, então x também é um elemento de [a, b].

topologia-2

E isso é só outro jeito de dizer o teorema §23-1, visto que x = st[h]. Já pode portanto definir um conjunto fechado.

Definição 113-2. “Conjunto fechado.” Diga que um conjunto B é um conjunto fechado se, e somente se, sempre que o hiper-real hB, e hx, sendo x um número real, daí xB.

Também pode escrever essa definição usando a notação típica da lógica de primeira ordem. Use ϖ para denotar um infinitésimo positivo ou negativo:

f-006

Existe uma relação simples entre conjuntos abertos e fechados.

Teorema §113-3. Um conjunto B é aberto se, e somente se, seu complemento BC é fechado.

Prova. Primeiro suponha três coisas: B é aberto, o hiper-real hBC, e hx, sendo x real. O que você precisa mostrar é que xBC. Mas esse tem de ser o caso, porque, se fosse o caso de que xBC, daí xB, e visto que B é aberto e que hx, então hB; mas hB contradiz sua pressuposição inicial. Portanto, xBC e, sendo assim, BC é fechado.

Para provar a recíproca, suponha agora três outras coisas: BC é fechado, o número real xB, e xh. Deve provar agora que hB. Mais uma vez, isso deve ser verdade, porque, se hBC, então xBC, o que contradiz a pressuposição inicial de que xB. Portanto, B é aberto, e a prova está completa.

Lembrete: Como ler (e escrever) matemática. Examine a terceira frase do parágrafo acima: “Mais uma vez, isso deve ser verdade, porque, se hBC, então xBC, o que contradiz a pressuposição inicial de que xB.” Leia a frase assim: “Mais uma vez, isso deve ser verdade, porque, se h fosse elemento do complemento de B, então x seria elemento do complemento de B, o que contradiz a pressuposição inicial de que x é elemento de B.” Em outras palavras, ao fazer a leitura, ponha os verbos nos tempos certos, o que vai tornar o entendimento da frase um pouco mais fácil.

* * *

Vai topar muitas vezes com conjuntos os quais não pode classificar de abertos nem de fechados, pois não são nem um nem outro. Por exemplo, [0, 1) não é nem aberto nem fechado. Não é aberto porque, se faz ϖ um infinitésimo positivo, daí –ϖ ≈ 0, mas –ϖ ∉ [0, 1). Não é fechado porque 1 – ϖ ∈ [0, 1), 1 – ϖ ≈ 1, mas, apesar disso, 1 ∉ [0, 1). No entanto, se achar conveniente, pode dizer que [0, 1) é “fechado à esquerda e aberto à direita”.

Eis um exemplo mais importante: o conjunto dos números racionais Q não é nem aberto nem fechado. Comece usando o fato de que, entre quaisquer dois números reais x e y, com xy, existe um número racional q e um número irracional z. Invoque o teorema de Łós: se essa afirmação é verdadeira para números reais, é verdadeira para números hiper-reais. Daí pense assim (por exemplo): faça z um infinitésimo irracional entre 0 e 1/N, com N inteiro positivo infinito. Logo, 0 e 1/N são racionais, e além disso 0 ≈ z, mas z Q, e portanto Q não é aberto. Ou faça q um hiper-real racional tal que q ≈ √2. Daí qQ, mas, apesar disso, √2 ∉ Q, e portanto Q não é fechado.

* * *

Você também pode formar um conjunto fechado com a intersecção ou a união de outros conjuntos fechados.

Teorema §113-4. (a) A intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados é um conjunto fechado. (b) A união de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Problema §113-1. Prove o teorema §113-4 usando a prova dos teoremas §113-1 e §113-2 como referência. Depois disso, tente prová-lo partindo dos teoremas §113-1, §113-2, e §113-3, mas usando também as leis de De Morgan:

f-007

Sugestões de resposta na seção 118.

* * *

Georg Cantor (1845-1998) foi quem provou o teorema a seguir pela primeira vez; é um teorema simples, mas importante.

Teorema §113-5. Se A1A2A3 ⊇ ··· é uma sequência de conjuntos fechados não vazios, com A1 limitado, e com cada conjunto contido no conjunto imediatamente anterior, então a intersecção de um número arbitrário deles é um conjunto não vazio.

Prova. A afirmação “Para todo n inteiro positivo, An ≠ ∅” é verdadeira no sistema dos números reais; logo, é também verdadeira no sistema dos hiper-reais. Faça hAN, com N inteiro positivo infinito. Visto que ANA1, e que A1 é limitado, h está entre dois números reais, e então é limitado. Portanto, existe o número real st[h]. Visto que hAn para todo n inteiro positivo, st[h] ∈ An para todo n. Portanto, st[h] é elemento da intersecção de um número arbitrário de conjuntos An.

Esse teorema é falso para conjuntos abertos. Pense, por exemplo, em An = (0, 1/n). Se hAN, h é um infinitésimo entre 0 e 1/N, isto é, 0 < h < 1/N, e não existe número real st[h] tal que st[h] ∈ AN. (Se está exclusivamente interessado em números reais, como neste caso está, pode até dizer que esse conjunto é vazio.)

Lembra-se do método mais simples pelo qual calcular a integral da função contínua f no intervalo [a, b]? Você divide o intervalo em duas partes iguais e calcula a soma da área dos dois retângulos; depois divide o intervalo em três partes iguais e depois calcula a soma da área dos três retângulos; e assim por diante por um número n arbitrário de passos, até que esteja contente com a precisão do número que obtém para a soma da área dos n retângulos. Pois bem: esse teorema de Cantor garante que cada um dos n pequenos intervalinhos que obtém no passo n, por maior que seja n e por menor que seja o intervalo, é um conjunto não vazio, e portanto serve para o cálculo da área.

* * *

Se quiser, pode distinguir conjuntos abertos e fechados de uma outra maneira, muito importante na matemática pura, que é por meio de pontos interiores e de pontos de acumulação.

Definição §113-3. Um número real bB é um ponto interior de B se, e somente se, para para todo hiper-real hb, h B.

Definição §113-4. Um número real c é um ponto de acumulação de B se, e somente se, para algum hB, diferente de c, hc.

(Outros dois nomes para ponto de acumulação são ponto de limite e ponto limite.)

Note que que um ponto de acumulação c de B talvez não esteja em B; por exemplo, a é um ponto de acumulação de (a, b), mas a ∉ (a, b).

Teorema §113-6. Um conjunto B é aberto se, e somente se, todos os seus pontos são pontos interiores. Um conjunto B é fechado se, e somente se, B contém todos os seus pontos de acumulação.

* * *

Problema §113-2. Prove o teorema §113-6.

Sugestão de resposta na seção 118.

* * *

Definição §113-5. Para qualquer conjunto B, chame de “o interior de B” o conjunto dos pontos interiores de B; e denote tal conjunto com B0 [ou com int(B)]. E chame de “o fecho de B” o conjunto de todos os pontos que ou são elemento de B ou são pontos de acumulação de B; e denote tal conjunto com B*.

[A notação mais comum para B* é B com uma barra em cima; o redator vai usar a notação com a barra em cima nos formulários. No texto corrido, contudo, é mais fácil escrever B*. Portanto, saiba que A* = Ā. Outra notação comum para o fecho de B é cl(B), do inglês closure.]

Lista de problemas §113-1. Para cada um dos conjuntos a seguir, ache o interior e o fecho.

§113-3. (0, 1)

§113-4. [0, 1]

§113-5. (0, 1]

§113-6. {4}

§113-7. {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …}

§113-8. O conjunto Z dos inteiros.

§113-9. O conjunto Q dos racionais.

§113-10. O conjunto R\Q dos irracionais.

§113-11. O conjunto R dos reais.

§113-12. ∅

Sugestões de resposta na seção 118. Lembrete: R\Q e RQ significam a mesma coisa: “O conjunto dos números reais menos os elementos do conjunto dos números racionais.”

* * *

Existe outro conjunto interessante e importante na topologia da reta real: é a fronteira de determinado conjunto BR.

Definição §113-6. Para qualquer conjunto B, chame de a fronteira de B o conjunto ∂B = B*B*C, isto é, a intersecção do fecho de B com o complemento do fecho de B.

Outra notação comum para ∂B é Fr(B), do inglês frontier.

Na matemática, o conjunto fronteira generaliza a ideia geográfica de fronteira. No desenho abaixo, o contorno em azul escuro é a fronteira de um subconjunto do plano (em verde claro; o plano como um todo está em branco).

Lista de problemas §113-2. Ache a fronteira de cada um dos conjuntos da lista de problemas §113-1 mais acima.

Na seção 118, pode ver a resolução de cada um desses problemas marcada com §113-3B, §113-4B, …, §113-12B.

* * *

Lista de problemas §113-4. Para todo par de conjuntos B, C, cada um deles subconjunto dos reais, prove as afirmações a seguir.

§113-13. B*C* = (BC)*

§113-14. B0C0 = (BC)0

§113-15. Prove que, para todo conjunto A, (A0)C = (AC)*

§113-16. Prove que, para todo conjunto A:

§113-16(a). A0 é aberto.

§113-16(b). A* é fechado.

§113-16(c). (A0)0 = A0

§113-16(d). (A*)* = A*

§113-17. Ache um par de conjuntos B, C tais que a afirmação a seguir seja válida.

f-012

§113-18. Ache um par de conjuntos B, C tais que a afirmação a seguir seja válida.

f-013

§113-19. Se você resolveu a lista de problemas §113-2, descobriu que ∂Q = R. Descobriu também que ∅ = ∂(∂Q) ≠ ∂Q. No entanto, por estranho que pareça, é verdade que, para todo conjunto A, ∂(∂(∂A)) = ∂(∂A). (Caso queira, prove essa afirmação.)

Sugestões de resposta na seção 118 (exceto para o problema §113-19).



{114}/ Conjuntos compactos

No sistema dos números reais, você vai usar com frequência várias propriedades de conjuntos que são, ao mesmo tempo, fechados e limitados. (Já usou, na verdade, quando estudou o cálculo integral no capítulo 5.) Pode chamar tais conjuntos de conjuntos compactos, e tem como defini-los com clareza e precisão.

Definição §114-1. Diga que um conjunto B é compacto se, e somente se, para todo hiper-real hB, st[h] existe e também é elemento de B.

Teorema §114-1. Para qualquer conjunto BR, B é compacto se, e somente se, é ao mesmo tempo fechado e limitado.

Prova. Suponha que B é compacto. Se hB e hx, sendo x real, daí x = st[h] ∈ B. Portanto, B é fechado. Suponha que B não é limitado. Daí, para cada n > 0, tem de existir um elemento bB tal que |b| > n. Faça b tal que bB e |b| > N para algum N positivo infinito. Daí st[h] não existe, o que é uma contradição, e portanto B é limitado.

Agora a recíproca. Suponha que B é tanto fechado quanto limitado. Se hB, visto que B é limitado, pode dizer que st[h] existe; e visto que B é fechado, st[h] ∈ B. Logo, B é compacto.

* * *

Existem dois teoremas importantes a respeito de conjuntos compactos, o teorema de Bolzano-Weierstrass e o de Heine-Borel; deve estudá-los porque vai usá-los bastante em toda a análise real, em particular, e na topologia, em geral.

Teorema §114-2. “Teorema de Bolzano-Weierstrass.” Se B é compacto, então todo subconjunto infinito de B tem um ponto de acumulação em B.

Prova. Suponha que CB é um conjunto infinito. Faça a1, a2, a3, … elementos distintos de C. Faça N um inteiro positivo infinito. Graças à compacidade de B, st[aN] existe e é elemento de B. Visto que aNC, para mostrar que st[aN] é um ponto de acumulação de C, basta mostrar que aN ≠ st[aN]. Mas, se aN = st[aN], daí ∃m(am = st[aN]) seria uma afirmação verdadeira no sistema HR dos hiper-reais, e portanto verdadeira no sistema R dos reais. Assim, am = st[aN] para algum m inteiro positivo finito. Mas todo aiaj se ij, contradizendo aN = st[aN] = am. Sendo assim, aN ≠ st[aN], e st[aN] é um ponto de acumulação de C que também é elemento de B, e com isso a prova está completa.

Veja agora uma prova mais simples, ao alcance de quem leu os dois primeiros capítulos desta série: Faça a o hiper-real que pode representar com a sequência infinita a1, a2, a3, a4, a5, … de números reais, sendo que cada um desses números ai é um elemento de B, com aiaj se ij. Visto que cada ai é diferente dos outros elementos aj, o número a não pode ser real, e portanto a ≠ st[a]. Visto que cada aiB, aB pelo teorema §8-1. Logo, st[a] ∈ B é um ponto de acumulação de C.

Agora que já entendeu o teorema, eis dois jeitos de dizê-lo de modo impreciso, mas simples: (1) Você não consegue selecionar um número infinito de elementos do conjunto B, cada um deles distinto um do outro, sem que tais elementos não tenham um ponto de acumulação em B, pois simplesmente não há “espaço” para deixar uma distância real entre um elemento e outro; (2) Se você selecionar um número infinito de elementos de B, e organizá-los numa sequência crescente ou decrescente, no mínimo um dos elementos de B será limite dessa sequência.

* * *

Quanto ao segundo teorema, vai conhecê-lo na forma modificada, isto é, na forma mais fraca, que é adequada para o momento.

Teorema §114-3. “Teorema modificado de Heine-Borel.” Suponha que B é um conjunto compacto e que, para todo n inteiro positivo, An é um conjunto aberto. Daí se B está contido na união de todos os conjuntos An, então B está contido na união de um número finito deles.

Prova. Suponha que o teorema é falso. Daí, para cada n, existe pelo menos um ponto anB que não é elemento de Ai para cada i < n. Para algum N inteiro positivo infinito, considere o elemento aN. Visto que B é compacto, st[aN] existe e st[aN] ∈ B. Visto que B está contido na união de todos os conjuntos An, st[aN] ∈ Am para algum m inteiro positivo finito. Visto que Am é aberto e st[aN] ≈ aN, aNAm. Mas isso é uma contradição, pois aNAi para todo i < N. Com tudo isso, o teorema está provado.

Eis um jeito simples e um tanto impreciso de visualizar o que o teorema de Heine-Borel está dizendo: se tem diante de si um subconjunto compacto (= fechado e limitado) dos números reais (que pode imaginar como números dispostos na linha dos números), pode pegar um compasso, pôr a ponta seca num dos elementos do subconjunto, e abrir a ponta seca com raio maior que zero para desenhar um disco aberto (excluindo o círculo nos limites do disco); daí consegue incluir todos os elementos do subconjunto com um número finito de discos abertos construídos dessa maneira. No desenho a seguir, veja como o redator incluiu todos os números de um intervalo fechado B na união de dois discos abertos A1 e A2, sendo que o disco A2, na extremidade esquerda do intervalo, pode ter raio infinitesimal. (Para desenhar o disco A1, o redator colocou a ponta seca do compasso no elemento mais à direita de B.)

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Agora, o motivo pelo qual tais ideias são úteis: Às vezes, em situações de pesquisa, você lida com um conjunto compacto B muito complicado — por exemplo, B é a união e a intersecção de um grande número de conjuntos complicados. Com o teorema modificado de Heine-Borel, você sabe que, se quiser, pode substituir B pela união de um número finito de intervalos abertos mais simples, dos quais B é subconjunto. Daí, se puder dizer “todos os elementos dessa união de intervalos abertos têm a propriedade P”, isso significa que os elementos de B, que é um conjunto difícil de estudar, também têm a propriedade P.



{115}/ Conjuntos conexos

Um conjunto conexo é aquele que você não consegue separar por meio de dois conjuntos abertos. O melhor é estudar a definição logo de uma vez.

Definição §115-1. “Conjuntos conexos e desconexos.” Diga que um conjunto C é conexo se, e somente se, puder provar que é impossível achar dois conjuntos disjuntos A e B, ambos abertos, tais que CAB e, além disso, AC ≠ ∅ ≠ BC. Se o conjunto C não é conexo, diga que é desconexo.

Note que essa definição vai pela negativa: ela não diz que propriedade o conjunto conexo deve ter, mas sim que propriedade ele falha em ter. É assim porque é fácil achar conjuntos desconexos, mas é bem mais difícil ver quais conjuntos são conexos. Por exemplo, faça C = {0, 1}. É um conjunto desconexo porque você pode separá-lo com os dois conjuntos abertos A = (–1/2, 1/2) e B = (1/2, 3/2); daí AC = {0}, BC = {1}, e CAB.

topologia-6

Embora não seja óbvio ver quais conjuntos são conexos, no contexto dos números reais é fácil descrevê-los: conjuntos conexos são intervalos.

Definição §115-2. Um conjunto B é um intervalo se for o caso de que, sempre que a < x < b e a, bB, então xB.

Em outras palavras, um intervalo não tem “buraquinhos”; se um elemento está entre dois elementos que pertencem ao intervalo, então o elemento do meio também pertence. Com essa definição, você simplesmente colocou em símbolos o que já compreendia como sendo um intervalo: (a, b), [a, b), (∞, b], etc.

Teorema §115-1. Um conjunto C é conexo se, e somente se, é um intervalo.

Prova. Suponha que o conjunto C é um conjunto conexo que não corresponde à definição de intervalo, isto é, para algum número x tal que a < x < b, com a, bC, xC. Daí pode montar o conjunto A = (–∞, x) e o conjunto B = (x, ∞); eles são disjuntos e separam C em duas partes, mas CAB (visto que xC), e aCA ≠ ∅ e bBC ≠ ∅. Daí C é um conjunto desconexo, o que é uma contradição.

Agora a recíproca. Suponha que C é um intervalo desconexo. Faça A, B dois conjuntos disjuntos, ambos abertos, que separam C, isto é, CAB; e suponha que existem dois pontos a, b tais que aAC e bBC. Para obter uma contradição, você pode definir uma função f contínua em [a, b] para a qual o teorema do valor intermediário (teorema §33-1) é falso: Visto que C é um intervalo, [a, b] está contido em C; defina agora a função f para qualquer valor de x ∈ [a, b]:

f-026

Daí f certamente viola o teorema do valor intermediário, visto que f(a) = 0 < 1 < 2 = f(b), mas não existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = 1. Mas f é contínua, e pode inclusive provar isso: Suponha que x ∈ [a, b] é um número real, e que hx. Daí, se xA, hA, pois A é aberto. Da mesma forma, se xB, hB, pois B é aberto. Assim, não importa em qual conjunto tenha colocado x, se no A ou no B, pode ver que f(x) = f(h), isto é, pode ver que f(x) ≈ f(h) e que f é de fato contínua. E com isso a prova do teorema está completa.

* * *

Uma curiosidade.

Considere o conjunto Q dos racionais. Se x e y são dois racionais, com xy, sempre pode achar um racional no meio deles dois; basta tirar a média aritmética dos dois: ½(x + y) é um racional que fica entre x e y. Isso vale inclusive se x e y são dois hiper-reais racionais, com xy. Além disso, se xy, ou x < y ou x > y. Em palavras: o conjunto dos racionais é denso (sempre existe um racional entre dois racionais distintos) e ordenado. Contudo, o conjunto dos racionais também é totalmente desconexo.

Pense no assunto: para qualquer conjunto do tipo C = {x : a ≤ x b, com a, b, x racionais e a < b}, sempre pode achar dois conjuntos disjuntos A e B, ambos abertos, tais que CAB. Basta fazer ϖ um infinitésimo irracional; daí aϖ, x + ϖ, e b + ϖ são hiper-reais irracionais, e pode usá-los para montar os conjuntos abertos A = (aϖ, x + ϖ) e B = (x + ϖ, b + ϖ). Em outras palavras, você não tem como formar intervalos apenas com números racionais. (Por meio de raciocínio semelhante, também não tem como formá-los apenas com irracionais.) Para formar intervalos, precisa tanto dos racionais quanto dos irracionais.

Vai pensar melhor sobre tudo isso ao resolver a lista de problemas 115 e a 116, mais abaixo.

* * *

Um corolário importante do teorema §115-1 é o teorema de Cantor-Dedekind.

Teorema §115-2. “Teorema de Cantor-Dedekind.” Suponha que existem dois intervalos não vazios A e B tais que R = AB e AB = ∅. Suponha ainda que aA, bB, e a < b. Daí ou A tem um elemento que é o maior elemento de A ou B tem um elemento que é o menor elemento de B.

Prova. Visto que A e B são intervalos e que a < b, todos os elementos de A são menores do que todos os elementos de B. Suponha que A não tenha um elemento que seja o maior elemento entre todos os elementos de A. Daí A é um intervalo aberto, porque, se xA é um número real, existe outro real yA tal que x < y [porque, se não fosse assim, A teria um elemento que é o maior de todos (com a óbvia exceção dele mesmo)]. Nesse caso, contudo, todos os hiper-reais infinitamente próximos de x são menores que y, e portanto são elementos de A.

topologia7

Da mesma forma, se B não tem um elemento que seja o menor de todos os outros elementos de B, B é aberto. O conjunto R dos reais, contudo, é um intervalo, e pelo teorema §115-1 é conexo. Logo, não pode ser o caso de que tanto A quanto B sejam conjuntos abertos: um dos dois tem de ser um conjunto fechado, pois, se assim não fosse, faltaria um ponto na linha dos números reais. Com isso, o teorema está provado.

Lista de problemas §115.

§115-1. Examine de novo os dez conjuntos da lista de problemas §113-1, e diga quais são compactos e quais são conexos.

(Mais especificamente, examine os conjuntos mencionados no dez problemas de §113-3 a §113-12.)

§115-2. Prove que, se A1A2A3 ⊇ ··· são todos conjuntos compactos não vazios, daí o conjunto intersecção de todos eles é não vazio.

§115-3. Ache um subconjunto infinito de (0, 1) que não tenha ponto de acumulação em (0, 1).

§115-4. Para cada inteiro positivo n, ache um conjunto aberto An tal que (0, 1) esteja contido na união de todos os conjuntos An, mas não na união de nenhum número finito de An. [Em notação matemática: se n é um inteiro positivo finito, (0, 1) ⊆ A1A2A3 ∪ ···, mas (0, 1) ⊈ A1A2A3 ∪ ··· ∪ An, por maior que seja o valor de n.]

§115-5. Prove que os únicos conjuntos que são tanto abertos quanto fechados são R e ∅. (Dica: use o teorema §115-1.)

Sugestões de resposta na seção 118.



{116}/ Funções contínuas

Por que os matemáticos trabalharam tanto, e por tantas décadas, para aperfeiçoar as definições de conjuntos abertos, fechados, compactos, conexos, além de outras ideias correlatas, como as de fecho, interior, fronteira? Um dos motivos: eles queriam, com tais definições, compreender melhor as funções contínuas. É o que você também fará nesta seção.

Como primeiro passo, deve estudar um jeito de usar a notação de função para denotar conjuntos, pois tal notação é comum na literatura matemática.

Notação. Para qualquer conjunto A e qualquer função f:

f(A) = {f(a) : aA} ;

f–1(A) = {a : f(a) ∈ A}

Com a primeira linha, você chamou de f(A) o conjunto imagem de A de acordo com f, isto é, o subconjunto do contradomínio tal que seus elementos f(a) são a imagem de algum elemento a do domínio. [Veja: com f(A), denotou um conjunto; com f(a), um elemento; além disso, f(a) ∈ f(A).] A segunda linha é mais difícil de interpretar, porque mais abstrata. A primeira coisa a reparar: na segunda linha, com a letra A você não denotou o mesmo conjunto A da primeira linha. A segunda linha significa: “Com f–1(A), quero dizer o domínio de f tal que sua imagem seja A.” Em outras palavras, na primeira linha, usou A para denotar o domínio; na segunda, para denotar a imagem.

Bem, aos trabalhos. Com o teorema a seguir, vai definir continuidade de uma maneira nova.

Teorema §116-1. “Funções contínuas.” Diga que uma função f é contínua se, e somente se, para todo conjunto aberto A, f–1(A) é aberto.

Prova. Suponha que f é contínua e que A é aberto. Daí você precisa mostrar que f–1(A) é aberto. Suponha que rf–1(A) é um número real e que hr. Por definição, f(r) ∈ A, e, pela continuidade, f(h) ≈ f(r). Visto que A é aberto, f(h) ∈ A, de modo que hf–1(A). Portanto, f–1(A) é aberto.

Agora a recíproca. Suponha que, para todo conjunto aberto A, f–1(A) é aberto. Faça r um número real, com hr. Você precisa mostrar que f(r) ≈ f(h). Mas, se f(r) ≉ f(h), daí a distância entre f(r) e f(h) é maior que certo número real s > 0, isto é, f(h) ∉ (f(r) – s, f(r) + s). Chame o intervalo aberto (f(r) – s, f(r) + s) = A. Visto que A é aberto, f–1(A) é aberto. Ainda assim, rf–1(A), rh, e hf–1(A), o que é uma contradição, e o teorema está provado.

Dica: para entender melhor os teoremas desta seção, faça desenhos como estes a seguir.

topologia-14

* * *

Existem vários teoremas sobre conjuntos compactos associados a funções contínuas. Dois deles você já provou, com outra formulação, no capítulo sobre funções contínuas (capítulo 4). Se examinar bem a prova dos teoremas §31-1 e §31-2, verá que não precisaria ter começado com um intervalo fechado [a, b], pois poderia ter começado, mais genericamente, com um conjunto compacto. É o que te permite escrever o teorema a seguir.

Teorema §116-2. Se f é uma função contínua cujo domínio é um conjunto compacto C, então f(C) é um conjunto limitado, e por causa disso f atinge um máximo e um mínimo em C.

Eis agora outro resultado sucinto:

Teorema §116-3. Se f é uma função contínua e C é um conjunto compacto, então f(C) é um conjunto compacto.

Prova. Suponha que hf(C). Você precisa mostrar que st[h] existe e que st[h] ∈ f(C). Mas, se hf(C), então, para algum h*C, f(h*) = h. Faça r = st[h*] ∈ C. Daí f(r) ∈ f(C) e, por continuidade, f(r) ≈ f(h*) = r. Portanto, st[h] = f(r) ∈ f(C), e a prova está completa.

* * *

Um teorema similar aos teoremas acima é válido para conjuntos conexos.

Teorema §116-4. Se f é uma função contínua e C é um conjunto conexo, daí f(C) é um conjunto conexo.

Prova. De acordo com o teorema §116-2, você deve provar apenas que f(C) é um intervalo. Faça a < x < b números tais que a, bf(C). Deve provar que xf(C). Visto que a, bf(C), existem números a*, b*C tais que f(a*) = a e f(b*) = b. Pelo teorema §33-1, existe um ponto c* entre a* e b* tal que f(c*) = x. Visto que C é conexo, é um intervalo, e portanto c*C, de tal modo que xf(C).

Note que esse teorema é uma forma mais geral do teorema do valor médio (teorema §62-2); de fato, de posse do teorema §115-1, pode ver esse teorema como equivalente ao teorema do valor médio. [Em outras palavras: se C é um intervalo, f(C) é um intervalo, e f assume cada um dos valores entre dois valores quaisquer de f(C) pelo menos uma vez.]

* * *

Com os três teoremas §116-1, 3, e 4, você provou que, se f é contínua e a imagem C é um conjunto aberto, o domínio f–1(C) é aberto; se o domínio C é compacto, a imagem f(C) é compacta; e se o domínio C é conexo, a imagem f(C) é conexa. Assim, dizendo tudo isso de outra forma, com uma função contínua f, você transforma conjuntos compactos em conjuntos compactos, e conjuntos conexos em conjuntos conexos. Quanto aos conjuntos abertos: se f é contínua e a imagem de f é aberta, então o domínio de f é aberto também.

* * *

Quando precisar provar teoremas mais sofisticados sobre integrais, vai precisar de uma definição mais forte de continuidade, que é a definição a seguir.

Definição §116-1. “Funções uniformemente contínuas.” Se A é um conjunto qualquer e f é uma função, pode dizer que f é uniformemente contínua em A se, e somente se, para todo a, b A, se ab, então f(a) ≈ f(b).

À primeira vista, essa definição parece idêntica à definição §29-1 de função contínua num ponto, mas, se olhar bem, verá que na definição §29-1, um dos números a ou b tem de ser real. Contudo, para que f seja uniformemente contínua, tanto a quanto b podem ser hiper-reais não padrão. Apesar disso, para alguns conjuntos A, continuidade e continuidade uniforme são a mesma coisa.

Teorema §116-5. Se A é um conjunto compacto, daí f é uma função contínua em A se, e somente se, f é uniformemente contínua em A.

Prova. Bem, se f é uniformemente contínua em A, então é contínua em A, e para isso não precisa de uma prova: a definição de função uniformemente contínua basta. Quanto à recíproca: Suponha que f é contínua em A, que a, bA, e que ab. Faça r = st[a] = st[b]. Pela compacidade de A, rA. Pela continuidade de f, f(a) ≈ f(r) ≈ f(b), e a prova está completa.

Para ter um ideia da força do sistema dos números hiper-reais, se quisesse escrever a prova acima com a abordagem usual (limites, épsilons, deltas, e desigualdades cheias de valores absolutos), você precisaria de várias páginas.

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Lista de problemas §116.

§116-1. Verdadeiro ou falso? (a) f(A*) = [f(A)]* ; (b) f(A0) = [f(A)]0 ; (c) f–1(A*) = [f–1(A)]* ; (d) f–1(A0) = [f–1(A)]0.

§116-2. Use o teorema do valor intermediário para provar o teorema do ponto fixo de Brouwer para uma dimensão: Se f é uma função contínua de [0, 1] em [0, 1] (em símbolos, f : [0, 1] → [0, 1]), existe um ponto b ∈ [0, 1] tal que f(b) = b. [Dica: considere a função g(x) = f(x) – x.]

§116-3. Prove que, se f é contínua e C é um conjunto fechado, então f–1(C) é fechado.

§116-4. Ache um exemplo de função f contínua e de conjunto A aberto tal que f(A) não é aberto.

§116-5. Ache um exemplo de função contínua f em (0, 1) que é ilimitada. Ache um exemplo de função que é limitada, mas que não atinge nem um máximo nem um mínimo.

§116-6. Ache uma função contínua f e um conjunto compacto C tal que f–1(C) não é compacto.

§116-7. Ache uma função f e um conjunto conexo C tal que f–1(C) é desconexo.

§116-8. Ache pelo menos um exemplo de função f que, embora seja contínua, não seja uniformemente contínua.

Sugestões de resposta na seção 118.



{117)/ A completude dos reais (de novo)

Quando estudou as seções 83 e 84, estudou um pouco o problema da completude dos reais, que, se quiser, pode descrever assim: todo ponto na reta real corresponde a um número, e todo número corresponde a um ponto na reta real. Isso é um axioma, que os matemáticos criaram para dar existência aos números que ninguém pode representar na forma de fração — por exemplo, √2.

Pode ver outra variedade dessa mesma questão, a completude dos reais, ao estudar o ordenamento do conjunto R dos números reais na reta real.

Definição §117-1. Chame um número b de limite superior do conjunto BR se xb para todo xB. (Note que não necessariamente bB.) Chame b de o menor limite superior de B se, e somente se, b é um limite superior de B e, além disso, não há outro limite superior de B que seja menor do que b.

Pode ver um exemplo do que trata essa definição na figura a seguir, na qual B é um intervalo aberto, e portanto o maior limite inferior não é elemento de B.

topologia-11

Teorema §117-1. O conjunto R dos números reais tem a propriedade do menor limite superior. Em outras palavras: todo subconjunto não vazio e limitado de R tem um menor limite superior.

Prova. Suponha que um conjunto BR tenha um limite superior b. (Com isso, está simplesmente dizendo que B é limitado no sentido positivo da linha dos números.) Para todo inteiro positivo n, faça bn o menor inteiro tal que bn/n é um limite superior de B. [No caso de B = (0, 1/8) e de n = 5, por exemplo, bn = 1; no caso de n = 13, bn = 2.] Para algum N inteiro positivo infinito, defina r como da forma a seguir.

f-032

Esse número r vai se revelar o menor limite superior para B. Primeiro, suponha que x é qualquer número real em B. Daí:

f-033

Com isso, pode escrever a linha a seguir.

f-034

Em vista disso, r é um limite superior de B.

Agora suponha que s também é um limite superior de B. Por causa do modo que escolheu bN, você sabe que (bN –1)/N não é um limite superior de B, e portanto(bN – 1)/N < s. Contudo:

f-035

Disso pode deduzir que r é o menor limite superior de B.

* * *

Muito matemático se refere ao teorema §117-1 como sendo a completude dos reais. Isso porque, no caso de muitos sistemas matemáticos mais abstratos que a reta real, eles podem provar que a completude e a propriedade do menor limite superior são equivalentes.

* * *

Existe uma outra prova do teorema §117-1, que vem do teorema de Cantor-Dedekind (teorema §115-2). É um outro tipo de completude, que vários matemáticos acham muito satisfatório.

Dado certo conjunto não vazio BR, defina A = {rR : r < b para algum bB}; faça também C = AC. (Note que b não precisa ser um número padrão: pode ser um número não padrão.)

Problema §117-1. Mostre que A e C são intervalos.

Aplique agora o teorema de Cantor-Dedekind: ou A tem um elemento real que é o maior de todos (exceto ele mesmo) ou C tem um elemento real que é o menor de todos (exceto ele mesmo). Faça r ou o maior elemento de A ou o menor elemento de C. Daí, por definição, r é o menor limite superior do conjunto A. Como tomou A, B, e C como subconjuntos arbitrários de R, com isso provou que todo conjunto AR tem a propriedade do menor limite superior.

Você pode usar a propriedade o menor limite superior para mostrar que todo hiper-real finito tem uma parte padrão. Simplesmente faça A = {rR : r < h}, expressão na qual h é um hiper-real finito, seja padrão, seja não padrão.

Problema §117-2. Mostre que A é um conjunto não vazio de números reais com um limite superior.

Problema §117-3. Mostre que o menor limite superior de A é o único número real infinitamente próximo de h.

Sugestões de resposta na seção 118.

* * *

O sistema Q dos números racionais não é completo. Por exemplo: faça A = {rQ : r2 < 2}. A tem um limite superior x = 2. No entanto, o menor limite superior, que é √2, não é elemento de Q, pois é um número irracional.

Mais uma vez: o sistema R dos números reais é completo axiomaticamente. Em outras palavras, √2 é elemento de R porque o Homo sapiens decidiu assim: cada ponto da reta real corresponde a exatamente um número real; cada número real corresponde a exatamente um ponto da reta real.

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Lista de problemas §117.

§117-4. Defina limite inferior.

§117-5. Defina maior limite inferior.

§117-6. Prove que, se AR tem um limite inferior, então tem um maior limite inferior. (Dica: ache o menor limite superior de B = {–r : rA}.)

§117-7. Se A ≠ ∅ tem um limite inferior, então tem um menor limite inferior. Verdadeiro ou falso?

§117-8. Se A ≠ ∅ tem um limite superior, então o menor limite superior é o maior limite inferior do conjunto dos limites superiores. Verdadeiro ou falso?

Sugestões de resposta na seção 118 a seguir.



{118}/ A resolução dos problemas

§113-1 (a). Suponha que B1, B2, B3, …, Bk, … são todos conjuntos fechados, que B = B1B2B3 ∩ ··· ∩ Bk ∩ ···. Se o conjunto intersecção B = ∅, o teorema está provado, pois ∅ é um conjunto fechado. (Sim, o conjunto vazio ∅ é ao mesmo tempo um conjunto aberto e um conjunto fechado. Mais sobre isso no parágrafo a seguir.) Se o hiper-real não padrão hB, então h é elemento de cada um dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, sem exceção. Visto que hx, sendo x um número real, então x é elemento de cada um dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, sem exceção, pois são todos fechados. Portanto, xB e B é um conjunto fechado. Por último, se o número real x é elemento de cada um dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, sem exceção, pode ser que B = {x}, e neste caso mais uma vez B é um conjunto fechado.

Sutileza. O conjunto vazio ∅ é um conjunto aberto, como já viu na seção 113, mas também é um conjunto fechado. Releia a definição de conjunto fechado; ela contém duas implicações, e pode reescrever uma delas assim:

f-008

Nessa linha, ϖ é um infinitésimo positivo ou negativo.

O que faz nessa linha é presumir que ∅ é um conjunto fechado. Isso implica a segunda afirmação: será que ela é válida, de tal modo que a implicação inteira seja válida? Ora, não é o caso de que x + ϖ ∈ ∅; sendo assim, nada pode dizer sobre x ∈ ∅, e a segunda implicação é válida por definição, de modo que a implicação inteira se torna válida e ∅ é um conjunto fechado.

§113-1 (b). Suponha que B1, B2, B3, …, Bn, são n conjuntos fechados, e faça B = B1B2B3 ∪ ··· ∪ Bk. Se o hiper-real hBk (com k = 1, ou 2, …, ou n), e se hx, sendo x real, então xBk, pois Bk é fechado; e sendo assim, tanto hB quanto xB, isto é, B também é um conjunto fechado.

Para o novato, é difícil achar um bom exemplo de por que a união de um número arbitrário de conjuntos fechados não necessariamente é um conjunto fechado. Eis um exemplo: defina Bn como o intervalo fechado da linha a seguir, na qual n é um inteiro positivo.

f-009

Veja como B1 = [0, 1], B2 = [–1, 2], B3 = [–2, 3], etc. E agora defina B como o conjunto união dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, isto é, com n tendendo ao infinito. Daí, para algum N inteiro positivo infinito, BN = [1 – N, N] e, como consequência, B = B1B2 ∪ ··· ∪ BN = BN. Faça agora h = Nϖ, sendo ϖ um infinitésimo positivo. Daí veja como hBN, mas, para qualquer x real, por maior que seja, hx; no entanto, para todo x real, por maior que seja, xBN. Sendo assim, BN não satisfaz a definição de conjunto fechado — mas satisfaz a de conjunto aberto!

* * *

Agora, a prova dos teoremas §113-4(a) e §113-4(b) com as leis de De Morgan. De acordo com o teorema §113-1, a união de um número arbitrário de conjuntos abertos é um conjunto aberto; e, de acordo com o teorema §113-3, o complemento de um conjunto aberto é fechado. Portanto:

f-010

Nessas linhas, A é a união de n conjuntos abertos Ai, com i = 1, 2, …, n, sendo que n pode ser um inteiro positivo infinito. Assim, com a última linha, que se segue naturalmente das linhas anteriores, você disse que a intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Da mesma forma, se A é a união de n conjuntos abertos Ai, com i = 1, 2, …, n, sendo que n desta vez tem de ser um inteiro positivo finito:

f-011

Com a última linha, você disse que a união de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado, e o teorema §113-4 está outra vez provado.

§113-2. Primeiro, a prova da primeira parte do teorema: “Um conjunto B é aberto se, e somente se, todos os seus pontos são pontos interiores.”

Talvez queira começar com uma prova por contradição.

Presuma que o conjunto B é aberto. Suponha ainda que o número real xB, mas que existe pelo menos um hiper-real hx tal que hx e que, apesar disso, hB. Ora, essa última suposição contradiz a presunção de que B é aberto; portanto, hB, e com isso x é um ponto interior de B.

Agora, a recíproca da primeira parte do teorema.

Suponha que a seguinte implicação é verdadeira: se xB, então x é um ponto interior de B. Ora, se x é um ponto interior de B, daí, para todo hiper-real hx, hB, e com isso B é aberto.

Sutileza: ∅ é vazio, mas é aberto. Como pode ser aberto se não tem pontos? Pode reescrever o texto do teorema §113-6 assim: O conjunto ∅ é aberto se, e somente se, caso x ∈ ∅, então x é um ponto interior de ∅. Visto que x ∉ ∅, não pode dizer nada mais sobre x, e a segunda implicação é válida, de modo que a primeira também é.

Agora, em segundo lugar, eis a prova da segunda parte do teorema: “Um conjunto B é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação.”

Mais uma vez, uma prova por contradição.

Primeiro, suponha que B é fechado, e que o hiper-real hB; contudo, suponha também que hx, um número real, mas que xB. (Portanto, hx.) Ora, isso contradiz a suposição de que B é fechado; portanto, xB e, além disso, x é um ponto de acumulação de B, pois hB, hx, e hx.

Agora, a recíproca da segunda parte do teorema.

Suponha que o número real x é um ponto de acumulação de B. Logo, existe um hiper-real hB, com hx, tal que hx. Ora, se xB, então B é um conjunto aberto; mas, se xB, B é fechado. Assim, B é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação — e com isso todo o teorema §113-6 está provado.

§113-3. Em poucas palavras, (0, 1)0 = (0, 1); e (0, 1)* = [0, 1].

Em mais palavras: (0, 1) é um conjunto aberto — logo, pelo teorema §113-6, todos os seus pontos são pontos interiores, e por isso (0, 1)0 = (0, 1). Além do mais, 0 e 1 são pontos de acumulação de (0, 1), e por isso (0, 1)* = [0, 1].

§113-4. Em poucas palavras, [0, 1]* = [0, 1]; e [0, 1]0 = (0, 1).

Em mais palavras: pelo teorema §113-6, todos os pontos de [0, 1] são pontos de acumulação de [0, 1], e por isso [0, 1]* = [0, 1]. O interior de [0, 1], contudo, tem de ser (0, 1); eis o porquê: se faz ϖ um infinitésimo positivo, 0 – ϖ ≈ 0, mas 0 – ϖ ∉ [0, 1], e portanto 0 não pode ser um ponto interior de [0, 1]. De modo análogo, 1 + ϖ ≈ 1, mas 1 + ϖ ∉ [0, 1], e portanto 1 não pode ser um ponto interior de de [0, 1].

Como escrever um resumo dos teoremas contidos na resolução dos problemas §113-3 e §113-4? Em destaque:

O resumo em símbolos: (a, b)0 = (a, b) e (a, b)* = [a, b]; [a, b]* = [a, b] e [a, b]0 = (a, b).

O resumo em palavras: O interior de um intervalo aberto (a, b) é o próprio intervalo aberto (a, b); o fecho de um intervalo aberto (a, b) é o intervalo fechado [a, b]. O fecho de um intervalo fechado [a, b] é o próprio intervalo fechado [a, b]; o interior de um intervalo fechado [a, b] é o intervalo aberto (a, b).

(Talvez tenha estranhado a locução “teoremas contidos na resolução dos problemas”. Se foi o caso, eis um lembrete útil: não existe nenhuma diferença lógica entre resolver um problema e provar um teorema. O estudante que se esquece disso fica numa situação emocional difícil, pois, ao resolver os problemas que o redator propõe, age como um matemático, mas, ao mesmo tempo, está sempre desmerecendo a si mesmo: “Não sou matemático, pois até hoje nunca provei um teorema; até hoje, só resolvi problemas.”)

§113-5. Faça ϖ um infinitésimo positivo. Daí 1 + ϖ ≈ 1, mas 1 + ϖ ∉ (0, 1]; portanto, 1 não é um ponto interior de (0, 1], e com isso (0, 1]0 = (0, 1). Agora, 0 é um ponto de acumulação de (0, 1]; pois 0 + ϖ ∈ (0, 1], 0 + ϖ ≠ 0, e 0 + ϖ ≈ 0. Assim, (0, 1]* = [0, 1].

Com os problemas §113-3, 4, e 5, já tem elementos para generalizar o problema de achar o interior e o fecho de intervalos de números reais. Eis a generalização:

f-014

§113-6. Direto ao ponto: {4}0 = ∅. Em palavras: o conjunto {4} tem um elemento, que é 4, mas não tem pontos interiores.

Para entender essa ideia, divida a definição de ponto interior em partes, e dê nome às partes. Por exemplo: A = “4 é um ponto interior de {4}”; B = “4 + ϖ = h ≈ 4”; C = “h ∈ {4}”. Daí a definição de ponto interior, aplicada a este caso, fica assim:

A ⇔ (BC)

A afirmação B é válida, mas a C não é. Logo, a implicação BC é inválida e a dupla implicação A ⇔ (BC) também é. Assim, 4 não é um ponto interior de {4}, e como só há um elemento em {4}, {4}0 = ∅.

E quanto ao fecho de {4}? Bem, {4}* = {4}.

Isso porque a definição diz: “O fecho de {4} é o conjunto de todos os elementos que ou são elementos de {4} ou são pontos de acumulação de {4}.” Visto que 4 ∈ {4} e que não há nenhum outro hiper-real em {4} (e, sendo assim, nada pode dizer sobre pontos de acumulação), pode imediatamente concluir que {4}* = {4}.

Eis uma regra que, às vezes, é útil: Se B é um conjunto de números reais tais que a distância entre quaisquer dois deles é um número real positivo, e não um infinitésimo, pode dizer com certeza que B0 = ∅ e que B* = B.

(Aviso: Existe outra maneira de definir ponto interior, segundo a qual 4 é um ponto interior de {4}, e portanto {4}0 = {4}. Essa outra maneira é útil em alguns contextos, mas não é o caso desta breve introdução à topologia.)

§113-7. Para simplificar, faça {1, 1/2, 1/3, …} = B. Daí B0 = ∅, pois não existe nenhum número real bB tal que, para todo hiper-real hb, hB.

Agora, 0 é um ponto de acumulação de B. Faça N um inteiro positivo infinito. Daí 1/NB, 1/N ≠ 0, e 1/N ≈ 0. Portanto, B* = {0, 1, 1/2, 1/3, …}.

Deve se lembrar de que a sequência 1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … converge para zero. “Ponto de acumulação” é o modo como o topólogo chama o limite de uma sequência, mas no contexto de subconjuntos de números reais.

§113-8. Direto ao ponto: Z0 = ∅ e Z* = Z.

Primeiro, o caso Z0 = ∅. Faça n um inteiro qualquer e ϖ um infinitésimo positivo. Daí n ± ϖn, mas n ± ϖZ, de modo que nenhum ponto de Z corresponde à definição de ponto interior.

Agora, o caso Z* = Z. Não existe nenhum ponto da reta que corresponda à definição de ponto de acumulação de Z, já que a unidade é a distância mínima entre quaisquer dois elementos distintos de Z.

§113-9. Resposta curta: Q0 = ∅ e Q* = R.

Para entender o porquê disso, adapte a definição de ponto interior para o caso em questão:

“Um número racional qQ é um ponto interior de Q se, e somente se, para todo hiper-real hq, hQ.”

No entanto, imagine um infinitésimo ϖ positivo irracional. Como talvez já saiba, ao adicionar um número irracional a um número racional, obtém uma soma irracional. (É fácil provar isso depois de ter provado que a expansão decimal de todo número racional é periódica, e que a expansão decimal de todo irracional não pode ser periódica.) Logo, q ± ϖq, mas q ± ϖQ, pois q ± ϖ é irracional, e sendo assim q não é um ponto interior de Q. Visto que imaginou q um racional qualquer, o argumento vale para todo número racional.

Quanto ao caso Q* = R: todo número c irracional é um ponto de acumulação de Q. Isso porque sempre pode adicionar um infinitésimo ϖ a c de modo que c + ϖ seja racional. (Mais uma vez, pode provar isso caso recorra à expansão decimal de c; o que deve fazer é escolher os dígitos da expansão decimal de ϖ de modo que a expansão decimal de c + ϖ seja periódica.) Se fizer assim, c + ϖ Q, c + ϖc, e c + ϖc; com tudo isso, c corresponde à definição de ponto de acumulação de Q.

§113-10. A resposta curta: (R\Q)0 = ∅ e (R\Q)* = R.

(Lembrete: A\B significa “O conjunto A menos os elementos do conjunto B.”)

Para provar que o interior do conjunto dos irracionais é vazio, reescreva a definição de ponto interior; na definição a seguir, ϖ é um infinitésimo positivo ou negativo:

“Um irracional bR\Q é um ponto interior de R\Q se, e somente se, para todo b + ϖb, b + ϖR\Q.”

Tudo o que tem a fazer é mostrar que existe pelo menos um infinitésimo ϖ tal que b + ϖR\Q. Mas isso é fácil: basta escolher um ϖ tal que a expansão decimal de b + ϖ seja periódica; pelo que já sabe de números decimais, sempre pode fazer isso. Daí b + ϖ é um hiper-real racional, de modo que b + ϖR\Q e o irracional b não é um ponto interior de R\Q.

Para provar que o fecho do conjunto dos irracionais é o próprio conjunto dos reais, deve provar que todo racional é um ponto de acumulação dos irracionais.

Mais uma vez, reescreva a definição de ponto de acumulação, de modo que possa ver mais facilmente a solução do problema:

“Um número racional q é um ponto de acumulação de R\Q se, e somente se, para algum q + ϖR\Q, diferente de q, q + ϖ q.”

Então, o que deve fazer é mostrar que existe um infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, tal que q + ϖ é um número irracional. Mas sempre pode construir um infinitésimo assim: escolha a expansão decimal de ϖ tal que a expansão decimal de q + ϖ seja não periódica.

Sutileza. Talvez queira saber: “Mas como eu escolho os dígitos da expansão decimal de ϖ de modo a cumprir meus propósitos?” Resposta: você não escolhe; antes, recorre ao teorema de Łós.

Já sabe que, se x é um número racional, sempre pode escolher um número y tal que x + y seja irracional (ou vice-versa). Basta escolher cada dígito da expansão decimal de y tal que a expansão decimal de x + y seja não periódica. Suponha, por exemplo, que x = 0,5. Ora, x é racional, pois sua expansão decimal é periódica: x = 0,5 = 0,5000…. Faça y = 0,0101001000100001000001…, isto é, com um zero entre o primeiro e o segundo um, dois zeros entre o segundo e o terceiro um, três zeros entre o terceiro e o quarto um, quatro zeros entre o quarto e o quinto um, cinco zeros entre o quinto e o sexto um, etc. Daí x + y = 0,5101001000100001000001…, e isso é um número irracional, pois a expansão decimal desse número é não periódica. Daí invoque o teorema de Łós: “Se posso afirmar isso no sistema dos números reais, então posso afirmar isso no sistema dos hiper-reais.”

§113-11. Bem, como deve ter deduzido das definições, R0 = R e R* = R.

§113-12. Visto que não há nenhum elemento em ∅, basta uma leitura das definições para concluir: ∅0 = ∅ e ∅* = ∅.

§113-3B. Como a esta altura já sabe, (0, 1)* = [0, 1]. Além disso, {(0, 1)C}* = (–∞, 0] ∪ [1, ∞). Portanto, ∂(0, 1) = [0, 1] ∩ {(–∞, 0] ∪ [1, ∞)} = {0, 1}.

§113-4B. Direto ao ponto: ∂[0, 1] = {0, 1}.

Prova: [0, 1]* = [0, 1]. Além disso, {[0, 1]C}* = {(–∞, 0) ∪ (1, ∞)}* = (–∞, 0] ∪ [1, ∞). Portanto, ∂[0, 1] = [0, 1] ∩ {(–∞, 0] ∪ [1, ∞)} = {0, 1}.

§113-5B. Direto à resposta: ∂(0, 1] = {0, 1}.

Prova. (0, 1]* = [0, 1]. (0, 1]C = (–∞, 0] ∪ (1, ∞). {(–∞, 0] ∪ (1, ∞)}* = (–∞, 0] ∪ [1, ∞). Assim, ∂(0, 1] = [0, 1] ∩ {(–∞, 0] ∪ [1, ∞)} = {0, 1}.

De modo geral, como talvez já tenha suposto, {a, b} é a fronteira dos intervalos (a, b), [a, b), (a, b], e [a, b].

§113-6B. Direto à resposta: ∂{4} = {4}. À prova:

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§113-7B. Para simplificar a notação, faça B = {1, 1/2, 1/3, …, 1/n, …}. Daí a fronteira de B é o fecho de B, isto é, ∂B = B*.

Eis a prova:

f-017

Como pode justificar a terceira linha? Ora, se fizer mais ou menos como já fez ao justificar a resposta de §113-9, pode dizer que cada ponto de B é um ponto de acumulação de R, e para ver isso mais facilmente reescreva a definição de ponto de acumulação (faça ϖ um infinitésimo positivo ou negativo): “O número real bB é um ponto de acumulação de R se, e somente se, para algum b + ϖR, diferente de b, b + ϖb.”

§113-8B. A fronteira do conjunto dos inteiros é o próprio conjunto dos inteiros: ∂Z = Z.

À prova:

f-018

§113-9B. Em palavras: a fronteira dos racionais é o conjunto dos reais, ou seja, ∂Q = R. Eis a prova:

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§113-10B. A fronteira dos irracionais é o conjunto dos reais, ou seja, ∂{R\Q} = R.

Eis a prova:

f-020

§113-11B. A fronteira dos reais é vazia: ∂R = ∅.

À prova:

f-021

§113-12B. A fronteira do conjunto vazio é vazia: ∂∅ = ∅.

Prova. Visto que ∅* = ∅, e que a intersecção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto vazio, pode imediatamente dizer que ∂∅ = ∅* ∩ [∅C]* = ∅.

Observação: Outro jeito de definir a fronteira de um conjunto B é defini-la como o fecho de B menos o interior de B: ∂B = B*\B0.

§113-13. Suponha primeiro que bB e que cC. Daí, pela própria definição de conjunto união e de fecho de um conjunto, bB*, bBC, bB*C*, e b ∈ (BC)*; e também cC*, cBC, cB*C*, e c ∈ (BC)*. Até aqui, por enquanto, B*C* = (BC)*, pois ambos os conjuntos têm os mesmos elementos.

Agora, suponha que h1B, h1x1, sendo x1 um número real, e que h1x1. Daí x1 é um ponto de acumulação de B, e x1B*, x1B*C*, e, visto que h1BC, x1 ∈ (BC)*.

Por último, suponha que h2C, h2x2, sendo x2 um número real, e que h2x2. Daí x2 é um ponto de acumulação de C, e x2C*, x2B*C*, e, visto que h2BC, x2 ∈ (BC)*.

Sendo assim, todos os elementos de B*C* são elementos de (BC)*, e vice-versa, de modo que B*C* = (BC)*.

§113-14. Suponha o contrário: embora o número real x seja um ponto interior de BC, ainda assim xB0C0, isto é, B0C0 ≠ (BC)0.

Mas, se x é um ponto interior de BC, então, pela definição de conjunto intersecção, isso significa que xB e também que xC; além disso, para todo h x, hBC, de moco que hB e também hC.

Ora, mas se é assim, x é um ponto interior de B, assim como é também um ponto interior de C, e tem de ser o caso de que xB0C0, e com isso você contradiz a pressuposição inicial. Portanto, B0C0 = (BC)0.

§113-15. Em palavras: o complemento do interior de A é igual ao fecho do complemento de A.

Para compor essa prova, achará útil usar a ideia de bola, que o matemático usa muito na topologia. Faça Bϖ(x) o intervalo fechado da reta real que pode formar ao desenhar, com a ponta seca do compasso em x, uma bola de raio igual ao infinitésimo positivo ϖ. (Na verdade, ao fazer isso, desenha um círculo, que delimita um disco; mas um disco é a versão em duas dimensões de uma bola.) Ou seja: Bϖ(x) = {rHR : xϖ rx + ϖ}. É o que pode ver na figura a seguir.

topologia-3

Tendo o conceito de bola em torno de x, reescreva a definição de interior do conjunto A e de fecho do conjunto A.

f-022

Com isso, já pode escrever uma prova bem simples, na qual vai usar o conceito de complemento de A (se x é elemento do complemento de A, não pode ser elemento de A) e a contrapositiva da dupla implicação na segunda linha do formulário acima. (Lembrete: Se PQ, a contrapositiva dessa implicação é ¬Q → ¬P.)

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E com isso a prova está completa. (Em palavras: x só pode ser elemento do complemento do fecho de A se, e somente se, x não é elemento do fecho de A; mas x não é elemento do fecho de A se, e somente se, pode usar uma bola em torno de x, de raio igual a um infinitésimo positivo ϖ, para construir um intervalo fechado da reta hiper-real tal que a intersecção desse intervalo e do conjunto A é vazia; mas isso só é possível se, e somente se, pode usar uma bola em torno de x, de raio igual a um infinitésimo ϖ, para construir um intervalo fechado da reta hiper-real que seja subconjunto próprio do complemento de A; mas isso só é possível se, e somente se, x é elemento do interior do complemento de A. E se todas essas implicações são válidas, e elas são, então x só pode ser elemento do complemento do fecho de A se, e somente se, é elemento do interior do complemento de A; mas daí o complemento do fecho de A é igual ao interior do complemento de A, pois ambos os conjuntos têm os mesmos elementos, sem exceção.) Pode ver uma versão simples desse teorema no desenho a seguir.

topologia-4

Veja agora outra prova deste problema §113-15, na qual você só tem de recorrer às definições:

Se x ∈ (A*)C, daí, pela definição de fecho, existe um conjunto fechado CA tal que xC. Mas daí xCCAC, e visto que C é fechado, CC é aberto. Portanto, x é elemento de um subconjunto próprio de AC, e desse modo x ∈ (AC)0 pela definição de interior.

Para provar a recíproca dessa afirmação:

Se x ∈ (AC)0, daí, pela definição de interior, existe um conjunto aberto VAC tal que xV. Mas daí xVCA. Visto que V é aberto, VC é fechado, e assim existe um conjunto fechado VC, que contém A, mas tal que xVC. Pela definição de fecho, xA*, e portanto x ∈ (A*)C. Com tudo isso, o teorema está mais uma vez provado.

Se quiser pesquisar na internet, verá que há muitas outras provas dessa mesma afirmação.

§113-16(a). Se A = ∅, daí A0 = ∅ e, visto que o conjunto vazio é aberto, A0 é aberto. Se A ≠ ∅ (como Q ≠ ∅, por exemplo), mas A0 = ∅ (como Q0 = ∅), daí mais uma vez A0 é aberto.

Resta agora o caso em que A ≠ ∅ e, além disso, A0 ≠ ∅.

Use Dϖ(x) para denotar o intervalo aberto que pode montar com o disco aberto de raio igual ao infinitésimo positivo ϖ em torno de x (com a ponta seca do compasso em x). Em outras palavras: na linha dos números hiper-reais, use Dϖ(x) para denotar o conjunto aberto contendo todo hiper-real h tal que xϖ < h < x + ϖ. Usando a notação de intervalo, Dϖ(x) = (xϖ, x + ϖ).

Bem, se o real xA0, pela definição de interior de um conjunto, pode construir o intervalo aberto Dϖ(x) ⊂ A0. Pode fazer isso para todo real xA0, e para todo valor positivo que atribua ao infinitésimo positivo ϖ.

Ora, A0 é a união de todos os intervalos abertos Dϖ(x) que pode dessa maneira construir. Como já viu ao provar o teorema §113-1, a união de um número arbitrário de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Portanto, A0 é um conjunto aberto.

§113-16(b). Pode fazer uma prova semelhante à prova anterior, e provar que A* é a interseção de todos os conjuntos fechados CR que contêm A. Uma vez que faça isso, invoque o teorema §113-4.

Prova. Suponha que o número real xA* e que C é um conjunto fechado que contém A. Se xA, então xC, pois CA. Se xA, ora, visto que xA*, então existe algum hiper-real hA, com hx, tal que hx. Em particular, x é um ponto de acumulação de C, pois hC, hx, e hx; logo, xC pelo teorema §113-6 (“um conjunto C é fechado se, e somente se, C contém todos os seus pontos de acumulação”). Com isso, pode escrever a linha a seguir, na qual usa Ω para designar o conjunto de todos os conjuntos fechados C que contêm A.

f-024

Agora suponha que xA*. Vai dizer agora que existe um conjunto fechado C que contém A, mas não contém o elemento x. Pois, se xA*, pode atribuir qualquer valor que queira ao infinitésimo positivo ϖ e construir o conjunto aberto Bϖ(x) = (x ϖ, x + ϖ) tal que Bϖ(x) ∩ A = ∅. [Pois, se Bϖ(x) ∩ A = {x ± ϖ} para algum infinitésimo positivo ϖ, daí x seria um ponto de acumulação de A, e com isso xA*.] Bem, Bϖ(x) é um conjunto aberto, de modo que existe um conjunto fechado DA tal que C = D\Bϖ(x) é um conjunto fechado que contém A, mas não contém x. Com isso, você prova que A* não é meramente subconjunto da intersecção de todos os conjuntos fechados CΩ, mas que A* é exatamente a intersecção de todos os conjuntos fechados CΩ. Em símbolos:

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Agora basta invocar o teorema §113-4: A intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados é um conjunto fechado, e portanto, para todo conjunto AR, A* é um conjunto fechado.

❏ §113-16(c). Por definição, (A0)0A0, pois você inclui no interior de um conjunto somente os pontos interiores desse conjunto, mas talvez exclua outros pontos, aqueles que não correspondem à definição de ponto interior.

Suponha agora que o número real xA0. Daí, para todo hiper-real hx, hA0. Reescreva a definição de ponto interior: “Um número real xA0 é um ponto interior de A0 se, e somente se, para todo hx, hA0.” Logo, visto que x é um ponto do interior de A0, x ∈ (A0)0, e com isso você pode afirmar que A0 ⊆ (A0)0. [Pois todo ponto de A0 é um ponto de (A0)0, mas talvez (A0)0 contenha algum ponto que não seja também elemento de A0.]

Ora, se (A0)0A0 por definição, e se A0 ⊆ (A0)0 por dedução, então pode imediatamente concluir que A0 = (A0)0.

❏ §113-16(d). Uma prova simples:

(1) A* é um conjunto fechado, como já viu no problema §113-16(b).

(2) Como já viu ao estudar o teorema §113-6, um conjunto A* é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.

(3) O conjunto (A*)* é o conjunto no qual você inclui todos os elementos de A*, mais os pontos de acumulação de A*; contudo, visto que A* é fechado, já contém todos os seus pontos de acumulação. Logo, (A*)* = A*, ou, em palavras, não há como (A*)* ser diferente de A*.

§113-17. Faça B = (–1, 0) e C = (0, 1). Daí BC = ∅ e (BC)* = ∅* = ∅. Mas B* = [–1, 0] e C* = [0, 1], de modo que B* C* = {0} ≠ ∅ = (BC)*.

§113-18. Faça B = [–1, 0] e C = [0, 1]. Daí B0 = (–1, 0) e C0 = (0, 1). Desse modo, B0C0 = (–1, 0) ∪ (0, 1) = (–1, 1)\{0}; mas (BC)0 = [–1, 1]0 = (–1, 1).

§115-1. (0, 1) não é compacto, mas é conexo. [0, 1] é compacto e conexo. (0, 1] não é compacto, mas é conexo. {4} é compacto, mas desconexo. {1, 1/2, 1/3, …} = A não é compacto, pois, se N é um inteiro positivo infinito, 1/NA, 1/N ≈ 0, mas 0 ∉ A; além disso, A é desconexo. Z não é compacto, pois é ilimitado, e é desconexo, pois Z ⊆ (–∞, 1/2) ∪ (1/2, ∞). Q não é compacto, pois é ilimitado, e é desconexo, pois Q ⊆ (–∞, x) ∪ (x, ∞), onde x é um irracional. R\Q não é compacto, pois é ilimitado, e é desconexo, pois R\Q ⊆ (–∞, x) ∪ (x, ∞), onde x é um racional. R não é compacto, pois é ilimitado, mas é conexo. Por fim, ∅ é compacto, pois é um conjunto fechado e limitado, e é desconexo, pois, para todo conjunto AR, A ∩ ∅ = ∅.

§115-2. Eis uma prova simples: se A1A2A3 ⊇ ··· são todos conjuntos compactos e não vazios, em primeiro lugar o conjunto intersecção de um número arbitrário deles é limitado, pois é subconjunto de A1 e A1 é limitado; além disso, é fechado, pois é a intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados (teorema §113-4). Logo, se o conjunto intersecção de A1A2A3 ⊇ ··· é fechado e limitado, então é compacto. Só falta provar que é não vazio. Mas, se A1A2A3 ⊇ ··· são todos conjuntos compactos e não vazios, então, para algum N inteiro positivo infinito, AN é um conjunto compacto e não vazio. Escolha o caso mais extremo: AN = {x}, onde x é um número real (e daí AN+1 = AN+2 = AN+3 = ··· = {x}); não há conjunto compacto não vazio mais simples do que esse. Ora, AN está contido em cada um de todos os superconjuntos A1A2A3 ⊇ ··· ⊇ AN, de modo que AN = A1A2A3 ∩ ··· ∩ AN, e portanto x é elemento de tal conjunto intersecção. Como essa afirmação vale para N, um inteiro positivo infinito, vale também para qualquer inteiro positivo finito n, por maior que seja.

§115-3. Faça B = {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/5, …}. Daí B ⊂ (0, 1). Faça N um inteiro positivo infinito. Daí 1/NB e, além disso, 1/N ≈ 0, de modo que zero é um ponto de acumulação de B; no entanto, 0 ∉ (0, 1).

Ou então faça C = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, …}. Daí N/(N + 1) ∈ C e, além disso, N/(N + 1) ≈ 1, de modo que 1 é um ponto de acumulação de C; no entanto, 1 ∉ (0, 1).

§115-4. Para n ≥ 2, faça An como a seguir.

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Daí eis como ponde montar A2, A3, …, AN, …, onde N é um inteiro positivo infinito.

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Para todo N inteiro positivo infinito, 1/N ≈ 0 e N/(N + 1) ≈ 1; além disso, se M > N é um inteiro positivo infinito, 0 < 1/M < 1/N e N/(N + 1) < M/(M + 1) < 1. Deve concordar, portanto, que (0, 1) = A2A3A4 ∪ ··· ∪ AN ∪ ··· ∪ AM ∪ ···, mas, para qualquer valor inteiro positivo finito de n, por maior que seja, (0, 1) ⊈ A2A3A4 ∪ ··· ∪ An.

§115-5. Suponha o contrário: existe um conjunto S tal que S é ao mesmo tempo aberto e fechado, mas, apesar disso, SR e S ≠ ∅. De acordo com o teorema §113-3, o complemento SC de S também é ao mesmo tempo aberto e fechado. Sendo assim, visto que R é o conjunto universo, R = SSC.

Contudo, R = (–∞, ∞) é um intervalo, e, pelo teorema §115-1, é conexo. Reescreva a definição de conjunto conexo: “Um conjunto R é conexo se, e somente se, você não tem como achar dois conjuntos disjuntos S e SC, ambos abertos, tais que R = SSC e, além disso, RS ≠ ∅ e RSC ≠ ∅.”

Portanto, visto que S e SC são ambos conjuntos abertos, chegou a uma contradição. A suposição inicial é falsa, de modo que sua negação é verdadeira: Não existe um conjunto S tal que S é ao mesmo tempo aberto e fechado, mas, apesar disso, SR e S ≠ ∅. Sendo assim, ou S = R ou S = ∅.

§116-1(a). Em palavras: “A imagem do fecho de A é igual ao fecho da imagem de A.” Falso.

Para provar que a afirmação é falsa, tudo o que tem a fazer é achar um contraexemplo. Faça, por exemplo, f(x) = 1/x e A = (1, ∞). Daí:

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§116-1(b). Em palavras: “A imagem do interior de A é igual ao interior da imagem de A.” Falso.

Eis um contraexemplo: defina A = R e f tal que f(x) = 1. Daí A0 = R, f(A0) = f(R) = f(A) = {1}; contudo, f(A)0 = {1}0 = ∅.

§116-1(c). Em palavras: “O domínio do fecho de A é igual ao fecho do domínio de A.” Falso.

Eis um contraexemplo: faça f(x) = 1/x e A = (0, 1]. Daí f–1(A) = [1, ∞). Tudo legítimo até aqui. Contudo, f–1(A*) = ∅, pois não existe domínio de f tal que sua imagem seja A* = [0, 1], e pode explicar isso assim: y = 0 é uma assíntota horizontal de f, isto é, não existe valor positivo de x, por maior que seja, tal que 1/x = 0. [Nem mesmo um hiper-real h positivo infinito produziria y = f(h) = 0.] Apesar disso, [f–1(A)]* = [1, ∞), e portanto f–1(A*) ≠ [f–1(A)]*.

§116-1(d). Em palavras: “O domínio do interior de A é igual ao interior do domínio de A.” Falso.

Contraexemplo: Faça f(x) = 1. Daí a imagem A de f é A = {1}. O domínio f–1(A) = R, e portanto f–1(A)0 = R. Mas A0 = ∅, de modo que f–1(A0) = f–1(∅) = ∅, e assim ∅ = f–1(A0) ≠ f–1(A)0 = R.

Observação. Com os problemas §116-1(a) a §116-1(d), o redator está tentando fazê-lo ver que não deve automaticamente dizer que “se o domínio é assim, a imagem também é assim; se a imagem é assado, o domínio também é assado”. Em termos positivos: “Se o domínio é assim, não necessariamente a imagem é assim; se a imagem é assado, não necessariamente o domínio é assado.”

§116-2. Primeiro, uma versão mais longa dessa prova, para deixar as ideias bem claras, já que esse teorema é importante.

Faça h(x) = x. Daí g(x) = f(x) – h(x) = f(x) – x é uma função contínua (pois f e h são contínuas). O domínio de g é o mesmo de f, isto é, [0, 1], que é um conjunto conexo. Isso significa que, pelo teorema §116-4, a imagem de g também é conexa. A imagem de g é, no mínimo, {0} se f(x) = h(x) para todo valor de x, e neste caso o teorema está provado: existe um valor de x = b tal que f(b) – b = 0. No entanto, a imagem de g é no máximo [–1, 1]; isso acontece se fizer f(x) = 1 – x.

Ora, visto que [–1, 1] é um intervalo, é conexo pelo teorema §115-1, de modo que não pode achar dois conjuntos disjuntos e abertos A = (–∞, 0) e B = (0, ∞) tais que [–1, 1] ⊆ AB. Em outras palavras, não tem como tirar o elemento 0 da imagem de g, e mais uma vez o teorema está provado, desta vez definitivamente: existe um valor de x = b tal que f(b) – b = 0.

A questão é que não importa como queira definir a função contínua f, 0 ∈ g([0, 1]), ou seja, se o domínio de f e de g é [0, 1], e se a imagem de f é [0, 1], zero é sempre elemento da imagem de g. No desenho a seguir, pode ver duas formas para a curva de f (em rosa): à esquerda, uma curva qualquer; à direita, a curva de f(x) = 1 – x. Intuitivamente falando, não tem como desenhar a curva contínua de f sem que ela intercepte, no mínimo uma vez, a curva de h.

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Agora está em condições de entender uma versão mais compacta dessa mesma prova: não importa como configure a função contínua f, g(0) ≥ 0 e g(1) ≤ 0; logo, a imagem [g(1), g(0)], sendo um conjunto conexo pelo teorema §116-4, tem de conter o elemento g(x) = 0, e isso significa que f(b) = b para algum x = b em [0, 1].

§116-3. Se quiser, pode trabalhar direto com as definições para compor uma prova por contradição.

Suponha que, embora C seja um conjunto fechado, f–1(C) é um conjunto aberto. Bem, f é contínua, e o que você tem é f : f–1(C) → C. Suponha ainda que x’f–1(C), sendo x’ um real, e que x’h’, sendo h’ um hiper-real, mas que h’f–1(C). Visto que f–1(C) é aberto, você pode supor tudo isso; pense, por exemplo, no intervalo aberto (x’, ∞) = f–1(C), com h’ à direita de x’.

Daí, para algum hiper-real hC, h = f(h’). Além disso, x = f(x’) deveria ser elemento de C também, já que C é fechado; pois x’h’, e também f é contínua: deveria ser o caso de que xh. Mas como x = f(x’) se x’f–1(C)? Contradição. Logo, o domínio f–1(C) tem de ser fechado se a imagem C é fechada, QED.

Pode ver um rascunho dessa ideia na figura a seguir, onde o eixo das abscissas contém os elementos de f–1(C), e o eixo das ordenadas, os elementos de C.

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§116-4. Faça, por exemplo, f(x) = sen(x) e A = R. Daí A é um conjunto aberto, mas f(A) = [–1, 1] é um conjunto fechado, isto é, não aberto.

§116-5. Bem, f(x) = 1/x é ilimitada em (0, 1), pois f((0, 1)) = (1, ∞). Já f(x) = x é limitada em (0, 1), pois f((0, 1)) = (0, 1), mas não atinge nem um máximo nem um mínimo, isto é, não há elemento de f((0, 1)) que seja o maior de todos (exceto ele mesmo) ou que seja o menor de todos (exceto ele mesmo).

§116-6. Faça, por exemplo, f(x) = sen(x). Faça f–1(C) = R, pois daí f–1(C) não é compacto, pois é ilimitado; mas C = [–1, 1] é um conjunto compacto.

§116-7. Faça f(x) = 1 para todo valor de x. Faça f–1(C) = Q, que é desconexo. Mas daí C = {1}, que é conexo. (Pode ver {1} como um intervalo fechado: {1} = [1, 1].)

§116-8. Um exemplo muito bom é f(x) = 1/x em (0, 1). Faça N > 0 um hiper-real infinito. Daí 1/N ≈ 1/(N + 1), pois ambos são infinitésimos positivos; porém:

f-031

Outro exemplo é f(x) = x2 em R, pois NN + 1/N, mas f(N) ≉ f(N + 1/N).

Talvez queira saber: Que tipo de função é uniformemente contínua? Bem, f(x) = x em R é uniformemente contínua, assim como f(x) = √x em [0, ∞) e f(x) = ln(x) em [1, ∞]. Aliás, f(x) = 1/x é uniformemente contínua em [1, ∞). Eis um jeito impreciso, mas intuitivo, de pensar a respeito disso: se uma função contínua cresce ou diminui depressa, talvez não seja uniformemente contínua; se cresce ou diminui devagar, talvez seja uniformemente contínua.

§117-4 e §117-5. Use a definição de limite superior como referência.

Definição de limite inferior. Chame um número b de limite inferior do conjunto BR se xb para todo xB. (Não necessariamente bB.) Chame b de o maior limite inferior de B se, e somente se, b é um limite inferior de B e, além disso, não há outro limite inferior de B que seja maior que b.

É o que pode ver no desenho a seguir.

topologia-10

§117-1. Suponha que a, cA são números reais, e que a < c. Visto que a, cA, então a, c < b. Se a < x < c, sendo x um número real, então x < b e xA. Daí a definição §115-2 de intervalo se aplica perfeitamente ao conjunto A.

Visto que R e A são intervalos, e que C = R\A, então C também é um intervalo. Alternativamente, pode definir C = {s R : sb para algum bB}. Suponha que s1, s2C são dois números reais, com s1 < s2. Se s1 < x < s2, sendo x um número real, então x > b e xC, e com isso prova que C também é um intervalo.

Em outras palavras, eis o que acabou de provar: se BR é um conjunto não vazio, você pode usar qualquer um dos elementos de B, real ou hiper-real, para dividir a linha dos números reais em dois conjuntos disjuntos, ambos intervalos, cuja união é a própria linha. Conforme a escolha de b, ou A será aberto à direita ou será fechado à direita; com isso, ou C será fechado à esquerda ou será aberto à esquerda.

§117-2. Para todo número real r, existe um número real x < r tal que rx > 100. Visto que essa frase é verdadeira no sistema dos números reais, é verdadeira no dos hiper-reais: para todo hiper-real h, existe um hiper-real x < h tal que hx > 100; visto que xh, há no mínimo um número real entre eles, e isso prova que A contém pelo menos um número real, que é o número real entre h e x, de modo que A é um conjunto não vazio.

Além disso, visto que A = {r : r < h, com rR), h é um limite superior de A por definição. Talvez não seja um limite superior real (pois h pode ser um hiper-real não padrão), mas em todo caso é um limite superior de A, já que, se xA, então x < h. Agora, é bem provável que deseje provar que A tem um limite superior real; basta afirmar que, se h é um hiper-real finito, então existe um número real x tal que x > h, e com isso x é um número real que é também um limite superior de A.

§117-3. Todo hiper-real h finito está infinitamente próximo de um, e de apenas um, número real. (Esse é o teorema §21-1.) Faça x o número real infinitamente próximo de h, e faça também xh (para não ficar com o caso trivial); portanto, faça ϖ o infinitésimo positivo tal que h = x + ϖ ou h = xϖ. Daí ou h = xϖ está à esquerda de x ou h = x + ϖ está à direita de x, como pode ver na figura a seguir.

topologia-12

Se h = xϖ, x é o menor limite superior de A, pois não pode haver outro número real entre x e h. Além disso, xA, isto é, A não tem o maior elemento, pois é aberto à direita; de fato, A = (–∞, x). Ou então, se h = x + ϖ, mais uma vez x é o menor limite superior de A, pois não pode haver outro número real entre x e h. Além disso, xA, isto é, A é fechado à direita; de fato, A = (–∞, x].

§117-4 e §117-5. A definição de limite inferior: Um número b é um limite inferior do conjunto B se xb para todo xB. A definição de o maior limite inferior: Um número b é o maior limite inferior de B se, e somente se, é um limite inferior de B e, além disso, não há outro limite inferior de B que seja maior que b.

topologia-10

§117-6. Se quiser, pode recorrer a um argumento muito simples, por simetria: Se todo conjunto não vazio AR, sendo A limitado, tem a propriedade do menor limite superior, então, por simetria, todo conjunto não vazio BR, sendo B limitado, tem um maior limite inferior. QED.

Como pode deixar mais claro o que pretende dizer com “por simetria”, caso julgue necessário? Faça B = {–r : rA}. Visto que A tem o menor limite superior x (teorema §117-1), então nenhum elemento de B pode ser menor do que –x, e portanto –x é o maior elemento inferior de B. Veja uma instância desse teorema na figura a seguir.

topologia-13

§117-7. Falso. Pois, se x é um limite inferior de A, por mais à esquerda que esteja na linha dos números hiper-reais, x – 1 é outro limite inferior, e x – 1 < x.

§117-8. Verdadeiro. Se x é o menor limite superior de A, então nenhum outro limite superior de A pode ser menor do que x, de modo que x tem de ser o maior limite inferior do conjunto dos limites superiores de A.


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{119}/ Editorial: Até logo, bem logo

Com tudo o que viu até aqui, está pronto para abrir uma quantidade imensa de livros sobre temas da matemática universitária — entre eles, Theory of Functions of a Real Variable, do matemático russo Sergey B. Stečkin. Não há mais nenhum conceito no livro de Stečkin que não possa compreender. Melhor do que isso: não há nenhum conceito no livro de Stečkin que não possa reescrever, para deixá-lo mais claro, recorrendo à teoria dos números hiper-reais.

Não significa que abrirá um livro desses e poderá compreendê-lo sem esforço. Não. Nenhum livro sobre matemática universitária é como se fosse uma revista do Tio Patinhas, mas, tendo estudado as 118 seções até aqui, já não tem medo de derivadas e integrais, nem de palavras como “compacto” e “conexo”, e portanto tem as ferramentas teóricas mínimas com as quais, depois de algum esforço, interpretar ideias difíceis e refinadas. Já sabe que deve encarar ex como uma função polinomial de grau infinito, fato que não lhe causa mais estranheza. De certa forma, é como se carregasse na carteira uma entrada para o Suado, Mas Fantástico Parque das Diversões Matemáticas.

A partir de agora, de quando em quando haverá nesta Imaginário Puro um problema sobre cálculo diferencial e integral (com a resolução logo em seguida), e poderá usar tudo o que sabe sobre o sistema dos números hiper-reais para resolvê-lo, ou para se divertir ao acompanhar a resolução. Não perca: volte sempre!

Por último, uma frase de Ian Stweart, matemático britânico, autor de 17 Equações que Mudaram o Mundo (Zahar, 2013):

É impossível listar todas as maneiras pelas quais alguém pode aplicar o cálculo. Seria como listar tudo no mundo que depende do uso de uma chave de fenda. Com o cálculo, mais do que com qualquer outro método matemático, a humanidade criou o mundo moderno.

{FIM}


Caso queira reportar um erro, tirar uma dúvida, ou fazer uma sugestão, escreva para:

ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com

O que um curso de nível A não necessariamente te dará

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Artigo de Timothy Gowers

Se você decorou regras sem compreender como elas surgiram, e por que funcionam, então não conseguirá mantê-las na memória por muito tempo, nem usá-las para resolver problemas, e muito menos usá-las para estudar tópicos mais complicados.


{0A}/ Quem é Gowers

William Timothy Gowers é matemático inglês, ganhador da medalha Fields de 1998 pelos resultados que obteve em combinatória e análise funcional. É pesquisador na Universidade de Cambridge, e autor do ótimo livrinho Matemática: Uma Breve Introdução. Publicou este artigo no blog [gowers.wordpress.com] no dia 20 de novembro de 2012.


{0B}/ Um pouco de notação

O matemático usa a notação f(x) para denotar o valor da função f quando x é igual a x. Um exemplo: se t(z) = 2z, então t(3) = 6. Quando escreve f’(x), quer dizer a derivada de f quando x é igual a x. Exemplo: t’(x) = 2, e a derivada de t quando x = 3 é 2, isto é, t’(3) = 2.


{1}/ O artigo em si

Tive uma conversa matemática com um rapaz de 17 anos, que está fazendo o segundo ano de matemática de nível A — ele é inteligente, e todos esperam que tire nota A. [Sobre “matemática de nível A”, veja a seção 2.] Embora toda amostra de tamanho 1 deva ser tratada com precaução, penso que o rapaz em questão foi tão bem treinado quanto a maioria dos outros matemáticos de nível A. Se estiver certo quanto a isso, então o que descobri ao conversar com ele é preocupante.

Com a conversa, ele queria minha ajuda para alcançar o resto da classe, porque tinha ficado doente uns dias. Queria auxílio com um tópico em particular, integração, ou, como ele dizia, “integração por partes”. (Na verdade, depois que lhe expliquei a técnica de integração por partes, ele me disse que não era bem isso o que quis dizer, mas acho que não perdemos nada.) [“Integração por partes”: veja a seção 3.] Assim que começamos, ele me perguntou por que a derivada de ex é ex, e o que havia de especial no número e.

A pergunta me pareceu boa desculpa para uma conversa preliminar, então eu disse: “OK, vamos tentar diferenciar ex dos primeiros princípios e ver o que acontece.” [“Dos primeiros princípios”: veja a seção 4.] Ele não soube interpretar o que eu quis dizer com “dos primeiros princípios”, então lhe dei uma cutucada: “Se você não soubesse qual é a derivada de ex, o que faria para achá-la?”

Nesse ponto, ele me sugeriu xex−1. Para ser justo, ele não estava dizendo que a sugestão estava correta. Entretanto, foi um caso de dissonância cognitiva, visto que tentávamos compreender por que a derivada de ex é ex. O que me incomodou mais, porém, foi o fato de que ele não conseguia ver por que xex−1 não tinha como ser a derivada de ex. E o que me incomodou talvez ainda mais do que isso foi o fato de que ele devia traduzir “calcular a derivada dos primeiros princípios” como sendo “aplicar mecanicamente a regra xnnxn–1”.

Num esforço para passar dessa parte, perguntei: “Tudo bem, mas o que a derivada significa de verdade?” Ele não tinha resposta. Então desenhei o gráfico de uma função qualquer, que rotulei de y = f(x), desenhei um ponto na curva, e lhe perguntei o que a derivada significava. Se me lembro bem, só então ele disse que era o gradiente da curva naquele ponto. (Não acho que tenha usado a palavra tangente.) Perguntei como ele faria para achar a derivada. Ele sugeriu y/x. Respondi: “Portanto, para calcular a derivada, apenas dividimos por x — é isso?” Ele riu e disse que não.

Uma função qualquer (em preto): a derivada da função é a inclinação da reta tangente à função (em vermelho) num ponto qualquer (representado pela bolinha vermelha)

 

Era hora de voltar ao básico, e lhe perguntei como achar o gradiente de uma linha reta. Ele respondeu: “Elevação sobre comprimento.” Eu nunca tinha ouvido tal terminologia ou, se tinha, esqueci completamente — mas o significado era óbvio. [O leitor pode achar a inclinação de uma reta ao calcular Δy/Δx, caso Δx ≠ 0.] Perguntei qual era a dificuldade quando a linha não era reta, ao que me respondeu: o gradiente mudava o tempo todo. “O que podemos fazer a respeito?” Ele sugeriu pegar um ponto não muito longe e calcular o gradiente da reta ligando o tal ponto ao ponto em estudo.

Agora estávamos chegando a algum lugar. Eu já tinha desenhado um segmento de reta indo direto para cima, de um ponto no eixo x, marcado como x, até atingir a curva. Fiz o mesmo com um segmento de reta indo para cima de um ponto marcado x + h, e lhe perguntei onde estava a elevação sobre o comprimento. Ele chegou às respostas corretas: f(x + h) – f(x) e h. Eu lhe disse que, conforme h ficava cada vez menor, a curva ficava cada vez mais reta, de modo que a fórmula da derivada f’(x) virava:

equation-2

“Você realmente nunca viu isso antes?” Ele confirmou a informação, mas, quando o pressionei, finalmente admitiu que provavelmente tinha visto, mas, mesmo que tivesse, então o assunto fora claramente marcado como um tópico sobre o qual não precisava saber nada, pois não haveria perguntas sobre o tópico no exame.

Isso sim me incomodou, a ponto de me dar a vontade de tirar esse peso das minhas costas por meio de uma publicação no blog. Acho que mal preciso explicitar o que há de errado com o argumento que seu professor lhe deu (se é que seu professor lhe deu esse argumento; não tenho certeza quanto a isso, mas o mero fato de que essa foi a mensagem entendida já é ruim), mas vou explicitar mesmo assim. Suponha que seu propósito seja apenas ir bem na matemática de nível A, e que nenhuma questão vai testar sua familiaridade com a fórmula da derivada para uma função arbitrária (bem comportada) num ponto arbitrário. O que é melhor?

(1) Não faça nenhum esforço para entender a fórmula, mas simplesmente estude alguns exemplos básicos de derivada (de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas) e algumas regras para diferenciar combinações de funções (regra da soma, do produto, da divisão; regra da cadeia), e estará pronto para derivar qualquer coisa que apareça num exame.

(2) Estude o que a derivada significa, ache a fórmula da derivada de uma função arbitrária num ponto arbitrário, calcule umas poucas derivadas dos primeiros princípios, ache a regra do produto, do quociente, e da cadeia, e estude como usá-las para diferenciar combinações de funções.

A resposta é que, se você é capaz de fazer (2), então (2) é muito melhor — e o rapaz do qual estou falando é certamente capaz de fazer (2). Por que é melhor? A memória funciona muito bem quando você estuda redes de fatos, em vez de fatos isolados. Se não entende o que é uma derivada de verdade, então o fato de que a derivada de x3 é 3x2 é completamente diferente do fato de que a derivada de ex é ex. Mas se derivou ambas as funções de primeiros princípios (volto em breve ao que disse sobre ex), daí ambos os fatos estão interligados: você realiza o mesmo procedimento com x3 e com ex e daí obtém 3x2 e ex. (Outra razão é que, caso se esqueça de alguma coisa, tem a chance de derivá-la de novo, mas esse é um ponto ligeiramente diferente.) Seus conhecimentos de um tópico da matemática ficam muito mais firmes se sabe como achar as derivadas, ou se pelo menos recorda algo do procedimento de derivação, mesmo que não tenha nenhum problema para memorizar uma derivada aqui e outra ali. Mesmo que se esqueça dos detalhes sobre as derivadas, só ter feito as demonstrações já te permite juntar melhor os fatos que sabe.

Depois que expliquei a derivação em abstrato, disse que deveríamos diferenciar x2 dos primeiros princípios. Ou, como de fato disse: “Vamos aplicar essa fórmula para o caso em que f(x) = x2. O que deveríamos fazer?” Para meu espanto, ele não soube imediatamente o que fazer. “Se f(x) = x2”, perguntei, “então o que é f(x + h)?” Não lembro mais que resposta me deu, mas não foi (x + h)2. Ele se debateu e chutou para todo lado, sem entender de verdade o que eu estava perguntando. De novo, parece que sua escola deixou de fazer algo muito sério, embora eu não tenha conseguido atinar com um diagnóstico preciso neste caso; parece que a escola não o fez compreender a noção de função a ponto de conversar sobre uma função abstrata f e ver que ela pode assumir muitas configurações.

De qualquer forma, uma vez que o ponto estava esclarecido (não necessariamente duma vez, mas ao menos para o momento), passamos pela diferenciação de x2 sem mais problemas. De novo, ele disse que nunca tinha visto aquela derivação antes — e talvez tenha sido nesse ponto que explicou algo do tipo “eu não preciso saber isso para o exame”.

O ponto geral aqui é que os testes de nível A ficaram mais fáceis, e as escolas têm a tendência de ensinar só o que cai na prova. Se apenas uma dessas afirmações fosse verdadeira, não haveria tanto problema. Eu não teria nada contra testes de nível A mais fáceis se os jovens com talento recebessem instrução mais profunda do que o teste exige (se bem que, como argumentei mais acima, o professor que ensina só o que cai na prova está equivocado em seus próprios termos, pois seus alunos se sairiam melhor se não tivessem instrução apenas sobre o que cai na prova); e eu não me oporia demais a ensinar apenas o que cai na prova se a prova fosse bem dura.

E quanto a diferenciar ex? Ora, depois de dois começos em falso chegamos à expressão:

equation-3

Perguntei o que poderíamos fazer com ex+h. Precisei dar várias dicas até que ele chegasse a exeh. Então perguntei o que poderíamos fazer com exehex. Com mais várias dicas, ele chegou à resposta, mas tive de perguntar o que ele faria com uvu. De qualquer forma, chegamos a:

equation-4

Decidi salientar somente que o último limite era a derivada de ex em 0. Também salientei que o argumento inteiro, até o momento, também funcionava para a função ax, qualquer que fosse o valor positivo de a. Desenhei algumas figuras para diferentes ax, mostrando que algumas cruzavam o eixo y com inclinação menor que 1 e outras com inclinação maior que 1, e que ex cruzava o eixo y com inclinação igual a 1. Ele me perguntou por que a inclinação era exatamente 1 para ex, o que se revelou boa oportunidade de tentar explicar: ele estava entendendo as coisas ao contrário; a constante e tinha sido escolhida exatamente para que a inclinação fosse 1. [Veja a seção “O número e”.] (Claro, a pergunta, do jeito que ele a fez, faria sentido se tivéssemos definido e de alguma outra maneira, mas não acho que era o caso. Quando eu estava na escola, me lembro disso como sendo a definição de e, e me lembro que me senti ligeiramente desconfortável com a definição.)

Houve muito mais na nossa conversa, mas não tenho muito mais a dizer sobre ela. Eu acidentalmente caí numa derivação da regra do produto, que de novo acho que ele nunca tinha visto. Isso era parte da minha preparação para chegar à fórmula da integração por partes. Quando terminei, passei em revista uns dois exemplos. Um dos exemplos era x∙senx de 0 a π/2. [Ele achou que cos(π/2) era √2/2, aliás, mas se saiu OK quando usamos graus no lugar de radianos.] Chegamos à resposta:

equation-5

Eu então me senti incomodado porque não fui capaz de ver por que a resposta tinha de ser 1. Ainda não consigo parar de pensar nisso.

Também discuti a integração de logx pelo método que chamo de chute-e-ajuste. Você chuta x∙logx, pois uma parte do que a regra da cadeia te dá está correta, e daí pode lidar com a outra parte. Ao diferenciar x∙logx, chega a logx + 1. “O que fazemos agora para nos livrar desse 1?” Ele sugeriu x∙logx + 1. Tentamos isso, vimos que não funcionava, e daí chegamos à resposta certa.

Ele conseguiu integrar xex entre a e b sem nenhuma ajuda, e por isso acho que pegou a ideia básica, embora eu não sei se vai guardá-la. [Veja a seção 6.]

Outra coisa que descobri foi que ele vacilava bastante na regra da cadeia. Quando lhe perguntei o que a regra da cadeia dizia, não sabia do que eu falava. Por fim, consegui um vislumbre de reconhecimento ao escrever:

equation-6

Mas a ideia de que, quando você quer diferenciar ex^3, primeiro finge que x3 é uma variável única com relação ao que está diferenciando, e então corrige o que acabou de fazer ao multiplicar pela derivada de x3 — essa ideia era completamente estranha para ele. [Veja a seção 7.] Vimos alguns exemplos, mas ele precisará de reforço mais à frente. Foi outro exemplo da ideia geral deste artigo: se você deixa para lá a compreensão do que está acontecendo e se concentra apenas nas manipulações mecânicas, esquecerá até mesmo as manipulações mecânicas. {FIM DO ARTIGO}


{2}/ Apêndice: Matemática de nível A

468970428No Reino Unido, o jovem conclui o ensino médio e entra num college para estudar tópicos de nível avançado, que são resumidos como “tópicos de nível A”. Em geral, passa dois anos numa dessas escolas, estudando pelo menos três matérias — por exemplo, matemática, física e história. Feito isso, presta um exame, chamado de “exame de nível A”, e pode tirar nota A*, A, B, C, D ou E (da maior para a menor). Uma vez que tenha feito o teste, se candidata a uma ou várias universidades; os jovens com as melhores notas conseguem vaga nas melhores universidades. No Brasil, seria como se ele saísse do ensino médio e entrasse num cursinho bem forte, onde estudaria (no caso da matemática) cálculo diferencial e integral, equações diferenciais, números complexos, álgebra linear, estatística — enfim, estudaria o que estuda nos dois primeiros anos de faculdade. Só então faria um teste, semelhante ao vestibular da Fuvest, e usaria sua nota para arranjar uma vaga numa universidade.


{3}/ Apêndice: Integração por partes

Não é um tópico à parte, mas sim uma técnica de integração (que é a arte de achar a área delimitada pela curva de uma função, pelas linhas verticais x = a e x = b, e pelo eixo X). A regra da integração por partes é:

equation-8

Essa regra é consequência direta da regra pela qual o matemático acha a derivada do produto de funções f(x)g(x). É uma regra útil, pois, com frequência, achar a solução do lado direito da igualdade é muito mais fácil que achar a solução do lado esquerdo. Por exemplo, como o matemático acha a integral indefinida a seguir?

equation-9

Para aplicar a regra da integração por partes, iguala x a f(x) e senx a g’(x), e daí já pode montar o lado direito da igualdade:

equation-10

 

Agora, só falta achar a integral indefinida ∫cosxdx, que é fácil: basta lembrar que a derivada de senx é cosx, e daí, pelo teorema fundamental do cálculo, sabe que:

equation-11

Aqui, C é uma constante qualquer. O matemático então substitui ∫cosxdx por senx na igualdade mais acima, e por fim chega a:

equation-12

Como pode usar isso num caso mais prático? Para ficar no exemplo mencionado por Gowers no artigo, como usar isso no intervalo entre x = 0 e x = π/2?

equation-13

 

Para visualizar melhor o resultado, o matemático pode compor um gráfico; a área pintada entre a curva de xsenx e o eixo x é equivalente a um quadrado de lados iguais a 1 unidade.

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O gráfico de x sen(x)


{4}/ Apêndice: “Dos primeiros princípios”

Demonstrar algo a partir dos primeiros princípios significa demonstrar algo sem a ajuda de nenhum teorema posterior aos primeiros princípios. Por exemplo, se f(x) = x2, então f’(x) = 2x. Esse resultado pode ser encarado como um teorema. Como o matemático pode demonstrá-lo a partir dos primeiros princípios? Terá de recorrer à definição mais básica de derivada:

equation-14

 

No formulário acima, o redator usou a ideia usual de limite. (Se quisesse usar o sistema dos números hiper-reais, bastaria considerar h um infinitésimo positivo ou negativo; veja mais sobre isso aqui.)

No gráfico abaixo, o matemático desenha a curva de x2 e a reta tangente a x2 quando x = 3; a inclinação da reta tangente (= derivada) é igual a 2∙3 = 6.

save-2


{5}/ Apêndice: O número e

Eis uma versão muito simplificada da história do número e, contada com notação matemática atual (e convencional): no século 17, os matemáticos procuravam uma função cuja derivada fosse a própria função, isto é, uma função f tal que f(x) = f’(x) para todo valor real de x. A certa altura das investigações, acharam que essa função provavelmente seria uma função exponencial de base a para algum valor específico de a; no fim das contas, esse valor específico de a ganhou o nome de e (de “exponencial”). O leitor deve notar que eles ainda não sabiam o valor de e.

Então disseram: existe uma função f, dada pela fórmula ex, tal que f(x) = f’(x) para todo x. Com a notação de Leibniz:

equation-15

Isso é também um jeito de dizer que, quanto x = 0, f(x) vale 1 e a inclinação de f(x) é igual a 1.

Como o leitor repete os passos dos matemáticos do século 18? Começa presumindo que existe uma constante e; a partir da pressuposição, usa os primeiros princípios para calcular a derivada de f:

equation-16

Antes de continuar, traduz o que significa ex+h: é ex · eh. Com isso, reescreve o limite acima e faz as devidas simplificações.

equation-17

 

Reconhece o seguinte: para que f(x) seja igual à sua derivada f’(x), é obrigatório que o limite da última linha acima seja igual a 1. Sendo assim, o número e, caso exista, deve satisfazer a igualdade a seguir:

equation-18

Agora o leitor vai se desviar bastante da história: se o leitor possui uma calculadora científica, com a qual possa calcular limites, já tem tudo o que é necessário para calcular o valor de e. Começa presumindo que e = 1:

equation-19

Então, e não pode ser igual a 1. Presume que e = 2:

equation-20

 

Esse resultado diz que e deve ser maior que 2. Será que e é igual a 3?

equation-21

Então, e é maior que 2 e menor que 3. Usando o mesmo método, atribui vários valores para e: 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8. Descobre que e está entre 2,7 e 2,8. E assim vai. Se tiver paciência, basta seguir esse método para obter o valor de e com a precisão possível em vista da precisão da calculadora científica:

equation-22

E o leitor traduz assim o que Gowers explicou ao rapaz: a derivada de ex é igual a ex não porque a constante e tenha propriedades mágicas, mas porque ela foi calculada especificamente para que a derivada de ex fosse ex. De fato, os matemáticos já provaram que e é a única constante com essa propriedade, e portanto f(x) = Aex (sendo A um número real arbitrário) é o único conjunto de funções cuja inclinação da reta tangente à função num ponto x qualquer (= derivada) é igual ao valor da função naquele ponto.

A função f(x) = e^x (em azul) é a única função do tipo a^x tal que a derivada de f no ponto x = 0 é igual a 1 (em vermelho)


{6}/ Apêndice: A integral de xex no intervalo entre a e b

Aqui, Gowers e o rapaz usaram de novo a técnica da integração por partes, como na seção 3. Fizeram f(x) = x, e daí f’(x) = 1; e fizeram g’(x) = ex, e daí g(x) = ex. Com isso, basta aplicar a técnica:

equation-23

 


{7}/ Apêndice: A regra da cadeia

É uma regra com a qual o matemático calcula a derivada de uma composição de duas funções. Por exemplo, a função h, composta com as funções f e g:

equation-24

Se essa relação vale para todo x, então a derivada de h(x) é:

equation-25

As duas linhas dizem a mesma coisa: uma foi escrita com a notação de linha e a outra com a notação de Leibniz. O estudante pode recorrer a um exemplo para visualizar tudo isso melhor: se fizer f(x) = x3 e g(x) = x2 + 1, daí h(x) = f(g(x)) vira:

equation-26

E a derivada de h(x) vira:

equation-27

Isso porque a derivada de f é 3x2 e a derivada de g é 2x. Agora, e se f(x) = ex, g(x) = x3 e h(x) = f(g(x))?

equation-28


{8}/ Apêndice: O teorema fundamental do cálculo

Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], e se A é uma função tal que A’(x) = f(x) para todo x dentro de [a, b], então:

equation-29

Em palavras: no eixo x, considere o intervalo entre x = a (inclusive) e x = b (inclusive). Agora, gostaria de calcular a área entre a curva de f e o eixo x no intervalo [a, b]. Calcular integrais (isto é, calcular áreas delimitadas por curvas) às vezes é dificílimo. Contudo, se consegue achar uma função A tal que a derivada de A seja igual a f, daí calcular a integral fica facílimo: basta obter o valor de A para x = b, obter o valor de A para x = a, e daí tirar A(a) de A(b): esse é o valor da integral de f no intervalo [a, b].

Você também pode denotar a expressão à direita na igualdade acima assim:

equation-30

Ou assim:

equation-31

{FIM}


Observações:

1. Publiquei este artigo pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 29, junho de 2013, pág. 50. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. Caso queira ler um curso de introdução ao cálculo diferencial e integral por meio do sistema dos números hiper-reais, que é um jeito extraordinário de abordar o cálculo, clique aqui.

Polinômios infinitos com números hiper-reais

Calculadora


{0}/ Introdução

Este é o nono capítulo sobre como você usa o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial e integral. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, décimo.) Desta vez, vai estudar polinômios infinitos, e ver como recorrer a um polinômio infinito no lugar de uma função — por exemplo, no lugar de exp(x), cos(x), ou sen(x). Além disso, verá como usá-los para compreender, de uma vez por todas, por que e + 1 = 0. Essa é, segundo matemáticos do mundo inteiro, a fórmula mais bonita da matemática.

Lembretes: a seção a seguir é a 96 porque o capítulo anterior terminou com a seção 95; e “definição §96-1” significa “a primeira definição que vai encontrar na seção 96”.


{96}/ A arte e o ofício de torcer funções

497099588Um dia, no passado, quando viu pela primeira vez uma equação com uma função do lado esquerdo do sinal de igual e um polinômio infinito do lado direito, talvez tenha achao essa ideia bem esquista. “De que modo um somatório infinito pode ser igual, para todo valor de x, a esta função?” Ela é especialmente esquisita no caso de funções periódicas, como sen(x): como um polinômio infinito pode ser periódico? Contudo, depois de todas as sequências e séries que estudou no capítulo anterior, a esta altura já está disposto a fazer as pazes com a ideia.

Certamente gostou da possibilidade de calcular de cabeça, ou quase de cabeça, uma expressão para a derivada da função e outra para a integral. É o que fará neste capítulo.

Para começar, se tem diante de si uma função polinomial de grau infinito, pode diferenciá-la quantas vezes achar necessário, isto é, n vezes, e se quiser faça n = N um inteiro positivo infinito. Mas daí, se vai representar certa função f com um polinômio infinito, então deve ter a capacidade de diferenciar essa função f quantas vezes bem entender. Em outras palavras, os polinômios infinitos são mais úteis para representar uma função f que pode diferenciar um número n arbitrário de vezes. (Como já viu no capítulo sobre diferenciação, seção 64, nem sempre a derivada de uma função é diferenciável.)

Vocabulário. Se pode diferenciar uma função f tantas vezes quantas queira, diga que f é uma função infinitamente diferenciável.

Suponha agora que tenha diante de si uma função f(x) infinitamente diferenciável. Como poderia achar uma função polinomial de grau infinito p(x) que fosse equivalente a f(x), isto é, tal que f(x) = p(x) para todo valor de x? Essa é uma pergunta difícil, na qual dezenas de matemáticos muito talentosos trabalharam por anos. Karl Theodor Weierstrass (1815-1897), um desses matemáticos, via nesse problema muita beleza, e certa vez escreveu:

É verdade que um matemático que não seja algo de poeta nunca poderá ser um bom matemático.

O melhor jeito de abordar o problema é com um passo por vez. Defina da forma a seguir o polinômio p0(x).

f-001

Está partindo da pressuposição de que pode definir f em x = 0.

Fazendo assim, p0(x) = f(x) quando x = 0, mas, como vê na figura a seguir, parece que vai achar p0(x) meio inútil para representar f(x) quando x ≠ 0. Isso porque a diferença entre p0(x) e f(x) pode ficar bem grande quando x ≠ 0.

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O gráfico de f está em preto, e o de p_0, em vermelho

Próximo passo: defina o polinômio p1(x) da maneira a seguir.

f-002

Agora você tem um polinômio melhor para representar f em x = 0, pois, quando x = 0, y = f(0), e além disso a derivada de y em relação a x é:

f-003

Assim, não apenas p1 tem o mesmo valor de f quando x = 0, como tem a mesma taxa de crescimento, isto é, a mesma reta tangente.

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Na verdade, p1(x) é a própria reta tangente a f(x) quando x = 0. Olhe a figura acima mais uma vez, e com cuidado: note que pode usar p1(x) para representar f(x) não apenas quando x = 0, mas também no entorno de x = 0, desde que aceite a pequena diferença entre as duas funções quando x ≠ 0, mas x ≅ 0. Além disso, quando x ≈ 0, isto é, quando x é um infinitésimo positivo ou negativo, st[p1(x)] = f(0), já que ambas as funções são contínuas. Às vezes, professores dizem isso assim: “Nas vizinhanças de x = 0, pode declarar f e p1 como sendo equivalentes.”

E agora pode dar mais um passo ao definir o polinômio p2(x).

f-004

Agora, p2 é um polinômio cujo valor em x = 0 é o mesmo de f e, além disso, quando x = 0, a primeira derivada de p2 tem o mesmo valor da primeira derivada de f, assim como a segunda derivada de p2 e a segunda de f. Em outras palavras, p2 vale a mesma coisa que f em x = 0, cresce à mesma taxa instantânea de f, e sua taxa instantânea de crescimento cresce à mesma taxa instantânea de f. Veja as contas e os gráficos:

f-005

 

 

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Então, com p2, você tem uma aproximação melhor para f do que tinha com p1 ou p0, porque, em x = 0, o gráfico de p2 se curva mais ou menos da mesma maneira que o gráfico de f. E não deixe de notar que, agora, mesmo que se afaste um pouco mais de zero, para a direita e para a esquerda, mesmo assim pode usar p2 como boa aproximação para f.

É claro que pode continuar a seguir esse procedimento quantas vezes bem entender. Veja como seguir o método e montar os polinômios p3 e p4:

f-006

E, de modo geral, para montar dessa maneira o polinômio pn:

f-007

Formulário §96-1

 

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O gráfico de f, em preto, e o de p_7, em vermelho

Em todos esses casos, quando x = 0, pn(x) = f(x), a primeira derivada de pn é igual à primeira derivada de f, a segunda derivada de pn é igual à segunda derivada de f, etc. Assim, quanto maior o valor inteiro positivo que atribui a n, maior o número de parcelas no polinômio pn, mais a curva do polinômio se “contorce” como a curva de f — e maior o intervalo em torno de zero no qual pn serve de boa aproximação para f.

Se a função f é infinitamente diferenciável, e se você se interessa pelo comportamento de f quando x = 0, pode usar pn no lugar de f — mas talvez isso funcione até certo ponto. Pois f é infinitamente diferenciável, e talvez a (n+1)-ésima derivada de f seja diferente de zero; contudo, certamente a (n+1)-ésima derivada de pn é igual a zero para todo x, pois pn é uma função polinomial de grau n.

Contudo, até agora você estudou um jeito de obter uma boa aproximação para a função f com polinômios finitos, isto é, polinômios no formato do formulário §96-1 logo acima, nos quais n é um inteiro não negativo finito.

E se trabalhasse com funções polinomiais de grau infinito? Veja dois jeitos de defini-los nas linhas a seguir, nas quais N é um inteiro positivo infinito qualquer.

Definição §96-1. “A definição de série de potências.” Com as expressões abaixo, vai definir uma função polinomial de grau infinito, conhecida como série de potências: Faça N um inteiro positivo infinito, b uma constante real, e x uma variável real. Daí use o símbolo p(x) para denotar a soma da série a seguir — desde que a série convirja para b. Caso a série divirja, declare p(x) como desprovido de significado.

f-008

Note que pode atribuir um valor real b a p(x) desde que a parte padrão da série acima seja igual a b para qualquer N inteiro positivo infinito, isto é, desde que pN(x) ≈ b para todo N inteiro positivo infinito. Eis outra maneira de dizer isso com a notação do cálculo infinitesimal:

f-009

Observação sobre 00: Em geral, o matemático primeiro desenvolve o somatório e depois atribui um valor para a variável x. Mas talvez alguém queira fazer x = 0 e depois disso desenvolver o somatório, e se fizer assim encontrará, na primeira parcela, o caso em que xk = 00. Esse é um dos casos nos quais vale a pena padronizar 00 = 1. Trata-se de uma questão de notação: para deixar a notação sigma a mais enxuta possível, e tão somente por causa disso, você aceita a convenção segundo a qual 00 = 1. Existem outras circunstâncias nas quais vale a pena aceitar 00 = 1; contudo, existem muitas outras mais nas quais você faz melhor se encara 00 como desprovido de significado. Em resumo, tem de escolher caso a caso de que modo pretende atribuir significado a 00. Fim da observação.

Com base em tudo o que viu até aqui, deve ter uma certeza e uma conjectura. A certeza é que p(x) = f(x) quando x = 0, e não só isso: a n-ésima derivada de p(x) é igual à n-ésima derivada de f(x) quando x = 0, pois construiu p(x) para que assim fosse. Quanto à conjectura:

Conjectura §96-1. Já sabe que, quanto maior o valor do inteiro positivo n e maior o número de parcelas do polinômio pn, maior o intervalo em torno de x = 0 no qual pn serve de boa aproximação para f. Parece que, ao “torcer” a curva de pn para que as derivadas de pn sejam iguais às derivadas de f quando x = 0, você vai fazendo com que a curva de pn fique cada vez mais parecida com a curva de f em todo o intervalo no qual f está definida. Sendo assim, eis a conjectura: no caso de p, um polinômio com número infinito de parcelas, é bem possível que p(x) = f(x) para todo x no domínio de f, e não apenas para x = 0.

* * *

Antes de atacar o problema que expressou na forma de conjectura, é hora de examinar um exemplo, para se habituar com a ideia e os procedimentos.


aim, target, arrows


{97}/ Um exemplo à guisa de treino

Considere a função f a seguir.

f-010

Calcule o valor de f(0), além das cinco primeiras derivadas de f e o valor de cada derivada quando x = 0.

f-011

Agora, monte os polinômios p0, p1, p2, p3, p4, p5; a cada rodada, plote tanto o gráfico de f quanto o de pn.

Primeira rodada.

f-012

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No gráfico acima e nos demais gráficos desta seção, a curva de f está em preto e a de pn, em vermelho.

Segunda rodada.

f-013

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Observação. Note algo importante: na seção 68 (capítulo 6), você viu como obter a equação da reta tangente a f em determinado ponto de f, e viu que poderia chamar essa reta tangente de “linearização de f em x = a”. Ora, p1 é igual à linearização de f em x = 0.

Terceira rodada.

f-014

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Quarta rodada.

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Quinta rodada.

f-016

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Sexta rodada.

f-017

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Como pode ver, parece que, a cada rodada, a curva de pn vai ficando cada vez mais parecida com a de f. No entorno de x = 0, p5 e f realmente se parecem; por exemplo, quando x = 1/10, eis a diferença entre as duas funções (com 11 casas decimais):

f-018

E foi mais ou menos assim que, no passado, os matemáticos chegaram à conjectura §96-1: se alguém pudesse repetir tais rodadas ao infinito, talvez a curva de p ficaria idêntica à de f no domínio em que f é válida. Embora a conjectura capte uma ideia profunda, difícil de investigar, ela surge naturalmente na cabeça de qualquer um que já tenha trabalhado com muitos exemplos como o desta seção, e surge mais ou menos assim: “Se p e f têm o mesmo valor num ponto (no qual x = 0), e se nesse ponto a n-ésima derivada de p é igual à n-ésima derivada de f, será que p e f não são perfeitamente iguais no intervalo de domínio de f?”


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{98}/ Juntos, Taylor e Maclaurin

Para resolver a conjectura §96-1, precisa de uma ferramenta intelectual importante: um teorema do matemático britânico Brook Taylor (1685-1731).

Teorema §98-1. “O teorema de Taylor.” Faça f uma função que pode diferenciar quantas vezes bem entender. Faça n um inteiro não negativo. Sendo assim, para qualquer número b no domínio de f, pode usar a expressão a seguir para obter a diferença entre o valor de f(b) e o valor do polinômio pn(b).

f-019

Nessa expressão, c é um número específico entre zero e b. Lembrete: uma vez que tenha provado o teorema, pode usá-lo também no caso em que n = N é um inteiro positivo infinito.

Antes do provar o teorema, vale a pena verificar como, se ele fosse verdadeiro, seria útil na resolução da conjectura §96-1 e no estudo de funções infinitamente diferenciáveis.

Considere a função f(x) = sen(x). Pode verificar como f(0)(x) = sen(x), f(1)(x) = cos(x), f(2)(x) = –sen(x), f(3)(x) = –cos(x), f(4)(x) = sen(x), e o ciclo se repete ao módulo 4. [Por exemplo: se n ㆔ 2 (mod 4), f(n)(x) = –sen(x).] Assim, visto que sen(0) = 0 e cos(0) = 1:

f-020

Será que alguma vez terá f(x) = pn(x)? Suponha que o teorema de Taylor é verdadeiro. Daí, para qualquer valor de x:

f-021

Se o teorema é válido, a expressão é válida para algum valor de c entre zero e x. Neste caso, contudo, para todo valor de c:

f-022

Assim, se N é um inteiro positivo infinito, a expressão a seguir é um infinitésimo para todo valor de x no intervalo fechado [–1, 1].

f-023

Formulário §98-1

Com isso, diga que, para –1 ≤ x ≤ 1, a diferença entre f(x) = sen(x) e a expressão a seguir é infinitesimal:

f-024

Sendo assim, f(x) = st[pN(x)] = p(x).

Na verdade, como verá logo mais abaixo, f(x) = p(x) não apenas para –1 ≤ x ≤ 1, mas para todo valor real de x.

Definição §98-1. “A expansão de Maclaurin.” Se f é uma função que pode diferenciar quantas vezes bem entender, chame a série a seguir de “A série de Maclaurin para a função f” ou de “A expansão de Maclaurin para f.”

f-025

Agora outro exemplo, no qual vai consolidar tais ideias e ver por que a expressão no formulário §98-1 é um infinitésimo para todo valor de x, e portanto f(x) = p(x) para todo valor de x.

Faça f(x) = exp(x) = ex. Já estudou essa função no capítulo 7 (sobre o teorema fundamental do cálculo), e sabe que f(x) = f(n)(x) para todo n inteiro não negativo, como descobriu ao resolver o problema §76-20. Portanto, f(0) = f(n)(0) = 1 para todo n inteiro não negativo, e com isso p(x) se transforma na expansão de Maclaurin para f(x) = exp(x):

f-026

Se aceita o teorema de Taylor como válido, eis a diferença entre f(x) e pN(x) para algum N inteiro positivo infinito:

f-027

Você já sabe que isso é um infinitésimo: descobriu essa informação quando resolveu o problema §92-13 do capítulo anterior, e viu que, graças ao teste do quociente, a série a seguir converge absolutamente para todo valor real de x, por maior que seja.

f-028

Pode invocar o teorema §91-1 e dizer que, portanto, o quociente a seguir é um infinitésimo.

f-029

Duas coisas: com isso, agora você sabe que a expressão no formulário §98-1 é um infinitésimo também, e portanto a expansão de Maclaurin para sen(x) converge absolutamente para todo valor real de x, e não apenas para –1 ≤ x ≤ 1. Segunda coisa: já sabe que exp(c) é finito, pois 0 ≤ cx implica exp(0) ≤ exp(c) ≤ exp(x), e com isso a expressão a seguir tem de ser um infinitésimo.

f-030

Agora você pode concluir o argumento: se f(x) = exp(x), daí f(x) ≈ pN(x), e assim f(x) = st[pN(x)] = p(x). Escreva essa descoberta tão importante com destaque:

f-031

Talvez esteja pensando:

“Então, para calcular o valor de exp(1/3), por exemplo, tudo o que devo fazer é somar tantas parcelas quantas eu queira da expansão de Maclaurin para exp(x)? Se eu quiser maior precisão na expansão decimal de exp(1/3), tudo o que devo fazer é somar um número suficientemente grande de parcelas?”

Sim, é só isso. Veja o valor de exp(1/3) com 20 parcelas na expansão de Maclaurin:

f-032

O valor está correto até a décima casa decimal; a décima primeira deveria ser 9, e não 8.

Percebeu a importância disso tudo? Se o teorema de Taylor é válido, você pode calcular o valor de funções infinitamente diferenciáveis, como exp(x), ln(x), sen(x), e cos(x), ao simplesmente adicionar umas dezenas de parcelas de um polinômio especial, cujo nome é “expansão de Maclaurin”. Além disso, pode considerar uma conjectura interessante: tem condições de calcular a derivada e a primitiva de tais funções quase que de cabeça, pois tudo o que tem a fazer é calcular a derivada e a primitiva desse polinômio especial termo a termo. (Vai provar essa conjectura mais tarde, na seção 104.)


Calculadora


{99}/ A prova do teorema de Taylor

Você já viu uma versão dessa prova no capítulo 6, quando provou o teorema do valor médio. O que fará aqui é adaptar aquela prova para o novo problema.

Recorde a ideia essencial do teorema do valor médio: se f é uma função diferenciável, a expressão a seguir é válida para algum número c entre zero e b.

f-033

Verifique: esse é o teorema de Taylor para n = 0.

Quando provou o teorema do valor médio, provou que era consequência imediata do teorema de Rolle (que é o teorema §62-2 com f(a) = f(b) = 0): pois, se f(a) = f(b) = 0, então, para algum a < c < b, f’(c) = 0. Agora pode dar um passo importante na prova do teorema de Taylor: crie um “teorema de Rolle mais generalizado”. Assim: se f(a) = f(b) = 0, e se além disso f(1)(a) = f(2)(a) = f(3)(a) = ··· = f(n)(a) = 0, daí, para algum a < c < b, f(n+1)(c) = 0.

Mas você pode deduzir esse teorema de Rolle generalizado do teorema §62-2: Visto que f(a) = f(b) = 0, daí f’(c1) = 0 para algum a < c1 < b; visto que f’(a) = f’(c1) = 0, daí f”(c2) = 0 para algum a < c2 < c1; visto que f”(a) = f”(c2) = 0, daí f(3)(c3) = 0 para algum a < c3 < c2; e siga desse modo até que f(n+1)(c) = 0 para algum a < c < cn < b.

É o que pode ver (mais ou menos) nos desenhos a seguir.

Rolle Generalizado

Para provar o teorema de Taylor a partir dessa versão generalizada do teorema de Rolle, você vai fazer como já fez ao provar o teorema do valor médio: na sua imaginação, “rotaciona” as curvas da função, da primeira derivada, da segunda, …, da n-ésima derivada.

É mais fácil do que parece: mais especificamente, faça sua versão rotacionada de f(x) e de pn(x) tais como na função g(x) a seguir, na qual b ≠ 0.

f-034

Faça as contas e verifique por si mesmo a validade destas linhas:

f-035

Assim, de acordo com o teorema de Rolle generalizado, existe um número c entre 0 e b tal que:

f-036

Se você calcula g(n+1)(c) usando a expressão (*) como ponto de partida, deve chegar a:

f-037

E com isso a prova está completa.


Integral and differential calculus


{100}/ Lista de problemas

Ache os primeiros seis termos da expansão de Maclaurin para as funções a seguir.

f-039

9. Tendo resolvido os problemas 1 a 8 do jeito difícil, examine mais uma vez os exemplos e problemas do texto e veja se não vê um jeito mais fácil de resolvê-los. (Dica: E se usar uma série padrão, tipo a série de Maclaurin para ey, mas, em cada termo da série, substituir y por uma expressão em x?)

Para os problemas 10 a 14 logo à frente, use tudo o que aprendeu até aqui para calcular o valor de cada número com precisão de duas casas decimais. (Use uma calculadora porcaria de bolso, pois só assim vai de fato apreciar a utilidade das séries de potências.)

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15. Ache a série de Maclaurin para (1 + x)(2/5) e calcule o valor de (1,3)(2/5) com precisão de duas casas decimais.

16. Prove que o número fracimal 0,1.2.3.4.5.··· = e – 1. (Sobre fracimais, veja a seção 93 do capítulo anterior.)

17. Prove que 0,2.4.6.8.10.··· = √e – 1.

18. Use a resolução do problema §100-6 para mostrar que a série abaixo converge.

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{101}/ A mais bela equação

Pergunte a vários matemáticos qual é a mais bela equação de todas. Vários mencionam a identidade de Euler:

f-042

Para se justificar, explicam: “Essa identidade inclui o número 1, que é o elemento neutro da multiplicação; o número zero, o elemento neutro da adição; a unidade imaginária i, sem a qual o sistema dos números complexos não funciona; a constante π, importante em espaços euclidianos; e a constante e, talvez a constante mais importante na matemática e na ciência.”

E agora, graças a seus estudos até aqui, obteve as condições de entender essa identidade por completo.

Primeiro, ponha no papel as séries de Maclaurin para exp(x), sen(x), e cos(x):

f-043

 

Usando a série para exp(x), calcule a série para exp(ix).

f-044

Antes de continuar, deve decidir o que fazer com cada ik. Já sabe que, no sistema dos números complexos, i2 = –1. Desse modo, você tem a sequência i0 = 1, i1 = i, i2 = –1, i3 = –i, i4 = 1, e assim por diante. Em outras palavras, trabalhando apenas com inteiros não negativos: se divide k por 4 e obtém resto igual a zero, ik = 1; se divide k por 4 e obtém resto igual a 1, ik = i; se divide k por 4 e obtém resto igual a 2, ik = –1; por fim, se divide k por 4 e obtém resto igual a 3, ik = –i. (Está trabalhando com a aritmética ao módulo 4, e pode escrever isso assim: se k ㆔ 0 (mod 4), ik = 1; …; se k ㆔ 3 (mod 4), ik = –i.)

Volte à expansão de exp(ix):

f-045

Deixe o primeiro termo no lugar dele e rearranje os demais assim: primeiro, todos os termos de expoente par; depois, todos os de expoente ímpar. [Você pode rearranjar termos porque, como já viu, a série para exp(x) converge absolutamente.]

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Pode chamar a última linha de “fórmula de Euler”.

Substitua x por π. Já sabe que cos(π) = –1 e que sen(π) = 0. Sendo assim:

f-047

Aí está: a identidade de Euler. Pode dizer que conhece todos os passos na prova da mais bela equação da matemática.

Houve um tempo, quando os matemáticos não estavam habituados com as séries de Maclaurin a ponto de as achar naturais, em que falavam da identidade de Euler assim: “Não a podemos entender, e não sabemos o que significa, mas nós a provamos, e portanto sabemos que deve representar a verdade.” (Benjamin Peirce, 1809-1880, matemático americano.) Hoje já existem animações na internet para mostrar o que a identidade significa, e elas funcionam graças à ideia de que pode ver um número complexo como um deslocamento no plano.

Curiosidade. Peirce é o autor de uma definição famosa de matemática (parafraseando):

O matemático é o sujeito que tira as conclusões das quais ninguém pode se eximir.


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{102}/ A irracionalidade da constante e

Pode usar o que viu até aqui para verificar mais uma vez o valor da constante e; mas, principalmente, pode usar o teorema de Taylor para provar que e é um número irracional.

Veja como produzir a expansão de Maclaurin para e:

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(Lembrete: 0! = 1.)

Já viu, ao resolver o problema §92-2, que essa série converge; sabe agora que ela converge para o valor de e. Em outras palavras, ela converge para o valor real de x que torna válida a igualdade a seguir.

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Sendo assim, se precisa de uma aproximação racional para o valor de e, tudo o que tem a fazer é somar uma quantidade adequada de termos da expansão de Maclaurin para exp(1).

Use agora o teorema de Taylor, e faça f(x) = exp(x) e N um inteiro positivo infinito:

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Pelo teorema, c é um número real entre zero e 1, isto é , 0 < c < 1. Vai partir agora para uma prova por contradição de que e é irracional.

Assuma o contrário: a constante e é um número racional. Daí N!e tem de ser um inteiro. (Qualquer que seja o denominador desse número racional e, ele é fator de N!, pois um dos fatores de N! é o produto de todos os fatores inteiros positivos finitos.) Por meio de argumento semelhante, N!pN(1) tem de ser um inteiro. Se assim fosse, como então na equação (†) você tem um inteiro no lado esquerdo da igualdade e um infinitésimo no lado direito? Contradição! Visto que isso é impossível, e não pode ser um número racional.


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{103}/ A expansão de Taylor

Com a série de Maclaurin, você se preocupa apenas com aproximações polinomiais centradas em x = 0. Há circunstâncias, contudo, nas quais seria melhor se pudesse centrar seu polinômio infinito num valor de x = a com a ≠ 0. (Se já resolveu o problema §100-6, topou com uma situação assim.)

Ora, pode reaproveitar quase que completamente todo o trabalho que realizou para criar a série de Maclaurin e criar uma série mais genérica, cujo nome hoje em dia é “série de Taylor” ou “expansão de Taylor”.

Definição §103-1. “A série de Taylor.” Nas linhas a seguir, h é uma função infinitamente diferenciável; a, b, c são três números reais (com acb ou bca, isto é, com c entre b e a), e n é um inteiro não negativo.

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A equação (III) é a série de Taylor, e você só deve levá-la em consideração caso a série infinita convirja; quando a = 0, a série se transforma na série de Maclaurin, isto é, pode ver a série de Maclaurin como um caso especial da série de Taylor. A equação (II) é o teorema do valor médio para a série de Taylor: se a série converge, o termo à direita da equação é um infinitésimo. E a equação (I) é a expansão dos primeiros n termos de uma série de Taylor.


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{104}/ Derivadas e primitivas de séries de Taylor

Até agora, você viu que pode expressar funções muito diferentes de polinômios, tais como cos(x), ln(x), e exp(x), recorrendo a polinômios infinitos.

Isso não é apenas útil para, por exemplo, usar uma calculadora vagabunda de bolso e calcular o valor de exp(x) quando x = √2. Ao contrário: polinômios infinitos são especialmente úteis em questões teóricas, nas quais o matemático nem leva em conta a utilidade prática da investigação. Já teve um antevisão do poder dos polinômios infinitos ao resolver o problema §100-7: que sen(x)/x tende a 1 quando x tende a zero fica absurdamente claro quando você substitui sen(x) pela série de Maclaurin para sen(x).

Mais importante que tudo isso é um fato que o estudante só descobre quando entra na faculdade: que jamais poderá usar qualquer combinação algébrica de funções “simples” como cos(x), ln(x), e exp(x) para expressar uma quantidade enorme de funções de variável real que surgem naturalmente na física, na engenharia, na biologia, e nas ciências sociais; mas que, apesar disso, pode expressar tais funções com polinômios infinitos. (Em outras palavras, diante de tais funções, o cientista não tem escolha exceto recorrer a polinômios infinitos.)

Sendo assim, é muito importante que tenha a certeza de que pode realizar, com polinômios infinitos, as mesmas operações aritméticas que pode realizar com polinômios finitos. Construir essa certeza é o trabalho que vai realizar nesta seção.

* * *

Teorema §104-1. (I) Se p(r) = ∑[0, ∞)akxk converge em x = r, então também converge para qualquer valor de x tal que |x| < r, e de fato converge absolutamente para tais valores de x. (Observação: ak é simplesmente o coeficiente de xk.) (II) Se p(r) = ∑[0, ∞)akxk diverge em x = r, então diverge para todo x tal que |x| > |r|.

A prova de (I): Visto que p(r) = ∑[0, ∞)akxk converge, akxk tende a zero. (Teorema §91-3.) Assim, é limitada; por exemplo, limitada pelo número M. Daí eis o que pode dizer, para todo k inteiro não negativo:

f-085

(Se tiver dificuldade com essa afirmação, trabalhe com alguns exemplos concretos, todos positivos. Faça A = “algo que diminui o valor de r”, e daí r · A = x, e a partir desse ponto a afirmação fica mais fácil de entender.)

Visto que a série infinita ∑[0, ∞)M|x/r|k converge pelo teste do quociente, p(r) = ∑[0, ∞)akxk converge pelo teste da comparação.

A prova de (II): Se ∑[0, ∞)akxk convergisse, daí ∑[0, ∞)akrk também deveria convergir pela parte (I) deste teorema, e isso é uma contradição.

Percebeu a vantagem desse teorema? Se puder provar que p(r) converge para qualquer valor arbitrário de x, então p converge para todo valor finito de x, isto é, p converge em todo ponto da linha dos números. Já fez isso com a série de Maclaurin para exp(x), sen(x), e cos(x).

* * *

Agora, um teorema sobre polinômios infinitos e suas derivadas.

Teorema §104-2. Se o polinômio infinito P(x) = ∑[0, ∞)akxk converge no intervalo aberto (–r, r), então o polinômio infinito Q(x) = ∑[0, ∞)kakxk–1 também converge.

[Note que, termo a termo, Q é a derivada de P; com esse teorema você está dizendo que, se o polinômio infinito P converge no intervalo aberto (–r, r), então o que seria a derivada de P também converge nesse intervalo.]

Prova. Para qualquer número c, com 0 ≤ |c| < r, faça b um número tal que 0 ≤ |c| < b < r.

Ao aplicar o teorema do valor médio para cada uma das funções akxk (parcelas de P), para cada valor inteiro não negativo de k, você obtém números reais dk, com |c| < dk < b, tais que:

f-086

Sendo assim:

f-087

Visto que ∑ak|c|k e ∑akbk convergem por hipótese, também converge ∑kakdkk–1; e portanto ∑|kakck| converge pelo teste da comparação.

* * *

Com o teorema acima, você provou que, se um polinômio infinito P converge em determinado intervalo, o polinômio Q que seria equivalente à sua derivada também converge no mesmo intervalo. Com o teorema a seguir, vai provar que de fato Q é a derivada de P.

Teorema §104-3. Se f(x) = ∑[0, ∞)akxk converge em (–r, r), daí f’(x) = ∑[0, ∞)kakxk–1 em (–r, r).

Prova. Faça F(x) = ∑[0, ∞)kakxk–1. Para qualquer número c em (–r, r), faça bc um número também em (–r, r). Escolha s tal que r > |s| > |b|, |c|. Como antes, faça dk um número entre b e c, mas que satisfaça a equação a seguir.

f-088

Graças ao teorema do valor médio, sempre pode escolher um dk que satisfaça a equação.

Aplique o teorema do valor médio mais uma vez às funções xk–1 e obtenha números reais ek entre c e dk tais que:

f-089

Pode ver melhor tudo isso com o desenho a seguir.

A derivada de P

Sendo assim:

f-090

Visto que ∑|k(k – 1)aksk–2| converge (basta invocar o teorema anterior duas vezes), é igual a algum número real t. A consequência disso é:

f-092

Assim, se escolhe b de modo que cb seja um infinitésimo:

f-091

E a prova está completa. (Quem bolou essa prova pela primeira vez foi Tom M. Apostol, autor de um ótimo curso de cálculo.)

* * *

Por último, no teorema abaixo, você vai provar que, caso calcule a primitiva de uma série polinomial P termo a termo, a série Q que deve assim obter é a primitiva de P.

Teorema §104-4. Se f(x) = ∑[0, ∞)akxk converge em (–r, r), daí F(x) = ∑[0, ∞)(ak/[k + 1])xk+1 também converge em (–r, r), e além disso F é uma primitiva de f.

Prova. Para qualquer x em (–r, r):

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A série à direita você já sabe que converge; portanto, pelo teste da comparação, a série à esquerda também. Além disso, pelo teorema anterior, F’(x) = f(x); invoque o teorema fundamental do cálculo e diga que F é uma primitiva de f.

* * *

Em resumo: Se pode calcular uma série de Taylor (ou de Maclaurin) para f(x), então a derivada da série, termo a termo, é a série de Taylor para f’(x), e assim por diante; e a primitiva da série, termo a termo, é a série de Taylor para F(x), sendo F a primitiva de f, e assim por diante.

Sutileza. Seria realmente necessário provar tais teoremas? No fundo, o que quer dizer com eles não é óbvio? Nem tanto. Considere o caso do número irracional √2. Pode vê-lo como uma série de números racionais:

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A soma de dois números racionais é um número racional. Logo, a soma de três racionais é um racional, e se n é um inteiro positivo finito, por maior que seja, a soma de n racionais é um racional. Mas uma série infinita de racionais é igual a √2, um irracional. (Mais precisamente, tende a √2, um limite irracional.)

Portanto, sim, você precisava provar os teoremas desta seção. Do mesmo jeito que um somatório infinito de números racionais tende a um número irracional, um somatório infinito de derivadas talvez tendesse a alguma outra coisa, mas não a uma derivada. Com os teoremas, pode ver que esse não é o caso: felizmente, a derivada de um polinômio P infinito, tirada termo a termo, continua sendo a derivada P’ do polinômio original; e a primitiva, tirada termo a termo, continua sendo a primitiva do polinômio original.


Integral and differential calculus


{105}/ Mais sobre exp(x): bancos e empréstimos

Na história da humanidade, a constante e surgiu de várias maneiras distintas. Verá agora um dos contextos nos quais ela surgiu. Logo em seguida, verá também o que acontece se aplica os teoremas da seção anterior à série de Maclaurin para exp(x).

Um banco colocou um cartaz na calçada, bem ao lado da porta principal: “Tomamos emprestados 347 reais e pagamos 6% de juro ao ano.” Um passante gostou da oferta, entrou, e emprestou 347 reais ao banco. Um ano depois, teria o direito de voltar e exigir 347 · (1 + 0,06) = 367 reais e 82 centavos.

Só que essa oferta fez sucesso, e outros bancos quiseram competir pelo interesse do investidor. Então, naquela mesma rua, outro banco melhorou a oferta: “Tomamos emprestados 347 reais com 3% de juro por semestre.” Um passante gostou da oferta e fez negócio com o banco, mas fez negócio mais ou menos assim: “Daqui a seis meses, terei o direito de exigir 347 · (1 + 0,03) = 357,41 reais; quero reinvestir os 357,41 reais mais uma vez por seis meses, com juro de 3%. Vocês aceitam?” O banco aceitou, de modo que, um ano depois, o investidor poderia exigir [347 · (1 + 0,03)] · (1 + 0,03) = 347 · (1 + 0,03)2 ≅ 368,13 reais.

E daí um terceiro banco na mesma rua entrou na disputa: “Tomamos emprestados 347 reais com juro de 1,5% a cada três meses.” Um passante esperto entrou no banco para negociar mais ou menos assim: “Daqui a três meses, terei o direito de retirar o que investi com o juro. Quero, contudo, reinvestir o valor total uma vez, e mais uma vez, e mais uma vez. Em resumo, quero emprestar 347 reais ao banco por um ano, e reinvestir meu dinheiro a cada três meses. Vocês aceitam?” O banco aceitou, e assim esse investidor ganhou o direito de exigir, um ano depois, 347 · (1 + 0,015)4 ≅ 368,29 reais.

Por fim, um quarto banco da mesma rua pensou numa oferta com a qual os outros bancos não teriam como competir, e escreveu assim o cartaz que pôs na calçada: “Seja N um inteiro positivo infinito. Tomamos emprestados 347 reais com juro de 6%/N a cada infinitésimo de instante, e deixamos você reaplicar seu capital e o juro a cada infinitésimo de instante.”

Uau!

Só um passante quis estudar a oferta, porque assuntos matemáticos atiçavam sua curiosidade. Chamou de A o valor que deveria receber em um ano, e fez as contas mais ou menos assim:

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Tirou o logaritmo natural dos dois lados da expressão, já que estava lidando com números positivos. Depois disso, aplicou as propriedades da função ln(x), inclusive o fato de que ln(1) = 0.

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Chamou (0,06/N) = ϖ, um infinitésimo, e reescreveu o que tinha obtido.

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Essa última expressão está infinitamente próxima da derivada de ln(x) quando x = 1, isto é, está infinitamente próxima de 1. Assim:

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Agora o passante com vontade de matemática tirou a função exp(x) dos dois lados da equação, já que exp(ln(y)) = y.

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A é um número hiper-real, mas a expressão à direita é um número real. Visto que bancos só pagam em números reais, o passante calculou a parte padrão de A com a série de Maclaurin para exp(x).

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E a oferta desse último banco é imbatível: se algum competidor quiser propor oferta melhor, terá de obrigatoriamente aumentar o juro por infinitésimo de tempo.

Embora a historieta soe artificial, ela aconteceu mais ou menos assim na Europa do século 18: banqueiros realmente quiseram saber o que aconteceria se cobrassem juro composto “o tempo todo, continuamente”. (Cobrassem juro, e não pagassem juro, porque eles eram do século 18, mas não eram burros.) Matemáticos famosos trabalharam no problema, e chegaram às equações tão conhecidas:

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Com o que estudou até aqui, tem condições de entender cada uma dessas linhas!

* * *

Na historieta acima, viu que, nos problemas em que aparecem crescimentos ou diminuições porcentuais, sempre aparece o termo (1 + x)n, onde x é o número real que representa o crescimento ou a diminuição porcentual, e n é um inteiro não negativo.

Vai entender agora por que especialistas em matemática financeira usam constantemente a constante e para calcular juros.

Faça (1 + x)n = an, onde a = 1 + x e x = a – 1. Releia a resolução do problema §76-15 e a definição §76-3; reveja a resolução do problema §100-6. Daí (1 + x)n = an = exp(n lna). Em palavras: pode usar a série de Maclaurin para exp(x) e a série para ln(1 + x) para calcular exp(n lna), isto é, para calcular qualquer crescimento ou diminuição porcentual do tipo (1 + x)n. Ou então, se |x| > 1, pode usar uma série de Taylor.

* * *

Já conhece a série de Maclaurin para exp(x) e já sabe que e = exp(1) por definição. (Definição §76-4.) Eis o que pode concluir:

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Muita gente nunca leu nada sobre séries infinitas, e nunca ouviu falar de Maclaurin. Não é surpresa que tanta gente não acredite nas duas últimas linhas quando as vê pela primeira vez.

* * *

Se você quisesse, poderia ter construído toda a teoria a respeito das funções exp(x) e ln(x) a partir da série de Maclaurin para exp(x). Alguns autores preferem essa abordagem. O redator não vai se estender nesse ponto, mas que tal acompanhar só um exemplo?

Problema: Usando a série de Maclaurin para exp(x), prove que exp(x) é uma função contínua, isto é, prove que, para todo hiper-real px, com x real, exp(p) ≈ exp(x).

Prova. Faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí px e, além disso:

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Faça como já fez antes ao resolver o problema §92-12: crie notação para esconder complexidade. Faça E(n) a expressão que você obtém ao expandir o produto (x + ϖ)n, só que retire de E(n) a parcela real de maior expoente, que é xn. Assim, visto que (x + ϖ)2 = x2 + 2 + ϖ2, daí E(2) = 2 + ϖ2 e (x + ϖ)2 = x2 + E(2); visto que (x + ϖ)3 = x3 + 3x2ϖ + 32 + ϖ3, daí E(3) = 3x2ϖ + 32 + ϖ3 e (x + ϖ)3 = x3 + E(3). E assim por diante: (x + ϖ)n = xn + E(n). Note que E(n) é sempre um somatório de infinitésimos, e portanto é um infinitésimo. (Se quiser provar tais afirmações mais completamente, use o teorema binomial.) Agora continue os trabalhos:

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Nessas linhas, ϖ2 é o infinitésimo que representa a série infinita ∑[E(k)/k!], e o teorema está provado.

* * *

Há quem chame a série de Maclaurin para exp(x) de série exponencial; e quem chame a série para ln(1 + x) de série logarítmica (que só converge para |x| < 1).


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{106}/ Se uma série converge, converge absolutamente?

Ao estudar o teorema §91-5, viu que, se uma série é absolutamente convergente, então ela converge. Será que a recíproca desse teorema é verdadeira? Se uma série converge, ela é absolutamente convergente?

Não.

Considere a série a seguir.

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Se já resolveu o problema §100-6, comece com a série de Maclaurin para f(x) = ln(1 + x).

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Embora saiba que essa série converge para todo x tal que |x| < 1, está interessado no caso em que x = 1.

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Seria bom recorrer ao teorema de Taylor e dizer que a série acima converge; para tanto, tem de mostrar que a expressão a seguir é um infinitésimo para todo número c entre 0 e 1. (N é um inteiro positivo infinito.)

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Contudo:

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E com isso pode provar que a expressão é um infinitésimo:

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Então, a série converge, e converge para ln(2) ≅ 0,6931. Mas, como já viu na resolução do problema §92-17, a série harmônica 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + ··· diverge, e portanto se uma série converge, não necessariamente ela é absolutamente convergente.


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{107}/ Quando governos se juntam para tramoias…

Um dia, um sujeito W abriu os jornais e viu a manchete: “Governos do mundo todo implementam plano para aumentar a população masculina.” O texto explicava: “Todas as famílias podem ter quantos filhos quiserem, desde que sejam homens. Assim que uma família tiver uma filha, não pode mais ter filhos.”

Será que esse plano funcionaria? W decidiu investigar.

Partiu de uma presunção razoável: metade dos recém-nascidos é do sexo masculino, e metade do sexo feminino. Supôs ainda que existem P famílias no mundo, e que todas querem ter filhos e filhas. Sendo assim, metade de tais famílias vai ter apenas um filho, pois esse primeiro filho será uma menina. W passou a pensar mais ou menos assim:

Na primeira leva de nascimentos, o mundo tem P crianças, das quais P/2 são meninas.

Na segunda leva de nascimentos, o mundo tem P crianças (da primeira leva) mais P/2 crianças, das quais P/4 são meninas.

Na terceira leva de nascimentos, o mundo tem P crianças, mais P/2 crianças, mais P/4 crianças, das quais P/8 são meninas.

E assim por diante.

W percebeu que, para saber o número total de crianças ao fim desse processo, tinha de lidar com uma série infinita. Tratou de colocá-la no papel e de resolvê-la:

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Como há P famílias, e como cada família tem exatamente uma menina, eis o que vai acontecer como efeito do novo plano internacional para aumentar o número de meninos: haverá P meninos e P meninas.


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{108}/ Técnicas de integração com séries infinitas

Com os teoremas da seção 104, você pode diferenciar e integrar séries de potência termo a termo. Esse é o único jeito razoável de integrar certas funções, as quais não pode integrar facilmente de nenhuma outra maneira.

Por exemplo, o caso de f(x) = sen(x)/x. Não existe função “simples” que sirva de primitiva de f. Contudo, se quiser calcular a integral a seguir, você pode e deve usar a série de Maclaurin para sen(x): quanto maior o número de termos, maior a precisão do cálculo. (Use a resolução do problema §100-7.)

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Agora, use o que aprendeu com um problema famoso.

Problema §108-1. Calcule o valor da integral a seguir com precisão de quatro casas decimais.

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Sugestão de resposta na seção 111.


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{109}/ O milagre das séries: equações diferenciais

A esta altura, já deve estar convencido da beleza e da utilidade das séries de potências. Espere até ver, contudo, como elas são incrivelmente úteis na resolução de equações diferenciais. É o que fará nesta seção.

Definição §109-1. “Equações diferenciais.” Na mais simples equação diferencial, você lida com uma equação na qual aparece a derivada de uma função desconhecida. Em outras palavras, a incógnita de uma equação diferencial simples é uma função, de modo que “resolver uma equação diferencial” significa achar todas as funções cuja derivada tornam a equação verdadeira. Nas equações diferenciais mais complicadas, você lida com uma equação na qual aparecem várias derivadas, de ordem variada, de várias funções distintas.

Um exemplo muito simples de equação diferencial:

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Resolvê-la significa achar todas as funções f tais que f’(x) = x. E pode resolvê-la com simplicidade: ache a integral indefinida dos dois lados da equação.

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Na última linha, usou C para denotar uma constante real qualquer. Para ver como de fato a função x2/2 + C é a solução da equação diferencial, tire a derivada:

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A maioria das equações diferenciais dá muito mais trabalho do que isso, e livros sobre equações diferenciais em geral são grossos, com centenas de truques, sendo que cada truque só funciona para um conjunto específico e pequeno de equações.

Veja agora como pode usar a ideia de série de potências para resolver uma equação diferencial mais difícil:

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O segredo é presumir que pode escrever f como um polinômio infinito (se tal presunção for razoável, e neste caso é).

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Nessa equação, cada ak é um número real. Para descobrir como pode atribuir um valor para cada a0a1, a2, a3, …, faça assim: em primeiro lugar, tire a derivada de f.

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Lembre-se de que está usando os teoremas da seção 104.

Agora, veja o que significa 3f(x):

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Graças à equação diferencial, você sabe que a série infinita para f’ é igual à série infinita para 3f. Portanto:

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Agora, o que deve fazer é comparar os dois polinômios termo a termo, sabendo que os coeficientes de xk têm de ser iguais.

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Sendo assim:

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Faça as substituições na série para f e, para resolver o problema em definitivo, procure por padrões de repetição:

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E essa é a solução, pois f’(x) = [a0exp(3x)]’ = 3a0exp(3x) = 3f(x). Diga, portanto, que infinitas funções satisfazem a equação diferencial — uma para cada valor real de a0.

Pode acontecer de que saiba o valor de f(0); em situações práticas, essa ocorrência é comum. Suponha que f(0) = 3. Daí sabe que a0 = 3.


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{110}/ Lista de problemas

Em cada uma das equações diferenciais a seguir, ache os primeiros cinco termos da série que serve de solução; depois disso, tente resolver a equação da forma a mais genérica possível.

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Dica para o problema 3: Assuma que f(x) = a0 + a1(x – 1) + a2(x – 1)2 + a3(x – 1)3 + ···, e depois ache a0, a1, …, a4.

Sugestões de resposta na seção 111 a seguir.


Integral and differential calculus


{111}/ A resolução dos problemas

§100-1. Se f(x) = cos(x), você já sabe que f(1)(x) = –sen(x), f(2)(x) = –cos(x), f(3)(x) = sen(x), e f(4)(x) = cos(x); o padrão se repete ao módulo 4. Assim, os primeiros seis termos da série de Maclaurin para cos(x) são:

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A última linha vale para todo valor de x no entorno de zero, como pode ver no gráfico a seguir, com cos(x) em preto e p5(x) em vermelho.

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Talvez queira saber: “O que devo fazer se quero usar pn(x) para estudar o comportamento de cos(x) longe de x = 0?” Das duas, uma: ou você atribui um valor maior para n (e quanto maior a distância entre x e zero, maior o valor que deve atribuir a n); ou você recorre a uma série de Taylor (seção 103). Nuance: você pode atribuir uma valor maior a n e estudar o comportamento de cos(x) longe de x = 0 porque a série de Maclaurin para cos(x) converge para todo valor de x, pois ela converge absolutamente. Isso nem sempre é o caso.


§100-2. Note que pode definir f para todo x ≠ 1. Às contas:

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Use a última linha para todo valor de x ≅ 0. Além disso, neste caso a série de Maclaurin só converge para –1 < x < 1, e nos demais casos, diverge. (Viu isso no capítulo anterior ao estudar o corolário §87-1 e ao resolver o problema §88-1.) Portanto, atenção à sutileza: só deve falar de p(x) quando x está no intervalo aberto (–1, 1); em relação aos demais valores de x, p(x) não tem significado, pois diverge. Veja uma ilustração disso no gráfico a seguir, onde a curva de f está em preto e a de p5, em vermelho: por maior que seja o valor inteiro positivo que atribua a n, só tem como usar pn(x) no lugar de f quando x ∈ (–1, 1), porque, em caso contrário, a diferença entre f e pn(x) fica grande demais.

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Por curiosidade, veja como f e p5 têm quase o mesmo valor quando x ≅ 0. Faça x = 1/100 e calcule o valor de f(x) e de p5(x).

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§100-3. Às contas, e não se esqueça de que x ≠ –1.

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Outra vez, só pode atribuir significado a p(x) quando –1 < x < 1, isto é, quando p(x) converge.

No gráfico a seguir, veja a curva de f em preto e a de p5 em vermelho; veja como de fato pode usar p5 no lugar de f quando x ≅ 0.

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§100-4. Ao resolver este exemplo, vai ao mesmo tempo dar resposta ao problema §100-9. Primeiro, vai resolvê-lo do jeito mais difícil: calculando direitinho f(0), f’(0), f”(0), etc. Para tirar a derivada de e2x, use a regra da cadeia (teorema §59-5).

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Pode montar p5(x). Às contas:

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Talvez tenha percebido uma coisa interessante: e se fizer y = 2x e montar a série de Maclaurin para ey?

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Agora troque y por 2x, pois, se y é igual a 2x, ora bolas, então é igual.

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Lembrete: a última linha é consequência da primeira, e portanto vale quando y = 2x ≅ 0, isto é, quando x ≅ 0. E de fato, ao examinar o gráfico a seguir, com f em preto e p5 em vermelho, tudo parece OK: p5 é uma boa aproximação para f quando x ≅ 0.

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Essa ideia é interessante e simples, e sugere o seguinte: se precisa desenvolver a série de Maclaurin para exp(y), em que y denota uma função de x, tudo o que deve fazer é pegar a série para exp(y) e substituir y pela expressão em x que é igual a y. Feito isso, deve manter em mente que a série vale para y ≅ 0, e não para x ≅ 0.


§100-5. Direto ao jeito mais simples de resolver o problema: faça y = 2x, desenvolva a série de Maclaurin para sen(y), e por fim troque y por 2x.

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A última linha vale para y = 2x ≅ 0, isto é, vale para x ≅ 0, como pode ver no gráfico a seguir, com f em preto e p5 em vermelho.

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§100-6. Desta vez, não faça y = 1 + x, desenvolva a série de Maclaurin para ln(y), e depois troque y por 1 + x; pois não pode atribuir significado a ln(y) quando y = 0, já que, no sistema dos números reais, só pode definir a função logaritmo natural para valores maiores que zero.

Sem se preocupar por enquanto com o que significa f(x), monte a série p5(x):

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Agora, calcule os valores de f(0), f(1)(0), …, f(5)(0):

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E por fim substitua os valores na expressão para p5(x).

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A quase-equação na última linha vale no entorno de x = 0, como pode ver no gráfico a seguir, com f em preto e p5 em vermelho.

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O que viu neste problema foi um método para lidar com uma função f não definida em x = 0: se gostaria de usar uma série de Maclaurin para estudá-la, estude em vez disso f(1 + x), o que vai descolar o gráfico de f uma unidade para a esquerda, ou então estude f(d + x), o que vai deslocar o gráfico d unidades à esquerda (se d é positivo) ou à direita (se d é negativo).

Note que a série de Maclaurin para ln(1 + x) só converge se –1 < x < 1.


§100-7. Já estudou a função sen(x)/x antes: sabe que sen(ϖ)/ϖ ≈ 1 para todo infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Em outras palavras, embora não possa fazer x = 0, sabe que sen(x)/x se comporta bem no entorno de x = 0.

Existe um jeito bem simples de tratar esse problema: divida a série de Maclaurin para sen(x) por x, e veja o que obtém.

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No gráfico a seguir, pode ver a curva de f em preto e a de p5 em vermelho.

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Séries são objetos matemáticos extraordinários. Você percebeu que, ao resolver este problema, descobriu um jeito simples de provar que sen(x)/x tende a 1 quando x tende a zero?


§100-8. Desta vez, direto ao resultado: f(0) = 1, f(1)(0) = 0, f(2)(0) = 2, f(3)(0) = 0, f(4)(0) = 24, e f(5)(0) = 0. Assim:

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A série de Maclaurin para essa função converge apenas quando –1 < x < 1, isto é, p(x) = f(x) para todo x ∈ (–1, 1). E veja como você realmente consegue tirar a derivada da série de cabeça: no caso de p5, a primeira derivada é 2x + 4x3. Tirar de cabeça a derivada da expressão original para f beira o impossível.

No gráfico a seguir, veja a curva de f em preto e a de p5 em vermelho.

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§100-9. Veja a resposta dos problemas §100-4 a §100-8: séries de potências são objetos matemáticos muito flexíveis.


§100-10. É claro que o redator não deseja que aprenda a calcular e13 com papel, caneta, e calculadora porcaria de bolso, pois pode pegar uma calculadora científica, apertar 13, apertar ex, e olhar o resultado: 442.413,392009. O que você deve fazer é experimentar, montar tabelas, e pensar no assunto.

Tente calcular o valor de e13 usando o polinômio p5 como referência:

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Como vê, é pouco somar seis parcelas da expansão de Maclaurin. O que deve fazer é ir somando sete parcelas, oito parcelas, …, n parcelas, até que perceba que o número “estabilizou” e o algarismo da segunda casa decimal não muda mais. Isso só acontece a partir da parcela 39:

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Esse é o método, se um dia tiver de calcular e13 com papel, caneta, e uma calculadora porcaria de bolso: vá adicionando o valor das parcelas de Maclaurin até que a soma se estabilize com a precisão que você deseja.

(Na seção 103, há um método melhor para casos assim: a série de Taylor.)


§100-11. Visto que 0,32 está perto de zero, a série de Maclaurin para sen(x) funciona superbem. Veja o polinômio p7:

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Agora, parcela a parcela:

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E fica claro que sen(0,32) ≅ p3(0,32) ≅ 0,31, pois p5 já não tem nenhuma influência sobre a segunda casa decimal de sen(0,32), e de p5 em diante o valor de cada parcela só diminui. Em outras palavras, você conseguiu o que queria com apenas seis parcelas da série!

Examine por um momento o gráfico a seguir, em que sen(x) está em preto e p7(x), em vermelho.

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Veja como, no intervalo de –π a +π, a curva de p7 quase coincide com a de seno. De fato, visto que sen(x) é uma função periódica, você pode pegar qualquer valor de x, “trazer” esse valor para um valor correspondente no intervalo [–π, π], e daí usar p11, por exemplo, para calcular sen(x) com precisão razoável para qualquer valor de x.

É mais ou menos isso o que sua calculadora faz para calcular sen(x).


§100-12. Faça √(1,07) = √(1 + 0,07) e use a série de Maclaurin para √(1 + x), que estudou no começo da seção 97. Para começar, eis o polinômio p4:

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O segredo é ir devagar, para ver quando a segunda casa decimal do resultado se estabiliza.

Veja a adição da primeira parcela com a segunda:

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Agora a adição das três primeiras parcelas:

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E a adição das quatro primeiras parcelas:

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E fica claro que a segunda casa decimal não muda mais, porque as parcelas vão ficar cada vez menores e não têm mais o poder de influir na segunda casa decimal. Sendo assim:

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O algoritmo é trabalhoso, mas simples, e com ele você pode calcular o valor de √(1,07) com quantas casas decimais bem entender.


§100-13. O objetivo, lembre-se, não é apertar cos(√3) numa calculadora científica, mas se organizar e fazer a conta com uma calculadora porcaria de bolso.

Primeiro, a série para cos(x), e logo em seguida para cos(√3):

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Agora, a conta com uma calculadora de bolso:

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E já fica claro que a segunda casa decimal não muda mais, pois o denominador da série está crescendo muito mais depressa que o numerador. Portanto, com uma calculadora porcaria de bolso, cos(√3) ≅ –0,16.


§100-14. Use a resolução do problema §100-6, isto é, use a série de Maclaurin para ln(1 + x), mas faça x = –0,03. Daí deve obter ln(0,97) ≅ –0,03.


§100-15. Siga o método: faça f(x) = (1 + x)(2/5). Logo em seguida, calcule f(0), f(1)(0), …, f(5)(0).

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Agora, exprima f com p5, isto é, com os seis primeiros termos da série de Maclaurin para f.

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Para dizer se a série converge para todo valor de x, teria de aplicar algum teste de convergência; contudo, adie essa linha de investigação para outro dia, pois a série certamente converge para –1 < x < 1, e p5 no fim das contas é um polinômio adequado para produzir o valor de f(x) com duas casas decimais no caso de x ≅ 0. Faça, portanto, x = 3/10 e complete a conta.

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§100-16. Comece com a série de Maclaurin para e1. Depois, por indução, mostre que 0,1.2.3.4.5.··· = ∑[1, ∞)(1/k!). Por último, basta comparar as duas séries termo a termo.

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§100-17. O primeiro passo é lembrar que √e = e(1/2). Pegue a série de Maclaurin para ex, substitua x por 1/2, e arrume as parcelas para que o padrão de repetições fique bem visível. Depois, por indução, faça a mesma coisa com 0,2.4.6.8.10.···. Por fim, compare as duas séries termo a termo.

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Quem diria? A calculadora HP 50g não percebe que o fracimal 0,2.4.6.8.10.··· converge para √e – 1.


§108-1. Comece pondo no papel a série de Maclaurin para exp(y); depois vai trocar y por –x2.

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Agora faça y = –x2 e siga em frente.

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E, graças à ideia de série de potências, a operação é bem mais simples do que parece à primeira vista.

Problema 108-1

Nota: Acima, a curva de exp(–x2), mais a área que acabou de calcular em destaque. Se acha curiosa a coincidência com a curva normal, bem, não é coincidência, pois exp(–x2) é um componente essencial da curva normal.


❏ 110-1. Como ponto de partida, você precisa olhar para um pedaço de papel com o polinômio infinito para f(x), em termos genéricos, e também com o polinômio infinito para f’(x), pois em algum momento terá de compará-los termo a termo. Então, ponha os dois polinômios infinitos no papel.

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Formulário §111-1

Agora, visto que f’(x) = x + f(x), faça as contas e reúna os coeficientes termo a termo.

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Compare os coeficientes termo a termo, até ter a certeza de como o padrão se repete.

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Com isso, pode reescrever a série para f.

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Sabe, contudo, que a0 = a1; além disso, se f(0) = 1, então a0 = 1. Com isso, reescreva mais uma vez a série para f.

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Tire a prova: veja se f’(x) = x + f(x).

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Então, você achou uma solução. Mas será que achou a única solução possível ou uma solução entre infinitas? Tente substituir 1 por C, sendo C uma constante real qualquer; também substitua 2 por A, sendo A uma constante qualquer. Eis a que deve chegar:

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Para que a última linha seja equivalente a f’(x) = x + f(x), pode atribuir qualquer valor real para a constante A, mas, quanto a C, tem de ser igual a 1. Assim, o que achou foi uma solução possível da equação diferencial f’(x) = x + f(x), na qual A = 2.

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O gráfico de f tal que f’(x) = x + f(x)


❏ 110-2. Ao examinar o enunciado, viu o termo ex, e deve ter percebido que iria precisar também da série de Maclaurin para ex, além da série genérica para f(x) e da série para f’(x), que pode ver no formulário §111-1 (na resposta acima). Eis a série para ex:

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Se f’(x) = ex + f(x), então, ao igualar as séries e adicionar os coeficientes de potências iguais de x:

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Se fizer x = 0, essa equação se transforma em a1 = 1 + a0. Contudo, visto que f(0) = 0, a0 = 0, e a1 = 1. Quanto ao valor dos outros coeficientes, veja como pode proceder:

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Tais coeficientes sugerem a seguinte regra pela qual calcular o coeficiente an na série para f(x), regra válida para n ≥ 1 inteiro:

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Pode provar isso por indução. Já sabe que a regra é válida quando n = 1. Além disso:

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Monte com tudo isso a série infinita para f(x):

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Para saber se isso está certo, calcule a derivada de f e depois verifique se f’(x) = ex + f(x).

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Está certo.

Agora vem o problema de achar uma solução a mais genérica possível para a equação diferencial. Para tanto, talvez tenha de olhar a série para f(x) por uns poucos minutos — isso se já não teve a ideia de pegar a série para f(x) e colocar o fator x em evidência:

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❏ 110-3. A princípio, siga a dica do redator.

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Com a dica, descobriu que a0 = 0, mas, se tentou seguir adiante com essa série para f, deve ter percebido que ela é muito difícil de manusear. O segredo é descobrir que a0 = 0 e voltar à série genérica convencional para f, para só depois disso seguir adiante.

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Use mais uma vez o fato de que f’(x) = x2 + f(x).

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Agora veja o seguinte: quando x = 0, a1 = 0. Mas 2a2 = a1, pois ambos são coeficientes de x, e portanto a2 = 0 também. A partir daí:

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Já pode montar a série para f(x) e concluir as contas.

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Falta agora achar a solução a mais genérica possível. Se tentou fazer isso, chegou a f’(x) = Aex + f(x), expressão na qual A é um número real qualquer.


❏ 110-4. Você já sabe o que é f(x) e f’(x). Ponha no papel, portanto, a série para f’’(x) e, para adiantar o serviço, já iguale a série a x + f(x).

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Bem, se f(0) = 1, daí a0 = 1; e se f’(0) = –1, daí a1 = –1. E quanto aos outros coeficientes?

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E com isso o padrão de repetições fica claro: se k ≥ 3 é um inteiro ímpar, ak = 0; se k ≥ 0 é um inteiro não negativo par, ak = 1/k!. (Lembrete: 0! = 1.) Já pode montar a série para f(x).

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Será que essa série representa uma combinação de funções? O estudante, quando a vê pela primeira vez, dificilmente enxerga a combinação. Acompanhe as linhas a seguir:

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Pode chamar a função na última linha de “cosseno hiperbólico de x”; o símbolo é cosh(x). (É uma função que surge naturalmente quando você estuda a curva de uma hipérbole equilateral no plano cartesiano; ela é essencial na geometria hiperbólica, que é uma das geometrias não euclidianas.) Sendo assim:

 

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Você vai lidar com funções hiperbólicas em vários ramos da matemática, tanto pura quanto aplicada.

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Cosh(x) em preto, exp(x) em vermelho, exp(–x) em verde


❏ 110-5. Na resolução dos problemas anteriores, já viu as séries para f(x), f’(x), f”(x), e ex. Comece com o básico: se f(0) = 2, então a0 = 2; e se f’(0) = 3, daí a1 = 3. Sabendo tudo isso, ponha no papel, logo duma vez, o que significa f(x) + f’(x) = ex + f”(x).

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Assim, comparando os coeficientes de potências iguais de x:

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Com isso, os primeiros sete termos da série para f(x) são:

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É difícil enxergar nessa sequência uma expressão com uma combinação de funções conhecidas, mas, com a ajuda do portal Wolfram Alpha, veja o que f verdadeiramente é:

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A questão é que, mesmo que não pudesse recorrer a um sistema de computação algébrica para identificar melhor a função f, na prática teria como produzir a série para f com tantos termos quantos bem entendesse, e as duas coisas são equivalentes. Essa é a tremenda vantagem das séries de potências.


❏ 110-6. Use a0, a1, a2, …, ak, … para denotar os coeficientes de f(x), e b0, b1, b2, …, bk, … para os coeficientes de g(x). Com isso já pode obter o primeiro par de informações: se f(0) = 1/2, então a0 = 1/2; e se g(0) = 1/3, então b0 = 1/3.

Quais são os primeiros termos de x + g’(x) e de xg(x)?

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Atenção ao sinal de + no fim da segunda série; ele significa “mais o que vem pela frente, seguindo esse padrão”, e o próximo termo é + (–b6x6) = –b6x6.

Já pode reunir as informações e calcular os primeiros cinco coeficientes das duas séries.

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E fica claro que pode seguir adiante tantas vezes quantas bem entender, fazendo an = (n + 1)bn+1 e nan = –bn–1. Eis as duas séries:

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Note a alternância de coeficientes positivos e negativos. Se desconfiou que isso tem alguma coisa a ver com as séries para sen(x) e cos(x), acertou, embora seja difícil chegar até elas à mão. Mas não custa nada recorrer à ajuda do Wolfram Alpha:

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A curva de f em preto e a de g em vermelho

Pode verificar como as duas funções validam as restrições que espera delas.


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{112}/ Sim, é caso de amor

O professor Nílson José Machado, da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, costuma dizer uma coisa interessante:

“Com um número finito de informações a respeito de apenas um ponto [do plano cartesiano; esse ponto faz parte da curva de uma função], você pode usar os polinômios infinitos para aproximar uma função não apenas naquele ponto — mas na reta inteira!” Pense nisso: com um número finito de informações (as informações necessárias para compor o polinômio com, digamos, n parcelas), você vai ajustando o comportamento do polinômio na reta real inteira, de menos infinito a mais infinito. Quanto maior o número de informações (ou o número de parcelas), mais o polinômio se ajusta à função a qual você gostaria de aproximar. “Só com polinômios alguém pode fazer isso”, diz Nílson. “Eu não sei como é que a gente não adora os polinômios!”

E agora você já tem os elementos teóricos para entender esse encantamento. {FIM}


Aviso. Caso veja algum erro neste capítulo ou queira tirar uma dúvida, escreva para o redator:

<ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com>.

Sequências e séries infinitas com números hiper-reais

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{0}/ Introdução

Este é o oitavo capítulo sobre como você usa o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial e integral. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo, nono, décimo.) Desta vez, vai estudar sequências infinitas de números, assim como o somatório dos termos de uma sequência infinita. Na faculdade, muito estudante fica surpreso quando descobre que o matemático encara coisas como cos(x), ln(x), ou exp(x) como se fossem somatórios infinitos. E depois fica pasmo ao descobrir que é mais natural encará-las como somatórios infinitos do que encará-las de qualquer outra maneira.

Lembretes: a seção a seguir é a 80 porque o capítulo anterior terminou com a seção 79; e “definição §81-1” e “teorema §81-1” significam “a primeira definição que vai encontrar na seção 81” e “o primeiro teorema que vai encontrar na seção 81”.


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{80}/ Família feliz: “A vida fica mais fácil com polinômios”

Com o que viu até aqui, você se sente mais à vontade com os conceitos de derivação e de integração. Depois de compreender o teorema fundamental do cálculo, está mais confiante: sabe que, para integrar uma função, é bem provável que tenha apenas de achar uma primitiva para essa função, e achar uma primitiva se resume a pensar em derivadas.

Com a prática, contudo, já percebeu que o mundo da matemática não é tão cor-de-rosa, porque, com exceção de umas poucas funções muito camaradas, achar a primitiva de uma função é difícil à beça. É mais fácil que calcular a integral com uma soma de Riemann, mas, mesmo assim, é difícil.

Por exemplo, o leitor facilmente verifica que a derivada de 5x2 – 2x + 1 é 10x – 2; e também que a primitiva de x3 – 6x2 + 2x + 7 é (1/4)x4 – 2x3 + x2 + 7x. Qual é, contudo, a derivada da função a seguir?

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E qual é a primitiva da função a seguir?

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Ficou difícil. Por qual razão você pôde verificar mentalmente que a derivada de 5x2 – 2x + 1 é 10x – 2 e que a primitiva de x3 – 6x2 + 2x + 7 é (1/4)x4 – 2x3 + x2 + 7x?

Resposta: Estava lidando com polinômios.

Num comercial de margarina, logo que aparece a família feliz, o cachorro de rabo abanando, o gatinho lambendo uma das patas dianteiras, o locutor deveria dizer: “A vida fica mais fácil com polinômios.” Se quiser, ponha no papel, com ares de formalidade, as regras pelas quais acha a derivada e a primitiva de uma função polinomial.

Regra §80-1. Se p(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ··· + a2x2 + a1x + a0 é uma função polinomial em x, sendo x um número real, daí a expressão (I) a seguir é a derivada p’ de p, e a expressão (II) é a primitiva P de p.

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Para quem não é do ramo, parece uma regra difícil. Para você, que já conhece bem as ideias de integração e de derivação, é até um exagero chamar essa regra de “regra”, pois ela se tornou muito natural, e não precisa anotá-la em nenhum lugar para que se lembre dela.

Não seria ótimo se pudesse igualar toda função f a um polinômio? Porque, se pudesse, daí, para cada uma dessas funções, acharia a derivada e a integral de cabeça, ou então, se sua cabeça não é para tanto, no máximo precisaria de uma caneta Bic e de um guardanapo de papel, ferramentas que pode encontrar em qualquer cafeteria.

Mas, de cara, já sabe que é impossível igualar toda função f a um polinômio: polinômios são diferenciáveis, por exemplo, mas há funções que não são diferenciáveis.

Existe um obstáculo adicional:

stock-illustration-87682489-abstract-3d-faceted-zero-number-with-connected-black-linesDiante de qualquer função polinomial p(x), você pode calcular a derivada p’(x), a derivada da derivada p’’(x), a derivada da derivada da derivada p(3)(x), etc. Contudo, cedo ou tarde, uma dessas derivadas será uma função nula para todo x, isto é, para algum k ≥ 1 inteiro, p(k)(x) = 0 para todo x. A partir desse momento, para todo n não negativo, p(k+n)(x) = 0 para todo x.

Como então você poderia igualar a função sen(x) a um polinômio? Pois pode derivar sen(x) indefinidamente, isto é, se usa [sen(x)]’(n) para denotar a enésima derivada de sen(x), então [sen(x)]’(n) ou vale ±cos(x) ou vale ±sen(x), que não são funções nulas. (Para que uma função em x seja nula, ela deve ser igual a zero para todo x.)

Como daria solução a esse problema?

Ora, se p(x) é uma função polinomial não nula de ordem n, você vai obter uma função nula depois de derivar p(x) n + 1 vezes, isto é, p(n+1)(x) = 0 para todo x. A partir daí, se k ≥ 1, p(n+k)(x) = 0 para todo x.

No século 18, os matemáticos pegaram uma ideia que já existia faz tempo e a puseram formalmente no papel: E se o matemático transformar p(x) numa função polinomial de ordem infinita? Isto é, e se você pensar em p(x) como um somatório de monômios atxt que se estende ao infinito? Em notação matemática, ele ficaria assim:

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Nessa expressão, an é o coeficiente real da n-ésima parcela do polinômio. Percebe que agora pode derivar p(x) quantas vezes bem entender? Será que, fazendo assim, pode igualar sen(x) e algum polinômio de ordem infinita?

Bem, este é o objetivo deste capítulo: ajudá-lo a construir não as funções polinomiais infinitas em si, mas sim os fundamentos sobre os quais poderá construí-las e manejá-las no próximo capítulo desta série.


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{81}/ Sequências infinitas de números

Comece os trabalhos examinando a noção de uma sequência infinita de números. Veja três exemplos:

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O melhor é usar uma definição matematicamente precisa.

Definição §81-1. “Sequência infinita.” Uma sequência infinita é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos e cuja imagem é um subconjunto dos reais.

Para verificar a correlação entre essa definição e a noção intuitiva de sequência infinita, use f para denotar a função. Daí a sequência fica assim:

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É tradição entre matemáticos usar a notação a seguir para denotar a sequência infinita a1, a2, a3, a4, a5, …, na qual ak = f(k).

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Observação sobre a notação acima: se estiver claro pelo contexto que a sequência é infinita, pode denotá-la mais simplesmente com {an}.

Lembrete 1: A função f não precisa ser uma função bem comportada, com uma expressão algébrica e tudo o mais; ela pode ser até mesmo desconhecida. Por exemplo, você pode pensar numa função f com a qual vai correlacionar o enésimo inteiro positivo ao enésimo número primo; assim, f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 5, f(4) = 7, f(5) = 11, etc. Na sua imaginação, pôde descrever perfeitamente essa função f, assim como a sequência infinita {f(n)} de números primos, embora ninguém ainda tenha descoberto uma fórmula bem comportada para tal função f — a existência dessa fórmula é um problema em aberto na matemática. A função ak = f(k) pode ser também errática, isto é, os termos a1, a2, a3, a4, a5, … formam uma sequência completamente errática de números reais.

Lembrete 2: Visto que pôde definir sua sequência infinita {an} com a linguagem L, invoque o teorema de Łós e diga que também pode defini-la no sistema dos números hiper-reais. Assim, para todo hiper-real N inteiro positivo infinito, o N-ésimo termo da sequência, que é aN, vale simplesmente f(N). Desta vez, contudo, a imagem é um subconjunto dos hiper-reais, e um elemento da imagem talvez seja não padrão. (Mais sobre esse ponto na seção 95.)

Lembrete 3: Ao usar o símbolo {f(n)} numa situação concreta, pode substituir f(n) pela expressão para f(n), se houver uma expressão. Por exemplo:

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Lembrete 4: Outra palavra comum para denotar “sequência” é “progressão”, de modo que talvez ouça ou leia a locução “progressão infinita” no lugar de “sequência infinita”. Sequência, contudo, é uma palavra melhor.

* * *

Por que estudar sequências infinitas? No mínimo, porque algumas delas têm uma propriedade interessante e útil: conforme você avança na sequência, cada termo vai ficando cada vez mais próximo de determinado número fixo. Por exemplo, os termos da sequência {1/n} ficam cada vez mais próximos de zero conforme você atribui a n um valor cada vez maior. É essa ideia que vai capturar e detalhar nas duas definições a seguir.

Definição §81-2. “A ideia de convergência.” Diga que a sequência infinita {an} converge para o número real a se, e somente se, aNa para todo N inteiro positivo infinito. Se quiser, pode denotar esse fato com os símbolos ana e as palavras “an tende ao limite a” ou “an converge para o limite a”; ou com os símbolos lim an = a e as palavras “o limite da sequência infinita {an} é a”. Também pode escrever {an} → a ou lim{an} = a. Se a sequência não converge, diga que ela diverge.

Definição §81-3. “Sequências limitadas e ilimitadas.” Se aN é um hiper-real finito para todo N inteiro positivo infinito, diga que a sequência {an} é limitada. Caso contrário, que é ilimitada.

Como usar tais definições para estudar as sequências que já viu de exemplo?

(a) A sequência {1/n} converge para zero (1/n → 0), pois, se escolhe N > 0 infinito, o N-ésimo termo da sequência, que é 1/N, é um infinitésimo e está infinitamente próximo de zero. Além disso, {1/n} é limitada, visto que 1/N é finito para todo N inteiro positivo infinito.

(b) Também {1/2n} → 0, porque, se faz n um inteiro positivo, 1/2n < 1/n, e portanto 1/2N < 1/N é um infinitésimo. Da mesma forma, diga que a sequência {1/2n} é limitada, pois o termo 1/2N é finito para todo N inteiro positivo infinito.

Lembrete: frases como “o número 1/2N < 1/N é um infinitésimo”, que são comuns na matemática, significam: “O número 1/2N, que é menor do que 1/N, é um infinitésimo.”

(c) À guisa de contraexemplo, imagine a sequência a seguir.

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Não tem como dizer que essa sequência é limitada, pois, ao calcular o N-ésimo termo, vai chegar a um hiper-real infinito:

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Por definição, um hiper-real infinito não está infinitamente próximo de nenhum número real, por maior que seja, e portanto a sequência diverge. Pode dizer que ela é ilimitada, ou, se quiser usar linguagem convencional, que ela “tende ao infinito”.

Teorema §81-1. Uma sequência converge para no máximo um único número real. Em outras palavras, se você descobre que {an} converge para a, e depois também descobre que {an} converge para b, então a = b.

Prova. Faça N > 0 um inteiro infinito. Se aNa e aNb, daí ab. Visto que a, b são ambos números reais, a diferença entre eles é zero, e a = b.

Teorema §81-2. Se descobre que {an} é uma sequência convergente, então {an} é limitada.

Prova. Suponha que {an} converge para a. Daí aNa para todo N inteiro positivo infinito e, sendo assim, visto que a é real, aN é finito para todo N.

Teorema §81-3. Suponha que {an} é uma sequência infinita que converge para a, e que {bn} converge para b. Daí a sequência {an + bn} converge para a + b, a sequência {an · bn} converge para a · b, e, se b ≠ 0, a sequência {an/bn} converge para a/b.

Prova. Se {an} → a, daí st[aN] = a para todo N inteiro positivo infinito. Da forma análoga, st[bN] = b para todo N inteiro positivo infinito. Com isso, o N-ésimo termo de {an + bn} é aN + bN, o N-ésimo termo de {an · bn} é aN · bN, e, se b ≠ 0, o N-ésimo termo de {an/bn} é aN/bN. Usando os teoremas das seções 21 e 22, eis o que pode concluir:

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* * *

Nem toda sequência limitada converge. Considere, por exemplo, a sequência 0, 1, 0, 1, 0, … Qual é o valor de aN, o N-ésimo termo da sequência? (Sendo N um inteiro positivo infinito.) É zero se N é ímpar e 1 se N é par. Nos dois casos, é um valor finito, e portanto a sequência é limitada. Porém, não há nenhum número real a tal que aNa para todo N inteiro positivo infinito. Sendo assim, por definição a sequência diverge.


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{82}/ Lista de problemas

Mostre se cada uma das sequências infinitas a seguir é limitada, em primeiro lugar, e se converge, em segundo. Se a sequência converge, ache o limite.

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Um dica para o problema 6: o N-ésimo termo da sequência é:

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Veja as sugestões de resposta na seção 94.


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{83}/ Sequências de Cauchy

Ao longo da história, muito matemático se perguntou se definições como a §81-2 eram o melhor que a humanidade poderia escrever. Será que só é possível saber se uma sequência converge se for possível saber para qual número ela converge? E se uma sequência até parece que converge, mas o matemático não consegue descobrir o número específico para o qual ela converge? Em casos assim, não seria ótimo se fosse possível descobrir se ela converge ou diverge?

Ou, dito ainda de outra forma: Não seria bom se você pudesse definir o que é uma sequência infinita convergente sem mencionar, nenhuma vez, o número real para o qual ela converge? É o que fará com a definição a seguir.

Definição §83-1. Uma sequência infinita {an} converge se, e somente se, para qualquer par N, M de inteiros positivos infinitos, aNaM.

Foi Cauchy quem concebeu essa definição pela primeira vez. (Não com números hiper-reais, mas com limites.) Para ver que ela corresponde à definição anterior, você primeiro precisa de umas poucas definições e conceitos.

Definição §83-2. “Sequências de Cauchy.” Pode dizer que uma sequência infinita {an} é uma sequência de Cauchy se, e somente se, para qualquer par N, M de inteiros positivos infinitos, aNaM.

Teorema §83-1. Toda sequência de Cauchy converge, isto é, se {an} é uma sequência de Cauchy, daí existe um número real a tal que aNa para todo N inteiro positivo infinito. (Pode chamar essa propriedade dos números reais de “completude”.) Além disso, a recíproca é verdadeira: se você descobre que a sequência infinita {bn} converge para o número real b, então {bn} é uma sequência de Cauchy.

Prova. Suponha que {an} é uma sequência de Cauchy. Em primeiro lugar, note que, se a suposição é verdadeira, a linha (*) a seguir, na qual r é um número real positivo, tem de ser verdadeira também:

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Se essa afirmação fosse falsa, daí a afirmação a seguir teria de ser verdadeira:

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Com isso você quis dizer que, se an não fica dentro dos limites do intervalo [–r, r] para todo valor inteiro positivo de n, significa que os valores de an “andam” na linha dos números para a direita (se an vai assumindo valores uns cada vez maiores que outros) ou então “andam” para a esquerda, e cedo ou tarde “ultrapassam” o valor de r ou o valor de –r. Se é assim, para todo n, existe um inteiro positivo m tal que a distância entre an e am é maior que 1.

Ora, se isso é verdade no sistema dos reais, tem de ser verdade no dos hiper-reais. Assim, para N infinito, |am| > |aN| + 1 é falso para todo m > N, pois {an} é uma sequência de Cauchy e a diferença aNam ou é um infinitésimo ou é zero. Portanto, a linha (*) é verdadeira.

Visto que (*) é verdade, aN é finito para todo N > 0. E visto que {an} é uma sequência de Cauchy, para todo par N, M de inteiros positivos infinitos:

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Portanto, {an} converge para st[aN].

Agora, a implicação recíproca. Se {bn} converge para b, daí, para qualquer par N, M de inteiros positivos infinitos, por definição bNb e bMb. Em outras palavras, bN = b + ϖ e bM = b + ϖ2, onde ϖ e ϖ2 são infinitésimos positivos (se {bn} se aproxima de b pela direita) ou negativos (se {bn} se aproxima de b pela esquerda). Em qualquer dos dois casos, bNbM, pois a diferença entre os dois ou é infinitesimal ou é zero:

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Pode acontecer de que ϖ seja positivo e ϖ2 seja negativo, ou vice-versa; é quando {bn} se aproxima de b aos saltos, ora à direita de b, ora à esquerda de b. Com tudo isso, você prova a recíproca: se {bn} é uma sequência infinita que converge para o número real b, então {bn} é uma sequência de Cauchy.


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{84}/ A completude dos reais

Já reúne as condições de apreciar uma ideia bonita e difícil. Faça as contas: se m, n é um par de inteiros positivos, e se m/n é uma boa aproximação para √2, então (m + 2n)/(m + n) é uma aproximação melhor ainda. Com essa regra, você pode construir uma sequência infinita de números racionais tais que seu quadrado fica cada vez mais perto de 2, começando com m = n = 1:

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Pode ver como, se pega duas frações consecutivas da sequência, o quadrado de uma está à direita de 2 e o quadrado de outra está à esquerda de 2, só que mais perto; ou vice-versa. Então, cada termo da sequência fica cada vez mais perto do número real √2, e você pode invocar Łós e dizer: “Se M, N é um par de inteiros positivos infinitos, e se M/N está infinitamente próximo de √2, então (M + 2N)/(M + N) está ainda mais próximo.” Claramente você está lidando com uma sequência de Cauchy cujo limite é √2, isto é, cujo limite é o número real positivo tal que, ao multiplicá-lo por si mesmo, obtém 2.

Agora, será que o número irracional √2 realmente existe, já que não pode representá-lo como a razão entre dois inteiros positivos? Por muito tempo, essa pergunta incomodou todo matemático que parou para pensar no assunto por uns poucos minutos, até que os matemáticos tiveram a ideia de transformar a completude dos reais num axioma:

stock-illustration-49998160-be-happy-chalkboard-concept“Sim, √2 existe.”

“Existe como?”

“Axiomaticamente, por definição. O axioma da completude dos reais diz que todos os pontos da reta real existem, mesmo aqueles que você não pode representar com um número racional.”

“Mas eu quero ver algo concreto no lugar de √2. Eu quero algo para pôr no papel. O que você pode me mostrar à guisa de número √2?”

“Posso te mostrar a sequência infinita 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, etc. Essa sequência converge para √2, pois o quadrado de cada termo da sequência vai ficando cada vez mais perto de 2. Logo, se você precisa fazer uma conta com √2, pegue um termo da sequência que esteja próximo o bastante de √2 para seus propósitos e use esse termo no lugar de √2.”

“Mas o que é √2, de verdade, no fundo no fundo? Por favor, estou assolado por mil inquietudes filosóficas!”

“Ora, √2 é a própria sequência de Cauchy que acabei de descrever, ou qualquer outra sequência de Cauchy {an} tal que, para todo N inteiro positivo infinito, (aN)2 ≈ 2. Por que não vai estudar jornalismo e para de me amolar?”


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{85}/ Sequências que divergem

A sequência {n} = 1, 2, 3, 4, 5, …, n, …, não converge, pois o N-ésimo termo vale N, que não está infinitamente próximo de nenhum número real. É uma situação diferente da sequência 0, 1, 0, 1, 0, 1, …, cujo N-ésimo termo é finito, embora a sequência não convirja para um número real específico. Assim, por convenção, pode dizer que o limite da sequência {n} é infinito. Em palavras, {n} diverge para o infinito; em símbolos, {n} → ∞ ou lim{n} = ∞.

Definição §85-1. No caso de uma sequência infinita {an}, diga que an → ∞ se, e somente se, aN > 0 é infinito para todo N inteiro positivo infinito. Ou diga que an → –∞ se, e somente se, aN < 0 é infinito para todo N inteiro positivo infinito.

Lembrete: Com o símbolo ∞ você não denota nenhum número em particular, e portanto, de modo geral, não faz sentido grafar coisas como 1 = 1, expressão que pode encontrar facilmente na internet. A expressão 1 = 1 não tem significado, simplesmente porque os matemáticos, de comum acordo, decidiram não atribuir à expressão nenhum significado concreto. Agora, se N é um hiper-real infinito qualquer, positivo ou negativo, daí 1N = 1 é uma afirmação perfeitamente válida no sistema dos números hiper-reais.


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{86}/ Lista de problemas

Descubra se as sequências a seguir divergem para o infinito.

(1). {2n}

(2). {√n}

(3). 1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6, …

(4). 1, –2, 3, –4, 5, –6, …

(5). Mostre que, se an → ∞ ou se an → –∞, daí 1/an → 0.

(6). Ache uma sequência {an} tal que an → 0, mas {1/an} não tem limite finito ou infinito.

Sugestões de resposta na seção 94.


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{87}/ As sequências monótonas

Estude com atenção a definição e o teorema a seguir. Vai usá-los muitas vezes mais tarde.

Definição §87-1. Pode dizer que uma sequência infinita {an} é monótona não decrescente se anam sempre que n < m, e que {an} é monótona não crescente se anam sempre que n < m. (Se an < am sempre que n < m, diga que {an} é monótona estritamente crescente; e se an > am sempre que n < m, diga que {an} é monótona estritamente decrescente. Se quiser, pode substituir a palavra “monótona” por “monotônica”.)

Veja na figura a seguir um exemplo de sequência monótona não decrescente (na verdade, um exemplo de sequência monótona estritamente decrescente): os valores da sequência estão no eixo y, e correspondem à ordenada de cada uma das bolinhas, tomadas da esquerda para a direita.

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Caso não deseje especificar se a sequência monótona não decresce ou não cresce, diga apenas que a sequência é monótona.

Teorema §87-1. Toda sequência monótona limitada converge.

Prova. Primeiro, suponha que {an} é monótona não decrescente e limitada. Você vai mostrar que, nesse caso, {an} é uma sequência de Cauchy. Pois, se {an} não for uma sequência de Cauchy, daí aNaM para algum inteiro positivo infinito N > M. Mas, visto que aN > aM, então aN > aM + r para algum número real r. Assim, visto que {an} é monótona, a afirmação a seguir é verdadeira no sistema dos números hiper-reais.

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Se é assim, invoque Łós e diga que a afirmação também é verdadeira no sistema dos números reais. Portanto, é verdadeira para cada um dos inteiros positivos finitos m.

Por exemplo, existe um n1 (finito) tal que:

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Da mesma forma, existe um n2 (finito) tal que:

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Existe um n3 (finito) tal que:

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Ao perseguir pensamentos desse tipo, vai achar óbvio que, para todo k inteiro positivo, existe um inteiro positivo n tal que an > a1 + kr. Essa afirmação é verdadeira nos reais; logo, é verdadeira nos hiper-reais, de modo que, para todo inteiro positivo infinito K, existe um inteiro positivo infinito N tal que aN > a1Kr. Visto que r é um real positivo, Kr é infinito, e portanto aN também é infinito. Mas isso contradiz sua suposição, a de que {an} é limitada; portanto, {an} é uma sequência de Cauchy e, pelo teorema §83-1, converge.

(A prova para o caso em que {an} é monótona não crescente é quase igual a essa.)

* * *

Há um corolário interessante e útil do teorema §87-1:

Corolário §87-1. Se 0 ≤ r < 1, daí rn → 0.

Na ilustração a seguir, veja o gráfico para r = 1/2.

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Prova. O caso em que r = 0 é trivial. Estude, portanto, os casos em que r ≠ 0.

Para todo 0 < r < 1, rn < rm se n > m, isto é, 0 < rn < 1 para todo inteiro positivo n. Visto que pode bancar essa afirmação no sistema dos números reais, pode bancá-la no sistema dos hiper-reais; assim, rN é um hiper-real finito, de modo que a sequência é limitada. A sequência {rn} também é monótona não crescente (se r ≠ 0, é monótona estritamente decrescente), e então pode invocar o teorema §87-1 para dizer que rna para algum número real a.

Se N é um inteiro positivo infinito, rNa, e assim, ao multiplicar os dois lados da expressão por r, rN+1 = rN · rar. Mas N + 1 também é um inteiro positivo infinito, e portanto rN+1a. Ora, então ara, e como ar e a são ambos números reais, eles têm de ser o mesmo número real. Visto que r ≠ 1, só pode ser o caso de que a = 0.


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{88}/ Lista de problemas

(1). Use a prova da seção anterior para mostrar que rn → 0 para todo r tal que 0 ≤ |r| < 1.

(2). Prove que {rn} é uma sequência infinita monótona não crescente para todo 0 ≤ r < 1.

Sugestões de resposta na seção 94.

Note que estudantes de ensino médio estudam algumas das características de sequências do tipo {rn}, com r real: são as sequências geométricas, ou, para usar linguagem comum no ensino médio, progressões geométricas. Elas são úteis no cálculo.


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{89}/ A soma de sequências infinitas

É hora de examinar um dos assuntos mais interessantes da matemática: a adição dos termos de uma sequência infinita de números.

Você sabe como adicionar dois números a1 e a2 para obter a soma S:

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Essa é uma operação simples quer a1, a2 sejam números reais ou hiper-reais.

E você também sabe como adicionar n números a1, a2, …, an para obter a soma S:

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Mas e se tiver de somar uma quantidade infinita de números reais a1, a2, …, an, …? O que fazer para calcular o valor de S se S = a1 + a2 + ··· + an + ···?

Definição §89-1. “Séries infinitas.” Pode chamar uma soma de infinitos números reais a1, a2, …, an, … de série infinita. Chame de {Sn} a sequência de números reais Sn tais que, para cada valor inteiro positivo de n:

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Daí, se a sequência {Sn} de somas parciais Sn converge para um número real A, diga que A é o valor da série infinita a1 + a2 + ··· + an + ···. Em símbolos:

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Nesse caso, diga que a série infinita converge. Ao contrário, se SN é infinito para algum N inteiro positivo infinito, ou se há um par N, M de inteiros positivos infinitos tal que SN não está infinitamente próximo de SM, diga que a série infinita a1 + a2 + ··· + an + ··· diverge.

Definição §89-2. Esta definição se refere a notação: como denotar, de modo mais breve, a soma de uma série infinita. Assim:

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Sempre que a soma de uma série infinita converge para o número a, você pode denotar isso assim:

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Se quiser, pode traduzir isso na linguagem típica do sistema dos números hiper-reais: a definição a seguir vale para todo N inteiro positivo infinito.

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É importante que você não se deixe confundir com o sinal de igual. Ao escrever ∑[1, ∞)at = a, você não está dizendo que, se fosse possível adicionar todos os infinitos termos at, obteria a soma a. E não está dizendo isso por um motivo simples: é impossível adicionar um número infinito de parcelas. Ora, se é impossível, você não vai nem mesmo tentar — nem você, nem ninguém. O que está dizendo, mais simplesmente, é que pode fazer com que a soma fique tão próxima de a quanto queira — tudo o que tem a fazer é adicionar um número suficiente de parcelas, e muitas vezes nem precisa adicioná-las de fato, pois pode adicioná-las na sua imaginação.


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{90}/ Zenão, Aquiles, e a tartaruga

Talvez sem perceber, quase todo mundo já lidou com séries infinitas na escola. Por exemplo, veja se consegue identificar qual é o número real a seguir:

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É um jeito de grafar um somatório infinito, que, como verá em breve, vale 1/9:

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Pouca gente tecla 1 ÷ 9 na calculadora, vê no visor 0,11111111, e pensa: “Nossa! Estou lidando com uma série infinita!”

A história mais famosa sobre séries infinitas é a da corrida entre Aquiles e a tartaruga. Segundo Aristóteles, a história foi proposta pelo filósofo grego Zenão, cujo propósito era chamar a atenção para uma falha (a seu ver) em raciocínios de cunho matemático.

Suponha que o poderoso guerreiro Aquiles vai apostar corrida com uma tartaruga, e que dá à tartaruga 1 quilômetro de vantagem. Dada a partida, Aquiles tem de correr metade da distância que o separa da tartaruga; depois disso, tem de correr metade da distância remanescente; depois disso, tem de correr metade da distância remanescente; e assim por diante. Zenão disse que Aquiles jamais poderia alcançar a tartaruga, porque, segundo os matemáticos, sempre é possível dividir a distância que o separa da tartaruga em duas partes iguais, a primeira das quais Aquiles deve percorrer se pretende alcançar a tartaruga. Zenão perguntou: “Como um sujeito pode percorrer uma sucessão infinita de distâncias?”

Os matemáticos gregos ficaram tão perturbados com esse paradoxo que evitaram, a todo custo, a ideia de movimento na geometria. O que hoje um estudante chama de “translação” ou de “transformação rígida” não era coisa bem vista numa academia grega de matemática…

Quando os matemáticos aprenderam a lidar com séries infinitas, no século 19 (tão tarde!), o paradoxo se desfez. Suponha que Aquiles precise de t minutos para percorrer a primeira metade da distância, (1/2)t minutos para percorrer a segunda metade, (1/4)t minutos para percorrer a terceira metade, e assim por diante. Aquiles vai sim alcançar a tartaruga porque o somatório infinito a seguir converge:

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Como verá em breve, essa série converge para 2t, e portanto Aquiles alcança a tartaruga em 2t minutos, embora tenha de percorrer infinitas metades da distância remanescente entre ele e a tartaruga.


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{91}/ Teoremas e problemas sobre séries infinitas

Nesta seção, verá os teoremas mais importantes sobre séries infinitas, intercalados com alguns problemas. Embora sejam teoremas importantes, e com eles você possa fazer muita coisa, afaste o pensamento de que sabe tudo sobre séries infinitas, pois já houve quem escreveu livro de 300 páginas só sobre séries!

Teorema §91-1. Se a série infinita ∑at converge, então a sequência infinita a1, a2, a3, …, at, … converge para zero.

Prova. Pense em Sk = a1 + a2 + ··· + ak. Visto que a sequência infinita {Sk} converge, é uma sequência de Cauchy, de modo que SK+1SK para cada K inteiro positivo infinito, isto é, SK+1SK ≈ 0. Mas SK+1SK = aK+1, e com isso aK+1 ≈ 0. Portanto, a sequência infinita a1, a2, a3, …, at, … converge para zero.

Teorema §91-2. Suponha que as expressões a seguir são verdadeiras.

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Daí pode provar a validade de três afirmações: ∑(at + bt) = a + b; ∑(atbt) = ab; e, para qualquer número real k, ∑kat = ka.

Prova. Recorra ao teorema §81-3. Faça Am = a1 + a2 + ··· + am e Bm = b1 + b2 + ··· + bm. Por hipótese, sabe que {Am} converge para a e que {Bm} converge para b; em outras palavras, se M é um inteiro positivo infinito, AMa e BMb. Portanto, st[AM + BM] = a + b, st[AMBM] = ab, e, se k é um número real qualquer, st[kAM] = k st[AM] = ka.

Sendo assim, basta aplicar agora a definição §89-2:

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Teorema §91-3. Defina Sn como na equação a seguir. Se a série infinita ∑at é a soma de números não negativos, então ela converge se, e somente se, a sequência {Sn} é limitada.

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Prova. Visto que cada parcela at é não negativa, a sequência {Sn} é monótona, isto é, SkSk+1 para todo inteiro positivo k. Daí invoque o teorema §87-1 e afirme que {Sn} converge se, e somente se, {Sn} é limitada.

* * *

A série mais comum, e a mais fácil de estudar, é a série geométrica, na forma a0 + a1 + a2 + a3 + ··· = 1 + a1 + a2 + a3 + ···, na qual a ≠ 0 é um número real qualquer. (Para incluir o caso em que a = 0, você tem de combinar com seu leitor o caso especial 00 = 1; em algumas poucas circunstâncias, é vantajoso combinar isso, mas em muitas outras faz melhor se encara 00 como desprovido de significado.)

Eis um jeito simples de calcular a soma de uma série geométrica finita: se faz Sn = 1 + a1 + a2 + ··· + an, daí pode multiplicar a equação inteira por a e explorar as consequências.

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A fórmula vale no sistema dos números reais e, portanto, no dos hiper-reais. Agora suponha que 0 < |a| < 1. Então, para todo N inteiro positivo infinito, aN+1 é um infinitésimo (teorema §91-1), e sendo assim:

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Você acabou de provar que, para todo 0 < |a| < 1, o limite da série infinita 1 + a1 + a2 + a3 + ··· é 1/(1 – a). Escrevendo isso com a notação §89-2:

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Formulário §91-1

O redator marcou este formulário com §91-1 porque você vai usá-lo mais tarde, e várias vezes. Veja o que acontece quando faz a = 1/10.

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Com isso, pode calcular o valor da série infinita 0,11111…:

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Problema §91-1. Use o método acima para calcular, mais genericamente, o valor da série infinita 0,ddddd…, no qual d denota um dígito qualquer de 0 a 9. (“Dígito” = “Algarismo”.)

Resolução. Bem, você já sabe que, se a = 1/10, o limite da série geométrica 1 + a1 + a2 + a3 + ··· é 10/9, e, por definição, isso significa que o o valor da série é 10/9. O que acontece se comparar a série infinita 0,ddddd… com a série 1 + a1 + a2 + a3 + ···?

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Portanto, se d =1, 0,11111… = 1/9; se d = 2, 0,22222… = 2/9; e, por fim, se d = 9, 0,99999… = 9/9 = 1.

O quê?!

Sim, é isso mesmo: 0,99999… = 1.

Vale a pena explorar essa ideia melhor, porque muito estudante fica estupefato ao topar com esse resultado pela primeira vez. Defina o somatório Dn como na linha abaixo.

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Veja agora o que significam D1, D2, D3, …, Dn e a diferença 1 – D1, 1 – D2, 1 – D3, …, 1 – Dn.

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Visto que essa sequência de linhas é verdadeira no sistema dos números reais, também é verdadeira no dos hiper-reais. Sendo assim, faça N um inteiro positivo infinito e veja o que significam DN e a diferença 1 – DN.

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Ora, (1/10)N é um infinitésimo, e portanto 1 ≈ DN, isto é, st[DN] = 1. Assim como já fez ao definir a derivada dy/dx, que é a parte padrão do quociente da variação infinitesimal em y que você obtém ao provocar uma variação infinitesimal em x, e assim como já fez ao definir a integral, que é a parte padrão de um somatório infinito, pode e deve definir o valor real de DN como sendo st[DN] = 1.

Vários matemáticos já tentaram ver se seria possível definir 0,999… como sendo alguma coisa diferente de 1, mas não conseguiram construir nenhum sistema que prestasse. (O matemático inglês Timothy Gowers foi um deles, e de propósito escreveu um artigo engraçado sobre a tentativa.) Portanto, se você pode tornar a diferença entre 1 e 0,999… igual a um infinitésimo (ou, na linguagem usual do cálculo, “tão pequena quanto queira”), então, no sistema dos números reais, para todos os propósitos práticos e teóricos, as duas expressões se equivalem.

A consequência disso tudo é que 2 = 1,999…, 3 = 2,999…, 0,5 = 0,4999…, etc. Apesar disso, neste curso de cálculo diferencial e integral com números hiper-reais, o redator adotou sempre a convenção de que 1 = 1,000…, e não a convenção de que 1 = 0,999….

* * *

Lista de problemas:

Problema §91-2. Converta o decimal a seguir numa fração.

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Problema §91-3. No decimal a seguir, pense em r, s como algarismos de 0 a 9, não necessariamente diferentes, isto é, r, s ∈ {0, 1, 2, …, 9}. Use a resolução do problema acima para dizer como pode transformar este decimal numa fração.

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Problema §91-4. No decimal a seguir, pense em p, q, r como algarismos de 0 a 9, não necessariamente diferentes, ou seja, p, q, r ∈ {0, 1, 2, …, 9}. Use a resolução dos dois problemas anteriores para transformá-lo numa fração.

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Problema §91-5. Use o que aprendeu com os quatro problemas §91-1, 2, 3, 4, escreva uma conjectura mais geral, e prove sua conjectura.

Problema §91-6. Converta o decimal a seguir em fração.

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As sugestões de resolução estão na seção 94.

* * *

O matemático com frequência precisa dizer se uma série converge ou diverge, e portanto os matemáticos criaram vários testes de convergência. Um deles é o teste a seguir.

Teorema §91-4. “O teste da comparação.” Se a1 + a2 + ··· + at + ··· é uma série tal que todo termo at é não negativo; se b1 + b2 + ··· + bt + ··· é uma série que converge; e se atbt para todo t, então a1 + a2 + ··· + at + ··· também converge.

Prova. Faça Sn = ∑[1, n]bt e Tn = ∑[1, n]at. Pelo teorema §91-3, a sequência {Sn} é limitada. Por hipótese, 0 ≤ TnSn, e portanto a sequência {Tn} também é limitada. Invoque mais uma vez o teorema §91-3 e diga que ∑[1, ∞)at converge.

Corolário do teorema §91-4. Use a contrapositiva do teste da comparação como um teste útil de divergência: se para todo t inteiro positivo 0 < atbt, daí, se ∑[1, ∞)at diverge, então ∑[1, ∞)bt também diverge.

(Para uma breve discussão sobre implicações, recíprocas, e contrapositivas, veja a resposta do problema §92-16.)

* * *

Existe um conceito mais poderoso e mais restritivo de convergência, cujo nome é convergência absoluta. Esse conceito capta a ideia de que determinadas séries convergem mesmo que você troque o sinal de cada parcela a seu bel-prazer: se todas as parcelas forem positivas, a série converge; se todas forem negativas, a série converge; se houver qualquer combinação de parcelas positivas e negativas, a série converge.

Definição §91-1. Diga que a série a1 + a2 + ··· + at + ··· é absolutamente convergente se, e somente se, a série |a1| + |a2| + ··· + |at| + ··· converge.

Teorema §91-5. Se a1 + a2 + ··· + at + ··· é uma série absolutamente convergente, então ela converge.

Prova. Primeiro, defina duas séries novas:

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Verifique como cada t-ésimo termo de {an+} e de {an} ou é igual ou é menor que o t-ésimo termo de |an|; por conta disso, com o teste da comparação pode dizer que as duas séries a seguir convergem.

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Contudo, para cada valor inteiro positivo de n, an+an = an, e daí pode usar o método na resolução do teorema §91-1 e dizer que a série a seguir também converge.

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O teste a seguir é, talvez, o mais útil teste de convergência que existe.

Teorema §91-6. “O teste do quociente.” Faça a1 + a2 + ··· + at + ··· uma série infinita na qual at ≠ 0 para todo t. Assuma que o quociente a seguir é finito e tem a mesma parte padrão r para todo N inteiro não negativo infinito.

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Dizendo isso com notação matemática, a linha a seguir é verdadeira por hipótese.

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Daí, se (1) r < 1, a série converge absolutamente; mas, se (2) r > 1, a série diverge.

Prova. Primeiro, o caso (1). Você precisa mostrar que a série ∑[1, ∞)|an| converge. Veja que a linha a seguir é verdadeira para todo N inteiro positivo infinito.

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Sendo assim, existe um número real t, 0 < r < t < 1, tal que a linha a seguir é verdadeira no sistema dos números hiper-reais.

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Com ela, você quis dizer que, não importa quão perto ponha o número t de r, a partir de certo inteiro positivo n0 (que até pode ser infinito), o quociente entre o termo |an+1| e o termo |an| está entre t e r, pois tal quociente fica cada vez mais perto de r conforme o valor de n aumenta.

Ora, visto que essa afirmação é válida no sistema dos hiper-reais, então é válida no dos reais também. Sendo assim, |an+1| < t|an| para todo n finito maior que um certo n0. Esse fato imediatamente implica as linhas a seguir.

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A última linha vale para todo j > n0. Eis o que pode concluir:

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Visto que 0 < t < 1, a série ∑[1, ∞)tj converge; usando o teste da comparação, portanto, diga que a série ∑[1, ∞)|at| não só converge, como converge absolutamente.

Agora, o caso (2). Na linha abaixo, se a expressão à esquerda é verdadeira para todo N inteiro positivo infinito (e ela é verdadeira por hipótese), então a expressão à direita também é verdadeira nos hiper-reais (basta pensar em n0 infinito).

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Logo, a expressão à direita também é verdadeira no sistema dos reais, e assim |an+1| > |an| para todo n que seja maior que n0, e não se esqueça de que n0 é um inteiro positivo finito. Assim, para N inteiro positivo infinito, |aN| > |an0| > 0; sendo assim, aN ≉ 0. Pode com isso invocar o teorema §91-3 e dizer que a série ∑[1, ∞)an diverge.

* * *

Pense na série ∑an a seguir.

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Será que ela converge? Aplique o teste do quociente.

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Não pode concluir nada, pois o limite da série não vale nem menos que 1 nem mais que 1, mas vale 1. Para casos como esse, existe um teste adicional.

Teorema §91-7. “O teste da integral.” Suponha que uma sequência {an} cujos termos an sejam todos positivos, e que você os possa calcular por meio de uma função f: