Por que amostras revelam muito da população toda


Muita gente torce o nariz quando ouve falar em pesquisa por amostragem, pois acha errado usar um subconjunto da população para atestar características da população inteira. Mas um estatístico explica por que as técnicas de amostragem funcionam, e além disso como, sem elas, muitas empreitadas se tornariam inviáveis.


{1}/ O onipresente Caetano Veloso

Certa vez o entrevistador de um instituto de pesquisas visitava casas no bairro de Copacabana, no Rio de Janeiro; elas eram parte de uma amostra. Numa das visitas, tocou a campainha e deu de cara com um ator da televisão. “Claro que ninguém da pesquisa sabia que ele morava lá”, diz Antonio José Ribeiro Dias, especialista em amostragem do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). O ator foi escolhido não por ser famoso ou porque o entrevistador era um fã, mas porque, no mecanismo de seleção de amostras probabilísticas, todos os elementos do conjunto estudado têm chance maior que zero de fazer parte da amostra.

Quando o jornalista entrevista umas poucas celebridades, entre elas Caetano Veloso, e pergunta qual restaurante preferem, também está fazendo uma pesquisa por amostragem, mas não probabilística. “Nas amostras do IBGE, fugimos disso”, diz Antonio; “queremos uma amostra imparcial. Eventualmente até posso escolher o Caetano Veloso, mas não porque desejo isso e sim porque ele também tem probabilidade maior que zero de ser selecionado.” Na história do ator, ele tinha, como todos os moradores de Copacabana com mais de 60 anos, probabilidade de 1/n de ser escolhido para a amostra, sendo n o número de pessoas naquela população com as características desejadas pelo instituto. Ainda assim, quando ouve algo desse tipo, o leigo pensa em destino, sorte, azar. Talvez ficasse ainda mais surpreso ao saber que, na equipe de Antonio, uma entrevistadora foi selecionada para a amostra da própria pesquisa em que trabalhava. “Nós a tiramos da amostra, pois já conhecia a pesquisa; não fazia sentido ela se autoentrevistar. Então perdemos uma unidade.”

Antonio trabalha no IBGE desde 1981 e diz que, de lá para cá, a visão das pessoas sobre estatística mudou bastante. Não foi a amostragem ou a teoria que mudou, foram os profissionais de várias áreas que começaram a reconhecê-la como ferramenta; a informática ajudou. “Quando comecei minha vida profissional, as pessoas de outras áreas não tinham a menor noção do que era precisão, não sabiam diferenciar uma pesquisa por amostragem de uma censitária [na qual o instituto investiga a população inteira].” Na década de 1980, quando o apresentador do Jornal Nacional falava de uma pesquisa, não citava a margem de erro. Antonio percebe que hoje isso mudou; as pessoas se preocupam com o nível de precisão e com o método de amostragem. Hoje William Bonner sempre anuncia: margem de erro de tantos por cento para cima ou para baixo. “Aliás, ele nem precisaria falar isso, pois já subentendemos que a margem é para cima e ou para baixo.” Parte dessa mudança ocorreu porque muita gente estuda as noções básicas da estatística em cursos de outras áreas. “Claro que o estudante de psicologia não precisa saber o assunto tão bem quanto um estatístico, assim como o estatístico não é nenhum conhecedor de psicologia. Mas é importante fazer um curso introdutório para ter noção e até saber onde buscar ajuda.”

Um trabalho controlado. Para manter a precisão e controlar erros amostrais, o estatístico usa muitas ferramentas matemáticas para que não perca toda a pesquisa quando perde uma unidade da amostra, como no caso da entrevistadora selecionada. Mesmo na pesquisa censitária, pode perder unidades por vários motivos. Numa pesquisa domiciliar, por exemplo, o entrevistador pode bater na porta de alguém que está viajando, ou mudou de endereço, ou a pessoa pode se recusar a responder ao questionário, ou talvez se recuse a responder a uma das perguntas.

Caso o sujeito esteja viajando, diz Antonio, o pesquisador deve retornar algumas vezes, mas não por tempo indefinido, senão a pesquisa nunca termina. “Então acabamos com uma amostra menor do que esperávamos e, para contornar o problema, a gente superdimensiona a amostra para obter um tamanho que atinja a margem de erro.” O estatístico estuda uma margem de erro adequada, por exemplo 3%, então constrói uma amostra para um tamanho que tenha margem de erro menor que 3%. Assim, quando perde alguma unidade, tem uma amostra suficientemente grande para garantir a precisão que desejava.

Um estudante (vamos chamá-lo de Filipe) imagina uma situação hipotética, na qual estuda a altura de um grupo de pessoas. Antes de começar a coletar e analisar os dados, tenta responder a algumas perguntas:

Qual população vou estudar? Filipe imagina como analisaria a distribuição da altura de brasileiros entre 30 e 39 anos. Lembra que, para definir o tamanho da amostra, deve observar as características da população; usa a palavra “característica” no sentido usual: será que a altura varia muito de pessoa para pessoa? Com isso, vê por que estudar a mesma variável aleatória em amostras de tamanho diferente funciona. Quando observa a altura de brasileiros adultos, precisa de uma amostra menor, pois a variabilidade é menor. Contudo, ao observar a altura de brasileiros sem limite de idade, leva em conta bebês recém-nascidos e jovens adultos. “Se eu olhar apenas as pessoas adultas, a altura vai variar, mas não tanto”, diz Antonio. “Mas se medir a altura de pessoas sem limitação de idade, a mesma variável vai ter uma variabilidade muito maior. Daí preciso de uma amostra maior para captar essa variação.”

Quando lê ou ouve a palavra “população” todo mundo logo pensa em gente; contudo, na estatística, os especialistas usam população para falar de qualquer conjunto de elementos. Pode ser um conjunto de crianças, de canetas esferográficas azuis do mesmo modelo, de números pares. Filipe escreve no caderno uma população bem específica: “A população da altura de homens brasileiros entre 30 e 39 anos.” Vê na página do Wolfram Alpha na internet uma referência para a altura masculina e vê que 95% das medições ficam entre 160 e 193 centímetros. Acha um bom começo estudar números inteiros entre 160 e 193, ainda que ninguém cresça de centímetro em centímetro. Também lembra que, nesse conjunto, os elementos podem se repetir, pois vários homens têm a mesma altura. Ainda assim, não espera que muitos meçam 160 ou 193, mas sim que a maioria tenha mais ou menos entre 165 e 180 centímetros. Pensa numa situação com menos informações: se escrever a altura de cada homem num pepelzinho, colocar os papéis num pote preto e chacoalhar tudo, qual a probabilidade de sair um papel com 160? Deve ser pequena. E 159? Menor ainda, mas sabe que a probabilidade é sempre diferente de zero.

Como obtenho dados? Filipe pensa como o instrumento de coleta influencia no nível de precisão. Se, por exemplo, bater de porta em porta com uma boa trena e uma boa balança em mãos, e medir e pesar cada pessoa da amostra, terá dados mais precisos que se perguntar a altura da pessoa e anotar no questionário. O IBGE fez justamente isso em 2013, durante a Pesquisa Nacional de Saúde. “Certamente nem todas as pessoas se mediram na véspera e têm os resultados fresquinhos na cabeça. Quem não fez isso vai chutar a resposta, não é mesmo?” Mesmo o entrevistador pode sem querer introduzir erros durante a entrevista. Ele pode, por exemplo, mudar a entonação da voz ao fazer uma pergunta sobre saúde, levando o entrevistado a mentir em resposta, especialmente se estiverem conversando sobre uma doença mal vista na sociedade.

Antonio lembra quanto tempo demorou a sair os resultados do censo de 1980: uns 10 anos. Em 2010, o IBGE divulgou os primeiros resultados do censo um mês após o fim da coleta de dados. Até 2000, os entrevistadores preenchiam um questionário em papel, depois o instituto escaneava os papéis para o computador. “Se não me falha a memória, a máquina escaneava 72 folhinhas por minuto, mas também estava sujeita a erros.” Podia ser que o recenseador tivesse letra feia ou não apertasse a caneta direito, então os especialistas faziam uma amostra da transcrição de questionários para verificar se o escâner estava regulado. Uma equipe bem treinada de digitadores transcrevia os questionários para o computador, e daí os estatísticos comparavam se a informação escaneada e a digitada coincidiam; se tivesse muita divergência, interferiam no processo. “A gente verificava essas amostras continuamente para poder dizer a tempo: Opa! Esse lote aqui está com problema.”

Quais informações pertinentes vou tirar da amostra? Antonio ressalta sempre que pode: ao selecionar uma amostra, o estatístico quer descobrir coisas não sobre a amostra, mas sobre a população. O médico, por exemplo, tira uma amostra de sangue para ver se há algum problema no organismo do paciente. “Quando um instituto faz uma pesquisa de opinião, não quer dizer ‘Essa amostra tem a opinião tal…’ Ao contrário, quer dizer: Observando essa amostra, concluo que a população deve ter uma opinião próxima da opinião da amostra.”

Em qualquer tipo de pesquisa, seja ou não seja por amostragem, o especialista lida com aspectos mais importantes que outros, variáveis mais importantes que outras, e problemas mais complicados que outros. Mas Antonio diz que os erros mais problemáticos não são amostrais, e sim humanos. Para coletar dados, pessoas sujeitas a erros põem em prática instrumentos sujeitos a erros, que por sua vez medem características num objeto de pesquisa muitas vezes sujeito a flutuação. Daí entra de novo o trabalho do estatístico para minimizar e controlar esses erros. Por isso, ao fazer uma pesquisa, o especialista depende mais da variabilidade do conjunto que vai estudar e da precisão que quer atingir que do tamanho da população. Se, por exemplo, todas as unidades daquela população têm certa característica sempre do mesmo jeito, uma amostra de tamanho 1 diz tudo sobre aquela população.

Contudo, ouse pedir um exemplo do mundo real de amostra igual a 1… O estatístico põe a mão no queixo, pensa um pouco, mas não consegue um bom exemplo. “Se pegar um cacho de uva, cada uma parece igual à outra, mas se olhar mais de perto verá que uma sempre é menor [ou mais doce, ou mais roxa…] que a outra”, diz Antonio. “É difícil pensar numa população homogênea no que diz respeito ao fenômeno que queremos analisar.” Mas também de que serviria para o estatístico estudar uma população homogênea?

Ao pensar no tamanho da amostra, Filipe deve pensar em proporção. Por exemplo, um fabricante de parafusos produz 1.000 unidades por dia e vê que, numa pesquisa por amostragem, 1% deles sai com defeito. Se acha essa taxa de erro inaceitável, e gostaria de reduzir os parafusos fora das especificações para 0,5%, daí deve aumentar o tamanho da amostra. (Isso é fácil de ver: se o fabricante quer erro de 0%, tem de examinar todos os parafusos um por um.) Antonio resume: o tamanho da amostra depende muito da precisão que o fabricante quer atingir e da homogeneidade do produto. Contudo, muitos não acreditam em pesquisas estatísticas; acham que não é possível esse negócio de falar com um grupo de brasileiros e afirmar coisas sobre a população inteira. Mesmo executivos de empresas grandes, com MBA nas costas, contratam estatísticos para varrer todo um banco de dados, quando gastaria menos e obteria a mesma informação se deixasse o estatístico estudar só uma amostra dos dados. Também nem sempre uma amostra maior significa uma melhor, pois a qualidade depende do modo como foi selecionada. Antonio explica que, por exemplo, pode selecionar uma amostra aleatória simples de tamanho n numa população de N unidades e terá certa precisão. Contudo, se puder agrupar as unidades semelhantes da população em grupos homogêneos, e selecionar uma amostra de cada grupo, então essa amostra pode fornecer estimativas mais precisas; o nome técnico disso é “amostragem por estrato”.

Quando algum conhecido desconfia da amostragem, Antonio dá exemplos de coisas que uma pessoa só pode descobrir por amostragem. Ele adora cozinhar, então propõe a cena: o conhecido vai cozinhar arroz. Coloca a cebola, o alho e o azeite na panela, espera dourar, coloca o arroz, tosta o arroz um pouquinho e, por fim, coloca a água e o sal. “Depois o que faz? Mexe e experimenta para ver se o tempero está bom. É algo que só pode fazer por amostragem, pois se fizesse um censo teria de comer todo o arroz — o resto do pessoal em casa morreria de fome!” [risos] Além disso, o sujeito que usa bem a amostragem consegue obter resultados com maior rapidez. Só precisa ter consciência de que está lidando com estimativas, e não verdades absolutas. “Se a amostra for bem-feita, usando ferramentas adequadas, temos a certeza de que há uma probabilidade muito grande daquele resultado estar bem perto da verdade. Inclusive a gente mede isso com o que chamamos de margem de erro.”

Quando o conhecido vai à feira e experimenta, por exemplo, um pedaço docinho do melão, toma uma decisão com base numa amostra. Pode levar para casa um melão sem graça, aguado. Pobre do feirante se o único melão ruim da banca era justamente aquele que o cliente levou. Comparada ao nível de sal na colherinha com a água do arroz, a variância na população dos melões é maior; o grupo é mais heterogêneo, e daí o processo de amostragem, embora seja eficiente, está mais sujeito a erros.

Antonio lembra que, na véspera da última eleição presidencial [em 2010], um grande jornal fez uma enquete via internet perguntando quem ganharia. 80% das pessoas responderam José Serra, mas no dia seguinte Dilma Rousseff ganhou. Será que o pessoal da enquete errou feio no jeito de fazer a pesquisa? Será que puxaram sardinha para o candidato da oposição? Será que algo fez os brasileiros mudar de ideia da noite para o dia? Não. Na verdade, diz Antonio, um erro comum é atribuir o resultado de uma enquete à população errada. As pessoas que responderam representam um grupo bem específico da população: são leitores daquele jornal, têm acesso à internet, e se dispuseram a responder à pergunta postada no website do jornal. Antonio ilustra esse erro usando uma situação mais explícita: “É como se um estrangeiro desembarcasse no Brasil e perguntasse qual foi o maior jogador de futebol de todos os tempos. Pelé. Mas e se desembarcasse na Argentina e fizesse a mesma pergunta? É por isso que precisamos tomar cuidado com o jeito como selecionamos a amostra.”

Antonio diz que nunca na vida foi escolhido para nenhum tipo de pesquisa por amostragem. “Infelizmente, também nunca ganhei na Mega-Sena. Se eu puder escolher, prefiro ganhar na Mega-Sena!” {}



{2}/ O teorema central do limite

Antonio José Ribeiro Dias, estatístico do IBGE, diz que este é o “pulo do gato” na teoria da amostragem. Antes de expressar o teorema em palavras, o estudante (codinome Filipe) faz melhor se puder visualizar o modo como ele funciona.

No primeiro passo, Filipe imagina um conjunto cujos elementos são variáveis aleatórias, mas são todas variáveis do mesmo tipo (por exemplo, o peso das crianças de 10 anos, ou a altura das mulheres de Natal, ou a temperatura no pico das Agulhas Negras às 11 horas da manhã de cada dia, mas nunca o peso e a temperatura misturados). Ele pode chamar esse conjunto de “população”. Em termos técnicos, e para simplificar, todas as variáveis da população devem ter o mesmo tipo de distribuição de probabilidade, com média μ e variância finita σ2 (a letra grega σ denota o desvio padrão; desvio padrão ao quadrado é variância). Chama esse conjunto de P(X), isto é:

Filipe usou as reticências para indicar uma coisa importante: talvez esse conjunto tenha um número infinito de elementos ou, de qualquer forma, talvez um número muito grande. No caso da temperatura no pico das Agulhas Negras: enquanto o pico existir, ele terá uma temperatura qualquer às 11 horas da manhã de cada dia. (Os elementos de P(X) não estão ordenados de modo nenhum; X1 significa apenas “primeiro elemento de P(X)”, mas não necessariamente “elemento de menor valor” ou “elemento de maior valor”.) De posse dos elementos de P(X), Filipe pode calcular a média aritmética μ e a variância σ2. Note bem o que Filipe fez aqui: ele conhecia os elementos da população, e com isso calculou a média μ real e a variância σ2 real.

Mas e se ele não tivesse como conhecer todos os elementos da população? Como faria para selecionar um subconjunto dessa população e, a partir dos elementos desse subconjunto, estimar o valor de μ e de σ2? (Em termos práticos: se Felipe medisse a temperatura no pico só uns dias por ano, mesmo assim poderia estimar a média e a variância reais?) Um ótimo primeiro passo é sortear, 100% ao acaso, n elementos de P(X). Tal subconjunto ganha o nome de “amostra”, e Filipe pode denotar uma amostra de n elementos de P(X) com a notação Pn(X).

Um detalhe de notação: o X1 de Pn(X) não necessariamente é igual ao X1 de P(X); pois o X1 de Pn(X) pode ser, por exemplo, o X759 de P(X). De novo, X1 agora significa “primeiro elemento a ser sorteado entre os elementos de P(X) e a ser colocado em Pn(X)”.

Agora Filipe tira a média aritmética dos elementos de Pn(X). Pode chamá-la de “média amostral” e pode denotá-la, se quiser, com o símbolo x’n:

Atenção ao que aconteceu com a notação: Filipe agora usou letras minúsculas. Isso porque x1 é o valor específico que a variável aleatória X1 exibiu; e x2 é o valor específico de X2. (Por exemplo: “o primeiro brasileiro sorteado, o Eliseus, media 176 centímetros de altura”, de modo que X1 = Eliseus e x1 = 176.) Se quiser, Filipe pode denotar o conjunto específico de valores de Xn assim: an(X) = {x1, x2, x3, …, xn}. (Nenhum desses detalhes de notação é obrigatório; Filipe está usando aqui a notação que Antônio acha mais eficiente.)

Filipe guarda essa média x’n e recorre a um computador para executar um passo mais complicado. Ele começa com um sistema cartesiano comum. No eixo X, marca quantos valores de Pn(X) ficaram iguais ou quase iguais a certo valor. Por exemplo, se está medindo a altura das mulheres de Natal, marca quantas mulheres da amostra têm 152 centímetros. No eixo Y, marca a altura: 152. Fazendo assim, Filipe vai montar um histograma como o da figura 1.

Depois Filipe põe o computador para achar a curva normal que mais se aproxima dos dados da amostra (na figura 1, é a curva em azul). O nome técnico disso é “regressão”, isto é: visto que Filipe tem uma amostra de dados aleatórios, e visto que desconfia que os dados seguem uma distribuição normal de probabilidade, qual é a curva normal que mais se aproxima dos dados? O computador vai realizar os cálculos e devolver uma curva cuja equação é:

Em outras palavras, o computador devolve o que julga ser a média μ e o desvio padrão σ2 da população; Filipe pode denotar essa equação inteira com o símbolo N(μ, σ2). Com esses dois valores μ e σ, mais o valor da média amostral x’n, Filipe pode realizar a conta abaixo:

Pronto! Filipe já tem condições de examinar uma definição do teorema central do limite: conforme o número de elementos n da amostra Pn(X) aumenta, a distribuição de Zn tende à distribuição normal padrão. Esse teorema é importante porque a distribuição normal padrão é superconhecida: a média é 0 e o desvio padrão é 1; em outras palavras, é a distribuição N(0, 1). Assim, o teorema central do limite diz que:

Filipe tenta rever tudo isso, e se imagina numa situação prática: obteve a altura de 300 brasileiros, sorteados ao acaso. Com o computador, por meio de regressão, calculou a média μ da altura dos 300 brasileiros e o desvio padrão σ. E daí ele vai sistematicamente e passo a passo: sorteia, talvez, 50 alturas dentro do conjunto de 300 alturas, para calcular x’n e Zn. Marca num gráfico o ponto cujas coordenadas são, no eixo das abscissas, o valor de x’n, e no eixo das ordenadas, o valor de Zn. E depois sorteia outras 50 alturas, e repete o processo. E depois outras 50. E outras. E outras. E depois sorteia 60 alturas, e repete o processo várias vezes. E assim vai. Ao olhar os pontos que está marcando no gráfico, vê que devagar eles formam uma curva normal. Daí Filipe usa as informações a respeito dessa curva que emergiu do processo para obter mais informações sobre os valores de P(X), especialmente a média μ verdadeira e o desvio padrão σ verdadeiro. E daí repete de novo o processo inteiro, para verificar tudo. E de novo.

Tudo isso é fácil com um computador e com software especializado. Depois que os dados já estão armazenados no computador, Filipe precisa de uns poucos dias para concluir o processo.

Outro jeito de olhar isso (há muitos jeitos): se Filipe obtiver um número n de valores de P(X), número esse grande o suficiente, e calcular a média aritmética dessa amostra Pn(X), daí a média aritmética dessa amostra estará próxima da média da curva N(μ, σ2/n). Como Filipe pode interpretar essa afirmação? Ele pega a fórmula da distribuição normal, substitui a média μ pela média aritmética da amostra, e daí, como sabe o valor de n, calcula o valor do desvio padrão σ. Com isso, tem as informações sobre a população P(X) como um todo.

O teorema central do limite garante a validade de uma afirmação importante: com uma amostra de tamanho adequado, o estatístico obtém as informações essenciais sobre o conjunto P(X) inteiro, por maior que seja. Filipe pode chamar tais informações de “estimativas”, e agora consegue entender o que os estatísticos vivem dizendo: é verdade que, quanto maior o valor de n, mais próximas as estimativas ficam dos valores reais; contudo, em milhares de situações práticas, as estimativas ficam muito próximas dos valores reais mesmo para amostras bem menores que a população inteira. Por consequência, se Filipe escolheu uma amostra de perfil e de tamanhos adequados, fica dispensado de estudar a população inteira, o que, aliás, com frequência é impossível. Filipe tenta colocar toda a questão em termos muito simples: “Penso que seria fácil encontrar um homem que mede 193 centímetros de altura. Também seria fácil encontrar um homem que mede 160 centímetros de altura. Mas seria bastante difícil sortear 300 brasileiros e obter uma altura média de 193 centímetros ou uma altura média de 160 centímetros. Com 300 brasileiros na minha amostra, sorteados ao acaso, é muito provável que eu obtenha uma altura média próxima da altura média do brasileiro em geral.”

Nota. Em inglês, o teorema se chama “central limit theorem”; no Brasil, ele ora aparece como “teorema central do limite” e ora como “teorema do limite central”. Antonio prefere “teorema central do limite”, pois reflete melhor a história do teorema, na qual a palavra “central” sempre teve o sentido de “importante”, “principal”.



{3}/ O tamanho da amostra

Para o estudante (codinome Filipe) visualizar como o tamanho da amostra se comporta, Antonio José Ribeiro Dias, estatístico do IBGE, propõe um gráfico que relaciona o tamanho da população (N) e o tamanho da amostra (n). Detalhes técnicos: ele supõe variância de 10.000, margem de erro igual a 10, e nível de confiança de 95%. O leitor pode ver que conforme N cresce, n também cresce, mas a razão n/N tende a zero, isto é, n cresce a um ritmo muito menor que N. Ou seja, conforme o tamanho da população que estuda tende ao infinito, o tamanho da amostra tende a se estabilizar num valor finito. Segundo Antonio, é por isso que, ao fazer pesquisas eleitorais em São Paulo e no Rio, os institutos usam amostras de tamanho quase igual, ainda que São Paulo contenha quase o dobro de habitantes.

Nível de confiança. Em termos bem simples, “nível de confiança de 95%” significa o grau de certeza de que o valor de cada uma das variáveis na amostra está dentro da margem de erro. Mais precisamente, significa: ao longo dos milênios, caso você repita o procedimento de amostragem a intervalos regulares, o valor que obterá ao medir cada uma das variáveis da amostra ficará dentro da margem de erro em 95% das vezes; mas em 5% das vezes ficará fora da margem de erro, ou talvez bem fora. Apesar disso, no caso de fenômenos complicados, o pesquisador raramente pode dizer com certeza se os valores de sua amostra estão ou não estão dentro da margem de erro; tudo o que pode dizer é que, do modo como organizou a pesquisa, o nível de confiança é de 95%.

{FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 42, julho de 2014, pág. 50. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista ficou a cargo da jornalista Mariana Osone, assim como a primeira versão do texto final.

3. Há várias outras matérias sobre probabilidade e estatística neste blogue, algumas fáceis e outras nem tão fáceis. Para vê-las todas em sequência, da mais recente à menos recente, clique aqui.

Desertos de números primos e um erro comum no ensino básico


Ao resolver problemas de contagem, o leitor certamente usará a notação n! para indicar o produto n · (n – 1) · (n – 2 ) · … · 3 · 2 · 1. Mas também pode usar o procedimento a que n! se refere para montar “desertos de números primos”, isto é, sequências de inteiros positivos sucessivos nas quais não há nenhum número primo, como é o caso de 722, 723, 724, 725, 726.


{1}/ Uma ideia estranha

De quantas maneiras o leitor pode arranjar cinco vasos de flores em cima do aparador? Ora, no momento de escolher o lugar do primeiro vaso, tem cinco vasos à disposição. (Chame esse momento de evento A.) Arrumado o primeiro vaso, vai escolher o lugar do segundo vaso, e aí tem quatro vasos à disposição. (Chame esse momento de evento B.) E assim por diante. Você está diante do princípio fundamental da contagem:

Princípio fundamental da contagem. Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um segundo evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de maneiras que os eventos A e B podem ocorrer, um seguido do outro, é m × n.

Em outras palavras, você pode arrumar os cinco vasos no aparador de 120 maneiras diferentes, pois o número de permutações P de cinco vasos no aparador é:

Nos problemas de contagem, essa multiplicação de inteiros sucessivos 1, 2, 3, …, n aparece tantas vezes que os matemáticos inventaram símbolos só para representá-la. No caso da permutação de cinco vasos, eles tentaram [5]n em 1772, ou 5* em 1774, até chegar a 5! nos dias de hoje. O símbolo é “!” — e você deve ler “5!” como “cinco fatorial”.

Sendo assim:

Em outras palavras, para qualquer inteiro positivo n, use a notação n! (“n fatorial”) para simbolizar o produto n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ··· 3 · 2 · 1. Ou, usando o símbolo de produtório:

Alguns exemplos:

Também, por definição:

Com essa definição, pode melhorar a definição de n! : Para qualquer inteiro positivo n, use n! para se referir ao produto n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ··· 3 · 2 · 1 · 0!, com 0! = 1.

Aqui vai uma propriedade dos fatoriais útil na hora de simplificar expressões:

Aliás, pode definir n! recursivamente usando essa propriedade:

Portanto:

Dizendo essa mesma coisa de modo mais genérico:

E por fim pode entender uma definição recursiva de n!, que é curta e satisfatória: Para qualquer inteiro positivo n, use n! para se referir ao produto n(n – 1)!, com 0! = 1.

O deserto de números primos. Você está pronto para entender uma ideia estranha: no conjunto dos números naturais = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, existem desertos de números primos, ou seja, existem longas sequências de inteiros positivos sucessivos nas quais não existe nenhum número primo dentro delas. E mais estranho ainda: você pode construir um deserto desses do tamanho que desejar. Pode construir um deserto de números primos com 100 inteiros positivos sucessivos, com 1.000 inteiros, com 40 bilhões de inteiros — com quantos inteiros quiser.

O primeiro passo é entender o que é um número primo: é um inteiro positivo, diferente da unidade (1), e com exatamente dois divisores, ele mesmo e a unidade. Os primeiros dez números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, e 29.

O segundo passo: todo inteiro fatorial é divisível por cada um dos inteiros que entraram na multiplicação até chegar ao valor do fatorial, ou seja, todo n! é divisível por 1, 2, 3, 4, …, (n 2), (n 1), e por n. No caso de 6!, que dá 720: 720 é divisível por 1 (dá 720), por 2 (= 360), por 3 (= 240), por 4 (= 180), por 5 (= 144), e por 6 (= 120). Portanto, 720 não é um número primo. Generalizando: para todo inteiro n > 2, n! é um inteiro composto, ou seja, não é primo. Em outras palavras, para todo inteiro n não negativo, somente 2! = 2 é primo.

O terceiro passo é entender que, se dois inteiros x1, x2 são múltiplos do mesmo inteiro k, então a soma desses dois inteiros x1, x2 é também um múltiplo desse inteiro k — ou seja, x1 + x2 é divisível por k. Veja as contas a seguir, nas quais n, m são inteiros:

Agora pense bem na sequência de inteiros a seguir.

Se n ≥ 2, então ela é uma sequência de inteiros sucessivos compostos, pois n! é divisível por 2, 3, 4, …, n; sendo assim, n! + 2 é divisível por 2, n! + 3 é divisível por 3, n! + 4 é divisível por 4, …, e n! + n é divisível por n.

Essa sequência é um deserto de números primos, e basta escolher o inteiro positivo n ≥ 2 para montar uma sequência do comprimento que bem entender. Para n igual a 6:

Logo, o conjunto de números sucessivos S = {722, 723, 724, 725, 726} não contém nenhum número primo. Você pode realizar essa mesma operação para qualquer valor de n ≥ 2; por exemplo, 7! dará um conjunto com seis inteiros, começando em 5.042; 11! dará um conjunto com dez inteiros, começando em 39.916.802; e 23! dará um conjunto com 22 inteiros, começando com 25.852.016.738.884.976.640.002.

Uma conclusão: quanto mais você avança no conjunto dos inteiros não negativos, mais dificilmente encontra um número primo, pois os desertos vão ficando cada vez maiores. Outra: em teoria, você pode montar um deserto de números primos com 40 bilhões de inteiros sucessivos (basta fazer n igual a 40.000.000.001). O problema será escrever cada um dos números imensos, com quase 10 bilhões de zeros.



{2}/ Notação: por que 0! = 1

Você já sabe que:

Basta agora dividir os dois lados da expressão por n:

Se fizer n = 1, será obrigado a escolher um valor razoável para 0!, e esse valor é 1.

Com 0! = 1, todas as contas comuns em problemas de contagem funcionam. Além disso, visto que n! é uma expressão frequente quando lida com permutações, pode ver a definição segundo a qual 0! = 1 como que respondendo a uma pergunta:

“De quantas maneiras você pode arranjar em fila zero elementos?”

“De uma maneira apenas, já que não tenho elementos para arranjar em fila.”



{3}/ A prova de Euclides e um erro habitual na escola

Embora você consiga construir desertos de inteiros primos com comprimento igual a n, sendo n um inteiro positivo tão grande quanto queira (por exemplo, 10100), isso não significa que os números primos vão rareando, rareando, rareando até finalmente acabar de vez. O conjunto dos primos é infinito. Essa afirmação é conhecida assim:

Teorema da infinitude dos números primos. O conjunto {2, 3, 5, 7, 11, …} dos números primos contém infinitos elementos, isto é, dado um número primo p, por maior que seja, existe um primo qp tal que p < q.

O famoso Euclides (o autor grego de Os Elementos) produziu uma prova encantadora desse teorema. Ela funciona assim:

(1) Imagine uma lista de números primos p1, p2, p3, …, pn. Essa lista pode ter só um número primo, p1, ou pode ter 1 bilhão de números primos — não importa. Ela só não pode ser vazia.

(2) Com os primos da lista inicial, forme o inteiro A = p1p2p3 · … · pn + 1, isto é, forme o inteiro A ao multiplicar p1 por p2, p1p2 por p3, p1p2p3 por p4, etc., e por fim ao adicionar uma unidade a esse produto.

(3) Se A é um inteiro primo, não está na lista inicial, pois é maior do que qualquer um dos primos da lista inicial. Logo, há pelo menos um inteiro primo que não está na lista inicial. Adicione A à lista inicial e repita o processo, recomeçando pelo passo (1).

(4) Se A é um inteiro composto, então, pelo teorema fundamental da aritmética (que não vou provar neste texto), A é um produto de primos q1, q2, q3, …, qm. (Todo inteiro positivo ≥ 2 ou é primo ou é um produto de primos. A é um inteiro maior que 1, pois é a soma de pelo menos um número primo com 1. Portanto, A ≥ 3. Sendo assim, ou A é primo ou é um produto de primos. Aplique o crivo de Eratóstenes para os inteiros de 1 a 100 e facilmente se convencerá disso.) Suponha que q1 é o menor desses primos. Digo que q1 não está na lista inicial. Pois q1 não pode ser igual a nenhum dos primos p1, p2, p3, …, pn, pois nenhum deles divide A. (Ao dividir A por qualquer pk, sendo pk um dos primos da lista inicial, você obtém resto igual a 1.) Logo, há pelo menos um inteiro primo q1 que não está na lista inicial, por maior que seja a lista. Adicione q1 à lista inicial e repita o processo, recomeçando pelo passo (1).

Fica claro que, fazendo assim, vai repetir os passos (1) a (4) indefinidamente, ou, em outras palavras, o conjunto dos inteiros primos é infinito.

Um erro na escola. Professores da escola básica cometem com frequência o erro de dizer que a prova de Euclides é uma prova por contradição. Não é — e nunca foi. Ao contrário, para mérito de Euclides, é uma prova inteiramente construtiva, ou seja, você pode seguir os passos (1) a (4) de fato, como se fossem uma receita de bolo, para ir produzindo o conjunto dos números primos.

Comece, por exemplo, com o número primo 17. Logo, seu conjunto inicial de primos é {17}. Faça A = 17 + 1 = 18. Ora, 18 é o produto de primos 2 · 3 · 3. Logo, q1 = 2. Adicione 2 à lista inicial.

Você recomeça o procedimento construtivo com o conjunto {2, 17}. Faça A = 2 · 17 + 1 = 35. Agora 35 é o produto de primos 5 · 7. Logo, desta vez q1 = 5. Adicione 5 à lista.

Você recomeça com o conjunto {2, 5, 17}. Faça A = 2 · 5 · 17 + 1 = 171. Agora 171 é o produto de primos 3 · 3 · 19. Logo, desta vez q1 = 3. Adicione 3 à lista.

Você recomeça com o conjunto {2, 3, 5, 17}. Faça A = 2 · 3 · 5 · 17 + 1 = 511. Agora 511 é o produto de primos 7 · 73. Logo, desta vez q1 = 7. Adicione 7 à lista.

Você recomeça com o conjunto {2, 3, 5, 7, 17}. Faça A = 2 · 3 · 5 · 7 · 17 + 1 = 3.571. Desta vez, A = 3.571 é um número primo. Adicione 3.571 à lista.

E assim por diante, ao infinito e além, por meio de um procedimento completamente construtivo. O professor até pode apresentar à classe uma prova por contradição do teorema da infinitude dos números primos (há muitas provas assim na internet), mas não deve cometer o erro de atribuí-la a Euclides. Contudo, por que apresentar uma prova por contradição se a prova de Euclides é construtiva? Isso só faria sentido se a classe já conhecesse a prova de Euclides, e o professor gostaria que ela apreciasse uma prova por contradição, para ver a diferença marcante entre provas por contradição e provas construtivas. {FIM}

Um dia na vida de um topógrafo


Numa cidade grande, todo dia há uma equipe de topografia fazendo medições com a Estação Total (aquele aparelho no tripé). A equipe chama a atenção porque, todos sabem, onde há topógrafos, cedo ou tarde começa uma obra.


{1}/ Desenhos ligeiramente diferentes da realidade

Dois terrenos do tipo paralelogramo podem ter 25 metros de comprimento e 10 metros de largura. Os dois terão 250 metros quadrados de área. Mas os dois talvez sejam diferentes: um deles está mais para retângulo, o outro mais para paralelogramo inclinado. Se um engenheiro projetar uma casa para um desses terrenos, ela não caberá no outro. Esse é o papel do topógrafo: ele (ou ela) pega seu tripé, seus bastões, sua prancheta e vai a campo medir ângulos e distâncias para que, depois, os engenheiros e mestres de obra projetem e construam edifícios seguros, no menor prazo, com o menor custo. Em geral, o topógrafo topa com diferenças sutis entre um terreno e outro (ou seja, entre um paralelogramo e outro), mas mesmo assim suficientes para que objetos pré-fabricados ou pré-moldados, por exemplo, não caibam onde deveriam caber.

Se o topógrafo cumpre seu papel, as coisas se encaixam depois. Se ele não cumpre… “É muito comum”, diz Carlos Alberto Baba, sócio da Russo Topografia, “encontrar um documento oficial de um terreno com a informação de que parte do terreno tem 10 metros de comprimento. Quando vamos medir, encontramos 9 metros e 90 centímetros. Isso ocorre por uma série de razões: uma construção irregular, a invasão de um vizinho. A diferença é pequena, mas pode causar um problemão na hora de executar o projeto.” Pode causar um acidente, ou até a morte de alguém.

Topografia é coisa séria, mas empresários como Carlos Baba têm cada vez maior dificuldade para contratar topógrafos jovens. “Contratar novos topógrafos qualificados está cada vez mais complicado. Muitos profissionais com experiência estão se aposentando.” Carlos consegue contratar gente mais jovem, profissionais criativos e dedicados ao trabalho, mas eles não têm formação teórica. Eles até sabem fazer todas as medições necessárias, mas não sabem matemática. “Eles não sabem os porquês, não sabem para que servem aqueles números.”

Andréa de Seixas, professora do departamento de engenharia cartográfica da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), diz que existe uma tensão entre quem contrata jovens e entre os jovens que estudam topografia em algum curso universitário. “Muitos profissionais atuam nessa área sem respeitar a formação básica de um topógrafo”, diz Andréa. “Assim, o maior desafio da topografia no Brasil está em ocupar seu espaço na sociedade.” Em outras palavras: se o empresário contrata topógrafos sem formação, os salários médios caem (ficam entre 1.500 reais e 3.500 reais no máximo; mas há quem aceite trabalhar por 500, 600 reais), e aí quem está estudando, quem está a ponto de escolher uma profissão, já descarta a topografia de imediato — em vez disso, escolhe uma profissão com maior probabilidade de ganhar bem.

Numa coisa, contudo, os jovens estudantes estão enganados. Vale a pena estudar topografia porque, como fez Carlos Baba, vale a pena ser o dono de uma empresa de topografia. Entre os clientes, estão todas as empresas de engenharia. Se uma empresa precisa construir um túnel, ou determinar os limites de um sítio arqueológico, ou escolher o melhor lugar para plantar feijões, ou cercar um pasto para 10.000 cabeças de boi, ou montar uma fábrica dentro de um galpão já pronto, ou reformar o setor de um navio de grande porte, ou dividir um terreno em lotes… Essa empresa vai precisar dos serviços de uma empresa de topografia, e ela paga uns 10.000 reais por dia de trabalho.

Um dia ao ar livre. A palavra topografia vem de duas palavras gregas: topos, lugar, e graphía, escrever; topografar é descrever um lugar. Um topógrafo vai a campo com a disposição de pôr no papel tudo o que for necessário para, mais tarde, desenhar um mapa detalhado do lugar: um córrego, um portão, uma árvore, uma boca de lobo, um muro, uma calçada, um poste, a quina de uma casa, uma pedra. Primeiro, ele escolhe os pontos importantes do lugar. Depois, ele escolhe o ponto 1. A partir daí, ele mede distâncias, ângulos, e elevações. A que distância do ponto 1 está o muro? A que distância do ponto 1 está a quina da casa? Qual é o ângulo entre a linha reta que liga o ponto 1 ao muro e a linha reta que liga o ponto 1 à quina da casa? A base do muro está a quantos centímetros mais alta ou mais baixa que o ponto 1? E a base da quina da casa? E o topo da quina da casa? E assim o topógrafo vai de ponto em ponto. Num trabalho grande, talvez ele tenha de medir distâncias, ângulos, e elevações de mil pontos.

A ideia central é: se você conhece a medida do comprimento de alguns segmentos de reta e a medida de alguns ângulos, consegue calcular qualquer distância e qualquer elevação a partir desses segmentos e ângulos. Basta usar ideias básicas da geometria (especialmente a trigonometria) e da teoria sobre proporções. Um dia na vida de um topógrafo é, quase sempre, um dia ao ar livre — um dia divertido.

Com um mapa simples do local, constando nomes das ruas, lotes, pontos-chave a levantar, a equipe parte para o campo, pronta para iniciar as medições. Em geral, uma equipe é feita de três pessoas: um topógrafo e dois ajudantes. Eles levam com eles a Estação Total, que é o nome certo daquele tripé. Uma Estação Total moderna mede ângulos e distâncias sozinha, usando luz laser, por exemplo; ela vem com GPS, para medir latitude e longitude, e ainda armazena todas as medições na memória. Além da Estação Total, a equipe leva capa de chuva, guarda-chuva, mala de ferramentas, e bastões com um prisma na ponta.

Escolhido o ponto 1, o topógrafo usa uma bússola para marcar o norte; com essa informação, o mapa será desenhado com o norte no topo, como deve ser. A Estação Total é fixada no chão, bem alinhada. Um assistente vai levando, de ponto em ponto, o bastão com o prisma na ponta. O topógrafo aponta a Estação Total para o prisma, e daí a estação mede distâncias e ângulos e guarda os resultados na memória.

“O equipamento eletrônico facilita bastante o trabalho”, diz Vicente Russo, também sócio da Russo Topografia, e responsável pelos trabalhos de campo. “Ele permite levantar dados com maior precisão, agilidade, e rapidez. Antigamente tudo era feito com uma trena, ponto a ponto. Imagina o tempo que isso levava, além da maior possibilidade de erros.”

Mesmo assim, topógrafos experientes levam uma prancheta e anotam cada medida na prancheta. “Basta uma pane”, diz Vicente, “e perdemos todo o trabalho de um dia inteiro.” Papel não usa pilhas.

Além da planilha, o topógrafo desenha todos os pontos num esboço. Esse desenho feito às pressas vai impedir, depois, que alguém interprete errado alguma das medições e desenhe no mapa algo que não estava lá ou, se estava, não estava no lugar em que foi parar no mapa.

Feito o levantamento, a equipe de campo vai para o escritório com a planilha de anotações e o croquis. Todo o material vai parar nas mãos do topógrafo responsável pelo desenho da planta. Antigamente, o topógrafo calculava tudo manualmente; ele usava um transferidor para determinar todos os ângulos, e desenhava tudo à mão. Quando o primeiro rascunho ficava pronto, o topógrafo usava papel vegetal para ir passando o rascunho a limpo. Só depois disso o mapa estava apresentável o bastante para ser entregue ao cliente. “Imagine esse trabalho todo para um projeto de mil pontos”, diz Carlos Baba. Hoje, tudo isso mudou com a informática. A equipe de campo chega da rua e transfere os dados da Estação Total direto para um computador. “Para cada ponto”, diz Carlos, “o computador lê a distância e o ângulo, e vai plotando num mapa os pontos. Num instante a planta fica pronta.” As plantas mais comuns têm escala de 1:50 (um para cinquenta, ou seja, 1 unidade de medida no mapa vale 50 unidades de medida na vida real), de 1:100, ou de 1:5.000.

Aulas de topografia. Carlos Baba trabalha com topografia há 40 anos. Começou a trabalhar num escritório de topografia quando era adolescente, e aprendeu a desenhar e a calcular nesse escritório. Depois, trabalhou em campo. Só muito mais tarde ele foi estudar engenharia na faculdade, e só aí ele foi entender de verdade todos os porquês.

Até hoje, 40 anos depois, a história se repete. Como não existe curso universitário de topografia, em geral o jovem arruma um emprego num escritório de topografia, gosta da profissão, e depois vai estudar algo correlacionado com topografia. Em casos mais raros, o estudante de alguma engenharia faz um curso breve de topografia na faculdade e se apaixona. Andréa de Seixas diz que um bom topógrafo deve estudar cálculo 1 e 2, geometria analítica, álgebra linear, cálculo numérico, estatística, desenho técnico, processamento de dados, geometria descritiva.

Segundo Andréa, em geral os alunos não entendem direito o que é a topografia só com a teoria. Eles não conseguem visualizar o que estão estudando, e por isso não conseguem manipular as fórmulas matemáticas adequadamente. A ficha só cai quando eles vão a campo. “Ter a noção do espaço é fundamental”, diz Andréa. Depois que os alunos unem a teoria à prática, eles conseguem usar bem os equipamentos modernos, eletrônicos, e os programas de computador.

Toda essa teoria e prática parece bastante coisa para quem só vai medir distâncias e ângulos com uma Estação Total, e depois só vai pilotar um computador de mesa. Mas quem estuda bastante ganha muitas vantagens. Um topógrafo bem treinado consegue fazer ajustes muito complicados nas medidas. Por exemplo: se o prisma estiver longe da Estação Total, a distância medida pelo laser será um pouco menor do que a distância real. A Terra é curva — para calcular a distância real, o topógrafo tem de levar em conta a curvatura da Terra. {}



{2}/ Apêndice: O vocabulário básico da topografia

Topometria: é o ofício de medir distâncias e ângulos para, depois, reproduzir num desenho os detalhes do terreno. A topometria se divide entre planimetria e altimetria. Na planimetria, o topógrafo mede ângulos e distâncias no plano horizontal, para desenhar uma planta como se o terreno fosse visto de cima. Na altimetria, o topógrafo mede distâncias e ângulos no plano vertical (ou zenital, como eles dizem). Com essas medidas, o topógrafo desenha cortes do terreno, mostrando a altura das coisas.

Topologia: é a área da matemática preocupada com o estudo geral de formas e de espaços, especialmente com as propriedades que não mudam com distorções contínuas, como o esticamento da forma ou do espaço. Se o topógrafo estuda topologia, ele consegue representar um terreno com um número menor de pontos, porque aprende a escolher os pontos mais significativos para o projeto em questão.

Taqueometria: é o conjunto de técnicas para levantar as características de um terreno com o taqueômetro, que é o nome genérico da Estação Total (uma Estação Total é um taqueômetro cheio de tecnologia).

Fotogrametria: é o conjunto de técnicas para levantar as características de um terreno por meio de fotografias. A fotogrametria pode ser feita em terra, pelo time de topografia, ou no ar, com o emprego de dispositivos voadores. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 3, abril de 2011, pág. 50. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Amanda Vidal.

Quando um número complexo é também irracional


Diga: 2√2 é um número transcendente ou não é?

Matemáticos com experiência em teoria dos números batem o olho no termo “2√2” e respondem, de imediato: “É sim um número transcendente, porque 2 é um número complexo diferente de 0 e de 1, e também é um número algébrico; além disso, √2 é um número algébrico que é irracional.”

Eles são ligeiros na resposta porque conhecem o teorema de Gelfond-Schneider. Para acompanhar uma prova desse teorema, e entender todos os detalhes técnicos, o leitor precisa de uns poucos anos de estudos, mas o teorema em si é fácil de expressar e de entender:

Teorema de Gelfond-Schneider. “Considere dois números complexos a e b. Se a e b são números algébricos com a ≠ 0, a ≠ 1, e b irracional, daí qualquer valor de ab é um número transcendente.”

Se é assim, diga: 2i é um número transcendente ou não é?

Caso não tenha experiência com teoria dos números, deve achar difícil decidir qual é a resposta, mesmo tendo acabado de conhecer o enunciado do teorema de Gelfond-Schneider. Afinal, 2 é um número algébrico (mais sobre isso logo abaixo), 2 ≠ 0, e 2 ≠ 1. Mas o que dizer da unidade imaginária? Ela também é um número algébrico, pois é uma das raízes de x2 + 1 = 0. Mas pode-se dizer que i é um número irracional?

Sim, i é um número irracional e, aplicando o teorema de Gelfond-Schneider, 2i é um número transcendente.

Para especialistas em teoria dos números, especialmente a teoria sobre números transcendentes, todo número complexo com a parte imaginária diferente de zero é um número irracional. Logo, i é um número irracional, assim como 2 + 2i, 1 – i, e √3 – i√3.

Duas definições. Antes de continuar, vale a pena estudar brevemente dois termos técnicos: “número algébrico” e “número transcendente”.

Número algébrico. É qualquer número complexo que serve de raiz a uma equação polinomial com coeficientes inteiros. Por exemplo, 2 + 2i é um número algébrico porque é uma das raízes de x2 – 4x + 8 = 0; mas 1 – i e √3 – i√3 também são algébricos: 1 – i é uma das raízes de x2 – 2x + 2 = 0, e √3 – i√3 é uma das raízes de x4 + 36 = 0. Todo número racional é algébrico, visto que p/q, com p e q inteiros e q ≠ 0, é a raiz de qxp = 0. (“Número racional”, neste caso, é o número complexo cuja parte real é racional e a parte imaginária é nula.)

Número transcendente. É qualquer número complexo que não seja um número algébrico, isto é, é qualquer número complexo que não serve de raiz para nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Os dois transcendentes mais famosos são as constantes e e π. Como já viu, 2√2 e 2i são números transcendentes; mas, de acordo com o teorema de Gelfond-Schneider, (2 + 2i)√2, (1 – i)i, e (√3 – i√3)(1 – i) também são transcendentes.

Apesar do nome, não há nada mágico ou místico nos números transcendentes. Eles precisavam de um nome e, na ocasião em que foram batizados, “transcendente” pareceu mais bacana que “não algébrico”. Polinômios com coeficientes inteiros são importantes em muitas áreas da matemática, e especialmente importantes na física; por causa disso, há muitos anos os matemáticos investigam procedimentos para dizer, com precisão, se determinado número é algébrico ou transcendente.

Mister TN. Agora, a questão que não quer calar. “Como assim, cara pálida? Quem disse que um número complexo com a parte imaginária diferente de zero é irracional? Eu sempre disse que todo número irracional é um número real que não é racional.” Muita gente talvez reaja assim, inclusive um ou outro professor de matemática.

Ponha-se no lugar do especialista em teoria dos números. Vamos chamá-lo de Mister TN. Seu interesse é conhecer, tão completamente quanto puder, as relações e funções que pode estabelecer com o conjunto N dos inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, …}. Para tanto, Mister TN vai lançar mão de toda e qualquer ferramenta matemática, por mais complicada que seja: geometria algébrica, topologia, análise, combinatória, álgebra linear, álgebra abstrata. Ele é agnóstico quanto às ferramentas: desde que com elas consiga produzir afirmações verdadeiras sobre inteiros não negativos, está feliz. Em particular, vai recorrer ao sistema dos números complexos.

Isso significa que vai constantemente interpretar “número complexo” como sendo “um dos pontos do plano complexo”. O leitor já sabe mais ou menos o procedimento: Mister TN vai atribuir a cada ponto do plano as coordenadas (x, y), tomadas em relação a um sistema YOX de coordenadas cartesianas; e pensar em cada ponto (x, y) como sendo o representante do número complexo x + yi.

Suponha que Mister TN queira particionar os números complexos em dois conjuntos disjuntos: de um lado, o conjunto dos números racionais; de outro, o conjunto dos outros números, aqueles que não são racionais, isto é, o conjunto dos números irracionais. Ele ambiciona simplicidade máxima: cada número complexo ou é racional ou é irracional, espelhando o que já acontece no sistema dos números reais. Em que conjunto deve colocar os números complexos i, 2 + 2i, 1 – i, √3 – i√3?

Primeiro, examine uma definição simples de número racional:

Definição simples de número racional. É o número que pode exprimir com o quociente p/q, sendo p, q inteiros, com q ≠ 0.

A primeira coisa a notar é que, no plano complexo, todo racional será elemento da reta X, pois suas coordenadas são (p/q, 0). Em outras palavras, para que um número complexo seja equivalente a um número racional no sistema dos números reais, a condição necessária é que o ponto no plano complexo equivalente a esse número racional seja um dos pontos da reta X.

Com isso, Mister TN já pode dizer: “Se um dos pontos do plano complexo não é elemento da reta X, tem de corresponder a um número irracional, já que eu quero particionar os complexos em apenas dois conjuntos disjuntos, o dos racionais e o dos irracionais.” Ora, se um ponto do plano complexo não é elemento da reta X, é porque a parte imaginária é diferente de zero: é um ponto do tipo (x, y) com y ≠ 0. Por exemplo, (0, 1), (2, 2), (1, –1), e (√3, –√3), que são os pontos equivalentes a i, 2 + 2i, 1 – i, e √3 – i√3.

E isso tudo faz sentido, porque, de fato, não existem dois inteiros p, q, com q ≠ 0, tais que p/q = i, p/q = 2 + 2i, p/q = 1 – i, ou p/q = √3 – i√3. É por isso que Mister TN, usando esse jeito de classificar os números complexos, vai dizer que i é um número irracional, e vai usar o teorema de Gelfond-Schneider para dizer que 2i é um número transcendente. Isso porque tanto Gelfond quanto Schneider, para provar o teorema que leva o nome dos dois, classificaram os pontos do plano complexo em dois conjuntos disjuntos, o dos racionais e o dos irracionais; e sua única escolha sensata era colocar números complexos do tipo x + yi, com y ≠ 0, no conjunto dos irracionais.

Palavras, palavras. Existem casos nos quais o matemático se sente pouco à vontade de chamar o número complexo 1 – i, por exemplo, de irracional? Sim, existem. Em certas áreas da teoria dos números, o investigador está muito interessado em pontos (x, y) do plano complexo nos quais x, y são ambos números racionais. Tais pontos acabaram sendo batizados de “pontos gaussianos”, e os números complexos aos quais correspondem de “racionais gaussianos”. Logo, os números complexos i, 2 + 2i, e 1 – i, são todos racionais gaussianos. Se por acaso o investigador estiver interessado tanto em racionais gaussianos quanto em números transcendentes, ficará na desconfortável posição de dizer que 1 – i, por exemplo, “é um racional gaussiano, irracional”. Talvez um dia surjam nomes mais apropriados.

Eis uma imagem para ajudar o leitor a entender o ponto deste texto: a matemática é um tipo de jogo de tabuleiro. Em todo jogo de tabuleiro, há o tabuleiro, as peças, a posição inicial, e as regras do jogo, isto é, as regras pelas cada jogador pode mover as peças no tabuleiro. Especialistas em lógica, como Wilfrid Hodges, Johan van Benthem, e Dominic Klein, têm publicado artigos mostrando como certos jogos lógicos capturam todas as características de certas áreas da matemática. Em alguns desses artigos, por exemplo, as regras de inferência se transformam em regras de jogo, isto é, regras pelas quais partir de certos axiomas e definições (a posição inicial) e seguir adiante, movendo as peças corretamente, até certos teoremas (posições intermediárias). O importante é que cada matemático tenha a liberdade de criar um jogo como quiser — suas únicas limitações são: o jogo deve ser coerente (isto é, aqueles que se dispõem a estudá-lo devem ter a capacidade de compreendê-lo, ou, em outras palavras, a compreensão do jogo não pode ficar a critério dos deuses) e consistente (suas regras não podem se contradizer). Se for um bom jogo, terá muitas semelhanças com os outros jogos da matemática; quer dizer, o matemático poderá usar certos morfismos para transpor as conclusões de um jogo para outro. O nome atribuído ao tabuleiro, às peças, e às regras não importa muito. Tanto faz se chama uma peça de “dama” ou de “rainha”, ou se chama um tabuleiro de “corpo” ou “campo”: isso não muda o jogo em nada. O ideal é que os nomes sejam escolhidos de tal maneira a permitir que os jogadores conversem sobre cada jogo de modo produtivo, agradável. Quando a questão é a linguagem humana, contudo, com frequência ficamos bem longe do ideal, e o estudante faz bem se adotar uma atitude a mais virtuosa possível — tolerante, paciente, aberta ao diálogo, ou, numa palavra, democrática. {FIM}


Observação:

Há duas matérias neste blogue bastante correlacionadas com a matéria que acabou de ler: (a) uma mostra ao leitor como partir de noções comuns da matemática escolar e construir o sistema dos números complexos; (b) a outra discute o modo como certos professores embaralham o sistema dos números complexos com o dos números reais — embora os dois tenham características comuns, são dois sistemas distintos.

(a) Tudo sobre números complexos.

(b) Se não pode, então como é que pode?

 

Cálculo Tornado Fácil 11


Demorou bastante para que o homem pusesse no papel, com perfeição, a fórmula que descreve algo crescendo ou diminuindo a uma taxa fixa e, a todo instante, de modo proporcional a si mesmo. É uma ideia poderosa, que tem sido bastante usada por cientistas e engenheiros, e até virou item da cultura popular.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 61 porque o texto anterior terminou na 60. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, e CTF 10.

Item da cultura popular. No tabuleiro de xadrez, uma bolinha para a primeira casa, duas bolinhas para a segunda, quatro bolinhas para a terceira, 2n–1 bolinhas para a enésima: isso dá 9.223.372.036.854.775.808 bolinhas para a 64ª casa do tabuleiro. Para trabalhar com o tabuleiro dessa maneira, o matemático teria de arrumar 18.446.744.073.709.551.615 bolinhas, que é o resultado de 20 + 21 + 22 + ··· + 263.


{61}/ Capítulo 14 (Parte II)

A curva logarítmica

Vou agora ajudá-lo a estudar a curva cujas ordenadas sucessivas (isto é, os valores de y relativos a x = 0, x = 1, x = 2, …) perfazem uma progressão geométrica, como é o caso das ordenadas da função determinada pela equação a seguir:

Quando iguala x a zero, vê que b é o valor inicial de y. Daí, pode calcular as ordenadas sucessivas alterando o valor de x.

Note também que p é o valor numérico da razão entre a altura de qualquer ordenada de abscissa inteira e a altura da ordenada anterior. O que quero dizer com isso?

Na figura 40, desenhei a curva de y com p = 6/5, isto é, cada ordenada [de abscissa inteira] é a ordenada anterior multiplicada por um fator de 6/5.

Agora, examine com cuidado a expressão a seguir, onde y1 é a mesma coisa que f(1), isto é, é o valor de y quando x = 1.

O que descobriu aqui é o seguinte: se duas ordenadas sucessivas estão correlacionadas entre si por uma razão constante, haverá uma diferença constante entre o logaritmo natural dessas duas ordenadas. (Pois ln(p) é um valor constante.) Sendo assim, caso plote uma curva como a 41, na qual os valores de lny servem de ordenada, essa curva se transforma numa reta cujos degraus sobem [ou descem] por um valor constante, equivalente a ln(p). De fato, a partir da equação de y deduz a seguinte sequência de fatos:

Agora, como lnp é um valor constante, pode substituí-lo pela letra a, isto é, a = lnp. Com essa informação, arremata a sequência acima:

Perceba que a equação y = bpx tomou uma nova forma: y = beax, na qual a = lnp.

[Guarde essa informação, e se julgar necessário refaça os passos acima algumas vezes. Outra coisa: notou o que Silvanus está fazendo nessa passagem? Na sua época, o leitor era provavelmente usuário de tabelas de logaritmos; estava acostumado a pegar um valor inteiro, por exemplo 150, e consultar uma tabela ou régua de cálculo para achar o valor do logaritmo de 150. Por isso, seu leitor provavelmente já tinha visto a curva da figura 41, talvez na escola. Na passagem, Silvanus mostrou duas coisas: como partir duma equação genérica do tipo y = bpx e chegar à reta da figura 41; e como interligar isso com a equação do crescimento exponencial (com b > 0 e a > 0), que provavelmente seu leitor mal conhecia. Hoje ocorre o contrário: é mais fácil achar um estudante que já tenha ouvido falar de crescimento exponencial do que um que já tenha ouvido falar de curva logarítmica. Para o leitor mais atento, Silvanus mostrou também como o matemático converte uma função exponencial de base p numa função exponencial, de modo a usufruir a vantagem de que a derivada de ex é ex. (Se não houver referência à base, “função exponencial” sempre se denota uma expressão do tipo y = ex.) Com tudo isso, ele preparou o terreno para uma discussão sobre o decaimento exponencial (com b > 0 e a < 0), que é o assunto da próxima seção.]

* * *

A curva minguante. Se você igualar p a uma fração própria (cujo valor é maior que zero e menor que 1), a curva obviamente tenderia a se inclinar para baixo, como na figura 42 (mais abaixo), na qual cada ordenada sucessiva tem 3/4 da altura da ordenada anterior.

A equação continua a mesma:

 

Desta vez, contudo, como p é menor que 1, lnp é um número negativo, que você pode escrever como –a; assim, p = ea, e agora a equação para a curva toma a seguinte forma:

Qual é a importância dessa equação? Nos casos em que a variável independente é o tempo, a equação serve para representar uma grande quantidade de fenômenos físicos nos quais alguma coisa está gradualmente minguando, mas de modo proporcional à magnitude do que está minguando. (Assim, a velocidade com que a magnitude míngua vai ficando cada vez menor.) Assim, tem condições de representar o resfriamento de um corpo aquecido (na famosa lei de Newton para resfriamento) com a equação:

Nessa equação, θ0 representa o excesso de calor de um corpo aquecido em relação ao ambiente no momento em que a medição do tempo começou, e θt representa o excesso de calor ao final do tempo t; quanto à constante a, é a constante de decaimento, e depende da quantidade de superfície do corpo exposta ao ambiente, dos coeficientes de condutividade térmica, etc.

Observe a fórmula a seguir, que é similar à anterior:

Use essa fórmula para expressar a carga de um corpo eletricamente carregado, tendo originalmente a carga Q0, mas cuja carga está vazando à taxa constante de decaimento a; neste caso, a constante a depende da capacidade de carga do corpo e da resistência do circuito de vazamento.

Caso faça uma mola flexível oscilar, as oscilações vão minguando com o tempo; e pode expressar o decaimento da amplitude do movimento de um jeito similar àqueles que já viu até agora.

Na verdade, pode usar o fator de decaimento e–at para modelar todos os fenômenos nos quais a taxa de decaimento é proporcional à magnitude do que está decaindo; ou nos quais, para usar os nossos símbolos já conhecidos, dy/dt é proporcional, a cada instante t, ao valor que y tem naquele instante. Veja que precisa só inspecionar visualmente a curva da figura 42 para perceber que, em toda parte dela, o gradiente dy/dx é proporcional à altura de y — a curva vai se nivelando conforme y vai diminuindo. Em símbolos, veja algumas poucas consequências lógicas disso:

Agora, diferencie a última expressão inteira, lembrando que lnb é uma constante.

Em palavras, diga que o gradiente da curva é negativo, e além disso é proporcional ao valor da constante a e à magnitude de y.

Você chegaria ao mesmo resultado se tivesse começado com a equação na primeira forma (y = bpx), com p menor que 1. Veja a sequência do raciocínio, e note que a certa altura troco lnp por –a.

Detalhe de tempo: meia-vida. Volte agora à expressão que define o decaimento exponencial quando a variável independente é o tempo t; use a notação exp(t) = et para deixar as contas mais fáceis de visualizar:

Quando a medição do tempo começou, qual era o valor de y? Calcule isso ao fazer t = 0, como já fez antes.

E agora faça a pergunta que tantos físicos, químicos e outros cientistas e engenheiros fazem a si mesmos tantas vezes por ano: quanto tempo leva para que o valor de y caia à metade? O que pretende é resolver a equação a seguir para t:

Você pode dividir os dois lados da equação por b (ou, o que é a mesma coisa, multiplicar os dois lados por 1/b).

Bote reparo agora num ponto importante: não importa qual é o valor de y quando a contagem do tempo começou. Como o valor de y é irrelevante, também é irrelevante se começou a cronometrar o tempo no ano passado ou se vai começar a cronometrá-lo no mês que vem — em qualquer caso, para que o valor de y (no momento em que a contagem do tempo começou) decaia à metade, levará o mesmo tempo. E quanto tempo t deve transcorrer para que tal aconteça?

O próximo passo é tirar o logaritmo natural dos dois lados, com o que vai deixar a variável t pronta para as manipulações finais.

Então, chegou à resposta: quando t é igual a ln2/a, o valor de y decai à metade do que era quando a cronometragem do tempo começou. Esse valor específico de t tem nome: meia-vida. Esse termo técnico é muito útil, pois em geral é mais fácil conversar sobre meia-vida do que sobre a constante a, e sabendo a meia-vida, se precisar calcular o valor de a por qualquer motivo, já sabe: é ln2 dividido pela meia-vida:

Que tal fazer dois testes para reforçar tais conceitos? No primeiro deles, coloque o valor da meia-vida na expressão original e veja o que acontece.

Era o que esperava, mas mesmo assim é interessante ver tudo isso acontecendo. Agora, imagine o outro teste: num laboratório de química, há um béquer com um líquido quente, e o cientista sabe que a meia-vida do excesso de temperatura do líquido em relação ao ambiente é de 20 minutos. Qual será o excesso de temperatura em 1 hora? Ao arrumar a equação, deve chegar a algo parecido com as linhas a seguir.

Então, sabendo que o decaimento do excesso de temperatura do líquido nessas condições tem meia-vida de 20 minutos, em 1 hora o excesso equivalerá a 1 oitavo do excesso medido agora. Mesmo que os números tenham muitas casas decimais, não tem problema, pois obterá tudo isso facilmente com uma calculadora científica, não é verdade?

Veja que deve adotar qualquer intervalo de tempo que lhe seja útil, além da meia-vida: o tempo para que certa magnitude decaia a 10% do que era, o tempo para que decaia a 3% do que era, o tempo para que decaia a 1/n do que era. Caso adote um intervalo de tempo fora do comum, não pode chamá-lo de “meia-vida”; deve antes chamá-lo de “constante de tempo”, e se quiser pode denotá-la com a letra grega τ (tau).

Mais exemplos. (1) Ao aplicar (talvez com uma bateria) certa tensão elétrica E num elemento condutor de eletricidade, você produz certa intensidade de corrente elétrica C depois de certo tempo t em segundos; as relações entre tais variáveis estão na fórmula a seguir, na qual R é a resistência e L a indutância eletromagnética do sistema.

Não quero transformá-lo aqui num físico ou engenheiro elétrico; ao contrário, quero mostrar como, conhecendo um pouco de álgebra e de cálculo, e presumindo que a fórmula acima representa o sistema com precisão adequada, pode tirar várias conclusões válidas a respeito do sistema.

• Se mantiver a resistência R fixa e aumentar a tensão E, a corrente elétrica C aumenta na mesma proporção.

• A velocidade com que a corrente C cresce ao longo do tempo depende da relação entre R e L, como mostram os gráficos na figura A (mais abaixo). Se R é menor que L, a corrente C cresce mais devagar; se R é maior do que L, cresce mais depressa. Em outras palavras, a relação entre R e L determina o modo como se comporta a derivada de C.

Isso fica mais fácil de ver quando calcula a derivada dC/dt:

Analisando um gráfico da última linha, nota o seguinte: se R > L, dC/dt diminui mais depressa, pois a curva se achata mais depressa; se R < L, dC/dt diminui mais devagar, pois a curva se achata mais devagar.

• Seja como for, quanto maior o valor de R, menor o valor total que C atingirá; e quanto menor o valor de R, maior o valor total de C.

• Em muitas questões de engenharia, a taxa de crescimento instantânea de algo importa muito. Por exemplo, talvez possa encher uma bexiga com x litros de ar, e talvez ela aguente a pressão, mas não se a taxa de enchimento for alta demais — daí talvez a bexiga estoure durante o enchimento. Da mesma forma, suponha que seu circuito não possa aguentar uma taxa de crescimento da corrente C, em relação ao tempo t, maior que 5 ampères por segundo. O que isso significa?

Substitua agora dC/dt pela expressão que define esse coeficiente diferencial:

Em geral, a indutância L é um valor pequeno, de modo que 5L/E é menor que 1 e ln(5L/E) é negativo; o resultado da expressão à direita da desigualdade fica positivo. E isso significa que, até que o cronômetro marque esse valor específico de t, a taxa de crescimento dC/dt será maior do que 5, de modo que seu circuito talvez queime, já que ele não aguenta taxas instantâneas de crescimento de C tão altas. Se fosse engenheiro, ao descobrir essa informação teria de tomar alguma providência; por exemplo, bolar um circuito que, nos milisegundos iniciais de funcionamento de seu sistema, atenue a taxa de crescimento de C.

De novo, o que pretendo mostrar aqui é simples: talvez saiba muito pouco sobre tensão, corrente, resistência, indutância. Mas, como conhece a constante e, e como sabe calcular a derivada de expressões nas quais ela aparece, e como sabe distinguir crescimento exponencial de decaimento exponencial, tem condições de tirar muitas conclusões válidas ao estudar uma fórmula.

(2) Com a fórmula a seguir, pode calcular a intensidade I de um raio de luz que passou através de um meio transparente cuja grossura é l centímetros:

Nessa fórmula, I0 é a intensidade do raio de luz ao tocar o meio e K é uma constante de absorção de luz.

Em geral, o cientista acha o valor de K por meio de experimentos. Por exemplo, põe um medidor de intensidade de luz no ponto em que o raio toca o meio, e põe outro dentro do meio a alguns centímetros de distância, e daí verifica quanta intensidade o raio de luz perdeu ao percorrer aqueles centímetros. Talvez descubra que a intensidade do raio caiu 18% ao percorrer 10 centímetros de, digamos, certo vidro escurecido. Neste caso, que tal igualar I a 82% de I0, e usar essa informação na fórmula acima para descobrir K?

Agora, alguém, talvez seu cliente, gostaria de saber qual grossura desse vidro teria a capacidade de reduzir a intensidade da luz para 50%, e agora você já sabe como usar uma boa calculadora científica:

[Nesse exemplo 2, você não está exercitando seus poderes no cálculo diferencial. Antes, usou o cálculo para definir a constante e e suas propriedades, e agora está explorando as situações mais importantes nas quais e aparece.]

(3) Os físicos já sabem que podem correlacionar a quantidade Q de uma substância radioativa que ainda não passou por desintegração com a quantidade inicial Q0 por meio da relação a seguir:

[“Desintegração” é a perda de massa por meio da emissão de partículas radioativas.] Nessa fórmula, λ (lambda) é uma constante e t é o tempo desde que a desintegração começou.

Para uma massa de certo isótopo de rádio, com o tempo expresso em segundos, os experimentos mostram que λ = 3,85 ∙ 10–3. Como faria para achar a meia-vida desse isótopo, isto é, o tempo necessário para que a massa da substância decaia à metade do que era?

Bem, deve começar como antes:

Então, a meia-vida desse isótopo de rádio é de mais ou menos 3 minutos. Repare: é muito mais fácil conversar sobre a meia-vida do que sobre a constante λ, pois é muito mais fácil dizer “três minutos” que “três vírgula oitenta e cinco vezes dez elevado à menos três”.



{62}/ Exercícios XIII

(1) Desenhe a curva de y = bexp(-t/T), na qual b = 12, T = 8 e, para t, você pode atribuir vários valores de 0 a 20.

(2) Um corpo aquecido se resfria, de modo que em 24 minutos o excesso de temperatura caiu à metade do excesso inicial. Deduza disso as informações relevantes a respeito do processo de resfriamento, e diga quanto tempo ao todo o corpo ficará se resfriando até que o excesso seja igual a 1% do original.

(3) Plote a curva de y = 100(1 – e–2t), e a estude tão bem quanto puder.

(4) As equações a seguir produzem curvas muito similares para valores positivos de x:

(i)

(ii)

(iii)

Use um computador para plotar as curvas; faça a = 100 milímetros e b = 30 milímetros. Deve notar que, para valores muito altos de x, pode usar uma das equações acima para produzir os valores aproximados das outras duas equações. Qual delas escolheria para representar as outras duas?

(5) Ache o coeficiente diferencial de y em relação a x no caso das equações a seguir:

(a)

(b)

(c)

Depois, plote o gráfico das derivadas (para valores positivos de x) e responda: qual das relações acima cresce mais depressa conforme o valor de x aumenta? Saberia explicar o porquê?

(6) No caso do elemento químico tório A, o valor de λ é 5. Ache a meia-vida, isto é, o tempo necessário para que uma quantidade Q de tório A se iguale à metade da quantidade inicial Q0 na expressão a seguir:

Neste caso, meça t em segundos.

(7) Um capacitor de capacitância K = 4 ∙ 10–6 farad, carregado com tensão elétrica equivalente a V0 = 20 volts, está se descarregando através de um circuito cuja resistência é de 10.000 ohms. Ache a tensão elétrica acumulada no capacitor depois de (a) 0,1 segundo e de (b) 0,01 segundo. Assuma que a queda de tensão elétrica acumulada siga a fórmula:

[Capacitores, baterias (que produzem tensão elétrica), resistores: tais componentes são comuns na vida do engenheiro elétrico ou eletrônico, ou na vida do físico especializado em física de estado sólido. Deve notar aqui quanta coisa pode deduzir sobre a relação entre tais componentes apenas de estudar a relação matemática entre eles. Um cuidado, contudo: os componentes jamais se comportam de modo perfeitamente condizente com a fórmula, pois ela é uma simplificação útil da realidade.]

(8) Imagine uma esfera de metal eletricamente isolada, e carregada com carga Q. Por causa das imperfeições no isolamento, a carga cai de 20 unidades para 16 unidades em 10 minutos. Ache o coeficiente de escoamento μ se Q = Q0 ∙ exp(–μt), sendo Q0 a carga inicial e t medido em segundos. Daí ache a meia-vida do escoamento, ou seja, o tempo necessário para que a carga inicial Q0 caia à metade.

(9) Numa linha telefônica comum (um par de fios de cobre), use a fórmula abaixo para calcular a intensidade i da corrente elétrica depois de t segundos que um sinal de intensidade inicial i0 está viajando pela linha:

Nessa fórmula, β é uma constante e l é o comprimento da linha em quilômetros; quanto à intensidade de i, é medida em ampères. (Note que t não aparece na fórmula, pois é informação dada, isto é, a fórmula acima muda quando o valor de t muda; isso significa que, para cada valor de t, você terá de procurar o valor de β numa tabela.) Para o cabo submarino franco-inglês, lançado em 1910, β = 0,00114. Ache a atenuação do sinal na ponta final do cabo (de 40 quilômetros), e o comprimento do cabo no qual a atenuação equivale a 8% da corrente original (o que é o valor limite da atenuação para que a audição seja boa).

(10) Com a fórmula a seguir, pode calcular a pressão p da atmosfera à altitude de h quilômetros:

Na fórmula, p0 é a pressão ao nível do mar (de 760 milímetros). Se você sabe que a pressão a 10 quilômetros de altura é 199,2, a 20 quilômetros de altura é 42,2 e a 50 quilômetros de altura é 0,32, calcule o valor de k em cada caso. Usando o valor médio de k, ache o erro (em porcentagem) em cada caso.

[Note que, hoje em dia, poucos medem a pressão atmosférica em milímetros; essa medida se refere à pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 760 milímetros de altura, com massa volumétrica de 13,5951 gramas por centímetro cúbico, sujeita à aceleração média da gravidade (de 9,8 ms–2).]

(11) a (13) Ache os máximos ou mínimos das equações a seguir:

(11)

(12)

(13)

{FIM}

O problema que Einstein não criou: Quem é o dono do peixinho?

Para resolver alguns problemas, o estudante só precisa de raciocínio lógico e das noções mais elementares sobre conjuntos, relações, e funções. A boa notícia é que pode arregimentar tais conhecimentos ao simplesmente desenhar uma tabela bem caprichada.


{1}/ Um desafio ao leitor

Há cinco casas, cada uma de uma cor distinta. Em cada casa vive uma pessoa de nacionalidade distinta. Cada morador tem um determinado bicho de estimação, fuma determinada marca de cigarro, e bebe um determinado tipo de bebida. Nenhum morador tem o mesmo bicho que outro morador, nenhum fuma a mesma marca de cigarros, nenhum bebe o mesmo tipo de bebida.

Eis 15 dicas para que o leitor saiba quem é quem:

(1) O britânico vive na casa vermelha.

(2) O sueco tem um cão.

(3) O dinamarquês toma chá.

(4) A casa verde está à esquerda da casa branca.

(5) O dono da casa verde toma café.

(6) O morador que fuma Pall-Mall tem um pássaro.

(7) O dono da casa amarela fuma Dunhill.

(8) O que vive na casa do centro toma leite.

(9) O norueguês vive na primeira casa.

(10) O morador que fuma Blends vive ao lado do que tem um gato.

(11) A pessoa que tem um cavalo vive ao lado da que fuma Dunhill.

(12) O que fuma Bluemasters bebe cerveja.

(13) O alemão fuma Prince.

(14) O Norueguês vive ao lado da casa azul.

(15) O que fuma Blends tem um vizinho que bebe água.

A pergunta é: Quem é o dono do peixinho?



{2}/ Resolução

A leitora (codinome Gabriela) começou experimentando vários métodos e notações: tabelas, grafos, matrizes. A tabela se mostrou mais útil: é fácil de preencher e de interpretar. Então caprichou numa tabela vazia:

Casa

1

2

3

4

5

Cor

Nacionalidade

Bicho

Cigarro

Bebida

“Agora”, pensou Gabriela, “o que preciso fazer é ler as dicas enquanto vejo o que posso preencher.” Passou a lista de dicas em revista, e só pôde preencher a tabela pela primeira vez com as frases (8) e (9): o que vive na casa do centro (a 3) toma leite e o norueguês vive na primeira casa.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

Nacionalidade

norueguês

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

Com a frase (14), veio mais uma informação sobre o norueguês, na verdade sobre seu vizinho, que mora na casa 2, uma casa azul.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

azul

Nacionalidade

norueguês

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

Com a frase (4), Gabriela viu que a casa 1 não pode ser verde, pois a casa verde está à esquerda da branca. Então, ou a casa branca é a 4, e daí a verde é a 3, ou a casa branca é a 5, e daí a verde é a 4. Gabriela tentou os dois casos, mas, com as frases (5) e (8), descobriu que casa 3 não pode ser verde: se fosse verde, seu morador beberia café, mas ele bebe leite.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

azul

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

café

Com a frase (1), viu que a casa 1 não pode ser vermelha, pois nela vive um norueguês, e não um britânico. Logo, a casa 3 é vermelha e nela mora um britânico que bebe leite; e a casa 1 é amarela.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

britânico

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

café

Se a casa 1 é amarela, Gabriela viu que, pela frase (7), seu dono fuma Dunhill. Pela frase (11), o vizinho do norueguês tem um cavalo.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

britânico

Bicho

cavalo

Cigarro

Dunhill

Bebida

leite

café

Com a frase (15), Gabriela descobriu que o morador da casa 5 não pode fumar Blends, pois seu vizinho não toma água, mas café. Talvez o morador da casa 2 tome água, e se for assim o britânico fuma Blends; talvez o morador da casa 1 tome água, e daí o dono do cavalo fuma Blends. Mas, pela frase (12), o sujeito que fuma Bluemasters bebe cerveja; logo, pensou Gabriela, o norueguês não bebe cerveja, e ou o morador da casa 2 ou o morador da casa 5 bebe cerveja. Contudo, se o morador da casa 2 fuma Bluemasters e bebe cerveja, e se o britânico fuma Blends, daí a frase (15) não se sustenta, pois quem fuma Blends tem de ter um vizinho que beba água. “Então”, pensou Gabriela, “não posso pôr cerveja nem na casa 1 nem na 2. Só sobra a casa 5: seu morador fuma Bluemasters e bebe cerveja.”

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

britânico

Bicho

cavalo

Cigarro

Dunhill

Bluemasters

Bebida

leite

café

cerveja

Quem bebe água? O norueguês ou o sujeito da casa 2? Gabriela olhou a frase (3): o dinamarquês toma chá. Logo, o chá deve ir na casa 2, pois na 1 já vive o norueguês. Além disso, pela frase (15), o que fuma Blends tem um vizinho que bebe água: o dinamarquês fuma Blends, e seu vizinho, o norueguês, bebe água.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

dinamarquês

britânico

Bicho

cavalo

Cigarro

Dunhill

Blends

Bluemasters

Bebida

água

chá

leite

café

cerveja

Pela frase (6), Gabriela viu que pode pôr o Pall-Mall e o pássaro ou na casa 3 ou na 4. Mas, olhando a frase (13), vê que não pode pôr o Pall-Mall na 4, pois daí teria de colocar Prince na 3, e a casa 3 teria de ser habitada por um alemão. Então, o britânico fuma Pall-Mall e tem um pássaro, e o alemão vive na casa 4, a verde, e fuma Prince. Como consequência disso tudo e da frase (2), o sueco e seu cão vão para a casa 5. E daí, pela frase (10), o norueguês tem um gato.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

dinamarquês

britânico

alemão

sueco

Bicho

gato

cavalo

pássaro

cão

Cigarro

Dunhill

Blends

Pall-Mall

Prince

Bluemasters

Bebida

água

chá

leite

café

cerveja

A resposta agora é óbvia, e Gabriela a escreveu no caderno: “O alemão tem um peixinho.”

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

dinamarquês

britânico

alemão

sueco

Bicho

gato

cavalo

pássaro

peixe

cão

Cigarro

Dunhill

Blends

Pall-Mall

Prince

Bluemasters

Bebida

água

chá

leite

café

cerveja

Pesquisando, Gabriela descobriu que o problema é antigo. Alguns websites atribuem sua autoria a Albert Einstein, que teria dito: 98% da humanidade não conseguiria resolvê-lo. (Isso provavelmente é mentira, ou, como se diz hoje em dia, fake news.) Outros atribuem sua autoria a Lewis Carroll, o autor de Alice no País das Maravilhas. (Mais uma vez, fake news.) É mais provável que seu autor nunca venha a ser conhecido, mas, seja quem for, vivia numa época em que as pessoas fumavam. Além disso, também é razoável pensar que 98% da humanidade consiga sim resolvê-lo — basta querer.

“Mas isso é matemática?” Gabriela fez a pergunta que muitos professores de matemática fazem quando veem o problema pela primeira vez. O matemático argentino Adrián Paenza incluiu o problema num de seus livros (Matemática: Cadê Você?) porque acredita que ele é sim matemática; para Adrián, o matemático estuda as inter-relações entre objetos abstratos (no sentido de conceitos abstratos), e realiza seu estudo de acordo com um conjunto claramente definido de regras. Em outras palavras, qualquer raciocínio sobre um objeto abstrato que leve de modo inescapável das premissas às conclusões pode ser classificado como um raciocínio matemático. Para ilustrar esse ponto, Gabriela até achou um exemplo mais matemático.

ProblemaMostre que x4x2 – 6x + 10 é positivo para todo número real x.

Depois de várias tentativas, Gabriela chegou ao seguinte argumento:

1. Se x ≤ –1, daí x4x2; se x4x2, daí x4x2 ≥ 0; além disso, se x ≤ –1, daí 10 – 6x ≥ 0. Portanto, se x ≤ –1, daí x4x2 – 6x + 10 ≥ 0. Gabriela reescreve esse raciocínio com a notação a b, isto é, a leva naturalmente a b. (Essa seta torta é útil para organizar melhor os raciocínios no caderno, sem, contudo, usar indevidamente a seta reta, que é símbolo de implicação, e que deve ser usada com maior cuidado.)

2. Usando a mesma notação:

3. E quanto ao caso em que 1 ≤ x ≤ (3/2)?

4. Feito isso, Gabriela estudou o caso em que (3/2) ≤ x ≤ 2:

5. Por último, o caso em que x é maior ou igual a 2:

Com esse argumento, Gabriela provou o que pretendia provar dividindo o problema em passos mais simples, nos quais sua única preocupação era provar uma desigualdade simples. “Esse jeito de raciocinar”, escreveu Gabriela, “é típico de matemáticos especializados em análise, e se parece muito com o jeito que usei para provar que o alemão era o dono do peixinho: procure seguir adiante uma pequena verdade de cada vez.”



{3}/ Lógica e conjuntos embutidos em tabelas

Se você fosse ensinar lógica e teoria dos conjuntos a crianças e jovens, o que ensinaria? Sugestão: ensine-as a montar tabelas, e a pensar sobre elas. Se o universo do discurso (o conjunto das afirmações sobre as quais está pensando) é discreto e finito, como muitas vezes ocorre em situações do dia a dia, é incrível como pode usar tabelas para raciocinar sobre operações lógicas (do tipo “A e B implicam C”) e sobre afirmações da teoria dos conjuntos (do tipo “isso é subconjunto daquilo”).

O problema é que tabelas são, em certo sentido, objetos complicados, ou, melhor dizendo, objetos cuja simplicidade esconde várias complicações. Na tabela que a personagem Gabriela por fim montou, na seção 2, a palavra “amarelo” aparece no cruzamento da linha “cor” com a coluna “casa 1”. Isso significa que a casa 1 é amarela. Mas dizer que a casa 1 é amarela é dizer que a casa 1 é elemento da extensão de amarelo = a casa 1 é elemento do conjunto composto por objetos amarelos = casa 1 {x : x é um objeto amarelo}.

No cruzamento da linha “nacionalidade” com a coluna “casa 3”, aparece a palavra “britânico”; e no cruzamento da linha “bicho” com a coluna “casa 3”, aparece a palavra “pássaro”. Isso significa que o britânico tem um pássaro, e você pode ver isso como uma relação no produto cartesiano do conjunto das nacionalidades com o conjunto dos bichos. Marque essa relação com x-PA-y, isto é, x possui o animal y. Daí britânico-PA-pássaro. Isso é o mesmo que dizer que o par ordenado (britânico, pássaro) é elemento da relação PA, que por sua vez é subconjunto de Nacionalidades × Bichos.

Se quiser, também pode ver funções na tabela. Caso use Cor(x) = y para denotar “a cor do objeto x é y”, daí Cor(casa 4) = verde. Funções também são subconjuntos de produtos cartesianos. Assim, (casa 4, verde) é um par ordenado do conjunto de pares ordenados Casas × Cores, cujo subconjunto Cor = {(x, y) : y é a cor da casa x} está claramente marcado na linha 2 da tabela. Note que (casa 4, verde) Cor, e por isso pode escrever Cor(casa 4) = verde.

Quanto à lógica, vale um exemplo. Visto que cada casa tem apenas uma cor, pode escrever: “Se Cor(casa 4) = verde, então, para todo x ≠ verde, Cor(casa 4) = x é uma afirmação falsa.”

Enfim: diante de uma tabela muito simples, como a da seção 2, você pode ver conjuntos e subconjuntos, produtos cartesianos, ênuplas ordenadas, relações e funções, e operações lógicas. Com um pouco mais de elaboração teórica, poderia também produzir afirmações sobre probabilidade, semântica, teoria da informação. Poderia até explorar as ideias mais básicas da lógica modal de predicados com semântica de mundos possíveis, tipo “Se a casa 4 fosse amarela, em vez de verde, eu deveria fazer as alterações tais e tais nas afirmações (1) a (15) para preservar o problema.” Tudo isso numa simples tabela com seis linhas e seis colunas. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 30, julho de 2013, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. O texto da seção 3 é inédito.

2. Se acha que seria bom ler um pouco mais sobre conjuntos para compreender a seção 3 perfeitamente, clique aqui.