Mega-Sena: entre na rede e fique riquíssimo!


Há centenas de gurus que, por meio da internet, ensinam o internauta a bolar uma estratégia para jogar em alguma das loterias brasileiras. Muitos desses gurus até usam linguagem matemática para legitimar sua mensagem. Será?

Observação: Publiquei o texto a seguir pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 15, abril de 2012, pág. 40. O texto foi revisto e ligeiramente reescrito, mas os fatos são os que valiam na ocasião.



{1}/ Uma receita racional

Existem 137.000 milionários no Brasil, entre 190,7 milhões de brasileiros, então a probabilidade de que o leitor não seja um milionário é de, grosso modo, 99,93%. No Brasil, os jogos de azar são monopólio do governo federal (com algumas exceções para redes de TV), e se o leitor entrar em qualquer casa lotérica, pode escolher dez jogos: Mega-Sena, Timemania, Quina, Lotomania, Dupla-Sena, Loteria Federal, Loteria Instantânea, Loteca, Lotogol, e Lotofácil. Como acertar numa dessas loterias? Ora, isso é muito fácil: na internet, há centenas de websites com dicas infalíveis, fórmulas certeiras, conselhos de quem sabe das coisas tanto do mundo dos homens quanto do mundo dos espíritos. O leitor só não entra para a lista dos milionários porque não quer. Ou talvez porque, sendo amante de matemática, é um desses sujeitos de mentalidade tacanhamente cartesiana, em cuja alma não há lugar para fé nas coisas ocultas. Pobre leitor!

Talvez seja o caso de examinar as dicas de Munir Pé-Quente, apelido pelo qual é conhecido o matemático Munir W. Niss; nos seus folhetos na internet, Munir anuncia a si mesmo como “um estudioso de apostas, que já acertou 40 vezes na Mega-Sena”. Ele simplesmente faz as contas, escolhe os números de acordo em essas contas, organiza um bolão, e vende cotas do bolão. Nunca acertou os seis números da Mega-Sena, mas já acertou a quadra várias vezes e a quina algumas vezes; os compradores das cotas dividem o prêmio (a quadra sempre paga prêmios na casa das centenas de reais). Por conta de sua história, Munir escreveu um livro, que lançou em 2003: O Segredo das Loterias. Para escrever sua receita de como ficar milionário com a Mega-Sena, Munir estudou os resultados dos sorteios anteriores; usou estatística para descobrir quais dezenas saem menos, e quais saem mais. Em 2008, falou sobre o livro num programa de TV. Desde então, o livro se transformou numa boa fonte de renda: ou Munir vende o livro, ou dá o livro de brinde a quem compra uma cota de bolão de preço alto, como 200 reais.

Munir sugere ao leitor que recorra à lei de Pareto ao pensar na Mega-Sena, ou em qualquer loteria. A lei de Pareto foi criada por Joseph Moses Juran (1904-2008), um consultor de empresas romeno; Joseph escolheu o nome em homenagem ao economista italiano Vilfredo Pareto, que dava o seguinte conselho: ao organizar os dados de uma situação qualquer num gráfico de barras, ponha à esquerda a categoria com maior frequência, e vá assim até a categoria com menor frequência à direita. Isso permite ao administrador visualizar os fatores mais importantes dessa situação. Hoje economistas e administradores resumem a lei de Pareto assim: 20% das causas respondem por 80% das consequências. O mundo inteiro parece ser mais ou menos assim: 20% dos vendedores de uma empresa respondem por 80% do faturamento, 20% das peças de um carro respondem por 80% das falhas mecânicas. Segundo Munir Pé-Quente, 20% das seis dezenas da Mega-Sena são sorteadas em 80% dos jogos. Fazendo as contas: até agora, com 1.371 sorteios, uma ou outra de 12 bolinhas caiu dos globos duplos em 1.096 jogos.

Com base nos seus cálculos e na lei de Pareto, Munir recomenda a seus leitores que evitem apostar nas dezenas com final 9 e 0, pois são as dezenas que saem menos. (Talvez por isso ninguém tenha acertado a sena do concurso 1.371, em que saiu 49.) Também recomenda que evitem jogar nas dezenas 01, 02, 03, 11, 22, 44, 55, 48 e 57, que saem pouco. (Talvez por isso também ninguém tenha acertado o concurso 1.371, em que saiu 03 e 11.) Munir Pé-Quente ainda recomenda a seus leitores que não joguem em dezenas sequenciais (como as dezenas 04 e 05 do concurso 1.370), nem nas que estejam na mesma linha vertical (como as dezenas 49 e 59 do concurso 1.370), nem que apostem em muitas dezenas ímpares ou muitas pares (como no caso do concurso 1.358, em que saíram cinco dezenas ímpares). Outra dica é dividir o volante em quatro quadrantes, e marcar dezenas em todos os quadrantes, pois concursos como o 1.363, em que saíram quatro dezenas no mesmo quadrante, são mais raros.

Entra a numerologia. Nem todo mundo aprecia esse tipo de receita, muito racional, muito calcada em matemática, muito científica; se for esse o caso do leitor que está lendo esta postagem bem agora (e cuja probabilidade de não ser um milionário, como já mostramos no primeiro parágrafo, é alta), bem, há receitas mais… místicas, digamos assim. Num dos websites na internet, alguém classifica a numerologia como “uma técnica interessante, que funciona para aqueles que acreditam nos poderes mágicos dos números”. Mais para a frente, essa mesma pessoa afirma que “os números realmente podem interferir no destino, e podem lhe ajudar a ganhar o sorteio, deixando você rico”. Por fim, ela arremata: “Basta acreditar e tentar.” Os numerólogos trabalham com números de um algarismo, mas, mesmo assim, os internautas escrevem receitas para que qualquer pessoa chegue às dezenas que, no dia do sorteio, cairão dos globos duplos. Basta responder às perguntas:

Qual é o número de letras de seu nome completo?

Qual é o número do dia mais o número do mês de nascimento?

Qual é o número do dia, mais o número do mês, mais o número do ano de nascimento?

Qual é o número de letras do nome completo, mais o número do dia, mais o número do mês de nascimento?

Qual é o número de letras do nome completo, mais o número do dia, mais o numero do mês, mais o número do ano de nascimento?

Qual é o número de letras do nome completo, mais o número do dia em que está fazendo a aposta?

Qual é o número de letras do nome completo, mais o número do dia da semana em que está fazendo a aposta?

Qual é o número da hora, mais o dia da semana em que está fazendo a aposta?

Qual é o número de letras do nome completo, mais o número da hora em que faz a aposta?

Qual é o número de letras do nome, mais o número do dia da semana em que joga?

Qual é o número de letras do nome, mais o número do dia do sorteio?

Em resumo, esses folhetos da internet dizem o seguinte: anote num papel o número do sorteio, as dezenas sorteadas, a data e a hora em que ocorreu o sorteio, etc. Anote tudo o que puder a respeito do sorteio. Depois disso, faça alguns exercícios de numerologia. Não há como errar: o leitor achará as dezenas de qualquer sorteio na sua numerologia. Por exemplo: no dia 13 de março de 2012, a Caixa Econômica Federal sorteou as bolas do concurso 1.371, e saíram as dezenas 03, 04, 08, 11, 47 e 49. Um sujeito com 20 letras no nome, que tenha nascido no dia 20 de julho de 1967, e que tenha feito a aposta à 1 hora da tarde, bem, esse sujeito não tem como não ficar rico. Pois a dezena 03 é o mês em que aconteceu o sorteio. A dezena 04 é o mês mais a hora da aposta. A dezena 08 é o mês do sorteio, mais a hora da aposta, mais o dia da semana (4ª feira). A dezena 11 é o número de letras do nome do meio (8 letras) mais o mês do sorteio. A dezena 47 é o dia do nascimento (20), mais o mês de nascimento (07), mais o número de letras do nome (20). E a dezena 49 é o dia do nascimento, mais o mês do nascimento, mais o dia da aposta no calendário lunar chinês (22 eryue, 4709). Esse exercício mostra, e de uma vez por todas, e de modo indiscutível e irrepreensível, que se o leitor não está milionário, é porque não quer, ou porque não sabe ouvir o sussurro dos números.

Embora paguem menos que a Mega-Sena, as outras loterias da Caixa também resolvem vários problemas financeiros (caso o apostador ganhe), e por isso também são objeto de estudos de matemáticos como Munir Pé-Quente e de outros videntes menos cartesianos. O leitor pode achar na internet um esquema para acertar um terno da Quina, que, no concurso 2.848, pagou 85 reais e 89 centavos — dá para almoçar fora, com uma taça de vinho e com sobremesa. Trata-se de uma matriz, que permite ao jogador apostar em dez dezenas usando apenas sete cartelas. Caso o apostador acerte quatro dezenas entre as dez escolhidas, o esquema promete ao apostador embolsar um terno.

Nessa matriz, o apostador usa letras para representar o lugar em que deve pôr as dezenas escolhidas:

A B C E I

A B F H K

A C E F H

A F G J K

B C E G J

F G H I K

F H I J K

Se as dezenas escolhidas forem 06 (A), 11 (B), 15 (C), 23 (E), 26 (F), 35 (G), 41 (H), 50 (I), 55 (J) e 59 (K), a matriz fica assim:

06   11   15   23   50

06   11   26   41   59

06   15   23   26   41

06   26   35   55   59

11   15   23   35   55

26   35   41   50   59

26   41   50   55   59

Do ponto de vista matemático, o esquema funciona: caso o leitor acerte quatro números entre os dez que escolheu para montar as sete cartelas, vai embolsar um terno (uns 130 reais). O problema é que, com sete cartelas de cinco dezenas, a chance real de embolsar um terno é de 0,8%.



{2}/ A hora e a vez de um pequeno probleminha

Carlos Alberto de Bragança Pereira, chefe do departamento de estatística do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, diz que só existe um pequeno probleminha com esses conselhos, esquemas e receitas da internet: eles não funcionam. A chance de que uma bola qualquer cair dos globos duplos giratórios da Mega-Sena (ou de qualquer outra loteria) é a mesma de qualquer outra bola. Como há um globo para cada dezena, com 60 bolas dentro de cada globo (uma bola para cada dezena), na verdade a chance de sair a bola 31, depois que já saiu a bola 31, é a mesma de qualquer outra bola; e depois disso a chance de sair a bola 31, depois que ela já saiu duas vezes, é a mesma de qualquer outra bola. (Quando sai uma bola repetida de um dos globos, os organizadores do sorteio devolvem a bola para dentro do globo, para não alterar suas propriedades mecânicas.)

Na Mega-Sena, por exemplo, a chance de sair uma bola é 1/60, pois há 60 bolas no globo giratório. A probabilidade é sempre 1/60, não importa quais sejam as dezenas mais sorteadas, nem as menos sorteadas, nem o número de letras no nome do leitor, nem o dia da aposta no calendário lunar chinês. “Como essa bola pode aparecer em qualquer uma das seis posições da sena”, diz Carlos Alberto, “na verdade a chance de que uma bola caia de um dos seis globos duplos é de 6/60.” No próximo globo, há 60 bolas, mas só 59 serão aceitas, visto que uma já saiu no globo anterior. “Neste caso, a chance de sair a segunda dezena é de 1/59, mas como temos cinco posições possíveis nas quais essa segunda dezena vai sair, a chance verdadeira é 5/59.” Colocando isso tudo em linguagem matemática e fazendo as contas, a chance de que saia determinado conjunto de seis dezenas é de:

Essa é mais ou menos a mesma chance de jogar uma moeda comum para cima 26 vezes e tirar cara 26 vezes seguidas.

Outro professor do IME-USP, Marcos Nascimento Magalhães, também usa o pensamento cartesiano para desmontar outro mito da internet. Tudo leva a crer que os globos duplos e as bolas numeradas são fabricados com esmero, e que o Inmetro fiscaliza todo o material com frequência e com cuidado. Se for assim, diz Marcos, conforme a Caixa realize mais e mais concursos, e conforme o número de concursos tenda ao infinito, essa coisa de dezenas que mais saem e dezenas que menos saem vai desaparecer. Todas elas vão sair igualmente 1/60 vezes o número de concursos. Isso significa que, quando o número de concursos tender ao infinito, muito provavelmente já terão sido sorteadas as dezenas 01, 02, 03, 04, 05 e 06, assim como as dezenas 01, 11, 21, 31, 41 e 51, assim como a mais legal de todas, 01, 10, 25, 26, 51 e 60, que, no volante da Mega-Sena, forma uma espécie de X. Marcos sugere uma analogia com o jogo de cara e coroa. Se a moeda for jogada dez vezes para o alto, é bem possível que saia cara 7 vezes e coroa 3 vezes, e também é possível que saia coroa 8 vezes e cara 2 vezes. Mas, se a moeda for perfeita e o número de jogadas para cima tender ao infinito, o número de caras e o de coroas tenderá a 50% cada um.

Marcos também “desmitifica” uma crença comum entre leigos sonhadores: a de que é mais difícil sair um jogo com dezenas em sequência do que um jogo com dezenas bem misturadas. Imagine o leitor que, num determinado concurso, a primeira bola a sair seja aquela com a dezena 25. “E aí você pensa: bem, é uma dezena só, a 26, contra todas as outras 58 dezenas do globo; logo, a chance de sair 25 e 26 é menor que a chance de sair 25 e qualquer outra dezena.” Contudo, Marcos diz que a lógica do sorteio não é essa. “Os seis números são sorteados fora de ordem, e só então colocados em sequência. Sendo assim, a probabilidade de sair uma sena sequencial é a mesma de sair qualquer outra sena.”

Para deixar seu raciocínio mais claro, Marcos pede ao leitor que pense no bairro do Itaim Bibi, um bairro rico de São Paulo, onde moram mais pessoas brancas que negras. “Se você for sortear uma pessoa qualquer do bairro, a chance de que sorteie uma pessoa branca é maior. Mas qual é a probabilidade de você sortear uma pessoa específica, o Fulano, que é branco, ou então o Sicrano, que é negro? É a mesma.” Neste caso, a chance de sortear uma pessoa específica é de 1 dividido pelo número de moradores do bairro.

Voltando à Mega-Sena, o leitor pode fazer uma lista com todas as 50.063.860 combinações possíveis. Se fizer isso, verá que o número total de combinações em que há dezenas em sequência é menor que o número de combinações com dezenas misturadas. Esse raciocínio leva o leigo a achar que as senas só com dezenas em sequência são em número muito menor. “Contudo, quanto aos seis números que caem dos globos duplos, cada um deles tem a mesma chance de sair. É a mesma história do Itaim Bibi. Isso me leva a dizer que uma sena com dezenas em sequência tem a mesma probabilidade de sair que uma sena qualquer.”

Cada pessoa cria sua própria teoria a respeito das coisas imprevisíveis. No livro O Andar do Bêbado, Leonard Mlodinov cita o espanhol que uma vez ganhou na loteria nacional da Espanha. Ele comprou um bilhete terminado em 48, e ficou rico. Numa entrevista, explicou seu feito aos jornalistas: “Sonhei com o número 7 por 7 noites consecutivas, e 7 vezes 7 é 48.” Leonard explica assim o que aconteceu: “Todos nós criamos um olhar próprio sobre o mundo e o empregamos para filtrar e processar nossas percepções, extraindo significados do oceano de dados que nos inunda diariamente.” Se o sujeito não sabe tabuada direito, o modo como tira significado do que lhe acontece pode, por pura sorte, levá-lo à riqueza.

O professor Flavio Wagner Rodrigues (já falecido), também do IME-USP, uma vez escreveu um artigo sobre a Mega-Sena, e explicou por que talvez valha a pena cair “nessa pequena fraqueza de arriscar de vez em quando”, recorrendo ou não aos truques de Munir Pé-Quente ou da numerologia: “Se você pode, sem nenhum sacrifício, dispor de 10 reais por semana e decidir guardá-los, você terá, em valores não corrigidos, 520 reais após um ano e consequentemente 10.400 reais após vinte anos”, escreveu Flavio. “Com esse procedimento, a probabilidade de que você fique rico é zero. Se você jogar 10 reais por semana, a probabilidade de que você fique rico é quase zero, mas não é zero.” {FIM}



Observações adicionais:

1. As entrevistas ficaram a cargo do jornalista Evanildo da Silveira.

2. O número de milionários no Brasil caiu para mais ou menos 117.000 pessoas, segundo a Associação Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiro e de Capitais (Anbima). Para a Anbima, milionário é quem tem pelo menos 1 milhão de reais em aplicações financeiras. O critério internacional é diferente: milionário é quem tem pelo menos 1 milhão de dólares.

3. Mais recentemente, em vários sorteios da Mega-Sena, a Caixa tem usado seis globos, um para cada bola sorteada; cada globo contém sessenta bolas, cada uma com exatamente uma das dezenas de 01 a 60.

4. Para deixar brutalmente claro: a seção 1 contém ironia, mas a seção 2 é conversa séria.

Pode rezar para a deusa Fortuna. Funciona


No dia a dia, inclusive no dia a dia de gente com boa educação formal, muitos chegam a conclusões absurdas sem perceber que são absurdas. Isso porque não levam em conta a ideia de regressão à média.


{1}/ A felicidade de fortunoso

Existe um jeito de montar um experimento científico para provar duas afirmações extraordinárias: que rezar à deusa Fortuna por um doente funciona, mesmo que o doente não saiba que estão rezando por ele; e que Fortuna, tão mal falada pelos outros deuses em razão de sua propensão a atrocidades, na verdade dá prioridade aos que estão mais gravemente doentes. Basta que o estudante (vou chamá-lo de Tjo) proceda assim:

1. Ele sorteia 100 pessoas entre as que entraram ontem no pronto-socorro dos hospitais da cidade. Esse é o grupo 1.

2. Depois, sorteia quaisquer outras 100 pessoas da cidade. Esse é o grupo 2.

3. Pede a um grupo de religiosos que reze à Fortuna e lhe peça que interceda pelos dois grupos junto a Júpiter, o deus mais poderoso do panteão romano.

4. Espera uma semana, e depois investiga o que aconteceu com cada membro dos dois grupos.

Sabe o que deve acontecer, muito provavelmente? Muitos dos que há uma semana estavam mal no pronto-socorro, hoje já estão bem melhor; quanto aos membros do grupo 2, estão mais ou menos como estavam. O experimento fica interessante quando Tjo compara um grupo com o outro. Os dados deixam bem claro que Fortuna se compadeceu dos doentes, e deve ter sido bastante insistente ao interceder por eles junto a Júpiter. Conclusão? Rezar para Fortuna dá resultados, e se o fortunoso reza por algum amigo ou parente numa situação difícil, é bem provável que Fortuna se apresse em ajudá-lo.

A deusa Fortuna na visão do artista e matemático alemão Albrecht Dürer (1471-1528). Os romanos morriam de medo dela, e com frequência a chamavam de “a atroz Fortuna”; achavam até que gente muito sortuda tinha achado um jeito de fazer sexo com ela. Naquela época, muitos tinham a receita certa para incentivar a benevolência de Fortuna: cultivar virtudes como a sabedoria, a coragem, a justiça, a temperança.

Mas Tjo já ouviu falar de regressão à média. Sabe que, diante de um caso desses, pode tanto ter testemunhado um fenômeno extraordinário (rezar para Fortuna funciona) quanto ter testemunhado um simples caso de regressão à média. É uma ideia da estatística. Tjo imagina um conjunto de medições de alguma variável aleatória — por exemplo, o estado de saúde de uma pessoa, classificado de 0 (morto) a 10 (saúde perfeita). Não há escapatória: esse conjunto tem de ter uma nota média (algo que Tjo pôde provar com facilidade; bastou excluir a existência de conjuntos vazios). Ao escolher uma medição a esmo dentro do conjunto, se ela estiver longe da média, então é mais provável que improvável que a próxima escolha esteja mais perto da média.

É possível afirmar que o estudante Tjo é uma exceção, pois conhece a ideia de regressão à média. Boa parte das pessoas comuns não a conhece, assim como boa parte dos estudantes de matemática, e não só no Brasil — especialistas em estatística reclamam disso no mundo inteiro. Giovana Oliveira Silva, chefe do departamento de estatística da Universidade Federal da Bahia, ao conversar sobre o modo como dá aulas, sem querer revela um dos motivos pelos quais poucos ouvem falar de regressão à média: os próprios professores não a mencionam. “Que eu me lembre, acho que nunca usei em sala de aula a expressão regressão à média”, diz Giovana. “Costumo explicar bem a ideia de regressão linear simples [veja a explicação mais abaixo], que contém essa ideia de regressão à média. Até fui conversar com outros professores aqui do departamento, e perguntei se eles usam essa expressão, mas parece que ela não faz parte do costume, até porque não aparece na grade curricular.”

Gauss Moutinho Cordeiro, professor na Universidade Federal de Pernambuco, às vezes nota um jornalista pasmo com algo que não deveria provocar pasmo nenhum — por exemplo, pasmo porque o filho de Pelé não é um jogador tão talentoso quanto o pai. “O Pelé é um ponto longe da curva”, diz Gauss. “Mesmo que Pelé tivesse tido 50 filhos, provavelmente nenhum seria tão bom jogador quanto ele foi.” Outra história engraçada de ponto fora da curva é a do polvo Paul, que, durante a copa do mundo na África do Sul (2010), previu os vitoriosos em 11 de 13 jogos. Giovana explica: “É claro que isso foi um acaso. Mas, quando um acaso desses acontece, vejo que as pessoas gostariam que continuasse acontecendo. Talvez tenhamos dificuldade de aceitar que a vida é aleatória.” Depois do polvo Paul, o polvo longe da média, os polvos regressaram à média e não adivinham mais nada. Um país que mal conhece a ideia de regressão à média não produz apenas consequências cômicas — produz também algumas consequências de tom mais sombrio.

Curva reta. Antes de continuar, Tjo acha que é hora de entender melhor essa ideia de regressão. O que é regressão?

Tjo usa a palavra “regressão” para dar nome a um modelo matemático, assim como usa “oscilação harmônica simples” para dar nome a outro ou “teorema de Pitágoras” para dar nome a outro ainda. Pode encarar a palavra “regressão” como o rótulo que cola numa caixa, dentro da qual estão várias fórmulas e as regras pelas quais manuseá-las e interpretá-las. Para que serve uma regressão?

Com ela, descreve o jeito como o valor médio de uma variável aleatória depende de outra variável (no singular) ou de outras variáveis (no plural).

Tjo passa a estudar um exemplo, com o qual planeja deixar esses conceitos mais palpáveis. Imagina: e se ficasse num consultório, vestido de branco e com estetoscópio no pescoço, e pela porta do consultório entrassem mil crianças, uma de cada vez? A cada criança, Tjo mede sua altura e seu peso, e também pergunta sua idade; anota tais informações numa planilha eletrônica, junto com o sexo. As crianças não correspondem a nenhum tipo de padrão — umas são mais novas e outras mais velhas, umas são negras e outras brancas, umas estão gordas e outras magras. Nesse caso, peso, altura, idade e sexo são variáveis aleatórias, pois, antes que uma criança entre pela porta, Tjo não pode prever que tipo de criança entrará.

Enquanto trabalha, Tjo pensa num problema: será que conseguiria usar as informações das mil crianças para estimar o peso médio de uma criança se souber apenas sua altura? Ou então será que conseguiria estimar o peso se usasse tanto a altura quanto a idade e o sexo? Sim, conseguiria, se usasse os dados das mil crianças para montar uma regressão. Daí, sabendo que determinada criança tem 10 anos e mede 139 centímetros de altura, usa a regressão recém-montada e tem condições de fazer uma aposta: seu peso deve estar perto do valor médio, que, neste caso, é de 32 quilogramas. (Não significa que o peso real seja esse mesmo, mas sim que o peso médio para crianças de 139 centímetros de altura e 10 anos é esse, de 32 quilogramas.)

Depois desse preâmbulo, Tjo já se sente em condições de estudar uma definição mais formal de regressão. Primeiro, estuda o significado do símbolo E(Y | x); ele significa: “Esse é o valor médio da variável aleatória Y, visto que obtive o valor x da variável X, que é outra variável qualquer, mas de algum modo associada à variável Y.” Pode ainda ler E(Y | x) assim: “Eis o valor médio de Y condicionado ao valor x de X”.

(Aqui, Tjo está usando letras maiúsculas para indicar a variável, pois uma variável é um conjunto, dentro do qual existem muitos valores distintos. Com as letras minúsculas, está indicando um valor específico da variável. Por exemplo, perguntou a idade de três crianças e guardou as informações no conjunto I = {12, 6, 8}, de modo que i1 = 12, i2 = 6 e i3 = 8. Essa é uma prática comum na estatística.)

Bem, quando Tjo escreve E(Y | x), está dizendo que, quando o valor x varia, E(Y | x) também varia; sendo assim, E(Y | x) é uma função de x. À moda dos especialistas, pode chamar essa função de “regressão de Y em função de x”.

Mais um exemplo: se Tjo já obteve a altura A, o peso P e a idade I de umas mil crianças, pode construir uma regressão do peso em função da idade, que vai denotar como E(P | i), e daí, ao inserir a idade i nas fórmulas, obterá o peso médio das crianças daquela idade. Não significa que obterá o peso da criança em questão, aquela que está bem diante dele limpando os dedos sujos de chocolate na cadeira, mas o peso médio de todas as crianças com aquela idade.

E quanto às fórmulas?

Tjo estuda o caso mais simples de todos, o da regressão linear, no qual o modelo de regressão é uma linha reta. (Nesse caso, a curva é uma reta.)

Como os especialistas chamam a variável aleatória Y? Fuçando na internet, Tjo acha vários nomes: variável de resposta, variável dependente, variável de efeito, regressando. E como chamam o valor x da variável X? Variável explicativa, variável fixa, variável independente, variável predicada (um predicado é uma característica inerente a alguma coisa), variável previdente, variável causal.

Quanto aos parâmetros β0 e β1, Tjo descobriu que pode chamá-los de “coeficientes da regressão”. Como são valores constantes, essa versão mais simples de regressão linear é uma reta (isso se x varia continuamente, isto é, se x não varia em saltos). Em geral, são desconhecidos; significa que Tjo deve partir das medições que tem em mãos e descobrir o valor desses coeficientes. Como faz isso? Se fizer as contas à mão (haja paciência!), recorre à teoria das matrizes; mas pode inserir os pontos na memória de um computador, equipado com software especializado em estatística, que o software devolve o valor mais provável de β0 e β1.

“Devolve o valor de β0 e β1 ou devolve o valor mais provável de β0 e β1?”, Tjo pergunta. Depois de uma pesquisa, descobre que, conforme as circunstâncias, só pode realmente saber o valor exato de β0 e β1 se obtiver a altura, o peso, a idade, e o sexo de todas as crianças do Brasil (se seu interesse for o Brasil), ou de todas as crianças do mundo (se seu interesse for o mundo). Só no Brasil, são umas 48 milhões de crianças; no mundo, são 1 bilhão e 850 milhões. Então, em circunstâncias práticas, Tjo vai sempre procurar o valor mais provável de β0 e β1 para aquelas circunstâncias.

Agora, Tjo examina um caso bem comum de regressão linear, pois esse caso todo especialista em estatística conhece de cor e salteado. (É o caso que a professora Giovana procura sempre explicar bem.) Nesse caso comum, Tjo assume que os valores de Y seguem uma distribuição normal, com variância σ2 constante, mas desconhecida (σ é o símbolo de desvio padrão; desvio padrão ao quadrado é variância); assume também que tal variância não depende dos valores de X. Se obtiver uma amostra de n pares independentes de valores de X e de Y, isto é, se obtiver uma amostra de n pares ordenados (xi, yi), nos quais i é um inteiro positivo que vai de 1 até n, daí pode usar a teoria sobre regressões para calcular o valor b0 e b1de β0 e β1; b0 e b1são os valores mais prováveis de β0 e β1nessas circunstâncias, e Tjo deve chamá-los pelo nome técnico de “estimadores de máxima verossimilhança”.

Tjo então pressupõe que Y segue a distribuição normal, e aceita todas as outras pressuposições como corretas; o próximo passo é calcular os valores de b0 e b1que mais se aproximam de β0 e β1. Para isso, usa o método dos mínimos quadrados, que Gauss usou em 1801 para determinar a órbita de Ceres (um dos asteroides no cinturão de asteroides entre Marte e Júpiter). Na prática, o que Tjo tem de fazer é minimizar a expressão a seguir.

Ao fazer isso, vai descobrir os valores de b0 e b1, que, no fim das muitas contas, são:

Bate os olhos em expressões com o sinal de somatório e já sabe: não são meras expressões matemáticas, pois beiram uma complicada receita de bolo. (Em outras palavras, têm parentesco forte com os algoritmos.) Nos casos acima, o xis e o ípsilon com a barrinha em cima significam “a média aritmética de x” e “a média aritmética de y”. Apenas para pegar um senso do que está acontecendo, Tjo traduz o que significa a expressão de b1:

Tjo descobre ainda que pode estender a ideia de regressão de várias maneiras, incluindo a regressão linear múltipla, na qual há p > 1 variáveis explicativas x1, x2, x3, …, xp, e além disso:

Com a expressão (1), está olhando o valor médio esperado de Y como sendo função dos parâmetros βi; assim, (1) é função linear desses parâmetros; Tjo pode usar as palavras “modelo de regressão linear” mesmo no caso de modelos que não sejam lineares em xi. Por exemplo, se monta uma expressão na qual xi = xi, daí a função de regressão (1) vira na verdade um polinômio de grau p.

Com os estudos, Tjo descobriu que, se não puder usar a pressuposição de que os valores de Y variam conforme a distribuição normal, e de que sua variância é constante, daí tem de trabalhar muito mais para montar um modelo de regressão confiável. Em vários casos reais, montar um bom modelo de regressão às vezes leva uns poucos meses, e às vezes ainda uns poucos anos. Por isso, em vários casos reais, como o das mil crianças, o analista simplesmente presume que o peso varia conforme a distribuição normal (OK, é uma presunção correta) e que a variância do peso não tem correlação com a altura, a idade, e o sexo; Tjo pode questionar a verdade dessa última pressuposição, mas, se quiser contas mais simples, faz melhor se a aceita.

Olhando o gráfico 1 (abaixo), que mostra uma regressão linear de uma variável cuja distribuição é normal, Tjo entende o que toda essa conversa de regressão tem a ver com o fenômeno da regressão à média (o fenômeno que engana tanta gente): se é possível passar uma linha reta que fica mais perto do que mais longe da maioria dos pares ordenados (xi, yi), então é porque a maioria dos pares ordenados (xi, yi) está mais perto que mais longe dessa reta, isto é, se num momento Tjo está lidando com um ponto longe da curva, no momento seguinte é bem provável que vá lidar com um ponto mais perto da curva. “Se não fosse assim”, escreveu Tjo numa folhas soltas de papel A4, “seria impossível desenhar uma reta com tais características!”

Gráfico 1

A aparência da regressão linear da variável Y (cujos valores estão no eixo das ordenadas) em função do valor da variável X (cujos valores estão no eixo das abscissas). Neste caso, Y segue a distribuição normal. (Crédito do gráfico: Sewaqu/ Wikipedia.)

Jogador de dardos. Tjo entra no website Random.org e providencia três conjuntos de números aleatórios, C, D, e F — cada um deles contém 20 números, e todos seguem a distribuição normal. (São números aleatórios de verdade, e não pseudoaleatórios.) A única diferença entre eles é a média e o desvio padrão. Com os números do Random, organiza a tabela 1.

TABELA 1

Nome do conjunto

Características dos números gerados

Números

C

Média: 10. Desvio padrão: 4.

{12 | 11 | 12 | 9,8 | 7 | 16 | 7,4 | 12 | 4,1 | 7,2 | 12 | 17 | 7,1 | 0,98 | 13 | 31 | 7,3 | 6,2 | 19 | 9,4}

D

Média: 12. Desvio padrão: 6.

{11 | 9,6 | 18 | 12 | 26 | 14 | 12 | 19 | 13 | 21 | 22 | 15 | 9,4 | 13 | 20 | 12 | 13 | 17 | 13 | 16}

F

Média: 8. Desvio padrão: 3

{3,7 | 8 | 7,9 | 6,1 | 8,1 | 5,9 | 3 | 9,6 | 12 | 8,9 | 8,4 | 11 | 6 | 9,7 | 11 | 8,6 | 9,4 | 10 | 11 | 9,2}

Lembrete: pode chamar os elementos do conjunto C, por exemplo, de {c1, c2, …, c20}.

Nota. Os números da tabela 1 mostram os valores duma variável aleatória, mas não mostram nenhuma variável que possa ser usada como variável explicativa numa regressão linear simples. Então, se o estudante olha a tabela com a fórmula E(Y | x) = b0 + b1x na cabeça, deve notar que a tabela mostra apenas os valores de Y.

Feito isso, imagina uma história para esses números. São os números referentes a um jogador de dardos; são as medidas, em centímetros, do centro do alvo até o ponto no qual o dardo se fincou. Sendo assim, quanto menor o número, melhor: o dardo ficou mais perto do alvo; da mesma forma, quanto maior o número, pior. E daí Tjo usa as informações dos professores Gauss e Giovana para olhar essas três coleções de números como se fosse um especialista e também como se fosse um boboca.

• O número c14 = 0,98 é extraordinário: o dardo se fincou a menos de 1 centímetro do alvo! Contudo, logo depois dele, vem um número mais perto da média. Da mesma forma, o número c19 = 19 é muito alto, mas logo depois dele vem um número perto da média. Isso também acontece bem claramente no conjunto F. Depois de números muito baixos, como f1 e f7, ou de números mais altos, como f9 e f15, aparecem números mais perto da média. Giovana explica: “O mesmo vale para audiências de novelas, que têm picos. Muitos desses picos são claramente exceção, e não tendência, pois depois deles a audiência tende a voltar à média. O mesmo vale para um filho muito alto, cujos pais são baixos — os outros irmãos tendem a ficar com altura mais próxima dos pais. O mesmo vale para as notas de um aluno; às vezes, uma nota fica muito alta ou muito baixa, mas é um acaso imprevisível.”

• Para quem acompanha o jogador de dardos, por exemplo um empresário ou um apostador, é essencial guardar os números e analisá-los de tempos em tempos. Isso porque um número excepcional às vezes não é apenas acaso — mas o primeiro sinal de que ocorreu, ou está ocorrendo, uma mudança na média. Olhando os três conjuntos, o estudante Tjo imagina a seguinte história: havia esse jogador de dardos, que era até razoável, pois seus lançamentos ficavam a 10 centímetros do alvo com uma boa consistência (conjunto C). Depois, esse jogador se associou a um treinador, e começou a estudar uma técnica nova de lançamento; enquanto assimilava a técnica, seus lançamentos ficaram mais longe do alvo, e as distâncias variaram mais (conjunto D). Depois de dominar a técnica, agora o jogador lança os dados mais perto do alvo, e com ótima consistência (conjunto F). Só que, para quem olha os dados sem saber que essa história está em curso (como ocorre em muitas situações reais), não consegue ver direito a transição do conjunto C para o D, pois os quatro primeiros números do D são consistentes com o histórico de C. O mesmo quanto à transição do conjunto D para o F, com aquele f1 = 3,7 (que ótimo!) e aquele f2 = 8 (não se pode elogiar…): só fica claro que a média mudou de patamar depois de vários lançamentos. “Temos de acompanhar os números que nos interessam”, diz Giovana. “Só assim podemos dizer: será que esse número excepcional foi fruto do acaso, e o próximo número tende a regressar para a média, ou será que algo está melhorando ou piorando substancialmente?”

• Tjo desconfia dos números no conjunto D. “Eles não parecem retirados de um conjunto cuja média é 12.” Pega os vinte números de D e faz as contas: a média é 15,3; a mediana é 13,5; a moda é 13 e o desvio padrão da amostra é 4,47. Com isso, vê como se manifesta na prática algo que os especialistas vivem dizendo: uma amostra pequena quase nunca revela bem a estrutura matemática da qual surgiu, ainda mais se o desvio padrão dessa estrutura é grande. Os números do conjunto D seguem a distribuição normal e sua média é 12, mas Tjo só poderia ver isso com clareza se tivesse pedido ao Random.org, por exemplo, uns cinquenta números. Entende assim o que a professora Giovana quis dizer: em situações reais, deve colecionar os números que julga importantes, pois só assim terá condições de construir um modelo matemático mais condizente com a realidade.

• Se Tjo tivesse elogiado o jogador depois de c14 = 0,98 centímetro, e logo em seguida o jogador conseguisse 13 e 31, teria o direito de pensar: “Não se pode elogiar. Basta um elogio e o cabra já fica folgado.” O mesmo vale para números como c18 = 6,2 e f7 = 3: depois de um número muito bom, vêm números piores, e isso parece assim: basta um elogio e o cabra se esbalda na incúria. Se Tjo tivesse dado uma baita bronca no jogador depois de c6 = 16, c12 = 17, c16 = 31, d5 = 26, d11 = 22 e f9 = 12, o jogador teria logo em seguida obtido números melhores, e seria natural se Tjo concluísse: “Tenho de ser duro com esse cabra, e tenho de ficar em cima, senão ele pega uma garrafinha de água fresca e se acomoda numa sombra.”

O psicólogo israelense Daniel Kahneman, especialista em teoria das decisões, relembra a primeira vez que notou esse fenômeno humano. Ele contava a um grupo de militares israelenses, com grande entusiasmo, alguns resultados que havia obtido ao treinar pássaros:

“Tive a mais satisfatória experiência de eureca da minha carreira quando tentava ensinar instrutores de voo. Eu queria passar a ideia de que, para estimular o aprendizado de algo difícil, o elogio funciona melhor que o castigo. Quando terminei meu discurso entusiasmado, um dos mais experientes instrutores na audiência levantou a mão e fez um breve discurso. Começou reconhecendo que reforço positivo talvez funcione com pássaros, mas seguiu afirmando que não acreditava em reforço positivo no treinamento de pilotos de caça. Ele disse: ‘Em muitas ocasiões, elogiei um cadete pela execução perfeita de alguma manobra acrobática, mas em geral, quando ele tentava de novo, fazia pior. Por outro lado, com frequência eu grito na cara de um cadete por causa duma manobra pessimamente executada, e da próxima vez ele a executa melhor. Então, por favor, não me diga que reforço positivo funciona e que reforço negativo não funciona — pois a verdade é justamente o contrário!’ Esse foi um momento de grande alegria, pois entendi uma verdade importante sobre o mundo: visto que tendemos a premiar os outros quando vão bem e a castigá-los quando vão mal, e visto que existe a regressão à média, faz parte da condição humana ser estatisticamente punido por premiar os outros, e estatisticamente premiado por puni-los. Na mesma hora, bolei uma demonstração desse fato: cada membro da audiência teve de jogar duas moedas contra um alvo atrás de si, sem virar a cabeça para olhar, e sem nenhuma ajuda de ninguém. Medimos a distância da moeda ao alvo e constatamos — os que foram melhor da primeira vez, foram pior da segunda, e os que foram pior da primeira vez, foram melhor da segunda. Porém, eu sabia que essa demonstração não alteraria os efeitos de uma vida inteira exposto aos efeitos perversos da sorte.”

Depois de trabalhar nesse assunto por muitos anos, em 2002 Kahneman ganhou o prêmio Nobel de economia. Gauss Cordeiro diz que hoje não há, em tese, nenhum empecilho para que mais gente tome decisões levando em conta a ideia de regressão. “Até a planilha Excel faz regressão sozinha.” (É verdade. Se o estudante Tjo coloca numa coluna uma série de medidas, como o peso de cada criança, e na coluna ao lado coloca a altura de cada uma, o Excel gera automaticamente a regressão linear com a qual Tjo pode calcular o valor médio do peso em função da altura, por exemplo. Daí, se para uma criança específica o peso for muito maior ou muito menor que o valor médio esperado, é bem provável que, pela regressão à média, a próxima criança esteja com o peso mais perto da média.) Mesmo assim, diz Gauss, poucos fazem regressões e poucos conhecem a ideia de regressão à média, e isso vale para empresas e instituições do governo. Talvez o assunto seja novo. “Quando criamos a Associação Brasileira de Estatística, em 1984”, diz Gauss, “a Royal Statistical Society, no Reino Unido, estava fazendo 150 anos.”

Agora, tanto Gauss quanto Giovana sugerem um conselho importante: sim, existe a regressão à média; mas não, Fortuna não recompensa ninguém. Se Tjo topou com um número longe da média, pode apostar num número mais perto da média da próxima vez, mas não significa que ganhará a aposta. A regressão à média não é, de nenhuma forma, um tipo de compensação. Tjo pode ver isso nos números da tabela 1. Depois de c11 = 12, que é mais alto que a média 10, veio c12 = 17, que é mais alto ainda; depois de c15 = 13, veio c16 = 31! No caso de números que seguem uma distribuição bem comportada, como a normal, quase sempre Fortuna manda um número mais perto da média depois de mandar um mais longe. Mas Fortuna não tem essa obrigação, e Tjo não deve esperar dela nenhuma consideração, por mais que reze, pois é famosa pelo temperamento difícil. {}



{2}/ Um pouco sobre a distribuição normal

Num resumo super-hiper-resumido, uma função de distribuição de probabilidade é uma fórmula matemática com a qual o estudante pode calcular a probabilidade de que determinada variável assuma determinado valor. A distribuição normal é uma dessas funções; é muito útil tanto na matemática pura quanto na aplicada. Suas principais características são: ela é simétrica em relação à linha vertical x = μ (sendo μ a média do conjunto), ou seja, metade dos valores está abaixo da média e metade, acima; e 68% dos valores estão a um desvio padrão ou menos de distância da média μ.

A distribuição normal com vários parâmetros distintos. Crédito da ilustração: Inductiveload/ Wikipedia.

{FIM}


1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 39, abril de 2014, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião.

2. As entrevistas ficaram a cargo do jornalista Francisco Bicudo.

3. Ao longo da reportagem toda, usei a palavra “aleatório” para dizer “algo que você só pode descrever corretamente caso recorra aos axiomas de Kolmogorov”. Nem todo especialista usa a palavra “aleatório” dessa maneira; em particular, para vários deles, “aleatório” se refere a “fenômenos distintos cuja probabilidade de ocorrer é idêntica”. A palavra-chave é “idêntica”. Assim, se você joga um dado, e a probabilidade de sair qualquer uma das faces para cima é 1/6, pode dizer que esse dado é um gerador de números aleatórios. Mas, se a probabilidade de sair uma das faces é mais alta ou mais baixa que a probabilidade de qualquer uma das outras faces, de acordo com tais especialistas, você já não pode mais considerar esse dado como um gerador de números aleatórios. Ele é um gerador de números não aleatórios, porém estocásticos, que, em todo caso, você só pode descrever adequadamente caso recorra aos axiomas de Kolmogorov.

Há quantos anos um papiro existe?

É uma pergunta comum entre arqueólogos especializados na história do Egito — na verdade, é uma pergunta comum na vida do arqueólogo, do biólogo, do químico, do meteorologista, do físico… Todos eles recorrem ao método da datação por carbono 14.



{1}/ Um desafio ao leitor

Cientistas descobriram que um fragmento de papiro continha 74% da massa de carbono 14 (14C) que ele conteria se tivesse sido fabricado hoje, com matéria-prima similar àquela usada pelos antigos. Estime a idade do papiro, sabendo que a meia-vida do carbono 14 é de 5.730 anos ± 40 anos.

Dica: você terá de ler sobre crescimento e decaimento exponencial. O texto da seção a seguir contém um pouco de teoria e a resolução do desafio.



{2}/ A quem interessa contar isótopos?

Para visitar o professor Luiz Carlos Ruiz Pessenda no campus da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (Esalq), em Piracicaba (SP), tudo o que o visitante tem a fazer é seguir as plaquinhas com uma letra e dois algarismos: C14. Elas levam a uma sala térrea num dos predinhos do Centro de Energia Nuclear na Agricultura, e na porta da sala há uma placa: Laboratório de Carbono 14. Todo ano, muita gente segue essas plaquinhas pela primeira vez. “Comecei a notar que, nos meus cursos de pós-graduação, 50% dos alunos vinham de outras regiões do Brasil”, diz Pessenda. “Em alguns cursos, o porcentual chegava a 80%.” Se havia gente disposta a sair de São Luiz do Maranhão para fazer um curso em Piracicaba, deveria haver mais gente ainda com a mesma disposição, mas sem o tempo ou o dinheiro. Pessenda teve a ideia de montar minicursos sobre datação por 14C, de uma semana, que já ministrou em várias cidades do Brasil e da Argentina — tais minicursos sempre lotam. “Há muito interesse no tema.”

A quem interessa contar o número de isótopos radioativos de carbono numa amostra qualquer?

Quem precisa saber há quanto tempo as preguiças gigantes andavam pela Amazônia. Quem precisa saber há quantas décadas determinado grão de pólen existe, há quantos milênios determinada camada do solo estava na superfície (e não a 2 metros debaixo da superfície), há quantos milênios determinado trecho de montanha estava coberto de mar, pois em alguns lugares o mar de antigamente de fato virou sertão… Pessenda às vezes leva um visitante para ver uma geladeira cheia de saquinhos de plástico fechados a vácuo e de tubos compridos: alguns contêm terra, outros, pedaços de carvão, outros, uns dentes. “Aqui no laboratório, temos fila de espera de seis meses.”

Para resolver o desafio desta edição e apreciar o papel social de cientistas como Pessenda, um estudante (vou chamá-lo de WfX) tentou primeiro compreender a ideia de crescimento e decaimento exponencial.

Descobriu que há muitas situações, tanto na matemática quanto nas ciências, nas quais a taxa de crescimento de uma função é proporcional ao valor da própria função. Se a função cresce, a taxa de crescimento cresce proporcionalmente, e esse processo, repetido o tempo todo, produz crescimento exponencial. WfX começou com um exemplo: a função “número de brasileiros por ano”. Um geógrafo diz que a taxa de crescimento populacional no Brasil é de 0,941% ao ano: bem, o que está dizendo? Que num ano a população fica uns 3 milhões de brasileiros maior. No ano seguinte, tais brasileiros entram na conta, e a população deve crescer 0,941% sobre uma quantidade maior de gente — quanto mais brasileiros, mais bebês, e quanto mais bebês, mais brasileiros.

WfX já sabia que podia escrever a quantidade y em função do tempo t assim: y = f(t). A taxa de crescimento é uma derivada, que pode expressar como dy/dt ou como y’ = f’(t). Ora, como então deveria expressar uma taxa de crescimento que é proporcional ao valor da própria função? Depois da pesquisa, escreveu isso de três formas distintas, todas equivalentes, só para se habituar às várias formas pelas quais essa ideia aparece:

Seus textos lhe diziam que isso é uma equação diferencial, isto é, uma equação na qual as variáveis são uma função (y) e sua derivada (y’). Especialistas também se referem a essa equação como lei de crescimento natural (se k > 0) ou lei de decaimento natural (se k < 0). É uma lei comum na natureza, e por isso descreve bem o crescimento de bactérias (cuja taxa de crescimento num determinado momento é proporcional à quantidade de bactérias), assim como o decaimento radioativo. A taxa de decaimento radioativo é proporcional à massa: quanto mais massa, maior a taxa de decaimento; quanto menos massa, menor a taxa de decaimento.

Visto que WfX já sabia que a derivada y’ da função y = ex é y’ = ex (quem nunca viu essa informação em nenhum lugar?), achou fácil achar uma solução para a equação diferencial. Depois de rabiscar um pouco, chegou à equação a seguir:

Feito isso, escreveu uma consequência lógica:

Aqui, escreveu a derivada de y de três formas distintas e por último, dentro dos colchetes, deixou claro de qual função deveria achar a derivada. Às contas, nas quais aplicou a regra da multiplicação por constante e a regra da cadeia:

Agora, qual o valor dessa função quando t = 0? WfX se perguntou isso porque já reparou que os matemáticos sempre perguntam isso quando estudam uma função (querem saber em que ponto a função intercepta o eixo das ordenadas).

Então, C é o valor da função y = f(t) quando t = 0. Com essa descoberta, reescreve a solução para a equação diferencial.

Os matemáticos já puderam provar que a linha acima não é apenas uma implicação, mas uma relação de equivalência, isto é, que a afirmação antecedente (à esquerda) e a consequente (à direita) podem trocar de lugar, visto que não existe mundo possível no qual uma seja falsa e a outra, verdadeira. Ao descobrir isso, WfX reescreve sua solução:

Com essa linha, quis dizer que a função y = Cekt é a única solução possível à equação diferencial — não existem outras. Quais são as consequências? Se k > 0, dy/dt > 0 e a função cresce exponencialmente. (Note que C = f(0) é sempre maior que zero; não existe “crescimento natural” que comece do nada.) Se k < 0, dy/dy < 0 e a função decai exponencialmente. É o caso do decaimento da massa m de uma substância radioativa em função do tempo t. Com pequenas modificações na função acima, WfX colocou essa função no papel:

Nessa fórmula, m0 é a massa da substância quando t = 0 e k é uma constante negativa. Contudo, quando cientistas conversam sobre substâncias radioativas, raramente mencionam uma versão completa da fórmula. Ao contrário, quase sempre mencionam m(t) para algum valor de t ou, como no texto do desafio, mencionam m(t) como sendo uma porcentagem de m0 e, em seguida, citam uma informação que todo cientista entende: a meia-vida da substância em questão.

“Bem”, escreveu WfX, “agora meu problema é saber o que é meia-vida.”

Meia-vida é o tempo necessário para que a massa m0 decaia à metade. Isso WfX achou fácil de entender, mas a informação a seguir achou mais difícil: para uma substância específica, por exemplo carbono 14, o valor da meia-vida é sempre o mesmo, não importa o valor de m0. Fez o que todo estudante deve fazer quando tem uma fórmula, tem uma frase que descreve alguma característica da fórmula, mas não entende como uma coisa leva à outra: colocou o que sabia de álgebra para funcionar. “Quanto tempo até que a massa inicial m0 dessa substância decaia à metade?”

Antes de continuar, manteve uma tabelinha com as propriedades dos logaritmos bem à vista, pois, vendo que a incógnita era um expoente, sabia que cedo ou tarde usaria logaritmos. Chamou o tempo que estava procurando, o tempo para m0 decair à metade, de tx.

[Neste texto, log(x) se refere ao logaritmo natural de x, isto é, ao logaritmo de x na base e.]

WfX notou que o valor de tx, isto é, o valor da meia-vida, não depende da massa inicial m0. É por isso que, qualquer que seja o valor numérico de m0, decairá à metade em tx unidades de tempo. Notou também que, conhecendo a meia-vida, pode facilmente obter o valor de k: basta dividir –log(2) pela meia-vida. Por que essa volta toda? Por que não conversar sobre o valor de k logo de uma vez?

Ligou a calculadora e obteve o valor de log(2). É um número irracional, cujo valor, com 16 casas decimais, é 0,6931471805599453. Entendeu na hora por que os cientistas, ao conversar sobre substâncias radioativas, não informam o valor de k de cada substância: pois é um número assustador. Ao informar a meia-vida, tudo o que o cientista tem de informar é um número inteiro de segundos, dias, meses, anos, séculos, ou milênios — o que for mais conveniente conforme a substância. O interlocutor, se souber o que fazer, pega o valor de –log(2), divide pela meia-vida e acha o valor de k, com o qual pode usar a fórmula do decaimento exponencial à vontade. (WfX notou também que as contas funcionariam do mesmo jeito para qualquer fração da massa inicial m0 — ela cai a um terço sempre num certo tempo tr e cai a um nono sempre num certo tempo ts. Mas seria meio esquisito falar de “terça-vida” ou “nona-vida”.)

Bem, a meia-vida do 14C é 5.730 anos ± 40 anos. Antes de partir para a resolução do problema em si, WfX quis saber: “Como o carbono 14 vai parar nos organismos vivos?”

O planeta Terra é banhado todo o tempo por radiação cósmica, que, na parte superior da atmosfera, converte nitrogênio num isótopo radioativo do carbono, o carbono 14 (14C). Em pouco tempo, os átomos de 14C estão em moléculas de dióxido de carbono, que as plantas absorvem. Os animais que comem plantas absorvem sua cota de 14C, assim como os animais que comem animais que comem plantas. No fim das contas, todo ser vivo repõe todo dia sua cota de 14C no organismo; quando morre, e a reposição diária de 14C deixa de acontecer, o 14C presente no ser vivo começa a decair. Para saber quando o organismo morreu, portanto, o cientista deve estimar que quantidade de 14C ele tinha ao morrer e medir que quantidade de 14C tem agora.

Com isso, WfX se sentiu pronto para resolver o desafio. O fragmento de papiro, comparado com materiais atuais, tem 74% de carbono 14. Logo, a massa inicial m0, neste caso, é 100%, e 100% = 1. Da mesma forma, a massa atual m(t) é igual a 74% da massa inicial m0, e 74% = 0,74. Quanto vale t? (É bom lembrar: t medido em anos.) Quantos anos se passaram desde que a massa de 14C no fragmento de papiro era 1 até que ela se transformou em 0,74, sendo que a meia-vida do carbono é de 5.730 anos ± 40 anos?

WfX colocou as informações na fórmula:

Mas k varia entre –log(2)/5.770 e –log(2)/5.690. Usando essa informação, WfX escreveu o que procurava:

Agora bastava pegar uma calculadora científica e fazer as contas, e foi o que fez:

Eis a resposta do desafio: o fragmento de papiro foi produzido entre 2.506 anos atrás e 2.472 anos atrás.

Seis dias. Pessenda explica como ocorre o processo de medição da quantidade de 14C numa amostra:

1) Com a amostra em mãos, os técnicos extraem dela a substância que contém o 14C. Se a amostra for um osso, os técnicos extraem colágeno; se for madeira, extraem celulose; se for solo, extraem o que chamam de “fração humina”, isto é, a fração que contêm elementos químicos orgânicos cuja porcentagem de 14C não se altera pela combinação com outros elementos químicos.

2) Depois disso, usam um aparelho específico para transformar a amostra, já limpa, em benzeno.

3) Num tubinho, misturam o benzeno com um reagente, e põem o tubinho num aparelho onde vai ocorrer a medição do 14C em si. Graças ao reagente, o tubinho emite luz (não é visível, mas pode ser medida com sensores especiais). Quanto mais 14C, mais luz; quanto menos 14C, menos luz.

4) O tubinho fica no aparelho por três dias, durante os quais o aparelho medirá a luz emitida pelo tubinho 30 vezes — uma medição a cada 100 minutos. Um computador recebe as medições e faz as contas para chegar a um valor que represente uma média adequada de todas as medições.

“Em seis dias”, diz Pessenda, “temos uma medição.” Supondo que a amostra tenha sido bem colhida, essa medição funciona melhor quando o organismo morreu há uns 10.000 anos atrás ou há uns 20.000 anos atrás. Em outras palavras, a medição não funciona bem se o organismo morreu há pouco tempo ou se morreu há mais de 50.000 anos. Pessenda acha fácil entender esse ponto, visto que a meia-vida do 14C é de 5.730 anos ± 40 anos — afinal, são 80 anos de margem de erro. Se o organismo morreu há pouco tempo (por exemplo, 2 anos), é muito difícil calibrar os medidores para “pegar” a pouca variação na massa do carbono 14. (É uma dificuldade técnica na construção dos medidores, que a humanidade ainda não conseguiu resolver; não se trata de uma dificuldade de natureza matemática.) Se o organismo morreu há tempo demais, por exemplo há 60.000 anos, daí ele contém tão poucos átomos de 14C que a medição produz resultados imprecisos. Para entender esse ponto, o estudante WfX faz as contas para um organismo que tenha 0,01% da massa original m0 de 14C: o tempo t ficará entre 76.670 anos atrás e 75.607 anos atrás, isto é, o tal organismo morreu em algum dia ao longo de 1.063 anos. Olhando o gráfico, vê o porquê: numa função exponencial decrescente, quanto menor o valor no eixo y (quando mais próximo de 0), maior o valor no eixo x, de modo que a diferença de ± 40 anos na meia-vida provoca uma diferença de centenas de anos na datação. (Essa é uma dificuldade de ordem matemática.)

Contudo, medir a quantidade de 14C numa amostra até que é fácil, diz Pessenda. Os problemas com esse tipo de datação são outros — coletar as amostras corretamente é um deles, e estimar a quantidade de 14C que existia no organismo quando morreu é outro. Por exemplo, numa caverna costuma haver ossos de várias épocas. Se um cientista pega um pedaço de osso, mas permite que ele entre em contato com algum elemento químico, pode obter uma datação errada. Agora, mesmo que a amostra tenha sido coletada no maior capricho, e a medição tenha ocorrido sem eventos, ainda assim há o problema de saber quanto 14C havia no organismo quando morreu. A quantidade de 14C na atmosfera varia com o tempo; da mesma forma, a quantidade de 14C absorvida por uma planta varia conforme seu metabolismo. Então os cientistas têm de estimar corretamente qual era a quantidade de 14C na atmosfera há, por exemplo, 15.000 anos, assim como estimar corretamente como funcionava a cadeia alimentar naquela época.

Pessenda se formou em física em 1977, mas diz, rindo: “Não sei se sou físico mais… Comecei com física, fui para a química, e depois biologia e energia nuclear.” Sua história com o 14C começou em 1988, quando havia um projeto grande para datar as árvores da floresta amazônica. No fim das contas, esse projeto específico não vingou, mas daí o laboratório já estava montado e funcionando, e com ele Pessenda já treinou 52 pessoas, entre estudantes de graduação, mestres e doutores. {}



{3}/ Outros métodos de datação

É impossível estimar a idade de metais e minerais com a datação por carbono 14, simplesmente porque metais e minerais não comem; também é impossível estimar a idade de fósseis, pois um osso fóssil já não é mais osso, mas sim mineral. Mas os cientistas usam um método semelhante: quando possível, datam o material com a ajuda de outros isótopos radioativos, como urânio 235, cuja meia-vida é de 704 milhões de anos.



{4}/ O decaimento do carbono 14

O gráfico acima mostra a curva da fórmula a seguir:

Neste caso, p(t) significa a massa de carbono 14 atual (medida) como porcentagem da massa de carbono 14 que deve ter havido no instante em que o organismo morreu (estimada); exp(x) significa ex. O gráfico deixa claro que toda incerteza na estimativa da porcentagem p(t) se transforma numa incerteza maior ainda quando à data em que o organismo morreu. Nada de novo aqui: matemáticos sabem que, devido à natureza não linear do decaimento exponencial, um ∆p pequeno se transforma num ∆t bem maior. Em outras palavras, uma progressão aritmética no eixo p se transforma numa progressão geométrica no eixo t.

Lembrete. Para compor o gráfico, basta realizar as operações a seguir.

{FIM}

Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 35, dezembro de 2013, pág. 56. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião.

2. A entrevista com o professor Pessenda foi feita pelo jornalista Eduardo Magossi.

3. Em textos sobre matemática básica (ensino fundamental e médio), com frequência o autor usa ln(x) para denotar o logaritmo natural de x, isto é, o logaritmo de x na base e. Contudo, autores de textos sobre matemática universitária com frequência usam log(x) para denotar o logaritmo natural de x. É fácil entender a lógica dessa decisão: o logaritmo de base e é extensamente usado na matemática universitária, de modo que faz sentido reservar o símbolo log(x), que é muito simples, para o logaritmo mais usado de todos.

Cálculo Tornado Fácil 5


O que acontece num infinitésimo de tempo? Velocidade, aceleração, força, trabalho: na prática, tais definições só têm sentido quando os intervalos de tempo tendem a zero.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 27 porque o texto anterior terminou na 26. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, e CTF 8.



{27}/ Capítulo 8

Quando o tempo varia

Entre os problemas importantes do cálculo, estão aqueles nos quais a variável independente é o tempo, nos quais você deve pensar sobre alguma quantidade cujos valores variam conforme o tempo passa. Algumas coisas aumentam; outras diminuem. A distância entre um trem e a estação da qual acabou de partir só aumenta de minuto em minuto; a distância entre o mesmo trem e a próxima estação só diminui. As árvores ficam mais altas a cada ano. O que cresce à maior taxa: a planta de 30 centímetros que em um mês chega à altura de 36 centímetros ou a árvore de 4 metros que em um ano chega à altura de 4 metros e 72 centímetros?

Neste capítulo, eu e você vamos usar bastante a palavra taxa. Nada a ver com a taxa de natalidade ou de mortalidade, embora tais palavras sugiram tantos bebês ou defuntos por milhar de população. Quando um jovem esbanjador passa por você em seu conversível novo, diz que o rapaz está vivendo a taxa pródiga. O que quer dizer por taxa? Nos dois casos, compara mentalmente o que está acontecendo com o tempo de duração que tal coisa leva para acontecer. Se o conversível passa por você cobrindo uns 50 metros num segundo, com um pouco de aritmética percebe que o rapaz vai a mais ou menos 180 quilômetros por hora.

Com que lógica pode dizer que a velocidade de 50 metros num segundo é a mesma que a de 180 quilômetros numa hora? Pois 50 metros não é o mesmo que 180 quilômetros, nem 1 segundo é o mesmo que 1 hora. Ao dizer que ambas se equivalem, diz apenas que a taxa é a mesma: a proporção entre a distância percorrida e o tempo consumido para percorrê-la é a mesma nos dois casos.

Que tal outro exemplo? Um homem pode ter apenas uns poucos reais na carteira, e mesmo assim gastá-los à taxa de milhões de reais por ano — basta que gaste seus reais àquela taxa durante uns poucos minutos. Suponha que ponha 5 centavos sobre o balcão da padaria para comprar uma bala de anis, e que a operação de troca da bala pelos 5 centavos dure 1 segundo. Daí, durante esse breve período, dissipa suas riquezas à taxa de 3 reais por minuto, 180 reais por hora, 4.320 reais por dia, 131.400 reais por mês ou 1.576.800 reais por ano! Se possui 10 reais no bolso, tem 5 minutos e 15 segundos para gastá-los à taxa de 1 milhão de reais por ano.

[Eis a diferença entre comprar e vender. Se você entra numa loja de internet e gasta seus 10 reais em 5 minutos e 15 segundos, se diverte com o pensamento de que, por aquele breve período, gastou feito um milionário. O dono da loja, por sua vez, caso consiga atrair tráfego de modo que pelo menos um internauta gaste 10 reais a cada 5 minutos e 15 segundos, de fato fatura 1 milhão de reais por ano.]

Agora é hora de grafar algumas dessas ideias com a notação do cálculo diferencial. Use y para denotar dinheiro e t para tempo. Se gasta seu dinheiro, e se batiza de dy a quantia que gasta num curto período de tempo dt, pode chamar a taxa de gasto de dy/dt (ou, melhor dizendo, de –dy/dt [com um sinal de menos], pois é um decremento e não um incremento). Mas o dinheiro, à guisa de exemplo, não serve bem para o cálculo, pois em geral entra na conta-corrente e sai dela em saltos, e não num fluxo contínuo; você pode ganhar 66.000 reais por ano, mas não à taxa contínua de 38 centavos por minuto de trabalho, e sim em saltos de 5.500 reais ao fim de cada mês. Também despende seu dinheiro em pagamentos repentinos.

Para estudar uma ilustração mais adequada dessa ideia de taxa, pense na velocidade de um corpo em movimento. De São Paulo ao Rio de Janeiro, em “linha reta” (acompanhando a curvatura da Terra), são 358 quilômetros. Se um avião decola em São Paulo às 9:00 da manhã e pousa no Rio às 9:45, você sabe que, visto que viajou 358 quilômetros em 45 minutos, a taxa média foi de 477 quilômetros por hora. Veja:

Neste caso, você faz uma comparação mental entre a distância percorrida e o tempo necessário para percorrê-la — e divide uma pelo outro. Se denota com y a distância total e com t o tempo total, é claro que a taxa média é y/t. Mas a velocidade não permaneceu constante o tempo todo: no processo de decolagem, o piloto começa com o avião parado; também realiza a aterrissagem a baixa velocidade (para um avião), até estacioná-lo num dos portões. É provável que em algum ponto da viagem o piloto tenha imprimido ao avião a velocidade de uns 900 quilômetros por hora (se pilotava um Boeing 747). Se, durante qualquer pequeno intervalo de tempo dt, o avião tenha percorrido uma pequena distância dy, então naquela partezinha da viagem a velocidade foi dy/dt. Você pode expressar a taxa pela qual alguma quantidade (neste caso, distância) está mudando em relação a outra quantidade (neste caso, tempo) ao grafar o coeficiente diferencial de uma em relação ao coeficiente da outra. Como pode explicar a palavra “velocidade” de modo científico? É a taxa pela qual um corpo percorre uma distância muito pequena, numa direção qualquer, em determinada unidade de tempo; sendo assim, pode escrever:

Mas a velocidade não é uniforme; portanto, num determinado instante, ela ou aumenta, ou diminui, ou permanece constante. Deve chamar a taxa pela qual a velocidade varia de aceleração. Se num instante em particular um corpo em movimento ganha velocidade adicional dv num infinitésimo de tempo dt, daí pode grafar a aceleração a naquele instante de tempo do seguinte modo:

Mas já sabe que v = dy/dt, e por isso reescreve a equação acima de outro jeito:

Em palavras: a aceleração é o segundo coeficiente diferencial da distância em função do tempo. Visto que pode expressar a aceleração como uma mudança na velocidade por unidade de tempo, usará unidades do tipo metros por segundo a cada segundo, ou metros por segundo por segundo, o que, no fim das contas, dá metro dividido por segundo elevado ao quadrado.

Por que metro por segundo ao quadrado:

Quando o avião mal começou a se mover na pista de decolagem, sua velocidade v é muito baixa; mas ele ganha velocidade rapidamente, pois está sendo apressado, ou acelerado, em razão do esforço das turbinas. Assim, sua d2y/dt2 é alta. Quando chega à velocidade máxima, não está mais sendo acelerado, de modo que sua d2y/dt2 cai a zero. Mas quando se aproxima do aeroporto, sua velocidade começa a diminuir; se o piloto quiser, e acionar os flaps, a velocidade pode até mesmo diminuir depressa, e durante esse período de desaceleração ou de redução da velocidade o valor de dv/dt (isto é, o valor de d2y/dt2) será negativo.

Para acelerar um corpo de massa m, você precisa aplicar força ao corpo o tempo todo. A força de que precisará para acelerar o corpo é proporcional à massa, e também é proporcional à aceleração que está sendo transmitida ao corpo (não basta acionar as turbinas: para que haja força, elas precisam de fato alterar a velocidade do avião, visto que define aceleração como a variação instantânea da velocidade). Pode, portanto, expressar a força F com uma expressão simples:

Ao reescrever isso, obtém:

O produto da massa pela velocidade com que o corpo viaja é chamado de momento (p); em símbolos, p = mv. Se diferencia o momento com relação ao tempo, obtém a seguinte expressão para a taxa de mudança do momento:

Mas, visto que m é uma quantidade constante, pode reescrever isso como m·(dv/dt) e já sabe, pelas fórmulas acima, que isso é a mesma coisa que F. Em outras palavras, pode expressar a força tanto como massa vezes aceleração quanto como a taxa de mudança do momento.

Ora, se aplica força para mover alguma coisa (contra uma força igual e contrária), tal força realiza trabalho; e pode medir a quantidade de trabalho ao multiplicar a força pela distância percorrida pelo ponto no qual a força foi aplicada. (Não o corpo inteiro, mas só o ponto onde aplicou a força; para que haja trabalho, a distância percorrida pelo ponto tem de ser no sentido da força.) Sendo assim, se uma força F provoca movimento pela distância y, o trabalho realizado, que pode denotar com W, será:

Aqui, considerou F como uma força constante. Se a força varia em partes distintas do comprimento y, daí precisa achar uma expressão com a qual calcular seu valor de ponto a ponto. Se F for a força ao longo de um pequeno comprimento dy, a quantidade de trabalho realizado será Fdy. Mas, visto que dy é apenas um infinitésimo da distância y, a força F realizará só um infinitésimo do trabalho. Se você usa W para denotar trabalho, daí escreve um infinitésimo de trabalho como dW, e obtém:

Agora, como pode reescrever a fórmula acima?

Como último passo, pode dividir tudo por dy:

Com isso você chega a uma terceira definição de força: se você a está usando para produzir deslocamento em qualquer direção, a força (naquela direção) é igual à taxa pela qual está realizando trabalho por unidade de comprimento (naquela direção). Nessa última frase, usei a palavra “taxa” claramente não no sentido do tempo, mas no sentido de razão ou proporção.

Isaac Newton, um dos inventores dos métodos do cálculo (com Leibniz), considerava todas as quantidades que estavam variando como que fluindo; e considerava a taxa que hoje chamamos de coeficiente diferencial como a taxa desse fluxo, ou o fluxão da quantidade em questão. Ele não usava a notação dy, dx, e dt (criação de Leibniz), mas uma notação própria. Se y era a quantidade que variava ou fluía, daí, para denotar a taxa de variação ou o fluxão, Newton usava . Se a variável era x, daí o fluxão era . Com o ponto sobre a letra, indicava que havia diferenciado a quantidade. Mas, com essa notação, você não tem como saber qual foi a variável independente em relação à qual o matemático realizou a diferenciação. Se vê dy/dx, sabe que y foi diferenciada em relação a x. Mas, se vê apenas , como pode distinguir dy/dx de dy/dt ou de dy/dz? Assim, visto que a notação fluxionária dá ao matemático menos informações, foi abandonada. Contudo, sua simplicidade é vantajosa se pactuamos usá-la apenas quando a variável independente é o tempo. Sendo assim, significa dy/dt e ż significa dz/dt; além disso, significa d2x/dt2.

Ao adotar a notação fluxionária, pode reescrever as equações da mecânica, que acabou de estudar, como se segue:

distância

x

velocidade

v =

aceleração

a = =

força

F = mṽ = mẍ

trabalho

W = xmẍ

Vamos estudar juntos uns poucos exemplos.

(1) Um corpo se move de modo que você pode calcular a distância (em metros) do corpo a um certo ponto O ao usar a fórmula x = 0,2t2 + 10,4, na qual t é o tempo em segundos desde certo tempo t0 inicial de referência. Ache a velocidade e a aceleração 5 segundos depois que o corpo começou a se mover, e também quando a distância coberta já era de 100 metros. Ache também a velocidade média durante os primeiros 10 segundos de movimento. (Suponha que as distâncias e os movimentos para a direita são positivos.)

Usando uma calculadora científica algébrica [que Silvanus não tinha], você pode, à guisa de primeiro passo, deixar a fórmula mais arrumada ao traduzir o que é 0,2 e 10,4:

Agora, o cálculo da velocidade (a primeira derivada) e da aceleração (a segunda):

Quando t = 0, x = 10,4 e v = 0. Significa que o corpo começou a se mover de um ponto localizado 10,4 metros à direita de O; e o tempo passou a ser cronometrado quando ele começou a se mover.

Quando t = 5:

Lembre-se: neste caso, a é constante. Agora, quando x = 100:

Quando t = 10, a distância viajada d é a distância quando t = 10 menos a distância quando t = 0, pois o corpo começou a se mover à distância de 10,4 metros à direita de O:

Assim, a velocidade média nesses 10 primeiros segundos é 20 metros ÷ 10 segundos, isto é, 2 metros por segundo. É a mesma velocidade que no meio do intervalo, quando t = 5, pois, sendo a aceleração constante, a velocidade variou uniformemente de 0 quando t = 0 para 4 m/s quando t = 10.

No gráfico a seguir, pode ver a curva de x(t) em vermelho, de v(t) em preto, e de a(t) em verde.

Gráfico das curvas do exemplo 1

(2) Sobre o problema acima, suponha agora o seguinte:

Quanto t = 0, x = 10,4 e v = 3 m/s, sendo que deve computar o tempo a partir do instante em que o corpo passa pelo ponto a 10,4 metros do ponto O, quando sua velocidade já é de 3 metros por segundo. Para achar o tempo transcorrido desde que o corpo começou a se mover, faça v = 0, e daí t = [(–3)∙5]/2 = –7,5. O corpo começou a se mover 7,5 segundos antes que começasse a observá-lo de cronômetro nas mãos; ao fazer as contas para 5 segundos depois disso, obtém t = –2,5 e v = 2 m/s.

Quando x = 100:

Sendo assim, t 14,956 segundos e v 0,4 ∙ 14,956 + 3 8,98 metros por segundo.

Para achar qual distância o corpo viajou nos primeiros 10 segundos de movimento (não de observação), precisa saber quão longe ele estava do ponto O quando começou a se mover. Quando t = –7,5:

Em outras palavras, quando começou a se mover, o corpo estava a 85 centímetros à esquerda de O. Agora, quando t = 2,5:

Assim, em 10 segundos, o corpo percorreu a distância de 19,15 + 0,85 = 20 metros, e a velocidade média foi de 20/10 = 2 metros por segundo.

Gráfico das curvas do exemplo 2

(3) Agora, examine um problema similar, no qual pode calcular a distância x com a fórmula a seguir:

Veja que, quando t = 0, x = 10,4 (como antes), mas v = –3. Isso significa que, comparando este caso com o anterior, o corpo se movia no sentido contrário ao sentido de referência. Como a aceleração é positiva (significando que vai na direção do movimento), ao fazer as contas você vê que a velocidade diminui conforme o tempo passa, até que se iguala a zero; e quando v = 0, sabe que 0,4t – 3 = 0, isto é, t = 7,5 segundos. Depois disso, a velocidade fica positiva (no sentido do movimento), e 5 segundos depois que o corpo passou a se mover da esquerda para a direita, t = 12,5 e:

Quando x = 100:

Quando v = 0, x = 0.2(7,5)2 – 3(7,5) + 10,4 = –0,85, e com isso descobre que o corpo se moveu para trás 85 centímetros à esquerda do ponto O antes de parar. Bem, 10 segundos depois:

A distância d percorrida foi de 0,85 + 19,15 = 20 metros, e a velocidade média de novo foi de 2 metros por segundo.

Gráfico das curvas do exemplo 3

(4) Estude ainda um problema do mesmo tipo, no qual x = 0,2t3 – 3t2 + 10,4; daí v = 0,6t2 – 6t e a = 1,2t – 6. A aceleração não é mais constante.

Quando t = 0, x = 10,4, v = 0 e a = –6. O corpo está parado, mas prontíssimo para se mover com aceleração negativa, isto é, para ganhar cada vez mais velocidade na direção do ponto O.

No gráfico a seguir, pode ver x(t) em vermelho, v(t) em preto, e a(t) em verde.

Gráfico das curvas do exemplo 4

(5) Se temos x = 0,2t3 – 3t + 10,4, daí v = 0,6t2 – 3 e a = 1,2t. Quando t = 0, x = 10,4, v = –3 e a = 0. O corpo está se movendo na direção do ponto O à velocidade de 3 metros por segundo, e justo nesse instante a velocidade é uniforme.

Você sempre pode averiguar as condições do movimento se tiver uma função posição, isto é, uma expressão pela qual descrever a posição de um corpo em função do tempo (tendo, é claro, um ponto de referência, que pode chamar de O); da função posição, obtém a velocidade com o primeiro coeficiente diferencial e a aceleração com o segundo. Nos dois últimos exemplos, a velocidade média durante os primeiros 10 segundos e a velocidade 5 segundos após o início do movimento (no sentido da esquerda para a direita) não serão mais iguais, pois a velocidade não está mais crescendo uniformemente e a aceleração não é mais constante.

(6) Você pode achar o ângulo θ (em radianos) o qual uma roda girou com a fórmula:

Neste caso, t é o tempo em segundos a partir de certo instante. Ache a velocidade angular ω e a aceleração angular α depois de 1 segundo (a) e depois que a roda deu uma volta completa (b). Em que momento a roda está em repouso, e quantas revoluções ela deu até chegar a esse momento?

Bem, como primeiro passo, você calcula a velocidade angular e a aceleração:

Quando t = 0 (isto é, quando começou a cronometrar o tempo), θ = 3 radianos, ω = 2 radianos por segundo e α = 0. E quando t = 1?

Daí θ 4,9 radianos, ω = 1,7 radianos por segundo e α = –0,6 radianos por segundo a cada segundo. Velocidade positiva e aceleração negativa significa que a roda está girando no sentido convencionado, mas está freando.

E depois de 1 revolução?

Ao examinar o gráfico de θ em função do tempo t, pode obter os valores de t para os quais θ = 6,28. Tais valores são 2,11 segundos e 3,03 segundos; há ainda um valor negativo. (Isso é fácil de obter com uma calculadora científica.)

Quando t = 2,11:

Quando t = 3,03:

Pode ver que a velocidade mudou de sentido. É evidente que a roda estava parada nalgum momento entre esses dois instantes; ela parou quando ω = 0, isto é, quando 0 = 2 – 0,3t2, ou quando t 2,58 segundos. Nesse instante, a roda girou…

… 1,025 rotação.



{28}/ Exercícios V

(1) Se y = a + bt2 + ct4, ache dy/dt e d2y/dt2.

(2) Um corpo, caindo livremente na direção da Terra, percorre em t segundos a distância s, em metros, expressa pela fórmula s = (2.968/625)t2. Desenhe uma curva para mostrar a relação entre s e t. Também determine a velocidade do corpo nos seguintes tempos depois que o deixaram cair: t = 2 segundos, t = 4,6 segundos e t = 0,01 segundo.

(3) Se x = at (1/2)gt2, ache e .

(4) Se um corpo se move de acordo com a lei s = 12 – 4,5t + 6,2t2, ache sua velocidade quando t = 4 segundos; s é medido em metros.

(5) Ache a aceleração do corpo mencionado no problema anterior. A aceleração é a mesma para todos os valores de t?

(6) Você achou uma lei para conectar o ângulo θ (em radianos) de uma roda girando ao tempo t (em segundos) desde que começou a girar, e a lei é:

Ache a velocidade angular (em radianos por segundo) dessa roda quando 1,5 segundo se passou; ache também a aceleração angular.

(7) Um esqueitista se move de modo que, durante os primeiros instantes de sua exibição, você pode calcular a distância s do ponto inicial (em centímetros) com a fórmula abaixo:

Na fórmula, t foi medido em segundos. Ache uma expressão para calcular a velocidade e a aceleração a qualquer instante; em seguida, ache a velocidade e a aceleração quando t = 3 segundos.

[Se não se importa com a mistura de inglês com português, também pode escrever “skatista”.]

(8) O movimento de um balão é tal que sua altura h, em milhas, é dada a qualquer instante t pela expressão a seguir, com t medido em segundos:

Ache uma expressão para a velocidade e outra para a aceleração a qualquer momento. Desenhe as curvas para ver a variação na altura, na velocidade e na aceleração durante os primeiros 10 minutos de ascensão.

(9) Você jogou uma pedra na água, bem na vertical, de modo que pode usar a fórmula a seguir para calcular a profundidade p, em metros, t segundos depois de atingir a superfície da água:

Ache uma expressão para a velocidade e outra para a aceleração a qualquer tempo. Ache a velocidade e a aceleração depois de 10 segundos.

(10) Um corpo se move de modo que você pode calcular o espaço percorrido em t segundos desde que começou a se mover com a fórmula s = tn, na qual n é uma constante. Ache o valor de n quando a velocidade dobra do quinto ao décimo segundo; ache o valor de n quando, aos 10 segundos, a velocidade é numericamente igual à aceleração. {}



{29}/ De onde saem as fórmulas

É algo que todo estudante pergunta, cedo ou tarde: de onde saem essas fórmulas da física? Como alguém pode saber que a altura de um corpo em queda livre (uma bolinha de ferro, caindo a baixa altitude verticalmente em direção ao solo) é dada pela equação abaixo?

Nessa equação, y é a altura do corpo, t é o tempo em segundos, v0 é a velocidade inicial (ao começar a medição), y0 é a altura inicial e g é uma constante: a aceleração em razão da gravidade. A resposta está na palavra medição. Filme uma bolinha em queda livre, olhe depois o filme quadro a quadro, plote num gráfico a altura (eixo das ordenadas) em função do tempo (eixo das abscissas), e daí procure uma equação cuja curva passe pelos pontos plotados ou passe perto deles — fazendo assim, obterá uma equação semelhante a y(t).

E como procurar essa curva? Com uma calculadora científica, é fácil: você entra com as coordenadas de cada ponto (vai montar tabela com duas colunas: altura e tempo) e pede à calculadora uma equação cuja curva passe pelos pontos ou passe perto deles. A calculadora dará várias sugestões. Sem uma calculadora, bastam as primeiras lições de álgebra linear: vai montar uma matriz aumentada que, depois de resolvida, lhe dará todas as informações necessárias para pôr a equação no papel.



{30}/ Função posição

Sempre que representar a distância entre um corpo e um ponto de referência, distância essa em função do tempo decorrido, pode chamar essa relação de função posição. A primeira derivada da função posição é a velocidade; a segunda, a aceleração; a terceira, o jerk (solavanco), que é a taxa instantânea de mudança da aceleração.



{31}/ Freando e acelerando

Quando a velocidade tem o mesmo sinal da aceleração, significa que o corpo está acelerando. Se ambas são negativas, significa que acelera no sentido contrário ao sentido de referência (o sentido de referência pode ser, por exemplo, da esquerda para a direita), ou significa que se afasta do ponto de referência, em sentido contrário ao sentido de referência, a velocidade cada vez maior; se ambas são positivas, significa que acelera no sentido de referência, ou que se afasta do ponto de referência, no sentido de referência, a velocidade cada vez maior.

Quando a velocidade e a aceleração têm sinais distintos, significa que o corpo está freando. Se a velocidade é positiva e a aceleração negativa, significa que o corpo se afasta do ponto de referência, no sentido de referência, mas se afasta a velocidade cada vez menor. Se a velocidade é negativa e a aceleração positiva, significa que o corpo se afasta do ponto de referência, no sentido contrário ao de referência, mas se afasta a velocidade cada vez menor.

A tabela a seguir resume a explicação.

v

a

Significado

+

+

Acelerando no sentido de referência.

Acelerando no sentido contrário ao de referência.

+

Indo no sentido de referência, mas freando.

+

Indo no sentido contrário ao de referência, mas freando.

{FIM}


Observação:

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