Finito e infinito no mesmo floco de neve

O estudante pensa por uns minutos a respeito da curva de Koch e percebe como a matemática pode ser, ao mesmo tempo, tão real e irreal.


{1}/ Um desafio ao leitor

Desenhe um triângulo equilátero, como o da figura 1. Divida cada lado em três partes iguais, remova a parte central, e coloque no lugar dela dois lados de um triângulo equilátero menor apontado para fora; com isso você formou uma estrela de seis pontas, como a da figura 2. Repita essa operação para chegar à figura 3, e depois à 4. A curva de Koch, ou o floco de neve de Koch, é a curva que obteria se, num tempo finito, pudesse repetir esse processo de construção infinitas vezes. O que pode dizer sobre o perímetro de uma figura assim formada? O que pode dizer sobre a área que essa figura delimita?



{2}/ A resolução

O leitor (vamos chamá-lo de fWK) começa resolvendo o problema do perímetro, que lhe parece mais fácil. Seu papel é analisar um triângulo equilátero de lado igual a l, que já está dado, então chama o perímetro desse triângulo de P(0), pois é o perímetro do passo 0. Neste caso:

P(0) = 3l

No passo 1, o segmento de reta básico, com o qual faz as contas, já não é mais l, mas sim l/3. Há quatro desses segmentos básicos em cada um dos três lados do triângulo do passo 0, e daí fWK chega rapidamente ao perímetro do floco de Koch no passo 1.

P(1) = 3 · 4 · (l/3) = 4l

Usando o mesmo método, fWK monta uma tabela com os três primeiros passos, para ver se consegue descobrir a lógica pela qual deve calcular o perímetro do floco no passo n.

Passo

Comprimento do segmento de reta básico

Número de segmentos em cada um dos lados do triângulo do passo 0

Perímetro total do floco

0

l

3

3l

1

l/3

4

3 · 4 · (l/3) = 4l

2

l/9

16

3 · 16 · (l/9) = (16l/3)

Depois de examinar os números e de fazer uns ensaios no papel, chega à seguinte hipótese:

“Qualquer que seja o número de segmentos em cada um dos lados do triângulo do passo 0, esse número será multiplicado por 3; o triângulo do passo 0 é uma invariante. A partir do passo 1, acho que o número de segmentos em cada um dos lados do triângulo do passo 0 vai crescer como potência de 4, do tipo 41, 42, 43, etc. Quanto ao comprimento do segmento de reta básico, acho que o comprimento de um passo é o comprimento do passo anterior multiplicado por 1/3, visto que, de um passo para outro, cada segmento de reta básico é dividido por 3.”

Com isso, põe no papel a fórmula que expressa a hipótese:

fWK faz os desenhos e as contas para o passo 4 e o 5, e confere as contas com a fórmula — tudo OK. A fórmula funcionou. Então, qual será o perímetro do floco de Koch caso pudesse repetir o procedimento de construção para todos os valores inteiros não negativos de n, mas num tempo finito? Isso é um limite:

Vê que esse limite tende ao infinito, pois o numerador cresce muito mais rapidamente que o denominador conforme cresce o valor de n. Escolhe l = 10 centímetros, faz as contas para o passo 50 e não consegue evitar a surpresa:

“O perímetro ultrapassa os 500 quilômetros!”

Usa uma calculadora científica para comprovar sua hipótese, e a calculadora informa: quando n tende ao infinito, o limite também tende ao infinito. (Outro jeito de dizer isso: quando o valor de n cresce sem limite, o valor da expressão também cresce sem limite.)

Então fWK se concentra na área. Sabe que, para calcular a área do triângulo no passo 0, precisa descobrir a altura h do triângulo, e desenha um triângulo equilátero de lado l mais os elementos de que precisa para calcular h (veja a figura 6). Feito isso, usa o teorema de Pitágoras:

Com o valor da altura, calcula a área (que é base vezes altura, tudo isso dividido por 2), e chama a área do triângulo do passo 0 de A(0).

No passo 1, fWK usa o mesmo método para calcular a altura h dos três triângulos pequenos (de lados iguais a l/3) e depois a área de cada um deles, e por fim a área total (a área do triângulo do passo 0 mais a área dos três triângulos menores). Feito isso, e ainda usando esse mesmo método, monta uma tabela com as informações sobre áreas dos passos 0, 1, 2, e 3. Usará a tabela como primeiro passo no sentido de descobrir uma fórmula genérica pela qual calcular a área do floco de Koch no passo n.

Passo Segmento de reta básico h Área de cada triângulo extra Número de triângulos extras Área total do floco
0 l 0 0
1 l/3 3
2 l/9 12
3 l/27 48

 

Ao estudar a tabela, resolve criar funções (uma coisa em função de outra); com a notação de função pode pensar melhor, pois varre números para debaixo do tapete. Chama os passos de n; a função que produz o segmento de reta básico, em função do passo n, de s(n); a que produz a altura dos triângulos extras (os novos), em função do passo n, de h(n); a que produz a área de cada triângulo extra, em função da altura h(n), de e(n); a que produz o número de triângulos extras, em função do passo n, de t(n); e continua a chamar a área total, em função do passo n, de A(n). Monta uma tabela para ajudá-lo a pensar.

Passo

Segmento de reta básico

h

Área de cada triângulo extra

Número de triângulos extras

Área total do floco

n

s(n)

h(n)

e(n)

t(n)

A(n)

fWK rabisca várias vezes para chegar a cada uma das fórmulas, e por fim chega a uma fórmula por função, e de novo monta uma tabela.

Nome da função

Fórmula

Comentários

s(n)

A fórmula vale para todo n ≥ 0.

h(n)

Vale para todo n ≥ 0.

e(n)

Vale apenas para n ≥ 1.

t(n)

Vale apenas para n ≥ 1.

Feito isso, fWK põe no papel as fórmulas necessárias para calcular a área do floco de Koch no passo n, começando pelo passo 0 e indo adiante até o passo 3:

fWK inclui a condição lógica n ≥ 1 no limite superior do somatório, pois assim, quando n for igual a 0, o somatório será igual a 0, que é o elemento neutro da adição. (Por convenção, quando um somatório não pode ser realizado por inconsistência lógica, ele vale 0.) Agora fWK usa um computador (na verdade, o portal Wolfram|Alpha) para simplificar a maçaroca de números, e talvez achar uma fórmula fixa que possa ser usada no lugar do somatório. Com as informações do computador, reescreve a última linha das fórmulas acima:

Quase lá. Com uma fórmula mais limpa para A(n), usa um computador para calcular o limite de A(n) conforme n tende ao infinito.

E aí está. fWK fica pensando na ideia de limite: se fosse possível construir um floco de Koch, repetindo os passos de construção indefinidamente, o perímetro cresceria sem parar (mas nunca seria igual a infinito, pois o infinito não é um número), e a área chegaria cada vez mais perto de (2l2√3)/5, mas nunca chegaria a esse valor. Em outras palavras, o perímetro jamais seria grande o bastante, e a área jamais ultrapassaria (2l2√3)/5. Só para comparar, verifica qual seria a área do floco de Koch no passo 50, fazendo l = 10 centímetros, e chega a 69,3 centímetros quadrados — cercados por quase 500 quilômetros de perímetro! Fica pensando também até que ponto os objetos da matemática existem, apesar do quão real eles parecem ao estudante. No passo 50, o lado dos novos triângulos vale (10 cm)/350, isto é, vale 1,393 ∙ 1025 metro, que é quase o tamanho da menor partícula da matéria jamais detectada no LHC, o maior detector de partículas subatômicas do mundo. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 24, janeiro de 2013, pág. 62. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. No texto, note que o leitor fWK realiza raciocínios por indução vulgar. Em outras palavras, ele faz um certo número de passos, elabora uma hipótese sobre como as fórmulas funcionam a cada passo, e depois verifica se elas funcionam nos próximos poucos passos. Nesse problema simples, um argumento por indução vulgar funciona bem. Numa situação mais formal, porém, fWK teria de recorrer ao princípio da indução matemática para deixar seu argumento explícito. Eu já recorri, e digo que as fórmulas de fWK estão corretas. Só não coloquei o argumento explícito nessa matéria porque ela ficaria desnecessariamente complicada.

O dilema dos números complexos


Tirar ou não tirar esse tema do currículo do ensino médio? Bigode, um professor famoso, exprime o que muitos pensam: no ensino médio, o estudante deveria ver somente uma breve e bela introdução. Todos deveriam estudar esse tópico apenas na faculdade — ou então por conta própria.


{1}/ Rompendo a cabeça

Quando um estudante chega ao terceiro ano do ensino médio, descobre que vai estudar um assunto novo: números complexos. Na primeira aula sobre o tema, talvez o professor diga algo mais ou menos assim:

“Pessoal, antigamente eu dizia que, se o resultado de uma equação for uma raiz quadrada de um número negativo, ela não tem solução. Bem, esqueçam isso, pois agora ela passará a ter solução.”

Antônio José Lopes, o famoso Bigode, diz que esse discurso ainda acontece desse jeito. É um discurso que provoca confusão e faz o aluno querer fugir da matemática: quem quer entrar num jogo cujas regras mudam todo ano? Ninguém.

O que o professor deveria dizer sempre que fosse o caso? “Se o resultado de uma equação é a raiz quadrada de um número negativo, ela não tem solução no sistema dos números reais. No entanto, veremos mais tarde que ela tem solução num outro sistema diferente de números.” Só que esse discurso não funciona bem no ensino básico. O aluno fica com a impressão de que o professor dá esse aviso toda hora porque é obcecado por minúcias técnicas irrelevantes…

É por isso que Bigode acha que o Brasil deveria tirar esse tema, números complexos, do currículo da escola básica. Ele fica melhor no primeiro ano da faculdade ou, conforme o curso, no segundo ano; ele também fica melhor num curso preparatório para vestibulares difíceis, como o do Instituto Tecnológico da Aeronáutica.

Bigode sabe que uma sugestão como essa não será aceita tão cedo — o sistema de ensino parece que muda mais devagar que a instituição do casamento por interesses. “Sendo assim”, diz Bigode, “no ensino médio o estudante poderia ter apenas uma pequena experiência com números complexos, só para ver que não é nada do outro mundo.” O estudante mais curioso poderia estudar mais por conta própria, ou talvez no clube de matemática da escola; em todo caso, veria uma introdução mais adequada ao assunto no primeiro ano da faculdade, se o curso pedisse tal introdução.

É por isso que, há uns meses, Bigode tem pensado no que poderia ser essa “pequena experiência”. No começo, tentou mostrar como cientistas e engenheiros usam os números complexos, mas desistiu da empreitada, pois percebeu que o assunto ficou dez vezes mais complicado. Tentou ver se achava um jeito de ligar os números complexos à realidade do aluno, que não passa de um adolescente, mas só achou as famosas “falsas contextualizações”, aquelas do tipo “imagine uma mosca com a mesma densidade de um Boeing”, etc. “O aluno precisa compreender o contexto da matemática”, diz Bigode, “mas infelizmente as pessoas associam contexto apenas àquilo que veem na rua.”

E assim, contando a história, Bigode vai devagar chegando ao ponto que gostaria de passar: números complexos é um tema semelhante à divisão de uma fração por outra — não dá para ilustrar apropriadamente com exemplos da vida real. Ninguém divide um terço de pizza por um oitavo. “Ninguém jamais vai compreender a divisão de frações com exemplos assim. É por isso que o aluno decora.” Portanto, diz Bigode, o professor não deve excluir os números complexos da grade, se não quiser, mas deve dar uma boa ideia geral do que são números complexos e pular a parte excessivamente operacional. “Nem todos gostam dessa ideia, mas o fato é que várias escolas já estão fazendo isso.”

2015 com cara de 1970. Muitas vezes, o aluno tem dificuldade de entender o assunto porque o professor tem dificuldade de passar ao assunto, ou por falta de tempo, ou porque o professor não o conhece bem. “Nós temos no Brasil uma geração de professores que não conhece metade do que deve ensinar”, diz Bigode. “Os números complexos estão em extinção no ensino básico em parte porque não há professores em número suficiente que saibam ensiná-los corretamente.”

E se o estudante quiser estudá-los por conta própria, recorrendo a um livro didático comum? Nem assim talvez consiga, conforme o livro que usar. “Alguns introduzem o assunto de maneira que só faz sentido para quem já sabe. Quem entende bem o texto são aqueles que se preparam para olimpíadas ou têm facilidade com matemática. Mas são minoria.” Bigode recorre a uma frase comum entre professores de matemática: muitos livros didáticos modernos são uma versão século 21 de um livro do tipo anos 1970, com problemas que caíram em vestibulares de 30 anos atrás. “Não estou dizendo que a matemática interessante é apenas a matemática utilitária”, diz Bigode. “Mas a matemática importante é aquela que faz o aluno raciocinar.” Para isso, o primeiro passo é que seja, de alguma forma, interessante.

Será que existe uma maneira de fazer o estudante olhar esses tais de números complexos com maior interesse? Bigode já enfrentou esse problema várias vezes, quando dava aulas para turmas de ensino médio. “Eu não tinha alternativa senão cumprir a grade curricular. Então tentei cumprir da melhor forma. Fui batendo cabeça até encontrar umas poucas abordagens que acho interessantes.”

Homer num mundo 3D

Com primeiro passo, procurou um jeito de desconstruir a ideia de que números complexos possam ser usados no dia a dia. (É claro que podem, mas não por adolescentes.) Achou um episódio do seriado Os Simpsons, no qual Homer Simpson entra num mundo em três dimensões e fica de boca aberta com o que vê, já que ele vive num mundo de duas dimensões, o mundo dos desenhos animados. “Quando eu mostro o vídeo, quebro um pouco essa expectativa que eles têm de querer relacionar números complexos com alguma coisa do mundo real.”

É o que estudantes perguntam o tempo todo:

“Professor, onde eu aplico?”

É difícil dar uma boa resposta, diz Bigode, por que o jeito mais simples de olhar um número complexo é como um ponto no plano complexo. “Se é um ponto no plano, significa que não podemos dizer muitas coisas sobre ele, que poderíamos dizer se fosse um ponto numa reta; por exemplo, não devemos compará-los para dizer qual é o maior ou o menor.”

Noutro experimento, Bigode pediu aos alunos que usassem o software Geogebra para desenhar um rosto no plano complexo (com um eixo para a parte real, em geral o das abscissas, e um eixo para a parte imaginária). Quase todos eles usaram o primeiro quadrante para desenhar o rosto:

Em seguida, Bigode pediu aos alunos que transformassem cada ponto do desenho em seu conjugado, e daí que multiplicassem os pontos originais e os pontos conjugados por i, depois por i de novo, depois por i de novo, e por último por i uma quarta vez. A cada uma dessas operações, ou o estudante reflete a figura em relação a um dos eixos, ou a gira, ou a amplia, ou a reduz, ou provoca alguma combinação dessas transformações. O estudante começa a perceber que pode usar os números complexos para dar movimento a figuras desenhadas no plano complexo.

O eixo das abscissas representa os valores reais. O das ordenadas, os valores imaginários

Nota: Não confunda o plano complexo com o plano cartesiano comum. São duas entidades matemáticas com propriedades distintas.

As reações eram mais ou menos assim:

“No quadrante 2, a figura ficou deitada!”

“No quadrante 3, ela ficou invertida e de ponta cabeça!”

“No quadrante 4, ela ficou só de ponta cabeça!”

Quando Bigode começou a atividade, pediu aos alunos que prestassem atenção nessas transformações da figura; mas o objetivo era outro. Para que pudessem entender por que a imagem mudou de lugar (e às vezes de formato), cada aluno se viu obrigado a fazer contas com, por exemplo, o número complexo a + bi e seu conjugado a – bi. Esse era o real objetivo da atividade.

É o que Bigode chama de efeito Karate Kid. No filme, o jovem lutador Daniel quer a ajuda do senhor Miyagi para aprender os golpes com os quais poderia conquistar amor próprio e uma garota. No entanto, o mestre o coloca para limpar o carro, encerar o chão, pintar a parede, varrer o jardim. Quando Daniel menos espera, desenvolveu parte das habilidades úteis numa luta. Na atividade com o Geogebra também acontece isso, diz Bigode. O aluno quer entender como funciona a computação gráfica, mas para isso precisa realizar o trabalho braçal. “No final”, diz Bigode, “ele desenvolve as habilidades matemáticas sem perceber.” Um experimento assim, diz Bigode, funciona bem porque o aluno vê a computação gráfica como se fosse parte de seu mundo.

O que Bigode fez é algo que muitos professores também fazem: tentar ensinar matemática sem que o estudante perceba. Ele diz que esse método funciona melhor do que ficar tentando procurar uma relação com o que o aluno vê, toca, ou sente no “dia a dia”. Para tanto, o professor tem de romper com o passado. “Romper os números, romper a cabeça”, diz Bigode. “Quando eu me liberto, passo a olhar isso como uma unidade abstrata. A pessoa que fez matemática é a pessoa que rompeu. O rapaz que ganhou a medalha Fields [Artur Ávila] chama a atenção para isso: o que ele faz não tem nada a ver com o que é plausível. Talvez surja uma aplicação daqui a 100 anos, como aconteceu com tanta frequência na história da matemática, mas, de imediato, o que ele faz não tem aplicação prática.” {FIM}



{2}/ Apêndice: curso vapt-vupt de números complexos

Imagine o conjunto C com todos os pares ordenados (ab), em que a, b são números reais. Defina a adição de tais pares ordenados assim: (ab) + (cd) = (a + cb + d). Defina a multiplicação de tais pares ordenados assim: (ab)(cd) = (ac  bdad + bc). Verifique que tal conjunto, com as duas operações definidas dessa maneira, forma um corpo. (A adição e a multiplicação são associativas e comutativas, a multiplicação é distributiva sobre a adição, etc.) Verifique que os elementos nos quais b = 0 se comportam exatamente como números reais, de modo que o elemento (x, 0) se comporta exatamente como o número real x. Se quiser, pode batizar o elemento (0, 1) de i, e daí i2 = –1 vira consequência lógica do que definiu até aqui. Se fizer isso, pode grafar o elemento (a, b) na forma a + bi, e tratar essa expressão como se fosse uma qualquer, desde que substitua i2, onde aparecer, por 1.

Lembrete: Neste blogue, há um curso bastante completo sobre o sistema dos números complexos. Para estudá-lo, clique aqui.


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 45, fevereiro de 2015, pág. 26. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista com o Bigode foi feita pela jornalista Fernanda Lima.

3. Os professores não deveriam dizer que “o conjunto dos números complexos inclui o conjunto dos números reais”. Mas eles dizem, e essa frase confunde muita gente. Se quiser saber os porquês, clique aqui.

Aline, bancária e estrela do rock!


Certos jogos de palavras, tão inocentes, fazem o leitor ver um problema brasileiro de um jeito diferente, um tantinho mais triste, mas pelo menos realista.


Uma engenheira (codinome Ana) estava no trabalho e olhou o relógio: 5 horas da tarde. Na Inglaterra, ora bolas, todos estariam tomando um chá com sanduíche de pepinos. Ana estava tão cansada que decidiu torrar a paciência do colega da baia ao lado, o Gabriel, que há anos deixou de estudar matemática.

“Gabriel, me diga uma coisa…”

“Não me venha com suas charadas matemáticas: meu pavio anda curto.”

“… qual dessas duas frases representa uma situação mais provável: ‘Aline trabalha num banco’ ou ‘Aline é honesta e trabalha num banco’?”

Ela ficou esperando, torcendo para que Gabriel escolhesse a resposta errada, ou caso contrário a brincadeira perderia a graça.

Gabriel pensou um pouco, repetiu as duas frases em voz alta, e por fim escolheu uma:

“‘Aline é honesta e trabalha num banco’ me parece mais provável.”

“Ai, Gabriel, coitadinho de você! Que dó!”

Era a resposta pela qual Ana torcia, e muita gente escolhe essa uma. Talvez a pessoa pense assim: os bancos precisam de funcionários honestos. Então, eles tomam muitos cuidados ao contratar funcionários, de modo a selecionar os honestos. Logo, que banco perna de pau contrataria uma Aline desonesta? Bancos assim não existem; se Aline trabalha num banco, pode apostar que é honesta, não é verdade?

Para a felicidade de Ana e a infelicidade de Gabriel, que teve de aguentar cinco minutos de amolação, não é verdade. “Aline trabalha num banco” é mais provável (no sentido de que sua probabilidade é maior) do que “Aline é honesta e trabalha num banco”. O estudante faz bem de estudar os motivos, pois têm a ver com avaliações rápidas de probabilidade — algumas vezes, tais avaliações são úteis.

Fig. 1

Nesta figura 1, A é o conjunto das mulheres, B é o conjunto das Alines, C é o conjunto dos que trabalham num banco e D, finalmente, é o conjunto das pessoas honestas. Note uma pequena imprecisão no desenho: o conjunto das Alines não é um subconjunto próprio do conjunto das mulheres. Isso significa que, por esse desenho, existem homens que se chamam Aline. Corresponde à realidade?

Para explicar a Gabriel por que escolheu mal, Ana desenhou os conjuntos da figura 1, com quatro conjuntos de certo conjunto universo U, que é o conjunto das pessoas, sejam homens ou mulheres. A é o conjunto das mulheres; B, o conjunto das mulheres que se chamam Aline; C, o conjunto das pessoas que trabalham num banco; e D, o conjunto das pessoas honestas. (Cada um desses conjuntos é subconjunto de U, isto é, cada elemento de cada um desses conjuntos também é elemento de U.) O desenho deixa algo bem claro: em situações normais de temperatura e pressão, o subconjunto das pessoas que podem dizer “Olá! Meu nome é Aline, eu trabalho num banco e sou honesta” é menor que os outros conjuntos do universo.

Gabriel duvidou.

“Sempre menor?”

Ana explicou:

“Se você disser que o conjunto das Alines honestas que trabalham num banco contém o mesmo número de elementos que o conjunto das Alines que trabalham num banco, estará dizendo que não existe nenhuma Aline, em nenhum lugar do Brasil, que trabalhe num banco e seja desonesta. Concorda comigo que isso é pouco provável?”

Gabriel balançou a cabeça como quem diz “jamais me entregarei”, mas concordou. Em livros de introdução ao pensamento matemático, os autores pedem ao estudante que ordene frases como as abaixo — da frase mais provável à menos provável:

• Aline é uma estrela do rock e trabalha num banco.

• Aline trabalha num banco.

• Aline é honesta e trabalha num banco.

• Aline é quieta e trabalha num banco.

• Aline é uma estrela do rock.

Bem, certamente há mais Alines trabalhando em bancos do que fazendo sucesso como roqueiras. Aliás, como há poucas roqueiras de sucesso que se chamam Aline, o conjunto das Alines estrelas do rock contém menos elementos que qualquer subconjunto das Alines bancárias. E talvez haja mais Alines honestas do que quietas. Então, o estudante pode ordenar as frases assim:

1º) Aline trabalha num banco.

2º) Aline é honesta e trabalha num banco.

3º) Aline é quieta e trabalha num banco.

4º) Aline é uma estrela do rock.

5º) Aline é uma estrela do rock e trabalha num banco.

De novo, a 4ª afirmação é mais provável que a 5ª porque a 5ª é subconjunto da 4ª: se existe alguma Aline que é estrela do rock e bancária, é também elemento do conjunto maior das Alines que são estrelas do rock, que inclui ainda as Alines que são estrelas do rock e jornalistas, ou biólogas, ou engenheiras, ou cartomantes, ou bailarinas, ou presidentas do Brasil, etc.

Quando o estudante se acostuma com esse jeito de raciocinar, não fica mais tão indignado de ler nos jornais sobre gatunos que escaparam da prisão.

“Eu não me canso de me indignar!”, disse Gabriel neste ponto da conversa.

“OK”, respondeu Ana. “Mas existe o conjunto F dos gatunos, o conjunto G das pessoas cuja culpa foi comprovada e o conjunto H das pessoas que foram presas. Veja só.”

 

Fig. 2

Nesta figura 2, F é o conjunto dos gatunos, G é o conjunto daqueles cuja culpa foi comprovada pela justiça, e H é o conjunto dos presos. Provavelmente, essa figura é verdadeira em todos os países; conforme o grau de civilização do país, varia o número de elementos dentro de cada conjunto e dentro de cada intersecção entre conjuntos

Dizendo isso, Ana esboçou a figura 2, que ambos ficaram olhando um tempo, em silêncio. Por fim, Gabriel disse:

“Vejo gatunos soltos. Gatunos cuja culpa não foi comprovada, mas que mesmo assim estão presos. Gatunos cuja culpa foi comprovada, mas que não foram presos. Inocentes cuja culpa foi comprovada, mas que, pelo menos, estão soltos. E vejo também inocentes cuja culpa não só foi comprovada, como foram presos. Eita mundo cão!”

“Pois é”, disse Aline. “Um país civilizado deve tentar fazer com que os três conjuntos coincidam, mas penso que isso é quase impossível; é pouco provável que o subconjunto dos gatunos presos porque sua culpa foi comprovada tenha o mesmo número de elementos que o conjunto dos gatunos. É mais provável que o conjunto dos gatunos seja maior, pois estamos falando da intersecção de conjuntos não vazios!” {FIM}


Observação:

Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 35, dezembro de 2013, pág. 44. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

O que estudantes de pós-graduação fazem o dia todo?


Artigo de: Yakov I. Berchenko-Kogan

Quem é o autor. Quando escreveu este artigo, Yakov era estudante de pós-graduação em matemática pura no Instituto de Tecnologia do Massachusetts (MIT), nos Estados Unidos.


O que você mais fará num curso de pós-graduação é ler livros e artigos científicos, tentando entender o que está acontecendo. A dificuldade é que ler matemática não é a mesma coisa que ler um romance de mistério, e nem mesmo como ler um livro de história ou um artigo do jornal The New York Times.

Eis o principal problema: quando um autor está trabalhando nas fronteiras da matemática, as palavras para descrever os conceitos ainda não existem. Comunicar tais ideias é mais ou menos como explicar um aspirador de pó a alguém que nunca viu nenhum, com o detalhe de que o autor procura usar as palavras mais simples que puder.

O que ele pode dizer?

“É um dispositivo que suga a poeira de modo que possa andar numa casa limpinha.”

É melhor que nada, certamente, mas com isso ele não te passa o que gostaria de dizer sobre um aspirador de pó. Posso usar um aspirador de pó para limpar as estantes de livros? Posso usá-lo para limpar um gato? Posso usá-lo para limpar o jardim?

Os autores de artigos e de livros estão tentando comunicar o que eles compreenderam, e do melhor modo possível sob tais restrições; contudo, se um dia você terá de trabalhar com aspiradores de pó, precisa saber mais.

Felizmente, nós matemáticos temos uma ferramenta incrível com a qual preencher a lacuna, a saber: quando criamos ou descobrimos um conceito, também criamos símbolos e notação explícitos, mais as regras lógicas pelas quais manipulá-los. É como receber (ou entregar, se você for um autor) as especificações técnicas e os diagramas para montar um aspirador de pó parte por parte.

O lado bom disso é que, pelo menos em tese, agora pode saber com 100% de certeza o que um aspirador de pó pode ou não pode fazer. O lado ruim é que ainda não tem a menor ideia de para que as peças servem, ou por que tem de arranjá-las do jeito que as tem de arranjar, exceto pela frase cifrada: “É um dispositivo que suga a poeira de modo que possa andar numa casa limpinha.”

Coitado do gato. Beleza: agora você é um estudante de pós-graduação, e seu orientador lhe entrega um artigo importante na sua área de pesquisa: “Um Dispositivo Que de Fato Suga Poeira”. Na introdução do artigo, o autor diz que “é um dispositivo que suga a poeira de modo que possa andar numa casa limpinha”, e outras coisas assim, bem razoáveis, mas vagas. Você folheia o artigo é vê que seu grosso é feito de diagramas e descrições técnicas de um aspirador de pó. E no fim há algumas referências bibliográficas:

“Como usar o fluxo de ar para sugar pó.”

“Como usar uma bobina de fio de cobre para fazer o ventilador rodar muito rápido.”

“O que você obtém naqueles buraquinhos na parede nos quais há fios de cobre.”

Então, o que faz? Tecnicamente falando, você se senta à mesa e pensa. Contudo, não é tão simples assim. Primeiro, fica lá, olhando aquele título e pensando [;)]: “Nossa, é quase como uma insinuação sexual.” Daí lê a introdução, que lhe diz gostosamente mais ou menos sobre as coisas incluídas no artigo, mas é completamente omissa sobre detalhes importantes.

Então você parte para os diagramas técnicos e fica completamente confuso, mas vai trabalhando parte por parte. Refaz quase todos os cálculos por si mesmo, apenas para ter a certeza de que entendeu tudo. Às vezes, seus cálculos descambam em resultados amalucados; daí tem de descobrir o que compreendeu incorretamente, e relê aquela parte do manual onde estão as explicações. Às vezes, nessa releitura, percebe que entendeu alguma coisa errada porque havia um errinho no artigo.

Depois de um tempo, as peças finalmente se encaixam, e você entende o que é um aspirador de pó. Na verdade, você sabe muito mais: agora se tornou um especialista em aspiradores de pó, ou pelo menos nesse aspirador específico, e sabe bem os detalhes de como ele funciona. Você se sente orgulhoso de si mesmo, embora ainda esteja longe de seu orientador: ele compreende todo tipo de aspirador de pó, até aqueles que andam sozinhos pela casa, e além do trabalho que faz com aspiradores de pó, participa dum projeto de ar-condicionado.

Você fica supercontente porque agora pode conversar com seu orientador de igual para igual, pelo menos sobre esse aspirador de pó específico, mas vê uma nuvem negra no horizonte. Ainda precisa escrever sua tese.

Então você fica lá, tentando imaginar o que poderia fazer com um aspirador de pó. Primeiro, é mais ou menos assim:

“Cara, eu poderia limpar estantes de livros! Isso seria superútil!”

Mas vai no Google e descobre que alguém já pensou nisso há dez anos.

OK, sua próxima ideia:

“Posso usar o aspirador de pó para limpar gatos! Isso também seria superútil!”

Mas (veja só!), com um pouco de pesquisa na literatura descobre que alguém já pensou nisso também, e não obteve bons resultados. Como você é um estudante de pós-graduação confiante nos seus poderes, decide que, com as novas técnicas que por acaso descobriu, pode corrigir os problemas que os outros pesquisadores tiveram, e fazer funcionar esse lance de aspirar gatos. Trabalha vários meses nisso, mas não vai além do que os outros já foram.

Assoprando bolhas. Depois disso, depois de pensar mais e de pesquisar um pouco sobre cabos de extensão, acha que seria factível usar um aspirador para limpar o jardim. Você olha a literatura e descobre: ninguém pensou nisso ainda! Você orgulhosamente diz isso a seu orientador, mas ele faz umas contas bem rápidas num pedaço de papel, usando conceitos que você não entende direito, e diz que é bem possível que esse lance de aspirar o jardim não funcione. Diz algo na linha:

“O aspirador é pequeno demais para limpar lá fora, sem contar o fato de que já existem ferramentas mais adequadas para o jardim, as ruas, as praças.”

Essa lenga-lenga dura uns anos. Finalmente, você escreve uma tese sobre como virar um aspirador de pó de ponta-cabeça, inverter o sentido das hélices e submergir a parte de cima na água. Ele assopra bolhas!

O comitê de pós-graduação não tem certeza se isso vai ser útil um dia, mas o lance parece legal, e as ilustrações das bolhas ficam lindas, de modo que acham que um dia alguém vai achar alguma aplicação para elas. Talvez.

E, de fato, você dá sorte! Depois de uns cem anos, alguém pega sua ideia (e mais um monte de outras ideias) e desenvolve bombas de ar para aquários, uma ferramenta essencial no campo cada vez mais importante da pesquisa sobre habitat artificiais para peixinhos dourados.

Uau! Viva!


Observações:

1. Publiquei esse artigo pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 45, outubro de 2014, pág. 64. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Hoje Yakov é professor de matemática na Washington University na cidade de St. Louis.