Matemática: enfeiada pela escola

Todo amante de matemática sabe o quanto ela é divertida, instigante, viciante, satisfatória. Por que então há quem não veja nela nenhuma graça?


Logo que terminou o doutorado, Vanderlei Horita, vice-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), recebeu a visita de um colega de pesquisa. Matemáticos que colaboram num trabalho costumam se encontrar pessoalmente para discutir ideias, mostrar esboços, organizar os próximos passos do trabalho. “Nessas ocasiões, aproveitamos o tempo o máximo possível, incluindo finais de semanas e feriados”, explica Vanderlei. Então outros amigos, não matemáticos, ficaram curiosos com o trabalho. “Perguntaram se passávamos o tempo todo fazendo contas, qual o ‘tamanho’ dos números envolvidos e se os computadores não faziam isso melhor que a gente.” Vanderlei encarou o desafio de explicar o que faz um matemático, mas diz que até hoje acha difícil fazer isso sem que o interlocutor perca o interesse depressa.

John William MacQuarrie, matemático escocês e pesquisador na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), acha compreensível que uma pessoa escolhida ao acaso na rua não saiba dizer o que a matemática é — ou que ainda a defina com características que ela não tem. “Isso não é estranho”, diz John, “porque nós matemáticos também não sabemos o que ela é.” Porém, enquanto o matemático tem a certeza de que é algo maravilhoso, vários leigos a acham feia, inútil, entediante.

Para Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos da Editora Moderna, a culpa não é da matemática, em geral, mas sim da matemática escolar. “A escola costuma desfigurar o conhecimento não só da matemática, como também de outras áreas.” Outros especialistas, como Antonio Carlos Rosso Júnior, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, também listam outras razões, como seu caráter abstrato demais. “As pessoas querem resultados de imediato, e é difícil ver as aplicações diretas da matemática no dia a dia”, diz Antonio Carlos. “É diferente com a química ou a biologia, nas quais descrevemos objetos ou entes concretos da natureza. Com a matemática, descrevemos uma versão muito ideal do universo.”

A matemática é inútil. Muita gente tem essa impressão, mas, se colasse um selinho com os dizeres “Esta Coisa Contém Matemática” em tudo o que é feito ou construído com a ajuda de bastante matemática, haveria um selinho desses em todo computador, todo carro, todo telefone, todo avião, todo semáforo, todo filme de cinema… Porém, porque ela pertence aos bastidores, ninguém a vê. Cristina Acciarri, pesquisadora no departamento de matemática da Universidade de Brasília, lista sem esforço as várias aplicações da matemática. “Se pensar num cartão de crédito, ou na criptografia para a segurança na internet, por exemplo, estamos falando de conceitos matemáticos. Para criar essas soluções, digamos, fáceis para nosso dia a dia, os matemáticos resolveram problemas difíceis, ou até mesmo recorreram a soluções parciais de problemas sem solução.”

Quando dá aulas para turmas de engenharia, Cristina volta e meia precisa responder à inevitável pergunta: para que estudar álgebra linear? “Até para eles, que se interessam e têm maior contato com a matemática, é complicado entender por que precisam estudar certos conceitos.” Cristina então conta como hoje é impossível fazer desenhos animados sem álgebra linear. Ela desenha na lousa um plano cartesiano com um bonequinho, e daí pergunta como pode movê-lo de uma região a outra sem deformá-lo. Em resumo, o aluno deve multiplicar matrizes; o produto dessa multiplicação é a nova posição do bonequinho. Noutras vezes, o aluno encrenca com vetores de ordem 4, ordem 5, ordem n. Não vê utilidade em estudar tantas dimensões, já que o mundo tem apenas três. “Nem sempre a aplicação é do tipo geométrico”, diz Cristina. “As informações que armazenamos dentro de uma matriz podem ser de qualquer natureza, como as variáveis do trânsito em Brasília: o tipo de carro, a estrutura das ruas, o horário em que está ocorrendo o estudo.” Cada uma dessas observações compõe uma das dimensões do vetor, que facilmente chega a muitas dimensões.

Ricardo Miranda Martins, matemático da Universidade de Campinas, diz que, para entender muitas aplicações, o leigo teria de entender conceitos mais avançados. Além disso, reconhece que, em geral, os matemáticos não fazem propaganda de tão boa qualidade quanto os físicos fazem. “Vemos com frequência em filmes e séries de TV termos como viagem no tempo, relatividade, e mecânica quântica de forma muito mais ficção científica do que são na realidade: um monte de equações matemáticas difíceis de resolver, ou mesmo de entender.” Ricardo também menciona outra explicação: o currículo de matemática, tanto no ensino básico quanto no superior, é grande demais. Nem sempre sobra tempo para mostrar as belas aplicações.

Basta pegar um livro de história da matemática para ver o contraste entre como a escola ensina os conceitos e como os matemáticos os criaram e investigaram suas propriedades. O processo histórico lembra uma criança que aprende a andar: há muitos tombos, muitos recomeços, muita diversão. Nos anos 1960, quando Luiz Márcio Imenes era estudante, usava como livro didático uma adaptação d’Os Elementos, de Euclides. “O professor Manfredo Perdigão, do Impa, disse uma vez numa palestra que adotar Euclides como livro didático é um grande equívoco; esse livro é mais bem entendido por filósofos e matemáticos. N’Os Elementos, a matemática aparece desprovida de vida, sem as contradições e as motivações do matemático.”

Mesmo hoje, estudantes ainda usam livros que copiam o modelo de Euclides: axiomas, definições, regras de inferência, teoremas, aplicações — sem contar nenhuma história de contexto, nenhuma história de aventura ou descoberta. Um livro assim lembra uma lista de dogmas. “Há quem sugira um modelo mais próximo do de Arquimedes, que misturava experimentação e dedução”, diz Imenes. “É uma matemática mais viva, impregnada de sentido e significado.” Sim, professores e alunos têm de formalizar a matemática, mas não sem antes experimentar muito, pois, para Imenes, apresentar a matemática pronta e acabada beira a calamidade.

Helenara Sampaio, coordenadora da licenciatura em matemática na Universidade Norte do Paraná, diz que os povos precisaram de matemática para desenvolver a agricultura, a navegação, a ciência. Se hoje o estudante tem celular, computador, e videogame, foi porque os matemáticos resolveram problemas difíceis, muitos dos quais nos últimos 100 anos. Num escritório qualquer, restaria pouca coisa se retirassem dele tudo o que foi construído graças à matemática.

A cada ano os matemáticos criam cada vez mais matemática; o número de artigos em revistas especializadas aumenta com muita rapidez. John MacQuarrie, da UFMG, arrisca um chute: “Talvez haja dez vezes mais artigos por ano agora do que havia há dez anos.” Contudo, hoje mais do que antes, em geral o matemático trabalha motivado por perguntas muito abstratas, ainda sem nenhuma possibilidade de aplicação prática. (Exceção feita aos matemáticos que se interessam por problemas surgidos nas outras ciências.) Cristina explica: muitas vezes, o matemático está interessado em beleza; ele se deixa guiar apenas pela própria curiosidade. “É um pouco como a filosofia. Se você pensar bem, qual é a aplicação prática filosofia?”

Cedo ou tarde alguém acha aplicação prática para alguma ideia matemática. John diz que as regras da matemática servem como imagem aproximada de fenômenos do mundo real. “Mas as aplicações da matemática não são a mesma coisa que a matemática em si.”

A matemática é uma ciência. Até matemáticos às vezes dizem que a matemática é uma ciência; quanto mais estudantes e professores comuns. Muitos matemáticos, contudo, não se incomodariam se a classificassem como uma arte: a arte de criar objetos ficcionais perfeitamente definidos, tão simples quanto possível, e de depois disso investigar suas propriedades. O cientista tem a obrigação de descobrir como o universo funciona — as proteínas, as galáxias, os pulmões. As regras já existem, e não podem ser modificadas pela mera vontade humana. O matemático cria universos novos para depois explorá-los, e quando se cansa de explorar um desses universos, muda as regras e o transforma num outro. (E depois ainda descobre que pode correlacionar os dois com algum tipo de morfismo…)

Até filósofos têm de trabalhar sob condições mais estritas. “O filósofo”, diz John, “tem de justificar suas proposições.” John quer dizer o seguinte: o filósofo mostra que as afirmações A e B implicam a afirmação C, mas, antes que possa asseverar que C é verdadeira, tem de justificar A e B. Se não fizer assim, seu leitor não vai aceitar C. Não é a mesma coisa com o matemático. Ele pode presumir que A e B são verdadeiras, e daí provar a implicação. Aliás, ele com bastante frequência presume a verdade das premissas e segue em frente. Afinal, como poderia provar, recorrendo a experimentos no mundo real, a existência de segmentos de reta que podem ser divididos indefinidamente em duas partes iguais? Isso é impossível.

Outro ponto no qual matemáticos e cientistas diferem: o peso que dão às evidências. Se um cientista achasse 400 quadrilhões de evidências em favor de uma explicação, e nenhuma evidência contrária, ele a classificaria como “explicação excelente”. Que tal pensar agora na conjectura de Goldbach?

Conjectura de Goldbach. Todo inteiro par maior que 2 é igual à soma de dois números primos.

De fato: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, …, 154 = 71 + 83, etc. A conjectura já foi confirmada para os primeiros 4 ∙ 1017 inteiros positivos. Qualquer cientista ficaria feliz com isso, e se daria por satisfeito, mas não o matemático, que só classificará a conjectura como teorema no dia em que alguém publicar uma demonstração cabal.

É coisa de gente sem criatividade. Helenara Sampaio, da Unopar, ouve o tempo todo comentários de que a matemática só complica tudo; estão sempre questionando sua utilidade. Imenes diz que as pessoas têm essa impressão porque se acostumaram a vê-la de modo deturpado. Muitas vezes, diz Imenes, a escola omite as aplicações e conexões que existem dentro da própria matemática. “Quanto mais as relações que ela tem com a arte e outras disciplinas!” Se na escola o leigo só conheceu a matemática feia, é fácil imaginá-la como O Reino dos Sem Imaginação. “É ficar fazendo contas como um papagaio”, diz Imenes. “O ser humano não tolera coisas sem sentido; procuramos nexo nas coisas.”

A ideia de que a matemática embota a criatividade é tão forte que, entre os que acreditam nessa ideia, é fácil encontrar quem diga: a matemática estraga a experiência de vida — pois deixa tudo “excessivamente racional”. A verdade é que o matemático profissional, para resolver um problema difícil, tem de recorrer a doses cavalares de criatividade. Quase sempre, a resolução de um grande problema faz surgir uma nova área da matemática, e com ela fica mais fácil ver coisas que antes ficavam invisíveis — isto é, com ela o mundo fica mais bonito. Se hoje o homem pode construir uma sonda espacial, enviá-la ao espaço para fazer medições, e com as medições calcular o raio do universo visível (46 bilhões de anos-luz; quem não fica de queixo caído diante de uma informação dessas?), é porque Bolyai, Lobachevsky, e Riemann criaram as geometrias não euclidianas no século 19.

Cristina lembra como muita gente se orgulha de dizer que não tem cabeça para a matemática. “É como se, ao dizer que não sabe nada de matemática, a pessoa mostrasse como é imaginativa, artística.” Mas nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura, pois seria tachada de ignorante. John diz que não há nada mecânico ou automático na matemática, e se algum aspecto dela se torna automático e mecânico, o matemático não hesita em delegá-lo a computadores. “Quando dizemos que o matemático precisa de criatividade”, diz John, “não é criatividade para fazer contas, mas sim para manejar ideias.” Cristina diz que matemáticos muitas vezes agem como crianças. “Eles deixam a mente bem aberta, pois caso contrário as ideias não aparecem.” Ela até acha que se transformou numa pessoa melhor graças à matemática, ou melhor, graças ao hábito de olhar um problema de vários ângulos. “Isso me ajudou a ser menos impulsiva. Muitas vezes, estou vendo o cantinho de um problema, mas mudo o ângulo e percebo que ele é bem maior.” Cristina reconhece ainda: se as pessoas não conhecem bem a matemática, isso também é culpa dos matemáticos, que não sabem se comunicar direito.

Para Vanderlei Horita, da SBM, a culpa é também da própria matemática: provoca tanto contentamento que, para o matemático, divulgar seu trabalho se torna secundário. O matemático se envolveu numa atividade na qual cria regras das quais surgem universos novos e maravilhosos. “Certa vez, tive a ingenuidade de contestar a frase tão certo quanto 2 mais 2 são quatro”, diz Vanderlei. O leigo só conhece a aritmética comum, mas há muitas décadas os matemáticos recorrem à aritmética módulo m, na qual 2 + 2 = 1 ou 2 + 2 = 0. Para entender essa ideia melhor, o estudante pode desenhar um relógio com 3 números:

Fig. 1

Daí, com o dedo repousado em zero, começa a contar: 1, 2, 3, 4 movendo o dedo para 1, 2, 0, 1. Com isso, pode dizer que, na aritmética módulo 3, o 4 é congruente a 1. Pode fazer o mesmo para entender a aritmética módulo 4. Desenha outro relógio, desta vez com quatro números: 0, 1, 2, 3:

Fig. 2

Conta 1, 2, 3 apontando para 1, 2, 3, mas ao contar 4 só lhe resta apontar o 0. Com isso, conclui que, na aritmética módulo 4, 2 + 2 = 0. E ainda assim o estudante pode se divertir com uma ideia bonita: 2 + 2 é sempre igual a 4, mesmo nas aritméticas nas quais o algarismo 4 não existe.

Feia, feiíssima. Muita gente acha que a matemática é feia, mas todo professor de matemática e todo matemático pode testemunhar o contrário: ela provoca prazeres estéticos parecidos com aqueles que uma pessoa sente quando aprecia uma escultura ou ouve um concerto. John MacQuarrie (UFMG) é algebrista e, para mostrar a verdadeira cara da matemática, gosta de explicar o que é um grupo. Primeiro, cita um exemplo de grupo: os números inteiros com a operação de adição. O estudante adiciona 3 ao 4 e obtém 7, que também é um inteiro. Ou então subtrai 3 de 4 e obtém 1, outro inteiro. Ele pode então generalizar essa ideia ao definir um grupo:

Um conjunto G fechado para uma operação , isto é, ao pegar dois elementos a e b em G, e ao combiná-los segundo as regras que especificam a operação , obtém um terceiro elemento que também está em G. (Em outras palavras: o elemento a b também está em G.) Além disso, num grupo existem três regrinhas:

• Para todo a, b, e c em G, a (b c) = (a b) c, isto é, nele vale a propriedade associativa.

• Existe em G um elemento identidade e tal que a e = e a = a para todo a em G.

• Para cada a em G, existe um elemento inverso a’ em G tal que a a’ = e.

Desde criancinha, o estudante sabe que números inteiros têm a propriedade associativa, e que existe um número, o zero, tal que se adicioná-lo a qualquer outro inteiro (como 0 + 1, 0 + 2, 0 + 3, …) obterá como resultado o próprio inteiro (pois 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3, …). Assim como cada número tem seu inverso: o de 0 é o próprio 0, o de 1 é –1, o de 2 é –2, e assim por diante. “Agora esqueça os números, esqueça as simetrias”, diz John. “Você tem apenas essas três propriedades. Então, pode usá-las para estudar objetos no mundo abstrato que também as tenham. Acho os grupos lindos de um jeito muito prático. Essas três regras são exatamente o que precisam ser, fazem exatamente o que precisam fazer.”

Matemáticos muitas vezes veem a beleza num conceito matemático, como o de grupo, por causa de suas propriedades, isto é, por causa do que conseguem fazer com ele. No caso da teoria dos grupos, se podem provar que certo objeto muito complexo é um grupo, podem também provar que existe uma correspondência entre tal objeto e o grupo dos números inteiros com a operação de adição. Ora, existem muitos teoremas úteis sobre os inteiros com a adição, e o estudante pode usá-los para descobrir coisas sobre esse objeto mais complexo. Ele pode até verificar que vale para seu grupo a conjectura de Goldbach.

Para Antonio Carlos, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, muita gente fica com a ideia errada porque estuda a matemática como se fosse meramente um conjunto de procedimentos, e não como um conjunto de ideias a partir das quais os matemáticos desenvolveram os procedimentos. Quando estuda a multiplicação de dois dígitos, por exemplo, o estudante talvez ache uma chatice repetir um algoritmo aparentemente sem pé nem cabeça. Por exemplo, ao fazer 12 vezes 15:

No livro Matemática: Uma Breve Introdução, o matemático britânico Timothy Gowers explica por que tanta gente odeia a matemática. Matemáticos constroem conceitos novos em cima dos antigos. Se o leigo acha o algoritmo da multiplicação de números com dois dígitos uma chatice, tem de voltar uns passos para trás e compreender seu mecanismo: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Para visualizar isso melhor, o estudante usa um desenho de quadradinhos, como o da figura 3. Ao somar os quadradinhos, pode ver que está fazendo o seguinte ao usar o algoritmo da multiplicação: 2·(10 + 5) + 10·(10 + 5).

Fig. 3

“Sem isso [a propriedade distributiva] é natural que você se sinta pouco à vontade ao expandir expressões como (x + 2)(x + 3), e isso implica que não compreende bem as equações quadráticas”, escreveu Gowers. “E, não tendo uma boa compreensão das equações quadráticas, não perceberá por que a razão áurea é (1 + √5)/2.”

Por pouco. Visto que é difícil entender bem uma matemática mais avançada sem entender conceitos básicos, muitos jovens nunca descobrem que a má reputação da matemática vale (quando vale) apenas para a matemática no ensino básico. Cristina explica: “É como aprender a falar para aprender a escrever poesia.” É mais charmoso escrever poesia do que simplesmente falar, mas uma coisa não vem sem a outra. Cristina sabe pouco sobre como funciona o ensino médio no Brasil, pois estudou na Itália, mas acha que o brasileiro se interessa tanto por matemática quanto qualquer outro cidadão de qualquer outro país. A diferença entre o Brasil e a Alemanha, por exemplo, é que na Alemanha há mais especialistas interessados no trabalho de divulgar a matemática. Quando era estudante, Cristina já gostava de matemática, mas visto que só via contas, equações, algoritmos, etc., não se interessava tanto assim.

Por acaso, leu um livro sobre matemática e simetrias. “Não lembro mais o nome, mas era um autor dos Estados Unidos. O livro tinha muitas imagens, desenhos, e falava da matemática na vida, na simetria das flores, da série de Fibonacci que aparece em vários lugares…” Então ficou em dúvida entre fazer letras ou matemática, mas como a matemática era algo misterioso, resolveu descobrir mais sobre ela. Seus pais a apoiaram, se bem que com alguma reticência. “Quando cheguei lá, achei a matemática uma coisa muito mais bonita do que imaginava.” John conta uma história semelhante: na Escócia, a reputação da matemática também é ruim, mas tudo mudou na universidade. “Para mim foi incrível descobrir que não existe só um tipo de infinito — incrível!” Ricardo Martins é outro caso de “por pouco não fiz matemática”. Quando prestou o vestibular, escolheu matemática com o propósito de pedir mais tarde a transferência para o curso de computação. “Eu mesmo tinha a ideia equivocada de que precisaria decorar fórmulas. Quando descobri que elas vinham de algum lugar, comecei a achar tudo muito interessante e segui a carreira.”

Quantas outras pessoas não dariam ótimas matemáticas, e não seriam até mais felizes, não fosse a péssima reputação da matemática? Uma vez, o matemático Bertrand Russell (1872-1970) escreveu (tratando de outro assunto): “É como a teoria de que sempre acabamos descobrindo o assassino. Evidentemente, todos os assassinos que conhecemos foram descobertos, mas quem pode calcular o número daqueles sobre os quais nada sabemos? Da mesma forma, todos os homens de gênio de que já ouvimos falar triunfaram sobre circunstâncias adversas, mas não há razão para supor que não tenham existido diversos outros gênios malogrados durante a juventude.” Não há razão para supor que, tivesse a matemática boa fama, muitos dos que hoje se orgulham de não ter cabeça para os números passariam horas, felizes da vida, pensando sobre coisas como a aritmética módulo m e a conjectura de Goldbach. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Danielle Ferreira e Dubes Sônego.

3. Um dos entrevistados pergunta: “Qual é a aplicação prática da filosofia?” Eu acho mais fácil mostrar as aplicações práticas da filosofia (aparentemente, não há nenhuma) do que as aplicações práticas da matemática (certamente, há muitas). Pois, se você disser, “A filosofia não é importante”, não tem escolha senão defender essa tese com um argumento de natureza filosófica! Logo, a filosofia é inescapável e, na verdade, os seres humanos estão filosofando constantemente, mas aqueles com bom treinamento em filosofia percebem quando estão a filosofar, e aqueles sem treinamento não percebem. O filósofo britânico Simon Blackburn costuma dizer que a filosofia é como qualquer outra atividade — é algo que podemos fazer bem ou mal. Quem estuda filosofia, com a prática percebe quando está a filosofar, e até consegue dizer se está filosofando bem ou mal. Quem não estuda, não percebe, e portanto não tem ideia se está filosofando mal. Além disso, poucos sabem que o método científico, que é talvez a maior criação da humanidade, surgiu de discussões filosóficas, e até hoje está sendo aperfeiçoado por meio de discussões filosóficas.

4. Em certa altura do texto, eu digo: “Nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura.” Como o mundo muda! Sou admirador de Heráclito, e portanto não deveria ficar surpreso ao constatar que o mundo muda, mas me surpreendi mesmo assim. Hoje muita gente se orgulha de dizer que não leva jeito para a leitura; hoje muita gente não mais percebe essa deficiência com embaraço. Outro dia, eu conversava com um sujeito e ele me disse, com evidente satisfação: “Eu nunca li um livro na vida, e até hoje não me fez nenhuma falta!”

5. Quando mencionei a aritmética módulo m, fiz uma pequena simplificação para não deixar o texto confuso. O que eu deveria ter escrito, se não quisesse evitar símbolos técnicos, é 2 + 2 1 (mod 3) em vez de 2 + 2 = 1, e 2 + 2 0 (mod 4) em vez de 2 + 2 = 0. Se o leitor quiser saber mais sobre aritmética módulo m, clique aqui.

6. Digo no texto que, para muita gente, a matemática deixa o mundo “excessivamente racional”. O filósofo britânico David Hume (1711-1776), em várias passagens de seus livros, defendeu a tese de que o ser humano não é guiado pela razão, mas sim por suas paixões. “A razão é, e deve ser, escrava das paixões, e não deve ambicionar nenhuma outra responsabilidade senão servir e obedecer às paixões.” Hume cita vários exemplos para justificar a afirmação, todos mais ou menos com esta estrutura: Se uma pessoa nota que há uma relação de causa e efeito entre praticar ginástica e emagrecer, e se descobre que terá vantagens ao emagrecer, ela mesmo assim não vai praticar ginástica para emagrecer, a não ser que tenha a vontade de emagrecer.

Acho que Hume tem razão: em primeiro lugar vem a vontade (para usar o palavreado de Nietzsche), e em segundo lugar o agente usa a razão para ver como realizar sua vontade. As pessoas percebem isso, por instinto; mas não sabem articular bem essa percepção. Logo, quando topam com alguém de perfil matemático, de perfil mais lógico ou filosófico, elas logo desconfiam: “Tais palavras racionais estão a serviço de que espécie de paixão? Que paixão se esconde atrás de tantos axiomas, teoremas, fórmulas, argumentos? Que vontade está querendo se impor? Que vontade está querendo suplantar a minha vontade?” Como nem todo amante de matemática conhece essa característica da psicologia humana, ele apresenta seus argumentos muito racionais sem antes pensar bastante sobre vontades e emoções — e imediatamente deixa o interlocutor com um pé atrás. Quanto ao interlocutor, tendo se sentido compelido a se retrair, e sem ter visão clara dos motivos (pois agiu instintivamente), sente-se acuado — e daí surge a sensação de que a matemática estraga a experiência do mundo, pois deixa as coisas “excessivamente racionais”.

Corolário. Um bom sistema de ensino deve ajudar os alunos a conhecer suas emoções, as emoções dos outros, e a governar essa economia de emoções tanto quanto possível; e logo depois disso, deve ensinar aos alunos como pôr a razão a serviço da vontade — incluindo usar a razão para dar à luz novas vontades.

Cuidado com elogios: elogie apenas o esforço

Especialistas sugerem: muito cuidado ao elogiar estudantes de matemática, especialmente se o estudante é criança. O formato do elogio influi no modo como ela encara os estudos. Quem elogia a inteligência da criança, passa a impressão de que suas conquistas decorrem de talento (inato), e de que estudar é coisa para burrinhos. Quem elogia o trabalho ajuda mais, pois, na matemática, esforço e persistência rendem mais frutos que talento nu e cru.


{1}/ Criando burrinhos talentosos

Há alguns anos, crianças de 10 a 12 anos participaram de um estudo sobre aprendizagem no qual resolveram três séries de problemas de raciocínio lógico. Depois que as crianças resolveram a primeira série, foram divididas em três grupos: no primeiro, receberam a informação de que haviam acertado 80% das questões, e foram elogiadas pela inteligência e pela esperteza; no segundo, também receberam a informação de que haviam acertado 80% das questões, mas foram elogiadas pelo esforço; no terceiro, receberam a mesma informação dos 80% e não foram elogiadas de nenhuma forma. Depois disso, as crianças tiveram a chance de escolher qual tipo de problema gostariam de resolver em seguida; receberam uma lista mais ou menos assim:

• Problemas não tão difíceis, para não errar muito.

• Problemas bem fáceis, para me sair bem.

• Problemas nos quais sou muito bom, para mostrar como sou esperto.

• Problemas que me façam aprender bastante, mesmo que me façam parecer meio burrinho.

Nessa segunda série, todas as crianças, independente da resposta que deram, trabalharam com problemas muito mais difíceis, e naturalmente seu desempenho foi bem pior que na primeira série. Depois de ouvir a avaliação, responderam a algumas perguntas do tipo: Você gostaria de persistir nos problemas? Gostou de tentar resolvê-los? Por que acha que foi mal? Depois disso, resolveram a terceira série de problemas, cujo nível de dificuldade era equivalente à primeira. Ao fim do estudo, os avaliadores tomaram o cuidado de dizer às crianças que, na verdade, os problemas da segunda série eram avançados, e que resolver um único deles já era grande conquista.

As duas autoras do estudo queriam medir como o elogio influencia no desempenho do estudante. Viram que crianças elogiadas pela inteligência preferiram resolver problemas mais fáceis, em vez de escolher desafios com os quais pudessem aprender coisas novas; ou seja, quiseram apenas reafirmar sua inteligência. Tais crianças também demonstraram menor prazer ao resolver a segunda série, foram menos persistentes, e atribuíram o mau desempenho à própria falta de inteligência, ao tipo de problema, ou à falta de tempo para resolvê-lo.

Uma das autoras, Carol Dweck, publicou esse e vários outros estudos sobre como os elogios afetam o desenvolvimento infantil. Na matemática, os efeitos negativos de elogios mal colocados aparecem logo nos primeiros anos: a criança aprende contas de mais e de menos com certa facilidade, e é elogiada pela inteligência, mas, no decorrer do curso, depois de estudar conceitos mais sofisticados (multiplicação, divisão, frações, potenciação), passa a acreditar que suas dificuldades surgem porque não é inteligente o bastante.

O monitor. Professores, pedagogos e especialistas em educação estão sempre se perguntando como motivar crianças e jovens a estudar, tanto aqueles com dificuldade quanto aqueles com facilidade. A certa altura, quem sente dificuldade desiste de entender a matéria, enquanto quem sente facilidade se entedia com o ritmo lento das aulas e por fim desiste de participar. Alguns professores dão balas para quem tira dez na tabuada, outros deixam o bom aluno sair mais cedo para o recreio. E sempre é de praxe elogiar: “Que inteligente! Que esperto!”

Sérgio Friedman dá aulas no segundo ano do ensino médio, na Escola Vera Cruz, em São Paulo (SP). E se lembra de um aluno (o aluno X) que tinha muita facilidade nos exercícios, mas parecia desanimado e interagia pouco com os colegas. Sérgio teve duas ideias comuns entre professores de matemática: elogiar o desempenho e propor exercícios mais difíceis. “Meu trabalho como professor é mostrar ao aluno que, se chegou a certo patamar, devemos colocar um desafio a mais. Eu o elogio como um empurrão, no sentido de dizer: você pode se superar e ir além.” Muitas vezes, contudo, esse tipo de aluno se acomoda ao que já sabe e perde o interesse, e foi o que aconteceu com X. Quando elogios e desafios não resolveram o problema, Sérgio teve a ideia de ajudá-lo a se enturmar com a classe. “Acredito que uma coisa importante do conhecimento é socializá-lo.” Não é para isso que matemáticos escrevem teoremas? Ou compartilham conjecturas e problemas sem solução? Uma grande e prazerosa parte de fazer matemática é trocar ideias sobre seus objetos de pesquisa, ouvir a opinião de outros matemáticos, concordar com eles ou duvidar deles. Sérgio fez então um convite ao aluno X:

“O que acha de me ajudar com as dúvidas dos colegas?”

Nas aulas de exercícios, X virou uma espécie de monitor; terminava os exercícios e ia ajudar os colegas. “Ao usar o conhecimento para ajudar os outros, esse aluno começou a aprender muito mais, porque a melhor maneira de aprender é ensinar os outros. Além disso, o conhecimento dele passou a ter outra função: não era mais só para si mesmo, mas era para ser compartilhado.” O aluno X passou a ser reconhecido não só como alguém com talento para a matemática, mas alguém disposto a usá-lo em prol dos colegas. Com isso, em vez de apenas buscar desafios mais difíceis, passou a buscar novas estratégias para abordar e explicar os mesmos problemas. Hoje, a cada nova turma de segundo ano, Sérgio busca gente disposta a colaborar da mesma forma. “Os alunos têm uma linguagem própria e às vezes são melhores que o professor para traduzir as dúvidas dos colegas.”

Com esse episódio, Sérgio se lembra de si mesmo quando era aluno, pois também ajudava os colegas. “Seja qual for a etapa da vida, elogio é bom. Lembro alguns do meu tempo de estudante, mas para falar a verdade me sentia melhor com os elogios que recebia por comunicar aquilo que tinha entendido. Lembro desses elogios muito mais do que aqueles do tipo parabéns por ter acertado o exercício.”

Explorador de estratégias. Jovens chegam ao ensino médio certos de que só compreende matemática quem nasce com talento, quando na verdade vários especialistas dizem que o trabalho duro compensa mais. Sérgio lembra que, há quatro anos, uma aluna (a aluna Y) lhe disse a famosa frase: “Nunca fui boa de matemática.” Tentou entender os motivos (sempre há um episódio traumático, quando não uma saga inteira) e imaginou como poderia usar o que Y já sabia bem. Y tinha facilidade com geometria, e por isso Sérgio lhe passou desafios de geometria. Assim que Y ficou mais confiante, passou a incentivá-la a atacar outros assuntos, como a álgebra, que antes considerava impossível de entender. Nem sempre o aluno vira um ás, diz Sérgio, mas é importante quebrar o estigma de que o sujeito é ruim de matemática desde o berçário do hospital e não pode fazer nada a respeito. “Ela ganhou autoconfiança e eu, como professor, percebi que conseguimos mudar a atitude de um aluno que vê a matemática como algo inatingível.”

O estudante faz bem se pratica esses dois hábitos: o de abordar um problema de vários ângulos e o de partir das ideias que já conhece bem para avançar por outras áreas da matemática. Thales do Couto, coordenador de matemática do Colégio Santo Inácio, no Rio de Janeiro (RJ), sempre diz aos alunos: “Meu papel é dar a vara de pescar e a linha. Vocês têm de pegar o peixe.” Com isso, espera que criem soluções diferentes para entender a matéria e resolver exercícios. “Hoje a educação é como uma parceria; o aluno e o professor têm de se comprometer, dentro dos limites e do respeito.” Sérgio acha que, se o conteúdo a ser ensinado continua mais ou menos o mesmo, a forma de ensinar mudou. Se os alunos têm informação fácil e rápida a qualquer momento, qual será o papel do professor? “Não basta só saber matemática como antes; essa é apenas uma parte do trabalho.”

Hoje o professor deve estar pronto para improvisar. Thales gosta de tratar a turma como um grupo de matemáticos atacando um problema em aberto. Assim sua aula funciona como uma conversa. “Digo a eles que não sou o dono da verdade.” Ele escreve na lousa uma equação de 2º grau, como x2 – 2x + 1 = 0, e pergunta:

“Quem tem um palpite sobre como resolvê-la?”

Nesse momento, ninguém sabe de nada; professor e alunos estão no mesmo patamar. Daí alguém sugere fatorar a equação:

“E se reescrever assim: x( x – 2) + 1 = 0?”

Outro aluno talvez se lembre de um famoso produto notável: o quadrado da diferença entre dois termos.

“Não será melhor assim: (x – 1)( x – 1) = 0?”

Não demoram muito a perceber que, para o lado esquerdo da equação ser igual a zero, ou a operação no primeiro parênteses ou a no segundo deve ser igual a zero, e para isso acontecer x tem de ser igual a 1. “Eu os elogio para incentivá-los a palpitar”, diz Thales, “e depois vamos verificando o que cada um propôs. Essas discussões deixam a aula interessante.”

José Luiz Pastore Mello, professor no Colégio Santa Cruz, em São Paulo, acha que certos elogios diante da turma toda trazem benefícios tanto para o aluno elogiado quanto para os colegas; por exemplo, quando alguém sugere uma estratégia diferente daquela mencionada pelo professor. Daí, ele elogia não a inteligência ou a esperteza, mas o jeito de pensar. “Isso mostra para a classe que existem várias maneiras de pensar as questões matemáticas. Se fico só na minha abordagem, perco muito disso.”

Às vezes, o professor também aproveita uma deixa para incentivar a turma a pensar diferente. Pastore sempre se lembra de uma aula de trigonometria na qual desenhou um círculo na lousa com um compasso gigante. Quis refazer o círculo, que ficou feio, mas tinha perdido o ponto central. Aproveitou para questionar os alunos sobre como encontrar o centro do círculo apenas com compasso; é um problema conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni (o teorema diz que qualquer construção geométrica que pode ser feita com régua e compasso, pode ser feita só com compasso; veja a explicação completa clicando aqui, e vá direto para a seção 3). Os alunos ficaram empolgados e durante dias buscaram na internet a demonstração do problema.

Pastore incentivou a pesquisa, até que um grupo de alunos encontrou a demonstração num website italiano. Elogiou o esforço dos meninos e pediu que estudassem melhor a resolução do problema, para apresentá-la ao resto da turma. “Eles traduziram a resolução do italiano e se mataram de estudá-la, e ela era, diga-se de passagem, bem complexa. Depois a apresentaram para a classe.” Era o último bimestre e um dos meninos no grupo estava reprovado, pois tinha ido mal em quatro matérias, uma das quais a matemática. Pastore prometeu um bônus pela pesquisa e a apresentação do problema, assim o menino conseguiu a nota que lhe permitia fazer mais uma recuperação. Ele conseguiu passar de ano.

Tempos depois, Pastore estava no cinema quando alguém na fila o cutucou:

“Oi, professor, lembra de mim?”

“Lembro! Você é um dos meninos do problema de Mascheroni.”

“Exatamente, professor. Quero te contar uma coisa: estou no último ano de engenharia.”

Pastore fica emocionado ao contar a história. “Um menino praticamente reprovado em matemática, mas que depois de incentivado, desafiado, e elogiado, hoje em dia já deve ser engenheiro formado.”

Elogios sinceros, diz Pastore, mostram ao aluno que o professor está prestando atenção à sua produção e a seu esforço. Ainda que, às vezes, o resultado esteja aquém do ideal, o aluno está trabalhando para progredir; nesse caso, é melhor uma conversa em particular. Em seus estudos mais recentes, Carol Dweck diz que a qualidade do elogio desde cedo pode incutir na criança a convicção de que tem o poder de mudar e de que desafios são oportunidades para aprender. Do contrário, o que ocorre nas escolas pode ser resumido numa historinha:

Num pomar de maçãs, dez meninos descansam à sombra de uma árvore, quando um deles grita: “Ai! Caiu uma maçã na minha cabeça!” Após um tempo, outros dois também sentem a maçãzada e a saboreiam: está docinha. Apenas um, que havia passado semanas estudando as leis de Kepler, começa a trabalhar numa teoria sobre a gravidade. Tempos depois um historiador escreve sobre o episódio, mas por licença poética omite os outros meninos e suas maçãs. Deixa registrado nos livros o menino sortudo cuja cabeça foi atingida por uma maçã, e daí se tornou um grande matemático. Dos outros, ninguém nunca ouviu falar, mas são gente comum: alguns nasceram com talento matemático, outros nem tanto, mas nenhum deles tinha trabalhado o suficiente para tirar proveito das concomitâncias do acaso. {}



{2}/ Uma geômetra ataca a álgebra

Nas primeiras linhas do livro A Geometria, René Descartes (1596-1650) escreve que pode facilmente reduzir um problema geométrico a um problema algébrico. “Da mesma forma que a aritmética consiste em apenas quatro ou cinco operações, a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, e a extração de raízes (que pode ser considerada uma forma de divisão), também na geometria para encontrar segmentos basta adicionar ou subtrair outros segmentos.” Diante de tal afirmação, uma estudante com facilidade para a geometria (vamos chamá-la de Ana) acha irônico o fato de que é péssima em álgebra. Como pode então usar as palavras de Descartes e usar a geometria para entender melhor a álgebra?

Ana pega o livro What to Solve? Problems and Suggestions for Young Mathematicians, no qual Judita Cofman aconselha o leitor a expressar um problema em linguagens diferentes, e como exemplo apresenta um probleminha com cara e focinho de álgebra:

Problema. Prove que, para quaisquer números reais positivos a1, a2, …, an e b1, b2, …, bn, vale a seguinte relação:

“O que significa a raiz quadrada de a2 + b2?”, pergunta Ana a si mesma. “Ora, significa a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos a e b.” No lado esquerdo da expressão vê o somatório da medida de várias hipotenusas, enquanto no lado direito vê a medida da hipotenusa de um triângulo cujo um lado é o somatório de a1 a an e o outro é o somatório de b1 a bn. Ana esboça três triângulos de lado a1 e b1, a2 e b2, e an e bn juntando os vértices de uma hipotenusa à outra e coloca um espaço em branco para indicar que pode construir muitos outros triângulos entre o terceiro e o último. Depois nota que os lados ai de cada triângulo são paralelos entre si, assim como os lados bi para i = 1, 2, 3, …, n. Assim usa a1 e bn para construir um triângulo grandão ABC, cujo vértice no ponto B é também vértice do triângulo de lado a1 e cujo vértice A é também vértice do triângulo de lado bn.

Ana nota que as hipotenusas dos triângulos pequenos formam uma linha torta de medida p = √(a12 + b12) + √(a22 + b22) + ··· + √(an2 + bn2) do ponto A ao ponto B. “Provar a afirmação inicial é provar que |AB| é menor ou igual a p”, Ana diz a si mesma; então escreve debaixo do desenho:

Bem, no plano, a menor distância entre dois pontos é uma reta. Ora, se a hipotenusa AB é um segmento de reta ligando dois pontos e se p é o comprimento de uma linha toda torta ligando os mesmos dois pontos, daí |AB| só pode ser menor ou igual a p. O que é o mesmo que dizer:

O matemático húngaro George Pólya (1887-1985) escreveu no livro How to Solve It que uma ideia boa é um pedacinho de sorte, mas a pessoa deve ter perseverança para merecê-la. “Se não conseguir na primeira vez, tente de novo. Não é o suficiente tentar repetidas vezes. Também devemos tentar por vários meios e variar nossas tentativas.” Para tanto, contudo, o estudante deve ter à mão diversas técnicas. Só consegue usar a criatividade quem conhece bem as várias ferramentas matemáticas; do contrário, qualquer talento, criatividade, ou atributo nato ficará mofando na gaveta de tranqueiras. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 44, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. Profissionais de RH têm a ganhar caso estudem os artigos de Carol Dweck et al, assim como de seus críticos (Timothy Bates, da Universidade de Edimburgo, é um deles). As empresas agora não chamam mais seus trabalhadores de “funcionários” ou “empregados”, mas de “talentos”… Ora, “talento” é uma palavra adequada para designar quem tem o dom, isto é, quem é bom desde nascença. Duvido que, numa empresa sorteada ao acaso, a porcentagem de gente talentosa seja maior que essa mesma porcentagem na população em geral, e fico me perguntando se o trabalhador, de tanto ouvir que é um “talento”, no fim das contas se esforça menos do que deveria. Eu apreciaria uma empresa que, não querendo usar as palavras “funcionário” ou “empregado” (por que não? desde quando tais palavras são ofensivas?), usasse palavras como “diligente” ou “zeloso”. Já pensou a revolução? “Criamos novas diretrizes de RH para atrair os profissionais mais diligentes do mercado brasileiro.”

Nem pense em regra de três

Diante de certas questões, o estudante automaticamente recorre à regra de três. É um hábito a combater, pois com frequência ela é ineficiente.


{1}/ Prelúdio: uma questão do Enem

Questão. Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:

(a) a distância a entre os eixos traseiro e dianteiro;

(b) a altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente:

(a) 0,23 e 0,16.

(b) 2,3 e 1,6.

(c) 23 e 16.

(d) 230 e 160.

(e) 2.300 e 1.600.



{2}/ Quando palavras são fatores

Suponha que uma pessoa tenha de colocar o lixo para fora, e que o lixo seja o planeta Júpiter. Ela só tem sacos de 60 litros. De quantos sacos precisa? De 23.854.000.000.000.000.000.000.000 sacos, ou, para arredondar um pouco mais, de 24 zetassacos.

Ou suponha ainda que um artesão tenha de construir uma caixinha de música, mas, ao abrir a tampa, não vai aparecer uma pequena bailarina de louça, mas sim um átomo de hidrogênio. Dançante. Quais as dimensões da caixinha? Bem, um cubinho com 0,000 000 000 030 metro de aresta deve dar com folga; em outras palavras, uma caixinha de faces quadradas com 30 picômetros de aresta deve dar. (Uma coisa boa dessa caixinha: é à prova d’água, pois é várias vezes menor que uma molécula de água.)

O caso é que cientistas estão sempre mexendo com números muito grandes ou muito pequenos: a distância entre duas galáxias, a energia contida num cubinho de urânio, a velocidade da luz; as dimensões de uma bactéria, a distância entre duas moléculas de sílica num cristal, o tempo necessário para que um camaleão lance a língua e capture um inseto. É por isso que precisam de símbolos e prefixos especiais para números grandes e pequenos, e é por isso também que os organizadores do Enem sempre incluem questões como a da seção 1.

Em toda questão do Enem, o estudante deve primeiro interpretar as palavras; raramente o texto deixa claro quem está fazendo o quê, quem precisa achar o quê, pois seus redatores recorrem muito à voz passiva, a sujeitos ocultos ou indeterminados, ao plural majestático; eles também invertem os elementos da frase (sujeito, verbo e predicado) sem razão aparente. E adoram a palavra “respectivamente”. No caso do mecânico, está olhando para um esquema onde há duas medidas, uma subdividida em milímetros e a outra, em centímetros; e precisa convertê-las em medidas subdivididas em metros. Para resolver um problema como esse depressa, o estudante precisa aprender a pensar assim:

“2.300 milímetros é 2.300 × mili × metro, que é 2,3 × 103 × 103 × metro, que é 2,3 ×100 × metro, que é 2,3 metros.” A palavra “mili” representa um fator adimensional, cujo valor é 103. Já a palavra “centi” representa o fator adimensional 102, e por isso o estudante deve pensar sobre a altura b assim: “160 centímetros é 160 × centi × metro, que é 1,6 × 102 × 102 × metro, que é 1,6 × 100 × metro, que é 1,6 metro.” Portanto, resposta (b). (Aliás, só o trabalho com o comprimento a já é suficiente para marcar a resposta (b).)

Estudantes de exatas se habituam tanto a tais prefixos que chegam a recitar, automaticamente: “À direita da vírgula: mili, micro, nano, pico. À esquerda da vírgula [pulando as unidades, dezenas e centenas]: quilo, mega, giga, tera.” A cada palavra, o expoente da base 10 pula de 3 em 3, como pode ver na tabela A mais abaixo. É claro que eles conhecem bem as leis dos índices, e sabem, portanto, que multiplicar por 103 é a mesma coisa que dividir por 103. (Veja a seção 3.) Aliás, também sabem que 103 é a mesma coisa que 1.000. Enfim, sabem que tais prefixos são o nome próprio de certos fatores, e sabem manejar expoentes.

O leitor precisa tomar muitos cuidados com medidas como milímetro quadrado, centímetro quadrado, quilômetro cúbico, cujas siglas são mm2, cm2, km3. Essa notação virou tradição, embora seja péssima. Se existisse um adjetivo para denotar algo pior que péssimo, você poderia aplicá-lo a tais siglas. Pois mm2 significa, na verdade, (mm)2, isto é, (103 · m)2; fazendo as contas, significa 106 m2. (Em palavras, um milímetro quadrado é um milionésimo de metro quadrado; não é 103 · m2, como a sigla sugere.) Da mesma forma, km3 significa (km)3, que é (103 · m)3, que é 109 m3. (Um quilômetro cúbico é 1 bilhão de metros cúbicos.) Muita gente se embanana com essa notação porcaria.

Tabela A

Prefixos (e fatores) do sistema métrico

Nome

Símbolo

Fator decimal

yotta

Y

1024

zetta

Z

1021

exa

E

1018

peta

P

1015

tera

T

1012

giga

G

109

mega

M

106

quilo

k

103

hecto

h

102

deca

da

101

(unidades)

100

deci

d

101

centi

c

102

mili

m

103

micro

μ

106

nano

n

109

pico

p

1012

femto

f

1015

atto

a

1018

zepto

z

1021

yocto

y

1024



{3}/ As leis dos expoentes

Nas fórmulas a seguir, a é um número real; p e q são inteiros não negativos.

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 51, abril de 2015, pág. 64. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Ao resolver problemas com prefixos do sistema métrico, muitos automaticamente recorrem à regra de três: “Ora, 1 milímetro está para 1 metro dividido por 1.000 assim como 2.300 milímetros está para x.” (Veja uma versão desse pensamento na sequência de equações abaixo; note que milímetro dividido por milímetro é igual a 1.) Esse é um jeito muito ineficiente de resolver problemas desse tipo, e daí o título, “Nem pense em regra de três”. O melhor jeito é usar a notação científica.

3. Na seção 3, eu disse que a é um número real, e não excluí o zero. Isso sugere que 00 = 1. Sim, é isso mesmo: não cometi um erro. Em algumas situações é conveniente dizer que 00 não tem significado, e às vezes um professor diz isso no ensino básico. Contudo, na maioria das situações, é mais conveniente dizer que qualquer número elevado a zero é igual a 1, e daí 00 = 1; numa minoria de situações, é mais conveniente dizer que zero elevado a qualquer número é igual a zero, e daí 00 = 0. Logo, 00 ou não tem significado, ou vale zero, ou, quase sempre, vale 1. Você deve escolher a melhor definição conforme o tipo de problema que está tentando resolver, e deve dizer a seu leitor qual foi sua decisão no ponto mais conveniente da resolução; se não disser nada, seu leitor tem o direito de presumir que 00 = 1.

Raciocinando do específico para o geral

Você já partiu de uma conjectura e provou um teorema? Por meio de dois exemplos simples, um do ensino fundamental e outro do médio, verá o que um matemático faz, e terá ideia de como ele se sente.

O artigo a seguir foi publicado pela primeira vez pelo professor de matemática Bill Russell na revista Pi in the Sky, nº 14, do instituto canadense Pacific Institute for the Mathematical Sciences. Bill dá aulas na James Bowie High School, Texas (Estados Unidos). O artigo foi traduzido e adaptado com autorização do editor canadense.


Ao resolver um problema que envolva números, talvez você abra caminho para descobrir um conceito matemático mais geral. Muito da matemática é sobre correlações, e uma vez que você reconheça uma correlação, o próximo passo lógico é tentar estendê-la até descobrir revelações mais profundas.

Por exemplo, ao praticar a tabuada, o estudante talvez observe que o produto de dois números ímpares parece que é sempre outro número ímpar. Como existem infinitas combinações de dois números ímpares, é impossível checar todas elas para verificar se todas geram um produto ímpar. Um estudante com conhecimentos básicos de álgebra, contudo, tem as ferramentas para provar que essa conjectura vale para todos os casos.

Você pode representar um número ímpar como 2n + 1, em que n é um inteiro não negativo (isto é, pode valer zero). E pode representar um segundo número ímpar como 2m + 1, em que m também é um inteiro não negativo, talvez diferente de n. Como você representa o produto desses dois números?

A última expressão representa nada mais que a adição de um inteiro par (pois todo número multiplicado por 2 é par) com a unidade, e um inteiro par mais 1 se transforma num inteiro ímpar. Você provou que o produto de dois números ímpares, não importa quais sejam, é um número ímpar também. Sempre.

Com esse exemplo bem simples, vê como um problema numérico específico, do tipo 3 × 5 = 15, pode ser estendido até se transformar num conceito mais genérico, do tipo ímpar × ímpar = ímpar. Agora aplicará esse método a um problema mais avançado.

O problema da cerca (tentativa 1). Você tem 240 metros de cerca para cercar um terreno retangular (veja a figura abaixo). Ache a medida dos lados adjacentes x e y que lhe dariam a maior área cercada.

 

Você sabe que o perímetro do retângulo tem de ser igual a 240 metros, ou seja:

Lembrete: A seta torta significa “leva naturalmente a”. Logo, 240 = 2x + 2y leva naturalmente a y = –x + 120.

Se seu objetivo é maximizar a área, você tem de calcular a área, e sabe que a área é igual a lado adjacente multiplicado por lado adjacente. Para calcular a área em função de x:

Isso é uma função polinomial quadrática (fazendo a multiplicação, você chega a x2 + 120x), e portanto seu gráfico tem uma linha de simetria entre suas duas raízes (ou os dois zeros), como pode ver na figura abaixo.

 

Visto que a função A acima está na forma fatorada, para achar as duas raízes (ou os dois zeros), basta igualar cada fator com zero e ver o que acontece. Você obterá:

O coeficiente do termo mais significativo é negativo, então a parábola está voltada para baixo, e a função terá o valor máximo no vértice. Como manda a simetria, o vértice está localizado entre as duas raízes, no ponto em que x = 60. Sendo assim, você acha a largura da área cercada calculando o valor de y para x = 60:

Sendo assim, a área máxima que você consegue cercar com 240 metros de cerca é igual a:

3.600 metros quadrados é o resultado, mas não chega a entusiasmar. Mais interessante do que isso é notar que, quando a área é máxima, x é igual a y. Isso é coincidência ou é o exemplo numérico de uma lei maior, mais geral? Se você desconfia que topou com uma lei universal (obtemos a área máxima de um retângulo quando seus quatro lados são idênticos, ou seja, quando o retângulo é um quadrado), como prová-la?

Seria fácil variar o comprimento da cerca e mostrar que, para cada área máxima imaginável, x e y são iguais. Mas mil casos particulares não formam uma generalização — aliás, nem 1 bilhão de casos particulares formam uma generalização. Para provar que isso é sempre verdade, você tem de resolver um problema genérico semelhante, e substituir os valores numéricos por variáveis. Com isso em mente, pode agora escrever o problema original de outra maneira.

O problema da cerca (tentativa 2). Você tem T metros de cerca, e com ela deve cercar uma região retangular, cujo comprimento será igual a x e cuja largura será igual a y. Demonstre que, quando a área do retângulo é máxima, o comprimento x é igual à largura y.

Você sabe que o perímetro T é igual à soma de 2x com 2y; logo:

Seu objetivo é maximizar a área, e você pode escrever a área A em função de x:

Você nota de novo que a função A é polinomial quadrática, e que o coeficiente de x2 é negativo (é –1). Isso significa que a parábola está virada para baixo, e que há um ponto de máximo, e que esse ponto de máximo está bem na linha de simetria entre as duas raízes da função A. Logo, o primeiro passo é achar as duas raízes, e para isso basta igualar cada um dos dois fatores acima com zero:

Como manda a simetria, o vértice da parábola está localizado entre as duas raízes (0 e T/2). Vamos chamar esse ponto de xV, ou o x do vértice. Ele é igual a:

Qual é o valor de y quando x = xV? Essa é uma pergunta importante. Vamos retomar uma das fórmulas acima e substituir os valores.

Isso significa que, no ponto em que a área A é máxima, x e y são iguais, e ambos valem o perímetro T dividido por 4.

Rápido feito gênio. Vamos tirar um momento para rever o que você acabou de fazer. Depois de resolver um problema numérico de rotina, você observou um resultado interessante. Ao tentar obter uma prova desse resultado para incluir todos os outros problemas semelhantes, você refez a afirmação inicial de uma maneira mais genérica, e logo em seguida a provou. Em poucas palavras, você provou um teorema. Embora sua prova tenha sido feita com álgebra simples, você complementou a álgebra com frases da língua portuguesa, explicando ao leitor o que estava fazendo em cada um dos passos mais importantes. No fim, você ganhou como prêmio um resultado simples, mas poderoso, pois você nunca mais precisará fazer esse tipo de conta no futuro. Quer ver? Um amigo lhe pergunta:

“Eu tenho 324 metros de cerca de arames farpados. Qual é a área máxima que eu posso cercar com isso, sendo que essa área tem de ter a forma de um retângulo?”

Você responde sem nem mesmo tirar os olhos do que está fazendo:

“Cada lado do retângulo tem de ter 324 metros divididos em 4 partes iguais. Quanto dá isso?”

Seu amigo aciona a calculadora do celular.

“Isso dá 81 metros.”

Você continua:

“Com 324 metros de cerca, você deve cercar um quadrado com 81 metros de lado, para ter área de… Quanto dá 81 vezes 81?”

Seu amigo digita os números na calculadora de novo.

“Dá 6.561 metros quadrados.”

“Essa é a área máxima do retângulo que você consegue cercar com 324 metros de cerca.”

Seu amigo vai te achar um gênio.

Nesse problema da cerca, é possível usar o mesmo método numérico para provar o caso genérico, ou seja, para provar o teorema. A única diferença foi que, no teorema, você usou variáveis em vez de números. Nem sempre essa abordagem é possível. Muitas vezes, você vai notar um padrão fácil de exemplificar com números, mas achará dificílimo, se não impossível, prová-lo em termos genéricos. Um exemplo famoso é a conjectura de Goldbach: todo inteiro par maior do que 2 é igual à soma de dois números primos. Dois exemplos: 10 = 7 + 3; 16 = 11 + 5. Embora Christian Goldbach tenha proposto a conjectura em 1742, nenhum matemático ainda conseguiu prová-la verdadeira, falsa, ou impossível de provar verdadeira ou falsa. [Essas são as três únicas possibilidades na matemática.]

Os matemáticos estão sempre aumentando o número de teoremas contidos na matemática, ou seja, estão sempre aumentando o número de ferramentas à disposição de quem estuda matemática. O que lhes move é a curiosidade. Estão sempre notando a existência de novas correlações, e a história é sempre essa: alguém faz umas contas, nota um padrão que se repete, pergunta a si mesmo por que o padrão se repete, e pergunta se tal padrão pode ser expresso de modo genérico, com as variáveis de algum tipo de álgebra. Por meio dos exemplos usados neste artigo, você percorreu caminhos que já foram percorridos milhares de vezes antes de você, e tais exemplos mostram como os caminhos são descobertos em primeiro lugar, e como devemos pensar e agir diante de uma conjectura quando queremos transformá-la num teorema. Se gostou da experiência, há muito mais a explorar no país da matemática! {FIM}


Observação:

O autor diz que o matemático está sempre à procura de “correlações”. Usou, portanto, o significado vulgar da palavra “correlação”, e não o significado que a palavra tem na matemática, o de correlação entre duas variáveis aleatórias. Na verdade, o matemático está sempre à procura de implicações. Mais precisamente, dado um sistema matemático (uma linguagem L, um conjunto S de elementos, e as relações e funções que o matemático pode formar com os elementos de S e expressar com os recursos da linguagem L), o matemático está sempre em busca de evidências de implicações importantes no sistema, para em seguida tentar prová-las verdadeiras, ou falsas, ou indecidíveis (impossíveis de provar verdadeiras ou falsas).

O valor da palavra “ainda”

Existem dois tipos de estudante no mundo: os que já entenderam a matéria e os que ainda não a entenderam. A palavra-chave é “ainda”. O professor que a enfatiza ajuda a pôr fim na antiga crença de que existem apenas dois tipos de gente no mundo: o que tem cabeça para a matemática e o que não tem remédio.


Roberto Moisés

Roberto Moisés, professor de matemática no Colégio Santa Cruz, diz que basta examinar com cuidado os pais numa reunião de pais e mestres para ver indícios de como a sociedade brasileira tem fracassado ao ensinar matemática. Em geral, o professor de matemática é o que tem mais pais e mães à sua espera, querendo saber por que a criança vai mal, ou querendo fazer perguntas que os outros professores não precisam responder.

Um dos motivos, diz Roberto, é a cultura escolar do já, já, já. A criança tem três anos e o pai quer mostrar para o mundo inteiro que ela já sabe contar, já sabe ler, já sabe escrever, já sabe falar inglês, e já sabe dar golpes de judô. “É uma questão de status, e por causa disso muitos alunos se sentem excluídos do processo de aprendizagem. Eles sentem dificuldade e acabam se achando incompetentes.” Isso é evidente na matemática, cujo aprendizado requer mais tempo e maior paciência. O aluno é bom em história e ciências, escreve quase como um Machado de Assis, mas, nas aulas de matemática, demora a entender os conceitos. Conclui que há algo de errado com ele. Diante dessa frustração, cria um mecanismo de defesa contra a aula e o professor, que são as centenas de perguntas do tipo: “Para que estudar matemática? Para que isso serve? Por que meu pai teve sucesso e nunca fez uma conta na vida?”

Mike Askew e Rob Eastaway, matemáticos britânicos, escrevem no livro More Maths for Mums and Dads que há algo de errado nessa pergunta. Desde quando crianças e jovens se importam se estão aprendendo algo útil para a vida adulta? “Aliás, muitos pais reclamam que seus filhos não pensam o suficiente no futuro, pois estão muito focados em curtir o presente.” Os autores sugerem que, na maioria das vezes, o aluno questiona a utilidade da matemática por outros motivos: está entediado, ou está com dificuldades.

Lilian Spalding

Lilian Spalding, da Escola Vera Cruz, recorda alguns dos alunos que resistem às aulas. “O aluno não é necessariamente ruim, mas se coloca dessa maneira. Se ele se dedicasse, seria brilhante.” A criança age como um personagem conhecido das fábulas de Esopo: a raposa que desdenha as uvas. Na fábula, ela vê os apetitosos cachos de uva na videira, mas não consegue alcançá-los; por fim, desiste, e se justifica dizendo que estão verdes demais, e vai embora. Porém, na escola, muitas crianças desistem da matemática muito cedo, e carregam esse desdém por toda a vida escolar, quando não também por toda a vida adulta. Mike e Rob propõem uma ideia simples, mas crucial para mudar a atitude desses estudantes: enfatizar a palavra “ainda”.

Quando o estudante diz que nunca vai entender matrizes e determinantes, o professor deve encorajá-lo ao dizer: “Você ainda não entende.” Pode então divulgar essa ideia de que poucos saem da escola sabendo, de que a matemática envolve progresso e crescimento pessoal; não é algo que o estudante ou é capaz de entender ou não é. Os pais também são imediatistas, querem que o filho aprenda rápido e bem, e assim, como resultado, a escola perde uma função importante: a de ser o lugar onde o estudante melhora com os próprios erros e aprende a se esforçar mesmo que sinta muitas dificuldades. Sem essa experiência, ele cresce acreditando que o mundo é feito de burros coitados e de gênios de nascença.

O professor que deixa essa ideia se perpetuar permite que a matemática seja apenas um monte de algoritmos sem significado, sem beleza, e sem qualquer relação com o ser humano. Por isso, Roberto gosta de usar a história da matemática para mostrar que gente de carne e osso visualizou padrões na natureza e inventou um conjunto de ideias para descrevê-los. “O que a gente ensina na aula são apenas os padrões que deram certo”, diz Roberto. “Peço que meus alunos tentem imaginar o tanto de lixo, o tanto de folhas de papel amassadas que os matemáticos jogaram fora antes de concluir certas coisas. Gosto de trabalhar com esse ponto de vista humano, porque uma criação é esse tipo de drama.”

Quando o professor tenta abordar um lado mais humano para a matemática, os alunos que se dizem “da área de humanas” ficam muito animados. Mas depois de um tempo, quando a classe entende a ideia de que certo conceito tem uma história, ela mesma perde a paciência e exige: “Tá bom, mas quando vem a matemática?”

Algo mais. No início da carreira de professor, Roberto se sentia mais aluno de matemática que professor, então justificava todo conceito por meio de contas e explicações rigorosas. Um dia percebeu que não havia significado naquela maneira de ensinar, e procurou se identificar com seus alunos; passou a se perguntar para que aquilo servia. “Percebi que precisava de algo mais; me coloquei na posição do aluno e disse: preciso entender isso!” A partir daí começou a estudar o que ensinava e a usar nas próprias aulas a dinâmica com que aprendia, as dificuldades que tinha. Ao ver a matemática como linguagem e como criação humana, Roberto acha que se tornou um professor melhor. “Até brinco que não sou bom em matemática e isso me torna um bom professor. Acredito que os desafios que tive são parecidos com os que eles terão, e penso nas etapas que construí para mim mesmo na hora de me explicar.”

O estudante que sente prazer de aprender não desanima ao estudar por estudar, sem pensar em utilidade prática ou apenas em tirar notas. “Posso até apontar alguma utilidade prática, mas não é isso que motiva o matemático”, diz Roberto. “A vida da gente não exige mais que as quatro operações nem mais que uma calculadora de cinco reais.” Roberto tenta passar a ideia de que somos mais do que essa nossa vidinha, e a matemática é uma forma de transcender. Lilian concorda: a matemática é uma maneira de pensar, de ver um conjunto de ideias, e de resolver problemas. “Tenho uma sensação ruim quando um professor responde de bate pronto que isso serve para esse modelo.” Qualquer isso da matemática é muito pequeno em relação a toda a matemática.

Lilian diz que usar o caminho inverso do usual ajuda bastante na hora de prender a atenção dos alunos. Eles investigam um problema e sentem que precisam de algo que não sabem, então o professor fornece dados e conceitos para o problema. Depois que sentiram a necessidade do saber, fica fácil organizar e formalizar o conceito, pois o aluno vê algum sentido naquilo. “Esse método leva mais tempo, mas eles adquirem um conhecimento permanente.” Por meio desse método, o estudante começa a aplicar uma técnica recém-aprendida a outros problemas, isto é, começa sozinho a estabelecer as relações entre temas que, num curso convencional, parecem desconexos.

Matemáticos demoraram séculos para desenvolver a teoria que o professor explica em duas ou três aulas, e outros matemáticos levaram mais alguns anos para rever e organizar essas ideias antigas. Visto que na escola o estudante vê pela primeira vez assuntos de pelo menos 200 anos atrás, ele sente que tem dificuldade com um assunto bem estabelecido, do qual ninguém jamais duvidou. “É engraçado que em outras matérias o professor pode debater o tema durante a aula e deixar o aluno colocá-lo no papel quando estiver em casa”, diz Lilian. “Isso não funciona nas aulas de matemática. Não adianta o professor só verbalizar e explicar o conceito.” O aluno tem de colocar as mãos nas ideias, por assim dizer; tem de manipulá-las várias e várias vezes para entender o que o professor diz.

Renata Rossini

Renata Rossini, professora na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sempre lembra os alunos da paciência que a matemática exige. O aluno precisa de tempo para se acostumar com as palavras-chave da disciplina e com “a linguagem” dos símbolos, mas esse tempo deve ser empregado com prática e repetição. Quando dá aulas para calouros do curso sistemas da informação, Renata retoma o conceito de função estudaram no ensino básico, depois apresenta a ideia nova de limite e a desenvolve até que, por consequência, surge o conceito de derivada. No começo, parece que está falando árabe, mas após uns exercícios ela explica de novo, os alunos fazem mais exercícios e daí começam a interiorizar as regras e a nova forma de pensar. “Se percebo que o aluno está interessado, eu explico de um jeito e de outro, dou exercícios de um jeito e de outro. Quero que ele veja o conceito de vários ângulos; em algum momento, ele vai me entender.”

Lilian diz que existe um tipo de aluno raro: o que, mesmo que não goste do conteúdo, sabe o valor do que o professor ensina, o valor da forma como ele a ensina. Existe outro tipo mais comum: o que, embora ouça várias explicações sobre os mesmos conceitos, não consegue compreendê-los, pois existe algo entre ele e a matéria. Lilian acha mais fácil ajudar o aluno com dificuldades no conteúdo, pois é um problema conhecido. “O grande desafio são os alunos que têm a capacidade, mas não a usam. Como mostrar a eles que também são bons em matemática?”

Não é só o aluno que precisa de paciência. O professor lida com a dificuldade de falar para um público no qual cada um aprende num ritmo, e de uma maneira diferente, e no qual todos questionam seu trabalho. Poucos perguntam a razão de estudar, por exemplo, a revolução industrial, ou os romances de Monteiro Lobato. É como se, para o aluno, um fato histórico ou um escritor famoso já tivesse significado por si só. Roberto lembra a brincadeira que Nílson José Machado, professor na Faculdade de Educação da USP, costuma fazer: “Vou aprender poesia para ganhar uma namorada.” Esse pode até ser um jeito de fazer um xaveco bacana, diz Roberto, mas os poemas não servem só para isso. Da mesma forma, a matemática tem muitas aplicações, mas seu valor não se resume ao uso. “Não importa o que eu faço com a matemática”, diz Roberto; “importa o que a matemática faz comigo.”

Com os anos, até o professor começa a ver um novo significado no próprio trabalho, pois percebe que na verdade não ensina matemática, mas sim os conceitos com os quais o aluno vai construir sua própria matemática. “Se o aluno não vai ser um professor de matemática e não vai usar os conceitos, o que ganha com aquilo?”, pergunta Lilian. “Ele ganha a forma de pensar, o raciocínio lógico, e além disso aprende que pode lidar com uma situação nova a partir das referências que já tem. Essa é uma forma de acomodar a insatisfação do aluno, ancorando o que está aprendendo no que já sabe.”

Mamão ao sol. Quando o aluno diz que só gosta de álgebra, mas não de geometria, ou vice-versa, Roberto tem uma sensação estranha. “Tá de brincadeira: não pode! Quando dizem isso, tenho a convicção de que não tiveram tempo de entender e foram treinados para dizer: tem figura, é geometria; não tem figura, é álgebra.” Com essa visão fragmentada, o estudante escolhe o caminho fácil do desdém. Por isso, Roberto incentiva o aluno a assumir uma atitude mais honesta: a de dizer que tem maior facilidade com a geometria, ou com a álgebra, mas logo em seguida admitir que, caso se esforce mais, pode entender um assunto que lhe parece complicado. “Afinal, a vida não é feita só do que a gente gosta.” Nesse processo, ele nota que perde alunos. Aqueles mais imediatistas desistem.

Na PUC-SP, Renata dá aulas de matemática para vários cursos e não vê tanta resistência, mas sim corpo mole. Os estudantes sabem que o assunto não está ali para enfeitar o currículo e tem um uso mais prático, então fazem o suficiente para tirar notas, mas não dão o melhor de si. Muitas vezes erram exercícios por falta de organização; noutras não veem como usar os símbolos para descrever o raciocínio lógico. “Quando pego uma prova, vejo que o aluno não sabe o que está fazendo porque iguala tudo a zero”, diz Renata. “Ele inventa coisas ou tem preguiça de escrever todos os símbolos necessários.”

Lilian e Roberto citam três assuntos com os quais os alunos batalham: logaritmos, matrizes, e geometria espacial. São os alvos campeões de perguntas do tipo: Para que serve? Roberto gosta de propor primeiro uma situação assim:

“Gente, se eu escrever 2x = 10, será que existe esse expoente?”

Ele transforma a questão numa narrativa lógica: faz o gráfico da função exponencial de base 2 e os alunos veem que é contínua; é natural concluir que o expoente deve existir.

“E qual o valor desse expoente?”

Ninguém ainda sabe, mas intuem que é um valor entre 3 e 4, pois 23 = 8 e 24 = 16. Assim Roberto constrói a noção de logaritmo, isto é, o valor x ao qual deve elevar 2 para obter 10. Ele escreve isso na lousa por extenso, e então diz:

“Vamos simplificar isso aqui, porque na matemática não é para ficar escrevendo ‘o valor de x ao qual devo elevar 2 para obter 10’ toda hora. Vamos chamar esse x de logaritmo? Vamos chamá-lo de logaritmo de 10 na base 2?”

Depois Roberto conta um pouco de história: o homem começou a usar logaritmos numa época em que o comércio crescia, as navegações cresciam, havia exploradores na América, havia mais capital, havia bancos, crédito, juros. O professor consegue usar esse contexto para relacionar o uso dos logaritmos com outras áreas do conhecimento, mas muitas vezes o professor de matemática não sabe dessas coisas. Só existe um jeito de usar a história da matemática para ensinar matemática: estudar a história, e é o que Roberto faz; acha importante se interessar pelo que ensina. “Será que hoje sou um professor melhor que no passado? Tenho certeza que sim, pois o professor se forma em serviço.” O aluno também se forma praticando e estudando, por isso a palavra ainda mostra o valor do progresso.

É como ocorre com o matemático. Quando não sabe nada sobre um problema, ele não significa nada, é um grande mistério; depois que o entende bem e o resolve, o problema às vezes perde a graça. É no durante, é na fase da conquista que está toda a emoção da matemática. O estudante faz bem se aprende a curtir essa fase, tanto durante as aulas quanto sozinho em casa, pois, no calendário escolar, usar a palavra ainda é difícil. Renata diz que, na PUC-SP, os alunos agora têm disciplinas semestrais em vez de anuais. Se contar as férias e os feriados, eles têm apenas quatro meses de aulas. “O professor tem de fazer com o aluno o mesmo que faz com mamão: colocar ao sol para amadurecer mais rápido [risos].” OK, mas converse com quem tem pomar: a fruta que amadurece no tempo certo fica mais doce. {FIM}


Gráfico da função exponencial de base 2


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes, que também tirou as fotos.

3. No texto, você viu que Roberto Moisés desenha o gráfico da função exponencial de base 2 para mostrar aos alunos que y = f(x) = 2x é uma função contínua. É claro que ele só pode fazer isso quando dá aulas para alunos no ensino médio, pois um mero gráfico é insuficiente para provar que tal função é contínua. (É fácil imaginar funções descontínuas em toda parte cujo gráfico é, contudo, aparentemente contínuo; um exemplo é y = g(x) = 2x se x é racional, mas y = g(x) = 0 se x é irracional. Um computador, ao plotar o gráfico de g e o gráfico de f, vai plotar dois gráficos idênticos na aparência.) Para provar apropriadamente que f é uma função contínua, o estudante precisa de ferramentas matemáticas mais sofisticadas: precisa do conceito de limite ou então do conceito de infinitésimo. Clique aqui caso queira usar o conceito de infinitésimo no estudo de funções contínuas.

Provocando curto-circuito na cabeça de um professor de matemática


E se o estudante (vamos chamá-lo de Ky8) procurasse vários professores de matemática e lhes fizesse uma pergunta simples?

“Professor: para sua própria surpresa, alguma vez você já resolveu um problema difícil apenas com a matemática do ensino básico?”

Ao se planejar para a abordagem, Ky8 fantasiou a respeito das conversas que teria: imaginou o professor revirando a memória, listando uns poucos exemplos, escolhendo um deles, e finalmente contando a história de como, certa vez, ficou surpreso ao resolver um problema difícil apenas com a matemática que todos estudamos no ensino fundamental e médio. E então Ky8 saiu a campo e de fato conversou com vários professores. No fim das contas, voltou para casa com uma informação inesperada: essas duas palavras, “problema” e “difícil”, têm o poder de provocar na mente do professor de matemática um curto-circuito, daquele tipo barulhento e cheio de faíscas.

Ky8 descobriu que um professor de matemática provavelmente obedece a um código não escrito, uma espécie de “código de humildade”, segundo o qual só existe um significado para a palavra “problema” e um significado para a palavra “difícil”: “problema” é o que a comunidade internacional dos matemáticos profissionais classifica como problema, e “difícil” é o que a mesma comunidade classifica como difícil. O resto não é tanto assim um problema, e nem é assim tão difícil — jamais, jamais, jamais se gabe de ter resolvido um problema difícil se Fermat e Gauss, caso estivessem vivos, não o julgassem um problema, nem o julgassem difícil.

Luiz Márcio Imenes, um conhecido autor brasileiro de livros didáticos (cuja editora é a Moderna), ao contar suas histórias, ilustra bem a história recente dos significados de “problema” e “difícil”. “Na minha época de estudante”, diz Imenes, “só comecei a estudar matemática por gosto depois dos 15 anos, quando já estava no ensino médio. O que mais havia nas aulas de matemática era fazer contas. Era calcular, calcular, calcular. Mas eu não resolvia problemas. Eu não sabia disso na época, mas, embora minha capacidade de fazer contas fosse ótima, minhas habilidades de resolução de problemas eram ridículas.” Imenes, assim como todos os estudantes daquela época, confundia “resolver problemas” com “resolver exercícios”. Só depois que leu o livro de George Pólya (A Arte de Resolver Problemas; Rio de Janeiro: Interciência, 1977) foi entender melhor a distinção entre “exercício” e “problema”: com o exercício, o estudante aplica uma técnica específica, que ele já sabe qual é, para obter a resposta que o professor ou o autor do livro didático lhe pediu; com o problema, o estudante não sabe por onde começar.

Pólya explicou a seu leitor como os matemáticos profissionais entendem a palavra “problema”, e quais critérios usam para classificar um problema como “difícil”, e esses trechos do livro pegaram. Mas Pólya era um professor atencioso, e em vários outros trechos deixou bem claro: problema é o que o estudante acha que é um problema, e difícil é o que ele acha que é difícil. Resolver um problema é uma experiência muito pessoal: o que é problema para um, é motivo de riso para outro; o que é difícil para um, o outro resolve no intervalo para o café. Apesar disso, escreveu Pólya, nenhum professor ou matemático tem o direito de contestar as sensações do estudante — se para ele uma questão constitui um problema, constitui um problema; se para ele a resolução foi difícil, foi difícil. “Seu problema pode ser modesto”, escreveu Pólya, “mas, se ele desafia sua curiosidade e põe em jogo suas faculdades inventivas, e se puder resolvê-lo por seus próprios meios, é bem provável que viva a tensão e saboreie o triunfo da descoberta.” Difícil dizer por que essas partes do livro de Pólya não pegaram tão bem — pois, se tivessem ficado famosas, o estudante Ky8 não teria testemunhado tantos professores tão receosos de contar a história de como resolveram um problema difícil com matemática básica.

O trem e a plataforma. Nos últimos poucos anos, vários matemáticos famosos têm usado a sorte de ficar famosos para passar algumas das mensagens que Pólya não conseguiu passar, embora tivesse tentado. Entre eles estão Timothy Gowers, Keith Devlin, Ian Stewart, Paul Lockhart, Adrián Paenza, e Nuno Crato. Eles reconhecem que essa história de só chamar de problema os problemas ainda em aberto e de só chamar de difícil os problemas cuja resolução deixa os matemáticos de boca aberta só faz sentido entre matemáticos profissionais. Todos os outros amantes da matemática, incluindo professores e estudantes, têm o direito de piamente acreditar, e de livremente dizer, que um problema já resolvido por algum matemático profissional continua sendo um problema para quem nunca o resolveu, mas se sente atraído por ele. Tais matemáticos famosos também se esforçam para passar outra ideia que Pólya tentou passar ao longo do livro: redigir a resolução de um problema é um problema por si só — e dos grandes. “Para muitos de nós”, escreveu Ian Stewart no livro Letters to a Young Mathematician (2006), “não tem nenhum sentido um matemático inventar novos teoremas se o público nunca ouve falar deles.” Em outras palavras, um problema não está 100% resolvido enquanto não estiver no papel, escrito com clareza e graça, de modo que bastante gente possa entendê-lo e se divertir com sua resolução.

O estudante Ky8 percebeu então que, depois das muitas ressalvas sobre as palavras “problema” e “difícil”, daí o professor relaxa, e começa a contar histórias. Imenes, por exemplo, uma vez estava numa estação do metrô de São Paulo e notou um aviso num cartaz:

“Nesta estação, é maior o vão entre o trem e a plataforma.”

Imenes reparou então que a plataforma fazia uma curva. A partir daí, começou a pensar como um matemático:

• Se a plataforma fosse reta, o vão entre o trem e a plataforma seria constante.

• Com uma plataforma em curva, o vão entre o trem e a plataforma varia: ele é menor nas pontas do vagão e maior no meio do vagão. Imenes puxa uma folha de papel em branco e esboça as imagens que lhe vão pela cabeça:

Nesse desenho, a curva representa a plataforma e as duas linhas retas representam dois vagões.

• Alguém deve ter estabelecido alguma lei ou norma com o valor máximo para a medida do vão entre a plataforma e o trem. Que tal chamar esse valor máximo de x? Da mesma forma, o vagão dos trens tem um comprimento; talvez seja o caso de chamar o comprimento do vagão de C. E daí Imenes pensou numa pergunta interessante:

Problema. Qual é o raio mínimo da curvatura da plataforma num trecho em que há embarque e desembarque de passageiros, dado que o comprimento do vagão é C e o vão máximo entre o trem e a plataforma tem de ser x?

• O próximo desenho mostra em que Imenes pensava.

Essa breve história mostra os passos pelos quais o amante de matemática se envolve com problemas: [1] Em primeiro lugar, depois de tanto estudar matemática, ele finalmente vê um problema sem a ajuda de ninguém, isto é, vê um problema que não está num livro nem lhe foi passado por um professor. “Não acho que esse problema seja um problemão, é claro, mas houve nele uma parte difícil: ver que havia ali um problema interessante”, diz Imenes. “Uma pessoa que não estivesse envolvida com matemática leria aquele recado e ponto final. Ela tomaria cuidado com o vão, ou não tomaria. Mas olhei para aquele cartaz e vi que havia matemática ali.” [2] Em segundo lugar, ele se interessa pelo problema. Pólya e todos os outros depois dele dizem que o estudante Ky8 vai se interessar mais por um problema se ele expuser o problema sozinho. E daí vêm as outras fases: estudar o problema, compreendê-lo, resolvê-lo, e redigir a resolução (mas redigi-la levando o leitor em consideração).

Como Ky8 resolveu esse problema? (Imenes não o resolveu durante a entrevista: apenas deu uma dica.) Depois de algumas tentativas, chegou ao esboço na figura 3.

Com o ponto O, Ky8 marcou o centro do círculo, e daí usou o teorema de Pitágoras para equacionar o primeiro passo da resolução:

Ele conhece o comprimento do vagão (C) e o comprimento máximo permitido entre o vagão e a plataforma (x), e gostaria de saber o raio mínimo r da curvatura. A partir desse ponto, tudo o que teve de fazer foi isolar r de um lado e todo o resto do outro.

Com essa descoberta, Ky8 faz uma tabela, presumindo o seguinte: o vagão mede 12 metros e 18 centímetros e a distância máxima entre o vagão e a plataforma é de 15 centímetros, 20 centímetros ou 30 centímetros. Nessas condições, qual pode ser o raio mínimo da curvatura da plataforma?

x (cm)

r (m)

15

123,7

20

92,82

30

61,964

Então, eis a resposta: se o vão máximo entre a plataforma e o vagão for de 20 centímetros, por exemplo, o raio mínimo da curvatura da plataforma tem de ser de 93 metros.

Parece simples demais? Parece tão simples que nem parece um problema? A certa altura, Imenes diz que o estudante deve combater esse sentimento, pois ele desvaloriza a investigação do universo matemático. “Depois que um problema já está resolvido”, diz Imenes, “tudo nele parece mais simples. Depois que achei o caminho ao meu problema, ele ficou simples. Mas resolver um problema é justamente achar esse caminho.” Para ilustrar melhor o que está dizendo, cita o último teorema de Fermat. “Imagine um triângulo retângulo”, pede Imenes. “Sobre cada um dos lados do triângulo, você constrói um quadrado.” Se o estudante Ky8 chama a hipotenusa de c, um dos catetos de a e o outro cateto de b, pelo teorema de Pitágoras sabe que:

Existem infinitas trincas de números inteiros positivos (a, b, c) que satisfazem essa equação, como (3, 4, 5) ou (33, 56, 65). “Então”, diz Imenes, “que tal trocar o expoente 2 na equação pelo expoente 3?”

Ky8 conhece a história: Fermat escreveu na margem de um livro que tinha uma prova de que é impossível resolver essa equação com números inteiros positivos, assim como é impossível resolver qualquer equação como essa, no conjunto dos inteiros positivos, se o expoente for maior que 2. Provavelmente, Fermat se enganou: achou que tinha uma prova, mas não tinha. Em todo caso, como homenagem a seu grande talento, o problema ganhou o nome de “o último teorema de Fermat”, em vez de “a última conjectura de Fermat”. A conjectura ficou em aberto por 330 anos, até que foi provada verdadeira em 1995 pelo matemático britânico Andrew Wiles. Eis por que o estudante Ky8 não deve se desvalorizar tachando de “fácil” os problemas pelos quais se interessa ou os quais resolve: às vezes, um problema tem gosto e cheiro de fácil, como a conjectura de Fermat, mas se revela dificílimo; às vezes, um problema fácil sugere perguntas que se revelam difíceis. Se Ky8 tacha de “simples, fácil, e besta” todo problema que consegue resolver e só classifica como “honroso” todo problema que não consegue, daí para ele a matemática deixa de ser “uma arte pela qual ascendemos à completa autoconsciência” (John William Navin Sullivan) e passa a ser um ritual masoquista.

A frase completa de Sullivan. “A matemática, assim como a música ou qualquer outra arte, é um dos meios pelos quais ascendemos à completa autoconsciência. A importância da matemática reside precisamente no fato de que é uma arte; com ela, esclarecemos a natureza de nossa mente, e desse modo esclarecemos tudo aquilo que depende de nossa mente.”

Aparece, não aparece. Marcos Alves dos Santos dá aulas de matemática para estudantes do ensino médio, no Sesi, e para professores da rede pública, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) da USP. Depois de também entrar em curto-circuito por causa das palavras “problema” e “difícil”, Marcos relaxa e relembra um problema que gostou de resolver, e que achou difícil. O problema surgiu num dos seminários organizados pelo Caem, e começa com os três triângulos equiláteros mostrados na figura 4.

Na ocasião, Marcos tinha de achar uma fórmula F com a qual obter todos os triângulos equiláteros dentro de cada triângulo, visto que dividiu cada lado do triângulo equilátero maior em n partes iguais. (Obviamente, os lados desses triângulos podem ser divididos em partes iguais.) Então, na figura 4, o primeiro triângulo à esquerda, em que n = 3, tem 13 triângulos ao todo: nove triângulos de lados iguais a 1 subdivisão, três triângulos de lados iguais a 2 subdivisões e um triângulo de lados iguais a 3 subdivisões. Continuando assim:

Marcos explica como contar os triângulos do triângulo do meio, no qual n = 4:

• Triângulos cujos lados medem 1 subdivisão: na primeira fileira de baixo para cima, são quatro de pé e três de ponta-cabeça; na segunda fileira, são três de pé e dois de ponta cabeça; na terceira fileira, são dois de pé e um de ponta-cabeça; e na quarta e última fileira, é só um de pé. Ao todo, dezesseis triângulos de lados iguais a 1 subdivisão.

• Triângulos cujos lados medem 2 subdivisões: na primeira fileira (isto é, nas primeiras duas subdivisões), três de pé e um de ponta-cabeça; na segunda fileira (isto é, na segunda e na terceira subdivisões), dois de pé; na última fileira, um de pé. Ao todo, sete triângulos de lados iguais a 2 subdivisões.

• Triângulos cujos lados medem 3 subdivisões: dois na primeira fileira e um na segunda e última, todos de pé. Ao todo, três.

• Triângulos cujos lados medem 4 subdivisões: só um, que é o triângulo original.

• Ao todo, portanto, há 27 triângulos equiláteros na figura relativa a n = 4.

“Esse foi o desafio mais difícil que resolvi usando apenas a matemática básica”, diz Marcos. “A maior dificuldade é achar um jeito de tratar aquele triângulo que aparece bem no centro, de ponta-cabeça, que depende do número de subdivisões, se ela é par ou ímpar: esse triângulo ora aparece, ora não aparece.”

O leitor Ky8, ao resolver esse problema, terá uma boa ideia do que é ser um matemático (a) comum e, caso se esforce um pouco mais, (b) um matemático contador de histórias. Se puder enxergar os padrões pelos quais os triângulos aparecem, atribuir uma fórmula para eles, chegar à fórmula genérica F(n) e, por meio de indução matemática, provar que F(n) vale para qualquer valor inteiro positivo de n, pois F(n) implica F(n + 1), daí vai experimentar todas as frustrações e alegrias de qualquer matemático. Se abrir um novo arquivo do Word e se propuser o desafio de expor o problema e a resolução de modo que seu leitor se sinta vivendo uma história de detetive, daí vai experimentar as frustrações e alegrias de matemáticos como Ian Stewart, Paul Lockhart, e Leonard Mlodinow — uma turma de matemáticos para os quais “fazer matemática” também significa “dar explicações excelentes, encantadoras”.

“Os psicólogos”, escreve Ian Stewart nas Cartas a uma Jovem Matemática, “dizem que a parte racional da nossa mente não vai a lugar algum sem as pernas emocionais. […] Acho melhor que descubramos jeitos de melhorar a narrativa contida nas nossas demonstrações matemáticas. Isso é melhor que dissecá-las em pedacinhos que possamos gravar em cartões, de modo que depois até podemos embaralhar os cartões numa ordem qualquer.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 39, abril de 2014, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Dubes Sônego.

3. Letter to a Young Mathematician, o livro de Ian Stewart, foi traduzido pela editora portuguesa Relógio D’Água como Cartas a uma Jovem Matemática.

Os segredos do pai professor

Cinco professores com filhos em idade escolar contam como seus filhos os fizeram pensar no papel do professor de matemática. Até certo ponto, passaram a classificar inclusive os alunos mais estranhos como “elementos do mesmo conjunto no qual minhas crianças estão”.


{1}/ Vendo como as crianças funcionam

Antônio Carlos Rosso Júnior, professor de matemática no Anglo Colégio e Curso, gosta de colecionar figurinhas, gosto que passou ao filho Matteo. Em 2011, quando Matteo tinha 4 anos, ambos trabalhavam juntos, cada um colando figurinhas no seu álbum: Antônio preenchia um álbum sobre futebol e Matteo, um álbum sobre histórias infantis. A certa altura, o menino colocou os dois álbuns lado a lado e passou a compará-los página por página. Por fim, perguntou:

“Pai, por que faltam mais figurinhas no meu álbum do que no seu?”

Antes de arriscar uma resposta, Antônio resolveu contar. Para que o menino preenchesse seu álbum infantil, precisaria de 80 figurinhas; para que o pai preenchesse seu álbum de futebol, precisaria de 100. Sentiu o impulso de dizer “Filho, você errou, porque faltam mais figurinhas no meu do que no seu”, mas conseguiu manter a língua dentro da boca. “Não faria sentido falar em 80 e 100 para uma criança que não consegue entender números tão grandes”, diz Antônio. “Além disso, passei a me perguntar por que ele teve essa sensação.” Por causa da pergunta e da reflexão, Antônio nunca mais deu aulas sobre porcentagens do modo como dava antes.

Ao todo, o álbum de futebol tinha 500 figurinhas, e 100 entre 500 significa 20%. Em termos visuais, a cada dez retângulos no álbum, oito estavam preenchidos com figurinhas e dois estavam vazios. O álbum infantil tinha 200 figurinhas, e 80 entre 200 significa 40% — a cada dez retângulos, seis estavam preenchidos e quatro estavam vazios. “Na verdade, Matteo percebeu que, no álbum dele, havia mais buracos em comparação com o todo, e no meu havia menos buracos em comparação com o todo. Isso provocou grande impacto em mim.” Antônio diz que alunos de ensino médio têm dificuldade de entender a ideia de porcentagem, que é, em essência, a ideia de verificar o quanto uma quantidade representa em relação ao todo se o todo vale 100. Como pode um jovem ter dificuldade de entender algo que, ao que parece, até crianças pequenas entendem? É sinal de que algo se perde no processo de crescimento. Hoje Antônio já começa as aulas sobre porcentagens contando uma história parecida com a que aconteceu com ele. “A partir desse exemplo, passo a tratar a importância das comparações, entre as quais se inclui a teoria sobre porcentagens.”

Pouquíssima gente consegue dizer coisas inteligentíssimas sobre assuntos extremamente importantes, como amor, amizade, morte — e paternidade. Até websites especializados em frases de efeito têm pouca coisa sobre a paternidade — ora, Antônio não é exceção. “A paternidade mudou profundamente todos os aspectos da minha vida”, diz, procurando um modo de expressar algo tão grande. “Veja que meu filho, antes mesmo de chegar à idade escolar, me fez mudar o jeito de dar aulas.” Cada pai matemático tem uma história assim para contar. Um deles (Sebastião Amorim, da Unicamp) diz até que, sabendo que tinha filhos em casa à espera do pai, se sentiu compelido a prestar maior atenção nos alunos em sala de aula. Queria descobrir de que seus alunos gostavam e com o que se atrapalhavam, isto é, queria descobrir como seus próprios filhos funcionavam. E quase todos contam uma história com uma característica em comum: em casa, diante do pai matemático, os filhos falam e agem de modo desavergonhado. O pai matemático ganha maior acesso ao modo como crianças e jovens de fato pensam e agem.

O mais tolerante. Claudio Possani, professor na Universidade de São Paulo e empresário, diz que uma de suas filhas, quando estava no ensino médio, preferia tirar dúvidas com ele a tirar dúvidas com o monitor do colégio. Diante dele, a moça não tinha nem vergonha de recitar os mnemônicos que ela mesma criava para guardar fórmulas e definições. “Alguns desses mnemônicos eram inadequados, porque induziam a erro.” [Um mnemônico famoso, para decorar a fórmula de sen(a + b), é ‘minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá; seno A cosseno B, seno B cosseno A’; contudo, esse mnemônico não diz ao estudante que operações deve realizar com os senos e cossenos.] “Pude também observar como ela tinha dificuldades com a notação f(x).” Diante de um f(x + h), por exemplo, vários estudantes querem multiplicar f por (x + h), e chegam a fx + fh, e a partir daí estão a um passo de algum resultado absurdo. Claudio notou que sua filha entendia melhor a notação abstrata quando podia usá-la num exemplo mais concreto; ao mesmo tempo, viu como era importante ajudar o estudante a compreender a notação abstrata de uma vez por todas, isto é, sem o apoio de nenhum exemplo concreto. “Para usar a matemática no mundo concreto”, diz Claudio, “precisamos aprender a manipular as abstrações de modo completamente formal.”

No Colégio Objetivo, o professor Giuseppe Nobilioni conhece todo mundo — e diz que muito professor de matemática passa apuros ao dar aulas para os próprios filhos. “A gente acha que o nosso filho precisa ser perfeito, e deve entender tudo já na primeira palavra.” Giuseppe se inclui entre os pais impacientes, pois se lembra de já ter dado broncas no filho porque o rapaz não entendia alguma coisa. Alguns colegas de Giuseppe já lhe disseram que até evitam dar aulas para os filhos. “Com os próprios filhos, o professor aprende na marra uma lição importante”, diz Giuseppe: “Cada um reage de modo distinto a uma explicação. Cada um tem suas dificuldades. Cada um aprende no seu ritmo. Isso vale até mesmo para o filho do professor de matemática!” Se um jovem professor estuda matemática com afinco e tenta bolar ótimas explicações, que funcionem em sala de aula, isso é muito bom, diz Giuseppe, mas não é tudo. “O melhor professor entre dois professores é o que consegue perceber quem está com dificuldade e consegue ajudá-lo na hora certa. Em geral, esse professor é o mais tolerante dos dois.”

O pai professor corre o risco de se transformar num pai escravo? Norberto Sarmento, professor de matemática na Universidade Cruzeiro do Sul, tem três filhos, dois rapazes e uma moça, e acha que esse risco existe, e que o pai professor deve combatê-lo. Os dois rapazes cursam engenharia, e a moça está no último ano do ensino médio. Norberto não se recusa a ajudá-los quando precisam de ajuda, mas, antes de tudo, os obriga a tentar resolver as dúvidas sozinhos. “Eu sempre insisti na ideia de que eles deveriam se tornar autodidatas”, diz Norberto. Filho de pai matemático, diz Norberto, tende até mesmo a ser mais preguiçoso em sala de aula que seus colegas, pois sabe que, em casa, tem professor de graça — à noite e aos fins de semana… Por isso, sempre insistiu com os filhos: devem aprender a lição na escola.

Supondo que um de seus filhos tivesse uma dúvida, e que a dúvida perdurasse mesmo depois da pesquisa por conta própria, então Norberto entrava em ação. Aprendeu que, se pudesse tirar a dúvida mostrando ao jovem um exemplo tão concreto quanto possível, daí o jovem entenderia suas explicações melhor. Ao explicar as funções de primeiro grau, por exemplo, sempre menciona o exemplo do vendedor cujo salário tem uma parte fixa e uma parte variável (veja a seção 2). “Isso não faço mais só com meus filhos”, diz Norberto, “mas com todos os meus alunos.”

Roda supergigante. Sebastião Amorim, doutor em estatística e professor na Universidade Estadual de Campinas, não se lembra de ter modificado as aulas para seus alunos em razão das aulas que tenha dado aos filhos, mas se lembra de prestar maior atenção a seus alunos em razão dos filhos à espera dele em casa. Ele sempre quis passar aos filhos a ideia de que vale a pena estudar matemática: é mais divertido do que parece à primeira vista, e é muito útil. Como passar tal ideia? Simples: aquilo que funcionava bem com seus alunos provavelmente funcionaria bem com seus filhos. “Meus alunos sempre precisaram de exemplos mais palpáveis para lidar bem com as ideias matemáticas e acertar nos exercícios.” E quer coisa mais palpável que uma roda gigante? Quer coisa mais palpável que o planeta Terra?

Certa vez, Sebastião e um dos meninos observavam uma roda gigante, e o menino notou que não só a roda girava, mas que os carrinhos também giravam — ou, caso contrário, ficariam de ponta-cabeça! Então Sebastião contou ao menino a história da Terra em volta do Sol: não só a Terra gira em volta do Sol, como também gira em torno de si mesma. Sebastião se recorda da conversa mais ou menos assim:

A Terra gira em torno do Sol quase que numa órbita circular. Não chega a ser circular, porque é elíptica, mas é bem parecida com um círculo.

A luz viaja no espaço a uns 300.000 quilômetros por segundo (arredondando um pouco para mais).

A luz leva 8 minutos e 24 segundos para sair do Sol e chegar à Terra, isto é, leva 504 segundos.

A distância do Sol à Terra é, portanto, 504 segundos × 300.000 quilômetros por segundo, isto é, uns 151 milhões de quilômetros.

Essa distância do Sol à Terra é o raio da órbita; sendo assim, a circunferência mede 2 × π × 151 milhões de quilômetros, o que, fazendo as contas, dá uns 950 milhões de quilômetros.

A Terra dá uma volta completa em torno do Sol em um ano, isto é, em 8.760 horas. Então, a velocidade da Terra (que é a distância percorrida dividida pelo tempo para percorrê-la) é de 108.449 quilômetros por hora.

“Expliquei a meu filho que isso era mais ou menos 120 vezes mais rápido que um Boing 747 em velocidade de cruzeiro, e uma 100 vezes mais rápido que a velocidade do som.” Mas Sebastião continuou:

Um brasileiro está sentado num banco de praça no centro de Macapá (AP), que fica mais ou menos na linha do equador.

A Terra se parece com uma esfera cuja circunferência na linha do equador é de uns 40.000 quilômetros.

Ela gira em torno de si mesma uma vez a cada 24 horas; portanto, a velocidade de rotação sobre seu eixo, na linha do equador, é de uns 1.667 quilômetros por hora, o que é 1,5 vezes a velocidade do som e 1,8 vezes a velocidade de um Boeing 747.

“O homem sentado no banco da praça de Macapá pensa que está parado”, explicou Sebastião ao menino, “mas ele está girando em torno do centro da Terra a 1.667 quilômetros por hora, e está girando em torno do Sol a 108.449 quilômetros por hora.” Assim como seus alunos gostam de exemplos mais concretos, Sebastião diz que o menino ficou encantado, e nem percebeu que estava lidando com números muito grandes, isto é, que estava recebendo uma lição sobre ordens de grandeza, embutidas em palavras como “mil” e “milhão”. Sebastião disse que ele e o menino tiveram essa conversa com o apoio de uma calculadora (ele sempre tem uma calculadora por perto), e que o menino manipulou a máquina. “Ele ficou surpreso e encantado de achar números tão fantásticos”, diz Sebastião. Criança gosta de matemática, desde que tenha algo extraordinário para ver e tocar. No fim das contas, o pai matemático luta para que ela e os colegas dela, ao longo dos anos escolares, aceitem como concretos aqueles objetos tipicamente matemáticos — os que só existem na imaginação. {}



{2}/ A comissão do vendedor

Quando dá explicações sobre as equações lineares, Norberto Sarmento, da Universidade Cruzeiro do Sul, menciona o caso do vendedor. Seu salário bruto é composto de duas partes: uma fixa, de 900 reais, e uma variável, equivalente a 8% do que vendeu no mês. Se vendeu 50.000 reais, quanto ganhará como salário bruto?

O leitor pode batizar de S a função “salário bruto em função de x reais vendidos”. Ao fazer as contas, chega a:

Isso é mais fácil de ver com um gráfico, no qual 900 é o valor de y quando x = 0 (quando o vendedor não conseguiu vender nada) e no qual o valor de y cresce à taxa instantânea de 8% para todo x, isto é, no qual a derivada de S(x) vale 8% para todo x.

O professor pode contar essa mesma história de modo mais dramático. O vendedor achou que receberia 5.700 reais, mas recebeu apenas 5.250 reais. Então, quanto ele acha que vendeu no mês? E quanto a empresa acha que ele vendeu no mês? Uma discussão interessante, para a qual não existe resposta certa: o que aconteceu? Será que houve um erro quanto ao valor vendido no mês? Será que houve um erro quanto ao salário fixo? Será que houve um erro quanto à comissão?

Nota: Como lembrou o professor Cássius Almada na matéria Abaixo Aquele Famigerado Táxi, o exemplo do salário fixo + salário variável não é perfeito para ilustrar o comportamento de funções contínuas, pois os valores do domínio e da imagem são discretos — variam de centavo em centavo. Em algum momento, em nome da correção, o professor deve chamar a atenção da classe para essa ressalva.



{3}/ Combinação ou permutação?

Giuseppe Nobilioni, do Colégio Objetivo, diz que o estudante mais jovem tem dificuldade com a análise combinatória do ensino médio. (Também conhecida entre os estudantes por análise embananatória.) “A teoria é muito simples”, diz Giuseppe, “mas eles têm dificuldade de ver quando o problema deve ser resolvido com permutações ou com combinações.” No colégio, Giuseppe e seus colegas chegaram a uma solução eficiente para explicar ao estudante como distinguir entre um problema e outro:

Se o leitor pega n elementos de um conjunto e, ao trocar a ordem desses elementos, obtém a cada troca uma nova resposta, o problema é de permutação; por exemplo, se as triplas ordenadas (a, b, c), (a, c, b) e (c, b, a) são respostas distintas, então o leitor está mexendo com as permutações dos elementos do conjunto {a, b, c}. (Ou com permutações de um conjunto maior, por exemplo {a, b, c, d, e}, consideradas de três elementos em três elementos.)

Se pega n elementos de um conjunto, mas, ao trocar a ordem desses elementos, não obtém uma nova resposta a cada troca, o problema é de combinação; se (a, b, c) e (b, c, a) são duas maneiras distintas de anotar a mesma resposta certa, então está mexendo com o número de combinações possíveis dos elementos do conjunto {a, b, c}, tomados três a três. (Ou com combinações de um conjunto maior, do qual a, b, c são elementos.)

Um exemplo típico: há 30 pontos num plano, dos quais somente 10 estão alinhados, pois pertencem à mesma reta; os outros 20 pontos foram distribuídos assim: 10 à direita dessa reta, e 10 à esquerda. (Em outras palavras, para qualquer ponto fora da reta de dez pontos, e para quaisquer dois pontos distintos na reta de dez pontos, o leitor tem um triângulo, mas nunca uma reta; veja a figura 1.) A pergunta é: quantos triângulos distintos consegue fazer com tais 30 pontos?

Seguindo o conselho de Giuseppe, você desenha um triângulo ABC, apenas para ter uma ideia do problema com o qual está mexendo, e percebe que o triângulo ABC também poderia ser chamado de ACB ou de BCA ou de BAC ou de CAB ou de CBA. Se trocou a ordem dos pontos, mas ficou com o mesmo triângulo, então está mexendo com a ideia de combinação. Contudo, nota o seguinte: caso pegue quaisquer três pontos na linha reta, não consegue formar um triângulo. (Ou, vendo isso de outra maneira, só consegue formar um triângulo degenerado numa reta, como os matemáticos gostam de dizer.) Então, pode chamar o número total de triângulos de T e modelar o problema assim:

Com essa linha, disse: “O número total de triângulos é igual a todas as combinações de 30 pontos, tomados três a três, menos todas as combinações dos pontos em linha reta, isto é, menos todas as combinações de 10 pontos, tomados três a três.” Depois disso, só resta fazer as contas:

Eis a resposta: com tais 30 pontos, pode uni-los para formar 3.940 triângulos distintos, nenhum deles degenerado numa reta.



{4}/ A ideia de porcentagem

Se você sabe que x é parte do todo e que y é o todo, ao calcular o número 100(x/y) e expressá-lo na forma 100(x/y)%, está dizendo: se y fosse 100, quanto x representaria em relação a 100?

Lembrete 1:

Lembrete 2: Você divide x por y, multiplica o quociente por 100 e apresenta o quociente ao ouvinte na forma de porcentagem; deve levar em conta que nem sempre o ouvinte pode fazer as contas ao contrário e ganhar acesso aos valores originais. “Tive um desconto de 23% sobre a coisa que comprei esta manhã” pode significar que teve um desconto de 19 reais e 9 centavos sobre uma coisa de 83 reais, ou desconto de 34 reais e 50 centavos sobre uma coisa de 150 reais — ou pode significar infinitas outras possibilidades.

Lembrete 3: Neste blogue, há uma matéria mais completa sobre a ideia de porcentagem. Clique aqui.



{5}/ A notação f(x)

O leitor imagina dois conjuntos não vazios, por exemplo o conjunto S e o conjunto T. Uma função f de S em T é uma regra ou fórmula pela qual você associa, a cada elemento de S (o domínio), sem exceção, um único elemento de T (o contradomínio). Se x é um elemento de S, então, ao aplicar a fórmula batizada de f, seja qual for, acha f(x), isto é, acha o elemento de T que está associado a x por meio da fórmula f. (Deve ler f(x) como “efe de xis”.)

Um exemplo: você batiza com a letra g a fórmula t2 + 3, na qual t é um número real. É uma função g de R em R, isto é, ao empregar a fórmula batizada de g, transforma um número real (representado pela letra t) em outro número real (representado pelo termo g(t)). Ora, se g(t) = t2 + 3, então g(2) = 7, pois 22 + 3 = 7; 2 é um elemento do domínio, e 7 é sua imagem no contradomínio. E, se g(t) = t2 + 3, então g(t + h) não é gt + gh, mas sim (t + h)2 + 3, ou seja, g(t + h) = t2 + 2th + h2 + 3.

Em geral, no ensino médio, o aluno tem a sensação de que tais definições são desnecessariamente rigorosas; parecem coisa de purista esquisitão. Só na faculdade ele descobre que, quando se atém a definições rigorosas, resolve problemas difíceis; quando as despreza, anda em círculos. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 30, julho de 2013, pág. 46. O texto que acabou de ler foi revisto e ligeiramente reescrito, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Aline Viana. Talvez o leitor tenha notado que só entrevistamos professores do sexo masculino. Isso foi circunstancial: na ocasião, pedimos entrevista tanto para professores quanto para professoras, mas, para nosso azar, só os professores tinham agenda.

3. Neste blogue, há uma matéria só sobre a fórmula para sen(A + B); clique aqui.