Métodos formais para filósofos novatos: mais eficientes que lógica


Suponha que você é professor numa faculdade de filosofia, e que te pedem para dar o curso de Lógica I. O que ensinaria nesse curso?

“Simples”, talvez queira me dizer: “Eu ensinaria os fundamentos da lógica; faria o possível para que meus alunos entendessem ideias como argumentos válidos por indução ou dedução, funções de verdade, proposições condicionais. O que mais poderia ensinar num curso cujo nome é ‘Lógica I’?”

Há 10 anos, essa resposta seria considerada perfeitamente razoável. Hoje há muitas dúvidas, e não apenas nas universidades brasileiras; principalmente há muitas dúvidas em universidades nos Estados Unidos e no Reino Unido, dois Estados com influente tradição em pesquisa filosófica.

Para entender o motivo, suponha a seguinte situação: Precisa ensinar seus alunos de filosofia a pensar com exatidão e sagacidade. Além disso, eles são obrigados a fazer só um curso para aprender a pensar dessa maneira, curso esse chamado Lógica I. (Os outros cursos da sequência, Lógica II, III, e IV, não são obrigatórios, mas sim optativos.) Estudando os arquivos da faculdade, você descobre que a maioria dos alunos (digamos, 80% deles) faz o primeiro curso obrigatório, mas não os optativos. Perguntas: Ainda assim você usaria o curso de Lógica I para ensinar, pura e simplesmente, os fundamentos da lógica? Um jovem filósofo que só tenha tido contato com as ideias mais básicas da lógica está em condições de produzir filosofia de boa qualidade? Ou está em condições de ler os artigos mais recentes de filósofos ilustres, como David Papineau (britânico) e Eric Steinhart (americano)?

Vejamos. Papineau: “Probabilidades objetivas são bastante diferentes das subjetivas. Elas estão lá fora no mundo, e não na cabeça das pessoas. Elas quantificam as tendências objetivas de que certos resultados aconteçam. É bem possível que tais tendências existissem mesmo que agentes capazes de probabilidade subjetiva nunca tivessem evoluído.” Steinhart: “Chame de A o conjunto de certas mensagens sendo transmitidas por certo canal c. Use P(a) para denotar a probabilidade associada à mensagem a A, e use W(a) para denotar o número de bits de a.”

Como pode ver, as ideias “probabilidade subjetiva”, “probabilidade objetiva”, “agente”, “evolução por seleção natural”, “conjunto”, “elemento de um conjunto”, “mensagem”, “canal”, “bit”, e “função” não são do tipo que costuma aparecer num curso de introdução à lógica, mas são do tipo que costuma aparecer no texto de autores como Papineau e Steinhart, entre tantos outros autores contemporâneos. Portanto, imaginando um aluno que só tenha feito o curso de Lógica I, e que não tenha o perfil de autodidata em assuntos difíceis, é fácil chegar à conclusão de que ele não estará em condições de ler artigos filosóficos escritos dessa maneira — e muito menos de escrever artigos assim.

É por isso que, nas faculdades mundo afora, mas especialmente nos Estados Unidos e no Reino Unido, vários dos professores responsáveis pelo curso de Lógica I têm empregado o tempo que dedicariam a um curso convencional de lógica com um curso de introdução a métodos formais na filosofia. A expressão “métodos formais” inclui a lógica, mas é mais abrangente que “lógica”; ela abarca assuntos como teoria dos conjuntos, relações e funções, probabilidade, teoria da informação, teoria das decisões e dos jogos, máquinas de estados finitos, teoria das proposições, lógica de proposições, lógica de predicados, grafos, sintaxe e semântica para teorias e metateorias — entre outros. A palavra “formal” da locução “métodos formais” remete a forma, no sentido matemático da palavra: muito do significado das afirmações matemáticas decorre da forma com que são escritas. Faz diferença o modo como você desenha os símbolos, e onde os coloca no papel. Por exemplo:

5 + 72 = 12

É uma afirmação falsa que qualquer adulto bem educado compreende: ela trata da adição de dois inteiros positivos, 5 e 72. Ela diz que a adição de 5 com 72 resulta em 12. É falsa porque, na verdade, 5 + 72 = 54. Mas se você escrevesse “É falsa porque 54/5=72+”, ninguém o compreenderia, pois se descuidou da forma. Os filósofos contemporâneos tomaram todos os seus métodos formais emprestados da matemática pura — em especial da teoria dos conjuntos e de suas duas aplicações teóricas mais importantes, que são relações e funções.

Papineau e Steinhart são dois professores de filosofia que também costumam dar o curso de Lógica I — Papineau, na King’s College London (em Londres, Inglaterra); Steinhart, na William Paterson University (em Wayne, ao sul de Nova York). Ambos se rebelaram e preferiram usar o tempo ensinando princípios de métodos formais a seus alunos. Ambos transformaram sua experiência em livro didático.

No caso de David Papineau, escreveu o livro Philosophical Devices: Proofs, Probabilities, Possibilities, and Sets [Dispositivos Filosóficos: Provas, Probabilidades, Possibilidades, e Conjuntos]. “Muitos graduandos de filosofia fazem um curso de lógica elementar para aprender a mecânica básica da lógica de proposições e da lógica de predicados”, escreveu Papineau na introdução. “Há muitos anos eu acho que o tempo gasto num curso desses seria melhor aproveitado na exploração do material que incluí neste livro. Duvido que um curso de introdução à lógica ajude o estudante a melhorar suas habilidades de argumentação, ou a explorar ideias metalógicas.” Em outro trecho, escreveu: “Assim que o estudante de filosofia passa do ponto dos textos explicitamente introdutórios, descobre que todos os autores esperam dele certo nível de sofisticação. Ele vai encontrar referências a ‘não enumerável’, ‘distinção de escopo modal’, ‘condicionalização bayesiana’, ‘completude lógica’, bem como a muitas outras noções semelhantes. Ainda assim, com frequência a faculdade que frequenta não planejou nenhum curso para explicar tais noções.”

E, no caso de Eric Steinhart, escreveu o livro More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy [Mais Precisamente: A Matemática de que Necessita para Filosofar]. “Qualquer um que faça filosofia hoje em dia precisa entender bastante bem uma ampla coleção de conceitos matemáticos básicos”, escreveu Steinhart no prefácio. “Infelizmente, a maioria dos livros sobre matemática aplicada foi escrita para atender às necessidades de cientistas. E muito da matemática usada por cientistas não é usada por filósofos. […] É claro que algum filósofo pode replicar: Por que eu deveria empregar matemática? Não seria melhor se eu evitasse tecnicidades? Bem, eu concordo com a tese de que devemos evitar as tecnicidades por si mesmas. Foi o que Ansel Adams disse uma vez: ‘Não há nada pior que uma imagem nítida de um conceito vago.’ Uma ideia ruim não fica melhor quando você a expressa com termos formais. Ainda assim, acho que a filosofia tem muito a ganhar ao ficar um pouco mais matemática; conforme a ciência ficou mais matemática, seus triunfos se multiplicaram. Muitos problemas filosóficos antigos e difíceis foram resolvidos quando alguém concebeu um modelo matemático de algum aspecto do universo.”

Há um filósofo brasileiro que conhece os dois autores, Steinhart e Papineau, e concorda com eles: Edelcio Gonçalves de Souza, professor de lógica na Faculdade de Filosofia, Letras, e Ciências Humanas da Universidade de São Paulo. Há anos ele dá o curso de Lógica I, primeiro na PUC-SP, e agora na USP. Há anos ele faz experimentos com o conteúdo desse curso. “Eu sou na verdade um professor de lógica matemática”, disse Edelcio durante uma entrevista a este blogue, que ocorreu na tarde do dia 26 de novembro de 2018, na sua sala na FFLCH. “Minha pesquisa é exclusivamente sobre lógica — teoria das categorias, semântica categorial, lógica abstrata, lógica universal, um pouco de topologia. Ao mesmo tempo, eu me interesso muito pelas partes da matemática que um filósofo pode abraçar para tornar os conceitos filosóficos mais precisos. E isso me interessa não exatamente do ponto de vista da pesquisa, mas sim do ensino — acho que os alunos têm de conhecer esses partes, que são elementos de métodos formais. Um aluno que se interessa por epistemologia contemporânea, ou por filosofia da mente, não tem como escapar — para citar só dois exemplos, ele tem de conhecer a ideia de probabilidade a posteriori e os teoremas de Gödel.”

Por que você faz experimentos com o conteúdo do curso de Lógica I?

Edelcio Gonçalves de Souza, aikidoísta há 25 anos

Da minha experiência, os alunos que desejam estudar lógica de verdade, aqueles que de verdade se interessam pelo assunto, já entendem que o conteúdo do curso de Lógica I está muito longe, muito aquém daquilo que eles precisam saber. Eles têm consciência disso antes de se matricular em Lógica I, e se matriculam nos cursos posteriores, optativos, de Lógica II, III, e IV.

Quanto aos outros alunos, sei que, se alguém der um curso de Lógica I com todos os formalismos, eles não acompanham. Assim, não vejo muito motivo em forçar um aluno de segundo ano a fazer um curso que só vai colocá-lo em dificuldades. [A FFLCH oferece o curso obrigatório de Lógica I no terceiro semestre.] Ao mesmo tempo, mesmo o aluno que não se interessa tanto assim por formalismos vai precisar deles no futuro. Quem se interessa por filosofia da linguagem, por exemplo, tem de encarar uma literatura especializada difícil, cujos autores usam métodos formais o tempo todo — condições de verdade para afirmações, semântica de mundos possíveis, semânticas modais com contrapartes. Esses autores usam uma matemática sofisticada, mas que está ao alcance de um aluno que tenha feito um bom curso de introdução a métodos formais.

Quando eu estava na PUC, também dava o curso de Lógica I, e já me interessava por ensinar aos alunos aquelas ideias que, eu sabia, eles iam precisar. A certa altura, descobri o livrinho Logic: A Very Short Introduction [Lógica: Uma Introdução Bem Concisa], do Graham Priest, que é um lógico britânico famoso [foi um dos fundadores do dialeteísmo, a tese de que existem afirmações verdadeiras, falsas, verdadeiras e falsas ao mesmo tempo, e nem verdadeiras nem falsas]. Esse livrinho é fantástico. São quinze capítulos curtos, nos quais em cada um deles ele trata de um tema diferente da lógica contemporânea — validade, funções de verdade, quantificação, designadores, autoreferência, conceitos vagos, até chegar nos últimos dois capítulos aos teoremas mais importantes de Turing e de Gödel. Em cada capítulo, Priest mostra como o leitor pode usar certo conceito para resolver certos problemas filosóficos, e mostra também as limitações do conceito. Durante alguns anos, usei esse livro como referência.

Em 2017, eu descobri o livro de Steinhart, que é novo. [A segunda edição é de 2018.] Ele fez uma coisa bastante enxuta: nos dois primeiros capítulos, explica só as ideias mais fundamentais sobre conjuntos, relações, e funções; nos capítulos seguintes, aplica essas ideias no desenvolvimento de teorias importantes para o filósofo contemporâneo, como probabilidade, teoria da informação, teoria dos jogos, máquinas. No primeiro semestre de 2018, usei o Steinhart como experimentação, mas, no fim das contas, fiquei impressionado com a reação das duas classes. Elas são grandes, com mais ou menos cem alunos cada uma. Eles abraçaram a ideia, e o curso funcionou bem — houve poucas reprovações.

Como, exatamente, você usa tais livros em sala de aula?

Eu acho que uma aula deve ser dada para aquela classe específica, naquele momento específico. Uma aula deve ser dada de acordo com as dificuldades daquela classe que está ali diante de mim. Mas como saber que dificuldades são essas, já que elas variam de classe para classe?

Para tanto, peço que eles leiam determinado capítulo do livro antes da aula. Se eu chegar a uma aula, e perceber que 70% da classe não leu o capítulo, pego minhas coisas e vou embora. Eles precisam ler o capítulo para ter dúvidas, pois eles precisam ter dúvidas para que minha aula funcione bem.

Eu chego e pergunto coisas do tipo:

“Vocês entenderam essa definição aqui?”

Muitas vezes, eles dizem que entenderam. Aí apresento algumas consequências daquela definição, que não estão expressas no livro, e vários percebem que na verdade não haviam entendido, pois não conseguem ver como as consequências se seguem da definição.

Mas, às vezes, eles realmente acompanham as consequências da definição, e vejo que eles realmente tinham entendido o conceito. Então, eu paro, e pulo para o próximo tópico da aula. Pois não vejo nenhuma necessidade de perder meu tempo e o deles fazendo uma exposição de ideias que todo mundo já entendeu.

Ou então eu chego, aponto para um deles, e digo:

“Você! Você leu o capítulo?”

“Li.”

“Quais foram as suas impressões?”

Aí o aluno diz alguma coisa, e outro diz outra, e uma coisa puxa a outra e, quando vou ver, acabou o nosso tempo.

Às vezes, um aluno me diz que não entendeu nada. Peço que me dê algumas poucas perguntas que a leitura do capítulo suscitou. Ele, ou ela, me passa ali na hora uma pequena lista de dúvidas. Daí eu digo:

“Se você tem umas poucas boas perguntas sobre o texto, então não pode ser verdade que não entendeu nada. Quem não entende nada não consegue sequer fazer perguntas.”

Qual deve ser, ou qual pode ser, o principal objetivo de um curso de introdução a métodos formais na filosofia?

A principal vantagem dos métodos formais é que eles são ferramentas com as quais o filósofo pode explicitar melhor os conceitos sobre os quais está escrevendo. Esse é o ponto-chave.

Quero dizer com isso o seguinte: se você não tem definições precisas de seus termos, você obviamente não sabe do que está falando. Suponha, por exemplo, que alguém me diga o seguinte:

“Jamais poderá existir uma máquina que simule com perfeição o funcionamento de um cérebro humano.”

Bom, isso é uma tese. É verdadeira ou falsa?

Em primeiro lugar, para defender uma tese dessas, o filósofo tem de descrever muito claramente o que é uma máquina. De que ele está falando? De uma máquina de estados finitos? Além disso, tem de descrever muito claramente o que é um cérebro, pois só assim pode defender a tese: ele tem de comparar o conceito de máquina com o de cérebro, e mostrar que uma não pode simular o outro. Contudo, a humanidade ainda não tem uma definição precisa de cérebro.

Para qualquer aluno que tenha entendido as ideias essenciais dos métodos formais, é mais do que óbvio que essa tese não pode ser defendida — pelo menos não antes de haver uma definição precisa de cérebro. [Já existem definições precisas de máquinas de vários tipos, incluindo as máquinas de estados finitos.]

Isso significa que nada pode ser dito sobre máquinas e cérebros? Não! Se aplico os métodos formais, e vejo que não posso defender uma tese porque me faltam certas definições precisas, posso mesmo assim seguir em frente, mas sendo muito cuidadoso; isso porque eu sei que, naquele trecho, estou lidando com ideias vagas. “Enquanto essa ideia de ‘cérebro’ for vaga”, o filósofo pode escrever, “será que consigo raciocinar com ela? Talvez, talvez.”

Outro exemplo: você está estudando um autor, e gostaria de saber se seu argumento é válido. Ora, quando lida com um argumento complexo, não pode saber se é válido ou inválido só de ficar olhando para ele. Você tem de explicitá-lo, tem de transformá-lo numa estrutura formal, usando, por exemplo, o cálculo de predicados, ou então o conceito de entropia. E aí você descobre, para sua surpresa, que um argumento com toda a cara de ser válido é, na verdade, inválido! E mais do que isso: como você aplicou o que sabe de métodos formais, pode dizer com bastante clareza qual premissa está com problemas, e qual é o problema, e pode inclusive dizer como faria para arrumar o problema e salvar o argumento.

Essas coisas acontecem até na matemática. Por exemplo, eu bolei uma coisa que chamei de “categorias com morfismos-verdade”. Eu não sei se essa coisa realmente existe, mas sei quais são as principais propriedades que eu gostaria que ela tivesse. Então, como pesquisador, estou caminhando numa zona de vagueza, que vai durar até o dia em que eu achar categorias que tenham essas propriedades — se achar. Os alunos têm de entender isso: tendo uma boa ideia do que são os métodos formais, você consegue raciocinar sobre coisas mal definidas, desde que você tenha uma ideia de como essas coisas devem se comportar. O que não dá é raciocinar sobre coisas mal definidas sem saber que estão mal definidas!

Ao estudar métodos formais, o aluno também aprende a ler textos difíceis. Pois ele mais ou menos usa a ideia de probabilidade condicional na interpretação de textos difíceis: “Se eu entendi esse conceito aqui, então as consequências são tais, tais, e tais.” Daí ele continua a leitura, procurando ver se as novas informações são consistentes com a lista de consequências do que entendeu. Se achar uma inconsistência, significa que ou não havia entendido o conceito, ou o autor cometeu um erro. “Será que devo abrir mão completamente da hipótese que fiz lá atrás? Será que devo voltar e formular outra hipótese?” Se o aluno aprende a fazer isso lendo textos de natureza matemática, ele aprende a ler qualquer coisa difícil.

Digo que, se consigo fazer com que o aluno esteja alerta para os momentos em que está lidando com algo vago ou mal definido, o principal objetivo de um curso sobre métodos formais foi cumprido. Tendo essa consciência, ele mais tarde será capaz de produzir boa filosofia.

Quais são as limitações dos métodos formais?

Ah, boa pergunta, porque eu não quero que meus alunos cheguem à ideia de que, com os métodos formais, eles têm o remédio para todos os males.

E isso às vezes acontece. Um aluno ambicioso ou empolgado chega e me diz:

“Professor, eu vou formalizar toda a Crítica da Razão Pura!”

[risos] Eu digo que nem sei se isso é possível. Acho que número de possibilidades seria maior que o número de moléculas do universo visível!

Explicação. Suponha um parágrafo com 130 palavras, das quais 80 são importantes. Dessas 80 palavras importantes, 10 delas são um tanto vagas, e cada uma delas pode ser lida de três maneiras diferentes. Assim, o número de maneiras distintas pelas quais ler esse parágrafo é igual a 310 = 59.049. Em outras palavras, para estudar todos os significados apenas desse parágrafo, o filósofo teria de considerar 59.049 parágrafos distintos, um para cada permutação dos significados das dez palavras vagas. Uma das traduções brasileiras do livro de Kant tem 856 páginas. Suponha agora que, em todo o livro, haja 80 palavras que podem ser lidas de duas maneiras distintas. Nesse caso, o filósofo teria de considerar 280 = 1.208.925.819.614.629.174.706.176 versões distintas do livro, uma para cada permutação dos significados das 80 palavras vagas.

Eu fui orientando do professor Newton da Costa. Fiz minha dissertação de mestrado e minha tese de doutorado sob sua orientação. [Newton da Costa é o mais famoso lógico brasileiro; é um dos inventores das lógicas paraconsistentes.] Ele sempre dizia: “Tudo o que pode ser dito racionalmente, pode ser dito matematicamente.” Eu nem sei se consigo aceitar uma tese dessas… Mas, em todo caso, talvez seja impossível prová-la.

Então, quando eu faço filosofia, delimito bem os meus termos. Sou do tipo que escreve: “Quando eu uso a palavra ‘tal’, quero dizer isso assim e assado.” Contudo, se meu colega filósofo, na sala ao lado, prefere não recorrer a nenhum método formal, não sou eu quem vai julgá-lo. Não vou dizer que o trabalho dele não tem valor. Isso porque, tanto na tradição analítica [a que usa métodos formais] quanto na tradição não analítica, claramente há coisas excelentes e há também muito lixo.

O uso de métodos formais fica mais fácil com o tempo e a prática?

Fica. Outro dia, fui examinar uma dissertação de mestrado, e o autor havia escrito: “Seja S um conjunto de símbolos.”

Eu o chamei e disse:

“Escuta, você não definiu o que é um símbolo.”

“Ora”, ele me respondeu, “S é um conjunto de símbolos!”

“Sim, eu sei. Mas o que é um símbolo? Você não explicou. É uma marquinha num pedaço de papel? [aponta para um prego na parede] Aquele prego ali é um símbolo?”

O aluno se atrapalhou todo. Ele ficou realmente confuso. Aí eu disse:

“Olha, em vez de escrever ‘Seja S um conjunto de símbolos’, por que não escreve ‘Seja S um conjunto de elementos que eu vou chamar de símbolos’? Se escrever isso, minha pergunta não faz mais sentido. Não posso mais perguntar o que são símbolos, pois sei que são os elementos de S.”

A diferença entre o que ele escreveu, e o que deveria ter escrito, é enorme. Quando ele entendeu isso, ficou muito contente.

Ao ler essa safra nova de livros de introdução a métodos formais, você descobriu alguma coisa nova para você?

Sim. No livro do Steinhart, o capítulo sobre teoria da informação tinha umas coisas novas para mim. A ideia de que uma sequência de bits é aleatória quando não pode ser comprimida é muito interessante. Isso porque, se uma sequência de dados pode ser comprimida, ela contém alguma estrutura, algum padrão.

Um trechinho do livro. “Com a entropia, você mede a capacidade de comprimir uma mensagem, uma sequência de bits. Incompressibilidade é a marca da aleatoriedade; mas se pode comprimir alguma sequência, então ela contém alguma regularidade; ela contém algum padrão ou estrutura. A mente luta para captar regularidades nos sinais que nos são providos pelo meio ambiente. E você pode capturar melhor essas regularidades por meio de teorias precisas, sendo que o método científico fornece uma rota para a precisão. Assim, representações mentais precisas e teorias científicas precisas estão ambas fortemente conectadas com a ideia de compressibilidade — elas são compressões ótimas [das mensagens que captamos do meio ambiente, seja por meio dos sentidos, seja por meio de instrumentos]. Elas também estão fortemente conectadas com a ideia de entropia.”

Quanto aos outros livros… O que eu mais gosto nesse tipo de livro é ver como o autor apresenta as coisas, isto é, como organiza o material. [Segura o livro do Papineau e o folheia.] Eu ainda vou dar um curso usando esse livro como referência, mas esse é um livro estranho. Ele foi escrito de maneira mais elementar, quando o comparo com o livro do Steinhart, mas, ao mesmo tempo, trata de ideias muito sofisticadas. Não sei. Ainda estou pensando no assunto.

Você é platônico ou não platônico?

Platônico. Eu acho que as verdades matemática existem, de alguma maneira, e cabe ao matemático descobri-las.

Dito isso, eu conheço o movimento da matemática construtiva. Assim, sempre que posso provar um resultado construtivamente, faço isso. Em outras palavras, só vou recorrer às ferramentas mais fortes da matemática clássica, como a redução ao absurdo, se não houver outro jeito, isto é, se eu não souber como redigir uma prova construtiva.

Entretanto, no geral… globalmente, não acho que a matemática seja uma criação da mente humana. Acho que ela está aí, no mundo.

Matemática construtiva (resumindo bastante). O matemático construtivo troca sistematicamente a locução “existe um x” por “eu posso provar que x existe ao construir um x”. Assim, ele troca afirmações do tipo x(P(x) & Q(x)), que é “existe um x tal que x tem a propriedade P e, além disso, também tem a propriedade Q” por “eu posso provar três coisas: que consigo construir um x; que x tem a propriedade P por virtude de sua construção; e que, além disso, x também tem a propriedade Q por virtude de sua construção”. A principal marca do matemático construtivo é que ele não recorre a provas por redução ao absurdo. A principal vantagem econômica da matemática construtiva é que o especialista pode convertê-la muito mais facilmente em algoritmos computáveis.

Você acha que um curso de Lógica I de um semestre é suficiente? Ou, em outras palavras: um semestre é suficiente para um curso de introdução a métodos formais na filosofia?

[Pega o livro de Steinhart nas mãos e examina algumas páginas, pensativo] Acho que um curso desses ficaria melhor em um ano.

E tem outra coisa: aqui na FFLCH, o curso de Lógica I é de quatro créditos. Isso significa que as quatro aulas ocorrem todas numa mesma tarde [ou numa mesma noite, no caso do curso noturno]. Esse esquema não funciona bem, porque não consigo falar de lógica, ou de métodos formais, por quatro aulas seguidas; nem os alunos aguentam quatro aulas seguidas.

Se o curso fosse dividido em dois dias por semana, com duas aulas por dia, e com um intervalo entre cada dia para as leituras, eu conseguiria aumentar o material a ser coberto em 30% pelo menos.

A questão é que, na matemática, não adianta correr. Não adianta ter pressa. Qual é o propósito de usar métodos formais na filosofia? Em primeiro lugar, é o de entender com clareza o que os autores antes de você disseram. Isso é especialmente difícil com os autores antigos, que não foram suficientemente claros. Em segundo lugar, é trazer algumas boas características da matemática e da lógica para a filosofia, especialmente essa busca pelo pensamento claro e preciso, até o ponto em que o filósofo não consegue maior clareza ou precisão do que aquilo. Eu gosto de formalismos, mas também gosto quando alguém consegue explicar uma ideia difícil com o mínimo de formalismos. O aluno precisa de tempo para aprender a pensar e a escrever assim — usar os formalismos para deixar seu pensamento mais claro e mais preciso, para saber exatamente do que está falando, e depois, se for o caso, suprimi-los tanto quanto possível na hora de escrever. {FIM}



Observações:

1. Se os professores estão usando o curso de Lógica I para ensinar uma introdução a métodos formais, por que não mudam o nome do curso? Em quase todas as universidades do mundo, criar um novo curso, ou mudar o nome de um curso já existente, é um pandemônio burocrático — até Hércules desistiria. A maioria dos professores prefere pegar o currículo do jeito que está e, sem mudar o nome de nada, ensinar o conteúdo que acha mais adequado no momento.

2. Afinal de contas: Um curso de introdução à lógica é necessário ou não é? Sim, é. Edelcio reconhece isso, assim como Steinhart e Papineau. Na situação ideal, deveria haver um curso obrigatório de introdução a métodos formais e outro de introdução à lógica. Mas o ponto desta matéria é que, em muitas universidades, a situação não é ideal.

3. Caso o leitor queira de saber mais sobre métodos formais na filosofia, eis uma lista de livros, a serem lidos nesta ordem:

(a) Eric Steinhart (2018), More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy, segunda edição (Broadview Press, Ontário, Canadá).

(b) Graham Priest (2017), Logic: A Very Short Introduction, segunda edição (Oxford University Press, Oxford, Reino Unido).

(c) David Papineau (2012), Philosophical Devices: Proofs, Probabilities, Possibilities, and Sets (Oxford University Press, Oxford, Reino Unido).

(d) Julian Baggini e Peter S. Fosl (2010), The Philosopher’s Toolkit: A Compedium of Philosophical Concepts and Methods, segunda edição (Wiley-Blackwell, West Sussex, Reino Unido).

(e) Daniel C. Dennett (2013), Intuition Pumps and Other Tools for Thinking (W. W. Norton & Company, Nova York, Estados Unidos).

(f) Michael Bruce e Steven Barbone (2011), organizadores, Just the Arguments: 100 of the Most Important Arguments in Western Philosophy (Wiley-Blackwell, West Sussex, Reino Unido).

Com os livros (a)-(d), você terá boa ideia das ferramentas intelectuais à disposição de filósofos, incluindo métodos formais, sendo que os três livros mais importantes dessa lista são (a)-(c). Com o livro (e), terá boa ideia das ferramentas prediletas de um filósofo específico, Daniel Dennett, cuja obra é muito interessante. Com o livro (f), poderá pôs seus conhecimentos à prova, e ver se você formalizaria cada um dos 100 argumentos mencionados no livro da mesma maneira que seus autores.

4. O autor deste blogue não é platônico. Acho mais produtivo ver a matemática como uma invenção humana, como se fosse um jogo, sobre o qual os humanos fazem descobertas. Mais ou menos como no xadrez: o Homo sapiens inventou o xadrez, que é um jogo, e sobre ele faz descobertas até hoje. Daí o título do blogue, Imaginário Puro: a matemática é pura invenção, é puro jogo — pura imaginação. No entanto, reconheço que por enquanto há muitas opções viáveis sobre a mesa para explicar o status ontológico da matemática, entre elas várias versões de platonismo.

5. Eu disse no texto: “[O professor] precisa ensinar seus alunos de filosofia a pensar com exatidão e sagacidade.” Na verdade, num curso de apenas um semestre, essa meta é impossível. O máximo que um professor competente e ambicioso pode fazer durante um semestre é ensinar seus alunos a gostar de pensar com exatidão e sagacidade — havendo gosto, eles mais tarde eliminam sozinhos as eventuais falhas de formação causadas pela falta de tempo. Qual matéria é melhor para aumentar a probabilidade de que um aluno aprenda a gostar de pensar com exatidão e sagacidade? Métodos formais, em geral, ou lógica, em particular? Acho que métodos formais, que dão ao aluno acesso a uma gama maior de argumentos interessantes. Com as ideias da teoria dos jogos, por exemplo, o aluno pode entender os argumentos que demonstram como é possível surgir cooperação e altruísmo num mundo, o nosso mundo, em que a seleção natural não julga moralmente nenhum indivíduo; ela, sendo um processo automático e cego, não classifica como “bom” ou “mau” nada daquilo que que cada indivíduo faz para sobreviver e deixar descendência. Essas mesmas ideias são importantes na teoria política.

Diagramas de Venn versus modus ponens


O leitor provavelmente já ouviu falar de modus ponens. É o argumento mais famoso entre todos os argumentos válidos:

Premissa 1. Digo que, se a proposição P é verdadeira, então a proposição Q também é.

Premissa 2. Digo ainda que a proposição P é de fato verdadeira.

Conclusão. Portanto, a proposição Q também é verdadeira.

Todo professor de lógica faz um grande esforço para que seus alunos compreendam esse argumento, porque ele aparece em quase toda argumentação formal, nem que seja numa breve passagem — nem que seja insinuado numas poucas palavras. Um exemplo é o argumento de Lucrécio (≅ 77 a.C.), segundo o qual ninguém deve temer o que vem depois da morte, pois da mesma maneira não teme o que veio antes do nascimento. O argumento está numa passagem do poema filosófico De Rerum Natura (Sobre a Natureza das Coisas); o parágrafo a seguir é uma paráfrase dessa passagem:

“Agora olhe para trás e considere como não significavam nada para você as eras antigas da eternidade, que se passaram antes de seu nascimento. Cá está, portanto, um espelho por meio do qual a natureza te mostra o tempo a desenrolar-se depois de sua morte. Vê algo aterrorizante no espelho? Percebe algo macabro? O que vê não te parece mais impassível que o sono mais profundo?”

Vale a pena converter o parágrafo num argumento formal, para que veja sua estrutura. No argumento a seguir, “P1” significa “premissa 1” e “C1”, “conclusão 1”.

P1. Você pode classificar o estado pré-natal como um tipo de não existência.

P2. Pode também classificar o estado post mortem [posterior à morte] como um tipo de não existência.

C1. Pode declarar tanto o estado pré-natal quanto o post mortem como estados de não existência, ou, em outras palavras, pode de maneira pertinente declará-los similares. (P1, P2, conjunção.)

P3. Se dois estados são similares de uma maneira que seja pertinente, então deve abordá-los do mesmo jeito, isto é, recorrendo ao mesmo conjunto de atitudes.

C2. Deve abordar o estado post mortem servindo-se do mesmo conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal. (C1, P3, modus ponens.)

P4. O conjunto de atitudes por meio das quais você aborda o estado pré-natal não contém nenhuma atitude que seja semelhante a receio, medo, ou pavor.

C3. Deve abordar o estado post mortem servindo-se do mesmo conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal e, além disso, tal conjunto não contém nenhuma atitude que chamaria de receio, medo, ou pavor. (C2, P4, conjunção.)

P5. Se o conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal não contém nenhum tipo de medo e se, além disso, deve deve abordar o estado post mortem servindo-se do mesmo conjunto de atitudes associadas ao estado pré-natal, então não está justificado em sentir algum tipo de medo da não existência post mortem.

C4. Você não está justificado em sentir algum tipo de medo da não existência post mortem. (C3, P5, modus ponens.)

Note a expressão “(C1, P3, modus ponens)” na conclusão C2. Com ela, o estudante quis dizer que obteve a conclusão C2 a partir da C1 e da premissa P3, por meio de um argumento válido do tipo modus ponens. Este é tão importante e útil que alguns professores chegam ao extremo de apresentar à classe muitas maneira pelas quais a parte mais importante do modus ponens talvez apareça num argumento complicado, escrito com as palavras comuns da língua portuguesa:

Se P, então Q. Significando: “Se a proposição P é verdadeira, então a proposição Q também é.”

Se P, Q. “Se a proposição P é verdade, a proposição Q é verdade.”

P é suficiente para Q. “A verdade da proposição P é suficiente para garantir a verdade da proposição Q.”

Q se P. “A proposição Q é verdadeira se a proposição P também é.”

Q em caso de P. “A proposição Q é verdadeira nos casos em que a proposição P também é.”

Q quando P. “A proposição Q é verdadeira quando a proposição P também é.”

Uma condição necessária para P é Q. “Uma condição necessária para que a proposição P seja verdade é que a proposição Q também seja verdade.”

P implica Q. “A verdade da proposição P implica a verdade da proposição Q.”

P somente se Q. “A proposição P é verdadeira somente se a proposição Q também é.”

Uma condição suficiente para Q é P. “Uma condição suficiente para que a proposição Q seja verdadeira é a verdade da proposição P.”

Q sempre que P. “A proposição Q é verdadeira sempre que a proposição P também seja.”

Q é necessário para P. “A verdade da proposição Q é necessária para que a proposição P seja verdadeira.”

Q se segue de P. “A verdade da proposição Q se segue da verdade da proposição P.”

É hora de definir essa parte importante um pouco melhor.

Definição de proposição condicional. Faça P e Q duas proposições, não necessariamente distintas. A proposição condicional P Q é a proposição “Se P, então Q.” (Com qualquer uma das formulações acima.) Pode dizer que a proposição condicional P Q é falsa quando P é verdadeira e Q é falsa; em todos os outros três casos, a proposição P Q é verdadeira. Na proposição condicional P Q, chame P de hipótese, antecedente, premissa, ou condição suficiente; e chame Q de tese, consequente, conclusão, ou condição necessária. (Note os pares: hipótese tese, isto é, a hipótese implica a tese; antecedente consequente; premissa conclusão; condição suficiente condição necessária.)

Com esse pouco de teoria, já pode ver claramente as três partes de um argumento por modus ponens: uma proposição condicional verdadeira (que você declara como sendo verdadeira ou então demonstra, por meio de argumentação, que é verdadeira); a proposição de que a hipótese é verdadeira; e a conclusão inescapável de que a tese é verdadeira.

É mais ou menos nessa altura das explicações técnicas que o professor recorre a diagramas de Venn, e desenha algo como a figura 1 a seguir para ilustrar a proposição condicional P Q:

Fig. 1

Talvez o professor diga algo assim:

“A letra U denota o conjunto universo, enquanto P e Q denotam conjuntos de afirmações.”

Isso confunde muitos, a ponto de invalidar o que haviam compreendido até o momento de ver o diagrama de Venn.

Explicações em saltos. Há três problemas grandes com o diagrama. O primeiro deles é a letra U. O professor diz que denota o conjunto universo, mas o que é um conjunto universo?

Quando o assunto são afirmações e proposições, é bom dizer que o conjunto universo é o universo do discurso, ou, mais simplesmente, discurso. E um discurso, por sua vez, é nada mais que um conjunto de afirmações: U = {A1, A2, A3, …, An}, no qual cada Ai denota uma afirmação.

Algumas sutilezas, que o professor deve explicar em algum momento: (a) um discurso pode ser vazio, isto é, não conter nenhuma afirmação (e nesse caso, U = ); (b) um discurso pode conter um número infinito de afirmações; (c) não necessariamente as afirmações de um certo discurso U têm algum tipo de correlação lógica entre si. (Aliás, é bom dizer que alguns discursos contêm afirmações que se contradizem entre si, isto é, nem todas as afirmações do discurso podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.)

O último ponto (c) é importante. Essa definição de discurso foi concebida dessa maneira para que seja a mais genérica possível, o que é útil em situações de pesquisa, nas quais o pesquisador não sabe ao certo com que tipo de afirmações está lidando. Ele não sabe se as afirmações do discurso U têm alguma característica em comum — e talvez seja justamente isso o que está tentando descobrir. No entanto, na maioria das situações práticas, as afirmações de certo discurso U têm sim alguma correlação lógica entre si, ou seja, têm alguma propriedade comum. Se duas pessoas conversam sobre o argumento de Lucrécio, então conversam sobre as afirmações em certo discurso específico; é pouco provável que uma delas chegue a considerar a afirmação “Se você usa x para denotar um número real, então x2 nunca é menor que zero” como sendo parte desse discurso.

Assim, depois de pensar nisso tudo, quando o estudante desenha uma curva fechada para denotar o conjunto universo U (ou o conjunto U do discurso, ou o discurso U), deve dizer para si mesmo algo como: “Com este desenho, quero delimitar certo número de afirmações entre todas as afirmações possíveis. Talvez esse discurso U seja vazio. Talvez contenha infinitos elementos. Em todo caso, cada um de seus elementos, se houver algum, é uma afirmação.”

O segundo problema grande com o diagrama de Venn da figura 1 são as curvas fechadas que delimitam P e Q. Elas denotam subconjuntos de U, e não elementos de U. O professor tem essa ideia muito clara — mas não o estudante.

Esse problema é importante porque é fácil imaginar conjuntos nos quais um subconjunto é também elemento do conjunto. Por exemplo, no conjunto U = {A, B, C, D, {A, C}}, o conjunto {A, C} é tanto subconjunto de U quanto elemento de U. (Já o conjunto {A, D} é subconjunto de U, mas não elemento de U.) Essa confusão acontece porque, para o professor, está claro que diagramas de Venn servem para estudar subconjuntos de um certo conjunto universo U. Diagramas de Venn são definidos como sendo “um método para mostrar as relações entre subconjuntos de um certo conjunto universo”, como diz o Oxford Concise Dictionary of Mathematics. Mas nem sempre o estudante capta essa sutileza, especialmente porque, quando o professor e a classe discutem os subconjuntos de U, na figura 1, falam do “conjunto P”, do “conjunto Q”, sem mencionar que P e Q são subconjuntos de U. (Atenção: não há nada de errado em chamar um subconjunto de conjunto, pois um subconjunto é por definição um conjunto; o ponto é que não necessariamente um subconjunto é um elemento.) E talvez o estudante pense: “De que modo um conjunto implica outro? Não entendo!” Se pensar assim, está a um passo de desistir.

O terceiro grande problema é mais difícil, porque mais sutil. Afinal de contas, as letras P e Q denotam proposições ou subconjuntos de afirmações? A definição de proposição condicional dizia que P e Q são duas proposições. Mas, ao desenhar o diagrama de Venn, o professor usa P e Q para denotar subconjuntos. Ele cometeu um erro ou deu algum tipo de salto, salto esse que se esqueceu de explicar à classe?

O pulo das proposições. Hoje em dia, todo filósofo usa bastante a palavra “proposição”, mas seu significado específico varia de filósofo para filósofo ou então, pior ainda, varia de livro para livro, mesmo no caso de livros escritos pelo mesmo filósofo. (Um filósofo mais rabugento me dirá que não existe isso de “mesmo filósofo”: a pessoa no tempo t0 não pode ser idêntica à pessoa no tempo t1 se t0t1. Logo, o significado específico varia de filósofo para filósofo, e ponto final…) Às vezes, “proposição” se refere (a) ao principal portador de valor de verdade, isto é, àquele objeto abstrato, seja o que for, sobre o qual faz sentido dizer que é verdadeiro ou falso; (b) aos objetos de crenças e de outras “atitudes proposicionais”, isto é, aos objetos de atitudes como “eu acredito nisso”, “eu duvido disso”, “isso me parece certo”, “isso me parece errado”; (c) ao significado de uma afirmação.

Mas existe um jeito de atribuir significado à palavra “proposição” de modo que seja útil e não leve o filósofo mais rabugento a uma síncope. Nas duas definições abaixo, encare a locução “mundo possível” como sendo um conjunto específico de circunstâncias. (Na filosofia, um mundo possível é um jeito completamente específico pelo qual o universo talvez fosse. Assim, filósofos chamam o universo em que vivemos de “mundo real”; já um universo no qual a atmosfera da Terra em 2018 contém 25% de oxigênio, em vez de 20,95%, é um mundo possível; um universo no qual todo ser humano adulto é ateu é outro mundo possível.)

Definição simples de proposição 1. Em cada mundo possível, uma certa afirmação ou é verdadeira ou é falsa. Você pode, portanto, definir uma função que leve do par ordenado (afirmação, mundo possível) a um valor de verdade (0 se a afirmação é falsa naquele mundo possível, 1 se é verdadeira). Por exemplo, suponha a afirmação “João ama Maria”. Ela é verdadeira no mundo possível w1, mas falsa no mundo possível w2. Você pode definir uma função que associe o par ordenado (“João ama Maria”, w1) com 1, e que associe o par ordenado (“João ama Maria”, w2) com 0. Chame essa função de proposição. Assim, pode ver uma proposição como sendo uma função que, dada certa afirmação, associa cada mundo possível com um valor de verdade. Se a proposição (= função) [João ama Maria] associa o par ordenado (“João ama Maria”, w1) com 1, significa que a afirmação “João ama Maria” é verdadeira no mundo possível w1; se a proposição [João ama Maria] associa o par ordenado (“João ama Maria”, w2) com 0, significa que a afirmação “João ama Maria” é falsa no mundo possível w2.

Definição simples de proposição 2. Alguns filósofos preferem simplificar e identificar a proposição que uma afirmação expressa com o conjunto de mundos possíveis nos quais a afirmação é verdadeira. Assim, [João ama Maria] = {w1}; [Charles Darwin publicou o livro A Origem das Espécies por meio de Seleção Natural em 1859] = {w : w é um mundo possível no qual Darwin publicou sua obra-prima em 1859}; por último, de acordo com Lucrécio, [Os seres humanos têm algum tipo de consciência depois da morte] = .

Mantenha em mente as ideias dos dois parágrafos anteriores. Fica mais fácil ver que, quando o professor desenha o conjunto universo U e os subconjuntos P e Q para ilustrar o funcionamento de uma proposição condicional, ele pulou da ideia de “uma proposição é mais ou menos o significado de certa afirmação, e eu posso reunir todas as afirmações cujo significado é o mesmo em conjuntos e subconjuntos” para “uma proposição é o conjunto dos mundos possíveis nos quais certa afirmação é verdadeira”. O diagrama de Venn da figura 1 mostra, portanto, a seguinte ideia: “No conjunto dos mundos possíveis nos quais certa afirmação ‘P’ é verdadeira, certa afirmação ‘Q’ também é verdadeira.” É um pulo dessa ideia para uma ainda mais simples, na qual P e Q se transformam em proposições e, portanto, perdem as aspas: “Nos mundos possíveis nos quais a proposição P é verdadeira, a proposição Q também é.”

Matemático fingidor. Vale a pena usar diagramas de Venn para explicar proposições condicionais?

Sim, vale, pois uma vez que o estudante aprenda a usar os diagramas, passa a entender certas consequências mais facilmente. Um exemplo é a ideia de contrapositiva. A contrapositiva da proposição condicional P Q é a proposição condicional ¬Q ¬P. (Leia: “Não-Q implica não-P.”) Olhando para a figura 1, pode ver que qualquer elemento fora de Q certamente está fora de P. Em outras palavras, em qualquer mundo possível no qual Q seja falsa, P também é falsa. Um jeito completo e comprido de dizer isso é: “Suponha que em todo mundo possível no qual ‘P’ é verdadeira, ‘Q’ também é verdadeira; então deve ainda supor que em todo mundo possível no qual ‘Q’ é falsa, ‘P’ também é falsa.” Outro exemplo é a ideia de conjunção. Admita o seguinte: sabe que certa proposição P é verdadeira; e admita ainda: sabe que certa proposição Q também é. Sendo assim, pode concluir que existe pelo menos um mundo possível (o seu) no qual a proposição conjuntiva P & Q também é verdadeira. (Se quiser, leia “P & Q” assim: “Tanto a proposição P quanto a Q são verdadeiras.”) Pode agora desenhar o diagrama de Venn na figura 2.

Fig. 2

Com tudo isso, você não só entendeu por que todos devemos usar com cuidado os diagramas de Venn ao explicar os meandros da lógica, como está a um passo de entender por que as proposições verdadeiras da matemática são verdadeiras em todo mundo possível. Quando um matemático apresenta um sistema, diz algo mais ou menos assim:

“Por favor, aceitem este conjunto D de definições.” Ele então explica cada uma das definições contidas em D. “Agora, aceitem este conjunto A de axiomas.” Ele explica cada um dos axiomas contidos em A. “Agora, aceitem este conjunto R de regras de inferência.” Ele explica cada uma das regras de inferência contidas em R. Então, ele diz: “Se D, A, e R, então T = {T1, T2, T3, …, Tn}, no qual cada Ti é um teorema de meu sistema.” Ele explica como partiu das definições em D, e dos axiomas em A, para chegar aos teoremas T1, T2, T3, …, Tn por meio das regras de inferência em R.

Em outras palavras, o matemático, ou pelo menos esse matemático em abstrato, não tenta te convencer da verdade de D, A, e R. Ele te pede para aceitar como verdadeiras as proposições contidas em D, A, e R. E, se você as aceita, não tem escolha senão aceitar também as proposições contidas no conjunto T de teoremas. (Supondo que o matemático não tenha cometido nenhum erro.) Esse esquema de coisas tem de funcionar em todo mundo possível. Por outra forma, qualquer mundo no qual esse esquema de coisas não funciona é um mundo impossível, isto é, um mundo no qual um argumento válido muito simples é… inválido.

O professor Nílson José Machado, da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, uma vez escreveu um poema bacana sobre isso:

Se a matemática fosse um barco

“Se P, então Q” seria o motor.

(O matemático é um fingidor.)

Quem não é matemático raramente tem o privilégio de pedir a alguém que aceite suas premissas sem antes discuti-las à exaustão, e de ver seu pedido atendido como se fosse natural. O argumento de Lucrécio vale para todos aqueles que veem a eternidade pré-natal sem nenhum pavor, mas nem todo mundo é assim. O parágrafo a seguir é o primeiro da autobiografia Speak, Memory, escrita pelo grande escritor russo Vladimir Nabokov:

“O berço oscila sobre um abismo, e o senso comum nos diz que nossa existência não passa de um breve rasgo de luz entre duas eternidades de escuridão. Embora as duas sejam gêmeas idênticas, o homem, em geral, encara com maior calma o abismo pré-natal do que aquele ao qual se dirige (a cerca de quatro mil e quinhentas batidas do coração por hora). Conheço, porém, um jovem cronófobo que vivenciou algo como pânico quando viu pela primeira vez filmes caseiros que haviam sido feitos poucas semanas antes de seu nascimento. Viu um mundo que era praticamente o mesmo — a mesma casa, as mesmas pessoas — e então deu-se conta de que ele não existia nesse mundo de jeito nenhum, e que ninguém lastimava sua ausência. Vislumbrou sua mãe acenando de uma janela do andar de cima, e aquele gesto atípico o transtornou, como se fosse um misterioso adeus. Mas o que o assustou em especial foi a visão de um carrinho de bebê novinho em folha estacionado no alpendre, com o ar vanglório e indiscutível de um caixão; e mesmo este estava vazio, como se, no curso reverso dos acontecimentos, seus próprios ossos houvessem se desintegrado.”

{FIM}


Observações:

1. Neste texto, usei a palavra “proposição” como sendo o significado de uma afirmação. Em geral, os filósofos colocam afirmações entre aspas e proposições sem aspas. Por exemplo, a afirmação “Charles Darwin nasceu em 1809” e a afirmação “Em 1809, nascia o bebê que seria batizado como Charles Darwin” apontam para a mesma proposição. É um jeito prático de pensar, consistente com as duas definições de proposição que usei neste texto. (Sendo mais rigoroso com as palavras, porém, as duas afirmações são verdadeiras exatamente nos mesmos mundos possíveis.) É bom dizer: uma exposição precisa da ideia de proposição e de suas consequências encheria um livro de 800 páginas.

2. Na matemática, a palavra “proposição” tem um significado mais simples: é uma afirmação matemática para a qual você deve fornecer uma prova.

3. Muitos se referem a modus ponens como sendo uma regra de inferência. Se você tem P Q, e se além disso tem P, então pode inferir Q. No sentido mais corriqueiro, não há nenhuma diferença entre argumento válido e regra de inferência; em outras palavras, “regra de inferência” é um nome com o qual batizar um argumento válido muito útil. Num sentido mais técnico, “regra de inferência” é uma das regras do jogo matemático, e é proclamada antes que o jogo comece.

4. Se você tem P Q, pode imediatamente inferir ¬Q ¬P; portanto, se além disso tem ¬Q, pode inferir ¬P por modus ponens. Se quiser, use a locução modus tollens para se referir a esse argumento, escrito, contudo, com outro formato: (a) P Q; (b) ¬Q; (c) portanto, ¬P. Depois de modus ponens, modus tollens é a segunda regra de inferência mais usada em argumentos filosóficos.

5. Eu disse no texto: “Se duas pessoas conversam sobre o argumento de Lucrécio, é pouco provável que uma delas chegue a considerar a afirmação ‘Se você usa x para denotar um número real, então x2 nunca é menor que zero’ como sendo parte do discurso.” Na verdade, com um pouco de criatividade, é muito fácil justificar a inclusão de qualquer afirmação em qualquer discurso. Por exemplo, duas pessoas conversam sobre o argumento de Lucrécio e uma delas diz à outra: “Antes que existíssemos, a afirmação ‘Se você usa x para denotar um número real, então x2 nunca é menor que zero’ tinha um significado, isto é, apontava para certa proposição. E depois de nossa morte? Será que essa afirmação continuará a ter o mesmo significado? Será que a existência de uma pessoa não altera de maneira nenhuma o significado das várias afirmações matemáticas?” Apesar do fato de que é possível incluir qualquer afirmação em qualquer discurso, acho mais produtivo pensar em discursos tão enxutos quanto possível.

6. Se quiser, também pode definir “discurso” como sendo um conjunto de proposições. Aliás, depois que o estudante entende bem a diferença entre “afirmação” e “proposição”, muitos professores definem o universo do discurso como sendo um conjunto de proposições, mas daí você tem de interpretar o diagrama de Venn da figura 1 de maneira diferente, ou então tem de redesenhá-lo.

7. Muita gente já criticou o argumento de Lucrécio. O filósofo britânico Thomas Nagel, por exemplo, disse que o estado post mortem é um tipo de privação muito diferente do estado pré-natal, mais ou menos como o estado de quem teve o relógio roubado é diferente do estado de quem nunca teve um relógio. Portanto, disse Nagel, estamos sim justificados em temer o estado post mortem. Eu prefiro Lucrécio: se ele estiver certo, no estado post mortem não existe ninguém para reconhecer que um dia esteve vivo ou teve um relógio, e portanto não faz muito sentido se preocupar com nada disso agora. Outra crítica interessante é usar o medo do estado post mortem como premissa no argumento, para chegar à conclusão de que, por simetria, devemos ter igualmente medo do estado pré-natal, mais ou menos como o amigo cronófobo de Nabokov. Por último, note que o argumento de Lucrécio não diz absolutamente nada sobre o medo dos últimos instantes de vida, que você pode justificar racionalmente. Se uma pessoa está para ser enforcada, por exemplo, está justificada em ter medo dos últimos instantes — talvez sejam lancinantemente dolorosos. (Lucrécio achava que não, e dizia: “É fácil fazer o bem, é fácil aturar o mal.) O argumento de Lucrécio trata exclusivamente do medo de estar morto, isto é, de já ter morrido. Os romanos de sua época acreditavam em vida após a morte, e especificamente em castigos após a morte. Aliás, pensando bem, como muitos romanos de hoje…

8. Eu disse no texto: “[…] de acordo com Lucrécio, [Os seres humanos têm algum tipo de consciência depois da morte] = .” Reconheço que fiz uma inferência difícil de justificar: a de que, segundo Lucrécio, não existe mundo possível no qual os seres humanos têm algum tipo de consciência no estado post mortem. Não sejamos injustos com Lucrécio, contudo: se ele conhecesse os conceitos de proposição e de mundo possível (mais ou menos na configuração atual), seria perfeitamente capaz de imaginar um tal mundo possível, e nem precisaria ir longe: bastaria dar crédito às várias narrativas religiosas de seu tempo. (Ou bastaria dar crédito a algum filme de Hollywood, tipo Constantine.) Apesar disso, Lucrécio continuaria dizendo que, no nosso mundo real, essa afirmação é falsa.

9. Existe uma tradução em português de Speak, Memory: é Fala, Memória, da Editora Objetiva, com tradução de José Rubens Siqueira.