O brasileiro que simplificou o teorema fundamental da álgebra


Um brasileiro, Oswaldo Rio Branco de Oliveira, escreveu uma prova simples e elementar do teorema fundamental da álgebra (TFA); a primeira prova foi publicada em 1746, mas era complicada. Oswaldo estudou o assunto meses a fio, e um dia, ao acordar, sentiu que a prova simples e elementar lhe tinha surgido na mente. É boa notícia para quem gosta de matemática, inclusive professores, pois vários nunca chegaram a compreender uma das várias provas do TFA.

Uma prova simples e elementar pode ser ensinada a estudantes de física, de engenharia, de química, de oceanografia. Os grandes usuários do TFA não são os matemáticos, mas os engenheiros.


{1}/ Introdução à entrevista: processos infinitos

No dia 10 de maio de 2010, uma segunda-feria, depois de estudar e de ler por meses a fio, Oswaldo acordou se sentindo estranho. “Eu acho que tive uma ideia”, foi o que pensou. Conversou sobre sua ideia com outros professores do IME, e uma reação comum foi:

“Nossa, difícil, hein?!”

Mas Oswaldo conseguiu pôr sua ideia no papel e, no fim das contas, achou que ela ficou dividida em duas partes: a primeira parte saiu do jeito que ele queria (simples e elementar), e a segunda parte, ele sentia, estava simples, mas não elementar; podia ficar melhor. “Se eu publicasse meu trabalho daquele jeito”, diz Oswaldo, “alguém em algum lugar do mundo iria torná-lo mais elementar. Pensei comigo: não vou deixar isso acontecer. Vou deixá-lo elementar eu mesmo!”

Oswaldo bolou uma prova “simples” e “elementar” do teorema fundamental da álgebra (TFA). A primeira prova foi escrita por d’Alembert em 1746, e do século 18 até agora surgiram dezenas de provas, algumas de matemáticos famosos, como Laplace, Gauss, Argand. Em todos os casos, contudo, os matemáticos ou escreveram provas complexas ou, na tentativa de deixar a prova mais simples, lançaram mão de ferramentas requintadas da matemática, como o cálculo diferencial e integral ou como as funções trigonométricas, que são, em última análise, ferramentas construídas por meio de operações aritméticas que se estendem ao infinito. Oswaldo se sentia incomodado com isso.

Ele deu a primeira aula sobre números complexos em 2008, para alunos do curso de cálculo 4 (segundo semestre do segundo ano de faculdade). Leu tudo o que pôde encontrar sobre o assunto e, em parceria com um colega (o professor Jorge Aragona), começou a escrever um livro sobre números complexos para estudantes de bacharelado e de licenciatura. Achou difícil de explicar essa incongruência aos alunos: se o TFA é importante, se é fundamental (como o nome diz), e se é antigo, por que os alunos têm de estudar tanto antes de entender uma prova do TFA? “O TFA trata de polinômios”, diz Oswaldo. “Um polinômio não passa de multiplicações e de somas. Seria bom se a prova do TFA também recorresse apenas a multiplicações e somas, e não a processos infinitos.”

Personagens históricos mencionados nesta matéria:

Argand: Jean Robert Argand (1768-1822), suíço.

d’Alembert: Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), francês.

De Moivre: Abraham De Moivre (1667-1754), francês.

Euler: Leonhard Euler (1707-1783), suíço.

Gauss: Carl Friedrich Gauss (1777-1855), alemão.

Laplace: Pierre-Simon Laplace (1749-1827), francês.

Littlewood: John Edensor Littlewood (1885-1977), inglês.

Peter Roth (?-1617), alemão.



{2}/ A entrevista pingue-pongue: vai acabar um fetiche

Uma prova mais elementar do TFA é útil?

Faculdades só demonstram uma prova do TFA no final do curso de bacharelado em matemática pura; muitas faculdades deixam a prova para cursos de pós-graduação. É provável que vários professores de matemática no ensino básico nunca tenham estudado uma prova do TFA na faculdade, pois não deu tempo.

Um matemático americano, William Dunham, até escreveu um texto engraçado sobre como os professores estão sempre nos dizendo: “Você verá uma prova disso um dia.” Parece conspiração: os professores nos falam do TFA no ensino médio, e depois até parece que eles nos escondem a prova durante a faculdade. Num dos livros que usamos no doutorado, a certa altura o autor escreve assim: agora, finalmente, depois de tantos anos de estudo, você está a um passo de ver uma demonstração do TFA.

Então, havendo uma prova simples e elementar do TFA, o estudante de licenciatura conseguirá entendê-la logo depois de concluir um curso bem dado de cálculo 2 [segundo semestre do primeiro ano]. Antes da minha prova, a demonstração ficava para o último mês do cálculo 4 [segundo semestre do segundo ano]. Várias faculdades, contudo, deixam a demonstração para cursos de pós-graduação. Se o estudante termina a licenciatura sem ver a prova do TFA, e vai dar aulas de matemática no ensino médio, ele se verá obrigado a explicar o TFA sem conhecimento de causa. É difícil ensinar qualquer coisa sem entendê-la direito. A aula vira uma coisa assim [Oswaldo revira os olhos para cima, bem teatral]: “Oh! Caiu do céu!” [Risos] O professor que dá aulas sobre o TFA sem ter estudado uma prova do TFA se sente inferior; conforme os livros e os cursos passarem a adotar a minha prova, isso tende a acabar.

Talvez melhor do que isso, uma prova simples e elementar pode ser ensinada a estudantes de física, de engenharia, de química, de oceanografia. Em qualquer faculdade onde os estudantes tenham um bom curso de cálculo 2, e assim já saibam mexer com números complexos, eles poderão estudar essa prova do TFA. Isso é importante, porque os grandes usuários do TFA não são os matemáticos, mas os engenheiros. A álgebra avançou tanto nos últimos anos que o TFA, apesar do nome, é café pequeno para o algebrista moderno. Os engenheiros, contudo, usam polinômios o tempo todo, e o TFA trata de polinômios.

Existe prova simples, mas não elementar?

Acho que a história desse teorema começa em 1608, quando Peter Roth disse que equações polinomiais de grau n têm no máximo n raízes distintas; ele não usou esses termos técnicos, é claro. De lá para cá muita gente demonstrou o TFA, inclusive gênios da matemática, como Gauss. O primeiro foi D’Alembert, mas sua prova ficou extremamente difícil, e usava somatórios infinitos; sua prova era tão difícil que ela só ficou limpinha mesmo uns cem anos depois. Em 1814, o Argand publica uma prova simples, mas não elementar, pois ele recorria a um ferramental matemático sofisticado.

Essa distinção, entre simples e difícil, entre elementar e não elementar, ela só surge no século 20. Ao montar uma prova elementar, como o próprio nome diz, o matemático deve recorrer o mínimo possível a ferramentas matemáticas requintadas, como somatórios infinitos e limites. Não quero dizer que uma prova elementar é simples, pois há provas elementares complicadas e difíceis, e há muitas provas não elementares simples e fáceis.

Em 1941, o matemático inglês Littlewood produziu uma demonstração bastante elementar, mas ele mesmo escreveu: ela está elementar, mas ainda está muito sofisticada. Ele usou redução ao absurdo, um processo de indução, e ainda incluiu uma demonstração dentro da demonstração. Então, havia trabalho a fazer.

Hoje em dia, sabemos que o matemático, para produzir uma demonstração elementar do TFA, não pode extrair uma raiz enésima de um número complexo arbitrário, não pode usar trigonometria (e por isso não pode usar o teorema de De Moivre ou a fórmula de Euler), não pode usar integrais, séries e derivadas; não pode nem usar ângulos. Se possível, o matemático deve evitar demonstrações por redução ao absurdo, porque, embora ele consiga produzir demonstrações muito elementares por absurdo, tais demonstrações são conceitualmente sofisticadas.

Teorema de De Moivre. Para todo número inteiro n:

Fórmula de Euler:

E como ficou sua prova?

Depois de escrever a primeira versão, passei seis meses tentando torná-la mais simples e mais elementar, e acabei chegando a uma prova na qual uso o axioma do supremo e, além do supremo, uso só as quatro operações básicas da aritmética: somas, subtrações, multiplicações e divisões. [Axioma do supremo: ele diz, em essência, que a reta dos números reais é completa, ou seja, que todo número real corresponde a um e só um ponto da reta, e que todo ponto da reta corresponde a um e só um número real. Parece bobagem, mas a humanidade levou séculos para descobrir que, conforme o modo como constrói a reta real, precisa postular isso por meio de axioma.]

Essa demonstração ainda não pode ser compreendida pela maioria dos estudantes no ensino médio, mas pode ser compreendida por todos os estudantes na graduação. A primeira parte é fácil, mas é profunda, porque o estudante tem de conhecer o axioma do supremo, tem de saber o que é o completamento da reta; a segunda parte é a mais chata, por causa das muitas contas com números complexos, mas ela é factível para quem já se habituou com o módulo de um número complexo, com o conjugado de um número complexo.

O que deve acontecer a partir de agora?

Quando uma demonstração dessas surge na cabeça de alguém, é bom parar e pensar, porque talvez alguma coisa importante tenha acontecido. Passei a usar o mesmo método mental para achar outras demonstrações elementares, e eu mesmo fiquei surpreso: já tenho dez demonstrações elementares de outros resultados matemáticos, todos mais ou menos em torno do TFA. No próximo verão, recebi a autorização para dar um curso de análise complexa, e eu e os alunos vamos ver até que ponto podemos levar as consequências dessa prova elementar do TFA. Mais tarde, talvez essa experiência vire um livro.

Uma coisa que vai acontecer é: o TFA vai desaparecer das provas de qualificação para o doutorado [risos]. Ele caía com muita frequência; era uma espécie de fetiche. Isso deve acabar.

Livros do ensino médio devem mudar?

No ensino básico, estudei com os livros do Luiz Márcio Imenes; eu gostava dos livros dele. Acho que um autor como ele conseguiria pegar minha prova e transformá-la em algo mais legível para o estudante do ensino médio. Se eu me encontrasse com ele, eu lhe diria: “Imenes, agora a bola é sua.” {}



{3}/Apêndice: O teorema fundamental da álgebra

No último ano do ensino médio, em geral no capítulo sobre polinômios e equações polinomiais, o professor usa o livro didático para anunciar a existência do teorema fundamental da álgebra (TFA), que diz algo sobre as raízes (ou zeros) de equações polinomiais.

O TFA diz o seguinte: toda equação polinomial do tipo a seguir, na qual os números ai são reais ou complexos, com an ≠ 0, tem no mínimo uma raiz no sistema dos números complexos (que inclui o sistema dos números reais, desde que você faça algumas adaptações).

Agora pegue uma função f com a seguinte regra de correspondência:

Para tal função, existem números complexos β1, β2, β3, …, βn (não necessariamente diferentes, ou seja, uns βi podem ser iguais a outros βk, ou todos podem ser iguais entre si) tais que:

Sendo assim, a equação f(z) = 0 não pode ter mais que n raízes distintas.

Essa é a explicação mais formal. Nas escolas de todo o Brasil, contudo, como um estudante explicaria o TFA a um colega de classe?

Vamos em etapas. Imagine o seguinte polinômio f em z:

Agora substitua a1 por 5 (por exemplo) e substitua β1 por 6 (por exemplo). O polinômio f fica assim:

Nesse caso, a raiz de f é 6, isto é, f(6) = 0. Veja:

Substitua a1 por 3 e β1 por 2. Aí a regra de correspondência de f vira:

Da mesma forma, nesse caso a raiz de f é 2, pois f(2) = 0. Agora imagine a regra de correspondência de f assim:

Substitua a2 por 4, β1 por 2 e β2 também por 2. Você fica com:

Nesse caso, ao fazer f(z) = 0, você fica com uma equação do 2º grau (ou quadrática), cujas duas raízes são iguais a 2. E se você substituir a2 por 2, β1 por 3 + 2i e β2 por 5 – 2i? Veja:

Você conseguiu uma função polinomial quadrática com duas raízes complexas, pois f(3 + 2i) = 0 e f(5 2i) = 0. Agora, imagine f com a seguinte regra de correspondência:

Substitua a4 por 1, β1 por 1, β2 por –1, β3 por 1 + i√2 e β4 por 1 i√2 e você chegará, depois de muitas contas, a uma função polinomial de aparência bastante inocente:

Viu o padrão? Se você seguir a mesma receita com um polinômio que inclua β5, β6, e β7, terá uma função polinomial de grau 7, e conforme os valores que atribua a cada uma das raízes βi, talvez esse polinômio não mostre nenhum número complexo na forma estendida (ou seja, com todas as multiplicações feitas). Então, por raciocínio indutivo vulgar, você já pode afirmar (ou, melhor dizendo, conjecturar): toda equação polinomial de grau n tem, no máximo, n raízes, nem que seja uma única raiz complexa repetida n vezes… É isso o que o TFA diz.

Mas uma coisa é afirmar algo assim, como fez Peter Roth em 1608, e outra é provar (ele não provou). Como saber, por exemplo, que essa regra vale para todos os polinômios de grau 536.875.935.887? Quem vai fazer tanta conta? Desde d’Alembert, em 1746, os matemáticos produziram muitas provas do TFA, quase todas complicadas de alguma maneira. Oswaldo pôde escrever uma prova simples recorrendo somente a ferramentas elementares da aritmética típica dos números complexos. É algo importante: se uma demonstração é simples e elementar, o estudante consegue compreendê-la com menos anos de estudos; em outras palavras, ele consegue estudar mais coisas importantes em menos tempo.

Mas você talvez ainda esteja em dúvida. “Tudo bem, entendi. Visto que alguém provou o TFA, posso dizer, com maior certeza do mundo, que toda função polinomial de grau n tem no máximo n zeros distintos. Contudo, ora bolas, por que isso é importante?”

Isso é importante no cálculo. Se f é uma função polinomial de grau n, tanto a integral de f quanto a derivada de f são funções polinomiais: a integral tem no máximo n + 1 zeros distintos (porque é uma função polinomial de grau n + 1), enquanto a derivada tem no máximo n – 1 zeros distintos (porque é uma função polinomial de grau n – 1); essas duas consequências produzem várias outras consequências úteis ou interessantes.



{4}/ Apêndice: Por que a trigonometria não é elementar?

Oswaldo diz que uma prova elementar não pode usar ferramentas da trigonometria. Isso parece estranho, pois os jovens estudam trigonometria no ensino médio, e chegam a usá-la para explicar o movimento das marés ou um relógio de sol; ela não é tão difícil assim, ou pelo menos não parece tão difícil. Para saber o seno de um número real qualquer, como o seno de 23, o estudante arranja uma calculadora, digita o número 23, aperta o botão de radianos, aperta o botão de seno e obtém o resultado: –0,8462 (com quatro casas decimais). Contudo, quando fala de trigonometria, Oswaldo está pensando não nas facilidades das calculadoras, mas em definições rigorosas. Se o estudante estiver numa ilha deserta, e se quiser calcular o seno de 23 com precisão, ele não terá escolha senão realizar a adição de muitos dos primeiros termos numa adição com infinitos termos:

“A gente se deixa enganar pela linguagem matemática”, diz Oswaldo. “A gente escreve senx, cosx ou tanx, ou escreve o símbolo de integral, e acha que, só porque sabemos como o símbolo funciona, então sabemos o que aquilo significa de verdade. Contudo, o nosso pensamento não funciona bem com processos infinitos, e esse é o caso de seno e cosseno.” Quando o estudante usa um símbolo como senx, quase sempre não leva em consideração o real objeto da matemática, para o qual o símbolo aponta.

O que senx significa. Para todo valor real de x (ou seja, para qualquer valor de x medido não em graus, mas em radianos):

Essa série infinita de potências se deve a teoremas provados por Brook Taylor (1685-1731) e por Colin Mclaurin (1698-1746), com os quais você também pode definir, de um jeito muito preciso e satisfatório, todas as funções trigonométricas, além de ln(x), exp(x), e todas as funções racionais (que você forma por meio da razão entre dois polinômios). Com a série de potências para exp(x), por exemplo, você pode facilmente deduzir a fórmula de Euler (para saber mais sobre isso, clique aqui e vá direto para a seção 101).

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 10, novembro de 2011, pág. 12. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações são as que valiam na ocasião.

2. Se quiser baixar uma cópia da prova de Oswaldo Oliveira, escrita em inglês, clique aqui.

3. Se está interessado num bom curso sobre números complexos, clique aqui.

Contabilidade mal explicada: o método de Cole


{1}/ Introdução ao problema: número, numeral, algarismo

Como usaria as palavras da língua portuguesa para descrever o somatório a seguir?

Eis um bom jeito: “O somatório dos n primeiros inteiros positivos.”

Contudo, professores de contabilidade, assim como autores de manuais de contabilidade, fazem uma confusão danada ao descrever esse somatório: confundem o conceito de número, o de numeral, e o de algarismo (ou dígito) de um numeral. Fazem essa confusão toda ao descrever um método de depreciação conhecido como “método das quotas decrescentes” ou “método de Cole”. Antes de explicar o que é o método de Cole, e como surge a confusão, talvez seja melhor definir número, numeral, e algarismo (ou dígito); e para simplificar as três definições a seguir, considere apenas o conjunto Z≥0 dos inteiros não negativos.

Número. É o objeto abstrato para o qual apontam as palavras “número”, “number”, “nummer”, “zenbakia”, “nombre”, “număr”, “номер” em português, inglês, alemão, basco, francês, romeno, russo. Se quiser, você pode recorrer à teoria sobre conjuntos para pensar nesse objeto abstrato chamado número: “zero” é o número de elementos do conjunto vazio , isto é, zero #() [expressão na qual está usando #(A) para denotar a cardinalidade do conjunto A, ou o número de elementos de A]; “um” é o número de elementos do conjunto {}, isto é, um #({}); “dois” é o número de elementos do conjunto {, {}}, isto é, dois #({, {}}); “três” é o número de elementos do conjunto {, {}, {{}}}, isto é, três #({, {}, {{}}}); etc. A ideia é a seguinte: você define o número três, por exemplo, como sendo o número de elementos de qualquer conjunto cujos elementos você possa colocar em correspondência biunívoca com os elementos do conjunto {, {}, {{}}}, que são os elementos {{}}, {}, e .

Numeral. É o símbolo que você usa para denotar o número; esse símbolo varia conforme o sistema de notação numérica que escolhe. Você não pode escrever um número no papel, pois é um objeto abstrato; mas pode escrever um numeral — numerais são a persona concreta dos números. Caso queira usar o sistema numérico posicional decimal hindu-arábico para denotar o número vinte e três, escreva 23. Se quiser usar o sistema binário, escreva 10111. De forma análoga:

Algarismo. É cada um dos símbolos que você usa ao grafar um numeral. Assim, 0 é um algarismo do sistema decimal, do binário, do hexadecimal, mas não do romano nem do grego; 3 é um algarismo do sistema decimal e do octal, mas não do binário nem do romano; X é um algarismo do sistema romano; γ é um algarismo do sistema grego.



{2}/ As explicações erradas sobre o método de Cole

Em primeiro lugar, para entender o problema, você precisa conhecer a ideia de “depreciação”.

Depreciação. Suponha que sua empresa compre uma máquina X, ao custo total de 25.200 reais, e que a coloque para funcionar. A legislação permite que você deprecie a máquina em dez anos, ou 120 meses. Isso significa que, ao elaborar as demonstrações contábeis da empresa, você tem o direito de lançar 210 reais por mês como “despesa com depreciação da máquina X”. (Presumindo que prepare uma demonstração por mês. A conta é: 25.200 1/120 = 210.) Veja bem: talvez a máquina não lhe dê nenhuma despesa ao longo dos 120 meses, isto é, talvez ela funcione perfeitamente bem por 120 meses, e talvez você não precise gastar nada com ela, nem mesmo com manutenção preventiva; talvez até o fabricante tenha afirmado que a máquina funcionaria bem por 100 anos. Não importa: ainda assim, você tem por lei o direito de lançar 210 reais por mês, a título de despesa com a depreciação da máquina X, ao longo de 120 meses. Essa despesa vai reduzir o valor do resultado operacional, e como consequência você vai pagar menos imposto de renda e menos contribuição social sobre o lucro líquido. O espírito da lei é permitir que você ponha 210 reais por mês numa caderneta de poupança, para que, ao final de 10 anos, tenha condições de trocar a máquina velha por uma nova.

Contudo, você não precisa depreciar a máquina de modo linear, isto é, por meio de uma quota fixa todo mês (ou todo trimestre, se você prepara quatro conjuntos de demonstrações contábeis por ano; ou todo ano, se você prepara um conjunto de demonstrações contábeis por ano). A lei te dá o direito de depreciar a máquina X por meio de “quotas decrescentes”, ou por meio do “método de Cole”.

É aqui que os manuais de contabilidade fazem a bagunça semântica. Um deles descreve o método de Cole assim:

Definição bagunçada. “Esse método consiste em somarmos os dígitos dos anos de vida útil do bem e encontrarmos razões de cada ano sob a soma do total de anos, que serão as taxas de depreciação anual.”

Não estou brincando. O texto está exatamente assim — e vale dizer que esse manual de contabilidade específico é dos bons.

Para deixar mais claro o que quis dizer, o autor oferece um exemplo:

“No exemplo a seguir, aplicaremos esse método para encontrar as depreciações anuais em um bem tangível no valor de 90.000 reais, com vida útil definida em 5 anos.”

O autor mostra uma tabelinha:

Valor do bem: 90.000 reais.

Tempo de vida útil: 5 anos.

Soma dos dígitos dos anos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Cálculo dos fatores de depreciação anuais e quotas:

Ano

Fator

Valor do bem

Quota

1

5/15

90.000

30.000

2

4/15

90.000

24.000

3

3/15

90.000

18.000

4

2/15

90.000

12.000

5

1/15

90.000

6.000

Depois o autor mostra ainda outra tabela, para que o leitor saiba o que fazer com as quotas:

1º Ano

2º Ano

3º Ano

4º Ano

5º Ano

Valor do bem

90.000

90.000

90.000

90.000

90.000

Depreciação do exercício

30.000

24.000

18.000

12.000

6.000

Depreciação acumulada

30.000

54.000

72.000

84.000

90.000

Valor contábil do bem

60.000

36.000

18.000

6.000

0

Com o exemplo e as duas tabelas, fica mais claro o que o autor quis dizer — mas não disse.



{3}/ Sonegando tributos

Suponha que vai depreciar um bem em 25 anos. Se você seguir a definição bagunçada à risca, veja como vai fica “a soma dos dígitos dos anos”, que é a mesma coisa que “a soma dos algarismos dos anos”, que por sua vez é a mesma coisa que “a soma dos algarismos de cada numeral relativo ao inteiro positivo atribuído a cada um dos anos de vida útil do bem, numeral esse escrito de acordo com o sistema numérico posicional decimal”.

E daí o denominador de cada um de seus fatores de depreciação vai ficar errado, pois ele não deveria ser igual a 127, mas sim igual a 325.

Se você usar o denominador igual a 127, em vez de depreciar 100% do valor do bem em 25 anos, vai depreciar 256%, o que é ilegal — equivale a sonegação de tributos, pois está reduzindo o valor do resultado operacional por meio de despesa fictícia não autorizada. (Dizendo isso de outra forma: está subtraindo um valor indevido do resultado bruto.) Veja:

Com o denominador correto, que é 325, você de fato deprecia 100% do bem em 25 anos:

 

Há mais o que criticar na definição bagunçada. Por exemplo, a palavra “sob”. Que coisa está sob que coisa? É difícil dizer as intenções do autor.



{4}/ A lógica do método de Cole e uma definição melhor

Quando Roger Cole bolou esse método, pensou assim: nos primeiros anos de vida útil de um bem tangível, a empresa gasta pouco com manutenção corretiva (afinal, o bem é novo e quase não quebra); nos últimos anos, gasta mais (o bem está mais velho e quebra com maior frequência). Logo, seria bom se ela “gastasse” mais com depreciação nos primeiros anos, e menos nos últimos anos. Assim, a soma da despesa com depreciação com a despesa com manutenção ficaria mais ou menos constante ao longo dos anos, visto que uma das parcelas diminuiria com o tempo, enquanto a outra aumentaria. Essa providência dá aos administradores maior capacidade de previsão, pois eles podem usar o custo total de possuir o bem nos doze meses anteriores para prever esse mesmo custo nos próximos doze meses.

Como definir o método de Cole mais precisamente? Um bom jeito é começar com a fórmula matemática que representa o método. Na fórmula a seguir, você está usando n para representar o número n de anos durante os quais vai depreciar um bem. (Note que a fórmula funciona, sem nenhuma adaptação ou ajuste, para o número n de trimestres ou para o número n de meses.)

Na primeira linha, cada uma das parcelas é um fator de depreciação. Assim, n/∑k é o fator que vai aplicar no primeiro ano (ou trimestre, ou mês); (n – 1)/∑k é o fator que vai aplicar no segundo ano; (n – 2)/∑k é o fator que vai aplicar no terceiro ano; ··· ; e, por fim, 1/∑k é o fator que vai aplicar no n-ésimo ano.

Nas demais linhas do formulário acima, você vê por que a soma dos fatores de depreciação sempre é igual a 1, isto é, igual a 100%; assim, usando o método de Cole, você sempre vai depreciar 100% do valor contábil do bem em n exercícios.

Você está pronto para apreciar uma definição melhor do método de Cole — uma que não mistura indevidamente a ideia de número, a de numeral, e a de algarismo.

Uma definição correta do método de Cole. O método de Cole, ou o método das quotas decrescentes, é um método de depreciação por meio do qual a empresa usa fatores de valor decrescente para calcular as quotas de depreciação, de modo que também as quotas se tornam decrescentes, assim como o valor contábil do bem. Para depreciar um bem em n exercícios (meses, trimestres, ou anos), calcule o valor de cada fator de depreciação assim: o denominador é a soma dos n primeiros inteiros positivos; o numerador do primeiro fator é n; o numerador do segundo fator é n – 1; o numerador do terceiro fator é n – 2; ··· ; o numerador do n-ésimo e último fator é 1. Para calcular o valor de cada quota de depreciação, multiplique o fator em questão pelo valor de imobilização do bem. Fazendo assim, ao final de n exercícios, o valor contábil do bem será igual a zero.

Note que não é necessário mencionar os algarismos de cada numeral; e também não é necessário mencionar os numerais. Isso porque, na definição acima, você trabalhou com a ideia abstrata de número. Portanto, a definição funciona mesmo que a empresa prepare suas demonstrações contábeis recorrendo ao sistema numérico posicional binário, ou ao decimal, ou ao hexadecimal, ou ao romano. {FIM}


Observações:

1. Caso queira saber por que a soma dos n primeiros inteiros positivos é igual a ½[n(n + 1)], clique aqui. (Vá direto para a resolução do problema 1.)

2. Caso queira saber mais sobre números, numerais, e algarismos, clique aqui.

3. Breve explicativo dos termos contábeis usados nesta postagem:

Faturamento bruto – IPI = Receita bruta;

Receita bruta – Devoluções – Descontos incondicionais – Tributos – Abatimentos = Receita líquida;

Receita líquida – Custo das mercadorias vendidas = Resultado bruto;

Resultado bruto – Despesas administrativas – Despesas comerciais – Despesas gerais – Despesas financeiras + Receitas financeiras – Outras despesas + Outras receitas = Resultado operacional;

Resultado operacional – Imposto de renda – Contribuição social sobre o lucro líquido = Resultado antes das participações;

Resultado antes das participações – Participações = Resultado líquido do exercício.

As despesas com depreciação entram numa das contas reunidas na conta “Despesas gerais”, de modo que elas reduzem o valor do resultado operacional.

4. A ideia de depreciação é excelente, e o leitor deve usá-la na vida particular. Se para você determinado bem é importante (por exemplo, um computador portátil), e se esse bem dura tipicamente 60 meses (5 anos), é ótima ideia depositar numa caderneta de poupança o equivalente a 1/60 do preço de um computador novo. Assim, depois de usar seu computador por cinco anos, você terá o dinheiro para comprar um computador novo, à vista, e pode até doar o computador velho para uma instituição de caridade. Aliás, eu admiro muito as ideias da contabilidade — acho que não existe jeito mais racional de pensar sobre as consequências financeiras de decisões administrativas.

Cálculo Tornado Fácil 2

Baseado no livro de Silvanus P. Thompson

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 5 porque o texto anterior terminou na 4. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, e CTF 8.



{5}/ Capítulo 3

Sobre crescimentos relativos

Por todo o cálculo você lida com quantidades que crescem, e com taxas de crescimento. Pode classificar todas as quantidades em duas classes: constantes e variáveis. Aquelas que julgar de valor fixo, que chamará de constantes, pode denotar algebricamente com as primeiras letras do alfabeto, tais como a, b, ou c; aquelas que julgar capazes de crescer, ou de variar (como os matemáticos dizem), pode denotar com as últimas letras do alfabeto, tais como x, y, z, u, v, w e, às vezes, t.

Além do mais, em geral você se ocupa com mais de uma variável ao mesmo tempo, e pensa no modo como uma depende de outra: por exemplo, pensa no modo como um projétil atinge determinada altura e, para tanto, precisa de tempo para chegar à tal altura. Ou considera um retângulo de determinada área fixa, e se pergunta como um acréscimo no comprimento dele significa um correspondente decréscimo na largura. Ou pensa no modo pelo qual, ao variar a inclinação de uma escada contra a parede, faz variar a altura que ela alcança.

Então supõe que tem duas dessas variáveis que dependem uma da outra. Justamente por causa dessa dependência, uma alteração numa delas produz uma alteração na outra. E daí chama uma dessas variáveis de x, e a outra, que depende dela, de y.

Você obriga x a variar; quero dizer: ou altera seu valor ou imagina seu valor alterado, e faz isso ao adicionar um pouquinho a x — o tal pouquinho cujo nome é dx. Sendo assim, obriga x a se transformar em x + dx. Daí, visto que alterou x, alterou y também (por causa da relação de dependência), e transformou y em y + dy. Aqui, o pouquinho dy às vezes é positivo, às vezes, negativo, e não será do mesmo tamanho que dx, exceto, é claro, por um milagre.

Que tal pensar em dois exemplos?

Figura 4

(1) Imagine x como sendo a base de um triângulo retângulo, e y como sendo a altura (tal como vê na figura 4 logo acima), de modo que o ângulo entre a base e a hipotenusa esteja fixado em 30 graus. Se supõe que o triângulo vai se expandir, mas mesmo assim manterá os ângulos internos tais como na situação original, então, conforme a base cresce para se transformar em x + dx, a altura se transforma em y + dy. Neste caso, o crescimento de x provoca o crescimento de y. O triângulo pequeno, cuja base é dx e cuja altura é dy, é semelhante ao triângulo original; daí percebe com clareza que o valor da razão dy/dx é igual ao valor da razão y/x. Como o ângulo é de 30 graus, verá em breve que:

Lembrete. Aqui, Silvanus reconheceu que y/x é a mesma coisa que sen(30°)/cos(30°), isto é, tan(30°), cujo valor exato é 1/√3.

(2) Olhando a figura 5, imagine x como sendo a distância horizontal da parede ao pé da escada AB, cujo tamanho é fixo; e imagine y como sendo a altura do topo da escada na parede (como sendo OB). Vê que y depende de x? Então, vê também que, se puxa o pé da escada A para um pouco mais longe da parede, o topo da escada B desce um pouquinho. Reafirme isso com a linguagem do cálculo: se aumenta x para x + dx, daí y se transforma em y – dy; em outras palavras, quando adiciona um incremento positivo a x, também adiciona um incremento negativo a y.

Tudo bem, mas quais são os valores? Você supõe que a escada é comprida o suficiente para que, quando o pé A está a 21 centímetros da parede, o topo B está a 2 metros e 20 centímetros de altura. Agora, se você puxa o pé da escada 1 centímetro para mais longe da parede, quantos centímetros o topo baixará? Ao pôr tudo em centímetros, vê que começa com x = 21 cm e y = 220 cm. Então o valor que adicionou a x, e que deve chamar de dx, é 1 centímetro; isto é, x + dx = 22 cm.

Até que ponto y ficará menor? Ora, a nova altura tem de ser y – dy. Se usa o teorema de Pitágoras para achar o comprimento da escada, chega a 221 centímetros [que é √(212 + 2202)]; e a partir desse passo está pronto para achar o valor de dy. Então, a nova altura, que é y dy, tem de ser tal que:

O que é isso? “O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”; é o que tem recitado na escola há anos. Como y = 220, daí dy tem de ser quase 1 milímetro. As contas são:

Portanto, viu que ao tornar dx equivalente a um acréscimo de 1 centímetro, obteve dy equivalente a um decréscimo de 1 milímetro. Com tais informações, já pode expressar a razão entre dy e dx:

Com um pouco de imaginação, pode ver que, com exceção de uma posição em particular, dy é sempre de tamanho diferente de dx.

Bem, ao longo dos estudos de cálculo diferencial, você caçará, caçará e caçará uma coisa curiosa, uma mera razão, qual seja, a proporção que dy mantém em relação a dx enquanto os dois ficam tão pequenos quanto queira.

Devo avisá-lo sobre o fato de que só pode achar essa razão dy/dx quando y e x estão correlacionados de alguma forma, de modo que sempre que x varia, y varia também. No primeiro exemplo que examinou, conforme a base x do triângulo aumenta, sua altura y aumenta também; no segundo, conforme a distância x da base da escada à parede aumenta, a altura y da escada sobre a parede diminui de um jeito análogo, primeiro devagar, e depois mais e mais depressa conforme x se torna cada vez maior. Nos dois casos, você definiu perfeitamente a relação entre x e y, e agora pode expressá-la matematicamente. No primeiro caso, basta reconhecer que y/x = tan(30°); no segundo, que x2 + y2 = c2 (sendo c o comprimento da escada); em ambos, dy/dx tem o significado que achou.

Agora, mantenha x como antes, isto é, como a distância do pé da escada à parede, porém faça y representar outra coisa, como a quantidade de tijolos que usou para construir a parede ou o número de anos desde que a pintou pela última vez. Nestes dois casos, qualquer mudança que faça no valor de x não produzirá nenhuma mudança no valor de y, e não poderá atribuir nenhum significado sensato à razão dy/dx. Aliás, achará impossível achar uma expressão sensata para representá-la. [Quanto à palavra “sensata”, veja o texto da seção 7.] Quero dizer: sempre que usar os diferenciais dx, dy, dz, etc., estará assumindo algum tipo de relação entre x, y, z, etc., e essa relação é (com frequência) chamada de “função” de x, y, z, etc. Caso examine de novo as duas expressões dos dois exemplos [y/x = tan(30°) e x2 + y2 = c2], terá então examinado duas funções de x e y. Tais expressões contêm, implicitamente, os meios pelos quais pode denotar tanto x em função de y quanto y em função de x. (Uso o advérbio “implicitamente” porque elas contêm o modo pelo qual denotar uma variável em função da outra, mas não mostram claramente qual é.) Por tal motivo, pode dizer que se referem a y como função implícita de x, ou que se referem a x como função implícita de y, conforme escolhe qual variável depende de qual. Com pouco trabalho, contudo, consegue colocá-las nas formas a seguir:

Com as expressões acima, você afirma explicitamente (isto é, distintamente) o valor de y em termos de x ou o valor de x em termos de y, e por esse motivo pode chamá-las de funções explícitas de x ou de y. Por exemplo, x2 + 3 = 2y 7 é uma função implícita de x e y; mas pode reescrevê-la como y = (x2 + 10)/2 (em que y é função explícita de x) ou como x = √(2y – 10) (em que x é função explícita de y). Vê então que, mais simplesmente, uma função explícita de x, y, z (etc.) é uma variável cujo valor muda quando x, y, z (etc.) também mudam, seja uma de cada vez ou várias de uma vez. Por causa disso, pode chamar o valor da função explícita de variável dependente, pois depende do valor das outras quantidades na função; e pode chamar essas outras variáveis de variáveis independentes, pois seu valor independe do valor assumido pela função. Por exemplo, se u = x2senθ, x e θ são as variáveis independentes, e u é a variável dependente. [Sobre esse assunto, veja também o texto da seção 8.]

Às vezes, você não sabe qual é a relação exata entre as quantidades x, y, z, ou até sabe, mas não quer colocá-la no papel; apenas sabe, ou apenas quer afirmar, que existe algum tipo de relação entre as quantidades. Para indicar a existência de uma função de x, y, z, pode usar a notação F(x, y, z) = 0 caso queira denotar uma função implícita, ou pode usar a notação x = F(y, z), y = F(x, z) ou z = F(x, y) caso queira denotar uma função explícita. Às vezes, no lugar de F, um autor usa a letra f ou a letra φ ou a letra g, de modo que, ao escrever y = F(x), y = f(x), y = φ(x) ou y = g(x), ele quer dizer a mesma coisa, isto é, que o valor de y depende do valor de x de alguma maneira não especificada, maneira essa batizada de F, f, φ, ou g.

Matemáticos se referem à razão dy/dx com palavras do tipo “coeficiente diferencial de y em relação a x” ou do tipo “função derivada de y em relação a x” ou do tipo “derivada de y no ponto x”. São nomes científicos solenes para algo singelo. Mas você não deve se deixar intimidar por nomes solenes, quando a matéria em si é tão fácil. No lugar de se intimidar, pode pronunciar uma breve maldição contra a estupidez de nomes trava-língua e, tendo assim aliviado a mente, ir adiante e tratar a matéria em si, isto é, a razão dy/dx.

Na álgebra comum que estudou no ensino básico, você estava sempre caçando alguma quantidade desconhecida, que em geral chamava de x ou de y; ou às vezes tinha de caçar duas quantidades desconhecidas de uma vez. Agora, deve aprender a caçar de um jeito novo, pois a raposa não é mais nem x nem y; em vez dela, é esse curioso filhote chamado dy/dx. Bem, o processo de achar uma fórmula com a qual consiga calcular o valor de dy/dx é chamado de “derivação”. Contudo, lembre-se: o que está caçando é o valor dessa razão nos casos em que tanto dy quanto dx são infinitamente pequenos. Dizendo isso de outra forma, o verdadeiro valor do coeficiente diferencial é aquele valor para o qual o coeficiente se aproxima quando você vai atribuindo para dx (e, por tabela, para dy) valores cada vez menores; ou, para usar uma expressão frequente, quando vai atribuindo para dx valores tão pequenos quanto queira, até que estejam infinitamente miúdos.

Vamos agora estudar como sair à procura de dy/dx.



{6}/ Nota ao capítulo 3

Como ler derivadas

Espero que jamais caia no erro de vários alunos, o de achar que dx significa d vezes x, pois d não é um fator — ele significa “um infinitésimo de” ou “um pedacinho de” ou “uma fraçãozinha de” seja lá o que estiver na frente de d. Leia dx assim: “dê-xis”.

Caso o leitor não tenha a quem consultar para tirar dúvidas de pronúncia, basta saber que deve ler coeficientes diferenciais da seguinte maneira:

Ao ver o coeficiente (A), deve pronunciar “dê-ípsilon por dê-xis” ou “dê-ípsilon sobre dê-xis”. Quanto ao coeficiente (B), deve pronunciar “dê-ú por dê-tê” ou “dê-ú sobre dê-tê”.

Mais tarde, estudará coeficientes diferenciais de ordem mais alta. [Ou derivadas de ordem mais alta.] Eis a aparência de um deles:

Quanto à pronúncia, diga “dê-dois-ípsilon por dê-xis-ao-quadrado”; significa que realizou a operação de derivar y em relação a x duas vezes. [Achou a derivada de y em relação a x e, depois disso, achou a derivada da derivada de y em relação a x.]

Outro jeito de indicar que uma função foi derivada é colocar um acento no símbolo da função. Se escreve y = F(x), quer dizer que y varia em função de x de alguma forma não especificada, forma essa batizada de F, e pode escrever F’(x) no lugar de d(F(x))/dx. De modo análogo, ao escrever F’’(x), diz ao leitor que derivou a função F(x) duas vezes em relação a x.



{7}/ Por que Silvanus usou a palavra “sensata”

Existem funções nas quais uma variação em x não provoca nenhuma variação em y. Por exemplo:

Com essa linha, você diz que y é função de x, e que y vale 3 para qualquer valor de x. Sendo assim, quando deixa x crescer para se transformar em x + dx, y cresce para se transformar em y + dy, cujo valor continua sendo, contudo, 3. Portanto, dy = 0 e, ao fazer as contas, vê que dy/dx = 0.

Note que fez uma mudança em x, mas não provocou nenhuma mudança em y; e no entanto é perfeitamente sensato dizer que dy/dx = 0. Por que Silvanus usou a ideia de “insensato”? Por convenção, se você diz que y é função de x, mas apresenta uma fórmula na qual x não aparece, daí dy/dx = 0. Por exemplo:

Com essa linha, quis dizer: “Afirmo que y é função de x. Contudo, apresento uma fórmula em que x não aparece; no lugar dele, aparece a variável t. Sendo assim, uma variação em x não provocará nenhuma variação em y, já que na verdade y depende de t, e não de x, e por isso, por convenção, dy/dx = 0.”

Ao usar a ideia de “insensatez”, Silvanus provavelmente pensava nesse segundo cenário.



{8}/ Funções explícitas e implícitas

Aqui, Silvanus fez uma simplificação com a qual você precisa tomar cuidado. Suponha, por exemplo, um professor malvado, em cuja prova pede aos alunos que digam qual é a derivada da função a seguir:

(O símbolo triangular é o operador lógico “&”. Neste caso, significa que as duas expressões devem ser verdadeiras ao mesmo tempo.)

Como o professor expressou x em função de y, o estudante distraído talvez chegue à seguinte derivada:

Mas não era isso o que o professor queria saber. Embora ele tenha expressado x em função de y, ele também disse, com y = f(x), que y é a variável dependente e que x é a variável independente, e portanto o que queria saber é a derivada a seguir:

Enfim: em muitos casos, o estudante pode começar com uma fórmula para y em função de x, e depois rearranjá-la para representar x em função de y, mas muitas vezes, apesar do rearranjo, ainda está tratando de y em função de x. Em casos assim, para eliminar qualquer possibilidade de ambiguidade, faz bem ao usar o símbolo f(x) no lugar de y:

Aqui, embora x esteja isolado do lado esquerdo da igualdade, fica claro que é a variável independente e que, por conveniência, foi expressa em função da variável dependente.



{9}/ Capítulo 4

Os casos mais simples

Agora verá como, a partir dos primeiros princípios, pode derivar algumas expressões algébricas simples.

Caso 1. Comece com a expressão y = x2. O primeiro passo é lembrar que, no cálculo, a ideia fundamental é a de crescimento. (Os matemáticos preferem dizer variação.) Como y e x2 são iguais um ao outro, pode apostar que, quando x cresce, x2 cresce também. Mas o que deve descobrir é a proporção entre o crescimento de y e o de x. Em outras palavras, deve descobrir a razão entre dy e dx, ou, mais brevemente, o valor de dy/dx.

Então, você permite que x cresça um pouquinho de nada, e se transforme em x + dx; de modo similar, y crescerá para se transformar em y + dy. Olhando a expressão y = x2, pode ver com clareza que o y aumentado tem de ser igual ao quadrado do x aumentado. Sendo assim, agora pode usar a notação matemática e escrever:

Ao expandir o lado direito da equação, obterá:

O que (dx)2 significa? Você lembra que dx significa “um infinitésimo de” — uma fraçãozinha minúscula de x. Então (dx)2 significa uma fraçãozinha de uma fraçãozinha de x; e já sabe, pois já leu o capítulo 2, que isso é uma quantidade pequena na segunda ordem de magnitude, ou na segunda ordem de pequenez. Portanto, ao comparar (dx)2 com os outros termos da expressão, pode desconsiderá-lo, especialmente se faz dx muito, muito pequeno. Deixando (dx)2 de fora, fica com:

Sabe que y = x2; sendo assim, ao subtrair y do lado esquerdo da igualdade e x2 do lado direito, fica com:

Pode dividir os dois lados por dx, e agora obtém:

Veja: era exatamente isso que você queria descobrir. Neste caso, a razão pela qual y cresce em relação ao crescimento de x, conforme x cresce um pouquinho de nada, é 2x.

Exemplo numérico — Você supõe que x = 100 e que, por consequência, y = 10.000. Deixa x crescer até que vire 101 (ou seja, dx = 1).  Daí o y aumentado será igual a 101 × 101 = 10.201. Contudo, se concordou que pode ignorar pequenas quantidades de segunda ordem de magnitude, pode rejeitar 1 em comparação com 10.000, e arredondar o y aumentado para 10.200.  Vê que y cresceu de 10.000 para 10.200; dy, o pedacinho adicionado a y, vale 200.

De acordo com a álgebra da passagem anterior, verifica que dy/dx = 2x. É o que deve ser mesmo: x = 100 e 2x = 200.

“Eu protesto!”, você talvez sinta vontade de me dizer. “Eu protesto porque desprezamos uma unidade inteira!”

Ora, então tente de novo, desta vez igualando dx a uma porçãozinha ainda menor. Por exemplo: você fixa dx em 1/10, e daí x + dx vira 100,1; como resultado:

Nota que o último algarismo 1 é apenas um milionésimo de 10.000, e é completamente desprezível; pode considerar 10.020 sem o pequeno decimal. Com isso, fixa dy em 20, e daí:

Vê que a razão entre os dois infinitésimos (ou o coeficiente diferencial) continua valendo 2x. [Sobre isso, veja o texto da seção 11.]

Caso 2. Tente derivar y = x3 com o mesmo método: faz x crescer até que vire x + dx, e daí y cresce até que vira y + dy. Com isso, obtém:

Ao expandir o lado direito da igualdade, chega a:

Já sabe que pode omitir as quantidades de segunda e de terceira ordem de magnitude (ou de pequenez), visto que, quando dy e dx são ambos feitos tão pequenos quanto queira, (dx)2 e (dx)3 ficam muito, muito menores em comparação. Sendo assim, ao tachar os dois de “desprezíveis”, chega a:

Sabe que y = x3, e que pode retirar y do lado esquerdo da igualdade e x3 do lado direito, para obter:

Caso 3. Agora, você tentará derivar y = x4. Começa como antes: deixa x crescer para virar x + dx e faz as contas para ver como y cresce até virar y + dy.

Lembra que pode tirar y do lado esquerdo da igualdade e tirar x4 do lado direito, pois y = x4, e que pode omitir todos os termos que contenham ordens mais altas de dx, pois, em comparação com os outros termos, são desprezíveis quando dx é bem pequeno. Daí fica com:

* * *

Todos esses casos são fáceis. Ao recolher os resultados que obteve até agora, é bem possível que enxergue um padrão. Você os põe em duas colunas, com os valores de y à esquerda e os valores de dy/dx à direita, e rascunha a tabela a seguir.

Apenas olhe para os resultados: parece que a derivação tem o poder de reduzir o expoente de x por 1 unidade (no caso da última linha da tabela, de reduzir x4 para x3) e de, ao mesmo tempo, multiplicar a potência por um coeficiente (que é o mesmo número que antes funcionava como expoente). Você vê isso e em seguida parte para uma conjectura: todas as outras potências inteiras e positivas de x vão funcionar da mesma maneira. Assim, você espera que, ao derivar x5, obterá 5x4; ao derivar x6, obterá 6x5. Caso vacile, tente derivar uma dessas funções para ver se a hipótese se confirma. Tente, por exemplo, derivar y = x5.

De novo, despreza todos os termos que contêm pequenas quantidades de ordem maior de pequenez, e fica com:

Já sabe que pode subtrair y de um lado e x5 do outro, pois são iguais; com isso chega a:

E isso confirma sua hipótese.

* * *

Ao seguir os passos lógicos da hipótese, conclui que, se deseja lidar com qualquer expoente maior (por exemplo, um expoente n), deve aplicar a mesma regra, isto é:

Sendo assim, se n = 8, daí y = x8 e, ao realizar os passos da derivação, obtém dy/dx = 8x7.

E, de fato, como qualquer tabela de derivadas mostra, a regra pela qual partir da função xn e chegar à derivada nxn1 é verdadeira para todos os casos nos quais n é inteiro e positivo. (Pode provar essa afirmação caso recorra ao teorema do binômio de Newton.) Mas precisará investigar um pouco mais para ver que também pode aplicar a mesma regra quando n assume valores negativos ou fracionários.

O caso do expoente negativo. Você começa com y = x–2, deixa x crescer para virar x + dx, e com isso deixa y crescer para virar y + dy. Grava esse fato como já fez antes:

Reescreve o lado direito da igualdade:

Usando o teorema binomial para expandir isso, obterá:

Ao desprezar as quantidades de ordens maiores de magnitude (ou de pequeneza), e ao reconhecer que y = x–2 e que pode ser tirado dos dois lados, chega a:

O que está de acordo com a hipótese geral.

Caso do expoente fracionário. Começa com y = √x = x1/2. Daí, basta realizar todos os passos como já fez antes:

Ao subtrair y = x1/2 dos dois lados da função original, e ao desprezar os termos de maior grau de magnitude, fica com:

Em outras palavras, chega a outra versão válida, de acordo com a regra geral que acabou de conjecturar.

Resumo. Você chegou longe, pois já conhece a regra de derivação mais famosa de todas, a regra da potência: para derivar xn, multiplique a base pelo expoente, e reduza o expoente por 1 unidade, obtendo ao fim do algoritmo nxn1.



{10}/ Exercícios I

Derive as expressões abaixo.

Você aprendeu a derivar potências de x. Viu como é fácil?



{11}/ Por que desprezar (dx)2

Outro jeito de ver isso, no caso de y = x2, é usar um recurso comum no ensino fundamental: a matriz de multiplicação. Com essa matriz, o aluno do ensino fundamental controla melhor a distribuição da multiplicação sobre a adição.

Funciona assim: monte uma tabela na qual anota, na linha do topo, o primeiro fator ou as parcelas do primeiro fator; e na coluna mais à esquerda, o segundo fator ou as parcelas do segundo fator. Daí use cada uma das células da tabela para realizar a multiplicação, e por último some os termos contidos nas células interiores. Veja como a tabela fica o caso de (x + dx)2, isto é, (x + dx) · (x + dx):

O resultado disso é x2 + 2x∙dx + (dx)2. Se x = 100, a tabela relativa a (100 + dx)2 fica assim:

O resultado é 10.000 + 200∙dx + (dx)2. Fica claro que, quanto menor o valor de dx, mais desprezível fica o termo (dx)2, e que neste caso dy/dx = 2x para qualquer valor de x.

Será?

Bem, muito estudante, e muito professor, detesta essa história de “desprezar os termos de ordem mais alta de magnitude”, pois não querem desprezar nenhum termo até que tenham absoluta certeza. Neste caso, há outro jeito de realizar a conta acima, e que sempre dá certo quando o coeficiente diferencial existe.

Você começa com y = x2. Deixa x crescer para virar x + dx, e com isso y vira y + dy:

Agora, como próximo passo, tira y do lado esquerdo da igualdade e x2 do lado direito, pois são iguais:

Neste ponto, dá o passo decisivo, diferente do passo explicado por Silvanus: divide todos os termos da expressão por dx, sem desprezar nenhum deles:

Fica em condições de notar que, conforme dx tende a zero (sem jamais se igualar a zero), a razão dy/dx tende a 2x (sem jamais se igualar a 2x); portanto, o limite da razão dy/dx, conforme dx tende a zero, é 2x. Você sempre pode reescrever uma derivada como sendo um limite, e esse jeito de fazer as contas equivale a dizer, talvez ingenuamente, “despreze os termos multiplicados por ordens mais altas de dx”.



{12}/ Lembrete: o teorema binomial

Para todo inteiro positivo n, o que significa (x + y)n?

Para usar o teorema na regra da potência, troque y por dx e terá a receita de como expandir (x + dx)n.

Há uma versão do teorema binomial para expoente negativo, que Silvanus usou no texto, e que não aparece na expressão acima, mas pode obtê-la facilmente: ponha a expressão acima no denominador, e trabalhe com a diferença entre o que você tem e o que gostaria de ter. Por exemplo:



{13}/ A regra da potência

Se y = f(x) = xn, na verdade dy/dx = f’(x) = nxn1 para todo n real; em outras palavras, a regra vale não só para expoentes inteiros e fracionários, mas também para expoentes irracionais. Depois que o estudante já conhece a regra da cadeia (que Silvanus ainda não explicou) e o método da derivação implícita de expressões logarítmicas (idem), a prova disso fica muito fácil.

Começa com a relação entre y e x:

Tira então o logaritmo natural de todos os termos da igualdade, o que mantém a igualdade verdadeira (se y > 0, claro):

Usa uma propriedade dos logaritmos: pode reescrever ln(xn) como nlnx.

Agora deriva a expressão toda implicitamente, sabendo duas coisas: que a derivada de lnx é 1/x e que y representa uma função, isto é, ao derivar lny terá de aplicar a regra da cadeia. Feito isso, basta usar a álgebra do ensino médio para ajeitar tudo.

Caso o leitor não tenha compreendido todas as passagens, não se preocupe: elas serão explicadas nos próximos capítulos. Por enquanto, basta se habituar com a última linha, que representa a famosa regra da potência e que vale para qualquer valor real de n.



{14}/ A derivada em linguagem e notação atuais

Fig. A

Silvanus usa uma nomenclatura comum no século 20, especialmente entre cientistas e engenheiros, mas que tem sido pouco usada por professores de matemática. Em vez de chamar dy/dx de “coeficiente diferencial”, os matemáticos preferem a palavra “derivada”; em vez de chamar dx de “um infinitésimo de x”, eles preferem “o diferencial de x”. Quanto ao que a derivada significa, raciocinam mais ou menos assim:

(1) Considere a função y = f(x).

(2) Suponha que uma pequena mudança δx em x provoca uma mudança δy em y, de modo que:

(3) A derivada da função f, que você pode denotar com dy/dx, df/dx, y’ ou f’(x), entre outros símbolos, é o limite da expressão acima conforme δx tende a zero — caso tal limite exista. (Essa parte é importante: nem sempre o limite existe.)

(4) Os matemáticos já provaram que achar a derivada é completamente equivalente a achar a inclinação da reta tangente à função f no ponto x sob estudo. {FIM}


Observações:

1. Não se esqueça de que Silvanus se esforçou para não mencionar detalhes técnicos importantes em seu curso de introdução ao cálculo. (Coisa que eu, o redator deste blogue, nem sempre respeitei, como pode ver ao examinar as seções 13 e 14.) Caso o leitor queira estudar uma introdução com todos os detalhes técnicos no lugar, clique aqui.

2. Para ler a próxima parte desta série, clique aqui.

15 minutos no topo da montanha


De vez em quando, penso no que aprendi até agora com a produção de textos sobre matemática. Meu propósito é descobrir a melhor resposta para alguém que me pergunte:

“Qual é o segredo de quem sabe matemática bem?”

Não quero dizer com isso que sei matemática bem: se você puder visualizar a matemática como sendo uma estrada de 1 quilômetro de comprimento, acho que mal venci o primeiro metro. Mas, conforme leio, estudo, resolvo meus problemas e entrevisto gente competente, vou esboçando essa resposta tão importante.

Quem sabe matemática excepcionalmente bem aprendeu, em primeiro lugar, a gostar de tudo o que vem antes e depois do dia em que resolve um problema. Todo mundo gosta de resolver problemas. À guisa de teste, faça a pergunta a um grupo de amigos, talvez num churrasco:

“Será que existe um número cujo quadrado é igual a ele mesmo?”

Como esse é um problema simples, muita gente consegue resolvê-lo em poucos minutos. [Para achar a resposta, 0 ou 1, seu amigo terá de resolver a equação x2 = x, o que significa resolver a equação x(x – 1) = 0.] Observe a reação do grupo; veja como todos ficam contentes de resolver o problema. Apesar disso, poucos gostam de resolver problemas complicados, pois o que vem antes (estudar muito, sempre com aquela sensação de que é burro) e o que vem depois (verificar se a resolução está correta, se pode simplificá-la, se pode escrevê-la com clareza e elegância, se pode achar nela novos problemas) dá trabalho demais. O matemático é o sujeito que aprendeu a gostar desses muitos dias de trabalho duro.

Se conhece alguém que escala montanhas, converse com ele sobre montanhismo, mas preste atenção num detalhe: seu conhecido escala montanhas não apenas pelos 15 minutos de glória que passa no pico (se o tempo estiver bom), mas porque aprendeu a gostar do processo inteiro. Ele gosta de comprar mapas topográficos, de estudar a língua da região, de ler com atenção a narrativa dos que já subiram aquela montanha, de se organizar para o que der e vier, de convencer patrocinadores a financiá-lo, de estudar técnicas de fotografia e de filmagem para registrar os momentos mais importantes, de tomar notas durante a viagem, de escrever sobre a escalada quando volta para casa. Se fosse apenas pelos 15 minutos de glória (se o tempo estiver bom), acho que ninguém escalaria montanhas.

Mais acima, escrevi “aprendeu a gostar” porque é verdade: a gente aprende a gostar de viver com um livro de matemática debaixo do braço, e o primeiro passo é querer aprender a gostar. {FIM}



Observações:

1. Publiquei a carta acima pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 4. A versão que acabou de ler foi ligeiramente reescrita.

2. Note que, para dizer que x = 0 ou x = 1 é a solução de x2 = x, você tem de presumir que está tratando de números reais; ou então de números complexos. Mas é possível montar sistemas nos quais a equação x2 = x tem três soluções distintas, ou mais de três. Não sei, contudo, se tais sistemas são úteis.