Exatas versus Humanas: uma briga sobre o significado de “filho mais velho”


Peça a um americano que não fala português para pronunciar a palavra “chão”. Ele não conseguirá, por mais que você explique como se faz. Ou peça a um brasileiro que não fala inglês para pronunciar a palavra “clothes”. Ele não conseguirá. Leva tempo para aprender a pronúncia correta de tais palavras.

Existem problemas matemáticos que também denunciam o tipo de pessoa que resolve o problema: se ela tem propensão a ruminar o sentido das palavras; ou se não tem. Vou chamar um sujeito do primeiro tipo de “Humanas”; e um sujeito do segundo tipo de “Exatas”. O problema a seguir é um exemplo de problema denunciante.

Problema do entrevistador do censo. Um entrevistador do censo bateu na porta de uma casa, e perguntou à mulher que o atendeu quantas crianças ela tinha e qual a idade delas.

“Eu tenho três filhas”, respondeu a mulher; “a idade de cada uma delas é um inteiro positivo e o produto da idade delas é 36.”

“Isso não é informação suficiente”, respondeu o entrevistador.

“Eu lhe diria a soma da idade delas, mas não acho que essa informação ser-lhe-ia útil.”

O entrevistador pensou por um momento. “Bem que eu gostaria que me contasse mais.”

“Tudo bem: minha filha mais velha, Annie, gosta de gatos.”

“Obrigado!”

Pergunta: Qual é a idade de cada uma das filhas?

Uma versão desse problema está no livro The Art and Craft of Problem Solving, do matemático americano Paul Zeitz. “Logo depois que você lê esse problema pela primeira vez”, escreveu Zeitz, “ele parece impossível: não há informação suficiente para determinar a idade das filhas. É por isso que esse é um bom problema — e, por falar em ‘bom’, ele é divertido.”

Como Exatas e Humanas resolveram esse problema juntos?

“Em primeiro lugar”, disse Exatas, “precisamos ver de quantas maneiras podemos multiplicar três inteiros positivos para obter 36.”

Exatas dividiu 36 em fatores primos, e descobriu que 36 = 22 · 32. Isso significa que pode escrever 36 como 1 · 1 · 2 · 2 · 3 · 3. E com isso ficou pronto para testar todas as maneiras possíveis de obter 36 por meio da multiplicação de três inteiros, que Exatas organizou numa lista, com a idade da filha mais nova à esquerda e a da filha mais velha à direita.

1 · 1 · 36

1 · 2 · 18

1 · 3 · 12

1 · 4 · 9

1 · 6· 6

2 · 2 · 9

2 · 3 · 6

3 · 3 · 4

“Ah!”, disse Exatas. “Quando a mulher disse que o produto da idade delas é 36, deu ao pesquisador do censo oito possibilidades.”

Humanas, que acompanhou tudo atentamente, concordou e disse: “Vamos agora somar esses inteiros.”

1 + 1 + 36 = 38

1 + 2 + 18 = 21

1 + 3 + 12 = 16

1 + 4 + 9 = 14

1 + 6 + 6 = 13

2 + 2 + 9 = 13

2 + 3 + 6 = 11

3 + 3 + 4 = 10

“Problema resolvido!”, disse Exatas. “Quando a mulher disse que a soma das idades não ajudaria muito, na verdade disse que as três idades ou são 1, 6, 6 ou são 2, 2, 9, cuja soma é igualmente 13. Quando disse que a filha mais velha gosta de gatos, disse que as idades são 2, 2, 9; pois, com 1, 6, 6, não pode haver uma filha mais velha.”

Foi aqui que Exatas e Humanas divergiram.

“Alto lá!”, disse Humanas. “Sempre há uma filha mais velha, mesmo no caso de gêmeas. Porque certamente uma delas nasceu antes da outra, nem que seja com uma hora de diferença, e portanto uma delas é a filha mais velha. Além disso, tanto crianças de seis anos quanto de nove anos podem perfeitamente gostar de gatos. Logo, o problema não dá informações suficientes para determinar a idade das meninas.”

“No, no, no”, respondeu Exatas, imitando a cantora Amy Winehouse. “A mulher disse que as três idades são inteiros. Visto que 6 é igual a 6, não é possível dizer qual das duas gêmeas de seis anos é a mais velha, pois têm a mesma idade.”

“Discordo. Quando a mulher disse que as três idades são inteiros, disse apenas que falaria da idade como se fossem inteiros, isto é, só falaria do inteiro imediatamente menor ou igual à idade real, medida em anos, meses, dias, horas, minutos, e segundos. Ela não disse que as duas gêmeas nasceram ao mesmo tempo, e nem poderia dizer, pois isso é impossível. Logo, uma das gêmeas de seis anos é a mais velha. É que o termo ‘filho mais velho’ se refere ao conjunto {x : (x é um de meus filhos) & (x nasceu antes dos outros)}.”

“No, no, no”, respondeu Exatas. “Nesse caso específico, ‘filho mais velho’ se refere ao conjunto {x : (x é um de meus filhos) & (para todo y)[(se y é um de meus filhos) & (se i(y) denota a idade de y em anos completos), então i(x) > i(y)]}.”

“Esse conjunto é absurdo. Ninguém usa esse conjunto como o referente de ‘filho mais velho’. Digo que esse problema é ambíguo.”

“É você que não sabe brincar.”

“Eu não sei brincar? É claro que sei! Eu aceitaria um enunciado assim: ‘Um marciano bateu na porta de uma casa, e foi atendido por uma mulher. O marciano perguntou: Quais são os três inteiros positivos do qual você gosta mais? É que sou marciano, e os marcianos querem conhecer os terráqueos melhor.’ E assim por diante. Eu sei brincar: sou admirador de Memórias Póstumas de Brás Cubas, que é um romance narrado por um sujeito que já morreu. Mas não gosto de gente que não usa as palavras direito. Muito me espanta que você não veja a ambiguidade do enunciado, logo você, que se orgulha tanto te ter estudado Cálculo I. Pelo visto, deve ter ficado de DP várias vezes.”

Exatas ficou nervoso:

“Por que você não vai ler um poema, seu bobalhão?”

Humanas perdeu a cabeça:

“Por que você não vai calcular um autovetor, seu pateta?”

Vou parar a história de Exatas e de Humanas por aqui, para poupar o leitor, que talvez não esteja habituado a tanta violência.

Mas a verdade é que problemas desse tipo em geral deixam irritados aqueles que ruminam o sentido das palavras; quanto aos que não ruminam, não veem problema nenhum com o problema do entrevistador do censo: se a idade é um inteiro, é um inteiro, e não há o que discutir. Talvez Paul Zeitz, que é um matemático excepcional, não tenha visto problema.

Porém, vale a pena ruminar o sentido das palavras. Humanas tem razão: o referente do termo “meu filho mais velho” é o conjunto {x : (x é um de meus filhos) & (x nasceu antes de meus outros filhos)}, de modo que, no caso das gêmeas de seis anos, “minha filha mais velha” de fato se refere àquela que nasceu primeiro, e se aplica a uma e só uma das gêmeas. Caso Exatas aceite a ambiguidade do enunciado, fica numa posição privilegiada, pois também aceita a necessidade de reescrever o problema para deixá-lo melhor. Por exemplo:

Problema do entrevistador do censo. Um entrevistador do censo bateu na porta de uma casa, e perguntou à mulher que o atendeu quantas crianças ela tinha e qual a idade delas.

“Eu tenho três filhas”, respondeu a mulher; “a idade de cada uma delas é um inteiro positivo e o produto da idade delas é 36.”

“Isso não é informação suficiente”, respondeu o entrevistador.

“Eu lhe diria a soma da idade delas, mas não acho que essa informação ser-lhe-ia útil.”

O entrevistador pensou por um momento. “Bem que eu gostaria que me contasse mais.”

“Tudo bem: minha filha mais velha, Annie, está no quarto ano do ensino fundamental.”

“Obrigado!”

Pergunta: Qual é a idade de cada uma das filhas?

Essa versão não provoca brigas entre Humanas e Exatas: uma criança de seis anos não pode estar no quarto ano do fundamental; logo, a mulher se refere à tríade 2, 2, 9. Principalmente, essa versão evita que Humanas caia numa arapuca intelectual: a de pensar que está desobrigado de estudar matemática, pois seus praticantes mais fervorosos são uns patetas — afinal, nem se importam de usar as palavras direito. {FIM}



Observações:

1. O livro de Paul Zeitz é bom. Ele é um problemista experiente, além de um professor elogiado por seus alunos. Escreveu o livro para facilitar a vida do estudante que acabou de entrar numa graduação de exatas, e mirou no estudante inteligente, que se diverte com matemática, sabe um pouco de cálculo, tem noção do que é uma demonstração, mas passou boa parte da vida escolar resolvendo exercícios em vez de problemas. Apresenta várias estratégias e táticas para resolver problemas matemáticos; na parte final do livro, dividiu algumas centenas de problemas em cinco assuntos: álgebra, combinatória, teoria dos números, geometria, e cálculo.

2. Para entender por que sai ganhando ao ver o referente dos termos de um vocabulário como sendo conjuntos, veja a postagem A escada da abstração: não existe palavra concreta.

O referente de “meu filho mais velho” é um indivíduo ou um conjunto? Acho mais produtivo começar presumindo que o referente de cada um dos termos de um vocabulário é um conjunto; depois, se for o caso, você troca o conjunto pelos elementos do conjunto. Assim, se um sujeito S tem três filhos x1, x2, e x3, sendo que x1 é o mais velho, daí “o filho mais velho de S” leva a {x : (x é um dos filhos de S) & (x nasceu antes dos outros)} = {x1}. Tendo um conjunto unitário, você pode realizar operações algébricas com outros conjuntos, tipo união ou intersecção de conjuntos; a qualquer momento que julgue conveniente, contudo, pode partir do conjunto unitário {x1}, que é uma abstração, e chegar ao indivíduo x1, que existe no mundo.

Nesta pandemia, fiquei sem cadernos — fiquei sem matemática


{1}/ Os limites de uma cabeça

No começo de junho, fui resolver um problema sobre sequências, que está no livro Discrete Mathematics: An Open Introduction, de Oscar Levin. O enunciado do problema é assim:

  • Problema. Você tem uma grande coleção de quadradinhos de 1 ✕ 1, isto é, de quadradinhos cujos lados medem 1 unidade de comprimento; assim como dominós de 1 ✕ 2. Os quadradinhos são todos idênticos: não consegue distinguir um do outro; o mesmo vale para os dominós. De quantas maneiras distintas pode montar uma fileira de 1 ✕ 1.000?

Um amigo tinha me dito que esse problema é interessante: “Quando finalmente resolvê-lo, descobrirá algo sobre um objeto matemático famoso.” Peguei meu caderno de cartografia para começar meus desenhos e anotações — mas só havia uma página em branco! Fui ao armário do escritório pegar um caderno novo — não havia mais cadernos, nem de cartografia, nem pautados. Por causa da pandemia, estou evitando ao máximo sair de casa. Liguei no mercadinho do bairro para ver se tinha cadernos, mas não tinha. As papelarias das redondezas estavam todas fechadas. Eu não queria comprar cadernos pela internet — por algum motivo, essa ideia me pareceu um despropósito, mais ou menos como comprar um café e um pão de queijo via internet.

Tentei ver se conseguia resolver o problema usando só uma página. Em vão. Rapidamente a enchi de desenhos e anotações, mas não cheguei nem perto da solução. Passei uns poucos dias tentando resolver o problema usando tão-somente a cabeça. Nada. Sou péssimo de resolver problemas sem caderno de apoio. Preciso desenhar, desenhar setas que apontam para trechos importantes, escrever anotações, entre elas as perguntas para as quais ainda não tenho resposta e desafios para mim mesmo. Principalmente, preciso escrever lembretes para mim mesmo. Eu desenho algo como “2, 3, 5, __”, desenho uma seta apontando para o espaço em branco, e escrevo “Segundo os dados do problema, você pode preencher esse espaço com três opções.” Meus cadernos estão cheios de anotações do tipo “Essa expressão funciona se n é ímpar?”, “Quantos caminhos reticulados de (5, 7) até (10, 10)?”, “Isso é claramente verdadeiro, mas essa joça não serve como prova”, “Uau! Você viu isso?!”, “Como posso expressar o fato de que um inteiro positivo não é divisível por 3?”

Já fiquei doente antes, então sabia que, quando o corpo não está funcionando corretamente, a mente também não funciona. É muito difícil resolver um problema matemático estando gripado, com dores e febre. Mas eu nunca tinha visto o seguinte: se meu corpo está saudável, mas não posso deixar registrados certos movimentos (aqueles que produzem os desenhos, as anotações, os lembretes), daí minha mente não funciona num nível adequado para resolver problemas. A falta de cadernos me mostrou algo com muita clareza: dizemos “trabalho braçal”, “trabalho intelectual”, mas essa distinção entre os trabalhos do corpo e os trabalhos do espírito é artificial. É uma espécie de ficção: nada mais que um jeito de falar.

Uns dias depois que fiquei sem cadernos, minha mulher fez um bolo de cenoura com cobertura de chocolate e me pediu para levar metade do bolo para os pais dela, que moram a meia hora de carro de nossa casa. Levei o bolo. Quando voltava, passei em frente de uma papelaria — fechada, mas vi uma folha de papel A4 colada na porta. Estacionei o carro e fui examinar o cartaz: “Estamos atendendo via WhatsApp.” Anotei o número do celular e no fim das contas comprei seis cadernos de cartografia e duas canetas Bic azuis, que um motoboy foi me levar em casa. Assim que tive um tempo livre, peguei um dos cadernos, voltei a desenhar e a escrever recados para mim mesmo. Umas poucas horas depois que meu corpo estava plenamente funcional — pois tinha cadernos com os quais brincar —, o problema estava resolvido, e vi que meu amigo tinha razão: eu sabia algo novo sobre um objeto matemático famoso. {❏}



{2}/ A resolução do problema

Seguindo o velho conselho: antes de resolver um problema difícil, resolva versões mais simples dele.

Comece com apenas um quadradinho. De quantas maneiras pode montar uma fileira de 1 ✕ 1? De uma maneira apenas, que é com um quadradinho; nas linhas a seguir, estrela * é quadradinho e barra de porcentagem % é dominó.

*

Isso você pode anotar assim: 1 ↦ 1; “Um quadradinho leva a uma maneira.”

Se começa com dois quadradinhos, daí já tem duas maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 2: com os dois quadradinhos com os quais começou, ou com um dominó.

**

%

Em outras palavras, 2 ↦ 2; “Dois quadradinhos levam a duas maneiras.”

Começando com três quadradinhos, tem três maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 3: com três quadradinhos; com um dominó e um quadradinho; com um quadradinho e um dominó.

***

%*

*%

Começando com quatro quadradinhos, tem cinco maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 4: com quatro quadradinhos; com um dominó e dois quadradinhos; com um quadradinho, um dominó, e um quadradinho; com dois quadradinhos e um dominó; e com dois dominós.

****

%**

*%*

**%

%%

Começando com cinco quadradinhos, tem oito maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 5. Vou direto para o desenho.

*****

%***

*%**

**%*

***%

%%*

%*%

*%%

Até aqui, portanto, está trabalhando com a seguinte sequência:

1 ↦ 1

2 ↦ 2

3 ↦ 3

4 ↦ 5

5 ↦ 8

E com isso já pode levantar uma hipótese. Use M(n) para denotar um número de maneiras pelas quais montar uma fileira de 1 ✕ n. Parece que M(n) = M(n – 1) + M(n – 2), com M(1) = 1 e M(2) = 2. Se essa hipótese for verdadeira, então está trabalhando com a seguinte sequência:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Mas isso é quase a sequência de Fibonacci! Ela é a sequência fn = fn–1 + fn–2, com f0 = 0 e f1 = 1, ou seja, é a sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Caso comece com seis quadradinhos e faça os desenhos, realmente vai chegar a 13 maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 6; e caso comece com sete quadradinhos, vai chegar a 21 maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 7. Isso é muito promissor, mas não serve de prova de que de fato M(n) = M(n – 1) + M(n – 2) para n ≥ 3. Para um número muito grande de quadradinhos, talvez essa regra de formação da sequência não corresponda à verdade.

Você certamente vai sair desse apuro caso tenha a ideia de ver a coisa toda com sequências binárias. Veja o caso com cinco quadradinhos: comece usando “1” para representar os quadradinhos.

11111

De quantas maneiras pode montar uma sequência de cinco bits com todos os bits iguais a 1? Se já leu a postagem As Muitas Vantagens de Provas Combinatórias, sabe a resposta: com o número binomial C(5, 1).

Agora use “0” para representar um dominó. O que vai fazer é trocar “11” por “0”, isto é, trocar dois quadradinhos por um dominó.

0111

De quantas maneiras pode montar uma sequência de quatro bits com exatamente três deles iguais a 1?

Mais uma vez, troque dois quadradinhos por um dominó, ou troque “11” por “0”.

001

De quantas maneiras pode montar uma sequência de três bits com exatamente um deles igual a 1?

Já não pode fazer mais nada, pois o número de bits inicial é ímpar. Portanto, de quantas maneiras pode montar uma fileira de 1 ✕ 5, se tem acesso apenas a quadradinhos e a dominós?

Mais uma vez, mas com seis bits, ou seja, começando com seis quadradinhos. No formulário a seguir, à esquerda vê as peças; à direita, de quantas maneiras pode enfileirar as peças.

E com isso o problema está praticamente resolvido. Faltam uns poucos detalhes técnicos. Vamos lá:

(a) Você sempre começa com uma sequência de n bits iguais a 1, pois começa com n quadradinhos. Só existe uma maneira de montar uma fileira de 1 ✕ n apenas com quadradinhos, que vale C(n, n) = 1.

(b) Você troca dois bits iguais a 1 por um bit igual a zero, para representar o fato de que trocou dois quadradinhos por um dominó. O comprimento da sequência, que era de n bits, passa a ser de n – 1 bits; mas o número de bits iguais a 1 cai por duas unidades, pois trocou “11” por “0”. De quantas maneiras pode montar uma fileira de 1 ✕ n com um dominó e n – 2 quadradinhos? O número binomial que representa esse valor é C(n – 1, n – 2).

(c) A cada passo desse procedimento, troca “11” por “0”, isto é, reduz o comprimento da sequência binária por uma unidade, e reduz o número de bits iguais a 1 por duas unidades.

(d) Você só vai parar quando tiver uma sequência com n/2 bits iguais a zero, se n é par, ou n/2 bits iguais a zero e 1 bit igual a 1, se n é ímpar. Com tudo isso, pode montar a fórmula geral das maneiras pelas quais montar uma fileira de 1 ✕ n. A primeira linha abaixo mostra o caso para n inteiro positivo par (que deixa resto zero na divisão por 2); a segunda linha, o caso para n ímpar (que deixa resto 1 na divisão por 2).

É possível escrever esse somatório com a notação sigma. Lembre-se de que, ao dividir o inteiro positivo n por 2 usando o algoritmo da divisão, obtém n = 2q + r, em que q é o quociente e r é o resto, com 0 ≤ r < 2. A linha a seguir parece complicada, mas ela apenas diz que o contador do somatório vai de 0 a q.

E com isso já pode dar a resposta do problema. De quantas maneiras pode montar uma fileira 1 ✕ 1.000?

Usei um computador para calcular o valor dessa expressão: você pode montar uma fileira de 1 ✕ 1.000 de 70.330.367.711.422.815. ··· .245.245.323.403.501 maneiras distintas — esse número tem 209 algarismos, e por isso o recurso aos três pontinhos. (Usando notação científica, pode montar uma fileira de 1 ✕ 1.000 de ≅7 · 10208 maneiras distintas.)

Mas o principal não é isso. O principal é que, ao resolver esse problema, agora você tem uma fórmula para calcular o enésimo termo da sequência de Fibonacci — só tem de fazer um pequeno ajuste, pois a sequência de Fibonacci tem dois termos iniciais, f0 = 0 e f1 = 1, que a sequência com a qual trabalhou até agora não tem. Assim, sabendo que f0 = 0 e f1 = 1, para calcular o enésimo termo da sequência, com n ≥ 2, use a expressão a seguir.

Como exemplo, calcule o valor de f7; já sabe que f7 = 13. Se n = 7, então n – 1 = 6, e com isso:

Para quem mexe com a sequência de Fibonacci de vez em quanto, essa fórmula serve de ferramenta, e só a achei porque resolvi um problema de matemática discreta. Mas só resolvi o problema porque pude deixar registrados, num caderno de cartografia, os movimentos de minhas mãos. Meu pensamento depende de meu corpo; e meu corpo precisa de ferramentas. Como certa vez escreveu um eremita do qual gosto muito:

— “Corpo sou eu e alma”, assim fala a criança. E por que não se deveria falar como as crianças? Mas o desperto, o sabedor, diz: “Corpo sou eu inteiramente, e nada mais; e alma é apenas uma palavra para um algo no corpo.” {FIM}



Observações:

1. Você pode adaptar o problema dos quadradinhos e dos dominós de várias maneiras. Se é músico, por exemplo, pode se perguntar: “De quantas maneiras posso preencher o tempo de mil colcheias, se posso usar apenas colcheias ou semínimas?” Se está interessado em partições de inteiros positivos, pode se perguntar: “De quantas maneiras posso representar 1.000 como o resultado de um somatório, se posso usar apenas parcelas iguais a 1 ou iguais a 2?” As duas perguntas são completamente equivalentes a montar uma fileira de 1 ✕ 1.000 usando apenas quadradinhos e dominós. E isso me leva a um tema interessante: muita gente pensa que uma sequência binária é uma sequência de zeros e uns; na verdade, é uma sequência de dois símbolos, quaisquer que sejam: zeros e uns, quadradinhos e dominós, * e %, 1 e 2, colcheias e semínimas, 5 volts e 0 volt.

2. Se meu programa de edição de fórmulas tivesse o símbolo de função chão, os somatórios desta postagem ficariam mais simples. Na expressão a seguir, veja o símbolo Floor(x) como sendo a função chão de x, isto é, o número inteiro k tal que x – 1 < kx, com x um número real qualquer.

Sequências: os erros dos concursos, mais a torre de Hanói


O que verá neste texto:

Seção 1. Um tipo comum de pergunta sobre sequências — comum, mas errado, pois induz o estudante a pensar incorretamente. Seção 2. O enunciado de um problema famoso sobre sequências: a torre de Hanói. Seção 3. Três maneiras distintas de explorar o problema.


{1}/ A missão impossível

Se o leitor gosta de matemática, de vez em quando tira um tempo para pensar sobre sequências. E então talvez tenha a ideia de resolver problemas de livros didáticos, de vestibulares, ou de concursos, na esperança de topar com algum problema interessante. Muitos desses problemas, contudo, são do tipo “diga qual é o próximo termo da sequência a seguir”, o qual você vai questionar duramente por meio da leitura deste artigo. Para colocar a mente na sintonia certa, veja se consegue dizer qual é o próximo termo de cada uma das dez sequências a seguir.

(S1) 7, 7, 7, 7, 7, …

(S2) 3, –3, 3, –3, 3, …

(S3) 1, 5, 2, 10, 3, 15, …

(S4) 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

(S5) 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

(S6) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

(S7) 1, 3, 6, 10, 15, …

(S8) 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

(S9) 3, 2, 1, 0, –1, …

(S10) 1, 1, 2, 6, …

É bem possível que responda assim:

“O próximo termo de (S1) é 7. O de (S2) é –3. O de (S3) é 4. O de (S4) é 64. O de (S5) é 49. O de (S6) é 34. O de (S7) é 21. O de (S8) é 17. O de (S9) é –2. E, por fim, o de (S10) é 24. Eu sou um gênio!”

Se fez isso, talvez marque a resposta certa e passe no concurso, mas, estritamente falando, errou todas as respostas. Pois, segundo a definição formal de sequência, o próximo termo de qualquer uma das dez sequências pode ser qualquer número — sem nenhuma exceção. Suponha que respondesse: “O próximo termo de cada uma das dez sequências (S1) a (S10) é o número 10. Assim, por exemplo, (S8) denota a sequência 2, 3, 5, 7, 11, 13, 10, …”; se fizesse isso, sua resposta estaria de acordo com a definição formal — mas também estaria errada. Se o próximo termo de cada uma das dez sequências (S1) a (S10) pode ser qualquer número, então é impossível dizer qual é o próximo termo de qualquer uma delas. Pois, se não sabe qual é o próximo termo da sequência, e se pode ser qualquer um, então não tem como saber qual é.

  • Sequência. Definição formal simples. Um sequência é uma lista ordenada de números, finita ou infinita. Definição formal completa. Uma sequência é um conjunto ordenado de objetos matemáticos, finito ou infinito. (Definição completa alternativa. Uma sequência é um ênuplo de objetos matemáticos, finito ou infinito.)

Como pode ver, a definição não faz nenhuma menção a leis de formação, a relações de recorrência, a fórmulas fechadas. Qualquer lista ordenada de números, finita ou infinita, satisfaz a definição; qualquer conjunto ordenado de objetos matemáticos, finito ou infinito, satisfaz a definição. Sendo assim, e pegando a sequência (S4) como exemplo: tanto 1, 2, 4, 8, 16, 32, –1, … quanto 1, 2, 4, 8, 16, 32, √2, … satisfazem a definição de sequência, de modo que –1 e √2 servem em tese como resposta correta à pergunta “Qual é o próximo termo da sequência?” Aliás, até mesmo 1, 2, 4, 8, 16, 32, I(3), …, em que I(3) denota a matriz identidade de ordem 3, satisfaz a definição.

No caso de concursos e de vestibulares, algumas bancas organizadoras tentam contornar o problema ao mudar um pouco o enunciado: “Todos os termos da sequência a seguir foram obtidos por meio da mesma lei de formação.” Deve-se elogiar a tentativa de escrever um enunciado correto, só que esse tipo de tentativa não resolve o problema, pois você pode bolar uma lei de formação para justificar qualquer termo que venha a imaginar. Usando ainda (S4) como exemplo:

(a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, –1, … Lei de formação: an = 2n para 0 ≤ n ≤ 5, e an = –1 para n ≥ 6, com n inteiro. A sequência é, portanto, 1, 2, 4, 8, 16, 32, –1, –1, –1, …

(b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, √2, … Lei de formação: an = 2n para 0 ≤ n ≤ 5, e an = √(n – 4) para n ≥ 6, com n inteiro. A sequência é 1, 2, 4, 8, 16, 32, √2, √3, √4, …

(c) 1, 2, 4, 8, 16, 32, I(10), … Lei de formação: an = 2n para 0 ≤ n ≤ 5, com n inteiro, e an = I(n + 4) para n ≥ 6, em que I(k) denota a matriz identidade de ordem k. A sequência é 1, 2, 4, 8, 16, 32, I(10), I(11), I(12), …

Visto que pode recorrer a leis de formação tão complicadas quanto queira, o fraseado “os termos da sequência a seguir foram obtidos pela mesma lei de formação” não blinda a banca organizadora de questionamentos administrativos, pois continua a autorizar o candidato a escrever qualquer termo que venha a imaginar para completar a sequência, desde que consiga bolar uma lei de formação para o termo que escolheu.

Até onde sei, só existe um jeito de justificar um termo específico sem cair em erro, isto é, satisfazendo a definição formal de sequência: recorrendo a uma afirmação condicional. Por exemplo: “Se a sequência 1, 2, 4, 8, 16, 32, … foi obtida por meio da lei de formação an = 2n, com n inteiro não negativo, então o próximo termo da sequência é 64.” Se chamar a lei de formação da sequência S de L(n), e o próximo termo da sequência de an, o formato geral dessa afirmação condicional é: “Se a sequência S foi obtida por meio de L(n), o próximo termo da sequência é an.” O problema é que esse jeito de usar as palavras torna o trabalho da banca organizadora muito mais difícil, pois terá de quebrar a cabeça para bolar enunciados e alternativas que satisfaçam a definição formal de sequência. Eis uma sugestão:

Enunciado. Diga qual é o próximo termo da sequência 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Alternativas:

(A) 64, se an = 2n para n inteiro não negativo;

(B) –13;

(C) √2;

(D) Todas as anteriores.

(E) Nenhuma das anteriores.

A resposta certa, a meu ver, é (E); pois, mais uma vez, a não ser que a lei de formação esteja no enunciado, é sempre impossível dizer com certeza qual é o próximo termo de uma sequência dada.

Talvez o leitor Desconfiado queira me apresentar uma objeção:

“Ora, isso tudo faz sentido, mas não me parece certo. Se me apresentam os seis primeiros termos de uma sequência, que são 1, 2, 4, 8, 16, 32, e se me pedem o sétimo termo, me parece óbvio que o sétimo termo tem de ser 64. Qualquer outra resposta me dá a sensação de erro.”

De onde vem essa sensação?

Minha hipótese é que vem de nossa experiência com a linguagem natural. Quando um sujeito está aprendendo a falar português, observa os falantes à sua volta e, a partir dos exemplos que ouve, infere as regras da língua; ou seja, o sujeito observa o exemplo E1, o E2, o E3, e logo ousadamente deduz, por raciocínio indutivo, a regra geral En. Esse método está tão entranhado em cada falante que o sujeito, sem perceber, o transfere para os estudos de matemática; em particular o transfere para as sequências e as questões do tipo “diga qual é o próximo termo da lista”.

Todo estudante de matemática deve combater a sensação de que o próximo termo da lista 1, 2, 4, 8, 16, 32 tem de ser 64; em outras palavras, deve se esforçar para pensar em sequências da maneira apropriada — de acordo com a definição formal. Isso porque sequências são importantíssimas na matemática pura e aplicada. Existe até um jornal científico dedicado a sequências de inteiros, o Journal of Integer Sequences, fundado em 1998. Eis alguns poucos destaques sobre a importância das sequências:

• Quando os matemáticos aprenderam a ver problemas de contagem como problemas sobre sequências de zeros e uns (tipo 100, 010, e 001 para representar de quantas maneiras alguém pode escolher um elemento num conjunto de três elementos), descobriram muitas afinidades entre combinatória e computação teórica. (Para saber mais sobre isso, clique aqui.)

• Centenas de objetos matemáticos maravilhosos só podem ser definidos por meio de sequências; entre eles estão espaços vetoriais, números hiper-reais, e integrais de Riemann.

• Muitas sequências que surgem naturalmente na teoria dos números, como a sequência de números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, …, passam em testes estatísticos de aleatoriedade, e a pesquisa sobre sequências pseudoaleatórias deu origem a um ramo da matemática com importantes consequências práticas.

• Especialistas em axiomática veem cada demonstração matemática como sendo não mais que uma sequência de símbolos, condizentes com certas regras formais de inferência. Além disso, o especialista também pode ver as regras de inferência, por sua vez, como sequências de símbolos.

• Em muitas áreas da matemática pura, é mais fácil ver números, relações, e funções como sendo o somatório dos termos de sequências infinitas de números ou de sequências infinitas de objetos matemáticos (por exemplo, quando alguém representa um número irracional por meio de uma fração contínua).

• É impossível estudar a ideia de distribuição de probabilidade sem recorrer ao estudo de sequências de números, em geral associadas a sequências de subconjuntos de um conjunto ou a sequências de conjuntos potência de um conjunto.

• Especialistas em teoria dos jogos aprenderam a ver jogos como sequências de objetos matemáticos, e depois disso aprenderam a ver os vários tipos de lógica como sendo, cada um deles, um jogo, isto é, como sequências de objetos matemáticos.

Desde pequeno o bicho homem gosta de sequências. Se convive com crianças, faça o teste: proponha o problema “Muitas Matildas”.

  • Muitas Matildas. Considere a sequência infinita MatildaMatildaMat…, feita com a concatenação interminável da palavra “Matilda”. Qual é a milésima letra dessa sequência?

Veja como elas pegam fogo tentando dizer qual é a milésima letra, e como cada uma delas pega fogo em dobro tentando provar às outras que está certa ao afirmar que a milésima letra é… E esse entusiasmo pela prova explica um pouco a fascinação pela lei de formação da sequência.

De onde vem essa fascinação?

O antigo filósofo grego Heráclito dizia que o mundo está em constante fluxo. (Mundo = Natureza.) O mundo nunca é o mesmo de um instante para outro. Nenhuma ocorrência do mundo é idêntica a nenhuma ocorrência anterior: o nascer do Sol hoje não pode ser igual a nenhum nascer do Sol que já tenha ocorrido antes. No entanto, um animal consegue sobreviver por mais tempo se aprende a ignorar as infinitas diferenças entre um instante e outro para, em vez disso, declarar importantes certas semelhanças abstratas. O bicho homem aprendeu a fazer isso bastante bem, e deu especial atenção às sequências de abstrações que conseguia produzir com algum tipo de lei de formação: certa configuração de estrelas que marcava o início da primavera, certo tom de amarelo nas flores que marcava frutos mais fáceis de colher, certas atitudes infantis que marcavam o bom guerreiro. Isso tudo deu ao homem maior poder sobre a Natureza, e fez surgir a fascinação por sequências com algum tipo de lei de formação, mas nunca é demais repetir, repetir, e repetir: os matemáticos aprenderam, a duras penas, que as definições mais úteis são as mais abstratas, e a definição abstrata de sequência não faz menção a leis de formação, por mais fascinantes que sejam. {❏}


Uma imagem de torre de Hanói

{2}/ Apêndice: A torre de Hanói

Se o leitor nunca resolveu antes o problema da torre de Hanói, esta é sua chance: ele é talvez o mais popular problema sobre sequências de números. Se já resolveu, poderá examinar na seção 3, logo abaixo, uma abordagem sistemática do problema.

  • O problema da torre de Hanói. Há em Hanói um mosteiro, no qual, se você visitá-lo, ganha dos monges um belo objeto que, à primeira vista, parece um objeto de decoração. São 64 discos coloridos, todos com um furo no meio, todos de tamanho distinto — não há dois discos que sejam da mesma cor, nem há dois que sejam do mesmo tamanho. Eles estão colocados numa placa de madeira na qual há três pinos: estão todos arrumados no pino mais à esquerda, organizados por tamanho, do maior disco embaixo ao menor disco em cima. Um dos monges lhe diz: “Estes discos são mágicos. Se conseguir transferir todos os discos do pino mais à esquerda para o pino mais à direita, sempre fazendo o menor número possível de movimentos, nunca colocando um disco maior sobre um menor, assim que terminar o mundo acabará numa explosão de paz e amor.” Supondo que consiga mover um disco por segundo, por quanto tempo o mundo continuará a existir?

A resolução do problema está na seção a seguir.


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Dois dados para meditar sobre realidades alternativas, crenças, e ciência

Com apenas dois dados e o teorema de Bayes, o leitor joga um pouco de luz sobre certos temas da epistemologia e da metafísica, isto é, entende melhor aquilo que pode vir a conhecer sobre a Natureza, inclusive a Natureza para além de nossos sentidos.


{1}/ A verdade como crença numa história provável

Outro dia, eu observava de longe duas pessoas, um moço e uma moça, e me pareceu que eles competiam; que jogavam dados. Eu os observava de longe mesmo: estava usando binóculos. Não podia ouvi-los nem conversar com eles. A moça pegou duas coisinhas numa das mãos (talvez dados), fez o gesto de chacoalhar, e jogou as duas coisinhas sobre uma bandeja. Olhou para elas por um instante e anotou um número numa tabela desenhada numa lousa, na coluna da esquerda, cujo título era “Ana”. O moço fez quase a mesma coisa, exceto que anotou seu número na coluna da direita, cujo título era “Bento”. Por tudo o que vi, supus que jogavam dois dados numa bandeja, e anotavam na lousa a soma dos números que saíam para cima; supus, portanto, que o casal apostava uma espécie de “corrida das somas”. Olhando de longe, através de binóculos, essa história foi a que melhor explicou o comportamento dos dois. Eles se alternaram, ora um, ora outro, jogando os dois dados e anotando a soma na lousa, que em pouco tempo ficou assim:

ANA

BENTO

2

7

7

2

2

2

12

2

7

2

Achei a tabela estranha. O casal jogou os dados dez vezes, mas, em seis vezes, eles saíram ambos com o lado L1 virado para cima, e por isso a tabela ficou tão cheia de somas iguais a 2. “Será que isso é normal?”, eu me perguntei. “É o que devo esperar de dois dados comuns?”

Problema: Os dados que Ana e Bento estão jogando são comuns, ou é mais provável que sejam dados insólitos — diferentes de dados comuns? Caso sejam insólitos, o leitor consegue supor de que maneira eles são insólitos?

Estudando bem a tabela, percebi o seguinte: em cada um dos dois dados, há um lado igual a 6. Se não fosse assim, não teria como sair a soma igual a 12. Contudo, parece que os outros cinco lados são todos iguais a 1, e por isso saiu apenas soma igual a 2, 7, ou 12 nessas dez jogadas. Em outras palavras, parece que os dois dados têm um lado do tipo L6 e todos os outros lados do tipo L1. Como poderia testar a hipótese sem ir conversar com os dois jogadores, já que só podia observá-los de longe por meio de binóculos? Como poderia saber que tipo de dado Ana e Bento estavam usando apenas conhecendo a soma dos dois dados?

Se o leitor já viu a postagem Doentes Perfeitamente Saudáveis, sabe qual ferramenta intelectual eu deveria empregar: o teorema de Bayes. Resolvi trabalhar com duas hipóteses apenas:

(a) Hipótese H: Ana e Bento usam dois dados comuns, não viciados.

(b) Hipótese ¬H: Ana e Bento usam dois dados com um lado igual a 6 e cinco lados iguais a 1, também não viciados.

Visto que dados comuns são muito mais abundantes que dados incomuns, decidi atribuir 99% de probabilidade à hipótese H (isto é, Pr(H) = 0,99), e 1% de probabilidade à hipótese ¬H (Pr(¬H) = 0,01).

Como estava interessado na soma dos dois dados, montei uma tabela para ter boa ideia da distribuição de probabilidade em meu espaço amostral. Primeiro, a tabela com dois dados comuns (condizente com a hipótese H); cada cruzamento de linha com coluna é a soma dos números em negrito que marcam a linha e a coluna:

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4

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1

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3

4

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6

7

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9

10

11

12

Com a tabela para H, pude imediatamente calcular várias coisas: se os dois dados são comuns, a probabilidade de soma igual a 2 é de 1/36; a probabilidade de soma igual a 7 é de 6/36 = 1/6; e a probabilidade de soma igual a 12 é de 1/36.

Agora, a tabela com os dados insólitos (condizente com a hipótese ¬H):

1

1

1

1

1

6

1

2

2

2

2

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1

2

2

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2

2

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6

7

7

7

7

7

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Assim, se os dois dados têm um lado L6 e cinco lados L1, a probabilidade de soma igual a 2 é de 25/36; a probabilidade de soma igual a 7 é de 10/36 = 5/18; e a probabilidade de soma igual a 12 é de 1/36.

Antes de continuar, tomei nota da fórmula do teorema de Bayes, mas num formato adequado para o problema diante de mim. Na fórmula a seguir, como é o costume, Pr(H|E) significa a probabilidade da hipótese H dada a evidência E; neste caso, a única evidência de que dispunha eram as dez somas que Ana e Bento escreveram na lousa, e que pude ver com os binóculos.

O que tinha de evidência era a seguinte sequência de somas: 2, 7, 7, 2, 2, 2, 12, 2, 7, 2. Chamei essa sequência de S, de modo que S = (2, 7, 7, 2, 2, 2, 12, 2, 7, 2). A pergunta mais natural depois disso foi: Qual é a probabilidade dessa sequência se os dados são comuns, ou, dizendo de outra maneira, qual é a probabilidade dessa evidência se os dados são comuns? Qual é o valor de Pr(E|H)? Além disso, da mesma forma, qual é o valor de Pr(EH)?

Fui às contas, primeiro para a hipótese H.

De quantas maneiras posso formar uma sequência de dez somas se lanço dois dados comuns dez vezes? A cada lançamento, tenho 36 valores à disposição; logo, o número total de sequências de dez somas é igual a 3610 = 3 quatrilhões, 656 trilhões, 158 bilhões, 440 milhões, 62 mil, e 976 sequências. Esse número enorme inclui as repetições; por exemplo, sempre que um dos termos de uma sequência qualquer é 8, há cinco maneiras de sair soma 8: 2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2.

Quantas dessas 3610 sequências são iguais a S? Olhando a tabela de somas para dois dados comuns, eu sabia que há um valor igual a 2, dois valores iguais a 3, três valores iguais a 4, …, dois valores iguais a 11, e finalmente um valor igual a 12. Ora, entre todas as 3610 sequências possíveis de dez somas, há 63 = 216 sequências exatamente iguais a S; o cálculo desse número de permutações é 1 · 6 · 6 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 6 · 1. Isso porque só existe uma maneira pela qual os dados comuns fornecem soma igual a 2, que é ambos caindo com o lado L1 para cima. O mesmo vale para soma igual a 12, que é caindo com o lado L6 para cima. No entanto, há seis maneiras pela qual fornecem soma igual a 7.

Sendo assim, qual é a probabilidade da sequência S se os dados são comuns, ou seja, qual é o valor de Pr(E|H)?

Para usar corretamente o teorema de Bayes, só faltava usar o mesmo método para calcular Pr(EH), isto é, a probabilidade da evidência fornecida pelas somas dada a hipótese de que Ana e Bento estão usando dois dados insólitos.

Também com os dados diferentes eu podia formar 3610 sequências de dez somas, nem todas distintas, pois de novo esse número enorme inclui muitas sequências repetidas. Quantas dessas 3610 sequências são iguais a S? Visto que os dados insólitos formam soma igual a 2 de vinte e cinco maneiras distintas, formam soma igual a 7 de dez maneiras distintas, e formam soma igual a 12 de uma única maneira, eu tinha 25 · 10 · 10 · 25 · 25 · 25 · 1 · 25 · 10 · 25 = 1 · 103 · 256 = 244.140.625.000 = 244 bilhões, 140 milhões, 625 mil sequências iguais a S. Sendo assim:

E, com tudo isso, já podia usar o teorema de Bayes para calcular tanto a probabilidade da hipótese H dada a evidência E quanto a probabilidade da hipótese ¬H dada a evidência E.

E aí estava a resposta às minhas perguntas, sem possibilidade de engano. Fazendo as contas, a probabilidade de que Ana e Bento estavam usando dois dados insólitos é maior que a probabilidade de que estavam usando dois dados comuns por um fator de 11 milhões, ou seja, Pr(H|E) × 11 milhões Pr(¬H|E). Portanto, se tivesse de apostar em qual tipo de dado os dois estão usando, e se quisesse me orgulhar de minha própria capacidade de usar a razão, teria de apostar em dois dados insólitos, não viciados, cada um deles com um lado igual a 6 e todos os outros lados iguais a 1. Mesmo fazendo essa aposta, contudo, seria obrigado a admitir: talvez, afinal de contas, Ana e Bento estejam sim usando dois dados comuns, não viciados, e a sequência de somas que escreveram na lousa seja pura e simplesmente algo incrivelmente improvável, pois acontecimentos incrivelmente improváveis não são impossíveis.



{2}/ Epistemologia ao estilo do reverendo Bayes

É difícil caracterizar um ser racional, mas, nas últimas décadas, filósofos especializados em epistemologia deram muitos passos na direção de uma definição competente:

Definição de racionalidade, estilo bayesiano: Para qualquer proposição x, você pode atribuir qualquer probabilidade que ache conveniente a x, desde que 0 ≤ Pr(x) ≤ 1. Não importa qual seja a probabilidade que atribua a x, deve fazer com que a probabilidade de ¬x seja igual a 1 – Pr(x), de modo que Pr(x) + Pr(¬x) = 1. (Com essa providência, o leitor satisfaz os axiomas de Kolmogorov e sua crença na probabilidade de x se torna coerente.) Além disso, sempre que achar na Natureza qualquer evidência E que aumente ou diminua a probabilidade de x, deve ajustar sua crença na probabilidade de x, isto é, deve aumentar ou diminuir o valor que inicialmente atribuiu a Pr(x), de modo que, com o tempo, com as investigações, sua probabilidade subjetiva de x convirja para o mesmo valor da probabilidade objetiva de x a cada nova evidência E.

Foi o que fiz ao observar Ana e Bento pelos binóculos. Primeiro, supus que os dois estavam jogando dados comuns e anotando a soma na lousa. Depois, vi que as somas não condiziam bem com dois dados comuns. Daí supus que eles jogavam dados especiais, insólitos. Usei o teorema de Bayes para testar minha suposição, e vi que as somas na lousa confirmavam mais fortemente a hipótese de dados insólitos. Por último, diante das observações e das contas, apostei em dados insólitos, mantendo em mente que talvez estivesse fazendo uma aposta errada. Comecei com uma crença e, em razão das evidências, atualizei minha crença, mas sem negar a minúscula possibilidade de que minha nova crença seja falsa — e tudo isso corresponde à definição atual de racionalidade. Um ser irracional é aquele que, mesmo diante de evidências que contrariam suas crenças iniciais, mantém nelas uma fé inabalável e não as atualiza; ou só atualiza a crença de fé inabalável #1 quando acontece uma desgraça, mas daí passa a ter uma crença de fé inabalável #2. Tipicamente, um ser irracional vai de fé inabalável em fé inabalável, e está sempre a ignorar evidências que contrariem sua fé.

É hora de uma pergunta importante. Ana e Bento estavam mesmo jogando dados? Estavam mesmo, um de cada vez, anotando na lousa o valor da soma de dois dados?



{3}/ David Hume e a conjunção constante

A história de uma pessoa observando o comportamento de outras duas de longe, por meio de binóculos, serve de analogia para a situação do cientista, isto é, do ser inteligente que está tentando entender a Natureza — e para tanto ele (ou ela) recorre à razão assistida por ferramentas concretas (binóculos) ou abstratas (teorema de Bayes).

Nada garante que aquela moça se chama Ana. Nada garante que aquele moço se chama Bento. Nada garante que eles estavam chacoalhando dois dados antes de jogá-los na bandeja — não era possível ver se realmente havia dados; só era possível ver a gesticulação. Nada garante que aqueles números na tabela eram a soma de dois dados, feita a cada lançamento. O que o narrador fez foi bolar uma explicação razoável para o que via através dos binóculos, mas ele não podia checar a veracidade de sua explicação, pois não podia conversar com Ana e Bento, se é que eram mesmo Ana e Bento. Quando Ana chacoalha os dados e anota a soma igual a 12 no quadro, parece que ela anotou a soma porque os dados caíram ambos com o lado L6 para cima. A explicação presume a noção de causa e efeito, isto é, de que o evento B ocorreu porque antes disso ocorreu o evento A, e o evento A é causa eficiente do evento B.

David Hume (1711-1776), filósofo escocês, foi o primeiro a colocar no papel, com brilhantismo, a desconfiança de que relações de causa e efeito são uma ficção automática da mente humana. Numa ocasião, o Sujeito percebe o evento A e, depois disso, o evento B. Noutra ocasião, a mesma coisa — e ainda noutra, etc. (Aqui, “Sujeito”, com “S” maiúsculo, significa homem, mulher, criança, máquina inteligente, etc.) Ele vê, escreveu Hume, a “conjunção constante” do evento A seguido do evento B, ou do evento B precedido do evento A. Por causa disso, não demora muito e começa a dizer que A é a causa de B. No livro Investigações sobre o Entendimento Humano e sobre os Princípios da Moral, Hume defende a tese de que não existe argumento racional para justificar uma relação de causa e efeito apenas com base numa relação de conjunção constante. Não só esse argumento não existe, escreveu Hume, como não pode existir: qualquer tentativa de partir da conjunção constante de A e B para uma relação de causa e efeito entre A e B cai em petição de princípio, ou raciocínio circular. O que leva o Sujeito da conjunção constante para a relação de causa e efeito não é a razão, mas o costume; é mais um movimento de cunho emocional do que de cunho racional. “O hábito dispõe a mente a pressupor que o futuro estará em concordância com o passado.”

Eis outra maneira de resumir o que Hume defendeu: Nada garante que as regras pelas quais a Natureza funciona hoje continuarão a ser as mesmas amanhã. Essa garantia, essa certeza de estabilidade, que o Sujeito sente como sendo uma característica da Natureza, é meramente uma ficção que sua mente impõe ao mundo — é de fato um hábito. “É o hábito, e não mais que o hábito”, escreveu Hume, “que nos faz esperar no futuro uma concatenação de eventos tais como já se concatenaram no passado.”

Se relações de causa e efeito são uma ficção que o Sujeito aplica à Natureza por causa de certas inclinações instintivas, imagine todo o resto — imagine quão perdido o Sujeito ficaria no mundo sem suas ficções. Mais tarde, no século 20, muitos filósofos seguiram as pistas de Hume e produziram uma filosofia da ciência muito bem pensada, e sutil, na qual a ciência aparece como um conjunto de narrativas que funcionam. Hoje, cientistas bem treinados em filosofia já não falam mais que as teorias científicas são verdadeiras, mas sim que são “empiricamente adequadas”, isto é, que funcionam quando cotejadas com a realidade: elas explicam as observações e permitem ao cientista fazer previsões a respeito de como a Natureza vai se comportar no futuro. Se o sujeito nem pode justificar adequadamente a passagem de conjunção constante para relação de causa e efeito, pode no máximo ambicionar para seus escritos científicos o título de “ficções úteis”.

Volte agora à história de Ana e Bento. Já sabe que não pode trocar conjunções constantes por relações de causa e efeito (no sentido vulgar de causa e efeito), e também sabe que sua narrativa teórica só vale se explica o que vê e, além disso, te permite fazer previsões. A história certamente explica o que viu pelos binóculos (que viu por meio da leitura de minha narrativa). E quanto às previsões? O que o eu-narrador poderia fazer à guisa de previsão? Acho que poderia continuar olhando os dois pelos binóculos por mais um tempo. Se eles continuam a chacoalhar os dados com uma das mãos, e continuam a anotar a soma na lousa, e nunca aparece soma igual a 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, e 11, posso manter intacta minha confiança na adequação empírica da teoria (incluindo a hipótese ¬H), até que um dia vou me cansar de observá-los e, por mero cansaço, mas também por hábito, direi que a teoria é verdadeira — no entanto sabendo, no fundo de meu coração, que talvez seja falsa, pois talvez esse tempo todo eu estivesse olhando para um fenômeno agudamente raro.

Mas suponha que, a certa altura, Ana ou Bento anotam soma igual a 8 na lousa; e depois anotam soma igual a 5; e depois soma igual a 11. Terei de obrigatoriamente atualizar minha crença: embora os primeiros dez números sugerissem a existência de dois dados insólitos, os números 8, 5, e 11 sugerem a existência de dados comuns. Mas nesse caso eu realmente posso bancar a afirmação de que os dados são comuns? Se chamo de F a afirmação condicional “Se os dados são insólitos do modo como os descrevi, então as somas são sempre iguais a 2, 7, ou 12”, sei que a contrapositiva de F é “Se alguma soma é diferente de 2, 7, ou 12, então os dados não são insólitos do modo como os descrevi.” Se F é verdadeira, a contrapositiva de F também é. Mas a contrapositiva de F me permite pressupor a existência de dados comuns?

Problema. Se a sequência de somas que Ana e Bento anotam na lousa corresponde à distribuição de probabilidade associada à soma de dois dados comuns, isso significa dizer que os dois dados são mesmo comuns? Em outras palavras: se a sequência de somas na lousa sugere que a probabilidade de soma igual a 2 é 1/36, a probabilidade de 3 é 2/36, a probabilidade de 4 é 3/36, …, a probabilidade de 10 é 3/36, a probabilidade de 11 é 2/36, e por fim a probabilidade de 12 é 1/36, então significa dizer que os dois dados são comuns? Ou pode haver dois dados insólitos que produzam somas com a mesma distribuição de probabilidade para dois dados comuns? Dizendo isso mais construtivamente: O leitor consegue montar dois dados insólitos distintos, usando apenas inteiros positivos, e evitando a mera permutação dos inteiros presentes em dados comuns, tais que a distribuição de probabilidade para a soma dos dois dados seja idêntica à distribuição para a soma de dois dados comuns? (Portanto, em cada um desses dois dados insólitos, se é que existem, não pode haver os números 1, 2, 3, 4, 5, 6 exatamente uma vez. Isso é o mesmo que dizer que tais dados não podem ser uma mera permutação dos lados de um dado comum.)



{4}/ Primeiros passos no problema das somas

Um jeito de começar a resolver esse problema é preencher a tabela de somas, mas deixando as linhas e colunas sem títulos, ou sem números em negrito.

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O que pode escrever no lugar dos pontos de interrogação? Visto que só pode usar inteiros positivos, só há uma maneira de obter soma igual a 2.

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Tente continuar daqui. A solução do problema está na próxima seção.

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{5}/ Os dados de Sicherman

A solução desse problema foi achada por George Sicherman na década de 1970, e desde então passou a ser conhecida como “os dados de Sicherman”.

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Mais tarde os matemáticos descobriram que, excluindo as permutações de (1, 2, 2, 3, 3, 4) e de (1, 3, 4, 5, 6, 8), a solução de Sicherman para inteiros positivos é única: não há outros dois dados insólitos tais que a distribuição de probabilidade para a soma dos dois seja a mesma que a distribuição para a soma de dois dados comuns.

Use mais uma vez as ideias de Hume e a analogia de Ana e Bento para pensar sobre os métodos da ciência. Mesmo quando o Sujeito tem uma explicação muito boa, que lhe permite dar sentido às observações e também prever novas observações, e que constantemente passa pelo crivo do teorema de Bayes, mesmo assim ele não pode afirmar peremptoriamente que a realidade é como sua explicação diz que é. O máximo que pode dizer é que há uma conjunção constante entre as relações e funções contidas em sua explicação e as relações e funções que observa na Natureza; porém, não pode ir além disso. Pois sua explicação presume a existência de dados comuns, por exemplo, mas ele nem suspeita, nem poderia suspeitar, que a realidade para além de seus sentidos, a realidade em si mesma, a realidade noumenal, é na verdade feita de dados de Sicherman. {Fim}



Observações:

1. Na seção 2, eu disse que a probabilidade subjetiva da proposição x tem de convergir para a probabilidade objetiva de x se o agente é racional. Isso pressupõe a existência de uma probabilidade objetiva. Hume diria que nada garante a existência de probabilidades objetivas na Natureza, pois não temos como usar nossa experiência para garantir a estabilidade das regras da Natureza. Talvez tais regras mudem; aliás, talvez já tenham mudado no passado, quando a espécie humana ainda não existia.

É importante notar que Hume não disse que as regras da natureza variam com o tempo. Talvez elas sejam absolutamente eternas, como defendeu Spinoza. O que Hume disse é que, caso as regras da Natureza sejam eternas, não temos como saber isso, pois no máximo vemos conjunções constantes, e conjunções constantes não nos permitem inferir nem mesmo a existência de relações de causa e efeito, quanto mais a eternidade das regras da Natureza.

Quanto a isso, Spinoza foi um sábio. Na Ética, ele defendeu a estabilidade das relações de causa e efeito num axioma, o axioma 3 da primeira parte: “De uma causa dada e determinada segue-se necessariamente um efeito; e, inversamente, se não existe nenhuma causa determinada, é impossível que se siga um efeito.” Ele deve ter percebido que não conseguiria justificar a existência de relações de causa e efeito, nem sua estabilidade, por meio de argumentação racional; e então as estabeleceu axiomaticamente.

2. “Olhar de longe” é a sina do Sujeito na Natureza. Ele sempre a está olhando de longe. Quando olha para as estrelas e as galáxias, usa instrumentos como telescópios e radiotelescópios para olhar a Natureza de longe. Quando olha para os átomos, usa equipamentos complicados e computadores para olhar a Natureza de longe. Hume disse que o máximo que o Sujeito pode fazer é bolar narrativas para explicar o que vê. Uma narrativa ruim vai explicar o que ele vê, mas não vai permitir que faça previsões, especialmente previsões de probabilidade muito baixa, isto é, difíceis de prever; esse é o caso de toda narrativa carregada de convicções férreas e, em particular, é o caso das narrativas supersticiosas. Uma narrativa boa vai explicar o que vê e, além disso, permitir que faça previsões, incluindo previsões de probabilidade muito baixa; esse é o caso das narrativas científicas.

3. Immanuel Kant (1724-1804) leu Hume e ficou muito impressionado com suas ideias. Mais tarde, no excelente livro Crítica da Razão Pura, tentou provar que Hume estava errado, que há sim certas coisas que podemos saber com certeza a partir de conjunções constantes. Por exemplo, a realidade do tempo. Por algumas décadas, a comunidade dos filósofos achou que Kant havia refutado Hume. Hoje, os maiores especialistas em metafísica e em epistemologia já não pensam mais assim, pois puderam achar falhas nas premissas de Kant. Por causa disso, Hume voltou a seu lugar de honra e continua sendo lido com grande interesse. Os autores atuais, especialmente os de inclinação analítica, citam Hume mais frequentemente que Kant.

4. Tive a ideia de escrever sobre os dados de Sicherman depois de ver uma palestra de José Luiz Pastore Mello, cujo título era A Arte de Criar Problemas; eu nem sabia que tais dados existiam. Pastore tem usado problemas difíceis, inclusive problemas em aberto, com seus alunos no Colégio Santa Cruz, em São Paulo (SP), e está escrevendo uma tese de doutorado sobre o uso de problemas difíceis na escola básica. Para ilustrar a palestra, Pastore levou várias duplas de dados, incluindo dois dados comuns, não viciados, do tipo usado por cassinos; e dois dados comuns, porém viciados, nos quais a probabilidade de L6 é muito maior que a probabilidade de cada um dos outros lados. Eu nunca havia segurado dados viciados antes. Ao manusear dados comuns, eles dão a impressão de que são objetos inanimados. Ao manusear dados viciados, contudo, eles dão a impressão de que têm vontade própria — parece que eles “querem” ficar numa posição, e que “não querem” ficar nas outras, como um joão bobo.

5. Definição de distribuição de probabilidade (só para relembrar): É uma função Pr de um espaço amostral S para o conjunto dos números reais entre 0 e 1, incluindo 0 e 1. Assim, para cada elemento x de S, 0 ≤ Pr(x) ≤ 1. (Note que, pela definição usual de “experimento”, S é sempre um conjunto não vazio.) Além disso, a soma da probabilidade de x, para cada um dos elementos x de S, tem de ser igual a 1, isto é:

Em outras palavras, a probabilidade do espaço amostral S é sempre 1, quer dizer, por definição a probabilidade de que um experimento produza qualquer um dos resultados de S é 1.

6. A contrapositiva de PQ é ¬Q → ¬P; se uma condicional é verdadeira, a outra também é. No entanto, dizer que “os dados não são insólitos do modo como os descrevi” não significa dizer “os dados são comuns”, pois pode significar “os dados são insólitos de uma maneira não descrita por mim”.

7. Eric Steinhart: “Considere dois relógios perfeitamente sincronizados. Os dois mostram o mesmo horário. Portanto Pr(Relógio 1 mostra meio-dia|Relógio 2 mostra meio-dia) = 1. Cada um dos dois representa o que está acontecendo no outro sem que haja nenhuma interação causal. Um sinal é enviado sem que haja uma causa.” Há conjunção constante entre o horário num dos relógios e o horário no outro relógio, para a qual, se não tivéssemos lido Hume, atribuiríamos relação de causa e efeito, que de fato não existe. Spinoza conhecia contraexemplos como esse porque se correspondia com Leibniz, que amava esse tipo de contraexemplo a relações necessárias de causa e efeito.

8. Caso queira citar este artigo, escreva:

Simões, Márcio. “Dois Dados para Meditar sobre Realidades Alternativas, Crenças, e Ciência”. São Paulo: Imaginário Puro (blogue), 28 de outubro de 2019.

Se possível, forneça o link permanente para o artigo:

[https://imaginariopuro.wordpress.com/2019/10/28/dois-dados-para-meditar-sobre-realidades-alternativas-crencas-e-ciencia/]

Somos todos umas bestas quadradas

Uma vez, o matemático americano Paul Zeitz definiu um matemático assim: é o sujeito que aprendeu a ter coragem diante da própria estupidez. Para aprender essa coragem, ele precisa resolver problemas. No Brasil, contudo, várias escolas deixam os problemas para atividades extraclasse, de modo que só uma parcela dos alunos chega à vida adulta sabendo o que é, de verdade, a matemática.


{1}/ Prólogo: uma lista com 13 problemas

Tente resolvê-los antes de ler o resto da matéria. Se fizer isso, ela ficará dez vezes mais agradável.

Problema número

Enunciado

Professor

1

Com quais padrões geométricos você pode pavimentar o chão? (Em termos mais técnicos: com quais polígonos pode tesselar o plano?)

Lilian Spalding

2

Como pode achar o ponto no centro de um círculo usando apenas o compasso? (Não vale usar a régua!)

José Luiz Pastore Mello

3

Pense num número inteiro positivo. Se for par, divida por 2 (n vira n/2). Se for ímpar, multiplique por 3 e adicione 1 (n vira 3n + 1). Com o resultado, repita o algoritmo. Pare quando chegar ao número 1. Todo número inteiro positivo sempre chega ao número 1?

Idem

4

Pegue duas folhas de papel A4, e com cada uma delas monte um cilindro: monte um dos cilindros juntando os lados mais compridos de uma das folhas e o outro juntando os lados mais curtos. Cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros?

Walter Spinelli

5

Imagine um queijo de minas inteiro. Como pode dividir o queijo em oito partes iguais com apenas três cortes?

Vincenzo Bongiovanni

6

Veja o desenho a seguir, no qual r e s são retas paralelas. Mostre seis jeitos distintos de calcular a medida do ângulo representado pela letra x.

Idem

7

Um homem tem 1 metro e 80 centímetros de altura e está à beira do mar, olhando para aquele ponto do horizonte no qual parece que o mar vira céu e o céu vira mar. Quão longe está essa linha do horizonte? (Suponha o raio da Terra com 6.367 quilômetros.)

Idem

8

Uma formiga mora na superfície de um cubo maciço com aresta de 1 metro. Para ir do vértice G ao vértice oposto A, a formiga vai percorrer qual distância mínima?

Idem

9

Um matemático perguntou a uma mulher qual era a idade de seus três filhos. Sabendo que ele era matemático, a mulher não facilitou:

“Multiplique a idade dos três e obterá 36.”

Ele pensou um pouco.

“É impossível dizer a idade deles.”

A mulher deu mais uma dica:

“Some a idade dos três. A soma é o número dessa casa aí em frente.”

O matemático olhou o número da casa em frente e sacudiu a cabeça:

“Ainda é impossível.”

“Meu filho mais velho toca piano.”

O matemático sorriu e disse a idade dos três.

Idem

10

Como você pode montar quatro triângulos com apenas seis palitos de fósforo? (Não vale quebrar nenhum palito!)

Idem

11

Você ganhou um velho quebra-cabeça de 300 peças. Elas vieram num tubo de papelão, pois a caixa original já não existe mais, de modo que não sabe que imagem o quebra-cabeça formará. Mas você gostaria de saber se todas as peças das bordas estão no tubo, pois gosta de montar quebra-cabeças primeiro pelas bordas. Quantas peças de borda deveria haver dentro do tubo?

Mike Askew e Rob Eastaway

12

Um pescador quer chegar à beira do rio. Numa bifurcação, não sabe se deve ir à direita ou à esquerda. Na bifurcação, há dois homens debaixo dum cartaz onde se lê: “Um desses homens sempre diz a verdade e o outro sempre mente.” Que pergunta deveria fazer, e para qual deles, de modo que saiba qual lado da bifurcação o levará à beira do rio?

Eugênio Benito Júnior

13

Você acabou de conhecer um sujeito numa festa e descobriu que ele tem duas crianças, e que ao menos uma delas é uma menina. Qual é a probabilidade de que ambas sejam meninas?

Leandro Fiorini Aurichi



{2}/ Coragem, estúpido!

Muito matemático diz que “fazer matemática” significa “resolver problemas”. Depois da afirmação, ele em geral gasta um tempinho ajudando o interlocutor a distinguir entre “fazer exercícios” e “resolver problemas”: ao fazer um exercício, o estudante já sabe que técnica deve usar para obter a resposta (deve usar a técnica que acabou de estudar); ao resolver um problema, mal sabe por onde começar. “Os problemas são o coração da matemática”, disse uma vez o matemático húngaro-americano Paul Halmos, “de modo que deveríamos enfatizá-los durante as aulas, os seminários, os artigos, os livros; temos de ajudar nossos alunos a propor problemas a si mesmos, e a resolvê-los, melhor do que nós já fizemos.” Uma vez, o matemático americano Paul Zeitz deu uma palestra para alunos do nono ano, e o título de sua palestra, que ele escreveu na lousa com letras enormes, era ESTÚPIDO. “O matemático”, disse Zeitz às crianças, “é o sujeito que aprendeu a ter coragem diante da própria estupidez.” Mas vá o estudante (vamos chamá-lo de TVt) conversar com professores de matemática Brasil afora, e descobrirá que, em quase toda escola do ensino básico, uma parte dos estudantes só resolve problemas depois das aulas de matemática — raramente durante as aulas.

Walter Spinelli, professor de matemática há 41 anos, gosta de propor o seguinte problema a alunos do nono ano: pegue duas folhas de papel A4 e construa com cada uma delas um cilindro; construa um deles juntando os dois lados maiores, e o outro juntando os dois lados menores. Se fosse encher cada cilindro com arroz, em qual deles caberia mais arroz? “Em 80% dos casos”, diz Walter, “antes de fazer as contas a classe diz que cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros.” Mas daí os alunos fazem as contas, e ficam surpresos: cabe 41% mais arroz no cilindro mais baixo. (A resolução dos problemas na seção 1 está na seção 3 mais abaixo.) Isso ainda não é um problema: o professor fez uma pergunta simples, os alunos conheciam as fórmulas que teriam de usar, e fizeram as contas para obter a informação pedida pelo professor. O problema vem em seguida, quando Walter desafia a classe a explicar por que isso acontece. Eles levam um tempo para pôr os motivos em palavras: no cálculo do volume do cilindro, a área da base tem uma influência bem maior que a altura, de modo que, ao aumentar um pouco a altura do cilindro, o estudante aumenta o volume só um pouco; porém, ao aumentar um pouco a área da base, aumenta o volume muito mais.

Embora Walter goste de propor problemas, e de resolvê-los, reconhece que está cada vez mais difícil propô-los durante as aulas — e isso vale tanto para escolas públicas quanto particulares. (Ele conhece bem os dois ambientes: é autor de livros didáticos e dá consultoria pedagógica.) “Nos sistemas de ensino baseados em apostilas, que são a maioria, o professor quase não tem autonomia. Para propor um problema por semestre, tem de brigar, e se de fato propõe dois problemas por ano, é um herói.” Como outros professores em outras cidades, Walter usa a internet para instigar seus alunos a resolver problemas (por exemplo, posta problemas e oferece algum benefício a quem se dispõe a resolvê-los). Também organiza grupos do tipo “clube de matemática”. E também estimula um aluno mais interessado a trabalhar num projeto do tipo “iniciação científica”, no qual o aluno usa a matemática para estudar um assunto tão completamente quanto puder. Seja como for, nos três casos a matemática de verdade fica para as horas de folga.

Fazendo assim, a escola cria dois conjuntos de alunos. Um delas contém aqueles que saem da escola sem nunca ter resolvido um problema de matemática real — TVt chamou esse conjunto de Ξ, da letra grega xi, pois pensou assim: “Xiii, mas que azar!” O outro contém aqueles que sairão tendo resolvido alguns — esse é o conjunto Σ, sigma, pois não se assusta à mera visão de um Σ. Esse modelo tem algumas vantagens, mas, antes de examiná-las, TVt gastou um tempinho examinando as desvantagens.

O cenário. As aulas transcorrem no estilo “exposição da teoria seguida de exercícios”. Os exercícios batem direitinho com a teoria, isto é, basta ao aluno aplicar a teoria recém-exposta para resolvê-los. Alguns desses exercícios são questões de vestibular ou de provas similares, como o Enem. Os exercícios mais contextualizados, que parecem retirados de situações reais, soam artificiais, quando não soam absurdos. O aluno com maior aptidão para a matemática raramente gasta uma hora com um exercício difícil. O aluno criativo e estudioso vai bem nas provas; o aluno mala sem alça e estudioso também vai. Um aluno estudioso consegue resolver todos os exercícios, sem exceção.

Uma lista pequena de consequências desse cenário é:

Sabe-tudo. O aluno não questiona o que sabe, pois sempre sabe o suficiente para resolver a lista de exercícios. Quando os alunos de Walter Spinelli ficam surpresos ao descobrir que não cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros de papel A4, embora tenham usado a mesma quantidade de matéria-prima para construí-los, eles questionam o que sabem sobre o volume de sólidos.

Robô imbecil. Como o aluno toda vida segue procedimentos para resolver exercícios em menos de uma hora, muitos dos quais lembram caricaturas absurdas de situações reais, sai da escola com a ideia de que a matemática é isso: ela serve para gente que não se importa de seguir regras estritas à risca para resolver problemas referentes a situações reais ridiculamente distorcidas. Que aplicação prática uma matéria dessas pode ter? Quem quer estudar um negócio desses na faculdade?

Esquecível. Como o aluno Ξ resolve a lista de exercícios rapidinho, pode esquecer completamente a matemática assim que fecha o livro e o caderno. “Isso não acontece com quem está resolvendo um problema”, diz Lilian Spalding Degani, professora de matemática na Escola Vera Cruz em São Paulo (SP). “Em geral, o aluno não consegue resolver um bom problema num único dia. O problema fica lá, cutucando, um dia, dois dias, uma semana. Enquanto o problema cutuca, o aluno faz matemática, esteja ou não esteja na escola.”

Prazer enorme. Depois de pensar um pouco sobre tudo o que ouviu dos professores, TVt chegou à conclusão de que a principal vantagem do modelo “os problemas ficam para depois da aula” é que, desse jeito, nenhum aluno pega raiva dos problemas, nem o aluno Ξ nem o Σ. Quanto ao aluno Σ, ocorre o contrário: ele resolve problemas pelo mesmo motivo que os matemáticos os resolvem e do mesmo jeito — porque gosta e sem pressa. Poincaré, o famoso matemático francês, uma vez disse algo assim: “Um cientista que mereça esse título, e sobretudo um matemático, vive seu trabalho da mesma forma que um artista: seu prazer é enorme e da mesma natureza.” (Nenhum pintor produz uma natureza-morta em uma hora, a não ser que banque o moderno.) Em 1970, o matemático húngaro Alfréd Rényi disse algo na mesma linha: “Se me sinto triste, faço matemática para ficar alegre. Se me sinto alegre, faço matemática para permanecer alegre.” (Para ele, fazer matemática significava resolver problemas.) Bem, dessa principal vantagem o aluno Σ extrai várias outras, que TVt listou na melhor ordem em que pôde pensar.

(1) Livrar-se de obsessões. Em 2012, o professor Vincenzo Bongiovanni organizou um grupo de alunos do ensino médio, que se encontrava toda semana para resolver problemas. (Hoje ele é professor de matemática na Universidade Bandeirantes de São Paulo.) Num desses encontros, Vincenzo apresentou o desenho mostrado no problema 6. Explicou então o que queria:

“Considerem r e s como sendo retas paralelas. E daí determinem a medida do ângulo representado pela letra x.”

Até aqui, isso não é um problema, mas um mero exercício de fixação. Então Vincenzo deu um viés de problema ao exercício:

“Cada um de vocês deve descobrir seis maneiras distintas pelas quais achar a medida de x.”

Com esse problema, Vincenzo quis mostrar a seus alunos que nem sempre existe uma única solução para cada problema. “Na escola básica, o aluno tende a acreditar que a solução certa de um problema é aquela apresentada pelo professor.” Essa crença é tão forte que, às vezes, um aluno Ξ chega à solução de um problema, mas a rotula de “errada” apenas porque é diferente da solução explicada pelo professor. “Eu pedi seis soluções, mas esse problema admite outras.”

Ainda no capítulo “há vários jeitos de resolver um problema”, Vincenzo gosta de apresentar os problemas 5 e 10. Para resolver o problema dos palitos, quase sempre os alunos põem os palitos sobre a mesa e os movem de tudo quanto é jeito imaginável. A história sempre é a mesma: de repente um deles chama a atenção dos outros com um berro, e mostra sobre a mesa um tetraedro regular. “Esse problema só pode ser resolvido quando o aluno sai da dimensão dois e pula para a três. Ele só tem um defeito: quando um dos alunos descobre a solução, não tem como esperar que os outros a descubram sozinhos.” Para resolver o problema do queijo, o aluno segue a mesma estratégia: só consegue resolvê-lo quando para de ficar desenhando círculos cortados com três linhas, e desenha um cilindro dividido com dois cortes verticais e um horizontal. Aliás, quando o professor apresenta um desses dois problemas logo depois do outro, em geral os alunos acham a solução do segundo mais fácil, pois já sacaram que não devem ficar obcecados por uma dimensão.

(2) Energizar a criatividade. Poucos sabem toda a matemática que deveriam saber na sua idade, e por mil razões: ficaram doentes e faltaram uns dias, houve uma greve de professores, trocaram de escola. Junte a isso a mania que o brasileiro tem de achar que só pode estudar matemática sob a supervisão de um professor (mas jamais sozinho) e pronto: o que esse sujeito Ξ não sabe, não sabe, e não vai estudar por conta própria. Um bom problema, diz Eugênio Benito Júnior, professor no Centro Universitário Salesiano de São Paulo, tem o poder de dar ao estudante energia para ir atrás de estudar o que deveria saber — e até mais.

Eugênio dá aulas no primeiro ano dos cursos de engenharia e lida com muitos alunos que não sabem o conteúdo do ensino básico. Usa os problemas para animá-los. (Eugênio diz que esse truque não funciona com todo mundo, mas funciona com muitos.) A questão é que o aluno animado por um problema, mas que se sente ligeiramente menor que o problema, fica com uma consciência mais clara das falhas na própria formação. (Se o aluno se sente esmagado pelo problema, desiste sem peso na consciência.)

Conforme ajuda seus alunos a recuperar o passo, percebe que vários deles têm dificuldade para usar a imaginação. Não têm prática. Contudo, ao estudar matemática, o jovem Σ precisa da imaginação para criar ou convocar imagens e cenas vívidas. “Eu sempre dou um toque”, diz Eugênio, “e digo que eles devem recuperar a atitude de quando eram moleques, e brincavam de caubói e de astronauta. Essa capacidade de fantasiar e de brincar é fundamental para quem deseja aprender matemática.” Eugênio até pede a seus alunos que leiam mais romances: um jovem Σ precisa partir das palavras e criar sozinho um cenário mental no qual os personagens agem e interagem. “Ele não pode permitir que essas imagens mentais lhe sejam exclusivamente fornecidas pela TV.”

(3) Perder o medo de se arriscar. O estudante Ξ, que só resolve exercícios, conclui o ensino básico com a falsa impressão de que a matemática escolar é suficiente para todo tipo de problema matemático, diz Lilian Spalding. Isso porque é suficiente para resolver todos os exercícios do livro didático e todas as questões dos vestibulares. Lilian acha que, diante de um problema bem sacado (como o problema 1, o do ladrilhamento do plano), o estudante faz uma pergunta, que responde, e mais outra, que responde — e por fim faz uma pergunta que não consegue responder. Sua matemática não é mais suficiente. E daí vai conversar com a professora Lilian para saber por que sua matemática é pequena diante do problema. “Ai, eu brinco com ele”, diz Lilian, “e digo que um dos objetivos do problema não era chegar a todas as respostas, mas chegar a uma situação para a qual ele claramente não pode achar a resposta. Eu quero fazer o aluno entender que ele sabe matemática o suficiente para entender o problema, para conversar sobre ele, mas não para resolvê-lo por completo. Nesse ponto, é hora de criar mais matemática, é hora de estudar mais.”

Para propor um problema com essa virtude, diz Lilian, o professor tem de se arriscar: tais problemas são aqueles que geram perguntas muitas das quais nem o professor conhece a resposta. “Não pode ser um problema falso. Não pode ser um problema cujas respostas o professor já conheça todas de antemão. Eu não me importo de propor problemas assim, pois acho que não saber o fim da história é uma coisa boa.”

(4) Ganhar a capacidade de se divertir. Quem se acostumou a resolver problemas, vê problemas em todo lugar. Muitos matemáticos dizem isso, e José Luiz Pastore Mello também. (Pastore dá aulas no Colégio Santa Cruz, em São Paulo, e é autor de livros didáticos.) Uma vez, enquanto dava uma aula de trigonometria para uma turma de ensino médio, foi desenhar um círculo na lousa e o compasso escapou. Como já havia feito parte do desenho, não quis apagá-lo e recomeçar — procurou o centro do círculo, mas o compasso não havia deixado marca. “Na hora me lembrei de um problema matemático famoso”, diz Pastore, “que é o problema de achar o centro da circunferência só com o compasso.” (Sobre as palavras “círculo” e “circunferência”, veja a nota logo depois deste parágrafo.) Pastore comentou o problema com a classe e a aula acabou: todo mundo quis tentar resolvê-lo. “A primeira reação deles foi que o problema era fácil. Começaram a me descrever o processo de achar o centro por meio de mediatrizes, que é um processo com régua e compasso, mas tive de interrompê-los: o problema é achar o centro sem a régua — só com o compasso.” Pastore diz que a turma ficou semanas atrás dele; um dia, revelou o nome dos matemáticos que resolveram esse problema, e ela foi atrás. (A solução é consequência do teorema Mohr-Mascheroni.) “Eles acharam um website na Itália e, a partir dele, montaram uma demonstração. Esse tipo de problema, mais aberto, costuma pegar muito.”

Círculo e circunferência. Neste blogue Imaginário Puro, adoto o padrão comum em artigos científicos atuais: círculo é o lugar geométrico (cuja equação é (xa)2 + (yb)2 = r2, onde r é o raio e a e b são as coordenadas do centro) e circunferência é um número real que denota a medida do comprimento associado ao lugar geométrico. Mas muitos professores brasileiros preferem circunferência para denotar o círculo, e comprimento da circunferência para denotar o número real.

Pastore diz ainda que um problema tem outra virtude: ele faz com que o aluno, especialmente o jovem no ensino médio, pare de valorizar a matemática apenas pelo lado utilitário. “Ele vê a matemática como algo para se dar bem na vida, para se dar bem no mundo do trabalho.” Quem seria capaz de ver a beleza da literatura se encarasse a literatura apenas como um passo importante para escrever bons relatórios de vendas, ou para formatar o currículo? Pouquíssima gente, e o mesmo ocorre com a matemática, diz Pastore: quem vê somente o lado utilitário não vê a beleza.

Às vezes, ele menciona um problema com o objetivo explícito de suscitar a sensação de beleza: a conjectura de Collatz, que funciona com crianças no ensino fundamental e com adolescentes no ensino médio. “Pense num número natural qualquer”, diz Pastore. “Se esse número for par, divida por dois. Se for ímpar, multiplique por três e some mais um. E daí recomece o processo a partir do resultado, mas pare quando chegar a 1.” Por exemplo, 23:

(23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

É bom parar em 1 porque, depois de 1, o algoritmo produz sempre os mesmos resultados: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … Outro exemplo: 25.

(25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

Em 1937, o matemático alemão Lothar Collatz propôs a seguinte conjectura: não importa com qual inteiro positivo o estudante comece o processo, chegará a 1 depois de um número finito de passos. “Isso é curiosíssimo”, diz Pastore. “A primeira coisa que acontece, quando o aluno ouve falar desse problema pela primeira vez, é testar a conjectura para vários números.” Especialistas em computação usam a conjectura para ver se redes de computadores e computadores de grande porte estão funcionando corretamente: as máquinas novas têm de obter os mesmos resultados obtidos até hoje — por enquanto, tais especialistas viram que a conjectura vale para todos os inteiros positivos iguais a ou menores que 5 ∙ 260. Alguns números terminam em 1 depois de uma sequência curta de passos; outros, depois de uma sequência longa. O número 9.780.657.630, por exemplo, termina em 1 depois de 1.132 passos.

“Esse problema contém muitas sutilezas fascinantes”, diz Pastore. “Por exemplo: se o número é par, eu o divido por dois, então ele diminui; se é ímpar, eu o multiplico por três, e adiciono mais uma unidade, então ele aumenta. À primeira vista, alguém pode dizer que a sequência aumenta, porque os aumentos são mais fortes que as diminuições. Contudo, eu realizo mais operações com números pares que com ímpares. Dá para discutir os porquês disso em sala de aula.”

Os estudantes não vão demonstrar a conjectura de Collatz, pois ela é um problema em aberto na matemática, e dos difíceis. (Talvez seja um problema mais difícil que o último teorema de Fermat.) Mas eles podem explorar algumas características do problema, e podem entrar na faculdade com pelo menos um problema em aberto na cabeça. “Eu menciono a conjectura de Collatz porque os alunos têm ferramentas matemáticas para se aproximar do problema”, diz Pastore. “Isso é importante. Não adianta nada, por exemplo, mencionar a hipótese de Riemann. É um problema distante demais do jovem no ensino básico. O aluno não consegue ver nenhuma beleza nele, porque fica paralisado com os detalhes técnicos.”

Mike Askew e Rob Eastaway, dois autores ingleses, dizem que um sujeito do tipo Σ resolve um problema de matemática sem nem perceber que resolveu um problema de matemática. Para ilustrar essa afirmação, contam uma história real, que aconteceu com uma garota de 12 anos chamada Amy. (Veja o problema 11.)

Amy ganhou de presente um velho quebra-cabeça com 300 peças, mas as peças não estavam mais na caixa original, e sim num tubo de papelão, de modo que ela não tinha como ver uma foto do quebra-cabeça montado. Ela jogou as peças sobre o tapete e começou a separar as peças das bordas. Contudo, achou que havia menos peças de borda do que deveria haver para um quebra-cabeça com 300 peças, e se perguntou se havia peças perdidas. Contou as peças das bordas, mas percebeu que não tinha com o que comparar.

Quantas peças de borda deveria haver num quebra-cabeça com 300 peças?

Amy resolveu esse problema (a solução está na seção 3 a seguir), mas, para quem a olhava de longe, como um dos autores a olhava, ela foi pensando e tomando notas sem perceber que resolvia um problema de matemática. Mike e Rob dizem que isso é muito bom, mas que tem um lado negativo: quando um sujeito não consegue entender um problema de matemática, ou consegue entendê-lo mas não resolvê-lo, fica com plena consciência de que falhou na matemática; quando consegue resolver um problema, tende a achar que tão somente usou o bom senso. Fazendo assim, o bom senso ganha todos os méritos e a matemática não ganha nenhum. “A vida não nos aparece e diz: Olá, eu sou um problema de matemática com uma solução inteira positiva bem fácil de calcular à mão”, dizem os autores. “Às vezes, nem fica óbvio que estamos diante dum problema de matemática.” O estudante Σ deve combater esse aspecto negativo da capacidade de resolver problemas — fazendo força para tornar óbvio o papel da matemática. {}



{3}/ A resolução dos 13 problemas

Problema 1. Lilian Spalding diz que esse problema pode ser apresentado do primeiro ano do ensino fundamental ao último do ensino médio — cada aluno consegue dar algum tipo de resposta, mesmo que seja simples. Os que já sabem usar a régua e o compasso podem demonstrar como alguém constrói, com régua e compasso, a tesselagem. Os que já conseguem transformar geometria em álgebra podem dar respostas mais genéricas. “No final, todas as soluções convergem com a intermediação do professor. Mas esse é um projeto para várias semanas.”

A parte difícil na resolução desse problema nem é tanto demonstrar que as figuras geométricas se encaixam, mas que elas se espalham em todas as direções e cobrem o plano completamente, sem que nenhuma figura se sobreponha a nenhuma outra.

Problema 2. Esse é um problema complicado; poucos alunos conseguem resolvê-lo sozinhos. Muitos, contudo, entram na internet, acham a construção em questão e conseguem entender por que ela funciona. A construção está na figura 1.

O professor pode dar as instruções: “(1) Marque dois pontos A e B em qualquer lugar do círculo cujo centro quer achar; deixe A e B meio longe um do outro, mas não muito longe. (2) Com a ponta seca do compasso em A, faça um círculo de raio AB. (3) Com a ponta seca do compasso em B, faça um círculo de raio BA. (4) Com a ponta seca em C, faça um círculo de raio CA. (5) Com a ponta seca em D, faça um círculo de raio DA. (6) Com a ponta seca em E, faça um círculo de raio EA. (7) Com a ponta seca em F, faça o círculo de raio FA.” Feio isso, aí o professor pode desafiar a classe: “Prove que o ponto G é o centro que procurava.” Uma vez que a construção já esteja feita, o estudante de ensino médio consegue produzir uma prova; se recorre ao apoio de um plano cartesiano, produz até uma prova algébrica. (Em resumo, ele terá de provar que as distâncias AG e BG são idênticas, e que portanto G é o centro do círculo onde estão A e B.)

Problema 3. Neste caso, o aluno vai brincar com a conjectura de Collatz, que é um problema em aberto, isto é, para o qual nenhum matemático achou ainda uma prova. Matemáticos profissionais de talento acham que vão morrer antes que alguém consiga prová-la. Então, é bem provável que o aluno do ensino básico não dará a resposta pedida pelo professor, mas, mesmo assim, ele tem como descobrir coisas legais.

José Luiz Pastore Mello diz que muitos alunos explicam por que a sequência termina em 1, embora os aumentos sejam mais fortes que as diminuições: “Quando pegamos um número par e o dividimos por 2, o quociente pode ser par ou ímpar. Mas quando pegamos um número ímpar e o multiplicamos por três e somamos mais um, o resultado é um número par. Então, ao seguir o algoritmo, nós transformamos mais números em números pares do que em números ímpares, e por isso realizamos mais operações com pares do que com ímpares. Nesse processo, ocorrem mais contrações do que expansões.”

Outra coisa legal: ao aplicar o algoritmo a uma potência de 2 do tipo 2n, com n inteiro e maior que zero, o algoritmo vai produzir o número 1 depois de n passos, ou de “n contas”, como diz Pastore. Por último, o aluno pode examinar inteiros positivos na forma a seguir:

Todos os inteiros nesse formato terminam em 1, e Pastore mostra o motivo:

Dois exemplos: 21, que é (26 – 1)/3, e 341, que é (210 – 1)/3.

Problema 4. TVt já conhecia a fórmula pela qual calcula o volume V de um cilindro cujo raio vale r e cuja altura vale h:

Pegou um pacote de folhas de papel A4 e procurou na embalagem as dimensões de cada folha: segundo o fabricante, ela é um retângulo de 210 milímetros de largura por 297 milímetros de comprimento. Antes de estudar a fórmula do volume, decidiu primeiro calcular o volume do cilindro mais comprido de papel A4, aquele feito ao juntar os dois lados mais compridos. A altura h desse cilindro vale 297 milímetros.

Ao escrever a fórmula, percebeu que precisaria descobrir o raio desse cilindro. Ora, se juntou os lados mais compridos, então a circunferência do círculo na base do cilindro vale 210 milímetros. TVt colocou essa informação na fórmula da circunferência C de um círculo de raio r:

Com essa informação, calculou o volume do cilindro com 297 milímetros de altura:

Da mesma forma, calculou o raio de um círculo cuja circunferência vale 297 milímetros (tal raio vale 297/2π milímetros) e depois disso o volume V’ de um cilindro com 210 milímetros de altura:

Dividindo V’ por V, TVt descobriu que V’ é 41,46% maior que V. O cilindro mais baixo comporta muito mais arroz!

Depois disso, passou a estudar o motivo pelo qual o cilindro mais baixo encerra um volume maior. Em primeiro lugar, imaginou a seguinte situação: manteria o raio r fixo, e mudaria a altura h de h1, a menor altura, para h2, a maior. Qual seria a razão entre os dois volumes?

TVt olhou a fórmula e pensou no que aconteceria se h2 fosse o dobro de h1V2 seria o dobro de V1. “Se mantiver o raio fixo e alterar só a altura”, escreveu TVt, “altero o volume na mesma proporção.” Então imaginou a situação oposta: manteria a altura fixa, mas mudaria o raio de r1, o menor raio, para r2, o maior. O que aconteceria?

De novo TVt imaginou o que aconteceria se r2 fosse o dobro de r1 — nesse caso, multiplicaria o volume original por 4. “Ao dobrar o raio”, escreveu, “eu quadruplico o volume. Isso quer dizer que uma mudança no raio, comparada a uma mudança na altura, provoca efeito mais espetacular sobre o volume.”

Nesse ponto, TVt achou que deveria usar o cálculo para estudar a derivada das duas funções — volume em função da altura e volume em função do raio.

No primeiro caso, πr2 é uma constante; isso quer dizer que, qualquer que seja o valor da altura h, a taxa instantânea de variação do volume em função da altura é a sempre a mesma. No segundo caso, 2πh é uma constante, mas r é variável; a taxa instantânea de variação do volume em função do raio não é sempre a mesma, mas cada vez maior quanto maior o valor de r. “Olhando as duas derivadas e as outras contas”, escreveu TVt, “fica claro o que aconteceu com os dois cilindros de papel A4: os efeitos do raio sobre o volume são tão espetaculares que um aumento de 14 milímetros no raio compensa com folga uma redução de 87 milímetros na altura.” Depois, colocou sobre a mesa, diante de si, um paralelepípedo e um cilindro (na verdade, um dicionário de matemática e uma garrafinha d’água), e ficou examinando os dois. Percebeu por que a alteração na altura h no cilindro provoca efeito menor que a alteração no raio r: o cilindro é um objeto de três dimensões, e ao mexer no raio, mexe em duas dimensões de uma vez. Seria como se alterasse uma das diagonais numa das faces do paralelepípedo: alteraria duas dimensões de uma vez. Ao mexer só na altura, porém, mexe só numa das dimensões.

TVt ficou pensando… Como poderia usar esse problema na escola, se fosse professor? Ele arranjaria folhas de papel A4 de boa qualidade, fita colante, cartolina, balança, arroz, e faria as crianças construir os cilindros, enchê-los de arroz, pesar o arroz de cada cilindro. Faria as crianças investigar que redução na altura compensaria um aumento de 13 milímetros no raio, ou que alteração y na altura compensaria uma alteração x no raio. Enfim, faria as crianças pôr mãos à obra. “Acho que elas nunca mais esqueceriam o fato de que, se alteram uma das medidas de um objeto de três dimensões, talvez provoquem alterações não lineares no volume, mas não necessariamente.”

Problema 5. Neste caso, TVt resolveu o problema assim que parou de pensar num círculo desenhado sobre uma folha de papel. Quando começou a pensar num cilindro, neste caso um cilindro feito de queijo, em pouco tempo atinou com a solução: com dois cortes verticais (perpendiculares entre si), divide o queijo em quatro partes iguais; com um corte horizontal, divide o queijo em oito partes iguais.

Problema 6. Vincenzo Bongiovanni diz que, provavelmente, o aluno fornecerá uma versão das seis soluções a seguir:

Desenho

Descrição da estratégia

Aqui, TVt estendeu a reta AB até que ela cruzasse com s. Daí 125° + x = 180°.

Estendeu a reta CB até que interceptasse r. De novo, 125° + x = 180°.

Passou pelo ponto B uma reta perpendicular a r. Daí 70° + x + 55° = 180°.

Passou pelo ponto B uma reta paralela a r. Daí x = 35° + 20°.

Criou o triângulo ABC e usou a incógnita auxiliar y. Daí x + (145° – y) + (y – 20°) = 180°.

Passou pelo ponto C uma reta perpendicular a r, e assim formou o quadrilátero ADCB. Daí 145° + 90° + 70° + x = 360°.

Problema 7. TVt resolveu esse problema assim que chegou ao esboço da figura 2.

Quando teve a ideia de imaginar um homem que olha para seus pés e depois levanta o olhar até que a linha de visada fique tangente ao planeta Terra, o problema praticamente se resolveu por si mesmo.

Problema 8. TVt resolveu esse problema quanto teve a ideia de usar a reta DC como eixo para levantar a tampa imaginária DA’B’C, e desse jeito formou o retângulo HA’B’G, como esboçou na figura 3. Daí a solução salta aos olhos: o caminho mais curto entre G e A corresponde à reta entre G e A’. Assim que teve a ideia, TVt usou Pitágoras para determinar o comprimento GA’.

TVt poderia ter parado aí, se quisesse, mas sentiu curiosidade por outros aspectos do problema. Marcou o ponto J e o ângulo  φ e quis saber: “Qual é a distância entre J e D, ou entre J e C? E qual é a correspondente medida do ângulo φ?”

(Para simplificar as notas, decidiu não marcar as distâncias com o sinal de módulo; assim, nas suas anotações, DC = CD = |DC|. Em outras palavras, os comprimentos seriam positivos não importa o sentido em que fossem medidos.)

Das aulas de geometria, ele se lembrava de que, se corta um triângulo retângulo bem ao meio, como cortou o triângulo HA’G bem ao meio com a linha DJ, também corta a hipotenusa bem ao meio. Com isso, viu que podia dizer a distância A’J de cabeça.

Com essa informação, de novo usou Pitágoras para determinar o comprimento JD.

Eis a resposta: a formiga deve partir do ponto G, andar em linha reta até o meio da aresta DC, e daí andar em linha reta até o ponto A; fazendo isso, andará o mínimo possível, que é √5 unidades. (Nesse ponto, TVt ficou curioso: e se o retângulo HA’B’G tivesse outras medidas quaisquer? O ponto J ficaria bem no meio entre D e C? Chamou a distância HG de a e a distância HA’ de b, fez as contas e descobriu que sim: a distância entre J e D  é a/2.) Bem, quando a formiga seguir essa receita, qual será o valor do ângulo φ? TVt usou a lei dos cossenos:

Para determinar o valor de φ, recorreu a uma calculadora científica, que fornece o valor aproximado em radianos e em graus. Como TVt conhece um pouquinho de cálculo, quis saber se poderia expressar a distância percorrida em função do ângulo φ. Depois de uns esboços, viu que esse problema era difícil, exceto se fizesse a simplificação que sugeriu com a figura 3, na qual o ângulo φ é sempre maior que zero, mas sempre menor que 45° (π/4), e se restringe à face DCGH do cubo. “Se eu chamasse a distância percorrida de y”, escreveu TVt, “será que consiguiria uma fórmula f para expressar y como sendo função de φ?”

Viu que teria de achar uma fórmula tal que, entrando com o valor de φ, obteria a soma de dois comprimentos: JA’ e GJ. Começou estudando o triângulo JGC, que desenhou de pé (TVt não gosta de trabalhar com triângulos de ponta-cabeça…). Com a figura pronta, usou a lei dos senos, mas com os ângulos em radianos (já que empregaria o cálculo), e recorreu também a uma tabela de identidades trigonométricas para fazer as simplificações.

Com esse passo, soube o comprimento de uma parte do caminho; GJ mede sec(φ) unidades de medida. Para calcular a outra parte, de novo recorreu a Pitágoras:

Antes de continuar, foi atrás do valor de JC.

E com isso calculou o valor do comprimento A’J:

Pronto: já podia expressar a distância y em função de φ. TVt montou a fórmula e providenciou um gráfico da função para o intervalo que lhe interessava, como mostra a figura 4.

Ficou claro que essa função tem um mínimo no intervalo (0, φ/4). Para achá-lo, calculou a derivada de y, a igualou a zero e achou o valor de φ para o qual a derivada vale zero. (Tudo isso dá bastante trabalho.) Fazendo assim, achou o valor de φ para o qual a distância percorrida entre G e A’ é a menor possível.

Por fim, só para confirmar, colocou esse valor de φ na fórmula de y e, com uma calculadora científica, obteve a distância mínima de 2,23607 unidades, que é justamente √5.

TVt ficou contente de explorar esse problema, e, como parte do ritual de comemoração, voltou e releu o enunciado. Só aí percebeu a referência a um cubo “maciço”. Escreveu no caderno: “Esses professores! O que eles acham? Que, se não mencionassem um cubo maciço, eu acharia que a formiga iria voar do ponto G direto ao ponto A? Ou que eu imaginaria um túnel ligando G a A?” Ficou olhando essas palavras, e por fim concluiu: “Bem, do jeito que estou sempre procurando um atalho, é bem possível que eu de fato inventasse esse túnel entre G e A. Ainda bem que o problemista escreveu ‘maciço’ e não me deixou seguir pelo caminho mais curto…”

Problema 9. De quantas maneiras TVt pode multiplicar três números naturais e obter 36? Depois de experimentar um pouco, achou essas tríades de números:

Com esses oito conjuntos de números, de fato é impossível saber a idade das crianças.

E quanto à soma da idade das três crianças?

Se o matemático olhou o número da casa e não soube dizer quais eram os números, é porque a casa em frente era a de número 13, e as duas tríades são {2, 2, 9} e {1, 6, 6}. Quando a mãe disse “Meu filho mais velho toca piano”, o matemático presumiu que ela falava do menino de 9 anos.

A maioria dos estudantes fica contente com essa solução, mas TVt viu aqui uma leve ambiguidade. Gêmeos não nascem ao mesmo tempo: Esaú e Jacó eram gêmeos, mas Esaú nasceu primeiro e pôde até vender sua primogenitura ao irmão mais novo. Um dos gêmeos sempre nasce primeiro, de modo que um deles é o mais velho dos dois; além disso, uma criança de 6 anos pode tocar piano, pois Mozart tocava bem aos 4. Se TVt desse aulas e alguém da classe percebesse a ambiguidade, transformaria a questão num novo problema: como aperfeiçoar o problema? O que a mãe poderia dizer na última frase, de modo a inequivocamente identificar uma das tríades cuja soma é 13?

Problema 10. Em três dimensões, a solução é simples:

Problema 11. Depois de pensar bastante sobre o problema, e de desenhar uns esboços, TVt percebeu que podia ver o problema como um retângulo feito de quadradinhos: cada peça do quebra-cabeça é um quadradinho, e o número total de peças é quadradinhos na lateral esquerda multiplicados por quadradinhos no topo. Em resumo, percebeu que lidava com os fatores de 300: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300}.

Não achou que fazia sentido pensar num quebra-cabeça com 1 peça na lateral e 300 peças no topo, nem 2 peças na lateral e 150 peças no topo. Mesmo um quebra-cabeça com 10 peças na lateral e 30 peças no topo pareceria comprido demais. Agora, 15 peças na lateral e 20 peças no topo já parece um quebra-cabeça mais gostoso de olhar, e TVt apostou nisso.

Quantas peças de borda há num quebra-cabeça com 15 peças na lateral e 20 no topo? Para não contar os quatro cantos duas vezes, TVt chegou à seguinte conta: 20 peças no topo, 20 na base, 13 na lateral esquerda e 13 na direita — ao todo, 66 peças. “Essa é uma história real”, escrevem Rob Eastaway e Mike Askew no livro More Maths for Mums and Dads, “e Amy de fato contou 66 peças de borda.”

Problema 12. TVt deu nome aos caminhos na bifurcação: E significa esquerda e D, direita; deu nome também aos dois homens: M é o mentiroso e V, o verdadeiro. Depois montou várias tabelas verdade. Percebeu que teria de fazer uma pergunta que obrigasse os dois homens a dizer a mesma coisa. Supôs então que o lado certo é E. Por fim, chegou à pergunta que procurava, que poderia fazer a qualquer um dos dois: “Se eu perguntasse para o seu colega aqui ao lado qual lado da bifurcação me leva à beira do rio, o que seu colega me responderia?”

M diria que V responderia D, pois V diria a verdade e responderia E. V diria que M responderia D, pois M mentiria e responderia D. De qualquer forma, ambos responderiam D, e TVt seguira feliz pelo lado esquerdo da bifurcação.

Problema 13. Leandro Aurichi escolheu aqui um problema publicado por Martin Gardner (1914-2010), um conhecido autor de problemas matemáticos para divertimento. Leandro pede a seus alunos que adotem umas poucas convenções: uma criança ou é menino ou é menina; uma criança escolhida a esmo será menino ou menina com probabilidade de 50%; essa probabilidade é independente de qualquer outra característica da criança em questão ou de seus irmãos. “Essas hipóteses não refletem a realidade”, diz Leandro; o aviso é importante, pois nascem mais meninas que meninos, e pais de meninos tendem a ter meninos, assim como pais de meninas tendem a ter meninas. “Mas esse é um problema de probabilidade, e não um estudo demográfico.”

Depois ele desenha na lousa o que pode acontecer com os dois filhos do sujeito na festa; na tabela a seguir, A significa menina e O significa menino:

Criança 1

Criança 2

A

A

A

O

O

A

O

O

A probabilidade de cada linha da tabela é de 25%. Mas ao dizer que “pelo menos uma das crianças é uma menina”, o problemista elimina a quarta linha, com dois filhos homens. Leandro lembra a regra básica pela qual a probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos totais, e põe o problema numa equação.

Lembrete: Pr((A, A)) significa a probabilidade do par ordenado (A, A), num conjunto em que há quatro pares ordenados distintos.

“A princípio, nossa intuição nos diz que a probabilidade deveria ser de 50%”, diz Leandro. “Se a pergunta fosse formulada de modo diferente, a resposta não iria contra nossa intuição. Por exemplo: Um pai tem duas crianças e não é verdade que ambas sejam meninos. Qual é a probabilidade de que ambas sejam meninas? Com essa formulação, a reposta de 33% nos parece mais aceitável.” {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 40, maio de 2014, pág. 18. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelos jornalistas Aline Viana, Dubes Sônego, e Renato Mendes.

3. As figuras foram feitas pelo artista gráfico Henrique Arruda.

4. Há um texto neste blogue no qual explico melhor por que prefiro “círculo” a “circunferência”: clique aqui.

5. Sobre a incrível importância de problemas na matemática, veja também o artigo O Lamento de um Matemático, do matemático americano Paul Lockhart.

Raciocinando do específico para o geral

Você já partiu de uma conjectura e provou um teorema? Por meio de dois exemplos simples, um do ensino fundamental e outro do médio, verá o que um matemático faz, e terá ideia de como ele se sente.

O artigo a seguir foi publicado pela primeira vez pelo professor de matemática Bill Russell na revista Pi in the Sky, nº 14, do instituto canadense Pacific Institute for the Mathematical Sciences. Bill dá aulas na James Bowie High School, Texas (Estados Unidos). O artigo foi traduzido e adaptado com autorização do editor canadense.


Ao resolver um problema que envolva números, talvez você abra caminho para descobrir um conceito matemático mais geral. Muito da matemática é sobre correlações, e uma vez que você reconheça uma correlação, o próximo passo lógico é tentar estendê-la até descobrir revelações mais profundas.

Por exemplo, ao praticar a tabuada, o estudante talvez observe que o produto de dois números ímpares parece que é sempre outro número ímpar. Como existem infinitas combinações de dois números ímpares, é impossível checar todas elas para verificar se todas geram um produto ímpar. Um estudante com conhecimentos básicos de álgebra, contudo, tem as ferramentas para provar que essa conjectura vale para todos os casos.

Você pode representar um número ímpar como 2n + 1, em que n é um inteiro não negativo (isto é, pode valer zero). E pode representar um segundo número ímpar como 2m + 1, em que m também é um inteiro não negativo, talvez diferente de n. Como você representa o produto desses dois números?

A última expressão representa nada mais que a adição de um inteiro par (pois todo número multiplicado por 2 é par) com a unidade, e um inteiro par mais 1 se transforma num inteiro ímpar. Você provou que o produto de dois números ímpares, não importa quais sejam, é um número ímpar também. Sempre.

Com esse exemplo bem simples, vê como um problema numérico específico, do tipo 3 × 5 = 15, pode ser estendido até se transformar num conceito mais genérico, do tipo ímpar × ímpar = ímpar. Agora aplicará esse método a um problema mais avançado.

O problema da cerca (tentativa 1). Você tem 240 metros de cerca para cercar um terreno retangular (veja a figura abaixo). Ache a medida dos lados adjacentes x e y que lhe dariam a maior área cercada.

 

Você sabe que o perímetro do retângulo tem de ser igual a 240 metros, ou seja:

Lembrete: A seta torta significa “leva naturalmente a”. Logo, 240 = 2x + 2y leva naturalmente a y = –x + 120.

Se seu objetivo é maximizar a área, você tem de calcular a área, e sabe que a área é igual a lado adjacente multiplicado por lado adjacente. Para calcular a área em função de x:

Isso é uma função polinomial quadrática (fazendo a multiplicação, você chega a x2 + 120x), e portanto seu gráfico tem uma linha de simetria entre suas duas raízes (ou os dois zeros), como pode ver na figura abaixo.

 

Visto que a função A acima está na forma fatorada, para achar as duas raízes (ou os dois zeros), basta igualar cada fator com zero e ver o que acontece. Você obterá:

O coeficiente do termo mais significativo é negativo, então a parábola está voltada para baixo, e a função terá o valor máximo no vértice. Como manda a simetria, o vértice está localizado entre as duas raízes, no ponto em que x = 60. Sendo assim, você acha a largura da área cercada calculando o valor de y para x = 60:

Sendo assim, a área máxima que você consegue cercar com 240 metros de cerca é igual a:

3.600 metros quadrados é o resultado, mas não chega a entusiasmar. Mais interessante do que isso é notar que, quando a área é máxima, x é igual a y. Isso é coincidência ou é o exemplo numérico de uma lei maior, mais geral? Se você desconfia que topou com uma lei universal (obtemos a área máxima de um retângulo quando seus quatro lados são idênticos, ou seja, quando o retângulo é um quadrado), como prová-la?

Seria fácil variar o comprimento da cerca e mostrar que, para cada área máxima imaginável, x e y são iguais. Mas mil casos particulares não formam uma generalização — aliás, nem 1 bilhão de casos particulares formam uma generalização. Para provar que isso é sempre verdade, você tem de resolver um problema genérico semelhante, e substituir os valores numéricos por variáveis. Com isso em mente, pode agora escrever o problema original de outra maneira.

O problema da cerca (tentativa 2). Você tem T metros de cerca, e com ela deve cercar uma região retangular, cujo comprimento será igual a x e cuja largura será igual a y. Demonstre que, quando a área do retângulo é máxima, o comprimento x é igual à largura y.

Você sabe que o perímetro T é igual à soma de 2x com 2y; logo:

Seu objetivo é maximizar a área, e você pode escrever a área A em função de x:

Você nota de novo que a função A é polinomial quadrática, e que o coeficiente de x2 é negativo (é –1). Isso significa que a parábola está virada para baixo, e que há um ponto de máximo, e que esse ponto de máximo está bem na linha de simetria entre as duas raízes da função A. Logo, o primeiro passo é achar as duas raízes, e para isso basta igualar cada um dos dois fatores acima com zero:

Como manda a simetria, o vértice da parábola está localizado entre as duas raízes (0 e T/2). Vamos chamar esse ponto de xV, ou o x do vértice. Ele é igual a:

Qual é o valor de y quando x = xV? Essa é uma pergunta importante. Vamos retomar uma das fórmulas acima e substituir os valores.

Isso significa que, no ponto em que a área A é máxima, x e y são iguais, e ambos valem o perímetro T dividido por 4.

Rápido feito gênio. Vamos tirar um momento para rever o que você acabou de fazer. Depois de resolver um problema numérico de rotina, você observou um resultado interessante. Ao tentar obter uma prova desse resultado para incluir todos os outros problemas semelhantes, você refez a afirmação inicial de uma maneira mais genérica, e logo em seguida a provou. Em poucas palavras, você provou um teorema. Embora sua prova tenha sido feita com álgebra simples, você complementou a álgebra com frases da língua portuguesa, explicando ao leitor o que estava fazendo em cada um dos passos mais importantes. No fim, você ganhou como prêmio um resultado simples, mas poderoso, pois você nunca mais precisará fazer esse tipo de conta no futuro. Quer ver? Um amigo lhe pergunta:

“Eu tenho 324 metros de cerca de arames farpados. Qual é a área máxima que eu posso cercar com isso, sendo que essa área tem de ter a forma de um retângulo?”

Você responde sem nem mesmo tirar os olhos do que está fazendo:

“Cada lado do retângulo tem de ter 324 metros divididos em 4 partes iguais. Quanto dá isso?”

Seu amigo aciona a calculadora do celular.

“Isso dá 81 metros.”

Você continua:

“Com 324 metros de cerca, você deve cercar um quadrado com 81 metros de lado, para ter área de… Quanto dá 81 vezes 81?”

Seu amigo digita os números na calculadora de novo.

“Dá 6.561 metros quadrados.”

“Essa é a área máxima do retângulo que você consegue cercar com 324 metros de cerca.”

Seu amigo vai te achar um gênio.

Nesse problema da cerca, é possível usar o mesmo método numérico para provar o caso genérico, ou seja, para provar o teorema. A única diferença foi que, no teorema, você usou variáveis em vez de números. Nem sempre essa abordagem é possível. Muitas vezes, você vai notar um padrão fácil de exemplificar com números, mas achará dificílimo, se não impossível, prová-lo em termos genéricos. Um exemplo famoso é a conjectura de Goldbach: todo inteiro par maior do que 2 é igual à soma de dois números primos. Dois exemplos: 10 = 7 + 3; 16 = 11 + 5. Embora Christian Goldbach tenha proposto a conjectura em 1742, nenhum matemático ainda conseguiu prová-la verdadeira, falsa, ou impossível de provar verdadeira ou falsa. [Essas são as três únicas possibilidades na matemática.]

Os matemáticos estão sempre aumentando o número de teoremas contidos na matemática, ou seja, estão sempre aumentando o número de ferramentas à disposição de quem estuda matemática. O que lhes move é a curiosidade. Estão sempre notando a existência de novas correlações, e a história é sempre essa: alguém faz umas contas, nota um padrão que se repete, pergunta a si mesmo por que o padrão se repete, e pergunta se tal padrão pode ser expresso de modo genérico, com as variáveis de algum tipo de álgebra. Por meio dos exemplos usados neste artigo, você percorreu caminhos que já foram percorridos milhares de vezes antes de você, e tais exemplos mostram como os caminhos são descobertos em primeiro lugar, e como devemos pensar e agir diante de uma conjectura quando queremos transformá-la num teorema. Se gostou da experiência, há muito mais a explorar no país da matemática! {FIM}


Observação:

O autor diz que o matemático está sempre à procura de “correlações”. Usou, portanto, o significado vulgar da palavra “correlação”, e não o significado que a palavra tem na matemática, o de correlação entre duas variáveis aleatórias. Na verdade, o matemático está sempre à procura de implicações. Mais precisamente, dado um sistema matemático (uma linguagem L, um conjunto S de elementos, e as relações e funções que o matemático pode formar com os elementos de S e expressar com os recursos da linguagem L), o matemático está sempre em busca de evidências de implicações importantes no sistema, para em seguida tentar prová-las verdadeiras, ou falsas, ou indecidíveis (impossíveis de provar verdadeiras ou falsas).

Provocando curto-circuito na cabeça de um professor de matemática


E se o estudante (vamos chamá-lo de Ky8) procurasse vários professores de matemática e lhes fizesse uma pergunta simples?

“Professor: para sua própria surpresa, alguma vez você já resolveu um problema difícil apenas com a matemática do ensino básico?”

Ao se planejar para a abordagem, Ky8 fantasiou a respeito das conversas que teria: imaginou o professor revirando a memória, listando uns poucos exemplos, escolhendo um deles, e finalmente contando a história de como, certa vez, ficou surpreso ao resolver um problema difícil apenas com a matemática que todos estudamos no ensino fundamental e médio. E então Ky8 saiu a campo e de fato conversou com vários professores. No fim das contas, voltou para casa com uma informação inesperada: essas duas palavras, “problema” e “difícil”, têm o poder de provocar na mente do professor de matemática um curto-circuito, daquele tipo barulhento e cheio de faíscas.

Ky8 descobriu que um professor de matemática provavelmente obedece a um código não escrito, uma espécie de “código de humildade”, segundo o qual só existe um significado para a palavra “problema” e um significado para a palavra “difícil”: “problema” é o que a comunidade internacional dos matemáticos profissionais classifica como problema, e “difícil” é o que a mesma comunidade classifica como difícil. O resto não é tanto assim um problema, e nem é assim tão difícil — jamais, jamais, jamais se gabe de ter resolvido um problema difícil se Fermat e Gauss, caso estivessem vivos, não o julgassem um problema, nem o julgassem difícil.

Luiz Márcio Imenes, um conhecido autor brasileiro de livros didáticos (cuja editora é a Moderna), ao contar suas histórias, ilustra bem a história recente dos significados de “problema” e “difícil”. “Na minha época de estudante”, diz Imenes, “só comecei a estudar matemática por gosto depois dos 15 anos, quando já estava no ensino médio. O que mais havia nas aulas de matemática era fazer contas. Era calcular, calcular, calcular. Mas eu não resolvia problemas. Eu não sabia disso na época, mas, embora minha capacidade de fazer contas fosse ótima, minhas habilidades de resolução de problemas eram ridículas.” Imenes, assim como todos os estudantes daquela época, confundia “resolver problemas” com “resolver exercícios”. Só depois que leu o livro de George Pólya (A Arte de Resolver Problemas; Rio de Janeiro: Interciência, 1977) foi entender melhor a distinção entre “exercício” e “problema”: com o exercício, o estudante aplica uma técnica específica, que ele já sabe qual é, para obter a resposta que o professor ou o autor do livro didático lhe pediu; com o problema, o estudante não sabe por onde começar.

Pólya explicou a seu leitor como os matemáticos profissionais entendem a palavra “problema”, e quais critérios usam para classificar um problema como “difícil”, e esses trechos do livro pegaram. Mas Pólya era um professor atencioso, e em vários outros trechos deixou bem claro: problema é o que o estudante acha que é um problema, e difícil é o que ele acha que é difícil. Resolver um problema é uma experiência muito pessoal: o que é problema para um, é motivo de riso para outro; o que é difícil para um, o outro resolve no intervalo para o café. Apesar disso, escreveu Pólya, nenhum professor ou matemático tem o direito de contestar as sensações do estudante — se para ele uma questão constitui um problema, constitui um problema; se para ele a resolução foi difícil, foi difícil. “Seu problema pode ser modesto”, escreveu Pólya, “mas, se ele desafia sua curiosidade e põe em jogo suas faculdades inventivas, e se puder resolvê-lo por seus próprios meios, é bem provável que viva a tensão e saboreie o triunfo da descoberta.” Difícil dizer por que essas partes do livro de Pólya não pegaram tão bem — pois, se tivessem ficado famosas, o estudante Ky8 não teria testemunhado tantos professores tão receosos de contar a história de como resolveram um problema difícil com matemática básica.

O trem e a plataforma. Nos últimos poucos anos, vários matemáticos famosos têm usado a sorte de ficar famosos para passar algumas das mensagens que Pólya não conseguiu passar, embora tivesse tentado. Entre eles estão Timothy Gowers, Keith Devlin, Ian Stewart, Paul Lockhart, Adrián Paenza, e Nuno Crato. Eles reconhecem que essa história de só chamar de problema os problemas ainda em aberto e de só chamar de difícil os problemas cuja resolução deixa os matemáticos de boca aberta só faz sentido entre matemáticos profissionais. Todos os outros amantes da matemática, incluindo professores e estudantes, têm o direito de piamente acreditar, e de livremente dizer, que um problema já resolvido por algum matemático profissional continua sendo um problema para quem nunca o resolveu, mas se sente atraído por ele. Tais matemáticos famosos também se esforçam para passar outra ideia que Pólya tentou passar ao longo do livro: redigir a resolução de um problema é um problema por si só — e dos grandes. “Para muitos de nós”, escreveu Ian Stewart no livro Letters to a Young Mathematician (2006), “não tem nenhum sentido um matemático inventar novos teoremas se o público nunca ouve falar deles.” Em outras palavras, um problema não está 100% resolvido enquanto não estiver no papel, escrito com clareza e graça, de modo que bastante gente possa entendê-lo e se divertir com sua resolução.

O estudante Ky8 percebeu então que, depois das muitas ressalvas sobre as palavras “problema” e “difícil”, daí o professor relaxa, e começa a contar histórias. Imenes, por exemplo, uma vez estava numa estação do metrô de São Paulo e notou um aviso num cartaz:

“Nesta estação, é maior o vão entre o trem e a plataforma.”

Imenes reparou então que a plataforma fazia uma curva. A partir daí, começou a pensar como um matemático:

• Se a plataforma fosse reta, o vão entre o trem e a plataforma seria constante.

• Com uma plataforma em curva, o vão entre o trem e a plataforma varia: ele é menor nas pontas do vagão e maior no meio do vagão. Imenes puxa uma folha de papel em branco e esboça as imagens que lhe vão pela cabeça:

Nesse desenho, a curva representa a plataforma e as duas linhas retas representam dois vagões.

• Alguém deve ter estabelecido alguma lei ou norma com o valor máximo para a medida do vão entre a plataforma e o trem. Que tal chamar esse valor máximo de x? Da mesma forma, o vagão dos trens tem um comprimento; talvez seja o caso de chamar o comprimento do vagão de C. E daí Imenes pensou numa pergunta interessante:

Problema. Qual é o raio mínimo da curvatura da plataforma num trecho em que há embarque e desembarque de passageiros, dado que o comprimento do vagão é C e o vão máximo entre o trem e a plataforma tem de ser x?

• O próximo desenho mostra em que Imenes pensava.

Essa breve história mostra os passos pelos quais o amante de matemática se envolve com problemas: [1] Em primeiro lugar, depois de tanto estudar matemática, ele finalmente vê um problema sem a ajuda de ninguém, isto é, vê um problema que não está num livro nem lhe foi passado por um professor. “Não acho que esse problema seja um problemão, é claro, mas houve nele uma parte difícil: ver que havia ali um problema interessante”, diz Imenes. “Uma pessoa que não estivesse envolvida com matemática leria aquele recado e ponto final. Ela tomaria cuidado com o vão, ou não tomaria. Mas olhei para aquele cartaz e vi que havia matemática ali.” [2] Em segundo lugar, ele se interessa pelo problema. Pólya e todos os outros depois dele dizem que o estudante Ky8 vai se interessar mais por um problema se ele expuser o problema sozinho. E daí vêm as outras fases: estudar o problema, compreendê-lo, resolvê-lo, e redigir a resolução (mas redigi-la levando o leitor em consideração).

Como Ky8 resolveu esse problema? (Imenes não o resolveu durante a entrevista: apenas deu uma dica.) Depois de algumas tentativas, chegou ao esboço na figura 3.

Com o ponto O, Ky8 marcou o centro do círculo, e daí usou o teorema de Pitágoras para equacionar o primeiro passo da resolução:

Ele conhece o comprimento do vagão (C) e o comprimento máximo permitido entre o vagão e a plataforma (x), e gostaria de saber o raio mínimo r da curvatura. A partir desse ponto, tudo o que teve de fazer foi isolar r de um lado e todo o resto do outro.

Com essa descoberta, Ky8 faz uma tabela, presumindo o seguinte: o vagão mede 12 metros e 18 centímetros e a distância máxima entre o vagão e a plataforma é de 15 centímetros, 20 centímetros ou 30 centímetros. Nessas condições, qual pode ser o raio mínimo da curvatura da plataforma?

x (cm)

r (m)

15

123,7

20

92,82

30

61,964

Então, eis a resposta: se o vão máximo entre a plataforma e o vagão for de 20 centímetros, por exemplo, o raio mínimo da curvatura da plataforma tem de ser de 93 metros.

Parece simples demais? Parece tão simples que nem parece um problema? A certa altura, Imenes diz que o estudante deve combater esse sentimento, pois ele desvaloriza a investigação do universo matemático. “Depois que um problema já está resolvido”, diz Imenes, “tudo nele parece mais simples. Depois que achei o caminho ao meu problema, ele ficou simples. Mas resolver um problema é justamente achar esse caminho.” Para ilustrar melhor o que está dizendo, cita o último teorema de Fermat. “Imagine um triângulo retângulo”, pede Imenes. “Sobre cada um dos lados do triângulo, você constrói um quadrado.” Se o estudante Ky8 chama a hipotenusa de c, um dos catetos de a e o outro cateto de b, pelo teorema de Pitágoras sabe que:

Existem infinitas trincas de números inteiros positivos (a, b, c) que satisfazem essa equação, como (3, 4, 5) ou (33, 56, 65). “Então”, diz Imenes, “que tal trocar o expoente 2 na equação pelo expoente 3?”

Ky8 conhece a história: Fermat escreveu na margem de um livro que tinha uma prova de que é impossível resolver essa equação com números inteiros positivos, assim como é impossível resolver qualquer equação como essa, no conjunto dos inteiros positivos, se o expoente for maior que 2. Provavelmente, Fermat se enganou: achou que tinha uma prova, mas não tinha. Em todo caso, como homenagem a seu grande talento, o problema ganhou o nome de “o último teorema de Fermat”, em vez de “a última conjectura de Fermat”. A conjectura ficou em aberto por 330 anos, até que foi provada verdadeira em 1995 pelo matemático britânico Andrew Wiles. Eis por que o estudante Ky8 não deve se desvalorizar tachando de “fácil” os problemas pelos quais se interessa ou os quais resolve: às vezes, um problema tem gosto e cheiro de fácil, como a conjectura de Fermat, mas se revela dificílimo; às vezes, um problema fácil sugere perguntas que se revelam difíceis. Se Ky8 tacha de “simples, fácil, e besta” todo problema que consegue resolver e só classifica como “honroso” todo problema que não consegue, daí para ele a matemática deixa de ser “uma arte pela qual ascendemos à completa autoconsciência” (John William Navin Sullivan) e passa a ser um ritual masoquista.

A frase completa de Sullivan. “A matemática, assim como a música ou qualquer outra arte, é um dos meios pelos quais ascendemos à completa autoconsciência. A importância da matemática reside precisamente no fato de que é uma arte; com ela, esclarecemos a natureza de nossa mente, e desse modo esclarecemos tudo aquilo que depende de nossa mente.”

Aparece, não aparece. Marcos Alves dos Santos dá aulas de matemática para estudantes do ensino médio, no Sesi, e para professores da rede pública, no Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) da USP. Depois de também entrar em curto-circuito por causa das palavras “problema” e “difícil”, Marcos relaxa e relembra um problema que gostou de resolver, e que achou difícil. O problema surgiu num dos seminários organizados pelo Caem, e começa com os três triângulos equiláteros mostrados na figura 4.

Na ocasião, Marcos tinha de achar uma fórmula F com a qual obter todos os triângulos equiláteros dentro de cada triângulo, visto que dividiu cada lado do triângulo equilátero maior em n partes iguais. (Obviamente, os lados desses triângulos podem ser divididos em partes iguais.) Então, na figura 4, o primeiro triângulo à esquerda, em que n = 3, tem 13 triângulos ao todo: nove triângulos de lados iguais a 1 subdivisão, três triângulos de lados iguais a 2 subdivisões e um triângulo de lados iguais a 3 subdivisões. Continuando assim:

Marcos explica como contar os triângulos do triângulo do meio, no qual n = 4:

• Triângulos cujos lados medem 1 subdivisão: na primeira fileira de baixo para cima, são quatro de pé e três de ponta-cabeça; na segunda fileira, são três de pé e dois de ponta cabeça; na terceira fileira, são dois de pé e um de ponta-cabeça; e na quarta e última fileira, é só um de pé. Ao todo, dezesseis triângulos de lados iguais a 1 subdivisão.

• Triângulos cujos lados medem 2 subdivisões: na primeira fileira (isto é, nas primeiras duas subdivisões), três de pé e um de ponta-cabeça; na segunda fileira (isto é, na segunda e na terceira subdivisões), dois de pé; na última fileira, um de pé. Ao todo, sete triângulos de lados iguais a 2 subdivisões.

• Triângulos cujos lados medem 3 subdivisões: dois na primeira fileira e um na segunda e última, todos de pé. Ao todo, três.

• Triângulos cujos lados medem 4 subdivisões: só um, que é o triângulo original.

• Ao todo, portanto, há 27 triângulos equiláteros na figura relativa a n = 4.

“Esse foi o desafio mais difícil que resolvi usando apenas a matemática básica”, diz Marcos. “A maior dificuldade é achar um jeito de tratar aquele triângulo que aparece bem no centro, de ponta-cabeça, que depende do número de subdivisões, se ela é par ou ímpar: esse triângulo ora aparece, ora não aparece.”

O leitor Ky8, ao resolver esse problema, terá uma boa ideia do que é ser um matemático (a) comum e, caso se esforce um pouco mais, (b) um matemático contador de histórias. Se puder enxergar os padrões pelos quais os triângulos aparecem, atribuir uma fórmula para eles, chegar à fórmula genérica F(n) e, por meio de indução matemática, provar que F(n) vale para qualquer valor inteiro positivo de n, pois F(n) implica F(n + 1), daí vai experimentar todas as frustrações e alegrias de qualquer matemático. Se abrir um novo arquivo do Word e se propuser o desafio de expor o problema e a resolução de modo que seu leitor se sinta vivendo uma história de detetive, daí vai experimentar as frustrações e alegrias de matemáticos como Ian Stewart, Paul Lockhart, e Leonard Mlodinow — uma turma de matemáticos para os quais “fazer matemática” também significa “dar explicações excelentes, encantadoras”.

“Os psicólogos”, escreve Ian Stewart nas Cartas a uma Jovem Matemática, “dizem que a parte racional da nossa mente não vai a lugar algum sem as pernas emocionais. […] Acho melhor que descubramos jeitos de melhorar a narrativa contida nas nossas demonstrações matemáticas. Isso é melhor que dissecá-las em pedacinhos que possamos gravar em cartões, de modo que depois até podemos embaralhar os cartões numa ordem qualquer.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 39, abril de 2014, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Dubes Sônego.

3. Letter to a Young Mathematician, o livro de Ian Stewart, foi traduzido pela editora portuguesa Relógio D’Água como Cartas a uma Jovem Matemática.

Receita para ensinar matemática bem: apenas ouça!

Mike Askew, especialista no ensino de matemática, já visitou escolas primárias do mundo todo para observar as aulas e falar com professores e alunos. Só de ver como as crianças se expressam em sala de aula e contam o que estão fazendo, já sabe dizer se encaram a matemática como um fardo ou como a exploração criativa de um território desconhecido.


{1}/ Introdução à entrevista

Ao escrever uma poesia, a menina encara o papel em branco, balança a caneta entre os dedos, e deixa a imaginação viajar. Revira os olhos à procura de lembranças e algum resquício de inspiração. Se não escrevesse poesia, mas apenas listas de supermercado e bilhetes para o porteiro do prédio, como encararia as aulas de português? Muito do currículo de matemática é assim: desde a infância as pessoas a estudam com vista nos aspectos utilitários. “Nunca é sobre sua beleza, sobre seu ponto de vista estético”, diz Mike. “Mas é fácil ver quando as crianças foram expostas ao lado belo da matemática: basta ver como explicam a matemática na qual estão trabalhando.”

Mike visita escolas em vários países: ele é britânico, mas já passou uma temporada na Austrália e, [em fevereiro de 2014, ocasião em que esta entrevista foi publicada pela primeira vez], planejava visitar escolas na África do Sul, na Inglaterra, na Austrália, e em Cingapura para observar as aulas e conversar com alunos e professores. Para ele, existe algo simples que o professor pode fazer para melhorar o ensino de matemática: ser um bom ouvinte. Já soube de muitas histórias nas quais a criança erra um exercício não porque tem dificuldades, mas porque usou o raciocínio lógico. Nesses erros, elas muitas vezes se revelam mais matemáticas do que se tivessem acertado o exercício de primeira. “Se houver um interesse genuíno no que as crianças pensam, elas vão perceber e se interessar pela matéria.”

Por volta dos cinco anos, a criança entra na escola e encontra pela primeira vez a matemática formalizada. A maioria de seus professores fez magistério, pedagogia ou outro curso correlacionado com educação, mas estudou matemática só até o ensino médio. Como muita gente, uma parte deles não teve boa experiência e é comum que dê aulas parecidas com as que teve (uma série de algoritmos maquinais). É comum que passe adiante a antipatia pela matemática.



{2}/ A entrevista pingue-pongue

O que você gostaria de mudar no ensino do primário?

Queria que professores e alunos vissem a matemática como algo além de estudar aritmética ordinária. Há lugar para as ideias básicas da aritmética, mas enfatizamos demais as contas de cabeça, algo que hoje todo adulto faz com o telefone celular. Não quero que usem a calculadora para multiplicar 6 por 7, mas não precisam de papel para multiplicar 376 por 88. Podemos passar mais tempo ajudando as crianças a ver a beleza da matemática, e a sentir prazer com ela, em vez de encará-la como um conjunto de regras e procedimentos para fazer contas.

Como assim, ir além da aritmética ordinária?

Estou fazendo um trabalho com crianças bem pequenas, de 5 e 6 anos. Estamos brincando com razões simples, e como estou na Austrália, usamos os saltos dos cangurus. Se a mamãe canguru dá um salto, seu filhote precisa dar três saltos para acompanhá-la. Se ela dá sete saltos, quantos saltos o filhote tem de dar? As crianças desenham um diagrama de linhas [veja a figura 1] para anotar o número de pulos da mamãe e embaixo o número de pulos do filhote, e a partir daí exploramos várias ideias. Isso tem a ver com multiplicação, mas também com proporção, algo que professores evitam ensinar para crianças pequenas, pois acham muito complicado. Mas elas estão adorando e se divertindo com a matemática. Quero encorajar as pessoas a acreditar que podem estudá-la de forma alegre e agradável. Isso não é a mesma coisa que torná-la divertida.

É ruim tornar a matemática divertida?

Quando fazemos a matemática parecer divertida, escondemos os conceitos atrás de jogos e brincadeiras. Eu também pensava que tinha de ensiná-la de um jeito que a disfarçasse. Então parei de dar aulas no primário e comecei a visitar escolas; observei muitas vezes atividades nas quais as crianças se divertiam, mas aprendiam pouco. Perguntava aos alunos e à professora o que estavam estudando, mas não sabiam responder. Comecei a me questionar: será que realmente estão aprendendo alguma coisa aqui? Percebi que precisamos estar cientes do que estamos estudando; se não estamos cientes, não aprendemos de verdade.

É difícil trabalhar com professores que não estudaram matemática além do ensino básico?

Falo com os professores sobre os assuntos que as crianças estão estudando e não sobre seus próprios conhecimentos. Conversamos sobre o que queremos que aprendam e quais resultados buscamos. Num livro norte-americano publicado em 2003 [‘Adding it up: Helping Children Learn Mathematics’, cujo download está disponível no website da ‘The National Academy Press’], enquanto o autor fala de cinco tópicos de proficiência na matemática para alunos do ensino fundamental, eu foco minha pesquisa em três: fluência, resolução de problemas, e raciocínio lógico. A maior parte do que ensinamos hoje cai em fluência, isto é, fazer cálculos rapidamente, o que é bom, mas oriento os professores a também trabalhar o raciocínio lógico e a resolução de problemas.

Por exemplo, numa escola, pedi aos alunos para resolver a conta 12 + 7 = + 6. Alguns escreveram 19 no espaço em branco e explicaram que 12 + 7 = 19; ignoraram o seis. Outros escreveram 25 e disseram que 12 + 7 + 6 = 25. Mesmo aqueles que acertaram, explicaram assim: “Se 12 + 7 = 19, o que preciso somar a 6 para chegar a 19? A resposta é 13.” Trabalhavam em duas contas separadas em vez de pensar assim: se havia 7 de um lado que diminuiu para 6 do outro, então o 12 de um lado tem de aumentar para 13 do outro, para manter a igualdade, o equilíbrio. As crianças aprendem que o sinal de igual significa “ponha a resposta a seguir”. Quando mostro a lógica do que acontece, conseguem resolver contas assim sem realizar conta alguma: só precisam raciocinar.

Eles desperdiçam álgebra, não é?

Isso! Eles estão pensando algebricamente e o professor pode usar esse fato para lhes mostrar que a álgebra não é esse mistério todo. Os alunos a usam naturalmente.

Como sabe se a criança está aprendendo?

Não posso dizer como você pode testar isso, mas consigo perceber quando converso com a criança. Não acho que todo mundo vai crescer e se tornar um matemático, porque as pessoas têm gostos diferentes. Se as crianças estudassem apenas como escrever coisas como listas de supermercado ou bilhetes, se nunca estudassem poesia, o currículo de [português] ficaria pobre. No entanto, ensinamos matemática desse jeito utilitário — nunca é sobre os aspectos belos.

É maravilhoso quando chego numa escola e as crianças vêm me contar a matemática que estão fazendo, não porque acertaram todas as questões num teste, mas porque sabem que me interesso pelo que fazem e pelo jeito como organizaram uma solução. Acho que essa é uma forma de ver se estão aprendendo e não acho que é difícil, porque parte do trabalho é apenas ouvir.

Tem um pequeno exemplo de um menino que dizia [ele abre os dedos para imitar o aluno contando]: “Um é ímpar, dois é par, três é ímpar, quatro é par, cinco é ímpar, seis é par, sete é ímpar, oito é par; e nove é par.” A professora não entendia: “Ele não é estúpido! Então, por que está errando?”

Nessa turma, os alunos tinham cubinhos que podiam encaixar em blocos, então perguntei ao menino como sabia que oito é par. Ele disse:

“Se pego oito cubinhos, consigo montar duas torres da mesma altura, por isso é par.” [Duas torres com quatro cubinhos cada uma.]

“E por que você acha que nove é par?”

“Olha só, se pego nove cubinhos, consigo montar três torres da mesma altura; então, as torres são pares.” [São três torres com três cubinhos cada uma. Em inglês, a palavra ‘par’ também significa ‘nivelado’. Em português, esse sentido de ‘par’ também existe no sinônimo ‘parelho’.]

Ele estava usando raciocínio lógico! Percebeu que nove é um número composto — não estava sendo estúpido, só generalizou demais o conceito de par. Essa explicação gerou uma conversa muito rica sobre a diferença entre um número ser divisível por dois ou ser um número composto, que pode ser dividido em grupos de tamanho igual. Mas antes a professora só pensava em termos de certo e errado, e não em termos de como o aluno tinha raciocinado.

Outra vez, acompanhei uma turma por dois anos e a professora me agradeceu, porque durante esse tempo ela tinha aprendido muito sobre seus alunos. É interessante, porque a única coisa que eu dizia para cada criança da sala era: “Conte-me o que está fazendo.” Apenas ouvi o que tinham a dizer. Mas sei que é difícil ser professor e ser responsável por 25 crianças ao mesmo tempo; para mim, como visitante, é mais fácil. Ainda assim, se os professores fossem mais curiosos em relação à matemática e em como as crianças a percebem, o ensino mudaria bastante.

Qual poder o aluno ganha com a matemática?

Os professores costumam dizer: quero que meu aluno se torne um leitor, um escritor. Raramente querem que se tornem matemáticos; querem apenas que estudem matemática. Então, falamos da leitura e da escrita como algo em que a pessoa é o agente: eu escrevo, eu leio, essas coisas são parte do que me tornei. Enquanto isso, falamos da matemática como um fardo que a criança deve aguentar. Podemos nos esforçar mais para mudar essa mentalidade e mostrar que a matemática é uma forma de se envolver com o mundo, de mudar seu olhar sobre as coisas. Por exemplo, o teorema de Pitágoras: gosto de imaginar dois quadrados encostados por um de seus vértices como numa dobradiça [veja a figura 3], e um terceiro quadrado apoiado nesses dois, formando assim um triângulo entre eles. Conforme esse terceiro quadrado aumenta ou diminui de tamanho, o ângulo da “dobradiça” aumenta ou diminui até um ponto em que a soma da área dos dois quadrados na dobradiça é igual à área do terceiro quadrado apoiado, e isso acontece quando o ângulo da dobradiça é reto. Vemos quadrados se movendo e mudando de tamanho até que as figuras atingem uma igualdade, e a matemática capta esse momento de beleza. Mas o que as crianças tiram do teorema? a2 + b2 = c2. Depois praticam com algumas contas e nunca sentem aquela sensação de: “Ah, isso é legal, é bonito, é elegante.”

O que inspirou suas ideias sobre o ensino?

Quando me formei em matemática pura nos anos 1970, dei aulas na Open University da Inglaterra, uma universidade de ensino a distância que estava apenas começando. Tinha 22 anos, era recém-formado e nunca tinha dado aulas; a maioria do pessoal era professor de longa data. Um educador chamado John Mason disse para a gente: “Cada dia desta semana vocês vão trabalhar na solução de um problema com os estudantes.” As pessoas concordaram: “Certo, cadê a solução dos problemas?” E John respondeu: “Não vou dar a solução, vocês vão trabalhar com os estudantes sem ter as respostas.”

Todo mundo achou horrível, odiou, porque não tinham um roteiro do que ensinar. Eu não tinha nada contra, porque nunca tinha dado aula e achei aquilo fantástico. Essa experiência me colocou no caminho em que estou até hoje: a crença de que o professor pode aprender muito ao trabalhar com problemas para os quais não tem a solução, e que na verdade ele não pode ser “o especialista” e ter todas as respostas prontas. A resolução de problemas é um grande promotor do aprendizado.

Nesses anos todos, mudou sua visão sobre a matemática?

Durante a graduação, lembro-me de um momento em que entrei em crise por causa dos vários jeitos pelos quais os matemáticos pensam. Estava numa aula sobre equações diferenciais e parecia que todos ali viam alguma coisa na mente, menos eu. Na época cheguei a pensar que faltava algo em mim, que talvez tivesse chegado àquele ponto da matemática sem realmente tê-la compreendido. Anos depois, uma colega chamada Leone Burton fez uma pesquisa com matemáticos e mostrou que a maioria deles mencionava as figuras que imaginava, mas um pequeno grupo pensava a matemática mais ou menos como quem dialoga consigo mesmo. Descobri que é assim que fazia e ainda faço matemática. Trabalho num problema como se conversasse comigo; não consigo visualizar imagens mentais. Para mim, foi uma mudança poderosa saber que processamos o raciocínio de maneiras diferentes. Então, quando ensinamos, devemos tomar cuidado para não focar demais só na forma como pensamos. Eu me esforço muito para abordar conceitos com esse raciocínio mais visual, porque para mim essa não é uma maneira natural de trabalhar. {}


{3}/ Um jogo de ideias

Como fazer a criança dizer aquele “ahhh” de que Mike fala? Um professor (vamos chamá-lo de Ribeiro) ensina o que é a diferença entre dois números, por exemplo a diferença entre 5 e 2, que é 3, ou entre 7 e 6, que é 1. Quando a turma já se acostumou com a ideia, propõe uma atividade:

“Desenhem um quadrado grande, que ocupe uma boa parte do caderno.”

Alguns desenham quadrados que quase saem pelas beiradas da folha, outros desenham a figura mais centralizada. Ribeiro prossegue:

“Escolham números dos quais gostem para colocar em cada canto do quadrado.”

Em seguida, as crianças devem escrever a diferença entre números vizinhos bem no meio de ambos os números, isto é, no ponto médio de cada lado do quadrado. No quadrado abaixo, por exemplo, uma criança escreve 8 entre os números vizinhos 12 e 20.

“Agora, vocês têm quatro pontos e números novos, então liguem os pontos para formar um quadrado menor.”

Elas vão fazer a mesma coisa que no primeiro quadrado: marcar os pontos médios e escrever a diferença entre números vizinhos, como no quadrado a seguir: 8 6 = 2.

Ribeiro diz para continuarem fazendo quadrados e escrevendo as diferenças até não poder mais. As crianças ficam curiosas para saber aonde o professor pretende chegar com tantos quadrados. Logo, aluno por aluno, começam a ver algo interessante: os números em cada canto do menor quadrado de todos é sempre o mesmo, isto é, zero.

Logo a aula vira uma discussão interessante sobre por que acontece isso com os números, independente de quais números o aluno escolheu no começo. No livro Maths for Mums and Dads, Mike e seu colega Rob Eastaway propõem essa atividade a sugerem que o adulto (o livro é voltado para pais e mães) proponha desafios, como: “Quais quatro números iguais ou menores que 20 fazem a figura ter mais quadrados antes de chegar zerar todos os cantos?” Isso é um problema, e dos bons; enquanto buscam a resposta, as crianças vão se divertir à beça, sem perceber que estão praticando a subtração. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 37, fevereiro de 2014, pág. 12. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone, que também ficou responsável pela primeira versão do texto.

3. Mike Askew é coautor dos dois ótimos volumes Maths for Mums and Dads [A Matemática para Mães e Pais], feitos para ajudar os pais a ajudar seus filhos com a matemática, em vez de desampará-los ou atrapalhá-los.

Para resolver um problema, troque várias vezes o sistema de pensamento


Certos problemas têm tudo para fazer a pessoa chegar à conclusão errada, e um psicólogo explica por que isso ocorre: a pessoa usa raciocínio rápido e intuitivo em situações que requerem reflexão. Dois professores contam como ajudam seus alunos a fazer a transição da forma de pensar rápida para a devagar (e vice-versa), assim como a gostar de fazer a transição.


{1}/ Intuitivo = Prazeroso, Meditabundo = Penoso

Um sujeito comprou um arco e uma flecha por 11 reais. O arco custou 10 reais a mais que a flecha — quanto custou então a flecha? Daniel Kahneman, um dos ganhadores do Nobel de Economia de 2002, pede que seu leitor responda a uma pergunta desse tipo usando apenas a intuição, isto é, rapidamente. A maioria responde “1 real”, que é a resposta errada. Após refletir um pouco, pode ver que a intuição o enganou e sua resposta não tem lógica: visto que o arco custou 10 reais a mais que a flecha, se ela valesse 1 real, ambos teriam custado 12 reais.

Depois de pensar um pouco, o sujeito vê que a frase “o arco custou 10 reais a mais que a flecha” contém a seguinte informação: o total de 11 reais é resultado do valor desconhecido da flecha somado ao valor desconhecido da flecha (isso mesmo, de novo), mais 10 reais. Pode então denotar o preço do arco com a e o da flecha com f e descrever o raciocínio com álgebra:

Equation-1

Daniel Kahneman é professor de psicologia na Universidade Princeton, nos Estados Unidos, e encontrou evidências de que a mente dos humanos funciona de duas formas: uma que é rápida e intuitiva e outra que é lenta e deliberativa. Quando está pensando no modo rápido, o sujeito usa a intuição, muitas vezes sem perceber; no modo lento, analisa a situação, algo que requer esforço e concentração. Daniel reuniu suas descobertas no livro Rápido e Devagar: Duas Formas de Pensar, no qual explica a interação entre os dois sistemas de pensamento, que por praticidade ele chama de sistema 1, o intuitivo, e sistema 2, o analítico. Com perguntas como a do arco e da flecha, exemplifica uma situação em que as pessoas erram por causa do sistema 1. Para encontrar a resposta certa, o sujeito deve virar uma espécie de chave na mente para sair do modo rápido e intuitivo e entrar no modo lento e meditabundo.

Quase todo mundo passa mais tempo pensando com o sistema 1, e tem dificuldade de passar ao sistema 2. Quando a intuição se revela insuficiente e o sujeito erra, a frustração que sente basta para fazê-lo desistir do problema. Mike Askew e Rob Eastaway, autores do livro More Maths for Mums and Dads: The Teenage Years, dizem que isso é ainda mais frequente entre estudantes adolescentes de matemática, pois, para entender um problema matemático digno do nome, precisam mudar várias vezes do sistema 1 para o 2 e vice-versa. Também precisam ter noção de quando é mais sensato usar um ou outro, e em geral não têm essa noção. Mike e Rob acreditam que esse é um dos motivos pelos quais um adolescente tacha a matemática de “difícil”; pais e professores devem ajudá-lo a ter consciência do tipo de pensamento que está usando para resolver um problema.

Ao notar que errou no problema da flecha, o estudante talvez fique menos frustrado por saber que não errou por ignorância, mas sim porque usou a intuição num problema que exige reflexão. É comum a criança desanimar ao entrar no 6º ano (antiga 5ª série) e estudar uma matemática bem diferente da que conheceu no ensino fundamental 1. Estava acostumada a estudar coisas como a tabuada, a resolver problemas aritméticos simples, a brincar com objetos como tampinhas e palitos. Numa escola, por exemplo, nas aulas do 3º ano (antiga 2ª série), a professora em geral distribui folhas com uma tabela em branco. Daí ela dita a tabuada inteira: “um vezes um, um”; “um vezes dois, dois”. Entre uma pausa e outra, cada criança anota o resultado na tabela. Depois de um tempo, todos têm a tabuada de 0 a 10 na ponta da língua.

Muita criança, contudo, se sente perdida quando, no 6º ano, ouve falar de potenciação e de radiciação. Acha que tem dificuldades com a matemática porque, ao contrário de antes, agora tem de parar e pensar, e já não consegue mais dizer a resposta de memória. Ela não sabe que, diante dos novos conceitos, deve usar outro jeito de pensar, o jeito do sistema 2, que exige esforço e paciência. Pais e professores podem ajudar na transição; por exemplo, podem criar atividades nas quais a criança note o lado positivo dessa forma de pensar, que, com o tempo, tem potencial para se tornar uma ótima fonte de prazer.

Mike e Rob sugerem uma técnica de motivação comum entre pessoas que odeiam atividades físicas. O sujeito se propõe a subir todos os dias na esteira e a caminhar por apenas 15 minutos. Se depois disso estiver aborrecido, tem autorização para descer e ir fazer outra coisa. Depois de 15 minutos na esteira, contudo, quase todo mundo prefere continuar caminhando um pouco mais — talvez meia hora. Da mesma forma, uma mãe, em vez de forçar seu filho a se trancar no quarto para fazer a lição de matemática, pode incentivá-lo a se dedicar à lição por apenas 15 minutos. É boa a probabilidade, dizem Mike e Rob, de que o menino continue trabalhando até o fim.

O fundo do baú. O cérebro divide o trabalho entre as duas formas de pensar não para pregar peças em seu pobre hospedeiro humano, mas para torná-lo mais eficiente: ao aplicar a forma certa ao problema certo, o humano gasta menos energia e desempenha melhor. Ao usar a intuição, ele lida bem com a maioria das situações familiares; às vezes, porém, ela o atrapalha com impressões enviesadas. O problema da intuição é que está sempre ligada. Se mostrar uma palavra em chinês a um sujeito fluente em chinês, ele a lerá automaticamente, a não ser que esteja muito concentrado em outra tarefa. É por isso que, em problemas aparentemente simples, a intuição pode levá-lo a conclusões erradas.

Gabriel Prado, professor de matemática no Colégio Oswald de Andrade, em São Paulo, tinha um professor que comparava a matemática a um marceneiro com suas ferramentas. “Toda vez que vejo um prego, meu lado intuitivo está treinado para pensar num martelo. Do mesmo jeito, na matemática, deixo em cima da bancada os conceitos que uso muito, enquanto outros tenho de procurar num baú.” Quanto mais conceitos difíceis o sujeito estuda, contudo, mais conceitos básicos têm na ponta da língua, que lhe permitem economizar energia ao refletir sobre problemas complicados. Numa prova como a do vestibular, o estudante precisa do sistema 1, pois tem poucos minutos para resolver cada questão. “Se ficar num processo lento e reflexivo em cada uma delas, não terminará a prova”, diz Gabriel. “Então, apesar de superficial, o nosso lado rápido e intuitivo pode ser bem treinado.” Só há um jeito, contudo, de deixar o sistema 1 bem treinado: praticar com muitos exercícios. O estudante bem treinado vê, por exemplo, a imagem de um triângulo retângulo e logo pensa no teorema de Pitágoras e nas relações trigonométricas. Por experiência, sabe que é grande a chance de que, com tais ferramentas, possa resolver o exercício.

Gabriel faz mestrado na Universidade de São Paulo e conta que, nas aulas de estatística, bastava o professor mencionar “uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n e p”, que logo se lembrava da fórmula para calcular a média μ e a variância σ2. Isso porque internalizou os dois conceitos depois de usá-los muitas vezes. Mas, quando lia algo que mencionava a locução “distribuição geométrica”, tinha de abrir um baú imaginário para relembrar como usar as ferramentas embutidas naquele conceito. Contudo, se Gabriel tem um baú cheio de conceitos meio empoeirados, é porque um dia os estudou com o sistema 2.

Um estudante (vamos chamá-lo de Alípio) se debruça sobre uns livros para entender por que gente como Gabriel usa tanto essa tal de distribuição binomial. Começou com as expressões “espaço amostral” e “distribuição de probabilidade”. Espaço amostral é o conjunto com todos os resultados possíveis de um experimento. Se o experimento for “jogar um dado comum”, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}, em que os inteiros de 1 a 6 representam o número de bolinhas viradas para cima; se for “jogar uma moeda comum”, é {cara, coroa}. Distribuição de probabilidade é uma função, pela qual Alípio associa, a cada elemento do espaço amostral, a probabilidade de que ocorra no experimento em questão. (A soma das probabilidades deve ser igual a 1.) No caso de lançar um dado comum, Alípio pode associar, a cada elemento do espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a probabilidade p = 1/6.

No século 17, o matemático suíço Jacques Bernoulli criou um espaço amostral supersimples, que chamou de Ω:

Se Alípio atribuir a probabilidade p a 0, tem de atribuir a probabilidade 1 – p a 1; e vice-versa. Apesar da simplicidade, essa “distribuição de Bernoulli com parâmetro p” é incrivelmente útil. Em muitas situações práticas, Alípio pode transformar um espaço amostral complicado em Ω — para tanto, basta traduzir 0 como “não obtive sucesso” e 1 como “obtive sucesso”. Alípio escreve:

“Vou jogar um dado comum 20 vezes, isto é, vou realizar n = 20 experimentos independentes. Quero tirar 6. A probabilidade de que saia 6, a cada experimento, é p = 1/6. Se no espaço amostral Ω interpreto 0 como sendo ‘joguei o dado 20 vezes e não tirei certa sequência de k sucessos e de nk fracassos’ e se interpreto 1 como sendo ‘joguei o dado 20 vezes e tirei sim certa sequência de k sucessos e de nk fracassos’, então existe uma fórmula para calcular a probabilidade de que ocorra 1 no espaço amostral Ω.”

Essa fórmula é:

Daí, como consequência lógica, Alípio pode usar a fórmula a seguir para calcular a probabilidade pk de obter exatamente k sucessos, visto que realizou n experimentos, e visto que a cada experimento a probabilidade de sucesso é p:

Essa é a famosa distribuição binomial. O binômio de Newton está lá porque mostra de quantas maneiras distintas alguém pode obter um número k de sucessos ao longo de n experimentos. (Portanto, é um pedacinho de matemática discreta.)

Com o que aprendeu, Alípio usa o portal Wolfram Alpha para montar a figura 1. No eixo das abscissas, o número 0 significa “joguei o dado 20 vezes, a probabilidade de tirar 6 era de 1/6, mas mesmo assim não tirei 6 nenhuma vez”; da mesma forma, o número 5 significa “joguei o dado 20 vezes, a probabilidade de tirar 6 era de 1/6, e tirei 6 em cinco jogadas”; no eixo das ordenadas, está a probabilidade de que pk ocorra.

Fig. 1Se alguém jogar um dado 20 vezes, e se está interessado em tirar 6, qual é a probabilidade de que não tire 6 nenhuma vez, ou tire uma, ou duas, …, ou vinte? O gráfico mostra isso. A média de sucessos para esse número de jogadas é 3,33.

Satisfeito com o pouquinho que aprendeu sobre a binomial, Alípio estuda outro exemplo mencionado por Gabriel, o da distribuição geométrica. Ela também tem a ver com o espaço amostral Ω = {0, 1}. Alípio achou mais fácil começar com a fórmula e depois traduzi-la em palavras:

Essa fórmula responde a uma pergunta: “Qual é a probabilidade pk de realizar k experimentos, e de obter k – 1 fracassos antes de obter o primeiro sucesso, sendo que, a cada experimento, a probabilidade de obter um sucesso é igual a p?” Alípio nota que agora k significa “número de experimentos”. Com essa fórmula e essa ideia, monta a figura 2, que também se refere a jogar um dado comum e tirar 6. No eixo das abscissas, estão os valores de k – 1. Assim, por exemplo, a linha azul no número 5 mostra a probabilidade pk de realizar seis experimentos (jogar o dado seis vezes) e de obter cinco fracassos antes do primeiro sucesso (obter outros números que não o 6 antes de obter o 6), que é de 6,7%. Cientistas frequentemente precisam levantar informações desse tipo; por exemplo, se um deles deve agendar o uso de um laboratório caro, precisa saber por quantos dias deve agendá-lo para que consiga pelo menos um sucesso ao longo desses dias.

(A palavra “geométrica” vem do simples fato de que, para valores inteiros de k, a fórmula de pk gera uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e cuja razão de progressão é 1 – p.)

Fig. 2Um sujeito vai jogar um dado perfeito uma vez (k = 1), duas vezes (k = 2), …, 21 vezes (k = 21). Qual é a probabilidade de não tirar 6 nenhuma vez antes de tirar 6 uma vez? (Isto é, qual é a probabilidade de obter k – 1 fracassos antes do primeiro sucesso?) O gráfico mostra isso para k – 1 = 0, k – 1 = 1, k – 1 = 2, …, k – 1 = 20. A probabilidade de jogar o dado seis vezes, por exemplo, e de não obter um sucesso nas primeiras cinco jogadas antes de obter um sucesso na sexta é de 0,067, ou seja, de 6,7%. Cientistas usam muito essa “distribuição geométrica de parâmetro p”, e neste caso p = 1/6, pois o dado é perfeito.

Com tais estudos, Alípio teve uma ideia do que significa usar o sistema 2 de pensamento: esse sistema pode proporcionar prazer, mas antes disso provoca algum sofrimento.

Pensar para falar. Para ajudar os alunos a mudar do pensamento rápido e intuitivo para o lento e reflexivo, Rosa Maria Mazo Reis, professora na Universidade Estácio de Sá, no Rio de Janeiro, propõe desafios no finalzinho da aula. Os cinco primeiros alunos que conseguem resolver o problema vão à lousa explicar como raciocinaram. “Quando fala sobre o que produziu, o aluno passa para um novo nível de raciocínio. O processo de reflexão é mais ou menos assim: ao tentar passar o conhecimento para outra pessoa, compartilhamos o modo como chegamos à solução e, para fazer isso, temos de descobrir como fazer o outro entender nosso caminho. Falar sobre esse caminho é algo que faz muita diferença.”

Ela compara a atividade com a situação de quem tem um problema pessoal. Após desabafar com um amigo, ainda que não chegue à solução, a pessoa ganha uma visão mais clara do problema, pois, para se expressar ao amigo, teve de organizar as ideias. “Na construção do pensamento sofisticado o processo é o mesmo”, diz Rosa. “É importante o aluno conseguir mostrar: olha, pensei assim, assim e assim; testei essa hipótese e não deu certo por causa disso.”

Gabriel concorda que contar o processo do raciocínio ajuda a treinar esse lado reflexivo. Por isso, gosta de explicar as ideias por trás das contas e o processo lógico que seguiu até uma solução. Fazendo dessa maneira, dá aos alunos ideias de como abordar o problema. Gabriel também costuma pedir que pratiquem com exercícios do tipo resolva, para mecanizar procedimentos mais básicos; depois parte para questões mais complicadas. “Temos que treinar os dois pensamentos: É como ensinar alguém a pendurar um quadro na parede. Primeiro, ensinamos a bater o prego do jeito certo até virar uma habilidade automática. Depois, posso perguntar: como faço para pendurar um quadro desse tamanho? Onde coloco o prego?”

Porém, às vezes, o estudante não pratica o suficiente e põe na cabeça uma ideia errada que passa a usar o tempo todo; são os erros clássicos nas aulas de matemática. Gabriel conta o caso em que, na expressão a seguir, o aluno corta os 2 de cima e os 2 de baixo, pois estão elevados à mesma potência.

Ele chama a atenção do aluno e explica: “Você tem de desenvolver cada parte da expressão: 2–2 é 1/4, 22 é 4 e 2–1 é 1/2. Não pode cancelar os números de cima com os números de baixo, pois é uma fração com soma e subtração.” (Se fosse uma fração com produtos no numerador e no denominador, a história seria diferente.) Então, o estudante começa a raciocinar com o sistema 2, faz as contas e chega ao resultado correto: –15. Outro erro comum, diz Gabriel, é quando o estudante bate o olho num produto notável como (x + 2)2 e acha que é igual a x2 + 4. “Os professores discutem bastante essa situação em que precisam lembrar o aluno que (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = (x2 + 4x + 4). Não pode simplesmente distribuir o quadrado para o x e para o 2.” Só depois de praticar bastante e, às vezes, perder pontos numa prova, é que percebe o erro e começa a memorizar a ideia correta.

Rosa conta o exemplo do poço (veja a seção 2), com o qual muito aluno se embanana ao raciocinar rápida e intuitivamente. Ele se engana pensando que, com uma continha de multiplicação, pode resolver o problema; mas nem sempre uma conta resolve um problema. “Quando você dá um problema em que a conta até pode ser necessária, mas não é o suficiente”, diz Rosa, “mostra ao aluno que a matemática não é só uma montanha de contas.” Ela é, na verdade, um jeito de raciocinar abstratamente sobre coisas todo tipo. (Sobre uma boa definição de matemática, veja a observação 3 no pé deste texto.) Não há problema em decorar alguns truques, uma vez que os mecanismos pelos quais funcionam já estejam compreendidos. Rosa diz que é difícil mostrar a importância dessa transição de um pensamento para o outro — do rápido para o lento e vice-versa —, pois muitas vezes o aluno tem como objetivo passar de ano e entrar de férias. Para tanto, as receitas prontas são mais úteis.

Ela diz que, se alguém responde com erro ao probleminha do arco e da flecha, não é porque não sabe fazer as contas (em geral, sabe), mas sim porque não pensou realmente no problema. O sujeito procura uma fórmula mágica para se livrar do problema depressa. “Ele faz uma composição mágica em cima dos valores do problema.” Mas ela acredita que, com a prática, o estudante muitas vezes aprende a gostar desse pensamento lento e analítico, de se esforçar para entender melhor um problema; ele aprende, sobretudo, a gostar do conhecimento — e a partir daí ninguém precisará mais vigiá-lo para que estude. “Hoje em dia, com a facilidade de acesso à informação, basta o sujeito estar motivado que consegue regular a própria aprendizagem; a gente tem a web aí, cheinha de coisas.” Para Gabriel, contudo, só os estudantes que já gostam de matemática acham prazeroso pensar com o sistema 2. Os outros até aprendem a dar valor ao sistema 2, mas apenas depois que percebem suas vantagens, e só percebem isso se a escola for boa.

Um problema é que nem sempre o sujeito usa o sistema errado, erra, e percebe que errou. Com frequência erra, mas acha que acertou. Por isso todo matemático recomenda: mesmo que tenha resolvido um problema rapidamente, e que tenha a sensação de que está certo, inicie o sistema 2 para checar as conclusões. Com o tempo, os métodos que nunca dão chabu na fase de checagem acabam se tornando parte do sistema 1. “O professor precisa ajudar o aluno a manter, o tempo todo, um equilíbrio entre essas duas partes”, diz Gabriel. “Temos de cuidar das duas.”

Daniel Kahneman escreve em certo trecho: as pessoas erram probleminhas simples, em grande parte, por causa do pensamento rápido e intuitivo. Ao mesmo tempo, ele é o responsável pela maior parte do que as pessoas fazem corretamente. “Se você subiu no ônibus hoje ou assoprou o café fresquinho que acabou de pôr na xícara, fez isso graças ao sistema 1.” Eis a questão: o pensamento rápido e intuitivo livra o humano de refletir sobre o que já não merece mais reflexão, e sem isso não poderia nem mesmo escovar os dentes. {}



{2}/ Apêndice: A fuga do poço

Problema. Um caracol está no fundo de um poço de cinco metros. Durante o dia, consegue subir dois metros, mas durante a noite acaba escorregando 1 metro para baixo. Quanto tempo ele leva para sair do poço?

Rosa Maria Mazo Reis, professora na Universidade Estácio de Sá, no Rio de Janeiro, diz que é comum uma pessoa responder de imediato: cinco dias. Ela pensa assim: se o caracol sobe dois metros durante o dia e desce um metro durante a noite, ele sobe um metro a cada 24 horas. Então, se o poço tem cinco metros, ele sai de lá em cinco dias. Certo? “Se fizer essa conta vai chegar a uma conclusão errada”, diz Rosa. “Vai achar que uma continha simples dá conta do problema, mas não dá. A pessoa erra porque não se envolveu na situação.”

Um estudante (vamos chamá-lo de Alípio) aborda o problema desenhando um esquema do que acontece com o caracol. Ele traça um segmento de referência numerado de 0 a 5 para representar os metros. Abaixo dele traça outro segmento que vai de 0 a 2 para indicar os metros que o caracol sobe durante o primeiro dia. Sempre colocando uma bolinha para denotar a altura em que o caracol está. Abaixo do segmento do primeiro dia, traça um segmento para representar o metro que escorrega durante a noite. Continua traçando segmentos para os dias e as noites seguintes até chegar a 5 metros de acordo com o segmento de referência. Seu desenho fica assim:

Com o esquema, Alípio vê que o caracol sai do poço ao final do quarto dia, sem que antes escorregue um metro para baixo. E a resposta ao problema, de modo preciso, é que o caracol leva três dias e 12 horas para sair de lá. (Existe aqui uma ambiguidade com a palavra “dia”, que tanto designa a parte do dia iluminada pelo sol quanto as 24 horas que compõem um dia.) Com problemas desse tipo, o professor mostra ao estudante que nem sempre fazer contas é o suficiente para resolver um problema. Às vezes, pode usar um desenho, ou até mesmo resolvê-lo de cabeça; o importante é parar para raciocinar com cuidado sobre as informações que possui. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 46, novembro de 2014, pág. 18. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Danielle Ferreira.

3. Uma boa definição de matemática:

É a arte e o ofício de explicar, de modo incontestável, por que determinada afirmação é verdadeira.

Eu gosto dessa definição porque ela implica várias características marcantes da matemática. Por exemplo: ela implica a ideia de que a matemática é feita a partir de definições, axiomas, e regras de inferência declarados verdadeiros por hipótese (isto é, por pressuposição); se não fosse assim, ela seria contestável, pois qualquer premissa que não seja declarada verdadeira por hipótese pode ser legitimamente contestada. (Esse é um dos grandes problemas da ciência.) Outro exemplo: a definição implica a necessidade de que o matemático saiba explicar, tim-tim por tim-tim, os teoremas e algoritmos que usou numa demonstração; logo, implica a necessidade de que o matemático evite a mera decoreba — pois como poderia produzir uma explicação incontestável se recorresse a uma decoreba? Como poderia defendê-la se não conhece bem um dos elementos que usou para produzi-la?

Ken Ono: Um sujeito de sorte


Quando defendeu sua tese de doutorado, em 1993, o matemático americano Ken Ono ainda duvidava de seu talento. Três meses depois, por pura sorte, ficou famoso por causa do último teorema de Fermat, e por fim decidiu seguir mesmo a carreira de matemático. Em 2011, publicou uma descoberta e tanto: uma fórmula exata pela qual calcular o número de partições de um número inteiro positivo.

Fiz meu pai me contar tudo o que sabia sobre Ramanujan. Acho que o encantamento que senti foi comparável ao encantamento que as crianças sentem por Albert Einstein.

Ken Ono, professor de matemática e de ciência da computação na Universidade Emory, nos Estados Unidos


{0}/ Personagens mencionados nesta matéria

Andrew Wiles. Matemático britânico, nascido em 1953, que provou o último teorema de Fermat em 1993. A prova continha um erro, que Andrew levou meses para arrumar, de modo que a prova sem erros só foi publicada em 1995.

Basil Gordon. Matemático americano; 1931-2012. Especialista em teoria dos números e em combinatória (matemática discreta). Era descendente da família de empresários ingleses dona das fábricas de gim Gordon’s.

Évariste Galois. Matemático francês; 1811-1832. Contribuiu muito para a teoria das equações, e criou a teoria dos grupos para responder se uma equação pode ou não pode ser resolvida por meio de álgebra. Até hoje os grupos de Galois são uma ferramenta intelectual poderosa.

Godfrey Harold Hardy. Matemático britânico; 1877-1947. Publicou dezenas de artigos importantes em parceria com J. E. Littlewood e Ramanujan.

Hans Maass. Matemático alemão; 1911-1992. Especializado em geometria não euclidiana e teoria dos números.

Hans Rademacher. Matemático alemão; 1892-1969. Conhecido pelas descobertas que fez em análise e em teoria dos números. Fugiu dos nazistas em 1933 e se radicou nos Estados Unidos.

Pierre de Fermat. Matemático francês; 1601-1665. É muito lembrado por uma de suas hipóteses: para todo n inteiro maior que 2, a equação xn + yn = zn não tem solução no conjunto dos inteiros positivos.

Srinivasa Ramanujan. Matemático indiano; 1887-1920. Estudou matemática por conta própria. Hardy o convidou para viver e trabalhar em Cambridge, o que Ramanujan fez por cinco anos. Há um bom filme de 2015 sobre o relacionamento entre Hardy e Ramanujan: O Homem que Viu o Infinito (The Man Who Knew Infinity).



{1}/ Introdução à entrevista: timing é tudo

Caso um sujeito tivesse conhecido Ken Ono em 1987, aos 19 anos, que tipo de adolescente teria conhecido? Um japonês magrinho, musculoso, capaz de correr de bicicleta a ponto de vencer competições profissionais e a ponto de sonhar com o dia em que finalmente venceria a Tour de France, a corrida de bicicletas mais famosa do mundo, com 3.479 quilômetros de comprimento. Teria conhecido também um adolescente nota 10 em matemática. “Naquela época”, diz Ken, “eu tinha a sensação de que não havia problema de matemática que eu não pudesse resolver. Eu realmente tinha a sensação de que sabia tudo.” E se o tal sujeito voltasse a encontrar Ken Ono seis anos depois, em dezembro de 1993, num congresso para matemáticos ocorrido na cidade de Asilomar, na Califórnia? Ken tinha defendido sua tese de doutorado há poucos meses, e tinha só 25 anos, mas deu a palestra de abertura para uns 150 especialistas em teoria dos números do mundo inteiro — sem contar os curiosos. “O auditório estava lotado.” Bem, o tal sujeito pensaria algo mais ou menos assim: “Para virar matemático profissional de renome, como é o caso de Ken Ono, você precisa ter essa confiança inabalável na própria capacidade de resolver problemas.”

Ora, Ken Ono não tem essa confiança inabalável, e ao longo da graduação, do mestrado, e do doutorado ele duvidou da própria capacidade de se transformar num matemático profissional, quanto mais num matemático famoso. Já nos primeiros anos de faculdade, descobriu o quanto era ignorante em matemática. Viu como os matemáticos profissionais propunham a si próprios problemas até que fáceis de descrever: Existem finitos ou infinitos números primos gêmeos, como 3 e 5, 107 e 109, 281 e 283? A hipótese de Riemann é verdadeira ou falsa? Será possível criar uma fórmula simples com a qual o sujeito substitua uma letra por um número e consiga calcular, com relativa facilidade, os fatores primos desse número? “Na faculdade, eu até que entendia esse tipo de questão”, diz Ken, “mas nem sabia por onde começar. Eu me senti muito, muito pequeno. Eu fui de um sujeito que pensava que sabia tudo, no ensino médio, para um sujeito que tinha a certeza de que não sabia nada, na faculdade.”

Essa sensação perdura até hoje, e se não fosse por Andrew Wiles, o matemático inglês que provou a verdade do último teorema de Fermat, talvez Ken Ono nem tivesse virado matemático profissional.



{2}/ A entrevista pingue-pongue

Como o último teorema de Fermat mudou sua vida?

Logo nos primeiros meses de faculdade, eu descobri que seria difícil fazer alguma diferença na matemática, e por muito tempo fiquei na dúvida. Aos 21 anos, para quem me perguntava o que eu seria na vida, eu dizia: ciclista profissional.

Pelo menos nos Estados Unidos, quando um jovem não sabe o que fazer da vida, faz mestrado. Depois do mestrado, se ainda não sabe o que fazer da vida, faz doutorado. E assim fiz mestrado e doutorado. Tive um grande conselheiro, o matemático inglês Basil Gordon, que me ensinou a ler sobre teoria dos números não como um estudante que quer aprender uma matéria, mas como um matemático que está à procura de problemas em aberto. Toda semana ele me dava um conselho novo, e assim eu ia, meio na dúvida, de semana em semana. Com a ajuda dele, em março de 1993 defendi minha tese de doutorado sobre as estruturas de Galois. Logo depois, os organizadores de um congresso sobre teoria dos números me convidaram para participar. O congresso ocorreria em dezembro de 1993, na cidade de Asilomar. Minha apresentação fazia parte de uma sessão paralela, e eu ficaria feliz se, na plateia, houvesse dez pessoas.

Então, no dia 23 de junho de 1993, aconteceu uma coisa incrível: Andrew Wiles provou o último teorema de Fermat. Para tanto, ele usou bastante as curvas elípticas, as formas de Maass, as formas modulares, as representações de Galois. Nós, os matemáticos que estudávamos essas coisas, ficamos de boca aberta. Nenhum de nós tinha a menor noção de que estava a nosso alcance usar esses conhecimentos para provar o último teorema de Fermat. Ao contrário: eu achava de que morreria antes que essa prova surgisse. Então, por pura sorte, passei de um jovem recém-doutorado em matemática a uma das poucas pessoas no mundo que podia entender o que Andrew Wiles tinha feito. Passei por puro acaso do grupo dos zés-ninguém para um grupo de elite. E aí os organizadores do congresso em Asilomar me puseram na palestra de abertura, e eu fiz uma apresentação para um auditório lotado. Foi incrível. Tenho de agradecer ao Andrew Wiles por isso: sem que eu fizesse nenhum esforço, de repente minha tese ficou importante. Com esse golpe de sorte, por fim segui a carreira de matemático, embora até hoje eu participe de provas de triatlo.

O que os leigos entendem a respeito de sua descoberta mais recente?

O leigo não tem dificuldade nenhuma para entender o que é uma partição. Ele entende que obtém uma partição do inteiro positivo n ao adicionar os inteiros positivos n1, n2, n3, e assim por diante, de tal forma que essa soma seja igual a n. [A ordem desses inteiros ‘ni’ não importa.] Por exemplo, o número 1 tem só uma partição: 1. O número 2 tem duas: 2 e 1 + 1. O número 3 tem três partições: 3, 2 + 1, e 1 + 1 + 1. O número 4 tem cinco partições: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, e 1 + 1 + 1 + 1 — em outras palavras, há cinco maneiras de adicionar inteiros positivos para chegar ao número 4. Assim que começa a brincar com essa ideia, o leigo percebe que o número de partições cresce de modo astronomicamente rápido. O número de partições de 10 é igual a 42. O de 100 é igual a 190.569.292. O número de partições de 5.000 é um número com 75 dígitos, que é mais fácil escrever com notação científica: 1,698 ∙ 1074.

Assim que inventaram essa definição, os matemáticos se perguntaram: existe uma fórmula que nos dê o número de partições do inteiro positivo n [que um matemático em geral denota com p(n)], de tal modo que fiquemos dispensados de fazer uma lista imensa de adições? Em 1919, Ramanujan e Hardy chegaram a uma fórmula assintótica: você põe n nessa fórmula e ela te dá uma resposta que é próxima de p(n), mas nunca é p(n). [Sobre o que é uma função assintótica, veja a seção 3.] O único jeito de entender isso é assim: se você divide o p(n) obtido com a fórmula de Ramanujan-Hardy pelo p(n) real, você obtém um número próximo de 1, mas a diferença entre o p(n) assintótico e o p(n) real é grande, e tal diferença tende ao infinito conforme n tende ao infinito.

Em 1937, Rademacher organizou uma série de conferências na Universidade Estadual da Pensilvânia, e convidou Hardy [Ramanujan já havia morrido]. Para se preparar, Rademacher reviu a fórmula assintótica, e fez uma descoberta incrível: a diferença entre o p(n) assintótico e o p(n) real seguia um padrão. Rademacher inventou então o seguinte método: ele calculava o primeiro p(n) assintótico e a diferença entre esse primeiro p(n) e o p(n) real; depois pegava essa diferença e achava um segundo p(n) assintótico, mais próximo do p(n) real, e calculava a diferença entre o segundo p(n) assintótico e o p(n) real; e assim por diante ao infinito.

Com esse método, Rademacher tornou possível calcular o p(n) de um inteiro positivo n qualquer com exatidão, especialmente com um computador, mas esse método tinha um defeito grave: para calcular p(1), que é 1, e que calculamos de cabeça, pelo método de Rademacher temos de somar uma quantidade infinita de parcelas. Isso não faz sentido. Então, essa fórmula de Rademacher era principalmente um dispositivo teórico, mas não prático.

O que você descobriu sobre partições?

Em setembro de 2010, eu e Zach Kent caminhávamos na direção das cachoeiras Tallulah [no norte do estado da Geórgia], e conversávamos sobre os padrões pelos quais as árvores se agrupavam. Começamos a conversar sobre como seria se andássemos entre partições. De repente, começamos a rir — percebemos que as partições têm um comportamento fractal!

Essa ideia é mais difícil de explicar para leigos. Vou começar um exemplo: o número de partições de 4 é igual a 5, isto é, p(4) = 5. Se eu começar com n = 4, e saltar de 5 em 5, fico com n = 9, n = 14, n = 19, etc. Ramanujan notou que p(4), p(9), p(14), p(19), e assim por diante, são números divisíveis pelo número primo 5. Então, posso não ter a paciência de escrever num papel todas as partições de 379, mas sei que p(379) é um número divisível por 5. Ora, descobrimos padrões semelhantes para todos os números primos, e para todas as potências dos números primos. Os outros padrões são muito mais difíceis de explicar do que esse que usei como exemplo, mas todos eles têm essa característica fractal, isto é, eles se transformam numa coisa cujas características essenciais se repetem. Esses padrões são fractais no sentido de que tivemos de usar uma geometria diferente, a geometria dos números p-ádicos, pois essa geometria nos permite estudar a ideia de divisibilidade com extremo cuidado. [Ele usa o verbo no plural porque suas descobertas têm sido feitas em parceria com outros matemáticos.]

Feito isso, usamos o que aprendemos para produzir uma nova fórmula para calcular p(n), que chamamos de P(n) [com P maiúsculo]. Eu pego um inteiro positivo qualquer, entro com esse número em P(n), e P(n) me devolve uma quantidade finita de parcelas. Então tudo o que preciso fazer é somar as parcelas para chegar ao valor exato de p(n). Tudo isso fica fácil com a ajuda de um computador.

Tiramos essa fórmula P(n) da teoria das formas de Maass, que é uma espécie de trigonometria realizada sobre um plano hiperbólico. Foi um grande avanço em relação à fórmula de Rademacher, e tal descoberta nos rendeu várias conjecturas, nas quais estamos trabalhando agora.

Desde quando você gosta de partições?

Eu tinha 19 anos em 1987, e todo dia ia verificar a caixa dos correios, porque eu tinha me candidatado para estudar em várias universidades, e queria saber se alguma delas me aceitaria. Numa dessas ocasiões, havia entre a correspondência uma carta diferente: o selo era da Índia, e a carta tinha sido enviada por uma certa senhora Janaki Ammal. Ela era a mulher de Ramanujan!

Em 1985, a senhora Ramanujan, que já estava idosa, tinha feito uma campanha entre matemáticos do mundo todo para colher fundos e construir estátuas em memória de seu marido, e meu pai, que é matemático, contribuiu com 25 dólares. O fundo foi suficiente para encomendar várias estátuas, e a senhora Ramanujan escreveu uma carta de agradecimento a todos os matemáticos que contribuíram. E eu peguei essa carta na caixa dos correios.

Então fiz meu pai me contar tudo o que sabia sobre Ramanujan, e fiquei encantado. Acho que o encantamento que senti foi comparável ao encantamento que as crianças sentem por Albert Einstein. Mas só fui ler artigos de Ramanujan e de Hardy quando já estava na faculdade.

Hoje você confia mais nos seus poderes de matemático?

Você já viu a linha de chegada de uma prova de triatlo? Todo mundo que passa pela linha de chegada fica feliz — com exceção dos atletas profissionais, para os quais chegar em quinto é pior que chegar em primeiro. Todas as outras pessoas ficam contentíssimas, e erguem os braços para o céu, e gritam. Elas não estão comemorando as 20 horas da prova [4 quilômetros de natação, 180 quilômetros de ciclismo e 42 quilômetros de corrida], mas sim comemorando quatro, cinco anos de treinamento todo dia, toda semana.

O triatlo e meu primeiro conselheiro, Basil Gordon, me ensinaram que a matemática é parecida com o esporte: o importante não é defender com sucesso uma tese de doutorado, nem provar um teorema — o importante é passar pelo processo todo. Hoje eu sei que, se trabalhar com afinco semana a semana, cedo ou tarde eu provo alguma coisa importante. Foi bom ter perdido a confiança em mim mesmo quando entrei na faculdade, porque só assim pude entender a importância de confiar no processo, e de ir de semana em semana.

Seus filhos serão matemáticos?

[Risos] Acho que não. Tenho uma menina e um menino que ficam orgulhosos de tirar notas boas de matemática, e sei que, na vida profissional, usarão toda a matemática que puderem aprender, mas vejo que eles têm outras paixões. {}



{3}/ Apêndice: funções assintóticas

O estudante pode batizar um par de funções de assintóticas se elas ficam infinitamente mais perto uma da outra conforme o argumento de cada uma delas, que é o mesmo, tende a um valor específico; com frequência, esse “valor específico” é o infinito, isto é, é um valor tão grande quanto queira. (No sistema dos números hiper-reais, é um número hiper-real infinito.) A definição de funções assintóticas aparece assim em artigos mais técnicos:

Definição. f(x) é assintótica a g(x) em β se a expressão a seguir é verdadeira.

Para entender essa ideia, Ken Ono propõe uma analogia com uma série geométrica famosa:

“Se você for até 1/16”, diz Ken Ono, “a soma será 31/16, isto é, você ficará à distância de 1/16 do número 2. Se você for até 1/64, a soma será 127/64, isto é, você ficará à distância de 1/64 do número 2. A qualquer momento que você pare, essa soma será menor que 2, mas, se você fizer essa adição ao infinito, como fazemos no cálculo, então o limite da soma é 2.”

Duas funções assintóticas

No gráfico de yf(x) = x + 1/x (em vermelho), o eixo y e a reta y = g(x) = x (em preto) são assíntotas de f(x).

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 18, julho de 2012, pág. 18. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião.

2. Se quiser saber mais sobre Ken Ono, clique aqui.