Um problema sobre passeios aleatórios


Ao resolver este problema, o leitor poderá apreciar uma das grandes vantagens da matemática: ela dá ao praticante a capacidade de contar sem que tenha de contar.


{1}/ Um passo para cá, outro para lá

O que é um passeio aleatório de dimensão 1? O leitor (vamos chamá-lo de Wbb) desenha uma reta cheia de números inteiros: …, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Feito isso, Wbb põe a ponta da caneta em 0, usa uma moeda para mover a caneta uma unidade à direita (cara) ou uma unidade à esquerda (coroa), e joga a moeda 11 vezes: –1, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 5. Bem, isso é um passeio aleatório de dimensão 1: uma sequência de números inteiros a0, a1, a2, a3, a4, …, an tal que ai ai–1 vale 1 ou 1.

Pergunta de preparação 1. Wbb consegue formar quantos passeios aleatórios distintos de n passos? Bem, a cada passo, sua moeda ou mostra cara ou mostra coroa, isto é, ou ele move a caneta um inteiro à direita ou um inteiro à esquerda. Então, o número de possibilidades é igual a 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ ··· ∙ 2 = 2n. O passeio de 11 passos logo acima é apenas uma entre 2.048 possibilidades.

Pergunta de preparação 2. Quantos passos um passeio aleatório deve ter para que comece e termine em 0? Neste caso, Wbb usa as letras D para “um passo à direita” e E para “um passo à esquerda”, e usa uma moeda para sortear três passeios de 10 passos, que escreve na tabela abaixo à esquerda. À direita, ele escreve o perfil dos passos necessários para voltar à origem 0.

Passos sorteados

Passos para voltar às origem

DDEEEEDDEE

DD

DEEDDEDEEE

DD

EEEDEEEEED

DDDDDD

Wbb nota um padrão: para que o passeio comece e termine na origem, o número de passos deve ser par; ele nota também que o número de passos à esquerda (E) deve ser igual ao número de passos à direita (D). Isso faz sentido. Não há como começar e terminar o passeio na origem com um número ímpar de passos, isto é, com um número de passos à direita diferente do número de passos à esquerda.



{2}/ O problema

Quantos passeios aleatórios de dimensão 1 e com número de passos igual a 2n começam e terminam na origem?

Pode ver uma proposta de resolução na seção a seguir.

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{3}/ Uma resolução

Wbb já sabe que existem 22n passeios distintos com 2n passos. Por exemplo, existem 16 passeios distintos de quatro passos (16 = 24, isto é, n = 2):

EEEE | EEED | EEDE | EEDD | EDEE | EDED | EDDE | EDDD | DEEE | DEED | DEDE | DEDD | DDEE | DDED | DDDE | DDDD

Desses 16 passeios, apenas seis começam e terminam na origem. Wbb percebe o que está procurando: num passeio de 2n passos, está procurando os passeios em que o número de passos à direita D é igual ao número de passos à esquerda E. É um problema de combinatória. Wbb consulta seus livros e examina a definição de combinação, permutação, e arranjo. Os livros falam em “objetos tomados de r em r a cada vez”. Que objetos?

Neste caso, Wbb vê que está lidando com dois objetos (a letra D e a letra E), mas que pode se concentrar num objeto apenas; escolhe a letra D. Lendo a definição de combinação simples e fazendo uns testes, atina com o que deve fazer: tem quatro casas vazias. De quantas maneiras pode selecionar duas dessas quatro casas, de modo a colocar nessas duas casas a letra D? A fórmula dessa combinação fica sendo:

Basta colocar a letra E nas outras casas vazias e o passeio começará e terminará na origem. Wbb acha que pode generalizar a fórmula assim: se ele tem 2n casas vazias, de quantas maneiras pode selecionar n dessas casas, de modo a colocar a letra D nessas casas e a letra E nas casas remanescentes? Escreve a fórmula genérica no caderno, e a simplifica:

Eis a resposta. O matemático inglês Timothy Gowers, num artigo incluído no livro The Princeton Companion to Mathematics, diz que o estudante, ao resolver problemas como esse, deve notar uma das grandes virtudes da matemática: ela dá ao praticante o dom de contar sem contar! Para apreciar essa ideia, Wbb imagina n = 250 e se pergunta: quantos passeios aleatórios de dimensão igual a 1, com 500 passos, começam e terminam na origem? Usa um computador para chegar à resposta:

116.744.315.788.277.682.920.934.734.762.176.619.659.230.081.180.311.446.124.

100.284.957.811.112.673.608.473.715.666.417.775.521.605.376.810.865.902.709.

989.580.160.037.468.226.393.900.042.796.872.256

Um matemático, diz Gowers, tenta descobrir raciocínios para contar ou para medir com precisão, sem contudo realmente contar ou realmente medir — sempre que possível, esse é um dos grandes objetivos a perseguir.



{4}/ Uma sutileza sobre probabilidades

Pelo número absurdo de passeios aleatórios de 500 passos que começam e terminam na origem, o estudante Wbb talvez conjecture o seguinte: quanto maior o valor de n, maior a probabilidade de que pegue uma moeda, lance a moeda 2n vezes para cima, e obtenha um passeio aleatório que começa e termina na origem.

Essa conjectura é falsa.

Isso porque, se aumenta rapidamente o número de passeios com 2n passos que começam e terminam na origem, o número 22n de passeios totais aumenta ainda mais rapidamente. Quando n = 1, (2n)!/(n!)2 vale 2, mas 22n vale 4, de modo que a probabilidade de um passeio de dois passos que começa e termina na origem é de 50%. Quando n = 15, (2n)!/(n!)2 vale 155.117.520, mas 22n vale 1.073.741.824, e agora a probabilidade cai para 14,45%. Se quiser, Wbb pode usar a ideia de limite para provar a seguinte afirmação: conforme o valor de n tende ao infinito, o valor da probabilidade tende a zero. Em outras palavras, nesse caso a intuição humana está correta: um passeio aleatório de dimensão 1 que começa e termina na origem é, de certa forma, um evento raro. {FIM}

Por que tanta gente gasta dinheiro com π


Quase todos os que precisam fazer contas precisam de, no máximo, 30 casas decimais de π. Quais seriam as razões, portanto, de quem dedica meses de trabalho para descobrir o valor de π com trilhões de casas decimais? É que π se revelou útil para quem testa hipóteses na área da computação.


{1}/ Uma verba bem aplicada

Um cientista japonês criou computadores e algoritmos para descobrir o valor do número pi (π) com 10 trilhões de casas decimais. E um professor brasileiro usou estatística para descobrir o valor de π com cinco casas decimais. Isso mesmo: cinco. (A calculadora do Windows mostra π com 31 casas decimais…) As duas histórias mostram o valor do número π: se o sujeito precisa testar um sistema (é o caso do japonês) ou uma hipótese (é o caso do brasileiro), e se pode usar o número π como referência, ótimo. Quando o cientista usa π como referência, age como o navegador português que usava o Sol e a Lua, pois, entra dia e sai dia, Sol e Lua estão sempre onde deveriam estar.

Ninguém precisa de π com 10 trilhões de casas decimais; aliás, para a maioria das pessoas, cinco casas decimais dão e sobram. Para calcular a grossura dos cabos de aço que sustentam uma ponte, um engenheiro precisa de π com apenas quatro casas decimais (π 3,1416). Para calcular a circunferência da Terra com erro de menos de 1 centímetro, o cientista precisa de π com dez casas decimais. Talvez um cosmologista queira calcular o diâmetro de um círculo para envolver todo o universo visível. Conforme escreveu Alex Bellos em Alex no País dos Números, se esse cosmologista tiver π com 39 casas decimais, seu círculo envolverá o universo visível com erro menor que um átomo de hidrogênio. Sendo assim, por que raios matemáticos, cientistas, engenheiros, e diletantes gastam meses de trabalho para descobrir mais e mais casas decimais de π? (Tirando a resposta fácil, a de que há gente para tudo neste mundo.) E por que um professor brasileiro gastou semanas de trabalho para descobrir cinco casas decimais de π, coisa que está impressa em todo dicionário de matemática?

No laboratório. Em 2010, o cientista japonês Shigeru Kondo colocou computadores para descobrir casas decimais de π, usando um algoritmo novo, que ele e um colega americano (Alexander Yee) desenvolveram. Os computadores trabalharam por 371 dias. Depois, Shigeru usou os mesmos computadores para verificar o resultado, e dessa vez eles trabalharam por 45 horas. No dia 16 de outubro de 2011, um domingo, Shigeru anunciou ao mundo o novo recorde: havia calculado o valor de π com 10 trilhões de casas decimais. Caso ele imprimisse esse número em folhas de papel A4, com 3.341 algarismos por página, precisaria de 14.966 toneladas de papel.

Há quem queira conhecer mais casas decimais de π por curiosidade, ou queira quebrar um recorde e sair em todos os jornais do mundo — tudo isso é agradável. Mas gente como Shigeru tem propósito mais prático: quer testar um novo computador, ou um novo algoritmo para computador, ou um novo sistema de computadores interligados. Quase todos os computadores gravam números com no máximo 128 bits (1001 é o número 5 gravado com quatro bits), isto é, gravam números menores que 340 undecilhões (um número com 39 algarismos). Para gravar o valor de cada uma das 10 trilhões de casas decimais de π, Shigeru construiu ele mesmo um computador especial, com 96 gigabytes de memória principal, fora os discos externos; e pôs o computador para funcionar numa sala da sua própria casa. Com o computador, Shigeru fez seu algoritmo realizar as contas e gravar, no lugar correto e na ordem correta, cada pedaço da representação decimal de π. Na sala em que o computador funcionava, a temperatura chegava a 40 graus; a mulher de Shigeru até usava a sala quente para secar roupas. A vantagem de empregar o número π num teste é que outros cientistas, usando outros métodos, podem verificar se o algoritmo acertou ou errou. Se Shigeru acertou com seu sistema e seu algoritmo, significa que foi capaz de montar um sistema confiável de computação; ele pode então empregar o sistema informático nas suas pesquisas de verdade — Shigeru investiga as interações entre as células dos seres vivos e seu código genético.

Quanto ao brasileiro que descobriu π com cinco casas decimais, seu nome é Roberto Nasser, e ele é professor no laboratório de engenharia de software da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Roberto imaginou um método para calcular π por meio de acaso e de estatística — por meio da matemática da sorte e do azar. Com esse método, provou mais ou menos assim sua hipótese: se os primeiros seis algarismos de π são 3,14159 (e eles são), então nenhuma empresa deve manter sistemas de computação que deem conta de 100% de suas necessidades. Toda empresa economiza caso mantenha sistemas próprios e também alugue os serviços de computação de um terceiro, ou, como se diz hoje, caso alugue os serviços de um provedor de computação em nuvem.

Ócio custa dinheiro. Roberto montou sua pesquisa a partir de uma observação da vida real: muita empresa monta o sistema informático para aguentar a carga máxima de processamento de dados, mas essa carga máxima só ocorre de vez em quando. Em outras palavras, a empresa monta o sistema para deixá-lo tempo demais trabalhando a meio vapor — ela desperdiça dinheiro. Como sistemas informáticos são caros, muitas vezes a empresa monta um sistema capaz de aguentar, por exemplo, 90% da carga máxima prevista. Ela confia na sorte; e, às vezes, dá azar. Seria bom, diz Roberto, se a empresa pudesse contratar computação extra só quando precisasse, recorrendo a um desses provedores de computação via internet. Para provar essa afirmação, Roberto usou π.

Estatísticos usam um método conhecido como método de Monte Carlo (MMC): quando querem determinar as probabilidades associadas a uma variável de natureza aleatória, eles colhem amostras daquela variável e, conforme o número de amostras aumenta, ganham boa ideia de quais valores aquela variável pode assumir. Em palavras mais simples, explica Roberto, o MMA serve para estimar a probabilidade de uma variável assumir determinado valor. “O método de Monte Carlo nos ensina o seguinte: num jogo de baralho, se você quer saber qual a chance de sair um ás de paus, a melhor maneira de saber isso é embaralhar muitas vezes, dar as cartas muitas vezes, e contar o número de vezes que a mão de cartas saiu com um ás de paus. É um método estatístico que funciona na força bruta.”

Roberto desenhou um círculo inscrito dentro de um quadrado, e colocou esse desenho num plano cartesiano. Depois colocou um computador para sortear as coordenadas (x, y) dos pontos dentro do quadrado. (Nesse caso, x e y são números racionais, pois computadores não mexem com irracionais; mas a ideia é pensar nesse exercício como se os computadores pudessem lidar com irracionais.) Conforme os dois números sorteados, talvez o ponto caísse dentro do círculo, ou talvez ele caísse dentro do quadrado, mas fora do círculo. A razão entre o evento “cair dentro do quadrado” e o evento “cair dentro do círculo” dá uma aproximação para o valor de π, e vale a pena entender as contas.

Roberto calculou a área A do círculo pelo método comum:

E também calculou a área B do quadrado pelo método comum:

Então, Roberto se perguntou: qual é a razão entre a área B e a área A? E o que essa razão revela sobre π?

O último passo: Roberto chamou o número de pontos sorteados dentro do círculo de n(A), e o número de pontos sorteados dentro do quadrado (incluindo os sorteados dentro do círculo) de n(B). Logo, graças a um dos axiomas de Kolmogorov, se alguém sortear as coordenadas dos pontos por toda a eternidade (coordenadas entre 0 e 2r), e se dividir o número de pontos sorteados dentro de A pelo número de pontos sorteados dentro de B, e se multiplicar o resultado dessa divisão por 4, vai obter o valor exato de π:

“Precisamos fazer bilhões de sorteios para chegar ao valor de π com cinco casas decimais”, conta Roberto. “Mais precisamente, usamos os computadores para sortear 100 bilhões de pontos. Imagine quantos sorteios precisaríamos fazer para chegar ao valor de π com 10 trilhões de casas decimais!” Roberto conseguiu demonstrar o que queria demonstrar desde o começo: ao comparar o custo desse cálculo apenas usando os computadores próprios da empresa com o custo desse cálculo com uma mescla de computadores próprios e computadores alugados na nuvem, o custo da mescla ficou menor. Além disso, com a mescla, Roberto realizou os cálculos mais depressa, pois as empresas que vendem computação via internet em geral instalam computadores de grande porte, que são muito rápidos. “Acho importante alocar a verba para recursos computacionais de modo inteligente.”

Matemáticos vêm calculando o valor de π há muitos séculos e, com os computadores, chegaram a 10 trilhões de casas decimais. Não vão parar por aí. Mesmo assim, π ainda guarda vários mistérios. Os matemáticos ainda não sabem, por exemplo, se π + e, π/e e ln(π) são números irracionais. {}



{2}/ Breve história do número π

Há muitos séculos os amantes de matemática sabem da relação entre a circunferência e o raio de um círculo. Na Bíblia, π aparece duas vezes (em I Reis, 7:23 e em Crônicas 4:2), mas com o valor aproximado de 3. Os babilônios usavam 3,125, e os egípcios, 3,1605. Os antigos geômetras chineses conheciam π com seis casas decimais.

Antônio Marcos Selmini, professor da Faculdade de Tecnologia da Informação (FIAP, como é mais conhecida), diz que o professor de faculdade faz bem se colocar seus alunos para criar algoritmos que resultem no valor de pi. Os alunos têm de converter alguma solução geométrica ou algébrica num algoritmo, e daí podem tanto comparar os algoritmos como podem usar um algoritmo para testar computadores — um computador talvez seja mais lento ou mais rápido ao rodar o tal algoritmo, comparado com outros computadores de configuração diferente.

O símbolo π foi usado pela primeira vez em 1706, pelo matemático galês William Jones, mas ficou famoso depois que Leonhard Euler passou a usá-lo também. Em 1761, Johann H. Lambert demonstrou que π é um número irracional, isto é, não existe um racional a/b, em que a e b são inteiros, com b ≠ 0, que resulte em π. Em 1882, Ferdinand von Lindemann provou que π é também transcendental, ou seja, não é raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais (√2 é irracional mas não é transcendental, pois é raiz da equação x2 – 2 = 0).



{3}/ De onde saem as fórmulas para achar π

No século 3 antes de Cristo, Archimedes usou polígonos inscritos e circunscritos para aproximar o valor de π. O perímetro do polígono inscrito é menor que a circunferência do círculo; e o perímetro do polígono circunscrito é maior. É um método trabalhoso, especialmente se o matemático não usa um sistema posicional, e por isso ele parou quando fez os cálculos para polígonos com 96 lados. Chegou a:

Uns 20 séculos mais tarde, os matemáticos passaram a usar as ferramentas do cálculo diferencial e integral para descobrir fórmulas precisas de π — quase todas são séries infinitas, isto é, somatórios de sequências infinitas de números. Por exemplo, Euler usou análise de Fourier para provar um teorema famoso:

Se o estudante se der ao trabalho de somar os primeiros 100.000 termos do somatório acima, conseguirá calcular π com precisão de quatro casas decimais. Mas há outros jeitos famosos de definir π:

O matemático define a função sen(x) como sendo a soma desta sequência:

Depois disso, ele demonstra que π é o menor número positivo tal que sen(x) = 0.

David Bailey, Peter Borwein, e Simon Plouffe descobriram esta fórmula em 1995:

Por meio do fator 16k, agora os matemáticos conseguem calcular os dígitos hexadecimais de π (isto é, dígitos escritos na base 16) sem que precisem calcular os dígitos que vêm antes. Por exemplo, com esse método, dá para saber que o trilhionésimo dígito hexadecimal de π é 8 — e isso é verdade mesmo que ninguém se dê ao trabalho de calcular os dígitos anteriores.



{4}/ Um ótimo gerador de números pseudoaleatórios

Especialistas em teoria dos números acham que a representação decimal de π é normal na base 10, isto é: os algarismos de 0 a 9 aparecem a esmo, e se alguém pudesse contar todas as vezes que o algarismo 9 aparece na representação decimal de π (que é infinita e não periódica), descobriria que aparece em torno de 10% das vezes. O mesmo vale para os outros algarismos. (Por enquanto, o que já foi provado é: quase todo número real é normal na base 10. Contudo, ninguém ainda provou que esse é o caso de π. Logo, afirmar que π é normal na base 10 é afirmar uma conjectura.) Duas consequências práticas dessa característica: o estudante pode usar π como gerador de números aleatórios; e existe boa probabilidade de que qualquer sequência de algarismos, não importa qual seja o comprimento da sequência, esteja em algum lugar da representação decimal.

Um exemplo da utilidade dos números aleatórios: caso o estudante pegue os primeiros 80 algarismos da representação decimal de π, e os separe em dez grupos de oito algarismos, tem nas mãos dez ótimas senhas de oito algarismos — feitas sem nenhuma regra aparente.

14159265

35897932

38462643

38327950

28841971

69399375

10582097

49445923

07816406

28620899

Uma desvantagem: como os hackers sabem que certas pessoas usam π como gerador de números pseudoaleatórios, testam tais números quando tentam invadir um sistema.

Agora um exemplo de números significativos para os humanos que aparecem na representação decimal de π:

Número

Em que algarismo da representação decimal de π esse número começa

8.549.000 quilômetros quadrados (a área do Brasil).

13.875.152º

2,7182818 é o número e com sete casas decimais.

73.154.827º

14031889, que pode ser visto como 14/03/1889,  a data de nascimento de Albert Einstein.

74.434.701º

18/04/1955 é a data em que Einstein morreu.

91.956.065º

1111121, que pode ser visto como 11 × 11 = 121.

2.645.269º

No romance Contato, de Carl Sagan, os alienígenas informam que, a partir de certo algarismo, o número π deixa de ser psudoaleatório e passa a revelar uma mensagem escrita em zeros e uns. Essa mensagem seria destinada a civilizações avançadas, pois só elas conseguem calcular a representação decimal de π com precisão. Será? E se essa mensagem for “Alguém viu onde deixei minhas chaves?”

Aliás, muita gente ouve falar dessas características de π e tem ataques de misticismo. Não há absolutamente nada de místico em π. O número irracional 0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21… certamente contém todo tipo de informação que possa ser codificada em algarismos decimais, mas ninguém tem ataques de misticismo com esse número. (Esse número se chama constante C10 de Champernowne.) O mesmo vale para a constante C2 de Champernowne, que é o irracional 0,0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001…; para montá-la, basta contar os inteiros não negativos por meio do sistema posicional binário. Essa constante certamente contém todo tipo de informação que possa ser convertida em bits, e é fácil calcular em que algarismo depois da vírgula certa sequência começa, mas, de novo, ela não provoca ataques de misticismo em ninguém.



{5}/ Uma rachadura na matemática

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) usou π para demonstrar que a lei do terceiro excluído, tão importante na lógica, nem sempre funciona na matemática. Segundo essa lei, negar uma afirmação duas vezes (¬¬p, ou não-não-p) sempre significa afirmá-la (p). Exemplo: “Não é o caso de que algum homem não seja mortal” significa dizer “todos os homens são mortais”. O desbanque de Brouwer funciona mais ou menos assim:

O matemático pode provar logicamente que, em algum lugar da representação decimal de π, existe a sequência 00112233445566778899. Pois, caso diga que essa sequência não está lá, então diz que, para todos os algarismos da representação decimal de π, não é o caso de que 00112233445566778899 apareça na representação. Mas ele não pode usar a matemática para provar essa afirmação. Mesmo que descubra o valor de π com 20 trilhões de casas decimais, ou 100 trilhões, ou 900 sextilhões, haverá sempre infinitos algarismos para descobrir e verificar. Ora, escreveu Brouwer, se não é verdade que todos os dígitos da representação decimal de π não contêm a sequência 00112233445566778899, então, se a lei do terceiro excluído valesse em qualquer situação, deveria ser verdade que, em algum lugar da representação decimal, tal sequência existe. Esse argumento é inaceitável, pois, para aceitá-lo, de novo o matemático deve checar toda a representação decimal de π, o que é impossível — e sempre será, por toda a eternidade. Com esse argumento, Brower demonstrou que o matemático deve tomar cuidado ao usar a lei do terceiro excluído, assim como toda prova por redução ao absurdo, especialmente quando mexe com conjuntos infinitos.

As inquietações de gente como Brower levou ao que hoje se chama “matemática construtiva”, que é interessante: seus praticantes interpretam a sequência de símbolos “xP(x)” não como sendo “existe um x tal que a afirmação P(x) é verdadeira”, mas sim como sendo “eu posso construir um x tal que, depois disso, posso provar que P(x) é verdadeira”. Em outras palavras, se o praticante não puder construir o tal x, nada deve dizer sobre o valor de verdade das proposições nas quais x aparece. Outro exemplo: seus praticantes interpretam a afirmação “P Q” não como sendo “P é verdadeira ou Q é verdadeira”, mas sim como sendo “eu posso provar P, ou então eu posso provar Q”. Se o matemático não pode provar nem P nem Q, nada deve dizer sobre o valor de verdade de P Q.

David Hilbert achava que a matemática construtiva impõe restrições demais ao matemático, e que torna a pesquisa matemática impossível. Até hoje essa opinião é comum — contudo, é falsa. Como o matemático americano Errett Albert Bishop provou em 1967, o matemático pode reescrever imensas porções da matemática mais avançada e abstrata recorrendo aos critérios e aos métodos da matemática construtiva — e isso também significa que ele pode implementá-las num computador. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 14, março de 2012, pág. 36. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. Parte das entrevistas foi realizada pelo jornalista Evanildo da Silveira.

Um geômetra bom de bilhar


Certo professor reuniu duas paixões, bilhar francês e matemática, e sem querer compôs uma bela defesa das virtudes da imaginação.

A aprendizagem de sucesso funciona assim: trabalho, trabalho, trabalho, orientação inteligente, rivalidade contra si mesmo, e gosto pelo que se está fazendo.

Eduardo Marques de Sá, professor de matemática e bilharista desde os 15 anos


 

{1}/ Experimentos: práticos ou pensados?

Eduardo Marques de Sá, professor de matemática na Universidade de Coimbra, começou a praticar o bilhar francês aos 15 anos, por influência do pai. Eduardo diz que seu pai era tão bom no bilhar, mas tão bom, que dava a impressão de que as bolas lhe obedeciam. “Ele conseguia pô-las em qualquer canto da mesa.” Mais tarde, na universidade, Eduardo se matriculou no curso de engenharia elétrica (no qual estudou física e mecânica), que por fim trocou pelo curso de matemática pura. Com a matemática, descobriu que, em condições ideais, um jogo de bilhar está determinado antes mesmo de começar. Caso a mesa, os tacos, as bolas e as tabelas sejam perfeitas, e caso o matemático conheça os índices de atrito e a elasticidade das tabelas, dos tacos, das bolas e do feltro verde, então pode usar equações diferenciais parciais para modelar o jogo com perfeição a partir da posição inicial. “Uma vez fixadas as condições iniciais”, diz Eduardo, “esse sistema de equações diferenciais tem solução única.” Isso quer dizer que, se existisse um robô bilharista, capaz de olhar a mesa, resolver equações diferenciais em segundos e de tacar com perfeição, e se esse robô ganhasse no cara e coroa o direito de tacar primeiro, ele carambolaria o tempo todo e ganharia o jogo de zero.

Bilhar francês (Brasil) ou bilhar de carambola (Portugal). Os jogadores usam só três bolas, uma vermelha (a carambola) e duas brancas (sendo uma lisa e uma marcada com pontos). A mesa tem tabelas (bordas), mas não caçapas. Caso um jogador carambole (bata a sua bola branca contra a carambola e contra a bola branca do adversário, ou vice-versa), marca um ponto e ganha o direito de jogar de novo.

Felizmente para os jogadores de bilhar, esse robô não existe, nem existem tacos, bolas, tabelas, e tacadas perfeitas, nem o matemático conhece os dados da posição inicial. Talvez o chão onde a mesa de bilhar se apoia esteja num ligeiro desnível. Talvez uma pequena cova tenha se formado na mesa, quase invisível debaixo do feltro. Talvez um grânulo de giz provoque mau contato entre a bola branca e a carambola. “Nesses casos”, diz Eduardo, “encontramo-nos no domínio do aleatório — no domínio da sorte e do azar.”

É no instante em que o opositor dá azar que o bom bilharista revela o quanto treinou, pois ele treina centenas de vezes a posição do corpo, o jeito de segurar o taco com a mão direita e a esquerda, o movimento de tacado para obrigar a bola a girar sobre si mesma e a fazer curvas, o controle da força a aplicar nos milissegundos de choque entre taco e bola. “Quando uma tacada falha”, diz Eduardo, “eu repito essa tacada muitas vezes, alterando só um pouquinho as condições. Eu repito e altero as condições, repito e altero, até acertar. Com o tempo, aprendo por que certa ação produz certo efeito, e em que dose devo dosar a ação. A aprendizagem de sucesso funciona assim: trabalho, trabalho, trabalho, orientação inteligente, rivalidade contra si mesmo, e gosto pelo que se está fazendo.”

Essa história do matemático bilharista ilustra bem uma característica da matemática: o bilharista comum não precisa de matemática para jogar bem, assim como muita gente comum não precisa de matemática para ir bem na vida — ambos só precisam praticar; podem até ignorar a existência da matemática. Com o empenho, o bilharista ganha conhecimentos sobre fenômenos mecânicos e sobre tópicos de geometria, álgebra vetorial, cálculo diferencial. Mas, assim como o matemático bilharista, qualquer um ganha quando consegue estudar o que faz à luz da matemática, e ganha também uma vantagem extra: o bilharista tem prazo de validade (um bilharista profissional, diz Eduardo, tem de enxergar perfeitamente), enquanto o matemático pode se aventurar no país da matemática até a morte.

Frenagem exponencial. Eduardo deu aulas na Universidade de Coimbra por 30 anos; já se aposentou, embora continue a dar aulas na universidade e a investigar problemas de geometria, álgebra e combinatória. Também dá aulas para crianças do ensino fundamental. Além disso, se juntou a outros professores de Coimbra e fundou a Escola Delfos, onde crianças e jovens se preparam, de graça, para disputar olimpíadas de matemática em Portugal e no mundo. Na Escola Delfos, Eduardo e seus colegas costumam dar aulas nos fins de semana, e ajudam os jovens a estudar técnicas de resolução de problemas, geometria, combinatória, desigualdades, funções. Ao todo, só na Delfos, dão umas 200 horas de instrução por ano, sempre aos finais de semana.

Na década de 1970, Eduardo teve a ideia de escrever um programa de computador para o cálculo de tacadas, e quando começou a trabalhar nisso, percebeu que precisaria usar toda a matemática e a física que sabia para estudar o jogo. “Foi uma ideia feliz”, diz Eduardo. “Aproveitei esse programa nas aulas de aplicações de matemática para alunos de engenharia, e por fim escrevi um artigo científico sobre os fundamentos teóricos do programa, nomeadamente o como e o porquê as bolas se movem sobre o feltro verde.”

Quase sempre, diz Eduardo, ele não leva seus alunos a mesas de bilhar. Prefere usar seus conhecimentos para realizar “experimentos pensados”, pois, para que o aluno aproveitasse uma aula prática, jogando bilhar de verdade, teria primeiro de aprender a jogar. “Ambas as pegas, a da mão direita e a da mão esquerda, são difíceis de aprender”, diz Eduardo. “Também é difícil pegar o taco direito e manter o equilíbrio. A pessoa não teria tempo de aprender tudo isso e passar à matemática.” (Eduardo não está falando de jogar bilhar do modo como os amadores brasileiros jogam sinuca em bares; está falando de jogar bilhar francês com toda a técnica correta.) Nesses experimentos imaginados, o professor e os alunos usam matemática para conversar sobre trajetórias, frenagem exponencial, plano cartesiano, vetores, rotações elementares, relações lineares entre variáveis, leis geométricas de reflexão, atrito, elasticidade. Depois das aulas, se quiserem, os jovens podem se reunir em grupos para jogar bilhar e ver como a teoria se concretiza na prática. Eis o que podem ver e discutir:

A estratégia do jogo se resume a como tacar de modo a determinar a trajetória da bola branca e fazê-la bater na bola vermelha e na bola branca do adversário (ou vice-versa), além de fazê-la parar num lugar conveniente para a próxima tacada.

Visto que o jogador de bilhar francês tem de fazer sua bola branca bater em duas bolas, ele com frequência precisa recorrer a técnicas difíceis de tacado; seu objetivo é fazer a bola branca girar sobre si mesma a ponto de percorrer trajetórias curvilíneas. Uma dessas tacadas, diz Francisco, se chama tacada em massé. O jogador segura o taco em posição quase vertical, e faz a bola branca girar a alta velocidade sobre si mesma, ao mesmo tempo em que viaja a baixa velocidade sobre o feltro. “As tacadas em massé”, diz Eduardo, “são o ponto culminante no controle de curvas.”

Segundo os modelos matemáticos, uma bola seguirá em trajetória 100% retilínea se e somente se o taco estiver em posição perfeitamente horizontal em relação à mesa; isto é, mesa e taco ficam em planos paralelos. Mesmo que a bola siga viagem girando em sentido horário ou anti-horário, seguirá em trajetória quase retilínea caso o taco tenha estado em paralelo com a mesa no momento da tacada. O atrito provocado pelo giro no equador da bola não é suficiente para alterar significativamente a trajetória. Contudo, o giro da gola terá efeito quando bater na outra bola.

Se a bola for picada, isto é, se o jogador segurar o taco com algum ângulo diferente de zero em relação à mesa, a bola vai girar de um modo complexo sobre si mesma; haverá uma combinação de giros horizontais e verticais. Com essa combinação de giros, a bola avançará em trajetória curva para a direita se estiver girando no sentido anti-horário (vista de cima) e em trajetória curva para a esquerda se ela estiver girando no sentido horário. Quanto maior a inclinação do taco em relação à mesa, maior a mistura de giros horizontais e verticais, e mais curvada a trajetória. “Se o jogador pretende uma trajetória de curva acentuada para a esquerda, por exemplo, deve tacar com o taco bem inclinado, com forte efeito sobre o lado esquerdo da bola, e deve tacar uma bola bem puxada, isto é, percutida abaixo do equador.” Com a puxada, a bola reduz a velocidade (pois o giro vertical ocorrerá no sentido oposto ao da trajetória) e aumenta o efeito do giro horizontal no sentido horário. “Quando o bilharista compreende tudo isso, fica bem perto de realizar tacadas em massé.”

O poder da genética. Eduardo faz questão de frisar que o bilharista aprende tudo isso praticando. Ele não precisa de matemática. O método usado pelo bilharista para acumular conhecimentos é parecido com o método dos cientistas: é o método experimental. “O ego matemático sente algum conforto ao descobrir que muitos bilharistas conhecem e usam um teorema de 1835, do matemático francês Gustave Coriolis”, diz Eduardo. “Esse teorema nos dá uma regra prática para determinar a direção assintótica da bola à saída duma tacada em massé. Os conceitos físico-matemáticos podem iluminar o caminho da vitória num jogo de bilhar, mas a vitória mesmo o jogador só consegue com treino.”

Uma vez, Eduardo estava com a filha, então com 16 anos, num café onda havia uma mesa de sinuca. (Sua filha nunca gostou de matemática.) Dois jovens desafiaram Eduardo e a filha para um jogo de dupla contra dupla. Eduardo aceitou e, antes que tivesse tempo de dar instruções à filha (como passar o giz, como tacar sem furar o feltro), a moça pegou um taco, passou giz, e começou a encaçapar bola atrás de bola. “As bolas faziam aquele plock! com a entrada violenta na caçapa”, diz Eduardo. “Ela fazia gemer o giz na ponta do taco e não tirava os olhos da mesa.” Por causa da filha, Eduardo já sabia que não existe um gene da matemática. “Mas, naquele dia, comecei a acreditar na existência dum gene bilharista!” {}



{2}/ As mesas de bilhar da Atractor e um pouco de teoria

Uma vez, o professor Eduardo achou vantajoso levar seus alunos para jogar bilhar de verdade: ele os levou de Coimbra para Lisboa para visitar a exposição Matemática Viva, que ficou em cartaz por dez anos (fechou em 2010). A atração mais famosa da exposição era uma sala com três mesas de bilhar diferentes: uma mesa elíptica, uma hiperbólica, e uma parabólica. As três ficaram conhecidas como mesas Atractor, porque foram construídas pela Associação Atractor: Matemática Interativa.


O bilhar elíptico. Os técnicos da Atractor montaram uma mesa com a tabela (isto é, a borda) no formato duma elipse; puseram uma caçapa no foco 1 e uma marca bem visível no foco 2. Caso o jogador atire uma bola na direção do foco 2, ela deve ir direto para a caçapa. Caso o jogador ponha a bola bem em cima do foco 2, pode tacá-la em qualquer direção: ela vai bater na tabela e ir direto para a caçapa.

 

Algumas propriedades da elipse

Se P é qualquer ponto na curva da elipse cujos focos são F1 e F2, e cujo eixo maior igual a 2a, então |PF1| + |PF2| = 2a. Visto que o estudante pode interpretar uma elipse como o lugar geométrico de todos esses pontos, pode também construir uma elipse assim: arranja um fio de comprimento igual a 2a, prende uma ponta desse fio a um prego fixado no foco F1 e a outra ponta a um prego fixado no foco F2, põe um lápis vermelho num ponto P (com o fio passando por fora do lápis) e, mantendo o fio bem esticado, desenha a elipse.


O bilhar hiperbólico. Neste caso, os técnicos da Atractor puseram uma das tabelas em formato de hipérbole, desenharam o outro ramo da hipérbole sobre o feltro, puseram uma caçapa no foco do ramo desenhado (no desenho, o jogador pode imaginar a caçapa em F2), e puseram uma marca no foco do ramo em formato de tabela (F1). Caso o jogador atire uma bola na direção do foco F1, o foco marcado, a bola deve bater na tabela e ir parar no foco F2, onde está a caçapa.

Algumas propriedades da hipérbole

A principal característica da hipérbole: a distância entre o ponto P e o foco F2 menos a distância entre o ponto P e o foco F1 é constante, e equivale a 2a.


O bilhar parabólico. Neste caso, os técnicos da Atractor montaram uma das tabelas no formato do arco de uma parábola e, no foco desse arco, puseram a caçapa. Caso o jogador taque a bola na direção da parábola, em trajetória paralela às duas laterais retas, a bola vai parar direto na caçapa.

 

 

Algumas propriedades da parábola

Uma curva parabólica, uma linha arbitrária L (perpendicular ao eixo de simetria da parábola), o vértice V, e o foco F. Neste caso, o comprimento de qualquer linha azul ligando F a qualquer Pn e a qualquer Qn é sempre o mesmo. Isso é o mesmo que dizer: uma parábola é também uma elipse, mas uma elipse cujo outro foco está localizado a uma distância infinita de F.


A tacada. Quando um bilharista matemático taca, ele usa o taco para dar uma pancada de força equivalente ao vetor T no ponto A da bola (pintado de amarelo). Se a reta AB do taco passa pelo centro G, a bola sai da tacada sem rotação. Caso contrário, a reta AB e o centro G formam um plano, chamado plano do equador da tacada (pintado de vermelho). A rotação da bola ao final da tacada será perpendicular a esse plano (no desenho, a rotação está mostrada pelo vetor Ω0).


A técnica de picar a bola. O bilharista matemático pica a bola quando põe um ângulo α diferente de zero entre o plano em que está o taco e o plano em que está a mesa. O bilharista chama esse ângulo α de alça do taco. Quanto maior a alça, maior será a rotação da bola sobre si mesma, e menor sua velocidade.

No caso de alças com valor próximo de 90 graus, o bilharista chama a tacada de tacada em massé.


As curvas do bilhar. A bola de bilhar sofre atrito com o tecido de feltro no ponto C, o ponto de contato. A velocidade da bola no ponto C é o que determina o atrito: quanto maior a velocidade, maior o atrito. As duas figuras mostram como a bola se comporta depois que o bilharista matemático taca (no ponto amarelo). Na figura de cima, o bilharista deu uma tacada horizontal no ponto A; como a tacada foi horizontal num ponto A no hemisfério esquerdo, a bola deve seguir numa leve curva à esquerda; como a tacada ocorreu no hemisfério superior, a bola é seguida: no momento do choque com a outra bola, ela estará girando no sentido da trajetória, e tende a seguir a trajetória da outra bola. Se a tacada fosse horizontal no hemisfério esquerdo, mas o ponto A ficasse no hemisfério inferior, a bola seria puxada: no momento do choque, ela estaria girando no sentido contrário ao da trajetória, e voltaria para trás, como que puxada na direção do bilharista.

Na figura de baixo, o bilharista deu uma picada na bola (bateu num ponto abaixo do equador da bola, mas com o taco em ângulo com o plano da mesa), e a fez girar no sentido quase horário. A linha do taco AB determina o equador da tacada. Como a força de atrito em C não é paralela ao vetor da velocidade, a trajetória da bola se encurva bastante para a esquerda, que é mais ou menos condizente com o ponto da picada (picada à esquerda, bola à esquerda; picada à direita, bola à direita).


Tacadas em massé. A figura à esquerda mostra uma tacada em massé, com alça de 85 graus (isto é, com o taco fazendo 85 graus com a mesa); a figura superior mostra como o bilharista vê a bola e a trajetória (vista de cima). Todas as trajetórias se referem a uma tacada aplicada no mesmo ponto; para escolher uma das trajetórias, o bilharista varia a intensidade com que taca a bola.

Na figura inferior, o bilharista vê de cima a bola e várias trajetórias;  a alça de ataque é a mesma (85 graus), assim como a intensidade da tacada, e o bilharista matemático escolhe a trajetória conforme varia o ponto de ataque (mostrado na faixa amarela). Se ele tacar no centro da bola (dividindo a bola em dois hemisférios), ela seguirá adiante; se tacar à esquerda, ela seguirá numa curva à esquerda; se tacar à direita, ela seguirá numa curva à direita. “Se o bilharista quiser que a bola acerte um alvo com grande rigor”, diz Eduardo, “as tacadas horizontais [com alça igual a 0 grau, isto é, com o taco paralelo à mesa] ou picadas sem efeito lateral são as mais fiáveis.”

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 14, março de 2012, pág. 44. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevista foi realizada pelo jornalista Renato Mendes, que na ocasião vivia em Lisboa.

Na ponta do lápis: somos livres ou gostaríamos de ser livres?

Está surgindo um novo tipo de pensador, o filósofo experimental. Ele (ou ela) faz experimentos controlados no mundo real e estuda os dados com estatística. Um desses filósofos tem discutido o problema da liberdade — e de sua irmã gêmea, a responsabilidade.


{1}/ Filósofos inconscientes de que são comuns

Muita gente não sabe que há milhares de conexões importantes entre a filosofia e a matemática. E também não sabe que, se um filósofo conhece muito pouco de matemática, ou se um matemático conhece muito pouco de filosofia, acaba virando motivo de piada entre seus colegas mais competentes. Contudo, mesmo entre aqueles que já ouviram falar sobre algumas das conexões entre matemática e filosofia, poucos diriam que um sujeito fazendo experimentos no mundo real, e analisando os dados com estatística, está fazendo filosofia.

Nos Estados Unidos, contudo, Shaun Nichols tem filosofado com o apoio de estatística, ou, mais precisamente, tem filosofado ao aplicar métodos quantitativos a experimentos de campo, como se fosse um antropólogo. Ele é professor do departamento de filosofia da Universidade do Arizona, e está vendo até que ponto um experimento de natureza estatística faria a filosofia avançar. “Há uns doze anos”, diz Nichols, “comecei a fazer experiências práticas e a analisar os resultados dessas experiências com estatística.” Desse jeito, Nichols tem estudado como uma cultura evolui, até que ponto as teorias sobre a imaginação humana batem com a realidade e, principalmente, tem estudado filosofia.

Em março de 2011, publicou um artigo na revista Science (uma revista científica importante) com o título A Filosofia Experimental e o Problema do Livre-Arbítrio. Nichols apresentou a voluntários o seguinte cenário: imagine um mundo 100% determinístico. Tudo o que acontece agora é resultado direto e inescapável do que aconteceu antes; se você conhece todos os fatos relativos a determinado instante, consegue prever todos os fatos relativos ao instante seguinte. Se Mark tirou uma camisa azul do armário, e está prestes a vesti-la diante do espelho, é porque os eventos antes disso o levaram a tirar a camisa azul do armário e a vesti-la. Se Bill segura um pente com a mão direita, e está prestes a pentear o cabelo, é porque os eventos antes disso o levaram a ter o pente na mão direita.

Determinístico. Na matemática, um sistema determinístico sempre se desenvolve do estado inicial ao estado final da mesmíssima maneira, isto é, se nada muda no estado inicial, nada muda em nenhuma etapa do desenvolvimento nem no estado final.

“Nesse universo determinista”, perguntou Nichols aos voluntários, “existe livre-arbítrio? É possível que uma pessoa seja responsável por suas ações?”

A maioria dos voluntários disse que, num universo assim, ninguém é realmente responsável por seus atos. Não, não existe livre-arbítrio num universo assim.

Nichols prosseguiu com a história. Mark se senta à mesa no escritório e se prepara para sonegar impostos, como faz todo ano. Os eventos antes disso o levaram a sonegar impostos — ele não teve escolha, ou assim as coisas lhe pareceram. Mark é responsável por seus atos?

A maioria dos voluntários continuou achando que, num universo determinista, como o próprio nome diz, Mark não tem escolha. Tudo já está determinado. Mark é parte ínfima de uma gigantesca máquina, que o obriga a agir do modo como age. Não, não existe livre-arbítrio num universo assim.

Nichols mudou a história para Bill. Ele está perdidamente apaixonado por sua secretária. Nesta manhã, já está tudo organizado: ele viajará com a secretária e, enquanto estiver fora, um assassino de aluguel matará sua mulher e seus três filhos. É a única maneira de ficar com a secretária. Os eventos antes disso levaram Bill a tomar tal decisão — vivendo num universo determinista, ele não tinha escolha, ou assim as coisas lhe pareceram.

Desta vez, 70% dos voluntários se rebelaram: Bill é sim responsável por seus atos. Um crime hediondo como esse não pode ficar impune. “As pessoas são tão consistentes nesse ponto”, diz Nichols, “que elas classificam o assassino hipotético como responsável por seus atos mesmo quando ele tem graves problemas mentais.”

Isso é filosofia? Esse jeito incomum de fazer filosofia, diz Nichols, nasceu de uma frustração. “As perguntas pelas quais eu me interessava não estavam sendo investigadas. Tentei extrair minhas respostas de outros estudos, mas eles estavam distantes dos meus temas. Depois tentei pedir a psicólogos que fizessem os experimentos para mim, mas eles têm uma agenda diferente da minha. Então passei a fazer as experiências eu mesmo.”

Nichols estudou estatística, leu vários livros, e fez muitas perguntas sobre métodos quantitativos para outros cientistas. “Acho que é mais útil tirar dúvidas de estatística com outros cientistas sociais do que com matemáticos”, diz Nichols, meio de brincadeira. “Outro dia, fui tirar uma dúvida com meu colega do departamento de matemática. Eu precisava saber que ferramenta da estatística era melhor para estudar certo conjunto de dados. Ele me explicou seis opções distintas. Então, fiz a mesma pergunta a um psicólogo. Ele me disse que, para aquele tipo de dados, todos os psicólogos usam a ferramenta tal. Ponto.”

Agora, adianta alguma coisa fazer perguntas para pessoas comuns? Elas por acaso sabem filosofar? Elas sabem, como Michel de Montaigne (1533-1592), escrever um argumento dizendo que um assassinato pode ser moralmente desonesto, mas ainda assim útil para a comunidade? Nichols acha impossível resolver problemas importantes da filosofia fazendo perguntas às pessoas na rua, ou mesmo na universidade, pois elas não têm treinamento em filosofia. O que ele pretende é outra coisa. “Muitos filósofos diriam que o que estou fazendo não é filosofia”, diz Nichols. “Contudo, o que conta como filosofia mudou muito ao longo dos séculos.”

Nichols está interessado em três aspectos de seus experimentos. Primeiro, eles mostram que pessoas comuns reagem ao problema do livre-arbítrio mais ou menos do mesmo modo como os filósofos reagiram ao longo dos séculos: em circunstâncias de aparência menos determinista, os filósofos deram maior importância às consequências dos pensamentos e das decisões humanos; em circunstâncias de aparência mais determinista, deram menor importância às consequências do livre-arbítrio, ao ponto de, às vezes, afirmar que o livre-arbítrio não existe. Exatamente como as pessoas comuns. Isso mostra que muitos filósofos raciocinam em termos de livre-arbítrio mais ou menos como pessoas comuns — a única diferença é a linguagem, que, no caso de filósofos profissionais, é mais cheia de abstrações técnicas.

Segundo, as pessoas comuns, assim como vários filósofos, têm uma ideia errada de determinismo. Elas acham que, se o que acontece hoje pode ser explicado pelo que aconteceu antes, então não existe livre-arbítrio. “Esse é um erro fundamental”, diz Nichols. O que acontece antes explica o que acontece agora, mas não justifica o que acontece agora: Bill poderia escolher não matar sua família, assim como Mark poderia escolher não sonegar impostos — e ambos teriam de aceitar as consequências de suas decisões. “As pessoas acham que, se existe determinismo, então nossos pensamentos e decisões não fazem parte das causas”, diz Nichols; em outras palavras, nosso pensamentos e decisões estariam sempre no conjunto das consequências. “No entanto, não é isso o que o determinismo representa. Nossos pensamentos e decisões são tanto consequência das circunstâncias quanto causa das circunstâncias.” Para Nichols, usar a estatística para entender como as pessoas reagem a cenários hipotéticos ajuda o filósofo a fazer a si mesmo uma pergunta importante: Será que estou usando palavras técnicas somente para pôr o senso comum no papel?

Terceiro, pessoas comuns e filósofos tendem a mudar de opinião conforme estão mais ou menos emocionados. Quando eles rejeitam o livre-arbítrio num universo hipotético e numa ação mais técnica (como sonegar impostos), estão raciocinando com maior frieza — e, nessas condições, tendem a se colocar no lugar do outro e a perdoar. Quando eles ficam emocionados com a ação hipotética (o sujeito vai matar a própria família) e, por conta disso, reafirmam a existência do livre-arbítrio, estão raciocinando com menor frieza — e, nessas condições, tendem a procurar um culpado.

O mais difícil da filosofia experimental, diz Nichols, é projetar um bom estudo. “O trabalho não deve ser uma pesquisa de opinião. A filosofia experimental é sobre como descobrir algo mais profundo do que aquilo que os dados mostram.”



{2}/ Uma relação antiga

Edélcio Gonçalves de Souza, professor de filosofia da PUC-SP, diz que quase todos os grandes temas da matemática nasceram de investigações filosóficas. “Uma tentativa de definir o conceito de verdade como correspondência entre o que pensamos e os fatos”, diz Edélcio, “deu origem a um ramo da lógica matemática conhecido como teoria de modelos.” Da mesma forma, uma investigação filosófica sobre o que significa fazer cálculos deu origem à teoria das funções recursivas, que é uma das teorias nas bases da computação. Hoje em dia, Edélcio acha que os filósofos têm aprendido bastante com os matemáticos sobre coisas como o que significa montar uma ótima demonstração de uma afirmação qualquer.

Sobre determinismo, no século 20 os matemáticos conseguiram fazer uma distinção importante: existem sistemas determinísticos cujo comportamento é, apesar disso, imprevisível. (No seguinte sentido: uma muito pequena alteração no estado inicial pode provocar alterações enormes no estado final; em certos sistemas, nem um especialista consegue prever as consequências, no estado final, de uma pequena alteração que ele faça no estado inicial.) São os sistemas dinâmicos (nome técnico) ou os sistemas caóticos (nome popular). “A teoria do caos nos mostra que sistemas determinísticos podem apresentar comportamento imprevisível.” Quando Shaun Nichols mostra que os humanos não acreditam em livre-arbítrio num universo determinístico, mostra que eles não compreendem bem o que é um sistema dinâmico — do qual todo humano, com seus pensamentos e decisões, faz parte. (Aqui há uma premissa implícita: o leitor, se quiser, pode ver o universo como um enorme, e supercomplicado, sistema dinâmico.) Tudo o que existe hoje pode ser explicado à luz do que aconteceu antes, mas, ainda assim, muita coisa poderia ter sido diferente, caso os humanos tivessem estudado a arte e o ofício de pensar melhor, e decidido de modo diferente. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 7, agosto de 2011, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A seção a seguir é inédita.



{3}/ Apêndice: Termostatos e Sartre

Duas breves observações. Primeira, os filósofos sempre se interessaram por matemática, e sempre a usaram — desde os pré-socráticos. Eles sempre filosofaram sobre matemática (isto é, a matemática era objeto de suas investigações filosóficas). Hoje em dia, a filosofia da matemática está muito bem desenvolvida, e é uma especialização que exige do praticante anos de treinamento técnico intenso. Além disso, os filósofos sempre usaram a matemática como ferramenta intelectual para filosofar sobre outras coisas que não a própria matemática. Se o leitor gostaria de ter uma ideia sobre como usar matemática para filosofar, estude dois ótimos livros: More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy, de Eric Steinhart (um filósofo americano), e Philosophical Devices: Proofs, Probabilities, Possibilities, and Sets, de David Papineau (um filósofo britânico). (Os dois livros estão ao alcance de quem concluiu apenas o ensino médio, mas, se o leitor tem alguma prática com filosofia e matemática, daí os dois livros se tornam excelente fonte de aventuras intelectuais.)

Portanto, o que Shaun Nichols fez é novidade não exatamente porque usou matemática, mas porque usou matemática para entender melhor os dados obtidos em experimentos no mundo real (esse é o método da ciência) e, com isso, entender melhor o modo como os filósofos pensam — sem que, muitas vezes, tenham consciência de que estão pensando desse ou daquele modo. Talvez você queira resumir o trabalho dele assim: “OK, vamos fazer uns experimentos para ver como as pessoas comuns pensam. Agora, vamos ver se os filósofos também pensam como as pessoas comuns, e sem perceber isso. Por último, visto que comprovamos que muitas vezes os filósofos pensam como as pessoas comuns, e que não estão perfeitamente conscientes disso, vamos analisar a filosofia que produziram para ver se foi produzida por argumentos racionais ou se foi produzida por métodos inconscientes e vulgares de pensamento.”

Segunda observação. A literatura sobre o problema do livre-arbítrio, e sua relação com a liberdade e a responsabilidade de cada pessoa, é vasta, complicada, muito técnica. Porém, pode ser resumida, se o leitor não fizer questão de um resumo inquestionável. A seguir, pode ver um resumo do argumento mais famoso sobre a verdade do determinismo, isto é, sobre a ilusão de liberdade e de responsabilidade:

P1. Ninguém tem poder sobre os fatos do passado e sobre as leis da natureza.

P2. Ninguém tem poder sobre o fato de que os fatos do passado e as leis da natureza implicam cada um dos fatos do futuro. (Em outras palavras, o determinismo é verdadeiro.)

C1. Portanto, ninguém tem poder sobre os fatos do futuro.

Esse é um argumento poderoso, e muito difícil de refutar. Com frequência, os compatibilistas (para os quais o determinismo, a liberdade, e a responsabilidade são compatíveis) recorrem a uma analogia para deixar seus argumentos mais claros: a analogia do termostato.

Imagine uma sala na qual há um termostato, ligado a um sistema de refrigeração do ar e a um sistema de aquecimento do ar. O termostato não deixa a temperatura da sala baixar para menos de 19 graus Celsius nem subir para mais de 21 graus. Em outras palavras, o termostato faz com que a temperatura t fique entre 19 e 21 graus, ou seja, 19 ≤ t ≤ 21.

Você pode dizer que tudo a respeito da vida do termostato está previamente determinado. Conhecendo as variações de temperatura, a programação do termostato, e os detalhes de como ele entra em ação (para ligar ou desligar os sistemas de refrigeração e de aquecimento), você pode prever com precisão o que o termostato vai fazer, uma fração de segundo antes que ele entre em ação.

Contudo, o termostato é um agente. Ele de fato toma decisões. Ele é de fato responsável por manter a temperatura da sala dentro de determinados níveis máximos e mínimos. Se ocorre um pequeno defeito no termostato, por exemplo numa de suas tabelas, tabela essa gravada numa de suas memórias, talvez 18,5 ≤ t ≤ 21,5. Se você entra na sala, mede a temperatura do ar, e descobre que está a 18,5 graus, pode dizer: “O termostato não entrou em ação. O que está acontecendo com ele? Por que não ligou o aquecedor?” Você vai reconhecer que o termostato é um agente, e que ele poderia ter agido de maneira diferente, e que influi no ambiente; você vai reconhecer que, com ele, o ambiente funciona de certa maneira, mas que, sem ele, funciona de maneira distinta.

Pois bem, cada ser humano é como um termostato. É bem possível que cada humano siga um programa, mas esse programa, por enquanto, beira o incompreensível, de tão complicado que é. Em particular, esse programa exige que o agente atribua significado ao que acontece à sua volta antes de tomar uma decisão e de agir — e, de acordo com Sartre, isso muda tudo.

Eis um jeito de resumir o argumento de Sartre, contido no livro O Ser e o Nada:

P1. Para que um certo estado de coisas provoque uma ação humana, mas de maneira determinística, é preciso que a eficiência daquele estado de coisas em provocar causas seja exclusivamente derivada das características do estado de coisas.

P2. Qualquer estado de coisas que você possa considerar não tem, por si mesmo, nenhum significado.

P3. Se um estado de coisas não tem nenhum significado por si mesmo, então seu significado deve ser a ele atribuído pela pessoa que está vivenciando o estado de coisas.

C1. O significado de um estado de coisas deve ser a ele atribuído pela pessoa que o está vivenciando. (Modus ponens, P2, P3.)

P4. O significado de um estado de coisas é a fonte de seu poder para motivar (ou causar) uma ação humana.

P5. Se o significado de um estado de coisas é a fonte de seu poder para motivar (ou causar) uma ação humana, então, no caso das ações humanas, a eficiência de um estado de coisas em provocar causas não é exclusivamente derivada das características do estado de coisas.

C2. No caso das ações humanas, a eficiência de um estado de coisas em provocar causas não é exclusivamente derivada das características do estado de coisas. (Modus ponens, P4, P5.)

C3. Nenhum estado de coisas pode, de maneira determinística, causar uma ação humana. (Modus tollens, P1, C2.)

P6. Se nenhum estado de coisas pode, de maneira determinística, causar uma ação humana, então os seres humanos realizam suas ações livremente.

C4. Cada ser humano não pode se esquivar da própria liberdade. (Modus ponens, C3, P6.)

Você pode questionar uma coisinha aqui e ali no argumento; por exemplo, pode restringi-lo para as pessoas adultas e mentalmente saudáveis — pessoas que estão de plena posse de todas as suas faculdades intelectuais. Em particular, vejo alguns problemas com a premissa P3: uma pessoa que atribui significado a um estado de coisas pode, a meu ver, fazer parte do fluxo de nexos causais do universo. Em todo caso, acho esse argumento muito bonito. {}

Um Rio de Janeiro iluminado por vetores

Crédito: Divulgação

A equipe do diretor Carlos Saldanha precisou de quatro anos para concluir o filme Rio, dos quais oito meses (16%) só para os cálculos de iluminação.


Para controlar o rosto dos personagens principais, a equipe técnica usou 300 varetas e cordas virtuais para cada rosto

A cena é ótima. Blu, uma arara macho azul, está perdidamente apaixonada por Jade, uma arara fêmea também azul. Os dois tentam fugir de um avião em pleno ar. No comando do avião estão contrabandistas de animais, e eles querem vender o casal, o último casal de araras azuis do planeta, por bom dinheiro. Dois probleminhas: Jade não pode voar, e Blu, uma arara de estimação, não sabe voar. O filme Rio tem boa história, suspense, romance, bastante ação, carnaval. Seu pano de fundo, a cidade do Rio de Janeiro, está bem desenhado, com formas, texturas, cores, e raios de sol dignos de cartão postal. É a famosa mágica do cinema? Nem tanto — desta vez, é a mágica da matemática.

De acordo com Daniel Lima, diretor técnico de personagens de Rio, cada minuto de filme significa horas de computação gráfica, e não existe computação gráfica sem matemática. Tudo precisa ser calculado. Se num instante do filme a feição de um personagem está na sombra, e no instante seguinte ela fica banhada por luz do sol, os computadores têm de fazer centenas de milhares de contas para mudar brilhos, projetar sombras. “Para cada raio de luz, há um vetor”, explica Daniel. “Calculamos tudo o que envolve a luz, como rebatimentos e deformações.” Além disso, a equipe técnica põe os computadores para calcular fumaça, vento, efeitos especiais (como faíscas), sem contar cada um dos personagens. “Precisamos calcular uma infinidade de coisas em cada cena”, diz Daniel. “É uma espécie de artesanato digital.”

Cada um dos computadores usados para processar as imagens de Rio era capaz de processar 35 gigaflops, ou, grosso modo, 35 bilhões de operações matemáticas por segundo. Juntando todos os computadores, a equipe técnica processava, nos momentos de pico, 2 teraflops, isto é, 2 trilhões de operações matemáticas por segundo.

A matemática por trás do sucesso. Rio é um desenho animado da Blue Sky Studios, uma empresa americana; foi dirigido por Carlos Saldanha, um carioca. O filme vendeu bem: 485 milhões de dólares até agora. Visto que filmes só vendem bem se os primeiros espectadores falam bem do filme quando voltam para casa, significa que os espectadores gostaram de Rio e recomendaram o filme aos amigos. Sem saber, falaram bem de matemática.

Blu, o personagem principal, é o último macho das araras azuis. Quando era filhote, foi levado por contrabandistas de animais para os Estados Unidos. Então Blu cresceu em Minnesota, estado onde, no inverno, a temperatura cai para 51 graus Celsius negativos. Cresceu sob os cuidados de Linda, uma dedicada dona de livraria; Blu virou uma espécie de nerd, que gosta de livros e de chocolate quente. Para contrastar, o filme exigia um Rio de Janeiro brilhante, bem iluminado de sol. Pois Blu vai parar no Rio de Janeiro, onde terá de conquistar a última fêmea de sua espécie e terá de aprender a voar. Como termina o filme? Bem, a ararinha Jade tem escolha?

Para a equipe técnica, um dos problemas foi achar uma boa fórmula matemática para imitar nuvens em movimento. Em linguagem técnica, eles precisavam de algoritmos para renderizar as nuvens, ou seja, pegar os modelos matemáticos das nuvens e transformá-los em vapor d’água voando no céu. Para que uma nuvem pareça real, os computadores precisam calcular a dispersão da luz, a projeção das sombras e o movimento. Se a equipe fosse usar técnicas convencionais de renderização de nuvens, o filme não teria ficado pronto até hoje. O pessoal da Blue Sky inventou um algoritmo novo de renderização de nuvens.

Sobre o que está se falando. Para entender melhor o universo das aves do filme, a equipe da Blue Sky foi até o zoológico do Bronx, em Nova York, para estudar a personalidade, assim como os movimentos e características físicas de cada pássaro. Além do casal de araras azuis, Blu e Jade, a equipe tinha de estudar os hábitos e movimentos de tucanos (para compor Rafael, um tucano romântico) e de cacatuas (para compor Nigel, uma cacatua ardilosa, caçadora de recompensas).

Depois disso, a equipe monta modelos digitais de cada personagem. Um modelo é como uma marionete. A equipe podia mover cada marionete digital por meio de 700 palitos e cordas digitais. Basta empurrar uns palitos, e puxar umas cordas, para fazer a marionete se ajoelhar, acenar, piscar.

Para que o espectador sinta empatia pelos personagens, ele não pode se ajoelhar ou piscar como se fosse um boneco de barro duro e seco. O material com que cada personagem é feito deve se deformar de forma natural, crível. E a cada movimento, a cada deformação, deve haver cores e brilhos e sombras na quantidade certa. Para desenhar um rosto humano bem expressivo, bastam uns 30 controles (varetas ou cordas). Em Rio, para deixar cada personagem importante bem expressivo, a equipe técnica movimentou o rosto de cada um deles por meio de 300 controles.

Matemática pura. Para girar e mover os personagens, a equipe usou trigonometria. Para fazer cada superfície brilhar ou rachar-se, usou álgebra. Para fazer a luz iluminar corretamente as coisas, e se refletir corretamente nos objetos, usou cálculo integral.

No mundo das animações, o algoritmo de iluminação das cenas é chamado de radiosidade. Em Rio, em que a luz é quase um personagem à parte, a equipe gastou bastante tempo processando a radiosidade. Todas as superfícies de todos os ambientes recebiam luz direta e indireta, e os computadores calculavam as alterações caso houvesse uma janela, ou fumaça, ou neblina, ou poeira. Quando você vê um desenho animado e não acredita muito na realidade das texturas, provavelmente ficou incomodado (ou incomodada) com a radiosidade. Por isso o trabalho de computação de Rio ganhou importância.

Antes de pôr os computadores para trabalhar, a equipe técnica estuda cada material que fará parte do filme — folhas, madeiras, pedras, rodas de carros, pétalas de flores, capas de livros, tampos de mesa. Ela mede como cada material absorve ou reflete os componentes da luz. Depois mede como cada material, ao se deformar, altera o modo como absorve ou reflete a luz — basta lembrar que bexigas vazias são mais opacas que bexigas cheias. “O computador recebe os valores x, y, e z da luz”, diz Daniel Lima, “e devolve x, y, e z para cada pixel de cada quadro de cada cena.” Daniel diz que, só de computação para tornar as cenas de Rio bem iluminadas em reais, a equipe gastou uns oito meses. O filme todo levou quatro anos para ficar pronto. Então, para resumir bem, a matemática é responsável por 16% do filme Rio.

Giles Tran, um engenheiro francês, usou os mesmos algoritmos empregados no filme Rio para criar esta imagem, que não é uma foto

Sol e sambódromo. Depois que Blu chega ao Rio, várias cenas ocorrem em cartões postais da cidade: o Pão de Açúcar, o Corcovado, a Floresta da Tijuca, os arcos da Lapa, a praia de Copacabana apinhada de gente. Carlos Saldanha fez questão de produzir imagens para emocionar até o paulista mais birrento.

Como Blu não sabe voar, em Santa Tereza (um bairro do Rio) ele e Jade viajam no topo de um bondinho. O cenário é romântico, e o nerd Blu tenta declarar seu amor por Jade. Caem pétalas de flores sobre o bondinho. Antes que consiga dizer alguma coisa que preste, Blu se engasga com uma das pétalas. “Além de todos os cálculos comuns numa cena dessas”, diz Daniel, “precisamos calcular a luz em cada uma das pétalas. Isso sem contar a luminosidade nos olhos das duas araras.”

A certa altura, os personagens do filme participam do carnaval no Sambódromo. “Essa foi uma das tomadas mais difíceis”, diz Daniel. A equipe precisou de milhares de horas de computação para calcular todas as luzes, sombras, reflexos. “Precisamos de muita, muita geometria. Havia muitos elementos por quadro.” Numa das cenas, a câmera vai se afastando do personagem e vai mostrando toda a cena, de uma tomada aérea. A equipe técnica precisou usar “milhões de geometria”, diz Daniel, para calcular a deformação de cada rosto, provocada pela alteração de ponto de vista. “Foi uma quantidade exagerada de muita coisa junta.”

A cada novo desenho animado, as técnicas de animação avançam um pouco. Nos próximos desenhos, as nuvens serão mais realistas — e não só nos próximos desenhos animados da Blue Sky, mas de outras produtoras e estúdios, porque eles costumam comprar inovações uns dos outros. Na verdade, a cada desenho animado, o que avança mesmo é a matemática aplicada. Antes, técnicas matemáticas simples produziam bonecos com textura de plástico. Hoje, personagens de desenho animado têm dez vezes mais expressividade que atores de carne e osso. Conforme os cientistas descobrem mais jeitos de aplicar matemática, os desenhos avançam mais. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 7, agosto de 2011, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Os fatos são os que valiam na ocasião, exceto o faturamento do filme (485 milhões de dólares), que foi atualizado.

2. A entrevista com Daniel Lima foi feita pela jornalista Maria Fernanda Ziegler de Castro.

3. Sobre a afirmação “Na verdade, a cada desenho animado, o que avança mesmo é a matemática aplicada”: sempre há modificações no modo como a estória é apresentada ao espectador (narrativa entrecortada? começa pelo fim e volta para o começo? conta o começo do filme como uma lembrança de um dos personagens?), que não são propriamente avanços, mas sim modificações para adequar a estória ao estilo do tempo. Que eu saiba, não têm havido modificações significativas na composição das estórias, isto é, os elementos importantes para um bom roteiro continuam os mesmos há várias décadas.

4. O que é um vetor, bem brevemente. Você pode imaginar um vetor como uma seta com quatro características: ponto de aplicação (o lugar no qual fica a base da seta), intensidade (o comprimento da seta), direção, e sentido. Ou pode imaginar um vetor como sendo, simplesmente, uma ênupla ordenada: um vetor num espaço de dimensão 2 é uma dupla ordenada de números reais (x, y); um vetor num espaço de dimensão 3 é um triplo ordenado de números reais (x, y, z); etc. O cálculo vetorial é útil em animações porque, com ele, é possível descrever muito bem pontos se movendo no espaço — sejam grãos de pó, sejam partículas de luz.

5. Se quiser saber mais sobre cinema (ou sobre usar matemática para compreender melhor o cinema atual), clique aqui e aqui. Se quiser saber mais sobre vetores, clique aqui.

Autopresentes na vida do matemático


Um bom autor de livros didáticos para o ensino médio começa as lições sobre funções assim: “O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis.” Depois disso, o autor segue com 121 páginas de explicações técnicas, de tom sisudo, nas quais ele apresenta 514 exercícios. Exemplo de explicação: “O número a é chamado de taxa de variação da função f(x) = ax + b no intervalo [x, x + h].” E daí ele apresenta mais 14 exercícios. De duas, uma: ou o autor presume que o professor vai motivar seus alunos a decodificar as 121 páginas e a resolver os 514 exercícios; ou o autor presume que o próprio aluno vai motivar a si mesmo, apesar de ter, como ponto de partida, apenas duas sentenças secas: “O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis.”

Se o leitor do livro for um aluno e se ele tiver a sorte de ter um professor bom, então tudo está bem. Mas, segundo as estatísticas oficiais e extraoficiais, 90% dos alunos brasileiros terminam o ensino médio sabendo menos matemática do que deveriam — às vezes, bem menos. Seu professor não soube motivá-los, e eles não souberam motivar a si mesmos — e o livro didático, com sua sobriedade, não ajudou. Além disso, talvez o leitor do livro não seja um aluno, mas sim um estudante de matemática; talvez seja um garçom ou um empresário, isto é, alguém que estuda matemática por esporte.

Como uma pessoa segue com os estudos, página por página, exercício por exercício? Ela tem de premiar a si mesma. Nos meus cadernos, estou sempre à procura de oportunidade de responder às perguntas:

O que estou fazendo aqui?

Será que os dados aparecem na vida real tal como apareceram neste exercício? (Sendo que “vida real” também significa a vida do matemático, que estuda certos assuntos sem se preocupar com seus usos práticos.)

Será que posso transformar a resolução deste exercício num método para resolver problemas cotidianos, meus ou de amigos meus?

Eu não entendi alguma coisa aqui? Consigo expressar com clareza o que foi que não entendi?

O que meus dicionários de matemática me dizem sobre o tópico que este exercício quer reforçar?

E o que a internet me diz?

Aprendi alguma coisa, isto é, aprendi a distinguir A de B, que antes eu misturava?

Quando gosto do que escrevi no caderno (quando tenho a sensação de que andei um passo), me dou um presente simples, tipo uma xícara de café. (Hoje em dia, meu presente simples para mim mesmo tem de ter poucas calorias: com a idade, fica cada vez mais fácil engordar e cada vez mais difícil emagrecer.)

Acima de tudo, tomo cuidado com o que digo. “O que você vai fazer domingo?”, um amigo me pergunta. “De manhã, estudo matemática.” Do outro lado, silêncio. Meu amigo espera as palavras que, em geral, vêm logo em seguida: droga, porre, maldição. Eu não digo tais palavras antes ou depois de pronunciar a palavra “matemática”, mesmo quando sinto que abro meu livro por obrigação, e não exatamente por prazer, como às vezes acontece. O que dizemos nos revigora ou nos envenena. Se eu puder evitar, não enveneno minha mente contra a matemática só porque alguém espera isso de mim.


Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 7, agosto de 2011, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Sempre que abro um de meus livros de matemática por obrigação, a sensação de “tenho um dever a cumprir” dura pouco. O mundo da matemática é exótico à beça; em menos de 15 minutos estou mais entretido do que estaria se ligasse a TV.

3. Ao final do ensino superior, a situação é melhor: uma porcentagem maior de pessoas sabe toda a matemática que deveria saber. Ainda assim, embora essa porcentagem não seja tão baixa quanto 10%, ela é baixa.

Cálculo Tornado Fácil 7


Neste capítulo, Silvanus mostra ao leitor a principal aplicação do cálculo diferencial: achar os valores de x para os quais y atinge um máximo ou um mínimo, como o lucro máximo ou o custo mínimo.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 41 porque o texto anterior terminou na 40. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, e CTF 8.


{41}/ Capítulo 11

Máximos e mínimos

Você vai usar muito as técnicas de diferenciação para descobrir algo importante: em quais condições o valor da coisa a ser diferenciada (uma função ou uma relação) atinge um máximo ou um mínimo? Engenheiros costumam fazer perguntas desse tipo, pois, para eles, a resposta é importante. Querem saber quais circunstâncias lhes permitiriam reduzir ao máximo o custo de operação de algo, ou então quais circunstâncias lhes permitiriam aumentar ao máximo a eficiência.

Vamos começar com um caso concreto. Primeiro, pense um pouco na equação a seguir.

Agora atribua uma série de valores sucessivos para x, e depois calcule os valores correspondentes de y; verá que a equação representa uma curva com um ponto de mínimo. Foi o que fiz com a tabela abaixo.

x

0

1

2

3

4

5

y

7

4

3

4

7

12

Que tal plotar os valores de x e de y num plano cartesiano, como na figura 26? O que pode concluir? Vê que, quando iguala x a 2, parece que y atinge o valor mínimo de 3. Mas tem mesmo a certeza de que o mínimo ocorre quando x = 2, e não quando x = 2,01 ou quando x = 1,99? Como pode ter tal certeza?

É claro que, tendo uma expressão algébrica em mãos, pode atribuir muitos valores para x, todos em torno de x = 2, e calcular muitos valores para y, e desse modo gradualmente chegar ao valor de x para o qual y atinge um máximo ou um mínimo. Penso, contudo, que achará esse método trabalhoso demais.

Eis agora outro exemplo concreto:

De novo, faça uma tabela na qual atribui uns poucos valores para x e calcule os valores correspondentes de y.

x

1

0

1

2

3

4

5

y

4

0

2

2

0

4

10

E daí plote tais valores, como na figura 27.

Olhando a figura, acha evidente que, entre x = 1 e x = 2, deve haver algum valor de x para o qual y atinge um máximo; além disso, pensa que, a confiar no formato do desenho, o valor máximo de y deve ser algo em torno de 2,2 ou 2,25 ou algo assim. Então, tem a ideia de tentar alguns valores para x. Se x = 1,25, daí y = 2,1875; se x = 1,5, daí y = 2,25; se x = 1,6, y = 2,24. Como pode ter a certeza de que 2,25 é o valor máximo de y, ou de que o máximo ocorre precisamente quando x = 1,5?

A essa altura, acho que dirá que estou fazendo malabarismo barato ao te assegurar algo importante: existe um jeito de chegar direto e reto a um valor máximo de y (ou a um valor mínimo) sem que, antes disso, precise chutar a esmo vários valores de x. E esse jeito funciona por meio de diferenciação. Olhe de novo para as figuras 15 e 16 na parte anterior desta série: toda vez que uma curva bem comportada atinge um máximo ou um mínimo, naquele ponto específico dy/dx = 0 (ou, na notação de linha, y’ = f’(x) = 0). Então, eis aí a dica para o truque que procura. Sempre que alguém puser diante de si uma equação, de modo que queira achar os valores de x para os quais os valores y representem máximos ou mínimos (ou, dito de outra forma, os valores da variável independente para os quais os valores da dependente atingem máximos ou mínimos), primeiro ache o coeficiente diferencial. Tendo feito isso, iguale o coeficiente diferencial a zero. Quero dizer: primeiro ache uma expressão para dy/dx, e depois faça dy/dx = 0. Daí, resolva para x (isto é, ache as raízes da equação). Ponha esses valores particulares de x de volta na equação original, e ache os valores correspondentes de y. Pronto: acabou de descobrir os valores de y que talvez correspondam a um máximo ou mínimo, se houver um. Às vezes, um professor ou engenheiro chamará esse processo de “igualar a derivada a zero”.

Para ver como essa receita é simples, volte ao exemplo no começo deste capítulo:

Quando calcula o coeficiente diferencial, obtém:

E daí iguala dy/dx a zero e resolve a equação para x:

Com isso, sabe que o valor máximo ou mínimo de y ocorre precisamente quando x = 2. Põe x = 2 na equação original, faz as contas e chega a:

Examine de novo a figura 26. Pode dizer agora, com toda a certeza, que o mínimo ocorre quando x = 2, e que esse mínimo de y é 3.

Bem, repita o processo para a equação com a qual plotou a figura 27, que é:

Deve achar o coeficiente diferencial, igualá-lo a zero e resolver a equação resultante para x:

Depois de colocar esse valor de x na equação original, calcula o valor máximo de y:

Com esse método, obteve a informação que buscava sem delongas; com o método da tentativa e erro, ficou na dúvida. Percebe a diferença?

Bem, antes que eu e você examinemos mais alguns casos, tenho duas observações a fazer. Quando te dizem para igualar dy/dx a zero, a princípio você sente uma espécie de indignação (se tem algum sangue nas veias), pois sabe que dy/dx pode assumir muitos valores distintos em pontos distintos da curva de y, conforme ela está subindo ou descendo. Ora pois, agora de repente te dizem para escrever:

Numa hora dessas, é natural que se sinta indignado, e que fique inclinado a acreditar que essa linha não é verdadeira. Chegou o momento, portanto, de entender a diferença essencial entre uma relação (ou uma função), de um lado, e uma equação condicional, de outro. Em geral, lida com uma equação que representa uma relação ou função: atribui um valor qualquer para x, usa a fórmula para achar o valor de correspondente de y, e sabe que esses dois valores juntos tornam a equação verdadeira; além disso, com esse método vê que ela é verdadeira para muitos outros valores de x e y — talvez uma infinidade deles. Às vezes, contudo, põe no papel uma equação que não é verdadeira em muitos casos, mas apenas nuns poucos casos; quero dizer, é verdadeira sob certas condições específicas. E então você vai procurando e escrevendo tais condições no papel, o que em geral também significa achar os poucos valores de x para os quais a equação é válida. Bem, e quando quer achar o valor particular de x no qual a curva não está subindo nem descendo? Nesse caso, acha o valor particular de x para o qual dy/dx = 0. Sendo assim, quando escreve dy/dx = 0, não quer dizer que dy/dx é sempre igual a zero; ao contrário, escreve isso como que impondo uma condição. É como se quisesse dizer: “Quero achar um valor específico de x de modo que esse valor, quando colocado na fórmula de dy/dx, iguale dy/dx a zero.”

Minha segunda observação se refere a algo que, se tem sangue nas veias, você mesmo já notou: que, usando esse muito aclamado processo de igualar o coeficiente diferencial a zero, não consegue dizer se o valor de x, que acabou de achar, produzirá o valor máximo de y, ou o valor mínimo de y, ou nenhum dos dois (como às vezes acontece). É isso aí. Em si, o processo não discrimina; com ele, você acha os valores críticos de x, mas tem de descobrir por si mesmo se um valor específico produzirá um máximo ou um mínimo. Claro, se tirou a calculadora gráfica da bolsa e plotou a curva, é bem provável que já saiba o que os valores de x produzirão.

Que tal agora estudar um exemplo?

Não tente imaginar que tipo de curva essa equação produz; antes disso, ache o coeficiente diferencial e o iguale a zero.

Agora, insira x = 1/2 na fórmula de y e veja o que acontece:

Então, y = 4 talvez seja um máximo, talvez seja um mínimo. Mas será mesmo o quê? Mais para a frente, verá um método simples com o qual descobrir isso, usando o segundo coeficiente diferencial. Por enquanto, contudo, deve testar valores de x um pouco menores que 1/2 e um pouco maiores que 1/2, e ver o que acontece com y. Faça, por exemplo, x = 0,4 e x = 0,6.

Deve achar óbvio, agora, que y = 4 é um ponto de mínimo na curva de y.

Que tal agora tentar outro problema simples de máximos e mínimos? Alguém te pede para dividir um inteiro positivo qualquer em duas partes, não necessariamente iguais, mas de modo que o produto dessas duas partes seja o maior produto possível. Como poderia realizar uma proeza dessas, se não conhecesse o truque de igualar o coeficiente diferencial a zero? Acho que poderia tentar resolver esse problema pela tentativa, tentativa, tentativa, tentativa — além dos muitos erros. Você supõe, por exemplo, que esse número vale 60. Daí divide 60 em duas partes e as multiplica uma pela outra. Assim, 50 vezes 10 é 500; 52 vezes 8 é 416; 40 vezes 20 é 800; 45 vezes 15 é 675; 30 vezes 30 é 900. Isso parece um máximo. Tente variações em torno disso: 31 vezes 29 é 899, o que é menor; e 32 vezes 28 é 896, o que é menor ainda. Fazendo isso, supõe que, para obter o maior produto possível, deve dividir o número em duas partes iguais.

Agora, veja o que pode conseguir com o cálculo. Você divide o número em duas partes, e chama cada uma dessas partes de n. Logo, se x é uma dessas partes, a outra deve ser nx; com isso, o produto de ambas será x(nx) ou nxx2. Bem, pode então escrever y = nxx2, diferenciar essa equação, igualar o coeficiente diferencial a zero e resolver a equação resultante para x.

Agora, portanto, você sabe, para além de qualquer dúvida, que deve dividir o número n em duas partes iguais (qualquer que seja ele) se gostaria que o produto dessas duas partes fosse o maior possível. Além disso, sabe que esse produto será sempre igual a ¼∙n2.

Essa regra é útil, e vale para qualquer número de fatores, de modo que se m + n + p = um número constante, mnp atinge um máximo quando m = n = p.

Teste de caso. Vamos agora aplicar o que sabemos a um caso específico, como o caso representado pela equação a seguir.

Agora, você vai descobrir se essa função tem um máximo ou um mínimo; e, se tiver, vai decidir se é um máximo ou se é um mínimo. Como primeiro passo, acha o coeficiente diferencial de y em relação a x.

Agora, iguala o coeficiente a zero.

Isso significa que, quando iguala x a 1/2, o correspondente valor de y ou é um máximo ou é um mínimo. Então, põe x = 1/2 na equação original e acha o valor de y.

E agora: isso é um máximo ou um mínimo? Para testar, atribui a x um valor um pouquinho menor que 0,5 e um pouquinho maior que 0,5. Por exemplo, faz x = 0,4 e x = 0,6. Daí:

Visto que ambos são maiores que y = 1/4 = 0,25, pode dizer que y = 1/4 é um mínimo. Para ver isso na prática, basta plotar a curva, como fiz com a figura B.

Mais exemplos. Para trabalhar com um exemplo mais interessante, pode procurar uma curva que tenha tanto um mínimo quanto um máximo. Que tal a equação abaixo?

Pode ver uma plotagem dessa equação na figura 28 mais abaixo. Agora, como sempre, você calcula a derivada.

E iguala essa derivada a zero.

As duas raízes da equação quadrática fornecem os valores de x para os quais y é um máximo ou um mínimo. Olhando a figura 28, fica claro que y = 2,333… (obtido quando x = 1) é um máximo local, e que y = 1 (obtido quando x = 3) é um mínimo local. Com uma simples tabela, você também veria isso. (Usando uma calculadora algébrica, você entra com uma equação, aperta um botão que significa “tabela”, e ela lhe fornece uma tabela com vários valores de x e os correspondentes valores de y. É o caso da tabela a seguir, com os valores arredondados para duas casas decimais.)

x

1

0

1

2

3

4

5

6

y

4,33

1

2,33

1,66

1

2,33

7,66

19

Com o próximo exemplo, estudará mais um caso interessante de máximos e mínimos. Já deve ter visto em algum lugar a equação de um círculo no plano cartesiano:

Neste caso, como mostro na figura 29, o centro do círculo está no ponto C, cujas coordenadas são x = a e y = b, e seu raio é igual a r. Agora, com umas poucas manipulações algébricas, pode chegar às afirmações a seguir.

Bem, só de examinar a figura 29, você já sabe que, quando x = a, ou y está no seu valor máximo, que é b + r, ou está no seu valor mínimo, que é b r. Mas tente não tirar proveito desse conhecimento prévio: finja que não sabe. Veja se pode achar o valor de x que faz y atingir um máximo ou um mínimo, e para isso ache o coeficiente diferencial, iguale-o a zero, e resolva para x.

Agora, como condição para que y atinja um mínimo ou um máximo, você deve igualar os dois coeficientes diferenciais acima a zero.

Nos dois casos, o único jeito de igualar o quociente a zero é fazer x = a. (Não pode achar valores de x que façam, por exemplo, o denominador tender ao infinito, de modo que o quociente tenda a zero, pois x varia entre ar e a + r.) Ora, o que obtém ao igualar x a a e voltar à equação do círculo?

Agora, sabe que a raiz de r2 ou é +r ou é r, de modo que agora obtém dois resultados distintos para y.

O primeiro valor de y é o máximo, no topo do círculo; o segundo valor é o mínimo, no fundo do círculo. Isso você já sabia só de montar a equação do círculo e de olhar sua plotagem, como na figura 29; agora, com o cálculo, tem a mais absoluta certeza.

Ao longo da vida, você lidará com muitas curvas que não têm nem mínimo nem máximo, seja local ou global. Em casos assim, ao igualar o coeficiente diferencial a zero, obterá algum resultado absurdo, isto é, impossível. (Sempre considerando que está trabalhando com o sistema usual dos números reais.) Por exemplo:

Daí, seguindo o método, você acha o coeficiente diferencial de y em relação a x, e logo em seguida o iguala a zero.

Conforme os valores de a e de b, não existe valor possível de x no sistema dos números reais (só existe no sistema dos complexos). Contudo, se um número complexo não te serve de nada, então y não tem máximo nem mínimo, como a figura C sugere.

Com mais uns poucos exemplos, dominará mais essa aplicação do cálculo, que, a meu ver, é a mais útil e interessante.

(1) Imagine um retângulo inscrito num círculo de raio igual a R. Qual é o comprimento de cada um dos lados desse retângulo de modo que sua área seja a maior possível?

Depois de uns poucos esboços, você percebe que a diagonal desse retângulo mede duas vezes o raio, isto é, o comprimento da diagonal do retângulo é igual ao diâmetro do círculo; veja a figura D (abaixo). Agora, chama um dos lados do retângulo de x; com o teorema de Pitágoras, chega ao comprimento do outro lado:

Para calcular a área do retângulo, multiplica o comprimento de um lado pelo do outro. Pode chamar a área do retângulo de S, e daí:

Agora, já sabe o que fazer: achar o coeficiente diferencial dS/dx, igualá-lo a zero, resolver para x. Para achar o coeficiente, terá de aplicar tanto a regra do produto de duas funções quanto a regra da cadeia. Uma dica, caso ainda não consiga fazer tudo isso meio automaticamente: para diferenciar √(4R2x2), escreva 4R2 x2 = w e y = √w, e daí busque dy/dw e dw/dx. Pode olhar os capítulos anteriores, se quiser.

Ao resolver a última linha acima para x, obtém:

Agora, só falta incluir essa descoberta na fórmula pela qual descobre o comprimento do outro lado:

E com isso você descobre que os dois lados medem a mesma coisa. Imagina então o que acabou de achar: um quadrado cuja diagonal é também o diâmetro do círculo no qual está inscrito, isto é, um quadrado cuja diagonal mede 2R. Esse caso representa, como ficou claro, o quadrado inscrito de maior área possível; representa um máximo.

(2) Qual é o raio da abertura de um vaso cônico cujo lado inclinado tem comprimento l quando a capacidade do vaso é máxima?

Bem, suponha que está enchendo esse vaso cônico com água (a ponta do cone aponta para baixo, a base para cima): conforme o nível da água sobe, o volume armazenado aumenta, e aumenta a altura h do nível da água, o comprimento l do lado inclinado (do cone de água) e o comprimento r do raio (também do cone de água). Enfim, todas as medidas do vaso ficam fixas, mas todas as medidas do cone de água variam. Como saber o comprimento do raio quando l chegou ao máximo, isto é, quando o vaso está cheio? Basta pensar assim: quando falta um infinitésimo de segundo para que o vaso transborde, pode considerar as medidas do cone d’água como sendo as medidas do vaso! (Veja a figura E.)

Sendo r o raio e h a altura do cone d’água, use Pitágoras para expressar h em função de l e de r:

O volume V de um cone é:

Agora, como no exemplo (1), expresse o coeficiente diferencial do volume em função do raio; vai usar a regra da derivada de um produto de funções e a regra da cadeia:

Lembrete: nesse caso, o apóstrofe []’ significa “ache o coeficiente diferencial da expressão dentro dos colchetes”.

Agora, basta igualar dV/dr a zero e resolver para r para achar um máximo ou um mínimo:

Como obviamente isso se refere a um máximo, esse é o valor do raio quando você está a um infinitésimo de segundo de encher o vaso d’água.

(3) Ache os máximos e os mínimos da função a seguir:

Pode começar assim:

Agora, usa com cuidado a regra pela qual achar a derivada de um quociente de duas funções.

Iguala a derivada a zero e resolve para x:

Só existe um valor de x para o qual dy/dx = 0, isto é, só existe um máximo ou um mínimo. Para saber, amostra o valor de y para x = 2, para x um pouco menor que 2 e para x um pouco maior que 2.

Com isso, descobre que x = 2 produz o valor mínimo de y, como pode ver na figura F.

(4) Ache os máximos e mínimos da função a seguir; não deixe de dar uma olhadinha no gráfico.

Ao diferenciar y em relação a x, não se esqueça de usar a regra da cadeia com o argumento de cada uma das raízes.

Ao igualar esse coeficiente a zero, vê que √(1 + x) tem de ser igual a √(1 x), e para tanto x deve ser igual a zero. Quando x = 0, y = 2. Fazendo x = 0 ± 0,5, y = 1,932. Logo, x = 0 produz o valor máximo de y (um máximo local).

(5) Ache os máximos e mínimos da função a seguir.

Aqui, usa principalmente a regra pela qual diferencia um quociente de funções. Daí obtém:

Agora, faz dy/dx = 0 e, como consequência, procura as raízes da equação quadrática no numerador. Deve chegar a duas raízes complexas: 2 + i e 2 – i. Como não há valor real para o qual dy/dx = 0, isso significa que a curva de y no plano cartesiano não tem máximos e mínimos, como sugere a figura H.

(6) Ache os máximos e mínimos da equação abaixo:

Como pode prosseguir daqui? Pode, se quiser, elevar os dois lados da equação ao expoente 1/2 (que é tirar a raiz quadrada dos dois lados); depois disso, basta arrumar a equação e calcular o coeficiente diferencial (para tanto, presume que y é a variável que depende de x).

Agora, iguala o coeficiente a zero e resolve a equação resultante para x.

Nessa passagem, colocou x em evidência, isto é, dividiu a expressão da primeira linha por x; faz isso ao multiplicar a expressão inteira por x–1. Resolvendo a equação resultante, obtém x = 0 ou x = 16/25.

Pegue primeiro x = 0, para o qual y = 0. Isso é um máximo ou um mínimo? Faz as contas com x um pouquinho menor que 0 e um pouquinho maior: quando x = 0,01, y é um dos dois imaginários y = 0,0001 ± 0,00001i, e isso quer dizer que não pode representar y num plano cartesiano comum; quando x = 0,01, y = 0,00009 ou então y = 0,00011, e isso quer dizer que os dois valores de y ficam do mesmo lado do eixo y (o lado direito). Esquisito, não?

Para visualizar o que está acontecendo, plote a curva. O que vê? A curva de y vai até a origem, como se existisse um mínimo na origem; mas, em vez de continuar para além da origem, como faria se existisse um mínimo lá, a curva volta atrás, e forma o que os matemáticos chamam de cúspide ou de singularidade. Então, não existe um mínimo, embora você tenha satisfeito as condições para que um mínimo existisse, isto é, tenha provado que existem valores de x para os quais dy/dx = 0.

Bem, e se faz x = 16/25 (= 0,64)? Daí y = 256/3.125 (= 0,08192) ou então y = 2.304/3.125 (= 0,73728). Se faz x um pouco menor que 16/25, por exemplo x = 0,60, daí y se transforma em 0,6389 ou 0,0811. Se faz x um pouco maior, por exemplo x = 0,70, daí y se transforma em 0,8996 ou 0,0804. Compare os números, olhando a figura 30. Isso significa que a curva de y surge em dois ramos, digamos assim: o ramo de cima não passa por um máximo, mas o de baixo passa.

(7) Imagine um cilindro cuja altura é o dobro do raio da base, e que está aumentando de volume, mas de modo que todas as suas partes estão sempre em proporção umas com as outras; isto é, a todo momento, o cilindro é semelhante ao cilindro original. Quando o raio da base é igual a r, a área da superfície do cilindro está crescendo à taxa de 20 unidades ao quadrado por unidade de tempo. Pergunta: nesse instante, a que taxa está crescendo o volume?

Bem, se denota o raio por r e a altura por h, a área da superfície curva do cilindro vale 2πrh, e a área associada a cada círculo (no topo e na base) vale πr2. Se denota essa área com a letra A e substitui h por 2r:

Quando ao volume V, é πr2h, isto é:

No próximo passo, calcula os coeficientes diferenciais dA/dr e dV/dr:

Agora, o que significa saber que, quando o raio vale r, a área da superfície do cilindro está crescendo à taxa de 20 unidades ao quadrado por unidade de tempo? Significa que dA = 20, isto é:

Agora, basta reescrever a equação de dV/dr.

E eis que chegou à resposta: nesse instante específico, e nessas circunstâncias, o volume está crescendo à taxa de 10r unidades ao cubo.

Bem, chegamos ao fim deste capítulo. Pense em outros exemplos por sua conta. Na matemática, há poucos assuntos para os quais existem tantos e tantos exemplos como existem para máximos e mínimos. {}

Lembrete. Em vez de dizer “unidades ao quadrado”, se quiser pode dizer “unidades de área” — desde que, pelo contexto, a expressão unidades de área faça sentido. De modo análogo, em vez de dizer “unidades ao cubo”, pode dizer “unidades de volume”.



{42}/ Exercícios IX

(1) Para quais valores de x você tornará y máximo ou mínimo, se y e x se relacionam pela equação abaixo?

(2) Estude a equação abaixo. Qual valor de x fará y atingir um máximo?

(3) Você tem de pegar uma linha de comprimento p, tem de cortá-la em quatro partes e com elas montar um retângulo. Mostre que a área do retângulo atinge um máximo quando cada um de seus lados mede (¼)p.

(4) Você pegou uma linha de 30 centímetros, juntou as duas pontas e, com três pinos, vai esticar a linha no formato de um triângulo. Qual é a maior área triangular que essa linha pode cercar?

(5) Plote a curva correspondente à equação abaixo:

Depois disso, calcule dy/dx, e use o que descobriu para achar o valor de x que fará y atingir um mínimo; e então calcule o valor mínimo de y.

(6) Se y = x5 – 5x, ache os valores de x que farão y atingir um máximo ou um mínimo.

(7) Qual é o menor quadrado que pode ser inscrito num outro quadrado?

(8) Imagine agora um cone cuja altura é igual ao raio da base. Nesse cone, inscreva um cilindro (a) cujo volume é um máximo, (b) cuja área lateral é um máximo e (c) cuja área total é um máximo.

(9) Numa esfera, inscreva um cilindro (a) cujo volume é um máximo, (b) cuja área lateral é um máximo e (c) cuja área total é um máximo.

(10) O volume de um balão esférico está aumentando. Ora, quando o raio vale r unidades, o volume está aumentando à taxa de 4 unidades ao cubo por unidade de tempo. Sendo assim, a qual taxa está aumentando a superfície desse balão?

(11) Imagine uma esfera qualquer. Nessa esfera, inscreva um cone cujo volume é o maior possível.

(12) Você montou uma bateria com N células voltaicas similares (em paralelo). Pode calcular a corrente C desse grupo de células voltaicas com a fórmula a seguir:

Nessa fórmula, E, R e r são constantes, e n é o número de baterias que colocou em série. Ache a proporção de n para N de modo que a corrente seja a maior possível.

(13) Imagine que você tem um quadrado de alumínio com 10 centímetros de lado, e que tem ainda todas as ferramentas para cortar, dobrar e soldar alumínio. Quer transformar esse quadrado numa bandeja, dobrando uma parte dos lados, conforme a figura J. De que modo pode cortar os quatro quadradinhos nos quatro cantos para que a bandeja contenha o maior volume possível? Resolvido esse problema, generalize: ache a solução para um quadrado cujos lados medem L.



{43}/ Nota sobre o Exercício (3) do Grupo de exercícios VIII

Resolução comentada. Como primeiro passo, você calcula a derivada de y em relação a x; para tanto, usa principalmente a regra pela qual diferencia um produto de funções (isso se não quiser expandir os dois parênteses, para depois calcular a derivada de uma função polinomial de grau 2).

Para saber o que acontece quando dy/dx = 0, iguala o lado direito da equação acima a zero.

Com isso, provou o que Silvanus te pediu para provar. Mas que coisa provou, em português que até sua avó entenda? Numa função polinomial de segundo grau, para achar o máximo ou o mínimo da função (que corresponde ao ponto no qual dy/dx = 0), tudo o que tem a fazer é tirar a média aritmética de suas duas raízes, sejam quais forem; pode até ser que sejam iguais. Fazendo isso, acha o valor da abscissa do ponto no qual a ordenada atinge um máximo ou um mínimo.

Entendeu por que matemáticos e engenheiros às vezes expressam equações polinomiais no formato y = (x + a)(x + b)···(x + n)? Com esse formato, deixam na cara de todo mundo as raízes do polinômio. Bem, se o engenheiro expressa uma função polinomial do segundo grau na forma y = (x + a)(x + b), o máximo ou o mínimo da função está no ponto em que x = –(a + b)/2.



{44}/ Relações, funções, curvas, conjuntos

O estudante (vamos chamá-lo de HJs) usa o cálculo não apenas para estudar funções, mas também relações. Silvanus, para não complicar o assunto além do necessário, nem sempre avisa o leitor quando uma expressão se refere a uma função ou a uma relação, mas HJs faz bem se mantiver em mente as diferenças entre as duas.

HJs imagina um conjunto X, cujo elemento genérico chama de x, e um conjunto Y, cujo elemento genérico chama de y. E daí imagina uma relação entre os elementos de X e de Y. Por exemplo, a relação “x é igual a y”, ou a relação “y é igual a x2” ou a relação “x2 + y2 = 1”. Feito isso, imagina o conjunto T de todos os pares ordenados (x, y) para os quais a relação é verdadeira (com x X e y Y). Se “x é igual a y”, por exemplo, HJs sabe que x R, y R e que o par ordenado (2, 2) é elemento de T, pois a afirmação “2 é igual a 2” é verdadeira, mas o par (2, 3) não é elemento de T, pois a afirmação “2 é igual a 3” é falsa.

Bem, se HJs examina os elementos de T e os marca em negrito num plano cartesiano, obtém a curva da relação em questão (ou o gráfico da relação, como também muitos o chamam). Pode encarar uma curva como um jeito bem visual da marcar, entre todos os infinitos pontos que perfazem o plano, só aqueles pontos para os quais a tal relação entre os elementos de X e de Y é verdadeira.

Toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. HJs pode encarar a função f, com domínio X e contradomínio Y, como sendo equivalente à receita “devo usar a fórmula f para pegar um elemento x de X, sem exceção, e mapeá-lo, ou ligá-lo, a um e apenas um elemento y de Y”. A expressão-chave é esse “um e apenas um”. Para que a relação seja uma função, cada elemento de X pode estar ligado a um e apenas um elemento de Y. Por exemplo, “x é igual a y” é uma função, pois, para cada valor de x, só existe um valor de y tal que a relação entre os dois seja válida; mas x2 + y2 = 1 não é uma função, pois, para cada valor de x, existem dois valores de y (um negativo e um positivo) tal que a relação entre os dois é válida. A curva da figura 27 representa uma função, mas a da figura 29 não representa uma função, e sim uma relação.

Todas as técnicas do cálculo diferencial e integral têm sido desenvolvidas e aperfeiçoadas para o estudo de funções, mas, com algumas adaptações, servem para o estudo de relações que representam ao mesmo tempo duas funções ou mais. Silvanus muitas vezes não sublinha quais adaptações são essas: ele apenas explica como funcionam, e cabe ao leitor perceber que o autor está explicando um truque para aplicar determinada técnica ao estudo de uma das funções contidas numa relação.

Olhando os dicionários de matemática, HJs rapidamente percebe uma coisa importante: as definições de relação, função, e curva são complicadas, pois precisam dar conta de muitas exceções e variações. Escreve no caderno: “Atenção às palavras! Quando não souber se uma expressão equivale a uma função ou a uma relação, devo usar relação; quando não souber se um gráfico representa mesmo uma curva, devo usar apenas a palavra ‘gráfico’, que admite alguma imprecisão.”



{45}/ O que é um ponto crítico

Como Silvanus fez o leitor notar (vamos chamar o leitor de HJs), o cálculo diferencial é útil para achar os pontos críticos numa curva. Quando HJs estuda um trecho diferenciável de uma curva, pode achar os pontos críticos ao achar os pontos nos quais o coeficiente diferencial é igual a zero, isto é, nos quais a reta tangente à curva é horizontal.

Mas HJs não deve se apressar e dizer que, se a derivada é igual a zero, então aquele ponto representa um máximo ou um mínimo. Por exemplo, y = x3. HJs calcula o coeficiente diferencial (3x2), que iguala a zero (3x2 = 0) e resolve para x (x = 0). Mas, como pode ver na figura M, o ponto (0, 0) não é nem um máximo nem um mínimo: é o que matemáticos chamam de “ponto de sela”, no qual o coeficiente diferencial antes do ponto e o coeficiente depois do ponto têm o mesmo sinal (neste caso, positivo).



{46}/ Quando um quociente é igual a zero

Em vários trechos deste capítulo, Silvanus iguala um quociente a zero e, para resolver a equação resultante, trata apenas do numerador; em outras palavras, aparentemente ele ignora o denominador. Por quê?

Para entender o motivo, um estudante (codinome HJs) examina a equação abaixo:

Para descobrir quais valores de x tornam a equação verdadeira, HJs iguala o numerador a zero e o resolve para x.

Agora, HJs testa cada um desses dois valores no denominador: 1 menos √(2/3) é um valor diferente de zero, assim como 1 mais √(2/3) é diferente de zero. Isso significa que pode levar em consideração os dois valores de x. Se um deles igualasse o denominador a zero, seria obrigado a desconsiderá-lo, pois não se deve dividir nada por zero.

Eis, portanto, o que Silvanus faz, ainda que não chame a atenção do leitor: iguala a expressão no numerador a zero, acha as raízes da equação, e verifica se tais raízes são válidas ao testá-las na expressão no denominador; por fim, desconsidera qualquer uma delas que iguale o denominador a zero.



{47}/ O que significa ‘resolver para x

Significa duas coisas: achar os valores de x que tornam a expressão verdadeira ou achar uma expressão para x que torne a expressão verdadeira. (É claro que x pode ser qualquer letra; o estudante pode resolver para y, para z, para F, para t, etc.)

Eis três exemplos:

Resolver a expressão (I) para x significa achar a raiz da equação (I), que é 2/5; resolver a expressão (II) para x significa achar os valores de x que tornam a desigualdade válida, que são todos os valores iguais a 1 ou maiores que 1; resolver a expressão (III) para x significa expressar x em termos de y:

Essa expressão, “resolver para x”, é útil, pois serve para dizer ao leitor, em várias circunstâncias distintas, o que ele deve fazer, mas sem entrar em detalhes. {FIM}