Jogar xadrez ajuda na matemática


A criança vai mal nas aulas de matemática, mas então passa a jogar xadrez e, pouco depois, tira notas boas. Um pai e um especialista explicam por que histórias assim são comuns.


{1}/ Um problema muito grande

O advogado Giovanni Vescovi tem uma filha, Katherine, e quando Katherine estava com 9 anos Giovanni passou a se preocupar: ela dava todos os sinais de que desenvolvia aversão à matemática. Giovanni procurava conversar sobre matemática, ou propunha um jogo, ou propunha um problema para resolver. Katherine ou fugia, ou fazia caretas, ou se calava. “Eu via minha filha patinando na matemática”, diz Giovanni. “Nitidamente, seu raciocínio estava ficando comprometido.”

Em 2011, aos 12 anos, Katherine tinha se transformado numa ótima aluna de matemática, além de ótima aluna de português, história, ciências, artes. Como toda menina de 12 anos, ela passava bom tempo ao computador, navegando nas redes sociais ou jogando; ela via TV, brincava de boneca. “Antes, ela tinha um lado mais artístico”, diz Giovanni. “Não que isso fosse um problema, mas depois ela passou a ir bem na matemática, porque passou a gostar, a entender; passou a saber o que precisava fazer para estudar ou resolver um problema.”

O que mudou em três anos?

Assim que fez 9 anos, Katherine passou a estudar xadrez a sério, com um professor e tudo o mais. Três anos depois, ela virou bicampeã paulista de xadrez, bicampeã brasileira, campeã sul-americana e, num torneio mundial de xadrez para crianças da idade dela, ocorrido na Turquia, Katherine ficou em 23º lugar. “Dar um xeque-mate é muito semelhante a resolver um problema”, diz Giovanni. “Quem estuda e treina se sai melhor. A Katherine passou por uma mudança brutal.”

Um grande problema. O advogado Giovanni Portilho Vescovi não teve a ideia do xadrez do nada, tomando banho: ele mesmo é ótimo enxadrista. Desde 1998 é grande mestre internacional, e já chegou a ser o enxadrista número 1 no Brasil. (Venceu o famoso mestre brasileiro Henrique Mecking em 2000, numa disputa de seis partidas.) Então Giovanni conhece por experiência própria as mudanças que o xadrez provoca no estudante, especialmente se o estudante for jovem.

Na cidade de Araxá (MG), existe a Academia Araxaense de Xadrez, e seu dono, Adriano Pena Ribeiro Lemos, é também professor de matemática; ele ensina professores a usar o xadrez para melhorar o desempenho das crianças na matemática. Para ele, a criança vai mal na matemática porque não consegue interpretar o problema, em primeiro lugar, e depois também porque não consegue aplicar bem as regras da matemática. “No xadrez”, diz Adriano, “o enunciado é o seguinte: Temos um exército branco e outro preto. Cada qual tem 32 peças, e podemos mover cada peça segundo regras específicas. Como dar xeque-mate no rei adversário?” É um grande problema e, para resolvê-lo, a criança deve estudar, se concentrar, dominar as emoções, criar uma estratégia própria, tentar inferir a estratégia do adversário, aprender algo com o adversário quando ganha e quando perde.

Quando dá aulas para professores, Adriano explica de que maneiras o xadrez se parece com matemática:

Adição e subtração — Quando o enxadrista fica mais forte ou mais fraco depois de trocar peças (ou seja, capturar peças do adversário ou entregar peças para o adversário capturar).

Multiplicação e divisão — Duas peças bem posicionadas podem aumentar muito o poder uma da outra, como duas torres na mesma linha ou coluna, ou um bispo e a rainha na mesma diagonal. E, ao contrário, peças mal posicionadas podem diminuir muito o poder uma da outra.

Imaginação geométrica — Para jogar xadrez, a criança é obrigada a visualizar o traçado das peças no tabuleiro, para ver se existe alguma casa sob a influência de duas ou mais de suas peças (nesta casa, ela manda) ou para ver se existe alguma casa sob a influência de duas ou mais peças adversárias (nesta casa, quem manda é o adversário). Além disso, ela tem de imaginar esses cruzamentos de linhas e colunas (na rota de torres e da rainha), esses cruzamentos de diagonais (na rota dos bispos) para vários movimentos à frente.

Probabilidades e emoções — Ao criar uma estratégia, a criança elabora hipóteses a respeito do enxadrista adversário. “Se eu puser este peão aqui, e ele não puser o bispo lá, significa que ele não entendeu o que pretendo fazer.” Conforme o jogo avança, ela descobrirá se sua hipótese estava correta; com o tempo, descobrirá até que ponto consegue se colocar no lugar dos outros, e o quanto é prazeroso avaliar bem o adversário — ou o quanto é desprazeroso subestimá-lo.

Dá para entender por que uma criança se dedica ao xadrez: é um jogo (toda criança gosta de jogos), as peças são lindas, e há milhares de fotos e de ilustrações lindíssimas associando o xadrez a inteligência, a estratégia, a requinte. Giovanni Vescovi acha que sua filha Katherine passou a ir melhor na escola em geral, e na matemática em particular, porque passou a jogar xadrez bem. Ela aprendeu a organizar o raciocínio, a listar suas ações da mais prioritária à menos prioritária, a decodificar o enunciado de qualquer problema, a aplicar as regras da álgebra (por exemplo) com ordem e método. Katherine e seu pai costumam jogar com frequência. “Quase todo dia jogamos um pouco”, diz Giovanni. “No caminho para a escola, parados no trânsito, a gente resolve alguns desafios sem o tabuleiro mesmo.” {}



{2}/ O passeio do cavalo

Esse é um velho problema do xadrez e da matemática. Ponha um cavalo sozinho no tabuleiro, em qualquer casa. Seu desafio é colocar o cavalo em todas as casas do tabuleiro, mas sem passar por nenhuma casa mais de uma vez. No tabuleiro acima, pode ver os primeiros quatro movimentos caso coloque o cavalo em g8: f6, d7, b6, a8. (Tais casas estão marcadas com um peão preto; há outras alternativas ao começar de g8.) De a8, o jogador só pode ir para c7, e continuar daí.

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi um dos grandes a estudar o passeio do cavalo. Existem 26.534.728.821.064 jeitos de concluir um passeio de forma que o cavalo fique numa casa da qual ele ameaça a primeira casa. Esses passeios foram chamados de fechados, pois, com mais um movimento, o cavalo termina onde começou. Pode-se montar um passeio fechado a partir de qualquer casa do tabuleiro, mas só algumas casas permitem um passeio aberto.


{3}/ Progressões geométricas no xadrez

Vamos supor que você seja capaz de fazer alguma coisa que poucas pessoas conseguem fazer, como estralar o dedão do pé quantas vezes quiser.

Peça às crianças que levem uma xícara de arroz para a aula de xadrez e proponha uma aposta:

“Eu aposto que consigo estralar o dedão do meu pé direito vinte vezes seguidas. Se eu não conseguir, pago a cada um de vocês 10 reais. Se eu conseguir, vocês me pagam com arroz, assim: um grão de arroz para a casa a1 do tabuleiro, dois grãos de arroz para a casa b1 do tabuleiro, quatro grãos de arroz para a casa c1 do tabuleiro, e assim por diante, sempre dobrando a quantidade de grãos de arroz.”

Esse é um velho problema, talvez tão velho quanto o próprio xadrez. As crianças vão achar a aposta extremamente vantajosa. Quando elas perderem (porque você estralou o dedão do pé direito vinte vezes consecutivas), e começarem a pôr grãos de arroz nas casas do tabuleiro, vão descobrir na prática o quanto as progressões geométricas crescem depressa.

A casa a1 vale 20 grãos de arroz, a casa b1 vale 21, a casa c1 vale 22, …, e por fim a casa h8 vale 263, ou seja, vale 9.223.372.036.854.775.808 grãos de arroz. Tanto arroz pesaria sete vezes mais que todos os seres vivos do planeta Terra. Mas as crianças não vão chegar à casa h8; muito antes disso vão perceber que se meteram numa enrascada.



{4}/ Um problema do século 13

As brancas jogam e dão xeque-mate em dois movimentos. Este problema elegante está no manuscrito Bonus Socius (Bons Companheiros), escrito na Itália no ano 1266, e você nem precisa montá-lo num tabuleiro: é tão simples que pode resolvê-lo só com a imaginação.



{5}/ Editorial: A matemática é um tipo de jogo?

Acho razoável a ideia de encarar a matemática como uma imensa coleção de jogos, cada um deles semelhante ao jogo de xadrez. O leitor pode encarar cada área da matemática como um conjunto S de elementos, um conjunto R de relações em S, um conjunto F de funções em S, e uma linguagem L com certas características técnicas especiais. (Essa descrição é do filósofo polonês Alfred Tarski.) Para resumir mais do que isso: um conjunto de definições, um conjunto de axiomas (afirmações iniciais, tidas como verdadeiras por definição), e um conjunto de regras de inferência (algum tipo de lógica); daí, o leitor obtém um conjunto de teoremas ao aplicar as regras de inferência aos axiomas, usando as definições tanto para entender os axiomas quanto as regras de inferência.

Isso é muito parecido com o jogo de xadrez: o tabuleiro e as peças, a posição inicial, as regras do jogo; a partir da posição inicial, cada posição intermediária que os jogadores obtêm ao aplicar corretamente as regras do jogo é um teorema do xadrez. É por isso que, se uma pessoa joga xadrez pensando deliberadamente em matemática, e se também faz matemática pensando deliberadamente em xadrez, é provável que melhore seu entendimento tanto do jogo quanto da matemática. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 8, setembro de 2011, pág. 26. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita; a seção 5 é inédita.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Andreza Emília Marino.

A magia do número 4: sobre meias, pombos, e amigos


Há 18 pessoas num lugar. Logo, no mínimo quatro delas já se conhecem, ou então quatro delas nunca se viram antes. Esse fato dispensa uma explicação sociológica mirabolante — pelo menos para quem já ouviu falar dos número de Ramsey.



{1}/ O problema do final feliz

Uma estudante (vou chamá-la de Bianca) propôs uma brincadeira ao irmãozinho:

“Imagine um monte de meias na cama, com seis pares de cor branca, quatro de cor cinza, dois de cor preta, três de amarela, dois de verde, e mais um par de meias vermelhas; tudo misturado. Você deve pegar quantas meias quiser, mas no escuro, e voltar para sala e vestir um par de meias que seja da mesma cor. Qual o menor número de meias que precisa pegar para garantir que terá pelo menos um par de meias da mesma cor?”

“Seria mais fácil pegar todas”, responde o irmão.

“Mas essa não é a melhor solução.”

Para explicar a ideia das meias ao irmão, Bianca usou uma versão mais simples do problema, conhecida como o princípio do pombal. Nessa versão, Bianca supôs que há três pombos e duas casinholas. Quando começa a chover, os pombos entram nas casinholas.

“O que acontece?”

Ela mostrou no caderno uma tabela com as possibilidades:

Casa 1

Casa 2

3 pombos

0 pombo

2 pombos

1 pombo

1 pombo

2 pombos

0 pombo

3 pombos

Em cada situação, explicou Bianca, sempre haverá pelo menos dois pombos numa das casas. Ela então generalizou esse caso para n casas e n + 1 pombos para mostrar que, não importa o valor que o irmãozinho atribua a n, sempre haverá pelo menos dois pombos em pelo menos uma das casas. Aliás, pode afirmar com certeza que, se houver um número finito de casas contendo um número infinito de pombos, em pelo menos uma das casas haverá um número infinito de pombos. Daí o irmão perguntou:

“Mas o que isso tem a ver com as meias?”

Emerson Luiz do Monte Carmelo, professor na Universidade Estadual de Maringá (UEM), no Paraná, diz que o exemplo dos pombos é o caso mais simples do teorema de Ramsey. “É interessante que esse princípio não diz qual vai ser a casa e nem quais pombos ficarão juntos. Só diz que existem pelo menos dois pombos numa das casas — sempre. E repare que você não usa o teorema para contar. Não é um princípio de contagem, mas sim existencial.” Outro exemplo simples é o número mínimo de pessoas para que, com certeza absoluta, pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo mês: 13 pessoas. Nesse caso, cada pessoa cumpre o papel de pombo e os 12 meses do ano cumprem o papel de casinholas. Na história das meias, contudo, o estudante tem maior dificuldade para enxergar o que é casinhola e o que é pombo.

“É curioso que o número de pares de meias não me interessa”, diz Emerson; “não importa quantos pares temos de cada cor, mas sim quantas cores diferentes temos.” Como Bianca montou o problema com seis cores, seu irmãozinho precisa pegar ao menos sete meias para garantir um par da mesma cor. Número de cores = casinholas; meias que pegou no escuro = pombos. Ao colocar em cima da mesa as seis meias conforme a cor, certamente a sétima meia tem de ser de uma das cores que já estão em cima da mesa.

Fig. 1

Emerson também mostra a seus alunos uma versão geométrica do mesmo problema. Pede que imaginem um quadrado de duas unidades por duas unidades, no qual devem colocar cinco pontos. “Existem infinitas maneiras de fazer isso, mas em todas elas sempre há dois pontos que ficam mais próximos um do outro.” Ele desenha um quadrado e o divide pela metade na vertical e na horizontal formando quatro quadradinhos de uma unidade de lado por uma unidade de lado (veja a figura 1). “Temos cinco pontos que são os pombos, e os quadrados menores são as casinholas; em uma delas sempre haverá pelo menos dois pontos.” (Se quiser, o estudante pode presumir que não vai colocar um ponto nas linhas divisórias. Esse cuidado deixa o problema um pouco mais natural e não o altera substancialmente.) Quando Emerson explica o princípio do pombal, seus alunos o entendem quase que automaticamente; quando propõe o problema das meias, eles vacilam e iniciam uma discussão. Mas no exemplo dos quadrados eles empacam; poucos percebem o que é casinhola e o que é pombo.

Crianças e triângulos. Frank Plumpton Ramsey (1903-1930), economista, filósofo, e matemático, provou o teorema de Ramsey em 1928, mas não estava nem aí para as relações entre os elementos de dois conjuntos. (Os dois são o conjunto dos vértices e o conjunto das arestas coloridas num grafo completo; mais sobre isso na seção 2.) Ele usou o teorema como lema num de seus estudos de lógica e, em 1930, quando o artigo foi finalmente publicado, Ramsey já tinha morrido; não pôde ver como seu lema deu origem a toda uma teoria da combinatória. (Ramsey morreu no início de 1930, aos 26 anos, de icterícia, uma doença que deixa a pessoa com os olhos e a pele amarelada, mas com a qual hoje os doentes convivem bem.)

Alguns anos mais tarde, a matemática húngara Esther Klein propôs a Paul Erdös e a George Szekeres um desafio que resultou no artigo Um Problema de Combinatória na Geometria; esse artigo tornou o teorema de Ramsey popular entre matemáticos e nerds em geral. Nele, Esther perguntava algo mais ou menos assim:

Problema. Para dado n inteiro positivo, será possível encontrar um inteiro positivo N(n) tal que, se houver pelo menos N pontos num plano em disposição geral (não em linha), seja possível selecionar n pontos que formem um polígono convexo?

Paul Erdös o chamava de Problema do Final Feliz, pois, depois de trabalhar juntos, George e Esther se casaram em 1937 (o casamento durou 68 anos, até que, em 2005, ambos morreram com uma hora de diferença um do outro).

Mais tarde, nos anos 1950, um sociólogo húngaro, Sandor Szalai, estudava a amizade entre crianças quando notou que, em qualquer grupo com mais ou menos 20 crianças, sempre podia achar quatro que eram todas amigas entre si, ou quatro as quais nenhuma era amiga uma da outra. Antes de inventar uma mirabolante teoria de cunho sociológico para explicar sua descoberta, teve a ideia de conversar com três matemáticos: Paul Erdös, Paul Turán, e Vera Sós, todos também húngaros. Descobriu que aquele fato era na verdade um fenômeno matemático que valia para qualquer grafo completo com pelo menos 18 vértices, cujas arestas ou eram de uma cor ou de outra. No caso da história de Szalai, aquele fato era verdade para qualquer conjunto de 18 crianças, escolhidas duas a duas, entre as quais ou existe a relação simétrica “a é amigo de b, de modo que b também é amigo de a” ou a relação simétrica “a não é amigo de b, de modo que b também não é amigo de a”. Em outras palavras, o fenômeno que Szalai observou era um número de Ramsey e não exigia nenhuma explicação de base sociológica.

A estudante Bianca ficou imaginando como um matemático descreveria o problema das crianças. Primeiro, fez a pergunta que ele faria: “De quantas crianças eu preciso para que entre elas haja um grupo de x crianças as quais são todas amigas entre si ou as quais nenhuma é amiga uma da outra?”

Bianca logo notou que podia imaginar essa situação como um grafo completo. Cada criança é um vértice do grafo. Para unir dois vértices, Bianca deve escolher uma entre duas arestas coloridas; uma cor para representar a amizade entre as duas crianças, outra cor para representar a ausência de amizade. E ela escolheu assim: azul vai representar amizade; roxo, a ausência de amizade.

Depois disso, ela chamou de S o número de crianças (ou de vértices), e daí se perguntou: “Quantas arestas ao todo?” É um número binomial: de quantas maneiras pode selecionar os vértices dois a dois?

Um matemático chama esse processo de colorir de r-coloração, expressão na qual r denota o número de arestas coloridas no conjunto das arestas. No caso de Bianca, está estudando o processo de 2-coloração, pois só pode escolher cada aresta entre duas arestas coloridas.

Depois de pensar nisso tudo um pouco, Bianca desenhou o grafo completo para S = 6, considerando que todas as crianças são amigas umas das outras. (Veja a figura 2.) Contou o número de arestas, 15, que combina com o fato de que B(6, 2) = 15. [B(6, 2) é o número binomial “6 elementos, escolhidos 2 a 2”.] Depois calculou de quantas maneiras distintas poderia ter desenhado esse grafo. Como tem 15 arestas, e como pode escolher cada aresta de um conjunto com duas arestas coloridas, então pode desenhar o grafo de 215 = 32.768 maneiras distintas. Mais genericamente, de quantas maneiras distintas pode desenhar um grafo completo com S vértices, caso possa escolher cada aresta de um conjunto com k arestas de cores distintas?

 

Apesar do número alto de possibilidades, 32.768, Bianca pôde usar o teorema de Ramsey para dizer, com toda a certeza do mundo: em cada uma das configurações, sempre haverá um triângulo feito de arestas azuis ou um feito de arestas roxas. Sempre haverá três crianças as quais são amigas umas das outras, ou as quais nenhuma delas é amiga de nenhuma das outras duas.

Fig. 2

Para provar o caso desse grafo, o grafo K6, Bianca desenhou o conjunto de seis pontos e escolheu um ponto qualquer, por exemplo o B, para traçar as linhas que o interligassem a todos os outros pontos. Notou que não tem escolha senão desenhar pelo menos três linhas de uma mesma cor, por exemplo a azul, como na figura 3. Em seguida, Bianca evitou traçar linhas azuis de F a E e de E a D, para não formar um triângulo azul, e por isso usou a cor roxa, deixando o grafo como o da figura 4. Contudo, ao conectar F a D, encontrou o xis da questão: se usa azul, forma o triângulo azul BFD; se usa roxo, forma o triângulo roxo EFD. E não importa de que outra forma repita esse processo, sempre terá ou um triângulo azul ou um triângulo roxo, como o da figura 5.

 

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

O menor inteiro. Com esse exercício, Bianca ficou pronta para compreender uma definição mais formal de número de Ramsey. Os matemáticos costumam denotá-lo assim:

“Há bastante coisa para decodificar aqui”, escreveu Bianca no caderno. Os índices subscritos 1, 2, 3, …, k indicam o número de cores distintas no conjunto das arestas com as quais interligar dois vértices; nesse exemplo genérico, Bianca lidava com k cores. Com n1, n2, n3, …, nk, Bianca representou uma sequência com k inteiros positivos; por exemplo, em R(3, 3, 4), n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4. Com x, representou o menor número possível de vértices tal que ou pelo menos n1 vértices formam um subgrafo completo pintado com a cor 1, ou pelo menos n2 vértices formam um subgrafo completo pintado com a cor 2, …, ou pelo menos nk vértices formam um subgrafo completo pintado com a cor k. Com isso, Bianca pôde expressar o número de Ramsey que já conhece como um matemático o expressaria:

Com essa linha, Bianca disse o seguinte: “Preciso de no mínimo seis vértices num grafo completo para que ou pelo menos três deles formem um subgrafo completo pintado com a cor 1, ou pelo menos três deles formem um subgrafo completo pintado com a cor 2.” É a resposta à pergunta sobre as crianças.

Muitas vezes o estudante examina um grafo completo, ou qualquer rede que possa ser estudada como se fosse um grafo completo, e vê nele determinada estrutura muito peculiar, daí fica com a impressão de que aquela estrutura é exclusiva daquele grafo. Carlos Hoppen, professor na Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), costuma dizer a seus alunos que o teorema de Ramsey, e toda a teoria em torno dele, diz exatamente o contrário. Se a quantidade V de vértices no grafo completo for ≥ x, daí fatalmente V implica R(n1, n2, …, nk).

Bianca aproveita a notação para escrever o número de Ramsey no caso do sociólogo húngaro: R(4, 4) = 18. Com 2 cores para desenhar grafos completos de 18 vértices, Bianca pode desenhar 2153 = 11.417.981.541.647.679.048.466.287.755.595.961.091.061.972.992 grafos distintos. Em todos eles ou haverá pelo menos um subgrafo completo de quatro vértices pintado com a cor 1 ou haverá pelo menos um subgrafo completo de quatro vértices pintado com a cor 2. Não interessa se a cor 1 significa “A e B são amigos”, ou “A e B se amam”, ou “A e B se detestam”, ou “A e B são perpendiculares entre si”, ou “A e B podem ser comparados um ao outro”, ou “A e B são inteiros primos entre si”, ou “A e B se comunicam por meio da mesma versão de sistema operacional”.

Agora, e se Bianca quisesse saber o valor de x para resolver a equação R(5, 5) = x? Qual é a menor quantidade de crianças tal que sempre haja cinco delas que sejam todas amigas entre si ou que não sejam nenhuma delas amiga de nenhuma das outras quatro?

Daí Bianca estaria lidando com um problema matemático ainda sem solução. Emerson, o professor de Maringá, diz que esse fato sempre deixa seus alunos espantados, especialmente os de graduação. Como pode? Matemáticos do mundo inteiro, com recursos de computação tão avançados, não conseguem resolver um problema tão simples? Emerson acha a sensação de espanto uma coisa boa — estimula a curiosidade, e dá um incentivo extra aos que desejam se dedicar mais à matemática.

Espíritos malignos. Emerson já deu aulas sobre a teoria de Ramsey para estudantes no curso de computação, pois ela pode ser vista como um problema computacional, e o caso R(5, 5) = x rende ótimas discussões em sala de aula. Ele pede à classe que escreva um algoritmo para verificar o caso R(5, 5) = 50. Se o algoritmo for bom, o computador deveria produzir todos os grafos completos com 50 vértices (e duas cores), e isso é grafo que não acaba mais (5,8 ∙ 10368), e deveria verificar se existe em cada um deles um subgrafo completo de cinco vértices pintado de uma cor só.

O computador deveria produzir? Por que o futuro do pretérito? Por que a dúvida?

Emerson explica: “Imagine que tenhamos um super big plus computador que seja capaz de, num único segundo, realizar 21.000 testes. Esse computador não existe, viu? O melhor que existe hoje está muito longe disso. Então significa que num único segundo ele varre 21.000 dessas configurações e pode então checá-las. Quanto tempo o computador leva para fazer isso?” Essa conta pode ser feita com a regra de três, presumindo um computador cujo desempenho tenha comportamento linear conforme a carga de trabalho:

“Quanto tempo isso dá?”, pergunta Emerson. “É mais tempo que a idade do Sol. Aí entra algo curioso: é difícil fazer um algoritmo que execute esse teste? Não. Alunos da computação já conseguem fazê-lo no primeiro ano. Mas a pergunta mesmo é: existe um algoritmo que faça isso com tremenda rapidez?” A resposta é: ninguém sabe. (O homem só terá a resposta a essa pergunta quando resolver um dos problemas do milênio, o problema P = NP.) E o mesmo vale para o caso de R(6, 6) = x.

No documentário N Is a Number: A Portrait of Paul Erdös (1993), o próprio Erdös conta uma anedota: “Suponha que um espírito do mal fale assim: Diga-me a resposta para o problema com cinco pessoas ou vou exterminar a raça humana. Eu digo de brincadeira que, nesse caso, o melhor seria tentar computar o resultado tanto com matemática quanto com computadores. Mas se ele perguntasse quantas pessoas é preciso para haver seis que se conheçam ou que não se conheçam, o melhor seria destruí-lo antes que ele nos destruísse. Porque não podemos computar esse problema. Agora, se fôssemos espertos o bastante para produzir uma prova matemática genuína, poderíamos mandar o espírito para o inferno.”

Mas os matemáticos não param por aí. É comum que, quando não conseguem resolver um problema, o transformem num problema ainda mais difícil. Quando escrevem R(n1, n2, …, nk) = x, estão pensando em casos nos quais o número mínimo de pessoas que se conhecem é diferente do número mínimo de pessoas que não se conhecem, ou então estão pensando em casos nos quais podem pintar determinada área do grafo com uma cor. Às vezes, deixar o problema mais difícil abre portas, pois o matemático vai atrás de técnicas e de soluções que não lhe pareceriam razoáveis se estivesse lidando com a versão mais simples do problema.

E o leigo, como costuma reagir quando ouve falar do número de Ramsey R(3, 3) = 6 pela primeira vez? Tenta desesperadamente achar um contraexemplo. Em geral, imagina uma história cabeluda, do tipo: “Euclides, Pitágoras, Gauss, Arquimedes, Newton, e Leibniz estão numa festa. Duvideodó que três deles já tenham escrito um artigo científico juntos!” Antes que possa saborear a vitória, um pensamento lhe ocorre: “Pelo menos três deles nunca escreveram um artigo juntos…” É só então que começa a compreender a pegadinha.

Carlos, o professor da UFRGS, diz que, quando o estudante tenta evitar alguma coisa, por exemplo evitar a relação binária “escreveu um teorema com”, só pode evitar uma coisa por vez. É fácil criar uma história na qual nenhum dos personagens possa ter escrito um teorema com qualquer um dos outros — basta escolher personagens que viveram com séculos de diferença. Também é fácil criar uma história para evitar a relação binária “nunca escreveu um teorema com”. A questão mais sutil, que o teorema de Ramsey descreve com precisão extrema, é que o estudante não consegue evitar as duas coisas ao mesmo tempo. “Tentamos evitar um caso ou outro, e temos uma boa estratégia para cada um”, diz Carlos. “Mas no momento em que evitamos um deles, automaticamente criamos as condições que determinam a ocorrência do outro.” {}



{2}/ Apêndice: O que é um grafo completo

É um grafo simples, no qual o matemático junta cada vértice a cada um dos outros por meio de uma única aresta, e não inclui laços em nenhum vértice. (Laço, ou loop, é a aresta que sai de um vértice e chega ao mesmo vértice.) Como consequência, o grafo completo é regular: todos os vértices têm o mesmo grau, ou seja, o número de arestas que saem de cada vértice é sempre o mesmo.

O matemático pode denotá-lo com Kn, em que n é o número de vértices; daí, com n – 1, pode calcular o grau de cada vértice, e com a expressão abaixo, o número de arestas.



{3}/ Apêndice: Pombos como um número de Ramsey

Como uma estudante (codinome Bianca) pôde ver o problema do pombal como um número de Ramsey? O que os vértices do grafo completo representam? E as arestas?

Cada ponto do grafo representa um pombo. No conjunto das arestas coloridas, há uma cor para cada casinhola do pombal. Bianca uniu o vértice A com o vértice B com uma aresta da cor 1, e com isso quis dizer que o pombo A e o pombo B ocuparam a casinhola especificada pela cor 1. E assim por diante.

Bianca pensou um pouco sobre como deveria representar, com notação matemática adequada, a resposta à pergunta: “Quantas casinholas preciso ter, no mínimo, para que pelo uma delas seja ocupada por no mínimo dois pombos?” Assim:

“Se meu pombal tem quatro casinholas”, pensou Bianca, “então preciso de cinco pombos para que sempre haja no mínimo dois deles numa das casinholas, e devo isso escrever assim: R(2, 2, 2, 2) = 5.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 49, fevereiro de 2015, pág. 30. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

Como se transformar num fracassado de sucesso


Quando Gustavo Reis abandonou a carreira de cientista da computação para virar professor de matemática, sua família achou que ele tinha enlouquecido. No Brasil, diz Gustavo, quem quer ser professor tem de resistir à opinião dos outros, especialmente a de quem nunca sentiu o gostinho de ensinar algo a alguém.

O professor tem uma coisa na cabeça e traduz aquilo verbalmente. O aluno interpreta o que chega aos ouvidos e seu cérebro codifica outra coisa — até passar por esse túnel, tudo já mudou.


{1}/ Introdução à entrevista

Em 2012, Gustavo deu uma palestra num evento do TEDxUnisinos sobre inovação em educação, e explicou às mais de 700 pessoas na plateia o que fazer para se transformar num fracassado convicto (a palestra Seja um Fracassado está disponível no YouTube). Ele conta sua experiência de abandonar a carreira de cientista da computação nos Estados Unidos, onde trabalhou durante quatro anos, e adotar a profissão de professor de matemática no Brasil. Deu sua primeira aula aos 16 anos e desde então ficou em dúvida entre seguir a carreira na computação ou ir de vez para a sala de aula. Um dia, quando já trabalhava nos Estados Unidos há três anos, ganhou um prêmio de seus colegas de trabalho: Analista do Ano para Trabalho em Equipe. Eles explicaram o motivo da escolha: Gustavo está sempre disponível para ajudar os outros, “feito um bom professor”. Nesse mesmo dia, decidiu voltar para o Brasil e virar professor de vez.

Gustavo teve de enfrentar a péssima opinião que a maioria das pessoas tem sobre o trabalho do professor — ainda mais professor de matemática. “No Brasil”, disse Gustavo durante a palestra, “você tem de ser resistente se quiser ser professor. É alvo de piada a toda hora.” Ele queria mostrar à família e aos amigos que tinha tomado a decisão certa: comprou mesas, cadeiras, e um quadro, e montou seu próprio cursinho.

Hoje ele divide seu tempo entre o cursinho pré-vestibular Mathematica Et Cetera, em Porto Alegre (RS), seus projetos online, como o Clube do Enem, suas atividades como palestrante, e os últimos retoques na dissertação de mestrado sobre “design estratégico”, na qual explica como aproximar mais o professor do aluno. Durante a palestra do TED, Gustavo disse que muita gente critica o sonho de ser professor, mas nunca ensinou nada a ninguém. “Se essa pessoa experimentasse, perceberia que não tem como ser um bom professor sem ser generoso; um professor não sonega nenhuma informação.”



{2}/ A entrevista em si

O que mudou desde sua primeira aula?

Hoje, talvez por existir maior acesso à faculdade, encontramos alunos menos ambiciosos, digamos assim. Eles dizem: “Onde eu passar, está bom. Mesmo que tenha de viajar, não tem problema.” Antes, chegavam num curso como o meu tendo escolhido uma ou no máximo duas universidades; na década de 1990, isso era regra. E pareciam dispostos a se preparar de forma proporcional à ambição que tinham. Agora, parece que a dedicação deles vai só até o suficiente para passar em algum lugar. Os ambiciosos ainda existem, mas são em número proporcionalmente menor.

Também acho que, talvez pelo tanto de distrações que temos hoje, ficou mais difícil reter a atenção dos alunos. Percebo que eles têm chegado cada vez mais fracos, em média, do que chegavam antes. Os bons ainda existem, mas os fracos são realmente fracos. Com frequência, temos de reconstruir o conteúdo desde séries como o ensino fundamental até o ensino médio. E não dá para culpar o ensino público, porque costumo receber alunos de escolas particulares. Os alunos estão mais distraídos e têm maior dificuldade para se concentrar por um tempo mais longo. Fico imaginando como deve ser no colégio, porque aqui [no curso] pelo menos eles vêm espontaneamente.

Como resolve o problema da distração?

A gente tem atividades invertidas há mais de dois anos, nas quais o aluno assiste à teoria em casa, pela internet, e vem para o curso fazer exercícios. Quase todos gostam disso, e é provável que daqui a cinco anos nossa atividade no curso presencial se resuma a situações como essa. Digo quase todos, porque, quando começamos há dois anos, havia um número expressivo de alunos mais conservadores: queriam um professor que fosse ao quadro e desenhasse, explicando tudo passo a passo. Isso é legal para fazer exercícios, mas não para explicar teoria.

Também invisto bastante em atividades nas quais o aluno usa o telefone celular; o professor não precisa ver nele um inimigo. Em vez de ficar tuitando, o aluno pesquisa no Google ou traça um gráfico num aplicativo que recomendei. É bem o velho lema: se não pode vencê-lo, junte-se a ele. Passei anos proibindo meus alunos de usar celular, e hoje faço uma brincadeira com eles no primeiro dia de aula. Entrego solenemente o Código do Aluno, um documento oficial com seus direitos e deveres, com brasão da república e tudo. Num dos primeiros itens está escrito: O aluno está autorizado a usar o celular, desde que para atividades vinculadas à sala de aula. Explico que tirar uma foto do quadro e pôr no Facebook, porque gostou da matéria, vale. Tirar uma foto da sua lista de exercícios e pôr no Twitter vale também. O que não vale é ficar no WhatsApp, usando aquela janelinha mágica para se distrair. Mas a gente não pode entrar em interferência. Eu nasci analógico, eles nasceram digitais — a gente tem de se entender.

Mas um minuto de desatenção ainda não custa o resto da aula?

Quando dou uma aula, por exemplo sobre limites [ele também dá aulas de reforço para graduandos de exatas], começo explicando funções. Faço uma revisão de logaritmos, de trigonometria, sempre dando dois passos para frente e um passo para trás, dois para frente, um para trás. Faço isso também dentro de cada aula justamente para não ser essa coisa tão linear que, se o aluno se distrai por um momento, se perde.

Também não adianta ele saber derivada sem saber o que é uma reta tangente, e não adianta estudar reta tangente sem saber como se chega à equação da reta. As ideias exigem esse resgate, e é por isso que graduandos procuram um curso como o meu. A prova de admissão da UFRGS tem 25 questões de matemática; a média de acertos oscila entre 9 e 10. Isso significa que muita gente entra num curso de engenharia acertando algo em torno disso. Na faculdade, o professor parte de uma pressuposição: já que os alunos passaram no vestibular, dominam os conceitos do ensino médio. É aí que acontece a desconexão.

O que você mudou como professor?

Quando as pessoas publicam rankings, ressaltam a ponta de cima, mas se esquecem de que eles têm duas pontas. Durante anos trabalhei com ranking de alunos, mas de uns tempos para cá abandonei isso. Passei a acreditar que é mais uma questão de engajamento que de classificação. É o aluno se sentir próximo do professor e se envolver nas atividades, independente de uma régua padrão que meça seu desempenho. Fico tremendamente feliz quando um aluno que sabe 20% do que eu gostaria que soubesse sai do curso sabendo 60% — ele triplicou sua bagagem. Às vezes, um aluno entra aqui sabendo 80% do conteúdo e sai com 90%. E aí, onde tivemos maior sucesso? Sei que muita gente não pensa assim e acredita nessa história de simulado, média. Hoje em dia estou pouquíssimo preocupado com isso. Só quero que não abandonem tudo.

Como sabe que os alunos estão aprendendo?

Nas aulas presenciais, trabalho com turmas pequenas e é difícil um aluno se manter totalmente neutro quando não está entendendo nada, assim como não consegue se manter neutro quando está entendendo. Ele emite sinais; por exemplo, fica surpreso diante de uma aplicação. Ele não precisa dizer nada. Acho que é parte do papel do professor perceber que não precisa de uma avaliação formal para saber se o aluno está aprendendo.

A gente não deve confiar exclusivamente no retrato de um momento, representado pela prova. É importante colocar as coisas em perspectiva e observar que, de repente, um aluno bem preparado pode não ir bem no dia da prova. Ao mesmo tempo, um aluno meio inseguro às vezes entra na prova como um franco-atirador, e se sai melhor do que esperava.

É claro que, com um auditório maior, isso talvez seja impossível, mas quando o professor passa a sensação de proximidade, o aluno se sente mais à vontade para contar o que está acontecendo com ele. Só quem pode traduzir o quanto aprendeu é o próprio aluno. É cada um de nós. Acabei de terminar as disciplinas de mestrado, e tenho plena consciência do quanto aprendi em cada uma delas. A prova confirma ou desmente isso com certo grau de confiabilidade, mas depende também de como estou me sentindo no dia da prova.

Você sempre foi bom de matemática?

Sim, mas na verdade, lá no início dos tempos, gostava mesmo de computação. Descobri essa facilidade com a matemática, ou talvez mais de explicar a matemática, quando já estava no cursinho. Até o terceiro ano, ser professor de matemática nunca me passou pela cabeça. Aí os professores do cursinho em que estudei me convidaram para dar uma aula experimental, e aceitei. Lembro como se fosse ontem: era uma aula de geometria analítica e só tive um dia para estudar; fiquei sabendo de um dia para o outro. Estava muito nervoso, suava, mas os alunos foram receptivos. Eu tinha 16 anos na época.

Como seus professores desconfiaram de que seria um bom professor?

Acho que era uma questão da comunicação mesmo, sempre gostei de conversar. E um dos professores, que foi bastante responsável por essa aula experimental, dizia que minhas resoluções eram bem estruturadas, feitas passo a passo. Isso é difícil, porque as pessoas tendem a pegar atalhos, pular etapas e tudo mais. Mas sempre fiz resoluções mostrando cada etapa — cheguei aqui, agora uso esse resultado aqui —, porque pensava que dali a três meses tinha de abrir o caderno, olhar a questão e a resolução e entender o que tinha escrito; porque, se não entendesse, teria de fazer tudo de novo, pensar tudo de novo. Era esse o propósito do passo a passo; não era ensinar a alguém. Mas descobri, por meio daquele professor, que isso era útil; além disso, imagino que os tenha de algum modo incentivado a me convidar para aquela aula. {}



{3}/ Apêndice: o caso dos comprimidos adulterados

Num dos episódios de a Hora Feliz da Matemática (uma série de probleminhas disponíveis no YouTube), Gustavo Reis apresenta duas versões de um problema (veja o vídeo aqui). Eis uma versão da versão mais complicada:

Problema. Num programa de TV, o apresentador entrega 10 frascos de comprimidos a um jovem, numerados de 1 a 10, e informa: “Valendo 10.000 reais!!! [aplausos da claque] Cada frasco deveria conter 1.000 comprimidos de 100 miligramas cada um. Acontece que x desses frascos estão com os comprimidos adulterados, e tais comprimidos pesam 110 miligramas cada um. Como você pode me dizer o número dos frascos adulterados, se os houver, realizando uma única pesagem nesta balança aqui?” O apresentador mostra a balança, que é uma daquelas eletrônicas com apenas um prato. O jovem pede mais explicações e entende o espírito da brincadeira: terá de colocar coisas na balança (ainda não sabe bem que coisas são essas), terá de anotar o peso desse grupo de coisas, e logo em seguida terá de dizer quais frascos estão adulterados. Se acertar, ganha o dinheiro.

Antes de assistir à resolução de Gustavo, o estudante faz bem se pensa no problema sozinho. “É razoável acreditar que a maioria das pessoas julga necessário realizar pesagens individuais até encontrar os frascos adulterados”, diz Gustavo. “É a condição de pesagem única que torna o problema instigante.” Depois de um tempo, o estudante acaba tendo a ideia de tirar um comprimido de cada frasco e pesá-los todos juntos, porém nota que só quando tira quantidades diferentes de cada frasco obtém informação sobre cada um deles. Ele então tenta a seguinte estratégia: tira 1 comprimido do primeiro frasco, 2 do segundo, e 3 do terceiro; e daí vê que, se o excedente no peso total for de 30 miligramas (em relação a comprimidos não adulterados), não saberá se é por causa do frasco 3, do qual pegou 3 comprimidos, ou se dos frascos 1 e 2, dos quais pegou 1 e 2 comprimidos.

Ele então decide analisar os frascos um por vez, escrevendo o raciocínio no papel, como manipulasse os frascos de verdade:

• Tiro um comprimido do primeiro frasco.

• Tiro dois do segundo.

• Tiro três do terceiro… Não posso tirar três, porque 2 + 1 = 3, e quando pesar não saberei se o excedente de 30 miligramas (se esse for o caso) veio do terceiro frasco ou dos dois anteriores. Então tiro quatro comprimidos do terceiro frasco.

• 4 + 1 = 5, então não posso tirar cinco comprimidos do quarto frasco. 4 + 2 = 6; também não posso tirar seis. 4 + 2 + 1 = 7; também não posso tirar sete. Então, devo tirar oito comprimidos do quarto frasco.

• Agora, o quinto frasco: não posso tirar nove, que é igual a 8 + 1. Não posso tirar dez, onze, doze, treze, quatorze ou quinze. Então, tenho de tirar dezesseis comprimidos do quinto frasco.

Seu caderno fica com a seguinte sequência: 1, 2, 4, 8, 16. É quando percebe o padrão: “São potências de dois!” Anota no cantinho do caderno o lembrete de que, na sequência, 1 equivale a 20, e também que a sequência é uma progressão geométrica com razão igual a 2. Assim faz a lista de quantos comprimidos deve retirar de cada frasco:

Frasco

Comprimidos

Motivo

1

1

20 = 1

2

2

21 = 2

3

4

22 = 4

4

8

23 = 8

5

16

24 = 16

6

32

25 = 32

7

64

26 = 64

8

128

27 = 128

9

256

29 = 256

10

512

210 = 512

Agora, ficou fácil saber qual frasco contém comprimidos adulterados. Se o peso excedente for igual a 512 × 10 gramas, é o frasco 10. Se for igual a 332 × 10 gramas, são os frascos 3, 4, 7 e 9, pois 4 + 8 + 64 + 256 = 332. Tudo o que o jovem do programa de TV tem de obter, antes de efetivamente pesar os comprimidos, é uma tabela ou fórmula pela qual possa pegar o peso e dizer o número dos frascos adulterados.

Em primeiro lugar, ele pesa os 1.023 comprimidos, tira desse peso o peso que teriam se fossem todos normais, e divide o peso restante por 10 para saber o número de comprimidos adulterados.

Depois disso, o que o estudante precisa reconhecer, se já tiver os conhecimentos técnicos necessários, é que está lidando com o sistema posicional de base 2, no qual monta os números inteiros com apenas dois símbolos, 0 e 1. Neste caso, ele interpreta 0 como “frasco comum” e 1 como “fraco adulterado”. E como pode converter, por exemplo, 332 na base 10 em 332 na base 2? Basta dividir 332 por 2, dividir o quociente disso por 2, dividir o quociente disso por 2, etc. (Sempre trabalhando só com inteiros.) Assim:

Agora, basta pegar a sequência de uns e zeros da direita para a esquerda: 332(10) = 101001100(2). Os algarismos 1 estão nas casas 3, 4, 7 e 9, e isso quer dizer que os frascos adulterados são os de número 3, 4, 7, e 9.

Regra geral para problemas desse tipo: se o estudante tiver “comprimidos” de dois tipos, A, B, tire “comprimidos” de cada “frasco” de modo a contar na base 2; se tiver “comprimidos” de três tipos, A, B, C, tire “comprimidos” de cada “frasco” de modo a contar na base 3; etc. “Comprimidos” e “frasco” estão entre aspas por que podem aparecer sob muitos disfarces, cuja ideia geral será a de conjunto e a de elementos dentro do conjunto. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 49, fevereiro de 2015, pág. 14. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone.

3. Caso queira saber mais sobre o teorema da base de representação, com o qual pode resolver problemas como o da seção 3, veja a matéria Lendo Andrews: Capítulo 1.

Biomimética: Parece que formigas sabem adicionar vetores


Cientistas sempre estão de olho nas formigas: elas têm muito a ensinar sobre evolução. Uma bióloga alemã estuda formigas de verdade e de mentira para descobrir ideias e tecnologias escondidas dentro do formigueiro.


Anna Dornhaus

Insetos sociais são muito inteligentes. Eles se comunicam entre si, se organizam em hierarquia, resolvem problemas e aprendem a realizar tarefas complexas.

Anna Dornhaus, bióloga na Universidade do Arizona (EUA)


Heather Goldsby

Aplicamos uma teoria econômica a um fenômeno biológico amplo e a testamos com a ajuda da ciência da computação.

Heather Goldsby, cientista da computação na Universidade de Washington (EUA)


{1}/ Formigas digitais também são úteis

Crianças adoram olhar formigueiros, especialmente depois de ler um pouco sobre as formigas numa enciclopédia. Algumas formigas saem do formigueiro com a missão de buscar comida — pode ser um grão de açúcar, pode ser um pedaço de barata. Eca! Outras saem com a missão de buscar grãos de areia, com os quais vão depois reformar alguma parte do formigueiro. Quem distribui as tarefas? Essa é uma pergunta que as crianças costumam fazer. Será que a tarefa de buscar açúcar, de buscar pedaços de barata morta, e de buscar grãos de areia é atribuída à formiga que melhor busca açúcar, barata, areia? Será que cada formiga gosta das tarefas que é obrigada a realizar? Será que o formigueiro mede o empenho de cada formiga?

Quando era pequena, a bióloga alemã Anna Dornhaus colecionava gafanhotos numa caixa de sorvete. Gostava de insetos. Hoje, como pesquisadora na Universidade do Arizona, nos Estados Unidos, faz de tudo para dar resposta a perguntas desse tipo. Em 2004, gastou um tempão coletando centenas de formigas europeias do tipo Temnothorax albipennis — elas têm pouco mais de um centímetro e vivem nas fendas de rochas. Usou um microscópio, pincel, e tinta de várias cores para pintar formiga por formiga; preparou um novo formigueiro para as formigas pintadas e as gravou em vídeo — um reality show em miniatura. Depois assistiu mais de 200 horas de vídeo dezenas de vezes, para contar, entre outras coisas, quanto tempo cada formiga levava para realizar cada tarefa. Com os dados no computador, procurou padrões e respostas; por exemplo, tentou entender como as formigas distribuíam as tarefas entre elas.

Para Anna, esse trabalho foi fichinha comparado ao que fazia antes: estudar primatas. Custa caro mantê-los em cativeiro, há muita papelada a preencher para deixar os fiscais do governo satisfeitos, e é muito mais difícil imitar seu habitat natural. Durante a pesquisa com primatas, passou uma temporada na Universidade de Massachusetts e quando voltou para a Alemanha foi atrás de gente que estudava comportamento animal. Encontrou um grupo de pesquisadores que trabalhava com insetos sociais e adorou a ideia. Insetos como formigas são sofisticados: eles se comunicam uns com os outros, se organizam para coletar alimento e se defender, e algumas espécies até aprendem a realizar tarefas complexas. Tanto é que cientistas pegam cada um sua lupa e ficam de olho no que as formigas têm a ensinar, pois elas têm muito tempo de experiência: habitam a Terra há uns 120 milhões de anos.

Pau para toda obra. Formigas, abelhas, vespas, e cupins formam 75% da biomassa mundial de insetos. Conseguiram ocupar muitos tipos de nicho ecológico distintos, e cientistas suspeitam que isso tenha algo a ver com a divisão do trabalho. Também desconfiam que, como na nossa sociedade, se elas têm divisão do trabalho é porque alguns indivíduos são especializados num tipo de função e são, portanto, mais eficientes. Adam Smith (1723-1790), economista escocês, descreveu esse comportamento no homem durante a revolução industrial. Dizia que o homem tinha três razões para se especializar: ser mais eficiente num determinado trabalho; evitar o custo de mudança de função; e manusear as máquinas da época, que tornaram os processos mais eficientes.

Cientistas de língua inglesa chamam essa hipótese de the jack of all trades is a master of none; em português, o sujeito pau para toda obra não domina nenhuma delas. O zelador do prédio, por exemplo, serve de porteiro, eletricista, marceneiro, encanador e informante não oficial a respeito do que acontece com os vizinhos. Um matemático, por sua vez, entra no mestrado em sistemas dinâmicos, vai para o doutorado em sistemas hamiltonianos (um caso especial de sistemas dinâmicos), e daí por diante nem consegue falar de trabalho com o matemático da sala ao lado, de tão especializado que ficou. Tornou-se, porém, um sujeito capaz de resolver problemas tão difíceis que o leigo nem consegue entender o enunciado do problema. Anna, a partir da teoria econômica, se perguntou: será que as formigas especializadas também são mais eficientes?

Para verificar essa hipótese na sociedade das formigas, Anna as colocou para trabalhar. Eram 1.142 formigas espalhadas em 11 colônias, que realizavam quatro tarefas:

Transportar a ninhada.

Coletar mel.

Coletar animais mortos.

Coletar pedras para construir o ninho.

Para Anna, uma formiga seria considerada especialista quanto mais se concentrasse em determinada atividade. Por exemplo: se ela só buscasse animais mortos, seria 100% especializada nessa função. Se nunca buscasse animais mortos, seria 0% especializada nessa função. Se realizasse as quatro tarefas com a mesma frequência, teria 25% de especialização em cada uma. Depois de aplicar técnicas estatísticas aos dados, e de olhar os gráficos, Anna viu que as formigas especialistas não eram mais eficientes do que as generalistas. Algumas vezes (por exemplo, ao carregar pedras), as especialistas tinham desempenho pior.

Anna publicou os resultados de seu trabalho em 2008, na revista PLOS Biology, e o trabalho continha mais perguntas que respostas: Se não são mais eficientes, porque elas se especializam? Por que na hora de escolher as tarefas não levam em conta se podem realizá-las com eficiência? Parecia que, no mundo das formigas, valia a pena ser pau para toda obra, e Anna passou a suspeitar que elas se especializam não pela eficiência, mas por outros motivos.

Insetos digitais. Um sujeito acorda de manhã meio atrasado para a faculdade. Planeja um café da manhã reforçado: coloca a panela no fogo com os ovos para a omelete, coloca o pão na torradeira, e abre a geladeira para pegar o leite. De repente, a torradeira apita: o pão está pronto; no fogão, a omelete começa a endurecer. O sujeito tira o pão da torradeira, desliga o fogo da omelete, coloca um copo limpo de lado e, sem notar o que está fazendo, despeja o leite não dentro do copo, mas em cima do pão. Quando o homem faz muitas coisas ao mesmo tempo, gasta energia para tirar e pôr etapas de processos distintos na memória de curto prazo; quando não consegue pôr a etapa certa na memória, erra. Quem o observa, diz: “Ele se confundiu.” Na floresta, trocar de tarefa rapidamente e com eficiência é questão de vida ou morte.

Adam Smith pensava nesse tipo de custo quando escreveu sobre a especialização dos trabalhadores: se o cidadão se especializa em carpintaria, mas depois de uns anos decide virar padeiro, tem de jogar fora tudo o que aprendeu, e aprender tudo de novo; enquanto isso, perde tempo sem ganhar dinheiro — isto é, põe a sobrevivência em risco. Anna achou que essa era uma boa hipótese também para as formigas. Mas tinha um empecilho para testá-la: o tempo. “Em pouco tempo, eu talvez consiga forçar uma formiga a fazer algo, mas não posso fazer o formigueiro inteiro funcionar de forma marcadamente diferente.”

As formigas demoraram pelo menos 120 milhões de anos para ser do jeito que são; como o homem pode acompanhar alguma mudança evolucionária no pouco tempo que vive? Anna também não podia apertar um botão para ligar ou desligar o custo de mudança nas formigas. “É difícil mensurar coisas como o custo de mudança num sistema real de formigas. Gostaria de colocá-las num mundo onde a mudança de tarefa não custasse nada e ver se continuariam a se especializar.” O tempo, porém, continuaria a ser um problema. Talvez elas só parassem de se especializar depois de uns 50 milhões de anos. Anna precisava na verdade de um mundo artificial onde pudesse manipular as características das formigas e acelerar sua evolução, e precisava de alguém que a ajudasse a criar esse mundo.

Heather Goldsby, da Universidade de Washington, tinha acabado de terminar seu mestrado em engenharia de programação e queria aplicar seus conhecimentos em outras áreas. “Fiquei fascinada com a possibilidade de usar computadores para estudar a evolução, uma área com problemas desafiadores. Tem a dificuldade de usar sistemas naturais, de fazer bons experimentos, e há vários dados históricos perdidos.” (Poucos indícios do processo de evolução natural ficam registrados em fósseis ou no código genético do animal.) Heather e Anna se juntaram para estudar a divisão do trabalho num formigueiro digital, isto é, imitaram organismos vivos num computador e viram como eles reagiam a certas mudanças no ambiente.

“A modelagem é muito importante nesse tipo de trabalho, e meu trabalho é como o de um tradutor”, diz Anna. “Tenho uma questão da biologia e procuro uma resposta, sei o que quero que o modelo faça, sei quais são as suposições, sei o que quero examinar. Então outra pessoa desenvolve o modelo, estuda as equações e os resultados.” Nesse mundo artificial, as “formigas digitais” também tinham afazeres, mas desta vez Heather e Anna mudavam o custo de mudança para mais ou para menos e observavam se os organismos se especializavam em uma tarefa ou deixavam de se especializar. Na forma evoluída, a colônia gerou sete tarefas, nada parecida com a das formigas de verdade. As cientistas viam no modelo tarefas definidas por operações lógicas: NOT, NAND, AND, ORNOT, OR, ANDNOT e NOR. E descobriram que as formigas digitais criavam mais divisões no trabalho conforme o custo de transição de uma tarefa para outra ficava mais alto. “Isso reforça nossa hipótese”, diz Heather. “Em resumo, nós aplicamos uma teoria econômica a um fenômeno biológico amplo e a testamos com a ajuda da ciência da computação.”

Na Alemanha, quando o aluno entra no ensino médio, escolhe quais disciplinas vai estudar mais. (Na verdade, a maioria aceita a sugestão de conselheiros profissionais.) Anna escolheu química e matemática. “Sempre tive interesse por matemática e provavelmente tenho mais conhecimentos de matemática do que a média, mas não sou matemática.” Com a ajuda de matemáticos, biólogos como Anna devagar entendem por que os seres vivos são do jeito que são. Com tal entendimento, especialistas como Heather criam tecnologia: software, novos materiais, robôs. {}



{2}/ Bons motivos para estudar formigas

São muito mais velhas do que nós. Apesar do fóssil de formiga mais antigo ter 100 milhões de anos, cientistas suspeitam que elas estejam no planeta há pelo menos 120 milhões de anos; elas descendem de uma linhagem de vespas. Até agora, o ancestral mais antigo do homem não tem nem míseros 5 milhões de anos, ou seja, as formigas tiveram mais tempo para se adaptar a este mundão de vida e morte.

Formam comunidades organizadas. Cientistas se perguntam o que temos em comum com as formigas — dado que nós também vivemos em comunidade — e como podemos aprender mais sobre nós mesmos ao estudá-las.

Têm ótimos algoritmos de otimização. Pesquisadores da Universidade de Stanford notaram que formigas, ao buscar comida, funcionam mais ou menos como protocolos de controle de tráfego na internet: formigas saem da toca e, se voltam logo de mãos cheias, outro grupo sai em seguida; se demoram ou voltam de mãos abanando, da próxima vez sai um grupo menor, ou talvez não saia grupo nenhum — a busca está cancelada. Na internet, um computador A manda um arquivo para B em pequenos pacotes. Quando recebe um pacote, B avisa A, que manda um novo pacote; se B demora a responder, é porque algum elemento da rede está funcionando mal, então A manda o próximo pacote numa velocidade menor, ou em alguns casos manda a mensagem: tempo de conexão esgotado. {}



{3}/ Formigas são bons navegadores

Vocabulário: Vetor. É um segmento de reta com magnitude e direção, que você pode descrever, no caso do plano cartesiano, com um par ordenado de números reais.. Os cientistas não sabem como as formigas voltam para o formigueiro pelo caminho mais curto, mas sabem que podem modelar esse fenômeno com vetores. (Lembrete: é possível definir vetores de modo bastante abstrato, isto é, sem fazer referência a nenhum tipo de geometria ou sistema numérico convencional.)

Ao sair para buscar comida, a formiga zanza de um lado para o outro, indo e voltando, sem rumo certo. Ao fim de apenas uma viagem (elas fazem muitas durante um dia) caminha centenas de metros. Para uma formiga de 1 centímetro, andar 260 metros é o equivalente a um homem de 1 metro e 80 centímetros andar 47 quilômetros. Então, como elas, sem mapa, bússola, ou GPS, conseguem voltar para casa após um trajeto longo e sinuoso? E como voltam pelo caminho mais curto no sentido euclidiano do termo, isto é, numa linha reta?

Os biólogos sabem que a maioria dos animais, inclusive as formigas, se orienta por meio dum mecanismo parecido com o que marinheiros chamam de navegação estimada. Essa técnica inclui a habilidade de reconhecer ângulos e a posição do sol, já embutidas na formiga, mas um estudante (vamos chamá-lo de Saimon) abstrai as habilidades biológicas e pensa no que ela faz do ponto de vista matemático.

Saimon faz o modelo de uma formiga que sai de casa à procura de comida num plano cartesiano. Coloca o formigueiro no ponto A = (0, 0), isto é, na origem dos eixos x e y, e propõe que passe pelos pontos B, C, D, E, F, até chegar a G, onde está a comida (veja a figura 1).

Para Saimon, conforme a formiga anda uma unidade no eixo x, é como se desse um passo à direita e quando anda uma unidade no eixo y, é como se desse um passo para cima. Para chegar ao ponto B, a formiga caminha duas unidades à direita e uma para cima, então Saimon simplifica a questão: é como se ela tivesse andado ao longo do vetor AB, que pode ser expresso como o ponto (2, 1). Para chegar a C, ela dá mais alguns passos à direita e alguns passos para baixo, o que Saimon representa com o vetor BC = (2, -3). A formiga faz algo como se somasse o vetor AB ao vetor BC para saber o vetor AC, cujo comprimento equivale à distância que está do formigueiro. Já Saimon, para realizar essa mesma soma, relembra a regra do paralelogramo:

“Se coloco dois vetores de mesmo sentido como lados de um triângulo, então o terceiro lado do triângulo representa a soma desses vetores tanto em magnitude quanto em direção.” Ele traça vetores sobre a ilustração 1 para representar (mais ou menos) as distâncias que a formiga andou ao chegar a cada ponto e faz as contas com a regra do triângulo. (Depois de pronto, seu desenho fica como na figura 2 mais abaixo.) Imagina então o que a formiga faz: anda de A a B, atribui um vetor a esse percurso; depois anda de B a C, soma o novo vetor ao vetor anterior, depois anda de C a D, soma o novo vetor ao vetor anterior. “É genial! A formiga faz as continhas aos poucos, ao invés de memorizar as distâncias e fazer uma conta grande no final.” Saimon põe as contas no papel em colunas para visualizar melhor a soma de dois vetores. Chama então o par ordenado referente ao vetor AB de (x1, y1), o referente ao vetor BC de (x2, y2), e assim por diante. Ele coloca o par em colunas para somar a abscissa dum vetor com a abscissa do outro (x1 + x2), e a ordenada do primeiro vetor com a ordenada do segundo (y1 + y2), e assim por diante. Depois de organizar as coordenadas, escreve os números correspondentes e encontra o par ordenado de um novo vetor:

Quando olha para o resultado, reconhece o vetor AC = (3, –2) e pensa no que a formiga faria para voltar dali para casa. “Para inverter o sentido do vetor, preciso multiplicá-lo por –1, assim a formiga tem a distância e a direção de volta para casa.” Dessa vez escreve no papel a multiplicação do vetor AC pela grandeza escalar –1 (que é uma grandeza sem direção). Multiplica –1 pela abscissa e depois pela ordenada para encontrar o oposto (ou negativo) do vetor AC. No desenho, traça de vermelho o vetor que levará a formiga de volta para casa.

Vê que as contas estão batendo com o desenho, então decide fazer todas as contas de (–3, 2) até G. A sequência de somas dos vetores fica assim:

Na última linha, Saimon multiplicou o resultado por 1 e obteve a distância e a direção para voltar à origem, isto é, ao formigueiro. Então, olha o último resultado e reconhece o negativo das coordenadas do ponto G. Traça um vetor em vermelho de G até A indicando a rota mais curta para a formiga voltar para casa. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 23, março de 2013, pág. 52. A matéria que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes.

3. As figuras matemáticas e os gráficos são do artista gráfico Henrique Arruda.