Pitágoras: um morador no prédio de Hilbert


Nesta reportagem, você vai estudar algumas das muitas premissas embutidas numa prova simples do teorema de Pitágoras. De fato, ao esquadrinhar o prédio da geometria, descobrirá que o teorema está muito alto, muito longe das fundações — da qual fazem parte afirmações engraçadas, mas essenciais, como “o plano é plano”.

David Hilbert dá nome aos bois. É tão rigoroso ao fundamentar a geometria que introduz a definição de ideias que mesmo alunos no ensino fundamental acham claras: semirreta, polígono, segmento de reta, ângulos suplementares, ângulos opostos pelo vértice, ângulo reto, círculo. É por isso (e por muitas outras coisas) que o texto Fundamentos da Geometria de David Hilbert ficou muito maior que esta matéria.

Nota. Os símbolos “” e “~” significam “congruência” e “relação de equivalência”.


{1}/ O plano, ora bolas, é plano

Um leitor (vamos chamá-lo de eA7) pega um livro num canto escondido da biblioteca. É o Fundamentos da Geometria (1902), de David Hilbert. Folheia algumas páginas, depois coça a cabeça: “Não tem álgebra.” Porém, reconsidera: “É sobre geometria.” Reflete mais um pouco: “Tem poucos desenhos.” E reconsidera de novo: “Foi escrito em alemão, e não em grego.” Mas não se contém quando vê as provas feitas com palavras, em vez de equações, e acha que a leitura será fácil. “Vou tomá-lo emprestado!”

O matemático alemão David Hilbert escreveu e revisou durante uns oito anos (entre o fim do século 19 e o começo do século 20) os fundamentos da geometria euclidiana e das geometrias não euclidianas. Foi um sucesso na época, mas hoje pouca gente se põe a mexer no livro. Não porque trata de geometria elementar, mas de minúcias que sustentam toda a geometria. É uma axiomática difícil, diz um professor. Daria muito trabalho ensinar aos alunos, diz outro. “O que está fundamentado, está fundamentado”, diz mais um. “Para que mexer nisso?” Nos livros didáticos, o leitor encontra deduções e demonstrações com axiomas reescritos de forma muito mais intuitiva. Então, por que Hilbert se deu a tanto trabalho?

Ora, para o matemático, a profissão se parece com a construção de um prédio. O construtor faz muita pesquisa, pensa bem no projeto e então constrói a fundação que sustentará toda a estrutura. Por fim, quando o morador se muda, não quer saber de fundação, mas sim do sofá em formato L, da televisão de plasma, da cor do tapete no banheiro. O que importa à maioria dos matemáticos é o que está em cima, sendo usado agora. Como no caso dos moradores no prédio, costumam conversar sobre fundamentos só quando estoura um cano ou aparece uma rachadura estranha — talvez a equipe a serviço do construtor tenha cometido algum erro grave.

Quando o matemático, porém, erra ao fundamentar a teoria, não sai nas notícias de jornal, nem vai preso: primeiro, porque costumam descobrir o erro muito depois de sua morte, como ocorreu com Euclides; segundo, porque o construtor usa matemática e concreto para construir as fundações do prédio, enquanto o matemático (pobre coitado!) tem de evitar a matemática ao fundamentar a teoria, pois, caso contrário, corre o risco de usar argumentos circulares. É por isso que um texto bem rigoroso sobre fundamentos, como o de Hilbert, é tão difícil de ser escrito e estudado. Ele usa a linguagem natural, isto é, palavras comuns para formalizar a teoria, e tem todo o cuidado de explicar o conceito mais básico da geometria sem tirar de seu chapéu panamá uma única palavra que não tenha definido antes. É por isso que, ao entender o que lê, o leitor dá boas risadas: “Aqui Hilbert quis dizer que o plano é plano!”

Victor Pambuccian, matemático da Universidade Estadual do Arizona (EUA), se especializou na axiomática de geometrias, mas escrita com lógica formal. “Nesse ponto, Hilbert foi mais esperto. Ao usar linguagem de praxe, tornou seu trabalho mais aceito.” Victor prefere a lógica formal pela facilidade em traduzir os resultados de uma escola matemática para outra; porém, ela é menos atraente. “Matemáticos não gostam da lógica formal, é assim que é [risos]. Muita gente diz que não lê meus artigos porque não quer trabalho com quantificadores.” Tanto o uso da linguagem cotidiana quanto o da lógica formal têm vantagens e desvantagens. Quando lê um trabalho, quer todos os detalhes ou uma impressão do que foi feito? “É isso que Hilbert nos dá”, diz Victor. “Por mais paradoxal que seja, usar a linguagem coloquial alemã e deixar várias provas em aberto foram a chave de seu sucesso.”

Após ler os grupos de axiomas de Hilbert (veja as seções 2, 3, 4, e 5), o leitor eA7 nota uma frase: “Podemos facilmente estabelecer as seguintes proposições.” Em seguida, lê o teorema da soma dos ângulos de um triângulo, que Hilbert não se deu ao trabalho de provar. Como pode deixar de lado um teorema essencial e gastar espaço para mostrar que todos os ângulos retos são congruentes entre si? Victor diz que Hilbert encurtou a história o quanto pôde. Expôs a maioria das provas com poucos detalhes, e deixou a critério do leitor prover os detalhes e colocá-los no lugar — ou morrer de curiosidade. “Ele diz que elas são óbvias, mas essas provas tomariam tempo”, diz Victor. “Ele estava preocupado com formalizar o sistema.”

Maria Elisa Esteves de Lopes Galvão, professora do Instituto de Matemática e Estatística da USP, explica que o sistema de Hilbert é muito sofisticado do ponto de vista lógico, mas pouco usado no ensino. “Usamos o sistema de [George David] Birkhoff, que é mais recente e é uma axiomática métrica.” Isto é, ele organiza os axiomas como se possuísse uma régua e um compasso perfeitos. “É mais rápido, igualmente consistente e mais intuitivo, pois está ligado à construção com régua e compasso.”

Teoremas e teorias. “O que significa provar teoremas básicos?”, eA7 se pergunta. Escreve um bem simples no caderno:

Teorema 1. Duas retas distintas podem ter no máximo um ponto em comum.

Para prová-lo, ele supõe o contrário, isto é, que duas retas a e b contêm dois pontos distintos A e B em comum. Lembra os dois primeiros axiomas (A.1 e A.2, na seção 2) e pensa: se por dois pontos A e B passa uma única reta e se uma reta é completamente determinada por no mínimo dois pontos, então duas linhas distintas não podem compartilhar os mesmos dois pontos.

“Ora, que chatice.”

Tem a impressão de que juntou os primeiros axiomas de incidência e os reescreveu doutra forma. Vê então o teorema da separação do plano:

Teorema 2. Numa reta l qualquer, o conjunto de pontos fora de l pode ser dividido em dois subconjuntos não vazios S1 e S2 com as seguintes propriedades:

Dois pontos A e B fora de l estão no mesmo conjunto (S1 ou S2) se, e somente se, o segmento AB não intersecta l.

Dois pontos A e C fora de l estão em conjuntos diferentes (um no S1 e o outro no S2) se, e somente se, o segmento AC intersecta l em algum ponto.

eA7 vê bem essas propriedades na figura 1, mas sabe que desenho não é prova e precisa organizar um raciocínio lógico: define uma relação de equivalência ~ entre todos os pontos fora de l; por exemplo, se A ~ B, então ou A = B ou o segmento AB não intersecta l. “Preciso provar que essa relação é transitiva, isto é, se A ~ B e B ~ C, então A ~ C”, diz para si mesmo e se põe a fazer uma lista do passo a passo e um desenho para acompanhá-la (veja figura 2).

Caso 1:

1. Suponha que A, B e C não são colineares, ou seja, posso formar com eles um triângulo ABC;

2. Se A = B, não tenho nada, então vou usar A ~ B no sentido de que AB não intersecta l e B ~ C, no sentido de que BC não intersecta l;

3. Por causa do axioma B.4, l também não intersecta AC, então A ~ C, ou seja, a relação ~ é transitiva.

“Mas e se A, B, C forem colineares?”, pensa eA7. Escreve outra lista e faz um novo desenho (veja figura 3).

Caso 2:

1. Suponha que A, B e C são colineares, isto é, estão numa mesma reta m.

2. A reta m é diferente de l; portanto, por causa de A.1, m e l podem ter no máximo um ponto em comum por causa do teorema 1 (T.1).

3. Toda reta tem ao menos dois pontos (A.2), então existe um ponto D em l que não está em m.

4. Também existe um ponto E tal que A está entre D e E (B.2) e D, A, E são colineares (B.1).

5. O ponto E não está em l, porque A não está em l e a reta DAE já intersecta l no ponto D (T.1).

6. O segmento AE não intersecta l, pois teria de haver um ponto entre A e E que intersecta l. Ora, esse ponto existe e é o D. Só que A está entre D e E, por isso D não pode estar entre A e E (B.3).

7. Então A ~ E, pois AE não está em l.

8. O segmento AE também não está em m por causa do item 3 da lista.

9. Portanto, A, B, E não são colineares e pelo caso 1: se A ~ E e A ~ B, então B ~ E.

10. De novo, pelo caso 1, se B ~ E e B ~ C, então C ~ E.

11. Mais uma vez pelo caso 1, como A, C,  E não são colineares, porque A ~ E, está provado que A ~ C.

eA7 provou que ~ é uma relação transitiva, mas só para o caso de pontos fora da reta l dum mesmo lado de l. Leva a mão à cabeça: “Uma página inteira para mostrar o que digo em duas linhas: Toda reta divide um plano em dois semiplanos cuja intersecção é a própria reta.” Desiste de teoremas desse tipo e resolve ousar esmiuçando uma prova de Pitágoras. “É um teorema velho, conhecido, mas quem sabe quais axiomas de Hilbert esse velho axioma contém?”

Pouca gente. Numa conversa, Rebecca Morris, especialista em filosofia da matemática da Universidade Carnegie Mellon, ouve seu professor dizer que, enquanto Pitágoras era um teorema central na teoria de Euclides, parece que para Hilbert não tinha a mesma importância. Os gregos estavam interessados em achar áreas de polígonos, já Hilbert apenas cita Pitágoras de passagem. “Seria legal se houvesse uma prova no estilo de Hilbert.” Robin Hartshorne faz algo parecido com uma versão moderna de Hilbert em Geometry: Euclid and Beyond (2000) com dois objetivos: comparar Hilbert e Euclides e provar o máximo de teoremas com um sistema mínimo de axiomas.

Victor também se interessa por sistemas mínimos, algo que matemáticos chamam de análise reversa. Em outras palavras, busca resposta para uma pergunta difícil: Qual o mínimo de suposições que preciso para provar tal teorema? É mais ou menos o que Hilbert fez nos fundamentos da geometria, abrindo caminho para que outros estudassem a teoria sobre bases mais firmes e criassem versões sofisticadas de geometrias não euclidianas. “Em geral”, diz Victor, “você pode fazer a análise reversa com todo tipo de coisa.” Quando era calouro, conta que não entendia algumas propriedades da geometria afim: era como se estivesse na geometria euclidiana, mas com restrições demais. Com a geometria reversa entendeu melhor aqueles conceitos e acha que matemáticos só têm a ganhar ao usá-la. “Vejo pessoas que fazem trabalhos duplicados ou produzem coisas que poderiam ser melhores se entendessem o fundo lógico da teoria.” Ele, porém, reconhece que é difícil aprender de tudo na matemática, ainda mais quando o matemático está ocupado com descobrir coisas novas.

Para Rebecca, ao dar aulas na graduação, os matemáticos não olham muito para trabalhos como o de Hilbert. Foi apenas numa aula de história que estudou os originais de Pierre de Fermat (≈1601-1626) e de Lewis Carroll (1832-1898). Gostava de comparar a diferença entre as provas originais e a apresentação moderna, mas reconhece que tal comparação pode ser desculpa para evitar o trabalho de verdade: o aluno precisa aprender a matemática formal usada hoje, e um texto antigo talvez só o confundisse. Apesar disso ou talvez por isso, Rebecca seguiu a linha de comparar técnicas matemáticas antigas com as atuais.

Muitas páginas. Elisa, do IME-USP, diz que o teorema de Pitágoras original é forte porque estabeleceu equivalência entre áreas. “O espírito de Hilbert é completamente diferente, pois formula toda a geometria do ponto de vista dos axiomas.” Se incluísse todos os passos, como Euclides fez no “Livro 1” d’Os Elementos, eA7 teria de escrever um livro inteiro para chegar ao teorema. “Hilbert trata apenas dos fundamentos”, diz Elisa, “e discute se os axiomas são consistentes e completos.”

A partir dos axiomas da geometria plana, o leitor eA7 precisaria ainda construir toda a teoria da área. O matemático a usa para mostrar que duas figuras têm área equivalente quando pode recortar uma delas em triângulos e colocá-los sobre a outra sem deixar espaços de sobra — como num quebra-cabeça. (Nesta matéria, a palavra “figura” significa tão somente o que eA7 pode desenhar com pontos, retas e planos.) Hartshorne leva umas 20 páginas para desenvolver a ideia. “Haja tempo e paciência”, pensa eA7. “Nem que fosse grego, nem que me faltasse internet para matar as horas.” Acha uma lista no estilo euclidiano para conhecer as propriedades das áreas:

1 — Figuras congruentes têm conteúdo igual.

2 — Duas somas de figuras com conteúdo igual têm conteúdo igual.

3 — A diferença entre figuras que têm conteúdos iguais tem conteúdo igual.

4 — A metade de cada uma das figuras com conteúdos iguais tem conteúdo igual.

5 — O todo é maior que a parte.

6 — Se dois quadrados têm conteúdo igual seus lados são congruentes.

Com essa lista e os axiomas de Hilbert, eA7 se propõe — no seu mais humilde lugar de amante da matemática — a provar o teorema de Pitágoras indicando sempre que puder o uso de cada ideia. Desenha um triângulo retângulo ABC e em cima de AC, desenha o quadrado AFGC, em cima de AB faz o quadrado ABDE, e embaixo de BC, o quadrado BRSC. Em seguida, indica o ponto central O no quadrado AFGC e passa por ele os segmentos HJ e LK paralelos aos lados do quadrado BRSC. Nesses segmentos HJ e LK, O é o ponto médio, isto é, O os divide em duas partes iguais. Então, numera as partes do quadrado AFGC. (Veja a figura 4.)

No quadrado debaixo, ele marca os pontos médios de cada lado da figura (M, P, Q, N) e passa por eles segmentos de retas paralelas aos lados do quadrado AFGC. Nomeia os pontos onde os segmentos se encontram (X, Y, Z e W) formando um quadrado menor dentro de BRSC. Então indica as divisões do quadrado com 1’, 2’, 3’, 4’, e 5’ e escreve o número 5 dentro do quadrado EDBA. Para seguir o lema de explicitar detalhes, indica todos os ângulos retos procurando segmentos que se intersectam na perpendicular. “O que estou usando aqui?” Pensa nas definições e teoremas de Hilbert e se surpreende usando coisas simples como: “Todos os ângulos retos são iguais” ou “Ângulos opostos pelo vértice, como FAC e EAB, são iguais, portanto se um é reto o outro também é.” Mas também usa coisas mais sofisticadas, como o teorema 2, que garante que eA7 está falando dos pontos dentro da figura.

Ele indica o paralelogramo KLCB com caneta colorida e dele conclui que KL BC. Lembra então que KL HJ, pois compartilham o ponto médio. Escreve no caderno um lembrete: “Um segmento é dividido por pontos médios em duas partes iguais e, pela teoria das áreas, a soma de coisas iguais é igual.” Portanto, os segmentos dos quadrados BRSC que foi dividido por pontos médios são iguais, assim como todas suas metades são iguais entre si. Ou seja: H0 JO LO KO BM MC PC PS QS QR NR NB. “Que mão na roda esse negócio de congruência!” eA7 tem a impressão gostosa de que fez uma fileira enorme de dominós e com um único empurrão a fez cair da primeira à última peça.

Em seguida, olha as figuras 1, 2, 3, 4 e 1’, 2’, 3’, 4’ para ver se acha um jeito de provar que são congruentes. “As figuras do quadrado FGCA têm ao menos dois lados iguais às figuras do quadrado BCSR, com a exceção possível do quadrado 5’”, pensa enquanto separa na mente as figuras AJOK e MCPX. Esboça outro desenho (veja a figura 5) para comparar o que têm em comum, sem se preocupar em fazer bonito. Hilbert usa como ferramentas não a régua e o compasso, mas seus axiomas. eA7 traça o segmento KJ e MP, formando dois triângulos em cada uma das figuras 4 e 4’, pinta os lados paralelos (KA e AJ, MX e XP) e nota que os triângulos OKJ e CMP são congruentes (D.6) — melhor ainda, são triângulos isósceles.

Em seguida olha para os triângulos KAJ e MXP e sente que o negócio complicou. “Como provo que os outros dois triângulos são congruentes?” Indica com três tracinhos que KJ MP e encara a figura até se lembrar dum teorema que decorre do axioma das paralelas: Ao cortar duas paralelas com o mesmo segmento, forma num mesmo lado, entre o segmento e cada uma das paralelas, ângulos internos congruentes. Ou seja, AJK MPX. Feito isso, eA7 conclui que os ângulos restantes dos triângulos KAJ e MXP também são congruentes pelo teorema ângulo-lado-ângulo que decorre de D.6. Finalmente, chega onde queria: como os dois triângulos nas duas figuras são congruentes, as duas figuras também são. (Conteúdo igual de um lado, conteúdo igual do outro.) Pelo mesmo raciocínio, conclui que 1, 2, 3, 4 são, nessa ordem, congruentes a 1’, 2’, 3’, 4’. “Agora falta provar a congruência entre 5 e 5’.”

eA7 volta à figura 4 e vê o paralelogramo em destaque. Nota que, porque 3 3’ e LC MW, é verdadeiro que MW KB. Além disso, com o axioma D.3, pode deduzir que, porque KA MX e KB – KA MW MX, é verdade que BA WX. Por fim, tem a prova de que a área de 5 somada com a área de 1, 2, 3, 4, é igual à área de 1’, 2’, 3’, 4’, 5’, o que no idioma do algebrista do ensino médio quer dizer: a2 + b2 = c2. “É incrível pensar que em cada pedacinho desse teorema tem outro teorema”, diz eA7 consigo mesmo. “E que em cada pedacinho desse outro teorema tem um monte de axiomas.”

Talvez o estudante se espante, mas o caminho feito por eA7 para chegar ao teorema de Pitágoras é um entre muitos. Com a axiomática de Hilbert, poderia definir segmentos de acordo com a aritmética: usar um sistema de eixos coordenados ortogonais e chegar a, por exemplo, provas algébricas. Nenhum caminho é curto, mas o estudante faz bom exercício ao analisar os fundamentos de um simples teorema para conhecer sutilezas da teoria. Talvez por ser destino de vários caminhos é que o teorema de Pitágoras tenha 300 e tantas provas por aí. {}

Observação: Nas seções a seguir, estão apenas os axiomas usados na prova do teorema de Pitágoras, isto é, estão apenas alguns axiomas da geometria plana.



{2}/ Os axiomas A.i de incidência

Eles servem para introduzir a ideia de pontos, retas, e planos, sem, no entanto dizer o que são pontos, retas e planos. (Hilbert não definiu o ponto, a reta, e o plano.) O que interessa aqui é dizer os axiomas a que esses objetos obedecem.

A.1) Por dois pontos distintos A e B passa uma única reta.

A.2) Toda reta contém ao menos dois pontos.

A.3) Todo plano α contém três pontos distintos não colineares, isto é, que não estão todos numa mesma reta.



{3}/ Os axiomas B.i de ordem

Eles servem para formalizar as relações entre planos, pontos, e retas por meio das noções de unilateralidade, de interno e externo, e de ordem, seja no caso dum ponto entre outros dois pontos ou de quando um segmento ou ângulo é maior que outro. Ou seja, servem para dizer que pontos, retas, e planos se relacionam de tal forma que obedecem a esses axiomas.

B.1) Se um ponto está entre outros dois pontos, não importa se de trás para frente ou de frente para trás, ele sempre está entre esses dois pontos. Da mesma forma que, se o número 2 está entre 1 e 3, então 2 também está entre 3 e 1.

B.2) Pegue quaisquer dois pontos numa reta: eles sempre estarão entre outros dois pontos, que, por sua vez, sempre estarão entre outros dois pontos. Com isso, o leitor se familiariza com a ideia de que ponto não tem vizinho: sempre há um ponto entre ele e outro ponto ad infinitum.

B.3) De três pontos A, B, e C numa reta, só um deles está entre os outros dois. Isso quer dizer que se B está entre A e C, então nem A pode estar entre B e C, nem C pode estar entre A e B. Esse axioma garante que uma reta é reta.

B.4) Uma reta a que entra num triângulo ABC sem passar por nenhum dos vértices, intersectando, por exemplo, o lado AB, passa por mais um e somente mais um dos outros dois lados do triângulo. Isto é: nessas condições, uma reta intersecta dois lados de um triângulo: nem mais, nem menos.



{4}/ O axioma C.1 das paralelas

Esse axioma serve para facilitar a vida do geômetra.

C.1) Por um ponto A fora da reta a só passa uma única reta paralela à reta a.



{5}/ Os axiomas D.i de congruência

Esses axiomas estão para Hilbert como a régua e o compasso estão para Euclides. Isto é, servem para construir ângulos e transportar segmentos e ângulos na prova dos teoremas.

D.1) Dado um segmento de reta AB e uma semirreta r saindo dum ponto C, existe um único ponto D na semirreta r tal que AB CD.

D.2) Se AB CD e AB EF, então CD EF. Todo segmento de reta é congruente a si mesmo. (Uma analogia com a álgebra comum de números reais deve deixar isso mais claro: se x = y e y = z, então x = z. Além disso, x = x.)

D.3) Dados três pontos A, B, e C numa reta nesta mesma ordem, e dados três pontos D, E, F numa reta também nesta ordem, se AB DE e BC EF, então AC DF. (Da mesma forma que: se x = y e z = w, então x + z = y + w.)

D.4) Dado um ângulo BAC e dada uma semirreta DF, existe uma única semirreta DE, num dado lado de DF, tal que BAC EDF. Ou seja, ângulos congruentes têm o mesmo tamanho.

D.5) Para quaisquer três ângulos α, β, e γ, se α β e α γ, então β γ. Em outras palavras, a relação de congruência entre ângulos é transitiva.

D.6) Dados os triângulos ABC e DEF, suponha que AB DE, AC DF e que os ângulos BAC EDF. Então tanto as duas figuras são congruentes, como BC EF, ABC DEF, e ACB DFE. Esse é o axioma conhecido como lado-ângulo-lado.

{FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 30, julho de 2013, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A entrevistas foram realizadas pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto e pensou na melhor sequência de ilustrações.

3. As ilustrações foram preparadas pelo artista gráfico Henrique Arruda.

Os segredos do pai professor

Cinco professores com filhos em idade escolar contam como seus filhos os fizeram pensar no papel do professor de matemática. Até certo ponto, passaram a classificar inclusive os alunos mais estranhos como “elementos do mesmo conjunto no qual minhas crianças estão”.


{1}/ Vendo como as crianças funcionam

Antônio Carlos Rosso Júnior, professor de matemática no Anglo Colégio e Curso, gosta de colecionar figurinhas, gosto que passou ao filho Matteo. Em 2011, quando Matteo tinha 4 anos, ambos trabalhavam juntos, cada um colando figurinhas no seu álbum: Antônio preenchia um álbum sobre futebol e Matteo, um álbum sobre histórias infantis. A certa altura, o menino colocou os dois álbuns lado a lado e passou a compará-los página por página. Por fim, perguntou:

“Pai, por que faltam mais figurinhas no meu álbum do que no seu?”

Antes de arriscar uma resposta, Antônio resolveu contar. Para que o menino preenchesse seu álbum infantil, precisaria de 80 figurinhas; para que o pai preenchesse seu álbum de futebol, precisaria de 100. Sentiu o impulso de dizer “Filho, você errou, porque faltam mais figurinhas no meu do que no seu”, mas conseguiu manter a língua dentro da boca. “Não faria sentido falar em 80 e 100 para uma criança que não consegue entender números tão grandes”, diz Antônio. “Além disso, passei a me perguntar por que ele teve essa sensação.” Por causa da pergunta e da reflexão, Antônio nunca mais deu aulas sobre porcentagens do modo como dava antes.

Ao todo, o álbum de futebol tinha 500 figurinhas, e 100 entre 500 significa 20%. Em termos visuais, a cada dez retângulos no álbum, oito estavam preenchidos com figurinhas e dois estavam vazios. O álbum infantil tinha 200 figurinhas, e 80 entre 200 significa 40% — a cada dez retângulos, seis estavam preenchidos e quatro estavam vazios. “Na verdade, Matteo percebeu que, no álbum dele, havia mais buracos em comparação com o todo, e no meu havia menos buracos em comparação com o todo. Isso provocou grande impacto em mim.” Antônio diz que alunos de ensino médio têm dificuldade de entender a ideia de porcentagem, que é, em essência, a ideia de verificar o quanto uma quantidade representa em relação ao todo se o todo vale 100. Como pode um jovem ter dificuldade de entender algo que, ao que parece, até crianças pequenas entendem? É sinal de que algo se perde no processo de crescimento. Hoje Antônio já começa as aulas sobre porcentagens contando uma história parecida com a que aconteceu com ele. “A partir desse exemplo, passo a tratar a importância das comparações, entre as quais se inclui a teoria sobre porcentagens.”

Pouquíssima gente consegue dizer coisas inteligentíssimas sobre assuntos extremamente importantes, como amor, amizade, morte — e paternidade. Até websites especializados em frases de efeito têm pouca coisa sobre a paternidade — ora, Antônio não é exceção. “A paternidade mudou profundamente todos os aspectos da minha vida”, diz, procurando um modo de expressar algo tão grande. “Veja que meu filho, antes mesmo de chegar à idade escolar, me fez mudar o jeito de dar aulas.” Cada pai matemático tem uma história assim para contar. Um deles (Sebastião Amorim, da Unicamp) diz até que, sabendo que tinha filhos em casa à espera do pai, se sentiu compelido a prestar maior atenção nos alunos em sala de aula. Queria descobrir de que seus alunos gostavam e com o que se atrapalhavam, isto é, queria descobrir como seus próprios filhos funcionavam. E quase todos contam uma história com uma característica em comum: em casa, diante do pai matemático, os filhos falam e agem de modo desavergonhado. O pai matemático ganha maior acesso ao modo como crianças e jovens de fato pensam e agem.

O mais tolerante. Claudio Possani, professor na Universidade de São Paulo e empresário, diz que uma de suas filhas, quando estava no ensino médio, preferia tirar dúvidas com ele a tirar dúvidas com o monitor do colégio. Diante dele, a moça não tinha nem vergonha de recitar os mnemônicos que ela mesma criava para guardar fórmulas e definições. “Alguns desses mnemônicos eram inadequados, porque induziam a erro.” [Um mnemônico famoso, para decorar a fórmula de sen(a + b), é ‘minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá; seno A cosseno B, seno B cosseno A’; contudo, esse mnemônico não diz ao estudante que operações deve realizar com os senos e cossenos.] “Pude também observar como ela tinha dificuldades com a notação f(x).” Diante de um f(x + h), por exemplo, vários estudantes querem multiplicar f por (x + h), e chegam a fx + fh, e a partir daí estão a um passo de algum resultado absurdo. Claudio notou que sua filha entendia melhor a notação abstrata quando podia usá-la num exemplo mais concreto; ao mesmo tempo, viu como era importante ajudar o estudante a compreender a notação abstrata de uma vez por todas, isto é, sem o apoio de nenhum exemplo concreto. “Para usar a matemática no mundo concreto”, diz Claudio, “precisamos aprender a manipular as abstrações de modo completamente formal.”

No Colégio Objetivo, o professor Giuseppe Nobilioni conhece todo mundo — e diz que muito professor de matemática passa apuros ao dar aulas para os próprios filhos. “A gente acha que o nosso filho precisa ser perfeito, e deve entender tudo já na primeira palavra.” Giuseppe se inclui entre os pais impacientes, pois se lembra de já ter dado broncas no filho porque o rapaz não entendia alguma coisa. Alguns colegas de Giuseppe já lhe disseram que até evitam dar aulas para os filhos. “Com os próprios filhos, o professor aprende na marra uma lição importante”, diz Giuseppe: “Cada um reage de modo distinto a uma explicação. Cada um tem suas dificuldades. Cada um aprende no seu ritmo. Isso vale até mesmo para o filho do professor de matemática!” Se um jovem professor estuda matemática com afinco e tenta bolar ótimas explicações, que funcionem em sala de aula, isso é muito bom, diz Giuseppe, mas não é tudo. “O melhor professor entre dois professores é o que consegue perceber quem está com dificuldade e consegue ajudá-lo na hora certa. Em geral, esse professor é o mais tolerante dos dois.”

O pai professor corre o risco de se transformar num pai escravo? Norberto Sarmento, professor de matemática na Universidade Cruzeiro do Sul, tem três filhos, dois rapazes e uma moça, e acha que esse risco existe, e que o pai professor deve combatê-lo. Os dois rapazes cursam engenharia, e a moça está no último ano do ensino médio. Norberto não se recusa a ajudá-los quando precisam de ajuda, mas, antes de tudo, os obriga a tentar resolver as dúvidas sozinhos. “Eu sempre insisti na ideia de que eles deveriam se tornar autodidatas”, diz Norberto. Filho de pai matemático, diz Norberto, tende até mesmo a ser mais preguiçoso em sala de aula que seus colegas, pois sabe que, em casa, tem professor de graça — à noite e aos fins de semana… Por isso, sempre insistiu com os filhos: devem aprender a lição na escola.

Supondo que um de seus filhos tivesse uma dúvida, e que a dúvida perdurasse mesmo depois da pesquisa por conta própria, então Norberto entrava em ação. Aprendeu que, se pudesse tirar a dúvida mostrando ao jovem um exemplo tão concreto quanto possível, daí o jovem entenderia suas explicações melhor. Ao explicar as funções de primeiro grau, por exemplo, sempre menciona o exemplo do vendedor cujo salário tem uma parte fixa e uma parte variável (veja a seção 2). “Isso não faço mais só com meus filhos”, diz Norberto, “mas com todos os meus alunos.”

Roda supergigante. Sebastião Amorim, doutor em estatística e professor na Universidade Estadual de Campinas, não se lembra de ter modificado as aulas para seus alunos em razão das aulas que tenha dado aos filhos, mas se lembra de prestar maior atenção a seus alunos em razão dos filhos à espera dele em casa. Ele sempre quis passar aos filhos a ideia de que vale a pena estudar matemática: é mais divertido do que parece à primeira vista, e é muito útil. Como passar tal ideia? Simples: aquilo que funcionava bem com seus alunos provavelmente funcionaria bem com seus filhos. “Meus alunos sempre precisaram de exemplos mais palpáveis para lidar bem com as ideias matemáticas e acertar nos exercícios.” E quer coisa mais palpável que uma roda gigante? Quer coisa mais palpável que o planeta Terra?

Certa vez, Sebastião e um dos meninos observavam uma roda gigante, e o menino notou que não só a roda girava, mas que os carrinhos também giravam — ou, caso contrário, ficariam de ponta-cabeça! Então Sebastião contou ao menino a história da Terra em volta do Sol: não só a Terra gira em volta do Sol, como também gira em torno de si mesma. Sebastião se recorda da conversa mais ou menos assim:

A Terra gira em torno do Sol quase que numa órbita circular. Não chega a ser circular, porque é elíptica, mas é bem parecida com um círculo.

A luz viaja no espaço a uns 300.000 quilômetros por segundo (arredondando um pouco para mais).

A luz leva 8 minutos e 24 segundos para sair do Sol e chegar à Terra, isto é, leva 504 segundos.

A distância do Sol à Terra é, portanto, 504 segundos × 300.000 quilômetros por segundo, isto é, uns 151 milhões de quilômetros.

Essa distância do Sol à Terra é o raio da órbita; sendo assim, a circunferência mede 2 × π × 151 milhões de quilômetros, o que, fazendo as contas, dá uns 950 milhões de quilômetros.

A Terra dá uma volta completa em torno do Sol em um ano, isto é, em 8.760 horas. Então, a velocidade da Terra (que é a distância percorrida dividida pelo tempo para percorrê-la) é de 108.449 quilômetros por hora.

“Expliquei a meu filho que isso era mais ou menos 120 vezes mais rápido que um Boing 747 em velocidade de cruzeiro, e uma 100 vezes mais rápido que a velocidade do som.” Mas Sebastião continuou:

Um brasileiro está sentado num banco de praça no centro de Macapá (AP), que fica mais ou menos na linha do equador.

A Terra se parece com uma esfera cuja circunferência na linha do equador é de uns 40.000 quilômetros.

Ela gira em torno de si mesma uma vez a cada 24 horas; portanto, a velocidade de rotação sobre seu eixo, na linha do equador, é de uns 1.667 quilômetros por hora, o que é 1,5 vezes a velocidade do som e 1,8 vezes a velocidade de um Boeing 747.

“O homem sentado no banco da praça de Macapá pensa que está parado”, explicou Sebastião ao menino, “mas ele está girando em torno do centro da Terra a 1.667 quilômetros por hora, e está girando em torno do Sol a 108.449 quilômetros por hora.” Assim como seus alunos gostam de exemplos mais concretos, Sebastião diz que o menino ficou encantado, e nem percebeu que estava lidando com números muito grandes, isto é, que estava recebendo uma lição sobre ordens de grandeza, embutidas em palavras como “mil” e “milhão”. Sebastião disse que ele e o menino tiveram essa conversa com o apoio de uma calculadora (ele sempre tem uma calculadora por perto), e que o menino manipulou a máquina. “Ele ficou surpreso e encantado de achar números tão fantásticos”, diz Sebastião. Criança gosta de matemática, desde que tenha algo extraordinário para ver e tocar. No fim das contas, o pai matemático luta para que ela e os colegas dela, ao longo dos anos escolares, aceitem como concretos aqueles objetos tipicamente matemáticos — os que só existem na imaginação. {}



{2}/ A comissão do vendedor

Quando dá explicações sobre as equações lineares, Norberto Sarmento, da Universidade Cruzeiro do Sul, menciona o caso do vendedor. Seu salário bruto é composto de duas partes: uma fixa, de 900 reais, e uma variável, equivalente a 8% do que vendeu no mês. Se vendeu 50.000 reais, quanto ganhará como salário bruto?

O leitor pode batizar de S a função “salário bruto em função de x reais vendidos”. Ao fazer as contas, chega a:

Isso é mais fácil de ver com um gráfico, no qual 900 é o valor de y quando x = 0 (quando o vendedor não conseguiu vender nada) e no qual o valor de y cresce à taxa instantânea de 8% para todo x, isto é, no qual a derivada de S(x) vale 8% para todo x.

O professor pode contar essa mesma história de modo mais dramático. O vendedor achou que receberia 5.700 reais, mas recebeu apenas 5.250 reais. Então, quanto ele acha que vendeu no mês? E quanto a empresa acha que ele vendeu no mês? Uma discussão interessante, para a qual não existe resposta certa: o que aconteceu? Será que houve um erro quanto ao valor vendido no mês? Será que houve um erro quanto ao salário fixo? Será que houve um erro quanto à comissão?

Nota: Como lembrou o professor Cássius Almada na matéria Abaixo Aquele Famigerado Táxi, o exemplo do salário fixo + salário variável não é perfeito para ilustrar o comportamento de funções contínuas, pois os valores do domínio e da imagem são discretos — variam de centavo em centavo. Em algum momento, em nome da correção, o professor deve chamar a atenção da classe para essa ressalva.



{3}/ Combinação ou permutação?

Giuseppe Nobilioni, do Colégio Objetivo, diz que o estudante mais jovem tem dificuldade com a análise combinatória do ensino médio. (Também conhecida entre os estudantes por análise embananatória.) “A teoria é muito simples”, diz Giuseppe, “mas eles têm dificuldade de ver quando o problema deve ser resolvido com permutações ou com combinações.” No colégio, Giuseppe e seus colegas chegaram a uma solução eficiente para explicar ao estudante como distinguir entre um problema e outro:

Se o leitor pega n elementos de um conjunto e, ao trocar a ordem desses elementos, obtém a cada troca uma nova resposta, o problema é de permutação; por exemplo, se as triplas ordenadas (a, b, c), (a, c, b) e (c, b, a) são respostas distintas, então o leitor está mexendo com as permutações dos elementos do conjunto {a, b, c}. (Ou com permutações de um conjunto maior, por exemplo {a, b, c, d, e}, consideradas de três elementos em três elementos.)

Se pega n elementos de um conjunto, mas, ao trocar a ordem desses elementos, não obtém uma nova resposta a cada troca, o problema é de combinação; se (a, b, c) e (b, c, a) são duas maneiras distintas de anotar a mesma resposta certa, então está mexendo com o número de combinações possíveis dos elementos do conjunto {a, b, c}, tomados três a três. (Ou com combinações de um conjunto maior, do qual a, b, c são elementos.)

Um exemplo típico: há 30 pontos num plano, dos quais somente 10 estão alinhados, pois pertencem à mesma reta; os outros 20 pontos foram distribuídos assim: 10 à direita dessa reta, e 10 à esquerda. (Em outras palavras, para qualquer ponto fora da reta de dez pontos, e para quaisquer dois pontos distintos na reta de dez pontos, o leitor tem um triângulo, mas nunca uma reta; veja a figura 1.) A pergunta é: quantos triângulos distintos consegue fazer com tais 30 pontos?

Seguindo o conselho de Giuseppe, você desenha um triângulo ABC, apenas para ter uma ideia do problema com o qual está mexendo, e percebe que o triângulo ABC também poderia ser chamado de ACB ou de BCA ou de BAC ou de CAB ou de CBA. Se trocou a ordem dos pontos, mas ficou com o mesmo triângulo, então está mexendo com a ideia de combinação. Contudo, nota o seguinte: caso pegue quaisquer três pontos na linha reta, não consegue formar um triângulo. (Ou, vendo isso de outra maneira, só consegue formar um triângulo degenerado numa reta, como os matemáticos gostam de dizer.) Então, pode chamar o número total de triângulos de T e modelar o problema assim:

Com essa linha, disse: “O número total de triângulos é igual a todas as combinações de 30 pontos, tomados três a três, menos todas as combinações dos pontos em linha reta, isto é, menos todas as combinações de 10 pontos, tomados três a três.” Depois disso, só resta fazer as contas:

Eis a resposta: com tais 30 pontos, pode uni-los para formar 3.940 triângulos distintos, nenhum deles degenerado numa reta.



{4}/ A ideia de porcentagem

Se você sabe que x é parte do todo e que y é o todo, ao calcular o número 100(x/y) e expressá-lo na forma 100(x/y)%, está dizendo: se y fosse 100, quanto x representaria em relação a 100?

Lembrete 1:

Lembrete 2: Você divide x por y, multiplica o quociente por 100 e apresenta o quociente ao ouvinte na forma de porcentagem; deve levar em conta que nem sempre o ouvinte pode fazer as contas ao contrário e ganhar acesso aos valores originais. “Tive um desconto de 23% sobre a coisa que comprei esta manhã” pode significar que teve um desconto de 19 reais e 9 centavos sobre uma coisa de 83 reais, ou desconto de 34 reais e 50 centavos sobre uma coisa de 150 reais — ou pode significar infinitas outras possibilidades.

Lembrete 3: Neste blogue, há uma matéria mais completa sobre a ideia de porcentagem. Clique aqui.



{5}/ A notação f(x)

O leitor imagina dois conjuntos não vazios, por exemplo o conjunto S e o conjunto T. Uma função f de S em T é uma regra ou fórmula pela qual você associa, a cada elemento de S (o domínio), sem exceção, um único elemento de T (o contradomínio). Se x é um elemento de S, então, ao aplicar a fórmula batizada de f, seja qual for, acha f(x), isto é, acha o elemento de T que está associado a x por meio da fórmula f. (Deve ler f(x) como “efe de xis”.)

Um exemplo: você batiza com a letra g a fórmula t2 + 3, na qual t é um número real. É uma função g de R em R, isto é, ao empregar a fórmula batizada de g, transforma um número real (representado pela letra t) em outro número real (representado pelo termo g(t)). Ora, se g(t) = t2 + 3, então g(2) = 7, pois 22 + 3 = 7; 2 é um elemento do domínio, e 7 é sua imagem no contradomínio. E, se g(t) = t2 + 3, então g(t + h) não é gt + gh, mas sim (t + h)2 + 3, ou seja, g(t + h) = t2 + 2th + h2 + 3.

Em geral, no ensino médio, o aluno tem a sensação de que tais definições são desnecessariamente rigorosas; parecem coisa de purista esquisitão. Só na faculdade ele descobre que, quando se atém a definições rigorosas, resolve problemas difíceis; quando as despreza, anda em círculos. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 30, julho de 2013, pág. 46. O texto que acabou de ler foi revisto e ligeiramente reescrito, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Aline Viana. Talvez o leitor tenha notado que só entrevistamos professores do sexo masculino. Isso foi circunstancial: na ocasião, pedimos entrevista tanto para professores quanto para professoras, mas, para nosso azar, só os professores tinham agenda.

3. Neste blogue, há uma matéria só sobre a fórmula para sen(A + B); clique aqui.

Cálculo Tornado Fácil 8

É possível descobrir como varia o grau de variação de uma variação, e com esse recurso o matemático verifica, com rapidez, se determinado ponto de uma curva representa um máximo ou um mínimo.

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 48 porque o texto anterior terminou na 47. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, e CTF 8.



{48}/ Capítulo 12

A curvatura das curvas

Lembra-se do processo de diferenciação sucessiva? Fiz a pergunta para que você pudesse me perguntar: “Por que alguém gostaria de diferenciar uma equação duas vezes?” Já sabe que, quando as quantidades variáveis são espaço e tempo, ao diferenciar a equação duas vezes obtém a aceleração do corpo em movimento; sabe também que, de modo geral, pode interpretar o coeficiente diferencial dy/dx de uma curva como sendo o gradiente da curva num ponto específico. Mas o que d2y/dx2 significa neste caso? Pense: significa a taxa (por unidade de comprimento x) pela qual o gradiente está mudando — em resumo, é uma medida da curvatura do gradiente. É a taxa da taxa.

Imagine um gradiente constante, como o gradiente de uma reta; é o que mostro na figura 31. Em casos assim, ao calcular dy/dx, obtém o mesmo valor para todo valor de x; em outras palavras, dy/dx é uma constante.

Agora, imagine um caso no qual o gradiente varia a todo momento, no qual a curva fica cada vez mais inclinada para cima, e o gradiente da curva vai ficando cada vez maior. É o caso da figura 32. Em situações assim, o coeficiente diferencial do primeiro coeficiente diferencial é positivo, pois o gradiente da curva que representa o primeiro coeficiente diferencial está aumentando conforme aumenta o valor de x. Só para relembrar, pode expressar esse fato de muitas maneiras distintas, inclusive as três a seguir (supus que tenha batizado de f a lei pela qual obtém o valor de y em função do valor de x):

Se o gradiente fica cada vez menor conforme o valor de x aumenta (à direita), então, embora a curva esteja subindo, está subindo de modo que o valor do gradiente da curva fica cada vez menor. Isso significa que o segundo coeficiente diferencial é negativo, pois com ele você mede o gradiente da curva que representa o primeiro coeficiente diferencial. (Veja a figura 33.) Como pode expressar isso?

Chegou a hora de iniciá-lo num novo segredo — como dizer se a raiz que obteve ao igualar dy/dx a zero representa um máximo ou um mínimo. Eis o truque secreto: Depois que diferenciou a equação (e obteve a expressão que vai igualar a zero, para então achar o valor de x que produzirá um valor máximo ou mínimo de y, se houver um), você diferencia a equação mais uma vez, e verifica se o resultado da segunda diferenciação é positivo ou negativo para o valor de x que acabou de achar. Se d2y/dx2 se revela positivo, então sabe que o valor de y em questão é um mínimo; mas se d2y/dx2 se revela negativo, sabe daí que o valor de y é um máximo. Essa é a regra — viu como é simples?

Vamos ver se consigo explicá-la a ponto de torná-la evidente. Pense em qualquer curva que contenha um ponto de mínimo, como a curva na figura 34 (abaixo), na qual marquei o ponto de mínimo com a letra M; pode ver que, no entorno de M, a curva é côncava. Acompanhe um ponto imaginário que percorre a curva à esquerda de M, e que viaja no sentido de M. À esquerda de M, o ponto vai descendo, pois o gradiente é negativo. Porém, conforme se aproxima de M, o ponto vai descendo cada vez menos, isto é, o valor negativo do gradiente vai ficando cada vez menor (em módulo). À direita de M, o gradiente se torna positivo, e o ponto vai subindo cada vez mais, pois o valor positivo do gradiente vai ficando cada vez maior. Então, a mudança no gradiente da curva conforme o ponto passa por M é tal que d2y/dx2 é positivo: se plotasse a curva do gradiente dy/dx, veria que o gradiente do gradiente (d2y/dx2) é positivo no entorno de M, pois a curva se comporta de maneira tal que, conforme x aumenta de valor à direita, converte um gradiente negativo num gradiente positivo.

Da mesma forma, pense numa curva que contenha um ponto de máximo, como a curva na figura 35, na qual marquei o ponto de máximo também com a letra M. No entorno de M, a curva é convexa. Conforme o ponto imaginário passa por M da esquerda para a direita, o valor positivo do gradiente vai ficando cada vez menor, até que se iguala a zero e, a partir daí, o valor negativo do gradiente vai ficando cada vez maior (em módulo), de modo que o gradiente do gradiente (d2y/dx2) é negativo.

Volte agora aos exemplos e exercícios do capítulo anterior e verifique a validade dessas conclusões. Em todo caso, vamos trabalhar juntos nuns poucos exemplos.

(1) Examine as duas equações (a) e (b) a seguir, e veja se cada uma delas contém pontos de máximo ou de mínimo.

Já conhece o método: você calcula o coeficiente diferencial, assim como os valores de x que o igualam a zero e os correspondentes valores de y; para saber se tais valores de y representam um máximo ou um mínimo, calcula o segundo coeficiente diferencial e verifica se é negativo ou positivo.

Pode ver as duas curvas e as quatro derivadas na figura A. De modo geral, você pode demonstrar o seguinte: se f tiver um valor mínimo em c, a função g(x) = –f(x) terá um valor máximo em c, e vice-versa.

Guarde a imagem dessa figura na memória. Ela resume o truque: ponto de mínimo quando a primeira derivada é igual a zero e a segunda é positiva; ponto de máximo quando a primeira derivada é igual a zero e a segunda é negativa.

(2) Ache os máximos e mínimos da função polinomial y = f(x) = x3 – 3x + 16.

Ao seguir os primeiros passos do método, suas anotações devem se parecer com o que se segue:

Não deixe de escrever. Por exemplo: “Quando calculo a primeira derivada e a igualo a zero, acho as raízes da equação f’(x) = 0 quando x é igual a 1 ou igual a –1. Na curva de y, isso corresponde aos pontos (1, 14) e (–1, 18). No ponto (1, 14), a segunda derivada é positiva, logo é um ponto de mínimo; no ponto (–1, 18), a segunda derivada é negativa, logo é um ponto de máximo.” É o que pode ver ao plotar o gráfico, como fiz na figura B.

(3) Ache os máximos e mínimos da relação a seguir.

Para começar, vai usar principalmente a regra pela qual acha a derivada de um quociente de funções.

Como o denominador é sempre positivo, basta achar as raízes da função no numerador, que são x = 1 – √3 ( 0,732) e x = 1 + √3 ( 2,732); quando x 0,732, y 0,683; quando x 2,732, y 0,183 . Agora, para saber se esses valores de y representam máximos ou mínimos, pode examinar o segundo coeficiente diferencial.

Ora, como pode ver com uma calculadora, quando x –0,732, d2y/dx2 é positivo (vale 0,54), e portanto y 0,683 é um mínimo; quando x 2,732, d2y/dx2 é negativo ( 0,04), e portanto y 0,183 é um máximo. É o que pode ver na figura C.

[Isso é sempre mais fácil que, por exemplo, calcular os valores de y para x um pouquinho menor que 0,732 e um pouquinho maior que 0,732? Nem sempre, é claro, mas não tratamos aqui apenas do que é mais fácil ou mais difícil — estamos também investigando as inter-relações entre a função original e os dois primeiros coeficientes diferenciais.]

(4) Certa fábrica gasta C para manejar os produtos P que consegue produzir numa semana. Na fórmula abaixo, poder ver a relação entre C e P, na qual a, b, c e d são constantes positivas. Para qual produção P o gasto C será o menor possível?

Como primeiro passo, você calcula a derivada e a iguala a zero.

Como a produção não pode ser negativa, deduz o seguinte:

Essa é a abscissa de um ponto de máximo ou de mínimo. Mas como dizer? Para saber isso, agora sim é mil vezes mais fácil calcular a segunda derivada e estudá-la.

Como as constantes b e c são positivas, e como P > 0, a segunda derivada é positiva para todos os valores de P. E agora? A abscissa que acabou de achar se refere a um ponto de mínimo. Qual o valor do gasto C nesse ponto? Pode indicar isso, se quiser, com a notação de mínimo (veja o texto da seção 50).

(5) O custo total por hora C de iluminar um prédio com N lâmpadas de certo tipo é:

Nessa fórmula, E é a eficiência comercial de cada lâmpada (em watts por vela), P é a potência de cada lâmpada em velas, t é o tempo médio de vida de cada lâmpada em horas, Cl é o custo de renovar o sistema em centavos por hora de uso e Ce é o custo da energia por 1.000 watts por hora.

Além disso, pode conhecer a relação entre a vida média de uma lâmpada e sua eficiência comercial por meio da fórmula t = mEn, na qual m e n são constantes que dependem do tipo de lâmpada. (Essa relação é aproximada.)

Agora, o que deve fazer? Deve achar a eficiência comercial para a qual o custo total de iluminação é o menor possível. Como proceder?

Em primeiro lugar, substitua t = mEn na fórmula de C e ache dC/dE:

Ao igualar essa derivada a zero, pode dividir todos os termos por N para deixar a expressão mais simples.

Esse valor de E denota um máximo ou um mínimo? Para saber, como sempre, estude os valores da segunda derivada.

O valor de E que acabou de achar produz um mínimo, portanto, pois a segunda derivada é positiva para valores positivos de E (N é maior que zero). Agora, veja um exemplo prático: para um tipo particular de lâmpada de 16 velas, Cl = 17 centavos, Ce = 5 centavos, m = 10 e n = 3,6. Sendo assim:

Então, nessas circunstâncias, 2,6 watts por vela é a eficiência comercial que produz o menor custo possível de iluminação.

Olhe de novo as fórmulas deste exemplo (5). Percebe a complicação? Ela é típica da matemática aplicada, porque o mundo é complicado. Esse é um dos motivos pelos quais vale a pena investir em fluência técnica — por exemplo, na capacidade de mexer bem com expoentes. {}



{49} Exercícios X

Nestes exercícios, sempre que puder, use um computador ou uma calculadora gráfica para plotar os gráficos com os quais está trabalhando.

(1) Ache os máximos e mínimos da função abaixo.

(2) A partir da função abaixo, ache uma expressão para o primeiro coeficiente diferencial e outra para o segundo; descubra os valores de x para os quais y atinge um máximo ou um mínimo; e por fim diga se cada um desses valores de y representa um máximo ou um mínimo.

(3) Ache quantos máximos e quantos mínimos existem nas duas curvas cuja equação listei abaixo.

(4) Calcule os máximos e os mínimos na relação a seguir.

(5) Ache os máximos e mínimos de:

(6) Ache os máximos e mínimos de:

(7) Ache os máximos e mínimos de:

(8) Divida um número N em duas partes, de modo que três vezes o quadrado de uma das partes mais duas vezes o quadrado da outra parte represente um mínimo.

(9) Com a fórmula a seguir, um engenheiro expressou a eficiência u de um gerador elétrico conforme valores diferentes de potência fornecida x:

Nessa equação, a é uma constante que depende das perdas de energia nas partes de ferro e c é uma constante que depende das perdas de energia nas partes de cobre. Ache uma expressão para o valor da potência fornecida para a qual a eficiência do gerador atinge um máximo.

(10) Na documentação técnica de certo navio a vapor, você descobriu que pode representar o consumo de carvão com a fórmula:

Nessa fórmula, y representa o número total de toneladas de carvão queimadas por hora e v representa a velocidade do navio em milhas náuticas por hora. O custo dos salários, dos juros sobre o capital e da depreciação do navio são equivalentes ao custo de 1 tonelada de carvão por hora. Que velocidade fará com que o custo de uma viagem de 1.000 milhas náuticas seja o menor possível? Além disso, se o carvão custa 134 reais por tonelada, esse custo mínimo vale quanto?



{50}/ Como usar a notação de máximos e mínimos

Como você pode dizer que o ponto mínimo na curva da função y = f(x) ocorre quando x = a e y = b? Eis um jeito de dizer isso:

E se quiser dizer que o ponto (a, b) é um mínimo local, mas não global? Pode escrever assim, se quiser:

O mesmo princípio vale para máximos. É claro que, dentro das chaves, pode substituir f(x) pela fórmula em si; por exemplo, por 3x2 – 9x + 6. Veja como ficaria:

Com isso, diz a seu leitor que, quando x = 3/2, 3x2 9x + 6 vale (3/4), e que esse valor é um mínimo.

Também pode escrever assim: mín{y} = 2, sem mencionar a fórmula. Isso significa que, para qualquer valor que atribua a x, a curva da função (ou relação) é tal que o valor correspondente de y jamais será menor que 2 (se esse mínimo for um mínimo global). Esse jeito de escrever é útil quando o leitor conhece a fórmula pela qual calcular y, ou quando essa fórmula não interessa.

(Não se esqueça: uma expressão matemática ou é verdadeira ou falsa. Assim, ao escrever mín{y} = 2, você não está dizendo que o valor mínimo de y é 2; antes, está dizendo o seguinte: “Se a expressão mín{y} = 2 é verdadeira, então o valor mínimo de y é 2.”)

Como os matemáticos brasileiros usam programas estrangeiros de edição de fórmulas, é muito comum ver “min” e “max” sem acento; se você achar um jeito de colocar acentos nas fórmulas, escreva “mín” e “máx”. (Neste blogue, uso o programa MathMagic para gerar o arquivo jpeg de cada uma das fórmulas, mas o MathMagic não sabe tratar os acentos.) Note ainda que cada matemático usa a notação de máximos e mínimos à sua maneira (ela não está bem padronizada), e muitos preferem evitá-la, pois acham mais fácil escrever por extenso: “Existe um mínimo local de f(x) no ponto (a, b).” {FIM}

“Muito prazer, João Caraça”


O pesquisador João Tomás do Amaral estudou tanto sobre a vida do autor português Bento de Jesus Caraça, que hoje o chamam assim: João Caraça. Ele gosta, pois se considera “meio filho do Caraça”. Em 1970, João leu o livro Conceitos Funamentais da Matemática pela primeira vez, inspirou-se, e em 2014 o transformou em tese de doutorado.


{1}/ Introdução à entrevista

Toda sexta-feira, na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, professores e estudantes se reúnem para debater ideias sobre educação. No meio do grupo de estudos, uma figura ficou conhecida como “o especialista”. O professor e pesquisador João Tomás do Amaral se transformou num especialista em Bento de Jesus Caraça, autor português que escreveu o famoso livro Conceitos Fundamentais da Matemática (CFM). João Tomás, segundo seus colegas, não é apenas “um especialista” em Caraça no Brasil: é o maior especialista.

Ao se apresentar para a entrevista, João segurava sua tese de doutorado e mais três livros do Bento Caraça — edições diferentes da mesma obra. Entre as três edições, duas têm o jeitão de antiguidade; João mostra como estão intactas, como não têm nenhuma rasura, e confirma: são mesmo relíquias. No terceiro livro, que é uma cópia da edição mais recente, João fez anotações, rabiscou, corrigiu. Quanto às relíquias, fotocopiou cada página para rabiscar as fotocópias à vontade.

João Tomás se interessou por Caraça quando ainda estava na faculdade. Comprou o livro e, quando acabou de ler, achou que deveria saber mais sobre a vida do autor. Parecia uma história interessante: uma pessoa que não se formou em matemática, mas que escreveu um livro famoso sobre matemática, além de livros sobre tópicos avançados, como Lições de Álgebra e Análise (1935). Durante o trabalho de pesquisa, João se identificou tanto com o autor que hoje se sente filho de Caraça.

Com o resultado das primeiras pesquisas, achou que era o caso de investir numa tese de doutorado. Foi para Portugal, conversou com pessoas que viveram com Caraça, leu cartas escritas há mais de cinquenta anos, e notou sutilezas nas obras de Caraça que só mesmo um especialista para notá-las. Descobriu fatos sobre Caraça que estavam à beira do esquecimento perpétuo, e às vezes fica com os olhos marejados ao falar de Bento de Jesus Caraça. Para João, Caraça foi um visionário. Ele fala do autor português como se fosse um amigo íntimo, embora não o tenha conhecido, pois Caraça morreu em 1948, com apenas 47 anos.

Caraça vendeu muito mais livros no Brasil que em Portugal, e isso não se explica apenas pela diferença no tamanho das duas populações, pois muito livro de autor português de sucesso não vende nada no Brasil. João gosta de discutir fatos como esse, e se alguém se aproxima querendo falar sobre Caraça, que esteja preparado para horas de conversa.


A edição de 1975


{2}/ A entrevista pingue-pongue

O que o livro CFM tem de especial?

Nós temos vários estudos que criticam o tecnicismo da matemática, além do aspecto fragmentário, que são aqueles saltos muito grandes de um assunto para outro. No Caraça, você não vê esse tecnicismo exacerbado. Você não vê essa fragmentação. O professor Caraça costumava dizer que não existe nenhum conteúdo técnico que uma pessoa qualquer não possa compreender, desde que alguém lhe explique os conceitos fundamentais. O livro CFM não mostra apenas técnicas operatórias, até porque não contém nenhum exercício. O que ele traz são conceitos fundamentais trabalhados com elementos da história da matemática e da humanidade. Ele não queria que todos entendessem tudo de matemática. Queria que, por meio dos conceitos fundamentais da matemática, o leitor entendesse muito mais aquilo que estava nas entrelinhas. Então o CFM é um livro de matemática que ao mesmo tempo não é um livro de matemática. Caraça recheou o livro com informações históricas, filosóficas, e culturais.

Como você se interessou pelo autor?

Eu li o livro do Caraça na época do meu curso de matemática, em 1970, mas só depois pesquisei mais. O meu interesse ficou maior porque, junto com o CFM, li também um livro brasileiro chamado Ideias Fundamentais da Matemática (1929), do professor Manuel Amoroso Costa [1885-1928]. Achei curioso o fato dos dois livros terem o título tão parecido. Para mim, os dois livros ficam próximos um do outro; só que, embora trabalhem ideias parecidas, são dois livros distintos — por meio de cada um deles, o leitor percorre caminhos diferentes. Mas me interessei mais no trabalho em cima do professor Caraça, pois a cada momento que eu lia o CFM, tinha uma visão diferente e novas ideias.

Quais são as diferenças entre o livro do Caraça e o do Amoroso Costa?

Quando comecei a pesquisar os dois autores, notei que a diferença de materiais era muito grande. Eu consegui muito mais coisas do Caraça do que do professor Amoroso Costa. Os dois têm como ponto de partida a matemática como elemento da cultura geral. Se o Bento tivesse concluído o terceiro e o quarto volumes, ambos os livros teriam ficado mais parecidos, com exceção da linguagem. Ambos os autores eram filhos de portugueses. No Brasil, Amoroso Costa é nome de rua [em São Paulo], é nome de cidade. Em Portugal, Caraça é nome de rua, de praça, de bairro. Portanto, em momentos distintos, ambos percorreram trajetória semelhante — cada um no seu tempo, cada um no seu local.

Como sabe que haveria um terceiro ou quarto volume?

Eu encontrei rascunhos do que seria o terceiro e o quarto volumes do Caraça; inclusive ele tinha duas ideias distintas para o terceiro. Mas, quando ele concluísse o quarto volume, a obra ficaria mais parecida com a do Amoroso Costa. Também encontrei uma carta, na qual ele dizia que a obra ficaria pronta com o terceiro e o quarto volumes. Quando ele abre o livro, ele fala que vai escrever sobre quatro temas: números, leis, continuidade, e classificações, mas não faz isso. A terceira parte, continuidade, ficou inacabada com sua morte; eu também descobri alguns manuscritos que figurariam no quarto volume. Só que as pessoas não perceberam isso. Então, acho que o CFM é um livro completo, mas é parte de uma obra inacabada. Ele é completo em si, pois mostra como ensinar matemática: por meio de conceitos fundamentais. Vale lembrar que ele escreveu esse livro num período curioso, muito significativo da história portuguesa e mundial — entre a primeira e a segunda guerra mundiais, período no qual Portugal vivia uma ditadura militar. Ou seja, foi um momento crucial, durante o qual havia uma efervescência de ideias políticas, econômicas, e sociais.

Dá para continuar a obra dele com os rascunhos que você encontrou?

Isso seria um exercício muito curioso, mas não sei se alguém poderia realizá-lo caracianamente… Há muita coisa ainda para ser estudada, aprofundada. Eu, por exemplo, tenho 500 cartas nas quais ainda não mexi; são cartas de pessoas que conviveram com o Caraça. Seria muito legal descobrir que, numa delas, existe a informação de que o Caraça escreveria o terceiro volume, ou o quarto.

Por que o livro CFM fez sucesso no Brasil?

Esse trabalho do Caraça não tem paralelo em língua portuguesa, de modo que atravessou o atlântico e marcou o cenário brasileiro. Muitos autores brasileiros citam o Caraça na bibliografia. Quando o CFM chegou ao Brasil, ganhou notoriedade, especialmente na Universidade de São Paulo. Ao mexer nos arquivos do Caraça, descobri várias cartas de livrarias brasileiras, pedindo ao autor certa quantidade de exemplares, pois achavam que poderiam vendê-los no Brasil. Não estou dizendo que o CFM não fez sucesso em Portugal, porque fez. Mas talvez tenha feito mais sucesso ainda no Brasil.

Quais aspectos interessantes você descobriu ao investigar a vida e a obra de Caraça?

Curiosamente, o que Caraça propunha na primeira metade do século 20, hoje quem propõe é a Unesco: devemos formar especialistas que não sejam apenas especialistas; devemos formar especialistas com uma boa dose de cultura geral. Então podemos dizer que a Unesco está seguindo caminhos caracianos. Caraça dizia que, em primeiro lugar, a pessoa precisa ter uma forte base de cultura geral, e depois disso ela se especializa como médico, engenheiro, matemático, e assim por diante. Caraça dizia assim: “Há coisas da matemática, da biologia, ou de qualquer área que podem chegar a todo mundo. Que coisas são essas? Os conceitos fundamentais.” Vários matemáticos brasileiros se inspiraram na obra dele, e um deles é o professor Elon Lages Lima, que disse uma vez: “O professor Caraça não foi meu professor diretamente, mas foi indiretamente, porque a partir da obra dele eu comecei a me aprofundar na matemática.” Recentemente, encontrei um documento por meio do qual o professor Caraça pede para fazer o curso de matemática na Universidade de Lisboa. Em Portugal, muitas pessoas diziam que ele não era matemático. Ele não era, mas revisou um livro de geometria diferencial. Como que alguém que não é matemático pode corrigir um livro de geometria diferencial?

Qual a relação de Bento Caraça com o Brasil?

Em 1948, um professor da Universidade de São Paulo [Fidelino Figueiredo] foi até Portugal para trazer alguns autores e professores para cá. Quando chegou lá, convidou Caraça a dar aulas na Escola Politécnica da USP. [O convite foi feito por meio de carta, e não pessoalmente.] O Caraça agradeceu o convite, mas declinou, pois disse que estava preso político em casa. [A resposta foi dada por meio de carta também.] Em seguida, um professor da Poli respondeu à carta, perguntando se Caraça não gostaria de ajudar nas matemáticas aplicadas. Em seguida, o professor Caraça respondeu à carta, e deu orientações sobre o que deveriam lecionar na Poli. São fatos interessantes; eles ilustram essa ponte luso-brasileira de contato científico e cultural. Infelizmente, ele não pôde continuar o trabalho com a Poli, pois faleceu um mês depois.

O que foi mais difícil no seu trabalho de investigação?

Obter acesso aos documentos e encontrar as pessoas. Primeiro, juntar todo o acervo. Tive de peregrinar por vários lugares até juntá-lo. Depois que consegui entrar em contato com o filho do Caraça, o Dr. João Caraça, ele me colocou em contato com outras pessoas. Durante a pesquisa, tive de viajar a várias outras cidades além de Lisboa. Eu espero que, em breve, seja capaz de sintetizar todas as informações que reuni. Mas, independentemente do trabalho de doutorado, foi muito gratificante mexer em documentos, cartas e papéis; e colocar a mão, fazer a leitura, tocar objetos que outras pessoas dessa história tocaram [João fica com os olhos marejados, mas os enxuga antes que uma lágrima escorra]. Tem um significado muito forte para mim, de cunho fortemente emotivo, principalmente quando comecei a ler toda a obra do Caraça e me identifiquei com o percurso, com sua trajetória de vida, e com seus valores.

Você consegue aplicar no seu trabalho o que aprendeu com Caraça? (João é diretor de uma escola particular.)

Não dá para aplicar como um todo, mas fica a sugestão de trabalhar melhor os aspectos de cultura geral. Quando converso com alunos, na condição de diretor, quero saber se eles conseguem compreender todos os componentes do currículo, mesmo aqueles dos quais não gostam, ou nos quais não têm habilidade, pois quero que tenham a noção clara de que, no mínimo, todo item do currículo entra no arcabouço da cultura geral. Então digamos que, de uma maneira significativa, as ideias caracianas estão vigorando na escola! [risos] Sendo assim, nas reuniões que faço com os coordenadores, sempre peço que eles usem como ponto de partida as ideias fundamentais de cada uma das disciplinas, e que não percam a chance de trabalhar aspectos históricos e filosóficos.

Professores de faculdade ainda indicam o CFM a seus alunos?

Posso dizer que a obra do Caraça ainda está viva. Ele conseguiu deixar um livro que será estudado por muitos anos ainda, e que pode ser estudado e aplicado. Mas eu acho que a característica mais valiosa na obra do Caraça é que ela inspira. Um professor pode ver como o Caraça tratou determinado tema, e achará inspiração para criar situações produtivas em sala de aula. A obra do Caraça inspirou vários autores de livros didáticos no Brasil. Acho curioso isso: um professor que faça uma leitura sistemática do livro do Caraça vai organizar melhor os tópicos de uma matemática que tem lá suas técnicas, que tem sua linguagem, mas que também é uma ciência e pode compor a cultura geral de qualquer pessoa.

Qual o próximo passo no trabalho de investigação?

A engenheira Guida Lami [autora dos gráficos e ilustrações publicadas em todas as edições do CFM] me cedeu uma série de materiais inéditos; com esse material, eu e ela pretendemos abordar num livro outras nuances da obra do Caraça, mas não apenas da obra, como também de aspectos de sua vida em sociedade. Com isso, também seremos capazes de divulgar melhor a obra dele; há muita coisa a ser feita. Nós gostaríamos que houvesse um grupo de mestrandos e doutorandos ocupados com esse trabalho; seria legal ter um grupo de pesquisa, porque é um trabalho bastante amplo.

Quem conviveu com Caraça diz o que sobre ele?

Segundo consta em Portugal, as aulas do Caraça eram muito concorridas; apareciam até alunos que não estavam matriculados no curso. Ele também divulgava temas universitários fora da universidade; organizava reuniões em padarias, associações, e promovia discussões de cunho matemático com todo tipo de gente, independente de sua formação.

O que você mais aprendeu com Bento de Jesus Caraça?

As pessoas me dizem que eu tenho que ficar numa posição mais crítica, pois parece que estou endeusando um autor e sua obra. Respondo que já passei da fase da postura crítica. Hoje eu falo de uma paixão, de uma identificação, e não só uma identificação com o jeito de abordar certas questões matemáticas, mas também uma identificação de caráter pessoal. Cheguei a um ponto no qual existe uma identificação com valores e atitudes, ressalvadas, é claro, a época em que nós dois vivemos, e as singularidades de cada momento. Numa conversa que tive com o João, filho do Caraça, eu disse que também me sentia um pouco filho do Caraça. O Caraça trabalhou para desenvolver o humanismo. Então, qualquer um que tenha a mesma convicção se identifica com ele.

Humanismo. Como o humanismo é um jeito antigo de olhar o mundo, surgiram centenas de definições distintas do termo. Eis uma bem simples: Um humanista, para compreender o universo, recorre ao método científico; e para se relacionar com outras pessoas, recorre a seu próprio senso de justiça. Como consequência, entre as responsabilidades do humanista, estão conhecer o método científico e os resultados que produziu até agora, e desenvolver um senso de justiça sofisticado, condizente com o mundo complicado como é.

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Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 51, abril de 2015, pág. 12. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião da entrevista.

2. A entrevista e a primeira versão do texto final ficaram a cargo da jornalista Fernanda Lima.