O norte a oeste do norte

Para usar uma bússola, o caminhante precisa saber que a agulha aponta para o norte magnético, que é diferente do norte geográfico.


Brasileiros não costumam usar os pontos cardeais como referência. Faça o teste quando for jantar na casa de um amigo: pergunte-lhe para que lado fica o norte ou o sul. É provável que não saiba. Muito paulistano não sabe que Santo André fica bem ao sul de São Paulo, e muito turista nunca parou para pensar que, se ele dirige o carro ao longo do litoral brasileiro, e se o mar está à esquerda, então viaja para o sul.

Esse traço cultural deixa a bússola com um ar de mistério. Mas ela é tão simples que pode ser construída com materiais caseiros: use um ímã para magnetizar uma agulha, espete a agulha num disco de rolha, ponha a rolha para boiar no potinho com água. Um dos lados da agulha vai apontar para o norte magnético.

Pinte o sul de vermelho. O centro do planeta Terra funciona como um ímã gigante, e envolve todo o planeta com um campo magnético. Pegue dois ímãs e faça o teste: o polo norte de um deles vai repelir o polo norte do outro e, ao contrário, vai atrair o polo sul do outro. A agulha da bússola é um ímã; o campo magnético da Terra vai girá-la sobre o eixo, até que o polo sul da agulha aponte para o polo norte magnético da Terra, e o polo norte da agulha aponte para o polo sul magnético da Terra. Basta pintar o polo sul da agulha com alguma cor berrante, tipo vermelho. Pronto. A ponta vermelha da agulha aponta para o norte magnético.

O verdadeiro norte. Dois probleminhas, contudo. O polo norte magnético não coincide com o polo norte geográfico: o magnético está a uns 1.600 quilômetros de distância do geográfico. Além disso, o campo magnético da Terra não segue em linhas retas do polo sul em direção ao polo norte: ele faz curvas, e às vezes faz curvas acentuadas. Em alguns lugares, a curva é tão acentuada que o norte magnético aponta para o oeste geográfico; é o caso de algumas ilhas do Pacífico. Então, o caminhante precisa conhecer a declinação magnética do lugar em que vai andar: é a diferença, em graus, entre o polo norte magnético e o polo norte geográfico.

Numa boa bússola, existe um mecanismo para compensar a declinação magnética: esse mecanismo gira o mostrador da bússola (embaixo da agulha), mas não gira as linhas de guia da agulha. Se você estiver em São Paulo (SP), onde o polo norte magnético está a 21,43 graus a oeste do polo norte geográfico, use o mecanismo para girar o mostrador 21,43 graus à direita. Assim, quando alinhar a agulha com as linhas de guia da agulha, as linhas norte-sul do mostrador vão ficar alinhadas com o norte-sul geográfico; se a seta longa da bússola estiver alinhada com as linhas norte-sul do mostrador, a seta longa da bússola vai mostrar o sentido, ou azimute, do norte geográfico. (Veja o desenho mais abaixo, acima da seção “Para onde ir?”) Com uma bússola compensada para o lugar em que vai usá-la, você só tem de se preocupar com alinhar a agulha da bússola e as linhas de guia da agulha, pois daí as linhas norte-sul do mostrador, embaixo da agulha, ficam automaticamente alinhadas com o norte-sul geográfico.

DIFERENÇA ENTRE O NORTE MAGNÉTICO E O GEOGRÁFICO

Cidade

Declinação magnética

Notação

São Paulo

21,43 graus a oeste

–21,43º

Brasília

21,68 graus a oeste

–21,68º

Manaus

15,98 graus a oeste

–15,98º

Anchorage (Alasca)

15,78 graus a leste

+15,78º

Obs.: Como compensar uma declinação magnética: se for positiva (a leste), gire o mostrador da bússola à esquerda; se for negativa (a oeste), gire o mostrador à direita.

Como ir e voltar. É fácil se perder num lugar em que não há ruas, prédios, placas de trânsito — como numa trilha na Chapada Diamantina ou num barco em alto mar. É fácil mudar de direção sem perceber e andar em círculos. Use a bússola para evitar isso. É o jeito mais fácil de usá-la, e nem é necessário compensar a declinação magnética.

Ponha seu relógio de pulso para despertar a cada 20 minutos, por exemplo. A cada aviso do relógio, alinhe o mostrador da bússola com a ponta vermelha da agulha e anote o azimute (o sentido para onde você está indo). Vamos supor que anotou 40 graus no começo da caminhada, 120 graus 20 minutos depois, e 340 graus 40 minutos depois. Para voltar, é só fazer o caminho ao contrário em 180 graus: ande 20 minutos com azimute de 160 graus (340 – 180), depois 20 minutos com 300 graus (120 + 180), e por último 20 minutos com azimute de 220 graus (40 + 180). Você deve chegar ao ponto de onde saiu. (Com a bússola em mãos, nem precisa fazer contas: basta voltar no sentido oposto do azimute com que veio.)

Orientar um mapa. Um jeito ótimo de usar a bússola: orientar o mapa, para que as coisas no mapa estejam alinhadas com as coisas à sua volta. Use uma bússola compensada para a declinação magnética do lugar. Abra o mapa no chão ou no colo, e ponha a bússola sobre o mapa. Alinhe as linhas de guia do mostrador (no sentido norte-sul) com as linhas verticais do mapa, de modo que o norte das linhas de guia coincida com o norte do mapa. Gire o mapa (com a bússola em cima) até que o norte da agulha esteja corretamente alinhado com as linhas de guia da agulha. Pronto: agora o norte do mapa está virado para o norte geográfico, e tudo o que você vê no mapa está alinhado com o que vê à sua volta. É um bom jeito de identificar picos, vales, rios, cachoeiras.

Tendo um mapa, para onde ir?

Para onde ir? Você tem um mapa e tem uma bússola já compensada. Você tem de ir para um ponto B que não está visível: um lago distante, uma cachoeira. (Veja a figura acima.) Faça assim: [1] Ponha a borda longa da bússola sobre o mapa, de modo que a seta longa da bússola esteja alinhada com a linha que liga o ponto A em que você está ao ponto B para o qual pretende ir. (Obviamente, você tem de saber o ponto A em que está.) [2] Gire o mostrador da bússola até que as linhas norte-sul do mostrador estejam alinhadas com as linhas norte-sul do mapa, e o norte do mostrador aponte para o norte do mapa. [3] Segure a bússola à sua frente. Gire o corpo até que o norte da agulha esteja corretamente alinhado com as linhas de guia da agulha. A seta longa da bússola vai apontar o azimute correto, ou seja, o sentido do ponto B. Escolha um marco qualquer no sentido do azimute, um marco bem visível (por exemplo, uma árvore), e ande até lá. Ao chegar lá, escolha outro marco no sentido do azimute desejado. E assim vá até chegar ao ponto B. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 6, junho de 2011, pág. 12. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Atualizei as declinações que menciono na matéria; em 2011, a declinação de Anchorage, por exemplo, era de +18,7º.

2. Note que as bússolas são construídas para funcionar por hemisfério: bússolas para o hemisfério norte não funcionam no sul, e vice-versa. Existem bússolas que funcionam no mundo todo, e são mais caras, mas acho que o preço mais alto vale a pena.

3. A ilustração acima da seção “Para onde ir?” foi feita com base num documento da Suunto, que é um fabricante competente de bússolas.

4. Quando estiver caminhando e perceber que vai perder a visibilidade (por exemplo, porque um nevoeiro se aproxima), anote imediatamente o azimute. Quando o nevoeiro chegar, será tarde demais.

5. Esta postagem pode ser usada para ilustrar uma ideia importante: quando conhecemos uma característica da Natureza, como o funcionamento do campo magnético da Terra, podemos usá-la para fins humanos, como a navegação; mas também podemos usá-la como fonte de conjecturas para explicar outros fenômenos. Por exemplo, dizem que aves migratórias usam o campo magnético da Terra para se orientar. Se isso é verdade, então seu cérebro deve realizar certas operações semelhantes às que realizamos para nos orientar com uma bússola. E, se isso é verdade, então podemos testar as conjecturas x, y, z. Em resumo, quanto mais uma pessoa sabe, mais tem condições de imaginar explicações para coisas as quais ainda não têm boas explicações.

 

Desertos de números primos e um erro comum no ensino básico


Ao resolver problemas de contagem, o leitor certamente usará a notação n! para indicar o produto n · (n – 1) · (n – 2 ) · … · 3 · 2 · 1. Mas também pode usar o procedimento a que n! se refere para montar “desertos de números primos”, isto é, sequências de inteiros positivos sucessivos nas quais não há nenhum número primo, como é o caso de 722, 723, 724, 725, 726.


{1}/ Uma ideia estranha

De quantas maneiras o leitor pode arranjar cinco vasos de flores em cima do aparador? Ora, no momento de escolher o lugar do primeiro vaso, tem cinco vasos à disposição. (Chame esse momento de evento A.) Arrumado o primeiro vaso, vai escolher o lugar do segundo vaso, e aí tem quatro vasos à disposição. (Chame esse momento de evento B.) E assim por diante. Você está diante do princípio fundamental da contagem:

Princípio fundamental da contagem. Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um segundo evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de maneiras que os eventos A e B podem ocorrer, um seguido do outro, é m × n.

Em outras palavras, você pode arrumar os cinco vasos no aparador de 120 maneiras diferentes, pois o número de permutações P de cinco vasos no aparador é:

Nos problemas de contagem, essa multiplicação de inteiros sucessivos 1, 2, 3, …, n aparece tantas vezes que os matemáticos inventaram símbolos só para representá-la. No caso da permutação de cinco vasos, eles tentaram [5]n em 1772, ou 5* em 1774, até chegar a 5! nos dias de hoje. O símbolo é “!” — e você deve ler “5!” como “cinco fatorial”.

Sendo assim:

Em outras palavras, para qualquer inteiro positivo n, use a notação n! (“n fatorial”) para simbolizar o produto n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ··· 3 · 2 · 1. Ou, usando o símbolo de produtório:

Alguns exemplos:

Também, por definição:

Com essa definição, pode melhorar a definição de n! : Para qualquer inteiro positivo n, use n! para se referir ao produto n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ··· 3 · 2 · 1 · 0!, com 0! = 1.

Aqui vai uma propriedade dos fatoriais útil na hora de simplificar expressões:

Aliás, pode definir n! recursivamente usando essa propriedade:

Portanto:

Dizendo essa mesma coisa de modo mais genérico:

E por fim pode entender uma definição recursiva de n!, que é curta e satisfatória: Para qualquer inteiro positivo n, use n! para se referir ao produto n(n – 1)!, com 0! = 1.

O deserto de números primos. Você está pronto para entender uma ideia estranha: no conjunto dos números naturais = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, existem desertos de números primos, ou seja, existem longas sequências de inteiros positivos sucessivos nas quais não existe nenhum número primo dentro delas. E mais estranho ainda: você pode construir um deserto desses do tamanho que desejar. Pode construir um deserto de números primos com 100 inteiros positivos sucessivos, com 1.000 inteiros, com 40 bilhões de inteiros — com quantos inteiros quiser.

O primeiro passo é entender o que é um número primo: é um inteiro positivo, diferente da unidade (1), e com exatamente dois divisores, ele mesmo e a unidade. Os primeiros dez números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, e 29.

O segundo passo: todo inteiro fatorial é divisível por cada um dos inteiros que entraram na multiplicação até chegar ao valor do fatorial, ou seja, todo n! é divisível por 1, 2, 3, 4, …, (n 2), (n 1), e por n. No caso de 6!, que dá 720: 720 é divisível por 1 (dá 720), por 2 (= 360), por 3 (= 240), por 4 (= 180), por 5 (= 144), e por 6 (= 120). Portanto, 720 não é um número primo. Generalizando: para todo inteiro n > 2, n! é um inteiro composto, ou seja, não é primo. Em outras palavras, para todo inteiro n não negativo, somente 2! = 2 é primo.

O terceiro passo é entender que, se dois inteiros x1, x2 são múltiplos do mesmo inteiro k, então a soma desses dois inteiros x1, x2 é também um múltiplo desse inteiro k — ou seja, x1 + x2 é divisível por k. Veja as contas a seguir, nas quais n, m são inteiros:

Agora pense bem na sequência de inteiros a seguir.

Se n ≥ 2, então ela é uma sequência de inteiros sucessivos compostos, pois n! é divisível por 2, 3, 4, …, n; sendo assim, n! + 2 é divisível por 2, n! + 3 é divisível por 3, n! + 4 é divisível por 4, …, e n! + n é divisível por n.

Essa sequência é um deserto de números primos, e basta escolher o inteiro positivo n ≥ 2 para montar uma sequência do comprimento que bem entender. Para n igual a 6:

Logo, o conjunto de números sucessivos S = {722, 723, 724, 725, 726} não contém nenhum número primo. Você pode realizar essa mesma operação para qualquer valor de n ≥ 2; por exemplo, 7! dará um conjunto com seis inteiros, começando em 5.042; 11! dará um conjunto com dez inteiros, começando em 39.916.802; e 23! dará um conjunto com 22 inteiros, começando com 25.852.016.738.884.976.640.002.

Uma conclusão: quanto mais você avança no conjunto dos inteiros não negativos, mais dificilmente encontra um número primo, pois os desertos vão ficando cada vez maiores. Outra: em teoria, você pode montar um deserto de números primos com 40 bilhões de inteiros sucessivos (basta fazer n igual a 40.000.000.001). O problema será escrever cada um dos números imensos, com quase 10 bilhões de zeros.



{2}/ Notação: por que 0! = 1

Você já sabe que:

Basta agora dividir os dois lados da expressão por n:

Se fizer n = 1, será obrigado a escolher um valor razoável para 0!, e esse valor é 1.

Com 0! = 1, todas as contas comuns em problemas de contagem funcionam. Além disso, visto que n! é uma expressão frequente quando lida com permutações, pode ver a definição segundo a qual 0! = 1 como que respondendo a uma pergunta:

“De quantas maneiras você pode arranjar em fila zero elementos?”

“De uma maneira apenas, já que não tenho elementos para arranjar em fila.”



{3}/ A prova de Euclides e um erro habitual na escola

Embora você consiga construir desertos de inteiros primos com comprimento igual a n, sendo n um inteiro positivo tão grande quanto queira (por exemplo, 10100), isso não significa que os números primos vão rareando, rareando, rareando até finalmente acabar de vez. O conjunto dos primos é infinito. Essa afirmação é conhecida assim:

Teorema da infinitude dos números primos. O conjunto {2, 3, 5, 7, 11, …} dos números primos contém infinitos elementos, isto é, dado um número primo p, por maior que seja, existe um primo qp tal que p < q.

O famoso Euclides (o autor grego de Os Elementos) produziu uma prova encantadora desse teorema. Ela funciona assim:

(1) Imagine uma lista de números primos p1, p2, p3, …, pn. Essa lista pode ter só um número primo, p1, ou pode ter 1 bilhão de números primos — não importa. Ela só não pode ser vazia.

(2) Com os primos da lista inicial, forme o inteiro A = p1p2p3 · … · pn + 1, isto é, forme o inteiro A ao multiplicar p1 por p2, p1p2 por p3, p1p2p3 por p4, etc., e por fim ao adicionar uma unidade a esse produto.

(3) Se A é um inteiro primo, não está na lista inicial, pois é maior do que qualquer um dos primos da lista inicial. Logo, há pelo menos um inteiro primo que não está na lista inicial. Adicione A à lista inicial e repita o processo, recomeçando pelo passo (1).

(4) Se A é um inteiro composto, então, pelo teorema fundamental da aritmética (que não vou provar neste texto), A é um produto de primos q1, q2, q3, …, qm. (Todo inteiro positivo ≥ 2 ou é primo ou é um produto de primos. A é um inteiro maior que 1, pois é a soma de pelo menos um número primo com 1. Portanto, A ≥ 3. Sendo assim, ou A é primo ou é um produto de primos. Aplique o crivo de Eratóstenes para os inteiros de 1 a 100 e facilmente se convencerá disso.) Suponha que q1 é o menor desses primos. Digo que q1 não está na lista inicial. Pois q1 não pode ser igual a nenhum dos primos p1, p2, p3, …, pn, pois nenhum deles divide A. (Ao dividir A por qualquer pk, sendo pk um dos primos da lista inicial, você obtém resto igual a 1.) Logo, há pelo menos um inteiro primo q1 que não está na lista inicial, por maior que seja a lista. Adicione q1 à lista inicial e repita o processo, recomeçando pelo passo (1).

Fica claro que, fazendo assim, vai repetir os passos (1) a (4) indefinidamente, ou, em outras palavras, o conjunto dos inteiros primos é infinito.

Um erro na escola. Professores da escola básica cometem com frequência o erro de dizer que a prova de Euclides é uma prova por contradição. Não é — e nunca foi. Ao contrário, para mérito de Euclides, é uma prova inteiramente construtiva, ou seja, você pode seguir os passos (1) a (4) de fato, como se fossem uma receita de bolo, para ir produzindo o conjunto dos números primos.

Comece, por exemplo, com o número primo 17. Logo, seu conjunto inicial de primos é {17}. Faça A = 17 + 1 = 18. Ora, 18 é o produto de primos 2 · 3 · 3. Logo, q1 = 2. Adicione 2 à lista inicial.

Você recomeça o procedimento construtivo com o conjunto {2, 17}. Faça A = 2 · 17 + 1 = 35. Agora 35 é o produto de primos 5 · 7. Logo, desta vez q1 = 5. Adicione 5 à lista.

Você recomeça com o conjunto {2, 5, 17}. Faça A = 2 · 5 · 17 + 1 = 171. Agora 171 é o produto de primos 3 · 3 · 19. Logo, desta vez q1 = 3. Adicione 3 à lista.

Você recomeça com o conjunto {2, 3, 5, 17}. Faça A = 2 · 3 · 5 · 17 + 1 = 511. Agora 511 é o produto de primos 7 · 73. Logo, desta vez q1 = 7. Adicione 7 à lista.

Você recomeça com o conjunto {2, 3, 5, 7, 17}. Faça A = 2 · 3 · 5 · 7 · 17 + 1 = 3.571. Desta vez, A = 3.571 é um número primo. Adicione 3.571 à lista.

E assim por diante, ao infinito e além, por meio de um procedimento completamente construtivo. O professor até pode apresentar à classe uma prova por contradição do teorema da infinitude dos números primos (há muitas provas assim na internet), mas não deve cometer o erro de atribuí-la a Euclides. Contudo, por que apresentar uma prova por contradição se a prova de Euclides é construtiva? Isso só faria sentido se a classe já conhecesse a prova de Euclides, e o professor gostaria que ela apreciasse uma prova por contradição, para ver a diferença marcante entre provas por contradição e provas construtivas. {FIM}

O problema que Einstein não criou: Quem é o dono do peixinho?

Para resolver alguns problemas, o estudante só precisa de raciocínio lógico e das noções mais elementares sobre conjuntos, relações, e funções. A boa notícia é que pode arregimentar tais conhecimentos ao simplesmente desenhar uma tabela bem caprichada.


{1}/ Um desafio ao leitor

Há cinco casas, cada uma de uma cor distinta. Em cada casa vive uma pessoa de nacionalidade distinta. Cada morador tem um determinado bicho de estimação, fuma determinada marca de cigarro, e bebe um determinado tipo de bebida. Nenhum morador tem o mesmo bicho que outro morador, nenhum fuma a mesma marca de cigarros, nenhum bebe o mesmo tipo de bebida.

Eis 15 dicas para que o leitor saiba quem é quem:

(1) O britânico vive na casa vermelha.

(2) O sueco tem um cão.

(3) O dinamarquês toma chá.

(4) A casa verde está à esquerda da casa branca.

(5) O dono da casa verde toma café.

(6) O morador que fuma Pall-Mall tem um pássaro.

(7) O dono da casa amarela fuma Dunhill.

(8) O que vive na casa do centro toma leite.

(9) O norueguês vive na primeira casa.

(10) O morador que fuma Blends vive ao lado do que tem um gato.

(11) A pessoa que tem um cavalo vive ao lado da que fuma Dunhill.

(12) O que fuma Bluemasters bebe cerveja.

(13) O alemão fuma Prince.

(14) O Norueguês vive ao lado da casa azul.

(15) O que fuma Blends tem um vizinho que bebe água.

A pergunta é: Quem é o dono do peixinho?



{2}/ Resolução

A leitora (codinome Gabriela) começou experimentando vários métodos e notações: tabelas, grafos, matrizes. A tabela se mostrou mais útil: é fácil de preencher e de interpretar. Então caprichou numa tabela vazia:

Casa

1

2

3

4

5

Cor

Nacionalidade

Bicho

Cigarro

Bebida

“Agora”, pensou Gabriela, “o que preciso fazer é ler as dicas enquanto vejo o que posso preencher.” Passou a lista de dicas em revista, e só pôde preencher a tabela pela primeira vez com as frases (8) e (9): o que vive na casa do centro (a 3) toma leite e o norueguês vive na primeira casa.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

Nacionalidade

norueguês

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

Com a frase (14), veio mais uma informação sobre o norueguês, na verdade sobre seu vizinho, que mora na casa 2, uma casa azul.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

azul

Nacionalidade

norueguês

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

Com a frase (4), Gabriela viu que a casa 1 não pode ser verde, pois a casa verde está à esquerda da branca. Então, ou a casa branca é a 4, e daí a verde é a 3, ou a casa branca é a 5, e daí a verde é a 4. Gabriela tentou os dois casos, mas, com as frases (5) e (8), descobriu que casa 3 não pode ser verde: se fosse verde, seu morador beberia café, mas ele bebe leite.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

azul

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

café

Com a frase (1), viu que a casa 1 não pode ser vermelha, pois nela vive um norueguês, e não um britânico. Logo, a casa 3 é vermelha e nela mora um britânico que bebe leite; e a casa 1 é amarela.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

britânico

Bicho

Cigarro

Bebida

leite

café

Se a casa 1 é amarela, Gabriela viu que, pela frase (7), seu dono fuma Dunhill. Pela frase (11), o vizinho do norueguês tem um cavalo.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

britânico

Bicho

cavalo

Cigarro

Dunhill

Bebida

leite

café

Com a frase (15), Gabriela descobriu que o morador da casa 5 não pode fumar Blends, pois seu vizinho não toma água, mas café. Talvez o morador da casa 2 tome água, e se for assim o britânico fuma Blends; talvez o morador da casa 1 tome água, e daí o dono do cavalo fuma Blends. Mas, pela frase (12), o sujeito que fuma Bluemasters bebe cerveja; logo, pensou Gabriela, o norueguês não bebe cerveja, e ou o morador da casa 2 ou o morador da casa 5 bebe cerveja. Contudo, se o morador da casa 2 fuma Bluemasters e bebe cerveja, e se o britânico fuma Blends, daí a frase (15) não se sustenta, pois quem fuma Blends tem de ter um vizinho que beba água. “Então”, pensou Gabriela, “não posso pôr cerveja nem na casa 1 nem na 2. Só sobra a casa 5: seu morador fuma Bluemasters e bebe cerveja.”

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

britânico

Bicho

cavalo

Cigarro

Dunhill

Bluemasters

Bebida

leite

café

cerveja

Quem bebe água? O norueguês ou o sujeito da casa 2? Gabriela olhou a frase (3): o dinamarquês toma chá. Logo, o chá deve ir na casa 2, pois na 1 já vive o norueguês. Além disso, pela frase (15), o que fuma Blends tem um vizinho que bebe água: o dinamarquês fuma Blends, e seu vizinho, o norueguês, bebe água.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

dinamarquês

britânico

Bicho

cavalo

Cigarro

Dunhill

Blends

Bluemasters

Bebida

água

chá

leite

café

cerveja

Pela frase (6), Gabriela viu que pode pôr o Pall-Mall e o pássaro ou na casa 3 ou na 4. Mas, olhando a frase (13), vê que não pode pôr o Pall-Mall na 4, pois daí teria de colocar Prince na 3, e a casa 3 teria de ser habitada por um alemão. Então, o britânico fuma Pall-Mall e tem um pássaro, e o alemão vive na casa 4, a verde, e fuma Prince. Como consequência disso tudo e da frase (2), o sueco e seu cão vão para a casa 5. E daí, pela frase (10), o norueguês tem um gato.

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

dinamarquês

britânico

alemão

sueco

Bicho

gato

cavalo

pássaro

cão

Cigarro

Dunhill

Blends

Pall-Mall

Prince

Bluemasters

Bebida

água

chá

leite

café

cerveja

A resposta agora é óbvia, e Gabriela a escreveu no caderno: “O alemão tem um peixinho.”

Casa

1

2

3

4

5

Cor

amarelo

azul

vermelho

verde

branco

Nacionalidade

norueguês

dinamarquês

britânico

alemão

sueco

Bicho

gato

cavalo

pássaro

peixe

cão

Cigarro

Dunhill

Blends

Pall-Mall

Prince

Bluemasters

Bebida

água

chá

leite

café

cerveja

Pesquisando, Gabriela descobriu que o problema é antigo. Alguns websites atribuem sua autoria a Albert Einstein, que teria dito: 98% da humanidade não conseguiria resolvê-lo. (Isso provavelmente é mentira, ou, como se diz hoje em dia, fake news.) Outros atribuem sua autoria a Lewis Carroll, o autor de Alice no País das Maravilhas. (Mais uma vez, fake news.) É mais provável que seu autor nunca venha a ser conhecido, mas, seja quem for, vivia numa época em que as pessoas fumavam. Além disso, também é razoável pensar que 98% da humanidade consiga sim resolvê-lo — basta querer.

“Mas isso é matemática?” Gabriela fez a pergunta que muitos professores de matemática fazem quando veem o problema pela primeira vez. O matemático argentino Adrián Paenza incluiu o problema num de seus livros (Matemática: Cadê Você?) porque acredita que ele é sim matemática; para Adrián, o matemático estuda as inter-relações entre objetos abstratos (no sentido de conceitos abstratos), e realiza seu estudo de acordo com um conjunto claramente definido de regras. Em outras palavras, qualquer raciocínio sobre um objeto abstrato que leve de modo inescapável das premissas às conclusões pode ser classificado como um raciocínio matemático. Para ilustrar esse ponto, Gabriela até achou um exemplo mais matemático.

ProblemaMostre que x4x2 – 6x + 10 é positivo para todo número real x.

Depois de várias tentativas, Gabriela chegou ao seguinte argumento:

1. Se x ≤ –1, daí x4x2; se x4x2, daí x4x2 ≥ 0; além disso, se x ≤ –1, daí 10 – 6x ≥ 0. Portanto, se x ≤ –1, daí x4x2 – 6x + 10 ≥ 0. Gabriela reescreve esse raciocínio com a notação a b, isto é, a leva naturalmente a b. (Essa seta torta é útil para organizar melhor os raciocínios no caderno, sem, contudo, usar indevidamente a seta reta, que é símbolo de implicação, e que deve ser usada com maior cuidado.)

2. Usando a mesma notação:

3. E quanto ao caso em que 1 ≤ x ≤ (3/2)?

4. Feito isso, Gabriela estudou o caso em que (3/2) ≤ x ≤ 2:

5. Por último, o caso em que x é maior ou igual a 2:

Com esse argumento, Gabriela provou o que pretendia provar dividindo o problema em passos mais simples, nos quais sua única preocupação era provar uma desigualdade simples. “Esse jeito de raciocinar”, escreveu Gabriela, “é típico de matemáticos especializados em análise, e se parece muito com o jeito que usei para provar que o alemão era o dono do peixinho: procure seguir adiante uma pequena verdade de cada vez.”



{3}/ Lógica e conjuntos embutidos em tabelas

Se você fosse ensinar lógica e teoria dos conjuntos a crianças e jovens, o que ensinaria? Sugestão: ensine-as a montar tabelas, e a pensar sobre elas. Se o universo do discurso (o conjunto das afirmações sobre as quais está pensando) é discreto e finito, como muitas vezes ocorre em situações do dia a dia, é incrível como pode usar tabelas para raciocinar sobre operações lógicas (do tipo “A e B implicam C”) e sobre afirmações da teoria dos conjuntos (do tipo “isso é subconjunto daquilo”).

O problema é que tabelas são, em certo sentido, objetos complicados, ou, melhor dizendo, objetos cuja simplicidade esconde várias complicações. Na tabela que a personagem Gabriela por fim montou, na seção 2, a palavra “amarelo” aparece no cruzamento da linha “cor” com a coluna “casa 1”. Isso significa que a casa 1 é amarela. Mas dizer que a casa 1 é amarela é dizer que a casa 1 é elemento da extensão de amarelo = a casa 1 é elemento do conjunto composto por objetos amarelos = casa 1 {x : x é um objeto amarelo}.

No cruzamento da linha “nacionalidade” com a coluna “casa 3”, aparece a palavra “britânico”; e no cruzamento da linha “bicho” com a coluna “casa 3”, aparece a palavra “pássaro”. Isso significa que o britânico tem um pássaro, e você pode ver isso como uma relação no produto cartesiano do conjunto das nacionalidades com o conjunto dos bichos. Marque essa relação com x-PA-y, isto é, x possui o animal y. Daí britânico-PA-pássaro. Isso é o mesmo que dizer que o par ordenado (britânico, pássaro) é elemento da relação PA, que por sua vez é subconjunto de Nacionalidades × Bichos.

Se quiser, também pode ver funções na tabela. Caso use Cor(x) = y para denotar “a cor do objeto x é y”, daí Cor(casa 4) = verde. Funções também são subconjuntos de produtos cartesianos. Assim, (casa 4, verde) é um par ordenado do conjunto de pares ordenados Casas × Cores, cujo subconjunto Cor = {(x, y) : y é a cor da casa x} está claramente marcado na linha 2 da tabela. Note que (casa 4, verde) Cor, e por isso pode escrever Cor(casa 4) = verde.

Quanto à lógica, vale um exemplo. Visto que cada casa tem apenas uma cor, pode escrever: “Se Cor(casa 4) = verde, então, para todo x ≠ verde, Cor(casa 4) = x é uma afirmação falsa.”

Enfim: diante de uma tabela muito simples, como a da seção 2, você pode ver conjuntos e subconjuntos, produtos cartesianos, ênuplas ordenadas, relações e funções, e operações lógicas. Com um pouco mais de elaboração teórica, poderia também produzir afirmações sobre probabilidade, semântica, teoria da informação. Poderia até explorar as ideias mais básicas da lógica modal de predicados com semântica de mundos possíveis, tipo “Se a casa 4 fosse amarela, em vez de verde, eu deveria fazer as alterações tais e tais nas afirmações (1) a (15) para preservar o problema.” Tudo isso numa simples tabela com seis linhas e seis colunas. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 30, julho de 2013, pág. 60. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. O texto da seção 3 é inédito.

2. Se acha que seria bom ler um pouco mais sobre conjuntos para compreender a seção 3 perfeitamente, clique aqui.

A peça de teatro “X e Y”

Marcus du Sautoy e Victoria Gould em foto de Benjamin Ealovega

Dois matemáticos britânicos escreveram e estrelaram uma peça para ajudar o leigo a ver a matemática como excitante e bonita, isto é, como bom paliativo para a morte.


No Museu de Ciências de Londres (Inglaterra), o visitante pode ver a coleção de besouros que Charles Darwin caçou no Brasil — todos arrumadinhos por espécie, alfinetados do menor indivíduo para o maior, em caixas de madeira que o próprio Darwin desenhou e mandou fazer. Pode ver também esqueletos fossilizados de dinossauros, aviões usados na primeira guerra mundial (pendurados no teto), e o sistema pelo qual, na órbita da Terra, os astronautas fazem cocô dentro do macacão espacial.

É um lugar bacana. O visitante também pode caminhar até o teatro do museu, onde cabem umas poucas dezenas de pessoas. Na antessala do teatro, há um bar e uns sofás. Adultos conversam e em algumas rodinhas crianças e adolescentes participam da conversa, já que o museu é destino de famílias completas, que às vezes passam lá o dia inteiro, especialmente quando o frio de fora racha os lábios. Separando a antessala do espaço onde estão o palco e a plateia, não há nenhuma parede, mas uma enorme e pesada cortina preta: quando a fecham, é como se separassem o palco e a plateia do resto do mundo, isto é, o visitante pensa que desligaram a realidade e ligaram a imaginação.

As luzes se acendem. No centro do palco, um cubo iluminado por lâmpadas de luz neon ofusca os olhos, e dentro do cubo, um ator careca, Marcus du Sautoy, que é matemático e escritor. Marcus faz o papel da variável X, e X vive feliz da vida naquele cubo, murmurando equações e palavras técnicas o dia inteiro. Ao longo da peça, a plateia descobre que X até acredita num universo matemático infinito, mas nunca tentou sair de seu cubo, como se crença na infinitude do universo matemático o deixasse contente com sua prisão. O ator careca também é um pouco assim. “Se estou num lugar no qual eu não gostaria de estar”, diz Marcus, “uso a matemática como forma de escape.”

De repente, entra no cubo numa mulher, a atriz Victoria Gould, no papel da variável Y. (Ela também se formou em física e tem doutorado em matemática pura.) Os dois travam um duelo de palavras, cheio de termos técnicos, que lembra os repentes no sertão do Brasil; é difícil de entender, mas soa um pouco como poesia. A plateia percebe o que X e Y estão fazendo: verificando por que raios acabaram junto dentro do mesmo cubo. Ora, é porque X = Y = 1. “Nós não esperamos que a plateia entenda as equações matemáticas em discussão”, diz Marcus. “Mas ela deve entender que os personagens se comunicam com essa linguagem estranha, que muitas vezes lembra mesmo um duelo entre variáveis.”

Quando Marcus era adolescente e estava na escola, um dia o professor de matemática se aproximou e lhe pediu que ficasse na sala depois que a aula acabasse, pois queria conversar com ele. “Achei que estava encrencado.” Na verdade, o professor lhe recomendou uns livros, dizendo que deveria descobrir o que a matemática realmente é. “Esse professor me mostrou que a matemática da escola não representa bem a matemática como ela de fato é.” A matemática da escola é como se fosse a partitura de escalas e exercícios: o aluno apenas solfeja aquelas notas tão repetitivas (dó ré mi fá sol lá si dó si lá sol fá mi ré dó) e acha isso meio chato — a chatice o impede de ver o que está fazendo. “A matemática de verdade é como se fosse música: é muito mais bonita que a matemática da escola.” Com a peça X&Y, Marcus quer retribuir o favor que o professor lhe fez. “Uma descoberta científica só existe de verdade quando nós a comunicamos”, diz Marcus. “Se eu transmito uma de minhas descobertas para uma pessoa, essa descoberta já tem maior chance de sobreviver, pois não está mais apenas comigo. É só pensar em Shakespeare, que morreu há tanto tempo, mas ainda vive entre nós. Eu me sinto metade matemático, provando novos teoremas, e metade comunicador de ciência. Com essa peça, quero ajudar o público a entender as grandes ideias da matemática.”

(Contudo, no dia em que deu esta entrevista, logo depois de uma sessão, estava visivelmente cansado: a plateia tinha sido muito jovem. Eram alunos que tinham ido ao museu numa excursão da escola. Marcus achou que muitos não queriam estar ali, e não entenderam a peça, que foi escrita para gente um pouco mais velha.)

No palco, a personagem Y entra no cubo com uma sacola cheia de badulaques. Ela vem coletando os objetos há tempos, e a plateia percebe que esse não é o primeiro cubo em que esteve: deve haver muitos cubos acima, abaixo e aos lados do cubo iluminado do palco. Y viaja porque, para ela, o infinito não existe: ela busca uma saída. “O infinito”, diz Y a certa altura, “é só uma palavra que usamos para expressar o que não conseguimos conhecer direito.”

X discorda.

Y diz que não adianta discordar: somos mortais, somos finitos, e como pode um mortal provar a existência do infinito, se ele não tem tempo? “Eu já visitei mais de 70 milhões de cubos como este”, diz Y. “Em cada um deles, achei objetos diferentes. Isso prova que eles não são iguais, mas apenas equivalentes.”

X se revolta. Pega uma laranja e uma faca da sacola de Y, e lhe promete uma prova de que o infinito existe.

“Vou cortar essa laranja na metade em 8 segundos”, diz X. “Depois, vou cortar a metade da metade em 4 segundos. Depois, vou cortar a metade da metade da metade em 2 segundos. E assim por diante.”

Diante do público, ele cumpre o que prometeu, mas logo os pedaços ficam pequenos demais, e além disso ele precisa cortar cada pedaço ao meio em frações de segundo. (Já no sexto corte ele tem de dividir o pedaço de laranja ao meio em apenas um quarto de segundo.) Acaba desistindo, e lamenta que sua afirmação seja teoricamente inquestionável, mas impossível de provar na prática.

“Para continuar assim, a certa altura eu precisaria atingir a velocidade da luz. Além disso, precisaria de instrumentos para enxergar os pedaços de laranja.”

Y decide seguir adiante: deixar o cubo no palco e achar outro. Mas, desta vez, deixa um rolo de barbante nas mãos de X.

“Vou andar até encontrar a saída”, ela diz a X. “Assim que a encontrar e sair, puxo o barbante três vezes, e você vai atrás de mim para ver que o infinito não existe.”

Ela sai pela porta à esquerda do cubo (à direita para a plateia). Depois de um tempo, entra no cubo de novo, mas pela porta oposta à que saiu. Fica muito desapontada, e X a consola; é o primeiro momento da peça em que os dois personagens parecem humanos, e não repentistas algébricos.

Marcus diz que se inspirou com o escritor argentino Jorge Luis Borges. No conto “A Biblioteca de Babel”, de 1941, o protagonista vive preso numa biblioteca chamada Universo, que aparentemente não tem fim. A certa altura, diz: “A biblioteca é ilimitada e cíclica. Caso um visitante eterno fosse atravessá-la em qualquer direção, depois de séculos veria que os mesmos volumes estão se repetindo na mesma desordem (a qual, assim repetida, vira uma ordem). Minha solidão é alegrada por essa esperança elegante.” Uma vez, Marcus lia esse conto de Borges e a ideia lhe surgiu: “E seu eu colocasse alguém dentro de um cubo e lhe dissesse: isto é tudo o que existe? E se de repente aparecesse alguém dentro desse mesmo cubo, mas procurando a saída?”

(Essa técnica, “E se?”, é muito usada por escritores. O escritor começa com uma pergunta do tipo “E se um dia eu ouvisse um pensamento da minha gatinha Fiona?” e, a partir da pergunta, vai imaginando a história e escrevendo.)

Desde os tempos da faculdade, quando participava de grupos de teatro amador, Marcus notou como o povo do teatro se refere ao palco com termos da geometria e da topologia: [imitando a voz de outra pessoa] “Vejam como preencher esse espaço do palco… vejam a posição dos atores… vejam o formato do cenário.” Marcus acha que teatro e matemática têm tudo a ver, tanto é que, na peça, depois que o personagem X tenta maldosamente dividir Y por zero recorrendo à ideia de limite, Y começa a passar mal e desfalece, parece que morreu, mas subitamente acorda não mais como a personagem Y, mas como a atriz Victoria:

“Mas é claro que não estou morta”, diz Victoria olhando para a plateia. “Se estivesse realmente morrendo, vocês teriam chamado uma ambulância. Isso não é real — é como na matemática, onde podemos criar coisas que seriam impossíveis na vida real. Tanto no teatro quanto na matemática, você pode sugerir coisas, e fazê-las acontecer.”

Mais explícito do que isso, impossível. “Eu vejo a matemática e o teatro da mesma maneira”, diz Marcus. “Ambos são espaços onde nós criamos as regras, observamos as consequências dessas regras, e fazemos surgir mundos completamente diferentes do nosso, completamente novos, e mágicos.” Se existe uma diferença entre o teatro e a matemática é que, na matemática, os membros da plateia precisam de vários anos de treinamento técnico para se divertir com a história. “Nossa vida termina, e não gostamos disso”, diz Marcus. “O que podemos fazer para transcender nossa mortalidade? Podemos criar coisas, e se criamos matemática, criamos algo que nos eterniza.”

No Reino Unido, Marcus tem usado sua fama para pressionar por mudanças no currículo de matemática. (Ele é professor de Oxford, presidente da associação britânica de matemáticos, escritor de livros de divulgação, coautor do jogo MangaHigh, coautor de documentários sobre matemática e ciências.) Acha que hoje em dia dão ênfase excessiva à utilidade prática da matemática, como se fosse possível comprar o interesse de crianças e adolescentes com o valor prático do conhecimento. “Eu não acredito nisso. Se alguém estuda inglês, cedo ou tarde estuda Shakespeare não porque é útil, mas porque é excitante, dramático, profundo, bonito. Se formos capazes de ensinar uns poucos detalhes técnicos difíceis na escola, a matemática também fica assim excitante, dramática, profunda, bonita — e, além do mais, ela é inquestionavelmente útil.” {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 35, dezembro de 2013, pág. 62. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A peça X & Y ainda é encenada em ocasiões especiais — a última vez foi em outubro de 2018, em Barcelona, na CCCB Thinking Bienalle Open City.

3. A entrevista foi realizada pela jornalista Fernanda Kiehl, que na ocasião morava em Londres.

4. Há outra matéria sobre teatro como técnica didática neste blogue: De mentirinha primeiro, de verdade depois.

Matemática maia: contando com os dedos das mãos e dos pés

O estudante, acostumado com um sistema numérico de base 10, à talvez ache o sistema dos maias muito complicado, pois era de base 20, com algarismos de 0 a 19. Mas não. Basta um pouco de esforço para compreendê-lo, e, depois disso, já está fazendo continhas de mais e de menos como todo maia bem treinado fazia.


No fim de 2012, o mundo estava a um passo do fim. Às vésperas do dia 21 de dezembro, um grupo de pessoas seguiu para uma vila remota na parte francesa dos Pireneus. Outro rumou para uma vila na Turquia, às margens do mar Egeu. Acreditavam que, enquanto o apocalipse corresse solto pela Terra, espaçonaves desceriam nesses lugares e os transportariam para outros planetas. Na China, umas mil pessoas de um culto cristão foram presas por se deliciar com o fim do comunismo. Um sujeito construiu sete cápsulas de sobrevivência, com capacidade para 14 pessoas cada uma. E teve quem esperou pelo fim do mundo na própria península do Yucatán, onde a civilização maia (os supostos autores da profecia) se desenvolveu há séculos.

Porém, pela centésima quinquagésima vez desde o ano 1 a.C. (segundo uma lista na Wikipédia), o mundo não acabou.

Historiadores têm indícios de que a civilização maia era a mais antiga das que viviam no continente americano antes da chegada de Cristóvão Colombo. Começaram a se instalar na região entre a América do Norte e a América Central entre 2.600 a.C. e 1.800 a.C., e desenvolveram um império com cidades e grandes construções entre 250 d.C. e 900 d.C., em regiões que hoje fazem parte de México, Belize, Guatemala, El Salvador, e Honduras. Mais tarde a civilização entrou em declínio, até que, no século 16, houve a invasão dos espanhóis. Thiago José Bezerra Cavalcanti, antropólogo e autor do livro Calendário Maia, 2012 e Nova Era, diz que ainda hoje existem na região mais de 30 etnias descendentes dos maias. “Na Guatemala, tem gente que se refere ao próprio aniversário dizendo o nome do dia no calendário maia.”

Thiago diz que, para os maias, fazer contas era parte do dia a dia. (Pelo menos para os alfabetizados, é claro.) Usavam matemática para administrar as colheitas, registar a passagem do tempo, realizar objetos artísticos, estudar astronomia; e muitas vezes a matemática usada numa área estava interligada com as outras. Um dos calendários maias era feito de ciclos de 260 dias. “Tem uma teoria de que a origem do ciclo calendárico de 260 dias tem a ver com a duração do ciclo do milho, da semeadura até a colheita.” Para Thiago, isso mostra o quanto os maias usavam sua aritmética em vários contextos, e como os vários contextos influenciavam sua aritmética. Eles observavam as ocorrências frequentes na vida dos seres humanos, das plantas, dos animais, e dos astros, e se um número lhes parecia importante, usavam-no em várias circunstâncias.

Os maias criaram calendários com vários ciclos independentes, porém sincronizados. O calendário que corresponde ao ciclo biológico humano tinha 260 dias divididos em 20 meses de 13 dias. O calendário correspondente ao tempo de translação do planeta Terra em torno do Sol tinha 365 dias divididos em 18 meses de 20 dias e um mês de 5 dias. Os maias o usavam para administrar a agricultura, a meteorologia, e a vida cotidiana. E, a partir desses dois calendários sincronizados, criaram outro de 18.980 dias, que é o mínimo múltiplo comum entre 260 e 365. Também tinham um sistema numérico de base vigesimal e notação posicional, que teriam desenvolvido, supõe-se, ao contar com os dedos das mãos e dos pés. Muita gente considera esse sistema numérico bem sofisticado, pois surgiu numa época em que, do outro lado do Atlântico, os europeus ainda não usavam o sistema posicional hindu-arábico, nem o zero. Foram conhecê-lo por volta do século 13, graças a Fibonacci.

Tatiana Roque, autora do livro História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas, explica a diferença entre o sistema posicional e o aditivo. O sistema aditivo dos egípcios, por exemplo, tinha 7 símbolos. Representavam o 1 com uma barra vertical, o 2 com duas barras, e assim sucessivamente até o número 9. Então tinham um símbolo para o 10, o 100, o 1.000, o 10.000, o 100.000 e o 1.000.000. “Com esse sistema, fica difícil representar um número muito grande, porque precisamos de muitos símbolos. Mas num sistema posicional como o nosso, fica fácil. Com dez símbolos diferentes, representamos uma infinidade de números, dependendo da posição em que colocamos os símbolos.” Os maias também usavam as vantagens do sistema posicional: começando com três símbolos, escreviam os algarismos de 0 a 19, que depois usavam para formar qualquer número maior que 19, por maior que fosse.

O estudante acostumado com a base decimal talvez ache o sistema dos maias de quebrar a cabeça, mas pode estudá-lo um pouquinho para treinar como converter números de uma base numérica para outra. Um menino chamado Bej (dizem que esse nome maia significa caminho) fez um esforço para entender o sistema. Primeiro estudou os símbolos que os maias usavam: o ponto representava o 1, a barra representava o 5, e o zero era uma espécie de concha. Representavam com o zero a ausência de valor, mas ele também servia para evitar confusão no sistema posicional.

Bej fez uma tabela com os números de 0 a 20 em maia. Escreveu de um a quatro colocando primeiro um ponto, depois dois e assim por diante. Depois, para escrever o cinco, em vez de fazer cinco pontos, traçou uma barra; escreveu o seis com uma barra e um ponto em cima dela, e depois o sete com uma barra e dois pontos. A tabela ficou como na figura 1.

A partir desses 20 algarismos básicos, daí os maias escreviam os números de cima para baixo, da classe de maior valor para a de menor valor; é como se Bej escrevesse o número 125 assim:

1

2

5

No sistema decimal, Bej pode escrever, por exemplo, o 9.999, da seguinte forma: 9.999 = (9 × 1.000) + (9 × 100) + (9 × 10) + (9 × 1) = (9 × 103) + (9 × 102) + (9 × 101) + (9 × 100). Num sistema vigesimal, contudo, o número 9.999 significa (9 × 203) + (9 × 202) + (9 × 201) + (9 × 200) = 75.789, e em símbolos maias ele fica como na figura 2.

Para somar um número ao outro no modo maia, Bej fez um diagrama de quadradinhos com quatro colunas por quatro linhas. (Veja a figura 3.) Escreveu ao lado da linha mais abaixo “1’s” para representar os quadrados das unidades, na linha acima escreveu “20’s” para representar os quadrados das vintenas (que, no sistema decimal, seria o quadrado das dezenas). Na terceira linha escreveu “400’s” para indicar os quadrados das quatro centenas (que, no sistema de base decimal, seria a casa das centenas). Por fim, na primeira linha colocou a conta de adição em números escritos com o formato atual.

Bej olhou para a primeira coluna e viu o 448 lá em cima; então olhou a tabela de números maias e pensou num jeito de representar 448 na base 20. Relembrou o algoritmo que usa para converter números de uma base para outra: “Primeiro divido 448 por 20, e daí obtenho quociente 22 e resto 8.” Depois ele pegou o resultado 22 e o dividiu mais uma vez por 20, para obter quociente 1 mais resto 2. Como 1 é menor que 20, a divisão acaba por aí. Tais contas, dispostas no método da divisão com chave, ficaram como na figura 4.

Fez um tracinho vermelho nos último quociente e nos restos, pois é com tais algarismos que deve representar 448 na base 20: o algarismo 1 é o de maior peso; o 8, o de menor peso. Com tais contas, viu que 448(10) = 128(20), e daí passou a pensar em como representá-lo com algarismos maias. Com a ajuda da figura 1, colocou no quadradinho dos 400’s da figura 3 uma bolinha, que representa 1 × 202 = 400. Em seguida, buscou o algarismo que representa 2, isto é, duas bolinhas, e as colocou no primeiro quadradinho das vintenas. Por último, precisou de mais oito unidades para formar 448; então procurou o dígito maia que representa oito e o colocou no primeiro quadrado das unidades.

Na segunda coluna, Bej fez a mesma coisa com o número decimal 392. Dividiu 392 por 20 para obter quociente 19 mais resto 12; e já viu que não podia mais dividir 19 por 20 para obter outro quociente inteiro, e por isso parou por aí. Escreveu a divisão (com o método das chaves) e destacou com vermelho o quociente e o resto da divisão, que representam 392 na base 20, pois 392(10) = 19|12(20).

Buscou na figura 1 o algarismo maia para representar 19, e daí desenhou no segundo quadradinho das vintenas três tracinhos e quatro bolinhas. Depois procurou o 12 em maia e desenhou no segundo quadrado das unidades dois tracinhos e duas bolinhas.

Quando soube os algarismos maias que deveria juntar, reuniu os elementos nos quadradinhos da primeira coluna e da segunda para obter os correspondentes na terceira coluna. Na última coluna, Bej fez como uma criança que usa o ábaco aberto para somar: organizou os elementos de cada casa para obter o resultado da forma a mais simples possível. Primeiro, olhou o terceiro quadrado na linha das unidades e viu três tracinhos e cinco bolinhas; trocou as cinco bolinhas por um tracinho e obteve quatro tracinhos. Porém, quatro tracinhos significam 20 unidades, que podia representar com uma bolinha na casa das vintenas e uma concha (o zero) na casa das unidades.

Em seguida, olhou o terceiro quadrado das vintenas e contou os três tracinhos e as seis bolinhas; trocou cinco bolinhas por um traço, para ficar com quatro traços e uma bolinha. “Ora, quatro traços na casa das vintenas significa 20 × 20, ou seja, 400”, disse Bej; então colocou uma bolinha no último quadrado dos 400’s e deixou a bolinha restante no último quadrado das vintenas. Seguiu para a linha dos 400’s e viu no terceiro quadrado apenas uma bolinha, que simplesmente transferiu para o quadrado à direita. E por fim reescreveu o resultado, dessa vez sem a delimitação dos quadrados (figura 6).

“As duas bolinhas de cima representam 800, as duas do meio, 40, e a concha é o zero; e tudo isso significa 840.” Bej achou interessante treinar diferentes bases numéricas: elas dão um breve nó no cérebro, mas, quando o estudante finalmente entende o que está acontecendo, tem a sensação de que pode ver melhor as engrenagens do sistema que vem usando inconscientemente desde que recorria aos dedinhos das mãos para contar. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 50, março de 2015, pág. 62. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Ludmila Fraccari, e a primeira versão do texto é da jornalista Mariana Osone.

3. Se quiser saber mais sobre sistemas posicionais, há duas matérias sobre isso neste bloque: uma mais fácil (Um algarismo vale muitos passos) e outra um pouco mais difícil (Lendo Andrews: Capítulo 1).

O que estudantes de pós-graduação fazem o dia todo?


Artigo de: Yakov I. Berchenko-Kogan

Quem é o autor. Quando escreveu este artigo, Yakov era estudante de pós-graduação em matemática pura no Instituto de Tecnologia do Massachusetts (MIT), nos Estados Unidos.


O que você mais fará num curso de pós-graduação é ler livros e artigos científicos, tentando entender o que está acontecendo. A dificuldade é que ler matemática não é a mesma coisa que ler um romance de mistério, e nem mesmo como ler um livro de história ou um artigo do jornal The New York Times.

Eis o principal problema: quando um autor está trabalhando nas fronteiras da matemática, as palavras para descrever os conceitos ainda não existem. Comunicar tais ideias é mais ou menos como explicar um aspirador de pó a alguém que nunca viu nenhum, com o detalhe de que o autor procura usar as palavras mais simples que puder.

O que ele pode dizer?

“É um dispositivo que suga a poeira de modo que possa andar numa casa limpinha.”

É melhor que nada, certamente, mas com isso ele não te passa o que gostaria de dizer sobre um aspirador de pó. Posso usar um aspirador de pó para limpar as estantes de livros? Posso usá-lo para limpar um gato? Posso usá-lo para limpar o jardim?

Os autores de artigos e de livros estão tentando comunicar o que eles compreenderam, e do melhor modo possível sob tais restrições; contudo, se um dia você terá de trabalhar com aspiradores de pó, precisa saber mais.

Felizmente, nós matemáticos temos uma ferramenta incrível com a qual preencher a lacuna, a saber: quando criamos ou descobrimos um conceito, também criamos símbolos e notação explícitos, mais as regras lógicas pelas quais manipulá-los. É como receber (ou entregar, se você for um autor) as especificações técnicas e os diagramas para montar um aspirador de pó parte por parte.

O lado bom disso é que, pelo menos em tese, agora pode saber com 100% de certeza o que um aspirador de pó pode ou não pode fazer. O lado ruim é que ainda não tem a menor ideia de para que as peças servem, ou por que tem de arranjá-las do jeito que as tem de arranjar, exceto pela frase cifrada: “É um dispositivo que suga a poeira de modo que possa andar numa casa limpinha.”

Coitado do gato. Beleza: agora você é um estudante de pós-graduação, e seu orientador lhe entrega um artigo importante na sua área de pesquisa: “Um Dispositivo Que de Fato Suga Poeira”. Na introdução do artigo, o autor diz que “é um dispositivo que suga a poeira de modo que possa andar numa casa limpinha”, e outras coisas assim, bem razoáveis, mas vagas. Você folheia o artigo é vê que seu grosso é feito de diagramas e descrições técnicas de um aspirador de pó. E no fim há algumas referências bibliográficas:

“Como usar o fluxo de ar para sugar pó.”

“Como usar uma bobina de fio de cobre para fazer o ventilador rodar muito rápido.”

“O que você obtém naqueles buraquinhos na parede nos quais há fios de cobre.”

Então, o que faz? Tecnicamente falando, você se senta à mesa e pensa. Contudo, não é tão simples assim. Primeiro, fica lá, olhando aquele título e pensando [;)]: “Nossa, é quase como uma insinuação sexual.” Daí lê a introdução, que lhe diz gostosamente mais ou menos sobre as coisas incluídas no artigo, mas é completamente omissa sobre detalhes importantes.

Então você parte para os diagramas técnicos e fica completamente confuso, mas vai trabalhando parte por parte. Refaz quase todos os cálculos por si mesmo, apenas para ter a certeza de que entendeu tudo. Às vezes, seus cálculos descambam em resultados amalucados; daí tem de descobrir o que compreendeu incorretamente, e relê aquela parte do manual onde estão as explicações. Às vezes, nessa releitura, percebe que entendeu alguma coisa errada porque havia um errinho no artigo.

Depois de um tempo, as peças finalmente se encaixam, e você entende o que é um aspirador de pó. Na verdade, você sabe muito mais: agora se tornou um especialista em aspiradores de pó, ou pelo menos nesse aspirador específico, e sabe bem os detalhes de como ele funciona. Você se sente orgulhoso de si mesmo, embora ainda esteja longe de seu orientador: ele compreende todo tipo de aspirador de pó, até aqueles que andam sozinhos pela casa, e além do trabalho que faz com aspiradores de pó, participa dum projeto de ar-condicionado.

Você fica supercontente porque agora pode conversar com seu orientador de igual para igual, pelo menos sobre esse aspirador de pó específico, mas vê uma nuvem negra no horizonte. Ainda precisa escrever sua tese.

Então você fica lá, tentando imaginar o que poderia fazer com um aspirador de pó. Primeiro, é mais ou menos assim:

“Cara, eu poderia limpar estantes de livros! Isso seria superútil!”

Mas vai no Google e descobre que alguém já pensou nisso há dez anos.

OK, sua próxima ideia:

“Posso usar o aspirador de pó para limpar gatos! Isso também seria superútil!”

Mas (veja só!), com um pouco de pesquisa na literatura descobre que alguém já pensou nisso também, e não obteve bons resultados. Como você é um estudante de pós-graduação confiante nos seus poderes, decide que, com as novas técnicas que por acaso descobriu, pode corrigir os problemas que os outros pesquisadores tiveram, e fazer funcionar esse lance de aspirar gatos. Trabalha vários meses nisso, mas não vai além do que os outros já foram.

Assoprando bolhas. Depois disso, depois de pensar mais e de pesquisar um pouco sobre cabos de extensão, acha que seria factível usar um aspirador para limpar o jardim. Você olha a literatura e descobre: ninguém pensou nisso ainda! Você orgulhosamente diz isso a seu orientador, mas ele faz umas contas bem rápidas num pedaço de papel, usando conceitos que você não entende direito, e diz que é bem possível que esse lance de aspirar o jardim não funcione. Diz algo na linha:

“O aspirador é pequeno demais para limpar lá fora, sem contar o fato de que já existem ferramentas mais adequadas para o jardim, as ruas, as praças.”

Essa lenga-lenga dura uns anos. Finalmente, você escreve uma tese sobre como virar um aspirador de pó de ponta-cabeça, inverter o sentido das hélices e submergir a parte de cima na água. Ele assopra bolhas!

O comitê de pós-graduação não tem certeza se isso vai ser útil um dia, mas o lance parece legal, e as ilustrações das bolhas ficam lindas, de modo que acham que um dia alguém vai achar alguma aplicação para elas. Talvez.

E, de fato, você dá sorte! Depois de uns cem anos, alguém pega sua ideia (e mais um monte de outras ideias) e desenvolve bombas de ar para aquários, uma ferramenta essencial no campo cada vez mais importante da pesquisa sobre habitat artificiais para peixinhos dourados.

Uau! Viva!


Observações:

1. Publiquei esse artigo pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 45, outubro de 2014, pág. 64. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Hoje Yakov é professor de matemática na Washington University na cidade de St. Louis.

O momento da beleza


Estudantes de matemática, incluindo matemáticos e professores, relembram as circunstâncias nas quais perceberam que matemática é bonita. Várias histórias têm um traço em comum: a beleza não surge do objeto matemático com o qual estavam trabalhando, nem na utilidade do que descobriram, mas com a sensação de finalmente entender uma ideia incomum.


{1}/ Teoremas na parede

Qual o primeiro exercício que se lembra de ter resolvido? Michael Carey acha que foi a conta 3 × 3; foi também quando percebeu a beleza da matemática. “Numa primeira olhada, a conta até parece insignificante”, escreveu Michael no website Quora, “mas existe nela algo de magnífico.” Para resolvê-la, fechou uma mão e deixou três dedos levantados para representar o primeiro 3; mas como poderia representar o segundo 3? Michael percebeu que precisaria levantar três conjuntos de três dedos. “Três dedos, três conjuntos de três dedos… Fiquei pensando nisso por um tempão. Num mesmo problema, o símbolo 3 representava duas coisas distintas, mas eram coisas com algo em comum.” Por meio desse probleminha tão simples, ele percebeu que 3 × 3 não era uma conta para decorar, mas algo bonito para admirar.

Aqueles que gostam de matemática vivem falando nisso — beleza, beleza, beleza! O que querem dizer? Enquadram teoremas na parede? Será que as ideias matemáticas resultam em objetos bonitos, como gráficos ou superfícies, tão bonitos que até servem de enfeite? A beleza está na economia da prova? Na elegância com que o matemático arranja a sequência de ideias? Quando Michael e outros estudantes contam sua história, parece que atribuem um significado específico para a palavra “beleza”: é uma espécie de satisfação que surge na pessoa quando percebe que inventou uma coisa feita exclusivamente de ideias.

Tertuliano Franco, matemático na Universidade Federal da Bahia, lembra quando produziu uma prova no 1º ano do ensino médio. O professor deu uma tabela de campeonato de futebol com resultados incompletos, e pediu à classe que descobrisse quem tinha sido o campeão, e que provasse a resposta com argumentos lógicos. “Acertei, tirei a nota máxima e me bateu aquela epifania: Que legal! Não é só uma coisa de fazer contas, uma coisa chata.” A partir de então, participou de olimpíadas de matemática, deu aulas particulares, e entrou no curso de engenharia civil. No meio da faculdade, mudou para física; depois de formado, entrou no mestrado em matemática no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (no Rio de Janeiro). “Jamais consegui contar àquele professor que foi o responsável pelo meu encanto. Antes já gostava de matemática, mas a paixão surgiu naquela prova.”

Às vezes, a pessoa não consegue se lembrar de momentos assim, tão específicos. Resolveu um exercício aqui, ouviu um teorema ali e quando percebeu já sabia bastante matemática e via beleza em tudo quanto é teoria. Foi o que aconteceu com Carlos Frederico Palmeira, Patrícia Furtado, e Wilson Reis — só na faculdade se deram conta de que a matemática é bonita. Carlos, professor no departamento de matemática na PUC-RJ, percebeu enquanto estudava engenharia civil na França, cujo curso inclui muitas matérias da matemática. “Foi inevitável: tomei um gosto ainda maior principalmente por álgebra abstrata e teoria dos grupos. Voltei para o Brasil decidido a estudar matemática.”

Patrícia, autora de livros didáticos, queria ser médica, mas prestou matemática na PUC-SP como segunda opção. Ao entrar no curso, fez iniciação científica e participou de grupos de estudo, mas se encantou de verdade ao longo das aulas de álgebra. “Tinha duas professoras fantásticas, a Lídia Rossana Ziccardi Vieira e a Maria Cecília Costa e Silva Carvalho. Davam aulas de teoria dos números, fundamentos da matemática elementar, álgebra linear, topologia geral.” Ela reconhece: a beleza não surgiu sozinha da álgebra, pois as duas professoras se dedicavam bastante ao preparar as aulas, cobrar dedicação na medida certa e incentivar os alunos.

Visão global. Wilson já foi professor da PUC-RJ e hoje trabalha no mercado financeiro. Sempre gostou de matemática, em parte porque sua mãe é matemática, mas só nas aulas de cálculo e álgebra na engenharia descobriu em que queria trabalhar. “Eu me encantava mais com os conceitos que com a aplicação. Preferia as aulas de cálculo e álgebra às de circuitos.” Wilson é curioso desde pequeno: gostava de abrir o brinquedo, desmontá-lo todinho para ver como funcionava, remontá-lo. Era perguntador; fuçava até conseguir respostas.

É difícil olhar para algo desconhecido, algo que à primeira vista não faz sentido, e achá-lo bonito. Muitas pessoas, quando veem a pergunta “Qual foi o pedacinho de matemática que o fez perceber que a matemática é bonita?”, respondem com uma daquelas brincadeiras sérias: “Ainda estou esperando esse pedacinho.” Patrícia não gosta muito de pensar no modo como talvez apresentem a matemática às crianças. “Geralmente, a apresentam toda fragmentada.” Quantos adolescentes estudam umas poucas operações básicas com matrizes, no ensino médio, sem ter ideia de como usá-las para resolver sistemas de equações lineares, e sem ter ideia de como tais sistemas surgem, tanto na matemática quanto na prática. Quem prossegue nos estudos, um dia aprende a construir pontes entre uma área e outra da matemática, e que sensação boa ver uma ponte pronta para usar! Não é à toa que matemáticos adoram a teoria de Galois: é uma ponte entre duas áreas que antes pareciam tão distantes quanto o nariz e o dedão do pé. (A teoria de Galois é muito usada na álgebra abstrata, na qual as variáveis não necessariamente representam números, mas podem representar objetos matemáticos mais complexos — por exemplo, teorias matemática inteiras.)

Um sujeito chamado Neeraj Pradhan dá um exemplo de como a teoria de Galois é incrível:

Um polinômio tem soluções por radicais se e somente se o grupo de Galois associado ao polinômio também tem solução.

Ao enunciar o teorema de Evariste Galois (1811-1832), Neeraj chama de solúvel uma propriedade especial de alguns objetos matemáticos. “O teorema é magnífico por duas razões: primeiro porque conecta duas áreas da álgebra, a teoria dos corpos e a teoria dos grupos; segundo, porque afirma que um resultado muito fundamental sobre corpos depende das propriedades dos grupos.” Para o matemático é muito melhor estudar grupos, que são objetos mais simples e familiares, e depois usar as descobertas no estudo de um corpo correspondente.

Quando escreve livros didáticos, Patrícia pensa em como explicar a teoria; se necessário, substitui os símbolos matemáticos por português cotidiano, mostra vários jeitos de aplicar um conceito, e resolve alguns exercícios de várias maneiras distintas. “Com essas resoluções e estratégias distintas, mostro ao estudante que não há um caminho único.” Michael Wilk se deu conta de que a matemática é bonita quando estudava a fórmula para a soma dos inteiros positivos de 1 a n: [n(n + 1)]/2. A professora ajudou a turma a elaborar uma prova por indução, e depois Michael bolou com geometria um jeito de visualizar a fórmula e a prova. Desenhou quadradinhos que representavam a soma de 1 a n e usou de exemplo n = 4 (figura 1).

Fig. 1

Em seguida, desenhou uma réplica da mesma figura encaixada sobre a original, como na figura 2. Nela viu que num lado do desenho tinha n + 1 quadradinhos, enquanto o outro lado tinha n quadradinhos. Conclusão? Como a figura 2 contém o dobro do número de quadradinhos, e como esse dobro equivale à área da figura, basta calcular a área da figura e dividi-la por 2 para achar o número de quadradinhos que representa a soma.

Fig. 2

Quando descobriu que podia demonstrar a fórmula de um jeito diferente do jeito usado pela professora, Michael ficou maravilhado. Usou tanta criatividade quanto teria usado se tivesse escrito uma redação, mas, de quebra, achou figuras bacanas para descrever uma ideia matemática.

O padrão de beleza. Todo mundo fica hipnotizado com objetos que contêm padrão. Músicas com repetições ritmadas, figuras com encaixes minuciosos, movimentos regulares. O sujeito procura padrões o tempo todo, tanto que os vê onde não existem — por exemplo, nos resultados da Mega-Sena ou no fato conhecidíssimo e irrefutável de que sempre chove quando esquece o guarda-chuva. Fica até orgulhoso de sua astúcia. Contudo, se soubesse um pouco de probabilidade ou anotasse os dados e os examinasse com matemática, veria que notou meras coincidências. “A matemática é recompensadora”, diz Wilson. “Ela nos permite inferir e observar resultados, aproveitar vantagens no cotidiano e tomar decisões mais elaboradas.” O matemático sente o mesmo prazer do leigo quando nota uma coincidência, mas o prazer do matemático vem de uma descoberta genuína.

Crianças também adoram padrões, e eles rendem muitas brincadeiras. Susan Pal conta que, aos 6 anos, quando estudava a tabuada, adorava os padrões que surgiam na tabela de multiplicação. “Gostava, por exemplo, de olhar os resultados na tabuada do 2: o número na casa da unidade é sempre zero ou par. Aliás, as unidades são sempre 0, 2, 4, 6, ou 8.” Viu que o número 2 tem o poder de transformar qualquer número num número par sempre. Ao ouvir essa palavra, “sempre”, a criança logo fica inquieta de curiosidade.

Susan também gostava do padrão na tabuada do 5. Na coluna dos produtos, notou que os dígitos na casa da unidade se alternavam entre 0 e 5, e que, de 5 × 2 em diante, o número na casa das dezenas cresce uma unidade a cada duas linhas. “Mas senti mesmo que a matemática era linda quando aprendi a tabuada do 9”, escreveu Susan. “Ela está cheia de padrões com os quais uma criança de 6 anos pode se divertir.”

Coluna 1

Coluna 2

Produto

1ª linha

9 ×

1 =

9

2ª linha

9 ×

2 =

18

3ª linha

9 ×

3 =

27

4ª linha

9 ×

4 =

36

5ª linha

9 ×

5 =

45

6ª linha

9 ×

6 =

54

7ª linha

9 ×

7 =

63

8ª linha

9 ×

8 =

72

9ª linha

9 ×

9 =

81

10ª linha

9 ×

10 =

90

Susan listou várias características interessantes:

1. A unidade de cada produto cai a cada linha como numa contagem regressiva (de cima para baixo): 9, 8, 7, 6, …

2. A partir da segunda linha, o dígito na dezena cresce uma unidade a cada linha. Se Susan reescreve o primeiro produto como 09, pode generalizar essa característica, isto é, pode ver na casa das dezenas uma contagem progressiva: 0, 1, 2, 3, ….

3. A soma dos dois algarismos de cada produto é igual a 9. (Mais tarde, o estudante usa essa característica para encontrar os múltiplos de 9, e também para explicar por que o algarismo das unidades decresce por uma unidade enquanto o algarismo nas dezenas cresce por uma unidade.)

4. Para encontrar o produto da primeira linha, troca de lugar os dígitos da unidade e da dezena no produto da última linha, ou seja, troca 90 por 09; e vice-versa. Pode fazer isso com os produtos da segunda e da penúltima linha, 18 e 81, da terceira e da antepenúltima, 27 e 72, e assim por diante até a quinta e a sexta linha.

5. Para encontrar a unidade de cada produto, subtrai de 10 o algarismo na coluna 2. Na sétima linha, por exemplo, a unidade do produto é igual a 10 – 7 (algarismo na coluna 2), isto é, 3.

6. Para achar o algarismo na dezena de cada produto, Susan subtrai 1 do número na coluna 2. Por exemplo, na segunda linha: 2 – 1 = 1, e o produto é 18; na quarta linha: 4 – 1 = 3, e o produto é 36.

Mais tarde Susan aprendeu a escrever o item 4 em linguagem matemática: Para obter o produto na n-ésima linha (onde n tal que 1 ≤ n ≤ 10), troque o dígito da unidade com o da dezena no produto na linha (11 – n). “Quando era pequena, ao reparar no item 2 da lista, percebi que se mudasse um pouquinho a notação poderia tornar o padrão mais geral e bonito, além de entender melhor o que está acontecendo.” Ao usar 09 em vez de apenas 9, também generaliza os itens 4 e 6 da lista para todas as dez linhas da tabuada: ao subtrair 1 do número na coluna 2, que é 1, tem o dígito na dezena do produto: 0. “Quando conheci a tabuada do 9, esses padrões me encheram duma sensação de alegria e curiosidade”, escreveu Susan. “Mas depois eu conheci o objeto matemático mais bonito de todos: a fórmula de Euler. Percebi que ela nos permite estabelecer relações profundas entre a função exponencial e as funções trigonométricas.”

Ela mostra a fórmula para qualquer número real x: eix = cosx + isenx. Então faz x = π, obtém cosπ = –1 e senπ = 0 e reescreve a fórmula chegando à identidade de Euler: eiπ + 1 = 0. Muitos matemáticos consideram essa identidade a mais impressionante de todas, pois une cinco constantes fundamentais: 0, a identidade aditiva; 1, a identidade multiplicativa; π, a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro; e, o limite de (1 + 1/n)n quando n tende ao infinito; e i, a unidade imaginária. “A identidade de Euler me faz imaginar por que a base do logaritmo natural (encontrada nos estudos de limites), a constante π (encontrada nos estudos da geometria euclidiana), as identidades aditiva e multiplicativa, e o número i (que inventamos para representar a raiz de x2 + 1) se relacionam de forma tão bela numa única identidade. Isso me faz pensar nos mistérios e na beleza do universo em que vivemos.” Um bom explorador estuda tantas ideias matemáticas quantas puder, pois assim pode atacar problemas de todo tipo e criar ideias mais sofisticadas. Seja ao examinar corpos e grupos algébricos quaisquer, seja ao estudar o significado de 3 × 3, ele aproveita ainda uma sensação diferente de beleza: a de usar objetos abstratos, da mais inefável perfeição, para descrever a beleza de um universo para lá de concreto. Como esperar que alguém perceba toda essa beleza estudando apenas fragmentos desconexos de matemática? Seria a mesma coisa que esperar que alguém apreciasse a beleza do planeta Terra olhando tão somente para os próprios pés. {}



{2}/ Um problema de contagem quase sem contagem

Quando Tertuliano Franco, matemático na Universidade Federal da Bahia, se deu conta de que a matemática era bonita, fazia um exercício de combinatória e ficou maravilhado ao ter de provar sua resposta com argumentos lógicos. Num problema parecido, o estudante analisa a tabela do campeonato acreano. Os cinco times da capital Rio Branco jogam apenas uma vez com cada adversário, nos quais o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada; em caso de empate, cada um dos times ganha 1 ponto. A partir das poucas informações na tabela e sabendo que todos os times terminam o campeonato com pontuação distinta uns dos outros, o estudante descobre tudo quanto é possível sobre as disputas.

Classificação

Nº de jogos

Pontos

Vitórias

Empates

Derrotas

1º Rio Branco

4

0

2º Atlético AC

4

0

3º Galvez

4

4º Juventus

4

5º Andirá

4

Total

5

Ele pensa quantos jogos o campeonato teve e faz algumas contas: “O Rio Branco joga uma vez com cada um dos outros times, isto é, joga 4 jogos. O Atlético AC também, mas já contei o jogo contra o Rio Branco; então são mais 3 jogos somados aos 4 anteriores. O Galvez joga 4 jogos, mas já contei o jogo contra o Rio Branco e o Atlético, então são mais 2 jogos.” Logo, nota o padrão: para o time 1 conta n partidas, para o time 2, adiciona n – 1 partidas, para o time 3, n – 3 partidas, e assim por diante. Então escreve um somatório e generaliza o que descobriu:

Troca o n por 4 e calcula um total de 10 jogos. Feito isso, examina as informações na tabela e escreve um roteiro do que pensou:

Rio Branco × Atlético AC: Se o Rio Branco não empatou nenhum jogo, ele venceu ou perdeu do Atlético AC. Porém, o Atlético AC não sofreu nenhuma derrota. Portanto, o Rio Branco perdeu essa partida.

O Rio Branco fez no máximo 9 pontos e o Atlético fez no mínimo 3. Se o Rio Branco perdeu mais de 1 jogo, fez no máximo 6 pontos, pois não empatou nenhum. Se o Atlético venceu mais de 1 jogo, tem mais de 6 pontos, pois não perdeu nenhum. Porém, o Rio Branco é o campeão, portanto ganhou 3 jogos e tem 9 pontos.

Se o Atlético empatou 2 jogos, o restante dos jogos entre Galvez, Juventus, e Andirá foram empates. Os dois times que empataram com o Atlético acumulam 1 ponto mais 2 pontos dos empates restantes. Porém, nenhum time tem mesmo número de pontos. Portanto, o Atlético empatou 3 jogos e acumulou 6 pontos.

Restaram 3 jogos dos quais 2 são empate; então os três últimos times da tabela têm três opções de pontuação, contando com 1 ponto do empate contra o Atlético: 1 + 1 + 0 = 2, 1 +  1 + 1 = 3 ou 1 + 1 + 3 = 5. O Galvez ficou em 3º lugar, portanto venceu 1 jogo e fez 2 empates, acumulando 5 pontos. O Juventus, em 4º lugar, empatou 3 jogos, acumulando 3 pontos. O Andirá, em último, perdeu 1 jogo e empatou 2, acumulando 2 pontos.

Após conferir linha por linha para ver se há contradição, o estudante preenche a tabela com todas as informações que descobriu.

Classificação

Nº de jogos

Pontos

Vitórias

Empates

Derrotas

1º Rio Branco

4

9

3

0

1

2º Atlético AC

4

6

1

3

0

3º Galvez

4

5

1

2

1

4º Juventus

4

3

0

3

1

5º Andirá

4

2

0

2

2

Nas listas de exercício, o estudante resolve problemas desse tipo com análise combinatória. Usa fórmulas para descobrir o número de permutações, arranjos ou combinações de times. Em outras circunstâncias, descobre a resposta na força bruta, isto é, enumerando cada possibilidade de combinar os elementos. Mas só faz matemática numa circunstância: quando consegue explicar corretamente o modo como raciocinou, de modo que seu interlocutor não tenha escolha senão aceitar o raciocínio como válido. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 37, fevereiro de 2014, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Carlos Frederico Palmeira, Patrícia Furtado, Tertuliano Franco, e Wilson Reis foram entrevistados pelo jornalista Francisco Bicudo. As outras histórias são de pessoas que responderam no website Quora à pergunta: “Qual o primeiro pedacinho de matemática pelo qual se deu conta de que a matemática é bonita?”

3. O problema na seção 2 foi inspirado numa questão de combinatória da Obmep de 2012.