Os mesopotâmicos sabiam mais do que imaginávamos

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{0}/ Sobre esta entrevista

Carlos Henrique Barbosa Gonçalves, professor de história da ciência na USP, diz que hoje os especialistas interpretam de modo diferente os tabletes cuneiformes com conteúdo matemático, e por conta disso a matemática da antiga Mesopotâmia se revelou bem mais sofisticada do que antes pensavam.

Observação 1: publiquei esta entrevista pela primeira vez na revista “Cálculo: Matemática para Todos”, edição 28 (abril de 2013), página 16. A versão que vai ler a seguir foi revisada e corrigida.

Observação 2: Este é o último texto de 2015, pois saio de férias por duas semanas. Desejo a você um feliz Natal, um réveillon divertido, e um ótimo 2016!

Somos seres modernos olhando para o passado, e portanto é claro que, se quisermos, podemos propor a nós mesmos questões que não fariam nenhum sentido para o escriba de 4.000 anos atrás; mas, ao mesmo tempo, acho importante que tenhamos boa ideia de como ele de fato pensava.

Carlos Gonçalves

 

O tablete BM 13.901 visto de frente e de lado, além de sua cópia autógrafa: na resolução do primeiro problema, que hoje classificaríamos como uma equação de segundo grau, o escriba revela um toque de virtuosismo.


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{1}/ Introdução: tabletes de 4.000 anos

Em março [de 2013], Carlos voltou ao Brasil depois de ter passado dois meses em Paris (França), reunido com outros 80 pesquisadores do mundo inteiro, todos especializados em história da ciência e da matemática. “É um projeto ligado a um laboratório chamado Sphere”, diz Carlos. “Seu objetivo atual é pegar a história da ciência e da matemática na China, na Índia, e na Mesopotâmia para apontar diferenças locais e regionais.” Até agora, os cientistas tinham uma visão mais uniforme da matemática praticada nessas regiões; listavam as características da matemática na Mesopotâmia, por exemplo, como se os antigos a praticassem da mesma forma por toda a região. “Chegou a hora de distinguir com maior clareza as diferenças de local para local, de região para região”, diz Carlos. “Com uma bolsa da prefeitura de Paris, eu e mais dezenas de outros pesquisadores passamos dois meses juntos, discutindo história da ciência e da matemática. Éramos brasileiros, franceses, americanos, italianos, chineses, suíços. Voltei com respostas diferentes para questões antigas e com problemas novos para resolver.”

Carlos está estudando os poucos tabletes achados por arqueólogos na região do rio Diyala, um dos afluentes do rio Tigre. São uns 20 tabletes, 30 no máximo. (Por problemas na catalogação deles, ninguém sabe ao certo o número de tabletes da região do Diyala espalhados por aí; ao todo, os museus guardam uns 500.000 tabletes cuneiformes.) São todos do período paleobabilônico, que vai de ≅2.000 a.C. a ≅1.600 a.C., no qual Carlos se especializou. “Estudar a matemática da antiga Mesopotâmia é muito diferente de estudar a matemática entre os antigos gregos. O mais antigo manuscrito d’Os Elementos, por exemplo, é do século 9 da nossa era; foi escrito, portanto, uns 1.200 anos depois de Euclides. Quando estudamos a matemática grega antiga, temos de considerar toda essa mediação entre os gregos antigos e nós. No caso da matemática mesopotâmica, ao contrário, trabalhamos com fontes de primeira mão. Acho incrível estudar tabletes de 4.000 anos de idade, e fico abismado ao pensar que tabletes com o sistema de escrita mais antigo do mundo, o cuneiforme, também contêm a matemática mais antiga do mundo. Para mim, isso tudo é fascinante.”


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{2}/ A entrevista em si

Que mito você tem de desfazer sempre?

Em geral, em primeiro lugar as pessoas pensam que era uma matemática muito simplória ou desinteressante. Essa ideia é comum não só entre leigos, mas também entre estudantes de matemática. Conforme a pessoa conhece mais detalhes, contudo, ela se surpreende com as soluções engenhosas que os mesopotâmicos encontraram para problemas complicados. Alguns textos mesopotâmicos nos dão bastante trabalho; para entender o que se passa no texto, nos esforçamos por um tempão, e, quando vamos ver, o esforço valeu a pena, pois muitas ideias e soluções daquela época têm um toque de virtuosismo.

O jeito como nós especialistas olhamos a matemática da Mesopotâmia antiga mudou bastante ao longo do século 20. Nos primeiros anos da década de 1930, por exemplo, o primeiro problema matemático contido no tablete BM 13.901, que está no Museu Britânico em Londres, foi interpretado por Otto Eduard Neugebauer [1899-1990] como significando uma equação de segundo grau [puxa um pedaço de papel e escreve a fórmula, na qual o número 45 está na base sexagesimal, isto é, significa ‘três quartos de unidade’, pois significa algo como ’45 minutos entre 60 minutos’]:

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O livro do Neugebauer foi a primeira grande publicação sobre textos cuneiformes, mas, a começar no fim da década de 1980, mudamos muito o nosso ponto de vista sobre o que é a história da matemática. O historiador dinamarquês Jens Høyrup interpretou esse mesmo problema de um jeito diferente — e revelou um raciocínio geométrico sofisticado, que é provavelmente mais próximo do modo como o escriba pensava. Em resumo, a interpretação desse tablete à moda de historiadores como Neugebauer serviu à humanidade por muitos anos, mas por fim se revelou inadequada, porque escondia muito do que estava acontecendo enquanto o escriba pensava. [Para examinar uma versão simplificada da interpretação atual, veja a seção 3 mais abaixo.] Hoje sabemos que a interpretação de Høyrup é mais adequada porque combina mais com as palavras grafadas pelo escriba naquele trecho do tablete BM 13.901.

É claro que somos seres modernos olhando para o passado, e portanto é claro que, se quisermos, podemos propor a nós mesmos questões que não fariam nenhum sentido para o escriba de 4.000 anos atrás; mas, ao mesmo tempo, acho importante que tenhamos boa ideia de como ele de fato pensava.

Você manuseia tabletes antigos?

Na maioria das vezes, trabalhamos com as transcrições dos tabletes, e não com os tabletes em si. Contudo, com verba da Fapesp, estou trabalhando na edição de três tabletes inéditos, pertencentes ao Museu do Louvre. Estou ajudando uma equipe de especialistas liderados por uma colega francesa, Christine Proust, e por causa disso conheço bem o processo de edição.

O primeiro passo é ir ao museu e fotografar o tablete de vários ângulos. A superfície de um tablete raramente é plana; ao contrário, em geral é curvada e cheia de imperfeições, e por isso a máquina fotográfica não capta os detalhes direito. Então, logo depois das fotos, fazemos uma cópia autógrafa do texto cuneiforme, que é uma cópia do tablete feita à mão. O texto à mão tem de ficar tão idêntico ao texto do tablete quanto possível. Daí identificamos cada um dos sinais no texto cuneiforme, pois cada sinal tem um nome. Conforme o contexto, um sinal tanto pode significar uma palavra como pode significar um som. Feito tudo isso, por fim compomos um texto na língua original em que foi escrito, e providenciamos uma tradução. A partir desse ponto, o museu já pode publicar o conteúdo do tablete. [Isto é, os pesquisadores terão acesso a todo esse material: fotos, cópia autógrafa, lista de símbolos, transcrição fonética das palavras originais, tradução.]

Uma coisa interessante é que as línguas nas quais os tabletes foram escritos já estão mortas. Os textos que estudamos em geral misturam o sumério com o acadiano. O sumério foi a língua para a qual os povos da Mesopotâmia desenvolveram o sistema de escrita cuneiforme. Depois ele deixou de ser falado na região, e foi substituído pelo acadiano, que é uma língua semítica, isto é, tem parentesco com o hebraico e o árabe modernos. Mesmo depois que o sumério desapareceu, muitas palavras sumérias continuaram a ser usadas nos tabletes cuneiformes.

Eles praticavam uma matemática de cunho mais aplicado?

Esse é um tema sutil, que devemos tratar com cuidado, porque essa distinção entre matemática pura e aplicada é muito recente. Não existe nenhum tablete com conteúdo matemático que faça uma distinção entre matemática teórica ou aplicada; aliás, não existe nenhum tablete que faça menção a alguém que viva só de matemática. Até onde sabemos, não havia matemáticos profissionais na Mesopotâmia antiga.

Agora, existem dois tipos de tabletes: num deles, há menções explícitas ao mundo empírico, e no outro não há nenhuma menção ao mundo empírico. Nos tabletes com menções ao mundo empírico, encontramos instruções para calcular o número de homens necessários para construir um muro [veja a seção 5], o volume de um silo cilíndrico com as dimensões dadas, a quantidade de grãos que um silo pode armazenar, a quantidade de tijolos que um homem pode carregar ao longo de um dia. São problemas que têm a ver com o planejamento de grandes obras. Aliás, tijolos eram um grande negócio na época, e atenção à palavra negócio: não a uso no sentido atual, pois não havia economia de mercado na Mesopotâmia, e nem sabemos se eles distinguiam bem as iniciativas do Estado das iniciativas privadas. Mas há tabletes matemáticos que mencionam quanto tempo um homem leva para escavar a quantidade de terra necessária para fabricar certo número de tijolos, quanto tempo um homem leva para misturar a terra com água e com palha, quanto tempo fica moldando os tijolos, etc. Havia também tabletes administrativos, com o relato de compra e venda de materiais (em geral para controlar as despesas de templos e palácios), ou com o cálculo de áreas e terrenos (usado na administração agrária e no cálculo de impostos).

Um escriba era treinado numa “eduba”, que é uma palavra suméria cujo significado é “casa de tabletes”. Não sabemos que tipo de pessoa tinha o direito de virar escriba — se qualquer um, ou se um grupo especial da sociedade. O que sabemos é que, numa eduba, o jovem estudava matemática, sumério (mesmo depois que desapareceu), um pouco de literatura suméria, e música. Estudava sistemas de medida, ou metrologia, tabelas aritméticas para o cálculo de multiplicações, tabelas para o cálculo de recíprocos [eles dividiam um número pelo outro ao multiplicar um pelo recíproco do outro], tabelas para o cálculo de raízes quadradas e cúbicas. E depois passavam a usar tais tabelas para resolver problemas. Isso compunha o currículo básico; temos pouquíssima informação sobre estudos mais avançados. Um escriba podia ser também médico, adivinho, contabilista, músico, etc.

Temos a impressão de que eles dominavam métodos mais gerais de resolução de problemas, embora ainda não tenhamos achado nenhum tablete com tais métodos explicitados. Mas os tabletes contêm tantos exemplos específicos, e alguns deles resolvidos com tanto virtuosismo, que podemos partir do pressuposto de que existia um método mais geral, isto é, algum tipo de teoria. Em outras palavras, tenho a impressão de que, numa eduba, o jovem aprendia métodos mais gerais a partir de exemplos específicos.

Trabalha com alguma hipótese nova?

Entendi que na região do rio Diyala, a região que estudo, eles pensavam em número de um jeito diferente do jeito como pensavam mais ao sul. No sul da Mesopotâmia há uma distinção bastante forte entre número abstrato (digamos assim por falta de expressão melhor), que era um número grafado na notação posicional sexagesimal, descompanhado de unidade de medida, e o número concreto ou número de medir, que era um número grafado num sistema diferente [não o posicional sexagesimal], sempre acompanhado de unidade de medida. Em geral, no sul os números abstratos eram usados para fazer multiplicações e divisões (por meio do cálculo de recíprocos). Na região do Diyala, contudo, que fica mais ao norte, muitas vezes os números de medir eram usados para realizar operações que, no sul, seriam realizadas com números abstratos; além disso, em Diyala muitas vezes os números abstratos eram grafados junto com unidades de medidas. Ainda não sei o porquê dessas diferenças, mas graças a essa viagem já identifiquei o fenômeno.

Como outros cientistas usam o que você produz?

Vou citar o exemplo de um de meus alunos de mestrado, o Cleber Possani Júnior, que é matemático e psicólogo. Ele está estudando como os povos da antiga Babilônia usavam as palavras e as locuções como ferramentas cognitivas, isto é, como ferramentas de auxílio nos processos de pensamento a respeito de coisas matemáticas. Outro exemplo é o pessoal de arqueologia, mais ligado à história da arquitetura, que usa os tabletes para saber, por exemplo, como os tijolos eram padronizados. As construções eram muito dependentes do processo de fabricação de tijolos, e se o pesquisador quer saber por que elas eram do jeito que eram, precisa entender de que modo os mesopotâmicos fabricavam tijolos. Aliás, hoje sabemos que um côvado media mais ou menos 46 centímetros porque podemos comparar as instruções para construir muros, por exemplo, com os muros construídos de fato. Enfim, o Cleber e os arqueólogos são dois exemplos de cientistas que usam como matéria-prima os resultados que cientistas como eu produzimos.

Até que ponto alguém pode saber como os sumérios falavam?

Nós comparamos o acadiano com o hebraico e o árabe, e recuperamos alguma coisa. Além disso, há textos bilíngues, com acadiano e grego antigos lado a lado, e dá para recuperar alguma coisa desses textos. Com o que sabemos de acadiano, reconstituímos um pouco do sumério, pois também há textos bilíngues com sumério e acadiano lado a lado.

Mas o sumério era uma língua sem nenhum parentesco com as línguas da região; é mais ou menos como o basco hoje. Era uma língua isolada. Isso dificulta muito sua reconstituição fonética. Eu acho até que, se um sumério nos ouvisse falando sumério, provavelmente não entenderia nada! [risos] Mesmo assim [pega os desenhos que ilustram as seções 3 e 5], o objetivo do historiador atual é reconstruir o pensamento do escriba de tal forma que, se fosse possível trazê-lo para avaliar a interpretação atual [aponta os desenhos], ele reconhecesse um pouco do que está aqui — embora a gente saiba que esse objetivo é impossível; a gente sabe que no fundo ele não se reconheceria perfeitamente nesses desenhos.

Compreende o nosso desafio? O historiador atual persegue esse objetivo, sabendo que não pode alcançá-lo.


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{3}/ Como um escriba resolve quadrados

Esse é o primeiro problema no tablete BM 13.901, que faz parte do acervo do Museu Britânico em Londres. O escriba propõe ao leitor achar o comprimento do lado de um quadrado, sabendo que esse quadrado, mais sua confrontação igual a 1, tem área igual a 45.

O que quer dizer com “confrontação” e “área igual a 45”? No pé desta seção, na figura 1 (que não está no tablete, pois o BM 13.901 não contém figuras), o leitor vê o que o escriba quis dizer (provavelmente); x significa o comprimento desconhecido do lado do quadrado. Quanto aos números 1 (o comprimento à frente de x) e 45 (a área), são números do sistema sexagesimal. “Para nós, o melhor jeito de pensar neles é pensar num relógio”, diz Carlos. “O número 1 é como se fosse 1 hora, isto é, 60 minutos. O número 45 equivale a três quartos de 1, isto é, 45 minutos.” Sendo assim, (x + 1)x é a área, que vale 45, isto é, que vale três quartos de 1 unidade. (O leitor note que, aqui, está misturando o método de raciocínio do escriba com álgebra moderna, na forma do x e da expressão (x + 1)x, e com um objeto moderno, o relógio de ponteiros. Para um escriba de 4.000 anos atrás, essa reconstituição seria bastante confusa.)

Depois disso, de acordo com o texto do tablete, o escriba divide o retângulo de lado 1 ao meio, e produz (mentalmente) o equivalente à figura 2. Como o retângulo marcado com A também tem lados iguais a x, o escriba move esse retângulo para deixá-lo bem debaixo do quadrado C, e fica com o que está na figura 3. Logo em seguida, marca os comprimentos que conhece: os retângulos A e B têm dois lados de comprimento igual a 30 (= metade de 1 hora). Então complementa a figura em L com mais um retângulo, marcado com D na figura 4, e está pronto para refletir sobre a área desse quadrilátero.

Fica claro que D é um quadrado de lados iguais a 30. Qual é sua área? Um escriba primeiro usaria uma tabela especial para achar o recíproco equivalente 30, e daí outra tabela para multiplicar 30 pelo seu recíproco; no fim das contas, seria como se multiplicasse meia hora por meia hora. Meio vezes meio é um quarto. Acharia assim a área do quadrado D, que vale 15, como se fosse 15 minutos.

O escriba já conhecia a área dos retângulos A, B, e C, que vale 45; 45 mais 15 é igual a 60, ou seja, é igual a 1, como se fosse 1 hora. “O escriba chegou a um quadrado grande com área igual a 1”, diz Carlos, “o que significa que seus lados são iguais a 1.” É o que mostra a figura 5. O escriba já sabe que o comprimento desconhecido x, mais 30, é igual a 1. Logo, o comprimento desconhecido vale 30, como se fosse 30 minutos, ou metade de 1 hora. “Note que o escriba recorre a um raciocínio totalmente geométrico”, diz Carlos. “Hoje achamos que esse é o melhor jeito de interpretar o primeiro problema do BM 13.901, pois combina mais com o vocabulário mesopotâmico grafado no tablete.”

Figura 1

Figura 1

 

Figura 2

Figura 2

 

Figura 3

Figura 3

 

Figura 4

Figura 4

 

Figura 5

Figura 5

 


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{4}/ O texto do BM 13.901

Em tradução bem livre, o texto do primeiro problema no tablete BM 13.901 é: “A superfície e minha confrontação eu tenho acumulado: 45 ela é. 1, a confrontação, você coloca. A metade de 1 você quebra. 30 e 30 você segura juntos. 15 a 45 você anexa: por 1, 1 é o lado igual. 30 que você segurou na parte de dentro de 1 você quebra: 30 é a confrontação.”

E ainda há quem reclame dos livros didáticos atuais.


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{5}/ Quantos homens para construir um muro?

Este problema está no tablete IM 54.011, e levou muitos anos para ser decifrado, em parte porque o tablete não foi achado em boas condições, em parte porque o escriba não se ateve às unidades de medida usuais na época e na região. (Novato? Mal treinado? Inovador? Forasteiro?) “Sugiro a estratégia de usar um separador da parte inteira e da fracionária”, diz Carlos, “que não existia na Mesopotâmia antiga. Eles controlavam a grandeza recorrendo a uma tabela, isto é, viam como o número havia sido grafado, olhavam uma tabela e obtinham o jeito de interpretar o número grafado.” Carlos costuma usar ponto e vírgula (;) para separar a parte inteira e vírgula (,) para separar os números da parte fracionária: 0; 2, 30 significa, por exemplo, nenhuma hora, 2 minutos, 30 segundos. (Os mesopotâmicos usavam números na base sexagesimal, mas não falavam de hora, minutos e segundos; usavam outras palavras.)

O problema pergunta quantos homens são necessários para construir um muro com as dimensões que o leitor pode ver na figura 6 a seguir. É um muro cuja base é maior que o topo, e cujo corte transversal é um trapézio isósceles. Como um todo, o muro é um sólido trapezoidal com 2 côvados de largura na base, 1/2 côvado de largura no topo, 1 nikkasum (3 côvados) de altura e 1 corda de comprimento (10 ninda; como cada ninda mede 12 côvados, são 120 côvados de comprimento). Em medidas atuais, o muro teria 91,44 cm de largura na base, 22,9 cm de largura no topo, 137,2 cm de altura, e 5.486 cm de comprimento.

Figura 6

Figura 6

Lembrete: 1 côvado ≈ 45,72 centímetros

Carlos pergunta: “Segundo o tablete, como um escriba deveria fazer essa conta?” Como primeiro passo, o escriba calculou a área da seção transversal do muro, e para isso padronizou os números e as unidades de medida. Primeiro, pegou 2 côvados. “Um côvado é um doze avos de ninda”, diz Carlos. “No relógio de ponteiros, isso dá 5 minutos.” Por isso o escriba escreveu:

0; 5

Se 1 côvado é 0; 5 ninda, os 2 côvados da base se transformam em:

0; 10

Como em “10 minutos”, isto é, dois doze avos da base, que é 60. Carlos explica: “Como ele transforma esse 2 nesse 10? Ele consulta uma tabela metrológica. Consulta 2, vê 10, e grava 10 no tablete, mas é nisso tudo em que está pensando.” Já ½ côvado tem de ser a metade de 0; 5 ninda. A metade de 5 minutos é 2 minutos e 30 segundos, e por isso o escriba marcou a largura do topo do muro:

0; 2, 30

Então ele acumulou (somou) e multiplicou pelo recíproco (dividiu pela metade). É o primeiro passo para calcular a área de um trapézio. “Dez minutos mais dois minutos e meio dá doze minutos e meio”, diz Carlos, “e a metade disso é seis minutos e um quarto de minuto.” Logo:

0; 6, 15

Depois disso, ele precisa levantar. “Levantar é um dos tipos de multiplicação que os escribas usavam. Não sabemos o porquê da palavra ‘levantar’; talvez tivesse algo a ver com um mecanismo de cálculo, tipo um ábaco.” O escriba levantou 0; 6, 15 a 1 nikkasum, isto é, a 3 côvados, e por isso ele simplesmente multiplicou 0; 6, 15 por 3, e chegou a:

0; 18, 45

Essa é a área da seção transversal do muro, neste caso em ninda. “Existem tabelas para fazer esse tipo de conta, mas acredito que um escriba com prática fizesse isso de cabeça.” Como último passo, o escriba teve de levantar 0; 18, 45 a 1 corda, isto é, teve de multiplicar 0; 18, 45 por 10 ninda. Neste caso, multiplicou 18 por 10 e 450 por 10: o escriba deve ter chegado a algo como 180 minutos e 450 segundos, isto é, o equivalente a 3 horas, 7 minutos e 30 segundos. Marcou na pedra:

3; 7, 30

“O volume mesopotâmico não é uma unidade ao cubo, como fazemos hoje”, diz Carlos. “Neste caso, é côvado vezes nikkasum vezes ninda; às vezes, isso vira ninda vezes ninda vezes côvado.” Como último passo, o escriba levantou o volume do muro ao igi do coeficiente, isto é, multiplicou o volume do muro pelo recíproco do coeficiente 0; 3, 45, que ele achou numa tabela e que significa que volume de muro um homem constrói por dia; por fim, deixou registrado no tablete IM 54011 o resultado: 50 homens-dia. “Então”, diz Carlos, “ou você arranja 50 homens para construir esse muro num dia, ou reserva 50 dias para que um homem construa o muro, ou faz algo entre esses dois extremos. Veja que o conceito atual de homem-hora não é tão novo assim…”


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{6}/ O texto do IM 54011

Em tradução bem livre: “Se alguém te pergunta, dizendo como se segue: Um muro de terra. O comprimento é uma corda; a largura é 2 côvados. Ele tem meio côvado de largura no topo. A altura é [3 côvados]. Qual é seu volume e seus operários por um dia inteiro? Você, nos seus trabalhos, acumula 2 côvados, a largura, com meio côvado. Divide e verá 0; 6, 15, sua metade. Multiplique 0; 6, 15 por 3 côvados, a altura, e você verá 0; 18, 45. Multiplique 0; 18, 45 por 1 corda, e verá 3; 7, 30. Seu volume é 3; 7, 30. Volte, e 0; 3, 45 é o coeficiente de um muro de terra. Pegue o recíproco de 0; 3, 45 e multiplique por 3; 7, 30 e verá 50. Seus operários têm a força de 50.” {FIM}


Este ano, Carlos Gonçalves publicou, pela Springer, o livro Mathematical Tablets from Tell Harmal; se você gostou desta reportagem, vai gostar de explorar o livro.

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O teorema de Pitágoras não é de Pitágoras

 

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{0}/ Se a fábula faz sentido, é verdade

Associamos o nome de Pitágoras a um teorema que, a bem da verdade, não deveria ter nome. Para Serafina Cuomo, cientista italiana especializada em história da matemática, o homem contemporâneo deseja tanto saber quem fez isso primeiro ou quem fez aquilo primeiro que inventa para si uma história qualquer, e depois chega ao absurdo de acreditar piamente na história que inventou.

Observação: Publiquei esta entrevista pela primeira vez na revista “Cálculo: Matemática para Todos”, edição 22, página 14. A versão que lerá a seguir foi revisada e atualizada.

A primeira pessoa a atribuir o teorema a Pitágoras foi o historiador Diógenes Laércio, mas ele também disse que Pitágoras tinha uma perna de ouro.

Serafina Cuomo


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{1}/ Nascemos depois do século 16

Quem primeiro teve a ideia do teorema de Pitágoras? Muitos acham que foi um sujeito chamado Pitágoras, um grego que viveu há vários séculos. Menos gente acha que foi alguém da irmandade pitagórica e que, para simplificar, podemos atribuir o teorema a Pitágoras. Serafina Cuomo, historiadora italiana especializada em história da matemática entre gregos e romanos, e professora na Birkbeck Universidade de Londres, diz que jamais saberemos quem inventou o teorema de Pitágoras. Diz também que, só de fazer essa pergunta (quem foi o primeiro?), passamos recibo da época em que nascemos: depois do século 16. “Entre os antigos gregos e romanos”, diz Serafina, “havia maior modéstia, ou, na falta de palavra melhor, havia maior cavalheirismo. Para um autor daquela época, era comum não atribuir uma descoberta a si mesmo, assim como ser econômico ao reconhecer suas fontes. Euclides, por exemplo, não citou nenhuma pessoa em Os Elementos; ele não citou nem ele próprio. [“Os Elementos” foi atribuído a Euclides muito tempo depois.] Não estou certa de quando surgiu essa ideia de que a primazia sobre uma descoberta matemática é importante, mas ela se fortaleceu conforme a matemática foi se transformando numa empreitada de instituições, isto é, foi se transformando numa busca acadêmica.”

Serafina traz à tona a história do teorema de Pitágoras para fazer seu interlocutor pensar: o que sabemos sobre a história da matemática é, na verdade, uma colagem extravagante de uns poucos fatos e de muitas versões. Sendo assim, o historiador moderno tem de assumir um papel desconfortável, e com frequência antipático: não o de dizer “Não foi assim que aconteceu; eis que vou lhe dizer agora o que aconteceu”, mas sim o de dizer “Não foi assim que aconteceu; eis que não vou lhe dizer como aconteceu, porque não sei, e aliás acho que ninguém jamais saberá.”



{2}/ A entrevista em si

É possível substituir versões erradas do passado pelas certas?

Nem sempre. O teorema de Pitágoras é um exemplo: é uma versão que faz sentido para o europeu moderno [Serafina inclui entre europeus todos os povos cuja língua nativa é uma língua europeia], e por isso é quase impossível substituir a versão errada pela correta.

Sabemos que as afirmações a respeito de triângulos retângulos, incluindo o teorema de Pitágoras, eram conhecidas na Mesopotâmia e no Egito, por exemplo, muito antes de Pitágoras. Naquela época, o teorema era usado para vários propósitos. Por exemplo, para fazer afirmações místicas: visto que os números inteiros 3, 4 e 5 satisfazem o teorema [52 = 32 + 42], eram tidos como números com poderes mágicos. Várias teorias cosmológicas antigas, mais antigas que Pitágoras, usam o triângulo 3-4-5 como referência. Tais triângulos também eram muito usados nas medições de terras, pois podemos calcular mais ou menos a área de qualquer pedaço de terra, não importa que formato tenha, com a ajuda de vários triângulos retângulos. E podemos usá-los como Euclides os usou em Os Elementos, isto é, como um dos principais tijolos sobre os quais construir outras afirmações matemáticas.

Euclides não mencionou Pitágoras; aliás, não mencionou ninguém. [Euclides viveu uns 250 anos depois de Pitágoras.] Acho que nunca saberemos quem provou o teorema de Pitágoras pela primeira vez.

Por que tantos dizem que Euclides mencionou Pitágoras?

Esse é um erro comum até mesmo entre historiadores — não entre os especializados em matemática, é claro. Euclides não mencionou ninguém. Nesse sentido, Os Elementos é um livro sem graça. Mas existem muitas cópias e edições de Os Elementos, tanto antigas quanto mais recentes, que são cópias ou edições anotadas. Os autores e editores dessas edições anotadas atribuem o teorema de Pitágoras a Pitágoras, e também atribuem outros teoremas e afirmações a outras pessoas.

Se não me falha a memória, a primeira pessoa a atribuir o teorema de Pitágoras a Pitágoras foi o historiador Diógenes Laércio [século 3 depois de Cristo, mais ou menos]; ele é uma das principais fontes de informação a respeito dos filósofos pré-socráticos. Mas não é uma fonte confiável, pois, como era comum na sua época, incluiu em seus trabalhos todo tipo de informação que pôde encontrar. Além de atribuir o teorema a Pitágoras, e de dizer que Pitágoras deu uma generosa oferta aos deuses em agradecimento pela descoberta, Diógenes também disse que Pitágoras tinha uma perna de ouro, e que podia ser visto em dois lugares ao mesmo tempo! Portanto, não acho que podemos aceitar nenhuma de suas afirmações como verdadeiras, nem mesmo as mais plausíveis.

Por que você se interessou pela história da matemática?

Eu não sei, para ser franca. Fiz graduação na Itália (sou italiana), em filosofia, e depois, na pós-graduação, fui estudar a história da ciência na antiguidade, e daí me especializei em história da matemática.

Na Itália, no ensino médio, temos de escolher uma área de especialização, e eu me especializei em ciências. Estudei muita matemática, física, química, biologia. Mas minhas notas eram melhores na matemática. Acho que foi por isso: era mais fácil para mim. Com a prática da matemática, o estudante passa a ter um jeito especial de pensar, e passa a olhar para tudo à sua volta como se fosse um quebra-cabeça.

Não demorou muito, e me vi interessada não tanto na matemática em si, mas na história de como as pessoas chegaram a certos conceitos matemáticos, e na história de como as pessoas usavam tais conceitos no dia a dia. Durante minha tese de doutorado, sobre Pappus de Alexandria [Papus publicou seu principal trabalho, chamado ‘Coleção’, mais ou menos em 340 depois de Cristo], aprendi que ele dedicou um de seus livros a uma mulher — uma matemática. Isso me deixou encantada. Mais uma vez eu vi que havia pessoas por trás das ideias matemáticas.

Mas não estamos falando aqui de um romance, infelizmente! [risos] Pappus dedicou esse livro a ela porque era bastante crítico a respeito dos trabalhos de um dos pupilos dela. Foi uma dedicatória bem crítica. Mas ele a estava tratando como a um par, pois, do contrário, não se daria ao trabalho de dedicar o livro a ela.

Que outras afirmações as pessoas assumem como certas, mas que estão erradas?

Muitos historiadores parecem arrogantes porque estão sempre dizendo “não foi isso o que aconteceu” ou “não foi bem assim”. Vou dizer, contudo, o que costuma me incomodar: é sobre as descobertas.

Quem lê um texto sobre a história da ciência em geral, e sobre a história da matemática em particular, tem sempre um grande interesse em descobrir quem inventou isso primeiro ou quem pensou naquilo primeiro. Como historiadora, sei que quase sempre é impossível dar resposta a essa questão, especialmente quando tratamos da história antiga da matemática. Um exemplo: a ideia de que os gregos inventaram a ciência mais ou menos como a conhecemos hoje é bastante europeia. Na verdade, não acho que os gregos inventaram a ciência. Quem faz esse tipo de afirmação tem um interesse, e talvez nem esteja consciente desse interesse: o de estabelecer os gregos como os fundadores das civilizações europeias. Não acho que existam evidências históricas fortes o suficiente para validar uma afirmação dessas.

A verdade é que, conforme a ciência e a matemática se transformaram em empreitadas de instituições, conforme elas passaram a ser feitas segundo as regras mais estritas da academia, surgiu essa ideia de que a primazia por uma descoberta é importante, a ponto de virar motivo para disputas ferrenhas, como foi a disputa entre Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano [que, no século 16, brigaram feio por causa do método para resolver equações polinomiais de grau 3]. A ideia de que devemos reconhecer nossas fontes de informação de forma explícita é recente. Ela certamente não estava presente entre os antigos gregos e romanos.

Você acha que as narrativas históricas são ricas demais diante das poucas evidências?

[risos] Acho! Isso é verdade! Só recentemente começamos a estudar esse fenômeno: o modo como contamos a história dos nossos antepassados tem menos a ver com as evidências e mais a ver com o modo como pensamos o mundo. Antigamente, o historiador não estava consciente desse fenômeno, mas hoje está.

Meus críticos, por exemplo, dizem que eu desconfio demais das evidências. Eu nunca digo “aconteceu X, depois Y, e depois Z” sem antes apresentar ao leitor todas as evidências pelas quais acredito que X, Y, e Z resumem bem a história. E mesmo assim não acho que seja possível dizer “aconteceu assim com 100% de certeza”. Em história, a única certeza que podemos ter é que Júlio César morreu assassinado! [risos] Agora, as reais circunstâncias nas quais foi assassinado nunca saberemos. Todo relato histórico é uma representação moderna do que aconteceu, quase sempre muito influenciada por ideias políticas.

O que você estuda hoje?

Estou preocupada com a matemática do dia a dia entre gregos e romanos. Quero saber que palavras eles usavam ao realizar contas, e que instrumentos usavam, e como anotavam os resultados.

Muita gente, inclusive historiadores, me pergunta como os gregos e romanos faziam contas no papel usando uma notação tão desajeitada para os números. É importante esclarecer esse ponto: os antigos gregos e romanos não faziam contas escrevendo nada em lugar nenhum! Eles nunca escreviam os cálculos. Eles faziam contas com os dedos ou, com muita frequência, com algum tipo de ábaco. Eles faziam contas movendo pedras ou argolas daqui para ali, dali para acolá. Era um jeito muito manual de fazer matemática. Quando a conta estava pronta, se o resultado fosse importante e fosse necessário anotá-lo em algum lugar, aí eles recorriam a algum objeto com inscrições de números para saber como anotar o resultado mostrado pelo ábaco. [Para ter ideia de como esse método funcionava, veja a seção 3 mais abaixo.]

Por conta disso, tenho estudado muito arqueologia e epigrafia [o estudo das inscrições gravadas em pedra]. Estou sempre visitando os depósitos dos grandes museus, especialmente de cidades como Atenas e Roma. O público leigo não sabe disso, mas os grandes museus têm milhares de objetos correlacionados com matemática catalogados no estoque, objetos que eles não expõem porque os consideram excessivamente técnicos. Muitos desses objetos são tabelas. Meu trabalho inclui traduzir o que está inscrito nesses objetos, assim como imaginar como eram usados na época em que foram criados.

Você lê grego e latim antigos?

Leio. É uma obrigação profissional: eu não poderia fazer meu trabalho se não lesse grego e latim antigos. Contudo, a linguagem correlacionada com a matemática é mais restrita; quero dizer, uma pessoa não precisa estudar tanto para ler Os Elementos, por exemplo. [Não tanto quanto teria de estudar para ler a ‘Odisseia’ de Homero.]

Em italiano, dizemos sempre “traduttore traditore”, isto é, tradutor traidor, pois, para fazer uma tradução, o tradutor tem de fazer tantas escolhas que, no fim das contas, toda tradução contém um pouquinho de traição às intenções originais do autor. Não posso confiar nas escolhas dos outros — prefiro confiar nas minhas próprias.

Qual é o trabalho do historiador?

Cada um dos textos antigos tem uma tradição tão grande que, se o especialista se dispuser a ler tudo o que escreveram sobre aquele texto antes dele, às vezes uma vida inteira não dá. O trabalho real é, portanto, achar uma nova abordagem, um novo ângulo pelo qual olhar para esse texto antigo.

Raríssimas vezes acontece o que aconteceu com os especialistas em Arquimedes, que tiveram de rever tudo o que sabiam quando descobriram o palimpsesto de Arquimedes [palimpsesto é um papiro ou pergaminho cujo conteúdo antigo foi raspado para dar lugar a conteúdo novo; o texto de Arquimedes foi raspado para dar lugar a um texto litúrgico cristão, pois papiro era um produto caro, a ser reaproveitado sempre que possível]. Esse foi um episódio espetacular, em que os especialistas trabalharam vários anos até que traduziram todo o texto de Arquimedes contido no palimpsesto.

Na minha área, nunca aconteceu uma coisa assim. Aliás, em alguma biblioteca aqui de Londres, encontro cópias excelentes da maioria dos textos com os quais preciso trabalhar. Quando eu era mais jovem, um amigo me disse: “Você não deve fazer história no piloto automático.” O que ele queria me dizer é que, em vez de seguir a tradição dos professores mais velhos do que eu, o que me deixaria mais segura, talvez seria mais liberador se eu conseguisse me perguntar: como é que sabemos as coisas que achamos que sabemos? Essa pergunta pode levar um jovem pesquisador muito longe.

Você acha que é melhor ensinar matemática por meio da história da matemática?

Para ser franca, não tenho certeza. A verdade é que, quando vemos uma ideia matemática hoje, ela é tão diferente, mas tão diferente da forma como era vista nos tempos antigos, que não sei se podemos mostrar ao estudante como era antes e como é hoje. Fazer essa comparação entre o passado e o presente é complicado e difícil.

Um exemplo: a ideia do número π. Hoje recitamos de cor os três primeiros algarismos: 3,14. Nos tempos de Arquimedes, π era visto muito mais como um passo necessário para resolver o problema da quadratura do círculo. Agora, eu me pergunto se seria mais fácil ensinar matemática se contássemos a longa história da quadratura do círculo, que levou ao número π, que se revelou tão importante, etc. Talvez sim, talvez não.

Se a história não tornaria a matemática mais fácil de entender, pelo menos a transformaria numa empreitada humana, e quem sabe isso ajudasse um pouco. Para o estudante, ela não pareceria mais essa coisa tão abstrata e perfeita que nos parece hoje.



{3} Seja um bom romano e use o ábaco

Como um romano fazia contas, mais ou menos? (Vamos chamá-lo de Lucius.) Lucius recebe uma visita do chefe, que lhe ordena tirar o número da esquerda (o que um freguês pagou) do número da direita (o que o freguês deve):

XXVIII      LIII

Lucius tem uma tabela de apoio, escrita numa placa de pedra, que ele guarda como se fosse um tesouro. A tabela contém, de modo bastante desajeitado, instruções mais ou menos assim:

● Se você vai tirar o número XXVIII de um número maior, então tire oito pedrinhas do compartimento das unidades e duas pedrinhas do compartimento das dezenas.

● Num ábaco vazio, coloque o número maior (LIII) da seguinte forma: quatro pedrinhas no compartimento das dezenas e 13 pedrinhas no compartimento das unidades.

● Agora realize a operação: tire oito pedrinhas do compartimento das unidades e duas pedrinhas do compartimento das dezenas. Conte quantas pedrinhas sobraram.

Lucius conta quantas pedrinhas sobraram: duas pedrinhas no compartimento das dezenas e cinco no compartimento das unidades. Ele olha sua tão valiosa tabela de apoio para saber como escrever esse número do jeito que todos entendem:

XXV

Serafina Cuomo diz que os procedimentos eram bem mais complicados do que isso, e que um romano não pensava em termos decimais (ele não pensava no número 13, por exemplo, do modo como pensamos), mas que a ideia geral é essa: o romano fazia aritmética com o apoio de objetos, sendo os objetos mais importantes os dedos, o ábaco, e uma tabela de apoio. Havia vários tipos de ábaco e de tabelas. {FIM}

Um macaco chamado Shakespeare


{1}/ O teorema do macaco mecânico com duração infinita

Seja um macaco mecânico inquebrável a bater nas teclas de uma máquina de escrever inquebrável de modo completamente ao acaso. Conforme o tempo com que bate nas teclas tende ao infinito, a probabilidade de que um dia digite as obras completas de Shakespeare tende a 100%.



{2}/ Acreditando numa história abstratamente irreal

Quem tem algum treinamento em matemática em geral gosta de contar esse teorema-anedota. O estudante (vamos chamá-lo de Kw5) menciona o teorema diante de amigos leigos, porque quase sempre reagem da mesma maneira: não acreditam, não acreditam, e não acreditam, até que, depois de vários exemplos e explicações, começam a duvidar da própria dúvida. Kw5 acha engraçado vê-los começar a acreditar numa história tão abstratamente irreal, e no entanto acreditam tão piamente quanto acreditam na existência de segmentos de reta que, caso queiram, podem estender ao infinito. Um macaco poderia bater as obras completas de Shakespeare de uma sentada só?

Kw5 pegou papel e caneta e, embora já tenha contado a historieta várias vezes, pela primeira vez na vida procurou compreender o que o teorema realmente diz. Seguindo um conselho de Pólya, primeiro estudou uma versão mais simples do problema:

“O macaco vai bater ao acaso numa tecla da máquina de escrever. Qual é a probabilidade de que bata a letra quê minúscula?”

Antes de continuar, Kw5 deu uma olhada no teclado do computador, e percebeu que precisava fazer umas contas e tomar umas decisões. Um teclado comum, padrão ABNT, tem 50 teclas úteis (exlcuindo teclas de apoio, como F1 ou PgUp), com dois símbolos em 49 delas (como “y” e “Y” ou “7” e “&”) e, na barra de espaços, apenas um símbolo (o espaço em branco). Para bater “y”, o macaco deve simplesmente bater “y”; para bater “Y”, contudo, deve antes apertar a tecla “shift”, e depois apertar “Y”. Kw5 simplificou as coisas: “y” e “Y” representam ambos uma única batida, mesmo que todos saibam que, para bater “Y”, o macaco precisa apertar duas teclas. (Em outras palavras, Kw5 decidiu ignorar a tecla “shift”.) Feita a ressalva, continuou: qual a probabilidade de que o macaco bata a letra “q”?

Ora, a cada batida, o macaco tem 99 símbolos à disposição. Se vai bater no teclado uma vez e ao acaso, e se a probabilidade de que bata numa tecla qualquer é a mesma, então a probabilidade de que bata “q” é de 1/99. Em porcentagem, é ≅1,01%. E qual seria então a probabilidade de bater a palavra “ser”?

Pelo princípio fundamental da contagem, a probabilidade de bater “s” é de 1/99, a probabilidade de bater “se” é de 1/99 · 1/99, e a probabilidade de bater “ser” é de 1/99 · 1/99 · 1/99. Quanto é isso?

Equation-1

“Parece pouco”, pensou Kw5. “Será que eu apostaria 100 reais nesse macaco?” Olhando um número desses, percebeu por que seus amigos nunca acreditam de imediato que um macaco bateria uma frase completa de Shakespeare, que dirá as obras completas. Kw5 passou a brincar com os números, e em poucos minutos percebeu que a equação acima não é o melhor jeito de olhar para o problema.

“Imagine agora que o macaco vai bater na máquina de escrever quatro vezes”, escreveu Kw5 no caderno. “O que isso faz com a probabilidade de que escreva ser?” Com quatro batidas, e tendo à disposição 99 símbolos a cada batida, o macaco pode bater 994 = 96.059.601 sequências de símbolos, entre elas “X3Ai” e “5w$$”. Kw5 percebeu que o macaco pode bater “_ser” ou “ser_”, onde o espaço em branco pode ser preenchido com 99 símbolos, inclusive espaço em branco. Então, usando a ideia de que pode ver a probabilidade como “casos favoráveis divididos por casos totais”, a probabilidade de bater a palavra “ser” com quatro batidas é de:

Equation-2

“Ora, ora”, escreveu Kw5: “agora minha probabilidade dobrou!” E como ficaria a probabilidade com cinco batidas? Neste caso, o macaco pode gerar 995 = 9.509.900.499 sequências de símbolos, entre as quais 9.801 sequências do tipo “##ser”, 9.801 sequências do tipo “#ser#” e 9.801 sequências do tipo “ser##”. Nesse caso, a probabilidade fica:

Equation-3

Kw5 fez as contas e notou algo interessante sobre essa probabilidade: ela é 50% maior que a probabilidade anterior, isto é, é a probabilidade anterior multiplicada por 1,5.

Com seis batidas, surge um problema: seria preciso pensar num jeito de evitar contar o caso “serser” mais de uma vez. Kw5 decidiu, contudo, ignorar casos assim, e montou uma tabela sobre isso. Ela mostra a probabilidade de que a sequência “ser” apareça dentro da sequência com n batidas, mas não inclui nenhum salamaleque matemático para evitar contagens repetidas.

Número n de batidas Probabilidade de “ser”
6  Equation-4
7  Equation-5
8  Equation-6
9  Equation-7
10  Equation-8

Kw5 achou que a validade do teorema fica óbvia: conforme o macaco fica lá batendo aleatoriamente nas teclas da máquina de escrever, a probabilidade de que um dia escreva a palavra “ser” vai aumentando. Com 970.299 batidas aleatórias (uns oito dias de trabalho), a probabilidade de que escreva “ser” em algum lugar da sequência de símbolos sobe para 100%. (Isso não significa, como Andrei Kolmogorov bem explicou em The Theory of Probability [1956], que a palavra “ser” de fato ocorrerá na sequência, pois também existe uma probabilidade ínfima de que o macaco escreva uma sequência com 970.299 símbolos idênticos, tipo “+++”.)

O mesmo argumento vale para a frase “Ser ou não ser? Eis a questão.” Vale para a peça Hamlet. Vale para as 130.000 letras nas obras completas de Shakespeare. Kw5 pensou nisso por um tempo, e riu de uma ideia. O universo existe há uns 14 bilhões de anos, o que é um tempão. (Se 14 bilhões de anos fossem 100 quilômetros, 2.015 anos seriam 14 micrômetros, o comprimento do raio de uma célula da pele humana.) O homem faz parte da ordem dos primatas. “Que coisa!”, escreveu Kw5 no caderno de notas. “Já houve tempo suficiente para que um macaco escrevesse as obras completas de Shakespeare. Ele nasceu em 1564 e seu nome era William Shakespeare!” {FIM}


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Nota: Publiquei esta matéria pela primeira vez na edição 44 da revista Cálculo: Matemática para Todos, página 64. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

A corrida dos robôs


{1}/ O problema da corrida de 100 metros

Problema. Três robôs rA, rB, e rC disputaram uma corrida de 100 metros rasos; fizeram parte de uma competição internacional de robótica. Se cada um deles correu a velocidade constante do começo ao fim, ora, se rA venceu rB por 10 metros, e se rB venceu rC por 10 metros, por quantos metros rA venceu rC?

O problema deste problema nem é bem o problema em si. Crianças se interessam por ele, e muitas rapidamente arriscam a resposta: “Se rA estava dez metros na frente de rB, e se rB estava dez metros na frente de rC, então rA estava vinte metros na frente de rC!”

Como verá nas seções seguintes, o problema deste problema é explicar com simplicidade, mas principalmente com honestidade, por que a resposta certa é certa, já que ela não é 20 metros.



{2}/ A resolução

Há dois jeitos de apresentar a resolução desse problema: curto e grosso, ou devagar. Curto e grosso é como comer uma barra de chocolate Prestígio de uma bocada só. Um estudante (vamos chamá-lo de deZ) decidiu, portanto, explorar o problema primeiro, sem pressa, para só depois elaborar uma resolução concisa, matadora.

deZ sabia que, se quisesse, poderia visualizar a locução “velocidade constante” por meio de uma reta num gráfico do tempo pela distância percorrida. Em outras palavras, poderia visualizar a função posição de cada corredor como uma reta. (A função posição é aquela com a qual deZ correlaciona o tempo t transcorrido, no eixo das abscissas, com a distância D do objeto até certo ponto de referência, no eixo das ordenadas.) No início da corrida, no instante t0 = 0, todos os corredores estão a zero metro da linha de partida. Depois de um tempo t = t1, o robô rA cruza a marca dos 100 metros. É o que deZ esboçou na figura 1.

Figura 1

Figura 1

deZ percebeu que poderia encarar o robô rA como se fosse a reta da figura 1; a equação dessa reta poder ser A = at, na qual A significa a distância percorrida (em metros), a significa a velocidade constante, t significa o tempo decorrido. A certa altura, se perguntou: “Com as informações que tenho, o que posso dizer sobre a velocidade a de rA?”

expr 1

E quanto aos robôs rB e rC?

Bem, visto que os dois também correm a velocidade constante, o gráfico de ambos também é uma reta. deZ percebeu que, no instante t1, quando rA passa a marca dos 100 metros, para de correr, e rB está 10 metros atrás dele. Contudo, os robôs rB e rC continuam correndo, pois para eles a corrida ainda não acabou. No instante t2, rB passa a marca dos 100 metros, e rC está 10 metros atrás dele. deZ pensou nisso por uns instantes, e viu que tinha informações para uma figura bastante mais completa.

Figura 2

Figura 2

“A questão essencial”, escreveu deZ no caderno, “é descobrir a que distância rC estava da linha de largada no momento t1 em que rA cruzou a marca dos 100 metros.”

deZ passou a juntar as informações que tinha consigo. Visto que rB estava 10 metros atrás de rA quando rA concluiu a corrida, deZ partiu de B = bt e obteve 90 = bt1. Além disso, no instante t2, rB concluiu a corrida; portanto, deZ partiu de B = bt e obteve 100 = bt2. Com tudo isso:

expr 2

No instante t2, quando rB concluiu a corrida, rC estava 10 metros atrás de rB. deZ notou que poderia partir de C = ct e chegar a 90 = ct2, e daí a velocidade constante c de rC equivale a c = 90/t2. Com todas essas informações, deZ concluiu as contas.

expr 3

Então, no momento t1, rA cruza a marca dos 100 metros enquanto rB está na marca dos 90 metros e rC, na marca dos 81 metros. Em vista disso, rA venceu rC por 19 metros.

deZ reviu o argumento e viu que não usou a informação a = 100/t1 nenhuma vez. É sinal de que, àquela altura, seu pensamento estava desorganizado; decidiu passar a coisa toda a limpo. Mais uma vez, tratou de expressar a posição A de rA em função da velocidade constante a e do tempo t, e usou o mesmo argumento para B e C. Em seguida, simplesmente listou as equações que tinha em mãos.

deZ viu que o problema do estudante é resolver a equação (6). Com (8), descobre que c = 90/t2. Daí substitui c em (6). Com (5) e (7), descobre que t2 = (10/9)t1. Substitui t2 em (6), e por fim descobre que o robô rC estava na marca dos 81 metros no instante t1 em que rA ganhou a corrida. É quando tem condições de dar resposta ao problema: “rA venceu rC por 19 metros.”

Crianças se interessam por esse problema, e conseguem resolvê-lo sem a ajuda de adultos, mas não sabem nada sobre retas em planos cartesianos, nem sobre a equação da reta.



{3}/ O gênio do professor

Suponha agora que deZ é um professor de matemática e que vai explicar, sem recorrer a retas em planos cartesianos, por que rA vence rC com vantagem não de 20 metros, mas de 19 metros. Seus alunos sabem mexer com frações. O que pode dizer?

“A velocidade dos três robôs é constante”, diz deZ à classe. “A cada unidade de tempo, cada robô percorre certa distância. Pensem num carro que viaja à velocidade constante de 60 quilômetros por hora: a cada hora, o carro percorre 60 quilômetros. Assim, quando rA cruza a marca dos 100 metros, rB está na marca dos 90 metros, e isso significa que rB corre 9 metros a cada vez que rA corre 10 metros. Da mesma forma, visto que na marca dos 100 metros rB bate rC por 10 metros, podem dizer que rC corre 9 metros a cada vez que rB corre 10 metros. Portanto, no momento em que rA cruzou a marca dos 100 metros, rB tinha percorrido 90 metros, isto é, tinha percorrido 9 vezes 10 metros; sendo assim, visto que rC percorre 9 metros a cada vez que rB percorre 10 metros, rC tinha percorrido 9 ✕ 9 = 81 metros. Daí a vantagem de rA sobre rC é de 100 – 81 = 19 metros.”

A classe vai ficar bastante impressionada com a destreza mental do professor deZ; vai mais uma vez classificá-lo como gênio. Isso não é legal? Talvez sim, porquanto é bom que o aluno admire seu professor; porém, mais provavelmente, talvez não.



{4}/ O matemático e o carateca

Se agora são 12:35, que horas serão daqui a 941 horas? O leigo sofre para descobrir isso. O matemático pega a calculadora e descobre que, ao módulo 24, 941 ≡ 5, e portanto serão 17:35. [Divida 941 por 24. Obterá quociente igual a 39 e resto igual a 5. Isso significa que o relógio dará 39 voltas completas de 24 horas, parando a cada volta em 12:35, e por fim andará mais 5 horas, parando em 17:35. Com prática, é muito fácil contar essa história com a equação 12:35 + 941 (mod 24) = 17:35. Com uma calculadora HP 50g, você realiza essa conta em segundos.]

Raramente o leigo tem a consciência de que o matemático, para resolver até mesmo problemas muito simples, recorre a conceitos avançados da matemática — e com isso resolve o problema com pouco esforço. Por exemplo, o que o personagem deZ fez na seção 2 é mais fácil e mais simples do que uma criança teria de fazer para resolver o problema apenas com noções de números racionais e a ideia de proporção. É sempre assim: o matemático, equipado com muita álgebra (inclusive teoria dos grupos e álgebra linear), com cálculo diferencial e integral, com topologia, e com teoria dos números, resolve com maior facilidade problemas que, sem tais ferramentas intelectuais, são difíceis de resolver. O matemático é como um ótimo lutador de caratê: seu mérito não é o de ser forte, ou o de ser rápido, ou mesmo o de ter vencido todos os seus oponentes, mas o de ter treinado ao longo de décadas.

Não há nada de errado um professor usar ferramentas avançadas da matemática para resolver um problema e, depois de tê-lo resolvido, colocar-se no lugar de seu aluno e buscar um jeito de resolvê-lo sem tais ferramentas. Contudo, por incompetência ou por vaidade, talvez não conte a história completa à classe. Se não contar, fará com que muito aluno diga a si mesmo algo assim: “Eu jamais atinaria com uma explicação dessas, nem que pensasse por um milhão de anos.” Esse aluno está a um passo de dizer: “Não tenho nenhum talento para a matemática.” {FIM}