Funções contínuas com números hiper-reais


{0}/ Introdução

Este é o quarto capítulo sobre como você pode construir o cálculo diferencial e integral por meio do sistema de números hiper-reais. (Eis os cliques para os outros capítulos: primeiro, segundo, terceiro, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono, décimo.) Desta vez, vai definir funções contínuas e provar vários teoremas sobre continuidade. Lembrete: a seção a seguir é a 28 porque o capítulo anterior terminou com a seção 27.



{28}/ A caneta sempre no papel

Desde que os matemáticos passaram a conversar sobre a ideia de função, no século 17, assumiram o desafio de definir bem o que é uma função contínua. Euler escreveu numa carta (parafraseando): “Você pode descrever uma função contínua como o gráfico que obtém ao desenhar uma curva no papel sem levantar a caneta uma única vez que seja.” Uma definição dessas não serve de muita coisa, e por vários motivos, entre os quais este: os pontos que fazem parte da curva de uma função não têm dimensões como largura, altura, e profundidade, mas os átomos de tinta têm. Sempre que alguém tenta definir uma ideia matemática recorrendo a objetos palpáveis, arruma encrenca, visto que uma gotícula de realidade pode azedar o pensamento matemático mais bonito.

Uns 70 anos depois de Euler, Cauchy escreveu (parafraseando): “Uma função contínua é aquela na qual, se você provoca uma variação infinitesimal na variável independente x, também provoca uma variação infinitesimal na variável dependente y = f(x).” É uma definição bacana, pois captura a ideia de que a curva da função contínua não dá nenhum tipo de salto. Examine a figura 1; mesmo que consiga imaginar um salto muitíssimo pequeno de f em x, ora, uma função contínua não contém saltos, por pequenos que sejam.

Figura 1

Figura 1: A diferença entre as duas abscissas é infinitesimal, mas a diferença entre as duas ordenadas correspondentes é real

Muita gente, quando topa com a ideia de função contínua pela primeira vez, tem a sensação de que os matemáticos fazem tempestade em copo d’água. Não é verdade. Se um dia encontrar alguém assim, diga que, graças a tais tempestades, as calculadoras funcionam bem.

Imagine, por exemplo, que você aperta a tecla π de sua calculadora. Ela mostra 3,141 592 653 589 793 no visor. Depois você aperta a tecla x2, e ela mostra 9,869 604 401 089 36. Bem, você sabe que π, sendo um número irracional, tem expansão decimal infinita e não periódica — mas a calculadora não elevou ao quadrado um número cuja expansão decimal é infinita, já que não tem memória infinita. Ela elevou ao quadrado um “número π” com quantidade finita de casas decimais, isto é, elevou ao quadrado um número racional que é igual a π só até certo número finito de casas decimais. Agora, como você sabe que, se 3,141 serve de aproximação para π, daí (3,141)2 serve de aproximação para π2? Você sabe isso porque a função y = x2 é contínua. (O redator não deveria ter escrito aqui “a função f : xx2 é contínua”? Sobre questões de linguagem, veja a seção 39 mais abaixo.) Eis um jeito de pensar nesse problema, que foi o jeito como Cauchy pensou: se considera x como uma boa aproximação para π, pode escrever x = π + d para algum d muito pequeno, positivo ou negativo. Daí x2 = (π + d)2 = π2 + 2πd + d2, e fica claro como, quanto menor o valor que escolhe para d, menor a diferença entre π2 e π2 + 2πd + d2 (essa diferença é 2πd + d2). Se você pode tornar a diferença entre x2 e π2 tão pequena quanto deseje, pode dizer que de fato x2 é uma boa aproximação para π2.

Ocorre que Cauchy não sabia explicar o que é “uma variação infinitesimal”, pois, na sua época, ninguém sabia explicar o que era um infinitésimo. A maioria dos artigos e livros nos quais o matemático recorreu à intuição para manejar infinitésimos continha material para paradoxos. Então, usando os trabalhos de Newton como inspiração, Cauchy criou a definição de limite, e até hoje professores ensinam uma versão da definição de Cauchy no primeiro ano da faculdade. (A versão moderna é de Lobachevsky e de Dirichlet.) Mas Cauchy, assim como Newton e, antes dele, Arquimedes, provavelmente começava a pensar com infinitésimos, e, quando já tinha boa ideia da afirmação que pretendia provar, daí recorria a limites para produzir uma demonstração inquestionável.

Você, contudo, já construiu na sua imaginação o sistema dos números hiper-reais, e sabe perfeitamente bem o que é um infinitésimo.



{29}/ Um “buraquinho” já é grande demais

Você já tem todos os elementos teóricos para compreender a definição de função contínua num ponto.

Definição §29-1. Pode dizer que uma função f é contínua no número real r se, para todo número hiper-real p infinitamente próximo de r, f(p) está infinitamente próximo de f(r). Se quiser escrever essa definição de um jeito mais abstrato: f é contínua em r se, e somente se, pr implica f(p) ≈ f(r).

Examine a figura 2 para ver como essa definição elimina qualquer tipo de descontinuidade. Pois, se f dá um salto em r, você consegue achar um hiper-real p = r + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, tal que f(p) ≉ f(r). [Lembrete: caso descubra que a diferença entre f(p) e f(r) não é infinitesimal ou zero, pode dizer que f(p) e f(r) estão longe demais um do outro, mesmo que a diferença seja um número real muito pequeno.] Além disso, se r não faz parte do domínio de f (como é o caso de r’ na figura 2) a função não pode ser contínua em r, pois a definição fala explicitamente de “f(p) ≈ f(r)”. Em outras palavras, com essa definição §29-1, você dá conta dos casos em que falta um único ponto na curva de f.

Figura 2: A função f é descontínua em r, e além disso não tem o ponto r’ no domínio

Vai achar útil a definição de função contínua num ponto quando estudar funções complicadas, cujo comportamento varia bastante de um ponto para outro. Mas, se quiser, pode construir funções contínuas em toda parte, isto é, contínuas para todo número real r, e por isso também deve estudar a definição a seguir.

Definição §29-2. Pode dizer que uma função f é uma função contínua se puder provar que ela é contínua para todo número real r.

(Atenção a uma sutileza: se disser que uma função g é contínua, sem especificar o ponto ou o conjunto de pontos para o qual g é contínua, seu interlocutor vai entender que g é contínua em todo o domínio real.)

Eis um exemplo: será que a função y = f(x) = x2 + 2x – 1 é contínua em x = 1? Bem, f(1) = 2. Agora, se fizer p ≈ 1, mas p ≠ 1, daí p = 1 ± ϖ para algum infinitésimo positivo ϖ. Daí, pensando primeiro no caso p = 1 + ϖ, veja o que acontece.

Assim, a diferença entre f(1 + ϖ) e f(1) é 4ϖ + ϖ2, que é um infinitésimo de acordo com o teorema §14-1; ao aplicar um argumento semelhante a esse para p = 1 – ϖ, vai descobrir mais uma vez que f(p) ≈ f(1), pois a diferença entre as duas imagens é o infinitésimo ϖ2 – 4ϖ. Logo, visto que 1 ≈ 1 ± ϖ implica f(1) ≈ f(1 ± ϖ), pode dizer que f é contínua em x = 1.

Será que f é contínua em toda parte?

Faça agora x = x e p = x + ϖ para algum número real x e algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí f(x) = x2 + 2x – 1 e f(p) = x2 + 2x – 1 + ϖ2 + 2 + 2ϖ, e a diferença entre f(x) e f(p) é o infinitésimo ϖ2 + 2 + 2ϖ, que é um infinitésimo quer ϖ seja positivo quer seja negativo. Visto que xp implica f(x) ≈ f(p), pode dizer que f é uma função contínua.



{30}/ Lista de problemas

§30-1. Prove que y = f(x) = 4x2 – 2x + 1 é contínua em x = 3. Depois prove que é contínua em toda parte.

§30-2. Prove que y = f(x) = 1/x é contínua em x = 1. Depois prove que é contínua em todo o domínio de f. Explique por que ela é descontínua em x = 0.

§30-3. Prove que y = senx é contínua em todo número real r.

§30-4. Prove que y = cosx é contínua em toda parte.

§30-5. Prove que y = x·senx + 2 é contínua em x = –1. Depois prove que é contínua em toda parte.

§30-6. Prove que y = cos(x2x) é contínua em x = 3. Depois prove que é contínua em x = x, com x real.

§30-7. Prove que y = tanx é contínua em x = 2. Onde mais ela é contínua?

§30-8. Prove que y = √x é contínua para todo x > 0.

§30-9. Prove que a função f a seguir é descontínua em x = 0, mas contínua em todo x ≠ 0. (Esta é a função de Heaviside, muito usada na engenharia elétrica.)

Veja sugestões de resposta mais abaixo, na seção 40.



{31}/ Dois teoremas sobre funções contínuas

Os matemáticos se preocuparam com a definição de continuidade por muitas décadas. Primeiro, porque é uma definição importante se você pretende usar a matemática na ciência ou na engenharia, já que muitos fenômenos naturais são contínuos: para uma pessoa a bordo de um carro em movimento, uma muito pequena variação no tempo significa uma pequena variação na posição. Segundo, porque é uma definição importante na própria matemática pura. Como alguém pode falar da área entre uma curva positiva e o eixo das abscissas, que é o conceito de integral, se a curva não for contínua? Pois, para falar de área, precisa delimitar perfeitamente o perímetro do objeto matemático ao qual vai atribuir esse “número” chamado área; se a curva tiver descontinuidades, fica difícil falar de área de um jeito o mais genérico possível. Da mesma forma, se uma curva não for contínua, como pode falar, com a maior generalidade possível, do comprimento dessa curva? Além disso, caso não possa provar que duas curvas são contínuas, como vai dizer que elas se interceptam num ponto? Pois e se, numa das curvas, justamente aquele ponto está faltando?

Figura 3: A área debaixo de uma curva positiva num intervalo fechado

Bem, agora conhece uma ótima definição de continuidade, e pode calcular sem preocupações a área debaixo de uma curva contínua positiva num intervalo fechado. (É o que mostra a figura 3.) Mas, antes disso, tem de sobrepujar uma dificuldade. Quem pode afirmar, com a mais absoluta certeza, que, num intervalo fechado, a área debaixo de uma curva contínua é finita? Examine a figura 4; se quiser pode fazer com que a área debaixo da curva de f, no intervalo fechado [x1, x2], seja tão grande quanto queira — para tanto, basta atribuir a f(x3) um valor grande o suficiente. Será que não existe, portanto, uma função positiva contínua cuja área debaixo da curva no intervalo [x1, x2] seja infinita?

Figura 4

Figura 4

Não, não existe, como verá ao usar o sistema dos hiper-reais para acompanhar a demonstração do teorema a seguir, provado pela primeira vez por Weierstrass.

Teorema §31-1. Presuma que f é contínua em todo número real x no intervalo fechado [a, b]. Daí f é limitada em [a, b], isto é, pode achar um número real positivo h tal que –h < f(x) < h para todo x em [a, b].

Figura 5

Figura 5

Bem, para provar o teorema, comece escrevendo, com a linguagem L (lógica de primeira ordem), a afirmação contida no formulário 1 a seguir, que deveria ser verdadeira com números reais.

Formulário 1

Formulário 1

Como pode dizê-la em palavras? “Existe um número real h tal que, para todo número real x, se x é elemento do intervalo fechado [a, b], daí f(x) é sempre maior que –h e e sempre menor que h.” Pode verificar como essa afirmação é uma versão do teorema §31-1, mas escrito na linguagem L.

Um jeito de mostrar que ela é verdadeira: simplesmente mostre que ela é verdadeira no sistema dos números hiper-reais. E depois disso invoque o teorema de Łós e diga que também é verdadeira no sistema dos reais.

Transforme h num número hiper-real positivo infinito; por exemplo, h = (1, 2, 3, 4, 5, …). E reescreva a afirmação assim: “Existe um número hiper-real positivo infinito h tal que, para todo número real x, se x é elemento do intervalo fechado [a, b], com a e b reais, daí f(x) nunca é menor que –h e nunca é maior que h.” Veja como, pensando com hiper-reais, assim que você aceita a pressuposição de que a função real f é contínua, fica difícil negar a validade da afirmação no formulário 1.

Pois, para qualquer x que escolha no intervalo [a, b], seja padrão, seja não padrão, st[x] tem de ser elemento de [a, b]. (Com st[x], quer dizer a parte real ou a parte padrão do hiper-real x. É uma notação bastante comum mundo afora; “st” vem do inglês “standard”, que significa “padrão” ou “usual”.) Visto que f é contínua, daí f(x) ≈ f(st[x]). Contudo, f(st[x]) é um número real, e portanto é finito, de modo que f(x) é um hiper-real finito. Visto que h é infinito, daí é verdade que –h < f(x) < h. Ora, como a afirmação no formulário 1 é verdadeira nos hiper-reais, tem de ser verdadeira nos reais (Łós), e o teorema está provado:

Num intervalo fechado, você sempre pode atribuir um número real específico para a área entre a curva de uma função contínua positiva e o eixo das abscissas. (No próximo capítulo desta série, verá que pode dizer isso com estas palavras: “Num intervalo fechado, sempre posso calcular a integral de uma função contínua positiva.”)

* * *

Releia o texto do teorema §31-1. Note que ele vale para intervalos fechados — mas não abertos. Por exemplo, a função y = f(x) = 1/x é contínua no intervalo (0, 1), mas quanto menor o valor que atribui a x, maior o valor de 1/x. Se fizer x = ϖ, sendo ϖ um infinitésimo positivo, y = f(ϖ) = 1/ϖ é um hiper-real positivo infinito, de modo que não existe um número real positivo h tal que f(ϖ) < h. (Em oito palavras: o eixo Y é uma assíntota de f.) Resumo: y = f(x) = 1/x é contínua no intervalo (0, 1), mas não limitada.

O gráfico de y = f(x) = 1/x

 

* * * 

O próximo teorema também foi provado pela primeira vez por Bolzano e por Weierstrass (de modo independente); é uma versão mais forte do teorema §31-1.

Teorema §31-2. Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], não apenas f é limitada em [a, b], como também f assume um máximo e um mínimo em [a, b]. Sendo assim, existem dois números reais x1, x2 em [a, b] tais que f(x1) é o máximo valor que f assume em [a, b], e f(x2), o mínimo.

Em primeiro lugar, veja como provar que f assume um máximo.

Visto que f é limitada em [a, b], escolha d como sendo o número real positivo tal que –d < f(x) < d para todo x em [a, b]. É o que pode ver na figura 6.

Figura 6

Figura 6

Presuma que batizou o conjunto das ordenadas com Y, e que y = f(x1) é o maior valor de f em [a, b]. Agora pode dividir a distância entre y = –d e y = d em n partes iguais (n inteiro positivo), para acrescentar n – 1 linhas horizontais extras à figura 6, igualmente espaçadas entre si. Numere tais linhas horizontais de baixo para cima: a linha y = –d é a linha zero; a linha y = d é a linha n. Fazendo assim, deve haver a mais alta linha acima da qual passa a curva de f, assim como deve haver a mais baixa linha debaixo da qual passa a curva de f. [Em outras palavras, deve haver uma linha m e uma linha m + 1 tais que o valor máximo de f, que é f(x1), está acima de m, mas abaixo de m + 1.] Pode examinar uma versão disso tudo na figura 7.

Figura 7

Como pode dizer isso na linguagem L? Comece usando as palavras da língua portuguesa: “Para todo n, se n é um inteiro positivo, então existe um inteiro não negativo m, e um número real x1 ∈ [a, b], tais que y = f(x1) está acima dessa linha m, e ao mesmo tempo y = f(x1) está abaixo da linha m + 1.”

Antes de colocar essa afirmação na linguagem L, deve entender como pode calcular, a partir das decisões que tomou até aqui, um valor para y que seja igual à altura da m-ésima linha no eixo Y. Bem, pode calcular a distância entre –d e d com |d – (–d)| = 2d. Visto que dividiu essa distância em n partes iguais, daí a distância entre duas linhas adjacentes é 2d/n. E então, fazendo m = 0, 1, 2, 3, 4, …, n, pode dizer que a m-ésima linha de baixo para cima é:

Depois de tais pensamentos, já pode escrever o que sabe até agora na linguagem L.

Formulário 2

Formulário 2

Mais uma vez, o que quis dizer com essa linha foi: “Existe um valor de x no intervalo fechado [a, b] tal que f(x) nunca é menor que a linha horizontal y = –d + m(2d/n); apesar disso, para todo valor de z no intervalo fechado [a, b], f(z) nunca é maior que a linha horizontal y = –d + (m + 1)(2d/n). Em outras palavras, o valor máximo de f(x) está entre a m-ésima linha horizontal e a (m + 1)-ésima linha horizontal.” Basta examinar a figura 7 para ver que essa afirmação é sempre verdadeira no sistema dos reais caso f seja limitada no intervalo fechado [a, b].

Figura 7

Figura 7

Não seria bom se pudesse dividir a distância entre y = –d e y = d num número “infinito” de partes iguais, de modo que a distância entre duas linhas horizontais adjacentes fosse “infinitésima”, ou que a distância entre elas “tendesse a zero”?

Bem, visto que a afirmação no formulário 2 é verdadeira nos reais, e que você a escreveu com a linguagem L, então é verdadeira no sistema dos hiper-reais também. Sendo assim, pense em n = N como um hiper-real inteiro positivo infinito, isto é, pense em dividir a distância entre –d e d por um inteiro positivo N maior que qualquer número real positivo. Daí deve existir um hiper-real inteiro positivo infinito M tal que a M-ésima linha é a mais alta linha acima da qual passa a curva de f, e tal que a (M + 1)-ésima linha é a mais baixa linha abaixo da qual passa a curva de f, isto é, deve existir um hiper-real x que torna a afirmação a seguir verdadeira.

Sendo assim, y = f(x) tem de estar entre dois valores específicos de y:

Faça as contas: a diferença de altura entre a M-ésima linha e a (M + 1)-ésima linha é 2d/N, que é um infinitésimo. Isso quer dizer que essas duas linhas estão infinitamente próximas uma da outra, e, como consequência do que já viu ao resolver o problema §15-4:

Ora, x e f(x) são hiper-reais finitos. Logo, pode invocar o teorema §21-1 e dizer que x1 = st[x] (isto é, x1 é a parte real do hiper-real x); além disso, pelo teorema §23-1, x1 tem de ser elemento do intervalo fechado [a, b]. Logo, pode dizer que f(x1) = f(st[x]) é o valor real máximo que f assume em [a, b]. Pois, visto que f(x1) está infinitamente próximo de f(x), também está infinitamente próximo de –d + (M + 1)(2d/N). Mas todo valor hiper-real de f em [a, b] não pode jamais exceder –d + (M + 1)(2d/N), e portanto nenhum valor real de f pode exceder f(x1); com tudo isso, o teorema está provado.

Para provar que f assume um mínimo em [a, b], basta adaptar o argumento.

Lembrete: Bolzano & Weierstrass foram os primeiros a provar o teorema §31-2, mas não com infinitésimos, já que na época deles o sistema dos números hiper-reais não existia. Muitas vezes, um professor se refere a esse teorema com locuções do tipo “teorema do valor extremo”, “teorema dos valores máximos e mínimos”, “teorema minimáx”, “teorema de Weierstrass”.



{32}/ Lista de problemas

§32-1. Por que, para provar o teorema §31-2, você precisa de um intervalo fechado e uma função contínua? Prove suas afirmações com exemplos concretos.

§32-2. Mostre que a função f a seguir é descontínua em x = 0.

§32-3. Ainda sobre a função f do problema acima: mostre que, não importa como defina f(0), f permanece descontínua em x = 0. Mostre ainda que f é contínua em todo x ≠ 0.

§32-4. Mostre que a função g a seguir é contínua em toda parte.

Veja sugestões de resposta na seção 40.



{33}/ Buracos sem a dimensão de um buraco

Com a ideia intuitiva de função contínua, você se sente autorizado a dizer que a função não tem nenhum tipo de descontinuidade, ou de intervalo, ou de “buraquinho”, para usar uma imagem comum, mas imprecisa. (Se um ponto não tem dimensão, e realmente não tem, como sua ausência teria a dimensão de um buraco? Atenção: caso pense nisso por meia hora, vai para o hospício.) Com o que já sabe até aqui, tem condições de provar, com todo o rigor, que o gráfico de uma função contínua nunca contém nenhum tipo de salto, por minúsculo que seja.

Teorema §33-1. Assuma que f é uma função contínua em [a, b] e que r é qualquer número real tal que f(a) ≤ rf(b), isto é, que r é um número real entre f(a) e f(b). Daí existe um número real x ∈ [a, b] tal que f(x) = r.

(Em termos mais coloquiais: se f é contínua num intervalo fechado, a todo elemento do domínio corresponde um elemento da imagem, e vice-versa.)

Para começar a prova, pense no caso em que f(a) < r < f(b); é o que pode ver na figura 8. A ideia é usar a imaginação para se aproximar cada vez mais do ponto no qual f passa de “abaixo de r” para “acima de r”. De brincadeira, note que, se f é contínua como Euler imaginou as funções contínuas, você não tem como passar de “abaixo de r” para “acima de r” sem que a ponta de sua caneta imaginária cruze a linha y = r.

Figura 8

Figura 8

O que deve fazer agora é dividir o intervalo [a, b] em n partes iguais, com n inteiro positivo. (A rigor, não precisaria dividir em n partes iguais; bastaria que dividisse em n partes. Mas é mais natural pensar em n partes iguais.) Faça x0 = a, …, xk = a + k(ba)/n, …, xn = b, com k ∈ {0, 1, 2, 3, …, n}. Daí deve haver dois pontos adjacentes xm e xm+1 tais que f(xm) está abaixo de r e f(xm+1) está acima de r; é o que vê na figura 9, mais abaixo. Como dizer isso em palavras? “Para todo n, se n é um inteiro positivo, existe um inteiro m entre 0 e n tal que f(xm) ≤ r e f(xm+1) ≥ r.” Na linguagem L, essa afirmação fica assim:

Formulário 3

Com essa afirmação (e olhando a figura 9), você simplesmente repetiu fatos de teoremas anteriores: se f é contínua no intervalo fechado [xm, xm+1] = [a + m(ba)/n, a + (m + 1)(ba)/n], então é limitada nesse intervalo, e além disso assume um máximo e um mínimo. Sua esperança é a seguinte: se o intervalo for extremamente pequeno, isto é, se n for um inteiro positivo muito grande, daí seria bom se o mínimo estivesse próximo de f(a + m(ba)/n), e o máximo, de f(a + (m + 1)(ba)/n). (Isso porque, sendo o intervalo muito pequeno, f não teria “tempo”, digamos assim, para serpentear entre xm e xm+1.)

Figura 9

Bem, visto que a afirmação no formulário 3 é verdadeira no sistema dos números reais, tem de ser verdadeira nos hiper-reais.

Portanto, veja o que acontece se faz n = N, sendo N um inteiro positivo hiper-real infinito. (Isso equivale a dividir o intervalo [a, b] em infinitas partes iguais, de modo que cada parte terá comprimento infinitesimal.) Pode então usar a afirmação no formulário 3 para dizer que existe um hiper-real inteiro positivo infinito M tal que a expressão a seguir é verdadeira:

Pare um pouco para analisar o que tem em mãos até agora. A diferença entre a + (M + 1)(ba)/N e a + (M)(ba)/N é (ba)/N, um infinitésimo. Portanto:

Faça agora x = st[xM]; x é um número real. O que vai provar no parágrafo a seguir é que f(x) = r.

Pois, se xMxM+1, daí tanto xxM quanto xxM+1, visto que dois números hiper-reais não padrão estão próximos de um, e de apenas um, número real (corolário do teorema §21-1). Sendo f contínua, pode dizer que f(x) ≈ f(xM) e que f(x) ≈ f(xM+1). Porém, é verdade que f(xM) ≤ rf(xM+1), e daí rf(x); só que r e f(x) são ambos números reais, e portanto r = f(x).

O argumento para o caso em que f(a) > r > f(b) é quase igual a esse, e com isso o teorema está provado.

* * *

Em geral, professores se referem ao teorema §33-1 com a locução “teorema do valor intermediário”, querendo dizer o seguinte: se f é contínua no intervalo fechado [a, b], então é limitada, atinge um máximo, atinge um mínimo, e sua imagem contém todos os valores intermediários entre esse máximo e esse mínimo.

Quando uma função f tem essa propriedade de assumir todos os valores intermediário entre f(x1) e f(x2), pode dizer que ela tem “a propriedade de Darboux”, e pode dizer também que ela é “uma função de Darboux”; toda função contínua tem a propriedade de Darboux, mas, ao contrário do que muitos matemáticos pensavam até 1875, quando Jean-Gaston Darboux publicou um contraexemplo, nem toda função de Darboux é contínua.



{34}/ Lista de problemas

§34-1. Para que o teorema §33-1 seja válido, é importante que f seja uma função contínua. Ache, portanto, uma função descontínua f tal que f(1) < 0, f(2) > 0, mas f jamais se iguala a zero no intervalo fechado [1, 2].

§34-2. A função a seguir, como pode ver, está definida para todo número real. Prove que, apesar disso, ela é descontínua em todo número real.

expr 14

§34-3. Use o teorema §33-1 para provar que a equação a seguir tem uma raiz real.

expr 15

§34-4. Prove que todo número real tem uma raiz cúbica.

§34-5. Prove que todas as parábolas são contínuas.

Sugestões de resposta na seção 40.



{35}/ As excitantes funções monótonas

Existe uma espécie de teorema recíproco do teorema §33-1. Ele não diz que toda função em cujo gráfico estão todos os pontos é contínua, o que aliás é falso, mas diz algo bem próximo disso. Contudo, antes de entender o texto do teorema, deve conhecer o sentido de cinco locuções técnicas.

Definição §35-1. Pode dizer que uma função f é monótona no intervalo fechado [a, b] se ela possuir uma, e só uma, das duas características a seguir:

(1) Para todo x, y ∈ [a, b], se x < y, daí f(x) ≤ f(y).

(2) Para todo x, y ∈ [a, b], se x < y, daí f(x) ≥ f(y).

No caso (1), pode dizer que f é uma função não decrescente, pois ou ela fica estável num valor, ou ela cresce. No caso (2), pode dizer que f é uma função não crescente. No caso (1), se x < y implica f(x) < f(y), pode dizer que f é estritamente crescente; no caso (2), se x < y implica f(x) > f(y), pode dizer que f é estritamente descrescente. Pode ver uma imagem disso tudo na figura 10, na qual a função f é estritamente crescente em [a, b], não decrescente em [b, d], não crescente em [d, f] e estritamente decrescente em [e, f].

(Alguns autores, em vez de “monótona”, usam “monotônica”.)

Figura 10

Figura 10

Teorema §35-1. Presuma que f é monótona em [a, b], e que, para todo número r entre f(a) e f(b), existe um número c ∈ [a, b] tal que f(c) = r. Daí f é contínua em [a, b].

Eis uma prova por contradição; para guiar o pensamento, use a figura 11. Suponha que f não é contínua em [a, b], isto é, que pode achar um número real x, e um hiper-real p, ambos elementos de [a, b], tais que xp, mas mesmo assim f(x) ≉ f(p). Visto que f(x) e f(p) não estão infinitamente próximos um do outro, então deve haver um número real r entre eles. Ora, f é monótona, então r é um real entre f(a) e f(b); como consequência disso, deve haver um número real c ∈ [a, b] tal que f(c) = r. Mais uma vez, graças à monotonia de f, c tem de estar entre x e p. Mas isso contradiz o fato de que xp, pois, visto que x é real, tem de ser o único real infinitamente próximo de p. Por causa da contradição, não tem escolha senão afirmar que f é contínua em [a, b], e o teorema está provado.

Figura 11

Figura 11

 

* * *

Se quiser, pode expressar o teorema §35-1 de outro jeito: “Toda função f monótona com a propriedade de Darboux é contínua.” Nessa frase, você não tem como evitar a palavra “monótona”, pois a função a seguir tem a propriedade de Darboux, não é monótona e, como já viu no problema §32-2, é descontínua em x = 0.

expr 9



{36}/ Lista de problemas

§36-1. Estude a função f a seguir. Prove que ela é descontínua em todo número racional, mas contínua em todo número irracional. (Muito interessante, mas difícil.)

y = f(x) = 0 se x é irracional;

y = f(x) = 1/n se x é racional e se usa m/n para representar x na forma mais simples possível, isto é, com m inteiro, n inteiro positivo, e m, n primos entre si.

§36-2. Prove que y = f(x) = x é contínua em todo ponto.

§36-3. Para todo número real r, prove que y = f(x) = r é contínua em todo ponto.

Sugestões de resposta na seção 40.



{37}/ Como obter funções contínuas de funções contínuas

Com o que já sabe até agora, mais o teorema binomial, consegue provar que a função y = f(x) = Axn é contínua. (Nessa equação, A é uma constante real, e n é um inteiro não negativo.) Ora, Axn é a parcela típica de um polinômio. Se conseguisse provar que a soma de duas funções contínuas é uma função contínua, conseguiria facilmente provar que toda função polinomial é contínua, pois não passaria de um somatório de funções contínuas.

É o que vai fazer nesta seção 37: ver como obter funções contínuas novinhas em folha a partir de funções já conhecidas, as quais você tem certeza são contínuas.

Teorema §37-1. Presuma que f e g são funções contínuas em r. Daí as funções f + g, fg, e fg também são contínuas em r. Além disso, se g(r) ≠ 0, daí 1/g é contínua em r.

Comece imaginando o número hiper-real p, que está infinitamente próximo de r (mas não necessariamente distinto de r). Faça daí ϖ1 = f(r) – f(p) e ϖ2 = g(r) – g(p). Por causa da continuidade, ϖ1 ou ϖ2 talvez seja um infinitésimo ou talvez seja zero. [Note que, neste caso, ϖ1 ou ϖ2 talvez seja um infinitésimo negativo, já que você não sabe qual é maior, f(r) ou f(p), g(r) ou g(p).] Daí o que precisa demonstrar, para cada uma das quatro expressões a seguir, é que ou a expressão é um infinitésimo ou é zero.

expr 16

Caso [1]. Como pode ver nas linhas logo abaixo, (f + g)(r) – (f + g)(p) é um infinitésimo se ϖ1 ≠ –ϖ2 ou é zero se ϖ1 = –ϖ2.

expr 17

Caso [2]. Agora, (fg)(r) – (f g)(p) é um infinitésimo se ϖ1ϖ2 ou é zero se ϖ1 = ϖ2.

expr 18

Caso [3]. Da primeira para a segunda linha, deve recorrer a um dos truques mais úteis da álgebra com reais (e hiper-reais): adicionar zero a uma expressão, o que não altera seu valor. Em outras palavras, deve adicionar f(r)g(p) – f(r)g(p) = 0 à expressão da primeira linha.

expr 19

Com a última linha, pode dizer que fg(r) – fg(p) é um infinitésimo se f(r)ϖ2g(p)ϖ1 ou é zero se f(r)ϖ2 = g(p)ϖ1. Lembrete: pode dizer que g(p)ϖ1 é um infinitésimo ou é zero porque g(p) é um hiper-real finito, já que está infinitamente próximo de g(r), que é um número real; um hiper-real finito não nulo, multiplicado por um infinitésimo, é um infinitésimo.

Caso [4]. Talvez para sua surpresa, esse é um caso mais simples que os anteriores.

expr 20

A expressão da última linha ou é um infinitésimo (se ϖ2 ≠ 0) ou é zero (se ϖ2 = 0). Lembre-se de que p é um hiper-real infinitamente próximo de r, e a diferença entre eles pode ser ou um infinitésimo ou zero. Quanto ao divisor, não pode ser zero, pois g(r) ≠ 0; como g(p) ≈ g(r), g(p) ≉ 0, já que um hiper-real finito só pode estar infinitamente próximo de exatamente um número real.

E, com tudo isso, o teorema está provado.



{38}/ Lista de problemas

§38-1. Prove o teorema a seguir, o que deve ser fácil, em razão do que já sabe.

Teorema §38-1. Se y = f(x) e z = g(y) são ambas funções contínuas, então z = g(f(x)) é uma função contínua.

§38-2. Use o que aprendeu com os problemas §36-2 e §36-3, mais o teorema §37-1, mais o teorema binomial, e prove que toda função polinomial é contínua.

§38-3. Prove que y = (x2 – 1)/(x2 + 1) é contínua em todo ponto.

§38-4. Prove que y = |x| é contínua em todo ponto.

§38-5. Prove que, se f(x) e g(x) são duas funções contínuas em r, e se g(r) ≠ 0, daí f(x)/g(x) é contínua em r.

Definição §38-1. Pode chamar um conjunto XR de intervalo se, e somente se, para todo a, bX, se a < c < b, daí cX.

§38-6. Prove que, se X é um intervalo e se f é uma função contínua, daí a imagem de f em X também é um intervalo. (Lembrete: a imagem de f em X é o conjunto {f(r) : rX}.)

§38-7. Prove que, se f é contínua em [a, b], e se f(x) é real para todo hiper-real x em [a, b], daí f é uma função constante.

§38-8. Prove que a função a seguir é contínua apenas em x = 0.

expr 21

Lembrete: use o que aprendeu com o problema §34-2.

Sugestões de resposta na seção 40.



{39}/ “Ora”, direis, “desde quando x2 é uma função?”

Em 1962, o professor polonês Nathan Jacobson escreveu um livro bacana sobre álgebras de Lie, que está à venda até hoje. Na ocasião, uma editora pediu ao eminente matemático alemão Gerhard Hochschild que resenhasse o livro. Hochschild elogiou a iniciativa, mas também escreveu: “Na página 209, o autor introduz uma notação com base no princípio bárbaro de confundir uma função com um de seus valores.”

O motivo da bronca: Jacobson escreveu coisas na linha “a função y = f(x) = x2”, “a função x2 nunca é negativa”. Ora, y não é a função, mas elemento da imagem; f(x), sendo igual a y, também não é a função, mas elemento da imagem; x2, sendo igual a y e a f(x), não é a função, mas elemento da imagem. Dizer “a função x²” é tomar o elemento típico da imagem pela função. Vários autores morrem de medo de resenhistas severos como Hochschild, e escrevem frases mais ou menos assim: “Considere a função f : XY, cuja regra de correspondência entre o elemento x do domínio e o elemento y da imagem é y = f(x) = x2.” Ou algo na linha: “Considere a função f : xR ↦ (x, y) = (x, x2), isto é, considere a função cuja curva consiste de todos os pares ordenados (x, y), com x, yR, tais que y = f(x) = x2.” Escrevem frases assim até em cartas de amor.

O problema não é escrever tais frases quando são necessárias. Às vezes, o autor precisa distinguir com clareza qual é a função, qual é o domínio, qual é o contradomínio, e como caracterizar perfeitamente os elementos da imagem. Por exemplo, quando trabalha com espaços métricos, espaços de Banach, espaços vetoriais, topologia, análise complexa, etc. Daí o autor sente que as definições precisas deixam os assuntos mais claros e facilitam a vida do leitor: “Com a função f, por meio da fórmula de correspondência y = x2 entre elementos x do domínio e elementos y da imagem, posso transformar xR em yR≥0.” Ou algo parecido com isso.

Mas muitas vezes a linguagem moderna e precisa, comparada à linguagem antiga e um tantinho imprecisa, não serve de nada, ou melhor: serve para deixar as frases longas e desajeitadas; serve para deixar o leitor inseguro. Pois o leitor, quando vê uma distinção, imagina que ela é importante; mas, se por toda lei não consegue atinar com as razões de sua importância, imagina que a culpa é dele: é burro. Ora, se a distinção não serve de nada, por que não escrever como Cauchy, Jacobson, Lebesgue, Hille, Smirnov, Keldyš, G. H. Hardy, e tantos outros matemáticos eminentes, e escrever simplesmente “a função x2”? Certa vez, o matemático americano Paul Lockhart escreveu: “Se em determinadas circunstâncias uma distinção é desnecessária, não faça a distinção.”

Em todo caso, fica aqui, com destaque, uma definição moderna e simples de função = aplicação.

Definição §39-1. Uma aplicação f de D(f) em CD(f), que pode denotar com f : D(f) → CD(f), expressão na qual usa D(f) e CD(f) para representar conjuntos não vazios, é uma regra com a qual pode associar, a cada um dos elementos de D(f), sem exceção, exatamente um elemento de CD(f). Pode chamar o conjunto D(f) de “o domínio de f”; e pode chamar o conjunto CD(f) de “o contradomínio de f”. Quanto ao conjunto Im(f) = {y : y = f(x), com xD(f)}, é um subconjunto de CD(f), e pode chamá-lo de “a imagem de f”. Se quiser, pode também escrever coisas como “a função f : xx2”, isto é, “a função f tal que o elemento x do domínio leva ao elemento x2 da imagem”.

Em outras palavras, para ter uma função, você precisa de três coisas: um conjunto não vazio chamado domínio; um conjunto não vazio chamado contradomínio; e a coisa mais importante, que é a regra pela qual associa cada elemento do domínio, sem exceção, a exatamente um elemento do contradomínio. Ocorre que, quando essa regra é uma fórmula algébrica simples, não existe nada mais natural do que tomar a fórmula pela regra, e chamar a própria fórmula de função.



{40}/ A resolução dos problemas

§30-1. Prove que y = f(x) = 4x2 – 2x + 1 é contínua em x = 3. Depois prove que é contínua em toda parte.

Em primeiro lugar, f(3) = 31.

Faça agora p = 3 + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí p ≈ 3. E quanto a f(p)?

expr 22

Bem, 4ϖ é um infinitésimo; 22 + 4ϖ é um hiper-real finito não padrão; ϖ(22 + 4ϖ) é, portanto, um infinitésimo. [Neste caso, tais conclusões não mudam se ϖ é positivo ou negativo. Note que ϖ(22 + 4ϖ) não pode ser zero.] Visto que a diferença f(p) – f(3) é um infinitésimo, pode dizer que p ≈ 3 implica f(p) ≈ f(3), e portanto f é contínua em x = 3.

Agora, para provar que f é contínua em toda parte, faça p = x + ϖ para algum número real x e para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Será que px implica f(p) ≈ f(x)?

expr 23

Então, f(p) – f(x) equivale à expressão 4ϖ2 + 8 – 2ϖ, que é um infinitésimo (não pode ser zero). Assim, px implica f(p) ≈ f(x), isto é, f é contínua em todo ponto.

§30-2. Prove que y = f(x) = 1/x é contínua em x = 1. Depois prove que é contínua em todo o domínio de f. Por que ela é descontínua em x = 0?

Comece calculando f(1) = 1. Faça p = 1 + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí p ≈ 1. Além disso:

expr 24

Como a diferença entre f(p) e f(1) é um infinitésimo (pois um infinitésimo dividido por um hiper-real finito continua sendo um infinitésimo), pode dizer que p ≈ 1 implica f(p) ≈ f(1), e que f é contínua em x = 1.

Agora, para o caso em que x = x, com x real e x ≠ 0, faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo; daí px e, além disso:

expr 25

Bem, x + ϖ é um hiper-real infinitamente próximo de x, e portanto finito; x(x + ϖ) é um hiper-real infinitamente próximo de x2, e portanto finito; um infinitésimo ϖ dividido por um hiper-real finito continua sendo um infinitésimo. Assim, visto que a diferença entre f(p) e f(x) é um infinitésimo, pode dizer que px implica f(p) ≈ f(x), e que f é contínua em todo número real x de seu domínio, que é R≠0.

Por que f é descontínua em x = 0?

Bem, f é descontínua em x = 0 por definição. Reescreva a definição §29-1 para este caso: “A função f é contínua em x = 0 se, e somente se, para todo hiper-real p infinitamente próximo de zero, f(p) está infinitamente próximo de f(0).” Contudo, você não pode definir o valor de f(0), já que zero não é elemento do domínio de f.

Talvez ache interessante o que acontece nas vizinhanças de zero. Pense em dois infinitésimos positivos ϖ1, ϖ2, com ϖ1 < ϖ2; por exemplo, faça ϖ2 = 2ϖ1. Daí ϖ1 ϖ2, mas veja o que acontece com a diferença f(ϖ1) – f(ϖ2):

expr 26

Então, a diferença f(ϖ1) – f(ϖ2) não é um infinitésimo, mas um hiper-real infinito. Isso significa não apenas que f(ϖ1) ≉ f(ϖ2), mas que f(ϖ1) ∞ f(ϖ2), isto é, que f(ϖ1) está infinitamente distante de f(ϖ2). Num curso convencional de cálculo, você poderia expressar isso dizendo que, conforme x tende a zero pela direita, f(x) tende ao infinito positivo.

Não deixe de notar que, ao definir uma função contínua (em §29-1), você explicitamente restringiu a definição a números reais; essa restrição é importante, pois, como acabou de ver, quando provoca uma variação infinitesimal num infinitésimo, talvez obtenha uma variação infinita na imagem do infinitésimo. (Mais adiante nesta série, quando estudar as funções uniformemente contínuas, poderá abandonar essa restrição.)

§30-3. Prove que y = senx é contínua em todo número real r.

Pode provar essa afirmação de várias maneiras. Na mais simples delas, você começa com p = r + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Logo, pr. E então calcule senp e a diferença senp – senr. Lembrete: sen(A + B) = senAcosB + cosAsenB.

expr 27

Bem, cosϖ ≈ 1, como já provou no problema §24-1. Logo, cosϖ – 1 é um infinitésimo, e senr(cosϖ – 1) também é. (Veja o teorema 14-1.) Como também já provou no problema §24-1, senϖ é um infinitésimo, e cossenϖ também é. E daí a soma de dois infinitésimos é um infinitésimo, de modo que a diferença senp – senr é um infinitésimo (ou, conforme o valor de r, é zero). E, com isso, pode dizer que pr implica senp ≈ senr, e que a função y = senx é uma função contínua em todo x real.

§30-4. Prove que y = cosx é contínua em toda parte.

Essa prova é muito semelhante à anterior: faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, e no fim das contas estude a expressão cosx(cosϖ – 1) – senxsenϖ. Daí px implica cosp ≈ cosx, e o teorema está provado. Ou simplesmente diga que pode obter cosx com uma translação rígida de senx; logo, cosx é contínua porque senx é contínua.

§30-5. Prove que y = x·senx + 2 é contínua em x = –1. Depois prove que é contínua em toda parte.

Direto ao caso mais geral: faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí a diferença (psenp + 2) – (xsenx + 2) se transforma em xsenx(cosϖ – 1) + xcosxsenϖ + ϖsen(x + ϖ), que ou é um infinitésimo ou é zero. Logo, px implica (psenp + 2) ≈ (xsenx + 2), e a prova está concluída.

§30-6. Prove que y = cos(x2x) é contínua em x = 3. Depois prove que é contínua em x = x, com x real.

Direto ao caso x = x. Primeiro, faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí px. Vá agora para a diferença cos(p2p) – cos(x2x), na qual deve usar uma boa dose de identidades trigonométricas, especialmente cos(A + B) = cosAcosB – senAsenB.

expr 29

Bem, cosϖ2 ≈ 1, e portanto a diferença cosϖ2 – 1 é um infinitésimo; visto que cos(x2x) é um número real entre –1 e 1, a primeira parcela da última linha é um infinitésimo. Mas também a segunda parcela é um infinitésimo, já que é um número real, sen(x2x), multiplicado pelo infinitésimo senϖ2. Logo, ou a diferença cos(p2p) – cos(x2x) é um infinitésimo ou, conforme o valor de x, é zero; daí px implica cos(p2p) ≈ cos(x2x), e pode dizer que cos(x2x) é uma função contínua em todo ponto.

§30-7. Prove que y = tanx é contínua em x = 2. Onde mais ela é contínua?

Comece mais uma vez com p = 2 + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo; daí p ≈ 2. E então calcule a diferença tanp – tan2. Lembrete: tan(A + B) = (tanA – tanB)/(1 – tanAtanB).

expr 30

Você já viu no problema §24-3 que tanϖ é um infinitésimo. Logo, a última linha acima mostra um infinitésimo dividido por um hiper-real finito — mais uma vez, um infinitésimo. Sendo assim, p ≈ 2 implica tanp ≈ tan2, e isso significa que tanx é contínua em x = 2.

Se você pensar no domínio de tanx como sendo o conjunto dos reais, menos todos os valores de x com os quais satisfaz a equação cosx = 0, daí tanx é contínua em todos os pontos do domínio. (Mas, lembrete, não é uma função contínua.)

§30-8. Prove que y = √x é contínua para todo x > 0.

Comece com p = x + ϖ para algum infinitésimo positivo ϖ. Daí px. E quanto à diferença √(x + ϖ) – √x?

Formulário 4

Na primeira linha, o que fez foi multiplicar a diferença por 1, o que não altera seu valor. A questão se transforma na descoberta de que tipo de número hiper-real é o divisor.

Bem, √(x + ϖ) não pode ser um infinitésimo, pois é maior que √x, que é um real positivo. [Com a linguagem L, você pode escrever: “Para todo a, b reais, se a, b são maiores que zero, então √(a + b) > √a.” Visto que essa afirmação é válida nos reais, também é válida nos hiper-reais.] E √(x + ϖ) também não pode ser um hiper-real infinito, pois √(x + ϖ) < √(2x), e √(2x) é um número real. Logo, na última linha do formulário 4, o que obteve foi um infinitésimo dividido por um hiper-real finito não infinitésimo, isto é, obteve um infinitésimo.

O argumento para um infinitésimo ϖ negativo é quase igual a esse. Portanto, visto que px implica √p ≈ √x, a função y = √x é contínua para todo x > 0.

§30-9. Prove que a função f a seguir é descontínua em x = 0, mas contínua em todo x ≠ 0.

expr 2

Pense em x ≠ 0, e faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí f(p) = f(x) = 1 se x > 0 ou f(p) = f(x) = 0 se x < 0; nos dois casos f é contínua, pois px implica f(p) ≈ f(x).

Quando x = 0, f(0) = 1, mas f(–ϖ) = 0 para algum infinitésimo positivo ϖ. Daí –ϖ ≈ 0, mas f(–ϖ) ≉ f(0), e com isso prova que f é descontínua em x = 0.

§32-1. Por que, para provar o teorema §31-2, você precisa de um intervalo fechado e uma função contínua? Prove suas afirmações com exemplos concretos.

Para saber por que o intervalo fechado é importante, pense numa função f do tipo y = f(x) = 1/x; pode atribuir a f(x) o valor que bem entender, tão alto ou tão baixo quanto queira, e para isso basta escolher determinado valor para x. Como já viu no problema §30-2, quando x = ϖ, f(x) é um hiper-real infinito, e pode dizer isso desta maneira: “Conforme faço x tender a zero pela direita, f cresce sem limite.” Assim, no intervalo (0, 1], f não assume um valor real que seja o maior de todos; no intervalo [–1, 0), não assume um valor real que seja o menor de todos. (Aliás, f não assume nem mesmo um valor hiper-real que seja o maior de todos ou o menor de todos.)

A questão é que, se você define f num intervalo fechado [a, b], sendo f contínua, significa que, não importa que valores f assuma entre a e b, ela tem de voltar, suavemente, comportadamente, para os valores reais f(a) e f(b). É isso o que impede f de crescer sem limites — a exigência de voltar suavemente, e não aos saltos, para valores reais específicos. Eis uma analogia: pense num corredor que, durante certo intervalo de tempo, deve partir de um ponto e voltar ao mesmo ponto. Conforme treina, vai cada vez mais longe antes de começar a voltar, mas, por mais que treine, a certa altura tem de começar a voltar — não pode ir tão longe quanto queira.

Quanto à necessidade de continuidade, é fácil criar uma função descontínua que não atinge um máximo: basta pegar uma contínua que atinge um máximo, e tirar do domínio o ponto máximo.

§32-2. Mostre que a função f a seguir é descontínua em x = 0.

expr 9

Pensando no círculo trigonométrico (o círculo de raio igual a 1 com centro na origem; veja a figura 12): sempre que x = π/2 + 2πn, com n inteiro positivo, daí senx = 1. Contudo, você está lidando com a função sen(1/x). Como transformar 1/x em π/2 + 2πn?

expr 31

Figura 12

Figura 12

Se quiser, pode escrever isto com a linguagem L: “Para todo x real, e para todo n inteiro positivo, se x é igual a 1/(π/2 + 2πn), daí sen(1/x) = 1.”

expr 32

Como essa afirmação sempre é verdadeira no sistema dos números reais, tem de ser verdadeira no sistema dos hiper-reais. Pense, portanto, no infinitésimo ϖ = 1/(π/2 + 2πN), com N inteiro positivo infinito. A consequência disso é:

expr 33

Bem, f(0) = 0. Contudo, embora ϖ ≈ 0, f(ϖ) = 1 ≉ f(0), isto é, ϖ ≈ 0 não implica f(ϖ) ≈ f(0), e com isso você não tem escolha senão declarar que f é descontínua em x = 0.

§32-3. Ainda sobre a função f do problema acima: mostre que, não importa como defina f(0), f permanece descontínua em x = 0. Mostre ainda que f é contínua em todo x ≠ 0.

Primeiro, a prova de que f é contínua em todo x ≠ 0: basta ver a prova do teorema §38-1. A função 1/x é contínua para todo x ≠ 0; a função senx é contínua para todo x; logo, a composição de funções sen(1/x) é contínua para todo x ≠ 0.

Agora, definindo f(0). Já viu que pode facilmente definir um infinitésimo ϖ tal que f(ϖ) = 1. Na verdade, pode facilmente definir um infinitésimo ϖ2 tal que f(ϖ2) assuma um entre quaisquer um dos valores reais contidos na imagem de senx, que é o intervalo [–1, 1]. Por exemplo, escolha um número real r qualquer; daí senr existe, e é um dos valores reais entre –1 e 1. E defina ϖ2 assim:

expr 34

Nessa equação, N é um inteiro positivo infinito. Pode verificar como f(ϖ2) = senr ∈ [–1, 1]. Continue definindo vários infinitésimos ϖk dessa maneira, e escolha os valores de r tais que f(ϖn) ≠ f(ϖm) se nm. Daí ϖϖ2ϖ3 ≈ … ≈ ϖk ≈ … ≈ 0, mas necessariamente f(ϖn) ≉ f(ϖm) para algum par de inteiros n, m, com nm. Dessa maneira, embora um desses valores f(ϖk) possa ser igual a f(0), muitos outros são diferentes, e com isso você contradiz a definição de função contínua: “f é contínua no número real r se, para todo hiper-real p infinitamente próximo de r, f(p) está infinitamente próximo de f(r).”

Em linguagem convencional, pode dizer que, conforme x tende a zero, f(x) não tende a nenhum valor específico entre –1 e 1, ou seja, f(x) não converge.

§32-4. Mostre que a função g a seguir é contínua em toda parte.

expr 10

Bem, a função f(x) = x é contínua em toda parte, e a função h(x) = sen(1/x) é contínua em todo x ≠ 0. Logo, de acordo com o teorema §37-1, g = fh é contínua em todo x ≠ 0. (Sei que estou roubando aqui: não deveria invocar o teorema §37-1, que foi explicado depois deste problema. Mas, se quiser, pode provar desde o comecinho que h(x) = sen(1/x) é contínua em todo x ≠ 0; basta recorrer a uma tabela de identidades trigonométricas.)

E quanto a x = 0?

Use ϖ para representar um infinitésimo qualquer, positivo ou negativo. Daí ϖ ≈ 0. Embora 1/ϖ seja um hiper-real infinito, sen(1/ϖ) é um dos valores no intervalo fechado [–1, 1], que é a imagem de senx para todo x. (Se quiser, pode escrever isso na linguagem L.) Portanto, sen(1/ϖ) é um hiper-real finito, e ϖsen(1/ϖ) é um infinitésimo, pois um infinitésimo multiplicado por um hiper-real finito é um infinitésimo [ou é zero se sen(1/ϖ) for zero]. Então, g(ϖ) = ϖsen(1/ϖ) ≈ 0 = g(0). Ora, se ϖ ≈ 0 implica g(ϖ) ≈ g(0), g também é contínua em x = 0, e o teorema está provado.

§34-1. Para que o teorema §33-1 seja válido, é importante que f seja uma função contínua. Ache, portanto, uma função descontínua f tal que f(1) < 0, f(2) > 0, mas f jamais se iguala a zero no intervalo fechado [1, 2].

Pode resolver esse problema com simplicidade: adapte a função de Heaviside, que já viu no problema §30-9. Faça, por exemplo, f(x) = –1 se x ≤ 1, f(x) = 1 se x > 1. Daí f(1) = –1 < 0, f(2) = 1 > 0, mas f não se iguala a zero entre x = 1e x = 2.

§34-2. A função a seguir, como pode ver, está definida para todo número real. Prove que, apesar disso, ela é descontínua em todo número real.

expr 14

Suponha primeiro que x = r é um número racional. Depois, defina duas relações unárias: Q(x) é válida se x é racional, Irr(x) é válida se x é irracional. Daí você pode escrever, com a linguagem L, uma afirmação equivalente a esta: “Entre quaisquer dois números reais a e b, com a diferente de b, há um número irracional c.”

expr 35

Essa afirmação é verdadeira no sistema dos reais; logo, é verdadeira no sistema dos hiper-reais. Assim, se imagina um número hiper-real p tal que pr, mas pr, existe um hiper-real irracional q entre p e r. Daí qr, mas f(q) = –1 ≉ 1 = f(r), isto é, qr não implica f(q) ≈ f(r), e com isso pode dizer que f é descontínua em todo número racional.

Com argumento semelhante, pode também dizer que f é descontínua em todo número irracional, de modo que f, embora esteja definida em todo ponto, é descontínua em todo ponto.

§34-3. Use o teorema §33-1 para provar que a equação a seguir tem uma raiz real.

expr 15

Bem, presuma que x5 – 3x4 + 2x3x2 + x + 2 é uma função contínua. (Ou, se quiser, prove isso; faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, e daí tire x5 – 3x4 + 2x3x2 + x + 2 de p5 – 3p4 + 2p3p2 + p + 2; verá que a diferença é um infinitésimo.) Daí, quando x = –1, a função vale –6; quando x = 1, ela vale 2; portanto, sendo contínua, a função tem de valer zero para algum valor de x entre –1 e 1. Em outras palavras, existe no mínimo uma raiz real da equação no intervalo aberto (–1, 1).

§34-4. Prove que todo número real tem uma raiz cúbica.

Esse é um problema que começa difícil, e depois de várias tentativas vai ficando mais fácil. Um jeito de produzir a prova é começar com uma afirmação do ensino fundamental:

expr 36

Em palavras: y é igual à raiz cúbica de x se, e somente se, o cubo de y é igual a x. Essa pequena providência é útil por que é mais fácil provar que a função f : xx3 é contínua do que provar o mesmo para f : 3xy. (Leia f : xx3 assim: “A função f, tal que x leva ao cubo de x.”)

Faça p = x + ϖ para x positivo e para algum infinitésimo positivo ϖ. Daí px e (x + ϖ)3 = x3 + 3x2ϖ + 32 + ϖ3. Com isso, você pode concluir duas coisas: [a] f é contínua, pois a diferença entre x3 e (x + ϖ)3 é o infinitésimo 3x2ϖ + 32 + ϖ3, isto é, px implica f(p) ≈ f(x); [b] para x, ϖ > 0, f é estritamente crescente, pois x3 + 3x2ϖ + 32 + ϖ3 > x3, e, tirando x3 dos dois lados da desigualdade, fica com o truísmo 3x2ϖ + 32 + ϖ3 > 0.

Agora, f(0) = 0. (Ou 0 ↦ 03 = 0.) Visto que, para x > 0, 0 < x3, pode dizer que f é estritamente crescente quando x é um real não negativo.

Bem, visto que f é contínua quando x ≥ 0 e que (x + 1)3 > x > f(0) = 0, pode agora simplesmente invocar o teorema do valor intermediário (§33-1) e dizer: existe um número real y no intervalo fechado [0, x + 1] tal que y3 = x. Visto que y3 = x se, e somente se, y = 3x, você provou que todo número real não negativo tem uma raiz cúbica.

Para completar a prova, e estendê-la a números reais negativos, basta provar que f é uma função ímpar. Ora, f é ímpar se f(–x) = f(x):

expr 37

Então, se para x ≥ 0 f é contínua e estritamente crescente, e se ainda por cima é ímpar, daí, por simetria, é contínua e estritamente crescente para todo x real — e todo número real tem uma raiz cúbica.

(Há jeitos de provar isso mais facilmente ao recorrer a outras ferramentas da matemática; você verá alguns deles em outros capítulos desta série.)

§34-5. Prove que todas as parábolas são contínuas.

Use a equação mais simples de parábola: f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Daí, como antes, faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo; com isso, px. Agora, f(p) = f(x + ϖ) = ax2 + bx + c + 2 + 2axϖ + , e a diferença f(p) – f(x) é o infinitésimo 2 + 2axϖ + . Visto que px implica f(p) ≈ f(x), toda parábola é contínua.

§36-1. Estude a função f a seguir. Prove que ela é descontínua em todo número racional, mas contínua em todo número irracional.

y = f(x) = 0 se x é irracional;

y = f(x) = 1/n se x é racional e se usa m/n para representar x na forma mais simples possível, isto é, com m inteiro, n inteiro positivo, e m, n primos entre si.

Será que f é contínua nos pontos racionais?

Suponha que x = m/n é um número racional; daí f(x) = 1/n. Já sabe que entre dois números reais quaisquer, diferentes, há um número irracional, e que, se isso é verdade no sistema dos reais, é verdade no dos hiper-reais. Assim, faça p = x + ϖ para algum infinitésimo positivo ϖ, de modo que px, mas p > x. Ora, então existe um hiper-real irracional q tal que x < q < p. Pode concluir daí que xq, mas f(x) = 1/n ≉ 0 = f(q). Logo, visto que xq não implica f(x) ≈ f(q), pode dizer que f é descontínua em todo ponto racional.

Será que f é contínua nos pontos em que x é irracional?

Suponha que x é irracional; daí f(x) = 0. Mais uma fez, faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, de modo que px, mas px. Conforme o valor que escolhe para ϖ, ou p é irracional ou é racional. Se p é irracional, daí f(p) = 0 ≈ 0 = f(x), isto é, px implica f(p) ≈ f(x). E se p for racional?

Se p é racional, p = M/N para dois hiper-reais inteiros infinitos M e N. (Visto que p é um hiper-real não padrão, seria esquisito se fosse um racional comum.) Daí f(p) = 1/N. Mas será mesmo que N tem de ser infinito? Ora, se N fosse finito, M teria de ser finito também, pois p está infinitamente próximo de x, que é um número real e, portanto, finito. Mas se M, N fossem finitos, p seria um racional comum, e a diferença entre x e p seria um número real, isto é, p não poderia estar infinitamente próximo de x. Ora, visto que N tem de ser infinito:

expr 38

Então, quer p seja um hiper-real não padrão racional, quer seja irracional, px implica f(p) ≈ f(x), e pode dizer que f é contínua em todo ponto no qual x é irracional.

Só mesmo na matemática pode existir algo assim: uma função descontínua em todo ponto com abscissa racional, mas contínua em todo ponto com abscissa irracional!

§36-2. Prove que y = f(x) = x é contínua em todo ponto.

Faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí px. Mas f(p) = f(x + ϖ) = x + ϖ, e x + ϖx = f(x). Logo, px implica f(p) ≈ f(x), e a função y = f(x) = x é contínua em toda parte.

§36-3. Para todo número real r, prove que y = f(x) = r é contínua em todo ponto.

Mais uma vez, faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí px, e além disso f(p) = rr = f(x), isto é, px implica f(p) ≈ f(x); com isso pode dizer que a função y = f(x) = r é contínua em toda parte.

Se for do tipo engraçadinho, pode dizer também que a função constante é contínua.

§38-1. Prove o teorema a seguir, o que deve ser fácil, em razão do que já sabe.

Teorema §38-1. Se y = f(x) e z = g(y) são ambas funções contínuas, então z = g(f(x)) é uma função contínua.

Faça p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí, sendo f contínua, f(p) ≈ f(x). Mas, sendo g contínua, f(p) ≈ f(x) implica g(f(p)) ≈ g(f(x)), de modo que px implica g(f(p)) ≈ g(f(x)), e com isso pode dizer que z = g(f(x)) é uma função contínua.

§38-2. Use o que aprendeu com os problemas §36-2 e §36-3, mais o teorema §37-1, mais o teorema binomial, e prove que toda função polinomial é contínua.

Há várias maneiras de provar que toda função polinomial é contínua; verá aqui duas delas.

Para organizar uma prova por indução, comece afirmando o que pretende provar: a função polinomial y = f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ··· + anxn, expressão na qual usou os termos ai para indicar constantes reais e n para indicar um inteiro positivo, é contínua.

Pode invocar o problema §36-3 e dizer que a função constante y = ai é contínua; assim, y = a0, y = a1, y = a2, …, y = an são todas funções contínuas.

Invoque o problema §36-2 e diga que a função y = x é contínua. Visto que o produto de duas funções contínuas é uma função contínua (teorema §37-1), y = a0, y = a1x, y = a2x, y = a3x, …, y = anx são todas funções contínuas.

De novo: o produto de duas funções contínuas é uma função contínua; portanto, y = a0, y = a1x, y = a2x2, y = a3x2, …, y = anx2 são todas funções contínuas. E mais uma vez, ao multiplicar por x as funções y = aix2, com i ≥ 3, deve obter a seguinte lista de funções contínuas: y = a0, y = a1x, y = a2x2, y = a3x3, y = a4x3, …, y = anx3. Continuando dessa maneira, chegará à seguinte lista de funções contínuas: y = a0, y = a1x, y = a2x2, y = a3x3, y = a4x4, …, y = anxn. Finalmente, visto que a soma de funções contínuas é uma função contínua, está provado que toda função polinomial é uma função contínua.

A segunda maneira de provar isso: recorra ao teorema binomial. Considere a função a seguir, na qual an é uma constante real, x é uma variável real, e n é um inteiro não negativo.

expr 39

Faça agora p = x + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí px, e além disso, graças ao teorema binomial:

expr 40

Com a exceção da parcela anxn, todas as outras parcelas desse somatório são infinitésimos, pois você está multiplicando números reais por infinitésimos. Assim, a diferença anpnanxn é o infinitésimo anΣ(1, r)xnrϖr, de modo que px implica anpnanxn, e com isso você prova que a parcela típica de um polinômio é uma função contínua. Visto que uma função polinomial é um somatório de parcelas desse tipo, e visto que um somatório de funções contínuas é uma função contínua (teorema §37-1), pode agora dizer que toda função polinomial é uma função contínua.

§38-3. Prove que y = (x2 – 1)/(x2 + 1) é contínua em todo ponto.

Bem, x2 ≥ 0 para todo valor real de x; se x2 nunca assume o valor –1, x2 + 1 nunca se iguala a zero. Daí basta notar que dividendo e divisor são funções polinomiais: são funções contínuas. E o quociente de duas funções contínuas é uma função contínua.

Mais genericamente, se usa P(x) e Q(x) para indicar duas funções polinomiais em x, daí a função racional R(x) = P(x)/Q(x) é um quociente de funções contínuas, e portanto é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio. (Deve tirar do domínio de R os pontos nos quais Q se iguala a zero.)

§38-4. Prove que y = |x| é contínua em todo ponto.

Ora, y = |x| é o mesmo que x se x > 0 e é o mesmo que –x se x < 0, e já sabe que y = x e y = –x são ambas funções contínuas, pois são ambas polinômios em x.

Resta saber o que acontece quando x = 0.

Faça p = 0 + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí p ≈ 0. Se ϖ > 0, |p| = ϖ ≈ 0 = |0|, isto é, p ≈ 0 implica |p| ≈ |0|; se ϖ < 0, |p| = –ϖ ≈ 0 = |0|, e mais uma vez p ≈ 0 implica |p| ≈ |0|. Logo, y = |x| é contínua em todo ponto.

§38-5. Prove que, se f(x) e g(x) são duas funções contínuas em r, e se g(r) ≠ 0, daí f(x)/g(x) é contínua em r.

Se g(r) ≠ 0 e g é uma função contínua, pode invocar o teorema §37-1 e afirmar que 1/g(r) é uma função contínua em r. Invoque o teorema §37-1 uma vez mais: o produto de duas funções contínuas é uma função contínua; logo, f(r) · 1/g(r) = f(r)/g(r) é uma função contínua em r.

§38-6. Prove que, se X é um intervalo e se f é uma função contínua, daí a imagem de f em X também é um intervalo.

Chame o conjunto imagem de f em X de f(X). Suponha que a < c < b são elementos de X; daí f(a), f(c), e f(b) são elementos de f(X). Visto que f é contínua, é limitada em [a, b] (teorema §31-1), e além disso atinge um máximo e um mínimo em [a, b] (teorema §31-2). Suponha, como já fez no teorema §31-2, que f atinge um máximo em [a, b] quando x = x1, e atinge um mínimo quando x = x2, isto é, suponha que f(x1) é o valor máximo que f assume em [a, b], e f(x2), o valor mínimo. Daí, para todo f(x1), f(x2) ∈ f(X) que você obtém com esse método, f(x2) ≤ f(c) ≤ f(x1) se, e somente se, f(c) ∈ f(X), o que é a própria definição de intervalo.

§38-7. Prove que, se f é contínua em [a, b], e se f(x) é real para todo hiper-real x em [a, b], daí f é uma função constante.

Pense em dois pontos dentro do intervalo fechado [a, b]; por exemplo, x1 e x2. Faça ax1 < x2b, como pode ver na figura 13. Suponha que f(x1) = r1, e que f(x2) = r2, com r1, r2 reais. Eis uma agora uma suposição que vai obrigá-lo a descambar em contradição: r1r2; por exemplo, r1 < r2. Com o teorema que acabou de provar no problema anterior, sabe que a imagem de f em [a, b] também é contínua. Portanto, existem todos os valores reais e hiper-reais de f(x) no intervalo [r1, r2]. Suponha que p é um hiper-real não padrão tal que r1 < p < r2. (É a linha verde na figura 13.) Pelo teorema do valor intermediário, no intervalo fechado [x1, x2] existe um x3, seja padrão, seja não padrão, tal que f(x3) = p. [Em outras palavras, ao montar a curva contínua de f, você não consegue partir do ponto (x1, f(x1)) e chegar ao ponto (x2, f(x2)) sem cruzar a linha verde horizontal y = p no mínimo uma vez.] Mas f(x3) = p contradiz o fato de que f(x) é real para todo hiper-real x em [a, b]. Visto que a presunção de que r1 r2 te levou a uma contradição, deve concluir que r1 = r2, e além disso, mais genericamente, que f é constante em [a, b].

Figura 13

Figura 13

§38-8. Prove que a função a seguir é contínua apenas em x = 0.

expr 21

Suponha primeiro que r ≠ 0 é um racional. Faça p = r + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí pr. No sistema dos reais, sempre pode achar um número irracional entre quaisquer dois números diferentes um do outro. Logo, pode dizer o mesmo no sistema dos hiper-reais: existe um hiper-real irracional q tal que r < q < p (ou tal que p < q < r, se ϖ é negativo), e com isso pode dizer que qr. Mas daí f(q) = –qr = f(r). (Veja a figura 14, onde pode ver o caso r > 0, ϖ > 0.) Visto que qr não implica f(q) ≈ f(r), a função f é descontínua em todo racional r ≠ 0.

Figura 14

Figura 14

Agora, suponha que r ≠ 0 é um irracional. Faça p = r + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí pr. No sistema dos reais, sempre pode achar um número racional entre quaisquer dois números diferentes um do outro. Logo, no sistema dos hiper-reais, pode achar um hiper-real racional q tal que r < q < p (ou tal que p < q < r, se ϖ é negativo), e com isso pode dizer que qr. Mas daí f(q) = q ≉ –r = f(r). Visto que qr não implica f(q) ≈ f(r), a função f é descontínua em todo irracional r ≠ 0.

E quando x = 0?

Faça p = 0 + ϖ para algum infinitésimo ϖ, positivo ou negativo. Daí p = ϖ ≈ 0. Ache um hiper-real irracional q tal que 0 < q < ϖ (ou tal que ϖ < q < 0, se ϖ é negativo), e com isso pode dizer que q ≈ 0. Agora, ao contrário de antes, f(q) = –q ≈ 0 = f(0), pois, para todo infinitésimo positivo ϖ, –ϖ ≈ 0 ≈ ϖ. Finalmente, visto que q ≈ 0 implica f(q) ≈ f(0), a função f é contínua em x = 0. (Se p = ϖ for irracional e q racional, vai chegar a f(q) = q ≈ 0 = f(0), e mais uma vez q ≈ 0 implica f(q) ≈ f(0).)

Em resumo, f é contínua num único ponto e descontínua em todos os outros. Isso soa extraordinário, mas o gráfico de f, que pode ver na figura 15, mostra que a diferença entre os valores de f quando x é racional ou quando é irracional vai diminuindo conforme x tende a zero; com o sistema dos números hiper-reais em mente, pode dizer que, nas vizinhanças de zero, tal diferença é infinitesimal.

Figura 15

Figura 15



{41}/ Recorrendo a limites em defesa do cálculo infinitesimal

Sempre chega o dia em que o estudante de cálculo infinitesimal vai dizer a alguém: “Construir o cálculo diferencial e integral com o sistema dos números hiper-reais é muito melhor que construí-lo com limites.” E daí talvez seja obrigado a ilustrar a afirmação com um exemplo ou dois.

É hora, portanto, de comparar a definição usual de continuidade com a definição que explorou nestas seções 28 a 40.

Definição usual de função contínua. Pode dizer que a função real f de uma variável é contínua em x = a se, e somente se, para todo real ε > 0, por menor que seja, existe um real δ > 0 tal que |xa| < δ implica |f(x) – f(a)| < ε.

O que vai fazer, diante de seu interlocutor, é provar que a definição usual e a definição não usual são equivalentes.

Teorema §41-1. A definição usual de função contínua e a definição não usual de função contínua são equivalentes.

Como primeiro passo para produzir uma prova, pode escrever a definição de função contínua em x = a com lógica de primeira ordem, isto é, com a linguagem L.

Formulário 5

Formulário 5

Suponha agora que f é contínua em a segundo a definição usual, e suponha ainda que h é um número hiper-real tal que ah; em outras palavras, |ha| = ϖ para algum infinitésimo positivo ϖ. Para mostrar que f é contínua em a com a definição não usual, você precisa mostrar que f(a) ≈ f(h).

Mas se ε > 0 é um número real, daí existe um outro número real δ > 0 tal que x ∈ (aδ, a + δ) implica f(x) ∈ (f(a) – ε, f(a) + ε), como escreveu no formulário 5. (Ou, o que é a mesma coisa, se ε > 0 é um número real, daí existe um outro número real δ > 0 tal que, se |xa| < δ é uma expressão válida, então |f(x) – f(a)| < ε é uma expressão válida também.) Você sabe que isso é verdade porque supôs que f é contínua segundo a definição usual.

Visto que a afirmação no formulário 5 é verdadeira nos reais, tem de ser verdadeira nos hiper-reais; e visto que δ é real, daí certamente |ha| = ϖ < δ e, portanto, |f(h) – f(a)| < ε. Porém, visto que essa última afirmação é válida para todo ε > 0, por menor que seja, daí |f(h) – f(a)| corresponde à definição de infinitésimo, e com isso você prova que ha implica f(h) ≈ f(a).

O outro jeito de provar isso é ainda mais simples. Suponha que f é uma função contínua segundo a definição não usual, isto é, suponha que a definição não usual vale para f e que você tem ε > 0. Daí tem de mostrar que a afirmação “existe um δ > 0 tal que |xa| < δ implica |f(x) – f(a)| < ε” é válida nos reais. Tudo o que tem a fazer é mostrar que essa afirmação é válida nos hiper-reais e invocar o teorema de Łós. Contudo, nos hiper-reais, existe sim um número δ com essa propriedade: basta fazer δ = ϖ para algum infinitésimo positivo ϖ. E agora, visto que |xa| < ϖ, daí xa, e com isso f(x) ≈ f(a); portanto, |f(x) – f(a)| < ε, pois ε é um número real.

Note que as definições usuais que pode encontrar em livros de cálculo são úteis, pois quase sempre já estão escritas em linguagem muito próxima de lógica de primeira ordem. Com a prática, achará fácil transformá-las em definições válidas no sistema dos números hiper-reais. {FIM}



Acho correto considerar quantidades cuja diferença é infinitesimalmente pequena como se fossem iguais.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Uma quantidade que está crescendo ou decrescendo por uma quantidade infinitesimalmente pequena não está nem crescendo nem decrescendo.

Johannes Bernoulli (1667-1748).

Pode ver como a intuição de ambos a respeito de infinitesimais era boa; mas, vivendo nos séculos 17 e 18, não tinham ferramentas intelectuais para convertê-la em axiomas e teoremas.


Aviso. Caso veja algum erro neste capítulo ou queira tirar uma dúvida, escreva para o redator:

<ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com>.

O poder revolucionário da aritmética


{0}/ Introdução

Liping Ma, uma conhecida pesquisadora chinesa, estudou a história do currículo de matemática nos Estados Unidos e na China. Descobriu que nos EUA, assim como em muitos países ocidentais, pedagogos e políticos reduziram bastante a importância da aritmética no currículo, mas não conseguiram colocar nada melhor no lugar. Isso explica em parte os resultados medíocres que vêm obtendo há décadas.

* * *

Nota: Publiquei esta matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 36, pág. 58. A versão que vai ler a seguir foi revista e corrigida. Esta matéria funciona melhor com a entrevista pingue-pongue com Liping Ma, que pode ler clicando aqui.



{1}/ Um desafio ao leitor

Para curtir melhor a leitura desta matéria, prove a afirmação abaixo por meio de indução matemática:

Essa linha significa o seguinte: o inteiro positivo 3 divide todos os números que você pode expressar como 4n − 1, sendo n um inteiro positivo; dito de outra forma, 3 é divisor de 4n − 1 para todo nZ≥1. Concluída a prova, faça um teste: é verdade que 5 | 6n − 1 ou que 723 | 724n − 1? Consegue usar o método da indução matemática para generalizar o que descobriu?



{2}/ Liping Ma incomoda mais uma vez

Um dia, será que o homem conseguirá descobrir o melhor jeito de ensinar matemática às crianças no ensino fundamental? Todos os que buscam resposta a essa pergunta já ouviram falar de Liping Ma, uma cientista chinesa que trabalhou para grandes universidades americanas como Stanford e Carnegie Mellon. Visto que seu livro mais famoso foi traduzido para o português (Saber e Ensinar Matemática Elementar, Gradiva, 2009), Liping se tornou conhecida no Brasil. É difícil achar um autor de livros didáticos (por exemplo) que não tenha lido esse livro e alterado algum trechinho de seus próprios livros à luz do que leu em Saber e Ensinar, e que não se interesse pelo que Liping produz. Pois bem: Liping escreveu um novo artigo (A Critique of the Structure of U. S. Elementary School Mathematics, isto é, Uma Crítica à Estrutura da Matemática nas Escolas Fundamentais nos Estados Unidos), que publicou em novembro de 2013 na revista Notices of the American Mathematical Society, e de novo professores de matemática do mundo inteiro estão debruçados sobre suas palavras, tentando entender o que ela quis dizer.

Liping escreve de um jeito difícil, talvez porque primeiro escreve em chinês, e depois traduz o texto para o inglês. Escreve fragmentos de frase como “sua posição no diagrama reflete sua relação com a aritmética” e “[essa matéria assim ensinada] melhora o pensamento do estudante e enriquece seu conteúdo matemático”; no contexto em que Liping os colocou, o leitor pode interpretá-los de várias maneiras distintas. “Mesmo assim”, diz Marcelo Lellis, um conhecido autor de livros didáticos para o ensino fundamental, “acho que vale a pena ler o que a Liping Ma escreve, embora algo no artigo dela tenha me incomodado.”

As tortas da sra. Chen. No livro de 2009 (o original em inglês é de 1999), Liping descreve uma série de entrevistas que fez com professores de matemática americanos e chineses; com todos eles, conversou sobre quatro tópicos apenas, pois queria comparar a qualidade das ideias que surgiam ao longo da conversa. Estava intrigada com um mistério: de modo geral, o professor americano estudou mais que o chinês, e conhece melhor os detalhes técnicos da matemática universitária; no entanto, o professor chinês ensina melhor que o americano, como todos os testes comparativos internacionais corroboram (o Pisa, por exemplo). Ao analisar as entrevistas, Liping achou uma explicação: o professor chinês conhece melhor a matéria que vai ensinar às crianças, assim como sabe dar explicações que até uma criança entende. Num resumo bem resumido, Liping mostrou que de pouco adianta o professor ter a capacidade de provar certas características das matrizes hermitianas se ele não consegue explicar, a uma criança, os motivos pelos quais funciona o algoritmo para a divisão de números como 5,33475 por números como 6,6606993. “Nesse livro”, diz Marcelo, “ela focou mais no professor, e mostrou que, se o professor sabe bem a matéria que vai ensinar, e sabe como ensiná-la usando a linguagem das crianças, os efeitos são muito bons.”

No artigo de novembro, Liping sugere respostas a uma pergunta difícil: até que ponto o currículo, tal como os técnicos do governo o imaginam, influi no desempenho do professor dentro da sala de aula? Ou seja, até que ponto o desempenho dos professores chineses pode ser atribuído ao currículo chinês e o desempenho dos professores americanos, ao currículo americano?

Liping gasta boa parte das 14 páginas do artigo comparando a história do currículo chinês com a do americano. (Lembrando que ela analisou apenas os primeiros anos do ensino fundamental.) No fim, tomando cuidado com as palavras, afirma sua hipótese: para montar um currículo ou organizar um livro didático, os americanos partem de 13 diretrizes (ou normas, ou padrões, ou eixos; o nome não importa), que estão subdivididas em 56 itens. Por razões práticas, que Liping detalha, é impossível organizar um currículo com pé e cabeça se não existe uma ideia que unifique as 13 diretrizes, e nos Estados Unidos essa ideia de fato não existe. Os chineses, por sua vez, organizam o currículo em torno de um único assunto: aritmética. Nas escolas primárias chinesas, quando o professor ensina geometria, é para expandir e solidificar a aritmética; quando ensina pesos e medidas, é para expandir e solidificar a aritmética. Também por razões práticas, é mais fácil organizar o currículo, preparar os livros e treinar os professores se existe uma ideia com a qual amarrar todos os assuntos, assim como é mais fácil escolher o que deve ser ensinado agora e o que deve ser deixado para depois.

Há anos os americanos têm a noção de que precisam “unificar” o currículo do ensino fundamental. Num dos parágrafos do artigo, Liping escreve:

“O campo da educação matemática notou essa incoerência [de haver 13 diretrizes sem eixo central]. Quase todos os padrões [documentos do governo dizendo que assuntos a escola deveria ensinar] criados desde os anos 1960 mencionam a ideia de unificação. No entanto, essa unificação nunca se espalhou pela matemática escolar ao longo dessas décadas. Na minha opinião, o maior obstáculo à unificação é a própria estrutura de diretrizes independentes. Para conseguir que seus livros didáticos sejam adotados, as editoras têm de demonstrar a aderência às diretrizes. Em geral fazem isso ao adotar as mesmas categorias e a mesma estrutura divulgadas pelo governo. Se os materiais didáticos aderem à estrutura de diretrizes [com 56 itens] sem unificar os conceitos, isso significa que a responsabilidade pela unificação caberá ao professor. O professor capaz de fazer isso deve (1) ter um entendimento profundo dos assuntos matemáticos e (2) estar muito familiarizado com o processo pelo qual as crianças aprendem. Não é impossível produzir gente que cumpra esses dois requerimentos, mas tal produção tem um custo social muito alto. A quantidade de professores de matemática no ensino fundamental é tão grande que produzir um número suficiente de professores assim é um problema extremamente difícil.”

Na China, ao contrário, ficou mais fácil treinar os professores porque todo o currículo dos seis primeiros anos de estudos gira em torno de aritmética. Liping menciona um exercício que o estudante chinês consegue resolver sem recorrer à álgebra (isto é, consegue resolver logo depois de estudar as operações com frações, mas antes de estudar as primeiras lições de álgebra):

Problema — A senhora Chen cozinhou algumas tortas. Ela vendeu 3/5 delas pela manhã, e depois 1/4 das tortas remanescentes à tarde. Se vendeu 200 tortas a mais de manhã, comparadas com as que vendeu à tarde, quantas tortas ela cozinhou?

Liping diz que o estudante chinês, e seu professor, vão resolver o problema assim:

O estudante ocidental fica atônito com esse jeito de pensar. O que o chinês fez aqui? No numerador, colocou o resultado de uma subtração: o número de tortas vendido pela manhã menos o número de tortas vendido à tarde, que é 200 unidades; no denominador, colocou essa mesma diferença, mas na forma de frações do todo: a fração das tortas vendida pela manhã (três quintos do todo) menos a fração das tortas vendida à tarde (um quarto do todo menos três quintos); o resultado desse quociente é o número de unidades que perfaz o todo. É como se tivesse pensado: “Toda a diferença está para o todo assim como toda a diferença, expressa como fração do todo, está para 200 unidades.” O americano (e o brasileiro), por sua vez, só consegue resolver esse problema se já sabe chamar o número total de tortas de x e se já sabe um pouco de álgebra:

Liping acha que questões desse tipo servem para medir até que ponto um país ensina aritmética direito: se o professor propuser o problema da senhora Chen para crianças que acabaram de estudar as operações aritméticas com frações, mas ainda não viram álgebra, e se as crianças souberem resolver a questão, é porque compreenderam bem as ideias centrais da aritmética. Se não souberem, não compreenderam.

Em vários trechos do artigo, Liping procura ajudar seu leitor ocidental a interpretar corretamente o sentido da palavra “aritmética”. Muito brasileiro adulto, por exemplo, ouve “aritmética” e se lembra de continhas simples, de tabuada, de algoritmos memorizados com musiquinhas idiotas e decorebas. Essa visão da aritmética é tão comum nos Estados Unidos que os americanos até agora só tentaram unificar o currículo recorrendo a ideias avançadas, como a teoria dos conjuntos ou a lógica. “Uma das razões pelas quais os Estados Unidos perseguem ideias avançadas”, diz Liping num dos parágrafos do artigo, “é que o potencial da aritmética escolar para unificar todo o conteúdo do ensino fundamental não é bem conhecido.” Quando Liping usa “aritmética”, ela quer dizer “teoria dos números”, que é o nome com o qual a aritmética é rebatizada na matemática universitária. “Aos olhos do leigo, a aritmética é um patinho feio”, diz Liping; “aos olhos do matemático, é um cisne.”

Em poucas palavras, Liping está dizendo que qualquer pessoa aprende a pensar como um matemático, isto é, com criatividade e rigor, usando como matéria-prima a aritmética (= teoria dos números), e que essa matéria-prima é mais adequada para interligar todas as ideias matemáticas do ensino fundamental. (Ao resolver o problema 3 | 4n − 1, o leitor terá boa ideia do que Liping está falando.) Além do mais, a aritmética é útil no dia a dia; talvez seja a única área da matemática que todo mundo usa depois que sai da escola.

Educação como distração. Marcelo diz que, no Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) não são tão complicados quanto as diretrizes americanas. “Os PCN são mais fáceis de tratar, porque são apenas quatro frentes. Além disso, eles não pegaram, isto é, não se estabeleceram direito.” Na lista mais recente de livros aprovados pelo MEC, há livros no estilo antigo de ensinar matemática, do tipo calcule, calcule, calcule, pois ainda há muitos professores que, se não puderem dar aulas assim, não sabem o que fazer. Em resumo, para Marcelo as conclusões de Liping não se aplicam perfeitamente ao Brasil.

E mesmo que o governo tentasse implementar um currículo mais focado em aritmética, e mesmo que se esfalfasse de explicar que aritmética não é decorar a tabuada, mas sim estudar as ideias mais fundamentais da teoria dos números, fatalmente esse currículo seria mal interpretado. Fatalmente ele descambaria para a decoreba de regras e algoritmos. Até na faculdade, diz Marcelo, muitas vezes o curso de cálculo descamba para a decoreba de regras, e acaba virando um curso chato e tedioso. “Acho mais fácil ajudar o aluno a desenvolver seu raciocínio recorrendo a vários estímulos; não me parece correto um curso focado demais em aritmética: ele fecharia os horizontes.”

Mas Marcelo nem insiste muito em tais objeções; reconhece que está discutindo minúcias técnicas. Para ele, há no Brasil um problema mais importante que currículo mais focado ou menos focado em aritmética: em média, o brasileiro não faz caso de educação. Olhando bem, mesmo famílias de classe média dão pouco valor à educação dos filhos, pois na prática a encaram como uma espécie de mal necessário — como uma espécie de passatempo obrigatório até que as crianças tenham idade para fundar uma start up. Isso explica em parte por que o professor brasileiro ganha tão pouco, mesmo quando compara os salários no Brasil com os salários em países mais pobres que o Brasil. “Quanto não existe numa sociedade o comprometimento com a educação”, diz Marcelo, “metade do trabalho que todos nós fazemos, por mais bem-feito que seja, se perde.” Se o brasileiro de fato se preocupasse com educação, é bem possível que qualquer currículo funcionasse, fosse mais centrado ou menos centrado em aritmética. Afinal, o que mais interessa no ensino de matemática não é bem o conteúdo, mas a atitude. Liping Ma reconhece isso num trechinho artigo: o mais certo nem é ensinar a criança a resolver o problema da senhora Chen, mas ensiná-la a agir como um matemático, isto é, ensiná-la a acreditar que pode resolver o problema, a se concentrar no trabalho pelo tempo que for necessário, a testar exemplos e contraexemplos. Mas Liping insiste: “A aritmética escolar é o melhor assunto com o qual ensinar uma criança a aprender matemática por conta própria.”



{3}/ A solução do desafio

Como primeiro passo, a estudante (vamos chamá-la de Caroline) pôs no papel a afirmação que deveria provar: para todo n inteiro positivo, 3 divide 4n − 1. Em símbolos matemáticos, deixou assim:

Caroline sabia que, cedo ou tarde, teria de provar essa afirmação com o método da indução matemática. Então resolveu batizar a afirmação com um nome, e escolheu o nome A(n):

Antes de continuar, montou uma breve tabela para alguns valores de n. Queria ver como os números se comportam.

Viu que a afirmação A(n) vale para n = 1, isto é, viu que A(1) é verdadeira; sabia que esse passo era importante numa prova por indução. Viu também que A(n) é verdadeira até n = 4, mas não pôde tirar daí nenhuma conclusão. “O fato de que A(n) é verdadeira para n de 1 a 4”, escreveu Caroline no caderno, “não significa necessariamente que seja verdadeira para todo n.”

Decidiu desenhar. “O que significa, num desenho, 41 − 1?” Esboçou a figura 1.

Figura 1

Figura 1

As três bolas azuis representam as unidades que ficam; a vermelha representa a unidade que Caroline vai subtrair. Ela deixou visualmente claro que 41 − 1 é divisível por 3, visto que, depois das contas, sobram três bolas azuis.

Passou então a estudar o caso 42 − 1. Depois de umas poucas tentativas, chegou ao que está na figura 2.

Figura 2

Figura 2

Achou que, antes de continuar, era a hora de pôr essa figura 2 em palavras. “Posso pensar que estou trabalhando com módulos: em cada módulo, há quatro elementos, dos quais vou considerar 3 e pôr um deles à parte. Quando elevo 4 ao quadrado, na verdade multiplico o módulo básico por 4. Fico com quatro módulos de três unidades, cuja soma é divisível por 3, já que a soma de múltiplos de 3 é um número divisível por 3. Além disso, em cada módulo eu tenho um resto igual a 1. Se multiplico o módulo básico por 4, fico com quatro restos iguais a 1, cuja soma 4 não é divisível por 3. Mas, se tiro uma bola vermelha dessa soma de bolas vermelhas, daí fico com três restos iguais a 1, cuja soma é divisível por 3!”

Feito isso, Caroline decidiu escrever o inteiro 4 como uma soma, pois achou que isso facilitaria as contas.

Nessas contas, Caroline aplicou o teorema binomial para expandir a expressão dentro dos parênteses; é o notável “quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais quadrado do segundo”. Viu que “quadrado do primeiro” é o quadrado de 3, e qualquer número multiplicado por 3 é divisível por 3; “duas vezes o primeiro vezes o segundo” é, na prática, multiplicar o primeiro (3) por 2 e por 1, e de novo qualquer número multiplicado por 3 é divisível por 3; por último, “quadrado do segundo” é o quadrado de 1, que é 1. No fim dessas contas, Caroline obteve um somatório: um múltiplo de 3, mais outro múltiplo de 3, mais a unidade, que não é múltiplo de 3. Se pode desprezar a unidade, fica com uma soma divisível por 3. Com essas informações, desenhou a figura 3.

Figura 3

Depois, passou a estudar o caso 43 − 1, que na verdade é (3 + 1)3 − 1. Reconheceu que, para obter o desenho relativo a 43, bastaria multiplicar o desenho de 42 por 4, e por fim marcar a unidade que deveria desprezar.

Figura 4

Figura 4

Em palavras, escreveu: “Eu tinha um conjunto com 5 grupos de 3 unidades e 1 unidade de resto. Multipliquei isso por 4. Logo, fiquei com 4 unidades de resto. Se tirar uma dessas unidades, fico de novo com três unidades de resto, que é divisível por 3, de modo que 43 − 1 é feito de bolas que posso agrupar num número inteiro de grupos de múltiplos de 3, isto é, 43 − 1 é divisível por 3.”

Caroline sentiu que já estava pronta para examinar o sentido de 4n − 1, que é o sentido da afirmação A(n). Em primeiro lugar, usando 4 = (3 + 1) e recorrendo ao teorema binomial, examinou o que seria 4n.

Caroline viu que todas as parcelas do somatório que representa (3 + 1)n são múltiplos de 3, exceto a última, que vale 1. Logo, se tirar 1 desse somatório, obterá uma adição de múltiplos de 3, cujo resultado é um múltiplo de 3. E o que significa (3 + 1)n+1? Significa multiplicar o somatório acima por (3 + 1), assim:

Caroline, depois de pensar um pouco, descobre o que vai acontecer: “Todas as parcelas do somatório igual a (3 + 1)n são múltiplos de 3, exceto uma delas, que é igual à unidade. Ao multiplicá-las pelo 3 de (3 + 1), obterei tão somente múltiplos de 3. Ao multiplicá-los pelo 1 de (3 + 1), também obterei múltiplos de 3, exceto no caso da última parcela, que vale 1 × 1 = 1. Se eu retirar essa única parcela igual à unidade, fico apenas com parcelas que são múltiplos de 3, e desse modo o somatório será divisível por 3.” Com isso, Caroline provou que A(n) implica A(n + 1), e provou a afirmação por indução matemática.

Mas não se contentou com isso. Usando o mesmo método, viu que 4 divide 5n − 1 e que 6 divide 7n − 1. Elaborou uma hipótese:

Com essa linha, quis dizer: desde que atribua apenas valores inteiros positivos para as variáveis x e n, com x ≥ 2, verá que x − 1 sempre divide xn − 1. Depois de experimentar bastante, chegou a uma prova visual dessa afirmação, que está na figura 5.

Figura 5

Figura 5

Olhando o desenho, Caroline foi capaz de explicar o que está acontecendo: “Se organizo um quadrado com x bolinhas de lado, consigo separar x conjuntos de bolinhas com x − 1 bolinhas cada um. Sobram x bolinhas de resto, que, no desenho, pintei de vermelho. Se tiro uma bolinha desse resto, fico com x − 1 bolinhas vermelhas. Ao todo, se excluo uma bolinha, fico com x + 1 conjuntos com x − 1 bolinhas cada um. Ao somar as bolinhas desses x + 1 conjuntos, obtenho um número que é, obviamente, divisível por x − 1, pois esse número claramente vale (x + 1)(x − 1), que, fazendo as contas, é x2 − 1. Se eu agora multiplicar esse quadrado por xn, e tirar do total de bolinhas uma única bolinha, ficarei sempre com um número de bolinhas que é divisível por x − 1.”

Feito isso, só para se garantir, Caroline providenciou uma prova algébrica: fez x − 1 = a para esconder complexidade, e daí x = a + 1 e xn = (a + 1)n. Com o teorema binomial, ficou claro para ela que, não importa o valor de n, sempre obtém um somatório de parcelas que são múltiplos de a, exceto a última, que vale 1. Ao tirar essa última, o resultado do somatório vira um múltiplo de a. E assim por diante.

Fazendo tudo isso, Caroline entendeu o que Liping Ma quis dizer. Com um único problema da teoria dos números (isto é, da aritmética), pôs em prática a ideia de quadrado, o teorema binomial, o método da indução matemática, a ideia de divisibilidade; praticou a notação de somatório, recorreu à ideia de distributividade da multiplicação sobre a adição, relembrou um produto notável — e desenhou bolinhas em agrupamentos cheios de linhas de simetria, o que achou gostoso. {FIM}

Sem a pele, as penas caem


{0}/ Sobre esta entrevista

LIPING MA concluiu a oitava série, trabalhou uns anos como professora primária e entrou direto no mestrado. Por conta de sua história, dedicou a vida à resposta da pergunta: Por que o professor chinês, tendo menos anos de estudos que o americano, ensina matemática melhor na escola primária? Resposta: é por causa do enfoque em aritmética, a pele que segura todas as lindas penas da matemática.

* * *

Nota 1: Publiquei esta entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 38, página 16. A versão que vai ler a seguir foi revisada e atualizada.


 

Não acho que ‘quanto mais exercícios, melhor’; contudo, acho que ‘quanto melhores os exercícios, melhor’. No ensino de matemática, qualidade faz diferença.

Liping Ma


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{1}/ Introdução

Os chineses escrevem o sobrenome primeiro (Liping) e o nome por último (Ma), e Liping Ma prefere que a chamem de Liping. Num artigo que publicou em novembro de 2013 (A Critique of the Structure of U. S. Elementary School Mathematics, isto é, Uma Crítica à Estrutura da Matemática nas Escolas Primárias dos Estados Unidos), Liping disse que existem dois jeitos de organizar um curso de matemática para crianças: num deles, o professor usa um único assunto para interligar todas as aulas e iniciativas; no outro, não dá ênfase a nenhum assunto em particular — ora a álgebra está no palco e a resolução de problemas, nos bastidores; ora a resolução de problemas entra no palco e a álgebra se retira para os bastidores. Disse também que um país consegue ensinar matemática melhor às crianças se adota a primeira estrutura (com um único assunto no centro), e que raramente consegue ensinar matemática bem às crianças se adota a segunda (com vários assuntos justapostos). Por fim, disse que só existe um assunto que serve de eixo central para a matemática escolar: a aritmética, no sentido de “o bê-á-bá da teoria dos números”.

Num livro de 2009, Saber e Ensinar Matemática Elementar, Liping afirma que o professor no ensino fundamental deve conhecer profundamente o assunto que vai ensinar às crianças, e precisa saber também como o assunto deve ser explicado; isso é mais importante que conhecer a matemática universitária. No artigo Uma Crítica, avança um pouco mais: de modo geral, a estrutura de assuntos justapostos impede que a matemática seja bem ensinada; nesse tipo de estrutura, mesmo um bom professor obtém resultados pífios. Contudo, Liping não explicou direito certas expressões. Ela menciona “uma teoria subjacente” à aritmética escolar. Que teoria é essa? Menciona também um “sistema de definições”. Que sistema? Quais definições? Ela não explicou nada disso no artigo de propósito: está trabalhando num livro com explicações detalhadas. “Escrevi esse último artigo como uma espécie de isca”, diz Liping. “Eu pretendia fazer com que os leitores do artigo quisessem mais detalhes. No novo livro, planejo explicar com clareza o que significa uma locução como aritmética escolar ou sistema de definições ou teoria subjacente.”

[Nota 2: a entrevista foi publicada em março de 2014, mas ela ainda não lançou o livro.]



{3}/ A entrevista em si

Por que se interessou pelo ensino de matemática a crianças pequenas?

No começo da revolução cultural na China, Mao Zedong fechou todas as escolas. [Isso aconteceu em 1966.] Os líderes da revolução diziam que os professores não conheciam os agricultores, não conheciam os operários — isto é, não conheciam “o mundo real”. [Liping faz o sinal de aspas com os dedos.] Nessa ocasião, eu tinha acabado de concluir a oitava série.

Logo depois disso, a maioria dos estudantes foi enviada para lugares remotos. Mao queria que fôssemos reeducados pelos agricultores e pelos operários que viviam nos rincões da China. Fui para um vilarejo numa área rural montanhosa. Pouquíssima gente sabia ler ou fazer contas. Melhor dizendo: eles faziam contas lá do jeito deles, mas nunca tinham tido educação formal em aritmética. Então, os moradores pediram a mim e a meus colegas estudantes que déssemos aulas na escola do vilarejo. Era uma escola com uma sala só.

Passei a dar aulas de chinês e de aritmética para crianças pequenas. Não sei se você sabe, mas o sistema de escrita chinês é nacional, mas a pronúncia varia muito de lugar para lugar; eu, por exemplo, não entendia o dialeto que eles falavam no vilarejo! E, como é óbvio, eles não me entendiam também! Foi desse jeito que começou a minha carreira como professora de matemática. Dei aulas para crianças de todas as séries do ensino fundamental, e com frequência minha sala tinha alunos de três séries distintas. Trabalhei como professora por sete anos.

Mais tarde, a China reabriu o sistema formal de educação, mas eu já estava muito velha para entrar na faculdade. Visto que a legislação permitia, me inscrevi num curso de mestrado de uma universidade especial para professores atuantes, e fui aceita. Então, para resumir, parei os estudos na oitava série e os recomecei no mestrado! [risos] Pulei todo o ensino médio e a faculdade. Naquela época, contudo, a didática da matemática ainda não me interessava.

Como se interessou por didática da matemática?

Eu me inscrevi num curso de pós-graduação na Universidade do Michigan (Estados Unidos), um curso especial para professores primários, e de novo fui aceita. Não havia trabalho para mim na China, porque eu queria ser pesquisadora. Já no Michigan eu notei uma coisa curiosa, que me deixou muito surpresa: eu, que não tinha ensino médio nem faculdade, entendia melhor certos aspectos da matemática escolar que outros professores com muitos anos a mais de educação formal do que eu. Comecei a coletar dados sobre esse tema, que veio a se transformar no tema da minha vida. No livro Saber e Ensinar, comparei o que os professores americanos sabiam com o que os professores chineses sabiam. De modo geral, o professor primário na China tem menos anos de estudos que o professor primário nos Estados Unidos, mas conhece melhor a matemática escolar. O chinês conhece mais profundamente, e mais completamente, o que deve ensinar às crianças.

Não estou dizendo que um professor do primário não deva conhecer a matemática universitária. Mas o que constatei foi o seguinte: é perfeitamente possível que um professor ensine a matemática elementar muito bem sem que conheça a matemática universitária, assim como é perfeitamente possível que um professor conheça bem a matemática universitária e que mesmo assim seja um professor medíocre no ensino fundamental. Contudo, para ensinar bem a matemática elementar às crianças, o professor tem de conhecê-la profundamente. Quanto a isso, não há escapatória: ele deve saber tudo o que acontece nos bastidores; deve saber todos os porquês.

Ainda no livro Saber e Ensinar, defendi a seguinte ideia: devemos exigir que o professor do primário conheça bem a matemática que vai ensinar às crianças. Isso é factível. Mas não devemos exigir que ele conheça da mesma forma a matemática universitária. Caso conheça, tudo bem, mas nenhum país consegue produzir professores que conheçam bem ambos, pois o número de professores de matemática no ensino fundamental é muito grande. É impraticável produzir uma grande quantidade de professores que saiba profundamente os dois assuntos.

Existe um ditado chinês que diz o seguinte: Se um professor deve dar uma tigela d’água a cada um dos alunos, então deve ter consigo um balde d’água. Acho que, na média, o estudante chinês aprende a matemática elementar muito bem, muito melhor que o estudante americano; e a razão disso é que seu professor conhece a matemática que está ensinando de um jeito mais completo.

Quais foram as reações a seu artigo mais recente?

Nos Estados Unidos, assim que você pronuncia a palavra “aritmética”, as pessoas pensam em “fazer contas bem depressa”. É por isso que eu não esperava muita repercussão a meu artigo: achei que as pessoas o descartariam por conta da palavra “aritmética”. Mesmo assim, o artigo provocou muitas reações; por exemplo, vários professores de matemática me escreveram para perguntar o que eu quero dizer com “sistema de definições”. É o que vou explicar no próximo livro, que gostaria de lançar em poucos meses.

Já venho trabalhando nesse livro há uns cinco anos. Nos Estados Unidos, há livros de matemática para o professor do ensino fundamental com 600 páginas! Acho que isso é demais; um livro dessa grossura desanima qualquer um. Meu livro terá 100 páginas no máximo. No primeiro livro, Saber e Ensinar, fiz uma constatação: o professor americano estuda mais que o chinês, mas não ensina tão bem a matemática escolar. Quando bati os olhos no primeiro relatório da Califórnia, de 1963, entendi o motivo de imediato: a culpa é dessa estrutura de assuntos justapostos! [Esse documento, cujo nome oficial é ‘First California Mathematics Framework’, retirou a aritmética do centro do ensino fundamental e colocou em seu lugar os assuntos justapostos; ele teve grande influência no sistema de ensino americano.] Essa estrutura sozinha explica por que o ensino de matemática nas escolas primárias dos Estados Unidos é tão ruim. Mas como recolocar a aritmética de novo no centro do ensino fundamental?

Com o novo livro, quero que meus leitores saibam o que significa montar um curso de matemática escolar focado em aritmética. Focado em quê, especificamente? Vou explicar isso; vou explicar também como ligar a aritmética com o ato de ensinar. Se eu fosse escrever só a teoria, sem nenhuma outra firula, o livro teria 20 páginas. Mas seria um livro resumido demais para uma pessoa comum, e eu considero o professor de matemática no ensino fundamental como uma pessoa comum. Ele precisa de explicações mais demoradas.

Nenhum outro assunto da matemática pode ocupar o lugar da aritmética? Nem mesmo a geometria?

Nenhum — nem a geometria, nem a teoria dos conjuntos, nem a lógica, nem esse modismo mais recente, conhecido como “pensamento matemático”. Existe outro ditado chinês que diz o seguinte: Para ter lindas penas, você precisa da pele. É a pele que mantém as lindas penas no lugar. No ensino fundamental, a pele é a aritmética, e todo o resto são lindas penas. O problema é que as pessoas gostam mais das lindas penas, e não entendem que as penas só ficam juntas se houver a pele por baixo! [risos]

Para ser mais específica, não acho que seja possível “ensinar a pensar como um matemático” com um pouquinho de aritmética, um pouquinho de geometria, um pouquinho de estatística… Muitos professores gostam da ideia de ensinar matemática de um jeito mais criativo, com maior liberdade, mas acho que ensinar matemática sem um sistema de apoio bem claro é a receita certa para uma vida miserável! [Sistema de apoio: cronograma, livros didáticos, listas de atividades, exemplos de exercícios, etc.] Haveria muito conflito entre professores, alunos, pais, diretores de escola, governo.

O que distingue o estudante que sabe matemática do que não sabe não é a quantidade de horas que estudou?

Não acredito que exista alguém que pense assim! [risos] Para aprender matemática, o estudante realmente precisa fazer exercícios e resolver problemas. Não discuto isso. Mas não precisa resolver 100 exercícios e 100 problemas. Não acho que “quanto mais exercícios, melhor”; contudo, acho que “quanto melhores os exercícios, melhor”. No ensino de matemática, qualidade faz diferença.

Ainda sobre esse assunto, penso que as pessoas tendem a simplificar demais os problemas. Umas realmente dizem que ensinar matemática se resume a propor ótimos exercícios e problemas. Será verdade? Acho que tudo é igualmente importante: o estudante precisa de ótimas aulas expositivas (e isso significa ótimos professores, que conheçam profundamente o assunto que estão ensinando, como há anos venho dizendo), ótimos exercícios, ótimos problemas, ótimos monitores com os quais tirar dúvidas, ótimos livros que possam consultar. Ele precisa de tudo.

Seu artigo mais recente passa a impressão de que, se um país não ensina matemática bem, como é o caso dos Estados Unidos e do Brasil, não conseguirá ensiná-la bem tão cedo. É isso mesmo?

É isso mesmo. O problema não é a matemática. Não é que não existe um jeito melhor de ensinar matemática — existe. Mas o problema é a sociedade, o governo. Para as pessoas que vivem no sistema tal como ele está configurado agora, é difícil abandonar o que existe para adotar um modelo novo. Todo mundo já sabe o que esperar do modelo existente, e ninguém consegue visualizar os benefícios do modelo novo. Ainda mais vendo que as penas por aí são tão lindas!

Você gostaria de recomendar um livro sobre aritmética?

Eu gosto muito de Elementary Arithmetic: Its Meaning and Pratice, escrito por Burdette Ross Buckingham em 1947. Eu me pego relendo esse livro sempre. Contudo, é meio grande. [Tem 744 páginas.] Acho que os professores não terão paciência. [risos]

Depois do lançamento do próximo livro, quais são seus planos?

[risos ante mesmo da resposta] Eu gostaria muito de me aposentar! {FIM}


Se quiser ler o artigo mais recente de Liping Ma no original em inglês, clique aqui.

 

Um velhote e dois malandros no caixa eletrônico


Quando você vai ao caixa eletrônico, e chega a hora de digitar a senha, talvez tenha de procurar cada dígito numa lista de dígitos organizada aos pares. Talvez a tela do caixa eletrônico te mostre 0 e 3 num botão, 6 e 4 noutro, 9 e 2 noutro, 1 e 7 noutro, 5 e 8 noutro ainda. E toda vez que vai ao caixa eletrônico, os pares mudam: em cada uma das cinco posições, há um novo par de dígitos.

Vários bancos adotaram esse sistema. Até que ponto ele é mais seguro que o sistema anterior, no qual você simplesmente digitava a senha de quatro dígitos no teclado do caixa eletrônico?

Crime #1. Bem, dois malandros observam um velhote no caixa eletrônico. Quando o velhote vai embora pela rua, eles se aproximam e lhe batem a carteira. Vão a um caixa eletrônico, enfiam o cartão do banco, mas não sabem nada sobre a senha. Com o sistema antigo, podem experimentar a senha três vezes antes que o banco bloqueie o cartão. Tendo quatro dígitos, a senha pode ser qualquer uma das 10.000 opções entre 0000 e 9999. (Supondo que o banco permita repetições de dígitos.) Logo, a probabilidade de que os dois malandros acertem a senha é de ≅3/10.000, ou seja, é de 0,03%. (Se quiser, neste caso, pode pronunciar 3/10.000 como “três em dez mil”. O valor exato é 1/10.000 + 1/9.999 + 1/9.998, pois, a cada vez que o malandro erra, o número total de opções diminui por 1 unidade, já que o malandro não vai mais digitar o número que acabou de dar errado.)

Crime #2. Desta vez, os dois malandros observam o velhote várias vezes, tentando ver em que ordem digita os números no teclado do caixa eletrônico. Suponha, por exemplo, que a senha é 8341. Se o teclado está organizado como na figura 1 a seguir, os malandros verão que o velhote digita algo na parte de baixo do teclado, depois move o dedo para a parte superior direita do teclado, depois digita algo no meio, mais à esquerda, e depois algo bem acima do último dígito. Ainda continua difícil acertar a senha em apenas três tentativas, mas essa providência, a de observar o velhote algumas vezes, reduz bastante o número de possibilidades e aumenta bastante a chance de sucesso.

Figura 1

Com o novo sistema de dígitos organizados aos pares, o crime #1 continua difícil, e o crime #2 fica imensamente mais difícil.

Bem, você já sabe que, com senhas de quatro dígitos, há ao todo 10.000 possibilidades. Sabe também que o banco vai reunir os dez dígitos em cinco duplas, e que vai mostrar cada dupla numa posição na tela. Este é o momento perfeito para a pergunta a seguir: O banco, para preencher a primeira posição, pode escolher entre quantas duplas de dois dígitos?

Se quiser, pode fazer essa mesma pergunta de outro jeito: “De quantas maneiras distintas posso sortear dois dígitos entre dez dígitos?” Pense que colocou os dez dígitos numa urna, e que vai sortear dois deles ao acaso. Isso é uma combinação de dez elementos, sorteados dois a dois. Eis como pode realizar a conta e anotá-la de maneira convencional:

Então, na primeira posição, pode colocar qualquer uma de 45 duplas de dígitos de 0 a 9; talvez a primeira dupla que sorteie seja 0 e 7; talvez seja 4 e 1. Agora, para a segunda posição, há oito dígitos na urna, dos quais vai sortear dois. Para a terceira posição, há seis dígitos na urna, dos quais vai sortear dois. E assim por diante. Ao insistir em pensamentos desse tipo, o número total de maneiras distintas pelas quais pode organizar dez dígitos em cinco duplas, cada dupla numa posição, é:

Visto que, com 4 dígitos, o cliente pode ter uma entre 10.000 senhas; e visto que o banco pode mostrar os dígitos de 113.400 maneiras distintas na tela do caixa eletrônico, o número total de possibilidades agora é 10.000 · 113.400 = 1.134.000.000. Em palavras: 1 bilhão, 134 milhões de possibilidades. Esse é um sistema muito mais flexível.

Isso tudo não significa que, ao tentar adivinhar a senha, o malandro tenha de escolher três possibilidades em 1.134.000.000 de possibilidades. Imagine a história: os dois malandros bateram a carteira do velhote, não sabem nada sobre a senha, e um deles está agora diante do caixa eletrônico, querendo tentar a sorte. Ele tem diante de si cinco botões, dos quais deve apertar quatro, mas numa sequência específica. Visto que a senha pode ter números repetidos, como 0000 ou 3333, ele inclusive pode apertar quatro vezes o mesmo botão. Assim, o número de possibilidades é 5 · 5 · 5 · 5 = 625, ou seja, há 625 sequências de quatro apertos de cinco botões. Em três tentativas, a probabilidade de que o malandro acerte a senha é de 3/625, ou seja, é de 0,48%. Em outras palavras, é 16 vezes maior que 3/10.000. Contudo, o malandro não aprende nada com os erros, pois, se errar a senha uma vez, na próxima vez a tela vai mostrar outra das 113.400 possibilidades. Caso o malandro tenha a sorte de acertar a senha, ainda assim não tem como saber qual é a senha! Pois, com dois dígitos em cada botão, o número total de senhas equivalentes aos quatro botões que apertou é igual a 16 = 2 · 2 · 2 · 2. No sistema antigo, se o malandro acertasse a senha num golpe de sorte, saberia com 100% de certeza qual é a senha do velhote.

Principalmente, com o novo sistema, caso os malandros consigam ver quais quatro botões o velhote apertou, e que dígitos cada botão continha, mesmo assim não sabem qual é a senha. Essa é a vantagem do sistema novo: ele realmente deixa o espertalhão numa situação mais difícil. Depois de ver os botões e de bater a carteira do velhote, com o sistema antigo, a chance de que os malandros acertassem a senha era de 100% (eles viram os botões, isto é, viram a sequência de quatro números); com o sistema novo, é de 3/16 ou 18,75%.

Sem fazer as contas, fica difícil perceber por que os bancos adotaram esse sistema novo, mas, fazendo as contas, o matemático se pergunta por que não pensaram nisso antes. {FIM}


Observação 1. Pode ver a combinação de n elementos, que vai sortear p a p (com pn), como o número total de subconjuntos de exatamente p elementos que consegue formar com os n elementos. Em linguagem um pouco mais técnica, uma combinação é um subconjunto de cardinalidade p de um conjunto de cardinalidade n. Lembrete: num conjunto, a ordem dos elementos não importa. Assim, {A, C, B} = {C, A, B}.

Observação 2. Alguns caixas eletrônicos, como o da figura 2 a seguir, têm oito botões nas laterais da tela, quatro de cada lado. Isso significa que o banco, antes de mostrar as duplas de dígitos ao cliente, pode sortear cinco posições entre oito posições. Se o banco preencher as três posições que faltam com texto falso, por exemplo com duplas de letras (A ou F, G ou K), o número total de possibilidades aumenta bastante. Suponha que o banco faça isso, e que não divulgue a providência a ninguém, nem mesmo aos clientes. (Visto que o cliente sabe a senha, o texto falso não lhe diz nada, e em tese não atrapalha.) Daí o malandro, depois de bater a carteira do velhote, vai olhar para a tela e ver oito botões, dos quais deve apertar quatro deles na sequência correta. Daí a senha vira uma sequência de quatro botões entre 8 · 8 · 8 · 8 = 4.096 sequências possíveis. Em três tentativas, a probabilidade de que o malandro acerte a senha é de ≅0,07% e, mais uma vez, se der sorte e acertar a sequência, não tem como saber qual é a senha.

Figura 2

Observação 3. Note que alguns bancos só permitem duas tentativas de acertar a senha antes de bloquear o cartão.

Teoria dos números: muita coisa boa num assunto só


{0}/ Introdução

Esta é uma versão revisada e corrigida de uma matéria que publiquei na revista “Cálculo: Matemática para Todos”, edição 51, página 20.


{1}/ Uma lista de problemas

Tente resolvê-los antes de ler esta matéria; se fizer isso, aproveitará a leitura dez vezes mais.

1. Se for possível, ache uma fórmula com a qual calcular a soma dos n primeiros inteiros positivos. Exemplo: a soma dos cinco primeiros inteiros positivos (n = 5) é 15.

Aviso: a partir de agora, nesta matéria, “número inteiro positivo”, “número natural”, e “número” denotam a mesma entidade matemática: os números que usamos para contar — 1, 2, 3, 4, 5, etc. O símbolo do conjunto dos números naturais é N.

2. Com a exceção de 1, existem outros números triangulares que também são quadrados perfeitos? Caso existam, tente explicar, inclusive por meio de fórmulas, o modo como surgem na reta dos números e suas propriedades.

Números triangulares, números quadrados. Um número triangular é um que você pode arranjar num padrão triangular. Exemplos: 3 (duas bolinhas em baixo, uma em cima), 6 (três bolinhas em baixo, duas no meio, uma em cima), 10 (quatro bolinhas em baixo, três na camada de cima, duas na camada de cima, uma bolinha na ponta de cima), etc. Quanto aos números quadrados, são os que você pode organizar num arranjo quadrangular: 4 (um quadrado com duas bolinhas de lado), 9 (um quadrado com três bolinhas de lado), 16 (um quadrado com quatro bolinhas de lado), etc. O número 1 é tanto triangular quanto quadrado; ninguém forma um triângulo ou um quadrado com apenas uma bolinha, mas essa é uma convenção útil, já que o 1 tem as mesmas propriedades dos outros números triangulares e quadrados.

Números triangulares, números quadrados.

Um número triangular e um quadrado.

3. Some os n primeiros ímpares, para vários valores de n, e veja se identifica uma coincidência recorrente — um padrão. Se identificar, tente expressá-lo por meio de uma fórmula. Pense numa figura geométrica, ou num desenho que lembre uma figura geométrica, que sirva para justificar sua fórmula.

4. Os números 3, 5, 7 são três ímpares consecutivos que também são primos. Será que existem infinitos desses primos trigêmeos? Em outras palavras, será que existem infinitos primos p tais que p + 2 e p + 4 também são primos?

5. Os matemáticos acham que existem infinitos números primos na forma N2 + 1, onde N é um inteiro positivo; por enquanto, nenhum deles pôde produzir uma prova.

(a) Você acha que existem infinitos primos na forma N2 −1?

(b) Existem infinitos primos na forma N2 − 2?

(c) E quanto a primos na forma N2 − 3? E N2 − 4?

(d) Para quais valores reais de a você acha que existem infinitos primos na forma N2a?

6. As três linhas a seguir indicam um jeito de olhar a soma dos primeiros n inteiros positivos. Elas estão sem os detalhes. Tente entendê-las tão completamente quanto puder, ache os detalhes que faltam, e veja se alguma ideia luminosa te ocorre.

Por fim, um pouco de nomenclatura. A tabela a seguir mostra o nome de alguns conjuntos de inteiros positivos.

Conjuntos famosos de números naturais

ímpares 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
pares 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
quadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
cubos 1, 8, 27, 64, 125, …
primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
compostos 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, …
triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
perfeitos 6, 28, 496, 8.128, …
Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …


{2}/ “Um belo fenômeno natural”

Em 1941, o filósofo Ludwig Wittgenstein notou uma característica frequente nos textos de Blaise Pascal, o famoso matemático francês do século 17: “É como se Pascal estivesse sempre admirando um belo fenômeno natural”, disse Wittgenstein. “É como se, ao admirar as propriedades dos números, ele admirasse as regularidades nalgum tipo de cristal.”

Quando Wittgenstein disse “números”, quis dizer “números inteiros positivos”, isto é, os números que o homem usa para contar: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Cientistas especializados em educação infantil dizem que uma criança pequena distingue sem problemas um cabritinho de dois cabritinhos, e dois cabritinhos de três cabritinhos. Contudo, ela demora um tempão para descobrir que coisa mágica dois cabritinhos têm em comum com dois soldadinhos e duas palmas e dois beijinhos e duas rodinhas e dois bonés e dois livros. Essa coisa mágica é a ideia de 2. Já professores no ensino fundamental 1 dizem que, quando uma criança finalmente entende isso, que pode considerar a ideia de 2 à parte de quaisquer dois objetos particulares, ela fica esfuziante de alegria. (Nem todas entendem, e não é culpa delas, já que o ensino de matemática no Brasil é uma droga.)

O estudante pode ver uma manifestação desse encantamento nas definições leigas de matemática: “A matemática”, dizem os leigos, “é a ciência dos números.” (É raro um ouvinte se rebelar contra essa definição, embora ela deixe de fora uma parte enorme da matemática.) Pode ver outra manifestação no próprio texto em que Wittgenstein comenta Pascal. E pode ver outra ainda nos memes de internet sobre matemática: muitos deles tratam de truques aritméticos com números naturais, do tipo “pense num número”.

Existe uma área da matemática na qual esse encantamento surge toda hora: a teoria dos números. (Daqui em diante, TN.) Um especialista em TN se interessa justamente pelas propriedades dos números inteiros, especialmente os naturais; isto é, se interessa pelas propriedades de subconjuntos dos inteiros, e pelas correlações entre tais subconjuntos. O estudante, ao se dedicar à TN, ganha de três maneiras distintas, no mínimo:

Os ganhos de quem estuda TN

(A) Desenvolve sua técnica, o que é útil em investigações matemáticas de qualquer tipo.

(B) Pode dar vazão a seu lado “artista primitivo”, pois terá muitas ocasiões para desenhar belos padrões com bolinhas ou quadradinhos coloridos.

(C) Aprende a se tornar um bom cientista, assim como aprende a distinguir a ciência boa da ciência fajuta.

* * *

Todos os fatos. O item identificado com (C) merece umas palavras a mais. No livro A Friendly Introduction to Number Theory [Uma Introdução Amigável à Teoria dos Números], o matemático americano Joseph H. Silverman descreve os passos que o estudante costuma dar quando investiga qualquer um dos problemas da TN:

1. Ele acumula dados em conjuntos específicos, em geral dados numéricos, mas às vezes dados de natureza mais abstrata.

2. Examina os dados num conjunto e tenta ver padrões (coincidências recorrentes), assim como tenta ver correlações com os dados de outros conjuntos.

3. Formula conjecturas que possam explicar os padrões e as correlações; com frequência, expressa tais conjecturas na forma de expressões matemáticas (por exemplo, equações), ou de algoritmos (por exemplo, instruções detalhadas).

4. Para testar uma conjectura, ele coleta mais dados. Se os dados novos combinam com a conjectura, ele a mantém; se não combinam, ele a descarta e tenta elaborar uma conjectura nova. Daí repete este passo.

5. Quando está convencido de que sua conjectura é verdadeira, imagina um argumento (ou seja, uma demonstração matemática) para prová-la. Se tiver sucesso, com isso converte a conjectura num teorema.

Silverman diz que os passos 1 a 5 são importantes não apenas na TN, mas na matemática inteira. Quanto aos passos 1 a 4, são exatamente os passos da ciência: físicos, biólogos, economistas, sociólogos, químicos — todo cientista que mereça o título tenta desvendar a natureza seguindo os passos 1 a 4. (Os cientistas fajutos seguem só os passos 1 a 3, e isso quando seguem tais passos: muito fajuto nem se dá ao trabalho de coletar dados.) Quanto ao passo 5, é um privilégio exclusivo do matemático — quando prova um teorema, o matemático deixa como legado uma verdade eterna. O cientista, depois que se convence da validade de uma conjectura, não tem como prová-la de modo que dure para todo o sempre, simplesmente porque ninguém conhece todos os fatos, nem jamais conhecerá.

O melhor jeito de observar a validade dos ganhos (A) a (C) é observar como se manifestam durante a resolução de um problema. Por exemplo, o problema 1.

Resolução do problema 1. Um estudante (vamos chamá-lo de gZ5) começou com uma tabela, na qual incluiu também um desenho com bolinhas pretas. Seu objetivo era ver se identificava algum padrão. Usou o símbolo Sn para indicar a soma dos n primeiros números naturais.

gZ5 fez de tudo para achar um padrão; inclusive fatorou as somas para obter a sequência 1, 3, 2·3, 2·5, 3·5, 3·7, 22·7, etc. Não conseguiu reconhecer nenhum padrão. Teve então a ideia de adicionar mais bolinhas às bolinhas de cada passo, para completar um quadrado, e com isso esboçou a figura 1.

Figura 1

Figura 1

Depois de olhar o desenho um tempo, gZ5 chegou à seguinte hipótese a respeito desse processo no passo n:

O problema é que, nessa fórmula, há três variáveis: n, Sn, Sn−1. Mas logo gZ5 viu que, se quisesse, poderia expressar Sn−1 em termos de Sn: Sn−1 é o mesmo que Snn. Sendo assim:

Com tudo isso, gZ5 cumpriu os passos 1 a 3: coletou dados, examinou-os à procura de um padrão, viu um padrão, elaborou uma conjectura na forma de uma equação. Partiu então para o passo 4: verificar se sua conjectura explica novos dados. Para tanto, calculou S8, S9 e S10 de duas formas: com a fórmula e desenhando bolinhas.

S8 vale 36, o que combina com 28 bolinhas (S7) mais 8 bolinhas. S9 vale 45, o que combina com 36 bolinhas (S8) mais 9 bolinhas. E S10 vale 55, o que combina com 45 bolinhas (S9) mais 10 bolinhas. gZ5 viu que sua conjectura era promissora, pois explicava fatos novos. Pensou então num jeito de provar que ela era verdadeira para qualquer valor natural de n, e teve a ideia de elaborar uma prova por indução finita.

(Vamos voltar ao tema da indução matemática no futuro; dedicaremos uma matéria só para ela. Por enquanto, consulte uma enciclopédia de matemática.)

Começou criando uma proposição P(n), que é verdadeira, por hipótese, para qualquer valor natural de n:

Proposição P(n): Você pode usar a equação a seguir para calcular a soma Sn dos n primeiros inteiros positivos:

Depois, tratou de provar que P(n) vale quando n = 1, caso em que Sn vale, obviamente, 1:

O passo seguinte, numa prova por indução, é provar que, para todo k inteiro positivo, P(k) implica P(k + 1). Como sabe que P(k + 1) é o mesmo que P(k) mais k + 1 (bastou para tanto examinar o triângulo na tabela de pontos), começou com essa afirmação:

gZ5 notou que a última linha é exatamente a que obteria se tivesse aplicado a fórmula logo de cara a Sk+1. Com isso, provou que Sn implica Sn+1. E daí, visto que S1 é verdadeira e implica S2, então S2 é verdadeira; visto que S2 é verdadeira e implica S3, então S3 é verdadeira; e assim por diante para todo n natural. “Esse”, escreveu gZ5, “é o milagre da indução matemática.”

Muito estudante, tendo cumprido a missão, pararia aqui, mas gZ5 sabia que deveria dar dois passos extras. O primeiro deles é bolar outras imagens que também condigam com a fórmula para Sn, e por isso gZ5 chegou às imagens da figura 2.

As figuras 2A e 2B

As figuras 2A e 2B

Com a figura 2A, pôde visualizar precisamente a fórmula para Sn: é equivalente a metade da área de um retângulo de base n e altura n + 1. Com a figura 2B, pôde ver como deduzir a fórmula de Sn acrescentando uma linha de simetria ao triângulo de pontos original: bastou acrescentar uma diagonal com n + 1 pontos e encaixar um triângulo de Sn pontos de ponta-cabeça, e assim obter um quadrado de lados iguais a n + 1 pontos e área igual a (n + 1)2 pontos. gZ5 pôs no papel como essa área se relaciona com Sn:

Tais desenhos servem de ajuda visual para a memória; servem para melhorar a intuição sobre o comportamento de inteiros positivos; e servem como ferramenta para guardar na caixa de ferramentas com as quais resolver problemas no futuro (= forme figuras geométricas com bolinhas e quadradinhos; se possível, forme figuras geométricas com alguma linha de simetria, pois ficam mais bonitas, e é mais fácil memorizar figuras bonitas). Servem também de lembrete: qualquer que fosse o desenho do qual partisse, teria chegado à fórmula para Sn; contudo, por mais que a fórmula pareça óbvia em razão do desenho, gZ5 deve prová-la de modo que um matemático não a possa questionar. Recorrer ao princípio da indução finita é um desses modos.

O outro passo extra: gZ5 se habituou a dar uma espiada no triângulo de Pascal sempre que topa com uma sequência de números, para ver se a sequência está no triângulo. Bem, Sn é um dos elementos da ênupla ordenada infinita (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …). Essa sequência existe no triângulo de Pascal? Olhando a figura 3, viu que sim, e em duas diagonais: a diagonal C(k, k − 2) e a diagonal C(k, 2). [Você pode usar esse símbolo, C(a, b), para indicar o número de combinações que pode montar com a elementos, escolhidos b a b. Ele representa, portanto, um número binomial; mas é mais fácil incluí-lo no meio do texto. Note que as duas diagonais se cruzam no elemento C(4, 2).] gZ5 percebeu que, neste caso, k = n + 1. Decidiu explorar essa descoberta.

Figura 3: O triângulo de Pascal. Em cada quadradinho, está o valor do número binomial à sua esquerda. Lembre-se de que, no triângulo de Pascal, um número é a soma dos dois números acima dele (com a exceção do primeiro, no topo do triângulo); se houver apenas um número acima dele, é a soma desse número com zero.

À guisa de primeiro passo, provou que a fórmula para Sn equivale à fórmula para obter os números binomiais dessas duas colunas.

gZ5 achou surpreendente essa ligação entre a soma dos n primeiros números naturais com o número de combinações de (n + 1) elementos, escolhidos (n − 1) a (n − 1), ou com o número de combinações de (n + 1) elementos, escolhidos 2 a 2.



{3}/ “Por que vai um?”

Rubens Vilhena Fonseca dá aulas de cálculo e de teoria dos números na Uepa, a Universidade do Estado do Pará, em Belém. Seus alunos são licenciandos, isto é, vão um dia dar aulas de matemática no ensino fundamental 2 e médio. Sempre que acolhe uma turma de novatos, fica surpreso com o modo como o novato vê a aritmética. “Eu peço para que um dos alunos vá para a lousa e some dois inteiros”, diz Rubens, “e cedo ou tarde esse aluno diz ‘vai um’. Eu pergunto: por que vai um? Muitas vezes o aluno não sabe se explicar, e isso vale até para alunos que já dão aulas em cursinhos pré-vestibulares.” O surpreendente nessa história é que os alunos se matricularam num curso de licenciatura em matemática, isto é, eles gostam de matemática a ponto de querer transformá-la em profissão! O que as pessoas chamam de “aritmética”, diz Rubens, é quase sempre uma coletânea de truques aritméticos para realizar as quatro operações — os truques funcionam, mas a pessoa não conhece os motivos. “As pessoas usam palavras e locuções como ‘divisor’, ‘primo’, ‘resto’, ‘vai um’, ‘acrescenta um zero’, etc., como se usassem palavras e expressões da língua portuguesa: elas sabem mais ou menos o significado, mas não profundamente.”

Depois de pensar no assunto por um tempão, Rubens concebeu uma explicação interessante para o fenômeno. “De modo geral, as afirmações que encontramos em tratados de aritmética, que na faculdade muda de nome para teoria dos números, nos passam a sensação de que ‘isso é óbvio’. A aritmética dá a impressão de que é elementar. Mas assim que um aluno começa a trabalhar num desses problemas elementares, ou óbvios, percebe que ele vai se transformando, ficando grande, e vai exigindo cada vez mais matemática, cada vez mais técnicas, cada vez mais sofisticação.” Rubens faz o que pode para fazer seus alunos perceber a enrascada em que se meteram ao estudar TN, não para assustá-los, mas para que abordem a teoria do jeito certo.

“A matemática nasceu com a aritmética”, diz Rubens, “e até hoje nenhuma outra área se compara à teoria dos números. Ela é uma grande geradora de matemática; ela até hoje alimenta o restante da matemática com técnicas e métodos extraordinários. Com ela, você faz jogos de mágica, criptografa mensagens, se habitua a pensar nos bastidores da matemática de um jeito sistemático. É uma área maravilhosa.”

Num corpo humano, existem mais ou menos 7 · 1027 átomos — ou 7.000 septilhões de átomos, ou ainda 7.000 trilhões de bilhões de átomos. É átomo a perder de vista. Em outras palavras, a realidade é tão complicada, mas tão complicada, que é inapreensível; sobre ela o homem não pode ter nenhuma certeza absoluta.

E, no entanto, o homem faz ciência de boa qualidade. Como isso é possível? Um jeito de pensar nessa pergunta é olhar o esboço na figura 4, mais abaixo, e compará-lo com uma calçada real numa das ruas de Paris. O esboço não tem cores; a calçada real tem. O esboço não tem sons; a calçada real tem. O esboço não tem cheiros; a calçada real tem. O esboço permanece como está, mostrando um momento congelado no tempo; a calçada real nunca é a mesma, até porque átomos e moléculas não param quietos nem por um milissegundo que seja. Um artigo científico também é assim: um esboço estático da realidade.

Se o homem não pode ter certezas absolutas sobre a realidade, pode ter certezas absolutas sobre a matemática, que, afinal de contas, ele inventou para isso mesmo: para que pudesse ter certezas absolutas sobre alguma coisa. Rubens vive repetindo a famosa frase de Gauss: “A matemática é a rainha da ciência, e a teoria dos números é a rainha da matemática.” É isso: usando a matemática, o homem vai aumentando, devagar e sempre, sua lista de bons esboços acerca da realidade. Enquanto isso, estudando a teoria dos números, o matemático desenvolve sua técnica, se diverte desenhando bolinhas e quadradinhos coloridos, deixa aos outros matemáticos soluções novas (e perguntas novas). Além disso tudo, pratica os métodos da ciência do princípio ao fim, e deixa aos cientistas mais ferramentas com as quais esboçar a realidade.

Figura 4: Um esboço de uma rua de Paris

Figura 4: Um esboço de uma rua de Paris



{4}/ A resposta dos problemas 2 a 6

Quando você estiver trabalhando na solução de um problema já resolvido por matemáticos (como a fórmula com a qual calcular a soma dos n primeiros números naturais), não desanime com o pensamento de que é um problema já resolvido. Isso não é nenhum demérito. Rubens Vilhena diz que até matemáticos profissionais estão sempre estudando problemas já resolvidos; eles até têm uma locução para isso: “reabrir um problema”. Rubens explica: “Às vezes, estudando um problema antigo, conseguimos imaginar um novo método pelo qual resolvê-lo, ou um novo algoritmo. Às vezes conseguimos resolvê-lo com uma técnica a qual ninguém usou antes naquele problema. Tudo isso é muito válido.”

Resposta 2 (parcial)

Talvez você tenha notado que um número triangular é justamente a soma dos n primeiros inteiros positivos, com o qual o estudante de codinome gZ5 trabalhou no problema 1. Sendo assim, se existem inteiros triangulares que são também quadrados perfeitos, a raiz quadrada de tais números deve ser um inteiro também. Eis um jeito de dizer isso com notação matemática:

Depois desse passo, pode programar uma calculadora para começar com n = 1, ir de 1 em 1, e a cada passo calcular o valor de Sn e de x. Daí basta anotar numa tabela os números triangulares que também se revelam quadrangulares. (Esboço de um programa assim: a calculadora começa com n = 1, calcula Sn, e tira a raiz quadrada de Sn para calcular x. Se a parte decimal de x é zero, ela põe n, Sn e x na tabela; se é diferente de zero, ignora os resultados. Depois acrescenta 1 a n e repete o algoritmo.)

n Sn = x2 x
1 1 1
8 36 6
49 1.225 35
288 41.616 204
1.681 1.413.721 1.189
9.800 48.024.900 6.930
57.121 1.631.432.881 40.391

Que conjecturas pode levantar de uma tabela assim? Parece que existem infinitos números triangulares que são também quadrados perfeitos. Além disso, parece que tais números vão rareando, isto é, ficam cada vez mais distantes um do outro conforme n fica maior e maior. (Pode expor essa conjectura de um jeito mais preciso: conforme n tende ao infinito, a diferença entre dois números triangulares quadráticos consecutivos também tende ao infinito.) Parece ainda que n, Sn e x se alternam entre ímpar e par, nessa ordem.

Talvez tenha a ideia de fazer um desenho como o da figura 5, que ilustra o caso em que n = 8, Sn = 36 e x = 6. Eis o segredo: deve examinar uma figura dessas não como se fosse a ilustração de um caso específico, mas sim a de um caso genérico. Ela mostra várias coisas. Por exemplo, mostra que, para partir do número triangular Sn e compor o quadrado x2, você deve ter certo número exato de bolinhas nas linhas x + 1, x + 2, x + 3, …, n, que são as linhas marcadas com a letra D. Caso some as bolinhas azuis nas linhas D com as bolinhas azuis nas linhas 1 a x, tem de obter as bolinhas azuis e roxas no quadrado x2. Ao colocar tais ideias em símbolos e desenvolvê-las, deve obter linhas mais ou menos como estas:

Figura 5

Figura 5

Aqui, basta reconhecer o primeiro somatório como uma série aritmética cuja primeira parcela vale x + 1, cuja última vale n e cuja diferença é 1, e daí aplicar a fórmula da série aritmética. Usando a última linha, se fizer n = 8, obterá x2 = 36; se fizer n = 49, obterá x2 = 1.225; e assim vai. Pode portanto levantar a conjectura de que essa última linha caracteriza todos os números triangulares Sn que são também quadrados perfeitos x2. Com ela, já pode levantar alguma informações sobre o problema: n2 + n tem de ser um número par; ao dividir esse número par por 2, tem de obter um quadrado perfeito.

(Terminologia: uma série é o somatório de uma sequência; uma série aritmética é o somatório dos termos de uma sequência aritmética, conhecida na escola como “progressão aritmética”.)

Ou talvez queira organizar a equação como a seguir, e aplicar Bháskara para achar as raízes de n:

Olhando a relação entre n e x desse jeito, pode agora levantar outra conjectura interessante: o número triangular Sn é também um quadrado perfeito x2 se 8x2 + 1 for um quadrado perfeito ímpar. (Daí, ao tirar 1 de √(8x2 + 1), você obtém um inteiro par, e ao dividi-lo por 2, obtém n.)

Por enquanto, é melhor parar por aqui, pois (em tese) ainda não sabe teoria o suficiente para ir mais longe do que isso. [Ao longo das próximas edições, vamos retomar esse tema quando expusermos teoria útil; se quiser se adiantar, leia sobre a equação de Pell.] A principal técnica a guardar dessa resolução parcial é: faça um desenho que represente um caso específico, mas olhe para o desenho como se representasse o caso genérico. Isso te permitirá deduzir várias equações interessantes sobre o problema. Bem, é hora de uma pergunta importante: visto que você ainda não resolveu o problema 2, é um cientista fajuto?

Não. Você cumpriu os passos 1 a 4, não cumpriu o passo 5 (exclusivo da matemática), mas manteve seu leitor informado de tudo. Tem motivos para acreditar que, no futuro, será capaz de provar que suas conjecturas são corretas, mas, até lá, vai chamar suas conjecturas a respeito da relação entre n e x de conjecturas, de modo que não está enganando ninguém. Portanto, está agindo como um bom cientista.


Resposta 3

Como o passo 1 é coletar dados sobre o problema, talvez tenha feito uma tabela como a tabela 1. Ela sugere uma conjectura interessante: que a soma dos n primeiros ímpares vale n2. Para colocar bem essa ideia no papel, você precisa da informação de que, para todo nN, pode calcular o enésimo número ímpar com a fórmula 2n − 1. Daí basta escrever:

Tabela 1

Número n

de parcelas

Somatório Desenho
1 1 = 1  
2 1 + 3 = 4  
3 1 + 3 + 5 = 9  
4 1 + 3 + 5 + 7 = 16  
5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25  

Antes de continuar, deve fazer um desenho para um caso específico, que sirva de guia para o caso genérico, como o da figura 6 (no pé desta resolução). Ele mostra que, com n = 1, você tem uma bolinha. Com n = 2, tem quatro bolinhas, pois acrescentou uma bolinha debaixo da primeira e duas ao lado. Com n = 3, tem cinco bolinhas, pois acrescentou duas bolinhas embaixo das primeiras e três bolinhas ao lado. Com n = 6, tem 11 bolinhas, pois acrescentou cinco bolinhas embaixo das primeiras (destacadas em verde) e seis bolinhas ao lado (destacadas em roxo). A essa altura, deve achar óbvio que, para passar de n = x para n = x + 1, você vai acrescentar x bolinhas embaixo das primeiras e x + 1 bolinhas ao lado. E com isso está pronto para uma prova por indução.

Primeiro, declare o que pretende provar:

Equation-21

Agora, prova que sua afirmação vale quando n = 1:

E agora, prova que, se a afirmação vale quando n = x, então vale também quando n = x + 1. Um jeito de fazer isso é justamente adicionar 2x + 1 aos dois lados da equação para n = x. (Isso equivale a adicionar x bolinhas embaixo das que já existiam e x + 1 bolinhas ao lado.) Daí:

O lado esquerdo da igualdade é um produto notável, que vale, ainda bem, (x + 1)2. Quanto ao lado direito, faz bem se abordá-lo como uma série aritmética, isto é, a soma de uma progressão aritmética: a primeira parcela vale 1; a última vale 2x + 1; a diferença entre parcelas vale 2; e o número total de parcelas equivale a x + 1. Daí basta aplicar a fórmula pela qual calcula o valor de uma série aritmética:

Visto que (x + 1)2 = (x + 1)2, então concluiu sua prova por indução, e transformou sua conjectura num teorema: a soma dos n primeiros números ímpares é um quadrado perfeito, e vale n2. Desta vez, você cumpriu os passos 1 a 5; como os matemáticos costumam escrever, QED.

Figura 6

Figura 6


Resposta 4

Talvez tenha feito uma lista de primos entre 1 e n, e não tenha visto primos trigêmeos ímpares além de 3, 5, 7. (Rubens os chama de “tripla prima”; veja uma lista dos 100 primeiros primos na figura 7, no pé desta resolução.) E talvez tenha desconfiado de que só há dois conjuntos de primos trigêmeos: um deles é 2, 3, 5; o outro é 3, 5, 7. Como pode trabalhar nessa conjectura? Um esquema, como o da figura 8, é um bom começo.

A partir de 3, pode ver que, a cada 3 unidades, há um múltiplo de 3 — um múltiplo par, depois um múltiplo ímpar, e assim por diante. (Na figura 8, tais inteiros estão marcados com um 3 em cima.) Além disso, a figura sugere uma hipótese melhor: se p é um primo ímpar maior que 3, daí ou p + 2 ou p + 4 é um múltiplo de 3. Isso faz sentido?

Um bom jeito de continuar o argumento é tomar nota de um fato: há cinco inteiros no conjunto de inteiros consecutivos {p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4}, no qual p é um primo ímpar maior que 3. Como existe um múltiplo de 3 de três em três unidades, então no mínimo um desses inteiros é um múltiplo de 3. E com isso você deve chegar a algo como a figura 9.

O que a figura diz? Se p é um primo maior que 3, é um inteiro ímpar, e daí p + 1 é par, p + 2 é ímpar, etc. Visto que p é primo, não é múltiplo de 3. Além disso, p + 3 também não pode ser múltiplo de 3, pois, se assim fosse, p seria também, já que os inteiros múltiplos de 3 estão todos a três unidades de distância um do outro. (Veja o caso de p = 9 e p + 3 = 12.) Agora, se você escolhe p + 1 como múltiplo de 3, daí p + 4 também é. Se você tenta evitar isso, dizendo que p + 1 não é múltiplo de 3, não tem saída senão escolher p + 2 como múltiplo de 3; pois não pode evitar o fato de que no mínimo um deles tem de ser múltiplo de 3. De novo, com esse argumento transformou uma conjectura num teorema: se p é um primo maior que 3, ou p + 2 ou p + 4 é divisível por 3, de modo que a única trinca de primos ímpares consecutivos é 3, 5, 7.

Figura 7

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541}

Figura 8

Figura 9

Figura 9


Resposta 5

O melhor jeito de começar com esse problema é juntar dados numa tabela, como a tabela 2. Rubens Vilhena pede que note uma coisa: quase não há primos nas colunas N2 − 1 e N2 − 4; nas outras colunas, ao contrário, aparecem primos com boa frequência. [Na tabela, os primos estão marcados com (*).] Depois de fazer umas contas, talvez note um padrão na coluna N2 − 1: se N = 2, N2 − 1 é múltiplo de 3; se N = 3, N2 − 1 é múltiplo de 4; se N = 4, N2 − 1 é múltiplo de 5. “Assim”, diz Rubens, “o estudante pode supor que, se N = x, N2 − 1 é múltiplo de x + 1.” Essa ideia faz sentido?

Basta fatorar a expressão N2 − 1 para ver que faz:

Agora fica claro que N2 − 1 tanto é múltiplo de N + 1 quanto múltiplo de N − 1. Além disso, se N − 1 é par, N + 1 também é, e não há jeito de multiplicar dois pares para obter N2 − 1 primo. Se N − 1 é ímpar, N + 1 também é, e só existe um jeito de multiplicar dois inteiros positivos ímpares para obter um primo: multiplicar 1 por 3. Em todos os outros casos, ao multiplicar dois ímpares, mesmo que ambos sejam primos, você obterá um número composto, como quando multiplica 5 por 7. Logo, N2 − 1 só pode ser primo quando N = 2. Isso tudo fica mais claro com a figura 10, no pé desta resposta 5.

Pode usar o mesmo método com a coluna N2 − 4. Ao fatorar essa expressão, descobre que ela equivale a (N − 2)(N + 2). Se N − 2 é par, N + 2 é par também, e o produto notável N2 − 4 será par. Se N − 2 é ímpar, N + 2 é ímpar também, e com N2 − 4 obterá o produto de dois ímpares. Tal produto só será primo no caso em que N = 3, pois daí vai multiplicar 1 por 5; em todos os outros casos nos quais N é ímpar, será necessariamente um número ímpar composto.

(Você consegue provar que o produto de dois ímpares é ímpar?)

Já descobriu a regra geral na qual esses dois casos se encaixam? Se a é um inteiro positivo qualquer, daí, por pura simetria, se Na é par, N + a é par, e N2a2 é par. Se Na é ímpar, N + a é ímpar, e N2a2 é o produto de dois fatores ímpares; só será primo no caso em que Na = 1 (isto é, a = N − 1) e, além disso, N + a é primo. A expressão N2 − 16, por exemplo, não gera nenhum primo; basta ver que a = 4, e que, quando N = 5, daí (5 − 4)·(5 + 4) = 1 · 9 = 9, um múltiplo de 3.

Agora, os dois casos N2 − 2 e N2 − 3, com as quais você obtém vários primos. O que esses dois produtos notáveis têm de especial? Basta fatorá-los para notar um padrão interessante:

Essas duas linhas, mais a discussão anterior, sugerem um teorema e uma conjectura:

Teorema: Se a é um quadrado perfeito (isto é, se a = b2 para algum inteiro positivo b), daí você pode fatorar N2a e obter (Nb)(N + b), e com tal produto obterá um único primo caso haja um valor de N tal que Nb = 1 e, além disso, N + b é primo.

Conjectura: Se a não é um quadrado perfeito [isto é, se a = (√b)2 para algum irracional quadrático √b], daí você pode produzir infinitos primos com a expressão N2a.

“Essa é mais uma conjectura à espera de uma prova”, diz Rubens Vilhena. (Em outras palavras, é um problema em aberto na matemática.) Rubens e um de seus colegas na Uepa, Cleyton Muto, puseram um computador para gerar números inteiros na forma (N − √b)(N + √b), com √b sendo um irracional quadrático, e acharam interessante ver como o computador vai marcando os números primos na tabela.

(Cleyton Muto é especialista em programação de computadores. Rubens diz que, para conduzir investigações sobre teoria dos números, o matemático precisa do apoio de alguém especializado em computação. Aqui, há uma lição para o estudante de teoria dos números: é bom que ele no mínimo aprenda a usar uma calculadora científica programável. Ninguém aguenta fazer tantas contas à mão.)

Agora, o caso N2 + 1. Os matemáticos também acreditam existem infinitos primos equivalentes a essa expressão, embora ainda não tenham produzido uma prova; mas, se você a fatorou, deve ter ficado surpreso com o que descobriu:

Na expressão, i é a unidade imaginária (i2 = −1). Isso sugere uma conexão entre os números primos e o sistema dos números complexos, e com essa descoberta pode entender por que os matemáticos, para investigar os problemas típicos da teoria dos números, no fim das contas lançam mão de todo tipo de ferramenta matemática: teoria das matrizes, álgebra linear, análise, topologia, geometria algébrica.

Para examinar toda essa questão de outro ângulo, pode recorrer à ideia de função e ao gráfico de funções no plano cartesiano. Daí pode olhar N2 como se fosse a função cuja regra de correlação é y = N2; essa função correlaciona N inteiro positivo com N2 inteiro positivo, e seu gráfico é uma parábola. (Veja a figura 11.) Nesse caso, não existe nenhum ponto (N, y) tal que N seja inteiro positivo e y seja primo, simplesmente porque não pode haver um primo que seja o produto de dois inteiros idênticos. Mas, se mover a parábola para cima (para baixo) um pouquinho, conforme o valor que adiciona (subtrai) à ordenada de cada ponto da parábola, daí talvez alguns valores naturais de N levem a valores primos de y. É o caso de subir a parábola por 1 unidade, e ficar com a parábola N2 + 1, que correlaciona N = 4 com y = 17. (Figura 12.) É por isso que, talvez um dia, alguém consiga usar as ferramentas da geometria de coordenadas para provar que existem infinitos primos na forma N2 + 1, bastando para tanto mover a parábola y = N2 assim e assado.

Tabela 2

N N2 + 1 N2 − 1 N2 − 2 N2 − 3 N2 − 4
1 2 (*) 0 −1 −2 −3
2 5 (*) 3 (*) 2 (*) 1 0
3 10 8 7 (*) 6 5 (*)
4 17 (*) 15 14 13 (*) 12
5 26 24 23 (*) 22 21
6 37 (*) 35 34 33 32
7 50 48 47 (*) 46 45
8 65 63 62 61 (*) 60
9 82 80 79 (*) 78 77
10 101 (*) 99 98 97 (*) 96
11 122 120 119 118 117
12 145 143 142 141 140
13 170 168 167 (*) 166 165
Figura 10

Figura 10

Figura 11

Figura 11

Figura 12

Figura 12


Resposta 6

Aqui, depois de estudar o enunciado bastante tempo, cedo ou tarde talvez atine com uma ideia que Rubens Vilhena costuma demonstrar em sala de aula:

Com tais manipulações algébricas, mais a figura 2A, você pode entender uma anedota apócrifa sobre o matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Quando era criança, na escola, um dia o professor pediu à classe que somasse os inteiros de 1 a 100. Diz a lenda que o professor queria sossego, e por isso pediu à classe para se ocupar com um somatório interminável. Em instantes, Gauss concluiu a conta: 5.050.

Note que pode usar o mesmo método para facilmente extrair a fórmula pela qual calcula uma série aritmética. Imagine uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 e o último, an.

Numa PA, cada termo equivale ao termo anterior mais uma diferença d.

Para adicionar os termos dessa PA, use o mesmo método do menino Gauss: adicione o primeiro termo ao último, o segundo ao penúltimo, o terceiro ao antepenúltimo, e assim por diante até adicionar o antepenúltimo ao terceiro, o penúltimo ao segundo, e o último ao primeiro. Note que cada uma dessas n somas terá o mesmo valor, que é 2a1 + (n − 1)d; e daí, ao adicionar n parcelas com tal valor, obterá duas vezes o valor da soma que procura, já que cada termo da PA original foi contado duas vezes:

Com umas poucas manipulações algébricas, pode reescrever a expressão acima num formato mais fácil de recordar:

Em palavras: para calcular o valor de uma série aritmética, adicione a primeira parcela à última, multiplique esse valor pelo número de parcelas, e divida a coisa toda por 2.

Pensando bem, a teoria dos números é uma coisa incrível. Com ela, você soma todos os 100.000 termos de uma PA com três operações aritméticas simples! {FIM}



P. S. A partir desta matéria, vou tratar de problemas da teoria dos números com maior frequência. Não perca!

Observação (1 Março 2017): Há outra postagem muito legal sobre teoria dos números neste blogue, chamada Lendo Andrews, Capítulo 1. Para vê-la, clique aqui.