Por que ler filósofos como Nietzsche

Nietzsche aos 25 anos

O filósofo alemão Friedrich Nietzsche (1844-1900) afirmou certa vez num de seus textos: a ideia do “eterno retorno do mesmo” havia sido seu pensamento mais importante. Só que, como todos os leitores assíduos de Nietzsche sabem, em nenhum de seus livros ele explicou esse pensamento detalhadamente, assim como em nenhum lugar escreveu um argumento formal para defender sua importância. Ao contrário, em todas as vezes que Nietzsche mencionou o eterno retorno do mesmo (foram poucas), ele foi conjectural demais, oblíquo demais, metafórico demais, abstrato demais. Só nos últimos cem anos, apesar disso, 18 filósofos de primeira linha (entre eles Paul Katsafanas, Alexander Nehamas, e Bernard Williams) discorreram sobre o eterno retorno do mesmo em 21 livros. Williams, por exemplo, tratou do assunto num capítulo do livro The Sense of the Past, de 2006 — que é difícil e bonito.

Por que filósofos de primeira linha gastam seu tempo com um pensamento que o autor original mencionou poucas vezes, e não se deu ao trabalho defender com argumentos detalhados?

Para entender o motivo, sugiro um problema de matemática discreta. Você tem um globo de sorteio, como os globos usados no sorteio da Mega-Sena; e tem oito frascos de esmalte para unhas organizados em fila diante de você, cada um de uma cor: C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8.

Suponha que no globo haja apenas uma bola, a bola B1. Você vai girar o globo, a certa altura vai sortear uma das bolas ao acaso, e vai fazer uma pequena marca na bola com o esmalte de cor C1. Vai devolver a bola para o globo e repetir o processo, mas desta segunda vez vai pintar a bola sorteada com a cor C2. E assim por diante: só vai parar quando tiver usado cada um dos oito frascos de esmalte exatamente uma vez, para fazer uma marca numa das bolas do globo, sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de que pinte a bola B1 com todas as oito cores?

Ora, é 100%. Pois só há uma bola no globo, que é justamente a bola B1. Sempre que parar de girar o globo, a bola que vai cair no dispensador é a bola B1.

Suponha agora que há duas bolas no globo, a bola B1 e a B2. Qual é a probabilidade de que, seguindo o método acima (retira uma das bolas do globo, faz nela uma marquinha de esmalte, devolve a bola ao globo, e usa cada frasco de esmalte exatamente uma vez), pinte uma das bolas com todas as oito cores?

Vejamos. Quando tiver terminado a operação toda, há 256 situações possíveis: [1 × (8 + 0)], significando que só existe uma maneira de pintar a bola B1 com oito cores e a bola B2 com zero cores. (Estou usando aqui a ideia de combinação: com oito cores, de quantas maneiras pode montar subconjuntos distintos de oito cores? De uma maneira apenas.) Da mesma forma, [8 × (7 + 1)], pois há oito maneiras de pintar a bola B1 com sete cores e a bola B2 com uma cor. (Ou seja: com oito cores, há oito maneiras de montar subconjuntos distintos de sete cores cada um.) Perseguindo pensamentos desse tipo: [28 × (6 + 2)], [56 × (5 + 3)], [70 × (4 + 4)], [56 × (3 + 5)], [28 × (2 + 6)], [8 × (1 + 7)], e por fim [1 × (0 + 8)]. Logo, a probabilidade de que pinte a bola B1 com oito cores vale 1/256; a probabilidade de que pinte a bola B2 com oito cores vale 1/256; e a probabilidade de que pinte uma das duas bolas B1 ou B2 com oito cores vale 2/256 = 1/128.

Há um jeito mais abstrato, e mais simples, de calcular essa mesma probabilidade. Você pega o esmalte de cor C1 e vai sortear uma das duas bolas. Quanto vale a probabilidade de que a bola B1 caia no dispensador? Vale 1/2. Agora pega o esmalte C2 e vai sortear uma das duas bolas. Quanto vale a probabilidade de que a mesma bola B1 caia no dispensador? Mais uma vez, vale 1/2. Continuando assim, qual é a probabilidade de que pinte a bola B1 com todas as oito cores?

Faça as contas da mesma maneira para a bola B2, e da mesma maneira vai chegar à probabilidade de que pinte a bola B2 com todas as oito cores: 1/256. Assim, a probabilidade de que pinte uma das duas bolas B1 ou B2 com oito cores vale 1/256 + 1/256 = 2/256 = 1/128.

E se tiver três bolas no globo, a bola B1, a B2, e a B3? Qual é a probabilidade de que, recorrendo ao mesmo procedimento, pinte uma delas com todas as oito cores?

Use agora o método mais abstrato, pois o das partições fica complicado demais com três bolas. Ao pegar o esmalte C1, a probabilidade de que caia a bola B1 no dispensador vale 1/3. A probabilidade de que a bola B1 caia todas as vezes que vai pintar uma das bolas com uma das cores (exatamente uma vez) vale:

E a probabilidade de que pinte uma das três bolas B1, B2, ou B3 com todas as oito cores vale:

Pensando dessa mesma maneira, usando o mesmo procedimento, a sequência de probabilidades para que pinte uma bola entre uma bola com as oito cores, uma bola entre duas bolas com as oito cores, uma bola entre três bolas com as oito cores, e assim por diante, é a sequência a seguir.

Por que comecei com Nietzsche, o eterno retorno do mesmo, e pulei para a tarefa de pintar bolas sorteadas ao acaso com a ajuda de um globo de sorteio? Imagine cada uma das cores como sendo uma das características de um filósofo extraordinário.

(C1) Ele (ou ela) se sente coagido, por sua própria personalidade, a pensar sobre os grandes assuntos: conhecimento, razão, verdade, mente, liberdade, destino, identidade, deuses, bondade, justiça, beleza. Ele nunca acha que pensar sobre tais assuntos é perda de tempo ou é pecado, e pensa neles enquanto cozinha, enquanto desce as escadas de uma estação de metrô, até mesmo enquanto conversa.

(C2) Dá valor a conceitos, ideias, palavras, procedimentos, crenças. Sabe que tais coisas são a matéria-prima do pensamento, e que determinam, em grande medida, o modo como vemos o mundo, nos relacionamos com ele, e atribuímos valor às coisas que acontecem, tanto dentro de nós quanto fora de nós.

(C3) Ele se esforça, tanto quanto pode, para dar respostas precisas a perguntas difíceis — “Será possível que uma parcela importante dos livros de filosofia contenha pura e simplesmente preconceitos populares, mas numa linguagem engrandecedora?”

(C4) Tem uma profunda capacidade de autoanálise, de introspecção. Percebe mudanças sutis em seus sentimentos, emoções, ímpetos instintivos, e percebe as consequências de tais mudanças em seus pensamentos — e vice-versa.

(C5) Tem uma imensa capacidade de lidar com alternativas. Gosta de comparar vários argumentos distintos; gosta de pensar ora como um devoto cristão e ora como um cético ateu. Gosta de conversar com pessoas que pensam de maneira discrepante à dele, ou até mesmo de maneira completamente oposta.

(C6) Sente uma vontade veemente de manter um conjunto consistente de crenças. Se percebe que duas de suas crenças não podem ser ambas verdadeiras nas mesmas situações, mas que está agindo como se fossem verdadeiras, não sossega enquanto não decide qual delas deve modificar ou abandonar.

(C7) Dá valor à imaginação e a seus frutos — literatura, arquitetura, teatro, cinema, matemática, música. Subscreve o mote inspirado no pintor espanhol Goya: “A imaginação, abandonada pela razão, produz monstros: unida a ela, torna-se a mãe de todas as artes e a fonte de suas maravilhas.”

(C8) Sente-se à vontade na posição de cético moderado, ou mesmo na posição de pessimista ligeiramente otimista, pois muitas vezes na vida pensou, pensou, e pensou até que chegou à conclusão de que só podia chegar a conclusões provisórias. “Quando lidamos com essas doutrinas tão sublimes”, escreveu certa vez o filósofo britânico Simon Blackburn, “parece que sempre há palavras melhores logo ali, depois do horizonte — se apenas pudéssemos alcançá-lo!”

Depois de imaginar cada uma das oito cores como sendo uma característica de um grande filósofo, pense no seguinte: todos os anos, nascem no Brasil mais ou menos 2 milhões e 900 mil crianças. Suponha que, todo ano, a deusa Fortuna sorteia as oito características entre as crianças brasileiras nascidas naquele ano. Qual é a probabilidade de que uma delas fique com todas as oito características? — Qual é a probabilidade de que Fortuna pinte uma das crianças com todas as oito cores?

É mais ou menos a probabilidade de jogar um dado comum 58 vezes para cima, e tirar o lado igual a 6 em todas as 58 vezes!

Isso significa que filósofos da estirpe de Platão, Aristóteles, Spinoza, Locke, Hume, Kant, Nietzsche, e Wittgenstein são incrivelmente raros. Eles são aberrações da Natureza — no sentido estrito do termo, isto é, são desvios extremos da média. É por isso que os filósofos profissionais passam a vida estudando tais autores, especialmente quando um deles, feito Nietzsche, diz que certo pensamento é importante. Não importa que ele se absteve de desenvolver o pensamento do modo como os filósofos atuais, que são professores universitários, são obrigados a fazê-lo por imperativo profissional — se é Nietzsche, e se disse que é importante, então deve ser mesmo importante.

Em todas as vezes que Nietzsche pediu ao leitor que considerasse o eterno retorno do mesmo, pediu na verdade que considerasse um experimento mental: a ideia de que todos os eventos do mundo, do maior terremoto ao mais delicado pensamento, vão se repetir da mesma forma, na mesma ordem, não apenas uma vez, não apenas duas vezes — mas infinitas vezes. Como o leitor se sentiria se tivesse de repetir sua vida infinitas vezes, tudo do mesmo jeito, tudo na mesma ordem — os mesmos gestos, as mesmas lágrimas, as mesmas decisões? Nietzsche está fazendo mais ou menos como o cônjuge A que pergunta ao cônjuge B: “Você se casaria comigo de novo, se a história toda se repetisse?” Para responder a uma pergunta desse tipo, o cônjuge B tem de avaliar o casamento — e da mesma maneira a ideia do eterno retorno do mesmo exige do leitor uma avaliação da vida. O cônjuge B talvez não se importasse de casar de novo com a mesma pessoa uma vez mais, ou duas vezes mais, ou dez vezes mais — mas e quanto a infinitas vezes mais?

De acordo com o filósofo americano R. Lanier Anderson, são três as principais características do eterno retorno do mesmo:

(a) O passado se repete, e assim aquilo que uma pessoa experimentou até aqui, vai experimentar de novo.

(b) O passado se repete da mesmíssima maneira, até o mais ínfimo detalhe.

(c) O passado se repete da mesmíssima maneira infinitas vezes.

Com a repetição (a), parece que Nietzsche pretendeu forçar o leitor a levar o passado em consideração, em vez de esquecê-lo. Visto que o homem não pode mudar o que já aconteceu, mas supõe que pode mudar o futuro, tende a deixar o passado para trás e a se concentrar exclusivamente no futuro. Tipicamente, o homem é orientado a futuro. Para Nietzsche, esse jeito de olhar a vida é um jeito de desvalorizar a vida — e é muito reforçado pela religião cristã, com foco no paraíso do fim dos tempos. Com o eterno retorno do mesmo, Nietzsche obriga o leitor a atribuir valor a sua vida ao considerar a vida como um todo — “da capo”, como escreveu no aforismo 56 de Além do Bem e do Mal. Com a repetição da mesmíssima maneira (b), Nietzsche força o leitor a avaliar sua vida honestamente, isto é, sem excluir nenhum momento, sem alterar nenhum momento, por mais doloroso ou vergonhoso que seja. Não vale dizer: “Ah, da próxima vez eu faço assim e assado — da próxima vez, será melhor.” Isso não serve como avaliação honesta do que o leitor fez.

A característica mais interessante do experimento mental é a (c), a repetição infinita da vida tal como transcorreu, tim-tim por tim-tim. Pois com (c) o leitor se vê obrigado a dar imensa importância ao presente, ao agora, a cada palavra que está para dizer, a cada gesto que está para fazer — a cada decisão que está para tomar. A cada minuto, o leitor tem a oportunidade de tornar toda a história até aqui mais harmoniosa — mais valiosa. Um gesto agora, se for divinamente bem pensado, talvez redima o leitor de um erro passado, ou de vários, e deixe a vida como um todo mais bonita. Em vez de se lamentar pela infância indigna, não seria o caso de escrever um romance? Em vez de lamentar pelas injustiças que sofreu na Empresa X, não seria o caso de organizar um sindicato? Em vez de se lamentar pela doença constante, pela dor de cabeça e pelos vômitos, não seria o caso de escrever sobre o homem o mais saudável que possa existir? Mais uma vez, Nietzsche pretende forçar o leitor a se livrar de certos hábitos cristãos de pensamento, que estimulam o crente a encarar a vida atual como um mero teste de fé, a troco de uma vida futura no paraíso, batendo palmas e cantando. Para Nietzsche, isso é um jeito triste de viver; pois ele prega alegria com a vida real, tal como foi, tal como é. “Os poetas são descarados com suas memórias do passado: eles as exploram”, escreveu no aforismo 161 de Além do Bem e do Mal. A cada minuto, o leitor tem a oportunidade de fazer com sua vida o que os poetas fazem com seus versos — a oportunidade de acrescentar alguma ação que fará a coisa toda rimar, que transformará a vida inteira em algo “transfigurado, elegante, selvagem, e divino” (aforismo 188).

A vida não é um teste de fé a troco de um paraíso futuro, sugeriu essa criação tão improvável da Fortuna, chamada Nietzsche, com a ideia do eterno retorno do mesmo. A vida infinitamente repetível serve para que o homem descubra “o reino de nossa invenção” (aforismo 223), “o reino no qual nós também podemos ser originais” — o reino no qual nós, “os palhaços de Deus”, agimos somente quando a perspectiva de agir da mesma maneira infinitas vezes nos provoca a vontade de “uma risada espiritual”. {Fim}



Observações:

1. Listei oito características dos grandes filósofos, mas provavelmente eles têm mais do que oito características marcantes. Suponha que têm k características distintas, com k inteiro positivo. Em outras palavras, suponha que vai pintar as bolas do globo de sorteio com k cores distintas. A probabilidade de que pinte qualquer uma das n bolas do globo com todas as k cores, usando cada frasco de esmalte exatamente uma vez, vale n·(1/n)k, isto é, o valor dessa probabilidade diminui conforme aumenta o valor de n ou o de k; além disso, no caso de k, diminui exponencialmente.

2. É claro que a deusa Fortuna não tem apenas um kit de esmaltes para pintar as crianças brasileiras todo ano. Provavelmente, tem mais de um kit, isto é, vários frascos da cor C1, vários frascos da cor C2, etc. Portanto, a probabilidade de que uma criança brasileira tenha todas as características de um grande filósofo é maior do que a que calculei neste texto. Contudo, ainda assim é baixa, especialmente se a lista de características marcantes tem mais de oito itens, como acho que na verdade tem.

3. A ideia de que o eterno retorno do mesmo é um experimento mental foi defendida principalmente por Alexander Nehamas num livro de 1985: Nietzsche: Life as Literature. Nem todos concordam com Nehamas, pois dizem que Nietzsche acreditava efetivamente no eterno retorno, que não era, portanto, um experimento mental, mas sim uma tese metafísica. Quanto a mim, acho bem possível que Nietzsche tenha começado acreditando na verdade efetiva do eterno retorno do mesmo, mas, com tempo, percebeu que o valor de verdade da tese não faz diferença — seus efeitos continuam relevantes mesmo que seja vista como fábula. Esse é um movimento comum na filosofia de Nietzsche: primeiro ele propõe uma afirmação como se fosse verdadeira, mas depois explora suas consequências como se fosse fábula. É o jeito nietzscheano de dizer: Se este pensamento é verdadeiro ou falso, não importa, pois é essencial àqueles que buscam “a virtude dos filósofos”, isto é, a honestidade a mais brutal que possa haver. Nietzsche achava que honestidade vale muito mais que verdade.

4. Quanto à ideia de comparar o eterno retorno do mesmo com a famosa pergunta “Você se casaria comigo de novo?”, é da filósofa americana Maudemarie Clark, e está no livro Nietzsche on Truth and Philosophy, de 1990.

5. ‘Da capo’ é uma expressão latina usada por músicos quando querem passar o comando de que devem recomeçar uma peça desde o início. Ela significa justamente “desde o início”. Quem já viu uma orquestra sinfônica ensaiando sabe que, de vez em quando, o maestro interrompe a peça, dá uma bronca em todo mundo, e por fim diz: “Vamos lá, pessoal — da capo!”

6. Quando digo “o homem”, quero me referir ao conjunto {x : x é um dos indivíduos que compõem a espécie humana}.

7. Existe uma biografia esplêndida de Nietzsche, publicada em 2018 pela escritora anglo-norueguesa Sue Prideaux: I Am Dynamite! A Life of Friedrich Nietzsche. A autora mostra, com texto claro e gracioso, a absurda quantidade de coisas que devem acontecer no mundo para que um grande filósofo surja, se desenvolva, seja reconhecido, e passe a fazer parte da cultura.

 

Na matemática, o estudante tem de domar a impressão de movimento

Assim como nos quadrinhos, na matemática tudo está sempre paradinho da silva — e nisso reside seu incrível poder. No entanto, dentro da mente, tanto os quadrinhos quanto a matemática parecem superproduções cinematográficas. Dentro da mente, os objetos da matemática se movem. O estudante, para que possa avançar a passos firmes, tem de aprender a domar a impressão de movimento.


{1}/ Hipóteses e teses na geometria

Professores de matemática não são malvados. Não é isso. É que, de vez em quando, eles gostam de ver se seus alunos estão acordados.

Uma vez, um desses professores pegou giz e régua T, foi à lousa e desenhou o conteúdo da figura 1 no maior capricho. Concluído o desenho, perguntou à classe:

“Pessoal: qual é o valor de x?”

Vários alunos reagiram assim:

a) Os triângulos são semelhantes.

b) O comprimento de cada lado no triângulo maior vale duas vezes o comprimento do lado equivalente no triângulo menor.

c) Logo, como está para lá de óbvio, x vale 12.

Carlos Nely C. de Oliveira, coordenador do curso de matemática no Colégio Bandeirantes em São Paulo (SP), diz que o estudante costuma cometer esse erro porque não entende o que é hipótese ou tese. “Essa é uma tremenda deficiência conceitual, apesar de comum”, diz Carlos: “de modo geral, o aluno não sabe o que é premissa, o que é dado, o que é inferido.” Em outras palavras, o jovem não sabe que todo matemático prova a verdade de um teorema mais ou menos do mesmo jeito: parte de axiomas, definições, e regras de inferência para mostrar que, se alguém assume a verdade e a validade dos axiomas, das definições, e das regras de inferência, tem de aceitar a verdade do teorema. Em palavras mais simples: se a hipótese é verdadeira (e ela pode ser um conjunto de afirmações), e se a lógica do raciocínio não contém erros, então a tese (o teorema) é verdadeira também. Mais ou menos assim:

Teorema. É a tese que você pode inferir, por meio de raciocínio lógico impecável, da hipótese e de outras verdades já conhecidas. Esquematicamente: (hipótese & verdades já conhecidas & raciocínio lógico impecável) tese.

Conclusão inescapável: para provar um teorema, o estudante precisa saber o que tais palavras significam.

Para compreender melhor o que Carlos está dizendo, um estudante (de codinome Bloomfield) atacou o problema da lousa prestando maior atenção às palavras “hipótese”, “tese”, e “recíproca”. Como primeiro passo, produziu a figura 2, e em seguida escreveu no caderno: “O teorema de Pitágoras diz que, se num triângulo um de seus ângulos é um ângulo reto, como desenhei na figura 2, então c2 = a2 + b2. Vou chamar a afirmação ‘um dos ângulos do triângulo é reto’ de ‘afirmação A’, e a afirmação ‘c2 = a2 + b2’ de ‘afirmação B’.” Daí escreveu no caderno:

A B

A é a hipótese, B é a tese, e já estou careca de saber que essa implicação é verdadeira, ou seja: se essa hipótese é verdadeira, então essa tese também é. Não quero me estender nisso. Estou mais interessado na recíproca dessa implicação, isto é, na recíproca desse teorema.” [Sobre esta última frase, veja a seção 2.] Bloomfield pôs no caderno a recíproca de A B.

B A

E daí começou a trabalhar. Reescreveu a afirmação B: “Num triângulo cujos lados medem a, b, c, e no qual c > a, b, a equação c2 = a2 + b2 é verdadeira.” Chamou de θ o ângulo entre a semirreta com a qual mede a e a semirreta com a qual mede b, e daí aceitou como verdadeira a lei dos cossenos. (Ele pode fazer isso porque é possível provar a lei dos cossenos sem recorrer ao teorema de Pitágoras.)

Na expressão à direita, substituiu a2 + b2 por c2.

Tirou c2 dos dois lados e dividiu toda a equação por –2ab.

Chegou ao momento de uma pergunta importante: “Qual é o ângulo θ tal que seu cosseno vale 0 radiano?” Essa informação existe em qualquer dicionário de matemática, no verbete sobre funções trigonométricas: se cosθ = 0 e se 0 < θ < π (como é o caso num triângulo não degenerado, no qual qualquer um dos ângulos internos é maior que zero e menor que π), então obrigatoriamente θ = π/2 (ou θ = 90°). “Sei que, se o teorema de Pitágoras é verdadeiro, não necessariamente sua recíproca é verdadeira”, escreveu Bloomfield. “Mas, por meio da argumentação que acabei de esboçar, posso dizer que a recíproca do teorema de Pitágoras é verdadeira.”

Feito isso, Bloomfield pegou um manual de lógica e descobriu que, se A B e se também B A, então pode escrever A B (“A se e somente se B”); além disso, se é verdade que A B, também é verdade que ¬A ¬B. (A negação de A implica a negação de B, e também vice-versa.) “Posso resumir essa descoberta assim: vejo a medida de cada um dos lados de um triângulo, rotulo de c a medida maior e de a ou b cada uma das outras duas, e verifico se c2 = a2 + b2; caso descubra que essa equação é falsa, posso imediatamente concluir que nenhum dos ângulos internos desse triângulo é reto.”

Carlos Oliveira diz que um jovem bem treinado deve raciocinar como Bloomfield: na figura 1, as medidas do triângulo 3-4-6 não satisfazem a equação c2 = a2 + b2, pois 62 ≠ 32 + 42, e por causa da recíproca do teorema de Pitágoras esse triângulo não pode conter nenhum ângulo interno reto. Como consequência, os dois triângulos são dessemelhantes; não há nenhuma informação no triângulo 3-4-6 que o jovem possa usar para calcular o valor de x, que é 10. (O verdadeiro triângulo 3-4-6 está na figura 3 mais abaixo.) “Uma consequência dessa falta de prática com demonstrações e teoremas”, diz Carlos, “é que o aluno acredita piamente nas ilustrações. Ele olha duas retas que se cruzam, e parece que se cruzam a 90 graus, e por isso ele marca 90 graus no desenho e faz as contas. Ele não entende que a figura não passa de um primeiro passo: ela serve apenas de apoio ao raciocínio, já que ninguém pode produzir um desenho perfeito de uma ideia matemática.”

Carlos acredita que o estudo das transformações no plano coordenado serve de remédio ao mal descrito até aqui, pois obriga o estudante a pensar mais sobre demonstrações. É um ótimo jeito de emprestar “movimento” à geometria, de refletir sobre funções e relações binárias, de fazer as primeiras perguntas sobre vetores, álgebra linear, ou simetrias; é um ótimo jeito de unir a matemática à física (a óptica dos espelhos) e à arte (as projeções, as distorções, os desenhos animados). Ora, se é assim, por que as escolas não ensinam as transformações há mais tempo? “Dá muito trabalho desenhar na lousa”, diz Carlos. “Há professores que, entre uma aula de geometria e uma de álgebra, preferem a de álgebra, pois ganham a mesma coisa e não precisam desenhar quase nada. Mas, com a tecnologia atual, essa desculpa já não tem mais cabimento.”

Lembre-se de girar. Certa vez, Carlos Oliveira estava a postos num plantão de dúvidas e um aluno apareceu com o problema a seguir.

Problema. Duas retas paralelas às bases de um trapézio dividem os lados oblíquos em três partes iguais. Se as áreas dos trapézios adjacentes às bases são A e B, determine a área do trapézio entre esses dois.

“O enunciado nos provoca com tamanha clareza e precisão, não é mesmo?” Carlos diz que o aluno já havia feito um desenho; ele precisava apenas de uns empurrões para o lado correto de cada bifurcação do raciocínio. “Coloquei umas letras aqui e ali e daí aplicamos juntos o teorema de Tales para concluir que a altura de cada trapézio era congruente às outras duas.” (Veja a figura 4.) Quando ambos resolveram o problema, a sequência do raciocínio ficou mais ou menos assim:

(1) Expressaram a área do trapézio A, do B, e do S.

(2) Recorreram a um pouco de “perseverança algébrica”, como diz Carlos, para somar as expressões (i) e (ii) na esperança de que surgisse alguma informação importante sobre S.

(3) Viram que precisavam eliminar a parcela h(a + b)/2 da equação (iv); tiveram a ideia de pôr no papel a área do trapézio maior.

(4) Dividiram os dois lados por 3, para ficar somente com h(a + b)/2 do lado direito da equação.

(5) Substituíram (vi) em (iv) e concluíram as contas.

“Descobrimos”, diz Carlos, “que a área do trapézio do meio é igual à média aritmética dos outros dois.” O problema estava num livro de geometria plana, que não mencionava transformações ou construções com régua e compasso, e Carlos acha que por isso o atacou dessa maneira. Depois, contudo, mostrou a resolução a um colega especializado em desenho geométrico, que lhe disse algo mais ou menos assim:

“Vocês poderiam ter girado o trapézio em torno do ponto médio de um dos lados oblíquos, depois girado em torno do ponto médio do lado cuja medida é a e por fim juntado o trapézio original com o trapézio virado de ponta-cabeça.”

A figura 5 mostra um jeito de olhar para tais movimentos rígidos. “Eu deveria ter visto isso”, diz Carlos, “pois é justamente um dos métodos que uso para deduzir a área do trapézio!” Daí, como na figura 6 o paralelogramo do meio equivale qualquer um dos outros dois, a área S sai de uma simples conta de cabeça.

Com as transformações no plano coordenado, muitos outros teoremas saem assim — depois de pouco trabalho. Diz o matemático britânico Ian Stewart no livro Concepts of Modern Mathematics: “Depois de um pouco de prática, você passa a perceber que muitos teoremas da geometria são consequência direta de movimentos rígidos, e passa a ter a sensação de que tais teoremas são ‘triviais’. Isso é muito bom, pois agora você pode se concentrar no estudo das propriedades geométricas que não te parecem triviais. Ao usar os movimentos rígidos, você destaca os resultados realmente interessantes, que estavam perdidos debaixo de uma montanha de trivialidades.”

Um coração pulsante. Os gregos antigos chegaram a perceber as vantagens de mover as figuras geométricas sobre o plano, e de ampliá-las ou contraí-las, mas não investigaram pensamentos desse tipo, ou pelo menos não os puseram no papel. Por culpa do paradoxo de Zenão, eles desconfiavam de demonstrações nas quais houvesse referência a movimento. Só nos séculos mais recentes surgiram os remédios: a ideia de plano coordenado, a definição precisa de função, a ideia de limite de uma sequência. Com tais remédios, os matemáticos puderam emprestar movimento à geometria sem que nada realmente se movesse.

Como o estudante Bloomfield pode pensar nisso tudo? Em resumo:

I) Ele imagina uma figura geométrica G plana e a coloca num sistema de coordenadas retangulares XY. Com isso, todos os pontos da figura passam a ter “endereço”, isto é, pode localizar cada um deles com um par ordenado de números reais, tipo (x, y).

II) Bloomfield imagina ainda que, magicamente, tais pontos estão acesos, como lâmpadas; os outros ou estão apagados ou brilham suavemente. (Mas ele toma o cuidado de não dar dimensão aos pontos: eles se acendem como lâmpadas, mas não têm comprimento, largura, ou altura.)

III) Daí pensa numa função f com a qual correlaciona cada ponto (x, y) de G a um novo ponto (x’, y’) do mesmo plano. Se tal função f preserva a distância entre pontos e o ângulo entre retas, pode chamá-la de “movimento rígido”, e com isso o plano passa a conter duas figuras congruentes, G e G’.

IV) Agora Bloomfield tanto pode apagar os pontos originais e acender os novos pontos como pode baixar a luminosidade dos pontos originais e aumentar a luminosidade dos novos pontos; também pode, é claro, acender os pontos de G e de G’ a toda intensidade, de modo que consiga examinar as duas figuras ao mesmo tempo.

V) Nenhum ponto se move no plano: o conjunto de pontos que perfaz G permanece onde está, quer fique aceso ou apagado, e o conjunto de pontos que perfaz G’ continua no lugar em que sempre esteve.

VI) Não há movimento, mas, para todos os efeitos práticos e psicológicos, há movimento, e na verdade Bloomfield pode, se quiser, imaginar as figuras serpenteando pelo plano ao longo de ondas senoidais, se mexendo tanto um coração pulsante num cartaz de neon.

Hoje em dia, várias escolas começam a ensinar transformações no fundamental 1 e 2. A princípio, a criança trabalha com figuras recortadas, com brinquedos, com aquelas réguas cheias de figuras geométricas vazadas. Depois passa a trabalhar com papel quadriculado, compasso, régua. Marcos Valério Paes, professor de matemática no Colégio Visconde de Porto Seguro em Valinhos (SP), trabalha com papel quadriculado já no sétimo ano (sexta série). No ensino médio, o jovem aprende a usar o sistema de coordenadas retangulares. Com a prática e uma ajuda do professor, diz Marcos, o jovem passa a notar regularidades importantes, que vai estudar apropriadamente na faculdade:

1. Sempre que soma o par ordenado (x, y) com o par ordenado (a, b), de modo a obter o par ordenado (x + a, y + b), os pontos da figura G “andam” no plano a unidades à direita (se a é positivo) ou a unidades à esquerda (se é negativo) e b unidades para cima (se b é positivo) ou b unidades para baixo (se é negativo). Com essa observação, ele está pronto para a ideia de vetor.

2. Sempre que gira uma figura 360° em torno de um ponto do plano, a nova figura se sobrepõe à figura inicial, e surge a ideia de que certas transformações no plano se comportam como se fossem a unidade na multiplicação: elas deixam tudo inalterado. Ele está pronto para a ideia de isomorfismo e de grupo.

3. Sempre que precisa trabalhar com vários pontos, fica com vontade de usar algum método mais fácil e automático de fazer as contas com vários pontos de uma vez. Está pronto para a teoria das matrizes e para a álgebra linear.

“Quando a gente trabalha com as transformações no plano”, diz Marcos, “parece que fica mais fácil entrelaçar vários assuntos de uma vez.”

Carlos Oliveira tem amigos que dão aulas de geometria em faculdades importantes. Seus amigos dizem que mesmo na faculdade é difícil abordar o tema das transformações, pois muitos calouros só têm conhecimentos rudimentares de geometria. “Há escolas nas quais a aula de geometria é, na verdade, uma espécie de aula de artes plásticas: as crianças desenham e pintam, mas ninguém faz contas, ninguém prova nada.”

Talvez o melhor benefício de estudar as transformações no plano nem seja se preparar melhor para a faculdade, mas sim, como destaca Ian Stewart, o de casar intuição com rigor. O estudante pode mover as figuras de uma área do plano para outra, girá-las em torno dum ponto, refleti-las conforme uma linha, ampliá-las, reduzi-las, distorcê-las. Enquanto faz isso, usa a forte intuição visual que todos os membros da espécie humana têm — mas, se quiser, sempre pode recorrer às funções e à álgebra para se certificar, com demonstrações rigorosas, de que a intuição bate com as contas. {}



{2}/ “A recíproca de um teorema”

Neste trecho, Bloomfield usou a ideia de que teoremas são afirmações do tipo A B, isto é, A implica B. A maior parte dos teoremas tem esse formato, mas ele não é o único: pode haver teoremas que, em linguagem simbólica, não se referem a implicações. (No entando, visto que para provar um teorema matemático o estudante precisa assumir muita coisa da matemática, inclusive suas regras de inferência, qualquer teorema, quer esteja ou não esteja no formato A B, pode ser reescrito num teorema desse formato; basta fazer “A” = “Axiomas, definições, e regras de inferência da matemática atual”.)

Se o teorema for mesmo do tipo A B, daí a recíproca é B A; e a contrapositiva é ¬B ¬A. Se a primeira implicação é verdadeira, a contrapositiva também é; quanto à recíproca, talvez seja verdadeira ou talvez não, isto é, a recíproca de uma implicação verdadeira não necessariamente é verdadeira.

Mais genericamente: dado um conjunto consistente de afirmações D = {a1, a2, a3, …, an}, no qual cada ai é uma afirmação declarativa e a palavra “consistente” significa que as afirmações de D são todas verdadeiras no mesmo conjunto de situações S = {s1, s2, s3, …, sk}, provar o teorema T significa provar que, de acordo com certas regras de inferência específicas (ou de acordo com certa lógica L), T também é verdadeira em toda situação sj S. Em outras palavras, se o matemático assume D e qualquer uma das situações sj S, pode também assumir T.



{3}/ Transformações e coloquialismos

Para pensar sobre as transformações de modo produtivo, o leitor deve examinar algumas definições técnicas (mais de uma, pois cada autor aborda o assunto a seu modo) e escrever uma versão mais coloquial das definições. No texto a seguir, pode ver como uma dessas versões coloquiais ficou.

Definição. Use 2 para denotar o conjunto de todos os pontos de um plano coordenado, como os matemáticos costumam fazer. Daí uma transformação T no plano coordenado é uma função injetora T que associa um ponto P do domínio a um ponto P’ da imagem; pode escrever isso assim: T : 2 2, onde T(P) = P’. (Essa setinha esquisita denota o tipo de função: injetora. O significado dessa palavra é: se dois elementos do domínio forem diferentes um do outro, os elementos correspondentes na imagem serão diferentes um do outro; se dois elementos do domínio forem iguais um ao outro, os elementos correspondentes na imagem serão iguais um ao outro. Se uma função de 2 em 2 não tiver essa propriedade, é melhor não chamá-la de ‘transformação no plano coordenado’.) Se denota o ponto P com o par ordenado (x, y), pode denotar o ponto P’ com o par ordenado (x’, y’), e daí pode definir T assim: T : 2 2, onde T(x, y) = (x’, y’). Aqui, usou o apóstrofo ‘ à guisa de lembrete: “novo x, novo y”.

Deve notar que, ao recorrer à transformação T, associa o ponto (x, y), no domínio, ao ponto (x’, y’), na imagem. Suponha que o conjunto de pontos no domínio sejam os pontos que satisfazem a relação x2 + y2 = 1. Essa equação descreve um círculo de raio unitário com centro na origem, e ela contém duas funções: y = √(1 – x2) e y = –√(1 – x2). Embora tenha montado o conjunto inicial de pontos com uma relação (duas funções), a transformação T é uma função perfeitamente regular, pela qual associa cada ponto (x, y) a um único ponto (x’, y’).

Esse exercício, o de reescrever definições técnicas em linguagem mais coloquial, serve para perder o medo de textos que contenham locuções como “uma função injetora de 2 em 2”.



{4}/ Reflexões: um guia de estudos

Como um estudante (vamos chamá-lo de Bloomfield) deve estudar as transformações no plano coordenado? O primeiro passo é seguir o conselho do matemático húngaro Paul Halmos (1916-2006):

“Não apenas leia o texto: lute com ele! Faça suas próprias perguntas, procure seus próprios exemplos, descubra suas próprias demonstrações. A hipótese é necessária? A recíproca é verdadeira? O que acontece no caso clássico especial? E nos casos degenerados? Em que parte da demonstração o autor usa a hipótese?”

Bloomfield entendeu que deve estudar as transformações assim justamente porque elas vão lhe ajudar a preparar a própria mente para tópicos mais avançados da matemática, como a teoria dos grupos e a álgebra linear.

Começou com uma transformação famosa: aquela que reflete os pontos ao longo da linha y = x, isto é, aquela na qual pode imaginar a linha y = x como se fosse um espelho. Esboçou a figura 7, batizou a transformação de R (para lembrá-lo de “reflexão”) e pôs no papel seus objetivos:

1. Descobrir que operações algébricas deve realizar com os valores x e y do ponto (x, y) para obter os valores x’ e y’ do ponto espelhado (x’, y’).

2. Descobrir qual matriz realiza a transformação R automaticamente.

Viu que o primeiro passo é descobrir a menor distância d entre o ponto A e a linha y = x, pois, para que a transformação R funcione como gostaria, o ponto A’ deve estar à mesma distância d da linha y = x. (Figura 8, que é a ampliação de um pedacinho da figura 7.)

Qualquer dicionário de matemática inclui um verbete com a fórmula para a menor distância entre um ponto e uma reta. (É consequência direta do teorema de Pitágoras.) Bloomfield estudou a equação e chegou a uma fórmula para d.

Depois, olhando o desenho, viu que os pontos A, A’ e o ponto no qual as linhas x = x e y = y’ se cruzam formam um triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 2d. Portanto:

Substituiu d pela expressão (†) e expandiu a equação completamente, usando o fato de que |xy| = √(xy)2:

Depois de experimentar alguns valores para x, y, x’, y’, Bloomfield percebeu a simetria da equação: se fizesse x’ = y e y’ = x, obteria 0 = 0. “Perfeito!” Viu que a descoberta combinava com a reta y = x, que deve permanecer “no mesmo lugar” depois da transformação R, e o único jeito de fazer isso é trocar x por y e y por x em todos os pontos da reta! (“Da próxima vez”, anotou no caderno, “o primeiro passo é pensar numa transformação R que deixe os pontos da reta de referência no lugar em que estão.”)

Para se exercitar, pôs a transformação R no papel com os termos técnicos:

Depois disso, desenhou uns triângulos num papel quadriculado, cujos vértices tinham coordenadas inteiras, e viu que a transformação R funcionava como deveria: refletia os triângulos como se a linha y = x fosse um espelho. Também testou seus poderes com a equação y = 10x3 – 60x2 + 110x – 60, que, depois da transformação R, virou x = 10y3 – 60y2 + 110y – 60; plotou as duas curvas com a reta y = x no mesmo plano. (Figura 9.)

Daí fez a si mesmo uma pergunta importante:

“Se eu pensar no par ordenado (x, y) de um ponto como se fosse um vetor de coluna, qual é a matriz de transformação que converte o vetor de coluna {x, y} no vetor de coluna {y, x}?”

No caderno, converteu essa pergunta em símbolos:

Nessa equação, R(n) é uma matriz. Bloomfield percebeu que, para que a multiplicação de Cayley funcionasse, R(n) deveria ser uma matriz 2 × 2, isto é, uma matriz quadrada de ordem 2. Reescreveu assim a equação:

Ele sabia que essa equação representava um sistema de equações lineares; por isso decidiu, em busca de uma luz, realizar as contas e olhar o sistema:

Depois de um momento, ficou claro que a = 0, b = 1, c = 1 e d = 0. Assim, a equação completa da transformação R, no reino das matrizes, é:

Se Bloomfield precisasse programar um computador para aplicar a transformação R a um conjunto grande de pontos esparsos, não correlacionados por uma equação, usaria a informação acima. Computadores lidam bem com matrizes; colocaria o domínio numa parte da memória, pré-multiplicaria cada elemento do domínio pela matriz R(2), e colocaria os elementos da imagem noutra parte da memória.

Depois dessas pequenas vitórias, Bloomfield achou que deveria estudar outra questão importante: se quisesse, poderia ver a transformação R como um movimento rígido, isto é, um movimento que preserva a distância entre pontos. Nenhum ponto se aproxima de outro, nenhum se afasta de outro. (Como consequência, R preserva também os ângulos entre retas.) “Como poderia pensar nisso?”

Começou com dois pontos do domínio: (x, y) e (u, v). A distância entre eles é:

Depois disso, obteve a imagem de (x, y) e de (u, v) por meio de R.

E daí calculou a distância entre (y, x) e (v, u).

Igualou as duas distâncias, elevou os dois lados da equação ao quadrado e rearranjou os termos para obter uma tautologia do tipo a = a:

Com essa equação, obteve a prova: qualquer que seja a distância entre os pontos P1 e P2 do domínio, haverá a mesma distância entre os pontos P1’ e P2’ da imagem. Bloomfield descobriu ainda que os matemáticos usam a equação |P1P2| = |P1P2’|para definir as transformações que se referem a movimentos rígidos, e isso revela uma estratégia comum entre eles: descobrem métodos pelos quais verificar se uma afirmação é verdadeira e depois usam tais métodos para defini-la. {Fim}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Renato Mendes.

3. Há mais uma postagem neste blogue sobre transformações no plano: A Aritmética do Espaço.

Matemática: enfeiada pela escola

Todo amante de matemática sabe o quanto ela é divertida, instigante, viciante, satisfatória. Por que então há quem não veja nela nenhuma graça?


Logo que terminou o doutorado, Vanderlei Horita, vice-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), recebeu a visita de um colega de pesquisa. Matemáticos que colaboram num trabalho costumam se encontrar pessoalmente para discutir ideias, mostrar esboços, organizar os próximos passos do trabalho. “Nessas ocasiões, aproveitamos o tempo o máximo possível, incluindo finais de semanas e feriados”, explica Vanderlei. Então outros amigos, não matemáticos, ficaram curiosos com o trabalho. “Perguntaram se passávamos o tempo todo fazendo contas, qual o ‘tamanho’ dos números envolvidos e se os computadores não faziam isso melhor que a gente.” Vanderlei encarou o desafio de explicar o que faz um matemático, mas diz que até hoje acha difícil fazer isso sem que o interlocutor perca o interesse depressa.

John William MacQuarrie, matemático escocês e pesquisador na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), acha compreensível que uma pessoa escolhida ao acaso na rua não saiba dizer o que a matemática é — ou que ainda a defina com características que ela não tem. “Isso não é estranho”, diz John, “porque nós matemáticos também não sabemos o que ela é.” Porém, enquanto o matemático tem a certeza de que é algo maravilhoso, vários leigos a acham feia, inútil, entediante.

Para Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos da Editora Moderna, a culpa não é da matemática, em geral, mas sim da matemática escolar. “A escola costuma desfigurar o conhecimento não só da matemática, como também de outras áreas.” Outros especialistas, como Antonio Carlos Rosso Júnior, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, também listam outras razões, como seu caráter abstrato demais. “As pessoas querem resultados de imediato, e é difícil ver as aplicações diretas da matemática no dia a dia”, diz Antonio Carlos. “É diferente com a química ou a biologia, nas quais descrevemos objetos ou entes concretos da natureza. Com a matemática, descrevemos uma versão muito ideal do universo.”

A matemática é inútil. Muita gente tem essa impressão, mas, se colasse um selinho com os dizeres “Esta Coisa Contém Matemática” em tudo o que é feito ou construído com a ajuda de bastante matemática, haveria um selinho desses em todo computador, todo carro, todo telefone, todo avião, todo semáforo, todo filme de cinema… Porém, porque ela pertence aos bastidores, ninguém a vê. Cristina Acciarri, pesquisadora no departamento de matemática da Universidade de Brasília, lista sem esforço as várias aplicações da matemática. “Se pensar num cartão de crédito, ou na criptografia para a segurança na internet, por exemplo, estamos falando de conceitos matemáticos. Para criar essas soluções, digamos, fáceis para nosso dia a dia, os matemáticos resolveram problemas difíceis, ou até mesmo recorreram a soluções parciais de problemas sem solução.”

Quando dá aulas para turmas de engenharia, Cristina volta e meia precisa responder à inevitável pergunta: para que estudar álgebra linear? “Até para eles, que se interessam e têm maior contato com a matemática, é complicado entender por que precisam estudar certos conceitos.” Cristina então conta como hoje é impossível fazer desenhos animados sem álgebra linear. Ela desenha na lousa um plano cartesiano com um bonequinho, e daí pergunta como pode movê-lo de uma região a outra sem deformá-lo. Em resumo, o aluno deve multiplicar matrizes; o produto dessa multiplicação é a nova posição do bonequinho. Noutras vezes, o aluno encrenca com vetores de ordem 4, ordem 5, ordem n. Não vê utilidade em estudar tantas dimensões, já que o mundo tem apenas três. “Nem sempre a aplicação é do tipo geométrico”, diz Cristina. “As informações que armazenamos dentro de uma matriz podem ser de qualquer natureza, como as variáveis do trânsito em Brasília: o tipo de carro, a estrutura das ruas, o horário em que está ocorrendo o estudo.” Cada uma dessas observações compõe uma das dimensões do vetor, que facilmente chega a muitas dimensões.

Ricardo Miranda Martins, matemático da Universidade de Campinas, diz que, para entender muitas aplicações, o leigo teria de entender conceitos mais avançados. Além disso, reconhece que, em geral, os matemáticos não fazem propaganda de tão boa qualidade quanto os físicos fazem. “Vemos com frequência em filmes e séries de TV termos como viagem no tempo, relatividade, e mecânica quântica de forma muito mais ficção científica do que são na realidade: um monte de equações matemáticas difíceis de resolver, ou mesmo de entender.” Ricardo também menciona outra explicação: o currículo de matemática, tanto no ensino básico quanto no superior, é grande demais. Nem sempre sobra tempo para mostrar as belas aplicações.

Basta pegar um livro de história da matemática para ver o contraste entre como a escola ensina os conceitos e como os matemáticos os criaram e investigaram suas propriedades. O processo histórico lembra uma criança que aprende a andar: há muitos tombos, muitos recomeços, muita diversão. Nos anos 1960, quando Luiz Márcio Imenes era estudante, usava como livro didático uma adaptação d’Os Elementos, de Euclides. “O professor Manfredo Perdigão, do Impa, disse uma vez numa palestra que adotar Euclides como livro didático é um grande equívoco; esse livro é mais bem entendido por filósofos e matemáticos. N’Os Elementos, a matemática aparece desprovida de vida, sem as contradições e as motivações do matemático.”

Mesmo hoje, estudantes ainda usam livros que copiam o modelo de Euclides: axiomas, definições, regras de inferência, teoremas, aplicações — sem contar nenhuma história de contexto, nenhuma história de aventura ou descoberta. Um livro assim lembra uma lista de dogmas. “Há quem sugira um modelo mais próximo do de Arquimedes, que misturava experimentação e dedução”, diz Imenes. “É uma matemática mais viva, impregnada de sentido e significado.” Sim, professores e alunos têm de formalizar a matemática, mas não sem antes experimentar muito, pois, para Imenes, apresentar a matemática pronta e acabada beira a calamidade.

Helenara Sampaio, coordenadora da licenciatura em matemática na Universidade Norte do Paraná, diz que os povos precisaram de matemática para desenvolver a agricultura, a navegação, a ciência. Se hoje o estudante tem celular, computador, e videogame, foi porque os matemáticos resolveram problemas difíceis, muitos dos quais nos últimos 100 anos. Num escritório qualquer, restaria pouca coisa se retirassem dele tudo o que foi construído graças à matemática.

A cada ano os matemáticos criam cada vez mais matemática; o número de artigos em revistas especializadas aumenta com muita rapidez. John MacQuarrie, da UFMG, arrisca um chute: “Talvez haja dez vezes mais artigos por ano agora do que havia há dez anos.” Contudo, hoje mais do que antes, em geral o matemático trabalha motivado por perguntas muito abstratas, ainda sem nenhuma possibilidade de aplicação prática. (Exceção feita aos matemáticos que se interessam por problemas surgidos nas outras ciências.) Cristina explica: muitas vezes, o matemático está interessado em beleza; ele se deixa guiar apenas pela própria curiosidade. “É um pouco como a filosofia. Se você pensar bem, qual é a aplicação prática filosofia?”

Cedo ou tarde alguém acha aplicação prática para alguma ideia matemática. John diz que as regras da matemática servem como imagem aproximada de fenômenos do mundo real. “Mas as aplicações da matemática não são a mesma coisa que a matemática em si.”

A matemática é uma ciência. Até matemáticos às vezes dizem que a matemática é uma ciência; quanto mais estudantes e professores comuns. Muitos matemáticos, contudo, não se incomodariam se a classificassem como uma arte: a arte de criar objetos ficcionais perfeitamente definidos, tão simples quanto possível, e de depois disso investigar suas propriedades. O cientista tem a obrigação de descobrir como o universo funciona — as proteínas, as galáxias, os pulmões. As regras já existem, e não podem ser modificadas pela mera vontade humana. O matemático cria universos novos para depois explorá-los, e quando se cansa de explorar um desses universos, muda as regras e o transforma num outro. (E depois ainda descobre que pode correlacionar os dois com algum tipo de morfismo…)

Até filósofos têm de trabalhar sob condições mais estritas. “O filósofo”, diz John, “tem de justificar suas proposições.” John quer dizer o seguinte: o filósofo mostra que as afirmações A e B implicam a afirmação C, mas, antes que possa asseverar que C é verdadeira, tem de justificar A e B. Se não fizer assim, seu leitor não vai aceitar C. Não é a mesma coisa com o matemático. Ele pode presumir que A e B são verdadeiras, e daí provar a implicação. Aliás, ele com bastante frequência presume a verdade das premissas e segue em frente. Afinal, como poderia provar, recorrendo a experimentos no mundo real, a existência de segmentos de reta que podem ser divididos indefinidamente em duas partes iguais? Isso é impossível.

Outro ponto no qual matemáticos e cientistas diferem: o peso que dão às evidências. Se um cientista achasse 400 quadrilhões de evidências em favor de uma explicação, e nenhuma evidência contrária, ele a classificaria como “explicação excelente”. Que tal pensar agora na conjectura de Goldbach?

Conjectura de Goldbach. Todo inteiro par maior que 2 é igual à soma de dois números primos.

De fato: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, …, 154 = 71 + 83, etc. A conjectura já foi confirmada para os primeiros 4 ∙ 1017 inteiros positivos. Qualquer cientista ficaria feliz com isso, e se daria por satisfeito, mas não o matemático, que só classificará a conjectura como teorema no dia em que alguém publicar uma demonstração cabal.

É coisa de gente sem criatividade. Helenara Sampaio, da Unopar, ouve o tempo todo comentários de que a matemática só complica tudo; estão sempre questionando sua utilidade. Imenes diz que as pessoas têm essa impressão porque se acostumaram a vê-la de modo deturpado. Muitas vezes, diz Imenes, a escola omite as aplicações e conexões que existem dentro da própria matemática. “Quanto mais as relações que ela tem com a arte e outras disciplinas!” Se na escola o leigo só conheceu a matemática feia, é fácil imaginá-la como O Reino dos Sem Imaginação. “É ficar fazendo contas como um papagaio”, diz Imenes. “O ser humano não tolera coisas sem sentido; procuramos nexo nas coisas.”

A ideia de que a matemática embota a criatividade é tão forte que, entre os que acreditam nessa ideia, é fácil encontrar quem diga: a matemática estraga a experiência de vida — pois deixa tudo “excessivamente racional”. A verdade é que o matemático profissional, para resolver um problema difícil, tem de recorrer a doses cavalares de criatividade. Quase sempre, a resolução de um grande problema faz surgir uma nova área da matemática, e com ela fica mais fácil ver coisas que antes ficavam invisíveis — isto é, com ela o mundo fica mais bonito. Se hoje o homem pode construir uma sonda espacial, enviá-la ao espaço para fazer medições, e com as medições calcular o raio do universo visível (46 bilhões de anos-luz; quem não fica de queixo caído diante de uma informação dessas?), é porque Bolyai, Lobachevsky, e Riemann criaram as geometrias não euclidianas no século 19.

Cristina lembra como muita gente se orgulha de dizer que não tem cabeça para a matemática. “É como se, ao dizer que não sabe nada de matemática, a pessoa mostrasse como é imaginativa, artística.” Mas nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura, pois seria tachada de ignorante. John diz que não há nada mecânico ou automático na matemática, e se algum aspecto dela se torna automático e mecânico, o matemático não hesita em delegá-lo a computadores. “Quando dizemos que o matemático precisa de criatividade”, diz John, “não é criatividade para fazer contas, mas sim para manejar ideias.” Cristina diz que matemáticos muitas vezes agem como crianças. “Eles deixam a mente bem aberta, pois caso contrário as ideias não aparecem.” Ela até acha que se transformou numa pessoa melhor graças à matemática, ou melhor, graças ao hábito de olhar um problema de vários ângulos. “Isso me ajudou a ser menos impulsiva. Muitas vezes, estou vendo o cantinho de um problema, mas mudo o ângulo e percebo que ele é bem maior.” Cristina reconhece ainda: se as pessoas não conhecem bem a matemática, isso também é culpa dos matemáticos, que não sabem se comunicar direito.

Para Vanderlei Horita, da SBM, a culpa é também da própria matemática: provoca tanto contentamento que, para o matemático, divulgar seu trabalho se torna secundário. O matemático se envolveu numa atividade na qual cria regras das quais surgem universos novos e maravilhosos. “Certa vez, tive a ingenuidade de contestar a frase tão certo quanto 2 mais 2 são quatro”, diz Vanderlei. O leigo só conhece a aritmética comum, mas há muitas décadas os matemáticos recorrem à aritmética módulo m, na qual 2 + 2 = 1 ou 2 + 2 = 0. Para entender essa ideia melhor, o estudante pode desenhar um relógio com 3 números:

Fig. 1

Daí, com o dedo repousado em zero, começa a contar: 1, 2, 3, 4 movendo o dedo para 1, 2, 0, 1. Com isso, pode dizer que, na aritmética módulo 3, o 4 é congruente a 1. Pode fazer o mesmo para entender a aritmética módulo 4. Desenha outro relógio, desta vez com quatro números: 0, 1, 2, 3:

Fig. 2

Conta 1, 2, 3 apontando para 1, 2, 3, mas ao contar 4 só lhe resta apontar o 0. Com isso, conclui que, na aritmética módulo 4, 2 + 2 = 0. E ainda assim o estudante pode se divertir com uma ideia bonita: 2 + 2 é sempre igual a 4, mesmo nas aritméticas nas quais o algarismo 4 não existe.

Feia, feiíssima. Muita gente acha que a matemática é feia, mas todo professor de matemática e todo matemático pode testemunhar o contrário: ela provoca prazeres estéticos parecidos com aqueles que uma pessoa sente quando aprecia uma escultura ou ouve um concerto. John MacQuarrie (UFMG) é algebrista e, para mostrar a verdadeira cara da matemática, gosta de explicar o que é um grupo. Primeiro, cita um exemplo de grupo: os números inteiros com a operação de adição. O estudante adiciona 3 ao 4 e obtém 7, que também é um inteiro. Ou então subtrai 3 de 4 e obtém 1, outro inteiro. Ele pode então generalizar essa ideia ao definir um grupo:

Um conjunto G fechado para uma operação , isto é, ao pegar dois elementos a e b em G, e ao combiná-los segundo as regras que especificam a operação , obtém um terceiro elemento que também está em G. (Em outras palavras: o elemento a b também está em G.) Além disso, num grupo existem três regrinhas:

• Para todo a, b, e c em G, a (b c) = (a b) c, isto é, nele vale a propriedade associativa.

• Existe em G um elemento identidade e tal que a e = e a = a para todo a em G.

• Para cada a em G, existe um elemento inverso a’ em G tal que a a’ = e.

Desde criancinha, o estudante sabe que números inteiros têm a propriedade associativa, e que existe um número, o zero, tal que se adicioná-lo a qualquer outro inteiro (como 0 + 1, 0 + 2, 0 + 3, …) obterá como resultado o próprio inteiro (pois 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3, …). Assim como cada número tem seu inverso: o de 0 é o próprio 0, o de 1 é –1, o de 2 é –2, e assim por diante. “Agora esqueça os números, esqueça as simetrias”, diz John. “Você tem apenas essas três propriedades. Então, pode usá-las para estudar objetos no mundo abstrato que também as tenham. Acho os grupos lindos de um jeito muito prático. Essas três regras são exatamente o que precisam ser, fazem exatamente o que precisam fazer.”

Matemáticos muitas vezes veem a beleza num conceito matemático, como o de grupo, por causa de suas propriedades, isto é, por causa do que conseguem fazer com ele. No caso da teoria dos grupos, se podem provar que certo objeto muito complexo é um grupo, podem também provar que existe uma correspondência entre tal objeto e o grupo dos números inteiros com a operação de adição. Ora, existem muitos teoremas úteis sobre os inteiros com a adição, e o estudante pode usá-los para descobrir coisas sobre esse objeto mais complexo. Ele pode até verificar que vale para seu grupo a conjectura de Goldbach.

Para Antonio Carlos, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, muita gente fica com a ideia errada porque estuda a matemática como se fosse meramente um conjunto de procedimentos, e não como um conjunto de ideias a partir das quais os matemáticos desenvolveram os procedimentos. Quando estuda a multiplicação de dois dígitos, por exemplo, o estudante talvez ache uma chatice repetir um algoritmo aparentemente sem pé nem cabeça. Por exemplo, ao fazer 12 vezes 15:

No livro Matemática: Uma Breve Introdução, o matemático britânico Timothy Gowers explica por que tanta gente odeia a matemática. Matemáticos constroem conceitos novos em cima dos antigos. Se o leigo acha o algoritmo da multiplicação de números com dois dígitos uma chatice, tem de voltar uns passos para trás e compreender seu mecanismo: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Para visualizar isso melhor, o estudante usa um desenho de quadradinhos, como o da figura 3. Ao somar os quadradinhos, pode ver que está fazendo o seguinte ao usar o algoritmo da multiplicação: 2·(10 + 5) + 10·(10 + 5).

Fig. 3

“Sem isso [a propriedade distributiva] é natural que você se sinta pouco à vontade ao expandir expressões como (x + 2)(x + 3), e isso implica que não compreende bem as equações quadráticas”, escreveu Gowers. “E, não tendo uma boa compreensão das equações quadráticas, não perceberá por que a razão áurea é (1 + √5)/2.”

Por pouco. Visto que é difícil entender bem uma matemática mais avançada sem entender conceitos básicos, muitos jovens nunca descobrem que a má reputação da matemática vale (quando vale) apenas para a matemática no ensino básico. Cristina explica: “É como aprender a falar para aprender a escrever poesia.” É mais charmoso escrever poesia do que simplesmente falar, mas uma coisa não vem sem a outra. Cristina sabe pouco sobre como funciona o ensino médio no Brasil, pois estudou na Itália, mas acha que o brasileiro se interessa tanto por matemática quanto qualquer outro cidadão de qualquer outro país. A diferença entre o Brasil e a Alemanha, por exemplo, é que na Alemanha há mais especialistas interessados no trabalho de divulgar a matemática. Quando era estudante, Cristina já gostava de matemática, mas visto que só via contas, equações, algoritmos, etc., não se interessava tanto assim.

Por acaso, leu um livro sobre matemática e simetrias. “Não lembro mais o nome, mas era um autor dos Estados Unidos. O livro tinha muitas imagens, desenhos, e falava da matemática na vida, na simetria das flores, da série de Fibonacci que aparece em vários lugares…” Então ficou em dúvida entre fazer letras ou matemática, mas como a matemática era algo misterioso, resolveu descobrir mais sobre ela. Seus pais a apoiaram, se bem que com alguma reticência. “Quando cheguei lá, achei a matemática uma coisa muito mais bonita do que imaginava.” John conta uma história semelhante: na Escócia, a reputação da matemática também é ruim, mas tudo mudou na universidade. “Para mim foi incrível descobrir que não existe só um tipo de infinito — incrível!” Ricardo Martins é outro caso de “por pouco não fiz matemática”. Quando prestou o vestibular, escolheu matemática com o propósito de pedir mais tarde a transferência para o curso de computação. “Eu mesmo tinha a ideia equivocada de que precisaria decorar fórmulas. Quando descobri que elas vinham de algum lugar, comecei a achar tudo muito interessante e segui a carreira.”

Quantas outras pessoas não dariam ótimas matemáticas, e não seriam até mais felizes, não fosse a péssima reputação da matemática? Uma vez, o matemático Bertrand Russell (1872-1970) escreveu (tratando de outro assunto): “É como a teoria de que sempre acabamos descobrindo o assassino. Evidentemente, todos os assassinos que conhecemos foram descobertos, mas quem pode calcular o número daqueles sobre os quais nada sabemos? Da mesma forma, todos os homens de gênio de que já ouvimos falar triunfaram sobre circunstâncias adversas, mas não há razão para supor que não tenham existido diversos outros gênios malogrados durante a juventude.” Não há razão para supor que, tivesse a matemática boa fama, muitos dos que hoje se orgulham de não ter cabeça para os números passariam horas, felizes da vida, pensando sobre coisas como a aritmética módulo m e a conjectura de Goldbach. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Danielle Ferreira e Dubes Sônego.

3. Um dos entrevistados pergunta: “Qual é a aplicação prática da filosofia?” Eu acho mais fácil mostrar as aplicações práticas da filosofia (aparentemente, não há nenhuma) do que as aplicações práticas da matemática (certamente, há muitas). Pois, se você disser, “A filosofia não é importante”, não tem escolha senão defender essa tese com um argumento de natureza filosófica! Logo, a filosofia é inescapável e, na verdade, os seres humanos estão filosofando constantemente, mas aqueles com bom treinamento em filosofia percebem quando estão a filosofar, e aqueles sem treinamento não percebem. O filósofo britânico Simon Blackburn costuma dizer que a filosofia é como qualquer outra atividade — é algo que podemos fazer bem ou mal. Quem estuda filosofia, com a prática percebe quando está a filosofar, e até consegue dizer se está filosofando bem ou mal. Quem não estuda, não percebe, e portanto não tem ideia se está filosofando mal. Além disso, poucos sabem que o método científico, que é talvez a maior criação da humanidade, surgiu de discussões filosóficas, e até hoje está sendo aperfeiçoado por meio de discussões filosóficas.

4. Em certa altura do texto, eu digo: “Nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura.” Como o mundo muda! Sou admirador de Heráclito, e portanto não deveria ficar surpreso ao constatar que o mundo muda, mas me surpreendi mesmo assim. Hoje muita gente se orgulha de dizer que não leva jeito para a leitura; hoje muita gente não mais percebe essa deficiência com embaraço. Outro dia, eu conversava com um sujeito e ele me disse, com evidente satisfação: “Eu nunca li um livro na vida, e até hoje não me fez nenhuma falta!”

5. Quando mencionei a aritmética módulo m, fiz uma pequena simplificação para não deixar o texto confuso. O que eu deveria ter escrito, se não quisesse evitar símbolos técnicos, é 2 + 2 1 (mod 3) em vez de 2 + 2 = 1, e 2 + 2 0 (mod 4) em vez de 2 + 2 = 0. Se o leitor quiser saber mais sobre aritmética módulo m, clique aqui.

6. Digo no texto que, para muita gente, a matemática deixa o mundo “excessivamente racional”. O filósofo britânico David Hume (1711-1776), em várias passagens de seus livros, defendeu a tese de que o ser humano não é guiado pela razão, mas sim por suas paixões. “A razão é, e deve ser, escrava das paixões, e não deve ambicionar nenhuma outra responsabilidade senão servir e obedecer às paixões.” Hume cita vários exemplos para justificar a afirmação, todos mais ou menos com esta estrutura: Se uma pessoa nota que há uma relação de causa e efeito entre praticar ginástica e emagrecer, e se descobre que terá vantagens ao emagrecer, ela mesmo assim não vai praticar ginástica para emagrecer, a não ser que tenha a vontade de emagrecer.

Acho que Hume tem razão: em primeiro lugar vem a vontade (para usar o palavreado de Nietzsche), e em segundo lugar o agente usa a razão para ver como realizar sua vontade. As pessoas percebem isso, por instinto; mas não sabem articular bem essa percepção. Logo, quando topam com alguém de perfil matemático, de perfil mais lógico ou filosófico, elas logo desconfiam: “Tais palavras racionais estão a serviço de que espécie de paixão? Que paixão se esconde atrás de tantos axiomas, teoremas, fórmulas, argumentos? Que vontade está querendo se impor? Que vontade está querendo suplantar a minha vontade?” Como nem todo amante de matemática conhece essa característica da psicologia humana, ele apresenta seus argumentos muito racionais sem antes pensar bastante sobre vontades e emoções — e imediatamente deixa o interlocutor com um pé atrás. Quanto ao interlocutor, tendo se sentido compelido a se retrair, e sem ter visão clara dos motivos (pois agiu instintivamente), sente-se acuado — e daí surge a sensação de que a matemática estraga a experiência do mundo, pois deixa as coisas “excessivamente racionais”.

Corolário. Um bom sistema de ensino deve ajudar os alunos a conhecer suas emoções, as emoções dos outros, e a governar essa economia de emoções tanto quanto possível; e logo depois disso, deve ensinar aos alunos como pôr a razão a serviço da vontade — incluindo usar a razão para dar à luz novas vontades.