Não sabe usar bem a matemática? Eis um remédio


{1}/ Muito sobre pouco, pouco sobre muitos

Em setembro de 2014 me aconteceu algo surpreendente, mas que deve acontecer de vez em quando com cada um dos leitores: Howard Eves, o autor de um livro sobre teoria das matrizes que eu estava lendo na ocasião, a certa altura pede a seu leitor que demonstre uma afirmação específica sobre determinantes. Trabalhei nessa demonstração por umas horas, sempre desenhando muito para ver se achava um padrão, até que um dos desenhos me lembrou os grupos de tranças. Não sei quase nada sobre tranças, exceto o pouco que estudei para me preparar para a entrevista com Daciberg Lima Gonçalves, professor de topologia na Universidade de São Paulo, que já publiquei neste blogue. [Clique aqui.] Mesmo assim, o pouco que sabia foi suficiente para produzir a prova. Fiquei contente.

Matemáticos profissionais e especialistas em didática vivem dizendo que ninguém tem condições de conhecer toda a matemática produzida até hoje: o assunto é grande demais e a vida, breve demais. (Não só o assunto é grande demais como, a cada ano, fica maior.) Então recomendam a única resposta possível em tais circunstâncias: o matemático deve estudar uns poucos assuntos em profundidade e todos os outros apenas brevemente, e quanto mais assuntos tiver condições de estudar brevemente, melhor.

Eu desconfiava desse conselho; essa história de “quanto mais assuntos souber mal e mal, melhor” me parecia ilógica. Será que, sendo a vida tão breve, vale a pena gastar horas preciosas estudando um assunto superficialmente? Minha dúvida tem fundamento numa constatação prática: eu acho difícil usar as partes da matemática que conheço mal. Depois da experiência com as tranças, contudo, mudei de ideia e tentei entender por que o conselho é válido.

1. Leva anos para estudar uns poucos assuntos em detalhes. Ao intercalar o estudo dos detalhes com o estudo superficial de vários outros assuntos, você deixa o dia a dia mais variado e divertido. Diversão é sempre bom.

2. Importante: conforme estuda uns poucos assuntos em detalhes, ganha competência como matemático; com isso, fica cada vez melhor na arte de empregar o pouco que sabe a respeito dos assuntos que sabe mal. (Embora, talvez, nunca fique perfeito nisso; apesar de minha experiência com as tranças, ainda acho difícil usar teoria a qual conheço pouco.)

Então, se tudo o que você sabe sobre matemática se resume a pouca coisa sobre vários assuntos (isto é, se não sabe nenhum assunto em profundidade), é bastante provável que ache difícil usar o pouco que sabe para resolver problemas teóricos ou práticos. É nessa situação que estão todos aqueles cujo último curso formal de matemática ocorreu há vários anos e que, além disso, não têm o hábito de estudar matemática por conta própria. Quero resumir assim o conselho desta carta ao leitor: estudar um pouquinho de cada área da matemática é bom, mas, para “ativar” o pouco que sabe sobre cada uma delas, deve estudar um ou dois assuntos tão completamente quanto puder.



{2}/ O que estudar por conta própria

Suponha a pessoa que concluiu uma faculdade, mas quase nunca usou a matemática universitária para resolver um problema prático ou teórico. Ou suponha a pessoa que nem fez faculdade. Esses dois grupos de pessoas perfazem a maioria absoluta da população: nove entre dez pessoas ou não concluiu uma faculdade ou, se concluiu, quase nunca usa a matemática universitária no dia a dia. (Essa afirmação vale inclusive para quem fez um curso universitário cuja matemática é forte, como engenharia elétrica.)

Presuma que essa pessoa sente saudades de matemática, e que gostaria de voltar a estudá-la, mas gostaria de estudar algum assunto matemático X que fosse interessante e útil. Em outras palavras, ela gostaria de se divertir ao estudar X e também gostaria que a probabilidade de usar seus conhecimentos sobre X uma vez a cada dois meses fosse maior que, digamos, 70%.

O que essa pessoa deve estudar? Qual é esse assunto X?

Se o leitor me perguntasse isso há dois anos, eu mencionaria dois assuntos sem hesitar:

“Cálculo e álgebra linear.”

E daí, à guisa de primeiros passos, recomendaria o livrinho de Henle e Kleinberg, Infinitesimal Calculus, e o livro de Serge Lang, Introduction to Linear Algebra. (Esses dois livros são bons inclusive para quem já estudou cálculo e álgebra linear num curso universitário.)

Mais uma vez, mudei de ideia, e o que me fez mudar de ideia foi um livro breve (256 páginas) e extraordinário: More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy. (Em tradução livre: Mais Precisamente: A Matemática de que Você Necessita para Filosofar.) O autor, Eric Steinhart, já publicou artigos científicos e livros sobre matemática, computação, e filosofia.

Steinhart organizou seu livro assim: nos dois primeiros capítulos, trata de conjuntos, de relações, e de funções. “Todos os filósofos hoje em dia usam conceitos da teoria dos conjuntos, especialmente relações e funções”, Steinhart escreve na introdução. “Você não consegue acompanhar o que está acontecendo na filosofia atual se não compreende a notação especializada e o vocabulário usados para falar sobre conjuntos, relações, e funções.” Nos capítulos seguintes, Steinhart usa os conceitos dos dois primeiros capítulos para tratar de máquinas (inclusive máquinas de Turing), semântica (inclusive a semântica de mundos possíveis), probabilidade, teoria da informação, teoria das decisões e dos jogos, e sobre os vários tipos de infinito.

Máquinas. Na matemática, assim como na filosofia, uma máquina não é bem um artefato feito de metais, plásticos, eletrônica. Uma máquina é uma abstração; é algo que tem certa estrutura formal. É um artefato feito de conceitos. Você pode representar uma máquina M com uma ênupla ordenada (I, S, O, F, G), na qual cada uma dessas letras denota um conjunto. (Por exemplo, I denota o conjunto das entradas [input], isto é, o conjunto das características do ambiente às quais a máquina vai prestar atenção.) Se quiser, pode usar a definição de máquina para modelar uma pessoa em certa situação (um noivo durante a cerimônia de casamento), ou uma instituição em certa situação (o plenário de um tribunal durante um julgamento).

Quase ninguém calcula a perda de potência num filamento de lâmpada conforme a resistência do filamento aumenta com a temperatura. Em outras palavras, quase ninguém usa seus conhecimentos de eletricidade. Mas todo mundo filosofa:

  • Até que ponto posso dizer que uma pessoa é hoje a mesma que era há dez anos?
  • É possível organizar uma sociedade com base no princípio da maior quantidade possível de felicidade para a maior quantidade possível de gente?
  • Uma pessoa é o que é pelo que pensa ou pelo modo como reage ao que acontece a seu redor?

Steinhart mostra como usar os conceitos da teoria dos conjuntos, mais os conceitos construídos a partir da teoria dos conjuntos (como o de máquina), para abordar perguntas como essas, e isso explica por que seu livro é tão agradável.

Hoje, portanto, minha resposta seria:

“Estude matemática discreta.”

Sim, matemática discreta. No fim do livro, Steinhart sugere mais livros. “Muito daquilo que estudamos nos capítulos sobre conjuntos e relações cai no escopo da matemática discreta”, ele escreve. “Um excelente texto é o de Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications.”

Entrei na internet para verificar quais assuntos o livro de Rosen cobria: lógica, provas, conjuntos, funções, sequências, somatórios, matrizes, algoritmos, teoria dos números, criptografia, indução matemática, recursão e algoritmos recursivos, métodos de contagem, probabilidade discreta, relações, grafos, árvores, álgebra booleana, modelos computacionais. Adorei os assuntos listados no índice. Comprei o livro pela internet — é um tijolão de 1.072 páginas. Estou amando cada página, cada exemplo, cada lista de exercícios.

Hoje, portanto, minha resposta um pouco mais completa é:

“Estude matemática discreta. Se é útil para filósofos, será útil para você, visto que todos nós constantemente filosofamos.”

“Mas qual livro você recomenda?”

“Primeiro, o livro de Eric Steinhart. Logo depois, o livro de Kenneth Rosen.”

Talvez o leitor queira fazer duas objeções.

1) “Mas então você não acha que cálculo e álgebra linear são a base da matemática universitária? Uma pessoa que tenha lido Steinhart e Rosen, mas que não saiba cálculo ou álgebra linear, não seria uma piada ambulante?”

Eu ainda não sei dar boa resposta a essa pergunta. Adoro as duas teorias, e penso que elas têm imenso valor cultural. É difícil entender a história recente da ciência sem saber cálculo e álgebra linear; além disso, sem elas, certamente é impossível entender a história recente da matemática. Mas, para usar as duas teorias no dia a dia, você tem de ativamente procurar problemas que possa resolver com elas. Caso se distraia, o mundo gira e a oportunidade para usá-las desaparece. Com a matemática discreta é diferente: os problemas que pode modelar com ela surgem mais naturalmente — surgem mesmo que não esteja ativamente olhando o mundo em busca de oportunidades de usá-la. (Desse ponto de vista, a matemática discreta se parece com a aritmética.)

“Você vai usar a matemática discreta sempre que puder contar os objetos com os quais está lidando”, escreve Kenneth Rosen no prefácio ao leitor. “Vai usá-la quando estuda as relações entre os elementos de dois conjuntos finitos (ou contáveis), ou ainda quando analisa um processo com número finito de passos.” Portanto, em outras palavras, vai usá-la quase sempre.

2) “Sim, eu uso matemática discreta com frequência, mas isso porque estudei computação. Se uma pessoa não ganha a vida com computadores, porém, duvido que use matemática discreta no dia a dia — nem mesmo uma vez a cada dois meses, com probabilidade de 70%.”

Há aqui um erro de raciocínio, no qual eu mesmo já caí várias vezes. É verdade que profissionais de computação usam matemática discreta com frequência, mas não é verdade que a matemática discreta lhes é útil porque estudaram computação. Ela é útil simpliciter. Sua utilidade ficou mais evidente com a presença dos computadores, mas, como Steinhart mostra com seu livro, ela continuaria útil mesmo que os computadores não existissem; pois, com ou sem computadores, estamos sempre a filosofar.

Assim, por enquanto minha resposta completa é:

“Estude matemática discreta — visto que ela é útil para filósofos, será útil para você. Pode começar com o livro de Steinhart e o de Rosen, e seguir adiante com a ajuda dos dois autores, pois sugerem vários outros livros excelentes. Mas estude superficialmente muitos assuntos matemáticos, inclusive cálculo e álgebra linear.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei a carta ao leitor contida na seção 1 pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 45, outubro de 2014, pág. 4. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Quanto à carta na seção 2, é inédita.

2. Vários matemáticos preferem a palavra “combinatória” à locução “matemática discreta”. Eu prefiro “matemática discreta”, que, a meu ver, explica melhor o rol de assuntos. Note que o contrário de “discreto” é “contínuo”; o melhor exemplo de um conjunto discreto é o conjunto dos inteiros não negativos {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, e o melhor exemplo de um conjunto contínuo é o conjunto dos números reais.

3. Atenção ao uso da palavra “teoria”. Na matemática, uma teoria é uma compilação de teoremas resultantes de certas definições, axiomas, e regras de inferência. Um livro sobre teoria dos conjuntos é, portanto, uma compilação de teoremas resultantes de axiomas, definições, e regras de inferência declarados verdadeiros pelo autor do livro. Na matemática, portanto, não necessariamente a palavra “teoria” significa “uma narrativa por meio da qual certos fatos isolados ganham contexto e sentido”.

4. Quando me refiro a filósofos usando a matemática, não me refiro a gente como Jacques Lacan, Julia Kristeva, Luce Irigaray, Bruno Latour, Jean Baudrillard, Paul Virilio, que usavam o vocabulário técnico da matemática de modo superficial, confuso, não justificado por argumentos. (Sobre isso, o leitor pode ver o excelente Imposturas Intelectuais: O Abuso das Ciências pelos Filósofos Pós-Modernos, de Alan Sokal e Jean Bricmont.) Em vez disso, me refiro a filósofos como o próprio Eric Steinhart, David Papineau, Wilfrid Hodges, Saul Kripke, entre tantos outros, que conhecem os conceitos matemáticos aos quais se referem, e que justificam, com argumentos, a relevância de tais conceitos na discussão filosófica à qual se dedicam.

5. Existe um bom livro grátis sobre matemática discreta, em inglês: Discrete Mathematics: An Open Introduction, de Oscar Levin. Não é tão completo quando o livro de Rosen, mas é bem-feito e contém uma ótima seleção de problemas.

As palavras do matemático


Os matemáticos usam certas palavras de um jeito só deles, o que, às vezes, deixa professores de matemática e estudantes confusos.

Não estou falando de palavras como “anel”. Se você imaginar os significados cotidianos da palavra “anel” no conjunto A, e seu significado matemático no conjunto B, a intersecção desses dois conjuntos é vazia — não há nenhum significado cotidiano que se aproxime do significado matemático.

Estou falando de palavras como “determinantes”. Diante de certa matriz quadrada, você usa a palavra “determinante” para nomear o escalar que pode associar à matriz de acordo com a definição de determinante a mais geral possível. (Essa definição geral, desligada de qualquer aplicação específica, é chamada de definição postulacional.) De acordo com a definição, o determinante da matriz [2 + 3i] é 2 + 3i. (Pois, se usa a para denotar um escalar, então |a| = a, isto é, o determinante de uma matriz que contém apenas um escalar é igual ao próprio escalar; no exemplo que acabei de mencionar, os escalares são números complexos.) A questão é que, no fundo, existe uma e só uma definição postulacional de determinante; se você a estudar, tem condições de deduzir todas as propriedades dos determinantes, inclusive o fato de que só pode calcular o determinante de uma matriz quadrada.

No entanto, abra qualquer livro sobre teoria das matrizes; o capítulo sobre determinantes está sempre no plural: “Capítulo Tal: Determinantes”. Olhando capítulo, você talvez veja tópicos como “determinantes cíclicos”, “determinantes de Vandermonde”. Eles passam a impressão de que não existe só uma definição postulacional de determinante, mas várias definições não equivalentes entre si. Não é verdade. É fato que existem várias definições postulacionais de determinante, mas todas se equivalem, e só uma delas é a mais genérica de todas.

O que, portanto, os matemáticos querem dizer com “determinantes”, no plural? Se você topa com uma matriz assim e assado, com as características tais e tais, então existe um jeito mais fácil de calcular o determinante: basta seguir o procedimento tal e tal. E daí o matemático prova que, naquele caso específico, o procedimento de fato produz o determinante.

Então, quando um autor usa a locução “determinantes de Vandermonde”, não quer dizer que existe uma definição distinta de determinante, criada por um sujeito chamado Vandermonde. Ele quer dizer, ao contrário, que existe um macete para calcular o determinante de matrizes que tenham certas características, e que esse macete foi batizado assim em homenagem a Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). Num caso desses, três locuções mais fiéis à ideia seriam “procedimento de Vandermonde”, “método de Vandermonde”, ou “algoritmo de Vandermonde”.

Acho esse fenômeno curioso. Há muitas outras palavras que os matemáticos usam de um jeito só deles; três outros exemplos são “correspondência”, “curva”, e “teoria”. {FIM}


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Eu sempre gosto de lembrar que, na matemática, a palavra “teoria” não significa “uma narrativa que dá significado a certos fatos isolados”, mas sim “uma coletânea de teoremas obtidos, por meio de certas regras de inferência, a partir de de certo conjunto de axiomas e de definições”.

A lógica dos crimes: não existe maldade inexplicável


O estudioso, ao seguir métodos estatísticos, põe essa lógica no papel com clareza, e faz até mesmo um governador influente admitir seus erros.


{1}/ Pesquisador contra político

O governador Sérgio Cabral Filho (PMDB) assumiu o Estado do Rio de Janeiro em 2007 e, poucos anos depois, pôde comemorar um dos feitos de seu governo: no triênio de 2007 a 2009, a taxa de homicídios no estado tinha ficado em 16.753 casos. Esse número representava queda de 22% na taxa de homicídios em relação ao triênio anterior, pois, de 2004 a 2006, ocorreram 21.558 homicídios no estado. Daniel Cerqueira, economista, pesquisador no Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada, desconfiou. Até onde ele sabia, tudo no estado estava funcionando mais ou menos como antes; a única mudança significativa em 2007 tinha sido um novo governador. “Se uma diminuição dessa ordem na taxa de homicídios fosse verdadeira”, conta Daniel, “representaria um caso de sucesso internacional de combate à violência.”

No mundo inteiro, políticos e policiais tendem a esconder os mortos por assassinato recorrendo a classificações neutras ou até ridículas. Se o país é governado por uma ditadura, acontecem os casos em que a vítima se enforca com as próprias meias, como se isso fosse possível. Se o país é mais democrático, as autoridades escondem os assassinatos em classificações mais neutras, do tipo “morte por motivos indeterminados”. Por isso Daniel Cerqueira seguiu um conselho da Organização das Nações Unidas: Em vez de pedir dados ao gabinete do governador ou ao chefe da polícia, peça dados de instituições de saúde — por exemplo, hospitais. No Brasil, profissionais de saúde registram as ocorrências de acordo com metodologia aprovada na Organização Mundial da Saúde; se não fizerem isso, o Brasil perde o direito de tomar empréstimos de instituições como o Banco Mundial. Além do que, diz Daniel, no Brasil o Ministério da Saúde disponibiliza os dados na internet. “Os registros policiais são pouco confiáveis.”

Padrões bem demarcados. No Brasil, quando ocorre uma morte violenta, ou quando alguém morre em circunstâncias desconhecidas (em casa, por exemplo), só um médico legista pode emitir o atestado de óbito, e depois de realizar uma autópsia. Ao preencher os formulários, o legista deve preencher um campo dizendo qual foi a circunstância que levou a vítima à morte — não a causa física da morte (uma bala alojada na cabeça), mas a circunstância que levou alguém a atirar na vítima (latrocínio, que é assalto seguido de assassinato). Quando o legista não tem informações, ele anota nesse campo um código que significa “indeterminado”. Depois do legista, o atestado de óbito é entregue a um profissional chamado codificador da classificação internacional de doenças. Esse profissional entra em contato com a polícia. Se obtiver mais informações, o codificador troca o “indeterminado” por algum código mais preciso.

Quando Daniel obteve os dados do Ministério da Saúde, notou que, no triênio 2007-2009, o número de “mortes violentas por causas não determinadas” havia aumentado quase 25% em comparação com o triênio 2004-2006. Em vez de 16.753 casos no total, como divulgou o governador Sérgio Cabral, Daniel achou que o número correto seria algo em torno de 21.000 casos. Ao comparar os dados do Rio de Janeiro com os de outros estados, surpreendeu-se: em todo o Brasil, esse tipo de morte estava diminuindo, e não aumentando. “Entre 2000 e 2009”, diz Daniel, “a taxa de mortes violentas por intenção indeterminada diminuiu de 6 por 100.000 habitantes para 5 por 100.000 habitantes. No Rio, essa taxa dobrou para chegar a 20 por 100.000 habitantes em 2007, e continuou a aumentar nos anos seguintes.”

Nos países da Europa, diz Daniel, classificar as circunstâncias de uma morte violenta como “indeterminadas” é exceção. No Rio, ele não pôde comparar os dados do Ministério da Saúde com os dados da polícia, pois, em 2007, o governador havia sancionado uma lei para impedir um cidadão comum de olhar os registros da política; para olhar, só sendo do próprio governo.

Apesar disso, Daniel usou métodos da estatística para analisar os dados que tinha em mãos. Um fenômeno como esse, o de mortes violentas, funciona de acordo com certos padrões, que Daniel chama de “padrões estatísticos de regularidade”. No Brasil, se uma pessoa se suicida, é mais provável do que improvável que ela seja adulta, branca, e com nível universitário; e é mais provável que tenha cometido o suicídio em casa. Se uma pessoa morre em razão de uma queda, é mais provável que seja idosa. E se uma pessoa morre em circunstâncias violentas, é mais provável que ela tenha menos de 20 anos, seja negra ou parda, e que tenha morrido na rua, possivelmente com tiro. Diz Daniel: “Esses padrões estão bem demarcados.”

Então ele comparou os dados do Ministério da Saúde com tais padrões estatísticos de regularidade, para ver se os homicídios não estavam sendo contados como “indeterminados”. Montou uma série de equações estatísticas com variáveis que incluíam informações sobre a região em que cada morte violenta ocorreu — como a renda per capita, o grau médio de escolaridade, porcentual de jovens e de adultos maduros, porcentual de mulheres que são também chefes e arrimos de família, tipo de crime mais frequente na região. Com seu modelo matemático pronto, Daniel examinou 10.062 casos um a um, todos ocorridos no triênio 2007-2009, e colocou as informações no banco de dados. “Olhei prontuário por prontuário”, diz Daniel. A partir dos dados, o computador deveria dizer o que era mais provável: que uma morte fosse consequência de um assassinato ou que não pudesse ser classificada? A tabela a seguir resume o resultado que o computador produziu.

Ano

Número de homicídios divulgado pelo governo

Número de homicídios obtido com o modelo estatístico

Diferença porcentual

2007

6.304

9.133

45%

2008

5.385

8.210

52%

2009

5.064

8.229

63%

2007-2009

16.753

25.572

53%

Se o modelo de Daniel estivesse correto, o governo do Rio havia escondido 8.819 homicídios. “Não tenho condições de afirmar que houve má-fé do governo estadual, e seria leviano se eu fizesse isso”, diz Daniel [na ocasião em que deu entrevista, em 2012]. “Mas estamos falando de erros grosseiros aqui.” Ele publicou seus resultados no final de 2011 como um trabalho acadêmico, cujo título era “Mortes Violentas Não Esclarecidas e Impunidade no Rio de Janeiro”.

Axioma de economista. O trabalho de Daniel foi duramente criticado pelo secretário responsável pela segurança pública do Rio de Janeiro. “Ele ameaçou me processar”, diz Daniel. “Esse trabalho foi solitário e sofrido.” Mas o Ministério da Justiça rebaixou o Estado do Rio de Janeiro por conta da baixa qualidade dos dados fornecidos pelo estado e, logo depois, as autoridades do Rio foram obrigadas a voltar atrás e a reconhecer o erro. “Parece que vão fazer uma recontagem”, diz Daniel. “Essa é a maior recompensa que um pesquisador pode alcançar.”

A não ser que as autoridades do Rio recorressem à violência para calar Daniel, essa era uma briga perdida desde o começo. Por meios democráticos, nenhum governo consegue nocautear uma pessoa bem treinada em métodos quantitativos, ainda mais quando ela tem acesso a bancos de dados (mais ou menos) confiáveis. Tatiane Menezes, economista, professora na Universidade Federal de Pernambuco, diz que os cientistas hoje seguem um protocolo bem definido para pesquisar problemas sociais, que é chamado por alguns de “protocolo axiomático”. Funciona assim:

O cientista estabelece os axiomas que pretende testar. Tais axiomas são os pressupostos tidos como verdadeiros, e com eles o cientista vai criar o modelo, preencher os bancos de dados, descrever bem o problema a ser investigado. Um exemplo de axioma: Um sujeito comete crimes para maximizar o próprio bem-estar (mas a sua visão particular de bem-estar), ainda que tal maximização esteja sujeita a restrições (ele terá de viver escondido, por exemplo) e a punições severas (ele será preso ou assassinado pela polícia).

A partir dos axiomas, o cientista imagina proposições que sejam consequência lógica dos axiomas. Por exemplo: Se o sujeito está sempre avaliando os possíveis ganhos e as possíveis perdas de seus crimes, seria possível evitar o crime mudando alguma característica de alguma instituição? Outro exemplo: Se a possibilidade de ganho é muito superior à possibilidade de perdas, a severidade das punições faz diferença?

Com os axiomas e as proposições, o cientista monta um modelo estatístico do fenômeno que pretende compreender, isto é, ele monta um sistema de equações que deve funcionar de modo análogo ao fenômeno que pretende compreender.

“Feito tudo isso”, diz Tatiane, “os modelos são colocados à prova.” Daniel Cerqueira concorda. “Sem a teoria, os dados ficam perdidos, não ganham significado.” Se o cientista pegar seu modelo e explicar melhor a realidade, e talvez previr acontecimentos e consequências, significa que o modelo é aceitável. (Mas não significa que o modelo é a realidade; um modelo matemático nunca pode representar a realidade com perfeição.)

A desordem social. Nos Estados Unidos, Rudolph Giuliani, prefeito de Nova York de 1994 a 2001, ficou famoso pela política de tolerância zero até mesmo com infrações simples da lei. No Brasil, Leandro Piquet Carneiro, economista formado na Universidade Federal do Rio de Janeiro, especializado em métodos quantitativos na Universidade do Michigan, em 2006 recebeu verba para estudar a violência na cidade de Santos (SP). Leandro quis saber se era verdade no Brasil o pressuposto teórico da política de tolerância zero: a de que desordem social aumenta a incidência de crimes violentos. Desordem social significa: ruas cheias de lixo, paredes pichadas, carros depredados, janelas quebradas, prostitutas andando pelas ruas, bares em todo lugar, vendedores de droga dando bobeira aqui e ali à espera de clientes, lâmpadas queimadas — coisas desse tipo. Se fosse verdade, lugares em que há maior desordem social deveriam ter taxa maior de crimes violentos. “Santos serviu como laboratório para estudar essa possível relação”, diz Leandro; hoje ele dá aulas na Universidade de São Paulo.

Primeiro, ele entrevistou gente que sabe das coisas: líderes comunitários, funcionários de ONGs, funcionários públicos (como diretores de pronto-socorro e policiais). Com isso, montou um mapa das regiões da cidade mais suscetíveis à desordem social. Com uma máquina fotográfica, visitou essas regiões e fez imagens. Por último, obteve informações oficiais a respeito de crimes e contravenções. Quando cruzou os dados, viu que os teóricos americanos tinham razão: nas regiões em que havia sinais visíveis de desordem social, havia também mais gente cometendo pequenos crimes e contravenções, e havia também mais gente cometendo crimes graves como assassinato. “Algumas dessas áreas eram a zona do porto, o centro antigo (onde está o mercado municipal), o entorno do estádio da Vila Belmiro, e ruas próximas de universidades.” Ao contrário do que acontece nos Estados Unidos, contudo, em Santos havia desordem social e crimes espalhados pela cidade inteira, em pequenos bolsões. “Nos Estados Unidos, por conta principalmente da segregação de grupos étnicos, as ocorrências ficam mais concentradas.”

Muitas cidades brasileiras têm taxas altas demais de assassinatos por 100.000 habitantes — por exemplo, Recife. Em 2000, era a primeira da lista brasileira, com 97,5 assassinatos por 100.000 habitantes; em 2009, a taxa caiu para 71,9 e a cidade ficou no terceiro lugar. (Para comparar: 1,6 no Canadá, 0,4 no Japão, e 1,2 em Portugal.) Por isso Tatiane Menezes obteve verba da Fundação de Amparo à Ciência e Tecnologia do Estado de Pernambuco e apoio da Secretaria de Segurança Pública para estudar os assassinatos da cidade.

Tatiane também cruzou dados a respeito de cada bairro, e ela também descobriu uma conexão entre crimes e desordem social: nos bairros mais pobres, onde tudo é mais bagunçado, a taxa de crimes era mais alta — havia uma correlação. “Não se trata de reducionismo”, diz Tatiane. “Não se trata de dizer que o pobre é um criminoso. Mas nos bairros mais injustos há crescimento desordenado, e seu vizinho passa a ser um desconhecido. Não há vínculos sociais mais estreitos.” Tatiane descobriu uma espécie de fluxo do crime: os bairros mais organizados empurram o crime para os bairros mais desorganizados, onde os mecanismos de controle não funcionam bem. Isso bate com a teoria. Contudo, Tatiane descobriu também uma característica por enquanto inexplicável: bairros com uma boa porcentagem de chefes de família jovens (entre 15 e 20 anos) apresentaram taxas de homicídio menores, e bairros com uma boa porcentagem de idosos apresentaram taxas maiores — isso sem considerar a ordem ou desordem social do bairro. “Precisamos avançar mais nos estudos.”

Os três economistas dizem que não é mais possível compreender a criminalidade sem usar métodos quantitativos, e que os políticos profissionais estão cada vez mais conscientes disso. Leandro, por exemplo, está usando o que aprendeu em Santos em estudos sobre a cidade do Rio de Janeiro, com apoio e verba da Secretaria Especial de Ordem Pública. Mais uma vez quer estudar a correlação entre desordem social e criminalidade; com os resultados do estudo, as autoridades da cidade planejam treinar melhor os guardas municipais e organizar melhor o roteiro de ronda. Hoje, se um guarda passa por uma esquina e vê lixo jogado na calçada e paredes pichadas, talvez não faça nada. Depois do treinamento, ele deve ligar para uma central e reportar a desordem, de modo que funcionários da prefeitura recolham o lixo e limpem as paredes. Em todas as cidades do mundo iniciativas assim reduzem tanto o número de crimes quanto sua gravidade, pois passam um recado a todos: “Cuidado: a comunidade se importa com o que acontece por aqui.” {}



{2}/ Apêndice: Quem se beijou?

O cientista social estuda matemática não só para ver melhor os fenômenos sociais, mas também para não ver o que não está presente nos fenômenos. A história do sociólogo húngaro Sandor Szalai ilustra bem essa ideia.

Na década de 1960, Sandor notou que, em qualquer grupo com mais ou menos 20 crianças, ele sempre achava quatro crianças que eram todas as quatro amigas entre si, ou ao contrário achava quatro crianças que não eram nenhuma das quatro amigas entre si. Ele se sentiu tentado a criar alguma teoria sociológica sobre o fato, mas algo o incomodava, e por isso pediu o conselho de três ótimos matemáticos húngaros — Paul Erdös, Pál Turán, e Vera Sós. Os três puderam mostrar que ele estava diante de uma coincidência matemática, digamos assim, e não diante de um fenômeno sociológico.

Se X é um conjunto com 18 elementos ou mais, e se R é alguma relação simétrica no conjunto X, então existe um subconjunto S dentro de R, com quatro elementos, e com as seguintes propriedades:

Ou xRy é verdadeira para quaisquer dois elementos x e y de S.

Ou, ao contrário, xRy é falsa para qualquer par de elementos x, y de S.

No caso de Sandor, se X é um conjunto com 18 crianças ou mais, e se R é uma relação simétrica do tipo “é amigo de”, então existe um subconjunto S dentro de X, com quatro crianças, no qual para quaisquer duas crianças x e y dentro do subconjunto S ou xRy é verdadeira para todas as quatro crianças de S ou xRy é falsa para todas as quatro crianças de S.

Esse fato matemático é conhecido como teorema de Ramsey, pois foi provado pelo matemático britânico Frank Plumpton Ramsey em 1930 (o ano em que morreu com apenas 26 anos). Com o teorema de Ramsey, os matemáticos criaram toda uma área da combinatória, que batizaram de teoria de Ramsey. É um estudo sistemático de um fenômeno comum: uma estrutura grande X, seja ela qual for, tem de conter subestruturas grandes e muito bem organizadas, mesmo que a estrutura X tenha se formado de modo arbitrário e caótico. (O estudante pode entender por “estrutura” os elementos de um conjunto e pelo menos um tipo de “ligação” entre os elementos; um grafo é um bom exemplo de estrutura.) O matemático israelita Theodore Samuel Motzkin resumiu a teoria de Ramsey assim: “A desordem completa é impossível.”

O teorema de Ramsey tem consequências curiosas. Num grupo de 18 pessoas, se elas tiverem idade suficiente para que exista no grupo a relação simétrica “se beijaram”, então existe no grupo um subgrupo de 4 pessoas no qual ou todas as quatro se beijaram ou nenhuma das quatro se beijou. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 22, novembro de 2012, pág. 54. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Francisco Bicudo.

3. Há mais um texto sobre grafos e o teorema de Ramsey neste bloque; clique aqui.

4. Escrevi o texto da seção 2 com o apoio de um artigo de Noga Alon e Michael Krivelevich, publicado no livro The Princeton Companion to Mathematics.

5. Só para deixar claro: nas culturas de natureza europeia, como a americana e a brasileira, sinais de desordem aumentam a probabilidade de crimes, mas não explicam os crimes. (Esse é mais um exemplo da velha máxima: uma correlação não necessariamente significa uma relação de causa e efeito.) Há lugares na Ásia, por exemplo, onde os sinais de desordem pululam, e no entanto o índice de crimes violentos por 100.000 habitantes é baixo.

Boole: o conspirador bondoso


Uma professora de Natal (RN) provou que o matemático britânico George Boole é o pai da lógica simbólica moderna. Nem todo britânico sabe disso.


{1}/ Matemática de graça para mulheres

Giselle Costa de Souza, moradora do Baixo Nazaré, em Natal, e professora de matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, uma vez se encantou com um bondoso conspirador inglês. Ele morreu há 147 anos, e Giselle se encantou porque ele contrabandeava matemática para mulheres.

George Boole (1815-1864) acreditava que qualquer um, ao estudar matemática, estava em melhor posição para reformar a própria vida e, portanto, reformar um pouco a sociedade em que vive. Ele dava aulas de matemática na Universidade Queen, na Irlanda. Com a ajuda da mulher, identificava vizinhos talentosos, mas pobres, e depois os convencia a aparecer nas suas aulas, sem pagar nada. Não importava se o aluno era homem ou mulher. “Naquela época”, diz Giselle, “raramente uma mulher ia à universidade, e muito menos uma mulher pobre, e muito menos de graça.” O que Boole fazia era contra as regras, mas ele era um sujeito querido, e todos fingiam não ver nada.

Porque gostou de Boole, Giselle fez um mestrado sobre lógica simbólica e um doutorado sobre o próprio Boole. Não viajou à Inglaterra, por falta de dinheiro e porque “o cronograma não deixava”. Mesmo assim, Giselle provou que Boole é o “pai” da lógica simbólica moderna, coisa que até hoje muitos britânicos não sabem.

1 – x = mulheres. Boole escrevia coisas mais ou menos assim:

Considere o conjunto U, que é o conjunto universal ou o conjunto do discurso. Por exemplo, U = {todos os habitantes de Londres}. Podemos criar subconjuntos de U com, por exemplo, o operador x, que seleciona de U todos os homens. Assim, xU = {todos os habitantes de Londres do sexo masculino}. O mesmo vale para os habitantes canhotos, yU, e para os habitantes de olhos azuis, zU. E aí podemos selecionar de U todos os habitantes masculinos, canhotos, e de olhos azuis com x(y(zU)). Também podemos selecionar primeiro os canhotos com yU, e depois os homens com xU, ou vice-versa, que o resultado será o mesmo. Assim, y(xU) = x(yU). Podemos representar o conjunto universal U com o número 1, e assim yx = xy. Podemos demonstrar que 1 – x é um subconjunto de U, com todas as mulheres de Londres.

E desse jeito Boole escreveu dois livros importantes: Uma Análise Matemática da Lógica e Investigação Sobre as Leis do Pensamento. Pela primeira vez, como provou Giselle, alguém transformou a lógica mais comum em argumentos matemáticos (e filosóficos) em símbolos com sintaxe e semântica próprias. “Ele transformou a lógica num tipo de álgebra.”

Depois de Boole, muita gente talentosa trabalhou com lógica simbólica. Sem ir à Inglaterra, Giselle precisava reunir documentos para provar duas coisas: que Boole não copiou sua álgebra de outros autores; e que os matemáticos depois de Boole estudaram seu trabalho. “Foi difícil”, diz Giselle. “Ainda mais a distância.” Então ela teve a ideia de se corresponder com o principal biógrafo de George Boole, Desmond McHale. Ele se interessou pelo projeto e a ajudou a arranjar cópias de documentos originais. “Também consegui muita informação em bibliotecas brasileiras, principalmente a do Impa.” Resultado: Boole não copiou ninguém e os grandes lógicos depois de Boole, como Bertrand Russell e Curt Gödel, conheciam seus livros.

Boole energiza alunos. Giselle sempre conta histórias de Boole em sala de aula. “Os alunos se encantam com ele.” Puxa, um menino pobre pode ser autodidata, e um autodidata pode inventar matemática nova? “Eu lhes dou a ideia de pesquisar a vida dos matemáticos autodidatas, que foram muitos”, diz Giselle. “Eles voltam cheios de energia.”

Um dia, ela pretende visitar a pequena cidade de Lincoln, onde Boole nasceu e cresceu, e a cidade de Cork, onde Boole deu aulas e contrabandeou matemática para mulheres. “Ainda não pisei na Inglaterra. É um sonho.” {}



{2}/ A vida de George Boole

Nasceu em Lincoln, Inglaterra, em 1815, e morreu em Cork, Irlanda, em 1864.

Estudou matemática com a ajuda do pai (um sapateiro), latim com a ajuda de um vizinho; e grego, francês, e alemão sozinho.

Aos 34 anos, sem diploma universitário, conseguiu o emprego de professor de matemática da Universidade Queen, em Cork, na Irlanda. Ele caminhava de casa até a universidade.

Se esforçava para escrever com clareza, pois tinha a vontade de dar a seus alunos o mínimo de trabalho.

Num dia em 1864, aos 49 anos, Boole se sentiu mal. O tempo estava nublado, mas ele tinha aulas para dar. Caminhou debaixo de chuva até a universidade e deu as aulas todo molhado. Ficou doente e, dias depois, morreu.

Inventou a lógica simbólica moderna. No século 20, matemáticos, físicos, e engenheiros aperfeiçoaram a álgebra de Boole e criaram os computadores tais como os conhecemos hoje. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 2, março de 2011, pág. 42. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. Hoje existem mais de 60 tipos distintos de lógica formais, incluindo a lógica booleana. Algumas têm grande importância filosófica, como a lógica modal, cujo tema são proposições necessárias (verdadeiras ou falsas em todo mundo possível) e contingentes (verdadeiras ou falsas em parte dos mundos possíveis).

3. Sobre o verbo “provar”, usado quatro vezes no texto: na ciência, ninguém prova as coisas da mesma forma que na matemática, isto é, de modo eternamente incontestável. Toda afirmação científica está sujeita a revisão caso surjam novas evidências. Assim, quando dizemos que Giselle provou que Boole é o inventor da lógica simbólica moderna, queremos dizer, mais simplesmente, que tal afirmação é a que melhor explica as evidências conhecidas até hoje.