Nesta pandemia, fiquei sem cadernos — fiquei sem matemática


{1}/ Os limites de uma cabeça

No começo de junho, fui resolver um problema sobre sequências, que está no livro Discrete Mathematics: An Open Introduction, de Oscar Levin. O enunciado do problema é assim:

  • Problema. Você tem uma grande coleção de quadradinhos de 1 ✕ 1, isto é, de quadradinhos cujos lados medem 1 unidade de comprimento; assim como dominós de 1 ✕ 2. Os quadradinhos são todos idênticos: não consegue distinguir um do outro; o mesmo vale para os dominós. De quantas maneiras distintas pode montar uma fileira de 1 ✕ 1.000?

Um amigo tinha me dito que esse problema é interessante: “Quando finalmente resolvê-lo, descobrirá algo sobre um objeto matemático famoso.” Peguei meu caderno de cartografia para começar meus desenhos e anotações — mas só havia uma página em branco! Fui ao armário do escritório pegar um caderno novo — não havia mais cadernos, nem de cartografia, nem pautados. Por causa da pandemia, estou evitando ao máximo sair de casa. Liguei no mercadinho do bairro para ver se tinha cadernos, mas não tinha. As papelarias das redondezas estavam todas fechadas. Eu não queria comprar cadernos pela internet — por algum motivo, essa ideia me pareceu um despropósito, mais ou menos como comprar um café e um pão de queijo via internet.

Tentei ver se conseguia resolver o problema usando só uma página. Em vão. Rapidamente a enchi de desenhos e anotações, mas não cheguei nem perto da solução. Passei uns poucos dias tentando resolver o problema usando tão-somente a cabeça. Nada. Sou péssimo de resolver problemas sem caderno de apoio. Preciso desenhar, desenhar setas que apontam para trechos importantes, escrever anotações, entre elas as perguntas para as quais ainda não tenho resposta e desafios para mim mesmo. Principalmente, preciso escrever lembretes para mim mesmo. Eu desenho algo como “2, 3, 5, __”, desenho uma seta apontando para o espaço em branco, e escrevo “Segundo os dados do problema, você pode preencher esse espaço com três opções.” Meus cadernos estão cheios de anotações do tipo “Essa expressão funciona se n é ímpar?”, “Quantos caminhos reticulados de (5, 7) até (10, 10)?”, “Isso é claramente verdadeiro, mas essa joça não serve como prova”, “Uau! Você viu isso?!”, “Como posso expressar o fato de que um inteiro positivo não é divisível por 3?”

Já fiquei doente antes, então sabia que, quando o corpo não está funcionando corretamente, a mente também não funciona. É muito difícil resolver um problema matemático estando gripado, com dores e febre. Mas eu nunca tinha visto o seguinte: se meu corpo está saudável, mas não posso deixar registrados certos movimentos (aqueles que produzem os desenhos, as anotações, os lembretes), daí minha mente não funciona num nível adequado para resolver problemas. A falta de cadernos me mostrou algo com muita clareza: dizemos “trabalho braçal”, “trabalho intelectual”, mas essa distinção entre os trabalhos do corpo e os trabalhos do espírito é artificial. É uma espécie de ficção: nada mais que um jeito de falar.

Uns dias depois que fiquei sem cadernos, minha mulher fez um bolo de cenoura com cobertura de chocolate e me pediu para levar metade do bolo para os pais dela, que moram a meia hora de carro de nossa casa. Levei o bolo. Quando voltava, passei em frente de uma papelaria — fechada, mas vi uma folha de papel A4 colada na porta. Estacionei o carro e fui examinar o cartaz: “Estamos atendendo via WhatsApp.” Anotei o número do celular e no fim das contas comprei seis cadernos de cartografia e duas canetas Bic azuis, que um motoboy foi me levar em casa. Assim que tive um tempo livre, peguei um dos cadernos, voltei a desenhar e a escrever recados para mim mesmo. Umas poucas horas depois que meu corpo estava plenamente funcional — pois tinha cadernos com os quais brincar —, o problema estava resolvido, e vi que meu amigo tinha razão: eu sabia algo novo sobre um objeto matemático famoso. {❏}



{2}/ A resolução do problema

Seguindo o velho conselho: antes de resolver um problema difícil, resolva versões mais simples dele.

Comece com apenas um quadradinho. De quantas maneiras pode montar uma fileira de 1 ✕ 1? De uma maneira apenas, que é com um quadradinho; nas linhas a seguir, estrela * é quadradinho e barra de porcentagem % é dominó.

*

Isso você pode anotar assim: 1 ↦ 1; “Um quadradinho leva a uma maneira.”

Se começa com dois quadradinhos, daí já tem duas maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 2: com os dois quadradinhos com os quais começou, ou com um dominó.

**

%

Em outras palavras, 2 ↦ 2; “Dois quadradinhos levam a duas maneiras.”

Começando com três quadradinhos, tem três maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 3: com três quadradinhos; com um dominó e um quadradinho; com um quadradinho e um dominó.

***

%*

*%

Começando com quatro quadradinhos, tem cinco maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 4: com quatro quadradinhos; com um dominó e dois quadradinhos; com um quadradinho, um dominó, e um quadradinho; com dois quadradinhos e um dominó; e com dois dominós.

****

%**

*%*

**%

%%

Começando com cinco quadradinhos, tem oito maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 5. Vou direto para o desenho.

*****

%***

*%**

**%*

***%

%%*

%*%

*%%

Até aqui, portanto, está trabalhando com a seguinte sequência:

1 ↦ 1

2 ↦ 2

3 ↦ 3

4 ↦ 5

5 ↦ 8

E com isso já pode levantar uma hipótese. Use M(n) para denotar um número de maneiras pelas quais montar uma fileira de 1 ✕ n. Parece que M(n) = M(n – 1) + M(n – 2), com M(1) = 1 e M(2) = 2. Se essa hipótese for verdadeira, então está trabalhando com a seguinte sequência:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Mas isso é quase a sequência de Fibonacci! Ela é a sequência fn = fn–1 + fn–2, com f0 = 0 e f1 = 1, ou seja, é a sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Caso comece com seis quadradinhos e faça os desenhos, realmente vai chegar a 13 maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 6; e caso comece com sete quadradinhos, vai chegar a 21 maneiras de montar uma fileira de 1 ✕ 7. Isso é muito promissor, mas não serve de prova de que de fato M(n) = M(n – 1) + M(n – 2) para n ≥ 3. Para um número muito grande de quadradinhos, talvez essa regra de formação da sequência não corresponda à verdade.

Você certamente vai sair desse apuro caso tenha a ideia de ver a coisa toda com sequências binárias. Veja o caso com cinco quadradinhos: comece usando “1” para representar os quadradinhos.

11111

De quantas maneiras pode montar uma sequência de cinco bits com todos os bits iguais a 1? Se já leu a postagem As Muitas Vantagens de Provas Combinatórias, sabe a resposta: com o número binomial C(5, 1).

Agora use “0” para representar um dominó. O que vai fazer é trocar “11” por “0”, isto é, trocar dois quadradinhos por um dominó.

0111

De quantas maneiras pode montar uma sequência de quatro bits com exatamente três deles iguais a 1?

Mais uma vez, troque dois quadradinhos por um dominó, ou troque “11” por “0”.

001

De quantas maneiras pode montar uma sequência de três bits com exatamente um deles igual a 1?

Já não pode fazer mais nada, pois o número de bits inicial é ímpar. Portanto, de quantas maneiras pode montar uma fileira de 1 ✕ 5, se tem acesso apenas a quadradinhos e a dominós?

Mais uma vez, mas com seis bits, ou seja, começando com seis quadradinhos. No formulário a seguir, à esquerda vê as peças; à direita, de quantas maneiras pode enfileirar as peças.

E com isso o problema está praticamente resolvido. Faltam uns poucos detalhes técnicos. Vamos lá:

(a) Você sempre começa com uma sequência de n bits iguais a 1, pois começa com n quadradinhos. Só existe uma maneira de montar uma fileira de 1 ✕ n apenas com quadradinhos, que vale C(n, n) = 1.

(b) Você troca dois bits iguais a 1 por um bit igual a zero, para representar o fato de que trocou dois quadradinhos por um dominó. O comprimento da sequência, que era de n bits, passa a ser de n – 1 bits; mas o número de bits iguais a 1 cai por duas unidades, pois trocou “11” por “0”. De quantas maneiras pode montar uma fileira de 1 ✕ n com um dominó e n – 2 quadradinhos? O número binomial que representa esse valor é C(n – 1, n – 2).

(c) A cada passo desse procedimento, troca “11” por “0”, isto é, reduz o comprimento da sequência binária por uma unidade, e reduz o número de bits iguais a 1 por duas unidades.

(d) Você só vai parar quando tiver uma sequência com n/2 bits iguais a zero, se n é par, ou n/2 bits iguais a zero e 1 bit igual a 1, se n é ímpar. Com tudo isso, pode montar a fórmula geral das maneiras pelas quais montar uma fileira de 1 ✕ n. A primeira linha abaixo mostra o caso para n inteiro positivo par (que deixa resto zero na divisão por 2); a segunda linha, o caso para n ímpar (que deixa resto 1 na divisão por 2).

É possível escrever esse somatório com a notação sigma. Lembre-se de que, ao dividir o inteiro positivo n por 2 usando o algoritmo da divisão, obtém n = 2q + r, em que q é o quociente e r é o resto, com 0 ≤ r < 2. A linha a seguir parece complicada, mas ela apenas diz que o contador do somatório vai de 0 a q.

E com isso já pode dar a resposta do problema. De quantas maneiras pode montar uma fileira 1 ✕ 1.000?

Usei um computador para calcular o valor dessa expressão: você pode montar uma fileira de 1 ✕ 1.000 de 70.330.367.711.422.815. ··· .245.245.323.403.501 maneiras distintas — esse número tem 209 algarismos, e por isso o recurso aos três pontinhos. (Usando notação científica, pode montar uma fileira de 1 ✕ 1.000 de ≅7 · 10208 maneiras distintas.)

Mas o principal não é isso. O principal é que, ao resolver esse problema, agora você tem uma fórmula para calcular o enésimo termo da sequência de Fibonacci — só tem de fazer um pequeno ajuste, pois a sequência de Fibonacci tem dois termos iniciais, f0 = 0 e f1 = 1, que a sequência com a qual trabalhou até agora não tem. Assim, sabendo que f0 = 0 e f1 = 1, para calcular o enésimo termo da sequência, com n ≥ 2, use a expressão a seguir.

Como exemplo, calcule o valor de f7; já sabe que f7 = 13. Se n = 7, então n – 1 = 6, e com isso:

Para quem mexe com a sequência de Fibonacci de vez em quanto, essa fórmula serve de ferramenta, e só a achei porque resolvi um problema de matemática discreta. Mas só resolvi o problema porque pude deixar registrados, num caderno de cartografia, os movimentos de minhas mãos. Meu pensamento depende de meu corpo; e meu corpo precisa de ferramentas. Como certa vez escreveu um eremita do qual gosto muito:

— “Corpo sou eu e alma”, assim fala a criança. E por que não se deveria falar como as crianças? Mas o desperto, o sabedor, diz: “Corpo sou eu inteiramente, e nada mais; e alma é apenas uma palavra para um algo no corpo.” {FIM}



Observações:

1. Você pode adaptar o problema dos quadradinhos e dos dominós de várias maneiras. Se é músico, por exemplo, pode se perguntar: “De quantas maneiras posso preencher o tempo de mil colcheias, se posso usar apenas colcheias ou semínimas?” Se está interessado em partições de inteiros positivos, pode se perguntar: “De quantas maneiras posso representar 1.000 como o resultado de um somatório, se posso usar apenas parcelas iguais a 1 ou iguais a 2?” As duas perguntas são completamente equivalentes a montar uma fileira de 1 ✕ 1.000 usando apenas quadradinhos e dominós. E isso me leva a um tema interessante: muita gente pensa que uma sequência binária é uma sequência de zeros e uns; na verdade, é uma sequência de dois símbolos, quaisquer que sejam: zeros e uns, quadradinhos e dominós, * e %, 1 e 2, colcheias e semínimas, 5 volts e 0 volt.

2. Se meu programa de edição de fórmulas tivesse o símbolo de função chão, os somatórios desta postagem ficariam mais simples. Na expressão a seguir, veja o símbolo Floor(x) como sendo a função chão de x, isto é, o número inteiro k tal que x – 1 < kx, com x um número real qualquer.

Números p-ádicos, torres de marfim, e Zaratustra


Cercai-vos de pequenas coisas boas e perfeitas, ó homens superiores! Sua áurea madureza cicatriza o coração. O que é perfeito ensina a esperança.

Friedrich Nietzsche no livro Assim Falou Zaratustra, pág. 277. Tradução de Paulo César de Souza. São Paulo: Companhia de Bolso, 2018.


{1}/ Dois jeitos de organizar uma expressão

Este é um dos motivos pelos quais é bom estudar matemática: ela está cheia de pequenas coisas boas e perfeitas, pois tem sido criada com uma miríade de ideias que o homem foi aperfeiçoando (ou amadurecendo) ao longo dos séculos, de geração em geração. Um exemplo? O modo como Kurt Hensel usou a distinção entre local e global para criar uma nova área da teoria dos números — a teoria sobre números p-ádicos.

Essa história começa com Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) e Heinrich Weber (1842-1913), que sabiam muito sobre números, e notaram a possibilidade de explorar analogias entre números e funções, isto é, de usar o que sabiam sobre números para descobrir coisas novas sobre funções. Uns poucos anos mais tarde, Kurt Hensel (1861-1941) estudou o trabalho de ambos e fez o caminho ao contrário; mais precisamente, explorou a distinção entre local e global nas funções para descobrir coisas novas sobre números. Para entender essa ideia, examine a fórmula da função f a seguir.

É uma fórmula “local em x = 0”, pois deixa muito claro o valor de f quando x = 0. Basta bater os olhos na fórmula, substituir mentalmente a variável x por 0, para descobrir que f(0) = –18.

Agora, a mesma função f, mas com outra fórmula, que é equivalente à primeira:

Essa é uma fórmula local em x = 2, pois basta bater os olhos na fórmula para saber que, quando x = 2, f vale zero; em outras palavras, 2 é uma das raízes de f. A fórmula revela isso imediatamente a qualquer um que saiba interpretá-la.

Mais uma vez, a mesma função f com outra fórmula ainda, equivalente às outras duas:

É uma fórmula local em x = 3, pois deixa claro que f(3) = 0, ou deixa claro que x = 3 é uma das raízes de f.

Assim, a primeira fórmula é local em x = 0, pois privilegia o valor zero sobre todos os outros, e além disso revela o ponto (0, –18) no qual a curva de f cruza o eixo Y; por motivos semelhantes, a segunda é local em x = 2 e a terceira é local em x = 3. Na linha a seguir, porém, veja a aparência de f com uma fórmula mais global.

Com essa fórmula global, você tem condições de ver de uma só vez as cinco raízes de f, que são 2, 3 (duas vezes), e ±i. (Pois x2 + 1 = 0 leva naturalmente a x2 = –1, que leva a x = ±√(–1) = ±i.)

Hensel explorou essa ideia de local-global ao reescrever os números reais usando bases primas  — em vez de escrevê-los na base 10, como é usual, passou a escrevê-los na base 2, base 3, base 5, base 7, …, sempre procurando ver como uma base revelava informações novas sobre os números, fossem informações locais ou globais; e essa exploração lhe rendeu várias descobertas sobre os números reais, em geral, e sobre os inteiros não negativos, em particular. Ele chamou sua invenção de números p-ádicos, em que p é uma base prima, e com ela produziu uma prova elegante e curta de que a constante e é um número transcendental. Infelizmente, a prova continha um erro sutil e difícil de corrigir, o que diminuiu aos olhos dos outros matemáticos o valor da invenção de Hensel e colocou em dúvida suas descobertas. Poucos anos mais tarde, contudo, o jovem matemático Helmut Hasse (1898-1979) se interessou pelo trabalho de Hensel, corrigiu a prova de que e é transcendental, e bolou métodos pelos quais resolver problemas de teoria dos números tendo os números p-ádicos como fundamento; com tudo isso, Hasse colocou os números p-ádicos no currículo da matemática universitária. Quando Andrew Wiles provou o último teorema de Fermat, em 1995, usou a teoria sobre números p-ádicos em várias partes da prova.

Vale lembrar: a história inteira começou com uma “coisa boa e perfeita”, qual seja, a ideia de que uma expressão pode revelar coisas mais localmente ou mais globalmente, dependendo do modo como é arranjada.



{2}/ Vendo um livro como uma torre

O filósofo americano Daniel Dennett escreveu um livro muito interessante sobre “ferramentas intelectuais”, isto é, sobre procedimentos úteis com os quais resolver problemas intelectuais, especialmente aqueles que surgem na vida do filósofo: o livro se chama Intuition Pumps and Other Tools for Thinking. Em certa passagem da introdução, Dennett elogia a universidade na qual trabalha, a Tufts University: “É uma torre de marfim com o compromisso de resolver os problemas do mundo.”

Minha reação quando li a frase pela primeira vez foi: “Que legal! Nunca havia pensado assim antes: você pode viver numa torre de marfim e, mesmo assim, se comprometer com o mundo.” A frase me causou boa impressão porque tenho a tendência de me trancar em torres de marfim ou de me perder em mundos da lua, o que às vezes me deixa com sentimentos de culpa. Depois, pensando melhor no assunto, mudei de ideia: “Uma pessoa só pode se comprometer com o mundo, a ponto de resolver algum de seus problemas, caso passe de quando em quando uma temporada trancado numa torre de marfim. Uma coisa não existe sem a outra!”

Um livro de matemática é uma dessas torres. Suponha que certa pessoa tem algum problema para resolver — qualquer um. Talvez queira reformar a configuração do jardim; talvez queira se transformar num enfermeiro competentíssimo; talvez queira organizar um grupo influente de pessoas para depor um político ruinoso; talvez queira organizar uma viagem para fotografar os lugares nos quais seu filósofo favorito viveu. Se ela puder passar umas poucas temporadas trancada numa torre de marfim, é bem possível que ache a solução de seu problema mais facilmente. Não quero dizer que ela deve ler um livro do tipo A Matemática da Enfermagem se ela gostaria de se transformar num enfermeiro — não é isso. Não quero dizer que ela deve ler um livro do tipo A Matemática dos que Querem Viajar para Conhecer os Lugares nos quais seu Filósofo Favorito Viveu — não é isso. Quero dizer que, se um problema a preocupa (não importa sua natureza), o tempo que passa na torre de marfim estudando teoria dos números, por exemplo, vai ajudá-la a resolver o problema, mais ou menos como o jogador de futebol que faz musculação para melhorar o desempenho no jogo. Ao subir na torre de marfim para resolver um problema de teoria dos números, ela deixa seu saco de preocupações lá embaixo, ao pé da torre, pois não pode carregá-lo lá para cima — é grande e pesado, e não cabe direito na escadinha que leva ao topo. Mais tarde, quando resolve o problema e desce da torre, ela recoloca seu saco de preocupações às costas — mas então é uma pessoa diferente, mais forte, pois, digamos assim, está com seus sistemas de resolução de problemas mais bem ajustados e lubrificados.

Principalmente ela está mais forte porque mais esperançosa. Sim, Zaratustra tem razão: as pequenas coisas boas e perfeitas da matemática cicatrizam o coração e ensinam a esperança — sobre isso, todo praticante de matemática pode dar seu testemunho.

O problema é que a torre de marfim encerra um risco.



{3}/ “Aonde vai esse ladrão?”

Na pág. 11 de Assim Falou Zaratustra, Zaratustra e um homem velho, “um santo”, conversam sobre eremitas — sobre aqueles que passam uma temporada em montanhas, cavernas, desertos — e torres de marfim.

“Eles desconfiam de eremitas”, diz o santo; eles significando: os homens comuns, o povo. Mais à frente, o santo completa: “Para eles, nossos passos ecoam solitários demais pelas ruas. E quando, deitados à noite em sua cama, ouvem um homem a caminhar bem antes do nascer o sol, perguntam a si mesmos: aonde vai esse ladrão?”

Esse é o risco de todo aquele que, com frequência, passa uma temporada numa torre de marfim, seja porque gostaria de resolver um dos problemas do mundo, seja porque lá se sente bem. O homem comum, que perfaz 99% da população, não entende o impulso do eremita, o de gozar o próprio espírito em solidão. Para o homem comum, o eremita é uma espécie de ladrão: está trancado numa torre de marfim porque há algo errado com ele, porque fez algo errado, e quer esconder dos outros seu defeito ou pecado, ou talvez queira esconder dos outros o prazer com seu defeito ou sua vontade de pecado.

Todos os que gostam de matemática sabem do que estou falando. O leitor sabe: o homem comum reage com alguma admiração à sua capacidade de se entreter com matemática — sua capacidade de subir na torre, tão solitária, tão alta! Mas o homem comum também desconfia — “Por que essa pessoa se isola? Por que se afasta? O que pretende esconder de nós, homens comuns que somos, maioria que somos, e portanto homens bons?”

É fácil lidar com o risco associado à torre de marfim, basta um pouco de criatividade, desde que o leitor saiba que tal risco existe — e agora sabe. {FIM}



Observações:

1. O leitor já viu este aviso neste blogue antes: quando escrevo “homem”, quero denotar o conjunto {x : x é um indivíduo da espécie humana}.

2. Você pode escrever toda função polinomial de forma global, para revelar de uma vez todas as raízes, ou de forma local, para revelar só uma das raízes ou então alguma informação importante, como o ponto no qual o gráfico da função cruza o eixo Y. Deixo a exploração desse tópico como exercício, pois está ao alcance de qualquer um que tenha concluído o ensino médio.

3. Se já leu pelo menos um livro de introdução à teoria dos números, um de introdução ao cálculo diferencial e integral, e um de introdução à álgebra linear, tem condições de compreender um livro bacana de introdução aos números p-ádicos, escrito pelo matemático brasileiro Fernando Quadros Gouvêa: p-adic Numbers: An Introduction. Nova York: Springer, 2003. Para escrever a seção 1 desta postagem, usei como referência um artigo de Fernando no livro The Princeton Companion to Mathematics, intitulado “Local and Global in Number Theory”.

Um Carcereiro Bizarro, fake news, e um Político Bestialógico


O autor da historieta a seguir não a chama de historieta, mas de “experimento mental”, pois, como o experimento que um cientista faz no laboratório, você pode escarafunchá-la para obter a resposta de perguntas difíceis.

O Carcereiro Bizarro. Toda noite, ele espera até que todos os presos estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente destranca todas as portas do presídio (as portas das celas, dos corredores, do prédio, das cercas, dos muros) e, por algumas poucas horas, as deixa encostadas (como se estivessem trancadas), mas certamente destrancadas. É uma cadeia pequena, e não há nenhum outro guarda além dele. Enquanto observa as instalações pelas câmeras do circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se algum preso sair, vou deixar que saia! Vou me divertir olhando pelas câmeras sua surpresa e suas hesitações!”

O filósofo americano Daniel Dennett, autor do experimento mental, pergunta: “Nessas poucas horas nas quais todas as portas estão destrancadas, os prisioneiros estão livres?”

Vejamos. Um preso acorda no meio da noite, com vontade de usar a privada de sua cela. (Estou pensando em algo do tipo Fuga de Alcatraz, com Clint Eastwood no papel principal.) Enquanto está lá, pensa na vida, fica olhando à volta. Não lhe ocorre a ideia de ir até as grades da cela para ver se estão apenas encostadas, e na verdade destrancadas. Não lhe ocorre a ideia de que pode ir embora tranquilamente, andando, deixando o presídio como se deixasse o cinema quando o filme termina.

Esse preso, na verdade, não tem a oportunidade de sair, pois, para aproveitar a circunstância favorável à fuga, ele precisa saber que as portas estão destrancadas. Ele não sabe. Ao contrário, quando olha para a porta de sua cela, visto que está encostada como se estivesse trancada, para ele a porta está indiscutivelmente trancada. Se para realizar a ação y um agente precisa antes da informação x, e se ele não tem acesso à informação x, então não pode realizar a ação y.

É como a história do sujeito que, andando numa das ruas do bairro onde mora, passa ao lado de um contêiner de lixo, sem saber que, dentro do contêiner, debaixo de sacos e sacos de lixo, há um baú com tesouros de valor altíssimo — ouro, joias, moedas antigas. O sujeito teve a chance de ficar rico? Não, pois não tem o costume de vasculhar contêineres de lixo, nem nunca teve. Para ele, contêineres de lixo não têm valor, e isso vale para o contêiner dentro do qual há um baú com tesouros.

Para que o sujeito que passeia pelo bairro fique rico, e para que o outro saia da prisão, em primeiro lugar eles precisam obter no ambiente a informação de que existe uma oportunidade. Sem isso, nenhum dos dois pode agir.

Com essas duas histórias, Dennett pretende ressaltar a importância de o agente obter informação oportuna sobre o ambiente em que vive, a tempo de usá-la em processos de decisão, isto é, em pensamentos sobre o que fazer no futuro. Sem informações corretas e atualizadas sobre a situação, na verdade o agente não está em condições de agir. Dennet usa as duas histórias para explorar a ideia de livre-arbítrio, e questioná-la. Não pode haver arbítrio completamente não causado, diz Dennett, pois, para decidir o que fazer, o agente precisa estar inserido no fluxo de causas e efeitos do meio ambiente; ou, o que é quase a mesma coisa, precisa estar inserido no fluxo de informações que representam o meio ambiente: de certa forma, ele precisa ‘receber’ informações do ambiente e ‘fornecer’ informações ao ambiente para que possa dizer que é “livre para agir”. Portanto, não existe isso de “escolhas livres”, no sentido de “escolhas não causadas”. Para que haja livre-arbítrio de verdade, diz Dennett, é necessário que o agente esteja imerso na malha de causas e efeitos do mundo, às vezes como efeito, às vezes como causa; às vezes como receptor de informações, às vezes como gerador.

Mas essas duas histórias, como uma pequena modificação, também servem para explorar o problema das fake news, isto é, das notícias falsas produzidas de modo que tenham o jeitão de notícia verdadeira. A pequena modificação é esta:

O Anfitrião Bestialógico. O Anfitrião Bestialógico é o gerente de um hotel. Toda noite, ele espera até que todos os hóspedes estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente tranca todas as portas do hotel (as portas dos quartos, dos corredores, das escadas, do prédio, das cercas, dos muros, da garagem) e, por algumas poucas horas, as deixa trancadas. Enquanto observa as instalações pelo circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se acontecer alguma coisa, caso alguém passe mal, caso aconteça um incêndio, vou me divertir olhando pelas câmeras o desespero das pessoas, que, quando foram dormir, achavam que sua liberdade duraria para sempre!”

Nas poucas horas em que as portas estão trancadas, os hóspedes estão livres? A resposta agora é óbvia: não. Suponha, por exemplo, que um dos hóspedes acorde à noite e pense: “Estou com vontade de fumar um cigarro.” Ele não pode fumar no quarto do hotel, pois é proibido e há sensores de fumaça; ele teria de pôr um roupão, descer até o lobby, e sair do hotel para fumar na calçada. “Se eu não estivesse com tanta preguiça”, pensa o hóspede, “desceria para fumar.” Não lhe ocorre a ideia de que não desceria, de jeito nenhum, pois está preso. Não lhe ocorre a ideia de verificar se realmente consegue abrir a porta do quarto, se consegue chamar o elevador. Para que tivesse a ideia de que está preso, para que parasse de fazer planos sobre fumar um cigarro, ele precisa da informação de que todas as portas do hotel estão trancadas. Se para abandonar o plano y um agente precisa antes da informação x, e se não tem acesso à informação x, então, em vez de abandonar o plano y, ele o considera como se fosse viável. Antes, no caso do Carcereiro Bizarro, os agentes estavam livres, mas achavam que estavam presos, e por isso não aproveitaram a liberdade; depois, no caso do Anfitrião Bestialógico, os agentes perderam a liberdade, mas achavam que continuavam livres, e por isso planejavam o futuro e nada fizeram para escapar de sua prisão antes que fosse tarde demais — antes do incêndio.

Há coisas do tipo notícia falsa no mundo dos objetos e das máquinas. A nota falsa de 100 reais, a lâmpada na frente da célula fotoelétrica. Há coisas do tipo notícia falsa no mundo das plantas e dos animais, mas com os nomes técnicos de mimetismo e camuflagem: o bicho-pau é um inseto, mas parece um graveto seco; o peixe-borboleta (Chaetodon capistratus) tem duas manchas parecidas com olhos perto da cauda, de modo que, quando observado por detrás, parece que está olhando o observador. Na cabeça do predador do peixe-borboleta, algo se passa com esta lógica: “Não adianta nada atacar esse peixe aí, pois ele já me viu.”

Mas o reino das notícias falsas é o reino da política. Assim como o Carcereiro Bizarro e o Anfitrião Bestialógico, o Político Bestialógico usa notícias falsas para manipular o público. É mais fácil entender corretamente essa ideia ao imaginar um membro do público como sendo uma máquina de estados finitos.

Tais máquinas monitoram o meio ambiente (incluindo elas mesmas) e, conforme o resultado do monitoramento, tomam decisões e agem. Se a máquina está no estado s quando recebe a entrada i, ela produz a saída o e passa para o estado y. É assim que a máquina deve funcionar, para seu próprio bem, para o bem de todas as outras máquinas, e para o bem do mundo. Suponha, portanto, que a máquina está no estado s, e que a Natureza produz todas as condições para que a máquina receba a entrada i; contudo, o Político Bestialógico distribuiu notícias falsas, nas quais a máquina acreditou, e em razão de suas crenças falsas ela interpreta mal a Natureza e, em vez de receber a entrada i, recebe a entrada x. Em consequência disso, em vez de produzir a saída o, ela produz a saída p; em vez de passar para o estado y, ela passa para o estado z. Ela não agiu para seu próprio bem, nem para o bem das outras máquinas, nem para o bem do mundo. Porém, não está consciente disso; desconhece que não viu o que estava lá, no ambiente, nem que viu o que não estava. Seu histórico de estados não corresponde mais ao histórico de mudanças no meio ambiente. Ela também não está consciente de que agiu para o bem do Político Bestialógico.

Quase sempre, o Político Bestialógico espalha notícias falsas para provocar medo, e logo em seguida raiva — pois medo e raiva são dois sentimentos que andam sempre um perto do outro. De acordo com a ideologia do Político Bestialógico, ele vai provocar raiva de pobres ou raiva de ricos; raiva de bandidos ou raiva de polícia; raiva de comunistas ou raiva de fascistas; raiva de instituições públicas ou raiva de empresas privadas; raiva da justiça ou raiva da milícia; raiva das universidades ou raiva das igrejas. Para o Político Bestialógico, nem é tão difícil estimular medo e raiva em seu público, pois basta que ele se aproveite de qualquer um dos vários defeitos característicos da mente de um ser humano. Por exemplo, um destes dois:

(1) O humano tende a prestar maior atenção a informação que confirme suas crenças, e por isso tende a se lembrar mais facilmente daquelas informações que confirmaram suas crenças;

(2) Tende a lidar muito mal com probabilidades; isso porque dá peso desproporcional à influência do passado sobre o futuro, mesmo quando o passado já não tem mais influência sobre o futuro, ou mesmo quando nunca teve (como é o caso dos números sorteados na Mega-Sena).

O filósofo japonês Watsuji Tetsurô (1889-1960) dizia o seguinte: Quando um ser humano se aproxima de outro, o ideal é que suas expectativas sejam positivas. O ideal é que haja boa vontade, alegria, sinceridade; o ideal é que, a princípio, cada um esteja disposto a simpatizar com o outro. Para Watsuji, a ética é a arte e o ofício de criar uma sociedade na qual tais aproximações possam ocorrer da maneira a mais próxima possível da ideal. Chame a aproximação ideal de aproximação idealmente positiva. Toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo mais parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente louvável. Ao contrário, toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo pouco parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente deplorável.

Assim, segundo Watsuji, sempre que um Político Bestialógico divulga notícias falsas, faz o público pensar que está livre quando na verdade está preso, ou pensar que está preso quando na verdade está livre, e fazendo assim provoca medo e raiva. Fazendo assim, portanto, o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. {Fim}



Observações:

1. Os experimentos mentais de Daniel Dennett estão no livro Intuition Pumps and Other Tools for Thinking.

2. No último parágrafo, digo que o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. Não quero dizer com isso que o leitor deve simplesmente entrar nas redes sociais e xingar todo mundo que lhe parece mau. Quem age dessa maneira, escreveu Spinoza, “é danoso para si mesmo e para os outros”. (Ética, parte 4, apêndice, capítulo 13.) Para Spinoza (que Watsuji conhecia, e que admirava), o único jeito de ajudar os seres humanos a se guiar pela razão é por meio de “amor e generosidade”. Portanto, ainda segundo Spinoza, repudiar o Político Bestialógico é equivalente a “dedicar-se com empenho a tudo aquilo que está a serviço do vínculo da concórdia e da amizade”.

Nietzsche daria umas boas risadas tanto de Watsuji quanto de Spinoza. Para Nietzsche, a ética é a arte e o ofício de imaginar e de implementar hierarquias — hierarquias de pessoas, de coisas, de ideias. Ele acreditava piamente que há ideias mais importantes que outras ideias, coisas mais importantes que outras coisas, e pessoas mais importantes que outras pessoas. Ele também acreditava que uma pessoa mais importante, segundo uma hierarquia X, deve ser mais bem tratada que uma pessoa menos importante, segundo a mesma hierarquia. Nietzsche dizia de si mesmo: Eu sou dinamite! Ele é um bom contraponto à cortesia de Watsuji e à santidade de Spinoza, mas deve ser lido com cuidado, pois é de fato explosivo.

3. Esta é a última postagem deste ano. Desejo a todos os frequentadores deste blogue boas festas e um feliz 2020!

A arte de resolver problemas matemáticos é a arte de escrever


Outro dia, eu e uns amigos víamos um documentário sobre astronomia na TV. A certa altura, o narrador comparou os elementos químicos com os números primos. Tudo o que existe no universo, disse o narrador, é feito de 118 elementos químicos; é como se os 118 elementos fossem os números primos da matéria física. Já os números primos são infinitos, e em parte por isso os números inteiros são infinitos também.

Uma moça ficou impressionada com a informação:

“Existem infinitos números primos?”

Ela se virou para mim e tirou a dúvida:

Infinitos? Está certo isso?”

E eu fiquei impressionado com a conversa que se seguiu. Ela gostou muito de saber que é possível provar a existência de infinitos números primos; percebi que ficou remoendo essa informação um tempão. Contudo, não se lembrava de ter ouvido a informação ao longo dos anos que passou na escola — 20 ao todo, pois tem mestrado.

É bem provável que algum professor tenha dito isso algum dia, mas ela não estava pronta para sentir curiosidade por uma informação dessas. Não sei, e ela também não. Em todo caso, com essa história desemboco num de meus assuntos favoritos: nenhum professor, nenhuma escola, e nenhum sistema de ensino consegue passar o que a matemática de fato é. A matemática é grande demais, e incrivelmente multifacetada. Nem os que vivem 110 anos têm tempo para conhecer toda a matemática que existe para ser conhecida. Portanto, não acho grave que alguém desconheça algum fato matemático ou alguma nuance interessante. O que me parece grave na história de minha amiga é outra coisa.

Ela não tinha a noção de que uma pessoa pode provar que existem infinitos números primos sem ter de contá-los um a um. Foi o que de fato a surpreendeu. Em outras palavras, ela nunca havia escrito uma prova semelhante a essa na vida: nunca havia lidado com provas por indução matemática, ou com procedimentos recursivos. Ou, se havia, foi de um jeito tão desleixado que não deixou marcas.

Quando eu era mais jovem, gostaria que alguém tivesse me dito várias vezes, até que eu entendesse: “Olha, a escola não será capaz de te mostrar, nem mesmo brevemente, o que a matemática é, qual seu poder, e por que é bonita. Você terá de descobrir tudo isso por si mesmo. Vale a pena o esforço extra, pois, na pior das hipóteses, ganhará o passatempo mais satisfatório do mundo. E qual é o melhor jeito de descobrir o que a matemática é? Resolva problemas, quero dizer, prove afirmações de cunho matemático para além de qualquer dúvida, explicando tim-tim por tim-tim por que são verdadeiras.” Se alguém tivesse dito algo assim à minha amiga, de um jeito que pudesse entender, duvido que teria ficado tão surpresa com a informação sobre os primos, e, mesmo que ficasse, teria daí um ótimo projeto com o qual se divertir. {Fim}



Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014. A versão que acabou de ver foi revista e ligeiramente reescrita.

2. O matemático americano Hung-Hsi Wu costuma dizer o seguinte: “Não existe absolutamente nenhuma distinção lógica entre resolver um problema e provar um teorema.”

Acho que a escola básica e muitos cursos universitários têm dificuldade de passar essa mensagem aos alunos, pois se concentram demais em achar a resposta certa, pura e simplesmente; ou então, o que é quase a mesma coisa, se concentram demais em usar a matemática, pura e simplesmente, sem questioná-la ou compreendê-la. (Por exemplo, usá-la na física.) Só que achar a resposta certa não é a mesma coisa que fazer matemática. Antes disso, fazer matemática é explicar, tim-tim por tim-tim, por que motivos a resposta certa é certa. Portanto, provar um teorema (e resolver um problema de cunho matemático) é uma atividade muito mais próxima de escrever um ensaio do que de fazer desenhos e contras desordenados num pedaço de papel.

3. Para ver como provar a existência de infinitos números primos, veja a postagem Deserto de números primos e um erro comum no ensino básico; vá direto para a seção 3.

4. Quando o narrador do documentário disse que toda a matéria do universo é feita de 118 elementos químicos… bem, ele pulou uma discussão filosófica difícil e interessante.

Segundo o modelo de universo mais usado por físicos, o universo é infinito em todas as direções. Visto que não temos acesso a todos os lugares do universo, nem nunca teremos (se o modelo for verdadeiro), não podemos afirmar que, incontestavelmente, toda matéria do universo é feita dos 118 elementos químicos da tabela periódica. Essa inferência é razoável, considerando o sucesso das narrativas científicas que temos hoje, mas não pode ser justificada por meio de argumentos cujas premissas sejam irrefutáveis.

 

Não sabe usar bem a matemática? Eis um remédio


{1}/ Muito sobre pouco, pouco sobre muitos

Em setembro de 2014 me aconteceu algo surpreendente, mas que deve acontecer de vez em quando com cada um dos leitores: Howard Eves, o autor de um livro sobre teoria das matrizes que eu estava lendo na ocasião, a certa altura pede a seu leitor que demonstre uma afirmação específica sobre determinantes. Trabalhei nessa demonstração por umas horas, sempre desenhando muito para ver se achava um padrão, até que um dos desenhos me lembrou os grupos de tranças. Não sei quase nada sobre tranças, exceto o pouco que estudei para me preparar para a entrevista com Daciberg Lima Gonçalves, professor de topologia na Universidade de São Paulo, que já publiquei neste blogue. [Clique aqui.] Mesmo assim, o pouco que sabia foi suficiente para produzir a prova. Fiquei contente.

Matemáticos profissionais e especialistas em didática vivem dizendo que ninguém tem condições de conhecer toda a matemática produzida até hoje: o assunto é grande demais e a vida, breve demais. (Não só o assunto é grande demais como, a cada ano, fica maior.) Então recomendam a única resposta possível em tais circunstâncias: o matemático deve estudar uns poucos assuntos em profundidade e todos os outros apenas brevemente, e quanto mais assuntos tiver condições de estudar brevemente, melhor.

Eu desconfiava desse conselho; essa história de “quanto mais assuntos souber mal e mal, melhor” me parecia ilógica. Será que, sendo a vida tão breve, vale a pena gastar horas preciosas estudando um assunto superficialmente? Minha dúvida tem fundamento numa constatação prática: eu acho difícil usar as partes da matemática que conheço mal. Depois da experiência com as tranças, contudo, mudei de ideia e tentei entender por que o conselho é válido.

1. Leva anos para estudar uns poucos assuntos em detalhes. Ao intercalar o estudo dos detalhes com o estudo superficial de vários outros assuntos, você deixa o dia a dia mais variado e divertido. Diversão é sempre bom.

2. Importante: conforme estuda uns poucos assuntos em detalhes, ganha competência como matemático; com isso, fica cada vez melhor na arte de empregar o pouco que sabe a respeito dos assuntos que sabe mal. (Embora, talvez, nunca fique perfeito nisso; apesar de minha experiência com as tranças, ainda acho difícil usar teoria a qual conheço pouco.)

Então, se tudo o que você sabe sobre matemática se resume a pouca coisa sobre vários assuntos (isto é, se não sabe nenhum assunto em profundidade), é bastante provável que ache difícil usar o pouco que sabe para resolver problemas teóricos ou práticos. É nessa situação que estão todos aqueles cujo último curso formal de matemática ocorreu há vários anos e que, além disso, não têm o hábito de estudar matemática por conta própria. Quero resumir assim o conselho desta carta ao leitor: estudar um pouquinho de cada área da matemática é bom, mas, para “ativar” o pouco que sabe sobre cada uma delas, deve estudar um ou dois assuntos tão completamente quanto puder.



{2}/ O que estudar por conta própria

Suponha a pessoa que concluiu uma faculdade, mas quase nunca usou a matemática universitária para resolver um problema prático ou teórico. Ou suponha a pessoa que nem fez faculdade. Esses dois grupos de pessoas perfazem a maioria absoluta da população: nove entre dez pessoas ou não concluiu uma faculdade ou, se concluiu, quase nunca usa a matemática universitária no dia a dia. (Essa afirmação vale inclusive para quem fez um curso universitário cuja matemática é forte, como engenharia elétrica.)

Presuma que essa pessoa sente saudades de matemática, e que gostaria de voltar a estudá-la, mas gostaria de estudar algum assunto matemático X que fosse interessante e útil. Em outras palavras, ela gostaria de se divertir ao estudar X e também gostaria que a probabilidade de usar seus conhecimentos sobre X uma vez a cada dois meses fosse maior que, digamos, 70%.

O que essa pessoa deve estudar? Qual é esse assunto X?

Se o leitor me perguntasse isso há dois anos, eu mencionaria dois assuntos sem hesitar:

“Cálculo e álgebra linear.”

E daí, à guisa de primeiros passos, recomendaria o livrinho de Henle e Kleinberg, Infinitesimal Calculus, e o livro de Serge Lang, Introduction to Linear Algebra. (Esses dois livros são bons inclusive para quem já estudou cálculo e álgebra linear num curso universitário.)

Mais uma vez, mudei de ideia, e o que me fez mudar de ideia foi um livro breve (256 páginas) e extraordinário: More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy. (Em tradução livre: Mais Precisamente: A Matemática de que Você Necessita para Filosofar.) O autor, Eric Steinhart, já publicou artigos científicos e livros sobre matemática, computação, e filosofia.

Steinhart organizou seu livro assim: nos dois primeiros capítulos, trata de conjuntos, de relações, e de funções. “Todos os filósofos hoje em dia usam conceitos da teoria dos conjuntos, especialmente relações e funções”, Steinhart escreve na introdução. “Você não consegue acompanhar o que está acontecendo na filosofia atual se não compreende a notação especializada e o vocabulário usados para falar sobre conjuntos, relações, e funções.” Nos capítulos seguintes, Steinhart usa os conceitos dos dois primeiros capítulos para tratar de máquinas (inclusive máquinas de Turing), semântica (inclusive a semântica de mundos possíveis), probabilidade, teoria da informação, teoria das decisões e dos jogos, e sobre os vários tipos de infinito.

Máquinas. Na matemática, assim como na filosofia, uma máquina não é bem um artefato feito de metais, plásticos, eletrônica. Uma máquina é uma abstração; é algo que tem certa estrutura formal. É um artefato feito de conceitos. Você pode representar uma máquina M com uma ênupla ordenada (I, S, O, F, G), na qual cada uma dessas letras denota um conjunto. (Por exemplo, I denota o conjunto das entradas [input], isto é, o conjunto das características do ambiente às quais a máquina vai prestar atenção.) Se quiser, pode usar a definição de máquina para modelar uma pessoa em certa situação (um noivo durante a cerimônia de casamento), ou uma instituição em certa situação (o plenário de um tribunal durante um julgamento).

Quase ninguém calcula a perda de potência num filamento de lâmpada conforme a resistência do filamento aumenta com a temperatura. Em outras palavras, quase ninguém usa seus conhecimentos de eletricidade. Mas todo mundo filosofa:

  • Até que ponto posso dizer que uma pessoa é hoje a mesma que era há dez anos?
  • É possível organizar uma sociedade com base no princípio da maior quantidade possível de felicidade para a maior quantidade possível de gente?
  • Uma pessoa é o que é pelo que pensa ou pelo modo como reage ao que acontece a seu redor?

Steinhart mostra como usar os conceitos da teoria dos conjuntos, mais os conceitos construídos a partir da teoria dos conjuntos (como o de máquina), para abordar perguntas como essas, e isso explica por que seu livro é tão agradável.

Hoje, portanto, minha resposta seria:

“Estude matemática discreta.”

Sim, matemática discreta. No fim do livro, Steinhart sugere mais livros. “Muito daquilo que estudamos nos capítulos sobre conjuntos e relações cai no escopo da matemática discreta”, ele escreve. “Um excelente texto é o de Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications.”

Entrei na internet para verificar quais assuntos o livro de Rosen cobria: lógica, provas, conjuntos, funções, sequências, somatórios, matrizes, algoritmos, teoria dos números, criptografia, indução matemática, recursão e algoritmos recursivos, métodos de contagem, probabilidade discreta, relações, grafos, árvores, álgebra booleana, modelos computacionais. Adorei os assuntos listados no índice. Comprei o livro pela internet — é um tijolão de 1.072 páginas. Estou amando cada página, cada exemplo, cada lista de exercícios.

Hoje, portanto, minha resposta um pouco mais completa é:

“Estude matemática discreta. Se é útil para filósofos, será útil para você, visto que todos nós constantemente filosofamos.”

“Mas qual livro você recomenda?”

“Primeiro, o livro de Eric Steinhart. Logo depois, o livro de Kenneth Rosen.”

Talvez o leitor queira fazer duas objeções.

1) “Mas então você não acha que cálculo e álgebra linear são a base da matemática universitária? Uma pessoa que tenha lido Steinhart e Rosen, mas que não saiba cálculo ou álgebra linear, não seria uma piada ambulante?”

Eu ainda não sei dar boa resposta a essa pergunta. Adoro as duas teorias, e penso que elas têm imenso valor cultural. É difícil entender a história recente da ciência sem saber cálculo e álgebra linear; além disso, sem elas, certamente é impossível entender a história recente da matemática. Mas, para usar as duas teorias no dia a dia, você tem de ativamente procurar problemas que possa resolver com elas. Caso se distraia, o mundo gira e a oportunidade para usá-las desaparece. Com a matemática discreta é diferente: os problemas que pode modelar com ela surgem mais naturalmente — surgem mesmo que não esteja ativamente olhando o mundo em busca de oportunidades de usá-la. (Desse ponto de vista, a matemática discreta se parece com a aritmética.)

“Você vai usar a matemática discreta sempre que puder contar os objetos com os quais está lidando”, escreve Kenneth Rosen no prefácio ao leitor. “Vai usá-la quando estuda as relações entre os elementos de dois conjuntos finitos (ou contáveis), ou ainda quando analisa um processo com número finito de passos.” Portanto, em outras palavras, vai usá-la quase sempre.

2) “Sim, eu uso matemática discreta com frequência, mas isso porque estudei computação. Se uma pessoa não ganha a vida com computadores, porém, duvido que use matemática discreta no dia a dia — nem mesmo uma vez a cada dois meses, com probabilidade de 70%.”

Há aqui um erro de raciocínio, no qual eu mesmo já caí várias vezes. É verdade que profissionais de computação usam matemática discreta com frequência, mas não é verdade que a matemática discreta lhes é útil porque estudaram computação. Ela é útil simpliciter. Sua utilidade ficou mais evidente com a presença dos computadores, mas, como Steinhart mostra com seu livro, ela continuaria útil mesmo que os computadores não existissem; pois, com ou sem computadores, estamos sempre a filosofar.

Assim, por enquanto minha resposta completa é:

“Estude matemática discreta — visto que ela é útil para filósofos, será útil para você. Pode começar com o livro de Steinhart e o de Rosen, e seguir adiante com a ajuda dos dois autores, pois sugerem vários outros livros excelentes. Mas estude superficialmente muitos assuntos matemáticos, inclusive cálculo e álgebra linear.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei a carta ao leitor contida na seção 1 pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 45, outubro de 2014, pág. 4. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Quanto à carta na seção 2, é inédita.

2. Vários matemáticos preferem a palavra “combinatória” à locução “matemática discreta”. Eu prefiro “matemática discreta”, que, a meu ver, explica melhor o rol de assuntos. Note que o contrário de “discreto” é “contínuo”; o melhor exemplo de um conjunto discreto é o conjunto dos inteiros não negativos {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, e o melhor exemplo de um conjunto contínuo é o conjunto dos números reais.

3. Atenção ao uso da palavra “teoria”. Na matemática, uma teoria é uma compilação de teoremas resultantes de certas definições, axiomas, e regras de inferência. Um livro sobre teoria dos conjuntos é, portanto, uma compilação de teoremas resultantes de axiomas, definições, e regras de inferência declarados verdadeiros pelo autor do livro. Na matemática, portanto, não necessariamente a palavra “teoria” significa “uma narrativa por meio da qual certos fatos isolados ganham contexto e sentido”.

4. Quando me refiro a filósofos usando a matemática, não me refiro a gente como Jacques Lacan, Julia Kristeva, Luce Irigaray, Bruno Latour, Jean Baudrillard, Paul Virilio, que usavam o vocabulário técnico da matemática de modo superficial, confuso, não justificado por argumentos. (Sobre isso, o leitor pode ver o excelente Imposturas Intelectuais: O Abuso das Ciências pelos Filósofos Pós-Modernos, de Alan Sokal e Jean Bricmont.) Em vez disso, me refiro a filósofos como o próprio Eric Steinhart, David Papineau, Wilfrid Hodges, Saul Kripke, entre tantos outros, que conhecem os conceitos matemáticos aos quais se referem, e que justificam, com argumentos, a relevância de tais conceitos na discussão filosófica à qual se dedicam.

5. Existe um bom livro grátis sobre matemática discreta, em inglês: Discrete Mathematics: An Open Introduction, de Oscar Levin. Não é tão completo quando o livro de Rosen, mas é bem-feito e contém uma ótima seleção de problemas.

As palavras do matemático


Os matemáticos usam certas palavras de um jeito só deles, o que, às vezes, deixa professores de matemática e estudantes confusos.

Não estou falando de palavras como “anel”. Se você imaginar os significados cotidianos da palavra “anel” no conjunto A, e seu significado matemático no conjunto B, a intersecção desses dois conjuntos é vazia — não há nenhum significado cotidiano que se aproxime do significado matemático.

Estou falando de palavras como “determinantes”. Diante de certa matriz quadrada, você usa a palavra “determinante” para nomear o escalar que pode associar à matriz de acordo com a definição de determinante a mais geral possível. (Essa definição geral, desligada de qualquer aplicação específica, é chamada de definição postulacional.) De acordo com a definição, o determinante da matriz [2 + 3i] é 2 + 3i. (Pois, se usa a para denotar um escalar, então |a| = a, isto é, o determinante de uma matriz que contém apenas um escalar é igual ao próprio escalar; no exemplo que acabei de mencionar, os escalares são números complexos.) A questão é que, no fundo, existe uma e só uma definição postulacional de determinante; se você a estudar, tem condições de deduzir todas as propriedades dos determinantes, inclusive o fato de que só pode calcular o determinante de uma matriz quadrada.

No entanto, abra qualquer livro sobre teoria das matrizes; o capítulo sobre determinantes está sempre no plural: “Capítulo Tal: Determinantes”. Olhando capítulo, você talvez veja tópicos como “determinantes cíclicos”, “determinantes de Vandermonde”. Eles passam a impressão de que não existe só uma definição postulacional de determinante, mas várias definições não equivalentes entre si. Não é verdade. É fato que existem várias definições postulacionais de determinante, mas todas se equivalem, e só uma delas é a mais genérica de todas.

O que, portanto, os matemáticos querem dizer com “determinantes”, no plural? Se você topa com uma matriz assim e assado, com as características tais e tais, então existe um jeito mais fácil de calcular o determinante: basta seguir o procedimento tal e tal. E daí o matemático prova que, naquele caso específico, o procedimento de fato produz o determinante.

Então, quando um autor usa a locução “determinantes de Vandermonde”, não quer dizer que existe uma definição distinta de determinante, criada por um sujeito chamado Vandermonde. Ele quer dizer, ao contrário, que existe um macete para calcular o determinante de matrizes que tenham certas características, e que esse macete foi batizado assim em homenagem a Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). Num caso desses, três locuções mais fiéis à ideia seriam “procedimento de Vandermonde”, “método de Vandermonde”, ou “algoritmo de Vandermonde”.

Acho esse fenômeno curioso. Há muitas outras palavras que os matemáticos usam de um jeito só deles; três outros exemplos são “correspondência”, “curva”, e “teoria”. {FIM}


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Eu sempre gosto de lembrar que, na matemática, a palavra “teoria” não significa “uma narrativa que dá significado a certos fatos isolados”, mas sim “uma coletânea de teoremas obtidos, por meio de certas regras de inferência, a partir de de certo conjunto de axiomas e de definições”.

Autopresentes na vida do matemático


Um bom autor de livros didáticos para o ensino médio começa as lições sobre funções assim: “O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis.” Depois disso, o autor segue com 121 páginas de explicações técnicas, de tom sisudo, nas quais ele apresenta 514 exercícios. Exemplo de explicação: “O número a é chamado de taxa de variação da função f(x) = ax + b no intervalo [x, x + h].” E daí ele apresenta mais 14 exercícios. De duas, uma: ou o autor presume que o professor vai motivar seus alunos a decodificar as 121 páginas e a resolver os 514 exercícios; ou o autor presume que o próprio aluno vai motivar a si mesmo, apesar de ter, como ponto de partida, apenas duas sentenças secas: “O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis.”

Se o leitor do livro for um aluno e se ele tiver a sorte de ter um professor bom, então tudo está bem. Mas, segundo as estatísticas oficiais e extraoficiais, 90% dos alunos brasileiros terminam o ensino médio sabendo menos matemática do que deveriam — às vezes, bem menos. Seu professor não soube motivá-los, e eles não souberam motivar a si mesmos — e o livro didático, com sua sobriedade, não ajudou. Além disso, talvez o leitor do livro não seja um aluno, mas sim um estudante de matemática; talvez seja um garçom ou um empresário, isto é, alguém que estuda matemática por esporte.

Como uma pessoa segue com os estudos, página por página, exercício por exercício? Ela tem de premiar a si mesma. Nos meus cadernos, estou sempre à procura de oportunidade de responder às perguntas:

O que estou fazendo aqui?

Será que os dados aparecem na vida real tal como apareceram neste exercício? (Sendo que “vida real” também significa a vida do matemático, que estuda certos assuntos sem se preocupar com seus usos práticos.)

Será que posso transformar a resolução deste exercício num método para resolver problemas cotidianos, meus ou de amigos meus?

Eu não entendi alguma coisa aqui? Consigo expressar com clareza o que foi que não entendi?

O que meus dicionários de matemática me dizem sobre o tópico que este exercício quer reforçar?

E o que a internet me diz?

Aprendi alguma coisa, isto é, aprendi a distinguir A de B, que antes eu misturava?

Quando gosto do que escrevi no caderno (quando tenho a sensação de que andei um passo), me dou um presente simples, tipo uma xícara de café. (Hoje em dia, meu presente simples para mim mesmo tem de ter poucas calorias: com a idade, fica cada vez mais fácil engordar e cada vez mais difícil emagrecer.)

Acima de tudo, tomo cuidado com o que digo. “O que você vai fazer domingo?”, um amigo me pergunta. “De manhã, estudo matemática.” Do outro lado, silêncio. Meu amigo espera as palavras que, em geral, vêm logo em seguida: droga, porre, maldição. Eu não digo tais palavras antes ou depois de pronunciar a palavra “matemática”, mesmo quando sinto que abro meu livro por obrigação, e não exatamente por prazer, como às vezes acontece. O que dizemos nos revigora ou nos envenena. Se eu puder evitar, não enveneno minha mente contra a matemática só porque alguém espera isso de mim.


Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 7, agosto de 2011, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Sempre que abro um de meus livros de matemática por obrigação, a sensação de “tenho um dever a cumprir” dura pouco. O mundo da matemática é exótico à beça; em menos de 15 minutos estou mais entretido do que estaria se ligasse a TV.

3. Ao final do ensino superior, a situação é melhor: uma porcentagem maior de pessoas sabe toda a matemática que deveria saber. Ainda assim, embora essa porcentagem não seja tão baixa quanto 10%, ela é baixa.

Fechando o livro didático para pensar por si mesmo


Quando um dia o leitor tiver a chance de ler o livro inteiro de Paul Lockhart, O Lamento de Um Matemático, perceberá que é o tipo de livro que nos obriga a demolir o que achávamos que sabíamos e a reerguer o que demolimos com outra configuração. (Preciso usar tantas palavras para dizer que é dos livros que nos modificam?) Agora estou lendo meus livros de matemática de um jeito diferente, às vezes com ótimos resultados.

Entendo o problema do autor de livros didáticos — deve explicar um assunto complicado, cuja história é longa e rica, do jeito mais simples possível. Para tanto, recorre ao remédio de fazer uma pergunta e de lhe dar resposta ao mesmo tempo — eu mesmo faria isso, se estivesse no lugar do autor. Segundo Lockhart, porém, esse remédio facilmente envenena. Por exemplo, num ótimo livro sobre teoria das matrizes, o autor me diz o seguinte:

(A + B)T = AT + BT

Ele me deu a pergunta e a reposta ao mesmo tempo. (De quantas maneiras posso calcular a matriz transposta da soma de duas matrizes? Posso somar as duas matrizes primeiro, e calcular a transposta depois, ou posso calcular a transposta de cada uma delas individualmente, e por fim somar as duas transpostas.) Não há jeito mais simples de passar essa informação, mas, escrevendo assim, o autor me priva do prazer de conceber essa pergunta e de correr atrás da resposta por mim mesmo. Lockhart acha que o autor me priva da matemática em si mesma.

Depois do Lamento, quando bato os olhos numa definição como a de matriz transposta, fecho o livro e procuro imaginar os próximos passos. Bem, tenho a definição de um objeto matemático, que é a matriz transposta de uma matriz qualquer. O que posso fazer com esse objeto? Ora, posso calcular a matriz transposta de uma matriz transposta, ou seja, posso verificar o que significa (AT)T; posso multiplicar a matriz A pelo escalar k, e daí calcular a matriz transposta disso — será a mesma coisa que calcular a transposta de A e depois multiplicar AT por k? [Isto é, será que a proposição (kA)T = kAT é verdadeira?] E assim vou: faço uma lista tão completa quanto possível do que gostaria de descobrir, vou atrás das respostas, e só então reabro o livro. Como que por mágica, ele fica mais interessante: deixa de lembrar um monólogo do professor diante do aluno e passa a dar a sensação de uma conversa entre dois fãs do mesmo assunto. {FIM}


Observação:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 37, fevereiro de 2014, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Uma frase legal, que tem a ver com a mensagem da carta:

Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando.

Charles West Churchman (1913-2004), cientista e filósofo americano; citado por J. E. Littlewood no livro A Mathematician Miscellany (1953).

15 minutos no topo da montanha


De vez em quando, penso no que aprendi até agora com a produção de textos sobre matemática. Meu propósito é descobrir a melhor resposta para alguém que me pergunte:

“Qual é o segredo de quem sabe matemática bem?”

Não quero dizer com isso que sei matemática bem: se você puder visualizar a matemática como sendo uma estrada de 1 quilômetro de comprimento, acho que mal venci o primeiro metro. Mas, conforme leio, estudo, resolvo meus problemas e entrevisto gente competente, vou esboçando essa resposta tão importante.

Quem sabe matemática excepcionalmente bem aprendeu, em primeiro lugar, a gostar de tudo o que vem antes e depois do dia em que resolve um problema. Todo mundo gosta de resolver problemas. À guisa de teste, faça a pergunta a um grupo de amigos, talvez num churrasco:

“Será que existe um número cujo quadrado é igual a ele mesmo?”

Como esse é um problema simples, muita gente consegue resolvê-lo em poucos minutos. [Para achar a resposta, 0 ou 1, seu amigo terá de resolver a equação x2 = x, o que significa resolver a equação x(x – 1) = 0.] Observe a reação do grupo; veja como todos ficam contentes de resolver o problema. Apesar disso, poucos gostam de resolver problemas complicados, pois o que vem antes (estudar muito, sempre com aquela sensação de que é burro) e o que vem depois (verificar se a resolução está correta, se pode simplificá-la, se pode escrevê-la com clareza e elegância, se pode achar nela novos problemas) dá trabalho demais. O matemático é o sujeito que aprendeu a gostar desses muitos dias de trabalho duro.

Se conhece alguém que escala montanhas, converse com ele sobre montanhismo, mas preste atenção num detalhe: seu conhecido escala montanhas não apenas pelos 15 minutos de glória que passa no pico (se o tempo estiver bom), mas porque aprendeu a gostar do processo inteiro. Ele gosta de comprar mapas topográficos, de estudar a língua da região, de ler com atenção a narrativa dos que já subiram aquela montanha, de se organizar para o que der e vier, de convencer patrocinadores a financiá-lo, de estudar técnicas de fotografia e de filmagem para registrar os momentos mais importantes, de tomar notas durante a viagem, de escrever sobre a escalada quando volta para casa. Se fosse apenas pelos 15 minutos de glória (se o tempo estiver bom), acho que ninguém escalaria montanhas.

Mais acima, escrevi “aprendeu a gostar” porque é verdade: a gente aprende a gostar de viver com um livro de matemática debaixo do braço, e o primeiro passo é querer aprender a gostar. {FIM}



Observações:

1. Publiquei a carta acima pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 4. A versão que acabou de ler foi ligeiramente reescrita.

2. Note que, para dizer que x = 0 ou x = 1 é a solução de x2 = x, você tem de presumir que está tratando de números reais; ou então de números complexos. Mas é possível montar sistemas nos quais a equação x2 = x tem três soluções distintas, ou mais de três. Não sei, contudo, se tais sistemas são úteis.

Matemáticos também não dão respostas rápidas e corretas a perguntas difíceis


Às vezes, alguém descobre que gosto de matemática, e que sou o responsável por um blogue sobre matemática, e daí me pergunta algo do tipo “Ah, gosta de matemática? Pode então me dizer se a Ponte Preta tem chance no próximo jogo?” ou do tipo “Como eu uso o computador para controlar as finanças lá de casa?” Existe esse preconceito: se um sujeito estuda matemática por gosto, ora bolas, então é capaz de dizer a resposta, de bate-pronto, a qualquer pergunta que contenha uma pitada de matemática. Contudo, qualquer estudante de matemática trabalharia duro por dias ou semanas até esboçar uma resposta razoável às duas perguntas. (Razoável no sentido de conforme uma linha de raciocínio explícita, que leve corretamente das pressuposições às conclusões.) Acho que mesmo um matemático com treinamento excepcional seria obrigado a trabalhar bastante.

Dê a um leigo breves explicações sobre um octaedro regular e sobre como usar as ideias da geometria de coordenadas para localizar pontos no espaço tridimensional. Peça depois que elabore um método pelo qual descobrir as coordenadas dos seis vértices do octaedro, visto que saberá as coordenadas de um dos vértices e o comprimento das arestas. O leigo provavelmente classificará a missão como superdifícil, e ficará surpreso ao ver que o matemático esboça um método em meia hora. Talvez por isso o leigo desenvolva a noção de que o matemático acha a resposta a perguntas difíceis em tempo recorde. Contudo, o problema do octaedro é simples para quem tem treinamento, mas o da Ponte Preta e o das finanças familiares são complexos até para doutores. O leigo confunde as duas classes de problemas.

Se existe uma diferença real entre o leigo e o matemático, isto é, entre quem não estuda matemática nunca e quem estuda sempre, é esta: o leigo não consegue dar resposta às duas perguntas, mas o matemático consegue. O matemático trabalhará bastante por vários dias seguidos (reunindo informações, ajeitando as equações, rodando simulações no computador), mas um dia chegará à resposta. Qual é, portanto, o verdadeiro poder que o estudante obtém ao dedicar umas poucas horas por semana à matemática? Não é o de produzir uma resposta qualquer de imediato, mas sim o de, trabalhando bastante, e às vezes por bastante tempo, produzir uma resposta razoável. {FIM}


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 27, abril de 2013, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Às vezes, consigo convencer alguém de que vale a pena voltar a estudar matemática, e meu interlocutor quer saber o que deveria estudar. Supondo uma pessoa que já tenha concluído o ensino médio (não importa se o curso de matemática foi bom ou ruim), eu sempre recomendo três matérias: lógica, cálculo, e álgebra linear. Não recomendo que a pessoa volte a estudar os temas do ensino médio, com livros de ensino médio: a sensação de andar para trás é grande demais, e desanima. Digo mais ou menos o seguinte: “Compre três bons livros, um sobre lógica, um sobre cálculo, e um sobre álgebra linear, e vá lendo os três devagar e sempre, sem pular nenhum exercício. Se empacar em algum ponto, porque falta algum conceito típico do ensino médio, daí sim recorra a um bom livro de ensino médio para reestudar esse ponto específico.” Lembrete importante: fazer matemática nunca é achar a resposta certa, mas explicar por que a resposta certa é a resposta certa. O leitor não deve se esquecer disso ao resolver exercícios.

3. Atualização: Mudei de ideia sobre estudar cálculo e álgebra linear. Hoje, se o diletante tiver de escolher só um assunto em detrimento dos outros, acho melhor estudar matemática discreta. Para saber os porquês e entender algumas nuances, clique aqui.