Um Carcereiro Bizarro, fake news, e um Político Bestialógico


O autor da historieta a seguir não a chama de historieta, mas de “experimento mental”, pois, como o experimento que um cientista faz no laboratório, você pode escarafunchá-la para obter a resposta de perguntas difíceis.

O Carcereiro Bizarro. Toda noite, ele espera até que todos os presos estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente destranca todas as portas do presídio (as portas das celas, dos corredores, do prédio, das cercas, dos muros) e, por algumas poucas horas, as deixa encostadas (como se estivessem trancadas), mas certamente destrancadas. É uma cadeia pequena, e não há nenhum outro guarda além dele. Enquanto observa as instalações pelas câmeras do circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se algum preso sair, vou deixar que saia! Vou me divertir olhando pelas câmeras sua surpresa e suas hesitações!”

O filósofo americano Daniel Dennett, autor do experimento mental, pergunta: “Nessas poucas horas nas quais todas as portas estão destrancadas, os prisioneiros estão livres?”

Vejamos. Um preso acorda no meio da noite, com vontade de usar a privada de sua cela. (Estou pensando em algo do tipo Fuga de Alcatraz, com Clint Eastwood no papel principal.) Enquanto está lá, pensa na vida, fica olhando à volta. Não lhe ocorre a ideia de ir até as grades da cela para ver se estão apenas encostadas, e na verdade destrancadas. Não lhe ocorre a ideia de que pode ir embora tranquilamente, andando, deixando o presídio como se deixasse o cinema quando o filme termina.

Esse preso, na verdade, não tem a oportunidade de sair, pois, para aproveitar a circunstância favorável à fuga, ele precisa saber que as portas estão destrancadas. Ele não sabe. Ao contrário, quando olha para a porta de sua cela, visto que está encostada como se estivesse trancada, para ele a porta está indiscutivelmente trancada. Se para realizar a ação y um agente precisa antes da informação x, e se ele não tem acesso à informação x, então não pode realizar a ação y.

É como a história do sujeito que, andando numa das ruas do bairro onde mora, passa ao lado de um contêiner de lixo, sem saber que, dentro do contêiner, debaixo de sacos e sacos de lixo, há um baú com tesouros de valor altíssimo — ouro, joias, moedas antigas. O sujeito teve a chance de ficar rico? Não, pois não tem o costume de vasculhar contêineres de lixo, nem nunca teve. Para ele, contêineres de lixo não têm valor, e isso vale para o contêiner dentro do qual há um baú com tesouros.

Para que o sujeito que passeia pelo bairro fique rico, e para que o outro saia da prisão, em primeiro lugar eles precisam obter no ambiente a informação de que existe uma oportunidade. Sem isso, nenhum dos dois pode agir.

Com essas duas histórias, Dennett pretende ressaltar a importância de o agente obter informação oportuna sobre o ambiente em que vive, a tempo de usá-la em processos de decisão, isto é, em pensamentos sobre o que fazer no futuro. Sem informações corretas e atualizadas sobre a situação, na verdade o agente não está em condições de agir. Dennet usa as duas histórias para explorar a ideia de livre-arbítrio, e questioná-la. Não pode haver arbítrio completamente não causado, diz Dennett, pois, para decidir o que fazer, o agente precisa estar inserido no fluxo de causas e efeitos do meio ambiente; ou, o que é quase a mesma coisa, precisa estar inserido no fluxo de informações que representam o meio ambiente: de certa forma, ele precisa ‘receber’ informações do ambiente e ‘fornecer’ informações ao ambiente para que possa dizer que é “livre para agir”. Portanto, não existe isso de “escolhas livres”, no sentido de “escolhas não causadas”. Para que haja livre-arbítrio de verdade, diz Dennett, é necessário que o agente esteja imerso na malha de causas e efeitos do mundo, às vezes como efeito, às vezes como causa; às vezes como receptor de informações, às vezes como gerador.

Mas essas duas histórias, como uma pequena modificação, também servem para explorar o problema das fake news, isto é, das notícias falsas produzidas de modo que tenham o jeitão de notícia verdadeira. A pequena modificação é esta:

O Anfitrião Bestialógico. O Anfitrião Bestialógico é o gerente de um hotel. Toda noite, ele espera até que todos os hóspedes estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente tranca todas as portas do hotel (as portas dos quartos, dos corredores, das escadas, do prédio, das cercas, dos muros, da garagem) e, por algumas poucas horas, as deixa trancadas. Enquanto observa as instalações pelo circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se acontecer alguma coisa, caso alguém passe mal, caso aconteça um incêndio, vou me divertir olhando pelas câmeras o desespero das pessoas, que, quando foram dormir, achavam que sua liberdade duraria para sempre!”

Nas poucas horas em que as portas estão trancadas, os hóspedes estão livres? A resposta agora é óbvia: não. Suponha, por exemplo, que um dos hóspedes acorde à noite e pense: “Estou com vontade de fumar um cigarro.” Ele não pode fumar no quarto do hotel, pois é proibido e há sensores de fumaça; ele teria de pôr um roupão, descer até o lobby, e sair do hotel para fumar na calçada. “Se eu não estivesse com tanta preguiça”, pensa o hóspede, “desceria para fumar.” Não lhe ocorre a ideia de que não desceria, de jeito nenhum, pois está preso. Não lhe ocorre a ideia de verificar se realmente consegue abrir a porta do quarto, se consegue chamar o elevador. Para que tivesse a ideia de que está preso, para que parasse de fazer planos sobre fumar um cigarro, ele precisa da informação de que todas as portas do hotel estão trancadas. Se para abandonar o plano y um agente precisa antes da informação x, e se não tem acesso à informação x, então, em vez de abandonar o plano y, ele o considera como se fosse viável. Antes, no caso do Carcereiro Bizarro, os agentes estavam livres, mas achavam que estavam presos, e por isso não aproveitaram a liberdade; depois, no caso do Anfitrião Bestialógico, os agentes perderam a liberdade, mas achavam que continuavam livres, e por isso planejavam o futuro e nada fizeram para escapar de sua prisão antes que fosse tarde demais — antes do incêndio.

Há coisas do tipo notícia falsa no mundo dos objetos e das máquinas. A nota falsa de 100 reais, a lâmpada na frente da célula fotoelétrica. Há coisas do tipo notícia falsa no mundo das plantas e dos animais, mas com os nomes técnicos de mimetismo e camuflagem: o bicho-pau é um inseto, mas parece um graveto seco; o peixe-borboleta (Chaetodon capistratus) tem duas manchas parecidas com olhos perto da cauda, de modo que, quando observado por detrás, parece que está olhando o observador. Na cabeça do predador do peixe-borboleta, algo se passa com esta lógica: “Não adianta nada atacar esse peixe aí, pois ele já me viu.”

Mas o reino das notícias falsas é o reino da política. Assim como o Carcereiro Bizarro e o Anfitrião Bestialógico, o Político Bestialógico usa notícias falsas para manipular o público. É mais fácil entender corretamente essa ideia ao imaginar um membro do público como sendo uma máquina de estados finitos.

Tais máquinas monitoram o meio ambiente (incluindo elas mesmas) e, conforme o resultado do monitoramento, tomam decisões e agem. Se a máquina está no estado s quando recebe a entrada i, ela produz a saída o e passa para o estado y. É assim que a máquina deve funcionar, para seu próprio bem, para o bem de todas as outras máquinas, e para o bem do mundo. Suponha, portanto, que a máquina está no estado s, e que a Natureza produz todas as condições para que a máquina receba a entrada i; contudo, o Político Bestialógico distribuiu notícias falsas, nas quais a máquina acreditou, e em razão de suas crenças falsas ela interpreta mal a Natureza e, em vez de receber a entrada i, recebe a entrada x. Em consequência disso, em vez de produzir a saída o, ela produz a saída p; em vez de passar para o estado y, ela passa para o estado z. Ela não agiu para seu próprio bem, nem para o bem das outras máquinas, nem para o bem do mundo. Porém, não está consciente disso; desconhece que não viu o que estava lá, no ambiente, nem que viu o que não estava. Seu histórico de estados não corresponde mais ao histórico de mudanças no meio ambiente. Ela também não está consciente de que agiu para o bem do Político Bestialógico.

Quase sempre, o Político Bestialógico espalha notícias falsas para provocar medo, e logo em seguida raiva — pois medo e raiva são dois sentimentos que andam sempre um perto do outro. De acordo com a ideologia do Político Bestialógico, ele vai provocar raiva de pobres ou raiva de ricos; raiva de bandidos ou raiva de polícia; raiva de comunistas ou raiva de fascistas; raiva de instituições públicas ou raiva de empresas privadas; raiva da justiça ou raiva da milícia; raiva das universidades ou raiva das igrejas. Para o Político Bestialógico, nem é tão difícil estimular medo e raiva em seu público, pois basta que ele se aproveite de qualquer um dos vários defeitos característicos da mente de um ser humano. Por exemplo, um destes dois:

(1) O humano tende a prestar maior atenção a informação que confirme suas crenças, e por isso tende a se lembrar mais facilmente daquelas informações que confirmaram suas crenças;

(2) Tende a lidar muito mal com probabilidades; isso porque dá peso desproporcional à influência do passado sobre o futuro, mesmo quando o passado já não tem mais influência sobre o futuro, ou mesmo quando nunca teve (como é o caso dos números sorteados na Mega-Sena).

O filósofo japonês Watsuji Tetsurô (1889-1960) dizia o seguinte: Quando um ser humano se aproxima de outro, o ideal é que suas expectativas sejam positivas. O ideal é que haja boa vontade, alegria, sinceridade; o ideal é que, a princípio, cada um esteja disposto a simpatizar com o outro. Para Watsuji, a ética é a arte e o ofício de criar uma sociedade na qual tais aproximações possam ocorrer da maneira a mais próxima possível da ideal. Chame a aproximação ideal de aproximação idealmente positiva. Toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo mais parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente louvável. Ao contrário, toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo pouco parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente deplorável.

Assim, segundo Watsuji, sempre que um Político Bestialógico divulga notícias falsas, faz o público pensar que está livre quando na verdade está preso, ou pensar que está preso quando na verdade está livre, e fazendo assim provoca medo e raiva. Fazendo assim, portanto, o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. {Fim}



Observações:

1. Os experimentos mentais de Daniel Dennett estão no livro Intuition Pumps and Other Tools for Thinking.

2. No último parágrafo, digo que o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. Não quero dizer com isso que o leitor deve simplesmente entrar nas redes sociais e xingar todo mundo que lhe parece mau. Quem age dessa maneira, escreveu Spinoza, “é danoso para si mesmo e para os outros”. (Ética, parte 4, apêndice, capítulo 13.) Para Spinoza (que Watsuji conhecia, e que admirava), o único jeito de ajudar os seres humanos a se guiar pela razão é por meio de “amor e generosidade”. Portanto, ainda segundo Spinoza, repudiar o Político Bestialógico é equivalente a “dedicar-se com empenho a tudo aquilo que está a serviço do vínculo da concórdia e da amizade”.

Nietzsche daria umas boas risadas tanto de Watsuji quanto de Spinoza. Para Nietzsche, a ética é a arte e o ofício de imaginar e de implementar hierarquias — hierarquias de pessoas, de coisas, de ideias. Ele acreditava piamente que há ideias mais importantes que outras ideias, coisas mais importantes que outras coisas, e pessoas mais importantes que outras pessoas. Ele também acreditava que uma pessoa mais importante, segundo uma hierarquia X, deve ser mais bem tratada que uma pessoa menos importante, segundo a mesma hierarquia. Nietzsche dizia de si mesmo: Eu sou dinamite! Ele é um bom contraponto à cortesia de Watsuji e à santidade de Spinoza, mas deve ser lido com cuidado, pois é de fato explosivo.

3. Esta é a última postagem deste ano. Desejo a todos os frequentadores deste blogue boas festas e um feliz 2020!

A arte de resolver problemas matemáticos é a arte de escrever


Outro dia, eu e uns amigos víamos um documentário sobre astronomia na TV. A certa altura, o narrador comparou os elementos químicos com os números primos. Tudo o que existe no universo, disse o narrador, é feito de 118 elementos químicos; é como se os 118 elementos fossem os números primos da matéria física. Já os números primos são infinitos, e em parte por isso os números inteiros são infinitos também.

Uma moça ficou impressionada com a informação:

“Existem infinitos números primos?”

Ela se virou para mim e tirou a dúvida:

Infinitos? Está certo isso?”

E eu fiquei impressionado com a conversa que se seguiu. Ela gostou muito de saber que é possível provar a existência de infinitos números primos; percebi que ficou remoendo essa informação um tempão. Contudo, não se lembrava de ter ouvido a informação ao longo dos anos que passou na escola — 20 ao todo, pois tem mestrado.

É bem provável que algum professor tenha dito isso algum dia, mas ela não estava pronta para sentir curiosidade por uma informação dessas. Não sei, e ela também não. Em todo caso, com essa história desemboco num de meus assuntos favoritos: nenhum professor, nenhuma escola, e nenhum sistema de ensino consegue passar o que a matemática de fato é. A matemática é grande demais, e incrivelmente multifacetada. Nem os que vivem 110 anos têm tempo para conhecer toda a matemática que existe para ser conhecida. Portanto, não acho grave que alguém desconheça algum fato matemático ou alguma nuance interessante. O que me parece grave na história de minha amiga é outra coisa.

Ela não tinha a noção de que uma pessoa pode provar que existem infinitos números primos sem ter de contá-los um a um. Foi o que de fato a surpreendeu. Em outras palavras, ela nunca havia escrito uma prova semelhante a essa na vida: nunca havia lidado com provas por indução matemática, ou com procedimentos recursivos. Ou, se havia, foi de um jeito tão desleixado que não deixou marcas.

Quando eu era mais jovem, gostaria que alguém tivesse me dito várias vezes, até que eu entendesse: “Olha, a escola não será capaz de te mostrar, nem mesmo brevemente, o que a matemática é, qual seu poder, e por que é bonita. Você terá de descobrir tudo isso por si mesmo. Vale a pena o esforço extra, pois, na pior das hipóteses, ganhará o passatempo mais satisfatório do mundo. E qual é o melhor jeito de descobrir o que a matemática é? Resolva problemas, quero dizer, prove afirmações de cunho matemático para além de qualquer dúvida, explicando tim-tim por tim-tim por que são verdadeiras.” Se alguém tivesse dito algo assim à minha amiga, de um jeito que pudesse entender, duvido que teria ficado tão surpresa com a informação sobre os primos, e, mesmo que ficasse, teria daí um ótimo projeto com o qual se divertir. {Fim}



Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014. A versão que acabou de ver foi revista e ligeiramente reescrita.

2. O matemático americano Hung-Hsi Wu costuma dizer o seguinte: “Não existe absolutamente nenhuma distinção lógica entre resolver um problema e provar um teorema.”

Acho que a escola básica e muitos cursos universitários têm dificuldade de passar essa mensagem aos alunos, pois se concentram demais em achar a resposta certa, pura e simplesmente; ou então, o que é quase a mesma coisa, se concentram demais em usar a matemática, pura e simplesmente, sem questioná-la ou compreendê-la. (Por exemplo, usá-la na física.) Só que achar a resposta certa não é a mesma coisa que fazer matemática. Antes disso, fazer matemática é explicar, tim-tim por tim-tim, por que motivos a resposta certa é certa. Portanto, provar um teorema (e resolver um problema de cunho matemático) é uma atividade muito mais próxima de escrever um ensaio do que de fazer desenhos e contras desordenados num pedaço de papel.

3. Para ver como provar a existência de infinitos números primos, veja a postagem Deserto de números primos e um erro comum no ensino básico; vá direto para a seção 3.

4. Quando o narrador do documentário disse que toda a matéria do universo é feita de 118 elementos químicos… bem, ele pulou uma discussão filosófica difícil e interessante.

Segundo o modelo de universo mais usado por físicos, o universo é infinito em todas as direções. Visto que não temos acesso a todos os lugares do universo, nem nunca teremos (se o modelo for verdadeiro), não podemos afirmar que, incontestavelmente, toda matéria do universo é feita dos 118 elementos químicos da tabela periódica. Essa inferência é razoável, considerando o sucesso das narrativas científicas que temos hoje, mas não pode ser justificada por meio de argumentos cujas premissas sejam irrefutáveis.

 

Não sabe usar bem a matemática? Eis um remédio


{1}/ Muito sobre pouco, pouco sobre muitos

Em setembro de 2014 me aconteceu algo surpreendente, mas que deve acontecer de vez em quando com cada um dos leitores: Howard Eves, o autor de um livro sobre teoria das matrizes que eu estava lendo na ocasião, a certa altura pede a seu leitor que demonstre uma afirmação específica sobre determinantes. Trabalhei nessa demonstração por umas horas, sempre desenhando muito para ver se achava um padrão, até que um dos desenhos me lembrou os grupos de tranças. Não sei quase nada sobre tranças, exceto o pouco que estudei para me preparar para a entrevista com Daciberg Lima Gonçalves, professor de topologia na Universidade de São Paulo, que já publiquei neste blogue. [Clique aqui.] Mesmo assim, o pouco que sabia foi suficiente para produzir a prova. Fiquei contente.

Matemáticos profissionais e especialistas em didática vivem dizendo que ninguém tem condições de conhecer toda a matemática produzida até hoje: o assunto é grande demais e a vida, breve demais. (Não só o assunto é grande demais como, a cada ano, fica maior.) Então recomendam a única resposta possível em tais circunstâncias: o matemático deve estudar uns poucos assuntos em profundidade e todos os outros apenas brevemente, e quanto mais assuntos tiver condições de estudar brevemente, melhor.

Eu desconfiava desse conselho; essa história de “quanto mais assuntos souber mal e mal, melhor” me parecia ilógica. Será que, sendo a vida tão breve, vale a pena gastar horas preciosas estudando um assunto superficialmente? Minha dúvida tem fundamento numa constatação prática: eu acho difícil usar as partes da matemática que conheço mal. Depois da experiência com as tranças, contudo, mudei de ideia e tentei entender por que o conselho é válido.

1. Leva anos para estudar uns poucos assuntos em detalhes. Ao intercalar o estudo dos detalhes com o estudo superficial de vários outros assuntos, você deixa o dia a dia mais variado e divertido. Diversão é sempre bom.

2. Importante: conforme estuda uns poucos assuntos em detalhes, ganha competência como matemático; com isso, fica cada vez melhor na arte de empregar o pouco que sabe a respeito dos assuntos que sabe mal. (Embora, talvez, nunca fique perfeito nisso; apesar de minha experiência com as tranças, ainda acho difícil usar teoria a qual conheço pouco.)

Então, se tudo o que você sabe sobre matemática se resume a pouca coisa sobre vários assuntos (isto é, se não sabe nenhum assunto em profundidade), é bastante provável que ache difícil usar o pouco que sabe para resolver problemas teóricos ou práticos. É nessa situação que estão todos aqueles cujo último curso formal de matemática ocorreu há vários anos e que, além disso, não têm o hábito de estudar matemática por conta própria. Quero resumir assim o conselho desta carta ao leitor: estudar um pouquinho de cada área da matemática é bom, mas, para “ativar” o pouco que sabe sobre cada uma delas, deve estudar um ou dois assuntos tão completamente quanto puder.



{2}/ O que estudar por conta própria

Suponha a pessoa que concluiu uma faculdade, mas quase nunca usou a matemática universitária para resolver um problema prático ou teórico. Ou suponha a pessoa que nem fez faculdade. Esses dois grupos de pessoas perfazem a maioria absoluta da população: nove entre dez pessoas ou não concluiu uma faculdade ou, se concluiu, quase nunca usa a matemática universitária no dia a dia. (Essa afirmação vale inclusive para quem fez um curso universitário cuja matemática é forte, como engenharia elétrica.)

Presuma que essa pessoa sente saudades de matemática, e que gostaria de voltar a estudá-la, mas gostaria de estudar algum assunto matemático X que fosse interessante e útil. Em outras palavras, ela gostaria de se divertir ao estudar X e também gostaria que a probabilidade de usar seus conhecimentos sobre X uma vez a cada dois meses fosse maior que, digamos, 70%.

O que essa pessoa deve estudar? Qual é esse assunto X?

Se o leitor me perguntasse isso há dois anos, eu mencionaria dois assuntos sem hesitar:

“Cálculo e álgebra linear.”

E daí, à guisa de primeiros passos, recomendaria o livrinho de Henle e Kleinberg, Infinitesimal Calculus, e o livro de Serge Lang, Introduction to Linear Algebra. (Esses dois livros são bons inclusive para quem já estudou cálculo e álgebra linear num curso universitário.)

Mais uma vez, mudei de ideia, e o que me fez mudar de ideia foi um livro breve (256 páginas) e extraordinário: More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy. (Em tradução livre: Mais Precisamente: A Matemática de que Você Necessita para Filosofar.) O autor, Eric Steinhart, já publicou artigos científicos e livros sobre matemática, computação, e filosofia.

Steinhart organizou seu livro assim: nos dois primeiros capítulos, trata de conjuntos, de relações, e de funções. “Todos os filósofos hoje em dia usam conceitos da teoria dos conjuntos, especialmente relações e funções”, Steinhart escreve na introdução. “Você não consegue acompanhar o que está acontecendo na filosofia atual se não compreende a notação especializada e o vocabulário usados para falar sobre conjuntos, relações, e funções.” Nos capítulos seguintes, Steinhart usa os conceitos dos dois primeiros capítulos para tratar de máquinas (inclusive máquinas de Turing), semântica (inclusive a semântica de mundos possíveis), probabilidade, teoria da informação, teoria das decisões e dos jogos, e sobre os vários tipos de infinito.

Máquinas. Na matemática, assim como na filosofia, uma máquina não é bem um artefato feito de metais, plásticos, eletrônica. Uma máquina é uma abstração; é algo que tem certa estrutura formal. É um artefato feito de conceitos. Você pode representar uma máquina M com uma ênupla ordenada (I, S, O, F, G), na qual cada uma dessas letras denota um conjunto. (Por exemplo, I denota o conjunto das entradas [input], isto é, o conjunto das características do ambiente às quais a máquina vai prestar atenção.) Se quiser, pode usar a definição de máquina para modelar uma pessoa em certa situação (um noivo durante a cerimônia de casamento), ou uma instituição em certa situação (o plenário de um tribunal durante um julgamento).

Quase ninguém calcula a perda de potência num filamento de lâmpada conforme a resistência do filamento aumenta com a temperatura. Em outras palavras, quase ninguém usa seus conhecimentos de eletricidade. Mas todo mundo filosofa:

  • Até que ponto posso dizer que uma pessoa é hoje a mesma que era há dez anos?
  • É possível organizar uma sociedade com base no princípio da maior quantidade possível de felicidade para a maior quantidade possível de gente?
  • Uma pessoa é o que é pelo que pensa ou pelo modo como reage ao que acontece a seu redor?

Steinhart mostra como usar os conceitos da teoria dos conjuntos, mais os conceitos construídos a partir da teoria dos conjuntos (como o de máquina), para abordar perguntas como essas, e isso explica por que seu livro é tão agradável.

Hoje, portanto, minha resposta seria:

“Estude matemática discreta.”

Sim, matemática discreta. No fim do livro, Steinhart sugere mais livros. “Muito daquilo que estudamos nos capítulos sobre conjuntos e relações cai no escopo da matemática discreta”, ele escreve. “Um excelente texto é o de Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications.”

Entrei na internet para verificar quais assuntos o livro de Rosen cobria: lógica, provas, conjuntos, funções, sequências, somatórios, matrizes, algoritmos, teoria dos números, criptografia, indução matemática, recursão e algoritmos recursivos, métodos de contagem, probabilidade discreta, relações, grafos, árvores, álgebra booleana, modelos computacionais. Adorei os assuntos listados no índice. Comprei o livro pela internet — é um tijolão de 1.072 páginas. Estou amando cada página, cada exemplo, cada lista de exercícios.

Hoje, portanto, minha resposta um pouco mais completa é:

“Estude matemática discreta. Se é útil para filósofos, será útil para você, visto que todos nós constantemente filosofamos.”

“Mas qual livro você recomenda?”

“Primeiro, o livro de Eric Steinhart. Logo depois, o livro de Kenneth Rosen.”

Talvez o leitor queira fazer duas objeções.

1) “Mas então você não acha que cálculo e álgebra linear são a base da matemática universitária? Uma pessoa que tenha lido Steinhart e Rosen, mas que não saiba cálculo ou álgebra linear, não seria uma piada ambulante?”

Eu ainda não sei dar boa resposta a essa pergunta. Adoro as duas teorias, e penso que elas têm imenso valor cultural. É difícil entender a história recente da ciência sem saber cálculo e álgebra linear; além disso, sem elas, certamente é impossível entender a história recente da matemática. Mas, para usar as duas teorias no dia a dia, você tem de ativamente procurar problemas que possa resolver com elas. Caso se distraia, o mundo gira e a oportunidade para usá-las desaparece. Com a matemática discreta é diferente: os problemas que pode modelar com ela surgem mais naturalmente — surgem mesmo que não esteja ativamente olhando o mundo em busca de oportunidades de usá-la. (Desse ponto de vista, a matemática discreta se parece com a aritmética.)

“Você vai usar a matemática discreta sempre que puder contar os objetos com os quais está lidando”, escreve Kenneth Rosen no prefácio ao leitor. “Vai usá-la quando estuda as relações entre os elementos de dois conjuntos finitos (ou contáveis), ou ainda quando analisa um processo com número finito de passos.” Portanto, em outras palavras, vai usá-la quase sempre.

2) “Sim, eu uso matemática discreta com frequência, mas isso porque estudei computação. Se uma pessoa não ganha a vida com computadores, porém, duvido que use matemática discreta no dia a dia — nem mesmo uma vez a cada dois meses, com probabilidade de 70%.”

Há aqui um erro de raciocínio, no qual eu mesmo já caí várias vezes. É verdade que profissionais de computação usam matemática discreta com frequência, mas não é verdade que a matemática discreta lhes é útil porque estudaram computação. Ela é útil simpliciter. Sua utilidade ficou mais evidente com a presença dos computadores, mas, como Steinhart mostra com seu livro, ela continuaria útil mesmo que os computadores não existissem; pois, com ou sem computadores, estamos sempre a filosofar.

Assim, por enquanto minha resposta completa é:

“Estude matemática discreta — visto que ela é útil para filósofos, será útil para você. Pode começar com o livro de Steinhart e o de Rosen, e seguir adiante com a ajuda dos dois autores, pois sugerem vários outros livros excelentes. Mas estude superficialmente muitos assuntos matemáticos, inclusive cálculo e álgebra linear.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei a carta ao leitor contida na seção 1 pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 45, outubro de 2014, pág. 4. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. Quanto à carta na seção 2, é inédita.

2. Vários matemáticos preferem a palavra “combinatória” à locução “matemática discreta”. Eu prefiro “matemática discreta”, que, a meu ver, explica melhor o rol de assuntos. Note que o contrário de “discreto” é “contínuo”; o melhor exemplo de um conjunto discreto é o conjunto dos inteiros não negativos {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, e o melhor exemplo de um conjunto contínuo é o conjunto dos números reais.

3. Atenção ao uso da palavra “teoria”. Na matemática, uma teoria é uma compilação de teoremas resultantes de certas definições, axiomas, e regras de inferência. Um livro sobre teoria dos conjuntos é, portanto, uma compilação de teoremas resultantes de axiomas, definições, e regras de inferência declarados verdadeiros pelo autor do livro. Na matemática, não necessariamente a palavra “teoria” significa “uma narrativa por meio da qual certos fatos isolados ganham contexto e sentido”.

4. Quando me refiro a filósofos usando a matemática, não me refiro a gente como Jacques Lacan, Julia Kristeva, Luce Irigaray, Bruno Latour, Jean Baudrillard, Paul Virilio, que usavam o vocabulário técnico da matemática de modo superficial, confuso, não justificado por argumentos. (Sobre isso, o leitor pode ver o excelente Imposturas Intelectuais: O Abuso das Ciências pelos Filósofos Pós-Modernos, de Alan Sokal e Jean Bricmont.) Em vez disso, me refiro a filósofos como o próprio Eric Steinhart, David Papineau, Wilfrid Hodges, Saul Kripke, entre tantos outros, que conhecem os conceitos matemáticos aos quais se referem, e que justificam, com argumentos, a relevância de tais conceitos na discussão filosófica à qual se dedicam.

As palavras do matemático


Os matemáticos usam certas palavras de um jeito só deles, o que, às vezes, deixa professores de matemática e estudantes confusos.

Não estou falando de palavras como “anel”. Se você imaginar os significados cotidianos da palavra “anel” no conjunto A, e seu significado matemático no conjunto B, a intersecção desses dois conjuntos é vazia — não há nenhum significado cotidiano que se aproxime do significado matemático.

Estou falando de palavras como “determinantes”. Diante de certa matriz quadrada, você usa a palavra “determinante” para nomear o escalar que pode associar à matriz de acordo com a definição de determinante a mais geral possível. (Essa definição geral, desligada de qualquer aplicação específica, é chamada de definição postulacional.) De acordo com a definição, o determinante da matriz [2 + 3i] é 2 + 3i. (Pois, se usa a para denotar um escalar, então |a| = a, isto é, o determinante de uma matriz que contém apenas um escalar é igual ao próprio escalar; no exemplo que acabei de mencionar, os escalares são números complexos.) A questão é que, no fundo, existe uma e só uma definição postulacional de determinante; se você a estudar, tem condições de deduzir todas as propriedades dos determinantes, inclusive o fato de que só pode calcular o determinante de uma matriz quadrada.

No entanto, abra qualquer livro sobre teoria das matrizes; o capítulo sobre determinantes está sempre no plural: “Capítulo Tal: Determinantes”. Olhando capítulo, você talvez veja tópicos como “determinantes cíclicos”, “determinantes de Vandermonde”. Eles passam a impressão de que não existe só uma definição postulacional de determinante, mas várias definições não equivalentes entre si. Não é verdade. É fato que existem várias definições postulacionais de determinante, mas todas se equivalem, e só uma delas é a mais genérica de todas.

O que, portanto, os matemáticos querem dizer com “determinantes”, no plural? Se você topa com uma matriz assim e assado, com as características tais e tais, então existe um jeito mais fácil de calcular o determinante: basta seguir o procedimento tal e tal. E daí o matemático prova que, naquele caso específico, o procedimento de fato produz o determinante.

Então, quando um autor usa a locução “determinantes de Vandermonde”, não quer dizer que existe uma definição distinta de determinante, criada por um sujeito chamado Vandermonde. Ele quer dizer, ao contrário, que existe um macete para calcular o determinante de matrizes que tenham certas características, e que esse macete foi batizado assim em homenagem a Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). Num caso desses, três locuções mais fiéis à ideia seriam “procedimento de Vandermonde”, “método de Vandermonde”, ou “algoritmo de Vandermonde”.

Acho esse fenômeno curioso. Há muitas outras palavras que os matemáticos usam de um jeito só deles; três outros exemplos são “correspondência”, “curva”, e “teoria”. {FIM}


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Eu sempre gosto de lembrar que, na matemática, a palavra “teoria” não significa “uma narrativa que dá significado a certos fatos isolados”, mas sim “uma coletânea de teoremas obtidos, por meio de certas regras de inferência, a partir de de certo conjunto de axiomas e de definições”.

Autopresentes na vida do matemático


Um bom autor de livros didáticos para o ensino médio começa as lições sobre funções assim: “O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis.” Depois disso, o autor segue com 121 páginas de explicações técnicas, de tom sisudo, nas quais ele apresenta 514 exercícios. Exemplo de explicação: “O número a é chamado de taxa de variação da função f(x) = ax + b no intervalo [x, x + h].” E daí ele apresenta mais 14 exercícios. De duas, uma: ou o autor presume que o professor vai motivar seus alunos a decodificar as 121 páginas e a resolver os 514 exercícios; ou o autor presume que o próprio aluno vai motivar a si mesmo, apesar de ter, como ponto de partida, apenas duas sentenças secas: “O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis.”

Se o leitor do livro for um aluno e se ele tiver a sorte de ter um professor bom, então tudo está bem. Mas, segundo as estatísticas oficiais e extraoficiais, 90% dos alunos brasileiros terminam o ensino médio sabendo menos matemática do que deveriam — às vezes, bem menos. Seu professor não soube motivá-los, e eles não souberam motivar a si mesmos — e o livro didático, com sua sobriedade, não ajudou. Além disso, talvez o leitor do livro não seja um aluno, mas sim um estudante de matemática; talvez seja um garçom ou um empresário, isto é, alguém que estuda matemática por esporte.

Como uma pessoa segue com os estudos, página por página, exercício por exercício? Ela tem de premiar a si mesma. Nos meus cadernos, estou sempre à procura de oportunidade de responder às perguntas:

O que estou fazendo aqui?

Será que os dados aparecem na vida real tal como apareceram neste exercício? (Sendo que “vida real” também significa a vida do matemático, que estuda certos assuntos sem se preocupar com seus usos práticos.)

Será que posso transformar a resolução deste exercício num método para resolver problemas cotidianos, meus ou de amigos meus?

Eu não entendi alguma coisa aqui? Consigo expressar com clareza o que foi que não entendi?

O que meus dicionários de matemática me dizem sobre o tópico que este exercício quer reforçar?

E o que a internet me diz?

Aprendi alguma coisa, isto é, aprendi a distinguir A de B, que antes eu misturava?

Quando gosto do que escrevi no caderno (quando tenho a sensação de que andei um passo), me dou um presente simples, tipo uma xícara de café. (Hoje em dia, meu presente simples para mim mesmo tem de ter poucas calorias: com a idade, fica cada vez mais fácil engordar e cada vez mais difícil emagrecer.)

Acima de tudo, tomo cuidado com o que digo. “O que você vai fazer domingo?”, um amigo me pergunta. “De manhã, estudo matemática.” Do outro lado, silêncio. Meu amigo espera as palavras que, em geral, vêm logo em seguida: droga, porre, maldição. Eu não digo tais palavras antes ou depois de pronunciar a palavra “matemática”, mesmo quando sinto que abro meu livro por obrigação, e não exatamente por prazer, como às vezes acontece. O que dizemos nos revigora ou nos envenena. Se eu puder evitar, não enveneno minha mente contra a matemática só porque alguém espera isso de mim.


Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 7, agosto de 2011, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. Sempre que abro um de meus livros de matemática por obrigação, a sensação de “tenho um dever a cumprir” dura pouco. O mundo da matemática é exótico à beça; em menos de 15 minutos estou mais entretido do que estaria se ligasse a TV.

3. Ao final do ensino superior, a situação é melhor: uma porcentagem maior de pessoas sabe toda a matemática que deveria saber. Ainda assim, embora essa porcentagem não seja tão baixa quanto 10%, ela é baixa.

Fechando o livro didático para pensar por si mesmo


Quando um dia o leitor tiver a chance de ler o livro inteiro de Paul Lockhart, O Lamento de Um Matemático, perceberá que é o tipo de livro que nos obriga a demolir o que achávamos que sabíamos e a reerguer o que demolimos com outra configuração. (Preciso usar tantas palavras para dizer que é dos livros que nos modificam?) Agora estou lendo meus livros de matemática de um jeito diferente, às vezes com ótimos resultados.

Entendo o problema do autor de livros didáticos — deve explicar um assunto complicado, cuja história é longa e rica, do jeito mais simples possível. Para tanto, recorre ao remédio de fazer uma pergunta e de lhe dar resposta ao mesmo tempo — eu mesmo faria isso, se estivesse no lugar do autor. Segundo Lockhart, porém, esse remédio facilmente envenena. Por exemplo, num ótimo livro sobre teoria das matrizes, o autor me diz o seguinte:

(A + B)T = AT + BT

Ele me deu a pergunta e a reposta ao mesmo tempo. (De quantas maneiras posso calcular a matriz transposta da soma de duas matrizes? Posso somar as duas matrizes primeiro, e calcular a transposta depois, ou posso calcular a transposta de cada uma delas individualmente, e por fim somar as duas transpostas.) Não há jeito mais simples de passar essa informação, mas, escrevendo assim, o autor me priva do prazer de conceber essa pergunta e de correr atrás da resposta por mim mesmo. Lockhart acha que o autor me priva da matemática em si mesma.

Depois do Lamento, quando bato os olhos numa definição como a de matriz transposta, fecho o livro e procuro imaginar os próximos passos. Bem, tenho a definição de um objeto matemático, que é a matriz transposta de uma matriz qualquer. O que posso fazer com esse objeto? Ora, posso calcular a matriz transposta de uma matriz transposta, ou seja, posso verificar o que significa (AT)T; posso multiplicar a matriz A pelo escalar k, e daí calcular a matriz transposta disso — será a mesma coisa que calcular a transposta de A e depois multiplicar AT por k? [Isto é, será que a proposição (kA)T = kAT é verdadeira?] E assim vou: faço uma lista tão completa quanto possível do que gostaria de descobrir, vou atrás das respostas, e só então reabro o livro. Como que por mágica, ele fica mais interessante: deixa de lembrar um monólogo do professor diante do aluno e passa a dar a sensação de uma conversa entre dois fãs do mesmo assunto. {FIM}


Observação:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 37, fevereiro de 2014, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. Uma frase legal, que tem a ver com a mensagem da carta:

Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando.

Charles West Churchman (1913-2004), cientista e filósofo americano; citado por J. E. Littlewood no livro A Mathematician Miscellany (1953).

15 minutos no topo da montanha


De vez em quando, penso no que aprendi até agora com a produção de textos sobre matemática. Meu propósito é descobrir a melhor resposta para alguém que me pergunte:

“Qual é o segredo de quem sabe matemática bem?”

Não quero dizer com isso que sei matemática bem: se você puder visualizar a matemática como sendo uma estrada de 1 quilômetro de comprimento, acho que mal venci o primeiro metro. Mas, conforme leio, estudo, resolvo meus problemas e entrevisto gente competente, vou esboçando essa resposta tão importante.

Quem sabe matemática excepcionalmente bem aprendeu, em primeiro lugar, a gostar de tudo o que vem antes e depois do dia em que resolve um problema. Todo mundo gosta de resolver problemas. À guisa de teste, faça a pergunta a um grupo de amigos, talvez num churrasco:

“Será que existe um número cujo quadrado é igual a ele mesmo?”

Como esse é um problema simples, muita gente consegue resolvê-lo em poucos minutos. [Para achar a resposta, 0 ou 1, seu amigo terá de resolver a equação x2 = x, o que significa resolver a equação x(x – 1) = 0.] Observe a reação do grupo; veja como todos ficam contentes de resolver o problema. Apesar disso, poucos gostam de resolver problemas complicados, pois o que vem antes (estudar muito, sempre com aquela sensação de que é burro) e o que vem depois (verificar se a resolução está correta, se pode simplificá-la, se pode escrevê-la com clareza e elegância, se pode achar nela novos problemas) dá trabalho demais. O matemático é o sujeito que aprendeu a gostar desses muitos dias de trabalho duro.

Se conhece alguém que escala montanhas, converse com ele sobre montanhismo, mas preste atenção num detalhe: seu conhecido escala montanhas não apenas pelos 15 minutos de glória que passa no pico (se o tempo estiver bom), mas porque aprendeu a gostar do processo inteiro. Ele gosta de comprar mapas topográficos, de estudar a língua da região, de ler com atenção a narrativa dos que já subiram aquela montanha, de se organizar para o que der e vier, de convencer patrocinadores a financiá-lo, de estudar técnicas de fotografia e de filmagem para registrar os momentos mais importantes, de tomar notas durante a viagem, de escrever sobre a escalada quando volta para casa. Se fosse apenas pelos 15 minutos de glória (se o tempo estiver bom), acho que ninguém escalaria montanhas.

Mais acima, escrevi “aprendeu a gostar” porque é verdade: a gente aprende a gostar de viver com um livro de matemática debaixo do braço, e o primeiro passo é querer aprender a gostar. {FIM}



Observações:

1. Publiquei a carta acima pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 41, junho de 2014, pág. 4. A versão que acabou de ler foi ligeiramente reescrita.

2. Note que, para dizer que x = 0 ou x = 1 é a solução de x2 = x, você tem de presumir que está tratando de números reais; ou então de números complexos. Mas é possível montar sistemas nos quais a equação x2 = x tem três soluções distintas, ou mais de três. Não sei, contudo, se tais sistemas são úteis.