A topologia da reta dos números


{0}/ Introdução

Este é o décimo e último capítulo sobre como você usa o sistema dos números hiper-reais para construir o cálculo diferencial e integral. (Eis os cliques para os capítulos anteriores: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono.) Desta vez, vai estudar a topologia da reta real, isto é, vai estudar como definir com clareza vários subconjuntos úteis de números reais, e explorar suas propriedades. De posse de tais conhecimentos, fica mais fácil estudar uma função contínua qualquer e o modo como, com ela, você correlaciona os elementos do domínio com os elementos da imagem.

Lembretes: a seção a seguir é a 112 porque o capítulo anterior terminou com a seção 111; e “teorema §113-1” significa “o primeiro teorema que vou encontrar na seção 113”.

Para estabelecer a atitude intelectual com a qual deve estudar este capítulo, pense nesta frase do matemático alemão David Hilbert (1862-1943):

A arte de fazer matemática é achar aquele caso especial que contém todas as sementes de generalidade.


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{112}/ Cálculo: um jeito de pensar

Talvez já saiba que, nas faculdades de matemática mais exigentes, muito aluno desiste da matemática quando não consegue passar no curso de análise real. O curso é difícil mesmo, mas principalmente porque o aluno tem de estudar muitas ideias complicadas em pouco tempo — e assim ele passa do assunto difícil A para o assunto difícil B sem que tenha tido tempo de se acostumar com o assunto difícil A.

Mas você não tem escapatória — cedo ou tarde, terá de estudar análise real se quiser avançar na matemática. Por sorte, ela fica um pouco mais fácil com o sistema dos números hiper-reais.

Definição §112-1. “Análise real.” Pode usar essa locução quando sua intenção é dizer o seguinte: “Vou usar as mesmas ideias que usei para construir o cálculo infinitesimal para estudar números reais, conjuntos de números reais, e relações e funções que posso estabelecer entre conjuntos de números reais.” Com ela você denota, portanto, um estudo mais aprofundado das matérias-primas do cálculo diferencial e integral: números reais, em primeiro lugar, e relações entre números reais, em segundo.

E o que dizer da palavra topologia?

Um matemático pode usá-la para dizer várias coisas distintas, mas, quando a usa junto com algum tipo de conjunto (e a reta dos números reais é um conjunto), quer dizer que vai estudar melhor a ideia de proximidade entre os elementos do conjunto, e com isso vai formalizar melhor a ideia de convergência.

Porém, é mais fácil entender o que é a topologia, e a topologia da reta real em particular, depois de já ter estudado alguns teoremas e resolvido uns poucos problemas. É o que fará ao longo deste capítulo; por fim, quando chegar ao fim da seção 118 (com a resolução dos problemas), estará em condições de entender melhor o significado de “topologia” e de “topologia da reta real”.

Depois que tiver entendido bem as ideias deste capítulo, estará também em condições de entender uma ideia sutil: quando alguém diz “a geometria é uma área da matemática” ou “a topologia é uma área da matemática”, não está apenas dizendo que existe uma área da matemática, chamada geometria, cujo objeto de estudo são as consequências dos 20 axiomas de Hilbert, ou que existe uma área da matemática, chamada topologia, cujo objeto de estudo são as propriedades de figuras geométricas que permanecem invariáveis conforme você submete as figuras a transformações contínuas; ao contrário, está dizendo também que existem dois jeitos de pensar, chamados de “geometria” e de “topologia”, que se aplicam a vários problemas, de várias áreas da matemática.

O cálculo diferencial e integral não é, portanto, simplesmente uma área da matemática — é também um jeito de pensar, e agora você vai usá-lo para resolver problemas que, à primeira vista, não têm nada a ver com cálculo.



{113}/ Conjuntos abertos e fechados

Já sabe o que é um intervalo aberto (a, b) em que a e b são números reais: é o conjunto de todos os números reais entre a e b, excluindo a e b. Quando pensa num intervalo aberto, em geral pensa mais ou menos assim: “Se o número real x é elemento de (a, b), então, se faço ϖ um infinitésimo positivo ou negativo, o hiper-real h = x + ϖ também é elemento de (a, b).” Em outras palavras, se x ∈ (a, b) e hx, então h ∈ (a, b), isto é, todos os hiper-reais infinitamente próximos de x também são elementos do intervalo aberto (a, b).

É o que pode ver na figura a seguir.

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Agora pode generalizar essa ideia para criar o conceito de conjunto aberto, que é mais genérico e faz parte das fundações da análise e da topologia.

Definição §113-1. “Conjunto aberto.” Diga que um conjunto B é aberto se, e somente se, para qualquer número real x, caso xB e, além disso, hx, então hB.

Já sabe que intervalos abertos são conjuntos abertos; caso queira provar essa afirmação, como primeiro passo reveja a prova do teorema §23-1 (capítulo 3), e faça umas poucas adaptações.

Assim, o conjunto R dos números reais é um conjunto aberto, e essa afirmação quase todo mundo entende com pouco esforço. Mas, quando o estudante lê pela primeira vez algo na linha “o conjunto vazio ∅ também é um conjunto aberto”, em geral precisa se esforçar para aceitar a validade da afirmação, e por isso vale a pena estudá-la um pouco melhor.

Em primeiro lugar, releia a resolução do problema §92-16, onde há um curso vapt-vupt sobre implicações e suas recíprocas. Note que “A se e somente se B” significa: a afirmação A implica a afirmação B e, por sua vez, a B implica a A. Com tais ideias mais claras na sua mente, ponha no papel a definição §113-1 com lógica de primeira ordem.

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Em palavras: Se é o caso de que B é aberto, então, caso x seja um elemento de B, e se além disso h está infinitamente próximo de x, é o caso de que h também é elemento de B. A recíproca é verdadeira: Caso x seja um elemento de B, e se para todo hx, é o caso de que h é elemento de B, então B é um conjunto aberto.

Veja como isso fica para o conjunto B = ∅:

Suponha que ∅ é um conjunto aberto. Examine agora a primeira linha do formulário acima. Daí não existe x real que seja elemento de ∅, e portanto nada pode dizer sobre se é o caso de que algum hx seja elemento de ∅, de modo que a segunda implicação é válida por definição, e pode declarar as duas implicações como válidas. Agora, a recíproca dessa afirmação: x ∉ ∅; logo, nada pode dizer sobre h ∈ ∅, e a primeira implicação é válida por definição; sendo assim, a segunda implicação se torna válida, visto que ∅ é um conjunto aberto por hipótese.

(Isso tudo faz a cabeça ferver, é verdade, mas deve lutar para entender tais ideias.)

Dois contraexemplos:

(a) Considere o conjunto {1}. Ora, 1 ∈ {1}, mas, para todo infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, 1 + ϖ ∉ {1}; logo, para que a implicação continue válida, não pode ser o caso de que {1} é aberto.

(b) Considere o intervalo fechado B = [0, 1]. Daí 0 ∈ B e, para algum infinitésimo ϖ < 0, ϖ ≈ 0; apesar disso, ϖB e, sendo assim, para que a implicação continue válida, não pode ser o caso de que B é um conjunto aberto.

Suponha que deseje criar conjuntos abertos mais complicados. Comece com certo número n de conjuntos abertos e faça um número qualquer, arbitrário, de uniões e um número finito de intersecções — o que obterá é outro conjunto aberto. (O número arbitrário de uniões pode ser inclusive um número hiper-real infinito; mas o número de intersecções tem de ser finito.) É o que vai provar nos dois teoremas a seguir.

Teorema §113-1. A união de qualquer número de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Uma sutileza: “qualquer número de conjuntos abertos” também significa “um número N de conjuntos abertos, sendo N um inteiro positivo infinito”; em outras palavras, a locução “qualquer número de conjuntos abertos” inclui o caso em que o número de conjuntos abertos tende ao infinito.

Prova. Suponha que A é a união de um número n arbitrário de conjuntos abertos; suponha ainda que xA é um número real. Pelo modo como constituiu A, xB para algum conjunto aberto BA. Assim, se hx, hBA, pois B é aberto, de modo que hA. Como supôs um número real x arbitrário, com tudo isso provou que A é um conjunto aberto.

Notação. Nas linhas a seguir, veja como denotar a união de dois conjuntos, três conjuntos, …, n conjuntos, e por fim n conjuntos, mas com n tendendo ao infinito.

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Teorema §113-2. A intersecção de qualquer número n finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Prova. Suponha que A1, A2, …, An são conjuntos abertos, e que x é um número real elemento de A = A1A2 ∩ ··· ∩ An. Assim, se hx, h deve também se elemento de A1, A2, …, An, visto que cada um deles é aberto. Portanto, hA, e visto que escolheu um número real x arbitrário, o teorema está provado.

* * *

Como deve ter desconfiado pelo modo como o redator escolheu as palavras, a intersecção de um número arbitrário de conjuntos abertos não necessariamente é um conjunto aberto. Por exemplo, defina o intervalo aberto An da maneira a seguir, na qual n é um inteiro positivo.

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Observe a figura abaixo. Se intersecciona os conjuntos A1, A2, e A3 , o que obtém é o conjunto intersecção A = A3.

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De modo geral, do modo como definiu An, o conjunto intersecção de A1, A2, …, An é o conjunto A = An. Se fizer n = N, com N um inteiro positivo infinito, eis o que deve obter:

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Só existe um número real nesse conjunto, que é 1. E pode continuar dessa maneira para  N + 1, N + 2, N + 3, …; eis o que por fim vai obter:

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Encare a linha acima do mesmo modo que encararia o limite de uma sequência. Isso porque, para qualquer h ≈ 1, você sempre pode achar um inteiro positivo infinito M tal que 1/M < |1 – h|, de modo que hAM, e assim hA = A1 ∩ ··· ∩ AM; portanto, se faz n um inteiro tão grande quanto queira, e intersecciona os conjuntos Ak com k = 1, 2, 3, …, N, M, …, obtém um conjunto intersecção A que não condiz com a definição de conjunto aberto.

* * *

Do mesmo modo que pode generalizar a ideia de intervalo aberto para a de conjunto aberto, pode generalizar a ideia de intervalo fechado para a de conjunto fechado. Lembre-se: num intervalo fechado [a, b], se h é um hiper-real em [a, b], e se hx, sendo x um real, então x também é um elemento de [a, b].

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E isso é só outro jeito de dizer o teorema §23-1, visto que x = st[h]. Já pode portanto definir um conjunto fechado.

Definição 113-2. “Conjunto fechado.” Diga que um conjunto B é um conjunto fechado se, e somente se, sempre que o hiper-real hB, e hx, sendo x um número real, daí xB.

Também pode escrever essa definição usando a notação típica da lógica de primeira ordem. Use ϖ para denotar um infinitésimo positivo ou negativo:

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Existe uma relação simples entre conjuntos abertos e fechados.

Teorema §113-3. Um conjunto B é aberto se, e somente se, seu complemento BC é fechado.

Prova. Primeiro suponha três coisas: B é aberto, o hiper-real hBC, e hx, sendo x real. O que você precisa mostrar é que xBC. Mas esse tem de ser o caso, porque, se fosse o caso de que xBC, daí xB, e visto que B é aberto e que hx, então hB; mas hB contradiz sua pressuposição inicial. Portanto, xBC e, sendo assim, BC é fechado.

Para provar a recíproca, suponha agora três outras coisas: BC é fechado, o número real xB, e xh. Deve provar agora que hB. Mais uma vez, isso deve ser verdade, porque, se hBC, então xBC, o que contradiz a pressuposição inicial de que xB. Portanto, B é aberto, e a prova está completa.

Lembrete: Como ler (e escrever) matemática. Examine a terceira frase do parágrafo acima: “Mais uma vez, isso deve ser verdade, porque, se hBC, então xBC, o que contradiz a pressuposição inicial de que xB.” Leia a frase assim: “Mais uma vez, isso deve ser verdade, porque, se h fosse elemento do complemento de B, então x seria elemento do complemento de B, o que contradiz a pressuposição inicial de que x é elemento de B.” Em outras palavras, ao fazer a leitura, ponha os verbos nos tempos certos, o que vai tornar o entendimento da frase um pouco mais fácil.

* * *

Vai topar muitas vezes com conjuntos os quais não pode classificar de abertos nem de fechados, pois não são nem um nem outro. Por exemplo, [0, 1) não é nem aberto nem fechado. Não é aberto porque, se faz ϖ um infinitésimo positivo, daí –ϖ ≈ 0, mas –ϖ ∉ [0, 1). Não é fechado porque 1 – ϖ ∈ [0, 1), 1 – ϖ ≈ 1, mas, apesar disso, 1 ∉ [0, 1). No entanto, se achar conveniente, pode dizer que [0, 1) é “fechado à esquerda e aberto à direita”.

Eis um exemplo mais importante: o conjunto dos números racionais Q não é nem aberto nem fechado. Comece usando o fato de que, entre quaisquer dois números reais x e y, com xy, existe um número racional q e um número irracional z. Invoque o teorema de Łós: se essa afirmação é verdadeira para números reais, é verdadeira para números hiper-reais. Daí pense assim (por exemplo): faça z um infinitésimo irracional entre 0 e 1/N, com N inteiro positivo infinito. Logo, 0 e 1/N são racionais, e além disso 0 ≈ z, mas z Q, e portanto Q não é aberto. Ou faça q um hiper-real racional tal que q ≈ √2. Daí qQ, mas, apesar disso, √2 ∉ Q, e portanto Q não é fechado.

* * *

Você também pode formar um conjunto fechado com a intersecção ou a união de outros conjuntos fechados.

Teorema §113-4. (a) A intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados é um conjunto fechado. (b) A união de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Problema §113-1. Prove o teorema §113-4 usando a prova dos teoremas §113-1 e §113-2 como referência. Depois disso, tente prová-lo partindo dos teoremas §113-1, §113-2, e §113-3, mas usando também as leis de De Morgan:

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Sugestões de resposta na seção 118.

* * *

Georg Cantor (1845-1998) foi quem provou o teorema a seguir pela primeira vez; é um teorema simples, mas importante.

Teorema §113-5. Se A1A2A3 ⊇ ··· é uma sequência de conjuntos fechados não vazios, com A1 limitado, e com cada conjunto contido no conjunto imediatamente anterior, então a intersecção de um número arbitrário deles é um conjunto não vazio.

Prova. A afirmação “Para todo n inteiro positivo, An ≠ ∅” é verdadeira no sistema dos números reais; logo, é também verdadeira no sistema dos hiper-reais. Faça hAN, com N inteiro positivo infinito. Visto que ANA1, e que A1 é limitado, h está entre dois números reais, e então é limitado. Portanto, existe o número real st[h]. Visto que hAn para todo n inteiro positivo, st[h] ∈ An para todo n. Portanto, st[h] é elemento da intersecção de um número arbitrário de conjuntos An.

Esse teorema é falso para conjuntos abertos. Pense, por exemplo, em An = (0, 1/n). Se hAN, h é um infinitésimo entre 0 e 1/N, isto é, 0 < h < 1/N, e não existe número real st[h] tal que st[h] ∈ AN. (Se está exclusivamente interessado em números reais, como neste caso está, pode até dizer que esse conjunto é vazio.)

Lembra-se do método mais simples pelo qual calcular a integral da função contínua f no intervalo [a, b]? Você divide o intervalo em duas partes iguais e calcula a soma da área dos dois retângulos; depois divide o intervalo em três partes iguais e depois calcula a soma da área dos três retângulos; e assim por diante por um número n arbitrário de passos, até que esteja contente com a precisão do número que obtém para a soma da área dos n retângulos. Pois bem: esse teorema de Cantor garante que cada um dos n pequenos intervalinhos que obtém no passo n, por maior que seja n e por menor que seja o intervalo, é um conjunto não vazio, e portanto serve para o cálculo da área.

* * *

Se quiser, pode distinguir conjuntos abertos e fechados de uma outra maneira, muito importante na matemática pura, que é por meio de pontos interiores e de pontos de acumulação.

Definição §113-3. Um número real bB é um ponto interior de B se, e somente se, para para todo hiper-real hb, h B.

Definição §113-4. Um número real c é um ponto de acumulação de B se, e somente se, para algum hB, diferente de c, hc.

(Outros dois nomes para ponto de acumulação são ponto de limite e ponto limite.)

Note que que um ponto de acumulação c de B talvez não esteja em B; por exemplo, a é um ponto de acumulação de (a, b), mas a ∉ (a, b).

Teorema §113-6. Um conjunto B é aberto se, e somente se, todos os seus pontos são pontos interiores. Um conjunto B é fechado se, e somente se, B contém todos os seus pontos de acumulação.

* * *

Problema §113-2. Prove o teorema §113-6.

Sugestão de resposta na seção 118.

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Definição §113-5. Para qualquer conjunto B, chame de “o interior de B” o conjunto dos pontos interiores de B; e denote tal conjunto com B0 [ou com int(B)]. E chame de “o fecho de B” o conjunto de todos os pontos que ou são elemento de B ou são pontos de acumulação de B; e denote tal conjunto com B*.

[A notação mais comum para B* é B com uma barra em cima; o redator vai usar a notação com a barra em cima nos formulários. No texto corrido, contudo, é mais fácil escrever B*. Portanto, saiba que A* = Ā. Outra notação comum para o fecho de B é cl(B), do inglês closure.]

Lista de problemas §113-1. Para cada um dos conjuntos a seguir, ache o interior e o fecho.

§113-3. (0, 1)

§113-4. [0, 1]

§113-5. (0, 1]

§113-6. {4}

§113-7. {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …}

§113-8. O conjunto Z dos inteiros.

§113-9. O conjunto Q dos racionais.

§113-10. O conjunto R\Q dos irracionais.

§113-11. O conjunto R dos reais.

§113-12. ∅

Sugestões de resposta na seção 118. Lembrete: R\Q e RQ significam a mesma coisa: “O conjunto dos números reais menos os elementos do conjunto dos números racionais.”

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Existe outro conjunto interessante e importante na topologia da reta real: é a fronteira de determinado conjunto BR.

Definição §113-6. Para qualquer conjunto B, chame de a fronteira de B o conjunto ∂B = B*B*C, isto é, a intersecção do fecho de B com o complemento do fecho de B.

Outra notação comum para ∂B é Fr(B), do inglês frontier.

Na matemática, o conjunto fronteira generaliza a ideia geográfica de fronteira. No desenho abaixo, o contorno em azul escuro é a fronteira de um subconjunto do plano (em verde claro; o plano como um todo está em branco).

Lista de problemas §113-2. Ache a fronteira de cada um dos conjuntos da lista de problemas §113-1 mais acima.

Na seção 118, pode ver a resolução de cada um desses problemas marcada com §113-3B, §113-4B, …, §113-12B.

* * *

Lista de problemas §113-4. Para todo par de conjuntos B, C, cada um deles subconjunto dos reais, prove as afirmações a seguir.

§113-13. B*C* = (BC)*

§113-14. B0C0 = (BC)0

§113-15. Prove que, para todo conjunto A, (A0)C = (AC)*

§113-16. Prove que, para todo conjunto A:

§113-16(a). A0 é aberto.

§113-16(b). A* é fechado.

§113-16(c). (A0)0 = A0

§113-16(d). (A*)* = A*

§113-17. Ache um par de conjuntos B, C tais que a afirmação a seguir seja válida.

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§113-18. Ache um par de conjuntos B, C tais que a afirmação a seguir seja válida.

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§113-19. Se você resolveu a lista de problemas §113-2, descobriu que ∂Q = R. Descobriu também que ∅ = ∂(∂Q) ≠ ∂Q. No entanto, por estranho que pareça, é verdade que, para todo conjunto A, ∂(∂(∂A)) = ∂(∂A). (Caso queira, prove essa afirmação.)

Sugestões de resposta na seção 118 (exceto para o problema §113-19).



{114}/ Conjuntos compactos

No sistema dos números reais, você vai usar com frequência várias propriedades de conjuntos que são, ao mesmo tempo, fechados e limitados. (Já usou, na verdade, quando estudou o cálculo integral no capítulo 5.) Pode chamar tais conjuntos de conjuntos compactos, e tem como defini-los com clareza e precisão.

Definição §114-1. Diga que um conjunto B é compacto se, e somente se, para todo hiper-real hB, st[h] existe e também é elemento de B.

Teorema §114-1. Para qualquer conjunto BR, B é compacto se, e somente se, é ao mesmo tempo fechado e limitado.

Prova. Suponha que B é compacto. Se hB e hx, sendo x real, daí x = st[h] ∈ B. Portanto, B é fechado. Suponha que B não é limitado. Daí, para cada n > 0, tem de existir um elemento bB tal que |b| > n. Faça b tal que bB e |b| > N para algum N positivo infinito. Daí st[h] não existe, o que é uma contradição, e portanto B é limitado.

Agora a recíproca. Suponha que B é tanto fechado quanto limitado. Se hB, visto que B é limitado, pode dizer que st[h] existe; e visto que B é fechado, st[h] ∈ B. Logo, B é compacto.

* * *

Existem dois teoremas importantes a respeito de conjuntos compactos, o teorema de Bolzano-Weierstrass e o de Heine-Borel; deve estudá-los porque vai usá-los bastante em toda a análise real, em particular, e na topologia, em geral.

Teorema §114-2. “Teorema de Bolzano-Weierstrass.” Se B é compacto, então todo subconjunto infinito de B tem um ponto de acumulação em B.

Prova. Suponha que CB é um conjunto infinito. Faça a1, a2, a3, … elementos distintos de C. Faça N um inteiro positivo infinito. Graças à compacidade de B, st[aN] existe e é elemento de B. Visto que aNC, para mostrar que st[aN] é um ponto de acumulação de C, basta mostrar que aN ≠ st[aN]. Mas, se aN = st[aN], daí ∃m(am = st[aN]) seria uma afirmação verdadeira no sistema HR dos hiper-reais, e portanto verdadeira no sistema R dos reais. Assim, am = st[aN] para algum m inteiro positivo finito. Mas todo aiaj se ij, contradizendo aN = st[aN] = am. Sendo assim, aN ≠ st[aN], e st[aN] é um ponto de acumulação de C que também é elemento de B, e com isso a prova está completa.

Veja agora uma prova mais simples, ao alcance de quem leu os dois primeiros capítulos desta série: Faça a o hiper-real que pode representar com a sequência infinita a1, a2, a3, a4, a5, … de números reais, sendo que cada um desses números ai é um elemento de B, com aiaj se ij. Visto que cada ai é diferente dos outros elementos aj, o número a não pode ser real, e portanto a ≠ st[a]. Visto que cada aiB, aB pelo teorema §8-1. Logo, st[a] ∈ B é um ponto de acumulação de C.

Agora que já entendeu o teorema, eis dois jeitos de dizê-lo de modo impreciso, mas simples: (1) Você não consegue selecionar um número infinito de elementos do conjunto B, cada um deles distinto um do outro, sem que tais elementos não tenham um ponto de acumulação em B, pois simplesmente não há “espaço” para deixar uma distância real entre um elemento e outro; (2) Se você selecionar um número infinito de elementos de B, e organizá-los numa sequência crescente ou decrescente, no mínimo um dos elementos de B será limite dessa sequência.

* * *

Quanto ao segundo teorema, vai conhecê-lo na forma modificada, isto é, na forma mais fraca, que é adequada para o momento.

Teorema §114-3. “Teorema modificado de Heine-Borel.” Suponha que B é um conjunto compacto e que, para todo n inteiro positivo, An é um conjunto aberto. Daí se B está contido na união de todos os conjuntos An, então B está contido na união de um número finito deles.

Prova. Suponha que o teorema é falso. Daí, para cada n, existe pelo menos um ponto anB que não é elemento de Ai para cada i < n. Para algum N inteiro positivo infinito, considere o elemento aN. Visto que B é compacto, st[aN] existe e st[aN] ∈ B. Visto que B está contido na união de todos os conjuntos An, st[aN] ∈ Am para algum m inteiro positivo finito. Visto que Am é aberto e st[aN] ≈ aN, aNAm. Mas isso é uma contradição, pois aNAi para todo i < N. Com tudo isso, o teorema está provado.

Eis um jeito simples e um tanto impreciso de visualizar o que o teorema de Heine-Borel está dizendo: se tem diante de si um subconjunto compacto (= fechado e limitado) dos números reais (que pode imaginar como números dispostos na linha dos números), pode pegar um compasso, pôr a ponta seca num dos elementos do subconjunto, e abrir a ponta seca com raio maior que zero para desenhar um disco aberto (excluindo o círculo nos limites do disco); daí consegue incluir todos os elementos do subconjunto com um número finito de discos abertos construídos dessa maneira. No desenho a seguir, veja como o redator incluiu todos os números de um intervalo fechado B na união de dois discos abertos A1 e A2, sendo que o disco A2, na extremidade esquerda do intervalo, pode ter raio infinitesimal. (Para desenhar o disco A1, o redator colocou a ponta seca do compasso no elemento mais à direita de B.)

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Agora, o motivo pelo qual tais ideias são úteis: Às vezes, em situações de pesquisa, você lida com um conjunto compacto B muito complicado — por exemplo, B é a união e a intersecção de um grande número de conjuntos complicados. Com o teorema modificado de Heine-Borel, você sabe que, se quiser, pode substituir B pela união de um número finito de intervalos abertos mais simples, dos quais B é subconjunto. Daí, se puder dizer “todos os elementos dessa união de intervalos abertos têm a propriedade P”, isso significa que os elementos de B, que é um conjunto difícil de estudar, também têm a propriedade P.



{115}/ Conjuntos conexos

Um conjunto conexo é aquele que você não consegue separar por meio de dois conjuntos abertos. O melhor é estudar a definição logo de uma vez.

Definição §115-1. “Conjuntos conexos e desconexos.” Diga que um conjunto C é conexo se, e somente se, puder provar que é impossível achar dois conjuntos disjuntos A e B, ambos abertos, tais que CAB e, além disso, AC ≠ ∅ ≠ BC. Se o conjunto C não é conexo, diga que é desconexo.

Note que essa definição vai pela negativa: ela não diz que propriedade o conjunto conexo deve ter, mas sim que propriedade ele falha em ter. É assim porque é fácil achar conjuntos desconexos, mas é bem mais difícil ver quais conjuntos são conexos. Por exemplo, faça C = {0, 1}. É um conjunto desconexo porque você pode separá-lo com os dois conjuntos abertos A = (–1/2, 1/2) e B = (1/2, 3/2); daí AC = {0}, BC = {1}, e CAB.

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Embora não seja óbvio ver quais conjuntos são conexos, no contexto dos números reais é fácil descrevê-los: conjuntos conexos são intervalos.

Definição §115-2. Um conjunto B é um intervalo se for o caso de que, sempre que a < x < b e a, bB, então xB.

Em outras palavras, um intervalo não tem “buraquinhos”; se um elemento está entre dois elementos que pertencem ao intervalo, então o elemento do meio também pertence. Com essa definição, você simplesmente colocou em símbolos o que já compreendia como sendo um intervalo: (a, b), [a, b), (∞, b], etc.

Teorema §115-1. Um conjunto C é conexo se, e somente se, é um intervalo.

Prova. Suponha que o conjunto C é um conjunto conexo que não corresponde à definição de intervalo, isto é, para algum número x tal que a < x < b, com a, bC, xC. Daí pode montar o conjunto A = (–∞, x) e o conjunto B = (x, ∞); eles são disjuntos e separam C em duas partes, mas CAB (visto que xC), e aCA ≠ ∅ e bBC ≠ ∅. Daí C é um conjunto desconexo, o que é uma contradição.

Agora a recíproca. Suponha que C é um intervalo desconexo. Faça A, B dois conjuntos disjuntos, ambos abertos, que separam C, isto é, CAB; e suponha que existem dois pontos a, b tais que aAC e bBC. Para obter uma contradição, você pode definir uma função f contínua em [a, b] para a qual o teorema do valor intermediário (teorema §33-1) é falso: Visto que C é um intervalo, [a, b] está contido em C; defina agora a função f para qualquer valor de x ∈ [a, b]:

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Daí f certamente viola o teorema do valor intermediário, visto que f(a) = 0 < 1 < 2 = f(b), mas não existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = 1. Mas f é contínua, e pode inclusive provar isso: Suponha que x ∈ [a, b] é um número real, e que hx. Daí, se xA, hA, pois A é aberto. Da mesma forma, se xB, hB, pois B é aberto. Assim, não importa em qual conjunto tenha colocado x, se no A ou no B, pode ver que f(x) = f(h), isto é, pode ver que f(x) ≈ f(h) e que f é de fato contínua. E com isso a prova do teorema está completa.

* * *

Uma curiosidade.

Considere o conjunto Q dos racionais. Se x e y são dois racionais, com xy, sempre pode achar um racional no meio deles dois; basta tirar a média aritmética dos dois: ½(x + y) é um racional que fica entre x e y. Isso vale inclusive se x e y são dois hiper-reais racionais, com xy. Além disso, se xy, ou x < y ou x > y. Em palavras: o conjunto dos racionais é denso (sempre existe um racional entre dois racionais distintos) e ordenado. Contudo, o conjunto dos racionais também é totalmente desconexo.

Pense no assunto: para qualquer conjunto do tipo C = {x : a ≤ x b, com a, b, x racionais e a < b}, sempre pode achar dois conjuntos disjuntos A e B, ambos abertos, tais que CAB. Basta fazer ϖ um infinitésimo irracional; daí aϖ, x + ϖ, e b + ϖ são hiper-reais irracionais, e pode usá-los para montar os conjuntos abertos A = (aϖ, x + ϖ) e B = (x + ϖ, b + ϖ). Em outras palavras, você não tem como formar intervalos apenas com números racionais. (Por meio de raciocínio semelhante, também não tem como formá-los apenas com irracionais.) Para formar intervalos, precisa tanto dos racionais quanto dos irracionais.

Vai pensar melhor sobre tudo isso ao resolver a lista de problemas 115 e a 116, mais abaixo.

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Um corolário importante do teorema §115-1 é o teorema de Cantor-Dedekind.

Teorema §115-2. “Teorema de Cantor-Dedekind.” Suponha que existem dois intervalos não vazios A e B tais que R = AB e AB = ∅. Suponha ainda que aA, bB, e a < b. Daí ou A tem um elemento que é o maior elemento de A ou B tem um elemento que é o menor elemento de B.

Prova. Visto que A e B são intervalos e que a < b, todos os elementos de A são menores do que todos os elementos de B. Suponha que A não tenha um elemento que seja o maior elemento entre todos os elementos de A. Daí A é um intervalo aberto, porque, se xA é um número real, existe outro real yA tal que x < y [porque, se não fosse assim, A teria um elemento que é o maior de todos (com a óbvia exceção dele mesmo)]. Nesse caso, contudo, todos os hiper-reais infinitamente próximos de x são menores que y, e portanto são elementos de A.

topologia7

Da mesma forma, se B não tem um elemento que seja o menor de todos os outros elementos de B, B é aberto. O conjunto R dos reais, contudo, é um intervalo, e pelo teorema §115-1 é conexo. Logo, não pode ser o caso de que tanto A quanto B sejam conjuntos abertos: um dos dois tem de ser um conjunto fechado, pois, se assim não fosse, faltaria um ponto na linha dos números reais. Com isso, o teorema está provado.

Lista de problemas §115.

§115-1. Examine de novo os dez conjuntos da lista de problemas §113-1, e diga quais são compactos e quais são conexos.

(Mais especificamente, examine os conjuntos mencionados no dez problemas de §113-3 a §113-12.)

§115-2. Prove que, se A1A2A3 ⊇ ··· são todos conjuntos compactos não vazios, daí o conjunto intersecção de todos eles é não vazio.

§115-3. Ache um subconjunto infinito de (0, 1) que não tenha ponto de acumulação em (0, 1).

§115-4. Para cada inteiro positivo n, ache um conjunto aberto An tal que (0, 1) esteja contido na união de todos os conjuntos An, mas não na união de nenhum número finito de An. [Em notação matemática: se n é um inteiro positivo finito, (0, 1) ⊆ A1A2A3 ∪ ···, mas (0, 1) ⊈ A1A2A3 ∪ ··· ∪ An, por maior que seja o valor de n.]

§115-5. Prove que os únicos conjuntos que são tanto abertos quanto fechados são R e ∅. (Dica: use o teorema §115-1.)

Sugestões de resposta na seção 118.



{116}/ Funções contínuas

Por que os matemáticos trabalharam tanto, e por tantas décadas, para aperfeiçoar as definições de conjuntos abertos, fechados, compactos, conexos, além de outras ideias correlatas, como as de fecho, interior, fronteira? Um dos motivos: eles queriam, com tais definições, compreender melhor as funções contínuas. É o que você também fará nesta seção.

Como primeiro passo, deve estudar um jeito de usar a notação de função para denotar conjuntos, pois tal notação é comum na literatura matemática.

Notação. Para qualquer conjunto A e qualquer função f:

f(A) = {f(a) : aA} ;

f–1(A) = {a : f(a) ∈ A}

Com a primeira linha, você chamou de f(A) o conjunto imagem de A de acordo com f, isto é, o subconjunto do contradomínio tal que seus elementos f(a) são a imagem de algum elemento a do domínio. [Veja: com f(A), denotou um conjunto; com f(a), um elemento; além disso, f(a) ∈ f(A).] A segunda linha é mais difícil de interpretar, porque mais abstrata. A primeira coisa a reparar: na segunda linha, com a letra A você não denotou o mesmo conjunto A da primeira linha. A segunda linha significa: “Com f–1(A), quero dizer o domínio de f tal que sua imagem seja A.” Em outras palavras, na primeira linha, usou A para denotar o domínio; na segunda, para denotar a imagem.

Bem, aos trabalhos. Com o teorema a seguir, vai definir continuidade de uma maneira nova.

Teorema §116-1. “Funções contínuas.” Diga que uma função f é contínua se, e somente se, para todo conjunto aberto A, f–1(A) é aberto.

Prova. Suponha que f é contínua e que A é aberto. Daí você precisa mostrar que f–1(A) é aberto. Suponha que rf–1(A) é um número real e que hr. Por definição, f(r) ∈ A, e, pela continuidade, f(h) ≈ f(r). Visto que A é aberto, f(h) ∈ A, de modo que hf–1(A). Portanto, f–1(A) é aberto.

Agora a recíproca. Suponha que, para todo conjunto aberto A, f–1(A) é aberto. Faça r um número real, com hr. Você precisa mostrar que f(r) ≈ f(h). Mas, se f(r) ≉ f(h), daí a distância entre f(r) e f(h) é maior que certo número real s > 0, isto é, f(h) ∉ (f(r) – s, f(r) + s). Chame o intervalo aberto (f(r) – s, f(r) + s) = A. Visto que A é aberto, f–1(A) é aberto. Ainda assim, rf–1(A), rh, e hf–1(A), o que é uma contradição, e o teorema está provado.

Dica: para entender melhor os teoremas desta seção, faça desenhos como estes a seguir.

topologia-14

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Existem vários teoremas sobre conjuntos compactos associados a funções contínuas. Dois deles você já provou, com outra formulação, no capítulo sobre funções contínuas (capítulo 4). Se examinar bem a prova dos teoremas §31-1 e §31-2, verá que não precisaria ter começado com um intervalo fechado [a, b], pois poderia ter começado, mais genericamente, com um conjunto compacto. É o que te permite escrever o teorema a seguir.

Teorema §116-2. Se f é uma função contínua cujo domínio é um conjunto compacto C, então f(C) é um conjunto limitado, e por causa disso f atinge um máximo e um mínimo em C.

Eis agora outro resultado sucinto:

Teorema §116-3. Se f é uma função contínua e C é um conjunto compacto, então f(C) é um conjunto compacto.

Prova. Suponha que hf(C). Você precisa mostrar que st[h] existe e que st[h] ∈ f(C). Mas, se hf(C), então, para algum h*C, f(h*) = h. Faça r = st[h*] ∈ C. Daí f(r) ∈ f(C) e, por continuidade, f(r) ≈ f(h*) = r. Portanto, st[h] = f(r) ∈ f(C), e a prova está completa.

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Um teorema similar aos teoremas acima é válido para conjuntos conexos.

Teorema §116-4. Se f é uma função contínua e C é um conjunto conexo, daí f(C) é um conjunto conexo.

Prova. De acordo com o teorema §116-2, você deve provar apenas que f(C) é um intervalo. Faça a < x < b números tais que a, bf(C). Deve provar que xf(C). Visto que a, bf(C), existem números a*, b*C tais que f(a*) = a e f(b*) = b. Pelo teorema §33-1, existe um ponto c* entre a* e b* tal que f(c*) = x. Visto que C é conexo, é um intervalo, e portanto c*C, de tal modo que xf(C).

Note que esse teorema é uma forma mais geral do teorema do valor médio (teorema §62-2); de fato, de posse do teorema §115-1, pode ver esse teorema como equivalente ao teorema do valor médio. [Em outras palavras: se C é um intervalo, f(C) é um intervalo, e f assume cada um dos valores entre dois valores quaisquer de f(C) pelo menos uma vez.]

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Com os três teoremas §116-1, 3, e 4, você provou que, se f é contínua e a imagem C é um conjunto aberto, o domínio f–1(C) é aberto; se o domínio C é compacto, a imagem f(C) é compacta; e se o domínio C é conexo, a imagem f(C) é conexa. Assim, dizendo tudo isso de outra forma, com uma função contínua f, você transforma conjuntos compactos em conjuntos compactos, e conjuntos conexos em conjuntos conexos. Quanto aos conjuntos abertos: se f é contínua e a imagem de f é aberta, então o domínio de f é aberto também.

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Quando precisar provar teoremas mais sofisticados sobre integrais, vai precisar de uma definição mais forte de continuidade, que é a definição a seguir.

Definição §116-1. “Funções uniformemente contínuas.” Se A é um conjunto qualquer e f é uma função, pode dizer que f é uniformemente contínua em A se, e somente se, para todo a, b A, se ab, então f(a) ≈ f(b).

À primeira vista, essa definição parece idêntica à definição §29-1 de função contínua num ponto, mas, se olhar bem, verá que na definição §29-1, um dos números a ou b tem de ser real. Contudo, para que f seja uniformemente contínua, tanto a quanto b podem ser hiper-reais não padrão. Apesar disso, para alguns conjuntos A, continuidade e continuidade uniforme são a mesma coisa.

Teorema §116-5. Se A é um conjunto compacto, daí f é uma função contínua em A se, e somente se, f é uniformemente contínua em A.

Prova. Bem, se f é uniformemente contínua em A, então é contínua em A, e para isso não precisa de uma prova: a definição de função uniformemente contínua basta. Quanto à recíproca: Suponha que f é contínua em A, que a, bA, e que ab. Faça r = st[a] = st[b]. Pela compacidade de A, rA. Pela continuidade de f, f(a) ≈ f(r) ≈ f(b), e a prova está completa.

Para ter um ideia da força do sistema dos números hiper-reais, se quisesse escrever a prova acima com a abordagem usual (limites, épsilons, deltas, e desigualdades cheias de valores absolutos), você precisaria de várias páginas.

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Lista de problemas §116.

§116-1. Verdadeiro ou falso? (a) f(A*) = [f(A)]* ; (b) f(A0) = [f(A)]0 ; (c) f–1(A*) = [f–1(A)]* ; (d) f–1(A0) = [f–1(A)]0.

§116-2. Use o teorema do valor intermediário para provar o teorema do ponto fixo de Brouwer para uma dimensão: Se f é uma função contínua de [0, 1] em [0, 1] (em símbolos, f : [0, 1] → [0, 1]), existe um ponto b ∈ [0, 1] tal que f(b) = b. [Dica: considere a função g(x) = f(x) – x.]

§116-3. Prove que, se f é contínua e C é um conjunto fechado, então f–1(C) é fechado.

§116-4. Ache um exemplo de função f contínua e de conjunto A aberto tal que f(A) não é aberto.

§116-5. Ache um exemplo de função contínua f em (0, 1) que é ilimitada. Ache um exemplo de função que é limitada, mas que não atinge nem um máximo nem um mínimo.

§116-6. Ache uma função contínua f e um conjunto compacto C tal que f–1(C) não é compacto.

§116-7. Ache uma função f e um conjunto conexo C tal que f–1(C) é desconexo.

§116-8. Ache pelo menos um exemplo de função f que, embora seja contínua, não seja uniformemente contínua.

Sugestões de resposta na seção 118.



{117)/ A completude dos reais (de novo)

Quando estudou as seções 83 e 84, estudou um pouco o problema da completude dos reais, que, se quiser, pode descrever assim: todo ponto na reta real corresponde a um número, e todo número corresponde a um ponto na reta real. Isso é um axioma, que os matemáticos criaram para dar existência aos números que ninguém pode representar na forma de fração — por exemplo, √2.

Pode ver outra variedade dessa mesma questão, a completude dos reais, ao estudar o ordenamento do conjunto R dos números reais na reta real.

Definição §117-1. Chame um número b de limite superior do conjunto BR se xb para todo xB. (Note que não necessariamente bB.) Chame b de o menor limite superior de B se, e somente se, b é um limite superior de B e, além disso, não há outro limite superior de B que seja menor do que b.

Pode ver um exemplo do que trata essa definição na figura a seguir, na qual B é um intervalo aberto, e portanto o maior limite inferior não é elemento de B.

topologia-11

Teorema §117-1. O conjunto R dos números reais tem a propriedade do menor limite superior. Em outras palavras: todo subconjunto não vazio e limitado de R tem um menor limite superior.

Prova. Suponha que um conjunto BR tenha um limite superior b. (Com isso, está simplesmente dizendo que B é limitado no sentido positivo da linha dos números.) Para todo inteiro positivo n, faça bn o menor inteiro tal que bn/n é um limite superior de B. [No caso de B = (0, 1/8) e de n = 5, por exemplo, bn = 1; no caso de n = 13, bn = 2.] Para algum N inteiro positivo infinito, defina r como da forma a seguir.

f-032

Esse número r vai se revelar o menor limite superior para B. Primeiro, suponha que x é qualquer número real em B. Daí:

f-033

Com isso, pode escrever a linha a seguir.

f-034

Em vista disso, r é um limite superior de B.

Agora suponha que s também é um limite superior de B. Por causa do modo que escolheu bN, você sabe que (bN –1)/N não é um limite superior de B, e portanto(bN – 1)/N < s. Contudo:

f-035

Disso pode deduzir que r é o menor limite superior de B.

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Muito matemático se refere ao teorema §117-1 como sendo a completude dos reais. Isso porque, no caso de muitos sistemas matemáticos mais abstratos que a reta real, eles podem provar que a completude e a propriedade do menor limite superior são equivalentes.

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Existe uma outra prova do teorema §117-1, que vem do teorema de Cantor-Dedekind (teorema §115-2). É um outro tipo de completude, que vários matemáticos acham muito satisfatório.

Dado certo conjunto não vazio BR, defina A = {rR : r < b para algum bB}; faça também C = AC. (Note que b não precisa ser um número padrão: pode ser um número não padrão.)

Problema §117-1. Mostre que A e C são intervalos.

Aplique agora o teorema de Cantor-Dedekind: ou A tem um elemento real que é o maior de todos (exceto ele mesmo) ou C tem um elemento real que é o menor de todos (exceto ele mesmo). Faça r ou o maior elemento de A ou o menor elemento de C. Daí, por definição, r é o menor limite superior do conjunto A. Como tomou A, B, e C como subconjuntos arbitrários de R, com isso provou que todo conjunto AR tem a propriedade do menor limite superior.

Você pode usar a propriedade o menor limite superior para mostrar que todo hiper-real finito tem uma parte padrão. Simplesmente faça A = {rR : r < h}, expressão na qual h é um hiper-real finito, seja padrão, seja não padrão.

Problema §117-2. Mostre que A é um conjunto não vazio de números reais com um limite superior.

Problema §117-3. Mostre que o menor limite superior de A é o único número real infinitamente próximo de h.

Sugestões de resposta na seção 118.

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O sistema Q dos números racionais não é completo. Por exemplo: faça A = {rQ : r2 < 2}. A tem um limite superior x = 2. No entanto, o menor limite superior, que é √2, não é elemento de Q, pois é um número irracional.

Mais uma vez: o sistema R dos números reais é completo axiomaticamente. Em outras palavras, √2 é elemento de R porque o Homo sapiens decidiu assim: cada ponto da reta real corresponde a exatamente um número real; cada número real corresponde a exatamente um ponto da reta real.

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Lista de problemas §117.

§117-4. Defina limite inferior.

§117-5. Defina maior limite inferior.

§117-6. Prove que, se AR tem um limite inferior, então tem um maior limite inferior. (Dica: ache o menor limite superior de B = {–r : rA}.)

§117-7. Se A ≠ ∅ tem um limite inferior, então tem um menor limite inferior. Verdadeiro ou falso?

§117-8. Se A ≠ ∅ tem um limite superior, então o menor limite superior é o maior limite inferior do conjunto dos limites superiores. Verdadeiro ou falso?

Sugestões de resposta na seção 118 a seguir.



{118}/ A resolução dos problemas

§113-1 (a). Suponha que B1, B2, B3, …, Bk, … são todos conjuntos fechados, que B = B1B2B3 ∩ ··· ∩ Bk ∩ ···. Se o conjunto intersecção B = ∅, o teorema está provado, pois ∅ é um conjunto fechado. (Sim, o conjunto vazio ∅ é ao mesmo tempo um conjunto aberto e um conjunto fechado. Mais sobre isso no parágrafo a seguir.) Se o hiper-real não padrão hB, então h é elemento de cada um dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, sem exceção. Visto que hx, sendo x um número real, então x é elemento de cada um dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, sem exceção, pois são todos fechados. Portanto, xB e B é um conjunto fechado. Por último, se o número real x é elemento de cada um dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, sem exceção, pode ser que B = {x}, e neste caso mais uma vez B é um conjunto fechado.

Sutileza. O conjunto vazio ∅ é um conjunto aberto, como já viu na seção 113, mas também é um conjunto fechado. Releia a definição de conjunto fechado; ela contém duas implicações, e pode reescrever uma delas assim:

f-008

Nessa linha, ϖ é um infinitésimo positivo ou negativo.

O que faz nessa linha é presumir que ∅ é um conjunto fechado. Isso implica a segunda afirmação: será que ela é válida, de tal modo que a implicação inteira seja válida? Ora, não é o caso de que x + ϖ ∈ ∅; sendo assim, nada pode dizer sobre x ∈ ∅, e a segunda implicação é válida por definição, de modo que a implicação inteira se torna válida e ∅ é um conjunto fechado.

§113-1 (b). Suponha que B1, B2, B3, …, Bn, são n conjuntos fechados, e faça B = B1B2B3 ∪ ··· ∪ Bk. Se o hiper-real hBk (com k = 1, ou 2, …, ou n), e se hx, sendo x real, então xBk, pois Bk é fechado; e sendo assim, tanto hB quanto xB, isto é, B também é um conjunto fechado.

Para o novato, é difícil achar um bom exemplo de por que a união de um número arbitrário de conjuntos fechados não necessariamente é um conjunto fechado. Eis um exemplo: defina Bn como o intervalo fechado da linha a seguir, na qual n é um inteiro positivo.

f-009

Veja como B1 = [0, 1], B2 = [–1, 2], B3 = [–2, 3], etc. E agora defina B como o conjunto união dos conjuntos B1, B2, B3, …, Bk, …, isto é, com n tendendo ao infinito. Daí, para algum N inteiro positivo infinito, BN = [1 – N, N] e, como consequência, B = B1B2 ∪ ··· ∪ BN = BN. Faça agora h = Nϖ, sendo ϖ um infinitésimo positivo. Daí veja como hBN, mas, para qualquer x real, por maior que seja, hx; no entanto, para todo x real, por maior que seja, xBN. Sendo assim, BN não satisfaz a definição de conjunto fechado — mas satisfaz a de conjunto aberto!

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Agora, a prova dos teoremas §113-4(a) e §113-4(b) com as leis de De Morgan. De acordo com o teorema §113-1, a união de um número arbitrário de conjuntos abertos é um conjunto aberto; e, de acordo com o teorema §113-3, o complemento de um conjunto aberto é fechado. Portanto:

f-010

Nessas linhas, A é a união de n conjuntos abertos Ai, com i = 1, 2, …, n, sendo que n pode ser um inteiro positivo infinito. Assim, com a última linha, que se segue naturalmente das linhas anteriores, você disse que a intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Da mesma forma, se A é a união de n conjuntos abertos Ai, com i = 1, 2, …, n, sendo que n desta vez tem de ser um inteiro positivo finito:

f-011

Com a última linha, você disse que a união de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado, e o teorema §113-4 está outra vez provado.

§113-2. Primeiro, a prova da primeira parte do teorema: “Um conjunto B é aberto se, e somente se, todos os seus pontos são pontos interiores.”

Talvez queira começar com uma prova por contradição.

Presuma que o conjunto B é aberto. Suponha ainda que o número real xB, mas que existe pelo menos um hiper-real hx tal que hx e que, apesar disso, hB. Ora, essa última suposição contradiz a presunção de que B é aberto; portanto, hB, e com isso x é um ponto interior de B.

Agora, a recíproca da primeira parte do teorema.

Suponha que a seguinte implicação é verdadeira: se xB, então x é um ponto interior de B. Ora, se x é um ponto interior de B, daí, para todo hiper-real hx, hB, e com isso B é aberto.

Sutileza: ∅ é vazio, mas é aberto. Como pode ser aberto se não tem pontos? Pode reescrever o texto do teorema §113-6 assim: O conjunto ∅ é aberto se, e somente se, caso x ∈ ∅, então x é um ponto interior de ∅. Visto que x ∉ ∅, não pode dizer nada mais sobre x, e a segunda implicação é válida, de modo que a primeira também é.

Agora, em segundo lugar, eis a prova da segunda parte do teorema: “Um conjunto B é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação.”

Mais uma vez, uma prova por contradição.

Primeiro, suponha que B é fechado, e que o hiper-real hB; contudo, suponha também que hx, um número real, mas que xB. (Portanto, hx.) Ora, isso contradiz a suposição de que B é fechado; portanto, xB e, além disso, x é um ponto de acumulação de B, pois hB, hx, e hx.

Agora, a recíproca da segunda parte do teorema.

Suponha que o número real x é um ponto de acumulação de B. Logo, existe um hiper-real hB, com hx, tal que hx. Ora, se xB, então B é um conjunto aberto; mas, se xB, B é fechado. Assim, B é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação — e com isso todo o teorema §113-6 está provado.

§113-3. Em poucas palavras, (0, 1)0 = (0, 1); e (0, 1)* = [0, 1].

Em mais palavras: (0, 1) é um conjunto aberto — logo, pelo teorema §113-6, todos os seus pontos são pontos interiores, e por isso (0, 1)0 = (0, 1). Além do mais, 0 e 1 são pontos de acumulação de (0, 1), e por isso (0, 1)* = [0, 1].

§113-4. Em poucas palavras, [0, 1]* = [0, 1]; e [0, 1]0 = (0, 1).

Em mais palavras: pelo teorema §113-6, todos os pontos de [0, 1] são pontos de acumulação de [0, 1], e por isso [0, 1]* = [0, 1]. O interior de [0, 1], contudo, tem de ser (0, 1); eis o porquê: se faz ϖ um infinitésimo positivo, 0 – ϖ ≈ 0, mas 0 – ϖ ∉ [0, 1], e portanto 0 não pode ser um ponto interior de [0, 1]. De modo análogo, 1 + ϖ ≈ 1, mas 1 + ϖ ∉ [0, 1], e portanto 1 não pode ser um ponto interior de de [0, 1].

Como escrever um resumo dos teoremas contidos na resolução dos problemas §113-3 e §113-4? Em destaque:

O resumo em símbolos: (a, b)0 = (a, b) e (a, b)* = [a, b]; [a, b]* = [a, b] e [a, b]0 = (a, b).

O resumo em palavras: O interior de um intervalo aberto (a, b) é o próprio intervalo aberto (a, b); o fecho de um intervalo aberto (a, b) é o intervalo fechado [a, b]. O fecho de um intervalo fechado [a, b] é o próprio intervalo fechado [a, b]; o interior de um intervalo fechado [a, b] é o intervalo aberto (a, b).

(Talvez tenha estranhado a locução “teoremas contidos na resolução dos problemas”. Se foi o caso, eis um lembrete útil: não existe nenhuma diferença lógica entre resolver um problema e provar um teorema. O estudante que se esquece disso fica numa situação emocional difícil, pois, ao resolver os problemas que o redator propõe, age como um matemático, mas, ao mesmo tempo, está sempre desmerecendo a si mesmo: “Não sou matemático, pois até hoje nunca provei um teorema; até hoje, só resolvi problemas.”)

§113-5. Faça ϖ um infinitésimo positivo. Daí 1 + ϖ ≈ 1, mas 1 + ϖ ∉ (0, 1]; portanto, 1 não é um ponto interior de (0, 1], e com isso (0, 1]0 = (0, 1). Agora, 0 é um ponto de acumulação de (0, 1]; pois 0 + ϖ ∈ (0, 1], 0 + ϖ ≠ 0, e 0 + ϖ ≈ 0. Assim, (0, 1]* = [0, 1].

Com os problemas §113-3, 4, e 5, já tem elementos para generalizar o problema de achar o interior e o fecho de intervalos de números reais. Eis a generalização:

f-014

§113-6. Direto ao ponto: {4}0 = ∅. Em palavras: o conjunto {4} tem um elemento, que é 4, mas não tem pontos interiores.

Para entender essa ideia, divida a definição de ponto interior em partes, e dê nome às partes. Por exemplo: A = “4 é um ponto interior de {4}”; B = “4 + ϖ = h ≈ 4”; C = “h ∈ {4}”. Daí a definição de ponto interior, aplicada a este caso, fica assim:

A ⇔ (BC)

A afirmação B é válida, mas a C não é. Logo, a implicação BC é inválida e a dupla implicação A ⇔ (BC) também é. Assim, 4 não é um ponto interior de {4}, e como só há um elemento em {4}, {4}0 = ∅.

E quanto ao fecho de {4}? Bem, {4}* = {4}.

Isso porque a definição diz: “O fecho de {4} é o conjunto de todos os elementos que ou são elementos de {4} ou são pontos de acumulação de {4}.” Visto que 4 ∈ {4} e que não há nenhum outro hiper-real em {4} (e, sendo assim, nada pode dizer sobre pontos de acumulação), pode imediatamente concluir que {4}* = {4}.

Eis uma regra que, às vezes, é útil: Se B é um conjunto de números reais tais que a distância entre quaisquer dois deles é um número real positivo, e não um infinitésimo, pode dizer com certeza que B0 = ∅ e que B* = B.

(Aviso: Existe outra maneira de definir ponto interior, segundo a qual 4 é um ponto interior de {4}, e portanto {4}0 = {4}. Essa outra maneira é útil em alguns contextos, mas não é o caso desta breve introdução à topologia.)

§113-7. Para simplificar, faça {1, 1/2, 1/3, …} = B. Daí B0 = ∅, pois não existe nenhum número real bB tal que, para todo hiper-real hb, hB.

Agora, 0 é um ponto de acumulação de B. Faça N um inteiro positivo infinito. Daí 1/NB, 1/N ≠ 0, e 1/N ≈ 0. Portanto, B* = {0, 1, 1/2, 1/3, …}.

Deve se lembrar de que a sequência 1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … converge para zero. “Ponto de acumulação” é o modo como o topólogo chama o limite de uma sequência, mas no contexto de subconjuntos de números reais.

§113-8. Direto ao ponto: Z0 = ∅ e Z* = Z.

Primeiro, o caso Z0 = ∅. Faça n um inteiro qualquer e ϖ um infinitésimo positivo. Daí n ± ϖn, mas n ± ϖZ, de modo que nenhum ponto de Z corresponde à definição de ponto interior.

Agora, o caso Z* = Z. Não existe nenhum ponto da reta que corresponda à definição de ponto de acumulação de Z, já que a unidade é a distância mínima entre quaisquer dois elementos distintos de Z.

§113-9. Resposta curta: Q0 = ∅ e Q* = R.

Para entender o porquê disso, adapte a definição de ponto interior para o caso em questão:

“Um número racional qQ é um ponto interior de Q se, e somente se, para todo hiper-real hq, hQ.”

No entanto, imagine um infinitésimo ϖ positivo irracional. Como talvez já saiba, ao adicionar um número irracional a um número racional, obtém uma soma irracional. (É fácil provar isso depois de ter provado que a expansão decimal de todo número racional é periódica, e que a expansão decimal de todo irracional não pode ser periódica.) Logo, q ± ϖq, mas q ± ϖQ, pois q ± ϖ é irracional, e sendo assim q não é um ponto interior de Q. Visto que imaginou q um racional qualquer, o argumento vale para todo número racional.

Quanto ao caso Q* = R: todo número c irracional é um ponto de acumulação de Q. Isso porque sempre pode adicionar um infinitésimo ϖ a c de modo que c + ϖ seja racional. (Mais uma vez, pode provar isso caso recorra à expansão decimal de c; o que deve fazer é escolher os dígitos da expansão decimal de ϖ de modo que a expansão decimal de c + ϖ seja periódica.) Se fizer assim, c + ϖ Q, c + ϖc, e c + ϖc; com tudo isso, c corresponde à definição de ponto de acumulação de Q.

§113-10. A resposta curta: (R\Q)0 = ∅ e (R\Q)* = R.

(Lembrete: A\B significa “O conjunto A menos os elementos do conjunto B.”)

Para provar que o interior do conjunto dos irracionais é vazio, reescreva a definição de ponto interior; na definição a seguir, ϖ é um infinitésimo positivo ou negativo:

“Um irracional bR\Q é um ponto interior de R\Q se, e somente se, para todo b + ϖb, b + ϖR\Q.”

Tudo o que tem a fazer é mostrar que existe pelo menos um infinitésimo ϖ tal que b + ϖR\Q. Mas isso é fácil: basta escolher um ϖ tal que a expansão decimal de b + ϖ seja periódica; pelo que já sabe de números decimais, sempre pode fazer isso. Daí b + ϖ é um hiper-real racional, de modo que b + ϖR\Q e o irracional b não é um ponto interior de R\Q.

Para provar que o fecho do conjunto dos irracionais é o próprio conjunto dos reais, deve provar que todo racional é um ponto de acumulação dos irracionais.

Mais uma vez, reescreva a definição de ponto de acumulação, de modo que possa ver mais facilmente a solução do problema:

“Um número racional q é um ponto de acumulação de R\Q se, e somente se, para algum q + ϖR\Q, diferente de q, q + ϖ q.”

Então, o que deve fazer é mostrar que existe um infinitésimo ϖ, positivo ou negativo, tal que q + ϖ é um número irracional. Mas sempre pode construir um infinitésimo assim: escolha a expansão decimal de ϖ tal que a expansão decimal de q + ϖ seja não periódica.

Sutileza. Talvez queira saber: “Mas como eu escolho os dígitos da expansão decimal de ϖ de modo a cumprir meus propósitos?” Resposta: você não escolhe; antes, recorre ao teorema de Łós.

Já sabe que, se x é um número racional, sempre pode escolher um número y tal que x + y seja irracional (ou vice-versa). Basta escolher cada dígito da expansão decimal de y tal que a expansão decimal de x + y seja não periódica. Suponha, por exemplo, que x = 0,5. Ora, x é racional, pois sua expansão decimal é periódica: x = 0,5 = 0,5000…. Faça y = 0,0101001000100001000001…, isto é, com um zero entre o primeiro e o segundo um, dois zeros entre o segundo e o terceiro um, três zeros entre o terceiro e o quarto um, quatro zeros entre o quarto e o quinto um, cinco zeros entre o quinto e o sexto um, etc. Daí x + y = 0,5101001000100001000001…, e isso é um número irracional, pois a expansão decimal desse número é não periódica. Daí invoque o teorema de Łós: “Se posso afirmar isso no sistema dos números reais, então posso afirmar isso no sistema dos hiper-reais.”

§113-11. Bem, como deve ter deduzido das definições, R0 = R e R* = R.

§113-12. Visto que não há nenhum elemento em ∅, basta uma leitura das definições para concluir: ∅0 = ∅ e ∅* = ∅.

§113-3B. Como a esta altura já sabe, (0, 1)* = [0, 1]. Além disso, {(0, 1)C}* = (–∞, 0] ∪ [1, ∞). Portanto, ∂(0, 1) = [0, 1] ∩ {(–∞, 0] ∪ [1, ∞)} = {0, 1}.

§113-4B. Direto ao ponto: ∂[0, 1] = {0, 1}.

Prova: [0, 1]* = [0, 1]. Além disso, {[0, 1]C}* = {(–∞, 0) ∪ (1, ∞)}* = (–∞, 0] ∪ [1, ∞). Portanto, ∂[0, 1] = [0, 1] ∩ {(–∞, 0] ∪ [1, ∞)} = {0, 1}.

§113-5B. Direto à resposta: ∂(0, 1] = {0, 1}.

Prova. (0, 1]* = [0, 1]. (0, 1]C = (–∞, 0] ∪ (1, ∞). {(–∞, 0] ∪ (1, ∞)}* = (–∞, 0] ∪ [1, ∞). Assim, ∂(0, 1] = [0, 1] ∩ {(–∞, 0] ∪ [1, ∞)} = {0, 1}.

De modo geral, como talvez já tenha suposto, {a, b} é a fronteira dos intervalos (a, b), [a, b), (a, b], e [a, b].

§113-6B. Direto à resposta: ∂{4} = {4}. À prova:

f-016

§113-7B. Para simplificar a notação, faça B = {1, 1/2, 1/3, …, 1/n, …}. Daí a fronteira de B é o fecho de B, isto é, ∂B = B*.

Eis a prova:

f-017

Como pode justificar a terceira linha? Ora, se fizer mais ou menos como já fez ao justificar a resposta de §113-9, pode dizer que cada ponto de B é um ponto de acumulação de R, e para ver isso mais facilmente reescreva a definição de ponto de acumulação (faça ϖ um infinitésimo positivo ou negativo): “O número real bB é um ponto de acumulação de R se, e somente se, para algum b + ϖR, diferente de b, b + ϖb.”

§113-8B. A fronteira do conjunto dos inteiros é o próprio conjunto dos inteiros: ∂Z = Z.

À prova:

f-018

§113-9B. Em palavras: a fronteira dos racionais é o conjunto dos reais, ou seja, ∂Q = R. Eis a prova:

f-019

§113-10B. A fronteira dos irracionais é o conjunto dos reais, ou seja, ∂{R\Q} = R.

Eis a prova:

f-020

§113-11B. A fronteira dos reais é vazia: ∂R = ∅.

À prova:

f-021

§113-12B. A fronteira do conjunto vazio é vazia: ∂∅ = ∅.

Prova. Visto que ∅* = ∅, e que a intersecção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto vazio, pode imediatamente dizer que ∂∅ = ∅* ∩ [∅C]* = ∅.

Observação: Outro jeito de definir a fronteira de um conjunto B é defini-la como o fecho de B menos o interior de B: ∂B = B*\B0.

§113-13. Suponha primeiro que bB e que cC. Daí, pela própria definição de conjunto união e de fecho de um conjunto, bB*, bBC, bB*C*, e b ∈ (BC)*; e também cC*, cBC, cB*C*, e c ∈ (BC)*. Até aqui, por enquanto, B*C* = (BC)*, pois ambos os conjuntos têm os mesmos elementos.

Agora, suponha que h1B, h1x1, sendo x1 um número real, e que h1x1. Daí x1 é um ponto de acumulação de B, e x1B*, x1B*C*, e, visto que h1BC, x1 ∈ (BC)*.

Por último, suponha que h2C, h2x2, sendo x2 um número real, e que h2x2. Daí x2 é um ponto de acumulação de C, e x2C*, x2B*C*, e, visto que h2BC, x2 ∈ (BC)*.

Sendo assim, todos os elementos de B*C* são elementos de (BC)*, e vice-versa, de modo que B*C* = (BC)*.

§113-14. Suponha o contrário: embora o número real x seja um ponto interior de BC, ainda assim xB0C0, isto é, B0C0 ≠ (BC)0.

Mas, se x é um ponto interior de BC, então, pela definição de conjunto intersecção, isso significa que xB e também que xC; além disso, para todo h x, hBC, de moco que hB e também hC.

Ora, mas se é assim, x é um ponto interior de B, assim como é também um ponto interior de C, e tem de ser o caso de que xB0C0, e com isso você contradiz a pressuposição inicial. Portanto, B0C0 = (BC)0.

§113-15. Em palavras: o complemento do interior de A é igual ao fecho do complemento de A.

Para compor essa prova, achará útil usar a ideia de bola, que o matemático usa muito na topologia. Faça Bϖ(x) o intervalo fechado da reta real que pode formar ao desenhar, com a ponta seca do compasso em x, uma bola de raio igual ao infinitésimo positivo ϖ. (Na verdade, ao fazer isso, desenha um círculo, que delimita um disco; mas um disco é a versão em duas dimensões de uma bola.) Ou seja: Bϖ(x) = {rHR : xϖ rx + ϖ}. É o que pode ver na figura a seguir.

topologia-3

Tendo o conceito de bola em torno de x, reescreva a definição de interior do conjunto A e de fecho do conjunto A.

f-022

Com isso, já pode escrever uma prova bem simples, na qual vai usar o conceito de complemento de A (se x é elemento do complemento de A, não pode ser elemento de A) e a contrapositiva da dupla implicação na segunda linha do formulário acima. (Lembrete: Se PQ, a contrapositiva dessa implicação é ¬Q → ¬P.)

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E com isso a prova está completa. (Em palavras: x só pode ser elemento do complemento do fecho de A se, e somente se, x não é elemento do fecho de A; mas x não é elemento do fecho de A se, e somente se, pode usar uma bola em torno de x, de raio igual a um infinitésimo positivo ϖ, para construir um intervalo fechado da reta hiper-real tal que a intersecção desse intervalo e do conjunto A é vazia; mas isso só é possível se, e somente se, pode usar uma bola em torno de x, de raio igual a um infinitésimo ϖ, para construir um intervalo fechado da reta hiper-real que seja subconjunto próprio do complemento de A; mas isso só é possível se, e somente se, x é elemento do interior do complemento de A. E se todas essas implicações são válidas, e elas são, então x só pode ser elemento do complemento do fecho de A se, e somente se, é elemento do interior do complemento de A; mas daí o complemento do fecho de A é igual ao interior do complemento de A, pois ambos os conjuntos têm os mesmos elementos, sem exceção.) Pode ver uma versão simples desse teorema no desenho a seguir.

topologia-4

Veja agora outra prova deste problema §113-15, na qual você só tem de recorrer às definições:

Se x ∈ (A*)C, daí, pela definição de fecho, existe um conjunto fechado CA tal que xC. Mas daí xCCAC, e visto que C é fechado, CC é aberto. Portanto, x é elemento de um subconjunto próprio de AC, e desse modo x ∈ (AC)0 pela definição de interior.

Para provar a recíproca dessa afirmação:

Se x ∈ (AC)0, daí, pela definição de interior, existe um conjunto aberto VAC tal que xV. Mas daí xVCA. Visto que V é aberto, VC é fechado, e assim existe um conjunto fechado VC, que contém A, mas tal que xVC. Pela definição de fecho, xA*, e portanto x ∈ (A*)C. Com tudo isso, o teorema está mais uma vez provado.

Se quiser pesquisar na internet, verá que há muitas outras provas dessa mesma afirmação.

§113-16(a). Se A = ∅, daí A0 = ∅ e, visto que o conjunto vazio é aberto, A0 é aberto. Se A ≠ ∅ (como Q ≠ ∅, por exemplo), mas A0 = ∅ (como Q0 = ∅), daí mais uma vez A0 é aberto.

Resta agora o caso em que A ≠ ∅ e, além disso, A0 ≠ ∅.

Use Dϖ(x) para denotar o intervalo aberto que pode montar com o disco aberto de raio igual ao infinitésimo positivo ϖ em torno de x (com a ponta seca do compasso em x). Em outras palavras: na linha dos números hiper-reais, use Dϖ(x) para denotar o conjunto aberto contendo todo hiper-real h tal que xϖ < h < x + ϖ. Usando a notação de intervalo, Dϖ(x) = (xϖ, x + ϖ).

Bem, se o real xA0, pela definição de interior de um conjunto, pode construir o intervalo aberto Dϖ(x) ⊂ A0. Pode fazer isso para todo real xA0, e para todo valor positivo que atribua ao infinitésimo positivo ϖ.

Ora, A0 é a união de todos os intervalos abertos Dϖ(x) que pode dessa maneira construir. Como já viu ao provar o teorema §113-1, a união de um número arbitrário de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Portanto, A0 é um conjunto aberto.

§113-16(b). Pode fazer uma prova semelhante à prova anterior, e provar que A* é a interseção de todos os conjuntos fechados CR que contêm A. Uma vez que faça isso, invoque o teorema §113-4.

Prova. Suponha que o número real xA* e que C é um conjunto fechado que contém A. Se xA, então xC, pois CA. Se xA, ora, visto que xA*, então existe algum hiper-real hA, com hx, tal que hx. Em particular, x é um ponto de acumulação de C, pois hC, hx, e hx; logo, xC pelo teorema §113-6 (“um conjunto C é fechado se, e somente se, C contém todos os seus pontos de acumulação”). Com isso, pode escrever a linha a seguir, na qual usa Ω para designar o conjunto de todos os conjuntos fechados C que contêm A.

f-024

Agora suponha que xA*. Vai dizer agora que existe um conjunto fechado C que contém A, mas não contém o elemento x. Pois, se xA*, pode atribuir qualquer valor que queira ao infinitésimo positivo ϖ e construir o conjunto aberto Bϖ(x) = (x ϖ, x + ϖ) tal que Bϖ(x) ∩ A = ∅. [Pois, se Bϖ(x) ∩ A = {x ± ϖ} para algum infinitésimo positivo ϖ, daí x seria um ponto de acumulação de A, e com isso xA*.] Bem, Bϖ(x) é um conjunto aberto, de modo que existe um conjunto fechado DA tal que C = D\Bϖ(x) é um conjunto fechado que contém A, mas não contém x. Com isso, você prova que A* não é meramente subconjunto da intersecção de todos os conjuntos fechados CΩ, mas que A* é exatamente a intersecção de todos os conjuntos fechados CΩ. Em símbolos:

f-025

Agora basta invocar o teorema §113-4: A intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados é um conjunto fechado, e portanto, para todo conjunto AR, A* é um conjunto fechado.

❏ §113-16(c). Por definição, (A0)0A0, pois você inclui no interior de um conjunto somente os pontos interiores desse conjunto, mas talvez exclua outros pontos, aqueles que não correspondem à definição de ponto interior.

Suponha agora que o número real xA0. Daí, para todo hiper-real hx, hA0. Reescreva a definição de ponto interior: “Um número real xA0 é um ponto interior de A0 se, e somente se, para todo hx, hA0.” Logo, visto que x é um ponto do interior de A0, x ∈ (A0)0, e com isso você pode afirmar que A0 ⊆ (A0)0. [Pois todo ponto de A0 é um ponto de (A0)0, mas talvez (A0)0 contenha algum ponto que não seja também elemento de A0.]

Ora, se (A0)0A0 por definição, e se A0 ⊆ (A0)0 por dedução, então pode imediatamente concluir que A0 = (A0)0.

❏ §113-16(d). Uma prova simples:

(1) A* é um conjunto fechado, como já viu no problema §113-16(b).

(2) Como já viu ao estudar o teorema §113-6, um conjunto A* é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.

(3) O conjunto (A*)* é o conjunto no qual você inclui todos os elementos de A*, mais os pontos de acumulação de A*; contudo, visto que A* é fechado, já contém todos os seus pontos de acumulação. Logo, (A*)* = A*, ou, em palavras, não há como (A*)* ser diferente de A*.

§113-17. Faça B = (–1, 0) e C = (0, 1). Daí BC = ∅ e (BC)* = ∅* = ∅. Mas B* = [–1, 0] e C* = [0, 1], de modo que B* C* = {0} ≠ ∅ = (BC)*.

§113-18. Faça B = [–1, 0] e C = [0, 1]. Daí B0 = (–1, 0) e C0 = (0, 1). Desse modo, B0C0 = (–1, 0) ∪ (0, 1) = (–1, 1)\{0}; mas (BC)0 = [–1, 1]0 = (–1, 1).

§115-1. (0, 1) não é compacto, mas é conexo. [0, 1] é compacto e conexo. (0, 1] não é compacto, mas é conexo. {4} é compacto, mas desconexo. {1, 1/2, 1/3, …} = A não é compacto, pois, se N é um inteiro positivo infinito, 1/NA, 1/N ≈ 0, mas 0 ∉ A; além disso, A é desconexo. Z não é compacto, pois é ilimitado, e é desconexo, pois Z ⊆ (–∞, 1/2) ∪ (1/2, ∞). Q não é compacto, pois é ilimitado, e é desconexo, pois Q ⊆ (–∞, x) ∪ (x, ∞), onde x é um irracional. R\Q não é compacto, pois é ilimitado, e é desconexo, pois R\Q ⊆ (–∞, x) ∪ (x, ∞), onde x é um racional. R não é compacto, pois é ilimitado, mas é conexo. Por fim, ∅ é compacto, pois é um conjunto fechado e limitado, e é desconexo, pois, para todo conjunto AR, A ∩ ∅ = ∅.

§115-2. Eis uma prova simples: se A1A2A3 ⊇ ··· são todos conjuntos compactos e não vazios, em primeiro lugar o conjunto intersecção de um número arbitrário deles é limitado, pois é subconjunto de A1 e A1 é limitado; além disso, é fechado, pois é a intersecção de um número arbitrário de conjuntos fechados (teorema §113-4). Logo, se o conjunto intersecção de A1A2A3 ⊇ ··· é fechado e limitado, então é compacto. Só falta provar que é não vazio. Mas, se A1A2A3 ⊇ ··· são todos conjuntos compactos e não vazios, então, para algum N inteiro positivo infinito, AN é um conjunto compacto e não vazio. Escolha o caso mais extremo: AN = {x}, onde x é um número real (e daí AN+1 = AN+2 = AN+3 = ··· = {x}); não há conjunto compacto não vazio mais simples do que esse. Ora, AN está contido em cada um de todos os superconjuntos A1A2A3 ⊇ ··· ⊇ AN, de modo que AN = A1A2A3 ∩ ··· ∩ AN, e portanto x é elemento de tal conjunto intersecção. Como essa afirmação vale para N, um inteiro positivo infinito, vale também para qualquer inteiro positivo finito n, por maior que seja.

§115-3. Faça B = {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/5, …}. Daí B ⊂ (0, 1). Faça N um inteiro positivo infinito. Daí 1/NB e, além disso, 1/N ≈ 0, de modo que zero é um ponto de acumulação de B; no entanto, 0 ∉ (0, 1).

Ou então faça C = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, …}. Daí N/(N + 1) ∈ C e, além disso, N/(N + 1) ≈ 1, de modo que 1 é um ponto de acumulação de C; no entanto, 1 ∉ (0, 1).

§115-4. Para n ≥ 2, faça An como a seguir.

f-027

Daí eis como ponde montar A2, A3, …, AN, …, onde N é um inteiro positivo infinito.

f-028

Para todo N inteiro positivo infinito, 1/N ≈ 0 e N/(N + 1) ≈ 1; além disso, se M > N é um inteiro positivo infinito, 0 < 1/M < 1/N e N/(N + 1) < M/(M + 1) < 1. Deve concordar, portanto, que (0, 1) = A2A3A4 ∪ ··· ∪ AN ∪ ··· ∪ AM ∪ ···, mas, para qualquer valor inteiro positivo finito de n, por maior que seja, (0, 1) ⊈ A2A3A4 ∪ ··· ∪ An.

§115-5. Suponha o contrário: existe um conjunto S tal que S é ao mesmo tempo aberto e fechado, mas, apesar disso, SR e S ≠ ∅. De acordo com o teorema §113-3, o complemento SC de S também é ao mesmo tempo aberto e fechado. Sendo assim, visto que R é o conjunto universo, R = SSC.

Contudo, R = (–∞, ∞) é um intervalo, e, pelo teorema §115-1, é conexo. Reescreva a definição de conjunto conexo: “Um conjunto R é conexo se, e somente se, você não tem como achar dois conjuntos disjuntos S e SC, ambos abertos, tais que R = SSC e, além disso, RS ≠ ∅ e RSC ≠ ∅.”

Portanto, visto que S e SC são ambos conjuntos abertos, chegou a uma contradição. A suposição inicial é falsa, de modo que sua negação é verdadeira: Não existe um conjunto S tal que S é ao mesmo tempo aberto e fechado, mas, apesar disso, SR e S ≠ ∅. Sendo assim, ou S = R ou S = ∅.

§116-1(a). Em palavras: “A imagem do fecho de A é igual ao fecho da imagem de A.” Falso.

Para provar que a afirmação é falsa, tudo o que tem a fazer é achar um contraexemplo. Faça, por exemplo, f(x) = 1/x e A = (1, ∞). Daí:

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§116-1(b). Em palavras: “A imagem do interior de A é igual ao interior da imagem de A.” Falso.

Eis um contraexemplo: defina A = R e f tal que f(x) = 1. Daí A0 = R, f(A0) = f(R) = f(A) = {1}; contudo, f(A)0 = {1}0 = ∅.

§116-1(c). Em palavras: “O domínio do fecho de A é igual ao fecho do domínio de A.” Falso.

Eis um contraexemplo: faça f(x) = 1/x e A = (0, 1]. Daí f–1(A) = [1, ∞). Tudo legítimo até aqui. Contudo, f–1(A*) = ∅, pois não existe domínio de f tal que sua imagem seja A* = [0, 1], e pode explicar isso assim: y = 0 é uma assíntota horizontal de f, isto é, não existe valor positivo de x, por maior que seja, tal que 1/x = 0. [Nem mesmo um hiper-real h positivo infinito produziria y = f(h) = 0.] Apesar disso, [f–1(A)]* = [1, ∞), e portanto f–1(A*) ≠ [f–1(A)]*.

§116-1(d). Em palavras: “O domínio do interior de A é igual ao interior do domínio de A.” Falso.

Contraexemplo: Faça f(x) = 1. Daí a imagem A de f é A = {1}. O domínio f–1(A) = R, e portanto f–1(A)0 = R. Mas A0 = ∅, de modo que f–1(A0) = f–1(∅) = ∅, e assim ∅ = f–1(A0) ≠ f–1(A)0 = R.

Observação. Com os problemas §116-1(a) a §116-1(d), o redator está tentando fazê-lo ver que não deve automaticamente dizer que “se o domínio é assim, a imagem também é assim; se a imagem é assado, o domínio também é assado”. Em termos positivos: “Se o domínio é assim, não necessariamente a imagem é assim; se a imagem é assado, não necessariamente o domínio é assado.”

§116-2. Primeiro, uma versão mais longa dessa prova, para deixar as ideias bem claras, já que esse teorema é importante.

Faça h(x) = x. Daí g(x) = f(x) – h(x) = f(x) – x é uma função contínua (pois f e h são contínuas). O domínio de g é o mesmo de f, isto é, [0, 1], que é um conjunto conexo. Isso significa que, pelo teorema §116-4, a imagem de g também é conexa. A imagem de g é, no mínimo, {0} se f(x) = h(x) para todo valor de x, e neste caso o teorema está provado: existe um valor de x = b tal que f(b) – b = 0. No entanto, a imagem de g é no máximo [–1, 1]; isso acontece se fizer f(x) = 1 – x.

Ora, visto que [–1, 1] é um intervalo, é conexo pelo teorema §115-1, de modo que não pode achar dois conjuntos disjuntos e abertos A = (–∞, 0) e B = (0, ∞) tais que [–1, 1] ⊆ AB. Em outras palavras, não tem como tirar o elemento 0 da imagem de g, e mais uma vez o teorema está provado, desta vez definitivamente: existe um valor de x = b tal que f(b) – b = 0.

A questão é que não importa como queira definir a função contínua f, 0 ∈ g([0, 1]), ou seja, se o domínio de f e de g é [0, 1], e se a imagem de f é [0, 1], zero é sempre elemento da imagem de g. No desenho a seguir, pode ver duas formas para a curva de f (em rosa): à esquerda, uma curva qualquer; à direita, a curva de f(x) = 1 – x. Intuitivamente falando, não tem como desenhar a curva contínua de f sem que ela intercepte, no mínimo uma vez, a curva de h.

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Agora está em condições de entender uma versão mais compacta dessa mesma prova: não importa como configure a função contínua f, g(0) ≥ 0 e g(1) ≤ 0; logo, a imagem [g(1), g(0)], sendo um conjunto conexo pelo teorema §116-4, tem de conter o elemento g(x) = 0, e isso significa que f(b) = b para algum x = b em [0, 1].

§116-3. Se quiser, pode trabalhar direto com as definições para compor uma prova por contradição.

Suponha que, embora C seja um conjunto fechado, f–1(C) é um conjunto aberto. Bem, f é contínua, e o que você tem é f : f–1(C) → C. Suponha ainda que x’f–1(C), sendo x’ um real, e que x’h’, sendo h’ um hiper-real, mas que h’f–1(C). Visto que f–1(C) é aberto, você pode supor tudo isso; pense, por exemplo, no intervalo aberto (x’, ∞) = f–1(C), com h’ à direita de x’.

Daí, para algum hiper-real hC, h = f(h’). Além disso, x = f(x’) deveria ser elemento de C também, já que C é fechado; pois x’h’, e também f é contínua: deveria ser o caso de que xh. Mas como x = f(x’) se x’f–1(C)? Contradição. Logo, o domínio f–1(C) tem de ser fechado se a imagem C é fechada, QED.

Pode ver um rascunho dessa ideia na figura a seguir, onde o eixo das abscissas contém os elementos de f–1(C), e o eixo das ordenadas, os elementos de C.

topologia-9

§116-4. Faça, por exemplo, f(x) = sen(x) e A = R. Daí A é um conjunto aberto, mas f(A) = [–1, 1] é um conjunto fechado, isto é, não aberto.

§116-5. Bem, f(x) = 1/x é ilimitada em (0, 1), pois f((0, 1)) = (1, ∞). Já f(x) = x é limitada em (0, 1), pois f((0, 1)) = (0, 1), mas não atinge nem um máximo nem um mínimo, isto é, não há elemento de f((0, 1)) que seja o maior de todos (exceto ele mesmo) ou que seja o menor de todos (exceto ele mesmo).

§116-6. Faça, por exemplo, f(x) = sen(x). Faça f–1(C) = R, pois daí f–1(C) não é compacto, pois é ilimitado; mas C = [–1, 1] é um conjunto compacto.

§116-7. Faça f(x) = 1 para todo valor de x. Faça f–1(C) = Q, que é desconexo. Mas daí C = {1}, que é conexo. (Pode ver {1} como um intervalo fechado: {1} = [1, 1].)

§116-8. Um exemplo muito bom é f(x) = 1/x em (0, 1). Faça N > 0 um hiper-real infinito. Daí 1/N ≈ 1/(N + 1), pois ambos são infinitésimos positivos; porém:

f-031

Outro exemplo é f(x) = x2 em R, pois NN + 1/N, mas f(N) ≉ f(N + 1/N).

Talvez queira saber: Que tipo de função é uniformemente contínua? Bem, f(x) = x em R é uniformemente contínua, assim como f(x) = √x em [0, ∞) e f(x) = ln(x) em [1, ∞]. Aliás, f(x) = 1/x é uniformemente contínua em [1, ∞). Eis um jeito impreciso, mas intuitivo, de pensar a respeito disso: se uma função contínua cresce ou diminui depressa, talvez não seja uniformemente contínua; se cresce ou diminui devagar, talvez seja uniformemente contínua.

§117-4 e §117-5. Use a definição de limite superior como referência.

Definição de limite inferior. Chame um número b de limite inferior do conjunto BR se xb para todo xB. (Não necessariamente bB.) Chame b de o maior limite inferior de B se, e somente se, b é um limite inferior de B e, além disso, não há outro limite inferior de B que seja maior que b.

É o que pode ver no desenho a seguir.

topologia-10

§117-1. Suponha que a, cA são números reais, e que a < c. Visto que a, cA, então a, c < b. Se a < x < c, sendo x um número real, então x < b e xA. Daí a definição §115-2 de intervalo se aplica perfeitamente ao conjunto A.

Visto que R e A são intervalos, e que C = R\A, então C também é um intervalo. Alternativamente, pode definir C = {s R : sb para algum bB}. Suponha que s1, s2C são dois números reais, com s1 < s2. Se s1 < x < s2, sendo x um número real, então x > b e xC, e com isso prova que C também é um intervalo.

Em outras palavras, eis o que acabou de provar: se BR é um conjunto não vazio, você pode usar qualquer um dos elementos de B, real ou hiper-real, para dividir a linha dos números reais em dois conjuntos disjuntos, ambos intervalos, cuja união é a própria linha. Conforme a escolha de b, ou A será aberto à direita ou será fechado à direita; com isso, ou C será fechado à esquerda ou será aberto à esquerda.

§117-2. Para todo número real r, existe um número real x < r tal que rx > 100. Visto que essa frase é verdadeira no sistema dos números reais, é verdadeira no dos hiper-reais: para todo hiper-real h, existe um hiper-real x < h tal que hx > 100; visto que xh, há no mínimo um número real entre eles, e isso prova que A contém pelo menos um número real, que é o número real entre h e x, de modo que A é um conjunto não vazio.

Além disso, visto que A = {r : r < h, com rR), h é um limite superior de A por definição. Talvez não seja um limite superior real (pois h pode ser um hiper-real não padrão), mas em todo caso é um limite superior de A, já que, se xA, então x < h. Agora, é bem provável que deseje provar que A tem um limite superior real; basta afirmar que, se h é um hiper-real finito, então existe um número real x tal que x > h, e com isso x é um número real que é também um limite superior de A.

§117-3. Todo hiper-real h finito está infinitamente próximo de um, e de apenas um, número real. (Esse é o teorema §21-1.) Faça x o número real infinitamente próximo de h, e faça também xh (para não ficar com o caso trivial); portanto, faça ϖ o infinitésimo positivo tal que h = x + ϖ ou h = xϖ. Daí ou h = xϖ está à esquerda de x ou h = x + ϖ está à direita de x, como pode ver na figura a seguir.

topologia-12

Se h = xϖ, x é o menor limite superior de A, pois não pode haver outro número real entre x e h. Além disso, xA, isto é, A não tem o maior elemento, pois é aberto à direita; de fato, A = (–∞, x). Ou então, se h = x + ϖ, mais uma vez x é o menor limite superior de A, pois não pode haver outro número real entre x e h. Além disso, xA, isto é, A é fechado à direita; de fato, A = (–∞, x].

§117-4 e §117-5. A definição de limite inferior: Um número b é um limite inferior do conjunto B se xb para todo xB. A definição de o maior limite inferior: Um número b é o maior limite inferior de B se, e somente se, é um limite inferior de B e, além disso, não há outro limite inferior de B que seja maior que b.

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§117-6. Se quiser, pode recorrer a um argumento muito simples, por simetria: Se todo conjunto não vazio AR, sendo A limitado, tem a propriedade do menor limite superior, então, por simetria, todo conjunto não vazio BR, sendo B limitado, tem um maior limite inferior. QED.

Como pode deixar mais claro o que pretende dizer com “por simetria”, caso julgue necessário? Faça B = {–r : rA}. Visto que A tem o menor limite superior x (teorema §117-1), então nenhum elemento de B pode ser menor do que –x, e portanto –x é o maior elemento inferior de B. Veja uma instância desse teorema na figura a seguir.

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§117-7. Falso. Pois, se x é um limite inferior de A, por mais à esquerda que esteja na linha dos números hiper-reais, x – 1 é outro limite inferior, e x – 1 < x.

§117-8. Verdadeiro. Se x é o menor limite superior de A, então nenhum outro limite superior de A pode ser menor do que x, de modo que x tem de ser o maior limite inferior do conjunto dos limites superiores de A.


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{119}/ Editorial: Até logo, bem logo

Com tudo o que viu até aqui, está pronto para abrir uma quantidade imensa de livros sobre temas da matemática universitária — entre eles, Theory of Functions of a Real Variable, do matemático russo Sergey B. Stečkin. Não há mais nenhum conceito no livro de Stečkin que não possa compreender. Melhor do que isso: não há nenhum conceito no livro de Stečkin que não possa reescrever, para deixá-lo mais claro, recorrendo à teoria dos números hiper-reais.

Não significa que abrirá um livro desses e poderá compreendê-lo sem esforço. Não. Nenhum livro sobre matemática universitária é como se fosse uma revista do Tio Patinhas, mas, tendo estudado as 118 seções até aqui, já não tem medo de derivadas e integrais, nem de palavras como “compacto” e “conexo”, e portanto tem as ferramentas teóricas mínimas com as quais, depois de algum esforço, interpretar ideias difíceis e refinadas. Já sabe que deve encarar ex como uma função polinomial de grau infinito, fato que não lhe causa mais estranheza. De certa forma, é como se carregasse na carteira uma entrada para o Suado, Mas Fantástico Parque das Diversões Matemáticas.

A partir de agora, de quando em quando haverá nesta Imaginário Puro um problema sobre cálculo diferencial e integral (com a resolução logo em seguida), e poderá usar tudo o que sabe sobre o sistema dos números hiper-reais para resolvê-lo, ou para se divertir ao acompanhar a resolução. Não perca: volte sempre!

Por último, uma frase de Ian Stweart, matemático britânico, autor de 17 Equações que Mudaram o Mundo (Zahar, 2013):

É impossível listar todas as maneiras pelas quais alguém pode aplicar o cálculo. Seria como listar tudo no mundo que depende do uso de uma chave de fenda. Com o cálculo, mais do que com qualquer outro método matemático, a humanidade criou o mundo moderno.

{FIM}


Caso queira reportar um erro, tirar uma dúvida, ou fazer uma sugestão, escreva para:

ImaginarioPuro.MarcioSimoes@gmail.com

O que um curso de nível A não necessariamente te dará

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Artigo de Timothy Gowers

Se você decorou regras sem compreender como elas surgiram, e por que funcionam, então não conseguirá mantê-las na memória por muito tempo, nem usá-las para resolver problemas, e muito menos usá-las para estudar tópicos mais complicados.


{0A}/ Quem é Gowers

William Timothy Gowers é matemático inglês, ganhador da medalha Fields de 1998 pelos resultados que obteve em combinatória e análise funcional. É pesquisador na Universidade de Cambridge, e autor do ótimo livrinho Matemática: Uma Breve Introdução. Publicou este artigo no blog [gowers.wordpress.com] no dia 20 de novembro de 2012.


{0B}/ Um pouco de notação

O matemático usa a notação f(x) para denotar o valor da função f quando x é igual a x. Um exemplo: se t(z) = 2z, então t(3) = 6. Quando escreve f’(x), quer dizer a derivada de f quando x é igual a x. Exemplo: t’(x) = 2, e a derivada de t quando x = 3 é 2, isto é, t’(3) = 2.


{1}/ O artigo em si

Tive uma conversa matemática com um rapaz de 17 anos, que está fazendo o segundo ano de matemática de nível A — ele é inteligente, e todos esperam que tire nota A. [Sobre “matemática de nível A”, veja a seção 2.] Embora toda amostra de tamanho 1 deva ser tratada com precaução, penso que o rapaz em questão foi tão bem treinado quanto a maioria dos outros matemáticos de nível A. Se estiver certo quanto a isso, então o que descobri ao conversar com ele é preocupante.

Com a conversa, ele queria minha ajuda para alcançar o resto da classe, porque tinha ficado doente uns dias. Queria auxílio com um tópico em particular, integração, ou, como ele dizia, “integração por partes”. (Na verdade, depois que lhe expliquei a técnica de integração por partes, ele me disse que não era bem isso o que quis dizer, mas acho que não perdemos nada.) [“Integração por partes”: veja a seção 3.] Assim que começamos, ele me perguntou por que a derivada de ex é ex, e o que havia de especial no número e.

A pergunta me pareceu boa desculpa para uma conversa preliminar, então eu disse: “OK, vamos tentar diferenciar ex dos primeiros princípios e ver o que acontece.” [“Dos primeiros princípios”: veja a seção 4.] Ele não soube interpretar o que eu quis dizer com “dos primeiros princípios”, então lhe dei uma cutucada: “Se você não soubesse qual é a derivada de ex, o que faria para achá-la?”

Nesse ponto, ele me sugeriu xex−1. Para ser justo, ele não estava dizendo que a sugestão estava correta. Entretanto, foi um caso de dissonância cognitiva, visto que tentávamos compreender por que a derivada de ex é ex. O que me incomodou mais, porém, foi o fato de que ele não conseguia ver por que xex−1 não tinha como ser a derivada de ex. E o que me incomodou talvez ainda mais do que isso foi o fato de que ele devia traduzir “calcular a derivada dos primeiros princípios” como sendo “aplicar mecanicamente a regra xnnxn–1”.

Num esforço para passar dessa parte, perguntei: “Tudo bem, mas o que a derivada significa de verdade?” Ele não tinha resposta. Então desenhei o gráfico de uma função qualquer, que rotulei de y = f(x), desenhei um ponto na curva, e lhe perguntei o que a derivada significava. Se me lembro bem, só então ele disse que era o gradiente da curva naquele ponto. (Não acho que tenha usado a palavra tangente.) Perguntei como ele faria para achar a derivada. Ele sugeriu y/x. Respondi: “Portanto, para calcular a derivada, apenas dividimos por x — é isso?” Ele riu e disse que não.

Uma função qualquer (em preto): a derivada da função é a inclinação da reta tangente à função (em vermelho) num ponto qualquer (representado pela bolinha vermelha)

 

Era hora de voltar ao básico, e lhe perguntei como achar o gradiente de uma linha reta. Ele respondeu: “Elevação sobre comprimento.” Eu nunca tinha ouvido tal terminologia ou, se tinha, esqueci completamente — mas o significado era óbvio. [O leitor pode achar a inclinação de uma reta ao calcular Δy/Δx, caso Δx ≠ 0.] Perguntei qual era a dificuldade quando a linha não era reta, ao que me respondeu: o gradiente mudava o tempo todo. “O que podemos fazer a respeito?” Ele sugeriu pegar um ponto não muito longe e calcular o gradiente da reta ligando o tal ponto ao ponto em estudo.

Agora estávamos chegando a algum lugar. Eu já tinha desenhado um segmento de reta indo direto para cima, de um ponto no eixo x, marcado como x, até atingir a curva. Fiz o mesmo com um segmento de reta indo para cima de um ponto marcado x + h, e lhe perguntei onde estava a elevação sobre o comprimento. Ele chegou às respostas corretas: f(x + h) – f(x) e h. Eu lhe disse que, conforme h ficava cada vez menor, a curva ficava cada vez mais reta, de modo que a fórmula da derivada f’(x) virava:

equation-2

“Você realmente nunca viu isso antes?” Ele confirmou a informação, mas, quando o pressionei, finalmente admitiu que provavelmente tinha visto, mas, mesmo que tivesse, então o assunto fora claramente marcado como um tópico sobre o qual não precisava saber nada, pois não haveria perguntas sobre o tópico no exame.

Isso sim me incomodou, a ponto de me dar a vontade de tirar esse peso das minhas costas por meio de uma publicação no blog. Acho que mal preciso explicitar o que há de errado com o argumento que seu professor lhe deu (se é que seu professor lhe deu esse argumento; não tenho certeza quanto a isso, mas o mero fato de que essa foi a mensagem entendida já é ruim), mas vou explicitar mesmo assim. Suponha que seu propósito seja apenas ir bem na matemática de nível A, e que nenhuma questão vai testar sua familiaridade com a fórmula da derivada para uma função arbitrária (bem comportada) num ponto arbitrário. O que é melhor?

(1) Não faça nenhum esforço para entender a fórmula, mas simplesmente estude alguns exemplos básicos de derivada (de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas) e algumas regras para diferenciar combinações de funções (regra da soma, do produto, da divisão; regra da cadeia), e estará pronto para derivar qualquer coisa que apareça num exame.

(2) Estude o que a derivada significa, ache a fórmula da derivada de uma função arbitrária num ponto arbitrário, calcule umas poucas derivadas dos primeiros princípios, ache a regra do produto, do quociente, e da cadeia, e estude como usá-las para diferenciar combinações de funções.

A resposta é que, se você é capaz de fazer (2), então (2) é muito melhor — e o rapaz do qual estou falando é certamente capaz de fazer (2). Por que é melhor? A memória funciona muito bem quando você estuda redes de fatos, em vez de fatos isolados. Se não entende o que é uma derivada de verdade, então o fato de que a derivada de x3 é 3x2 é completamente diferente do fato de que a derivada de ex é ex. Mas se derivou ambas as funções de primeiros princípios (volto em breve ao que disse sobre ex), daí ambos os fatos estão interligados: você realiza o mesmo procedimento com x3 e com ex e daí obtém 3x2 e ex. (Outra razão é que, caso se esqueça de alguma coisa, tem a chance de derivá-la de novo, mas esse é um ponto ligeiramente diferente.) Seus conhecimentos de um tópico da matemática ficam muito mais firmes se sabe como achar as derivadas, ou se pelo menos recorda algo do procedimento de derivação, mesmo que não tenha nenhum problema para memorizar uma derivada aqui e outra ali. Mesmo que se esqueça dos detalhes sobre as derivadas, só ter feito as demonstrações já te permite juntar melhor os fatos que sabe.

Depois que expliquei a derivação em abstrato, disse que deveríamos diferenciar x2 dos primeiros princípios. Ou, como de fato disse: “Vamos aplicar essa fórmula para o caso em que f(x) = x2. O que deveríamos fazer?” Para meu espanto, ele não soube imediatamente o que fazer. “Se f(x) = x2”, perguntei, “então o que é f(x + h)?” Não lembro mais que resposta me deu, mas não foi (x + h)2. Ele se debateu e chutou para todo lado, sem entender de verdade o que eu estava perguntando. De novo, parece que sua escola deixou de fazer algo muito sério, embora eu não tenha conseguido atinar com um diagnóstico preciso neste caso; parece que a escola não o fez compreender a noção de função a ponto de conversar sobre uma função abstrata f e ver que ela pode assumir muitas configurações.

De qualquer forma, uma vez que o ponto estava esclarecido (não necessariamente duma vez, mas ao menos para o momento), passamos pela diferenciação de x2 sem mais problemas. De novo, ele disse que nunca tinha visto aquela derivação antes — e talvez tenha sido nesse ponto que explicou algo do tipo “eu não preciso saber isso para o exame”.

O ponto geral aqui é que os testes de nível A ficaram mais fáceis, e as escolas têm a tendência de ensinar só o que cai na prova. Se apenas uma dessas afirmações fosse verdadeira, não haveria tanto problema. Eu não teria nada contra testes de nível A mais fáceis se os jovens com talento recebessem instrução mais profunda do que o teste exige (se bem que, como argumentei mais acima, o professor que ensina só o que cai na prova está equivocado em seus próprios termos, pois seus alunos se sairiam melhor se não tivessem instrução apenas sobre o que cai na prova); e eu não me oporia demais a ensinar apenas o que cai na prova se a prova fosse bem dura.

E quanto a diferenciar ex? Ora, depois de dois começos em falso chegamos à expressão:

equation-3

Perguntei o que poderíamos fazer com ex+h. Precisei dar várias dicas até que ele chegasse a exeh. Então perguntei o que poderíamos fazer com exehex. Com mais várias dicas, ele chegou à resposta, mas tive de perguntar o que ele faria com uvu. De qualquer forma, chegamos a:

equation-4

Decidi salientar somente que o último limite era a derivada de ex em 0. Também salientei que o argumento inteiro, até o momento, também funcionava para a função ax, qualquer que fosse o valor positivo de a. Desenhei algumas figuras para diferentes ax, mostrando que algumas cruzavam o eixo y com inclinação menor que 1 e outras com inclinação maior que 1, e que ex cruzava o eixo y com inclinação igual a 1. Ele me perguntou por que a inclinação era exatamente 1 para ex, o que se revelou boa oportunidade de tentar explicar: ele estava entendendo as coisas ao contrário; a constante e tinha sido escolhida exatamente para que a inclinação fosse 1. [Veja a seção “O número e”.] (Claro, a pergunta, do jeito que ele a fez, faria sentido se tivéssemos definido e de alguma outra maneira, mas não acho que era o caso. Quando eu estava na escola, me lembro disso como sendo a definição de e, e me lembro que me senti ligeiramente desconfortável com a definição.)

Houve muito mais na nossa conversa, mas não tenho muito mais a dizer sobre ela. Eu acidentalmente caí numa derivação da regra do produto, que de novo acho que ele nunca tinha visto. Isso era parte da minha preparação para chegar à fórmula da integração por partes. Quando terminei, passei em revista uns dois exemplos. Um dos exemplos era x∙senx de 0 a π/2. [Ele achou que cos(π/2) era √2/2, aliás, mas se saiu OK quando usamos graus no lugar de radianos.] Chegamos à resposta:

equation-5

Eu então me senti incomodado porque não fui capaz de ver por que a resposta tinha de ser 1. Ainda não consigo parar de pensar nisso.

Também discuti a integração de logx pelo método que chamo de chute-e-ajuste. Você chuta x∙logx, pois uma parte do que a regra da cadeia te dá está correta, e daí pode lidar com a outra parte. Ao diferenciar x∙logx, chega a logx + 1. “O que fazemos agora para nos livrar desse 1?” Ele sugeriu x∙logx + 1. Tentamos isso, vimos que não funcionava, e daí chegamos à resposta certa.

Ele conseguiu integrar xex entre a e b sem nenhuma ajuda, e por isso acho que pegou a ideia básica, embora eu não sei se vai guardá-la. [Veja a seção 6.]

Outra coisa que descobri foi que ele vacilava bastante na regra da cadeia. Quando lhe perguntei o que a regra da cadeia dizia, não sabia do que eu falava. Por fim, consegui um vislumbre de reconhecimento ao escrever:

equation-6

Mas a ideia de que, quando você quer diferenciar ex^3, primeiro finge que x3 é uma variável única com relação ao que está diferenciando, e então corrige o que acabou de fazer ao multiplicar pela derivada de x3 — essa ideia era completamente estranha para ele. [Veja a seção 7.] Vimos alguns exemplos, mas ele precisará de reforço mais à frente. Foi outro exemplo da ideia geral deste artigo: se você deixa para lá a compreensão do que está acontecendo e se concentra apenas nas manipulações mecânicas, esquecerá até mesmo as manipulações mecânicas. {FIM DO ARTIGO}


{2}/ Apêndice: Matemática de nível A

468970428No Reino Unido, o jovem conclui o ensino médio e entra num college para estudar tópicos de nível avançado, que são resumidos como “tópicos de nível A”. Em geral, passa dois anos numa dessas escolas, estudando pelo menos três matérias — por exemplo, matemática, física e história. Feito isso, presta um exame, chamado de “exame de nível A”, e pode tirar nota A*, A, B, C, D ou E (da maior para a menor). Uma vez que tenha feito o teste, se candidata a uma ou várias universidades; os jovens com as melhores notas conseguem vaga nas melhores universidades. No Brasil, seria como se ele saísse do ensino médio e entrasse num cursinho bem forte, onde estudaria (no caso da matemática) cálculo diferencial e integral, equações diferenciais, números complexos, álgebra linear, estatística — enfim, estudaria o que estuda nos dois primeiros anos de faculdade. Só então faria um teste, semelhante ao vestibular da Fuvest, e usaria sua nota para arranjar uma vaga numa universidade.


{3}/ Apêndice: Integração por partes

Não é um tópico à parte, mas sim uma técnica de integração (que é a arte de achar a área delimitada pela curva de uma função, pelas linhas verticais x = a e x = b, e pelo eixo X). A regra da integração por partes é:

equation-8

Essa regra é consequência direta da regra pela qual o matemático acha a derivada do produto de funções f(x)g(x). É uma regra útil, pois, com frequência, achar a solução do lado direito da igualdade é muito mais fácil que achar a solução do lado esquerdo. Por exemplo, como o matemático acha a integral indefinida a seguir?

equation-9

Para aplicar a regra da integração por partes, iguala x a f(x) e senx a g’(x), e daí já pode montar o lado direito da igualdade:

equation-10

 

Agora, só falta achar a integral indefinida ∫cosxdx, que é fácil: basta lembrar que a derivada de senx é cosx, e daí, pelo teorema fundamental do cálculo, sabe que:

equation-11

Aqui, C é uma constante qualquer. O matemático então substitui ∫cosxdx por senx na igualdade mais acima, e por fim chega a:

equation-12

Como pode usar isso num caso mais prático? Para ficar no exemplo mencionado por Gowers no artigo, como usar isso no intervalo entre x = 0 e x = π/2?

equation-13

 

Para visualizar melhor o resultado, o matemático pode compor um gráfico; a área pintada entre a curva de xsenx e o eixo x é equivalente a um quadrado de lados iguais a 1 unidade.

save

O gráfico de x sen(x)


{4}/ Apêndice: “Dos primeiros princípios”

Demonstrar algo a partir dos primeiros princípios significa demonstrar algo sem a ajuda de nenhum teorema posterior aos primeiros princípios. Por exemplo, se f(x) = x2, então f’(x) = 2x. Esse resultado pode ser encarado como um teorema. Como o matemático pode demonstrá-lo a partir dos primeiros princípios? Terá de recorrer à definição mais básica de derivada:

equation-14

 

No formulário acima, o redator usou a ideia usual de limite. (Se quisesse usar o sistema dos números hiper-reais, bastaria considerar h um infinitésimo positivo ou negativo; veja mais sobre isso aqui.)

No gráfico abaixo, o matemático desenha a curva de x2 e a reta tangente a x2 quando x = 3; a inclinação da reta tangente (= derivada) é igual a 2∙3 = 6.

save-2


{5}/ Apêndice: O número e

Eis uma versão muito simplificada da história do número e, contada com notação matemática atual (e convencional): no século 17, os matemáticos procuravam uma função cuja derivada fosse a própria função, isto é, uma função f tal que f(x) = f’(x) para todo valor real de x. A certa altura das investigações, acharam que essa função provavelmente seria uma função exponencial de base a para algum valor específico de a; no fim das contas, esse valor específico de a ganhou o nome de e (de “exponencial”). O leitor deve notar que eles ainda não sabiam o valor de e.

Então disseram: existe uma função f, dada pela fórmula ex, tal que f(x) = f’(x) para todo x. Com a notação de Leibniz:

equation-15

Isso é também um jeito de dizer que, quanto x = 0, f(x) vale 1 e a inclinação de f(x) é igual a 1.

Como o leitor repete os passos dos matemáticos do século 18? Começa presumindo que existe uma constante e; a partir da pressuposição, usa os primeiros princípios para calcular a derivada de f:

equation-16

Antes de continuar, traduz o que significa ex+h: é ex · eh. Com isso, reescreve o limite acima e faz as devidas simplificações.

equation-17

 

Reconhece o seguinte: para que f(x) seja igual à sua derivada f’(x), é obrigatório que o limite da última linha acima seja igual a 1. Sendo assim, o número e, caso exista, deve satisfazer a igualdade a seguir:

equation-18

Agora o leitor vai se desviar bastante da história: se o leitor possui uma calculadora científica, com a qual possa calcular limites, já tem tudo o que é necessário para calcular o valor de e. Começa presumindo que e = 1:

equation-19

Então, e não pode ser igual a 1. Presume que e = 2:

equation-20

 

Esse resultado diz que e deve ser maior que 2. Será que e é igual a 3?

equation-21

Então, e é maior que 2 e menor que 3. Usando o mesmo método, atribui vários valores para e: 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8. Descobre que e está entre 2,7 e 2,8. E assim vai. Se tiver paciência, basta seguir esse método para obter o valor de e com a precisão possível em vista da precisão da calculadora científica:

equation-22

E o leitor traduz assim o que Gowers explicou ao rapaz: a derivada de ex é igual a ex não porque a constante e tenha propriedades mágicas, mas porque ela foi calculada especificamente para que a derivada de ex fosse ex. De fato, os matemáticos já provaram que e é a única constante com essa propriedade, e portanto f(x) = Aex (sendo A um número real arbitrário) é o único conjunto de funções cuja inclinação da reta tangente à função num ponto x qualquer (= derivada) é igual ao valor da função naquele ponto.

A função f(x) = e^x (em azul) é a única função do tipo a^x tal que a derivada de f no ponto x = 0 é igual a 1 (em vermelho)


{6}/ Apêndice: A integral de xex no intervalo entre a e b

Aqui, Gowers e o rapaz usaram de novo a técnica da integração por partes, como na seção 3. Fizeram f(x) = x, e daí f’(x) = 1; e fizeram g’(x) = ex, e daí g(x) = ex. Com isso, basta aplicar a técnica:

equation-23

 


{7}/ Apêndice: A regra da cadeia

É uma regra com a qual o matemático calcula a derivada de uma composição de duas funções. Por exemplo, a função h, composta com as funções f e g:

equation-24

Se essa relação vale para todo x, então a derivada de h(x) é:

equation-25

As duas linhas dizem a mesma coisa: uma foi escrita com a notação de linha e a outra com a notação de Leibniz. O estudante pode recorrer a um exemplo para visualizar tudo isso melhor: se fizer f(x) = x3 e g(x) = x2 + 1, daí h(x) = f(g(x)) vira:

equation-26

E a derivada de h(x) vira:

equation-27

Isso porque a derivada de f é 3x2 e a derivada de g é 2x. Agora, e se f(x) = ex, g(x) = x3 e h(x) = f(g(x))?

equation-28


{8}/ Apêndice: O teorema fundamental do cálculo

Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], e se A é uma função tal que A’(x) = f(x) para todo x dentro de [a, b], então:

equation-29

Em palavras: no eixo x, considere o intervalo entre x = a (inclusive) e x = b (inclusive). Agora, gostaria de calcular a área entre a curva de f e o eixo x no intervalo [a, b]. Calcular integrais (isto é, calcular áreas delimitadas por curvas) às vezes é dificílimo. Contudo, se consegue achar uma função A tal que a derivada de A seja igual a f, daí calcular a integral fica facílimo: basta obter o valor de A para x = b, obter o valor de A para x = a, e daí tirar A(a) de A(b): esse é o valor da integral de f no intervalo [a, b].

Você também pode denotar a expressão à direita na igualdade acima assim:

equation-30

Ou assim:

equation-31

{FIM}


Observações:

1. Publiquei este artigo pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 29, junho de 2013, pág. 50. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. Caso queira ler um curso de introdução ao cálculo diferencial e integral por meio do sistema dos números hiper-reais, que é um jeito extraordinário de abordar o cálculo, clique aqui.

Uma história de cabeças de bagre


A história, da forma como a ensinam nas nossas escolas públicas, ainda é em grande parte uma história de cabeças de bagre: reis e rainhas ridículos, líderes políticos paranoicos, generais ignorantes — o entulho trazido pelas correntes históricas. Raramente mencionam os homens e mulheres que mudaram tudo, que são os grandes cientistas e matemáticos.

Martin Gardner (1914-2010), jornalista americano especializado em matemática, mencionado por G. Simmons no livro Calculus Gems (1992)

Leitor: Não há autores sobre-humanos

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Todo autor, sem perceber o que está fazendo, inclui certa ideia num texto sem que antes tenha preparado o leitor — pois o autor presume que seu leitor conhece a ideia. Só que o leitor não conhece, e a passagem na qual a ideia aparece soa confusa, talvez truncada. É por isso que não existe livro de matemática perfeito. Se existisse, existiria também um autor que tem perfeita consciência, a cada linha, a cada parágrafo, do que seu leitor já sabe e do que ainda não sabe. Mas um autor desses seria sobre-humano.

Desse modo, o esquema abaixo mostra como, no fim das contas, o estudante acabará lendo seus livros. Para entender o capítulo 2 do livro 2, terá de ler os capítulos 1 e 2 do livro 1, além do capítulo 1 do livro 2. Só depois disso poderá voltar ao livro 1 e entender perfeitamente o capítulo 3. Para entender o capítulo 1 do livro 3, terá de ler os capítulos 1 a 4 do livro 1 e os capítulos 1 a 5 do livro 2. Curiosamente, só poderá compreender bem o capítulo 7 do livro 1 depois de ter lido os capítulos 1 a 6 do livro 1, 1 a 7 do livro 2, e 1 a 2 do livro 3. E assim por diante.

livros

Onde arranjar tais esquemas? Até onde sei, não estão à venda. Então, o estudante só tem duas saídas: a primeira delas é pedir socorro a um professor competente, que já tenha lido muitos livros, e que saiba diagnosticar o problema do aluno para sugerir um combinado de vários capítulos de vários livros. A segunda me parece mais produtiva, que é desenvolver a capacidade de dizer: “Ei! Eu vinha lendo este livro sem problemas, mas agora estou com dificuldades. Visto que não entendi as palavras e locuções tais e tais, suponho que me faltam os conceitos tais e tais, ou conceitos correlacionados com eles. Preciso de outros livros.” Isso é melhor do que declarar: “Eu sou burro mesmo”, fechar o livro, e desistir. {FIM}


Observações:

1. Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 51, abril de 2015, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. A ilustração foi elaborada pelo artista gráfico Henrique Arruda.

Conjuntos: Os alicerces da matemática

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Muitos dos textos mais importantes que a humanidade escreveu contêm símbolos como ∈, ⊆, e ∅ nas primeiras páginas do capítulo 1. Nesta reportagem especial, quatro professores mostram as conexões da teoria dos conjuntos com a álgebra, a geometria, a lógica.


{1}/ Não cai no Enem, mas é importante

Um grupo de alunos do ensino médio entra na sala de aula e vê o professor sentado à mesa, já esperando; na lousa, há uma única expressão:

equation-1

Quem não está familiarizado com o estado atual do ensino básico talvez imagine que acontecerá algo mais ou menos assim:

(a) Os alunos se acomodam e, a certa altura, encerram as conversas e passam a olhar para o professor, à espera de esclarecimentos.

(b) Alguém não aguenta de curiosidade e acaba perguntando: “Professor, o que é isso? Parece difícil!”

(c) Alguém examina a expressão por um tempinho e diz, em voz alta e com gosto: “Oba! Adoro estudar o modo como duas curvas se interceptam!”

(Na seção 2, verá diversas maneiras de interpretar a expressão.)

Bem, em muitas classes Brasil afora não vai acontecer nada disso. Os alunos vão bater os olhos na expressão, registrar o fato de que não a compreendem, e usar isso como justificativa para continuar conversando, para assistir a um vídeo qualquer no YouTube (via celular), para jogar; vão agir com o propósito descarado de fazer o professor perceber que não conseguiu despertar a curiosidade de ninguém. “Houve um tempo”, diz Marco Bassetto, professor de matemática na escola Pueri Domus, em Campinas (SP), “em que a simples presença do professor em sala de aula era suficiente para que os alunos parassem o que estavam fazendo e começassem a prestar atenção. Hoje, o aluno olha para o professor com um olhar do tipo ‘o cara que fala um monte de coisas sobre as quais não entendo nada’, do tipo ‘isso é muito chato, vou jogar videogame’.” Esse tempo, diz Marco, nem foi há tanto tempo assim: há uns 20 anos, se a classe fosse minimamente disciplinada, esperaria alguma informação sobre o conjunto A com algum interesse.

Se Marco tem o propósito de passar alguma ideia importante da teoria dos conjuntos, começa com um problema. Eis algo do tipo que projetaria no quadro branco, para ficar à espera dos alunos:

(i) Os animais que ninguém consegue ver durante o crepúsculo são cinza.

(ii) Os vizinhos não gostam das coisas que os mantêm acordados.

(iii) Qualquer coisa que dorme pesadamente ronca ruidosamente.

(iv) Os vizinhos gostam de animais que podem ver durante o crepúsculo.

(v) Todos os elefantes dormem pesadamente.

(vi) Qualquer coisa que ronca ruidosamente acorda os vizinhos.

Problema: O que você pode concluir a respeito dos elefantes?

O que Marco puder passar sobre a teoria dos conjuntos, usando esse problema como desculpa, vai passar; mas, assim que os alunos perdem o interesse pelo problema, o que não costuma demorar mais que meia hora, Marco interrompe as explicações sobre a teoria e provoca a classe de alguma maneira — por exemplo, propõe um problema correlato. E assim, de problema em problema, de provocação em provocação, tenta manter os alunos interessados; enquanto dura o interesse, passa a teoria que é possível passar naqueles minutos. [Para uma discussão do problema dos elefantes, veja a seção 2.] Ele tem inveja dos professores de inglês, que podem separar os alunos por competência e formar turmas mais fluentes. “Como eu gostaria de fragmentar minhas turmas”, diz Marco. “Seria bom ter dois níveis para o primeiro ano do ensino médio, dois para o segundo… Percebe?” Uma classe mais avançada compreende melhor a importância de descobrir de que se trata o conjunto A.

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Os monstros do MMM. Quase todos os professores do ensino básico ficam pouco à vontade para conversar sobre a teoria dos conjuntos. Eles sabem que a teoria é importante. Sabem que, se um estudante não a domina, não consegue compreender direito ideias mais sofisticadas: relações e funções, cálculo diferencial e integral, álgebra linear, grupos e morfismos, topologia, lógica, entre tantas outras. Sabem que a teoria dos conjuntos serve para discutir as bases da matemática que já existe, e serve também como uma espécie de cimento com o qual adicionam novas porções de matemática à matemática que já existe. Já ouviram falar da frase do matemático alemão Hermann Weyl (1885-1955): a matemática não é a ciência das quantidades, ou mesmo a ciência dos padrões, mas sim “a ciência do ∈”. “O grande lance da matemática”, diz Alexandre Casassola Gonçalves, professor no departamento de física e matemática da USP em Ribeirão Preto (SP), “é encontrar certos conjuntos e certos elementos dentro desses conjuntos. Isso resume bem o trabalho do pesquisador.”

Ao mesmo tempo, contudo, os professores sabem que todo mundo conhece um pouco da teoria (mesmo que não tenha consciência disso), pois a ideia de conjunto talvez seja a mais primitiva da matemática — talvez seja a mais primitiva da mente humana. “Ninguém pode comunicar um raciocínio, por mais simples que seja, sem recorrer à ideia de conjunto”, diz Alexandre. A própria locução “um raciocínio” remete ao conjunto dentro do qual estão os raciocínios aos quais uma pessoa pode recorrer. Então o estudante, diante das primeiras explicações sobre a teoria dos conjuntos, se rebela e pensa: “Por que o professor está complicando uma coisa tão óbvia com esse monte de símbolos matemáticos?”

Para adicionar uma pitada de sal ao desconforto, os professores do ensino básico se lembram do movimento da matemática moderna (MMM). A começar na década de 1960, muitos professores acharam que a matemática escolar estava distante demais da pesquisa atual, o que era verdade. Acharam que as escolas de nível básico deveriam ensinar temas mais atuais, o que era ótima ideia. Mas o modo como fizeram isso foi um desastre. O currículo da escola básica ainda está distante demais da matemática atual, e continua sendo uma ótima ideia mostrar ao aluno o que significa de fato ser um matemático contemporâneo. Contudo, se alguém diz, “Ei! Tive uma ideia! Que tal ensinar a teoria dos conjuntos melhor, assim nossos alunos conseguem ler textos de autores mais recentes, e sobre temas mais sofisticados?”, daí todo mundo recorda o MMM e foge correndo pela saída de emergência mais próxima. Se o professor de matemática fosse um polvo, durante a fuga ele até soltaria tinta preta atrás de si.

Além disso, o Enem não ajuda em nada. “Lanço um desafio a quem ainda acha que o movimento da matemática moderna faz sentido”, diz Marco Bassetto. “Ao longo desses 17 anos de Enem, encontre cinco questões que exijam exclusivamente o domínio da teoria dos conjuntos.” Marco chama a atenção para um fenômeno curioso: o responsável pelo currículo do ensino básico é o Ministério da Educação, e para o MEC a teoria dos conjuntos é essencial, a julgar pela documentação que deixa disponível no website. Quem prepara o Enem é o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), uma autarquia subordinada ao MEC. Mas, Brasil afora, para o bem e para o mal, os responsáveis pela educação de jovens no ensino médio estão seguindo o Inep. “O Enem tomou conta do ensino médio.”

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Ciências matematizadas. Existe um subconjunto de todos os alunos cujos elementos se interessam bastante por conjuntos. Seus elementos são os estudantes que adoram matemática e os que têm a ambição de passar num vestibular difícil ou num concurso público. “Alguns de meus alunos”, diz Gustavo Quevedo Carvalho, do Colégio Militar de Porto Alegre (RS), “já descobriram que a teoria dos conjuntos tem tudo a ver com lógica, e como nos concursos públicos caem questões de lógica, eles se interessam pelos conjuntos.” Gustavo cita uma questão típica:

Problema. Sabe-se que existe pelo menos um gato que é cachorro; e sabe-se também que todo cachorro é rato. Portanto, necessariamente:

(a) Todo rato é cachorro.

(b) Todo rato é gato.

(c) Algum gato é rato.

(d) Nada que não seja rato é gato.

(e) Algum gato não é rato.

No Colégio Militar, mesmo os alunos que não conhecem direito a teoria dos conjuntos sabem que, se fossem mais versados na teoria, resolveriam uma questão dessas mais velozmente. “Procuro mostrar que, se uma pessoa conhece melhor os fundamentos da teoria dos conjuntos, ela consegue organizar as ideias e resolver problemas.” (Veja a seção 2.) Outro jeito de mostrar isso, que funciona bem mesmo com alunos imediatistas, é recorrer a problemas de probabilidade. Em pouco tempo o aluno percebe como é difícil compreender as ideias da probabilidade sem a teoria dos conjuntos, e, ao contrário, como é mais fácil compreendê-las com os conjuntos. Diz Marco Bassetto: “Começando com um problema de probabilidade, aí sim dá para falar sobre união, intersecção, complemento, diferença.” (Sobre o professor Marco, veja a seção 3.)

Qualquer que seja o estilo do professor e da escola, contudo, depois que o jovem entra na faculdade, topa com conjuntos aos montes; o processo de matematização da ciência está ocorrendo a ritmo cada vez maior. Livros sobre ecologia já lembram livros de matemática, com gráficos e fórmulas em abundância; um capítulo do excelente livro O Gene Egoísta, do zoólogo Richard Dawkins, trata apenas de teoria dos jogos, e o vocabulário lembra um texto sobre conjuntos. Até a filosofia atual está bastante matematizada; é difícil acompanhar uma discussão sobre identidade ao longo do tempo, por exemplo, sem conhecer bem a teoria dos conjuntos. Além disso, como os matemáticos recorrem à teoria dos conjuntos sempre, os símbolos que usam por fim vão parar nas páginas de livros de cognição, economia, mecânica dos fluidos, metafísica.

Por que os matemáticos são tão obcecados pela teoria dos conjuntos? Ora, quando conseguem expressar uma ideia com elementos da linguagem dos conjuntos, ela fica em bases bastante firmes. Por exemplo, a ideia de círculo. O estudante tem sobre a mesa do escritório um caderno com folhas quadriculadas, além de régua e compasso. Ele tem de abrir o compasso e colocar a ponta seca num ponto cujas coordenadas são comprimentos irracionais. E agora? Esse compasso é real ou imaginário? Se for real, não pode desenhar o círculo, pois a linha que vai desenhar tem largura e altura (a tinta, ou o grafite, tem largura e altura); mas a linha que perfaz um círculo não pode ter dimensões. E como pode pôr o compasso num ponto de coordenadas irracionais? Como vai acertá-lo em cheio?

Então, a folha de papel, o compasso e a régua são apenas objetos com os quais pode raciocinar a respeito de objetos abstratos. Mas, se é assim, para que papel, régua e compasso? Por que se atrapalhar com objetos? Em vez disso, por que não considera o círculo C como um conjunto de pares ordenados (xy) tais que (x – a)2 + (y – b)2 – r2 = 0? Ora, isso é um conjunto muito mencionado em livros sobre a teoria dos conjuntos: C = {(xy) é um ponto no plano cartesiano tal que sua distância do ponto (ab) é r}. Com essa providência, uma entidade misteriosa, o ponto sem dimensão, virou um par ordenado de números reais; o plano virou todos os pares ordenados possíveis; um círculo virou um subconjunto específico do plano, aquele cujos pontos satisfazem determinada equação; os pontos que pertencem ao círculo C viraram elementos de um subconjunto; e, ainda por cima, se houver uma reta L que corta o círculo em dois pontos, tais pontos estão no subconjunto C ∩ L.

E assim vai. Agora a intersecção entre duas figuras geométricas virou a intersecção entre dois conjuntos. Os matemáticos são obcecados pela teoria dos conjuntos porque é difícil, senão impossível, imaginar um jeito mais simples, e ao mesmo tempo mais preciso, de pôr uma ideia matemática no papel. {❏}


{2}/ O conjunto A, mais elefantes, ratos, cachorros, gatos

O conjunto A. Como um estudante (condinome YdO) realizou o trabalho de decodificação? Em primeiro lugar, notou as chaves {}; em textos sobre matemática, elas quase sempre indicam um conjunto. (YdO sublinhou duas vezes a locução “quase sempre” porque, às vezes, indicam outra coisa.) E, se as chaves indicam um conjunto, ele foi batizado de A. YdO notou a estrutura tão popular: A = {propriedade comum a todos os elementos deste conjunto}.

Depois YdO passou para a descrição dos elementos do conjunto. Ela inclui um par ordenado de números reais, (x, y), tal que tanto x quanto y satisfazem ao mesmo tempo as duas equações à direita dos dois pontos. (Os dois pontos “:” podem ser lidos como “tal que” ou “tais que”; o mesmo vale para a barra vertical “|”. O símbolo ∧ é o conectivo lógico “e”, cujo funcionamento é mais estrito que o da palavra “e”.)

Um bom passo é plotar o gráfico das duas equações no mesmo plano cartesiano, e foi o que YdO fez ao produzir a figura 1.

Figura 1

Olhando o gráfico, YdO teve a certeza de que podia ver o conjunto A, se quisesse, como um conjunto com dois pontos, ou com dois pares ordenados do tipo (xy), sendo que os valores de cada variável deveriam satisfazer as duas equações ao mesmo tempo. (Uma das equações representa um círculo de raio unitário com centro na origem; a outra representa uma reta com gradiente negativo.) Como achar tais valores?

YdO usou a segunda equação para expressar x em função de y.

equation-2

Depois, colocou essa informação na primeira equação, a do círculo, para ver se descobria alguma coisa sobre y.

equation-3

Com tais manipulações algébricas, descobriu os dois valores de y que tornam válidas as duas equações ao mesmo tempo. E daí simplesmente substituiu y na segunda equação pelos dois valores que descobriu, um de cada vez, e calculou os dois valores correspondentes de x: para y = 0, x = 1; para y = 12/13, x = –5/13. Com isso, representou o conjunto A de um jeito mais específico, mas completamente equivalente ao jeito anterior, a partir do qual começou:

equation-4

Essa linha funciona se o leitor já souber que o conjunto A se refere aos pares ordenados (ou aos pontos) que validam um sistema de equações simultâneas. Aliás, YdO descobriu que poderia descrever o conjunto A com o sistema em si:

equation-5

Muito estudante bateria os olhos nessa expressão e diria: “A letra A se refere a um sistema com duas equações simultâneas.” Poucos diriam: “A letra A se refere ao conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfazem esse sistema de equações simultâneas.” Não interessa se o sistema não tem solução: de qualquer modo, ele representa um conjunto. Para ilustrar essa ideia, YdO mudou um pouco a segunda equação para criar o conjunto B.

equation-6

Então plotou as duas equações no mesmo sistema de coordenadas retangulares, e produziu a figura 2.

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Agora as duas curvas não se interceptam. YdO escreveu o que isso significa:

equation-7

Em palavras, B é o conjunto vazio, e isso significa, em linguagem cotidiana, que os sistema não tem solução.

Se YdO quisesse, poderia ter representado A e B como sendo a interseção de dois outros conjuntos: um deles, com os pontos do círculo; o outro, com os pontos da reta. Por exemplo:

equation-8

YdO descobriu que ninguém precisa mencionar os conjuntos num texto, se não quiser. Em geral, o matemático usa a teoria dos conjuntos para aperfeiçoar suas descobertas e anotá-las de um jeito próximo da mais abstrata perfeição, mas nem sempre ele menciona os conjuntos ao escrever, por exemplo, a passagem de um artigo. Talvez, tendo já estudado os conjuntos C, D, e ACD, escrevesse algo assim: “Um círculo de raio igual a 1 e com centro na origem intercepta a reta y = ⅔(1 – x) em dois pontos, nos quais os valores de x são –5/13 e 1.” O leitor, se não tiver treinamento adequado, não pode imaginar que, para escrever essa frase, o autor estudou três conjuntos até ficar bem familiarizado com eles. Diz Felipe Fujita, professor no Colégio Albert Sabin em São Paulo (SP) e autor de livros didáticos: “É bom notar uma coisa importante: os matemáticos que desenvolveram a teoria dos conjuntos estavam interessados nas ideias. Eles introduziram a linguagem e o simbolismo por necessidade prática, mas o mais importante são as ideias. O mesmo deve ocorrer no ensino.”

O matemático já sabe que, ao usar a geometria de coordenadas como referência, pode transformar qualquer assunto da geometria num assunto da teoria dos conjuntos. E foi isso o que os matemáticos fizeram ao longo do século 20. Hoje, um livro sobre geometria lembra um livro sobre teoria dos conjuntos, e é bem provável que contenha o símbolo ∈ na primeira página do capítulo 1.

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O problema dos elefantes. Aqui, o estudante (codinome YdO) começou listando os conjuntos que talvez lhe fossem úteis. São eles:

A = {As coisas que acordam os vizinhos.}

B = {As coisas que dormem pesadamente.}

C = {As coisas que roncam ruidosamente.}

D = {Os animais visíveis durante o crepúsculo.}

E = {Os elefantes.}

F = {As coisas das quais os vizinhos gostam.}

G = {As coisas de cor cinza.}

Com a afirmação (i), YdO descobriu que qualquer coisa que não esteja em D está em G, isto é:

equation-9

(Notação: DC é o complemento do conjunto D, isto é, contém os elementos do conjunto universo, ou do universo do discurso, que não são elementos de D.)

E, repetindo o procedimento, foi descobrindo coisas sobre os outros conjuntos:

equation-10

Visto que DF, YdO pôde deduzir que FCDC, e daí pôde encadear todos os subconjuntos um dentro do outro:

equation-11

E com isso pôde afirmar, com certeza, que todos os elefantes são cinza. (Na verdade, se quisesse, poderia afirmar mais: “Todos os elefantes dormem pesadamente, roncam ruidosamente, e acordam os vizinhos; estão entre as coisas que os vizinhos detestam, e são invisíveis durante o crepúsculo. Talvez seja assim porque eles são cinza.”) Pensando no assunto, viu como operações lógicas complicadas, na beiradinha da confusão, se tornam quase que automáticas com a linguagem dos conjuntos.

Ratos, cachorros e gatos. O primeiro passo é dar nome aos conjuntos, e foi o que um estudante (codinome YdO) fez: R = {ratos}, C = {cachorros}, G = {gatos}. Daí o enunciado diz que (GC) ⊇ {x}, isto é, que existe pelo menos um elemento x no conjunto da intersecção entre G e C. Além disso, CR. Logo, {x} ⊆ (RG). (Veja a figura 3.) Resposta (c).

figura-3

YdO notou que, no enunciado, a palavra “necessariamente” é importante. Por exemplo, a resposta (e): talvez exista algum gato que não seja rato, mas não necessariamente, pois, visto que o enunciado não fornece informações sobre isso, YdO não tem como apostar na validade de (e). {❏}


{3}/ Marco Bassetto, fruto do MMM

Em razão da organização lógica da matéria principal, na seção 1, não foi possível explicar adequadamente quem é o professor Marco Bassetto, e talvez o leitor fique com uma impressão errada dele. Então, o redator colocou uma explicação aqui, à parte.

Na adolescência, Marco teve a “sorte”, para usar uma palavra dele, de ter tido aulas com um professor que punha em prática as ideias do movimento matemática moderna: “Tive uma formação sólida em teoria dos conjuntos, desenho geométrico, e geometria dedutiva”, diz Marco. “Isso me encantou e me levou a ser matemático.” Quando começou a dar aulas, até tentou a mesma abordagem, mas desistiu logo, e adotou a prática de introduzir os assuntos por meio de problemas. “Isso é só uma escolha, que funciona melhor quando a classe é jovem e heterogênea. Numa classe assim, prender a atenção dos alunos é mais difícil. Então, não há nada de muito especial nessa escolha: acho que depende da classe.”

Marco apresenta o problema e, em seguida, introduz toda a teoria que for possível introduzir enquanto a classe está interessada no problema. Mas isso não significa que, se a classe perde o interesse logo, ele desiste de passar a teoria, pois não desiste: ou apresenta um problema melhor na mesma hora, ou vai atrás de um problema melhor para apresentá-lo em outra ocasião. “Ao final do ensino médio”, diz Marco, “não importa a abordagem que o professor escolha, o aluno tem de saber comunicar as ideias matemáticas oralmente e por escrito. Inclusive, ele tem de ser capaz de expressar suas ideias com a linguagem dos conjuntos. Eu acho que, ao longo do ensino médio, consigo mostrar a eles que a linguagem dos conjuntos é muito mais eficiente para passar certas ideias do que qualquer outra opção; mas confesso que, até chegar a esse ponto, por causa da abordagem que escolhi, as aulas são mais bagunçadas. Em todo caso, meu objetivo último é produzir alunos que não tenham medo de encarar um problema matemático.” {❏}


{4} ESPECIAL: Quase tudo sobre conjuntos

• Uma palavra sobre a palavra “teoria”: é o conjunto de axiomas e de teoremas decorrentes de tais axiomas, segundo as regras de inferência próprias da teoria. Neste texto, “teoria dos conjuntos” significa, portanto, “a compilação dos axiomas e dos teoremas a respeito de conjuntos”.

• A teoria dos conjuntos vem com uma linguagem própria, onde pode ver símbolos como ⊆ ou ∈. Sem essa teoria e essa linguagem, muitas vezes o matemático nem consegue expressar o que está estudando. É por isso que professores de matemática ficam aflitos, para dizer o mínimo, quando percebem que um estudante não entende nada de conjuntos.

• Como você pode definir um conjunto? Pode mencionar uma característica comum a todos os elementos. (Ou uma propriedade comum a todos os elementos, como os matemáticos costumam dizer.) Assim, no conjunto das coisas azuis, estão o céu (num dia ensolarado e sem nuvens) e o peixinho fêmea Dori (do desenho animado Procurando Nemo). Ou pode simplesmente listar seus elementos: {a, 7, §}. Mas, em geral, o matemático está interessado em conjuntos cujos elementos têm uma propriedade comum. Felipe Fujita, professor no Colégio Albert Sabin e autor de livros didáticos, explica o porquê: imagine o conjunto A de todos os paralelogramos; dentro desse conjunto, está o conjunto B com todos os retângulos e o conjunto C com todos os losangos, de modo que a intersecção de B com C resulta num subconjunto de A com todos os quadrados. (Veja a figura 4.) “Uma vez que isso esteja claro, daí você pode provar que as diagonais dos paralelogramos se intersectam no ponto médio de cada uma delas. E com isso pode concluir que as diagonais dos quadrados, dos retângulos e dos losangos se intersectam no ponto médio de cada uma delas!” Se você demonstra que certa afirmação vale para os membros de um conjunto, automaticamente demonstra que ela vale para qualquer subconjunto desse conjunto. Mas, para tirar proveito disso, tem de visualizar claramente qual é o conjunto e quais são seus subconjuntos.

figura-4

• A ideia de conjunto aparece na linguagem coloquial. Se diz a alguém: “Considere os números racionais maiores que 1”, está dizendo (por exemplo): “Considere o conjunto {xQ : x > 1}.”

xQ significa “x é elemento do conjunto Q”. (Pode imaginar o símbolo ∈ como sendo a primeira letra da palavra “∈lemento”.) Quanto a {xQ : x > 1}, significa: “tenho aqui um conjunto de todos os elementos xx é elemento do conjunto Q, mas tal que x é maior que 1”.

• Um conjunto pode ser elemento de outro. (Imagine um saco de balas dentro de uma bolsa.) Assim, {h} ∈ {%, 5, {h}}, mas h não é elemento de {%, 5, {h}}, isto é, h ∉ {%, 5, {h}}; ao contrário, h ∈ {h}.

• Dois conjuntos são iguais se têm os mesmíssimos elementos. Isso vale mesmo que você os especifique de modo distinto. Por exemplo, {todos os números racionais maiores que 1} = {xQ : x > 1}. A ordem dos elementos não interessa: {2, t} = {t, 2}.

• O conjunto {3, 3, 3, 3, 3} é igual ao conjunto {3, 3, 3, 3, …} e igual ao conjunto {3}, pois eles só têm um elemento, que é 3. Pode usar a seguinte analogia: “Embora eu possa pôr uma cópia de livro no meu conjunto, não posso pôr a mesma cópia mais de uma vez.” Agora, se o formato faz diferença, daí o conjunto {3, ③, 𝟛} é diferente do conjunto {3}. Usando a mesma analogia: “Coloquei no meu conjunto três cópias distintas do mesmo livro.”

• Na matemática atual, o conjunto vazio é perfeitamente válido. (No começo do século 20, não era assim.) Pode representá-lo com { } ou com ∅. Visto que dois conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos, todo conjunto vazio é o mesmo conjunto vazio: só existe um ∅. Outro jeito de dizer isso: visto que todo conjunto vazio não tem elementos, você não consegue distinguir um do outro; logo, não tem escolha senão declarar que são o mesmo conjunto. Não escreva, portanto, “um conjunto vazio”; escreva sempre “o conjunto vazio”.

• Você pode especificar o conjunto vazio com uma propriedade que não existe. Por exemplo: {xQ : x2 = 2} = ∅, pois não existe número racional x cujo valor seja √2. E por que alguém definiria o conjunto vazio de modo tão complicado? Ora, ao iniciar uma investigação, o matemático começa especificando um conjunto ou vários, sem saber que, lá na frente, descobrirá que um ou vários deles são o conjunto vazio.

• O jeito certo de definir o conjunto vazio é: ∅ = {x : xx}. A definição vale por causa da lei de Leibniz, que é um dos axiomas da lógica matemática: para todo x, x = x.

• Não confunda o número zero com o conjunto vazio; 0 é um número real; ∅ é um conjunto. (É possível definir os números inteiros por meio de conjuntos, mas isso é outra história.)

• Subconjuntos: pode dizer que o conjunto A é subconjunto de B se cada elemento de A, sem exceção, também é elemento de B. Quando for assim, diga que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B”; em símbolos: AB. Pode dizer também “B é superconjunto de A” ou “B contém A”; em símbolos, BA. (Note a semelhança entre ⊇ e ≥, assim como entre ⊆ e ≤. Mais precisamente, a ideia da notação “AB” é esta: “A é subconjunto de B ou talvez seja igual a B.”) Como consequência lógica de tais definições, todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Além disso, por definição, ∅ é subconjunto de todo conjunto.

• Na verdade, ∅ é subconjunto de todo conjunto não exatamente por definição. Se ∅ não fosse subconjunto de um conjunto C, deveria haver um elemento em ∅ que não está contido em C; e daí haveria um elemento em ∅. Mas não há elementos em ∅. O único jeito de sair desse imbróglio é declarar ∅ como subconjunto de todo conjunto. Mais uma vez, os matemáticos tomaram uma decisão sensata para preservar a consistência da matemática.

• Pode agora definir mais precisamente a igualdade entre conjuntos. Para quaisquer conjuntos A, B, diga que A = B se, e somente se, AB e BA. Em palavras, todo elemento de A deve ser elemento de B, e todo elemento de B deve ser elemento de A.

• Mais uma vez: tais definições não são firulas de matemáticos obcecados por definições difíceis para ideias óbvias. O matemático está sempre investigando conceitos que não conhece bem. A certa altura, prova que AB; meses depois, descobre um jeito de provar que BA. Só nessa ocasião consegue dizer que A = B.

• E quanto à expressão AB? O que você diz com tais símbolos? Existe uma ambiguidade aqui. O significado correto da expressão é “todos os elementos de A estão contidos em B, mas há pelo menos um elemento de B que não está contido em A”; em outras palavras, embora A seja subconjunto de B, AB. Nem todo mundo usa o símbolo ⊂ dessa maneira; alguns autores usam ⊂ como se fosse ⊆. Como regra geral, se está investigando os conjuntos A e B, e sabe que A está inteiramente contido em B, mas não conhece os dois perfeitamente, escreva AB. Quando tiver a certeza de que existe um elemento de B que não está contido em A, daí passe a escrever AB, se quiser. (Leia “AB” assim: “O conjunto A é subconjunto próprio do conjunto B.”)

• Use N para denotar o conjunto dos inteiros positivos, Z para o dos inteiros, Q para o dos racionais, R para o dos reais e C para o dos complexos. Depois que estiver clara a ideia de sistema (um sistema é um conjunto e as relações e funções que pode realizar com os elementos desse conjunto), pode daí escrever NZQRC, e isso significa, por exemplo, que QC. Mais uma vez: tome cuidado com o que pretende dizer com tais afirmações; nem toda afirmação válida no sistema dos números reais é válida no sistema dos números complexos, e vice-versa. (Muita gente acha que, se pode escrever RC, então qualquer afirmação que possa fazer sobre os elementos de R também pode fazer sobre os elementos de C. Essa crença é falsa.)

• Chegou a hora dos símbolos ∩, ∪, –, C, isto é, chegou a hora da álgebra típica dos conjuntos.

• Se escreve AB = C, quer dizer que o conjunto C contém todos os elementos de A, ou de B, ou de ambos. Leia “o conjunto C é resultado da união de A com B”, ou algo nessa linha. (É por isso que pode chamar C de “conjunto união”.) Pode visualizar isso de um jeito bem matemático com uma tabela de pertinência; na tabela a seguir, 1 significa “está dentro do conjunto acima” e 0 significa “está fora do conjunto acima”.

ABC = AB
000
011
101
111

Veja um jeito de interpretar a tabela: “Se não é elemento de A e não é elemento de B, não é elemento de C. Se não é elemento de A, mas é elemento de B, então é elemento de C. Se é elemento de A, mas não é elemento de B, então é elemento de C. Se é tanto elemento de A quanto elemento de B, então é elemento de C.”

Figura 5
Figura 5

Pertinência: É a qualidade ou condição de pertencente. Uma tabela de pertinência é uma tabela que mostra qual elemento pertence a qual conjunto.

• Alguns autores, em vez de 1 e 0, usam D e F, de “dentro” e “fora”. Mas 1 e 0 remetem à lógica binária, à álgebra de Boole, aos números na base 2. Note que, na tabela, você está contando na base 2, pois 0, 1, 2, 3, na base 10, vira 00, 01, 10, 11 na base 2. Com a álgebra dos conjuntos, você está um passo mais perto de compreender os computadores, que são máquinas especialmente desenhadas para manipular números na base 2.

• Como consequência lógica da tabela acima, para todo conjunto A, B, C, valem as igualdades: AA = A, A ∪ ∅ = A, AB = BA (a união de conjuntos é comutativa), (AB) ∪ C = A ∪ (BC) (a união de conjuntos é associativa). Vale a pena montar uma tabela de pertinência para verificar a validade da última igualdade, e fique de olho na figura 6 mais abaixo.

ABCABBC(AB) ∪ CA ∪ (BC)
0000000
0010111
0101111
0111111
1001011
1011111
1101111
1111111

Visto que as duas últimas colunas (à direita) são idênticas, pode dizer que as duas expressões no topo de cada coluna se equivalem; pois, se um elemento está fora de (AB) ∪ C, está fora de A ∪ (BC); se está dentro de (AB) ∪ C, está dentro de A ∪ (BC). E isso é um jeito de dizer que os dois conjuntos (AB) ∪ C e A ∪ (BC) são idênticos em tudo e por tudo.

Fig. 6

• Visto que a união de conjuntos é comutativa e associativa, pode dispensar os parênteses, isto é: (AB) ∪ C = A ∪ (BC) = ABC. Se quiser denotar a união de n conjuntos A1, A2, …, An, simplesmente escreva:

equation-12

• Com a expressão C = AB, você diz que formou o conjunto C com os elementos que tanto fazem parte de A quanto fazem parte de B também. (Pode chamar C de “conjunto intersecção”, se quiser; veja a figura 7.) A tabela de pertinência é:

ABC = AB
000
010
100
111
Figura 7
Figura 7

• Consequências lógicas, que pode verificar facilmente com tabelas de pertinência: se A, B, C denotam conjuntos, AA = A; A ∩ ∅ = ∅; AB = BA (a intersecção de conjuntos é comutativa); (AB) ∩ C = A ∩ (BC) (a intersecção de conjuntos é associativa). Sendo assim, (AB) ∩ C = A ∩ (BC) = ABC. Além disso, como já fez antes, se quiser denotar A1A2A3 ∩ ··· ∩ An, escreva:

equation-13

• Se quiser um truque visual para recordar o significado dos símbolos de ∪nião e de i∩tersecção, ei-lo.

• Existem duas igualdades famosas, e pode facilmente prová-las com tabelas de pertinência. Uma delas é (AB) ∩ C = (AC) ∪ (BC). A outra é (AB) ∪ C = (AC) ∩ (BC). (Ambas estão na figura 8.)

Figura 8B
Figura 8B
Figura 8A
Figura 8A

• Às vezes você quer saber a diferença entre dois conjuntos A e B. Com AB, você denota o conjunto que pode formar com os elementos que estão apenas em A, mas não em B. (Às vezes, um autor denota essa ideia com A\B; veja a figura 9.) A tabela de pertinência de A\B e de B\A é:

ABA BB – A
0000
0101
1010
1100
Figura 9B
Figura 9: A\B
Figura 9A
Figura 9: B\A

• Pode chamar o conjunto AB de “conjunto diferença” ou “conjunto da diferença”, se o leitor souber do que se trata. Se não souber, diga a frase por completo: “O conjunto da diferença entre A e B.” Note que o conjunto da diferença entre B e A, que deve denotar com BA, só será igual ao conjunto AB se A = B; nesse caso, A B = B A = ∅.

545993180

• O conjunto universo é o conjunto com todos os elementos que talvez pudessem estar nos conjuntos os quais está estudando. Pode chamá-lo de ξ, se quiser. (É a letra grega qui minúscula.) Apesar do nome, “conjunto universo”, você faz bem se limitar ao máximo os tipos de elementos que pretende imaginar dentro de ξ. Em 1901, Bertrand Russell demonstrou que o conjunto de todos os conjuntos contém a si mesmo, já que é um conjunto, e que isso leva a um paradoxo; desde então os matemáticos passaram a tomar cuidado com o conjunto universo ξ: em especial, passaram a evitar qualquer conjunto que seja elemento de si mesmo. (Hoje, a definição correta de conjunto diz que ele não pode ser elemento de si mesmo, isto é, se x é um conjunto, então xx.) Assim, se estiver lidando com números, talvez possa considerar ξ como o conjunto dos reais, ou quem sabe o dos complexos. Se estiver lidando com cores, pode considerar ξ como o conjunto de todas as cores, ou então como o conjunto com todos os conjuntos finitos de cores (faça seu leitor notar que ξξ). Se tomar cuidados semelhantes a esses, daí pode usar uma propriedade muito útil de ξ: ele contém todos os elementos com os quais está lidando, e todos os conjuntos os quais está estudando são subconjuntos de ξ; e se você provar que certa propriedade vale para ξ automaticamente provou que ela vale para todos os subconjuntos de ξ. (Exceção natural feita ao subconjunto ∅; pois de que jeito um conjunto sem elementos pode ter elementos com alguma propriedade, como, por exemplo, a propriedade de ser par?)

• Agora já pode compreender a ideia do complemento de um conjunto A: é o conjunto que pode formar com todos os elementos que não pertencem a A. Pode denotá-lo com o símbolo AC (ou com A‘); quanto à definição correta, ela é: AC = ξA, isto é, o complemento de A é o conjunto de todos os elementos de ξ (que você especificou previamente), exceto os elementos que fazem parte de A. (Veja a figura 10.)

figura-10

• Algumas consequências lógicas, que deve verificar com tabelas de pertinência: ξC = ∅; ∅C = ξ; para todo A, (AC)C = A; para todo A, AAC = ∅ e AAC = ξ; além disso, Aξ = ξ e Aξ = A.

• Já está em condições de compreender uma ideia interessante a respeito de dois conjuntos A, B, ambos subconjuntos de um conjunto universo ξ: se AB, então BCAC. Pode provar isso com a tabela de pertinência a seguir, e ver a validade da implicação com a figura 11 (mais abaixo).

ABACBC
0011
0110
1001
1100

Na figura 11 (abaixo), o elemento rotulado com o algarismo 2 ilustra a segunda linha da tabela: se não é elemento de A nem de B, é elemento tanto de AC quanto de BC. O elemento 3 ilustra a terceira linha: se não é elemento de A, mas é elemento de B, então é elemento de AC, mas não elemento de BC. A quarta linha da tabela não faz sentido, porque AB, e por isso todo elemento de A é elemento de B. (Se essa quarta linha for válida, então AB.) Por fim, o elemento 5 ilustra a quinta linha da tabela: se é elemento de A, é também de B, e portanto não é elemento nem de AC nem de BC. Pode olhar a questão assim, se quiser: de certo modo, o conjunto AC é maior que o conjunto BC, ou no mínimo igual.

Note que, neste caso, ou um elemento pertence a A, ou a B, ou a ξ. Jamais acontece de um elemento estar fora de ξ, pois você imaginou a situação toda para que assim fosse. Por exemplo, se está estudando uma questão da teoria dos números, pode fixar o conjunto universo como sendo o conjunto C dos complexos. Jamais terá de decidir o que fazer com filhotes de hipopótamo nascidos no Parque Nacional Kruger, na África do Sul, pois está estudando números, e não filhotes de hipopótamo.

figura-11

• Às famosas leis de De Morgan, a partir das quais os matemáticos fazem milagres: para quaisquer dois conjuntos A, B, ambos subconjuntos de um conjunto universo ξ, (AB)C = ACBC; além disso, (AB)C = ACBC. Pode ver por que tais leis valem com as tabelas de pertinência a seguir e a figura 12. (Na figura, os números associados aos pontos se referem à respectiva linha da tabela: o ponto 3 se refere à linha 3, etc. A mesma figura 12 vale para as duas tabelas.)

(AB)C = ACBC

ABAB(AB)CACBCACBC
0001111
0110100
1010010
1110000

(AB)C = ACBC

ABAB(AB)CACBCACBC
0001111
0101101
1001011
1110000
figura-12

• Usando as leis de De Morgan, mais o fato de que (AC)C = A, pode dizer que AB = (ACBC)C e que AB = (ACBC)C. Com essas duas igualdades, pode provar, desta vez com a álgebra dos conjuntos, as duas igualdades que provou mais acima com tabelas de pertinência [(AB) ∩ C = (AC) ∪ (BC); (AB) ∪ C = (AC) ∩ (BC)].

• Dizem os matemáticos que a álgebra dos conjuntos tem a propriedade de frutificar o resultado das demonstrações matemáticas. Pois, se você prova que (AB) ∩ C implica algum fato matemático, então também provou que (AC) ∪ (BC) implica esse mesmo fato.

• Como a palavra “implica” sugere, há uma conexão entre a lógica e a teoria dos conjuntos. Na verdade, especialistas no assunto dizem que conseguem verter toda afirmação lógica em linguagem dos conjuntos, e muitas vezes, ao realizar tal versão, ficam com as ideias mais claras.

Por exemplo, imagine uma função polinomial f : RR do tipo a seguir:

equation-14

Nessa equação, ai é uma constante real. (Na linguagem dos conjuntos, aiR.) Daí, se fizer ai = 0 para todo i ímpar, pode provar que f(–x) = f(x) para todo x, isto é, pode dizer que f se transforma numa função par (ao plotá-la, verá que o eixo das ordenadas vira eixo de simetria; como exemplo, imagine uma parábola do tipo y = x2). Isso porque, se k é um inteiro positivo par, xk = (–x)k, já que (–1)(−1) = 1. Como poderia expressar isso com a notação típica da lógica? Pode, por exemplo, declarar a seu leitor: “Com a letra A, represento todas as funções polinomiais em x nas quais os expoentes de x são todos pares; com a letra B, represento todas as funções pares.” E daí pode afirmar:

equation-15

Essa expressão, “A implica B”, é no fundo uma afirmação sobre conjuntos. Eis um jeito de pensar nisso: pode imaginar um conjunto universo ξ com todas as funções, dentro do qual há um subconjunto B com todas as funções pares, dentro do qual há um subconjunto A com todas as funções polinomiais nas quais ai = 0 para todo i ímpar, de modo que ABξ. Daí a expressão “A implica B” se transforma simplesmente em BA, isto é, B contém A. (Neste caso, você sabe que B contém A e que é diferente de A, e por isso até poderia usar a expressão BA. Mas, em muitas investigações, uma informação dessas não estará tão clara; é por isso que deve registrar “A implica B” com BA, querendo dizer: “Sei que B contém A, mas não estou afirmando peremptoriamente que A e B são diferentes, pois talvez sejam iguais.”) Agora vai desenhar uma tabela de pertinência um pouco diferente, com a letra V para verdadeiro e a letra F para falso:

ABB A (ou A B)
00V
01V
10F
11V

(Usou as letras V e F debaixo de BA porque a expressão BA não denota um conjunto específico, mas sim uma comparação entre conjuntos; não faz sentido falar, portanto, em pertinência.)

Com a segunda linha da tabela, disse que, se um elemento não está nem A nem em B, então ele não te dá nenhuma informação sobre se B contém A, e portanto talvez B contenha A. (Essa linha da tabela de pertinência é mera convenção.) Para ficar no exemplo, com a segunda linha, disse que, se uma função não pertence a B ou a A, isso não te autoriza a dizer que BA. Com a terceira linha, disse que, se um elemento está em B, mas não está em A, então ele te passa a informação de que B talvez seja maior que A e inclua A, e por isso a implicação permanece válida. (Convenção também; note que, em situações de pesquisa, nas quais o matemático está tateando, talvez A = ∅.) No exemplo, com a terceira linha, disse que, se uma função é par, mas não é uma função polinomial em x tal que ai = 0 para todo i ímpar, isso não o autoriza a dizer que tais funções polinomiais não são pares; logo, a implicação continua válida. Com a quarta linha, disse que, se um elemento está em A, mas não em B, obviamente B não contém A, o que torna a implicação inválida. No exemplo, significa dizer que, se alguém achasse uma função polinomial em x, não par, tal que ai = 0 para todo i ímpar, daí esse contraexemplo invalidaria a implicação. (Ninguém vai achar uma função assim.) Com a quinta linha, disse que, se um elemento arbitrário de A também está em B, então todo elemento de A está em B, e portanto B contém A. No exemplo, foi exatamente isso o que fez ao redigir a prova de que função polinomial em x tal que ai = 0 para todo i ímpar é uma função par: provou que BA.

• Muitas outras tabelas de pertinência são equivalentes à tabela que acabou de examinar. Por exemplo, já sabe que, se BA, então ACBC. (Ou, o que é a mesma coisa: se AB, então ¬B ⟶ ¬A; o nome dessa última afirmação é contrapositiva.) Logo, sabe o seguinte: se f é uma função polinomial em x, mas não é par, então ela contém pelo menos um ai ≠ 0 com i ímpar. Provou um teorema e, com a teoria dos conjuntos, ganhou outro extra.

• Uma imagem mental útil: para interpretar AB, pense: “Se a implicação for verdadeira, caso uma lampadinha de A se acenda, significa que uma lampadinha de B se acendeu também, pois todas as lampadinhas de A são ao mesmo tempo lampadinhas de B. Contudo, não necessariamente todas as lampadinhas de B são lampadinhas de A, e por isso AB não necessariamente implica B A.”

503169100

• Alexandre Casassola diz que, muitas vezes, é mais fácil entender uma proposição lógica com a linguagem dos conjuntos. Cita um exemplo, que viu no livro Set Theory and Logic (Dover, 1979):

1. A maioria das crianças gosta de chocolate.

2. Eu não sou uma criança.

3. Logo, eu odeio chocolate.

A conclusão não se segue das premissas, o que pode ver claramente num diagrama de Venn (figura 13): imagine o conjunto universo ξ com todos os seres humanos, o subconjunto C de ξ com todas as crianças, e o subconjunto G de ξ com todos os que gostam de chocolate. Se chama o elemento “eu” de x, daí sabe que xCC, e isso significa que x talvez esteja no conjunto GC, ou talvez esteja no conjunto ξ − (CG); isto é, sabe que x talvez não goste de chocolate, ou talvez adore.

figura-13

• Muitas vezes, é importante estudar todos os subconjuntos de um conjunto. Bem, com a sigla 𝒫(F), você denota o conjunto com todos os subconjuntos do conjunto F; 𝒫(F) se chama “conjunto potência de F” ou “conjunto das partes de F”. Se F tem n elementos, daí 𝒫(F) tem 2n elementos. O melhor jeito de ver isso é, mais uma vez, contar na base 2, feito um computador. Suponha, por exemplo, que F = {b, c, d, e}; daí 𝒫(F) tem 24 = 16 elementos, como pode ver na tabela 1. (Nessa tabela, 0 agora significa “não considere o elemento acima” e 1 significa “considere o elemento acima”.)

Tabela 1

bcdeElemento de 𝒫(F)
0000
0001{e}
0010{d}
0011{d, e}
0100{c}
0101{c, e}
0110{c, d}
0111{c, d, e}
1000{b}
1001{b, e}
1010{b, d}
1011{b, d, e}
1100{b, c}
1101{b, c, e}
1110{b, c, d}
1111{b, c, d, e}

• Note que d é elemento de F, e pode denotar isso com dF; mas {d} é subconjunto de F, {d} ⊆ F, e {d} é também elemento de 𝒫(F), {d} ∈ 𝒫(F). Mas {d} ∉ F e d ∉ 𝒫(F).

• O cardinal de um conjunto é o número de elementos do conjunto. O cardinal de F é 4, isto é, #F = 4. O cardinal de 𝒫(F) é 24 = 16, isto é, #𝒫(F) = 16. Portanto, o número de subconjuntos de um conjunto é o cardinal do conjunto potência.

• Como a tabela 1 deixa claro, o cardinal do conjunto potência de F (com 4 elementos) vale 24 porque, tendo quatro casas para contar de 0000 a 1111 na base 2, você consegue contar de 0 a 15 na base 10, e assim consegue rotular 16 subconjuntos. É por isso que, se um conjunto A tem n elementos, 𝒫(A) tem 2n elementos.

• É possível falar da cardinalidade de conjuntos infinitos, assim como do conjunto potência de conjuntos infinitos, mas esse é um assunto complicado demais para este texto.

• Agora, a ideia de produto cartesiano, que é tão importante na matemática pura e aplicada. Imagine n conjuntos A1, A2, A3, …, An. O produto cartesiano A1 × A2 × A3 × ⋯ × An = ∏Ai é o conjunto de todas as ênuplas ordenadas (a1, a2, a3, …, an), nas quais a1A1, a2A2, a3A3, …, anAn.

• Exemplo: se H = {a, b, c, d} e K = {1, 5, 7}, daí o produto cartesiano H × K é o conjunto de pares ordenados a seguir:

equation-16a

• Note que, se HK, (H × K) ≠ (K ×H).

• Pode definir H × K assim: H × K = {(h, k) : (hH) ∧ (kK)}.

• Se qualquer um dos conjuntos Ai for ∅, o produto cartesiano ∏Ai é o próprio ∅, pois não pode selecionar um elemento de ∅ para montar uma ênupla. Se nenhum desses conjuntos Ai for ∅, e pelo menos um deles for infinito, o produto cartesiano ∏Ai é um conjunto infinito também. Por último, se nenhum desses conjuntos Ai for ∅, e se todos eles tiverem número finito de elementos, o produto cartesiano ∏Ai contém #(A1) · #(A2) · #(A3) · ⋯ · #(An) elementos.

• Definição de função, usando os conjuntos H e K como guia: uma função f é um subconjunto do produto cartesiano H × K tal que, para cada hH, sem exceção, existe exatamente um par ordenado (h, k) pertencente a f.

• Portanto, para que f exista, os dois conjuntos H e K têm de ser conjuntos não vazios; cada elemento de H, sem exceção, faz parte de um e apenas um par ordenado (h, t); sendo assim, se (h, a) = (h, b), então a = b. Pode ver na figura 14 uma das funções possíveis entre as doze funções contidas em H × K.

equation-16
Figura 14

• Chame o conjunto H de “domínio” ou “conjunto de partida”; o conjunto K, de “contradomínio” ou “conjunto de chegada”; e chame de “imagem” o subconjunto com os elementos de K que entraram nalgum par ordenado (h, k) ∈ f.

• Agora, pode generalizar um pouco mais a ideia de função usando, como referência, o produto cartesiano ∏Ai. Se nenhum Ai = ∅, pode definir a função h assim: é um subconjunto de ∏Ai tal que, para cada elemento a1A1, sem exceção, existe uma e apenas uma ênupla ordenada (a1, a2, a3, …, an) ∈ ∏Ai. Assim, A1 fica sendo o domínio e ∏Ai, o contradomínio.

• Matemáticos gostam de definir funções dessa maneira, pensando nelas como subconjuntos de produtos cartesianos, pois assim dispensam a palavra “regra”, tão comum na definição escolar de função. Muitas vezes, eles conhecem os conjuntos envolvidos na função, e até sabem montar as ênuplas que são elementos da função, mas não conhecem a regra, que é justamente o que estão tentando descobrir. Com essa definição baseada em conjuntos, eles também ficam dispensados de apresentar a função como se fosse uma máquina de fazer salsichas, já que é péssima a analogia da máquina que transforma, por exemplo, x em y; pois tal analogia presume que a função faz alguma coisa com os elementos do domínio, quando ela na verdade não faz nada; ela simplesmente correlaciona cada elemento do domínio, sem exceção, com exatamente um dos elementos do contradomínio. Só isso.

• Por muitas décadas os matemáticos usaram a ideia de par ordenado e de ênupla ordenada, mas algo os incomodava. Não existe, na teoria dos conjuntos e na linguagem dos conjuntos, a ideia de “direita” e “esquerda”, “antes” e “depois”. Afinal, na teoria dos conjuntos, os conjuntos {a, b} e {b, a} são o mesmo conjunto, pois cada elemento de um é elemento do outro, e vice-versa. Só em 1921 Kazimierz Kuratowski, matemático polonês, foi capaz de criar a definição que todos usam até hoje:

equation-17

Em razão dessa definição inteligente, agora (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d. Note que Kuratowski não recorreu a palavras como direita e esquerda. Você pode adaptar essa definição para ênuplas com qualquer número de elementos, e até mesmo para ênuplas com número infinito de elementos.

• Até 1933, muitos matemáticos achavam que seria impossível dar uma fundação rigorosa para a teoria da probabilidade. Foi quando o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov publicou o tratado Fundações da Teoria da Probabilidade, e deu ao assunto uma base rigorosa — elaborada de cabo a rabo com a teoria dos conjuntos. A primeira frase importante do livro é: “Seja E um conjunto de elementos ξ, η, ζ, …, que vamos chamar de eventos elementares, e seja R o conjunto dos subconjuntos de E; vamos chamar os elementos de R de eventos aleatórios.” É assim que começa um dos textos mais importantes na história da humanidade. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 50, março de 2015, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Felipe Dreher e Renato Mendes.

3. As figuras 3, 4, 10, 11, 12 e 13 foram feitas pelo artista gráfico Henrique Arruda.

4. O título da seção 4, “Quase Tudo Sobre Conjuntos”, é um patente exagero; penso que perdoável numa publicação paradidática de caráter jornalístico. O livro de Paul Halmos sobre teoria dos conjuntos, Naive Set Theory, tem pouco mais de 100 páginas e é difícil.

O lamento de um matemático

467640713


Artigo de: Paul Lockhart

Paul Lockhart é matemático, e por escolha própria dá aulas para crianças numa escola particular de Nova York (Estados Unidos). Escreveu a primeira versão deste lamento em 2002, com a qual ficou famoso na internet; sete anos depois, em 2009, transformou o lamento num livro ao adicionar um capítulo inédito, “Exultação”, no qual ajuda o leitor a ver como um matemático se sente bem ao explorar a realidade matemática.

A parte mais triste das reformas didáticas são as tentativas de tornar a matemática interessante e de torná-la relevante na vida das crianças. Ninguém precisa tornar a matemática interessante — ela já é mais interessante do que podemos suportar! E sua glória é sua completa irrelevância na vida cotidiana. É por isso que é tão divertida!


stock-illustration-67039759-musica-musica-notaUm músico acorda de um pesadelo terrível. No sonho, vivia numa sociedade que tinha tornado o ensino de música obrigatório. “Ajudamos nossos alunos a competir melhor num mundo cada vez mais cheio de sons.” Educadores, escolas, e o governo assumem o comando desse projeto vital. Encomendam estudos, formam comissões, tomam decisões — tudo sem consultar um único músico ou compositor.

Ora, todos sabem que músicos põem suas ideias no papel na forma de partitura; logo, as linhas e pontinhos pretos devem servir de base para a “linguagem da música”. É imperativo, portanto, deixar os estudantes fluentes nessa linguagem — senão, como podem obter algum grau de competência musical? Seria ridículo esperar que uma criança cante uma canção ou toque um instrumento sem que antes tenha ótima base sobre a teoria e a notação musicais. As pessoas no comando do projeto vital consideram tocar e ouvir música tópicos avançadíssimos (sem falar de compor uma peça original), que devem ser adiados até a faculdade — quem sabe até a pós-graduação.

Quanto à escola primária e secundária, sua missão é treinar os estudantes no uso dessa linguagem — jogar os símbolos aqui e ali de acordo com um conjunto fixo de regras. “Na aula de música”, dizia um aluno, “tiramos nosso papel pautado, nosso professor coloca algumas notas na lousa, e nós as copiamos ou as transpomos para uma oitava diferente. Temos de nos certificar de que acertamos nas chaves e na tonalidade, e nosso professor verifica se nossas semínimas preenchem o compasso. Uma vez, ele nos deu um problema de escala cromática, e eu fiz tudo certinho, mas ganhei zero porque as hastes das minhas notas apontavam para o lado errado.”

Em sua sabedoria, os educadores logo percebem que podem dar esse tipo de instrução musical mesmo a criancinhas. Na verdade, se seu filho na terceira série ainda não decorou o círculo de quintas, isso é uma vergonha. “Vou ter de contratar um professor particular de música para meu filho. Ele simplesmente não se dedica à lição de casa. Diz que é chata. Fica lá, olhando pela janela, cantarolando musiquinhas para si mesmo, e compondo canções bobinhas.”

Nas séries mais avançadas, a pressão sobe muito mais. Afinal, os alunos devem se preparar para os exames padronizados e o vestibular. Precisam de aulas sobre escalas e tons, solfejo, harmonia, contraponto. “É muita coisa para estudar, mas mais tarde, na faculdade, quando finalmente começarem a ouvir tudo isso, vão apreciar todo o trabalho que tiveram até o ensino médio.” É óbvio que poucos estudantes se matriculam num curso que exija tanta música, de modo que só uns poucos vão ouvir os sons que os pontos pretos representam. Apesar disso, é importante que cada membro da sociedade reconheça um tom menor ou maior, ou uma passagem em fuga, independente do fato de que nunca ouvirão nada assim. “Para dizer a verdade, os alunos não são lá muito bons de música. Eles se entediam durante a aula, suas habilidades são péssimas, e mal consigo ler sua lição de casa. Quase todos não se interessam nem um pingo por música, e, para se livrar logo da chatice, se matriculam no menor número possível de cursos obrigatórios. Acho que há gente com dom para a música e gente sem nenhum dom. Eu tive uma aluna, contudo — cara, ela era sensacional! Suas páginas eram impecáveis: cada nota no lugar certo, caligrafia perfeita, sustenidos, bemóis, tudo lindo. Um dia, ela vai se transformar num baita músico.”

Ao acordar suando frio, o músico percebeu, com gratidão, que tudo aquilo era apenas um pesadelo louco. “É claro”, ele disse a si mesmo: “nenhuma sociedade reduziria uma forma de arte tão bonita e expressiva a algo tão estúpido e trivial; nenhuma cultura seria tão cruel com suas crianças a ponto de privá-las de um modo de expressão tão humano, tão natural, tão satisfatório. Que absurdo!”

* * *

stock-illustration-58101060-preocupado-meninoInfelizmente, nosso sistema atual de educação matemática é precisamente esse tipo de pesadelo. Se me pedissem para criar um sistema cujo propósito expresso fosse o de destruir na criança sua curiosidade natural e seu amor pelos padrões, não conseguiria fazer trabalho melhor do que aquele que já vem sendo feito; não teria a imaginação necessária para inventar métodos tão bons de desanimar alguém como os que estão na base de nosso sistema atual de educação matemática.

Todo mundo sabe que algo está errado. Os políticos dizem: “Precisamos de diretrizes mais elevadas.” As escolas dizem: “Precisamos de mais dinheiro e equipamentos.” Pedagogos dizem uma coisa, e professores, outra. Estão todos errados. As únicas pessoas que entendem o que está acontecendo são as que levam a culpa e que nunca são ouvidas: os alunos. Eles dizem: “As aulas de matemática são estúpidas e chatas.” Na mosca!

Matemática e cultura. A primeira coisa a entender é que a matemática é uma arte. A diferença entre a matemática e as outras artes, como a música ou a pintura, é que nossa cultura não a reconhece como arte. Todo mundo entende que poetas, pintores, músicos criam obras de arte e se expressam com palavras, imagens, sons. Nossa sociedade é generosa com os que usam a criatividade: ela vê arquitetos, cozinheiros, e até mesmo diretores de TV como artistas profissionais. Por que não os matemáticos?

Parte do problema é que ninguém tem a menor ideia do que os matemáticos fazem. Muitos acham que o matemático está de algum modo conectado com o cientista: talvez ele o ajude com as fórmulas, ou quem sabe forneça aos computadores números enormes. Não tenho dúvida de que, se fosse preciso dividir os habitantes do mundo entre “sonhadores poéticos” e “pensadores racionais”, quase todos colocariam os matemáticos entre os pensadores racionais.

No entanto, não há nada mais sonhador ou poético, nada tão radical, subversivo, e psicodélico quanto a matemática. Ela é tão surpreendente quanto a cosmologia ou a física (matemáticos conceberam os buracos negros muito antes que algum astrônomo achasse um), e permite maior liberdade de expressão que a poesia, a pintura, ou a música (que dependem muito das propriedades do mundo físico). A matemática é a mais pura das artes, assim como a mais incompreendida.

Permita-me explicar, portanto, o que é a matemática e o que os matemáticos fazem. Nada melhor que começar com a excelente descrição de Godfrey Harold Hardy (1877-1947):

“Um matemático, assim como um pintor ou poeta, é um criador de padrões. Se seus padrões são mais permanentes que os deles é porque são feitos de ideias.”

Então, os matemáticos se acomodam no sofá para criar padrões com ideias. Que tipo de padrão? Que tipo de ideia? Ideias sobre rinocerontes? Não, essas deixamos aos biólogos. Ideias sobre a linguagem e a cultura? Em geral, não. Coisas assim são complicadas demais para o gosto da maioria dos matemáticos. Se existe um princípio estético unificador na matemática, é este: simples é lindo. Matemáticos adoram pensar nas coisas as mais simples possíveis, e as coisas mais simples são imaginárias.

Por exemplo, se estou a fim de pensar sobre formas (como em geral estou), posso imaginar um triângulo dentro de uma caixa retangular.

primeira-figura

Eu me pergunto: o triângulo ocupa quanto da caixa? Dois terços, talvez? É importante que entenda que não estou falando desse desenho de um triângulo numa caixa. Nem estou falando de um triângulo de metal, que faz parte das vigas numa ponte. Não tenho em mente nenhuma finalidade prática ulterior. Estou apenas brincando. Matemática é isso — querer saber, brincar, divertir-se com a própria imaginação. Basta dizer que essa questão, quanto da caixa o triângulo ocupa, nem faz muito sentido no caso de objetos palpáveis. Mesmo o triângulo mais bem construído do mundo ainda é uma coleção complicadíssima de átomos que não param quietos, e ele muda de tamanho de um minuto para o outro [conforme a temperatura aumenta ou diminui]. Talvez você queira falar de medidas aproximadas. É aí que entra a estética da matemática. Medições aproximadas são complicadas, e como consequência a questão fica feia, pois depende de mil detalhes do mundo real. Que tal deixá-la para cientistas? Nossa questão matemática é sobre um triângulo imaginário dentro duma caixa imaginária. As bordas são perfeitas porque queremos que sejam perfeitas — é sobre esse tipo de objeto que prefiro refletir. Esse é um dos grandes temas da matemática: as coisas são o que você quer que elas sejam. Você tem infinitas opções, pois não há nenhuma realidade para atrapalhar.

Por outro lado, depois que faz suas escolhas (eu, por exemplo, posso optar por um triângulo simétrico, ou não), daí suas criações se comportam do modo como se comportam, quer goste disso ou não. Essa é a coisa mais extraordinária sobre criar padrões imaginários: eles conversam com você! O triângulo vai ocupar certa parcela da caixa, e eu não tenho nenhum controle sobre o tamanho da parcela. Existe um número nesse reino da imaginação; talvez seja dois terços, talvez não seja, mas não posso prefixar tal número. Tenho de descobrir qual é.

Então você brinca, e imagina o que lhe der na telha, e constrói padrões, e faz perguntas sobre eles. Mas como pode respondê-las? Não falo de ciência de jeito nenhum. Não há experimentos que possa fazer com tubos de ensaio e equipamentos e outros acessórios, e que lhe digam a verdade sobre o que é puro fruto de sua imaginação. A única forma de descobrir a verdade sobre a imaginação é usando a imaginação, o que significa trabalhar duro.

No caso do triângulo numa caixa, vejo algo simples e bonito:

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Se corto o triângulo em duas peças, como no desenho, posso ver que cada peça da caixa está cortada na diagonal por um dos lados do triângulo. Então, há tanto espaço dentro do triângulo quanto fora dele. Isso significa que o triângulo ocupa metade da caixa!

É com isso que um pedacinho de matemática se parece, e é essa a sensação que provoca. Essa breve narrativa é um exemplo da arte matemática: você faz perguntas simples e elegantes sobre suas criações imaginárias, e elabora explicações satisfatórias e bonitas. Não há nada como esse reino das ideias puras; ele é fascinante, é divertido, é grátis!

Agora, de onde tirei essa ideia? Como eu sabia desenhar aquela linha pontilhada? Como um pintor sabe onde colocar o pincel? Inspiração, experiência, tentativa e erro, pura sorte. Essa é a arte da coisa, a de criar esses belos poeminhas de pensamento, esses sonetos de pura razão. Há algo tão transformador nessa forma de arte! A relação entre o triângulo e o retângulo era um mistério, e em seguida uma linha pontilhada a tornou óbvia. A princípio eu não podia vê-la, mas de repente pude. De algum modo, fui capaz de criar algo belo e simples a partir do nada, e modifiquei a mim mesmo no processo. Não é isso o que é a arte em todo lugar?

É por isso que acho tão triste ver o que fazem com a matemática na escola. Essa aventura da imaginação, tão rica e fascinante, tem sido reduzida a um conjunto estéril de “fatos” a memorizar e procedimentos a seguir. Em lugar de uma pergunta simples e natural sobre formas, e de um processo criativo e gratificante de invenção e de descoberta, os alunos são tratados assim:

A fórmula da área do triângulo

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“A área do triângulo é igual à base vezes a altura, tudo isso dividido por dois.” Os estudantes têm de memorizar essa fórmula, para depois aplicá-la de novo e de novo em “exercícios”. Lá se foi a emoção, a alegria, e até mesmo a dor e a frustração do ato criativo. Não há mais nem mesmo um problema. A pergunta foi feita e respondida ao mesmo tempo, e para o aluno não sobrou nada a fazer.

Eu gostaria de deixar claro ao que estou me contrapondo. Não me contraponho às fórmulas, ou à memorização de fatos interessantes. No contexto certo, isso é bom, e cumpre seu papel, assim como estudar o vocabulário nos deixa mais capazes de criar poemas ricos e sutis. Mas não importa o fato de que os triângulos ocupem metade da caixa retangular na qual estão inscritos. O que importa é a bela ideia de cortar a caixa em duas com a linha pontilhada, e como essa ideia pode levar a outras realizações e inspirar outras ideias em outros problemas — coisas que a mera afirmação de um fato jamais lhe dará.

Ao retirar o processo criativo e mostrar apenas os resultados do processo, na prática eu garanto que ninguém vai se comprometer de verdade com a matéria. É como se te dissesse que Michelangelo criou uma bela escultura, mas não o deixasse vê-la. Como pode se inspirar com algo assim? (Claro, na matemática a situação é bem pior que essa, pois pelo menos entende que existe a arte da escultura, e que eu te impedi de apreciar uma escultura específica.)

Ao se concentrar no quê, e deixar de fora o por quê, reduzem a matemática a uma concha vazia. A arte não está na “verdade”, mas na explicação, no argumento. Você usa o próprio argumento para determinar a verdade conforme o contexto, e determinar o que está dizendo e o que pretende dizer. A matemática é a arte de dar explicações. Se você nega aos alunos a oportunidade de se envolver nessa atividade, de propor seus próprios problemas, de produzir suas próprias conjecturas e fazer suas próprias descobertas, de errar, de se frustrar com o processo criativo, e de remendar e editar suas próprias explicações e demonstrações, daí nega aos estudantes a matemática em si. Então, não, não estou reclamando da presença de fatos e fórmulas nas aulas de matemática: estou reclamando da falta de matemática nas aulas de matemática.

513428490Talhados para a arte. Caso seu professor de artes plásticas lhe dissesse que pintar significa preencher as regiões numeradas com as cores certas, você saberia que algo está errado. A cultura te diz o contrário — há museus e galerias, e há arte também na sua casa. A sociedade vê a pintura como um meio de expressão. Da mesma forma, se seu professor de ciências tenta convencê-lo de que a astronomia significa prever o futuro de uma pessoa com base na data de nascimento, você saberia que ele está doido — a ciência se infiltrou na cultura a tal ponto que quase todo mundo sabe um pouco sobre átomos e galáxias e as leis da natureza. Mas caso seu professor de matemática te dê a impressão de que a matemática trata de fórmulas e definições e decoreba de algoritmos (de forma expressa ou por omissão), quem pode ajudá-lo a ver o erro?

Esse problema cultural é um monstro que se autoperpetua: os alunos estudam matemática com seus professores, que a estudaram com seus professores, de modo que os mal-entendidos sobre ela se reproduzem indefinidamente. Pior, ao perpetuar essa pseudomatemática, ao enfatizar essa manipulação acurada mas sem sentido de símbolos, o sistema cria sua própria cultura e seu próprio conjunto de valores. Aqueles que se tornaram hábeis em pseudomatemática obtêm grande prazer com o próprio sucesso. A última coisa que querem ouvir é que a matemática tem tudo a ver com criatividade crua e com sensibilidade estética. Muito estudante de pós-graduação se sente fracassado quando descobre, depois de dez anos ouvindo que é “bom de matemática”, que não tem nenhum talento matemático real, e que na verdade era bom de seguir instruções. A matemática não tem nada a ver com seguir regras, mas com a criação de novas regras.

E ainda nem mencionei a falta de crítica à matemática na escola. Em nenhum momento a escola permite que os estudantes descubram que a matemática, como qualquer outro tipo de literatura, é criada por seres humanos para sua própria diversão; que eles submetem seus trabalhos de matemática à avaliação de outros seres humanos; que uma pessoa pode ter bom gosto matemático, e que pode desenvolvê-lo. Uma composição matemática é como um poema, e podemos perguntar se ela satisfaz nossos critérios estéticos: O argumento é sólido? Faz sentido? É simples e elegante? Me faz chegar perto do cerne da questão? É claro que não há nenhuma crítica acontecendo na escola — não há nenhuma arte sendo feita para criticar!

Por que não querem que nossas crianças aprendam a fazer matemática? Será porque não confiam nelas, ou porque acham a tarefa difícil demais? Pois acham que elas são capazes de elaborar argumentos e de chegar a conclusões sobre Napoleão — por que não sobre triângulos? Penso que nossa civilização (todos nós) não sabe o que é a matemática. Dão-nos a impressão de que é fria e altamente técnica, de que ninguém a pode entender — e isso é uma profecia autorrealizável, se é que já existiu alguma.

Já seria ruim o bastante se a cultura fosse apenas ignorante de matemática, mas a situação é pior: a cultura pensa que sabe o que a matemática é — e vive o equívoco grosseiro de que a matemática, de alguma forma, é útil para a sociedade! Isso já é uma enorme diferença entre a matemática e as outras artes. A cultura vê a matemática como um tipo de ferramenta para o cientista e o engenheiro. Todo mundo sabe que o poeta e o músico fazem poesia e música pelo prazer que elas lhes proporcionam, e para enriquecer e enobrecer o espírito humano (e daí sua virtual eliminação do currículo da escola pública). Mas não pode ser assim com a matemática — a matemática é importante.

Simplício: Você está tentando afirmar que a matemática não serve a nenhuma utilidade ou aplicação prática na sociedade?

Salviati: É claro que não. Estou sugerindo que, só porque algo resulta em consequências práticas, não significa que se resume a isso. Pode usar a música para conduzir exércitos para a batalha, mas não é por isso que as pessoas escrevem sinfonias. Michelangelo decorou o teto de uma capela, mas tenho a certeza de que ele tinha coisas mais elevadas em mente.

Simplício: Mas não precisamos que as pessoas estudem essas consequências úteis da matemática? Não precisamos de contadores e de carpinteiros e tudo o mais?

Salviati: Quantas pessoas realmente usam alguma dessa “matemática prática” que elas veem na escola? Você acha que os carpinteiros estão lá fora usando trigonometria? Quantos adultos se lembram de como dividir frações, ou resolver uma equação quadrática? Obviamente o atual método de adestramento prático não está funcionando, e por uma boa razão: ele é terrivelmente chato, e ninguém o usa de qualquer jeito. Então por que as pessoas pensam que esse método é tão importante? Não vejo qual bem está fazendo à sociedade, se seus membros andam por aí com vagas memórias de fórmulas algébricas e diagramas geométricos e claras memórias de as terem odiado. Poderia fazer algum bem, contudo, mostrar-lhes algo bonito e lhes dar a oportunidade de desfrutar o pensamento criativo, flexível, aberto. É o tipo de coisa que uma educação matemática verdadeira pode proporcionar.

Simplício: Mas as pessoas precisam da capacidade de calcular o saldo na conta-corrente, não é mesmo?

Salviati: Tenho a certeza de que a maioria das pessoas usa uma calculadora para a aritmética do dia a dia. E por que não usaria? É mais fácil e confiável. Mas o meu ponto não é que o sistema atual é terrivelmente ruim, e sim que poderia ser admiravelmente bom! A matemática deveria ser ensinada como uma arte pela própria arte. Os aspectos mundanos “úteis” surgiriam naturalmente, como um subproduto sem importância. Beethoven poderia facilmente escrever um jingle publicitário, mas quando estudava música sua motivação era criar algo bonito.

Simplício: Mas nem todo mundo é talhado para ser artista. E quanto às crianças que não são “gente de matemática”? Como elas se encaixariam no seu esquema?

Salviati: Se o sistema expusesse a todos à matemática em seu estado natural, com todos os desafios divertidos e as surpresas que isso implica, acho que haveria uma mudança dramática tanto na atitude dos alunos com relação à matemática quanto no significado da expressão “ser bom de matemática”. Estamos perdendo tantos matemáticos talentosos — gente inteligente e criativa, que corretamente rejeita o que lhes parece um assunto sem sentido e estéril. Essa gente é inteligente demais para desperdiçar seu tempo com baboseiras.

Simplício: Mas não acha que, se as aulas de matemática se parecessem mais com aulas de arte, muitas crianças simplesmente não aprenderiam nada?

Salviati: Mas elas já não aprendem nada! É melhor não haver aulas de matemática do que haver as aulas que conhecemos hoje. Pelo menos assim algumas pessoas teriam a chance de descobrir algo bonito por conta própria.

Simplício: Então você removeria a matemática do currículo escolar?

Salviati: Já foi removida! A questão é o que fazer com a casca insípida e oca que sobrou. É claro que eu preferiria substituí-la por um engajamento ativo e alegre com ideias matemáticas.

Simplício: Mas quantos professores de matemática sabem a matéria bem o bastante para ensiná-la desse jeito?

Salviati: Poucos, e isso é apenas a ponta do iceberg.

stock-illustration-9984415-isometric-sala-de-aulaA matemática na escola. Não há jeito mais confiável de matar o entusiasmo e o interesse num assunto do que torná-lo parte obrigatória do currículo escolar. Classifique o assunto como componente importante de testes padronizados e do vestibular e espere um pouco: o sistema de ensino vai sugar a vida dele. Comitês escolares não entendem o que é a matemática, nem educadores, autores de livros didáticos, editoras nem, infelizmente, a maioria dos professores de matemática. A abrangência do problema é tão grande que mal consigo pensar por onde começo.

Que tal começar com o desastre da “reforma da matemática”? Há muitos anos cresce a consciência de que algo está podre no reino da educação matemática. Já encomendaram estudos, montaram conferências e formaram centenas de comitês de professores, pedagogos e editores de livros didáticos para “resolver o problema”. Sem levar em consideração o interesse próprio da indústria livreira (ela lucra sempre que há uma flutuação mínima na política, pois pode vender edições “novas” de suas monstruosidades ilegíveis), tais reformadores sempre se enganam. Ninguém precisa reformar o currículo de matemática, pois ele tem de ser demolido.

Toda essa agitação e arrumação em torno de quais “tópicos” ensinar, ou qual notação usar, ou qual marca e modelo de calculadora os alunos devem comprar — pelo amor de Deus! Isso é como reorganizar as cadeiras no convés do Titanic! A matemática é a música da razão. Fazer matemática é se engajar num ato de descoberta e de conjectura, de intuição e inspiração; é estar num estado de confusão — não porque ela não faz sentido, mas porque você lhe deu sentido e ainda não entendeu como sua criação reagirá no fim das contas; é ter uma ideia inovadora; é se sentir um artista frustrado; é se sentir reverente, esmagado por uma beleza quase dolorosa; maldição — é estar vivo! Tire isso tudo da matemática e poderá organizar quantas conferências quiser: não fará nenhuma diferença. Doutores, passem o bisturi onde bem entender: seu paciente já está morto.

A parte mais triste dessas reformas todas são as tentativas de “tornar a matemática interessante” e de torná-la “relevante na vida das crianças”. Ninguém precisa tornar a matemática interessante — ela já é mais interessante do que podemos suportar! E sua glória é sua completa irrelevância na nossa vida cotidiana. É por isso que é tão divertida!

As tentativas de apresentar a matemática como relevante para a vida cotidiana inevitavelmente parecem forçadas e artificiais: “Vejam, crianças, vocês já sabem álgebra, então podem descobrir a idade de Maria se nós sabemos que ela está dois anos mais velha que duas vezes a idade que tinha há sete anos!” (Como se alguém teria acesso a esse ridículo fragmento de informação, e não à idade logo duma vez.) A álgebra não trata da vida cotidiana, mas de números e simetrias — o que a torna uma busca válida por si mesma:

“Suponha que me dão a soma e a diferença entre dois números. Como posso descobrir que números são esses?”

Eis uma pergunta simples e elegante, que não requer nenhuma edição para que pareça atraente. Os antigos babilônios gostavam de trabalhar com tais problemas, assim como nossos alunos. (E eu espero que também goste de pensar sobre ele!) Não precisamos nos desdobrar para dar relevância à matemática. Ela tem a mesma relevância da arte: a de ser uma experiência humana vívida.

De qualquer forma, você acha que as crianças querem coisas relevantes para a vida cotidiana? Realmente acha que algo prático como juro composto vai deixá-las excitadas? As pessoas gostam de fantasia, e isso é exatamente o que a matemática lhes pode prover — um alívio ao dia a dia, um paliativo à carga imposta pelo mundo cotidiano.

Um problema semelhante ocorre quando professores e autores sucumbem ao “bonitinho”. É quando, numa tentativa de combater a chamada “ansiedade à matemática” (uma das muitas doenças causadas pela própria escola), tentam transformar a matemática numa coisa “amigável”. Para ajudar os alunos a memorizar as fórmulas com as quais calcular a área e a circunferência do círculo, por exemplo, talvez invente essa história de cantar a musiquinha “o círculo é roda, não fica parado/ e o raio que parte do centro ele tem/ calculo sua área e fico ligado/ que é pi vezes o raio elevado ao quadrado”, ou alguma bobagem como essa. Mas por que não contar a história real? Por que não falar da luta da humanidade com o problema de medir curvas? De Eudoxo e Arquimedes e o método da exaustão? Da transcendência de π? O que é mais interessante: medir as dimensões aproximadas de um desenho em forma de círculo, usando uma fórmula que alguém lhe forneceu de antemão (e o fez memorizá-la e praticá-la de novo e de novo), ou ouvir a história do problema mais belo e fascinante de todos, e a história da ideia mais brilhante e poderosa na história da humanidade? Pelo amor de Deus! Estão matando nas pessoas o interesse pelos círculos!

Por que não damos a nossos alunos nem mesmo a chance de ouvir sobre essas coisas, sem mencionar a chance de realmente fazer um pouco de matemática e chegar a ter suas próprias ideias, opiniões, reações? Que outro assunto é ensinado sem qualquer menção à sua história, filosofia, desenvolvimento temático, critérios estéticos e estado atual? Que outro assunto evita suas fontes primárias — belas obras de arte escritas por algumas das pessoas mais criativas na história da humanidade — em troca dos abastardamentos contidos em livros didáticos de terceira categoria?

stock-illustration-70952733-a-ideia-e-lampada-conceito-de-solucao-de-problemasSem problema. O principal problema da matemática na escola é que não há problemas. Ah, eu sei o que passa por problema numa aula de matemática — os insípidos exercícios. “Eis aqui um tipo de problema. Eis aqui uma receita para resolvê-lo. Sim, cairá na prova. Façam os exercícios ímpares de 1 a 35 como lição de casa.” Que jeito triste de estudar matemática: como um chimpanzé adestrado.

Mas um problema, uma questão humana e honesta, é outra coisa. Qual é o comprimento da diagonal de um cubo? Os números primos continuam para sempre? O infinito é um número? De quantas maneiras posso usar simetrias para pavimentar uma superfície? A história da matemática é a história de gente que se engajou com perguntas desse tipo, e não a regurgitação estúpida de fórmulas e algoritmos (mais os exercícios inventados especialmente para que possam ser usados).

Um bom problema é algo que você não sabe como resolver. É isso o que o torna um bom quebra-cabeça, e uma boa oportunidade. Um bom problema não fica lá sentado, quietinho em isolamento: ele serve de trampolim para outras questões interessantes. Um triângulo ocupa metade da caixa. E quanto a uma pirâmide dentro de uma caixa tridimensional? Será que podemos lidar com esse problema de um jeito similar?

Entendo a ideia de adestrar os alunos para que dominem certas técnicas. Eu também faço isso, mas nunca como um fim em si mesmo. Na matemática, assim como em qualquer arte, as técnicas devem ser estudadas conforme o contexto. Os grandes problemas, sua história, o processo criativo — eis o cenário adequado. Dê a seus estudantes um bom problema, deixe-os lutar com ele, deixe-os gemer de frustração. Veja o que inventam. Espere até que estejam morrendo de vontade de conhecer uma ideia, e só então lhes dê algumas técnicas, mas não muitas.

Então guarde seus planos de aula e seu retroprojetor, seus livros didáticos coloridos e abomináveis, seus CD-ROMs e todo o circo itinerante das coisas grotescas que hoje compõem a educação, e simplesmente faça matemática com seus alunos! Professores de arte não perdem seu tempo com livros didáticos e com a decoreba de técnicas específicas. Eles fazem o que é natural na matéria a qual ensinam: põem as crianças para pintar. Andam pela sala de cavalete em cavalete, e dão sugestões e orientação:

— Eu estava pensando no nosso problema do triângulo, e notei uma coisa. Se o triângulo for realmente inclinado, ele não ocupa metade da caixa! Veja! Veja!

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— Mas que observação excelente! Nosso argumento pressupõe que um dos lados do triângulo coincide com um dos lados da caixa. Agora precisamos de uma ideia nova.

— Devo tentar cortá-lo de maneira diferente?

— Claro que sim. Deve tentar todo tipo de ideia. Me diga depois em que pensou!

517864692Contemplação lenta. Então, como vamos ensinar nossos alunos a fazer matemática? Que tal escolher problemas envolventes, que surjam naturalmente, adequados ao gosto de cada um, assim como à sua personalidade e grau de experiência? Que tal dar-lhes tempo para descobrir coisas e formular conjecturas? Depois, devemos ajudá-los a refinar seus argumentos e a criar uma atmosfera matemática na qual haja críticas saudáveis e reveladoras. Seremos flexíveis, abertos a mudanças bruscas de direção provocadas pela curiosidade deles. Em resumo, tendo um relacionamento intelectual honesto com nossos alunos e nossa matéria.

Evidente: o que estou sugerindo é impossível por causa de um monte de razões. Mesmo que eu coloque de lado o fato de que o currículo estatal e o vestibular na prática eliminam a autonomia do professor, duvido que a maioria dos professores queira uma relação tão intensa com seus alunos. Tal relação implica muita vulnerabilidade e responsabilidade — em suma, muito trabalho!

É mais fácil ser um canal passivo dos “materiais” de alguma editora e seguir a instrução “dê aulas, dê provas, repita” do que pensar, profunda e cuidadosamente, no significado da matemática e no melhor jeito de transmiti-lo direta e honestamente aos alunos. Nos encorajam a renunciar à difícil tarefa de tomar decisões com base na nossa própria sabedoria e consciência, para “cumprir o cronograma”. Esse é simplesmente o caminho mais fácil:

EDITORES DE LIVROS DIDÁTICOS : PROFESSORES ::

A) empresas farmacêuticas : médicos

B) gravadoras : DJs

C) corporações : congressistas

D) todas as anteriores

O problema é que a matemática, assim como a pintura e a poesia, é trabalho criativo árduo. Isso a torna difícil de ensinar. A matemática é um processo contemplativo e lento. O praticante precisa de tempo para produzir uma obra de arte e precisa de um professor qualificado, que saiba reconhecer a arte quando a vê. É claro que é mais fácil divulgar um conjunto de regras do que orientar jovens artistas, do mesmo modo que é mais fácil escrever o manual de operação de um videocassete do que um livro de verdade, com ponto de vista e tudo o mais.

A matemática é uma arte, e toda arte deve ser ensinada por artistas na ativa ou, senão, pelo menos por pessoas que sabem apreciá-la e reconhecer uma obra de arte quando veem uma. Você não precisa estudar música com um compositor profissional, mas gostaria de tomar aulas com alguém que jamais tocou um único instrumento na vida? Aceitaria como professor de artes plásticas alguém que nunca pegou num lápis ou nunca pisou num museu? Por que então aceitamos professores de matemática que nunca produziram uma obra original, não sabem nada da história e da filosofia da matemática, nada sobre os avanços mais recentes — que não sabem nada além do que o sistema de ensino espera que ensinem a seus infelizes alunos? Que tipo de professor é esse? Como alguém pode ensinar algo que ele mesmo não sabe? Eu não sei dançar, e consequentemente nunca me passaria pela cabeça dar aulas de dança (poderia tentar, mas os resultados seriam bizarros). A diferença é que eu sei que não sei dançar. Não há ninguém me dizendo que sou bom de dança só porque conheço um monte de palavras técnicas.

Ora, não estou dizendo que um professor de matemática precisa ser um matemático profissional — longe disso. Mas será que ele não deveria pelo menos entender o que a matemática é, ser bom de matemática, e gostar do que faz?

522345591ÓVNIS e alienígenas. Se reduzimos o ensino à mera transmissão de informações, se não compartilhamos a excitação e a surpresa, se os próprios professores são receptores passivos de informação e não criadores de novas ideias, que esperança há para os alunos? Se para o professor a adição de frações é um conjunto arbitrário de regras, e não o resultado de um processo criativo em que houve escolhas estéticas e desejos, então é claro que o pobre aluno vai se sentir como o recipiente de um conjunto arbitrário de regras.

Ensinar não tem nada a ver com informações. Tem a ver com um relacionamento honesto com os alunos. Não requer nenhum método, nenhuma ferramenta e nenhuma formação — requer apenas a habilidade de ser verdadeiro. E se você não consegue ser verdadeiro, não tem o direito de se impor às crianças inocentes.

Ninguém consegue ensinar alguém a ensinar. Escolas de educação são uma enganação completa. Ah, você pode tomar aulas sobre as fases da criança na primeira infância e tudo o mais, e pode tomar aulas sobre “métodos eficazes” de usar a lousa, ou sobre como preparar um “plano de aula” (que, por sinal, assegura que suas aulas serão planejadas de antemão, e portanto falsas), mas você nunca será um professor de verdade se não estiver disposto a ser uma pessoa de verdade. Ensinar exige abertura e honestidade, a capacidade de ficar excitado com a excitação de seus alunos, e amor ao ato de estudar. Sem tais qualidades, todos os diplomas do mundo não podem ajudá-lo, e com tais qualidades, eles são desnecessários.

É tudo perfeitamente simples: os estudantes não são alienígenas. Eles se interessam por beleza e por padrões, e são curiosos como todo mundo. Apenas converse com eles! E mais importante: ouça o que dizem em resposta!

Simplício: Tudo bem, vejo que existe arte na matemática, e que não estamos fazendo um bom trabalho ao expor as pessoas à arte. Mas isso não é uma coisa esotérica demais, e intelectual demais, para esperá-lo do sistema escolar? Não estamos tentando produzir filósofos; queremos apenas cidadãos com conhecimentos razoáveis de aritmética, para que possam cumprir suas funções na sociedade.

Salviati: Mas isso não é verdade! A matemática escolar inclui muita coisa que não tem nada a ver com a capacidade de cumprir suas funções na sociedade — por exemplo, álgebra e trigonometria. Tais assuntos são irrelevantes na vida cotidiana. Estou apenas sugerindo que, se vamos incluir assuntos assim no currículo, pelo menos que o façamos de modo mais natural. Além disso, como eu já disse antes, só porque um assunto tem alguma utilidade prática não significa que devamos transformá-la no foco das aulas e de nossos estudos. É verdade que você precisa saber ler para preencher os formulários do imposto de renda, mas não é para isso que ensinamos as crianças a ler. Nós as ensinamos a ler para lhes dar acesso a ideias bonitas e importantes. Não apenas seria uma crueldade ensiná-las a ler desse jeito (forçá-las a preencher formulários), seria também inútil, pois não funcionaria! Nós nos dedicamos aos estudos porque eles nos interessam agora, e não porque podem ser úteis mais tarde. Mas estamos exigindo das crianças algo assim quando ensinamos matemática.

Simplício: Mas não precisamos de crianças capazes de fazer contas?

Salviati: Para quê? Você quer adestrá-las para calcular 427 mais 389? Não é o tipo de pergunta que as crianças de oito anos costumam fazer. Falando nisso, muito adulto não entende bem a aritmética feita com notação decimal posicional, e você espera que crianças tenham boa ideia disso? Ou não se importa se elas vão entender ou não? É cedo demais para que recebam esse tipo de treinamento técnico. É claro que é possível implementar tal treinamento, mas acho que, em última instância, ele faz mais mal que bem. É muito melhor esperar que elas, movidas pela própria curiosidade, se interessem pelos números.

Simplício: Então, o que deveríamos fazer com as crianças durante as aulas de matemática?

Salviati: Jogue! Ensine xadrez e damas, gamão e dominó, jogo da velha e 21 — qualquer jogo. Invente jogos. Crie quebra-cabeças. Exponha as crianças a situações nas quais elas precisem de raciocínio dedutivo. Não se preocupe com notação e técnicas operatórias, mas ajude-as a se transformar em pensadores matemáticos ativos e criativos.

Simplício: Acho que desse jeito assumiríamos um risco terrível. E se tiramos a ênfase da aritmética e terminamos com alunos incapazes de somar e de subtrair?

Salviati: Acho que o risco maior é o de criar escolas onde não haja criatividade de jeito nenhum, nas quais a função dos alunos é memorizar datas, fórmulas, e listas de palavras, para regurgitá-las em testes padronizados. “Preparando hoje a força de trabalho de amanhã!”

Simplício: Mas certamente existe um conjunto de fatos matemáticos que uma pessoa educada deve conhecer.

Salviati: Sim, e o mais importante desses fatos é que a matemática é uma forma de arte, praticada por seres humanos para seu próprio prazer! OK, sim, seria muito bom se as pessoas soubessem alguns fatos básicos sobre, por exemplo, os números e as formas. Mas isso nunca virá de decorebas, adestramento, palestras, exercícios. Você só aprende coisas fazendo coisas, e só se lembra do que é importante para você. Temos milhões de adultos caminhando pelo mundo e murmurando “menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro vezes a vezes c, tudo isso sobre dois vezes a”, sem ter contudo nenhuma ideia do que isso de fato significa. E a razão é que elas nunca tiveram a oportunidade de descobrir ou de inventar essas coisas por si mesmas. Elas nunca tiveram um problema interessante no qual pensar, com o qual se frustrar, e que fizesse surgir nelas o desejo de uma técnica ou de um algoritmo. Nunca ninguém lhes contou a história de como o homem tem se relacionado com os números — não sabem nada dos tabletes babilônicos antigos, do papiro de Rhind, do Liber Abaci, do Ars Magna. Mais importante, nunca lhes deram a oportunidade de ficar curiosas sobre uma questão: ela foi respondida antes que pudessem elaborar a pergunta.

Simplício: Mas não temos tempo para esperar que todos os alunos reinventem a matemática por conta própria! Levou séculos para que o homem descobrisse o teorema de Pitágoras. Como pode esperar que uma criança comum o invente de novo?

Salviati: Eu não espero. Quero deixar isso claro. Estou reclamando da completa falta de arte e criatividade, de história e filosofia, de contexto e perspectiva no currículo de matemática. Isso não significa que a notação, as técnicas operatórias e o desenvolvimento de um conjunto de conhecimentos básicos não tenham seu lugar. É claro que têm. Deveríamos ter tudo isso. Se eu me oponho a um pêndulo afastado demais numa das pontas, não quer dizer que o quero afastado demais na outra ponta. Mas é fato que as pessoas aprendem melhor quando os resultados surgem do processo de aprendizagem. Para apreciar de verdade a poesia, ninguém deve decorar um monte de poemas, mas sim escrever os próprios poemas.

Simplício: Tudo bem, mas antes que possa escrever seus próprios poemas, precisa estudar o alfabeto. O processo tem de começar em algum lugar. Precisamos andar antes que possamos correr.

Salviati: Não, você precisa ter alguma coisa na direção da qual queira correr. As crianças podem escrever poemas e histórias conforme aprendem a ler e a escrever. O texto de uma criança de seis anos é uma coisa maravilhosa, e os erros de ortografia e de pontuação não vão torná-lo menos maravilhoso. Mesmo criancinhas muito novas podem inventar canções, e elas não têm a menor ideia do que é uma clave ou que tipo de compasso estão usando.

Simplício: Mas a matemática não é diferente? Ela não é uma linguagem toda própria, com todo tipo de símbolo que deve ser estudado antes que possa ser usado?

Salviati: De jeito nenhum. A matemática não é uma linguagem, mas uma aventura. Os músicos falam outra língua simplesmente porque escolheram abreviar suas ideias com pontinhos pretos? Se falam, isso não é obstáculo à criancinha e à sua canção. Sim, certo conjunto de abreviações matemáticas se desenvolveu ao longo dos séculos, mas ele não é essencial. A maior parte da matemática pode ser feita tomando um café com um amigo, com um diagrama desenhado num guardanapo. A matemática é e sempre foi uma coisa de ideias, e uma ideia valiosa transcende os símbolos com os quais você decide representá-la no papel. Gauss uma vez disse isso: “Precisamos é de noções, e não de notações.”

Simplício: Mas um dos propósitos da educação matemática não é ajudar os alunos a pensar de modo mais preciso e lógico, e de desenvolver sua “habilidade de raciocínio quantitativo”? Essas definições e símbolos não aguçam a mente de nossos alunos?

Salviati: Não, não aguçam. Se têm algum efeito, é o oposto, o de entorpecer a mente. Toda acuidade mental surge da mesma situação, que é resolver problemas por si mesmo; ela não surge de ouvir alguém dizer como um problema deve ser resolvido.

Simplício: Acho justo. Mas e quanto aos estudantes que gostariam de seguir carreira na ciência ou na engenharia? Eles não precisam do treinamento que o currículo convencional proporciona? Não é por isso que ensinamos matemática na escola?

Salviati: Quantos alunos nas aulas de literatura querem um dia se transformar em escritores? Não é para isso que ensinamos literatura, e não é por isso que os alunos se matriculam em cursos de literatura. Nós ensinamos para esclarecer todo mundo, e não apenas para adestrar os futuros profissionais. Seja como for, a habilidade mais valiosa para um cientista ou engenheiro é a capacidade de pensar por conta própria e de modo criativo. A última coisa de que alguém precisa é ser adestrado.

stock-illustration-67125187-mosaico-ouro-facetas-de-luxo-em-amor-ironico-icone-do-cranioO currículo de matemática. A coisa verdadeiramente dolorosa sobre a maneira como ensinam matemática na escola nem é o que está faltando (o fato de que ninguém faz matemática de verdade durante as aulas de matemática), mas sim o que ocupou o lugar do que falta: a pilha confusa de desinformações destrutivas conhecida como “o currículo de matemática”. Chegou a hora de examinar mais de perto contra o que os alunos lutam em nome da matemática, e como são prejudicados no processo.

O que mais me impressiona no currículo de matemática é sua rigidez. Isso é especialmente verdadeiro nas séries mais avançadas. De escola para escola, de cidade para cidade, de estado para estado, todos dizem as mesmas coisas e fazem as mesmas coisas exatamente na mesma ordem. A maioria das pessoas, em vez de se perturbar e de se irritar com esse estado orwelliano de coisas, simplesmente aceitou esse currículo padrão como se fosse sinônimo da própria matemática.

Isso está intimamente ligado ao que chamo de “o mito da escada” — a ideia de que alguém pode organizar a matemática como uma sequência de assuntos, cada um deles mais avançado, ou “superior”, que os assuntos anteriores. Como consequência, transformaram a matemática escolar numa corrida, na qual alguns alunos estão na frente e outros ficam para trás. E aonde mesmo essa corrida vai nos levar? O que nos espera na linha de chegada? É uma corrida triste na direção de lugar nenhum. No final, você é enganado, e posto para fora do reino da matemática sem que perceba.

A verdadeira matemática não vem em lata — não existe nenhuma ideia na matemática que possa ser rotulada com “álgebra II”. Você vai aonde os problemas te levam. Uma arte não é uma corrida. O mito da escada dá uma falsa imagem da matéria, e o caminho percorrido pelo próprio professor ao longo do currículo o impede de ver a matemática como um todo orgânico. Como consequência, temos um currículo de matemática sem perspectiva histórica ou coerência temática; é uma coleção fragmentada de assuntos e técnicas os mais variados, unidos apenas pela facilidade com que se pode convertê-los em procedimentos passo a passo.

Em vez de descobertas e explorações, temos regras e regulamentos. Nunca ouvimos um estudante dizer: “Eu queria ver se faria algum sentido elevar um número a um expoente negativo, e descobri que posso chegar a um padrão bem legal se escolhesse, como sendo o significado, o recíproco do número elevado ao expoente positivo.” No lugar disso, temos professores e livros didáticos que apresentam “a regra do expoente negativo” como fato consumado, sem mencionar a estética por trás dessa escolha, e mesmo sem mencionar que foi uma escolha.

No lugar de problemas emblemáticos, que podem nos levar a uma síntese de várias ideias, à discussão de territórios desconhecidos, e ao sentimento de unidade temática e de harmonia, temos no lugar exercícios redundantes e sem graça — desenhados especificamente para a técnica operatória em discussão, e tão desligados um do outro que nem os alunos nem o professor têm a menor ideia de como ou por que tal coisa veio a surgir em primeiro lugar.

No lugar de um ambiente no qual os alunos resolvem problemas e decidem que noções querem compilar, e o que suas palavras devem significar, eles estudam num ambiente no qual tudo lhes é apresentado de uma vez — uma sequência interminável e inexplicável de definições a priori. O currículo está cheio de jargão e nomenclatura, aparentemente sem nenhum outro propósito exceto o de dar aos professores matéria-prima para as provas. Nenhum matemático no mundo inteiro se daria ao trabalho de elaborar definições insensatas: 2½ é uma “fração mista” e 5/2 é uma “fração imprópria”. Meu Deus — elas são iguais. Representam exatamente o mesmo número, têm exatamente as mesmas propriedades. Quem usa tais palavras depois da quarta série?

É claro que é mais fácil verificar se alguém sabe o significado de uma definição inútil do que inspirar alguém a criar algo bonito e atribuir significado ao que criou. Mesmo que concordemos que um vocabulário técnico comum é valioso para os matemáticos, “fração mista” e “fração imprópria” não têm lugar nesse vocabulário. Como é triste ver crianças na quinta série dizendo “quadrilátero” em vez de “formas com quatro lados”; como é triste ver que nunca têm motivo para usar as palavras “conjectura” e “contraexemplo”. Estudantes no ensino médio devem aprender a usar a função secante, sec(x), como abreviatura para o recíproco da função cosseno, 1/cos(x), o que é uma abreviatura com tanto peso intelectual quando escolher entre “e” e “&”. Essa abreviatura [sec(x)] é um resquício das tabelas náuticas do século 15, e ainda está conosco; é um mero acidente histórico, e não tem mais nenhum valor numa época em que a navegação é feita com computadores de bordo. Assim, bagunçamos nossas aulas de matemática explicando uma nomenclatura inútil.

Na prática, o currículo não é nem mesmo uma sequência de assuntos ou ideias, pois é uma sequência de notações. Aparentemente, a matemática consiste de uma lista secreta de símbolos místicos e de regras pelas quais manejá-los. Damos às criancinhas o “+” e o “÷”. Mais tarde, elas ganham o “√”, e daí “x” e “y”, além da alquimia dos parênteses. Finalmente, são doutrinadas a usar “sen”, “log”, “f(x)” e, se forem consideradas dignas, “d” e “∫”. Tudo isso sem que tenham uma única experiência matemática convincente.

Esse programa está tão firmemente fixado no lugar que os professores e os autores de livros didáticos podem prever, com anos de antecedência, em que página do livro estarão. É fácil encontrar alunos de álgebra no ensino médio fazendo exercícios para calcular [f(x + h) − f(x)]/h no caso de várias funções f, de modo que, anos depois, quando estiverem nas aulas de cálculo, tenham a impressão de que “Já vi isso antes.” Naturalmente ninguém explica (e nenhum aluno espera uma explicação) por que tal combinação de operações seria de interesse, embora eu tenha a certeza de que muitos professores tentam explicar o que essa coisa significa, e acho que eles pensam que estão fazendo um favor à classe, quando, na verdade, para seus alunos é só mais um exercício chato de matemática a ser superado.

— O que eles querem que eu faça? Ah, é só plugar as coisas aqui e ali, assim e assado? OK.

Outro exemplo é o adestramento de estudantes para que expressem informações num formato desnecessariamente complicado, simplesmente porque, num futuro distante, ele terá sentido. Será que algum professor de álgebra no ensino médio tem a menor ideia de por que está pedindo que seus alunos reformulem “o número x está entre três e sete” como |x – 5| < 2? Será que esses autores de livros didáticos acreditam realmente que estão ajudando os alunos, ao prepará-los para o possível dia, anos à frente, no qual lutarão com problemas de geometria de dimensões mais altas ou de espaços métricos abstratos? Duvido. Espero que eles estejam simplesmente copiando uns aos outros década após década, talvez alterando o tipo de letra ou as cores dos enfeites, e ficando radiantes de orgulho quando uma rede de escolas escolhe seu livro e torna-se seu cúmplice involuntário.

579755994Problemas em primeiro lugar. A matemática trata de problemas, e os problemas devem se transformar no centro da vida de um estudante de matemática. Por mais doloroso e frustrante que seja o processo de resolver problemas, tanto estudantes quanto seus professores deveriam se engajar no processo o tempo todo — ter ideias, não ter ideias, descobrir padrões, elaborar conjecturas, criar exemplos e contraexemplos, escrever argumentos, criticar o trabalho uns dos outros. Técnicas operatórias e algoritmos específicos devem surgir naturalmente desse processo, como aconteceu antes na história: não isolado de, mas organicamente ligado a, e como resultado de — um problema de fundo.

Professores de português sabem que os alunos aprendem melhor a ortografia e a pronúncia quando leem e escrevem. Professores de história sabem que nomes e datas não interessam quando removidos da história de como os eventos se desenrolaram. Por que a educação matemática permanece presa no século 19? Compare sua experiência ao estudar álgebra com as lembranças de Bertrand Russell [1872-1970]:

— Me fizeram aprender de cor: “O quadrado da soma de dois números é igual à soma de seus quadrados acrescida de duas vezes o seu produto.” Eu não tinha a menor ideia do que isso significava, e quando não conseguia me lembrar das palavras, meu tutor jogava o livro na minha cabeça, o que não estimulou meu intelecto de modo nenhum.

Hoje as coisas estão muito diferentes disso?

Simplício: Não acho que esteja sendo justo. Certamente a didática melhorou desde aqueles dias.

Salviati: Você quer dizer os métodos de adestramento. Ensinar é se meter num relacionamento humano confuso; ninguém precisa de método. Ou melhor, devo dizer que, se você precisa dum método, provavelmente não é um bom professor. Se não domina sua matéria a ponto de conversar sobre ela com suas próprias palavras, de forma natural e espontânea, quão bem a entende? E por falar em ficar preso no século 19, não é chocante como o currículo em si ainda está preso no século 17? Pense nas descobertas surpreendentes e nas revoluções profundas no pensamento matemático que aconteceram nos últimos três séculos! Não mencionam nada disso na escola; é como se nada tivesse acontecido.

Simplício: Mas não está pedindo demais de nossos professores de matemática? Espera que eles deem atenção individual a dezenas de estudantes, que os guiem no seu próprio caminho na direção da descoberta e da iluminação, e que além disso conheçam a história recente da matemática?

Salviati: Você espera que seu professor de arte seja capaz de lhe dar conselhos sábios e individualizados sobre seu quadro? Você espera que ele saiba alguma coisa a respeito dos últimos 300 anos de história da arte? Falando sério, eu não espero nada desse tipo; eu apenas gostaria que fosse assim.

Simplício: Então você culpa os professores de matemática?

Salviati: Não, eu culpo a cultura que os produziu. Os pobres-diabos estão fazendo o melhor que podem, e estão fazendo o que foram adestrados para fazer. Tenho a certeza de que a maioria deles ama seus alunos e odeia o que está sendo obrigada a fazê-los passar. Ela sabe, no fundo, que esse tipo de ensino não tem sentido e degrada o aluno. Ela sente que foi transformada numa peça da grande máquina de esmagar almas, mas não está em posição de compreendê-la ou de lutar. A maioria só sabe que tem de deixar seus alunos “prontos para o próximo ano”.

Simplício: Você realmente acha que a maioria dos estudantes é capaz de trabalhar nesse nível tão alto, a ponto de criar sua própria matemática?

Salviati: Se nós honestamente acreditamos que o raciocínio criativo é muito “alto” para nossos alunos, e que não podem lidar com ele, por que permitimos então que escrevam trabalhos de história ou ensaios sobre Shakespeare? O problema não é que os alunos não podem lidar com raciocínio criativo, mas que a maioria dos professores não pode. Eles nunca provaram nada por conta própria — como podem aconselhar um aluno? De qualquer modo, em cada classe os alunos variariam muito quanto às habilidade e ao grau de compreensão, como aliás ocorre em qualquer matéria, mas pelo menos os alunos detestariam matemática pelo que ela de fato é, e não por essa zombaria perversa dela.

Simplício: Mas certamente queremos que todos os nossos alunos aprendam um conjunto básico de fatos e de competências. É para isso que um currículo serve, e é por isso que é tão uniforme — há certos fatos básicos, frios e eternos, que nossos alunos precisam saber: um mais um é igual a dois, e os ângulos de um triângulo somam 180 graus. Não se trata de opiniões ou de sentimentos artísticos piegas.

Salviati: Ao contrário. Inventamos e aperfeiçoamos as estruturas matemáticas, úteis ou não, no contexto de um problema; e derivamos seu significado desse contexto. Às vezes queremos que “um mais um” seja igual a zero, como no caso da aritmética módulo 2; além disso, sobre uma esfera, os ângulos de um triângulo somam mais de 180 graus. Não existe nenhum “fato” por si só; tudo é relativo, tudo é relacional. É a história que interessa, e não apenas o final.

Simplício: Estou ficando cansado de todo esse nhe-nhe-nhém místico! Vamos lá: aritmética básica. Concorda ou não concorda que os alunos devem estudar isso?

Salviati: Depende do que você quer dizer com “isso”. Quer dizer apreciar os problemas de contagem e de arranjos, as vantagens de agrupar e de dar nome a certos agrupamentos, a distinção entre a representação duma coisa e a coisa em si, a história do desenvolvimento dos sistemas numéricos? Então, sim. Quer dizer a decoreba de fatos aritméticos sem nenhum arcabouço conceitual subjacente? Então, não. Quer dizer explorar o fato, não de todo óbvio, de que cinco grupos de sete equivalem a sete grupos de cinco? Então, sim. Quer dizer criar uma regra pela qual 5 × 7 = 7 × 5? Então, não. Fazer matemática deve sempre significar descobrir padrões e elaborar explicações eloquentes e bonitas.

A geometria do ensino médio: instrumento do demônio

531324562Não há nada tão irritante para o autor de uma acusação mordaz como ter o principal alvo de seu veneno oferecido de volta à guisa de contraexemplo. Jamais existiu um tão pérfido lobo em pele de cordeiro nem um tão desleal amigo quanto a geometria do ensino médio. Precisamente porque a escola a usa para apresentar o aluno à arte da argumentação, a geometria escolar se tornou perigosa.

Fazendo-se passar como a arena na qual o aluno finalmente começará a se envolver com o verdadeiro pensamento matemático, esse vírus ataca a matemática em seu coração; ele destrói a própria essência do argumento racional criativo, e envenena o prazer que esse assunto belo e fascinante poderia provocar no aluno — esse vírus o impede de pensar a matemática de um jeito natural e criativo.

O mecanismo por trás disso tudo é sutil e labiríntico. Primeiro, o vírus paralisa o aluno-vítima com um assalto de definições, proposições, e notações inúteis; logo em seguida, lenta e meticulosamente o desacostuma de qualquer curiosidade natural ou de qualquer intuição a respeito das formas e de seus padrões. Faz isso por meio duma doutrinação sistemática numa linguagem empolada e artificial conhecida como “prova geométrica formal”.

Qual tal deixar agora todas essas metáforas de lado? Entre todas as aulas no curso de matemática do ensino básico, as de geometria são as que melhor corrompem a mente e as emoções do estudante. Nas aulas sobre outros assuntos, talvez o professor esconda o pássaro tão lindo, ou talvez o mantenha numa jaula, mas nas aulas de geometria ele abertamente e cruelmente o tortura. (Como vê, sou incapaz de colocar minhas metáforas de lado.)

O que está acontecendo é que as aulas de geometria sistematicamente enfraquecem a intuição do aluno. Uma prova, isto é, um argumento matemático, é uma obra de ficção, é um poema. Seu objetivo é satisfazer. Uma bela prova deve explicar, e deve explicar com clareza, profundidade, elegância. Um argumento bem organizado e bem escrito deve se parecer com uma golfada de água fria, e deve ser um farol — ele precisa refrescar o espírito e iluminar a mente. E deve ser encantador.

Não há nada de encantador no que, durante as aulas de geometria, explicam como sendo uma prova. Apresentam ao aluno um formato rígido e dogmático, segundo o qual suas “provas” devem ser editadas — um formato tão desnecessário e inapropriado quanto insistir, com as crianças que querem plantar um jardim, que se refiram a suas flores pelo gênero e a espécie.

Provas taciturnas. Que tal examinar alguns casos específicos dessa insanidade? Podemos começar com o exemplo de duas linhas cruzadas:

figura-1

Agora, a primeira coisa que geralmente acontece é que o professor turva as águas ao recorrer a notação excessiva. Parece que é proibido falar simplesmente de duas linhas cruzadas; temos de batizá-las com nomes complicados. Não basta dizer “linha 1” e “linha 2”, ou mesmo “a” e “b”. Devemos (de acordo com a geometria do ensino médio) escolher pontos aleatórios e irrelevantes nas duas linhas e daí nos referir a elas com a “notação especial de linha”.

figura-2

Como pode ver, agora temos de chamá-las de “reta AB” e de “reta CD”. E Deus te perdoe se esquecer a palavra “reta” — pois AB, só AB, se refere ao comprimento entre os pontos A e B (ou pelo menos acho que é assim que esse trem funciona). E não importa o quão tudo isso é inutilmente complicado: é assim que devemos aprender geometria. Agora vem a afirmação que todos esperamos, em geral batizada com algum nome absurdo como:

PROPOSIÇÃO 2.1.1

Sejam AB e CD duas retas que se interceptam em P. Daí, como consequência:

equation-4

figura-3

Em outras palavras, os ângulos de ambos os lados são os mesmos. Ora — dããã! A configuração de duas linhas cruzadas é simétrica, pelo amor de Deus! E como se isso não fosse ruim o bastante, essa afirmação tão óbvia sobre linhas e ângulos deve ser “provada”.

Prova:

Afirmação Motivo
 equation-5 1. Postulado da adição de ângulos.
 equation-6 2. Propriedade da substituição.
 equation-7 3. Propriedade reflexiva das igualdades.
 equation-8 4. Propriedade das subtrações em igualdades.
 equation-9 5. Postulado da medida de ângulos opostos pelo vértice.

No lugar de um argumento inteligente e agradável, escrito por um ser humano de verdade, e conduzido numa das línguas mais bonitas do mundo, conseguimos isso: essa prova taciturna, desalmada e disforme. E que montanha estão obrigando um montículo a parir! Queremos realmente sugerir que uma observação simples como essa requer um preâmbulo tão extenso? Seja honesto: você realmente leu a coisa toda? É claro que não. Quem leria?

O efeito de armarem um circo tão grande por causa de algo tão simples é fazer com que as pessoas duvidem da própria intuição. Ao pôr o óbvio à prova, e ao insistir que seja “rigorosamente provado” (como se a coisa acima valesse como uma prova formal), estamos dizendo o seguinte ao estudante: “Suspeite de seus sentimentos e de suas ideias. Você tem de pensar e de falar do nosso jeito.”

Ora, sem dúvida há ocasião para as provas matemáticas formais. Mas essa ocasião não ocorre quando apresentamos o pensamento matemático ao aluno pela primeira vez. Pelo menos deixe o aluno se familiarizar com alguns objetos matemáticos, e aprenda o que pode esperar deles, antes de começar a formalizar tudo. Provas formais rigorosas só se tornam importantes quando há uma crise — quando alguém descobre que seus objetos matemáticos se comportam de maneira inesperada, ou quando aparece um paradoxo em algum lugar. Mas tal excesso de higiene preventiva é desnecessário aqui — ninguém ficou doente ainda! É claro que uma crise lógica surgirá em algum momento, e então o aluno deve investigá-la para deixar seu argumento mais claro, mas até esse processo pode ser conduzido de modo intuitivo e informal. Na verdade, a essência da matemática é conduzir esse tipo de diálogo com a prova que você mesmo escreveu.

Sendo assim, não só a maioria das crianças se confunde com tanto pedantismo (nada é mais mistificador que uma prova formal do óbvio), como também aquelas poucas cuja intuição permanece intacta devem traduzir suas ideias excelentes e bonitas para esse modelo absurdo e hieroglífico, ou caso contrário o professor não poderá considerá-las “corretas”. E então o professor se lisonjeia com a ideia de que está afiando a mente de seus alunos.

Canto e quina. À guisa de exemplo mais sério, vamos considerar o caso de um triângulo dentro de um semicírculo:

figura-4

A bela verdade sobre esse padrão é que, não importa em que ponto do círculo você posicione a pontinha do triângulo, sempre obtém um ângulo reto. (Não tenho nenhuma objeção a termos técnicos como “reto” se eles são relevantes e tornam mais fácil a discussão do problema. Não me oponho aos termos técnicos em si, mas sim aos termos desnecessários ou inúteis. Em todo caso, ficaria contente de usar “canto” ou “quina” se o estudante preferisse.)

Eis um caso no qual duvidamos de nossa intuição. Não fica claro por que esse fato deveria ser verdade; ele até parece improvável — o ângulo não deveria mudar conforme eu movo o cantinho de lugar? O que temos aqui é um problema de matemática fantástico! Será verdade? Se sim, por que é verdade? Que grande projeto! Que excelente oportunidade de exercer a criatividade e a imaginação! É claro que tal oportunidade não é dada ao aluno, cuja curiosidade e interesse são imediatamente esvaziados por:

TEOREMA 9.5. Seja △ABC um triângulo inscrito num semicírculo de diâmetro AC. Daí ∠ABC é um ângulo reto.

figura-5

Prova:

Afirmação Motivo
1. Desenhe o raio OB. Daí OB = OC = OA. 1. Dado.
 equation-13 2. Teorema do triângulo isósceles.
 equation-14 3. Postulado da soma de ângulos.
 equation-15 4. A soma dos ângulos internos dum triângulo é 180 graus.
 equation-16 5. Substituição (linha 2).
 equation-17 6. Substituição (linha 3).
 equation-18 7. Propriedade da divisão dos termos duma igualdade.
  ∠ABC é um ângulo reto. 8. Definição de ângulo reto.

Será que alguma coisa poderia ser menos atraente e mais deselegante? Alguém conseguiria produzir argumento mais ofuscante e ilegível? Isso não é matemática! Uma prova deveria ser uma epifania dos deuses, e não uma mensagem cifrada do Pentágono! É isso o que obtemos com um senso mal colocado de rigor lógico: feiura. O espírito do argumento ficou enterrado debaixo dum monte de formalismo confuso.

Nenhum matemático trabalha dessa maneira. Nenhum matemático jamais trabalhou dessa maneira. Isso representa uma total e absoluta incompreensão da atividade matemática. A matemática não significa erguer barreiras entre nós mesmos e nossa intuição, e converter coisas simples em complicadas. A matemática significa remover obstáculos à nossa intuição, e manter simples as coisas simples.

Compare essa prova bagunçada e repugnante com o argumento a seguir, concebido por um de meus alunos da sétima série:

figura-6

“Pegue o triângulo e o gire de modo a formar uma caixa de quatro lados dentro do círculo. Visto que girou o triângulo completamente, os lados da caixa têm de ser paralelos, de modo que ela forma um paralelogramo. Mas ela não pode ser uma caixa inclinada, porque ambas as diagonais são diâmetros do círculo, de modo que são iguais; isso significa que a caixa deve formar um retângulo de verdade. É por isso que o canto é sempre um ângulo reto.”

Isso não é delicioso? E a questão não é descobrir se essa ideia é melhor ou pior que a outra; a questão é que essa ideia surgiu. (Para dizer a verdade, a ideia contida na prova formal é bem bonita, embora a vejamos como que por um vidro esfumaçado.) Mais importante ainda, a ideia foi do próprio aluno. A classe teve um problema agradável no qual trabalhar, experimentou várias conjecturas, tentou várias provas, e foi isso o que um dos alunos me trouxe. É claro que levou vários dias, e que foi o fim de uma longa sequência de fracassos.

Para ser honesto, eu parafraseei bastante essa prova. O original ficou mais complicado, e contém muito palavreado desnecessário (além de erros de ortografia e de gramática). Mas acho que passei a sensação que o original me provocou. E os defeitos na versão original vieram todos para o bem: eles me deram algo para fazer na condição de professor. Fui capaz de apontar vários problemas no estilo e na lógica, e o aluno teve então tempo para melhorar o argumento. Por exemplo, não fiquei contente com o pedacinho sobre as duas diagonais serem diâmetros; não achei que esse fato estava completamente óbvio, mas isso significava que o aluno tinha mais em que pensar e tinha mais o que aprender com a situação. E, de fato, ele foi capaz de preencher a lacuna muito bem:

“Visto que girei o triângulo meia volta em torno do círculo, a pontinha teve de parar exatamente do lado oposto àquele em que começou a girar. É por isso que essa diagonal da caixa corresponde a um diâmetro.”

Eis um grande projeto e um belo pedaço de matemática. Não tenho certeza de quem ficou mais orgulhoso, se o aluno ou eu mesmo. Esse é exatamente o tipo de experiência que ambiciono para meus alunos.

stock-illustration-18715954-zombie-nerd-dosParticipante passivo. O problema com o currículo padrão de geometria é que a experiência pessoal de se esforçar como artista foi praticamente eliminada. A arte da prova foi substituída por um rígido modelo passo a passo para as deduções formais, no qual não há lugar para inspiração. O livro didático apresenta um conjunto de definições, teoremas e provas, que o professor copia na lousa, que os alunos copiam no caderno. Eles têm então de imitar esse modelo durante os exercícios. Aqueles que se adaptam rapidamente ao modelo são os “bons” alunos.

Como resultado, o aluno se transforma num participante passivo de um ato criativo. Ele compõe suas afirmações matemáticas para que se encaixem num formato preexistente de prova, e não para que elas reflitam o que realmente queria dizer. Ele foi treinado para macaquear argumentos, e não para planejá-los. Assim, ele não apenas não tem a menor ideia do que seu professor está falando, como também não tem a menor ideia do que ele mesmo está falando.

Mesmo o jeito tradicional de ensinar, no qual o professor apresenta primeiro as definições, é uma mentira. Num esforço para criar uma ilusão de “clareza” antes de embarcar numa típica sucessão de proposições e teoremas, ele apresenta um conjunto de definições para que suas afirmações e suas provas fiquem tão sucintas quanto possível. Num exame superficial, isso parece bem inócuo; afinal, por que não apresentar algumas abreviações, de modo que possa dizer as coisas de forma mais econômica? O problema é que as definições importam. Elas surgem de decisões estéticas sobre quais distinções você, na condição de jovem artista, considera importantes. E elas surgem dos problemas. Fazer uma distinção é chamar a atenção para uma característica ou propriedade estrutural. Historicamente, a definição surge depois que estamos trabalhando num problema, e não como um prelúdio ao problema.

O ponto é que você não começa com definições, mas começa com problemas. Ninguém jamais teve a ideia de que um número pudesse ser “irracional” até que Pitágoras tentou medir a diagonal de um quadrado e descobriu que não podia representá-la com uma fração. As definições têm sentido quando o matemático atinge um ponto no qual a distinção se torna necessária. Ao apresentar definições sem que haja motivo, é bem provável que o professor cause confusão.

Esse é mais um exemplo do modo como a escola blinda os alunos e os exclui do processo matemático. Eles precisam compor suas próprias definições conforme surge a necessidade — precisam dar forma ao debate por conta própria. Eu não quero meus alunos dizendo “a definição, o teorema, a prova”; eu os quero dizendo “minha definição, meu teorema, minha prova”.

Mesmo que você me peça para colocar toda essa lamúria de lado, acho que o verdadeiro problema com esse tipo de apresentação é que ele é chato. Eficiência e economia simplesmente não combinam com boa pedagogia. Acho difícil acreditar que Euclides aprovaria o atual estado de coisas; sei que Arquimedes não aprovaria.

Simplício: Espere um minuto. Não sei sua história, mas eu realmente gostei das minhas aulas de geometria no ensino médio. Eu gostei da estrutura, e gostava de trabalhar com um formato rígido para cada demonstração.

Salviati: É claro que gostou. Você provavelmente teve a chance de trabalhar com alguns problemas legais de vez em quando. Um monte de gente gosta das aulas de geometria (embora mais gente as odeie). Mas isso não é um ponto a favor do regime atual. Ao contrário, serve de testemunho ao poderoso fascínio que a matemática exerce. É difícil arruinar completamente uma coisa tão bonita; mesmo esse fiapo de matemática pode entreter e satisfazer. Muita gente também gosta de pintar conforme os números, pois é uma atividade manual colorida e relaxante. Isso não a torna a coisa real, contudo.

Simplício: Mas eu estou te dizendo — eu gostei!

Salviati: Se tivesse tido uma experiência matemática mais natural, teria gostado ainda mais.

Simplício: Então, deveríamos partir para uma aventura matemática mais livre, e que os alunos aprendam o que quer que aprendam?

Salviati: Precisamente. Os problemas conduzirão a outros problemas, e as técnicas e métodos surgirão sozinhos quando se tornarem necessários, e os novos temas também surgirão naturalmente. E se um problema nunca aparecer em treze anos de escola, quão interessante ou importante ele deve ser?

Simplício: Você ficou completamente louco.

Salviati: Talvez sim. Mas mesmo trabalhando dentro da estrutura convencional, um bom professor pode orientar a discussão e o fluxo de problemas, de modo que seus alunos consigam descobrir e inventar matemática por si mesmos. O problema real é que a burocracia não permite que um professor sozinho faça nada disso. Com um currículo predeterminado a seguir, o professor não consegue liderar. Não deveria haver nenhum padrão e nenhum currículo. Deveria haver apenas indivíduos dando aulas a seus alunos do modo como acham melhor.

Simplício: Mas como então as escolas garantiriam que todos os seus alunos saberiam o mesmo conjunto de conhecimentos básicos? Como nós poderíamos medir com precisão o valor de cada aluno?

Salviati: Elas não garantiriam, nem nós poderíamos. Exatamente como na vida real. Em última análise, temos de encarar o fato de que as pessoas são diferentes, e que isso é bom. E não há pressa. Assim, se uma pessoa com diploma de ensino médio não conhece as fórmulas para as diferenças de arcos trigonométricos (como se alguém soubesse isso agora) — e daí? Pelo menos essa pessoa teria saído da escola com uma boa ideia do que a matemática realmente é, e teria conhecido muita coisa bonita.

[Trecho suprimido, no qual o autor mostra um resumo das matérias do ensino básico norte-americano do modo como ele as vê — como aberrações.]

Nessa forma de arte tão antiga há tanta beleza comovente, tanta profundidade de tirar o fôlego. É tão irônico que as pessoas rejeitem a matemática como sendo a antítese da criatividade. Estão desperdiçando uma forma de arte mais velha que todos os livros, mais profunda que todos os poemas, mais abstrata que todas as abstrações. E é a escola quem faz isso! Que triste ciclo de professores inocentes a infligir dano a estudantes inocentes. Todos nós poderíamos estar nos divertindo muito mais.

Simplício: OK, estou completamente deprimido. E agora?

Salviati: Bem, acho que tive uma ideia muito legal sobre uma pirâmide dentro dum cubo… {FIM}


Copywright © 2009 by Paul Lockhart. O texto original foi adaptado para o português brasileiro com a autorização do autor. Caso queira ler o artigo no original em inglês, clique aqui. Caso queira ler o livro A Mathematician’s Lament completo, inclusive com o capítulo “Exultation”, compre o livro aqui. Se quiser ler algo um pouco mais técnico, para ver como Paul Lockhart se sai, compre o livro Measurement, que é ótimo.

Observação: Paul Lockhart, o autor deste artigo, é matemático e professor de matemática para crianças, mas não astronauta. Por coincidência, há um astronauta que também se chama Paul Lockhart, que é engenheiro e que foi piloto de testes das forças armadas americanas; o astronauta, contudo, não tem nada a ver com este artigo.

Conselhos a um jovem matemático

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“Ah, se eu soubesse antes o que sei agora!” Gente de cabelos brancos vive dizendo coisas assim. Nesta reportagem, vários matemáticos, nem todos de cabelos brancos, contam o que gostariam de ter sabido quando eram jovens.


{1}/ Dizer sim, dizer não

Tatiana Roque, Lílian Nasser, e Claudio Possani hoje são matemáticos conhecidos, mas já passaram por tudo o que o estudante comum ainda passa. Para se preparar para o vestibular, também gastaram horas estudando coisas como análise combinatória, reflexão e refração da luz, angiospermas e gimnospermas. Dormiram mal por causa da ansiedade, passaram o fim de semana longe dos amigos. O estudante se pergunta se matemáticos estabelecidos um dia se preocuparam com o futuro, com a capacidade de pagar as contas e manter a família.

Claudio Possani queria estudar matemática, mas tinha dúvidas: será mesmo possível viver de matemática? “Não tive um professor ou alguém que me explicasse as riquezas da matemática, as várias possibilidades de atuar no mercado de trabalho, a interface da matemática com outras áreas. Então, eu ficava martelando na cabeça as minhas angústias.” Um dessas angústias era: dizer “sim” à matemática era a mesma coisa que dizer “não” às outras disciplinas? “Os saberes complexos me interessavam.” Ele simpatizava com física, medicina, direito. Tatiana Roque, por sua vez, não gostou da matemática do ensino médio. Na escola em que estudou, a matemática era apenas a repetição de receitas e fórmulas; esse jeito de ensinar matemática, diz Tatiana, “é um crime”. E Lílian Nasser dizia aos amigos e parentes que gostaria de estudar matemática na universidade, mas vários deles lhe diziam de volta:

“Pois então prepare-se: não vai dar certo. Você vai ganhar mal.”

Apesar das dúvidas, quando chegou o momento de preencher a ficha do vestibular e marcar o nome do curso para o qual pretendiam disputar uma vaga, os três marcaram um X no quadradinho da matemática. Passaram no vestibular, entraram na faculdade, mas o grilo falante neurótico se mantinha firme no ombro esquerdo de cada um deles. Lílian, por exemplo, quando estava no segundo ano da graduação, se matriculou no curso de álgebra linear 3. Lembra a sala cheia de gente, e as aulas difíceis de acompanhar. Na primeira prova, foi um festival de notas baixas, inclusive as notas dela. Vários alunos fizeram fila na secretaria da faculdade para trancar a matrícula antes que fosse tarde demais, e Lílian pegou um lugar na fila. Por acaso, o professor da matéria passou por eles, e ela teve a coragem de chamá-lo e de lhe perguntar o que fazer — e ele lhe deu um conselho o qual Lílian jamais esqueceu.

Os três têm histórias para contar, e dizem que a vida teria sido mais fácil se soubessem naquela época o que sabem hoje.


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{2}/ Conselho 1: Jamais desista antes de tentar

Foi esse o conselho do professor para Lílian. Ela lhe deu ouvidos e saiu da fila, e conseguiu passar na álgebra linear 3 — e no curso de graduação como um todo. “Essa foi uma lição que carrego até hoje: antes de desistir, devo insistir.”

Por incrível que pareça, diz o matemático britânico Michael Atiyah, quanto mais talentoso o aluno, mais ele leva a sério a possibilidade de desistir. Michael já testemunhou alunos talentosos torturando a si mesmos com exigências quase impossíveis de cumprir — exigências que nem seus professores cumprem. Eles vão bem, mas, a seus próprios olhos, acham que envergonham a humanidade. Esse é só um dos jeitos sofisticados de desistir, mas existem outros.

Béla Bollobás, matemático húngaro, descreve um jeito de desistir por meio do qual o estudante nem percebe que está desistindo — ao contrário. Basta o estudante atacar somente problemas que pode resolver. É como o adulto que apenas lê livros de adolescentes, ou o adolescente que apenas lê livros de crianças. Para combater esse jeito de desistir, Bollobás obriga seus estudantes a trabalhar sempre com dois tipos de problemas: [1] os sonhos e [2] os importantes. Os problemas do tipo “sonho” são problemas grandes, difíceis, que, se resolvidos, obrigariam a humanidade a inaugurar faculdades, auditórios e bibliotecas com o nome do estudante numa placa sobre a porta. São problemas como o P versus NP (veja a seção 7). “Esse tipo de problema”, diz Bollobás, “você não acredita que pode resolver.” Mas, só de incluí-lo na sua lista, de estudar o que é necessário para resolvê-lo, e de atacá-lo de quando em quando, vai deixar o estudante mais forte para resolver problemas mais fáceis. Tais problemas mais fáceis devem ser, contudo, importantes.

Qualquer que seja o mecanismo psicológico de desistência, Bollobás acha que desistir é sinal de desânimo. “Não há lugar no mundo para matemáticos desanimados”, diz Bollobás. “Só faça matemática se você faria matemática mesmo de graça, depois de um dia inteiro de trabalho numa outra profissão.”


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{3}/ Conselho 2: Estude a história da matemática

“Eu gostaria muito que alguém tivesse me contado que estudar história da matemática é fundamental para o bom exercício da profissão”, diz Tatiana Roque. Tatiana entrou na Universidade Federal do Rio de Janeiro em 1988, num curso de matemática, mas, por conta da época, num curso com ênfase em computação. Concluiu o curso, mas não chegou a se acostumar com a ênfase em detalhes técnicos. “Eu gostava mesmo era da matemática.” Defendeu a dissertação de mestrado seis anos depois, em 1994, mas, nessa ocasião, estava descontente com seu estilo de vida. Tentando achar um caminho, passou a frequentar os grupos de estudos organizados pelo filósofo Claudio Ulpiano, e percebeu que havia muitas maneiras de estudar matemática.

Depois de vários golpes de sorte em sequência, conseguiu fazer uma parte do doutorado na Universidade Paris 7, na França, num grupo especializado em história e filosofia da ciência. “Essa foi a experiência mais rica da minha história profissional.” Ela percebeu que não só matemáticos estudavam matemática, e a faziam avançar, mas também filósofos e historiadores. “Entendi como os conceitos matemáticos nos são apresentados prontos, como se fossem verdades absolutas e eternas. Mas a história me colocou em contato com uma matemática mais viva, que assume aspectos distintos conforme a cultura e a época em que é praticada.”

O matemático sul-africano Peter Sarnak gosta de dar um aviso a alunos e amigos: textos recentes sobre matemática fazem qualquer um se sentir burro. “Quando leio material moderno”, diz Peter, “tenho uma sensação estranha: como pode uma pessoa pensar de modo tão antinatural?” O matemático passa meses ou anos trabalhando num problema, e daí tem uma ideia espetacular; ao escrever o artigo, ele expõe o problema e imediatamente anuncia a ideia espetacular, que depois explica tão resumidamente quanto possível. Quem lê trabalhos mais antigos, diz Peter, e quem estuda história da matemática, vê que todo pensamento antinatural tem uma história feita de muitas pessoas, todas vivendo ao longo de várias gerações — o pensamento nasce desajeitado, mas, a cada pessoa e a cada geração, vai ficando cada vez mais sintético.

Geometria, álgebra, análise, teoria dos números, história da matemática — nunca divida a matemática em áreas, aconselha o matemático francês Alain Connes. “Tais divisões são artificiais”, diz Alain. “A matemática se assemelha a um organismo vivo, que não pode sobreviver saudável sem um de seus órgãos.”


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{4}/ Conselho 3: Não se isole

Engenheiros ganham eleições. Advogados publicam romances. E o matemático? Claudio Possani, quando teve de marcar a carreira no vestibular da Universidade de São Paulo, deixou de lado o medo de permanecer pobre para sempre e marcou “matemática”. Seguiu sua intuição num impulso. Tendo dito “sim” à matemática, teve medo de ter dito “não” a todas as outras disciplinas, isto é, reagiu a um chavão presente na cultura brasileira: a imagem do matemático como uma espécie de ermitão.

Ora: quando o estudante vai somar alguma coisa, qualquer coisa, ele diz “dois mais três mais cinco é igual a dez”. Nem percebe que não disse “dois cavalos mais três cavalos mais cinco cavalos é igual a dez cavalos”, ou que não disse “dois rubis mais três rubis mais cinco rubis é igual a dez rubis”. Matemática é pura abstração, a ser usada por qualquer pessoa na resolução de qualquer tipo de problema, seja problema sobre cavalos ou sobre rubis; logo, o especialista em matemática está em condições de aplicá-la em qualquer área da economia. Nas palavras de um autor de livros de autoajuda, está em condições de fazer amigos e influenciar pessoas. “Não falta emprego a quem estuda matemática”, diz Claudio. Cita o exemplo de João Meidanis, professor na Universidade de Campinas, formado em matemática na USP e criador de métodos com os quais biólogos do mundo inteiro descobrem o código genético de qualquer animal ou planta.

Muito jovem simpatiza com a imagem do ermitão. Ele escolhe a matemática justamente porque gosta da ideia de se isolar no topo duma montanha; ele não se sente à vontade nem se sente aceito entre pessoas comuns, e se vinga virando um especialista na matéria mais temida e odiada por pessoas comuns. “Não se isole”, diz Michael Atiyah. “Não passe o tempo todo resolvendo problemas. Jogar conversa fora não é perder tempo.” Uma versão desse conselho, “não se isole”, é “dê aulas”. Claudio começou a dar aulas particulares quando estava no ensino médio; em 1979, enquanto fazia o mestrado, começou a dar aulas na USP. Quando passou a dar aulas na universidade, teve a certeza de que conseguiria viver de matemática, assim como descobriu o prazer de conversar sobre matemática com jovens interessados.


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{5}/ Conselho 4: Rebele-se e aprenda a escrever

Para se sentar ao computador e escrever algo que será lido com interesse e com prazer por outros matemáticos, e talvez até por leigos, o jovem precisa ter algo significativo para dizer, e deve dizê-lo com clareza. Jovens matemáticos acham estranho esse conselho, “aprenda a escrever”, mas os mais velhos descobriram que não existe grande diferença entre um romancista e um matemático — ambos precisam ter a convicção de que vão pôr no papel algo importante para si mesmos e para os outros. “Lembre-se”, diz Michael Atiyah: “a matemática é uma forma de literatura.”

E como se aprende a escrever? Em primeiro lugar, o jovem deve parar de resolver problemas que seu professor orientador lhe passa; ao contrário, deve passar a resolver seus próprios problemas. (Neste caso, o redator usou a palavra ‘problema’ em sentido matemático estrito: uma pergunta para a qual ainda não existe resposta; num sentido menos estrito, um ‘problema’ é uma pergunta difícil sobre ideias matemáticas.) Isso significa que ele deve aprender a estudar e a ler de modo a bolar suas próprias perguntas. “Dizem que o matemático é um sujeito que refaz a pergunta até que possa respondê-la”, diz Michael. “É um exagero, mas tem sua verdade.” O matemático formula uma pergunta e, ao longo da investigação, descobre que a pergunta estava mal formulada, com pressuposições escondidas, com detalhes irrelevantes; ou estava geral demais. Ao longo da investigação, ele vai percebendo qual é a verdadeira pergunta. Nenhum jovem aprende a fazer isso se apenas dá resposta a perguntas já prontas.

Além disso, quando se senta ao computador para escrever, percebe que escrever não é um momento, mas um processo demorado. Sentar-se ao computador para escrever o primeiro rascunho é uma das últimas etapas desse processo. Antes disso, teve de ler e de estudar em busca de perguntas próprias, teve de passar semanas ou meses tentando responder às perguntas (enquanto ia modificando cada pergunta até que pudesse ser respondida), teve de conversar sobre seu trabalho com professores, colegas, colaboradores, alunos (caso dê aulas). Numa das etapas desse processo, o jovem matemático precisa escolher para qual público deve escrever. Michael recomenda: pense numa pessoa com treinamento em matemática, mas não especialista no assunto do texto. O propósito de um artigo não é garantir o lugar do autor entre especialistas, mas ajudar outros estudantes de matemática a compreender o que o autor compreendeu. “Artigos bem escritos se transformam em clássicos e são muito lidos por matemáticos”, diz Michael. “Artigos mal escritos são ignorados ou, caso seu conteúdo seja importante, são reescritos por outras pessoas.”

Ao seguir conselhos assim, Tatiana Roque escreveu o livro História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo Mitos e Lendas, que lançou em outubro de 2012. Ao longo de seis anos, ela guardou notas de suas conversas com alunos e professores: o que ela disse, o que eles entenderam, o que eles perguntaram a partir do que entenderam, o que ela respondeu diante das perguntas. Com o tempo, foi corrigindo e aperfeiçoando artigos técnicos e o material que usava durante suas aulas. Depois de seis anos, surgiu o livro. “Esse livro foi um prazer.”


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{6}/ Conselho 5: Resolva problemas fáceis

De quando em quando, recomenda Béla Bollobás, o estudante deve trabalhar com problemas ou exercícios mais fáceis, que possam ser resolvidos numa tarde de domingo. Com esse ritual, recordará como a matemática pode ser prazerosa e divertida, e ganhará energia para continuar trabalhando nos problemas cuja resolução leva meses ou anos. “Não se esqueça de tentar resolver versões muito mais simples dos problemas que você está tentando resolver.” Talvez o estudante pense: não tenho tempo para gastar com isso. Bollobás discorda. “Pode não parecer, mas o jovem matemático tem muito tempo.” Conforme avança na carreira, e assume mais responsabilidades, perceberá que o tempo disponível diminui drasticamente.

Resolver problemas fáceis ajuda o matemático a se lembrar (caso já saiba) ou a perceber (caso não saiba) que a matemática é algo mágico. Tatiana gosta de recordar um período no ensino fundamental, em que não estudou apenas o sistema posicional de base 10, mas sistemas de todas as bases. “Viajávamos por vários planetas diferentes, onde os habitantes tinham dois, três, quatro dedos. Era mágico — e a gente entendia!” O jovem matemático não pode se dar ao luxo de esquecer a magia da matemática, ou não aguentará os muitos dias e meses em que vai se sentir o mais burro dos homens. {❏}


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{7}/ Apêndice: Problema P = NP

Suponha que receba uma folha com uma única pergunta: o número 13.717.421 é o produto dos números primos 3.607 e 3.803? Pode verificar a resposta com facilidade — pega uma calculadora, multiplica 3.607 por 3.803 e confere o número no mostrador: 13.717.421. Suponha que receba uma folha com duas perguntas semelhantes a essa, outra com 100 perguntas, outra com 1.500 perguntas — notará que o tempo necessário para responder a todas as perguntas é do tipo tempo polinomial, como dizem os matemáticos. O que querem dizer com isso? Seja t(x) o tempo necessário para verificar x perguntas desse tipo; a fórmula que informa o tempo t em função do número x de perguntas será um polinômio qualquer, como ax3 + bx2 + cx + d.

Agora suponha que receba uma folha com um único número (13.717.421) e que tenha de responder a duas perguntas: Este número é primo ou é composto? Se for composto, quais são seus fatores primos? Verá que vai demorar para achar a resposta. E suponha ainda que receba uma folha com vários números, números cada vez maiores. Verá que o tempo necessário para achar os fatores primos de cada número não é polinomial, mas talvez exponencial: conforme a quantidade x de números a fatorar, ou conforme o tamanho de cada número a fatorar, o tempo necessário à fatoração aumenta muitíssimo mais do que aumentaria se o tempo fosse polinomial.

Esse é um exemplo de problema da classe NP, isto é, um problema fácil de checar em tempo polinomial, mas não necessariamente fácil de computar em tempo polinomial.

Existem ainda os problemas da classe P. É possível provar que tais problemas podem ser computados em tempo polinomial. Por exemplo, quanto tempo leva para uma pessoa pegar papel e lápis e multiplicar dois números de dois algarismos um pelo outro? E dois números de cinco algarismos? E dois números de x algarismos? Essa pessoa levará xk minutos para multiplicar uma lista de x números, sendo k uma constante qualquer: o tempo necessário à computação é do tipo tempo polinomial.

O problema P versus NP funciona mais ou menos assim: será que todo problema NP (fácil de checar em tempo polinomial, difícil de computar em tempo polinomial) é na verdade um problema da classe P (fácil de computar em tempo polinomial), sendo que ninguém descobriu ainda o algoritmo certo de computação? Se alguém provar que P = NP, então esse algoritmo eficiente existe; milhares de matemáticos se lançarão à tarefa de achá-lo. Se alguém provar que P ≠ NP, então o algoritmo não existe. Se P ≠ NP, o sistema de criptografia na internet está a salvo, pois ele presume que é fácil checar se um número A é o produto de dois números primos desde que o internauta saiba de antemão quais números são esses, mas que é dificílimo achar os dois fatores primos se o tal número A for grande demais. (Os sistemas usam um fator primo para criptografar as mensagens e o outro para descriptografá-las.) A primeira pessoa a resolver o problema P versus NP ganhará 1 milhão de dólares do Instituto Clay (nos Estados Unidos) e entrará para a história da matemática e da humanidade.


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 23, dezembro de 2012, pág. 44. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Francisco Bicudo. Tatiana Roque, Lílian Nasser, e Claudio Possani foram entrevistados pelo jornalista. Michael Atiyah, Béla Bollobás, Alain Connes, e Peter Sarnak deram seus conselhos numa passagem do livro The Princeton Companion to Mathematics.

Dentro de nós vivem Agora e Depois

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Uma vez, o poeta chileno Pablo Neruda escreveu algo mais ou menos assim: “De tantos homens que sou, que somos, não posso escolher nenhum deles.” Dois desses homens dentro de nós se chamam Agora e Depois, e para ilustrar como influem nos estudos de matemática, uso a imagem do aprendiz de motorista.

O aprendiz pratica a direção, a troca de marchas, o ofício de estacionar o carro entre balizas, o ajuste do banco e dos espelhos. Em poucas semanas está dirigindo bem, mas, desde o primeiro dia de aula, Agora lhe torra a paciência:

“Como funciona o motor? Como vai dirigir sem saber como funciona o comando de válvulas, a árvore de manivelas, os pistões?”

Ao mesmo tempo, Depois acalma o aprendiz:

“Dá para dirigir sem saber como funciona o motor. Se for necessário, estude isso depois.”

Se o aprendiz dá ouvidos a Depois, começa a dirigir sozinho ao fim de umas poucas aulas, mas, se dá ouvidos a Agora, só começará a dirigir ao completar um curso de engenharia mecânica com especialização em automóveis.

Quando lê sobre a álgebra típica dos conjuntos, o estudante topa com duas regras: A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅, nas quais ∅ representa o conjunto vazio. Elas dizem que a união do conjunto A com o conjunto vazio é o próprio A, e que a intersecção de A com o vazio é o próprio vazio. Dentro do estudante, Agora não se conforma:

“Como alguém pode interseccionar algo com nada? Não avance um passo sem me dar uma resposta satisfatória!”

O estudante lhe dá atenção, e trava diante das duas regras. Antes aceitasse o conselho de Depois, que é: “Siga em frente, estude mais, e faça exercícios; depois entenderá isso melhor.” Avançaria um pouco por dia, estudaria mais e mais, e um dia compreenderia isso melhor.

O segredo de estudar matemática não é sempre desprezar Agora e sempre ouvir Depois, mas reconhecer quando um deles tem razão e o outro não. Agora tende a querer saber os porquês agora, e Depois tende a deixar os porquês para depois, mas às vezes o ansioso Agora tem razão. Por exemplo, dado que o estudante não entendeu direito os motivos pelos quais AA’ = ∅, não é porque deixou de captar a questão mais filosófica do vazio, mas sim porque não entendeu algo mais palpável: a definição de conjunto complementar, que embute a ideia de que um conjunto e seu complementar não têm elementos em comum. Nesse caso, o estudante faz bem ao censurar Depois e considerar o conselho de Agora antes de prosseguir.


595729962Observação: Publiquei esta carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 23, dezembro de 2012, pág. 5. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

Como mostrar incertezas a seu leitor

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Artigo de Mike Pearson e Ian Short

Probabilidades e estatística estão em todo lugar, mas são difíceis de entender, e muitas vezes vão contra a intuição. Os autores deste artigo dizem que uma boa imagem, se não vale mais que as palavras, ajuda bastante.


{1}/ Nunca se desespere no primeiro exame médico

Uma mulher faz exames para ver se tem câncer de mama, e os exames dizem que sim. Qual é a probabilidade de que ela realmente tenha o tal câncer? O leitor (vamos chamá-lo de Ady) consegue deixar essa pergunta mais específica: ele imagina uma comunidade em que 1% das mulheres têm câncer de mama, e imagina um exame (mamografia) capaz de revelar quem tem câncer em 90% dos casos. Em outras palavras: se uma mulher dessa comunidade tiver um câncer de mama, e fizer uma mamografia, existe 90% de chance de que o exame dê positivo; e se uma mulher dessa comunidade não tiver câncer de mama, existe 90% de chance de que o teste dê negativo. Ady imagina então que uma mulher específica fez o exame, que deu positivo: qual é a probabilidade de que ela tenha o tal câncer?

Ady desenha um diagrama de árvore, como o da figura 1 (mais abaixo), para ajudá-lo a visualizar a resposta. (Os dados usados no diagrama são reais, divulgados pelo governo inglês.) No topo da figura 1, Ady escreve “1.000 mulheres”: todas elas fizeram uma mamografia. Debaixo dessas 1.000 mulheres, ele divide o grupo de 1.000 mulheres em dois grupos: as 10 mulheres à esquerda (1%) têm câncer de mama, e as 990 mulheres à direita (99%) não têm. Debaixo desses dois grupos, Ady divide as 10 mulheres com câncer em dois grupos: um deles contém 9 mulheres (90% de 10) cuja mamografia detectou corretamente a presença de um câncer de mama; e um deles contém só 1 mulher (10% de 10) cuja mamografia não detectou o câncer que deveria ter detectado. Além disso, Ady divide as 990 mulheres sem câncer de mama em dois grupos: um deles com 99 mulheres (10% de 990), cujo exame mostrou incorretamente um câncer de mama, e outro grupo com 891 mulheres (90% de 990), cujo exame mostrou corretamente a ausência de câncer de mama. Agora, se Ady quer saber a probabilidade de que uma mulher cuja mamografia mostre positivo para câncer de mama tenha realmente o tal câncer, tudo o que tem a fazer é dividir o número de casos favoráveis pelo número de casos totais: ele tem de dividir 9 por 108 (108 = 9 + 99). Isso dá probabilidade de mais ou menos 8%.

Figura 1

Figura 1

Um visual limpo. Com gráficos como o da figura 1, Ady fornece informação, chama a atenção das pessoas, inspira, influencia. Com gráficos assim, ele resume dados com precisão, revela padrões difíceis de visualizar, e provê conhecimentos para pessoas com dificuldade de interpretar textos mais técnicos. Ao divulgar probabilidades, Ady deve escolher o gráfico com cuidado, principalmente quando as informações são complexas e as circunstâncias, importantes.

Na questão da mamografia, as probabilidades em questão são complicadas, mas Ady consegue explicá-las com simplicidade e beleza ao usar gráficos como o da figura 1; esse tipo de gráfico guia o leitor pela lógica necessária para dissecar o problema. Essa figura 1 tem muitas propriedades desejáveis. Ela é limpa, livre de confusão. Os ícones sugerem o problema em questão, e estão identificados com números e palavras. Quando Ady fixou o tamanho da população em 1.000 mulheres, simplificou a aritmética, e levou todos os resultados possíveis em conta. Finalmente, e isso é importante: Ady escreveu uma breve narrativa para acompanhar o gráfico, que ajuda o leitor a interpretar os dados.

Ady poderia ter desenhado um gráfico como o da figura 2. Desta vez, cada uma das 1.000 mulheres ganhou um ícone só para ela. Ady põe dentro do quadro as mulheres que levaram para casa uma mamografia com positivo para câncer de mama, e pintou de vermelho as 9 mulheres que de fato têm um câncer de mama.

Figura 2

Figura 2: Numa imagem fácil de interpretar, a ideia de que um falso positivo é mais comum que um falso negativo

É útil representar o mesmo conjunto de probabilidades de vários modos diferentes, pois gráficos diferentes chamam a atenção de pessoas diferentes. Mais gente tem usado gráficos parecidos com os da figura 2, pois gráficos assim descrevem as probabilidades usando números fáceis de manejar. Na década de 1920 e na 1930, o filósofo australiano Otto Neurath e seus colegas popularizaram o uso de ícones como meio de comunicar informações. Eles criaram uma linguagem de figuras chamada Isotype, por meio da qual usavam muitos símbolos idênticos para representar números.

A figura 3 mostra um gráfico da escola de Otto Neurath. Em cada linha do gráfico, Otto usou 20 ícones de mulheres, e cada ícone corresponde a 5% da população de mulheres de cada país (em 1930). A mensagem mais surpreendente do gráfico é o grande número de mulheres desempregadas. Otto poderia mostrar os dados dessa imagem numa tabela de números (na verdade, uma tabela junto dessa figura 3 seria útil); contudo, a figura 3 comunica as informações estatísticas com maior força e imediatismo que uma tabela. Otto, ao usar gráficos assim, mostra de imediato uma noção geral da distribuição de empregos, mesmo para leitores ruins de matemática.

Figura 3

Figura 3: Gráfico de barras, feito de ícones, mostrando em que as mulheres trabalhavam (formalmente) em 1930

Figura 4

Figura 4: Um gráfico de barras mostra a probabilidade de que um homem de 57 anos tenha um ataque do coração ou um derrame nos próximos dez anos

A figura 3 é uma visualização de dados históricos, em vez de probabilidades, mas o leitor Ady pode comunicar probabilidades com gráficos de barras, de blocos, de pizza. Com o gráfico de barras da figura 4, Ady mostra qual a vantagem de tomar estatinas (remédios para baixar o colesterol) ao longo de dez anos, no caso de homens saudáveis de 57 anos de idade. Ady desenhou duas barras, claramente rotuladas. Uma delas representa todos os resultados possíveis para 100 homens que não tomam estatinas. A outra barra representa todos os resultados possíveis para 100 homens que tomam estatinas. Ady mostra a diferença essencial entre as duas barras com o segmento amarelo na barra de baixo, que mostra 3 homens entre 100 homens: esses 3 homens tomaram estatina por dez anos, e não sofreram um ataque do coração, nem sofreram um derrame; se não tivessem tomado estatina por todo esse tempo, o excesso de colesterol lhes teria provocado um ataque do coração ou um derrame.

Com frequência, quanto mais complexas as probabilidades, mais importante usar gráficos para comunicá-las. Recentemente [este artigo é de outubro de 2011], o furacão Irene varreu a costa leste da América. Quando o furacão estava perto das Bahamas, os meteorologistas rodaram um programa de computador para prever os caminhos mais prováveis. Eles criaram a figura 5, em forma de espaguete, ao rodar o programa de computador com várias condições iniciais distintas, uma condição ligeiramente diferente da outra. O gráfico indica que há vários futuros possíveis. As probabilidades específicas não aparecem porque o gráfico foi mostrado brevemente numa reportagem da NBC (uma rede americana de TV). A mensagem foi comunicada instantaneamente e brilhantemente.

Figura 5

Figura 5: Plotagem em forma de espaguete mostra os caminhos possíveis do furacão Irene

O que não fazer. Mas nem todo gráfico é um bom gráfico. O exemplo da figura 6 é um exemplo péssimo. Ele representa as probabilidades (dadas como porcentagens) de que os dez melhores jogadores de tênis do mundo (homens) vençam o torneio de Wimbledon 2011. As probabilidades foram adaptadas de chances fornecidas por William Hill, uma empresa inglesa especializada em probabilidades esportivas e apostas. Djokovic venceu o torneio no fim das contas, e de fato era o favorito logo depois que o torneio começou (em junho de 2011). É razoável representar essas porcentagens num gráfico de barras, e esse gráfico está claramente marcado. Contudo, o autor do gráfico obscureceu as informações de várias maneiras: ao usar o efeito de três dimensões, ao usar cones (não era necessário), ao colocar o gráfico em perspectiva. O leitor Ady resumiria essas características negativas como “lixo de gráfico”. Ady tira o lixo do gráfico da figura 6 e produz o gráfico da figura 7.

Edward Tufte, estatístico americano, tem defendido com vigor o minimalismo em gráficos, a exemplo do gráfico na figura 7. Seus livros, incluindo Visual Display of Quantitative Information [Exibição Visual de Informação Quantitativa], valem a leitura.

O gráfico da figura 8 foi produzido pelo portal Kick Off [um portal inglês de internet, especializado em estatísticas sobre esportes], e mostra as probabilidades para um jogo de futebol entre o Liverpool e o Manchester United; o jogo ocorreu no dia 15 de outubro de 2011. A Kick Off desenhou um gráfico atraente, e até mesmo sofisticado, mas esse gráfico engana. A grossura de cada fatia, determinada pelo ângulo no centro do círculo, representa a probabilidade de determinado placar. Tudo bem: esse é o princípio de muitos gráficos de pizza. Mas a Kick Off também pintou a ponta de cada pedaço de pizza com cores chamativas, cujo raio em relação ao centro do círculo varia. Cada ponta colorida representa a mesma probabilidade mostrada pela fatia em que a ponta está. Isso é incomum: usar o raio da fatia, em vez da grossura da batia, para representar um número ou uma probabilidade. Essa escolha tem implicações peculiares; por exemplo, Ady compara a ponta que representa empate de 1 a 1 (12%) com a ponta que representa empate de 0 a 0 (6%). Ele nota que a ponta colorida que representa 12% é muito mais larga que a ponta colorida que representa 6%, embora uma probabilidade seja apenas duas vezes maior que a outra. A Kick Off teria desenhado um gráfico mais claro se não tivesse incluído essa coleção de pontas internas coloridas.

Figura 8

Figura 8

Ady enfrenta armadilhas mais sutis ao apresentar probabilidades, quer escolha comunicação oral, numérica, ou escrita. Talvez a audiência não entenda matemática direito, e talvez se confunda com frações ou não consiga comparar números. A audiência talvez tenha preconceitos, que podem levá-la a interpretar a mensagem de modo irracional. Recentemente, o metrô de Londres divulgou uma frase assim: “99% dos jovens não cometem crimes.” Caso Ady seja preconceituoso a favor dos jovens, ele pode escolher um gráfico que dê valor a 99% — por exemplo, pode mostrar o número absoluto de jovens que não cometem crimes, que, numa população grande como a de Londres, será um número enorme. Caso Ady seja preconceituoso contra os jovens, pode escolher um gráfico que dê valor a 1% — por exemplo, pode mostrar o número absoluto de jovens criminosos, e omitir o número total de jovens. Neste caso, Ady faz bem se desenhar um gráfico com 100 ícones, com apenas 1 ícone em destaque; esse é um jeito adequado de apresentar a probabilidade, porque inclui todas as possibilidades, e lhes dá peso igual.

A inovação dos computadores. Com o avanço dos computadores e da internet, houve uma explosão de dados representados por meio de gráficos — eles são conhecidos por infográficos. Ady consegue achar uma grande quantidade de dados na internet, e também pode usar a internet para criar seus próprios gráficos e distribuí-los a um grande número de pessoas. Esses gráficos não precisam ser estáticos; ao contrário, podem ser dinâmicos e interativos, o que abre um mundo de possibilidades antes inconcebíveis (tanto para o bem quanto para o mal). Artistas como Ben Fry e Dave McCandless, e jornais como o The New York Times e The Guardian fazem gráficos muito bons. Programas como o Protovis e o D3 proveem ferramentas para Ady criar suas próprias visualizações, e portais como o Many Eyes e o Tableau Public geram gráficos estatísticos automaticamente assim que eles recebem os dados.

Figura 9

Figura 9

Para gerar a figura 9, Ady usou os mesmo dados da figura 6. Ady tirou os dados da William Hill e os colocou no portal Many Eyes, e depois embelezou o resultado. (Desta vez, contudo, ele usou as estatísticas dos 24 tenistas principais.) O tamanho das palavras é proporcional à probabilidade do jogador vencer o torneio de Wimbledon 2011, ou pedaço do retângulo é proporcional à probabilidade. Um problema da maioria dos gráficos muito requintados, ou muito diferentes, é que é difícil ver os números em si — é mais fácil ver como os números se comparam uns com os outros. Além disso, palavras longas aparecem mais! Ady sabe que o segredo é unir os dois (tamanhos relativos e comparações), como num gráfico de pizza bem-feito: o tamanho mostra como os números se comparam entre si, mas Ady também inclui os números para que o leitor tire suas próprias conclusões.

Figura 10

Figura 10: Escala linear ampliada mostrando as mortes causadas por poluição, comparadas com as mortes causadas por outros motivos

Gráficos interativos tem grande potencial no campo de visualizar probabilidades, ou visualizar dados em geral. O Gapminder, o portal já famoso de Hans Rosling, maneja dados complexos de modo bonito, e é particularmente instrutivo quando acompanhado de uma narrativa. Em geral, gráficos interativos encorajam o leitor ou a audiência a se relacionar com as visualizações, ativamente, em vez de apenas olhar, passivamente; a interação ajuda o leitor a entender a informação e a se lembrar dela. Ady pode enriquecer os gráficos com dicas, hyperlinks e outras características dinâmicas; pode incluir botões para dar ao usuário a chance de adaptar os gráficos à suas preferências. O Conselho Americano de Ciência e Saúde criou uma ferramenta interativa chamada Riskometer, mostrada na figura 10, que inclui muitas dessas características. A ferramenta mostra as causas de mortes nos Estados Unidos, e porque as probabilidades em questão são pequenas, há uma ferramenta de zoom, que é ilustrada pela lente de aumento.

Com essas novas tecnologias na computação e nos infográficos, Ady tem grande potencial para dar vazão à sua criatividade — e também grande potencial para poluir seus gráficos e infográficos com lixo. Ao buscar na internet, ele encontra muita coisa dos dois tipos: gráficos criativos e gráficos cheios de lixo. Não existem leis imutáveis e simples para criar gráficos que comuniquem probabilidades, mas se Ady mantém os conhecimentos da audiência em mente, apresenta a informação claramente e sem preconceito, usa narrativas, e compara várias versões de gráficos antes de se decidir por uma delas, então criará imagens com maior chance de sucesso. {❏}


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{2}/ Apêndice: O exame negativo é mais confiável

Uma mulher faz uma mamografia e leva para casa um exame negativo para câncer de mama. Da mesma forma que um positivo provavelmente é um falso positivo, um negativo nunca é 100% negativo…

Usando os mesmo dados da figura 1: a probabilidade de que um exame negativo para câncer de mama represente a ausência de um câncer de mama é o número de casos favoráveis (891) dividido pelo número de casos possíveis (892) — ou seja, é de 99,89%. É alta.

Existe aqui uma regra: a probabilidade de que um exame positivo para certa doença indique mesmo a existência dessa doença é sempre muito mais baixa do que a probabilidade de que um exame negativo para certa doença indique mesmo a não existência da doença. Em português: Se alguém tira um exame positivo para certa doença, deve fazer mais exames; se tira um exame negativo, pode ir para casa tranquilo. {FIM}


Observações:

1. Publiquei pela primeira vez esta adaptação do artigo de Short e Pearson na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 12, janeiro de 2012, pág. 48. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. Os gráficos, retrabalhados a partir dos gráficos no artigo original, são do artista gráfico Henrique Arruda.

3. Sobre os autores: Ian Short é professor de matemática na Open University, da cidade de Milton Keynes (Inglaterra). Mike Pearson se especializou em mostrar números e estatísticas por meio de gráficos e de animações. Os dois publicaram este artigo na revista inglesa Plus Magazine, que é uma iniciativa da Universidade de Cambridge. Caso queira ler o artigo no original em inglês, clique aqui.