Jogue dados para ver como os instintos às vezes falham

Todo mundo sabe um pouco de probabilidades por instinto, mas um professor de Ilha Solteira recomenda: jogue dados. Você verá que, sem matemática, seus instintos servem de pouca coisa.


José Marcos Lopes/ Arquivo pessoal


Todo sábado pela manhã, José Marcos Lopes, professor de matemática da Universidade Estadual Paulista (Unesp), dirige de Ilha Solteira (SP), onde mora e trabalha, até Auriflama (SP), uma cidadezinha a 100 quilômetros de Ilha Solteira. José faz isso há cinco anos. Em Auriflama, ele segue até a Escola Estadual Professora Maria Pereira de Brito Benetoli, onde se reúne com sete professoras de matemática. “A região de Auriflama é pobre”, diz José. “Essas professoras trabalham de dia e de noite, e mesmo assim não faltam aos nossos encontros.”

Tais reuniões são parte de um projeto da Unesp, por meio do qual seus professores ajudam os professores de escolas públicas a testar novas técnicas de ensino. José gosta do projeto porque ele resolve dois problemas: tem o que publicar, na condição de cientista, e ajuda a “melhorar a qualidade do ensino”. Foi José quem procurou as professoras de Auriflama, e propôs novos jeitos de ensinar probabilidades; ele se preocupa com o ensino de probabilidades desde 1978. As professoras se interessaram imediatamente. “Muitos professores de matemática não compreendem os conceitos mais complexos”, diz José, “pois acham difícil discutir o assunto com os estudantes.”

As professoras recorriam aos livros didáticos distribuídos pelo governo brasileiro, mas escolheram um livro que mostra os conceitos principais, brevemente, e sugere uns poucos exercícios. Elas não conseguiam explicar os conceitos para além do livro didático, e os estudantes não conseguiam se virar sozinhos. “Se o aluno só aprende a usar a fórmula que o livro dá”, diz José, “quando o tipo de problema muda, a vida dele vira um inferno.” José não acha que o problema principal seja deixar uma questão de uma prova em branco. O problema principal é viver numa sociedade complexa como a nossa sem entender um pouco de probabilidade. “Nesse caso, qualquer um pode ser ludibriado.”

A matemática dos cassinos. No século 16, o matemático Girolamo Cardano estudou probabilidades a sério: ele jogava para ganhar dinheiro, isto é, os jogos de azar eram seu meio de vida. Numa época em que as pessoas apostavam o que podiam porque estavam vestindo as meias da sorte, Cardano às vezes ganhava o suficiente para alimentar a família e quitar dívidas. Ele entendeu que um sujeito, se pretende saber qual é a chance de que algo aconteça, precisa contar todas as possibilidades. Segundo Alex Bellos, autor de Alex no País dos Números, Cardano estudou jogos (especialmente jogos de dados) até notar que, se uma iniciativa pode transcorrer de vários modos, todos igualmente possíveis, então a probabilidade de que a iniciativa seja boa é igual à proporção entre os resultados favoráveis da iniciativa e todos os resultados possíveis. No caso dos dados comuns, com seis faces: a probabilidade de conseguir o número 1 é de 1/6. A probabilidade de jogar um dado comum e conseguir um número par é de 3/6, ou, simplificando, de 1/2. “A probabilidade da impossibilidade é 0”, escreve Alex. “A da certeza é 1 e o resto está no meio.”

Se a probabilidade de um evento está perto de zero, é um evento bastante improvável; se está perto de 0,5, é tão provável quanto improvável; e, se está perto de 1, é muito provável.

Essa ideia simples custou à humanidade vários séculos de pensamento. Gregos, romanos, e indianos amavam os jogos de azar, e sabiam matemática, mas não acreditavam em acaso. Qualquer coisa que acontecesse era, na verdade, o capricho de algum deus; por conta disso, não inventaram nenhuma teoria das probabilidades que prestasse. (Até hoje muita gente abre a Bíblia ‘ao acaso’, e lê as duas páginas com grande atenção, pois acredita que elas foram escolhidas por Deus.) Porque pensavam que a realidade era dirigida por um deus, ou por vários, não fazia sentido estudar probabilidades — era melhor estudar como os deuses pensam e agem.

Jogadores como Cardano desconfiaram que jogar com a ajuda da matemática era mais lucrativo que jogar por intuição ou por fé. (Ora, então a teoria das probabilidades nasceu graças a pecadores?) “A probabilidade surgiu, de fato, para explicar os jogos de azar”, diz José Marcos. Com o tempo, os donos das casas de jogos, hoje conhecidas como cassinos, usaram as probabilidades para ganhar sempre.

A teoria das probabilidades que todos os brasileiros estudam na escola básica está baseada na teoria publicada em 1812 por Pierre-Simon Laplace; ele foi o primeiro a usar uma fórmula parecida com a que se usa hoje:

Essa fórmula diz o mesmo que Cardano descobriu no século 16: se S é um espaço amostral, isto é, um conjunto não vazio com número finito de elementos discretos, que representam todos os possíveis resultados de um experimento x, como o experimento de jogar um dado; se cada um dos resultados de S é igualmente possível, isto é, se cada elemento de S talvez aconteça, ou talvez não aconteça, exatamente como qualquer outro elemento de S; e se A é um subconjunto de S, que representa uma coleção de possibilidades específicas do experimento x; daí a probabilidade do evento A é o número n(A) de elementos contidos em A dividido pelo número n(S) de elementos contidos em S. Na escola, essa ideia aparece na frase: “Os casos que interessam divididos pelos casos totais.” Em 1933, o matemático russo Andrei Nikolaevitch Kolmogorov usou a teoria dos conjuntos, e sua notação, para dar rigor axiomático às descobertas de Cardano e de Laplace.

O limite da intuição. Boa parte dos brasileiros chega ao ensino médio sem ter estudado uma única linha de probabilidades; como no século 16, antes de Cardano, eles usam a intuição. João Vitor Teodoro, mestrando em estatística e experimentação agronômica na Universidade de São Paulo (USP), explica as consequências: “A intuição nos ajuda a entender as consequências de um experimento só até certo ponto.” A palavra-chave é experimento. É uma das primeiras palavras técnicas que o estudante do ensino médio aprende. Num experimento aleatório, é impossível prever o resultado, por mais vezes que o estudante realize o experimento. Por exemplo, jogar dois dados. Vamos supor que o estudante jogue uma vez e obtenha seis e seis ( isto é, com notação mais simples, obtenha D6 e D6); que jogue outra vez e obtenha D6 e D6; que jogue outra vez e obtenha D6 e D6. Qual é a chance de, na quarta vez, obter D6 e D6? É 1/36, ou seja, tanto quanto antes. Na prática, guiado pela intuição, nenhum jogador acredita nisso. Depois de jogar dois dados comuns 500 vezes seguidas, e tirar D1 e D1 500 vezes, o jogador acredita que já passou da hora de tirar D6 e D6, que os deuses lhe devem D6 e D6; no entanto, a chance de tirar D6 e D6 depois de 500 vezes D1 e D1 é de 1/36. O jogador foi vítima da famosa falácia de jogador, a ideia de que o histórico de um evento aleatório tem alguma influência sobre o futuro.

José Marcos diz que os professores conseguem ensinar o que é experimento aleatório (jogar dois dados), espaço amostral (36 combinações), evento (tirar D6 e D6). Mas muitos dos professores não conseguem ensinar o resto: a probabilidade de que um evento não ocorra, a probabilidade de que um evento ocorra se outro evento ocorreu antes. “É nessa hora que, se o professor não tem o treinamento adequado, surgem as dúvidas.”

A certa altura, diz José, o professor vai pegar o livro didático e escrever na lousa a famosa fórmula da probabilidade condicional:

O professor vai encarar a classe. Caras de dúvida. A classe vai encarar o professor. Cara de dúvida também.

É difícil entender a ideia de probabilidade condicional, diz José. O estudante deve visualizar vários conjuntos, alguns deles com elementos em comum, e todos eles dentro do espaço amostral (para saber mais sobre isso, veja a postagem “Doentes Perfeitamente Saudáveis” deste blogue). Em alguns casos, só é possível avaliar o tamanho do espaço amostral com ferramentas da matemática discreta, especialmente a análise combinatória, mas os estudantes desanimam com as permutações, os arranjos, as combinações, os fatoriais. (Não é à toa que tanta gente chame a análise combinatória de análise embananatória.) João Vitor, o mestrando da USP, diz que, quando os estudantes olham essas ideias “de fora”, elas parecem caídas do céu, e desinteressantes. “O estudante precisa ser colocado dentro de um problema”, diz João Vitor. “Só assim ele aprenderá a teoria.”

História refeita. Em Auriflama, sob a supervisão de José Marcos, cada uma das sete professoras tem posto os estudantes para jogar dados. É sobre isso que ele e elas conversam aos sábados pela manhã. “Usando um jogo de dados”, diz José, “o professor consegue envolver os estudantes.”

Primeiro o professor explica as regras do jogo, mas não explica nada de probabilidades. Quando os estudantes estiverem habituados com o jogo e suas regras, algumas perguntas surgem por si mesmas. É o momento de entrar com a teoria; como diz um ditado comum entre professores, “Não dê respostas a quem ainda não fez as perguntas.”

No jogo de José Marcos, chamado de bozó, o estudante desenha um tabuleiro (uma tabela) com quatro colunas e várias linhas:

Fu Seguida Quadrada General

Se o estudante tirar duas faces distintas, mas não em sequência (como D1 e D5), ele marca a soma das duas faces na coluna Fu. Se ele tirar duas faces em sequência (como D4 e D5 ou D5 e D4), ele marca 20 pontos na coluna Seguida. Se ele tirar duas faces iguais, mas diferentes de D6, ele marca 30 pontos na coluna Quadrada. Se ele tirar duas faces iguais a D6, ele marca 50 pontos na coluna General. Cada jogador, a cada lance, pode jogar duas vezes: se não gostar dos dois dados da primeira vez, pode jogá-los de novo; se gostar de um dado, mas não do outro, pode manter o dado de que gostou e jogar o outro de novo. E se o jogador tirar uma seguida, uma quadrada, ou um general no primeiro lançamento, ele marca 5 pontos extras (25 para seguida, 35 para quadrada e 55 para general). Essa boa jogada de primeira é chamada “de boca” — a melhor coisa do mundo é, portanto, tirar general de boca.

Não demora muito para que os estudantes venham para a aula com tabelas de possibilidades. Se um jogador tira D6 e D1, em vez de marcar 7 na coluna Fu, é melhor manter o D6 e jogar o outro dado de novo: está claro que o jogador tem uma chance em seis de ficar como estava e cinco chances em seis de melhorar, incluindo uma chance em seis de marcar 50 pontos na coluna General. O nome disso? Probabilidade condicional. Se o jogador tira D5 e D3, ele pode marcar 8 pontos na coluna Fu, ou então pode olhar sua tabela de probabilidades: tem duas chances em seis de piorar, uma chance em seis de permanecer como estava, e três chances em seis de melhorar, inclusive uma chance em seis de tirar D5 mais uma vez e marcar 30 pontos na coluna Quadrada. Quase sem perceber, o estudante trabalha ideias como espaço amostral e evento independente.

Para estimular a classe, o professor vai fazendo perguntas, e lá pela décima pergunta a classe vai ouvir, com grande interesse, uma explicação sobre probabilidade condicional. O aluno entende que, uma vez feito o primeiro lançamento dos dados, ele passa a lidar com um espaço amostral menor, que é subconjunto do espaço amostral com 36 possibilidades.

Duas perguntas interessantes:

1) Qual é a probabilidade de conseguir general no primeiro lançamento? (Chame isso de Pr(G1).) São 36 arranjos das seis faces dos dois dados, dos quais só um é igual a D6 e D6. Logo:

2) Qual é a chance de conseguir general com dois lançamentos? (Chame isso de Pr(G2).) Neste caso, são três possibilidades. Na primeira, o estudante joga os dados e consegue (D6, D6) de boca, como no caso da pergunta 1. Na segunda, ele joga os dados e obtém (D1, D6), (D2, D6), (D3, D6), (D4, D6), (D5, D6), (D6, D5), (D6, D4), (D6, D3), (D6, D2), ou (D6, D1), reserva o dado com a face 6 e joga o outro dado para ver se obtém D6. Na terceira, ele joga os dados e obtém (D1, D1), (D1, D2), (D1, D3), (D1, D4), (D1, D5), (D2, D1), (D2, D2), (D2, D3), (D2, D4), (D2, D5), (D3, D1), (D3, D2), (D3, D3), (D3, D4), (D3, D5), (D4, D1), (D4, D2), (D4, D3), (D4, D4), (D4, D5), (D5, D1), (D5, D2), (D5, D3), (D5, D4), ou (D5, D5), e depois joga os dois dados de novo para obter (D6, D6). Sendo assim:

José diz que, ao todo, esse jogo vai exigir umas 30 horas de aula. O professor deve propor o jogo antes das primeiras aulas sobre probabilidades, de modo que, quando as primeiras aulas chegarem, os estudantes estejam cheios de perguntas na cabeça.

Em Portugal. Segundo as professoras de Auriflama, os jogos em sala de aula funcionam bem. Nesses cinco anos de projeto, José já recebeu telefonemas e e-mails de outros professores do Brasil. Em outubro [de 2011], foi apresentar o projeto num congresso em Portugal.

Contudo, avisa José, os estudantes continuam dando trabalho. Eles adoram jogar, mas reclamam quando são obrigados a pensar sobre o jogo. “Eles dizem que não gostam de resolver problemas.” O professor, diz José, deve se esforçar para passar a seguinte ideia: quem aprender a teoria vai se transformar num jogador imbatível. Sendo assim, não seja o único Zé Mané da classe: aprenda a teoria.

Agora José Marcos está trabalhando no Medvar, um jogo feito para estimular o estudante a examinar ideias importantes da estatística, como média, variância, desvio padrão. Desta vez, o estudante vai usar cinco dados. “Os professores ainda estão sendo treinados nesse novo jogo”, diz José. Enquanto isso, ele toma notas sobre como usar baralhos em sala de aula. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 11, dezembro de 2011, pág. 46. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas os fatos são os que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Claudia Tozetto.

3. Atenção ao sentido técnico das palavras “aleatório”, “estocástico”, e “determinístico”. (As definições a seguir funcionam para espaços amostrais não vazios, discretos, e finitos, que são os mais comuns na modelagem de problemas cotidianos.) Um espaço amostral S é aleatório quando a probabilidade de qualquer elemento de S é a mesma de qualquer outro elemento, isto é, para quaisquer dois elementos x, y de S, Pr(x) = Pr(y). O exemplo clássico é o do dado comum, não viciado. Um espaço amostral S é determinístico quando a probabilidade associada a um dos elementos x de S é igual a 1, isto é, Pr(x) = 1; isso implica que, para qualquer elemento y de S, com yx, Pr(y) = 0. Um exemplo é o dado que só tem lados iguais a D6, de modo que Pr(D6) = 1 e Pr(D1) = Pr(D2) = Pr(D3) = Pr(D4) = Pr(D5) = 0; outro exemplo é o da moeda com duas caras, ou então com duas coroas. Um espaço amostral S é estocástico quando não é aleatório nem é determinístico, isto é, quando todo elemento de S tem probabilidade menor do que 1, e pelo menos um elemento de S tem probabilidade maior que a de pelo menos um outro elemento de S. O exemplo clássico é o do dado viciado; por exemplo, o dado no qual Pr(D6) = 0,8, Pr(D5) = 0,1, e Pr(D4) = Pr(D3) = Pr(D2) = Pr(D1) = 0,025. Sendo assim, na linguagem corrente, quando alguém diz que certo evento é aleatório, quase sempre quer dizer que é estocástico, pois o número de eventos estocásticos é, digamos assim, infinitamente maior que o número de eventos aleatórios.

O jogo dos seis cartões para pôr em ordem


Num jogo, quatro jovens descobrem que fazer matemática não é simplesmente aplicar fórmulas consagradas a problemas conhecidos, mas prestar atenção, conversar, se organizar, pedir um tempo, imaginar cenários. Não é apenas a questão de obter conhecimentos técnicos, mas de cultivar hábitos proveitosos.

* * *

Em Perdizes, bairro de São Paulo (SP) colado ao estádio do Palmeiras, existe o Colégio Brasil-Canadá. São duas casas lado a lado e há pouco espaço, de modo que as classes são pequenas. A turma do terceiro ano do ensino médio, por exemplo, só tem cinco alunos. Algumas das aulas são em inglês, e outras, como a de matemática, em português. Numa quinta-feira de junho de 2013, na segunda aula da manhã, a professora de matemática Yamara Regatieri entrou na sala e anunciou aos alunos que iriam resolver um problema.

“Podem ficar calmos”, disse Yamara, “porque vocês conseguem resolvê-lo.”

Sem esperar mais, pegou um pincel atômico e escreveu o problema no quadro branco:

Na mesa à sua frente, há seis cartões com números escritos neles, mas os números estão virados para baixo, de modo que não pode vê-los. Você tem permissão de escolher quaisquer dois cartões entre os seis, e de perguntar qual dos dois é o maior. (Mas não poderá ver os números.) O problema: Quantas perguntas desse tipo terá de fazer antes que seja capaz de colocar os cartões em ordem crescente, da esquerda para a direita? (Do seu ponto de vista.)

Um dos alunos havia faltado, então estavam na classe apenas quatro jovens: Vitor, Yasmimm, Thales, e Felipe. Enquanto a professora escrevia, Felipe copiava o texto no caderno, Vitor lia o texto no quadro, Thales e Yasmimm conversavam. Quando a professora terminou de escrever, começou um breve motim:

“Não entendi o que é para fazer!”, disse Yasmimm.

“É, professora: não entendi nada!”, apoiou Thales.

Yamara não deu trela. Explicou o problema nas palavras dela (pois propôs o problema à classe a pedido da revista Cálculo: Matemática para Todos), disse que os alunos teriam de bolar uma estratégia, mostrou as cartas, reforçou o fato de que o problema não é colocar as cartas em ordem, mas sim dizer quantas perguntas, no mínimo, uma pessoa deve fazer até que seja capaz de colocar as cartas em ordem.

Os quatro demoraram a entender o jogo. De repente, Yasmimm, que a princípio parecia desinteressada, assumiu o comando. Perguntou à professora qual era a carta maior entre as duas primeiras, à esquerda. A partir daí, os quatro se tornaram mais ativos, e meio que aceitaram o comando de Yasmimm; passaram a perguntar, carta por carta, qual era maior ou menor em relação à primeira da fila. Mas faziam perguntas e não anotavam nada em nenhum lugar. Felipe criticou o método. Depois de perguntar carta por carta, fizeram a mesma sequência de perguntas mais uma vez, mas fizeram uma mesma pergunta duas vezes e se esqueceram de fazer outra. Felipe puxou um caderno para tomar notas, mas parecia perdido — não sabia o que anotar, nem como. A certa altura, Yasmimm se convenceu de que as cartas já estavam na ordem crescente da esquerda para a direita. Pediram para a professora revelar as cartas: a quarta e a quinta cartas estavam fora de ordem. Os quatro jovens não foram capazes de esconder o desânimo.

Notação e algoritmo. Esse é um problema difícil, com o qual o professor vai ajudar seus alunos não a aprender a matemática escolar, exatamente, mas sim a dar valor para certos hábitos que ajudam muito na resolução de problemas. O primeiro hábito é: antes de partir para a resolução do problema (neste caso, antes de começar a fazer perguntas), compreenda o problema. Se os quatro alunos tivessem tido a ideia de fazer umas simulações no caderno, antes mesmo de fazer a primeira pergunta, é bem provável que, com uns 20, 30 minutos de trabalho, chegassem a um algoritmo eficiente. Para isso, teriam de ter dito à professora: “Pode nos dar um tempo, até que tenhamos entendido o problema?” Ter a coragem de pedir esse tempo é essencial em situações reais. Outros hábitos úteis são: exponha o que está pensando, ouça o que seus colegas têm a dizer e, principalmente, bole uma notação que te ajude a pensar. Dizem que a matemática é a arte de pensar, mas talvez fosse melhor descrevê-la como a arte de pensar com papel e caneta nas mãos.

Visto que o estudante não pode mover as cartas de lugar, tem de bolar um jeito de batizá-las e de controlar qual é maior, qual é menor. Há muitas maneiras de fazer isso. Um bom jeito é dar nome às cartas: A, B, C, D, E, F, sendo A a carta mais à esquerda e F a carta mais à direita. Depois disso, controlar as comparações, ou seja: qual carta o estudante já comparou com qual carta, e qual foi o resultado da comparação? Tomando emprestado a notação típica das relações binárias, o estudante pode escrever assim:

ApB (ABC)

ApB (BAC)

Com a primeira linha, quis dizer: “Perguntei à professora qual das duas cartas é maior, A ou B. Ela me disse que A é menor que B, então mantive as cartas na ordem em que estavam.” Com a segunda linha, quis dizer o contrário: “Perguntei à professora qual das duas cartas é maior, A ou B. Ela me disse que A é maior que B, então mudei a ordem das cartas.” Além de uma boa notação, o estudante precisará de um algoritmo. Como colocar as cartas em ordem, sabendo que o professor pode enfileirar as seis cartas de 720 maneiras distintas? (Pois 6! = 720; no portal Wolfram-Alpha, basta escrever na linha de comando RandomSample[{1, 2, 3, 4, 5, 6}] que o portal devolve os seis números embaralhados ao acaso; é um recurso útil para fazer simulações.)

Para colocar as três primeiras cartas em ordem, o estudante começa como Yasmimm começou: pergunta qual é maior, A ou B. Se não houver mudança, pergunta qual é maior, B ou C. Se de novo não houver mudança, significa que as três cartas já estão em ordem. Esse é o caso mais simples. No caso mais complicado, o estudante irá na seguinte ordem: ApB (BAC), ApC (BCA), BpC (CBA); isso significa que a sequência correta é CBA, isto é, depois de três perguntas, o estudante dirá: “Professor: para colocar as três primeiras cartas em ordem crescente da esquerda para a direita, troque as cartas A e C de lugar.” Com a tabela 1, o estudante vê as seis situações possíveis para as primeiras três cartas; a segunda linha mostra a situação inicial, a terceira linha mostra a primeira pergunta, a quarta linha mostra a situação após a primeira pergunta, etc. Só nas situações 1 e 3 ele consegue arrumar as três cartas com apenas duas perguntas: é quando não troca as cartas na primeira pergunta nem na segunda; ou é quando troca as cartas na primeira pergunta, mas não na segunda. Nas demais situações, ele é obrigado a fazer três perguntas, pois, visto que não vê os números, não tem como distinguir a situação 2 da 4, nem a situação 5 da 6.

Tabela 1

Situação 1

Situação 2

Situação 3

Situação 4

Situação 5

Situação 6

ABC

123

ABC

132

ABC

213

ABC

231

ABC

312

ABC

321

ApB

ApB

ApB

ApB

ApB

ApB

ABC

123

ABC

132

BAC

123

ABC

231

BAC

132

BAC

231

BpC

BpC

ApC

BpC

ApC

ApC

ABC

123

ACB

123

BAC

123

ACB

213

BCA

123

BCA

213

ApC

BpC

CAB

123

CBA

123

Feito isso, o estudante terá de colocar a quarta carta no lugar correto (isto é, a carta D). Um jeito simples de continuar: ele pergunta se a carta D é maior ou menor que a carta à esquerda — não à esquerda em cima da mesa, mas à esquerda na tabela do estudante (no caderno). Por exemplo, se tiver passado pela situação 6, seu caderno conterá o seguinte encadeamento de símbolos: ApB (BAC), ApC (BCA), BpC (CBA). Que pergunta terá de fazer? “Professor: a carta D é maior ou menor que a carta A?” Se D for maior que A, a sequência para aí, e as quatro primeiras cartas ficam sendo CBAD. Se D for menor que A, a sequência fica sendo CBDA, mas daí o estudante tem de perguntar BpD, isto é: “A carta B é maior ou menor que a D?” Se D for maior que B, a sequência para aí, e fica sendo CBDA. Mas, se D for menor que B, o estudante deve seguir fazendo a mesma pergunta. No pior caso, o estudante parte da situação 6 e segue assim: ApD (CBDA), BpD (CDBA) e CpD (DCBA). O mesmo método funciona para a quinta carta e a sexta.

No fim das contas, com seis cartas, no melhor caso (em que as cartas já estão em ordem: 1, 2, 3, 4, 5, 6), o estudante fará cinco perguntas: ApB (ABCDEF), BpC (ABCDEF), CpD (ABCDEF), DpE (ABCDEF) e EpF (ABCDEF). No pior caso (6, 5, 4, 3, 2, 1), fará 15 perguntas: ApB (BACDEF), ApC (BCADEF), BpC (CBADEF), ApD (CBDAEF), BpD (CDBAEF), CpD (DCBAEF), ApE (DCBEAF), BpE (DCEBAF), CpE (DECBAF), DpE (EDCBAF), ApF (EDCBFA), BpF (EDCFBA), CpF (EDFCBA), DpF (EFDCBA) e EpF (FEDCBA). Esses dois casos extremos são raros: a probabilidade de cada um deles é de 1/720, ou 0,14%.

Essa é, portanto, uma resposta razoável para o problema posto no quadro pela professora Yamara: para colocar os cartões em ordem crescente, da esquerda para a direita, o estudante deve fazer entre 5 perguntas e 15 perguntas.

Teorema de Thales. Depois da primeira tentativa fracassada, Yamara embaralhou as cartas e começou de novo; os quatro estudantes resolveram seguir a mesma estratégia. Logo descobriram que a primeira carta (A) era a mais baixa de todas, e ficaram obcecados com essa informação: conferiram isso mais vezes do que seria necessário. Yamara interrompeu:

“Vocês não estão prestando atenção, e não estão usando a lógica!”

Pensando bem, é uma boa lição: sem atenção, não há lógica. Depois de 12 perguntas, acertaram a sequência. Na terceira e na quarta rodadas, estranhamente, ficaram mais perdidos; repetiam as perguntas e não usavam as respostas para ordenar as cartas. A certa altura, Yamara passou o recado, mas de forma doce:

“Vocês não se organizam…”

Eles começaram a ficar impacientes. De vez em quando, Yasmimm se via obrigada a perguntar algo que já tinha perguntado, e fazia uma cara de ‘mas que droga, não me lembro direito, e agora vou ter de gastar uma pergunta para saber o que eu já sabia’. Vitor, o mais quieto dos quatro, tentava propor métodos alternativos, mas não era ouvido. A certa altura, Felipe interrompeu:

“Professora, isso é arranjo ou combinação? Qual é a fórmula do arranjo?”

Mais tarde um pouco, Thales também fez uma pergunta semelhante:

“Dá para descobrir matematicamente a lógica das perguntas? Por enquanto, a única coisa que a gente sabe é qual o menor de todos!”

As duas perguntas revelaram a vontade de saber uma fórmula mágica, que, se aplicada, resolveria o problema sem obrigá-los a gastar tanta energia com pensamentos. Um pouco antes da quinta rodada, Thales se saiu com essa:

“Vou inventar um teorema para resolver esse problema: um teorema de Thales!”

Todo mundo riu, e a piada fez efeito: os jovens passaram a curtir mais o problema, e seu desempenho melhorou. (Mark Twain: “O humor é a maior bênção sobre a humanidade.”) Yasmimm já tinha notado, nas rodadas anteriores, que eles não deviam fazer cada pergunta para saber mais sobre duas cartas, mas para saber mais sobre a sequência de cartas como um todo. Na quinta rodada, pensando em grupos de três cartas, grupos de quatro cartas e assim por diante, eles puseram as cartas em ordem com apenas oito perguntas. Quando o sinal tocou, em vez de sair correndo, tanto os jovens quanto a professora quiseram ficar na sala mais um pouco, conversando sobre o problema. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 31, agosto de 2013, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita. As informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas, assim como a observação participante, foram feitas pela jornalista Maria Fernanda Ziegler de Castro.

3. Um detalhe curioso sobre pôr seis cartas em ordem: conforme a situação inicial, algumas soluções têm ponto fixo, isto é, cartas que não mudam de lugar.

4. Eu disse no texto: “Esse é um problema difícil, com o qual o professor vai ajudar seus alunos não a aprender a matemática escolar, exatamente, mas sim a dar valor para certos hábitos que ajudam muito na resolução de problemas.” Vale dizer que a matemática é, pura e simplesmente, a arte de resolver problemas; mais precisamente: a matemática é a arte de resolver problemas e de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos o problema foi resolvido corretamente. Assim, se o problema das seis cartas não ajuda o professor a passar o conteúdo da matemática escolar, ele ajuda a ensinar matemática.

Esse ponto é importante, e vale a pena explorá-lo um pouco mais. Segundo o lógico britânico Wilfrid Hodges, lógica e jogos são completamente equivalentes: não há lógica que não possa ser convertida num jogo, e não há jogo que não possa ser convertido numa lógica. Essa afirmação vale também para a lógica matemática, segundo Hodges. Assim, o leitor pode ver a matemática como sendo um jogo: os axiomas e as definições são como o tabuleiro e as peças do jogo; as regras de inferência são como as regras do jogo, isto é, as regras pelas quais movimentar as peças no tabuleiro; e cada posição das peças no tabuleiro, a partir da posição inicial (inclusive), é um teorema. (Desde que as peças tenham sido movidas de acordo com as regras do jogo, isto é, de acordo com as regras de inferência.)

Usemos agora as informações dos parágrafos anteriores para definir melhor a matemática:

A matemática é a arte de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos os axiomas, as definições, e as regras de inferência de certa área da matemática tornam verdadeira certa afirmação matemática, conhecida como teorema. Ou, dito de outra forma, completamente equivalente à forma anterior (mutatis mutandis), a matemática é a arte de explicar, tim-tim por tim-tim, por quais motivos certa posição num jogo matemático se segue naturalmente do tabuleiro abstrato, das peças abstratas, da posição abstrata inicial, e das regras do jogo.

Se a escola conseguisse incutir nos alunos o amor por todo tipo de jogo e a ideia de que resolver um problema matemático é completamente equivalente a vencer um jogo, acho que cumpriria seu papel social magistralmente, pois prepararia cada aluno para lidar com a principal característica das sociedades atuais: sua pesada dependência de máquinas de estados finitos, máquinas discretas, conhecidas como “computadores”. É perfeitamente possível ver máquinas de Turing como sendo jogos.

5. Wilfrid Hodges e Jouko Väänänen escreveram um artigo muito legal sobre lógica e jogos para a Enciclopédia de Filosofia de Stanford: clique aqui.

Quando um número complexo é também irracional


Diga: 2√2 é um número transcendente ou não é?

Matemáticos com experiência em teoria dos números batem o olho no termo “2√2” e respondem, de imediato: “É sim um número transcendente, porque 2 é um número complexo diferente de 0 e de 1, e também é um número algébrico; além disso, √2 é um número algébrico que é irracional.”

Eles são ligeiros na resposta porque conhecem o teorema de Gelfond-Schneider. Para acompanhar uma prova desse teorema, e entender todos os detalhes técnicos, o leitor precisa de uns poucos anos de estudos, mas o teorema em si é fácil de expressar e de entender:

Teorema de Gelfond-Schneider. “Considere dois números complexos a e b. Se a e b são números algébricos com a ≠ 0, a ≠ 1, e b irracional, daí qualquer valor de ab é um número transcendente.”

Se é assim, diga: 2i é um número transcendente ou não é?

Caso não tenha experiência com teoria dos números, deve achar difícil decidir qual é a resposta, mesmo tendo acabado de conhecer o enunciado do teorema de Gelfond-Schneider. Afinal, 2 é um número algébrico (mais sobre isso logo abaixo), 2 ≠ 0, e 2 ≠ 1. Mas o que dizer da unidade imaginária? Ela também é um número algébrico, pois é uma das raízes de x2 + 1 = 0. Mas pode-se dizer que i é um número irracional?

Sim, i é um número irracional e, aplicando o teorema de Gelfond-Schneider, 2i é um número transcendente.

Para especialistas em teoria dos números, especialmente a teoria sobre números transcendentes, todo número complexo com a parte imaginária diferente de zero é um número irracional. Logo, i é um número irracional, assim como 2 + 2i, 1 – i, e √3 – i√3.

Duas definições. Antes de continuar, vale a pena estudar brevemente dois termos técnicos: “número algébrico” e “número transcendente”.

Número algébrico. É qualquer número complexo que serve de raiz a uma equação polinomial com coeficientes inteiros. Por exemplo, 2 + 2i é um número algébrico porque é uma das raízes de x2 – 4x + 8 = 0; mas 1 – i e √3 – i√3 também são algébricos: 1 – i é uma das raízes de x2 – 2x + 2 = 0, e √3 – i√3 é uma das raízes de x4 + 36 = 0. Todo número racional é algébrico, visto que p/q, com p e q inteiros e q ≠ 0, é a raiz de qxp = 0. (“Número racional”, neste caso, é o número complexo cuja parte real é racional e a parte imaginária é nula.)

Número transcendente. É qualquer número complexo que não seja um número algébrico, isto é, é qualquer número complexo que não serve de raiz para nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros. Os dois transcendentes mais famosos são as constantes e e π. Como já viu, 2√2 e 2i são números transcendentes; mas, de acordo com o teorema de Gelfond-Schneider, (2 + 2i)√2, (1 – i)i, e (√3 – i√3)(1 – i) também são transcendentes.

Apesar do nome, não há nada mágico ou místico nos números transcendentes. Eles precisavam de um nome e, na ocasião em que foram batizados, “transcendente” pareceu mais bacana que “não algébrico”. Polinômios com coeficientes inteiros são importantes em muitas áreas da matemática, e especialmente importantes na física; por causa disso, há muitos anos os matemáticos investigam procedimentos para dizer, com precisão, se determinado número é algébrico ou transcendente.

Mister TN. Agora, a questão que não quer calar. “Como assim, cara pálida? Quem disse que um número complexo com a parte imaginária diferente de zero é irracional? Eu sempre disse que todo número irracional é um número real que não é racional.” Muita gente talvez reaja assim, inclusive um ou outro professor de matemática.

Ponha-se no lugar do especialista em teoria dos números. Vamos chamá-lo de Mister TN. Seu interesse é conhecer, tão completamente quanto puder, as relações e funções que pode estabelecer com o conjunto N dos inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, …}. Para tanto, Mister TN vai lançar mão de toda e qualquer ferramenta matemática, por mais complicada que seja: geometria algébrica, topologia, análise, combinatória, álgebra linear, álgebra abstrata. Ele é agnóstico quanto às ferramentas: desde que com elas consiga produzir afirmações verdadeiras sobre inteiros não negativos, está feliz. Em particular, vai recorrer ao sistema dos números complexos.

Isso significa que vai constantemente interpretar “número complexo” como sendo “um dos pontos do plano complexo”. O leitor já sabe mais ou menos o procedimento: Mister TN vai atribuir a cada ponto do plano as coordenadas (x, y), tomadas em relação a um sistema YOX de coordenadas cartesianas; e pensar em cada ponto (x, y) como sendo o representante do número complexo x + yi.

Suponha que Mister TN queira particionar os números complexos em dois conjuntos disjuntos: de um lado, o conjunto dos números racionais; de outro, o conjunto dos outros números, aqueles que não são racionais, isto é, o conjunto dos números irracionais. Ele ambiciona simplicidade máxima: cada número complexo ou é racional ou é irracional, espelhando o que já acontece no sistema dos números reais. Em que conjunto deve colocar os números complexos i, 2 + 2i, 1 – i, √3 – i√3?

Primeiro, examine uma definição simples de número racional:

Definição simples de número racional. É o número que pode exprimir com o quociente p/q, sendo p, q inteiros, com q ≠ 0.

A primeira coisa a notar é que, no plano complexo, todo racional será elemento da reta X, pois suas coordenadas são (p/q, 0). Em outras palavras, para que um número complexo seja equivalente a um número racional no sistema dos números reais, a condição necessária é que o ponto no plano complexo equivalente a esse número racional seja um dos pontos da reta X.

Com isso, Mister TN já pode dizer: “Se um dos pontos do plano complexo não é elemento da reta X, tem de corresponder a um número irracional, já que eu quero particionar os complexos em apenas dois conjuntos disjuntos, o dos racionais e o dos irracionais.” Ora, se um ponto do plano complexo não é elemento da reta X, é porque a parte imaginária é diferente de zero: é um ponto do tipo (x, y) com y ≠ 0. Por exemplo, (0, 1), (2, 2), (1, –1), e (√3, –√3), que são os pontos equivalentes a i, 2 + 2i, 1 – i, e √3 – i√3.

E isso tudo faz sentido, porque, de fato, não existem dois inteiros p, q, com q ≠ 0, tais que p/q = i, p/q = 2 + 2i, p/q = 1 – i, ou p/q = √3 – i√3. É por isso que Mister TN, usando esse jeito de classificar os números complexos, vai dizer que i é um número irracional, e vai usar o teorema de Gelfond-Schneider para dizer que 2i é um número transcendente. Isso porque tanto Gelfond quanto Schneider, para provar o teorema que leva o nome dos dois, classificaram os pontos do plano complexo em dois conjuntos disjuntos, o dos racionais e o dos irracionais; e sua única escolha sensata era colocar números complexos do tipo x + yi, com y ≠ 0, no conjunto dos irracionais.

Palavras, palavras. Existem casos nos quais o matemático se sente pouco à vontade de chamar o número complexo 1 – i, por exemplo, de irracional? Sim, existem. Em certas áreas da teoria dos números, o investigador está muito interessado em pontos (x, y) do plano complexo nos quais x, y são ambos números racionais. Tais pontos acabaram sendo batizados de “pontos gaussianos”, e os números complexos aos quais correspondem de “racionais gaussianos”. Logo, os números complexos i, 2 + 2i, e 1 – i, são todos racionais gaussianos. Se por acaso o investigador estiver interessado tanto em racionais gaussianos quanto em números transcendentes, ficará na desconfortável posição de dizer que 1 – i, por exemplo, “é um racional gaussiano, irracional”. Talvez um dia surjam nomes mais apropriados.

Eis uma imagem para ajudar o leitor a entender o ponto deste texto: a matemática é um tipo de jogo de tabuleiro. Em todo jogo de tabuleiro, há o tabuleiro, as peças, a posição inicial, e as regras do jogo, isto é, as regras pelas cada jogador pode mover as peças no tabuleiro. Especialistas em lógica, como Wilfrid Hodges, Johan van Benthem, e Dominic Klein, têm publicado artigos mostrando como certos jogos lógicos capturam todas as características de certas áreas da matemática. Em alguns desses artigos, por exemplo, as regras de inferência se transformam em regras de jogo, isto é, regras pelas quais partir de certos axiomas e definições (a posição inicial) e seguir adiante, movendo as peças corretamente, até certos teoremas (posições intermediárias). O importante é que cada matemático tenha a liberdade de criar um jogo como quiser — suas únicas limitações são: o jogo deve ser coerente (isto é, aqueles que se dispõem a estudá-lo devem ter a capacidade de compreendê-lo, ou, em outras palavras, a compreensão do jogo não pode ficar a critério dos deuses) e consistente (suas regras não podem se contradizer). Se for um bom jogo, terá muitas semelhanças com os outros jogos da matemática; quer dizer, o matemático poderá usar certos morfismos para transpor as conclusões de um jogo para outro. O nome atribuído ao tabuleiro, às peças, e às regras não importa muito. Tanto faz se chama uma peça de “dama” ou de “rainha”, ou se chama um tabuleiro de “corpo” ou “campo”: isso não muda o jogo em nada. O ideal é que os nomes sejam escolhidos de tal maneira a permitir que os jogadores conversem sobre cada jogo de modo produtivo, agradável. Quando a questão é a linguagem humana, contudo, com frequência ficamos bem longe do ideal, e o estudante faz bem se adotar uma atitude a mais virtuosa possível — tolerante, paciente, aberta ao diálogo, ou, numa palavra, democrática. {FIM}


Observação:

Há duas matérias neste blogue bastante correlacionadas com a matéria que acabou de ler: (a) uma mostra ao leitor como partir de noções comuns da matemática escolar e construir o sistema dos números complexos; (b) a outra discute o modo como certos professores embaralham o sistema dos números complexos com o dos números reais — embora os dois tenham características comuns, são dois sistemas distintos.

(a) Tudo sobre números complexos.

(b) Se não pode, então como é que pode?

 

Esbanjo ou economizo? Indivíduo ou sociedade?

Em muitas circunstâncias, o indivíduo se sente compelido a tomar decisões contrárias aos interesses dos outros. Em condomínios de apartamentos, por exemplo, depois que o síndico instala hidrômetros individuais, o consumo total de água diminui: é sinal de que, antes, os moradores gastavam mais que o necessário. Professores da FGV dizem que a teoria dos jogos é “assustadoramente convincente” ao explicar circunstâncias assim.


{1}/ Aulas de teatro e jogos de matrizes

Um leitor paulistano (codinome Np4) recebe um convite de um amigo de infância: jantar de 50º aniversário no restaurante La Bonne Cuisine. “Não precisa levar presente”, diz o amigo no convite, “mas o jantar é por conta dos convidados!” Quando Np4 chega ao restaurante, descobre que, com exceção do próprio aniversariante, não conhece ninguém. Enquanto se acomoda numa das cadeiras da mesa comprida, prepara-se psicologicamente para ser simpático, e lista mentalmente os assuntos do dia, sobre os quais pode conversar na falta de assunto melhor: as tempestades, o novo papa, o novo filme de super-herói… Pega o menu e examina as opções:

Salada de folhas… R$ 26

Dobradinha… R$ 34

Risoto de camarão… R$ 76

Água mineral 500 ml… R$ 8

Quando o garçom se aproxima para tirar o pedido, Np4 já elaborou a estratégia: nada de antepasto ou bebida alcoólica; pedirá a dobradinha e uma garrafa de água mineral sem gás. Com os 10% do garçom, é como se tivesse dado um presente de 50 reais ao amigo. Está bom, não está? O rapaz a seu lado, por sua vez, pede um uísque (26 reais), a terrine de pato e pistache (28 reais) e depois, como prato principal, o risoto de camarão com aspargos ao perfume de laranja e brotos de beterraba (76 reais). Np4 vai ficando cada vez mais surpreso conforme bota reparo no que os outros convivas pedem: champanhes, vinhos, filés, patos, escargots. “Quanto esse povo ganha?” Pula a sobremesa, mas pede o café (6 reais); vários de seus colegas de mesa, contudo, pedem a taça de creme de castanha francesa (18 reais) e uma dose de conhaque para acompanhar (21 reais).

Quando chega a hora de dividir a conta, alguém levanta um copo, como se fosse propor um brinde, e grita:

“Sentou, sorriu, a conta dividiu!”

Todo mundo ri e com gestos exagerados saca o cartão de crédito, inclusive Np4, enquanto pensa: “Aquelas aulas de teatro no ensino médio às vezes servem para alguma coisa.” No fim, com a conta dividida em partes iguais, cada um paga 196 reais. Na saída, de pé na calçada em frente ao restaurante, faz uma promessa a si mesmo: se for convidado de novo no ano que vem, vai comer e beber do bom e do melhor, nem que para isso tenha de abrir uma caderneta de poupança.

O estudante pode compreender melhor a situação vivida por Np4 ao recorrer à teoria dos jogos; um dos capítulos da teoria, chamado de “jogos de matrizes” ou de “forma normal”, serve não só para modelar como os amigos do aniversariante agiram no restaurante, como também para modelar o jeito como, num condomínio de apartamentos, os condôminos gastam água, sabendo que a conta de água é dividida igualmente por todos. Na Escola de Matemática Aplicada da Fundação Getulio Vargas, no Rio de Janeiro (RJ), o professor Moacyr Alvim Horta Barbosa da Silva dá aulas sobre teoria dos jogos, assunto pelo qual se apaixonou no ano 2000. Na ocasião, leu o livro Evolution and the Theory of Games, de John Maynard Smith. “Ele discorria sobre jogos e sobre a evolução das espécies por seleção natural”, diz Moacyr, “e era assustadoramente convincente. Pensei: caramba, a teoria dos jogos é uma ferramenta poderosa! Eu me encantei, e passei a estudá-la.”

Os patetas da CET. Quando conversa sobre teoria dos jogos com um leigo, Moacyr com frequência tem de explicar que ela não serve apenas para modelar jogos como o xadrez (em que cada jogador tem vez para mover uma peça) ou o dois ou um (em que os dois jogadores mostram os dedos ao mesmo tempo); ao contrário, serve principalmente para modelar situações de conflito, reais e importantes, como manobras militares, negociações comerciais e ajustes afetivos (como o ajuste pelo qual Np4 passou no restaurante). A teoria foi concebida para ajudar o estudante a compreender as situações nas quais o resultado geral do jogo depende das decisões de cada jogador. “Mas o resultado nem sempre depende apenas de decisões individuais”, diz Moacyr. “Muitas vezes, depende também de dinâmicas coletivas. Decisões solitárias e comunitárias estão em permanente tensão.” Embora a teoria tenha ferramentas próprias (como a forma normal; veja a seção 2), o especialista em teoria dos jogos recorre a qualquer objeto matemático que lhe sirva para o momento, das equações diferenciais parciais à estatística, da geometria à álgebra linear.

Nas primeiras aulas, Moacyr apresenta aos alunos da FGV o paradoxo de Braess. Numa cidade qualquer, há duas rotas para ir do bairro A ao bairro B. A rota 1 começa com ruas estreitas e de trânsito lento, mas termina numa rodovia larga e rápida. A rota 2 começa com uma rodovia larga e rápida, mas termina com ruas estreitas e de trânsito lento. “Como o tempo de deslocamento nas duas rotas é parecido, a tendência é que os motoristas se distribuam igualmente nas duas rotas”, diz Moacyr. Nessa situação, o jogo “vou pela rota 1 ou pela rota 2” atinge depressa o equilíbrio de Nash (a situação em que nenhum jogador ganha nada ao mudar de estratégia). No entanto, a CET dessa cidade decide interligar a rota 1 à rota 2, e daí o motorista pode começar na parte rápida da rota 2 e, no meio da viagem, ir para a parte rápida da rota 1, de modo a evitar completamente as ruas estreitas. É o que quase todo mundo faz; como resultado, o trânsito trava. Na teoria dos jogos, essa situação tem nome: tragédia dos comuns. É quando todos tomam a decisão melhor para si e todos se prejudicam por causa disso. “O melhor que a autoridade de trânsito poderia fazer é fechar o atalho e voltar à situação inicial”, diz Moacyr. Nem sempre é possível alinhar o interesse dos indivíduos com o da comunidade.

Depois de treinar um pouco a matemática necessária para compreender o paradoxo de Braess, o estudante pode usá-la para compreender uma tragédia dos comuns muito comum: a conta de água em condomínios de apartamentos. Em muitos deles, todos os proprietários dividem a conta de água igualmente. O síndico não consegue identificar quem gasta demais ou de menos, de modo que, se um dos condôminos esbanja água, não será punido pelos vizinhos. “Neste exemplo”, diz Moacyr, “os alunos descobrem que existe um incentivo para aumentar o consumo de água. Contudo, por razões diversas, o consumo tende a se estabilizar num valor: o equilíbrio de Nash volta a ser alcançado.” Entre as razões, estão: embora o condômino esbanje água quando está no apartamento, fecha todas as torneiras quando sai para o trabalho; embora o condômino possa gastar o quanto quiser, sem que seja repreendido pelos vizinhos, talvez economize água para salvar o ecossistema. Na prática, os moradores conversam sobre o assunto, e o síndico faz campanhas, mas, mesmo assim, o síndico não tem o poder de coordenar o consumo de água, e no fim todos gastam mais do que gastariam se houvesse um hidrômetro para cada apartamento.

Moacyr faz seus alunos notar que a teoria dos jogos não trata de julgamentos morais. Ela presume que cada jogador (ou agente, na linguagem técnica) decidirá de modo a auferir o maior benefício possível para si (benefício real ou imaginado), mas não taxa de bonzinho o jogador que economiza água ou come dobradinha, nem de malandro o jogador que esbanja água ou come risoto de camarões. “A teoria nos permite analisar as diferentes opções.” Por coincidência, Moacyr divide a sala com o biólogo Flávio Codeço Coelho, também professor na EMAp, para quem é fundamental estudar os jogos da natureza sem realizar nenhum tipo de julgamento moral. (O biólogo que estuda uma espécie segundo critérios morais humanos está perdido…) Há os casos nos quais duas espécies disputam os mesmos recursos naturais, como pasto ou água. Há outros nos quais os machos da mesma espécie disputam o direito de fecundar as fêmeas. Alguns machos lutam para medir forças e o mais forte ganha o direito, mas eles param a luta antes que um dos dois se machuque gravemente (como fazem os impalas nas savanas africanas). Outros às vezes lutam até a morte de um deles por ferimentos ou exaustão (como fazem abelhas e vespas em qualquer jardim).

Flávio diz que, para compreender ecossistemas, o estudante usa equações diferenciais à exaustão, pois lida constantemente com taxas instantâneas de crescimento ou decrescimento: o crescimento de filhotes de machos mais vigorosos, o decrescimento dos filhotes de machos mais débeis; o crescimento da espécie A, o decrescimento da área de pasto, o decrescimento da espécie B. (Equações diferenciais servem para modelar fenômenos interligados, nos quais as taxas de crescimento ou descrescimento instantâneas fazem diferença.) Outro professor da FGV, Angelo Polydoro, também usa a teoria dos jogos e as equações diferenciais para seres vivos — neste caso, seres humanos em conflitos sociais. “Tais jogos partem do pressuposto de que as pessoas agem para ser felizes, enquanto as empresas agem para obter o maior lucro possível.” Depois de estudar um jogo no qual uma colônia de pescadores entra em conflito com uma siderúrgica (veja a seção 3), o estudante, diz Angelo, descobrirá algo difícil de acreditar: caso o governo dê à siderúrgica o poder de poluir a água, e de cobrar algo dos pescadores em troca de não poluir tanto e manter a pescaria rentável; ou caso o governo dê aos pescadores o direito sobre a água, e de cobrar algo da siderúrgica para que ela possa poluir um pouco; nos dois casos a situação atinge o equilíbrio ótimo para ambas as partes. “A moral da história é que, se os direitos de propriedade estiverem bem definidos, não importa a alocação inicial dos direitos: a barganha entre os agentes levará a uma alocação eficiente dos recursos naturais em benefício de toda a sociedade.” A ideia é mesmo surpreendente, tanto é que seu primeiro propositor, Ronald Harry Coase, recebeu um prêmio Nobel de economia pelo histórico de ideias originais — todas embasadas com matemática, inclusive teoria dos jogos. {}



{2}/ Jogos de matrizes no condomínio

O professor Moacyr Silva imagina dois vizinhos de condomínio, Alice e Bruno. Os dois são os únicos moradores do condomínio, e repartem o custo da água entre si; não podem saber quem gastou quanto, pois o hidrômetro é compartilhado.

Para simplificar, Moacyr obriga os dois a escolher apenas três modos de gastar água: consumo baixo, consumo regular e consumo alto. “Gastar muita água é melhor”, diz Moacyr, o que é fácil de entender: banho de banheira todo dia. “Mas se ambos gastam muito, pagam muito, do que eles não gostam.” Prepara uma tabela para mostrar com números as decisões de Alice e Bruno.

BRUNO

Baixo

Regular

Alto

ALICE

Baixo

1

0

–2

Regular

3

4

0

Alto

7

6

2

Neste caso, Moacyr preparou a tabela para espelhar as preferências de Alice, e ela deve ser lida assim:

Alice escolhe as linhas, e Bruno escolhe as colunas. (Mas os números contam a história do ponto de vista de Alice, e não de Bruno.)

Se Alice consumisse pouco, gostaria que Bruno também consumisse pouco. Como prefere essa situação, paga por ela com o valor 1 no cruzamento da coluna “Baixo” com a linha “Baixo”.

Se ela consumisse pouco, mas Bruno consumisse regularmente, ela não se importaria. Então, não paga nada no cruzamento de “Regular” com “Regular”.

Se ela consumisse pouco, mas Bruno consumisse muito, bem, ela não gostaria de estar nessa situação, que considera injusta. Por isso, ela paga –2 pelo cruzamento da linha “Baixo” com a coluna “Alto”, isto é, estando nessa situação, prefere receber 2 de Bruno a pagar qualquer coisa a Bruno.

O que ela gostaria mesmo é de gastar muita água enquanto Bruno gastaria pouca, assim os dois dividiriam a conta da água que ele não gastou, mas ela sim. Por isso, ela paga 7 no cruzamento da linha “Alto” com a coluna “Baixo”.

“Suponha agora que Bruno escolha o perfil baixo”, diz Moacyr. “Alice vai escolher o perfil alto, pois 7 é o maior valor na coluna Baixo. Se Bruno escolhe regular, Alice escolhe alto. E se Bruno escolhe alto, Alice escolhe alto também.” Para ambos, seria OK se escolhessem o perfil regular. “No entanto, estamos pensando numa situação em que não há instrumentos que permitam aos dois cooperar.”



{3}/ Apêndice: Pescadores contra siderúrgica

Os executivos de uma siderúrgica conseguiram colocar numa fórmula o lucro da siderúrgica em função de quanto produz (q), quanto gasta para produzir (c), quanto cobra à guisa de preço (p) e, principalmente, de quanto polui o ecossistema (h):

“O estudante deve notar que, quanto maior o valor de h, maior o lucro da siderúrgica”, diz Angelo Polydoro. (Até certo ponto, como mostra o gráfico, feito com (pc)q = 1 para deixar evidente o papel de h; a partir de certo ponto, as consequências da poluição começam a reduzir o lucro da siderúrgica.) “Em outras palavras, a empresa aumenta o próprio lucro se adota tecnologias mais sujas.” De fato, o ponto ótimo para a siderúrgica é quando a derivada de πS(h) é igual a zero. Em linguagem matemática, os executivos podem descrever isso assim:

Então, quando o nível de poluição h é igual a 2/(pc)q, a derivada de πS(h) é igual a zero e πS(h) atinge seu valor máximo. (Se o estudante faz (pc)q = 1, isso ocorre quando h = 2, como mostra o gráfico ilustrativo da função πS(h).)

Quanto aos pescadores, podem modelar seu lucro assim:

Quanto maior a poluição, menor o lucro dos pescadores; eles só podem obter o máximo lucro possível quando h é igual a zero, isto é, quando não existe nenhuma siderúrgica ou ela funciona com tecnologia avançada, 100% não poluente. Angelo diz que, em casos assim, a sociedade ganha quando ambos os empreendimentos vão bem: ela quer uma siderúrgica rentável e pescadores felizes; ela quer comprar metal a preço tão baixo quanto possível e quer peixe fresco e gostoso no almoço de domingo. Enfim, ela não quer importar metal e peixe da China. “Obtemos o nível ótimo de produção escolhendo um h que maximize o lucro de ambos os empreendimentos.” Em linguagem matemática, isso é:

Isso ocorre quando a derivada de W(h) é igual a zero; ou seja, quando W’(h) = 0, W(h) atinge seu ponto mais alto. Assim:

Se a decisão for deixada a cargo dos pescadores, eles fecham a siderúrgica ou a tornam inviável; se for deixada a cargo dos executivos, eles poluem duas vezes mais do que seria ótimo para todos. “A pergunta então é: como resolver esse problema?” Angelo diz que a solução deve ser montada assim: não importa quem tome a decisão a respeito de h, se um executivo ou um pescador, essa pessoa deve levar em conta os lucros do outro empreendimento. É aqui que entra o governo, cuja função mais nobre é coordenar os indivíduos para que busquem a própria felicidade sem prejudicar o restante da sociedade.

Ronald Coase escreveu um trabalho mostrando que, em casos como esse, tudo o que o governo tem a fazer é alocar com clareza o direito de propriedade sobre a água, e passar alguma legislação obrigando o dono da água a levar os interesses do resto da sociedade em consideração. “Suponha que os pescadores ganhem o direito de propriedade sobre a água limpa”, diz Angelo, “e que a legislação lhes permita vender o direito de produzir com poluição h por uma taxa T.” Sendo assim, os executivos aceitarão toda proposta tal que:

Sendo assim, no início das negociações, os pescadores devem propor uma taxa T em função de h (ou T em função de πS(h), o lucro da siderúrgica):

Os pescadores sabem que, caso fixem corretamente o valor de h, os executivos aceitarão a taxa T, pois preferem um lucro menor a nenhum lucro. Os pescadores escolherão h para maximizar a equação abaixo:

“Isso é a mesma coisa que escolher o melhor nível de poluição para benefício de toda a sociedade”, diz Angelo. Ao longo das negociações, os pescadores vão fixar h em 1/(pc)q e os executivos vão aceitar esse valor felizes da vida. Se o governo der o direito de propriedade sobre a água para a siderúrgica, e a legislação obrigar os executivos a levar os interesses da sociedade em consideração e lhes der o direito de que cobrem algo dos pescadores para não poluir tanto quanto gostariam, de novo ambos atribuem a h o valor ótimo. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 27, abril de 2013, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Francisco Bicudo.

3. Quase sempre, especialistas em teoria dos jogos não chamam cada jogador de “jogador”, mas de “agente”. Entre outras finalidades, a palavra “agente” serve para enfatizar o fato de que um agente pode ser uma pessoa, um sistema informático, um animal, uma parte do ecossistema. Na filosofia, os agentes num jogo são modelados como máquinas de estados finitos, de modo que cada situação possível (ou mundo possível) se transforma numa rede de máquinas que interagem entre si.

Faça umas contas fáceis e venda mais


Muito vendedor dá 20 telefonemas por dia, visita 15 clientes por semana, se esfalfa de trabalhar — porém, no tabuleiro d’O Jogo das Vendas, suas peças não se movem. Com um pouco de lógica e de matemática, isso pode mudar.


{1}/ A diferença entre trabalhar e gastar energia

Renato Antonio Romeo vende coisas desde 1989: ele sorri como um bom vendedor, diz “bom dia” como um bom vendedor, aperta a mão como um velho amigo. Seu pai foi vendedor. Há 19 anos, Renato abriu uma espécie de escola de vendedores, a SaleSolution, e desde então já deu aulas para milhares de vendedores, todos funcionários de empresas grandes como Microsoft, Novartis, Oi. “No começo”, diz Renato, “eu caía em depressão sempre que terminava um curso. Eu nem queria conversar com as pessoas. Demorava uns dias até me recuperar.” Renato queria ver, em seus alunos, sinais de que eles compreenderam o que ele havia dito ao longo do curso, mas ouvia frases do tipo “minha empresa não investe em marketing” ou do tipo “minha empresa é diferente, então o jeito de vender é diferente”. Para seus ouvidos treinados, diz Renato, tais frases significam “se eu não vendo mais, a culpa é da empresa, e não há nada que eu possa fazer” e “tudo o que vi neste curso não vale na empresa em que trabalho”; elas mostram que o aluno ainda se agarra às mentiras que os vendedores contam para si mesmos quando preferem trabalhar de um jeito bagunçado. Renato já não fica mais depressivo com esse pensamento, mas até hoje se entristece: é como ouvir um parente dizer “eu não tenho o dom para ganhar o sustento de minha família”.

Num jogo de tabuleiro, o cidadão joga os dados, conta os pontos, pega sua peça com os dedos e a movimenta ao longo do tabuleiro conforme o número de pontos. Vender é parecido, diz Renato: para fechar um negócio, o vendedor deve jogar os dados e mover suas peças ao longo de um processo de 31 etapas (veja o texto da seção 2). Só que muito vendedor estuda, faz ligações telefônicas, visita interessados, manda material por e-mail — e suas peças permanecem paradas na mesma casinha do tabuleiro. “Ele diz que trabalha muito”, diz Renato, “mas na verdade ele gasta muita energia. Sem perceber, ele anda em círculos. Na área de vendas, para haver trabalho, as peças têm de se mover ao longo do processo.”

Nesse ponto da conversa, Renato puxa uma folha de papel A4 e desenha uma velha fórmula da física, que todo mundo já viu no ensino médio: trabalho (τ) é igual a força (F) multiplicada pelo deslocamento (Δs).

Se o deslocamento é igual a zero, o trabalho é igual a zero, por maior que tenha sido a força aplicada. Desde que vendeu seu primeiro programa de computador, Renato leu e releu mais de 56 livros sobre vendas, tentando descobrir por que o vendedor às vezes vende e por que às vezes não vende. Ele gosta de matemática. “Eu gosto de olhar para uma fórmula, e ver que coisas são proporcionais a que coisas, e que coisas são inversamente proporcionais a que coisas. Para mim, olhar uma fórmula torna tudo mais simples.” Usando um pouco de matemática, o vendedor para de andar em círculos e passa a vender mais.

Multiplicar por zero. Ao longo dos anos, Renato criou uma fórmula para ajudar o vendedor a entender o que é importante no processo de vendas:

Venda = Poder × Necessidade × Imagem × Valor × Controle

Renato usa o símbolo × porque, numa multiplicação, se um dos fatores for igual a zero, o produto será igual a zero: a venda não ocorre. Além disso, se um vendedor pontua 3 × 3 × 3 × 3 × 3 e o vendedor concorrente pontua 3 × 3 × 3 × 3 × 5, a diferença entre os dois será de 162 pontos. “Numa multiplicação”, diz Renato, “uma diferença pequena num dos fatores transforma o resultado.” É o jeito que Renato achou de mostrar aos vendedores que pequenas diferenças em algum desses fatores provocam grandes diferenças na cabeça do comprador. “E o comprador, é bom lembrar, sempre compra por diferenciação.”

Na fórmula da venda, cada um dos termos significa:

Poder. Uma venda só ocorre se o vendedor se reúne cara a cara com quem tem o poder de assinar o cheque. “Só é possível vender para a pessoa que tem o poder de comprar”, diz Renato. “Muitos vendedores tentam vender para NINAs, as pessoas nem com influência, nem com autoridade.”

Necessidade. Um interessado só compra um caminhão (por exemplo) se ele acha que precisa de um caminhão. O vendedor, diz Renato, topa com quatro tipos de interlocutor: [1] o que está em equilíbrio, e não sente necessidade de comprar nenhum caminhão; [2] o que tem uma necessidade inativa: ele precisou de um caminhão no passado, não comprou nada, e deixou o assunto para lá; [3] o que precisa de um caminhão, mas não tem nenhuma imagem de caminhão ideal na cabeça; [4] e o que precisa de um caminhão, e já tem a imagem de caminhão ideal na cabeça. O trabalho do vendedor é achar o interlocutor certo, com poder, e ativar nele a necessidade de comprar o caminhão à venda.

Imagem. É o modo como o interlocutor visualiza a solução para seu problema. “Se ele tem uma imagem de solução, ele já sabe o que precisa ser feito, quando, por quem, etc.” Se ele precisa de um caminhão, talvez ele visualize um caminhão pequeno, com 150 cavalos. Se o vendedor pretende vender um caminhão maior e mais potente, ele terá de mudar a imagem de solução na cabeça do interlocutor.

Valor. A pessoa comum até compra um produto para satisfazer necessidades emocionais — por exemplo, para se sentir importante, ou por mera curiosidade. Mas o comprador profissional, a serviço de uma empresa, só compra um produto se puder, com a compra, fazer a empresa ganhar mais dinheiro ou economizar dinheiro. No jargão corporativo, o produto deve “agregar valor”. A fórmula é:

Em que RDI é o retorno em razão do investimento (o que é mais ou menos igual a valor), AR é o aumento da receita em razão do investimento, RD é a redução de despesas em razão do investimento e CTP é o custo total de propriedade (isto é, quanto o produto custou no momento da compra e quanto ele custa todo mês para ser mantido). O retorno RDI tem de ser maior que 1 — quanto maior, melhor. Ele pode ser calculado para um período; por exemplo, três anos. O vendedor deve obter esses dados (mesmo que grosseiros) e fazer a conta ele mesmo, diz Renato; ele não pode terceirizar essa conta para o interessado.

Controle. Significa gestão. “Um vendedor precisa ter o controle sobre o processo de vendas”, diz Renato. “Ele deve saber em que etapa sua peça está e o que deve fazer para que sua peça se mova mais uma etapa do processo.” Mas vendedores antipatizam com procedimentos administrativos, diz Renato; nas palavras de vendedores, “Abaixo a burocracia!” Eles simpatizam com a imagem do vendedor que, num impulso, diz ou faz alguma coisa genial e fecha a venda. Como consequência dessa miragem, o vendedor não conclui a venda porque o controle é igual a zero: ele ignora em que etapa sua peça está, age em desacordo com as regras não escritas do processo de vendas, seu interlocutor se ofende e a venda se extingue.

Três telefonemas por dia. O vendedor, para ter o controle sobre o processo de vendas, precisa primeiro reconhecer algo importante: o processo de vendas é estocástico (≅ aleatório), e não determinístico (previsível). O vendedor não pode dizer se uma determinada venda dará certo, mas pode prever que, a cada 227 telefonemas no começo do processo, ele fechará 10 negócios no final. “Quando falamos de sistematizar um processo”, diz Renato, “falamos de fazer uma série de atividades em sequência, que aumentam a probabilidade de sucesso. O jogo das vendas é um jogo estatístico. Quanto mais você tenta, mais você vende.”

Para acertar mais, o vendedor (vamos chamá-lo de Leone) deve olhar as etapas do processo de vendas e raciocinar de trás para frente. Caso Leone precise vender 1 milhão de reais de caminhões em 12 meses (é sua meta, imposta pela empresa), o que ele faz?

Moda. Leone olha seu histórico, para verificar qual é o valor mais comum das vendas que costuma fechar. Esse valor se chama moda (que é diferente de média). Se a moda de seu histórico vale 100.000 reais, então Leone precisa fechar dez vendas em 12 meses para cumprir a meta.

A pessoa do cheque. Olhando o processo de vendas e seu histórico, Leone descobre que fechou metade dos negócios que chegaram à etapa 21 do processo de vendas (na seção 2); a probabilidade de que ele feche um negócio na etapa 21 é de 50%. Sendo assim, para fechar dez vendas com moda de 100.000 reais, Leone precisa ter 20 negociações na etapa 21.

O primeiro interlocutor. Leone divide o número de vezes que uma negociação chegou à etapa 21 pelo número de negociações que chegaram à etapa 7, quando ele obteve um OK do primeiro interlocutor para o resumo das negociações até aquele ponto. E aí ele descobre que sua eficácia de prospecção é de 60%; a probabilidade de que as negociações na etapa 7 cheguem à etapa 21 é de 60%. Leone usa esse número para calcular o esforço de prospecção: se ele deve trabalhar com 20 negociações na etapa 21, e se sua eficácia de prospecção é de 60%, então ele deve ter sempre umas 34 reuniões marcadas com interessados em seus caminhões. Só assim ele terá, quando chegar à etapa 21, 20 interessados.

Telefonemas. Depois de olhar de novo suas planilhas, Leone faz contas: a probabilidade de que uma ligação telefônica (etapa 2 do processo de vendas) resulte numa primeira reunião (etapa 7) é de 15%. Sendo assim, para chegar à etapa 7 com 34 reuniões marcadas, Leone precisa dar 227 telefonemas. “Resumindo”, diz Renato, “nosso vendedor descobre que, para cumprir sua meta, ele precisa dar 227 telefonemas, para marcar 34 reuniões, para qualificar 20 interessados, para fechar 10 negócios.”

Ciclo de venda. Mas, no setor em que Leone trabalha, leva seis meses para fechar um negócio, do começo ao fim. Toda negociação que ele começa em agosto só se transforma numa venda no ano seguinte — o que não lhe ajuda a cumprir a meta deste ano. Então, ele tem de janeiro a julho para dar os 227 telefonemas. Se ele subtrair desses seis meses os dias de férias, os feriados, os dias de treinamento, as viagens a trabalho, Leone percebe que tem cinco meses para dar os 227 telefonemas e garantir dez negociações na etapa 31 antes que o ano acabe.

Cinco meses úteis significam 20 semanas úteis, ou 80 dias úteis — logo, Leone deve dar 227 telefonemas a cada 80 dias úteis. Se ele der três telefonemas caprichados por dia, ele sempre terá 20 negociações no status D, e venderá 1 milhão de reais por ano todo ano. “É por causa de números assim”, diz Renato, “que costumam representar o processo de vendas como um funil.”

Muito vendedor, diz Renato, não sabe dizer se a peça se moveu no processo de vendas ou se está parada. Ou, pior ainda, ele acha que a peça se moveu, mas, na cabeça do interlocutor, a peça ainda está parada. Quem diz se uma peça se move pelo processo de vendas, contudo, é sempre o interlocutor ou o interessado — não por meio de palavras, mas por meio do que faz ou deixa de fazer.

Um exemplo típico? “Logo no começo do processo”, diz Renato, “o interessado pede uma proposta, e aí o vendedor manda uma proposta. É um erro. Não se envia uma proposta sem o cálculo de retorno em razão do investimento [RDI], mas, para fazer esse cálculo, o vendedor precisa de informações. Ele só obterá tais informações do interessado mais para o fim do processo de vendas.” Quando, no começo do processo, o interessado pede uma proposta, ele na verdade deseja só uma ideia de preço. “Ele expressa esse desejo pedindo uma proposta.” Quando o próprio Renato passa por casos assim, manda uns poucos exemplos, do tipo “trabalhei para a empresa X, que treinou 50 vendedores, e ela me pagou tantos reais, e gostou tanto do treinamento que, oito meses depois, me contratou de novo para treinar mais 80 vendedores”. Na linguagem corporativa, Renato manda um case (um resumo do que aconteceu com um de seus clientes).

Um vendedor especial. O pai de Renato, também de nome Renato, foi empresário. Mas Renato filho nasceu em 1966, um ano depois que seu pai foi à falência. Renato pai arrumou um emprego de vendedor, mas era um vendedor inábil, e Renato filho passou uma infância difícil, ouvindo cochichos do tipo “se eu fechar essa venda, Alzira, a nossa vida vai melhorar”. Mas Renato pai raramente fechava a venda salvadora.

Quando tinha 23 anos, a empresa para a qual Renato filho trabalhava foi à falência, e ele foi demitido. No mesmo dia, seu pai morreu.

Dias depois, Renato arrumou emprego numa empresa de informática. Depois de umas poucas semanas, o gerente de vendas o chamou para uma conversa.

“Acho que você daria um bom vendedor”, disse o gerente.

Renato não acreditou. Para ele, ser vendedor era a mesma coisa que ser pobre. “Ele ficou um dia inteiro conversando comigo”, diz Renato. “Um dia inteiro! Por fim, me convenceu.”

Como Renato é do tipo estudioso, ele comprou um livro sobre o ofício de vender, e depois desse comprou muitos outros. “Tudo o que eu digo foi no mínimo testado por mim.” Hoje tem 500 livros sobre vendas na sua biblioteca particular, e é autor de Vendas B2B: Como Negociar e Vender em Mercados Complexos e Competitivos.

Renato não fica mais depressivo depois de um curso. “Se eu noto que uns poucos alunos pegaram o espírito da coisa, fico satisfeito. Ao longo dos anos, vi vários de meus alunos virando gerentes ou diretores.” Na dedicatória de seu livro, Renato menciona o pai. “Ao meu pai, Renato, um vendedor que o tempo não me permitiu ajudar.” {}


Renato Romeo


{2}/ Como é um processo típico de vendas

Na tabela a seguir, Pr(V) significa “a probabilidade de que a venda ocorra”.

Status

Pr(V)

Descrição

Tarefas do vendedor

A

0%

Identificar a oportunidade para a venda.

1. Pôr o nome do cliente em potencial (ou interlocutor) no sistema informático.

2. Ligar para o interlocutor, verificar se ele aceita o contato.

B

10%

O interlocutor demonstrou interesse nos produtos da empresa.

3. Classificar a conta de acordo com os critérios da empresa.

4. Avaliar até que ponto o interlocutor pretende trocar informações.

5. Verificar se é possível obter acesso a um patrocinador do projeto (alguém com influência, e para quem o projeto seja importante).

6. Enviar uma mensagem com o resumo das negociações até este ponto.

7. Obter um OK do interlocutor para a mensagem de resumo.

8. Obter do interlocutor os contatos do patrocinador e o nome da pessoa com o poder de assinar o cheque.

C

20%

Assegurar que o interlocutor e o patrocinador deem acesso à pessoa com o poder de fechar o negócio.

9. Fazer com que o patrocinador sinta a necessidade de comprar o produto.

10. Obter dados sobre como a empresa obteria ganhos caso a necessidade fosse satisfeita.

11. Criar uma imagem de solução condizente com o produto à venda.

12. Formalizar a oportunidade de negócio.

13. Negociar o acesso à pessoa capaz de assinar o cheque.

14. Enviar uma mensagem com o resumo das negociações até esse ponto.

15. Obter um OK do interlocutor para a mensagem de resumo.

D

50%

Trabalhar com a pessoa do cheque e executar o plano de ação.

16. Garantir o acesso à pessoa do cheque.

17. Fazer com que a pessoa do cheque sinta a necessidade de comprar o produto.

18. Obter dados sobre como a empresa obteria ganhos caso a necessidade fosse satisfeita.

19. Criar uma imagem de solução condizente com o produto à venda.

20. Enviar uma mensagem com o resumo das negociações até este ponto e com o plano de ação.

21. Obter o OK da pessoa do cheque para o resumo e o plano de ação (visitas, demonstrações, testes).

22. Executar o plano de ação.

23. Concluir o plano de ação.

24. Enviar a proposta final.

E

10%

A proposta final foi entregue, mas não foi aceita.

25. Obter informações sobre por que a proposta final não foi aceita.

F

90%

A pessoa do cheque deu um OK verbal, mas ainda não assinou o contrato.

26. Obter a aprovação verbal da pessoa do cheque.

27. Elaborar toda a documentação.

28. Obter a assinatura dos responsáveis no contrato.

G

100%

O cliente emitiu o pedido de compra.

29. Encaminhar o pedido do cliente para os departamentos responsáveis.

30. Obter a aprovação interna para toda a documentação até aqui.

31. Obter o OK interno para o pedido de compra.

H

0%

O cliente informou que o concorrente venceu a disputa.

32. Documentar todo o histórico dessa tentativa de venda.

33. Atualizar a base de informações no sistema informático.

Nesta tabela, os valores na coluna Pr(V) são apenas sugestões razoáveis. Num caso real, cada vendedor deve usar os números de seu histórico para calcular suas próprias probabilidades.



{3}/ Probabilidades no processo de vendas

Neste caso, use uma definição simplificada de probabilidade: o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. Assim:

Em que Pr(V) é a probabilidade de concluir uma venda, n(Ce31) é o número de casos na etapa 31 (venda feita, papéis assinados) e n(Ce8) é o número de casos na etapa 8 do processo de vendas (oportunidades bem qualificadas); note que n(Ce31) é menor que n(Ce8), e o resultado será um número entre zero e um. O vendedor pode aplicar o raciocínio expresso nessa fórmula para quaisquer duas etapas do processo.

Um exemplo: se o vendedor precisa dar 227 telefonemas (Ce2) para fechar 10 negócios (Ce31), então:

A cada telefonema, a probabilidade de que a conversa por fim resulte numa venda é de 4,405%.



{4}/ Um raciocínio útil

Os mesmos raciocínios úteis para estudar um processo de vendas valem para outras situações, nas quais duas pessoas precisam trabalhar juntas ao longo de um processo complicado, do tipo funil. Um professor que precisa preparar alunos para o Enem, um gerente que precisa ter sempre dois currículos qualificados na gaveta (para substituir uma pessoa da equipe às pressas), um editor que precisa revelar um jovem escritor todo ano.



{5}/ O vendedor da Monsanto

Uitsmar Silva Lima foi aluno de Renato Romeo; terminou o curso em abril de 2011. É o responsável pelos grandes clientes da Monsanto, um fabricante de sementes e de herbicidas; tais grandes clientes mantêm 3 milhões e 800 mil hectares de terras plantadas no cerrado brasileiro. Eis o que Uitsmar gostou mais de aprender:

Objetivos da reunião. Não se vai a uma reunião com cliente sem estabelecer o objetivo mínimo e máximo da reunião e sem planejar o que dizer e o que perguntar. “Descobri que um comprador habilidoso”, diz Uitsmar, “consegue me desestruturar se eu não estiver preparado.”

Vantagens do investimento. Muitos agricultores, diz Uitsmar, começam a reunião dizendo que o produto da Monsanto é caro ou é ruim. Uitsmar agora fotografa plantações de agricultores que usaram os produtos da Monsanto e os produtos dos concorrentes, e levanta números: quanto o agricultor gastou com os produtos, a mão de obra, o maquinário, a consultoria; como os produtos se saíram. Se a conversa começa difícil, ele puxa as fotos e os números para provar ao interlocutor o contrário. “Agora eu mostro o valor na prática.”



{6}/ Um exemplo de retorno do investimento

O dono de um depósito de materiais de construção (vamos chamá-lo de Rivaldo) fecha um acordo com o prefeito de uma cidade a 50 quilômetros de distância. Rivaldo terá de entregar 520.000 tijolos.

Cenário 1. Rivaldo pode colocar um funcionário para entregar os tijolos com um carrinho de mão, que aguenta o peso de 45 tijolos por vez. O funcionário vai levar 10 minutos para carregar o carrinho, 600 minutos para andar 50 quilômetros, 10 minutos para descarregar o carrinho e 600 minutos para voltar ao depósito. Isso dá 1.220 minutos por viagem. Como o funcionário fará 11.556 viagens (520.000 tijolos divididos por 45 tijolos por carrinho), ele levará 14.098.320 minutos, ou 234.972 horas, ou 29.372 dias de trabalho. Visto que Rivaldo gasta 47 reais por dia útil com esse funcionário (incluindo impostos), este cenário custa 1.380.484 reais. (Para reduzir o número de dias de trabalho à metade, Rivaldo deve pôr dois funcionários para trabalhar, e assim por diante. Contudo, gastará a mesma coisa.)

Cenário 2. Rivaldo pode colocar o funcionário para entregar os tijolos com um caminhão pequeno, capaz de levar 1.511 tijolos por viagem. O funcionário vai gastar 180 minutos para carregar o caminhão, 60 minutos para andar 50 quilômetros, 180 minutos para descarregar e 60 minutos para voltar ao depósito. Isso dá 480 minutos por viagem. Então, o funcionário fará 345 viagens, e gastará com isso 165.600 minutos, ou 2.760 horas, ou 345 dias de trabalho. Este cenário custaria a Rivaldo 16.215 reais com mão de obra.

Mas, no cenário 2, Rivaldo teria de comprar um caminhão pequeno, novo, por uns 95.000 reais. Ele usa a fórmula de retorno em razão do investimento para ver até que ponto o caminhão vale a pena. Não há aumento de receita (porque a quantidade de tijolos não se altera), mas há redução de despesas (RD) em razão do investimento.

A fórmula completa fica:

[Por que 1.300%? Porque o RDI pode ser visto como um fator de aumento porcentual, ou seja, um fator igual a (1 + x). Se 1 + x = 14, então x = 1.300%.]

Embora Rivaldo tenha feito um cálculo simplificado (não levou em conta, por exemplo, as despesas com a manutenção do caminhão ao longo de cinco anos), fica claro que vale a pena comprar um caminhão para entregar esses 520.000 tijolos: cada real gasto com o caminhão significa 14 reais economizados com o custo total da entrega.

Pois bem: como diz Renato Romeo, um vendedor hábil, com prática em cálculos de retorno, talvez vendesse a Rivaldo um caminhão melhor e mais caro. {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 6, maio de 2011, pág. 36. A matéria foi revista e ligeiramente reescrita, mas os fatos são os que valiam na ocasião.

2. Há muitas maneiras de medir ou de estimar o retorno de investimentos de capital. Esta matéria deu destaque a apenas uma delas.

3. Caso queira comprar o livro Vendas B2B, clique aqui.

Crianças devem aprender a “fracassar com glória”

Para as crianças ele é o Sr. Pickle; para os adultos, é Gord! (Com ponto de exclamação mesmo.) O canadense Gordon Hamilton trabalhava com matemática aplicada até que, numa conversa de 20 minutos com uma garotinha, mudou de ideia sobre o destino de sua vida: curtir a satisfação das crianças quando elas brincam com problemas matemáticos.

As crianças devem aprender a se sentir confortáveis em fracassar de vez em quando, mas em fracassar com glória. Quero que errem e deixem o erro para trás, para tentar de novo.


{1}/ Introdução à entrevista: pensando com rigor

Gord se voluntariou para participar de uma feira de matemática numa escola pública de Calgary, no Canadá. Algumas crianças dessa escola trabalhavam com problemas havia duas semanas. Ele andou de um lado para o outro, passando pelas crianças, ajudando cada uma delas a resolver um problema. A certa altura, sentou-se diante de uma garotinha de 7 anos que mostrou o problema no qual trabalhava: um problema sobre sapos e pedras (veja a seção 3). “Olhei aquilo e me perguntei: Como vou resolver isso?” Quando viu que Gord não sabia resolver o problema, ela abriu um sorrisinho maldoso — pois ela já sabia resolver o problema. “Eu pensei: Meu Deus! Essa é a experiência mais bonita que posso dar a uma criança.” A garotinha sabia que Gord era matemático, e que ela sabia algo que ele não sabia.

Naquela noite, ao chegar em casa, Gord resolveu o problema, mas só pensava na experiência que pôde dar à garotinha e decidiu que queria repeti-la com outras crianças. Isso foi em 2005. Desde então, Gord tem se dedicado à educação matemática no ensino básico. Em 2010, começou o MathPickle, um projeto para divulgar suas ideias sobre a educação matemática. O leitor pode entrar no website para conhecer os jogos e ver os vídeos das experiências em sala de aula.

Há quatro coisas que hoje Gord deseja ver numa classe: problemas não resolvidos, jogos, quebra-cabeças, e a experiência do fracasso. Quando um pai pergunta como ajudar seus filhos a estudar matemática (e muitas vezes esse pai se sente intimidado pela matéria), ele responde: “Esqueça a lição de casa tradicional: vença as crianças todo dia num bom jogo.” Gord diz que, ao jogar com a criança, o pai a incentiva a resolver um tipo de problema. “Jogos podem ser bem difíceis se a criança realmente quiser ganhar. Essa é a razão número 1 pela qual ensinamos matemática: resolução de problemas. Não é ensinar adição, subtração, multiplicação, e divisão: essa é a razão número 2. A razão mais importante é ensinar as crianças a pensar com rigor.”

Gord divide o tempo entre o website do MathPickle e as visitas a escolas. Há alguns anos passou seis meses no Brasil, acompanhando turmas duma escola pública em Limeira (SP). Gostou da experiência, pois pôde fazer algo que adora, mas que funciona mal com crianças canadenses: o papel de professor brincalhão.



{2}/ A entrevista em si

Você é matemático, certo?

Eu sou, mas visito escolas em tempo integral, então não sou mais um bom matemático. Penso como um, e cada vez mais penso como um educador, porque passo todo o meu tempo em escolas falando com professores. Fiz doutorado em matemática aplicada, no qual estudei uma série de fraturas de tornozelo. Queria reconstruir a amplitude de movimento nas articulações de dez pacientes que tinham lesões sérias. A amplitude do movimento um ano depois do acidente tem correlação com uma boa recuperação, então seria bom se eu pudesse dizer ao cirurgião: “Parece que o paciente com essa fratura vai se recuperar muito bem. Já com esse outro você precisa fazer alguma coisa: parece que não vai ter uma boa amplitude de movimento.” Era um trabalho bem aplicado e acabei entrando numa área de que não gostei muito. Trabalhava como biomecânico para as equipes de esportes nacionais da Malásia, em Kuala Lumpur.

Só aos 41 anos tive aquela euforia da meia-idade e descobri que minha paixão estava na educação matemática. Após os 20 minutos de conversa com aquela criança, toda minha vida, toda minha trajetória profissional mudou. Eu não tinha a intenção de fazer outra coisa exceto trabalhar com crianças pelo resto vida. Foi um grande momento!

Como os jogos ajudam no ensino da matemática?

Não gosto de jogos educacionais em que a criança apenas soma ou subtrai… O jogo deve ser muito divertido e muito difícil. Usamos jogos para que as crianças raciocinem melhor, porque quando entendem um jogo acabam resolvendo problemas mais difíceis que em qualquer outra atividade escolar. Mas não quero que a matemática seja só divertida, tem de haver trabalho duro; faço questão de mostrar isso às crianças. Acredito que, se a criança está envolvida no jogo e raciocinando bem, não precisa saber o plano de aula que tenho na minha cabeça. O que para mim é um grande problema é quando alguém diz que matemática é fácil. Ou então: “Aqui está um jeito fácil de fazer isso.” Odeio isso! Digo para a pessoa que quero encontrar um jeito mais difícil; um jeito que vai desafiar minhas crianças. Não quero o fácil, eu quero o difícil e o interessante. É disso que estou atrás.

Por que as crianças devem experimentar o fracasso?

Muitos pais dos melhores alunos reclamam que faltam desafios para os filhos, então pedem que o professor ensine a matéria com maior rapidez — não estou falando de gênios aqui, mas sim dos 5% melhores da sala. Gênios são muito raros. O professor costuma aceitar a sugestão dos pais, e daí a criança fica cada vez mais à frente de seus colegas e acaba se entediando. Fica acostumada com sucesso, sucesso, sucesso. Então ela cresce, chega à universidade e SPLAT! — fracassa pela primeira vez. É boa receita para um desastre.

Acredito que devemos fazer os alunos fracassar a cada aula para acabar com esse estigma do fracasso. Quero que se sintam bem ao fracassar de vez em quando, mas fracassar com glória. Quero que errem e deixem esse erro para trás para tentar de novo. Quando é a primeira vez que conheço a turma, faço os alunos fracassar primeiro como um grupo, depois cada um por si. Muitas vezes, na frente deles, finjo que também fracasso, pois é bom que tenham essa experiência o mais cedo possível. No pré-primário [com crianças entre 5 e 7 anos], digo a eles que erraram até o momento em que não ficam mais chateados com isso. Entendem que faz parte da vida. [Ele conversa com um aluno imaginário:]

“Sim, é difícil, eu também não sei como resolvê-lo. Mas que tal tentarmos desse jeito? Ou desse outro?”

Essa é uma maneira melhor de manter toda a classe no mesmo ritmo. Quando visito turmas de primeiro ano, vejo o professor ensinar a adição pela primeira vez, mas sei que no Canadá 30% das crianças com facilidade já sabem somar e não terão problema com isso. Já os 20% com maior dificuldade têm problemas para contar, que dirá somar! Para alcançar todo esse espectro de habilidades, o professor precisa de atividades difíceis o suficiente para que os que têm dificuldade aprendam bem e os que têm facilidade pratiquem a resolução de problemas.

Você sempre trabalhou com essa ideia?

Desde que entrei na educação matemática, apresentar às crianças problemas sem solução tem sido recorrente; não abro mão deles. Ainda assim não tinha percebido que estava lidando com o fracasso. Há dois anos pedi para duas crianças jogarem um jogo inspirado num problema impossível de resolver e a professora ficou chocada. As crianças tentaram resolver o problema por 45 minutos, depois foram para casa e só na semana seguinte voltei a vê-las de novo com o mesmo problema. Foi aí que contei para a professora: “Esse problema é insolúvel.” Ela já estava subindo pelas paredes e achou que aquilo seria um desastre. Pedi que prestasse atenção à reação deles quando descobrissem que era insolúvel, pois ela achava que ficariam chateados. Mas na verdade eles ficaram agitadíssimos e me disseram: “Ah, isso foi muito maldoso. Você nos deu um problema que não tem solução!” Depois os ouvi conversando no intervalo:

“Você viu? Era matematicamente impossível resolver aquele problema!”

Foi ótimo para a professora ver que ensinar problemas sem solução é uma ideia bacana. Sempre tive essa ideia de dar problemas não apenas com uma solução, mas com várias, ou nenhuma. É um jeito mais empolgante de ensinar — como também é empolgante ler uma história sem saber o final. Será que a heroína vai morrer? Será que vai vencer? Não sabemos! É mais emocionante que um livro onde sabemos que ela vai vencer o cara malvado… É uma forma de trazer para a turma coisas imprevisíveis e de dizer: Nem sempre vou ser bonzinho. Adoro brincar com esse papel de “malvado”; às vezes até dou uma risada macabra depois de apresentar o problema.

Mas as crianças também devem conhecer a experiência do sucesso. Costumo dar um problema sem solução e um que todos podem resolver. Temos de dar a eles a oportunidade de acertar, senão seria ridículo.

Qual é a parte mais difícil de seu trabalho?

As turmas do jardim de infância tomam dez vezes mais do meu tempo que as do 2º ano [risos]. Quando trabalho com turmas de 9º ano, em dois minutos consigo descrever um quebra-cabeça; depois que as crianças já estão acostumadas comigo, posso descrever um problema que estou tentando resolver. Logo estamos buscando uma solução juntos. Muitas vezes não sei mais sobre o problema do que elas; estamos no mesmo barco. Às vezes, explico algo e digo [finge que fala com um aluno]: “OK, Jonathan, pode ir até a lousa que você está no comando.” Finjo ser um estudante e Jonathan tem de dizer a mim e às outras crianças o que fazer. Adoro trocar de papéis desse jeito. Já no jardim de infância é mais difícil. Mas as crianças pequenas se interessam mais facilmente por jogos e quebra-cabeças. Quando o estudante chega a 17 ou 18 anos, começo a perder o interesse neles, porque não posso mudá-los tanto quanto se fossem crianças. Acho que posso influenciar mais as crianças quando são pequenas. Em todo caso, gosto muito das turmas de primeiro ano [do ensino médio].

Outra coisa difícil é controlar as finanças. O MathPickle é meu sonho e estou determinado a fazê-lo dar certo, mas no momento ganho metade do salário de um professor. Isso significa algo bom para o MathPickle em relação há dois anos. Fiz isso trabalhando duas vezes por semana, então fui bem eficiente em visitar escolas particulares e ser bem pago, mas não consigo trabalhar em tempo integral e contribuir com o website ao mesmo tempo. Para mim, é algo difícil de equilibrar.

[Gord ganha a vida como consultor de escolas, e o MathPickle não é apenas um website de divulgação de ideias — é também um instrumento de vendas.]

Como os professores reagem a sua presença em classe?

Depende do professor. Pode ser um grande motivo para irritação ou para uma boa experiência. Certa vez uma professora ficou muito surpresa, pois apresentei um problema e um aluno ficou até depois da aula tentando resolvê-lo. Ele não costumava ser um bom aluno. Mas, para mim, é óbvio que aquela criança só buscava uma desculpa para se envolver em algo realmente bacana. Muitas crianças não se empolgam com a forma tradicional de estudar multiplicação, divisão, subtração, porque ela não é interessante. Mas dá para apresentar um problema difícil relacionado a esses conceitos, e assim o professor engaja mais estudantes da turma e até se surpreende.

Às vezes, vejo resistência de um pequeno grupo de professores. Eles ficam lá sentados à mesa, sem se envolver na atividade com os estudantes, porque estou dando orientações num espaço que é deles. Hoje em dia estou lidando melhor com isso; agora, sempre que negocio um contrato com a escola, peço ao professor que fique a meu lado o tempo todo quando estou na frente da sala. Ele não deve ficar sentado, pondo em dia outras tarefas. Sei que seu trabalho é estressante e que tem muito que fazer, mas essa não é a hora de pôr as tarefas em dia. É hora de trabalhar comigo na frente de seus alunos.

Como foi sua passagem pelo Brasil?

Foi com certeza uma das minhas experiências mais felizes. Tinha apenas começado a trabalhar com educação e o pessoal aí achou legal que um estrangeiro quisesse se voluntariar em tempo integral para trabalhar numa escola brasileira. Eu tinha liberdade para fazer as atividades e interagir com os alunos, então tenho muitas memórias positivas. Mas a mais bonita que tenho foi quando deixei a escola para pegar o avião de volta para o Canadá. A escola inteira foi ao portão para se despedir. Para eles meu nome era Gordi. Então havia uns 400 alunos lá fora gritando: Gordi! Gordi! Gordi! Era como se eu fosse uma estrela do rock. Foi muito legal; gostaria de trabalhar com essas crianças o tempo todo.

Como se comunicava com eles?

[Gord começa a falar num português claro apesar do sotaque.] Eu fala um pouco português, mas muuuito fraco. Quando eu fala com eles eu não usa verbos. Eu entende nada, só mostrar. [volta a falar em inglês] Eu não usava verbos ou usava verbos no tempo errado. Certa vez, desenhei algumas linhas na lousa e disse: [volta a falar em português] Que esso? [volta a falar em inglês, imitando a resposta dos alunos] Isso é só um monte de linhas. Então eu disse: [volta a falar português] Essa é victoria-régia. E que esso? Sa-po. [volta a falar em inglês] Daí eles entenderam que no problema havia folhas de lírios d’água com sapos em cima delas. Foi bacana trabalharmos juntos, pois as crianças sabiam que eram melhores que eu numa coisa, a língua portuguesa, e eu sabia que estava no controle da sala mesmo sendo um professor brincalhão.

O que gostaria de fazer no futuro?

Bom, o Brasil sempre teve um lugar especial no meu coração. Sou canadense, mas se tivesse de escolher um país para ajudar, não seria o Canadá — seria o Brasil. O programa brasileiro de ensino de matemática é muito ruim e eu adoraria ajudar a melhorá-lo. Por exemplo, fazer seminários de aperfeiçoamento profissional com meu péssimo português — e, claro, com a ajuda de um tradutor. {}


{3}/ Uma garotinha supera o matemático

Em 2005, a garotinha que fez Gord mudar o rumo de sua profissão trabalhava num problema com seis sapinhos saltitantes. Havia sete pedras. Três sapos estavam em cima das pedras mais à esquerda e outros três sapos, em cima das pedras à direita. O problema era mover os sapos da esquerda para as pedras da direita, e os sapos da direita para as pedras da esquerda. As regras de movimento são: os sapos da esquerda só podem se mover para a direita uma pedra por vez; os da direita, só podem se mover para a esquerda (uma pedra por vez); um sapo pode saltar outro sapo (só um), mas apenas se a casa na qual vai aterrissar está vazia. O leitor, se quiser, pode usar pedacinhos de papel para representar os sapos e as pedras.

Fig. 1

Como a garota pode pensar ao resolver o problema? Após várias tentativas de pôr os sapos nas pedras que deseja, começa a reconhecer o que deve e não deve fazer; por exemplo, bloquear uma peça sozinha em sua pedra original. Pode também organizar a confusão do raciocínio com papel e caneta, atribuindo um número de 1 a 7 para cada pedra e uma letra de A a F para cada sapo, além de um X na pedra vazia (ou algo assim). Agora que consegue visualizar melhor o movimento de cada sapo faz uma lista das decisões que toma para resolver o jogo:

Passo 1. Move o sapo D para a única pedra vazia, a de número 4, e o sapo C para a pedra 5. Depois põe o sapo B na pedra 3.

Passo 2. Passa o sapo D para a pedra 2, o sapo E para a pedra 4, o F para a pedra 6 e o C para a 7.

Passo 3. Move o sapo B para a pedra 5, o A para a 3 e o D para a 1.

Passo 4. Move o sapo E para a pedra 2, o F para a pedra 4 e o B para a pedra 6 e o A para a pedra 5.

Passo 5. Por fim, põe o último sapo, o F, na pedra 3 e voilà! Resolveu o jogo.

Num diagrama de letras a sequência da ordem inicial até a solução final fica como abaixo (pulando alguns passos):



{4}/ O problema do chapéu mágico

Fig. 2

Em 1916, o matemático Issai Schur propôs um problema que até hoje os matemáticos não conseguiram solucionar. Gord sugere o problema para crianças de segundo ano do ensino fundamental, assim elas praticam a adição. Elas imaginam os números inteiros positivos, na ordem crescente: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Imaginam ainda dois chapéus e a seguinte regra: elas têm de pegar o primeiro número (1) e colocá-lo num dos chapéus (qualquer um); daí têm de pegar o segundo número (2) e colocá-lo num dos chapéus (qualquer um); e assim por diante. Contudo, não podem pôr um número num chapéu se a soma de quaisquer dois outros números, já dentro do chapéu, for igual ao número em questão. Por exemplo, ela começa colocando 1 no chapéu A. Depois, 2 no chapéu B. Depois, 3 e 4 no chapéu B. Depois, 5 no chapéu A. Agora, tem um problema: não pode pôr 6 em nenhum dos dois chapéus, pois, no chapéu A, 1 + 5 = 6 e, no chapéu B, 4 + 2 = 6. Resultado? Os dois chapéus explodem e ela tem de recomeçar a brincadeira.

Gord pergunta às crianças:

“Fazendo assim, qual é o maior número que você conseguirá colocar num dos dois chapéus antes que os dois explodam?”

Ele quer dizer o seguinte: seguindo esse algoritmo, uma pessoa consegue chegar no máximo a qual inteiro positivo? Para não complicar demais, Gord pede às crianças que trabalhem com o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, que tem uma solução ótima: 1, 2, 4, 8 no chapéu A; 3, 5, 6, 7 no chapéu B.

Ele diz que os alunos devem levar um tempinho para chegar à solução, mas algumas crianças encontrarão a resposta rapidamente. O que o professor deve fazer? Basta acrescentar um chapéu mágico ao problema e de novo pedir para encontrar a solução ótima. Depois de trabalhar bastante com o problema, Gord mostra a melhor solução para os três chapéus. Gord põe no chapéu A os números 1, 2, 4, 8, 11, 16, e 22; no chapéu B, põe os números 3, 5, 6, 7, 19, 21, e 23; por fim, no chapéu C, põe os números 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18 e 20. Isto é, o maior número que alguém consegue pôr num dos três chapéus é 23; no 24, os três chapéus explodem.

Gord explica que o problema com quatro chapéus é bem difícil de resolver; o número máximo é 66. Quanto ao problema com cinco ou mais chapéus, ele ainda não tem solução: eis o problema proposto por Issai Schur. (Em termos técnicos, esse é um problema de partições de inteiros positivos; é, portanto, um problema em aberto na teoria dos números.) Na página do MathPickle na internet, Gord disponibiliza um arquivo com o desenho dos chapéus mágicos, como também outras atividades que acha interessante para as diversas séries do ensino básico. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 43, agosto de 2014, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone.

3. As figuras 1 e 2 são do artista gráfico Henrique Arruda.

4. Algumas das ilustrações remetem ao livro Alice no País das Maravilhas, de Lewis Carroll. É de propósito. Carroll era matemático, especializado em lógica, e soube escrever uma estória cujo pano de fundo é frustração com ansiedade. Mesmo assim, Alice consegue explorar aquele país tão esquisito e fazer uns poucos amigos — graças à inteligência e à irrepreensível cortesia.

5. O que Gord pretende com problemas como o da seção 3 e o da 4? Ensinar matemática de verdade: “A matemática é a arte e o ofício de propor conceitos objetivos, de usar tais conceitos para compor certas proposições iniciais, e de recorrer a argumentação lógica rigorosa para mostrar que as proposições iniciais implicam certas proposições finais.” Caso o leitor leia e releia a descrição da frase entre aspas algumas vezes, verá que muitos jogos se encaixam perfeitamente bem na definição de matemática — tanto é que, depois que os matemáticos descobriram isso, passaram a trabalhar na teoria do jogos com intenso fervor. Por tudo isso, o leitor pode ver o problema dos sapinhos, por exemplo, como um jogo de tabuleiro, que vai dar ao aluno boa ideia do que é matemática — em outras palavras, boa ideia do que é mostrar, tim-tim por tim-tim, por que a resolução se segue da posição inicial do tabuleiro e das regras do jogo.

Transmissor: gente. Receptor: gente


Numa escola de São Paulo, 24 alunos do ensino médio descobriram que, enquanto não pensam sistematicamente sobre como eles mesmos se comunicam com as outras pessoas, não podem compreender bem como um computador transmite informações para outro computador.


DE VEZ EM QUANDO, a revista Cálculo: Matemática para Todos pedia a um professor que executasse uma tarefa com seus alunos, de modo que um jornalista pudesse observar os alunos em ação e observar o jeito como resolvem problemas. Em outubro de 2013, um professor de ensino médio numa escola da Mooca (bairro de São Paulo) aceitou propor um jogo a 24 de seus alunos, que foram divididos em seis grupos de quatro alunos cada um. Eram todos do segundo ano do ensino médio, e com boas notas. Como o professor explicou o jogo? As palavras foram mais ou menos estas:

O Jogo da Transmissão Eficiente — “Daqui a meia hora”, explicou o professor à classe, “cada grupo receberá a letra de uma música. Dois membros do grupo trabalharão como transmissores (ou codificadores), e dois como receptores (ou decodificadores). Sua missão é a seguinte: sem saber qual será a letra a transmitir, os membros do grupo devem combinar um código. Para isso, terão a próxima meia hora. Depois, a dupla de transmissores e a de receptores vão se separar, e vão para salas separadas. A dupla de transmissores receberá a letra de uma música, e terá meia hora para codificá-la, usando o código que combinaram. Depois disso, a mensagem codificada será levada para a dupla receptora, que terá meia hora para decodificá-la e dizer qual era a letra original. Vai ganhar o grupo que for capaz de transmitir a mensagem corretamente, usando para isso o menor número de símbolos. O enfoque aqui é eficiência.”

Há muitas coisas sobre a transmissão e a recepção de mensagens nas quais um aluno de ensino médio talvez nunca tenha pensado. Três elementos entram em jogo durante a transmissão: o emissor da mensagem, o canal de transmissão, e o receptor da mensagem. Especialistas dividem as mensagens em dois grandes grupos: as contínuas (como imagens ou sons, nos quais a mensagem a ser transmitida varia continuamente) e as discretas (como as palavras da língua portuguesa, que podem ser vistas como coleções de objetos discretos, as letras). Hoje, graças a várias criações de matemáticos e engenheiros, máquinas de transmissão de dados trabalham até mesmo com mensagens contínuas, pois, antes da transmissão, elas transformam a mensagem contínua em coleções de objetos discretos (os bits, isto é, zeros e uns; sempre há alguma perda nessa transformação, que eles chamam de ruído de codificação).

Se o meio não é confiável (se ele introduz erros na mensagem), o transmissor e o receptor têm de combinar um código que seja resistente a erros. Por exemplo, duas pessoas se colocam cada uma no topo de um prédio, de modo que ficam lá em cima a 100 metros uma da outra. Uma delas vai gritar uma mensagem para a outra; por exemplo:

“NEM ESTOU PRONTO!”

Como a distância entre elas é grande, e como o meio de transmissão é o ar lotado dos ruídos das ruas lá embaixo, é bem possível que o receptor da mensagem ouça:

“BEM ESTOU PRONTO!”

O que é uma mensagem completamente diferente da original, embora difira da original por apenas uma letra. Para evitar isso, talvez as duas pudessem introduzir alguma redundância na codificação; talvez repetir a mesma palavra três vezes:

“NEM NEM NEM ESTOU ESTOU ESTOU PRONTO! PRONTO! PRONTO!”

Mesmo que o receptor ouvisse:

“NEM NEM BEM TOU ESTOU ESTOU PRANTO! PRONTO! PRONTO!”

Ainda assim seria capaz de usar a redundância para identificar o erro de transmissão, provocado pelo canal ruidoso, e para recuperar a mensagem original. Mas os seis grupos de quatro alunos usariam papel, que o transmissor entregaria pessoalmente nas mãos do receptor. Nessas condições, papel é extremamente confiável — ele praticamente não introduz erros de canal, de modo que os alunos poderiam ter escolhido um código muito sintético. Um caso extremo seria:

“Qual é a música mais conhecida por professores de matemática?”, perguntaria um aluno.

Águas de Março, de Tom Jobim?”, responderia outro.

“Legal. Se você receber Águas de Março, simplesmente escreva no papel um ponto de exclamação: !”

Num caso assim, o transmissor passaria a mensagem, que é as 402 palavras da letra de Águas de Março, com apenas um símbolo —  !

Os seis grupos criaram códigos criativos e elaborados, mas ineficientes em vista do canal de transmissão tão confiável. Um deles numerou as letras de 1 a 26, A = 1 e Z = 26, e usou apenas três símbolos: pontinho (.), que valia 1, a letra X, que valia 10, e traço subscrito (_), que significava espaço. Assim, tiveram de representar a letra I, a letra de número 9, com nove pontinhos:

. . . . . . . . .

E uma palavra simples como “dia” ficaria:

. . . . _ . . . . . . . . . _ .

Outro grupo se inspirou no celular e criou uma matriz de letras e números, como mostra a figura 1.

Fig. 1

Nesse código, a letra J tem valor padrão H e subvalor 3: H3 significa J. Esse grupo até criou uma notação interessante: se for codificar “LILI”, em vez de escrever H5H2H5H2, o emissor escreve o H apenas uma vez e separa os números por vírgula: H5,2,5,2. “No setor de telecomunicações”, diz Murilo Bellezoni Loiola, professor de engenharia da informação na Universidade Federal do ABC, “isso é o que chamamos de codificação de fonte.” (A pedido dos jornalistas, Murilo analisou a estratégia de cada grupo.) Durante a codificação de fonte, o emissor recebe a mensagem a transmitir e a converte numa sequência de símbolos que o receptor deve compreender. Uma codificação baseada em pontinhos e xis seria adequada para uma máquina, pois, no caso de máquinas, quanto menos símbolos distintos, melhor. É por isso que todas elas usam apenas dois: 0 e 1. Como os alunos são milhões de vezes mais eficientes que máquinas na interpretação de símbolos, eles poderiam ter usado mais símbolos; na pior das hipóteses, poderiam simplesmente ter entregue a letra ipsis litteris — sem nenhuma codificação! Murilo pergunta: “A ideia não era representar a mensagem com a menor quantidade de símbolos possível?”

Sim, era, mas durante a atividade, o professor e os alunos ficaram inseguros quanto ao sentido da palavra “eficiência”. Ela é mesmo uma dessas palavras que todo mundo pensa que sabe o que significa, mas que, na prática, significa coisas distintas em circunstâncias distintas. Se o enfoque da transmissão era a eficiência do código, o que significa eficiência? Transmitir a mensagem com o menor número possível de símbolos? Ou usar, para codificar a mensagem, o menor número possível de símbolos? As duas estratégias são completamente distintas. Os jornalistas torciam para que algum grupo fosse capaz de transmitir uma letra inteira de música com um único símbolo, ou com poucos; mas o professor e os alunos, depois de discutir um pouco, decidiram que a melhor coisa a fazer seria adotar uma codificação que permitisse uma boa criptografia da mensagem.

Criptografia?

De onde surgiu isso?

Coraçõezinhos. Eis um fenômeno curioso: tanto o professor quanto os alunos associaram a ideia de “codificar e decodificar” com a de “criptografar e descriptografar”, mas as duas ideias não têm nada a ver. Num processo comum de transmissão de mensagens, o emissor converte a mensagem a transmitir no código que ele e o emissor combinaram (não precisa haver criptografia nesse processo) e entrega a mensagem codificada ao canal de transmissão. O canal, por sua vez, pode converter a mensagem a transmitir num outro código, que seja adequado ao meio de transmissão. Por exemplo, servidores de e-mail convertem os e-mails, sem criptografá-los, em pacotes de dados, que entregam para a rede de transmissão (a internet), que os transmite ao servidor de destino sem criptografá-los. Uma vez que a mensagem chegue do outro lado do canal, o canal recupera a mensagem original e a entrega ao receptor, que, por sua vez, converte o código na mensagem original. Não necessariamente precisa haver criptografia em nenhuma dessas etapas — aliás, quase nunca há: e-mails, telefonemas, e páginas de internet, por exemplo, quase sempre são transmitidas sem nenhuma criptografia.

Com a ideia de criptografia na cabeça, os códigos com símbolos difíceis de interpretar, e além disso ineficientes, fizeram todo o sentido. Um grupo, por exemplo, usou três coraçõezinhos para representar a letra R: ♡ ♡ ♡. Para quem está com “criptografia” na cabeça, isso é uma ótima ideia. Para quem está com “eficiência de transmissão num canal confiável como o papel”… Bem, de que maneira é melhor transmitir três corações em vez de transmitir a própria letra R?

Mesmo com a ideia de criptografia na cabeça, alguns grupos tiveram a ideia de substituir uma palavra inteira por um único símbolo. Um deles, por exemplo, combinou assim: um coraçãozinho significaria “amor”, um olho significaria “olhos” e uma florzinha significaria “primavera”. Uma das alunas justificou a decisão assim:

“Não existe música sem a palavra amor!”

Essa ideia de substituir uma palavra por um símbolo é mais eficiente, considerando o canal confiável, mas é difícil de implementar na prática, diz Murilo. “O problema com esse tipo de alfabeto é que você precisa prever a mensagem que vai transmitir, mas certamente aparecerão palavras que você não previu. E daí? Como faz para codificar as coisas que não estão no seu dicionário?”

Murilo mencionou duas palavras técnicas importantes: “alfabeto” e “dicionário”. Ele não as usa como um leigo, mas como um matemático ou engenheiro. Na matemática, o emissor da mensagem recebe k elementos retirados de um dicionário Σ, que ele denota assim: Σk. Por exemplo, as palavras de uma música escrita em língua portuguesa: o dicionário é a língua portuguesa, os elementos são as palavras. Depois, o emissor aplica uma função codificadora, isto é, ele converte os elementos do dicionário original nos n elementos de um outro dicionário Φ. (Como os alunos de um dos grupos, que convertiam “d” em “. . . .”.) Ele põe isso no papel assim:

A ponta transmissora do canal pode fazer outra conversão, se isso for conveniente, e transformar Φn em Ψt (por exemplo, para usar um dicionário mais resistente aos ruídos do canal); na ponta receptora do canal, Ψt vira Φn, e no receptor da mensagem, Φn se transforma na mensagem original Σk. O desafio dos alunos era transformar k elementos do dicionário da língua portuguesa Σ (Σk) em n elementos de um dicionário Φ qualquer (Φn), sendo que, na condição ideal, n seria muito menor que k (nk). Mas, preocupados com a ideia de criptografia, deram preferência para dicionários cujos elementos um inimigo só poderia interpretar depois de muito trabalho.

Dodói na barriguinha. Mais para o fim da atividade, quando as duplas de transmissores e de receptores perceberam que haviam escolhido dicionários difíceis — que trabalhão codificar e decodificar todas aquelas palavras! —, tanto o professor quanto os alunos perceberam que não era necessário levar em consideração a ideia de criptografia. Afinal, nenhuma regra do jogo especificava que um grupo ganharia pontos se interceptasse e decodificasse a mensagem de outros grupos. As regras do jogo faziam surgir a ideia de competidor (pois só um grupo ganharia o jogo), e talvez até a de adversário, mas não a de inimigo. Mas aí já era tarde demais.

Essa atividade mostra bem a diferença entre dois tipos de aula de matemática: [1] o professor dá aos alunos um problema primeiro, talvez um problema que nem o professor conheça bem, e só depois passa a teoria; ou então [2] dá aos alunos a teoria, e depois um problema no qual possam aplicar a teoria. O tipo 2 é o mais comum, pois é o que permite acomodar mais assuntos por ano: o professor explica a teoria sobre os logaritmos e passa uns exercícios e uns problemas sobre logaritmos, ou explica a teoria básica a respeito da transmissão eficiente e confiável de informações, e depois passa o jogo. O tipo 1 é o menos comum, pois todo mundo, professor e alunos, passam longos períodos em estado de confusão. Mas o tipo 1 é mais parecido com a matemática de verdade: um matemático está sempre em estado de confusão, pois está sempre lidando com problemas difíceis, para os quais nem ele nem ninguém conhece a solução. Além disso, o tipo 1 tem uma virtude: deixa os alunos com vontade de conhecer a teoria. É certo que 24 moradores da Mooca lerão esta reportagem com grande interesse.

O engenheiro Murilo , no fim das contas, gostou muito da atividade. Ela não se refere apenas a celulares, MP3, DVD, HDTV. Ela se refere também à seguinte situação: um adulto quer perguntar a uma criancinha se ela está sentindo dor na barriga, e onde especificamente está doendo. Se não pensasse nas palavras, usaria os elementos de um dicionário específico, o dicionário de palavras comuns entre adultos. Mas, antes de fazer a pergunta, ele converte a mensagem e usa os elementos de outro dicionário, o dicionário das palavras gentis para usar com crianças doentes:

“Meu amor, a barriguinha tá dodói? [Dando instruções:] Põe o dedinho onde tá dodói.”

Diz Murilo: “Essas coisas realmente existem no nosso dia a dia, embora nem sempre as percebamos.” {FIM}


Por puro azar, o grupo que criou um coração flechado para a palavra “amor” teve de transmitir uma letra de música na qual a palavra “amor” não apareceu nenhuma vez


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 38, março de 2014, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. As entrevistas e a organização da atividade ficaram a cargo da jornalista Danielle Ferreira.

3. Como deve ter percebido ao ler a postagem Ciência, Matemática, ou Filosofia?, um bom treinamento em lógica e matemática é um excelente prelúdio à filosofia, e depois que o amante de matemática conclui seu primeiro curso de introdução à filosofia moderna, percebe que filosofia e matemática se complementam como feijão com arroz. Se os 24 estudantes da Mooca e seu professor tivessem o hábito da filosofia, antes de começar a atividade teriam discutido melhor as regras de O Jogo da Transmissão Eficiente: “Que significado devemos atribuir às palavras ‘transmissor’, ‘receptor’, ‘código’, ‘ganhar’, ‘corretamente’ e, principalmente, ‘eficiência’?” Isso lhes teria poupado a decepção de investir tanto tempo, desnecessariamente, na ideia de criptografia.

Doentes perfeitamente saudáveis


Médicos criaram a palavra “natibranco” para designar o paciente que passa por um procedimento cirúrgico sem necessidade. É sintoma de um mal moderno: o médico dá importância excessiva ao resultado de exames de diagnóstico. Porém, escolha ao acaso um brasileiro de 17 anos, e faça nele exames de sangue: se houver um positivo para aids, a probabilidade de que esteja saudável é de 81%.


{0}/ Médicos ouvidos nesta reportagem

Carlos Rochitte, coordenador de pesquisas no Instituto do Coração do Hospital das Clínicas da Universidade de São Paulo.

Cláudio Pereira, diretor de análises clínicas do Delboni Auriemo Medicina Diagnóstica.

Eduardo Massad, professor de medicina na Universidade de São Paulo.

Eliane Aparecida Rosseto, especialista da área de análises clínicas do Hospital Albert Einstein.

Jean Carlo Gorinchteyn, infectologista do Hospital Emílio Ribas.

Paulo Olzon, professor de clínica médica na Escola Paulista de Medicina.

Rubens Chojniak, responsável pela área de diagnósticos por imagem do Hospital AC Camargo.



{1}/ Positivo pode ser negativo, e vice-versa

“Suponha que você tenha sido raptado por bandidos”, sugere Eduardo Massad, professor de medicina na Universidade de São Paulo, mas também bem treinado em física e em matemática. “Os bandidos te jogam num quarto escuro. Depois de umas horas, você escuta o barulho de cascos. O que pensa? Que animal está lá fora?” A maioria dos brasileiros deve pensar: cavalo. Uma minoria talvez pense: jumento. “Agora, e se você estivesse na África e tivesse sido raptado por bandidos quenianos, e soubesse que, no Quênia, a prevalência de zebras é muito maior que a de cavalos?” O barulho é o mesmo, mas o sequestrado imagina outro bicho para explicá-lo. “Agora, suponha que alguém entre no meu consultório com febre”, diz Eduardo. “Posso pôr a gripe no topo da lista. Mas, se meu consultório fica em Manaus, talvez eu ponha a malária no topo da lista. A medição é a mesma: o termômetro me mostra a temperatura. Mas como em São Paulo é maior a prevalência de gripe, e como em Manaus é maior a prevalência de malária, o diagnóstico muda.”

É assim que Eduardo ilustra o modo como médicos usam o teorema de Bayes — quer saibam que Thomas Bayes existiu (poucos), quer não saibam (muitos). “O teorema de Bayes é poderosíssimo”, diz Eduardo, “e com ele nós médicos conseguimos fazer muita coisa na medicina.” Como o estudante (vamos chamá-lo de D3Q) deve misturar o teorema de Bayes às coisas médicas? Talvez, por exemplo, D3Q se rendeu à pressão da família e fez um check-up; o médico lhe pediu vários exames, embora ele só tenha se queixado de uma dorzinha chata em algum lugar dentro do peito, que ia e vinha há meses. Quando os exames ficaram prontos, D3Q voltou ao consultório para que o médico pudesse interpretá-los. Um dos exames de sangue indicou a presença de câncer de próstata, e o médico lhe disse:

“Senhor D3Q, acho que o senhor está com câncer de próstata. Não se cuidou direito, hein!?”

Um deles deu negativo para obstrução das veias do coração, e o médico lhe disse:

“Pelo menos não tem nenhuma obstrução coronária, que é muito comum na sua idade.”

Como D3Q deve reagir? Depende de como o médico se comportou ao longo das consultas. Se conversou com o paciente longamente, e se apurou sua história, e agora está dizendo que aquele positivo para câncer de próstata significa câncer de próstata e que aquele negativo para obstrução coronária significa ausência de obstrução coronária, talvez tenha razão. Se o médico mal conversou com ele, e não apurou sua história (por um motivo ou outro, de modo geral os médicos têm pouco tempo para conversar com pacientes), daí D3Q tem menos com que se preocupar: existe 70% de chance de que não tenha câncer de próstata, apesar do positivo, e existe 15% de chance de que tenha uma obstrução coronária, apesar do negativo. É o que diz o teorema de Bayes (em razão dos exames aos quais D3Q se submeteu). Eliane Aparecida Rosseto, especialista em exames de diagnóstico do Hospital Albert Einstein em São Paulo (SP), diz uma frase comum entre médicos: “A clínica é soberana.” Quer dizer com isso que as hipóteses criadas pelo médico conforme conversa com o paciente, e conforme o examina, são mais importantes do que os resultados dos exames per se. É outro jeito de reafirmar a validade do teorema de Bayes. (Para ver como deduzir o teorema de Bayes a partir de noções comuns, veja mais abaixo a seção 3; para ver como usá-lo na resolução de problemas simples, veja a seção 4.)

A lista de doenças com as quais Eliane trabalha todo dia parece letra de música dos Titãs: aids, toxoplasmose, mononucleose, diabetes, hepatite, sífilis, rubéola, lúpus, pneumonia, artrite reumatoide, clamídia… “Mas essa história de que a clínica é soberana é um problema, sabe?”, diz Eliane. “Existe a tendência de que o médico dê valor exagerado ao resultado do exame, até porque existe a tendência de que ele não faça um bom exame físico no consultório, nem de que levante a história do paciente antes de pedir os exames.” Em muitas circunstâncias, “dar valor exagerado a um exame” significa assustar o paciente com falsos positivos ou tranquilizá-lo com falsos negativos.

Cateterismo à toa. Médicos especializados em exames de diagnóstico, como Eliane, dizem que, de modo geral, o médico hoje em dia pede exames demais, e toma decisões importantes com base apenas nos exames. Eles inventaram até uma palavra curiosa: “natibranco”. É o sujeito que se submeteu a uma cirurgia sem ter nenhum problema, só porque um exame mostrou que talvez houvesse um problema. “Nós nos deparamos com casos assim com alguma frequência”, diz Carlos Rochitte, coordenador de pesquisa no Instituto do Coração do Hospital das Clínicas da USP (InCor). E esse não é somente um problema de país subdesenvolvido. Carlos cita um estudo feito nos Estados Unidos com 400.000 pacientes — todos foram internados para passar por um cateterismo (o médico enfia um pequeno tubo numa das veias ou artérias do coração do paciente, ou para descobrir de uma vez por todas o que ele tem ou para corrigir um problema); desses 400.000 pacientes, 360.000 fizeram algum exame de diagnóstico antes da cirurgia. No entanto, dos 400.000, apenas 37% tinham alguma doença que justificasse os riscos de um cateterismo. Fazendo as contas: 252.000 pessoas passaram por um cateterismo à toa. “Imagine isso”, diz Carlos. “A taxa de natibrancos foi de quase 70%.” Eliane menciona um número conhecido entre especialistas em diagnóstico: se um médico pedir 21 exames para uma pessoa só, escolhida a esmo (isto é, sem diagnóstico bem definido), é bastante provável que um desses exames dê um falso positivo.

Existe também a situação contrária: o médico se apressa a imaginar um diagnóstico, pede exames, os exames dão negativo e ele descarta o diagnóstico com base nos negativos. Da mesma forma que um teste pode dar falso positivo, também pode dar falso negativo. Contudo, visto que falsos negativos ocorrem com menor frequência, os médicos “param todo o processo quando um exame negativo confirma suas suposições”, diz Carlos Rochitte. Uma vez, ele atendeu um paciente com risco alto de problemas no coração — o paciente já tinha sido hospitalizado por esse motivo uma vez. Reclamava de dor no peito e, para Carlos, aquela dor, com aquelas características, indicava entupimento numa das artérias do coração. Os primeiros exames, mais simples e baratos, não indicaram nada. Carlos pediu uma cintilografia, que é um exame mais caro e mais preciso. Nada. Então pediu uma tomografia computadorizada, que é um exame muito mais caro e muito mais preciso. “A tomografia mostrou que passava muito pouco sangue por uma das artérias do coração.” Mas Carlos reconhece que, se as circunstâncias fossem outras, talvez tivesse tomado outra decisão. E se a probabilidade pré-teste do paciente para doença do coração fosse baixa? E se o paciente fosse jovem, não tivesse histórico de problemas do coração na família, e fosse maratonista? Talvez tivesse dispensado o tal paciente com base apenas nos resultados da cintilografia.

A importância de ser fofoqueiro. Carlos citou uma expressão-chave: probabilidade pré-teste. É a prevalência da doença na população da qual o paciente faz parte. Quer dizer o seguinte: a prevalência de aids entre rapazes de 17 anos é de apenas 0,12%, isto é, existem 3 doentes a cada 2.500 rapazes. Então, se o médico pede exame de sangue para seu jovem paciente de 17 anos, sem que o jovem esteja reclamando de nada e sem que haja nenhuma suspeita, deve considerar a probabilidade pré-teste como sendo 0,12%. Quando a probabilidade pré-teste é muito baixa, um positivo é mais provavelmente um falso positivo, mesmo no caso de um exame preciso como o da aids. Mas, se o jovem usa drogas injetáveis, e não toma cuidado com as seringas e agulhas, e está reclamando dos sintomas típicos da aids, sua probabilidade pré-teste pula para uns 90%, e daí um positivo é provavelmente um positivo mesmo.

Essa é a regra: quanto maior a prevalência da doença na população da qual o paciente faz parte (isto é, quanto maior a probabilidade pré-teste daquela doença naquela população), mais provavelmente um positivo significa positivo, e menos provavelmente um negativo significa negativo. Quanto menor a prevalência da doença, menos um positivo significa positivo e mais um negativo significa negativo. Como consequência, em primeiro lugar o médico precisa conhecer a prevalência das doenças nos vários subconjuntos da população brasileira. Em segundo lugar, precisa conhecer um pouco de matemática, inclusive o teorema de Bayes. Ele conhece essas duas coisas?

Todos os sete médicos ouvidos para esta reportagem respondem “não” para as duas coisas. Com exceção das louváveis exceções de sempre, os médicos têm informações inconsistentes sobre a prevalência das doenças nos subconjuntos da população brasileira e, na faculdade, não receberam treinamento adequado em matemática.

Sobre as informações inconsistentes, atribuem a culpa ao governo. As várias instituições dos vários níveis de governo (municipal, estadual e federal) não coletam estatísticas com método e rigor, não as consolidam num banco de dados central, e não as distribuem Brasil afora. Paulo Olzon, professor de clínica médica na Escola Paulista de Medicina, relembra a história das eleições 2010 para governador. No Estado do Rio de Janeiro, o candidato precisava de verbas federais, e se houvesse maior incidência de dengue no Rio, seria mais fácil obter tais verbas; no Estado de São Paulo, o candidato martelava a ideia de que tinha melhorado todos os números da saúde, e se houvesse menor incidência de dengue em São Paulo, não passaria por mentiroso. “Naquela ocasião”, diz Paulo, “ficamos com a impressão de que o mosquito da dengue sabia onde ficava a divisa entre os dois estados.” Os números mostravam que o mosquito picava mais gente do lado fluminense e menos gente do lado paulista.

Sem informações confiáveis sobre prevalência, o médico recorre a dados esparsos (obtidos em artigos médicos), ao folclore médico, e à própria experiência. Eduardo Massad resume essa questão assim: “Nós nos informamos sobre a prevalência de determinadas doenças por meio de um sistema informal de comunicação entre os médicos.” Faz uma breve pausa, para que as palavras se acomodem cada uma no seu lugar, e por fim as resume: “É fofoca.”

Por fim, como a matemática chega aos alunos de medicina na graduação? O próprio Eduardo responde: “Não chega. É impossível ensinar matemática apropriadamente na faculdade de medicina.”

As ficções da medicina. Os lógicos do século 19 e do século 20, entre eles Gottlob Frege, Bertrand Russell e Peter Unger, gostavam de mencionar o paradoxo sorites. Funciona assim:

1) O estudante D3Q imaginou um montinho de areia, que chamou de A, significando “um montinho de areia”.

2) Depois, com uma pinça, tirou um grão de areia do montinho A, e ficou com o montinho B = A – 1. É ainda um montinho de areia? “É.” Então B também significa “um montinho de areia”.

3) De novo, com uma pinça, tirou um grão de areia do montinho B, e ficou com o montinho C = B – 1. É ainda um montinho de areia? “É.” Então C também significa “um montinho de areia”.

4) Continuou nesse passo, retirando a cada vez um único grão de areia do montinho, ato que manteve o montinho na categoria dos montinhos, até que ficou com uns poucos grãos de areia no montinho de areia. Contudo, existe montinho de areia com apenas uns poucos grãos? “Não.”

O que aconteceu?

Peter Unger, resumindo o que muitos pensaram antes dele e pensam até hoje, diz que o homem não tem escolha senão viver num mundo que conhece mal, pois não pôde estudá-lo direito, e nem poderá ao longo de apenas uma vida. Então usa palavras vagas, que Peter chama de “ficções”, para dar nome ao que não conhece bem e talvez nunca venha a conhecer bem. Todo mundo entende “Odisseu foi um líder sábio”, embora Odisseu não tenha existido; e todo mundo entende “Meu montinho de areia é maior que o seu”, embora não haja uma definição precisa da palavra “montinho”. Ao estudar casos assim, lógicos, matemáticos e historiadores chegaram à conclusão de que, conforme o homem conhece melhor um aspecto da vida, devagar substitui termos de sentido vago por termos de sentido preciso — quer dizer, devagar adota cada vez mais matemática.

Eduardo Massad diz que a maioria dos termos técnicos usada por médicos cai na categoria Um Montinho. “Acho que 99,99% dos termos médicos são vagos, ou ambíguos, ou vagos e ambíguos ao mesmo tempo.” Se os médicos soubessem mais matemática, inclusive o teorema de Bayes, veriam claramente a importância de esticar mais a consulta para investigar melhor a história do paciente, a importância de pedir menos exames e exames mais direto ao ponto, e por último a importância de não assustar o paciente com um “positivo para a doença x” nem de tranquilizá-lo com um “negativo para a doença x”. “Sabe qual é o sinal de que uma área da medicina está bem compreendida?”, pergunta Eduardo. Para responder à pergunta, conta uma história: nos anos 1970, ajudou o governo inglês a criar um sistema computadorizado para fazer o diagnóstico de afecções cirúrgicas que provocam dor abdominal. Usou o teorema de Bayes, e o sistema funciona até hoje. Analistas de sistemas têm uma frase boa para histórias assim: “Conhecimento real é aquele passível de ser implementado num computador. O resto é conhecimento incompleto.” {❏}



{2}/ Um matemático anota a linguagem médica

Com a figura 1, o estudante (codinome D3Q) procurou correlacionar a linguagem médica com a linguagem matemática; com essa correlação, tentou entender que informações deve buscar na literatura médica quando tiver uma dúvida.

Figura 1

Figura 1

● O conjunto E representa o espaço amostral em relação a uma doença x qualquer (uma única doença x); pode ser toda a população brasileira, pode ser as mulheres em idade reprodutiva, pode ser crianças de até 1 ano, pode ser adolescentes com síndrome de Down. Se a doença x for câncer de próstata, por exemplo, o conjunto E não contém mulheres.

● O conjunto D, que é subconjunto de E, contém as pessoas que têm a doença x. Se E for, por exemplo, o conjunto das mulheres em idade reprodutiva, D pode ser o subconjunto de E no qual estão as mulheres com diabetes.

● O conjunto S, que também é subconjunto de E, contém as pessoas que não têm a doença x; nesse sentido, estão saudáveis. Se E for o conjunto das mulheres em idade reprodutiva e D for o subconjunto no qual estão as mulheres com diabetes, S contém as mulheres em idade reprodutiva que não têm diabetes.

● O conjunto P, subconjunto de E, contém as pessoas que fizeram um exame e o exame deu positivo para a doença x, isto é, o exame indicou a presença da doença x. D3Q notou que alguns elementos de P estão dentro de S. Significa que alguns elementos de S fizeram o exame e, embora não tenham a doença x, obtiveram um positivo para x — obtiveram um falso positivo. Os exames mais baratos dão mais falsos positivos, e os mais caros dão menos, mas todos dão falsos positivos. É bom reforçar esse ponto: não existe exame de diagnóstico que não dê falsos positivos.

● O conjunto N, subconjunto de E, contém as pessoas que fizeram um exame e obtiveram negativo para a doença x. D3Q notou que alguns elementos de D fizeram o exame e obtiveram negativo para x; tais elementos de D obtiveram, portanto, um falso negativo.

Como primeira conclusão, D3Q viu que um positivo para a doença x nem sempre significa que a pessoa tem x, e que um negativo para x nem sempre significa que a pessoa não tem x. Aqui entra o teorema de Bayes, e o vocabulário dos médicos começa a ficar diferente do vocabulário dos matemáticos.

D3Q escreveu no caderno: “Qual é a probabilidade de que, tendo feito um exame e obtido positivo para x, o paciente tenha de fato a doença x?” Então aplicou o teorema de Bayes:

equation-18

(Se gostaria de saber como o teorema de Bayes funciona, veja a seção 3.)

O que quis dizer com isso, mas em palavras, e com linguagem médica? Pr(D | P) é a probabilidade de que um “positivo para x” signifique “tem de fato a doença x”; os médicos chamam isso de VPP, sigla de “valor preditivo de um positivo”. Pr(D | P) é a probabilidade de que, tendo a doença x, o exame de fato mostre que a pessoa tem x; os médicos chamam isso de “sensibilidade”. O fabricante do exame informa a sensibilidade, mas D3Q pode procurá-la na literatura científica. A sensibilidade de um teste simples de aids, por exemplo, é de 99,8%. D3Q notou que a sensibilidade é uma conta simples em termos matemáticos:

equation-19

Com a equação, quis dizer: “Para calcular a probabilidade de que, tendo a doença x, eu realmente obtenha um positivo para x no exame, divido o número de verdadeiros positivos por uma soma: o número de verdadeiros positivos mais o número de falsos negativos. Em outras palavras, divido o número de casos favoráveis pelo de casos totais.”

Quanto a Pr(D), os médicos a chamam de “prevalência”. É a probabilidade de que, naquele espaço amostral específico, uma pessoa tenha a doença x.

No denominador da equação que define Pr(D | P), D3Q incluiu o termo Pr(P | S)∙Pr(S). É a probabilidade de obter um falso positivo vezes a probabilidade de estar saudável. São dois números fáceis de calcular: Pr(P | S) é 1 – Pr(N | S), isto é, 1 menos a especificidade (mais sobre isso nos parágrafos abaixo); e Pr(S) é 1 – Pr(D), isto é, 1 menos a probabilidade de estar doente.

D3Q também investigou outra questão importante: “Qual é a probabilidade de que, tendo obtido um ‘negativo para a doença x’, o paciente realmente esteja saudável? Isto é: qual é a probabilidade de que um negativo seja um verdadeiro negativo, em vez de ser um falso negativo?” De novo, usou o teorema de Bayes, mantendo a figura 1 como guia:

equation-20

Em termos matemáticos, Pr(S | N) significa a probabilidade de que o paciente esteja de fato saudável visto que obteve um negativo para x no exame. Os médicos chamam isso de VPN, sigla de “valor preditivo de um negativo”.

Com o termo Pr(N | S), D3Q expressou a probabilidade de que, estando saudável, obtenha um negativo para x no exame; os médicos chamam esse termo de “especificidade”. De novo, o fabricante do exame deve informar a especificidade, ou D3Q deve procurá-la na literatura. No caso da hepatite C, a especificidade do teste mais comum é igual a 99,4%. Com a notação dos conjuntos, a especificidade também é uma conta fácil, desde que D3Q tenha os dados em mãos:

equation-21

Com essa equação, D3Q quis dizer: “Para calcular a probabilidade de que, estando saudável, o paciente de fato obtenha um negativo para o exame x, devo dividir o número de indivíduos que obtiveram um negativo verdadeiro por uma soma (no denominador dessa fração); tal soma é número de indivíduos que obtiveram um negativo verdadeiro mais o número de indivíduos que obtiveram um falso positivo. De novo, é o número de casos favoráveis dividido pelo de casos totais.”

Na equação para calcular Pr(S | N), isto é, para calcular o VPN, D3Q incluiu o termo Pr(N | D) ∙ Pr(D). É a probabilidade de obter um falso negativo vezes a probabilidade de estar doente; Pr(N | D) é 1 – Pr(P | D), quer dizer, 1 menos a sensibilidade; Pr(D) é a prevalência.

Agora D3Q faz umas contas, com base nas informações fornecidas por Cláudio Pereira, diretor de análises clínicas do Delboni Auriemo Medicina Diagnóstica. Se um brasileiro de 17 anos, do sexo masculino, fizer um exame de aids a esmo (por exemplo, num check-up de rotina), o que acontece? Nessa população, a prevalência de aids é de 0,12%. O teste mais comum tem especificidade de 99,5% e sensibilidade de 99,8%. Se o teste der positivo para aids, a probabilidade de que o jovem realmente tenha aids é de ≈19%. Se der negativo, a probabilidade de que de fato não tenha aids é de ≈99,99976%.



{3}/ Como deduzir o teorema de Bayes

Com diagramas de Venn e um pouco da álgebra de conjuntos, o teorema de Bayes se revela evidente — ele está próximo de ser intuitivo. É bem possível que a espécie humana tenha desenvolvido raciocínios de cunho bayesiano para sobreviver às agruras da vida nas savanas africanas, do tipo: “Ontem comemos aquela fruta alaranjada, e hoje passamos mal; é bem provável que tenhamos passado mal visto que comemos a fruta alaranjada; melhor não comê-la mais.”

Para começar, o estudante (codinome D3Q) imaginou os eventos A1, A2, A3, …, An, todos mutuamente exclusivos (ou ocorre um, ou ocorre outro, mas nunca ocorrem dois ao mesmo tempo), que perfazem todo o conjunto amostral (isto é, formam o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento). E depois imaginou B como sendo um evento qualquer, subconjunto dos eventos Ak, tal que a probabilidade de B seja diferente de zero [Pr(B) ≠ 0]. Com isso em mente, desenhou a figura 2.

Figura 2

Figura 2

“Qual é a probabilidade de que tenha ocorrido o evento A4, por exemplo, visto que ocorreu o evento B?” Em notação matemática, essa pergunta se transformou em Pr(A4 | B) = x. “Pois bem: quanto vale x?” D3Q relembrou uma regra válida neste caso: a probabilidade é “casos favoráveis” divididos por “casos possíveis”. Em outras palavras:

equation-7

Com essa equação, quis dizer: a probabilidade de que tenha ocorrido o evento A4, visto que ocorreu B, é igual à intersecção entre A4 e B (casos favoráveis, isto é, o subconjunto de B que está dentro de A4), dividida pela probabilidade de que ocorra B (casos possíveis, isto é, os subconjuntos rotulados como B que estão dentro de todos os Ak). D3Q faz força para lembrar que está lidando com o número de elementos dentro desses conjuntos e subconjuntos. Por fim, escreve a fórmula completa:

equation-8

A partir daí, o teorema de Bayes surge de manipulações algébricas simples. Por exemplo: “Qual é a probabilidade de que ocorra o subconjunto composto pela intersecção de A4 com B?” D3Q multiplicou os dois lados da equação acima por Pr(B).

equation-9

Bem, a intersecção de A4 com B é a mesma coisa que a intersecção de B com A4. Isso é quase um axioma na álgebra dos conjuntos. Sendo assim, D3Q chegou a uma igualdade importante:

equation-10

Ora, partiu da igualdade acima e, seguindo o mesmo método pelo qual chegou à fórmula Pr(A4B) = Pr(A4 | B) · Pr(B), chegou também à igualdade a seguir.

equation-11

Feito isso, dividiu a equação inteira por Pr(B), e chegou ao teorema de Bayes aplicado a um caso — se ocorreu B, qual é a probabilidade de que tenha ocorrido A4?

equation-12

Faltava responder: quanto é, exatamente, Pr(B)? Neste caso, D3Q deveria contar. Quantos elementos de B estão dentro de A4, em relação a A4? Isso é uma porcentagem. E quantos elementos de A4 estão dentro do espaço amostral, em relação ao espaço amostral? Isso é outra porcentagem. D3Q reconheceu que trabalhava com uma porcentagem de uma porcentagem, isto é, com uma multiplicação de porcentagens. “Supondo que haja 5 elementos de B dentro de A4, e que A4 contenha 20 elementos ao todo, daí B representa 5/20, que é 1/4, que é 25% de A4.” Olhando a figura 2, pensou um pouco mais, e repetiu o raciocínio para A4 em relação ao espaço amostral. “Supondo que haja 130 elementos dentro do espaço amostral, inclusive os 20 elementos dentro de A4, daí A4 representa ≈15,4% do espaço amostral, e portanto Pr(BA4) é 25% de 15,4%, isto é, 25% × 15,4% = 3,85%. Esta última porcentagem é a mesma coisa que Pr(B | A4) × Pr(A4).” Dado esse passo, D3Q seguiu essa mesma linha de raciocínio para saber o valor de Pr(B): contou desse modo os elementos de B em todos os subconjuntos Ak do espaço amostral, e no fim das contas viu que devia pôr no papel um somatório de multiplicações de porcentagens. Em símbolos:

equation-15

Com isso, reescreveu a fórmula com a qual obtém a probabilidade de que A4 tenha ocorrido, visto que B ocorreu:

equation-16

E, como último passo, se perguntou: “Se eu estivesse fazendo essa investigação não para A4, mas para qualquer um dos conjuntos Ak dentro do espaço amostral?” Então, reescreveu a fórmula acima para deixá-la genérica.

equation-17

D3Q chegou assim à fórmula que expressa o teorema de Bayes. “Com ela”, escreveu no caderno, “eu digo qual é a probabilidade de que tenha acontecido Ak, visto que B aconteceu, em termos da probabilidade de que tenha acontecido B, visto que Ak aconteceu. Eu expresso algo sobre o qual não tenho informações, à esquerda na equação, em termos de algo sobre o qual tenho informações, à direita da equação.”

Thomas Bayes (1702-1761), quando estava trabalhando no teorema, usava caixas com bolinhas de gude pretas e brancas, coisa que D3Q deve fazer também para se habituar ao teorema. Por exemplo, pode pôr três bolinhas pretas e duas bancas na caixa 1, três bolinhas brancas e duas pretas na caixa 2, uma bolinha preta e quatro brancas na caixa 3. Daí um amigo sorteia uma das caixas e, sem olhar, tira de dentro dela três bolinhas. Então revela a cor dessas três bolinhas a D3Q, que deve fazer as contas e dizer: qual foi, mais provavelmente, a caixa sorteada? Veja bem: qual foi, mais provavelmente, a causa dessas três bolinhas?



{4}/ Pondo o teorema de Bayes em ação

O teorema trata de probabilidade condicional, e com ele o estudante (codinome D3Q) calcula a probabilidade de que tenha ocorrido um evento (uma causa) caso já tenha ocorrido outro evento (uma consequência), sendo que ele conhece a probabilidade associada à consequência.

Para estudar o teorema com esse ponto de vista (causas e consequências), D3Q supôs o conjunto de eventos B1, B2, B3, …, Bn, que são mutuamente exclusivos (ou ocorre um deles, ou ocorre algum outro, mas nunca ocorrem dois ou mais na mesma ocasião), que perfazem todo o espaço amostral, e que são causas. E, feito isso, imaginou a ocorrência do evento A, que é uma consequência.

Com a ajuda das primeiras palavras de um dicionário, escreveu o que o teorema de Bayes significa: “A probabilidade de que o evento Bj seja aquele que provocou o evento A, isto é, a probabilidade de que tenha ocorrido Bj visto que A certamente ocorreu, é dada pelo teorema de Bayes.” D3Q escreveu o teorema:

equation-1

Como traduziu isso em palavras? “Como faço se quero saber a probabilidade de que Bj seja a causa do evento A, visto que o evento A já ocorreu? Multiplico a probabilidade que atribuí a Bj pela probabilidade de que ocorra o evento A como consequência de já ter ocorrido Bj. Divido esse número por um somatório: multiplico a probabilidade que atribuí a B1 pela probabilidade de que ocorra o evento A como consequência de já ter ocorrido B1; multiplico a probabilidade que atribuí a B2 pela probabilidade de que ocorra o evento A como consequência de já ter ocorrido B2; e assim por diante até que multiplico a probabilidade que atribuí a Bn pela probabilidade de que ocorra o evento A como consequência de já ter ocorrido Bn. Somo o resultado de todas essas multiplicações, e por fim realizo a divisão.”

D3Q supôs, por exemplo, que tem duas caixas de ferramentas, a caixa 1 e a 2. Na caixa 1, há dez parafusos de fenda e dois parafusos Philips; na caixa 2, há oito parafusos de fenda e quatro Philips. “Se escolhi uma das caixas ao acaso, peguei um dos parafusos também ao acaso, e descobri um parafuso Philips entre os dedos, qual é a probabilidade de que tenha escolhido a caixa 2?” Usou a letra A para representar o evento “peguei um parafuso Philips”, B1 para representar “escolhi a caixa 1” e B2 para representar “escolhi a caixa 2”. A partir daí, começou a pensar no papel:

equation-2

Com essa linha, apenas disse que, se vai selecionar uma das caixas ao acaso, então a probabilidade de que selecione uma ou outra é de 50%. Além disso, deu mais um passo ao escrever no caderno: “Na caixa 1, tenho 12 parafusos, dos quais 10 de fenda e 2 Philips. Qual é a probabilidade de pegar um parafuso Philips (= A) visto que escolhi sem saber a caixa 1 (= B1)?” E daí escreveu a equação que representa essa frase:

equation-3

Com o mesmo método, colocou no papel a probabilidade de pegar um parafuso Philips visto que escolheu a caixa 2, onde também há 12 parafusos, dos quais 8 de fenda e 4 Philips:

equation-4

Feito isso, usou o teorema de Bayes:

equation-5

Eis a resposta que procurava: “Se escolhi uma das caixas ao acaso, enfiei a mão nesta caixa e dela tirei um parafuso Philips, a probabilidade de que tenha escolhido a caixa 2 é de ≊67%.”

Para que isso serve?

D3Q trabalha com um ajudante, e combinaram a seguinte aposta: sempre que um deles tira um parafuso Philips de uma das caixas, apostam 1 real para ver quem acerta qual foi a caixa escolhida. Todo dia pela manhã, D3Q conta os parafusos e faz os cálculos, e sistematicamente aposta na caixa com maior probabilidade. O colega, teimoso, nunca conta nada, nunca faz cálculos e sempre aposta na outra caixa. Se fizerem a aposta acima mil vezes, D3Q ganhará uns 670 reais e pagará uns 330 reais, com saldo positivo de 340 reais.

Essa historinha parece irreal? Ela ocorre em cassinos (onde a casa tem maior chance de ganhar a aposta, e o apostador tem menor chance, de modo que, a longo prazo, o saldo da casa é sempre positivo, comparado ao saldo de todos os apostadores juntos). Ela ocorre também entre as seguradoras e seus clientes (saldo positivo para as seguradoras).

D3Q só pode compreender bem os testes de diagnósticos médicos, por exemplo, caso recorra ao teorema de Bayes. Ele supôs que, numa população qualquer, 6 pessoas a cada 1.000 têm a doença x. Cientistas já descobriram que, se alguém tem essa doença, daí existe 92% de probabilidade de que um exame de sangue dê positivo para x (e 8% de chance de que dê negativo). Descobriram também que, se alguém não tem a doença x, daí existe 0,5% de probabilidade de que o exame de sangue dê positivo para x.

“E se escolho uma pessoa ao acaso, realizo um exame de sangue, e obtenho positivo?”, escreveu D3Q no caderno. “Qual é a probabilidade de que ela tenha de fato a doença x?” Usou a letra A para representar “deu positivo para x no exame de sangue”, B1 para representar “tem a doença x” e B2 para representar “não tem a doença x”. Depois, usou o teorema de Bayes para calcular Pr(B1 | A), visto que Pr(B1) = 0,006, Pr(B2) = 0,994, Pr(A | B1) = 0,92 e Pr(A | B2) = 0,005.

equation-6

Como interpretar essa conta? D3Q a converteu em palavras: “Antes de fazer um exame de sangue, a chance de que alguém dessa população tenha a doença x é de 6 em 1.000. Mas visto que apareceu um ‘positivo para a doença x’ no exame de sangue, a chance de que essa pessoa específica tenha a doença x sobe para 52,6%. Isso também significa que, apesar do positivo, ainda existe 47,4% de probabilidade de que essa pessoa não tenha a doença x.” Isso é, de novo, um jeito de tratar causas e consequências. Se o paciente obteve um positivo para a doença x no exame de sangue, qual é a probabilidade de que essa consequência tenha sido causada pelo fato de que ele realmente tem a doença x? É isso o que o teorema de Bayes mostra — é 52,6%.

Os leigos não sabem isso bem, e nem mesmo médicos inexperientes ou mal treinados, mas médicos bem treinados sabem: um “positivo para a doença x” pode ter outras causas, como um erro numa das máquinas usadas no teste do sangue, ou um erro cometido por uma das pessoas envolvidas no processo como um todo (coleta, identificação, armazenamento, teste, registro dos resultados no sistema de informática).



{5}/ A palavra “evento”

Na linguagem do cotidiano, “evento” significa “ocorrência”. Mas, na probabilidade, significa uma coleção de possibilidades — mais precisamente, significa um dos subconjuntos do espaço amostral. O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento; um subconjunto do espaço amostral é um evento. Suponha, por exemplo, que vai tirar quatro cartas de um baralho comum, e que a ordem com que tiras as cartas não tem importância. Daí o espaço amostral é o conjunto de todas as combinações de quatro cartas retiradas de um baralho com 52 cartas; e um evento pode ser o subconjunto no qual os elementos são todas as combinações de quatro cartas de mesmo naipe. Esse evento, isto é, esse subconjunto, representa a ocorrência “tirar quatro cartas de mesmo naipe de um baralho comum e devidamente embaralhado”. Dentro de cada evento, portanto, pode haver muitos elementos; se ocorrer qualquer um dos elementos dentro de um evento, daí o evento ocorreu. Na figura 2, se ocorrer qualquer um dos elementos dentro dos subconjuntos marcados como B, significa que o evento B ocorreu; se esse elemento de B também estiver dentro de A8, por exemplo, significa também que o evento A8 ocorreu.



{6}/ Um jogo para professores e alunos

O teorema de Bayes rende um jogo divertido para a classe. Funciona assim: (1) o professor divide a classe em grupos; (2) para uns poucos grupos, ele explica o teorema de Bayes (os membros desse grupo podem aparecer no jogo marcados de alguma forma; por exemplo, com um boné amarelo); (3) depois, o professor organiza um jogo parecido com o dos parafusos nas caixas — por exemplo, com fichas coloridas dentro de duas, três, ou várias caixas; (4) alguém sorteia uma caixa e tira de dentro dela, sem olhar, uma ficha (ou duas, ou três); (5) cada grupo deve apostar (pontos ou dinheiro de brinquedo) de qual caixa a ficha foi retirada; (6) depois de várias rodadas, a classe perceberá que os grupos cujos membros vestem boné amarelo acertam mais vezes que os grupos sem boné; (7) por fim o professor explica o teorema de Bayes a todos, o que deixará claro o significado do boné: “Em várias circunstâncias (certamente não em todas), quem sabe matemática compreende melhor o que está acontecendo, comparado a quem não sabe, e por isso toma decisões de melhor qualidade.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 31, agosto de 2013, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. O cargo dos médicos mencionados na seção 0 é o que valia na ocasião da entrevista, e talvez não valha mais.

4. Se precisa de um curso rápido sobre conjuntos (sem o que é difícil entender os conceitos da estatística), clique aqui. Para saber o melhor jeito de apresentar informações sobre probabilidades a seus leitores, clique aqui.

As mulheres seriam mais felizes se pedissem os homens em casamento

 

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{1}/ O verdadeiro papel do estudante

Em 2012, o Prêmio Nobel de Economia foi para dois americanos, Alvin E. Roth e Lloyd S. Shapley. Marilda Sotomayor, professora na Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo, conhece os dois pessoalmente, e já escreveu artigos e livros com Alvin Roth. Em 2010, ela ajudou a organizar um congresso sobre teoria dos jogos em São Paulo (SP); graças a seu trabalho e prestígio, apareceram quatro ganhadores do Nobel: John Nash, Robert Aumann, Erick Maskin, e Roger Myerson. Em outras palavras, vale a pena ouvir o que ela tem a dizer, e ela acha que não é papel do professor pegar o aluno pela mão e ensiná-lo a aplicar a teoria: é papel do professor explicar a teoria, e do aluno achar aplicações.


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{2}/ Marilda: “Minha cabeça é de matemático.”

Alvin Roth e Lloyd Shapley admiravam o trabalho de um matemático americano brilhante, David Gale, que só não ganhou o Nobel de economia em 2012 porque morreu em 2008. (Lloyd e David assinaram um artigo científico juntos; Alvin e David trocaram correspondência.) Pois Marilda escreveu cinco artigos com Gale. No entanto, apesar de tudo o que sabe, nunca deu consultoria a uma empresa. “Minha cabeça é de matemático”, diz Marilda. “Só sei fazer duas coisas: escrever artigos científicos e dar aulas.” Quando começou a ficar famosa, passou a atrair bons estudantes de mestrado e de doutorado para a FEA, e eles queriam instruções a respeito de como aplicar a teoria dos jogos a problemas da administração e da economia. Ela tinha de ser firme: “Eu não dou aplicações!” De tanto dizer isso, hoje os alunos já não a pressionam mais.

Marilda diz que aplicar matemática teórica a situações práticas dá trabalho em demasia. “Modelar uma situação real da economia leva um tempão, e, quando você vai ver o que usou de teoria naquilo tudo, usou só um pouquinho.” Acha que, do ponto de vista do aluno, e do ponto de vista do profissional, vale a pena usar a teoria para compreender a realidade, mas, do ponto de vista do professor em sala de aula, com tempo curto para passar toda a matéria, não vale a pena. “Ao longo do curso de introdução à teoria dos jogos, eu prefiro ir mais fundo na teoria, e cito as aplicações apenas de passagem. É papel do aluno identificar qual ferramenta teórica ele pode usar numa situação prática. Para que ele possa cumprir seu papel, tenho de focar não nas aplicações, mas na teoria.”


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{3}/ A entrevista em si

Como você veio a trabalhar com teoria dos jogos?

Eu sou matemática, sempre fui, mas fiz minha tese de doutorado sobre crescimento econômico, e meu orientador, Jack Schechtman, havia sido orientando do David Gale, que também era especialista em crescimento econômico. Então, para resumir, em 1983 eu e meu marido [que também é matemático] fomos para a Universidade da Califórnia em Berkeley. Fui especificamente para estudar crescimento econômico com Gale, mas, quando cheguei, na primeira reunião que tivemos, ele ouviu explicações sobre meu doutorado, bateu palmas, e me disse:

— Não estou mais interessado nessa área.

[risos] Saí daquela reunião pensando: “E agora?” Fiquei uns dois meses meio perdida, lendo artigos sobre crescimento econômico na biblioteca, tentando me virar sozinha. Meu humor estava péssimo! Até que meu marido me deu um conselho:

— Você está aqui ao lado de um gênio, que é o David Gale, e não está tirando nenhum proveito disso. Por que não conversa com ele, pergunta no que ele está interessado, e se interessa também?

Foi o que fiz. Gale me disse que estava interessado em “matchings”, e me perguntou:

— Quer saber o que é isso?

Eu disse que sim, e ele me deu um livro e dois artigos científicos. Num dos artigos [de Dubins & Freedman] havia explicações sobre o agora famoso algoritmo Gale-Shapley, todo formalizado em linguagem de computador. [Veja explicações sobre o algoritmo Gale-Shapley na seção 5 mais abaixo.] Fiquei um mês tentando assimilar todo o material. Até aquele momento, matemática para mim era limites, derivadas, integrais. Eu não imaginava um texto teórico cujo exemplo principal tratava de casamentos entre homens e mulheres! Eu li aquilo tudo com extremo cuidado, linha por linha, símbolo por símbolo. Quando acabei, marquei uma reunião com Gale, na qual eu disse que tinha lido tudo, e que achava que tinha compreendido tudo.

Havia um teorema num dos artigos. O teorema dizia que, caso os pares sejam feitos com o algoritmo Gale-Shapley, nenhum jogador, e nenhum grupo de jogadores, consegue manipular o resultado do jogo, isto é, consegue um casamento melhor do que o casamento obtido com o algoritmo — seja um casamento estável, seja instável. [Sobre a palavra “casamento”, no singular, veja a seção 4.] A demonstração do teorema se estendia por umas 20 páginas. Bem, Gale estava escrevendo um artigo com Gabrielle Demange, uma francesa, e ambos usavam esse teorema como ponto de partida.

Quando eu já estava saindo da sala dele, Gale me chamou de volta, e tinha um pedaço de papel nas mãos. Devia estar por ali, em cima da mesa, numa gaveta, bem ao alcance. Nesse papel havia um lema. Ele me disse que tinha tentado provar aquele lema, sem sucesso, mas que, se eu pudesse prová-lo, ele seria capaz de reduzir aquela prova de 20 páginas para uma prova de três linhas.

[Lembrete: Um “lema” é um teorema, mas que o matemático prova com o propósito declarado de simplificar a prova de outro teorema.]

— Se a gente provasse esse lema — Gale me explicou — eu poderia explicar esse assunto numa única aula.

Esse ponto é importante, porque, se é muito difícil demonstrar uma afirmação, o professor tende a não abordá-la em sala de aula.

Isso aconteceu numa sexta-feira. Na segunda-feira, a prova estava pronta. Não me pergunte como — não sei explicar como atinei com a demonstração tão depressa. É claro que minha mente funcionou bem porque eu tinha lido o livro e os dois artigos com extremo cuidado.

Na segunda-feira, quando eu lhe disse que o lema estava provado, ele ficou desconfiado de mim. Fui à lousa e fui escrevendo a demonstração, linha por linha, e ele ficou a meu lado, de pé, muito sério. Antes mesmo que eu terminasse, ele começou a bater palmas e a gritar:

— Brava! Brava! Você demonstrou! Você demonstrou!

Isso foi de manhã. À tarde, ele apareceu no meu escritório já com o artigo manuscrito (não havia computador naquela época). Esse foi o primeiro artigo que escrevemos juntos. Até aquele dia, eu tinha de marcar hora para falar com ele, e demorava. Daquele dia em diante, acabou a formalidade entre nós, e ficamos amigos. Às vezes, ele entrava na minha sala com umas fórmulas num papel e me perguntava:

— Verdadeiro ou falso?

[risos] Nem sempre eu sabia por que estava demonstrando uma afirmação. Ele já me dava a afirmação pronta, e eu só ia entender sua importância quando lia o manuscrito completo. Era um acordo bom para nós dois: naquela época, eu achava mais difícil escrever a introdução, pois teoria dos jogos era novo para mim, e eu não sabia distinguir o que era importante do que não era. Fiquei dois anos em Berkeley, e eu e Gale produzimos dessa forma cinco artigos.

Você demonstrou o algoritmo Gale-Shapley de outra forma?

A demonstração do Gale e do Shapley era o próprio algoritmo, isto é, era construtiva. [Os autores davam ao leitor um procedimento, um ‘como fazer’.] Eu consegui escrever uma demonstração não construtiva de que existe sempre um único casamento ótimo para todos os homens: todos os homens, sem exceção, vão preferir este casamento a todos os outros casamentos possíveis, se houver mais de um. Minha demonstração não construtiva foi publicada em 1996.

[Numa demonstração não construtiva, o matemático demonstra que certa afirmação é verdadeira, sem contudo explicar como alguém pode construir os objetos matemáticos mencionados na demonstração.]

Demonstrações não construtivas têm uma vantagem: podemos usar o argumento central em outros contextos matemáticos, ou em outros jogos cujas características principais sejam semelhantes ao jogo do casamento. Por exemplo, o Shapley e o Herbert Scarf recorreram uma demonstração complicada, não construtiva, para demonstrar a existência de uma solução ótima no mercado de casas. Com adaptações ao argumento que publiquei em 1996, também consegui uma demonstração não construtiva, mas curta e simples.

Existem aspectos mal compreendidos sobre os casamentos?

Um aspecto pouco compreendido é que o objetivo do jogo não é obter pares estáveis, simplesmente, mas casamentos estáveis: um casamento é um subconjunto de todos os casamentos possíveis, e um casamento estável é um subconjunto que não contém nenhum par bloqueante. [Veja a seção 4.] Em outras palavras, num casamento estável não existe nenhum par em que o homem deseja outra mulher, de outro par, e que esse desejo seja correspondido. Se houver a existência de um par bloqueante, isso não é bom, porque aí o casamento não será duradouro; se esse casamento for entre estudantes e instituições de ensino, por exemplo, a presença de pares bloqueantes significa que as instituições e os estudantes vão exigir mudanças o tempo todo.

Existem outros aspectos pouco compreendidos nesse jogo. Para que o algoritmo Gale-Shapley funcione, deve existir um método pelo qual os agentes ou jogadores possam elaborar sua lista de preferências: quanto mais informações os jogadores de um grupo [o das mulheres, por exemplo] obtêm sobre o outro grupo [o dos homens], melhor. Além disso, não pode existir aceites definitivos: se os homens propõem, o algoritmo só funciona caso as mulheres possam aceitar a proposta temporariamente, até que um homem melhor proponha, de modo que as mulheres estão sempre fazendo upgrade, isto é, trocando um menos querido por um mais querido.

Na realidade, esse algoritmo são dois algoritmos, pois o resultado ótimo depende de quem propõe: caso exista mais de um casamento estável no subconjunto dos casamentos estáveis, então, se os homens fazem ofertas para as mulheres, o algoritmo produzirá o melhor casamento estável possível do ponto de vista dos homens, e o pior casamento estável do ponto de vista das mulheres; da mesma forma, se as mulheres fazem ofertas para os homens, conseguirão o casamento estável ótimo para as mulheres, e os homens ficarão com o pior casamento estável. Isso é contraintuitivo.

Outra coisa contraintuitiva: suponha que escolas e estudantes realizam o algoritmo de modo que as escolas preencham suas vagas e os estudantes consigam uma vaga numa escola. Se as escolas propõem, e se um estudante não consegue vaga em nenhuma escola, ele não pode culpar o algoritmo dizendo que favorece as escolas: um resultado meu e de Gale diz que, em todos os casamentos estáveis, não importa qual lado proponha, o conjunto dos jogadores sem par é sempre o mesmo. Essa ideia também vale para as escolas que ficam com vaga sem preencher. Nesse sentido, o algoritmo Gale-Shapley não beneficia nem escolas nem estudantes.

É verdade que Alvin Roth não descobriu o NRMP? [Sobre o NRMP, que é um procedimento realizado por um órgão do governo americano, veja a seção 6.]

Quando Gale e Shapley conceberam o algoritmo [a publicação ocorreu em 1962], não achavam que podia ser aplicado numa situação real, isto é, não achavam que haveria um mercado com características semelhantes às do casamento. Mas, em 1974, Gale deu uma palestra sobre o assunto, que um médico assistiu. No fim da palestra, o médico foi conversar com ele e disse que o NRMP usava um algoritmo parecido.

No artigo que Gale e eu escrevemos em 1983, já mencionávamos o caso do NRMP. Gale mandou esse artigo para Alvin Roth. Contudo, o nosso artigo só foi publicado em 1985, e numa revista de matemática — a meu pedido. Em 1984, Alvin publicou um artigo no qual estudava o NRMP tão completamente quando pôde na ocasião; publicou numa revista de economia, e citava o artigo Gale-Sotomayor como referência. No fim das contas, os economistas acham que Roth descobriu o NRMP — é o que sugere o documento da Academia Real Sueca de Ciências, que explica os motivos no Nobel de 2012. O Alvin tem muitos méritos, mas não foi o de descobrir a existência do NRMP.

O que o Alvin fez foi estudar o NRMP a fundo, e se perguntar os porquês de tudo o que descobriu. Ele fez modelagem matemática no sentido estrito da expressão: estudou causas, consequências, história, mudanças — tudo. Seu mérito foi ter provado que, na prática, se uma instituição usa um algoritmo para produzir uniões estáveis, então o procedimento e a própria instituição ganham estabilidade, pois ninguém anseia por mudanças. Ele mostrou que a definição teórica de equilíbrio coincide com o equilíbrio na prática, e que podemos usar a teoria dos jogos para compreender melhor o que acontece na economia.

Qual é a natureza de sua colaboração com Alvin Roth?

A FEA está organizando um seminário sobre teoria dos jogos, que ocorrerá em 2014, para comemorar meus 70 anos. A parte científica é minha responsabilidade, e quatro ganhadores do prêmio Nobel confirmaram presença.

Em parte, esse prestígio vem do fato de que eu e o Alvin escrevemos um livro juntos, que foi publicado em 1990 [Two-Sided Matching: A Study in Game-Theoretic Modeling and Analysis]. Ele organizou a escrita, e eu a matemática. Na época, nossa ambição era juntar num único livro toda a teoria existente sobre uniões.

Ocorre que, até a ocasião desse livro, a teoria de uniões atraía mais matemáticos que economistas — Gale, Alvin, Shapley, Demange, e eu somos matemáticos. Posso dizer que, naquela época, os economistas não tinham uma base boa em matemática… Quando eu trabalhava com Gale, ele pegava minhas demonstrações e as enxugava ao máximo: elas ficavam elegantíssimas, e curtas. Depois, quando eu estava trabalhando com o Alvin, ele me chamava e dizia:

— Marilda, por que isso aqui implica isso aqui?

Eu olhava aquilo e não me lembrava. Pedia um tempo, ia para meu escritório, e por fim lembrava: “Ah! É por causa disso, disso, e disso.” Então eu ia e explicava para o Alvin o raciocínio, ele escrevia o texto do livro para deixá-la óbvia, e eu fazia os ajustes necessários na parte matemática. Ele estava determinado a escrever um livro que um leitor não matemático pudesse acompanhar. É claro que a beleza e a elegância das demonstrações de Gale se perdeu, mas o livro, no fim das contas, ficou tão óbvio que podia ser lido antes de dormir. Isso atraiu muito leitor que não era matemático, e por conta dessa iniciativa a teoria cresceu. Hoje, a teoria dos jogos deve ter uns 30 tópicos; só essa parte de uniões tem três tópicos: análise e modelagem de mercados de casamentos, escolha de escolas, e desenho de mercados. Essa parte já não cabe mais num livro de 280 páginas.

Demonstrações no melhor estilo matemático são muito estimulantes. Matemáticos gostam de obrigar outros matemáticos a pensar. É gostoso quando a gente pega uma demonstração elegante e sintética e a consegue compreender. Contudo, quando olho os teoremas que eu mesma provei, com frequência não consigo me lembrar de todos os passos: eu olho aquilo, que eu mesma escrevi, e não consigo entender tudo de primeira. De certa forma, me relaciono com o texto como se fosse uma leitora comum, e não sua autora. Até hoje, antes de dar uma aula, eu me preparo: revejo todas as demonstrações que pretendo explicar durante a aula, revejo por que certas coisas implicam outras coisas, para não acontecer de pôr alguma coisa no quadro que não possa explicar rapidamente. E olha que estou dando o mesmo curso de introdução à teoria dos jogos há 15 anos! {FIM DA ENTREVISTA}


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{4}/ Matchings ou uniões

Marilda em geral usa a palavra “matchings”, que, nesta reportagem, foi trocada por uniões, pares, combinações, casamentos, conforme o contexto. Uniões fazem parte da teoria dos jogos cooperativos; é a parte da teoria na qual os participantes do jogo só ganham alguma coisa quando se juntam em coalizões. “Um exemplo”, diz Marilda, “é a união entre patrão e empregado. O patrão precisa do empregado para obter o lucro; o empregado precisa do patrão para obter o salário. Se ambos não conseguem se juntar numa coalizão, não ganham nada.”

O analista pode pensar nisso como dois conjuntos disjuntos de jogadores, sendo que o objetivo do jogo é formar coalizões. Num formato mais simples, os jogadores formam pares — o que se parece muito com um casamento, e por isso o especialista em teoria dos jogos com frequência recorre à imagem do casamento para explicar algum ponto da teoria. Se houver dois conjuntos, um com cinco homens (h1, h2, h3, h4, h5), outro com cinco mulheres (m1, m2, m3, m4, m5), o analista pode compor 120 maneiras distintas de casar essas 10 pessoas. (Excluindo, claro, casamentos homossexuais…) Cada uma dessas maneiras (ou cada um desses subconjuntos do conjunto das 120 maneiras possíveis) é chamada de casamento, no singular. Assim, {(m1, h1), (m2, h2), (m3, h3), (m4, h4), (m5, h5)} é um casamento; {(m1, h2), (m2, h3), (m3, h4), (m4, h5), (m5, h1)} é outro casamento; ambos são subconjuntos do conjunto com os 120 casamentos possíveis. Alguns desses casamentos são estáveis, isto é, duradouros; alguns são instáveis, pois contêm pelo menos um “par bloqueante” — um par no qual um dos cônjuges gostaria de desfazer o casamento atual para se casar de novo, e que tenha a capacidade de fazer isso.

Para visualizar a força da teoria, o analista troca homens por escolas e mulheres por alunos; homens por empresas e mulheres por funcionários; homens por doadores de rim e mulheres por receptores de rim; etc. David Gale e Lloyd Shapley provaram, com um algoritmo, que em situações assim o analista sempre acha no mínimo um casamento estável, isto é, um casamento no qual não existem pares bloqueantes. Um dos cônjuges pode até desejar o cônjuge de outro casal, mas seu desejo não é correspondido, e por isso o infeliz tem de achar um jeito de se dar por feliz com o cônjuge atual.


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{5}/ O algoritmo Gale-Shapley

O analista supõe que os homens hk sabem tudo o que precisam saber sobre as mulheres mp, e vice-versa. (O número k de homens não precisa ser igual ao número p de mulheres para que o algoritmo funcione.) Também supõe que cada homem listou as mulheres com as quais gostaria de se casar em ordem de preferência, da mais preferida à menos preferida; o mesmo para as mulheres. Caso o analista permita que os homens proponham casamento às mulheres, o algoritmo funciona assim (mais ou menos):

1) O homem h1 propõe casamento à primeira mulher de sua lista (m1).

2) Se a mulher m1 está livre, h1 e m1 ficam noivos.

3) Se a mulher m1 está noiva, mas prefere h1 a seu noivo atual, m1 dispensa seu noivo atual e h1 e m1 ficam noivos. (Neste algoritmo, diz Marilda, não existem aceites definitivos: as mulheres sempre podem trocar o homem atual por um homem mais querido.)

3) Se a mulher m1 rejeita h1, h1 propõe casamento à segunda mulher de sua lista (m2).

4) Assim que h1 estiver noivo ou não tiver mais a quem propor casamento, o analista dá a vez ao homem h2, e repete todo o processo para h2.

5) E assim por diante para todos os homens hk. O algoritmo só termina quando todos os homens ou estão noivos ou já não têm a quem propor casamento. (Que dó!)

Se o número de homens é igual ao de mulheres, todos se casam. Os matemáticos já puderam provar várias coisas sobre o algoritmo:

● Visto que os homens propõem, o algoritmo Gale-Shapley produz o casamento estável ótimo para os homens, isto é, nenhum homem desse casamento verá nenhuma vantagem em nenhum outro casamento estável.

● Visto que os homens propõem, o algoritmo produz o pior casamento estável para as mulheres, caso o casamento ótimo para os homens seja diferente do casamento ótimo para as mulheres. Em outras palavras: se os homens propõem, e se o casamento ótimo para os homens é diferente do casamento ótimo para as mulheres, então pelo menos uma mulher deste casamento verá todas as vantagens do mundo em ter qualquer outro casamento estável. Contudo, não terá o poder de mudar o casamento atual, pois todos os homens estão contentes com o que obtiveram.

● Porque o algoritmo produz um casamento estável, isso significa que não existe no casamento assim produzido nenhum par bloqueante, isto é, nenhum homem que deseje uma mulher de outro casal, e cujo desejo seja correspondido — ou vice-versa.

● Caso o número de homens seja diferente do número de mulheres, ou caso homens e mulheres não sejam obrigados a incluir todos os membros do sexo oposto na sua lista (algo do tipo “se eu não me casar com m1, m5 ou m7, daí não me caso com ninguém”), então o conjunto dos homens e mulheres sem par é o mesmo em todos os casamentos estáveis.

● Na verdade, o algoritmo é muito forte: nenhum jogador consegue um casamento melhor do que aquele obtido pelo algoritmo, seja casamento estável, seja casamento instável. Mas esse é um detalhe técnico difícil de explicar.


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{6}/ O NRMP e “desenho de mercado”

NRMP é a sigla de National Resident Matching Program, ou programa americano de alocação de médicos residentes. A missão dos funcionários do NRMP é alocar estudantes de medicina, no estágio da residência, a hospitais.

Antes da criação do NRMP, ninguém nos Estados Unidos ficava contente com a alocação de residentes — nem hospitais, nem estudantes. Depois da criação do NRMP, todos pararam de reclamar. Por quê?

Num artigo de 1984, Alvin Roth mostrou que, antes do NRMP, o algoritmo de alocação gerava pares bloqueantes; depois do NRMP, o algoritmo gerava casamentos estáveis, isto é, sem pares bloqueantes. Para afirmar isso, Alvin precisou estudar o NRMP a fundo (com a cooperação do próprio NRMP): ele e seus colegas examinaram milhares de registros, atas de reunião, essas coisas. Feito o estudo, publicado o artigo, Alvin foi além: usou o que descobriu, e seus conhecimentos de matemática e de teoria dos jogos, para propor melhorias no NRMP. As melhorias foram implementadas, e o NRMP passou a funcionar ainda melhor. Nascia assim a expressão “desenho de mercado”: pegue um mercado, estude esse mercado em detalhes, e use a matemática mais moderna a seu alcance para fazê-lo funcionar melhor. {FIM}


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Observação: Publiquei esta reportagem pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 29, junho de 2013, pág. 16. A versão que acabou de ler foi revista e corrigida.

Quando os fracos têm vez

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{1}/ Um desafio ao leitor

Três pessoas entram em conflito, e uma delas é mais fraca que as outras duas. Talvez a mais fraca vença.

Especialistas em teoria dos jogos estudam situações em que os jogadores acham informações e tomam decisões ou para vencer o adversário, ou para ganhar tanto quanto o adversário, ou para perder menos que o adversário. Desde 1944, matemáticos investigam a utilidade da teoria dos jogos em truelos — um duelo com três pessoas.

O homem Ótimo, o homem Razoável e o homem Fraco entram em conflito e marcam o truelo para as 5:30 de uma quarta-feira; quem sobreviver terá razão. (Duelos e truelos sempre ocorrem bem cedo, para que o sobrevivente possa cumprir as obrigações do dia como se nada tivesse acontecido.) Os três homens escolhem truelar com pistolas, um tiro de cada vez, mas Ótimo acerta 90% dos tiros, Razoável acerta 50% dos tiros e Fraco acerta 33% dos tiros. Para deixar o truelo justo, os três combinam assim: Fraco dará o primeiro tiro, seguido de Razoável (se estiver vivo) e de Ótimo (se estiver vivo). O processo vai se repetir, um tiro de cada vez, até que só um deles sobreviva.

Pergunta. Contra quem Fraco deve atirar primeiro?


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{2}/ Resolução

Se Fraco atira contra Razoável, e acerta, será a vez de Ótimo — e Fraco vira alvo de um ótimo atirador. Se Fraco atira contra Ótimo, e acerta, será vez de Razoável — e Fraco fica com 50% de chance de sobreviver.

Marc Kilgour, da Universidade Wilfrid Laurier (Canadá), e Steven J. Brams, da Universidade de Nova York (Estados Unidos), examinaram outra opção: o que acontece se Fraco atira, mas erra de propósito?

Será a vez de Razoável, que vai atirar contra Ótimo, e se não matá-lo, talvez consiga feri-lo. Ótimo, por sua vez, deve atirar contra Razoável. Então, se Fraco cede sua vez, talvez Razoável e Ótimo consigam se ferir a ponto de, quando chegar novamente a vez de Fraco, ele já não tenha mais oponentes de pé.

Marc e Steven dizem que truelos acontecem com frequência na natureza e nos negócios, e recorrem à probabilidade para mostrar quando Fraco deve atirar para valer e quando deve errar de propósito, isto é, ceder a vez. Chame a probabilidade de acerto de Ótimo de Pr(O), a de Razoável de Pr(R) e a de Fraco de Pr(F). Caso as três probabilidades tornem verdadeira a afirmação abaixo:

Equation-1

Então, escrevem Marc e Steven, nesse caso Fraco tem duas opções.

● Opção 1:

Equation-2

Se a afirmação acima for verdadeira, Fraco deve desperdiçar seu tiro. É verdadeira no caso deste desafio?

Equation-3

Então, parece que Fraco deve atirar para errar.

● Opção 2:

Equation-4

Se a afirmação acima for verdadeira, Fraco deve atirar para matar, independente do valor de verdade na afirmação da opção 1, e deve atirar no oponente mais forte. Fazendo as contas:

Equation-5

Bem, a afirmação é falsa. Está confirmado de dois jeitos: Fraco deve atirar e errar de propósito, e torcer para que Razoável e Ótimo se destruam sozinhos. {FIM}


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Observação 1. A probabilidade do evento A (que é o subconjunto dos casos favoráveis) é o número de elementos do conjunto A (o número total de casos favoráveis) dividido pelo número de elementos do conjunto espaço amostral S (o número total de casos, incluindo favoráveis e desfavoráveis). Em notação matemática:

Equation-6

Observação 2. Se lê inglês e gostaria de saber como Marc Kilgour e Steven J. Brams chegaram a tais fórmulas e conclusões, pode comprar o artigo original no website da Mathematical Association of America (16 dólares); clique aqui.

Observação 3. Publiquei este desafio ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 11, dezembro de 2011, pág. 51. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.