Matemática: enfeiada pela escola

Todo amante de matemática sabe o quanto ela é divertida, instigante, viciante, satisfatória. Por que então há quem não veja nela nenhuma graça?


Logo que terminou o doutorado, Vanderlei Horita, vice-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), recebeu a visita de um colega de pesquisa. Matemáticos que colaboram num trabalho costumam se encontrar pessoalmente para discutir ideias, mostrar esboços, organizar os próximos passos do trabalho. “Nessas ocasiões, aproveitamos o tempo o máximo possível, incluindo finais de semanas e feriados”, explica Vanderlei. Então outros amigos, não matemáticos, ficaram curiosos com o trabalho. “Perguntaram se passávamos o tempo todo fazendo contas, qual o ‘tamanho’ dos números envolvidos e se os computadores não faziam isso melhor que a gente.” Vanderlei encarou o desafio de explicar o que faz um matemático, mas diz que até hoje acha difícil fazer isso sem que o interlocutor perca o interesse depressa.

John William MacQuarrie, matemático escocês e pesquisador na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), acha compreensível que uma pessoa escolhida ao acaso na rua não saiba dizer o que a matemática é — ou que ainda a defina com características que ela não tem. “Isso não é estranho”, diz John, “porque nós matemáticos também não sabemos o que ela é.” Porém, enquanto o matemático tem a certeza de que é algo maravilhoso, vários leigos a acham feia, inútil, entediante.

Para Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos da Editora Moderna, a culpa não é da matemática, em geral, mas sim da matemática escolar. “A escola costuma desfigurar o conhecimento não só da matemática, como também de outras áreas.” Outros especialistas, como Antonio Carlos Rosso Júnior, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, também listam outras razões, como seu caráter abstrato demais. “As pessoas querem resultados de imediato, e é difícil ver as aplicações diretas da matemática no dia a dia”, diz Antonio Carlos. “É diferente com a química ou a biologia, nas quais descrevemos objetos ou entes concretos da natureza. Com a matemática, descrevemos uma versão muito ideal do universo.”

A matemática é inútil. Muita gente tem essa impressão, mas, se colasse um selinho com os dizeres “Esta Coisa Contém Matemática” em tudo o que é feito ou construído com a ajuda de bastante matemática, haveria um selinho desses em todo computador, todo carro, todo telefone, todo avião, todo semáforo, todo filme de cinema… Porém, porque ela pertence aos bastidores, ninguém a vê. Cristina Acciarri, pesquisadora no departamento de matemática da Universidade de Brasília, lista sem esforço as várias aplicações da matemática. “Se pensar num cartão de crédito, ou na criptografia para a segurança na internet, por exemplo, estamos falando de conceitos matemáticos. Para criar essas soluções, digamos, fáceis para nosso dia a dia, os matemáticos resolveram problemas difíceis, ou até mesmo recorreram a soluções parciais de problemas sem solução.”

Quando dá aulas para turmas de engenharia, Cristina volta e meia precisa responder à inevitável pergunta: para que estudar álgebra linear? “Até para eles, que se interessam e têm maior contato com a matemática, é complicado entender por que precisam estudar certos conceitos.” Cristina então conta como hoje é impossível fazer desenhos animados sem álgebra linear. Ela desenha na lousa um plano cartesiano com um bonequinho, e daí pergunta como pode movê-lo de uma região a outra sem deformá-lo. Em resumo, o aluno deve multiplicar matrizes; o produto dessa multiplicação é a nova posição do bonequinho. Noutras vezes, o aluno encrenca com vetores de ordem 4, ordem 5, ordem n. Não vê utilidade em estudar tantas dimensões, já que o mundo tem apenas três. “Nem sempre a aplicação é do tipo geométrico”, diz Cristina. “As informações que armazenamos dentro de uma matriz podem ser de qualquer natureza, como as variáveis do trânsito em Brasília: o tipo de carro, a estrutura das ruas, o horário em que está ocorrendo o estudo.” Cada uma dessas observações compõe uma das dimensões do vetor, que facilmente chega a muitas dimensões.

Ricardo Miranda Martins, matemático da Universidade de Campinas, diz que, para entender muitas aplicações, o leigo teria de entender conceitos mais avançados. Além disso, reconhece que, em geral, os matemáticos não fazem propaganda de tão boa qualidade quanto os físicos fazem. “Vemos com frequência em filmes e séries de TV termos como viagem no tempo, relatividade, e mecânica quântica de forma muito mais ficção científica do que são na realidade: um monte de equações matemáticas difíceis de resolver, ou mesmo de entender.” Ricardo também menciona outra explicação: o currículo de matemática, tanto no ensino básico quanto no superior, é grande demais. Nem sempre sobra tempo para mostrar as belas aplicações.

Basta pegar um livro de história da matemática para ver o contraste entre como a escola ensina os conceitos e como os matemáticos os criaram e investigaram suas propriedades. O processo histórico lembra uma criança que aprende a andar: há muitos tombos, muitos recomeços, muita diversão. Nos anos 1960, quando Luiz Márcio Imenes era estudante, usava como livro didático uma adaptação d’Os Elementos, de Euclides. “O professor Manfredo Perdigão, do Impa, disse uma vez numa palestra que adotar Euclides como livro didático é um grande equívoco; esse livro é mais bem entendido por filósofos e matemáticos. N’Os Elementos, a matemática aparece desprovida de vida, sem as contradições e as motivações do matemático.”

Mesmo hoje, estudantes ainda usam livros que copiam o modelo de Euclides: axiomas, definições, regras de inferência, teoremas, aplicações — sem contar nenhuma história de contexto, nenhuma história de aventura ou descoberta. Um livro assim lembra uma lista de dogmas. “Há quem sugira um modelo mais próximo do de Arquimedes, que misturava experimentação e dedução”, diz Imenes. “É uma matemática mais viva, impregnada de sentido e significado.” Sim, professores e alunos têm de formalizar a matemática, mas não sem antes experimentar muito, pois, para Imenes, apresentar a matemática pronta e acabada beira a calamidade.

Helenara Sampaio, coordenadora da licenciatura em matemática na Universidade Norte do Paraná, diz que os povos precisaram de matemática para desenvolver a agricultura, a navegação, a ciência. Se hoje o estudante tem celular, computador, e videogame, foi porque os matemáticos resolveram problemas difíceis, muitos dos quais nos últimos 100 anos. Num escritório qualquer, restaria pouca coisa se retirassem dele tudo o que foi construído graças à matemática.

A cada ano os matemáticos criam cada vez mais matemática; o número de artigos em revistas especializadas aumenta com muita rapidez. John MacQuarrie, da UFMG, arrisca um chute: “Talvez haja dez vezes mais artigos por ano agora do que havia há dez anos.” Contudo, hoje mais do que antes, em geral o matemático trabalha motivado por perguntas muito abstratas, ainda sem nenhuma possibilidade de aplicação prática. (Exceção feita aos matemáticos que se interessam por problemas surgidos nas outras ciências.) Cristina explica: muitas vezes, o matemático está interessado em beleza; ele se deixa guiar apenas pela própria curiosidade. “É um pouco como a filosofia. Se você pensar bem, qual é a aplicação prática filosofia?”

Cedo ou tarde alguém acha aplicação prática para alguma ideia matemática. John diz que as regras da matemática servem como imagem aproximada de fenômenos do mundo real. “Mas as aplicações da matemática não são a mesma coisa que a matemática em si.”

A matemática é uma ciência. Até matemáticos às vezes dizem que a matemática é uma ciência; quanto mais estudantes e professores comuns. Muitos matemáticos, contudo, não se incomodariam se a classificassem como uma arte: a arte de criar objetos ficcionais perfeitamente definidos, tão simples quanto possível, e de depois disso investigar suas propriedades. O cientista tem a obrigação de descobrir como o universo funciona — as proteínas, as galáxias, os pulmões. As regras já existem, e não podem ser modificadas pela mera vontade humana. O matemático cria universos novos para depois explorá-los, e quando se cansa de explorar um desses universos, muda as regras e o transforma num outro. (E depois ainda descobre que pode correlacionar os dois com algum tipo de morfismo…)

Até filósofos têm de trabalhar sob condições mais estritas. “O filósofo”, diz John, “tem de justificar suas proposições.” John quer dizer o seguinte: o filósofo mostra que as afirmações A e B implicam a afirmação C, mas, antes que possa asseverar que C é verdadeira, tem de justificar A e B. Se não fizer assim, seu leitor não vai aceitar C. Não é a mesma coisa com o matemático. Ele pode presumir que A e B são verdadeiras, e daí provar a implicação. Aliás, ele com bastante frequência presume a verdade das premissas e segue em frente. Afinal, como poderia provar, recorrendo a experimentos no mundo real, a existência de segmentos de reta que podem ser divididos indefinidamente em duas partes iguais? Isso é impossível.

Outro ponto no qual matemáticos e cientistas diferem: o peso que dão às evidências. Se um cientista achasse 400 quadrilhões de evidências em favor de uma explicação, e nenhuma evidência contrária, ele a classificaria como “explicação excelente”. Que tal pensar agora na conjectura de Goldbach?

Conjectura de Goldbach. Todo inteiro par maior que 2 é igual à soma de dois números primos.

De fato: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, …, 154 = 71 + 83, etc. A conjectura já foi confirmada para os primeiros 4 ∙ 1017 inteiros positivos. Qualquer cientista ficaria feliz com isso, e se daria por satisfeito, mas não o matemático, que só classificará a conjectura como teorema no dia em que alguém publicar uma demonstração cabal.

É coisa de gente sem criatividade. Helenara Sampaio, da Unopar, ouve o tempo todo comentários de que a matemática só complica tudo; estão sempre questionando sua utilidade. Imenes diz que as pessoas têm essa impressão porque se acostumaram a vê-la de modo deturpado. Muitas vezes, diz Imenes, a escola omite as aplicações e conexões que existem dentro da própria matemática. “Quanto mais as relações que ela tem com a arte e outras disciplinas!” Se na escola o leigo só conheceu a matemática feia, é fácil imaginá-la como O Reino dos Sem Imaginação. “É ficar fazendo contas como um papagaio”, diz Imenes. “O ser humano não tolera coisas sem sentido; procuramos nexo nas coisas.”

A ideia de que a matemática embota a criatividade é tão forte que, entre os que acreditam nessa ideia, é fácil encontrar quem diga: a matemática estraga a experiência de vida — pois deixa tudo “excessivamente racional”. A verdade é que o matemático profissional, para resolver um problema difícil, tem de recorrer a doses cavalares de criatividade. Quase sempre, a resolução de um grande problema faz surgir uma nova área da matemática, e com ela fica mais fácil ver coisas que antes ficavam invisíveis — isto é, com ela o mundo fica mais bonito. Se hoje o homem pode construir uma sonda espacial, enviá-la ao espaço para fazer medições, e com as medições calcular o raio do universo visível (46 bilhões de anos-luz; quem não fica de queixo caído diante de uma informação dessas?), é porque Bolyai, Lobachevsky, e Riemann criaram as geometrias não euclidianas no século 19.

Cristina lembra como muita gente se orgulha de dizer que não tem cabeça para a matemática. “É como se, ao dizer que não sabe nada de matemática, a pessoa mostrasse como é imaginativa, artística.” Mas nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura, pois seria tachada de ignorante. John diz que não há nada mecânico ou automático na matemática, e se algum aspecto dela se torna automático e mecânico, o matemático não hesita em delegá-lo a computadores. “Quando dizemos que o matemático precisa de criatividade”, diz John, “não é criatividade para fazer contas, mas sim para manejar ideias.” Cristina diz que matemáticos muitas vezes agem como crianças. “Eles deixam a mente bem aberta, pois caso contrário as ideias não aparecem.” Ela até acha que se transformou numa pessoa melhor graças à matemática, ou melhor, graças ao hábito de olhar um problema de vários ângulos. “Isso me ajudou a ser menos impulsiva. Muitas vezes, estou vendo o cantinho de um problema, mas mudo o ângulo e percebo que ele é bem maior.” Cristina reconhece ainda: se as pessoas não conhecem bem a matemática, isso também é culpa dos matemáticos, que não sabem se comunicar direito.

Para Vanderlei Horita, da SBM, a culpa é também da própria matemática: provoca tanto contentamento que, para o matemático, divulgar seu trabalho se torna secundário. O matemático se envolveu numa atividade na qual cria regras das quais surgem universos novos e maravilhosos. “Certa vez, tive a ingenuidade de contestar a frase tão certo quanto 2 mais 2 são quatro”, diz Vanderlei. O leigo só conhece a aritmética comum, mas há muitas décadas os matemáticos recorrem à aritmética módulo m, na qual 2 + 2 = 1 ou 2 + 2 = 0. Para entender essa ideia melhor, o estudante pode desenhar um relógio com 3 números:

Fig. 1

Daí, com o dedo repousado em zero, começa a contar: 1, 2, 3, 4 movendo o dedo para 1, 2, 0, 1. Com isso, pode dizer que, na aritmética módulo 3, o 4 é congruente a 1. Pode fazer o mesmo para entender a aritmética módulo 4. Desenha outro relógio, desta vez com quatro números: 0, 1, 2, 3:

Fig. 2

Conta 1, 2, 3 apontando para 1, 2, 3, mas ao contar 4 só lhe resta apontar o 0. Com isso, conclui que, na aritmética módulo 4, 2 + 2 = 0. E ainda assim o estudante pode se divertir com uma ideia bonita: 2 + 2 é sempre igual a 4, mesmo nas aritméticas nas quais o algarismo 4 não existe.

Feia, feiíssima. Muita gente acha que a matemática é feia, mas todo professor de matemática e todo matemático pode testemunhar o contrário: ela provoca prazeres estéticos parecidos com aqueles que uma pessoa sente quando aprecia uma escultura ou ouve um concerto. John MacQuarrie (UFMG) é algebrista e, para mostrar a verdadeira cara da matemática, gosta de explicar o que é um grupo. Primeiro, cita um exemplo de grupo: os números inteiros com a operação de adição. O estudante adiciona 3 ao 4 e obtém 7, que também é um inteiro. Ou então subtrai 3 de 4 e obtém 1, outro inteiro. Ele pode então generalizar essa ideia ao definir um grupo:

Um conjunto G fechado para uma operação , isto é, ao pegar dois elementos a e b em G, e ao combiná-los segundo as regras que especificam a operação , obtém um terceiro elemento que também está em G. (Em outras palavras: o elemento a b também está em G.) Além disso, num grupo existem três regrinhas:

• Para todo a, b, e c em G, a (b c) = (a b) c, isto é, nele vale a propriedade associativa.

• Existe em G um elemento identidade e tal que a e = e a = a para todo a em G.

• Para cada a em G, existe um elemento inverso a’ em G tal que a a’ = e.

Desde criancinha, o estudante sabe que números inteiros têm a propriedade associativa, e que existe um número, o zero, tal que se adicioná-lo a qualquer outro inteiro (como 0 + 1, 0 + 2, 0 + 3, …) obterá como resultado o próprio inteiro (pois 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3, …). Assim como cada número tem seu inverso: o de 0 é o próprio 0, o de 1 é –1, o de 2 é –2, e assim por diante. “Agora esqueça os números, esqueça as simetrias”, diz John. “Você tem apenas essas três propriedades. Então, pode usá-las para estudar objetos no mundo abstrato que também as tenham. Acho os grupos lindos de um jeito muito prático. Essas três regras são exatamente o que precisam ser, fazem exatamente o que precisam fazer.”

Matemáticos muitas vezes veem a beleza num conceito matemático, como o de grupo, por causa de suas propriedades, isto é, por causa do que conseguem fazer com ele. No caso da teoria dos grupos, se podem provar que certo objeto muito complexo é um grupo, podem também provar que existe uma correspondência entre tal objeto e o grupo dos números inteiros com a operação de adição. Ora, existem muitos teoremas úteis sobre os inteiros com a adição, e o estudante pode usá-los para descobrir coisas sobre esse objeto mais complexo. Ele pode até verificar que vale para seu grupo a conjectura de Goldbach.

Para Antonio Carlos, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, muita gente fica com a ideia errada porque estuda a matemática como se fosse meramente um conjunto de procedimentos, e não como um conjunto de ideias a partir das quais os matemáticos desenvolveram os procedimentos. Quando estuda a multiplicação de dois dígitos, por exemplo, o estudante talvez ache uma chatice repetir um algoritmo aparentemente sem pé nem cabeça. Por exemplo, ao fazer 12 vezes 15:

No livro Matemática: Uma Breve Introdução, o matemático britânico Timothy Gowers explica por que tanta gente odeia a matemática. Matemáticos constroem conceitos novos em cima dos antigos. Se o leigo acha o algoritmo da multiplicação de números com dois dígitos uma chatice, tem de voltar uns passos para trás e compreender seu mecanismo: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Para visualizar isso melhor, o estudante usa um desenho de quadradinhos, como o da figura 3. Ao somar os quadradinhos, pode ver que está fazendo o seguinte ao usar o algoritmo da multiplicação: 2·(10 + 5) + 10·(10 + 5).

Fig. 3

“Sem isso [a propriedade distributiva] é natural que você se sinta pouco à vontade ao expandir expressões como (x + 2)(x + 3), e isso implica que não compreende bem as equações quadráticas”, escreveu Gowers. “E, não tendo uma boa compreensão das equações quadráticas, não perceberá por que a razão áurea é (1 + √5)/2.”

Por pouco. Visto que é difícil entender bem uma matemática mais avançada sem entender conceitos básicos, muitos jovens nunca descobrem que a má reputação da matemática vale (quando vale) apenas para a matemática no ensino básico. Cristina explica: “É como aprender a falar para aprender a escrever poesia.” É mais charmoso escrever poesia do que simplesmente falar, mas uma coisa não vem sem a outra. Cristina sabe pouco sobre como funciona o ensino médio no Brasil, pois estudou na Itália, mas acha que o brasileiro se interessa tanto por matemática quanto qualquer outro cidadão de qualquer outro país. A diferença entre o Brasil e a Alemanha, por exemplo, é que na Alemanha há mais especialistas interessados no trabalho de divulgar a matemática. Quando era estudante, Cristina já gostava de matemática, mas visto que só via contas, equações, algoritmos, etc., não se interessava tanto assim.

Por acaso, leu um livro sobre matemática e simetrias. “Não lembro mais o nome, mas era um autor dos Estados Unidos. O livro tinha muitas imagens, desenhos, e falava da matemática na vida, na simetria das flores, da série de Fibonacci que aparece em vários lugares…” Então ficou em dúvida entre fazer letras ou matemática, mas como a matemática era algo misterioso, resolveu descobrir mais sobre ela. Seus pais a apoiaram, se bem que com alguma reticência. “Quando cheguei lá, achei a matemática uma coisa muito mais bonita do que imaginava.” John conta uma história semelhante: na Escócia, a reputação da matemática também é ruim, mas tudo mudou na universidade. “Para mim foi incrível descobrir que não existe só um tipo de infinito — incrível!” Ricardo Martins é outro caso de “por pouco não fiz matemática”. Quando prestou o vestibular, escolheu matemática com o propósito de pedir mais tarde a transferência para o curso de computação. “Eu mesmo tinha a ideia equivocada de que precisaria decorar fórmulas. Quando descobri que elas vinham de algum lugar, comecei a achar tudo muito interessante e segui a carreira.”

Quantas outras pessoas não dariam ótimas matemáticas, e não seriam até mais felizes, não fosse a péssima reputação da matemática? Uma vez, o matemático Bertrand Russell (1872-1970) escreveu (tratando de outro assunto): “É como a teoria de que sempre acabamos descobrindo o assassino. Evidentemente, todos os assassinos que conhecemos foram descobertos, mas quem pode calcular o número daqueles sobre os quais nada sabemos? Da mesma forma, todos os homens de gênio de que já ouvimos falar triunfaram sobre circunstâncias adversas, mas não há razão para supor que não tenham existido diversos outros gênios malogrados durante a juventude.” Não há razão para supor que, tivesse a matemática boa fama, muitos dos que hoje se orgulham de não ter cabeça para os números passariam horas, felizes da vida, pensando sobre coisas como a aritmética módulo m e a conjectura de Goldbach. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Danielle Ferreira e Dubes Sônego.

3. Um dos entrevistados pergunta: “Qual é a aplicação prática da filosofia?” Eu acho mais fácil mostrar as aplicações práticas da filosofia (aparentemente, não há nenhuma) do que as aplicações práticas da matemática (certamente, há muitas). Pois, se você disser, “A filosofia não é importante”, não tem escolha senão defender essa tese com um argumento de natureza filosófica! Logo, a filosofia é inescapável e, na verdade, os seres humanos estão filosofando constantemente, mas aqueles com bom treinamento em filosofia percebem quando estão a filosofar, e aqueles sem treinamento não percebem. O filósofo britânico Simon Blackburn costuma dizer que a filosofia é como qualquer outra atividade — é algo que podemos fazer bem ou mal. Quem estuda filosofia, com a prática percebe quando está a filosofar, e até consegue dizer se está filosofando bem ou mal. Quem não estuda, não percebe, e portanto não tem ideia se está filosofando mal. Além disso, poucos sabem que o método científico, que é talvez a maior criação da humanidade, surgiu de discussões filosóficas, e até hoje está sendo aperfeiçoado por meio de discussões filosóficas.

4. Em certa altura do texto, eu digo: “Nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura.” Como o mundo muda! Sou admirador de Heráclito, e portanto não deveria ficar surpreso ao constatar que o mundo muda, mas me surpreendi mesmo assim. Hoje muita gente se orgulha de dizer que não leva jeito para a leitura; hoje muita gente não mais percebe essa deficiência com embaraço. Outro dia, eu conversava com um sujeito e ele me disse, com evidente satisfação: “Eu nunca li um livro na vida, e até hoje não me fez nenhuma falta!”

5. Quando mencionei a aritmética módulo m, fiz uma pequena simplificação para não deixar o texto confuso. O que eu deveria ter escrito, se não quisesse evitar símbolos técnicos, é 2 + 2 1 (mod 3) em vez de 2 + 2 = 1, e 2 + 2 0 (mod 4) em vez de 2 + 2 = 0. Se o leitor quiser saber mais sobre aritmética módulo m, clique aqui.

6. Digo no texto que, para muita gente, a matemática deixa o mundo “excessivamente racional”. O filósofo britânico David Hume (1711-1776), em várias passagens de seus livros, defendeu a tese de que o ser humano não é guiado pela razão, mas sim por suas paixões. “A razão é, e deve ser, escrava das paixões, e não deve ambicionar nenhuma outra responsabilidade senão servir e obedecer às paixões.” Hume cita vários exemplos para justificar a afirmação, todos mais ou menos com esta estrutura: Se uma pessoa nota que há uma relação de causa e efeito entre praticar ginástica e emagrecer, e se descobre que terá vantagens ao emagrecer, ela mesmo assim não vai praticar ginástica para emagrecer, a não ser que tenha a vontade de emagrecer.

Acho que Hume tem razão: em primeiro lugar vem a vontade (para usar o palavreado de Nietzsche), e em segundo lugar o agente usa a razão para ver como realizar sua vontade. As pessoas percebem isso, por instinto; mas não sabem articular bem essa percepção. Logo, quando topam com alguém de perfil matemático, de perfil mais lógico ou filosófico, elas logo desconfiam: “Tais palavras racionais estão a serviço de que espécie de paixão? Que paixão se esconde atrás de tantos axiomas, teoremas, fórmulas, argumentos? Que vontade está querendo se impor? Que vontade está querendo suplantar a minha vontade?” Como nem todo amante de matemática conhece essa característica da psicologia humana, ele apresenta seus argumentos muito racionais sem antes pensar bastante sobre vontades e emoções — e imediatamente deixa o interlocutor com um pé atrás. Quanto ao interlocutor, tendo se sentido compelido a se retrair, e sem ter visão clara dos motivos (pois agiu instintivamente), sente-se acuado — e daí surge a sensação de que a matemática estraga a experiência do mundo, pois deixa as coisas “excessivamente racionais”.

Corolário. Um bom sistema de ensino deve ajudar os alunos a conhecer suas emoções, as emoções dos outros, e a governar essa economia de emoções tanto quanto possível; e logo depois disso, deve ensinar aos alunos como pôr a razão a serviço da vontade — incluindo usar a razão para dar à luz novas vontades.

Um Carcereiro Bizarro, fake news, e um Político Bestialógico


O autor da historieta a seguir não a chama de historieta, mas de “experimento mental”, pois, como o experimento que um cientista faz no laboratório, você pode escarafunchá-la para obter a resposta de perguntas difíceis.

O Carcereiro Bizarro. Toda noite, ele espera até que todos os presos estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente destranca todas as portas do presídio (as portas das celas, dos corredores, do prédio, das cercas, dos muros) e, por algumas poucas horas, as deixa encostadas (como se estivessem trancadas), mas certamente destrancadas. É uma cadeia pequena, e não há nenhum outro guarda além dele. Enquanto observa as instalações pelas câmeras do circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se algum preso sair, vou deixar que saia! Vou me divertir olhando pelas câmeras sua surpresa e suas hesitações!”

O filósofo americano Daniel Dennett, autor do experimento mental, pergunta: “Nessas poucas horas nas quais todas as portas estão destrancadas, os prisioneiros estão livres?”

Vejamos. Um preso acorda no meio da noite, com vontade de usar a privada de sua cela. (Estou pensando em algo do tipo Fuga de Alcatraz, com Clint Eastwood no papel principal.) Enquanto está lá, pensa na vida, fica olhando à volta. Não lhe ocorre a ideia de ir até as grades da cela para ver se estão apenas encostadas, e na verdade destrancadas. Não lhe ocorre a ideia de que pode ir embora tranquilamente, andando, deixando o presídio como se deixasse o cinema quando o filme termina.

Esse preso, na verdade, não tem a oportunidade de sair, pois, para aproveitar a circunstância favorável à fuga, ele precisa saber que as portas estão destrancadas. Ele não sabe. Ao contrário, quando olha para a porta de sua cela, visto que está encostada como se estivesse trancada, para ele a porta está indiscutivelmente trancada. Se para realizar a ação y um agente precisa antes da informação x, e se ele não tem acesso à informação x, então não pode realizar a ação y.

É como a história do sujeito que, andando numa das ruas do bairro onde mora, passa ao lado de um contêiner de lixo, sem saber que, dentro do contêiner, debaixo de sacos e sacos de lixo, há um baú com tesouros de valor altíssimo — ouro, joias, moedas antigas. O sujeito teve a chance de ficar rico? Não, pois não tem o costume de vasculhar contêineres de lixo, nem nunca teve. Para ele, contêineres de lixo não têm valor, e isso vale para o contêiner dentro do qual há um baú com tesouros.

Para que o sujeito que passeia pelo bairro fique rico, e para que o outro saia da prisão, em primeiro lugar eles precisam obter no ambiente a informação de que existe uma oportunidade. Sem isso, nenhum dos dois pode agir.

Com essas duas histórias, Dennett pretende ressaltar a importância de o agente obter informação oportuna sobre o ambiente em que vive, a tempo de usá-la em processos de decisão, isto é, em pensamentos sobre o que fazer no futuro. Sem informações corretas e atualizadas sobre a situação, na verdade o agente não está em condições de agir. Dennet usa as duas histórias para explorar a ideia de livre-arbítrio, e questioná-la. Não pode haver arbítrio completamente não causado, diz Dennett, pois, para decidir o que fazer, o agente precisa estar inserido no fluxo de causas e efeitos do meio ambiente; ou, o que é quase a mesma coisa, precisa estar inserido no fluxo de informações que representam o meio ambiente: de certa forma, ele precisa ‘receber’ informações do ambiente e ‘fornecer’ informações ao ambiente para que possa dizer que é “livre para agir”. Portanto, não existe isso de “escolhas livres”, no sentido de “escolhas não causadas”. Para que haja livre-arbítrio de verdade, diz Dennett, é necessário que o agente esteja imerso na malha de causas e efeitos do mundo, às vezes como efeito, às vezes como causa; às vezes como receptor de informações, às vezes como gerador.

Mas essas duas histórias, como uma pequena modificação, também servem para explorar o problema das fake news, isto é, das notícias falsas produzidas de modo que tenham o jeitão de notícia verdadeira. A pequena modificação é esta:

O Anfitrião Bestialógico. O Anfitrião Bestialógico é o gerente de um hotel. Toda noite, ele espera até que todos os hóspedes estejam dormindo profundamente, e daí com muito cuidado e mui silenciosamente tranca todas as portas do hotel (as portas dos quartos, dos corredores, das escadas, do prédio, das cercas, dos muros, da garagem) e, por algumas poucas horas, as deixa trancadas. Enquanto observa as instalações pelo circuito fechado de TV, ele toda noite pensa: “Se acontecer alguma coisa, caso alguém passe mal, caso aconteça um incêndio, vou me divertir olhando pelas câmeras o desespero das pessoas, que, quando foram dormir, achavam que sua liberdade duraria para sempre!”

Nas poucas horas em que as portas estão trancadas, os hóspedes estão livres? A resposta agora é óbvia: não. Suponha, por exemplo, que um dos hóspedes acorde à noite e pense: “Estou com vontade de fumar um cigarro.” Ele não pode fumar no quarto do hotel, pois é proibido e há sensores de fumaça; ele teria de pôr um roupão, descer até o lobby, e sair do hotel para fumar na calçada. “Se eu não estivesse com tanta preguiça”, pensa o hóspede, “desceria para fumar.” Não lhe ocorre a ideia de que não desceria, de jeito nenhum, pois está preso. Não lhe ocorre a ideia de verificar se realmente consegue abrir a porta do quarto, se consegue chamar o elevador. Para que tivesse a ideia de que está preso, para que parasse de fazer planos sobre fumar um cigarro, ele precisa da informação de que todas as portas do hotel estão trancadas. Se para abandonar o plano y um agente precisa antes da informação x, e se não tem acesso à informação x, então, em vez de abandonar o plano y, ele o considera como se fosse viável. Antes, no caso do Carcereiro Bizarro, os agentes estavam livres, mas achavam que estavam presos, e por isso não aproveitaram a liberdade; depois, no caso do Anfitrião Bestialógico, os agentes perderam a liberdade, mas achavam que continuavam livres, e por isso planejavam o futuro e nada fizeram para escapar de sua prisão antes que fosse tarde demais — antes do incêndio.

Há coisas do tipo notícia falsa no mundo dos objetos e das máquinas. A nota falsa de 100 reais, a lâmpada na frente da célula fotoelétrica. Há coisas do tipo notícia falsa no mundo das plantas e dos animais, mas com os nomes técnicos de mimetismo e camuflagem: o bicho-pau é um inseto, mas parece um graveto seco; o peixe-borboleta (Chaetodon capistratus) tem duas manchas parecidas com olhos perto da cauda, de modo que, quando observado por detrás, parece que está olhando o observador. Na cabeça do predador do peixe-borboleta, algo se passa com esta lógica: “Não adianta nada atacar esse peixe aí, pois ele já me viu.”

Mas o reino das notícias falsas é o reino da política. Assim como o Carcereiro Bizarro e o Anfitrião Bestialógico, o Político Bestialógico usa notícias falsas para manipular o público. É mais fácil entender corretamente essa ideia ao imaginar um membro do público como sendo uma máquina de estados finitos.

Tais máquinas monitoram o meio ambiente (incluindo elas mesmas) e, conforme o resultado do monitoramento, tomam decisões e agem. Se a máquina está no estado s quando recebe a entrada i, ela produz a saída o e passa para o estado y. É assim que a máquina deve funcionar, para seu próprio bem, para o bem de todas as outras máquinas, e para o bem do mundo. Suponha, portanto, que a máquina está no estado s, e que a Natureza produz todas as condições para que a máquina receba a entrada i; contudo, o Político Bestialógico distribuiu notícias falsas, nas quais a máquina acreditou, e em razão de suas crenças falsas ela interpreta mal a Natureza e, em vez de receber a entrada i, recebe a entrada x. Em consequência disso, em vez de produzir a saída o, ela produz a saída p; em vez de passar para o estado y, ela passa para o estado z. Ela não agiu para seu próprio bem, nem para o bem das outras máquinas, nem para o bem do mundo. Porém, não está consciente disso; desconhece que não viu o que estava lá, no ambiente, nem que viu o que não estava. Seu histórico de estados não corresponde mais ao histórico de mudanças no meio ambiente. Ela também não está consciente de que agiu para o bem do Político Bestialógico.

Quase sempre, o Político Bestialógico espalha notícias falsas para provocar medo, e logo em seguida raiva — pois medo e raiva são dois sentimentos que andam sempre um perto do outro. De acordo com a ideologia do Político Bestialógico, ele vai provocar raiva de pobres ou raiva de ricos; raiva de bandidos ou raiva de polícia; raiva de comunistas ou raiva de fascistas; raiva de instituições públicas ou raiva de empresas privadas; raiva da justiça ou raiva da milícia; raiva das universidades ou raiva das igrejas. Para o Político Bestialógico, nem é tão difícil estimular medo e raiva em seu público, pois basta que ele se aproveite de qualquer um dos vários defeitos característicos da mente de um ser humano. Por exemplo, um destes dois:

(1) O humano tende a prestar maior atenção a informação que confirme suas crenças, e por isso tende a se lembrar mais facilmente daquelas informações que confirmaram suas crenças;

(2) Tende a lidar muito mal com probabilidades; isso porque dá peso desproporcional à influência do passado sobre o futuro, mesmo quando o passado já não tem mais influência sobre o futuro, ou mesmo quando nunca teve (como é o caso dos números sorteados na Mega-Sena).

O filósofo japonês Watsuji Tetsurô (1889-1960) dizia o seguinte: Quando um ser humano se aproxima de outro, o ideal é que suas expectativas sejam positivas. O ideal é que haja boa vontade, alegria, sinceridade; o ideal é que, a princípio, cada um esteja disposto a simpatizar com o outro. Para Watsuji, a ética é a arte e o ofício de criar uma sociedade na qual tais aproximações possam ocorrer da maneira a mais próxima possível da ideal. Chame a aproximação ideal de aproximação idealmente positiva. Toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo mais parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente louvável. Ao contrário, toda ação que leve os membros da sociedade a se aproximar uns dos outros de modo pouco parecido com a aproximação idealmente positiva é uma ação moralmente deplorável.

Assim, segundo Watsuji, sempre que um Político Bestialógico divulga notícias falsas, faz o público pensar que está livre quando na verdade está preso, ou pensar que está preso quando na verdade está livre, e fazendo assim provoca medo e raiva. Fazendo assim, portanto, o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. {Fim}



Observações:

1. Os experimentos mentais de Daniel Dennett estão no livro Intuition Pumps and Other Tools for Thinking.

2. No último parágrafo, digo que o Político Bestialógico merece o repúdio do leitor. Não quero dizer com isso que o leitor deve simplesmente entrar nas redes sociais e xingar todo mundo que lhe parece mau. Quem age dessa maneira, escreveu Spinoza, “é danoso para si mesmo e para os outros”. (Ética, parte 4, apêndice, capítulo 13.) Para Spinoza (que Watsuji conhecia, e que admirava), o único jeito de ajudar os seres humanos a se guiar pela razão é por meio de “amor e generosidade”. Portanto, ainda segundo Spinoza, repudiar o Político Bestialógico é equivalente a “dedicar-se com empenho a tudo aquilo que está a serviço do vínculo da concórdia e da amizade”.

Nietzsche daria umas boas risadas tanto de Watsuji quanto de Spinoza. Para Nietzsche, a ética é a arte e o ofício de imaginar e de implementar hierarquias — hierarquias de pessoas, de coisas, de ideias. Ele acreditava piamente que há ideias mais importantes que outras ideias, coisas mais importantes que outras coisas, e pessoas mais importantes que outras pessoas. Ele também acreditava que uma pessoa mais importante, segundo uma hierarquia X, deve ser mais bem tratada que uma pessoa menos importante, segundo a mesma hierarquia. Nietzsche dizia de si mesmo: Eu sou dinamite! Ele é um bom contraponto à cortesia de Watsuji e à santidade de Spinoza, mas deve ser lido com cuidado, pois é de fato explosivo.

3. Esta é a última postagem deste ano. Desejo a todos os frequentadores deste blogue boas festas e um feliz 2020!

Estatística no esporte

Desde 1986 os administradores profissionais de times esportivos recorrem à estatística para tomar decisões inteligentes e melhorar a sorte de seu time.

Observação: Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 4, abril de 2011, pág. 38. A versão que vai ler a seguir foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.


{1}/ Estudando os fundamentos do jogo

Videntes fazem previsões ousadas, mas difíceis de ligar a um evento específico, do tipo “um sol brilhará na aura da política brasileira”. Aí, quando um político faz alguma coisa bacana, o vidente grita: “Eu avisei!” O estatístico é uma espécie de vidente também, mas ele faz previsões modestas e técnicas. Num jogo de vôlei, por exemplo, se no time do Brasil estiverem presentes os jogadores Murilo Endres e Leandro Vissotto, o estatístico consegue prever: Murilo deve agir menos dentro de quadra, e deve fazer menos pontos, mas, na média, ele ajudará mais o time do Brasil — porque errará menos e dará menos oportunidades ao adversário. Leandro deve agir mais, e fazer mais pontos, mas ele errará mais — em média. O estatístico também prevê o seguinte: talvez nada disso aconteça.

O Brasil se tornou uma potência no vôlei: 317 medalhas de ouro, 199 medalhas de prata, 178 medalhas de bronze. Mas só se tornou potência porque usa, desde 1986, as ferramentas da estatística, como conta Sandra Caldeira, ex-jogadora de vôlei profissional — e formada em estatística.

Até 1986, todo mundo no Brasil avaliava jogadores de vôlei com base em achismos. Mas José Carlos Brunoro, na época assistente-técnico da equipe masculina adulta, queria reunir dados sobre os jogadores brasileiros e estrangeiros, especialmente os jogadores de Cuba, Itália, Rússia, e Estados Unidos. Para ganhar de times tão organizados, dizia José Carlos, era preciso reorganizar o modo como o Brasil administrava seus times. Para mudar a gestão, era preciso coletar números. E aí Sandra Caldeira aceitou o convite: ela usaria sua própria experiência como jogadora e seus conhecimentos de estatística para montar um sistema de avaliação de jogadores brasileiros e estrangeiros. “Naquela época”, diz Sandra, “fazíamos todo o trabalho na calculadora e preenchíamos as planilhas a lápis.”

Hoje, a equipe técnica dos times profissionais usa computadores para estudar duas características de cada jogador: eficácia e eficiência. Cada jogador em quadra toma iniciativas: saca, bloqueia, levanta, ataca. Quanto mais eficaz o jogador, mais ele converte suas iniciativas em pontos para seu time. Quanto mais eficiente o jogador, menos ele erra, ou seja, menos pontos ele entrega ao time adversário. Um jogador A pode ser mais eficaz que o jogador B, porque converte mais iniciativas em pontos; mas pode ser menos eficiente que o jogador B, porque erra mais. (Veja na seção 2 a definição precisa de eficácia e de eficiência.)

Murilo Endres, por exemplo, foi eleito o melhor jogador do Campeonato Mundial de Vôlei Masculino de 2010, realizado na Itália. Durante o campeonato, ele tomou a iniciativa 186 vezes, das quais em 89 vezes marcou pontos; em compensação, errou 22 vezes, ou seja, o adversário marcou 22 pontos por causa de seus erros. Sua eficácia ficou em 47,85%, e sua eficiência, em 36%.

Seu colega Leandro Vissotto, um dos melhores jogadores da nova safra, tomou a iniciativa 201 vezes, e marcou pontos em 101 delas; mas, em compensação, errou 36 vezes. Sua eficácia, de 50,24%, foi maior que a de Murilo Endres, mas sua eficiência foi menor: 32,34%. Por isso Murilo embolsou alguns milhares de dólares a mais que Leandro.

Membros da equipe técnica fazem contas assim para cada um dos “fundamentos do jogo”, como eles dizem: saques, bloqueios, passes, fintas, largadas. Eles contam o número total de ações (por exemplo, saques), o número total de acertos (pontos para o time brasileiro), o número total de erros (pontos para o time adversário), e fazem as contas, usando as fórmulas de eficácia e eficiência. Os jogadores se revelam mais ou menos eficazes e eficientes em cada um dos fundamentos.

Cara ou coroa? Cientistas separam os fenômenos da natureza em dois grupos: aqueles que podemos prever com certeza (os determinísticos) e aqueles que podemos prever com algum grau de certeza (os estocásticos , isto é, não determinísticos; às vezes, são também chamados de aleatórios, mas isso é controverso). Se alguém sobe na Torre de Pisa e solta uma bola de chumbo lá de cima, pode usar as leis da física para calcular, com precisão de milésimos de segundo, quanto tempo a bola vai levar para atingir o chão. E se alguém fizer isso 20 vezes, 20 vezes a bola de chumbo vai demorar o mesmo tempo para bater no chão. Uma bola de chumbo caindo da Torre de Pisa é, tudo indica, um fenômeno determinístico. Se alguém joga uma moeda comum para o alto, contudo, não tem como saber qual lado cairá para cima: cara ou coroa? Uma moeda comum jogada para o alto representa um fenômeno estocástico, que pode ser descrito com probabilidade e estatística: há 50% de chance de que saia cara ou, dizendo isso de outra forma, 50% de que saia coroa. Para cada caso, um evento em dois, isto é, 1/2.

No cotidiano, lidamos muitas vezes por dia com fenômenos estocásticos. Vai chover? O trânsito estará bom? Haverá fila no restaurante? Mas, principalmente: Meu time vai ganhar o jogo de hoje à noite?

Nem todos entendem o que significa usar probabilidade e estatística para lidar com um fenômeno estocástico. Se um cidadão joga uma moeda para cima, e sai coroa cinco vezes seguidas, da próxima vez a chance de sair cara continua em 50%. Cada lance é equiprovável, ou seja, independe do lance anterior. A cada lance, o cidadão não tem como prever o que sairá.

Se não presta para prever o futuro, para que servem a probabilidade e a estatística? Para tomar decisões inteligentes. Vamos supor que um engravatado se aproxime de um cidadão e lhe proponha uma aposta: “Vamos jogar cara ou coroa mil vezes. Se sair cara 600 vezes ou mais, você me paga 1.000 reais. Se sair cara menos do que 600 vezes, eu te pago 1.000 reais.” Das duas, uma: ou o cidadão está diante de um ignorante de estatística com a compulsão de jogar, ou está diante de um embusteiro, e ele tem uma moeda enviesada. Para quem joga uma moeda não enviesada para cima 1.000 vezes, a probabilidade de sair cara 600 vezes ou mais é de 9 ocorrências em 100 bilhões; em outras palavras, sair cara menos do que 600 vezes é quase certo.

Corinthians 1, Grêmio 3. Estatística e esportes nasceram um para o outro. Dois grandes matemáticos do século 17, Blaise Pascal e Pierre de Fermat, trocaram muitas cartas sobre como usar a matemática para calcular as chances num jogo de azar, e dessa correspondência surgiram as primeiras ideias sobre o que depois se chamaria teoria das probabilidades. Bem mais tarde, em 1952, Frederich Mosteller usou estatística para descrever um esporte moderno, o baseball; Frederich pegou dados de campeonatos e publicou suas descrições no jornal da Associação Americana de Estatística. Desde então, o número de trabalhos estatísticos sobre esportes modernos cresceu tanto que a associação americana foi obrigada a criar uma seção específica do jornal só para a estatística dos esportes. Além disso, em 2004 surgiu um jornal acadêmico só para isso — o ótimo Journal of Quantitative Analysis in Sports.

Os técnicos e a equipe técnica usam estatística para reconstruir a trajetória de jogadores talentosos. Quais eram seus números quando eram jovens e inexperientes? Como seus números foram se transformando ao longo do tempo, isto é, ao longo do treinamento e da convivência com jogadores mais velhos? Que exercícios e atividades modificaram mais seus números? Quando ele joga com o jogador X ou com o Y, seus números melhoram ou pioram? Qual é o intervalo ideal entre jogos? Havendo dados em bancos de dados, e havendo quem saiba mexer com estatística, a equipe técnica consegue achar respostas bem precisas para perguntas muito difíceis de responder só com achismos. Ela consegue, por exemplo, contratar jogadores cujas características numéricas complementem as características do time.

A estatística serve também para decidir o melhor jeito de ganhar do time adversário. Em 2001, no final da Copa do Brasil, o Grêmio precisava vencer o Corinthians num jogo em São Paulo. Se vencesse o jogo, levava a copa. O técnico Tite estudou as estatísticas disponíveis sobre o Corinthians, e descobriu que os zagueiros erravam muito no momento de passar a bola para a frente. Então, Tite deu instruções: quando a posse de bola estivesse com o Corinthians, todos os jogadores corintianos seriam marcados com empenho — exceto os zagueiros. Cedo ou tarde, o corintiano marcado passaria a bola para um dos zagueiros livres, que chutaria para a frente, erraria o passe e daria a oportunidade para um contra-ataque. Nesse caso, a estatística funcionou: o Grêmio ganhou o jogo (por 3 a 1) com dois gols desse tipo.

Na Universidade Federal de São Carlos (SP), o professor Francisco Louzada-Neto criou um grupo especializado em modelagem estatística de esportes. No caso do futebol, o modo mais comum de converter o esporte em modelos estatísticos é correlacionar o número médio de gols de um time com os fatores que influem na média daquele time, para descobrir se a média de gols aumenta ou diminui conforme muda o capitão do time, o mando de campo, o estádio, o grupo de atacantes, o grupo de zagueiros, o comportamento da torcida. Com base em informações histórias e em estimativas (ou chutes, na linguagem popular), Francisco monta um modelo estatístico (uma simulação de computador), e põe um time virtual para jogar com outros times virtuais; depois disso, bate suas previsões com os jogos reais, e vai aperfeiçoando o modelo conforme os jogos reais e virtuais acontecem.

Foi assim que Francisco e equipe previram quase tudo o que aconteceu na Copa do Mundo de 2010, na África do Sul. Eles previram que a África do Sul não passaria para a segunda fase, e a África do Sul não passou. Previram que a Itália e a França não chegariam a figurar entre os favoritos, e ambas saíram cedo da copa. Previram que os quatro times na semifinal sairiam do grupo composto por Espanha, Holanda, Argentina, Portugal, Inglaterra, Alemanha — e Brasil. Acertaram 75%, porque Espanha, Holanda, e Alemanha de fato foram para a semifinal.

Quem prevê o juiz? “Não conseguimos incluir nos nossos modelos estatísticos”, diz Francisco às risadas, “lances como goleiro tromba com volantes e Felipe Melo pisa em Robben.” Segundo os modelos do professor Francisco e de seus alunos, o Brasil tinha 51,5% de chance de vencer a Holanda. Mas futebol é assim. “Mesmo que um time tenha chances muito boas de vitória”, diz Francisco, “não significa que ele não possa perder.”

É impossível usar a estatística para melhorar o desempenho de uma moeda no cara e coroa. Moedas não aprendem, não desejam, não se intimidam. A probabilidade de cara será sempre 50%, e a de coroa também, não importa quantas vezes o técnico Tite amaldiçoe a moeda. E é possível usar a estatística (e as maldições) para melhorar as médias de um jogador e de um time, e nisso jogadores e moedas em nada se parecem. Mas eles se parecem muito numa outra coisa: o resultado de um lance específico é, e sempre será, imprevisível. Um grande jogador pode errar um pênalti. O número de variáveis a considerar é, pura e simplesmente, grande demais.

Dizem que, no vôlei, a ciência virou o sétimo jogador em quadra — mas quem joga mesmo é jogador de carne e osso. “Numa final”, diz Sandra Caldeira, “um atleta que estava com as melhores pontuações de repente desaba. Basta uma coisa simples, como uma lesão ou um erro da arbitragem, e muito do que era vantagem para o time do Brasil vira vantagem para o adversário.” {}



{2}/ Eficácia e eficiência no vôlei profissional

Onde:

E1 = eficácia;

E2 = eficiência;

P = pontos para o próprio time;

E = erros que resultem em pontos para o time adversário;

I = iniciativas dentro de campo.

Exemplos do Mundial de Vôlei Masculino 2010:

Murilo Endres (30 anos)

Leandro Vissotto (28 anos)

Em linguagem corrente: Leandro Vissoto age mais dentro de campo e, em razão de suas ações, o time faz mais pontos. Mas Leandro erra mais, e dá ao time adversário a chance de fazer pontos — por isso ele é menos eficiente que Murilo, um jogador que age menos e converte menos ações em pontos, mas, em compensação, erra menos.



{3}/ Cuidado com comparações indevidas

Richard Jaeger, um autor americano, diz que existem três personagens importantes na estatística: quem coleta os números, quem faz as contas, e quem lê.

Coletar números sobre fenômenos complexos é difícil. Se duas pessoas vão ao estádio só para contar o número de chutes a gol, as duas vão sair com números diferentes. “O quê?! Você contou aquele chute desanimado como chute a gol? O jogador chutou sem rumo, e a bola foi mais ou menos na direção do gol por coincidência.” A outra pessoa responderá: “Chute a gol é chute a gol, seja desanimado ou não, seja intencional ou não.” Pronto: as duas definições pelas quais interpretar a realidade resultam em dois números distintos.

Depois de coletados os números, chega a vez do matemático fazer contas. Se for jovem, recém-saído da faculdade, ele dará preferência para algumas das ferramentas da estatística. Se for velho e experiente, dará preferência para outras, ou talvez até use ferramentas de outros campos da matemática, como topologia algébrica ou sistemas dinâmicos.

E aí vem o leitor. Se existe 99% de chance de que o Brasil ganhe da Holanda, um leitor sem noções de estatística vai achar que o jogo está ganho. Vuvuzela nos laranjinhas! O leitor com noções, contudo, sabe que 1% de chance é suficiente para que o Brasil perca o jogo. Aliás, qualquer chance maior que zero, por pequena que seja, já seria suficiente.

Os erros mais comuns. Esses erros aparecem com frequência em programas de TV.

Dizer que um time não ganha do outro há 15 anos, quando, nos últimos 15 anos, os dois times só jogaram duas vezes.

Comparar um time de 1970, com Pelé e Tostão, com um time de 2011, com Alexandre Pato e Nilmar. Os dois times são incomparáveis, ou, melhor dizendo, só podem ser comparados em tese, por alguém que soubesse extrair a essência de cada um dos times para comparar as duas essências, mas duvido que exista alguém com esse poder. Além disso, segundo os mais competentes filósofos modernos, talvez não existam essências.

Achar que, se um jogador faz 5 gols a cada 100 chutes a gol, e se ele está para chutar para gol, sua chance de fazer gol é mínima. Não é. Na ponta do lápis, sua chance é de 5% — ou seja, sua chance de fazer gol é 2.503.193 vezes maior que sua chance de acertar na Mega-Sena, caso tenha apostado em seis dezenas.

Dizer que um jogador está numa boa fase ou numa fase ruim quando, fazendo as contas, ele está na média. Se a eficiência do jogador Murilo Endres é de 36%, significa que, a cada 186 iniciativas, ele pode errar 22 vezes seguidas. Será execrado pelos torcedores. Mas aí ele pontua 89 vezes seguidas. Será adorado pelos torcedores. O tempo todo, contudo, a taxa de eficiência permaneceu estável em 36%.



{4}/ Probabilidade: noções básicas

Se alguém realiza um experimento qualquer, deve usar a notação Pr(A) para marcar a probabilidade de que o evento A aconteça em razão desse experimento. Se A nunca ocorre em razão do experimento, Pr(A) = 0. Se A sempre ocorre, Pr(A) = 1. Para qualquer evento A, a Pr(A) é sempre maior ou igual a zero ou menor ou igual a 1, isto é, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1.

Um espaço amostral S é um conjunto, cujos elementos representam tudo o que talvez aconteça em razão de um experimento qualquer. Um evento A também é um conjunto, que é subconjunto de S. Use a notação n(S) para denotar o número de elementos de S, isto é, o número de ocorrências possíveis em razão de um experimento; e use n(A) para denotar o número de elementos de A, isto é, o número de maneiras segundo as quais determinada coisa pode acontecer. Se S é um conjunto finito e as ocorrências possíveis são todas igualmente possíveis, daí a probabilidade de o evento A ocorrer nesse espaço amostral S será de:

Por exemplo, quando alguém joga uma moeda comum para cima, a moeda pode cair com cara, ou talvez com coroa. O espaço S de resultados possíveis é igual a {cara, coroa}, e n(S) = 2. Quanto ao conjunto A, faça A = {cara}; logo, n(A) = 1. Logo, a probabilidade de que saia cara (ou coroa) é igual a:

Se alguém joga dois dados sobre a mesa, dados comuns, a probabilidade de que saiam dois lados iguais a 5, dois lados iguais a 6, ou um lado igual a 5 e outro igual a 6 é de:

Leva anos para que alguém fique bom em probabilidade e estatística, porque essas duas áreas do conhecimento humano avançaram muito; mas ambas estão fundadas em ideias simples, que vale a pena conhecer bem.



{5}/ No basquete, os minutos finais contam

Narradores de jogos de basquete costumam dizer que o vencedor só se define nos instantes finais do jogo. Uma professora de estatística da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Jacira Guiro Marino, decidiu ver se os narradores têm razão. Em 1992, nos Jogos Olímpicos de Barcelona, ela tentou prever o resultado do jogo masculino de Brasil contra Espanha, e descobriu que os narradores têm razão.

“Nos minutos finais da partida”, diz Jacira, “os times dependem muito dos instantes anteriores. Um modelo matemático só vai representar bem o jogo se ele incluir os eventos dos últimos instantes do jogo.” O modelo estatístico criado por Jacira só indicou o nome do provável vencedor no minuto final do jogo. “Existe um aprendizado durante o jogo, de maneira que um time que faz cestas de três pontos desde o início estará mais apto a fazê-lo também no final da partida.”

O jogo foi estudado como uma série temporal, em que o placar de determinado instante pudesse ser explicado pelos eventos e pelo placar dos instantes anteriores. Jacira considerou também a diferença de pontos entre os dois times ao longo do jogo. “A Espanha esteve à frente na maioria das vezes, e com diferenças grandes. Ela tinha mais história no jogo.” A Espanha venceu. {Fim}


Observações adicionais:

1. As entrevistas foram realizadas pela jornalista Andreza Emília Marino.

2. Que palavra é melhor: “chance” ou “probabilidade”? “Chance” é uma palavra coloquial, não técnica, em geral usada para dizer que certa coisa talvez aconteça (“Depois da entrevista pessoal, acho que tenho boas chances de ficar com a vaga”), ou que certo evento passado talvez tivesse acontecido de maneira diferente (“Se eu soubesse falar inglês melhor, minhas chances de ficar com a vaga teriam sido bem maiores”). “Probabilidade” é uma palavra técnica, assim como “estatística”. Aliás, probabilidade e estatística são duas coisas distintas: probabilidade é uma área da matemática, isto é, suas afirmações não se referem ao mundo real, mas são consequência de definições, axiomas, e regras de inferência declarados verdadeiros antes de tudo; estatística é uma área da ciência, isto é, suas afirmações se referem ao mundo real, e portanto devem ser constantemente cotejadas com o mundo real por meio de observações bem planejadas.

3. Aquilo que não é determinístico é estocástico, e não necessariamente aleatório. Alguns autores usam “estocástico” e “aleatório” como se fossem duas palavras intercambiáveis, mas outros reservam “aleatório” para designar espaços amostrais nos quais a probabilidade de qualquer um dos elementos do espaço é igual à probabilidade de qualquer outro elemento. (Logo, fenômenos aleatórios são subconjunto de fenômenos estocásticos.) Por exemplo, você pode ver {d1, d2, d3, d4, d5, d6} como um espaço amostral, e dizer que a probabilidade de cada um dos elementos é aleatória se e somente se Pr(d1) = Pr(d2) = Pr(d3) = Pr(d4) = Pr(d5) = Pr(d6) = 1/6. Depois disso, se quiser, pode usar esse modelo matemático para pensar sobre o resultado do lançamento de um dado comum, não enviesado. Porém, note que lançar um dado comum é algo do mundo real, isto é, algo distinto do modelo matemático.

4. Se você acredita na tese de que objetos abstratos são procedimentos com alto grau de exatidão, pode ver a probabilidade como sendo uma imensa fonte de procedimentos, com os quais talvez possa lidar com certos aspectos do mundo real.

5. Você pode adaptar as ideias da seção 2 para usá-las no mundo corporativo, isto é, no mundo dos negócios. Terá de pensar bastante para converter “pontos para o próprio time”, “erros que resultem em pontos para o time adversário”, e “iniciativas dentro de campo” em definições adequadas no negócio em questão, mas, caso tenha sucesso, poderá usar as ideias de eficácia e de eficiência para melhorar “os fundamentos do jogo” — desde que, é claro, saiba definir corretamente o que são os “fundamentos do jogo”.

Cuidado com elogios: elogie apenas o esforço

Especialistas sugerem: muito cuidado ao elogiar estudantes de matemática, especialmente se o estudante é criança. O formato do elogio influi no modo como ela encara os estudos. Quem elogia a inteligência da criança, passa a impressão de que suas conquistas decorrem de talento (inato), e de que estudar é coisa para burrinhos. Quem elogia o trabalho ajuda mais, pois, na matemática, esforço e persistência rendem mais frutos que talento nu e cru.


{1}/ Criando burrinhos talentosos

Há alguns anos, crianças de 10 a 12 anos participaram de um estudo sobre aprendizagem no qual resolveram três séries de problemas de raciocínio lógico. Depois que as crianças resolveram a primeira série, foram divididas em três grupos: no primeiro, receberam a informação de que haviam acertado 80% das questões, e foram elogiadas pela inteligência e pela esperteza; no segundo, também receberam a informação de que haviam acertado 80% das questões, mas foram elogiadas pelo esforço; no terceiro, receberam a mesma informação dos 80% e não foram elogiadas de nenhuma forma. Depois disso, as crianças tiveram a chance de escolher qual tipo de problema gostariam de resolver em seguida; receberam uma lista mais ou menos assim:

• Problemas não tão difíceis, para não errar muito.

• Problemas bem fáceis, para me sair bem.

• Problemas nos quais sou muito bom, para mostrar como sou esperto.

• Problemas que me façam aprender bastante, mesmo que me façam parecer meio burrinho.

Nessa segunda série, todas as crianças, independente da resposta que deram, trabalharam com problemas muito mais difíceis, e naturalmente seu desempenho foi bem pior que na primeira série. Depois de ouvir a avaliação, responderam a algumas perguntas do tipo: Você gostaria de persistir nos problemas? Gostou de tentar resolvê-los? Por que acha que foi mal? Depois disso, resolveram a terceira série de problemas, cujo nível de dificuldade era equivalente à primeira. Ao fim do estudo, os avaliadores tomaram o cuidado de dizer às crianças que, na verdade, os problemas da segunda série eram avançados, e que resolver um único deles já era grande conquista.

As duas autoras do estudo queriam medir como o elogio influencia no desempenho do estudante. Viram que crianças elogiadas pela inteligência preferiram resolver problemas mais fáceis, em vez de escolher desafios com os quais pudessem aprender coisas novas; ou seja, quiseram apenas reafirmar sua inteligência. Tais crianças também demonstraram menor prazer ao resolver a segunda série, foram menos persistentes, e atribuíram o mau desempenho à própria falta de inteligência, ao tipo de problema, ou à falta de tempo para resolvê-lo.

Uma das autoras, Carol Dweck, publicou esse e vários outros estudos sobre como os elogios afetam o desenvolvimento infantil. Na matemática, os efeitos negativos de elogios mal colocados aparecem logo nos primeiros anos: a criança aprende contas de mais e de menos com certa facilidade, e é elogiada pela inteligência, mas, no decorrer do curso, depois de estudar conceitos mais sofisticados (multiplicação, divisão, frações, potenciação), passa a acreditar que suas dificuldades surgem porque não é inteligente o bastante.

O monitor. Professores, pedagogos e especialistas em educação estão sempre se perguntando como motivar crianças e jovens a estudar, tanto aqueles com dificuldade quanto aqueles com facilidade. A certa altura, quem sente dificuldade desiste de entender a matéria, enquanto quem sente facilidade se entedia com o ritmo lento das aulas e por fim desiste de participar. Alguns professores dão balas para quem tira dez na tabuada, outros deixam o bom aluno sair mais cedo para o recreio. E sempre é de praxe elogiar: “Que inteligente! Que esperto!”

Sérgio Friedman dá aulas no segundo ano do ensino médio, na Escola Vera Cruz, em São Paulo (SP). E se lembra de um aluno (o aluno X) que tinha muita facilidade nos exercícios, mas parecia desanimado e interagia pouco com os colegas. Sérgio teve duas ideias comuns entre professores de matemática: elogiar o desempenho e propor exercícios mais difíceis. “Meu trabalho como professor é mostrar ao aluno que, se chegou a certo patamar, devemos colocar um desafio a mais. Eu o elogio como um empurrão, no sentido de dizer: você pode se superar e ir além.” Muitas vezes, contudo, esse tipo de aluno se acomoda ao que já sabe e perde o interesse, e foi o que aconteceu com X. Quando elogios e desafios não resolveram o problema, Sérgio teve a ideia de ajudá-lo a se enturmar com a classe. “Acredito que uma coisa importante do conhecimento é socializá-lo.” Não é para isso que matemáticos escrevem teoremas? Ou compartilham conjecturas e problemas sem solução? Uma grande e prazerosa parte de fazer matemática é trocar ideias sobre seus objetos de pesquisa, ouvir a opinião de outros matemáticos, concordar com eles ou duvidar deles. Sérgio fez então um convite ao aluno X:

“O que acha de me ajudar com as dúvidas dos colegas?”

Nas aulas de exercícios, X virou uma espécie de monitor; terminava os exercícios e ia ajudar os colegas. “Ao usar o conhecimento para ajudar os outros, esse aluno começou a aprender muito mais, porque a melhor maneira de aprender é ensinar os outros. Além disso, o conhecimento dele passou a ter outra função: não era mais só para si mesmo, mas era para ser compartilhado.” O aluno X passou a ser reconhecido não só como alguém com talento para a matemática, mas alguém disposto a usá-lo em prol dos colegas. Com isso, em vez de apenas buscar desafios mais difíceis, passou a buscar novas estratégias para abordar e explicar os mesmos problemas. Hoje, a cada nova turma de segundo ano, Sérgio busca gente disposta a colaborar da mesma forma. “Os alunos têm uma linguagem própria e às vezes são melhores que o professor para traduzir as dúvidas dos colegas.”

Com esse episódio, Sérgio se lembra de si mesmo quando era aluno, pois também ajudava os colegas. “Seja qual for a etapa da vida, elogio é bom. Lembro alguns do meu tempo de estudante, mas para falar a verdade me sentia melhor com os elogios que recebia por comunicar aquilo que tinha entendido. Lembro desses elogios muito mais do que aqueles do tipo parabéns por ter acertado o exercício.”

Explorador de estratégias. Jovens chegam ao ensino médio certos de que só compreende matemática quem nasce com talento, quando na verdade vários especialistas dizem que o trabalho duro compensa mais. Sérgio lembra que, há quatro anos, uma aluna (a aluna Y) lhe disse a famosa frase: “Nunca fui boa de matemática.” Tentou entender os motivos (sempre há um episódio traumático, quando não uma saga inteira) e imaginou como poderia usar o que Y já sabia bem. Y tinha facilidade com geometria, e por isso Sérgio lhe passou desafios de geometria. Assim que Y ficou mais confiante, passou a incentivá-la a atacar outros assuntos, como a álgebra, que antes considerava impossível de entender. Nem sempre o aluno vira um ás, diz Sérgio, mas é importante quebrar o estigma de que o sujeito é ruim de matemática desde o berçário do hospital e não pode fazer nada a respeito. “Ela ganhou autoconfiança e eu, como professor, percebi que conseguimos mudar a atitude de um aluno que vê a matemática como algo inatingível.”

O estudante faz bem se pratica esses dois hábitos: o de abordar um problema de vários ângulos e o de partir das ideias que já conhece bem para avançar por outras áreas da matemática. Thales do Couto, coordenador de matemática do Colégio Santo Inácio, no Rio de Janeiro (RJ), sempre diz aos alunos: “Meu papel é dar a vara de pescar e a linha. Vocês têm de pegar o peixe.” Com isso, espera que criem soluções diferentes para entender a matéria e resolver exercícios. “Hoje a educação é como uma parceria; o aluno e o professor têm de se comprometer, dentro dos limites e do respeito.” Sérgio acha que, se o conteúdo a ser ensinado continua mais ou menos o mesmo, a forma de ensinar mudou. Se os alunos têm informação fácil e rápida a qualquer momento, qual será o papel do professor? “Não basta só saber matemática como antes; essa é apenas uma parte do trabalho.”

Hoje o professor deve estar pronto para improvisar. Thales gosta de tratar a turma como um grupo de matemáticos atacando um problema em aberto. Assim sua aula funciona como uma conversa. “Digo a eles que não sou o dono da verdade.” Ele escreve na lousa uma equação de 2º grau, como x2 – 2x + 1 = 0, e pergunta:

“Quem tem um palpite sobre como resolvê-la?”

Nesse momento, ninguém sabe de nada; professor e alunos estão no mesmo patamar. Daí alguém sugere fatorar a equação:

“E se reescrever assim: x( x – 2) + 1 = 0?”

Outro aluno talvez se lembre de um famoso produto notável: o quadrado da diferença entre dois termos.

“Não será melhor assim: (x – 1)( x – 1) = 0?”

Não demoram muito a perceber que, para o lado esquerdo da equação ser igual a zero, ou a operação no primeiro parênteses ou a no segundo deve ser igual a zero, e para isso acontecer x tem de ser igual a 1. “Eu os elogio para incentivá-los a palpitar”, diz Thales, “e depois vamos verificando o que cada um propôs. Essas discussões deixam a aula interessante.”

José Luiz Pastore Mello, professor no Colégio Santa Cruz, em São Paulo, acha que certos elogios diante da turma toda trazem benefícios tanto para o aluno elogiado quanto para os colegas; por exemplo, quando alguém sugere uma estratégia diferente daquela mencionada pelo professor. Daí, ele elogia não a inteligência ou a esperteza, mas o jeito de pensar. “Isso mostra para a classe que existem várias maneiras de pensar as questões matemáticas. Se fico só na minha abordagem, perco muito disso.”

Às vezes, o professor também aproveita uma deixa para incentivar a turma a pensar diferente. Pastore sempre se lembra de uma aula de trigonometria na qual desenhou um círculo na lousa com um compasso gigante. Quis refazer o círculo, que ficou feio, mas tinha perdido o ponto central. Aproveitou para questionar os alunos sobre como encontrar o centro do círculo apenas com compasso; é um problema conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni (o teorema diz que qualquer construção geométrica que pode ser feita com régua e compasso, pode ser feita só com compasso; veja a explicação completa clicando aqui, e vá direto para a seção 3). Os alunos ficaram empolgados e durante dias buscaram na internet a demonstração do problema.

Pastore incentivou a pesquisa, até que um grupo de alunos encontrou a demonstração num website italiano. Elogiou o esforço dos meninos e pediu que estudassem melhor a resolução do problema, para apresentá-la ao resto da turma. “Eles traduziram a resolução do italiano e se mataram de estudá-la, e ela era, diga-se de passagem, bem complexa. Depois a apresentaram para a classe.” Era o último bimestre e um dos meninos no grupo estava reprovado, pois tinha ido mal em quatro matérias, uma das quais a matemática. Pastore prometeu um bônus pela pesquisa e a apresentação do problema, assim o menino conseguiu a nota que lhe permitia fazer mais uma recuperação. Ele conseguiu passar de ano.

Tempos depois, Pastore estava no cinema quando alguém na fila o cutucou:

“Oi, professor, lembra de mim?”

“Lembro! Você é um dos meninos do problema de Mascheroni.”

“Exatamente, professor. Quero te contar uma coisa: estou no último ano de engenharia.”

Pastore fica emocionado ao contar a história. “Um menino praticamente reprovado em matemática, mas que depois de incentivado, desafiado, e elogiado, hoje em dia já deve ser engenheiro formado.”

Elogios sinceros, diz Pastore, mostram ao aluno que o professor está prestando atenção à sua produção e a seu esforço. Ainda que, às vezes, o resultado esteja aquém do ideal, o aluno está trabalhando para progredir; nesse caso, é melhor uma conversa em particular. Em seus estudos mais recentes, Carol Dweck diz que a qualidade do elogio desde cedo pode incutir na criança a convicção de que tem o poder de mudar e de que desafios são oportunidades para aprender. Do contrário, o que ocorre nas escolas pode ser resumido numa historinha:

Num pomar de maçãs, dez meninos descansam à sombra de uma árvore, quando um deles grita: “Ai! Caiu uma maçã na minha cabeça!” Após um tempo, outros dois também sentem a maçãzada e a saboreiam: está docinha. Apenas um, que havia passado semanas estudando as leis de Kepler, começa a trabalhar numa teoria sobre a gravidade. Tempos depois um historiador escreve sobre o episódio, mas por licença poética omite os outros meninos e suas maçãs. Deixa registrado nos livros o menino sortudo cuja cabeça foi atingida por uma maçã, e daí se tornou um grande matemático. Dos outros, ninguém nunca ouviu falar, mas são gente comum: alguns nasceram com talento matemático, outros nem tanto, mas nenhum deles tinha trabalhado o suficiente para tirar proveito das concomitâncias do acaso. {}



{2}/ Uma geômetra ataca a álgebra

Nas primeiras linhas do livro A Geometria, René Descartes (1596-1650) escreve que pode facilmente reduzir um problema geométrico a um problema algébrico. “Da mesma forma que a aritmética consiste em apenas quatro ou cinco operações, a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, e a extração de raízes (que pode ser considerada uma forma de divisão), também na geometria para encontrar segmentos basta adicionar ou subtrair outros segmentos.” Diante de tal afirmação, uma estudante com facilidade para a geometria (vamos chamá-la de Ana) acha irônico o fato de que é péssima em álgebra. Como pode então usar as palavras de Descartes e usar a geometria para entender melhor a álgebra?

Ana pega o livro What to Solve? Problems and Suggestions for Young Mathematicians, no qual Judita Cofman aconselha o leitor a expressar um problema em linguagens diferentes, e como exemplo apresenta um probleminha com cara e focinho de álgebra:

Problema. Prove que, para quaisquer números reais positivos a1, a2, …, an e b1, b2, …, bn, vale a seguinte relação:

“O que significa a raiz quadrada de a2 + b2?”, pergunta Ana a si mesma. “Ora, significa a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos a e b.” No lado esquerdo da expressão vê o somatório da medida de várias hipotenusas, enquanto no lado direito vê a medida da hipotenusa de um triângulo cujo um lado é o somatório de a1 a an e o outro é o somatório de b1 a bn. Ana esboça três triângulos de lado a1 e b1, a2 e b2, e an e bn juntando os vértices de uma hipotenusa à outra e coloca um espaço em branco para indicar que pode construir muitos outros triângulos entre o terceiro e o último. Depois nota que os lados ai de cada triângulo são paralelos entre si, assim como os lados bi para i = 1, 2, 3, …, n. Assim usa a1 e bn para construir um triângulo grandão ABC, cujo vértice no ponto B é também vértice do triângulo de lado a1 e cujo vértice A é também vértice do triângulo de lado bn.

Ana nota que as hipotenusas dos triângulos pequenos formam uma linha torta de medida p = √(a12 + b12) + √(a22 + b22) + ··· + √(an2 + bn2) do ponto A ao ponto B. “Provar a afirmação inicial é provar que |AB| é menor ou igual a p”, Ana diz a si mesma; então escreve debaixo do desenho:

Bem, no plano, a menor distância entre dois pontos é uma reta. Ora, se a hipotenusa AB é um segmento de reta ligando dois pontos e se p é o comprimento de uma linha toda torta ligando os mesmos dois pontos, daí |AB| só pode ser menor ou igual a p. O que é o mesmo que dizer:

O matemático húngaro George Pólya (1887-1985) escreveu no livro How to Solve It que uma ideia boa é um pedacinho de sorte, mas a pessoa deve ter perseverança para merecê-la. “Se não conseguir na primeira vez, tente de novo. Não é o suficiente tentar repetidas vezes. Também devemos tentar por vários meios e variar nossas tentativas.” Para tanto, contudo, o estudante deve ter à mão diversas técnicas. Só consegue usar a criatividade quem conhece bem as várias ferramentas matemáticas; do contrário, qualquer talento, criatividade, ou atributo nato ficará mofando na gaveta de tranqueiras. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 44, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Felipe Dreher.

3. Profissionais de RH têm a ganhar caso estudem os artigos de Carol Dweck et al, assim como de seus críticos (Timothy Bates, da Universidade de Edimburgo, é um deles). As empresas agora não chamam mais seus trabalhadores de “funcionários” ou “empregados”, mas de “talentos”… Ora, “talento” é uma palavra adequada para designar quem tem o dom, isto é, quem é bom desde nascença. Duvido que, numa empresa sorteada ao acaso, a porcentagem de gente talentosa seja maior que essa mesma porcentagem na população em geral, e fico me perguntando se o trabalhador, de tanto ouvir que é um “talento”, no fim das contas se esforça menos do que deveria. Eu apreciaria uma empresa que, não querendo usar as palavras “funcionário” ou “empregado” (por que não? desde quando tais palavras são ofensivas?), usasse palavras como “diligente” ou “zeloso”. Já pensou a revolução? “Criamos novas diretrizes de RH para atrair os profissionais mais diligentes do mercado brasileiro.”

Como um vendedor usa porcentagens para chatear duas clientes


{1}/ A lembrança doída de um olhar de pena

Duas moças, M e F, passeavam pela calçada quando viram o cartaz de uma loja:

DESCONTÃO PROGRESSIVO

2 peças — 10%

4 peças — 20%

6 peças — 30%

8 peças — 40%

10 peças — 50%

Ao entrar, deram de cara com o vendedor, que disse o seguinte: “Se comprarem várias peças juntas terão um desconto maior.” Depois de provar, trocar, e reclamar dos quilos extras, elas se decidiram:

“Vou levar as calças de 149,90 reais e os brincos de 29,90”, disse F.

“E eu, os dois colares de 29,90”, disse M.

Para finalizar a compra, o vendedor sacou a calculadora do bolso e fez umas continhas: 149,90 + 29,90 + 29,90 + 29,90 = 239,60. “Com 20% de desconto, o total dá 191,68 reais. Então, você que comprou a calça e o brinco deve pagar 156,68 e você”, olhou para M, “deve pagar 35 reais.” Ao que M o encarou horrorizada.

Em silêncio, M tomou a calculadora nas mãos para fazer umas contas. Primeiro somou todos os valores e viu o resultado: 239,60 reais. Aplicou o desconto de 20%: 191,68 reais. Até aí, o vendedor tinha razão. Somou apenas o preço da calça e o par de brincos: 149,90 + 29,90 = 179,80 reais. Aplicou o desconto de 20%: 143,84 reais. Somou apenas o preço dos colares: 29,90 + 29,90 = 59,80 reais. Aplicou 20%: 47,84 reais. Fez isso três vezes, depois somou o primeiro preço já com desconto com o segundo preço também com desconto: 143,84 + 47,84 = 191,68 reais. Sentia no fundo do estômago as contas dando certo:

“Moço, olha aqui, olha aqui!”, disse M, mostrando a calculadora.

“Moça, não posso dar desconto de 20% sobre duas peças, só sobre quatro peças, como no cartaz. Vocês são amigas e se uma não colaborasse com a outra teriam um desconto menor.”

“Não faz diferença!”, respondeu M; “O total que vamos te pagar é o mesmo e não tem essa de amizade: é matemática!” M queria pagar 47,84, e não 35; queria ser justa com sua amiga F.

O vendedor não aceitou os valores corretos e, enquanto M vasculhava a mente em busca de algum resquício de argumento, F encerrou a discussão.

“A gente paga, e depois acerta.”

Sem bom fundamento matemático, o vendedor decorou tabelas de desconto e, na ocasião da venda, distribuiu o valor do desconto a esmo entre as amigas. Osmar Pastore, professor de administração na Universidade Anhembi Morumbi, diz que descontos bem aplicados fazem a empresa lucrar mais, mas que o pessoal de loja está despreparado. Como a empresa tem de lucrar cada vez mais, ou ela ganha cada vez mais ou, cada vez mais, reduz os custos; e um jeito de reduzir custos é contratar vendedores sem preparo, que aceitam ganhar menos.

O empresário tem três maneiras básicas de aumentar o lucro: arranjar clientes fiéis; fazer com que apareçam na loja com maior frequência; fazer com que comprem mais sempre que aparecem na loja. Com o desconto progressivo, o empresário faz cada cliente comprar mais, arranja clientes novos, e reduz o estoque. “O supermercado, por exemplo, compra carne do frigorífico e sabe que vai vendê-la em 10 dias, mas negocia o pagamento em 70 dias”, diz Osmar. “Vende a carne com desconto e aplica o dinheiro no mercado financeiro para recuperar o valor do desconto.”

Mas, se o vendedor está despreparado, pode deixar o cliente irritado. “A loja pode dar desconto e incentivo, mas a política que faz sentido no papel, quando implementada, vira um desastre.” Pastore dá aulas no primeiro semestre de administração e diz que muitos de seus alunos sofrem com contas básicas. “Não sabem porcentagem, frações, equações simples.” Claudio Felisoni de Angelo, presidente do conselho do programa de administração de varejo da Fundação Instituto de Administração (FIA), concorda com o diagnóstico. “Sempre que colocamos o fator humano”, diz Claudio, “as coisas ficam mais difíceis.” Quando o fator humano tem de realizar contas com porcentagens, daí as coisas ficam mais difíceis ainda.

Para contornar o problema, a loja pode preparar uma tela do computador, de modo que, assim que entra com os dados, o vendedor vê como deve distribuir o desconto com justiça a cada amiga do grupo. Assim, quem sabe, a loja até ganha mais. As duas moças da história talvez se dispusessem a comprar, além das calças, mais seis peças de 20 reais para ter o desconto de 50%. Mas levaram para casa só quatro peças e uma lembrança doída: o vendedor olhando para elas com cara de pena, como se olhasse para duas burras coitadas. {}



{2}/ O que M deveria ter dito

Se tivesse tido presença de espírito, M deveria encaminhar a discussão assim:

“Prestem atenção: existe uma coisa chamada propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Essa coisa também vale para o desconto porcentual sobre uma soma!”

Certamente todos os funcionários da loja ficariam com medo de M assim que ouvissem as palavras “propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição”. Só terroristas falam coisas assim.

“Primeiro é importante saber, se alguém não sabe, que 20% é o mesmo que 0,2 e que 20% de 239,60 é o mesmo que 0,2 vezes 239,60, ou seja, 47,92.”

M prosseguiria no papel, à vista de todos:

Em seguida, subtrairia do valor total o desconto em cima da compra toda e depois, para mostrar a propriedade distributiva, subtrairia do valor total a soma do desconto sobre cada peça separada. Mostraria as contas ao vendedor, e sublinharia: tanto faz.

“A verdade é que você está distribuindo o desconto a esmo”, M diria ao vendedor, que obviamente começaria a chorar de vergonha.

Depois que tudo já aconteceu e está sacramentado, a presença de espírito aparece, e como ela fala bem! como se impõe! como apresenta os argumentos com graça e propriedade! como entona a voz! {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 28. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. A reportagem e a primeira versão do texto são da jornalista Mariana Osone, que é a M da matéria. Essa história realmente aconteceu com ela e com sua amiga Fernanda.

3. O capitalismo tem muitas virtudes e defeitos. Um de seus defeitos é que induz o sujeito a comprar mais do que realmente necessita — e com isso induz o sujeito a consumir mais recursos naturais não renováveis do que seria necessário. Talvez vendedores mal treinados não sejam uma coisa tão ruim assim…

Esbanjo ou economizo? Indivíduo ou sociedade?

Em muitas circunstâncias, o indivíduo se sente compelido a tomar decisões contrárias aos interesses dos outros. Em condomínios de apartamentos, por exemplo, depois que o síndico instala hidrômetros individuais, o consumo total de água diminui: é sinal de que, antes, os moradores gastavam mais que o necessário. Professores da FGV dizem que a teoria dos jogos é “assustadoramente convincente” ao explicar circunstâncias assim.


{1}/ Aulas de teatro e jogos de matrizes

Um leitor paulistano (codinome Np4) recebe um convite de um amigo de infância: jantar de 50º aniversário no restaurante La Bonne Cuisine. “Não precisa levar presente”, diz o amigo no convite, “mas o jantar é por conta dos convidados!” Quando Np4 chega ao restaurante, descobre que, com exceção do próprio aniversariante, não conhece ninguém. Enquanto se acomoda numa das cadeiras da mesa comprida, prepara-se psicologicamente para ser simpático, e lista mentalmente os assuntos do dia, sobre os quais pode conversar na falta de assunto melhor: as tempestades, o novo papa, o novo filme de super-herói… Pega o menu e examina as opções:

Salada de folhas… R$ 26

Dobradinha… R$ 34

Risoto de camarão… R$ 76

Água mineral 500 ml… R$ 8

Quando o garçom se aproxima para tirar o pedido, Np4 já elaborou a estratégia: nada de antepasto ou bebida alcoólica; pedirá a dobradinha e uma garrafa de água mineral sem gás. Com os 10% do garçom, é como se tivesse dado um presente de 50 reais ao amigo. Está bom, não está? O rapaz a seu lado, por sua vez, pede um uísque (26 reais), a terrine de pato e pistache (28 reais) e depois, como prato principal, o risoto de camarão com aspargos ao perfume de laranja e brotos de beterraba (76 reais). Np4 vai ficando cada vez mais surpreso conforme bota reparo no que os outros convivas pedem: champanhes, vinhos, filés, patos, escargots. “Quanto esse povo ganha?” Pula a sobremesa, mas pede o café (6 reais); vários de seus colegas de mesa, contudo, pedem a taça de creme de castanha francesa (18 reais) e uma dose de conhaque para acompanhar (21 reais).

Quando chega a hora de dividir a conta, alguém levanta um copo, como se fosse propor um brinde, e grita:

“Sentou, sorriu, a conta dividiu!”

Todo mundo ri e com gestos exagerados saca o cartão de crédito, inclusive Np4, enquanto pensa: “Aquelas aulas de teatro no ensino médio às vezes servem para alguma coisa.” No fim, com a conta dividida em partes iguais, cada um paga 196 reais. Na saída, de pé na calçada em frente ao restaurante, faz uma promessa a si mesmo: se for convidado de novo no ano que vem, vai comer e beber do bom e do melhor, nem que para isso tenha de abrir uma caderneta de poupança.

O estudante pode compreender melhor a situação vivida por Np4 ao recorrer à teoria dos jogos; um dos capítulos da teoria, chamado de “jogos de matrizes” ou de “forma normal”, serve não só para modelar como os amigos do aniversariante agiram no restaurante, como também para modelar o jeito como, num condomínio de apartamentos, os condôminos gastam água, sabendo que a conta de água é dividida igualmente por todos. Na Escola de Matemática Aplicada da Fundação Getulio Vargas, no Rio de Janeiro (RJ), o professor Moacyr Alvim Horta Barbosa da Silva dá aulas sobre teoria dos jogos, assunto pelo qual se apaixonou no ano 2000. Na ocasião, leu o livro Evolution and the Theory of Games, de John Maynard Smith. “Ele discorria sobre jogos e sobre a evolução das espécies por seleção natural”, diz Moacyr, “e era assustadoramente convincente. Pensei: caramba, a teoria dos jogos é uma ferramenta poderosa! Eu me encantei, e passei a estudá-la.”

Os patetas da CET. Quando conversa sobre teoria dos jogos com um leigo, Moacyr com frequência tem de explicar que ela não serve apenas para modelar jogos como o xadrez (em que cada jogador tem vez para mover uma peça) ou o dois ou um (em que os dois jogadores mostram os dedos ao mesmo tempo); ao contrário, serve principalmente para modelar situações de conflito, reais e importantes, como manobras militares, negociações comerciais e ajustes afetivos (como o ajuste pelo qual Np4 passou no restaurante). A teoria foi concebida para ajudar o estudante a compreender as situações nas quais o resultado geral do jogo depende das decisões de cada jogador. “Mas o resultado nem sempre depende apenas de decisões individuais”, diz Moacyr. “Muitas vezes, depende também de dinâmicas coletivas. Decisões solitárias e comunitárias estão em permanente tensão.” Embora a teoria tenha ferramentas próprias (como a forma normal; veja a seção 2), o especialista em teoria dos jogos recorre a qualquer objeto matemático que lhe sirva para o momento, das equações diferenciais parciais à estatística, da geometria à álgebra linear.

Nas primeiras aulas, Moacyr apresenta aos alunos da FGV o paradoxo de Braess. Numa cidade qualquer, há duas rotas para ir do bairro A ao bairro B. A rota 1 começa com ruas estreitas e de trânsito lento, mas termina numa rodovia larga e rápida. A rota 2 começa com uma rodovia larga e rápida, mas termina com ruas estreitas e de trânsito lento. “Como o tempo de deslocamento nas duas rotas é parecido, a tendência é que os motoristas se distribuam igualmente nas duas rotas”, diz Moacyr. Nessa situação, o jogo “vou pela rota 1 ou pela rota 2” atinge depressa o equilíbrio de Nash (a situação em que nenhum jogador ganha nada ao mudar de estratégia). No entanto, a CET dessa cidade decide interligar a rota 1 à rota 2, e daí o motorista pode começar na parte rápida da rota 2 e, no meio da viagem, ir para a parte rápida da rota 1, de modo a evitar completamente as ruas estreitas. É o que quase todo mundo faz; como resultado, o trânsito trava. Na teoria dos jogos, essa situação tem nome: tragédia dos comuns. É quando todos tomam a decisão melhor para si e todos se prejudicam por causa disso. “O melhor que a autoridade de trânsito poderia fazer é fechar o atalho e voltar à situação inicial”, diz Moacyr. Nem sempre é possível alinhar o interesse dos indivíduos com o da comunidade.

Depois de treinar um pouco a matemática necessária para compreender o paradoxo de Braess, o estudante pode usá-la para compreender uma tragédia dos comuns muito comum: a conta de água em condomínios de apartamentos. Em muitos deles, todos os proprietários dividem a conta de água igualmente. O síndico não consegue identificar quem gasta demais ou de menos, de modo que, se um dos condôminos esbanja água, não será punido pelos vizinhos. “Neste exemplo”, diz Moacyr, “os alunos descobrem que existe um incentivo para aumentar o consumo de água. Contudo, por razões diversas, o consumo tende a se estabilizar num valor: o equilíbrio de Nash volta a ser alcançado.” Entre as razões, estão: embora o condômino esbanje água quando está no apartamento, fecha todas as torneiras quando sai para o trabalho; embora o condômino possa gastar o quanto quiser, sem que seja repreendido pelos vizinhos, talvez economize água para salvar o ecossistema. Na prática, os moradores conversam sobre o assunto, e o síndico faz campanhas, mas, mesmo assim, o síndico não tem o poder de coordenar o consumo de água, e no fim todos gastam mais do que gastariam se houvesse um hidrômetro para cada apartamento.

Moacyr faz seus alunos notar que a teoria dos jogos não trata de julgamentos morais. Ela presume que cada jogador (ou agente, na linguagem técnica) decidirá de modo a auferir o maior benefício possível para si (benefício real ou imaginado), mas não taxa de bonzinho o jogador que economiza água ou come dobradinha, nem de malandro o jogador que esbanja água ou come risoto de camarões. “A teoria nos permite analisar as diferentes opções.” Por coincidência, Moacyr divide a sala com o biólogo Flávio Codeço Coelho, também professor na EMAp, para quem é fundamental estudar os jogos da natureza sem realizar nenhum tipo de julgamento moral. (O biólogo que estuda uma espécie segundo critérios morais humanos está perdido…) Há os casos nos quais duas espécies disputam os mesmos recursos naturais, como pasto ou água. Há outros nos quais os machos da mesma espécie disputam o direito de fecundar as fêmeas. Alguns machos lutam para medir forças e o mais forte ganha o direito, mas eles param a luta antes que um dos dois se machuque gravemente (como fazem os impalas nas savanas africanas). Outros às vezes lutam até a morte de um deles por ferimentos ou exaustão (como fazem abelhas e vespas em qualquer jardim).

Flávio diz que, para compreender ecossistemas, o estudante usa equações diferenciais à exaustão, pois lida constantemente com taxas instantâneas de crescimento ou decrescimento: o crescimento de filhotes de machos mais vigorosos, o decrescimento dos filhotes de machos mais débeis; o crescimento da espécie A, o decrescimento da área de pasto, o decrescimento da espécie B. (Equações diferenciais servem para modelar fenômenos interligados, nos quais as taxas de crescimento ou descrescimento instantâneas fazem diferença.) Outro professor da FGV, Angelo Polydoro, também usa a teoria dos jogos e as equações diferenciais para seres vivos — neste caso, seres humanos em conflitos sociais. “Tais jogos partem do pressuposto de que as pessoas agem para ser felizes, enquanto as empresas agem para obter o maior lucro possível.” Depois de estudar um jogo no qual uma colônia de pescadores entra em conflito com uma siderúrgica (veja a seção 3), o estudante, diz Angelo, descobrirá algo difícil de acreditar: caso o governo dê à siderúrgica o poder de poluir a água, e de cobrar algo dos pescadores em troca de não poluir tanto e manter a pescaria rentável; ou caso o governo dê aos pescadores o direito sobre a água, e de cobrar algo da siderúrgica para que ela possa poluir um pouco; nos dois casos a situação atinge o equilíbrio ótimo para ambas as partes. “A moral da história é que, se os direitos de propriedade estiverem bem definidos, não importa a alocação inicial dos direitos: a barganha entre os agentes levará a uma alocação eficiente dos recursos naturais em benefício de toda a sociedade.” A ideia é mesmo surpreendente, tanto é que seu primeiro propositor, Ronald Harry Coase, recebeu um prêmio Nobel de economia pelo histórico de ideias originais — todas embasadas com matemática, inclusive teoria dos jogos. {}



{2}/ Jogos de matrizes no condomínio

O professor Moacyr Silva imagina dois vizinhos de condomínio, Alice e Bruno. Os dois são os únicos moradores do condomínio, e repartem o custo da água entre si; não podem saber quem gastou quanto, pois o hidrômetro é compartilhado.

Para simplificar, Moacyr obriga os dois a escolher apenas três modos de gastar água: consumo baixo, consumo regular e consumo alto. “Gastar muita água é melhor”, diz Moacyr, o que é fácil de entender: banho de banheira todo dia. “Mas se ambos gastam muito, pagam muito, do que eles não gostam.” Prepara uma tabela para mostrar com números as decisões de Alice e Bruno.

BRUNO

Baixo

Regular

Alto

ALICE

Baixo

1

0

–2

Regular

3

4

0

Alto

7

6

2

Neste caso, Moacyr preparou a tabela para espelhar as preferências de Alice, e ela deve ser lida assim:

Alice escolhe as linhas, e Bruno escolhe as colunas. (Mas os números contam a história do ponto de vista de Alice, e não de Bruno.)

Se Alice consumisse pouco, gostaria que Bruno também consumisse pouco. Como prefere essa situação, paga por ela com o valor 1 no cruzamento da coluna “Baixo” com a linha “Baixo”.

Se ela consumisse pouco, mas Bruno consumisse regularmente, ela não se importaria. Então, não paga nada no cruzamento de “Regular” com “Regular”.

Se ela consumisse pouco, mas Bruno consumisse muito, bem, ela não gostaria de estar nessa situação, que considera injusta. Por isso, ela paga –2 pelo cruzamento da linha “Baixo” com a coluna “Alto”, isto é, estando nessa situação, prefere receber 2 de Bruno a pagar qualquer coisa a Bruno.

O que ela gostaria mesmo é de gastar muita água enquanto Bruno gastaria pouca, assim os dois dividiriam a conta da água que ele não gastou, mas ela sim. Por isso, ela paga 7 no cruzamento da linha “Alto” com a coluna “Baixo”.

“Suponha agora que Bruno escolha o perfil baixo”, diz Moacyr. “Alice vai escolher o perfil alto, pois 7 é o maior valor na coluna Baixo. Se Bruno escolhe regular, Alice escolhe alto. E se Bruno escolhe alto, Alice escolhe alto também.” Para ambos, seria OK se escolhessem o perfil regular. “No entanto, estamos pensando numa situação em que não há instrumentos que permitam aos dois cooperar.”



{3}/ Apêndice: Pescadores contra siderúrgica

Os executivos de uma siderúrgica conseguiram colocar numa fórmula o lucro da siderúrgica em função de quanto produz (q), quanto gasta para produzir (c), quanto cobra à guisa de preço (p) e, principalmente, de quanto polui o ecossistema (h):

“O estudante deve notar que, quanto maior o valor de h, maior o lucro da siderúrgica”, diz Angelo Polydoro. (Até certo ponto, como mostra o gráfico, feito com (pc)q = 1 para deixar evidente o papel de h; a partir de certo ponto, as consequências da poluição começam a reduzir o lucro da siderúrgica.) “Em outras palavras, a empresa aumenta o próprio lucro se adota tecnologias mais sujas.” De fato, o ponto ótimo para a siderúrgica é quando a derivada de πS(h) é igual a zero. Em linguagem matemática, os executivos podem descrever isso assim:

Então, quando o nível de poluição h é igual a 2/(pc)q, a derivada de πS(h) é igual a zero e πS(h) atinge seu valor máximo. (Se o estudante faz (pc)q = 1, isso ocorre quando h = 2, como mostra o gráfico ilustrativo da função πS(h).)

Quanto aos pescadores, podem modelar seu lucro assim:

Quanto maior a poluição, menor o lucro dos pescadores; eles só podem obter o máximo lucro possível quando h é igual a zero, isto é, quando não existe nenhuma siderúrgica ou ela funciona com tecnologia avançada, 100% não poluente. Angelo diz que, em casos assim, a sociedade ganha quando ambos os empreendimentos vão bem: ela quer uma siderúrgica rentável e pescadores felizes; ela quer comprar metal a preço tão baixo quanto possível e quer peixe fresco e gostoso no almoço de domingo. Enfim, ela não quer importar metal e peixe da China. “Obtemos o nível ótimo de produção escolhendo um h que maximize o lucro de ambos os empreendimentos.” Em linguagem matemática, isso é:

Isso ocorre quando a derivada de W(h) é igual a zero; ou seja, quando W’(h) = 0, W(h) atinge seu ponto mais alto. Assim:

Se a decisão for deixada a cargo dos pescadores, eles fecham a siderúrgica ou a tornam inviável; se for deixada a cargo dos executivos, eles poluem duas vezes mais do que seria ótimo para todos. “A pergunta então é: como resolver esse problema?” Angelo diz que a solução deve ser montada assim: não importa quem tome a decisão a respeito de h, se um executivo ou um pescador, essa pessoa deve levar em conta os lucros do outro empreendimento. É aqui que entra o governo, cuja função mais nobre é coordenar os indivíduos para que busquem a própria felicidade sem prejudicar o restante da sociedade.

Ronald Coase escreveu um trabalho mostrando que, em casos como esse, tudo o que o governo tem a fazer é alocar com clareza o direito de propriedade sobre a água, e passar alguma legislação obrigando o dono da água a levar os interesses do resto da sociedade em consideração. “Suponha que os pescadores ganhem o direito de propriedade sobre a água limpa”, diz Angelo, “e que a legislação lhes permita vender o direito de produzir com poluição h por uma taxa T.” Sendo assim, os executivos aceitarão toda proposta tal que:

Sendo assim, no início das negociações, os pescadores devem propor uma taxa T em função de h (ou T em função de πS(h), o lucro da siderúrgica):

Os pescadores sabem que, caso fixem corretamente o valor de h, os executivos aceitarão a taxa T, pois preferem um lucro menor a nenhum lucro. Os pescadores escolherão h para maximizar a equação abaixo:

“Isso é a mesma coisa que escolher o melhor nível de poluição para benefício de toda a sociedade”, diz Angelo. Ao longo das negociações, os pescadores vão fixar h em 1/(pc)q e os executivos vão aceitar esse valor felizes da vida. Se o governo der o direito de propriedade sobre a água para a siderúrgica, e a legislação obrigar os executivos a levar os interesses da sociedade em consideração e lhes der o direito de que cobrem algo dos pescadores para não poluir tanto quanto gostariam, de novo ambos atribuem a h o valor ótimo. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 27, abril de 2013, pág. 32. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelo jornalista Francisco Bicudo.

3. Quase sempre, especialistas em teoria dos jogos não chamam cada jogador de “jogador”, mas de “agente”. Entre outras finalidades, a palavra “agente” serve para enfatizar o fato de que um agente pode ser uma pessoa, um sistema informático, um animal, uma parte do ecossistema. Na filosofia, os agentes num jogo são modelados como máquinas de estados finitos, de modo que cada situação possível (ou mundo possível) se transforma numa rede de máquinas que interagem entre si.

Somos todos umas bestas quadradas

Uma vez, o matemático americano Paul Zeitz definiu um matemático assim: é o sujeito que aprendeu a ter coragem diante da própria estupidez. Para aprender essa coragem, ele precisa resolver problemas. No Brasil, contudo, várias escolas deixam os problemas para atividades extraclasse, de modo que só uma parcela dos alunos chega à vida adulta sabendo o que é, de verdade, a matemática.


{1}/ Prólogo: uma lista com 13 problemas

Tente resolvê-los antes de ler o resto da matéria. Se fizer isso, ela ficará dez vezes mais agradável.

Problema número

Enunciado

Professor

1

Com quais padrões geométricos você pode pavimentar o chão? (Em termos mais técnicos: com quais polígonos pode tesselar o plano?)

Lilian Spalding

2

Como pode achar o ponto no centro de um círculo usando apenas o compasso? (Não vale usar a régua!)

José Luiz Pastore Mello

3

Pense num número inteiro positivo. Se for par, divida por 2 (n vira n/2). Se for ímpar, multiplique por 3 e adicione 1 (n vira 3n + 1). Com o resultado, repita o algoritmo. Pare quando chegar ao número 1. Todo número inteiro positivo sempre chega ao número 1?

Idem

4

Pegue duas folhas de papel A4, e com cada uma delas monte um cilindro: monte um dos cilindros juntando os lados mais compridos de uma das folhas e o outro juntando os lados mais curtos. Cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros?

Walter Spinelli

5

Imagine um queijo de minas inteiro. Como pode dividir o queijo em oito partes iguais com apenas três cortes?

Vincenzo Bongiovanni

6

Veja o desenho a seguir, no qual r e s são retas paralelas. Mostre seis jeitos distintos de calcular a medida do ângulo representado pela letra x.

Idem

7

Um homem tem 1 metro e 80 centímetros de altura e está à beira do mar, olhando para aquele ponto do horizonte no qual parece que o mar vira céu e o céu vira mar. Quão longe está essa linha do horizonte? (Suponha o raio da Terra com 6.367 quilômetros.)

Idem

8

Uma formiga mora na superfície de um cubo maciço com aresta de 1 metro. Para ir do vértice G ao vértice oposto A, a formiga vai percorrer qual distância mínima?

Idem

9

Um matemático perguntou a uma mulher qual era a idade de seus três filhos. Sabendo que ele era matemático, a mulher não facilitou:

“Multiplique a idade dos três e obterá 36.”

Ele pensou um pouco.

“É impossível dizer a idade deles.”

A mulher deu mais uma dica:

“Some a idade dos três. A soma é o número dessa casa aí em frente.”

O matemático olhou o número da casa em frente e sacudiu a cabeça:

“Ainda é impossível.”

“Meu filho mais velho toca piano.”

O matemático sorriu e disse a idade dos três.

Idem

10

Como você pode montar quatro triângulos com apenas seis palitos de fósforo? (Não vale quebrar nenhum palito!)

Idem

11

Você ganhou um velho quebra-cabeça de 300 peças. Elas vieram num tubo de papelão, pois a caixa original já não existe mais, de modo que não sabe que imagem o quebra-cabeça formará. Mas você gostaria de saber se todas as peças das bordas estão no tubo, pois gosta de montar quebra-cabeças primeiro pelas bordas. Quantas peças de borda deveria haver dentro do tubo?

Mike Askew e Rob Eastaway

12

Um pescador quer chegar à beira do rio. Numa bifurcação, não sabe se deve ir à direita ou à esquerda. Na bifurcação, há dois homens debaixo dum cartaz onde se lê: “Um desses homens sempre diz a verdade e o outro sempre mente.” Que pergunta deveria fazer, e para qual deles, de modo que saiba qual lado da bifurcação o levará à beira do rio?

Eugênio Benito Júnior

13

Você acabou de conhecer um sujeito numa festa e descobriu que ele tem duas crianças, e que ao menos uma delas é uma menina. Qual é a probabilidade de que ambas sejam meninas?

Leandro Fiorini Aurichi



{2}/ Coragem, estúpido!

Muito matemático diz que “fazer matemática” significa “resolver problemas”. Depois da afirmação, ele em geral gasta um tempinho ajudando o interlocutor a distinguir entre “fazer exercícios” e “resolver problemas”: ao fazer um exercício, o estudante já sabe que técnica deve usar para obter a resposta (deve usar a técnica que acabou de estudar); ao resolver um problema, mal sabe por onde começar. “Os problemas são o coração da matemática”, disse uma vez o matemático húngaro-americano Paul Halmos, “de modo que deveríamos enfatizá-los durante as aulas, os seminários, os artigos, os livros; temos de ajudar nossos alunos a propor problemas a si mesmos, e a resolvê-los, melhor do que nós já fizemos.” Uma vez, o matemático americano Paul Zeitz deu uma palestra para alunos do nono ano, e o título de sua palestra, que ele escreveu na lousa com letras enormes, era ESTÚPIDO. “O matemático”, disse Zeitz às crianças, “é o sujeito que aprendeu a ter coragem diante da própria estupidez.” Mas vá o estudante (vamos chamá-lo de TVt) conversar com professores de matemática Brasil afora, e descobrirá que, em quase toda escola do ensino básico, uma parte dos estudantes só resolve problemas depois das aulas de matemática — raramente durante as aulas.

Walter Spinelli, professor de matemática há 41 anos, gosta de propor o seguinte problema a alunos do nono ano: pegue duas folhas de papel A4 e construa com cada uma delas um cilindro; construa um deles juntando os dois lados maiores, e o outro juntando os dois lados menores. Se fosse encher cada cilindro com arroz, em qual deles caberia mais arroz? “Em 80% dos casos”, diz Walter, “antes de fazer as contas a classe diz que cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros.” Mas daí os alunos fazem as contas, e ficam surpresos: cabe 41% mais arroz no cilindro mais baixo. (A resolução dos problemas na seção 1 está na seção 3 mais abaixo.) Isso ainda não é um problema: o professor fez uma pergunta simples, os alunos conheciam as fórmulas que teriam de usar, e fizeram as contas para obter a informação pedida pelo professor. O problema vem em seguida, quando Walter desafia a classe a explicar por que isso acontece. Eles levam um tempo para pôr os motivos em palavras: no cálculo do volume do cilindro, a área da base tem uma influência bem maior que a altura, de modo que, ao aumentar um pouco a altura do cilindro, o estudante aumenta o volume só um pouco; porém, ao aumentar um pouco a área da base, aumenta o volume muito mais.

Embora Walter goste de propor problemas, e de resolvê-los, reconhece que está cada vez mais difícil propô-los durante as aulas — e isso vale tanto para escolas públicas quanto particulares. (Ele conhece bem os dois ambientes: é autor de livros didáticos e dá consultoria pedagógica.) “Nos sistemas de ensino baseados em apostilas, que são a maioria, o professor quase não tem autonomia. Para propor um problema por semestre, tem de brigar, e se de fato propõe dois problemas por ano, é um herói.” Como outros professores em outras cidades, Walter usa a internet para instigar seus alunos a resolver problemas (por exemplo, posta problemas e oferece algum benefício a quem se dispõe a resolvê-los). Também organiza grupos do tipo “clube de matemática”. E também estimula um aluno mais interessado a trabalhar num projeto do tipo “iniciação científica”, no qual o aluno usa a matemática para estudar um assunto tão completamente quanto puder. Seja como for, nos três casos a matemática de verdade fica para as horas de folga.

Fazendo assim, a escola cria dois conjuntos de alunos. Um delas contém aqueles que saem da escola sem nunca ter resolvido um problema de matemática real — TVt chamou esse conjunto de Ξ, da letra grega xi, pois pensou assim: “Xiii, mas que azar!” O outro contém aqueles que sairão tendo resolvido alguns — esse é o conjunto Σ, sigma, pois não se assusta à mera visão de um Σ. Esse modelo tem algumas vantagens, mas, antes de examiná-las, TVt gastou um tempinho examinando as desvantagens.

O cenário. As aulas transcorrem no estilo “exposição da teoria seguida de exercícios”. Os exercícios batem direitinho com a teoria, isto é, basta ao aluno aplicar a teoria recém-exposta para resolvê-los. Alguns desses exercícios são questões de vestibular ou de provas similares, como o Enem. Os exercícios mais contextualizados, que parecem retirados de situações reais, soam artificiais, quando não soam absurdos. O aluno com maior aptidão para a matemática raramente gasta uma hora com um exercício difícil. O aluno criativo e estudioso vai bem nas provas; o aluno mala sem alça e estudioso também vai. Um aluno estudioso consegue resolver todos os exercícios, sem exceção.

Uma lista pequena de consequências desse cenário é:

Sabe-tudo. O aluno não questiona o que sabe, pois sempre sabe o suficiente para resolver a lista de exercícios. Quando os alunos de Walter Spinelli ficam surpresos ao descobrir que não cabe a mesma quantidade de arroz nos dois cilindros de papel A4, embora tenham usado a mesma quantidade de matéria-prima para construí-los, eles questionam o que sabem sobre o volume de sólidos.

Robô imbecil. Como o aluno toda vida segue procedimentos para resolver exercícios em menos de uma hora, muitos dos quais lembram caricaturas absurdas de situações reais, sai da escola com a ideia de que a matemática é isso: ela serve para gente que não se importa de seguir regras estritas à risca para resolver problemas referentes a situações reais ridiculamente distorcidas. Que aplicação prática uma matéria dessas pode ter? Quem quer estudar um negócio desses na faculdade?

Esquecível. Como o aluno Ξ resolve a lista de exercícios rapidinho, pode esquecer completamente a matemática assim que fecha o livro e o caderno. “Isso não acontece com quem está resolvendo um problema”, diz Lilian Spalding Degani, professora de matemática na Escola Vera Cruz em São Paulo (SP). “Em geral, o aluno não consegue resolver um bom problema num único dia. O problema fica lá, cutucando, um dia, dois dias, uma semana. Enquanto o problema cutuca, o aluno faz matemática, esteja ou não esteja na escola.”

Prazer enorme. Depois de pensar um pouco sobre tudo o que ouviu dos professores, TVt chegou à conclusão de que a principal vantagem do modelo “os problemas ficam para depois da aula” é que, desse jeito, nenhum aluno pega raiva dos problemas, nem o aluno Ξ nem o Σ. Quanto ao aluno Σ, ocorre o contrário: ele resolve problemas pelo mesmo motivo que os matemáticos os resolvem e do mesmo jeito — porque gosta e sem pressa. Poincaré, o famoso matemático francês, uma vez disse algo assim: “Um cientista que mereça esse título, e sobretudo um matemático, vive seu trabalho da mesma forma que um artista: seu prazer é enorme e da mesma natureza.” (Nenhum pintor produz uma natureza-morta em uma hora, a não ser que banque o moderno.) Em 1970, o matemático húngaro Alfréd Rényi disse algo na mesma linha: “Se me sinto triste, faço matemática para ficar alegre. Se me sinto alegre, faço matemática para permanecer alegre.” (Para ele, fazer matemática significava resolver problemas.) Bem, dessa principal vantagem o aluno Σ extrai várias outras, que TVt listou na melhor ordem em que pôde pensar.

(1) Livrar-se de obsessões. Em 2012, o professor Vincenzo Bongiovanni organizou um grupo de alunos do ensino médio, que se encontrava toda semana para resolver problemas. (Hoje ele é professor de matemática na Universidade Bandeirantes de São Paulo.) Num desses encontros, Vincenzo apresentou o desenho mostrado no problema 6. Explicou então o que queria:

“Considerem r e s como sendo retas paralelas. E daí determinem a medida do ângulo representado pela letra x.”

Até aqui, isso não é um problema, mas um mero exercício de fixação. Então Vincenzo deu um viés de problema ao exercício:

“Cada um de vocês deve descobrir seis maneiras distintas pelas quais achar a medida de x.”

Com esse problema, Vincenzo quis mostrar a seus alunos que nem sempre existe uma única solução para cada problema. “Na escola básica, o aluno tende a acreditar que a solução certa de um problema é aquela apresentada pelo professor.” Essa crença é tão forte que, às vezes, um aluno Ξ chega à solução de um problema, mas a rotula de “errada” apenas porque é diferente da solução explicada pelo professor. “Eu pedi seis soluções, mas esse problema admite outras.”

Ainda no capítulo “há vários jeitos de resolver um problema”, Vincenzo gosta de apresentar os problemas 5 e 10. Para resolver o problema dos palitos, quase sempre os alunos põem os palitos sobre a mesa e os movem de tudo quanto é jeito imaginável. A história sempre é a mesma: de repente um deles chama a atenção dos outros com um berro, e mostra sobre a mesa um tetraedro regular. “Esse problema só pode ser resolvido quando o aluno sai da dimensão dois e pula para a três. Ele só tem um defeito: quando um dos alunos descobre a solução, não tem como esperar que os outros a descubram sozinhos.” Para resolver o problema do queijo, o aluno segue a mesma estratégia: só consegue resolvê-lo quando para de ficar desenhando círculos cortados com três linhas, e desenha um cilindro dividido com dois cortes verticais e um horizontal. Aliás, quando o professor apresenta um desses dois problemas logo depois do outro, em geral os alunos acham a solução do segundo mais fácil, pois já sacaram que não devem ficar obcecados por uma dimensão.

(2) Energizar a criatividade. Poucos sabem toda a matemática que deveriam saber na sua idade, e por mil razões: ficaram doentes e faltaram uns dias, houve uma greve de professores, trocaram de escola. Junte a isso a mania que o brasileiro tem de achar que só pode estudar matemática sob a supervisão de um professor (mas jamais sozinho) e pronto: o que esse sujeito Ξ não sabe, não sabe, e não vai estudar por conta própria. Um bom problema, diz Eugênio Benito Júnior, professor no Centro Universitário Salesiano de São Paulo, tem o poder de dar ao estudante energia para ir atrás de estudar o que deveria saber — e até mais.

Eugênio dá aulas no primeiro ano dos cursos de engenharia e lida com muitos alunos que não sabem o conteúdo do ensino básico. Usa os problemas para animá-los. (Eugênio diz que esse truque não funciona com todo mundo, mas funciona com muitos.) A questão é que o aluno animado por um problema, mas que se sente ligeiramente menor que o problema, fica com uma consciência mais clara das falhas na própria formação. (Se o aluno se sente esmagado pelo problema, desiste sem peso na consciência.)

Conforme ajuda seus alunos a recuperar o passo, percebe que vários deles têm dificuldade para usar a imaginação. Não têm prática. Contudo, ao estudar matemática, o jovem Σ precisa da imaginação para criar ou convocar imagens e cenas vívidas. “Eu sempre dou um toque”, diz Eugênio, “e digo que eles devem recuperar a atitude de quando eram moleques, e brincavam de caubói e de astronauta. Essa capacidade de fantasiar e de brincar é fundamental para quem deseja aprender matemática.” Eugênio até pede a seus alunos que leiam mais romances: um jovem Σ precisa partir das palavras e criar sozinho um cenário mental no qual os personagens agem e interagem. “Ele não pode permitir que essas imagens mentais lhe sejam exclusivamente fornecidas pela TV.”

(3) Perder o medo de se arriscar. O estudante Ξ, que só resolve exercícios, conclui o ensino básico com a falsa impressão de que a matemática escolar é suficiente para todo tipo de problema matemático, diz Lilian Spalding. Isso porque é suficiente para resolver todos os exercícios do livro didático e todas as questões dos vestibulares. Lilian acha que, diante de um problema bem sacado (como o problema 1, o do ladrilhamento do plano), o estudante faz uma pergunta, que responde, e mais outra, que responde — e por fim faz uma pergunta que não consegue responder. Sua matemática não é mais suficiente. E daí vai conversar com a professora Lilian para saber por que sua matemática é pequena diante do problema. “Ai, eu brinco com ele”, diz Lilian, “e digo que um dos objetivos do problema não era chegar a todas as respostas, mas chegar a uma situação para a qual ele claramente não pode achar a resposta. Eu quero fazer o aluno entender que ele sabe matemática o suficiente para entender o problema, para conversar sobre ele, mas não para resolvê-lo por completo. Nesse ponto, é hora de criar mais matemática, é hora de estudar mais.”

Para propor um problema com essa virtude, diz Lilian, o professor tem de se arriscar: tais problemas são aqueles que geram perguntas muitas das quais nem o professor conhece a resposta. “Não pode ser um problema falso. Não pode ser um problema cujas respostas o professor já conheça todas de antemão. Eu não me importo de propor problemas assim, pois acho que não saber o fim da história é uma coisa boa.”

(4) Ganhar a capacidade de se divertir. Quem se acostumou a resolver problemas, vê problemas em todo lugar. Muitos matemáticos dizem isso, e José Luiz Pastore Mello também. (Pastore dá aulas no Colégio Santa Cruz, em São Paulo, e é autor de livros didáticos.) Uma vez, enquanto dava uma aula de trigonometria para uma turma de ensino médio, foi desenhar um círculo na lousa e o compasso escapou. Como já havia feito parte do desenho, não quis apagá-lo e recomeçar — procurou o centro do círculo, mas o compasso não havia deixado marca. “Na hora me lembrei de um problema matemático famoso”, diz Pastore, “que é o problema de achar o centro da circunferência só com o compasso.” (Sobre as palavras “círculo” e “circunferência”, veja a nota logo depois deste parágrafo.) Pastore comentou o problema com a classe e a aula acabou: todo mundo quis tentar resolvê-lo. “A primeira reação deles foi que o problema era fácil. Começaram a me descrever o processo de achar o centro por meio de mediatrizes, que é um processo com régua e compasso, mas tive de interrompê-los: o problema é achar o centro sem a régua — só com o compasso.” Pastore diz que a turma ficou semanas atrás dele; um dia, revelou o nome dos matemáticos que resolveram esse problema, e ela foi atrás. (A solução é consequência do teorema Mohr-Mascheroni.) “Eles acharam um website na Itália e, a partir dele, montaram uma demonstração. Esse tipo de problema, mais aberto, costuma pegar muito.”

Círculo e circunferência. Neste blogue Imaginário Puro, adoto o padrão comum em artigos científicos atuais: círculo é o lugar geométrico (cuja equação é (xa)2 + (yb)2 = r2, onde r é o raio e a e b são as coordenadas do centro) e circunferência é um número real que denota a medida do comprimento associado ao lugar geométrico. Mas muitos professores brasileiros preferem circunferência para denotar o círculo, e comprimento da circunferência para denotar o número real.

Pastore diz ainda que um problema tem outra virtude: ele faz com que o aluno, especialmente o jovem no ensino médio, pare de valorizar a matemática apenas pelo lado utilitário. “Ele vê a matemática como algo para se dar bem na vida, para se dar bem no mundo do trabalho.” Quem seria capaz de ver a beleza da literatura se encarasse a literatura apenas como um passo importante para escrever bons relatórios de vendas, ou para formatar o currículo? Pouquíssima gente, e o mesmo ocorre com a matemática, diz Pastore: quem vê somente o lado utilitário não vê a beleza.

Às vezes, ele menciona um problema com o objetivo explícito de suscitar a sensação de beleza: a conjectura de Collatz, que funciona com crianças no ensino fundamental e com adolescentes no ensino médio. “Pense num número natural qualquer”, diz Pastore. “Se esse número for par, divida por dois. Se for ímpar, multiplique por três e some mais um. E daí recomece o processo a partir do resultado, mas pare quando chegar a 1.” Por exemplo, 23:

(23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

É bom parar em 1 porque, depois de 1, o algoritmo produz sempre os mesmos resultados: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … Outro exemplo: 25.

(25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1)

Em 1937, o matemático alemão Lothar Collatz propôs a seguinte conjectura: não importa com qual inteiro positivo o estudante comece o processo, chegará a 1 depois de um número finito de passos. “Isso é curiosíssimo”, diz Pastore. “A primeira coisa que acontece, quando o aluno ouve falar desse problema pela primeira vez, é testar a conjectura para vários números.” Especialistas em computação usam a conjectura para ver se redes de computadores e computadores de grande porte estão funcionando corretamente: as máquinas novas têm de obter os mesmos resultados obtidos até hoje — por enquanto, tais especialistas viram que a conjectura vale para todos os inteiros positivos iguais a ou menores que 5 ∙ 260. Alguns números terminam em 1 depois de uma sequência curta de passos; outros, depois de uma sequência longa. O número 9.780.657.630, por exemplo, termina em 1 depois de 1.132 passos.

“Esse problema contém muitas sutilezas fascinantes”, diz Pastore. “Por exemplo: se o número é par, eu o divido por dois, então ele diminui; se é ímpar, eu o multiplico por três, e adiciono mais uma unidade, então ele aumenta. À primeira vista, alguém pode dizer que a sequência aumenta, porque os aumentos são mais fortes que as diminuições. Contudo, eu realizo mais operações com números pares que com ímpares. Dá para discutir os porquês disso em sala de aula.”

Os estudantes não vão demonstrar a conjectura de Collatz, pois ela é um problema em aberto na matemática, e dos difíceis. (Talvez seja um problema mais difícil que o último teorema de Fermat.) Mas eles podem explorar algumas características do problema, e podem entrar na faculdade com pelo menos um problema em aberto na cabeça. “Eu menciono a conjectura de Collatz porque os alunos têm ferramentas matemáticas para se aproximar do problema”, diz Pastore. “Isso é importante. Não adianta nada, por exemplo, mencionar a hipótese de Riemann. É um problema distante demais do jovem no ensino básico. O aluno não consegue ver nenhuma beleza nele, porque fica paralisado com os detalhes técnicos.”

Mike Askew e Rob Eastaway, dois autores ingleses, dizem que um sujeito do tipo Σ resolve um problema de matemática sem nem perceber que resolveu um problema de matemática. Para ilustrar essa afirmação, contam uma história real, que aconteceu com uma garota de 12 anos chamada Amy. (Veja o problema 11.)

Amy ganhou de presente um velho quebra-cabeça com 300 peças, mas as peças não estavam mais na caixa original, e sim num tubo de papelão, de modo que ela não tinha como ver uma foto do quebra-cabeça montado. Ela jogou as peças sobre o tapete e começou a separar as peças das bordas. Contudo, achou que havia menos peças de borda do que deveria haver para um quebra-cabeça com 300 peças, e se perguntou se havia peças perdidas. Contou as peças das bordas, mas percebeu que não tinha com o que comparar.

Quantas peças de borda deveria haver num quebra-cabeça com 300 peças?

Amy resolveu esse problema (a solução está na seção 3 a seguir), mas, para quem a olhava de longe, como um dos autores a olhava, ela foi pensando e tomando notas sem perceber que resolvia um problema de matemática. Mike e Rob dizem que isso é muito bom, mas que tem um lado negativo: quando um sujeito não consegue entender um problema de matemática, ou consegue entendê-lo mas não resolvê-lo, fica com plena consciência de que falhou na matemática; quando consegue resolver um problema, tende a achar que tão somente usou o bom senso. Fazendo assim, o bom senso ganha todos os méritos e a matemática não ganha nenhum. “A vida não nos aparece e diz: Olá, eu sou um problema de matemática com uma solução inteira positiva bem fácil de calcular à mão”, dizem os autores. “Às vezes, nem fica óbvio que estamos diante dum problema de matemática.” O estudante Σ deve combater esse aspecto negativo da capacidade de resolver problemas — fazendo força para tornar óbvio o papel da matemática. {}



{3}/ A resolução dos 13 problemas

Problema 1. Lilian Spalding diz que esse problema pode ser apresentado do primeiro ano do ensino fundamental ao último do ensino médio — cada aluno consegue dar algum tipo de resposta, mesmo que seja simples. Os que já sabem usar a régua e o compasso podem demonstrar como alguém constrói, com régua e compasso, a tesselagem. Os que já conseguem transformar geometria em álgebra podem dar respostas mais genéricas. “No final, todas as soluções convergem com a intermediação do professor. Mas esse é um projeto para várias semanas.”

A parte difícil na resolução desse problema nem é tanto demonstrar que as figuras geométricas se encaixam, mas que elas se espalham em todas as direções e cobrem o plano completamente, sem que nenhuma figura se sobreponha a nenhuma outra.

Problema 2. Esse é um problema complicado; poucos alunos conseguem resolvê-lo sozinhos. Muitos, contudo, entram na internet, acham a construção em questão e conseguem entender por que ela funciona. A construção está na figura 1.

O professor pode dar as instruções: “(1) Marque dois pontos A e B em qualquer lugar do círculo cujo centro quer achar; deixe A e B meio longe um do outro, mas não muito longe. (2) Com a ponta seca do compasso em A, faça um círculo de raio AB. (3) Com a ponta seca do compasso em B, faça um círculo de raio BA. (4) Com a ponta seca em C, faça um círculo de raio CA. (5) Com a ponta seca em D, faça um círculo de raio DA. (6) Com a ponta seca em E, faça um círculo de raio EA. (7) Com a ponta seca em F, faça o círculo de raio FA.” Feio isso, aí o professor pode desafiar a classe: “Prove que o ponto G é o centro que procurava.” Uma vez que a construção já esteja feita, o estudante de ensino médio consegue produzir uma prova; se recorre ao apoio de um plano cartesiano, produz até uma prova algébrica. (Em resumo, ele terá de provar que as distâncias AG e BG são idênticas, e que portanto G é o centro do círculo onde estão A e B.)

Problema 3. Neste caso, o aluno vai brincar com a conjectura de Collatz, que é um problema em aberto, isto é, para o qual nenhum matemático achou ainda uma prova. Matemáticos profissionais de talento acham que vão morrer antes que alguém consiga prová-la. Então, é bem provável que o aluno do ensino básico não dará a resposta pedida pelo professor, mas, mesmo assim, ele tem como descobrir coisas legais.

José Luiz Pastore Mello diz que muitos alunos explicam por que a sequência termina em 1, embora os aumentos sejam mais fortes que as diminuições: “Quando pegamos um número par e o dividimos por 2, o quociente pode ser par ou ímpar. Mas quando pegamos um número ímpar e o multiplicamos por três e somamos mais um, o resultado é um número par. Então, ao seguir o algoritmo, nós transformamos mais números em números pares do que em números ímpares, e por isso realizamos mais operações com pares do que com ímpares. Nesse processo, ocorrem mais contrações do que expansões.”

Outra coisa legal: ao aplicar o algoritmo a uma potência de 2 do tipo 2n, com n inteiro e maior que zero, o algoritmo vai produzir o número 1 depois de n passos, ou de “n contas”, como diz Pastore. Por último, o aluno pode examinar inteiros positivos na forma a seguir:

Todos os inteiros nesse formato terminam em 1, e Pastore mostra o motivo:

Dois exemplos: 21, que é (26 – 1)/3, e 341, que é (210 – 1)/3.

Problema 4. TVt já conhecia a fórmula pela qual calcula o volume V de um cilindro cujo raio vale r e cuja altura vale h:

Pegou um pacote de folhas de papel A4 e procurou na embalagem as dimensões de cada folha: segundo o fabricante, ela é um retângulo de 210 milímetros de largura por 297 milímetros de comprimento. Antes de estudar a fórmula do volume, decidiu primeiro calcular o volume do cilindro mais comprido de papel A4, aquele feito ao juntar os dois lados mais compridos. A altura h desse cilindro vale 297 milímetros.

Ao escrever a fórmula, percebeu que precisaria descobrir o raio desse cilindro. Ora, se juntou os lados mais compridos, então a circunferência do círculo na base do cilindro vale 210 milímetros. TVt colocou essa informação na fórmula da circunferência C de um círculo de raio r:

Com essa informação, calculou o volume do cilindro com 297 milímetros de altura:

Da mesma forma, calculou o raio de um círculo cuja circunferência vale 297 milímetros (tal raio vale 297/2π milímetros) e depois disso o volume V’ de um cilindro com 210 milímetros de altura:

Dividindo V’ por V, TVt descobriu que V’ é 41,46% maior que V. O cilindro mais baixo comporta muito mais arroz!

Depois disso, passou a estudar o motivo pelo qual o cilindro mais baixo encerra um volume maior. Em primeiro lugar, imaginou a seguinte situação: manteria o raio r fixo, e mudaria a altura h de h1, a menor altura, para h2, a maior. Qual seria a razão entre os dois volumes?

TVt olhou a fórmula e pensou no que aconteceria se h2 fosse o dobro de h1V2 seria o dobro de V1. “Se mantiver o raio fixo e alterar só a altura”, escreveu TVt, “altero o volume na mesma proporção.” Então imaginou a situação oposta: manteria a altura fixa, mas mudaria o raio de r1, o menor raio, para r2, o maior. O que aconteceria?

De novo TVt imaginou o que aconteceria se r2 fosse o dobro de r1 — nesse caso, multiplicaria o volume original por 4. “Ao dobrar o raio”, escreveu, “eu quadruplico o volume. Isso quer dizer que uma mudança no raio, comparada a uma mudança na altura, provoca efeito mais espetacular sobre o volume.”

Nesse ponto, TVt achou que deveria usar o cálculo para estudar a derivada das duas funções — volume em função da altura e volume em função do raio.

No primeiro caso, πr2 é uma constante; isso quer dizer que, qualquer que seja o valor da altura h, a taxa instantânea de variação do volume em função da altura é a sempre a mesma. No segundo caso, 2πh é uma constante, mas r é variável; a taxa instantânea de variação do volume em função do raio não é sempre a mesma, mas cada vez maior quanto maior o valor de r. “Olhando as duas derivadas e as outras contas”, escreveu TVt, “fica claro o que aconteceu com os dois cilindros de papel A4: os efeitos do raio sobre o volume são tão espetaculares que um aumento de 14 milímetros no raio compensa com folga uma redução de 87 milímetros na altura.” Depois, colocou sobre a mesa, diante de si, um paralelepípedo e um cilindro (na verdade, um dicionário de matemática e uma garrafinha d’água), e ficou examinando os dois. Percebeu por que a alteração na altura h no cilindro provoca efeito menor que a alteração no raio r: o cilindro é um objeto de três dimensões, e ao mexer no raio, mexe em duas dimensões de uma vez. Seria como se alterasse uma das diagonais numa das faces do paralelepípedo: alteraria duas dimensões de uma vez. Ao mexer só na altura, porém, mexe só numa das dimensões.

TVt ficou pensando… Como poderia usar esse problema na escola, se fosse professor? Ele arranjaria folhas de papel A4 de boa qualidade, fita colante, cartolina, balança, arroz, e faria as crianças construir os cilindros, enchê-los de arroz, pesar o arroz de cada cilindro. Faria as crianças investigar que redução na altura compensaria um aumento de 13 milímetros no raio, ou que alteração y na altura compensaria uma alteração x no raio. Enfim, faria as crianças pôr mãos à obra. “Acho que elas nunca mais esqueceriam o fato de que, se alteram uma das medidas de um objeto de três dimensões, talvez provoquem alterações não lineares no volume, mas não necessariamente.”

Problema 5. Neste caso, TVt resolveu o problema assim que parou de pensar num círculo desenhado sobre uma folha de papel. Quando começou a pensar num cilindro, neste caso um cilindro feito de queijo, em pouco tempo atinou com a solução: com dois cortes verticais (perpendiculares entre si), divide o queijo em quatro partes iguais; com um corte horizontal, divide o queijo em oito partes iguais.

Problema 6. Vincenzo Bongiovanni diz que, provavelmente, o aluno fornecerá uma versão das seis soluções a seguir:

Desenho

Descrição da estratégia

Aqui, TVt estendeu a reta AB até que ela cruzasse com s. Daí 125° + x = 180°.

Estendeu a reta CB até que interceptasse r. De novo, 125° + x = 180°.

Passou pelo ponto B uma reta perpendicular a r. Daí 70° + x + 55° = 180°.

Passou pelo ponto B uma reta paralela a r. Daí x = 35° + 20°.

Criou o triângulo ABC e usou a incógnita auxiliar y. Daí x + (145° – y) + (y – 20°) = 180°.

Passou pelo ponto C uma reta perpendicular a r, e assim formou o quadrilátero ADCB. Daí 145° + 90° + 70° + x = 360°.

Problema 7. TVt resolveu esse problema assim que chegou ao esboço da figura 2.

Quando teve a ideia de imaginar um homem que olha para seus pés e depois levanta o olhar até que a linha de visada fique tangente ao planeta Terra, o problema praticamente se resolveu por si mesmo.

Problema 8. TVt resolveu esse problema quanto teve a ideia de usar a reta DC como eixo para levantar a tampa imaginária DA’B’C, e desse jeito formou o retângulo HA’B’G, como esboçou na figura 3. Daí a solução salta aos olhos: o caminho mais curto entre G e A corresponde à reta entre G e A’. Assim que teve a ideia, TVt usou Pitágoras para determinar o comprimento GA’.

TVt poderia ter parado aí, se quisesse, mas sentiu curiosidade por outros aspectos do problema. Marcou o ponto J e o ângulo  φ e quis saber: “Qual é a distância entre J e D, ou entre J e C? E qual é a correspondente medida do ângulo φ?”

(Para simplificar as notas, decidiu não marcar as distâncias com o sinal de módulo; assim, nas suas anotações, DC = CD = |DC|. Em outras palavras, os comprimentos seriam positivos não importa o sentido em que fossem medidos.)

Das aulas de geometria, ele se lembrava de que, se corta um triângulo retângulo bem ao meio, como cortou o triângulo HA’G bem ao meio com a linha DJ, também corta a hipotenusa bem ao meio. Com isso, viu que podia dizer a distância A’J de cabeça.

Com essa informação, de novo usou Pitágoras para determinar o comprimento JD.

Eis a resposta: a formiga deve partir do ponto G, andar em linha reta até o meio da aresta DC, e daí andar em linha reta até o ponto A; fazendo isso, andará o mínimo possível, que é √5 unidades. (Nesse ponto, TVt ficou curioso: e se o retângulo HA’B’G tivesse outras medidas quaisquer? O ponto J ficaria bem no meio entre D e C? Chamou a distância HG de a e a distância HA’ de b, fez as contas e descobriu que sim: a distância entre J e D  é a/2.) Bem, quando a formiga seguir essa receita, qual será o valor do ângulo φ? TVt usou a lei dos cossenos:

Para determinar o valor de φ, recorreu a uma calculadora científica, que fornece o valor aproximado em radianos e em graus. Como TVt conhece um pouquinho de cálculo, quis saber se poderia expressar a distância percorrida em função do ângulo φ. Depois de uns esboços, viu que esse problema era difícil, exceto se fizesse a simplificação que sugeriu com a figura 3, na qual o ângulo φ é sempre maior que zero, mas sempre menor que 45° (π/4), e se restringe à face DCGH do cubo. “Se eu chamasse a distância percorrida de y”, escreveu TVt, “será que consiguiria uma fórmula f para expressar y como sendo função de φ?”

Viu que teria de achar uma fórmula tal que, entrando com o valor de φ, obteria a soma de dois comprimentos: JA’ e GJ. Começou estudando o triângulo JGC, que desenhou de pé (TVt não gosta de trabalhar com triângulos de ponta-cabeça…). Com a figura pronta, usou a lei dos senos, mas com os ângulos em radianos (já que empregaria o cálculo), e recorreu também a uma tabela de identidades trigonométricas para fazer as simplificações.

Com esse passo, soube o comprimento de uma parte do caminho; GJ mede sec(φ) unidades de medida. Para calcular a outra parte, de novo recorreu a Pitágoras:

Antes de continuar, foi atrás do valor de JC.

E com isso calculou o valor do comprimento A’J:

Pronto: já podia expressar a distância y em função de φ. TVt montou a fórmula e providenciou um gráfico da função para o intervalo que lhe interessava, como mostra a figura 4.

Ficou claro que essa função tem um mínimo no intervalo (0, φ/4). Para achá-lo, calculou a derivada de y, a igualou a zero e achou o valor de φ para o qual a derivada vale zero. (Tudo isso dá bastante trabalho.) Fazendo assim, achou o valor de φ para o qual a distância percorrida entre G e A’ é a menor possível.

Por fim, só para confirmar, colocou esse valor de φ na fórmula de y e, com uma calculadora científica, obteve a distância mínima de 2,23607 unidades, que é justamente √5.

TVt ficou contente de explorar esse problema, e, como parte do ritual de comemoração, voltou e releu o enunciado. Só aí percebeu a referência a um cubo “maciço”. Escreveu no caderno: “Esses professores! O que eles acham? Que, se não mencionassem um cubo maciço, eu acharia que a formiga iria voar do ponto G direto ao ponto A? Ou que eu imaginaria um túnel ligando G a A?” Ficou olhando essas palavras, e por fim concluiu: “Bem, do jeito que estou sempre procurando um atalho, é bem possível que eu de fato inventasse esse túnel entre G e A. Ainda bem que o problemista escreveu ‘maciço’ e não me deixou seguir pelo caminho mais curto…”

Problema 9. De quantas maneiras TVt pode multiplicar três números naturais e obter 36? Depois de experimentar um pouco, achou essas tríades de números:

Com esses oito conjuntos de números, de fato é impossível saber a idade das crianças.

E quanto à soma da idade das três crianças?

Se o matemático olhou o número da casa e não soube dizer quais eram os números, é porque a casa em frente era a de número 13, e as duas tríades são {2, 2, 9} e {1, 6, 6}. Quando a mãe disse “Meu filho mais velho toca piano”, o matemático presumiu que ela falava do menino de 9 anos.

A maioria dos estudantes fica contente com essa solução, mas TVt viu aqui uma leve ambiguidade. Gêmeos não nascem ao mesmo tempo: Esaú e Jacó eram gêmeos, mas Esaú nasceu primeiro e pôde até vender sua primogenitura ao irmão mais novo. Um dos gêmeos sempre nasce primeiro, de modo que um deles é o mais velho dos dois; além disso, uma criança de 6 anos pode tocar piano, pois Mozart tocava bem aos 4. Se TVt desse aulas e alguém da classe percebesse a ambiguidade, transformaria a questão num novo problema: como aperfeiçoar o problema? O que a mãe poderia dizer na última frase, de modo a inequivocamente identificar uma das tríades cuja soma é 13?

Problema 10. Em três dimensões, a solução é simples:

Problema 11. Depois de pensar bastante sobre o problema, e de desenhar uns esboços, TVt percebeu que podia ver o problema como um retângulo feito de quadradinhos: cada peça do quebra-cabeça é um quadradinho, e o número total de peças é quadradinhos na lateral esquerda multiplicados por quadradinhos no topo. Em resumo, percebeu que lidava com os fatores de 300: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300}.

Não achou que fazia sentido pensar num quebra-cabeça com 1 peça na lateral e 300 peças no topo, nem 2 peças na lateral e 150 peças no topo. Mesmo um quebra-cabeça com 10 peças na lateral e 30 peças no topo pareceria comprido demais. Agora, 15 peças na lateral e 20 peças no topo já parece um quebra-cabeça mais gostoso de olhar, e TVt apostou nisso.

Quantas peças de borda há num quebra-cabeça com 15 peças na lateral e 20 no topo? Para não contar os quatro cantos duas vezes, TVt chegou à seguinte conta: 20 peças no topo, 20 na base, 13 na lateral esquerda e 13 na direita — ao todo, 66 peças. “Essa é uma história real”, escrevem Rob Eastaway e Mike Askew no livro More Maths for Mums and Dads, “e Amy de fato contou 66 peças de borda.”

Problema 12. TVt deu nome aos caminhos na bifurcação: E significa esquerda e D, direita; deu nome também aos dois homens: M é o mentiroso e V, o verdadeiro. Depois montou várias tabelas verdade. Percebeu que teria de fazer uma pergunta que obrigasse os dois homens a dizer a mesma coisa. Supôs então que o lado certo é E. Por fim, chegou à pergunta que procurava, que poderia fazer a qualquer um dos dois: “Se eu perguntasse para o seu colega aqui ao lado qual lado da bifurcação me leva à beira do rio, o que seu colega me responderia?”

M diria que V responderia D, pois V diria a verdade e responderia E. V diria que M responderia D, pois M mentiria e responderia D. De qualquer forma, ambos responderiam D, e TVt seguira feliz pelo lado esquerdo da bifurcação.

Problema 13. Leandro Aurichi escolheu aqui um problema publicado por Martin Gardner (1914-2010), um conhecido autor de problemas matemáticos para divertimento. Leandro pede a seus alunos que adotem umas poucas convenções: uma criança ou é menino ou é menina; uma criança escolhida a esmo será menino ou menina com probabilidade de 50%; essa probabilidade é independente de qualquer outra característica da criança em questão ou de seus irmãos. “Essas hipóteses não refletem a realidade”, diz Leandro; o aviso é importante, pois nascem mais meninas que meninos, e pais de meninos tendem a ter meninos, assim como pais de meninas tendem a ter meninas. “Mas esse é um problema de probabilidade, e não um estudo demográfico.”

Depois ele desenha na lousa o que pode acontecer com os dois filhos do sujeito na festa; na tabela a seguir, A significa menina e O significa menino:

Criança 1

Criança 2

A

A

A

O

O

A

O

O

A probabilidade de cada linha da tabela é de 25%. Mas ao dizer que “pelo menos uma das crianças é uma menina”, o problemista elimina a quarta linha, com dois filhos homens. Leandro lembra a regra básica pela qual a probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos totais, e põe o problema numa equação.

Lembrete: Pr((A, A)) significa a probabilidade do par ordenado (A, A), num conjunto em que há quatro pares ordenados distintos.

“A princípio, nossa intuição nos diz que a probabilidade deveria ser de 50%”, diz Leandro. “Se a pergunta fosse formulada de modo diferente, a resposta não iria contra nossa intuição. Por exemplo: Um pai tem duas crianças e não é verdade que ambas sejam meninos. Qual é a probabilidade de que ambas sejam meninas? Com essa formulação, a reposta de 33% nos parece mais aceitável.” {FIM}



Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 40, maio de 2014, pág. 18. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram realizadas pelos jornalistas Aline Viana, Dubes Sônego, e Renato Mendes.

3. As figuras foram feitas pelo artista gráfico Henrique Arruda.

4. Há um texto neste blogue no qual explico melhor por que prefiro “círculo” a “circunferência”: clique aqui.

5. Sobre a incrível importância de problemas na matemática, veja também o artigo O Lamento de um Matemático, do matemático americano Paul Lockhart.