Matemática: enfeiada pela escola

Todo amante de matemática sabe o quanto ela é divertida, instigante, viciante, satisfatória. Por que então há quem não veja nela nenhuma graça?


Logo que terminou o doutorado, Vanderlei Horita, vice-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), recebeu a visita de um colega de pesquisa. Matemáticos que colaboram num trabalho costumam se encontrar pessoalmente para discutir ideias, mostrar esboços, organizar os próximos passos do trabalho. “Nessas ocasiões, aproveitamos o tempo o máximo possível, incluindo finais de semanas e feriados”, explica Vanderlei. Então outros amigos, não matemáticos, ficaram curiosos com o trabalho. “Perguntaram se passávamos o tempo todo fazendo contas, qual o ‘tamanho’ dos números envolvidos e se os computadores não faziam isso melhor que a gente.” Vanderlei encarou o desafio de explicar o que faz um matemático, mas diz que até hoje acha difícil fazer isso sem que o interlocutor perca o interesse depressa.

John William MacQuarrie, matemático escocês e pesquisador na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), acha compreensível que uma pessoa escolhida ao acaso na rua não saiba dizer o que a matemática é — ou que ainda a defina com características que ela não tem. “Isso não é estranho”, diz John, “porque nós matemáticos também não sabemos o que ela é.” Porém, enquanto o matemático tem a certeza de que é algo maravilhoso, vários leigos a acham feia, inútil, entediante.

Para Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos da Editora Moderna, a culpa não é da matemática, em geral, mas sim da matemática escolar. “A escola costuma desfigurar o conhecimento não só da matemática, como também de outras áreas.” Outros especialistas, como Antonio Carlos Rosso Júnior, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, também listam outras razões, como seu caráter abstrato demais. “As pessoas querem resultados de imediato, e é difícil ver as aplicações diretas da matemática no dia a dia”, diz Antonio Carlos. “É diferente com a química ou a biologia, nas quais descrevemos objetos ou entes concretos da natureza. Com a matemática, descrevemos uma versão muito ideal do universo.”

A matemática é inútil. Muita gente tem essa impressão, mas, se colasse um selinho com os dizeres “Esta Coisa Contém Matemática” em tudo o que é feito ou construído com a ajuda de bastante matemática, haveria um selinho desses em todo computador, todo carro, todo telefone, todo avião, todo semáforo, todo filme de cinema… Porém, porque ela pertence aos bastidores, ninguém a vê. Cristina Acciarri, pesquisadora no departamento de matemática da Universidade de Brasília, lista sem esforço as várias aplicações da matemática. “Se pensar num cartão de crédito, ou na criptografia para a segurança na internet, por exemplo, estamos falando de conceitos matemáticos. Para criar essas soluções, digamos, fáceis para nosso dia a dia, os matemáticos resolveram problemas difíceis, ou até mesmo recorreram a soluções parciais de problemas sem solução.”

Quando dá aulas para turmas de engenharia, Cristina volta e meia precisa responder à inevitável pergunta: para que estudar álgebra linear? “Até para eles, que se interessam e têm maior contato com a matemática, é complicado entender por que precisam estudar certos conceitos.” Cristina então conta como hoje é impossível fazer desenhos animados sem álgebra linear. Ela desenha na lousa um plano cartesiano com um bonequinho, e daí pergunta como pode movê-lo de uma região a outra sem deformá-lo. Em resumo, o aluno deve multiplicar matrizes; o produto dessa multiplicação é a nova posição do bonequinho. Noutras vezes, o aluno encrenca com vetores de ordem 4, ordem 5, ordem n. Não vê utilidade em estudar tantas dimensões, já que o mundo tem apenas três. “Nem sempre a aplicação é do tipo geométrico”, diz Cristina. “As informações que armazenamos dentro de uma matriz podem ser de qualquer natureza, como as variáveis do trânsito em Brasília: o tipo de carro, a estrutura das ruas, o horário em que está ocorrendo o estudo.” Cada uma dessas observações compõe uma das dimensões do vetor, que facilmente chega a muitas dimensões.

Ricardo Miranda Martins, matemático da Universidade de Campinas, diz que, para entender muitas aplicações, o leigo teria de entender conceitos mais avançados. Além disso, reconhece que, em geral, os matemáticos não fazem propaganda de tão boa qualidade quanto os físicos fazem. “Vemos com frequência em filmes e séries de TV termos como viagem no tempo, relatividade, e mecânica quântica de forma muito mais ficção científica do que são na realidade: um monte de equações matemáticas difíceis de resolver, ou mesmo de entender.” Ricardo também menciona outra explicação: o currículo de matemática, tanto no ensino básico quanto no superior, é grande demais. Nem sempre sobra tempo para mostrar as belas aplicações.

Basta pegar um livro de história da matemática para ver o contraste entre como a escola ensina os conceitos e como os matemáticos os criaram e investigaram suas propriedades. O processo histórico lembra uma criança que aprende a andar: há muitos tombos, muitos recomeços, muita diversão. Nos anos 1960, quando Luiz Márcio Imenes era estudante, usava como livro didático uma adaptação d’Os Elementos, de Euclides. “O professor Manfredo Perdigão, do Impa, disse uma vez numa palestra que adotar Euclides como livro didático é um grande equívoco; esse livro é mais bem entendido por filósofos e matemáticos. N’Os Elementos, a matemática aparece desprovida de vida, sem as contradições e as motivações do matemático.”

Mesmo hoje, estudantes ainda usam livros que copiam o modelo de Euclides: axiomas, definições, regras de inferência, teoremas, aplicações — sem contar nenhuma história de contexto, nenhuma história de aventura ou descoberta. Um livro assim lembra uma lista de dogmas. “Há quem sugira um modelo mais próximo do de Arquimedes, que misturava experimentação e dedução”, diz Imenes. “É uma matemática mais viva, impregnada de sentido e significado.” Sim, professores e alunos têm de formalizar a matemática, mas não sem antes experimentar muito, pois, para Imenes, apresentar a matemática pronta e acabada beira a calamidade.

Helenara Sampaio, coordenadora da licenciatura em matemática na Universidade Norte do Paraná, diz que os povos precisaram de matemática para desenvolver a agricultura, a navegação, a ciência. Se hoje o estudante tem celular, computador, e videogame, foi porque os matemáticos resolveram problemas difíceis, muitos dos quais nos últimos 100 anos. Num escritório qualquer, restaria pouca coisa se retirassem dele tudo o que foi construído graças à matemática.

A cada ano os matemáticos criam cada vez mais matemática; o número de artigos em revistas especializadas aumenta com muita rapidez. John MacQuarrie, da UFMG, arrisca um chute: “Talvez haja dez vezes mais artigos por ano agora do que havia há dez anos.” Contudo, hoje mais do que antes, em geral o matemático trabalha motivado por perguntas muito abstratas, ainda sem nenhuma possibilidade de aplicação prática. (Exceção feita aos matemáticos que se interessam por problemas surgidos nas outras ciências.) Cristina explica: muitas vezes, o matemático está interessado em beleza; ele se deixa guiar apenas pela própria curiosidade. “É um pouco como a filosofia. Se você pensar bem, qual é a aplicação prática filosofia?”

Cedo ou tarde alguém acha aplicação prática para alguma ideia matemática. John diz que as regras da matemática servem como imagem aproximada de fenômenos do mundo real. “Mas as aplicações da matemática não são a mesma coisa que a matemática em si.”

A matemática é uma ciência. Até matemáticos às vezes dizem que a matemática é uma ciência; quanto mais estudantes e professores comuns. Muitos matemáticos, contudo, não se incomodariam se a classificassem como uma arte: a arte de criar objetos ficcionais perfeitamente definidos, tão simples quanto possível, e de depois disso investigar suas propriedades. O cientista tem a obrigação de descobrir como o universo funciona — as proteínas, as galáxias, os pulmões. As regras já existem, e não podem ser modificadas pela mera vontade humana. O matemático cria universos novos para depois explorá-los, e quando se cansa de explorar um desses universos, muda as regras e o transforma num outro. (E depois ainda descobre que pode correlacionar os dois com algum tipo de morfismo…)

Até filósofos têm de trabalhar sob condições mais estritas. “O filósofo”, diz John, “tem de justificar suas proposições.” John quer dizer o seguinte: o filósofo mostra que as afirmações A e B implicam a afirmação C, mas, antes que possa asseverar que C é verdadeira, tem de justificar A e B. Se não fizer assim, seu leitor não vai aceitar C. Não é a mesma coisa com o matemático. Ele pode presumir que A e B são verdadeiras, e daí provar a implicação. Aliás, ele com bastante frequência presume a verdade das premissas e segue em frente. Afinal, como poderia provar, recorrendo a experimentos no mundo real, a existência de segmentos de reta que podem ser divididos indefinidamente em duas partes iguais? Isso é impossível.

Outro ponto no qual matemáticos e cientistas diferem: o peso que dão às evidências. Se um cientista achasse 400 quadrilhões de evidências em favor de uma explicação, e nenhuma evidência contrária, ele a classificaria como “explicação excelente”. Que tal pensar agora na conjectura de Goldbach?

Conjectura de Goldbach. Todo inteiro par maior que 2 é igual à soma de dois números primos.

De fato: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, …, 154 = 71 + 83, etc. A conjectura já foi confirmada para os primeiros 4 ∙ 1017 inteiros positivos. Qualquer cientista ficaria feliz com isso, e se daria por satisfeito, mas não o matemático, que só classificará a conjectura como teorema no dia em que alguém publicar uma demonstração cabal.

É coisa de gente sem criatividade. Helenara Sampaio, da Unopar, ouve o tempo todo comentários de que a matemática só complica tudo; estão sempre questionando sua utilidade. Imenes diz que as pessoas têm essa impressão porque se acostumaram a vê-la de modo deturpado. Muitas vezes, diz Imenes, a escola omite as aplicações e conexões que existem dentro da própria matemática. “Quanto mais as relações que ela tem com a arte e outras disciplinas!” Se na escola o leigo só conheceu a matemática feia, é fácil imaginá-la como O Reino dos Sem Imaginação. “É ficar fazendo contas como um papagaio”, diz Imenes. “O ser humano não tolera coisas sem sentido; procuramos nexo nas coisas.”

A ideia de que a matemática embota a criatividade é tão forte que, entre os que acreditam nessa ideia, é fácil encontrar quem diga: a matemática estraga a experiência de vida — pois deixa tudo “excessivamente racional”. A verdade é que o matemático profissional, para resolver um problema difícil, tem de recorrer a doses cavalares de criatividade. Quase sempre, a resolução de um grande problema faz surgir uma nova área da matemática, e com ela fica mais fácil ver coisas que antes ficavam invisíveis — isto é, com ela o mundo fica mais bonito. Se hoje o homem pode construir uma sonda espacial, enviá-la ao espaço para fazer medições, e com as medições calcular o raio do universo visível (46 bilhões de anos-luz; quem não fica de queixo caído diante de uma informação dessas?), é porque Bolyai, Lobachevsky, e Riemann criaram as geometrias não euclidianas no século 19.

Cristina lembra como muita gente se orgulha de dizer que não tem cabeça para a matemática. “É como se, ao dizer que não sabe nada de matemática, a pessoa mostrasse como é imaginativa, artística.” Mas nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura, pois seria tachada de ignorante. John diz que não há nada mecânico ou automático na matemática, e se algum aspecto dela se torna automático e mecânico, o matemático não hesita em delegá-lo a computadores. “Quando dizemos que o matemático precisa de criatividade”, diz John, “não é criatividade para fazer contas, mas sim para manejar ideias.” Cristina diz que matemáticos muitas vezes agem como crianças. “Eles deixam a mente bem aberta, pois caso contrário as ideias não aparecem.” Ela até acha que se transformou numa pessoa melhor graças à matemática, ou melhor, graças ao hábito de olhar um problema de vários ângulos. “Isso me ajudou a ser menos impulsiva. Muitas vezes, estou vendo o cantinho de um problema, mas mudo o ângulo e percebo que ele é bem maior.” Cristina reconhece ainda: se as pessoas não conhecem bem a matemática, isso também é culpa dos matemáticos, que não sabem se comunicar direito.

Para Vanderlei Horita, da SBM, a culpa é também da própria matemática: provoca tanto contentamento que, para o matemático, divulgar seu trabalho se torna secundário. O matemático se envolveu numa atividade na qual cria regras das quais surgem universos novos e maravilhosos. “Certa vez, tive a ingenuidade de contestar a frase tão certo quanto 2 mais 2 são quatro”, diz Vanderlei. O leigo só conhece a aritmética comum, mas há muitas décadas os matemáticos recorrem à aritmética módulo m, na qual 2 + 2 = 1 ou 2 + 2 = 0. Para entender essa ideia melhor, o estudante pode desenhar um relógio com 3 números:

Fig. 1

Daí, com o dedo repousado em zero, começa a contar: 1, 2, 3, 4 movendo o dedo para 1, 2, 0, 1. Com isso, pode dizer que, na aritmética módulo 3, o 4 é congruente a 1. Pode fazer o mesmo para entender a aritmética módulo 4. Desenha outro relógio, desta vez com quatro números: 0, 1, 2, 3:

Fig. 2

Conta 1, 2, 3 apontando para 1, 2, 3, mas ao contar 4 só lhe resta apontar o 0. Com isso, conclui que, na aritmética módulo 4, 2 + 2 = 0. E ainda assim o estudante pode se divertir com uma ideia bonita: 2 + 2 é sempre igual a 4, mesmo nas aritméticas nas quais o algarismo 4 não existe.

Feia, feiíssima. Muita gente acha que a matemática é feia, mas todo professor de matemática e todo matemático pode testemunhar o contrário: ela provoca prazeres estéticos parecidos com aqueles que uma pessoa sente quando aprecia uma escultura ou ouve um concerto. John MacQuarrie (UFMG) é algebrista e, para mostrar a verdadeira cara da matemática, gosta de explicar o que é um grupo. Primeiro, cita um exemplo de grupo: os números inteiros com a operação de adição. O estudante adiciona 3 ao 4 e obtém 7, que também é um inteiro. Ou então subtrai 3 de 4 e obtém 1, outro inteiro. Ele pode então generalizar essa ideia ao definir um grupo:

Um conjunto G fechado para uma operação , isto é, ao pegar dois elementos a e b em G, e ao combiná-los segundo as regras que especificam a operação , obtém um terceiro elemento que também está em G. (Em outras palavras: o elemento a b também está em G.) Além disso, num grupo existem três regrinhas:

• Para todo a, b, e c em G, a (b c) = (a b) c, isto é, nele vale a propriedade associativa.

• Existe em G um elemento identidade e tal que a e = e a = a para todo a em G.

• Para cada a em G, existe um elemento inverso a’ em G tal que a a’ = e.

Desde criancinha, o estudante sabe que números inteiros têm a propriedade associativa, e que existe um número, o zero, tal que se adicioná-lo a qualquer outro inteiro (como 0 + 1, 0 + 2, 0 + 3, …) obterá como resultado o próprio inteiro (pois 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3, …). Assim como cada número tem seu inverso: o de 0 é o próprio 0, o de 1 é –1, o de 2 é –2, e assim por diante. “Agora esqueça os números, esqueça as simetrias”, diz John. “Você tem apenas essas três propriedades. Então, pode usá-las para estudar objetos no mundo abstrato que também as tenham. Acho os grupos lindos de um jeito muito prático. Essas três regras são exatamente o que precisam ser, fazem exatamente o que precisam fazer.”

Matemáticos muitas vezes veem a beleza num conceito matemático, como o de grupo, por causa de suas propriedades, isto é, por causa do que conseguem fazer com ele. No caso da teoria dos grupos, se podem provar que certo objeto muito complexo é um grupo, podem também provar que existe uma correspondência entre tal objeto e o grupo dos números inteiros com a operação de adição. Ora, existem muitos teoremas úteis sobre os inteiros com a adição, e o estudante pode usá-los para descobrir coisas sobre esse objeto mais complexo. Ele pode até verificar que vale para seu grupo a conjectura de Goldbach.

Para Antonio Carlos, professor no Anglo Vestibulares e no Insper, muita gente fica com a ideia errada porque estuda a matemática como se fosse meramente um conjunto de procedimentos, e não como um conjunto de ideias a partir das quais os matemáticos desenvolveram os procedimentos. Quando estuda a multiplicação de dois dígitos, por exemplo, o estudante talvez ache uma chatice repetir um algoritmo aparentemente sem pé nem cabeça. Por exemplo, ao fazer 12 vezes 15:

No livro Matemática: Uma Breve Introdução, o matemático britânico Timothy Gowers explica por que tanta gente odeia a matemática. Matemáticos constroem conceitos novos em cima dos antigos. Se o leigo acha o algoritmo da multiplicação de números com dois dígitos uma chatice, tem de voltar uns passos para trás e compreender seu mecanismo: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Para visualizar isso melhor, o estudante usa um desenho de quadradinhos, como o da figura 3. Ao somar os quadradinhos, pode ver que está fazendo o seguinte ao usar o algoritmo da multiplicação: 2·(10 + 5) + 10·(10 + 5).

Fig. 3

“Sem isso [a propriedade distributiva] é natural que você se sinta pouco à vontade ao expandir expressões como (x + 2)(x + 3), e isso implica que não compreende bem as equações quadráticas”, escreveu Gowers. “E, não tendo uma boa compreensão das equações quadráticas, não perceberá por que a razão áurea é (1 + √5)/2.”

Por pouco. Visto que é difícil entender bem uma matemática mais avançada sem entender conceitos básicos, muitos jovens nunca descobrem que a má reputação da matemática vale (quando vale) apenas para a matemática no ensino básico. Cristina explica: “É como aprender a falar para aprender a escrever poesia.” É mais charmoso escrever poesia do que simplesmente falar, mas uma coisa não vem sem a outra. Cristina sabe pouco sobre como funciona o ensino médio no Brasil, pois estudou na Itália, mas acha que o brasileiro se interessa tanto por matemática quanto qualquer outro cidadão de qualquer outro país. A diferença entre o Brasil e a Alemanha, por exemplo, é que na Alemanha há mais especialistas interessados no trabalho de divulgar a matemática. Quando era estudante, Cristina já gostava de matemática, mas visto que só via contas, equações, algoritmos, etc., não se interessava tanto assim.

Por acaso, leu um livro sobre matemática e simetrias. “Não lembro mais o nome, mas era um autor dos Estados Unidos. O livro tinha muitas imagens, desenhos, e falava da matemática na vida, na simetria das flores, da série de Fibonacci que aparece em vários lugares…” Então ficou em dúvida entre fazer letras ou matemática, mas como a matemática era algo misterioso, resolveu descobrir mais sobre ela. Seus pais a apoiaram, se bem que com alguma reticência. “Quando cheguei lá, achei a matemática uma coisa muito mais bonita do que imaginava.” John conta uma história semelhante: na Escócia, a reputação da matemática também é ruim, mas tudo mudou na universidade. “Para mim foi incrível descobrir que não existe só um tipo de infinito — incrível!” Ricardo Martins é outro caso de “por pouco não fiz matemática”. Quando prestou o vestibular, escolheu matemática com o propósito de pedir mais tarde a transferência para o curso de computação. “Eu mesmo tinha a ideia equivocada de que precisaria decorar fórmulas. Quando descobri que elas vinham de algum lugar, comecei a achar tudo muito interessante e segui a carreira.”

Quantas outras pessoas não dariam ótimas matemáticas, e não seriam até mais felizes, não fosse a péssima reputação da matemática? Uma vez, o matemático Bertrand Russell (1872-1970) escreveu (tratando de outro assunto): “É como a teoria de que sempre acabamos descobrindo o assassino. Evidentemente, todos os assassinos que conhecemos foram descobertos, mas quem pode calcular o número daqueles sobre os quais nada sabemos? Da mesma forma, todos os homens de gênio de que já ouvimos falar triunfaram sobre circunstâncias adversas, mas não há razão para supor que não tenham existido diversos outros gênios malogrados durante a juventude.” Não há razão para supor que, tivesse a matemática boa fama, muitos dos que hoje se orgulham de não ter cabeça para os números passariam horas, felizes da vida, pensando sobre coisas como a aritmética módulo m e a conjectura de Goldbach. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014, pág. 38. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita, mas as informações factuais são as que valiam na ocasião.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Danielle Ferreira e Dubes Sônego.

3. Um dos entrevistados pergunta: “Qual é a aplicação prática da filosofia?” Eu acho mais fácil mostrar as aplicações práticas da filosofia (aparentemente, não há nenhuma) do que as aplicações práticas da matemática (certamente, há muitas). Pois, se você disser, “A filosofia não é importante”, não tem escolha senão defender essa tese com um argumento de natureza filosófica! Logo, a filosofia é inescapável e, na verdade, os seres humanos estão filosofando constantemente, mas aqueles com bom treinamento em filosofia percebem quando estão a filosofar, e aqueles sem treinamento não percebem. O filósofo britânico Simon Blackburn costuma dizer que a filosofia é como qualquer outra atividade — é algo que podemos fazer bem ou mal. Quem estuda filosofia, com a prática percebe quando está a filosofar, e até consegue dizer se está filosofando bem ou mal. Quem não estuda, não percebe, e portanto não tem ideia se está filosofando mal. Além disso, poucos sabem que o método científico, que é talvez a maior criação da humanidade, surgiu de discussões filosóficas, e até hoje está sendo aperfeiçoado por meio de discussões filosóficas.

4. Em certa altura do texto, eu digo: “Nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura.” Como o mundo muda! Sou admirador de Heráclito, e portanto não deveria ficar surpreso ao constatar que o mundo muda, mas me surpreendi mesmo assim. Hoje muita gente se orgulha de dizer que não leva jeito para a leitura; hoje muita gente não mais percebe essa deficiência com embaraço. Outro dia, eu conversava com um sujeito e ele me disse, com evidente satisfação: “Eu nunca li um livro na vida, e até hoje não me fez nenhuma falta!”

5. Quando mencionei a aritmética módulo m, fiz uma pequena simplificação para não deixar o texto confuso. O que eu deveria ter escrito, se não quisesse evitar símbolos técnicos, é 2 + 2 1 (mod 3) em vez de 2 + 2 = 1, e 2 + 2 0 (mod 4) em vez de 2 + 2 = 0. Se o leitor quiser saber mais sobre aritmética módulo m, clique aqui.

6. Digo no texto que, para muita gente, a matemática deixa o mundo “excessivamente racional”. O filósofo britânico David Hume (1711-1776), em várias passagens de seus livros, defendeu a tese de que o ser humano não é guiado pela razão, mas sim por suas paixões. “A razão é, e deve ser, escrava das paixões, e não deve ambicionar nenhuma outra responsabilidade senão servir e obedecer às paixões.” Hume cita vários exemplos para justificar a afirmação, todos mais ou menos com esta estrutura: Se uma pessoa nota que há uma relação de causa e efeito entre praticar ginástica e emagrecer, e se descobre que terá vantagens ao emagrecer, ela mesmo assim não vai praticar ginástica para emagrecer, a não ser que tenha a vontade de emagrecer.

Acho que Hume tem razão: em primeiro lugar vem a vontade (para usar o palavreado de Nietzsche), e em segundo lugar o agente usa a razão para ver como realizar sua vontade. As pessoas percebem isso, por instinto; mas não sabem articular bem essa percepção. Logo, quando topam com alguém de perfil matemático, de perfil mais lógico ou filosófico, elas logo desconfiam: “Tais palavras racionais estão a serviço de que espécie de paixão? Que paixão se esconde atrás de tantos axiomas, teoremas, fórmulas, argumentos? Que vontade está querendo se impor? Que vontade está querendo suplantar a minha vontade?” Como nem todo amante de matemática conhece essa característica da psicologia humana, ele apresenta seus argumentos muito racionais sem antes pensar bastante sobre vontades e emoções — e imediatamente deixa o interlocutor com um pé atrás. Quanto ao interlocutor, tendo se sentido compelido a se retrair, e sem ter visão clara dos motivos (pois agiu instintivamente), sente-se acuado — e daí surge a sensação de que a matemática estraga a experiência do mundo, pois deixa as coisas “excessivamente racionais”.

Corolário. Um bom sistema de ensino deve ajudar os alunos a conhecer suas emoções, as emoções dos outros, e a governar essa economia de emoções tanto quanto possível; e logo depois disso, deve ensinar aos alunos como pôr a razão a serviço da vontade — incluindo usar a razão para dar à luz novas vontades.

Um problemão disfarçado de probleminha


Quando o matemático se depara com um problema aparentemente insolúvel, de tão difícil, pode adotar uma linha de ação pouco conhecida pelo leigo: tornar o problema ainda mais difícil. (Por incrível que pareça, essa providência às vezes dá resultados excelentes.) Walter Carnielli, professor no departamento de filosofia da Unicamp, tornou mais geral (e mais difícil) um problema da teoria dos números que até criança entende e aprecia, mas que ninguém ainda resolveu.



{1}/ Introdução à entrevista: filosofia e matemática

Um jovem acaba de se matricular num curso de filosofia e, todo pintado pelos colegas mais velhos, pensa: “Finalmente, vou estudar o que escolhi. Nada de física, de química, de matemática…” Quando chega à sala de aula, dá de cara com o professor de lógica, e eis que é um matemático. O jovem, que sempre foi mais “de humanas”, fica confuso. Talvez seja assim que alguns alunos da filosofia na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) se sentem quando encontram Walter Carnielli pela primeira vez. Matemático há mais de 30 anos, diz que um bom filósofo precisa conhecer uns poucos campos da matemática — por exemplo, lógica e teoria dos conjuntos. “Meus alunos não gostam muito, mas estudam. Digo que eles têm de olhar para os grandes filósofos como Kant, Aristóteles, e Platão, que prezavam muito a matemática.”

Muitos matemáticos famosos se transformaram em filósofos famosos — Bertrand Russell talvez seja o melhor exemplo. O estudante deve seguir seu exemplo. Quando o matemático conhece a história do mundo e das ideias, a filosofia da ciência, e por que as ciências são do jeito que são, corre menor risco de dizer bobagens. “Os grandes matemáticos sabem disso”, diz Carnielli. Na hora de propor um problema, porém, o matemático tem de ser minimalista, objetivo, caso contrário não sai do lugar. “O geômetra, por exemplo, tem de esquecer a noção filosófica de reta e tentar propor uma teoria axiomática sobre retas, pontos e planos. É uma questão de método, mas nada o impede de depois refletir sobre as consequências filosóficas do problema matemático. Ele não precisa ser um ignorante.”

Carnielli fez pesquisa em matemática e filosofia em diversos países, entre eles Alemanha e Estados Unidos. Diz que as duas disciplinas são “flores do mesmo jardim”. Há cerca de 20 anos, Carnielli mudou-se para o departamento de filosofia da Unicamp, que hoje abriga o departamento de lógica. Chegou a haver uma discussão na Unicamp sobre se lógica fazia ou não fazia parte do departamento de matemática. “Podemos dizer que essa discussão estava ocorrendo no início dos anos 1990 em vários lugares do Brasil. Então, no fim das contas, eu e todo o pessoal de lógica fomos para a filosofia.” Ele escolheu a profissão por causa de uma ideia que dá muito debate filosófico. Desde o ensino médio se surpreendia com a existência do infinito, e se perguntava como o homem pode ter algum domínio sobre o infinito com a ajuda de matemática. Hoje vê que o problema do infinito é maior do que imaginava — ainda bem, pois é por meio do infinito que a humanidade chegou a descobertas bonitas e úteis. Sequências e séries estão entre elas; mas também está a generalização do problema de Collatz (sobre isso, veja a seção 3).

Há dois anos, Carnielli generalizou esse problema “demoníaco”. Foi dormir pensando nele e, depois de um sonho, acordou com a sensação: “É óbvio: se não posso resolvê-lo, devo piorá-lo.” Escreveu um artigo sobre uma generalização possível desse problema fácil de entender, mas avisa que o transformou em infinitos problemas e o deixou ainda mais difícil de resolver.



{2}/ A entrevista em si

Como se tornou matemático?

Se eu tivesse de botar a culpa em alguma coisa por ter feito matemática, colocaria no infinito. Hoje vejo que o problema do infinito é maior do que eu pensava. Quando estava no ensino médio, um professor nos mostrou o método indutivo. Por exemplo, como o matemático prova que a soma dos primeiros ímpares sempre é igual a um quadrado perfeito? [começa recitar as contas] Olha: 1 + 3 = 4, que é 22; 1 + 3 + 5 = 9, que é 32; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, que é 42; e assim por diante. Eu me perguntava: “Como com três passinhos provo algo sobre o infinito?” Guardadas as proporções, isso tem cara de prova da existência de Deus! [Risos] Aquilo me encucou profundamente. Afinal, quem me garantia que aquela prova daria certo? A ONU? O João Figueiredo, o presidente da época? Então fui entender na faculdade que são os fundamentos da matemática que me dão o direito de ter domínio sobre o infinito.

Também gosto muito do embate do finito com o infinito, isto é, da matemática discreta com a contínua. Se pudesse, faria uma pequena correção a Kronecker [Leopold Kronecker, matemático alemão do século 19], que disse: “Deus criou os números inteiros e o resto é obra do homem.” Para mim foi o demônio quem inventou os inteiros e o resto é obra do homem. Os problemas que envolvem os números inteiros são tremendamente difíceis. Deus soprou assim: “Inventem o infinito.” Aí o demônio falou: “Ah, é? Então vou jogar o finito para vocês. Pensarão que é fácil, mas vão tropeçar nele, e o finito vai atrapalhar a vida de todo mundo.” Acho que o infinito é uma invenção humana, mas é nosso monstro. Os números inteiros são demoníacos, o que é fácil de ver com o problema de Collatz.

Como conheceu o problema de Collatz?

Eu o conheci quando estava fazendo doutorado na Unicamp e fiz uma visita à USP. Durante um almoço, um colega me perguntou se conhecia “o problema do 3x + 1” [este é mais um dos vários nomes para o problema de Collatz]. É um problema tremendo. Eu me interessei por ser um dos mais simples de entender. Até mais simples do que o último teorema de Fermat, que inclui potenciação, ou a conjectura de Goldbach, em que a pessoa precisa saber o que é um número primo. Uma vez até mostrei o 3x + 1 para minha sobrinha de 10 anos. Qualquer pessoa consegue entender, só precisa saber tabuada, adição, e o que é par e ímpar.

Tentou resolver esse problema?

Tentei. Muitos matemáticos gastam um tempinho com ele. Eu gastei uns 15 anos [em 2013, quando ocorreu a entrevista]. Quando estou com insônia, penso nele para dormir. Ou quando estou no avião e começa uma turbulência, penso nesse problema e fico numa paz profunda. É como um calmante. Mas é claro que o problema de Collatz já me deixou bem frustrado. Já achei que tinha encontrado uma forma de resolvê-lo usando um negócio chamado sequências p-ádicas. Tentei aquele método por dias e depois de um tempo voltei ao ponto de partida. Mas foi há muito tempo e sei que não posso passar a vida pensando apenas nele. Tenho de dar aulas, escrever relatórios. Não posso escrever assim: “Como gastei meu tempo? Pensando num problema aparentemente insolúvel. E cheguei numa solução? Não.” Tenho um monte de problemas nos quais pensar e não fico obcecado pelo problema de Collatz, pois tenho um pouco de bom senso. Sei que beira o impossível e se quisesse resolvê-lo só faria isso da vida. E talvez uma vida não seria suficiente; talvez 500 vidas não seriam suficientes.

Como faz para generalizar um problema ainda sem solução?

Fiz uma generalização do problema de Collatz há uns dois anos e sabe como tive acesso a essa ideia? Num sonho. Eu me perguntava por que ele é tão difícil e no sonho me veio na cabeça o seguinte: é difícil porque ele é ultra-super-simétrico, não tenho por onde segurar nele. Então pensei: se não posso resolvê-lo, será que não poderia piorá-lo? Acordei de manhã para tomar café e rabisquei a generalização num papel, ou caso contrário poderia esquecê-la. Em menos de três dias estava pronta, mas depois demorei para escrever um artigo bonito e organizado. Também consultei um especialista em teoria dos números para ver se alguém já não tinha tido essa mesma ideia. O matemático viu a ideia da generalização e achou que valia a pena [ele se chama Keith Matthews e vive na Austrália]. Outros matemáticos já tinham generalizado casos particulares do problema, mas o meu método era mais simples e direto.

Fiquei muito contente com essa generalização, porque é uma espécie de sobrevivência para sempre. Acho que esse problema vai ficar por aí até depois que a raça humana desaparecer. Talvez algum dia outros seres venham aqui, encontrem esse problema e digam: “Olha, aqui existia uma raça de bichos que se entretinha com uns problemas engraçados!” Problemas assim são uma espécie de legado do raciocínio humano.

Ainda brinca com o problema de Collatz?

Agora estou tentando aplicar métodos de sistemas dinâmicos para resolver a minha generalização. Como não sou especialista, contudo, tenho de estudar mais essa área. Outras pessoas já aplicaram esses métodos em outras variantes, mas não vão aplicar na minha. Se eu quiser que o meu problema avance, tenho de fazer isso eu mesmo. Por isso vou estudar por mais ou menos um ano esses métodos e ver se consigo dizer algo novo sobre ele. Se não conseguir nada em um ano, é porque não adianta continuar por esse caminho.

Na filosofia, os alunos precisam saber a linguagem matemática da lógica?

Precisam. Meus alunos aprendem. Não gostam muito, mas aprendem. Digo que olhem os grandes filósofos como Immanuel Kant, Aristóteles, Platão, que prezavam muito a matemática. Essa divisão ridícula de cursinho de vestibular entre exatas e humanas é antieducativa e perversa. A ciência, e o conhecimento humano em geral, é fruto da nossa maneira de pensar. Por que milagre a matemática dá certo para construir pontes? Quem disse que a ponte tem de se comportar como a matemática quer? É que nossa teoria sobre pontes é irmã da nossa teoria sobre matemática, somos nós que fazemos tudo. É besteira chamá-la de exata, pois somos nós que temos um ponto de vista. A ciência é um fruto humano. Toda ela: a matemática, a física, a ética, a literatura. É besteira querer separar.

Como é fazer matemática em outros países?

Não só a matemática, mas a cultura científica é diferente em cada país. Fiquei dois anos na Alemanha fazendo pesquisa e notei que os alemães, em geral, consideram a intuição algo privado. O matemático não tem de explicar a ninguém como funcionou sua intuição para resolver certo problema. Para eles, apenas a formalização e a justificativa são coisas públicas. Lembro que, às vezes, ia a encontros e tentava explicar minhas intuições, mas eles não gostavam de ouvir. Não lhes interessa muito essa questão, mas sim os resultados. Já os americanos e os brasileiros, por exemplo, gostam muito de ouvir sobre como você descobriu tal coisa, como sua intuição funcionou. Não digo que seja algo ruim a forma como a ciência sofre com essa questão cultural de cada país. Seria como comparar a culinária japonesa com a francesa. Ambas são boas, mas existem momentos distintos para cada uma, e acho que essas diferenças afetam o resultam global da ciência.

Já teve muitas angústias matemáticas?

Ainda tenho. É muito difícil propor e inventar algo original. Mais difícil ainda inventar algo original e relevante. Como também é difícil escrever bem sobre essa coisa e convencer as pessoas de que aquilo faz sentido. Depois de tudo isso, pode ser ainda que parte, ou tudo, daquilo já tenha sido feito por outra pessoa. Já aconteceu comigo muitas vezes e percebi que, se criar um pingo de novidade, já é bastante coisa. No próprio problema de Collatz, por exemplo, algumas pessoas já tinham feito a generalização de casos particulares parecidos com alguns dos meus casos. Minha generalização não é absolutamente nova. É mais simples, e promissora, mas não chega a ser uma pepita de ouro.

Na matemática, uma ideia sempre tem alguma intersecção com a ideia de outra pessoa. Só que é uma angústia, afinal passo um bom tempo entre ter a ideia e transformar aquilo em material de verdade. É como o inventor que passa um bom tempo entre inventar uma máquina e conseguir patrocínios, patentes, etc. Talvez também seja a angústia do escritor durante o tempo entre ter uma bela ideia e transformá-la num romance que vire um best-seller. Acho que é uma angústia humana: a angústia de todos. {❏}



{3}/ Apêndice I: o problema 3x + 1

Matemáticos acreditam que o alemão Lothar Collatz (1910-1990) propôs a conjectura 3x + 1 na primeira metade do século 20. Embora alguns acreditem que foi proposto em 1937, não há documentos escritos sobre o problema até os anos 1970, nem há certeza de quem originalmente o propôs. O enunciado mais simples do problema diz o seguinte:

Seja x um número inteiro positivo que serve de ponto de partida para a lei: se x for ímpar, a lei é 3x + 1; se x for par, é x/2. Se uma pessoa aplicar essas leis a qualquer inteiro positivo, e repeti-las a cada novo resultado, em algum momento a pessoa chegará a x = 1. Um leitor, por exemplo, inicia o processo pelo número 6, que é par, e faz a sequência de operações aritméticas logo abaixo. (Neste texto, excepcionalmente, leia a seta → assim: “leva naturalmente a”; por exemplo: leia AB com as palavras “A leva naturalmente a B”.)

x = 6

x = 6/2 = 3

x = 3 · 3 + 1 = 10

x = 10/2 = 5

x = 3 · 5 + 1 = 16

x = 16/2 = 8

x = 8/2 = 4

x = 4/2 = 2

x = 2/2 = 1

Assim, começando com x = 6, o leitor realiza oito iterações para chegar a x = 1, e produz a sequência 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. A conjectura de Collatz diz que, não importa o inteiro positivo com o qual o leitor comece a sequência, ela sempre desemboca em x = 1. É uma afirmação extraordinária, na verdade, pois algumas sequências dão a impressão de que vão se afastar de x = 1 em definitivo; por exemplo, caso o leitor comece com x = 27, vai produzir uma sequência com 112 termos, que subirá até x = 9.232 antes de descer até x = 1.

Muitos matemáticos, Walter Carnielli entre eles, tentaram e tentam resolver esse problema, que é chamado de muitas maneiras: problema de Siracusa, conjectura de Ulam, problema de Kakutani. Eles também fizeram várias mudanças na conjectura original, por exemplo para incluir inteiros negativos como ponto de partida. Por enquanto, usando computadores, especialistas só conseguiram evidências de que a conjectura é verdadeira para qualquer x ≤ 19 · 258 ≊ 5,48 · 1018. {❏}



{4}/ Apêndice II: Como tornar um problema difícil ainda mais difícil

Se o matemático não pode vencer um problema, às vezes, brinca com ele de outra forma. Pega o problema como se fosse massinha de modelar e o manuseia para criar novas formas, mas sem destruir a forma original. Carnielli fez algo assim com o problema 3x + 1, isto é, generalizou o problema para deixá-lo mais complicado. Para entender essa generalização, o leitor deve entender em primeiro lugar um jeito ligeiramente mais sofisticado de enunciar o problema original.


Problema. Seja uma sequência de inteiros positivos x1, x2, x3, x4, …, xn, cuja regra de formação funciona segundo a iteração a seguir.

equation-9

Não importa qual seja o valor inteiro positivo que atribua a x1, pode dizer que sempre será o caso de que xn = 1 para um número n suficientemente grande de iterações.


[Note que essa versão funciona apenas para inteiros positivos; o redator escolheu assim para simplificar a exposição. Um pouco de nada sobre a notação ab (mod c): é um jeito conveniente de dizer que, caso divida a por c, deve obter resto igual a b; ou então, o que é a mesma coisa, é um jeito conveniente de dizer que ab é um múltiplo de c. Umas poucas restrições, que, se quiser, pode ignorar: a pode ser um inteiro qualquer, positivo, nulo, ou negativo; c ≥ 2 é um inteiro; e 0 ≤ b < c.]

Ao colocar o problema desta forma, o leitor usou a aritmética módulo m (com m = 2) para descrever o que é um número par e um número ímpar. Como interpreta a primeira linha da função xn+1? Deve dividir o valor de xn por 2 se tal valor for congruente a 0 módulo 2, isto é, se tal valor, quando dividido por 2, deixe resto igual a 0; em termos mais simples, se tal valor for múltiplo de 2. Quanto à segunda linha, é a mesma coisa: Se o valor de xn for congruente a 1 no módulo 2 (isto é, se xn for ímpar e deixar resto 1 quando da divisão por 2), o leitor deve multiplicar tal valor por 3, somar 1 ao resultado, e dividir tudo isso por 2. Vai produzir uma sequência ligeiramente diferente daquela que Carnielli explicou durante a entrevista (e diferente da forma na seção 3), mas, mesmo assim, tal sequência sempre desemboca em xn = 1 para algum valor suficientemente grande de n. (Ou assim diz a conjectura.) Por exemplo, se começa com x1 = 6, produz a sequência 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1.

Muitos matemáticos acham (e acharam) que vai demorar bastante para que alguém consiga resolver o problema de Collatz, pois, como diz Carnielli, esse problema tem “simetrias demais”. Toda vez que o leitor multiplica um número ímpar por 3 e soma um, restabelece a paridade par que pode ter sido quebrada no passo anterior. “Eu restabeleço e quebro a paridade par de novo e de novo”, diz Carnielli. “Então, para piorar o problema, pensei o seguinte: por que restabelecer a paridade se posso restabelecer o resto da divisão? Tudo é uma questão do resto da divisão.”

Escreveu então o artigo O Problema ax + b: A Generalização Mais Natural do Problema de Collatz. No artigo, propõe algo mais ou menos assim: em vez do matemático escolher um inteiro x ≠ 0 e verificar se é par ou ímpar, deve escolher um inteiro x ≠ 0 e também escolher com qual módulo d ≥ 2 gostaria de trabalhar. Carnielli conjecturou o seguinte: depois de um número finito de iterações, a sequência de inteiros entra num ciclo final com número finito de elementos, e além disso existe um número finito de ciclos finais possíveis. Para que tudo isso funcione, Carnielli escreveu duas funções um pouco diferente daquelas no problema original:

equation-10

O leitor talvez queira testar essa conjectura. Se começa com d = 2, vai simplesmente lidar com o problema original. Faça, à guisa de exemplo, d = 3, e comece a sequência com x1 = 4. Então, logo nota que, para aplicar uma das funções, precisa responder a duas perguntas:

x1 é múltiplo de 3? Se sim, pode imediatamente dividi-lo por 3.

x1 não é múltiplo de 3? Então, deve aplicar a segunda regra da função.

Eis como pode proceder a partir de x1 = 4. Bem, x1 = 4 não é múltiplo de 3; logo, use o algoritmo da divisão para escrever 4 = 3 · 1 + 1; assim, i = 1 e, ao aplicar a segunda regra, deve chegar a:

equation_11

Usando esse método com cuidado, vai produzir a sequência 4, 6, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, …. Portanto, a sequência para x1 = 4 e d = 3 é 4, 6, 2, 3, 1, e o ciclo final é 2, 3, 1.

Com tudo isso, agora o leitor tem ideia do que Carnielli fez: para testar a conjectura generalizada de Collatz, o matemático tem de testar não apenas cada inteiro de um conjunto infinito de inteiros diferentes de zero, mas cada inteiro com cada módulo d ≥ 2. É trabalho que não acaba mais.

Carnielli diz que talvez um dos leitores se pergunte: “Por que alguém gasta seu tempo para deixar um problema mais difícil do que já é? E por que uma universidade ainda por cima paga a essa pessoa um salário?” Eis a resposta: “Tais problemas”, diz Carnielli, “são minas de ouro, são riquíssimos em sabedoria, pois nos mostram claramente os limites do homem, da matemática, e da ciência.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, fevereiro de 2013, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone.