Construindo novas pontes na matemática

Olivia Caramello/ Arquivo pessoal

Quando Olivia Caramello tinha 19 anos, se formou em matemática e música. É italiana, mas dá aulas em universidades italianas e francesas (para ser preciso, na Università degli Studi dell’Insubria e no Institut des Hautes Études Scientifiques). Há treze anos desenvolve uma teoria com a qual estabelece pontes entre teorias matemáticas distintas e, à primeira vista, desconexas.

Topos é uma palavra de origem grega; significa “lugar”. (Plural: toposes.) No início dos anos 1960, Alexander Grothendieck (1928-2014) introduziu o conceito de topos para denotar um objeto matemático que forneceria um quadro geral para uma de suas teorias na geometria algébrica, a coomologia etal. Ainda na mesma década, Francis William Lawvere publicou trabalhos com uma variante do conceito de topos, que chamou de “topos elementar” (é uma generalização de um topos de Grothendieck), e obteve a atenção dos especialistas em categorias (sobre isso, veja a seção 2).

Antes dos 13 anos, a matemática me parecia uma espécie de jogo mecânico. Não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova, tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade, que dura para sempre.


{1}/ Aventuras com caneta, papel, e cabeça

Aos 19 anos, Olivia se formou em matemática na Universidade de Torino (Itália) e obteve diploma de piano no Conservatorio di Cuneo. (No Brasil, muitos chamam Torino de Turim.) No mestrado, começou a se interessar por lógica categórica, principalmente pelos toposes de Grothendieck, e por isso foi para a Universidade de Cambridge (Inglaterra) fazer doutorado com um dos grandes especialistas em teoria de topos, Peter Johnstone. Nessa época, Olivia se sentia atraída pela ideia de transferir conhecimentos entre diferentes teorias matemáticas, e tinha a intuição de que poderia construir pontes entre teorias usando os toposes de Grothendieck. Mas Johnstone se interessava mais pelo topos elementar, um tipo de topos mais geral, com o qual Olivia não poderia construir pontes como desejava. Ela então obteve de Johnstone o consentimento para tomar uma direção diferente. “Sou muito grata pela oportunidade que tive de fazer basicamente o que quisesse. Isso é importante porque, para elaborar novos pontos de vista, o pesquisador precisa de liberdade.”

Olivia passou o primeiro e a metade do segundo ano do doutorado lendo tudo que podia sobre toposes de Grothendieck e outros assuntos correlatos. Queria começar a pesquisa apenas quando soubesse o que de melhor já haviam escrito naquele campo; queria também uma visão abrangente sobre outras teorias. Um projeto ambicioso exige conhecimentos sólidos de várias áreas da matemática. Para Olivia, em vez de desenvolver um trabalho apenas na teoria dos toposes, seria melhor aplicar essa teoria em campos como álgebra, análise funcional, lógica, teoria de modelos, teoria de provas. “Eu precisava de uma consciência geral do que acontece na matemática”, diz Olivia. “E essa ideia de usar os topos como pontes é algo que veio de um estudo muito intenso. Acho que, para mudar paradigmas e introduzir novas visões, o pesquisador não pode ter medo de voltar aos fundamentos e repensar as coisas desde as bases.”

Há poucas pessoas trabalhando com toposes classificadores, e, até o dia em que Olivia propôs a ideia num trabalho de doutorado, os matemáticos não pensavam em usá-los como ponte entre teorias. Hoje, porém, seu trabalho atrai a atenção da comunidade matemática. “A geração mais velha resiste um pouco a aceitar esse ponto de vista, mas as coisas têm ido bem. A geração mais jovem, por sua vez, em geral entende esse ponto de vista mais rapidamente.”

Como se interessou por essa teoria de unificação da matemática?

No início do doutorado em Cambridge, em 2006, conheci muitos conceitos importantes na lógica categórica; essa já era minha principal área de interesse na Itália, em particular os toposes de Grothendieck. E achei interessante os conceitos de lógica unificadora e a possibilidade de transferir conhecimentos entre diferentes campos da matemática. Então comecei a me perguntar: de que forma um topos pode ser aplicado na matemática? Quais ideias a teoria de topos pode me dar sobre a matemática clássica? Tive a intuição de que poderia usar os toposes de Grothendieck como uma espécie de ponte para conectar diferentes teorias; conectar no sentido de transferir resultados, técnicas, noções e ideias de uma teoria para a outra.

E como funciona essa técnica?

Imagine que tenha uma teoria da análise, uma da álgebra, e uma da geometria. Pode associar a cada uma delas um tipo de objeto, que é um topos. Então é natural que depois possa comparar as diferentes teorias comparando cada um dos toposes associado a cada uma delas. Se descubro, por exemplo, que um topos associado a uma teoria na álgebra é equivalente a um topos associado a uma teoria na análise, isso automaticamente me sugere uma conexão entre as duas teorias. É isso o que chamo de ponte. Embora a palavra “ponte” faça surgir uma imagem útil para compreender meu trabalho, eu a uso num sentido mais técnico.

Isso significa que um topos classificador admite diferentes representações; por exemplo, uma em termos da teoria algébrica, e outra em termos da teoria analítica. Ao fazer isso e estudar as propriedades invariantes dos toposes equivalentes (ou relacionados), obtenho uma propriedade algébrica e uma propriedade analítica que são logicamente equivalentes — o nome dessa equivalência é “equivalência de Morita”. É assim que construo as pontes.

Se tenho duas teorias com a equivalência de Morita, isso me dá o tabuleiro da ponte. [Tabuleiro: é o nome técnico do piso da ponte.] E os arcos [que numa ponte de verdade transferem o peso da ponte para as laterais] seriam as relações obtidas com a solução dessa invariante nos termos das duas diferentes representações. Ao compor os arcos com o tabuleiro, posso encontrar uma forma de traduzir uma propriedade num lado da ponte para uma propriedade no outro lado.

Como é a rotina de desenvolver uma nova teoria?

Tento me equilibrar entre teoria e aplicações: divido meu tempo entre desenvolver a teoria em geral e estudar campos específicos da matemática nos quais posso aplicar a teoria. Falo com muitos especialistas em diferentes áreas, e a partir dessas discussões tenho ideias de possíveis territórios matemáticos nos quais poderia aplicar uma técnica nova. Uma vez que identifico um bom problema para tratar usando minhas técnicas, começo a trabalhar nisso.

É importante manter esse vaivém entre teoria e aplicações, pois acho que, se o matemático desenvolve apenas a teoria, perde contato com os problemas que interessam os matemáticos especialistas e isso é uma lástima, pois a matemática não deveria ser desenvolvida apenas do ponto de vista abstrato, mas também a partir de problemas concretos [na própria matemática]. Por outro lado, se o matemático se preocupa apenas com problemas concretos, perde uma visão mais abrangente que possa haver além deles. Então, gosto de tentar manter esse equilíbrio, e até agora tenho conseguido.

Aliás, ando colaborando com cada vez mais pessoas nos últimos anos, inclusive especialistas, porque as pessoas agora se interessam mais por tais técnicas. Isso funciona bem, porque não consigo ter toda a bagagem de um especialista, mas ao falar com eles, tenho uma ideia dos conhecimentos especializados e eles têm comigo uma ideia das técnicas e da visão geral.

Como você se inspira e onde busca criatividade para o trabalho?

O que me motiva é encontrar bons conceitos e boas estruturas. Na minha opinião, uma boa indicação de algo frutífero é a possibilidade de calcular dentro de certa teoria. Por exemplo, o campo dos toposes de Grothendieck é muito eficiente do ponto de vista computacional e é muito convincente o fato de que, ao identificar um ambiente natural para as coisas, encontramos cálculos que podem ser feitos naturalmente. Talvez as pessoas imaginem por que alguém inventou o zero, ou por que inventaram o plano complexo. Afinal, essas coisas não são tão concretas, especialmente se pensar na raiz de menos 1 — isso não é concreto mesmo!

Mas pense no plano complexo: ainda que a pessoa esteja interessada em resolver equações polinomiais apenas na reta real, ao trabalhar num contexto estendido [o do plano complexo], ela tem maior poder, porque a possibilidade de calcular a raiz que procura está relacionada à existência de simetrias. Quando o matemático encontra um bom conceito, uma boa definição, uma boa estrutura, elas carregam em si mesmas a possibilidade de calcular ou, no mínimo, a de contemplar seus problemas matemáticos de uma forma eficaz.

No meu trabalho sempre procuro a naturalidade: as coisas têm de ser naturais, canônicas — tão canônicas quanto possível —, além de ricas no sentido computacional. Claro que há um elemento de criatividade e as pessoas devem usar a intuição, mas isso não significa fazer escolhas arbitrárias. Acho que o matemático deve tentar descobrir verdades de forma a mais natural possível; a teoria deve provar a si mesma assim que colocá-la no contexto certo. Isso, claro, é uma forma muito grothendickiana de pensar, é assim que ele descreve o modo de fazer matemática. Nunca tentou forçar as coisas, sempre se importou em encontrar bons fundamentos, bons conceitos, e estava convencido de que, uma vez que os encontrasse, poderia abordar os problemas nos quais estava interessado com maior consciência.

Fico muito contente com a teoria de topos, porque posso encontrar todos esses elementos nela, além de ser cheia de simetrias e cálculos eficazes. Isso me permite fazer operações com teorias no lugar de números. Posso, por exemplo, intersectar duas teorias, posso pegar a união de duas teorias ou mesmo fatorar um morfismo entre teorias. Os objetos com os quais trabalho são as próprias teorias matemáticas e a teoria de topos é como uma calculadora universal para elas.

Até que ponto se inspirou nos trabalhos de Grothendieck?

Li sobre ele quando ainda estava em Torino, durante a universidade, e fiquei impressionada com sua forma de pensar. Grothendieck realizou grandes coisas e certamente é o matemático com quem sinto a maior afinidade em termos de estilo matemático.

Como decidiu ser matemática?

O momento decisivo foi quando tinha 13 anos. Antes disso, a matemática parecia uma espécie de jogo mecânico, não era algo profundo. Quando conheci a noção de prova tudo mudou, porque entendi que na matemática existe uma noção especial de verdade; uma vez que algo é provado verdadeiro ou falso, dura para sempre. Há lindos exemplos: o teorema de Pitágoras, as provas euclidianas; eles têm milhares de anos, mas ainda são verdades e ninguém nunca vai mudar isso. Então, por um lado, existe esse aspecto de eternidade matemática, que me parece atraente e único. Nas ciências experimentais, de certa forma tudo é provisório. Além disso, gostei da ideia de resolver um problema de formas completamente diferentes, provas diferentes para um mesmo resultado. E a linguagem matemática é precisa e universal; ela nos permite compartilhar ideias de maneira objetiva, sem ambiguidade e com pessoas de todo o mundo. No fim, o matemático acaba sendo parte de uma aventura intelectual coletiva da qual o mundo inteiro participa. Além disso, há muita liberdade na matemática, embora isso não fique claro para quem está no ensino médio.

Você gostava da matemática escolar nessa época?

Quando está no ensino médio, o estudante não tem essa impressão de liberdade, porque faz apenas exercícios… Até chega a parecer meio entediante. Mas, conforme avança nos estudos, consegue ver cada vez mais casos em que pode resolver problemas de maneiras completamente diferentes, e acaba percebendo que há muita liberdade na matemática. Ninguém é forçado a resolver o problema de um jeito específico; cada um pode escolher sua própria abordagem — dá até para desenvolver um estilo matemático! Desde o começo entendi que a matemática é uma atividade bem criativa e até mesmo artística; há um elemento estético muito forte nela.

Essa visão era algo comum na sua escola?

Não, para ver isso o estudante precisa abstrair da forma clássica com que ensinam a matemática na escola. As pessoas acham bem entediante, ninguém espera que a gente use muito a intuição, ou pelo menos era assim onde estudei: bem mecânico e entediante. Pude formar uma ideia diferente da matemática lendo livros — me lembro em particular de O Que é Matemática?, do [Richard] Courant e do [Herbert] Robbins. Ele me fez olhar para a matemática de uma forma completamente diferente da forma como a olhava na escola. Nessa época, também gostava de resolver problemas, que baixava da internet. Resolvia problemas que eram mais difíceis que os da escola, eram mais elaborados e interessantes. Às vezes, passava horas tentando resolvê-los, e quando encontrava a solução ficava muito feliz. Pesquisava alguns tópicos elementares da teoria dos números e sentia muito prazer em descobrir resultados já conhecidos. E isso não importava, afinal estava tendo minha própria experiência. Gosto muito dessa sensação de me ver diante um problema difícil apenas com caneta, papel, e minha cabeça. Por tudo isso, decidi ser matemática e nunca mudei de ideia.

A música influenciou de alguma forma seu trabalho na matemática? Ou vice-versa?

A relação entre a matemática e a música sempre foi frutífera para mim, porque ambas têm muitas simetrias e, em certa medida, a beleza é dada por simetrias. Como matemática, sempre procuro simetrias e isso me ajuda a trabalhar nelas de maneira sistemática, então o treinamento matemático com certeza provocou impacto no modo como interpreto a música — ela tem tantas simetrias, tantas partes matemáticas que, eu sendo matemática, talvez as reconheça com maior naturalidade. Por outro lado, estudar música enriqueceu minha comunicação e minha capacidade de ter uma visão mais global da matemática. Quando interpreta uma peça, o músico tem de memorizar tudo, ter a peça completa na cabeça, o que o ajuda a pensar de modo global e coerente.

Você notou diferenças entre fazer pesquisa na Itália, na Inglaterra, e na França?

Bom, em geral, eu prefiro a França à Inglaterra, porque descobri que, de alguma forma, na França há uma sensibilidade abstrata maior na forma de fazer matemática. Além disso, tem a influência de Grothendieck; ele era professor no instituto onde trabalho hoje [Institut des Hautes Études Scientifiques], ou seja, trabalho no lugar onde Grothendieck originalmente introduziu os toposes. Eu não poderia desejar mais que isso [risos]. Estou muito feliz e, se puder, fico por aqui mais dois anos. {}



{2}/ Apêndice: categorias e pontes

Teoria de categorias. É uma linguagem com a qual os matemáticos pretendem unificar vários conceitos matemáticos. Com ela, eles compreendem melhor as propriedades dos objetos matemáticos, e visualizam melhor (de um ponto de vista mais alto ou mais geral) o modo como se inter-relacionam.

Categoria. É uma entidade matemática que consiste em objetos e morfismos. O estudante pode considerar um morfismo como uma função entre dois objetos; quando apropriado, pode compor dois morfismos. Os dois axiomas básicos para uma categoria são a associatividade da composição de morfismos e a existência de um morfismo identidade para cada objeto. Um exemplo é a categoria dos espaços vetoriais reais, que possui espaços vetoriais como objetos e as transformações lineares como seus morfismos.

A ideia de ponte. O leitor pode entender melhor a ideia de ponte ao pensar, por exemplo, na geometria analítica. Ao levar em consideração as coordenadas cartesianas, consegue associar uma reta a uma equação de primeiro grau, ou uma parábola a uma equação de segundo grau. Olivia diz que esse é um exemplo bem simples de ponte, pois com ela pode resolver problemas da geometria usando apenas manipulações algébricas, e resolver problemas algébricos usando apenas geometria.

O estudante bem treinado talvez ache difícil ver onde está a ponte entre a geometria e a álgebra, pois, para ele, a ligação entre os dois assuntos surge naturalmente. Contudo, pode pensar nas duas linguagens com que consegue representar o mesmo objeto. “Quando faz provas na geometria euclidiana, não precisa usar nenhuma equação”, diz Olivia. “Por outro lado, quando manipula equações, não precisa da geometria. São campos bem independentes.”

Em seu trabalho, Olivia trata de objetos mais avançados, mas a ideia é parecida com a da geometria analítica. É como se criasse um dicionário entre duas teorias distintas, com o qual, por meio dos toposes, pode traduzir os resultados de uma teoria em resultados de outra. Assim, pode ser que o matemático consiga traduzir um resultado simples numa teoria em um resultado complicado em outra, e vice-versa. É algo útil na hora de resolver problemas matemáticos. {Fim}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, pág. 14, dezembro de 2014. A versão que acabou de ler foi revista e ligeiramente reescrita.

2. A entrevista foi feita pela jornalista Mariana Osone, que também escreveu a primeira versão do texto.

3. A teoria de categorias têm sido usada com sucesso em áreas como física, ciência da computação, linguística, e filosofia. A teoria é mais uma evidência de que o leitor, se quiser, pode encarar a matemática como uma espécie de ficção com certas características especiais. Com esse jeito de encará-la (cujo nome é ficcionalismo matemático), fazer matemática é bolar ficções que sirvam como metáfora para processos do mundo real, ou para processos naturais tais como os apreendemos com nossos sentidos e nosso intelecto.

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