A arte de resolver problemas matemáticos é a arte de escrever


Outro dia, eu e uns amigos víamos um documentário sobre astronomia na TV. A certa altura, o narrador comparou os elementos químicos com os números primos. Tudo o que existe no universo, disse o narrador, é feito de 118 elementos químicos; é como se os 118 elementos fossem os números primos da matéria física. Já os números primos são infinitos, e em parte por isso os números inteiros são infinitos também.

Uma moça ficou impressionada com a informação:

“Existem infinitos números primos?”

Ela se virou para mim e tirou a dúvida:

Infinitos? Está certo isso?”

E eu fiquei impressionado com a conversa que se seguiu. Ela gostou muito de saber que é possível provar a existência de infinitos números primos; percebi que ficou remoendo essa informação um tempão. Contudo, não se lembrava de ter ouvido a informação ao longo dos anos que passou na escola — 20 ao todo, pois tem mestrado.

É bem provável que algum professor tenha dito isso algum dia, mas ela não estava pronta para sentir curiosidade por uma informação dessas. Não sei, e ela também não. Em todo caso, com essa história desemboco num de meus assuntos favoritos: nenhum professor, nenhuma escola, e nenhum sistema de ensino consegue passar o que a matemática de fato é. A matemática é grande demais, e incrivelmente multifacetada. Nem os que vivem 110 anos têm tempo para conhecer toda a matemática que existe para ser conhecida. Portanto, não acho grave que alguém desconheça algum fato matemático ou alguma nuance interessante. O que me parece grave na história de minha amiga é outra coisa.

Ela não tinha a noção de que uma pessoa pode provar que existem infinitos números primos sem ter de contá-los um a um. Foi o que de fato a surpreendeu. Em outras palavras, ela nunca havia escrito uma prova semelhante a essa na vida: nunca havia lidado com provas por indução matemática, ou com procedimentos recursivos. Ou, se havia, foi de um jeito tão desleixado que não deixou marcas.

Quando eu era mais jovem, gostaria que alguém tivesse me dito várias vezes, até que eu entendesse: “Olha, a escola não será capaz de te mostrar, nem mesmo brevemente, o que a matemática é, qual seu poder, e por que é bonita. Você terá de descobrir tudo isso por si mesmo. Vale a pena o esforço extra, pois, na pior das hipóteses, ganhará o passatempo mais satisfatório do mundo. E qual é o melhor jeito de descobrir o que a matemática é? Resolva problemas, quero dizer, prove afirmações de cunho matemático para além de qualquer dúvida, explicando tim-tim por tim-tim por que são verdadeiras.” Se alguém tivesse dito algo assim à minha amiga, de um jeito que pudesse entender, duvido que teria ficado tão surpresa com a informação sobre os primos, e, mesmo que ficasse, teria daí um ótimo projeto com o qual se divertir. {Fim}



Observações:

1. Publiquei essa carta ao leitor pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 47, dezembro de 2014. A versão que acabou de ver foi revista e ligeiramente reescrita.

2. O matemático americano Hung-Hsi Wu costuma dizer o seguinte: “Não existe absolutamente nenhuma distinção lógica entre resolver um problema e provar um teorema.”

Acho que a escola básica e muitos cursos universitários têm dificuldade de passar essa mensagem aos alunos, pois se concentram demais em achar a resposta certa, pura e simplesmente; ou então, o que é quase a mesma coisa, se concentram demais em usar a matemática, pura e simplesmente, sem questioná-la ou compreendê-la. (Por exemplo, usá-la na física.) Só que achar a resposta certa não é a mesma coisa que fazer matemática. Antes disso, fazer matemática é explicar, tim-tim por tim-tim, por que motivos a resposta certa é certa. Portanto, provar um teorema (e resolver um problema de cunho matemático) é uma atividade muito mais próxima de escrever um ensaio do que de fazer desenhos e contras desordenados num pedaço de papel.

3. Para ver como provar a existência de infinitos números primos, veja a postagem Deserto de números primos e um erro comum no ensino básico; vá direto para a seção 3.

4. Quando o narrador do documentário disse que toda a matéria do universo é feita de 118 elementos químicos… bem, ele pulou uma discussão filosófica difícil e interessante.

Segundo o modelo de universo mais usado por físicos, o universo é infinito em todas as direções. Visto que não temos acesso a todos os lugares do universo, nem nunca teremos (se o modelo for verdadeiro), não podemos afirmar que, incontestavelmente, toda matéria do universo é feita dos 118 elementos químicos da tabela periódica. Essa inferência é razoável, considerando o sucesso das narrativas científicas que temos hoje, mas não pode ser justificada por meio de argumentos cujas premissas sejam irrefutáveis.

 

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