Cálculo Tornado Fácil 16

É assim que um matemático calcula áreas e volumes difíceis: divide a área em tiras, o volume em fatias, e depois aplica os métodos do cálculo integral.

 

Lembrete: O texto a seguir é parte de uma sequência; ele começa na seção 83 porque o texto anterior terminou na 82. Os textos da sequência até agora são Cálculo Tornado Fácil 1CTF 2CTF 3CTF 4CTF 5CTF 6CTF 7, CTF 8, CTF 9, CTF 10, CTF 11, CTF 12, CTF 13, CTF 14, e CTF 15.

 


{83}/ Capítulo 19

Achando áreas via integração

Você pode usar o cálculo integral para averiguar o valor de áreas delimitadas por curvas. Penso que vai compreender esse assunto melhor se for passo a passo.

Na figura 52, imagine que AB é uma curva cuja equação conhece. Em outras palavras, pode achar o valor de y em função do valor de x. Pense agora num pedaço dessa curva, o pedaço que vai do ponto P ao Q.

Desenhe uma linha perpendicular ao eixo X passando pelo ponto P, para obter a linha PM; com o mesmo método, desenhe a linha QN. Daí batize o comprimento OM de x1 e ON de x2, e as ordenadas PM de y1 e QN de y2. Com esse método, marcou a área PQNM que reside entre o pedaço PQ da curva e o eixo das abscissas. Qual é a questão? Ela é: como pode calcular o valor dessa área?

O segredo de resolver esse problema é imaginar que vai dividir a área em várias tiras bem estreitas, cada uma delas com largura igual a dx. Quanto menor o valor que atribui a dx, mais tiras imagina entre x1 e x2.

Penso que achará fácil acreditar num fato: a área completa (ou a área integral) é a soma da área de cada uma das tiras. Seu negócio é, portanto, descobrir uma expressão para a área de qualquer uma das tiras, e daí integrar a tal expressão para adicionar a área de todas as tiras. Pense numa tira qualquer. Sua imaginação vai funcionar mais ou menos assim: cada tira é delimitada por dois lados verticais, com uma base horizontal de comprimento dx, e com um topo ligeiramente curvado ou inclinado. (Veja a figura 1i8 mais abaixo.) Suponha que tome a altura média da tira como sendo o valor de y naquele ponto x em que a tira está; daí, como o comprimento da base é dx, a área será y·dx. Não importa que o valor de y seja ligeiramente diferente do valor exato da altura média: visto que pode atribuir a dx um valor tão pequeno quanto queira, para deixar a tira tão estreita quanto queira, conforme o valor de dx tende a zero, a altura y tende a se igualar à altura média.

Fig. 1i8

Chame o valor da área integral desconhecida de S, para recordar a palavra “superfície”. A área de uma tira será simplesmente um pouquinho da área total, e pode chamá-la, se quiser, de dS. Com isso pode escrever:

área de 1 tira = dS = y·dx

Se adicionar todas as tiras, deve obter:

área total S = ∫dS = ∫y·dx

Em casos assim, para achar o valor de S, deve integrar y·dx, se isso for possível, a partir da expressão que já conhece para calcular o valor de y em função de x.

Por exemplo: suponha que lhe digam que a equação da curva em questão é y = b + ax2. Sem dúvida pode usar a expressão b + ax2 no lugar de y e dizer:

“Sendo assim, tenho de achar o valor de ∫(b + ax2)dx.”

Tudo isso é bem legal, não é mesmo? Contudo, depois de pensar um pouco, deve notar que falta fazer alguma coisa. Pois a área que está tentando encontrar não é a área debaixo de toda a curva de y, mas apenas a área limitada à esquerda por PM e à direita por QN; desse pensamento sentirá a necessidade de conceber algum método para definir a área entre tais “limites” ou “extremidades”.

Essa discussão exige a introdução de uma nova ideia, a de integrar entre limites. Você imagina x variando, e por enquanto não precisa pensar em nenhum valor menor que x1 (que é OM) ou maior que x2 (que é ON). Quando tem de definir uma integral entre dois limites, pode chamar o menor dos dois valores de “limite inferior” e o maior de “limite superior”. Deve chamar qualquer integral delimitada dessa maneira de “integral definida”, para distingui-la da integral que já conhece, a “integral total” ou “integral indefinida”.

Para dar instruções corretas a quem vai realizar a integração, você marca os limites ao colocá-los no topo e na base do símbolo de integração. Examine as duas expressões abaixo:

Ambas significam a mesma coisa. Deve lê-las assim: “Vou achar a integral de y·dx entre o limite inferior x1 e o limite superior x2.”

Ora, mas como alguém pode achar uma integral entre limites, quando recebeu as instruções contidas numa das expressões acima?

Examine de novo a figura 52. Suponha que poderia achar a área do pedaço maior de A a Q, isto é, de x = 0 a x = x2; essa é a área AQNO. Se daí pudesse subtrair a área menor da maior, ficaria com o resto, que é a área PQNM, justamente a que procura. Aqui tem a dica do que tem de fazer: a integral definida entre dois limites é a diferença entre a integral que calculou para o limite superior e a que calculou para o limite inferior.

Vamos lá: mãos à obra! Em primeiro lugar, ache a integral indefinida:

Contudo, como te disseram que y = b + ax2 é a equação da curva na figura 52, realize a substituição:

Essa é a integral indefinida que deve encontrar. Depois de realizar as operações de integração que estudou no capítulo anterior (Cálculo Tornado Fácil 15), obtém:

Até aqui, você sabia que, ao diferenciar essa expressão uma vez, produz a expressão que define y. Quero te dar uma nova informação: com a expressão bx + (a/3)x3 + C, você também calcula a área total debaixo da curva de y entre x = 0 e um valor qualquer que atribua à variável x. [Se quiser saber mais sobre isso, leia sobre o teorema fundamental do cálculo; em todo caso, pode saber tudo sobre ele no capítulo 7 do curso de cálculo com hiper-reais.] Com isso, já sabe que a área total debaixo da curva de y entre 0 e o limite superior x2 tem de ser:

Da mesma forma, a área entre 0 e o limite inferior x1 tem de ser:

Por fim, já pode subtrair a área menor da maior e obter a área total S, a que procurava:

Eis aí a resposta. Experimente com alguns valores numéricos. Suponha, por exemplo, b = 10, a = 0,06, x2 = 8 e x1 = 6. Daí a área S é igual a:

(Lembrete: esse número não significa mais 25,92 unidades, mas 25,92 unidades ao quadrado ou 25,92 unidades de área.)

Vamos colocar no papel toda essa história de integrar entre limites de um jeito mais simbólico:

Nessa equação, Φ2 é o valor integral de y·dx quando x = x2 e Φ1, o valor integral de y·dx quando x = x1.

Sempre que for integrar entre limites, terá de realizar uma operação como essa, a de achar a diferença entre dois valores. Não deixe de notar que, ao executar a subtração, a constante C desaparece, pois CC = 0.

Lembrete. A teoria não mudou. Você usa Φ para denotar a expressão cuja derivada é y, isto é:

É exatamente o que fez ao estudar o capítulo anterior. O que mudou é o jeito de interpretar a integração entre limites. Como deve ler a equação abaixo?

“Estou procurando a área debaixo da curva de y entre x1 e x2 (com x2 > x1). Essa área corresponde ao valor de Φ quando x = x2 menos o valor de Φ quando x = x1, sendo Φ uma expressão tal que sua derivada é y.”

Exemplos.

(1) Para se familiarizar com o processo, pratique com um caso cuja resposta já conhece de antemão. Ache a área de um triângulo retângulo cuja base x mede 12 unidades e a altura y, 4 unidades, como pode ver na figura 53. Já sabe que, num caso simples como esse, a área vale 24 unidades ao quadrado.

Neste caso, está trabalhando com uma curva que é uma reta inclinada, cuja equação é:

Chame a área em questão de S; o valor de S será:

Usando as técnicas que já conhece, ache a integral indefinida de (x/3)dx, coloque a expressão dessa integral entre colchetes, e marque no colchete à direita o limite inferior e o superior, à guisa de lembrete:

Coloquei a constante indefinida C dentro dos colchetes porque ela faz parte da integral indefinida. Contudo, como C desaparece durante a subtração, em geral os matemáticos a ignoram. Você pode também adotar essa prática, se quiser. Daí suas notas devem ficar assim:

Para se convencer de que esse artifício de cálculo de fato funciona, seria bom testá-lo mais completamente nesse exemplo simples. Pegue papel quadriculado e plote o gráfico da função y = x/3, usando o lado de cada quadradinho como unidade. Os valores inteiros, que deve obter com a equação, são:

x

0

3

6

9

12

y

0

1

2

3

4

Com tais valores como referência, seu gráfico deve ficar como o da figura 54.

Calcule a área debaixo da curva de y = x/3, de x = 0 até x = 12, mas contando o número de quadradinhos. Deve contar 18 quadradinhos completos; além deles, vai contar quatro triângulos retângulos de base igual a 3 unidades e altura igual a 1 unidade. A área de cada triângulo é, portanto, equivalente à área de 1 quadradinho e meio. Somando tudo, área equivalente a 24 quadradinhos!

Como exercício suplementar, mostre que o valor da mesma integral entre os limites x = 3 e x = 15 é 36 unidades ao quadrado.

(2) Ache a área, entre os limites x = x1 e x = 0 (com x1 > 0), da curva correspondente à equação a seguir:

De novo, chame a área de S; pode ver uma ilustração dessa área na figura 55. Daí:

Deve notar que todos estão sempre realizando esse processo de subtrair uma parte menor de uma maior. Como pode achar a área de um anel plano (figura 56), sendo que o raio interno vale r1 e o externo vale r2? Das aulas de geometria, já sabe que a área do disco maior vale πr22, enquanto a do disco menor vale πr12; daí subtrai a do disco menor da do maior e obtém a área do anel:

Isso pode ser escrito assim: π(r2 + r1)(r2r1), que significa “circunferência média do anel × largura do anel”.

(3) Eis outro caso — o da curva de decrescimento exponencial, que é importante quando investiga, por exemplo, a meia-vida de substâncias radioativas. Ache a área entre t = 0 e t = a da curva (na figura 57) cuja equação é:

De novo, pode chamar a área de S:

Se quiser, pode verificar que, se a expressão para y está sendo multiplicada por uma constante (neste caso, a constante A), antes de realizar a integração pode tirar a constante do integrando e colocá-la multiplicando a integral; isso equivale a colocá-la em evidência. (Use o exemplo 2 como referência.) Na figura 57, A = 2, k = 1 e a = 3.

(4) Existe outro exemplo interessante na curva adiabática de um gás perfeito; a equação dessa curva é pvn = c, na qual p significa pressão, v, volume, n é o número 1,42 e c é uma constante cujo valor varia de experimento para experimento conforme as condições. (Veja a figura 58.)

Adiabático. Num sistema físico, a palavra designa um processo de transformação no qual não ocorrem trocas térmicas com o exterior.

Quando você acha a área debaixo dessa curva entre o limite inferior v1 e o limite superior v2, na verdade acha um valor proporcional ao trabalho que deve realizar para comprimir o gás rapidamente. (Vai usar essa informação no projeto de um compressor.) Pode chamar a área que está procurando, portanto, de τ. (Muitos usam a letra grega tau para denotar trabalho, isto é, força multiplicada por deslocamento.)

Nesse caso, suas notas devem ficar assim:

Está vendo por que um manual de física contém centenas de fórmulas complicadas? Quase todas elas surgem naturalmente de alguma derivada ou integral.

Um exercício. Use o que aprendeu até aqui para demonstrar a conhecida fórmula pela qual calcula a área A de um círculo cujo raio é r, isto é, a fórmula A = πr2.

Pode começar desenhando um círculo de raio r e, dentro dele, um ânulo de raio x; esse ânulo serve de base para uma seção aneliforme de largura dx, como pode ver na figura 59.

Ânulo e seção aneliforme. “Ânulo” é a região entre dois círculos concêntricos. “Aneliforme” é qualquer coisa que tenha a forma de um ânulo, isto é, a forma de uma arruela.

Você pode considerar toda a superfície encerrada pelo círculo como que feita de tais seções aneliformes muitíssimo estreitas, e pode calcular toda a área A ao calcular a integral de tais seções do centro do círculo a seu perímetro, isto é, ao integrá-las de x = 0 até x = r.

O primeiro passo, portanto, é achar uma expressão para a área de uma única dessas seções aneliformes, cuja área equivale a um infinitésimo da área total, isto é, equivale a dA. Eis um jeito de pensar sobre isso: cada uma dessas tiras aneliformes tem largura dx, e, conforme dx tende a zero, seu comprimento tende à circunferência do círculo cujo raio é x. Em outras palavras, seu comprimento é 2πx (você já viu isso na escola). Daí a área dessa tira aneliforme infinitésima é seu comprimento multiplicada por sua largura (que é um infinitésimo do raio r), isto é:

Com tais informações, já pode integrar todos os infinitésimos de área dA para calcular a área total A:

Há outras maneiras de responder a essa mesma pergunta. Veja, por exemplo, a figura 7OL logo acima. Ela mostra a curva da equação x2 + y2 = r2 no primeiro quadrante, isto é, mostra um quarto de círculo com centro na origem e raio igual a r. Uma tira infinitésima desse um quarto de círculo tem base dx e altura y = √(r2x2), de modo que a área dessa tira é:

Como a figura mostra um quarto de círculo, ao integrar todas as áreas infinitésimas dA, você obterá um quarto da área total do círculo, isto é:

É hora de dar uma resposta adequada a uma pergunta difícil: qual é a integral indefinida de √(r2x2dx? Se consultar uma boa tabela de derivadas e integrais, vai achá-la:

Com isso, já pode arrematar o cálculo:

Há várias outras maneiras de obter uma resposta a essa mesma questão; tente achar sozinho uma ou duas delas.

Outro exercício. Tente achar a ordenada média da parte positiva da curva de y = xx2, que mostro na figura 60. Para achar tal ordenada, tem de achar a área da peça OMN, para daí dividi-la pelo comprimento da base ON. (Seu objetivo é achar a altura do retângulo cuja base é ON e cuja área é igual à área hachurada na figura 60.)

Antes de achar a área, contudo, tem de avaliar o comprimento do segmento de reta ON, para saber quais limites usará na integração. No ponto N, a ordenada vale zero; logo, tem de achar os valores de x tais que xx2 = 0. Se reescrever xx2 como x(1 – x), pode calcular as raízes de cabeça: x = 0 ou x = 1. Assim, as coordenadas do ponto N são (1, 0).

Qual é a área da tirinha infinitesimal? É a base dx multiplicada pela altura y:

Assim, a área que está procurando vale:

Visto que a base do retângulo é 1, sua altura tem de ser 1/6: esse retângulo tem a mesma área da parte hachurada, e portanto a ordenada média da parte positiva dessa curva é y = 1/6.

(Tente se divertir com um exercício simples: use o cálculo diferencial para achar o ponto máximo da curva de y = xx2 [é o ponto no qual dy/dx vale zero]; sua ordenada deve ser, obrigatoriamente, maior que 1/6.)

Para achar a ordenada média de qualquer curva [bem-comportada], do limite inferior x = 0 ao limite superior x = x1, deve usar a expressão a seguir, na qual ŷ significa “a média de y”:

Com esse método, você também consegue achar a área da superfície de um sólido de revolução.

Sólido de revolução. Imagine que vai girar uma região do plano, uma revolução completa, em torno de um eixo que não corta a região. Pode chamar a região de 3 dimensões que obteve de “sólido de revolução”. Se girar uma superfície em torno do eixo X, como na figura abaixo, pode obter um sólido maciço.

Exemplo. A curva de y = x2 – 5 está girando em torno do eixo X. Ache a área da superfície gerada pela curva entre x = 0 e x = 6. (Veja a figura p0I a seguir.)

Para realizar esse exercício, você precisa de um pouco de teoria. Vamos a ela!

Imagine uma função real f cuja fórmula de associação entre elementos x do domínio e elementos y da imagem é y = f(x). Imagine ainda que o valor de f(x) nunca é negativo no intervalo fechado [a, b], e que f é diferenciável para todo x [a, b]. Agora, usando um sistema de coordenadas retangulares, você vai plotar a curva de y = f(x) no intervalo [a, b] e girá-la em torno do eixo X. Com isso, obtém uma superfície de revolução, e a ela pode associar medidas como área e volume. Se quiser calcular a área, use a fórmula a seguir:

Por exemplo, imagine a superfície de revolução que obtém ao girar, em torno do eixo X, a curva da função real g : y = sen(x) no intervalo x [1, 2]. (Veja a figura E1.) Nesse caso, a área será:

Fig. E1

Para calcular o valor de uma integral dessas, recorra ao jeito mais simples: um sistema de computação algébrica. (No portal Wolfram Alpha, basta digitar NIntegrate[2 Pi Sin[x] Sqrt[1 + Cos[x]^2], {x, 1, 2}], que ele devolve o valor aproximado da integral.)

Por que deve calcular a área dessa maneira?

Na figura E2, pode ver um pedacinho infinitésimo da curva relativa a y = f(x). Do teorema de Pitágoras, sabe que (ds)2 = (dy)2 + (dx)2; visto que ds, dy e dx são infinitésimos, são variáveis que tendem a zero (e jamais elas se igualam a zero); e, conforme dx e dy tendem a zero, o comprimento ds tende ao comprimento da curva de f no intervalo [x, x + dx], de modo que pode usar ds como se fosse o comprimento da curva de f nesse intervalo.

Fig. E2

Sendo assim, na imaginação, deve dividir a superfície de revolução em infinitas tiras de comprimento igual a 2πy e largura igual a ds, como pode ver na figura E3; se for assim, um elemento infinitésimo da área A dessa superfície vale:

Fig. E3

A questão agora é o que fazer com o argumento da raiz, visto que gostaria de tirar dx para fora da raiz; assim pode integrar uma expressão em relação a dx. (Isso porque y depende de x.) Para tanto, basta estudar a igualdade a seguir, na qual obtém o termo à direita ao multiplicar o termo à esquerda por (dx)2/(dx)2, isto é, ao multiplicá-lo por 1.

Já pode integrar os dois lados da equação (†).

Como realizou todo o raciocínio para y ≥ 0, e como a integral de curvas negativas é negativa, é bom deixar claro para seu leitor em que condições a fórmula acima funciona. E daí deve escrever a coisa toda como vai encontrá-la em qualquer dicionário de matemática:

Área de uma superfície de revolução. Se y é uma variável real contínua dependente de x por meio da função real f, e se f é diferenciável no intervalo [a, b], e se, para todo x [a, b], daí y ≥ 0, então pode calcular a área A da superfície que obtém ao girar a curva de f em torno do eixo X com a fórmula a seguir:

Agora veja como tratar o problema do exemplo em questão adequadamente:

Na primeira parcela, se quisesse trabalhar com |x2 5|, tudo bem, daria certo. (Aliás, nesse caso, poderia considerar a função como sendo y = |x2 5| e integrá-la de uma vez no intervalo entre x = 0 e x = 6; daria certo também.) A superfície de revolução fica como na figura E4.

Fig. E4

Pode usar o mesmo raciocínio esboçado aqui para calcular o comprimento de um arco da curva de uma função real contínua e derivável no intervalo fechado [a, b]. (Tal comprimento é equivalente ao que obteria se estendesse a linha numa reta, sem esticá-la.) Use mais uma vez a figura E2 como guia, e note que um elemento infinitesimal do comprimento L é igual a ds. Fazendo as contas:

Observação: as demonstrações contidas nesta parte do texto não são propriamente demonstrações; estão mais para explicações, e do tipo que apela para a intuição. Silvanus escreveu todo o Cálculo Tornado Fácil recorrendo a explicações assim, que são mais fáceis de entender, e portanto podem figurar num curso de introdução. O risco é se deixar levar pela intuição em circunstâncias nas quais ela não vale. Para demonstrar apropriadamente a fórmula para a área de uma superfície de revolução (ou para o comprimento de um arco), você teria de montar uma soma de Riemann, que é um limite, e depois calcular o limite; ou então teria de recorrer ao sistema dos números hiper-reais para trabalhar com infinitésimos ϖ bem-comportados.

Essa superfície da figura E4 daria uma bela taça para coquetéis, e seria fácil produzi-la com uma impressora 3D.



{84}/ Áreas em coordenadas polares

Quando você conhece a equação do perímetro de uma área na forma polar (isto é, conhece a equação polar da curva que delimita a área), pode aplicar com facilidade o processo que acabou de estudar. [Curso rapidíssimo de coordenadas polares: você localiza um ponto P no plano cartesiano com a distância r de O até P e com o ângulo θ entre o eixo X e a linha OP, ângulo esse medido no sentido anti-horário.] Em vez de pensar numa tirinha da área, pensa num triângulo infinitésimo AOB, como pode ver na figura 61. O ângulo em O vale dθ. Para calcular a área, o que tem a fazer é somar a área de todos os triângulos infinitésimos que perfazem a figura.

Já sabe que a área de um triângulo é (base · altura)/2. Assim, a área dA do triangulinho infinitésimo é aproximadamente (AB · r)/2, ou mais precisamente:

A partir disso, pode calcular com a fórmula a seguir a área A incluída entre a curva e as linhas OC e OD (que não estão na figura 61; tem de imaginá-los), correspondentes aos ângulos θ1 e θ2:

Exemplos

(1) Ache a área de um setor de 1 radiano num círculo cujo raio mede a centímetros.

A equação polar de um círculo de raio a é r = a para todo θ. Sendo assim, a área A que procura é:

Você pode tirar a2 da integral porque é uma constante; não se esqueça de que a unidade de medida do valor que acabou de achar é centímetros ao quadrado. Além disso, vale a pena uma breve pausa para entender por que a integral indefinida acima vale 1.

A representação visual dessa integral está na figura FOJ. No eixo das abscissas, o valor de θ em radianos; no eixo das ordenadas, o valor constante de 1 radiano para todo valor de θ. A área hachurada vale 1 radiano ao quadrado. Lembrete: na linha dos números reais, 1 radiano tem exatamente o mesmo comprimento que o número real 1; a palavra “radiano” serve apenas para lembrá-lo que o comprimento real com o qual está lidando foi medido ao longo do perímetro de um círculo. De modo geral, você pode intercambiar livremente comprimentos em radianos e em números reais.

Faça o teste: use esse método para determinar o valor da área total de um círculo de raio igual a x. Visto que o limite inferior da integral é 0 e o superior é 2π, vai chegar a πx2.

(2) Ache a área da curva conhecida como caracol de Pascal (ou como limaçon, a palavra francesa para caracol), mas apenas a área relativa ao primeiro quadrante. A equação da curva neste caso é r = a(1 + cosθ).

Suas notas devem ficar mais ou menos assim:

A figura Zty mostra um desses caracóis, feito com a = 3.

A metade superior desta figura lembra um ‘limaçon’, isto é, um caracol



{85}/ Volumes por integração

Até o momento, o que você fez foi atinar com uma expressão para a área de uma tira infinitésima de uma superfície e somar a área de todas essas tiras para calcular a área total. Da mesma forma, pode atinar com uma expressão para uma fatia infinitésima de um sólido, e usar as técnicas de integração para calcular o volume do sólido ao somar o volume de todas as fatias infinitésimas.

Exemplos

(1) Ache o volume de uma esfera de raio r.

Imagine que o centro da esfera coincide com o centro de um sistema cartesiano com dois eixos de referência, X e Y, de modo que alguns pontos da esfera têm coordenadas (x, y). Você corta uma fatia dessa esfera perpendicular ao eixo X, como pode ver na figura 62. O volume da fatia infinitesimal a essa altura do eixo X é dV = ∫πy2dx (πy2 é a área do círculo que serve de base à fatia, pois y é o raio; dx é sua grossura). Como y2 = r2x2:

O volume total da esfera é duas vezes o volume da esfera entre os limites x = 0 e x = r; portanto:

Há vários outros métodos para achar o volume da esfera por integração. Não deixe de notar que a derivada do volume é a própria área da esfera, isto é, a área da superfície da bola.

Lembrete. Alguns professores não gostam da locução “o volume da esfera”; dizem que, visto que a esfera é a superfície da bola, não pode ter volume. Contudo, quando um matemático diz ou escreve “o volume da esfera”, quer dizer “um número real que calculei com o raio da esfera e que indica a aresta do cubo cujo volume seria equivalente ao volume dessa esfera em estudo”. Assim, “o volume da esfera” é uma locução perfeitamente válida.

(2) Ache o volume de um sólido gerado pela revolução da curva y2 = 6x em torno do eixo X, mas entre x = 0 e x = 4. (Veja a figura 99j.)

O volume de uma fatia infinitésima do sólido é πy2dx, sendo que pode trocar y2 por 6x; assim, o volume V que procura é:

Lembrete. São 150,8 unidades de volume.



{86}/ Sobre médias quadráticas

Em certos ramos da física, especialmente no estudo de circuitos de corrente alternada, precisará às vezes calcular a média quadrática de uma quantidade variável. Por “média quadrática” quero dizer a raiz quadrada da média dos quadrados de todos os valores no intervalo em questão. Outros nomes comuns para a média quadrática são: valor virtual, valor RMS (da locução inglesa root-mean-square value), valor eficaz ou, em francês, valeur efficace. Se y é a variável dependente, e se você deve calcular a média quadrática no intervalo entre x = 0 e x = l, daí pode expressar a média quadrática assim:

Exemplos

(1) Ache a média quadrática da função y = ax. (Veja a figura 63 mais abaixo.)

Neste caso, a integral é:

Depois de dividir por l e de extrair a raiz quadrada, deve obter:

Aqui, a média aritmética é ½al, e a razão entre a média quadrática e a aritmética é 2/√3 1,155. Na física, essa razão é conhecida como razão FF (do inglês form-factor); ela é útil porque te permite passar da média aritmética à quadrática e vice-versa.



{87}/ Exercícios XVIII

(1) Ache a área da curva y = x2 + x – 5 entre x = 0 e x = 6, e as ordenadas médias entre tais limites.

(2) Ache a área da parábola y = 2ax entre x = 0 e x = a. Mostre que é dois terços do retângulo cuja diagonal vai da origem ao ponto (a, ya).

(3) Ache a área da porção positiva da curva senoidal (isto é, ache a área de senx entre x = 0 e x = π radianos); ache também o valor da ordenada média.

(4) Ache a área da porção positiva da curva y = sen2x, e ache a ordenada média.

(5) Ache a área entre os dois braços da curva y = x2 ± x5/2 de x = 0 a x = 1; ache também a área da parte positiva do braço inferior dessa curva.

(6) Ache o volume de um cone cuja base tem raio r e cuja altura é h.

(7) Ache a área da curva y = x3 – lnx entre x = 0 e x = 1.

(8) Ache o volume gerado pela curva y = √(1 + x2), entre x = 0 e x = 4, conforme ela gira em torno do eixo X.

(9) Ache o volume gerado por uma curva senoidal conforme ela gira em torno do eixo X. Ache também a área da superfície. (Considere só um ciclo, isto é, de x = 0 a x = 2π.)

(10) Ache a área do arco da curva de xy = a entre x = 1 e x = a. Ache a ordenada média entre esses limites.

(11) Mostre que a média quadrática da função y = senx, entre os limites 0 e π radianos, é (√2)/2. Ache também a média aritmética da mesma função entre esses mesmos limites; daí mostre que a razão FF é 1,1.

(12) Ache a média aritmética e a quadrática da função x2 + 3x + 2, mas entre x = 0 e x = 3.

(13) Ache a média aritmética e a média quadrática da função y = A1senx + A1sen3x.

(14) Uma certa curva tem equação y = 3,42e0,21x (ou, o que é mais fácil de ler, y = 3,42 · exp[0,21x]). Ache a área entre a curva e o eixo X entre x = 2 e x = 8. Ache também a altura da ordenada média entre tais pontos.

(15) Mostre que o raio r de um círculo cuja área é o dobro da área de um diagrama polar é igual à média quadrática de todos os valores de r para aquele diagrama polar.

(16) Ache o volume gerado pela curva y = ±(x/6)√{x(10 – x)} conforme ela gira em torno do eixo X.

{Fim}

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